close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

114.Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №3 2012

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
№ 3 (23)
2012
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Смирнов Ю. Г., Куприянова С. Н., Валовик Д. В. О распространении
электромагнитных волн в цилиндрических неоднородных
диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой ........................ 3
Бойков И. В., Бойкова А. И. Применение метода гомотопии
к решению обратных задач теории потенциала .................................................. 17
Валовик Д. В., Смолькин Е. Ю. Численное решение задачи
о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглом
диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой........................ 29
Полянский Д. Ю. Триангуляция плоских областей решением
методом конечных элементов в форме Галеркина задачи Дирихле ................. 38
Геращенко С. И., Геращенко С. М., Кучумов Е. В., Голотенков Н. О.,
Маркулева М. В., Кравцова С. П., Шпенглер Н. В. Анализ и проверка
адекватности выводов замкнутой системы интегродифференциальных
уравнений, описывающих работу электрохимической ячейки ......................... 47
Зарембо Е. В. Численный метод решения нелинейной краевой задачи
на собственные значения для электромагнитных ТM-волн,
распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью ........................... 59
Ануфриева А. В., Игудесман К. Б., Тумаков Д. Н. Дифракция
упругой волны на слое с фрактальным распределением плотности ................. 73
Медведик М. Ю. Применение функций крышек для решения задачи
дифракции электромагнитных волн на экранах сложной формы ..................... 84
Бойков И. В., Захарова Ю. Ф. Приближенные методы решения сингулярных
и гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений.............................99
ФИЗИКА
Масловская А. Г. Исследование распределения поляризации
в сегнетоэлектрических кристаллах на основе решения
обратной задачи пироэффекта ............................................................................ 114
Трегулов В. В. Способ определения плотности поверхностных
состояний в гетероструктурах CdS/Si(p) на основе
анализа вольт-фарадных характеристик ............................................................ 124
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Зюзин А. М., Салкин Д. А. Изменение состояния ионов Eu2+ в люминофорах
BaMg2Al16O27:Eu2+ и (Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+ при отжиге в аргоне ...................... 133
Гадомский О. Н., Алтунин К. К., Зубков Е. Г. Радиационная
теория металлического кластера ......................................................................... 144
Гадомский О. Н., Алтунин К. К., Русин А. А., Лебедев О. В. Уменьшение
естественной ширины атомных уровней в наноструктурных системах ......... 153
Кревчик В. Д., Разумов А. В., Козенко С. Е. Эффект анизотропной
передачи импульса фотона электронной системе в нанотрубке
со спиральным дефектом в условиях внешнего магнитного поля ................... 164
Кревчик В. Д., Грунин А. Б., Рудин В. А. Фотолюминесценция квантовой
молекулы с резонансным u-состоянием D2− -центра во внешнем
электрическом поле при наличии диссипативного туннелирования .............. 172
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
МАТЕМАТИКА
УДК 517.927, 517.968, 519.6
Ю. Г. Смирнов, С. Н. Куприянова, Д. В. Валовик
О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ НЕОДНОРОДНЫХ
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ,
ЗАПОЛНЕННЫХ НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДОЙ1
Аннотация. Исследуются поверхностные электромагнитные ТЕ-волны, распространяющиеся в неоднородном диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного средой с нелинейностью, выраженной законом Керра.
Проблема сводится к нелинейному интегральному уравнению. Ядро интегрального уравнения выражается через функцию Грина линейного дифференциального оператора. Существование распространяющихся ТЕ-поляризованных волн доказывается с помощью принципа Шаудера и методом сжимающих отображений. Для численного решения задачи предложен итерационный алгоритм, доказана его сходимость. Доказано существование корней дисперсионного уравнения – постоянных распространения волновода. Получены
условия, когда могут распространяться k-волны, указаны области локализации
соответствующих постоянных распространения.
Ключевые слова: уравнения Максвелла, электромагнитные ТЕ-волны, круглый
цилиндрический волновод, неоднородная нелинейная диэлектрическая проницаемость, нелинейное интегральное уравнение, задача на собственные значения.
Abstarct. The article investigates surface electromagnetic TE waves propagating
along the axis of an inhomogeneous dielectric nonlinear cylindrical waveguide.. The
nonlinearity inside the waveguide is described by Kerr law. Physical problem is reduced to a nonlinear integral equation. The kernel of the integral equation is the Green
function for a linear differential operator. Existence of surface waves is proved with
the help of the Schauder principle and the contraction method. For numerical solution of the problem an iteration method is suggested. Convergence of the numerical
method is proved. It is also proved that the roots of the dispersion equation exist.
These roots are propagation constants. Conditions when k propagating modes exist
are found. Domains of localization of the propagation constants are given.
Key words: Maxwell’s equations, electromagnetic TE waves, circle cylindrical
waveguide, inhomogeneous nonlinear permittivity, nonlinear integral equation,
boundary eigenvalue problem.
Распространение светового луча в однородной нелинейной среде или
в волноведущей структуре с нелинейной средой, описываемой по закону
Керра, активно исследуется в течение последних двух десятилетий [1–8].
Эффекты самофокусировки и «самоканализации» луча в лазерах и оптоэлектронных устройствах также изучаются и применяются на практике [8–11].
1
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 11-01-00330) и Гранта
Президента РФ (МК-2074.2011.1).
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Распространение ТЕ-поляризованных волн в трехслойной среде без потерь,
один из слоев которой заполнен нелинейной средой, подробно исследовано
в [1]. В этих работах были получены аналитические решения соответствующих дифференциальных уравнений, выраженные с помощью эллиптических
функций, а также представлены численные результаты расчетов. Однако при
изучении других структур, например круглого диэлектрического волновода,
уже не удается получить аналитические решения, но возможно применение
численных методов. Кроме того, для анализа вопроса о существовании и единственности решений краевой задачи приходится привлекать методы функционального анализа исследования нелинейных операторов. Работа является
развитием [3, 4] на случай, когда распространяются m-волны в волноводе.
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода. Пусть все трехмерное пространство 3 заполнено изотропной средой без источников с ε = ε1 (= const). В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод однородного заполнения с образующей,
параллельной оси Oz , и поперечным сечением
{
}
W := x : ρ := x12 + x22 < R .
Пусть диэлектрическая проницаемость ε внутри цилиндра определяется по закону Керра:
2
ε = ε2 ( ρ ) + a E ,
где a – вещественная положительная константа и
min ε 2 ( ρ ) > ε1 . Здесь
ρ∈[ 0, R ]
ε 2 ( ρ ) – линейная составляющая проницаемости ε; a – коэффициент нелинейности.
Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся вдоль
образующей волновода, т.е. собственные волны структуры.
Электромагнитное поле Е, Н удовлетворяет системе уравнений Максвелла:
rot H = −iωε E,
rot Е = iωμ Н,
(1)
условиям непрерывности касательных составляющих поля H τ и Eτ при
переходе через границу волновода и условиям затухания поля на бесконечности.
Перейдем к цилиндрической системе координат ( ρ, ϕ, z ) .
В случае ТЕ-поляризации имеем
(
E = 0, Eϕ ,0
(
T
)
H = H ρ ,0, H z
4
,
T
)
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
В результате уравнения Максвелла (1) примут вид
 ∂E
− ϕ = iωμH ρ ,
 ∂z
1 ∂

( ρEϕ ) = iωμH z ,
 ρ ∂ρ
 1 ∂H
z = 0,

ρ
∂ϕ

 ∂H ρ ∂H
z = −iωεE ,

−
ϕ
z
∂
∂ρ


∂H ρ
− 1
= 0.
 ρ ∂ϕ
(2)
Из третьего и пятого уравнений (2) следует, что H z = H z ( ρ, z ) и
H ρ = H ρ ( ρ, z ) не зависят от ϕ. Из первого и второго уравнений (2) находим
1 ∂Eϕ
1 1 ∂
ρEϕ . Подстановка H ρ и H z в четвертое
, Hz =
iωμ ∂z
iωμ ρ ∂ρ
уравнение (2) дает
(
Hρ = −
)
2
 ∂ Eϕ
∂ 1 ∂
ρEϕ  +
+ ω2 εμEϕ = 0 .

∂ρ  ρ ∂ρ
 ∂z 2
(
)
Решение задачи будем искать в форме осесимметричных волн
Eϕ ( ρ, z ) = u ( ρ ) eiγz , где γ – неизвестный спектральный параметр. Таким образом, последнее уравнение может быть переписано в виде
′
1
′  + ω2εμ − γ 2 u = 0 ,
u
ρ
(
)


ρ

(
)
(3)
где производная означает дифференцирование по ρ .
Во внешней области, учитывая, что ε = ε1 , получаем уравнение Бесселя:
1
1
u ′′ + u ′ − u + k12u = 0, ρ > R ,
ρ
ρ2
(4)
где k12 = ω2 ε1μ − γ 2 .
2
Внутри волновода, где ε = ε 2 ( ρ ) + α E , получаем нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:
1
1
и ′′ + и ′ − и + k 2 ( ρ ) и + αu 3 = 0, ρ < R,
ρ
ρ2
(5)
где α = aω2μ , k 2 ( ρ ) = k22 ( ρ ) − γ 2 , k22 ( ρ ) = ω2ε2 ( ρ ) μ .
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Условия сопряжения на поверхности волновода преобразуются к виду
 Eϕ 
  ρ= R = 0 и [ H z ] ρ= R = 0 , что дает
[u ] ρ= R = 0 и [u′] ρ= R = 0 ,
где
[v ]ρ= R = v ( R − 0 ) − v ( R + 0 )
(6)
– скачок предельных значений функции
в точке R .
Сформулируем теперь краевую задачу на собственные значения, к которой свелась исходная задача о распространяющихся поверхностных волнах
цилиндрического волновода (задача Р). Требуется отыскать ненулевую
функцию u ( ρ ) и соответствующие собственные значения γ такие, что u ( ρ )
удовлетворяет уравнениям (4), (5), условиям сопряжения (6) и условиям экспоненциального убывания функции u ( ρ ) на бесконечности при ρ → ∞ .
(1) k ρ , ρ > R ,
(1 )
Запишем решение уравнения Бесселя (4) в виде u = C1H1
(1)
где C1 – константа, H1 – функция Ханкеля. Если Re k = 0 , то
u = C1K1 ( k1 ρ ) , ρ > R ,
(7)
где K1 – функция Макдональда. Условия излучения выполняются, потому
что K1 ( k1 ρ ) → 0 экспоненциально при ρ → ∞ .
2. Нелинейное интегральное уравнение
Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение (5), записанное
в виде

( ρu ′)′ +  k 2 ( ρ ) ρ −

1
3
 u + αρu = 0 ,
ρ
и линейное уравнение

( ρu ′ )′ +  k 2 ( ρ ) ρ −

1
u = 0 .
ρ
Перепишем последнее уравнение в операторной форме:
Lu = 0 , L = ρ
d2
dρ
2
+
d  2
1
+  k (ρ) ρ −  .
dρ 
ρ
Предположим, что существует функция Грина G ( ρ, ρ0 ; λ ) краевой
задачи:
LG = −δ ( ρ − ρ0 ) , G ρ=0 = G ′ ρ= R = 0
( 0 < ρ0 < R ) ,
тогда в окрестности собственного значения λi она может быть представлена
в следующем виде (см., например, [12]):
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
v ( ρ ) vi ( ρ0 )
+ G1 ( ρ, ρ0 ; λ ) ,
G ( ρ, ρ0 ; λ ) = − i
λ − λi
(8)
где λ := γ 2 ; G1 ( ρ, ρ0 ; λ ) регулярна в окрестности точки λi ; λ n , vn ( ρ ) – полная система ортонормированных (вещественных) собственных чисел и собственных функций краевой задачи

1
ρvn′′ + vn′ +  k22 ( ρ ) ρ −  vn = λ n ρvn , vn ρ=0 = vn′ ρ= R = 0 .
ρ

Функция Грина существует при таких значениях параметров, когда
λ ≠ λn .
Запишем уравнение (5) в операторном виде:
Lu + αB ( u ) = 0, B ( u ) = ρu 3 .
(9)
Используя вторую формулу Грина
R
R
0
0
 ( υLu − uLυ) d ρ =  ( υ ( ρu′) − u ( ρυ′) ) d ρ = R ( u′ ( R ) υ ( R ) − υ′ ( R ) u ( R ) )
′
′
и полагая υ = G , получаем
R
 ( GLu − uLG ) d ρ = R ( u′ ( R − 0) G ( R, ρ0 ) − G′ ( R, ρ0 ) u ( R − 0 )) =
0
= Ru ′ ( R − 0 ) G ( R, ρ0 ) .
Используя уравнение (9), получаем интегральное представление решения u ( ρ0 ) уравнения (5) на отрезке [ 0, R ] :
R

u ( ρ0 ) = α G ( ρ, ρ0 ) ρu 3 ( ρ ) d ρ + Ru ′ ( R − 0 ) G ( R, ρ0 ) , 0 ≤ ρ0 ≤ R .
(10)
0
Принимая во внимание условия сопряжения u ′ ( R − 0 ) = u ′ ( R + 0 ) , перепишем уравнение (10) в виде
R

u ( ρ0 ) = α G ( ρ, ρ0 ) ρu 3 ( ρ ) d ρ + f ( ρ0 ) , 0 ≤ ρ0 ≤ R ,
(11)
0
где f ( ρ0 ) = Rи ′ ( R + 0 ) G ( R, ρ0 ) .
Из уравнения (11) и условий сопряжения u ( R − 0 ) = u ( R + 0 ) следует
дисперсионное соотношение
R

u ( R + 0 ) = α G ( ρ, R ) ρu 3 ( ρ ) d ρ + Ru ′ ( R + 0 ) G ( R, R ) .
(12)
0
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Положим N ( ρ, ρ0 ; λ ) = αG ( ρ, ρ0 ; λ ) ρ и рассмотрим интегральное уравнение
R

u ( ρ0 ) = N ( ρ, ρ0 ) u 3 ( ρ ) d ρ + f ( ρ0 )
(13)
0
в пространстве C [ 0, R ] .
Предполагается, что f ∈ C [ 0, R ] и λ ≠ λ n . Нетрудно видеть, что ядро
N ( ρ, ρ0 ) является непрерывной функцией в квадрате 0 ≤ ρ, ρ0 ≤ R .
Рассмотрим в C [ 0, R ] линейный интегральный оператор
R

Nw = N ( ρ, ρ0 ) w ( ρ ) d ρ .
(14)
0
Он ограничен, вполне непрерывен и
R
N = max  N ( ρ, ρ0 ) d ρ .
(15)
ρ0∈[ 0, R ] 0
Поскольку нелинейный оператор B0 ( u ) = u 3 ( ρ ) ограничен и непреры-
вен в C [ 0, R ] , то нелинейный оператор
R

F ( u ) = N ( ρ, ρ0 ) u 3 ( ρ ) d ρ + f ( ρ0 )
(16)
0
является вполне непрерывным на каждом ограниченном множестве в
C [ 0, R ] .
В последующих рассуждениях нам понадобится следующее вспомогательное числовое кубическое уравнение:
N r3 + f = r ,
где
f =
норма
max
ρ0 ∈ [ 0, R ]
оператора
N >0
определяется
(17)
формулой
(16),
а
f ( ρ0 ) .
Рассмотрим уравнение
r − N r3 = f
(18)
и функцию y ( r ) := r − N r 3 .
Функция y ( r ) имеет только одну положительную точку максимума
rmax =
8
1
3 N
, значение в которой равно ymax = y ( rmax ) =
2
3 3 N
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Тогда при условии 0 ≤ f <
2
1
3 3 N
уравнение (18) имеет два неот-
рицательных корня r∗ и r*, r∗ < r*, удовлетворяющих неравенствам
1
1
1
≤ r* ≤
0 ≤ r* ≤
;
.
3 N
N
3 N
Эти корни нетрудно выписать как решения кубического уравнения:
r3 −
1
N
r+
f
=0.
N
Имеем
r* = −2
1
3 3
1
cos  arccos 
f
3
3 N
2


 2π 
N  −
,

 3 
r * = −2
1
3 3
1
cos  arccos 
f
3
3 N
 2

 2π 
N  +
.

 3 
Если f = 0, то r∗ = 0 и r ∗ =
r* <
При f =
2
1
3 3 N
1
N
; если 0 < f <
1
3 N
имеем r* = r * =
.
(19)
2
1
, то
3 3 N
(20)
2
1
.
3 3 N
Итак, доказано следующее утверждение.
Лемма 1. Если выполняется неравенство
0≤ f <
2
1
,
3 3 N
(21)
то уравнение (17) имеет два неотрицательных решения r* и r * , r* < r* .
Используя принцип Шаудера [13–15], можно доказать, что для каждого
 2 1
, существует решение u ( ρ ) уравнения
f ∈ Sρ ( 0 ) ⊂ C [ 0, R ] , где ρ =
3 3 N
(13) внутри шара S * = S r * ( 0 ) .
2 1
, то уравнение (13) имеет по крайней меЛемма 2. Если f ≤
3 3 N
ре одно решение и u ≤ r ∗ .
Доказательство. Так как F ( u ) абсолютно непрерывен, необходимо
только проверить, что F переводит шар в себя. Предположим, что и ∈ S*. Используя (14)–(16), получаем
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
( )
3
F ( u ) ≤ N ⋅ u + f ≤ N r∗
3
+ f = r∗ .
Это означает, что FS*⊂ S*. Лемма доказана. #
Теперь докажем, что если выполняется условие (18), то (13) имеет
единственное решение и в шаре S* = S r * .
Теорема
1.
α ≤ A2 ,
Если
A=
где
2
3 f
1
3 N0
и
R

N0 = max ρG ( ρ, ρ0 ) d ρ , то уравнение (14) имеет единственное решение u ,
0
которое является непрерывной функцией: u ∈ C [ 0, R ] , u ≤ r∗ .
Доказательство. Если и ∈ S∗, то
( )
3
F (u ) ≤ N ⋅ u + f ≤ N r∗
3
+ f = r∗ .
Если и1, и2 ∈ S∗, то
F ( u1 ) − F ( u2 ) =
R
 N ( ρ, ρ0 )
0
(u13 (ρ)) − u23 (ρ) d ρ ≤ 3Nr∗2 u1 − u2 .
Так как α ≤ A2 , то f ( ρ0 ) удовлетворяет условию (21). Поэтому выполняется неравенство (20), откуда 3 N r*2 < 1 .
Следовательно, F отображает S∗ в себя и является сжимающим оператором на S∗. Поэтому уравнение (13) имеет единственное решение в S∗. Теорема доказана. #
Отметим, что А > 0 и не зависит от α.
В дальнейшем нам понадобится утверждение о зависимости решений
интегрального уравнения (13) от параметра.
Теорема 2. Пусть ядро N и правая часть f интегрального уравнения
(13) непрерывно зависят от параметра
λ ∈ Λ0 ,
N ( λ, ρ, ρ0 ) ⊂
⊂ C ( Λ 0 × [ 0, R ] × [ 0, R ]) , f ( λ, ρ0 ) ⊂ C ( Λ 0 × [ 0, R ]) , на некотором отрезке Λ 0
вещественной числовой оси. Пусть также
0 < f (λ) <
2
1
3 3 N (λ)
.
(22)
Тогда решения u ( λ, ρ ) уравнения (13) при λ ∈ Λ 0 существуют, един-
ственны и непрерывно зависят от параметра λ, u ( λ, ρ ) ⊂ C ( Λ 0 × [ 0, R ]) .
Доказательство. Рассмотрим уравнение
R

u ( ρ0 , λ ) = N ( λ, ρ, ρ0 ) u 3 ( ρ, λ ) d ρ + f ( ρ0 , λ ) .
0
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Существование и единственность решений u ( λ ) при условиях теоремы 2
следует из теоремы 1. #
Докажем непрерывную зависимость этих решений от параметра λ.
Нетрудно видеть из формулы (19), что r* ( λ ) непрерывно зависит от λ
на отрезке Λ 0 . Пусть r0 = max r* ( λ ) и максимум достигается в точке λ 0 ,
λ∈Λ0
r* ( λ ) = r0 .
(
Далее, пусть Q = max 3r*2 ( λ ) N (λ)
λ∈Λ 0
) и максимум достигается в точке



λ ∈ Λ 0 , Q = 3r*2 λ N λ . Тогда Q < 1 в силу условия (22) теоремы.
( ) ( )
u ( λ ) ≥ u ( λ + Δλ ) . Тогда имеют место
Предположим сначала, что
следующие оценки:
u ( ρ0 , λ + Δλ ) − u ( ρ0 , λ ) =
R
3
 N ( λ + Δλ, ρ, ρ0 ) u ( ρ, λ + Δλ ) d ρ −
0
R
− N ( λ, ρ, ρ0 ) u 3 ( ρ, λ ) d ρ + ( f ( ρ0 , λ + Δλ ) − f ( ρ0 , λ ) ) ≤

0
R
≤
 N ( λ + Δλ, ρ, ρ0 ) − N ( λ, ρ, ρ0 ) ⋅ u ( λ0 , λ, Δλ )
3
dρ +
0
R

+ N ( λ, ρ, ρ0 ) ⋅ u 3 ( ρ, λ + Δλ ) − u 3 ( ρ, λ ) d ρ + f ( ρ0 , λ + Δλ ) − f ( ρ0 , λ ) ≤
0
≤ u ( λ + Δλ )
3
R
 N ( λ + Δλ, ρ, ρ0 ) − N ( λ, ρ, ρ0 ) d ρ +
0
+ u ( λ + Δλ ) − u ( λ )
( u (λ + Δλ )
2
+ u ( λ + Δλ ) ⋅ u ( λ ) + u ( λ )
2
)×
R

× N ( λ, ρ, ρ0 ) d ρ + f ( λ + Δλ ) − f ( λ ) ≤ r03 N ( λ + Δλ ) − N ( λ ) +
0
+ u ( λ + Δλ ) − u ( λ ) 3r*2 ( λ ) N ( λ ) + f ( λ + Δλ ) − f ( λ ) .
Отсюда получаем, что
u ( λ + Δλ ) − u ( λ ) ≤
r03 N ( λ + Δλ ) − N ( λ ) + f ( λ + Δλ ) − f ( λ )
1 − 3r*2 ( λ ) N ( λ )
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
и
u ( λ + Δλ ) − u ( λ ) ≤
r03 N ( λ + Δλ ) − N ( λ ) + f ( λ + Δλ ) − f ( λ )
1− Q
,
(23)
где Q и r0 не зависят от λ.
Пусть теперь u ( λ ) < u ( λ + Δλ ) . Тогда все предыдущие оценки остаются в силе, если заменить аргументы λ на λ + Δλ, а λ + Δλ на λ. Таким образом, оценка (23) также остается в силе, откуда следует утверждение теоремы.
Теорема доказана. #
3. Итерационный метод
Приближенные решения un интегрального уравнения (13), представимого в виде u = F ( u ) , могут быть определены итерационным процессом
un +1 = F ( un ) , n = 0,1,2, :
R

u0 = 0, un+1 = α G ( ρ, ρ0 ) ρun3dp + f , n = 0, 1,...
(24)
0
Последовательность un равномерно сходится к решению u уравнения
(13) вследствие того, что F ( u ) – сжимающий оператор. Известна также
оценка для скорости сходимости итерационного алгоритма (24). Сформулируем эти результаты в виде следующего утверждения.
Утверждение 1. Последовательность приближенных решений un
уравнения (13), определяемых посредством итерационного алгоритма (24),
существует и сходится в норме пространства C [ 0, R ] к (единственному) точному решению u этого уравнения, и верна оценка скорости сходимости:
qn
f ( u0 ) , n → ∞ , где q := 3 Nr*2 < 1 – коэффициент сжатия отоб1− q
ражения F.
un − u ≤
4. Существование решений дисперсионного уравнения
Вводя безразмерные переменные и постоянные
ρ = k0ρ, z = k0 z , R = k0 R, ε = ε / ε0 , μ = μ / μ0 = 1,
(
)
k2 = ε 2 − γ 2 , k1 = γ 2 − ε 2 ε 2 > ε1 , γ = γ / k0 , α = αC12 / ε0 ,
 2 ε0μ 0 ,
u = u / C1 , k0 = ω
опуская тильду и принимая во внимание (7), дисперсионное соотношение
(12) можно представить в нормализованной форме:
R
K1 ( k1 R ) − k1 RK1′ ( k1 R ) G ( R, R; λ ) = α G ( ρ, R; λ ) ρu 3 ( ρ ) d ρ .

0
12
(25)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Из свойств цилиндрических функций следует, что
− k1 RK1′ ( k1 R ) = k1 RK0 ( k1 R ) + K1 ( k1 R ) .
Тогда мы можем переписать дисперсионное уравнение (25) в другой
форме:
g ( λ ) = αF ( λ ) ,
где
(
)
g ( λ ) = K1 ( k1 R ) + k1 RK 0 ( k1 R ) + K1 ( k1 R ) G ( R, R; λ ) ,
R

F ( λ ) = G ( ρ, R; λ ) ρu 3 ( ρ ) d ρ .
0
Нули функции Φ ( λ ) ≡ g ( λ ) − αF ( λ ) – это значения λ , для которых
существует нетривиальное решение задачи Р, сформулированной ранее.
Рассмотрим вопрос о существовании решений дисперсионного уравнения для линейной задачи: g ( λ ) = 0 .
Это уравнение можно переписать в виде
G ( R, R; λ ) = −
K1 ( k1 R )
k1 RK 0 ( k1 R ) + K1 ( k1 R )
Из выражения G ( R, R; λ ) = −
.
vi2 ( R )
+ G1 ( R, R; λ ) ясно, что G ( R, R; λ )
λ − λi
непрерывно изменяется от −∞ до +∞ при изменении λ от λ i −1 до λi . ПоK1 ( k1 R )
скольку величина
остается ограниченной, то это
k1 RK 0 ( k1 R ) + K1 ( k1 R )
означает, что между двумя последовательными собственными числами λi и
λ i +1 существует по крайней мере одно решение уравнения g ( λ ) = 0 .
Еще необходимо показать, что в выражении G ( R, R; λ ) член vi ( R ) не
обращается в нуль. Это легко сделать методом от противного. Предположим,
что vi ( R ) = 0 . Тогда рассмотрим задачу Коши для уравнения

1
ρvi′′ + vi′ +  k22 ( ρ ) ρ −  vi = λ i ρvi с начальными условиями vi ρ= R = vi′ ρ= R = 0
ρ


при ρ∈ [ δ, R ] , где δ > 0 . Из общей теории обыкновенных дифференциальных
уравнений (см., например, [16]) известно, что решение vi ( ρ ) рассматриваемой задачи Коши существует и единственно при ρ∈ [ δ, R ] . В таком случае
при ρ∈ [ δ, R ] это решение совпадает с функцией vi ( ρ ) , участвующей в представлении (8) функции Грина. С другой стороны, решение задачи Коши для
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
линейного уравнения с нулевыми начальными данными является тождественным нулем. А это противоречит представлению (8) функции Грина
G ( ρ, ρ0 ; λ ) в окрестности точки λ = λ i .
Теперь можно показать, что существуют решения уравнения Φ ( λ ) = 0 .
Действительно, пусть существует такое целое число k ≥ 1 , что справедливо ε1 < λ 0 < λ1 <  < λ k −1 < λ k < ε 2 , где ε 2 = min ε 2 ( ρ ) . Выберем достаρ∈[ 0, R ]
k
точно малые числа δi > 0 такие, что на объединении Γ :=
 Γi
отрезков
i =1
Γi :=  λi −1 + δi −1, λi − δi  , i = 1, k , функция Грина G ( ρ, ρ0 ; λ ) существует и
непрерывна, а также выполняется g
(
) (
λi −1 + δi −1 g
)
λi − δi < 0 . Отсюда яс-
но, что величина F ( λ ) ограничена. Более того, за счет выбора величины α
произведение αF ( λ ) может быть сделано достаточно малым. Рассмотрим
дисперсионное уравнение Φ ( λ ) = 0 . Ясно, что функция g ( λ ) непрерывна и
меняет знак при изменении λ от λi −1 + δi −1 до λ i − δi . Поскольку величина
F ( λ ) ограничена при изменении λ от λi −1 + δi −1 до λ i − δi , то отсюда ясно,
что за счет выбора α всегда можно добиться того, что уравнение Φ ( λ ) = 0
будет иметь по крайней мере k корней λ , i = 1, k , причем
i
λ i ∈ ( λi −1 + δi −1 , λi − δi ) , i = 1, k .
На основе проведенных рассуждений может быть сформулирована следующая теорема.
Теорема 3. Пусть числа ε1 , ε 2 = min ε 2 ( ρ ) , α удовлетворяют
ρ∈[ 0, R ]
условию ε 2 > ε1 > 0 и существует целое число k ≥ 1 , что справедливо
ε1 < λ 0 < λ1 <  < λ k −1 < λ k < ε 2 . Тогда существует число α 0 > 0 такое, что
для всякого α ≤ α 0 существует по крайней мере k значений γ i , i = 1, k , причем γ i ∈
(
)
λi −1 + δi −1, λi − δi , таких, что задача Р имеет нетривиальное ре-
шение.
Доказательство. Функция Грина существует для всех γ ∈ Γ . Также яс2
является непрерывной функцией
но, что функция A ( γ ) =
3 f ( γ ) 3 N0 ( γ )
при γ ∈ Γ . Пусть A1 = min A ( γ ) и пусть α < A12 . В соответствии с теоремой 1
γ∈Γ
существует единственное решение u = u ( γ ) уравнения (13) для всякого
γ ∈ Γ . Это решение является непрерывной функцией и u ≤ r∗ = r∗ ( γ ) . Пусть
3
.
r00 = max r∗ ( γ ) . Оценивая F ( λ ) , мы получаем F ( λ ) ≤ Cr00
γ∈Γ
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Функция g ( γ ) непрерывна и уравнение g ( γ ) = 0 имеет по крайней мере один корень γ i внутри отрезка Γi ,
M1 = min g
0≤i ≤ k −1
(
)
λ i + δi ,
λ i −1 + δi −1 < γ i < λi − δi . Обозначим
M 2 = min g
1≤i ≤ k
(
)
λi − δi .
Тогда
величина
M = min {M1 , M 2 } положительна и не зависит от α .
M
, то
Если α ≤
3
Cr00
(g(
)
λi −1 + δi −1 − αF
(
λi −1 + δi −1
)) ( g (
)
λ i − δi − α F
(
λ i − δi
)) < 0 .
Поскольку g ( λ ) − αF ( λ ) является непрерывной функцией, уравнение
g ( λ ) − αF ( λ ) = 0 имеет корень γ i внутри Γi , т.е. λ i + δi < γ i < λ i +1 − δi +1 .

M 
.
Мы можем выбрать α0 = min  A12 ,
3 
Cr00


Из теоремы 3 следует, что при условиях, сформулированных выше,
существуют осесимметричные распространяющиеся ТЕ-поляризованные
волны без затухания в цилиндрических диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных немагнитной изотропной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Этот результат обобщает известное соответствующее утверждение для диэлектрических волноводов круглого сечения
с заполнением линейной средой (при α = 0).
Список литературы
1. S c h ü r m a n n , H . W . TE-polarized Waves Guided by a Lossless Nonlinear Threelayer Structure / H. W. Schürmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // Phys. Rev. E. –
1998. – V. 58, № 1. – P. 1040–1050.
2. В а л о в и к , Д . В. О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных
волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической
физики. – 2008. – Т. 48, № 12. – С. 2186–2194.
3. S c h ü r m a n n , H . W . Propagation of TE-waves in Cylindrical Nonlinear Dielectric
Waveguides / H. W. Schürmann, Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov // Phys. Rev.
E. – 2005. – V. 71, № 1. – P. 016614-1–016614-10.
4. С м и р н о в , Ю . Г . Распространение электромагнитных волн в цилиндрических
волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов, С. Н. Куприянова //
Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2004. – Т. 44,
№ 10. – С. 1850–1860.
5. С м и р н о в , Ю . Г . Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева, М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2010. – № 1. – С. 2–13.
6. S m i r n o v , Y u . G . Boundary Eigenvalue Problem for Maxwell Equations in a Nonlinear Dielectric Layer / Yu. G. Smirnov, D. V. Valovik // Applied Mathematics. –
2010. – № 1. – P. 29–36.
7. В а л о в и к , Д . В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое из нелинейного метаматериала / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. – 2011. –
Т. 56, № 5. – С. 589–599.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
8. E l e o n s k i i , P . N . Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganes'yants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. – 1972. – V. 35, № 1. – P. 44–47.
9. А х м е ди е в , Н . Н . Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки / Н. Н. Ахмедиев,
А. Анкевич. – М. : Физматлит, 2003.
10. D a v ie s , J . R . Basic physics of laser propagation in hollow waveguides / J. R. Davies, J. T. Mendonca // Phys. Rev. E. – 2000. – V. 62, № 5. – С. 7168–7180.
11. R o m a n o v a , E. A . Light guiding in optical fibers with Kerr-like nonlinearity /
E. A. Romanova, L. A. Melnikov, E. V. Bekker // Microwave and optical technology
letters. – 2001. – V. 30, № 3. – С. 212–216.
12. Н а й м а р к , М . А . Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. –
М. : Наука, 1969. – 528 с.
13. S t a k g o ld , I . Green`s Functions and Boundary Value Problems / I. Stakgold. –
Wiley, New York, 1979. – 638 с.
14. Т р е н о г и н , В. А . Функциональный анализ / В. А. Треногин. – М. : Наука,
1980. – 496 с.
15. Ze i d l e r , E . Applied Functional Analysis / E. Zeidler. – Springer, New York, Berlin,
Heidelberg, 1995. – 450 с.
16. Л и з о р к и н , П . И . Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа / П. И. Лизоркин. – М. : Наука, 1981. – 384 с.
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
Smirnov Yury Gennadyevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Куприянова Светлана Николаевна
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный университет
Kupriyanova Svetlana Nikolaevna
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Валовик Дмитрий Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный университет
Valovik Dmitry Victorovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
E-mail: dvalovik@mail.ru
УДК 517.6 + 537.874.6
Смирнов, Ю. Г.
О распространении электромагнитных волн в цилиндрических неоднородных диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов, С. Н. Куприянова, Д. В. Валовик // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2012. – № 3 (23). – С. 3–16.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.392; 550.831
И. В. Бойков, А. И. Бойкова
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГОМОТОПИИ К РЕШЕНИЮ
ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
Аннотация. Дано применение метода гомотопии к приближенному решению
обратных задач логарифмического и ньютоновского потенциала. Рассматриваются обратные задачи логарифмического и ньютоновского потенциала в линейной и нелинейной постановках. Предложенные алгоритмы могут применяться для решения широкого класса обратных задач, описываемых интегральными уравнениями.
Ключевые слова: метод гомотопии, обратная задача, интегральное уравнение,
метод регуляризации.
Abstract. The article shows a homotopy method for approximate solutions to reverse
problems of logarithmic and Newtonian potential. The authors consider the reverse
problems of logarithmic and Newtonian potential through linear and non-linear approaches. The suggested algorithms may be applied in solutions of a broad class of
reverse problems, described by integral equations.
Key words: homotopy method, reverse problem, integral equation, regularizing
method.
Введение
При исследовании многих проблем физики и техники возникает необходимость в решении обратных задач. Обратные задачи могут описываться
различным математическим аппаратом, но общим во всех этих задачах следующее: как правило, они являются некорректно поставленными и для своего
решения требуют использования методов регуляризации.
Различные методы регуляризации предложены в работах [1–5].
В данной работе исследуются методы решения обратных задач, описываемых интегральными уравнениями Фредгольма. При этом основное внимание уделяется обратным задачам логарифмического и ньютоновского потенциалов. Это обусловлено тем, что обратными задачами логарифмического и
ньютоновского потенциалов моделируются обратные задачи гравиразведки и
магниторазведки.
Методом решения обратных задач и, в частности, обратных задач гравиразведки и магниторазведки посвящена обширная литература [6–10].
Метод регуляризации, предложенный в данной работе, опирается на
следующее свойство полиномов Бернштейна.
Определение 1 [11]. Пусть f ( x) есть функция, заданная на сегменте
[0,1]. Полином
N
BN ( x ) =
k 
 f  N  CNk xk (1 − x) N −k
k =0
называется полиномом Бернштейна функции f ( x).
Полиномы Бернштейна обладают следующим замечательным свойством.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Теорема Канторовича [11]. Если f ( x) есть целая функция, то ее
полином Бернштейна BN ( x) сходится к ней на всей оси.
В данной работе метод регуляризации заключается в том, что вместо
решения исходного уравнения Фредгольма первого рода Kx = f решается
последовательность уравнений второго рода (λ + β) x(λ) + Kx(λ ) = f , где λ
принимает значения λ k = k/N , k = 0,1, , N , N − целое число, β = 1/N .
Решение x* уравнения Kx = f определяется формулой
 1
x* = BN  −  ,
 N
где BN (λ) – полином Бернштейна,
N
BN ( λ ) =
k 
CNk x  N  λ k (1 − λ) N −k ;
k =0
k 
x   – решение уравнения
N
1

x  λ +  x(λ) + Kx(λ ) = f
N

при λ = k/N .
В случае, если решение уравнения (λ + β) x(λ) + Kx(λ ) = f является
целой функцией по параметру λ или аналитической функцией по параметру
λ в области Ω ([0,1] ⊂ Ω ) , то применимость описанного алгоритма следует
из теоремы Канторовича о сходимости полиномов Бернштейна [11].
Метод гомотопии для решения интегральных уравнений Фредгольма,
использующий аппроксимационные свойства полиномов Бернштейна,
предложен в работе [12]. Ниже показано, что этот метод позволяет
в обратных задачах гравиразведки одновременно восстанавливать форму
и плотность гравитирующего тела.
1. Обратная задача теории потенциала в линейной постановке
Известно [13], что обратная задача теории потенциала в линейной
постановке описывается уравнением
b
2GσH
z (ζ )
 ( x − ζ)2 + H 2 d ζ = f ( x).
a
Изложим метод продолжения по параметру для более общего
уравнения
1

Kx ≡ h(t , τ) x(τ)d τ = f (t ).
−1
18
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Известно, что решение уравнений Фредгольма первого рода является
некорректной задачей, требующей алгоритмов регуляризации. Для ее
решения разработаны методы регуляризации, основанные на различных
подходах [1–3]. Изложим метод, основанный на продолжении решения по
параметру λ . Для простоты изложения предположим, что оператор K –
самосопряженный. В противном случае от уравнения (1) можно перейти
к уравнению K * Kx = K * f , где K * – оператор, сопряженный с оператором K .
Поставим уравнению (1) в соответствие семейство уравнений
1

K λ x ≡ (λ + β) x(λ, t ) + h(t , τ) x(λ, τ)d τ = f (t ),
(2)
−1
где λ – вещественный параметр, 0 ≤ λ ≤ 1; β > 0 – параметр регуляризации.
Приближенное решение уравнения (2) будем искать в виде полинома
N
x N (λ, t ) =
αk (λ)ψ k (t ),
(3)
k =1
где ψ k (t ), k = 1, 2, , N , – фундаментальные полиномы, построенные по
узлам полинома Лежандра порядка N .
Коэффициенты {α k (λ)} находим по методу механических квадратур из
системы линейных алгебраических уравнений
1


K N ,λ xN ≡ PNt (λ + β) xN (λ, t ) + PNτ [ h(t , τ) xN (λ, τ) ] d τ  = PNt [ f (t )],


−1



(4)
где PNt – оператор проектирования на множество интерполяционных
полиномов степени ( N − 1) по узлам полинома Лежандра N -го порядка.
Верхний индекс у оператора PN означает переменную, по которой
проводится проектирование.
Обоснование метода механических квадратур для уравнений
Фредгольма второго рода хорошо известно [14, 15], и поэтому не будем на
этом останавливаться.
Рассмотрим последовательность значений λ j = j/M , j = 0,1, , M .
Для каждого значения λ j , j = 0,1, , M , решим систему уравнений
(4). В результате получаем множество решений {xN (λ j ; t )}, j = 0,1, , M .
Составим из этого множества полином Бернштейна
M
BM (λ, t ) =
CMk xN (λk , t )λ k (1 − λ)M −k .
k =0
Приближенное
x*N (t ) =
решение
уравнения
(1)
определяется
формулой
BM (−β, t ), β = 1/ M .
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2. Обратная задача ньютоновского потенциала в линейной постановке
Обратная задача ньютоновского потенциала в линейной постановке для
тела, занимающего область V , V = a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , − H ≤ z ≤ − H + ϕ( x, y ),
описывается уравнением
bd
G


H ϕ(ζ, η)
σ(ζ, η) 
d ζd η = f ( x, y,0).
2
2
2 3/2 
−
ζ
+
−
η
+
((
)
(
)
)
x
y
H




ac

Здесь G – гравитационная постоянная, σ(ζ, η) – плотность гравитирующего тела.
Естественно рассмотреть более общее уравнение
1
1
   h(t, τ) x(τ)d τ = f (t ),
−1
(5)
−1
где t = (t1 ,, tl ), τ = (τ1 ,, τl ). Для определенности ниже полагаем l = 2, но
все утверждения дословно переносятся на случай произвольного конечного l.
Уравнению (5) поставим в соответствие семейство уравнений
1 1
K λ x ≡ ( λ + β) x ( λ , t ) +
  h(t, τ) x(λ, τ)d τ = f (t ),
(6)
−1−1
где λ, β – численные параметры, 0 ≤ λ ≤ 1, и повторим рассуждения,
приведенные в предыдущем разделе.
Положим 0 ≤ λ ≤ 1, β > 0, и введем узлы λ k = k/M , k = 0,1,, M .
Приближенное решение уравнения (6) будем искать в виде полинома
N N
x N (λ, t ) =
αij (λ)ψi (t1)ψ j (t2 ),
(7)
i =1 j =1
где ψi (t ) – фундаментальные полиномы по узлам полиномов Лежандра
степени N .
Коэффициенты {αij (λ)}, i, j = 1, 2,, N , находятся из системы линейных алгебраических уравнений
K N ,λ xN ≡ (λ + β) xN (λ, t ) +
1 1

t t 
τ τ
t t
PN1 PN2 [ h(t1 , t2 , τ1 , τ2 ) xN (λ, τ1 , τ2 )] d τ1d τ2  = PN1 PN2 [ f (t1 , t2 )]. (8)
+ PN1 PN2 


 −1−1


Обоснование метода механических квадратур для уравнений Фредгольма второго рода хорошо известно и на этом не будем останавливаться.
Решим систему уравнений (8) для набора значений λ j = j/M ,
j = 0,1,, M . В результате получаем набор решений xN (λ j , t ), j = 0,1,, M ,
из которых составляем полином Бернштейна
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
M
BN (λ, t ) =
CMk xN (λ k , t )λ k (1 − λ)M −k .
k =0
Приближенное решение
BN (−β, t ), β = 1/ M .
уравнения
(5)
определяется
формулой
x*N (t1 , t2 ) =
3. Обратная задача логарифмического
потенциала в нелинейной постановке
Нелинейная постановка обратной задачи логарифмического потенциала
для бесконечно протяженной по оси OY контактной поверхности z ( x)
описывается [16] нелинейным интегральным уравнением
b

Kz ≡ Gσ ln
a
( x − s)2 + H 2
( x − s ) 2 + ( H − z ( s ))2
(9)
ds = f ( x),
где z (ζ ) – форма поверхности гравитирующего тела; H – глубина залегания; σ – плотность гравитирующего тела; G – гравитационная постоянная,
| z (ζ ) |< H .
Для простоты дальнейших обозначений положим a = −1, b = 1.
Как и в предыдущих пунктах, введем параметры λ и β, β > 0,
0 ≤ λ ≤ 1, и поставим уравнению (9) в соответствие семейство уравнений
1

K λ z ≡ (λ + β) z ( x) + Gσ ln
−1
( x − s)2 + H 2
( x − s ) 2 + ( H − z ( s ))2
ds = f ( x).
(10)
Приближенное решение уравнения (10) будем искать в виде полинома
N
z N (λ , x ) =
αk (λ)ψ k ( x),
k =1
где {ψ k ( x)}, k = 1, 2,, N , – фундаментальные полиномы по узлам полинома
Лежандра степени N .
Коэффициенты {α k (λ )}, k = 1, 2,, N , находятся из системы нелинейных алгебраических уравнений
K N , λ ( z N ) ≡ ( λ + β) z N ( λ , x ) +
1

+ PNx Gσ PNs

 −1

Пусть
j = 0,1,, M ,
Канторовича:

 
( x − s)2 + H 2
x
ln

 ds  = PN [ f ( x)].
2
2
 (( x − s ) + ( H − z (λ N , s ))  
λ j = j/M ,
j = 0,1,, M .
Для
каждого
значения
(11)
λ j,
решаем систему уравнений (11) методом Ньютона –
k +1
k
′ ,λ ( z0 ( s )) 
zN
(λ , x ) = z N
(λ, x) −  K N
−1
( K N ,λ zNk (λ, x) − PNx [ f ( x)]) ,
(12)
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
′ ,λ ( z (0)) – производная Фреше оператора K N ,λ z на начальном
где K N
элементе z (0). Отметим, что начальный элемент может быть как общим для
всех значений параметра λ j , так и для каждого значения λ j можно
выбирать собственное начальное приближение в зависимости от результатов
решения уравнения (12) при других значениях λ j .
Производная
Фреше
оператора
K N ,λ ( z N )
на
элементе
z0 ( s )
определяется выражением
′ ,λ ( z0 )vN ≡ (λ + β)vN (λ, x) +
KN
1

+ PNx Gσ PNs

 −1


 
2( H − z0 ( s ))
(
,
)
λ
v
s

 ds  .
2
2 N
 ( x − s ) + ( H − z0 ( s ))
 
Обоснование сходимости итерационного процесса (12) проводится на
основании общих теорем метода Ньютона – Канторовича, приведенных
в монографиях [14, 15] и в разделе 6 главы 1 монографии [17].
Решив систему уравнений (11) методом Ньютона – Канторовича (12)
при λ j = j/M ,
j = 0,1,, M ,
получаем семейство решений
j = 0,1,, M . Из функций {z*N (λ j , t )},
Бернштейна
z*N (λ j , t ),
j = 0,1,, M , составим полином
M
BN (λ, t ) =
CMk z*N (λ k , t )λ k (1 − λ)M −k .
k =0
Приближенное решение уравнения (10) определяется формулой
z (t ) = BN (−β, t ), β = 1/ M .
*
4. Обратная задача гравиразведки в нелинейной постановке
В случае, если гравитирующее тело залегает на глубине H , его нижняя
поверхность совпадает с плоскостью z = − H , а верхняя поверхность описывается функцией z ( x, y ) = − H + ϕ( x, y ), причем функция ϕ( x, y ) неотрицательна и ϕ( x, y ) < H , то гравитационное поле на поверхности Земли описывается уравнением
bd
Gσ
d ζd η
 (( x − ζ)2 + ( y − η)2 + ( H − ϕ(ζ, η))2 )1/2 = f ( x, y),
(13)
ac
где G – гравитационная постоянная; σ – плотность гравитирующего тела.
Для удобства обозначений уравнение (13) запишем в виде
1 1
d ζd η
  (( x − ζ)2 + ( y − η)2 + ( H − z(ζ, η))2 )1/2 = f ( x, y),
−1−1
где z ( x, y ) – искомое решение.
22
(14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Уравнению (14) поставим в соответствие семейство уравнений
K λ ( z ) ≡ (λ + β) z (λ; x, y ) +
1 1
+
d ζd η
  (( x − ζ)2 + ( y − η)2 + ( H − z(λ; ζ, η))2 )1/2 = f ( x, y),
(15)
−1−1
где 0 ≤ λ ≤ 1, β > 0.
Приближенное решение уравнения (15) будем искать в виде полинома
N N
z N (λ, ζ, η) =
αkl (λ)ψ k (ζ)ψl (η),
k =1l =1
где ψ k (ζ ) – фундаментальные полиномы по узлам полинома Лежандра N
порядка.
Коэффициенты {α kl (λ )}, k , l = 1, 2,, N , находим из системы нелинейных алгебраических уравнений
K N , λ ( z N ) = ( λ + β) z N ( λ , x , y ) +
+ PNx PNy
1 1


d ζd η

=
PNζ PNη 

2
2
2 1/2 

((
)
(
)
(
(
,
,
))
)
−
ζ
+
−
η
+
−
λ
ζ
η
x
y
H
z


N


 −1−1

= PNx PNy [ f ( x, y )],
(16)
где PN – оператор проектирования на множество интерполяционных
полиномов степени ( N − 1), построенных по N узлам полинома Лежандра.
Уравнение (16) решается методом Ньютона – Канторовича
k +1
k
zN
(λ; x, y ) = z N
(λ; x, y ) −
−  K N ,λ ( z0 ( x, y ) ) 
−1
(K (z
N ,λ
k
N (λ; x, y )
) − PNx PNy [ f ( x, y)]) ,
′ ,λ ( z0 ( x, y )) – производная Фреше оператора ( K N ,λ ( z N ) на элементе
где K N
z0 ( x, y ); z0 ( x, y ) – начальное приближение.
Обоснование сходимости итераций (16) проводится на основании общих теорем сходимости метода Ньютона – Канторовича, приведенных в монографиях [14, 15] и в разделе 6 главы 1 монографии [17].
Решив уравнение (16) при значениях λ j = j / M , j = 0,1,, M , получаем семейство решений {z*N (λ j ; x, y )}. Из этих решений составим полином
Бернштейна:
N
BM (λ; x, y ) =
CMk z*N (λ k ; x, y)λk (1 − λ)M −k .
k =1
Решение уравнения (13) определяется формулой z*N ( x, y ) = BM (−β; x, y ),
β =1/ M.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
5. Одновременное нахождение плотности
и границы гравитирующего тела
Метод одновременного нахождения плотности и границы гравитирующего тела изложим для линейной постановки задачи.
Вначале рассмотрим обратную задачу логарифмического потенциала.
Рассмотрим уравнение
b
2GH
z ( ζ ) σ( ζ )
 ( x − ζ)2 + H 2 d ζ = f ( x),
(17)
a
где σ(ζ ) – плотность гравитирующего тела.
Предположим, что геофизическая съемка проводилась также на высоте
h1 от уровня z = 0.
В этом случае функция z (ζ ) определяется также из уравнения
b
2G ( H + h1 )
z ( ζ ) σ( ζ )
 ( x − ζ)2 + ( H + h1 )2 d ζ = f1 ( x).
(18)
a
Требуется из системы уравнений (17), (18) определить неизвестные
функции ( z (ζ ), σ(ζ )), a ≤ ζ ≤ b.
Для простоты изложения положим a = −1, b = 1 и рассмотрим систему
уравнений
1
(λ + γ )σ(λ; x) + 2GH
z ( λ ; ζ ) σ ( λ; ζ )
 ( x − ζ)2 + H 2 d ζ = f ( x),
(19)
−1
1
(λ + γ ) z (λ; x) + 2G ( H + h1 )
z (λ; ζ )σ(λ; ζ )
 ( x − ζ)2 + ( H + h1 )2 d ζ = f1 ( x),
−1
где 0 ≤ λ ≤ 1, γ > 0.
Обозначим через σ0 ( x) и z0 ( x) начальные приближения к функциям
σ( x) и z ( x).
Введем векторы
U ( x) = {σ( x), z ( x)}T , U 0 = {σ0 ( x), z0 ( x)}T , G ( x) = { f ( x), f1 ( x)}T ,
и систему уравнений (19) запишем как
KU = G.
(20)
Приближенное решение уравнения (20) по методу Ньютона – Канторовича находим итерациями
uk +1 = uk − [ K ′(U 0 )]( KU k − G ), k = 0,1,
(21)
Здесь K ′(U 0 ) – производная Фреше оператора K (U ) на начальном
приближении U 0 , определяемая вектором
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
1
(λ + γ )σ(λ; x) + 2GH
1
z 0 ( ζ ) σ ( λ; ζ )
σ ( ζ ) z ( λ; ζ )
 ( x − ζ)2 + H 2 d ζ + 2GH  ( x 0− ζ)2 + H 2 d ζ;
−1
−1
1
(λ + γ ) z (λ; x) + 2G ( H + h1 )
z ( ζ ) σ ( λ; ζ )
 ( x − ζ0)2 + ( H + h1)2 d ζ +
−1
1
+2G ( H + h1 )
σ (ζ ) z (λ; ζ )
 ( x − ζ0)2 + ( H + h1)2 .
−1
Сходимость итераций (21) обосновывается при λ = λ j , λ j = j/M ,
j = 0,1,, M , β > 0, на основании теорем, приведенных в разделе 11 главы 1
[17]. Можно показать, что при достаточно хороших начальных приближениях
итерации (21) сходятся.
Для численной реализации метода Ньютона – Канторовича перейдем
к приближенным методам в подпространствах.
Приближенное решение системы уравнений (19) имеется в виде
вектора {σ N (λ N , x), z N (λ, x)}, где
N
σ N (λ, x ) =
α k (λ)ψ k ( x),
k =1
N
z N (λ , x ) =
βk (λ)ψ k ( x),
k =1
ψ k ( x) – фундаментальные полиномы, построенные по узлам полинома
Лежандра N -го порядка.
Коэффициенты {α k (λ )}, {βk (λ)} находятся по методу Ньютона –
Канторовича из системы уравнений
(λ + γ )σ N (λ; x) + 2GHPNx
1
 PNζ

 −1

 z N (λ; ζ )σ N (λ; ζ )  
d ζ  = PNx [ f ( x)],

2
2 
(
)
+
ζ
+
x
H

 
1
 z (λ; ζ )σ N (λ; ζ )  
x
(λ + γ ) z N (λ; x) + 2G ( H + h1 ) PNx  PNζ  N
 d ζ  = PN [ f1 ( x)], (22)
2
2


 −1  ( x + ζ ) + ( H + h1 )  

Здесь через PN обозначен оператор, введенный в разд. 1.
Систему уравнений (22) в операторной форме представим уравнением
K N ,λU N (λ, x) = G ( f ),
(23)
где U N (λ, x) = (σ N (λ, x), z N (λ, x)), G ( f ) = ( f (t ), f1 (t )). Уравнение (23) при
каждом значении λ j , λ j = j/M , j = 0,1,, M , решается методом Ньютона –
Канторовича
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
l +1
l
l
UN
(λ , x ) = U N
(λ, x) − [ K N ,λ (U 0 )]−1 ( K N ,λ (U N
(λ, x) − G ( f )), l = 0,1,
Здесь U 0 = (σ0 ( x), z0 ( x)) – начальное приближение. В результате получаем множество векторов (σ*N , j ( x), z*N , j ( x))T ,
j = 0,1,, M , являющихся
решениями уравнения (23) при λ j , j = 0,1,, M .
Из этого множества составляем два полинома Бернштейна
M
CMk σ*N ,k ( x)λ k (1 − λ)M −k ,
BM (λ, σ( x)) =
k =0
M
BM (λ, z ( x)) =
CMk z*N ,k ( x)λ k (1 − λ)M −k .
k =0
Решением уравнения (17) является вектор
(σ* ( x), z* ( x)) = ( BM (−β, σ( x)), BM (−β, z ( x)), β = 1/ M .
Замечание 1. Аналогичным образом строятся итерационные схемы,
предназначенные для одновременного нахождения плотности и границы
гравитирующего тела для обратных задач потенциала, описываемых
уравнениями
bd
GH
σ(ζ, η)ϕ(ζ, η)
 (( x − ζ)2 + ( y − η)2 + ( H 2 )3/2 d ζd η = f ( x, y,0),
ac
bd
G ( H + h)
σ(ζ, η)ϕ(ζ, η)
 (( x − ζ)2 + ( y − η)2 + ( H + h)2 )3/2 d ζd η = f ( x, y, h)
ac
в линейной постановке и уравнениями
bd
GH
σ(ζ, η)d ζd η
 (( x − ζ)2 + ( y − η)2 + ( H − z (ζ, η))2 )1/2 = f ( x, y,0),
ac
bd
G ( H + h)
σ(ζ, η)d ζd η
 (( x − ζ)2 + ( y − η)2 + ( H + h − z(ζ, η))2 )1/2 = f ( x, y, h)
ac
в нелинейной постановке.
Здесь σ(ζ, η) и z (ζ, η) – неизвестные функции.
Замечание 2. Аналогичным образом строятся итерационные схемы,
предназначенные для приближенного решения обратной задачи логарифмического потенциала в нелинейной постановке
b

G σ( s ) ln
a
26
( x − s)2 + H 2
( x − s )2 + ( H − z ( s )) 2
ds = f ( x, y ),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
b

G σ( s ) ln
a
( x − s ) 2 + ( H + h) 2
( x − s ) 2 + ( H + h − z ( s )) 2
ds = f1 ( x).
Здесь σ( s ) и z ( s ) – неизвестные функции.
Список литературы
1. Ти х о н о в , А . Н . Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов,
В. Я. Арсенин. – М. : Наука, 1974. – 224 с.
2. Л а в р е н ть е в , М . М . О некоторых некорректных задачах математической физики / М. М. Лаврентьев. – Новосибирск : Изд-во СО АН СССР, 1962. – 92 с.
3. И в а н о в, В. К . Теория линейных некорректных задач и ее приложения /
В. К. Иванов, В. В. Васин, В. П. Танака. – М. : Наука, 1976. – 206 с.
4. Б а к у ш и н с к и й , А . Б. Итеративные методы решения некорректных задач /
А. Б. Бакушинский, А. В. Гончарский. – М. : Наука, 1989. – 130 с.
5. Zh d a n o v , M . S . Geophysical Inverse Theory and Regularization Problems /
M. S. Zhdanov. – N. Y. Elsevier, 2002. – 610 p.
6. В а с и л е н к о , Г . И . Восстановление изобpажений / Г. И. Василенко, А. М. Тараторин. – М. : Радио и связь, 1986. – 304 с.
7. С та р о с те н к о , В. И . Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии /
В. И. Старостенко. – Киев : Наукова думка, 1978. – 226 с.
8. С тр а х о в , В. Н . К теории обратной задачи логарифмического потенциала для
контактной поверхности / В. Н. Страхов // Изв. АН СССР. Физика Земли. –
1974. – № 2. – С. 43–65.
9. Ти х о н о в , А . Н . Применение метода регуляризации в нелинейных задачах /
А. Н. Тихонов, В. Б. Гласко // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1965. – Т. 5, № 3. – С. 463–473.
10. Б о й к о в , И . В. Об одном итерационном методе решения обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности / И. В. Бойков, Н. В. Мойко // Известия
РАН. Физика Земли. – 1999. – № 2. – C. 52–56.
11. Н а та н с о н, И . П . Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. – М. ; Л.,
1949. – 688 с.
12. Bo y k o v , I . V . Approxmate Solution of Integral Equations with Homotopy Method /
I. V. Boykov, S. Faudauoglu, M. Astanin // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем : сб. ст. VI Междунар. науч.техн. конф. (21–25 мая 2012 г.). – Пенза : Приволжский Дом знаний, 2012. – С. 11–22.
13. Ж да н о в , М . С . Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей /
М. С. Жданов. – М. : Наука, 1984. – 327 с.
14. К а н то р о в и ч , Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, –
М. : Наука, 1977. – 744 с.
15. К р а с н о с е л ь с к и й , М . А . Приближенное решение операторных уравнений /
М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко и др. – М. : Наука, 1969. – 456 с.
16. Гравиразведка / под ред. Е. А. Мудрецовой. – М. : Наука, 1981. – 397 с.
17. Б о й к о в , И . В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений /
И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. – 316 с.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный университет
Boykov Ilya Vladimirovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics,
Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Бойкова Алла Ильинична
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра высшей и прикладной
математики, Пензенский
государственный университет
Boykova Alla Ilyinichna
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of higher and applied
mathematics, Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
УДК 517.392; 550.831
Бойков, И. В.
Применение метода гомотопии к решению обратных задач теории
потенциала / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. –
№ 3 (23). – С. 17–28.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.927, 519.624
Д. В. Валовик, Е. Ю. Смолькин
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН В КРУГЛОМ
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ, ЗАПОЛНЕННОМ
НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДОЙ1
Аннотация. Изучается задача о распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в двухслойном диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного нелинейной средой. Физическая проблема сводится к нелинейной задаче сопряжения на собственные значения для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложен численный метод нахождения собственных значений рассматриваемой задачи. Представлены результаты расчетов.
Ключевые слова: задача на собственные значения, задача сопряжения, уравнения Максвелла, численный метод.
Abstract. The authors investigate a problem of TM-polarized electromagnetic wave
propagation in nonlinear two-layer dielectric waveguide with circular cross-section.
Waveguide is filled by nonlinear media. The physical problem is reduced to a nonlinear conjugation eigenvalue problem. A numerical method to solve the problem is
suggested. Numerical results are presented.
Key words: eigenvalue problem, conjugation problem, Maxwell’s equation, numerical method.
1. Постановка задачи
Рассмотрим трехмерное пространство 3 с декартовыми координатами
Oxyz . Это пространство заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью ε3 = const . В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод с образующей, параллельной оси Oz , и
{
}
круговым поперечным сечением W = x : 0 < x 2 + y 2 < R22 .
Введем цилиндрическую систему координат Oρϕz так, чтобы ось Oz
декартовых координат совпадала с одноименной осью цилиндрической системы координат.
Сечение волновода, перпендикулярное его оси, представляет собой два
концентрических круга радиусов R1 и R2 соответственно, т.е. волновод является двухслойным.
Электромагнитное поле гармонически зависит от времени [1]
 ( ρ, ϕ, z , t ) = E ( ρ, ϕ, z ) cos ωt + E ( ρ, ϕ, z ) sin ωt ;
E
+
−
 ( ρ, ϕ, z , t ) = H ( ρ, ϕ, z ) cos ωt + H ( ρ, ϕ, z ) sin ωt ,
H
+
−
 , H , H – действительные функции.
где ω – круговая частота; E , E+ , E− , H
+
−
Везде ниже временной множитель опущен.
1
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические
кадры инновационной России» на 2009–2013 годы.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Образуем комплексные амплитуды полей E , H
E = E + + i E − , H = H + + iH − ,
(
где E = Eρ , Eϕ , E z
T
)
(
, H = Hρ , Hϕ , H z
T
)
и
( ⋅ )T
обозначает операцию
транспонирования. Каждая компонента полей E , H является функцией трех
пространственных переменных.
Электромагнитное поле E , H удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H = −iωεE,

rot E = iωμH,
(1)
условиям непрерывности касательных составляющих полей E , H на границах раздела сред ρ = R1 и ρ = R2 и условию излучения на бесконечности:
электромагнитное поле экспоненциально затухает при ρ → ∞ .
Пусть диэлектрическая проницаемость ε внутри волновода является скалярной функцией и внутри и вне волновода определяется следующим образом:
0 < ρ < R1 ,
ε1ε0 ,

2
ε =  ε 2 + α E ε0 , R1 < ρ < R2 ,

ρ > R2 ,
ε3ε0 ,
)
(
где ε1 , ε 2 , ε3 – вещественные положительные постоянные. Среда предполагается изотропной и немагнитной, во всем пространстве полагаем μ = μ0 .
Разыскиваются поверхностные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода.
Решение уравнений Максвелла ищется во всем пространстве.
На рис. 1 представлена геометрия задачи. Цилиндр неограниченно продолжается в направлении z .
z
ρ
0
ϕ
R1
R2
Рис. 1. Геометрия задачи
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
2. ТМ-волны
Рассмотрим ТМ-волны
(
E = Eρ ,0, E z
T
)
(
, H = 0, H ϕ ,0
T
)
,
где Eρ = Eρ ( ρ, ϕ, z ) , E z = E z ( ρ, ϕ, z ) , H ϕ = H ϕ ( ρ, ϕ, z ) .
Можно показать, что для рассматриваемой геометрии и выбранной нелинейности (закон Керра) компоненты полей могут быть представлены
в форме
Eρ = Eρ ( ρ ) eiγz , E z = E z ( ρ ) eiγz , H ϕ = H ϕ ( ρ ) eiγz ,
(2)
где γ – неизвестный вещественный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).
Обозначим k02 = ω2μ0 ε0 . Подставив компоненты (2) в (1), можно получить
∂E z
 2
2
 γ Eρ + i γ ∂ρ = k0 ε Eρ ,


i γ 1 ∂ ρE − 1 ∂  ρ ∂E z
ρ

 ρ ∂ρ
ρ ∂ρ  ∂ρ
(
)

2
 = k0 ε E z ,

(3)
 0 , ε0 , μ0 – диэлектрическая и магнитная проницаегде k02 = ω2μ0 ε0 и ε = εε
мости свободного пространства.
Обозначая
u1 ( ρ, γ ) := Eρ ( ρ, γ ) ,
u2 ( ρ, γ ) := iE z ( ρ, γ ) ,
(4)
получим из (3) [1, 2]
(
)
 γu ′ + γ 2 − k 2 ε u = 0,
0
1
 2
 1
1
−γ ( ρu1 )′ − ( ρu2′ )′ − k02ε u2 = 0,
ρ
 ρ
(5)
где производная обозначает дифференцирование по ρ ; u1 ( ρ, γ ) , u2 ( ρ, γ ) –
вещественные функции.
Будем искать те действительные значения спектрального параметра γ ,
для которых существуют действительные не равные тождественно нулю решения u1 ( ρ, γ ) , u2 ( ρ, γ ) системы уравнений (5).
Считаем, что функции u1 , u2 дифференцируемы так, что
u1 ∈ C [ 0, R1 ] ∩ C [ R1 , R2 ] ∩ C [ R2 , +∞ ) ∩ C1 [ 0, R1 ] ∩ C1 [ R1 , R2 ] ∩ C1 [ R2 , +∞ ) ,
u2 ∈ C [ 0, +∞ ) ∩ C1 [ 0, R1 ] ∩ C1 [ R1 , R2 ] ∩ C1 [ R2 , +∞ ) ∩
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
∩C 2 ( 0, R1 ) ∩ C 2 ( R1 , R2 ) ∩ C 2 ( R2 , +∞ ) .
Считаем, что γ 2 > ε3 .
3. Решение системы дифференциальных уравнений
При ρ < R1 имеем ε = ε1ε0 и система (5) примет вид
 γu2′ − k12u1 = 0,

 1
1
2
 −γ ( ρu1 )′ − ( ρu2′ )′ − k0 ε1u2 = 0,
ρ
 ρ
(6)
где k12 = γ 2 − k02 ε1 .
Выражая функцию u1 из первого уравнения и подставляя ее во второе
уравнение системы, получим уравнение для функции u2 :
−
γ2 1
1
ρu2′ )′ − ( ρu2′ )′ − k02 ε1u2 = 0.
(
ρ
k12 ρ
Последнее уравнение является уравнением Бесселя, его легко записать
в виде
1
( ρu2′ )′ + k12u2 = 0.
ρ
Тогда решение системы (6) имеет вид
γ

u1 ( ρ ) = k ( C1I 0′ ( k1ρ ) + C1K 0′ ( k1ρ ) ) ,
1

u ( ρ ) = C I ( k ρ ) + C K ( k ρ ) .
1 0 1
2 0 1
 2
(7)
Функции I 0 и K 0 – модифицированная функция Бесселя и функция
Макдональда нулевых порядков соответственно. Функция Макдональда
K 0 ( ρ ) стремится к бесконечности при ρ → 0 , а функция Бесселя I 0 ( ρ )
ограничена при ρ → 0 . Принимая во внимание условие ограниченности поля
во всякой конечной области и учитывая то, что I 0′ ( ρ ) = I1 ( ρ ) , получаем из (7)
γ

u1 ( ρ ) = − k C1K1 ( k1ρ ) ,
1

u ( ρ ) = C I ( k ρ ) .
1 0 1
 2
(
При R1 < ρ < R2 имеем ε = ε 2 + α E
вид1
1
2
)ε
0.
(8)
Тогда система (5) примет
Доказательство существования решений системы (9) при малых α может
быть получено методами теории интегральных уравнений (см. [2–4]).
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
(
(
(
)))
 γu ′ + γ 2 − k 2 ε + α u 2 + u 2 u = 0,
0 2
1
2
1
 2
 1
1
−γ ( ρu1 )′ − ( ρu2′ )′ − k02 ε 2 + α u12 + u22 u2 = 0.
ρ
 ρ
(
(
))
(9)
При ρ > R2 имеем ε = ε3ε0 . Тогда система (5) примет вид
 γu ′ + k 2u = 0,
 2 3 1
 1
1
2
−γ ( ρu1 )′ − ( ρu2′ )′ − k0 ε3u2 = 0,
ρ
ρ

(10)
где k32 = γ 2 − k02 ε3 .
Решение системы (10) имеет вид
γ

u1 ( ρ ) = − 2 ( C3 I 0′ ( k3ρ ) + C4 K 0′ ( k3ρ ) ) ,
k3

u ρ = C I k ρ + C K k ρ .
3 0( 3 )
4 0( 3 )
 2( )
(11)
Известно, что функция I 0 ( ρ ) стремится к бесконечности при ρ → +∞ ,
а функция K 0 ( ρ ) стремится к нулю при ρ → +∞ . Принимая во внимание
условие на бесконечности и учитывая то, что K 0′ (ρ) = − K1 (ρ) , получаем
из (11)
γ

u1 ( ρ ) = 2 C4 K1 ( k3ρ ) ,
k3
(12)

u ρ = C K k ρ .
4 0( 3 )
 2( )
4. Условия сопряжения и дисперсионное уравнение
Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными
составляющими являются компоненты E z и H ϕ . Из этого условия получаем
E z ( R1 + 0 ) = E z ( R1 − 0 ) , H ϕ ( R1 + 0 ) = H ϕ ( R1 − 0 ) ,
E z ( R2 + 0 ) = E z ( R2 − 0 ) , H ϕ ( R2 + 0 ) = H ϕ ( R3 − 0 ) .
Компонента Eρ является нормальной компонентой и на границе раздела сред испытывает конечный скачок, однако величина ε Eρ на границе раздела сред непрерывна.
Из вышесказанного получаем условия сопряжения для функций u1 и u2 :
[ε u1 ] ρ= R1 = 0, [u2 ] ρ= R1 = 0, [ε u1 ] ρ= R2 = 0, [u2 ] ρ= R2 = 0 ,
где [ f ]
x = x0
=
lim
x→ x0 −0
f ( x ) − lim
x→ x0 + 0
(13)
f ( x) .
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Тогда из (13) получаем
(
ε1u1 ( R1 − 0 ) = ε 2 + α u
(ε
2
2
+α u
2
2
)u ( R
1
2
2
2
) u ( R + 0) , u ( R − 0) = u ( R + 0) ;
1
1
2
1
2
1
− 0 ) = ε3u1 ( R2 + 0 ) , u2 ( R2 − 0 ) = u2 ( R2 + 0 ) ,
(14)
(15)
T
где u = u1 + u2 , u = ( u1 , u2 ) .
Легко видеть, что при умножении в (1) полей E, H на произвольную
постоянную C0 ≠ 0 и коэффициента нелинейности на C0−2 система уравнений Максвелла не изменяется. Однако это обстоятельство не дает возможность выбора дополнительного условия нормировки. Поскольку при расчетах
с конкретным коэффициентом α окажется, что этот коэффициент нормирован на неизвестную постоянную C0−2 . Это говорит о том, что рассматриваемая нелинейная задача существенно зависит от начального условия (от амплитуды падающего поля). Уже это отличает рассматриваемую нелинейную
задачу от аналогичной линейной (где диэлектрическая проницаемость кусочно-постоянна в волноводе). То есть в линейной задаче каждому собственному
значению отвечает целый «пучок» волн с одной постоянной распространения
и всевозможными амплитудами падающего поля. В рассматриваемой нелинейной задаче это уже не так.
Считая постоянную C1 заданной и равной единице1, из (8), (12), (14),
(15) получаем дисперсионное уравнение


ε3 K1 ( k3 R2 )
2
u2 ( R2 − 0 ) .
Δ ( γ ) ≡  ε2 + α u
 u1 ( R2 − 0 ) − γ
k3 K 0 ( k3 R2 )
ρ= R2 −0 

(16)
Теперь мы можем сформулировать нелинейную задачу сопряжения на
собственные значения (задача PM), к которой свелась исходная задача о распространении волн. Требуется отыскать собственные значения γ и соответствующие им не равные тождественно нулю функции u1 , u2 , определяемые выражениями (8) при ρ < R1 и (12) при ρ > R2 , удовлетворяющие системе уравнений (9) при R1 < ρ < R2 , условиям сопряжения (13).
5. Численные результаты
Для получения численных результатов решалась система дифференциальных уравнений (9) при γ j = γ 0 + jh0 , j = 0, N − 1 , с некоторым шагом h0 ,
(
)
где γ ∈ ε3 , γ∗ , γ∗ < max ( ε1 , ε2 ) (в линейной задаче) и γ∗ > max ( ε1 , ε 2 ) (в не-
( )
линейной задаче). Затем вычислялось значение Δ γ j
1
и определялись отрез-
Из предыдущего пояснения ясно, что при расчетах значения одной из постоянных С1 или С4 необходимо задавать. Можно задавать значение постоянной на любой из границ волновода.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
( )
ки перемены знака Δ γ j . На каждом отрезке значение локализованного
корня уравнения Δ ( γ ) = 0 уточнялось методом дихотомии.
Результаты расчетов представлены на рис. 2–6.
γ2
R2
Рис. 2. Зависимость постоянной распространения γ 2 от радиуса R2 .
При расчете использовались следующие значения параметров:
ε1 = 4 , ε 2 = 9 , ε3 = 1 , R1 = 2 , 2 < R2 < 12 , α = 0 , k0 = 1
γ2
R2
Рис. 3. Зависимость постоянной распространения γ 2 от радиуса R2 .
При расчете использовались следующие значения параметров:
ε1 = 4 , ε 2 = 9 , ε3 = 1 , R1 = 2 , 2 < R2 < 12 , α = 0, 01 , k0 = 1
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
γ2
R2
Рис. 4. Взаимное расположение графиков, приведенных на рис. 2, 3
γ2
α
2
Рис. 5. Зависимость постоянной распространения γ от коэффициента
нелинейности α . При расчете использовались следующие значения параметров:
ε1 = 4 , ε 2 = 9 , ε3 = 1 , R1 = 2 , R2 = 4 , k0 = 1
γ2
C4
Рис. 6. Зависимость постоянной распространения γ 2 от постоянной С4 .
При расчете использовались следующие значения параметров:
ε1 = 4 , ε 2 = 9 , ε3 = 1 , R1 = 2 , R2 = 4 , α = 0, 01 , k0 = 1
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Список литературы
1. E l e o n s k i i , V . M . Cylindrical Nonlinear Waveguides / V. M. Eleonskii, L. G. Oganes’yants, V. P Silin. // Soviet physics JETP. – 1972. – V. 35, № 1. – P. 44–47.
2. С м и р н о в , Ю . Г . О разрешимости нелинейной краевой задачи на собственные
значения для распространяющихся ТМ-волн в круглом нелинейном волноводе /
Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3. – С. 55–70.
3. С м и р н о в , Ю . Г . Распространение электромагнитных волн в цилиндрических
диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов,
С. Н. Куприянова // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2004. – Т. 44, № 10. – С. 1850–1860.
4. S c h ü r m a n n , H . - W . Propagation of TE-waves in cylindrical nonlinear dielectric
waveguides / H.-W. Schürmann, Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov // Physical Review E. – 2005. – V. 71, № 1. – P. 016614-1–016614-10.
Валовик Дмитрий Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Valovik Dmitry Victorovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: dvalovik@mail.ru
Смолькин Евгений Юрьевич
аспирант, Пензенский
государственный университет
Smolkin Evgeny Yuryevich
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: mmm@pnzgu.ru
УДК 517.927, 519.624
Валовик, Д. В.
Численное решение задачи о распространении электромагнитных
ТМ-волн в круглом диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой / Д. В. Валовик, Е. Ю. Смолькин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. –
№ 3 (23). – С. 29–37.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 539.3
Д. Ю. Полянский
ТРИАНГУЛЯЦИЯ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЕЙ
РЕШЕНИЕМ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В ФОРМЕ ГАЛЕРКИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
Аннотация. Решена новая задача триангуляции достаточно регулярной ограниченной плоской области. Область представляется объединением непересекающихся выпуклых криволинейных подобластей с числом углов от 3 до 6.
Каждой подобласти ставится в соответствие эквивалентный аналог – равносторонний треугольник или порождаемый им выпуклый многоугольник. Эквивалентный аналог преобразуется в дискретный, состоящий из равносторонних треугольников. Производится конформное отображение дискретного аналога на исследуемую область решением методом конечных элементов в форме
Галеркина краевой задачи Дирихле с использованием Лапласиана. Результатом отображения является дискретная модель исследуемой области с треугольными элементами, близкими к равносторонним.
Ключевые слова: триангуляция, метод конечных элементов, конформное отображение, краевая задача Дирихле.
Abstract. The author has solved a new problem of triangulation of sufficiently regular bounded flat domain. The domain is represented by a combination of nonintersecting convex curvilinear subdomains with the number of angles from 3 to 6. Each
subdomain is given a corresponding equivalent analog - an equilateral triangle or a
convex polygon generated by it. The equivalent analog is transformed into a discrete
one consisting of equilateral triangles. A conformal image of the discrete analog on
the domain under analysis is made by the FEA solution in Galyorkin form of the
boundary value Dirichlet problem using Laplacian. The result of the imaging is a
discrete model of the domain under investigation with the triangular elements being
close to equilateral.
Key words: triangulation, method of final elements, conformal image, boundary value Dirichlet problem.
Решение плоских контактных задач термо-упруго-пластичности предъявляет повышенные требования к качеству конечно-элементной сетки (КЭС).
Оптимизация формы конечных элементов снижает размерность получаемых
в ходе решения матричных уравнений, а значит, значительно увеличивает
скорость решения и уменьшает потребности в оперативной и дисковой памяти. Это дает возможность получить решение без применения дополнительных
приемов, например параллельных вычислений, используя лишь собственные
возможности персональных компьютеров.
Кусочную аппроксимацию исследуемых функций часто строят на треугольных конечных элементах (ТКЭ). Установлено [1–5], что оптимальным
видом ТКЭ является равносторонний треугольник. В данной работе предлагается алгоритм триангуляции достаточно регулярной ограниченной области
Ω на плоскости xy , состоящий из следующих шагов.
Шаг 1. Область Ω представляется объединением непересекающихся
выпуклых криволинейных подобластей Ωi с числом углов от 3 до 6.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Шаг 2. Каждой подобласти Ωi ставится в соответствие эквивалентный
аналог ωi на плоскости pq – равносторонний треугольник или порождаемый
им выпуклый n -угольник (n = 4,5,6) .

Шаг 3. Строится дискретная модель ωi , состоящая из равносторонних
ТКЭ Tk эквивалентного аналога ωi .

Шаг 4. Производится конформное отображение дискретной модели ωi
на подобласть Ωi , сохраняющего углы на xy между пересекающимися кривыми l j , образующими k -й криволинейный треугольный элемент Tk
( l j ∈ Tk ).

Результатом отображения является дискретная модель Ωi с близкими
к равносторонним ТКЭ, за исключением элементов, содержащих вырожденные узловые точки, определяемые особенностями границы ψ ∈ Ω .
В отличие от алгоритма [6], в котором конформное отображение осуществляется с использованием интерполяционных полиномов Лагранжа по


методу А. Г. Угодчикова [7], построение отображения ωi ( p, q) в Ωi ( x, y )
произведем решением краевой задачи Дирихле с использованием Лапласиана:
β( x) =
∂ 2 x ( p, q )
∂p 2
+
∂ 2 x ( p, q )
∂q 2
= Δx = 0 в Ω ,
(1)
x( p, q ) = g ( s ) на ψ.
Искомые функции x( p, q ) и y ( p, q) преобразования координат pq
в xy являются гармоническими и однозначными. Это означает, что всякой
функции x( p, q ) можно подобрать ей сопряженную y ( p, q ), которую на основании условий Коши – Римана
дx дy дx
дy
= ;
=−
дp дq дq
дp
можно определить как
дx
дx
dp + dq.
(2)
дq
дp
Решение задачи Дирихле (1) получим методом конечных элементов
в форме Галеркина:
dy = −
 αiβ( x)d ω = 0,
(3)
ω
где αi – пробная функция; ω =
m
 ωi ; m – число подобластей Ωi , и тогда
i =1
 ∂2 x ∂2 x 
αi 
+
 dqdp =
 ∂p 2 ∂q 2 


ω

39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
=
 ∂
 ∂x  ∂α ∂x   ∂
 ∂x  ∂αi ∂x  
  αi   − i
 +  αi   −
  dpdq = 0.
∂p  ∂p  ∂p ∂p   ∂q  ∂q  ∂q ∂q  


ω

Воспользовавшись следствием теоремы Остроградского – Гаусса, получим:
∂x
 ∂αi ∂x ∂αi ∂x 
+
dpdq = 0 ,
∂p ∂q ∂q 
ω

 αi ∂p cos ( n, p ) d ψ −   ∂p
 
Ψ



интеграл по границе
(4)
интеграл по внутренней области
∂x
= 0 , поскольку координаты узловых точек, принадлежаdp
щих границе Ψ , заранее заданы и, следовательно, не зависят от координат p
и q . Тогда
где ω = (Ψ , ω);
m
 ∂αi ∂x ∂αi ∂x 
 ∂αi ∂x ∂αi ∂x 
dpdq
=
+
+



 dpdq =
∂p ∂p ∂q ∂q 
∂p ∂p ∂q ∂q 


j
=
1
ω
ωj



Jx =
 

интеграл по внутренней области
E
=
E
 ∂αi ∂x ∂αi ∂x 
+
=
dpdq
J xe = 0.


∂
∂
∂
∂
p
p
q
q

e=1 Δ 
e =1
 

(5)
Переход от интегральной формы (5) к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) рассмотрим на примере e-го ТКЭ.
Аппроксимацию функций x и y сужением на ТКЭ Tk представим линейными полиномами, используя аффинное отображение xy в ξη (рис. 1)
x = a1 + a2ξ + a3η; y = a1 + a2ξ + a3η,
T
где {a} = [ B ]{ x} ; {a } = [ B ]{ y} ; { x} = { x1 , x2 , x3 } и
{ y}T = { y1, y2 , y3 }
– суть
координаты узлов Tk ;
 1 0 0
[ B ] =  −1 1 0 .
 −1 0 1 
Тогда
x ( ξ, η) =
3

k =1
α k xk ; y ( ξ, η) =
3
 α k yk ,
(6)
k =1
где α k = b1k + b2k ξ + b3k η .
Аналогичные выражения (рис. 1) получатся прямым отображением
pq в ξη
 p ( ξ, η) = p1 + ( p2 − p1 ) ξ + ( p3 − p1 ) η,

 q ( ξ, η) = q1 + ( q2 − q1 ) ξ + ( q3 − q1 ) η;
40
(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
и обратным ξη в pq
1

 ξ ( p, q ) = Δ ( p ( q3 − q1 ) + q ( p1 − p3 ) + p3q1 − p1q3 )

η ( p , q ) = 1 ( p ( q − q ) + q ( p − p ) + p q − p q ) ,
1
2
2
1
1 2
2 1
Δ

где
Δ=
p2 − p1
q2 − q1
p3 − p1
q3 − q1
(8)
– удвоенная площадь треугольника;

( j = 1, 2, 3 ) – координаты узловых точек Tk на ω =
m
p j ,q j

 ωi .
i=1
M 2 ( x2 , y2 )
y
M1 ( x1 , y1 )
q
M 2 ( p2 , q2 )
M 3 ( x3 , y3 )
η
x
M 3 ( p3 , q3 )
M1 ( p1 , q1 )
η
p
Q1 (0, 1)
Q1 (0, 1)
Q2 (0, 0)
Q3 (1, 0)
ξ
Q2 (0, 0)
Q3 (1, 0)
ξ
Рис. 1. Аффинное преобразование координат xy и pq в ξη
С учетом выражений (6)–(8) производные
∂x(ξ, η) ∂x(ξ, η) ∂y (ξ, η) ∂y (ξ, η) ∂αi (ξ, η) ∂αi (ξ, η)
,
;
;
;
;
;
∂p
∂q
∂p
∂q
∂p
∂q
входящие в уравнение (5), определятся как
 3

 ∂x 
 b2k xk 
 ∂p 
k =1

 
  = [E] 3
;
 ∂x 


 ∂q 
 b3k xk 
 k =1



 3

 ∂y 
 b2k yk 
 ∂p 
k =1

 
  = [E] 3
;
 ∂y 


 ∂q 
 b3k yk 
 k =1



 ∂αi 
 ∂p 
b2i 



 = [E]   ,
b3i 
 ∂αi 
 ∂q 
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1  ( q3 − q1 )

Δ ( p1 − p2 )
( q3 − q1 )   e11
=
( p2 − p1 ) e21
e12 
.
e22 
Опуская здесь и далее знаки суммирования и считая, что в пределах
ТКЭ k = 1, 2,3; i = 1, 2,3 , получим
где [ E ] =
 ∂x
 ∂p = ( e11b2k + e12b3k ) xk ,


 ∂x = ( e b + e b ) x ;
21 2 k
22 3k k
 ∂q
 ∂y
 ∂p = ( e11b2k + e12b3k ) yk ,


 ∂y = ( e b + e b ) y ;
21 2 k
22 3k k
 ∂q
 ∂αi
= e11b2i + e12b3i ,

 ∂p

 ∂αi = e b + e b .
21 2i
22 3i
 ∂q
(9)
Подставим в уравнение (5) найденные производные (9) и получим:
J xe =  ( e21b2i + e22b3i )( e21b2k + e22b3k ) xk +
ξ ,η
+ ( e11b2i + e12b3i )( e11b2k + e12b3k ) xk  det [ J ] d ξd η,
∂p
∂ξ
где det [ J ] =
∂p
∂η
∂q
∂ξ
= Δ – детерминант матрицы Якоби, а учитывая, что
∂q
∂η
1
в пределах ТКЭ на плоскости ξη (см. рис. 1)
 d ξd η = 2 , окончательно
ξ ,η
получим
J xe =
Δ
( e21b2i + e22b3i )( e21b2 k + e22b3k ) +
2
+ ( e11b2i + e12b3i )( e11b2 k + e12b3k )  xk .
Представим полученные соотношения в виде
{ }
 k e  { xk } = εek ,
 
(10)
где kie,k = ( e21b2i + e22b3i )( e21b2 k + e22b3k ) + ( e11b2i + e12b3i )( e11b2k + e12b3k ) .
m
Построение глобальной матрицы жесткости
[ K ] =   k e 
e=1
– сборка,
производится известными в приложениях метода конечных элементов
приемами, например поузловая, и не представляет никаких вычислительных
трудностей. Тогда из решения СЛАУ вида [ K ]{ X } = 0 находим искомый
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
{ X }T
Физико-математические науки. Математика
{
}
= x1 , ..., x j , ..., xn , где n – число узловых точек регулярной

треугольной КЭС на Ω( x, y ).

Несогласованность узлов по склеиваемым границам ψ i подобластей

Ωi учитывается применением алгоритмов конденсации неизвестных [8]
в методе подконструкций [9] с последующей поузловой сшивкой [10].
Координаты y j узловых точек ТКЭ найдем из условия (2), а с учетом
вектор
отображения (7) и производных (9) получим
dy = − ( e21b2 k + e22b3k ) xk ( p2 − p1 ) d ξ + ( p3 − p1 ) d η +
+ ( e11b2k + e12b3k ) xk ( q2 − q1 ) d ξ + ( q3 − q1 ) d η .
Проинтегрируем последнее выражение в локальных координатах одного
ТКЭ, считая, что координаты y1 и y2 (см. рис. 1) известны (обход определим
от граничных узлов с известными координатами внутрь области) и будем иметь
y3 = y2 + ( ( e11b2k + e12b3k ) ( q2 − q1 ) − ( e21b2 k + e22b3k ) ( p2 − p1 ) ) xk , k = 1, 2,3.
Осуществляя обход всех ТКЭ, находим искомый вектор координат
T
{Y }
{
}
= y1 , ..., y j , ..., yn, .
Очевидно, что построение эквивалентного аналога ωi (i = 3, 4,5,6) на
плоскости pq – базовый равносторонний треугольник (БРТ) или область из
него порождаемая – выпуклый n -угольник (n = 4,5,6) , опирающийся углами
на стороны БРТ (рис. 2), не является однозначным.
Таким образом, встает задача построения эквивалентного заданной подобласти Ωi вписанного в БРТ n -угольника ωi , наилучшего в смысле нестрогого равенства соотношения сторон соответственно на xy и pq .
Если для БРТ задача имеет единственное решение в смысле распределения узловых точек по сторонам, то для n -угольников потребуем соблюдения нестрогого равенства соотношения соответствующих сторон
n −1
n

lj
l
j =1 k = j +1 k
−
lj
lk
≤ε,
где lk – длина k-й стороны подобласти Ωi ; lk – длины k-й стороны
n -угольника ωi ; ε – наперед заданная положительная малая величина, определяющая качество соответствия Ωi с ωi .
Вписанный в БРТ n -угольник ωi получим следующим образом.
Шаг 1. Стороны БРТ разобьем на равные отрезки в заданном отношении, обозначим через N число разбиений по стороне треугольника. Тогда
длина стороны БРТ L = N Δl , где для определенности шаг разбиений по стороне Δl = 1 .
Шаг 2. Построение n -угольников ωi будем проводить так, чтобы их
большая сторона совпадала с базовой стороной БРТ (см. рис. 2).
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 2. Построение эквивалентных n -угольников ωi на плоскости pq : а – базовый
равносторонний треугольник; б – четырехугольник (Тип 1); в – четырехугольник
(Тип 2); г – пятиугольник (Тип 1); д – пятиугольник (Тип 2); е – шестиугольник
Шаг 3. Из очевидных геометрических и пропорциональных соотношений находим длины сторон n -угольников ωi на pq , как показано в табл. 1.
Таблица 1
Типы n -угольников
Длины сторон n -угольника ωi
Треугольник
li = N , i = 1, 2,3
Четырехугольник – тип 1
(параллелограмм)
Четырехугольник – тип 2
(трапеция)
li =
li =
3Nli
, i = 1, 2; l3 = l1 , l4 = l2
l1 + 2l2 + 2l3 + l4
3Nli
, i = 1, 2; l3 = N − l2 , l4 = l2
l1 + l2 + 2l3 + l4
li =
Пятиугольник – тип 1
3 Nli
, i = 1,3;
l1 + 2l2 + l3 + 2l4 + l5
l2 = N − l1 , l4 = N − l2 − l3 , l5 = N − l4
li =
Пятиугольник – тип 2
3 Nli
, i = 1, 2;
l1 + 2l2 + 2l3 + l4 + 2l5
l3 = N − l2 , l5 = N − l1 − l2 , l4 = N − l3 − l5
Шестиугольник
li =
3 Nli
, i = 1, 2,3;
l1 + 2l2 + 2l3 + l4 + 2l5 + 2l6
l4 = N − l2 − l3 , l6 = N − l1 − l2 , l5 = N − l4 − l6
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Шаг 4. Определим относительную погрешность ε s =
n −1
n

lj
l
j =1 k = j +1 k
−
lj
lk
.
Если найденная погрешность не удовлетворяет условию ε s ≤ ε, то следует
изменить количество разбиений N = N + ΔN , где ΔN – шаг по числу разбиений. В противном случае считаем n -угольник ωi с найденным числом разбиений по сторонам построенным.

Построение дискретного аналога ωi проводится следующим образом:



через полученные точки ( p j , q j ) ∈ Ψ i , где j = 1, 2,...,3N ; Ψ i – граница ωi ,
последовательно проводятся прямые линии параллельно сторонам БРТ. Пересечением прямых внутри n -угольника ωi получаем узловые точки ТКЭ

дискретного аналога ωi на pq. Необходимые сгущения КЭС достигаются на

Ωi методом последовательных подразбиений [11] или методом «зон и сторон» [12].
Список литературы
1. З е н к е в и ч , О . С . Метод конечных элементов в технике / О. С. Зенкевич. – М. :
Мир, 1975. – 296 с.
2. О д е н, Д ж . Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред /
Дж. Оден. – М. : Мир, 1976. – 486 с.
3. В о р о ш к о , П . П . Полуавтоматическая триангуляция плоской области по заданным углам. Алгоритмы и программы по расчету на прочность и исследование
напряженно-деформированного состояния элементов конструкций / П. П. Ворошко, О. Н. Петренко. – Киев : Наукова думка, 1979. – 112 с.
4. C a v e n d is h , J . С . Automatic triangulation of arbitrary planar domains for the finite
element method / J. С. Cavendish // Int. J. Num. Meth. Eng. – 1974. – V. 8. –
P. 679–696.
5. S a d e k , E . A . A Scheme for the automatic generation of triangular finite elements /
E. A. Sadek // Int. J. Num. Meth. Eng. – 1980. – V. 16. – P. 1813–1822.
6. К р а в ч е н к о , А . А . Автоматическая дискретизация двумерной области на конечные элементы с использованием конформно отображающей функции /
А. А. Кравченко, Д. Ю. Полянский, М. А. Тарасов // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения задач упругости и пластичности : Всесоюз. межвуз. сб. – Горький : Изд-во Горьк. ун-та, 1985. – С. 115–119.
7. У г о д ч и к о в , А . Г . Решение краевых задач теории упругости на цифровых и
аналоговых машинах / А. Г. Угодчиков, М. И. Длугач, А. Е. Степанов. – М. :
Высшая школа, 1970. – 246 с.
8. W i l s o n , E . L . The static condensation algorithm / E. L. Wilson // Int. J. Num. Meth.
Eng. – 1974. – V. 8, № 1. – P. 198–203.
9. К р а в ч е н к о , А . А . К вопросу реализации метода подконструкций / А. А. Кравченко, Д. Ю. Полянский // Прикладные проблемы прочности и пластичности :
Всесоюз. межвуз. сб. – Горький : Изд-во Горьк. ун-та, 1983. – С. 145–152.
10. Ta y lo r , R . L. On completeness of shape functions for finite element analysis /
R. L. Taylor // Int. J. Num. Meth. Eng. – 1972. – V. 4, № 1. – P. 17–22.
11. Т е м а м , Р . Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. –
М. : Мир, 1981. – 408 с.
12. S i e n k i e w i c z, O . C . An automatic mesh generation scheme for plane and curved
surfaces by isoparametric co-ordinates / O. C. Sienkiewicz, D. V. Phillips // Int. J. Num.
Meth. Eng. – 1971. – V. 3, № 4. – P. 519–528.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Полянский Дмитрий Юрьевич
кандидат технических наук, доцент,
ректор Владимирского политехнического
колледжа
Polyansky Dmitry Yuryevich
Candidate of engineering sciences,
associate professor, rector of Vladimir
polytechnic college
E-mail: adm@polcol.elcom.ru
УДК 539.3
Полянский, Д. Ю.
Триангуляция плоских областей решением методом конечных элементов в форме Галеркина задачи Дирихле / Д. Ю. Полянский // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2012. – № 3 (23). – С. 38–46.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
УДК 53.082.8, 51-73, 517.9
С. И. Геращенко, С. М. Геращенко, Е. В. Кучумов,
Н. О. Голотенков, М. В. Маркулева, С. П. Кравцова, Н. В. Шпенглер
АНАЛИЗ И ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ ВЫВОДОВ
ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ РАБОТУ
ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ЯЧЕЙКИ
Аннотация. Анализируется система кинетических уравнений на степень соответствия имеющимся представлениям различных процессов в электрохимической ячейке.
Ключевые слова: система интегродифференциальных уравнений, анализ на
адекватность, электрохимическая реакция, электрохимическая ячейка.
Abstract. The article analyzes a closed system of integro-differential equations to
find out a degree of its correspondence to different processes in an electrochemical
cell.
Key words: system of integro-differential equations, check analysis, electrochemical
reaction, electrochemical cell.
Введение
Рассмотрим замкнутую математическую модель, построенную и обоснованную в работах [1, 2],
zi F
 

 N


∂ci
4π

+ zi Fui ∇ci ⋅  F
∇G (r; r ′)  zk ck (t , r ′)  dr ′ + E(r )  +


∂t
 ε

 k =1

V





N
    N
 
4π 
+ci
F  zk ck   − ∇ ⋅  Dik ∇ck  +



ε  k =1

 k =1



N
B

ϑ
+ zi F ∇ ⋅ ( ci v C ) = zi F αi,k kVGi,k
cl l ,k ,

k =1
∏
(1)
l
где i = 1, N – количество компонент (веществ), участвующих в электрохимических процессах переноса заряда; zi – заряд ионов (валентность) i -го вещества; F – постоянная Фарадея ( F = 96485,3 Кл/моль); ci – молярная концентрация ионов i -го вещества; ui – абсолютные подвижности носителей заряда
i -го вещества; G (r; r ′) – функция Грина, выражаемая с помощью ньютонова

−1
потенциала r − r ′ ; E(r ) = −∇ϕЭл ( ϕЭл – потенциал, получаемый из граничных условий на электродах); Dik – матрица электрохимических коэффициентов диффузии i -го вещества; χi – изменение (рождения/исчезновения)
массы mi i -й компоненты смеси в единицу времени на единицу объема за
счет химической реакции или ионизации; k = 1, B – количество химических
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
реакций; αi,k – стехиометрический коэффициент i -го компонента в k -й химической реакции; kVGi , k – константа скорости i -го компонента в k -й химической реакции; ϑi – порядок реакции i -го компонента в k -й химической
реакции.
Предварительные замечания
В электрохимической ячейке рассматриваются процессы под влиянием
постоянного тока во внешней цепи, изменяющегося скачком от нуля до некоторого конечного значения в начальный момент времени ( t = 0 ). Такая ситуация характерна для хронопотенциометрии, и поэтому целесообразно использовать такие же соотношения для размеров индикаторного электрода и электрода сравнения, когда площадь последнего берется значительно больше (порядка сотен раз). Следовательно, основной перепад напряжения придется на
индикаторный электрод, и, таким образом, можно будет рассматривать процессы только вблизи его поверхности.
Относительно связи соотношения площадей поверхности индикаторного электрода и электрода сравнения и соответствующих перепадов напряжения можно использовать следующие соображения. Полный ток через электрохимическую ячейку можно представить в виде соотношения
I ec = S ⋅ j ,
(2)
где S – площадь поверхности электрода; j – средняя плотность тока на поверхности электрода.
В силу того, что полный ток I ec не зависит от места сечения, должно
выполняться следующее равенство
Ses ⋅ jes = Sie ⋅ jie ,
(3)
где Ses и Sie – соответственно площади электрода сравнения и индикаторного электрода; jes и jie – соответствующие усредненные по поверхности
электродов плотности тока.
Равенство (3) удобнее представить в виде пропорций:
Sie
j
= es .
Ses
jie
(4)
Данное выражение показывает, что отношение между площадями электрода сравнения Ses и индикаторного электрода Sie обратно отношению
между плотностями токов данных электродов.
Будем рассматривать случай с фиксированной площадью электрода
сравнения Ses = const  Sie . В случае способа измерения на основе хронопотенциометрии (когда во внешней цепи с некоторого момента времени задается постоянный ток) это приводит к тому, что плотность тока электрода сравнения jes = const  jie .
Стоит отметить [3], что обычно в качестве электрода сравнения выбирают электрохимические системы со значительно большими плотностями то-
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
ка обмена j0es , численно равного плотности тока прямого и обратного процесса через межфазную границу. Это приводит к тому, что для достаточно
большого интервала токов ( jes ≤ 10−4 j0es ) изменением потенциала на электроде сравнения можно пренебречь.
Таким образом, основное падение напряжения будет происходить на
индикаторном электроде, что указывалось выше. Если ток во внешней цепи
задан и может варьироваться в конечном интервале, то по известной зависимости jie = jie (η) , где η – перенапряжение на межфазной границе, с помощью соотношения jie (η) Sie = I ec можно подобрать такую площадь индикаторного электрода Sie , чтобы переходные процессы проявлялись наиболее
явно в целях оптимизации джоульметрии [1, 2]. Например, в случае одностадийной реакции разряда-ионизации на индикаторном электроде, хорошо описываемой формулой Тафеля, связь плотности тока с перенапряжением выражается экспонентной
 βzF 
η ,
jie (η) = jie0 exp 
 RT 
(*)
где jie0 – ток обмена на индикаторном электроде; β – коэффициент переноса; z – заряд окисленного деполяризатора (число электронов, участвующих
в электрохимической реакции); R – универсальная газовая постоянная.
В данном случае зависимость перенапряжения η от площади электрода Sie
примет логарифмический вид
η=
RT
⋅ ( ln I ec − ln jie0 − ln Sie ) ,
βzF
из которой видно, что с ростом площади индикаторного электрода перенапряжение уменьшается. Стоит заметить, что зависимость (*) имеет место для
перенапряжения η  RT F = 25 мВ [3].
Пусть на индикаторном электроде протекает реакция, в которой окисленная форма O принимает z электронов и превращается в восстановленную форму R по следующей схеме:

ke
O + ze − 
 R,
(5)
ke
 
где ke , ke – константы скорости гетерогенного переноса заряда в катодном и
в анодном процессах соответственно. Частица O может быть как нейтральной молекулой, так и ионом. Если заряд частицы O равен zO , а частицы R –
z R , то закон сохранения заряда в реакции (5) запишется как
zO − z = z R .
Одновременно с процессом восстановления O до R идет обратный
процесс окисления R до O .
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Вводятся следующие упрощающие положения:
а) окисленная и восстановленная формы деполяризатора растворимы
в растворе;
б) в растворе имеется избыток индифферентного электролита, концентрация которого по меньшей мере на два порядка превышает концентрацию
деполяризатора;
в) отсутствует адсорбция как деполяризатора, так и нейтральных поверхностно-активных веществ;
г) доставка вещества к электроду осуществляется за счет свободной
диффузии.
Для индикаторного электрода выберем геометрию с такой симметрией,
чтобы решение системы (1) зависело только от одной пространственной переменной ci = ci ( x, t ) (в случае сферической и цилиндрической симметрии

x = r , что отразится на виде градиента ∇ ). Электрод находится в координате
x≡0.
В силу вида реакции (5) система (1) для индикаторного электрода будет
состоять из двух уравнений относительно окисленной формы O и восстановленной формы R , т.е. N = 2 . Обозначим соответствующие концентрации через cO и cR .
Избыток индифферентного электролита в растворе, определяемый
условием (б), говорит о том, что можно пренебречь падением потенциала
в диффузионной части двойного электрического слоя, т.е. ψ1 ≈ 0 . А также
это определяет условие электронейтральности раствора вдали от электрода,
в частности, при z R ≡ 0 .
Условие (г) определяет отсутствие конвекции (естественной или искусственной), т.е. vC = 0 . В случае эксперимента для недопущения естественной
конвекции за счет градиента плотности раствора время электролиза ограничивают одной минутой.
Анализ системы (2) и построение ее решения
В соответствии с предварительными замечаниями система (1) представится в следующем виде:
zR F

 4π l

∂cR

+ z R Fu R ∇ x cR ⋅  F ∇ x G ( x; x′) ( z R cR (t , x′) + zO cO (t , x′) ) dx′ + E x ( x)  +
∂t
 ε


0



+ cR
B
4π
ϑ
ϑ

F ( z R cR + zO cO )  − DR ∇ 2x cR = z R F α R,k kVGR,k cR R , k cOO ,k ;
ε

k =1

(6)

 4π l

∂cO

zO F
+ zO FuO ∇ x cO ⋅  F ∇ x G ( x; x′) ( z R cR (t , x′) + zO cO (t , x′) ) dx′ + E x ( x)  +
∂t
 ε


0



+cO
50
B
4π
ϑ
ϑ

F ( z R cR + zO cO )  − DO ∇ 2x cO = zO F αO,k kVGO,k cR R ,k cOO ,k ,
ε

k =1

(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
где ∇ x G ( x; x′) =
Физико-математические науки. Математика
 ∇ xG( x,0,0; r′)ds .
Sie
Переход в уравнениях (6), (7) от градиента объемного потенциала

∇G (r; r ′) к градиенту одномерного потенциала ∇ x G ( x; x′) можно обосновать
также на основе специфического строения двойного электрического слоя на
межфазовой границе. Дело в том, что характерный размер области двойного
слоя мал (плотная часть имеет размер в единицы молекулярного радиуса)
по сравнению с характерным размером индикаторного электрода. Таким образом, так как объемная плотность заряда ρ z = F ( z R cR + zO cO ) отлична от
нуля только в области двойного электрического слоя, то можно считать, что
интегральное слагаемое дает вклад в уравнение только в области двойного
слоя. Поэтому, пренебрегая кривизной поверхности электрода и краевыми
условиями на нем (в случае плоской или цилиндрической геометрии), можно
считать распределение заряда (концентрации носителей заряда) одномерными и решать систему (1) в приближении одномерного потенциала. В случаях
наличия конвекции, сложной геометрии электрода или сильных токов данное
приближение уже недействительно, и поэтому необходимо решать уже систему (1).
В частном случае, если z R ≡ 0 , то восстановленная форма деполяризатора является электронейтральной, а значит, u R ≡ 0 , и тогда уравнение (6)
преобразуется в уравнение диффузии незаряженных частиц (так как
z R u R  o( z R2 ) , а DR z R  O ( z R ) ):
B
 D 
∂cR  2
ϑ
ϑ
− DR ∇ x cR =
α R ,k kVGR,k cR R ,k cOO , k , D R = lim  R  ;
∂t
z R →0  z R F 
k =1

(8)
соответственно, уравнение (7) упростится до следующего вида:

 4π l

∂cO

+ zFuO ∇ x cO ⋅  zF ∇ x G ( x; x′)cO (t , x′) dx′ + E x ( x)  +
zF
∂t
 ε


0



2
+ zcO
B
4π 
ϑ
ϑ
2
F  − DO ∇ x cO = zF αO,k kVGO,k cR R ,k cOO ,k .
ε 
k =1

(9)
Как видно, несмотря на упрощения, уравнение (9) все равно остается
нелинейным неоднородным интегродифференциальным уравнением.
В электрохимической кинетике поляризацию внутри электрохимической ячейки принято разделять на электрохимическую поляризацию и концентрационную поляризацию [3, 4]. Покажем, что система уравнений (6), (7),
как и (1), адекватно описывает оба вида поляризации.
Электрохимическая поляризация имеет место, когда лимитирующей
стадией процесса внутри ячейки является электрохимическая (необратимая)
реакция на электроде. В силу медленности электрохимической реакции доставка и отвод реагирующих веществ за счет диффузии протекает практически без задержки, поэтому можно считать, что в самом растворе cRp и cOp по-
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
стоянны, следовательно, их пространственные производные равны нулю.
Кроме того, необходимо учесть, что подвижности носителей заряда u R и uO
определены для объема электролита, и поэтому на поверхности электрода
они также должны быть равны нулю. Учитывая все это, а также то, что концентрации зависят от одной пространственной переменной x , мы приходим
к следующим уравнениям для электрохимической поляризации:
B
ϑR , k ϑO , k
cO ,
(10)
 αO,k kVGO,k cR
ϑR , k ϑO , k
cO .
(11)
∂c
∂ρ
∂cR ∂ρ R
=
= −∇ x jR , zO F O = O = −∇ x jO .
∂t
∂t
∂t
∂t
(12)
∇ x jR = − z R F
 α R,k kVGR,k cR
k =1
B
∇ x jO = − zO F
k =1
Здесь учтено, что
zR F
Если учесть конкретный вид электрохимической реакции (5), а также
то, что данная реакция происходит только на границе электрод–раствор, т.е.
носит пространственный характер дельта-функции Дирака, то интегрирование по переменной x в пределах электрохимической ячейки приведет к следующим выражениям для плотности тока:


(13)
jR = z R F ke cR − ke cO ,
(
)


jO = zO F ke cO − ke cR .
(
)
(14)
В тождествах (13), (14) предполагается, что концентрации cR и cO
определены для x = 0 , но как принято выше, концентрации у поверхности
электрода и в глубине раствора совпадают, т.е. cR = cRp и cO = cOp . Однако
в случае, если скорость диффузии или конвекции сравнимы со скоростями
электрохимической реакции, то в соотношения (13), (14) нужно уже брать
концентрации cR (0, t ) и cO (0, t ) .
Учитывая то, что измеряемая плотность тока через электрод определяется разность противоположных токов jO − jR и что количество электронов,
участвующих в электродном процессе, определяется как zO − z R = z , окончательно придем к соотношению


j = jO − jR = zF ke cO − ke cR =
(
)
= zFke ( cO exp [ −βzF (ϕк − ϕ0 ) RT ] − cR exp [ (1 − β) zF (ϕа − ϕ0 ) RT ]) , (15)
где β – коэффициент переноса; ϕ – потенциал электрода; ϕ0 – стандартный
потенциал электрода; ke – константа скорости электродного процесса при
стандартном потенциале электрода.
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
В случае z R ≡ 0 общая плотность тока j определяется плотностью тока окисленной формы деполяризатора jO как носителей заряда, т.е. j = jO ,
однако все равно будет выражаться соотношением (15).
Уравнение (15) является уравнением плотности тока для реакции первого порядка, известного из теории замедленного разряда-ионизации [3, 4].
В случае концентрационной поляризации замедленный подвод или отвод реагирующих веществ может быть обусловлен замедленностью некоторых стадий: собственно стадии доставки вещества к электроду; предшествующих химических реакций, в результате которых из электрохимическинеактивных форм получаются электрохимически-активные формы вещества;
последующих реакций превращения продукта электродного процесса в другие вещества и т.д.
Рассмотрим случай, когда лимитирующей стадией является собственно
стадия подвода к электроду (или отвода от электрода) электроактивного вещества.
В этом случае систему уравнений (6), (7) нужно рассматривать в околоэлектродной области, а процесс диффузии без учета влияния электрического
поля. Однако в действительности, несмотря на то, что абсолютные подвижности большинства ионов u  1 , для относительной подвижности uF можно
гарантировать только выполнение условия uF < 1 .
Очевидно, что если положить u R = uO = 0 , то система уравнения (6), (7)
просто станет несколькими независимыми параболическими уравнениями
диффузии. Их решения в случае плоского электрода в приближении полубесконечного раствора будут иметь следующий вид [3, 4]:
z R FcR ( x, t ) = z R FcRp +
zO FcO ( x, t ) = zO FcOp +
+∞
где erfc( x) =

 z Fx 2  jR x
 z Fx 
2 jR z R Ft
exp  − R
erfc  R
−
 ; (16)
2 D t 
 4 DR t  DR
DR π
R 



2 jO zO Ft
DO π
 z Fx 2  jO x
 z Fx 
exp  − O
erfc  O
−
 , (17)
2 D t 
 4 DO t  DO
O 



2
e − z dz .
x
И для случая z R ≡ 0 система (8), (9) даст решения в виде
cR ( x, t ) = cRp −


2j t
x2 
jx
x 
;
+
exp  −
erfc 

 4 D R t  zFD R
 2 D t 
zF D R π


R 

(16′)
 zF x 
 zFx 2  jx
2 j zFt
exp  −
erfc 
.
−




DO π
 4 DO t  DO
 2 DO t 
(17′)
zFcO ( x, t ) = zFcOp +
В хронопотенциометрии принято в соотношениях (16), (17) отталкиваться от плотности измеряемого тока j , к которому можно перейти с помощью соотношений jR = z R j z , jO = zO j z .
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Теперь рассмотрим вид уравнений (6), (7) в достаточном удалении от
(
)
электрода, где выполняется условие ρ z = F z R cRp + zO cOp = 0 , и, следовательно, уравнения принимают вид
zR F
∂cR
= DR ∇ 2x cR − z R FuR ∇ x cR ⋅ E x ( x) ;
∂t
(18)
zO F
∂cO
= DO ∇ 2x cO − zO FuO ∇ x cO ⋅ E x ( x) .
∂t
(19)
В случае z R ≡ 0 условие ρ z = 0 выполняется за счет индифферентного
электролита в растворе.
Если учесть, что среда однородная и в целом электронейтральная, т.е.


∇cR ,O = 0 и ∇ ⋅ E = ρ z = 0 , то, используя соотношения (12), получаем классический закон Ома в дифференциальной форме для каждой из компонент:
jR = z R Fu R cR E x = σ R E x ,
jO = zO FuO cO E x = σO E x .
Далее, так как выше было определено, что электрохимический процесс
протекает на границе электрода, то в области раствора электролита изменение концентрации окисленной и восстановленной форм деполяризатора описывается уже однородными интегродифференциальными уравнениями (6), (7)
и, соответственно, (8), (9) при z R ≡ 0 , которые удобно представить в следующем виде:

 4π l
∂cR  2

− DR ∇ x cR = −uR ∇ x cR ⋅  F ∇ x G ( x; x′) ( z R cR (t , x′) + zO cO (t , x′) ) dx′ +
∂t
 ε

0


+ E x ( x ) ] + cR
4π

F ( z R cR + zO cO )  ;
ε

(20)

 4π l
∂cO  2

− DO ∇ x cO = −uO ∇ x cO ⋅  F ∇ x G ( x; x′) ( z R cR (t , x′) + zO cO (t , x′) ) dx′ +
∂t
 ε

0


+ E x ( x) ] + cO
4π

F ( z R cR + zO cO )  ,
ε

(21)
где D R = DR z R F и D O = DO zO F – коэффициенты диффузии восстановленной и окисленной форм деполяризатора.
Чтобы представить в явном виде для декартовой системы координат
правую часть системы (20), (21), необходимо взять интеграл
∇ x G ( x; x′) =
 ∇ xG( x,0,0; x′, y′, z′)ds′ =
Sie
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
lz 2 l y 2
=−
( x − x′)
 
−lz 2 −l y 2
( ( x − x′)
2
′2
+y +z
′2
)
3
dy ′dz ′ ,
(22)
2
который в элементарных функциях не выражается.
Для обхода данной сложности используется следующий подход – считая область определения функции Грина достаточно малой, в силу сказанного
выше разлагаем подынтегральное выражение (22) в ряд по параметру ( x − x′) :


3 ( x − x′)3
 ( x − x′)

∇ x G ( x; x′) = −
−
+  dy ′dz ′ =

3
5
2 2


2
2
2
2
2
−l z 2 −l y 2 y ′ + z ′
y′ + z′


lz 2 l y 2
 
(
)
= − g 0 ( x − x′) +
(
)
3
g 2 ( x − x′)3 −  ,
2
(23)
где
lz 2 l y 2
 
gk =
−l z 2 −l y 2
dy ′dz ′
(y
′2
+z
′2
)
k +3
, k = 0, 2, 4,
2
Таким образом, оставляя существенные члены в разложении (23), можно рассматривать систему (20), (21) в различных приближениях. Например,
если оставить первый член − g0 ( x − x′) с учетом свойства
l
 ( zR cR (t , x′) + zO cO (t , x′) ) dx′ = 0 ,
0
то уравнения (20), (21) запишутся следующим образом:
∂cR  2


4π
 4π

− DR ∇ x cR = −u R ∇ x cR ⋅  d (t ) + E x ( x)  + cR
F ( z R cR + zO cO )  ;
∂t
ε
 ε



∂cO  2


4π
 4π

− DO ∇ x cO = −uO ∇ x cO ⋅  d (t ) + E x ( x)  + cO
F ( z R cR + zO cO )  ,
∂t
ε
 ε



lde
где d (t ) = g0 F
 x′ ( zR cR (t, x′) + zO cO (t , x′) ) dx′ – дипольный момент двойного
0
электрического слоя. В контексте электрохимической ячейки дипольному
моменту d (t ) можно придать следующую интерпретацию: если представить
d (t ) = Cde η(t )lde (где Cde – удельная емкость двойного электрического слоя;
η – падение напряжения на индикаторном электроде; lde – условная толщина двойного электрического слоя), то в системе (20), (21) данный член описывает собой не что иное, как процесс зарядки-разрядки двойного электрического слоя.
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Если же оставить два члена разложения (23), то в соотношениях для
интегрального слагаемого появляется зависимость дипольного момента от
координаты x , а также другие мультипольные компоненты.
Как указывалось выше, слагаемое E x ( x) определяется из условий на
электродах, и, в частности, в приближении для бесконечных электродов его
можно считать постоянным по всей длине ячейки. В противном случае его
нужно рассчитывать исходя из площади электрода с помощью интеграла


∂
E(r ) = −∇  ψ 2 (r ′)
G (r; r ′)d τr′ − ψ1 (r ′)G (r; r ′)d τr′  ,


∂nr′
Σ
Σ


где ψ1 = ( ∂ϕ ∂nr′ )
Σ

– поверхностная плотность заряда простого слоя;
ψ 2 = ϕ Σ – поверхностная плотность заряда двойного слоя; ∂ / ∂nr′ – градиент в направлении нормали к элементарной площадке d τr′ ; Σ – площадь
электрода. Может показаться, что Ex ( x) , как и E(r ) , определяется независимо от среды электрохимической ячейки только на основе заданного потенциала на поверхности электрода, т.е. исходя из свойств материала электрода.
Но в случае проводящего или полупроводящего материала электрода в самом
электроде также существует аналог двойного электрического слоя, который
активно взаимодействует с двойным слоем электролита и определяет равновесный потенциал на поверхности. Таким образом, для того чтобы определить точные условия на поверхности, необходимо знать решение. Кроме того,
к условиям на поверхности электрода необходимо отнести и адсорбцию (как
физическую, так и химическую) различных компонент среды электролита.
В этом случае в выражение для напряженности E(r ) добавляются два слагаемых, не выражаемых с помощью интегральных соотношений с функцией
Грина в виде решения уравнения Лапласа и существенно зависящих от природы веществ как электрода, так и электрохимического раствора. Как правило, расчет абсорбционных процессов проводится на основе термодинамических соотношений [3].
Нелинейное слагаемой в правой части (20), (21) не обусловлено химической нелинейностью, которое часто проявляется через закон действующих
масс в химической кинетике и служит основой для теоретического изучения
многих чисто химических диссипативных структур [5]. Данный член связан
с взаимным действием и самодействием носителей заряда того же характера,
что приводит, в частности, к вытеснению избыточного заряда в проводящей
среде на ее границу и исключаем только в случае отсутствия зарядов, например полной нейтральности среды или отсутствием проводимости ( ui → 0 ).
Заключение
Анализ системы (1) показал, что она способна описывать большой
спектр процессов в электрохимической ячейке, связывая в одной структуре
диффузионные процессы с процессами протекания электрического тока. Преобразование системы (1) для случая простой (базовой) реакции вида
O + ze −  R в приближении различных лимитирующих стадий электрохи-
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
мической реакции показал адекватность ее заключений по сравнению с результатами классической теории хронопотенциометрии.
Список литературы
1. Г е р а щ е н к о , С . И . Вопросы моделирования электрохимических методов и
средств контроля динамики воспалительных процессов / С. И. Геращенко,
С. М. Геращенко, Е. В. Кучумов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3 (15). – С. 165–172.
2. Г е р а щ е н к о , С . М . Построение замкнутой математической модели электрохимических методов и средств оценки состояния биологических объектов /
С. М. Геращенко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2011. – № 2 (18). – С. 90–97.
3. Д а м а с к и н , Б. Б. Введение в электрохимическую кинетику / Б. Б. Дамаскин,
О. А. Петрий. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Высш. школа, 1983. – 400 с.
4. З а х а р о в, М . С . Хронопотенциометрия (Методы аналитической химии) /
М. С. Захаров, В. И. Баканов, В. В. Пнев. – М. : Химия, 1978. – 200 с.
5. В а с и л ь е в , В. А . Автоволновые процессы / В. А. Васильев, Ю. М. Романовский, В. Г. Яхно ; под ред. Д. С. Чернавского. – М. : Наука, 1987. – 240 с.
Геращенко Сергей Иванович
доктор технических наук, профессор,
заведующий кафедрой медицинских
информационных систем и технологий,
Пензенский государственный университет
Gerashchenko Sergey Ivanovich
Doctor of engineering sciences, professor,
head of sub-department of medical
information systems and technologies,
Penza State University
E-mail: sgerash@inbox.ru
Геращенко Сергей Михайлович
кандидат технических наук, доцент,
кафедра медицинских информационных
систем и технологий, Пензенский
государственный университет
Gerashchenko Sergey Mikhaylovich
Candidate of engineering sciences,
associate professor, sub-department
of medical information systems
and technologies, Penza State University
E-mail: sgerash@inbox.ru
Кучумов Евгений Владимирович
кандидат технических наук,
старший научный сотрудник,
Научно-исследовательский институт
физических измерений (г. Пенза)
Kuchumov Evgeny Vladimirovich
Candidate of engineering sciences,
senior staff scientist, Research Institute
of Physical Measurements (Penza)
E-mail: evgenii_kuchumov@mail.ru
Голотенков Николай Олегович
кандидат технических наук, доцент,
кафедра автономных и информационных
управляющих систем, Пензенский
государственный университет
Golotenkov Nikolay Olegovich
Candidate of engineering sciences, associate
professor, sub-department of self-contained
and information control systems,
Penza State University
E-mail: aius@pnzgu.ru
Маркулева Марина Владимировна
студент, Пензенский
государственный университет
Markuleva Marina Vladimirovna
Student, Penza State University
E-mail: mpo@list.ru
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Кравцова Светлана Павловна
студент, Пензенский
государственный университет
Kravtsova Svetlana Pavlovna
Student, Penza State University
E-mail: mpo@list.ru
Шпенглер Нина Владимировна
студент, Пензенский
государственный университет
Shpengler Nina Vladimirovna
Student, Penza State University
E-mail: mpo@list.ru
УДК 53.082.8, 51-73, 517.9
Анализ и проверка адекватности выводов замкнутой системы интегродифференциальных уравнений, описывающих работу электрохимической ячейки / С. И. Геращенко, С. М. Геращенко, Е. В. Кучумов,
Н. О. Голотенков, М. В. Маркулева, С. П. Кравцова, Н. В. Шпенглер // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 3 (23). – С. 47–58.
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.927, 519.62, 517.958
Е. В. Зарембо
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТM-ВОЛН,
РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В СЛОЕ
С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Аннотация. Рассматривается задача о распространении электромагнитных
ТM-волн в слое с произвольной нелинейностью. Физическая задача сводится
к решению нелинейной краевой задачи на собственные значения для системы
двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложен численный
метод решения рассматриваемой нелинейной краевой задачи. Приведены численные результаты на примере керровской нелинейности и нелинейности
с насыщением.
Ключевые слова: нелинейная краевая задача на собственные значения, обыкновенное дифференциальное уравнение, задача Коши.
Abstract. The article considers a problem of electromagnetic TM wave propagation
in a layer with arbitrary nonlinearity. The physical problem is reduced to the nonlinear boundary eigenvalue problem for nonlinear ordinary differential equations. The
numerical method to find propagation constants is suggested and numerical results
for Kerr nonlinearity and nonlinearity with saturation are shown.
Key words: nonlinear boundary eigenvalue problem, ordinary differential equation,
Cauchy problem.
Данная работа продолжает исследования автора [1–3] по численным
методам решения задач о распространении поляризованных электромагнитных волн в нелинейных средах.
В этой работе рассматривается электромагнитная задача о распространении электромагнитных ТM-волн через диэлектрический слой с нелинейной
зависимостью диэлектрической проницаемости от модуля интенсивности
электрического поля. Слой расположен между двумя полупространствами с
постоянными диэлектрическими проницаемостями. Разыскиваются поверхностные электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль границ слоя.
Для нахождения таких волн краевая задача для системы уравнений Максвелла формулируется в строгой электродинамической постановке. Физическая
задача приводит к нелинейной краевой задаче на собственные значения для
обыкновенного дифференциального уравнения (нелинейного) второго порядка. В работе предлагается численный метод для нахождения собственных
значений задачи (значений постоянных распространения, на которых существуют поверхностные волны). Предлагаемый метод основан на решении задачи Коши для упомянутого обыкновенного дифференциального уравнения.
По рассматриваемой здесь задаче и близким к ней уже были получены
некоторые как численные, так и аналитические результаты [1, 3–10]. Однако
заметим, что все численные результаты получены для наиболее простых нелинейностей, и разработка простых, быстрых и эффективных численных методов для рассматриваемого класса задач остается актуальной проблемой.
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Для решения рассматриваемой задачи и близких к ней в [7, 9] был
предложен и затем в [10] развит метод интегральных дисперсионных уравнений (МИДУ), который показал свою эффективность на широком классе задач. Метод интегральных дисперсионных уравнений в первую очередь является аналитическим методом, но допускает также и численную реализацию.
Однако необходимо отметить, что численная реализация МИДУ является непростой вычислительной задачей [1]. Все это заставляет искать более простые, с вычислительной точки зрения, методы для нахождения собственных
значений.
1. Постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный
между двумя полупространствами x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой
без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость ε1 и
ε3 соответственно. Предполагается, что ε1 , ε3 – произвольные действительные числа. Считаем, что всюду μ = μ0 – магнитная проницаемость вакуума.
Далее считаем, что поля гармонически зависят от времени:
 ( x, y , z , t ) = E ( x, y , z ) cos ωt + E ( x, y, z ) sin ωt ,
E
+
−
 ( x, y, z , t ) = H ( x, y, z ) cos ωt + H ( x, y, z ) sin ωt ,
H
+
−
где ω – круговая частота; E+ , E− , H + , H − – вещественные искомые
функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E и H [11]: E = E+ + iE− ,
H = H + + iH − .
Множители cos ωt и sin ωt ниже будут опущены.
Электромагнитное поле удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H = −iωεE , rot E = iωμH ,
(1)
условию непрерывности касательных компонент электромагнитного поля на
границе раздела сред x = 0 и x = h , а также условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при x → ∞ в областях x < 0 и x > h .
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагональным тензором:
 ε xx

ε =  0

0
(
2
где ε xx = ε f + ε0 f E x , E z
2
)
0
ε yy
0


0 ,

ε zz 
0
(
2
и ε zz = ε g + ε0 g E x , E z
2
) . Вид элемента
ε yy здесь не описан, поскольку в силу поляризации этот элемент не входит
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
в изучаемые уравнения. Здесь ε f , ε g – постоянные составляющие диэлектрических проницаемостей ε xx , ε zz ; f ( u , v ) – однократно непрерывно диф-
ференцируемая по обоим аргументам функция; g ( u, v ) – непрерывная по
обоим аргументам функция.
Также мы будем требовать выполнения условия
(
)
min ε f , ε g > max ( ε1 , ε3 ) .
Это условие естественно возникает в линейной задаче [10] (когда диэлектрическая проницаемость в слое является постоянной).
2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны
Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:
T
(
E = ( E x ,0, E z ) , H = 0, H y ,0
T
)
,
T
где E y = E y ( x, y, z ) , H z = H z ( x, y, z ) , H x = H x ( x, y , z ) и ( ⋅ ) – операция
транспонирования. Легко показать [10], что компоненты полей не зависят от
переменной y .
Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред, гармонически зависит от z . Учитывая все сказанное, получаем, что компоненты полей E и H имеют представление E y = E y ( x ) eiγz , H x = H x ( x ) eiγz ,
H z = H z ( x ) eiγz , где γ – неизвестный спектральный параметр (постоянная
распространения электромагнитной волны).
Подставляя только что введенные компоненты в (1), нормируя в соотεj
d
d
γ
= k , γ = , ε j = ( j = 1, 2,3) , где
ветствии с формулами x = kx ,
ε0
dx
dx
k
k 2 = ω2με0
с
μ = μ0 , используя следующие обозначения
Z ( x ) := E z ,
X ( x ) := iE x и опуская значок тильды, получаем из (1) (подробности см. в [7,
9, 10]) систему
− Z ′′ + γX ′ = ε zz Z ,

−1
− Z ′ + γX = γ ε xx X .
(2)
Будем искать те значения спектрального параметра γ (собственные
значения), для которых существуют действительные решения X ( x ) , Z ( x )
уравнения (2); γ полагаем действительным числом и считаем, что
ε1 , x < 0,

ε = ε , 0 < x < h,
 ε , x > h,
 3
где ε – тензор, определенный выше.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Отметим еще, что в линейном случае должно выполняться неравенство
max ( ε1 , ε3 ) < γ 2 < min ε f , ε g [10]. Но в нелинейном случае это неравенство
(
)
не обязательно имеет место, и мы будем считать, что max ( ε1 , ε3 ) < γ 2 < a , где
a < ∞ . В полупространствах x < 0 и x > h в системе (2) мы полагаем, что
ε xx = ε zz = const и равно ε1 или ε3 соответственно.
Считаем, что функция X ( x ) , Z ( x ) дифференцируема так, что
X ( x) ∈ C ( −∞,0] ∩ C [ 0, h ] ∩ C [ h, +∞ ) ∩ C1 ( −∞,0] ∩ C1 [ 0, h ] ∩ C1 [ h, +∞ ) ,
Z ( x) ∈ C ( −∞, +∞ ) ∩ C1 ( −∞,0] ∩ C1 [ 0, h ] ∩ C1 [ h, +∞ ) ∩
∩C 2 ( −∞,0 ) ∩ C 2 ( 0, h ) ∩ C 2 ( h, +∞ ) .
Такие условия непрерывности и дифференцируемости функции X и Z
соответствуют физическому смыслу задачи.
3. Решение системы дифференциальных уравнений
В полупространствах x < 0 и x > h диэлектрическая проницаемость ε
в уравнениях Максвелла (1) имеет постоянное скалярное значение ε1 и ε3
соответственно. Для этих полупространств получаем решения
X ( x ) = Ae
x γ 2 −ε1
, Z ( x ) = γ −1 γ 2 − ε1 Ae
x γ 2 −ε1
;
− x − h γ 2 −ε3
− x − h γ 2 −ε3
X ( x ) = Be ( )
, Z ( x ) = −γ −1 γ 2 − ε3 Be ( )
,
(3)
(4)
где учтены условия на бесконечности. Легко видеть, что должны выполняться неравенства γ 2 − ε1 > 0 и γ 2 − ε3 > 0 .
Постоянные A и B в решениях (3) и (4) определяются начальными
данными и условиями сопряжения.
Внутри слоя 0 < x < h , тогда ε = ε . Система (2) имеет вид
(
)
 − Z ′′ + γX ′ = ε g + g Z ,


−1
 − Z ′ + γX = γ ε f + f X ;
(
)
в дальнейшем мы часто будем опускать аргументы функций f и g , когда
это не будет вызывать недоразумений.
Последняя система может быть записана в нормальной форме (см.,
например, [10]):
(
) (
)

γ 2 ε g + g + 2 ε f − γ 2 + f X 2 f v′
X ′ =
Z,

γ 2 X 2 fu′ + ε f + f


1
Z ′ = γ 2 − ε f − f X ,
γ

(
62
(
)
)
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
где fu′ = f X′ 2 , fv′ = f Z′ 2 .
4. Условия сопряжения
Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными
составляющими являются компоненты E y и H z . Отсюда получаем
H y ( h + 0) = H y ( h − 0) , H y ( 0 + 0) = H y ( 0 − 0) ,
Ez ( h + 0 ) = Ez ( h − 0 ) , Ez ( 0 + 0 ) = Ez ( 0 − 0 ) .
Нормальные компоненты электромагнитного поля на границе раздела
сред имеют разрыв первого рода. В рассматриваемом случае нормальной
компонентой является E x . Но произведение εE x остается непрерывным на
границе раздела сред.
С учетом сказанного имеем условия сопряжения для функций
X и Z:
[εX ] x=0 = 0 , [εX ] x=h = 0 , [ Z ] x=0 = 0 , [ Z ] x=h = 0 ,
где
[ f ] x= x0 =
lim
x→ x0 −0
f ( x ) − lim
x→ x0 + 0
f ( x ) обозначает скачок функции
(6)
f
в точке x = x0 .
Теперь условия непрерывности и дифференцируемости функций X и
Z следуют из формул (3), (4) и (6).
Введем обозначения для граничных значений функций X ( x ) и Z ( x )
в точках x = 0 + 0 и x = h − 0 (на границе слоя изнутри). Пусть
X 0 := X ( 0 + 0 ) , X h := X ( h − 0 ) , Z 0 := Z ( 0 + 0 ) , Z h := Z ( h − 0 ) .
(7)
Учитывая условия сопряжения (6) и обозначения (7), для постоянных
A и B в решениях (3) и (4) мы получаем: A = X ( 0 − 0 ) , B = X ( h + 0 ) . Теперь
решения (3) и (4) можно записать так:

x γ 2 −ε1
, x < 0,
 X ( 0 − 0) e
X ( x) = 
 X ( h + 0 ) e −( x − h ) γ 2 −ε3 , x > h,

(8)
где X 0 – начальное условие; X h определяется из условий сопряжения.
Из формулы (8) мы получаем
 −1 2
x γ 2 −ε1
γ
γ
−
ε
X
0
−
0
e
, x < 0,
(
)

1
Z ( x) = 
−γ −1 γ 2 − ε X ( h + 0 ) e −( x − h ) γ 2 −ε3 , x > h.
3

(9)
С учетом последней формулы, условий сопряжения (6) и обозначений
(7) запишем следующие уравнения:
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Z ( 0 − 0 ) = γ −1 γ 2 − ε1 X ( 0 − 0 ) , Z ( h + 0 ) = −γ −1 γ 2 − ε3 X ( h + 0 ) ;
учитывая условия сопряжения (6), получаем
Z 0 = γ −1 γ 2 − ε1 X ( 0 − 0 ) , Z h = −γ −1 γ 2 − ε3 X ( h + 0 ) .
(10)
Также из условий сопряжения (6) находим
(
)
(
)
ε1 X ( 0 − 0 ) = ε f + f 0 X 0 и ε3 X ( h + 0 ) = ε f + f h X h ,
(
)
(
(11)
)
где f0 = f X 02 , Z 02 , f h = f X h2 , Z h2 .
Поскольку Z 0 известно, то, решая первое уравнение (11), найдем X 0 .
Если будет известна одна из величин X h или Z h , то вторая из них может
быть найдена из второго уравнения (11).
Теперь мы можем сформулировать краевую задачу на собственные значения (задачу P): необходимо найти собственные значения γ , для которых
существуют нетривиальные функции X ( x ) и Z ( x ) такие, что при x < 0 и
x > h функции X и Z определяются выражениями (8), (9), где X ( 0 − 0 ) –
известная величина, а X ( h + 0 ) – неизвестная; при 0 < x < h функции X и Z
удовлетворяют системе (5); функции X и Z удовлетворяют условиям сопряжения (6)1.
5. Численный метод (метод задачи Коши)
Предлагаемый ниже метод позволяет находить собственные значения
рассматриваемой задачи с любой заданной точностью. Также предложенный
метод позволит построить графики зависимости постоянной распространения
(нормированной) γ от толщины слоя (нормированной) h .
Пусть h∗ > h∗ > 0 и γ∗ > γ∗ > max ( ε1 , ε3 ) – некоторые числа. Будем
считать, что
h ∈  h∗ , h∗  и γ ∈  γ∗ , γ∗  .




Разбиваем отрезки  h∗ , h∗  и  γ∗ , γ∗  на n и m частей соответственно.

 

Имеем сетку
( hi , γ j ) ,
i = 0, n ,
j = 0, m ; причем
h0 = h∗ > 0 ,
hn = h∗ ,
γ 0 = γ∗ > max ( ε1 , ε3 ) , γ m = γ∗ . Тогда для каждой пары индексов ( i, j ) бу1
Рассматриваемая нелинейная задача на собственные значения существенно
зависит от начального условия (амплитуды падающего поля). Аналогичная линейная
задача от амплитуды падающего поля не зависит. Это значит, что каждому собственному значению линейной задачи отвечает целый «пучок» волн с одним и тем же γ и
всевозможными амплитудами. В рассматриваемой нелинейной задаче это уже не так,
собственные значения зависят от амплитуды.
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
дем иметь пару начальных значений
( X ij ( 0) , Zij ( 0) ) ,
где X ij ( 0 ) ≡ X 0 и
Zij ( 0 ) = γ 2j − ε1 X 0 . Как легко видеть из предыдущего значения, X ij ( 0 ) и
Zij ( 0 ) не зависят от hi , но мы оставляем двойные индексы для удобства.
Теперь можно поставить задачу Коши для уравнения (5) с начальным
условием X ij ( 0 ) , Zij ( 0 ) . Величина γ является параметром в системе (5) и
решения этой системы зависят от γ . Решив указанную задачу Коши, получаем значения X ij ( h ) ≡ X j ( hi ) и Zij ( h ) ≡ Z j ( hi ) . Поскольку εX непрерывна
при x = h , то это позволяет вычислить X ( h + 0 ) , а именно
2
2 


ε3 X ij ( h + 0 ) =  ε f + f  X j ( hi ) , Z j ( hi )   X j ( hi ) ,



(
) (
)
значит,
2
2 


X ij ( h + 0 ) = ε3−1  ε f + f  X j ( hi ) , Z j ( hi )   X j ( hi ) .



(
) (
)
Теперь, используя вторую формулу (9) и найденное значение X ij ( h + 0 ) ,
мы можем вычислить Zij ( h + 0 ) : Zij ( h + 0 ) = −γ −1 γ 2j − ε3 X ij ( h + 0 ) . Но нам
известно значение Zij ( h − 0 ) из решения задачи Коши. Принимая во внимание непрерывность Z ( x ) на границе x = h , построим функцию
(
)
F hi , γ j = Zij ( h + 0 ) − Zij ( h − 0 ) . Можно показать, что, при определенных
условиях функция F ( hi , γ ) является непрерывной функцией параметра γ .
Пусть
для
заданного
(
) (
)
hi
существуют
такие
γj
и
(
γ j+1 ,
что
)
F hi , γ j ⋅ F hi , γ j +1 < 0 . Это значит, что существует γ i ∈ γ j , γ j +1 такое,
что γ i является собственным значением рассматриваемой задачи о распространении волн и этому собственному значению соответствует толщина слоя
hi . Значение γ i , когда оно существует, может быть найдено с любой степенью точности, например, методом дихотомии.
Сформулируем некоторые теоретические результаты, которые будут
необходимы при обосновании численного метода. В частности, покажем, при
каких условиях задача Коши для уравнения (6) с начальными условиями
X 0 , Z 0 = γ −1 γ 2 − ε1 X ( 0 − 0 )
(12)
будет иметь единственное решение; покажем, что решение только что указанной задачи Коши непрерывно зависит от параметра γ .
Поскольку в полупространствах x < 0 и x > h система уравнений (2)
является линейной и ее решения известны, то мы сразу перейдем к выяснению единственности решения задачи Коши для уравнения (5).
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В дальнейшем нам понадобятся некоторые классические теоремы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть
Π := {( X , Z ) : X − X 0 ≤ b, Z − Z 0 ≤ b} .
Пусть число M таково, что
M≥
max
(
) (
(
γ 2 X 2 fu′ + ε f + f
( X ,Z )∈Π ,
γ∈ γ∗ , γ∗
M≥
(
)
γ 2 ε g + g + 2 ε f + f − γ 2 X 2 f v′
)
(
)
Z ,
)
1 2
γ − ε f − f X , где γ∗ > γ∗ > max ( ε1 , ε3 ) .
( X ,Z )∈Π , γ
max
(
γ∈ γ∗ , γ∗
)
Утверждение 1. Решение задачи Коши для системы (5) с начальными
условиями (12) непрерывно дифференцируемо, единственное и существует
при x < b M .
Доказательство утверждения 1 сразу следует из теоремы Пикара
[12, с. 165], если принять во внимание, что система (5) является автономной.
Кроме того, мы действительно можем полагать, что b < ∞ , поскольку нас интересуют именно ограниченные решения системы (5).
Теперь обратимся к доказательству непрерывной зависимости от параметра решения задачи Коши для системы (5) с начальными условиями (12).
Π γ := ( X , Z , γ ) : X − X 0 ≤ bγ , Z − Z 0 ≤ bγ , γ ∈  γ∗ , γ∗  ,
где
Пусть


{
}
γ∗ > γ∗ > max ( ε1 , ε3 ) . Пусть число M γ таково, что
Mγ ≥
max
(
( X ,Z ,γ )∈Π γ
Mγ ≥
) (
)
γ 2 ε g + g + 2 ε f + f − γ 2 X 2 f v′
(
2
γ 2 X fu′ + ε f + f
(
)
Z ;
)
1 2
γ −εf − f X .
( X ,Z ,γ )∈Π γ γ
max
Утверждение 2. Решение X ( x, γ ) , Z ( x, γ ) задачи Коши для системы
(5) с начальными условиями (12) непрерывно дифференцируемо относительно x , единственно, существует при всех x < bγ M γ и непрерывно зависит
от γ для всех γ ∈  γ* , γ*  .


Доказательство следует из классической теоремы о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметра [12, с. 183–185].
Сформулируем критерий существования по крайней мере одного собственного значения.
Теорема 1. Пусть выполняются условия утверждения 2 и пусть отрезок
∗

 γ , γ  ⊂  γ∗ , γ  таков, что F ( h, γ ) ⋅ F ( h, γ ) < 0 . Тогда существует по крайней
мере одно собственное значение γ ∈ ( γ , γ ) задачи РМ.
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Доказательство. Поскольку функция F является линейной функцией
от решения рассматриваемой задачи Коши, то при условиях утверждения 2
функция F
является непрерывной. Но тогда ясно, что если
F ( h, γ ) ⋅ F ( h, γ ) < 0 , то существует γ ∈ ( γ , γ ) такое, что F ( h, γ ) = 0 . Но такое
γ есть не что иное, как собствен6ное значение задачи РМ. Теорема доказана.
Ясно, что собственное значение γ может быть найдено со сколь угодно
большой точностью, например методом дихотомии.
6. Численные результаты
В этом пункте будут представлены лишь численные результаты.
А. Керровская нелинейность
Рассмотрим случай керровской нелинейности. В данном случае диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид
(
)
ε = ε xx = ε zz = ε 2 + ε0 α X 2 + Z 2 ,
где ε 2 – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости ε ; ε0 –
диэлектрическая проницаемость вакуума.
Заметим, что керровская нелинейность может быть исследована с помощью МИДУ [1, 4, 8, 10], что очень важно для тестирования предложенного
здесь вычислительного метода.
На рис. 1 приведены результаты расчетов дисперсионных кривых, полученных, например, из работ [4, 8].
g
h
Рис. 1
Для вычислений были использованы следующие параметры: ε1 = 1, 44 ,
ε 2 = 9 , ε3 = 1 , Z 0 = 1 , γ > 1, 44 . На рис. 1 представлен нелинейный случай
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
с α = 0,1 . Сплошные линии соответствуют дисперсионным кривым, построенным по [4, 8], а точки соответствуют решениям, полученным с использованием предложенного в этой работе метода.
Б. Нелинейность с насыщением
Рассмотрим случай нелинейности с поглощением. В этом случае дисперсионные кривые могут быть построены с использованием МИДУ [13]. Это
опять позволяет провести сравнение с уже известными результатами. Но
нужно отметить, что уже в этом случае при некоторых значениях параметров
численный метод, полученный на основе МИДУ, встречает трудности при
численной реализации. В рассматриваемом случае диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид
ε xx = ε 2 + ε0
(
α Ex
(
2
1 + β Ex
+ Ez
2
2
+ Ez
)
2
)
, ε zz = ε 2 + ε0
(
α Ex
(
2
1 + β Ex
+ Ez
2
2
+ Ez
)
2
)
,
где ε 2 – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости ε ; ε0 –
диэлектрическая проницаемость вакуума.
В
работе
[14],
в
частности,
получено
неравенство
max ( ε1 , ε3 ) < γ 2 < ε 2 + αβ−1 , когда ε1 > 0 , ε3 > 0 , ε 2 > max ( ε1 , ε3 ) , α > 0 ,
β > 0 . Трудности при численной реализации МИДУ в рассматриваемой задаче возникают, когда величина α на порядок или более превосходит β . Как
будет видно далее, использованный здесь метод не имеет подобного недостатка.
На рис. 2, 3 представлены дисперсионные кривые для нелинейного слоя
при различных значениях коэффициентов нелинейности α и β . При расчетах
взяты следующие значения параметров: ε1 = 1 , ε 2 = 3 , ε3 = 1 , Y0 = 1 . На
рис. 4 представлены результаты расчетов при α = 0,00001 , β = 0,01 и проводится сравнение с результатами расчетов из [13]. На рис. 5 расчеты выполнены при α = 0,01 , β = 0,0001 .
Заключение
Отметим, что описанный в этой работе метод обладает важными достоинствами:
– метод прост в реализации (все известные математические пакеты могут решать задачу Коши);
– метод работает значительно быстрее, чем численный метод, основанный на реализации МИДУ или численный метод, предложенный в [1];
– метод может быть применен для изучения широкого класса нелинейностей, в частности, таких нелинейностей, для которых первый интеграл системы (5) не позволяет легко воспользоваться МИДУ.
Важно отметить, что предложенный в этой работе метод эффективен
в случае, если множество собственных значений рассматриваемой краевой
задачи является дискретным, причем полная производная по спектральному
параметру от функции F ( hi , γ ) не равна нулю при γ = γ , где γ – собственное
значение задачи РМ.
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
γ
h
Рис. 2
γ
h
Рис. 3
Еще отметим, что общий метод для нахождения изолированных собственных значений в нелинейной краевой задаче для обыкновенного диффе-
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ренциального уравнения второго порядка вида y ′′ = f ( x, y, y ′, γ ) был развит
в работе [15]. Однако подчеркнем, что здесь мы предлагаем численный метод
для конкретных задач электродинамики, объединенных общей постановкой.
γ
h
Рис. 4
γ
h
Рис. 5
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Кроме того, предложенный здесь метод развит для системы уравнений
в нормальной форме. Ясно, что далеко не всякую нормальную систему двух
уравнений первого порядка можно свести к одному уравнению второго порядка вида y ′′ = f ( x, y , y ′, γ ) .
Список литературы
1. З а р е м б о , Е. В. Об одном численном методе решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТМ-волн, распространяющихся в слое с керровской нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. –
№ 1. – С. 75–82.
2. З а р е м б о , Е. В. Численный метод решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТE-волн, распространяющихся в слое
с произвольной нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 2. –
С. 59–74.
3. В а л о в и к Д . В. О методе задачи Коши решения нелинейной краевой задачи на
собственные значения для электромагнитных ТМ-волн, распространяющихся
в слое с керровской нелинейностью / Д. В. Валовик, Е. В. Зарембо // Радиотехника
и электроника. – 2012. – Т. 57 (принята к печати).
4. В а л о в и к , Д . В. Расчет постоянных распространения ТМ-поляризованных
электромагнитных волн в нелинейном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов //
Радиотехника и электроника. – 2008. – T. 53, № 8. – С. 934–940.
5. В а л о в и к , Д . В. О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных
волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической
физики. – 2008. – Т. 48, № 12. – С. 2186–2194.
6. В а л о в и к , Д . В. Расчет постоянных распространения и полей для поляризованных электромагнитных ТМ-волн в нелинейном анизотропном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2009. – T. 54, № 4. –
С. 411–417.
7. В а л о в и к , Д . В. Задача о распространении электромагнитных волн в слое с
произвольной нелинейностью (II. ТМ-волны) / Д. В. Валовик // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки – 2010. –
№ 2 (14). – С. 54–65.
8. В а л о в и к , Д . В. Нелинейные эффекты в задаче о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью / Д. В. Валовик,
Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2011. – Т. 56, № 3. – C. 309–314.
9. В а л о в и к , Д . В. Задача о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое
с произвольной нелинейностью / Д. В. Валовик // Журнал вычислительной математики и математической физики – 2011. – Т. 51, № 9. – С. 1729–1739.
10. S m i r n o v , Y u . G . Electromagnetic wave propagation in nonlinear layered waveguide structures / Yu. G. Smirnov, D. V. Valovik. – Penza : PSU Press, 2011. – 248 p.
11. E l e o n s k i i , P . N . Cylindrical nonlinear waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganes’yants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. – 1972. – V. 35, № 1. – P. 44–47.
12. Е р у г и н , Н . П . Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин. – Минск : Наука и техника, 1979. – С. 165–185.
13. V a l o v i k D . V . Electromagnetic TM wave propagation through a nonlinear metamaterial layer with arbitrary nonlinearity, P. 1676–1680, PIERS Proceedings, Kuala
Lumpur, Malaysia, March 27–30, 2012.
14. В а л о в и к , Д . В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейной
среде с насыщением / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. – 2011. –
Т. 56, № 11. – C. 1329–1335.
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
15. В о л к о в , Е. А . Об исследовании и решении разностным методом нелинейных
задач для обыкновенного дифференциального уравнения / Е. А. Волков // Труды
МИАН СССР. – 1976. – Т. 140. – С. 103–129.
Зарембо Екатерина Викторовна
аспирант, Пензенский
государственный университет
Zarembo Ekaterina Viktorovna
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: mmm@pnzgu.ru
УДК 517.927, 519.62, 517.958
Зарембо, Е. В.
Численный метод решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТM-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2012. – № 3 (23). – С. 59–72.
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
УДК 519.6, 534.26
А. В. Ануфриева, К. Б. Игудесман, Д. Н. Тумаков
ДИФРАКЦИЯ УПРУГОЙ ВОЛНЫ НА СЛОЕ
С ФРАКТАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПЛОТНОСТИ
Аннотация. Одномерная задача дифракции упругой волны на слое с фрактальным распределением плотности сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с линейными коэффициентами и найдено ее аналитическое решение. Численно исследован случай, когда слой имеет фрактальное
распределение плотности. Выделены характерные максимумы энергии отраженной волны. Приведены графики, иллюстрирующие зависимость отраженной энергии от самоподобных свойств фрактальной кривой.
Ключевые слова: дифракция, упругая волна, фрактальная интерполяция.
Abstract. The authors consider the diffraction of elastic wave on a layer with the
fractal density. The problem is reduced to a system of ordinary differential equations
with linear coefficients and its analytical decision is found. The researchers numerically investigate a layer with a fractal density, find peaks of energy of the reflected
wave and illustrate dependence of reflected energy from self-similar properties of the
fractal density.
Key words: diffraction, elastic wave, fractal interpolation.
Введение
В последние десятилетия идеи фрактальной геометрии и нелинейной
динамики получили широкое распространение в различных областях естествознания. Не стали исключением геология и геофизика [1, 2]. Фрактальному характеру распределения неоднородностей литосферы и рассеянию сейсмических волн посвящена работа [3]. В работе [4] исследуются фрактальные
свойства высокочастотного сейсмического шума и механизмы их генерации.
Отметим также работу [5], посвященную численному решению краевых задач
в области с фрактальной границей.
В данной работе рассмотрен частный случай задачи дифракции на слое,
когда слой имеет фрактальное распределение плотности среды, а скорость
упругой волны полагается постоянной. Подробнее физические основы и дополнительный математический аппарат задачи прохождения акустических
волн через градиентные акустические барьеры изложены в [6].
1. Постановка задачи
Пусть на слой толщины L (среда 2 {0 < x < L} с плотностью ρ2 ( x) и
скоростью v2 ) из среды 1 {x < 0} падает упругая гармоническая волна,
−ik x
описываемая потенциальной функцией u0 ( x)eiωt , где u0 ( x) = A0 e 1 ,
k1 = ω / v1.
В результате дифракции отражается волна u1 ( x) , а u3 ( x) проходит
в третью среду {x > L} . Нужно найти полное дифрагированное поле. Геометрия задачи представлена на рис. 1
Для гармонических колебаний однородной и изотропной упругой
среды перемещение удовлетворяет волновому уравнению
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
u ′′( x) + k 2u ( x) = 0,
(1)
где k = ω / v – волновое число среды; общее решение уравнения (1) имеет вид
u ( x) = Ae −ikx + Beikx ,
при этом напряжение в среде имеет вид
σ( x) = iωρv(− Ae−ikx + Beikx ).
Рис. 1
Колебания среды в общем случае описываются в [7] уравнением
ρ( x)
∂ 2u
∂t 2
=
∂σ
,
∂x
(2)
где напряжение связано с перемещением следующим соотношением:
σ( x) = ρ( x)v 2u ′( x).
Физический смысл величины ρ( x)v 2 – модуль упругости. Уравнение
(2) для гармонических волн примет вид
∂
∂u
(ρ( x)v 2 ) + ρ( x)ω2u = 0.
∂x
∂x
Перемещения для отраженной и прошедшей волн u1 ( x) и u3 ( x)
являются
решениями
(1).
Будем
искать
их
в виде
ik x
u1 ( x) = B1e 1 ,
−ik ( x − L )
u3 ( x) = A3e 3
.
На границе раздела сред перемещение и напряжение должны быть
непрерывны. Тогда при x = 0 получим
A0 + B1 = u2 (0),
(3)
iωρ1v1 (− A0 + B1 ) = ρ2 (0)v22u2′ (0),
(4)
u2 ( L) = A3 ,
(5)
при x = L :
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
ρ2 ( L)v22u2′ ( L) = −iωρ3v3 A3 .
(6)
Таким образом, если исключим неизвестные B1 и A3 из уравнений (3)–
(6), то решение задачи дифракции сводится к отысканию перемещения u2 ( x) ,
удовлетворяющего уравнению
(ρ2 ( x)v22u2′ ( x))′ + ρ2 ( x)ω2u2 ( x) = 0
(7)
с граничными условиями третьего рода
ρ2 (0)v22u2′ (0) − iωρ1v 1u2 (0) = −i 2ωρ1v1 A0 ,
ρ2 ( L)v22u2′ ( L) + iωρ2 v 3 u2 ( L) = 0.
(8)
Рассмотрим случай, когда v1 = v2 = v3 = v , ρ1 = ρ3 = ρ , а ρ2 ( x) является
фрактальной интерполяционной функцией.
2. Сведение задачи дифракции
к системе линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим вместо слоя ( 0 < x < L ) совокупность N прилегающих
вплотную друг к другу слоев. В каждом слое распределение плотности задано
формулой ρn ( x) = kn x + bn , а скорость является постоянной величиной v ,
причем ρn ( x)v 2 является всюду непрерывной функцией. Волновое уравнение
для каждого слоя примет вид
( (kn x + bn )vn2un′ ( x) )′ + (kn x + bn )ω2u( x) = 0, xn−1 < x < xn .
Сделаем замену x =
(9)
b
v
z − n и рассмотрим функцию
ω
kn
v
b 
yn ( z ) = u n  z − n  .
kn 
ω
Уравнение (9) примет вид уравнения Бесселя:
zy''n ( z ) + y'n ( z ) + zyn ( z ) = 0.
Знак z для каждого интервала ( xn −1 , xn ) у полученного уравнения
является постоянным и зависит от знака kn . Объединим решения для
положительных и отрицательных z . Тогда общее решение можно
представить в виде
yn ( z ) = An J 0 (| z |) + BnY0 (| z |).
Таким образом, решение уравнения (9) будет иметь следующий вид:
ω
ωb
un ( x) = An J 0  x + n
 v
vkn


ω
ωbn
 + BnY0  x +
vkn

 v

 .

(10)
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
На стыке слоев должны быть выполнены условия
un ( xn ) = un +1 ( xn ), u'n ( xn ) = u'n +1 ( xn ), n = 1,, N − 1,
что приводит к следующим уравнениям:
An J 0 (| ξ n |) + BnY0 (| ξn |) = An +1 J 0 (| ζ n |) + Bn +1Y0 (| ζ n |);
An J1 (| ξn |) + BnY1 (| ξn |) =
sign ζ n
( An+1J1 (| ζ n |) + Bn+1Y1 (| ζ n |) ) ,
sign ξ n
где
x k +b
x k +b
ξn = n n n ω, ζ n −1 = n−1 n n ω, n = 1, , N .
vkn
vkn
На границах слоев с полуплоскостями имеют место условия
b1vu' (0) − iωρu (0) = −i 2ωρA0 ,
(k N L + bN )vu' ( L) + iωρu ( L) = 0.
Эти условия устанавливают связь между коэффициентами
A1 [ −b1 sign ζ 0 J1 (| ζ 0 |) − iρJ 0 (| ζ 0 |)] +
+ B1 [ −b1 sign ζ 0Y1 (| ζ 0 |) − iρY0 (| ζ 0 |) ] = −i 2ρA0 ;
AN [ −(k N L + bN )sign ξ N J1 (| ξ N |) + iρJ 0 (| ξ N |)] +
+ BN [−(k N L + bN )sign ξ N Y1 (| ξ N |) + iρY0 (| ξ N |)] = 0.
Полученные выше уравнения относительно коэффициентов An и Bn
запишем в векторно-матричном виде:
Ω⋅c = f ,
где c = { A1 , B1, A2 , B2,  , AN , BN } с правой частью f = {−i 2 A0ρ / b1 ,0, ,0} .
Матрица Ω является пятидиагональной:
Ω12
0
0
 Ω11



(|
ξ
|)
(|
ξ
|)
−
(|
ζ
|)
−
(|
ζ
|)
0
J
Y
J
Y
0
1
0
1
0
1
 0 1

 J1 (| ξ1 |) Y1 (| ξ1 |) s1 J1 (| ζ1 |) s1Y1 (| ζ1 |)

0


0
0
(|
ξ
|)
(|
ξ
|)
−
(|
ζ
|)
−
(|
ζ
|)
J
Y
J
Y
0
2
0
2
0
2
0
2



,
0
0
J1 (| ξ2 |)
Y1 (| ξ2 |)
s2 J1 (| ζ 2 |)
s2Y1 (| ζ 2 |)


0







0
− J 0 (| ζ N −1 |)
−Y0 (| ζ N −1 |) 
J 0 (| ξ N −1 |) Y0 (| ξ N −1 |)


J1 (| ξ N −1 |) Y1 (| ξ N −1 |) s N −1J1 (| ζ N −1 |) s N −1Y1 (| ζ N −1 |) 
0



0
0
Ω NN −1
Ω NN


где sn = −sign ζ n / sign ξn ,
Ω11 = −sign ζ 0 J1 (| ζ 0 |) − i
76
ρ
J 0 (| ζ 0 |);
b1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Ω12 = −sign ζ 0Y1 (| ζ 0 |) − i
Ω NN −1 = −sign ξ N J1 (| ξ N |) + i
Ω NN = −sign ξ N Y1 (| ξ N |) + i
ρ
Y0 (| ζ 0 |);
b1
ρ
J 0 (| ξ N |);
k N xN + bN
ρ
k N xN + bN
Y0 (| ξ N |).
Полученную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
решим методом прогонки [8, с. 34].
3. Фрактальные интерполяционные функции
Известны два способа построения фрактальных интерполяционных
функций. В работе [9, с. 207] такие функции определены, как аттракторы
систем итерированных функций специального вида. В данной работе будем
придерживаться более общего подхода, разработанного П. Массопустом [10,
с. 182].
Пусть [a, b] ⊂ R – непустой интервал, 1 < N ∈  и {( xi , yi ) ∈ [a, b] × R |
{a = x0 < x1 <  < xN −1 < xN = b} – узлы интерполяции. Для каждого
i = 1, , N рассмотрим аффинное преобразование плоскости:
Ai : R 2 → R 2 ,
 x  a
Ai   :=  i
 y   ci
0   x   αi 
   +  .
λi   y   βi 
Потребуем, чтобы для всех i = 1, , N были выполнены следующие два
условия:
Ai ( x0 , y0 ) = ( xi −1 , yi −1 ),
Ai ( xN , y N ) = ( xi , yi ).
В этом случае
x − xi −1
y − yi −1 − λi ( y N − y0 )
ai = i
,
, ci = i
b−a
b−a
αi =
bxi − axi −1
by − ayi − λi (by0 − ay N )
, βi = i −1
,
b−a
b−a
а λi , i = 1, , N , рассматриваются как параметры.
Заметим, что при таком определении операторов Ai прямолинейный
отрезок, соединяющий точки ( x0 , y0 ) и ( xN , y N ) , переходит в ломаную,
последовательно соединяющую точки интерполяции.
Для каждого i = 1, , N обозначим
ui :[a, b] → [ xi −1 , xi ], ui ( x) = ai x + αi ,
pi :[a, b] → R,
pi ( x) = ci x + βi ,
N
p( x) =
( pi  ui−1 )( x)χ[ xi−1, xi ] ( x),
i =1
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где χ S – характеристическая функция множества S . В работе [10] показано,
что функциональный оператор T , действующий по правилу
N
(Tg )( x) = p ( x) +
λi ( g  ui−1)( x)χ[ xi−1, xi ] ( x),
i =1
переводит непрерывные функции в непрерывные. Более того, если | λi |< 1
для всех i = 1, , N , то оператор T является сжатием на банаховом
пространстве (C[a, b], ∞ ) с коэффициентом сжатия λ = max{| λi |, i = 1, , N } .
По теореме о неподвижной точке сжимающего отображения
существует единственная функция f ∈ C[ a, b] такая, что Tf = f . Более того,
для любой f ∈ C[ a, b] имеем
n
lim T ( f ) − f
∞
n→∞
= 0.
будем называть фрактальной интерполяционной
Функцию f
функцией. Легко заметить, что если f ∈ C[ a, b] , f ( x0 ) = y0 и f ( xN ) = y N , то
T ( f ) проходит через точки интерполяции. В этом случае функции T n ( f )
будем называть предфрактальными интерполяционными функциями порядка
n или предфракталами n-го порядка.
На рис. 2 показана фрактальная интерполяционная функция, построенная по точкам интерполяции (0,1000) , (50,1500) и (100,1000) при значениях
параметров λ1 = λ 2 = 0,5 .
ρ
ρ
а)
x
б)
x
Рис. 2. Графики предфракталов: а – предфрактал первого порядка;
б– предфрактал девятого порядка
4. Численные результаты
Рассмотрим дифференциальное уравнение (7) с граничными условиями
(8). Исследуем зависимость величины нормированной отраженной энергии от
плотности ρ( x) и частоты ω . Иными словами, если ρ :[0, L] → R + – плотность
в слое, то будем искать функцию Eρ : R + → [0,1], Eρ(ω) = B12 (ω) / A02 , где
B1 (ω) и A0 – амплитуды отраженной и падающей волн.
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Пусть ширина слоя L = 100 и ρ – фрактальная интерполяционная
функция, построенная по точкам интерполяции (0,1000) , (50,1500) и
(100,1000) при значениях параметров λ1 = λ 2 = 0.7 . Обозначим ρ0 ≡ 1000 ,
ρn – предфрактальные интерполяционные функции порядка n . Заметим, что
ρn является непрерывной кусочно-линейной функцией, состоящей из 2n
прямолинейных отрезков, проходящих через точки ( xin , yin ) , i = 0, , 2n . Из
построения следует, что xin = 100 ⋅ i ⋅ 2− n . Кроме того, множество точек
n
излома An = {( xin , yin )}i2=0 является подмножеством An +1 .
Если сравним графики функций Eρ8 и Eρ9 (рис. 3), то можно сделать
следующие выводы.
а)
б)
Рис. 3. Графики функций Eρ8 (а) и Eρ9 (б); ρn – предфрактальные
интерполяционные кривые, построенные по точкам интерполяции (0, 1000) ,
(50, 1500) и (100, 1000) при значениях параметров λ1 = λ 2 = 0, 7
Во-первых, графики практически идентичны, за исключением наблюдаемого у Eρ9 максимума на частотах, близких к 9700. Этот эффект вызван
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
тем, что график ρ9 получен из ρ8 заменой каждого прямолинейного отрезка
на ломаную, состоящую из двух звеньев. Во-вторых, функции
Eρn
наследуют самоподобные свойства функции ρn в том смысле, что пики
функции Eρn расположены в точках C ⋅ 2k , где C – некоторая константа,
k = 1, n . Это вызвано тем, что отношение длин отрезков ( xin , xin+1 ) и
( x nj +1 , x nj ++11 ) равно 2. В-третьих, наличие четко выраженных пиков у функции
Eρn обусловлено тем, что проекции на ось X всех прямолинейных отрезков,
из которых состоит график ρn , имеют одинаковую длину, равную 100 ⋅ 2− n .
Иными словами, xin+1 − xin = 100 ⋅ 2− n для любого i = 0, , 2n − 1 .
Для проверки последнего заключения сместим среднюю точку
интерполяции на единицу вправо по оси X . Пусть теперь ρ – фрактальная
интерполяционная функция, построенная по другим точкам интерполяции
(0,1000) , (51,1500) и (100,1000) при значениях параметров λ1 = λ 2 = 0,7 .
Как и в предыдущем случае, предфракталы ρn являются непрерывными
кусочно-линейными функциями, и состоят из 2n прямолинейных отрезков,
проходящих через точки ( xin , yin ) , i = 0, , 2n . Однако xin ≠ 100 ⋅ i ⋅ 2− n .
Несложно проверить, что количество отрезков длины xin+1 − xin распределено
по биномиальному закону, т.е. для любого k = 0, , n имеется ровно Cnk
интервалов длины 100 ⋅ 0.51k ⋅ 0.49n− k . Сравнение рис. 3 и 4 наглядно иллюстрирует то, что наличие четко выраженных пиков функции Eρn прямо
зависит от разбиения отрезка [0,100] точками xin .
Рис. 4. График функции Eρ9 ; ρ9 – предфрактал,
построенный по точкам интерполяции (0, 1000) , (51, 1500)
и (100, 1000) при значениях параметров λ1 = λ 2 = 0, 7
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Интересные результаты представлены на рис. 5.
Рис. 5. Графики функций Eρ8 и Eρ9 ; ρn – предфракталы,
построенные по точкам интерполяции (0, 1000) , (61.8, 1500)
и (100, 1000) при значениях параметров λ1 = λ 2 = 0, 7
Выбор второй точки интерполяции (61.8,1500) неслучаен. Обозначим
через α ≈ 0,618 золотое сечение, т.е. наименьший корень уравнения
x 2 = 1 − x . Среди интервалов xin+1 − xin имеется Cnk интервалов длины
100α k (1 − α)n −k . Так как α 2 = 1 − α , то получим, что среди интервалов
(n + 1) -го уровня xin++11 − xin +1 есть интервалы, длины которых в точности
равны длинам интервалов n -го уровня. Таким образом, пики,
соответствующие различным предфракталам, наслаиваются друг на друга.
Заключение
Таким образом, в случае, когда ρn является предфрактальной интерполяционной функцией, можно сделать следующие выводы.
Четкие всплески отраженной энергии проявляются только у таких
фракталов, у которых проекции на ось X прямолинейных отрезков, из
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
которых состоит график ρ( x) , имеют одинаковую длину. При этом если
увеличивается количество отрезков с равной длиной, то увеличивается и
значение отраженной энергии. К таким самоподобным структурам можно
отнести предфракталы, получаемые из предфрактала меньшей размерности
делением отрезков на равные части или делением отрезков в пропорции
золотого сечения.
Если фрактал построен по принципу деления на равные части, то
увеличение порядка предфрактала не изменяет расположение пиков
отраженной энергии, а добавляет лишь новые при более высоких частотах.
В случае, когда фрактал построен делением отрезков в пропорции
золотого сечения, то увеличение порядка предфрактала приводит к росту
высоты пиков отраженной энергии и добавлению новых при более высоких
частотах.
Список литературы
1. Slawinski, M. A. Seismic Waves and Rays in Elastic Media / M. A. Slawinski. –
Amsterdam : Pergamon, 2003. – 402 p.
2. Turcotte, D. L. Fractals and chaos in geology and geophysics / D. L. Turcotte. –
N. Y. : Cambridge University Press, 1997. – 398 p.
3. Файзуллин, И. С. Рассеяние сейсмических волн и фрактальный характер
неоднородностей литосферы / И. С. Файзуллин, С. А. Шапиро // Физика Земли. –
1989. – № 10. – С. 43–49.
4. Мухамедов, В. А. О фрактальных свойствах высокочастотного сейсмического
шума и механизмах его генерации / В. А. Мухамедов // Физика Земли. – 1992. –
№ 3. – С. 39–49.
5. Бойков, И. В. Численное решение краевых задач для линейных и квазилинейных
уравнений эллиптического типа в области с фрактальной границей / И. В. Бойков,
Т. В. Елисеева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2011. – № 3. – С. 14–21.
6. Шварцбург, А. Б. Градиентные акустические барьеры (точно решаемые барьеры) /
А. Б. Шварцбург, Н. С. Ерохин // Успехи физических наук. – 2011. – Т. 181, № 6. –
С. 627–646.
7. Ерофеев, В. И. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность /
В. И. Ерофеев, В. В. Кажаев, Н. П. Семерикова. – М. : Физматлит, 2002. – 208 с.
8. Ильин, В. П. Численные методы решения задач строительной механики /
В. П. Ильин, В. В. Карпов, А. М. Масленников. – Мн. : Выш. шк., 1990. – 349 с.
9. Barnsley, M. F. Fractals everywhere / M. F. Barnsley. – Boston : Academic Press Inc.,
1988. – 396 p.
10. Massopust, P. Interpolation and approximation with splines and fractals /
P. Massopust. – Oxford : Oxford University Press, 2010. – 319 p.
Ануфриева Анастасия Вадимовна
студентка, Институт вычислительной
математики и информационных
технологий, Казанский (Приволжский)
федеральный университет
E-mail: nastya-anufrieva@mail.ru
82
Anufrieva Anastasiya Vadimovna
Student, Institute of Computer Science
and Information Technology,
Kazan Federal University
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Игудесман Константин Борисович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра геометрии, Институт
математики и механики, Казанский
(Приволжский) федеральный
университет
Igudesman Konstantin Borisovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, sub-department
of geometry, Institute of Mathematics
and Mechanics, Kazan Federal University
E-mail: KIgudesm@yandex.ru
Тумаков Дмитрий Николаевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра прикладной математики,
Институт вычислительной математики
и информационных технологий,
Казанский (Приволжский)
федеральный университет
Tumakov Dmitry Nikolaevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, sub-department
of applied mathematics, Institute
of Computer Science and Information
Technology, Kazan Federal University
E-mail: dtumakov@ksu.ru
УДК 519.6, 534.26
Ануфриева, А. В.
Дифракция упругой волны на слое с фрактальным распределением
плотности / А. В. Ануфриева, К. Б. Игудесман, Д. Н. Тумаков // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2012. – № 3 (23). – С. 73–83.
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.6
М. Ю. Медведик
ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ КРЫШЕК ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
НА ЭКРАНАХ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
Аннотация. Рассмотрена задача дифракции электромагнитной волны на неплоском экране, расположенном в свободном пространстве. Задача сведена
к интегральному уравнению. Рассмотрены базисные функции крышки и доказана теорема об аппроксимации. Рассмотрено применение субиерархического
метода для решения интегрального уравнения. Представлены численные результаты.
Ключевые слова: задача дифракции, интегральное уравнение, субиерархический метод, численные результаты.
Abstract. The article considers a problem of diffraction of electromagnetic wave on
nonplanar screen located on free space. The problem is reduced to integral equation.
The author considers the basic functions of the “Rooftop” and proves a theorem of
approximation. The researcher also considers application of the subhierarchical
method for solving integral equations and presents the numerical results.
Key words: problem of diffraction, integral equation, subhierarchical method, numerical results.
Введение
Настоящая работа посвящена численному исследованию векторной задачи дифракции электромагнитной волны на экранах. Это задача дифракции
электромагнитного поля на бесконечно тонких и идеально проводящих экранах, имеющих сложную геометрическую форму. Она сводится к векторному
интегродифференциальному уравнению на поверхности экрана [1, 2] и решается численно с помощью проекционного метода.
Рассматриваемая задача является классической в электродинамике и
активно решается с 1949 г. Использование в радиотехнике и электронике антенн и печатных плат сложной геометрической формы требует построения
новых математических моделей для процессов распространения электромагнитных волн в таких устройствах. При этом возникла необходимость исследования нового широкого класса задач электродинамики, характеризующихся
сложной геометрией и пространственным расположением. Многочисленные
пакеты прикладных программ не позволяют получить эффективное решение
данной задачи.
Последние десятилетия характеризуются бурным развитием компьютерной техники. Это способствует активному применению методов компьютерного моделирования для решения подобных задач на экранах канонической формы. Однако следует подчеркнуть, что проблема эффективного численного решения задач дифракции на тонких экранах в настоящее время, повидимому, пока не решена даже с использованием самых мощных современных ЭВМ.
Для получения результатов задач на экранах сложной геометрической
формы используются субиерархические методы [3–12], которые позволяют
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
не производить повторные вычисления, связанные с формированием матричных элементов. Субиерархические методы эффективно используются совместно с параллельными вычислительными алгоритмами и реализуются на
вычислительном кластере.
Постановка задачи дифракции
Пусть M – замкнутая, не обязательно связанная поверхность в R3
класса С ∞ . Пусть
Ω⊂M , Ω=
 Ω,
Ωi  Ω j = ∅ ( i ≠ j ) –
i
объединение конечного числа связанных ориентированных незамкнутых и
непересекающихся поверхностей класса С ∞ в R3 . Край ∂Ω j = Ω j \ Ω j поверхности Ω j есть кусочно-гладкая кривая без точек самопересечения, состоящая из конечного числа простых дуг класса С ∞ , сходящихся под углами,
отличными от нулевого: Γ = ∂Ω = ∂Ω j .

j
Задача дифракции стороннего монохроматического электромагнитного поля E 0 , H 0 на бесконечно тонком идеально проводящем экране Ω ,
расположенном в свободном пространстве с волновым числом k ,
k 2 = ω2μ(ε + iσω−1 ), Im k ≥ 0 (k ≠ 0) состоит в определении рассеянного
электромагнитного поля
E , H ∈ C 2 ( R 3 \ Ω)
C ( R+3 \ Гδ ) C ( R−3 \ Гδ ) ,
δ>0
δ>0
удовлетворяющего: однородным уравнениям Максвелла
RotH = −ikE ,
RotE = ikH , x ∈ R3 \ Ω ,
(1)
краевым условиям для касательной составляющей электрического поля на
поверхности экрана
Eτ |Ω = − Eτ0 |Ω ,
(2)
условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме
E , H ∈ L2loc ( R3 )
(3)
и условиям излучения на бесконечности (условия Сильвера – Мюллера)
E , H = o(r −1 ), r :=| x |→ ∞ при Im k > 0 ,
H × er − E = o(r −1 ), E × er + H = o(r −1 ) ,
E , H = O(r −1 ), r → ∞ при Im k = 0 .
(4)
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Здесь
er = x / | x |;
×
означает
векторное
произведение
Гδ := { x :| x − y |< δ, y ∈ Г} . Электромагнитные поля гармонически зависят от
времени (множитель exp(−iωt ) опущен); ω > 0 – круговая частота;
ε > 0, μ > 0 – диэлектрическая и магнитная проницаемости; σ ≥ 0 – проводимость среды. Для полного поля E полн = E 0 + E , H полн = H 0 + H .
Будем предполагать, что все источники падающего поля находятся вне
экрана Ω так, что для некоторого δ > 0
E 0 ∈ C ∞ (Ωδ ), Ωδ = { x :| x − y |< δ, y ∈ Ω} ,
откуда следует, что
Eτ0 |Ω∈ C ∞ (Ω) .
Обычно падающее поле – это либо плоская волна, либо электрический
или магнитный диполь, расположенный вне Ω . В этих случаях наши условия
выполнены. Поле E 0 , H 0 является решением системы уравнений Максвелла
в свободном пространстве без экрана.
Условия (4) на бесконечности эквивалентны условиям излучения
Зоммерфельда при Im k = 0, k ≠ 0 :
E
E
∂ E
−1
−1
  − ik   = o(r ),   = O (r ), r → ∞,
H
H
∂r  H 
 
 
(5)
которые иногда легче проверить.
Утверждение 1. Для Im k ≥ 0, k ≠ 0, задача (1)–(4) имеет не более одного решения [1].
Векторные пространства W и W ′
Для изучения задачи дифракции на экране Ω введем векторное пространство распределений W .
Положим для любого вещественного s [13]
{
( )}
H s ( Ω ) := u |Ω :u ∈ H s R 2 ,
{
}
( )
H s ( Ω ) := u ∈ H s R 2 : supp u ⊂ Ω .
( )
Скалярное произведение и норма в H s R 2
определяются обычным
образом:
( u, v )s = 
2
ξ
u s = ( u, u )s ;
86
2s
_____
uˆ ( ξ ) vˆ ( ξ ) d ξ,
(
ξ := 1 + ξ
)
2 1/2
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Здесь и всюду ниже, где не указана область интегрирования, подразумевается интеграл по R 2 . H s ( Ω ) является (замкнутым) подпространством
( )
H s R2
с индуцированными скалярным произведением и нормой. Далее,
( )
H s ( Ω ) = H s R 2 / H ( Ω ) ; в H s ( Ω ) вводится скалярное произведение и
норма факторпространства. Пространства H − s ( Ω ) и H s ( Ω ) антидвойствен-
ны друг к другу при всех s ∈ R ; H s ( Ω ) можно получить замыканием
( )
C0∞ ( Ω ) в пространстве H s R 2 [13].
В дальнейшем нас будут интересовать главным образом пространства
вектор-функций, поэтому через u , v будем обозначать векторы
T
T
u = ( u1 , u2 ) , v = ( v1 , v2 ) и т.д. При этом в записи u ∈ H s под пространством
H s уже понимается как декартово произведение двух экземпляров пространства H s со скалярным произведением и нормой
( u, v )s = ( u1, v1 )s + ( u2 , v2 )s = 
2
2
2
u s = u1 s + u2 s =

ξ
ξ
2s
2s
_____
uˆ ( ξ ) ⋅ vˆ ( ξ ) d ξ;
2
uˆ ( ξ ) d ξ.
Сохраним те же обозначения для пространств в векторном случае, так
как во всех ситуациях из контекста ясно, о каком пространстве идет речь.
Определим гильбертово пространство W = W ( Ω ) как пополнение
C0∞ ( Ω ) по норме
2
uW =

2
1
uˆ ( ξ ) d ξ +
ξ

2
1
ξ ⋅ uˆ ( ξ ) d ξ
ξ
со скалярным произведением
( u, v )W
=

_____
1
uˆ ( ξ ) ⋅ vˆ ( ξ ) d ξ +
ξ

 _____  
1 
 ξ ⋅ uˆ ( ξ )  ξ ⋅ vˆ ( ξ )   d ξ ,


ξ 



где û обозначает преобразование Фурье распределения u из пространства
W ′ := W Ω ′ , антидвойственного к W .
( ( ))
Сведение задачи к псевдодифференциальному уравнению на экране
Решение задачи (1)–(5) для случая E , H ∈ C 2 ( R3 \ Ω) можно представить в виде векторного потенциала:
(
)
E = ik −1 grad A1 ( Div u ) + k 2 A1u , H = rot A1u; k ≠ 0,
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
A1u =
1 exp(ik x − y )
u ( y )ds,
4π
x− y

x = ( x1 , x2 , x3 ).
(6)
Ω
Опуская точку x = ( x1 , x2 , x3 ) на экран Ω сведем проблему (1)–(4)
к векторному интегродифференциальному уравнению
Lu := (grad A(Div u ) + k 2 Au ) t = f ,
(7)
где A является интегральным оператором
Au =

Ω
exp ( ik x − y )
u ( y )ds,
x− y
(8)
f := 4πkEt0 Ω и Div – это тангенциальная дивергенция на Ω . Здесь тангенциальный вектор u – так называемая поверхностная плотность тока.
Определение [14]. Волновое число k является нерезонансным, если
уравнение L ( k ) u = 0 имеет только тривиальные решения.
Утверждение 2 [14]. Если k является нерезонансным и k ≠ 0 , тогда
оператор L ( k ) : W → W ′ является непрерывно обратимым.
Метод Галеркина
Рассмотрим n-мерное пространство Vn ⊂ W . Будем проводить аппроксимации u элементами un ∈Vn . Методом Галеркина находим un из системы
уравнений
( Aun , v) = ( f , v), ∀v ∈Vn .
(9)
Эти уравнения определяются конечномерным оператором An : Vn → Vn′ ,
где Vn′ есть антидуальное пространство к Vn .
Допустим, что подпространства X n и Yn являются линейными оболоч-
ками базисных и тестовых функций X n = span { z1 ,..., zn } , Yn = span {v1 ,..., vn } .
Представим un в виде линейной комбинации базисных функций
n
un =
 γ n zn
k =1
и подставим это выражение в формулу (9). В результате получим эквивалентную систему линейных алгебраических уравнений порядка n
n
 γ k ( Azk , v j ) = ( f , v j ) ,
k =1
относительно неизвестных коэффициентов γ k .
88
j = 1,..., n,
(10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Свойство аппроксимации подпространств
базисных функций крышек для плоского экрана
Рассмотрим вопрос об аппроксимации непрерывно дифференцируемой
(векторной) функции
f ( x, y ) = ( f1 ( x, y ) , f 2 ( x, y ) ) ,
(
f ∈ C01 ( Π ) f1 ∈ C01 ( Π ) , f 2 ∈ C01 ( Π )
)
в прямоугольнике Π = [ 0, a ] × [ 0, b ] «rooftop» базисными функциями ϕ j ( x, y )
по методу, предложенному в статье [15]. Рассмотрим в Π равномерную прямоугольную сетку с шагами h1 и h2 по осям x и y с узлами M ij = xi , y j ,
(
)
a
b
, h2 =
.
N1
N2
Базисную функцию ϕ j ( x, y ) , отвечающую ребру j , определим по пра-
xi = ih1 , y j = jh2 ( i = 0,..., N1 , j = 0,..., N 2 ), h1 =
вилу (см. рис. 1)
( x − x( ) ,0) Sl
( ) − x,0 l
x
(
)S



ϕ j ( x, y ) = 



j
1
j
2
j
+
j
в Π +j ,
j
−
j
в Π −j ,
(
(
) Sl
l
)S

( j)
 0, y − y1

ϕ j ( x, y ) = 
 0, y ( j ) − y
2


j
+
j
в Π +j ,
j
−
j
в Π −j
(11)
и ϕ j ≡ 0 вне прямоугольников Π +j , Π −j . Здесь l j – длина j -го ребра; S ±j –
площадь прямоугольника Π ± ; C j – середина ребра с номером j .
Y
9
20
10
21
6
16
22
7
17
3
12
23
8
18
4
13
0
11
19
5
14
1
15
2
0
X
Рис. 1. Расчетная сетка
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Нормирование функций ϕ j ( x, y ) выполнено так, что нормальная составляющая (к ребру) этих функций в середине ребра равна 1, т.е.
ϕj
C j = 1 . Отметим важное свойство функций ϕ j : их нормальные со-
( )n ( )
∂Π j
ставляющие на границе
( ϕ j )n ∂Π
j
носителя
Π j = Π +j ∪ Π −j
равны нулю,
=0.
Пусть φ ( x, y ) =
 α j ϕ j ( x, y ) , φ ( x, y ) = ( φ1 ( x, y ) , φ2 ( x, y )) .
Тогда ко-
j
эффициент α j равен нормальной составляющей функции φ в середине реб
ра: α j = ϕ j C j ⋅ n . Будем аппроксимировать функцию f ( x, y ) функцией
( )
φ ( x, y ) , выбирая коэффициенты α j из условия
φ ( x, y ) =
 f n ( C j ) ϕ j ( x, y ) .
Оценим разность
j
( )
( )
f n C j = φn C j , т.е.
fi ( x, y ) − φi ( x, y ) в прямо-
угольнике Π , i = 1, 2 . Пусть Ck – середина вертикального ребра с номером
k ближайшая к точке ( x, y ) ∈ Π . Если точка Ck не единственная ближайшая,
то можно взять любую из них.
Обозначим через ω ( g , δ, η) модуль непрерывности функции g в прямоугольнике Π [16]:
{
}
ω ( g , δ, η) := sup g ( x′, y′ ) − g ( x′′, y ′′ ) : x′ − x′′ ≤ δ, y′ − y′′ ≤ η .
Рассмотрим один из прямоугольников Π сетки, например PQRT , где
P ( x1 , y1 ) , R ( x2 , y2 ) , Q ( x3 , y3 ) , T ( x4 , y4 ) , причем x3 = x1 + h , y3 = y1 + h ,
x2 = x1 , y2 = y1 + h2 , x4 = x1 + h , y4 = y1 . Пусть ребра PR , PT , QT , RQ
имеют номера i , j , k , l соответственно, а точки Ai , B j , Ck , Dl – середины этих ребер (рис. 2).
(x , y )
j
2
(x , y )
j
2
Π+
( x, y )
Π−
j
2
Π
( x, y )
j
1
( x, y )
(x , y )
j
1
Рис. 2. Базисные функции
90
( x, y )
Π+
(x , y )
j
1
−
j
1
j
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Оценим разность функций f и φ в точке ( x, y ) при условии, что она
принадлежит прямоугольнику PRQT . Тогда
f ( x, y ) − φ ( x, y ) = f ( x, y ) −
(
)
( )
− f1 ( Ai ) ϕi ( x, y ) + f 2 B j ϕ j ( x, y ) + f1 ( Ck ) ϕk ( x, y ) + f 2 ( Dl ) ϕl ( x, y ) .
Здесь
T
f1 ( Ai ) ϕi ( x, y ) = f1 ( Ai ) ( x2 − x,0 ) h1−1 ;
( )
( ) ( 0, y2 − y )T h2−1 ;
f 2 B j ϕ j ( x, y ) = f 2 B j
T
f1 ( Ck ) ϕk ( x, y ) = f1 ( Ck ) ( x − x1 ,0 ) h1−1 ;
T
f 2 ( Dl ) ϕl ( x, y ) = f 2 ( Dl ) ( 0, y − y1 ) h2−1 ;
откуда покоординатно имеем (рис. 3):
f1 ( x, y ) − φ1 ( x, y ) = f1 ( x, y ) − f1 ( Ai ) ( x2 − x ) h1−1 − f1 ( Ck ) ( x − x1 ) h1−1 ,
( ) ( y2 − y ) h2−1 − f2 ( Dl ) ( y − y1 ) h2−1 .
f 2 ( x, y ) − φ 2 ( x, y ) = f 2 ( x, y ) − f 2 B j
Y
Dl
R
Q
y1 + h2
Ai
y1
Ck
P
Bj
T
X
x1
x1 + h1
Рис. 3. Шаблон носителей
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Введем обозначения: Θ1 :=
y − y1
x − x1
, 0 ≤ Θ1 ≤ 1 , 0 ≤ Θ2 ≤ 1 .
, Θ2 :=
h2
h1
Тогда
f1 ( x, y ) − φ1 ( x, y ) = f1 ( x, y ) − (1 − Θ1 ) f1 ( Ai ) − Θ1 f1 ( Ck ) ;
( )
f 2 ( x, y ) − φ2 ( x, y ) = f 2 ( x, y ) − (1 − Θ2 ) f 2 B j − Θ2 f 2 ( Dl ) .
Учитывая, что непрерывная в T функция достигает любого своего
промежуточного значения в некоторой точке из T , получаем, что
h h 
 h h 

f1 ( x, y ) − φ1 ( x, y ) ≤ ω  f1; 1 , 2  ; f 2 ( x, y ) − φ2 ( x, y ) ≤ ω  f 2 ; 1 , 2  .
2 2 
2 2 


Легко получить более грубую оценку:
h h 
 h h 

f m ( x, y ) − φm ( x, y ) ≤ ω  f1 , 1 , 2  + ω  f 2 ; 1 , 2  , m = 1, 2 .
2 2 
2 2 


(12)
Заметим, что в силу условия
f1 x =0 = f1 x = a = 0 , f 2 y =0 = f 2 y =b = 0 ,
граничные ребра в вышеприведенных оценках фигурируют лишь формально
с коэффициентом 0 перед соответствующей базисной функцией.
Случай принадлежности точки ( x, y ) одному из ребер PR , PT , QT ,
RQ также не исключается. Таким образом, в силу произвольности выбора
( x, y ) ∈ Π и равномерности оценки (12) оценка (12) имеет место для
всех точек ( x, y ) ∈ Π .
Пусть снова ( x, y ) ∈ PRQT . Оценим разность функций div f и div φ ,
точки
пользуясь полученными результатами. Имеем
(
( )
)
div f − div φ = div f − −h1−1 f1 ( Ai ) + h1−1 f1 ( Ck ) − h1−1 f 2 B j + h2−1 f 2 ( Dl ) ,
или
f ( C ) − f1 ( Ai )
∂f ∂f
div f − div φ = 1 + 1
− 1 k
+
∂x ∂x C
h1
k
+
( )
f 2 ( Dl ) − f 2 B j
∂f 2 ∂f 2
∂f
−
+ 2
−
.
h2
∂y ∂y D
∂y D
l
l
Далее находим, учитывая непрерывную дифференцируемость функций
f1 и f 2 в Π :
 ∂f h h 
 ∂f
h 
 ∂f h h 
 ∂f h 
div f − div ϕ ≤ ω  1 ; 1 , 2  + ω  1 ; 1 ,0  + ω  2 ; 1 , 2  + ω  2 ;0, 2  .
2 
 ∂x 2 2 
 ∂x 2 
 ∂y 2 2 
 ∂y
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Отсюда легко получить более грубую оценку:
  ∂f h h 
 ∂f h h  
div f − div ϕ ≤ 2  ω  1 ; 1 , 2  + ω  2 ; 1 , 2   ,
 ∂y 2 2  
  ∂x 2 2 
(13)
которая равномерна и имеет место для всех ( x, y ) ∈ Π .
Для любого прямоугольника, расположенного в пространстве иначе,
доказательство проводится аналогично.
Оценки (12) и (13) позволяют доказать теорему об аппроксимации элементов φ∈W базисными функциями ϕ j . Пусть в прямоугольнике Π выбрана равномерная прямоугольная сетка с шагом h1 по переменной x , и шагом
h2 по переменной y . Рассмотрим конечномерное подпространство
X N = span {ϕ1 ,..., ϕ N } , являющееся линейной оболочкой базисных функций
ϕ j , 1, ..., N , где N – количество внутренних ребер сетки. Нетрудно проверить, что ϕ j ∈W ( Π ) , X N ⊂ W [17]. Имеет место следующий результат.
Теорема. Для любого φ∈W верна оценка inf ψ − φ W → 0 , N → ∞ ,
ψ∈X N
и верна оценка
inf
ψ∈X N
ψ − φ W ≤ C0 ( h1 + h2 ) ϕ C 2 Π ,
( )
(14)
где C0 не зависит от h1 и h2 , если ϕ∈W ∩ C 2 ( Π ) .
Доказательство. Так как C0∞ ( Π ) плотно в W ( Π ) , выбираем элемент
f ∈ C0∞ ( Π ) такой, что φ − f W ≤ ε , ε := h1 + h2 . Тогда
φ − φN W ≤ φ − f W + f − φN W ≤ ε + f − φN W ,
где φ N – функция, аппроксимирующая f .
Выберем φ N следующим образом:
N
φN =
 fn ( C j ) ϕ j ,
j =1
где C j – середина j -го ребра; f n – нормальная составляющая к ребру функции f .
4
Так как вложение L p ( Π ) ⊂ H −1/2 ( Π ) непрерывно при < p < 2 [18],
3
1
p
то g −1/2 ≤ C g p , g ∈ L p ( Π ) . Но g p ≤ mes Π g C , если g ∈ C ( Π ) . Поэтому для векторной функции u
1
p
u W ≤ C ⋅ mes Π
(
2
u1 C
+
2
u2 C
+ div u
1
2 2
C
)
≤
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1
p
(
)
≤ C 3 mes Π ⋅ max u1 C , u2 C , div u C .
1
p
Положим C1 := 2C 3 mes Π . В силу оценок (11) и (13) получаем
  h h 
h h 

f − φ N W ≤ C1 ω  f1; 1 , 2  + ω  f 2 ; 1 , 2  +
2 2 
2 2 

 
 ∂f h h  
 ∂f h h 
+ω  1 ; 1 , 2  + ω  2 ; 1 , 2   ≤ C2 ( h1 + h2 ) ,
 ∂x 2 2 
 ∂y 2 2  
так как f любое число раз непрерывно дифференцируема в Π .
В качестве C2 можно взять C2 := C1
мультииндекс, Dαk =
∂k
∂x α1 ∂y α 2
max
max Dαk f j , α = ( α1 , α 2 ) –
k ,α:1≤ k ≤2 M ∈Π
j:1≤ j ≤ 2
, α = k . Тогда окончательно можно выбрать
C0 = 1 + C2 . 
Аналогичный результат был получен для базисных функций, введенных в работах [18, 19].
Описание численного метода и результаты расчетов
Разработанный метод позволяет рассчитывать поверхностные токи на
ограниченном, бесконечно тонком и идеально проводящем экране. Экран
может быть неплоским и иметь сложную геометрическую форму.
Рассмотрим способ построения сетки для неплоского экрана канонической формы. Под фигурой канонической формы для рассматриваемой задачи
будем понимать прямоугольный параллелепипед, разбитый на элементарные
параллелепипеды Π i . Элементарные параллелепипеды Π i имеют стенки, но
являются пустыми внутри. Пример экрана канонической формы представлен
на рис. 4.
Следуя схеме метода Галеркина (9), можно получить решение интегрального уравнения на экране канонической формы. Далее, используя
субиерархический метод [3–12], можно выделить из экрана канонической
формы экран сложной геометрической формы и рассчитать поверхностные
токи на нем. Для этого составляется система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) на базе элементов экрана сложной геометрической формы.
Каждый элемент СЛАУ рассчитывается путем вычисления четырехкратного
интеграла

Aij = ( Aϕi , ϕ j ) = − G ( x, y )divϕi ( x)div ϕ j ( y )ds +
Ω

+ k 2 G ( x, y )ϕi ( x) ϕ j ( y )ds,
Ω
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
по паре носителей: Π i и Π j . Здесь G ( x, y ) =
ция Грина. Правая часть
f j = f ⋅ ϕ j ds, j = 1,..., N .
СЛАУ
exp ( ik x − y )
x− y
определяется
– известная функ-
падающим
полем

Ω
Π
Рис. 4. Пример экрана канонической формы
На рис. 5 представлена форма экрана сложной геометрической формы,
на котором производился расчет поверхностных токов. Рассматриваемый
экран состоит из трех плоских параллельных экранов, средний из которых
имеет в центре крестовое отверстие ( λ – длина волны, k0 = 2π / λ ). На рис. 6
представлены расчеты модулей поверхностных токов на каждом из слоев.
Рис. 5. Экран сложной геометрической формы
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
а)
б)
в)
Рис. 6. Модуль поверхностных токов J x : а – для верхнего экрана;
б – для среднего экрана; в – для нижнего экрана
Построенная модель представляет интерес при расчете печатных плат и
многослойных структур. Для решения рассматриваемой задачи использовался суперкомпьютерный комплекс Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова
Список литературы
1. И л ь и н с к и й , А . С . Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких
экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. – М. : Радиотехника, 1996. – 176 с.
2. С а м о х и н , A . Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / A. Б. Самохин. – М. : Радио и Связь, 1998. – 160 с.
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
3. М е дв е ди к , М . Ю . Применение субиерархического метода в задачах электродинамики / М. Ю. Медведик // Вычислительные методы и программирование. –
2012. – Т. 13. – С. 87–97.
4. М е дв е ди к , М . Ю . Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов
в электромагнитной задаче дифракции на экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, С. И. Соболев // Вычислительные методы и программирование. – 2005. –
Т. 6. – С. 99–108.
5. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм и сходимость метода Галеркина в задачах дифракции электромагнитного
поля на плоском экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Сер. «Естественные науки». – 2004. –
№ 5. – С. 5–19.
6. А н то н о в , А . В. Разработка Web-ориентированного вычислительного комплекса для решения трехмерных векторных задач дифракции электромагнитных волн
на основе субиерархических параллельных алгоритмов и ГРИД-технологий /
А. В. Антонов, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 4. –
С. 60–67.
7. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения задач дифракции электромагнитных волн на плоских экранах /
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2008. – Т. 53,
№ 4. – С. 441–446.
8. М е дв е ди к , М . Ю . Применение ГРИД-технологий для решения объемного
сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 2. – С. 2–14.
9. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический подход для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле
в волноводе методом коллокации / М. Ю. Медведик, Д. А. Миронов, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2010. – № 2. – С. 32–43.
10. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический метод решения задачи дифракции электромагнитных вол на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе /
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2011. – Т. 56,
№ 8. – С. 940–945.
11. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический метод решения интегрального уравнения Липпмана – Швингера на телах сложной формы / М. Ю. Медведик // Радиотехника и электроника. – 2012. – Т. 57, № 2. – С. 175–180.
12. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический метод для решения псевдодифференциального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие /
М. Ю. Медведик, И. А. Родионова, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. –
2012. – Т. 57, № 3. – С. 281–290.
13. Т р и б е л ь , Х . Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / Х. Трибель. – М. : Мир, 1980. – 664 с.
14. С м и р н о в , Ю . Г . Математические методы исследования задач электродинамики / Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2009. – 268 с.
15. I . H ä n n i n e n , M . T . Singularity subtraction integral formulae for surface integral
equations with RWG, rooftop and hybrid basis functions / I. Hänninen, M. Taskinen,
and J. Sarvas // Prog. Electromagn. Res. PIER. – 2006. – V. 63. – P. 243–278.
16. К о р н е й ч у к , Н . П . Сплайны в теории приближения / Н. П. Корнейчук. –
М. : Наука, 1984. – 352 с.
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
17. С м и р н о в , Ю . Г . О разрешимости векторных интегродифференциальных
уравнений в задаче дифракции электромагнитного поля на экранах произвольной
формы / Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической
физики. – 1994. – Т. 34, № 10. – С. 1461–1475.
18. R a o , S . M . Electromagnetic Scattering by Surface of Arbitrary Share / S. M. Rao,
D. R. Wilton, and A. W. Glisson // IEEE Transactions on antennas and propagation. –
1982. – V. Ap-30. – P. 409–417.
19. С м и р н о в , Ю . Г . О сходимости методов Галеркина для уравнений с операторами, эллиптическими на подпространствах, и о решении уравнения электрического поля / Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2007. – Т. 47, № 1. – С. 133–143.
Медведик Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Medvedik Mikhail Yuryevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: _medv@mail.ru
УДК 517.6
Медведик, М. Ю.
Применение функций крышек для решения задачи дифракции
электромагнитных волн на экранах сложной формы / М. Ю. Медведик //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2012. – № 3 (23). – С. 84–98.
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.392
И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
СИНГУЛЯРНЫХ И ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация. Предложены и обоснованы приближенные методы решения линейных и нелинейных сингулярных и гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений на замкнутых контурах интегрирования. Обоснование
приводится в пространствах Гельдера.
Ключевые слова: приближенные методы, сингулярные интегродифференциальные уравнения, гиперсингулярные интегродифференциальные уравнения.
Abstract. The authors suggest and substantiate approximate methods to solve linear
and non-linear singular and hypersingular integro-differential equations in closed
contours of integration. The substantiation is adduced in Helder space.
Key words: approximate methods, singular integro-differential equations,
hypersingular integro-differential equations.
Введение
Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений
являются самостоятельным разделом вычислительной математики, активно
развивающимся со второй половины двадцатого столетия. Этому направлению посвящены десятки монографий и сотни статей. Такое бурное развитие в
первую очередь обусловлено многочисленными приложениями сингулярных
интегральных уравнений в механике, аэродинамике, электродинамике.
По-видимому, первыми работами, непосредственно посвященными
приближенным методам решения сингулярных интегродифференциальных
уравнений, были статьи [1–4]. В работах [1–3] рассмотрен приближенный метод решения краевой задачи (1)–(2) и дано его обоснование сведением, с помощью представлений И. Н. Векуа и Ю. М. Крикунова, к эквивалентным сингулярным интегральным уравнениям. В работе [4] без доказательства дано
приближенное решение краевой задачи для нелинейного сингулярного интегродифференциального уравнения. Представляет значительный интерес развитие метода, анонсированного в [4], так как он применим к обоснованию
вычислительных схем для более общих классов уравнений, в частности, для
обоснования приближенных методов решения полисингулярных интегродифференциальных уравнений.
1. Приближенное решение сингулярных интегродифференциальных
уравнений на замкнутых контурах интегрирования
В данном разделе исследуются приближенные методы решения
линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений


(k )
(k )
 a (t ) x( k ) (t ) + b (t ) 1 x (τ) d τ + 1 hk (t , τ) x (τ) d τ  = f (t ) (1)
k
 k

2πi
πi τ − t
| τ − t |η
k =0 
γ
γ

m
Kx ≡



99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
при условиях
x(t )t
− k −1
dt = 0, k = 0,1,, m − 1 ,
(2)
γ
и краевой задачи


(k )
 a (t ) x( k ) (t ) + 1 hk (t , τ) x (τ) d τ  = f (t )
n
 k

πi
τ−t
k =0 
γ

m
Kx ≡


с граничными условиями
x(t )t
− k −1
dt = 0, k = 0,1,, m − 1.
γ
Здесь γ – единичная окружность с центром в начале координат.
Предположим выполненными следующие условия:
а) ak (t ), bk (t ), f (t ) ∈ H α , hk (t , τ) ∈ H α,α ,0 < α ≤ 1;
б) ak (t ), bk (t ), f (t ) ∈ C [0,2π], hk ∈ C [0,2π]2 ;
в) ak (t ), bk (t ), f (t ) ∈W r H α , hk (t , τ) ∈W r ,r H α,α , k = 0,1, , m.
Приближенное решение краевой задачи (1), (2) будем искать в виде
полинома
xn (t ) = t m
n

αk t k +
k =0
−1
 αk t k ,
(3)
k =−n
коэффициенты которого определяются из системы уравнений
 m 
 a (t ) x( k ) (t ) + b (t ) 1
K n xn ≡ Pn 
n
k

 k
2πi
γ
 k =0 


xn( k ) (τ)
dτ +
τ−t

1
τ
(k )   
+
Pn hk (t , τ) d (t , τ) xn (τ d τ = Pn [ f (t )],

 
2πi
γ
 

(4)
где Pn – оператор, отображающий пространство непрерывных функций на
is
множество интерполяционных полиномов степени n по узлам tk = e k ,
sk = 2k π / (2n + 1), k = 0,1, , 2n,
2π

−η
| τ − t | , если | σ − s |≥ 2n + 1 ,

d (t , τ) =  2 π
2π
 i 2n +1
− 1|−η , если | σ − s |<
;
| e
2n + 1
τ = eiσ , t = eis .
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Введем следующие пространства функций: X = H βm – пространство
функций, удовлетворяющих условию (2) и имеющих производную m
порядка, входящую в класс Гельдера H β , с нормой
x =M
Y
(m)
(m)
( x) + H
m
( x; β) =
 max | x
(k )
k =0 t∈γ
(t ) | + sup
t2 ≠t1
x ( m) (t2 ) − x ( m) (t1 )
t2 − t1
β
;
– пространство функций, удовлетворяющих условию Гельдера H β
с нормой  y = M (0) ( y ) + H (0) ( y ); X n ⊂ X – пространство функций вида
xn (t ); Yn ⊂ Y – пространство полиномов степени не выше n.
Обоснование метода проводится при β < α / 2.
Представим уравнение (1) и вычислительную схему метода коллокации
соответственно в следующем виде:
Kx ≡ am (t ) x ( m) (t ) + bm (t )
m −1

1 x ( m) (τ)
dτ +
ak (t ) x( k ) (t ) +

πi
τ−t
k =0 


γ
+bk (t )
 m
1 x ( k ) (τ) 
1 hk (t , τ) x ( k ) (τ)
dτ +
d τ = f (t )
η

2
i
πi τ − t
π
|
t
|
τ
−
γ
γ
 k =0



(5)
и

1
K n xn ≡ Pn  am (t ) xn( m) (t ) + bm (t )

πi
γ


 m−1 
 a (t ) x ( k ) (t ) + b (t ) 1
+ Pn 
n
k

 k
πi
k
=0
γ





xn( m) (τ) 
dτ +

τ−t


xn( k ) (τ)  
dτ +

τ−t
 
 m

1
k

+ Pn
hk (t , τ)d (t , τ) xn (τ)d τ  = Pn [ f (t )].


π
2
i
γ
 k =0



Введем функцию Φ ( z ) =
(6)
1 x(τ)
d τ.
2πi τ − z

γ
Нетрудно видеть, что
Φ(k ) ( z) =
1 x ( k ) (τ)
d τ.
2πi τ − z

γ
Воспользовавшись формулами Сохоцкого – Племеля [5]
x ( m) (t ) = Φ ( m)+ (t ) − Φ ( m)− (t ),
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1 x ( m) (τ)
d τ = Φ ( m)+ (t ) + Φ ( m)− (t ),
πi
τ−t

L
уравнения (5) и (6) можно представить в следующем виде:
(am (t ) + bm (t ))Φ ( m)+ (t ) + (bm (t ) − am (t ))Φ ( m)− (t ) +
+
m −1 

(k )
 a (t ) x ( k ) (t ) + b (t ) 1 x (τ) d τ  +
k
 k

πi τ − t
k =0 
γ



m
+
1 hk (t , τ) x ( k ) (τ)
d τ = f (t )
η
2πi
τ
−
t
|
|
k =0
γ


(7)
и
Pn  (am (t ) + bm (t ))Φ (nm)+ (t ) + (bm (t ) − am (t ))Φ (nm)− (t ) +

m −1 

1 x ( k ) ( τ) 
(k )

a (t ) x (t ) + bk (t )
dτ +
+
 k

πi τ − t
k =0 
γ





1 hk (t , τ) x ( k ) (τ)  

d τ = Pn [ f (t )].
+
η
 2πi

t
τ
−
|
|
k =0 
γ
 
m


(8)
Отметим, что
Φ (nm)+ (t ) =
n

αk
k =0
−1
(m + k )! k
(m + k )! k − m
t , Φ (nm)− (t ) = −
αk
t
.
k!
(
k
−
1)!
k =−n

Уравнения (7) и (8) эквивалентны следующим:
b (t ) − am (t ) ( m)−
Φ ( m)+ (t ) + m
Φ
(t ) +
am (t ) + bm (t )
+
 m −1 

(k )
1

 a (t ) x ( k ) (t ) + b (t ) 1 x (τ) d τ  +
k
k

am (t ) + bm (t )  k =0 
πi τ − t
γ






1 hk (t , τ) x( k ) (τ) 
1
dτ =
f (t )
η
 am (t ) + bm (t )
π
i
τ
−
|
t
|
k =0
γ

m
+
 
и

b (t ) − am (t ) ( m)−
Pn  Φ (nm)+ (t ) + m
Φ n (t ) +
am (t ) + bm (t )

102
(9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
 m−1 
1

 a (t ) x ( k ) (t ) + b (t ) 1
+
k
n
k
am (t ) + bm (t )  k =0 
πi
γ





xn( k ) (τ) 
dτ +

τ−t




1 hk (t , τ) xn( k ) ( τ)  
1
d τ = Pn 
f (t )  .

πi
| τ − t |η
 am (t ) + bm (t )

k =0
γ
 
m
+
 
G (t ) = (bm (t ) − am t )) / (am (t ) + bm (t ))
Пусть функция
(10)
имеет индекс
χ = m. Тогда функцию G (t ) можно представить в виде G (t ) = t mG0 (t ), где
функция G0 (t ) имеет индекс, равный нулю. Известно [5], что в этом случае
краевая задача Римана ψ + (t ) = G0 (t )ψ − (t ) имеет единственное решение,
обращающееся в нуль на бесконечности.
Уравнения (9) и (10) можно представить в следующем виде:
 ≡ ψ − (t )Φ ( m)+ (t ) + t m ψ + (t )Φ ( m)− (t ) +
Kx
 m−1 

ψ + (t )
1 x ( k ) (τ) 
(k )


+
ak (t ) x (t ) + bk (t )
dτ +

πi τ − t
am (t ) + bm (t )  k =0 
γ






1 hk (t , τ) x ( k ) (τ) 
ψ + (t )
dτ =
f (t )
+
 am (t ) + bm (t )
2πi
| τ − t |η
k =0
γ

m


(11)
и
K n xn ≡ Pn ψ − (t )Φ (nm)+ (t ) + t m ψ + (t )Φ (nm)− (t ) +

+
 m−1 

(k )
ψ + (t )

 a (t ) x ( k ) (t ) + b (t ) 1 xn (τ) d τ  +
k
n
k

πi τ − t
am (t ) + bm (t )  k =0 
γ








1 hk (t , τ) xn( k ) (τ)  
ψ + (t )
+
d τ = Pn 
f (t )  .
η

2πi
|τ−t |
 am (t ) + bm (t )

k =0
γ
 
m


(12)
Обозначим через ψ +n (t ) и ψ −n (t ) полиномы наилучшего равномерного
приближения степени n к функциям ψ + (t ) и ψ − (t ). Так как функция ψ + ( z )
( ψ − ( z ) ) – аналитическая внутри (вне) единичного круга с центром в начале
координат, то полиномы ψ +n (t ) и ψ −n (t ) имеют вид ψ n+ (t ) =
n
βk t k ,
k =0
ψ n− (t ) =
−1
 βk t k .
k =−n
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Замечание 1. Напомним [5], что через ψ + (t )(ψ − (t )) обозначаются
функции аналитические внутри (вне) единичной окружности γ с центром
в начале координат.
Замечание 2. Ищется решение задачи Римана ψ + (t ) = G0 (t )ψ − (t )
с функцией ψ − (t ), удовлетворяющей условию ψ − (∞) = 0.
Аппроксимируем уравнения (11) и (12) следующими:
Lx ≡ ψ −n (t )Φ ( m)+ (t ) + t m ψ n + (t )Φ ( m)− (t ) +
+
 m−1 

(k )
ψ + (t )

 a (t ) x ( k ) (t ) + b (t ) 1 x (τ) d τ  +
k
k

πi τ − t
am (t ) + bm (t )  k =0 
γ





1 hk (t , τ) x ( k ) (τ) 
ψ + (t )
dτ =
f (t )
η
 am (t ) + bm (t )
π
2
i
τ
−
|
t
|
k =0
γ

m
+



(13)
и
Ln xn ≡ Pn ψ n − (t )Φ n( m)+ (t ) + t m ψ n + (t )Φ n( m)− (t ) +

+
 m−1 

(k )
ψ + (t )

 a (t ) x ( k ) (t ) + b (t ) 1 xn (τ) d τ  +
k
n
k

am (t ) + bm (t )  k =0 
πi
τ−t
γ








1 hk (t , τ) xn( k ) (τ)  
ψ + (t )
+
d τ = Pn 
f (t )  .

2πi
| τ − t |η
 am (t ) + bm (t )

k =0
γ
 
m


(14)
Нетрудно видеть, что при выполнении условий (a)
 ψ + (t ) − ψ n+ (t ) ≤ cn −α+β ,
 ψ − (t ) − ψ −n (t ) ≤ cn −α+β .
(15)
Так как оператор K ∈ [ X , Y ] непрерывно обратим, то из теоремы Банаха
[6] следует, что оператор K ∈ [ X , Y ] тоже непрерывно обратим. Отсюда и из
неравенств (15) следует, что при n таких, что q = cn −α+β < 1, оператор
L ∈ [ X , Y ] непрерывно обратим.
Можно показать, что
Pn [ψ −n (t )Φ (nm)+ (t ) + t m ψ +n (t )Φ (nm)− (t )] ≡ ψ −n (t )Φ (nm)+ (t ) + t m ψ +n (t )Φ (nm)− (t ),

m−1 
(k )
ψ + (t )
 a (t ) x ( k ) (t ) + b (t ) 1 x (τ) d τ  ∈ H ,
k
k
α

πi τ − t
am (t ) + bm (t ) k =0 
γ



104

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
оператор
Физико-математические науки. Математика
1 hk (t , τ) x ( k ) (τ)
d τ, k = 0,1, , m, принадлежит [7] множеству
η
2πi
τ
−
t
|
|
γ

функций H ζ , где ζ = 1 при α > η, ζ = α + 1 − η при α < η и принадлежит
классу функций Зигмунда при α = η. Учитывая [8], что  Pn ≤ c ln n из
теоремы Банаха об обратном операторе [6], заключаем, что оператор
 ≡ ψ − (t )Φ ( m)+ (t ) + t m ψ + (t )Φ ( m)− (t ) +
Lx
n
n

 m−1 

(k )
ψ + (t )

 a (t ) x ( k ) (t ) + b (t ) 1 x (τ) d τ  +
+ Pn 
k
 a (t ) + b (t ) 
 k

πi τ − t
m
γ
 k =0 
 m



1 hk (t , τ) x ( k ) (τ) 
dτ

2πi
| τ − t |η
k =0
γ

m
+



непрерывно обратим.
Из теоремы о левом обратном операторе [9] следует, что
  ≥ m  x  . Следовательно, на подпространствах
X
и Y
 Lx
Y
X
  ≥ m  x  . Последнее неравенство эквивалентно следующему
 Lx
n Y
X
n
n
 Ln xn Y ≥ m  xn X . Из этого неравенства следует существование левого
n
n
обратного оператора ( Ln )l−1. Так как оператор Ln – конечномерный, то из
существования левого обратного оператора ( Ln )l−1 следует его обратимость.
Нетрудно видеть, что  K x − L x ≤ cn −α+β ln n. Следовательно, по
n n
n n
теореме Банаха об обратном операторе, при n таких, что q1 = cn −α+β ln n < 1,
уравнение (12) однозначно разрешимо. Так как уравнения (12) и (6) эквивалентны, то тем самым доказана однозначная разрешимость системы уравнений (6). Таким образом, доказано, что при n таких, что q = cn −α+β ln n < 1,
метод коллокации (6) однозначно разрешим.
Переход от вычислительной схемы метода коллокации (6) к вычислительной схеме метода механических квадратур (4) проводится способом, подробно описанным в [7].
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть краевая задача (1), (2) однозначно разрешима,
выполнены условия (а) и индекс функции
G (t ) = (bm (t ) − am (t )) / (am (t ) + bm (t ))
равен m. Тогда при n таких, что q = cn −ξ ln n < 1, ξ = min(α − β,1 − η − β, β) ,
система уравнений (4) имеет единственное решение xn* и справедлива оценка
 x* (t ) − xn* (t ) ≤ cn −ξ ln n, где x* – решение краевой задачи (1), (2).
Рассмотрим изменения, которые нужно внести в обоснование метода
в предположении, что индекс χ функции G (t ) χ > m.
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Как и выше, краевая задача (1), (2) и система (6) метода коллокации
сводятся к уравнениям (9) и (10). Так как функция G (t ) имеет индекс
χ = m + m1 , то представим ее в виде G (t ) = t χG* (t ) = t χ ψ*+ (t ) / ψ*− (t ), где
ψ*± (t ) – решение краевой задачи Римана ψ*+ (t ) = G* (t )ψ*− (t ).
Тогда уравнения (9) и (10) эквивалентны следующим:
ψ*− (t )Φ ( m)+ (t )
m
t 1
+ t m ψ*+ (t )Φ ( m)− (t ) +
 m−1 

(k )

 a (t ) x ( k ) (t ) + b (t ) 1 x (τ) d τ  +
+
k
k
m

πi τ − t
t 1 (am (t ) + bm (t ))  k =0 
γ


ψ*− (t )


ψ*− (t )
1 hk (t , τ) x ( k ) (τ) 
dτ =
f (t )
η
 t m1 (a (t ) + b (t ))
i
π
2
t
τ
−
|
|
k =0
m
m
γ

m
+



(16)
и




ψ − (t )Φ ( m)+ (t )  m−1 
1 x ( k ) ( τ) 
Pn  *
ak (t ) xn( k ) (t ) + bk (t )
dτ +
 m1

πi τ − t
t (am (t ) + bm (t ))  k =0 
γ








ψ*− (t )
1 hk (t , τ) x ( k ) (τ)  
d τ = Pn 
f (t )  .
+

2πi
 t m1 (a (t ) + b (t ))

| τ − t |η
k =0
m
m
γ


 
m


ψ*+ n (t )
(17)
наилучшего равномерного
приближения степени n функции ψ*+ (t ), а через ψ*−n −m (t ) – полином
1
Обозначим
через
полином
наилучшего равномерного приближения степени (n − m1 ) функции ψ*− (t ).
ψ*−n−m (t )Φ (nm)+ (t )
1
+ t m ψ*+n (t )Φ (nm)− (t )
Нетрудно видеть, что выражение
m1
t
является тригонометрическим полиномом степени n. Поэтому к уравнениям
(15), (16) можно применить рассуждения, приведенные при доказательстве
теоремы 1. В результате приходим к следующему утверждению.
Теорема 2. Пусть краевая задача (1), (2) однозначно разрешима,
выполнены условия (а) и индекс функции
G (t ) = (bm (t ) − am (t )) / (am (t ) + bm (t ))
равен m + m1 , m1 > 0. Тогда при n таких, что q = cn −ξ ln n < 1,
ξ = min(α − β,1 − η − β, β) система уравнений (4) имеет единственное решение
xn* и справедлива оценка  x* (t ) − xn* (t ) ≤ cn −ξ ln n, где x* – решение краевой
задачи (1), (2).
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Замечание 3. Утверждения теоремы остаются в силе, если вместо
однозначной разрешимости краевой задачи (1), (2) потребовать ее
разрешимость при любой правой части. В этом случае при обосновании
достаточно воспользоваться общей теорией приближенных методов для
обратимых справа операторов [7].
Рассмотрим теперь изменения, которые нужно внести в доказательство
теоремы 1 в предположении, что индекс χ функции G (t ) меньше m.
Функцию G (t ) можно представить в виде
G (t ) = t χG1 (t ) = t χ g + (t ) / g − (t ),
где g ± – решение краевой задачи g + (t ) = G1 (t ) g − (t ). Тогда уравнения (11),
(12), рассуждениями, приведенными при доказательстве теоремы 1,
преобразуются к уравнениям
t m−χ g − (t )Φ ( m)+ (t ) − t m g + (t )Φ ( m)− (t ) +
+
 m−1 

(k )
t m−χ g − (t ) 
 a (t ) x ( k ) (t ) + b (t ) 1 x (τ) d τ  +
k
k

πi τ − t
am (t ) + bm (t )  k =0 
γ






1 hk (t , τ) x ( k ) (τ) 
t m−χ g − (t )
+
dτ =
f (t ) ,
 am (t ) + bm (t )
πi
| τ − t |η
k =0
γ

m
 
(18)
Pn [t m−χ g − (t )Φ (nm)+ (t ) − t m g + (t )Φ (nm)− (t ) +
 m−1 
t m−χ g − (t ) 
 a (t ) x ( k ) (t ) + b (t ) 1
+
k
n
k

πi
am (t ) + bm (t ) k =0 
γ





xn( k ) (τ) 
dτ +

τ−t


 t m−χ g − (t )

1 hk (t , τ) xn( k ) ( τ)  
+
d τ = Pn 
f (t )  .

πi
| τ − t |η
 am (t ) + bm (t )

k =0
γ
 
m
 
(19)
В случае, если функция g − (t ) ортогональна на единичной окружности
полиномам t − k , k = 1, 2, , m − χ, то выражение
t m−χ g n− (t )Φ (nm)+ (t ) − t m g n+ (t )Φ (nm)− (t )
является тригонометрическим полиномом порядка n. Здесь g n− (t ) − отрезок
ряда Лорана разложения функции g − (t ) по степеням t − k , k = 1, 2, , n;
g n+ (t ) − наилучшее равномерное приближение функции g + (t ) полиномами
n -го порядка по степеням t k , k = 0,1, , n.
Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1,
приходим к следующему утверждению.
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Теорема 3. Пусть краевая задача (1), (2) разрешима, выполнены
условия (а) и индекс χ функции G (t ) = (bm (t ) − am (t )) / (am (t ) + bm (t )) меньше
m, функция g − (t ) ортогональна на единичной окружности полиномам t − k ,
q = cn −ξ ln n < 1,
Тогда
при
n
таких,
что
k = 1, 2, , m − χ,
ξ = min(α − β,1 − η − β, β) система уравнений (4) имеет единственное решение
xn* и справедлива оценка  x* (t ) − xn* (t ) ≤ cn −ξ ln n, где x* – решение краевой
задачи (1), (2).
Рассмотрим линейные сингулярные интегродифференциальные
уравнения


(k )
 a (t ) x ( k ) (t ) + 1 hk (t , τ) x (τ) d τ  = f (t )
n
 k

πi
τ−t
k =0 
γ

m
Kx ≡


(20)
при граничных условиях
x(t )t
− k −1
dt = 0, k = 0,1, , m − 1.
(21)
γ
Приближенное решение граничной задачи (20)–(21) будем искать
в виде полинома (3), коэффициенты {α k } которого определяются из системы
линейных алгебраических уравнений:
 m
 hk (t , τ) x ( k ) (τ)  
1
(k )

K n xn ≡ Pn
ak (t ) xn (t ) +
Pn 
 d τ  = Pn [ f (t )].

π
τ
−
i
t

 
γ 
 k =0



(22)
Оператор Pn определен выше, а через Pn обозначен оператор
проектирования на множество тригонометрических полиномов n порядка по
узлам tk = exp{isk }, sk = (2k + 1)π / (2n + 1), k = 0,1, , 2n.
Метод коллокации для уравнения (20) имеет вид
 m

1 hk (t , τ) x ( k ) (τ) 
(k )

K n xn ≡ Pn
ak (t ) xn (t ) +
d τ = Pn [ f (t )].


πi
τ−t
=0
k
γ




(23)
Для обоснования метода коллокации заметим, что уравнения (20) и (23)
преобразуются к виду


1 x( k ) ( τ)
1 d k (t , τ) x ( k ) (τ) 
(k )

Kx ≡
a (t ) x (t ) + hk (t , t )
dτ +
d τ = f (t ) (24)
η
 k

πi τ − t
πi
τ
−
|
t
|
k =0 
γ
γ

m



и
 m 
 a (t ) x ( k ) (t ) + h (t , t ) 1
K n xn ≡ Pn 
n
k

 k
πi
γ
 k =0 

108

xn( k ) (τ)
dτ +
τ−t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика

1 d k (t , τ) x ( k ) (τ) 
d τ = Pn [ f (t )].
+
η

πi
t
τ
−
|
|
γ


(25)
Здесь (hk (t , τ) − hk (t , t )) / (τ − t ) = d k (t , τ)/ | τ − t |η ,k = 0,1, , m.
Обоснование сходимости метода коллокации для задачи (24), (21)
проведено при доказательстве теорем 1–3. Тем самым проведено
доказательство сходимости метода коллокации для задачи (20), (21).
Переход от метода коллокации к методу механических квадратур
проводится на основании рассуждений, подробно описанных в статье [10] и в
разделе 2 главы 3 монографии [7], и здесь на этом не останавливаемся.
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть краевая задача (20), (21) однозначно разрешима,
выполненые условия (в) и индекс χ функции
G (t ) = (hm (t , t ) − am (t )) / (hm (t , t ) + am (t ))
больше или равен m. Тогда при n таких, что q = cn −( r +α−β) ln n < 1, система
уравнений (22) имеет единственное решение xn* и справедлива оценка
 x* (t ) − xn* (t ) ≤ cn −( r +α−β) ln n, где x* (t ) – решение краевой задачи (20), (21).
В случае, если χ < m, приведенное утверждение справедливо при
следующих дополнительных условиях:
1) функцию
G (t ) = (hm (t , t ) − am (t )) / (hm (t , t ) + am (t ))
можно представить в виде G (t ) = t χG1 (t ) = t χ g + (t ) / g − (t ), где g ± – решение
краевой задачи g + (t ) = G1 (t ) g − (t );
2) функция g − (t ) ортогональна на единичной окружности полиномам
t − k , k = 1, 2, , m − χ.
Рассмотрим нелинейное сингулярное интегродифференциальное уравнение


1 hk (t , τ, x ( k ) (τ)) 
(k )

Kx ≡
a (t , x (t )) +
d τ = f (t )
 k

πi
τ−t
k =0 
γ

при граничных условиях
m


x(t )t
− k −1
dt = 0,k = 0,1, , m − 1.
(26)
(27)
γ
Приближенное решение граничной задачи (26)–(27) будем искать
в виде полинома (3), коэффициенты {α k } которого определяются из системы
нелинейных алгебраических уравнений
 m 
(k )

 
 a (t , x( k ) (t )) + 1 P  hk (t , τ, xn (τ))  d τ   = P [ f (t )]. (28)
K n xn ≡ Pn 
n
n

 k

πi
τ−t




=0
k
γ


 


109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Будем считать выполненными следующие условия:
1) краевая задача (26), (27) имеет решение x* (t ), единственное в
некоторой сфере B( x* , R) с радиусом R;
2) производная Фреше оператора K ( x) непрерывно обратима в сфере
B( x* , R);
3) функции ak (t , u ), k = 0,1, , m, удовлетворяют условию Гельдера по
первой переменной и имеют производные, удовлетворяющие условию
Гельдера по второй переменной;
4) функции hk (t , τ, u ), k = 0,1, , m, удовлетворяют условию Гельдера
по первым двум переменным и имеют производные, удовлетворяющие
условию Гельдера по третьей переменной.
Покажем, что при выполнении этих условий система уравнений (28)
имеет единственное решение xn* и, если известно достаточно хорошее
начальное приближение x0 к решению x* , итерационный метод Ньютона –
Канторовича
xnl +1 (t ) = xnl (t ) − [ K n′ ( x0 )]−1 ( K n ( xnl ) − f n (t )), l = 0,1, ,
сходится к решению xn* (t ) уравнения (28). Здесь K n′ ( x0 ) – производная
Фреше оператора K n ( xn ) на начальном элементе x0 .
Доказательство этого утверждения состоит из следующих элементов:
1) доказательства обратимости оператора K n′ ( x0 );
2) проверки выполнения условий теоремы 6.7 из первой главы
монографии [7].
Существование обратного оператора [ K n′ ( x0 )]−1 следует из рассуждений, проведенных при доказательстве теоремы 4. Проверка условий теоремы
6.7 проводится по аналогии с рассуждениями, приведенными в главе 3 монографии [7].
3. Приближенное решение гиперсингулярных
интегродифференциальных уравнений
В этом разделе исследуются приближенные
гиперсингулярных интегральных уравнений вида
методы
решения
b (t ) x(τ)d τ
Kx ≡ a1 (t ) x′(t ) + a0 (t ) x(t ) + 1
+
πi
τ−t

γ
b (t ) x(τ)d τ
1
+ 2
+
h(t , τ) x( τ)d τ = f (t )
2
πi (τ − t )
2πi
γ
γ


(29)
при граничном условии
 x(τ)d τ = 0.
γ
110
(30)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
Интегральные уравнения, в состав которых входят интегралы
с сингулярными и гиперсингулярными ядрами, находят применение в теории
антенн [10]. Аналитическое исследование таких уравнений при ряде
ограничений проведено в [11], а численные методы рассмотрены в [12, 13].
Покажем, что для приближенного решения краевой задачи (29), (30)
применимы методы, изложенные в предыдущем разделе.
Приближенное решения краевой задачи (29), (30) будем искать в виде
полинома (3) (при m = 1), коэффициенты {α k } которого определяются из
системы линейных алгебраических уравнений

b (t ) xn (τ)d τ
K n xn ≡ Pn  a1 (t ) xn′ (t ) + a0 (t ) xn (t ) + 1
+

πi
τ−t
γ



b2 (t ) xn (τ) d τ
1
Pn [ h(t , τ) x(τ) ] d τ = Pn [ f (t )].
+
+
2

πi
2πi
t
τ
−
(
)
γ
γ



(31)
Для обоснования сходимости вычислительной схемы (3), (31)
представим уравнение (29) в виде сингулярного интегродифференциального
уравнения
b (t ) x(τ)d τ
+
a1 (t ) x′(t ) + a0 (t ) x(t ) + 1
πi
τ−t

γ
b (t ) x′(τ)d τ
1
h(t , τ) x(τ)d τ = f (t ).
+ 2
+
2
2πi
πi (τ − t )
γ
γ


(32)
Систему уравнений (31) представим в виде

b (t ) xn (τ)d τ
K n xn ≡ Pn  a1 (t ) xn′ (t ) + a0 (t ) xn (t ) + 1
+

πi
τ−t
γ



b (t ) xn′ (τ) d τ
1
Pn [ h(t , τ) xn (τ)] d τ  = Pn [ f (t )].
+ 2
+

πi
(τ − t )2 2πi γ
γ



(33)
Обоснование вычислительной схемы (33) для краевой задачи (32), (30)
проведено в предыдущем разделе. Нетрудно видеть, что полученные там
результаты распространяются на вычислительную схему (31).
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть краевая задача (29), (30) однозначно разрешима,
выполнены условия (а) и индекс функции G (t ) = (b2 (t ) − a1 (t )) / (a1 (t ) + b2 (t ))
равен единице. Тогда при n таких, что
q = cn −ξ ln n < 1,
ξ = min(α − β,1 − η − β, β)
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
система уравнений (31) имеет единственное решение xn* и справедлива
оценка  x* (t ) − xn* (t ) ≤ cn −ξ ln n, где x* − решение краевой задачи (29), (30).
Замечание 4. Результаты, изложенные в работе, допускают
распространение и на другие проекционные методы, в частности, на методы
моментов и Бубнова – Галеркина. При этом нужно сделать следующие
изменения в вычислительной схеме и доказательстве сходимости. Во-первых,
предварительно перейти от краевой задачи (1)–(2) к краевой задаче (11), (2).
Во-вторых, соответствующую вычислительную схему представить в виде
Sn  ψ − (t )Φ (nm)+ (t ) + t m ψ + (t )Φ (nm)− (t ) +

 m−1 

ψ + (t )
1 xn( k ) (τ) 
(k )


+
ak (t ) xn (t ) + bk (t )
dτ +

πi τ − t
am (t ) + bm (t )  k =0 
γ








1 hk (t , τ) xn( k ) (τ)  
ψ + (t )
+
d τ = Sn 
f (t )  ,
η

2πi
|τ−t |
 am (t ) + bm (t )

k =0
γ
 
m


где Sn – оператор проектирования на соответствующее подпространство.
В случае метода моментов этим подпространством является множество
полиномов степени n и обоснование метода проводится в подпространстве
пространства L2 .
Замечание 5. В случае, если коэффициенты и правые части уравнений
удовлетворяют условию (б), необходимые изменения в обосновании вычислительных методов можно проследить, сравнивая приведенные выше выкладки, с рассуждениями, содержащимися в работе [14] (см. также книгу [7].)
Заключение
В работе предложены вычислительные схемы методов коллокации и
механических квадратур для приближенного решения сингулярных и гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений. Обоснование вычислительных схем проведено в пространствах Гельдера. Проведя аналогии между
приведенными в данной статье доказательствами сходимости приближенных
методов решения сингулярных интегродифференциальных уравнений в пространствах Гельдера и приведенными в главе 3 монографии [7] доказательствами сходимости решения сингулярных интегральных уравнений в пространствах Гельдера и пространстве суммируемых функций, легко получить
аналоги приведенных выше утверждений в пространствах суммируемых
функций.
Список литература
1. Б о й к о в , И . В. Приближенное решение сингулярных интегродифференциальных уравнений / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Точные науки : сб. аспир. работ. –
Казань : Изд-во КГУ, 1972. – C. 169–174.
2. Б о й к о в , И . В. К приближенному решению сингулярных интегродифференциальных уравнений 1 [линейные уравнения] / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Дифференциальные уравнения. – 1973. – Т. 9, № 8. – C. 1493–1502.
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Математика
3. Б о й к о в , И . В. К приближенному решению сингулярных интегродифференциальных уравнений 2 / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Дифференциальные уравнения. –
1975. – Т. 11, № 3. – C. 562–571.
4. Б о й к о в , И . В. Принцип компактной апроксимации в возмущенном методе Галеркина / И. В. Бойков // ДАН СССР. – 1974. – Т. 215, № 1. – C. 11–14.
5. Г а х о в, Ф. Д . Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М. : Наука, 1963. – 640 c.
6. Л ю с те р н и к , Л. А . Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник,
В. И. Соболев. – М. : Наука, 1965. – 540 с.
7. Б о й к о в , И . В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений /
И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. – 316 с.
8. Н а та н с о н, И . П . Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. – М. ; Л.,
1949. – 688 с.
9. К а н то р о в и ч , Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах /
Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. – М. : Наука, 1959. – 684 с.
10. Б о й к о в , И . В. Об одном прямом методе решения сингулярных интегральных
уравнений / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1972. – Т. 12, № 6. – С. 1381–1390.
11. Л и фа н о в , И . К . Гиперсингулярные интегральные уравнения и теория проволочных антенн / И. К. Лифанов, А. С. Ненашев // Дифференциальные уравнения. –
2005. – Т. 41, № 1. – С. 121–137.
12. Л и фа н о в , И . К . К решению составных особых интегральных уравнений /
И. К. Лифанов // Успехи современной радиотехники. – 2006. – № 8. – С. 62–67.
13. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы решения составных особых интегральных уравнений / И. В. Бойков, Е. Г. Романова // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем : тр. II Междунар. науч.-техн. конф. – Пенза, 2007. – С. 31–36.
14. Б о й к о в , И . В. К приближенному решению сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков // Математические заметки. – 1972. – Т. 12, № 2. – С. 177–186.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный университет
Boykov Ilya Vladimirovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics,
Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
Захарова Юлия Фридриховна
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра высшей и прикладной
математики, Пензенский
государственный университет
Zakharova Yuliya Fridrikhovna
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of higher and applied
mathematics, Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
УДК 517.392
Бойков, И. В.
Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 3 (23). – С. 99–113.
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ФИЗИКА
УДК 537.226.4, 538.956
А. Г. Масловская
ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ
В СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ
НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ПИРОЭФФЕКТА
Аннотация. Представлены результаты моделирования распределения пирокоэффициента по толщине сегнетоэлектрического кристалла с использованием
экспериментальных зависимостей пиротока и расчетных значений теплового
поля в образце. Модель основана на решении интегрального уравнения Фредгольма I рода методом регуляризации по Тихонову.
Ключевые слова: сегнетоэлектрик, пироэлектрический эффект, пирокоэффициент, математическая модель, интегральное уравнение, метод регуляризации.
Abstract. The article is devoted to the mathematical simulation of pyrocoefficient
distribution throughout the thickness of a ferroelectric crystal. The simulation results
based on the experimental data and calculated value of thermal field are presented.
The problem is being solved using Tikhonov method of regularization for Fredholm
integral equation of the first type.
Key words: ferroelectric, pyroelectric effect, pyrocoefficient, mathematical model,
integral equation, regularizing method.
Введение
В настоящее время изучение общих закономерностей поляризационных
процессов в сегнетоэлектрических материалах пироэлектрическими методами
исследования представляет интерес как с точки зрения фундаментальной
науки, так и с точки зрения технического применения.
Пироэлектрические методы измерения позволяют исследовать состояние поляризации в объемных сегнетоэлектрических образцах [1]. Неоднородность распределения поляризации в сегнетоэлектрических материалах может
быть обусловлена наличием внутренних электрических полей объемных зарядов экранирования, инжекцией зарядов вглубь образца, дефектной структурой и др. Изучая форму пироотклика, можно делать выводы о поляризованности в тех областях, в которые проникает тепловая волна. К одним из таких методов относится динамический метод Чайновиса. Метод динамического пироэффекта широко используется для изучения физических свойств полярных диэлектриков [2–6]. Так, в работе [2] при помощи данного метода авторами исследованы процессы переполяризации в кристаллах титаната бария
и дана оценка толщины поверхностного слоя. Результаты исследований нелинейного динамического пироэффекта в кристаллах триглицинсульфата
(ТГС) представлены в работах [4–6]. Авторы объясняют этот эффект процессами переполяризации в сильных электрических полях, вызванных большим
градиентом температур. Электрическое поле, возникающее под воздействием
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
изменения температуры, превышает коэрцитивное, что вызывает переполяризацию доменов. Также эффективным может оказаться исследование образцов
с помощью теплового эффекта Баркгаузена, который также возможно наблюдать, используя метод динамического пироэффекта [1]. В работе [5] при помощи метода динамического пироэффекта проводится исследование поверхностных слоев некоторых сегнетоэлектриков; проанализированы зависимости
амплитуды пиротока от частоты тепловых импульсов; на основе оценки глубины проникновения тепловых волн сделаны выводы о характере распределения поляризованности в поверхностном слое и толщине слоя кристалла ТГС.
Выражение для определения распределения поляризации в виде интегрального уравнения, связывающего динамическое пиронапряжение и распределение поляризации в сегнетоэлектрике, было предложено в работе [3].
Применение численного метода регуляризации позволило авторам определить распределение поляризации для кристалла ниобата бария-стронция, облученного световым потоком, модулированным по синусоидальному закону.
Однако в силу определенных сложностей, связанных с алгоритмической реализацией и теоретическим анализом такого класса некорректных задач, метод
регуляризации Тихонова как метод решения обратной задачи пироэффекта не
получил широкого распространения. Например, в [6] представлен альтернативный подход к исследованию процесса поляризации сегнетоэлектрических
кристаллов: изложены основные концепции метода тепловых волн для восстановления профиля пирокоэффициента, получено аппроксимирующее выражение для определения эффективного значения пирокоэффициента по глубине сегнетоэлектрического кристалла на основе анализа пироотклика
в условиях прямоугольной модуляции теплового потока с использованием
цифровых методов обработки сигналов.
На сегодня развитие теоретических подходов и модифицированных
численных процедур метода регуляризации для некорректных задач в постановке интегральных уравнений [7, 8], а также использование возможностей
современных математических программных комплексов позволяют строить
эффективные регуляризующие алгоритмы для практических неустойчивых
задач.
В настоящей работе проведены исследования возможности восстановления распределения пирокоэффициента по толщине сегнетоэлектрического
образца методами математического моделирования. Проведенные численные
эксперименты основаны на прямом решении операторного уравнения первого рода с выбором квазиоптимального параметра регуляризации с учетом
экспериментальных значений пироэлектрического отклика сегнетоэлектрического кристалла и модельного теплового распределения в образце.
1. Постановка обратной задачи пироэффекта
Для определения распределения поляризации по толщине сегнетоэлектрического кристалла воспользуемся выражением для пироэлектрического
тока, которое в одномерном случае имеет вид [1]
d
S ∂Ps ( x, T ) ∂T ( x, T )
⋅
I (t ) =
dx ,
∂T
∂t
d

(1)
0
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где T(x,t) – тепловое поле в образце; S – площадь грани кристалла; d – толщина кристалла.
Используя определение пирокоэффициента γ и полагая, что γ не зависит от температуры (что выполняется при небольшой мощности теплового
потока), имеем
d
I (t ) =
∂T ( x, T )
S
γ ( x) ⋅
dx .
d
∂t

(2)
0
Решение задачи теплопроводности при воздействии на образец одиночного теплового импульса с учетом линейности потока тепла на границе позволяет определить одномерное распределение температуры по толщине кристалла с течением времени T(x,t). Задача Коши для уравнения параболического типа может быть сформулирована в виде
 ∂T
∂ 2T
,
=
χ
⋅

∂x 2
 ∂t

T ( x,0 ) = T0 ,

W
 ∂T
=− ,
 ∂x x =0
kT

(3)
где kT – коэффициент теплопроводности материала; W – полная мощность
теплового источника; χ – коэффициент температуропроводности кристалла.
Применение метода источников и стоков к задаче с неустановившейся
температурой (3) позволяет получить выражение для температурного распределения T(x,t) в виде интеграла от функции источника [9]. Данный метод
предполагает использование фундаментального решения для случая мгновенного точечного источника с учетом интегрирования по координатам (для
распределенных источников, в данном случае – линейного) и по времени –
для непрерывно действующих тепловых источников. Таким образом,
t

T ( x, t ) = q (τ)G ( x, t − τ)d τ ,
(4)
0
 x2 
exp  −
 – функция источника; q(τ) – распределение
 4χ ⋅ t 
2 πχ ⋅ t


теплового потока.
Рассматривая решение задачи для полупространства, будем полагать,
2W
, где c – удельная теплоемкость образца; ρ – плотность; S – плочто q =
Scρ
щадь облучаемой тепловым потоком поверхности.
При подстановке (4) в формулу (2) окончательное выражение для решения обратной задачи пироэффекта примет вид
где G ( x, t ) =
1
I (t ) =
116
d
 x2 
S
q
exp  −
γ ( x)
 dx .
 4χ ⋅ t 
d
2 πχ ⋅ t


0

(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
Если считать, что пироэлектрический отклик кристалла I(t) может быть
определен экспериментальными методами, а конфигурация теплового поля
рассчитана численно, тогда выражение (5) представляет собой интегральное
уравнение. Интегральное уравнение (5) является интегральным уравнением
Фредгольма I рода и относится к классу некорректных задач. В формулировке Адамара некорректные задачи не имеют физического смысла, другими
словами, если уравнение, описывающее некоторую прикладную задачу, является некорректным, то или эта задача является искусственной (нереальной)
или она описана математически неадекватно. Следует отметить, что некорректность обратных задач приводит к тому, что для их решения стандартные
методы не дают устойчивых решений. Как, например, в данном случае неприменим привлекательный в алгоритмическом плане метод квадратур, дающий приемлемые результаты для решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтера II рода. В основе теорий и методов решений некорректных
задач лежит понятие регуляризирующего алгоритма как способа приближенного решения некорректной задачи. Одним из способов преодоления некорректности задачи в постановке интегрального уравнения (5) является метод
регуляризации А. Н. Тихонова [7].
2. Решение интегрального уравнения методом регуляризации
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма I рода с гладким ядром K ( x, t ) , записанное в операторном виде:
b

Au = K ( x, t ) γ ( x ) dx = f ( t ), t ∈ [ c, d ] ,
(6)
a
 x2 
q
exp  −
 ∈ C ([ c, d ] × [a, b]) – ядро интегрального
 4χ ⋅ t 
2 πχ ⋅ t


уравнения; f ( t ) ∈ L2 [ c, d ] – правая часть интегрального уравнения ( L2 –
пространство квадратично суммируемых функций).
Пусть A, Ah – линейные ограниченные операторы, где Ah – аппроксимирующий интегральный оператор, соответствующий ядру K h (t , x) , h ≥ 0 – погрешность аппроксимации, т.е. || A − Ah ||W 1 → L ≤ h . Предположим, что из
где
K ( x, t ) =
2
2
априорных соображений известно, что γ ( x ) – кусочно-гладкая. Построим приближенное решение, принадлежащее W21 [ a, b ] , по заданному набору данных
{ Ah , f δ , η} , η = (δ, h) , где δ > 0 – погрешность задания правой части уравнения
(6), т.е. || f − f δ ||≤ δ . В соответствии с методом регуляризации [10] введем
2
2
в рассмотрение сглаживающий функционал M α = Ah γ − f δ L + α γ W 1 :
2
2
db
2
b

2
M α =  K h (t , x) γ ( x)dx − f δ  dt + α γ 2 ( x ) + ( γ ′ ( x ) ) dx ,


ca
a


(
)
где α > 0 – параметр регуляризации.
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Построим конечномерную аппроксимацию функционала M α [ γ ] , используя квадратурные формулы, для чего введем равномерные сетки по x и
по s с шагами hs = (b − a) / n,
hx = (d − c) / m ;
s j = a + ( j − 1) hs ,
( )
xi = c + ( i − 1) hx . Обозначая u s j = u j , f ( xi ) = fi , k ( xi , s j ) = aij , используем
квадратурную формулу прямоугольников для вычисления интегралов и апγ j +1 − γ j
. Таким
проксимируем производную конечной разностью γ ′ ( s ) =
hs
образом, конечномерная аппроксимация функционала имеет вид
M α ( γ i ) = hx
m
n

(
hs aij γ j − fi ) 2 + αhs
i =1 j =1
n
[γ 2j + γ '2j ] hs .
(7)
j =1
Используя необходимое условие минимума функционала
∂M α [ γ j ]
∂γ k
 n

 hs a ji γ i − f j  2hs a jk +


j =1  i =1

m
= hx
 
n −1 γ − γ


j
j +1
(δ j +1k − δ jk )  = 0 ,
+α hs  2γ k + 2


hs2
j =1



приходим к линейной алгебраической системе с симметричной матрицей
Bα γ = F ,
(8)
где
B α = B + αC , B = {bik }, bik = hx hs
n

m
a ji a jk , F = { f k } , f k = hx
j =1
 1
 2
 hs
 1
− 2
 hs

C = E + C1 , С1 =  ...

 ...


 ...


−
 f j a jk ,
j =1
1
0
hs2
2
hs2
−
...
1
...
hs2
...
...
...
...
...
...
...
...
−
1
hs2

0 


0 


...  .
1 
− 
hs2 
1 

hs2 
Система линейных уравнений (8) может быть решена численно. При
этом следует учитывать, что матрица системы является симметричной и положительно определенной.
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
Реализация экстремальной задачи о минимизации функционала M α [ γ ]
требует решения уравнения Эйлера:
A* Aγ η + αLγ = Afδ ,
(9)
где A* – интегральный оператор, сопряженный оператору А; L – стабилизатор
n-го порядка.
Согласно принципу обобщенной невязки выберем параметр регуляризации α:
ρ ( α ) =|| Ah uηα − f δ ||2 − (δ + h || uηα ||) 2 − μ 2 ( f δ , Ah ) = 0 ,
(10)
где μ( f δ , Ah ) = inf || Ah u − fδ || – мера несовместности уравнения с приблиu∈D
женными данными.
При этом если выполнено условие || f δ ||2 ≥ δ2 + μ 2 ( f δ , Ah ) , то уравнение (10) имеет один положительный корень, который выбирается в качестве
параметра регуляризации в методе А. Н. Тихонова. Для отыскания корня
уравнения была использована модификация метода хорд. Построение конечномерной аппроксимации функционала M α [ γ ] и применение квадратурных
формул Ньютона – Котеса позволяют получить приближенное решение задачи (8)–(10).
3. Моделирование распределения поляризации
сегнетоэлектрического кристалла триглицинсульфата
Моделирование профиля распределения пирокоэффициента проводилось для экспериментальных зависимостей пирооткликов, полученных методом динамического пироэффекта [10, 11]. Благодаря большим значениям
спонтанной поляризации и значительным пьезоэлектрическим свойствам пироэлектрический эффект в сегнетоэлектриках выражен гораздо сильнее, чем
в линейных пироэлектриках. Особенно ярко пироэффект проявляется в
окрестности точки Кюри, так как именно в этой области температур наиболее
интенсивно меняется спонтанная поляризация кристалла и его пъезомодуль.
На рис. 1 представлена серия пирооткликов номинально чистого сегнетоэлектрического кристалла триглицинсульфата ((NH2CH2COOH)3H2SO4,
температура Кюри: 49 °С), предварительно поляризованного в постоянном
электрическом поле в направлении, противоположном собственному полю,
в окрестности температуры фазового перехода [11].
В экспериментальной установке использовались пластины ТГС размером 10×10 мм и толщиной 1 мм, полученные скалыванием перпендикулярно
полярной оси. Электроды наносились напылением серебра в высоком вакууме. В процессе исследования измерялся пироотклик кристалла на световой
поток, который изменялся с частотой 78 Гц и во времени имел трапециевидную форму. Усиленный пиросигнал регистрировался на цифровом осциллографе. Для всех экспериментов поляризация образцов проводилась в одинаковых условиях: напряженность электрического поля составляла 103 В/см.
Измерения пироэлектрического тока проводились в режиме короткого замыкания. Направление внутреннего поля исследуемых образцов определялось
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
по полярности пироотклика. Во всех экспериментах модулированный световой поток был направлен навстречу вектору внутреннего поля в ТГС.
80
1
60
I, 10-10 , A
2
3
40
4
20
0
0,5
1,25
2,25
3,25
4,25
-20
-40
t, мс
Рис. 1. Эволюция пирооткликов кристалла ТГС в интервале температур ΔТ [11]:
1 – T = 39,3 °C ; 2 – T = 39,9 °C ; 3 – T = 40, 4 °C ; 4 – T = 40,6 °C
Модель реализована в пакете прикладных математических программ
Matlab 9 [12]. Соответствующие наборы экспериментальных точек I (t ) были
аппроксимированы кубическими эрмитовыми сплайнами. Вычисление координатных зависимостей пирокоэффициента проводилось с учетом теплового
воздействия, вызванного в каждом случае одиночным тепловым импульсом.
Последнее условие является необходимым для применения модели в постановке (2), (4).
Расчет конфигурации теплового поля соответствовал линейному приближению, т.е. в модели принято следующее ограничение – в пределах одного теплового импульса теплофизические параметры меняются незначительно.
Теплофизические параметры кристалла ТГС, используемые в вычислительном эксперименте: коэффициент теплопроводности – kT = 0,8 Вт/ ( К ⋅ м ) ,
удельная теплоемкость – с = 1,6 ⋅ 103 Дж/ ( кг ⋅ К ) , плотность кристалла –
ρ = 1,6 ⋅ 103 кг/м3 , коэффициент температуропроводности – χ = 3 ⋅ 10−7 м 2 /с ,
W
= 6,37 ⋅ 103 Вт/м 2 .
поверхностная плотность мощности теплового потока
S
Необходимо отметить, что более точный расчет конфигурации теплового поля должен учитывать нелинейность теплофизической модели. Моделирование тепловых распределений в этом случае можно провести с применением
методик численного анализа.
На рис. 2 представлены результаты моделирования распределения пироэлектрического коэффициента для экспериментальных зависимостей пиро-
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
откликов, приведенных на рис. 1, по численной методике, описанной выше и
представляющей собой метод регуляризации по Тихонову с выбором коэффициента регуляризации согласно принципу обобщенной невязки.
1,4
1,2
γ, 10-4, Кл /(К⋅м 2)
1
0,8
0,6
1
0,4
2
0,2
3
0
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
4
-0,4
-0,6
x, 10-3, м
Рис. 2. Восстановленный методом регуляризации профиль
пирокоэффициента γ ( x ) ( 0,5 мс ≤ t ≤ 4, 25 мс )
Форма кривых γ ( x ) характеризуется монотонно возрастающей зависимостью с выходом на насыщение. На рис. 2 приведены результаты интерполирования дискретных рядов данных модельного расчета. Сравнительный
анализ имеющегося набора рассчитанных значений γ ( x) в интервале температур ΔТ подтверждает наличие слоя с инверсной поляризацией и увеличение
его абсолютного значения с ростом температуры. Представленные результаты позволяют определить толщину переходного слоя кристалла. Как видно из
рис. 2, кривая 3 соответствует одному из моментов времени смены полярного
состояния и значение Δx составляет величину, приблизительно равную
0, 2 ⋅ 10−3 м.
При реализации модели проводился контроль невязок полученного решения и параметра эффективной погрешности, учитывающей уровни ошибки
измерений и дискретизации. Вычислительный эксперимент позволил определить оптимальные в каждом случае параметры моделирования: коэффициент
регуляризации ( α ≈ 10−16 ) и вычисленное по относительной ошибке число
экспериментальных точек зависимости I (t ) ( N ≈ 20 ). Адекватность математической модели устанавливалась по тестированию программы на ряде примеров, для которых известны аналитические решения, а также относительно
решения обратной задачи пироэффекта в линейном режиме.
Самостоятельный интерес в данном случае представляет исследование зависимости γ (T ) (рис. 3), где T – дискретный ряд значений из множества ΔТ.
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
γ, 10 -4, Кл/(K ⋅ м 2)
1,5
1
0,5
0
39,3
39,9
40,4
40,6
40,8
-0,5
-1
T, °C
Рис. 3. График зависимости пирокоэффициента
от температуры в интервале температур ΔТ
В этом случае можно определить температуру, при которой происходит инверсия поляризации. Анализ зависимости γ (T ) показывает, что вектор спонтанной поляризации меняет свой знак при T ≈ 40,52 °С. Данный результат качественно подтверждается серией проведенных в [11] экспериментов.
Заключение
Таким образом, экспериментальные зависимости пирооткликов и расчет температурного поля в образце позволяют провести моделирование распределения пирокоэффициента по толщине сегнетоэлектрического кристалла.
Приведенная модель описывается интегральным уравнением Фредгольма
первого рода, в котором ядро преобразования задается функциональной зависимостью, а правая часть – набором экспериментальных точек, аппроксимированных кубическим эрмитовым сплайном. Численное решение обратной
задачи пироэффекта получено модифицированным методом регуляризации
по Тихонову. Модель реализована с помощью разработанного программного
комплекса в среде Matlab. Вычислительный эксперимент позволяет определить функциональную зависимость пирокоэффициента γ ( x) с оптимальными
в каждом случае значениями параметров моделирования.
Список литературы
1. Струков, Б. А. Физические основы сегнетоэлектрических явлений в кристаллах /
Б. А. Струков, А. П. Леванюк. – М. : Наука, 1995. – 304 с.
2. Захаров, Ю. Н. Исследование процессов переполяризации в монокристаллах
BaTiO3 с примесью Nb в постоянных электрических полях методом динамического
пироэффекта / Ю. Н. Захаров, В. З. Бородин, Б. Ц. Шпитальник, Б. Ф. Проскуряков // Пьезоэлекрические материалы и преобразователи. – Ростов : Изд-во Ростовского ун-та, 1976. – С. 86–91.
3. Бездетный, Н. М. Исследование распределения поляризации в сегнетоэлектриках
методом динамического пироэффекта / Н. М. Бездетный, А. Х. Зейналлы,
В. Е. Хуторский // Известия РАН. Сер. физич. – 1984. – Т. 48, № 1. – С. 200–203.
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
4. Эпштейн, Э. М. Влияние модуляции температуры на спонтанную поляризацию
сегнетоэлектрика / Э. М. Эпштейн // Физика твердого тела. – 1986. – Т. 28. –
С. 1268–1270.
5. Bogomolov, A. A. Effect of temperature gradient on the surface domain structure in
DTGS crystals / A. A. Bogomolov, O. V. Malyshkina, A. V. Solnyshkin // Ferroelectrics. – 1997. – V. 191. – P.313–317.
6. Малышкина, О. В. Новый метод определения координатных зависимостей пиротока в сегнетоэлектрических материалах / О. В. Малышкина, А. А. Мовчикова,
G. Suchaneck // Физика твердого тела. – 2007. – Т. 49, № 11. – С. 2045–2048.
7. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. – М. : Наука, 1979. – 285 с.
8. Морозов, В. А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач / В.А. Морозов // Вычислительные методы и программирование. –
2003. – Т. 4. – С. 130–141.
9. Карслоу, Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. – М. : Наука,
1964. – 490 с.
10. Кушнарев, П. И. Моделирование пироотклика в окрестности фазового перехода /
П. И. Кушнарев, А. Г. Масловская, А. А. Согр // Информатика и системы управления. – 2004. – Т. 2, № 1. – С. 57–64.
11. Кушнарев, П. И. Полярные свойства номинально чистых поляризованных кристаллов ТГС / П. И. Кушнарев, А. Г. Масловская, С. В. Барышников // Известия
вузов. Физика. – 2011. – № 1. – С. 78–82.
12. Масловская, А. Г. Программа моделирования координатных зависимостей пирокоэффициента сегнетоэлектрических кристаллов методом регуляризации по Тихонову / А. Г. Масловская, П. И. Кушнарев // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2009610969 (Российская Федерация).
Масловская Анна Геннадьевна
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математического
анализа и моделирования, Амурский
государственный университет
(г. Благовещенск)
Maslovskaya Anna Gennadyevna
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, sub-department
of mathematical analysis and simulation,
Amur State University (Blagoveshchensk)
E-mail: maslovskayaag@mail.ru
УДК 537.226.4, 538.956
Масловская, А. Г.
Исследование распределения поляризации в сегнетоэлектрических
кристаллах на основе решения обратной задачи пироэффекта / А. Г. Масловская // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2012. – № 3 (23). – С. 114–123.
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 621.383.51
В. В. Трегулов
СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ПОВЕРХНОСТНЫХ
СОСТОЯНИЙ В ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ CdS/Si(p) НА ОСНОВЕ
АНАЛИЗА ВОЛЬТ-ФАРАДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Аннотация. Представлен способ определения плотности поверхностных состояний в гетероструктурах по частотной зависимости вольт-фарадных характеристик для случая, когда заряд поверхностных состояний зависит от приложенного напряжения постоянного смещения. Приведены результаты исследования гетероструктуры CdS/Si(p), изготовленной методом гидрохимического
осаждения.
Ключевые слова: гетероструктура, фотоэлектрический преобразователь, глубокие уровни, вольт-фарадные характеристики, поверхностные состояния.
Abstract. The article introduces a way to define density of surface states in heterostructures on the frequency dependence of capacitance-voltage characteristics for a
case when the charge of surface states depends on the applied dc bias. The author
presents the results of research of heterostructure CdS/Si(p), carried out by a method
of hydrochemical deposition.
Key words: heterostructure, photoelectrical converter, deep levels, capacitancevoltage characteristics, surface states.
Введение
В настоящее время гетероструктуры CdS/Si(p) широко применяются
в солнечной энергетике в качестве фотоэлектрических преобразователей
(ФЭП). По таким параметрам, как низкая стоимость, отношение мощности
к массе, гетероструктурные ФЭП успешно конкурируют с традиционными
кремниевыми солнечными элементами на основе обычных p–n-переходов.
В то же время на электрофизические характеристики гетероструктур существенное влияние оказывает наличие дефектов на гетерогранице. Причиной
возникновения дефектов является несоответствие параметров кристаллических решеток контактирующих полупроводников, различие их коэффициентов термического расширения, химические примеси, введенные в процессе
изготовления гетероструктуры. При этом на гетерогранице возникают поверхностные состояния с глубокими энергетическими уровнями (ГУ), которые являются центрами рекомбинации носителей заряда и способствуют
снижению контактной разности потенциалов гетероструктуры, что приводит
к ухудшению эффективности преобразования ФЭП [1].
Таким образом, определение плотности поверхностных состояний в гетероструктурах является актуальной задачей.
Для исследования характеристик гетероструктур широко используется
метод измерения вольт-фарадных характеристик (ВФХ). Выражение для
ВФХ анизотипного гетероперехода с учетом влияния поверхностных состояний имеет вид [1]
 qε ε ε N N
0 n p ам дм
C=
 2 ε n N дм + ε p N ам

(
124
12




2
Vd − V − BQSS
(
)
)
−1 2
,
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
(
Физико-математические науки. Физика
)
−1
где B =  2q ε n N дм + ε p N ам  ; C – емкость гетероперехода; q – заряд


электрона; ε0 – диэлектрическая постоянная, ε n и ε p – диэлектрические
проницаемости полупроводников п- и p-типа соответственно; N дм и N ам –
концентрация мелкой донорной и акцепторной примеси в этих полупроводниках; Vd – контактная разность потенциалов; V – постоянное обратное
напряжение смещения; QSS – заряд, сосредоточенный на поверхностных состояниях. Из выражения (1) следует, что для резкого гетероперехода зависимость C −2 = f (V ) линейна и ее экстраполяция к нулю дает заниженное зна2
чение контактной разности потенциалов Vd − BQSS
вследствие влияния ГУ
поверхностных состояний по сравнению с Vd [1].
Измеряя ВФХ гетероперехода при разных частотах переменного измерительного сигнала, можно определить зависящую от времени составляю2
в выражении (1), из которой
щую контактной разности потенциалов BQSS
вычисляется плотность поверхностных состояний [1].
Важно отметить, что выражение (1) справедливо для случая, когда заряд поверхностных состояний не зависит от приложенного напряжения [1].
На высоких частотах процессы перезарядки ГУ поверхностных состояний и ГУ, расположенных в объеме полупроводника, не успевают следовать
за переменным измерительным сигналом и не дают вклада в измеряемую
емкость. На низких частотах процессы перезарядки успевают следовать за
измерительным сигналом, что приводит к возрастанию емкости гетероструктуры [2].
1. Описание исследуемой гетероструктуры
Гетероструктура CdS/Si(p), исследуемая в данной работе, была изготовлена методом гидрохимического осаждения тонкой пленки CdS на поверхность монокристаллической кремниевой пластины p-типа проводимости
с удельным сопротивлением 1 Ом·см. Пленка CdS имела проводимость
n-типа и толщину 2,5 мкм. Технология изготовления достаточно подробно
описана в [3].
В ФЭП на основе гетероструктуры CdS/Si(p) слой CdS играет роль оптического окна для солнечного излучения. Проходя через широкозонный полупроводник CdS, излучение генерирует электронно-дырочные пары в области пространственного заряда (ОПЗ) или в квазинейтральной области узкозонного полупроводника Si. Носители заряда, генерированные в CdS, не
вносят существенного вклада в общий фототок ФЭП [1].
В исследуемой гетероструктуре CdS/Si(p) ОПЗ практически полностью
находится в кремниевой области. Следовательно, будем считать ее базовой
областью гетероструктуры.
2. Вольт-фарадные характеристики исследуемой гетероструктуры
Вольт-фарадные характеристики гетероструктуры CdS/Si(p) измерялись
с помощью цифрового измерителя иммитанса Е7-20. Измерительный сигнал
напряжения имел синусоидальную форму с амплитудой 40 мВ.
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Постоянное напряжение при измерении ВФХ соответствовало обратному смещению на гетероструктуре CdS/Si(p) и изменялось от 0 до 4 В. Обратному смещению соответствует приложение положительного полюса источника постоянного напряжения к CdS, отрицательного – к Si(p). Измерения
ВФХ проводились при постоянной температуре 300 К.
Высокочастотные ВФХ (ВЧ ВФХ) измерялись при частоте измерительного сигнала 1 МГц, низкочастотные ВФХ (НЧ ВФХ) – при частоте 1 кГц
(рис. 1).
С × 10–9, Ф
1 кГц
1 МГц
V, B
Рис. 1. Вольт-фарадные характеристики гетероструктуры
CdS/Si(p), измеренные при частотах 1 МГц и 1 кГц
Из рис. 1 видно, что со снижением частоты с 1 МГц до 1 кГц возрастает
величина и диапазон изменения емкости гетероструктуры. Наблюдаемая частотная зависимость ВФХ может быть объяснена влиянием ГУ поверхностных состояний, а также ГУ в объеме базовой области гетероструктуры.
На рис. 2 показаны ВЧ ВФХ и НЧ ВФХ гетероструктуры CdS/Si(p), построенные в координатах C −2 = f (V ) .
Из рис. 2,а видно, что ВЧ ВФХ может быть аппроксимирована двумя
отрезками прямых с разным наклоном. Наклон изменяется при напряжении
обратного смещения около 2 В. Таким образом, можно считать, что гетеропереход является резким в области напряжений обратного смещения от 0
до 2 В. Согласно [2] на высоких частотах можно пренебречь влиянием заряда
ГУ поверхностных состояний и ГУ в объеме базовой области гетероструктуры. При этом наклон ВЧ ВФХ определяется концентрацией мелкой легирующей примеси в базовой области. Для исследуемой гетероструктуры концентрация мелкой легирующей примеси (акцепторов) составляет 1,62 · 1016 см–3.
Нелинейный вид НЧ ВФХ (рис. 2,б) может быть объяснен влиянием
поверхностных состояний. Изменение наклона НЧ ВФХ в координатах
C −2 = f (V ) (рис. 2,б) свидетельствует о том, что заряд поверхностных состояний зависит от приложенного напряжения. Следовательно, использование выражения (1) для определения плотности поверхностных состояний не
даст корректных результатов.
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
С × 10–9, Ф–2
1 МГц
V, B
а)
С × 10–9, Ф–2
1 кГц
б)
V, B
Рис. 2. Вольт-фарадные характеристики гетероструктуры CdS/Si(p)
в координатах C −2 = f (V ) : ВЧ ВФХ (а), НЧ ВФХ (б)
3. Вывод формулы для вычисления плотности поверхностных состояний
Так как в исследуемой гетероструктуре CdS/Si(p) область пространственного заряда главным образом сосредоточена в кремнии, то для описания
процессов перезарядки ГУ достаточно рассмотреть зонную диаграмму базовой области при обратном смещении (рис. 3).
При увеличении обратного напряжения смещения V от V = 0 возрастает изгиб энергетических зон и происходит расширение ОПЗ W . При изменении V квазиуровень Ферми для дырок EFp «сканирует» ГУ поверхностных состояний ESS на гетерогранице. Состояния, оказавшиеся ниже EFp , заполнены носителями заряда, состояния выше EFp – свободны от них. Таким
образом, изменяя значение V , можно управлять заполнением ГУ поверхностных состояний.
Текущее положение ГУ ESS на гетерогранице, отсчитанное от потолка
валентной зоны ( ESS − EV ) , можно связать с напряжением обратного смещения V следующим образом [4]:
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ESS − EV = q ( Φ − V ) ,
(2)
где q – заряд электрона; Φ – эффективное значение контактной разности
потенциалов гетероструктуры с учетом влияния ГУ. Значение Φ определяется экстраполяцией НЧ ВФХ C −2 = f (V ) к нулю.
Рис. 3. Зонная диаграмма базовой части гетероструктуры CdS/Si(p)
при обратном смещении с учетом ГУ ( ESS – ГУ поверхностных
состояний, Et – дискретный ГУ в объеме базовой области)
Максимальное значение напряжения обратного смещения, при котором
в измеряемую емкость гетероструктуры дают вклад поверхностные состояния
VSS max , можно определить из следующего условия:
VSS max = E g1 − Φ ,
(3)
где E g1 – ширина запрещенной зоны полупроводника базовой области гетероструктуры (в нашем случае кремния).
Для описания НЧ ВФХ гетероструктуры CdS/Si(p) можно применить
выражение, используемое в [2] для резкого p–n-перехода:
CНЧ =
εε0 q ( N ам + Nt )
dQНЧ
,
=S
dV
2 (Vd − V − ΔVd )
(4)
где QНЧ – заряд ионизированных состояний, определяющих НЧ ВФХ;
ε – диэлектрическая проницаемость полупроводника базовой области;
Nt – общая концентрация ГУ; ΔVd – уменьшение контактной разности потенциалов гетероструктуры за счет влияния ГУ; S – площадь барьерного
контакта. Если V изменяется в диапазоне от 0 до VSS max , то Nt определяется ГУ поверхностных состояний. Также важно отметить, что Vd − ΔVd = Φ .
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
Из выражения (4) следует, что заряд, сосредоточенный на ионизированных поверхностных состояниях, при низких частотах связан с НЧ ВФХ
CНЧ (V ) следующим образом:
VSS max
QНЧ = QSS =

CНЧ (V ) dV .
(5)
0
С другой стороны, заряд ионизированных состояний определяется концентрацией мелких акцепторов и концентрацией ГУ [2]:
QНЧ = q ( N ам + Nt ) δS ,
(6)
где δ – часть ОПЗ, в которой происходит перезарядка ГУ (см. рис. 3).
Из рис. 3 видно, что ширина области δ , в которой происходит перезарядка ГУ, всегда меньше ширины ОПЗ W. Для определения δ используем
выражение из [2] применительно к полупроводнику p-типа:
W −δ=
(
где Et − EFp
)W
(
2εε0 Et − EFp
)W
q 2 N ам
,
(7)
– энергетическое положение ГУ Et , отсчитанное от квази-
уровня Ферми для дырок EFp относительно плоскости x = W .
Ширина ОПЗ W зависит от напряжения V и может быть определена по
следующей формуле [2]:
W (V ) =
εε0 S
,
C (V )
(8)
где C (V ) – вольт-фарадная характеристика.
Используя совместно (7) и (8), определим размер области, в которой
происходит перезарядка ГУ:
δ=
(
)
2εε0 Et − EFp
εε0 S
W .
−
2
C (V )
q N ам
(9)
Положение уровня Ферми EF в полупроводнике p-типа относительно
потолка валентной зоны EV определяется по следующей формуле [5]:
N 
EF = EV − kT ln  ам  ,
 NV 
(10)
где k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура; NV – плотность состояний для дырок в валентной зоне.
На основе формулы (10) запишем выражение, определяющее положение квазиуровня Ферми для дырок в полупроводнике p-типа относительно
потолка валентной зоны:
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 N
EFp − EV = kT ln  V
 N ам

.

(11)
Свяжем энергетическое положение ГУ Et , отсчитанное от квазиуровня
(
)
Ферми для дырок Et − EFp , с его положением, отсчитанным от потолка ва-
лентной зоны ( Et − EV ) :


.
 ам 
( Et − EFp ) = ( Et − EV ) − kT ln  NNV
(12)
Если исследуемые ГУ являются поверхностными состояниями на гетерогранице, формула (12) примет вид


.
 ам 
( ESS − EFp ) = ( ESS − EV ) − kT ln  NNV
(13)
Используя формулу (2), перепишем (13) в следующем виде:


.
 ам 
( ESS − EFp ) = q ( Φ − V ) − kT ln  NNV
(14)
Объединяя формулы (9) и (14), получим окончательное выражение для
ширины области δ SS , в которой происходит перезарядка поверхностных состояний:
δ SS =
 N
εε0 S
2εε0 
−
q ( Φ − V ) − kT ln  V

CНЧ (V )
q 2 N ам 
 N ам

  .

(15)
Следует отметить, что в (15) используется НЧ ВФХ CНЧ (V ) , так как
она чувствительна к поверхностным состояниям. Кроме того, величина V
должна находиться в пределах от 0 до VSS max .
Плотность поверхностных состояний N SS связана с объемной концентрацией ГУ Nt , сосредоточенных на гетерогранице, следующим образом:
N SS = Nt δ SS .
(16)
Объединяя формулы (5) и (6) и используя (16), получим окончательное
выражение для плотности поверхностных состояний:
N SS = N ам δ SS −
1
qS
VSS max

CНЧ (V ) dV .
0
Таким образом, пользуясь формулой (17), можно определить плотность
поверхностных состояний по измеренной НЧ ВФХ CНЧ (V ) . Величина N ам
определяется из ВЧ ВФХ. Величина VSS max определяется по формуле (3) на
основе эффективной высоты барьера, определенной из НЧ ВФХ. Значение
δ SS определяется по формуле (15) для V = VSS max .
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
Важно отметить, что формула (17) может применяться в случае, если
QSS зависит от V . Влияние этой зависимости учитывается с помощью интеграла в правой части выражения (17).
4. Результат вычисления плотности поверхностных состояний
Для исследуемой гетероструктуры CdS/Si(p) величина N SS , рассчитанная по формуле (17), составила 7,06 · 1011 см–2. Концентрация мелкой акцепторной примеси N ам в базовой области гетероструктуры по результатам анализа ВЧ ВФХ (рис. 2,а) составила 1,62 · 1016 см–3. Величина контактной разности потенциалов, полученная из ВЧ ВФХ, составила 0,67 В. Значение эффективной контактной разности потенциалов, учитывающее влияние ГУ, полученное из анализа НЧ ВФХ (рис. 2,б), составило 0,11 В. Также установлено, что поверхностные состояния определяют вид НЧ ВФХ в диапазоне значений напряжения обратного смещения от 0 до 1,01 В.
Заключение
Важными достоинствами предложенного в данной статье способа
определения N SS являются следующие моменты:
1) возможность использования стандартных измерителей иммитанса,
предназначенных для исследования характеристик полупроводниковых приборов;
2) простота встраивания в технологический процесс изготовления ФЭП
в качестве метода контроля;
3) измерение ВФХ производится при постоянной температуре, отсутствует необходимость температурного сканирования как в методе релаксационной спектроскопии глубоких уровней (РСГУ), традиционно применяемом
для исследования параметров ГУ;
4) возможность применения для различных видов резких гетеропереходов, в которых заряд поверхностных состояний зависит от приложенного
напряжения.
Недостатком предложенного способа является невозможность разделения влияния ГУ поверхностных состояний и ГУ в объеме базовой области гетероструктуры при значениях V , близких к VSS max . Разделение спектров
объемных и поверхностных ГУ возможно в РСГУ за счет селекции по постоянной времени релаксации. В то же время при исследовании поверхностных
состояний методом РСГУ требуется производить многократные измерения
спектра при разных значениях напряжения заполнения и опустошения ГУ [6].
Таким образом, предложенный способ определения N SS прежде всего
может найти применение в производстве при оптимизации технологии изготовления гетероструктур ФЭП.
Список литературы
1. Ш а р м а , Б. Л. Полупроводниковые гетеропереходы : пер. с англ. / Б. Л. Шарма,
Р. К. Пурохит. – М. : Сов. радио, 1979. – 232 с.
2. Б е р м а н , Л. С . Емкостная спектроскопия глубоких центров в полупроводниках /
Л. С. Берман, А. А. Лебедев. – Л. : Наука, 1981. – 176 с.
3. Т р е г у л о в , В. В. Исследование гетероструктур CdS/Si(p), изготовленных методом гидрохимического осаждения CdS / В. В. Трегулов // Вестник Рязанского гос-
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ударственного университета имени С. А. Есенина. – 2011. – Т. 32, № 3. –
С. 169–179.
4. Ta t a r o g lu , A . Effect of surface states on electrical characteristics of metal-insulatorsemiconductor (MIS) diodes / A. Tataroglu, S. Altindal, I. Dokme // G. U. Journal of
Science. – 2003. – V. 16 (4). – P. 677–685.
5. О р е ш к и н , П . Т. Физика полупроводников и диэлектриков / П. Т. Орешкин. –
М. : Высшая школа, 1977. – 448 с.
6. Д о р д ж и н , Г . С . Релаксационная спектроскопия глубоких уровней. Методические основы применения / Г. С. Дорджин, В. Н. Лактюшкин, М. В. Сорокина //
Обзоры по электронной технике. Сер. 7. Технология, организация производства
и оборудование. – 1989. – Вып. 4 (1434). – 72 с.
Трегулов Вадим Викторович
кандидат технических наук, доцент,
кафедра общей и теоретической физики
и методики преподавания физики,
Рязанский государственный
университет имени С. А. Есенина
Tregulov Vadim Viktorovich
Candidate of engineering sciences, associate
professor, sub-department of general
and theoretical physics and physics
teaching methods, Ryazan State
University named after S. A. Esenin
E-mail: trww@yandex.ru
УДК 621.383.51
Трегулов, В. В.
Способ определения плотности поверхностных состояний в гетероструктурах CdS/Si(p) на основе анализа вольт-фарадных характеристик /
В. В. Трегулов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2012. – № 3 (23). – С. 124–132.
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
УДК 628.978.3:621.7.785.3
А. М. Зюзин, Д. А. Салкин
ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИОНОВ Eu2+
В ЛЮМИНОФОРАХ BaMg2Al16O27:Eu2+
И (Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+ ПРИ ОТЖИГЕ В АРГОНЕ
Аннотация. Исследовано влияние высокотемпературного отжига в среде аргона на спектры электронного парамагнитного резонанса и люминесценции
ионов Eu2+ в основаниях люминофоров BaMg2Al16O27 и (Sr,Ba)5(PO4)3Cl. Обнаружено, что отжиг приводит к диффузии атомов аргона внутрь кристаллической решетки люминофоров, блокирующих диффузию кислорода, в результате чего при высоких температурах происходит окисление ионов европия.
Установлено, что при отжиге в аргоне модификация кристаллической структуры люминофоров происходит при более высоких температурах, чем на воздухе.
Ключевые слова: Eu2+-содержащие люминофоры, центры люминесценции, парамагнитные центры, отжиг в аргоне, электронный парамагнитный резонанс,
локальная симметрия окружения.
Abstract. The authors investigate the effect of high temperature annealing in argon
on the EPR spectra and luminescence of Eu2+ ions in the grounds of the phosphors
BaMg2Al16O27 and (Sr,Ba)5(PO4)3Cl. It was found that annealing leads to diffusion
of argon atoms inside the crystal lattice phosphors, blocking the diffusion of oxygen, resulting in high temperatures observed in the oxidation of europium ions. It is
established that annealing in argon the modification of the crystal structure of phosphors occurs at higher temperatures than in air.
Key words: Eu2+-containing phosphors, luminescence centers Eu2+, annealing in argon, paramagnetic centers Eu2+, electron paramagnetic resonance, the local symmetry of the environment.
Введение
Проведенные нами ранее исследования [1] показали, что высокотемпературный отжиг на воздухе по-разному влияет на отдельные линии поглощения в спектре электронного парамагнитного резонанса (ЭПР) и элементарные
полосы в спектре люминесценции Eu2+. Для объяснения наблюдаемых изменений была предложена идея: как в алюминатном, так и в хлорфосфатном
люминофорах ионы Eu2+ находятся как минимум в двух позициях с разной
локальной симметрией окружения. По характеру трансформации спектра
ЭПР также было установлено, что отжиг на воздухе при температурах Tотж
выше 773 К приводит к существенному уменьшению концентрации ионов
Eu2+ в результате процессов окисления (Eu2+ → Eu3+).
Целью настоящей работы являлось исследование характера изменений
состояния иона активатора Eu2+, происходящих в результате высокотемпературного отжига в среде инертного газа Ar.
1. Образцы и методика эксперимента
Люминофор BaMg2Al16O27:Eu2+ был синтезирован путем прокаливания
смеси карбоната бария (BaCO3), окиси европия (Eu2O3), фторида магния
(MgF2) и окиси алюминия (Al2O3) сначала при температуре 1350 °С в атмо-
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
сфере азота и водорода в течение двух часов, а затем при температуре
1250 °С в потоке азота, водорода и паров воды в течение двух часов.
Для приготовления люминофора (Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+ использовалась
гомогенизированная шихта, состоящая из SrCl2·6H2O, SrHPO4, BaHPO4,
BaCO3 и Eu2O3, которая прокаливалась при температуре 1100 °С в атмосфере
азота и водорода в течение двух часов.
Спектры ЭПР записывали на радиоспектрометре ЭПР PS100.X на частоте СВЧ поля f = 9,34 ГГц при температуре 293 К. Квазистатическое магнитное поле изменялось в диапазоне 0,1–7 кГс.
Спектры люминесценции регистрировали на установке с монохроматором МДР-23. Для возбуждения использовалось отфильтрованное излучение
ртутной лампы типа ДРТ (Дуговые, Ртутные, Трубчатые).
Отжиг производили изохронно в течение одного часа для каждой фиксированной температуры Tотж в интервале от 973 до 1273 К.
2. Результаты эксперимента
2.1. Спектры ЭПР
На рис. 1, 2 приведены спектры ЭПР исходных и отожженных в аргоне
образцов люминофоров BaMg2Al16O27:Eu2+ и (Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+. Из рисунков видно, что изменения в спектрах ЭПР BaMg2Al16O27:Eu2+ и
(Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+ начинают происходить при температурах ~1073 К. Отметим, что при отжиге на воздухе заметные изменения спектров наблюдались
при более низких температурах (~773 К) [1].
Из спектров ЭПР BaMg2Al16O27:Eu2+ и (Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+ (рис. 1, 2)
видно, что положения наиболее интенсивных линий в спектрах ЭПР с увеличением температуры отжига не изменяются.
В то же время из спектра ЭПР BaMg2Al16O27:Eu2+ (рис. 1) можно заметить, что интенсивность линии с g = 4,9 после отжига при Тотж = 1073 К заметно увеличилась, а интенсивность линии с g = 7,1, наоборот, уменьшилась.
При температуре Тотж свыше 1073 К начинают уменьшаться интенсивности уже
обеих линий. Одна из интересных особенностей при отжиге в аргоне заключается в том, что даже при Тотж = 1273 К, в отличие от отжига на воздухе, линии поглощения в спектре ЭПР BaMg2Al16O27:Eu2+ продолжают наблюдаться.
В отличие от BaMg2Al16O27:Eu2+, с увеличением температуры отжига
(Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+ происходит синхронное уменьшение интенсивности его
наиболее ярко выраженных в спектре ЭПР линий с g = 2,9; 4; 6,5 (рис. 2).
Наиболее резкий спад интенсивностей линий наблюдается в результате отжига при Тотж = 1073 К.
На рис. 3–6 приведены зависимости основных параметров спектров
ЭПР (ширины линии поглощения ΔНрр; площади под кривой линии поглощения S ~ I'ΔНрр2, где I' – интенсивность производной линии поглощения) от
температуры отжига Тотж.
Как видно из рис. 3, ширина ΔНрр линии поглощения с g = 4,9 с увеличением Тотж до 1073 К постепенно уменьшается, а ее интенсивность I' возрастает. При этом площадь под кривой остается неизменной (рис. 4). Такую
трансформацию можно объяснить происходящим в результате отжига процессом упорядочения конфигурации окружения парамагнитных центров Eu2+,
обусловливающих линию g = 4,9.
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
Рис. 1. Влияние температуры отжига на спектры ЭПР люминофора
BaMg2Al16O27:Eu2+ (числа у кривых – температуры отжига Тотж)
Поскольку площадь под кривой пропорциональна концентрации соответствующего типа парамагнитных центров, то можно сделать вывод, что
концентрация данного типа центров до температур Тотж = 973 К сохраняется
неизменной. В то же время, начиная с Тотж = 1123 К, происходит достаточно
сильное уменьшение интенсивности и, соответственно, уменьшение площади
под кривой поглощения. Это свидетельствует об уменьшении концентрации
ионов Eu2+, обусловливающих данную линию.
Как следует из полученных результатов (рис. 5, 6), изменение параметров спектра ЭПР люминофора (Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+ в результате отжига имеет иной характер. Одна из характерных особенностей заключается в том, что
значения ΔНрр для линий поглощения с g = 2,9; 4; 6,5 (рис. 5), в отличие от
люминофора BaMg2Al16O27:Eu2+, практически не изменяются при воздействии
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
высокотемпературного отжига. Как видно из рис. 6, значения относительных
площадей под кривыми поглощения (S ~ I'ΔНрр2) с увеличением температуры
отжига выше 973 К начинают синхронно уменьшаться. Даже после отжига
люминофора при температуре 1273 К линии с g = 2; 2,9; 4; 6,5 сохраняются
в спектре ЭПР (рис. 2). Однако общая концентрация ионов Eu2+ при этом
сильно уменьшается, о чем свидетельствует уменьшение общей площади S
под кривыми линий.
Рис. 2. Влияние температуры отжига на спектры ЭПР люминофора
(Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+ (числа у кривых – температуры отжига Тотж, нижний
спектр записан при таком же усилении, как для образца BaMg2Al16O27:Eu2+)
Характер поведения широкой линии с g ≈ 2,86, перекрывающей линии
мультиплета в спектре ЭПР (Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+, в результате отжига в аргоне такой же, как и после отжига на воздухе. То есть ее интенсивность
с увеличением температуры отжига уменьшается быстрее, чем интенсивность
линий мультиплета, причем, как видно из рис. 2, после отжига при Тотж = 1073 К
она практически полностью исчезает.
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
Рис. 3. Зависимости ширины линий поглощения в спектре ЭПР
BaMg2Al16O27:Eu2+ от температуры отжига
Рис. 4. Зависимости нормированных значений площадей под кривыми
поглощения в спектре ЭПР BaMg2Al16O27:Eu2+ от температуры отжига
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 5. Зависимости ширины линий поглощения в спектре ЭПР
(Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+ от температуры отжига
Рис. 6. Зависимости нормированных значений площадей под кривыми
поглощения в спектре ЭПР (Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+ от температуры отжига
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
2.2. Спектры люминесценции
На рис. 7, 8 приведены спектры люминесценции исходных и отожженных в аргоне при Тотж = 1273 К образцов BaMg2Al16O27:Eu2+ и
(Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+.
а)
б)
Рис. 7. Спектр люминесценции исходного люминофора BaMg2Al16O27:Eu2+ (a)
и отожженного при Тотж = 1273 К (б) (штриховые линии –
представление в виде гауссовых составляющих)
Из рис. 7 видно, что после отжига в аргоне BaMg2Al16O27:Eu2+ коротковолновая (λmax = 451 нм) и длинноволновая (λmax = 478 нм) полосы в спектре
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
люминесценции почти не изменяют своего положения. В спектре люминофора (Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+ положение двух элементарных гауссовых составляющих λmax = 447 нм и 481 нм также не изменяется (рис. 8). Однако для обоих
люминофоров наблюдается уменьшение доли длинноволновой полосы и увеличение доли коротковолновой полосы, сужение результирующих полос излучения и некоторое смещение общего максимума спектра в коротковолновую область.
а)
б)
Рис. 8. Спектр люминесценции исходного люминофора (Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+ (a)
и отожженного при Тотж = 1273 К (б) (штриховые линии –
представление в виде гауссовых составляющих)
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
3. Обсуждение результатов
Из
оптических
и
ЭПР
спектров
BaMg2Al16O27:Eu2+
и
2+
(Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu видно, что в поведении отдельных полос люминесценции и линий ЭПР наблюдается достаточно четкая корреляция.
Показано, что длинноволновая полоса люминесценции BaMg2Al16O27:Eu2+
менее термостабильна, чем коротковолновая. В то же время из спектров ЭПР
этого люминофора видно, что линии поглощения с g = 7,1; 22,3 сильнее подвержены термическому воздействию, чем линия с g = 4,9. Следовательно, результаты эксперимента по отжигу BaMg2Al16O27:Eu2+ в аргоне подтверждают,
что линия в спектре ЭПР с g = 4,9 и полоса люминесценции с λmax = 451 нм
принадлежат более термостабильному центру Eu2+ в позиции 2d с исходным
локальным окружением, а линии в спектре ЭПР с g = 7,1; 22,3 и полоса люминесценции с λmax = 478 нм обусловлены менее термостабильными центрами Eu2+ с более низкой симметрией окружения (не выше С2v) [2]. Причем более низкая симметрия окружения С2v центров Eu2+ обусловлена, по-видимому,
наличием в структуре алюмината заряженных вакансий бария [3].
Таким образом, различное поведение линий поглощения в спектре
ЭПР и элементарных полос в спектре люминесценции люминофора
BaMg2Al16O27:Eu2+ при его отжиге в аргоне подтверждает сделанное ранее
предположение о наличии в структуре BaMg2Al16O27 как минимум двух типов
центров, обусловленных ионами Eu2+ с различными симметриями окружения.
Результаты исследований по отжигу в аргоне люминофора
(Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+ показывают, что и в этом случае также наблюдается
корреляция между трансформациями спектров ЭПР и люминесценции аналогичная той, которая наблюдалась при отжиге на воздухе, но изменения
в спектрах происходят при более высоких температурах. Интенсивности и
площади под кривыми линий поглощения мультиплета (g = 2; 2,9; 4; 6,5; 26,6)
в спектре ЭПР с увеличением температуры синхронно снижаются, а I' и S
широкой линии с g ≈ 2,86 уменьшаются быстрее, чем у линий мультиплета.
В то же время после отжига при Тотж = 1273 К в спектре люминесценции доля
длинноволновой полосы λmax = 479 нм по сравнению с коротковолновой
λmax = 447 нм резко уменьшается. Это подтверждает, что линии в спектре ЭПР
с g = 2; 2,9; 4; 6,5; 26,6 и коротковолновая полоса люминесценции λmax = 447 нм
относятся к Eu2+ в позициях с локальной симметрией окружения С1h, а широкая линия в спектре ЭПР с g ≈ 2,86 и полоса люминесценции с λmax = 481 нм
соответствуют позиции Eu2+, имеющей локальную симметрию окружения С3
[4, 5].
Таким образом, полученные результаты подтверждают вывод, который
был сделан в [1], о том, что и в люминофоре (Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+, так же как
и в BaMg2Al16O27:Eu2+, имеется как минимум два кристаллографически неэквивалентных типа центров Eu2+.
Из полученных результатов следует, что в результате отжига в аргоне
концентрация ионов Eu2+ в BaMg2Al16O27 и (Sr,Ba)5(PO4)3Cl снижается за счет
окисления европия (Eu2+ → Eu3+), но, в отличие от отжига на воздухе, этот
процесс происходит при более высоких температурах. При отжиге на воздухе
кислород может диффундировать внутрь кристаллической решетки люминофора из окружающей воздушной среды, что способствует ускорению процесса перехода европия из двухвалентного в трехвалентное состояние. Отжиг
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
в нейтральной среде, как правило, приводит к диффузии кислорода из основания люминофора, в результате чего в BaMg2Al16O27 и (Sr,Ba)5(PO4)3Cl
должно наблюдаться восстановление европия из трехвалентного в двухвалентное состояние. Однако в нашем случае отжиг в аргоне приводит к окислению европия. В среде аргона, когда внешний кислород отсутствует, окисление Eu2+ может происходить только за счет кислорода внутри алюмината и
хлорфосфата. Поэтому наиболее вероятное объяснение наблюдаемой особенности может быть связано с тем, что аргон в результате диффузии внутрь
кристаллической решетки, кроме внесения дополнительных искажений, препятствует выходу кислорода из основания люминофора. Это, в свою очередь,
способствует процессу окисления Eu2+, который начинает происходить при
более высоких температурах, чем на воздухе.
В результате внедрения аргона при отжиге в некоторых областях
структуры люминофора может происходить перестройка локального окружения Eu2+. Причем измененное кристаллическое поле будет слабо влиять на
основное состояние 4f7(8S7/2) Eu2+, поскольку в данном случае электроны,
находящиеся на 4f7-оболочке, экранированы от влияния внешнего кристаллического поля 5s25p6 оболочкой. Вследствие этого тонкая структура спектра
ЭПР после отжига остается неизменной. Однако в возбужденном состоянии
иона Eu2+ электрон находится на неэкранированной 5d-оболочке, на которую
внешнее кристаллическое поле будет оказывать достаточно сильное воздействие. Поэтому в результате диффузии аргона измененное кристаллическое
поле, действующее в структурно искаженных областях, может изменять расщепление 5d(t2g), в результате чего может возникать некоторое смещение
спектра люминесценции BaMg2Al16O27:Eu2+ и (Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+.
Заключение
Таким образом, на основании результатов, полученных в настоящей
работе, можно сделать следующие выводы:
1) в основаниях люминофоров BaMg2Al16O27 и (Sr,Ba)5(PO4)3Cl имеется
не менее двух кристаллографически неэквивалентных центров Eu2+, имеющих разную термостабильность;
2) при высокотемпературном отжиге в аргоне происходит диффузия
атомов аргона внутрь кристаллической решетки люминофоров, блокирующих диффузию кислорода из BaMg2Al16O27:Eu2+ и (Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+, что
обеспечивает окисление европия (Eu2+ → Eu3+) за счет ионов кислорода,
находящихся в структуре люминофора;
3) установлено, что при отжиге в аргоне модификация кристаллической
структуры люминофоров происходит при более высоких температурах, чем
на воздухе;
4) обнаружена трансформация спектра люминесценции, происходящая
в результате высокотемпературного отжига в аргоне. Это может быть использовано для регулирования цветности люминофора при разработке источников
света.
Список литературы
1. З ю з и н , А . М . Влияние высокотемпературного отжига на состояние ионов Eu2+
в люминофорах / А. М. Зюзин, Д. А. Салкин // Известия высших учебных заведе-
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
2.
3.
4.
5.
Физико-математические науки. Физика
ний. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 1. –
С. 100–115.
Б ы к о в с к и й , П . И . Центры люминесценции Eu2+ и Eu3+ в гексаалюминатах /
П. И. Быковский, В. Ф. Писаренко, Н. Г. Черная, С. Н. Шашков // Сборник трудов
ВНИИ люминофоров. – Ставрополь, 1990. – Вып. 39. – С. 74–79.
P e n g , M i n g y i n g . Reduction from Eu3+ to Eu2+ in BaAl2O4:Eu phosphor prepared in
an oxidizing atmosphere and luminescent properties of BaAl2O4:Eu / Peng Mingying,
Hong Guangyan // Journal of Luminescence. – 2007. – V. 127. – P. 735–740.
K o t t a i s a m y , M . Divalent europium-activated alkaline-earth-metal chlorophosphate
luminophores [M5(PO4)3Cl5Eu2+; M=Ca, Sr, Ba] by self-propagating high-temperature
synthesis / M. Kottaisamy, M. Mohan Rao, D. Jeyakumar // J. Mater. Chem. – 1997. –
V. 7 (2). – P. 345–349.
K o t t a i s a m y , M . Еu2+ luminescenсe in M5(PO4)3X apatites, where M is Ca2+, Sr2+
and Ba2+, and F-, Cl-, Br- and OH- / M. Kottaisamy, R. Jagannathan, P. Jeyagopal, R. P.
Rаo, R. L. Narayanаn // Journal Phys. D: Appl. Phys. – 1994. – V. 27. – P. 2210–2215.
Зюзин Александр Михайлович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
экспериментальной физики, Мордовский
государственный университет
имени Н. П. Огарева (г. Саранск)
Zyuzin Alexander Mikhaylovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of experimental physics, Mordovia State
University named after N. P. Ogaryov
(Saransk)
E-mail: zyuzin.am@mail.ru
Салкин Дмитрий Александрович
преподаватель, кафедра общей физики,
Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева
(г. Саранск)
Salkin Dmitry Alexandrovich
Lecturer, sub-department of general
physics, Mordovia State University
named after N. P. Ogaryov (Saransk)
E-mail: salkin_da@mail.ru
УДК 628.978.3:621.7.785.3
Зюзин, Д. А.
Изменение состояния ионов Eu2+ в люминофорах BaMg2Al16O27:Eu2+
и (Sr,Ba)5(PO4)3Cl:Eu2+ при отжиге в аргоне / А. М. Зюзин, Д. А. Салкин //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 3 (23). – С. 133–143.
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 681.7.064.454
О. Н. Гадомский, К. К. Алтунин, Е. Г. Зубков
РАДИАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛИЧЕСКОГО КЛАСТЕРА
Аннотация. Представлена теория металлического сферического кластера,
в которой учтены электрические дипольные квантовые переходы валентных
электронов с помощью эффективной поляризуемости. Показано, что эффективная поляризуемость валентных электронов металлического сферического
кластера обладает отрицательной дисперсией в широком диапазоне длин волн
от 450 до 1000 нм, а это приводит к отрицательной экстинкции металлической
сферы.
Ключевые слова: сферический металлический кластер, эффективная поляризуемость валентных электронов, отрицательная дисперсия эффективной поляризуемости, локальные поля.
Abstract. The article introduces a theory of spherical metal cluster, which considers
electric dipole quantum transition of valence electrons by means of effective polarizability. It is shown that effective polarizability of the valence electrons of spherical
metal cluster possesses negative dispersion in a broad wave band from 450 to 1000
nm, that leads to negative extinction of a metal sphere.
Key words: spherical metal cluster, effective polarizability of the valence electrons,
negative dispersion of the effective polarizability, local fields.
Введение
Оптические свойства металлических сфер описаны в теории Ми [1],
в которой на основе уравнений макроскопической электродинамики вычисляются электромагнитные поля внутри и вне сферы.
В данной статье, в отличие от традиционного теоретического подхода
[1], будут использованы полевые и материальные уравнения микроскопической электродинамики, что позволит обнаружить новые оптические свойства
металлических сфер.
В работе [2] представлены экспериментальные спектры сечения рассеяния изолированных сфер серебра. Мы используем эти данные, чтобы
вычислить параметры радиационной теории кластера. Будут получены интерполяционные формулы для частоты квантового перехода, дипольного
момента перехода и ширины резонанса валентных электронов в металлической сфере.
Будет получена формула для эффективной поляризуемости валентных
электронов в изолированной сфере, которая содержит область отрицательной
дисперсии при некоторых радиусах металлических сфер.
Будет показано, что с помощью эффективной поляризуемости валентных
электронов может быть вычислен показатель преломления оптической среды
из металлических сфер, что позволяет обнаруживать новые свойства композитных материалов, не содержащиеся в теории Максвелла – Гарнетта [3].
1. Уравнения микроскопической электродинамики
для металлической сферы в вакууме
Уравнение распространения оптической волны в рассматриваемой граничной задаче имеет следующий вид [1, 4]:
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика

E (r , t ) = EI ( r , t ) + rot rot N
V
р (r ′, t − R c)
dV ′,
R
(1)
где E (r , t ) – напряженность электрического поля в точках наблюдения r внутри и вне металлической сферы; EI – напряженность электрического поля
внешней волны; N – концентрация валентных электронов внутри сферы;
R = r − r ′ , r ′ – точка внутри сферы или на ее поверхности; с – скорость света
в вакууме; р – индуцированный дипольный момент валентного электрона;
V – объем сферической частицы. Дифференцирование в (1) проводится по координатам точки наблюдения.
Уравнение (1) было выведено на основе квантовоэлектродинамического и классического подходов [4]. Будем рассматривать металлическую сферу
как непрерывную частицу, пренебрегая пока эффектом ближнего поля, связанного с учетом дискретного распределения атомов [4].
Квантовомеханические средние индуцированных дипольных моментов
валентных электронов в кластере представим как
р = X exp( −iωt ) ,
(2)
где ω – частота внешнего поля; величина Х удовлетворяет уравнениям для
связанных квантовых диполей [5, 6]:
2d 2
X
X = −iΔX − i 0 wE0 − ;
T2′

w =
(
)
w − w0
i
X * E0 − XE0* −
,
T1

(3а)
(3b)
где Δ = ω0 – ω, ω0 – частота перехода валентного электрона из основного
в возбужденное состояние; d0 – дипольный момент перехода; Т 2′ , Т1 – времена фазовой и энергетической релаксации; w – инверсия, представляющая собой разность вероятностей обнаружения валентных электронов в основном и
возбужденном состояниях; w0 – равновесное значение инверсии, равное – 1,
E0 – локальное поле без множителя exp(−iω⋅ t ) .
Найдем стационарное решение уравнений (3) при выполнении следующих условий:
w = 0, X = 0.
(4)
Более того, предположим, что оптическое поле, действующее на валентные электроны в сфере, невелико. Условие малоинтенсивного поля может быть выражено как w ≈ w0, т.е. инверсия практически не меняется при
облучении сферической частицы. Тогда из уравнения (3а) получим следующее решение:
p = αE0 exp(−iωt ) = α eff E0 I exp(−iωt ) ,
(5)
где квантовая поляризуемость равна
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
α=
2d02
1
;
 ω −ω− i
0
T2′
(6)
αeff представляет собой эффективную поляризуемость валентных электронов внутри сферической частицы.
Для определения явного вида эффективной поляризуемости необходимо решить уравнение (1) для точек наблюдения внутри частицы.
2. Эффективная поляризуемость валентных
электронов сферического металлического кластера
Вычислим локальное поле внутри сферической частицы, например, в ее
центре.
С помощью математической леммы [1] вынесем оператор rot rot за знак
интеграла в уравнении (1). Тогда получим следующее равенство:
р
 rot rot N R dV ′ = exp(−iωt ) ⋅ aT NX =
V

8π 
= exp( −iωt )(n12 − 1)k02  rot rot QGdV ′ − Q  ,

3 
V



где k0 =
(7)
ω
, Q – некоторая функция координат, определяемая как
c
Np = ( n12 − 1) k 2Q, ∇ 2 Q + k02 n12 Q = 0 ;
0
(8)
exp(ik0 R )
– функция Грина; aT – внутренний геометрический факR
тор. Величина n1 в (7), (8) представляет собой показатель преломления вещества из структурных элементов с поляризуемостью α.
Учитывая свойства функций Q и G, преобразуем с помощью теоремы
Грина объемный интеграл в (7) в поверхностные интегралы по внешней поверхности Σ и внутренней поверхности σ, окружающей точку наблюдения.
Тогда получим
G ( R) =

QGdV ′ =
V

dQ  
∂Q
 ∂G
 dG
′
Q
G
dS
Q
G
−
−
−
 


dS ′ ,
dR
dR  
∂ν′ 

(n12 − 1)k02 Σ  ∂ν′
σ

1


(9)
∂
означает дифференцирование вдоль внешней нормали к по∂ν′
верхности Σ.
Подставим функцию Q, удовлетворяющую волновому уравнению (8),
следующим образом:
где символ
Q = Q0
146
sin(k0 n1R )
,
R
(10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
где Q0 – постоянный вектор. Тогда поверхностный интеграл по внешней поверхности примет следующий вид:
∂G

∂Q 
  Q ∂ν′ − G ∂ν′  dS ′ =
Σ
4π
B ( R )Q0 ,
3
(11)
где
B = ik0 sin(k0 n1R) eik0 R − k0 n1 cos(k0 n1R ) eik0 R ;
(12)
R – расстояние от поверхности Σ до точки наблюдения r ′ внутри сферы.
Вычисление поверхностного интеграла по сферической поверхности σ
исчезающе малого радиуса приводит к следующему выражению:

dG
dQ 
  Q dR − G dR  dS ′ = 4πB( R′) ,
(13)
σ
где R′ – расстояние от поверхности σ до точки наблюдения r ′ .
Подставим (13), (11) в выражение (9), а затем в (7). После вычисления
действия оператора rot rot по координатам точки наблюдения r ′ получим
следующую формулу:
aT =
sin(n1k0 a )  4π ik0a sin(n1k0 a )
4π 4π ik0a 
,
e
−
 cos(n1k0 a ) −
 −i e
3
3
n1k0 a 
3
n1

(14)
где а – радиус сферического кластера.
При выполнении условия k0a << 1 имеем
aT = −
4π
(1 + ik0 a ) .
3
(15)
В электростатическом приближении (с → ∞) внутренний геометриче4π
ский фактор aT = −
, что соответствует деполяризующему фактору для
3
сферы [7].
Теперь, определив явный вид внутреннего геометрического фактора,
подставим (7) в уравнение (1). Тогда в точке наблюдения r ′ = 0 в центре сферы получим следующее равенство:
E0 = E0 I + aT N αE0 ,
(16)
откуда с помощью соотношения (5) получим формулу для эффективной поляризуемости валентных электронов сферического кластера:
αeff =
α
.
1 − aT N α
(17)
Как следует из (16), локальное поле внутри кластера может сильно отличаться от внешнего поля. При этом дисперсионные свойства эффективной
поляризуемости сильно отличаются от дисперсионных свойств квантовой поляризуемости α = Re α + i Im α . Например, Im αeff может принимать отрицательные значения при малых радиусах сферы, что соответствует отрицатель-
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ной дисперсии эффективной поляризуемости, валентных электронов металлического кластера.
3. Оптическое поле вне металлического кластера
Для вычисления локального поля вне металлического кластера поместим в уравнение (1) точку наблюдения вне сферы и проведем вычисления по
изложенному выше методу. Отличие заключается в том, что оператор rot rot
может быть вынесен за знак интеграла без применения математической леммы. После вычислений получим следующее выражение для внешнего геометрического фактора aˆ R :
ay =
R
a x, z = −
R
4πA
n1k03 ( n12
 2 2ik0  ik0 R
,
−

e
− 1)  R3 R 2 
(18)
 1 ik0 k02  ik R
−
−

e 0 ,
n1k03 (n12 − 1)  R3 R 2 R 
4πA
где R – расстояние от центра сферы до точки наблюдения вне сферы,
A = cos(ko a)sin(n1k0 a) − n1 sin(k0 a )cos(n1k0 a) .
(19)
С помощью внешнего геометрического фактора aˆ R можно вычислить
локальные поля Е0 в любой точке наблюдения вне сферы в волновой и ближней зонах.
В волновой зоне, когда R >> λ, сечение рассеяния QS вычислим с помощью эффективной поляризуемости (17). В результате для сечения рассеяния
металлической сферы получим следующую формулу:
QS =
4πk04V02 Ω02
 1

( ω0 − ω − Re Ω1 )2 +  ′ + Im Ω1 
 T2

2
,
(20)
2
2 d0
4π 3
, Ω1 = Ω0 aT .
a , Ω0 = N
3

С помощью формулы (20) и экспериментальных спектров рассеяния
изолированных сфер серебра [2] найдем следующие интерполяционные формулы для параметров электрических дипольных квантовых переходов:
где V0 =
λ0 =
2πс
2,904 ⋅ 10−12
= 268,6 ⋅ 10−7 + 4, 412a +
− 845172,1a 2 + 5,669 ⋅ 1010 a3 ;
ω0
a


57782,5 ⋅ a − 0, 298
;
=  0, 404 +
0,758 
eaB 
845069,
4
4,3502
⋅
−
a


d0
2
3
2 d0 ω 0
1
,
= g1
T2′
3 c 3
148
(21)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
4π 3
a – число валентных электронов в сферической частице сереб3
ра, N = 5,8 · 1022 см –3, аВ – боровский радиус, аВ = 0,529 · 10 –8 см. В экспериментальных спектрах рассеяния [2] исследовались сферические частицы серебра с радиусами от 20 до 80 нм. С помощью интерполяционных формул
(21) мы имеем возможность вычислять параметры электрических дипольных
квантовых переходов в радиационной теории металлического кластера при
различных радиусах сферических частиц серебра.
Экстинкцию сферы в вакууме вычислим по следующей формуле [1]:
где g1 = N
 ea(n0 ) 
Q = 2λ Im 
,
 e2 
(22)
2π ⋅ c
; е – амплитуда внешней
ω
волны ( e ≡ E0 I ); n0 – единичный вектор вдоль направления распространения
линейно поляризованной внешней волны, a(n0 ) = N αeff e . Очевидно, что
где λ – длина волны внешнего излучения, λ =
Q = QS + Qa , где Qa – сечение поглощения изолированной сферы [1].
На рис. 1, 2 представлены дисперсионные зависимости эффективной
поляризуемости валентных электронов в наночастицах серебра. Видно, что
при малых радиусах наночастиц в широком диапазоне длин волн от 450 до
1000 нм образуется область отрицательной дисперсии. Как показывают численные исследования эффективной поляризуемости (17), при радиусах наночастиц а > 12,5 нм знак дисперсии изменяется на противоположный.
Рис. 1. Реальная часть эффективной поляризуемости
валентных электронов в сферических наночастицах серебра
как функции длины волны и радиуса наночастиц
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 2. Мнимая часть эффективной поляризуемости
валентных электронов в сферических наночастицах серебра
как функции длины волны и радиуса наночастиц
В области отрицательной дисперсии Im αeff < 0 экстинкция становится
также отрицательной согласно формуле (22). Это означает, что при Q < 0
и QS > 0 имеем отрицательное поглощение Qa < 0.
Заключение
Итак, в данной статье представлена радиационная теория металлического кластера на основе уравнений (1), (3). Решена граничная задача для
изолированной сферы, найдены локальные поля внутри и вне сферы, получена формула для эффективной поляризуемости валентных электронов. На основе экспериментальных спектров рассеяния изолированных частиц серебра
выведены интерполяционные формулы для параметров электрических дипольных квантовых переходов, в которых участвуют валентные электроны
металлического кластера.
Показано, что при малых радиусах наночастиц серебра в этих частицах
формируется область отрицательной дисперсии эффективной поляризуемости валентных электронов, что приводит к образованию в этих частицах отрицательной экстинкции и отрицательного поглощения.
В работе [8] нами сообщалось о синтезе новых композитных материалов (PMMA + Ag) по разработанной в нашей лаборатории технологии. Измерение оптических спектров структур (PMMA + Ag) / glass с толстыми пленками толщиной 80 мкм из этих материалов показало наличие интерференционных максимумов. Наличие этих интерференционных максимумов объясняется, с нашей точки зрения, тем, что в этих материалах формируются квазинулевые показатели преломления и амплитуды отражения и пропускания
представляются как когерентные суперпозиции амплитуд отражения и пропускания с показателями преломления в окрестности его нулевого значения.
Для моделирования показателя преломления композитного материала
(PMMA + Ag) в [8] применяется соответствующая формула смешения [9] и
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
показано, что в системе наночастиц серебра формируется отрицательный показатель преломления, обусловленный отрицательной дисперсией эффективной поляризуемости валентных электронов в наночастицах серебра.
Список литературы
1. B o r n , M . Principle of Optics / M. Born and E. Wolf. – Cambridge : Cambridge University Press, 1999.
2. T a m a r u , H . Resonant light scattering from individual Ag nanoparticles and particle
pairs / H. Tamaru, H. Kuwata, H. T. Miyazaki, K. Miyano // Applied Physics Letters. –
2002. – V. 80, issue 10. – P. 1826–1828.
3. G a r n e t t , J . C . M . Colours in Metal Glasses and in Metallic Films / J. C. M. Garnett // Philos. Trans. R. Soc. London, Ser. A. – 1904. – V. 203. – P. 385–420.
4. Г а д о м с к и й , О . Н . Проблема двух электронов и нелокальные уравнения электродинамики / О. Н. Гадомский // Успехи физических наук. – 2000. – Т. 170,
№ 11. – С. 1145–1179.
5. Г а д о м с к и й , О . Н . Эффект ближнего поля в квантовом компьютере / О. Н. Гадомский, Ю. Ю. Воронов // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. – 1999. – Т. 69, № 10. – С. 750–754.
6. Г а д о м с к и й , О . Н . Оптические размерные резонансы в наноструктурах /
О. Н. Гадомский, Т. Т. Идиатуллов // Журнал экспериментальной и теоретической
физики. – 2001. – Т. 119, № 6. – С. 1222–1234.
7. К и тте л ь Ч . Введение в физику твердого тела : пер. с англ. / Ч. Киттель. –
2-е изд., перераб. – М. : Физматлит, 1962. – 696 с.
8. G a d o m s k y , O . N . High-negative effective refractive index of silver nanoparticles
system in nanocomposite films / O. N. Gadomsky, K. K. Altunin // Optics Communications. – 2012. – V. 285, № 5. – P. 816–820.
9. V o s h c h i n n i k o v , N . V . Effective medium theories for irregular fluffy structures:
aggregation of small particles / N. V. Voshchinnikov, G. Videen, T. Henning // Applied
Optics. – 2007. – V. 46, № 19. – P. 4065–4072.
Гадомский Олег Николаевич
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра радиофизики
и электроники, Ульяновский
государственный университет
Gadomsky Oleg Nikolaevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of radio physics and electronics,
Ulyanovsk State University
E-mail: gadomsky@mail.ru
Алтунин Константин Константинович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра физики, Ульяновский
государственный педагогический
университет
Altunin Konstantin Konstantinovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, sub-department
of physics, Ulyanovsk State Pedagogical
University
E-mail: gadomsky@mail.ru
Зубков Евгений Геннадьевич
аспирант, Ульяновский
государственный университет
Zubkov Evgeny Gennadyevich
Postgraduate student,
Ulyanovsk State University
E-mail: w12345673@yandex.ru
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 681.7.064.454
Гадомский, О. Н.
Радиационная теория металлического кластера / О. Н. Гадомский,
К. К. Алтунин, Е. Г. Зубков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 3 (23). – С. 144–152.
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
УДК 535.8
О. Н. Гадомский, К. К. Алтунин, А. А. Русин, О. В. Лебедев
УМЕНЬШЕНИЕ ЕСТЕСТВЕННОЙ ШИРИНЫ АТОМНЫХ
УРОВНЕЙ В НАНОСТРУКТУРНЫХ СИСТЕМАХ
Аннотация. Показано, что при определенных расстояниях между атомами
в атомном кластере обнаруживается эффект сужения естественной ширины
атомных уровней благодаря запаздывающему взаимодействию в поле внешнего излучения. Межатомное взаимодействие приводит не только к смещению
уровней атомов, но и к образованию точки перегиба, разделяющей области
отрицательной и положительной дисперсии эффективной поляризуемости
атомов кластера. Показано также, что локальное поле в условиях сужения
естественной ширины атомных уровней значительно превосходит внешнее
поле, что приводит к усилению оптического поля кластера в волновой зоне
вдали от кластера. При изменении некоторых внутренних условий в кластере
возможно мерцание дипольного излучения кластера. Обнаруженный эффект
сужения имеет место в поле малоинтенсивного внешнего излучения без изменения инверсии квантовых переходов атомов.
Ключевые слова: естественная ширина атомных уровней, атомный нанокластер, запаздывающее межатомное взаимодействие, размерные резонансы, отрицательная дисперсия эффективной поляризуемости атомов, эффект мерцания атомного кластера, усиление дипольного излучения, отрицательная экстинкция.
Abstract. It is shown that given the certain distances between atoms, in atom cluster
occurs the effect of narrowing of atom level natural width due to retarded interaction in the field of outer radiation. Interatomic interaction leads to both the displacement of atom levels and the occurrence of an inflection point separating the areas of negative and positive dispersion of atomic cluster effective polarizability. It is
also shown that the local field, under conditions of atom level natural width narrowing, significantly exceed the outer field, which leads to strengthening of cluster’s
optical field in the wave zone beyond the cluster. If one changes some internal conditions in the cluster, the cluster’s dipole radiation may flicker. The discovered effect of narrowing takes place in the field of low-intensity outer radiation without
changing the inverse of atomic quantum transitions.
Key words: natural atomic level width narrowing in nanoscale systems, retarded interaction of atoms, sized resonances, effective polarizability of atoms, negative dispersion of effective polarizability of atoms, enhacement of the dipole radiation, the
scintillation effect, negative extinction
Введение
Одним из основных принципов теории Бора атома водорода [1] является принцип стационарности атомных состояний. Как было постулировано
в этой теории, атом, находящийся в определенном энергетическом состоянии,
не излучает электромагнитные волны. С точки зрения последующей квантовой теории излучения Weisskopf-Vigner’s [2] это означает, что атом в определенном энергетическом состоянии может находиться как угодно долго, т.е.
время жизни атома в возбужденном состоянии является бесконечным.
В квантовой теории излучения [2] идея Бора получила дальнейшее развитие и было доказано, что время жизни атомов в возбужденном состоянии
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
является конечным благодаря спонтанному излучению фотонов. Конечное
время жизни атомов в возбужденных состояниях приводит к естественному
уширению атомных уровней. Это свойство атомных ровней лежит в основе
резонансной спектроскопии [3].
Хорошо известно, что межатомное взаимодействие приводит к уширению атомных уровней [4]. В системах с трансляционной симметрией, например в кристаллах, резонансное взаимодействие атомов приводит к образованию энергетических зон [5]. Однако в настоящей статье будет показано, что
в наноструктурных системах, в которых возможно контролировать межатомное рассеяние, межатомное взаимодействие способно приводить к сужению
спектральных линий атомов вплоть до полного уничтожения естественного
уширения атомных уровней. Такая физическая система может быть реализована, например, с помощью современных методов оптической ближнепольной микроскопии. С нашей точки зрения, эффект сужения естественной ширины линии может проявляться и в других физических ситуациях. Например,
в сферических металлических наночастицах определенного радиуса, где этот
эффект связан с формированием отрицательной дисперсии эффективной поляризуемости валентных электронов.
Нами проведены оптические и фотовольтаические эксперименты с новыми композитными материалами (PMMA + Ag) со сферическими наночастицами серебра. Теоретический анализ этих экспериментов доказывает, что мы
имеем дело с новыми оптическими материалами, обладающими квазинулевым показателем преломления. Так, в [6] показано, что для достижения квазинулевых значений показателя преломления необходимо достигать больших
отрицательных значений показателя преломления системы наночастиц серебра, а это становится возможным при достижении отрицательной дисперсии
эффективной поляризуемости валентных электронов в наночастицах серебра.
Целью данной статьи является теоретическое доказательство принципиальной возможности достижения отрицательной дисперсии в наноструктурных системах на примере двухатомного кластера.
В работах [7–10] были исследованы линейные и нелинейные оптические размерные резонансы в двухатомных системах, содержащих одинаковые
или разные атомы. В этих работах было показано, что при учете дипольдипольного взаимодействия атомов кластера в поле излучения необходимо
использовать понятие эффективной поляризуемости атомов. Максимумы эффективной поляризуемости как функции частоты внешнего поля определяют
значения частот оптических размерных резонансов.
В отличие от [7–10], в данной статье наряду с обнаружением оптических размерных резонансов в дипольном кластере будет обнаружен эффект
сужения естественной ширины линии атомов кластера благодаря запаздывающему взаимодействию атомов в поле излучения. Будет показано также, что
в двухатомном кластере формируются области положительной и отрицательной дисперсии эффективной поляризуемости атомов.
В работе [11] был рассмотрен случай малого атомного кластера в поле
интенсивного излучения и было показано, что в этих условиях возможно гигантское усиление света. В данной статье мы рассмотрим поведение двухатомного кластера в поле непрерывного малоинтенсивного излучения, при
котором инверсия атомов, т.е. разность вероятностей обнаружения атомов
в основном и возбужденном состояниях, мало отличается от своего равновес-
154
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
ного значения w0 = −1 . Будет показано, что и при этих условиях облучения
кластера возможно гигантское усиление света, а также мерцание дипольного
излучения кластера.
1. Эффективная поляризуемость атомов в нанокластере
Рассмотрим двухатомный кластер с помощью системы координат,
центр которой совпадает с центром одного из атомов, например атома 1. Ось
R12 кластера направлена вдоль оси y, а волновой вектор k 0 внешней волны
перпендикулярен оси R12 . В случае, когда энергетический вектор внешней
волны направлен вдоль оси y, имеем случай y-поляризации, а при перпендикулярном расположении электрического вектора по отношению к оси R12
получим случай x-, z-поляризации.
Оптические свойства двухатомного кластера опишем с помощью следующего уравнения:
2
E(r, t ) = E I (r , t ) +
 rot rot
(
p j t − Rj c
Rj
j =1
),
(1)
где E(r, t ) – напряженность электрического поля в точках наблюдения r
внутри и вне кластера; E I (r, t ) – напряженность электрического поля внешней волны; R j = r − r j , r j – радиус-векторы центров 1-го и 2-го атомов;
с – скорость света в вакууме; дифференцирование в уравнении (1) проводится
по координатам точки наблюдения; p j – индуцированные дипольные моменты атомов в кластере.
Вывод уравнения (1) проводится в [12, 13] на основе квантовоэлектродинамического и классического подходов. Уравнение (1) должно быть дополнено соответствующими уравнениями для атомных переменных [6]. Будем предполагать, что в атомах реализуются электрические дипольные квантовые переходы с выполнением правил отбора Δl = ±1 , Δm = 0, ±1 , где l –
орбитальное квантовое число; m – магнитное квантовое число [15]. Представим индуцированные дипольные моменты атомов в следующем виде:
p j = X j exp( −iωt ),
(2)
где ω (частота внешней волны) и величина X j подчиняются уравнениям [6]:
dX j
dt
= −iX j (ω0 − ω) −
dw j
dt
=
Xj
2i
2
,
w j d 0 E0 j −
h
T2 '
w j − w0
i *
X j E0 j − X j E 0 j −
,
T1

(
)
(3)
где ω0 – частота квантового перехода в спектре атома кластера; d0 – дипольный момент перехода; w j – инверсия атомов; E0 j – локальные поля без
множителя exp(−iωt ) ; T2 ', T1 – времена фазовой и энергетической релаксации [3].
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Локальные поля E01 и E02 в местах расположения атомов определим
из системы уравнений
E01 = E0 I + Gˆ X 2 ,
E02 = E0 I exp(ik 0 R12 ) + Gˆ X1
(4)
где E0 I – амплитуда внешней волны; Ĝ – диагональный тензор,
F

Gˆ =  0
0

0
G
0
0

0,
F 
(5)
Ĝ в соответствии с уравнением (1) имеет следующие компоненты:
G=
2
3
R12
−i
k2 1
ω
, F = 0 − G , k0 = .
2
c
R12 2
R12
2 k0
(6)
Найдем стационарное решение уравнений (3) при выполнении условий
стационарности:
 = 0.
w j = 0, X
j
(7)
Эти условия реализуются в поле непрерывного излучения, когда время
воздействия значительно превосходит время релаксации.
Тогда из уравнений (3), (4) получим следующие соотношения:
X j = αE0 j = αeff E 0 I ,
(8)
где квантовая поляризуемость равна
α=
2 d0
2

1
ω0 − ω − i
,
(9)
T2 '
αeff – эффективная поляризуемость.
Предположим, что атомы в кластере являются тождественными. Это
означает, что индекс j, нумерующий атомы, может быть опущен. Для атомного кластера, чьи линейные размеры значительно меньше длины волны внешнего излучения, справедливо условие
exp(ik 0r ) = 1,
(10)
где r – радиус-вектор произвольной точки наблюдения внутри кластера.
Условие (10) известно как условие электрического дипольного приближения в квантовой системе [14], которое позволяет рассматривать квантовую систему как точечную. Когда условие (10) выполняется, реализуются однофотонные электрические дипольные квантовые переходы с учетом дипольдипольного взаимодействия атомов в поле излучения. Это взаимодействие
представляет собой, как показано в [12, 13], эффект 3-го порядка квантовой
156
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
электродинамики. В условиях непрерывного облучения кластера при выполнении условия (k 0 R12 ) = 0 временное запаздывание в локальных полях E01
и отсутствует. Это означает, что в уравнениях (4) отброшен множитель
exp(ik0 R12 ) .
При облучении кластера малоинтенсивным излучением инверсия атомов w = −1 . Это возможно реализовать, если выполнено условие
2
2
2 d 0 T1T2 ' E << 1 . В случае y-поляризации в соответствии с решением
(8) получим следующие равенства:
y
X y = αE0y = αeff
E0yI ,
(11)
где эффективная поляризуемость атомов в кластере имеет вид
y
αeff
=
α
−3
1 − 2α( R12
−2
)
− ik0 R12
.
(12)
2. Отрицательная дисперсия эффективной
поляризуемости атома в атомном кластере
Анализируя формулу (12), найдем систему уравнений
ω0 −
4
2
d0

1
3
R12
−ω=0,
(13a)
1 4
2 ω
− d0
=0,
2
T2 ' 
cR12
(13b)
y
стремится к бесконечности. Объединяя уравпри выполнении которых α eff
нения (13), получим следующее уравнение:
1
4
4
2 1 
2
= d0
 ω0 − d0
2

T2 ' 

cR12 
1 
,
3 
R12

(14)
из которого можно найти те расстояния, при которых эффективная поляризуемость достигает максимальных значений. Уравнение (13a) определяет частоту размерного резонанса, а уравнение (13b) определяет точку перегиба, разделяющую области положительной и отрицательной дисперсии эффективной
поляризуемости (12).
Аналогичным образом рассмотрим случай x-, z-поляризации, когда
электрический вектор внешней волны перпендикулярен оси R12 . В этом случае вместо элемента тензора G в формуле для эффективной поляризуемости
следует использовать элемент тензора F. Это изменение показывает, что в случае x-, z-поляризации формирование отрицательной дисперсии невозможно.
Рассмотрим численный пример Na-Na димера, в котором атом натрия
содержит резонансный квантовый переход на длине волны λ 0 =589 нм (желтая линия атома натрия). Естественная ширина этого квантового перехода
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
равна 10 МГц, дипольный момент перехода d0 = 5,1049 ⋅ 10−18 ед. СГСЕ. Для
Na-Na димера согласно условию малоинтенсивного поля при T1 = T2 ' = 10−7 с
получаем, что локальное поле E0y должно быть порядка 10–3 ед. СГСЕ.
Полная вероятность в единицу времени спонтанного распада возбужденного состояния атома имеет следующий вид [15]:
2
3
1
4 d0 ω0
Wsp =
.
=
T2 ' 3 c3
(15)
Подставим это выражение в уравнение (13b). Тогда при ω = ω0 найдем
(0)
межатомное расстояние R12
= 3λ 0 2π , при котором обнаруживается точка
перегиба в дисперсионной зависимости эффективной поляризуемости. При
этом расстоянии частота размерного резонанса ωs , вычисленная с помощью
уравнения (13a), отличается от ω0 на малую величину:
( ωs
ω0 ) = 1 − 0,7222 ⋅ 10−8 .
(16)
Подставляя эту частоту ωs в уравнение (13b), найдем новое значение
(0)
R12 , которое отличается от R12
на величину 0,5 ⋅ 10−6 нм. Таким образом,
(0)
мы решили систему уравнений (13) при R12 = R12
и нашли точки перегиба
ωinf = ω0 ≈ ωs . Область частот ω > ωinf соответствует отрицательной дисперсии, а область частот ω < ωinf – положительной дисперсии.
3. Эффект сужения естественной ширины
резонанса атома в атомном кластере
Представим квантовую поляризуемость (9) помощью относительных
длин волн x = λ λ 0 . Тогда вместо (9) получим
α=
2 d0
2

x
.
2πc
i
( x − 1) − ′ x
λ0
T2
(17)
Ширина резонанса изолированного атома определяется по формуле
Im α =
2 d0

2
 1 
 T′ 
 2
2
 2πc x − 1   1 

 + 
 λ x  T′
2
.
(18)
Ширина этого резонанса равна 1 ′ . Для определения ширины резоT2
нанса атома в двухатомном кластере используем формулу
158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
y
Im αeff
=
2 d0

2
 1  1 
1 −   ′ 
 x   T2 
2
2
 2πc x − 1 1 1   1   1 
−

 + 1 −   
T2′ 3   x   T2′ 
 λ0 1
2
,
(19)
(0)
где учтено, что R12 = R12
= λ 0 3 2π .
Из этой формулы видно, что при x → 1 ширина резонанса атома в кластере значительно меньше ширины резонанса изолированного атома. При
этом в окрестности точки x = 1 образуются области отрицательной и положительной дисперсии (рис. 1).
Рис. 1. Эффект сужения естественной ширины
резонанса атома Na в Na-Na димере
Квантовая поляризуемость изолированного атома α = Re α + i Im α равна
3
при x = 1 следующим численным значениям: Im a = ( 3 2 ) ( λ 0 2π ) . Эффективy
y
y
ная поляризуемость атома в кластере αeff
= Re αeff
+ i Im αeff
при x = 1 имеет
3
1
y
y
3 ( λ 0 2π ) 3 . Эти
следующие численные значения: Im aeff
= 0, Re αeff
=−
2
численные значения позволяют определить отношение локального и внешне-
( )
(
)
го полей E0y E0yi , используя соотношение (11). В результате мы получим,
(
)
что E0y E0yi = 1,73i , т.е. локальное поле значительно больше внешнего по-
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ля. При этом, как видно из рис. 1, при небольшом смещении длины волны это
отношение принимает значение в несколько порядков, что соответствует эффекту гигантского усиления (enhancement) локального поля.
В принципе, на основе численного решения уравнения (14) можно
определить более точные значения межатомного расстояния R12 , при котоy
→ ∞ . Однако необходимо помнить об указанном выше отражении на
рых αeff
величину локального поля, при котором справедливо решение уравнений движения (3). Решая численным методом уравнение (14) как уравнение пятой степени относительно 1 R12 , получим два вещественных корня R12 = 162,366 нм
и R12 = 0,314 нм. Первый из этих корней с высокой степенью точности сов(0)
= 3λ 0 2π , а второй корень укападает с найденным выше значением R12
зывает на то, проведенное нами рассмотрение оптических свойств атомного
кластера справедливо и для субнаноструктурных систем.
4. Оптическое поле атомного нанокластера в волновой зоне
Вычислим оптическое поле изолированного нанокластера в волновой
зоне, помещая точку наблюдения в уравнение (1) на расстояние r >> λ . Для
этого представим внешнее поле без фактора exp(−iωt ) следующим образом:
E I = e exp(ik0n0r ) ,
H I = h exp(ik0n0r ) ,
(20)
где e, h являются вещественными векторами в случае линейной поляризации
внешнего поля; e – вектор электрического поля; h – вектор магнитного поля;
n0 – направление распространения внешней волны.
На большом расстоянии r >> λ , как следует из уравнения (1), рассеянная волна может быть представлена как сферическая волна:
E s = a(n)
exp(ik0 r )
exp(ik0 r )
, H s = b(n)
,
r
r
(21)
где векторы a(n) и b(n) определяют амплитуды полей в направлении рассеяния n.
Сечение рассеяния в направлении n0 в пределах телесного угла ΔΩ
имеет вид [16]
Qs =
Ws
c
, W = Re E s × H*s  n 0 ΔS ,


8π
Si
(22)
где символ ... означает усреднение по времени; ΔS – элемент поверхности
сферы большого радиуса r в пределах телесного угла ΔΩ , Si = ( с 8π ) e 2 .
Определим векторы a и b с помощью эффективной поляризуемости
y
aeff
атомов кластера следующим образом:
y
y
a(n) = −2 ( ( en ) n − e ) k 02 αeff
, b ( n ) = 2 [n × e ] k 02α eff
.
160
(23)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
Если учесть, что n || n0 , e ⊥ n 0 , то формула для сечения рассеяния приобретает вид
y
Qs = 4k 04 αeff
2
.
(24)
Следуя [16], запишем сечение экстинкции как
 ea ( n0 ) 
y
2
Q = 2λ Im 
 = 4λk0 Im αeff .
2
 e

( )
(25)
При этом Q = Qs + Qa , где Qa – сечение поглощения в атомном нанокластере. Как видно из формулы (25), экстинкция может быть как положиy
тельной, так и отрицательной в зависимости от знака Im αeff
вблизи точки
перегиба, разделяющей области положительной и отрицательной дисперсии
эффективной поляризуемости атома в атомном кластере. В точке перегиба
y
Im αeff
= 0 , поэтому Q = 0 . Следовательно, Qa = −Qs , где Qs > 0 согласно
формуле (24). Таким образом, в точке перегиба атомный кластер не излучает
электромагнитные волны при облучении внешней электромагнитной волной.
Рассеяние электромагнитной волны компенсируется отрицательным поглощением из-за увеличения локального поля в кластере.
В области отрицательной дисперсии экстинкция Q < 0 , поэтому при
Qs > 0 имеем Qa < 0 , при этом Qs < Qa . Отрицательное поглощение соответствует усилению внешней электромагнитной волны атомным кластером,
в котором инверсия квантового перехода (разность вероятностей обнаружения атомов в основном и возбужденном состояниях) равна ее равновесному
значению w0 = −1 .
В области положительной дисперсии Q > 0 , поэтому при Qs > 0 имеем
Qa > 0 , т.е. атомный кластер является поглощающей системой.
К указанным свойствам эффекта сужения естественной ширины атомных уровней можно также отнести мерцание атомного кластера, когда при
определенных условиях атомный кластер не излучает электромагнитные волны, а при изменении этих условий дипольное излучение кластера появляется.
(0)
Например, при межатомном расстоянии R12
= 3λ 0 2π и частоте внешнего
перехода ω = ω0 экстинкция Q = 0 соответствует отсутствию дипольного излучения кластера в поле внешней электромагнитной волны. Однако при изменении межатомного расстояния, например за счет колебаний атомов в кластере, это излучение появляется. Свойство мерцания атомного кластера может быть обнаружено также при повороте атомного кластера по отношению к
направлению падения внешней волны k 0 , когда электрический вектор
направлен вдоль внешней оси x (x-поляризация).
Выводы
Данная статья содержит фундаментальное доказательство того, что
в наноструктурных системах естественная ширина резонанса в спектре атома
может быть значительно уменьшена при контролировании определенных
161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
условий, а именно: контроль определенного расстояния между атомами
в кластере, контроль ориентации оси кластера по отношению к волновому
вектору и электрическому вектору падающей волны. При контролировании
этих условий благодаря запаздывающему взаимодействию атомов в поле излучения эффективная поляризуемость атомов кластера содержит области положительной и отрицательной дисперсии, а также точку перегиба, когда ширина резонанса полностью исчезает. При этом области положительной и отрицательной дисперсии значительно меньше естественной ширины изолированного атома. Это означает, что интенсивность дипольного излучения кластера значительно больше интенсивности излучения изолированного атома,
что соответствует эффекту гигантского усиления света атомных кластеров
без изменения инверсии атомов. При этом закон сохранения энергии не
нарушается. Если в обычных условиях часть энергии расходуется на релаксацию и безвозвратно теряется, то в наноструктурных системах при контролировании соответствующих параметров (межатомное расстояние, ориентация
кластера) эта часть энергии добавляется к энергии дипольного излучения.
Обратим внимание на еще одно важное свойство эффекта сужения
естественной ширины резонанса. В области отрицательной дисперсии эффективная поляризуемость атома в атомном кластере порядка 10–23 см3. Это
означает, что для экспериментального наблюдения отрицательной дисперсии
необходимы системы с высокой концентрацией, либо протяженные оптические среды, в которых эффект усиления будет определяться величиной
N 0Qd [17], где N 0 – концентрация кластеров в оптической среде; Q – сечение экстинкции (Q < 0); d – протяженность оптической среды. Системами
с высокой концентрацией могут быть металлические наночастицы, в которых
валентные электроны участвуют в электрических дипольных квантовых переходах. Как показано нами в работе [6], в сферических наночастицах серебра
малого радиуса действительно формируется область отрицательной дисперсии, что объясняет квазинулевые значения показателя преломления композитного материала.
Список литературы
1. B o h r , N . On the Constitution of Atoms and Molecules / N. Bohr // Philosophical
Magazine. – 1913. – V. 26, № 1. – Р. 875.
2. W e i s s k o p f , V . The theory of spontaneous emission / V. Weisskopf. E. Wigner //
Physics. – 1930. – V. 63, № 18. – Р. 54.
3. A l l e n , L . Optical resonance and two-level atoms / L. Allen, J. H. Eberly // WileyInterscience Publication, 1975.
4. Ts a o , C . J . Line-widths of Pressure-broadened Spectral Lines / C. J. Tsao, B. Curnutte // Quantitative Spectroscopy Radiative Transfer. – 1962. – V. 2, № 41.
5. K i t t e l , C . Itroduction to Solid State physics / C. Kittel. – NY : John Willey, 1956.
6. G a d o m s k y , O . N . High-negative Refractive Index of Silver Nanoparticle System in
Nanocomposite Films / O. N. Gadomsky, K. K. Altunin. // Optics Communications. –
2012. – V. 285. – Р. 816.
7. G a d o m s k y , O . N . The near-field effect in a quantum computer / O. N. Gadomsky,
Yn. Yn. Voronov // JETP Letters. – 1999. – V. 69. – Р. 804.
8. G a d o m s k y , O . N . Optical Size Resonances in Nanostructures / N. Gadomsky,
Т. T. Idiatullov // JETP. – 2001. – V. 92. – Р. 1060.
9. G a d o m s k y , O . N . Lineral Nonstationary Optical Dimesional Resonances in Atomic
Nanostrucrures / O. N. Gadomsky, Y. V. Abramov // Optics and Spectroscopy. –
2002. – V. 93. – Р. 61.
162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
10. G a d o m s k y , O . N . Nonlineral resonances in the neat-fielf interaction between atoms /
O. N. Gadomsky. A. G. Glukhov // JETP. – 2006. – V. 103. – Р. 23.
11. G a d o m s k y , O . N . Gigant light enhancement in atomic clusters / O. N. Gadomsky,
I. V. Gadomskaya, К. K. Altunin // JETP Letters. – 2009. – V. 90. – Р. 244.
12. B o r n , M . Principles of optics / M. Born, E. Wolf. – – 7th edition. – Cambridge :
Cambridge University Press, 1999.
13. G a d o m s k y , O . N . Two electron problem and the nonlocal equation of electrodynamics / O. N. Gadomsky // Physics-Uspekhi. – 2000. – V. 43. – Р. 1071.
14. G a d o m s k y , O . N . Giant enhancement of light in atomic clusters / O. N. Gadomsky,
К. K. Altunin // JETP. – 1998. – V. 87. – Р. 842.
15. D a v y d o v , A . S . Quantum Mechanics / A. S. Davydov. – Moscow : Nauka, 1968.
16. B e r e s t e t s k i , V . B . Relativistic Quantum Theory, part. 1 / V. B. Berestetski,
E. M. Lifshitc, L. P. Pitaevskii. – Moscow : Nauka, 1968.
17. S t e p a n o v , A . L. Optical properties of polymethylmethacrilate with implanted silver
nanoparticles / A. L. Stepanov, V. N. Porok, L B. Khaibullin, U. Kreibig // Nuclear Instrumentation and Methods in Physics Research, B. – 2002. – V. 191. – Р. 473.
Гадомский Олег Николаевич
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра радиофизики
и электроники, Ульяновский
государственный университет
Gadomsky Oleg Nikolaevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of radio physics and electronics,
Ulyanovsk State University
E-mail: gadomsky@mail.ru
Алтунин Константин Константинович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра физики, Ульяновский
государственный педагогический
университет
Altunin Konstantin Konstantinovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, sub-department
of physics, Ulyanovsk State Pedagogical
University
E-mail: gadomsky@mail.ru
Русин Александр Александрович
аспирант, Ульяновский
государственный университет
Rusin Alexander Alexandrovich
Postgraduate student,
Ulyanovsk State University
E-mail: al.an.rusin@gmail.com
Лебедев Олег Владимирович
аспирант, Ульяновский
государственный университет
Lebedev Oleg Vladimirovich
Postgraduate student,
Ulyanovsk State University
E-mail: w12345673@yandex.ru
УДК 535.8
Гадомский, О. Н.
Уменьшение естественной ширины атомных уровней в наноструктурных системах / О. Н. Гадомский, К. К. Алтунин, А. А. Русин, О. В. Лебедев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2012. – № 3 (23). – С. 153–163.
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322
В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, С. Е. Козенко
ЭФФЕКТ АНИЗОТРОПНОЙ ПЕРЕДАЧИ ИМПУЛЬСА
ФОТОНА ЭЛЕКТРОННОЙ СИСТЕМЕ В НАНОТРУБКЕ
СО СПИРАЛЬНЫМ ДЕФЕКТОМ В УСЛОВИЯХ
ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ1
Аннотация. Теоретически исследуются особенности эффекта фотонного увлечения в нанотрубке со спиральным дефектом, связанные с асимметричным
энергетическим спектром электронов в продольном магнитном поле. Выявлен
эффект анизотропной передачи импульса фотона электронной системе в спектральной зависимости плотности тока фотонного увлечения. Показано, что
при наличии стоячей электромагнитной волны в нанотрубке со спиральным
дефектом процесс передачи импульса от волны к электронам приводит к появлению нового типа электродвижущей силы.
Ключевые слова: нанотрубка со спиральным дефектом, плотность тока увлечения, продольное магнитное поле, эффект анизотропной передачи импульса,
эффект фотонного увлечения.
Abstract. The authors theoretically investigate the specifics of photon-drag effect in
a nanotube with spiral defect, that relate to asymmetric electron energy spectrum in
a longitudinal field. The researchers have discovered an effect of anisotropic transfer of photon impulse to the electronic system in spectral dependence of photondrag effect current density. It is shown that in case of a standing electromagnetic
wave in the nanotube with spiral defect, the process of impulse transfer from a wave
to electrons leads to emergence of a new type of electromotive force.
Key words: nanotube with spiral defect, photon-drag current density, longitudinal
field, anisotropic impulse transfer effect, photon-drag effect.
Введение
В последние годы повышенное внимание привлекают к себе мезоскопические системы с одновременным нарушением пространственной симметрии относительно инверсии координат и фундаментальной симметрии относительно обращения времени [1]. Этот интерес обусловлен асимметричным
энергетическим спектром носителей заряда во внешнем магнитном поле,
в результате чего электронные свойства таких систем оказываются различными для взаимно противоположных направлений волнового вектора электрона, что может приводить к целому ряду принципиально новых физических
явлений [2]. Асимметричный энергетический спектр имеет и нанотрубка со
спиральным дефектом в продольном магнитном поле. Спиральная симметрия
может проявляться в фотогальваническом эффекте [3], а также в эффекте фотонного увлечения (ЭФУ) носителей заряда [4]. Интерес к последнему
в нанотрубке со спиральным дефектом обусловлен тем, что здесь возникает
асимметрия электронных взаимодействий как с фотонами, так и с акустиче1
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 12-02-97002),
Фонда фундаментальных исследований в области естественных наук Министерства
науки Республики Казахстан (грант 1253/ГФ) и федеральной целевой программы
«Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы
Министерства образования и науки Российской Федерации (грант № 01201278459).
164
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
скими фононами. В свою очередь высокая чувствительность ЭФУ к энергетическому спектру и механизмам релаксации импульса носителей заряда может быть использована для получения ценной информации об элементарных
электронных взаимодействиях и зонной структуре низкоразмерных систем.
Целью настоящей работы является теоретическое исследование ЭФУ
в нанотрубке со спиральным дефектом при внутризонных оптических переходах в условиях асимметрии электрон-фотонных и электрон-фононных взаимодействий в магнитном поле, а также в изучении нового типа ЭДС, связанной с передачей импульса от стоячей электромагнитной волны электронной
подсистемы.
Плотность тока фотонного увлечения электронов
ЭФУ обусловлен импульсом фотонов, передаваемым в процессе поглощения электронной подсистеме. Учет импульса света приводит к асимметрии в распределении носителей заряда в пространстве квазиимпульса, т.е.
к образованию тока увлечения (ТУ). Решение задачи о ЭФУ в нанотрубке со
спиральным дефектом основано на кинетическом уравнении Больцмана, записанном в приближении времени релаксации. Генерационный член этого
уравнения определяется квантовыми фотопереходами электронов между подзонами размерного квантования, которые рассчитываются в линейном по импульсу фотона приближении. Электронный спектр и соответствующие волновые функции, найденные в работе [5], имеют следующий вид:
Ψ k1 ( z , ϕ ) =


sin ( πλ′ )
exp ( ik ′z + iλ′φ ) 1 − exp i ( ϕ − π ) Δ1′ 
 ; (1)
sin π
πTz

 ( λ′ + Δ1′ )  
Ψ k ′m′ ( z , ϕ ) =

sin ( πλ )
1

exp ( ikz + iλφ ) 1 − exp i ( ϕ − π ) Δ m 
 ; (2)
sin  π ( λ + Δ m )  
πTz

1
2
k Φ 
Δ 2m 
 2 α 2 
1
2 2
,
+
+
+
α
E ( k, m) =
1
R


0
2m* 1 + α 2 R02  α Φ 0 
4α 2 R02 
(
(
где λ = 1+ α 2 R02
) ( αR02k − Φ Φ0 ) − Δm
−1
)
(3)
2 , Δ m – квантовое число, являющееся
решением трансцендентного уравнения − Δ V = sin ( πΔ ) ( sin ( πΔ ) − cos ( πS ) ) ,
(
S = 2 αR02 k − Φ Φ 0
) (1 + α2 R02 ) , V = 2m*V0 R02 (1 + α2 R02 )
 2 , V0 – амплиту-
да барьера; Φ – магнитный поток через поперечное сечение нанотрубки;
Φ 0 – квант магнитного потока; φ = ϕ − αz − 2πM , M – целое число такое, что
0 ≤ φ ≤ 2π , Число α определяется периодом спирального дефекта по оси цилиндра Tz = 2π α , m = 1, 2,... – квантовое число, нумерующее энергетические
подзоны; k – собственное значение оператора K , являющегося линейной
комбинацией оператора импульса Pz и момента импульса L z : K = Pz + αL z .
Из соотношения (3) видно, что энергетический спектр в магнитном поле является асимметричным E (k ) ≠ E (−k ) , что типично для систем без центра
165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
инверсии при наличии возмущения, нарушающего t-инвариантность [1]. Благодаря асимметрии (3) в нанотрубке со спиральным дефектом возникает
асимметрия элементарных электронных взаимодействий, в частности с фотонами и акустическими фононами, имеющими противоположно направленные
волновые векторы. Квадрат модуля матричного элемента внутризонного оптического перехода, рассчитанного в линейном по импульсу фотона приближении, можно представить в следующем виде:
q
M( )
2
= q × 24 π3 4 λ 02
α* I 0
m*2ωR0*2Tz
( I11 cos ϑ + I12 sin ϑ sin γ + I13 sin ϑ +
+ I14 + I15 cos ϑ + I16 sin ϑ + I17 sin ϑ + I18 cos ϑ) × ( I19 cos θ sin ϑ cos γ +
+ I 20 cos θ sin ϑ + I 21 cos θ cos ϑ + I 22 cos θ cos ϑ + I 23 cos θ cos ϑ sin ϑ +
+ I 24 cos θ sin ϑ + I 25 cos θ cos ϑ + I 26 sin θ cos ϑ + I 27 sin θ sin ϑ cos γ +
+ I 28 sin θ sin ϑ sin γ + I 29 sin ϑ sin θ + I 30 sin ϑ sin θ + I 31 sin θ cos ϑ +
+ I 32 sin θ cos ϑ + I 33 sin θ sin ϑ + I 34 sin θ sin ϑ + I35 sin θ cos ϑ ) +
+ ( I 36 sin ϑ cos γ + I 37 sin ϑ + I38 + I 39 cos ϑ + I 40 sin ϑ + I 41 sin ϑ + I 42 cos ϑ) ×
× ( I 43 cos ϑ cos θ + I 44 cos θ sin ϑ sin γ + I 45 cos θ sin ϑ + I 46 +
+ I 47 cos θ cos ϑ + I 48 cos θ sin ϑ + I 49 cos θ sin ϑ + I 50 cos θ sin ϑ +
+ I 51 cos θ sin ϑ + I52 cos θ cos ϑ + I53 sin θ sin ϑ sin γ + I 52 cos θ cos ϑ +
+ I 53 sin θ sin ϑ sin γ + I54 sin θ sin ϑ sin γ + I55 sin ϑ sin θ + I 56 sin ϑ sin θ +
+ I 57 sin θ cos ϑ+ I58 sin θ cos ϑ+ I 59 sin θ sin ϑ+ I 60 sin θ sin ϑ+ I 61 sin θ cos ϑ )  , (4)
здесь ad – эффективный боровский радиус; α* – постоянная тонкой структуры с учетом статической диэлектрической проницаемости материала нанотрубки; m∗ – эффективная масса электрона; θ , ϑ и γ – углы, определяющие
направление вектора импульса фотона q и единичного вектора поляризации
eλ световой волны относительно оси нанотрубки; I0 и ω – интенсивность и частота света соответственно; R0* = R0 ad 1.
Поскольку в магнитном поле электронные подзоны Е(k) асимметричны
для направлений k и – k , то квадрат модуля матричного элемента (4) оказывается различным для процессов поглощения фотонов с векторами q и – q,
благодаря чему плотности ТУ также оказываются различными, т.е.
j ( + ) (q) ≠ j ( −) (−q ) , где
j
(±)
( ω) = −
e
+∞ +∞ ∞
  ′ θ  ω − E ( k ′, m′) + E ( k ,1)
2 π 2  2 0 0 m =1
∂ E ( k ′, m′ )
τ ( ± ql ) ×
∂ k′
Выражения для I ij = I ij ( k ) (i = 1, 2, …, 9; j = 1, 2, …, 9) довольно громоздкие и по этой причине мы их не приводим.
1
166
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
2
 f 0 ( E ( k ,1) ) − f 0 ( E ( k ′, m′ ) )  δ (  ω − E ( k ,1) + E ( k ′, m′ ) ) dkdk ′ , (5)


× M(
±q)
где θ ( x ) – единичная функция Хевисайда;  ω – энергия фотона; f 0 ( E ) –
квазиравновесная функция распределения электронов по энергии в нанотрубке; τ ( ql ) – время релаксации при рассеянии электронов на продольных акустических фононах, определяемое выражением вида [2]
τ ( ql ) =
 2 νl MN
 4πam*νl ql Φ 
⋅
⋅
4Ξ m 1 −
 f BE ( ql )


Φ

N
q
0
0
l


,
(6)
2 *
где Ξ – константа деформационного потенциала нанотрубки; f BE ( ql ) –
функция распределения Бозе – Эйнштейна в состоянии с волновым числом ql ;
m* – эффективная масса электрона; a – характерный период кристаллической
структуры нанотрубки; N0 – число атомов в одном витке; νl – скорость
продольной акустической волны; М – масса атома.
Из выражения (6) непосредственно следует пространственная асимметрия электрон-фононного взаимодействия, заключающаяся в различном взаимодействии электронов с одинаковыми акустическими фононами, имеющими
взаимно противоположные направления волнового вектора.
Эффект анизотропной передачи импульса фотона
в спектральной зависимости плотности тока увлечения
Ввиду значительной громоздкости окончательных выражений для
j
(±)
(ω) мы ограничились приведением спектральной зависимости плотности
ТУ в нанотрубке на основе InSb (в относительных единицах j ( ± ) (ω) j0 )
(рис. 1) для двух направлений k и – k, соответственно кривые 2, 2´ и
1, 1´. Можно видеть, что в магнитном поле имеет место эффект анизотропной передачи импульса фотона, который проявляется в существенном сдвиге порога ЭФУ и уменьшении величины плотности ТУ (сравн. кривые 1 и 2
на рис. 1).
Осцилляции в спектральной зависимости плотности ТУ обусловлены
оптическими переходами электронов между уровнями размерного квантования нанотрубки. На рис. 2, 3 приведена зависимость плотности ТУ в нанотрубке от величины внешнего магнитного поля для случаев k < 0 (кривые 1, 2
на рис. 2) и k > 0 (кривые 1´, 2´ на рис. 3). Видно, что плотность ТУ как функция магнитного поля имеет немонотонную зависимость, и период осцилляций определяется квантом магнитного потока.
ЭДС связанная с эффектом фотонного увлечения
Пусть вектор импульса фотона q направлен вдоль оси нанотрубки, тогда направляющие углы будут равны: θ = 0 , γ = 0 и ϑ = 90° .
167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 1. Спектральная зависимость плотности ТУ в нанотрубке со спиральным
дефектом при R0 = 20 нм, Tz = 150 нм, V0 = 4 для различных значений величины В:
1 – k < 0, B = 5 Тл, 1´ – k < 0, B = 10 Тл, 2 – k > 0, B = 5 Тл, 2´ – k > 0, B = 10 Тл
Рис. 2. Зависимость плотности тока увлечения в нанотрубке
со спиральным дефектом от магнитного потока Φ Φ0 при ω = 0, 2 эВ,
R = 20 нм, V = 4 , k < 0, 1 – T = 140 нм, 2 – T = 150 нм
0
168
0
z
z
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
Рис. 3. Зависимость плотности тока увлечения в нанотрубке
со спиральным дефектом от магнитного потока Φ Φ 0 при: ω = 0, 2 эВ,
R = 20 нм, V = 4 , k > 0, 1 – T = 140 нм, 2 – T = 150 нм
0
0
z
z
В данных условиях в нанотрубке возможно появление стоячей электромагнитной волны, при этом анизотропная передача импульса приводит
к появлению ЭДС, связанной с ЭФУ электронов.
Величина этой ЭДС будет определяться выражением вида
εq = q
L
W ( − q ) − W ( q )  ,
enL 
(7)
где nL – концентрация электронов на единицу площади СН; L – длина нанотрубки вдоль оси Oz; W ( ± q ) – вероятность поглощения фотона с импульсом
± q , определяемая выражением
W ( ±q ) = ±
2π

∞∞
2
   M δ (  ω − E ( k ,1) + E ( k ′, m ))dkdk ′ .
(8)
00 m
При поглощении фотона электрон переходит из одной энергетической
подзоны в другую, а начальное состояние электрона k и конечное состояние
k' удовлетворяют законам сохранения энергии и волнового вектора:
ε ( k ′ ) = ε ( k ) + ω , k ′ = k ± q .
(9)
Выполняя в (8) интегрирование, приходим к следующему выражению
для ЭДС, связанной с ЭФУ в полупроводниковой нанотрубке со спиральным
дефектом:
169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ε q = ε0
{
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
L
I K ± + I K ± + I K ± + I K ±  ×
13
14
16
17

X m 
×  I19 K ± + I 20 K ± + I 24 K ±  +


( )
( )
( )
( )
( )
( )
+  I 45 K ± + I 46 K ± + I 48 K ± + I 49 K ± + I 50 K ± + I51 K ±  ×


( )
( )
( )
( )}
( )
×  I 36 K ± + I37 K ± + I 38 K ± + I 40 K ± + I 41 K ±  ,


(10)
где ε0 = 25 π4 5λ 02 α* I 0 q 2 enL m*2 Ed R0*2Tz , Ed – боровская энергия;
X = ω Ed – энергия фотона в единицах боровской энергии; L – длина
нанотрубки; K ± – решение трансцендентного уравнения:
2
2
 K ± ad Φ   K ± ad

Φ
1
+
−
+
+




 α*
  α*

1 + α*2 R0*2
Φ
Φ
0
0




X=
+
1 + α*2 R0*2
4α*2 R0*2
(

Φ

* *2 ±

 α R0 K ad − Φ
m
0
×  m ( −1) cos  2π
*2
*2


1 + α R0




(
) 1 −


1
4V0* R0*2
+
1
4V0* R0*2
×
)
Φ 


* *2
±
* −1

 α R0 K + α ad − Φ  
0   . (11)
 + cos  2π
*2
*2



1 + α R0






Оценим величину ЭДС для спиральной нанотрубки на основе InSb при
следующих численных значениях параметров, входящих в (4): R0 = 10 нм,
nL = 1, 4 × 105 см −1 , I 0 ×  ω = 10 12 Вт/cм 2 и B = 4 Тл. Тогда величина ЭДС на
единицу длины нанотрубки составит: ε q L ≈ 0,14 В/см.
Заключение
В работе исследован эффект анизотропной передачи импульса фотона
в спектральной зависимости плотности ТУ при внутризонных оптических переходах в нанотрубке со спиральной симметрией в продольном магнитном
поле. Спиральная симметрия нанотрубки описывается посредством протяженного спирального возмущения, моделируемого δ -потенциалом. В линейном по импульсу фотона приближении рассчитаны спектральные зависимости для плотностей ТУ, обусловленных импульсами фотонов с волновыми
векторами q и −q при рассеянии электронов на продольных акустических
фононах. Показано, что эффект анизотропной передачи импульса фотона
проявляется в существенном сдвиге порога ЭФУ и значительном различии
величин плотностей ТУ. Найдено, что зависимость плотности ТУ от величины внешнего магнитного поля для случаев k < 0 и k > 0 имеет немонотонный характер с периодом осцилляций, определяемым квантом магнитного
потока. Показано, что анизотропная передача импульса фотона приводит
к появлению ЭДС фотонного увлечения электронов в стоячей электромаг-
170
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
нитной волне вдоль оси нанотрубки со спиральным дефектом, что согласуется с выводами работы [5] об универсальном характере рассматриваемого явления.
Список литературы
1. К и б и с , О . В. Эффект анизотропной передачи импульса в низкоразмерных
электронных системах в магнитном поле / О. В. Кибис // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. – 1997. – Т. 66, № 8. – С. 551–555.
2. К и б и с , О . В. Особенности электрон-фононного взаимодействия в нанотрубках
с хиральной симметрией в магнитном поле / О. В. Кибис // Физика твердого тела. –
2001. – Т. 43, № 12. – С. 2237.
3. А л е щ е н к о Ю . А . Индуцированный магнитным полем фотогальванический
эффект в ассиметричной системе квантовых тел / Ю. А. Алещенко, И. Д. Воронова, С. П. Гришечкина и др. // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. – 1993. – Т. 58, № 5. – С. 377.
4. К р е в ч и к , В. Д . Эффект увлечения одномерных электронов при фотоионизации D − -центров в продольном магнитном поле / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин //
Физика твердого тела. – 2003. – Т. 45, № 7. – С. 1272.
5. Г р и г о р ь к и н , А . А . Электронный спектр и баллистический транспорт спиральной нанотрубки / А. А. Григорькин, С. М. Дунаевский // Физика твердого тела. – 2007. – Т. 49, № 3. – С. 557.
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
физики, Пензенский государственный
университет
Krevchik Vladimir Dmitrievich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of physics, Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Разумов Алексей Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра физики, Пензенский
государственный университет
Razumov Aleksey Viktorovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, sub-department
of physics, Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Козенко Сергей Евгеньевич
аспирант, Пензенский
государственный университет
Kozenko Sergey Evgenyevich
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322
Кревчик, В. Д.
Эффект анизотропной передачи импульса фотона электронной системе в нанотрубке со спиральным дефектом в условиях внешнего магнитного поля / В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, С. Е. Козенко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2012. – № 3 (23). – С. 164–171.
171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 535.8; 537.9; 539.23
В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, В. А. Рудин
ФОТОЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ КВАНТОВОЙ МОЛЕКУЛЫ
С РЕЗОНАНСНЫМ u -СОСТОЯНИЕМ D2− -ЦЕНТРА
ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ
ДИССИПАТИВНОГО ТУННЕЛИРОВАНИЯ1
Аннотация. В модели потенциала нулевого радиуса исследовано влияние
внешнего электрического поля на фотолюминесценцию квантовой молекулы,
связанную с излучательным переходом электрона с резонансного u-состояния
на g-терм D2− -центра при наличии диссипативного туннелирования. Показано,
что вероятность фотолюминесценции возрастает примерно на два порядка при
напряженности внешнего электрического поля, для которой исходно асимметричный двухъямный осцилляторный потенциал, моделирующий квантовую
молекулу, становится симметричным. Выявлена высокая чувствительность вероятности фотолюминесценции к таким параметрам диссипативного туннелирования, как температура, частота фононной моды и константы взаимодействия с контактной средой.
Ключевые слова: квантовая молекула, вероятность фотолюминесценции,
внешнее электрическое поле, диссипативное туннелирование.
Abstract. In the model of zero radius potential the authors have investigated the influence of external electric field on photoluminescence of a quantum molecule,
bound with emtting electron transition from resonance u-state to g-term of D2− center involving dissipative tunneling. It is shown that the probability of photoluminescence increases approximately by a factor of a hundred under conditions of external electric field intensity, for which the initially asymmetric double-well oscillatory potential, simulating a quantum molecule, becomes symmetric. The researchers
discover high sensitivity of photoluminescence probability to such parameters of
dissipative tunneling as temperature, frequency of phonon mode and constant of interaction with coupling media.
Key words: quantum molecule, photoluminescence probability, external electric
field, dissipative tunneling.
Введение
Интерес к квантовой молекуле (КМ) с резонансным u -состоянием
D2− -центра
связан с перспективой создания новых источников стимулированного излучения на примесных переходах [1]. Использование внешнего
электрического поля для управления временем жизни резонансного u-состояния в КМ требует детального исследования спектров фотолюминесценции
(ФЛ) КМ в зависимости от величины прикладываемого внешнего электрического поля. В работе [2] продемонстрировано различие в характере действия
1
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 12-02-97002),
Фонда фундаментальных исследований в области естественных наук Министерства
науки Республики Казахстан (грант 1253/ГФ) и федеральной целевой программы
«Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы
Министерства образования и науки Российской Федерации (грант № 01201278459).
172
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
сильного (>105 В/см) внешнего электрического поля на ФЛ квантовых точек
(КТ) CdSe различной формы, определена связь между величиной внешнего
электрического поля и средним временем затухания ФЛ. Цель данной работы –
установление зависимости ФЛ, связанной с излучательным переходом электрона с резонансного u-состояния в стационарное g-состояние D2− -центра в КМ,
от величины внешнего электрического поля в условиях туннельного распада.
Расчет энергетического спектра D2− -центра
в кантовой молекуле с резонансным u -состоянием
Рассмотрим состояние D2− -центра в одной из КТ, образующих КМ.
Пусть D 0 -центры молекулярного иона расположены в точках с координата


ми R a1 = ( 0,0,0 ) и R a 2 = x a 2 ,0,0 , здесь R a i = x ai , ya i ,z a i ( i = 1, 2 ) –
(
)
(
)
прямоугольные декартовы координаты D 0 -центров относительно одной из

КТ. Внешнее электрическое поле E0 направлено вдоль оси x. Двухцентровой
потенциал моделируется суперпозицией потенциалов нулевого радиуса мощностью γ i = 2 π  2
( α i m ∗ ) и в декартовой системе координат имеет вид
2

 
 
 
Vδ r ; R a1 , R a 2 =
γ i δ r − R a i × 1 + r − R a i ∇ r  ,


(
) 
(
i =1
)
(
)
( 2 m∗ )
где αi определяется энергией E i = −  2 αi2
(1)
электронного локализо-
ванного состояния на этих же D 0 -центрах в объемном полупроводнике.
Для невозмущенных примесями одноэлектронных состояний в продольном электрическом поле гамильтониан соответствующей спектральной
задачи в модели параболического потенциала конфайнмента имеет вид
∧
H = − 2
( 2 m∗ ) ∇ 2 + m∗ ω02 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 − e E0 x ,
(2)
где m ∗ – эффективная масса электрона; ω0 – характерная частота удерживающего потенциала КТ; e – абсолютное значение заряда электрона.
Собственные значения E n1 , n 2 , n 3 и соответствующие собственные
функции Ψ n1 , n 2 ,n 3 ( x, y, z ) гамильтониана (2) даются выражениями вида
(
)
2
E n1 , n 2 , n 3 =  ω 0 n 1 + n 2 + n 3 + 3 2 − e E 2
Ψ n 1 , n 2 , n 3 ( x, y , z ) = 2
(
−
n1 + n 2 + n 3
2
× exp − ( x − x0 ) + y 2 + z 2 


2
(
(2 m
1
−
3
∗
)
ω 02 ;
−
(3)
3
−
n 1 ! n 2 !n 3 ! 2 π 4 a 2 ×
)
( 2 a 2 )) H n  x −ax0  H n
1
 y
z
H
n



 , (4)
2 a
  3a
173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где n1 , n 2 , n 3 = 0,1, 2... – квантовые числа, соответствующие уровням энергии
осцилляторной
сферически-симметричной
потенциальной
ямы;
(
)
a =  / m∗ ω0
x0 = e E
(m
∗
–
характерная
длина
удерживаемого
потенциала;
)
ω 02 ; H n ( x ) – полиномы Эрмита.
В приближении эффективной массы волновая функция электрона
  
Ψ λ r ; R a1 ,R a 2 , локализованного на D2− -центре, удовлетворяет уравнению
Липпмана – Швингера
  


  
  
(5)
Ψ λ r ; Ra1 ,Ra 2 = dr1 G r,r1; Eλ Vδ r1; R a1 ,R a 2 Ψ λ r1; Ra1 ,Ra 2
(
)
(
(
) 
) (
) (
)
и имеет вид линейной комбинации:
2

 
 
Ψ λ r ; R a1 , R a 2 =
γk c k G r , R a k ; E λ ,
(
)
(
) 
k =1
(6)
где
∧


∧
 
 
c k =  T k Ψ λ  R a k ; R a1 ,R a 2 ; T k =  lim
 1 + r − R a k ∇ r  ;

r →R a k 


(
)
(
)
 
G r,R a k;Eλ
) – одноэлектронная функция Грина, соответствующая источ
и энергии E =  ( λ′ + iλ′′ ) ( 2 m ) ; λ′′ учитывает
нику в точке R
(
ai
λ
2
2
∗
2
уширение примесного энергетического уровня за счет туннельного распада;
E λ – энергия, отсчитываемая от дна КТ;


Ψ n∗ , n , n r 1 Ψ n , n , n ( r )
1
3
2
 
1 2 3
G r, r1 ; E λ =
.
E
E
−
λ
n1 , n 2 , n 3
n1 , n 2 , n 3
(
)
( )

(7)
Используя выражения (3) и (4), для одноэлектронной функции Грина
в (7) получим
1
3 −
 
−
G r , R a k ; E λ = − ( 2 π ) 2 β 2 E d−1 a d− 3 ×
)
(
2
2

2
2
2
2
 xak − x0 + y ak + z ak + x − x0 + y + z 
× exp  −
×
2
2
a


(
∞

× dt exp  − ε q t  ×
0
174
)
∞
(
− t n1
e


 2 

n 1= 0 

)
 xa k − x0 
 x − x0 
Hn 
Hn 


1
a

 1 a ×
n1 !
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
×
− t n 2
∞
e


 2 

n 2= 0

×
∞ e

− t n 3


 2 

n 3= 0 
 ya k 
 y
Hn 
 Hn 2  
2
a
 a 
×
n2!
 za k 
z
Hn 
 Hn 3  
3
a
 a 
,
n2!
(8)
здесь индекс k = 1, 2 ;
(
)
(
ε q = − β ηq/ 2 + i ηq// 2 + 3 / 2 − β3/2 ad e E0 / Ed
)
2
+ i Γ0  β Ed ;
ηq/ 2 + i ηq// 2 = Eλ Ed ; β = R ∗0 /  4 U 0∗  ; R ∗0 = 2 R 0 / a d ;


R 0 – радиус КТ; U 0∗ = U 0 / Ed ; U 0 – амплитуда потенциала конфайнмента
КТ, удовлетворяющая соотношению 2 U 0 = m ∗ ω 02 R 02 ; m ∗ – эффективная
масса электрона; ω0 – характерная частота удерживающего потенциала КТ;
Ed , a d – эффективная боровская энергия и боровский радиус соответственно; Γ0 – вероятность диссипативного туннелирования.
Вероятность диссипативного туннелирования Г0 рассчитана в одноинстантонном приближении. При этом КМ моделировалась двухъямным осцилляторным потенциалом вида

ω2
ω2
U ( q) = 0 (q − a0 )2 θ( q) + 0 (q + a0 ) 2 θ(− q)− | e | E0 q ,
2
2
(9)
где q – координата туннелирования; ω0 – характерная частота потенциала;
θ(q) – единичная функция Хевисайда.
В случае взаимодействия с выделенной локальной модой одноинстантонное действие запишется в виде (в боровских единицах):
2

 ∗
b′ + x0∗  ∗ 1  b′ + x0∗
1  b′ + x0∗
+ 1  3 − 0
τ0−
+ 1 τ 0 2 −
S=  0




2  a0′ + x0∗
a0′ + x0∗ 
2 β∗  a0′ + x0∗


1  b0′ + x0∗ 
−
+1

2 γ∗  a0′ + x0∗ 
( 1 − x2∗ ) − cth  β∗
2



x1∗
(
+ ch  β∗ − τ∗0



)

x1∗
x1∗
(
−


(
ch  β∗ − τ∗0

 1 − x∗
1
 −


x2∗

x1∗  − ch β∗ x1∗ 



+
∗
∗

sh  β x1 


) cth  β∗


)

x2∗  −

175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
(
ch  β∗ − τ∗0
− 
)
x2∗  − ch  β∗ x2∗ 


 + ch  β∗ − τ∗

0

sh  β∗ x2∗ 


(
)


x2∗    ,
 
 
(10)
где
∗
x1,2

2
 ε*2 a*2
εc4 a*2
εc4 a*2 
a*2
ε*2 a*2
1  ε*2
L
L
= 
+1+
 
+1+
− L

*
*
 4U *
2 4U 0*
U 0*
4ε*2
4ε*2
L U0
L U0 
0



γ* =
(
*2
ε*2
La
( )
4U 0* + 1 + ε∗c 4 a*2
  b ′ + x∗ 
0 sh β∗
τ∗0 = arcsh 1 − 0

∗

′
a
x
+
0
0

( )
(
*
4 ε*2
L U0
))
2


,


*2
− ε*2
U 0* ,
La
 b′ + x0∗   ∗
1 + 0
 + β ,
 a ′ + x∗  
0
0 

εT∗ = kT Ed , ε∗L = ωL Ed , ε*c =  c Ed , β* = U 0* a*ε*T ,
b0′ = b0 ad , a0′ = a0 ad , x 0∗ = x0 / ad .
С экспоненциальной точностью вероятность туннелирования Γ0 оце-
нивается как Γ0 ~ exp ( − S ) . Предэкспоненциальный множитель B определяется вкладом траекторий, близко расположенных от инстантона. Для его вычисления действие раскладывалось до квадратичного члена по отклонениям
q − qB и проводилось интегрирование в функциональном пространстве. Выражение для предэкспоненты с учетом влияния локальной моды среды запишется в виде
B=

2 Ed U 0∗  b0′ + x0∗
+ 1 εT∗ ×


 π  a0′ + x0∗








 β1∗  
 β∗2  

∗ ∗
∗ ∗
β
−
+
β
ch
1
ch
A
D






 − 1
1 
2 

 

2
2



  
  


×
+
1


 β1∗
 
 β∗2
 2
 
∗

−
τ
− τ02∗   
сh
сh






01

∗
∗
 2
 

 
 − 1 + D∗  β 2  2
 −1
  A∗  β1 





∗
∗ 

2
2


β1
β2






sh  
sh  










 
 2 
 2 




176
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
+
 

 β∗
 
  сh  1 − τ01∗  

∗
 
 ∗  β1∗  2
∗  β2

− 1 + D 
A 
 β1∗ 
 2
2

sh


 


 2 
 


 
где








1 ,

 β∗2
 2 
∗
− τ02    
сh 


 2
 − 1  
 
 β∗2 
 
sh  
 
 2 
 
 


 β∗

 β∗
 


сh  1 − τ01∗  
сh  2 − τ02∗  
∗


 
 β∗  2
 + D∗  β 2  2
 −1
A∗  1 − 1 



∗
∗
2
2
 β1 
 β2 




sh  
sh  




 2 
 2 
 
 




(
*2
∗
A∗ = 2 ε*2
L a − x1
β1∗ = 2 U 0* x1∗
) (( x1∗ − x2∗ ) x1∗ ) ,
( a*εT* ) ,
(
*2
∗
D∗ = 2 ε*2
L a − x2
β∗2 = 2 U 0* x2∗
( a*εT* ) ,
(11)
) (( x1∗ − x2∗ ) x2∗ ) ,
τ∗01 = τ∗0 x1∗
2,
τ∗02 = τ∗0 x2∗ 2 .
Суммирование в (8) по квантовым числам n 1 , n 2 , n 3 можно выполнить, воспользовавшись формулой Мелера [3]:
∞
e
 
n = 0
− t n

2 
 za
Hn
 a

z
H n  
a

=
n!
(
)
 2 z z e −t − z 2 + z2 e − 2 t 
a
 a

=
exp 
.
a 2 1 − e − 2t


1 − e − 2t


1
(
)
(12)
В результате для электронной функции Грина получим
1
3 −
 
−
G r , R a k ; E λ = − ( 2 π ) 2 β 2 E d−1 a d− 3 ×
)
(
2
  

3

r −Rak
−


t
−
2
2 × exp −
× dt exp  − ε q t   1 − e
cth ( t )  ×

2
2a

0


∞
(

(
 xak − x0
× exp  −


Функция
Грина
( −)
D -центра в КМ.
(10)
(
)
)
)( x − x 0 ) + y a k y + z a k z th  t   .
a2
записана
для
 
2

(13)
резонансного
u-состояния
2
177
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
∧
Применяя последовательно операцию T k ( k = 1, 2 ) к обеим частям выражения (6), получим систему алгебраических уравнений вида
c1 = γ1 a11 c1 + γ 2 a12 c2 ,

c2 = γ1 a21 c1 + γ 2 a22 c2 ,
(14)

∧
 
здесь a k j =  T k G  R a k ,Ra j ;E λ ; i, j = 1, 2 .


Исключая из системы (14) коэффициенты c i , содержащие неизвестную
  
волновую функцию Ψ λ r ; R a1 ,R a 2 , получим дисперсионное уравнение
)
(
(
)
электрона, локализованного на D2− -центре с резонансным u-состоянием
в КМ:
γ1a11 + γ 2 a22 − 1 = γ1γ 2 ( a11a22 − a12 a21 ) .
(15)
Коэффициенты a k j , входящие в (15), с учетом (13) могут быть записаны в виде
a k k = − ( 2 π)
−
3 −1
−1 − 3
2 β 2Ed ad
3
+ ∞


− 2t − 2



×
 dt exp  −ε q t  1 − e

 0

(

)

2

 

2
2 

3
  x a k − x0 + ya k + za k  th ( t / 2 ) 
π

−

 − (2 t ) 2  −
× e xp  − 
εq  ;
2
2



a






(
)
a k j = − ( 2 π)
−
+∞
3 −1
−1 − 3
2
β
E
a
dt
2
d d

0
(
exp  − ε q t  1 − e− 2 t
)
−
3
2
(16)
×


2


R
R
−
a
k
a j cth ( t ) 

× exp  −
×
2
a
2


(
(

x a k − x0
× exp  −


)
)( x a j − x0 ) + ya k ya j + za k z a j th  t  .
a2
 
 2 

(17)
В случае, когда γ1 = γ 2 = γ , уравнение (15) распадается на два уравнения, определяющих симметричное (g-терм) и антисимметричное (u-терм) состояния электрона соответственно:
γ a11 + γ a12 = 1 (c1 = c2 ),
178
(18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
γ a11 − γ a12 = 1 ( c1 = −c2 ) .
(19)
С помощью выражений (6) и (13) проведем нормировку волновых
функций стационарных и квазистационарных g- и u-состояний (верхние и
нижние знаки соответственно) электрона в КТ во внешнем электрическом


поле; R a1 = ( 0,0,0 ) и R a 2 = x a 2 ,0,0 – координаты D0 -центров.
  
Из условия нормировки для волновой функции Ψ λ r ; R a1 ,R a 2 стаци-
(
)
(
)
онарного D2− -состояния имеем

∞ ∞ ∞
2
2
  
 
2 2
dV Ψ λ r ; R a1 ,R a 2 = γ1 C 1
G r , R a1; E λ dx dy dz +
(
V
)
   (
−∞ −∞ −∞
∞ ∞ ∞
+2 γ1γ 2C1C2
)
 
 
   G ( r , R a1; E λ ) G ( r , R a 2 ; E λ ) dx dy dz +
−∞ −∞ −∞
+
γ 22
∞ ∞ ∞
22
C2
−∞ −∞ −∞


   G ( r , R a2 ; E λ )
2
dx dy dz = 1 .
(20)
Каждый интеграл в выражении (20) вычисляется на основе определения
одноэлектронной функции Грина (7), т.е.
∞ ∞ ∞




   G ( r , R a j ; E λ ) G ( r , R a k ; E λ ) dx dy dz =
−∞ −∞ −∞
=
 
n1 ,n2 ,n3 n1′ ,n2′ ,n3′


Ψ n1 ,n2 ,n3 R a j Ψ n∗′ ,n′ ,n′ R a k
1 2 3
(
(
)
E λ − En ,n ,n
1 2 3
)(
(
)
E λ − En′ ,n′ ,n′
1 2 3
)
×
∞ ∞ ∞
×


∗
   Ψ n ,n ,n ( r ) Ψ n′ ,n′ ,n′ ( r ) dx dy dz .
−∞ −∞ −∞
1
2
3
1
2
(21)
3
Вычисление интеграла в (21) выполним с использованием условия ортогональности собственных волновых функций (4):
∞ ∞ ∞


∗
   Ψ n ,n ,n ( r ) Ψ n′ ,n′ ,n′ ( r ) dx dy dz = δn ,n′ × δn ,n′ × δn ,n′ ,
−∞ −∞ −∞
1
2
3
1
2
1 1
3
2
2
3
3
(22)
в результате получим
∞ ∞ ∞
 
 
G r , R a j ; E λ G r , R a k ; E λ dx dy dz =
   (
−∞ −∞ −∞
) (
)
179
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


Ψ n1 ,n2 ,n3 R a j Ψ n∗ ,n ,n R a k
1 2 3
=
,
2
n1 ,n2 ,n3
E λ − En ,n ,n

(
(
)
1
2
3
(
)
)
(23)
где j , k = 1, 2 .
Согласно (7) правая часть выражений (23) может быть представлена
в виде


Ψ n1 ,n2 ,n3 R a j Ψ n∗ ,n ,n R a k
1 2 3
=
2
n1 ,n2 ,n3
E λ − En ,n ,n

=−


∂G R a j , R a k ; E λ
(
∂Eλ
(
(
)
1
2
3
)
(
)


∂
G
R
,
R
0
a
j
a k ; εs
−2 − 3
,
0) a
∂ε s
) = ( ω
(
)
(24)
 
где G0 r , R a ; E λ – безразмерная функция Грина;
)
(
(
ε s = βη′s2 + 3 / 2 − β3/2 ad e E0 / Ed
) ; η′s2 = Eλ
2
Ed ; E λ = −  2λ 2
( 2 m∗ ) .
С учетом (21)–(24) условие нормировки для волновой функции
  
Ψ λ r ; R a1 ,R a 2 стационарного D2− -состояния записывается как
(
)



∂G R a1 , R a1; E λ
2
  
2
2
+
1 = dV Ψ λ r ; R a1 ,R a 2 = −  γ1 C 1

∂Eλ
V






∂G R a1 , R a 2 ; E λ
∂
G
R
,
R
a
2
a 2; E λ
.
+ 2 γ1 γ 2 C1C2
+ γ 22C 22

∂Eλ
∂Eλ


(
(
)
(
)
)
(
)
(25)
Тогда выражения для нормировочных множителей симметричного
( −)
( C1 = C2 ) и антисимметричного ( C1 = − C2 ) D2 -состояний примут вид


 ∂G R a1 , R a 2 ; E λ

±
C12 = −  γ12
∂Eλ

(
)




∂G R a1 , R a 2 ; E λ
∂G R a 2 , R a 2 ; E λ
2
±2 γ1 γ 2
+ γ2
∂Eλ
∂Eλ
(
)
(
) 


−1
,
(26)
здесь верхний и нижний знаки относятся к g- и u-состояниям соответственно.
Вычислим в формуле (26) производные, перейдя к безразмерной функ 
ции Грина G0 r , R a ; E λ путем несложного преобразования
(
180
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
 
 
−1
(27)
G r , R a ; E λ = a −3 (  ω0 ) G0 r , R a ; ε s ,
)
(
(
)
где
(
)(
)
3
 xa − x0 x − x0 + y a y + z az 
−
 
−1
×
G0 r , R a ; ε s  −2 π 2 × exp  −


a2


   2
r −Ra  ε
1
s
× exp  −
(28)
 B  2 , − 2  ,
2
2
a


(
)
(
)
в результате получим
 
3
 xa − x0
∂G0 r , R a ; ε s
−
−1
2
 −2 π × exp  −

∂ε s

(
)
(
1
ε
∂B  s , − 
 xa − x0
2 2
× 
= 2 −1 π−1 × exp  −

∂ε s

(
ε
Γ′  s
2
× 
(
 xa − x0
× exp  −


)(
  εs 1 
 εs
Γ 2 − 2  − Γ 2
 


ε
1

Γ2  s − 
 2 2
)( x − x 0 ) + y a y + z a z  ×


a2
)( x − x 0 ) + y a y + z a z  ×


a2
  εs 1 
 Γ′  2 − 2 
 
 = 2 −1 π −1 ×
 εs 
x − x 0 + y a y + z a z  Γ  2    ε 
1 
ε

ψ  s  − ψ  s −   , (29)

2
 ε
1  2 
 2 2 
a
 Γ s −  
 2 2
)
где ψ ( x ) = Γ′ ( x ) Γ ( x ) – логарифмическая производная гамма-функции
Γ( x) .
Запишем окончательное выражение для нормировочных множителей

 
волновых функций Ψ λs r ; R a1 , R a 2 стационарных симметричного и анти-
(
)
симметричного D2− -состояний:


 εs 
5
1
 Γ   ε

−
 2  ψ  s  − ψ  εs − 1   
C12 = 2 2 πβ 2 E d2 a d3 






  εs 1    2 
 2 2 
 Γ 2 − 2 


 

−1

 x02 
2
 γ1 exp  − 2  ±
 a 

 ( x − x )2  
 x2 
 x (x − x ) 

±2 γ1 γ 2 exp  0 a 2 0  exp  − a 2  + γ 22 exp  − a 2 0  
2
2
2
 2a 


a
a






−1
. (30)
181
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
  
С помощью выражения (30) для волновой функции Ψ λs r ; R a1 , R a 2
(
)
стационарного D2− -состояния в КТ во внешнем электрическом поле


( R a1 = ( 0,0,0 ) и R a 2 = x a 2 ,0,0 – координаты D0 - центров) получим
(
)
−
1
  εs    εs 
 ε −1   2
ψ  − ψ s
1
1 3  Γ


 
−
−
−

 
 2   2 
 2  
Ψ λs r ; R a1 , R a 2 = − 2 4 π− 1 β 4 ad 2 
×


 εs − 1 
Γ



 2 


(
)
2


 x0 xa 2 − x0
 x02  2
 2
 xa 2 − x0 

±
2
γ
γ
exp
×  γ1 exp  −  + γ 2 exp  −
1 2

2
 a2 

a
a2









(
−
)
(
)  ×


1
3
2

 2  ∞


   γ1 dt exp [ − ε s t ] (1 − exp ( − 2 t ) )− 2 exp  − r cth ( t )  ×
× exp  −
 2 a2

 2a  



  0
xa2 2
2

∞
3
 x ( x − x0 )  t  
−
× exp  0
th    ± γ 2 dt exp [ − ε s t ] (1 − exp ( − 2 t ) ) 2 ×
 2 
a2

0

2
  

 x a 2 − x0 ( x − x0 )

r
R
−
a
2
 t 



cth ( t )  exp −
th    ,
× exp  −

 2 
2a 2
a2






(
)
(
)
(31)
здесь верхний и нижний знаки относятся к g- и u-состояниям соответственно.
В случае квазистационарных D2− -состояний методика вычисления
нормировочных множителей симметричного ( C1 = C2 ) и антисимметричного
( C1 = − C2 ) D2− -состояний аналогична приведенной выше. В результате выражения для нормировочных множителей волновых функций квазистационарных g- и u-состояний (верхние и нижние знаки соответственно) имеют вид
−
1
  εq    εq 
 εq − 1    2
 Γ  ψ   − ψ 
 
5 3 1
 x02 
2    2 
2     2



2
2
3
2
γ
− ±
C1 = 2 2 π β 2 E d a d 
exp

  1
 a2 
εq − 1 





 
Γ



2 



 ( x − x )2  
 xa22  2
 x0 ( xa 2 − x0 ) 
0 
a2
±2 γ1 γ 2 exp 
 exp  − 2  + γ 2 exp  −

2
2


a
a


 2a 


182
−1
. (32)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Ψ λq
(
Физико-математические науки. Физика
Используя

 
r ; R a1 , R a 2
выражение
)
(32),
получим
волновую
функцию
D2− -состояния
квазистационарного

электрическом поле ( R a1 = ( 0,0,0 ) и
в КТ во внешнем

R a 2 = x a 2 ,0,0
– координаты
(
)
D0 -центров):
Ψ λq
(
1
3
1
3
−
− −

 
r ; R a1 , R a 2 = −2 4 π 4 β 4 ad 2
)

 εq
 Γ

 2
−



−
2


 x0 xa 2 − x0
 x02  2
 2
 xa 2 − x0 
−
×  γ1 exp  −  + γ 2 exp  −
±
2
γ
γ
exp
1
2

2
 a2 

a
a2









(
−
1
   εq 
 εq − 1    2
  ψ   − ψ 
  
  2 
 2  
 ×
 εq − 1 

Γ


 2 

)
(
)  ×


1
3
2
 xa2 2   2  ∞


  ×  γ1 dt exp  − ε q t  (1 − exp ( − 2 t ) )− 2 exp  − r cth ( t )  ×
× exp  −


2
2
 2a


 2a 


 0



∞
3
 x0 ( x − x0 )  t  
−


× exp  −
th    ± γ 2 dt exp  − ε q t  (1 − exp ( − 2 t ) ) 2 ×
 2 
a2

0

2
  

 x a 2 − x0 ( x − x0 )

r
R
−
2
a
 t 



cth ( t )  exp
th    .
× exp  −

 2 
2a 2
a2






(
)
(
)
(33)
На рис. 1 представлены рассчитанные с помощью дисперсионных
уравнений (18) и (19) зависимости энергии связи E g симметричного
g-состояния (кривая 1), средней энергии связи Eu антисимметричного резонансного u-состояния (кривая 2) и величины расщепления ΔEug (кривая 3)
между g- и u-термами D2− -центра в КМ от величины напряженности внешне
го электрического поля E0 .
Как видно из рис. 1, с ростом величины E0 энергия связи стационарного g-состояния и Eu уменьшаются вследствие электронной поляризации и
штарковского сдвига энергии. При этом величина расщепления ΔEug между
термами увеличивается за счет разной «скорости» движения g- и u-термов
с ростом E0 . Таким образом, электрическое поле стимулирует распад
D2 -центра с резонансным u-состоянием в КМ.
183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 1. Зависимость энергии связи E g симметричного g-состояния (кривая 1),
средней энергии связи Eu антисимметричного состояния (кривая 2)
и расщепления ΔEug (кривая 3) между g- и u-термами D2− -центра
( Ei = 2 × 10−3 эВ , R 0 = 80 нм , U 0 = 0, 2 эВ ) в КМ ( b0 = 0.5 , a0 = 1 , εT = 1 ,
εc = 1 , ε L = 1 ) от величины внешнего электрического поля
Расчет спектра фотолюминесценции
Рассмотрим ФЛ КМ при излучательном переходе электрона из квазистационарного u-состояния в стационарное g-состояние D2− -центра.
В дипольном приближении матричный элемент M u g соответствующего оптического перехода с учетом выражений (31) и (33) примет вид
M u g = i λ0
184

2 πα∗
 
I 0 Ed Ψ λs ∗ r ; R a1 , R a 2
ω
(


) ( e λ , r ) Ψ λq ( r; R a1, R a 2 )
=
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
1
7
−
= 22 π 4

 εs
 Γ
 2
× −



1
−
β 2 ad−3

 εq
 Γ

 2
−



−
1
2
×
1
   εs 
 εs − 1    2 
2

 ψ 2  − ψ  2  
 x02  2
 2
  

 
 xa 2 − x0 
×  γ1 exp  −  + γ 2 exp  −
±
2
 a2 

 εs − 1 
a





Γ





2



(
(
 x0 xa 2 − x0
×±2 γ1γ 2 exp  −

a2

)  exp  − xa2 2  
−1
i λ0
 2 a2  




)
2 πα∗
I 0 Ed ×
ω
∞
3
 r2

  
−
dxdydz e λ , r ×  γ1 dt exp [ −ε s t ] (1 − exp ( −2t ) ) 2 exp  −
cth ( t )  ×
 2 a2




−∞ −∞ −∞
 0
∞ ∞ ∞
×
   εq 
 εq − 1   
  ψ   − ψ 
  
  2 
 2  

 εq − 1 

Γ


2



−
  
(
)

∞
3
 x ( x − x0 )  t  
−
× exp  − 0
th    ± γ 2 dt exp [ − ε s t ] (1 − exp ( − 2 t ) ) 2 ×
 2 
a2

0

2
  

 x a 2 − x0 ( x − x0 )

t



 r − Ra2

cth ( t )  exp 
th     ×
× exp  −
2
2


2 
2a
a






(
)
(
)
3
 ∞
 r2

−
cth ( t )  ×
×  γ1 dt exp  − ε q t  (1 − exp ( − 2 t ) ) 2 exp  −
2
 2a




 0

∞
3
 x ( x − x0 )  t  
−
th    ± γ 2 dt exp  −ε q t  (1 − exp ( − 2 t ) ) 2 ×
× exp  − 0
 2 
a2

0

2
  

 x a 2 − x0 ( x − x0 )

t
 r − Ra2

× exp  −
cth ( t )  exp 
th     ,

 2 
2a 2
a2






(
)
(
)
(34)
где λ 0 = Ee f f / E0 – коэффициент локального поля, учитывающий увеличение амплитуды оптического перехода за счет того, что эффективное локальное поле примесного центра Ee f f превышает среднее макроскопическое по2
(
)
ле в кристалле E ; α ∗ = e / 4 πε 0 ε  c – постоянная тонкой структуры
с учетом статической относительной диэлектрической проницаемости ε ;
185
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
c – скорость света в вакууме; I 0 – интенсивность света; ω – частота излуче
ния с единичным вектором поляризации eλ .
Вероятность Pu g ФЛ КМ при наличии внешнего электрического поля

E0 с учетом плотности конечных состояний излучаемых фотонов запишется
в виде
Pu g =
ω2
3 π 2 c3
Mu g
Γ0
2
2
 2Γ02
+ Ed η′s2 + η′q2 −  ω
4
( (
)
)
.
(35)
На рис. 2 представлена зависимость Pu g от E0 , построенная с помощью
формулы (35). Из рис. 2 видно, что на кривой 2 зависимости вероятности Pu g

ФЛ от напряженности E0 внешнего электрического поля имеется максимум,
связанный с появлением пика на полевой зависимости вероятности диссипативного туннелирования Γ0 . Последний объясняется тем, что первоначально
асимметричный двухъямный осцилляторный потенциал КМ трансформируется в симметричный под влиянием внешнего электрического поля.
Изменение энергии  ω фотона при ФЛ по отношению к средней энергии перехода  ω = Eq − Es (здесь Eq – средняя энергия квазистационарного
состояния, Es – энергия стационарного состояния D2− -центра) в силу неопределенности энергии электрона в u-состоянии приводит к уменьшению
вероятности Pu g ФЛ, что видно из рис. 3 (см. кривую 2). Так как ширина
Δ Eq примесного уровня в u-состоянии имеет монотонную зависимость от
вероятности туннелирования Γ0 , то с изменением величины напряженности

E0 внешнего электрического поля вероятность ФЛ Pu g убывает. Это видно
из сравнения кривых 1 и 3 с кривой 2 на рис. 2. По этой же причине максимумы спектральных зависимостей вероятности Pu g фотолюминесценции для
значений напряженности электрического поля, отличных от той, при которой
вероятность туннелирования Γ0 достигает максимума, становятся меньше
(ср. кривые 1 и 3 с кривой 2 на рис. 3).
Также из рис. 2 видно, что на полевой зависимости вероятности Pu g
ФЛ наблюдаются два максимума: больший соответствует ФЛ с энергией фотона  ω = Eq − Es , а меньший – максимуму на полевой зависимости вероятности туннелирования Γ0 (см. кривые 1 и 3 на рис. 2). Если же энергия фотона становится равной средней энергии оптического перехода, соответствующей максимуму Γ0 , то указанные выше максимумы объединяются в один
(см. кривую 2 рис. 2).
Смещение максимума ФЛ для энергии фотона  ω = Eq − Es в коротковолновую область спектра с увеличением напряженности электрического поля объясняется соответствующим поведением резонансного u-состояния и
стационарного g-состояния (см. рис. 1): u-терм приближается (кривая 2), а
186
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Физико-математические науки. Физика
g-терм удаляется (кривая 1) от уровня энергии основного состояния E0, 0,0
электрона в КТ. Это приводит, как видно из кривой 3 на рис. 1, к увеличению
расщепления термов с ростом внешнего электрического поля.
Рис. 2. Зависимость вероятности Pu g ФЛ ( Ei = 2 ⋅10−3 эВ , R 0 = 80 нм ,
U 0 = 0, 2 эВ ) КМ ( b0 = 0,5 , a0 = 1 , εT = 1 , εc = 1 , ε L = 1 ) от величины
напряженности внешнего электрического поля для различных значений энергии
фотона  ω : 1 –  ω = 2, 26 ⋅10− 3 эВ , 2 –  ω = 2,37 ⋅10− 3 эВ , 3 –  ω = 2, 43 ⋅10− 3 эВ
Заключение
Исследована ФЛ КМ, содержащей D2− -центр с резонансным u-состоянием и квазистационарным g-состоянием. КМ представляет собой две туннельно-связанные КТ с параболическим потенциалом конфайнмента. В модели потенциала нулевого радиуса получены дисперсионные уравнения, описывающие соответствующие u- и g-термы, при наличии внешнего электрического поля. Показано, что внешнее электрическое поле стимулирует распад
( −)
D2 -центра с резонансным u-состоянием.
187
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 3. Спектральная зависимость вероятности Pu g ФЛ ( Ei = 2 ⋅10−3 эВ ,
R 0 = 80 нм , U 0 = 0, 2 эВ ) КМ ( b0 = 0,5 , a0 = 1 , εT = 1 , εc = 1 , ε L = 1 )

для различных значений напряженности внешнего электрического поля E0 :
1 – E 0 = 8 ⋅105 В/м , 2 – E 0 = 8, 4 ⋅105 В/м , 3 – E 0 = 8,5 ⋅105 В/м
В дипольном приближении получена аналитическая формула для вероятности ФЛ КМ, связанной с излучательным переходом электрона с резонансного u-состояния в квазистационарное g-состояние. Исследованы полевая и спектральная зависимости вероятности ФЛ КМ. Показано, что вероятность ФЛ возрастает примерно на два порядка при напряженности внешнего электрического поля, для которой исходно асимметричный двухъямный осцилляторный потенциал, моделирующий КМ, становится симметричным. Таким образом, выявлена возможность эффективного управления
ФЛ КМ с помощью внешнего электрического поля, что открывает определенные перспективы для создания новых источников излучения на основе
структур с КМ.
Список литературы
1. А л е ш к и н , В. Я . Примесные резонансные состояния в полупроводниках.
Обзор. / В. Я. Алешкин, Л. В. Гавриленко, М. А. Одноблюдов, И. Н. Яссиевич //
Физика и техника полупроводников. – 2008. – Т. 42, № 8. – С. 899–922.
2. Г у р и н о в и ч , Л. И . Влияние электрического поля на фотолюминесценцию
нанокристаллов селенида кадмия / Л. И. Гуринович, А. А. Лютин, А. П. Ступак
и др. // Журнал прикладной спектроскопии. – 2010. – Т. 77, №1. – С. 129–135.
3. Б е й т м е н , Г . Высшие трансцендентные функции : в 2 т. / Г. Бейтмен,
А. Эрдейн. – М. : Наука, 1973.
188
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (23), 2012
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
физики, Пензенский государственный
университет
Физико-математические науки. Физика
Krevchik Vladimir Dmitrievich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of physics, Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Грунин Александр Борисович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра физики,
Пензенский государственный
университет
Grunin Alexander Borisovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of physics, Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Рудин Вадим Александрович
аспирант, Пензенский
государственный университет
Rudin Vadim Alexandrovich
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
УДК 535.8; 537.9; 539.23
Кревчик, В. Д.
Фотолюминесценция квантовой молекулы с резонансным
u -состоянием D2− -центра во внешнем электрическом поле при наличии
диссипативного туннелирования / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, В. А. Рудин //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 3 (23). – С. 172–189.
189
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Вниманию авторов!
Редакция журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки» приглашает специалистов опубликовать на его страницах оригинальные статьи, содержащие новые научные результаты в области математики, физики, механики, а также обзорные статьи по тематике журнала.
Статьи, ранее опубликованные, а также принятые к опубликованию в других
журналах, редколлегией не рассматриваются.
Редакция принимает к рассмотрению статьи, подготовленные с использованием текстового редактора Microsoft Word for Windows версий не выше 2003.
Необходимо представить статью в электронном виде (VolgaVuz@mail.ru, дискета 3,5'', СD-диск) и дополнительно на бумажном носителе в двух экземплярах.
Оптимальный объем рукописи 10–14 страниц формата А4. Основной шрифт
статьи – Times New Roman, 14 pt через полуторный интервал. Тип файла в электронном виде – RTF.
Статья обязательно должна сопровождаться индексом УДК, краткой аннотацией и ключевыми словами на русском и английском языках.
Рисунки и таблицы должны быть размещены в тексте статьи и представлены в
виде отдельных файлов (растровые рисунки в формате TIFF, ВМР с разрешением
300 dpi, векторные рисунки в формате Corel Draw с минимальной толщиной линии
0,75 рt). Рисунки должны сопровождаться подрисуночными подписями.
Формулы в тексте статьи выполняются в редакторе формул Microsoft Word
Equation, версия 3.0 и ниже. Символы греческого и русского алфавита должны быть
набраны прямо, нежирно; латинского – курсивом, нежирно; обозначения векторов и
матриц прямо, жирно; цифры – прямо, нежирно. Наименования химических элементов набираются прямо, нежирно. Эти же требования необходимо соблюдать и в рисунках. Допускается вставка в текст специальных символов (с использованием
шрифтов Symbol).
В списке литературы нумерация источников должна соответствовать
очередности ссылок на них в тексте ([1], [2], …). Номер источника указывается в
квадратных скобках. В списке указывается:
•
для книг – фамилия и инициалы автора, название, город, издательство,
год издания, том, количество страниц;
•
для журнальных статей, сборников трудов – фамилия и инициалы автора,
название статьи, полное название журнала или сборника, серия, год, том, номер, выпуск, страницы;
•
для материалов конференций – фамилия и инициалы автора, название
статьи, название конференции, время и место проведения конференции, город, издательство, год, страницы.
В конце статьи допускается указание наименования программы, в рамках которой выполнена работа, или наименование фонда поддержки.
К материалам статьи должна прилагаться информация для заполнения учетного листа автора: фамилия, имя, отчество, место работы и должность, ученая степень,
ученое звание, адрес, контактные телефоны (желательно сотовые), e-mail.
Плата с аспирантов за публикацию рукописей не взимается.
Рукопись, полученная редакцией, не возвращается.
Редакция оставляет за собой право проводить редакторскую и допечатную
правку текстов статей, не изменяющую их основного смысла, без согласования с автором.
Статьи, оформленные без соблюдения приведенных выше требований, к
рассмотрению не принимаются.
190
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа