close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

110.Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №3 2008

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
№3
2008
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Долгарев И. А. Поверхности 4-мерного пространства-времени Галилея.
Полная кривизна поверхности ............................................................................. 3
Долгарев А. И., Зелева Е. В. Растран с 2-мерным временем................................... 20
Алехина М. А., Аксенов С. И., Васин А. В. О функциях и схемах,
применяемых для повышения надежности схем.............................................. 30
Смирнов Ю. Г. Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного
объемного сингулярного интегрального уравнения для определения
эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов................... 39
Миронов Д. А. Применение суперкомпьютерных вычислительных комплексов
для решения объемного сингулярного интегрального уравнения
задачи дифракции на диэлектрическом теле .................................................... 55
Геращенко С. М. Оценка параметров линейных динамических моделей
биологических тканей......................................................................................... 63
ФИЗИКА
Журавлев А. В., Журавлев В. М., Егоров Г. А.
Оценивание пространственно-временных спектров
волновых процессов на основе последовательности изображений
с помощью многомерного метода максимальной энтропии ........................... 71
Карпунин В. В., Маргулис В. А. Спин-гибридно-фононные резонансы
в квантовом канале.............................................................................................. 82
Кревчик В. Д., Разумов А. В., Прошкин В. А. Энергетический спектр
D2 -центра в полупроводниковой квантовой точке
при наличии внешних электрического и магнитного полей ........................... 91
Кревчик В. Д., Разумов А. В., Прошкин В. А. Фотовозбуждение примесных
молекулярных ионов D2 в структурах с квантовыми точками
при наличии внешних электрического и магнитного полей ......................... 105
Кревчик В. Д., Яшин С. В., Кудряшов Е. И. Особенности спектров
двухфотонного примесного поглощения в структурах
с дискообразными квантовыми точками......................................................... 122
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Шамров Н. И., Логинов Д. В. Моделирование нестационарного
ВКР-усиления в газах ........................................................................................147
Аннотации ................................................................................................................ 154
Сведения об авторах ............................................................................................... 158
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
МАТЕМАТИКА
УДК 514.7
И. А. Долгарев
ПОВЕРХНОСТИ 4-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
ГАЛИЛЕЯ. ПОЛНАЯ КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТИ
Получены первые результаты по теории поверхностей 4-мерного пространства-времени Галилея. Рассматриваются поверхности, имеющие Галилеевы касательные плоскости. Введены первая и вторая квадратичные формы
поверхности, нормальная кривизна поверхности. Проведена классификация
обыкновенных точек поверхности. Вычислены полная и средняя кривизна поверхности.
Общие положения о 4-мерном пространстве времени Галилея содержатся в книге [1, c. 11–18]. Эти положения предваряют сведения по механике Галилея–Ньютона. Действительное 4-мерное пространство-время Галилея
определено на 4-мерном аффинном пространстве соединением 1-мерного и
3-мерного евклидовых пространств. Схема определения n -мерного пространства-времени Галилея содержится в [2, c. 46–51; 3, c. 34–38, 48–49]. Подробно
изучалась геометрия плоскости Галилея (см. диссертацию [4] Н. М. Макаровой и другие ее работы). Имеется популярное изложение планиметрии
Галилея [5]. Пространство-время Галилея относится к пространствам с
квазиметрикой [6]; изучаются и другие пространства с квазиметрикой, например флаговое [6], полуевклидово [7]. Геометрия 3-мерного пространства-времени Галилея содержится в [2, 8], где определено галилеево скалярное произведение векторов. Наряду с евклидовым и псевдоевклидовыми
многообразиями в [2, 3] определено галилеево многообразие. В работах
[2, 8] геометрия 3-мерного пространства-времени Галилея изложена на основе 3-мерного действительного аффинного пространства посредством
введения в его линейном пространстве галилеева скалярного произведения
векторов. В работе [9] начато построение теории кривых 4-мерного пространства-времени Галилея. Методами геометрии Галилея в [10] решена
задача И. Ньютона об отыскании закона движения материальной точки с
двумя степенями свободы по полю ускорения движения. В работе [11] построена модель гравитационной плоскости – гиперболической галилеевой
плоскости, где используются силы притяжения Земли. В работах [2, 8] изложены начальные положения теории поверхностей 3-мерного пространства-времени Галилея, получены аналоги формул Гаусса–Петерсона–
Кодацци, это основные уравнения теории поверхностей. Основная теорема
теории поверхностей 3-мерного пространства-времени Галилея доказана в
[12], это аналог теоремы Бонне для евклидовых поверхностей. Ниже начинается изучение поверхностей 4-мерного пространства-времени Галилея.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1 Пространство-время Галилея размерности 4
1.1 Галилеево векторное пространство
Пусть L4 – действительное линейное пространство, рассматриваем его
в виде прямой суммы L4 = L1 + L3 . Векторы из L4 записываем в виде

x  ( x, x1 , x 2 , x3 ) ,
выделяя первую компоненту, причем ( x, 0,0,0)  L1 , (0, x1 , x 2 , x3 )  L3 . Счи-
таем, что на L1 и L3 заданы евклидовы скалярные произведения векторов,
что превращает их в евклидовы векторные пространства соответственно в V1
и V 3 . На сумме V1 + V 3 зададим галилеево скалярное произведение векто
ров [2, c. 32]. Пусть y  ( y, y1 , y 2 , y 3 ) – еще один вектор из L4 . Галилеевым
 


скалярным произведением x y векторов x и y называется число
   xy , если x  0, или y  0;
x y =  1 1
2 2
3 3
 x y  x y  x y , если x  y  0.
Векторное пространство V1 + V 3 с галилеевым скалярным произведением векторов называется галилеевым и обозначается V4 . Это прямая сумма
евклидовых пространств. Выполняются свойства:
   


 
 
  

x y = y x , ( t x + s y ) (u z ) = t u x z + s u y z для t , s , u R, x , y y  V4 .
 
Скалярное произведение x x называется скалярным квадратом вектора


x , обозначается x 2 . Согласно определению скалярного произведения векторов

x2 =
( x) 2 , если x  0;
 1 2
( x )  ( x 2 )2  ( x3 ) 2 , если x  0.




Галилеевой нормой x вектора x называется x = x 2 . Имеем
  x , если x  0;
x = 
 ( x1 ) 2  ( x 2 ) 2  ( x3 )2 , если x  0.
(1)
Свойства галилеевой нормы векторов отличаются от свойств евклидовой нормы.
Векторы
1
2
( x, x1 , x 2 , x3 ) ,
x  0 , называются галилеевыми, векторы
3
(0, x , x , x ) называются евклидовыми, они содержатся в евклидовом пространстве V 3 ; записи (0, x1 , x 2 , x3 ) и ( x1 , x 2 , x3 ) отождествляем. Всякий век
тор x = ( x, x1 , x 2 , x3 ) , как вектор линейного пространства L4 , единственным
образом представляется в виде разложения

x = x(1,0,0,0)  x1 (0,1,0,0)  x 2 (0,0,1,0)  x3 (0,0,0,1) .
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
Векторы




e  (1,0,0,0), i  (0,1,0,0), j  (0,0,1,0), k  (0,0,0,1)
   
составляют базис пространства V4 , который обозначается Б = (e , i , j , k ) .
Всякий другой базис пространства V4 содержит хотя бы один галилеев вектор. Мы рассматриваем базисы, содержащие один галилеев вектор и три евклидовых вектора. От любого базиса можно перейти к указанному. Легко получить формулы замены координат векторов при переходе от одного базиса к
другому [9].
Галилеево векторное пространство V4 имеет две составляющих: V4 =
= V1 + V 3 . Первая из них (V1 ) называется временной, вторая (V 3 ) называет
ся пространственной. Вектор e базиса Б называется единичным вектором
времени. Все векторы из V1 называются временными. Все векторы из V 3 , в
  
том числе и векторы i , j , k , называются пространственными, они же евкли 
довы векторы. Векторы x , y называются перпендикулярными (ортогональ 
ными), если x y = 0. Обозначение перпендикулярных векторов обычное:


x  y . Всякий галилеев вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору.
Базис Б является ортонормированным.

Для всех галилеевых векторов x  ( x, x1 , x 2 , x3 ) с фиксированной вре
менной составляющей x галилеева норма x равна

x =x.
Все векторы (1, x1 , x 2 , x3 ) , где векторы (0, x1 , x 2 , x3 ) пробегают V 3 , являются единичными. Всякое направление ( x, x1 , x 2 , x3 ) , x  0 , является временным. Так как время в V4 имеет размерность 1, то разные векторы
( x, x1 , x 2 , x3 ) при x  0 задают одно и то же временное направление и все векторы ( x, x1 , x 2 , x3 ) , x  0 , задают противоположное направление. В связи с
этим углов между временными направлениями не существует. Углы между
пространственными векторами ( x1 , x 2 , x3 ) и ( y1 , y 2 , y 3 ) определяются как
обычно в евклидовом пространстве на основе скалярного произведения векторов. Галилеево векторное пространство V4 содержит единственное 3-мерное
подпространство, являющееся евклидовым.
1.2 Пространство-время Галилея
Аффинное пространство A 4 , в линейном пространстве L4 которого определено галилеево скалярное произведение векторов, называется 4-мерным
пространством-временем Галилея и обозначается Γ 4. Его векторное пространство выше обозначено V4 . Репер аффинного пространства, превращенного в
пространство со скалярным произведением, является репером пространства
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
   
Галилея. Рассматриваем репер В = (O, e , i , j , k ) , где O – точка из Γ 4 ,
   
(e , i , j , k ) – базис векторного пространства V4 . Точка M ( x, x1 , x 2 , x3 ) аффинного пространства является точкой пространства-времени Галилея. Она
еще называется событием пространства-времени Галилея. Событие M происходит в момент времени x , если x  0 , и происходило в момент x за x еди-
ниц времени до начала отсчета. Все события N ( x, y1 , y 2 , y 3 ) одновременны с
событием M . Они составляют 3-мерное евклидово подпространство пространства Галилея Γ 4 . Через всякую точку пространства Галилея Γ 4 проходит
единственное 3-мерное евклидово пространство Ε3 .
Рассматриваем ортонормированные реперы пространства-времени Га   
лилея. Считаем, что в Γ 4 выбран репер В = (O, e , i , j , k ) .
Два события A(a, a1 , a 2 , a3 ) и B (b, b1 , b 2 , b3 ) определяют вектор

AB = (b  a, b1  a1 , b 2  a 2 , b3  a3 ) .
Галилеево расстояние AB между событиями A и B , согласно определению галилеевой нормы векторов (1), равно
 b  a , если b  a;
AB = 
 (b1  a1 ) 2  (b 2  a 2 ) 2  (b3  a3 ) 2 , если b  a.

Если b  a , то AB есть длительность события AB , если b  a , то AB

есть протяженность события AB . Для галилеевых расстояний между событиями-точками не выполняется неравенство треугольника. Например, все
расстояния OM , где O = (0,0,0,0) , M = ( x, x1 , x 2 , x3 ) , равны между собой
и равны x . Для точек M = (1, 4,0,0) и N = (1,0,0,0) : OM  ON  MN .
Прямые аффинного пространства являются прямыми пространства Галилея. Прямая p, определяемая точкой A(a, a1 , a 2 , a3 ) и ненулевым вектором


m = (m, m1 , m 2 , m3 ), обозначается p  A, m  и описывается уравнениями
x  mt  a, x1  m1t  a1 , x 2  m2t  a 2 , x3  m3t  a3 ;
величина t  R является параметром точки M ( x, x1 , x 2 , x3 ) прямой p . Вся
кий вектор tm есть вектор прямой p ; векторное пространство прямой



p  A, m  1-мерно, порождается вектором m , т.е. это оболочка  m  век
тора m ,


 m  = tm | t  R .

Прямая  A, m  является 1-мерным подпространством пространства


Γ 4 . Если m – галилеев вектор, то прямая p  A, m  определяет в пространстве Γ 4 временное направление. Можно считать m  1 , т.е. можно рассматри-
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика

вать единичный галилеев вектор m = (1, m1 , m2 , m3 ) , указывая временное направление. Такая прямая описывается и галилеевой векторной функцией
 (t ) = (t  a, mi t  ai ) , i  1, 2,3 ;
можно считать a  0 . Тогда
 (t ) = (t , mi t  ai ) .
(2)


Если m  0 , то вектор m евклидов, прямая p  A, m  есть прямая
3-мерного евклидова подпространства пространства-времени Галилея Γ 4 ,
содержащего точку A :
 (t ) = (a, mi t  ai ) .
Взаимное расположение прямых в Γ 4 такое же, как в аффинном пространстве A 4 , из которого получено пространство Галилея.
Плоскости аффинного пространства являются плоскостями пространства Галилея. Плоскость  , определяемая точкой A(a, a1 , a 2 , a3 ) и неколлине

арными векторами m = (m, m1 , m 2 , m3 ) и n = (n, n1 , n 2 , n3 ) , обозначается
 
   A, m, n  ; параметрические уравнения плоскости:
x  mu  nva, xi  mi u  ni  ai ; i  1, 2,3 , (u , v)  R 2 ;
параметры u , v независимо пробегают R . Векторами плоскости  являются
векторы из оболочки


 


 m, n  = um  vn | (u , v)  R 2 .
Плоскость есть 2-мерное подпространство в Γ 4 . Если хотя бы один
 
 
из векторов m, n галилеев, то плоскость    A, m, n  галилеева. В гали 
леевом векторном пространстве  m, n  можно выбрать базис, состоящий

из единичного галилеева вектора n1 = (1, n1 , n 2 , n3 ) и евклидова вектора

m1 = (0, m1 , m2 , m3 ) . Галилеева плоскость  описывается галилеевой векторной функцией
 (v, u ) = (v, ni v  mi u ) , i  1, 2,3 , (u , v)  R 2 .
(3)
Евклидова плоскость пространства-времени Галилея задается функцией
 (v, u ) = (a, ni v  mi u ) , i  1, 2,3 , (u , v)  R 2 .
 
Нормальным вектором галилевой плоскости   A, m1 , n1  является

евклидов вектор q = (q1 , q 2 , q3 ) , перпендикулярный евклидову вектору

 
m1 = (m1 , m2 , m3 ) , он не является вектором этой плоскости. Имеем q  n1 ,
т.к. всякий евклидов вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
  

Тройка n1 , m1 , q состоит из попарно ортогональных векторов (вектор q отыскивается ниже, в п. 2.2).
1.3 Кривые пространства-времени Галилея
Гомеоморфное отображение  класса C 4 интервала I действительной
оси R в пространство Галилея Γ 4 называется регулярной кривой пространства-времени Γ 4 :
 : I  Γ4 .
Кривые пространства Γ 4 описаны в [9]; приведем из [9] необходимые
сведения. Кривая описывается векторной функцией
 (t ) = ( x(t ), xi (t )) , i  1, 2,3 ; t  I .
Вектор производной
 (t ) = ( x(t ), xi (t ))
определяет касательную прямую  P,  (t )  в каждой точке P кривой  (t ) .
Возможно, что вектор  (t ) галилеев в точке P , т.е. x(t )  0 , а возможно, что
вектор  (t ) евклидов в точке P ; в этом случае в окрестности точки P кривая  (t ) евклидова, такие кривые изучает евклидова геометрия. В геометрии
Галилея интересно рассматривать кривые, имеющие только галилеевы касательные векторы.
Пусть значение t0 определяет точку P кривой, значение t1 определяет
точку Q . Координаты точек: P  ( x(t0 ), xi (t0 )) , Q  ( x(t1 ), xi (t1 )) . Длина дуги
PQ кривой при x(t )  0 , t0  t  t1 , равна
s  x(t1 )  x(t0 ) .
Все функции x(t ), xi (t ) имеют класс C 4 . Функция x(t ) обратима, обратная функция t  t ( x) также имеет класс C 4 . Поэтому кривую с галилеевыми касательными векторами можно задать функцией вида
 (t ) = (t , xi (t )) , i  1, 2,3 ; t  I  R
(4)
(здесь мы заменили обозначения), это естественная параметризация кривой:
длина дуги от точки t0  0 до точки t1  t равна
t1  t0  t .
Функция  (t ) (4) есть сумма двух составляющих
 

 (t ) = te + r (t ) , r (t ) = ( x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t )) ;
(5)


составляющая te временная, составляющая r (t ) пространственная – это проекция галилеевой кривой  (t ) в 3-мерное евклидово пространство, т.е. это
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика

евклидова кривая. Евклидова кривая r (t ) однозначно определяет галилееву
кривую  (t ) в естественной параметризации, см. (5). Прямая (3) есть пример
задания линии в естественной параметризации.
Если P = P(t0 ) – событие, принадлежащее линии  (t ) , т.е. P   (t0 ) ,
то линия  (t ) называется мировой линией события P . Мировая линия задана
как функция времени. Если P есть материальная точка и  (t ) – мировая ли
ния движения точки P , то r (t ) , см. (5), есть траектория движения точки P и
закон движения точки P . Производная первого порядка
 
 (t ) = (1, x i (t )) = e + r (t )
является единичным евклидовым вектором, указывает на равномерное течение времени при движении материальной точки и задает вектор скорости


r (t ) точки в движении по траектории r (t ) . Производная второго порядка

 (t ) = (0, 
xi (t )) = 
r (t )
есть евклидов вектор кривизны кривой  (t ) . Так как вектор  (t ) единичный,
то    ; это верно и потому, что галилеев вектор перпендикулярен евклидову вектору. Кривизна k кривой определяется как модуль вектора производной второго порядка от векторной функции, задающей кривую в естественной параметризации:
k = (t ) .

С другой стороны, если n – единичный вектор главной нормали кривой, то

(6)
k =  n   ,

т.к. векторы  и n коллинеарны.
2 Поверхности пространства-времени Галилея Γ 4
2.1 Определение регулярной поверхности
Рассматривается галилеева плоскость Γ 2 пространства-времени Галилея Γ 4 . Такие плоскости описаны в п. 1.2. На плоскости задана область D ,
которую считаем прямоугольником. Для всякой точки H (t , u ) из D выполняются условия, определяющие область
a  t  b, c  u  d .
Прямоугольник D является окрестностью своей точки H .
Поверхностью пространства-времени Галилея Γ 4 называется отображение  класса C 4 :
 : D  Γ4 .
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Точке H (t , u ) области D соответствует точка M ( x, xi ) в Γ 4 и вектор

OM  ( x, xi ) , где O – начало отсчета. Каждая компонента x, xi , i  1, 2,3 ,
точки M является функцией параметров t , u . Поэтому поверхность  описывается четырьмя скалярными функциями
x(t , u ), xi (t , u ) , i  1, 2,3 ; (t , u )  D ,
и одной векторной функцией
 (t , u ) = ( x(t , u ), xi (t , u )) , i  1, 2,3 ; (t , u )  D .
При u  u0 имеем t -линию на поверхности
 (t , u0 ) = ( x(t , u0 ), xi (t , u0 )) .
Если t  t0 , то на поверхности имеется u -линия:
 (t0 , u ) = ( x(t0 , u ), xi (t0 , u )) .
В точке P   (t0 , u0 ) на поверхности  (t , u ) векторами частных производных  t и  u определены касательные  P,  t  и  P,  u  к t -линии и к
u -линии соответственно. Если векторы  t и  u неколлинеарны, то точка P
поверхности  (t , u ) называется обыкновенной и поверхность называется регулярной в окрестности точки (t0 , u0 ) .
Пусть t  t (v) , u  u (v) – непрерывные и дифференцируемые функции
du
в области D и линию на поверхна области D . Они задают направление
dt
ности  (t , u ) :
 (v) =  (t (v), u (v)) = x(t (v), u (v)), xi (t (v), u (v)) .
Вектор
 (v) = ( xt tv  xu uv , xi t tv  xiu uv ) =  t tv   u uv
есть вектор касательной к линии  (v) , он является линейной комбинацией
векторов  t и  u , касательных к t -линии и к u -линии поверхности. Таким
образом, касательная ко всякой линии на поверхности  (t , u ) лежит в плоскости  P,  t ,  u  и эта плоскость является касательной к поверхности  (t , u ) в
точке P . Если касательная плоскость к поверхности  (t , u ) является евклидовой, то в окрестности точки P поверхность евклидова. В геометрии Галилея
интересен случай, когда поверхность  (t , u ) имеет галилеевы касательные
плоскости. Это возможно при условии, что хотя бы один из векторов  t ,  u
галилеев. Пусть вектор  t галилеев. Тогда в векторном пространстве касательной плоскости  P,  t ,  u  существует ненулевой евклидов вектор.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
Так как отображение  : D  Γ 4 имеет класс C 4 , то функция x(t , u )
обратима по каждому из параметров; имеем t  t ( x, u ) , и тогда поверхность
описывается 2-параметрическими скалярными функциями вида
x  t , xi  xi (t , u ) , i  1, 2,3 ; (t , u )  D ,
и векторной функцией
 (t , u ) = (t , xi (t , u )) , i  1, 2,3 ; (t , u )  D  Γ 2 .
(7)
В этом случае вектор  t = (1, xti (t , u )) галилеев, а вектор  u =
(0, xui (t , u )) евклидов. Функция, описывающая поверхность, есть сумма двух
составляющих:
 

 (t , u ) = te + r (t , u ) , r (t , u ) = ( xi (t , u )) , i  1, 2,3 .
(8)
Параметризация (7) галилеевой поверхности называется естественной.


Составляющая te является временной, e – единичный вектор времени; со
ставляющая r (t , u ) является пространственной, это поверхность в 3-мерном
евклидовом подпространстве пространства-времени Галилея Γ 4 . Простран
ственная составляющая r (t , u ) галилеевой поверхности  (t , u ) есть проекция
галилеевой поверхности галилеева пространства-времени Γ 4 в 3-мерное евклидово пространство – подпространство пространства Галилея. Можно считать, что точки H (t , u ) составляют область D на евклидовой плоскости в Γ 4 .
Между поверхностями  (t , u ) (7) пространства-времени Галилея Γ 4 , имею
щими галилеевы касательные плоскости, и поверхностями r (t , u ) евклидова
пространства имеется взаимно однозначное соответствие:
 

 (t , u ) = te + r (t , u )  r (t , u ) ,
см. (8). Галилеева плоскость пространства Γ 4 описывается таким же уравнением (3), как поверхность (7) в естественной параметризации.
2.2 Подвижный репер поверхности
Поверхность записываем в виде
 
 (t , u ) = (t , x(t , u ), y (t , u ), z (t , u )) = te + r (t , u ) .
(9)
Галилеева поверхность в Γ 4 является 2-мерным галилеевым многообразием
(определение в [7, 8]). Точку P на поверхности  (t , u ) сопровождает репер, состоящий из репера касательной плоскости в точке P и нормали к поверхности.
Одним из векторов касательной плоскости  P,  t ,  u  поверхности  (t , u ) является единичный галилеев вектор  t = (1, xt , yt , zt ) ; другой, перпендикулярный ему
евклидов вектор касательной плоскости, есть  u = (0, xu , yu , zu ) , или он же


 ru
ru = ( xu , yu , zu ) . Возьмем единичный вектор s   . Тогда третьим вектором
ru
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
подвижного репера поверхности  (t , u ) следует взять евклидов единичный вектор


n , перпендикулярный вектору ru . Этот вектор можно найти как производный еди

ничного вектора s , который, как известно, перпендикулярен s . Евклидов вектор

n перпендикулярен галилееву вектору  t .


Пусть u = u (t )  V 3 , где V 3 – евклидова (пространственная) составляю
u
щая галилеева векторного пространства V4 = V1 + V 3 (п. 1.1.) Вектор  явu
ляется единичным. Производная единичного вектора ему перпендикулярна.

d u 

Определение. Модуль вектора производной m =
   называется
dt  u 


 -функцией (u ) евклидова вектора u .
Лемма. Выполняется равенство


d u
1   uu   

 
m =
(  ) = (u ) g (t ) =   u    u  .
2 
dt u
u 
u




 -функция (u ) вектора u равна
 
u  u

(u ) = 
;
2
u

единичный вектор направления m равен



u   uu    
m


g (t )      u    u  , g (t )  1 .
2 
m
u  u 
u


# Известно, что
(10)
(11)
(12)
 
d 
d  2 u u
u =
u   .

dt
dt
u
Теперь находим

   uu 

u
u

u

  2  


u
u  u  u (uu )
1   uu   
 d u 

m=    =
=
=
u


3
2
 2 u;
u 
dt  u 
u
u
u



равенство (10) установлено. Вычислим скалярный квадрат m 2 ; угол между


векторами u и u  обозначим через  .
2
 

2(u u )(u

 2  2   uu   
u m = u    u = u 2 
2
2 

u
u


 

u 2u 2 cos 2   2  2

= u   u  cos 2  = u 
= u 2 
2
u
12

u )
2



(u u )2  2
 2 (u u ) 2

u
u

=
2 =
4
u
u
sin 2  =
2  2
  2
u u  sin 2  u  u 
=
2
2 ;
u
u
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
таким образом,
 
u  u


m = 
= (u ) ,
2
u
и соотношение (11) доказано. Теперь имеем равенство (12). #


Вычислим вектор m в случае u = (u1 , u 2 ,0) , подставив в (10) координаты; получаем
u1u 2  u 2u 1
   u 2 u1 
=

(
u
) , g =    ,  ,0  .

 u u 
u2


Это совпадает со значениями из [2, c. 59–61].

Свойство 1.  -функция евклидова вектора касательной ru поверхности (9)  (t , u ) равна
 
r r

( ru ) = u  uu ;
(13)
2
ru
единичный вектор нормали поверхности (9) таков:




ru
ru
ru ruu  


n=  =  
ruu   ru .
2
ru
ru  ruu 

ru


(14)
# Формулы получаем по (11) и соответственно (12). #
Имеем ортонормированный подвижный репер поверхности  (t , u ) :
 
B P = ( P,  t , ru , n ) ,

где n есть (14). Выполняется
Свойство 2. Ортонормированным сопровождающим репером поверхности (9)  (t , u ) является
 
BoP = ( P,  t , s , n ) ,
где P – точка поверхности;  t – единичный галилеев касательный вектор;

 
s – единичный евклидов касательный вектор направления ru ; n – единичный вектор нормали (14) поверхности пространства-времени Галилея Γ 4 . #
Реперы B P , BoP сопровождают точку P при ее движении по поверхности  (t , u ) .
2.3 Первая квадратичная форма поверхности
Для измерения расстояний на поверхности (9)  (t , u ) 4-мерного пространства-времени Галилея Γ 4 на этой поверхности задается направление.
Задать направление на поверхности можно посредством задания направления
в области D евклидовой плоскости, на которой определена поверхность
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 (t , u ) . Расстояния измеряются на основе первой квадратичной формы поверхности.
Теорема 1. Первая квадратичная форма поверхности (9)  (t , u ) такова:
dt 2 , если t изменяется;
ds 2  
 E (t , u ), если t неизменяется, E  0;
(15)
вид первой квадратичной формы поверхности  (t , u ) в пространствевремени Галилея Γ 4 такой же, как вид галилеева расстояния между точками в п. 1.1.
# На поверхности (9)  (t , u ) направление задается направлением в области D евклидовой плоскости. Взяв на D функцию u  u (t ) , получаем направление du dt . В частности, исключительное направление имеем при
t  t0 , направление t -линии получается при u  const . Направление вдоль
линии u  u (t ) на поверхности определяется линией на поверхности:
 (t ) =   t , u (t )  =  t , x  t , u (t )  , y  t , u (t )  , z  t , u (t )   ,
точнее, вектором производной

 (t ) = (1, xt  xu u , yt  yu u , zt  zu u ) =  t  u ru .
(16)
Все направления на поверхности (9), кроме одного, определяются га
лилеевыми векторами  t  u ru ; исключительное направление совпадает с
u -линией поверхности. Квадраты дифференциалов расстояний по галилеевым направлениям равны
ds 2  dt 2 ,
и квадрат дифференциала расстояния вдоль u -линии равен

ds 2  ru 2 du 2 .
Обозначим:

ru 2 = xu 2  yu 2  zu 2 = E (t , u ) .
(17)
Выполняется
E 0.
Согласно приведенным рассуждениям первая квадратичная форма поверхности (9)  (t , u ) есть (15). #
Первая квадратичная форма произвольной поверхности имеет единственный непостоянный коэффициент E  E (t , u ) , он называется метрической
функцией поверхности.
2.4 Нормальная кривизна поверхности.
Вторая квадратичная форма поверхности
Нормальная кривизна поверхности 4-мерного пространства Галилея Γ 4
вводится по аналогии с нормальной кривизной поверхности 3-мерного пространства-времени Галилея Γ3 .
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
Теорема 2. Нормальная кривизна поверхности (9)  (t , u ) вычисляется
по формуле
k = Aq 2  2 Bq  C ,
(18)
коэффициенты нормальной кривизны есть
 
 
 
ruu n  A , rut n  B , ruu n  A ,
(19)
и величина
du
q
dt
определяет направление на поверхности.

# Пусть P – точка поверхности (9)  (t , u ) , n – единичный вектор нормали (14) поверхности (9) в точке P и  – любая плоскость, проходящая че
рез прямую  P, n  . Имеем линию пересечения l0 плоскости  с касатель
ной плоскостью  =  P,  t , ru  поверхности  (t , u ) в точке P и линию пересечения l плоскости  с поверхностью  (t , u ) . Направление линий l0 и l
в области D задается функцией u  u (t ) . Линия l на поверхности описывается векторной функцией
 (t ) =  t , x  t , u (t )  , y  t , u (t )  , z  t , u (t )  
или это есть u -линия
 (t0 , u ) =  t0 , x(t0 , u ), y (t0 , u ), z (t0 , u )  ,
проходящая через точку P (t0 , u0 ) . Для функции  (t ) находим производные
первого и второго порядка. Имеем согласно (16)
   t 
   tt   tu
du 
ru ;
dt
2
du   du 
 du  du
.
 ruu    rut
 ru
dt
dt
dt
 dt 
В последней сумме



 tt  rtt ,  tu  rtu  rut .
Кривизна линии l на основании (6) в п. 1.3 равна
2
  
  du    du 
k =  n = rtt n  2rut n
 ruu n   ,
dt
 dt 

где n есть (14). Это кривизна нормального сечения поверхности, иначе говоря, нормальная кривизна поверхности  (t , u ) . Введем обозначения (19). В
этих обозначениях нормальная кривизна поверхности  (t , u ) равна (18).
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
При изменении направления на поверхности величины A, B, C не изменяются, они вычислены в точке P , изменяется направление q . #
Теорема 3. Вторая квадратичная форма поверхности (9)  (t , u )
4-мерного пространства Галилея Γ 4 есть
II  Adu 2  2 Bdudt  Cdt 2 .
(20)
# Перепишем равенство (18) в другом виде:
k= A
du 2
dt 2
 2B
du
Adu 2  2 Bdudt  Cdt 2
C =
.
dt
dt 2
Выражение в числителе представляет собой вторую квадратичную
форму (20) поверхности  (t , u ) с коэффициентами (19). Функции
A  A(t , u ), B  B(t , u ), C  C (t , u )
зависят только от точки P поверхности. #
Нормальная кривизна на всех направлениях на поверхности, кроме направления u -линии, равна отношению первой и второй квадратичных форм
поверхности (для изменяющегося t первая квадратичная форма поверхности
есть ds 2  dt 2 , см. (17)).
При вычислении значений коэффициентов A, B, C второй квадратич 
ru  ruu

ной формы поверхности учтена  -функция (13) ( ru ) =
 2 евклидова
ru

вектора ru касательной поверхности (9).
Для направления u -линии параметр u от параметра t не зависит. Функцию  (t0 , u ) можно дифференцировать только по параметру u . Имеем B  C  0 .
В этом случае вторая квадратичная форма поверхности принимает вид
 
II  ruu ndu 2  Adu 2 .
Если u -линии поверхности заданы (как евклидовы кривые) в естественной параметризации, то

A  ru n  k
(21)
есть кривизна u -линии поверхности. Итак, для u -линии нормальная кривизна k (19) поверхности  (t , u ) превращается в (21), при этом B  C  0 .
2.5 Классификация точек поверхности.
Полная и средняя кривизна поверхности
Функция (20) нормальной кривизны поверхности (9)  (t , u ) является
функцией направления q на поверхности:
k = f (q) = Aq 2  2 Bq  C , или k  A ;
в случае u -линии k  const , см. (21), т.к. имеется только одно направление
u -линии.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
Направление на поверхности называется асимптотическим, если в
этом направлении k  0 . Так как квадратный трехчлен f (q) (20) может
иметь 0, 1 или 2 корня, то на поверхности в точке P может быть 0, 1 или 2
асимптотических направлений. Корни трехчлена f (q) :
q
 B  B 2  AC
.
A
Свойства трехчлена f (q) (20) описаны в [2, c. 78–80].
Точка P поверхности  (t , u ) называется
– гиперболической, если в этой точке поверхность имеет два асимптотических направления; выполняются условия: A  0 , B 2  AC  0 или A  0 ,
B  0 ; поверхность с касательной плоскостью имеет точно две общих прямых, расположена по обе стороны касательной плоскости;
– параболической, если в этой точке поверхность имеет одно асимптотическое направление; выполняются условия: A  0 , B 2  AC  0 или
A  B  0 , C  0 ; поверхность имеет с касательной плоскостью одну общую
прямую и лежит по одну сторону от касательной плоскости;
– эллиптической, если в этой точке поверхность не имеет асимптотических направлений; выполняются условия A  0 , B 2  AC  0 ;
– точкой уплощения, если каждое направление на поверхности в этой
точке асимптотическое; выполняются условия A  B  C  0 .
На поверхности (9)  (t , u ) выделяются два направления. Одно из них –
экстремальное направление, на поверхности определяется из условия
B
f (q)  0 . При этом qэ 
. Экстремальное значение кривизны равно
A
kэ 
AC  B 2
.
A
Другое есть направление u -линии, в котором k  A . Полной кривизной
поверхности  (t , u ) называется K  kэ A , средней кривизной поверхности на1
зывается H  (kэ  A) . Вычисляем значения:
2
K  AC  B 2 , H 
AC  A2  B 2
.
2A
Здесь имеется совпадение с соответствующими формулами для поверхностей 3-мерного пространства-времени Галилея Γ3 [2, c. 80–81].
2.6 Вычислительные формулы
для коэффициентов второй квадратичной формы
Для вычисления коэффициентов A, B, C воспользуемся их определением (18) и значением (12) единичного вектора нормали поверхности.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Теорема 4. Вычислительные формулы коэффициентов второй квадратичной формы поверхности таковы:
 
r r
1 
1 
1  1  
 
 
A  u uu , B   ruu rut  (ru ruu )(ru rut )  , C   ruu rtt  (ru ruu )( ru rtt )  .
A
E
A
E
E


# Вычисляем:







ru
ru
(r r )2 
r
r
  

u
uu
A  ruu n  ruu    ruu   ru  =    ruu 2  uuu  =
2
2 
ru  ruu 
ru  ruu 

ru
ru




1
=   
ru ru  ruu

 2  2
 
r
r
r r
 

ru 2 ruu 2  (ru ruu )2 =  u  uu
1  cos 2  = u uu .
ru ru  ruu
E



Коэффициенты B, C находим аналогично. #
Легко получить значение коэффициента A в координатах:
A
( yu zuu  zu yuu )2  ( zu xuu  xu zuu )2  ( xu yuu  yu xuu )2
.
xu 2  yu 2  zu 2
Замечание. Квадратичные формы поверхностей пространства Γ 4 имеют точно тот же вид, что и квадратичные формы поверхностей пространства
Γ3 и количество коэффициентов квадратичных форм то же самое. Полная и
средняя кривизны поверхности вычисляются в Γ3 и Γ 4 по общим формулам.
Отличие состоит в том, что при вычислении коэффициентов E , A, B, C в
Γ3 используются 2-мерные евклидовы векторы, а в Γ 4 используются 3мерные евклидовы векторы, что значительно усложняет вычислительные
формулы.
Список литературы
1. А р н о л ь д, В. И . Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. – М. : Наука, 1989. – 472 с.
2. Д о л г а р е в , А . И . Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств : монография / А. И. Долгарев. – Пенза : Информационноиздательский центр ПензГУ, 2005. – 306 с.
3. Д о л г а р е в , А . И . Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии :
учебное пособие / А. И. Долгарев. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006. – 132 с.
4. М а к а р о в а , Н . М . Двумерная неевклидова геометрия с параболической метрикой длин и углов : дис. ... канд. физ.-мат. наук / Н. М. Макарова. – Л., 1962.
5. Я г л о м , И . М . Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия /
И. М. Яглом. – М. : Наука, 1969. – С. 304.
6. Р о з е н фе л ь д, Б. А . Геометрия групп Ли, симметрические, параболические и
периодические пространства / Б. А. Розенфельд, М. П. Замаховский. – М. :
МЦНМО, 2003. – 560 с.
7. Г о л о в и н а , Л. И . Линейная алгебра и некоторые ее приложения / Л. И. Головина. – М. : Наука, 1985. – 392 с.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
8. Д о л г а р е в , А . И . Элементы дифференциальной галилеевой геометрии и одуль
галилеевых преобразований / А. И. Долгарев. – Саранск : Средневолжское математическое общество, 2003. – Препринт 63. – 116 с.
9. Д о л г а р е в , А . И . Кривые 4-мерного пространства-времени Галилея /
А. И. Долгарев, И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 3. – С. 2–11.
10. Д о л г а р е в , А . И . Методы одулярной галилеевой геометрии в описании механических движений / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 3. – С. 12–24.
11. Д о л г а р е в , А . И . Модели гиперболических плоскостей с псевдоевклидовым и
галилеевым расстояниями между точками / А. И. Долгарев // Труды Средневолжского математического общества. – Саранск : СВМО. – 2003. – Т. 5. – № 1. –
С. 262–266.
12. Долгарев, И. А. Нахождение поверхности в 3-мерном пространстве Галилея по ее
квадратичным формам / И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2006. – № 5 (26). – С. 51–60. – (Естественные науки).
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 514.7
А. И. Долгарев, Е. В. Зелева
РАСТРАН С 2-МЕРНЫМ ВРЕМЕНЕМ
Операциями над тройками действительных чисел с двумя ведущими компонентами вводится 3-мерный растран, называемый W-растраном. Получено
представление W-растрана матрицами и аффинными преобразованиями. Найден
генетический код W-растрана. Определена галилеева норма на W-растране с
2-мерным временем. Найдена формула дифференцирования растранных функций. В пространстве с W-растраном получены уравнения прямых и двух видов
параллельных прямых.
Растран является одулем Ли, обобщающим линейное пространство.
Векторы линейного пространства можно интерпретировать как параллельные
переносы аффинного пространства. Параллельный перенос всякую прямую
аффинного пространства отображает на параллельную ей прямую. Таким же
свойством обладают еще только гомотетии аффинного пространства. Множество всех параллельных переносов и гомотетий относительно композиции
преобразований составляет группу, она называется основной аффинной группой и является группой Ли. Определяя на группе Ли внешнюю операцию умножения элементов группы Ли на действительные числа, получаем одуль Ли.
Одуль Ли на основной аффинной группе называется растраном, определен в
1986 г. [1]. Имеется несколько видов растранов.
Существует два вида 2-мерных одулей Ли: линейное пространство и
растран. 3-мерных одулей Ли несколько больше. Существует пять видов
3-мерных разрешимых одулей Ли [2], а 3-мерных растранов имеется четыре
вида, они перечислены ниже (есть 3-мерные одули Ли, не являющиеся ни линейным пространством, ни растраном).
Заменяя линейное пространство одулем Ли в аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства, можно определить вейлевское одулярное пространство (ВО-пространство). По аналогии с векторными функциями определяются
одулярные функции, зависящие от одного или нескольких параметров. Если
на одуле Ли введена норма, то появляется возможность определить производную одулярной функции по аналогии с производной векторных функций.
На одулях Ли в [2] введена галилеева норма и найдены производные некоторых одулярных функций. В схеме Г. Вейля построена дифференциальная геометрия одулярных галилеевых пространств [2].
1 W-растран. Дифференцирование растранных функций
1.1 Трехмерные растраны
3-мерный растран может быть задан на многообразии R 3 операциями
над тройками чисел. Элементы растрана называются растами, обозначаются
греческими буквами и записываются в виде   ( x, x1 , x 2 ) . Имеется четыре
вида 3-мерных растранов. Перечислим их.
Растран общего вида. Операции:
( x, x1 , x 2 ) + ( y , y1 , y 2 ) = ( x  y, x1e  y  y1 , x 2 e y  y 2 ) ;
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика

e  xt  1 2 e xt  1 
,x
t x, x1 , x 2 =  xt , x1
 , x  0 ; t (0, x1 , x 2 ) = 0, x1t , x 2t , t  R .
x
x

e 1
e  1 





Нулевой раст:   (0,0,0) ; раст, противоположный расту   ( x, x1 , x 2 ),
равен

 

   x, x1 , x 2   x,  x1e x ,  x 2e x .
Растран однородный. Обозначение P3 , операции:
 x, x1, x2  +  y, y1, y 2  =  x  y, x1e y  y1, x2e y  y2  ;

e xt  1 2 e xt  1 
,x
t x, x1 , x 2 =  xt , x1
 , x  0 ; t 0, x1 , x 2 = 0, x1t , x 2t ,
x
x

e 1
e  1 





 


t  R ;    x,  x1e x ,  x 2 e x .
V-растран. Обозначение PV3 , операции:
 x, x1, x2  +  y, y1, y 2  =  x  y, x1e y  y1, x2  y 2  ;

e  xt  1 2 
, x t  , x  0 ; t 0, x1 , x 2 = 0, x1t , x 2t , t  R ;
t x, x1 , x 2 =  xt , x1
x


e 1






 


   x,  x1e x ,  x 2 .
3
W-растран. Обозначение PW
, операции:
 x1, x2 , x  +  y1, y 2 , y  =  x1  y1, x2  y 2 , xe y  y
1
2
 y  ;

(1)
1
2

e( x  x )t  1  1
1
2

=
, x  x2  0 ,
t x ,x ,x
x t, x t, x 1 2

e x  x  1 


1

2

 

t x1 , x 2 , x = x1t , x 2t , xt , x1  x 2  0 , t  R .
(2)
1
2
    x1 ,  x 2 ,  xe x  x  .


Третья компонента результатов операций над растами зависит от первой и второй компонент. Поэтому они являются ведущими компонентами
растов.
3
.
Из этих четырех растранов ниже рассматривается W-растран PW
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


Каждый раст   x1 , x 2 , x однозначно представляется в виде разложения


  x1 , x 2 , x = x1 (1,0,0)  x 2 (0,1,0)  x(0,0,1) .
Обозначим:
(1,0,0)   , (0,1,0)   , (0,0,1)   .
Расты , ,  составляют базис W-растрана; для всякого раста
  x1  x 2  x .
Базис W-растрана обозначаем Б = ( , ,  ).
Числа x1 , x 2 , x называются координатами раста  в базисе Б.
1.2 Генетический код W-растрана
Коммутатор растов, как коммутатор элементов группы, равен
,          .
Вычислим коммутаторы базисных растов , ,  :
,    (0,1,0)  (1,0,0)  (0,1,0)  (1,0,0)  (0, 1,0)  (1,0,0)  (0,1,0)  (1,0,0) =
 (1, 1,0)  (1,1,0)  (0,0,0)   ;
 ,    (0,0,1)  (1,0,0)  (0,0,1)  (1,0,0)  (e  1)  ,  ,  = (e  1)  .
Запишем генетической код W-растрана:
3
PW
 , ,  ,    ,  ,     ,   ( у  1)  .
1.3 Галилеева норма на W-растране
Галилеевой нормой  раста   ( x1 , x 2 , x) называется
  x1  x 2 , если x1  x 2  0 ;
  x , если x1  x 2  0 .
Временными компонентами растов считаем первую и вторую, третью
компоненту считаем пространственной. Настоящая норма определяет растран
с 2-мерным временем. Здесь использовано то, что первые две компоненты
растов являются ведущими в операциях на растране.
1.4 Растранная функция. Дифференцирование
Отображение из поля R в W-растран называется растранной функцией. Пусть I – некоторый интервал в R , или I  R . Всякому t  I соответ-
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика


ствует единственный раст   x1 , x 2 , х . При изменении t в интервале I
изменяется соответствующий раст: (t )  ( x1 (t ), x 2 (t ), x(t )) . W-pастранная
функция (t ) есть упорядоченная тройка действительных функций действительного параметра t . Всякая упорядоченная тройка действительных
функций действительного параметра с общей областью определения является W-растранной функцией:
 x1(t ), x2 (t ), x(t )  , t  I  R .
Пусть t – фиксированное значение параметра из интервала I ; h – приращение параметра t . Приращенное значение функции (t ) равно
(t  h)  (t )   .
Отсюда находим приращение функции, учитывая некоммутативность
внутренней операции на W-растране:
  (t )  (t  h) .
Наличие нормы и внешней операции на W-растране позволяет традиционно определить производную W-растранной функции (t ) :

1
 lim  (t )  (t  h)  .
t

t 0
h 0 h
(t )  lim
Найдем производную функцию на W-растране.


Рассмотрим W-растранную функцию (t )  x1 (t ), x 2 (t ), x(t ) . Действительные функции x1 (t ), x 2 (t ), x(t ) в окрестности точки t считаем хотя бы
один раз дифференцируемыми.
Подсчитаем приращение   (t )  (t  h) функции (t ) в точке t
на основе операций над растами в W-растране:
  ( x1 (t ), x 2 (t ), x(t ))  ( x1 (t  h), x 2 (t  h), x(t  h)) 
1
2
 ( x1 (t ),  x 2 (t ), e x (t ) x (t ) x(t )) 
+ ( x1 (t  h), x 2 (t  h), x(t  h))  ( x1 (t  h)  x1 (t ), x 2 (t  h)  x 2 (t ),
1
1
2
2
x(t  h)  x(t )e x (t ) x (t  h) x (t ) x (t  h ) ) .
Если h  0 , то и   0 . Умножим раст  на число 1 h :
1
1
2
2
  x1 (t  h)  x1 (t ) x 2 (t  h)  x 2 (t ) e( x (t  h) x (t ) x (t  h) x (t )) / h  1

,
,

1
1
2
2
h 
h
h
e x (t  h )  x (t )  x (t  h )  x (t )  1
1
1
2
2

  x(t  h)  x(t )e x (t  h) x (t ) x (t  h) x (t )   .


23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Согласно [2] предел одулярной функции вычисляется покомпонентно.
Вычислим предел полученного раста. В первой и второй координатах получим соответственно функции x1 (t ) и x2 (t ) . Для третьей координаты найдем
lim
1
1
2
2
x(t  h)  x(t )e x (t  h) x (t ) x (t  h) x (t )
h 0
1
1
2
2
e x (t  h )  x (t )  x ( t  h )  x ( t )  1
.
Так как
1
1
2
2
lim  x(t  h)  x(t )e x (t  h) x (t ) x (t  h) x (t )   0 ,

h 0 
1
1
2
2
lim  e x (t  h) x (t ) x (t  h ) x (t )  1  0 ,

h 0 
то можно воспользоваться правилом Лопиталя. Здесь x(t  h) – функция от h;
x(t ) – постоянная величина. Получаем:
lim
h 0
1
1
2
2
x(t  h)  x(t )e x (t  h) x (t ) x (t  h) x (t )
1
1
2
2
e x (t  h )  x (t )  x (t  h )  x (t )  1


x(t  h)
 lim  1

1
2
2
h0  e x (t  h )  x (t ) x (t  h )  x (t ) ( x1 (t  h)  x2 (t  h))



1
1
2
2
x(t )e x (t  h ) x (t ) x (t  h) x (t ) x1 (t  h)  x2 (t  h) 


1
1
2
2
e x (t  h) x (t ) x (t  h) x (t ) x1 (t  h)  x2 (t  h) 


x(t )  x(t )  x1 (t )  x2 (t ) 


x1 (t )  x2 (t )

x(t )
x1 (t )  x2 (t )
 x(t ) .
Следовательно, производная функция (t ) W-растранной функции
(t ) такова:



1
2
x(t )
(t )   x1 (t ), x2 (t ),  e x (t ) x (t )  1 
 x(t )   .



  x1 (t )  x2 (t )


В частности,

 x(t )

2
(с, x 2 (t ), x(t ))   0, x2 (t ),  e x (t )  1 
 x(t )   ;



  x2 (t )



 x(t )

1
( x1 (t ), с, x(t ))  ( x1 (t ),0,  x1 (t ),0,  e x (t )  1 
 x(t )   ;



  x1 (t )


(с, c, x(t ))  (0,0, x(t )) .
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
Правила дифференцирования векторных функций на растранные функции
не распространяются. Например, (с(t ))  с(t ) ; ((t )  (t ))  (t )  (t ) .
В этом легко убедиться в результате непосредственной проверки.
Дифференцирование W-растранной функции используется для построения дифференциальной геометрии пространства на W-растране.
2 ВО-пространства с W-растраном
2.1 Определение пространства с W-растраном
ВО-пространства определяются в схеме Г. Вейля [1]. В качестве одуля
3
– множество, элементы котоЛи рассматриваем W-растран. Пусть дано W
рого называются точками и обозначаются A, B, ..., M , ... Каждой паре точек
3
, пишем: AB   .
( A, B ) ставится в соответствие единственный раст  из PW
Выполняются аксиомы Г. Вейля:
1. Для всякой точки A и всякого раста  существует единственная
точка B , что AB   .
2. Для любых трех точек A, B, С , если AB   , BС   , то AC     .
3
3
Множество точек W
называется WЛМ-пространством. Точка O  W
и базис Б образуют репер B  (O, , ,  ) ВО-пространства. Координатами
точки M в репере В называются координаты раста ОM в базисе Б. Если
OM  ( x1 , x 2 , x) , то и M  ( x1 , x 2 , x) .
3
Пусть A  (a1 , a 2 , a ), B  (b1 , b 2 , b) – произвольные точки из W
. Выполняется равенство OA  AB  OB , откуда получаем AB  OA  OB :

 



1
2
AB   a1 , a 2 , a  b1 , b 2 , b    a1 , a 2 , ae  a a   b1 , b 2 , b 


1 2 1
2
  b1  a1 , b 2  a 2 , b  aeb b a a  .


3
Норма растов, введенная в п. 1.3, определяет в ВО-пространстве с PW
пространство-время с 2-мерным временем.
2.2 Прямые в WЛМ-пространстве
Получим параметрические уравнения прямой p  A,  , заданной точкой A  (a1 , a 2 , a ) и растом   ( r1 , r 2 , r ) . Прямая p есть множество точек
M  ( x1 , x 2 , x) :
p  {M | AM  t, t  R} .
3
На основе операций на PW
получим расты AM и t :
1
2 1
2
AM   x1  a1 , x 2  a 2 , x  ae x  x a a  ;


1 2

e( r  r )t  1 
.
t  t r1 , r 2 , r =  r1t , r 2t , r 1 2
r r


e

1




25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Следовательно, прямая p описывается следующими уравнениями:
 1
1
1
 x  tr  a ,
 2
2
2
 x  tr  a ,

1 2
1 2
1 2
 x  r  e( r  r )t  1  e( r  r )  1  ae( r  r )t .


 

(3)
Пустъ r1  r 2  0 , тогда
lim
1 2
e ( r  r )t  1
1 2
er r  1
и система (3) принимает вид
r1  r 2 0

lim
1 2
te( r  r )t
r1  r 2 0
1 2
er r
t,
 x1  tr1  a1 ,

 2
2
2
 x  tr  a ,
 x  tr  a.

В этом случае прямая задается линейными уравнениями.
Прямые p  A,  и q  B,  , имеющие общий ненулевой раст, называются ко-параллельными. Пусть раст  неперестановочен с растом  . Тогда
расты  и        независимы, т.е.  не входит в оболочку  . Пряи v  B, 
называются тран-параллельными. Комые p  A, 
параллельные и тран-параллельные прямые называются параллельными.
В общем случае через точку B  (b1 , b 2 , b)  3W можно провести прямые ко-параллельную и тран-параллельную прямой p . Для ко-параллельной
прямой q  B,  имеем параметрические уравнения:
 1
1
1
 x  tr  b ,
 2
2
2
 x  tr  b ,

1 2
1 2
1 2
 x  r  e( r  r )t  1  e( r  r )  1  be( r  r )t .

 


Для тран-параллельной прямой v  B, 
найдем определяющий ее
1 2 1
2
раст        , где раст   AB  (b1  a1 , b 2  a 2 , b  aeb b a a ) . Обо-
значая   ( s1 , s 2 , s ) , получим

 
 

   s1 , s 2 , s  r1 , r 2 , r  s1 , s 2 , s 
1 2
1 2
   s1 ,  s 2 ,  se  s  s    r1  s1 , r 2  s 2 , re s  s  s  

 

1 2 1 1 2
2
1 2
  r1 , r 2 ,  se  s  s  r  s  s  r  re s  s  s  


26
 1 2 
r1  r 2 
s1  s 2 
  re
 r , r , s 1  e
.




Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
Параметрические уравнения прямой v  B,  , тран-параллельной
прямой p  A,  , имеют вид
 x1  tr1  b1 ,

 x 2  tr 2  b 2

( r1  r 2 )t
 
1
b1 b 2  a1  a 2 
r1  r 2 
b1  a1 b 2 a 2  e

 1  e
  re
 x    b  ae
 ( r1  r 2 )


e
 
1

( r1  r 2 )t
.
be
Прямой, заданной линейными уравнениями, параллельна только одна
прямая, содержащая точку B :
 x1  tr1  b1 ,

 2
2
2
 x  tr  b ,

 x  tr  ab.
3 Правые сдвиги на W-растране
3.1 Правые сдвиги и матрицы
3
Построим матричную модель W-растрана. В PW
возьмем расты
  (a1 , a 2 , a) и   (b1 , b 2 , b) . Прибавим справа к произвольному расту
  ( x1 , x 2 , x) фиксированный раст  :


1
2
     x1  a1 , x 2  a 2 , xe a  a  a   x1 , x 2 , x .


Запишем это равенство растов в виде покомпонентных равенств:
 x1  x1  a1 ,

 2
2
2
(4)
x  x  a ,

1
2
 x  xe a  a  a.
Такими же формулами записываются аффинные преобразования
3
3-мерного аффинного пространства. Значит, правому сдвигу растрана PW
соответствует аффинное преобразование вида (4), всякому аффинному преобразованию соответствует его матрица. Тем самым, правому сдвигу 
W-растрана растом  однозначно соответствует матрица
 1
 1
a
m   2
a

 a


1 0
0 
.
0 1
0 
1
2 
0 0 e a  a 
0 0
0
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Правому сдвигу  W-растрана растом  соответствует матрица
1
 1
b
m   2
b

b


1 0
0 
.
0 1
0 
1 2 
0 0 eb b 
0 0
0
Перемножим соответственные матрицы:
1
 1
b
m m   2
b

b
 1

1 0
0  a1

0 1
0  a 2
1 2 
0 0 eb b 
 a
0 0
1


1
1
 a b
 2
2
 a b

a1  a 2
 a  be
0


1 0
0 

0 1
0 
1
2 
0 0 e a  a 
0 0
0


1 0
0

.
0 1
0

1
2 1 2 
0 0 e a  a b b 
0 0
0
Теперь прибавим к расту  сумму (  ) , т.е. запишем правый сдвиг
 W-растрана растом (  ) :
1
2 1 2
1 2
  (  )   x1  a1  b1 , x 2  a 2  b 2 , xe a  a b b  aeb b  b  .


Очевидно, матрица, соответствующая этому преобразованию m ,
совпадает с матрицей, полученной в результате умножения m m . Имеем
3
следующее свойство матриц правых сдвигов на W-растране PW
:
m  m m .

3
3
Следовательно, множество матриц MW
= m  PW
 является груп-
пой относительно умножения матриц. Эта группа изоморфна группе (R 3 , ) ,
где сложение определено равенством (1). Определим возведение матрицы m
в действительную степень t равенством
mt = mt ,
где t  задано равенствами (3). Этим задана внешняя операция R () на
3
3
группе MW
= (MW
, ) . Относительно умножения матриц и возведения мат-

3
3
= m  PW
риц в действительную степень множество матриц MW
28
 явля-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
3
3
3
ется одулем Ли, изоморфным W-растрану PW
, значит, MW
= (MW
, , R ())
3
3
есть W-растран и MW
является матричной моделью W-растрана PW
.
Таким образом, получено представление W-растрана матрицами.
3.2 W-растран и аффинные преобразования
3
Вместе с тем в п. 3.1 получена аффинная модель W-растрана PW
. Правому сдвигу  W-растрана соответствует аффинное преобразование (4).
Композиции таких аффинных преобразований соответствует произведение их
матриц. Значит, аффинные преобразования вида (4) составляют подгруппу в
3
имеет аффинное
группе аффинных преобразований пространства A3 , и PW
представление.
Заключение
Введенная в п. 1.3. галилеева метрика превращает WЛМ-пространство
в галилеево пространство с 2-мерным временем; геометрия пространства некоммутативна, т.к. оно определено на некоммутативной структуре –
W-растране. Дифференцирование функций на W-растране позволяет развивать дифференциальную геометрию пространства с W-растраном, это составляет предмет будущих исследований.
Список литературы
1. Д о л г а р е в , А . И . ЛМ-пространство / А. И. Долгарев // Римановы пространства
и методы эллиптических дифференциальных уравнений : межвузовский сборник
научных трудов. – Л. : ЛГПИ, 1986. – С. 8–25.
2. Д о л г а р е в , А . И . Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств : монография / А. И. Долгарев. – Пенза : Информационноиздательский центр ПензГУ, 2005. – 306 с.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 519.718
М. А. Алехина, С. И. Аксенов, А. В. Васин
О ФУНКЦИЯХ И СХЕМАХ, ПРИМЕНЯЕМЫХ
ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СХЕМ
Найден широкий класс булевых функций, способных повышать надежность схем. Доказано, что при инверсных неисправностях на выходах элементов наличие функции из предлагаемого класса в заданном базисе гарантирует
реализацию произвольной булевой функции асимптотически оптимальной по
надежности схемой.
Впервые задачу синтеза надежных схем из ненадежных элементов рассматривал Дж. фон Нейман [1]. Он предполагал, что все элементы схемы независимо друг от друга подвержены с вероятностью  ( 0    1/ 2 ) инверсным
неисправностям на выходах, когда функциональный элемент с приписанной
ему функцией ( x ) в неисправном состоянии реализует функцию ( x ) .
Дж. фон Нейман предложил итерационный метод, позволяющий при
0    1/ 6 произвольную булеву функцию реализовать схемой, ненадежность которой асимптотически не больше  при условии, что в рассматриваемом базисе содержится функция голосования g ( x1 , x2 , x3 )  x1x2  x1x3  x2 x3 .
Метод дает экспоненциальное увеличение сложности схемы (примерно в 3k
раз, где k – используемое число итераций). В этом его главный недостаток.
Схема из ненадежных элементов имеет две важные характеристики:
вероятность ошибки на выходе схемы (ненадежность) и сложность схемы.
Оптимизации сложности схем уделялось главное внимание в работах
С. И. Ортюкова [2], Д. Улига [3] и некоторых других авторов. Задача построения асимптотически оптимальных по надежности схем из ненадежных
элементов решалась М. А. Алехиной [4]. Сформулируем результаты этих и
других авторов.
Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадежных
элементов над конечным полным базисом B  {e1 , ..., em } [5]. Множество всех
функциональных элементов Ei , функции которых ei принадлежат базису B,
будем также называть базисом B [6]. Схема из ненадежных функциональных
элементов реализует булеву функцию f ( x1 , ..., xn ) , если при поступлении на
вход схемы двоичного набора a  (a1 , ..., an ) при отсутствии неисправностей на
выходе схемы появляется значение f (a ) . Каждому элементу базиса приписано
положительное число v( Ei ) – вес данного элемента. Сложность L(S) схемы S
определяется как сумма весов всех входящих в нее элементов. Предполагается,
что все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью 
( 0    1/ 2 ) подвержены инверсным неисправностям на выходах.
Пусть Pf ( a ) ( S , a ) − вероятность появления f (a ) на выходе схемы S,
реализующей булеву функцию f ( x ) , при входном наборе a . Ненадежность
P(S) схемы S определяется как максимальное из чисел Pf ( a ) ( S , a ) при всевозможных входных наборах a . Надежность схемы S равна 1−P(S).
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
Пусть P  f   inf P  S  , где S  схема из ненадежных элементов,
реализующая булеву функцию f . Схему A из ненадежных элементов, реализующую булеву функцию f , назовем асимптотически оптимальной по надежности, если P  A  ~ P  f  при   0 , т.е. lim
P  A
0 P
f
 1.
Вводится функция Шеннона L p , (n)  max min L( S ) , где минимум беf
S
рется по всем схемам S из ненадежных элементов, реализующим функцию
f ( x1 , ..., xn ) с ненадежностью P ( S )  p , а максимум – по всем булевым
функциям f от n переменных.
Пусть   min v( Ei ) /( n( Ei )  1), где минимум берется по всем элементам
Ei базиса, для которых n( Ei )  1 , а n( Ei ) – число существенных переменных
функции ei , реализуемой элементом Ei , i  1, ..., m. Для схем, реализующих
булевы функции и состоящих только из надежных элементов (т.е.
  0,   0 ), О. Б. Лупанов [7] показал, что L0,0 ( n) ~   2n / n.
С. И. Ортюков [2] получил следующий результат: если 0    0 ,
p  q () Lg , где Lg – минимальное число надежных элементов, необходимое
для реализации функции голосования g ( x1 , x2 , x3 )  x1x2  x2 x3  x1x3 в рассматриваемом базисе, q()    3 2  o( 2 ) при   0 , то существует такая
функция ()   при   0 , что L p, ( n)  () 2n /n.

Д. Улиг [3] для инверсных неисправностей с вероятностью ошибки не
более  показал, что для любых c, b (c, b  0) существует (  (0,1/ 2)) такое, что при любом  , 0     , и любом p , p  (1  b)  Lg , справедливо
соотношение L p, ( n)  (1  c)  2n / n.

С. И. Ортюков и Д. Улиг для инверсных неисправностей нашли методы
синтеза оптимальных по сложности схем, функционирующих с некоторым
уровнем надежности.
С. В. Яблонский [8] рассматривал задачу синтеза надежных схем в базисе B = {x1&x2, x1x2, x1 , g ( x1 , x2 , x3 ) }. В отличие от С. И. Ортюкова и
Д. Улига, он предполагал, что элемент, реализующий функцию голосования
g ( x1 , x2 , x3 )  x1x2  x2 x3  x1x3 , абсолютно надежный, а конъюнктор, дизъюнктор и инвертор – ненадежные, подвержены произвольным неисправностям, ненадежность каждого из них не больше . Доказано [8], что для любого
p > 0 существует алгоритм, который для каждой булевой функции
f ( x1 , ..., xn ) строит такую схему S, что P ( S )  p , L(S)  2n1 / n .

Отметим, что все названные авторы для повышения надежности схем
использовали функцию голосования g ( x1 , x2 , x3 )  x1x2  x2 x3  x1x3 .
Задача реализации булевых функций асимптотически оптимальными по
надежности схемами при однотипных константных неисправностях только на
входах или только на выходах элементов решалась М. А. Алехиной [4].
Предполагалось, что неисправности элементов статистически независимы.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Определим константные неисправности, а затем сформулируем полученный ею результат.
Если неисправность такова, что элемент (реализующий в исправном состоянии приписанную ему булеву функцию) в неисправном состоянии, в которое переходит с вероятностью  ( 0    1/ 2 ), реализует константу 0, то она
называется неисправностью типа 0 на выходе элемента. Если же элемент в
неисправном состоянии реализует константу 1, то такая неисправность называется неисправностью типа 1 на выходе элемента.
Если неисправность элемента такова, что поступающий на его вход
нуль не искажается, а поступающая на его вход единица с вероятностью 
( 0    1/ 2 ) может превратиться в нуль, то она называется неисправностью
типа 0 на входе элемента. Если же неисправность элемента такова, что поступающая на его вход единица не искажается, а нуль с вероятностью  может
превратиться в единицу, то она называется неисправностью типа 1 на входе
элемента.
М. А. Алехиной [4] доказано, что во всех неприводимых полных базисах (исключая три случая), содержащих функции не более чем двух переменных, почти все булевы функции можно реализовать асимптотически наилучшими по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью асимптотически равной at при   0, константы a и t зависят от базиса и типа неисправностей, a{1, 2, 3}, t{1, 2}. Сложность таких схем по порядку равна
сложности схем, построенных только из надежных элементов (т.е. увеличивается несущественно).
Задача реализации булевых функций асимптотически оптимальными по
надежности схемами при инверсных неисправностях на входах элементов
решена В. В. Чугуновой для всех полных неприводимых базисов, содержащих функции не более чем двух переменных [9]. Сложность этих схем (так
же, как в случае однотипных константных неисправностей) по порядку равна
сложности схем, построенных только из надежных элементов.
Для повышения надежности М. А. Алехина [4] применяла схемы, реализующие как функцию голосования g ( x1 , x2 , x3 )  x1x2  x1x3  x2 x3 , так и
функции x1x2  x3 x4 и  x1  x2   x3  x4  . С. И. Аксенов [10] расширил множество функций, схемы которых обладают свойством повышать надежность.
Он рассматривал функции вида
x11 x22  x11 x33  x22 x33 ,
а также x11 x22  x33 x44
и
 x1  x2   x3
1
2
3
(1)

 x44 , где i {0,1} ,
i  1, 2, 3, 4 , и показал, что при инверсных неисправностях на выходах элементов наличие любой из этих функций в заданном конечном полном базисе
B гарантирует реализацию произвольной булевой функции схемой S, функционирующей с ненадежностью
P ( S )    c 2 ,
(2)
где   d , c, d – некоторые положительные константы.
Заметим, что при инверсных неисправностях ненадежность любой схемы, содержащий хотя бы один функциональный элемент, не меньше ε. По-
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
этому схемы, ненадежность которых удовлетворяет условию (2), являются
асимптотически оптимальными по надежности и функционируют с ненадежностью, асимптотически равной ε при   0 .
Позднее М. А. Алехина [4] существенно расширила класс функций, используемых для повышения надежности, и показала, что наличие в базисе
булевой функции m( x1 , ..., xk ) , k  3 , обладающей некоторыми свойствами,
при инверсных неисправностях на выходах элементов гарантирует реализацию произвольной булевой функции схемой с ненадежностью, удовлетворяющей неравенству (2). Опишем эти функции.
Пусть булева функция m( x1 , ..., xk ) , k  3 , обладает свойствами: существуют двоичные наборы  ,  длины k ; (будем называть их характеристиченаборе  и всех соседних с ним наборах x верно
 и всех соседних с ним наборах x верно m( x )  1 .
обладающих этим свойством, обозначим Mk ( k  3 ).
k
k
Mk
 0 , т.е.
Доказано [4], что 22 2k 1  | M k |  22  k  2 . Заметим, что lim
k
k  22
скими) такие, что на
m( x )  0 , а на наборе
Множество функций,
k
число функций из Mk мало по сравнению с числом 22 всех булевых функций от k переменных.
Оказалось, что наличие и некоторых других функций в базисе B гарантирует реализацию произвольной булевой функции схемой c ненадежностью,
удовлетворяющей неравенству (2). Описать эти функции и оценить их число −
задача авторов этой статьи.
Пусть  ,  − некоторые двоичные наборы длины k; ( ,  ) 
k
 i  i
–
i 1
расстояние Хэмминга между ними.
Пусть булева функция m( x1 , ..., xk ) , k  3 , обладает следующим
свойством: существуют двоичные наборы  ,  длины k такие, что
1) 3  ( ,  )    k ; 2) для любого набора x такого, что  ( x ,  )  1 , верно
m( x )  0; 3) для любого набора x такого, что  ( x ,  )  1 , верно m( x )  1 .
Обозначим через Mk() класс функций с названным свойством, а наборы  ,  , так же как раньше, будем называть характеристическими. Полагаем
M k =
k
 M k () ( k  3 ). Очевидно: 1) M k (k )  M k ; 2) M k  M k .
3
Теорема 1. Допустим, что любую булеву функцию можно реализовать
схемой с ненадежностью не больше p  1/ 2 . Пусть схема Sm реализует функцию m( x , ..., x )  M с ненадежностью P ( S )  p , причем 1 и  0 − веро1
k
k
m
ятности ошибок схемы Sm на характеристических наборах. Тогда произвольную функцию f ( x1 ,..., xn ) можно реализовать такой схемой А, что
 k / 2 .
P ( A)  max{v0 , v1}  cp 2 , где положительная константа c  k  2Ck
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Доказательство. Пусть функция m( x ) имеет характеристические наборы   (1 , ...,  k ) и   (1 , ..., k ) такие, что m( )  0 и m( )  1 . Не ограничивая общности, будем полагать, что для характеристических наборов
 ,  верны следующие соотношения:
1  1 , ...,  d  d , 1   2  ...  t  0 , t 1  t  2  ...   d  1 ,
 d 1   d  2  ...  l  d 1  d  2  ...  l  0 ,
l 1  l  2  ...   k  l 1  l  2  ...  k  1 .
Пусть f ( x1 , ..., xn ) − произвольная булева функция. Возьмем t экземпляров схемы S, реализующей функцию f c ненадежностью P ( S )  p, и d−t экземпляров схемы S', реализующей функцию f с ненадежностью P ( S )  p .
Соединим первые t из d входов схемы Sm с выходами t экземпляров схемы S
соответственно, а последние d−t входов схемы Sm с выходами d−t экземпляров схемы S' соответственно.
Поскольку любую булеву функцию можно реализовать схемой с ненадежностью не больше p  1/ 2 , возьмем l−d экземпляров схемы S0, реализующей константу 0 с ненадежностью P ( S0 )  p . Соединим (d+1)-й, …, l-й
входы схемы Sm с выходами l−d экземпляров схемы S0 соответственно.
Возьмем k−l экземпляров схемы S1, реализующей константу 1 с ненадежностью P ( S1 )  p , и последние k−l входов схемы Sm соединим с выходами k−l экземпляров схемы S1 соответственно.
Построенная таким образом схема D реализует функцию f (рис. 1).
~
x
…
…
S
…
f
S
…
S'
f
…
S0 … S0
… S'
f …
…
f
0
… 0
1
…
S1
…
S1
1
Sm
f
Рис. 1
Вычислим вероятности ошибок на выходе построенной схемы D.
Пусть входной набор a схемы S является нулевым для функции f,
т.е. f (a )  0 . Вероятность ошибки P1 ( D, a ) на выходе схемы D в этом случае
удовлетворяет неравенству
P1 ( D, a )  1  kpP ( Sm ) 
34
k

i 2
Cki pi  1  kp 2 
k
 Cki pi 
i 2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
1
   kp
Физико-математические науки. Математика
2
k  k
 
 Ck 2 
pi
i 2

1
   kp
2
k 
k 2
 
 Ck 2  p 2
pi
i 0

1
   kp
2
k 
 
 Ck 2  p 2
p k 1  1

p 1
k 
k  



 2  1  2
 

1 
    k  Ck
p     k  2Ck 2   p 2 .

1 p 







1
Следовательно
 k / 2 ) p 2 .
P1 ( D, a )  1  (k  2Ck
(3)
Пусть входной набор a схемы S является единичным для функции f,
т.е. f ( a )  1 . Вероятность ошибки P0 ( D, a ) на выходе схемы D также удовлетворяет неравенству
P0 ( D, a )   0  kpP ( Sm ) 
k

Cki pi   0  kp 2 
i 2
k  k
k 
k 2
 2 
 
i
0
2
0
2
   kp  Ck
p    kp  Ck 2  p 2
pi
i 2
i 0


0
k
 Cki pi 
i 2
   kp
2
k 
 
 Ck 2  p 2
p k 1  1

p 1
k 
k  



 2  1  2
 

0 
    k  Ck
p     k  2Ck 2   p 2 .

1 p 







0
Следовательно
 k / 2 ) p 2 .
P0 ( D, a )   0  (k  2Ck
(4)
Из соотношений (3) и (4) следует, что P ( D)  max{ 0 , 1}  cp 2 , где
 k / 2 .
положительная константа c  k  2Ck
Теорема 1 доказана.
Следствие 1. Пусть конечный полный базис B содержит функцию
m( x1 , ..., xk )  M k , а функциональные элементы с вероятностью  ( 0    1/ 2 )
подвержены инверсным неисправностям на выходах. Допустим, что любую
булеву функцию можно реализовать схемой S с ненадежностью
P ( S )  s  1/ 2 . Тогда произвольную функцию f можно реализовать такой
схемой А над B, что P ( A)    c 2 , где c – положительная константа,
 k / 2
.
c  s 2  k  2Ck



Доказательство следует из равенства v0  v1   и теоремы 1.
Из теоремы 1 для инверсных неисправностей на выходах элементов
следует, что для реализации произвольной булевой функции схемой S с ненадежностью P ( S )    c 2 требуется только, чтобы схема Sm, реализующая
некоторую функцию из M , имела вероятности ошибок v 0 и v1 на характеk
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ристических наборах такие, что max{v0 , v1} ~  при   0 . Это обстоятельство позволяет утверждать, что существуют функции, отличные от функций из класса M k , наличие которых в базисе дает такой же результат.
Пример 1. Предположим, что в конечном полном базисе B содержит-
ся функция вида x11 x22  x33 или ( x11  x22 )  x33 , где i {0, 1} ,
i  1, 2, 3 . Поскольку
( x11  x22 )  x33  ( x11 x22  1)  x33  x11 x22  x33 ,
таких функций всего C32 8  24 . Очевидно, что ни одна из них ни в классе
M , ни в классе M не содержится.
k
k
Предположим, что базисные элементы с вероятностью  ( 0    1/ 2 )
подвержены инверсным неисправностям на выходах. Для простоты изложения будем считать, что функция  ( x1 , x2 , x3 )  x1 x2  x3  B . Поскольку B –
полный базис, y1  y2  [ B] . Реализуем последнюю функцию схемой S c ненадежностью p  sε и построим схему S1 (рис. 2), реализующую функцию голосования g ( x1 , x2 , x3 )  x1x2  x1x3  x2 x3 .
Нетрудно видеть,
( x1  x2 )( x1  x3 )  x1  x1  x1 x2  x1 x3  x2 x3  x1 
 x1 x2  x1 x3  x2 x3  x1 x2  x1 x3  x2 x3 ;
для этой функции характеристическими являются наборы  = (000) и  = (111).
x1
x2
x3
S
S

g(x1,x2,x3)
Рис. 2
Вычислим вероятность ошибки v1 схемы S1 на наборе  = (000):
 1    2 p  p 2     2 ( s 2  2 s ) .
Аналогично вычисляется и оценивается вероятность ошибки v0 схемы
S1 на наборе  = (111):  0     2 ( s 2  2 s ) .
Применим теорему 1 и получим, что произвольную булеву функцию
можно реализовать схемой S с ненадежностью P ( S )    c1 2 , где положи-
 k / 2   2s  s 2  k  2C  k / 2  1 . 
тельная константа c1  s 2  2s  s 2  k  2Ck

36




k


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
Таким образом, из примера 1 следует, что реализовать произвольную
булеву функцию схемой с ненадежностью (2) можно и при отсутствии в базисе функций из класса M k , т.е. следствие 1 содержит достаточные (но не
необходимые!) условия для реализации произвольной булевой функции схемой S с ненадежностью P ( S )    c1 2 .


k
k
Теорема 2. M k  22 2  k 2  k  2 22 k 3 .
Доказательство. Пусть функция m( x1 , ..., xk )  M k . Характеристический
набор  , m( )  0 , этой функции можно выбрать 2k способами, тогда характеристический набор  , m( )  1 , можно выбрать 2k  1  k  k ( k  1) / 2 способами,
остальные 2k  2k  2 значений функции m( x1 , ..., xk ) произвольны. Поэтому




k
k
k
M k  2k 2k  1  k  k (k  1) / 2 22 2k 2 = 22 2  k 2  k  2 22 k 3 . Тео-
рема 2 доказана.
Следствие 2. 0 
M k
22
k

1
, т.е. число функций в классе M k составляет
4
k
меньше 1/4 от числа 22 всех булевых функций от k переменных.
Замечание 1. Число M 4 = 3152 найдено непосредственным вычислением с использованием ПЭВМ (компьютера) [11]. Следовательно,
M 4
= 0,0480957, что существенно отличается от 1/4.
4
22
Список литературы
1. N e u m a n V o n J . // Automata Studies. – Princeton Univ. Press, 1956. – (Русский
перевод: фон Нейман Дж. // Автоматы. – М. : Изд-во ИЛ, 1956. – С. 68–139).
2. О р тю к о в С . И . // Труды семинара по дискретной математике и ее приложениям (Москва, 27–29 января 1987 г.). – М. : Изд-во Моск. ун-та, 1989. – С. 166–168.
3. U h l i g D . // Fundamentals of Computation Theory. Intern. сonf. FCT'87 (Kazan, June
4.
5.
6.
7.
8.
9.
1987). Proc. Berlin: Springer-Verl, 1987. – P. 462–469. – (Lecture Notes in Comput.
Sci. – V. 278).
А л е х и н а , М . А . Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем /
М. А. Алехина. − Пенза : Информационно-издательский центр ПензГУ, 2006.
Р е д ь к и н , Н . П . Надежность и диагностика схем / Н. П. Редькин. − М. : Изд-во
МГУ, 1992.
Л у п а н о в , О . Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем /
О. Б. Лупанов. – М. : Изд-во МГУ, 1984.
Л у п а н о в , О . Б. Об одном методе синтеза схем / О. Б. Лупанов // Известия вузов. Радиофизика. – 1958. – Т. 1. – № 1. – С. 120–140.
Я б л о н с к и й , С . В. Асимптотически наилучший метод синтеза надежных схем
из ненадежных элементов / С. В. Яблонский // Banach Center. – 1982. – № 7. –
P. 11–19.
Ч у г у н о в а , В. В. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем
при инверсных неисправностях на входах элементов : дис. … канд. физ.-мат. наук /
В. В. Чугунова. – Пенза, 2007.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
10. А к с е н о в, С . И . О надежности схем над произвольной полной системой функций при инверсных неисправностях на выходах элементов / С. И. Аксенов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. − 2005. − № 6 (21). −
С. 42−55. – (Естественные науки).
11. А л е х и н а , М . А . О числе функций, используемых для повышения надежности
схем / М. А. Алехина, К. Ю. Заваровский, Н. С. Спиридонов // Надежность и качество : труды Международного симпозиума. – Пенза : Информационноиздательский центр ПензГУ, 2008. – Т. 1 – С. 363.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.96+537.874.6
Ю. Г. Смирнов
ПРИМЕНЕНИЕ ГРИД-ТЕХНОЛОГИЙ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕМНОГО
СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ
ПРОНИЦАЕМОСТИ НАНОМАТЕРИАЛОВ1
Работа посвящена исследованию задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости образцов наноматериалов произвольной геометрической формы, помещенных в прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками. Задача сводится к решению нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения. Изучение интегрального уравнения опирается на результаты исследования соответствующей краевой задачи и теорему эквивалентности краевой задачи и интегрального уравнения. Доказаны
теорема о существовании и единственности решений в L2 интегрального уравнения, сходимость численного метода Галеркина, получены результаты о
гладкости решений. Предложен параллельный вычислительный алгоритм и
процедура использования ГРИД-технологий для решения задачи.
Введение
Работа посвящена исследованию задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости образцов наноматериалов произвольной геометрической формы, помещенных в прямоугольный волновод с идеально
проводящими стенками.
Определение диэлектрических параметров нанокомпозитных материалов и сложных наноструктур с различной геометрией является актуальной
задачей при использовании нанокомпозитных материалов и наноструктур на
практике. Однако эти параметры не могут быть измерены экспериментально.
Это приводит к необходимости применять методы математического моделирования и решать задачи численно с помощью компьютеров. При этом приходится решать трехмерные векторные задачи в полной электродинамической постановке. Решение таких задач является в настоящее время одной из
самых актуальных проблем в электродинамике. Решение этих задач с приемлемой для практики точностью на электродинамическом уровне строгости
математическими методами требует очень большого объема вычислений и
часто невозможно даже на самых современных суперкомпьютерах. Особенно
остро стоит проблема решения обратных электродинамических задач на
сложной системе тел в резонансном диапазоне частот, возникающая при определении параметров нанокомпозитных материалов и наноструктур [1].
При решении рассматриваемых задач конечно-разностные методы и
методы конечных элементов встречают принципиальные трудности: область,
в которой решается задача, должна быть сделана конечной. Такая редукция
области приводит к появлению неконтролируемой ошибки, причем размеры
области для ее уменьшения должны быть достаточно велики. Конечноразностные методы и методы конечных элементов в такой ситуации обычно
1
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 06-07-89063а).
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
приводят к очень большим, но разреженным матрицам в системах линейных
алгебраических уравнений (порядка 109 и более).
От этих недостатков свободен метод объемных сингулярных интегральных уравнений [2, 3]. Здесь оператор получается эллиптическим, а интегральное уравнение решается только внутри тела (в области неоднородности). В отличие от [3], мы изучаем интегральное уравнение, опираясь в основном на результаты исследования соответствующей краевой задачи и теорему эквивалентности краевой задачи и интегрального уравнения. На этом пути удается
доказать теорему о существовании и единственности решений в L2 интегрального уравнения, сходимость численного метода Галеркина, получить некоторые результаты о гладкости решений. После дискретизации получается конечномерная система уравнений с плотной (заполненной) матрицей. Таким образом, второй путь приводит к необходимости решать системы уравнений с
плотными матрицами, но существенно меньших порядков (103–104).
Существует много алгоритмов и пакетов прикладных программ, реализующих процедуру численного решения интегральных или интегродифференциальных уравнений. Однако при этом, во-первых, не учитываются последние достижения в области исследования таких классов уравнений и численных методов их решения; во-вторых, не учитывается специфика решения
таких задач методами параллельных вычислений на кластере. Точнее, матрицы систем линейных алгебраических уравнений, возникающие при применении численных методов типа метода Галеркина, имеют специальную блочнотеплицевую структуру, а элементы матрицы формируются в результате счета интегралов, вычисление которых может быть осуществлено независимо и
параллельно. Учет этих факторов делает возможным и актуальным применение методов параллельных вычислений для решения трехмерных векторных
задач электродинамики на вычислительных кластерах и суперкомпьютерах.
Однако даже использование самых мощных отечественных кластеров
(Т-60 в МГУ им. М. В. Ломоносова) оказывается недостаточным для ряда
рассматриваемых задач. Поэтому необходимо применение GRID-технологий,
позволяющих объединить мощности нескольких кластеров и выполнять на
них распределенные вычисления [4].
1 Краевая задача дифракции для системы уравнений Максвелла
Рассмотpим следующую задачу дифpакции. Пусть в декартовой системе
координат P  {x : 0  x1  a, 0  x2  b,    x3  } – резонатор с идеально
проводящей поверхностью P . В резонаторе расположено объемное тело Q
( Q  P – область), хаpактеpизующееся постоянной магнитной пpоницаемостью 0 и положительной 3  3 -матрицей-функцией (тензором) диэлек

трической проницаемости  ( x) . Компоненты  ( x) являются ограниченными


функциями в области Q ,   L (Q) , а также  1  L (Q) .
Граница Q области Q кусочно-гладкая. Точнее, следуя [5], предположим, что для каждой точки границы x0  Q существует окрестность 
(в R3 ) и C 2 -диффеоморфизм этой окрестности на R3 , при котором точка x0
переходит в точку 0 , а образом множества   Q является множество одного
из следующих типов (ниже ( x1 , x2 , x3 ) – декартовы; (r , ), r  0,  S 2 – сфе-
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
рические координаты в R3 ). Либо x1  0 ( x0 – точка гладкости границы); либо x1  0, x2  0 ( x0 – точка на «выходящем» ребре); либо R3 \ {x1  0, x2  0}
( x0 – точка на «входящем» ребре); либо r  0,  Q , где Q  S 2 – односвязная
область с кусочно-гладкой границей Q ( x0 – вершина «конуса с ребрами»).
В частности, если Q – гладкая, то x0 – коническая точка; если Q образована
дугами больших окружностей, то x0 – вершина многогранного угла. Пусть Q –
ограниченная область и каждая точка x  Q принадлежит одному из этих типов. Тогда будем говорить, что Q – область с кусочно-гладкой границей. Будем
также предполагать, что тело Q не касается стенок резонатора, Q  P   .
В P \ Q среда изотропна и однородна с постоянными 0 (  0), 0 ( 0) .
 
Требуется определить электромагнитное поле E , H  L2,loc ( P ) , возбуждаемое в резонаторе сторонним полем с временной зависимостью вида e it .

Источник стороннего поля – электрический ток j 0  L2,loc ( P) . В области
P  R3 стандартные дифференциальные операторы grad, div, rot понимаются в смысле обобщенных функций.
Будем искать «слабые» (обобщенные) решения системы уравнений
Максвелла (ниже понятие решения будет уточнено):

 
rotH  iE  jE0 ,


rotE  i0 H .
(1)
Эти решения должны удовлетворять условиям на бесконечности [6]:
поля E и H при x3  C для достаточно больших C  0 имеют представление (+ соответствует  , – соответствует  ):
1
E
   eip  x3

R
 
p
H p


 1  e  i  1  
p 2 p
 p p 3

 i    e 
0
2 p
3 





 i0  2  p  e3 
 2
 i x
,
Qp  e p 3 
  2 

2

p
  p  p e3  i  p  2  p 

(2)
j
j
j
j
j
1
где  p   k02  p  , Im  p   0 или Im  p   0 , k p   0 и p  ,  p  x1 , x2  ;
p  ,  p  x1 , x2 
2
 k02  200 
– полная система собственных значений и
ортонормированных в L2    собственных функций двумерного оператора
Лапласа  в прямоугольнике  :  x1 , x2  : 0  x1  a,0  x2  b с условиями Дирихле и Неймана, соответственно, и  2  e1  x1  e2  x2 . Для коэффициентов разложений (2) имеют место оценки
 


Rp  , Qp   O p m , p   ,
(3)
для всех m  N .
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
С физической точки зрения условия (2) означают, что рассеянное поле
является суперпозицией нормальных волн, расходящихся от тела. Условия (3)
обеспечивают экспоненциальную сходимость рядов (2), а также возможность
их почленного дифференцирования по xj любое число раз.
Сформулируем обобщенные краевые условия на границе P [5]. Если
u – достаточно гладкое векторное поле в P, то через   u ,  u будем обозначать нормальную и касательную составляющие поля u на P . В негладком случае дадим определение для равенств   u  0 ,  u  0 . Пусть
u  L2,loc ( P; C 3 ) . Тогда, если div u  L2,loc ( P ) , то   u  0 означает, что
(u ,grad v)  (div u , v) v  H 1comp ( P).
(4)
Если rot u  L2, loc ( P) , то  u  0 означает, что
(u , rot w)  (rot u , w) w  L2, comp ( P ) : rot w  L2, comp ( P),
(5)
где H 1 ( P ) – пространство Соболева; обозначим
u |P :  u , u |P :   u.
 
Для E , H должны выполняться краевые условия на стенках резонатора:


E |P  0, H  |P  0.
(6)
Если выполняются уравнения Максвелла, то второе условие в (6) следует из первого, и его можно опустить. Но если рассматривать оператор Максвелла, порождаемый левой частью (1), то надо ставить оба условия.
Для u  H 1 ( P ) существуют граничные значения из пространства
H 1/ 2 (P ) в смысле теории следов. Почти везде на P определен вектор нормали. Поэтому можно говорить о равенствах следов   u  0 ,  u  0 , что будет равносильно этим равенствам в смысле данного выше определения.


Пусть также E 0 и H 0 – решения рассматриваемой краевой задачи в



отсутствие неоднородного тела Q ,  ( x)  0 I , x  P ( I – единичный тензор):





rotH 0  i0 E 0  jE0 , rotE 0  i0 H 0
(7)
с краевыми условиями


E 0 |P  0, H 0 |P  0.
(8)

Эти решения могут быть выражены аналитически через jE0 с помощью
введенного в п. 2 тензора Грина. Решения не обязаны удовлетворять услови

ям на бесконечности. Например, E 0 и H 0 могут быть ТМ- или ТЕ-модой
этого волновода.
Имеют место результаты о гладкости решений задач (1)–(6) и (7)–(8)
при более гладких данных [2]. Сформулируем один из таких результатов.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
 

Утверждение 1. Пусть jE0  H 1loc( P ) . Тогда E 0 , H 0  H 1loc( P ). Пусть,



кроме того, Q  C 2 ,   C1 (Q ) , тогда сужения E |Q , H |Q  H 1 (Q) и


E |P \Q , H |P \Q  H 1loc( P \ Q ) . Кроме того, справедливы условия сопряжения
на Q :


[ E ] |Q  0, [ H  ] |Q  0 ,
где [  ] означает разность следов с разных сторон Q .
В предположениях утверждения 1 краевые условия на P и условия
сопряжения на Q понимаются в смысле равенства следов элементов из
H 1/ 2loc(P) и H 1/ 2 (Q) . Ясно, что при первоначальных общих предположе
ниях о тензоре  такие условия сопряжения не имеют смысла.
2 Тензоpная функция Грина прямоугольного резонатора

Построим диагональный тензор Грина GE , компоненты которого являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца в P с коэффициентом k02  2 00 и удовлетворяют краевым условиям первого или
второго рода на P , обеспечивающим обращение в нуль тангенциальных
составляющих напряженности электрического поля на стенках волновода.
Его компоненты имеют вид (см. [6])
G1E 



2(1   )
   ab nm sh(0nnmc) 
n 0 m 1
 n   m 
 n   m   nm x3  y3
x2  cos 
y1  sin 
y2  e
 cos  x1  sin 
 a   b

 a   b

GE2 



2(1  

;

)
   ab nm sh(0mnmc) 
n 1 m 0
 n 
 m   n 
 m   nm x3  y3
;
 sin 
x1  cos 
x2  sin 
y1  cos 
y2  e
 a 
 b
  a 
 b

GE3 
 

4
   ab nm sh( nmc) 
n 1 m 1
 n   m   n   m   nm x3  y3
x1  sin 
x2  sin 
y1  sin 
y2  e
 sin 
 a   b
  a   b

2

.

(9)
2
 n   m 
2
В этих выражениях  nm     
  k0 , при этом ветвь квад a   b 
ратного корня выбирается так, чтобы Im  nm  0 .
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Запишем GEm с выделенной особенностью при x  y :
GEm 
1 eik0 | x  y|
 g m ( x, y ), x, y  P ,
4 | x  y |
(10)
где функция g m  C  (Q  P ) [6, стp. 132]. Отсюда и в силу симметрии функций Грина GEm ( x, y )  GEm ( y, x) (m  1, 2,3) имеем

Утверждение 2. Тензор Грина GE допускает представление

1 eik0 |x  y|  
GE 
I  g ( x, y ),
x, y  P ,
(11)
4 | x  y |


где матрица-функция (тензор) g  C  (Q  P ) и g  C  ( P  Q ) .
Такое представление функции Грина удобно для теоретического исследования задачи дифракции, но непригодно для численных расчетов, т.к. не

содержит алгоритма вычисления g . В работе [6] изложен конструктивный
метод выделения особенности, позволяющий корректно вычислять значения
функции Грина вблизи особых точек.
Отметим, что функции Грина имеют единственную особенность вида
1 eik0 | x  y|
и не имеют других особенностей в силу сделанного нами пред4 | x  y |
положения о том, что тело не касается поверхности волновода.
3 Объемное сингулярное интегральное уравнение
Наша ближайшая цель – свести краевую задачу к объемному сингулярному интегральному уравнению и доказать теорему эквивалентности.
Пусть решения краевых задач (1)–(6) и (7), (8) существуют и единственны. Перепишем (1) в эквивалентной форме:

 


rotH  i0 E  jE , rotE  i0 H ,
(12)
где



jE  jE0  jEp .
(13)

 

В последнем равенстве jEp  i  ( x)  0 I E – электрический ток по-


ляризации.
Нетрудно проверить, что решение краевой задачи (6), (12) имеет вид



1
E  i0 AE 
grad div AE ,
i0
где


H  rotAE ,



AE  GE (r ) jE ( y )dy –

P
(14)
(15)

векторный потенциал электрического тока. Потенциал AE удовлетворяет
уравнению



AE  k02 AE   jE .
(16)
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика

Таким образом, потенциал AE есть свертка с тензором Грина прямоугольного резонатора для уравнения Гельмгольца, обеспечивающей выполнение требуемых краевых условий для полей.
Однако формулы (14) не дают явного решения задачи (6), (12), т.к. ток



jE зависит от E . Из соотношений (13)–(15) для поля E следует интегродифференциальное уравнение




 ( y )   
 I E ( y )dy 
E ( x)  E 0 ( x)  k02 GE (r ) 
0


Q



 ( y )   
grad div GE (r ) 
 I E ( y )dy , x  Q .
0


Q

(17)
Кроме того,




 ( y )   
E ( x)  E 0 ( x)  k02 GE (r ) 
 I E ( y )dy 
0


Q



 ( y )   
grad div GE (r ) 
 I E ( y )dy , x  P \ Q .
 0

Q

(18)

Формула (18) дает представление решения E ( x) в области P \ Q , если


E ( y ), y  Q – решение уравнения (17). Поле H выражается через решение
(17) в виде


0

 ( y)   
H ( x)  H ( x)  i0 rot GE (r ) 
 I E ( y )dy, x  P .
(19)
0


Q

Сведем полученное выше интегро-дифференциальное уравнение к объемному векторному сингулярному интегральному уравнению.
Представим функцию Грина в виде




GE (r )  G0 (r )  G1 (r )  G2 (r ), r | x  y |,
(20)

eik0r  1  
1  
G0 ( r ) 
I , G1 (r ) 
I , G2 (r )  diag{g1 , g 2 , g 3} .
4r
4r
(21)
Применяя теорему [7] о дифференцировании интеграла с ядром, имеющим слабую особенность, придем к известному [3] представлению:

xl
 1
2
1
1
U n ( y )dy  v. p.
U n ( y )dy  lnU n ( x) .
x 4r
x x 4r
3
Q n
Q l n


(22)
Используя полученные соотношения, переходим от интегродифференциального уравнения (16) к векторному сингулярному интегральному уравнению:
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион




 ( y )   
1   ( x)   
E ( x)  
 I  E ( x)  v. p. 1 ( x, y ) 
 I  E ( y )dy 
0
3  0



Q






 ( y)   
 ( y )   
  ( x, y ) 
 I  E ( y )dy   2 ( x, y ) 
 I  E ( y )dy  E 0 ( x) .
 0

 0

Q
Q
  
Здесь тензоры , 1 ,  2 имеют вид:


( x, y )  k02GE ( r )  (  ,grad)gradG0 (r ),

1 ( x, y )  (  ,grad)gradG1 ( r ),



 2 g j (r )
( 2 ( x, y ))ij 
.
xi x j
(23)
(24)
(25)
(26)
Вопрос о разрешимости уравнения (23) и об эквивалентности краевой
задачи дифракции и сингулярного интегрального уравнения устанавливается
в следующей теореме.
Теорема 1. Пусть тело Q с кусочно-гладкой границей Q характеризуется положительным тензором диэлектрической проницаемости
 
 


  L (Q) и  1  L (Q) . Пусть E , H и E 0 , H 0 – единственные решения
краевых задач (1)–(6) и (7), (8), соответственно. Тогда существует и един

ственно решение E  L2 (Q ) уравнения (23). Обратно, если E  L2 (Q ) – решение интегрального уравнения (23), то формулы (13)–(15) (или (18), (19))
дают решение краевой задачи для системы уравнений Максвелла (1), удовлетворяющее условию (6).
4 Метод Галеркина
Одним из наиболее эффективных методов численного решения интегральных уравнений является метод Галеркина.
Для уравнения A  f , (, f  X ) в пространстве X метод формулируется следующим образом. Пусть конечномерные подпространства X n  X
являются линейными оболочками базисных функций: X n  span{vl ,  , vn } ,
Pn : X  X n – ортопроекторы. Потребуем, чтобы для vk выполнялось условие аппроксимации
x  X
lim inf | x  x | 0.
(27)
n xX n
Метод Галеркина записывается следующим образом:
( An , vl ) X  ( f , vl ) X , l  1, ..., n,
(28)
где (  ,  ) X – скалярное произведение в X . Представив приближенное решение в виде n 
n
 ck vk ,
получим систему линейных алгебраических
k 1
уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов ck :
n
 ck ( Avk , vl ) X  ( f , vl ) X ,
k 1
46
l  1, ..., n.
(29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
Определение 1. Метод Галеркина будем называть сходящимся для
оператора A , если существует число N такое, что для каждого f  Im A
приближенное уравнение (28) имеет единственное решение n  X n для всех
n  N , и если эти решения сходятся n   при n   к единственному
решению  уравнения A  f .
В этом случае имеет место квазиоптимальная оценка скорости сходимости [8]:
n    C inf    .
(30)
X n
Рассмотрим вопрос о сходимости метода Галеркина для уравнения (23).
Сформулируем лемму.
Лемма 1 [8]. Предположим, что A : X  X есть ограниченный оператор, имеющий ограниченный обратный, и что проекционный метод сходится для A . Пусть B – линейный ограниченный оператор, A  B инъективен.
Оператор B удовлетворяет любому из двух условий:
a) sup An1Pn B  q  1
nN
или
б) B компактен.
Тогда проекционный метод также сходится для оператора A  B .
Перепишем интегральное уравнение (23) для электрического поля в виде
 
(I  S  K )E  E0 ,
(31)
где операторы S и K определяются в соответствии с (23):




 ( y )   
1   ( x)   
( SE )( x)  
 I  E ( x)  v. p. 1 ( x, y ) 
 I  E ( y ) dy;
3  0
0



Q






 ( y)   
 ( y )   
( KE )( x)  ( x, y ) 
 I  E ( y )dy   2 ( x, y ) 
 I  E ( y )dy . (32)
0
0




Q
Q


Применяя Лемму 1, получаем следующий результат.
Теорема 2. Пусть однородное уравнение (31) имеет только тривиальное решение и тензор диэлектрической проницаемости таков, что
 3
ln ( x)
ess sup 
 ln

xQ l ,n 1 0


2 1/ 2




1
 1 

2 

1
,
(33)
и выполнено условие аппроксимации (27). Тогда уравнение (31) однозначно

разрешимо для любой правой части E 0  L2 (Q) и метод Галеркина сходится
для уравнения (31).
Вернемся теперь к вопросу о построении схемы Галеркина для рассматриваемой задачи дифракции. Будем формулировать метод не для сингулярного интегрального уравнения (23), а для интегро-дифференциального
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
уравнения (17). Этот подход оказывается эффективным в силу более удобно
 ( x)  
I 
го представления интегралов. Будем предполагать, что матрица 
 0

1


  ( x)  
 I   L (Q), I – единичная матрица.
обратима в Q , 
 0

Введя обозначения
1

   ( x)   
 ( x)  

 I  , J : 
 I E ,
 0

 0

(34)
перейдем от (17) к следующему уравнению:




div x GE ( x, y ) J ( y )dy  E 0l ( x), l  1, 2,3.
xl

(35)
Q
Представим это уравнение в виде системы трех скалярных уравнений:
3
 li J i ( x)  k02  GEl ( x, y) J l ( y)dy 
i 1
Q



 
 
 AJ  J ( x)  k02 GE J ( y )dy  grad div GE J ( y )dy  E 0 ( x).


Q
(36)
Q

Определим компоненты приближенного решения J :
J1 
N

i 1
ai fi1 ( x), J 2 
N

i 1
bi fi2 ( x), J 3 
N
 ci fi3 ( x),
(37)
i 1
где fik – базисные функции-«кpышки», существенно зависящие лишь от переменной xk .
Ниже проводится построение функций fi1 . Будем считать, что Q – параллелепипед: Q  {x : a1  x1  a2 , b1  x2  b2 , c1  x3  c2 } , Q  P . Разобьем Q параллелепипедами
1ijm  {x : x1,i 1  x1  x1,i 1 , x2, j  x2  x2, j 1 , x3,m  x3  x3,m 1};
a a
b b
c c
x1,i  a1  2 1 i, x2, j  b1  2 2 1 j , x3,m  c1  2 2 1 m,
n
n
n
где i  1, , n  1; j , m  1, , n / 2  1 .
1
Обозначив h1 :| x1,i  x1,i 1 | , получим формулы для fijm
:
1

1  | x1  x1,i |, x  1ijm ;

1
h1
fijm

0,
x  1ijm .

48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
2
3
Функции fijm
, fijm
, зависящие от переменных x2 и x3 соответственно,
определяются аналогичными соотношениями. Построенное множество базисных функций удовлетворяет требуемому условию аппроксимации в L2 [9].
Перенумеруем базисные функции fi1 , fi2 , fi3 , i  1, ..., N . Расширенную
матрицу для нахождения неизвестных коэффициентов ai , bi , ci удобно представить в блочной форме:
 A11

 A21
A
 31
A13 B1 

A23 B2  ,
A33 B3 
A12
A22
A32
элементы колонок Bk и матриц Akl определяются из соотношений:
Bik  ( E0k , fik );


Aijkl  (kl f jl , fik )  kl k02  GEk ( x, y ) f jl ( y )dy, fik  


Q



 l
 k
  G ( x, y )
f j ( y ) dy,
fi ,


xk
xk
Q

k , l  1, 2,3; i, j  1, ..., N .


Здесь функция G имеет вид
G  
 

4
   ab nmsh( nmc) 
n 1 m 1
 n   m   n   m   nm x3  y3
 sin 
.
x1  sin 
x2  sin 
y1  sin 
y2  e
 a   b
  a   b

Предложенный метод Галеркина реализован для решения ряда задач
дифракции.
Часто интерес представляют задачи рассеяния в среде, характеризующейся постоянной во всем объеме резонатора диэлектрической проницаемо


стью (   0 I ) и тензорной магнитной проницаемостью  в Q (вне
  
Q   0 I ). В этом случае краевая задача сводится к объемному сингулярному интегральному уравнению (такого же типа) для магнитного поля и выражению для электрического поля через решение этого уравнения



  ( y )   
H ( x)  H 0 ( x)  k02 GH (r ) 
 I H ( y )dy 
0


Q

  ( y )   
grad div GH (r ) 
 I H ( y )dy , x  Q;
0


Q


49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион



  ( y )   
E ( x)  E 0 ( x)  i0 rot GH (r ) 
 I H ( y )dy , x  P .
0


Q

В последних формулах GH ( x, y ) – тензорная функция Грина прямоугольного волновода, отвечающая произвольному распределению источни
ков магнитного поля. Как и для рассматривавшейся функции Грина GE ( x, y ) ,
имеет место представление в виде суммы сингулярного слагаемого того же
вида и гладкой функции. Следовательно, для задачи о возбуждении резонатора магнитным током верны все теоремы, сформулированные выше.

5 Обратная краевая задача
Мы будем рассматривать обратную краевую задачу для определения
эффективной диэлектрической проницаемости образца наноматериала, расположенного в волноводе. Рассмотрим изотропный случай и будем считать,

что   x    , где  – неизвестная константа (эффективная диэлектрическая
проницаемость) образца [1]. Предположим, что  a  k0   b . В этом случае
в волноводе может распространяться только одна мода, потому что
 2   0 ,   2   k 2  2 a 2  0 и Im   j   0 для всех p, j за исключени0
p
1
Im 1
ем p  1 и j  2 . Мы также предполагаем, что
x i 2  x


E0  x   e2 A i0 sin 1 e 1 3 .
a
a
Здесь A  – (известная) амплитуда распространяющейся волны,
1  cos x1 a . Следовательно, G1E  0 и GE2  0 равномерно по y  Q при

x3   . Мы также получаем, что
x
y i 2  x  y
1
sin 1 sin 1 e 1 3 3  0
ab10
a
a

равномерно по y  Q при x3   . Затем, мы имеем: div GE  0 равномерно
GE2 
по y  Q при x3   (потому что
GE2
 0 равномерно по y  Q при
x2
x3   ). Вычислив предел при x3   в (18), получим уравнение
 

E  x   E0  x   k02   1 GE2  x, y  E2  y  dy, x  Q,
 0
Q

и, принимая во внимание условие на бесконечности (2), при x3  
2
i1  x3
x

sin 1 
a
a
2

x

 i  x
 e2 A  e 1 3 i0 sin 1 
a
a

e2Q1 e
50
i0
(38)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
 
 k 2e
x
y i 2  x  y
   1 0 2 sin 1 sin 1 e 1  3 3  E2  y  dy.
a
a
 0
 ab10 Q

(39)
Из этого следует
y i 2  y
1
sin 1 e 1 3 E2  y  dy.
a
 b10i0
    A    k 2    1

0
Q1
 0

(40)
Q
   известен из эксперимента.
Мы предполагаем, что коэффициент Q1
Таким образом, мы имеем

C
1 
,
0
f , E
где
C

(41)
    A  
i0b10 Q1
k02
f  e2 sin
;
y1 i1 2  y3
,
e
a
(42)
(43)
а скобки обозначают скалярное произведение в пространстве L2  Q  :
 f , E    f  y  E  y  dy .
(44)
Q
6 Итерационный метод для решения обратной краевой задачи
Подставляя (34) и (41) в формулу (35), мы получаем нелинейное объемное интегральное уравнение:
f , E
C
 E  x   E0  x   k02  GE  x, y  E  y  dy 

Q

 grad div GE  x, y  E  y  dy, x  Q.

(45)
Q
Введем линейный интегральный оператор:


A0 E : k02 GE  x, y  E  y  dy  grad div GE  x, y  E  y  dy .


Q
(46)
Q
Рассмотрим итерационный процесс для решения нелинейного интегрального уравнения (45):
 f , En 
C
 En  x   E0  x    A0En1   x  .
(47)
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
При n = 0, 1, … на каждом шаге приходится решать линейное объемное
интегральное уравнение. Метод решения уравнения описан в п. 4. После решения уравнения (45) с заданной точностью с помощью итерационной процедуры (47) по формулам (41)–(43) находим неизвестную диэлектрическую
проницаемость ε.
В предложенной процедуре определения ε наиболее сложным этапом
является решение уравнения (47) на каждом шаге итераций. Решению объемных сингулярных интегральных уравнений посвящены работы [2–4]. Ниже
описывается параллельный вычислительный алгоритм и процедура применения ГРИД-технологий для решения этих уравнений.
7 Субиерархический параллельный алгоритм
При численном решении уравнений (47) можно использовать параллельный алгоритм для многопроцессорных кластеров и распределенных вычислительных систем [10]. Неизбежность использования подобных алгоритмов вызвана большим объемом вычислительной работы. Последнее обусловлено, прежде всего, трехмерным и векторным характером задачи, численное
решение которой приводит к системам линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) большой размерности (порядка ста тысяч и более). При решении
этих систем (за приемлемое время) эффективно применение параллельных
версий решения СЛАУ методом сопряженных градиентов [11]. Однако при
решении задачи наибольшую трудность представляет не решение системы, а
ее заполнение: элементы матрицы представляются через шестимерные интегралы от тензора Грина, компоненты которого представляются в виде рядов.
Решение данной проблемы описано в [4]. Заметим, что процесс составления
матрицы СЛАУ и ее решения упрощается за счет использования теплицевой
структуры матрицы.
Основным вычислительным узлом в методе сопряженных градиентов,
как в любом итерационном методе, является процедура умножения матрицы на
вектор, к которой и применяется параллельный алгоритм. Совместно с применением параллельного алгоритма умножения матрицы на вектор, для сокращения времени счета задачи используется субиерархический подход [4]. Этот
подход позволяет использовать предварительно вычисленные элементы матрицы для канонической геометрической фигуры – куба, из которого пользователем «вырезается» рассчитываемая фигура образца. В начале расчета пользователем посредством web-интерфейса производится выбор параметров счета и
геометрии задачи. При каждом умножении матрицы на вектор производится
заполнение нулями соответствующих векторов в зависимости от выбранной
геометрии. Таким образом, задача решается для образца произвольной геометрической формы, «вырезанного» из исходного куба.
8 Применение ГРИД-технологий
Как отмечалось раннее, решение поставленной задачи может оказаться
очень емким с точки зрения вычислительного процесса. Использование субиерархического подхода позволяет решать задачи на телах с произвольной
геометрией разной вычислительной сложности: от очень простых (когда выбрано несколько десятков носителей) до очень сложных (с числом носителей
порядка ста тысяч). Для быстрого решения простых задач достаточно ресурсов небольшого кластера, в то время как решение сложных задач требует ис-
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
пользования ресурсов самых современных кластеров. В связи с этим естественно использовать ГРИД-технологию для решения столь сложной вычислительной задачи [4]. Использование web-интерфейса позволяет пользователю
задать его параметры счета и геометрию задачи, перед решением задачи на
кластере производить анализ сложности запускаемой задачи. Если для решения задачи требуются небольшие вычислительные ресурсы, она решается на
мини-кластере, в случае использования больших вычислительных ресурсов
решение производится на более мощных кластерах. В качестве кластера для
небольших вычислительных задач предполагается использовать миникластер ПГУ, для задач со средней сложностью – кластер ЮУрГУ, для самых
больших задач предполагается использование кластера НИВЦ МГУ. Задачи
решаются в режиме метакомпьютинга. Функциональная схема использования
ресурсов при решении задачи изображена на рис. 1.
Получение результатов
ПК
ПК
ПК
Получение результатов
СЕРВЕР ПГУ
ОЧЕРЕДЬ
Выбор геометрии
и параметров задачи
СПРАВОЧНАЯ
СИСТЕМА
ОЦЕНКА НЕОБХОДИМЫХ
РЕСУРСОВ
МИНИ – КЛАСТЕР
ПГУ
(Программа
находится
на кластере)
БОЛЬШОЙ
КЛАСТЕР
НИВЦ МГУ
СРЕДНИЙ
КЛАСТЕР
ЮУрГУ
(Программа
находится
на кластере)
(Программа
находится
на кластере)
СКИФ-ГРИД полигон
Рис. 1 Использование данных кластеров и ресурсов СКИФ-ГРИД полигона
производится в соответствии с проектом Союзного государства СКИФ-ГРИД,
государственный контракт от 16 июля 2007 г. № СГ-2/07
Список литературы
1. S h e s t o p a lo v , Y u . V . Volume singular integral equation method for determination
of effective permittivity of meta-and nano-materials / Yu. V. Shestopalov, Yu. G. Smirnov, V. V. Yakovlev // Proc. Progress in Electromagnetics Research Symposium
(PIERS'2008) (Jule 2–6, 2008). – Cambridge, MA, 2008. – P. 291–292.
2. С м и р н о в , Ю . Г . Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле методом объемного сингулярного интегрального уравнения /
Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2004. – Т. 44. – № 12. – С. 2264–2279.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3. С а м о х и н , А . Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / А. Б. Самохин. – М. : Радио и Связь, 1998.
4. М е дв е ди к , М . Ю . Применение ГРИД-технологий для решения объемного
сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 2. – С. 2–14.
5. Б и р м а н М . Ш. , С о л о м я к М . З . // Успехи математических наук. – 1987. –
Т. 42. – Вып. 6. – С. 61–75.
6. И л ь и н с к и й , А . С . Дифракция электромагнитных волн на проводящих экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. – М. : ИПРЖР, 1996.
7. М и х л и н , С . Г . Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С. Г. Михлин. – М. : Физматгиз, 1962.
8. K r e s s , R . Linear Integral Equations / R. Kress // Applied Mathematical Sciences. –
Vol. 82. – Springer-Verlag. New-York Inc., 1989.
9. М а р ч у к , Г . И . Введение в проекционно-сеточные методы / Г. И. Марчук,
В. И. Агошков. – М. : Наука, 1981.
10. В о е в о ди н , В. В. Параллельные вычисления / В. Воеводин, Вл. В. Воеводин. –
СПб. : БХВ-Петербург, 2002.
11. О р те г а . Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем / Ортега. – СПб. : БХВ-Петербург, 2002.
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.96
Д. А. Миронов
ПРИМЕНЕНИЕ СУПЕРКОМПЬЮТЕРНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ
КОМПЛЕКСОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБЪЕМНОГО СИНГУЛЯРНОГО
ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ
НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ТЕЛЕ
В работе рассматривается задача дифракции стороннего электромагнитного поля на локально неоднородном теле, помещенном в свободном пространстве. Поставленная задача сводится к объемному сингулярному интегральному уравнению. Решение задачи производится численным методом Галеркина. В связи с большой емкостью программа решения задачи выполняется
на суперкомпьютерном вычислительном комплексе. Предложен алгоритм распределения вычислений для запуска на нескольких процессорах. Исследованы
особенности выполнения задачи на суперкомпьютерном комплексе.
Введение
В работе рассматривается задача дифракции стороннего электромагнитного поля на локально неоднородном теле, помещенном в свободном пространстве. Актуальность работы определяется применением результатов исследования, например, при решении задач дифракции в СВЧ-диапазоне. Для
численного решения задачи использован метод объемных сингулярных интегральных уравнений, актуальность использования которого обоснована в [1].
Постановка задачи для системы уравнений Максвелла
Рассмотрим следующую задачу дифракции. Пусть в свободном пространстве расположено объемное тело Q, характеризующееся постоянной
магнитной проницаемостью 0 и положительной ( 3  3 )-матрицей-функцией


(тензором) диэлектрической проницаемости  ( x) . Компоненты  ( x) являют

ся ограниченными функциями в области Q ,   L (Q) , а также  1  L (Q) .
Граница Q области Q кусочно-гладкая.
 
Требуется определить электромагнитное поле E , H  L2 (Q) , возбуждаемое сторонним полем с временной зависимостью вида e it . Источник

стороннего поля – электрический ток j 0 или падающая плоская волна.
 
Будем искать электромагнитное поле E , H , удовлетворяющее уравнениям Максвелла, условиям непрерывности касательных компонент поля при
переходе через границу тела и условиям излучения на бесконечности



 
rotH  iE  jE0 ; rotE  i0 H ;
(1)


[E]  [H ]  0 ;
(2)
Q
E
 E
1
   ik0    o( R ),
H
R  H 
 
Q
E
1
   O( R ),
H
 
R : x  ,
(3)
где k0 – волновое число свободного пространства (вне Q ).
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Краевую задачу (1-2-3) можно свести к объемному (векторному) сингулярному интегральному уравнению [1]:



 ( y )   
1   ( x)   
 I  E ( x)  v. p. 1 ( x, y ) 
 I  E ( y )dy 
E ( x)  
3  0
0



Q



 ( y)   
  ( x, y ) 
 I  E ( y )dy  E 0 ( x),
 0

Q

(4)
где
( x, y )  k02G ( r )  (  ,grad) grad G0 (r ),
1 ( x, y )  (  ,grad) grad G1 (r ).
Функция Грина имеет вид
G ( x, y ) 
1 eik0 | x  y|
;
4 | x  y |
G (r )  G0 ( r )  G1 (r ), r | x  y |; G0 ( r ) 
eik0r  1
1
, G1 (r ) 
.
4r
4r
Для численного решения интегрального уравнения (4) использован
один из наиболее эффективных методов численного решения интегральных
уравнений – метод Галеркина.
По методу Галеркина решение интегрального уравнения сводится к
решению системы лилейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида [1]:
AX  B,
(5)
где
 A11

A   A21
A
 31
A12
A22
A32
A13 
 B1 

 
A23  , B   B2  ,
B 
A33 
 3
где Akl – блок-матрицы вида
ij
Akl


 kl f jl  x  fik  x dx  kl k02
 lj  ik
  G  x, y  f j  y  f i
l
 ik

fik  x  dydx;
 lj
Bki  ( E0k , fik ) , k , l  1, 2, 3; i, j  1, ..., N ,
1
f klm
56
 x  dydx

 lj
 l

  G  x, y  yl f j  y  xk
 ik
k
1

1
1  1 | x1  x1,k |, x   klm ,
 h
0, x  1 ;
klm

(6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
1klm  {x : x1,k 1  x1  x1,k 1 , x2,l  xl  x2,l 1 , x3,m  x3  x3,m1};
a a
b b
c c
x1,k  a1  2 1 k , x2,l  b1  2 2 1 l , x3,k  c1  2 2 1 m,
n
n
n
где k  1, ..., n  1; l , m  1, ..., n / 2  1; h1 :| x1,k  x1,k 1 |; n – количество
интервалов интегрирования по каждой координате.
2
3
Функции f klm
, f klm
, зависящие от переменных x2 и x3 соответственно, определяются аналогичными соотношениями.
Уравнение (5) решается методом сопряженных градиентов [2] – итеративный метод вида
X i  A  X i 1 ,
где X i – решение уравнения на i-й итерации,
X 0  B.
Итерации выполняются до тех пор, пока не будет выполнено условие
| X i  X i 1 |  ,
где  – заданная точность.
Учет симметрии. Распределение вычислений.
Алгоритм работы программы на многопроцессорных комплексах
Для уменьшения времени на работу алгоритма программы и уменьшения объема занимаемой памяти учитывается симметрия матрицы – достаточно вычислить и хранить в памяти коэффициенты блоков A11 и A12 .
Вычисление и хранение только двух блоков матрицы уменьшает время
вычисления коэффициентов и необходимый объем для их хранения в 4,5 раза.
Общее количество коэффициентов блоков A11 и A12 матрицы вычисляется
по формуле
6
N   m  1 2,
где m – количество интервалов разбиения всей области по одной координате.
Для упрощения передачи данных между процессорами все коэффициенты
блоков A11 и A12 матрицы хранятся в одномерном массиве  AI  , где индекс
I  ( m  1)( m  1)(m  1)(m  1)(m  1)2i1  ( m  1)(m  1)(m  1)(m  1)2i 2 
 (m  1)(m  1)(m  1)2i3  (m  1)(m  1)2 j1  (m  1)2 j 2  2 j 3  l ,
где i1, i 2, i3 – 0...m – составляющие индекса i по каждой из трех координат;
j1, j 2, j 3 – 0...m – составляющие индекса j по каждой из трех координат
Допустим, нам доступно процессоров p  1 . Нумерация процессоров с нуля.
Количество коэффициентов C вектора  AI  , которое необходимо вычислить на каждом процессоре, стараемся распределить равномерно:
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 N 
N 
    1, если номер процессора меньше   ,
 p 
 p
C
  N  , если номер процесора больше или равен  N  ,
 
 p 
 p
 
где N – общее количество коэффициентов блоков A11 и A12 матрицы;  N p –
N 
остаток от целочисленного деления;   – целая часть деления.
 p
Общий объем векторов, необходимых для решения СЛАУ (5) (не включая вектор  AI  ), вычисляется по формуле
3
N 0   m  1 3  4 .
Для решения СЛАУ (5) все значения элементов векторов, включая элементы вектора  AI  , необходимы на каждом процессе.
Общий объем векторов, включая вектор  AI  , необходимо учитывать,
т.к. объем оперативной памяти любого ПЭВМ или суперкомпьютерного вычислительного комплекса всегда ограничен. Объем занимаемого места элементами векторов зависит от значения m .
Пользователю предоставляется возможность выбора значения m из
множества {4,8,16,32} – выбранное значение зависит от субъективного выбора
пользователем желаемого количества значений вектора решений в области.
До запуска программы необходимо вычислить общий объем векторов,
в зависимости от выбранного m , и оградить от вычислений, если этот объем
будет превосходить объем доступной оперативной памяти. Необходимые
объемы ресурсов представлены в табл. 1–2.
Таблица 1
Результаты расчета необходимого объема
для хранения элементов матрицы с учетом симметрии
m
4
8
16
32
Количество
элементов матрицы
с учетом симметрии
31250
1062882
48275138
2,58×109
Количество
байт
Количество
кбайт
Количество
Мбайт
Количество
Гбайт
500000
17006112
7,72×108
4,13×1010
488,2813
16607,53
754299
40358374
0,476837
16,21829
736,6201
39412,47
0,000466
0,015838
0,719356
38,48874
Таблица 2
Результаты расчета необходимого объема для хранения элементов векторов,
необходимых для решения СЛАУ (без учета элементов матрицы)
m
Общий размер
4
8
16
32
1500
8748
58956
431244
58
Количество
байт
24000
139968
943296
6899904
Количество
кбайт
23,4375
136,6875
921,1875
6738,188
Количество
Мбайт
0,022888
0,133484
0,899597
6,580261
Количество
Гбайт
2,24×10–5
0,00013
0,000879
0,006426
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
Общая схема алгоритма численного решения интегрального уравнения с
учетом использования многопроцессорных комплексов представлена на рис. 1.
1. Вычисление коэффициентов матрицы
Вектор матрицы
Вычисления
Вычисления
на процессоре 0 на процессоре 1
Вычисления
на процессоре (p–1)
Обмен данными
2. Решение СЛАУ
Одна итерация решения СЛАУ
Вектор
решения
Вычисления
на процессоре 0
Вычисления
на процессоре 1
Вычисления
на процесссоре (p–1)
Обмен данными
3. Запись результатов на процессоре 0 и выход
Рис. 1 Общая схема алгоритма численного решения интегрального уравнения
с использованием многопроцессорных комплексов
Программа была запушена на суперкомпьютерном комплексе СКИФ
МГУ. Основные характеристики комплекса представлены в табл. 3 [3].
Таблица 3
Основные характеристики
суперкомпьютерного вычислительного комплекса СКИФ МГУ
Модель процессора
Количество процессоров
Минимальный объем
оперативной памяти
на один процессор
Intel Xeon E5472 3.0 ГГц
от 1 до 5000 – в зависимости
от количества и объема задач,
уже работающих на комплексе
2 Гбайт
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Также на данном комплексе доступна возможность использования в
программах MPI-функций для распределения вычислений и передачи данных
между используемыми процессорами [4].
MPI – удобный стандартный API для использования в прикладных задачах ресурсов многопроцессорных комплексов [5]. На каждом вычислительном многопроцессорном комплексе используется одна или несколько реализаций (компиляторов) MPI.
Основное требование при запуске на кластере комплекса СКИФ МГУ –
определить до запуска время расчета, когда программа гарантированно завершит работу [6].
С учетом доступного объема оперативной памяти (см. табл. 3) и рассчитанного значения необходимого объема для хранения всех векторов (см.
табл. 1, 2) выбранное значение m не должно превышать 16.
Для определения времени расчета при m = 8 произведены модельные
запуски программы при m = 4, n = 3 с разными количествами используемых
процессоров. Данные о времени выполнения программы при модельных запусках представлены в табл. 4
Таблица 4
Данные о времени выполнения программы
при модельных запусках (m = 4, n = 3)
Количество
процессоров
Время
на вычисление
элементов матрицы
Время
на решение СЛАУ
Время на одну
итерацию с учетом
времени на передачу
между процессами
после итерации
Общее время расчета
1
2
3
4
10
19,060512
12,603949
8,790949
6,272236
3,200899
0,3195
0,2264
0,15966
0,11285
0,05601
0,005153226
0,003652
0,002575
0,00182
0,0009034
19,380012
12,83035
8,950609
6,385086
3,256909
С учетом времени расчета при модельных запусках при m = 4, n = 3
определено гарантированное время расчета при m = 8, n = 3 – требование
при запуске на кластере комплекса СКИФ МГУ (см. выше).
Произведен модельный запуск программы при количестве процессоров,
равном 100 ( m = 8, n = 3), для определения времени расчета при большем значении n . Данные о времени выполнения модельного запуска программы
представлены в табл. 5. Анализ результатов показывает, что резко увеличивается время выполнения программы при увеличении m:
1) за счет большего количества вычисляемых коэффициентов матрицы
2) за счет большего количества передаваемых коэффициентов матрицы
и элементов векторов при решении СЛАУ (5).
С учетом времени модельного расчета при m = 8, n = 10 определено
гарантированное время расчета при m = 8, n = 100.
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
Таблица 5
Данные о времени выполнения программы
при запусках (m = 4, n = 3; m = 8, n = 3; m = 8, n = 10)
Значения констант
Количество процессов
Время на вычисление
элементов матрицы, с
Время на решение СЛАУ, с
Время на одну итерацию
с учетом времени на передачу
между процессами
после итерации, с
Общее время расчета, с
Общее время расчета, мин
Общее время расчета, ч
m = 4, n = 3
m = 8, n = 3
m = 8, n = 10
10
100
100
3,200899
54,817115
26689,46108
0,05601
163.1978
194
0,000903387
0,722114
0,678322
3,256909
0,054281817
0,000904697
218,0149
3,633582
0,06056
26883,46
448,0577
7,467628
Произведен запуск программы при количестве процессоров, равном
100, m = 8, n = 100. Данные о времени выполнения программы представлены
в табл. 5. Анализ результатов показывает, что увеличилось время вычисления
коэффициентов матрицы за счет увеличения количества узлов интегрирования при вычислении каждого коэффициента.
По результатам работы сделаны следующие выводы:
1. Явное уменьшение в несколько раз времени работы программы при
одинаковых значениях констант m и n , увеличении количества использованных процессоров доказывает эффективность использования суперкомпьютерных вычислительных комплексов для численного решения интегрального уравнения.
2. Необходимо учитывать, что возможности любого суперкомпьютерного комплекса ограничены. Для поставленной задачи в основном «узким»
местом является объем оперативной памяти.
3. До запуска основной программы-задачи для определения ее времени
выполнения на суперкомпьютерном комплексе СКИФ МГУ необходимы запуски модельных задач.
4. Необходимо учитывать, что с увеличением количества передаваемых элементов увеличивается время на передачу элементов.
5. Необходимо учитывать, что на суперкомпьютерном комплексе с
увеличением числа используемых процессоров увеличивается задержка при
вычислениях, связанная с особенностями работы операционной системы.
Список литературы
1. М е дв е ди к , М . Ю . Применение ГРИД-технологий для решения объемного
сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 2.
2. О р те г а , Д ж . Введение в параллельные и векторные методы решения линейных
систем / Дж. Ортега. – М. : Мир, 1991.
3. Описание суперкомпьютера СКИФ МГУ [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
http://parallel.ru/cluster/skif_msu.html
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
4. Средства программирования параллельных задач [Электронный ресурс]. – Режим
доступа: http://www.parallel.ru
5. MPI: A Message – Passing Interface Standart. Version 1.0. – University of Tennessee. –
1994. – May, 5.
6. Система управления заданиями. Запуск задач на кластере [Электронный ресурс]. –
Режим доступа: http://www.parallel.ru
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
УДК 681.51, 681.52
С. М. Геращенко
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ
Представлены линейные динамические модели биологических тканей.
Приведены результаты оценок параметров моделей и соответствующих дисперсий для различных биологических тканей в состоянии «норма» и «патология». Разработанные модели могут быть использованы на практике в различных областях науки и техники, в том числе и в медицине.
Биологические ткани изменяют свои свойства во время воздействия на
них электрического тока. Это обстоятельство требует оценки получаемых
значений параметров, характеризующих исследуемый объект, в динамике.
В этой связи разработка динамических моделей, описывающих свойства различных биологических тканей, приобретает первостепенное значение.
Процедуры параметрической идентификации позволяют получать многопараметрическое признаковое пространство, способное характеризовать
динамические свойства исследуемых объектов. Как показала практика, для
описания данных процессов достаточно использовать линейные динамические модели.
Линейная система связывает наблюдаемые значения входа u (t ) и выхода y (t ) с учетом влияния помехи e(t ) . Значения выходного сигнала линейной системы в выборочные моменты времени tk  kT ( k  1, 2, ...) при условии, что T  1, определяются выражением [1]
y (t ) 

 g (k )u(t  k ) , t  1, 2, ... ,
(1)
k 1
где g (k ) – импульсная характеристика системы.
С учетом шума выражение (1) можно представить в следующем виде:
y (t ) 

 g  k  u  t  k    (t ) ,
k 1
где v(t ) – неизмеряемая составляющая шума в выходном сигнале.
Если ввести оператор сдвига вперед q :
qu (t )  u (t  1) ,
и оператор сдвига назад q 1 :
q 1u  t   u  t  1 ,
можно представить формулу (1) в виде
y (t ) 


k 1
k 1
 g  k  u  t  k    g (k )(q k u(t )) 
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


  g (k )q  k  u (t )  G (q )u (t ),
 k 1


где G  q  
(2)

 g  k q k – передаточная функция линейной системы.
k 1
Аналогично для шума v(t ) можно записать
(t ) 

 h ( k ) e (t  k ) ,
(3)
k 0
где {e(t )} – последовательность взаимно независимых случайных величин с
некоторой функцией плотности вероятности.
Вводя H (q) 

 h(k )q k , можно записать формулу (3) следующим об-
k 0
разом:
v(t )  H ( q)e(t ) .
(4)
Таким образом, уравнения (2) и (4) совместно дают описание линейной
системы:
y (t )  G (q )u (t )  H (q )e(t ) .
(5)
Одним из вариантов представления передаточных функций линейных
систем являются регрессионные модели [2]. В процессе идентификации в них
в качестве значений функции y (t ) используются наблюдаемые данные в дискретные моменты времени t . Типы моделей различаются по способу описания линейным разностным уравнением входно-выходного соответствия. Рассмотрим основные типы регрессионных моделей, используемых в процедурах идентификации.
Модель авторегрессии ( ARX ) описывается следующим уравнением:
y  t   a1 y  t  1  ...  ana y  t  na   b1u  t  1  ...  bnb u  t  nb   e(t ). (6)
Если ввести многочлены A( q) и B (q) с оператором задержки q 1
A(q)  1  a1q 1  ...  ana q  na
(7)
B (q)  b1  b2 q 1  ...  bnb q  nb1 ,
(8)
и
где na и nb – порядки соответствующих многочленов, то уравнение (5) с
учетом введения nk – тактового запаздывания, принимает следующий вид:
y (t ) 
B(q)
1
u (t  nk ) 
e(t ) .
A(q)
A(q)
В этой модели авторегрессия относится к части A(q) y . Ее достоинством является возможность использования простых методов оценивания. Ос-
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
новной ее недостаток состоит в отсутствии возможности выбора в описании
свойств помехи.
Предсказатель для уравнения (6) будет выглядеть следующим образом:

(9)
y (t | )  B (q)u (t )  [1  A(q)] y (t ) .
Если ввести вектор данных
(t )  [ y (t  1), ...,  y (t  na), u (t  1), ..., u (t  nb)]T ,
то (9) можно переписать в виде

y (t | )  T (t )  T (t ) .
(10)
Таким образом, предсказатель представляет собой скалярное произведение известного вектора данных (t ) и вектора параметров  . Модель (10)
называется линейной регрессией.
Модель авторегрессии со скользящим средним ( ARMAX ) описывается
следующим уравнением:
y  t   a1 y  t  1  ...  ana y  t  na  
 b1u  t  1  ...  bnbu  t  nb   e(t )  c1e  t  1  ...  cnc u  t  nc  .
(11)
В отличие от модели ARX , в ней для описания ошибки, как скользящего среднего, дополнительно к (7) и (8) введен многочлен
C (q)  1  c1q 1  ...  cnc q  nc .
В результате уравнение (5) принимает следующий вид:
y (t ) 
B(q)
C (q)
u (t  nk ) 
e(t ) ,
A(q )
A( q )
где C (q)e(t ) – член скользящего среднего модели.
Для модели (11) предсказатель запишется в следующем виде:
 A( q) 
B(q)

y (t | ) 
u (t )  1 
 y (t ).
C (q)
 C (q) 
Уравнение (12) можно преобразовать в виде


y (t | )  B (q)u (t )  [1  A(q )] y (t )  [C (q)  1][ y (t )  y (t | )] .
(12)
(13)
Если ввести ошибку предсказания

e(t , )  y (t )  y (t | )
и вектор
(t , )  [ y (t  1), ...,  y (t  na ), u (t  1), ...,
u (t  nb), e(t  1, ), ..., e(t  nc, )]T ,
то уравнение (13) можно записать в виде

y (t | )  T (t , ) .
(14)
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В силу нелинейной зависимости (t , ) от  модель (14) получила название псевдолинейной регрессии.
В модели выходной ошибки (OE ) , в отличие от модели ARX , производится независимая параметризация G (q ) и H (q) путем исключения общего множителя в виде полинома A( q) .
Если ввести полином
F (q)  1  f1q 1  ...  f nf q  nf ,
уравнение (5) принимает следующий вид:
y (t ) 
B(q)
u (t  nk )  e(t ) .
F (q)
Модель Бокса–Дженкинса ( BJ ) получается в результате усложнения
модели выходной ошибки введением полиномов:
C (q)  1  c1q 1  ...  cnc q  nc
и
D( q)  d1q 1  ...  d nd q  nd .
В результате уравнение (5) принимает следующий вид:
y (t ) 
B(q)
C (q)
u (t  nk ) 
e(t ) .
F (q)
D(q)
Рассмотренные модели представляют собой частные случаи в обобщенной структуре вида
A(q ) y (t ) 
B(q)
C (q)
u (t  nk ) 
e(t ) .
F (q)
D(q)
(15)
В ней представлены все полиномы. Эта модель приводится к любой из
приведенных выше форм приравниванием соответствующих коэффициентов
na, nb, nc, nd , nf к нулю.
Коэффициенты полиномов A(q) , B (q) , C (q) , D(q ) и F (q) в авторегрессионных моделях используются в качестве информативных признаков,
характеризующих состояние биологического объекта.
Идентификационные эксперименты в рамках данной работы проводились на биологических тканях органов (почке, мочевом пузыре и молочной
железе), имеющих новообразования в виде раковой опухоли. В ходе эксперимента были получены входо-выходные данные для двух типов тканей – нормальной и патологии. Рассмотрим алгоритм идентификации на примере данных, полученных для нормальной ткани почки.
Для сравнения критериев согласия с данными для различных модельных структур на практике широко применяются процедуры взаимного подтверждения, которые имеют существенный недостаток. Они предполагают
наличие множества данных, которые не использовались при настройке модели. Но вследствие необратимости изменений свойств биологических объек-
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
тов при воздействии на них тестового сигнала не представляется возможным
сохранить часть информационного материала в целях взаимного подтверждения. Поэтому сравнение моделей производится на уже использованных множествах данных. Существует несколько формализованных процедур, позволяющих скорректировать возникающий при этом эффект сверхсогласия.
В частности, использование критерия финальной ошибки предсказания Акаике (ФОП) [1], который отражает величину дисперсии ошибки предсказания,
получаемой в усредненном варианте сравнения наблюдаемых и моделируемых данных.
По результатам предварительного исследования параметров и ФОП
модельных структур, описанных выше (рис. 1, табл. 1). Для целей идентификации биологических тканей была выбрана модель выходной ошибки [2].
U (t), м В
0 ,4
0 ,3 5
0 ,3
0 ,2 5
0 ,2
1
0 ,1 5
2
3
y (t)
4
0 ,1
0 ,0 5
0
50
100
150
200
250
В рем я, м с
Рис. 1 Измеренный выходной сигнал y(t) по сравнению с сигналами,
имитированными различными модельными структурами: OE-модель (кривая 1),
ARX -модель (кривая 2), BJ-модель (кривая 3) и ARMAX-модель (кривая 4)
Таблица 1
Параметры модельных структур
Модельная
структура
ARX
ARMAX
OE
BJ
na
nb
nc
nd
nf
ФОП · 10–4
7
2
–
–
6
2
2
2
–
2
–
1
–
–
–
0
–
–
1
2
1,9159
1,8231
1,6177
11,964
Выбор модельной структуры сводится к поиску и целенаправленному
подбору параметров и ФОП ОЕ-моделей различных порядков (рис. 2,
табл. 2). Из приведенных данных можно сделать вывод, что модель oe352
наилучшим образом описывает наблюдаемые данные.
Проверка устойчивости модели oe352 проведена путем определения
положения нулей и полюсов передаточной функции в плоскости переменной
z (рис. 3).
Адекватность модели oe352 проверена на основе анализа коррелограмм
(рис. 4).
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
U ( t) , м В
0 ,4
0 ,3 5
0 ,3
1
2
3 4
y ( t)
0 ,2 5
0 ,2
0 ,1 5
0 ,1
0 ,0 5
0
50
100
150
В рем я, м с
200
250
Рис. 2 Измеренный выходной сигнал y(t) по сравнению с сигналами, имитированными
моделями выходной ошибки различных порядков: модель oe352 (кривая 1),
модель oe353 (кривая 2), модель oe222 (кривая 3) и модель oe211 (кривая 4)
Таблица 2
Параметры модельных структур
Модель ОЕ
oe352
oe342
oe322
oe221
oe353
oe343
oe222
oe332
oe211
nb
3
3
3
2
3
3
2
3
2
nf
5
4
2
2
5
4
2
3
1
ФОП10–4
1,8577
1,8595
1,8781
1,9159
2,2516
2,2404
2,3542
2,4342
2,4572
nk
2
2
2
1
3
3
2
2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
–0,5
0
0,5
1
Рис. 3 Полюсы (×) и нули (o) передаточной функции модели ое352
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Математика
К о р р еляц и о н н ая ф ун кц и я вы хо д н о го си гн ал а
1
0 ,4
2
3
4
0 ,2
0
– 0 ,2
–15
–10
–5
0
5
10
15
В заи м н ая ко р рел яц и он н ая ф ун к ц и я вх од н о го и вы х о д н о го си гн ал о в
0 ,1
1
0 ,0 5
2
3
4
0
– 0 ,0 5
– 0 ,1
–15
–10
–5
0
Задерж ка
5
10
15
Рис. 4 Коррелограммы модели ое352
Результаты оценок параметров bi , fi и соответствующих дисперсий
для моделей выходной ошибки различных биологических тканей приведены
в табл. 3.
Таблица 3
Параметры моделей выходной ошибки
Орган
Тип ткани
b1
b2
b3
f1
f2
f3
f4
f5
Мочевой пузырь
норма
патология
0,0151
0,0072
0,0014
0,0007
–0,0277
–0,0138
0,0026
0,0013
0,0126
0,0066
0,0012
0,0006
–2,0088
–2,8854
0,1451
0,1383
1,2827
3,5183
0,3745
0,4261
–0,4963
–2,7875
0,4400
0,5395
0,2475
1,5778
0,3259
0,3536
–0,0252
–0,4232
0,1146
0,1001
Почка
норма
патология
0,0084
0,0083
0,0012
0,0011
–0,0150
–0,0152
0,0021
0,0020
0,0066
0,0069
0,0010
0,0009
–2,4092
–2,4841
0,2524
0,2319
2,2379
2,4089
0,7170
0,6753
–1,2533
–1,4456
0,8774
0,8320
0,4900
0,6488
0,5956
0,5554
–0,0653
–0,1280
0,1837
0,1664
Молочная железа
норма
патология
0,0060
0,0084
0,0008
0,0009
–0,0003
–0,0158
0,0013
0,0016
0,0058
0,0074
0,0010
0,0007
–1,1561
–2,7443
0,2124
0,1611
0,0388
3,0911
0,4607
0,4880
–0,5618
–2,2532
0,5010
0,6101
1,0323
1,2340
0,3918
0,3987
–0,5979
–0,3277
0,1490
0,1140
Приведенный выше алгоритм идентификации нестационарных объектов в условиях шумов позволяет получать устойчивые линейные модели биологических тканей, параметры которых могут выступать в качестве информативных признаков, характеризующих состояние исследуемого объекта. В качестве обобщенной линейной динамической модели для идентификации биологических тканей выбрана модель ошибки уравнения пятого порядка.
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Список литературы
1. Л ь ю и н г , Л. Идентификация систем. Теория для пользователя : пер. с англ. /
Л. Льюинг ; под ред. Я. З. Цыпкина. – М. : Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. –
432 с.
2. Г е р а щ е н к о , С . М . Типы регрессионных моделей используемых при идентификации биологических объектов / С. М. Геращенко, С. И. Геращенко, Н. Н. Янкина // Тринадцатые научные чтения памяти академика Н. Н. Бурденко : материалы научно-практической конференции. – Пенза : Информационно-издательский
центр ПензГУ, 2002. – С. 57–58.
3. Г е р а щ е н к о , С .
М . Разработка джоульметрических информационноизмерительных систем контроля биологических объектов : дис. … канд. техн. наук / С. М. Геращенко ; Пензенский государственный университет. – Пенза, 2000. –
162 с.
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
ФИЗИКА
УДК 51.71; 519.254; 520.88; 004.932.2
А. В. Журавлев, В. М. Журавлев, Г. А. Егоров
ОЦЕНИВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ СПЕКТРОВ
ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ИЗОБРАЖЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МНОГОМЕРНОГО МЕТОДА
МАКСИМАЛЬНОЙ ЭНТРОПИИ1
Рассматривается применение метода многомерной авторегрессии для
оценивания спектров по сериям изображений. Метод обосновывается с помощью принципа максимальной энтропии. Строится многомерное обобщение
реккуретного алгоритма Левинсона для оценивания коэффициентов
многомерной авторегрессии.
Введение
Одним из основных методов анализа динамики глобальных процессов в
атмосфере Солнца, а также планет солнечной системы является анализ
последовательности изображений, сделанных с различного рода спутников.
Для исследования динамики атмосферы Земли используются снимки в различных оптических диапазонах от видимого до инфракрасного, получаемые с
геостационарных спутников, например, серии GOES или METEOSAT. Для
анализа процессов в атмосфере Солнца используют регулярно пополняемые
наборы снимков с космического аппарата SOHO или наземных обсерваторий. В
частности, одним из успешных направлений исследования волновых процессов
по снимкам Солнца являются методы гелиосейсмологии, заимствованные из
арсенала геофизических исследований распространения волн в Земной коре и
мантии, возникающих от естественных источников – землетрясений или
искуственных взрывов. Методика построения оценок спектральной плотности
волновых процессов по снимкам в целом основывается на стандартных
способах оценивания спектров, широко используемых на протяжении уже
более ста лет в геофизике, метеорологии, океанологии и т.д. [1, 2]. Этот способ
опирается на метод измерения фазовых сдвигов между элементами дискретных
антенных решеток на заданной частоте [3–5]. Его применение требует
синхронных измерений параметров среды в узлах антенной решетки таких,
например, как сеть метеорологических станций. В случае обработки спутниковых снимков в качестве набора узлов дискретной антенной решетки можно использовать фиксированные элементы изображений, привязанные к координатам снимка, которые, в свою очередь, связаны с фиксированными географическими или гелиографическими координатами.
Однако при обработке снимков часто возникают трудности с обеспечением синхронности получения изображений объектов. Это связано с тем,
1
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, проект 08-01-97013р_поволжье_а.
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
как организуется получение и передача изображения на Землю с борта
спутника. В результате применение метода дискретных фазовых решеток к
задаче оценивания спектров по нерегулярной последовательности изображений требует либо применения методов интерполяции данных в узлы
регулярной сетки, либо использования других способов оценивания.
Одним из таких новых способов оценивания спектров по последовательности изображений является изменение порядка оценивания по времени и пространству в методе фазовой решетки. Обычно метод фазовой решетки основывается на такой методике [1, 2], когда на первом этапе оценивается спектральная матрица для некоторого набора частот, а затем, на
втором этапе, вычисляется спектр по волновым числам на заданной частоте.
Именно на первом этапе требуется синхронность измерений по времени.
Поскольку точки снимка (пиксели) равномерно упорядочены в пространстве
снимка, то это позволяет для последовательности снимков воспользоваться
обратным порядком оценивания спектра. На первом этапе вычисляется
спектр по волновым числам для выделенного набора строк изображения на
последовательности снимков, а на втором – получить оценку спектральной
плотности по частотам для заданной длины волны. В таком подходе узлы
антенной решетки располагаются в пространстве и времени, а стандартный
временной ряд обычной методики заменяется выделенной строкой
изображения. Такой подход был использован при создании электронного
практикума «Космофизика–2007» [6] для оценивания эпюры скоростей
дифференциального вращения Солнца по долготе. Этот метод предполагает
использование метода максимальной энтропии [7–10] на обоих этапах
оценивания спектральной плотности: на этапе оценивания спектральной
матрицы [11, 12] на этапе построения пространственно-временного спектра
[2–4, 10]. Однако такой подход оказывается слишком громоздким при
требовании использования одновременно всех строк изображения в качестве
элементов антенной решетки. Размерность спектральной матрицы может
исчисляться в этом случае тысячами элементов, что создает большие
вычислительные трудности как со скоростью получения оценок, так и с
проблемой округления. Последнее связано с тем, что спектральная матрица
вблизи спектральных пиков вырождена. При этом требуется проводить
многократно ее обращение, что приводит к потери точности за счет
округления. Чтобы избежать этих трудностей, в данной работе предлагается
использовать относительно новый подход – применение на стадии
оценивания спектральной матрицы метода многомерной регрессии, который
также обосновывается с помощью метода максимальной энтропии. В работе
излагаются основы построения оценки двумерной авторегрессии с помощью
обобщения метода Левинсона [11, 12] и приведено обоснование найденной
оценки с помощью метода максимальной энтропии.
1 Общие принципы построения оценок спектральной плотности
на основе серии изображений
Будем предполагать, что исследуемый процесс u ( x, y , t ) , наблюдения
которого представлены снимками, является и по времени, и по пространственным координатам процессом стационарным в широком смысле. При
работе с изображениями величина u ( x, y, t ) представляет собой интен-
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
сивность излучения отдельных точек объекта с координатами x, y в момент
времени t . Это означает, во-первых, что процесс u ( x, y , t ) обладает
следующим свойством стационарности в широком смысле:
< u ( x, y, t ) >= 0, < u 2 ( x, y, t ) >= u2 ,
< u ( x, y, t )u ( x, y, t ) >= R ( x  x, y  y , t  t )
(здесь и далее угловые скобки означают осреднение по ансамблю), а, вовторых, u ( x, y , t ) в силу стационарности в широком смысле можно
представить в виде Фурье-интеграла:
  
u ( x, y , t ) =
   A(k , l, ) exp(i(kx  ly  t ))dkdld ,

причем Фурье-компоненты этого процесса обладают свойством
< A(k , l , ) >= 0,
< A(k , l , )a* (k , l , ) >= S ( k , l , )(k  k , l  l ,   ).
(1)
Функция S (k , l , ) называется пространственно-временным спектром
процесса или его спектральной плотностью и связана с автоковариацией
этого процесса R ( x  x, y  y, t  t ) формулой Винера–Хинтчина:
  
R (, , ) =
   S (k , l , ) exp(i(k   l  ))dkdld .
(2)

Задачей спектрального анализа является построение оценки функции
S (k , l , ) по известной функции u ( x, y, t ) .
Мы будем предполагать, что изображения, на основе которых строится
оценка спектральной плотности волнового процесса, приведены к единой
системе координат так, что каждой точке изображения пикселю
соответствует определенный набор чисел xi = ix, y j = j y , указывающий
их декартовы координаты ( xi , y j ) относительно одинакового положения
начала отсчета на всех снимках, сделанных в моменты времени ta .
Исследованию подвергаются при этом величины интенсивности каждой
точки изображения, которые мы будем обозначать через uija , где индексы i и
j соответствуют координатам точки xi , y j в момент времени ta .
2 Двумерная авторегрессия
Рассмотрим вначале специальную модель процесса на одном снимке,
который соответствует некоторому фиксированному моменту времени.
В качестве такой модели процесса, с помощью которой мы будем в
дальнейшем проводить оценивание спектральной плотности, рассмотрим
двумерную модель авторегрессии – AR2 -модель, которая может быть
представлена в следующей форме:
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
L M
 Aij uni,m j = n,m , n, m = , .
(3)
i =0 j =0
Величины Aij будем называть коэффициентами авторегрессии, причем
без ограничения общности можем полагать A00 = 1 . Пара целых чисел L, M
будет называться составным порядком двумерной модели авторегрессии.
Величины  n,m представляют собой двумерный процесс белого шума:
<  n,m >= 0, <  n2,m ) >= 02 ,
<  n,m  n,m >= nnmm .
Совершая дискретное Фурье-преобразование соотношения (3), приходим к следующей формуле для Фурье-компонент Z (k , l ) процесса un,m :
Z (k , l ) A(k , l ) = (k , l ),
где k , l – нормированные волновые числа по координатам x, y : 1/2  k ,
l  1/2; x и y – величина шагов по соответствующим координатам:


  unm exp  2i[nxk  myl ] dkdl,
Z (k , l ) =
n =  m = 
L M
A(k , l ) ==
( k , l ) =
  Anm exp  2i[nxk  myl ] dkdl ,
n =0 m =0


  nm exp  2i[nxk  myl ] dkdl.
(4)
n =  m = 
Отсюда спектральная плотность процесса un,m будет иметь следующий вид:
< Z (k , l ) Z * (k , l ) >=
< (k , l )* (k , l ) >
A(k , l ) A* (k , l )
или
S (k , l ) =
02
| A(k , l ) |2
.
(5)
Здесь учтено, что спектральная плотность белого шума будет постоянна во всем диапазоне волновых чисел:
< (k , l )* (k , l ) >= 02 .
3 Двумерная авторегрессия и метод максимальной энтропии
Обоснование использования AR2 -модели для оценивания спектральной
плотности двумерного случайного процесса может быть построено на основе
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
метода максимальной энтропии аналогично одномерному случаю [3–5, 11].
Метод максимальной энтропии [7, 9] предлагает в качестве оптимальной
оценки спектральной плотности такую функцию S ( k , l ) , которая максимизирует энтропию случайного гауссового процесса стационарного в широком
смысле, имеющую вид [8]:
1/2 1/2
 
H=
(6)
ln S (k , l )dkdl ,
1/2 1/2
при условии, что известны значения ковариаций для некоторого набора

0
сдвигов Rnm = Rnm
,  L  n  L,  M  m  M .
Интеграл в (6) берется по интервалу, ограниченному нормированными
волновыми числами Найквиста. Используя формулу Винера–Хинтчина,
аналогичную (2), дополнительные условия функционала (6) можно
представить в виде
0
Rnm
1/2 1/2
=
 
S (k , l ) exp  2i[nxk  myl ] dkdl , | k | L, | l | M .
(7)
1/2 1/2
В этом случае задача об условной максимизации функционала
энтропии H сводится к безусловному максимуму функционала:
H =

1/2 1/2
 
ln S (k , l )dkdl 
1/2 1/2
1/2 1/2


0
 nm  Rnm

S ( k , l ) exp  2i[nxk  myl ] dkdl  .


n =  Lm =  M
1/2 1/2


L
M
 
 
Варьируя этот функционал,
спектральной плотности:
S (k , l ) =
находим
следующую
1
L
M
 
n =  Lm =  M
оценку
.
для
(8)
 nm exp  2i[ nxk  myl ]
Сравнивая (5) и (8), видим, что эти оценки при совпадении порядков
авторегрессии L и M с соответствующими значениями числа известных
ковариаций не отличаются друг от друга функционально. Следуя [3–5, 12],
мы можем воспользоваться этим, чтобы обосновать оценку авторегрессии как
наилучшую с точки зрения максимума энтропии.
4 Построение оценки коэффициентов авторегрессии
Построение оценки авторегрессии можно осуществить с помощью
метода наименьших квадратов, минимизируя величину

2
N K

 n2,m
=
n =1m =1
2
 L M


=
Aij un i,m j  .


n =1m =1 i =0 j =0

N K
 
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В результате можно получить систему линейных уравнений
относительно коэффициентов Aij , которая будет иметь вид блочно-теплицевой матрицы. В случае одномерной матричной авторегрессии решение для
коэффициентов авторегрессии может быть найдено с помощью рекуррентного алгоритма Левинсона [3, 4, 12]. Для двумерной авторегрессии
алгоритм Левинсона может быть обобщен следующим образом.
Предположим, что оптимальные коэффициенты AR2 -модели (3)
определены для некоторого составного порядка модели ( L, M ) на основе
набора данных unm на некотором k -м шаге алгоритма, n = 1,  , N ,
m = 1,  , K . Обозначим соответствующие коэффициенты авторегрессии
через Aij[ k ] . Тогда вместе с (3) рассмотрим следующие три другие возможные
перезаписи этой модели:
L M
 Aij[k ]un1i,m j = [nk]1,m ,
i =0 j =0
L M
 Aij[k ]uni,m1 j = [nk,m] 1,
i =0 j =0
L M
 Aij[k ]un1i,m1 j = [nk]1,m1.
(9)
i =0 j =0
Здесь
]
[nk,m
– остаточный шум на
k -м шаге алгоритма. Эти
соотношения должны выполняться для n = L  1,  , N , m = M  1,  , K .
Составим из соотношений (3) и (9) следующую линейную комбинацию с
k 1]
k 1]
, ,  = 0,1 , [00
=1:
некоторыми коэффициентами [

k 1]
[
=0,1
L M
 Aij[k ]uni,m j = 
i =0 j =0
k 1] [ k ]
[
 n ,m .
(10)
=0,1
Нетрудно видеть, что это соотношение с помощью замены немых
индексов можно переписать в виде модели авторегрессии составного порядка
( L  1, M  1) . Действительно, соотношение (10) можно представить в
следующем виде:
[ k 1] [ k ]
[ k 1]
[ k 1] [ k ]
11
ALM un  L 1,m  M 1  (11
 10
) ALM un L 1,m M 
[ k 1]
k 1] [ k ]
) ALM un  L,m M 1 
(11
 [01



k 1] [ k ]
[k ]
k 1] [ k ]

Ai j un i ,m  j   A00
un ,m =
[
[
 n ,m .


 j =0  =0,1

i =0; i  j =0
=0,1

Это соотношение можно записать в следующей форме:
L
M
  

L 1M 1
  Aij[k 1]uni,m j = [nk,m1] ,
i =0 j =0
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
где выполнены следующие условия связи:
Aij[ k 1] =

k 1] [ k ]
[
Ai j  , i = 0,  , L, j = 0,  , M ,
=0,1
[ k 1] [ k ]
[ k 1]
A[Lk11]
= 1,
M 1 = 11 ALM , A00
[ k 1]
[ k 1] [ k ]
[ k 1]
[ k 1]
k 1] [ k ]
A[Lk11]
 10
) ALM , ALM
 [01
) ALM ,
1 = (11
M = (11
1]
[nk,m
=

k 1] [ k ]
[
 n ,m  .
(11)
=0,1
По аналогии с одномерным алгоритмом Левинсона [11, 12] выбор
коэффициентов  , которые играют роль коэффициента отражения
одномерного алгоритма, можно осуществить с помощью минимизации
1]
. В этом случае имеем
дисперсии остаточного шума [nk,m
N
K
 
n = L 1m = M 1
Дифференцируя


1] 2
[nk,m
по
2


]


=
 [nk
,m  .


n = L 1m = M 1 =0,1

N
K
 
независимым

параметрам
k 1]
[
,
исключая
k 1]
[00
= 1 , находим для них следующие три уравнения:
N
K
  
]
k 1] [ k ]
 0,
[
 n ,m[nk
,m = 0, ,  = 0,1,    =
n = L 1m= M 1=0,1
или

k 1] [ k ]
[k ]
 
   0.
[
W = W00
 ,  ,  = 0,1,    =
(12)
,=0,1;=0

Здесь
[k ]
W
 =
N
K
 
]
[k ]
[nk
,m   n ,m  .
(13)
n = L 1m = M 1
Таким образом, мы построили рекуррентный алгоритм вычисления
параметров двумерной авторегрессии. В качестве начального условия для
запуска данного алгоритма достаточно выбрать, как и в одномерном случае,
модель нулевого составного порядка (0,0) :
umn = [0]
mn .
(14)
В результате приходим к следующей схеме вычислений:
Шаг 0. Вычисляем коэффициенты отражения [1]
 для остаточного
шума, определяемого соотношением (14), разрешая линейную систему
алгебраических уравнений (12) с матрицей (13).
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Шаг 1. С помощью коэффициентов [1]
 вычисляем коэффициенты
авторегрессии Aij[1] и остаточный шум [1]
n,m , используя формулы (11):
[1]
[1] [1]
[1]
A11
= 11
A00 = 11
,
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
 [1]
A01
= (11
01 ) A00 = 11  01 ,
[1]
[1]
[1] [1]
[1]
[1]
A10
= (11
) A00 = 11
,
 10
 10
[1] [0]
[1] [0]
[1] [0]
[0]
[1]
nm =  nm  11  n 1m1  01  nm1  10  n 1m , n = 2,  , N , m = 2,  , K . (15)
Вычисляем коэффициенты отражения [2]
 для нового остаточного
шума, разрешая линейную систему алгебраических уравнений (12) с
матрицей (13) .
Шаг k. Производится аналогично по выведенным формулам.
5 Построение оценки пространственно-временного спектра
Рассмотрим
теперь
последовательность
изображений
объекта,
a
),
unm = (unm
представленную в форме последовательности набора данных
как
это было определено выше. Индекс a = 1,  , P нумерует изображения,
полученные в моменты времени t = t1 , t2 , , t P . Для построения оценки
воспользуемся методом максимальной энтропии. Для рассматриваемого случая
спектральные свойства процесса максимально полно содержатся в

спектральной матрице S ( k , l ) с компонентами S ab (k , l ), a, b = 1, , P , которая
по определению связана с Фурье-компонентами отдельных изображений
Aa (k , l ) соотношениями:
< Aa (k , l ) Ab* (k , l ) >= S ab (k , l )( k  k , l  l ).
Согласно [8], энтропия такого гауссова процесса равна

H = lndet S (k , l ) dkdl.

(16)
С точки зрения метода максимальной энтропии необходимо найти
максимум этого функционала при заданных значениях матрицы ковариаций
R ab (, ) :
R ab (, ) =
 S
ab
(k , l ) exp i (k   l ) dkdl.
Решением этой задачи является оценка, функционально совпадающая с
оценкой по методу авторегрессии для векторного процесса u a ( x, y ) .
В дискретном варианте это означает, что оптимальной оценкой является
оценка на основе модели следующего вида:
P L M
 Aijabunbi,m j = an,m , n, m = , .
b =1i =0 j =0
78
(17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
Нетрудно видеть, что все соотношения для построения оценки
коэффициентов матричной двумерной авторегрессии повторяются в
соответствии с приведенными формулами для скалярной двумерной
авторегрессии, но с заменой соответствующих коэффициентов авторегрессии
Anm , коэффициентов отражения  , дисперсии шума 2 на
соответствующие им матрицы:
ab
ab
ab
a
Anm = ( Anm
), R = (nm
), D 2 = ( nm
), enm = ( nm
).
Мы приведем их без вывода. В векторно-матричном виде соотношения
(11) примут следующий вид:

Aij[ k 1] =
[ k 1] [ k ]
R
Ai j  , i = 0,  , L, j = 0,  , M ,
=0,1
[ k 1] [ k ]
[ k 1]
A[Lk11]
= 1,
M 1 = R11 ALM , A00
[ k 1]
[ k 1] [ k ]
[ k 1]
[ k 1] [ k ]
k 1]
AL[ k11]
) ALM , A[LM
) ALM ,
 R10
 R01
M = ( R11
1 = ( R11
e[nk,m1] =

[ k 1] [ k ]
R
en,m  .
(18)
=0,1
Уравнения для коэффициентов отражения в матричной записи будут
такими:

[ k 1] [ k ]
[k ]
 
   0,
R
W = W00
 ,  ,  = 0,1,    =
(19)
 ,=0,1;=0

здесь
[k ]
W
 =
N
K
 
]
e[nk
,m 
n = L 1m = M 1
en,m .
[k ]
(20)

Здесь знак
означает тензорное произведение векторов (столбец
слева на строку справа).
6 Обоснование оценки пространственно-временного спектра
с помощью метода максимальной энтропии
Для построения оценки пространственно-временного спектра
воспользуемся подходом, предложенным в [3–5]. Как указывалось выше,
энтропия нормально-распределенного стационарного в широком смысле
пространственно-временного процесса может быть представлена в виде
интеграла:
Hs =
 ln S (k , l , )dkdld ,
где S (k , l , ) – пространственно-временной спектр, определенный в соотношении (1) . В соответствии с (2), можно показать, что вариация этого функционала при условии известных значений спектральной матрицы на антенной
решетке совпадает с вариацией функционала (16) . Действительно, имеем
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
H s =
S
1
(k , l , )S (k , l , ) dkdld .
(21)
Рассмотрим вариацию (16) :
H =
 

Tr S 1 (k , l )S (k , l ) dkdl =
P
1
   S (k , l ) 
ab
S ab (k , l ) dkdl. (22)
a ,b =1
Используя связь

S ab (kl ) = e
i (ta ) i (tb )
e
S (k , l , )d ,
соотношение (22) можно переписать в виде
H =
P
1
   S (k , l )   e
ab
i (ta ) i (tb )
e
S (k , l , )d dkdl =
a ,b =1
=
 P
ab i (t ) i (t ) 
b  S ( k , l , ) d dkdl =

S 1 (k , l ) e a e
 a,b =1



  

=
Здесь
 S 1(k , l ) 
1
  S (k , l)
ab
S (k , l , ) d dkdl.
– элементы матрицы, обратной спектральной
матрице. Вариации функционалов H s и H должны совпадать, что
соответствует отличию этих функционалов на некоторую постоянную
величину. Сравнивая (21) с последним соотношением для оценки
пространственно-временного спектра, находим
S (k , l , )
1
 P

i (t ) i ( tb )
,
=
( S 1 (k , l ))ab e a e
 a,b =1




или
 P

i(t t )
S (k , l , ) = 
( S 1 (k , l )) ab e a b 
 a ,b=1




1
.
(23)
В теории оценок спектра на антенной решетке это выражение обычно
называют оценкой максимального правдоподобия [1, 2]. По аналогии с [3, 4]
здесь мы показали, что она совпадает с оценкой по методу максимальной
энтропии. Таким образом, соотношение (23) есть искомая оценка
пространственно-временного спектра для последовательности изображений.
Заключение
Построенный в работе эффективный рекуррентный алгоритм вычисления коэффициентов двумерной авторегрессии может быть применен к обработке двумерных изображений. Матричное обобщение данного алгоритма
может быть использовано в задаче оценивания пространственно-временных
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
спектров по последовательности изображений. Как было показано, метод
оценивания спектральной плотности на основе двумерной авторегрессии
имеет обоснование с точки зрения метода максимальной энтропии на обоих
этапах построения оценок. Это достаточно надежно выделяет сигналы и регулярные составляющие волновых процессов в задачах с достаточно высоким
уровнем шума, которые возникают при анализе спутниковых изображений
Солнца и Земли, а также в других астрофизических и геофизических задачах.
Список литературы
1. К е й п о н , Д . Пространсвенно-временной спектральный анализ с высоким
разрешением / Д. Кейпон // ТИИЭР. – 1969. – Т. 51. – С. 69–79.
2. Д ж о н с о н , Д . Х . Применение методов спектрального анализа к задаче
определения угловых координат источников излучений / Д. Х. Джонсон // ТИИЭР. –
1982. – Т. 70. – № 9. – С. 126–139.
3. М а к л е л л а н , Д ж . Х . Многомерный спектральный анализ / Дж. Х. Маклеллан //
ТИИЭР. – 1982. – Т. 70. – № 9. – С. 139–151.
4. Д в о р я н и н о в , Г . С . Метод максимальной энтропии в многомерном
спектральном анализе временных рядов / Г. С. Дворянинов, В. М. Журавлев,
А. В. Прусов // Морской гидрофизический журнал. – 1987. – № 3. – С. 41–48.
5. Д в о р я н и н о в , Г . С . Методы максимальной энтропии и комплексных
нормальных мод для многомерного и пространственно-временного спектрального
анализа / Г. С. Дворянинов, В. М. Журавлев, Е. М. Лемешко, А. В. Прусов //
Моделирование гидрофизических процессов и полей в замкнутых водоемах и
морях / под ред. А. С. Саркисяна. – М. : Наука, 1987. – С. 213–228.
6. Электронный практикум «Космофизика–2007» / под ред. В. М. Журавлева. –
Ульяновск : Ульяновский государственный университет, 2007.
7. B u r g , J . P . Maximum entropy spectral analysis / J. P. Burg // In proc. 37-th Meet.
Society of Exploration Geophysisists. – Oklahoma city, 1967, Oct. 31.
8. С тр а та н о в и ч , Р . Л. Теория информации / Р. Л. Стратанович. – М. : Сов.
радио, 1975. – 424 с.
9. Ф р и д е н, Б. Р . Оценки, энтропия, правдоподобие / Б. Р. Фриден // ТИИЭР. –
1985. – Т. 73. – № 12. – С. 78.
10. Д ж е й м с, Э . Т. О логическом обосновании методов максимальной энтропии /
Э. Т. Джеймс // ТИИЭР. – 1982. – Т. 70. – № 9. – С. 33–51.
11. М а р п л ( м л . ) , С . Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения /
С. Л. Марпл (мл.). – М. : Мир, 1990.
12. Бен да т, Д ж . Применения корреляционного и спектрального анализа /
Дж. Бендат, А. Пирсол. – М. : Мир, 1983.
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 538.958
В. В. Карпунин, В. А. Маргулис
СПИН-ГИБРИДНО-ФОНОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ
В КВАНТОВОМ КАНАЛЕ
Исследован коэффициент поглощения электромагнитного излучения
электронами проводимости параболического квантового канала, находящегося
в магнитном поле. Рассмотрены резонансные переходы между дискретными
уровнями, происходящие при перевороте спина электрона из-за взаимодействия с решеткой. Исследована форма и положение резонансной кривой.
Введение
В классической работе [1] был вычислен коэффициент поглощения
электромагнитного излучения электронами объемного (3D) полупроводника,
находящимися в магнитном поле и испытывающими рассеяние на оптических
фононах. Установлен резонансный характер поглощения, исследована форма
кривой и условия экспериментального наблюдения. Было отмечено, что для
представления полной картины поглощения необходимо также рассмотреть
электронные переходы, которые сопровождаются переворотом электронного
спина.
В работе [2] была получена часть оператора электрон-фононного взаимодействия, которая обусловливает переходы с переворотом спина. Коэффициент поглощения в 3D электронном газе с использованием этого оператора
вычислен в работе [3]. Был исследован спин-циклотрон-фононный резонанс,
определена форма и положение резонансного пика. Этот же оператор применялся при рассмотрении спин-магнетофононного резонанса [4]. В низкоразмерных системах также изучались аналогичные эффекты.
Гибридно-фононные резонансы в трехмерной квантовой яме рассмотрены
в работе [5], в трехмерной квантовой проволоке – в [6], в квазидвумерном электронном газе в наклонном магнитном поле – в [7], спин-гибридно-фононные резонансы анизотропной квантовой точки с переворотом спина – в [8].
В работе [9] рассмотрен основной вклад в коэффициент поглощения в
системе с пониженной размерностью (квантовом канале), когда рассеяние электронов на фононах не приводит к перевороту электронного спина. В этой работе рассматривается вклад в коэффициент поглощения в квантовом канале, обусловленный переворотом электронного спина из-за электрон-фононного взаимодействия.
Коэффициент поглощения, обусловленный поглощением фотона и поглощением (испусканием) фонона, получен в общем виде в [1] и имеет вид
() 
2 () 
2
   
V 1  exp  
f 0 ( E ) , f F ,0 

c N f
 T   


( E  E  q  ) ,
(1)
где f – волновой вектор фотона; q – частота оптического фонона;  –
частота фотона; f 0 ( E ) – электронная функция распределения; () – веще-
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
ственная часть диэлектрической проницаемости; V – нормировочный объем;
Nf – число фотонов в начальном состоянии; F – оператор возмущения.
Матричный элемент оператора возмущения F , возникающий во втором порядке по взаимодействию с фотонами и фононами для перехода с переворотом спина s  1  s  1 , имеет вид
n, px , 1, f F n, p x ,1,0 

n, px , 1, f H R n, px , 1,0 n, px , 1 H L n, p x ,1

Enpx  Enpx  
npx


n, px , 1 H L n, px ,1 n, px ,1, f H R n, p x ,1,0
,




E
E


np
n
p
npx
x
x

(2)
где H L – оператор электрон-фононного взаимодействия; H R – оператор
электрон-фотонного взаимодействия.
Аналогичный вид имеет матричный элемент для другого перехода
s  1  s  1 .
Оператор электрон-фононного взаимодействия, переворачивающий спин,
получен в [2] и имеет вид
1/ 2


1
HL  d 

 2 NM q  

q 

[h   e] 
 0


0 
 [h   e]

q 
q  
e
e


 exp(iqr )bq  p  A 
  exp(iqr )bq  p  A 
 ,
c
2 
c
2 



где q
– волновой вектор фонона;
d
(3)
– константа взаимодействия;
h  I x  iI y ; I x , I y – орты, направленные по осям x и y; M – приведенная
масса элементарной ячейки; e – единичный вектор поляризации оптического
фонона, векторный потенциал однородного и постоянного магнитного поля
A  ( Hy ,0,0) .
Постановка задачи
Гамильтониан электрона, находящегося в квантовом канале с параболическим потенциалом конфайнмента в магнитном поле, описывается выражением
H
2
m*02 y 2
e 
g
1 
p

A

 U ( z )  0σH ,

* 
c 
2
2
2m
(4)
где 0 – частота потенциала конфайнмента, электронный g-фактор; m* –
эффективная электронная масса; σ – вектор, компонентами которого являются матрицы Паули; 0 – магнетон Бора. В качестве удерживающего электроны потенциала канала далее выбран  -потенциал U ( z )  ( z ) ,  – кон-
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
станта связи потенциала. Энергетический спектр электрона в квантовом канале (и его состояния для гамильтониана (4)) имеет вид
Enpx s  (n  1/ 2) 
px202
2m* 2
 E0  sg 0 H / 2 ,
(5)
где p x – импульс электрона вдоль канала;  2  02  c2 – гибридная частота;
n = 0, 1, 2, …, s – спиновый индекс; E0 – часть энергии электрона, обусловленная удерживающим потенциалом U ( z ) .
Невозмущенная волновая функция электронов является произведением
собственной функции оператора  z и координатной части и имеет вид
1
 0
 npx s   npx   ,  npx  s   npx   ,
 0
1
где  npx 
(6)
 y  y0 
1
*
exp(ipx x / ) n 
  exp(  z ) , где aH   / m  ; Lx –
Lx
 aH 
 y  y0 
* 2
длина канала;  n 
 – осцилляторные функции,   m /  .
 aH 
Матричные элементы электрон-фононного взаимодействия
Матричный элемент, соответствующий эмиссии фонона и переходу
s  1  s  1 , будет иметь вид
1/ 2


1
n, px , 1 H L n, px ,1  d 

 2 NM q  

q 

( N q  1)1/ 2 

  p  px
n
n  1
 42
  ARn,n  B1
Rn,n1  B2
Rn,n1    x
, qx 
, (7)

2
2
 q z2  42

 
где введены обозначения

Rn,n 
 y  y0 
 y  y0 
 exp(iq y y ) n 
 dy
aH 
 aH 
 n 
*

и

2 
A  iez  p x  p x c   ez

 2 





cos   ,
  sin   i
c
2 aH 

 
 


B1  iez m*    c  , B2  iez m*    c  ,




2
 
84
2 2
2
q x2 aH
c /  2  q 2y aH
2
.
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
Для перехода s  1  s  1 матричный элемент имеет вид, аналогичный (7), но



2 


  sin   i
A  iez  px  px c   ez
cos   ,
2

c
2aH 
 


 
 


B1  iez m*    c  , B2  iez m*    c  .
(9)




Матричный элемент, соответствующий абсорбции фонона и переходу
s  1  s  1, можно получить из (7), заменяя N q  1  N q , q  q , и



2 


A  iez  p x  p x c   ez
cos   ,
   sin   i
2

c
2a H 
 


 
 


B1  iez m*    c  , B2  iez m*    c  .




(10)
Для перехода s  1  s  1 матричный элемент получим из формулы
(7), заменяя N q  1  N q , q  q , где A, B1 , B2 имеют вид

2 
A  iez  px  px c   ez

 2 





cos   ,
  sin   i
c
2aH 

 
 


B1  iez m*    c  , B2  iez m*    c  .




(11)
Коэффициент поглощения
Матричный элемент оператора возмущения соответствующий поглощению фотона и эмиссии фонона для перехода s  1  s  1 имеет вид
n, px , 1, f F n, p x ,1,0 
1/ 2

1 
1
d


2  2 NM q  
q

 ie

 m*a
H

 42 
2N f 
 ( N 0  1)1/ 2  

 q 2  42 
V 


z


1
 B1 exp(i) nRn,n1  B2 exp(i) n  1Rn,n 1 






(
)


1
 B2 Rn,n  A 2 exp(i) Rn,n  



Rn,n
exp(2i) 
 B1 exp(i) nRn,n 1  B2 exp(i) n  1Rn,n1 
 B1 exp(2i)
(  ) 


 p  p x

 A 2 exp(i) Rn,n     x
, qx  ,
(12)



где A, B1 , B2 определяются по формулам (8). Здесь проведено тепловое усреднение и заменено N q на функцию Планка N 0 . Матричный элемент имеет
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
тот же вид и для перехода s  1  s  1 , но A, B1 , B2 определяются по формулам (9). Матричный элемент оператора возмущения, соответствующий абсорбции фонона, можно получить из (12), используя замены N q  1  N q ,
q  q , для перехода s  1  s   1 , где A, B1 , B2 имеют вид (10), а для перехода s  1  s  1 соответственно вид (11).
Используя то обстоятельство, что тепловой импульс (2m*T )1/ 2 и
(2m*q )1/ 2 много меньше гибридного импульса (2m*)1/ 2 , можно положить qx  0, p x  0 в фигурной скобке матричного элемента оператора возмущения и в переменной  . Рассмотрим основные переходы из состояния с n  0 .
На рис. 1 представлены переходы s  1  s  1 . Левый переход соответствует эмиссии фонона, правый – абсорбции. Аналогичные переходы из
s  1  s  1 показаны на рис. 2. Далее рассматривается взаимодействие
электронов только с поперечными оптическими фононами [3].
q

q

Рис. 1
q

q

Рис. 2
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
После довольно громоздких, но простых вычислений запишем парциальный коэффициент поглощения, соответствующий переходу s  1  s  1 ,
с эмиссией фонона
sh( / 2T )3/ 2 exp( g 0 H / 2T )
  (0, n)
 ( N 0  1)(0, n)

2
ch( g 0 H / 2T )
0
1/
q
 q
  
 exp  
 exp 
 2T
 2T 

   q
 K0 
  2T
 

,



(13)
где K 0 ( x) – функция Макдональда; q      g0 H – расстройка резонанса; 0 
d 2 ne e 2V m*
2 5/ 2
T 0 NM 1/
q 
16c
. Здесь 0 
e
,   n  q .
2m0 c
Величины (0, n) имеют вид
(0, n)  323


4

3
2

aH
aH


 
1




2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
3
 (2  4aH  ) 2 (2  4aH  ) 2 2  4aH  16 
 2 2
21
2 1 2
2
2
2
 b2 Qn,1  2b2  Qn,1Qn,0  2b2 Qn,1Qn,0  b2 2 Qn,0  2b2 Qn,0   Qn,0




(  ) 2




1
1 2
2 2
b1b2 Qn,1Qn,0  b2 Qn,1  2b2 Qn,1Qn,0  b1b2 2 Qn,0 


(   ) 
2
2
2

1
b22 Qn,1Qn,0  b2 Qn2,0  b1 Qn2,0  2 Qn2,0  


b12



2
Qn2,0 
2b1b2
Qn,1Qn,0  2b1 Qn2,0

(  )2

b22Qn2,1  2b2 Qn,1Qn,0  2 Qn2,0 
 d ,

(  )2
(14)
где
 
 


b1     c  ; b2     c  ,




и функции Qn,n имеют вид Qn,n  (1) n n
(15)
n! n n n n 2

Ln [ ],   q y aH / 2 .
n !
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Коэффициент поглощения с эмиссией фонона для перехода
s  1  s  1 получается из формулы (13) с заменой exp( g 0 H / 2T ) на
exp( g 0 H / 2T ) , q      g0 H , форм-фактор (0, n) имеет тот же
вид (14), но
 
 


b1     c  ; b2     c  .




(16)
Коэффициент поглощения, соответствующий переходу s  1  s  1 ,
и абсорбции фонона
sh( / 2T )3/ 2 exp( g 0 H / 2T )
  (0, n)
 N 0 (0, n)

2
ch(
g
H
/
2
T
)
0

1/
0
q
 q    q
  
 K0 
 exp  
 exp 

  2T
2
T
2
T



 

,



(17)
где
(0, n)  323

3
2

aH
aH


 
1
4 



2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2
(2  4aH  )
2  4aH  163 
 (2  4aH  )


 2 2
21
2 1 2
2
2
2
 b2 Qn,1  2b2  Qn,1Qn,0  2b2 Qn,1Qn,0  b2 2 Qn,0  2b2 Qn,0   Qn,0



2

(  )




1
1 2
2 2
 b1b2 Qn,1Qn,0  b2 Qn,1  2b2 Qn,1Qn,0  b1b2 2 Qn,0 

(   ) 

2
2
2

1
b22 Qn,1Qn,0  b2 Qn2,0  b1 Qn2,0  2 Qn2,0  


b12



2
Qn2,0 
2b1b2
Qn,1Qn,0  2b1 Qn2,0

(  ) 2

b22Qn2,1  2b2 Qn,1Qn,0  2 Qn2,0 
 d
(  ) 2

(18)
b1 , b2 имеют вид (15), q      g0 H .
Коэффициент поглощения для перехода s  1  s  1 с абсорбцией фонона
получается
из
формулы
(17)
с
заменой
q      g0 H ,
exp( g 0 H / 2T ) на exp( g 0 H / 2T ) ; (0, n) также имеет вид (18), b1 и b2
имеют вид (16).
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
Графики зависимостей парциальных коэффициентов от частоты излучения и магнитного поля показаны на рис. 3–6.
   0, n 
60
0
50
40
30
20
10
32,5
35
37,5
40,
42,5
45,
47,5
50 ω, 1013s–1
Рис. 3 Зависимость коэффициента поглощения от частоты излучения.
Показаны два эмиссионных пика, левый пик соответствует переходу s  1  s  1 ,
правый s  1  s  1; n  0, n  3; 0  7  1013 c1, q  6  1013 c 1, T  100 K , g  10
   0, n 
10
0
8
6
4
2
22
24
26
28
30
32
34
36 ω, 1013s–1
Рис. 4 Зависимость коэффициента поглощения от частоты излучения.
Показаны два абсорбционных пика, левый пик соответствует переходу
s  1  s  1 , правый s  1  s  1; n  0, n  3;
0  7  1013 c1, q  6  1013 c 1, T  100 K , g  10
   0, n 
70
0
60
50
40
30
20
10
0,15
0,2
0,25
0,3
ω, 1013s–1
Рис. 5 Зависимость коэффициента поглощения от магнитного поля.
Показаны два эмиссионных пика, левый пик соответствует переходу
s  1  s  1 , правый s  1  s  1; n  0, n  3;
  50  1013 c 1, 0  7  1013 c 1, q  6  1013 c1, T  100 K , g  10
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
   0, n 
0
10
8
6
4
2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
ω, 1013s–1
Рис. 6 Зависимость коэффициента поглощения от магнитного поля.
Показаны два абсорбционных пика, левый пик соответствует переходу
s  1  s  1 , правый s  1  s  1; n  0, n  3;
  50  1013 c 1 , 0  7  1013 c1 , q  6  1013 c 1 , T  100 K , g  10
Заключение
В работе рассмотрен вклад в коэффициент поглощения электромагнитного излучения электронами квантового канала, обусловленный переворачивающим спин-взаимодействием электронов с оптическими фононами. Канал
расположен в поперечном квантующем магнитном поле.
Эмиссионные пики спин-гибридно-фононного резонанса, соответствующие переходам с переворотом спина s  1  s  1 и s  1  s   1 , будут окаймлять слева и справа соответствующий им эмиссионный пик гибридно-фононного резонанса [8]. Причем эти два пика, соответствующие перевороту спина, будут иметь различные интенсивности. Это следует из проведенного нами расчета. Аналогичная ситуация и с абсорбционными пиками.
Из формул (13), (17), а также графиков можно также сделать вывод, что
сингулярность пиков спин-гибридно-фононного резонанса имеет такой же
характер, как и у пиков гибридно-фононного резонанса. Пики имеют логарифмическую сингулярность в точке резонанса, которая обусловлена поведением функции Макдональда в окрестности резонанса. Пики спин-гибриднофононного резонанса имеют асимметричный вид.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
90
Б а с с Ф. Г . , Л е в и н с о н И . Б. // ЖЭТФ. – 1965. – Т. 49. – С. 914.
П а в л о в С . Т. , Ф и р с о в Ю . А . // ФТТ. – 1965. – Т. 7. – С. 2634.
М а ту л и с А . Ю . // ФТТ. – 1967. – Т. 9. – С. 2238.
П а в л о в С . Т. , Ф и р с о в Ю . А . // ЖЭТФ. – 1965. – Т. 49. – С. 1664.
M a r g u l i s V . A . , S h o r o k h o v A . V . // Phys. Rev. B. – 2002. – Vol. 66. –
P. 165324.
M a r g u l i s V . A . , S h o r o k h o v A . V . // Phys.Status.Solidi C. – 2004. – Vol. 1. –
P. 2642.
М а р г у л и с В. А . // ЖЭТФ. – 1997. – Т. 111. – С. 1092.
M a r g u l i s V . A . , S h o r o k h o v A . V . arXiv:0801.0666v1.
К а р п у н и н В. В. , М а р г у л и с В. А . // ФТП. – 2008. – Т. 42. – С. 711.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
УДК 539.23; 539.216.1
В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, В. А. Прошкин
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР D2 -ЦЕНТРА
В ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ КВАНТОВОЙ ТОЧКЕ ПРИ НАЛИЧИИ
ВНЕШНИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ
Методом потенциала нулевого радиуса в приближении эффективной
массы исследована эволюция термов примесного молекулярного иона D2 в
квантовой точке с параболическим потенциалом конфайнмента с изменением
внешних электрического и магнитного полей. Показано, что внешнее магнитное поле стабилизирует D2 -состояние, а внешнее электрическое поле инициирует вырождение термов D2 -центра в квантовой точке.
Введение
Проблема управления энергией связи примесных состояний является
традиционной для физики полупроводников. В связи с развитием нанотехнологии эта проблема приобрела особый интерес вследствие новой физической
ситуации, связанной с эффектом размерного квантования [1, 2]. Действительно, как показывают эксперименты [3, 4], энергия связи примесных состояний
существенно зависит от характерного размера наноструктуры и параметров
ограничивающего потенциала. С другой стороны, наличие внешнего магнитного поля, как известно [5], приводит к усилению латерального геометрического конфайнмента наноструктуры. Поэтому варьируя В, можно изменять
эффективный геометрический размер системы и, следовательно, изменять
энергию связи примесных состояний. Наложение размерного и магнитного
квантования приводит к эффекту гибридизации спектра примесного магнитооптического поглощения, который несет ценную информацию о зависимости
энергии связи локализованного носителя от магнитного поля, параметров наноструктуры и типа дефекта [6–8]. В последние годы наблюдается возрастающий интерес к исследованию влияния эффектов электрического поля на
свойства полупроводниковых систем с пониженной размерностью. Этот интерес обусловлен тем, что в таких системах имеется высокая степень свободы
в управлении зонной структурой и оптическими свойствами с помощью
внешнего и внутреннего встроенного электрического поля. Так, в случае
квантовой ямы (КЯ), электрическое поле, направленное вдоль оси размерного
квантования, модифицирует электронный спектр и волновые функции, что
приводит к появлению максимумов в зависимости вероятности оптических
переходов от электрического поля. Эксперименты по влиянию внешнего поля
на вероятность оптических переходов в КЯ на основе InxGa1–xAs / GaAs подтвердили сильные и нетривиальные изменения вероятности оптических переходов под действием электрического поля, что открывает определенные перспективы для создания приборов оптоэлектроники с управляемыми характеристиками. В экспериментах по исследованию спектров фотолюминесценции
и фототока самоорганизованных квантовых точек (КТ) InGaAs / GaAs, выращенных на подложках с высоким индексом Миллера, в зависимости от величины электрического поля наблюдалось индуцированное встроенным электрическим полем красное смещение энергии оптических переходов, полу-
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
чившее название квантово-размерного эффекта Штарка. Модификация примесных состояний в наноструктурах во внешнем электрическом поле открывает новые возможности для исследования квантово-размерного эффекта
Штарка в спектрах примесного электропоглощения низкоразмерных систем.
Это актуально, поскольку эффект Штарка в легированных полупроводниковых наноструктурах представляет собой новое физическое явление с потенциальными возможностями приборных приложений. В данной статье методом потенциала нулевого радиуса теоретически исследуется динамика термов
примесного молекулярного иона D2 в сферически-симметричной КТ при
изменении внешних электрического и магнитного полей.
1 Термы примесного молекулярного иона D2
в антипараллельных электрическом и магнитном полях
Рассматривается полупроводниковая сферическая КТ радиусом R 0
при наличии внешних магнитного и электрического полей. Последующие
вычисления проводятся в цилиндрической системе координат с началом в
центре КТ. Для описания одноэлектронных состояний в КТ используется параболический потенциал конфайнмента:
V0  , z  
m02
 2  z 2  ,
2
(1)
где m  – эффективная масса электрона; 0 – характерная частота удерживающего потенциала КТ; , , z – цилиндрические координаты;   R 0 ;
R 0  z  R 0 .

Пусть вектор напряженности электрического поля E0 направлен противоположно оси z цилиндрической системы координат, а вектор магнитной


индукции B – вдоль оси z , тогда оператор Гамильтона H QD можно представить в виде

2 1     1 2 
H QD  




2 m           2   2 

i  B  m   2 2B

 0 
2 
2 
4
 2 
   H z QD ,


(2)
где B  e B / m  – циклотронная частота; e – абсолютное значение элек
трического заряда электрона; B – абсолютное значение вектора B ;

H z QD   2 2m*  2  z 2  m* 02 z 2 2  eE0 z .
 

Собственные значения En1, m, n2
и соответствующие собственные
функции  n 1 , m, n 2  , , z  гамильтониана (2) даются выражениями вида:
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
En 1 , m, n 2 
 0 1 
2B
 B m
1

 0  n2   
2
2

4 02
 2n1  m  1 
e 2 E02
2m*02


n 1!
1 
 n 1 , m, n 2  , , z  
a 1  n 1 3
 2 2  2 n2 ! n 1  m


;
(3)


1
 2

 

!a 

m
 2  2
  2  z  z 2  
 

0 
exp   



2
 2 a 2 
  4a12

2
a
1 

 

 2 
 z  z0  m   
H n2 
L
exp  im  ,

 a  n 1  2a 12 


 


(4)



где a 12  a 2 /  2 1  a 4 / 4a B4  ; a   / m  0 ; aB   / m  B


 – маг-
нитная длина; H n2  x  – полиномы Эрмита; z0  eE0 m*02 .
Потенциал D2 -центра моделируется суперпозицией потенциалов ну-


левого радиуса мощностью  i  2  2 / i m  (i  1, 2) :
V 
В
приближении
2
 i (r  Ri )[1  (r  Ri )r ] .
(5)
i 1
эффективной
массы
волновая
функция
 QD  , , z;  ,  , z



a a a  связанного D2 -состояния в КТ с параболическим
потенциальным профилем, находящейся в электрическом и магнитном полях,
удовлетворяет уравнению Шредингера

 QD  , , z;  ,  , z 
E   H QD  

a a a


 QD  , , z;  ,  , z ,

a a a
 V  , , z; a , a , za   

(6)


где E    2 2 / 2m  – собственные значения гамильтониана H QD 
 

 H QD  V  , , z; a , a , za  .
Одноэлектронная функция Грина G
 , , z; 1, 1, z1; E   к уравнению
Шредингера (6), соответствующая энергии E 

r 1   1 , 1 , z1  , запишется в виде
и источнику в точке
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


G , , z, 1 , 1 , z1; E  


n 1 , m, n 2  1 , 1 , z1   n 1 , m, n 2  , , z 
 E  En
n 1, m , n 2
1,
m, n
2

.
(7)
Уравнение Липпмана–Швингера для D2 -состояния в КТ имеет следующий вид:
 QD  , , z;  ,  , z 


a a a
 2 
   1 d 1d 1dz1G  , , z, 1, 1, z1; E   
 0
0
 QD   ,  , z ;  ,  , z .
 1 1 1 a a a
V  1 , 1 , z1; a , a , za   
(8)
После подстановки выражения (5) для потенциала нулевого радиуса в
(8) получим
 QD  , , z;  ,  , z ;  ,  , z

a1 a1 a1 a 2 a 2 a 2   1G  , , z , a1 , a1 , za1; E  



  QD 
 T1 
 , , z; a1, a1, za1; a 2 , a 2 , za 2    2 G , , z, a 2 , a 2 , za 2 ; E  




  QD 
 T2  
 , , z; a1, a1, za1; a 2 , a 2 , za 2  ,
(9)
Ti  lim 1   r  R i  r  .
r R
(10)
где
i

Действуя оператором Ti на обе части соотношения (9), получим систему алгебраических уравнений вида
c1  1a11c1   2 a12 c2 ,

c2  1a21c1   2 a22c2 ,
здесь c1   T1  
(11)
 R1, R1, R 2  ; c2   T2     R 2 , R1 , R 2  ; aij  (Ti G )(r, R j ; E ).
Исключив из системы (11) коэффициенты ci , содержащие неизвестную
функцию, получим уравнение, определяющее зависимость энергии связанного состояния E электрона от параметров КТ и координат D 0 -центров:
1a11   2 a22  1  1 2  a11a22  a12 a21  .
(12)
В случае, когда   1   2 , а D 0 -центры расположены симметрично относительно начала координат, уравнение (12) распадается на два уравнения:
a11  1  a12 при с2 = с1,
и
94
(13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
a11  1  a12 при с2 = – с1,
(14)
определяющих симметричное (g-терм) и антисимметричное (u-терм) состояния электрона соответственно.
Используя выражение для одночастичных волновых функций (4) и
энергетический спектр (3), для функции Грина будем иметь


G , , z , a , a , za ; E   

  2
2
2 
   2  z a  z0    z  z0   
exp    a


3
2
  4a 2
 
a
2
1
 
 
2 2 aa 12 Ed


 za  z0 
 z  z0 
Hn 

2  a 
a 

n 2!
n H
1     e  t  2 n 2 
 
W
dt exp    22  w  0    t 


2   n  0  2 
Ed
 
0
2




m

 

exp   m wt  exp 





 
i    a   a2t m   a
  2 a 2 
1 


m

 2 
 2 

 
m
m
L n  a L n 
exp  2n 1wt  ,
2
1  2a 2 
1  2a 
n1  0 n1  m !
 1 
 1 


где 1  R 0 /  4

n1 !

(15)
U 0  ; R 0  2 R 0 / a d ; U 0  U 0 / Ed ; 22  E / Ed ;

w  1  2 a  4 ; a  aB / a d ; W0  e 2 E02 2m*02 ; ad и Ed – эффективный боровский радиус и боровская энергия соответственно.
Выполняя в (15) суммирование по квантовым числам n 1 , n 2 и m по-
средством формул Мелера и Хилле–Харди, функцию Грина можно записать
в виде
G
, , z, a , a , za ; E0  B   


w
 2 
3
2

 Ed ad3
  2  2 w   z  z 2   z  z  2 
0
0 
a
a
 exp  



4a 2d





1

 
W
1 
2 1  exp  2 wt  1 
dt exp    22  w  0    t  1  e  2 t
Ed
2  
 
0





 2  z  z  z  z  e  t   z  z 2   z  z 2 e  2 t 
0
0
0
0
a
a


 exp 

2
2t
2ad 1  e






95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион




2a  2 w

 exp  1 exp i       a  2t  
 exp  exp  2wt 
a
2
2




2ad 1  exp  2wt  



a w exp   wt  
.
 exp  i    a   a  2t 

 a 2 1  exp  2wt  

d

(16)
После выделения в (16) расходящейся части при помощи интеграла Вебера
  3
t 2

0
   cos    cos   2 w    sin    sin   2 w   z  z  2
a
a
a
a
a

exp  
2


4
a
t
d


W
1 
  22  w  0    t  dt 
Ed
2  

2 a d


  cos   a cos a  2 w    sin   a sin a  2 w   z  za  2
 22  2 w  1
2
 exp  

2


a
2
d


  cos   a cos a  2 w    sin   a sin a  2 w   z  za  2  ,

(17)
функцию Грина в (17) можно представить следующим образом:


G , , z , a , a , za ; E   
 
 
W
1 

dt exp    22  w  0    t  
3
Ed
2  

 
0
2 3  2  Ed ad3 
1

1

 z z 2 zz 2


  0 
2 1  exp  2 wt   1 
1 e  2 t
  2 2w exp   a 0
2



4 a d







 2  z  z  z  z  e  t   z  z 2   z  z 2 e  2 t 
a
a
0
0
0
0


 exp 

2
2t
2 ad 1  e








 2  2 w 1  exp  2 w t  
a

 exp  
2

4ad 1  exp  2 w t  


1
a w exp   wt  

 exp  exp i    a   a  2t   exp  i    a   a  2t 



 a 2 1  exp  2 wt  
2
d



96

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
t

3
2
Физико-математические науки. Физика
   cos    cos   2 w    sin    sin   2 w   z  z  2  
a
a
a
a
a
 
exp  
2



4
a
t
d


2 a d


  cos   a cos a  2 w    sin   a sin a  2 w   z  za  2
 22  2 w  1
2
 exp  

2


2
a
d


  cos   a cos a  2 w    sin   a sin a  2 w   z  za  2  .

Действуя оператором Ti на функцию Грина (18), получим
aii  

(18)
 
 
W
1 

dt exp    22  w  0    t  
3
2  
Ed

 
3 2
3  0
2 
 Ed ad
1

1

 z z 2
 i 0 
1
2t  2


1 e
1  exp  2 wt  
 2 2w exp 


2a d2 







2 t
 i2 w 1  exp  2wt  
  zi  z0  e 

 exp 
 exp  
 t
2
 2 ad2 1  exp  2wt  
 ad 1  e







3

 
2i2 w exp   wt  
W
1
2


  t 2  2  22  w  0    , (19)
 exp ch a
t

Ed
2 

ad2 1  exp  2wt  




 
 
W
1 

aij  
dt exp    22  w  0    t  
3
2  
Ed

 
0
2 3  2  Ed ad3 
1

2


1
 zi  z0 2  z j  z0 


2t  2
  2 2w exp  
1  exp  2wt 
 1 e
2
4
a


d







 1
2 2t 

2
t 
 2  zi  z0  z j  z0 e    zi  z0   z j  z0  e

 exp 

2ad2 1  e  2 t












 2  2 w 1  exp  2 wt  
i
j

 exp  
2

4ad 1  exp  2 wt  


97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

i  j w exp   wt  

 exp  exp i i   j  a*2t   exp  i i   j  a*2t 



 2a 2 1  exp  2 wt  


d


t






2
2
2 














sin
sin
w
sin
sin
w
z
z
i
i
j
j
i
i
j
j
i
j
 
exp  

2
4ad t

 

3
2






2 a d
 i sin i   j sin  j 
2

w  i sin i   j sin  j

2

2



2


2
w  zi  z j
 22  2 w  1
2
 exp  

2

2
a

d


 i sin i   j sin  j 
2

w  i sin i   j sin  j
w  zi  z j
 . (20)

3 Термы примесного молекулярного иона D2 в КТ
в скрещенных электрическом и магнитном полях
Пусть теперь вектор напряженности электрического поля направлен
вдоль оси x, а вектор индукции магнитного поля по-прежнему вдоль оси z.
Тогда решение уравнения Шредингера удобно представить в прямоугольной
системе координат
 x  x0 
 y
z
Hn 1 
 Hn 2   Hn 3  
1
a
 a1 
 a1 
 n1 , n 2 , n 3  x, y, z  

1
a1

3

 2
 2 n 1  n 2  n 3  2 n !n !n !a 
1 2 3




   x  x 2  y 2

z 2  
0
.
(21)
 exp   

2
2 
 
4
2
a
a
1

 
 
Одноэлектронная функция Грина G r , Ra , E 2 для уравнения Шре-


дингера (6) после выделения расходящейся части запишется в виде


1
3 
 

G r , Ra , E 2    2  2  2 Ed1ad3 
3


  2
W0
1  
2t  2

 dt exp    2  w 
  t  1 e


Ed
2   
 
0



98


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
  x  x 2  y 2  z 2   x  x 2  y 2  z 2 
0
0
a
a

 exp   a
2


a
2


 2  x  x  x  x  et   x  x 2   x  x 2  e2t
a
0
0
0
0 

 a

 exp 
2t
2
a 1 e





 2 y ye t  y 2  y 2 e2t
a
a
 exp 

a 2 1  e 2t



t

3
2










 2 z ze t  z 2  z 2 e 2t
a
 exp  a


a 2 1  e 2t











   x  x 2   y  y 2  z  z 2   
a
a
a

 1   

exp  
2
2
 
t
4a
2a
  
 

2 
 x  xa 2   y  ya 2   z  za 2

W
1
 exp    22  w  0  
2
Ed

ad2

 x  xa 2   y  ya 2   z  za 2

ad2   , (22)
 
где x0  eE0 m*02 , xa , ya , za – координаты D 0 -центра.
Применяя изложенную выше процедуру метода потенциала нулевого
радиуса, получим уравнение, определяющее зависимость энергии связи
 QD  электрона, локализованного на D0 -центре, от координат D0 -центров,
2
E
параметров КТ и величины напряженности внешнего электрического поля:
1a11   2 a22  1  1 2  a11a22  a12 a21  ,
 
(23)

 

0
где aij  Ti G Rai , Raj , E 2 ; i, j  1, 2.
При заданном расположении D20 -центра ( D 0 -центры расположены
симметрично относительно центра КТ вдоль оси z), вместо уравнения (23)
будем иметь систему уравнений вида (13), (14). Для рассматриваемой ситуации коэффициенты aii и aij , запишутся в виде
aii    4 


3 1
 
1 3 
2
dt exp    
2  Ed ad


 0
 
22
3
 3
W0
1  2
2t  2
 w
   t  2 1  e

2   
Ed




   x  x 2  y 2 z 2 
 3 
 2
W0
1 

0
ai
ai
ai
t
2




 exp 

t   2   2  w 
   ; (24)
th
2
2 
2 
 
2 
Ed
2
a
a


1

 



 
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
aij    4 


3 1
 
1 3 
2
dt exp    
2  Ed ad 


 0
22
 
3
 3
W0
1  2
2t  2
 w
   t  2 1  e

Ed
2   



2
 

2
2 
 zaj
xaj  x0  yaj
cth  t  
   x  x 2  y 2

2 



z
0
ai

 exp    ai
 ai  cth  t   exp  

2
2
2
 



a
a
a
4
2
2
1

 




 2e  t
 exp 


t

3
2

 xa j  x0  xa i  x0   yaj ya i  za j zai   

a 2 1  e 2t 

2
2
2 

xai  xaj  yai  yaj  zai  zaj  

exp  
   2  
2
a
t
2
 


 
 
W
1
exp    22  w  0   
Ed
2
 

 
 xai  xaj    yai  yaj    zai  zaj 
2
 xai  xaj    yai  yaj    zai  zaj 
2

2
2
2
ad2
2

ad2  
 
 . (25)



4 Динамика термов примесного молекулярного иона D2
Как показал численный анализ дисперсионных уравнений (13),
(14), энергия связи D2 -центра существенно зависит от величины внешних магнитного и электрического полей. На рис. 1 приведена зависимость энергии связи D2 -центра в полупроводниковой КТ от расстояния
между D 0 -центрами (в боровских единицах) и величины индукции приложенного магнитного поля. Как видно, в магнитном поле происходит
стабилизация D2 -состояния (ср. кривые 1 и 2 на рис. 1). Из рис. 2 видно, что в условиях внешнего электрического поля наблюдается штарковский сдвиг g- и u-термов (ср. кривые 1 и 2). На рис. 3 показана зависимость величины расщепления между g- и u-термами от расстояния между D0 -центрами (рис. 3,а) и от величины внешнего электрического поля
(рис. 3,б).
Результат численного анализа дисперсионных уравнений (13) и (14)
для случая скрещенных полей представлен на рис. 4. При одинаковой напряженности электрического поля смещение термов в случае скрещенных
полей оказывается меньше, а область, где возможно существование связанных состояний, значительно увеличивается.
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
0.1
E , эВ
0.1
z

E0
0.08

B
2
h1 ( 200 1 8 R1 0 0 ) 0.06
1
h2 ( 200 1 8 R1 0 0 )
h1 ( 200 1 8 R1 10 0 )
h2 ( 200 1 8 R1 10 0 )
0.04
0.02
0
0
0
0.1
0.2
0
0.3
0.4
R1
0.5
z12*
Рис. 1 Термы молекулярного иона D2  в КТ на основе InSb
для различных значений индукции магнитного поля B
при R0*  1 , U 0*  200 , i  8 , E0  0 : 1 – B  0 ; 2 – B  10 Тл

E , эВ
0.1
0.1
z

E0

B
0.08
0.06
h1( 200 1 8 R1 0 0)
1
h2( 200 1 8 R1 0 0)
2
h1( 200 1 8 R1 0 100000)
h2( 200 1 8 R1 0 100000)
0.04
0.02
0
0
0
0
0.1
0.2
0.3
R1
0.4
0.5
z12*
Рис. 2 Термы молекулярного иона D2  в КТ на основе InSb
для различных значений напряженности электрического поля Е
при R0*  1 , U 0*  200 , i  8 , B  0 : 1 – E0  0 ; 2 – E0  105 B/м

101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
0.04
Eth ,эВ
0.04
а
0.03
S( 200 1 8 R1 0 0) 0.02
0.01
0
0
0
0.1
0.2
0
0.3
0.4
R1
0.5
а)
Eth ,эВ
б
3
6 ·10
4 · 10
3
2· 10
3
0
0
5
2 ·10
5
4· 10
5
6 ·10
5
8· 10
10
6
E0, В/м
б)

Рис. 3 Зависимость расщепления между термами молекулярного иона D2 
0
от расстояния между D  -центрами (а) при Е0 = 0, R0*  1 , U 0*  200 , i  8 ,
и от величины напряженности электрического поля (б)
*
при R0*  1 , U 0*  200 , i  8 , R12
 0,1
Таким образом, в рамках модели потенциала нулевого радиуса аналитически
0
получены дисперсионные уравнения электрона, локализованного на D2 -центре
в КТ с параболическим потенциалом конфайнмента, находящейся во внешних
электрическом и магнитном полях, описывающие g- и u-термы, соответствующие симметричному и антисимметричному состояниям электрона. Показано,
что в магнитном поле происходит стабилизация D2 -состояния. В условиях
внешнего электрического поля имеет место штарковский сдвиг термов, что со-
провождается уменьшением энергии связи D2 -состояния. Рассмотрены случаи
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
антипараллельных и скрещенных электрического и магнитного полей. Найдено,
что при одинаковой напряженности электрического поля смещение термов в
случае скрещенных полей оказывается меньше, а область, где возможно существование связанных состояний, значительно увеличивается. Исследована зависимость расщепления между термами от величины приложенного электрического
0
поля и расстояния между D2 -центрами. Показано, что с ростом расстояния и
напряженности электрического поля наблюдается сближение термов, причем в
первом случае примерно по экспоненциальному закону.
E , эВ
0.1
z
0.1

B
0.08

E0
1
0.06
h1( 200 1 8 R1 0 0)
2
h2( 200 1 8 R1 0 0)
h1( 200 1 8 R1 0 5 100000)
h2( 200 1 8 R1 0 5 100000)
0.04
0.02
0
0
0
0
0.1
0.2
0.3
R1
0.4
0.5
*
z12
Рис. 4 Термы молекулярного иона D2  в КТ на основе InSb
для различных значений напряженности электрического поля E
при R0*  1 , U 0*  200 , i  8 : 1 – E0  0 ; 2 – E0  105 в/м

Список литературы
1. S h c h u k i n , V . A . Theory of quantum-wire formation on corrugated surfaces /
V. A. Shchukin, A. I. Borovkov, N. N. Ledentsov, P. S. Kop`ev // Phys. Rev. B. – 1995. –
V. 51. – № 24. – P. 17767–17779.
2. W a n g , P . D . Optical characterization of submonolayer and monolayer InAs structures grown in a GaAs matrix on (100) and high-index surfaces / P. D. Wang,
N. N. Ledentsov, C. M. Sotomayor Torres, V. M. Ustinov // Appl. Phys. Lett. – 1994. –
V. 64. – № 12. – P. 1526–1528.
3. H u a n t , S . Two-Dimensional D– – centers / S. Huant, S. P. Najda // Phys. Rev. Lett. –
1990. – V. 65. – № 12. – P. 1486–1489.
4. H u a n t , S . Well-width dependence of D– – cyclotron resonance in quantum wells /
S. Huant, A. Mandray // Phys. Rev. B. – 1993. – V. 48. – № 4. – P. 2370–2374.
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
5. Г е й л е р , В. А . Проводимость квантовой проволоки в продольном магнитном
поле / В. А. Гейлер, В. А. Маргулис, Л. И. Филина // ЖЭТФ. – 1998. – Т. 113. –
С. 1377–1396.
6. К р е в ч и к , В. Д . Термы и магнитооптические свойства молекулярного иона D2
в квантовой нити / В. Д. Кревчик, А. А. Марко, М. Б. Семенов, А. Б. Грунин,
В. Ч. Жуковский // Вестник МГУ им. М. В. Ломоносова. – 2004. – Вып. 5. –
С. 7–10. – (Серия 3. Физика, астрономия).
7. К р е в ч и к , В. Д . Магнитооптические свойства молекулярного иона D2 в квантовой нити / В. Д. Кревчик, А. А. Марко, А. Б. Грунин // ФТТ. – 2004. – Т. 46. –
Вып. 11. – С. 2099–2103.
8. K r e v c h i k , V . D . The magneto-optics of the multi-well quantum structures with
D2 -centers / V. D. Krevchik, A. B. Grunin, A. K. Aringazin, M. B. Semenov,
Vas. V. Evstifeev // Hadronic Journal. – 2005. – V. 28. – № 6. – P. 649–659.
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
УДК 539.23; 539.216.1
В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, В. А. Прошкин
ФОТОВОЗБУЖДЕНИЕ ПРИМЕСНЫХ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ИОНОВ D2
В СТРУКТУРАХ С КВАНТОВЫМИ ТОЧКАМИ ПРИ НАЛИЧИИ
ВНЕШНИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ
Теоретически исследован процесс фотовозбуждения примесных молекулярных ионов D2 в квазинульмерной структуре с учетом дисперсии радиуса
квантовых точек в условиях внешних электрического и магнитного полей. Выявлен дихроизм примесного электрооптического поглощения, связанный с электронной поляризацией D2 -центра. Показано, что в магнитном поле имеет место
«синий» сдвиг края полосы фотовозбуждения, обусловленный динамикой термов.
Введение
Особенности спектра примесного поглощения, связанные с фотовозбуждением примесных молекул в массивных полупроводниках, рассматривались в
работах [1, 2], где было показано, что электронные оптические переходы в двухатомной молекуле, образованной двумя нейтральными донорами и в молекулярном ионе D2 в массивном полупроводнике могут, привести к появлению в
спектре поглощения узких линий при энергиях фотона соответственно 56 и 65 %
от Ry* – эффективной энергии Ридберга. Проведенное сравнение с экспериментально наблюдавшейся линией показало, что в пределах точности метода эффективной массы положение линии хорошо согласуется с энергией перехода
между g- и u-термами примесной молекулы. Отличительной особенностью низкоразмерных структур является возможность образования отрицательных мо-

лекулярных ионов D2 , существование которых в массивных полупроводни-
 
ках возможно только в неравновесных условиях. Важной особенностью D2 состояния является то, что переходы между g- и u- термами могут быть вызваны
фотонами со столь малой энергией, что они не способны возбудить изолирован-

ный D  -центр, кроме того, энергия перехода сильно зависит от расстояния
между D  -центрами. Такая система может оказаться весьма полезной для оптоэлектроники, в частности для создания ИК-детекторов, т.к. при наложении
внешних электрического и магнитного полей появляется возможность управления оптическими спектрами такой системы.
Цель настоящей работы заключается в теоретическом исследовании
особенностей примесного поглощения света в квазинульмерных структурах с
примесными молекулярными ионами D2 , связанных с процессом фотовоз0
буждения D2 -центров во внешних электрическом и магнитном полях.
1 Расчет коэффициента примесного поглощения
 
при фотовозбуждении D2 -центров во внешнем электрическом поле
 
Рассмотрим процесс фотовозбуждения D2 -центра, связанный с оптическими переходами между g- и u-термами в полупроводниковой квантовой
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

точке (КТ) при наличии однородного электрического поля E0 , направленно-
0
го вдоль оси x. Пусть D  -центры расположены в точках R1   0,0,0  и
R 2   0,0, za  (асимметричная конфигурация). Единичный вектор поляризации световой волны e направлен вдоль оси z прямоугольной системы координат. Матричный элемент оптического перехода определяется выражением
M  QD    r , , ;0,0,0;0,0, z H  r , , ;0,0,0;0,0, z
,
(1)
gu
u

a

int
g

a

где
1/ 2
 2 2 *

I0 
Hint  i 0  
   m*2 


exp  iqr   e r  ,
(2)
здесь 0 – коэффициент локального поля, учитывающий различие амплитуд
локального и среднего макроскопического полей; I 0 – интенсивность света;
 – частота поглощаемого света;  – статическая диэлектрическая проницаемость; * – постоянная тонкой структуры с учетом диэлектрической проницаемости вещества КТ.
Волновые функции g- и u-состояния  g  r , , ;0,0,0;0,0, za  и
 u  r , , ;0,0,0;0,0, za  определены выражениями:
 g  r , , ;0,0,0;0,0, za  
 
3

2 x  x  x0  e t
 Esv 
 1
2t  2

dt exp  
t 1 e
exp  0
 Cg 

a 2 1  e 2t
 Ed 

 1 0






 exp  


 x  x 
0
2
 x02  y 2  z 2
2a 2


 1  e    1
2t









3
 Esv 
2t  2



dt
t
e
exp
1



1  e2t  2 0
 Ed 




 t

4e  xa  x0  x  x0   ya y  za z  
 exp 



a 2 1  e 2t







 exp  


 x
a



2
2
 x0    x  x0   ya2  za2 1  e2t  

 ;
2t
2
a 1 e




(3)
 u  r , , ;0,0,0;0,0, za  
 
3

2 x  x  x0  et
 Esv 
 1
2t  2
 Cu 
dt exp  
t 1 e
exp   0

a 2 1  e 2t
 Ed 

 1 0



106









Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008


 exp  


Физико-математические науки. Физика
 x  x 
0
2
 x02  y 2  z 2
2a 2
 1  e    1
2t



3

 E 
dt exp   sv t  1  e2t 2 

1  e2t  2 0
 Ed 




 t

4e  xa  x0  x  x0   ya y  za z  
 exp 



a 2 1  e 2t






 exp  


 x
a




2
2
 x0    x  x0   ya2  y 2  za2  z 2 1  e2t  

 ,
2
2t
a 1 e




(4)
где
3 1 1 3

C g  2 4  4  4 ad 2

 exp  
 a

x02
2

 E 
  sv 

 2 Ed     Esv     Esv  1   
 1
 



 2  E
2 Ed 2  
1    2 Ed 

sv
1
 
 
 2 Ed 2 

 1

 2
2

 E 
  sv 
 2 Ed     Esv     Esv  1   
 



2 Ed 2  
 Esv 1    2 Ed 


 
 2 Ed 2 
1
2  2
za

2
 x02  za2   1  1 1 
 exp  
2 2 4

2 

12  a 
2a 

3 1 1 3

Cu  2 4  4  4 ad 2

 exp  

 a
x02
2

 E
  sv
 2 Ed
1
 2
 za2 

W Esv 1 1  2   ; (5)
  2 E  4 , 4  a  
d


 E 
  sv 

 2 Ed     Esv     Esv  1   
 1
 



 2  E
2 Ed 2  
1    2 Ed 

sv
1
 
 
 2 Ed 2 

 1
 2

 2
 E 
  sv 
 2 Ed     Esv     Esv  1   
 



2 Ed 2  
 Esv 1    2 Ed 


 
 2 Ed 2 
1
2  2
za

2
 x02  za2   1  1 1 
 exp  
2 2 4

2 

12  a 
2a 


 E
  sv
 2 Ed
1
 2
 za2  

W Esv 1 1  2   , (6)
  2 E  4 , 4  a  
d

где   U * / R* .
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Расчет матричного элемента оптического перехода приводит к интегралам следующего вида:

I1  a

 cth  t  2 2 za cos ech  t    z 
z
z 
zd   
exp  
2
a
a2
 2a
 a

 4z2
 cos ech  t 
2 za
;
exp  a cos ech  2t  
2
3
a
 a
  cth  t   2

(7)


1
 cth  t  2   y 
 cth  t   2
I 2  a exp  
y d     
 ;
2
a
2 

2
a







1
 exp   2a 2  cth  t   cth  t   x
I3  a

(8)
2


 x x
  x 
 exp   0  cos e ch  t    cos e ch  t   cth  t    cth  t     d   
 a2
  a 
2

   t 
 t  

cth

cth
  
 
 x2
1  2
 2  
exp   02  cth  t    cth  t    
2
 cth  t   cth  t   
 a




,

2

 cth  t   cth  t  
(9)

I4  a
 1
xx    t  
 t   x 
exp  
cth  t    cth  t   x 2  0   cth    cth      d   

 2a 2
 2      a 
a2    2 



t



 t

1  2  2
 t  
t

exp  2  x0 e cos e ch    e 2 cos e ch     x02  cth  t    cth  t    
 a 
 

2
 2 





 


2
 cth  t   cth  t  
2

t
t
 





 t 
 t   x0
 
 2
2
   x0  e cos e ch    e cos e ch      cth  t    cth  t    
2
2
2
 



 . (10)
 exp  

4
2a  cth  t    cth  t  








В результате матричный элемент запишется как

108
M  QD 
gu

7

 i 0
I 0 16 2 za Eu  Eg Cu 

t


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика


C g dte

 Esv
t
Ed
0
E
3
 sv t '
'
2t  2
1 e
dt e Ed

 
0
 4z2
 cos e ch  t 
 exp  a cos e ch  2t  
2
2
 a
  cth  t  

3
1  e 2t '  2 




 cth  t   cth  t   
2


   t 
 t  


  cth    cth    

 x02
1   2 
 2  
  exp    cth  t    cth  t   

2
2
 cth  t   cth  t   

 a






t



 t

1  2  2
 t   2
 t  2


 exp 
 x e cos e ch    e cos e ch    x0  cth  t   cth  t     
 a 2  0 
 
2
 2 



 

2

t
  
  t




x
t
t




 
 2
 0
2
   x0  e cos e ch    e cos e ch      cth  t    cth  t     
2
2
2
 



   . (11)
 exp  

2a 4  cth  t    cth  t  







 
Рассмотрим процесс фотовозбуждения молекулярного иона D2 в случае продольной относительно направления электрического поля поляризации
света (единичный вектор поляризации световой волны e направлен вдоль


(QD )
оси x; e  E0 ). Процесс вычисления матричного элемента ( M gu
) приводит к интегралам вида

Y1  a
 z2
 z
exp  
cth  t    cth  t    d   

 2a 2
 a




2a 
 cth  t  cth  t  
;
(12)
 x2   x
 x2
2 xx0   x 
Y2  a exp  2 0 
exp  
cth  t    cth  t   
d   

2
2
 2a
 a  a
a 2   a 


 



4 x02
x2 
 exp 
2 0 ;
3
 a 2  cth  t    cth  t  
a 2 

 cth  t   cth  t   2 a
2 x0
(13)
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

 x02   t  
 x2
 t  x
Y3  a exp    cth    cth    
exp  
 cth  t   cth  t   
2
 2
 2     a
 2a
 a  2


xx0   t  
 t    x 
cth    cth     d   
2 
 2    a 
a  2

 2
2 x0
 4x

exp  0
2
a
a

  t 
 t 
 cth  2   cth  2  
 
  


cth
t
cth
t 
  
2
2

t
t 
  cth    cth   
2
2
  
 
;

3
  cth  t    cth  t   2

(14)

Y4  a
 z2
 z
z z
exp  
cth  t    cth  t    a  cos e ch  t    cos e ch  t    d   

2
2
 2a
 a
a




 2
z
exp   a2
 a



2
  cos e ch  t   cos e ch  t   
2



.
 cth  t   cth  t  
 cth  t   cth  t  
(15)
(QD )
будем иметь
В результате для M gu

 QD 
M gu


 dte
0


7
s
 Esv
t
Ed
 i 0

I 0 16 2 Eu  Eg Cu C g 



E
3
3
 sv t '

Ed 
2t  2
2t '  2
'
1 e
dt e
1  e


 
0



2


4 x02
x02    t  
 t 




2
 cth    cth    
exp
5 
2 
 a 2  cth  t    cth  t  
 2 
a
 2


 cth  t  cth  t   2 
x0

 2
 4x
 exp  0
2
a

 2
 za
  t 
 t     exp   2
a
 cth    cth  2   

  
 2
 cth  t   cth  t    
 

2 
  cos e ch  t   cos e ch  t  
 cth  t   cth  t  
 cth  t   cth  t  
2



. (16)
Коэффициент примесного поглощения в случае оптического перехода
между термами с учетом дисперсии размеров КТ определяется как
2N 0
K gu () 
I 0
110
32
 duP  u   M gu s cos    M gu t cos    Eu  Eg
0
2

  , (17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
где cos  и cos – направляющие косинусы вектора поляризации света;
P  u  – функция Лифшица–Слезова,
 34 eu 2 exp 1/ 1  2 u / 3 

,u  3,

2
7
11
 5
P  u    2 3  u  3 3  3/ 2  u  3

3
 0,
u .

2
Зависимость энергий u - и g -термов Eu и Eg от радиуса КТ можно
аппроксимировать степенной зависимостью (в боровских единицах):
2g  a0  a1R0*  a2 R0*2 и u2  b0  b1R0*  b2 R0*2 , тогда
K gu () 
32

 duP  u  M gu
0
2
2N 0

I 0
 
 Ed b0  b1R0*u  b2 R0*2u 2  a0  a1R0*u  a2 R0*2u 2  X
 . (18)
Для выполнения интегрирования необходимо найти корни аргумента
дельта-функции Дирака. В результате приходим к уравнению вида
 b2  a2  R0*2u 2   b1  a1  R0*u   b0  a0   X  0 .
(19)
Отыскание корней уравнения (19) приводит к решению следующей
системы:
 b2  a2  R0*2u 2   b1  a1  R0*u   b0  a0   X  0,
,

 X  X th ,
(20)
где X th  u2 (u0 )  2g (u0 ) – пороговое значение энергии фотона.
Корни системы (20) имеют вид
u1 
u2 
  a1  b1  
 a1  b1 2  4  a0  b0  X   a2  b2 
;
2  a2  b2  R0*
(21)
  a1  b1  
 a1  b1 2  4  a0  b0  X   a2  b2 
.
2  a2  b2  R0*
(22)
Численный анализ показал, что из двух корней только корень u1 является
положительным, действительным и удовлетворяет закону сохранения энергии.
Окончательно выражение для коэффициента примесного поглощения


света в случае, когда e  E0 , запишется в виде
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


K gu ()  2N 0  0*162 2  b2  a2  R0*2u12   b1  a1  R0*u1   b0  a0  
E
E
3

3

 sv t
 sv t '



Ed
Ed 
2t  2
2t '  2
'

Cu C g dte
1 e
dt e
1  e
 


 2
0
0



 
 4z2
 cos e ch  t 
 exp  a cos e ch  2t  
2
2
 a
  cth  t  
 cth  t   cth  t   
2


   t 
 t  


cth

cth
  
 

 x2
1  2
 2  
  exp   0  cth  t    cth  t    

2
2
 cth  t   cth  t   

 a






t



 t

1  2  2
 t  
t

 exp 
 x0 e cos e ch    e 2 cos e ch     x02  cth  t    cth  t     
 a 2 
 

2
 2 




 
2
2


t
   
  t





x
t
t




0

 2

2
   x0  e cos ech    e cos ech      cth  t    cth  t      
2
2
2
 
 


    . (23)
 exp 

2a 4  cth  t    cth  t  

 

 

 

  


В случае e  E0 коэффициент примесного оптического поглощения
света будет иметь вид


K gu ()  2N 0  0*162 2  b2  a2  R0*2u12   b1  a1  R0*u1   b0  a0  
E
E
3

3

 sv t
 sv t '




Ed
Ed 
2t 2
2t '  2
'

Cu C g dte
1 e
dt e
1  e
 


 2
0
0



 
2


4 x02
x2    t 
 t 
 exp 
 2 0    cth    cth    
5 
 a 2  cth  t    cth  t  
 2 
a 2    2 



cth
t

cth
t
2
 
  
x0

 2
 4x
 exp  0
2
a

112

 2
2 
  za
exp
  t 
 t  
 a2

cth
cth
 
  

 2  
 2


 cth  t   cth  t    
 

  cos ech  t   cos ech  t   
 cth  t   cth  t  
 cth  t   cth  t  
2
2


  . (24)





Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
2 Спектральная зависимость
коэффициента примесного электрооптического поглощения,
связанного с фотовозбуждением D2 -центров
На рис. 1–4 представлена спектральная зависимость коэффициента примесного поглощения, полученная из (23) и (24) путем численного интегрирова-
 
ния. Как видно, спектр фотовозбуждения D2 -центра представляет собой полосу, граница которой заметно смещается в длинноволновую область спектра с
ростом величины напряженности электрического поля и расстояния между
D 0 -центрами. Из сравнения кривых на рис. 1 и 2 видно, что в квазинульмерной
структуре с D2 -центрами имеет место дихроизм примесного электрооптического поглощения, связанного с фотовозбуждением D2 -центров: в случае поперечной по отношению к внешнему электрическому полю поляризации света величина коэффициента поглощения оказывается существенно больше,
 
чем в случае, связаном с электронной поляризацией D2 -центра во внешнем
электрическом поле.
500
Kgu(ω),
см–1

e
400
2
300
1

E0
200
100
5
10
15
20
25
30
35
 , мэВ
Рис. 1 Спектральная зависимость коэффициента поглощения при фотовозбуждении
D2 -центров в квазинульмерной структуре при U 0 = 0,15 эВ , R0 = 65нм, R12 = 20 нм




для случая e  E0 : 1 – E0 = 0 В/см; 2 – E0 = 106 В/см
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
500
Kgu(ω),
см–1
400

e
2
300

E0
1
200
100
10
5
15
20
25
30
35
 , мэВ
Рис. 2 Спектральная зависимость коэффициента поглощения при фотовозбуждении
 
D2 -центров в квазинульмерной структуре при U 0 = 0,15 эВ, R0 = 65 нм, R12 = 20 нм




для случая e  E0 : 1 – E0 = 0 В/см; 2 – E0 = 106 В/см

500
Kgu(ω),
см–1
400

e
2
300

E0
1
200
100
5
10
15
20
25
30
35
 , мэВ
Рис. 3 Спектральная зависимость коэффициента поглощения при фотовозбуждении
 
D2 -центров в квазинульмерной структуре при U 0 = 0,15 эВ, R0 = 65 нм, E = 0 В/см


для случая e  E0 : 1 – R12 = 15 нм; 2 – R12 = 25 нм

114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
550
Kgu(ω),
см–1

e
450
2
350
1

E0
250
150
5
10
15
20
25
30
35
 , мэВ
Рис. 4 Спектральная зависимость коэффициента поглощения при фотовозбуждении
 
D2 -центров в квазинульмерной структуре при U 0 = 0,15 эВ, R0 = 65 нм, E = 0 В/см


для случая e  E0 : 1 – R12 = 15 нм; 2 – R12 = 25 нм

3 Расчет коэффициента примесного поглощения
 
при фотовозбуждении D2 -центров во внешних
электрическом и магнитном полях
 
Рассмотрим процесс фотовозбуждения D2 -центра, связанный с переходами электрона между g- и u-термами в квазинульмерной структуре при
наличии внешних электрического и магнитного полей, направленных вдоль
осей x и z соответственно. Единичный вектор поляризации световой волны
e направлен вдоль оси x прямоугольной системы координат. Матричный
элемент оптического перехода имеет вид
M  QD    r , , ;0,0,0;0,0, z H  r , , ;0,0,0;0,0, z
, (25)
gu
u

a

int
g

a

где Hint :
1/ 2
 2 2* 
Hint  i 0  
I 
 m*2 0 


exp  iqr   e r  .
Волновые функции g- и u-состояния
(26)
 g  r , , ;0,0,0;0,0, za 
и
 u  r , , ;0,0,0;0,0, za  определены выражениями:
3

 
1 
*
2t  2

 g  x, y , z;0;0, za   C g dt exp      w  W0    t  1  e


2 


0



115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

z*2
y2
y 2 e 2t
z*2 e 2t

 exp 



 2a*2 2a*2
2a1*2 1  e 2t
2a*2 1  e 2t

1




t  *
*

 4e  xa  x0
  exp 









 x*  x*     xa*  x0*    x*  x*   1  e2t  


4a 2 1  e 2t 

2
2


 


  *
* 2
*
* 2  2t
  xa  x0  x  x  e

 exp   
2t
2

2a 1  e




*
t  *
 4e  xa  x0
 exp 
















 x*  x*     xa*  x0*    x*  x*   1  e2t  


4a 2 1  e 2t 

2
2

  *
* 2
*
* 2  2t  
  xa  x0  x  x  e  

 ;
 exp   
2
2

t


2a 1  e

 



 



(27)
3

 
1 
 2

t
*
2

 u  x, y , z;0;0, za   Cu dt  exp      w  W0    t  1  e


2 


0



z*2
y2
y 2e 2t
z*2 e 2t
 exp  



 2a*2 2a*2
2a1*2 1  e 2t
2a*2 1  e 2t 

1




*
t   *

 4e  xa  x0
  exp 















 x*  x*     xa*  x0*    x*  x*   1  e2t  


4a 2 1  e 2t  

2
2


 


  *
* 2
*
* 2  2t  
  xa  x0  x  x  e





 exp 
2
2t 


2a 1  e




116


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика


*
t   *
 4e  xa  x0
 exp 



 x*  x*     xa*  x0*    x*  x*   1  e2t  


4a 2 1  e 2t 

2
2

  *
* 2
*
* 2  2t   
  xa  x0  x  x  e




 ,
 exp 
2
2t 


2a 1  e

 



 



(28)
где C g и Cu определяются формулами (5) и (6).
Расчет матричного элемента оптического перехода приводит к интегралам следующего вида:
 
1
e 2t
e 2t

I1  exp   


 *2
a*2 1  e 2t
a*2 1  e 2t
 a

 





1
2t    2
1 e
2t
1 e
 2  a* 


 1  e 2t 1  e 2t 


 
1
e2t
e 2t 



I 2  exp   
 *2
a1*2 1  e 2t
a1*2 1  e 2t 
  a1

 




 
;



 
 z *  d z* 
 
 
 

 
 y *  d y* 
 
 
 
 
1
 1  e2t 1  e 2t  2
 2a1* 

 ;
 1  e 2t 1  e 2t  



I3 
x

*




2
 

exp     x*  x0*  1,2,3,4 x*  x0*   dx* 

 
2
 1,2,3,4


exp 
2
 4 
 1,2,3,4

1,2,3,4

,
  x* 
exp 
 
 4  0

23 2


где

2 

1 
a1*2 


x*  x*  e t
1  1  e 2t 1  e 2t  
e t  
, 1  a 0 




,
4a1*2  1  e2t 1  e2t  
a1*2  1  e2t 1  e2t  
* t 
 *
xa*  x0* et
xa*  x0* et
xa*  x0* et 
1  xa  x0 e

, 3 


1  e 2t
a1*2  1  e2t 
1  e2t
1  e2t 










,




x*  x0*  e t
e t 
4  a


.
a1*2  1  e 2t 1  e 2t 
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Тогда матричный элемент запишется как
3
3

2
 2
QD 

2t  2

t
2
2
4 *
2

M gu  i  0 8
I 0 Ed u   g ad a Cu C g dt 1  e
dt  1  e




0
 1  e2t 1  e 2t  



 1  e 2t 1  e2t 



  
0

2

2





 e t
 e t
e t  
e t  


2







*
*  1  e 2t 1  e 2t   
 xa*  x0*  1  e 2t 1  e 2t   
x
x




 
*
0
a
 exp 
   x0 
*
1
2
*2

2
2


t
t


 



a1  1  e2t 1  e 2t 
a1
1 e
1 e









 1  e2t 1  e2t   
 1  e 2t 1  e2t   



 









 
*
* 2
 xa  x0  1  e 2t 1  e2t     * xa*  x0*
 exp  


    x0 
a1*
4a1*2  1  e2t 1  e 2t    












12
 1  e 2t 1  e2t   


 
 1  e2t 1  e 2t   

 

 e t
e t 



2t

1  e 2t  
1 e

t   2 
 e t
e

2 



 
*
* 2
 xa*  x0*  1  e 2t 1  e2t  
 xa  x0  1  e2t 1  e 2t  


 exp  
 exp 


 
 
 1  e2t 1  e2t   

a1*2
4a1*2  1  e2t 1  e2t  








 1  e 2t 1  e2t  





2
  *

 x*  x* e t
xa*  x0* e t   
xa  x0* et
xa*  x0* e t  

0
a








 

2t 
2t
2t 
 1  e 2t

 
e
e
e
1
1
1






 

 * 

 exp   
 
  x0 

1
2



2
2
t
t





2t
1 e


* 1 e
1  e 2t 
* 1 e
a





1
a





 1  e2t 1  e 2t  
1
2t




1  e2t  


1 e






 1 
2 1  e 2t
2 1  e 2t   
 exp    xa*  x0*
 xa*  x0*
 
2t
2t   
 a* 
1
e
1
e




 1
2
 *



 x*  x* et
xa*  x0* e t  
xa  x0* et
xa*  x0* e t  

0
a










2t 
2t
2t 
 1  e 2t

 
e
e
e
1
1
1






 


  exp  
 
  x0*  

12
2 t
2t  






2
2
t
t
1 e
1 e
1 e



1 e
a1* 




a1* 





 1  e 2t 1  e2t 
2t





1  e 2t  
1 e
































 1 
2 1  e 2t
2 1  e 2t    
 exp    xa*  x0*
 xa*  x0*
 .
 a* 
1  e 2t
1  e 2t   
 1

118



(29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
Коэффициент примесного поглощения в случае оптического перехода
между термами с учетом дисперсии размеров КТ определяется как
2N 0
K gu () 
I 0
32
 duP  u  M gu   Eu  Eg
2
0

  .
(30)
Зависимость Eu и E g от радиуса КТ удобно аппроксимировать степенной зависимостью (в боровских единицах) 2g  a0  a1R0*  a2 R0*2 и
u2  b0  b1R0*  b2 R0*2 , тогда
K gu () 
32

 duP  u  M gu
2
2N 0

I 0

 
 Ed b0  b1R0*u  b2 R0*2u 2  a0  a1R0*u  a2 R0*2u 2  X .
0


Как и в предыдущем случае, когда e  E0 , для выполнения интегрирования необходимо найти корни аргумента дельта-функции Дирака, т.е.
корни уравнения
 b2  a2  R0*2u 2   b1  a1  R0*u   b0  a0   X  0 .
(31)
В результате имеем следующую систему:
 b2  a2  R0*2u 2   b1  a1  R0*u   b0  a0   X  0,

 X  X th ,
(32)
где X th  u2 (u0 )  2g (u0 ) – пороговое значение энергии фотона. Корни системы (32) имеют вид
u1 
u2 
  a1  b1  
 a1  b1 2  4  a0  b0  X   a2  b2 
,
2  a2  b2  R0*
  a1  b1  
 a1  b1 2  4  a0  b0  X   a2  b2 
,
2  a2  b2  R0*
и причем только первый корень удовлетворяет закону сохранения энергии.
Тогда выражение для коэффициента поглощения (29) запишется как
K gu () 
2
2N 0u12
P  u1  M gu (u1 ) .
I 0 Ed
(33)
На рис. 5 представлен результат численного анализа выражения (33).
Можно видеть, что спектр фотовозбуждения D2 -центра представляет собой
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
полосу, граница которой в условиях электрического поля (кривая 2) сдвигается в длинноволновую область спектра, а при наличии внешнего магнитного
поля (кривая 3) край полосы фотовозбуждения смещается в коротковолновую
область спектра. Следовательно, в условиях внешних электрического и магнитного полей появляется дополнительная возможность для управления
спектром фотовозбуждения, что может составить основу для разработки датчиков ИК-излучения с управляемой чувствительностью [3, 4].
Таким образом, теоретически исследован процесс фотовозбуждения

молекулярного иона D2 , связанный с оптическими переходами электрона
из состояния g-терма в u-состояние при наличии внешнего электрического
поля. Установлено, что спектр фотовозбуждения представляет собой полосу, граница которой смещается в длинноволновую область спектра с ростом
напряженности электрического поля, что связано с уменьшением расщепления между g- и u-термами. Найдено, что «красное» смещение происходит
и в случае увеличения расстояния между D 0 -центрами. Выявлен своеобразный дихроизм примесного поглощения, связанного с фотовозбуждением

D2 -центров в электрическом поле, обусловленный поляризацией D2 -центра.
 
Рассмотрен процесс фотовозбуждения D2 -центра в полупроводниковой КТ
при наличии скрещенных электрического и магнитного полей. Найдено, что
граница фотовозбуждения при отличном от нуля электрическом поле смещается в длинноволновую область спектра, а в условиях внешнего магнитного
поля имеет место «синий» сдвиг края полосы фотовозбуждения, что связано с
динамикой термов и уровней Ландау.
Kgu(ω), см
–1
500

e
400
2

B
300
1
200

E0
3
100
2
5
10
15
20
25
30
35
 , мэВ
Рис. 5 Спектральная зависимость коэффициента поглощения при фотовозбуждении
D2 -центров в квазинульмерной структуре при U 0 = 0,2 эВ, R0 = 70 нм, R12 = 20 нм:



1 – E0 = 0 В/см, B = 0 Тл; 2 – E0 = 10 кВ/см, B = 0 Тл; 3 – B = 10 Тл, E0 = 0 В/см
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
Список литературы
1. Б е р м а н , Л. В. Некоторые особенности спектра примесной фотопроводимости
в полупроводниках с неоднородным распределением примесей / Л. В. Берман,
А.А. Кальфа, Ш.М. Коган // Известия академии наук СССР. – 1978. – Т. 42. –
С. 1213–1219. – (Серия физическая).
2. Г о л к а , Я . Взаимодействие между мелкими водородоподобными донорами.
Двух- и трехатомные примесные молекулы / Я. Голка // Известия академии наук
СССР. – 1978. – Т. 42. – С. 1220–1224. – (Серия физическая).
3. М а р к о в, М . Н . Приемники инфракрасного излучения / М. Н. Марков. – М. :
Наука, 1968.
4. К р у з , П . Основы инфракрасной техники / П. Круз, Л. Макглоулин, Р. Макквистан. – М. : Военное издательство министерства обороны СССР, 1964.
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 621.315.592
В. Д. Кревчик, С. В. Яшин, Е. И. Кудряшов
ОСОБЕННОСТИ СПЕКТРОВ ДВУХФОТОННОГО ПРИМЕСНОГО
ПОЛОЩЕНИЯ В СТРУКТУРАХ С ДИСКООБРАЗНЫМИ
КВАНТОВЫМИ ТОЧКАМИ
Методом потенциала нулевого радиуса исследованы особенности спектров двухфотонного поглощения при фотоионизации D  -центров в квазинульмерной структуре с дискообразными квантовыми точками. Рассмотрен
случай квазистационарных D  -состояний в квантовом диске. Показано, что
дихроизм двухфотонного примесного поглощения связан с изменением правил
отбора для магнитного квантового числа в радиальном направлении, а учет
дисперсии характерных размеров квантового диска приводит к размытию линий в спектральной зависимости коэффициента двухфотонного поглощения.
Введение
В настоящее время тенденции развития полупроводниковой наноэлектроники таковы, что возникает необходимость учитывать влияние особенной
геометрической формы наноструктур на электронный энергетический спектр,
включая примесные состояния. Так, например, в случае квантовых точек (КТ)
такие особенности проявляются, прежде всего, в кардинальной модификации
электронного спектра при переходе «сферическая КТ → квантовый диск» и,
как следствие, в существенной трансформации оптических свойств КТ. Высокая чувствительность энергии связи носителя на примеси к энергетическому спектру КТ позволяет проследить за эволюцией энергии связи с изменением геометрической формы КТ. Это актуально, поскольку, как показывают
эксперименты, наличие примесей оказывает радикальное влияние на транспортные и оптические свойства наноструктур. Цель настоящей работы состоит в теоретическом изучении особенностей спектров двухфотонного (ДФ)
примесного поглощения с участием квазистационарных D  -состояний в
дискообразных КТ.
1 Квазистационарные D(–)-состояния в квантовом диске
В данной работе в рамках модели потенциала нулевого радиуса рассмотрена задача связанных состояний электрона, локализованного на D0-центре в
квантовом диске (КД). Для моделирования потенциала конфайнмента КД в
радиальном направлении используется потенциал жесткой стенки:
0,   R0 ,
U   
,   R0 ,
(1)
где R0 – радиус КД.
В z-направлении КД-потенциал конфайнмента моделируется потенциалом одномерного гармонического осциллятора:
U  z 
122
m02 2
z ,
2
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
где m – эффективная масса электрона; ω0 – характерная частота одномерного гармонического осциллятора.
Уравнение Шредингера в рассматриваемой модели КД допускает разделение переменных, при этом одноэлектронные волновые функции и энергетический спектр можно записать в виде
 nmk  , , z  

z2
  im
2
z 
, (3)
e 2a H n   J m  km
e
3
a 
R0 

2
n
m
2 n ! 2 aR0 J m1  k
1
 
 
2
2 m
1   k

Enkm  0  n   
,
2  2m R02

(4)
где n = 1, 2,… – квантовые числа, соответствующие уровням энергии одномерной осцилляторной потенциальной ямы; m = 0, ±1, ±2,… – магнитное
квантовое число; m
k – корни функции Бесселя первого рода порядка m; k = 1,
2, 3,… – порядковый номер корней функции Бесселя; a   m0 – харак-
терная длина осциллятора; , , z – цилиндрические координаты; H n    –
полиномы Эрмита.
Потенциал примеси моделируется потенциалом нулевого радиуса
мощностью   2 2 m , который в цилиндрической системе координат с
учетом логарифмической особенности одноэлектронной функции Грина имеет вид
V  , , z; a , a , za   
    a 


    a    z  za  




 1     a  ln   a
  z  za   ,
(5)


z

где α определяется энергией связи Еi D(–)-состояния в объемном полупроводнике;    ad ; a  a ad ; ad – эффективный боровский радиус; a , a , za –
координаты D(–)-центра в КД.
Уравнение Липпмана–Швингера для D(–)-состояния в КД запишется как
   , , z; a , a , za  
R0 2  
   1d 1d 1dz1G  , , z; 1, 1, z1; E  
0 0 
V  1 , 1 , z1; a , a , za     1 , 1 , z1; a , a , za  ,
(6)
где одноэлектронная функция Грина G  , , z; 1 , 1 , z1; E  , соответствующая
источнику в точке  a , a , zа  и энергии E , имеет вид
G  , , z; 1 , 1 , z1; E  

n,m, k
nmk  1 , 1 , z1   nmk  , , z 
E  Enmk
.
(7)
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Подставляя (5) в (6), получим

   , , z; a , a , za   G  , , z; a , a , za ; E  T    a , a , za ; a , a , za  , (8)


где E – энергия связи D(–)-состояния, отсчитываемая от дна КД ( E  0 );

оператор  определен как

     a , a , za ; a , a , za  





 
(9)
1     a  ln   a    z  za  z  .

a a z  za 

Действуя оператором  на обе части соотношения (8), получим дисперсионное уравнение, определяющее зависимость энергии связи D(–)-состояния от
характерных размеров КД, координат D(–)-центра и параметров удерживающего потенциала:
lim

2 2 
(10)
 G   a , a , za ; a , a , za ; E  .
m
Используя явный вид одноэлектронных волновых функций (3), а также
(4), для функции Грина в (10) будем иметь

 za 
z
Hn  

2
2   H n 


z z 
1
a
 a 

exp    a
G  , , z; a , a , za ; E  
n
3
2
  2a   n 1
2 n!
 2 aR02

 


  
  im a 
J m  km a  J m  km
e
R0  
R0 


.
2 m


E
E
J


m, k

nmk
m k

(11)
 
Далее, используя интегральное представление знаменателя в (11), получим
G  , , z; a , a , za ; E   


e
 
2



 
где Ed – эффективная боровская энергия; 2  E Ed ;
U 0  U 0 Ed ;


  
  im a 
z 
z
J m  km a  J m  m
Hn  a  Hn  
e
k
R0  
R0 
a
 a 

, (12)


2 m
!
n
E
E
J


  nmk  m k

m,k
2t  n
n 0 
  z 2  z 2  
  dt exp  2   t 
exp    a
3
2 


2a  0
 2 aR02 Ed
 

1
U0
–
амплитуда
потенциала
  U 0 L ;
конфайнмента
КД
в
z-направлении; U 0  m02 L2 2; L  L ad ; L – характерный размер КД в
z-направлении; R0  R0 ad .
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
Суммирование по n в (12) можно выполнить, воспользовавшись формулой Меллера [1]:

 e 2t

 2
k 0 





n
z 
z
Hn  а  Hn  
 2 xyz  x 2  y 2 z 2 
1
a


a 
exp 

,
2
n!
1 z


1  z2




(13)
тогда (12) принимает вид
  z 2  z 2  
  dt exp  2   t 
exp    a
G  , , z; a , a , za ; E   
3
2 


2a  0
 2 aR02 Ed
 

1

1
4 t  2
1 e


2


 m 
 k  t
R 
e  0
m, k





 2 z ze 2t  z 2  z 2 e 4t 
a
a

exp 


4t
2
a 1 e





  
  im a 
J m   km a  J m   km
e
R0  
R0 

.
2 m
k
Jm
(14)
 
При выполнении суммирования по k в (14) учтено, что основной вклад
в интеграл вносит нижний предел интегрирования, где подынтегральная
функция имеет особенность. Это дает возможность использовать приближе
 2 
m
 2
ние exp  m
k R0 t   1   k R0 t , тогда сумму по k в (14) можно пред

ставить в виде


2
S


 m 
 k  t
R 
e  0
k 1



  
 
J m  km a  J m  m

k
R
R
R2 
0
0


 0
2 m
t k 1
Jm
k

a   m  
J m  m
 J m  k

k
R0  
R0  . (15)

   2

m 2
2 m  iR0
Jm
k 



k
 t 





 
 
 
Используя известное разложение Фурье–Бесселя


k 1
  
J  xm
k

J  X m
k
J   xz 

 
J
m 
 1 k 
2 
2
z 

1
m 2
k 
 
 J   z  Y  Xz   J   Xz  Y  z   ,
4J  z  


(16)
где Y  z  – функция Бесселя второго рода порядка ; 0  x  X  1 , для S в
(15) получим
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 i 
Jm  а 
 t    iR   i 
 i   iR0  
R2

  J  0 Y 
S  0
J

(17)
 .
 m
Y 
m
m
 t  m  t 
4t
 iR0    t   t 

 

Jm 

 t 


Для вычисления суммы по магнитному квантовому числу m в (14) воспользуемся известными соотношениями для функций Бесселя с мнимым аргументом [1]:
  m  1 i 
2
 mi 
Ym  ix   exp 
 I m  x   exp  
 Km  x  ,
2

 2 


(18)
 mi 
J m  ix   exp 
 Im  x ,
 2 
(19)
где I m  x  и K m  x  – модифицированные функции Бесселя целого порядка
первого и второго рода соответственно.
Тогда сумму по m можно представить в виде
P

 
Im 
 t

m 

i
 mi
e 2


 mi i  
e 2 e 2 I m  
 t




 
Im  a
 t

m 

  
 Im 
  t
 
 2  mi
 
  e 2 Km 
 
 t


 mi   
a 

e





m mi a 

  1 e 


 
Im  a
 t
2 


 m
   
 R 
 Im   Km  0 
  t
 t
  

e mi a  .
(20)
 R0 
Im 

 t


Воспользовавшись известными формулами сложения для модифицированных функций Бесселя [1]


  1m I m  Z  I m  z eim  I0  w ,
(21)
m 


m 
K m  Z  I m  z eim  K 0  w  ,
(22)
где w  z 2  Z 2  2 zZ cos  , для Р будем иметь
 
Im  a

 t
2
2

P  iI 0  w   K 0  w   iI 0  w  

 m

126
   
 R 
 Im   Km  0 
  t
 t
  

emi a  , (23)
 R0 
Im 

 t


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
или
 
I0  a
2  t
P

 
Im  a
 t
4 


 m1

     R0 
 I0   K0 

  t  t
   


R 
I0  0 
 t


   
 R 
 Im   Km  0 
  t
 t
  

 cos  m      2 K w ,
a 
0 
 

 R0 
Im 

 t


здесь w  a 2  2  2a  cos    a 
(24)
t.
С учетом полученных соотношений для S и P функция Грина в (14)
примет вид
G  , , z; a , a , za ; E   

1

2ad2 aEd 0
 


1

dt
exp  2   t 1  e 4t 2 
t





  4 z ze 2t  z2  z2 1  e 4t   
a
  a
  
 exp 

4t
2 1 e





 

I0  a
 t

  K0  w  



     R0 
 
Im  a
 I0   K0 


  t  t
 t
   
 2


R 
m 1
I0  0 
 t



   
 R  
 Im   Km  0  
  t
 t 
  

 . (25)


 R0 

Im 


 t



Для выделения в (25) расходящейся части воспользуемся интегралом
Вебера [1]:
 3
x 2

0
 2

2
exp  
 x  dx 
exp  2  , Re 2  0, Re     0 . (26)
 2x





  
Тогда выражение (25) для функции Грина примет вид

z  za 
exp   2  

a 
1

G  , , z; a , a , za ; E   


4ad2 Ed z  za
4ad2 aEd 3 2
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


 z2  z2
 dt
a

2

exp     t exp  

a

 0 t






  1  e4t  12 





 2 z ze2t  z 2  z 2 e 4t 
a
a

 exp 


2
4t
a 1 e




 

I0  a
 t

  K0  w  




     R0 
 
Im  a
 I 0   K0 


  t  t
 t
   
 2


R 
m 1
I0  0 
 t



   
 R  
 Im   Km  0  
  t
 t 
  

 


 R0 

Im 


 t



  z  z 2   
1
a
  .
 exp  
2

 
t
4
a
t

 
(27)
Подставляя (27) в (10), получим дисперсионное уравнение электрона,
локализованного на D0-центре в КД:

  dt
    i 
exp   2  


 t
0

2

1

4t  2


t 1 e
exp  za2tht 


 



     R 

 
 R0 
2 a


 I 02  a  K 0  0 

Im
K
  m


 t
 t


  t   t 

t
2
1

 

  ln

2
   ,





t
R
R



m 1
I0  0 
Im  0 



 t
 t
 








(28)
где  – постоянная Эйлера.
На рис. 1–3 показана рассчитанная с помощью уравнения (28) зависимость энергии связи квазистационарного D(–)-состояния  ECD  
 
  2 1,1
2
2m* R02  E от координат D(–)-центра в радиальной плоскости и
в z-направлении
 ECD  z 
 2U 0 2m* L2  E b 2  4ac в КД на основе
InSb.
Как видно из рис. 1, характер пространственной анизотропии энергии
связи квазистационарных D(–)-состояний в КД отличается от случая КТ в
форме эллипсоида вращения [2]. Это связано с наличием геометрического
конфайнмента в радиальном направлении КД, что приводит к слабой зависимости энергии связи в данном направлении от характерного размера КД
в z-направлении (см. кривые на рис. 3)
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
0,015
 EСD  , эВ
2
0,01
1
0,005
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
*a
(–)
Рис. 1 Координатная зависимость энергии связи D -состояния в КД
(в радиальном направлении) при U0 = 0,7 эВ, R0 = 70 нм,
для различных значений L: 1 – L = 35 нм, 2 – L = 70 нм

0,008
EСD
 , эВ
2
0,006
0,004
1
0,002
0
0
0,5
1
1,5
*a
Рис. 2 Координатная зависимость энергии связи D(–)-состояния в КД
(в радиальном направлении) при U0 = 0,7 эВ, L = 70 нм,
для различных значений R0: 1 – R0 = 140 нм, 2 – R0 = 70 нм

EСD
z
0,025
, эВ
2
0,02
0,015
1
0,01
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
z*a
Рис. 3 Координатная зависимость энергии связи D(–)-состояния в КД
(в z-направлении) при U0 = 0,7 эВ, R0 = 70 нм,
для различных значений L: 1 – L0 = 70 нм, 2 – L0 = 35 нм
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2 Коэффициент двухфотонного примесного поглощения
в квазинульмерной структуре с дискообразными квантовыми точками
(продольная по отношению к оси квантового диска поляризация света)
Рассмотрим двухфотонное (ДФ) примесное поглощение в квазинульмерной структуре с КД в случае продольной по отношению к оси КД поляри
зации света. Пусть D(–)-центр локализован в точке Ra   0, 0, 0  . Уровень
энергии связанного D(–)-состояния E  0 расположен между дном КД и
уровнем энергии ее основного состояния. В этом случае волновая функция
 CD  , , z;0 электрона, локализованного на короткодействующем потен



циале D  -центра (волновая функция начального состояния), имеет вид
   , , z  

1
 z2 1  e4t
dt
4 t  2
2
exp     t 1  e
exp  
 Сн
3
 2 1  e4t
t
2 2 0

R02

 





  



    R  

I0  a  K0  0  
 t   t 
  R 
 ;
  K0  0     


 t
 R0 
 


I0 



 t





1
 aR 2    f 
 2
k
0
   k     f k    ,
Сн  
   4 3 k 1   k 







(29)

2
2


f k   2    k 0 R0  4 ; k   2    k 0 R0  4  1 2;




  x  – логарифмическая производная гамма-функции.
Волновая функция конечного состояния берется в виде (3). Эффектив s
ный гамильтониан взаимодействия H int с полем световой волны в случае
где
продольной по отношению к направлению вертикальной оси КД поляризации

es света имеет вид
 (s)
2 2 *
  
 i 0
Н int
I 0 exp(iqs r )(es  r ) .
*2
m 
(30)
s
Матричный элемент M CD , определяющий величину силы осциллятора дипольных оптических переходов электрона из основного
 CD 
D–-состояния  
 , , z;0  в состояния  n,m,k  , , z  дискретного
спектра КД, имеет вид
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
s
M КД 

 s
 n,m,k H int  n,m,k 
 s  D
 n,m,k  H int  
 E  En,m,k2  
n,m,k 
,
(31)
где  n1 ,m,n2 и En1 ,m,n2 – волновая функция и энергия промежуточного (виртуального) состояния соответственно.
Выражение для матричных элементов, соответствующих однофотонным переходам из основного состояния D–-центра в виртуальные состояния
КД, можно представить в виде
 s  D
 n,m,k2 H int  

2


  k 0 
2 I 0
4
2

 i 0
Ed ad   2n1  3/ 2   
   Cн C2n 1,0,k  
1


 R* 

0 




R0*2
 2n1  1!
a*n1 !


0

 
dt
exp   2   t 


t


4t
*2
 1  a 1  e
 

2 1  e 4t
 2



1

1  e 4t 2








1


 1





 1  e 4t
 1 
 2a*2
2 1  e 4t





3
 2
 



n1
1
  20
t  k*2
R
 0
1
 
t 
,
(32)
где произведение нормировочных множителей имеет вид
1
Cн C2n 1,0,k  

1
2 n1 1
3/ 2 2

2
 2n1  1! aR0 J1  k 0 
 aR 2    f 

l
0
   l      fl   

3
   4  l 1   l  





1/ 2
,
(33)

2
2


где fl    2    l0 / R0*  /  4  ; l    2    l0 / R0*  /  4   1/ 2 .




В ходе вычислений были получены следующие правила отбора для
квантовых чисел соответствующих виртуальным состояниям:
m  0; n  2n1  1, где n1  0,1, 2...
(34)
Тогда волновая функция и энергетический спектр виртуальных состояний примут вид
 n1 ,0,k   , , z  

z2
 
2
z 
e 2a H 2n1   J 0  k 0
;

R0 
a 
22n1 1  2n1  1!3/ 2 aR02 J1 (k 0 )
1
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2
2
3     k 0 

En1 ,0,k   0  2n1   
.
2

2m* R02
(35)
С учетом (35) матричный элемент, определяющий величину силы осциллятора дипольных оптических переходов электрона из виртуальных состояний  n1 ,0,k   , , z  в конечные состояния  n,m,k  , , z  дискретного
спектра КД, запишется в виде
 s
2 I 0
M    n,m,k H int  n,0,k   i 0
En,m,k  En1 ,0,k  



 
 n,m,k  , , z   es , r   n1 ,0,k   , , z  .
(36)
Учитывая выражения для волновых функций виртуального и конечного
состояний, выражение (36) можно записать как
2
2

2 I 0
1    km 
3    k 0  



M   i 0
Ed   n    
    2n1     *  

2   R0* 
2   R0  

 




 2  R0
1
1
2n n!3/ 2 aR02 J m 1 ( km ) 22n1 1  2n  11 !3/ 2 aR02 J1 (k 0 )
   d d dzze

z2
a2 H

  im
 
z 
z 
H 2n1 1   J 0  k 0
e
 . (37)
 J m  km
R0 
R0 
a 
a 
n
 0 0
Расчет матричных элементов
 s
 n,m,k H int  n,0,k 
приводит к инте-
гралу вида
2
0, если m  0,
 exp  im  2,если m  0,
(38)
0
вычисление которого позволяет получить правила отбора для магнитного
квантового числа m. В соответствии с этим ДФ оптические переходы с примесного уровня возможны только в квазидискретные состояния КД со значением магнитного квантового числа m = 0. Тогда

 z2 
z
z
z exp    H n   H 2 n1 1   dz 
 a2 
a
a




0, при n  2n1 , n1  n1  1, n1  1, 2,3...


3

n1  n1 1 2 n1  2 n1 1 2
a n1 !   n1  , при n  2n1 , n1  n1  1.
2
 1
2


132
(39)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
При вычислении интеграла в (39) использовались выражения, связывающие полиномы Эрмита с полиномами Лагерра [1]:

1
 
1
 
H 2n  x    1 22n n! Ln 2 x 2 , H 2n 1  x    1 22n 1 n ! Ln2 x 2 ,
n
n
(40)
и интеграл вида


0, m  n, Re   1,

e  x x Ln  x  Lm  x  dx       n  1


0
n!
(41)
, m  n, Re   0.
В результате получим следующие правила отбора для квантового числа n:
ДФ переходы из основного состояния D  -центра происходят только в состояния КД с четными значениями квантового числа n .
Интеграл по  позволяет получить правила отбора для квантового числа k :

0,если k  k ,

  
  
d J 0  k 0
 J 0   k 0
  1
R0  
R0   R0*2 ad2 J12   k 0  ,если k  k .

0
2
R0

(42)
Принимая во внимание (37)–(42), приходим к окончательному выраже s
нию для матричных элементов  n,m,k H int  n,0,k  :
 s
 n,m,k H int  n,0,k  
2
2

 km 
  k 0  
2 I 0
1
3




 i 0
Ed    n    
    2n1     *   

2   R0* 
2   R0  

 



2  1
1
1
2n n!3/ 2 aR02 J m 1 ( km ) 22n1 1  2n  11 !3/ 2 aR02 J1 (k 0 )

3
1
a n1 !   n1  R0*2 ad2 J12  k 0  m,0 n1 ,n1 1k ,k , (43)
2
2
n1  n1 1 2 n1  2 n1 1 2
2
где m,n – символ Кронекера.
После подстановки (33) и (43) в (32) и последующего суммирования по
виртуальным состояниям, получим
2


 k 0 
2

1    2n1  1   *    

2n1 n1   n1   
7 / 2 1/ 4 2 
2

 R0 
2 
 s  2   0  I 0 ad 7 / 2


M CD 
X
J1  k 0   2n  1!  2   2n  1    X 
 1



2



133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
    fl 

  l      fl    

 l 1   l 





0

dt
exp   2  
3/ 2

t


 2  1  e 4t




 2
2 1  e 4t




 
t  1  e 4t

3



1/ 2

1
2


 2 
1  e 4t
  1 
 
  2 2 1  e 4t
 

1
 2k 0 1 
 *2  
R
t 
 0






1


 1



n1 1
.
(44)
s
Коэффициент ДФ примесного поглощения KCD  2 света продольной

по отношению к оси КД поляризации e s с учетом дисперсии размеров КТ
можно определить как
s
KCD  2 
3
2
2N 0
s 2
duP  u  M CD  En1 ,0,k  E  2 ,
I 0 n k
0
1

 

(45)
где N0 – концентрация КД в диэлектрической матрице; P  u  – функция
Лифшица–Слезова [3], описывающая дисперсию характерных размеров КД.
В боровских единицах  -функция в (45) запишется как
u2
 En1 ,0,k  E  2 
Ed


2

 k 0  
1

2
2

 u   2 X    2n1   u  
  , (46)

 R *  
2

 0  



где   U 0* / L* ; R0*  R0 / ad .
Для выполнения интегрирования в (45) необходимо найти корни uk ,0,n1
аргумента  -функции, удовлетворяющие закону сохранения энергии:
uk ,0,n1 
2
  k ,0 
1
1

2
  2n1      2n1    4  * 
 R 
2
2


 0 

2 2 X  2
2
 2  2 X 

.
(47)
Далее, используя известное свойство  -функции [1]
  x  

i
  x  xi 
 d 


 dx  x  xi
,
(48)
получим выражение для коэффициента ДФ примесного поглощения
(s)
KCD
 2 в случае продольной по отношению к оси КД поляризации света:
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
1

22 n1 n1 2   n1  P u
k ,0,n1

(s)
2

KCD

   K 0 2
5
 2n1  1! uk ,0,n J12  k 0 
X n1 1 k 1
1

7 N1 K1

2


 

 
2
0
k
  
 2n1  1  
u

*

uk ,0,n1 R0 
 k ,0,n1




2


   fl  


f






 l  

l

 l 1   l 


2


1   k 0 
  

2
  X 
 2n1   
u
2   uk ,0,n R0* 
 k ,0,n1 

1




1

1/ 2
2


2


  2  2n  1   4  k 0  2  2 X 
 R* 
  1 2 

 0 


2


 
 

dt

exp    2 

3/ 2
uk ,0,n1
 
 0 t



1



1


t 2
4
 
uk ,0, n1 
 t  1  e
 
 

 



3


 2

t
4



uk ,0, n1 
 1  e

 


 
2

  



 2u 2



t 
4
 k ,0,n1


u

2uk ,0,n1  1  e k ,0, n1  


 




1





4
t





u


uk ,0,n1 1  e k ,0,n1  





 1
1

   1






 
2k 0
1  2

t
4




uk ,0, n1 

2
*2 t 
2  1  e
uk ,0,n R0
 


1

 







n1 1 2





 ,





(49)
где
K 0  28 3/ 2 ad4  04*2 N 0 I 0 Ed ;
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

 
2

fl   2   uk ,0,n1  l 0 uk ,0,n1 R0*  / 4  uk ,0,n1 ;




 
2

l   2   uk ,0,n1  l 0 uk ,0,n1 R0*  / 4  uk ,0,n1  1/ 2 ;





2

N1  C1  – целая часть числа C1  3  2 X  2  210 3R0*  4  1 4 ; K1 –


целая часть решения трансцендентного уравнения
 k 0 2  9 R0*2  2 X  2 
3

4  3R0*2  2n1   2 .
2

Зависимость края полосы ДФ примесного поглощения X t от параметров КД и примесного центра имеет следующий вид (в боровских единицах):
Xt  
2
2 210
5
.


2 9 R0*2 3
(50)
На рис. 4, 5 представлены спектральные зависимости коэффициента
ДФ примесного поглощения в случае продольной по отношению к оси КД
поляризации света, рассчитанные по формуле (49). Можно видеть, что учет
дисперсии характерных размеров КД приводит к размытию линий в спектральной зависимости коэффициента ДФ примесного поглощения. Наличие
квантового размерного эффекта проявляется в сдвиге края полосы поглощения с изменением характерных размеров КД.
(s)
KCD
 2 , см–1
80
60
2
40
1
20
0
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
ħω, эВ
Рис. 4 Спектральная зависимость коэффициента ДФ примесного поглощения
в квазинульмерной структуре с КД для случая продольной по отношению
к оси КД поляризации света при U 0  0,7 эВ, L = 20 нм,
для различных значений радиуса КД R : 1 – R = 70 нм; 2 – R = 140 нм
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
( s)
KCD
 2 , см
-1
80
60
1
2
40
20
0
0,004
0,006
0,008
0,01
0,014
0,012
ħω, эВ
Рис. 5 Спектральная зависимость коэффициента ДФ примесного поглощения
в квазинульмерной структуре с КД для случая продольной по отношению
к оси КД поляризации света при U 0  0,7 эВ, R = 70 нм
для различных значений высоты КД L : 1 – L = 70 нм; 2 – L = 20 нм
3 Коэффициент двухфотонного примесного поглощения
(поперечная по отношению к оси квантового диска поляризация света)
Рассмотрим поглощение света при ДФ ионизации D ( ) -центров в дискообразных КТ для случая поперечной по отношению к оси КД поляризации
света. Поглощение света при ДФ ионизации D ( ) -центров рассматривается

для случая, когда примесный атом расположен в центре КД Ra  0,0,0  .
 D  , , z;0 электрона, локализованного на ко

Волновая функция  
роткодействующем потенциале D ( ) -центра (волновая функция начального
состояния) для случая, когда уровень энергии связанного состояния располо-
 D   0 ), определяется как
жен ниже дна квантовой ямы ( E
   , , z;0  

1
 z2 1  e4t
dt
2
4 t  2
exp     t 1  e
exp  
 Сн
3
 2 1  e4t
t
2 2 0

R02



 
  R 
 
  K0  0   I0  a

  t 
 t

  R 
 K0  0 

 
  t

 R  
I0  0  ,


 t  

  


(15)
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где


  fk 
   k     f k   
Сн  
   4 3 k 1   k 



aR02



1
2
;
2
2


 k 0  
 k 0  
2
2



f k        
4 ; k          4  1 2 .


 R  
 R  
 0  
 0  


Волновая функция и энергетический спектр конечного состояния при
ДФ оптических переходах с примесного уровня в размерно-квантованные состояния КД определяются выражениями (3) и (4)
 t 
Эффективный гамильтониан взаимодействия H int с полем световой

волны, характеризуемой волновым вектором qt и единичным вектором попе
речной по отношению к оси КД поляризации et , имеет вид
 t 
2 2 
H int  i 0
I 0 exp
m2 
 
 iqt r  et  r  .
(52)
Матричный элемент ДФ оптических переходов определяется выражением вида
t 
M КД 

 t 
 n,m,k H int  n,m,k 
 t   D 
 n,m,k  H int  
.
(53)
 t   D 
Выражение для матричного элемента |  n,m,k  H int  
можно
 E  En,m,k2  
n,m,k 
представить как
 t   D 
 n,m,k  H int  

 i 0 ad2
e

2 2 
1/ 2
R*2

2

I 0 Cн 0 22n1  2n1 !3/ 2 aR02 J m
1 (k m )
2
2
m 


1

2n1 ! dtF1  , t   1


*2


,
1
m,1



a
F
t


2


 n1 ! 0
t

 2


n1

1/ 2
1


  2a*2
 F2  , t  






2  1
 R*  
 R* 
 R* 
 1  k 1    k 1 t

  
  k 1 J 2   k 1  K1  0    K0  0  I 01  0  

*

 *  
 t 
 t
 t
 t  R0    R0









138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
2

 R0*   R0* 
2

k 1 J 0   k 1  I1 
 
   k 1 
 t   t 


 


1 

.


(54)
При вычислении (54) получены следующие правила отбора для виртуальных квантовых чисел:
| m  1; n  2n1 , n1  0,1, 2, ...
(55)
С учетом (54) волновая функция и энергетический спектр промежуточного (виртуального) состояния примут вид
 n1 ,1,k   , , z  


z2

  i
2
z
e 2a H 2n1   J m  k 1
e ;

R0 
a

22n1  2n1 !3/ 2 aR02 J m1 (k 1 )
1
(56)
2
2
1    k 1 

En,m,k  0  2n1   
.
2

2m* R02
(57)
 t 
В дипольном приближении матричные элементы  n,m,k H int  n,m,k  ,
определяющие оптические переходы электрона из виртуальных  n,m,k   , , z 
в конечные состояния  n,m,k  , , z  квазидискретного спектра КД можно
представить в виде
 t 
2 I 0
M    n,m,k H int  2 n1 ,1,k   i 0
En,m,k  E2n1 ,1,k  



 
 n,m,k  , , z   et , r   2 n1 ,1,k   , , z  .
(58)
С учетом волновых функций промежуточного и конечного состояний
выражение (58) примет вид
2
2

2 I 0
1   km 
1   k 1  



M   i 0
Ed   n    
    2n1     *  

2   R0* 
2   R0  

 



1
1
2n n!3/ 2 aR02 J m 1 (km ) 22n1  2n1 !3/ 2 aR02 J m1 (k 1 )

 2  R0
   d d dze
 0 0

z2
a2 H

 
z 

 J m  km
R0 
a 
n
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

  i
z
eim cos      H 2n1   J m  k 1
e ,
R0 
a

(59)

где  – полярный угол единичного вектора поперечной поляризации e t
в
цилиндрической системе координат.
При вычислении в (59) следующего интеграла:


d  cos     exp  im  exp  im   

0

2

 eim,0  eim,2  , при m  1, (60)
 eim,0  eim,2  , при m  1,
получаем правила отбора для магнитного квантового числа m .
Оставшиеся в (59) интегралы имеют вид

 z2 
0, при n  2n1 , n1  n1 , n1  0,1, 2...
z
z
(61)
exp    H 2n1   H n   dz   2 n
 a2 
1  2n !  , при n  2n , n  n ,
a
a
a
2



1
1
1
1





I1 
R0

  
 
2 J m  km
 J1  k 1
 d .
R0  
R0 

0

(62)
Интеграл в (62) можно вычислить, воспользовавшись известным соотношением [1]:

xZ p  x   p  x  
xZ p  x   p 1  x   xZ p 1  x   p  x 
 2  2
,
где Z p  x  и  p  x  – произвольные цилиндрические функции.
С учетом последнего выражения и замены x  * R0* интеграл в (62)
– при m = 0:
I1 

1
  x2 J0  k 0 x  J1  k1x  dx 
0
3
ad R0*

2 ad R0*
 k 0k1J1  k 0  J0  k1  ; (63)
2
 k20  2k1 
3
при m = ±2:

I1  ad R0*

140

2 ad R0*
1
  x2 J0  k 2 x  J1  k1x  dx 
0
3
 k1J1  k 2  J0  k1   22k 2  2k1  .
2
k 2  2k 2  2k 1 
3
(64)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
В результате для (62) будем иметь



* 3
 2 ad R0  k 0 k 1 J1  k 0  J 0   k 1 
, при m  0,

2
2 2

k 0   k 1

I1  
 2 a R* 3  J    J    2 2   2
d 0
k 1 1 k 2 0 k 1
k2
k 1

, при m  2.
2

2
2
k 2 k 2  k 1










(65)
С учетом (60)–(62) выражение (59) перепишется в виде


2
2
2

ad R0*
km   k 1  
2 I 0


M   i 0
Ed 2n1 ,n 
 


  R0*   R0*   J m1   km  J m1  k 1 


I
 1

I1

 eim,0  eim,2  , при m  1,
 eim,0  eim,2  , при m  1.
(66)
Квадрат модуля матричного элемента рассматриваемых ДФ оптических
переходов с учетом выражений (54), (66) и суммирования по промежуточным
состояниям примет вид
t 
M
CD
2
1/ 2


28 3/ 2 ad4  2  04 *2 I 02 *2 4      fl 
  l     fl   
R0 


    l  
X2




 k  l 1

n

1
1
dtF1  , t   1

*2
  a F2  , t    1 

t

 2

0



  2a


*2 1

 F2  , t  

1/ 2

2  1


 1 k 1 
   *   
 t  R0  



 R0*   R0*  
k 1 J 0  k 1  I1 
K 

 t  0  t 

 R0*  





1 t
k

 k 1 J 2  k 1  K1 
 

*
2




 R0

 R *   R* 
 t  
2
I 0  0   0    k 1   
 t   t 
 

 

 
2


1    k 1 

2


     2n1    
 X


2   R0* 



1

141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2
2


 e 2i  J    J    2 2   2  k 2    k 1   
k 1 1 k 2 0 k 1
k2
k 1  * 

 R*   m,2
R
 0   0  




2

 k 2 J 3  k 2  J 22  k 1  2k 2  2k 1







2
2

  k 1   

1
0
k



   *  
2
*







J



2
2
R
R

0
1
k
k 0   k 1  0   0   

k 0 k 1

J 0   k 1  
 m,0 
J 22  k 1  
2
2
2


   k 1  
2i
2
2  k 2

e  k 1 2 k 2   k 1  *    *   m,2 

 R   R  
 0   0  


 .
2
2 2

 k 2 J 0  k 1  k 2  k 1






(67)

(t )
Выражение для коэффициента поглощения KCD
 2 света попереч
ной по отношению к оси КД поляризации et в структуре с КД можно записать в виде
(t )
KCD
 2  
2
3
2
2N 0
t  2
duP  u  M CD  En,m,k  E  2 .
I 0 n ,k m2
0
1

 

(68)
В боровских единицах  -функция запишется как
u2
 En,m,k  E  2 
Ed


2

 km  
1

2
2

 u   2 X    2n1   u  
  , (69)

 R *  
2

 0  



где   U 0* / L* ; R0*  R0 / ad .
Для выполнения интегрирования в (68) необходимо найти корни
uk ,m,n1 аргумента  -функции, удовлетворяющие закону сохранения энергии:
uk ,m,n1 
2
  k ,m 
1
1


  2n1     2  2n1    4  * 
 R 
2
2


 0 

2 2 X  2

2
 2  2 X 
.
(70)
Далее, используя известное свойство  -функции, получим выражение
(t )
для коэффициента ДФ примесного поглощения KCD
 2 в случае поперечной по отношению к оси КД поляризации света:
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
(t )
KCD
 2 

K0
X
R*2 4
2 0
1/ 2
 K  

   fl  


m,0,2 P uk ,m,n1 


  l     fl   




l


n1 0 k 1 m 2

 k 1  l 1
N
K
2

 
 

dtF1  , t   1  uk ,m,n1

 2   
t


0



 u
1 k ,m,n1
  
2 



 1   
k1

   
*
 t  uk ,m,n1 R0 

2  1







2



2
 

,t  
F2 
 uk ,m, n  


1
 

 F2 
, t 
 uk , m,n  


1
1
n
1

 1 


1/ 2

 uk ,m,n R0* 
1

K0 
* 




t
u
R


 k 1 t  k 1 J 2  k 1  K1  k ,m,n1 0   
*
 uk ,m,n R0*





t

  I  uk ,m,n1 R0 
1

0


t



 uk ,m,n R0*  
1
1

k 1J 0   k 1  I1 
2


 


t

   2    2n  1    k 1   X  


 1


uk ,m,n1 
2   uk ,m,n R0* 

  
* 2

1


u
R
2  
 k ,m,n1 0 






k
1

 

t

 


2
2


k 2    k 1  
 2i
2
2 
k 1J1  k 2  J 0   k 1  2k 2   k 1 

m,2
e
 uk ,m,n R0*   uk ,m,n R0*  


 
 
1
1


2

 k 2 J 3  k 2  J 22  k 1  2k 2  2k 1







2
2

 
 
1
 k 0   k 1   





2
*
*
 
 J 
k2 0  2k 1  uk ,m,n1 R0   uk ,m,n1 R0    0  k 1 

k 0 k 1



J 0   k 1  
 m,0 
J 22  k 1  
2
2 
  
 
e 2ik 1 22k 2  2k 1 m,2  

2
1
k
k

 
  


2
*
*



 
k 2 J 0  k 1  2k 2  2k 1  uk ,m,n1 R0   uk ,m,n1 R0   



143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2

2
  km 
1
2

   2n1    4 
 2  2 X
 
 R* 
2
 0 








1 2
2
 ,



(71)
где
K 0  29 5/ 2 ad4  04 *2 I 0 N0 Ed ;

  4   uk , m , n   ;
2

fl   2   uk ,m,n1  l 0 uk ,m,n1 R0* 



1
  4   uk ,m,n   1/ 2 ;
2

l   2   uk ,m,n1  l 0 uk ,m,n1 R0* 


1
N  C1  – целая часть значения выражения


2

C1  3  2 X  2  2 km 3R0*  4  1 4 ;


K  и K – целые части решений трансцендентных уравнений
 k 1 2  9 R0*2  X  2 
1

4  3R0*2  2n1   2
2

 km 2  9 R0*2  2 X  2 
1

4  3R0*2  2n1   2
2

и
соответственно.
Зависимость края полосы ДФ примесного поглощения X t от параметров КД и примесного центра имеет следующий вид (в боровских единицах):
Xt  
2
2 210


 .
*2
2 9 R0
3
(72)
На рис. 6, 7 представлена спектральная зависимость коэффициента ДФ
примесного поглощения в случае поперечной по отношению к оси КД поляризации света. Можно видеть, что с увеличением характерных размеров КД
край полосы ДФ примесного поглощения смещается в длинноволновую область спектра и соответственно растет величина ДФ поглощения, что связано
с квантовым размерным эффектом.
Как видно из рис. 8, в квазинульмерной структуре с дискообразными
КТ имеет место дихроизм ДФ примесного поглощения, связанный с изменением правил отбора для магнитного квантового числа в радиальном направлении КД. Эффект геометрической формы КТ проявляется в различном характере зависимости края полосы примесного поглощения от характерного
размера КТ в радиальном направлении.
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
(t )
KCD
 2 , см-1
50
40
2
30
1
20
0
0,026
0,028
0,03
0,032
0,034
0,036
ħω, эВ
Рис. 6 Спектральная зависимость коэффициента ДФ примесного поглощения
в квазинульмерной структуре с КД для случая поперечной
по отношению к оси КД поляризации света при U 0  0,7 эВ, L = 20 нм
для различных значений высоты КД R : 1 – R = 70 нм; 2 – R = 140 нм
(t )
KCD
 2 , см-1
80
60
2
40
1
20
0
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
ħω, эВ
Рис. 7 Спектральная зависимость коэффициента ДФ примесного поглощения
в квазинульмерной структуре с КД для случая поперечной
по отношению к оси КД поляризации света при U 0  0,7 эВ, R = 70 нм
для различных значений высоты КД L : 1 – L = 20 нм; 2 – L = 70 нм
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
K(2ω),см–1
100
80
1
2
60
1
40
2
20
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
ħω ·10–4,эВ
Рис. 8 Спектральная зависимость коэффициента поглощения
при двухфотонной ионизации D(–)-центров в структурах
с квантовыми дисками в случае продольной (1) и поперечной (2)
к оси диска поляризации света при U 0  0,7 эВ, L  20нм, R0  70нм
Таким образом, в рамках модели потенциала нулевого радиуса получено аналитическое решение задачи о квазистационарных D(–)-состояниях в
квантовом диске. Показано, что характер пространственной анизотропии
энергии связи D(–)-состояний в КД отличается от случая КТ в форме эллипсоида вращения. Это отличие проявляется в слабой зависимости энергии связи D(–)-состояния в радиальном направлении от характерного размера КД в
z-направлении и связано с наличием геометрического конфайнмента КД. Теоретически исследован дихроизм ДФ примесного поглощения в квазинульмерной структуре с дискообразными КТ. Рассчитаны коэффициенты поглощения при ДФ оптических переходах из квазистационарных D(–)-состояний в
размерно-квантованные состояния КД для случаев продольной и поперечной
по отношению к оси КД поляризации света с учетом дисперсии характерных
размеров КД. Показано, что, как и в случае квазинульмерных структур с КТ в
форме эллипсоида вращения, дихроизм ДФ примесного поглощения связан с
изменением правил отбора для магнитного квантового числа в радиальном
направлении, а учет дисперсии характерных размеров КД приводит к размытию линий в спектральной зависимости коэффициента ДФ примесного поглощения. Найдено, что отличительной особенностью ДФ примесного поглощения в структурах с дискообразными КТ является более сильная зависимость края полосы ДФ примесного поглощения от радиального размера КД.
Список литературы
1. Б е й т м е н , Г . Высшие трансцендентные функции / Г. бейтмен, А. Эрдейн. – М. :
Наука, 1973. – Ч. 1, 2.
2. К р е в ч и к В. Д . , Я ш и н С . В. , К у д р я ш о в Е. И . // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. –
№ 1 (5). – С. 93.
3. Л и фш и ц И . М . , С л е з о в В. В. //ЖЭТФ. – 1958. – Т. 35. – № 1 (8). – С. 479.
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
УДК 535.375.5
Н. И. Шамров, Д. В. Логинов
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО
ВКР-УСИЛЕНИЯ В ГАЗАХ
Рассматривается взаимодействие импульсов накачки, Стокса и антиСтокса большой интенсивности в газообразном водороде. Численно решены
соответствующие одномерные уравнения Максвелла–Блоха. Исследуется зависимость характера и эффективности взаимного преобразования волн от параметров задачи.
Введение
Хорошо известно, что при ВКР-преобразовании света излучение на
смещенных частотах либо зарождается в процессе спонтанного рассеяния,
либо подается на вход среды. ВКР в режиме генерации исследовано довольно подробно [1–10]. Оно рассматривалось как для импульсов накачки,
относительно слабых по энергии, когда изменением их интенсивности и
убылью молекул в основном состоянии можно пренебречь [1–4], так и для
возбуждающей волны большой интенсивности, при которой ее истощение
и перераспределение молекул по уровням в процессе рассеяния существенны [5–10]. ВКР в режиме усиления является менее изученным [11–20].
В основном оно анализировалось в условиях малого изменения населенностей молекулярных уровней [11–16]. Нелинейные эффекты насыщения в
ВКР-усилении исследованы только в стационарном или квазистационарном случаях [17–20].
В настоящей работе рассматривается нестационарное ВКР-усиление
света относительно большой мощности, при которой происходит значительное ослабление интенсивности основной волны и заметное отклонение населенностей уровней от равновесных значений.
1 Уравнения и параметры модели
Описание взаимодействия волн в процессе нестационарного ВКР основано на системе одномерных уравнений Максвелла–Блоха [10, 11]:
E j
z

1 E j 2n j

 j t
 j 2j
i
 2 ( j ) W  1 E j  12 ( j ) E j 1Q exp i j z 




  21 ( j ) E j 1Q* exp i j 1 z  ;

(1)
2
Q 1 
  i( j ) E j Q   21 ( j ) E j 1E *j W exp i j 1 z
t   j



W
4 
  Re  12 ( j ) E j 1E *j Q exp i j z
t
  j





 ,


 Q
 ;
 T2

(2)
(3)
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где E j – амплитуды волн; Q – недиагональный элемент матрицы плотности;
W – разность населенностей основного и рамановского уровней; n – концентрация рассеивающих центров; T2 – время поперечной релаксации в рамановском переходе частоты R ;  j z  (k j 1, z  k j , z  k0, z  k1, z ) z 
 (k j 1  k j  k 0  k 1 ) r – разность фаз между соответствующими ВКРкомпонентами на частотах  j  0  jR , k j   j /  j ,  j  c /  j , величина
( j )  11 ( j )   22 ( j ) , где  mn ( j ) – поляризуемость молекулы при
переходе из состояния | m  в состояние | n  ;  j – линейная часть показателя преломления на частоте  j . В нашем случае j  0 (волна накачки), j  1
(волна Стокса) и j  1 (волна анти-Стокса), остальные компоненты не учитываются. Релаксацией населенностей уровней пренебрегаем. Эффекты группового запаздывания во внимание не принимаются, т.е. фазовые скорости лазерной, стоксовой и антистоксовой волн при их распространении в среде полагаются одинаковыми. Огибающая импульсов имеет гауссову форму.
В качестве объекта моделирования используется газообразный водород
с длиной кюветы L  10 см, находящийся при температуре T  270 К и давлении p  2,8 атм [4]. Рассматривается колебательно-вращательный переход
Q01 (1) с частотой  R  1, 274  1014 Гц . Облучение производится двумя лазе-
рами с частотами 0  2,76  1015 с1 и 1  1,93  1015 с1 . Антистоксово из-
лучение на частоте 1  3,50  1015 с1 порождается в результате параметрического взаимодействия этих волн. Пиковая плотность плотности потока энергии основной волны весьма высока и равна 1 Гвт/см2. Пиковая интенсивность
пробного стоксова сигнала варьируется в диапозоне от 105 Гвт/см2 до
102 Гвт/см2. Длительности исследуемых импульсов составляют несколько
пикосекунд, что сравнимо с временем поперечной релаксации в рассматриваемом переходе. В расчетах полагалось:  0  0 и 1  0, 253 см 1 . Полная
концентрация молекул в условиях эксперимента составила 6,83  1019 см3 .
Однако лишь 66,7 % молекул находится в основном состоянии с v  0 и
J  1 . Таким образом, концентрация, входящая в уравнения (1)–(3), равна
n  4,56  1019 см3 . Дифференциальное сечение стоксова рассеяния полага-
лось равным 1  4,56  1019 см3 [4]. Поэтому соответствующая стоксова по-
2
25
см 3 . Антистоксова поляриляризуемость | 12 (1 ) | k211/
1 = 1,18  10
зуемость выбиралась из условия пренебрежимо малой частотной дисперсии
члена  j | 12 ( j ) |2 , т.е. полагалось 1 | 12 (1 ) |2  1 | 12 (1 ) |2 .
2 Результаты решения и их обсуждение
Уравнения (1)–(3) решаются численно. Пусть импульсы накачки Стокса
синхронизированы на входе в среду, их длительности t0 и t1 одинаковы и
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
превосходят время поперечной релаксации T2 в несколько раз. При интенсивности пробного стоксова импульса I 1,вход ~ 105 Гвт/см2 и меньше прохождение импульсов через среду не сопровождается ослаблением основной
волны. В этом случае усиление стоксова и антистоксова импульсов описывается аналитическим решением, аналогичным [1, 2]. Однако оно имеет явный
вид только для импульсов прямоугольной формы и потому здесь не применимо. Расчеты показывают, что при I 1,вход ~ 105 Гвт/см2 происходит значительное усиление (на три порядка) входного стоксова импульса. Интенсивность генерируемого вследствие параметрического процесса антистоксова
импульса имеет тот же порядок величины. При этом групповая и фазовая
скорости импульса накачки совпадают. Все три импульса оказываются синхронизированными на выходе из образца. При этом стоксов и антистоксов
импульсы обнаруживают сильное сжатие по сравнению с импульсом накачки. С ростом интенсивности затравочного излучения наблюдается ослабление
основной волны (рис. 1). При I 1,вход ~ 104 Гвт/см2 степень ее истощения составляет ~10 % . В этих условиях возникает запаздывание импульсов, распространяющихся в ВКР-среде. Более того, обнаруживается запаздывание максимумов стоксова и антистоксова импульсов относительно максимума импульса
накачки. Населенности уровней по-прежнему остаются постоянными. Величина
усиления сохраняется примерно на том же уровне. Если продолжить увеличение
интенсивности входного стоксова импульса, то можно обнаружить убыль числа
молекул в основном состоянии. При I 1,вход ~ 103 Гвт/см2 она составила около
3 %. Это сопровождается еще большим истощением импульса накачки и отставанием стоксова и антистоксова импульсов от него. Стоксова волна по интенсивности начинает превосходить основную волну. Сжатие стоксова и антистоксова импульсов сменяется их расширением. Дальнейшее увеличение мощности затравочного стоксова излучения приводит к еще большему истощению
накачки и населенности основного состояния, уширению импульсов на частотах
рассеянного света. Для I 1,вход ~ 102 Гвт/см2 не только стоксов, но и антистоксов импульс превосходят импульс накачки по интенсивности. Еще большее
увеличение интенсивности стоксова импульса на входе в образец приводит к
практически полной перекачке энергии из импульса накачки в него и антистоксов импульс по мере прохождения ими ВКР-среды.
Если ширины, а значит, начальные энергии затравочного и накачивающего импульсов, падают, указанные выше эффекты: усиление и запаздывание
стоксова и антистоксова импульсов, истощение основной волны и населенности основного состояния, становятся менее выраженными (рис. 2). Поскольку
в этом случае отношения t0 / T2 и t1 / T2 уменьшаются, то растет степень когерентности взаимодействия излучения с ВКР-средой. Однако при рассматриваемых здесь условиях t0 , t1  T2 эффекты, зависящие от баланса энергии,
все еще превалируют над явлениями, связанными с соотношениями фаз волн
и рассеивающих центров.
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
а)
б)
в)
Рис. 1 Кинетика интенсивностей волн ВКР: основной (2), стоксовой (3)
и антистоксовой (4) и динамика средних по образцу населенностей уровней
рассеивающих молекул при интенсивности пробного стоксова сигнала на входе
104 Гвт/см2 (а), 103 Гвт/см2 (б), 102 Гвт/см2 (в). Цифра 1 соответствует импульсу
накачки на выходе из ВКР-среды в отсутствии взаимодействия с ней.
Длительности входных импульсов 10 нс
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
а)
б)
в)
нс
нс
Рис. 2 Кинетика интенсивностей волн ВКР: основной (2), стоксовой (3)
и антистоксовой (4) и динамика средних по образцу населенностей уровней
рассеивающих молекул при интенсивности пробного стоксова сигнала на входе
104 Гвт/см2 (а), 103 Гвт/см2 (б), 102 Гвт/см2 (в). Цифра 1 соответствует импульсу
накачки на выходе из ВКР-среды в отсутствии взаимодействия с ней.
Длительности входных импульсов 2 нс
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Заключение
Характер нестационарного ВКР-усиления зависит от отношения интенсивностей импульсов накачки и Стокса на входе в образец. Когда оно разнится на четыре порядка и более, распределение молекул по уровням и форма
импульса накачки в процессе ВКР остаются неизменными. В этом случае
взаимодействие основной, стоксовой и антистоксовой волн носит линейный
характер. Рост интенсивностей волн на смещенных частотах значителен и составляет примерно три порядка. Обнаруживается замедление стоксова и антистоксова импульсов по отношению к импульсу накачки. Если стоксов сигнал на входе более интенсивен, то как накачка, так и населенность основного
уровня обнаруживают истощение, которое тем более заметней, чем выше
энергия затравочного импульса. Усиление ВКР-компонент в этом случае существенно, но гораздо меньше и ограничено запасом энергии в основном импульсе.
Список литературы
1. А х м а н о в , С . А . О вынужденном комбинационном рассеянии в поле сверхкоротких световых импульсов / С. А. Ахманов, К. Н. Драбович, А. П. Сухоруков,
А. С. Чиркин // Журнал экспериментальной и теоретической физики. – 1970. –
Т. 59. – С. 485–499.
2. А х м а н о в , С . А . Комбинированные эффекты молекулярной релаксации и дисперсии среды при вынужденном комбинационном рассеянии сверхкоротких световых импульсов / С. А. Ахманов, К. Н. Драбович, А. П. Сухоруков, А. К. Щеднова // Журнал экспериментальной и теоретической физики. – 1972. – Т. 62. –
С. 525–540.
3. Ш а м р о в , Н . И . Переходное вынужденное комбинационное рассеяние при полном фазовом согласовании / Н. И. Шамров // Математическое моделирование. –
2002. – Т. 14. – С. 36–42.
4. Ш а м р о в , Н . И . Решение задачи о нестационарном вынужденном комбинационном рассеянии при пространственном рассогласовании волн / Н. И. Шамров //
Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2003. – Т. 43. –
С. 1360–1366.
5. П и в ц о в, В. С . Наблюдение кооперативного эффекта в комбинационном рассеянии / В. С. Пивцов, С. Г. Раутиан, В. П. Сафонов, К. Г. Фолин, Б. М. Черноброд // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. – 1979. –
Т. 30. – С. 342–345.
6. Р а у ти а н , С . Г . Кооперативный эффект в комбинационном рассеянии света /
С. Г. Раутиан, Б. М. Черноброд // Журнал экспериментальной и теоретической
физики. – 1977. – Т. 72. – С. 1342–1348.
7. Е м е л ь ян о в , В. И . Сверхизлучение при комбинационном рассеянии света /
В. И. Емельянов, В. Н. Семиногов // Журнал экспериментальной и теоретической
физики. – 1979. – Т. 76. – С. 34–45.
8. C h e r n o b r o d , B . M . Cooperative combination scaterring and effects of propagation /
B. M. Chernobrod // Optics Communications. – 1979. – V. 30. – P. 29–32.
9. Ш а м р о в , Н . И . Нерезонансное кооперативное комбинационное рассеяние в
протяженной системе / Н. И. Шамров // Оптика и спектроскопия. – 1984. – Т. 57. –
С. 43–49.
10. Ш а м р о в , Н . И . Эффекты фазовой релаксации в нерезонансном кооперативном
комбинационном рассеянии / Н. И. Шамров // Оптика и спектроскопия. – 1984. –
Т. 57. – С. 627–623.
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Физика
11. C a r m a n , R . L . Theory of Stokes pulse shapes in transient stimulated Raman scattering / R. L. Carman, F. Shimizu, C. S. Wang, N. Bloembergen // Physical Review. –
1970. – V. 2. – P. 60–72.
12. D u n c a n , M . D . Transient stimulated Raman scattering in hydrogen / M. D. Duncan,
R. Mahon, L. L. Tankersley, J. Reintjes // Journal of the Optical Society of America. –
1988. – V. B5. – P. 37–52.
13. H i l f e r , G . Stimulated Raman scattering in the transient limit / G. Hilfer, C. R. Menyak // JOSA. – 1990. – V. B7. – P. 739–749.
14. Х е р р м а н, И . Антистоксово излучение при вынужденном комбинационном рассеянии ультракоротких импульсов / И. Херрман // Квантовая электроника. – 1975. –
№ 2. – С. 364–369.
15. R i t c h i e , B . Theory of transient stimulated Raman scattering in H2 / B. Ritchie //
Physical Review. – 1987. – V. A35. – P. 5108–5113.
16. H i c k m a n , H . P . Theory of Stokes and anti-Stokes generation by Raman frequency
conversion in the transient limit / H. P. Hickman, W. K. Bishell // Physical Review. –
1988. – V. A37. – P. 2516–2563.
17. П л а то н е н к о , В. Т. О взаимодействии волн при вынужденном комбинационном рассеянии / В. Т. Платоненко, Р. В. Хохлов // Журнал экспериментальной и
теоретической физики. – 1964. – Т. 46. – С. 2126–2131.
18. А п а н а с е в и ч , П . А . Теория РВКР с учетом движения населенностей / П. А. Апанасевич, Д. Н. Ордабаев // Журнал прикладной спектроскопии. – 1966. – Т. 4. –
С. 134–141.
19. H a u s , H . A . Generation of Stokes and anti-Stokes radiation in Raman media /
H. A. Haus, P. L. Kelley, H. J. Zeiger // Physical Review. – 1965. – V. 138. – P. A960–
A971.
20. G a s e , R . Behandlung nichtstationarer Vorgange beim stimulirten Raman-Effekt /
R. Gase, H. Schubert, H. Walther, B. Wilhelmi // Annalen der Physik, Leipzig. –
1969. – B. 23. – S. 144–151.
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
АННОТАЦИИ
Математика
УДК 514.7
Долгарев, И. А.
Поверхности 4-мерного пространства-времени Галилея. Полная
кривизна поверхности / И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 3. –
С. 3–19.
Получены первые результаты по теории поверхностей 4-мерного пространствавремени Галилея. Рассматриваются поверхности, имеющие Галилеевы касательные
плоскости. Введены первая и вторая квадратичные формы поверхности, нормальная
кривизна поверхности. Проведена классификация обыкновенных точек поверхности.
Вычислены полная и средняя кривизна поверхности.
УДК 514.7
Долгарев, А. И.
Растран с 2-мерным временем / А. И. Долгарев, Е. В. Зелева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 3. – С. 20–29.
Операциями над тройками действительных чисел с двумя ведущими компонентами вводится 3-мерный растран, называемый W-растраном. Получено
представление W-растрана матрицами и аффинными преобразованиями. Найден
генетический код W-растрана. Определена галилеева норма на W-растране с
2-мерным временем. Найдена формула дифференцирования растранных функций.
В пространстве с W-растраном получены уравнения прямых и двух видов параллельных прямых.
УДК 519.718
Алехина, М. А.
О функциях и схемах, применяемых для повышения надежности
схем / М. А. Алехина, С. И. Аксенов, А. В. Васин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. –
№ 3. – С. 30–38.
Найден широкий класс булевых функций, способных повышать надежность
схем. Доказано, что при инверсных неисправностях на выходах элементов наличие
функции из предлагаемого класса в заданном базисе гарантирует реализацию произвольной булевой функции асимптотически оптимальной по надежности схемой.
154
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Аннотации
УДК 517.96+537.874.6
Смирнов, Ю. Г.
Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2008. – № 3. – С. 39–54.
Работа посвящена исследованию задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости образцов наноматериалов произвольной геометрической формы, помещенных в прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками. Задача сводится к решению нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения. Изучение интегрального уравнения опирается на результаты исследования соответствующей краевой задачи и теорему эквивалентности краевой задачи и интегрального уравнения. Доказана теорема о существовании и единственности решений
в L2 интегрального уравнения, сходимость численного метода Галеркина, получены
результаты о гладкости решений. Предложен параллельный вычислительный алгоритм и процедура использования ГРИД-технологий для решения задачи.
УДК 517.96
Миронов, Д. А.
Применение суперкомпьютерных вычислительных комплексов
для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи
дифракции на диэлектрическом теле / Д. А. Миронов // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2008. – № 3. – С. 55–62.
Рассматривается задача дифракции стороннего электромагнитного поля на локально неоднородном теле, помещенном в свободном пространстве. Поставленная
задача сводится к объемному сингулярному интегральному уравнению. Решение задачи производится численным методом Галеркина. В связи с большой емкостью программа решения задачи выполняется на суперкомпьютерном вычислительном комплексе. Предложен алгоритм распределения вычислений для запуска на нескольких
процессорах. Исследованы особенности выполнения задачи на суперкомпьютерном
комплексе.
УДК 681.51, 681.52
Геращенко, С. М.
Оценка параметров линейных динамических моделей биологических тканей / С. М. Геращенко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 3. – С. 63–70.
Представлены линейные динамические модели биологических тканей. Приведены результаты оценок параметров моделей и соответствующих дисперсий для различных биологических тканей в состоянии «норма» и «патология». Разработанные
модели могут быть использованы на практике в различных областях науки и техники, в том числе и в медицине.
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Физика
УДК 51.71; 519.254; 520.88; 004.932.2
Журавлев, А. В.
Оценивание пространственно-временных спектров волновых процессов на основе последовательности изображений с помощью многомерного метода максимальной энтропии / А. В. Журавлев, В. М. Журавлев,
Г. А. Егоров // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2008. – № 3. – С. 71–81.
Рассматривается применение метода многомерной авторегрессии для
оценивания спектров по сериям изображений. Метод обосновывается с помощью
принципа максимальной энтропии. Строится многомерное обобщение реккуретного
алгоритма Левинсона для оценивания коэффициентов многомерной авторегрессии.
УДК 538.958
Карпунин, В. В.
Спин-гибридно-фононные резонансы в квантовом канале /
В. В. Карпунин, В. А. Маргулис // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 3. – С. 82–90.
Исследован коэффициент поглощения электромагнитного излучения электронами проводимости параболического квантового канала, находящегося в магнитном
поле. Рассмотрены резонансные переходы между дискретными уровнями, происходящие при перевороте спина электрона из-за взаимодействия с решеткой. Исследована форма и положение резонансной кривой.
УДК 539.23; 539.216.1
Кревчик, В. Д.
Энергетический спектр D2 -центра в полупроводниковой квантовой точке при наличии внешних электрического и магнитного полей /
В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, В. А. Прошкин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 3. –
С. 91–104.
Методом потенциала нулевого радиуса в приближении эффективной массы
исследована эволюция термов примесного молекулярного иона D2 в квантовой точке с параболическим потенциалом конфайнмента с изменением внешних электрического и магнитного полей. Показано, что внешнее магнитное поле стабилизирует
D2 -состояние, а внешнее электрическое поле инициирует вырождение термов
D2 -центра в квантовой точке.
156
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Аннотации
УДК 539.23; 539.216.1
Кревчик, В. Д.
Фотовозбуждение примесных молекулярных ионов D2 в структурах с квантовыми точками при наличии внешних электрического и магнитного полей / В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, В. А. Прошкин // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 3. – С. 105–121.
Теоретически исследован процесс фотовозбуждения примесных молекулярных ионов D2 в квазинульмерной структуре с учетом дисперсии радиуса квантовых
точек в условиях внешних электрического и магнитного полей. Выявлен дихроизм
примесного электрооптического поглощения, связанный с электронной поляризацией D2 -центра. Показано, что в магнитном поле имеет место «синий» сдвиг края полосы фотовозбуждения, обусловленный динамикой термов.
УДК 621.315.592
Кревчик, В. Д.
Особенности спектров двухфотонного примесного поглощения в
структурах с дискообразными квантовыми точками / В. Д. Кревчик,
С. В. Яшин, Е. И. Кудряшов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 3. – С. 122–146.
Методом потенциала нулевого радиуса исследованы особенности спектров
двухфотонного поглощения при фотоионизации D  -центров в квазинульмерной
структуре с дискообразными квантовыми точками. Рассмотрен случай квазистационарных D  -состояний в квантовом диске. Показано, что дихроизм двухфотонного
примесного поглощения связан с изменением правил отбора для магнитного квантового числа в радиальном направлении, а учет дисперсии характерных размеров квантового диска приводит к размытию линий в спектральной зависимости коэффициента двухфотонного поглощения.
УДК 535.375.5
Шамров, Н. И.
Моделирование нестационарного ВКР-усиления в газах /
Н. И. Шамров, Д. В. Логинов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 3. – С. 147–153.
Рассматривается взаимодействие импульсов накачки, Стокса и анти-Стокса
большой интенсивности в газообразном водороде. Численно решены соответствующие одномерные уравнения Максвелла–Блоха. Исследуется зависимость характера и
эффективности взаимного преобразования волн от параметров задачи.
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Аксенов Сергей Иванович – аспирант Пензенского государственного университета.
Алехина Марина Анатольевна – доктор физико-математических наук, профессор, заведующая кафедрой дискретной математики Пензенского государственного университета.
Васин Алексей Валерьевич – аспирант Пензенского государственного университета.
Геращенко Сергей Михайлович – кандидат технических наук, доцент кафедры медицинских приборов и оборудования Пензенского государственного
университета.
Долгарев Артур Иванович – кандидат физико-математических наук, доцент
кафедры математики и математического моделирования Пензенского государственного университета.
Долгарев Иван Артурович – кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры математики и математического моделирования Пензенского
государственного университета.
Егоров Геннадий Алексеевич – магистрант Ульяновского государственного
университета.
Журавлев Андрей Викторович – аспирант Ульяновского государственного
университета.
Журавлев Виктор Михайлович – доктор физико-математических наук, профессор, декан физико-технического факультета Ульяновского государственного университета.
Зелева Елена Владимировна – студентка Пензенского государственного
университета.
Карпунин Виталий Владимирович – аспирант Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева (г. Саранск).
Кревчик Владимир Дмитриевич – доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой физики Пензенского государственного
университета.
Кудряшов Егор Игоревич – аспирант Пензенского государственного университета.
Логинов Дмитрий Викторович – старший преподаватель кафедры технологий программирования Мордовского государственного университета
им. Н. П. Огарева (г. Саранск).
Маргулис Виктор Александрович – доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой теоретической физики Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева (г. Саранск).
158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3, 2008
Физико-математические науки. Сведения об авторах
Миронов Денис Алексеевич – начальник бюро программирования ЗАО
«СОЛИД» (г. Пенза).
Прошкин Валерий Александрович – кандидат физико-математических наук,
старший преподаватель кафедры общей физики Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского.
Разумов Алексей Викторович – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей физики Пензенского государственного педагогического
университета им. В. Г. Белинского.
Смирнов Юрий Геннадьевич – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и математического моделирования
Пензенского государственного университета.
Шамров Николай Иванович – доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей физики Мордовского государственного университета
им. Н. П. Огарева (г. Саранск).
Яшин Сергей Васильевич – доцент кафедры физики Пензенского государственного университета.
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Уважаемые читатели!
Для гарантированного и своевременного получения журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки»
рекомендуем вам оформить подписку.
Журнал выходит 4 раза в год по тематике:
• математика
• физика
• механика
Стоимость одного номера журнала – 250 руб. 00 коп.
Для оформления подписки через редакцию необходимо заполнить и отправить
заявку в редакцию журнала: факс (841-2) 56-34-96, тел.: 36-82-06, 56-47-33;
Е-mail: VolgaVuz@mail.ru
Подписку на первое полугодие 2009 г. можно также оформить по каталогу
агентства «РОСПЕЧАТЬ» «Газеты. Журналы» тематический раздел «Известия высших учебных заведений». Подписной индекс – 36949.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
ЗАЯВКА
Прошу оформить подписку на журнал «Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки» на 2009 г.
№ 1 – ______ шт., № 2 – ______ шт., № 3 – ______ шт., № 4 – ______ шт.
Наименование организации (полное) __________________________________
__________________________________________________________________
ИНН ___________________________ КПП _____________________________
Почтовый индекс __________________________________________________
Республика, край, область____________________________________________
Город (населенный пункт) ___________________________________________
Улица ____________________________________ Дом ____________________
Корпус __________________________ Офис ____________________________
ФИО ответственного ________________________________________________
Должность ________________________________________________________
Тел. ________________ Факс ______________ Е-mail_____________________
Руководитель предприятия ____________________ ______________________
(подпись)
Дата «____» _________________ 2009 г.
160
(ФИО)
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа