close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

94.Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №3 2010

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
№ 3 (15)
2010
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Фоменко В. Т., Коломыцева Е. А. Cуществование нетривиальных
ARG -деформаций поверхностей с краем при обобщенных
втулочных связях в римановом пространстве....................................................... 3
Бойков И. В., Бойкова А. И. Приближенное решение гиперсингулярных
интегральных уравнений с целыми сингулярностями нечетного порядка....... 15
Бойков И. В., Захарова Ю. Ф., Алаткин С. П. Приближенное решение
гиперсингулярных интегральных уравнений сплайн-коллокационными
методами нулевого порядка .................................................................................. 28
Грабовская С. М. Синтез надежных неветвящихся программ
с условной остановкой в полном конечном базисе, содержащем x1 & x2 ........ 43
Смирнов Ю. Г., Хорошева Э. А. О разрешимости нелинейной краевой задачи
на собственные значения для распространяющихся ТМ-волн
в круглом нелинейном волноводе ........................................................................ 55
Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Распространение ТМ-поляризованных
электромагнитных волн в диэлектрическом слое
из нелинейного метаматериала............................................................................. 71
Медведик М. Ю. Субиерархический метод решения интегрального
уравнения на поверхностях произвольной формы ............................................. 88
ФИЗИКА
Горюнов В. А., Майоров А. М., Майоров М. И. Модуляция излучения
и доли ионного тока в катодном пятне люминесцентных ламп ........................ 95
Суворова Л. А., Буев А. Р. Модель процесса перехода поликристаллического
высокотемпературного сверхпроводника в критическое состояние............... 102
Браже Р. А., Кочаев А. И. Общий метод поиска чистых мод
упругих волн в кристаллах.................................................................................. 115
Архипов В. И., Агмон Н. Оценка размеров кластера в ассоциированных
жидкостях по характерным временным масштабам
ориентационной поляризации............................................................................. 126
Булярский С. В. Определение активности водорода
и углерода при пиролизе углеводородов ........................................................... 136
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Тихончев М. Ю., Светухин В. В., Козлов Д. В., Голованов В. Н.
Моделирование процессов первичной радиационной
повреждаемости сплава Fe–1.8ат.%Ni методом молекулярной динамики .....143
Нагорнов Ю. С., Махмуд-Ахунов Р. Ю., Тихончев М. Ю., Костишко Б. М.,
Голованов В. Н., Светухин В. В. Построение температурно-зависимого
потенциала межчастичного взаимодействия для диоксида урана ...................156
Геращенко С. И., Геращенко С. М., Кучумов Е. В. Вопросы
моделирования электрохимических методов
и средств контроля динамики воспалительных процессов...............................165
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
МАТЕМАТИКА
УДК 514.75
В. Т. Фоменко, Е. А. Коломыцева
СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫХ ARG-ДЕФОРМАЦИЙ
ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ ПРИ ОБОБЩЕННЫХ
ВТУЛОЧНЫХ СВЯЗЯХ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Аннотация. Доказывается существование счетного множества коэффициентов
рекуррентности ARG -деформаций поверхностей положительной внешней
кривизны с краем в римановом пространстве при условии, что вдоль края поверхность подчинена обобщенной втулочной связи, для которой существуют
нетривиальные ARG -деформации поверхностей.
Ключевые слова: риманово пространство, поверхность, внешняя кривизна,
обобщенная втулочная связь, ARG -деформация.
Abstract. The authors proved the existence of the denumerable set of the coefficients
of the recurrent of ARG -deformations of the surfaces of the positive exterior curvature with boundary in a Riemannian space provided that the surface is subjected to
the generalized hub relation along boundary for which the nontrivial ARG deformations of the surface exist.
Keywords: Riemannian space, surface, exterior curvature, generalized hub relation,
ARG -deformation.
1. Предварительные сведения
Пусть R3 – трехмерное риманово пространство с метрикой a dy  dy ,
a  C 4 и F 2 – (m  1) -связная поверхность с краем, заданная уравнениями




y   f  x1 , x 2 ,   1, 2,3 , x1 , x 2  D ,

где f  x1 , x 2
(1)
 – функции класса C 3 . Пусть, далее, граница D области D
принадлежит классу C 2 . Эти условия будем называть условиями регулярности поверхности. Будем считать, что внешняя кривизна поверхности в каждой
точке положительна: K  k0  0 , k0  const .
Рассмотрим бесконечно малую деформацию {F } , F0  F 2 , поверхно-
сти F 2 , определяемую уравнениями y  y   z  , где  – малый параметр,
z  – векторное поле смещения точек поверхности F 2 при ее деформации.
Представим поле смещения в виде суммы z   z  zn , где z  ai y ,i – тан-
генциальная составляющая поля z  ; знак « ,i » означает ковариантную произ-
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
водную по переменной xi в метрике поверхности F 2 ; zn  cn – нормальная составляющая поля z  ; n – поле единичных векторов нормалей к поверхности F 2 , y,i 
y 
i
, i  1, 2 . Будем рассматривать поля z  такие, что
x
их касательные и нормальные составляющие принадлежат соответственно
классам C1 и C 2 . Соответствующие деформации назовем допустимыми.
Бесконечно малую деформацию {F } поверхности F 2 назовем ареально-рекуррентной G -деформацией с коэффициентом рекуррентности  (коротко – ARG -деформацией) [1], если выполнены условия:
1) вариация (d ) элемента площади d поверхности F 2 удовлетворяет соотношению
(d )  2 H cd  ,
(2)
где H – средняя кривизна поверхности F 2 ,  – заданное число, называемое
коэффициентом рекуррентности;
2) бесконечно малая деформация поверхности F 2 является G -деформацией, т.е. для любой точки поверхности F 2 ее единичный вектор нормали
n , параллельно перенесенный в R3 в смысле Леви-Чивита в направлении
вектора z  в соответствующую точку поверхности F 2 , совпадает с векто-
ром нормали n к F 2 в этой точке.
Будем говорить, что поверхность F 2 является  -жесткой в отношении
ARG -деформаций, если для заданного коэффициента рекуррентности  во
множестве ARG -деформаций поверхности F 2 содержится только тождественная ARG -деформация с полем смещения z   0 ; в противном случае поверхность F 2 будем называть  -нежесткой.
Зададим на краю F 2 поверхности F 2 отличное от нуля векторное поле
l   l  ln ,
(3)
где l  l i y,i – тангенциальная составляющая поля l  ; ln  l 3n – нормальная составляющая поля l  ; l1 , l 2 , l 3 – заданные функции класса C1 .
Будем рассматривать бесконечно малые ARG -деформации поверхности F 2 , подчиненные на краю F 2 условию
a z  l  = 0 .
(4)
Это условие назовем условием обобщенной втулочной связи.
Для формулировки результата введем в рассмотрение правый сопровождающий трехгранник Френе {t  ,  , n } края F 2 поверхности F 2 , где
t  – поле единичных векторов касательных к краю F 2 ;  – поле единич-
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
ных векторов тангенциальных нормалей к краю F 2 ; n – поле единичных
векторов нормалей к краю F 2 .
Имеет место следующая
Теорема. Пусть (m  1) -связная поверхность F 2 положительной
внешней кривизны K  k0  0 , k0  const , в римановом пространстве R3
удовлетворяет условиям регулярности, ориентирована так, что ее средняя
кривизна H положительна, и подвергнута бесконечно малой ARG -деформации с заданным коэффициентом рекуррентности  . Пусть, далее, поверхность F 2 подчинена обобщенной втулочной связи (4), где поле l  таково, что тангенциальная составляющая l  l i y,i сопряжена с направлением
t  края F 2 поверхности F 2 , образует тупой угол с тангенциальной нор-
малью  края F 2 , и координата l 3  0 . Тогда существует точно счетное

множество i i 1 значений  , 1  1   2   , i   при i   , таких,
что
1) при   i ( i  1, 2,) поверхность F 2 является  i -нежесткой в
отношении допустимых бесконечно малых ARG -деформаций с коэффициентом рекуррентности i при условии обобщенной втулочной связи (4); для
каждого значения i ( i  1, 2,) поверхность F 2 допускает конечное число
линейно-независимых векторных полей смещений z  , определяющих бесконечно малые ARG -деформации с коэффициентом рекуррентности  i ;
2) при   i ( i  1, 2, ) поверхность F 2 является  -жесткой в отношении бесконечно малых ARG -деформаций с коэффициентом рекуррентности  при условии обобщенной втулочной связи (4).
2. Вывод уравнения бесконечно малых ARG -деформаций
Лемма 1. Пусть (m  1) -связная поверхность F 2 положительной
внешней кривизны K  k0  0 , k0  const , в римановом пространстве R3
удовлетворяет условиям регулярности и подвергнута бесконечно малой
ARG -деформации с коэффициентом рекуррентности  и полем смещения
z   ai y,i  cn . Тогда уравнение для функции c в координатной форме
имеет вид:  k ( gb ik  i c)  (1   )2 H gc  0 , где gij  a y,i y,j , g kl – тен1
зор, обратный к gij ; g  det gij , bij  a y,ij n , b ij  bij , 2 H  g imbim .
При этом функции ai находятся по формуле ai  b ij  c .
Доказательство. По условию теоремы поверхность F

i
y ,i  cn ,
j
2
задана уравне-
i
ниями (1). Положим z  a
a , c – искомые координаты поля смещения точек поверхности при ее ARG -деформации. Перенесем тензор
( y ,i z ,i ) параллельно в смысле Леви-Чивита в точку ( y  ) . В результате
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
получим тензор y,i ( z ,i  Гr y,i z r ) , где Г
r – символы Кристоффеля,
вычисленные по тензору a в точке ( y   z  ) . Обозначая через i сме-
шанное ковариантное дифференцирование по переменной xi в R3 , запишем
результат параллельного перенесения тензора ( y,i z ,i ) в точку ( y  ) в ви r
z ; Г r вычисляются в точке ( y  ) . Так
де y,i i z ,i , где i z   z,i  Гir
как для ARG -деформации полученный вектор лежит в касательной к F 2
плоскости в точке ( y  ) , то имеет место соотношение
ai z  n  0 .
(5)
Преобразуем уравнение (5). Используя уравнения Гаусса  j y,i  bij n
и уравнения Вейнгаартена  j n  b jk g kl y,l , находим
 j z   (ai bij  c, j )n  (a,ij cb jm g mi ) y,i .
(6)
Подставляем найденное выражение  j z  в уравнение (5), получим
уравнения, описывающие G -деформации поверхности F 2 в координатной
форме:
 j c  ai bij  0, i  1, 2 ,
(7)
где  j c  c, j – частная производная функции с по переменной xi .
Выведем уравнение, описывающее ареально-рекуррентную деформацию поверхности F 2 с коэффициентом рекуррентности  . Условие (2) в силу соотношения d   gdx1dx 2 , g  det gij , эквивалентно соотношению
g  4Hgc .

(8)

Подсчет показывает, что gij  a i z  y ,j .
Используя полученное выражение для gij , найдем g . Имеем
g
g  11
g12
g 21 g11

g 22 g12
g 21

 gg ij gij  gg ij y,
(i  j ) z a .
g 22
Подставляя полученное выражение для g в уравнение (8), найдем
уравнение g ij a(i z  y,j )  4Hc . Учитывая формулу (6), запишем это уравнение в виде: a,ii cbim g mi  2 H c . Учитывая формулу Фосса – Вейля
 ln g  A j , где A k – символы Кристоффеля поверхности F 2 в метрике
i
ij
ij
gij , и выражение 2 H  g imbim , последнее уравнение преобразуем к виду
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
 k ( ga k )  2 H (1  )c g .
(9)
Уравнение (9) есть искомое дифференцированное уравнение для координат ai , c . Воспользуемся тем условием, что для поверхности F 2 внешняя
кривизна положительна. В этом случае вторая основная форма bij dxi dx j поверхности F 2 положительно определена, поэтому det bij  0 . Обозначим
через b ij тензор, обратный к тензору b , т.е. удовлетворяющий условию
ij
b ij bik  kj , где kj – символ Кронекера. Тогда из уравнения (7) находим
ai  b ij  j c .
(10)
Подставляя выражение из формулы (10) в уравнение (9), находим
окончательно уравнение для функции c , описывающей ARG -деформацию
поверхности F 2 с коэффициентом рекуррентности  , в координатной форме:  k ( gb ik  i c)  (1  )2 H gc  0 .
Зная решение c последнего уравнения, поле смещения z  точек поверхности F 2 при ARG -деформации представляем в координатном виде по
формуле
z   b ij  j cy,i  cn .
(11)
Лемма доказана.
3. Вывод условия обобщенной втулочной связи
Дадим аналитическую запись условия обобщенной втулочной связи.
Здесь и далее в работе считаем, что на поверхности F 2 введена изотермически-сопряженная параметризация, т.е. вторая квадратичная форма поверхности имеет вид    ((dx1 ) 2  (dx 2 ) 2 ) , где ( x1 , x 2 )  D . Отметим, что при этой
параметризации тангенциальная составляющая l поля l  переходит в поле
векторов l  {l1 , l2 } на границе D области D в плоскости ( x1 , x 2 ) . Имеет
место
Лемма 2. Пусть на краю F 2 поверхности F 2 положительной внешней кривизны K  k0  0 , k0  const , задано векторное поле (3). Пусть, далее,
поверхность F 2 при бесконечно малой ARG -деформации подчинена вдоль
края F 2 условию обобщенной втулочной связи (4). Тогда это условие можно представить в виде
c
 l 3c  0 на D,
l
где
(12)
c
– производная по направлению
l
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

l2
 l1
l
,
2
2
l12  l22
 l1  l2
в плоскости ( x1 , x 2 ) , li  gij l j , l 3 
l3
l12  l22




.
Доказательство. Так как координаты векторного поля смещения z 
имеют вид z   ai y,i cn , а координаты l  имеют вид l   l i y,i l 3n , то
a z  l   a (ai y,i cn )(l j y,j l 3n )  a y,i y,j ai l j 
 a y,j n cl j  a y,i n ai l 3  a n n cl 3  gij ai l j  cl 3 
1
 c    c 
 a i li  cl 3    1 l1     2 l2   cl 3   (1c  l1   2c  l2 )  cl 3 .




 

Подставим последнее равенство в (4) и получим
1c  l1   2 c  l2  cl 3  0 .
Обозначая l 3 
l3
, условие (13) запишем в виде
l12  l22
что совпадает с (12). Лемма доказана.
(13)
c
 l 3c  0 ,
l
4. Доказательство теоремы
Нахождение бесконечно малых ARG -деформаций поверхности F 2
с полем смещения z   ai y ,i cn при условии обобщенной втулочной связи
(4), как было показано в леммах 1 и 2, в изотермически-сопряженной параметризации сводится к изучению разрешимости краевой задачи:
2
g
 i c)  (1  )2 H gc  0 в D,
 i (
 i 1


 c
3
  l c  0 на D.
 l

(14)
c
При этом функции ai находятся по формуле ai   i .


i 
Так как тангенциальная составляющая l  l y,i поля l  сопряжена
с направлением t  края поверхности F 2 и образует тупой угол с тангенциальной нормалью 
края поверхности
F 2 , то при изотермически-
сопряженной параметризации направление прообраза l вектора l совпадает с направлением внешней нормали к области D в плоскости ( x1 , x 2 ) . Перепишем (14) в операторном виде:
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
 Lc  c в D,

 Bc  0 на D,
(15)
2
 g 

i  , B   l 3 ,     .

l

2H

i 1 
Рассмотрим в области D пространство функций L2 ( D, 2 H ) , считая,
что f  L2 ( D, 2 H ) , если
где L  
1
 i 
g
 2H
g f ( x1 , x 2 ) f ( x1 , x 2 )dx1dx 2   ,
D
f
 l 3 f
 0 , 2 H  0 , ( x1 , x 2 )  D .
l
D
Пространство L2 ( D, 2 H ) является полным банаховым пространством
с нормой
1

 2
f   2 H g f x1 , x 2 f x1 , x 2 dx1dx 2  .
 D





Превратим его в гильбертово пространство, определив на нем скалярное произведение по формуле




( f , w) L2 ( D,2 H )  2 H g f x1 , x 2 w x1 , x 2 dx1dx 2
D
для любых f , w  L2 ( D, 2 H ) . Будем рассматривать на D оператор L , определяемый формулой (15). Отнесем к области определения M L оператора все
f
 l 3 f
 0 . Покажем,
l
D
что оператор L является эрмитовым. Для этого следует убедиться, что M L
плотно в L2 ( D, 2 H ) и ( Lf , w) L2 ( D,2 H )  ( f , Lw) L2 ( D,2 H ) f , w  M L .
функции f класса C 2 такие, что f  L2 ( D, 2 H ) ,
Так как множество бесконечно дифференцируемых на D функций
плотно в L2 ( D, 2 H ) и это множество содержится в M L , то M L плотно
в L2 ( D, 2 H ) . Подсчитаем разность ( Lf , w) L2 ( D,2 H )  ( f , Lw) L2 ( D,2 H ) при
f , w M L .
2
Имеем
 g

 g

 i f   div 
f  . Поэтому можем представить

 

 



 i 
i 1
оператор L в виде
L
 g 
1
div 
 ;
  
2H g


9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
( Lf , w) L2 ( D,2 H )  ( f , Lw) L2 ( D,2 H ) 

 g

 g

   w div 
f   f div 
w  dx1dx 2 
 

 





D 



gl 3 wfdS 
D

D

 wf 
D


D
g 1 2
dx dx 

 f w
D
g
g 1 2
f wdx1dx 2  wf 
dx dx 



gl 3 wfdS 
D
g 1 2
dx dx 


D
 f w
D
g
f wdx1dx 2 

g 1 2
dx dx  0 .

Следовательно, оператор L является эрмитовым в области M L .
Покажем, что оператор L является положительным. Для этого подсчитаем ( Lf , f ) L2 ( D,2 H ) f  M L :
 g

g
f  fdx1dx 2    f
( Lf , f ) L2 ( D,2 H )    div 
div  f  dx1dx 2 
 


D
D



g 1 2
g
2
2
  f f 
dx dx 
f dx1dx 2 
gl 3 f dS .






D
D
D


Таким образом, ( Lf , f ) L2 ( D,2 H ) 


D
g
2
f dx1dx 2 


2
gl 3 f dS  0 .
D
Это означает, что оператор L является положительным на M L . Известно, что эрмитов положительный оператор имеет не более чем счетное
множество {i } неотрицательных собственных значений i  0 , не имеющих
предельных точек на конечном расстоянии. Каждое собственное значение
оператора L действительно и имеет конечную кратность.
Покажем теперь, что множество {i } бесконечно. Введем в рассмотрение на D пространство функций H 12 ( D, g ) , элементы которого вместе со
своими производными первого порядка принадлежат классу L2 ( D, 2 H ) . Пространство H 12 ( D, g ) является гильбертовым пространством со скалярным
произведением
( f , w) H 1 ( D, g ) 
2

D
g
f wdx1dx 2 

 l
3
g fwdS .
(16)
D
Функцию c  H 12 ( D, g ) назовем обобщенным решением уравнения
Lc  c , если выполняется соотношение
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010

D
Физико-математические науки. Математика
g
cwdx1dx 2 

 l
D
3

gcwdS   2 H gcwdx1dx 2
D
для любой функции w класса H 12 ( D, g ) . Это уравнение можно переписать
в виде
(c, w) H 1 ( D, g )  (c, w) L2 ( D,2 H ) w  H 12 ( D, g ) .
2
(17)
Функция c  H 12 ( D, g ) , c  0 , называется обобщенной функцией оператора L , если существует такое число  , что функция c при всех
w  H 12 ( D, g ) удовлетворяет соотношению (17). Число  называется собственным значением, соответствующим обобщенной функции c . Будем считать, что c L ( D,2 H )  1 .
2
Покажем, следуя [2], что существует линейный ограниченный оператор
A из L2 ( D, 2 H ) в H 12 ( D, g ) с областью определения L2 ( D, 2 H ) , для которого при всех w  H 12 ( D, g )
имеет место равенство (c, w) L2 ( D,2 H ) 
 ( Ac, w) H 1 ( D, g ) . При этом оператор A имеет обратный A1 , и оператор A ,
2
если его рассматривать из H 12 ( D, g ) в H 12 ( D, g ) , является самосопряженным, положительным и вполне непрерывным. Для доказательства этого утверждения рассмотрим линейный функционал из H 12 ( D, g ) , заданный формулой l ( w)  (c, w) L2 ( D,2 H ) , где c – фиксированная функция из L2 ( D, 2 H ) ,
w  H 12 ( D, g ) .
Так как
l ( w)  (c, w) L2 ( D,2 H ) 
 2H
D

gcwdx1dx 2  2 H g c w dx1dx 2 
D
 c1 c L ( D ) w L ( D )  c2 c L ( D,2 H ) w L ( D,2 H )  c3 c L ( D,2 H ) w H 1 ( D, g ) ,
2
2
2
2
2
2
то функционал l ( w)  (c, w) L2 ( D,2 H ) ограничен. Поэтому по теореме Рисса
существует единственная функция U  H 12 ( D, g ) такая, что
l ( w)  (U , w) H 1 ( D, g ) w  H 12 ( D, g ) ,
2
при этом U H 1 ( D, g )  l  C c L ( D,2 H ) . Это означает, что на L2 ( D, 2 H ) за2
2
дан линейный оператор Ac  U , для которого имеет место равенство
(c, w) L2 ( D,2 H )  (U , w) H 1 ( D, g ) . Так как
2
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Ac H 1 ( D, g )  U H 1 ( D, g )  C c L ( D,2 H ) ,
2
2
2
то оператор A из L2 ( D, 2 H ) в H 12 ( D, g ) ограничен. Пусть при некотором
c  L2 ( D, 2 H )
имеем
и
(c, w) L2 ( D,2 H )  0
Ac  0 . Тогда U  0
w  H 12 ( D, g ) . Поэтому
 2H
gcwdx1dx 2  0 w  H 12 ( D, g ) .
D
Отсюда следует, что c  0 , т.е. уравнение Ac  0 имеет только нулевое
решение, и потому существует оператор A1 .
Так как
( Ac, w) H 1 ( D, g )  (c, w) L2 ( D,2 H )  ( w, c) L ( D,2 H ) 
2
2
 ( Aw, c) H 1 ( D, g )  (c, Aw) H 1 ( D, g ) ,
2
2
то оператор A является самосопряженным.
Кроме того, оператор A положительный, так как
( Ac, c) H 1 ( D, g )  (c, c) L2 ( D,2 H ) 
2
 2H
gccdx1dx 2  0 ,
D
где равенство нулю возможно только при c  0 .
Покажем, что оператор A из H 12 ( D, g ) в H 12 ( D, g ) является вполне
непрерывным. Для этого возьмем произвольное ограниченное множество
функций в H 12 ( D, g ) . Это множество компактно в L2 ( D, 2 H ) , т.е. из любого его бесконечного подмножества в L2 ( D, 2 H ) можно выбрать фундаментальную последовательность cs , s  1, 2, Так как оператор A из L2 ( D, 2 H )
в H 12 ( D, g ) ограничен, то он непрерывен, и потому Acs , s  1, 2, , образуют фундаментальную последовательность в H 12 ( D, g ) . Это означает, что
оператор A вполне непрерывен из H 12 ( D, g ) в H 12 ( D, g ) . Перепишем
уравнение (17) в виде
(c, w) H 1 ( D, g )  ( Ac, w) H 1 ( D, g ) ,
2
2
что эквивалентно операторному уравнению в пространстве H 12 ( D, g ) :
Ac  c , c  H 12 ( D, g ) . Таким образом, число  является собственным значением оператора L , а c – соответствующей ему обобщенной собственной
функцией, тогда и только тогда, когда  есть характеристическое число оператора A из H 12 ( D, g ) в H 12 ( D, g ) , c – соответствующий ему собственный элемент. Так как оператор A является самосопряженным, положитель-
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
ным и вполне непрерывным, то существует не более чем счетное множество
характеристических чисел уравнения Ac  c в пространстве H 12 ( D, g ) .
Это множество не имеет предельных конечных точек, все собственные значения вещественны, каждому собственному значению отвечает конечное число
ортогональных в H 12 ( D, g ) собственных функций, собственные функции,
соответствующие различным собственным значениям, ортогональны
в H 12 ( D, g ) .
Пусть  s , s  1, 2, – последовательность, содержащая все характеристические числа оператора A ; cs , s  1, 2, , – система взаимно ортогональных в H 12 ( D, g ) собственных функций, таких что cs H 1 ( D, g )  1 и
2
 s Acs  cs , s  1, 2,
(18)
Умножим (18) скалярно в H 12 ( D, g ) на cs , получим
2
(cs , cs ) H 1 ( D, g )  cs H 1 ( D, g ) 
2
2

D
g
ccdx1dx 2 

 l
3
gccdS 
D
2
  s ( Acs , cs ) H 1 ( D, g )   s (cs , cs ) L2 ( D,2 H )  ( s ) c L ( D,2 H )   s  1 .
2
2
Это соотношение можно переписать в виде

D
g
2
2
c dx1dx 2  ( s  1) 2 H g c dx1dx 2 


D
 l
3
2
g c dS  0 .
D
Из полученного равенства следует, что  s  1  0 , s  1, 2, Из соотc1
c2
ношения (18) вытекает, что система функций
,
, является
  1    1
ортонормированной в H 12 ( D, g ) системой и потому является ортонормированным базисом в H 12 ( D, g ) . Так как пространство функций H 12 ( D, g )
бесконечномерно, то множество {cs } , s  1, 2, , является бесконечным. Поэтому  s   при s   . Таким образом, установлено, что уравнение
Lc  c имеет счетное множество {i }i собственных значений i , для которых оно имеет ненулевое решение, принадлежащее классу H 12 ( D, g ) . Так
как
2H
 C1 , то обобщенные собственные функции c оператора L принад
лежат классу H 12 ( D, g ) . В силу теоремы вложения H 12 ( D, g )  C 2 , потому
обобщенные собственные функции cs являются функциями класса C 2 , при
этом Lcs  L2 ( D, 2 H ) . В силу формулы (11) находим, что касательная со-
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
c
ставляющая  i y,i поля смещения z  принадлежит классу C1 , если

cs  C 2 . Теорема доказана.
Список литературы
1. F o m e n k o , V . T . ARG -deformations of a hypersurface with a boundary in a Riemannian space / V. T. Fomenko, N. S. Tensor. – Chigasaki, Japan, 1993. – V. 54.
2. М и х а й л о в , В. П . Дифференциальные уравнения в частных производных /
В. П. Михайлов. – М. : Наука, 1976. – 520 с.
Фоменко Валентин Трофимович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
алгебры и геометрии, Таганрогский
государственный педагогический
институт, заслуженный деятель науки
Fomenko Valentin Trofimovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of algebra and geometry, Taganrog State
Pedagogical University, Honoured
Scientist of the Russian Federation
E-mail: vtfomenko@rambler.ru
Коломыцева Елена Алексеевна
аспирант, Таганрогский государственный
педагогический институт
Kolomitseva Elena Alekseevna
Postgraduate student,
Taganrog State Pedagogical University
E-mail: kolomytseva86@mail.ru
УДК 514.75
Фоменко, В. Т.
Существование нетривиальных ARG -деформаций поверхностей
с краем при обобщенных втулочных связях в римановом пространстве /
В. Т. Фоменко, Е. А. Коломыцева // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3 (15). –
С. 3–14.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.392
И. В. Бойков, А. И. Бойкова
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЦЕЛЫМИ
СИНГУЛЯРНОСТЯМИ НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА
Аннотация. Построен и обоснован сплайн-коллокационный метод нулевого
порядка для решения гиперсингулярных и полигиперсингулярных интегральных уравнений с нечетными сингулярностями целого порядка. Введено определение гиперсингулярных интегралов для функций, имеющих разрывы первого рода.
Ключевые слова: гиперсингулярные интегральные уравнения, полигиперсингулярные интегральные уравнения, сплайн-коллокационные методы.
Abstract. For solution of hypersingular integral equations and polyhypersingular integral equations with integer odd singularities offered zero-order spline-collocation
methods. Introduced the definition of hypersingular integrals for functions with the
first order breaks.
Keywords: hypersingular integral equations, polyhypersingular integral equations,
spline-collocation methods.
Введение
Теория сингулярных интегральных уравнений, зародившаяся в начале
прошлого века в трудах Д. Гильберта и А. Пуанкаре, в течение последующих
почти 100 лет переживает бурное развитие. По-видимому, это в первую очередь связано с многочисленными приложениями сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений и краевой задачи Римана в физике, механике и технике. Хорошо известен спектр применения теории сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений в механике и технике: теория упругости и термоупругости, аэродинамика, электродинамика.
Не менее широки области применения краевой задачи Римана, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений в физике: квантовая
теория поля [1], теория близкого и дальнего взаимодействия [2], теория солитонов [3].
Однако решение сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений в аналитическом виде возможно лишь в исключительных случаях и
основным аппаратом в прикладных задачах являются численные методы.
Подробное изложение численных методов решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений содержится в работах [4–15], в которых
также имеется обширная библиография.
В работах [10, 11] предложен сплайн-коллокационный метод решения
одномерных гиперсингулярных интегральных уравнений и доказана его сходимость. Однако точность предложенного метода существенно зависит от
классов функций, к которым принадлежат коэффициенты уравнения и точное
решение. Поэтому представляет значительный интерес разработка более точных и удобных в практическом отношении методов решения одномерных гиперсингулярных интегральных уравнений. Еще больший интерес представляет разработка численных методов решения полигиперсингулярных и многомерных сингулярных интегральных уравнений. Для приближенного решения
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
одномерных гиперсингулярных интегральных уравнений и полигиперсингулярных интегральных уравнений с сингулярностями четного порядка в [12, 14]
предложен и обоснован сплайн-коллокационный метод нулевого порядка.
В работе [14] также предложен и обоснован сплайн-коллокационный метод
нулевого порядка для приближенного решения многомерных гиперсингулярных интегральных уравнений с особенностями любого конечного порядка.
При этом остались неисследованными приближенные методы решения
одномерных гиперсингулярных и полигиперсингулярных интегральных
уравнений с особенностями нечетного порядка.
Данная статья посвящена построению и обоснованию сплайн-коллокационных методов решения одномерных гиперсингулярных и полигиперсингулярных интегральных уравнений с особенностями нечетного порядка.
Напомним определения гиперсингулярных интегралов.
b
A( x)dx
 (b  x) p
Определение 1 [16]. Интеграл вида
при целом p и
a
0 <  < 1 определяет величину («конечную часть») рассматриваемого интеграла как предел при x  b суммы
x
A(t ) dt
B ( x)
 (b  t ) p  (b  x) p1 ,
a
если предположить, что A( x) имеет p производных в окрестности точки b .
Здесь B( x) – любая функция, на которую налагаются два условия:
1) рассматриваемый предел существует;
2) B( x) имеет по крайней мере p производных в окрестности точки
x=b.
Произвольный выбор B( x) никак не влияет на значение получаемого
предела: условие 1 определяет значения ( p  1) первых производных от B( x)
в точке b , так что произвольный добавочный член в числителе есть
бесконечно малая величина, по меньшей мере порядка (b  x) p .
b
Определение 2 [17]. Интегралом
()d 
 (   c ) p , a < c < b,
в смысле
a
главного значения Коши – Адамара будем называть следующий предел:
b
 c v ()d 
()d  (v) 

,
= lim


p
p
p
p 1 
v 0 
(
c
)
(
c
)
(
c
)
v






a
cv
 a

b

()d 


где (v) – некоторая функция, выбранная так, чтобы указанный предел
существовал.
Распространим определение интеграла Адамара на случай кусочнонепрерывных функций. Пусть функция (t ) определена во всех точках
сегмента [a, b], непрерывна всюду, за исключением точки c, где имеет
разрыв первого рода. Пусть функция (t ) имеет непрерывные производные
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
до p -го порядка в промежутках [a, c), (c, b], причем существуют левые и
правые производные ( k ) (c  0), k = 0,1,, p  1.
b
Определение 3. Интеграл вида
()d 
 (  c) p при целом
p определяется как
a
 c 1

()d  B1 (1 )
= lim 

 B2 (1 ) ln 1  

(  c) p 10  a (  c) p
1p 1
a


b

()d 

 b

()d  B3 (2 )

 lim

 B4 (2 )ln 2  ,


p
p 1
2 0
(  c)
1
 c 2


(1)
где B1 () , B3 () – функции непрерывно дифференцируемые до ( p  1)-го
порядка в начале координат; B2 () , B4 () – функции, удовлетворяющие
условию Дини – Липшица в окрестности начала координат. На функции
Bi (), i = 1, 2, 3, 4, налагается условие, чтобы предел (1) существовал.
Нетрудно видеть, что если функция (t ) имеет непрерывные левые и
правые производные до ( p  1)-го порядка в окрестности начала координат, то
такой предел существует и не зависит от выбора функций Bi (), i = 1, 2, 3, 4.
Рассмотрим бигиперсингулярный интеграл
11

00
(1 , 2 )d 1d 2
1p 2p
,
(2)
где p – целое число.
Определение 4 [18]. Интеграл (2) при целом p определяется как
11

00
(1 , 2 )d 1d 2
1p 2p
=


(1 , 2 )d 1d 2 B1 () B2 ()


= lim 
ln   B3 ()ln 2 ,


p p
p 1
2 p 2
0 


1 2

 \G


 
где  = [0,1]2 ,
G = ([0, ]  [0,1])  ([0,1]  [0, ]),
функция
B1 () имеет
непрерывные производные до (2 p  2)-го порядка в окрестности начала координат; функция B2 () имеет непрерывные производные до ( p  1)-го порядка
в окрестности начала координат, причем производная ( p  1)-го порядка от
функции B2 () удовлетворяет условию Дини – Липшица; функция B3 ()
1
.
бесконечно малая относительно
| ln 2 |
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1. Гиперсингулярные интегральные уравнения
с нечетной особенностью
Рассмотрим гиперсингулярное интегральное уравнение
1
Kx  a (t ) x(t )  b(t )
x ( ) d 
1
 (  t ) p   h(t , ) x()d  = f (t ),
1
(3)
1
где a(t ), b(t ), f (t ), h(t , ) – непрерывные функции, p = 2k  1 ( k = 1, 2, ... ) –
нечетное целое число. Будем считать, что b(t ) = 0 при t  [1,1].
Приближенное решение уравнения (3) будем искать в виде кусочнопостоянной функции
N 1
xN (t ) =
 k  k (t ),
(4)
k =0
где
1, t   k ,
 k (t ) = 
0, t  [1,1] \  k ,
 k = [tk , tk 1 ), k = 0,1, , N  2,  N 1 = [t N 1 ,1],
tk = 1  2k/N , k = 0,1, , N .
Коэффициенты { k } определяются из системы линейных алгебраических уравнений
a(tk ) k  b(tk )
N 1
l =0

d
 l  (   t
l
p
k)

2 N 1
h(tk , tl )l = f (tk ), k = 0,1, , N  1,
N l =0

(5)
N
где
  означает суммирование по l = (k  2, k  1, k  1).
l =0
Обоснование разрешимости вычислительной схемы (5) будем проводить на основании теоремы Адамара об обратимости квадратных матриц [19].
Вычислим интеграл
tk 1

tk
d
(   tk ) p
=
1 N
 
p 1 2 
p 1
.
Таким образом, при достаточно больших значениях N диагональные
элементы матрицы A, описывающей левую часть системы уравнений (5),
оцениваются неравенствами
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
d
2
 (   t k ) p  N h (t k , t k ) 
| akk |= a(tk )  b(tk )
k
| b(tk ) |
N p 1
2
p 1
( p  1)
 | a (t k ) | 
2
| h(tk , tk ) |,
N
(6)
k = 0,1,  , N  1.
Оценим сумму модулей недиагональных элементов k -й строки
матрицы A. Очевидно, сумма модулей недиагональных элементов k -й
строки матрицы A оценивается неравенством
N 1

*
N 1
d
   (  t
| akl || b(tk ) |
l =0
l =0
l
k)
 2H *,
p
(7)
k = 0,1,  , N  1.
Здесь H * = max | h(t , ) |,
N 1
1t ,1
*
означает суммирование по l = k ,
l 0
N 1
  означает суммирование по l = (k  2, k  1, k , k  1).
l =0
Нетрудно видеть, что при достаточно больших значениях N и при
k = 0,1, 2, N  3, N  2, N  1
N 1
d
  (  t ) p
k
l =k 2 
l

1 N
 
p 1 4 
p 1

N 1
=
  (  t ) p
k
l = k  2
k 3
d
  (  t ) p =   (  t ) p
k
k
l =0 
l
1 N
 
p 1 4 
tk  2
l
d
p 1
l =0 

d

=
1
1
1 N
=
 
p

1
p  1 (1  tk )
p 1 4 
k 3
=
1
d
p 1

(   tk ) p
1 
N



p  1  2 N  2k 
tk  2
=
l
d

(   tk ) p
1
1
1
1 N
=
 
p  1 (1  tk ) p 1 p  1  4 

p 1

p 1
; (8)
=
1 N 
 
p  1  2k 
p 1
.
(9)
При k = 0 и при k = N  1 соответственно имеем
N 1
d
1 N
=
 
p
p 1 4 
l =2  (   t0 )
l

p 1

1
2
p 1
( p  1)
;
(10)
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
N 4
t N 3
d
  (  t ) p
N 1
=
l =0 
l
d

(  t N 1 ) p
1

1 N
 
p 1 4 
p 1

1
1
.
p  1 2 p 1
(11)
Аналогичные оценки справедливы при k = 1, 2, N  3, N  2.
Из неравенств (7)–(11) следует, что сумма модулей недиагональных
элементов матрицы A оценивается неравенством
N 1
 2  N 
| akl || b(tk ) | 
 
 p 1 4 
l =0


*
1 
N



p  1  2 N  2k 
p 1
1 N 
 
p  1  2k 

p 1
p 1

 2 H * , k = 3, ..., N  4;
(12)
 1  N  p 1

1
  2 H * , j = 0,1, 2;

| a jl || b(t0 ) | 
p 1
 p  1  4 

2
(
p
1)

l =0


(13)
 1  N  p 1
1
1 
  2H *,

| a j ,l |  | b(t N 1 ) | 


1
p

 p 1 4 

p 1 2
l =0


(14)
N 1

*
N 1

*
j = N  3, N  2, N  1.
Из сопоставления неравенств (6) и (9)–(14) следует, что если при всех
k , 0  k  N  1, выполняются неравенства
| b(tk ) |
 2 N

 p  1  4




p 1
N p 1
2
p 1
( p  1)
 | a (tk ) | 
1 
N




p  1  2 N  2k 
| b(t j ) |
p 1
N p 1
2
p 1
( p  1)
2
| h(tk , tk ) |>| b(tk ) | 
N
1 N 

 
p  1  2k 
 | a (t j ) | 
p 1 
  2 H * , 3  k  N  4; (15)


2
| h(t j , t j ) |>
N
  N  p 1 1

1
  2 H * , j = 0, 1, 2;

>| b(t j ) |   

p
1
 4 
p  1 2 ( p  1) 


| b(t j ) |
N p 1
2
p 1
( p  1)
 | a (t j ) | 
2
| h(t j , t j ) |>
N
 1  N  p 1
1
1 
  2 H * , j = N  3, N  2, N  1,

>| b(t j ) | 


 p 1 4 
p  1 2 p 1 


то система уравнений (5) однозначно разрешима.
Таким образом, доказана следующая теорема.
20
(16)
(17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия: p  нечетное целое
число, b(t ) = 0 при t  [1,1], при всех k , 0  k  N  1, выполняются
неравенства (15)–(17), где tk = 1  2k/N . Тогда система уравнений (5)
однозначно разрешима.
2. Полигиперсингулярные интегральные уравнения
Рассмотрим бигиперсингулярное интегральное уравнение
1
a(t1 , t2 ) x(t1 , t2 )  b(t1 , t2 )
1
x(1 , t2 )
1
1 1
 d (t1 , t2 )
x(t ,  )
 (1  t1) p d 1  c(t1, t2 )  (2 1 t22) p d 2 
1
x( ,  )d  d 
  (1  1t1 ) p2 (2 1 t22) p = f (t1, t2 )
(18)
11
с непрерывными функциями a(t1, t2 ), b(t1 , t2 ), c(t1, t2 ), d (t1 , t2 ), f (t1 , t2 ). Будем
считать, что функция d (t1 , t2 ) = 0 при (t1 , t2 )  [1,1]2 , p  2l  1 (l  1, 2, ...) .
При рассмотрении гиперсингулярных интегральных уравнений мы
ограничиваемся двумерным случаем, так как из дальнейшего будет видно,
что уравнения любой конечной размерности рассматриваются аналогично.
Распространение полученных ниже результатов на интегральные
уравнения вида (18), включающие компактные операторы, не вызывает
принципиальных затруднений.
Пусть N – целое число, vk = 1  2k/N , k = 0,1, , N ,  k = [vk , vk 1 ),
k = 0,1, , N  2,  N 1 = [vN 1 , vN ),  k ,l = [vk , vk 1 )  [vl , vl 1 ), k , l = 0,1, ,
 N 1,l = [vN 1 , vN ]  [vl , vl 1 ), l = 0,1, , N  2,  k , N 1 = [vk , vk 1 ) 
 [vN 1 , vN ], k = 0,1, , N  1,  N 1, N 1 = [vN 1 , vN ]  [vN 1 , vN ].
N  2,
Приближенное решение уравнения (18) будем искать в виде кусочнопостоянной функции
N 1 N 1
xN , N (t1 , t2 ) =
  k1k2  k1k2 (t1, t2 ),
(19)
k1=0 k2 =0
1, если (t1 , t2 )   k k ,
12

где  k k (t1 , t2 ) = 
2
1 2
0, если (t1 , t2 )  [1,1] \  k1k2 .
Коэффициенты { k k } определяются из системы линейных алгебраи1 2
ческих уравнений
a(vk , vk ) k k  b(vk , vk )
1
2
1 2
1
2
N 1
 l1k2 
l1=0
d 1
(1  vk ) p
l
1

1
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 c(vk , vk )
1


2
d 2
 k1l2 
(2  vk ) p
l
2
l2 =0
( 1  vk ) p (2  vk ) p
1
2
N 1

 d (vk , vk )
1
2
2
d 1d 2
l l
12
Здесь
N 1
N 1 N 1
*
*
 
l l 
12
l1=0 l2 =0
= f (vk , vk ), k1 , k2 = 0,1,, N  1.
1
(20)
2
N 1
 
 означает суммирование по l1 = ( k1  1, k1 ),
l1=0
означает
l1 =0
суммирование по l2 = (k2  1, k2 ),
N 1 N 1
*
*
 
означает суммирование по
l1 =0 l2 =0
l1 = k1  2, k1  1, k1 , k1  1, l2 = k2  2, k2  1, k2 , k2  1.
Для доказательства однозначной разрешимости системы уравнений (20)
воспользуемся теоремой Адамара об обратимости квадратных матриц.
Предварительно оценим снизу абсолютную величину интеграла
d 1d 2
 
k k
1 2
(1  vk ) p (2  vk ) p
1
2
.
Очевидно,
2/N 2/N
 
0
 2/N 2/N

d 1d 2 B1 () B2 ()


= lim 
ln   B3 ()ln 2 =

0 
2 p  2  p 1
1p 2p
 p p
   1 2

d 1d 2
0
 
2/N
 2/N

d 1
d 2 B1 () B2 ()



= lim
ln   B3 ()ln 2 

0 
p
 p 2 p  2  p 1
  1  2




N
 
( p  1) 2  2 
1
2 p 2
(21)
.
Обозначим через A = {akl }, k , l = 0,1,  , N 2  1, матрицу, описывающую левую часть системы уравнений (18).
Тогда диагональные элементы матрицы A оцениваются неравенствами
| akk |= a(vk , vk )  b(vk , vk )
d
d
 (  vk ) p  c(vk , vk )  (  vk ) p 
k
 d (vk , vk )

 kk
22
d
(  vk ) p (   vk ) p
 | d (vk , vk ) |
k
N
 
( p  1) 2  2 
1
2 p 2
 | b(vk , vk ) | 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010

1 N
 
p 1 2 
Физико-математические науки. Математика
p 1
1 N
 
p 1 2 
 | c(vk , vk ) |
p 1
 | a(vk , vk ) |, k = 0,1,  , N 2  1. (22)
Оценим сумму внедиагональных элементов в каждой строке матрицы A.
Пусть l = Ni  j , k = Ni1  j1 , i, i1 = 0,1,, N  1, j , j1 = 0,1,, N .
Сумма модулей внедиагональных элементов, расположенных в l -й
строке матрицы A, оценивается неравенством
N 2 1

k =0,k = l
| alk || b(vi , v j ) |
N 1
v j 1
1
 
j1=0
 | d (vi , v j ) |
vj
1
N 1

(1  v j )
p
 | c(vi , v j ) |
 
 
j1=0
vi
1
vj
1
vi 1
1
N 1
  
i1=0
v
v
N 1 N 1 i11 j11
*
*
i1=0
где
d 1
(1  v j ) p (2  vi ) p
 означает суммирование по j1 = ( j  1, j );
j1=0
(2  vi ) p
vi
1
d 1d 2
d 2
,

(23)
N 1
 
означает сумми-
i1=0
рование по i1 = (i  1, i );
N 1
*

означает суммирование по i1 = i  2, i  1, i, i  1;
i1=0
N 1
*
означает суммирование по j1 = j  2, j  1, j , j  1.
j1=0
Продолжим оценку неравенства (23). Очевидно,
 v j 1
1

d 1
d 1

| akl || b(vi , v j ) | 
p
(  v j ) p
 1 (1  v j )
k =0,k = l
v j 1 1

N 2 1



 vi 1
1
d 2
d 2

 | c(vi , v j ) | 

p
(  vi ) p
 1 (2  v j )
vi 1 2

 | d (vi , v j ) |

 
d 1d 2
(   vi ) p (2  v j ) p
 (vi ,v j ) 1









,
(24)
где (vi , v j ) =  \ ([vi 3 , vi  2 ; 1,1]  [1,1; v j 3 , v j  2 ]),  = [1,1]2 .
Оценим в отдельности каждое слагаемое в правой части формулы (24).
Очевидно, при j = 0, N  1:
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 v j 1
1

d 1
d 1

| b(vi , v j ) | 
p
(  v j ) p
 1 (1  v j )
v j 1 1



1 N
 
p 1 2 
| b(vi , v j ) |





p 1 
 1 
2   
  j 

p 1
 1 


N j
p 1 
;


при j = 0 :
1
d
1 N
| b(vi , v0 ) |
| b(vi , v0 ) |
 
p
p 1 2 
(  v0 )
v1 1

1 N
 
p 1 2 
| b(vi , v0 ) |
p 1 
1
1 
  N 

p 1 



p 1
.
Аналогичная оценка справедлива и при j = N  1:
vN  2

| b(vi , vN 1 ) |
d
| b(vi , vN 1 ) |
(1  vN 1 ) p
1
1 N
 
p 1 2 
p 1
.
Из последних трех неравенств следует, что
r1 (i, j ) | b(vi , v j ) |
3 N
 
p 1 2 
p 1
(25)
.
Аналогичная оценка справедлива для второго слагаемого:
3 N
r2 (i, j ) | c(vi , v j ) |
 
p 1 2 
p 1
(26)
.
Приступим к оценке третьего слагаемого:
r3 (i, j ) | d (vi , v j ) |
 
1
d 1d 2
p
(  ) ( 2 )
 \G0 1
p
 4 | d (vi , v j ) |
1
 
d 1d 2
(  ) p ( 2 ) p
4/N 4/N 1

2
  N  p 1 
 
 4 | d (vi , v j ) |
 1 .

( p  1) 2   4 

1
(27)
Из неравенств (24)–(27) следует, что при достаточно больших значениях N и для любых l = 0,1,, N 2  1
N 2 1
2
  N  p 1 
 
 1 .
| alk | 4 D

( p  1) 2   4 
k =0,k = l


24
*
1
(28)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
Из сопоставления неравенств (22) и (28) следует, что при достаточно
больших N выполняются условия теоремы Адамара об однозначной
разрешимости линейных систем уравнений. Отсюда следует однозначная
разрешимость системы уравнений (20).
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть уравнение (18) имеет единственное решение и справедливы неравенства 0 < D* | d (t , ) |< D* < . Тогда система уравнений (20)
однозначно разрешима.
Опишем изменения, которые нужно ввести в вычислительную схему
(20) в предположении, что рассматривается гиперсингулярное интегральное уравнение (18), левая часть которого возмущена компактным оператором.
Рассмотрим уравнение
1
a (t1 , t2 ) x(t1 , t2 )  b(t1 , t2 )
1 1

1
x(1 , t2 )d 1
(1  t1 )
1
x(1 , 2 )d 1d 2
 c(t1 , t2 )
p

x(t1 , 2 )d 2
( 2  t2 ) p
1
 d (t1 , t2 ) 
1 1
  (1  t1 ) p (2  t2 ) p   h(t1, t2 , 1, 2 ) x(1, 2 )d 1d 2 = f (t1, t2 ).

11

(29)
11
Приближенное решение уравнения (29) будем искать в виде кусочнопостоянной функции (19), коэффициенты { kl } которой находятся из
системы уравнений
a(vk , vk ) k k  b(vk , vk )
1
2
1 2
1
2

N 1

l1=0
al k

d
N 1

 k l 
 c(vk , vk )
p
1 2
1
2
12


(
)
v
1
k1
l2 =0
l
1
N 1 N 1
d 1d 2
**
 d (vk , vk ) **

p
p
p
1
2
(
)
(
)
(
)


v


v


v
2
k
1
k
2
k
l
=0
l
=0
l
l l
2
1
2
1
2

d 2
 
2

4

12
N 1 N 1

h(vk , vk vl , vl )l l = f (vk , vk ), k1 , k2 = 0,1,, N  1. (30)
1
2 1 2
12
1
2
N 2 l =0l =0
1 2
Здесь обозначения
  и  
значениями в формуле (20), а
совпадают с соответствующими обоN 1
**

означает суммирование по
li =0
li = (ki  v, ki  v  1,..., ki  1, ki  1,..., ki  v  1), i = 1, 2.
В качестве параметра v выбирается наименьшее неотрицательное
целое число такое, чтобы для системы уравнений (30) были бы выполнены
условия теоремы Адамара об однозначной разрешимости систем линейных
уравнений.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Список литературы
1. Бо г о л ю б о в , Н . Н . Применение методов Н. И. Мусхелишвили в теории элементарных частиц / Н. Н. Боголюбов, В. А. Мещеряков, А. Н. Тавхелидзе // Труды
симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. –
Тбилиси : Мецниереба. – 1971. – Т. 1. – С. 5–11.
2. Б р а у н , Д ж . Е. Нуклон-нуклонное взаимодействие / Дж. Е. Браун, Э. Д. Джексон. – М. : Атомиздат, 1975. – 248 с.
3. Та х та дж ян , Л. А . Гамильтонов подход в теории солитонов / Л. А. Тахтаджян,
Л. Д. Фаддеев. – М. : Наука, 1986. – 528 с.
4. И в а н о в, В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному
решению сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов. – Киев : Наукова
думка, 1968. – 287 с.
5. Г о х б е р г , И . Ц . Уравнения в свертках и проекционные методы их решения /
И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. – М. : Наука, 1971. – 352 с.
6. M i c h l i n , S . G . Singulare Integraloperatoren / S. G. Michlin, S. Prossdorf. – Berlin :
Acad. Verl., 1980. – 514 p.
7. P r o s s d o r f , S . Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations /
S. Prossdorf, B. Silbermann. – Berlin : Acad. Verl., 1991. – 544 p.
8. В а й н и к к о , Г . М . Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский. – М. :
Янус-К., 2001. – 508 с.
9. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных
уравнений / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2004. – 316 с.
10. Б о й к о в , И . В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Е. Г. Романова // International Conference on Computational
Mathematics. – Part first. Novosibirsk. – 2004. – P. 411–417.
11. Б о й к о в , И . В. Коллокационный метод решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Е. Г. Романова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2006. – № 5. – С. 42–50. – (Естественные науки).
12. Б о й к о в , И . В. Сплайн-коллокационный метод решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Вестник Харк. нац. ун-та. –
2007. – № 775. – Вып. 7. – С. 36–49. – (Математическое моделирование. Информационные технологии. Автоматизированные системы управления).
13. Б о й к о в , И . В. Применение гиперсингулярных интегральных уравнений к численному моделированию электрических вибраторов / И. В. Бойков, Д. В. Тарасов //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. –
2008. – № 4. – С. 94–106.
14. Bo y k o v , I . V . An approximate solution of hypersingular integral equations /
I. V. Boykov, E. S. Ventsel, A. I. Boykova // Applied Numerical Mathematics. – 2010. –
№ 60. – P. 607–628.
15. С и з и к о в , В. С . Численное решение сингулярного интегрального уравнения /
В. С. Сизиков, А. В. Смирнов, Б. А. Федоров // Известия вузов. Математика. –
2004. – Т. 8. – С. 62–70.
16. А да м а р , Ж . Задача Коши для линейных уравнений с частными производными
гиперболического типа / Ж. Адамар. – М. : Наука, 1978. – 351 с.
17. Ч и к и н , Л. А . Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений / Л. А. Чикин // Ученые записки Казанского гос. ун-та. –
1953. – Т. 113. – № 10. – С. 57–105.
18. Bo y k o v , I . V . Accuracy optimal methods for evaluating hypersingular integrals /
I. V. Boykov, E. S. Ventsel, A. I. Boykova // Applied Numerical Mathematics. – 2009. –
V. 59. – № 6. – P. 1366–1385.
19. Г а н тм а х е р , Ф. Р . Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. – М. : Наука, 1963. –
640 с.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный
университет
Boykov Ilya Vladimirovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics,
Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
Бойкова Алла Ильинична
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра высшей и прикладной
математики, Пензенский
государственный университет
Boykova Alla Ilyinichna
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of higher and applied
mathematics, Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
УДК 517.392
Бойков, И. В.
Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений с целыми сингулярностями нечетного порядка / И. В. Бойков,
А. И. Бойкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2010. – № 3 (15). – С. 15–27.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.392
И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, С. П. Алаткин
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СПЛАЙНКОЛЛОКАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА
Аннотация. Предложены и обоснованы сплайн-коллокационные методы нулевого порядка решения одномерных и многомерных гиперсингулярных интегральных уравнений. Для широкого класса гиперсингулярных интегральных
уравнений получены условия однозначной разрешимости. Для одномерных и
многомерных уравнений Прандтля получены оценки погрешности.
Ключевые слова: гиперсингулярные интегральные уравнения, сплайн-коллокационные методы.
Abstract. Offered spline-collocation methods of the zero order for solution of the
one dimensional and multidimensional hypersingular integral equations. Received
conditions of the unique solutions for wide classes of hypersingular integral equations. Estimates of error are given for one dimensional and multidimensional
Prandle equations.
Keywords: hypersingular integral equations, spline-collocation methods.
Введение
Начиная со второй половины XX столетия неуклонно возрастает число
работ, посвященных гиперсингулярным интегральным уравнениям. Это обусловлено двумя обстоятельствами:
1) наряду с традиционными областями применения (механика, аэродинамика, электродинамика) гиперсингулярные интегральные уравнения находят применение в новых областях физики и техники – ядерной физике, геофизике и др.;
2) более детальное исследование многих традиционных задач механики, аэродинамики, электродинамики требует перехода от сингулярных к гиперсингулярным интегральным уравнениям.
Однако решение сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений возможно лишь в исключительных случаях, и основным аппаратом
в прикладных задачах являются численные методы.
Таким образом, как многочисленные приложения, так и собственно вычислительные задачи делают актуальной проблему разработки численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений.
Подробное изложение численных методов решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений содержится в работах [1–7], в которых также имеется обширная библиография.
В работе [8] предложен и обоснован сплайн-коллокационный метод нулевого порядка на равномерной сетке узлов, предназначенный для приближенного решения одномерных гиперсингулярных интегральных уравнений,
полигиперсингулярных интегральных уравнений, многомерных гиперсингулярных интегральных уравнений.
В связи с тем, что решения гиперсингулярных интегральных уравнений
имеют особенности на концах интервалов интегрирования, представляет ин-
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
терес построение и обоснование приближенных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений на неравномерных сетках узлов.
Данная статья посвящена построению и обоснованию сплайн-коллокационных методов решения одномерных и многомерных гиперсингулярных
интегральных уравнений на классе функций Qr , (, M ), Q r , (, M ).
u
Дадим описание классов функций Qru, (, M ) и Q r ,  (, M ).
Определение 1.1 [9, 10]. Пусть  = [1,1]l , l = 1, 2, ..., u = 0,1,... Функ-
ция ( x1 , xl ) принадлежит классу Qru, (, M ), если выполнены условия
v
v
|v|
max  ( x)/x11 xl l  M , при 0 | v | r ;
x
v
v
|v|( x)/x11 ...xl l 
 M (1 | ln ud ( x, ) |)/(d ( x, ))|v| r  , x   \ , при r <| v | s,
где s = r  [  ]  1,  = [  ]  , 0 <  < 1,  = 1   при  нецелом, s = r   при
 целом, d ( x, ) – расстояние от точки x до границы  области ,
вычисляемое по формуле d ( x, ) = min min(|1  xi |,|1  xi |).
1i l
Определение 1.2 [9, 10]. Пусть  = [1,1]l , l = 1, 2,  ,  – целое число,
s = r  . Функция ( x1 ,, xl ) принадлежит классу Qru, (, M ), если выполнены условия
v
v
|v|
max  ( x)/x11 xl l  M , при 0 | v | r  1,
x
v
v
|v|( x)/x11  xl l  M (1 | ln ud ( x, ) |), x   \ , при | v |= r ,
v
v
|v|( x)/x11 xl l  M (1 | ln u 1d ( x, ) |)/(d ( x, ))v r , x   \ , при r <| v | s.
2. Приближенное решение одномерных гиперсингулярных
интегральных уравнений на неравномерных сетках узлов
Здесь исследуется сплайн-коллокационный метод нулевого порядка на
неравномерной сетке узлов, предназначенный для приближенного решения
гиперсингулярных интегральных уравнений
1
a(t ) x(t )  b(t )
x( )
 (  t ) p
1
1

d   h(t , ) x() d  = f (t ),
(1)
1
где a(t ), b(t ), f (t )  H  (1), h(t , )  H , (1), 0 <   1, p = 2, 4, 6, ...
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Приближенное решение уравнения (1) будем искать в предположении,
что функция b(t )  0 на сегменте [–1, 1]. Кроме того, будем считать, что
уравнение (1) однозначно разрешимо при любой правой части f (t )  H  ,
0 <   1, и его решение x* (t ) принадлежит классу функций Qr0, (, M ).
Разобъем сегмент [–1, 1] на 2N частей 1k = [tk , tk 1 ],  2k = [k 1 , k ],
k = 0,1, ..., N  1, точками tk = 1  (k/N )v , k = 1  (k/N )v ,
k = 0,1, ..., N ,
v = s/( s   ).
Приближенное решение уравнения (1) будем искать в виде кусочнопостоянной функции
N 1
N 1
k =0
k =0
 1k 1k (t )   2k  2k (t ),
xN (t ) =
(2)
1, t  ik ,
i = 1,2.
где ik (t ) = 
i



0,
[
1,1]
\
,
t

k
Коэффициенты ik , i = 1, 2, k = 0,1,  , N  1, будем находить из системы линейных алгебраических уравнений:
a(t k )1k  b(t k )
N 1

l =0

N 1
l =0
l =0

a(k ) k2  b(k )
N 1
d
  (   k ) p
1l
N 1
l =0
l =0
h1k = tk 1  tk ,
hk2 = k  k 1 ,

N 1
 l2 
hl11l h(k , t l ) 
 b( k )
d
(  t k ) p
2
l =0

l
k = 0,1, , N  1;
N 1
(3)
d
 l2  (  k ) p 
l =0
1l
N 1

p
k)
 b(t k )
 hl2l2 h(t k , l ) = f (t k ),
l =0
где
 (  t
1l
N 1
hl11l h(t k , t l ) 
d
1l
l2
 hl2l2 h(k , l ) = f ( k ), k = 0,1,..., N  1,
k = (k 1  k )/2, k = 0,1, ..., N  1,
k = 0,1, ..., N  1,
N 1
d
 1k  (  t k ) p
l =0
(4)
t k = (tk  tk 1 )/2,
означает суммирова-
1l
ние по l  k  1, k  1, причем если k = N  1, то это означает суммирование по
l  N  2 в сумме
N 1
d
 1l  (  t k ) p
l =0
1l
Аналогичный смысл символ
30
и по l  N  1 в сумме
N 1
d
 l2  (  t k ) p .
l =0
l2
  имеет и в системе уравнений (4).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
Исследуем разрешимость системы уравнений (3)–(4). Исследование
разрешимости этой системы проведем, опираясь на теорему Адамара об
однозначной разрешимости систем линейных алгебраических уравнений.
Обозначим через A матрицу левой части системы уравнений (3)–(4):
A = {akl }, k , l = 1, ..., 2 N .
Диагональные элементы матрицы A имеют вид
akk = a(t k )  b(t k )
d
1
d
2
 (  t k ) p  hk h(t k , t k ), k = 0,1, ..., N  1;
1k
akk = a(k )  b(k )
 (  k ) p  hk h(k , k ), k = 0,1, ..., N  1.
 k2
Оценим модули диагональных элементов. При этом достаточно ограничиться оценкой akk при 0  k  N  1. Очевидно,
| akk |=| a(t k )  b(t k )
d
 (  t k ) p  hk h(t k , t k ) |
1
1k
| b(tk ) |
d
 (  t k ) p
 | h1k h(t k , t k ) |  | a(t k ) |;
1k
d
 (  t k ) p

1k
2p
1
, | a(t k ) | a* , h1k h(t k , t k ) | h1k H * ,
p  1 (h1k ) p 1
где a* = max | a(t ) |, H * = max | h(t , ) | .
1t 1
1t ,1
Таким образом,
| akk |
2 p | b(t k ) |
1
 | a (t k ) |  h1k | h(t1k , t1k ) | .
p  1 (h1k ) p 1
(5)
Оценим сумму внедиагональных элементов в k -й строке матрицы A.
Нетрудно видеть, что
2n
N 1
l =0
l =0
d
N 1
d
 | akl || b(t k ) |  |  (  t k ) p    (  t k ) p

''
N 1 *
N 1
hl1 | h(t k , t l ) |  hl2
l =0
l =0


l =0  2
l
1l

| h(t k , t l ) |,
(6)
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где
 

*
означает суммирование по l  k  1, k , k  1,
l
по l  k . В случае,
l
 
если k = N  1, то относительно суммы
следует сделать такое же
l
замечание, какое было сделано относительно суммы
  в уравнениях (3)–(4).
l
Приступая к оценке (6), предположим, что 0 < k  N  2, тогда
N 1
d
N 1
d
  (  t k ) p   (  t k ) p


l =0 1
l
=
l =0 1
l
tk 1
=

d
(  t k ) p
1
1


tk  2
d
(  t k ) p
=


(1) p 
1
1
1 
1
1








p  1  (t k  tk 1 ) p 1 (1  t k ) p 1  p  1  (1  t k ) p 1 (tk 1  t k ) p 1 


1 
1
1


.
p  1  (hk 1  hk /2) p 1 (hk 1  hk /2) p 1 
(7)
Пусть теперь k = 0, тогда
N 1
d
N 1
d
  (  t 0 ) p   (  t 0 ) p

l =0 1
l
1

d
 (  t 0 ) p
t2



l =0 1
l
1
1
1
1
=
.
p

1
p  1 (t2  t 0 )
p  1 ( h1  h0 /2) p 1
(8)
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Из неравенств (6)–(9) следует, что при выполнении неравенств
2 p | b (t k ) |
1
 | a (t k ) | hk1 | h(t k , t k ) |>
1
1

p
p  1 (hk )
>

| b(t k ) | 
1
1
*


  2 H , k = 0,1, ..., N  2,
p  1  (hk 1  hk /2) p 1 ( hk 1  hk /2) p 1 
2 p | b (t 0 ) |
1
| b(t 0 ) |
1
 | a(t 0 ) |  hk0 | h(t 0 , t 0 ) |>
 2H *
p  1 (h01 ) p 1
p  1 ( h1  h0 /2) p 1
и аналогичных неравенств, связанных с рассмотрением узлов k ,
k = 0,1,  , N  2 , t N 1 ,  N 1 , система уравнений (3) однозначно разрешима.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
Замечание 1. Аналогичные результаты справедливы и для гиперсингулярных интегральных уравнений вида
1
a (t ) x(t )  b(t )
1
x ( ) d 
 |   t | p   h(t , ) x()d  = f (t ),
1
p = 1, 2, ..., 0 <  < 1.
1
Рассмотрим уравнение первого рода
1
x()d 
 (  t ) p = f (t ),
p  2, 4, 6, ...
(9)
1
которое находит широкое применение в аэродинамике.
Приближенное решение уравнения (9) будем искать в виде кусочнопостоянной функции (2), коэффициенты которой находятся из системы
линейных алгебраических уравнений
N 1
d
N 1
d
  (  t k ) p  l2  (  t k ) p = f (t k ),
1l
l =0
N 1

l =0
1l
d
N 1
l2
d
  (  k ) p  l2  (  k ) p = f (k ) , k = 0,1,..., N  1.
1l
l =0

l =0
1l
(10)
l2
Повторяя рассуждения, приведенные при обосновании вычислительной
схемы (3)–(4), можно показать, что при N  3 система уравнений (10)
однозначно разрешима.
Рассмотрим уравнение первого рода вида
1
x()d 
 |   t | p = f (t ),
(11)
1
где p = 1, 2, ..., 0 <  < 1.
Приближенное решение уравнения (11) будем искать в виде кусочнопостоянной функции (2), коэффициенты которой находятся из системы
N 1
d
N 1
d
  |   t k | p  l2  |   t k | = f (t k ),
1l
l =0
N 1

l =0
1l
d
N 1
l2
d
  |   k | p  l2  |   k | = f (k ),
1l
l =0
1l

l =0
k = 0,1,..., N  1.
(12)
l2
Повторяя рассуждения, приведенные при обосновании вычислительной
схемы (3)–(4), можно показать, что при N  3 система уравнений (10)
однозначно разрешима. Кроме того, повторяя рассуждения, приведенные
в работе [8], можно показать, что при p = 1, 0 <  < 1 норма разности в метрике
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
пространства C между решениями x* (t ) уравнения (11) и x* N (t ) системы
уравнений (12) удовлетворяют неравенству || x* (t )  x*N (t ) || AN (1 ) .
3. Приближенное решение многомерных
гиперсингулярных интегральных уравнений
сплайн-коллокационным методом нулевого порядка
В этом разделе исследуется сплайн-коллокационный метод нулевого
порядка решения гиперсингулярного интегрального уравнения
a(t1 , t2 ) x(t1 , t2 )  b(t1 , t2 )


x(1 , 2 )d 1d 2
   t 
1
1
2
  2  t2 

2 p/2

 h(t1 , t2 , 1 , 2 ) x(1 , 2 )d 1d 2 = f (t1 , t2 ),

(13)

где  = [1,1; 1,1]; p = 3, 4, ...; a (t1 , t2 ), b(t1 , t2 ), f (t1 , t2 ), h(t1 , t2 , 1 , 2 ) – гладкие функции.
Здесь мы ограничиваемся двумерным случаем для простоты обозначений. Из результатов, изложенных ниже, легко видеть, что они практически
дословно переносятся на уравнения любой конечной размерности.
Будем искать приближенное решение уравнения (13) в предположении,
что оно принадлежит классу функций Qr , (, M ).
Обозначим через  k
неравенствам
множество точек
v
x  , удовлетворяющих
v
k 
 k 1
   d ( x,  )  
 , k = 0,1, ..., N  1,
N
 N 
где
d ( x, ) – расстояние от точки
, v = s/( s   ).
Пусть
x до границы  =  области
hk = ((k  1)/N )v  ( k/N )v ,
k = 0,1,..., N  2,
v
hN 1 = 1  (( N  1)/N ) .
Каждую область  k покроем квадратами ik ,i с ребрами, имеющими
1 2
длину hk и параллельными координатным осям. То обстоятельство, что
среди квадратов ik ,i может встретиться четыре прямоугольника, у которых
1 2
длина одной стороны меньше hk , не влияет на общность рассуждений. Для
простоты все области ik ,i будем называть квадратами.
1 2
Приближенное решение уравнения (13) будем искать в виде кусочно
постоянной функции
N 1
xN (t1 , t2 ) =
 ik1,i   t1, t2 ; ik1,i
k =0 i1 ,i2
34
2
2
;


(14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
1, (t1 , t2 )   k ,
i ,i

(t1 , t2 ; ik ,i ) = 
1 2
1 2
0, (t1 , t2 )  [ 1,1]2 \ ik ,i ,
1 2

коэффициенты ik ,i которой находятся из системы линейных алгебраиче1 2
ских уравнений
k
k
a(vi ,i )ik,i  b(vi ,i )
2
1
2
1 2
1

N 1
N 1
2


lj , j     v k      v k  



2
1 2  1
i
i

1
2 



l =0 j1 j2
h  vi ,i , v j , j
l =0 j1 j2
xN (1 , 2 )d 1d 2
  
k
1 2
l
1 2
p/2
 k
 k 
k
  j1 , j2  j1 , j2 = f  vi1 ,i2  ,




(15)
 k l 
где kj , j – площадь области  kj , j ,  vi , vi  – центр области ik ,i . В фор1 2
1 2
1 2
 1 2
N 1
муле (15)
 означает суммирование по всем квадратам
l =0 j1 j2
ствляющим покрытие области , сумма
ik ,i , осуще1
2
N 1
 
означает суммирование
l =0 j1 j2
по всем квадратам lj , j , которые не соприкасаются с квадратом ik,i ,
1 2
1 2
причем сам квадрат ik,i учитывается в сумме
1 2
N 1
 .
l =0 j1 j2
k
В формуле (15) правая и левая части приравниваются в центрах vi ,i
1 2
k
всех квадратов  , покрывающих область .
i1 ,i2
Доказательство однозначной разрешимости систем уравнений (15)
проведем, используя теорему Адамара об однозначной разрешимости систем
линейных алгебраических уравнений. Для этого вначале оценим абсолютную
величину диагональных элементов матрицы K N , представляющей левую
часть системы (15).
Диагональные элементы K N имеют следующий вид:
| mnn |= a  vi1 ,i2   b(vi1 ,i2 )


k
k
 
d 1d 2

k 2
k 2
ik,i     vi      vi  
1
2
1 2 
1
2 



p/2

35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
k 
 k
 ik,i h  vi ,i , vi ,i  .
1 2  1 2
1 2 
(16)
Оценим интеграл
d 1d 2

2
2

ik,i     v k      v k  
1
2
1 2 
i1 
i2  



.
p/2
Так как ik,i – или квадрат со стороной hk , или прямоугольник, у
1 2
которого длина одной стороны равна hk , а второй меньше hk , то достаточно
оценить модуль интеграла
a a


d 1d 2
2
 a  a 1

p/2
 22
,
(17)
где a = hk /2.
Это следует из того, что модуль интеграла вида (17) по прямоугольнику
со сторонами a и b, b < a, будет больше, чем модуль интеграла (17) по
квадрату [ a, a ]2 .
Очевидно,
a a
d 1d 2
  (12  22 ) p/2
/2 a/ cos( /4)
=8
a a
=
/2
8
( p  2)a
p 2


/4
 (cos(  /4))
p2
/4
d =
d
 p 1
0
/4
8
( p  2)a
 2
>


( p  2) 2 a p 2  2 
8
d =
p 2
 (cos )
p 2
d >
0
p 2
.
Отсюда следует, что
 
8( 2) p  2 1
mnn  b vik,i

1 2
( p  2) 2 hkp  2
 


 a vik,i  (hk /2)2 h vik,i , vik,i .
1 2
1 2
1 2
(18)
Приступим к оценке суммы модулей внедиагональных элементов матрицы M . Нетрудно видеть, что
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
N 1

l =0 j1 j2
Физико-математические науки. Математика
| mkl | | b(v k , v k ) |
i
i
1

2
N 1
  
l =0 j1 j2
N 1
 lj , j
l =0 j1 j2
| b(vik , vik ) |
1
2
1 2
lj1 , j2
d 1d 2
2
2

k 
k 
  1  vi    2  vi  
1 
2 


p/2



h vik,i , v lj , j 
1 2
1 2
d 1d 2
 
2  p/2
2
 \ *  
k 
k
  1  vi    2  vi  
1 
2 


 4h* ,
(19)
где * – область, состоящая из квадрата ik ,i и всех остальных квадратов
1 2
li ,i , имеющих с ik ,i непустое пересечение.
1 2
1 2
N 1
Здесь
 
l =0 j1 j2
означает суммирование по квадратом li ,i , в число
1 2
которых не входит квадрат ik ,i , и все квадраты с ним соприкасающиеся,
1 2
h* =
max
1t1, t2 ,1,2 1
| h(t1 , t2 , 1 , 2 ) | .
Оценим сверху модуль интеграла
d 1d 2
 
2
2
 \ *  
k 
k 
  1  vi    2  vi  
1 
2 


p/2
.
При этом необходимо рассмотреть два случая: k = 0 и k = 0.
Вначале рассмотрим первый случай. Очевидно,
 
d 1d 2
2
2 p/2
0
0 
 \ * 
v
v





 1 i1
2
i2 



 


37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион



=


d 1d 2

 \ S (vi10,i2 ,r0* ) 
S ( vi10,i2 ,2


0
 1  vi1

  
2
 vi0
2
2
2  p/2
 
d 1d 2

2)\ S (
vi10,i2 ,r0* ) 


d 1d 2



1  vi0
1
 
2
2 2 2
2
2 p/2
S (0, 2 2)\ S (0,r0* ) 1  2

 
2  vi0
2
d

0 r*
0
p 1


2  p/2
 
=
2
1
.
*
p  2 (r0 ) p 2
(20)
Здесь r0* = 3h0 /2, S ( a, ) – круг радиуса  с центром в точке a. Из (19)
и (20) следует, что
N 1


| mkl || b(v 0 , v 0 ) | 2  2 
i1 i2
p  2  3h0 
l =0 j1 j2

p2
 4h*.
(21)
Рассмотрим теперь случай, когда k = 0. Очевидно,
N 1
 | mkl | 
l =0 j1 j2


 \ S (v
d 1d 2


k
* 
i1 ,i2 , r0 )  

S (0,2 2 )\ S (0, rk* )
2  p/2
2

vk   vk 
  1 i1   2 i2  



d 1d 2

p/2
12  22

2
1
,
p  2 ( rk* ) p  2
(22)
где rk* = (hk 1  hk /2).
Из (19) и (20) следует, что
N 1


2
| mkl || b(v k , v k ) | 2 

i1 i2
p  2  2hk 1  hk 
l =0 j1 j2

p 2
 4h*.
(23)
Из неравенств (18), (21) и (18), (23) следует, что если выполняются
неравенства
 
b vi0,i
1 2
38
8( 2) p 2
 
2


h 
 a vi0,i   0  h vi0,i , vi0,i >
p 2
2
1 2
1 2
1 2
 2 
( p  2) h0
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
 
> b vi0,i
1 2
2  2 


p  2  3h0 
p 2
 4h*
при всех i1 , i2 и неравенства
2
8( 2) p 2 1
h 
b  vik,i 
 a  vik,i    k  h  vik,i , vik,i  >
2
2

p
2
2
 1  ( p  2) h
 1   2   1 2 1 2
k

2 
2
> b  vik,i 


 1 2  p  2  2hk 1  hk 
p 2
 4h*
(24)
при всех k , i1 , i2 , то система уравнений (15) однозначно разрешима.
Замечание. Неравенства (21) и (23) можно ослабить и, следовательно,
доказать однозначную разрешимость системы уравнений (15) при более
общих условиях.
Рассмотрим гиперсингулярное уравнение первого рода
1 1
( ,  )
  ((1  t1 )2  1(22 t2 )2 ) p/2 = f (t1, t2 ),
(25)
11
где 3, 4, ... .
При p = 3 уравнение (25) – это уравнение Прандтля, являющееся ключевым в аэродинамике.
Приближенное решение многомерного уравнения Прандтля исследовалось в работах [6, 8, 11].
В книге [6] для приближенного решения уравнения Прандтля был применен метод дискретных вихрей.
В работе [11] предложен оригинальный метод, основанный на построении последовательности обратимых матриц.
В случае равномерной сетки узлов сплайн-коллокационный метод нулевого порядка исследован в [8], где доказана однозначная разрешимость вычислительной схемы и получена оценка погрешности.
В работе [11] отмечена в связи с большим прикладным значением
уравнения Прандтля необходимость в разработке эффективных методов его
решения.
Ниже описывается сплайн-коллокационный метод нулевого порядка
решения уравнения (25) на неравномерной сетке узлов.
Приближенное решение уравнения (25) будем искать в виде кусочнопостоянных функций (14), коэффициенты {ik ,i } которых находятся из
1 2
системы линейных алгебраических уравнений
N 1
lj1, j  
l =0 j1 j2
2
 lj1 , j2
d 1d 2
2  p/2

k 
k
  1  vi    2  vi  
1
2 




2
= f  vik,i  ,
 1 2
(26)
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
в которой левые и правые части приравниваются во всех узлах vik,i ,
1 2
расположенных в области .
Вначале докажем однозначную разрешимость системы уравнений (26).
При этом для простоты будем считать, что все области  k – квадраi1,i2
ты. Оценим снизу модули диагональных элементов матрицы левой части
системы уравнений (26).
Выше было показано, что
/4
8  2 
p2
d .
=
  (cos )
p
/2
( p  2)  hk 
2
2

0
k
i , i     v k      v k  
2
i1 
i2  
1 2  1



d 1d 2
 

Оценим теперь сверху сумму модулей внедиагональных элементов.
Очевидно,
N 1
J=
d 1d 2
 | mkl |= 
2
2

 \ ik , i     v k      v k  
1
2
i1 
i2  
1 2 



l =0 j1 j2
p/2
,
N 1
где
 
означает суммирование по всем наборам верхних и нижних
l =0 j1 j2
индексов (l , j1 , j2 ) таких, что (l , j1 , j2 )  (k , i1 , i2 ).
Из свойства аддитивности гиперсингулярных интегралов следует, что
последний интеграл равен разности двух интегралов
d 1d 2
J=

2
2  p/2

 
k 
k
  1  vi    2  vi  



1
2 



 
d 1d 2
 ik1 ,i2
2
2

k 
k 
  1  vi    2  vi  
1 
2 


p/2
= J1  J 2 .
Интеграл J 2 был оценен выше и он равен
/4
8  2 
p 2
J2 = 
d .
  (cos )
( p  2)  hk 
0

Интеграл J1 , будучи гиперсингулярным интегралом, принимает
отрицательные значения. Нетрудно видеть, что | J1 |<| J 2 | .
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
Следовательно,
| J |=| J1  J 2 |=| J 2 |  | J1 |<| J 2 | .
Таким образом, выполнены условия теоремы Адамара, и система
уравнений (26) однозначно разрешима.
При p = 3, повторяя рассуждения, приведенные в [8], можно показать,
что
 x*  x*N C ()  BN 1/2 ,
где x* и x*N – решения уравнений (25), (26) соответственно.
Список литературы
1. И в а н о в, В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному
решению сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов. – Киев : Наукова
думка, 1968. – 287 с.
2. Г о х б е р г И . Ц . Уравнения в свертках и проекционные методы их решения /
И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. – М. : Наука, 1971. – 352 с.
3. M i c h l i n S . G . Singulare Integraloperatoren / S. G. Michlin, S. Prossdorf. – Berlin :
Acad. Verl., 1980. – 514 p.
4. P r o s s d o r f , S . Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations /
S. Prossdorf, B. Silbermann. – Berlin. : Acad. Verl., 1991. – 544 p.
5. Л и фа н о в , И . К . К решению составных особых интегральных уравнений /
И. К. Лифанов // Успехи современной радиоэлектроники. – 2006. – № 8. –
С. 62–67.
6. В а й н и к к о , Г . М . Численные методы в гиперсингулярных интегральных
уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский. –
М. : Янус–К, 2001. – 508 с.
7. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных
уравнений. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2004. – 316 с.
8. Bo y k o v , I . V . An approximate solution of hypersingular integral equations /
I. V. Boykov, E. S. Ventsel, A. I. Boykova // Applied Numerical Mathematics. – 2010. –
№ 60. – P. 607–628.
9. Б о й к о в , И . В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными
сплайнами / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и
математической физики. – 1998. – Т. 38. – № 1. – С. 25–33.
10. Б о й к о в , И . В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления
интегралов / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2007. – 236 с.
11. О с е л е д е ц, И . В. Приближенное обращение матриц при решении
гиперсингулярного интегрального уравнения / И. В. Оселедец, Е. Е. Тыртышников // ЖВМ и МФ. – 2005. – Т. 45. – № 2. – C. 315–326.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный
университет
Boykov Ilya Vladimirovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics,
Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Захарова Юлия Фридриховна
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра высшей и прикладной
математики, Пензенский
государственный университет
Zakharova Yuliya Fridrikhovna
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of higher and applied
mathematics, Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
Алаткин Сергей Павлович
аспирант, Пензенский
государственный университет
Alatkin Sergey Pavlovich
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
УДК 517.392
Бойков, И. В.
Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений сплайн-коллокационными методами нулевого порядка / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, С. П. Алаткин // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3 (15). –
С. 28–42.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
УДК 519.718
C. М. Грабовская
СИНТЕЗ НАДЕЖНЫХ НЕВЕТВЯЩИХСЯ ПРОГРАММ
С УСЛОВНОЙ ОСТАНОВКОЙ В ПОЛНОМ КОНЕЧНОМ
БАЗИСЕ, СОДЕРЖАЩЕМ x1 & x2
Аннотация. Рассматривается реализация булевых функций неветвящимися
программами с условной остановкой в полном конечном базисе B , содержащем конъюнкцию x1 & x2 . Предполагается, что функциональные операторы
с вероятностью  подвержены инверсным неисправностям на выходах. Решается задача синтеза надежных неветвящихся программ в двух случаях: 1) оператор условной остановки абсолютно надежен; 2) оператор условной остановки ненадежен.
Ключевые слова: булевы функции, неветвящиеся программы, оператор условной остановки, синтез, надежность.
Abstract. The problem of synthesis of nobranching programs with conditional stopoperator is considered in full finite basis, contained x1 & x2 . All functional operators
are supposed to be prone output inverse failures. This problem is solved for two
cases: 1) conditional stop-operator is absolutely reliable; 2) conditional stopoperator is unreliable.
Keywords: boolean functions, nobraching programs, conditional stop-operator, synthesis, reliability.
Рассматривается реализация булевых функций неветвящимися программами с условной остановкой [1] в базисе B , содержащем конъюнкцию
x1 & x2 . Программы с условной остановкой характеризуются наличием
управляющей команды – команды условной остановки, дающей возможность
досрочного прекращения работы при выполнении определенного условия.
Введем необходимые понятия и определения.
Пусть X   x1 , ..., xn  – множество независимых булевых переменных,
x  ( x1 , , xn ) – набор независимых переменных. Введем множества пере-
менных Y   y1 , ..., yl  и Z   z1 ,..., zm  . Переменные из множества Y назовем внутренними, переменные из множества Z – выходными переменными.
Пусть далее a  Y  Z , b1 ,  , bd  X  Y  Z ( d  1, 2,  , n) , h – булева
функция из базиса B , зависящая не более чем от d переменных. Вычислительной командой p назовем выражение p : a  h  b1 ,  , bd  . Переменную a
назовем выходом вычислительной команды, переменные b1 , ..., bd – входами
этой команды.
Пусть теперь a  X  Y  Z . Командой остановки p назовем выражение
p : Stop  a  . Переменную a назовем входом команды остановки p.
Последовательность Pr  p1  pi  pl , состоящая из вычислительных
команд и команд остановки, называется неветвящейся программой с условной
остановкой, если при любом j  1, 2,  , L каждый вход команды p j есть
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
либо независимая переменная, либо выход некоторой вычислительной команды pi , где i  j .
Неветвящаяся программа работает в дискретные моменты времени
t = 0, 1, 2, …, не изменяет значения независимых переменных и изменяет значения внутренних и выходных переменных. Значения yi ( x; t ) внутренних переменных yi и значения z j ( x; t ) выходных переменных z j программы Pr
в произвольный момент времени t на наборе независимых переменных
x  ( x1 ,  , xn ) определим индуктивно следующим образом:
– в начальный момент времени t  0 значения всех внутренних и выходных переменных считаем неопределенными;
– если команда pt не изменяет значения внутренней переменной yi
(или выходной переменной z j ), то положим
yi ( x; t )  yi ( x; t  1), z j ( x; t )  z j ( x; t  1);
– если команда pt изменяет значения внутренней переменной yi (или
выходной переменной z j ), и значения (1, …, d)-го входов команды pt в момент
времени (t  1) равны соответственно b1 ( x; t  1), , bd ( x; t  1) , то положим
yi ( x; t )  ht (b1 ( x; t  1), , bd ( x; t  1)),
z j ( x; t )  ht (b1 ( x; t  1),  , bd ( x; t  1)).
Значением команды pt программы Pr на наборе независимых переменных x  ( x1 , , xn ) назовем значение ее выхода в момент времени t и обозначим pt ( x ) .
Через k ( p ) обозначим номер команды p в программе Pr, т.е. k  pi   i .
Пусть pt1 , ..., ptr – все команды остановки из Pr, причем t1    tr . Тогда через s j будем обозначать j-ю команду остановки программы Pr, т.е. s j  pt j .
Вычислительную команду pi (переменную xl ) назовем аргументом
команды остановки s j , k ( s j )  r , и обозначим через q j , если:
(i) выход команды pi (переменная xl ) является входом команды s j ;
(ii) среди команд pt , i  t  r нет команды, выход которой совпадает
с выходом команды pi .
Будем говорить, что k-я команда остановки sk прекращает вычисления
программы Pr на наборе x , если
q1 ( x )    qk 1 ( x )  0, qk ( x )  1 .
Результат действия программы Pr на наборе x обозначим через Pr( x ) ,
и его l-ю компоненту Prl ( x ) определим следующим образом:
 zl ( x; tk ), если q1 ( x )    qk 1 ( x )  0, qk ( x )  1,
Prl ( x )  
 zl ( x; L), если q1 ( x )    qr ( x )  0.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
т.е. Prl ( x ) равно значению выходной переменной в момент остановки программы.
Ясно, что
Prl ( x )  q1 ( x ) zl ( x; t1 )  q1 ( x )q2 ( x ) zl ( x; t2 )  ...
...  q1 ( x )q2 ( x )  qk 1 ( x )qk ( x ) zl ( x; tk )  ...
...  q1 ( x )q2 ( x )  qr 1 ( x )qr ( x ) zl ( x; tr )  ...
...  q1 ( x ) q2 ( x )  qr ( x ) zl ( x; L).
(1)
Иногда формулу (1) удобнее использовать в преобразованном виде:
Prl ( x )  q1 ( x ) zl ( x; t1 )  q1 ( x )( q2 ( x ) zl ( x; t2 )  q2 ( x )(...(qk 1 ( x ) zl ( x; tk 1 ) 
 qk 1 ( x )(...  qr 1 ( x )(qr ( x ) zl ( x; tr )  qr ( x ) zl ( x; L))...))...)).
(2)
Будем говорить, что программа Pr вычисляет n-местную булеву функцию f, если Pr( x )  f ( x ) для любого x {0,1}n .
1. Неветвящиеся программы с абсолютно
надежным оператором условной остановки
Будем предполагать, что оператор условной остановки абсолютно надежен, а все вычислительные операторы базиса B независимо друг от друга
с вероятностью  (  (0,1/ 2)) подвержены инверсным неисправностям на
выходах. Поскольку оператор условной остановки абсолютно надежен, он
срабатывает, когда на его вход поступает единица. Инверсные неисправности
на выходах вычислительных операторов характеризуются тем, что в исправном состоянии вычислительный оператор реализует приписанную ему булеву
функцию  , а в неисправном – функцию  .
Программа Pr реализует булеву функцию f  x1 ,  , xn  , если она реализует ее при отсутствии неисправностей.
Ненадежностью N  Pr  программы Pr назовем максимальную вероятность ошибки на выходе программы Pr при всевозможных входных наборах.
Обозначим N  ( f )  inf N (Pr) , где инфимум берется по всем программам Pr из ненадежных операторов, реализующим булеву функцию f ( x ) .
Чтобы сравнить полученные в этой работе результаты с известными результатами для схем из функциональных элементов, введем понятия ненадежности схемы и асимптотически оптимальной схемы.
Ненадежностью N  S  схемы S из функциональных элементов (ФЭ),
подверженных инверсным неисправностям на выходах, назовем максимальную вероятность ошибки на выходе схемы S при всевозможных входных наборах. Обозначим N  ( f )  inf N ( S ) , где инфимум берется по всем схемам S
из ненадежных элементов, реализующим булеву функцию f ( x ) .
Схема A из ненадежных элементов, реализующая функцию f, называется асимптотически оптимальной по надежности, если N ( A) ~ N  ( f ) при
  0 , т.е.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
N ( f )
 1.
0 N ( A)
lim
Сформулируем известные результаты для схем из ФЭ.
Теорема 1 [2]. В произвольном полном конечном базисе при
  (0,1/ 960] любую булеву функцию f можно реализовать схемой S с ненадежностью P( S )  5  182 2 .
Константа 5 в оценке ненадежности из теоремы 1 в общем случае не
может быть понижена [3].
Обозначим K (n) – множество булевых функций f ( x1 , x2 ,  , xn ) , не
представимых в виде ( xia & g ( x ))b (i  1, 2,  , n, a, b {0,1}) , где g ( x ) – произвольная функция.
Теорема 2 [3]. Пусть   (0,1/ 240] , функция f ( x )  K (n) , и S – любая
схема в базисе {x1 & x2 , x1} , реализующая функцию f. Тогда P ( S )  5(1  ) 4 .
Из теорем 1 и 2 следует, что в базисе {x1 & x2 , x1} при   (0,1/ 960]
любая схема из ФЭ, реализующая функцию f ( x )  K (n) , является асимптотически оптимальной по надежности и функционирует с ненадежностью,
асимптотически равной 5 при   0 .
Теорема 3 [4]. При   (0,1/128] любую булеву функцию можно реализовать такой схемой S, что P( S )  3  32 2 .
Теорема 4 [4]. Пусть   (0,1/ 6] , функция f ( x )  K (n) , и S – любая
схема в базисе {x1 & x2 , x1  x2 , x1} , реализующая функцию f. Тогда
P( S )  3  6 2  43 .
Из теорем 3 и 4 следует, что в базисе {x1 & x2 , x1  x2 , x1} любая схема
из ФЭ, реализующая функцию f ( x )  K (n) , является асимптотически оптимальной по надежности и функционирует с ненадежностью, асимптотически
равной 3 при   0 .
Для неветвящихся программ с абсолютно надежным оператором условной остановки справедливы следующие утверждения.
Лемма 1. В базисе B при   (0, 1/ 2) программа Pr (рис. 1) реализует
функцию  ( x1 , x2 , x3 , x4 )  x1x2  x3 x4 с ненадежностью N (Pr )  2, а вероятности появления нуля и единицы P (Pr , b ) и P (Pr , b ) на выходе про0

граммы, где b  (b1 , b2 , b3 , b4 ) , приведены в табл. 1.
Pr :
1) z  x1 & x2
2) stop ( z )
3) z  x3 & x4
Рис. 1
46
1

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
Таблица 1
Наборы b
P0I
P0II
P0 (Pr , b )
P1I
P1II
P1 (Pr , b )
(1, 1, 1, 1)
(0, 1, 1, 1)
(1, 0, 1, 1)
(0, 0, 1, 1)
(1, 1, 0, 1)
(1, 1, 1, 0)
(1, 1, 0, 0)
(0, 1, 0, 1)
(0, 1, 1, 0)
(1, 0, 0, 1)
(1, 0, 1, 0)
(0, 0, 0, 1)
(0, 0, 1, 0)
(1, 0, 0, 0)
(0, 1, 0, 0)
(0, 0, 0, 0)
0
2
2
1 
(1  )
1  2
0
(1  )
  2

(1  ) 2
1    2
0
(1  )
  2
1 
2
1    2
0
(1  )2
(1  )2

(1  )
2   2
Доказательство. Программа Pr имеет один выход. Однако в ней
можно выделить две подпрограммы PrI и PrII . Если стоп-оператор срабатывает, то выполнение программы прекращается и на выход программы идет
значение, вычисленное до остановки. В этой ситуации результат работы
программы совпадает с результатом работы первой подпрограммы PrI . Если же оператор условной остановки не срабатывает, выполнение программы продолжается, и на выход пойдет значение, вычисленное после оператора остановки. В этом случае результат работы программы совпадает с результатом работы второй подпрограммы PrII . Вычисляя вероятность ошибки в программе Pr на том или ином наборе, по формуле полной вероятности необходимо суммировать вероятности ошибок первой и второй подпрограмм.
Вычислим и оценим вероятности P0I , P1I , P0II , P1II появления нуля и
единицы на выходах подпрограмм программы Pr при всех входных наборах b .
Пусть входной набор b равен (1, 1, 1, 1), тогда
P0I  0;
P0II    ;
P1I  1  ;
P1II    (1  ).
Следовательно, P0 (Pr , b )   2 , P1 (Pr , b )   2 .
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Пусть входной набор b равен одному из наборов (0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1)
или (0, 0, 1, 1), тогда
P0I  0;
P0II  (1  )       2 ;
P1I  ;
P1II  (1  )2 .
Следовательно, P0 (Pr , b )     2 , P1 (Pr , b )  1     2 .
Пусть входной набор b равен одному из наборов (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0)
или (1, 1, 0, 0), тогда
P0I  0;
P0II    (1  )     2 ;
P1I  1  ;
P1II       2 .
Следовательно, P0 (Pr , b )     2 , P1 (Pr , b )  1     2 .
Легко проверить, что на рассмотренных наборах ошибкой будет появление 0 на выходе программы. Максимальная вероятность ошибки удовлетворяет неравенству P0 (Pr , b )   .
Пусть входной набор b равен одному из наборов (0, 1, 0, 1),
(0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)
или (0, 0, 0, 0), тогда
P1I  ;
P1II  (1  )       2 ;
P0I  0;
P0II  (1  )2 .
Следовательно, P1 (Pr , b )  2   2 , P0 (Pr , b )  (1  )2 .
Заметим, что на рассмотренных наборах ошибкой будет появление 1 на
выходе программы. Вероятность ошибки удовлетворяет неравенству
P1 (Pr , b )  2 .
Таким образом, ненадежность программы N (Pr )  2 .
Лемма 1 доказана.
Из Леммы 1 следует, что для реализации функции ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 
 x1 x2  x3 x4 программой с условной остановкой достаточно лишь оператора
конъюнкции & , при этом ненадежность программы N (Pr )  2 .
Используя лемму 1, докажем теорему 5.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
Теорема
5.
В
базисе
B
при
  (0,1/ 960]
любую
функцию
f  x1 , x2 ,  , xn  можно реализовать такой программой Pr f с абсолютно
надежным оператором условной остановки, что N (Pr f )  2  96 2  2,1 .
Доказательство. Пусть f  x1 , x2 ,  , xn  – произвольная булева функ-
ция. По теореме 1 ее можно реализовать схемой S с ненадежностью
P ( S )  5  182 2 . Обозначим P0 ( S , a ), P1 ( S , a ) вероятности ошибок схемы S.
Используя схему S, построим для f неветвящуюся программу с оператором
условной остановки Pr f (рис. 2).
Pr f :
1) y1  f ( x1 , x2 , , xn ) [ S ]
2) y2  f ( x1 , x2 , , xn ) [ S ]
3) y3  f ( x1 , x2 , , xn ) [ S ]
4) y4  f ( x1 , x2 , , xn ) [ S ]
5) z  y1 & y2
6) stop( z )
7) z  y3 & y4
Рис. 2
Вычислим и оценим вероятности ошибок на выходе программы Pr f .
Пусть набор a такой, что f (a )  0 , тогда
P1 (Pr f , a )  (1  P1 ( S , a )) 4 (2   2 )  4(1  P1 ( S , a ))3 P1 ( S , a )(2   2 ) 
(1  P1 ( S , a ))2 P12 ( S , a )(4(2   2 )  2(1     2 )) 
4(1  P1 ( S , a )) P13 ( S , a )(1     2 )  P14 ( S , a )(1   2 )  2  8P( S )  2 P 2 ( S ).
Поскольку P( S )  5  182 2 и   (0,1/ 960] , получаем неравенство
P1 (Pr f , a )  2  96 2  2,1 .
Пусть набор a такой, что f ( a )  1 , тогда
P0 (Pr f , a )  (1  P0 ( S , a ))4  2  4(1  P0 ( S , a ))3 P0 ( S , a )(  2 ) 
(1  P0 ( S , a ))2 P02 ( S , a )(2(   2 )  4(1  )2 ) 
4(1  P0 ( S , a )) P03 ( S , a )(1  )2  P04 ( S , a )(1  ) 2   2  4 P ( S )  4 P 2 ( S ).
Поскольку P( S )  5  182 2 и   (0,1/ 960] , получаем неравенство
P0 (Pr f , a )  130 2 .
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Выбирая из полученных для вероятностей ошибок значений максимальное, видим, что ненадежность программы N (Pr f ) удовлетворяет неравенству N (Pr f )  2  96 2  2,1 .
Теорема 5 доказана.
Проведенные исследования показывают, что в базисах, содержащих
конъюнкцию x1 & x2 , в том числе в {x1 & x2 , x1} и {x1 & x2 , x1  x2 , x1} , при
  (0,1/ 960] все функции можно реализовать программами с абсолютно надежным оператором условной остановки, которые функционируют с нена-
дежностью, не больше 2  96 2 , в то время как ненадежность асимптотически оптимальных схем, например в базисе {x1 & x2 , x1} , асимптотически равна 5 при   0 , в базисе {x1 & x2 , x1  x2 , x1} – 3 при   0 .
2. Неветвящиеся программы с ненадежным
оператором условной остановки
Будем предполагать, что оператор условной остановки ненадежен. Он
может быть подвержен двум типам неисправностей: первый – на вход стопоператора поступает единица, но при этом он не прекращает работы программы; второй – на вход оператора условной остановки поступает ноль, и он
срабатывает, прекращая работу программы. Обозначим  вероятность возникновения неисправности первого рода, т.е. вероятность того, что стопоператор не сработает при поступлении 1 на вход. Пусть  – вероятность
возникновения неисправности второго рода, а именно вероятность остановки
при поступлении 0 на вход стоп-оператора. Считаем, что ,  (0, 1/ 2) .
Для неветвящихся программ с ненадежным оператором условной остановки справедливы следующие утверждения.
Лемма 2. В базисе B при   (0, 1/ 2) программа Pr (рис. 1) реализует
функцию
( x1 , x2 , x3 , x4 )  x1x2  x3 x4
с
ненадежностью
N (Pr )   
 max{, , } .
Доказательство. Вычислим и оценим вероятности P0I , P1I , P0II , P1II
появления нуля и единицы на выходах подпрограмм программы Pr при всех
входных наборах b .
Пусть входной набор b равен (1, 1, 1, 1), тогда
P0I  ;
P0II  [(1  )  (1  )];
P1I  (1  )(1  );
P1II  [(1  )  (1  )](1  ).
Следовательно,
P0 (Pr , b )  P0I  P0II   2     2      2    2  (  )     2  2;
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
P1 (Pr , b )  P1I  P1II  1   2       2    2 .
Пусть входной набор b равен одному из наборов (0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1)
или (0, 0, 1, 1), тогда
P0I  (1  );
P0II  [(1  )(1  )  ];
P1I  (1  );
P1II  [  (1  )(1  )](1  ).
Следовательно,
P0 (Pr , b )  P0I  P0II      2   2   2   2  
      2 (  1)  (  2)    ;
P1 (Pr , b )  P1I  P1II  1       2  2   2    2 .
Пусть входной набор b равен одному из наборов (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0)
или (1, 1, 0, 0), тогда
P0I  ;
P0II  [(1  )  (1  )](1  );
P1I  (1  )(1  );
P1II  [(1  )  (1  )].
Следовательно,
P0 (Pr , b )  P0I  P0II       2  2   2    2  
      2 (  1)  (  2)    ;
P1 (Pr , b )  P1I  P1II  1       2  2   2    2 .
Легко проверить, что на рассмотренных наборах ошибкой будет появление 0 на выходе программы. Максимальная вероятность ошибки удовлетворяет неравенству P0 (Pr , b )    max{, } .
Пусть входной набор b равен одному из наборов (0, 1, 0, 1),
(0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)
или (0, 0, 0, 0), тогда
P1I  (1  );
P1II  [  (1  )(1  )];
P0I  (1  );
P0II  [(1  )(1  )  ](1  ).
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Следовательно,
P1 (Pr , b )  P1I  P1II  2  2       2   2 
 2   2  (  1)  (  1)  2;
P0 (Pr , b )  P0I  P0II  1  2   2       2    2 .
Заметим, что на рассмотренных наборах ошибкой будет появление 1
на выходе программы. Вероятность ошибки удовлетворяет неравенству
P1 (Pr , b )  2 .
Таким образом, ненадежность программы N (Pr )    max{, , } .
Лемма 2 доказана.
Используя лемму 2, докажем теорему 6.
Теорема 6. В базисе B при   (0,1/ 960]
любую
функцию
f  x1 , x2 ,  , xn  можно реализовать такой программой Pr f (рис. 2) с ненадежным оператором условной остановки, что N (Pr f )  max{2  96 2 ,
130 2  11, 4(  )} .
Доказательство. Докажем теорему 6 аналогично теореме 5.
Вычислим и оценим вероятности ошибок на выходе программы Pr f
(рис. 2).
Пусть набор a такой, что f (a )  0 . Тогда
P1 (Pr f , a )  (1  P1 ( S , a )) 4 (2   2  (  1)  (  1)) 
4(1  P1 ( S , a ))3 P1 ( S , a )(2   2  (  1)  (  1)) 
(1  P1 ( S , a ))2 P12 ( S , a )(4(2   2  (  1)  (  1)) 
2(1       2  2   2    2 )) 
(1  P1 ( S , a )) P13 ( S , a )(2(1       2  2   2   2 ) 
2(1       2  2   2   2))  P14 ( S , a )(1       2  2   2    2 ) 
 2  8P( S )  2 P 2 ( S ).
Поскольку P( S )  5  182 2 и   (0,1/ 960] , получаем неравенство
P1 (Pr f , a )  2  96 2  2,1 .
Пусть набор a такой, что f ( a )  1 . Тогда
P0 (Pr f , a )  (1  P0 ( S , a )) 4 ( 2     2      2 ) 
(1  P0 ( S , a ))3 P0 ( S , a )(2(     2 (  1)  (  2)) 
2(     2 (  1)  (  2))) 
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
(1  P0 ( S , a ))2 P02 ( S , a )((     2 (  1)  (  2)) 
(     2 (  1)  (  2))  4(1  2   2       2    2 )) 
4(1  P0 ( S , a )) P03 ( S , a )(1  2   2       2    2 ) 
 P04 ( S , a )(1  2   2       2    2 ) 
  2  (  )  2 P ( S )(2    )  4 P 2 ( S ).
Поскольку
P( S )  5  182 2 ,
  (0,1/ 960] , получаем неравенство
P0 (Pr f , a )  130 2  11, 4(  ) .
Таким образом, ненадежность программы N (Pr f ) удовлетворяет неравенству N (Pr f )  max{2  96 2 ,130 2  11, 4(  )} .
Теорема 6 доказана.
Следствие 1. Если   (0,1/ 960] и     0,16 , то любую функцию
f  x1 , x2 , ..., xn  можно реализовать такой программой Pr f (рис. 2) с ненадежным оператором условной остановки, что N (Pr f )  2  96 2 .
Доказательство. Из теоремы 6 известно, что N (Pr f )  max{2  96 2 ,
130 2  11, 4(  )} .
Поскольку   (0,1/ 960] и     0,16 , получаем
130 2  11, 4(  )  0,135  11, 4  0,16  2  2  96 2 .
Таким образом,
max{2  96 2 , 130 2  11, 4(  )}  2  962 .
Следствие 1 доказано.
Проведенные исследования показывают, что в базисах, содержащих
конъюнкцию x1 & x2 при   (0,1/ 960] , любую функцию f можно реализовать такой программой с ненадежным оператором условной остановки, что
N (Pr f )  max{2  96 2 ,130 2  11, 4(  )} . В частности, если     0,16
или      , то N (Pr f )  2  96 2 . Ненадежность асимптотически оптимальных схем, например в базисе {x1 & x2 , x1} , асимптотически равна 5 при
 0.
Список литературы
1. Ч а ш к и н , А . В. О среднем времени вычисления значений булевых функций /
А. В. Чашкин // Дискретный анализ и исследование операций. – 1997. – Январь–
март. – Т. 4. – № 1. – С. 60–78.
2. А л е х и н а , М . А . О надежности схем в базисах, содержащих функции не более
чем трех переменных / М. А. Алехина, А. В. Васин // Ученые записки Казанского
гос. ун-та. – 2009. – Т. 151. – Кн. 2. – С. 25–35. – (Физико-математические науки).
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3. В а с и н , А . В. Об асимптотически оптимальных схемах в базисе {x1 & x2 , x1} /
А. В. Васин // Дискретный анализ и исследование операций. – Новосибирск :
Изд-во института математики. – 2009. – Т. 16. – № 6. – С. 12–22.
4. В а с и н , А . В. Об асимптотически оптимальных схемах в базисе {x1 & x2 , x1  x2 ,
x1} при инверсных неисправностях на выходах элементов / А. В. Васин // Материалы седьмой международной молодежной школы по дискретной математике и
ее приложениям (г. Москва, 18–23 мая 2009 г.). – М. : Изд-во мех.-мат. фак-та
МГУ им. М. В. Ломоносова, 2009. – Ч. 1. – С. 15–19.
Грабовская Светлана Михайловна
ассистент, кафедра дискретной
математики, Пензенский
государственный университет
Grabovskaya Svetlana Mikhaylovna
Assistant, sub-department of discrete
mathematics, Penza State University
E-mail: swetazin@mail.ru
УДК 519.718
Грабовская, С. М.
Синтез надежных неветвящихся программ с условной остановкой
в полном конечном базисе, содержащем x1 & x2 / C. М. Грабовская //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3 (15). – С. 43–54.
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.9
Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева
О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ДЛЯ РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ТМ-ВОЛН
В КРУГЛОМ НЕЛИНЕЙНОМ ВОЛНОВОДЕ
Аннотация. Изучается задача о распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Задача сводится к нелинейной задаче на собственные значения для нелинейной интегральной оператор-функции. Для решения используется метод сжимающих отображений. Представлены численные результаты расчетов.
Ключевые слова: нелинейная среда, распространение электромагнитных волн
в волноводе, задача на собственные значения, интегральные уравнения, численный метод.
Abstract. Problem of propagation of TM-polarized electromagnetic waves in nonlinear dielectric waveguide with circular cross-section is considered. Waveguide filled
nonlinear media with Kerr law. The problem is reduced to the nonlinear eigenvalue
problem for integral operator-function. Contraction type principle is used for solving the problem. Numerical results are presented.
Keywords: nonlinear media, propagation of electromagnetic waves in waveguides,
eigenvalue problems, integral equations, numerical methods.
Введение
Задачи распространения электромагнитных волн в различных средах
были и остаются актуальными в связи с их широким практическим применением. Необходимость теоретического исследования существования и свойств
собственных волн диктуется практической потребностью передачи энергии
поля на большие расстояния с минимальными потерями. Успехи в разработке
данного направления электродинамики привели к построению различных
классов волноведущих структур [1–4].
Постановка задачи
Рассмотрим задачу о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода. Пусть все трехмерное пространство R3 заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью
  01  const , где 0  0 – диэлектрическая проницаемость вакуума, а
1  1 – относительная диэлектрическая проницаемость среды. В эту среду
помещен цилиндрический диэлектрический волновод W  {( x, y, z ) :
x 2  y 2  R 2 } радиуса R однородного заполнения с образующей, параллельной оси Oz , и поперечным круговым сечением.
Будем предполагать гармоническую зависимость полей от времени
в виде [1].
Пусть диэлектрическая проницаемость  внутри волновода определяется по закону Керра:
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2
  ( 2  a E ) 0 ,
где a и  2 – вещественные положительные константы. Здесь  2 – постоянная составляющая проницаемости  ; a – коэффициент нелинейности. Среда
предполагается изотропной и немагнитной,   0 , где 0  0 – магнитная
проницаемость вакуума.
Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся вдоль
образующей волновода, т.е. собственные волны структуры. Электромагнитное поле собственной волны Е, Н удовлетворяет системе уравнений Максвелла [1]:
 rot H  iE,

 rot E  iH,
(1)
условиям непрерывности касательных составляющих поля H  и E при переходе через границу волновода и условиям экспоненциального затухания
поля на бесконечности.
Решение задачи будем искать в форме осесимметричных волн с зависимостью exp  i z  от продольной координаты, где  – вещественная постоянная распространения волны.
 0 , где   1 –
Предполагаем, что внутри и вне волновода   0 ,   
относительная
диэлектрическая
проницаемость.
Обозначим
также
k02  200 , где k0  0 – волновое число вакуума.
В цилиндрической системе координат (, , z ) с учетом ТМ-поляризации уравнения Максвелла можно привести к системе из двух уравнений:
ez
 2
2
  e  i    k0  e ,


i  1  e  1    ez   k 2  e .
         0 z
 
(2)
При этом h выражается через функции e и ez по формуле
h 
1 ez

e 
.
0
i0 
Сведение к нелинейной краевой задаче на собственные значения
для системы дифференциальных уравнений
Обозначим e (;  )  u1 (;  ), iez (;  )  u2 (;  ) .
Будем предполагать, что u1 (;  ), u2 (;  ) – вещественные функции.
Зависимость от  и (или)  будем опускать там, где это не приводит к неясности.
Обозначая k22  k0 2 2   2 , получим систему дифференциальных
уравнений внутри волновода:
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
k 2u  u   f ,
2
1
 2 1

1
1
2


   u1    u2   k0  2u2  f 2 ,



(3)
где производная означает дифференцирование по  ,
2
2
f1  k02 a u u1 , f 2  k02 a u u2 ,
2
u  u12  u22 , u  (u1 , u2 )T .
(4)
Вне волновода   10 . Тогда система дифференциальных уравнений
вне волновода преобразуется к виду
k 2u  u   0,
2
 1 1

1
2
 1

   u1    u2   k0 1u2  0,



(5)
где k12   2  k02 1 .
С учетом условий на бесконечности получим решение системы (5):
u2  E z  CK 0 (k1) , u1  E  

CK 0 (k1) ,
k1
где C  const – произвольная постоянная; K 0 ( z ) 
(6)
i (1)
H (iz ) – функция
2 0
Макдональда [5].
Условия сопряжения на границе раздела сред примут вид
[u2 ]  0 , [ u1 ]  0 .
(7)
Сформулируем теперь краевую задачу на собственные значения (задача Р). Требуется отыскать не равные одновременно тождественно нулю на
полубесконечном интервале   0 функции u1 (), u2 () класса
u1 , u2  C 2 (0, R )  C 2 ( R, )  C[0, R ]  C[ R, )
и соответствующие собственные значения  такие, что u1 (), u2 () удовлетворяют системе уравнений (3) на интервале (0, R ) , уравнениям (6) на интервале ( R, ) , условиям сопряжения (7) и условиям экспоненциального убывания функций u1 (), u2 () на бесконечности при    . Спектральным параметром задачи является вещественное число  .
Функция Грина
Рассмотрим систему нелинейных уравнений (3). Из первого уравнения
системы выражаем функцию u1
u1 
1
k2 2
( u2  f1 )
(8)
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
и подставляем ее во второе уравнение, которое и будем решать:
 1
1 1
  
 u2  f1     u2   k022u2  f 2 .
  k22
 
(9)
Оно приводится к дифференциальному уравнению второго порядка

k 2  
Lu2   u2   k22u2  2 
(f1 )  f 2 

k02  2  k22

(10)
с линейной частью Lu2   u2   k22u2 .
Уравнение (10) может быть переписано в виде
 u2   k22u2  F , 0    R ,
(11)

k2 2  
(f1 )  f 2  .


k02  2  k22

(12)
где
F () 
Построим функцию Грина для краевой задачи:
 LG  (  r ),
G
 0  ограничена, G  R  0,
(13)
где дифференциальный оператор определяется формулой
L
d2
d
2

d
 k2 2 .
d
(14)
Используя метод построения функции Грина, описанный в [6], получим


 2 J (k R )  J 0 (k2) N 0 (k2 r ) J 0 (k2 R )  J 0 (k2) J 0 (k2 r ) N 0 (k2 R )  ,
 0 2

  r  R,
G ( r , )  
(15)


 N (k ) J (k r ) J (k R)  J 0 (k2) J 0 (k2 r ) N0 (k2 R)  ,
 2 J 0 ( k2 R ) 0 2 0 2 0 2

r    R.

Здесь J 0 () – функция Бесселя нулевого порядка, N 0 () – функция
Неймана нулевого порядка. Функция Грина существует при таких значениях
параметров, что J 0 (k2 R )  0 .
Сведение краевой задачи к системе
нелинейных интегральных уравнений
Рассмотрим систему нелинейных уравнений (3). Используя вторую
формулу Грина, получаем представление решения внутри волновода при
r  (0, R) :
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
R

u2 (r )  G (r , ) F () d   Ru2 ( R  0)
0
G
(r , R) ;

(16)
R
f (r ) R
 
 2G
u1 (r ) 
G (r , ) F ()d   1 
u2 ( R  0)
(r , R) .
r
k22 r 0
k2 2
k2 2

(17)
Условия сопряжения на границе раздела сред примут вид
[u2 ]  0 ,  2 u1 r  R 0  1 u1 r  R 0  au1 u
2
r  R 0
0.
(18)
Выберем условие нормировки в виде C  1 , тогда
u2 ( R  0)  K 0 (k1R) ,
(19)
и получаем дисперсионное соотношение:
2
(  )   2u1 ( R  0)  au1 ( R  0) u( R  0)  1

K 0 (k1R )  0
k1
(20)
при условии, что функции u1 , u2 являются решением системы уравнений
R

f (r ) R
 
 2G
u1 (r ) 
G (r , ) F ()d   1 
K 0 (k1R )
(r , R ),
r

k22 r 0
k2 2
k2 2

R

G
u
(
r
)
G (r , ) F ()d   RK 0 (k1R)
(r , R).

 2


0

(21)

Преобразуем систему (21) к более удобному виду, не содержащему
производных под интегралом от неизвестных функций. После преобразований получим окончательный вид системы интегральных уравнений:
R 2
R

1
2
 G

G
u1 (r )  
f1 (r )  h1 ( r ),
f1d  
f 2 d  
2
2
2

k0  2 k2 0 r 
k0  2 0 r
k22

R
R

k2 2

G
u
(
r
)



f
d


Gf 2 d   h2 (r ),
 2
1
k02  2 0 
k02  2 0




(22)

где
h1 (r )  
J (k r )
 J1 (k2 r )
K 0 (k1R ) , h2 (r )  0 2 K 0 (k1R) .
k2 J 0 ( k2 R )
J 0 ( k2 R )
(23)
Для представления системы (22) в виде матричного оператора введем
матрицу ядер:
 q11Gr
2
K( r , )   K nm (r , ) n,m1   
 q21G
q12Gr 
,
q22G 
(24)
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где индексы у функции G обозначают частные производные, и матрицу коэффициентов:
q  1
q
Q   11 12  
 q21 q22   2
 (  / k2 ) 2

 

,
k22 
(25)
2
а также матричный линейный интегральный оператор    K nm  n,m1
с операторами K nm , связанный с системой (22):
R

g   (r , )g ()d  ,
(26)
0
T
где g   g1 , g 2  .
Тогда система интегральных уравнений может быть записана в операторном виде:
2
2
u  a ( u u)  a J( u u)  h ,
(27)
T
где h   h1 , h2  , а оператор J определяется формулой
k 2 1 0 
J 0 
.
k22  0 0 
(28)
Отметим, что операторы K, J являются линейными.
Введем также линейные операторы N:= a(K  J) и N 0 := K  J .
Будем рассматривать уравнение (27) в пространстве непрерывных
функций
C[0, R ]  C[0, R ]  C[0, R ]
с
нормой
2
2
2
u C  u1 C  u2 C ,
где
u C  max u ( x) .
x[0, R ]
Исследование ядер интегральных операторов
Для изучения интегрального оператора (26) рассмотрим свойства ядер
соответствующих интегральных операторов. Пусть   (0, R )  (0, R) . Используя свойства функций Бесселя и Неймана, а также вычисляя пределы
функции Грина и ее производных при r  0,   0 , получим справедливость
следующего утверждения.
Утверждение 1. Функции k11 (r , ) и k22 (r , ) непрерывны в квадрате
  [0, R ]  [0, R ] . Функция k12 ( r , ) ограничена в  и непрерывна в T 
и в T  \ {0} , функция k21 (r , ) ограничена в  и непрерывна в T  и в T  , где
T   {(r , )   ,   r}, T   {(r , )  ,   r} .
Под непрерывностью функции f (r , ) в T  (в T  ) понимается, что
для любой точки (r0 , 0 )  T
60


( (r0 , 0 )  T )
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
f (r , )  f (r0 , 0 ) (
lim
r r0 ,0

( r ,)T ,( r0 ,0 )T


( r ,)T ,( r0 ,0 )T
Под непрерывностью функции
f (r , )  f (r0 , 0 ) ).
lim
r r0 ,0

f (r , ) в T  \ {0} понимается, что
функция непрерывна во всех точках T  (в вышеуказанном смысле), за исключением точки r  0,   0 .
Перечисленные свойства ядер позволяют утверждать ограниченность
оператора K : C[0, R ]  C[0, R] . Очевидно, что оператор J : C[0, R]  C[0, R ]
также ограничен. Соответствующее утверждение с оценками норм операторов будет дано далее.
Оценки норм интегральных операторов
Оценим нормы интегральных операторов в C[0, R ]  C[0, R ]  C[0, R ] ,
которые потребуются в дальнейшем. Пусть матричный линейный интеграль2
ный оператор   K nm  m,n 1 задан формулой
R

Kφ  K( x, y )φ( y )dy
(29)
0
с ограниченными ядрами K nm ( x, y ) , обладающими свойствами, сформулированными в утверждении 1.
Тогда верно
Утверждение 2. Пусть интегральный оператор K : C[0, R ]  C[0, R] задан формулой (29) с ограниченными в квадрате [0, R]  [0, R ] ядрами
K nm ( x, y ) , заданными формулами (24) и (25). Тогда он ограничен и верна
оценка для его нормы
K CC  M ,
2
2


где M 2  2  max K1 j
 max K 2 j
.
C
C
C
C


j 1,2
 j 1,2

Итерационный метод решения системы интегральных уравнений
Приближенные решения u n (r )  (u1n (r ), u2n (r ))T , r  [0, R] , системы
интегральных уравнений (22) могут быть определены с помощью итерационного процесса метода сжимающих отображений
2
2
u n 1  a ( u n u n )  a J( u n u n )  h .
(30)
Докажем, что последовательность u1n (r ), u2n (r ) равномерно сходится
к решению системы уравнений (22) вследствие того, что правая часть системы уравнений (22) определяет сжимающий оператор. Ниже при записи норм
операторов не будем писать индекс, поскольку из контекста ясно о каком –
векторном или скалярном – пространстве идет речь.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Теорема 1. Пусть Br0  u : u  r0  – шар радиуса r0 с центром в нуле
и выполнены два условия:
q : 3ar02   J  1
(31)
ar03   J  h  r0 .
(32)
и
Тогда существует и единственно решение u  Br0 уравнения (27), и последовательность приближенных решений u n  Br0 уравнения (27), определяемых посредством итерационного алгоритма (30), сходится в норме пространства C[0, R ] к (единственному) точному решению u  Br0 уравнения
(27) при любом начальном приближении u0  Br0 со скоростью геометрической прогрессии с показателем q .
Доказательство. Рассмотрим операторное уравнение u  A(u) с нелинейным оператором
2
2
A(u)  a ( u u)  a J( u u)  h
(33)
в пространстве C[0, R ] . Пусть u, v  Br0 ; u  r0 , v  r0 , тогда
2
2
2
2
A(u)  A( v )  a  ( u u  v v )  J( u u  v v ) 
 3a   J r02 u  v .
(34)
Так как
2
2
A(u)  a ( u u)  a J( u u)  h  ar03   J  h ,
то при выполнении условия (32) оператор A отображает шар Br0 в себя. Из
оценок (31) и (36) следует, что оператор A является сжимающим в шаре Br0 .
Тогда все утверждения теоремы следуют из принципа сжимающих отображений [7]. Теорема доказана.
Разберем условие (32) более подробно. Рассмотрим уравнение
r0  N r03  h ,
где норма оператора N  a   J  0 .
При условии
0 h 
2
1
3 3 N
уравнение (35) имеет два неотрицательных корня: r и r*, r  r*,
62
(35)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика

3 3
h
 arccos 
2
1


r*  2
cos 
3 N
3





N 

  2  ;
3 



(36)

3 3
h
 arccos 
2
1


*
r  2
cos 
3N
3





N 

  2  .
3 



(37)
1
Если h  0, то r  0 и r  
При h 
N
.
2 1
1
имеем r*  r * 
.
3 3 N
3 N
Лемма 1. Если выполняется неравенство
0 h 
2 1
,
3 3 N
(38)
то уравнение (35) имеет два неотрицательных решения: r* и r * , r*  r * .
Теперь докажем, что если выполняется условие (38), то уравнение (27)
имеет единственное решение в шаре Br*  u : u  r* .
Теорема 2. Если a  A2 , где
A
2
3 h
1
(39)
3 N0
и
N 0 :   J ( 0) ,
то уравнение (27) имеет единственное решение в шаре Br*  u : u  r* , являющееся непрерывной функцией:
u  C  0, R  ,
u  r* .
Доказательство. Если u  Br* , то
2
2
A(u)  a ( u u)  a J( u u)  h  ar*3   J  h  r* .
Если u, v  Br* , то
2
2
2
2
A(u)  A( v)  a  ( u u  v v )  J( u u  v v)  3a   J r*2 u  v .
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Так как
a  A2 , то
q  3ar*2
h
удовлетворяет условию (38). Поэтому
r*2
 J 3 N
 1 . Следовательно, выполняются оба неравенства
(31) и (32).
Таким образом, A отображает Br* в себя и является сжимающим опе-
ратором на Br* . Поэтому уравнение (27) имеет единственное решение в Br* .
Теорема доказана.
Отметим, что A  0 и не зависит от a .
Теорема о непрерывной зависимости решения
от спектрального параметра
В дальнейшем нам понадобится утверждение о зависимости решений
интегрального уравнения (27) от параметра. Перепишем уравнение (27)
в форме
2
u  N( u u)  h ,
(40)
N : a (  J)
(41)
N(r ,) : a( (r ,)  J (r ,))
(42)
где оператор
с матричными ядрами
определен формулами (22)–(28).
Теорема 3. Пусть ядра матричного оператора N  a(K  J) и правая
часть h уравнения (27) непрерывно зависят от параметра   0 ,
N(  )  C(0 ) , h(  )  C(0 ) на некотором отрезке 0 вещественной числовой оси. Пусть также
h(  ) 
2
1
.
3 3 N(  )
(43)
Тогда решения u(  ) уравнения (27) при   0 существуют, единственны и непрерывно зависят от параметра  , u(  )  C(0 ) .
Доказательство. Рассмотрим уравнение (27). Существование и единственность решений u(  ) при условиях теоремы следует из теоремы 2. Докажем непрерывную зависимость этих решений от спектрального параметра  .
Нетрудно видеть из формулы (36), что r* (  ) непрерывно зависит от 
на отрезке 0 . Пусть r**  max 0 r* (  ) и максимум достигается в точке * ,
r* ( * )  r** . Выберем     0 . Тогда r* (  )  r** и r* (    )  r** .
Далее, пусть Q0  max 0 (3r*2 (  ) N(  ) ) и максимум достигается
в точке   0 , Q0  3r*2 (  ) N(  ) . Тогда Q0  1 в силу условия (43) теоремы.
Предположим сначала, что
u(  )  u(    ) .
64
(44)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
Тогда имеют место следующие оценки:
R
u(r ,    )  u(r ,  ) 
 N(  , r , ) u(,   )
2
u(,    )d  
0
R
2

 N(  , r , ) u(,  ) u(,  )d   h( r ,    )  h( r ,  ) 
0
R

 (N(  , r , )  N(, r , )) u(,   )
2
u(,    )d  
0
R
2

2
 N( , r , )( u(,    ) u(,    )  u(,  ) u(,  ))d   h(r ,    )  h(r ,  ) ,
0
поэтому (см. доказательство теоремы 2)
u(    )  u(  )  r*3 (  ) N(    )  N(  ) 
 u(    )  u(  ) 3r*2 (  ) N(  )  h(    )  h(  ) .
Здесь было использовано условие (44).
Отсюда получаем, что
u(    )  u(  ) 
1
1  3r*2 (  )
N(  )
(r*3 (  ) N(    )  N(  )  h(    )  h(  ) )
и
u(    )  u(  ) 
1
3
(r**
N(    )  N(  )  h(    )  h(  ) ) , (45)
1  Q0
где Q0 и r** не зависят от  .
Пусть теперь u(  )  u(    ) . Тогда все предыдущие оценки остаются в силе, если заменить аргументы  на    , а    на  . Таким образом, оценка (45) также остается в силе, откуда следует утверждение теоремы. Теорема доказана.
Теоремы о существовании и единственности решений
дисперсионного уравнения и задачи на собственные значения
В этом параграфе будет доказано существование решений дисперсионного уравнения (20). Соберем все слагаемые в (20), не содержащие параметр нелинейности a , в левой части уравнения, а остальные слагаемые –
в правой части, получим
2

k2
J1 (k2 R )

K 0 (k1R )  1 K 0 (k1R )  aF (  ) ,
J 0 ( k2 R )
k1
(46)
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где
R

 
1
2
F (  )   2
J1 (k2) J1 ( k2 R) N0 (k2 R)   u u1d  
 J1 (k2) N1 ( k2 R ) 
J 0 ( k2 R )
2 

0

R



1
2
J 0 ( k 2 ) 
J1 (k2 R ) N 0 (k2 R )  N1 ( k2 R )   u u2 d  
k2
2
 J 0 ( k2 R )


0

2
2
 2 k02 u( R  0) u1 ( R  0)  u( R  0) u1 ( R  0) .
2
k2
(47)
Умножим на J 0 (k2 R )k1k2 /  левую и правую части уравнения, получим
 2 k1J1 (k1R ) K 0 (k1R )  1k2 J 0 (k2 R ) K1 (k1R )  aF (  ) ,
(48)
J (k R )k k F (  )
.
F ()  0 2 1 2

(49)
где
Отметим, что функция (49) неявно зависит от параметра нелинейности a .
Однако эту функцию можно будет оценить константой (в некотором шаре),
не зависящей от a , что позволит сделать правую часть (48) достаточно малой, выбрав достаточно малое a .
Рассмотрим левую часть уравнения (48). Она соответствует дисперсионному уравнению для линейной среды внутри волновода, т.е. при
a  0 [3, 4]:
g (  )  2 k1J1 (k1R) K 0 (k1R)  1k2 J 0 (k2 R ) K1 (k1R )  0 .
(50)
j2
j2
Обозначим 1m : k02 2  1m ,  2m : k02  2  0m , где j0m – m-й полоR2
R2
жительный корень уравнения J 0 ( x)  0 , а j1m – m-й положительный корень
уравнения J1 ( x)  0 ; m  1, 2,... Тогда
sign g ( 1m )  ( 1) m , sign g (  2m )  (1) m1 .
(51)
Таким образом, на интервале ( 1i ,  2i ) есть по крайней мере один
корень  0i уравнения g (  )  0 , если k021  1i ,  2i  k02  2 , т.е. g (  0i )  0 при
 0i  ( 1i ,  2i ) .
Точки
 2i являются полюсами функции Грина (15). Поэтому выбе-
рем такие (достаточно малые) числа i  0 , чтобы выполнялись условия:
sign g (  2i  i )  (1)i 1 ,
 2 i  i   0 i .
(52)
Образуем отрезки i : [ 1i ,  2i  i ] . При условиях (52) функция
g (  ) имеет разные знаки на разных концах i и обращается в ноль в точке
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
 0i  ( 1i ,  2i  i ) . Пусть 1m  k021 для некоторого m  1 . Обозначим
 :
m
 i . Тогда верна
i 1
Теорема 4. Пусть числа 1 ,  2 , a удовлетворяют условиям  2  1  0
и 0  a  a0 , где



min
g ( li ) 


2
1l  2,1i  m
a0  min  min A2 (  ),
 , A(  )  3
3
h(  )
 
 
2

0,3
R
max
r
(
)


*


 
 

1
3 N0 ( )
, (53)
и выполняется условие
1m  k021
(54)
для определенного m  1 . Тогда существует по крайней мере m значений
 i , i  1,..., m , 1i   i   2i  i таких, что задача P имеет ненулевое решение.
Доказательство. В силу выбора чисел i  0 ( i  1 ) (см. условия (52)),
функция Грина существует для всех    . Из ядер и правых частей матричного интегрального оператора следует, что A  A(  ) – непрерывная функция
на отрезке  . Пусть A1  min A(  ) и выберем a  A12 . В соответствии с тео
ремой 2 существует единственное решение u  u (  ) системы уравнений (22)
для каждого   . Это решение является непрерывной функцией, причем
u  r*  r* (  ) . Положим r00  max r* (  ) . Оценивая функцию (49), получаем

3
F (  , R; u )  Cr00 .
Функция g (  ) непрерывна, и уравнение g (  )  0 имеет корень  0i
внутри отрезка i ,
1i   0i   2i  i . Обозначим M1  min | g ( 1i ) |,
1i  m
M 2  min | g (  2i  i ) | . Тогда число
1i  m
M  min{M1 , M 2 } положительно
( M  0 ) и не зависит от параметра a .
M
Если a 
, то
3
Cr00
 g(


1i )  aF ( 1i ) g (  2i  i )  aF (  2i  i )  0 .
Так как g (  )  aF (  , R; u ) также непрерывная функция, то уравнение
g (  )  aF (  , R; u )  0 имеет корень  i внутри i ,
можем выбрать
1i   i   2i  i . Мы
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

M 
a0  min  A12 ,
.
3 
Cr00


Теорема доказана.
Из теоремы 4 следует, что при условиях, сформулированных выше,
существуют осесимметричные распространяющиеся ТМ-поляризованные
волны без затухания в цилиндрических диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных немагнитной, изотропной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра.
Итерационный метод решения системы
интегральных уравнений и оценка скорости сходимости
Известна оценка для скорости сходимости итерационного алгоритма
(30) [7]. В частности, если выбрать в качестве начального приближения
u0 (r )  (0,0)T , то получаем следующую оценку скорости сходимости итерационного процесса.
Утверждение 3. Пусть u0  (0,0)T . Последовательность приближенных решений u n  (u1n , u2n )T системы уравнений (22), определяемых посредством итерационного алгоритма (30), существует и сходится в норме пространства C[0, R ] к (единственному) точному решению u системы уравнений (22) и верна оценка скорости сходимости:
u  un 
qn
h ,n   ,
1 q
(55)
где q : 3ar*2   J  1 – коэффициент сжатия отображения.
Теорема о сходимости итерационного метода
Теперь сформулируем итерационный метод нахождения приближенных собственных значений краевой задачи P и докажем теоремы о существовании и сходимости приближенных собственных значений к точным.
Теорема 5. Пусть существуют 1 ,  2 , a , удовлетворяющие условиям
 2  1  0,0  a  a0 , где a0 определяется соотношением (53), и выполняется условие (54) для определенного m  1 . Тогда для каждого n  0 существует по крайней мере m значений  i( n) , i  1,..., m , удовлетворяющих неравенствам
1i   i( n)   2i  i и являющихся корнями уравнения
k1( n)  2 K1 (k1( n ) R ) J 0 (k2( n) R)  k2( n) 1K0 (k1( n) R ) J1 ( k2( n) R)  aF (  ( n) ),
(56)
где k1( n)  (  ( n) )2  k02 1 , k2( n)  k02  2  (  ( n ) ) 2 , а u n определяется соотношением (30).
Доказательство. Для каждого n  0 функции u n непрерывны согласно
соотношению (30). Таким образом, для доказательства достаточно повторить
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
доказательство теоремы 4, если заменить u на u n и проверить условия
u n  r*  r* (  ) . Это неравенство выполняется, потому что все итерации u n
лежат внутри шара Br* [6], если начальное приближение лежит в шаре Br*
(что имеет место).
Следующая теорема утверждает сходимость приближенных собственных значений к точным.
Теорема 6. Пусть существуют 1 ,  2 , a , удовлетворяющие условиям
 2  1  0,0  a  a0 , где a0 определяется соотношением (53), и выполняется условие (54) для определенного m  1 . Пусть  i и  i( n) – соответственно
точное и приближенное собственные значения проблемы P на отрезке i
(  i и  i( n) – корни точного и приближенного дисперсионных уравнений соответственно i  m, m  1 ). Тогда  i( n)   i  0 при n   .
Доказательство. Рассмотрим функции
 (  )  g (  )  aF ( ; u),  n (  )  g (  )  aF ( ; u n ) .
(57)
Тогда, используя формулы (47)–(49), находим, что
qn
 (  )   n (  )  a F ( ; u)  F ( ; u n )  aC u  u n  aC
h,
1 q
где константа C не зависит от n , а все другие величины определены выше.
Имеем
max  (  )   n (  )  a

Qn
C* ,
1 Q
(58)
где C*  max{ h(  ) C (  )} , Q  max(3r*2 (  ) N(  ) ) и Q  1 .


При выполнении условий теорем 4 и 5 существуют решения  i и  i ( n)
точного и приближенного дисперсионного уравнений  (  )  0 и  n (  )  0
( n  0 ). Также при доказательстве теорем 4 и 5 было установлено, что непрерывные функции  (  ),  n (  ) меняют свой знак на концах отрезка i . Тогда
доказательство теоремы следует из оценки (58).
Список литературы
1. E l e o n s k i i , V . M . Cylindrical Nonlinear Waveguides / V. M. Eleonskii, L. G. Oganes’yants, V. P. Silin // Soviet physics JETP. – 1972. – V. 35. – № 1. – P 44–47.
2. А х м е ди е в , Н . Н . Солитоны / Н. Н. Ахмедиев, А. Анкевич. – М. :
ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.
3. S n y d e r , A . Optical Waveguide Theory / A. Snyder, J. Love // Chapman and Hall. –
London, 1983.
4. Л е в и н , Л. Теория волноводов. Методы решения волноводных задач / Л. Левин. –
М. : Радио и связь, 1981.
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
5. Г р а д ш т е й н , И . С . Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений /
И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. – 4-е изд. – М. : Физматгиз, 1963.
6. В л а д и м и р о в, В. С . Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. –
М. : Наука, 1981.
Хорошева Эльвира Александровна
ассистент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Chorosheva Elvira Alexandrovna
Assistant, sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
Smirnov Yury Gennadyevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
E-mail: mmm@pnzgu.ru
УДК 517.9
Смирнов, Ю. Г.
О разрешимости нелинейной краевой задачи на собственные значения для распространяющихся ТМ-волн в круглом нелинейном волноводе / Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3 (15). –
С. 55–70.
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.958; 517.927.4
Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТМ-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ СЛОЕ
ИЗ НЕЛИНЕЙНОГО МЕТАМАТЕРИАЛА1
Аннотация. Изучается распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн в диэлектрическом слое из нелинейного метаматериала. Слой расположен между двумя изотропными немагнитными полупространствами с постоянными электродинамическими характеристиками. Получено дисперсионное уравнение для постоянных распространения ТМ-поляризованных электромагнитных волн в слое.
Ключевые слова: нелинейная краевая задача на собственные значения для системы уравнений Максвелла, дисперсионное уравнение, нелинейный слой, нелинейный метаматериал.
Abstract. The electromagnetic problem of propagation of TM-waves in a dielectric
layer filled nonlinear metamaterial is considered. The layer is between two isotropic,
nonmagnetic half-spaces with constant electrodynamical parameters. Dispersion
equation for eigenvalues (propagation’s constants) of the problem is obtained.
Keywords: nonlinear boundary eigenvalue problem for Maxwell equations, dispersion equation, nonlinear slab (film), nonlinear metamaterial.
Метаматериалы исследуются очень активно уже несколько лет. По этой
тематике можно найти множество работ как российских ученых (см., например, [1–4] и библиографию там), так и их зарубежных коллег [5–7]. Однако,
несмотря на большое количество работ по исследованию метаматериалов, эти
работы касаются только линейных метаматериалов. В настоящей работе мы
рассматриваем нелинейный метаматериал. А именно рассматривается распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном диэлектрическом слое. Слой может быть заполнен метаматериалом.
Данная работа продолжает исследования авторов [8–11] по задачам
распространения электромагнитных волн в нелинейных волноведущих структурах. Полученное в работе дисперсионное уравнение справедливо для произвольных действительных значений электродинамических параметров и коэффициента нелинейности. Полученное уравнение позволяет исследовать
распространение электромагнитных волн в нелинейных метаматериалах. Ранее полученное дисперсионное уравнение в силу некоторых ограничений, которые будут обсуждаться позднее, не позволяло изучать метаматериалы. Вопросы распространения электромагнитных волн в нелинейных волноведущих
структурах уже долгое время привлекают внимание исследователей (обзор и
библиографию см., например, в работах [8–13]).
1. Постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный,
изотропный, немагнитный диэлектрический слой с нелинейностью типа Кер1
Работа выполнена при поддержке гранта Минобрнауки РФ по ФЦП «Развитие потенциала высшей школы» № 2.1.1/1647.
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ра, расположенный между двумя полупространствами x  0 и x  h в декартовой системе координат Oxyz . Полупространства заполнены изотропной
немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую
проницаемость 1 и 3 соответственно ( 1 и 3 – произвольные действительные числа). Считаем, что всюду   0 – магнитная проницаемость вакуума.
Электрическое поле гармонически зависит от времени t:
E  x, y , z , t   E  x, y , z  cos t  E  x, y, z  sin t ;
H  x, y, z , t   H   x, y, z  cos t  H   x, y, z  sin t ,
удовлетворяет уравнениям Максвелла
rot H  iE, rot E  iH,
(1)
где
E  x, y, z   E  x, y , z   iE  x, y, z  , H  x, y, z   H   x, y, z   iH   x, y, z 
есть комплексные амплитуды [14].
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается законом
2
Керра    2  a E , где a и  2 – произвольные действительные числа. Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве. Временной множитель везде ниже опущен.
Электромагнитное поле E , H удовлетворяет уравнениям Максвелла
(1), условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на
границе раздела сред x  0 , x  h и условию излучения на бесконечности:
электромагнитное поле экспоненциально затухает при x   в областях
x0 и xh.
Рассмотрим
ТМ-поляризованные
волны
E   E x , 0, E z  ,


H  0, H y , 0 . Из системы (1) получаем, что
E x
E z
0 и
 0 , следоваy
y
тельно, E z  E z  x, z  и E x  E x  x, z  не зависят от y. Поскольку H y выра

жается через Ex и Ez , то H y также не зависит от y. Обозначая
 ... и,
x
предполагая, что компоненты поля гармонически зависят от z:
H y  x, z   H y  x  eiz , E x  x, z   E x  x  eiz , E z  x, z   E z  x  eiz , получаем
систему уравнений
i E x  x   E z  x   iH y  x  ,

 H y  x   iE z  x  ,

i H y  x   iE x  x  ,
из которой следует, что
72
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
H y  x 
1
 iEx  x   Ez  x   ,
i
(3)
здесь  – неизвестный спектральный параметр – постоянная распространения
электромагнитной волны.
Дифференцируя выражение (3) и используя второе и третье уравнения
системы (2), получим
  iE x   E  x  2 E x ,
  x  
z 
z 

  2  iE x  x    E z  x   2   iE x  x   .
(4)
Введем обозначения k 2  20 с   0 и выполним нормировку
j
d
d

 k ,   ,  j 
(j = 1, 2, 3),
в соответствии с формулами x  kx ,
dx
dx
0
k
a
. Переобозначаем E z  Z  x  , iE x  X  x  и, опуская значок тильды,
a 
0
систему (4) приведем к виду
 Z   X   Z ,

2
Z    X  X .
(5)
Будем искать действительные решения X  x  , Z  x  для системы (5), полагая  действительным (так что E
2
не зависит от z), где
1 , x  0,

    2  a X 2  Z 2 , 0  x  h,

3 , x  h.


(6)
Также будем полагать, что функции X  x  , Z  x  дифференцируемы
в слое так, что
X  x   C  ; 0  C  0; h    h;    C1  ; 0  C1  0; h   C1  h;   ;
Z  x   C  ;     C1  ; 0  C1  0; h   C1  h;   
C 2  ; 0   C 2  0; h   C 2  h;    .
Такие условия гладкости следуют из условий непрерывности касательных составляющих поля на границах раздела сред.
Будем искать действительные γ.
2. Решение системы дифференциальных уравнений
Для   1 в полупространстве x  0 получаем общее решение:
X  x   A exp  x  2  1  ,


73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 2  1
Z  x 

A exp  x  2  1  ,


(7)
где принято во внимание условие на бесконечности.
Для   3 в полупространстве x  h имеем
X  x   B exp    x  h   2  3  ;


 2  3
Z  x  

B exp    x  h   2  3 


(8)
в соответствии с условием на бесконечности. В решениях (7) и (8) константы
A и B будут определяться граничными условиями.
Внутри слоя 0  x  h система (5) принимает вид


 d 2Z
dX
 2  a X 2  Z 2 Z ,
 2  
 dx
dx

  dZ  X  1   a X 2  Z 2 X .
2
 dx



(9)


Систему (9) можно привести к виду






2a  2   2  a X 2  Z 2 X 2   2  2  a X 2  Z 2
 dX
 dx 
  2  3aX 2  aZ 2

 dZ
1

  2   2  a X 2  Z 2 X .

 dx





 Z ,
(10)
Из системы (10) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:

2
  2  3aX  aZ
2



2  a X 2  Z 2
dX
Z
2
 2aXZ  
.
2
2
2 X
dZ
2    a X  Z

(11)

Уравнение (11) является уравнением в полных дифференциалах, его
решение имеет вид
aZ 2   2 


 6C1  3 2  2  a X 2  Z 2


2
2 2  a X  Z
2

2

   2   2  a  X
2

 2 2  a X 2  Z 2
2
Z
2


3
.
(12)
3. Граничные условия и краевая задача
Из непрерывности касательных составляющих полей E и H получаем
h
0
Z  h   E z  h  0   E z  ; Z  0   E z  0  0   E z  ;
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
h
0
X  h   Z   h   iH y  h  0   H y  ; X  0   Z   0   iH y  0   H y  , (13)
h
где константа E z  считается известной, и тогда
h
h
H y    E z 
3
 2  3
1
0
0
, H y   E z 
 2  1
.
(14)
Условия сопряжения для компонент поля E дают
X x0  0 , X xh  0 ,  Z x0  0 ,  Z xh  0 ,
(15)
 lim f  x   lim f  x  обозначает скачок функции на
где  f  x  
x  x0 x x 0
x x0  0
0
границе раздела сред.
Считаем функции X  x  , Z  x  также удовлетворяющими условию
1
1
X  x   O   и Z  x   O   при x   .
 x
 x
 
 
Пусть
0 
 d dx
D

d dx 
 0
и
(16)
 X  x
F  X  x  , Z  x   

 Z  x 
и
 G F,  
G F,    1
 , где X  x  и Z  x  являются искомыми функциями, а
 G2  F ,   
G1 и G2 являются правыми частями уравнений системы (10). Число  является спектральным параметром. Также будем рассматривать вектор-столбец
 X  x  
N  x  
 . Перепишем задачу, используя введенные обозначения.
 Z  x 
 X 
Для полупространства x  0 ,   1 , N   1  получаем
 Z 
 0
DF  
 2  
1

2 
F  0.
0 
(17)


   a X 2  Z2
2
Внутри слоя 0  x  h ,    2  a E , N   2

Z

система принимает вид
L  F ,    DF  G  F ,    0 .
 X  ,


и
(18)
 X 
Для полупространства x  h ,   3 , N   3  получаем
 Z 
 0
DF  
 2  
3

2 
F  0.
0 
(19)
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Условия сопряжения (15) приводят к условиям
 N  x  
 0 ,  N  x  
 0,
x 0
xh
(20)
что для вектора обозначает скачок каждой компоненты на границе раздела
сред.
Сформулируем краевую задачу (задачу сопряжения). Требуется найти
ненулевой вектор F и соответствующие собственные значения  такие, что
F удовлетворяет уравнениям (17)–(19), условиям сопряжения (20) и компоненты вектора F удовлетворяют условию (16).
Определение 1. Число    0 , при котором существует ненулевое решение F задачи (17)–(19) при условиях (16) и (20), будем называть собственным значением задачи. Решение F , которое соответствует собственному
значению, будем называть собственным вектором задачи, а компоненты
X  x  и Z  x  вектора F – собственными функциями.
Замечание 1. Определение 1 является неклассическим аналогом известного определения характеристического числа линейной оператор-функции,
нелинейно зависящей от спектрального параметра [15]. Введенное определение 1 является, с одной стороны, распространением классического определения собственного значения на случай нелинейной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра, с другой стороны, соответствует физической природе задачи.
4. Дисперсионное уравнение
Введем новые переменные:
 x 

2  a  X  x     Z  x  
2
2
 ,  x    X  x    x  .
Z  x
2
(21)
2
4 2
 2     0 
2      0 
Обозначим 0 
. Тогда X 
, Z 
.
a 2   2 2
a 2   2 2
2
Система (10) и уравнение (12) в этих переменных примут вид
2
2
d
 2     0   2   
2
  2
,
 dx
 2   2 2  22    0 


 2 2  2    1
d 
;
 dx


2
 


 2 2 2  C1

C1  3  2  2  2    0
2
3
.
(22)
(23)
Уравнение (23) – алгебраическое уравнение четвертой степени относительно τ. Его решение      можно выписать явно по формулам Кардано –
Феррари [16].
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
Отметим, что первый интеграл (12) (или (23) в новых переменных) есть
закон сохранения.
Замечание 2. Если рассматривать первое уравнение системы (22) совместно с первым интегралом, то это уравнение можно проинтегрировать, и
это приведет к так называемым гиперэллиптическим интегралам (это один из
простых примеров абелевых интегралов). Если расширить область определения независимого переменного x на всю комплексную плоскость, то можно
рассматривать функции, обратные к этим интегралам, которые и будут решениями системы (22). Это гиперэллиптические функции, принадлежащие классу абелевых функций, которые являются мероморфными периодическими
функциями. А поскольку функция  выражается через  алгебраически, то
она также является мероморфной периодической функцией [17, 18].
Перейдем к выводу дисперсионного уравнения и необходимых для этого значений   h  ,   0  и   h  .
В соответствии с (6) и (9) в слое
 Z   x   X  x  



1
2  a X 2  x   Z 2  x  X  x  .

(24)
Из (21), (23) и из (13), (24) получаем
X 2 h
 
h
E 
z
2

2  h   C1
C1  32  h   23  h   2  h   2    h   0
;
h
2
H y 
 2
1
h  
h


 2  a  X  h   Ez
  X  h   H y , где X  h  
 
  h 


 
(25)
(26)
h
и H y  определяется по формуле (14).
Из (26) получаем для X  h 
X 3 h 
 
h
 2  a E z 
2
a
Запишем пока формально   h  
X h  
X  h 
h
H y 
X  h 
h
H y 
a
0.
(27)
. Используя (14), найдем
3
E z 
.
  h   2  
3
h
(28)
Из уравнений (25) и (28) имеем
C1  
2
h 
232   h   2    h      h   0 


32   2  2  3 2  h 
.
(29)
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Известно, что составляющие электромагнитного поля X  x  и Z  x 
непрерывны на границе раздела сред. Тогда функция   x  также непрерывна
на границе раздела сред в точках x таких, что Z  x   0 . Тогда, используя (7)
и (8), имеем
1
 0 
 2  1
Обозначим f  f   
3
 0 ;  h   

   2    1
2 2
 2  3
0.
(30)
(ср. с правой частью второго
уравнения в (22)),      выражается из уравнения (23).
Тогда можно проинтегрировать второе уравнение системы (22). Но мы
не можем получить решение на всем интервале, поскольку функция   x 
может обращаться в бесконечность в некоторых точках интервала  0, h  . Из
замечания 2 ясно, что функция   x  является мероморфной. Поэтому точки
разрыва могут быть только второго рода.
Пусть функция   x  на интервале  0, h  имеет несколько точек
x0 , x1 , ..., xN , в которых она обращается в бесконечность.
Ниже будет доказано, что число таких точек конечно для любого h.
Будем искать решения на каждом отрезке  0, x0  ,  x0 , x1  , ...,  xN , h  :
 x0 0 


fd   x  c0 , 0  x  x0 ;
 x 
 x 

 xi  0 
fd   x  ci 1 , xi  x  xi 1 , где i  0, N  1 ;
 x 

 xN  0 
fd   x  cN 1 , xN  x  h .
(31)
Из уравнений (31), подставляя x  0 , x  xi 1 , x  xN в первое, второе
и третье уравнения (31), найдем необходимые константы c1 , c2 , ..., cN 1 :
 x0 0 
c0  

fd  ;
 0 
 xi 1 0 
ci 1 
78

 xi  0 
fd   xi 1 , где i  0, N  1 ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
 h 
cN 1 

fd   h .
(32)
 xN  0 
С учетом (32) уравнения (31) примут вид
 x0 0 

 x0 0 

fd    x 
 x 
 xi 1 0 
 x 

 0 
fd  , 0  x  x0 ;
fd   x 
 xi  0 

 xi  0 
fd   xi 1 , xi  x  xi 1 , где i  0, N  1 ;
 x 

 h 
fd   x 
 xN  0 

 xN  0 
fd   h , xN  x  h .
(33)
Из формул (33) получаем, что
 xi 1 0 
xi 1  xi 

fd  , где i  0, N  1 .
(34)
 xi  0 
Поскольку 0  xi 1  xi  h   , то отсюда следует, что при наших
предположениях (относительно наличия особых точек) интеграл справа схо xi 1 0 

дится и
fd   0 . Таким же образом из первого и последнего уравне-
 xi  0 
ний (33) получаем
 x0 0 
x0 

 0 
 x0 0 
fd  , так как 0  x0  h , то 0 

 0 
 x0 0 
 h 
h  xN 

 xN  0 
fd   h   ;
fd  , так как 0  h  xN  h , то 0 

fd   h   .
 0 
Из этих рассуждений следует, что функция   x  имеет конечное число
точек разрыва, и функция f   не имеет неинтегрируемых особенностей при
  ,   .
Теперь, полагая в уравнениях (33) x таковым (т.е. подставляя x  x0 ,
x  xi , x  xN в первое, второе и третье уравнения (33)), чтобы все интегралы
слева обратились в нуль, сложим все уравнения (33), получим
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 x0 0 
0   x0 

 x1 0 
fd   x0 
 0 

 x0  0 
 xN 0 
...  xN 1 
fd   x1  ...
 h 

 xN 1  0 
fd   xN  xN 

fd   h .
(35)
 xN  0 
Из (35) получаем
 x0 0 

 h 
fd  

fd  
 xN  0 
 0 
N 1  xi 1 0 


fd   h .
(36)
i 0  xi  0 
Из формулы (34) следует, что
  xi  0    и   xi  0     , где i  0, N ,
причем ясно, что бесконечности должны выбираться различных знаков.
 xN 0 
 x1 0 
Таким образом, получаем, что

fd   ... 
 x0  0 

fd   T и, зна-
 xN 1  0 
чит, x1  x0  ...  xN  xN 1 .
Теперь уравнение (36) можно переписать так:
 x0 0 

 0 
 h 
fd  

 0 
fd   NT  h или 
 xN  0 

 h 
fd    N  1 T  h ,
(37)
где   0  ,   h  определяются формулами (30), N  0 – целое число.
Формула (37) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого h.
Отметим, что когда N  0 , то возникает несколько уравнений при различных
значениях N . Необходимо решать относительно  каждое из получающихся
уравнений.
Из замечания 2 и вывода дисперсионного уравнения (37) следует, что
точки разрыва xi , i  0, N , являются полюсами функции  . Интеграл, стоящий в уравнении (37), является более общим абелевым интегралом
[17, 18].

Замечание 3. Интегралы

A
A
fd  и

fd  , где A  0 – постоянная, схо-

дятся в силу того, что функцию f при достаточно больших  можно мажоM
, где M  max   x  , а m  min   x   1 . То
рировать функцией
x 0, h 
x 0, h 
 m  1 2
что функция   x  имеет конечные минимум и максимум, ясно из ограниченности функций X  x  и Z  x  .
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
Замечание 4. Рассмотрим систему (22). Ранее, в работах [8–10], при условии M , где


M : a  0, 1  0 , 3  0 ,  2  max  1 , 3  , max  1 , 3    2   2 ,
(38)
из системы (22) было получено дисперсионное уравнение для постоянных
распространения. Использование условия M приводит к тому, что правая
часть второго уравнения (22) положительна, следовательно, функция   x  –
возрастающая при x   0, h  . Поскольку   0   0 ,   h   0 , то  необходимо
имеет точку разрыва. Предполагая, что на интервале  0, h  содержится не-
сколько  N  1 точек разрыва x0 , ..., xN , мы получаем дисперсионное уравнение, которое имеет такой же вид, как (37).
При выводе дисперсионного уравнения (37) мы попутно показали, что
интеграл



d 
   2    1
2 2
сходится (где      находится из первого интеграла). Однако подынтегральная функция может иметь особенности на промежутке интегрирования.
Знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль, если
 2 2  2    1  0 . Пусть   * – решение последнего уравнения. Тогда
  тоже постоянная. Подставляя * ,
поскольку * – постоянная, то *   *
* в (22) получаем систему уравнений

 2     0   2   
2
2
 0,

 2   2 2  22    0 

  2 2  2    1

 0.




(39)
Решения системы (39) называются стационарными точками системы
(22) (см., например, [19]).
Имеем четыре пары решений
 , 
 0 ,   ,  2,   . Пусть пока  *    * 
2
2
системы (39):
  ,0 ,  0,   ,
 0 . Далее получаем, что при
    0 и   0 второе уравнение не удовлетворяется; пара   0 ,
    0 также не удовлетворяет второму уравнению; пара   0 и   
2
 2 02
; пара   2 ,    дает   4 2 . Поскольку мы
1  0
ищем действительные  и действительные  , то последняя точка также не
удовлетворяет второму уравнению.
дает
 

2

 
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 
Таким образом, только случай   0 , 
2

тельного анализа. Из первого условия следует, что

 2 02
требует более тща1  0

2  a X 2  Z 2


2
  2
или
2
a X 2  Z 2  0 . Отсюда следует, что либо a  0 (известный линейный случай [20, 21]), либо X  0 , Z  0 (тривиальное решение, что не представляет
интереса).
Остается только случай *  0 , *  0 . Замена переменных (21) невозможна в этом случае. Рассмотрим системы (10) в переменных X и Z . Из то-


го, что   0 , следует, что  2  a X 2  Z 2  0 . Обратимся к первому интегралу в форме (12). Из него (после использования полученного соотношения)
получаем  6C1  0 . Тогда, либо C1  0 , либо   0 . Но C1 находится из граничных условий и лишь в исключительных случаях, быть может, принимает


значение 0. Этот случай легко исследовать. При условии  2  a X 2  Z 2  0
из формул (15) для компоненты X получается в этом случае 1 X  0  0   0 ,
3 X  h  0   0 . Из этого и формул (7) и (8) следует, что A  0 , B  0 . Иными
словами, в этом случае у нас получается тривиальное решение X  0 , Z  0 .
В случае   0 точно так же получаем, что A  0 , B  0 . Таким образом, получаем, что C1  0 и   0 , и этот случай не реализуется.
Замечание 5. Возможно, что функция     x  в каких-то точках x  x*
принимает значения такие, что правая часть второго уравнения системы (22)
 2 2
обращается в нуль в этих точках, т.е. 2 
. Подставим это выражение в
1 


первый интеграл (23), мы получаем    2  2  20   C1  0 , где C1 определяется выражением (29). Ранее мы разобрали невозможность случая   2 .
 
Таким образом, лишь в точках x  x таких, что  x  0  02  C1 ,   1 и
02  C1  0 правая часть второго уравнения системы (22) обращается в нуль.
Заметим, что мы не утверждаем существование таких точек x  x . Однако,
даже если такие точки существуют, то они, как мы доказали при выводе дисперсионного уравнения, не являются неинтегрируемыми особенностями.
5. Теоремы об эквивалентности
Ранее при условии M (38) в работе [8] была доказана теорема об эквивалентности решений краевой задачи на собственные значения (17)–(19) и
решений дисперсионного уравнения (37). Другими словами, множество решений краевой задачи на собственные значения совпадало с множеством решений дисперсионного уравнения. Здесь мы можем доказать лишь ослабленный вариант этой теоремы.
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
Как видно из формулы (27), при произвольных знаках  2 и a уравнение (27) может иметь один или три действительных корня. Если оно имеет
один действительный корень (это справедливо в частности при
 2  max  1 , 3  , 1  0 , 3  0 , где 0 – диэлектрическая проницаемость
вакуума и a  0 ), то его мы и рассматриваем, если же три действительных
корня, то, вообще говоря, необходимо все последующие вычисления проводить для каждого корня.
Теорема 1. Множество решений краевой задачи на собственные значения (17)–(19) с условиями (16) и (20) содержится в множестве решений
дисперсионного уравнения (37).
Доказательство. Пусть  – решение дисперсионного уравнения (37),
мы можем найти функции   x  и   x  из системы (22) и первого интеграла
(23). Зная функции   x  и   x  и пользуясь формулами (21), найдем
X  x   
1   0
1   0
и Z  x    2 
.
a 2   2 2
a 2   2 2
(40)
Вопрос о выборе знака является существенным, и поэтому остановимся
X
на нем подробнее. Нам известно поведение функций   
и  . Из краеZ
вых условий следует, что Z  h   E z  (например, >0). Учтем, что если функции  и  имеют одинаковые знаки, то и функции X и Z имеют одинаковые знаки, а если функции  и  имеют разные знаки, тогда и функции X и
Z имеют разные знаки. Помня о том, что X и Z – гладкие функции, выбираем соответствующие знаки в выражениях (40).
Теперь, зная значение  и функцию X  x  , мы находим значение
h
X  h  . Если найденное таким образом значение X  h  совпадает с найденным из уравнения (27), то полученное  – собственное значение краевой задачи. В противном случае полученное  не является собственным значением
краевой задачи и при решении дисперсионного уравнения (37) необходимо
выбирать другое решение уравнения (27).
Теперь пусть  – собственное значение краевой задачи. Из способа получения дисперсионного уравнения (37) из системы (22) следует, что собственное значение краевой задачи является решением дисперсионного уравнения. #
Как видно из доказательства, более широкое множество решений дисперсионного уравнения (37) получается именно за счет того, что уравнение
(27) может иметь несколько действительных корней. В случае, если уравнение (27) имеет только один корень, подходящий по условию задачи (например, единственный действительный корень), то получается
Теорема 2 (об эквивалентности). Если уравнение (27) имеет единственный удовлетворяющий условию задачи корень, то краевая задача (17)–
(19) с условиями (16) и (20) имеет решение – собственное значение тогда и
только тогда, когда это собственное значение является решением дисперсионного уравнения (37).
Доказательство следует из доказательства теоремы 1.
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Замечание 6. Пояснение к формулировке теоремы 2. Разумеется, уравнение (27) имеет единственный корень, удовлетворяющий условию краевой
задачи. Однако, вообще говоря, мы можем это выяснить только после того,
как найдем собственное значение. Ибо если указанное уравнение имеет три
действительных корня, то без дополнительных предположений мы не можем
сразу выбрать нужный корень и приходится решать дисперсионное уравнение для каждого из таких корней.
Также необходимо заметить, что собственные функции, отвечающие
собственному значению  0 , легко могут быть найдены численно из системы
(11), например, методом Рунге – Кутты.
6. Предельный переход к случаю линейной среды в слое
Рассмотрим предельный переход при a  0 к случаю линейной среды
в слое. Здесь возможны два случая, а именно: а)  2  0 и a  0 ; б)  2  0 и
a  0 (случай метаматериала).
Рассмотрим первый случай. Здесь дисперсионное уравнение для случая
линейной среды в слое известно и при 1  3 приведено в [20], а в случае
произвольных 1 , 3 – в работе [21]. При произвольных 1 , 3 выглядит
оно так:
 2  2   2  1  2  3  3  2  1 

.
2

tg  h  2    


13  2   2   22  2  3  2  1


(41)
В этом случае из самого вывода дисперсионного уравнения (41) следует, что  2   2  0 (вывод см. в [21]). Рассмотрим функции
f 

2 2
2
  
   1
, f1 
2
2  
1
2
 22
2   2
.
 2
Функция f1 получилась из f формальным предельным переходом при
a  0 по переменной τ. Так как мы ищем действительные решения X  x  и
Z  x  , знаменатель функции f1 не может обратиться в нуль. Используя результаты классического анализа, можно показать, что можно перейти к пределу при a  0 под знаком интеграла в (37). Вычислив интегралы от функции f1 получим из (37)
 2  2   2  1  2  3  3  2  1 

  N 1  .
h  2   2  arctg


2
2
2
2
13  2     2   3   1


Взяв тангенс от последнего выражения, получим (41).
Во втором случае  2  0 (метаматериал [5–7]) и дисперсионное уравнение для случая линейной среды в слое выглядит так (вывод см. в [21]):
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
1  2   2   2  2  1 3  2   2   2  2  3
2 h  2  2
,

e
2
2
2
2
1   2   2   1 3    2   2   3
(42)
где  2  1  0 ,  2   2  0 ,  2  3  0 .
Так же как и раньше, переходя к пределу при a  0, в функции f получаем f 2 
2
1
. Переходя к указанному пределу в уравне  2 2
 22
  2
  2
нии (37) и вычисляя интегралы от функции f 2 , получаем
2
1
2
 2
  2
 ln

 2 2
  2
2
 2 1

 2
  2
  N  1 ln

 2 2
  2
3
 2 3

 2h  2   2 .

Множитель перед  N  1 очевидно дает нуль. Проводя остальные вычисления и затем потенцируя, получаем формулу (42).
Результаты этого параграфа показывают, что при переходе
к пределу при a  0 мы получаем регулярный случай. В пределе дисперсионное уравнение (37) для случая нелинейной среды в слое переходит в дисперсионное уравнение (41) или (42) для случая линейной среды в слое. Уравнение (41) является классическим в электродинамике и хорошо известно.
Отметим, что рассмотренный в этом разделе метод отыскания дисперсионного уравнения применим и к более общей задаче – к задаче распространения ТМ-волны в нелинейном анизотропном слое с керровской нелинейностью. Постановка задачи отличается только тем, что диэлектрическая проницаемость в слое в этом случае описывается диагональным тензором вида
  xx
 
 0

 0
2
2
0
 yy
0
0 

0 ,

 zz 
2
2
где  xx  12  b E x  a E z ,  zz   21  a E x  b E z , a, b, 12  max  1 , 3 
и  21  max  1 , 3  (при 12   21 и a  b мы получаем разобранный в этой
статье случай). Здесь после записи системы уравнений в терминах функций
X  x  и Z  x  в качестве переменных   x  и   x  следует взять переменные
  bX 2  aZ 2
X
  x   12
и   x    , где X  X  x  и Z  Z  x  .
2
Z

Анизотропный случай, когда 12   21   2 , разобран в [11].
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Список литературы
1. Ша тро в , А . Д . О разрешимости задач возбуждения плоскослоистых сред из
метаматериалов / А. Д. Шатров // Радиотехника и электроника. – 2007. – Т. 52. –
№ 8. – С. 909–916.
2. Ша тро в , А . Д . Электродинамический анализ линзы Пендри / А. Д. Шатров //
Радиотехника и электроника. – 2007. –Т. 52. – № 12. – С. 1430–1435.
3. Ш е в ч е н к о , В. В. К волновой теории плоской линзы из отрицательного материала / В. В. Шевченко // Радиотехника и электроника. – 2008. –Т. 53. – № 9. –
С. 1121–1127.
4. Б а н к о в , С . Е. Аналитическое исследование фокусировки электромагнитного
поля линзой Веселаго / С. Е. Банков // Радиотехника и электроника. – 2009. –Т. 54. –
№ 2. – С. 133–143.
5. S o l y m a r , L . Waves in Metamaterials / L. Solymar, E. Shamonina. – Oxford : Oxford
University Press, 2009.
6. M a r q u e s , R . Metamaterials with Negative Parameters. Theory, Design, and Microwave Applications / R. Marques, F. Martin, M. Sorolla. – Hoboken, New Jersey : John
Wiley & Sons Inc., 2008.
7. URL. – www.uniphy.com
8. В а л о в и к , Д . В. О существовании решений нелинейной краевой задачи на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн / Д. В. Валовик //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 2 – С. 86–94.
9. В а л о в и к , Д . В. О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных
волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра /
Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2008. – T. 48. – № 12. – С. 2186–2194.
10. В а л о в и к , Д . В. Расчет постоянных распространения ТМ-поляризованных
электромагнитных волн в нелинейном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2008. – T. 53. – № 8. – С. 934–940.
11. В а л о в и к , Д . В. Расчет постоянных распространения и полей для поляризованных электромагнитных ТМ-волн в нелинейном анизотропном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2009. – T. 54. – № 4. –
С. 411–417.
12. С м и р н о в , Ю . Г . Распространение электромагнитных волн в цилиндрических
волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов, С. Н. Куприянова //
Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2004. Т. 44. –
№ 10. – С. 1850–1860.
13. С м и р н о в , Ю . Г . Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева, М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2010. – № 1 – С. 2–13.
14. E l e o n s k i i , P . N . Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganes’yants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. – 1972. – V. 35. – № 1. – P. 44–47.
15. Г о х б е р г , И . Ц . Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов
в гильбертовом пространстве / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн. – М. : Наука, 1965.
16. К о р н , Г . Справочник по математике для научных работников и инженеров /
Г. Корн, Т. Корн.  М. : Наука, 1968.
17. Б е й к е р , Г . Ф. Абелевы функции. Теорема Абеля и связанная с ней теория тэтафункций / Г. Ф. Бейкер. – М. : МЦНМО, 2008.
18. Р и м а н , Б. Сочинения / Б. Риман. – М. : ГИТТЛ, 1948.
19. Х а р тм а н , Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. 
М. : Мир, 1970.
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
20. S n y d e r , A . Optical Waveguide Theory / A. Snyder, J. Love.  Chapmen and Hall. 
London, 1983.
21. В а л о в и к , Д . В. Дисперсионные уравнения в задаче о распространении электромагнитных волн в линейном слое и метаматериалы / Д. В. Валовик,
Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 1 – С. 28–42.
Валовик Дмитрий Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Valovik Dmitry Viktorovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: dvalovik@mail.ru
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
Smirnov Yury Gennadyevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
E-mail: mmm@pnzgu.ru
УДК 517.958; 517.927.4
Валовик, Д. В.
Распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн
в диэлектрическом слое из нелинейного метаматериала / Д. В. Валовик,
Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2010. – № 3 (15). – С. 71–87.
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 519.642
М. Ю. Медведик
СУБИЕРАРХИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
Аннотация. Рассмотрено решение интегрального уравнения, полученного из
краевой задачи Коши для уравнения Гельмгольца. Представлен численный метод Галеркина. Получены численные результаты решения, задачи в двух случаях при k  0 и k  0 с использованием субиерархического алгоритма на плоских экранах произвольной формы.
Ключевые слова: субиерархический алгоритм, интегральное уравнение, численный метод, краевая задача.
Abstract. The initial value problem for Helmholtz equation is considered. The issue
results in an integral equation. The integral equation is solved by Galerkin method.
Numerical results of solving of are obtained by using subhierarchical algorithm by
plane screen of arbitrary shape in two case: k  0, k  0 .
Keywords: subhierarchical algorithm integral equations, numerical method, boundary value problem.
Введение
Рассмотрим распространение акустических волн в однородной изотропной среде в R3 с плотностью  , скоростью распространения звука c и
коэффициентом поглощения  . Для определения волнового движения достаточно найти потенциал скоростей U  U  x, t  , из которого поле скоростей
получается в виде
v  1/   grad U ,
а давление p – в виде
p  p0  
U
 U ,
t
где U  x, t   u  x  e it p0 – давление в невозмушенной среде.
В линеаризованной теории потенциал скоростей U удовлетворяет диссипативному волновому уравнению
 2U
t
2

U
 c 2 U  0,
t
и, следовательно, для гармонически зависящих от времени акустических волн
вида U  x, t   u  x  e i t с частотой   0 мы получим, что зависящая от координат амплитуда u удовлетворяет приведенному волновому уравнению
Гельмгольца
u  k 2u  0,
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
где волновое число k  0 , и имеем k 2      i   / c 2 . Выберем знак k так,
чтобы выполнялось условие Im k  0 , это обеспечит нам существование единственности решения.
Рассмотрим рассеяние падающей волны u i препятствием D . Тогда
полная акустическая волна имеет вид u  u i  u s , где u s означает рассеянную
волну, и для акустически мягкого препятствия полное давление должно обращаться в нуль на границе, т.е. на границе u s  u i . Задавая различные граничные условия на рассеивателе, мы приходим к различным акустическим
задачам. Пусть задано значение величины u на границе рассеивателя, физически это соответствует заданию давления акустической волны, тогда мы
приходим к задаче Дирихле. Аналогично, пусть задано значение нормальной
производной u на границе, физически это соответствует заданию нормальной компоненты скорости волны, т.е. рассеянию на жестком препятствии, тогда мы приходим к задаче Неймана.
Рассмотрим задачу Дирихле на поверхности расположенной в R3 . Решение поставленной задачи эквивалентно решению интегрального уравнения
вида


e
ik x  y
x y
u ( y )dy  f ( x) .
(1)
Рассматриваемая задача имеет широкое применение результатов при
проектировании антенн и печатных плат. Исследование в этой области привели к активному и успешному применению численных методов для решения
аналогичных задач дифракции. Однако большинство авторов ограничивались
решением задачи на экранах базовой формы. Наиболее часто в качестве экрана базовой формы выбирается некая плоская фигура, например квадрат, прямоугольник, треугольник или круг. Представленный в статье метод позволяет
решать подобные задачи на экранах произвольной формы как на плоскости,
так и в пространстве, опираясь на результаты, полученные при решении задачи на экране базовой формы [1–4].
Постановка задачи
Пусть  – ограниченная, незамкнутая поверхность в R3 с границей 


1
(   x  ( x1 , x2 , x3 )  R3 ). Будем искать функцию u  H loc
 M S  , что озна-
чает ограниченность энергии в любом конечном объеме пространства, удовлетворяющую на M S  R3 \  следующей краевой задаче для уравнения
Гельмгольца:
   k 2  u  0 u  M S , Im k  0,
(2)
с краевыми условиями на функцию (задача Дирихле)
u  g u  .
(3)
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Для обеспечения единственности решения задачи необходимо, чтобы
функция u удовлетворяла условию на бесконечности (условию Зоммерфельда):
 
u
 iku  o r 1 , k  0,
r
 
u  O r 1 , k  0, r  x   .
(4)
Справедливы теоремы о единственности решения задачи Дирихле
в предположении, что оно существует [5].
Представим рассматриваемое интегральное уравнение в операторном
виде:
Lu  f ,
(5)
где L является интегральным оператором,
Lu 


e
ik x  y
x y
u ( y )ds .
(6)
 
Введем пространства Соболева H s    и H s  . Для любого s  R
 
рассмотрим интегральный оператор L : H 1/ 2   H 1/ 2    [5, 6]. Данный
оператор является эллиптическим и для него справедливы теоремы о сходимости проекционного метода.
Отдельный интерес представляет уравнение (1), когда k  0 , так называемый статический случай. В этом случае уравнение принимает вид
1
 x  y u( y)dy  f ( x) .
(7)

Для него также справедлива описанная выше теория.
Метод Галеркина
Рассмотрим n-мерное пространство Vn . Проведем аппроксимацию элементов  элементами  n Vn . Методом Галеркина находим  n из системы
уравнений
( L n , v)  ( f , v) .
(8)
Эти уравнения определяются конечномерным оператором Ln : Vn  Vn ,
где Vn есть антидуальное пространство к Vn .
В качестве базисных функций ( x) выберем функции
1, if x   i ,
i ( x)  
0, otherwise.
(9)
 
Данные функции удовлетворяют условию аппроксимации в H 1/ 2  .
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
Каждый элемент матрицы получается путем вычисления четырехкратного интеграла

Li, j  G ( x, y )i ( x)  v j ( y )ds,

имеющего слабую особенность в области интегрирования. Процедура избавления от особенности представлена в [8]. Правая часть матричного уравнения
задается формулой
fj 
 f  j ds .

Здесь x  ( x1 , x2 ), y  ( y1 , y2 ) , а G ( x, y ) 
а для случая k  0 G ( x, y ) 
e
ik x  y
x y
– известная функция,
1
. Решение СЛАУ осуществлялось методом
x y
сопряженных градиентов.
Аналитические решения
Для случая плоского экрана при k  0 для задачи Дирихле удалось получить аналитические решения для различных правых частей (табл. 1).
Таблица 1
Решение  u   ,  
Правая часть
 n 
 
4
g (, )
1

ei
 2 e i
 1  2
1
1
1  2

 1  1  2
 2ln 


1  2 1  1  2 



2







2
1  i
 e

 1  2  1  1  2   





 1  1  2
3
1
3

 2 ln 
 

2

1  2
1  2  1  1  2 







  ei



Субиерархический алгоритм
Разобьем куб с размером сторон равной длине волны на равномерные
кубики. Будем предполагать, что маленькие кубики внутри являются пустыми, а поверхность каждого кубика является бесконечно тонким экраном.
Описанную выше фигуру будем называть в дальнейшем экраном канонической формы. Численное решение поставленной задачи Дирихле для экрана
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
канонической формы строится с помощью метода Галеркина. Рассмотрим
алгоритм построения решения для задачи дифракции на экранах произвольной неплоской формы. Будем предполагать, что в нашем распоряжении
находится базовая матрица, составленная при решении задачи Дирихле на
экране канонической формы одним из проекционных методов. Для решения
задачи дифракции на экране сложной формы необходимо, чтобы данная поверхность целиком принадлежала экрану канонической формы, для которого матрица уже насчитана. Субиерархический метод позволяет построить
матрицу для фигуры сложной формы, пользуясь элементами посчитанной
матрицы, составленной при решении задачи на экране канонической формы. Следует заметить, что метод работает и в случае использования в качестве базового экрана не только канонической формы. В этом случае на экран сложной конфигурации налагается то же условие, что и раньше, он
должен целиком принадлежать базовому экрану. В построенной фигуре
введем новую нумерацию вершин. Скорость построения новой матрицы
будет напрямую зависеть от размера экрана и количества вершин в сетке.
Произведя полный перебор вершин, получаем новую сетку. Эту сетку будем использовать для расчета поля на отверстии сложной формы. Таким
образом, один раз решив задачу на экране базовой формы, мы можем использовать полученные результаты для решения серии задач на экранах
сложной геометрической формы. Данный подход имеет большое практическое значение в инженерных расчетах.
Параллельный подход
Рассматриваемая задача требует составления матрицы как можно
большего размера, что требует больших затрат времени. Для минимизирования временных затрат максимально упростим в решаемой задаче процессы, связанные с составлением матричного уравнения. Наиболее естественным подходом, упрощающим решение задач, является использование матричной симметрии. За счет этого время, потраченное на составление матрицы, можно сократить в два раза. Значительно сокращается время составления матрицы при использовании внутренней симметрии матричных элементов. Матрица, полученная по алгоритму метода Галеркина, является теплицевой. Субиерархический подход в подобных задачах позволяет избавиться от повторного счета матричных элементов и использовать элементы
ранее насчитанной матрицы. Еще один подход при минимизации временных затрат связан с использованием параллельных вычислений. В представленной задаче каждый элемент матрицы формируется независимо друг
от друга, поэтому можно рассчитать элементы матрицы на нескольких процессорах или кластере.
Результаты счета
В работе представлены результаты счета модулей решений интегрального уравнения (7) на экране сложной конфигурации. Форма экрана представлена на рис. 1. Данный экран получен из сетки размером 10×10×10.
На графиках (рис. 2–4) форма экрана располагается в центральной части рисунка. Слева и справа от экрана представлены значения поверхностных токов. Слева вид сверху, справа вид с боку.
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Математика
Рис. 1. Геометрия экрана
Рис. 2. Нулевое сечение, перпендикулярное оси ОZ (модуль решения)
Рис. 3. Второе сечение, перпендикулярное оси ОY (модуль решения)
Рис. 4. Второе сечение перпендикулярное оси ОX (модуль решения)
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Список литературы
1. М е дв е ди к , М . Ю . Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов
в электромагнитной задаче дифракции на экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, С. И. Соболев // Вычислительные методы и программирование. – 2005. –
Т. 6. – С. 99–108.
2. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм и сходимость метода Галеркина в задачах дифракции электромагнитного
поля на плоском экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. – 2004. – № 5. – С. 3–19. – (Естественные науки).
3. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический метод решения интегрального уравнения на плоских экранах произвольной формы / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2009. – № 4. – С. 49–55.
4. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения задач дифракции электромагнитных волн на плоских экранах /
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2007. – Т 6. –
№ 4. – С. 1–6.
5. S t e p h a n , E . P . Boundary Integral Equation for Screen Problem in R3 /
E. P. Stephan, Boundary // Integral Equation and Operator Theory. – 1987. – V. 10. –
P. 236–257.
6. P ä iv ä r in t a , L. Corner singularities of solution to in two  1/ 2u  f dimensions /
L. Päivärinta, S. Rempel. // Asymptotic Analysis. – 1992. – V. 5. – P. 429–460.
7. P e n ze l , F . Space Methods For The Laplace Equation In The Exterior Of The Disk /
F. Penzel, Sobolev // Integral Equations and Operator Theory. – 1993. – V. 17.
8. A n d e r s s o n , T . Method of moments and the use of multipole expansion / T. Andersson. – Lund : Lund Institute of Technology, Sweden, 1990.
Медведик Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Medvedik Mikhail Yuryevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: _medv@mail.ru
УДК 519.642
Медведик, М. Ю.
Субиерархический метод решения интегрального уравнения на
поверхностях произвольной формы / М. Ю. Медведик // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2010. – № 3 (15). – С. 88–94.
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
ФИЗИКА
УДК 621.327.534
В. А. Горюнов, А. М. Майоров, М. И. Майоров
МОДУЛЯЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ И ДОЛИ ИОННОГО ТОКА
В КАТОДНОМ ПЯТНЕ ЛЮМИНЕСЦЕНТНЫХ ЛАМП
Аннотация. Рассчитано изменение доли ионного тока в катодном пятне в зависимости от тока через люминесцентную лампу, от конструкции и теплового
режима электрода. Это позволяет совершенствовать конструкцию электродных узлов люминесцентной лампы.
Ключевые слова: люминесцентные лампы, ионный ток, катодное пятно.
Abstract. The data about the heat capacity of cathode spot, jointly with the dinamic
temperature characteristics, let calculate the changing of ion current share in the
cathode spot, depending of current moving through the fluorescent lamps, of electrode design and heat mode. This information is necessary for electrode knot design
improvement.
Keywords: fluorescent lamps, ion current, catode spot.
Данные о теплоемкости катодного пятна совместно с динамическими
температурными характеристиками [1] позволили рассчитать изменение доли
ионного тока в катодном пятне (КП) в зависимости от тока через люминесцентную лампу (ЛЛ), от конструкции и теплового режима электрода.
Исследование проводили на ЛЛ типа ЛБ 20. Отличие их от серийных
заключалось в наличии «окна», через которое регистрировали свечение катода в зоне КП. Лампы включали в сеть по стандартной схеме.
Для определения доли ионного тока и его изменения в КП запишем условие теплового баланса для участка электрода в пределах КП [2]:
Рдж  Рi  Рокс  Рат  Ре  Ри  Рг  Рв  0,
(1)
где Рдж – мощность, выделяющаяся при прохождении тока разряда через
вольфрамовую проволоку в пределах КП; Рi – мощность, приносимая ионами; Рокс – мощность, выделяющаяся при прохождении тока в оксидном слое
в пределах КП; Рат – мощность, приносимая в зону КП возбужденными атомами; Ре – мощность охлаждения поверхности КП вследствие эмиссии электронов; Ри – мощность, уносимая из зоны КП излучением; Рг – мощность, отводимая через газ; Рв – мощность, отводимая из зоны КП вдоль катода за счет
теплопроводности.
Математические выражения, описывающие все составляющие баланса
мощности на катоде, представлены в работах [3–5]. Основываясь на данных
выражениях, можно переписать (1) в виде
I U k  U i   I 2 RК  P0  I  CК
dT
,
dt
(2)
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где  – доля ионного тока; I – ток через лампу; U k – катодное падение напряжения; Ui – потенциал ионизации инертного газа; RК – сопротивление зоны КП; Р0 = Ри + Рг + Рв – мощность остывания зоны КП;  – потенциал; СК –
теплоемкость зоны КП.
Осциллограммы напряжения и распределение температуры КП по периоду при наличии анодных колебаний и без них представлены на рис. 1.
а)
б)
Рис. 1. Изменение температуры КП по периоду (1)
и осциллограмма напряжения (2) на лампе в анодный полупериод:
а – без наличия анодных колебаний; б – при наличии анодных колебаний
Анализируя данные (рис. 1), можно заключить, что возникновение колебаний в анодный полупериод сопровождается изменением температурного
режима анода. При наличии анодных колебаний температура анода незначительно уменьшается. Нами были проведены опыты, в которых в анодный полупериод энергия на электрод не подводилась вообще – в этом случае температура анода уменьшалась в среднем на 25 К.
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
На рис. 2 представлены осциллограммы тока (кривая а) и распределения температуры КП (кривая б), для лампы типа ЛБ20. При I = 0 энергия
к электроду не подводится, электрод остывает, т.е. dT/dt < 0 (рис. 2, точка 1),
из (2) находим:
P0  CК
dT
.
dt
(3)
Рис. 2. Зависимости тока через лампу (а) и изменения температуры КП
от времени (б). Цифры указывают особые точки на кривой (б)
В точках максимума и минимума кривой распределения температуры
dT/dt = 0 (рис. 2, точки 2, 3, 4, 5) из (2) находим

I  P0  I 2 RК
.
I U k  U i 
(4)
Для двух разных точек на кривой распределения температуры, где
dT1/dt = dT2/dt, из (2) находим
1I1   2 I 2 

  I1  I 2   RK I12  I 22
U k  Ui
.
(5)
Для двух разных точек на кривой распределения температуры, где
I1 = I2 = I (рис. 2, точки 6, 7), из (2) находим
1   2 
CК
 dT1 dT2 

.
I U k  U i   dt
dt 
(6)
При работе ЛЛ на переменном токе за один полупериод ток два раза
достигает одних и те же значений, т.е. I1 = I2 = I, зафиксировав абсциссы данных точек и найдя значения производных температурного распределения
в них dT1/dt и dT2/dt, по формуле (6) можно найти изменение доли ионного
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
тока (значение СК можно вычислить согласно методике, представленной в [1]).
Для точек 6 и 7 на кривой распределения температуры (рис. 2), соответствующих одинаковому значению тока в катодный полупериод (I6 = I7 = I =
= 0,48 A), вычислим изменение доли ионного тока по формуле (6). Используя
методику определения производной dT/dt [1], для точки 6 находим dT6/dt =
= 103 К/с, для точки 7: dT7/dt = –1,2 · 103 К/с. Принимая Uk = 12,5 В, μ7 = 3 %
[5], для аргона Ui = 15,69 В, из (6) получим:
6  7 

CК
 dT1 dT2 


I U k  U i   dt
dt 
7,3  105 Дж/К
К
К

 103  1, 2  103   1,19  102 ;
0, 48 А  12,5 В  15,69 В  
с
с
таким образом, для случая, когда ток в катодный полупериод уменьшается,
доля ионного тока тоже уменьшается на 1,19 % (т.е. на 1/3 часть от 3 %) по
сравнению со случаем, когда ток нарастает.
На рис. 3 представлены осциллограммы тока (кривая а) и температурных
распределений при наличии анодных колебаний (б) и без них (б′), для лампы
типа ЛБ20. Рассчитаем изменение доли ионного тока для данных на рис. 3.
Рис. 3. Зависимости тока через лампу (а) и изменения температуры КП
от времени при наличии анодных колебаний (б) и без них (б′)
Для точек 1 и 2 (рис. 3), соответствующих максимуму тока в катодный
полупериод (I1 = I2 = Imax = 0,58 A), вычислим изменение доли ионного тока
по формуле (6). Используя методику определения производной dT/dt, находим для точки 1: dT1/dt = 2,5·103 К/с, для точки 2: dT2/dt = 8,8 · 102 К/с. Принимая, как и ранее, Uk = 12,5 В, μ2 = 3 % [5], для аргона Ui = 15,69 В, из (6)
получим
1   2 
98
CК
 dT1 dT2 



I U k  U i   dt
dt 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010

Физико-математические науки. Физика
7,3  105 Дж/К
К

3 К
 0,88  103   0,72  102 ;
 2,5  10
0,58 А  12,5 В  15,69 В  
с
с
таким образом, при возникновении анодных колебаний (рис. 1, 3) доля ионного тока в катодный полупериод увеличивается на 0,72 % (на 1/4 часть
от 3 %), по сравнению со случаем, когда анодные колебания отсутствовали.
Увеличение доли ионного тока может увеличить распыление эмиссионного материала, снижая срок службы лампы. Данные о том, что порог распыления имеет значение около 10 В, приведены в [6].
Качественным подтверждением тому, что ионы, бомбардирующие область КП, вырывают Ва с поверхности катода, являются результаты анализа
зависимостей интенсивностей излучения Ва, Hg и Ar от времени в катодный
полупериод. Измерения проводились одновременно в видимой и инфракрасной областях спектра. ЛЛ включали в схему, изображение КП проецировали
на щель спектрометра и ИК фотоприемника в соответствии с [1]. На рис. 4
приведены осциллограммы напряжения (кривая 1) на лампе и тока (кривая 2)
через нее, а также осциллограмма, показывающая зависимость интенсивности
излучения Ва (λ = 455 нм) от времени (кривая 3). Здесь же приведена зависимость интенсивности излучения КП в ИК области (λ = 1,6 мкм) (кривая 4) от
времени. Из рис. 4 видно, что зависимости 2 и 3 похожи, однако излучение
возникает позже и пропадает раньше того, когда ток сквозь лампу переходит
через ноль.
Рис. 4. Осциллограмма напряжения (1) на лампе, тока (2),
интенсивности излучения Ва (λ = 455 нм) (3), интенсивности
излучения КП в ИК области (λ = 1,6 мкм) (4) от времени
Совсем другое поведение демонстрирует излучение Hg (λ = 435,9 нм)
(рис. 5). Излучение возникает в начале катодного полупериода и его интенсивность определяется величиной тока. Аналогичная зависимость распределения интенсивности излучения по катодному полупериоду получена и для Ar.
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Считается [7, 8], что катодное падение в ЛЛ во время полупериода меняется незначительно и несколько больше потенциала ионизации Hg и, соответственно, больше потенциала ионизации Ва. Однако данные рис. 4 показывают, что свечение Ва (зависимость 3) появляется позже, чем свечение Hg
(рис. 5). Объяснение этому можно дать, если учесть, что присутствие атомов
Hg и Ar внутри ЛЛ определено технологией изготовления и не зависит от режима работы КП, а Ва появляется в приэлектродной области только за счет
его удаления с эмиттирующей поверхности катода за счет ионной бомбардировки и теплового испарения. Выше было показано (см. формулу (6)), что
увеличение доли ионного тока, приходящего в КП, приводит к увеличению
скорости нарастания температуры, а значит, и к увеличению скорости нарастания интенсивности ИК-излучения.
Рис. 5. Осциллограмма напряжения (1) на лампе, тока (2),
интенсивности излучения Hg (λ = 435,9 нм) (3), интенсивности
излучения КП в ИК области (λ = 1,6 мкм) (4) от времени
Из рис. 4 видно, что максимум излучения Ва совпадает с максимальной
скоростью нарастания ИК-излучения. Таким образом, можно утверждать, что
важным фактором, определяющим появление Ва в приэлектродной области
разряда, является распыление эмиссионного материала катода ионами наполняющего лампу газа, определяя срок службы ЛЛ. В этой связи регистрация
изменения доли ионного тока в области КП необходима для оптимизации
конструкции электродного узла ЛЛ.
Список литературы
1. Г о р ю н о в , В. А . Динамические температурные характеристики электродов в
газоразрядных приборах. / В. А. Горюнов, А. М. Майоров // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. – 2007. – № 6 (33). – С. 60–68. – (Естественные науки).
2. Р е ш е н о в , С . П . Катодные процессы в дуговых источниках излучения /
С. П. Решенов. – М. : Изд-во МЭИ, 1991. – 251 с.
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
3. О х о н с к а я, Е. В. Расчет и конструирование люминесцентных ламп : учебник /
Е. В. Охонская, А. С. Федоренко. – Саранск : Изд-во Морд. ГУ, 1997. – 184 с.
4. Р е ш е н о в , С . П . Метод расчета катодного пятна в дуговом разряде низкого
давления / С. П. Решенов // Труды МЭИ : сборник статей. – Вып. 123. – М. :
Изд-во МЭИ, 1972. – С. 129–135.
5. О х о н с к а я, Е. В. Электроды газоразрядных источников излучения / Е. В. Охонская, С. П. Решенов, Г. Н. Рохлин. – Саранск : Изд-во Морд. ГУ, 1978. – 90 с.
6. М о р г у л и с , Н . Д . О пороге катодного распыления / Н. Д. Моргулис, В. Д. Тищенко // Известия АН – 1956. – Т. 20. – № 10. – С. 1190–1194.
7. У э й м а у с, Д . Газоразрядные лампы / Д. Уэймаус. – М. : Энергия, 1977. – 344 с.
8. Р о х л и н , Г . Н . Разрядные источники света / Г. Н. Рохлин. – М. : Энергоатомиздат, 1991. – 720 с.
Горюнов Владимир Александрович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра экспериментальной
физики, Мордовский государственный
университет им. Н. П. Огарева
Goryunov Vladimir Alexandrovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of experimental physics, Mordovia State
University named after N. P. Ogarev
E-mail: begvi1@mail.ru
Майоров Александр Михайлович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра автоматизации
производственных процессов,
Мордовский государственный
университет им. Н. П. Огарева
Mayorov Alexander Mikhaylovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of production automation,
Mordovia State University
named after N. P. Ogarev
E-mail: begvi1@mail.ru
Майоров Михаил Иванович
доктор технических наук, профессор,
кафедра общенаучных дисциплин,
Мордовский государственный
университет им. Н. П. Огарева
Mayorov Mikhail Ivanovich
Doctor of engineering sciences, professor,
sub-department of general scientific
disciplines, Mordovia State University
named after N. P. Ogarev
E-mail: begvi1@mail.ru
УДК 621.327.534
Горюнов, В. А.
Модуляция излучения и доли ионного тока в катодном пятне люминесцентных ламп / В. А. Горюнов, А. М. Майоров, М. И. Майоров //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3 (15). – С. 95–101.
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 538.945
Л. А. Суворова, А. Р. Буев
МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ПЕРЕХОДА
ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО
СВЕРХПРОВОДНИКА В КРИТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
Аннотация. С помощью новой измерительной установки, в которой кольцевой
сверхпроводящий образец взаимодействует только с магнитным полем собственного сверхпроводящего тока, впервые выявлены особенности реакции на
него поликристаллического (керамического) высокотемпературного сверхпроводника.
Ключевые слова: керамические высокотемпературные сверхпроводники, кольцевой сверхпроводящий образец, собственное магнитное поле, джозефсоновская глубина проникновения, джозефсоновский критический ток, джозефсоновское критическое магнитное поле, модель Бина.
Abstract. Features of response for the sample of polycrystalline (ceramic) HTSC for
the first time are revealed by means of new measuring device in which ring SC sample interacts only with magnetic field of self SC current.
Keywords: ceramic HTSC, HTSC ring, self-magnetic field, Josephson penetration
depth, Josephson critical current, Josephson critical magnetic field, Bean model.
Введение
Одной из основных исследовательских задач в области поликристаллических высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) является измерение
критических параметров. К ним относятся плотность критического тока jcJ
(критический ток I cJ ), их полевые и температурные зависимости, вольтамперные характеристики (ВАХ), а также зависимости их от структуры и
других свойств материала. Большое внимание уделяется моделям проникновения магнитного поля в ВТСП, а также метода измерений критических параметров.
Картина проникновения магнитного поля в сверхпроводник достаточно
сложна и еще не до конца исследована. Исследованием ВТСП параметров
с помощью различных методов занимались многие российские и зарубежные
ученые. Так, например, исследование методом высокочастотного поглощения
параметров ВТСП материалов, облученных быстрыми нейтронами реактора,
рассмотрено в работе [3]. Также существует множество исследований моделей проникновения для различных сверхпроводящих материалов, таких как:
трехмерная регулярная решетка наночастиц сверхпроводника [4], YBa2Cu3O7–x
[5, 6], YBa2Cu2O7–x [7], Y – Ba – Cu – O и Tl – Ba – Ca – Cu – O [8], высокотемпературная HgBaCaCuO керамика [9]. В данной работе мы рассматриваем
керамический ВТСП Bi2Ca2Sr2Cu3Oy.
Для поликристаллического ВТСП обнаружено, что даже очень малое
магнитное поле проникает в образец в виде вихрей и занимает весь приповерхностный слой толщиной равной джозефсоновской глубине проникновения  J . В этом же слое протекает СП ток, экранирующий магнитное поле от
его проникновения на большую глубину. И пока внешнее поле находится
в диапазоне 0 < B < BcJ1 ( BcJ1 – первое критическое джозефсоновское маг-
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
нитное поле), магнитные вихри и экранирующий их ток с плотностью меньшей первой критической джозефсоновской плотности тока (j < jcJ1 ) остаются
в пределах слоя  J . При BcJ2 > B > BcJ1 и jсJ2 > j > jcJ1 магнитные вихри и
экранирующий их СП ток из слоя  J распространяются в глубь образца ( jсJ2
и BcJ2 – вторые критические джозефсоновские плотность тока и магнитное
поле). А при достижении значений jсJ2 и BcJ2 , т.е. максимальных тока и проникновения магнитного поля, ВТСП приходит в критическое состояние.
Сколь угодно малый прирост тока или поля переводят образец в частично
резистивное состояние.
Также на основании модели Бина для поликристаллического ВТСП
найдены новые эмпирические соотношения, связывающие между собой джозефсоновскую глубину проникновения, первый и второй критические токи
ВТСП кольца ( I cJ1 , I cJ2 ), индуктивность (L) и ее зависимость от величины СП
тока, первое и второе критические джозефсоновские поля ( BcJ1 , BcJ2 ) путем
введения внутрь кольца магнитного потока, создаваемого соленоидом.
Такое поведение хорошо объясняется с помощью индуктивного бесконтактного метода и устройства для измерения критического тока керамического ВТСП кольца типа Bi2Ca2Sr2Cu3Oy [10].
1. Бесконтактный метод и устройство для измерения
критического тока ВТСП кольца и других
его характеристик, экспериментальная кривая U H (i )
На длинный соленоид с датчиком Холла внутри него надевается ВТСП
кольцо так, чтобы датчик находился в центре кольца. После охлаждения соленоида с кольцом до температуры 77 К в соленоид подается ток i и с помощью датчика Холла измеряется зависимость B(i) магнитного поля в центре
кольца от тока i путем построения кривой U H (i) = k H B(i), где UH – напряжение, снимаемое с датчика Холла, k – чувствительность датчика.
Типичная экспериментальная гистерезисная кривая U H (i) для кольца
Bi2Ca2Sr2Cu3Oy, полученная при изменении тока i от 0 до i3 и назад до 0 с постоянной, малой скоростью v = di/dt, представлена на рис. 1. Скорость v
такова, что ее уменьшение в несколько раз не приводит к заметным изменениям кривой U H (i)
Ход кривой можно описать следующим образом. По мере увеличения
тока соленоида возрастает создаваемое им магнитное поле и соответствующий ему поток магнитной индукции  (i ) , пронизывающий кольцо. В силу
закона сохранения магнитного потока в кольце возникает экранирующий СП
ток I такой, чтобы суммарный поток через кольцо оставался равным начальному, т.е. нулю. При этом для абсолютных значений потоков выполняется
равенство
 ( I )   (i ) ,
(1)
где  ( I ) = LI – магнитный поток через кольцо от его собственного СП тока
кольца I, а (i )  0 niS ( 0 – магнитная постоянная, n – число витков
соленоида на единице длины, S – площадь отверстия кольца). Для
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
U H (i )  U 0 (i )  U (i )  k H B( I ) , где B(I) – магнитное поле от тока I в центре
кольца (на датчике Холла).
Рис. 1. Зависимость напряжения U H на датчике Холла от тока соленоида:
1 (i1) – точка (соответствующий ток соленоида), которой заканчивается
первый линейный участок кривой 0–1; 2 (i2) – точка (и соответствующий
ток соленоида), с которой начинается второй линейный участок 2–3;
прямая 0–0’ – зависимость U 0 ( i) в отсутствие ВТСП кольца,
U Hc – расстояние между прямыми 2–3 и U 0 ( i)
Перпендикулярная составляющая магнитного поля тонкого кольца кругового сечения с равномерно распределенным током I в плоскости кольца
может быть определена соотношениями [11]:
B(l , I )  F (l ) I ;
(2)
F (l )  0  K ( k ) /( R  l )  E (k ) /( R  l )  / 2 ,
(3)
где k  2 Rl /( R  l ) ; K (k ), E (k ) – полные эллиптические интегралы II, I рода; R – средний радиус кольца; l – расстояние от центра кольца до данной
точки в его плоскости – может изменяться в пределах 0  l  R  d / 2 ,
l  R  d / 2 , d – диаметр сечения кольца.
При l = 0 формулы (2), (3) дают магнитное поле в центре кольца, т.е. на
датчике Холла:
B (0, I )  F (0) I .
(4)
С помощью (1) можно получить
U H (i )  k H B( I )  k H FI  i0 k H nSF / L ,
104
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
где F – коэффициент, зависящий от его конфигурации и размеров. Формула
(5) описывает линейный участок 0–1 (рис. 1), на котором выполняется (1).
В соответствии с (1) и (5) после т. 1 (рис. 1) U H (i) должна быть прямой, являющейся продолжением отрезка 0–1.
В действительности, как показывает эксперимент, на участке 2–3 U H (i)
строго параллельна прямой U0(i), что соответствует неизменному, максимально возможному, критическому току ВТСП кольца I cJ2  U H (i ) / k H F .
Ток I cJ2 не зависит от магнитного поля, создаваемого соленоидом и пронизывающего отверстие кольца.
Коэффициент пропорциональности между I cJ2 и U H (i ) может быть
найден расчетным путем. Для этого перед измерением на кольцо наносится
(ультразвуковой пайкой специальным припоем на основе индия) четыре контакта с короткими проводами. Затем измеряются U H (i ) кольца и критический ток I cJ2 . В результате определяется коэффициент k   I cJ2 / U H (i ) путем усреднения коэффициентов, найденных таким же способом для многих
одинаковых по форме колец.
Было установлено, что в случае очень тонких колец квадратного сечения экспериментальные k  и теоретические k отличаются существенно: на
20–25 %. В то же время для очень тонких колец квадратного сечения
с d = R2 – R1 << R1 k  и k отличаются на 5–8 %. В эксперименте использовались кольца с d = 1,5 mm, R1 = 20 mm. Этот факт объясняется неточностью
формул (2)–(4) [12].
С помощью кривой U H (i ) можно вычислить величину первого критического джозефсоновского магнитного поля BcJ1 , создаваемого на внутренней (со стороны оси) поверхности кольца в случае тонкого кольца кругового
сечения (физический смысл BcJ1 рассмотрен далее). При расчете принимается, что ток, протекающий в приповерхностном слое кольца толщиной  J ,
можно заменить эквивалентным, протекающим вдоль средней линии. В этом
случае магнитное поле на поверхности кольца с его внутренней стороны определяется формулами (2), (3) при l = R – d/2 (d – диаметр сечения кольца).
Тогда получим
BcJ1  F ( R  d / 2) I cJ1 
F ( R  d / 2) U H (i1 )

;
F (0)
kH
(6)
BcJ2  F ( R  d / 2) I cJ2 
F ( R  d / 2) U H (i2 )

F (0)
kH
(7)
Формула (6) с хорошей точностью верна также и для тонких колец
прямоугольного сечения. Для вычисления BcJ1 в случае колец произвольной
формы необходим расчет функции F(l) c учетом распределения критического
тока по объему кольца.
Из вышесказанного следует, что индуктивность ВТСП кольца зависит
от СП тока, протекающего по нему. В рамках модели Бина зависимость ин-
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
дуктивности ВТСП кольца от этого СП тока связана с проникновением собственного поля кольца в его объем по мере увеличения СП тока.
Участок 1–2 кривой U H (i ) (рис. 1) позволяет экспериментально получить зависимость L(I) и, в частотности, найти два характерных значения индуктивности L1  L( I cJ1 ) , L2  L( I cJ2 ) . На основании (5) для кольца кругового
сечения получаем
L  0 k H nSF (0)  i / U H (i ) .
(8)
Подставляя в (8) измеренные значения i1 / U H (i1 ) и i2 / U H (i2 ) , можно определить соответствующие L1 и L2. Зная расчетную величину F(0), для
каждого тока соленоида i c помощью формул (5) и (8) можно вычислить соответствующий кольцевой СП ток I и сопоставить ему соответствующее значение индуктивности L(I).
Следует отметить, что не сложно рассчитать магнитное поле от кольца
произвольного прямоугольного сечения при равномерном распределении по
нему СП тока, определить F(0) и в результате найти L(I).
Однако в действительности СП ток распределен неоднородно, а формулы распределения, выведенные на основе тех или иных представлений о
протекании СП тока, близкого к критическому, получены для колец лишь
определенной формы (тонкого цилиндрического, узкого плоского) [13, 14].
В заключение приведем формулу для F(0), необходимую для более
точных расчетов. Формула выведена для случая протекания тока в приповерхностном слое кольца произвольной прямоугольной формы при равномерном заполнении током этого слоя:
F (0)  FR1 , R2 ,h (0) 
 h / 2  R1 h / 2  R2
0
R  f ( R2 ) 

 ln 2

 , (9)
2( R2  R1  h)  f ( R1 )
f ( R2 )
R1  f ( R1 ) 
где f ( x)  x 2  (h / 2) 2 ; R2, R1 – наружный, внутренний радиусы кольца; h –
высота кольца.
2. Свойства вещества и физические явления,
объясняющие ход экспериментальной кривой U H (i )
Керамические ВТСП являются жесткими сверхпроводниками II рода.
Проникновение магнитного поля в подобные сверхпроводники описывается
в модели Бина [15].
Согласно модели Бина при токе соленоида 0 < i <i1 (линейный участок
0–1 на рис. 1) СП ток кольца протекает только в приповерхностном слое
толщиной  J (в случае поликристаллического ВТСП). При этом создаваемое
им магнитное поле охватывает кольцо снаружи и лишь на глубину  J , проникает в его объем. Индуктивность кольца L в этом диапазоне токов остается
постоянной. Она соответствует потоку собственного магнитного поля через
внутренний круг кольца диаметром D = 2R – d/2 и через приповерхностный
слой кольца толщиной  J . При токе i = i1 собственное магнитное поле на
внутренней (со стороны его оси) поверхности кольца сравнивается с первым
критическим джозефсоновским полем BcJ1 , т.е. таким, при котором из слоя
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
 J поле вместе с СП током начинает распространяться в глубь ВТСП. При
этом на основании (2)–(5)
BcJ1 = B ( R  d / 2, I (i1 ))  F ( R  d / 2)  U H (i1 ) / F (0)k H .
(10)
Таким образом, при токе соленоида i1 (т. 1 на рис. 1) начинается проникновение собственного магнитного поля из приповерхностного слоя уже
в виде абрикосовских вихрей в объем кольца. Формула (10) позволяет вычислить BcJ1 с помощью измерения U H (i1 ) .
Одновременно с достижением на поверхности кольца B = BcJ1 СП ток,
протекающий в слое толщиной  J , достигает первого критического значения
I cJ1 . При дальнейшем своем росте распространяется в глубь кольца. Поскольку току кольца соответствует ток соленоида i1, то выполняется соотношение
I cJ1 = k1i1 (из (1)).
При токе соленоида i1 < i < i2 (участок 1–2 на рис. 1) СП ток вместе
с порожденным им собственным магнитным полем в виде абрикосовских
вихрей все глубже проникает в объем кольца, и при токе i2 их совместное
проникновение достигает максимума. При этом СП ток достигает максимально возможного – второго критического значения I cJ2 , а индуктивность
кольца – максимальной величины L2.
Сказанное можно проиллюстрировать формулой для индуктивности
[16] плоского узкого кольца, который находится в однородном внешнем магнитном поле Be, перпендикулярном плоскости кольца (а также в собственном
магнитном поле):
 8 R

L  0 R  ln
 c ,
 d

(11)
где R  ( R1  R2 ) / 2 – средний радиус плоского кольца; d   R2  R1 – ширина кольца. В этой формуле c = 0,0614 при Be = 0 и c = 0,5 при Be  BcJ1 .
Формула (11) подтверждает факт роста индуктивности кольца при проникновении в него внешнего магнитного поля. Отметим также, что в случае
тонкого кольца круглого сечения при I < I cJ1 в формуле (11) с = 2 [17].
Следует отметить, что вышеприведенное качественное объяснение поведения кривой UH(i), основанное на модели Бина [15], относится только
к участку кривой 0–1–2.
3. Эмпирическое соотношение между СП
параметрами поликристаллического ВТСП
и джозефсоновской глубиной проникновения
Джозефсоновская глубина проникновения  J описывает проникновение магнитного поля для сверхпроводников II рода, к которым относятся поликристаллические ВТСП. У низкотемпературных сверхпроводников тонкий
приповерхностный слой, по которому протекает СП ток, который экранирует
магнитное поле и в который проникает это магнитное поле, называется лон-
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
доновской глубиной проникновения  L (см., например, [2]). Этот параметр
характерен также для ВТСП монокристаллов, кристаллитов и тонких эпитаксиальных пленок.
У поликристаллических ВТСП приповерхностный слой (джозефсоновская глубина проникновения  J ) с экранирующим СП током значительно
толще, чем у монокристаллов:
 J >>  L .
(12)
Причиной этого является специфика строения поликристаллического
ВТСП. Он состоит из кристаллитов, близких по СП свойствам к монокристаллам, и соединяющих их слабых связей. Их еще называют джозефсоновскими, а сами поликристаллические ВТСП – трехмерными джозефсоновскими средами [1].
Материал слабой связи, хоть и является сверхпроводящим, но имеет
значительно меньшие, по сравнению с монокристаллами (кристаллитами),
значения плотности критического тока и критического поля. Поэтому плотность транспортного критического тока у поликристаллических ВТСП также
значительно меньше плотности критического тока монокристалла. Это, очевидно, и является причиной неравенства (12). Потому что при одном и том же
внешнем поле для поликристаллического ВТСП требуется значительно более
толстый приповерхностный слой для достижения экранирующего приповерхностного СП тока, равного приповерхностному экранирующему току
монокристалла.
В данном разделе на основании экспериментальных данных, полученных с помощью измерения кривых UH(i), определяются эмпирические соотношения. Они связывают между собой важные для поликристаллических
ВТСП параметры. Ими являются плотности первого jcJ1 и второго jcJ2 критических токов, первое BcJ1 и второе BcJ2 критические джозефсоновские магнитные поля и джозефсоновская глубина проникновения  J .
Эта глубина не меняется до тех пор, пока плотность тока в слое  J не
достигнет критического значения jcJ1 . Отметим, что на участке 0–1 в слой  J
уже проникло собственное (от СП тока) магнитное поле.
Докажем постоянство толщины приповерхностного слоя  J с помощью наших экспериментов.
Линейность участка 0–1 кривой UH(i) (рис. 1) с точки зрения модели
Бина может быть объяснена следующим образом.
Изначально (при сколь угодно малом токе соленоида и сколь угодно
малом магнитном поле, пронизывающем отверстие кольца) в кольце возникает экранирующий СП ток, распределенный в приповерхностном слое  J .
Величина  J определяется свойствами данного поликристаллического
ВТСП.
С ростом тока соленоида, т.е. пронизывающего кольцо собственного
магнитного поля, увеличивается и экранирующий СП ток, оставаясь, однако,
все в том же приповерхностном слое той же глубины  J .
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
Очевидным доказательством этому служит явная линейность участка
0–1 кривой UH(i). Как следует из (9), (10) и проведенных экспериментов
(рис. 2), величина U H (i ) линейно зависит от i. При этом в (10) входит только одна характеристика, которая также может зависеть от i. Это коэффициент
самоиндукции (индуктивность) L ВТСП кольца.
Известно (и это легко показать), что коэффициент самоиндукции L
кольца с током существенно зависит от проникновения в его отверстие и
в его объем собственного магнитного поля, а поэтому и от распределения тока по объему кольца. Если бы с ростом пронизывающего кольцо потока экранирующий СП ток занимал все большие и большие толщины, т.е. уходил бы
в глубь кольца, то индуктивность L возрастала бы с ростом i, а U H (i ) отклонялась бы от линейной зависимости от i.
Однако строгая линейность участка 0–1 (рис. 1) (этот факт проверен на
многих десятках экспериментальных кривых, построенных для поликристаллических ВТСП колец разных составов) однозначно доказывает, что на этом
участке экранирующий СП ток протекает в слое строго определенной глубины, равной  J .
В противном случае по мере выхода СП тока из этого слоя при его увеличении индуктивность возрастала бы, а участок 0–1 не был бы линейным.
По достижении т. 1 (рис. 1) СП ток I вырастает до первого критического значения I cJ1 , при котором его плотность jcJ1 достигает критической плотности тока, характерной для мейсснеровского [18] состояния данного поликристаллического ВТСП. В т. 1 (рис. 1) слой  J занят током с максимально
возможной плотностью, а также соответствующим для данного состояния
собственным максимальным (критическим) магнитным полем BcJ1 .
Затем СП ток начинает (с тем, чтобы j не превысила jcJ1 ) распространяться в глубь кольца, а вместе с ним и собственное магнитное поле, уже
в виде абрикосовских вихрей (которые по мере проникновения из слоя  J
вглубь закрепляются на центрах пиннинга).
Поэтому на участке 1–2 индуктивность L увеличивается с ростом i,
а кривая UH(i) идет вверх, образуя нелинейный участок 1–2.
В т. 2 экранирующий СП ток I достигает второго критического значеJ
ния I c 2 , протекая теперь уже по всему объему (поперечному сечению) кольца. Абрикосовские вихри при этом с максимальной плотностью также занимают весь объем кольца. При таком состоянии сверхпроводника, как известно [18], достигается максимальный транспортный ток I cJ2 и максимальная
плотность критического тока jcJ2 , характерная для сверхпроводников второго
рода. Собственное магнитное поле внутри кольца достигает при этом значения BcJ2 .
Известно (см., например, [18]), что jcJ2 > jcJ1 , так как jcJ2 соответствует
транспортному СП току сверхпроводника в критическом состоянии при максимальном заполнении объема абрикосовскими вихрями, закрепленными на
центрах пиннинга, а jcJ1 соответствует приповерхностному СП току мейссне-
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ровского состояния. При этом большой интерес вызывает количественное
соотношение между этими плотностями токов, так как оно для данного
сверхпроводника связано с механизмом сверхпроводимости в нем и с механизмом установления критического состояния.
В нашей постановке эксперимента вводимое в ВТСП кольцо магнитное
поле (поток), непосредственно не воздействует на материал кольца. Поэтому
дальнейшее (свыше i2) увеличение тока соленоида, т.е. пронизывающего отверстие кольца магнитного поля, не приводит к увеличению экранирующего
тока, достигшего максимально возможной величины I cJ2 .
Наши бесконтактные эксперименты и соответствующие измерения позволяют установить соотношения между jcJ1 , jcJ2 , BcJ1 , BcJ2 и  J для различных типов ВТСП, а кроме того, определить эти величины.
Рассмотрим эксперименты с реальными кольцами прямоугольного сечения из поликристаллического ВТСП Bi2Ca2Sr2Cu3Oy.
Для кольцевого тока, соответствующего т. 1 кривой U H (i ) , имеем
I cJ1 = jcJ1 S 1 ,
(13)
где S 1 = 2(R 2 – R 1 + h)  J – площадь сечения приповерхностного слоя
толщиной  J ; h – высота кольца; R 1 и R 2 – внутренний и наружный радиусы
кольца; jcJ1 – плотность критического тока в приповерхностном слое, при
превышении которой начинается продвижение СП тока и собственного магнитного поля из приповерхностного слоя в глубь кольца.
В т. 2 (и во всех последующих точках участка 2–3) кольцевой СП ток
I cJ2 вместе с собственным полем занимает весь объем кольца, и с учетом
предполагаемой равномерности распределения можно записать
I cJ2 = jcJ2 S 2 ,
(14)
где S 2 = (R 2 – R 1 )h – площадь сечения кольца.
Измерение U H (i1 ) и U H (i2 ) позволяет с помощью (5) вычислить токи
I cJ1  U H (i1 ) / k H F (0) ;
(15)
I cJ2  U H (i2 ) / k H F (0)  U Hc / k H F (0) .
(16)
Вычисляя отношение I cJ1 и I cJ2 и используя (15), (16) находим
j J U H (i1 ) ( R2  R1 )h
.
 J  c2 

jcJ1 U H (i2 ) 2( R2  R1  h)
(17)
Экспериментальные кривые U H (i) были построены для серии колец«свидетелей» одинаковых размеров и из одного и того же поликристаллического ВТСП Bi2Ca2Sr2Cu3Oy. Были найдены средние по серии значения величин U H (i1 ) и U H (i2 ) и вычислено их отношение:
U H (i1 )
 0,55 .
U H (i2 )
110
(18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
Подставим это отношение и размеры колец в (17) и получим формулу,
связывающую глубину приповерхностного слоя и плотности первого и второго критических токов для поликристаллического ВТСП Bi2Ca2Sr2Cu3Oy:
jJ
 J  0,15 c 2 mm.
jcJ1
(19)
Выведем формулу для  J в случае тонкого кольца кругового сечения
диаметром d. Повторяя предыдущие выкладки для тонкого кольца, найдем
j J U H (i1 ) d
 J  c2 
 .
jcJ1 U H (i2 ) 4
(20)
Многочисленные измерения тонких (d << R, R – средний радиус,
d  1,5 mm) ВТСП колец кругового сечения дали отношение
U H (i1 )
 0,3  0, 4 .
U H (i2 )
(21)
Поэтому для таких тонких колец имеем
jJ
 J  0,13 c 2 mm.
jcJ1
(22)
Соотношения (20) и (22) почти совпадают и отражают некоторое специфическое свойство поликристаллического ВТСП Bi2Ca2Sr2Cu3Oy, связанное
с взаимодействием его вещества с магнитным полем. Эти соотношения устанавливают принципиальную связь между максимальной плотностью критического тока jcJ2 (для всего сечения ВТСП образца в критическом состоянии,
при полном проникновении и пиннинговании вихрей собственного магнитного поля), с критической плотностью тока jcJ1 (при ее равномерном распределении в приповерхностном слое) и толщиной того слоя  J .
поликристаллического ВТСП
Для приближенной оценки  J
Bi2Ca2Sr2Cu3Oy допустим, что джозефсоновская глубина проникновения  J
состоит из четырех гранулярных слоев и  J  4a .
При среднем размере гранулы a  150 m поликристаллического ВТСП
типа Bi2Ca2Sr2Cu3Oy имеем  J ~ 0,6 mm и jcJ2 ~ (5÷10) jcJ1 .
Этот результат носит приближенный, оценочный характер, однако соответствует общефизическим представлениям о максимальности СП тока при
критическом состоянии жесткого СП второго рода и подтверждает расчет.
Следует отметить, что у низкотемпературных жестких СП второго рода
jcJ2 значительно более превосходит jcJ1 , но при этом глубина равна лондоновской λL ~10–7mm [18].
Полученное же соотношение относится к новому классу керамических
(поликристаллических) сверхпроводников, для которых, как уже отмечалось,
в силу слабых межгранульных связей глубина проникновения оказывается на
много порядков больше и по порядку величины равна толщине слоя из не-
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
скольких гранулярных слоев. Этим можно объяснить не очень большое превышение jcJ2 значения jcJ1 .
Развитая в данной работе методика, основанная на построении кривых
U H ( i ), позволяет с помощью нахождения I cJ2 вычислить jcJ2 с помощью соотношения (14). В то же время для вычисления jcJ1 на основании I cJ1 необходимо знание величины  J , которая определяет площадь поперечного сечения
приповерхностного слоя.
На основании найденного экспериментально значения jcJ2 = 514 A/cm2
можно получить формулу, связывающую jcJ1 и  J . Подставляя значение jcJ2
в (22), получим
 J  67
1
jcJ1
mm,
(23)
где jcJ1 имеет размерность A/cm2. Эта формула позволяет оценивать jcJ1 при
известном  J .
Воспользуемся формулами (6), (7) и (15), (16) и найдем соотношение
BcJ1
BcJ2

U H (i2 )

U H (i1 )
I cJ2
I cJ1
,
(24)
которое может оказаться очень полезным при определении входящих в него
критических СП параметров.
Для повышения точности полученных эмпирических соотношений следует, во-первых, повысить точность измерения магнитного поля и перейти к
цифровой, компьютеризованной аппаратуре; во-вторых, что представляется
более важным, следует учесть неравномерность распределения СП тока по
объему образца, а именно заметное превышение плотности тока в наружных
слоях кольца плотности тока в его центре. Имеющиеся в настоящее время
в литературе данные по радиальному распределению плотности тока для колец простейших конфигураций в нашем случае можно использовать только
для грубых оценок, так как все они соответствует случаю размещения кольца
во внешнем однородном магнитном поле. В нашем же случае кольцо находится под действием только собственного магнитного поля, существенно отличающегося от однородного.
В ближайших исследованиях будет проверен обоснованный в настоящее время теоретически способ измерения радиального распределения j(r)
плотности СП тока (протекающего по кольцу и находящегося в собственном
магнитном поле). В данном разделе используется функция F(x) (см. (3)), вычисленная при j = const. При известной функции j(r) и при ее учете изменится
функция F(x) и все формулы, связанные с ней. Формулы (13) и (14) необходимо будет заменить интегралами
I cJ1,c 2 
112
 jc1,c 2dS .
J
(25)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
Заключение
В заключение отметим, что найденные приближенные соотношения
между  J и jcJ2 , jcJ1 и возможность их уточнения дают хорошую перспективу для проверки и построения тех или иных теоретических моделей проникновения и взаимодействия собственного магнитного поля с веществом поликристаллического ВТСП
Список литературы
1. Б е л о д е д о в, М . В. О проникновении магнитного поля в гранулированный
сверхпроводник / М. В. Белодедов, С. В. Черных // Журнал технической физики. –
2003. – Т. 73. – Вып. 2. – С. 75–80.
2. Ш м и д т, В. В. Введение в физику сверхпроводников / В. В. Шмидт. – М. :
МЦНМО, 2000. – 393 с.
3. К о н а п л е в а , Р . Ф. Исследование методом высокочастотного поглощения параметров ВТСП материалов, облученных быстрыми нейтронами реактора /
Р. Ф. Конаплева, В. С. Чащин // Физика твердого тела. – 1997. – Т. 39. – № 1. –
С. 28–34.
4. Р о м а н о в , С . Г . Проникновение магнитного поля в трехмерную регулярную
решетку наночастиц сверхпроводника / С. Г. Романов // Письма в ЖЭТФ. – 1994. –
Т. 59. – Вып. 11. – С. 778–782.
5. К у з ь м и ч е в , Н . Д . Проникновение магнитного поля в систему слабых связей
гранулярного сверхпроводника YBa2Cu3O7-x / Н. Д. Кузьмичев // Физика твердого
тела. – 2001. – Т. 43. – Вып. 11. – С. 1934–1938.
6. А р ж а в и ти н , В. М . Процесс проникновения магнитного поля в ВТСП
YBa2Cu3O7-δ / В. М. Аржавитин, Н. Н. Ефимова, М. Б. Устименкова, В. А Финкель //
Физика твердого тела. – 2000. – Т. 42. – Вып. 8. – С. 1361–1364.
7. Д е р е в я н к о , В. В. Влияние внешнего магнитного поля и захваченного магнитного потока на вольт-амперные характеристики гранулярного ВТСП YBA2Cu3O7-8 /
В. В. Деревянко, Т. В. Сухарева, В. А. Финкель // Физика твердого тела. – 2006. –
Т. 48. – № 8. – С. 1374–1380.
8. Ш у г и л е б и н , И . М . Проникновение магнитного потока в сверхпроводники
Y – Ba – Cu – O и Tl – Ba – Ca – Cu – O / И. М. Шугилебин // Известия Рос. АН. –
1993. – Т. 57. – № 11. – С. 178–182. – (Серия физическая).
9. Т а р е н к о в , В. Ю . Критические параметры высокотемпературной HgBaCaCuO
керамики Tc = 133K: эффекты магнитного поля и давления / В. Ю. Таренков,
А. В. Абалешев, А. И. Дьяченко, Р. В. Луцив, Ю. Н. Мясоедов // Физика низких
температур. – 1996. – Т. 22. – № 6. – С. 609–612.
10. Патент Российского Агентства по патентам и товарным знакам РФ на изобретение № 2244317. Способ бесконтактного измерения тока ВТСП и устройство для
его реализации / Буев А. Р. – 02.12.2002 ; Бюл. № 1. – 2005.
11. Ба тыгин , В. В. Сборник задач по электродинамике / В. В Батыгин, И. Н. Топтыгин. – М. : Наука, ГИФМЛ, 1962. – 480 с.
12. Б у е в , А . Р . Исследование высокотемпературной сверхпроводимости с помощью нового бесконтактного метода / А. Р. Буев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2004. – № 5. – С. 98–104. – (Естественные науки).
13. B r a n d t E . H . Type-II-superconductor strip with current in a perpendicular magnetic
field / Brandt E. H., Indenbom M. // Phys. Rev. B. – 1993. – V. 48. – P. 12893.
14. Ze ld o v , E. Magnetization and transport currents in thin superconducting films /
E. Zeldov, J. R Clem., M. McElfresh, M. Darwin // Phys. Rev. B. – 1994. – V. 49. –
P. 9802.
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
15. B e a n , C . P . Magnetization of hard superconductors / C. P. Bean // Phys. Rev. Let. –
1962. – V. 8. – P. 250.
16. B r a n d t , E . H . Susceptibility of superconducting rings with and without flux creep /
E. H. Brandt // Phys. Rev. B. – 1997. – V. 55. – P. 14513.
17. H e r zo g , T h . Experimental test of theories describing the magnetic AC-susceptibility
of differently shaped supercondcuting films: rectangles, squares, disks, and rings patterned from YBaCuO-films / Th. Herzog, H. A. Radowan, P. Ziemann, H. Brandt //
Phys. Rev. B. – 1997. – V. 56. – P. 2871.
18. B u c k e l , W . Supraleitung. 4.überarbeitete und ergänzte Auflage / W. Buckel. – VCH,
1989. – 335 s.
19. B u j e v , A . R . Contactless method of studying of high-temperature superconductors,
coherent oscillations of superconducting electrons / A. R. Bujev // Izwestija Wusov.
Powolzhski Region. – 2004. – № 6. – P. 86–92.
Суворова Людмила Алексеевна
аспирант, Марийский
государственный университет
(г. Йошкар-Ола)
Suvorova Lyudmila Alexeevna
Postgraduate student,
Mari State University (Yoshkar-Ola)
E-mail: suv87l@mail.ru
Буев Андрей Романович
доктор технических наук, профессор,
декан физико-математического
факультета, Марийский государственный
университет (г. Йошкар-Ола)
Buev Andrey Romanovich
Doctor of engineering sciences, professor,
dean of the department of physics
and mathematics, Mari State
University (Yoshkar-Ola)
E-mail: suv87l@mail.ru
УДК 538.945
Суворова, Л. А.
Модель процесса перехода поликристаллического высокотемпературного сверхпроводника в критическое состояние / Л. А. Суворова,
А. Р. Буев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3 (15). – С. 102–114.
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
УДК 548.0:534
Р. А. Браже, А. И. Кочаев
ОБЩИЙ МЕТОД ПОИСКА ЧИСТЫХ МОД
УПРУГИХ ВОЛН В КРИСТАЛЛАХ1
Аннотация. Предложен универсальный метод поиска направлений распространения и поляризации чистых мод упругих волн в кристаллах, в общем случае обладающих пьезоэффектом. С этой целью построена математическая модель чистых мод упругих волн, основанная на адиабатических уравнениях состояния произвольной анизотропной пьезоэлектрической среды и уравнении
ее движения под воздействием упругих деформаций в произвольной ортогональной системе координат. Для упрощения расчетов разработана компьютерная программа.
Ключевые слова: упругие волны, продольные нормали, поперечные нормали,
пьезоэффект.
Abstract. The universal search method for pure modes propagation and polarization
in crystals, in general piezoelectrics, is suggested. For the problem’s solution the
mathematical model of pure modes for elastic waves based on adiabatic state equations for an arbitrary anisotropic medium and its motion equation under the elastic
deformations in rotating Cartesian coordinates is constructed. The computer program is prepared to simplify the calculations.
Keywords: elastic waves, longitudinal normals, transverse normals, piezoeffect.
Введение
В произвольном направлении в анизотропной среде могут распространяться (в общем случае) три упругие волны: одна квазипродольная и две квазипоперечные [1]. Практический интерес представляют чистые моды упругих
волн, поскольку в них направления волнового и лучевого векторов совпадают. Совокупность одной продольной и двух поперечных чистых мод, распространяющихся вдоль одной прямой, принято называть продольной нормалью.
Поперечной нормалью является такое направление, вдоль которого распространяется одна поперечная волна, а две другие являются квазипродольной и
квазипоперечной. Метод отыскания продольных нормалей был разработан
Ф. Е. Боргнисом [2] в 1955 г., а впоследствии (1965) усовершенствован
К. Браггером [3]. Позднее, в 1968 г., З. Р. Чанг [4] представил метод отыскания
поперечных нормалей в кристаллах некоторых классов симметрии. Данные методы позволяют правильно отыскивать направления продольных и поперечных
нормалей лишь для непьезоэлектрических кристаллов. Поправки для случая
пьезоэлектрических кристаллов были сделаны В. Н. Любимовым в 1969 г. [5].
Наконец, Р. А. Браже и др. [6] в 1975 г. предложил общий метод отыскания продольных и поперечных нормалей в кристаллах произвольной симметрии, в том числе пьезоэлектрических, основанный на диагонализации коэффициентов волнового уравнения. Получаемые при этом системы нелинейных уравнений оказались настолько сложны, что средства вычислительной
техники того периода не позволили авторам реализовать свой метод в полной
мере. В данной работе мы заполняем этот пробел.
1
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-02_97002р_поволжье_а).
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Постановка задачи
Будем рассматривать плоские упругие волны в неограниченной анизотропной непроводящей, в общем случае пьезоэлектрической среде, используя
адиабатическое приближение. Предполагаем, что магнитные эффекты отсутствуют, а электромеханические поля являются квазистатическими. Кристалл
считается электрически разомкнутым.
В принятых допущениях уравнения состояния пьезоэлектрической среды в произвольной подвижной ортогональной системе координат ( x1 , x2 ,
x3 ) можно записать в виде
  emij ai aj am E ;
  сijkl aai aj ak al S 
(1)
 .
D   mn an am E  enkl an ak al S 
(2)
 обозначают тензоры упругих натяжений и деформаЗдесь  и S 
ций;  mn , enkl и сijkl представляют собой тензоры диэлектрических проницаемостей, пьезоконстант и модулей упругости; Е и D являются векторами напряженности и индукции электрического поля соответственно. Символы «а» с двумя нижними индексами представляют собой направляющие
косинусы подвижной системы координат относительно кристаллофизической
системы координат ( x1 , x2 , x3 ), причем греческие индексы соответствуют
подвижным осям, а латинские – кристаллофизическим.
Исключая Е из системы уравнений (1), (2) и подставляя  в уравнение упруго деформированной среды

 2u
t 2

 2 
x12
,
(3)
инвариантное относительно преобразований координат, при условиях


  D  0 ,   E  0 для плоских упругих волн, распространяющихся в произвольном направлении x1 , получаем следующее волновое уравнение:

e11e11   2u

,

  c 11 

 x12

t 2

11


 2u
(4)
где компоненты вектора смещения частиц:
u  ai ui , u  ak uk ;
(5)
компоненты тензора модулей упругости:
c 11  ai a1 j ak a1l cijkl ;
(6)
компоненты ранее введенных тензоров диэлектрических проницаемостей и
пьезоконстант:
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
  a1m a1n  mn ;
11
(7)
e11  a1n ak a1l enkl , e11  a1m ai a1l emij .
(8)
Стоящие в круглых скобках коэффициенты уравнения (4) образуют
действительную симметричную матрицу эффективных модулей упругости,
в общем случае «ужесточенных» за счет пьезоэффекта. Эта матрица может
быть приведена к диагональному или неполному диагональному виду с помощью преобразования подобия с действительной ортогональной преобразующей матрицей, элементами которой являются направляющие косинусы
преобразования координат. Обозначив эффективные модули упругости как
c 11  c 11 
e11e11

11
,
(9)
представим соответствующую матрицу в виде


 
c1121
c1131
 c1111


 c 11   c2111


c2121
c2131

  
.
 c



c3131
 3111 c3121

(10)
Элементы матрицы (10) выражаются по формуле, аналогичной (6), через ужесточенные модули упругости cijkl и девять направляющих косинусов:
a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 , a31 , a32 , a33 , которые связаны между собой
соотношениями ортогональности:
ai ai   ,
(11)
где  является символом Кронекера.
Так как матрица (10) симметричная, то независимых элементов в ней
только шесть. Ввиду их громоздкости они представлены в приложении 1.
Продольные нормали
В случае продольных нормалей ось x1 совмещается с направлением
распространения и поляризации чисто продольной волны, а оси x2 и x3 совпадают с направлениями поляризации двух чисто поперечных волн, распространяющихся в том же направлении, что и продольная волна. При этом все
недиагональные элементы матрицы (10) обращаются в нуль:


 c2111
 0,
c1121


c1131
 c3111
 0,


 c3121
 0.
c2131
(12)
Направление распространения всех трех волн определяется направляющими косинусами a11 , a12 , a13 . Направления поляризации двух чисто
поперечных волн определяются направляющими косинусами a21 , a22 , a23 и
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
a31 , a32 , a33 . Для отыскания a11 , a12 , a13 используем первое уравнение
системы (12), взяв его подробную запись из приложения 2, и соотношение
ортогональности (11) для α = 1, β = 2:
 Aa21  Ba22  Ca23  0,

 a11a21  a12 a22  a13a23  0.
(13)
Здесь через A, B и C, зависящие только от a11 , a12 , a13 , обозначены

выражения, стоящие в квадратных скобках, в записи c1121
из приложения 2.
Приравнивая нулю определители из коэффициентов при неизвестных a21 ,
a22 , a23 системы (13)
B
A
B
0,
a11 a12
a12
C
a13
0,
A
C
a11 a13
 0,
легко получить три уравнения, решение которых дает искомые a11 , a12 , a13 :
2
2
2
a11a12  a11
(c14  2c56 )  a12
c24  a13
(3c34  2c14  4c56 )  


2
2
2
 a11a13  a11
(c11  c13  2c55 )  a12
(c12  c23  2c44  2c66 )  a13
(c13  c33  2c55 )  


2
2
2
 a12 a13  a11
(3c16  2c36  4c45 )  a12
c26  a13
(c36  2c45 )  


2
2
2
2
2
2
2
2
2
 a12
(c25  2c46 )(a11
 a13
)  a13
(3a11
 a13
)c35  a11
(3a13
 a11
)c15  0; (14)
2
2
2
a11a12  a11
c15  a12
(c25  2c46 )  a13
(3c35  2c25  4c46 )  


2
2
2
 a11a13  a11
c16  a12
(3c26  4c45  2c36 )  a13
(c36  2c45 )  


2
2
2
 a12 a13  a11
(c12  c13  2c55  2c66 )  a12
(c22  c23  2c44 )  a13
(c33  c23  2c44 )  


2
2
2
2
2
2
2
2
2
 a11
(c14  2c56 )(a12
 a13
)  a12
(a12
 3a13
)c24  a13
(3a12
 a13
)c34  0; (15)
2
2
2
a11a12  a11
(c12  2c66  c11 )  a12
(c22  c12  2c66 )  a13
(c32  2c44  c31  2c55 )  


2
2
2
 a11a13  a11
(c14  2c56 )  a12
(3c24  2c14  4c56 )  a13
c34  


2
2
2
 a12 a13  a11
(3c15  4c46  2c25 )  a12
(c25  2c46 )  a13
c35  


2 2
2
2
2
2
2
2
2
 a11
(a11  3a12
)c16  a12
(3a11
 a12
)c26  a13
( a11
 a12
)(c36  2c45 )  0. (16)
Заметим, что использование второго уравнения системы (12) в подробной записи из приложения 1 и соотношения ортогональности (11) для α = 1,
β = 3 приводит к такому же результату, так как при этом получаются такие
же коэффициенты, что и в (13), но при неизвестных a31 , a32 , a33 .
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
Такие же уравнения, что и (14)–(16), были получены в [3], но для неужесточенных за счет пьезоэффекта модулей упругости cijkl . Для учета пьезоэффекта нужно расписать все cijkl в (14)–(16) по формуле
сijkl  сijkl 
a1n a1m emij еnkl
a1r a1s  rs
.
(17)
Для отыскания направлений поляризации x2 и x3 распространяющихся наряду с чисто продольной волной двух чисто поперечных волн нужно
использовать третье уравнение системы (12) и соотношения ортогональности
(11) для α, β = 2; α, β = 3; α = 2, β = 1; α = 3, β = 1; α = 2, β = 3:
с2131

 0,

2
2
2
a21  a22
 a23
 1,

2
2
2
a  a  a  1,
33
 31 32
a21a11  a22 a12  a23a13  0,

a31a11  a32 a12  a33a13  0,
a a  a a  a a  0,
23 33
 21 31 22 32
(18)

где выражение для с2131
берется из приложения 1. Решение системы (18) из
шести уравнений дает направляющие косинусы направлений поляризации
поперечных волн: a21 , a22 , a23 и a31 , a32 , a33 .
Скорости всех чистых мод упругих волн, распространяющихся вдоль
продольных нормалей, легко получить подстановкой найденных направляющих косинусов в диагональные элементы матрицы (10), расписав их по соответствующим формулам из приложения 1 с использованием (17) и вычисляя
по формуле
1
 c
 2
v   11  .
  
(19)
Здесь α = 1 для чисто продольной волны и α = 2, 3 для сонаправленных
с ней двух чисто поперечных волн.
Упругие волны, сопровождаемые продольными пьезоэлектрическими
полями, называются пьезоактивными. Из рассмотренных выше чистых мод
упругих волн пьезоактивными будут те, для которых эффективный модуль
упругости ужесточается. Величина этого ужесточения определяется коэффициентом электромеханической связи
1
 c

k  1  11 
 c 11 
2
,
(20)
где c 11 есть соответствующий неужесточенный модуль упругости, для получения которого следует в c 11 положить все пьезоэлектрические константы равными нулю.
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Поперечные нормали
Для отыскания поперечных нормалей следует заметить, что найденные
выше направления поляризации x2 , x3 двух чисто поперечных волн, распространяющихся вдоль продольных нормалей, были обозначены нами так условно. С равным успехом мы могли бы поменять эти обозначения местами.
Поэтому, взяв за основу одно из них, например x3 , мы можем найти перпендикулярную этой оси плоскость, в которой лежат направления распространения всех чисто поперечных волн, имеющих поляризацию x3 . И лишь в некоторых направлениях в этой плоскости, совпадающих с продольными нормалями, все три упругие волны будут образовывать чистые моды. Перебирая
все найденные в предыдущем разделе направления поляризации чисто поперечных мод, определяемые направляющими косинусами a31 , a32 , a33 , мы
можем найти их направления распространения, определяемые направляющими косинусами a11 , a12 , a13 из соотношений ортогональности (11) для α,
β = 1; α = 3, β = 1:
2
2
2
a11
 a12
 a13
 1,

a31a11  a32 a12  a33a13  0.
(21)
Отметим, что, определив направление поляризации чисто поперечной
волны как x2 , мы получили бы те же самые a11 , a12 , a13 из соотношений
ортогональности для α, β = 1; α = 2, β = 1.
Оптимизация вычислений посредством
применения компьютерной программы
С вычислительной точки зрения задача отыскания направляющих косинусов продольных и поперечных нормалей в кристалле затруднена решением системы нелинейных уравнений (14)–(16). Поэтому нами разработана
компьютерная программа, использующая пакет Maple 9.5 в операционной
системе Windows XP, решающая весь круг перечисленных выше вопросов.
Для получения исчерпывающих сведений об особенностях распространения
упругих волн в конкретном пьезоэлектрическом кристалле пользователю
нужно лишь ввести табличные значения плотности среды и компонентов тензоров модулей упругости, пьезомодулей и диэлектрических проницаемостей.
В приложении 2 приведены примеры использования разработанной
программы для отыскания чисто продольных мод в непьезоэлектрическом
кристалле сапфира (α-Al2O3), принадлежащего к классу симметрии 3m тригональной сингонии (табл. 2.1), и в пьезоэлектрическом кристалле ниобата
лития (LiNbO3) из класса симметрии 3m той же сингонии (табл. 2.2). Все необходимые константы взяты из [7]. Параллельно для той же цели был использован метод Браггера. Как и следовало ожидать, для непьезоэлектрического
кристалла сапфира результаты обоих методов совпали. Игнорирование пьезоэффекта в случае пьезоэлектрического кристалла ниобата лития в методе
Браггера дало не только другие значения скоростей трех упругих волн, но и
совершенно другое количество продольных нормалей (табл. 2.3). Применение
ужесточающих поправок к модулям упругости для простых (осевых) направ-
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
лений продольных нормалей можно произвести, руководствуясь соображениями, изложенными в [5]. Однако разработанная нами программа делает это
автоматически для чистых мод упругих волн любого, в том числе и не осевого, направления распространения.
Заключение
Проблема поиска чистых мод упругих волн в пьезоэлектрических кристаллах, по сравнению с той же задачей в непьезоэлектрических кристаллах,
осложняется зависимостью как самих направлений распространения таких
волновых мод, так и их количества не только от класса симметрии кристалла,
но и от величин упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических констант.
Предложенная нами математическая модель, основанная на методе диагонализации элементов матрицы эффективных модулей упругости, приводит хотя
и к довольно громоздким нелинейным уравнениям, но все же доступным
к решению на персональном компьютере. Разработанная нами программа позволяет дать полное описание акустических свойств любого непроводящего
кристалла, в том числе пьезоэлектрического, если известны его симметрия и
соответствующие физические константы.
Список литературы
1. C h r i s t o f f e l , E . B . Ueber die Fortpflanzung von Stössen durch elastische feste Körper / E. B. Christoffel // Ann. di matematica pura ed applicata(2). – 1877. – V. 8. –
P. 193–243.
2. B o r g n i s , F . E . Specific direction of longitudinal wave propagation in anisotropic
media / F. E. Borgnis // Phys. Rev. – 1955. – V. 98. – P. 1000–1005.
3. B r u g g e r , K . Pure modes for elastic waves in crystals / K. Brugger // J. Appl. Phys. –
1965. – V. 36. – № 3. – Part 1. – P. 759–768.
4. C h a n g , Z. P . Pure transverse modes for elastic waves in crystals / Z. P. Chang //
J. Appl. Phys. – 1968. – V. 39. – № 12. – P. 5669–5681.
5. Л ю б и м о в , В. Н . Учет пьезоэффекта в теории упругих волн для кристаллов
различной симметрии / В. Н. Любимов // Докл. АН СССР. – 1969. – Т. 186. –
№ 5. – С. 1055-1058.
6. Б р а ж е , Р . А . Эффективность дифракции света на чистых модах упругих волн /
Р. А. Браже, М. А. Григорьев, В. Н. Наянов // ФТТ. – 1975. – Т. 17. – № 3. –
С. 886–895.
7. Б л и с т а н о в , А . А . Акустические кристаллы / А. А. Блистанов, В. С. Бондаренко, Н. В. Переломова, Ф. Н. Стрижевская, В. В. Чкалова, М. П. Шаскольская. –
М. : Наука, 1982. – 632 c.
Приложение 1
Ненулевые элементы матрицы [c 11 ]
3
3
3
2
2
2

 a11  a11
c1111
c11  a12
c23  a13
c35  3a11
a12 c16  3a11
a13c15  a12
a11 (c12  2c66 ) 

2
2
 a11a12 a13 (4c56  2c14 )  a13
a11 (c31  2c55 )  a12
a13 (c25  2c46 ) 
2
3
3
3
2
 a13
a12 (c36  2c45 )   a12  a11
c16  a12
c22  a13
c34  a11
a12 (c12  2c66 ) 


2
2
2
 a11
a13 (c14  2c56 )  3a12
a11c26 )  a11a12 a13 (4c46  2c25 )  a13
a11 (c36  2c45 ) 
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2
2
3
3
3
3a12
a13c24  a13
a12 (c32  2c44 )   a13  a11
c15  a12
c24  a13
c33 


2
2
2
 a11
a12 (c14  2c56 )  a11
a13 (c13  2c55 )  a12
a11 (c25  2c46 ) 
2
2
2
a11c35  a12
a13 (c23  2c44 )  3a13
a12 c34  ;
 a11a12 a13 (4c45  2c36 )  3a13

3
3
3
2
2


c1121
 c2111
 a21  a11
c11  a12
c23  a13
c35  3a11
a12 c16  3a11
a13c15 

2
2
 a12
a11 (c12  2c66 )  a11a12 a13 (4c56  2c14 )  a13
a11 (c31  2c55 ) 
2
2
3
3
 a12
a13 (c25  2c46 )  a13
a12 (c36  2c45 )   a22  a11
c16  a12
c22 


3
2
2
2
 a13
a13 (c14  2c56 )  3a12
a11c26 ) 
c34  a11
a12 (c12  2c66 )  a11
2
2
 a11a12 a13 (4c46  2c25 )  a13
a11 (c36  2c45 )  3a12
a13c24 
2
3
3
3
 a13
a12 (c32  2c44 )   a23  a11
c15  a12
c24  a13
c33 


2
2
2
 a11
a12 (c14  2c56 )  a11
a13 (c13  2c55 )  a12
a11 (c25  2c46 ) 
2
2
2
 a11a12 a13 (4c45  2c36 )  3a13
a11c35  a12
a13 (c23  2c44 )  3a13
a12 c34  ;

3
3
3
2
2


c1131
 c3111
 a31  a11
c11  a12
c23  a13
c35  3a11
a12 c16  3a11
a13c15 

2
2
 a12
a11 (c12  2c66 )  a11a12 a13 (4c56  2c14 )  a13
a11 (c31  2c55 ) 
2
2
3
3
 a12
a13 (c25  2c46 )  a13
a12 (c36  2c45 )   a32  a11
c16  a12
c22 


3
2
2
2
a13 (c14  2c56 )  3a12
a11c26 ) 
 a13
c34  a11
a12 (c12  2c66 )  a11
2
2
 a11a12 a13 (4c46  2c25 )  a13
a11 (c36  2c45 )  3a12
a13c24 
2
3
3
3
 a13
a12 (c32  2c44 )   a33  a11
c15  a12
c24  a13
c33 


2
2
2
 a11
a12 (c14  2c56 )  a11
a13 (c13  2c55 )  a12
a11 (c25  2c46 ) 
2
2
2
 a11a12 a13 (4c45  2c36 )  3a13
a11c35  a12
a13 (c23  2c44 )  3a13
a12 c34  ;

2  2

c2121
 a21
a c  a 2 c  a 2 c  2a11a12 c16  2a11a13c15  2a12 a13c56 
 11 11 12 66 13 55

2  2
 a22
a c  a 2 c  a 2 c  2a11a12 c26  2a11a13c46  2a12 a13c24  
 11 66 12 22 13 44

2  2
 a23
a c  a 2 c  a 2 c  2a11a12 c45  2a11a13c35  2a12 a13c34  
 11 55 12 44 13 33

2
2
2
2a21a22  a11
c16  a12
c26  a13
c45  a11a12 (c12  c66 )  a11a13 (c14  c56 ) 

2
2
2
c15  a12
c46  a13
c35  a11a12 (c14  c56 ) 
 a12 a13 (c25  c46 )   2a21a23  a11


2
2
2
c56  a12
c24  a13
c34 
 a11a13 (c13  c55 )  a12 a13 (c36  c45 )   2a22 a23  a11


 a11a12 (c25  c46 )  a11a13 (c36  c45 )  a12 a13 (c23  c44 )  ;

122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
2
2
2


 c3121
 a21a31  a11
c2131
c11  a12
c66  a13
c55  2a11a12c16  2a11a13c15 

2
2
2
2a12 a13c56   a21a32  a11
c16  a12
c26  a13
c45  a11a12 (c12  c66 ) 

2
2
2
 a11a13 (c14  c56 )  a12 a13 (c25  c46 )   a21a33  a11
c15  a12
c46  a13
c35 


2
 a11a12 (c14  c56 )  a11a13 (c13  c55 )  a12 a13 (c36  c45 )   a22 a31  a11
c16 


2
2
 a12
c26  a13
c45  a11a12 (c12  c66 )  a11a13 (c14  c56 )  a12 a13 (c25  c46 )  

2
2
2
 a22 a32  a11
c66  a12
c22  a13
c44  2a11a12c26  2a11a13c46 

2
2
2
c56  a12
c24  a13
c34  a11a12 (c25  c46 ) 
2a12 a13c24   a22 a33  a11


2
2
2
 a11a13 (c36  c45 )  a12 a13 (c23  c44 )   a23a31  a11
c15  a12
c46  a13
c35 


2
 a11a12 (c14  c56 )  a11a13 (c13  c55 )  a12 a13 (c36  c45 )   a23a32  a11
c56 


2
2
 a12
c24  a13
c34  a11a12 (c25  c46 )  a11a13 (c36  c45 )  a12 a13 (c23  c44 )  

2
2
2
 a23a33  a11
c55  a12
c44  a13
c33  2a11a12 c45  2a11a13c35  2a12 a13c34  ;


2
2
2
2

c3131
 a31  a11c11  a12 c66  a13c55  2a11a12c16  2a11a13c15  2a12 a13c56  


2  2
 a32
a c  a 2 c  a 2 c  2a11a12 c26  2a11a13c46  2a12 a13c24  
 11 66 12 22 13 44

2  2
 a33
a c  a 2 c  a 2 c  2a11a12c45  2a11a13c35  2a12 a13c34  
 11 55 12 44 13 33

2
2
2
2a31a32  a11
c16  a12
c26  a13
c45  a11a12 (c12  c66 )  a11a13 (c14  c56 ) 

2
2
2
c15  a12
c46  a13
c35  a11a12 (c14  c56 ) 
 a12 a13 (c25  c46 )   2a31a33  a11


2
2
2
 a11a13 (c13  c55 )  a12 a13 (c36  c45 )   2a32 a33  a11
c56  a12
c24  a13
c34 


 a11a12 (c25  c46 )  a11a13 (c36  c45 )  a12 a13 (c23  c44 )  .

Приложение 2
Упругие и электромеханические свойства продольных нормалей
Таблица 2.1
Сапфир (α-Al2O3). Вычисления, выполненные с помощью
разработанной программы и метода Браггера
1
Направление
распространения
2
x3
(0, 0 ,1)
Срез
Смещение частиц
Тип волны
3
(0, 0, 1)
(1, 0 ,0)
(0, 1, 0)
4
L
T2
T3
Скорость
v, 103 м/с
5
11.19
6.09
6.09
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Окончание табл. 2.1
1
2
x1
(1, 0, 0)
x2+86°
(0, 0.064, 0.998)
x2+23°
(0, 0.922, 0.386)
x2–38°
(0, 0.789, -0.614)
x1+30°
(0.500, 0.866, 0)
3
(1, 0, 0)
(0, 0.831, –0.558)
(0, 0.558, 0.831)
(0, 0.064, 0.998)
(0, –0.998, 0.064)
(1, 0, 0)
(0, 0.922, 0.386)
(0, 0.386, –0.922)
(1, 0, 0)
(0, 0.789, –0.614)
(0, 0.614, 0.789)
(1, 0, 0)
(0.500, 0.866, 0)
(–0.514, 0.297, –0.805)
(–0.697, 0.402, 0.593)
4
L
T2
T3
L
T2
T3
L
T2
T3
L
T2
T3
L
T2
T3
5
11.17
5.91
6.63
11.29
6.08
6.25
10.33
7.11
6.70
10.88
6.98
5.75
11.19
5.91
6.64
Таблица 2.2
Ниобат лития (LiNbo3). Вычисления, выполненные
с помощью разработанной программы (с учетом пьезоэффекта)
Срез
Направление
распространения
x3
(0, 0 ,1)
x1
(1, 0, 0)
x2+22°
(0, 0.923, 0.386)
Смещение
частиц
(0, 0, 1)
(1, 0 ,0)
(0, 1, 0)
(1, 0, 0)
(0, 0.755, 0.656)
(0, –0.656, 0.755)
(0, 0.923, 0.386)
(0, –0.386, 0.923)
(1, 0, 0)
Тип Скорость
волны v, 103 м/с
L
T2
T3
L
T2
T3
L
T2
T3
7.32
3.58
3.58
6.57
4.08
4.80
6.70
3.85
4.52
Коэффициент
электромеханической
связи kα
0.16
–
–
–
0.10
0.68
0.10
0.09
0.57
Таблица 2.3
Ниобат лития (LiNbo3). Вычисления, выполненные
с помощью метода Браггера (без учета пьезоэффекта)
Направление
Срез
распространения
1
2
x3
(0, 0 ,1)
x1
(1, 0, 0)
124
Смещение
частиц
3
(0, 0, 1)
(1, 0 ,0)
(0, 1, 0)
(1, 0, 0)
(0, 0.425, –0.905)
(0, 0.905, 0.425)
Тип Скорость
волны v, 103 м/с
4
L
T2
T3
L
T2
T3
5
7.16
3.58
3.58
6.56
3.49
4.04
Коэффициент
электромеханической
связи kα
6
–
–
–
–
–
–
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
Окончание табл. 2.3
1
2
3
(0, 0.467, -0.884)
x2–62° (0, 0.467, -0.884)
(0, 0.884, 0.467)
(1, 0, 0)
(0.500, 0.866, 0)
x1+30° (0.500, 0.866, 0) (–0.719, 0.415, 0.558)
(0.483, -0.279, 0.830)
Браже Рудольф Александрович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
физики, Ульяновский государственный
технический университет
4
L
T2
T3
L
T2
T3
5
6.90
3.98
3.49
6.56
3.64
3.90
6
–
–
–
–
–
–
Brazhe Rudolf Alexandrovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head
of sub-department of physics,
Ulyanovsk State Technical University
E-mail: brazhe@ulstu.ru
Кочаев Алексей Иванович
аспирант, Ульяновский государственный
технический университет
Kochaev Alexey Ivanovich
Postgraduate student,
Ulyanovsk State Technical University
E-mail: a.kochaev@ulstu.ru
УДК 548.0:534
Браже, Р. А.
Общий метод поиска чистых мод упругих волн в кристаллах /
Р. А. Браже, А. И. Кочаев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3 (15). – С. 115–125.
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 532.74:538.66:538.27
В. И. Архипов, Н. Агмон
ОЦЕНКА РАЗМЕРОВ КЛАСТЕРА В АССОЦИИРОВАННЫХ
ЖИДКОСТЯХ ПО ХАРАКТЕРНЫМ ВРЕМЕННЫМ
МАСШТАБАМ ОРИЕНТАЦИОННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Аннотация. Проведен качественный анализ первого уравнения цепочки кинетических уравнений Цванцига – Мори для временной корреляционной функции суммарного дипольного момента кластера ассоциированной жидкости.
Получены соотношения, позволяющие по данным диэлектрической спектроскопии оценивать размер кластера. Размер кластера, вносящего вклад в диэлектрическую релаксацию, оказывается связан с отношением макроскопического (коллективного) и микроскопического (единичного) времен ориентационной релаксации диполя. В свою очередь ранее полученная одним из авторов
формула, связывающая отношение этих времен с параметрами диэлектрического спектра, позволяет оценить количество диполей в кластере по параметрам диэлектрического спектра.
Ключевые слова: Диполь, диэлектрик, вода, спирт, кинетические уравнения,
проекционные операторы, время релаксации, диэлектрическая проницаемость,
корреляционная функция, спектроскопия.
Abstract. A simplified derivation for the ratio of macroscopic to microscopic relaxation times of polar liquids is based on the Mori–Zwanzig projection-operator technique, with added statistical assumptions. We obtain several useful forms for the
lifetime ratio, which we apply to the dynamics of liquid water. Our theoretical single-molecule relaxation times agree with the second Debye relaxation times as
measured by frequency-domain dielectric spectroscopy of water and alcohols. From
the theory, fast relaxation modes couple to the Debye relaxation time, τD. Slower
modes are localized to smaller water clusters. This is exemplified by the lifetime ratios measured by time-domain dielectric spectroscopy and optical Kerr effect spectroscopy, respectively.
Keywords: Dipole, dielectric, water, spirit, the kinetic equations, projective operators, relaxation time, dielectric permeability, correlation function, spectroscopy.
Введение
Электрическое поле внутри диэлектрического материала запаздывает
по отношению к внешнему приложенному полю ввиду конечности релаксационного процесса. Этот факт лежит в основе измерения комплексной диэлектрической проницаемости в различных методах диэлектрической спектроскопии [1–5]. В своей пионерской работе [1] Дебай объяснил этот эффект
ориентационной релаксацией жестких молекулярных диполей [6, 7], которая
описывается экспоненциальной функцией релаксации с характерным временем τD, которое обычно называют «Дебаевским временем релаксации».
К примеру, при комнатной температуре (25 °С) для воды τD = 8,4 пс [8]. Дебай вывел свои формулы в предположении невзаимодействующих диполей.
Однако такая сильно ассоциированная жидкость, как вода, с ее водородосвязанной тетраэдрической структурой [9] имеет близкую к дебаевской частотную зависимость диэлектрических потерь, соответствующую экспоненциальной релаксационной динамике. Несмотря на это, сильные взаимодействия
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
между соседними молекулами воды приводят к коллективным движениям,
что подтверждается недавними расчетами по молекулярной динамике
[10–12]. Это наводит на мысль о том, что τD является характерным временем
некоторого коллективного релаксационного процесса, которое больше времени переориентации единичного диполя τs. Возникают вопросы: какова
природа этого коллективного процесса, какая связь между временами коллективной и индивидуальной релаксацией диполей? Используя поле полости
Онсагера, Дебай нашел, что [1]
D s  2

,
s   2
(1)
где εs = ε(0) – статическая диэлектрическая проницаемость; ε∞ – высокочастотный предел действительной части ε‫(٭‬ω) для рассматриваемого релаксационного процесса. Для воды при комнатной температуре εs = 78,3 и ε∞ = 6,3 [8],
и отношение времен в уравнении (1) близко к 10. Такое большое отношение
казалось не физичным [13] и последующие работы были сосредоточены на
моделях [13–23], приводящих к значительно меньшему отношению τD/τs. Оглядываясь назад, отношение равное 10, предсказанное уравнением (1), оказалось, лучше согласуется с современными данными по диэлектрической релаксации, чем более поздние теории. Используя диэлектрическую спектроскопию в частотной области от 100 до 300 ГГц [8, 24–27], на высокочастотном хвосте основного дебаевского релаксационного процесса была обнаружена полоса поглощения, которая фитинговалась дебаевским релаксационным процессом с характерным временем 1 пс. Этот более быстрый процесс
некоторые авторы относят к переориентации единичного диполя молекулы
воды [26]. В недавних инфракрасных фемтосекундных измерениях в [28–30]
наблюдалась неоднородно уширенная OH полоса HOD в D2O. Медленная
релаксация, соответствующая τD, наблюдалась на красном крыле полосы
(прочно водородно-связанные молекулы воды), в то время как более быстрое
время релаксации, порядка одной пикосекунды, наблюдалось на голубом
крыле (т.е. для слабо связанных молекул воды). Последние могут быть связаны с характерным временем переориентации единичных молекул.
Масса других спектроскопических методов, таких как временная диэлектрическая спектроскопия [31–32], дифракция нейтронов [33, 34], неупругое рассеяние рентгеновских лучей [35], спектроскопия эффекта Керра, основанного на оптическом гетеродинировании (OKЭ) [36], и флуоресценция
с разрешением по времени [37], все дают время релаксации для молекулы воды 1 пс или быстрее.
Следуя наблюдениям, полученным из численного моделирования
[10–12], которые показывают, что динамика воды включает коллективные
движения кластеров, мы исследуем вопрос о том, как эти кластеры проявляются в диэлектрической релаксации, каков размер этих кластеров и каков молекулярный механизм поляризации?
В данной работе мы применим формализм проекционных операторов
Мори – Цванцига [38, 39] для временной корреляционной функции суммарного дипольного момента кластера из N молекул. Аналогичный подход применялся для описания диэлектрической релаксации [18, 19, 21, 40–42] и рассеяния света [6, 17] с некоторыми отличиями в деталях.
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2. Теория
Рассмотрим полярную жидкость, состоящую из молекул с дипольными
моментами величины µ. Для рассмотрения коллективных явлений рассмотрим кластер из N молекул. Обозначим через θj(t) в момент времени t между
молекулярным дипольным моментом молекулы j в кластере и направлением
внешнего электрического поля, приложенного в момент времени t = 0. Сумму
проекций N-молекулярных дипольных моментов вдоль направления поля
можно записать следующим образом: M N  t   
N
 cos  j  t  .
j 1
Размеры кластера (N) определим через радиус корреляции ориентации
диполей. Задавшись в качестве исходного направления диполя некоторой
произвольной молекулой 1, мы включаем в кластер все молекулы j, для которых корреляция <cosθ1(0)cosθj(t)> сравнима по абсолютной величине
с <cosθ1(0)cosθ1(t)>. Угловые скобки, как обычно принято в статистической
физике, обозначают равновесное среднее по ансамблю.
Комплексную диэлектрическую проницаемость ε‫(٭‬ω) в соответствии
с теорией линейного отклика можно выразить через преобразование Лапласа
временной производной от временной корреляционной функции дипольного
момента N-молекулярного кластера [5], определяемого как
 N t   M N  0 M N t  / M N  0
где
2
M  0N
обозначим как
2
,
– статистическое равновесное среднее, которое для простоты
M N2 . Определим время релаксации как τN = Φ̃N (0), где

f  s   exp   st  f  t  dt – преобразование Лапласа функции f(t). Мы хотим

0
сравнить ниже два релаксационных времени: коллективное, Дебаевское время релаксации τD, и время релаксации единичной молекулы τs. Эти времена
определим как τD ≡ τN = Φ̃N(0), τs ≡ τ1 = Φ̃N(0). Для простой жидкости, состоящей из невзаимодействующих диполей, N = 1 и τs = τD, но для ассоциированной жидкости два времени релаксации отличаются ввиду наличия кросскорреляций, когда функция <cosθ1(0)cosθj(t)> отлична от нуля.
В работах [41, 42] для функции Φ̃N(t) методом проекционных операторов Мори – Цванцига получена цепочка кинетических уравнений. Первое
уравнение цепочки имеет вид
d  N t 
dt
t
  K N  t    N  t  t   dt 

(2)
0
с функцией памяти
K N t  
128


  t  LM N  0 
LM N  0 U N
M N2
,
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
которая включает автокорреляции угловой скорости, с временной зависимостью, которая определяется усеченным оператором эволюции
U t   e

M
MN
где  N  N
2
MN

t  I  N  L
,
– проекционный оператор.
Для того чтобы определить время релаксации, рассмотрим преобразо  s    s  K  s   1 . Положив s = 0, находим
вание Лапласа 
N
N


N 
1
K N  0 

M N2
,
 1

M N  I   N  L  M N
(4)
где мы выполнили явно временное интегрирование U'N(t) и положили

M N  LM N . Можно предположить, что τN зависит только от равновесных
корреляционных факторов. Отношение времен релаксации теперь можно записать как отношение преобразованных функций памяти:
M N2 / M12
K1  0 
D


.
 1

  1
s K N  0 
M N  I   N  L  M N / M 1  I  1  L  M 1
(5)
Числитель в правой части включает «статическую» корреляционную
функцию, которая зависит от угловых координат, в то время как знаменатель
включает «динамическую», которая зависит от угловых скоростей. Последняя
выглядит достаточно сложно, и поэтому мы проведем ее детальное рассмотрение для упрощения на основе статистических предположений.
Заметим, что N – частичная автокорреляционная функция, которая может быть разложена на сумму N (симметричных) автокорреляций и N(N–1)
(несимметричных) кросс-корреляций. Следовательно, мы находим
hs 
ha 

 1 

L cos i  I   N  L  L cos i

  1 
L cos i  I  1  L  L cos i

 1 

L cos i  I   N  L  L cos  j

  1 
L cos i  I  1  L  L cos i
;
(6)
,
(7)
где выражения (6) и (7) являются равновесными средними (t = 0) и i ≠ j =
= 1, ..., N. Ввиду эквивалентности всех частиц в ансамбле эти корреляционные факторы не зависят от i и j. В этих обозначениях знаменатель в правой
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
части (5) можно записать как N[hs+(N–1)ha]. Подобным образом числитель
в правой части (5) включает в себя фактор статических кросс-корреляций:
f 
cos 1 cos 2
cos 2 1
.
(8)
С этими обозначениями выражение (5) может быть записано в виде
1   N  1 f
D

.
 s hs   N  1 ha
(9)
Числитель в правой части (9) содержит равновесные кросс-корреляции
ориентаций, а знаменатель содержит авто- и кросс-корреляции угловых скоростей. Для больших N уравнение (9) почти идентично уравнению (35) в работе [18] или уравнению (12.3.29) в работе [6]. Различие состоит в члене hs,
который в общем случае не равен 1 в знаменателе, поскольку в числителе и
в знаменателе (6) появляются разные проекционные операторы. Уравнение
(9) остается формальным до тех пор, пока нет возможности оценить или аппроксимировать корреляционные функции, входящие в него.
Основные упрощающие предположения имеют вид
hs ≈ 1, ha << hs .
(10)
Вторая аппроксимация следует из того, что временной масштаб корреляций угловой скорости значительно меньше времени корреляции угловых
переменных, а следовательно, кросс-корреляции угловой скорости выглядят
как белый шум и временным интегралом от соответствующей функции можно пренебречь. Подобное приближение обсуждается в работе (раздел 12.3)
Berne and Pecora, [6], где это показано на примере рассеяния света в хлороформе (табл. 12.3.1 в указанной работе). Для обоснования первого приближе
ния рассмотрим  N в уравнении (3) два предельных случая: полное отсутствие корреляций и сильная корреляция разных частиц i и j. В первом предельном случае мы предполагаем, что любое внутреннее произведение <cosθj|
с переменными частиц i, появляющимися в (6), исчезают и удерживаются

только члены с индексом j в  N . В противоположном пределе все N2 члены

в проекционном операторе идентичны. В обоих случаях  N сокращается до

1 . Следовательно, мы можем заменить N-частичный усеченный оператор
U'N(t) на одночастичный U'1(t). Это предположение значительно более слабое
[41, 42], чем замена на полный оператор эволюции U(t). Следовательно, мы
находим, что hs ≈ 1. Что касается статической корреляционной функции, мы
можем применить неравенство Шварца и записать 0  f  1 . Для невзаимодействующих частиц f = 0, в то время как для сильно взаимодействующих
f ≈ 1 в пределах кластера. С учетом этих замечаний интересно посмотреть,
как отношение времен в (9) зависит от размера кластера N. Предположим для
простоты, что f, hs и ha являются постоянными (не зависящими от N). Когда
N = 1, мы получаем (предполагая hs = 1) τD = τs. В этом пределе диэлектрическая релаксация отражает переориентацию отдельных молекул. Когда N > 1,
диэлектрическая релаксация является коллективным явлением. Если N мало
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
(но больше 1), мы можем пренебречь членом (N – 1)ha по сравнению с hs
в знаменателе уравнения (9), так что
τD / τs = 1 + (N – 1) f.
(11)
Таким образом, в этом случае одночастичное и полное время релаксации связаны просто через статический ориентационный фактор корреляций f
(см. работу [6], с. 327). Для сильно ассоциированных жидкостей (f = 1) мы
находим еще более простой результат
τD/τs ≈ N.
(12)
Таким образом, в этом режиме отношение времен напрямую измеряет
размер кластера (пунктирная линия). Окончательно получаем: при N → ∞
преобладают кросс-корреляции; находим
τD / τs → f / ha .
(13)
Поскольку ha очень мал, это отношение может быть велико. Таким образом, мы получили интересный результат, заключающийся в том, что очень
быстрые движения (малые τs) вносят вклад в τD в пределах больших кластеров, в то время как более медленные движения являются более локализованными τD /τs.
Другое интересное качественное наблюдение следует из уравнений (6)
и (7), оно касается температурной зависимости отношения времен. Когда T
растет, следует ожидать, что размеры кластера и кросс-корелляционные
функции убывают. При условиях уравнения (6) отношение τD/τs пропорционально Nf и, следовательно, будет уменьшаться с ростом T. В противоположность этому температурная зависимость может частично исчезать между f и
ha в уравнении (7). Следовательно, мы ожидаем активационное поведение для
умеренно маленьких величин τD /τs, но только слабую температурную зависимость, когда это отношение велико.
Мы завершим наш вывод количественной аппроксимацией. Применяя
соотношения (10), мы положим hs = 1 и ha = 0. Заменяя знаменатель на N,
вместо (6) получаем
2
MN
D

.
 s N  2 cos 2 
1
(14)
Для случая изотропного образца среднее значение квадрата косинуса
равно [1, 2] <cos2 θ1> = 1/3. Вводя диэлектрический фактор Кирквуда [2, 43]
g = <MN2>/Nµ2, мы получаем простое выражение τD /τs = 3g. Таким образом,
для каждого пространственного измерения существует вклад g в отношение
времен. Для того чтобы выразить отношение времен через диэлектрические
параметры, используем формулу Фрелиха [2] для среднеквадратичного момента сферы объема V в бесконечной среде из того же диэлектрического материала
k TV   s    2 s   
2
MN
 B
,
4 s
(15)
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где kB – постоянная Больцмана. Это ограничивает конечный результат жидкостями, в которых кластеры близки к сферической симметрии, таким как вода,
в противоположность спиртам, где кластеры имеют протяженную (линейную) форму. Подставляя <MN2> в уравнение (15), окончательно получаем [42]
 D 3k BTm0   s    2 s   
,

s 4 2c
s
(16)
где m0 – молекулярная масса; ρc = Nm0/V – плотность кластера.
3. Сравнение с экспериментом
Метод диэлектрической спектроскопии для воды при комнатной температуре дает τD = 8,3 Пс. Маленькое плечо в области 100 ГГц на хвосте дебаевской линии может быть описано линией дебаевской формы и второй временной постоянной τs = 1 Пс. Таким образом, эти эксперименты дают
τD/τs ≈ 8,5. Наиболее известные соотношения дают для отношения времен
значение значительно меньшее [42]. Исключением является соотношение Дебая, уравнение 1, которое дает приблизительно правильное отношение (его
точное значение зависит от выбора ε∞).
В табл. 1 приведено сравнение второго времени релаксации из диэлектрических измерений для воды и спиртов [26] с τs из уравнения (16) и соотношения Дебая (1).
Таблица 1
Сравнение между вторым временем релаксации, полученным методом
диэлектрической спектроскопии [26], и предсказанным теорией
одномолекулярным временем релаксации для воды и спиртов
ρ0,
г/см3
вода
1,00
метанол
0,791
этанол
0,789
1-пропанол 0,804
Жидкость
m0,
г/а.е.м.
18,01
32,04
46,07
60,10
µa, Д
εsb
ε∞b
1,87
1,70
1,69
1,68
78,4
32,6
24,3
20,4
6,2
5,9
4,5
3,7
τDb, пс τsb, пс τsc, пс
8,32
51,5
163
329
1,0
7,1
9,0
15
1,0
6,1
18,6
35,7
τsd, пс
0,85
11,8
40,1
84,2
Примечание. a – дипольный момент в газовой фазе [44]; b – экспериментальные данные, полученные методом частотной диэлектрической спектроскопии при
температуре 25 °C [26]; c – настоящая теория, уравнение (16) с использованием дипольного момента с поправкой согласно (3); d – модель Дебая, уравнение (1).
Обе модели находятся в согласии с данными диэлектрической спектроскопии для жидкой воды. Для спиртов, однако, в модели Дебая происходит
рост слишком быстро с увеличением длины цепочечного ассоциата, в то время как настоящая теория остается в качественном согласии с экспериментом.
Наилучшее согласие наблюдается для воды и метилового спирта, где наше
предположение о сферичности кластера выполняется наилучшим образом.
Согласно уравнениям (11), (12) для маленьких кластеров τD/τs является
мерой числа N сильно коррелированных молекул в кластере. Таким образом,
при комнатной температуре это число для воды равно 9. Это согласуется
с «механизмом тетраэдрического смещения» [45], в котором трансляционные
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
прыжки молекулы воды из связного в свободное место в тетраэдрической
симметрии связаны с переориентацией окружающих молекул воды. Предполагая, что координационное число равно 4, эта перемещающаяся молекула
имеет четыре старых и четыре новых соседних молекул, которые должны переориентироваться, для того чтобы число молекул воды, участвующих в элементарном акте, действительно было равно примерно 9.
Уравнение (16) описывает количественно отношение времен для воды
и метанола при комнатной температуре в согласии с данными частотной диэлектрической спектроскопии. Из табл. 1 видно, что только развитая здесь
теория наиболее правильно описывает эти свойства. Тем не менее мы полагаем, что эта теория на данной стадии наиболее приемлема на качественном
уровне. Наша исходная цель состояла в том, чтобы понять кооперативную,
многомолекулярную природу дебаевского времени релаксации τD в терминах
одномолекулярного времени переориентации τs.
Список литературы
1. D e b y e , P . Polar Molecules / P. Debye. – New York : Dover, 1929. – 425 p.
2. F r ö h l i c h , H . Theory of Dielectrics / H. Fröhlich. – New York : Oxford University
Press, 1958. – 249 p.
3. S m y t h , C . P . Dielectric Behavior and Structure / C. P. Smyth. – New York :
McGraw-Hill, 1955. – 441 p.
4. H a s t e d , J . B . Aqueous Dielectrics / J. B. Hasted. – London : Chapman & Hall,
1973. – 289 p.
5. B o t t c h e r , C . J . F . Theory of Electric Polarization. II. Dielectrics in TimeDependent Fields / C. J. F. Bottcher, P. Bordewijk. – Amsterdam : Elsevier, 1978.
6. B e r n e , B . J . Dynamic Light Scattering / B. J. Berne, R. Pecora. – New York : Wiley
Interscience, 1976. – 404 p.
7. R a v ic h a n d r a n , S . Orientational relaxation in dipolar systems: How much do we
undestend the role of correlations? / S. Ravichandran, B. Bagchi // Int. Rev. Phys.
Chem. – 1995. – V. 14. – 271 p.
8. B u c h n e r , R . The dielectric relaxation of water between 0 °C and 35 °C / R. Buchner,
J. Barthel, J. Stauber// Chem. Phys. Lett. – 1999. – V. 306. – P. 57–63.
9. E i s e n b e r g , D . The Structure and Properties of Water / D. Eisenberg, W. Kauzmann. –
London : Oxford University Press, 1969. – 280 p.
10. O h m i n e , I . Fluctuation, relaxations, and hydration in liquid water. Hydrogen-bond
rearrangement dynamics / I. Ohmine, H. Tanaka // Chem. Rev. – 1993. – V. 93. –
№ 7. – P. 2545–2566.
11. O h m i n e , I . Liquid Water Dynamics: Collective Motions, Fluctuation, and Relaxation /
I. Ohmine // J. Phys. Chem. – 1995. – V. 99. – № 18. – P. 6767–6776.
12. O h m i n e , I . Water Dynamics: Fluctuation, Relaxation, and Chemical Reactions in
Hydrogen Bond Network Rearrangement / I. Ohmine, S. Saito // Acc. Chem. Res. –
1999. – V. 32. – № 9. – P. 741–749.
13. P o w l e s , J . G . Dielectric Relaxation and the Internal Field / J. G. Powles // J. Chem.
Phys. – 1953. – V. 21. – № 4. – P. 633–637.
14. G l a r u m , S . H . Dielectric Relaxation of Polar Liquids / S. H. Glarum // J. Chem.
Phys. – 1960. – V. 33. – № 4. – P. 1371–1375.
15. F a t u zzo , E. A calculation of the complex dielectric constant of a polar liquid by the
librating molecule method / E. Fatuzzo, P. R. Mason // Proc. Phys. Soc. – 1967. –
V. 90. – № 3. – P. 729–740.
16. N e e , T . - W . Theory of Dielectric Relaxation in Polar Liquids / T.-W. Nee, R. Zwanzig // J. Chem. Phys. – 1970. – V. 52. – № 12. – P. 6353–6363.
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
17. K e y e s , T . Depolarized Light Scattering: Theory of the Sharp and Broad Rayleigh
Lines / T. Keyes, D. Kivelson // J. Chem. Phys. – 1972. – V. 56. – 1057 p.
18. K iv e ls o n , D . Theory of dielectric relaxation / D. Kivelson, P. Madden // Mol. Phys. –
1975. – V. 30. – P. 1749–1751.
19. M a d d e n , P . A consisten molecular treatment of dielectric phenomena / P. Madden,
D. Kivelson // Adv. Chem. Phys. 1984. – V. 56. – P. 467–566.
20. H u b b a r d , J . B . Dielectric friction and molecular reorientation / J. B. Hubbard,
P. G. Wolynes // J. Chem. Phys. – 1978. – V. 69. – № 3. – P. 998–1007.
21. K a lm y k o v , Y . P . On the relationship between macroscopic and single-particle orientational correlation functions in polar liquids / Y. P. Kalmykov, S. V. Limonova //
J. Mol. Liq. – 1989. – V. 43. – P. 71–91.
22. C h a n d r a , A . Relationship between microscopic and macroscopic orientational relaxation times in polar liquids / A. Chandra, B. Bagchi // J. Phys. Chem. – 1990. –
V. 94. – № 7. – P. 3152–3156.
23. K i m , H . J . Smoluchowski fluctuation theory of dielectric relaxation / H. J. Kim,
H. L. Friedman, F. O. Raineri // J. Chem. Phys. – 1991. – V. 94. – № 2. – P. 1442–
1453.
24. H a s t e d , J . B . Far-infrared absorption in liquid water / J. B. Hasted, S. K. Husain,
F. A. M. Frescura, J. R. Birch // Chem. Phys. Lett. – 1985. – V. 118. – № 6. – P. 622–
625.
25. H a s t e d , J . B . The temperature variation of the near millimetre wavelength optical
constants of water / J. B. Hasted, S. K. Husain, F. A. M. Frescura, J. R. Birch // Infrared
Phys. – 1987. – V. 27. – № 1. – P. 11–15.
26. B a r t h e l , J . Dielectric spectra of some common solvents in the microwave region.
Water and lower alcohols / J. Barthel, K. Bachhuber, R. Buchner, H. Hetzenauer //
Chem. Phys. Lett. – 1990. – V. 165. – № 4. – P. 369–373.
27. K a a t ze , U . Dielectric spectroscopy of aqueous solutions. Hydration phenomena and
hydrogen-bonded networks / U. Kaatze // J. Mol. Liq. – 1993. – V. 56. – P. 95–115.
28. W o u t e r s e n , S . Femtosecond Mid-IR Pump-Probe Spectroscopy of Liquid Water:
Evidence for a Two-Component Structure / S. Woutersen, U. Emmerichs, H. J. Bakker //
Science. – 1997. – V. 278. – P. 658–660.
29. L a e n e n , R . Local Substructures of Water Studied by Transient Hole-Burning Spectroscopy in the Infrared: Dynamics and Temperature Dependence / R. Laenen,
C. Rauscher A. J. Laubereau // Phys. Chem. B. – 1998. – V. 102. – № 46. – 9304 p.
30. N i e n h u y s , H . - K . Orientational relaxation of liquid water molecules as an activated
process / H.-K. Nienhuys, R. Laenen, C. Rauscher, A. Laubereau // J. Chem. Phys. –
2000. – V. 112. – № 19. – P. 8487–8494.
31. R o n n e , C . THz Spectroscopy of Liquid H2O and D2O / C. Ronne, P.-O. Astrand,
S. R. Keiding // Phys. Rev. Lett. – 1999. – V. 82. – № 14. – P. 2888–2891.
32. R o n n e , C . Low frequency spectroscopy of liquid water using THz-time domain spectroscopy / C. Ronne, S. R. Keiding // J. Mol. Liq. – 2002. – V. 101. – P. 199–218.
33. C o n d e , O . Hydrogen bond dynamics in water studied by depolarized Rayleigh scattering / O. Conde, J. Teixeira // J. Phys. (Paris). – 1983. – V. 44. – № 4. – 525 p.
34. C o n d e , O . Depolarized light scattering of heavy water, and hydrogen bond dynamics /
O. Conde, J. Teixeira // Mol. Phys. – 1984. – V. 53. – № 4. – 951 p.
35. C u n s o lo , A . Experimental Determination of the Structural Relaxation in Liquid
Water / A. Cunsolo, G. Ruocco, F. Sette, C. Masciovecchio, A. Mermet, G. Monaco,
M. Sampoli, R. Verbeni // Phys. Rev. Lett. – 1999. – V. 82. – P. 775–778.
36. W i n k l e r , K . Ultrafast Raman-induced Kerr-effect of water: Single molecule versus
collective motions / K. Winkler, J. Lindner, H. Bursing, P. Vohringer // J. Chem. Phys. –
2000. – V. 113. – № 11. – P. 4674–4682.
37. M a r o n c e l l i , M . Continuum estimates of rotational dielectric friction and polar salvation / M. J. Maroncelli // Chem. Phys. – 1997. – V. 106. – № 4. – 1545 p.
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
38. Zwa n zig , R . Memory Effects in Irreversible Thermodynamics / R. Zwanzig // Phys.
Rev. – 1961. – V. 124. – № 4. – P. 983–992.
39. M o r i , H . A Continued-Fraction Representation of the Time correlation Functions /
H. Mori // Prog. Theor. Phys. – 1965. – V. 34. – № 3. – P. 71–78.
40. Ш у р ы г и н , В. Ю . Вычисление динамического структурного фактора жидкости
методом сокращенного описания / В. Ю. Шурыгин, Р. М. Юльметьев // ЖЭТФ. –
1989. – Т. 69. – Вып. 3 (9). – С. 938–947.
41. А р х и п о в , В. И . Автокорреляционная функция угловой скорости как функция
памяти диэлектрической поляризации жидкости в длинноволновой области /
В. И. Архипов, Ю. А. Гусев // Химическая физика. – 1992. – Т. 11. – № 12. –
С. 1631–1639.
42. A r k h i p o v , V . I . Hierarchy of dielectric relaxation times in water. Journal of /
V. I. Arkhipov // Non-Crystalline Solids. – 2002. – V. 305. – P. 127–135.
43. K ir k wo o d , J . G . The Dielectric Polarization of Polar Liquids / J. G. Kirkwood //
J. Chem. Phys. – 1939. – V. 7. – № 10. – P. 911–919.
44. W e a s t , R . C . Handbook of Chemistry and Physics / R. C. Weast, M. J. Astle ; Eds.
62nd ed. – Florida : CRC Press: Boca Raton, 1981–1982.
45. A g m o n , N . Tetrahedral Displacement: The Molecular Mechanism behind the Debye
Relaxation in Water / N. Agmon // J. Phys. Chem. B. – 1997. – V. 101. – 4352 p.
Архипов Владимир Иванович
кандидат физико-математических наук,
доцент, старший научный сотрудник,
кафедра радиоэлектроники,
Казанский (Приволжский)
Федеральный университет
Arkhipov Vladimir Ivanovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
senior staff scientist, sub-department
of radio electronics, Kazan
(Volga Region) Federal University
E-mail: varkh59@hotmail.com
Агмон Ноам
Профессор, химический факультет,
Еврейский Иерусалимский университет
Agmon Noam
Professor, Department of Chemistry,
The Hebrew University of Jerusalem
E-mail: agmon@fh.huji.ac.il
УДК 532.74:538.66:538.27
Архипов, В. И.
Оценка размеров кластера в ассоциированных жидкостях по характерным временным масштабам ориентационной поляризации /
В. И. Архипов, Н. Агмон // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3 (15). – С. 126–135.
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 538.95; 539.21
С. В. Булярский
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АКТИВНОСТИ ВОДОРОДА
И УГЛЕРОДА ПРИ ПИРОЛИЗЕ УГЛЕВОДОРОДОВ1
Аннотация. Разработана термодинамика пиролиза углеводородов при росте
углеродных нанотрубок. Вычислены активности водорода и углерода, необходимые для расчета скорости роста нанотрубок.
Ключевые слова: углеродные нанотрубки, углеводороды, пиролиз, активность,
химический потенциал.
Abstract. The thermodynamics of pyrolysis of hydrocarbons is developed at growth
carbon nanotube. Calculated activity of hydrogen and the carbon are necessary for
calculation of nanotubes rates grown.
Keywords: carbon nanotubes, pyrolysis, hydrocarbons, activity, chemical potential.
Пиролиз углеводородов – это достаточно сложный процесс превращения углеводородов в процессе их нагрева, который, как правило, происходит
в присутствии катализатора. Этот процесс нельзя свести к набору протекающих последовательно и параллельно химических реакций разложения, так как
при пиролизе наряду с разложением протекает и синтез. При этом происходит множество в основном мномолекулярных реакций. В ходе такой реакции
изменяется строение молекулы углеводорода (изомеризация) либо меняется
ее молекулярная масса (диссоциация). В процессе реакции может происходить разрыв химических связей, поэтому процессы пиролиза идут с затратами
энергии.
Изучение термодинамики процессов пиролиза позволяет выявить условия и параметры устойчивых состояний системы. Соответственно, условия –
это режимы осуществления технологических процессов, а параметры – химические потенциалы соединений, непосредственно участвующих в росте углеродных нанотрубок (УНТ). Для расчета скоростей роста УНТ, что является
конечной задачей исследования, необходимо знать равновесные значения активности водорода, а также димеров и триммеров атомов углерода в газовой
среде, где растет УНТ. В данной работе эта задача решается методами термодинамики сложных систем.
Применение метода, основанного на минимизации свободной энергии
Гиббса [1–4], предполагает, что в системе существует равновесие: выравнялись температура и давление, и все кинетические процессы стали стационарными. В этом случае при постоянной температуре и давлении должна быть
минимальна свободная энергия Гиббса системы, состоящей из газовой смеси
реагирующих компонентов:
G  H  TS .
(1)
Рассмотрение задачи проведем в следующей последовательности:
– рассмотрим вопрос о достижимости термодинамического равновесия
в процессе синтеза;
1
136
Работа выполнена при поддержке гранта программы АВЦП № 1448.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
– рассмотрим законы сохранения, которые во многом определяют результаты применения метода;
– составим выражение для Свободной энергии Гиббса и проведем ее
минимизацию;
– вычислим искомые химические потенциалы и активности.
Химическое равновесие в системе
Скорость достижения химического равновесия имеет важное практическое значение. Более быстрому установлению равновесия способствуют высокие температуры, соответствующее изменение давления и обычно присутствие катализаторов. Для того чтобы применить термодинамический метод
расчета концентрации углеводородов, необходимо установить, успевает ли
пройти реакция разложения за время протекания газовой смеси через реактор.
Если скорость реакции является степенной функцией концентрации исходных частиц, то реакции относятся к простому типу. Кинетическое уравнение
содержит одну, а в случае обратимой реакции – две константы скорости. Реакция пиролиза в первом приближении необратима, поэтому кинетическое
уравнение является уравнением первого порядка:
dCCn H m
dt
  KCCn H m ,
(2)
где CCn H m – концентрация диссоциирующих молекул; K – константа равновесия мономолекулярной реакции.
В реактор поступает поток определенного объема газа с некоторой скоростью v, выражаемой в см3 · с–1. будем считать, что поступивший газ мгновенно нагревается до температуры реактора. С этого момента начинается
процесс разложения, протекающий по уравнению (2). Решением этого является затухающая экспонента с постоянной времени   K 1. Будем считать,
что равновесие в системе наступает за промежуток времени t  2. Тогда
расстояние, отсчитанное от начала реактора, который пройдет поток газа до
наступления в нем равновесия, вычисляется по формуле
L
2v 2v 2v
 E


exp 
S
KS SA
 kT

,

(3)
где v – скорость поступления газа в реактор; S – площадь сечения реактора;
E и A – энергия и предэкспоненциальный множитель, определяющие величину константы скорости реакции разложения. Имеющиеся в научной литературе параметры реакций пиролиза показывают, что при температурах синтеза
УНТ глубина, на которой наступает равновесие, не превышает 1 см. Поэтому
в целом термодинамический подход к расчетам вполне оправдан.
Законы сохранения при пиролизе углеводородов
Законы сохранения устанавливают генеральный баланс частиц и молекул в системе. Выше было показано, что постоянство газового потока и температуры создают условия для возникновения равновесия в реакторе. Имеют
место стационарные условия, давление при этом выравнивается по реактору,
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
поэтому в единице объема присутствует постоянное число частиц. Генеральным уравнением баланса между всеми молекулами является закон Дальтона,
который устанавливает, что общее давление в системе равно сумме парциальных давлений, создаваемых отдельными сортами молекул:
p  p 
 pC H
n
m
 p
n,m
kT
N C H  0,
V n ,m n m

(4)
где p – общее давление в системе; p Cn H m – парциальное давление молекул
CnHm; V – объем занимаемый газом при давлении p; N Cn H m – число молекул
CnHm в системе.
Общее число атомов углерода и водорода также в системе остается постоянным, так в ней установилось стационарное состояние. Законы сохранения атомов описываются следующими уравнениями:
C  N C 
 NC H
n
H  N H 
n
m
 NC H
m
n
m
 0,
 0.
(5)
Законы (4) и (5) будем учитывать при вычислении концентраций углеводородов, возникающих в процессе пиролиза.
Удобно ввести парциальную энергию Гиббса образования молекулы
CnHm:
0
Gnm  gCn H m  C
 0H ,
(6)
где gCn H m – избыточная парциальная энергия образования молекулы; 0C и
0H – химические потенциалы чистых углерода и азота при стандартных условиях. Сумма этих химических потенциалов служит уровнем отсчета парциальной энергии Гиббса молекулы, а в первом слагаемом аккумулируется
взаимодействие, приводящее к формированию молекулы. Это первое слагаемое в дальнейшем будем именовать парциальной энергией Гиббса. Она состоит из энтальпии и тепловой энтропии, связанных уравнением
gCn H m  H Cn H m  TSCn H m ,
(7)
где H Cn H m – парциальная энтальпия; SCn H m – парциальная колебательная
(тепловая) энтропия образования (распада) молекулы.
Для расчета конфигурационной энтропии важно ввести понятие числа
мест для молекул в газовой фазе. Число мест равно предельному числу молекул данного сорта, которые могут одновременно находиться в газовой фазе
при данных условиях. В соответствии с этим определением число мест можно рассчитать исходя из давления насыщающего пара, состоящего целиком и
полностью из молекул газа рассматриваемого сорта.
Независимо от того, в каком агрегатном состоянии молекулы находятся, можно выделить число мест ( N Cn H m ) и число частиц ( N Cn H m ). В конденсированной жидкой среде все места заполнены частицами, поэтому эти
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
два числа равны. В среде идеального газа эти числа можно выразить через
давления:
N Cn H m  psCn H m V Cn H m / kT ,
N Cn H m  p Cn H m V Cn H m / kT ,
(8)
где p Cn H m – парциальное давление; psCn H m – парциальное давление насыщенного пара; V Cn H m – объем, занимаемый молекулами сорта CnHm.
Важную роль играют законы сохранения числа мест. Их количество
равно числу химических компонентов системы, и для каждого из них можно
записать закон сохранения числа мест:
nm  N Cn H m  N Cn H m  N C0 H  0 ,
n m
(9)
где N C0 H – число мест в газовой фазе, которые остаются свободными.
n m
Свободная энергия системы
Конфигурационная энтропия, как известно, определяется термодинамической вероятностью системы. Число способов, с помощью которых можно
разместить NCn H m – частиц по N Cn H m узлам, равно числу размещений [3]:
A
N Cn H m !
( N Cn H m  N Cn H m )!
.
Термодинамические состояния, в которых только две молекулы поменялись местами, в силу принципа тождественности не отличаются, поэтому
число независимых способов размещения меньше во столько раз, сколько
перестановок можно сделать между вакансиями. То есть уменьшается
в N Cn H m ! раз и равно числу сочетаний. Следовательно, в этом случае
W
N Cn H m !
( N Cn H m  N Cn H m )! N Cn H m !
.
(10)
Если в системе имеется несколько типов молекул, то каждая из них
размещается по своим местам независимо. Поэтому окончательно термодинамическая вероятность всей системы равна:
W

n,m
N Cn H m !
( N Cn H m  NCn H m )! NCn H m !
(11)
Для того чтобы вычислить равновесную концентрацию молекул, воспользуемся следующим алгоритмом:
– составим функционал уравнения для свободной энергии Гиббса
системы;
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
– проведем минимизацию свободной энергии методом неопределенных
множителей Лагранжа с учетом законов сохранения (4) и (5).
Экстремум свободной энергии будем искать методом неопределенных
множителей Лагранжа. Функционал для нахождения условного минимума
имеет вид

 Gnm NC H
n
n,m
m
 kT ln W   P P   C C   H H   nm nm ,
(12)
где  P ,  C ,  H – неопределенные множители Лагранжа. Множители Лагранжа возникли из законов сохранения:  P – закона Дальтона,  C – числа
атомов углерода,  H – числа атомов водорода. Число неопределенных множителей Лагранжа равно числу законов сохранения.
Подставив (4), (5), (6), (11) в (12), получаем функционал, который будем минимизировать:

 Gnm NC H
n,m
n
m


N Cn H m !

 kT ln 
 n,m ( N Cn H m  N C H )! N C H !
n m
n m 








kT
 p  p 
N Cn H m    C  N C  N Cn H m    H  N H  N Cn H m  . (13)






V n,m
n
m









Производная от (13) по числу частиц углеводородов дает выражение
для расчета числа молекул углеводородов, образовавшихся в результате пиролиза:

NCn H m

 Gnm  kT ln 
 N Cn H m  N C H
N Cn H m
n m


   P kT   C   H  0 .

V

(14)
Получаем систему уравнений. Число этих уравнений равно числу комбинаций, которое можно составить из индексов n и m, за которыми стоят различные молекулы.
Выясним смысл неопределенных множителей Лагранжа. С этой целью
возьмем производные от (13) по числу атомов углерода и водорода. По физическому смыслу эти производные представляют химические потенциалы этих
элементов:

  C  C  kT ln aC ,
N C

  H   H  kT ln aH .
N H
(15)
Производная свободной энергии Гиббса по давлению имеет смысл
объема:

 V  P .
p
140
(16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
Производная свободной энергии по числу мест:

N Cn H m
  nm  kT ln
.
p
N Cn H m  N Cn H m
(17)
Подставляя выражения (15), (16) и (17) в уравнения (14), с учетом (6)
получаем формулы для вычисления числа молекул углеводородов:
N CS H
 gC H
N Cn H m  2,73 n m exp   n m

aC aH
kT


 .

(18)
Выражение (18) показывает, что в условиях равновесия число частиц
углеводородов различных сортов можно вычислять независимо друг от друга.
Их число определяется давлением насыщающего пара и парциальным потенциалом Гиббса. Обе эти величины являются табличными, однако их следует
уточнить при отработке режимов получения УНТ.
Для того чтобы исключить лишние параметры из формулы (18), запишем аналогичное выражение для числа молекул атомарного водорода:
NS
 g 
N H  2,73 H exp   H  .
aH
 kT 
(19)
Подставляя активность водорода в (18), получаем
N Cn H m 
N CS H N H
n m
aC N HS
 gC H  g H
exp   n m

kT


 .

(20)
Химический потенциал связан с фугитивностью следующим выражением [5]:
 P
i  i0  kT ln  i
 PS
 i


  i0  kT ln 




fi 
  i0  kT ln  ai  ,
S 
fi 
(21)
где PiS – парциальное давление насыщающих паров компонента при температуре Т; fiS – фугитивность насыщающих паров газа. Если учесть уравнение состояния идеального газа, то уравнение (21) можно преобразовать
в формулу, удобную для сравнения с результатами термодинамических расчетов:
Pi
PiS

fi
fi S

N Cn H m
N CS H
n m
 aCn H m .
(22)
Тогда уравнение (20) можно представить в виде
f CS H f H
 gC H  g H
exp   n m
aCg 

kT
f C H f HS

n m
n
m
S
 N Cn H m N H
 gC H  g H
exp   n m
 

S
kT
 N Cn H m N H


 . (23)

141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Эта формула определяет активность углерода в газовой фазе. Численные расчеты можно провести с использованием термодинамических таблиц
[6], в которых приведены свойства углеводородов.
Таким образом, в работе в общем виде решена задача о нахождении активности водорода и углерода в газовой смеси. Эти результаты можно использовать для вычисления скорости роста углеродных нанотрубок.
Список литературы
1. Bu ly a r s k y , S . V . Thermodynamically evaluation of point defect density and impurity solubility in component semiconductor / S. V. Bulyarsky, V. P. Oleinicov // Phys.
Stat. Sol. (b). – 1987. – V. 141. – P. 7–10.
2. Bu ly a r s k y , S . V . Thermodynamics of defect interaction in compound semiconducters / S. V. Bulyarsky, V. P. Oleinicov // Phys. Stat. Sol. (b). – 1988. – V. 146. –
P. 439–453.
3. Б у л я р с к и й , С . В. Термодинамика и кинетика взаимодействующих дефектов
в полупроводниках / С. В. Булярский, В. И. Фистуль. – М. : Наука. Физматлит,
1997. – 356 с.
4. Б у л я р с к и й , С . В. Физические основы управления дефектообразованием
в полупроводниках / С. В. Булярский, В. В. Светухин. – Ульяновск : Изд-во Ульяновского ун-та, 2003. – 432 с.
5. Курс физической химии / под. ред. чл.-кор. РАН Я. И. Герасимова. – М. : Химия,
1970. – Т. 1. – 592 с.
6. Г л у ш к о , В. П . Термодинамические свойства : в 8 т. / В. П. Глушко. – М. :
ВИНИТИ, 1978.
Булярский Сергей Викторович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
инженерной физики, Ульяновский
государственный университет,
Заслуженный деятель науки России,
член-корреспондент АН Татарстана
Bulyarsky Sergey Viktorovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of engineering physics, Ulyanovsk State
University, Honored Science Worker
of the Russian Federation, corresponding
member of the Tatarstan Science Academy
E-mail: bsv@ulsu.ru
УДК 538.95; 539.21
Булярский, С. В.
Определение активности водорода и углерода при пиролизе углеводородов / С. В. Булярский // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3 (15). –
С. 136–142.
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
УДК 621.039.531.001.57
М. Ю. Тихончев, В. В. Светухин, Д. В. Козлов, В. Н. Голованов
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРВИЧНОЙ
РАДИАЦИОННОЙ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ СПЛАВА
Fe–1.8ат.%Ni МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ1
Аннотация. Представлены результаты компьютерного моделирования процессов первичной радиационной повреждаемости сплава Fe–1.8ат.%Ni методом
молекулярной динамики. Моделирование проведено с использованием многотельных потенциалов межатомного взаимодействия. Рассмотрены каскады
атомных смещений для энергий первично выбитого атома от 0,1 до 20 кэВ.
Получены оценки количества дефектов, переживающих рекомбинацию в каскаде, а также результаты по количеству и размерам кластеров вакансий и межузельных атомов, образующихся в таких каскадах. Не выявлено заметного
влияния никеля в рассматриваемой концентрации на число точечных дефектов, выживающих в каскаде смещений. В то же время обнаружено, что для
энергии 20 кэВ число межузельных атомов, образующих кластеры размером
не более трех межузельных атома на кластер, оказывается в чистом железе
примерно в полтора раза выше, чем в сплаве с никелем.
Ключевые слова: радиационная повреждаемость, сплав Fe–Ni, молекулярная
динамика, точечный дефект, каскад смещений, кластер точечных дефектов.
Abstract. The results of computer simulation of primary radiation damage processes
for Fe–1.8at.%Ni alloy by means or molecular dynamics method are presented in
this paper. N-body interatomic potentials were used for the simulation. Atomic displacement cascades for primary knock-out atom energy range from 0,1 to 20 keV
were considered. Evaluations of numbers of point defects which survive in cascade
as well as results on numbers and sizes of vacancy and interstitial clusters formed in
the cascade were obtained. The noticeable influence of nickel in considered concentration on number of surviving defects is not detected. At the same time it is found
out that number of interstitial forming clusters, which consist of not more than three
interstitials, in pure iron is approximately half as much again than in Fe–Ni alloy.
Keywords: radiation damage, Fe–Ni alloy, molecular dynamics, point defect, displacement cascade, cluster of point defects.
Введение
Метод молекулярной динамики является в настоящее время общепринятым способом моделирования каскадов атомных смещений в конструкционных материалах ядерных и термоядерных установок. Целью такого моделирования является получение качественных и количественных характеристик первичного радиационного повреждения. К настоящему времени различными группами исследователей по всему миру проведено большое количество таких исследований применительно к различным материалам. Особенно много данных получено для чистого α-Fe с использованием различных
потенциалов межатомного взаимодействия. Моделирование каскадов в сплавах также широко выполняется, хотя для многокомпонентных систем сохра1
Настоящая работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 гг., а также при поддержке АВЦП РНПВШ № 2.1.2/5656 и гранта РФФИ – проект № 08-08-97034.
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
няется проблема подготовки надежных потенциалов. В последние годы опубликовано достаточно большое количество работ, посвященных как подготовке соответствующих потенциалов межатомного взаимодействия, так и проведению такого моделирования (см., например, работы [1–6]).
Данная работа посвящена моделированию каскадов атомных смещений
для сплава Fe–1.8ат.%Ni методом молекулярной динамики с целью определения ряда параметров первичной радиационной повреждаемости такого сплава
с учетом процессов рекомбинации и кластеризации точечных дефектов в каскадах смещений.
Малолегированные стали с содержанием никеля 1,0–1,9 % типа
15Х2НМФАА используются для изготовления корпусов реакторов типа
ВВЭР-1000. Планируется их применение в проектируемых сейчас реакторах
ВВЭР-1200 (АЭС 2006/2009) ВВЭР-1500. В результате многочисленных исследований показано, что повышение концентрации никеля значительно понижает радиационную стойкость малолегированных сталей, однако физическая сущность процессов, приводящих к изменению свойств, в настоящее
время изучена недостаточно.
1. Потенциалы межатомного взаимодействия
В настоящей работе использовались полуэмпирические многотельные
потенциалы межатомного взаимодействия. Для переходных металлов были
разработаны несколько схем построения таких потенциалов: метод погруженного атома (МПА) [7], схема Финниса – Синклера [8] и схема Росато –
Гвиллопа – Легранда [9]. Несмотря на несколько различные физические интерпретации, все эти методы дают одинаковое аналитическое выражение для
полной энергии системы из N частиц:
Etot 
N 1 N
N
i 1 j i 1
i 1
  (rij )   F (i ) ;
i 
(1)
N
 (rij ) ,
(2)
j 1
j i
где Etot – полная энергия системы; в формализме МПА: F (i ) – функция
внедрения, определяющая энергию внедрения атома в электронную жидкость
плотностью i ; (rij ) – собственная электронная плотность j-го атома как
функция расстояния до его центра; (rij ) – парный потенциал взаимодействия между атомами i и j; rij – расстояние между атомами i и j.
Для железа в настоящем исследовании для -Fe мы использовали многотельный потенциал типа Финниса – Синклeра из работы Акланда, Бэкона
и др. [10]. Парная часть этого потенциала (r ) состоит из трех частей: равновесной, высокоэнергетической и промежуточной. Равновесная часть парного
потенциала предназначена для описания взаимодействий на межатомных расстояниях близких или превосходящих расстояние между ближайшими соседями в равновесном кристалле. Эта часть ( equilibrium (r ) ) может иметь раз-
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
личные аналитические формы как для атомов разного сорта, так и в зависимости от методов и подходов, используемых при построении потенциала.
Высокоэнергетическая часть описывает взаимодействия между атомами на небольших (как правило, до 0,5–1,5 Å) расстояниях. Эта часть потенциала является репульсивной (т.е. убывающей по r) и описывается в [10] выражением
Z Z e2  r 
short dist (r )  1 2    ,
40 r  a 
(3)
где Zi – атомный номер, i = 1, 2; e – заряд электрона; 0 – электрическая постоянная; a определяется здесь согласно приближению Биерсака – Зиглера [11]:
a
0,8856a0
Z12 / 3  Z 22 / 3
,
(4)
а0 = 0.529 Å – радиус Бора, Ф(x) – функция экранирования:
 ( x)  0,1818e3,2 x  0,5099e0,9423 x  0, 2802e0,4029 x  0,02817e0,2016 x . (5)
Промежуточная часть связывает между собой равновесную и высокоэнергетическую части. В потенциалах, использованных в настоящей работе,
промежуточная часть имеет вид
2
3
 join (r )  e( B0  B1r  B2r  B3r ) ,
(6)
где параметры Bi, i = 1, 2, 3, подбираются так, чтобы обеспечить непрерывность функции (r) и ее первой производной.
При моделировании радиационной повреждаемости (в том числе и
в случае только парного взаимодействия) такое разбиение считается сейчас
общепринятым (см., например, [12]), хотя разные авторы часто используют
другие аналитические выражения для описания частей парного потенциала.
Для описания взаимодействий вида Ni–Ni и Fe–Ni мы использовали потенциал того же типа, предложенный Хепберном, Акландом и Олссоном в их
недавней работе [5]. Причем разбиение парных частей соответствующих потенциалов проведено по формулам (3)–(6), т.е. так же, как это сделано для
взаимодействий Fe–Fe. Отметим два момента. Во-первых, поскольку используемые потенциалы относятся к типу потенциалов Финниса – Синклeра, смешанные взаимодействия Fe–Ni описываются заданием соответствующих
функций (r) и (r) (в методе погруженного атома смешанные взаимодействия описываются только соответствующей парной частью (r)). Во-вторых,
используемые Ni–Ni и Fe–Ni потенциалы предназначены только для описания никеля как примеси замещения в матрице -Fe с небольшой (до нескольких процентов) концентрацией никеля.
При исследовании процессов первичной радиационной повреждаемости и получении количественных оценок дозы повреждения (см., например,
[13]) важную роль играет средняя пороговая энергия смещения. Средняя пороговая энергия смещения для чистого -Fe с используемым нами потенциалом была рассчитана ранее Нордландом и др. [14] и составила 44,8 ± 0,4 эВ.
Это значение незначительно (на 5 эВ) превосходит величину 40 эВ, реко-
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
мендуемую для железа и сталей стандартом ASTM [15]. Нами с использованием выбранных потенциалов рассчитана также величина средней пороговой
энергии смещения для Ni как атома замещения в матрице -Fe. Полученная
оценка составила 44,9 ± 1,35 эВ, т.е. практически совпадает с пороговой энергией для чистого железа.
2. Моделирование каскадов смещений
Для моделирования каскадов атомных смещений и оценки числа «выживших» дефектов задавались объемно-центрированные кубические (ОЦК)
кристаллиты «чистого» -Fe и бинарного сплава Fe–1.8ат.%Ni, содержащие
до 600000 атомов. При этом атомы Ni в бинарном сплаве задавались как
атомы замещения, и расположение атомов разных типов носило случайный
характер, т.е. каждому атому кристаллита с вероятностью p = 0,982 приписывался тип Fe и с вероятностью (1 – p) – Ni. При расчетах использовались «периодические» граничные условия. Поэтому, чтобы избежать цикличности
возмущений вдоль плотноупакованного направления <111>, кристаллиты задавали в форме прямоугольного параллелепипеда, но не куба. Моделирование проводилось при начальной температуре кристаллита T = 600 K для
восьми различных значений ЕПВА энергии первичного выбитого атома ПВА:
0,1; 0,5; 1; 2; 5; 10; 15 и 20 кэВ. Начальную температуру обеспечивали путем
задания начальных скоростей атомам кристаллита с последующим молекулярно динамическим моделированием NPT-ансамбля с нулевым давлением и
температурой 600 К в течение 1 пс с шагом по времени 1 фс. Затем фиксированному атому (ПВА) релаксированного кристаллита (это мог быть как атом
Fe так и Ni) придавали импульс в некотором направлении. Для каждой энергии ПВА моделировали каскад для восемнадцати различных направлений,
которые выбирались путем моделирования случайного изотропного вектора.
В ходе моделирования каскадов никакие алгоритмы сброса кинетической энергии для имитации «остывания» кристаллита не использовались.
Рост температуры кристаллита составил от  16 К для ЕПВА = 0,1 кэВ до  125 К
для ЕПВА = 20 кэВ. Расчеты проводились с неравномерным шагом по времени,
который выбирался так, чтобы он не превосходил 10–3 пс и чтобы за один шаг
по времени атом с максимальной кинетической энергией смещался не более
чем на 0,02 Å.
Моделируемое время развития каскада подбиралось так, чтобы обеспечить моделирование всего процесса образования и релаксации точечных дефектов в каскаде вплоть до его затухания. Информация по размерам модельного кристаллита и моделируемого времени для рассматриваемых энергий
ПВА собрана в табл. 1.
При моделировании каскада смещений периодически проводился анализ кристаллита, подсчитывалось число точечных дефектов, переживших рекомбинацию в каскаде, и определялось среднее число таких дефектов для каждой энергии ПВА. Подсчет дефектов в кристаллите осуществлялся следующим образом. Каждому узлу i идеальной кристаллической решетки ставится
в соответствие ячейка Вигнера – Зейца Ci, которая определяется как множество всех точек пространства, расстояние от которых до узла i (с учетом периодических граничных условий) меньше или равно расстоянию до любого
другого узла решетки. Отсутствие атомов в ячейке Ci трактуется как вакансия
в узле i, попадание более одного атома в ячейку Ci трактуется как наличие
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
межузельного атома вблизи узла i. Число точечных дефектов определяется
как общее количество ячеек Вигнера – Зейца, не содержащих ни одного атома
материала.
Таблица 1
Размеры кристаллита и моделируемое время
Энергия
ПВА,
кэВ
0,1
0,5
1
2
5
10
15
20
Размер кристаллита
lx ly lz, Å
69,007263,256666,1319
109,2614103,5108106,3861
123,6379117,8873120,7626
135,1391129,3885132,2638
155,2662149,5156152,3909
172,518163,8921169,6427
184,0192178,2686181,1439
195,5204186,8945192,6451
Число атомов кристаллита
Моделируемое
(без учета межузельных
время, пс
атомов C)
24288
10
101232
12
148092
14
194580
16
297648
20
403560
24
499968
28
592280
30
Доля «выживших» дефектов, также известная как «каскадная эффективность», определялась по формуле
p ( EПВА ) 
N ( EПВА )
,
f ( ЕПВА )
(7)
где ЕПВА – энергия первично-выбитого атома; N(ЕПВА) – рассчитанное среднее
число дефектов, «выживающих» в каскаде; f(ЕПВА) = 0,8ЕПВА/(2 Ed ) – количество атомных смещений по NRT-стандарту [13] (без учета неупругих потерь
энергии, которые в рассматриваемом интервале энергий ПВА являются незначительными); Ed – средняя пороговая энергия смещения. Для средней
пороговой энергии смещения мы здесь использовали значение Ed = 40 эВ,
рекомендуемое стандартом ASTM [15].
Полученные усредненные по направлениям импульса ПВА значения
N(ЕПВА) и p(ЕПВА) представлены в табл. 2 и на рис. 1, 2. Из полученных результатов видно, что везде на рассматриваемом интервале энергий наблюдается рост числа дефектов с увеличением ЕПВА, в то время как каскадная эффективность в основном убывает с ростом ЕПВА. Исключения составляют два
«выброса» для сплава Fe–Ni при энергиях 0,5 и 20 кэВ. При этом полученные
оценки N(ЕПВА) и p(ЕПВА) для 0,5 кэВ, по всей видимости, занижены, а для
20 кэВ – немного завышены. Оба «выброса», по всей видимости, носят статистический характер. Отличия в соответствующих оценках для чистого железа и
сплава с никелем практически всюду лежат в пределах погрешностей расчета.
Из этого можно сделать вывод о том, что присутствие никеля в рассматриваемой концентрации (1.8ат.%) не оказывает влияния на число выживающих дефектов, а следовательно, и на каскадную эффективность.
Д. Бэкон и др. [16] и С. Вудинг и др. [17] показали, что для металлов зависимость числа выживших дефектов от энергии ПВА хорошо аппроксимируется степенной функцией
N(Е) = АЕB.
(8)
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Таблица 2
Количество «выживших» дефектов и каксадная эффективность
-Fe
ЕПВА,
кэВ
0,1
0,5
1
2
5
10
15
20
N(ЕПВА)
0,89 ± 0,22*
3,22 ± 0,62
3,89 ± 0,90
6,61 ± 0,73
12,5 ± 2,0
22,4 ± 2,2
32,8 ± 2,4
44,9 ± 3,5
p(ЕПВА)
0,89 ± 0,22
0,64 ± 0,12
0,39 ± 0,09
0,33 ± 0,04
0,25 ± 0,04
0,22 ± 0,02
0,22 ± 0,02
0,22 ± 0,02
Fe–1.8ат.%Ni
N(ЕПВА)
p(ЕПВА)
0,83 ± 0,37
0,83 ± 0,37
2,00 ± 0,46
0,40 ± 0,09
4,22 ± 0,72
0,42 ± 0,07
7,33 ± 1,1
0,36 ± 0,05
11,7 ± 1,9
0,23 ± 0,04
19,9 ± 2,5
0,20 ± 0,03
30,6 ± 3,1
0,20 ± 0,02
47,3 ± 3,6
0,24 ± 0,02
*
Приведенные здесь погрешности соответствуют доверительной вероятности
р = 0,95 (два ).
Среднее число выживающих дефектов
.
100
10
1
Fe-1.8%Ni
Pure Fe
Fe-1.8%Ni аппроксимация
Fe аппроксимация
0.1
0.1
1
10
100
Энергия ПВА, кэВ
Рис. 1. Рассчитанное среднее число «выживающих» дефектов
Полученные нами результаты также хорошо описываются зависимостями такого вида (см. рис. 1):
N(Е) = 4,47  Е0,72 для -Fe;
(9)
N(Е) = 4,06  Е0,75 для сплава Fe–1.8ат.%Ni,
(10)
где Е – энергия ПВА в кэВ.
Учитывая (7), из формул (9)–(10) получаем соответствующие аппроксимации для каскадной эффективности p(ЕПВА):
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
р(Е) = 0,447Е–0,28 для -Fe;
(11)
р(Е) = 0,406Е–0,25 для сплава Fe–1.8ат.%Ni.
(12)
Fe-1.8%Ni
Fe
Fe-1.8%Ni аппроксимация
Fe аппроксимация
1.2
Эффективность каскада
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
Энергия ПВА, кэВ
Рис. 2. Каскадная эффективность
Известно, что существенный вклад в микроструктурную эволюцию материала под облучением вносит объединение производимых в нем точечных
дефектов в кластеры. При моделировании каскадов смещений мы, наряду с
оценкой числа «выживающих» дефектов, получили оценки размеров и количества кластеров вакансий и межузельных атомов Fe и Ni, остающихся в кристаллите после затухания каскада. Дефекты одного типа считали принадлежащими одному кластеру, если соответствующие им узлы решетки находятся
на расстоянии, не далее вторых соседей для вакансий и третьих соседей для
межузельных атомов.
На рис. 3 представлены расчетные оценки доли точечных дефектов, образовавших кластеры на момент завершения моделирования каскада. Хорошо
видно, что для обеих рассматриваемых систем количество вакансий, участвующих в процессе кластеризации, при энергиях ПВА до 0,5 кэВ превышает
число межузельных атомов, входящих в кластеры. При более высоких энергиях число вакансий в кластерах становится меньше числа образующих кластеры межузельных атомов. Отметим, что для энергий ПВА 10–20 кэВ доля
дефектов обоих типов, попадающих в кластеры, для сплава с никелем немногим ниже, чем для чистого железа.
На рис. 4, 5 в виде гистограмм даны распределения наблюдаемых кластеров точечных дефектов по размерам на момент завершения моделирова-
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ния каскада. Результаты получены усреднением по всем моделируемым каскадам для данной энергии ПВА. Как видно из гистограмм, в каскадах от ПВА
энергий 15 и 20 кэВ увеличивается число межузельных атомов, объединяющихся в кластеры довольно больших размеров.
Fe-1.8%Ni
0.8
Доля межузельных атомов в кластерах
Fe
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
Энергия ПВА, кэВ
20
а)
Fe-1.8%Ni
0.6
Fe
Доля вакансий в кластерах
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
Энергия ПВА, кэВ
20
б)
Рис. 3. Доля дефектов, образующих кластеры: а – межузельные атомы; б – вакансии
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
Число межузельных атомов
на каскад
16
14
12
10
8
2
15
0
5
Размер кластера
4
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
32
0.1
6
Энергия
ПВА, кэВ
а)
40
30
25
20
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10
Размер кластера
5
Число вакансий на
каскад
35
0
15 20
5 10
1 2
0.5
0.1
б)
Энергия ПВА,
кэВ
Рис. 4. Число одиночных точечных дефектов и дефектов в кластерах,
образующихся в каскадах смещений от ПВА различных энергий:
а – межузельные атомы Fe–1.8ат.%Ni; б – вакансии Fe–1.8ат.%Ni
Так, при этих энергиях для сплава Fe–1.8ат.%Ni и однокомпонентного
Fe наблюдаются кластеры, содержащие до 32 и 26 межузельных атомов соответственно. Вакансии в обоих рассматриваемых материалах не образуют кластеров больших размеров.
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
12
10
8
2
15
0
5
Размер кластера
4
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
0.1
6
Число межузельных атомов
на каскад
14
Энергия
ПВА, кэВ
а)
40
30
25
20
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10
Размер кластера
5
Число вакансий на
каскад
35
0
15 20
5 10
1 2
0.5
0.1
Энергия
ПВА, кэВ
б)
Рис. 4. Число одиночных точечных дефектов и дефектов в кластерах,
образующихся в каскадах смещений от ПВА различных энергий:
а – межузельные атомы -Fe; б – вакансии -Fe
Максимальные наблюдаемые размеры кластеров вакансий составили
пять и шесть вакансий на кластер для сплава Fe–1.8ат.%Ni и -Fe соответственно. Из представленных результатов следует выделить следующий момент.
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
Для энергии ПВА 20 кэВ в чистом железе число межузельных атомов, образующих кластеры небольших размеров (2–3 межузельных атома на кластер),
примерно в полтора раза выше соответствующего числа межузельных атомов
для сплава с никелем. Кластеры таких размеров весьма подвижны, и следует
ожидать их существенный вклад в посткаскадую эволюцию структуры облучаемого материала. Влияния никеля на распределение по размерам кластеров
вакансий не выявлено.
Заключение
В заключение кратко сформулируем основные результаты работы.
Методом молекулярной динамики проведено моделирование каскадов
атомных смещений для сплава Fe–1.8ат.%Ni и однокомпонентного -Fe. Моделирование проведено для начальной температуры системы 600 K. Получены оценки числа выживающих дефектов для энергий ПВА до 20 кэВ и результаты по размерам и количеству кластеров вакансий и межузельных атомов, образующихся в каскаде смещений.
Полученные зависимости среднего числа выживающих дефектов и каскадной эффективности от энергии ПВА хорошо аппроксимируются степенной функцией. Не выявлено заметного влияния никеля в рассматриваемой
концентрации на число точечных дефектов, выживающих в каскаде.
Исследована зависимость каскадной эффективности от энергии ПВА
(в диапазоне от 0,1 до 20 КэВ). Наименьшие значения каскадной эффективности наблюдаются для энергий ПВА 10–20 кэВ и составляют 0,22 и 0,20–0,24
для -Fe и сплава Fe–1.8ат.%Ni соответственно.
Согласно полученным оценкам количество вакансий в кластерах лежит
выше числа попадающих в кластеры межузельных атомов только для энергий
ПВА ниже 0,5 кэВ и ниже – для более высоких энергий, причем для энергий
выше 10 кэВ это отличие достигает 3,5 раз. Для энергий ПВА 10–20 кэВ доля
дефектов обоих типов, попадающих в кластеры, для сплава с никелем немногим ниже, чем для чистого железа.
Получены распределения по размерам кластеров точечных дефектов,
образующихся в каскаде. Для энергий ПВА 15 и 20 кэВ наблюдается существенное увеличение числа межузельных атомов, объединяющихся в кластеры
больших размеров. Вакансии в обоих рассматриваемых материалах не образуют кластеров больших размеров. Обнаружено, что для энергии ПВА 20 кэВ
в чистом железе число межузельных атомов, образующих кластеры размером
не более трех атомов на кластер, примерно в полтора раза выше соответствующего числа межузельных атомов для сплава с никелем. Это может свидетельствовать об образовании под облучением меньшего числа свободно мигрирующих дефектов в сплаве Fe–1.8ат.%Ni, чем в однокомпонентном -Fe.
Полученные результаты предполагается использовать в дальнейшем
для развития моделей радиационного повреждения материалов корпусов
ядерных реакторов с водой под давлением на основе многомасштабного
подхода.
Список литературы
1. M a l e r b a , L . Molecular dynamics simulation of displacement cascades in Fe–Cr alloys / L. Malerba, D. Terentyev, P. Olsson, R. Chakarova, J. Wallenius // Journal of
Nuclear Materials. – 2004. – V. 329–333. – Part. 2. – P. 1156–1160.
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2. T e r e n t y e v , D . A . Displacement cascades in Fe-Cr. A molecular dynamics study /
D. A. Terentyev, L. Malerba, R. Chakarova, K. Nordlund, P. Olsson, M. Rieth,
J. Wallenius. // Journal of Nuclear Materials. – 2006. – V. 349 (1). – P. 119–132.
3. W a l l e n i u s , J . Modeling of chromium precipitation in Fe-Cr alloys / J. Wallenius,
P. Olsson, C. Lagerstedt, N. Sandberg, R. Chakarova, and V. Pontikis // PHYSICAL
REVIEW B. – 2004. – V. 69. – P. 94103-1–94103-9.
4. S h i m , J . - H . Molecular dynamics simulation of primary irradiation defect formation
in Fe–10%Cr alloy / J.-H. Shim, H.-J. Lee, B. D. Wirth // Journal of Nuclear Materials. –
2006. – V. 351 (1–3). – P. 56–64.
5. H e p b u r n , D . J . Rescaled potentials for transition metal solutes in a-iron / D. J. Hepburn, G. J. Ackland and P. Olsson // Philosophical Magazine. – 2009. – V. 89. – № 34–
36. – P. 3393–3412.
6. T i k h o n c h e v , M . MD simulation of atomic displacement cascades in Fe–10 at.%Cr
binary alloy / M. Tikhonchev, V. Svetukhin, A. Kadochkin, E. Gaganidze // Journal of
Nuclear Materials . – 2009. – V. 395. – P. 50–57.
7. D a w, M . S . Embedded-atom method: Derivation and application to impurities, surfaces, and other defects in metals / M. S. Daw, M. I. Baskes // Phys. Rev. B. – 1984. –
V. 29. – P. 6443–6453.
8. F i n n i s , M . F . A simple empirical N-Body potential for transition metals / M. F. Finnis, J. E. Sinclair // Philos. Mag., A. – 1984. – V. 50. – P. 45–55.
9. R o s a t o , V . Thermodynamical and structural-properties of FCC transition-metals using
a simple tight-binding model / V. Rosato, M. Guellopé, B. Legrand // Philos. Mag. A. –
1989. – V. 59. – № 2. – P. 321–336.
10. A c k l a n d , G . J . Computer simulation of Point Defect Properties in dilute Fe-Cu alloy using a many-body interatomic potential / G. J. Ackland, D. J. Bacon, A. F. Calder,
T. Harry // Philosophical Magazine A. – 1997. – V. 75. – Р. 713–732.
11. Bie r s a c k , J . P . Refined universal potentials in atomic collisions / J. P. Biersack,
J. F. Ziegler // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. – 1982. – V. 194. –
P. 93–100.
12. N o r d l u n d K . Molecular dynamics: introduction / K. Nordlund // International
School on Modelling of Irradiation Damage (Auberge de la Ferme, Rochehaut, Belgium, 1–5 October 2007) : collected lectures on CD. – Rochehaut : SCK-SEN, 2007.
13. N o r g e t t , N . J . The proposed method of displacement doze rate calculation /
N. J. Norgett, M. T. Robinson, I. M. Torrens // Nucl. Eng. And Design. – 1975. – V. 33. –
Р. 50–56.
14. N o r d l u n d , K . Molecular dynamics simulations of threshold displacement energies
in Fe / K. Nordlund, J. Wallenius, L. Malerba // Nuclear Instruments and Methods in
Physics Research, B. – 2006. – V. 246 (2). – P. 322–332.
15. ASTM E521, (E521-89) Practice for Neutron Radiation Damage Simulation by
Charged-Particle Irradiation. Annual Book of ASTM Standards. – 1995. – V. 12.02.
16. B a c o n , D . J . Computer simulation of displacement cascade effects in metals /
D. J. Bacon, A. F. Calder, F. Gao // Rad. Eff. Def. – Sol. 141. – 1997. – P. 283–310.
17. W o o d in g , S . J . A computer simulation study of displacement cascades in α-titanium /
S. J. Wooding, D. J. Bacon, W. J. Phythian // Philos. Mag. A 72. – 1995. – P. 1261–
1279.
Тихончев Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
начальник лаборатории, Ульяновский
государственный университет
E-mail: tikhonchev@sv.ulsu.ru
154
Tikhonchev Mikhail Yuryevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, head of laboratory,
Ulyanovsk State University
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Светухин Вячеслав Викторович
доктор физико-математических наук,
профессор, директор научноисследовательского технологического
института Ульяновского
государственного университета
Физико-математические науки. Физика
Svetukhin Vyacheslav Viktorovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, director
of the research technological institute
under Ulyanovsk State University
E-mail: slava@sv.uven.ru
Голованов Виктор Николаевич
доктор физико-математических наук,
профессор, проректор по науке
и информационным технологиям,
Ульяновский государственный
университет
Golovanov Viktor Nikolaevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, vice rector for scientific
affairs and information technologies,
Ulyanovsk State University
E-mail: golovanovvn@ulsu.ru
Козлов Дмитрий Владимирович
кандидат физико-математических наук,
старший научный сотрудник,
Ульяновский государственный
университет
Kozlov Dmitry Vladimirovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, senior staff scientist,
Ulyanovsk State University
E-mail: kozlovdv@ulsu.ru
УДК 621.039.531.001.57
Тихончев, М. Ю.
Моделирование процессов первичной радиационной повреждаемости сплава Fe–1.8ат.%Ni методом молекулярной динамики / М. Ю. Тихончев, В. В. Светухин, Д. В. Козлов, В. Н. Голованов // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2010. – № 3 (15). – С. 143–155.
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 538.95
Ю. С. Нагорнов, Р. Ю. Махмуд-Ахунов, М. Ю. Тихончев,
Б. М. Костишко, В. Н. Голованов, В. В. Светухин
ПОСТРОЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНО-ЗАВИСИМОГО
ПОТЕНЦИАЛА МЕЖЧАСТИЧНОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ДИОКСИДА УРАНА1
Аннотация. Применен новый подход к выбору потенциала межатомного взаимодействия для моделирования методом молекулярной динамики термических
изменений свойств стехиометрического диоксида урана. В соответствии с теоремой Эренфеста и усредненным по времени потенциалом взаимодействия параметры потенциала в методе молекулярной динамики выбирались в виде медленно меняющихся температурных зависимостей. Рассчитанные значения постоянной решетки, энтальпии и теплоемкости при постоянном давлении с высокой точностью совпадают с экспериментальными данными в широком диапазоне температур от 250 до 3150 K, что подтверждает перспективность данного подхода.
Ключевые слова: молекулярная динамика, диоксид урана, потенциал взаимодействия.
Abstract. The new approach was applied to the construction of the atom interaction
potential for molecular dynamics modeling of thermal changes of properties of uranium dioxide. The potential parameters were selected in the form of slowly varying
temperature dependences in accordance with Ehrenfest theorems and average potential. This method was able to calculate of the temperature dependences of constant
lattice, enthalpy and heat capacities up to 3150K with hi accuracy. These results are
confirmed perspective of presented approach.
Keywords: molecular dynamics, uranium dioxide, interaction potential.
Введение
Метод молекулярной динамики (МД) широко используется для моделирования поведения материалов под облучением [1], поскольку получение
экспериментальных данных сопряжено с большими затратами. Стехиометрический диоксид урана является наиболее используемым видом ядерного топлива в промышленных реакторах и достаточно хорошо экспериментально
изученным актинид-оксидным топливом [2]. В настоящее время активно ведутся исследования свойств этого материала с помощью метода МД. Так,
в работе [3] показано, что процессы миграции и кластеризации вакансий атомов кислорода протекают наиболее активно вблизи границы дислокаций, что
является одним из возможных путей формирования микроструктуры оболочки таблетки топлива при выгорании в реакторе. Кроме этого, метод МД позволяет исследовать радиационно-стимулированную диффузию [4], динамику
фазовых переходов под давлением [5] и многое другое.
Существенным ограничением МД моделирования является ограничение моделируемого времени поведения системы, не превышающего в лучшем
1
Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 гг. и при поддержке гранта
РНПВШ 2.1.2/5656.
156
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
случае сотен наносекунд. Однако этот недостаток можно преодолеть при исследовании миграционных процессов с помощью приема, называемого методом термически ускоренной динамики [3]. Зная энергию активации процесса,
можно перенести данные расчета, полученные при высоких температурах, на
низкие температуры с одновременным увеличением моделируемого времени
на несколько порядков. В связи с этим расчеты при высоких температурах
становятся особенно актуальными, поскольку позволяют проводить моделирование методом МД на времена до десятков микросекунд.
Для моделирования свойств диоксида урана методом МД используется
парный потенциал межатомного взаимодействия с параметрами, определяемыми, как правило, полуэмпирическим методом [6]. Выбор потенциала взаимодействия частиц является наиболее важным этапом построения численной
модели и, как правило, вызывает немало дискуссий. Вообще говоря, для нахождения потенциала взаимодействия необходимо решить уравнение Шредингера для рассматриваемой системы частиц. Однако, как показала практика, использование потенциалов, получаемых из первых принципов, для МД
расчетов приводит к отрицательным результатам. Поэтому широкое распространение получил другой подход, связанный с использованием простых модельных потенциалов, вид которых, как правило, основывается на теоретических представлениях о наиболее существенных вкладах в рассматриваемый
тип взаимодействия. Параметры потенциалов находятся из сопоставления
расчетных и экспериментальных данных. При этом потенциал, оптимизированный по одному свойству, может существенно отличаться от потенциала,
оптимизированного по другому свойству. То есть выбор потенциала обосновывается конкретной задачей.
С развитием вычислительной техники потенциалы становятся более
сложными, а количество параметров постоянно увеличивается. Например,
в работе [7] при моделировании магнитных свойств в потенциале появляются
слагаемые, учитывающие электронную плотность для различных спиновых
состояний, что должно привести к температурной зависимости параметров
потенциала. В общем случае потенциал взаимодействия можно определить,
зная потенциальную энергию атома в каждой точке кристалла. В соответствии с теоремой Эренфеста для среднего состояния механических величин
в одномерном случае имеет место квантовое уравнение Ньютона [8]:

d2 x
dt
2
=
U ( x)
,
x
где  – центр масс волнового пакета атома; U ( x) – усредненная по времени
потенциальная энергия атома в кристалле; x – координата центра тяжести
волнового пакета атома в кристалле.
В общем случае после применения правила вычисления среднего значения силы в квантовой механике и разложения в ряд Тейлора по степеням
x можно получить [8]
U ( x) U ( x) 1 3U ( x)


 x 2 ...
x
x
2 x3
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
При моделировании методом МД принято пользоваться классическими
уравнениями Ньютона, где учитывается только первое слагаемое усреднен1 3U ( x)
ной силы, в то время как малая величина
 x 2 также дает вклад
2 x3
в динамику движения. Необходимо заметить, что первое слагаемое будет неизменным, в то время как второе будет расти с ростом температуры и дисперсии колебаний атомов, и его вклад будет увеличиваться. Именно поэтому
в настоящей работе для моделирования термических изменений свойств стехиометрического диоксида урана предлагается использовать потенциал с параметрами, зависящими от температуры. Аналогичный подход был использован авторами работ [8, 9], в которых применялся эффективный потенциал
взаимодействия при моделировании сплава AuCd.
1. Метод моделирования
Моделирование методом МД проводилось в периодических граничных
условиях с использованием программного комплекса Moldy [10]. Транслируемая ячейка была выбрана в виде кубического кристалла со структурой
флюорита и содержала 768 ионов, или 4×4×4 элементарных ячеек. Для всех
расчетов шаг интегрирования был выбран 4 фс, радиус обрезания потенциала
был равен 1 nm. В зависимости от задачи расчеты велись либо в ансамбле
NVE при постоянном объеме и энергии, либо в ансамбле NPT при постоянном давлении и температуре, количество частиц в системе было неизменной
величиной в обоих случаях.
Потенциал межатомного взаимодействия был выбран в форме потенциала Борна – Майера, что обеспечило минимальный набор параметров, некоторые из которых взяты в виде кусочно-линейных функций температуры:
U ( rij ) 
zi (T ) z j (T )e 2
rij
 ai  a j  rij
 f 0 (T )(bi  b j ) exp 
 bi  b j

 ci c j
 6 ,
 r
ij

где первое слагаемое соответствует кулоновскому взаимодействию, а второе
и третье – потенциалу Борна – Майера [12]. Значения не зависимых от температуры параметров потенциала были взяты из работы [13].
Для восстановления параметров потенциала zi и f0 были использованы
экспериментальные данные по тепловому расширению решетки UO2 и изменению энтальпии [11]. Интересно, что полученные по этой методике значения параметров дробного заряда и f0 имеют две характерные линейные области с переходом при температуре вблизи 2500 K температуре перехода в суперионное состояние (рис. 1) [14]. Подобранные значения параметров потенциала аппроксимировались линейными зависимостями в каждой области
(до и после 2500 K). Во всех дальнейших расчетах значения параметров вычислялись из полученных кусочно-линейных зависимостей. Подобная методика введения линейных температурных зависимостей позволяет существенно упростить процедуру подбора параметров потенциала для других материалов. В подтверждение предлагаемой методики расчета можно заметить,
что температурное изменение параметров потенциала существенно ниже их
абсолютных величин, т.е. проведенный расчет показывает правильность принятого приближения при выборе потенциала.
158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
0,38
1,198
1,196
11
f0*10 , J/(nm*mol)
0,37
1,194
0,36
1,192
1,190
0,35
1,188
1,186
0,34
1,184
0,33
1,182
1500
2000
2500
3000
T, К
K
Рис. 1. Зависимость параметра f0 и дробного заряда иона кислорода от температуры
и кусочно-линейная аппроксимация с переходом вблизи точки 2500 K
2. Расчетные оценки энтальпии
и термического расширения кристалла
Предложенная в настоящей работе методика выбора потенциала (далее
потенциал NMKG) позволяет рассчитать параметр решетки и энтальпию
диоксида урана с достаточной точностью во всем температурном интервале
(рис. 2, 3). При этом параметры потенциала NMKG меняются не более чем на
10 % (рис. 1). Необходимо отметить, что зависимости zi и f0, рассчитанные
из наиболее применяемых на сегодня потенциалов, таких как Basak [15],
Morelon [16], Yamada [17], существенно отличаются от экспериментальных
в диапазоне температур 1500–3150 K, тем более очевидны отличия для
классических потенциалов Arima и Lewis [11]. Поскольку основные расчеты
велись для температурного интервала 600–1100 K, этими отклонениями до
сих пор пренебрегали. Однако с использованием метода термически ускоренной динамики температурный интервал может быть существенно расширен
в область высоких температур.
Интересно, что параметр решетки, рассчитанный с использованием потенциалов Basak и Morelon, совпадает с экспериментальными данными достаточно хорошо (рис. 2), но при этом функция энтальпии расходится с ростом
температуры (рис. 3). Напротив, значения, полученные с использованием потенциала Yamada, дают существенную погрешность при расчете параметра
решетки, но при подборе модуля упругости приводят к наиболее точному
результату.
Отличие численных и экспериментальных значений вынуждает искать
новые подходы, что часто приводит к необоснованному увеличению количества параметров в потенциале [1, 11]. Сегодня только форм потенциалов
известно более шести [10], что, соответственно, приводит к различиям полученных на их основе численных результатов и свидетельствует о неоднозначности метода МД. Предлагаемый в настоящей работе подход позволяет
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
надеяться, что учет температурных зависимостей параметров потенциала,
независимо от его выбранной формы, должен приводить к одинаковым численным результатам и точному соответствию известным экспериментальным
данным.
5,75
NMKG
Experiment
Basak
Morelon
Yamada
Arima
Lewis
Lattice parameter, A
5,70
5,65
5,60
5,55
5,50
5,45
5,40
500
1500
2000
2500
3000
3500
T, К
T К
Рис. 2. Сравнение экспериментальных данных температурной
зависимости параметра решетки UO2 с данными расчета настоящей
работы (NMKG) с использованием различных потенциалов [15–17]
Enthalpy, kJ/mol
300
250
1000
NMKG
Experiment
Basak
Potashnikov
Morelon
200
150
100
1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200
T,T,К К
Рис. 3. Сравнение экспериментальных данных температурной зависимости
энтальпии с данными расчета настоящей работы (NMKG)
с использованием различных потенциалов [15, 16, 18]
160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
Предложенный в настоящей работе подход дает хорошее согласие
с экспериментальными значениями во всем диапазоне температур, при этом
погрешность расчетов не превышает 0,5 % (рис. 3). Погрешность расчетов
с применением наиболее точных на сегодня потенциалов варьируется от 2 до
17 % в зависимости от температуры в диапазоне 1500–3000 K. Необходимо
отметить, что получено хорошее согласие двух экспериментальных зависимостей с расчетами на основе потенциала NMKG. Для проверки подбора параметров f0 и zi в настоящей работе были проведены дополнительные расчеты
теплоемкостей CP и CV.
3. Расчет теплоемкостей CP и CV
Теплоемкости при постоянном давлении и различных температурах
рассчитывали, моделируя ансамбль NPT. Полученные значения энергии системы атомов аппроксимировались функцией от температуры в виде полинома. Затем производная от энергии по температуре вычислялась как производная от полученных полиномов. Как показали расчеты (рис. 4), зависимости,
вычисленные с использованием потенциала NMKG, также дают хорошее согласие с экспериментальными значениями во всем диапазоне температур,
в отличие от потенциалов других авторов [11], где погрешность расчетов
варьируется в широком интервале 10–90 %.
180
Experiment
Basak
Morelon
Yamada
NMKG
Arima
Lewis
160
Cp J/mol*K
140
120
100
80
60
40
500
1000
1500
2000
2500
3000
T,T,
К K
Рис. 4. Зависимость теплоемкости от температуры, вычисленная
при постоянном давлении в ансамбле NPT с использованием различных
потенциалов [15–17]. NMKG – данные расчета настоящей работы
Необходимо отметить, что в расчетах c более простыми потенциалами,
таким как Arima и Lewis [11], получается теплоемкость, линейно зависимая
от температуры и меняющаяся в диапазоне 75–85 J/(mol*K). Искусственное
добавление полиномов 3–5 степени в форму потенциала не отвечает какому-
161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
либо физическому процессу, но позволяет получать небольшой перегиб в области 2000 К [11, 16, 17]. Предложенный подход с потенциалом NMKG позволил получить не только соответствующую экспериментальной форму
температурных зависимостей теплоемкостей CP и CV, но и рассчитать их численные значения с высокой точностью. При этом, несмотря на то, что параметры потенциала подбирались в ансамбле NVE, более высокая точность
расчетов была получена в ансамбле NPT для теплоемкости CP.
Заключение
В работе предложен подход температурной зависимости параметров
потенциала межатомного взаимодействия при моделировании свойств диоксида урана. Показано, что этот подход позволяет существенно повысить точность расчетов в методе молекулярной динамики. С использованием предлагаемого подхода и потенциала Борна – Майера были рассчитаны температурные зависимости постоянной решетки, энтальпии и теплоемкости при постоянном давлении. Получено хорошее согласие с экспериментальными данными, в том числе при расчетах в высокотемпературной области, где результаты
других исследователей существенно отклоняются от эксперимента.
Авторы благодарят профессора Ульяновского государственного университета В. М. Журавлева за ценные замечания и обсуждение результатов
работы.
Список литературы
1. T i k h o n c h e v , M . MD simulation of atomic displacement cascades in Fe–10 at.%Cr
binary alloy / M. Tikhonchev, V. Svetukhin, A. Kadochkin, E. Gaganidze // J. Nuclear
Materials. – 2009. – V. 395. – P. 50–57.
2. М а е р ш и н , А . Тепловыделяющие элементы с виброуплотненным оксидным
топливом / А. Маершин. – Димитровград : ФГУП ГНЦ РФ НИИАР, 2007. – 327 с.
3. I c h i n o m i y a , T . Temperature accelerated dynamics study of migration process of
oxygen defects in UO2 / T. Ichinomiya, B. Uberuaga, K. Sickafus // J. Nuclear
Materials. – 2009. – V. 384. – P. 315–321.
4. M a r t i n , G . A molecular dynamics study of radiation induced diffusion in uranium
dioxide / G. Martin, S. Maillard, L. Brutzel, P. Garcia, B. Dorado, C. Valot // J. Nuclear
Materials. – 2009. – V. 385. – P. 351–357.
5. D e s a i , T . G . Molecular dynamics study of diffusional creep in nanocrystalline UO2 /
T. G. Desai, B. P. Uberuaga, D. Wolf // Acta Materialia. – 2008. – № 56. – P. 4489–
4497.
6. Методы молекулярной динамики в физической химии / под ред. Ю. М. Товбина. –
М. : Наука, 1996. – 334 с.
7. A c k l a n d , G . Two-band second moment model for transition metals and alloys /
G. Ackland // J. Nuclear Materials. – 2006. – V. 351. – Р. 20–27.
8. Б л о х и н ц е в , Д . И . Основы квантовой механики / Д. И. Блохинцев. – М. :
Наука, 1976. – 664 с.
9. G u t h i k o n d a , V . S . An Effective Interaction Potential Model for the Shape
Memory Alloy AuCd / V. S. Guthikonda, R. S. Elliott // Continuum Mechanics and
Thermodynamics. – 2009. – V. 21(4). – Р. 269–295.
10. G o v e r s , K . Comparison of interatomic potentials for UO2. Part I: Static calculations /
K. Govers, S. Lemehov, M. Hou, M. Verwerft // Journal of Nuclear Materials. – 2007. –
V. 366. – P. 161–177.
162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
11. G o v e r s , K . Comparison of interatomic potentials for UO2 Part II : Molecular
dynamics simulations / K. Govers, S. Lemehov, M. Hou, M. Verwerft // Journal of
Nuclear Materials. – 2008. – V. 376. – P. 66–77.
12. Г у л д, Х . Компьютерное моделирование в физике / Х. Гулд, Я. Табочник. – М. :
Мир, 1990. – Ч. 1. – 349 с.
13. Y a m a s a k i , S . Evalution of Thermal Conductivity Hyperstoihiometric UO2+x by
Molecular Dynamics Simulation / S. Yamasaki, T. Arima, K. Idemitsu [et al.] //
International Journal of Thermophysics. – 2007. – V. 28. – № 2. – P. 661–673.
14. М о л о де ц , А . М . Фазовые переходы диоксида урана при высоких температурах
и давлении / А. М. Молодец, В. Е. Фортов // Письма в ЖЭТФ. – 2004. – Т. 80. –
№ 3. – С. 196–199.
15. B a s a k , C . B . Classical molecular dynamics simulation of UO2 to predict
thermophysical properties / C. B. Basak, A. K. Sengupta, H. S. Kamath // J. Alloys and
Comp. – 2003. – V. 360. – P. 210–216.
16. M o r e l o n , N . - D . A new empirical potential for simulating the formation of defects
and their mobility in uranium dioxide / N.-D. Morelon, D. Ghaleb // Phil. Mag. – 2003. –
V. 83. – P. 1533–1550.
17. Y a m a d a , K . Evaluation of thermal properties of uranium dioxide by molecular
dynamics / K. Yamada, K. Kurosaki, M. Uno, S. Yamanaka // J. Alloys and Comp. –
2000. – V. 307. – P. 10–15.
18. П о т а ш н и к о в , С . И . Молекулярно-динамическое восстановление межчастичных потенциалов в диоксиде урана по тепловому расширению / С. И. Поташников, А. С. Боярченков, К. А. Некрасов, А. Я. Купряжкин // Альтернативная
энергетика и экология. – 2007. – № 8 (52). – C. 43–52.
Нагорнов Юрий Сергеевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, начальник лаборатории,
Ульяновский государственный
университет
Nagornov Yuriy Sergeevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, head
of laboratory, Ulyanovsk State University
E-mail: nagornovys@ulsu.ru
Махмуд-Ахунов Руслан Юсупович
младший науный сотрудник,
Ульяновский государственный
университет
Makhmud-Akhunov Ruslan Yusupovich
Junior researcher, Ulyanovsk State
University
E-mail: nagornovys@ulsu.ru
Тихончев Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
начальник лаборатории, Ульяновский
государственный университет
Tikhonchev Mikhail Yurievich
Candidate of physical and mathematical
sciences, head of laboratory,
Ulyanovsk State University
E-mail: tikhonchev@sv.ulsu.ru
Костишко Борис Михайлович
доктор физико-математических наук,
профессор, ректор, Ульяновский
государственный университет
Kostishko Boris Mikhaylovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, rector
of Ulyanovsk State University
E-mail: contact@ulsu.ru
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Голованов Виктор Николаевич
доктор физико-математических наук,
профессор, проректор по науке
и информационным технологиям,
Ульяновский государственный
университет
Golovanov Viktor Nikolaevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, vice rector for scientific
affairs and information technologies,
Ulyanovsk State University
E-mail: golovanovvn@ulsu.ru
Светухин Вячеслав Викторович
доктор физико-математических наук,
профессор, директор научноисследовательского технологического
института Ульяновского
государственного университета
Svetukhin Vyacheslav Viktorovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, director of the research
technological institute under
Ulyanovsk State University
E-mail: slava@sv.uven.ru
УДК 538.95
Нагорнов, Ю. С.
Построение температурно-зависимого потенциала межчастичного
взаимодействия для диоксида урана / Ю. С. Нагорнов, Р. Ю. МахмудАхунов, М. Ю. Тихончев, Б. М. Костишко, В. Н. Голованов, В. В. Светухин //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3 (15). – С. 156–164.
164
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
УДК 53.082.8, 54.084
С. И. Геращенко, С. М. Геращенко, Е. В. Кучумов
ВОПРОСЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИХ
МЕТОДОВ И СРЕДСТВ КОНТРОЛЯ ДИНАМИКИ
ВОСПАЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
Аннотация. Рассмотрены вопросы моделирования электрохимических процессов при разработке методов и средств контроля динамики воспалительных
процессов. Основной моделью является электрохимическая ячейка, которая
рассмотрена с позиции термодинамики и диффузии электрически заряженных
частиц. В конце получены уравнения, позволяющие связать термодинамическое и статистическое описание явлений в электрохимической ячейке.
Ключевые слова: математическое моделирование, электрохимическая ячейка,
методы и средства контроля, динамика воспалительных процессов.
Abstract. This article is dedicated to some modeling problems of electrochemical
methods and control ways of inflammatory process dynamics. Electrochemical cell
is a main model which analyse from points of thermodynamics and diffusion of
electric particles. At the end of paper was obtaining equations which could associate
thermodynamic and statistic description of effects in electrochemical cell.
Keywords: mathematical modeling, electrochemical cell, methods and control ways,
inflammatory process dynamics.
Наиболее простой и в то же время базовой моделью, описывающей
процессы протекания электрического тока через раствор электролита между
двумя электродами при наличии химических превращений, является электрохимическая ячейка (рис. 1). Она состоит из двух электродов 1, корпуса 2,
электролита 3 и выводов 4. Электроды соединяются с электрическими выводами и закреплены в корпусе.




4
4
+
(–)
–
(+)
1
2
3
1
Рис. 1. Схематическое изображение электрохимической ячейки
При математическом моделировании процессов в электрохимической
ячейке нужно учесть, что электрический ток в электролитах имеет много общего с током в металлах.
В электролитах и металлах, в отличие от газов, носители заряда образуются независимо от электрического тока. Из этого следует ряд выводов относительно зарядовой структуры электролита [1]:
165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
– заряд положительных ионов в каждом объеме электролита равен заряду отрицательных ионов, и поэтому суммарный объемный заряд в электролитах, так же как и в металлах, равен нулю;
– концентрация ионов (положительных и отрицательных), как правило,
одинакова в разных точках электролита, вследствие этого градиент концентрации ионов внутри электролита почти везде равен нулю и диффузия ионов
не играет особой роли в образовании тока.
Данные выводы относятся именно к внутренней области электролита
(    ). Случаи электрохимической ячейки сложной структуры (наличие
мембран и ионообменников, например как в гальваническом элементе), а
также сильной разницы в геометрических размерах пары электродов и конвективном движении электролита при протекании значительных токов потребуют отдельного дополнительного рассмотрения [2, 3].
Исторически первые успехи в теоретическом описании электрохимических процессов были достигнуты с применением термодинамического подхода [2, 4].
Действительно, следуя Гиббсу, составим основное уравнение термодинамики [5] для электрохимической ячейки с учетом электрической работы и
химических превращений N веществ:
dU  TdS  pdV   d  
N
 i dci ,
(1)
i 1
где U – внутренняя энергия; S – энтропия; p – давление; V – объем;

N
 i
– суммарная объемная плотность заряда в приэлектродных облас-
i 1
тях    и    ; i – химический потенциал i -го вещества; ci – молярная
концентрация ионов i -го вещества.
Учитывая, что d  
N

i 1
zi Fdci и i  i  RT
N
 ln ai , где
i 1
ai – актив-
ность i -го вещества (связанная с концентрацией ci i -го вещества с помощью
коэффициента активности, введенного Льюисом [4] следующим образом:
ai  fi ci [4, 6], и выводимая из распределения Больцмана [2, 4, 6]) и i – химический потенциал i -го вещества при ai  1 , уравнение (1) можно переписать в следующем виде:
dU  pdV  TdS 
N
N
  i  zi F   RT ln ai  dci   i dci ,
i 1
(2)
i 1
где уже i  i  RT ln ai  zi F  – электрохимический потенциал i -го вещества, введенный Гуггенгеймом [2].
Электрохимический потенциал важен тем, что в электрохимической
ячейке в принципе невозможно разделить процессы переноса вещества и переноса заряда, что эквивалентно невозможности выполнения следующей опе-
166
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
 U 
рации дифференцирования 
, поэтому в общих расчетах более есте
  V ,S ,c
ственно отталкиваться от него.
Далее, отталкиваясь от соотношения (2) и переходя к независимым переменным p и T , приходим к так называемому изобарно-изотермическому
потенциалу G  U  pV  TS (энергии Гиббса). При изобарно-изотермическом процессе изменение энергии Гиббса можно охарактеризовать следующим образом:
 dG  p,T

N
 i dci .
i 1
Таким образом, в случае равновесия внутри электрохимической ячейки
для изобарно-изотермического процесса должно выполняться условие [2, 4]
 dG  p,T

N
 i dci  0 ,
i 1
или для конечных приращений G
N
 i i  0 ,
(3)
i 1
где i – стехиометрические коэффициенты i -го вещества в суммарной реакции ячейки.
Подставляя в (3) выражение для электрохимического потенциала
i  i  zi F   i  RT ln ai  zi F  , приходим к выражению
N
N
N
i 1
 i 1
nF
 ii  RT  i ln ai  ii
  i 1
nF

RT N
i ln ai .
nF i 1

N
  i i
Пусть   i 1
nF
выражение
o
, тогда для металлического электрода имеет место
  o 
RT N
i ln ai .
nF i 1

(4)
Выражение (4) является основным в описании равновесного электрического потенциала (точнее, напряжения) электрохимической ячейки.
С другой стороны, процессы в электрохимической ячейке можно описывать с позиции диффузионных токов, которые должны следовать из закона
неразрывности для многокомпонентных смесей
167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
N
i 
   ji  i , i  1,, N ,
i  0 , ji  i vi ,
t
i1

(5)
где i – плотность данного вещества (носителей заряда в электролите); vi –
скорость перемещения данного вещества; i – изменение (рождения/
исчезновения) массы mi i -й компоненты смеси в единицу времени на едини
цу объема за счет химической реакции или ионизации;  – оператор набла;
N – количество компонент.
Саму структуру электрохимической ячейки формально можно разбить
на три подобласти (см. рис. 1): межфазовые границы электрод–электролит
(области    и    ), среду электролита (    ).
Как отмечалось выше, электрохимическая ячейка представляет собой
проводник, т.е. некоторую систему со свободными носителями зарядов, следовательно, выражение для плотности тока в самом электролите    имеет
такой же вид, что и для плотности тока в металлах ji  i vi  zi Fci vi , где zi –
заряд ионов (валентность) i -го вещества; F – постоянная Фарадея
( F  96485,3 Кл/моль); ci – молярная концентрация ионов i -го вещества.
Здесь учтено, что плотность носителей заряда в электролите выражается через постоянную Фарадея, валентность и молярную концентрацию ионов i -го
вещества i  zi Fci , что является следствием законов Фарадея для электролиза.
Скорости ионов можно выразить через их подвижности ui и напряженность E электрического поля в электролите vi  ui E , следовательно, выражения для плотностей тока различных ионов перепишутся в виде [1]
ji  zi Fci ui E .
(6)
Выражение (6), являющееся дифференциальной формой закона Ома,
верно для малых токов, в случае больших токов наблюдается отклонение [2].
Из-за наличия в растворе электролита источника носителей зарядов
(межфазовая граница), в приэлектродном слое (    ,    ) вследствие
диффузии образуется некоторое распределение ионов, которое можно описать с применением первого закона Фика:

ji   Di ci ,
(7)
где Di – коэффициент диффузии i -го вещества.
Как указывалось выше, плотность носителей в электролите    постоянна, т.е. i  const в объеме носителя и, следовательно, ci  const .
Избыток носителей заряда создает электрическое поле, влияющее на
характер диффузии в приэлектродном слое. Считая, что движение заряженных частиц под действием электрического поля подчиняется закону Ома (6),

используя соотношение E   , где потенциал  отсчитывается относительно точки в глубине электролита    , приходим к так называемому
уравнению Нернста – Планка [7], в котором учитывается поток частиц носителей зарядов за счет градиента потенциала  :
168
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика


ji   Di ci  zi Fui ci  .
(8)
Подставляя в (5) выражение (8), получим систему уравнений кинематики молярной концентрации вещества ci с учетом потенциала поля носителей
зарядов  :




c
  ( Di ci )  zi Fui   ci   zi F i  i .
t


(9)
Данные уравнения достаточно подробно описывают процессы, происходящие в электрохимической ячейке при протекании через нее электрического тока. Природа i носит химический характер, т.е. описывает прирост/убыль i -го вещества за счет химической реакции, поэтому требует отдельного определения.
Связь концентрации носителей заряда ci с потенциалом поля этих носителей  осуществляется через уравнение Пуассона (считаем диэлектрическую проницаемость  диэлектрика однородной):
 2  
N
4
4
   F zi ci .

 i 1

(10)
Решение (10) можно записать с помощью функции Грина для лапласиана в соответствующих координатах:
4
(r )   F

 N


G (r; r )  zk ck (r )  dr   (п.г.у.) ,


 k 1

V


здесь (п.г.у.) – потенциал, получаемый из граничных условий на электродах,
который будем считать определенным a-priori, поэтому в актуальных расчетах не учитываем.

Следовательно, с градиентом  концентрации ci свяжутся следующим образом:

4
(r )   F

 N


G (r; r )  zk ck (r )  dr  .


 k 1

V


(11)
Расписывая в системе (9) второй член слева






c
  ( Di ci )  zi Fui ci    ci  2   zi F i  i
t
и подставляя соотношения (10), (11), приходим к окончательному виду:


4
  ( Di ci ) 
zi F 2ui 

 
 N

 N
 

c
 ci 
G (r; r )  zk ck (r )  dr   ci  zk ck    zi F i  i . (12)




t

 k 1

 k 1

V



169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Система (12) представляет собой систему нелинейных интегродифференциальных уравнений и требует отдельного серьезного анализа.
Замечание. Использование уравнения Пуассона (10) для определения
связи концентраций носителей зарядов ci с потенциалом  в случае направленно двигающихся зарядов некорректно, так как в этом случае сохраняет


1 A
[8]. Одсвой вид дивергенция напряжения   E  4 , где E   
c t
1 A
нако, считая токи слабыми, членом 
можно пренебречь и отталкиватьc t
ся непосредственно от уравнения Пуассона (10).
В практических расчетах не рассматриваются уравнения наподобие
(12), а используются различного рода приближения. Например, отталкиваясь
от уравнения Пуассона (10), в котором заряды распределены по закону
Больцмана
i  i 0 e

zi F

RT
,
приэлектродные слои (    ,    ) рассматриваются в виде конденсатора
(плоского, сферического, в зависимости от геометрии электродов) и рассчитывают его емкость и потенциал [2]. Так же используются более простые, линейные уравнения, в сравнении с (12), для описания процессов диффузии зарядов в электрохимической ячейке [2, 6, 9].
Отметим, что уравнение (4) описывает потенциал электрохимической
ячейки в равновесии или в состоянии, близком к равновесию. Для того чтобы
описать неравновесное состояние электрохимической ячейки, будем следовать Пригожину [10] и составим уравнения производства энтропии, отталкиваясь от уравнения (2) в случае изобарно-изотермического процесса:
dS 
N

1
 dU  i dci  ,

T 
i 1


или
dS 1 dU 1 N i


ji ,
dt T dt T i 1 zi F

где ji  zi F
(13)
dci
– плотности тока i -го вещества (носителей зарядов), а член
dt
dU  dQ 
описывает тепловые потоки в электрохимической ячейке для


dt  dt  p,T
изобарно-изотермического процесса.
Таким образом, уравнение (13) можно представить, следуя [10], в следующем виде
N
Ai vi
dS 1  dQ 
,
 


dt T  dt  p,T i 1 T

170
(14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (15), 2010
Физико-математические науки. Физика
Ai vi
1 i ji 

, Ai  Ai  zi F  – электрохимическое сродство i -го веT
T zi F
щества; Ai – введенное де Донде [10] химическое сродство i -го вещества;
vi – скорость реакции i -го вещества. Сравнение (13) и (14) позволяет сделать
вывод о связи скорости данной реакции в электрохимической ячейке и плотностью тока для данного вещества.
При практических измерениях определяется интегральный ток, т.е.
где
j
N
 ji , что не позволяет непосредственно судить о скорости химического
i 1
превращения того или иного вещества на межфазовой границе электрод–
электролит. Однако, измеряя количество энергии проходящей через электро dQ 
химическую ячейку и вычитая из нее составляющую 
 , мы сможем
 dt  p,T
N
судить о члене
Ai vi
. Зная свойства той или иной реакции в ячейке, опреT
i 1

деляемых исходя из системы уравнений (12), мы сможем судить о том, какой
Av
вклад вносит каждая из составляющих i i i -го вещества.
T
Список литературы
1 К а л а ш н и к о в , С . Г . Электричество / С. Г. Калашников. – М. : Наука, 1964. –
668 с.
2 Фе тте р , К . Электрохимическая кинетика / К. Феттер. – М. : Химия, 1967. –
856 с.
3 Курс физической химии / под ред. чл.-корр. АН СССР проф. Я. И. Герасимова. –
2-е изд., испр. – М. : Химия, 1973. – Т. II. – 624 с.
4 П у ти л о в , К . А . Термодинамика / К. А. Путилов. – М. : Наука, 1971. – 376 с.
5 Б а з а р о в , И . П . Термодинамика : учеб. для вузов / И. П. Базаров. – 4-е изд.,
перераб. и доп. – М. : Высш. шк., 1991. – 376 с.
6 З а х а р о в, М . С . Хронопотенциометрия (Методы аналитической химии) /
М. С. Захаров, В. И. Баканов, В. В. Пнев. – М. : Химия, 1978. – 200 с.
7 Во л о б у е в , А . Н . Биофизика : научное издание / А. Н. Волобуев. – Самара :
Самар. Дом печати, 1999. – 168 с.
8 Л е в и ч , В. Г . Курс теоретической физики / В. Г. Левич. – 2-е изд., перераб. –
М. : Наука, 1969. – Т. I. – 912 с.
9 Г о р о х о в с к а я, В. И . Практикум по электрохимическим методам анализа :
учеб. пособие для студентов вузов / В. И. Гороховская, В. М. Гороховский. – М. :
Высш. школа, 1983. – 191 с.
10 П р и г о ж и н , И . Введение в термодинамику необратимых процессов / И. Пригожин. – М. : Изд-во иностр. лит-ры, 1961. – 160 с.
171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Геращенко Сергей Иванович
доктор технических наук, профессор,
заведующий кафедрой медицинских
информационных систем и технологии,
Пензенский государственный
университет
Gerashchenko Sergey Ivanovich
Doctor of engineering sciences, professor,
head of sub-department of medical
information systems and technologies,
Penza State University
E-mail: sgerash@inbox.ru
Геращенко Сергей Михайлович
кандидат технических наук, доцент,
кафедра медицинские информационные
системы и технологии, Пензенский
государственный университет
Gerashchenko Sergey Mikhaylovich
Candidate of engineering scientists,
associate professor, sub-department
of medical information systems
and technologies, Penza State University
E-mail: sgerash@inbox.ru
Кучумов Евгений Владимирович
аспирант, Пензенский государственный
университет
Kuchumov Evgeniy Vladimirovich
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: evgenii_kuchumov@mail.ru
УДК 53.082.8, 54.084
Геращенко, С. И.
Вопросы моделирования электрохимических методов и средств
контроля динамики воспалительных процессов / С. И. Геращенко,
С. М. Геращенко, Е. В. Кучумов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3 (15). –
С. 165–172.
172
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4, 2008
Технические науки. Сведения об авторах
Вниманию авторов!
Редакция журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки» приглашает специалистов опубликовать на его страницах оригинальные статьи, содержащие новые научные результаты в области математики, физики, механики, а также обзорные статьи по тематике журнала.
Статьи, ранее опубликованные, а также принятые к опубликованию в других
журналах, редколлегией не рассматриваются.
Редакция принимает к рассмотрению статьи, подготовленные с использованием текстового редактора Microsoft Word for Windows версий не выше 2003.
Необходимо представить статью в электронном виде (VolgaVuz@mail.ru, дискета 3,5'', СD-диск) и дополнительно на бумажном носителе в двух экземплярах.
Оптимальный объем рукописи 10–14 страниц формата А4. Основной шрифт
статьи – Times New Roman, 14 pt через полуторный интервал. Тип файла в электронном виде – RTF.
Статья обязательно должна сопровождаться индексом УДК, краткой аннотацией и ключевыми словами на русском и английском языках.
Рисунки и таблицы должны быть размещены в тексте статьи и представлены в
виде отдельных файлов (растровые рисунки в формате TIFF, ВМР с разрешением
300 dpi, векторные рисунки в формате Corel Draw с минимальной толщиной линии
0,75 рt). Рисунки должны сопровождаться подрисуночными подписями.
Формулы в тексте статьи выполняются в редакторе формул Microsoft Word
Equation, версия 3.0 и ниже. Символы греческого и русского алфавита должны быть
набраны прямо, нежирно; латинского – курсивом, нежирно; обозначения векторов и
матриц прямо, жирно; цифры – прямо, нежирно. Наименования химических элементов набираются прямо, нежирно. Эти же требования необходимо соблюдать и в рисунках. Допускается вставка в текст специальных символов (с использованием
шрифтов Symbol).
В списке литературы нумерация источников должна соответствовать
очередности ссылок на них в тексте ([1], [2], …). Номер источника указывается в
квадратных скобках. В списке указывается:

для книг – фамилия и инициалы автора, название, город, издательство,
год издания, том, количество страниц;

для журнальных статей, сборников трудов – фамилия и инициалы автора,
название статьи, полное название журнала или сборника, серия, год, том, номер, выпуск, страницы;

для материалов конференций – фамилия и инициалы автора, название
статьи, название конференции, время и место проведения конференции, город, издательство, год, страницы.
В конце статьи допускается указание наименования программы, в рамках которой выполнена работа, или наименование фонда поддержки.
К материалам статьи должна прилагаться информация для заполнения учетного листа автора: фамилия, имя, отчество, место работы и должность, ученая степень,
ученое звание, адрес, контактные телефоны (желательно сотовые), e-mail.
Плата с аспирантов за публикацию рукописей не взимается.
Рукопись, полученная редакцией, не возвращается.
Редакция оставляет за собой право проводить редакторскую и допечатную
правку текстов статей, не изменяющую их основного смысла, без согласования с автором.
Статьи, оформленные без соблюдения приведенных выше требований, к
рассмотрению не принимаются.
173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Уважаемые читатели!
Для гарантированного и своевременного получения журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки»
рекомендуем вам оформить подписку.
Журнал выходит 4 раза в год по тематике:
• математика
• физика
• механика
Стоимость одного номера журнала – 250 руб. 00 коп.
Для оформления подписки через редакцию необходимо заполнить и отправить
заявку в редакцию журнала: факс (841-2) 56-34-96, тел.: 36-82-06, 56-47-33;
Е-mail: VolgaVuz@mail.ru
Подписку на первое полугодие 2011 г. можно также оформить по каталогу
агентства «РОСПЕЧАТЬ» «Газеты. Журналы», тематический раздел «Известия высших учебных заведений». Подписной индекс – 36949.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
ЗАЯВКА
Прошу оформить подписку на журнал «Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки» на 2011 г.
№ 1 – ______ шт., № 2 – ______ шт., № 3 – ______ шт., № 4 – ______ шт.
Наименование организации (полное) __________________________________
__________________________________________________________________
ИНН ___________________________ КПП _____________________________
Почтовый индекс __________________________________________________
Республика, край, область____________________________________________
Город (населенный пункт) ___________________________________________
Улица ____________________________________ Дом ____________________
Корпус __________________________ Офис ____________________________
ФИО ответственного ________________________________________________
Должность ________________________________________________________
Тел. ________________ Факс ______________ Е-mail_____________________
Руководитель предприятия ____________________ ______________________
(подпись)
Дата «____» _________________ 2010 г.
174
(ФИО)
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа