close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

146.Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №2 2007

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
№2
2007
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Алехина М. А., Лысенко А. М., Мельников Б. Ф. Об одном подходе
к моделированию вычислительных устройств .................................................... 2
Валовик Д. В. Кривые в одулярной дифференциальной геометрии
пространства с растраном общего вида.............................................................. 10
Валовик Д. В. Электромагнитная задача дифракции ТМ-волн
на нелинейном полубесконечном слое............................................................... 19
Чугунова В. В. О надежности схем в некоторых приводимых полных базисах .... 26
ФИЗИКА
Онищук С. А. Деградация солнечных элементов при нейтронном
и протонном облучении ....................................................................................... 40
Светухин В. В., Сидоренко О. Г. К вопросу о моделировании радиационного
упрочнения и радиационного охрупчивания металлов и сплавов................... 49
Светухин В. В., Кадочкин А. С., Рисованный В. Д. Параметры
протекания гелия в поглощающих элементах реакторов ВВЭР...................... 59
Куштанова Г. Г. Фильтрационные волны давления при неравновесном
законе фильтрации................................................................................................ 65
Тихончев М. Ю., Светухин В. В., Ильина Т. С. Моделирование
процессов первичной радиационной повреждаемости
α-железа методом молекулярной динамики...................................................... 70
Кревчик В. Д., Горшков О. Н., Семенов М. Б., Грозная Е. В.,
Филатов Д. О., Антонов Д. А. Управляемое диссипативное
туннелирование в системе с АСМ/СТМ............................................................. 80
Аннотации ....................................................................................................................89
Сведения об авторах ...................................................................................................92
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
МАТЕМАТИКА
УДК 519.718
М. А. Алехина, А. М. Лысенко, Б. Ф. Мельников
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К МОДЕЛИРОВАНИЮ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ
Цель статьи – описание разрабатываемой модели для реализации специальных вычислительных устройств. Авторами объединены и обобщены несколько моделей вычислителей, фактически являющихся математическими моделями
компьютеров. Эти модели применяются в самых разных областях – от радиолокационной задачи построения бинарных фазоманипулированных сигналов с
минимальными автокорреляционными свойствами до нанотехнологий (задач с
условным названием «математические модели сборки наномашин»). При этом
данную статью нельзя считать только «прямой суммой» рассматриваемых в
ней различных задач: именно применение всех этих задач в комплексе и дает
возможность описания новой модели вычислительного устройства, действительно являющегося возможным подходом к моделированию наномашин.
Введение
Цель данной статьи – описание разрабатываемой нами модели, необходимой для реализации некоторого специального вычислительного устройства. В настоящее время авторами статьи ведется работа по объединению и
обобщению на более сложные случаи нескольких классических моделей вычислителей, фактически являющихся математическими моделями компьютеров. По мнению авторов, данные модели могут быть применены в самых разных областях – от радиолокационной задачи построения так называемых бинарных фазоманипулированных сигналов с минимальными автокорреляционными свойствами [1] до популярных в настоящее время нанотехнологий,
например, в задачах с условным названием «математические модели сборки
наномашин». Связь последних задач с математическими моделями, описываемыми нами, можно увидеть, например, в материалах, доступных на сайте
[2] (и по ссылкам с этого сайта). В публикациях авторов уже исследованы некоторые из таких моделей.
Заранее оговоримся, что мы не рассматриваем данную статью как
«прямую сумму» рассматриваемых в ней четырех различных задач. Более того, работы по программной реализации данного комплексного подхода уже
проводятся (см. подробнее далее).
1. Постановка задач
Мы, в первую очередь, рассматриваем описание нескольких различных
вариантов оптимизационных задач, связанных с новой математической моделью вычислителя – моделью, являющейся специальной композицией (объединением):
– во-первых, модели вычислений, заключающейся в построении схем
из функциональных элементов (СФЭ) [3];
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
– во-вторых, авторского (так называемого мультиэвристического) подхода к решению задач дискретной оптимизации (ЗДО) [4, 5];
– в-третьих, частного случая этого подхода – минимизации дизъюнктивных нормальных форм (ДНФ) для задач больших размерностей [4, 6];1
– в-четвертых, модели, описывающей размещение заданных дискретных объектов в заданном пространственном объеме [7].
При этом мы фактически рассматриваем две группы математических
моделей:
– во-первых, модели «без запаздывания», близкие к классическим задачам построения СФЭ; в них происходит одновременное вычисление функций всех «молекул» [3];
– во-вторых, так называемую автоматную модель, модель «с запаздыванием»; в ней происходит последовательное вычисление значений функций.
При этом возможно многократное вычисление значений одних и тех же «молекул» – в случае наличия циклов, получающихся при циклическом замыкании выходов одних молекул на входы других.
И в том, и в другом случаях, т.е. в обеих группах моделей, необходимые постановки задач могут быть сформулированы следующим образом:
– полное описание моделей, необходимых для специальной реализации
некоторой конкретной булевой функции;
– формулировка нескольких соответствующих дискретных оптимизационных задач;
– формулировка эвристик, относящихся к их решению;
– описание необходимых эвристических алгоритмов, предназначенных
для решения этих оптимизационных задач;
– реализация соответствующих компьютерных программ.
Реализация данного комплекса программ и представляет собой основную практическую цель описываемой работы. Создаваемое программное
обеспечение уже находит применение в самых разных предметных областях,
в которых как подзадачи необходимы эвристические алгоритмы реального
времени (и соответствующие компьютерные программы) для рассматриваемых нами задач дискретной оптимизации.
Приведем неформальное описание решаемых задач (более подробное
формальное описание моделей готовится авторами в одной из ближайших
публикаций). В пространстве задана ограниченная замкнутая пространственная область (например, прямоугольный параллелепипед, но, возможно, и более сложная область), состоящая из элементарных «кубиков». Кроме того,
заданы варианты так называемых «молекул» – каждая из которых представляет собой несколько «кубиков» («атомов», касающихся гранями) и задает
некоторую булеву функцию. Итак, в простейшем случае «молекула» является
«атомом», состоящим из единственного «кубика». У каждой заданной «молекулы» есть входы и выход, также являющиеся «кубиками». Также задана (вообще говоря, «более сложная») булева функция – ее реализация и является
предметом рассматриваемой модели.
Необходимо в этом заданном объеме разместить молекулы, принадлежащие заданному множеству и реализующие заданную функцию. Вычисле1
Преимущества авторского подхода в этом вопросе могут быть продемонстрированы, например, путем сравнения разработанных ими программ с известными аналогами, например [8]. Более подробную информацию см. в [6, 7].
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ние функции происходит либо однократным (в случае «без запаздывания»),
либо последовательным (в случае так называемой «автоматной» модели) вычислением значений «молекул» по соответствующим входам и присваиванием полученных значений их выходам. При этом в случае замыкания некоторого выхода одной «молекулы» на некоторый вход другой необходимо наличие пути между соответствующими «кубиками» (выходом и входом) – пути,
проходящем только по «кубикам», не занятым другими «молекулами».
Основной задачей является сама реализация требуемой функции. Но
если уже известно, что хотя бы одна реализация возможна, то возможны
следующие две оптимизационные задачи:
– в случае надежных элементов – минимизация количества «кубиков»,
занимаемых «молекулами» и требуемыми путями между выходами и входами;
– в случае ненадежных элементов – минимизация вероятности получения неверного ответа при вычислении булевой функции.
Немного упрощая ситуацию, можно сказать, что две эти оптимизационные задачи отличаются своими целевыми функциями. А с алгоритмической точки зрения целью является создание именно эвристических алгоритмов, предназначенных для приближенного решения двух сформулированных
задач – поскольку вряд ли представляется возможным строгое математическое описание удобных для использования достаточных условий возможности реализации подобных булевых функций.
2. Подходы к реализации моделей
Публикации авторов по каждой из четырех областей, «объединение»
которых и является предметом данной модели, а также соответствующие
компьютерные программы1 отражают состояние работ по данной тематике.
Приведем несколько более подробное описание предыдущих работ авторов,
связанных с этими моделями.
1. Модель вычислений, заключающихся в построении схем из функциональных элементов (СФЭ), в течение многих лет разрабатывалась для
классического случая, т.е., в нашей терминологии, модели «без запаздывания». Предполагается, что все элементы схемы ненадежны и переходят в неисправные состояния независимо друг от друга. Ненадежность P ( S ) схемы
S определяется как максимальная вероятность ошибки на выходе схемы S ,
где максимум берется по всем входным наборам схемы S. Надежность схемы
S равна 1 − P ( S ) . Пусть P( f ) = inf P( S ), где S – схема из ненадежных элементов, реализующая функцию f ( x1 , ..., xn ) . Схему A , реализующую f , назовем асимптотически оптимальной (наилучшей) по надежности, если
P( A) ~ P ( f ) . Разработаны методы и подходы построения асимптотически
оптимальных по надежности схем, а также методы получения верхних и
нижних оценок ненадежности схем в произвольном конечном базисе. Применение этих методов в базисах из двухвходовых функциональных элементов
при однотипных константных неисправностях, а также при инверсных неисправностях на входах элементов позволяет строить асимптотически наилучшие по ненадежности схемы для почти всех функций, причем сложность этих
схем по порядку равна сложности минимальных схем, построенных только из
1
4
Демонстрационные версии каждой из них доступны на сайте [8].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
надежных элементов. Все эти методы применяются и при использовании
описываемых здесь моделей – прежде всего в том случае, когда целевой (минимизируемой) функцией является вероятность получения неверного значения при вычислении булевой функции. Стоит отметить, что само применение
некоторых «точных» методов для решения «неточных» задач (т.е. для построения алгоритмов реального времени, так называемых anytime-алгоритмов
[4] и др.) уже неоднократно описывалось в предыдущих публикациях авторов.
2. Целью большинства из рассматриваемых здесь задач дискретной оптимизации является построение так называемых anytime-алгоритмов, т.е. алгоритмов реального времени, которые в каждый определенный момент работы имеют лучшее (на данный момент) решение. При этом пользователь может просматривать эти псевдо-оптимальные решения в режиме реального
времени, а последовательность таких решений в пределе дает оптимальное
решение. Построение таких алгоритмов в том числе для задач, описываемых
в настоящей статье, является одной из тем, которые могут быть объединены
общим названием «Обучение нечетких систем». Кратко подход авторов к подобным задачам можно сформулировать следующим образом.
Методы решения строятся на основе комбинации эвристик, взятых из
нескольких различных областей теории искусственного интеллекта. Вопервых, используется незавершенный1 метод ветвей и границ. Во-вторых, для
выбора очередного шага этого метода при наличии нескольких эвристик
применяются динамические функции риска. В-третьих, для подбора коэффициентов усреднения одновременно с функциями риска различных эвристик
применяются генетические алгоритмы. И, в-четвертых, упрощенное самообучение теми же генетическими методами применяется и для старта незавершенного метода ветвей и границ.
3. Конкретный вариант одной из задач дискретной оптимизации в классической формулировке – минимизации дизъюнктивных нормальных форм с
большим числом переменных. Точные алгоритмы решения этой задачи (причем, для нескольких разных минимизационных критериев) были опубликованы около 50 лет назад, однако в реальном времени соответствующие программы работают только в том случае, когда число переменных менее 20. Изза комбинаторного взрыва, присутствующего при описании подобных алгоритмов, нет какой-либо надежды, что данные алгоритмы будут работать при
числе переменных, равных, скажем, 32, что необходимо в конкретных практических (прикладных) задачах. Подход одного из авторов к данной проблеме см. в предыдущих публикациях [4–6].
4. Размещение заданных дискретных объектов в заданном пространственном объеме. Эти работы (точнее, создание конкретных работающих программ для построения алгоритмов реального времени) в конкретных публикациях еще не отражены; точнее, в уже опубликованных статьях было несколько сносок про такие задачи. Соответствующие демонстрационные версии работающих программ доступны на вышеуказанном сайте [8].
Как уже было сказано выше, специальное «объединение» этих четырех
моделей, применение алгоритмов, использованных ранее в каждой из них, в
итоге должно привести к построению алгоритмов реального времени (еще
точнее, так называемых anytime-алгоритмов)
1
Русское название не устоялось. В английском варианте – truncated.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Окончанием работ по данной тематике будет являться создание нового
подхода к реализации проектирования булевых функций, в частности и вычислительных устройств вообще. Однако, как было отмечено выше, данная
модель является специальной композицией нескольких моделей, уже разрабатываемых авторами статьи.
3. Некоторые результаты
1. В P2 рассмотрим все полные неприводимые базисы B1 = {/},
B2 = {↓}, B3 = {→
/ , ~}, B4 = {→
/ , −}, B5 = {→, →
/ }, B6 = {&, −}, B7 = {~,&, ⊕},
B8 = {→
B9 = {⊕,&,1},
B10 = {~,&,0},
B11 = {→, −},
B12 = {→, ⊕},
/ ,1},
B13 = {∨, −}, B14 = {~, ∨, ⊕}, B15 = {→,0}, B16 = {~, ∨,0}, B17 = {⊕, ∨,1}.
Известно, что любой другой полный базис в P2 , содержащий функции
не более двух переменных, например базис B18 = {&, ∨, −} , получается добавлением одной или нескольких функций к одному из неприводимых базисов
B1 – B17 . В предположении, что базисные элементы подвержены однотипным
константным неисправностям только на выходах элементов или только на
входах элементов, инверсным неисправностям только на входах элементов
или только на выходах элементов, справедлива теорема 1.
Теорема 1. Каждому из базисов B1 – B17 можно сопоставить константы
a, b, d и t такие, что при ε ∈ (0, d] произвольную булеву функцию f можно
реализовать схемой S, ненадежность которой P(S) ≤ at ε + b εt+1 , причем для
почти всех функций константу a нельзя понизить.
Константа t = 2 в некоторых базисах при однотипных константных неисправностях на входах элементов, а в остальных случаях t = 1. Здесь параметр ε − характеристика неисправности элемента, точнее, вероятность того,
что вход или выход элемента подвержен какой-либо из четырех названных
выше неисправностей.
Отметим, что при однотипных константных неисправностях на выходах элементов константа a принимает значения 1, 2, 3 [3], а при однотипных
константных неисправностях на входах элементов константа a равна 1 или 2
[3]. При инверсных неисправностях на входах элементов константа a принимает значения 1, 2, 3, 4 [9], а при инверсных неисправностях на выходах элементов константа a ≤ 5 [10], и есть основания полагать, что понизить константу 5 нельзя.
В произвольном полном базисе B при инверсных неисправностях на
выходах элементов справедлива теорема 2 [11].
Теорема 2. В базисе B при ε ∈ (0, d] любую булеву функцию f можно
реализовать схемой S с ненадежностью P(S) ≤ 5 ε + с ε2, где c, d − некоторые
зависящие от базиса B константы.
Очевидно, что если базис B содержит некоторые специальные функции,
то константу 5 в оценке ненадежности можно понизить до 4, 3, 2 и 1 [12, 13].
2. Как уже было отмечено выше, один из основных приемов, используемых при практическом описании алгоритмов, это специальный вариант
незавершенного метода ветвей и границ, специальный вариант разделения
некоторой ЗДО на подзадачи. Этот прием очень удачен в нашем случае, по6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
скольку при возникновении новой подзадачи (нового пространственного
объема) нам достаточно только заменить некоторые значения «кубиков».
Одна из компьютерных программ, выполненных в рамках описанных
здесь работ, решает специальную задачу дискретной оптимизации: получив
на входе 29 различных трехмерных фигур, состоящих из 5 «атомов» каждая,
она пытается разместить 25 из них в пространственном объеме 5×5×5. Программа написана на основе алгоритма с возвратами (бэктрекинга) и эвристики «наибольшего касания», а также незавершенного метода ветвей и границ.
При этом используются и различные другие эвристики для ускорения работы, что позволяет нам получить первые результаты через несколько секунд
после начала работы.
Про применение других эвристик необходимо следующее замечание.
Очень грубо идею (незавершенного) метода ветвей и границ можно сформулировать как убыстрение бэктрекинга – путем игнорирования поиска в отдельных частях пространства допустимых решений. Мы можем проигнорировать некоторые части этого пространства в том случае, когда способны
распознать, что они заведомо не содержат оптимальных решений; при этом
полный перебор не проигнорировал бы такие части.
В рассматриваемой нами конкретной задаче этот факт виден особенно
четко. Для этого в ней можно оценить число вариантов «обычного» бэктрекинга и метода ветвей и границ, точнее, оценить сокращение числа вариантов
при переходе от первого случая ко второму. В связи с вышеупомянутым вариантом жадной эвристики, эвристики «наибольшего касания», среднее число вариантов для размещения очередной фигуры уменьшается не менее чем в
k раз, где k – минимальное количество способов размещения новой фигуры.
Это число может быть оценено как функция от числа уже размещенных фигур n следующим образом: k = O(n3). Поэтому общее сокращение среднего
числа рассматриваемых вариантов при переходе от обычного бэктрекинга к
методу ветвей и границ в данном случае равно произведению соответствующих значений k от 1 до 25.
Итак, бэктрекинг можно рассматривать как вариант поиска в глубину,
или, другими словами, как стратегию поиска в помеченном корневом дереве.
Листья этого дерева помечены одноэлементными множествами, каждое из
которых представляет собой допустимое решение, а каждая «внутренняя»
вершина – некоторым подмножеством, содержащим все допустимые решения, являющиеся метками листьев соответствующего поддерева; понятно,
что при построении поддерева мы еще не знаем меток листьев.
Метод ветвей и границ отсекает поддерево, если можно алгоритмически определить, что оно не содержит оптимального решения. Эффективность
такого подхода зависит от величины и размеров тех поддеревьев, которые
могут быть отсечены в процессе выполнения алгоритма.
Проанализировав некоторые результаты работы этой программы1,
можно заметить, что достаточно часто встречаются одинаковые решения.
Происходит это потому, что бэктрекинг подразумевает перебор всех вариантов размещения фигур, удовлетворяющих эвристике «наибольшего касания», а
размещая фигуры подобным образом, мы приходим к одинаковым решениям, в
1
Один из них – вариант размещения фигур, представлен на рисунке. На нем одинаковыми буквами обозначены «атомы», относящиеся к одной и той же «молекуле».
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
которых одни и те же фигуры стоят на одних и тех же местах, но «укладываются» туда в разной последовательности. А поскольку нас интересует лишь
положение фигур в решении, то значительная часть времени тратится впустую.
Выход из этой ситуации получается при использовании метода ветвей
и границ. Действительно, если организовать ветвление таким образом, что
одна ветвь приводит к решению, в котором данная фигура размещается на
выбранной позиции, другая же ветвь приводит к решению, в котором эта же
фигура ни в одном из конечных решений не будет находиться на выбранной
позиции (что по сути означает разделение множества решений на два подмножества: содержащее некоторую фигуру на отмеченном месте1 – и не содержащем), то все получаемые нами решения будут различными. Кроме того,
использование метода ветвей и границ для решения этой задачи позволит
значительно ускорить работу программы, т.к. комбинации, не приводящие к
конечному решению, мы рассматриваем всего один раз.
D
E
E
E
F
A
E
F
F
F
A
B
B
C
C
A
B
C
C
G
A
B
B
C
G
D
E
N
N
F
H
I
I
N
N
H
K
I
I
N
H
K
L
L
L
A
L
L
G
G
D
P
P
P
P
H
I
K
P
Q
O
K
K
Q
Q
J
S
R
R
Q
J
R
R
T
G
D
X
V
V
Y
H
X
V
Y
Z
O
V
V
S
Q
J
S
S
S
T
J
R
U
T
T
D
X
X
Y
Y
O O O J
X MU U
MMMU
Y MZ U
Z Z Z T
Заключение
Как уже было сказано выше, более подробное описание моделей готовится авторами в одной из ближайших публикаций. Некоторые другие результаты практической работы компьютерных программ (кроме приведенных
здесь) см. в [3–5].
Итак, мы не рассматриваем данную статью как «прямую сумму» рассматриваемых в ней четырех различных задач: по нашему мнению, именно
применение всех этих задач в комплексе и даст возможность описания новой
модели вычислительного устройства, действительно являющегося возможным подходам к моделированию процесса создания наномашин.
Список литературы
1. Л о з о в о й , А . Применение генетических алгоритмов и специальных несогласованных ν-фильтров для минимизации корреляционных шумов БФМ сигналов /
А. Лозовой, Б. Мельников, А. Радионов // Тезисы докладов III Международной
научной конференции и выставки «Цифровая обработка сигналов и ее применение». – М. : Инсвязьиздат, 2000.
2. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.zyvex.com/nanotech/
3. А л е х и н а , М . А . Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем :
монография / М. А. Алехина. – Пенза : Информационно-издательский центр ПГУ,
2006.
4. М е л ь н и к о в , Б . Мультиэвристический подход к задачам дискретной оптимизации / Б. Мельников // Кибернетика и системный анализ (НАН Украины). – 2006. –
№ 3. – С. 32–42.
5. М е л ь н и к о в , Б . Кластеризация ситуаций в алгоритмах реального времени для
задач дискретной оптимизации / Б. Мельников, Е. Мельникова // Известия высших
учебных заведений Поволжский регион. – 2007 [принято к опубликованию].
1
8
То есть фактически пара «фигура и место» и является разделяющим элементом.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
6. M e l n i k o v , B . Some Special Heuristics for Discrete Optimization Problems / B. Melnikov, A. Radionov, V. Gumayunov // 8th International Conference on Enterprise Information Systems. – Cyprus. – 2006. – Р. 91–95.
7. G e o r g e , J . Multiple Container Packing: A Case Study of Pipe Packing / J. George //
The Journal of the Operational Research Society. – 1996. – V. 47. – № 9. – Р. 1098–
1109.
8. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.bormel.narod.ru/
9. Ч у г у н о в а , В . В . Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем при
инверсных неисправностях на входах элементов : дис. … канд. физ.-мат. наук /
В. В. Чугунова. – Пенза, 2007.
10. А л е х и н а , М . А . Верхние оценки ненадежности схем в некоторых базисах при
инверсных неисправностях на выходах элементов / М. А. Алехина, А. В. Шилов //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2006. – № 5 (26). –
С. 4–12. – (Естественные науки).
11. А к с е н о в , С . И . О надежности схем над произвольной полной системой функций при инверсных неисправностях на выходах элементов / С. И. Аксенов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2005. – № 6 (21). –
С. 42–55. – (Естественные науки).
12. А к с е н о в , C . И . О надежности схем над частными классами полных систем при
инверсных неисправностях на выходах элементов / C. И. Аксенов // Труды VII
Международной конференции «Дискретные модели в теории управляющих систем» (Покровское, Моск. обл. 4–6 марта 2006 г.). – М. : МАКС Пресс, 2006. –
С. 10–16.
13. А к с е н о в , C . И . О надежности схем над некоторыми полными системами при
инверсных неисправностях на выходах элементов / C. И. Аксенов // Труды Международного симпозиума «Надежность и качество» (г. Пенза, 25–31 мая 2006 г.). –
Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006. – 1 т. – С. 220–221.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 514.7
Д. В. Валовик
КРИВЫЕ В ОДУЛЯРНОЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ПРОСТРАНСТВА С РАСТРАНОМ ОБЩЕГО ВИДА
Указанное пространство является одним из трехмерных разрешимых
одулярных галилеевых пространств – пространств с касательным отображением в одуль Ли. Построена теория кривых трехмерного пространства на растране общего вида. Вычислены кривизна и кручение кривой, получены формулы
Френе. Найдены кривые постоянных кривизны и кручения.
Одули и одулярные пространства определены в [1]. Мы рассматриваем
одули Ли, заданные на многообразии » n , где » – поле действительных чисел. Наиболее простым из таких одулей является линейное пространство над
» . Одулем Ли называется структура, полученная в результате введения
внешней операции на группе Ли. На одулях Ли мы задаем галилееву норму.
Заменяя линейное пространство одулем Ли в аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства, получаем вейлевские одулярные пространства, кратко –
ВО-пространства [2]. Нормируя одуль Ли, вводим метрические понятия в
ВО-пространство. Это дает возможность изучать одулярную дифференциальную геометрию ВО-пространств и одулярную геометрию одулей Ли. В
[2, 3] изучается ВО-пространство с однородным растраном. Ниже мы приступаем к изучению геометрии с растраном общего вида.
1. Растран общего вида
1.1 Определение растрана
Многообразие »3 превращается в растран общего вида Ρ13 посредством операций
( x,
) (
) (
)
x1 , x 2 + y, y1 , y 2 = x + y , x1e− y + y1 , x 2 e y + y 2 ;
⎛
e −tx − 1 2 etx − 1 ⎞
t x, x1 , x 2 = ⎜ tx, x1
, x
⎟ , t 0, x1 , x 2 = 0, tx1 , tx 2 , t ∈ » .
−x
x
⎜
e −1
e − 1 ⎟⎠
⎝
(
)
(
Элементы
α, β, ..., ω, ...
(
)
Ρ13
растрана
Нулевой
раст
называются
есть
) (
)
растами
ϑ = ( 0,0,0 ) ;
и
обозначаются
противоположный
для
ρ = x, x1 , x 2 есть раст
( −ρ ) = − ( x,
) (
)
x1 , x 2 = − x, − x1e x , − x 2 e − x .
Растран Ρ13 является полупрямой суммой линейного пространства параллельных переносов L21 аффинного пространства и одномерного линейно10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
го пространства гомотетий Γ + аффинного пространства, имеющих положительные коэффициенты и общий центр.
1.2 Базис
Для всякого раста ρ = ( x, y, z ) имеется разложение
ρ = ( x, y, z ) = x (1,0,0 ) + y ( 0,1,0 ) + z ( 0,0,1) .
Обозначим (1,0,0 ) = α, ( 0,1,0 ) = β, ( 0,0,1) = γ . Имеем базис Б = ( α, β, γ )
растрана Ρ13 ; x, y, z есть координаты раста ρ в базисе Б .
Норма на растране
Галилеевой нормой ρ раста ρ ( x, y, z ) называется
ρ = x , если x ≠ 0 ; ρ = y 2 + z 2 , если x = 0 .
Нормированный
Ρ13
= L21 ┤ Г +
растран
Ρ13
обозначается
Χ13 .
Из
того,
что
(где знак ┤ обозначает полупрямую сумму), следует, что нор-
мированные подрастраны L21 и Г + являются евклидовыми линейными пространствами.
1.3 Дифференцирование растранных функций
Пусть аргумент t растранной функции
(
)
ρ ( t ) = x(t ), x1 (t ), x 2 (t ) , t ∈ I ⊆ »
в точке t0 получает приращение Δt , тогда ρ ( t0 + Δt ) = ρ ( t0 ) + Δρ ( t0 ) , откуда
Δρ ( t0 ) = −ρ ( t0 ) + ρ ( t0 + Δt ) . Ввиду некоммутативности внутренней операции
слагаемые в правой части переставить нельзя. Обозначим Δt = h ,
Δρ ( t0 ) = −ρ ( t0 ) + ρ ( t0 + h ) = − ⎛⎜ x(t0 ), x1 (t0 ), x 2 (t0 ) ⎞⎟ +
⎝
⎠
+ ⎛⎜ x(t0 + h), x1 (t0 + h), x 2 (t0 + h) ⎞⎟ =
⎝
⎠
= ⎛⎜ − x(t0 ), − x1 (t0 )e x (t0 ) , − x 2 (t0 )e− x (t0 ) ⎞⎟ +
⎝
⎠
+ ⎛⎜ x(t0 + h), x1 (t0 + h), x 2 (t0 + h) ⎞⎟ =
⎝
⎠
= ⎛⎜ − x(t0 ) + x ( t0 + h ) , − x1 (t0 )e−( x (t0 + h)− x (t0 )) +
⎝
x1 (t0 + h), − x 2 (t0 )e x (t0 + h)− x (t0 ) + x 2 (t0 + h) ⎟⎞ .
⎠
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Умножим раст Δρ ( t0 ) на число
Δρ ( t0 )
h
1
:
h
1
⎛ x(t + h) − x(t0 )
Δρ ( t0 ) = ⎜ 0
,
h
h
⎝
=
−
x (t0 + h ) − x (t0 )
h
( − x1(t0 )e−( x(t +h)− x(t )) + x1(t0 + h) ) ee−( x(t +h)− x(t )) −−11 ,
0
0
0
( − x (t0 )e
2
Предел lim
x (t0 + h )− x (t0 )
Δρ ( t0 )
h
h →0
0
x (t0 + h ) − x (t0 )
h
e
⎞
−1⎟
+ x (t0 + h)
⎟.
e x (t0 + h)− x (t0 ) − 1 ⎟
⎟
⎠
)
2
, если он существует, называется производной рас-
транной функции и обозначается lim
h →0
Δρ ( t0 )
Δρ ( t0 )
h
= ρ '(t0 ) . Переходя в выражении
к пределу при h → 0 , используя, при необходимости, правило Лопиh
таля, получаем
)
(
⎛
−x' t
ρ '(t ) = ⎜ x '(t ) , − e ( ) − 1
⎜
⎝
⎛ x '1 ( t )
⎞
⎜
+ x1 ( t ) ⎟ ,
⎜ x '(t )
⎟
⎝
⎠
(e
− x '( t )
)
⎛ x '2 ( t )
⎞⎞
−1 ⎜
− x2 ( t ) ⎟ ⎟ .
⎜ x '(t )
⎟⎟
⎝
⎠⎠
В случае x ( t ) = C – const имеем ρ ' ( t ) = ⎛⎜ 0, x '1 ( t ) , x '2 ( t ) ⎞⎟ .
⎝
⎠
2. ЕМ-пространство
2.1 Определение ЕМ-пространства
Линейное пространство в аксиоматике Г. Вейля аффинного простран-
ства заменяем растраном Ρ13 с галилеевой нормой. Полученное пространство
называется ЕМ-пространством и обозначается Μ13 .
2.2 Координаты
Пусть O – точка из Μ13 и Б = ( α, β, γ ) – базис растрана Ρ13 , множество
Β = ( O, α, β, γ ) называется репером пространства Μ13 . Координаты раста OM
в
базисе
(
Б
называются
)
(
координаты
Пусть A = a, a1 , a 2 , B = b, b1 , b 2
точки
M
в
репере
) – точки пространства Μ13 . На основе ра-
венств AB = AO + OB = −OA + OB и операции сложения растов находим
12
Β.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
− b−a
AB = ⎛⎜ b − a, − a1e ( ) + b1 , − a 2eb − a + b 2 ⎞⎟ .
⎝
⎠
Расстоянием AB называется норма AB раста AB . По 1.3 получаем
AB = b − a , если b ≠ a и AB =
(b1 − a1 ) + (b2 − a2 )
2
2
, если b = a .
2.3 Прямые и плоскости
Как во всяком ВО-пространстве, точка А и раст ρ определяют прямую
A, ρ = {M | AM = tρ, t ∈ »} . Всякие две точки А, B определяют единственную прямую, здесь ρ = AB . Координатные оси ЕМ-пространства: Ox = 0, α ,
Oy = 0, β , Oz = 0, γ . Существуют координатные плоскости Oxy = 0, α, β ,
Oxz = 0, α, γ , Oyz = 0, β, γ . Для любой точки Р плоскости P, β, γ – евклидовы, плоскости P, α, β и P, α, γ являются ЕМ-плоскостями с двумерным
растраном, операции на котором задаются равенствами
( x, x1 ) + ( y, y1 ) = ( x + y,
)
x1e y + y1 ;
⎛
etx − 1 ⎞
t x, x1 = ⎜ tx, x1
⎟ , t 0, x1 = 0, tx1 , t ∈ » .
x
⎜
e − 1 ⎟⎠
⎝
(
)
(
) (
)
3. Кривые ЕМ-пространства
3.1 Регулярные кривые ЕМ-пространства
Регулярной кривой класса C k , k ≥ 3 в Μ13 называется дифференцируемое отображение ρ ( t ) класса C k числового интервала I в Μ13 . Кривая
в
Μ13
есть
Β = ( O, α, β, γ )
множество
кривая
точек
l = {M | OM = ρ ( t ) , t ∈ I } .
определяется
растранной
В
репере
функцией
ρ (t ) =
= ( x (t ) , y (t ) , z (t )) , t ∈ I .
3.2 Касательное отображение вдоль кривой
Пусть ρ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) – кривая в Μ13 . С каждой точкой
M = M ( t ) = M ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) сопоставляется раст ρ ' ( t ) . Тем самым зада-
ется касательное отображение вдоль кривой ρ ( t ) : M ( t ) → ρ ' ( t ) . Множество
растов ρ ' ( t ) для всех точек кривой называется растранным полем вдоль данной кривой.
Прямая M ( t ) , ρ ' ( t ) , определяемая точкой M ( t ) и растом производной ρ ' ( t ) , называется касательной к кривой ρ ( t ) в точке M ( t ) .
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Выясним геометрический смысл касательной. Составим уравнение
касательной в точке M 0 = M ( p ) . M 0 = M ( p ) , ρ '0 = ρ ' ( p ) и N ( x, y, z ) – любая точка.
Точка N принадлежит искомой прямой a тогда и только тогда, когда
________
M 0 N = tρ '0 или a = M 0 , ρ '0 = { N | M 0 N = tρ '0 , t ∈ »} .
Уравнения прямой:
e
−( x − x ( p ) )
e
x − x( p )
− x − x( p ) )
y − y ( p)e (
;
−1 = −
y '( p )
y ( p) +
x '( p )
x− x p
z − z ( p)e ( )
−1 = −
;
z '( p )
z ( p) −
x '( p )
теперь составим уравнение секущей
( M 0 M1 ) ,
где M1 = M ( t ) . M 0 = M ( p ) ,
M1 ≠ M 0 и N ( x, y, z ) – любая точка. Точка N принадлежит прямой a ' тогда
и только тогда, когда
________
M 0 N = tM 0 M1 или
a ' = M 0 , M 0 M1 = { N | M 0 N = tM 0 M1 , t ∈ »} ,
− x − x( p ) )
⎧ −( x − x( p ) )
y − y ( p)e (
−1
⎪ e
=
;
−( x ( t ) − x ( p ) )
⎪ −( x ( t ) − x ( p ) )
−
−
e
y
t
y
p
e
1
() ( )
⎪
⎨
x− x p
⎪ e x − x( p ) − 1
z − z ( p)e ( )
=
.
⎪
⎪⎩ e x( t )− x( p ) − 1 z ( t ) − z ( p ) e x( t )− x( p )
Перепишем эти равенства в таком виде:
− x − x( p ) )
⎧
y − y ( p)e (
⎪ e −( x − x ( p ) ) − 1 =
;
−( x ( t ) − x ( p ) )
⎪
y
t
y
p
e
−
(
)
(
)
⎪
− x( t ) − x( p ) )
⎪⎪
−1
e (
⎨
x
−
x
p
⎪ x− x p
z − z ( p)e ( )
⎪e ( ) − 1 =
.
x t −x p
⎪
z (t ) − z ( p ) e ( ) ( )
⎪
x t −x p
⎪⎩
e ( ) ( ) −1
Теперь найдем значение этих выражений при t → p
lim
t→ p
14
− x( t )− x( p ) )
y (t ) − y ( p ) e (
− x( t ) − x( p ) )
e (
−1
⎛ y' ( p )
⎞
= −⎜
+ y ( p)⎟ ;
⎜ x' ( p )
⎟
⎝
⎠
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
lim
x t −x p
z (t ) − z ( p ) e ( ) ( )
x t −x p
e ( ) ( ) −1
t→ p
⎛ z' ( p )
⎞
=⎜
− z ( p)⎟ ,
⎜ x' ( p )
⎟
⎝
⎠
т.е. при t → p секущая кривой ρ ( t ) занимает положение ее касательной.
Ниже, в пункте 3.3, установлено, что положение касательной не зависит от параметризации кривой.
3.3 Естественная параметризация кривой
Пусть дана регулярная кривая класса C 3 : ρ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ,
x' ( t ) ≠ 0, t ∈ I . Обозначим x ( t ) = s . Так как ρ ( t ) – регулярная кривая и
x' ( t ) ≠ 0 , то существует t = t ( s ) , и кривая может быть задана в параметризации
ρ ( s ) = ( s, y ( s ) , z ( s ) ) , s ∈ I1 .
∪
Для точек A ( s1 ) и B ( s2 ) , s2 > s1 , кривой ρ ( s ) длина дуги AB , согласно определению расстояния между точками, равна s2 − s1 . Длина дуги
∪
AM , где M = M ( s ) , равна s − s1 . Поэтому s является естественным пара-
метром кривой ρ ( s ) .
Теорема. Положение касательной к кривой ρ ( t ) не зависит от пара-
метризации этой кривой.
i
#. Производная ρ ( s ) функции ρ ( s ) равна
i
⎛
ρ ( s ) = ⎜ 1, − e −1 − 1
⎜
⎝
(
⎞
) ⎛⎜⎝ y ( s ) + y ( s ) ⎞⎟⎠ , ( e − 1) ⎛⎜⎝ z ( s ) − z ( s ) ⎞⎟⎠ ⎟⎟⎠ .
i
i
Пусть ρ ( t ) = ρ ( s ( t ) ) . Находим ρ ( s ( t ) ) 't = ρ 's ( s ) s 't ( t ) ,
(
(
)
(
)
)
ρ ( s ( t ) ) 't = s ', − e− s ' − 1 ( y ' ( s ) + y ( s ) ) , e s ' − 1 ( z ' ( s ) − z ( s ) ) .
i
Теперь найдем произведение ρ ( s ) на s 't ( t ) :
i
⎛
⎛i
⎞
⎛i
⎞⎞
s ' ( t ) ρ ( s ) = ⎜ s ', − e − s ' − 1 ⎜ y ( s ) + y ( s ) ⎟ , e s ' − 1 ⎜ z ( s ) − z ( s ) ⎟ ⎟ .
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠⎠
⎝
(
)
(
)
i
Получилось, что ρ ( s ( t ) ) 't = s ' ( t ) ρ ( s ) . #.
Следует отметить, что существуют пространства, где такое положение
неверно, например пространство на диссоне [4].
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3.4 Аналог формул Френе
Для кривой l в естественной параметризации ρ = ( s, y ( s ) , z ( s ) ) , в проi ii iii
извольной ее точке P считаем, что ρ, ρ, ρ линейно независимы. Имеем
(
)
(
) ⎛⎜⎝ y ( s ) + y ( s ) ⎞⎟⎠ , ( e − 1) ⎛⎜⎝ z ( s ) − z ( s ) ⎞⎟⎠ ⎟⎟⎠ ;
i ⎛
⎛i
⎞
⎛i
⎞⎞
ρ = ⎜1, − e−1 − 1 ⎜ y ( s ) + y ( s ) ⎟ , ( e − 1) ⎜ z ( s ) − z ( s ) ⎟ ⎟ ;
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠⎠
⎝
ii ⎛
ρ = ⎜ 0, − e−1 − 1
⎜
⎝
⎛
ρ = ⎜ 0, − e−1 − 1
⎜
⎝
(
iii
)
ii
i
ii
i
⎞
ii
ii
⎛ iii
⎞
⎛ iii
⎞⎞
⎜ y ( s ) + y ( s ) ⎟ , ( e − 1) ⎜ z ( s ) − z ( s ) ⎟ ⎟⎟ .
⎝
⎠
⎝
⎠⎠
ii
ii
i
i
⎛ 1 ⎛ ii
⎞ ⎛ ii
⎞⎞
ρ можно представить так: ρ = ( e − 1) ⎜ 0, ⎜ y ( s ) + y ( s ) ⎟ , ⎜ z ( s ) − z ( s ) ⎟ ⎟ . Обо⎜ e
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠⎠
⎝
i → ii
→ → ⎛ 1 ⎛ ii i ⎞ ⎛ ii i ⎞ ⎞
значим ρ = τ , ρ = ( e − 1) c , c = ⎜ 0, ⎜ y + y ⎟ , ⎜ z − z ⎟ ⎟ , тогда
⎜ e
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠⎠
⎝
→
1 ⎛ ii
c =
⎜ y+
e2 ⎝
i ⎞2
2
⎛ ii i ⎞
1 → 1 ⎛ 1 ⎛ ii i ⎞ ⎛ ii i ⎞ ⎞ →
c = ⎜ 0, ⎜ y + y ⎟ , ⎜ z − z ⎟ ⎟ = n .
y ⎟ + ⎜ z − z ⎟ = k1 , и
⎟
k1
k1 ⎜⎝ e ⎝
⎠ ⎝
⎠⎠
⎠ ⎝
⎠
В наших обозначениях
i
→
→
→
τ = ( e − 1) c = ( e − 1) k1 n .
Далее получаем
i
→
n=
⎛ ii i ⎞ 1 ⎛ ii i ⎞ ⎞
1 ⎡⎛ ii i ⎞⎛ iii ii ⎞ ⎛ iii ii ⎞⎛ ii i ⎞ ⎤ ⎛
y + y ⎟⎜ z − z ⎟ − ⎜ y + y ⎟⎜ z − z ⎟ ⎥ ⎜ 0, − ⎜ z − z ⎟ , ⎜ y + y ⎟ ⎟ .
⎢
⎜
⎜
⎟
k13e ⎢⎣⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠⎝
⎠ ⎥⎦ ⎝
⎝
⎠ e⎝
⎠⎠
i
→
→
i
→
→
Ясно, что n ⊥ n . Обозначим n = k2 b ,
⎛ ii
⎜ y+
1⎝
k2 =
e
i
i ⎞⎛ iii ii ⎞ ⎛ iii ii ⎞⎛ ii i ⎞
y ⎟⎜ z − z ⎟ − ⎜ y + y ⎟⎜ z − z ⎟
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠⎝
⎠,
2
2
1 ⎛ ii i ⎞ ⎛ ii i ⎞
⎜ y+ y ⎟ + ⎜ z− z ⎟
e2 ⎝
⎠ ⎝
⎠
i
i
→ → → →
→
1 →
при этом
n = b = 1 . Также видно, что b ⊥ b и b ⊥ n . Находим
k2
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
i
→
b =−
i
→
Физико-математические науки. Математика
1 ⎡⎛ ii
⎢⎜ y +
k13e ⎣⎢⎝
i ⎞⎛ iii ii ⎞ ⎛ iii ii ⎞⎛ ii i ⎞ ⎤ ⎛
1 ⎛ ii
y ⎟⎜ z − z ⎟ − ⎜ y + y ⎟⎜ z − z ⎟ ⎥ ⎜ 0, ⎜ y +
⎜
e⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠⎝
⎠ ⎦⎥ ⎝
i ⎞ ⎛ ii i ⎞ ⎞
y ⎟, ⎜ z− z ⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎝
⎠⎠
→
или b = − k2 n . Число k1 , вычисленное в точке P , назовем кривизной линии
l в точке P , число k2 , вычисленное в точке P , назовем кручением линии l
в точке P . Кривизна и кручение кривой ЕМ-пространства вводится по аналогии с кривизной и кручением кривой евклидова пространства [5]. Формулы
i
i
→
i
→ →
→ →
→
τ = ( e − 1) k1 n , n = k2 b , b = − k2 n
являются аналогами формул Френе для кривой трехмерного евклидова пространства.
3.5 Кривые постоянных кривизн
По п. 3.3 и 3.4 кривые ρ ( s ) = ( s, y ( s ) , z ( s ) ) , ЕМ-пространства, имеющие постоянную кривизну k1 = k и постоянное кручение k2 = m , задаются
функциями y ( s ) и z ( s ) , удовлетворяющими системе дифференциальных
уравнений:
⎧ ⎛ ii i ⎞ 2 ⎛ ii i ⎞ 2
⎪ 1 ⎜ y+ y ⎟ + ⎜ z− z ⎟ = k 2 ;
⎪⎪ e 2 ⎝
⎠ ⎝
⎠
⎨
ii
i
iii
ii
⎞⎛
⎞ ⎛ iii ii ⎞⎛ ii i ⎞ ⎤
⎪ 1 ⎡⎛
2
y
y
z
z
+
−
⎢
⎜
⎟⎜
⎟ − ⎜ y + y ⎟⎜ z − z ⎟ ⎥ = k m.
⎪
e
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠⎝
⎠ ⎦⎥
⎩⎪ ⎣⎢⎝
ii
i
ii
i
Вводя обозначения y + y = eu , z − z = v , получаем систему уравнений:
⎧⎪u 2 + v 2 = k 2 ;
⎨ '
⎪⎩uv − u 'v = k 2 m.
Интегрируем эту систему уравнений, затем находим y ( s ) и z ( s ) .
Функции y ( s ) и z ( s ) таковы:
y (s) =
⎞
ek1 ⎛ 1
− cos ( k2 s + C1 ) − sin ( k2 s + C1 ) ⎟ − C2 e − s + C3 ;
⎜
1 + k22 ⎝ k2
⎠
z (s) =
⎞
k1 ⎛ 1
sin ( k2 s + C1 ) + cos ( k2 s + C1 ) ⎟ − C4 e s + C5 .
2⎜k
1 + k2 ⎝ 2
⎠
Кривые, имеющие постоянную кривизну k и постоянное кручение m ,
определяются растранными функциями ρ ( s ) = ( s, y ( s ) , z ( s ) ) , где y ( s ) и
z ( s ) выписаны выше.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Список литературы
1. С а б и н и н , Л . В . Одули как новый подход к геометрии со связностью /
Л. В. Сабинин // ДАН СССР. – 1977. – № 5. – С. 800–803.
2. Д о л г а р е в , А . И . ЕМ-пространства : дис. … канд. физ.-мат. наук / А. И. Долгарев. – Красноярск : КГПИ, 1991. – 95 с.
3. Д о л г а р е в , А . И . Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств / А. И. Долгарев. – Пенза : Информационно-издательский
центр ПГУ, 2005. – 306 с.
4. Д о л г а р е в , А . И . Кривые в одулярной дифференциальной геометрии пространства на диссоне / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2003. – № 6(9). – С. 43–49. – (Естественные науки).
5. Р а ш е в с к и й , П . К . Курс дифференциальной геометрии / П. К. Рашевский. –
4-е изд. – М., 1996.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.6
Д. В. Валовик
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ ТМ-ВОЛН
НА НЕЛИНЕЙНОМ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ СЛОЕ
В статье изучается задача дифракции ТМ-поляризованных электромагнитных волн на двух однородных изотропных немагнитных полубесконечных
слоях. Один слой содержит линейную среду, другой – нелинейную. Нелинейность в слое выражается законом Керра. Проблема сводится к нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Получено аналитическое
решение краевой задачи, описывающей распространение электромагнитных
волн.
Изучение задач, связанных с процессами распространения электромагнитных волн в нелинейных средах, активно ведется несколько последних десятилетий. Для случая двух полупространств в [1] получено дисперсионное
соотношение и формально выписано решение в виде интеграла, но граничная
задача не решена полностью. Дисперсионное соотношение получено в [1] и
для более общего случая, а именно для анизотропного полупространства. В
работах [2, 3] предлагается другой подход к изучению ТМ-поляризованных
электромагнитных волн. В данной работе (как и в работе [1]) предлагается
выражать решение задачи через электрические компоненты электромагнитного поля, в [2, 3] предлагалось выразить значение электрических компонент
через значение магнитной компоненты. В работах [1–3] представлена также
обширная библиография и содержатся численные результаты.
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу о распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн. Пусть все трехмерное пространство R 3 разделено на два
полупространства R13 и R23 . R13 заполнено изотропной средой без источников с постоянной диэлектрической проницаемостью ε1 . Диэлектрическая
проницаемость ε 2 внутри пространства R23 определяется по закону Керра:
2
ε 2 = ~ε2 + a E ,
где a и ε 2 – вещественные положительные константы, здесь ε 2 – постоянная составляющая проницаемости; a – коэффициент нелинейности.
Требуется отыскать волны, проходящие через указанное полупространство. Электромагнитное поле E , H удовлетворяет системе уравнений Максвелла:
rotH = −iωε E ;
(1)
rotE = iωμH ,
(2)
условиям непрерывности касательных составляющих поля H τ и Eτ при переходе через границу слоя и условиям затухания поля на бесконечности.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
E = {E x , 0, E z } ,
H = {0, H y , 0} . Причем каждая из составляющих компонент поля E и H
В
случае
ТМ-поляризации
предположим,
что
зависит от трех пространственных переменных. В результате уравнения (1),
(2) приведутся к виду
∂E z
= 0;
∂y
(3)
∂Ex ∂E z
−
= iωμH y ;
∂z
∂x
(4)
∂E x
= 0;
∂y
(5)
∂H y
∂z
∂H y
∂x
= iωεEx ;
(6)
− iωεE z .
(7)
Из (3) и (5) следует, что Ez = Ez ( x, y, z ) и E x = E x ( x, y, z ) не зависят
от y . Так как H y выражается через E x и E z , то H y тоже не зависит от y .
Введем обозначение
∂
′
≡ (...) , также будем считать, что компоненты
∂x
поля гармонически зависят от z , т.е., H y = H y ( x ) eiγz , E x = E x ( x )e iγz ,
E z = E z ( x ) eiγz , тогда получим следующую систему:
⎧i γE x ( x ) − E z′ ( x ) = iωμH y ( x ) ;
⎪⎪
⎨ H ′y ( x ) = −iωεE z ( x ) ;
⎪
⎪⎩i γH y ( x ) = iωεE x ( x ) .
(8)
Откуда находим
H y (x ) =
1
(iγEx (x ) − E′z (x )) ,
iωμ
(9)
или
ω
εE x ( x ) .
γ
(9,а)
1
(iγE′x (x ) − Ez′′ (x )) ,
iωμ
(10)
H y (x ) =
Тогда получаем
H ′y ( x ) =
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
и система (8) переходит в следующую
⎧ γ iE x ′ − E ′′ x = ω2μεE x ;
⎪ ( x ( ))
z( )
z( )
⎨
⎪⎩ γ 2 ( iE x ( x ) ) − γE z′ ( x ) = ω2με ( iE x ( x ) ) .
Далее
введем
следующие
обозначения:
(11)
iE x (x ) ≡ X (x ) = X ,
E z ( x ) ≡ Z ( x ) = Z , H y ( x ) ≡ H ( x ) = H , ω2με = k 2εi для i = 1, 2 , причем будем считать X и Z вещественными функциями:
i = 1,
⎧⎪ε1,
εi = ⎨
2
2
2
⎪⎩ε 2 + a E = ε 2 + a X + Z , i = 2.
(
)
(12)
Теперь система (11) запишется так:
⎧ d 2Z
dX
= k 2 εi Z ,
⎪− 2 + γ
dx
⎪ dx
для i = 1, 2 .
⎨
k2 ⎪ dZ
⎪− dx + γX = γ εi X ,
⎩
(13)
2. Решение системы дифференциальных уравнений
Рассмотрим сначала линейный случай, отвечающий полупростран-
ству R13 со значением диэлектрической проницаемости ε = ε1 = ε1 . В этом
случае
⎧ d 2Z
dX
= k 2 ε1Z ;
⎪− 2 + γ
dx
⎪ dx
⎨
k 2ε1
⎪ dZ
−
+
γ
=
X
X.
⎪ dx
γ
⎩
(14)
Продифференцировав второе уравнение системы (14), получим
−
d 2Z
dx 2
+γ
dX k 2ε1 dX
=
,
dx
γ dx
(15)
далее после простых преобразований остается решить следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
(
)
X ′′ − γ 2 − k 2ε1 X = 0 .
(16)
Общим решением уравнения (16) будет
X ( x ) = c1 exp⎛⎜ x γ 2 − k 2ε1 ⎞⎟ + c2 exp⎛⎜ − x γ 2 − k 2ε1 ⎞⎟ ,
⎝
⎠
⎝
⎠
тогда общим решением системы (14) будут следующие функции:
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
⎧
⎛
⎛
2
2 ⎞
2
2 ⎞
⎪⎪ X ( x ) = c1 exp ⎜⎝ x γ − k ε1 ⎟⎠ + c2 exp ⎜⎝ − x γ − k ε1 ⎟⎠ ;
⎨
⎪ Z ( x ) = γ 2 − k 2ε ⎡c exp ⎛⎜ x γ 2 − k 2 ε ⎞⎟ − c exp ⎛⎜ − x γ 2 − k 2ε ⎞⎟ ⎤ ;
1⎢ 1
1
2
1 ⎥
⎪⎩
⎝
⎠
⎝
⎠⎦
⎣
(17)
и из (9,а)
H (x ) = −
iωε1 ⎡
c1 exp⎛⎜ x γ 2 − k 2ε1 ⎞⎟ + c2 exp⎛⎜ − x γ 2 − k 2ε1 ⎞⎟⎤⎥ .
⎝
⎠⎦
⎝
⎠
γ ⎢⎣
(18)
Теперь рассмотрим полупространство R23 , где диэлектрическая проницаемость ε имеет вид
(
)
ε = ε2 = ε 2 + a X 2 + Z 2 .
(19)
Тогда система (13) примет вид
(
))
⎧ d 2Z
dX
= ε 2 + a X 2 + Z 2 Z ;
⎪− 2 + γ
⎪ dx
dx
⎨
⎪− dZ + γX = 1 ε + a X 2 + Z 2 X ,
2
⎪⎩ dx
γ
(20)
~ε = k 2 ε , a~ = k 2 a .
2
2
(21)
(
(
))
(
где
Дифференцируя второе уравнение системы (20) и подставляя результат
в первое уравнение этой же системы, получаем следующую систему:
⎧
2 + aZ
2 =
⎪ X ′ ε 2 + 3aX
⎪
⎪ ⎡ 2a
⎤
ε 2 − γ 2 + a X 2 + Z 2 X 2 + γ ε 2 + a X 2 + Z 2 ⎥ Z ;
⎨= ⎢
⎦
⎪ ⎣ γ
⎪
1
2
2
2
X,
⎪− Z ′ = ε 2 − γ + a X + Z
γ
⎪⎩
(
)
(
))
))
(
(
(
(
(
))
(22)
вводя обозначение
~
k 2 = ε − γ2
(23)
и деля первое уравнение системы (22) на второе уравнение этой же системы,
получаем
((
(
− 3 k 2 + a X 2 + Z 2
+ γ2
= 2aXZ
22
=
)) − 2 ( k2 + aZ 2 ) + γ 2 ) dX
dZ
Z Z
γ4
.
+
X X k 2 + aX
2 + aZ
2
(24)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
Используя замену переменных
получаем
~
τ = a~X 2 + ξ , ξ = a~Z 2 + k 2 ,
(25)
dτ = 2a~XdX + dξ , dξ = 2a~ZdZ ;
(26)
X dX dτ
=
− 1,
Z dZ dξ
(27)
отсюда
приведем уравнение (24) к виду
( 2τξ − 3τ2 − γ 2τ) d τ + ( τ2 − γ 4 ) d ξ = 0 .
(28)
Нетрудно убедиться, что уравнение (28) представляет собой уравнение
в полных дифференциалах, его решение можно записать в виде
ξ=
2τ3 + γ 2τ2 + 2c3
(
2 τ2 − γ 4
)
.
(29)
Ясно, что Ex ( x ) x →∞ = 0 и Ez ( x ) x →∞ = 0 , и при x → ∞
~
~
τ = k 2 , ξ = k 2.
(30)
Тогда из уравнения (29) получаем, что
~
~
2c3 = −2 γ 4k 2 − γ 2k 4 ,
(31)
и уравнение (29) принимает следующий вид:
~
~
2τ3 + γ 2 τ2 − 2 γ 4k 2 − γ 2 k 4
ξ=
.
2 τ2 − γ 4
(
)
(32)
Используя формулы (25), второе уравнение системы (22) можно записать так
−
ξ′
~
ξ−k2
=
2i
τ ξ−τ .
γ
(33)
Используя уравнение (32), уравнение (33) можно привести к виду
~
~
τ3 − 3γ 4τ − γ 6 + 2γ 4k 2 + γ 2k 4
dτ
1
= −i . (34)
~2
2
4
~
~
τ −γ τ−k
τ + k 2 + 2γ 2 2τ2 + γ 2τ + γ 2 k 2 dx
(
)(
)
(
)(
)
Решение уравнения (34) можно выразить с помощью эллиптических
интегралов:
1
~
~
2 4 k 2 + 7 γ 2 + γ γ 2 − 8k 2
(4τ + γ )2 − γ 2 (γ 2 − 8k~ 2 )
~
2τ2 + γ 2 τ + γ 2 k 2
×
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
⎡
⎛
⎞
β
× ⎢2 F1(α, δ ) − P1⎜ α, ~
, δ⎟ −
2
2
⎜
⎟
⎝ 4k +γ
⎠
⎣⎢
(
)
⎛
⎛
⎞
β
β
− P1⎜ α, ~
, δ ⎟ + P1⎜ α, ~
⎜ 4 k 2 + 3γ 2
⎜ 8 k 2 + γ2
⎟
⎝
⎝
⎠
(
где F1(z , k ) =
z
dt
∫
2
1 − k 2t 2
0 1− t
рода; P1(z , n, k ) =
z
(
)
(35)
– эллиптический интеграл Лежандра первого
dt
∫ (1 − nt 2 ) 1 − t 2
0
дра третьего рода [4];
δ=
)
⎞⎤
⎟⎥ = −ix + c4 ,
⎟⎥
⎠⎦
– эллиптический интеграл Лежан1 − k 2t 2
~
2 τ + k 2 + 2γ 2
~
~
, β = 4k 2 + 7 γ 2 − γ γ 2 − 8k 2 ,
α=
β
β
.
~2
~2
2
2
4 k + 7 γ + γ γ − 8k
Пусть граница раздела сред находится в точке x = 0 . Тогда для полу-
пространства R13 из (17) и (18) получаем
X (0 ) = c1 + c2 ,
(36)
Z (0 ) = γ 2 − k 2ε1 (c1 − c2 ) ,
(37)
H (0 ) = −
iωε1
(c1 + c2 ) .
γ
(38)
Компонента E z , а значит и Z , должна быть непрерывна на границе
раздела сред, т.е.
E z ( x ) x = −0 = E z (x ) x = +0 .
(39)
Во втором полупространстве R23 , используя (25) и (37), получим
~
ξ(0 ) = a~ (Z (0 ))2 + k 2 .
(40)
Теперь, воспользовавшись (32) и (40), можно выразить τ(0 ) в общем
случае по формулам Кардано как корень кубического уравнения (32). Получаем
(
)
2
⎡
⎤
1⎢
2ξ − γ 2
2⎥
τ1(0 ) = τ1 = g +
+ 2ξ − γ ;
⎥
6⎢
g
⎣
⎦
(
)
(
)
2
2 ⎞⎤
⎡
⎛
1 ⎢
2ξ − γ 2
2ξ − γ 2 ⎟⎥
⎜
2
τ2 (0 ) = τ2 = −
g+
− 4ξ + 2 γ − i 3 ⎜ g −
⎟⎥ ;
g
g
12 ⎢
⎜
⎟
⎝
⎠⎥⎦
⎣⎢
24
(41)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
(
)
(
)
2
2 ⎞⎤
⎡
⎛
1 ⎢
2ξ − γ 2
2ξ − γ 2 ⎟⎥
⎜
2
τ3 (0 ) = τ3 = −
g+
− 4ξ + 2 γ + i 3 ⎜ g −
⎟⎥ ,
12 ⎢
g
g
⎜
⎟
⎝
⎠⎥⎦
⎣⎢
(41)
где
ξ = ξ(0 ) , g = 3 g1 + 6 g 2 ,
g1 = −102γ 4 ξ + 108γ 4 k 2 + 54γ 2 k 4 + 8ξ3 −12 γ 2ξ2 − γ 6 ,
g 2 = −48γ 4 ξ4 + 72γ 6ξ3 + 288γ8ξ2 + 6γ10ξ + 48γ 4 k 2ξ3 −
−72 γ 6 k 2ξ2 − 306 γ 6 k 4ξ − 612γ8 k 2ξ + 24γ 2 k 4ξ3 − 36 γ 4 k 4ξ2 + 321γ8 k 4 +
+324 γ 6 k 6 − 6γ10 k 2 + 81γ 4 k8 .
Теперь, выбирая из (41) подходящее τ(0 ) и подставляя его в (35), находим выражение для c4 .
Список литературы
1. J o s e p h R . I . , C h r i s t o d o u l i d e s D . N . // Optics Letters. – 1987. – V. 12. – № 10. –
P. 826–828.
2. L e u n g K . M . // Physical Review B. – 1985. – V. 32. – № 8. – P. 5093–5101.
3. L e u n g K . M . , L i n R . L . // Physical Review B. – 1991. – V. 44. – № 10. –
P. 5007–5012.
4. У и т т е к е р , Э . Т . Курс современного анализа / Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон. –
М. : Физматгиз, 1963. – Часть вторая : Трансцендентные функции. – С. 408.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 519.718
В. В. Чугунова
О НАДЕЖНОСТИ СХЕМ В НЕКОТОРЫХ ПРИВОДИМЫХ
ПОЛНЫХ БАЗИСАХ
Показано, что если к базису {x1 & x2, x1 } добавить, по крайней мере,
еще одну булеву функцию, зависящую не более чем от двух переменных, то
асимптотическая оценка ненадежности значительно понижается.
Рассмотрим реализацию булевых функций схемами из ненадежных
двухвходовых функциональных элементов. Схема реализует функцию f(x1, x2,
..., xn) = f ( x ) , если при поступлении на входы схемы набора a = (a1, a2, ..., an)
при отсутствии неисправностей на выходе схемы появляется значение f (a ) .
Предполагается, что входы всех элементов схемы независимо друг от друга с
вероятностью ε (0 < ε < 1/2) подвержены инверсным неисправностям. Эти
неисправности характеризуются тем, что поступающее на вход элемента значение a, (a ∈ {0, 1}) с вероятностью ε может превратиться в значение a .
Пусть Pf ( a ) ( S , a ) – вероятность появления значения f (a ) на выходе
схемы S, реализующей булеву функцию f ( x ) , при входном наборе a . Ненадежность P(S) схемы S определяется как максимальное из чисел Pf ( a ) ( S , a )
при всевозможных входных наборах a . Надежность схемы S равна 1 – P(S).
Обозначим Pε ( f ) = inf P ( S ) , где S – схема из ненадежных элементов,
реализующая булеву функцию f. Схему A из ненадежных элементов, реализующую булеву функцию f, назовем асимптотически оптимальной (наилучшей) по надежности, если P(A) ∼ Pε ( f ) при ε → 0.
Пусть B' – это множество всех булевых функций, зависящих не более
чем от двух переменных. Тогда множество попарно неконгруэнтных булевых
функций, зависящих (возможно, фиктивно) от двух переменных x1, x2, есть
M(x1, x2) = {x1 & x2, x1 ∨ x2, x1⏐x2, x1 ↓ x2, x1 → x2, x1 →
/ x2, x1 ∼ x2, x1 ⊕ x2, x1 , 0,
1}. При перечислении функций использованы следующие обозначения:
x1⏐x2 = x1 ∨ x2 , x1 ↓ x2 = x1 & x2 , x1 ∼ x2 = x1 & x2 ∨ x1 & x2 , x1 → x2 = x1 ∨ x2 ,
x1 →
/ x2 = x1 & x2 , x1 ⊕ x2 = x1 & x2 ∨ x1 & x2 .
Множество B ⊂ M(x1, x2) назовем неприводимым полным базисом
(в P2), если множество B полно и никакое его собственное подмножество
полным не является.
Известно, что в P2 существует 17 (с точностью до переименования переменных) неприводимых полных базисов, содержащих функции не более
чем двух переменных: B1 = {x1⏐x2}, B2 = {x1 ↓ x2}, B3 = {x1 → x2, x1 →
/ x2},
B4 = {x1 → x2, x1 ⊕ x2}, B5 = {x1 →
/ x2, x1 ∼ x2}, B6 = {x1 ⊕ x2, x1 & x2, 1},
B7 = {x1 ∼ x2, x1 ∨ x2, 0}, B8 = {x1 ∼ x2, x1 & x2, x1 ⊕ x2}, B9 = {x1 ∼ x2, x1 ∨ x2,
x1 ⊕ x2}, B10 = {x1 ∼ x2, x1 & x2, 0}, B11 = {x1 ⊕ x2, x1 ∨ x2, 1}, B12 = {x1 →
/ x2, x1 },
B13 = {x1 → x2, x1 }, B14 = {x1 →
/ x2, 1}, B15 = {x1 → x2, 0}, B16 = {x1 & x2, x1 },
B17 = {x1 ∨ x2, x1 }.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
Любой другой базис, отличный от базисов B1 – B17 (например, B18 =
= {x1 & x2, x1 ∨ x2, x1 }), можно получить переименованием переменных без
отождествления, а также добавлением одной или нескольких функций из
множества M(x1, x2) к некоторому базису из указанного списка.
Пусть базис B – один из базисов B1 – B18, тогда для него справедливы
теоремы 1 и 2.
Теорема 1 [1]. Пусть константы a, b, d (таблица 1) соответствуют базису B и ε ∈ (0; d]. Тогда любую булеву функцию f ( x ) в базисе B можно реализовать такой схемой S, что P(S) ≤ aε + bε2.
Теорема 2 [1]. Пусть константы a, b , d и класс булевых функций K(n)
(таблица 1) соответствуют базису B. Тогда для любой булевой функции f ( x ) ,
f ∉ K(n), и любой схемы S, реализующей f в базисе B, при ε ∈ (0; d ] верно не
равенство P(S) ≥ aε + b ε2, причем a – та же константа, что и в теореме 1.
Из теоремы 2 следует, что схемы, построенные при доказательстве теоремы 1, являются асимптотически оптимальными по надежности для почти
всех функций.
Таблица 1
K ( n)
B
a
b
d
b
d
2 19 1/100 – 1
1/4
xi , 1
B1 = {x1⏐x2}
2 19 1/100 – 1
1/4
xi , 0
B2 = {x1↓x2}
2 51 1/300 – 1
1/4
xi , 0, 1
B3 = {x1→x2, x1 →
/ x2}
2 66 1/200 – 2
1/4
xi , 1
B4 = {x1→x2, x1⊕x2}
2 66 1/200 – 2
1/4
xi , 0
B5 = {x1 →
/ x2, x1∼x2}
2 67 1/200 – 2
1/4
xi , 0, 1
B6 = {x1⊕x2, x1&x2, 1}
2 67 1/200 – 2
1/4
xi , 0, 1
B7 = {x1∼x2, x1∨x2, 0}
1/4
xi , 0
B8 = {x1∼x2, x1&x2, x1⊕x2} 2 62 1/300 – 2
2
62
1/300
–
2
1/4
xi , 1
B9 = {x1∼x2, x1∨x2, x1⊕x2}
2 66 1/200 – 2
1/4
xi , 0
B10 = {x1∼x2, x1&x2, 0}
2 66 1/200 – 2
1/4
xi , 1
B11 = {x1⊕x2, x1∨x2, 1}
3 41 1/150 – 6
1/6
B12 = {x1 →
/ x2, x1 }
x δ & h( x ), 1
B13 = {x1→x2, x1 }
3
41
1/150
–6
1/6
B14 = {x1 →
/ x2, 1}
4
59
1/200
–8
1/11
B15 = {x1→x2, 0}
4
59
1/200
–8
1/11
B16 = {x1&x2, x1 }
4
83
1/200
– 12
1/10
B17 = {x1∨x2, x1 }
4
83
1/200
– 12
1/10
B18 = {x1&x2, x1∨x2, x1 }
2
19
1/150
–2
1/6
i
xiδ ∨ h( x ), 0
( xiδ & h( x ))μ
( xiδ & h( x ))μ
( xiδ & h( x ))μ
( xiδ & h( x ))μ
xiδ , 0, 1
Используемые в таблице обозначения: i = 1, n , δ, μ ∈ {0, 1}, h( x ) –
произвольная булева функция от переменных x1 , x2 ,..., xn .
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Заметим, что если к базису {x1 & x2, x1 } добавить дизъюнкцию x1 ∨ x2,
то асимптотическая оценка ненадежности значительно понижается с 4ε до 2ε.
Какой же будет эта оценка, если базис B′ содержит все функции, зависящие
не более чем от двух переменных? В этом случае справедливы теоремы 3 и 4.
Теорема 3. Пусть в базисе B′ ε ≤ 1/300, а f ( x ) – произвольная функция. Тогда функцию f в базисе B′ можно реализовать схемой S, ненадежность которой P(S) ≤ 2ε + 19ε2.
Доказательство. Утверждение теоремы следует из того, что B′ ⊃
{x1⏐x2}.
Пусть K (n) – множество, содержащее функции xi, xi ( i = 1, n ) и кон
станты 0, 1. Очевидно, число функций во множестве K (n) равно 2n + 2 и маn
ло по сравнению с общим числом 22 булевых функций от n переменных.
Теорема 4. Пусть ε ≤ 1/6, f ( x ) – булева функция, f ∉ K (n) , и S – любая
схема в базисе B', реализующая f. Тогда P(S) ≥ 2ε – 2ε2.
Для доказательства теоремы 4 воспользуемся леммой 1.
Лемма 1 [2]. Пусть f – произвольная булева функция, отличная от константы, и S – любая схема, ее реализующая. Пусть подсхема B схемы S содержит выход схемы S и реализует булеву функцию f ′ с ненадежностью
P(B) ≤ 1/2. Обозначим p1 – минимум вероятностей ошибок на выходе схемы
B по таким входным наборам b , что f ′(b ) = 0 . Аналогично p0 – минимум вероятностей ошибок на выходе схемы B по таким входным наборам b , что
f ′(b ) = 1 .
Тогда вероятности ошибок на выходе схемы S удовлетворяют условиям:
P1(S, a ) ≥ p1, если f (a ) = 0;
P0(S, a ) ≥ p0, если f (a ) = 1.
Замечание 1 [2]. Из леммы 1 следует, что P(S) ≥ max{p0, p1}.
Доказательство теоремы 4. Пусть f – булева функция, удовлетворяющая условиям теоремы, а S – произвольная схема, ее реализующая. Посколь
ку f ∉ K (n) , схема S содержит хотя бы один элемент. Обозначим E1 – элемент, содержащий выход схемы S. Возможны случаи.
1. Элемент E1 реализует функцию x1 & x2. Для него вероятность ошибки на выходе при поступлении на входы набора (11) равна P0 = 2ε – ε2 = p0.
При ε ≤ 1/6 применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 2ε – ε2.
2. Элемент E1 реализует функцию x1 ∨ x2. Для него вероятность ошибки
на выходе при поступлении на входы набора (00) равна P1 = 2ε – ε2 = p1. При
ε ≤ 1/6 применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 2ε – ε2.
3. Элемент E1 реализует функцию x1 → x2. Для него вероятность ошибки на выходе при поступлении на входы набора (10) равна P1 = 2ε – ε2 = p1.
При ε ≤ 1/6 применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 2ε – ε2.
4. Элемент E1 реализует функцию x1 →
/ x2. Для него вероятность ошибки
на выходе при поступлении на входы набора (10) равна P0 = 2ε – ε2 = p0. При
ε ≤ 1/6 применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 2ε – ε2.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
5. Элемент E1 реализует функцию x1 ∼ x2. Для него вероятность ошибки
на выходе при поступлении на входы наборов (00) и (11) равна P0 = 2ε –
– 2ε2 = p0. При ε ≤ 1/6 применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1)
P(S) ≥ 2ε – 2ε2.
6. Элемент E1 реализует функцию x1 ⊕ x2. Для него вероятность ошибки
на выходе при поступлении на входы наборов (00) и (11) равна P1 = 2ε –
– 2ε2 = p1. При ε ≤ 1/6 применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1)
P(S) ≥ 2ε – 2ε2.
7. Элемент E1 реализует функцию x1⏐x2. Для него вероятность ошибки
на выходе при поступлении на входы набора (11) равна P1 = 2ε – 2ε2 = p1. При
ε ≤ 1/6 применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 2ε – 2ε2.
8. Элемент E1 реализует функцию x1↓x2. Для него вероятность ошибки
на выходе при поступлении на входы набора (00) равна P0 = 2ε – 2ε2 = p0. При
ε ≤ 1/6 применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 2ε – 2ε2.
9. Элемент E1 реализует функцию x1 . Поскольку f ∉ K (n) , то схема S,
кроме элемента E1, содержит, по крайней мере, еще один элемент E2, выход
которого соединен с входом инвертора E1. Возможно несколько случаев.
9.1. Элемент E2 реализует функцию x1 & x2. Вероятность ошибки на
выходе подсхемы, состоящей из элементов E1 и E2, при поступлении на ее
входы набора (11) равна P1 = ε + (2ε – ε2)(1 – 2ε) = 3ε – 5ε2 +2ε3 и равна p1.
При ε ≤ 1/6 ненадежность рассматриваемой подсхемы не больше 1/2. Применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 3ε – 5ε2 + 2ε3 ≥ 2ε – 2ε2 при
ε ≤ 1/6.
9.2. Элемент E2 реализует функцию x1 ∨ x2. Вероятность ошибки на выходе подсхемы, состоящей из элементов E1 и E2, при поступлении на ее входы набора (00) равна P0 = ε + (2ε – ε2)(1 – 2ε) = 3ε – 5ε2 + 2ε3 и равна p0. При
ε ≤ 1/6 ненадежность рассматриваемой подсхемы не больше 1/2. Применима
лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 3ε – 5ε2 + 2ε3 ≥ 2ε – 2ε2 при ε ≤ 1/6.
9.3. Элемент E2 реализует функцию x1 → x2. Вероятность ошибки на
выходе подсхемы, состоящей из элементов E1 и E2, при поступлении на ее
входы набора (10) равна P0 = ε + (2ε – ε2)(1 – 2ε) = 3ε – 5ε2 + 2ε3 и равна p0.
При ε ≤ 1/6 ненадежность рассматриваемой подсхемы не больше 1/2. Применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 3ε – 5ε2 + 2ε3 ≥ 2ε – 2ε2 при
ε ≤ 1/6.
9.4. Элемент E2 реализует функцию x1 →
/ x2. Вероятность ошибки на
выходе подсхемы, состоящей из элементов E1 и E2, при поступлении на ее
входы набора (10) равна P1 = ε + (2ε – ε2)(1 – 2ε) = 3ε – 5ε2 + 2ε3 и равна p1.
При ε ≤ 1/6 ненадежность рассматриваемой подсхемы не больше 1/2. Применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 3ε – 5ε2 + 2ε3 ≥ 2ε – 2ε2 при
ε ≤ 1/6.
9.5. Элемент E2 реализует функцию x1 ∼ x2. Вероятность ошибки на выходе подсхемы, состоящей из элементов E1 и E2, при поступлении на ее входы наборов (00) и (11) равна P1 = ε + (2ε – 2ε2)(1 – 2ε) = 3ε – 6ε2 + 4ε3 и равна
p1. При ε ≤ 1/6 ненадежность рассматриваемой подсхемы не больше 1/2.
Применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 3ε – 6ε2 + 4ε3 ≥ 2ε – 2ε2
при ε ≤ 1/6.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
9.6. Элемент E2 реализует функцию x1 ⊕ x2. Вероятность ошибки на
выходе подсхемы, состоящей из элементов E1 и E2, при поступлении на ее
входы наборов (00) и (11) равна P0 = ε + (2ε – 2ε2)(1 – 2ε) = 3ε – 6ε2 + 4ε3 и
равна p0. При ε ≤ 1/6 ненадежность рассматриваемой подсхемы не больше
1/2. Применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 3ε – 6ε2 + 4ε3 ≥ 2ε –
– 2ε2 при ε ≤ 1/6.
9.7. Элемент E2 реализует функцию x1⏐x2. Вероятность ошибки на выходе подсхемы, состоящей из элементов E1 и E2, при поступлении на ее входы набора (11) равна P0 = ε + (2ε – 2ε2)(1 – 2ε) = 3ε – 6ε2 + 4ε3 и равна p0. При
ε ≤ 1/6 ненадежность рассматриваемой подсхемы не больше 1/2. Применима
лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 3ε – 6ε2 + 4ε3 ≥ 2ε – 2ε2 при ε ≤ 1/6.
9.8. Элемент E2 реализует функцию x1↓x2. Вероятность ошибки на выходе подсхемы, состоящей из элементов E1 и E2, при поступлении на ее входы набора (00) равна P1 = ε + (2ε – 2ε2)(1 – 2ε) = 3ε – 6ε2 + 4ε3 и равна p1. При
ε ≤ 1/6 ненадежность рассматриваемой подсхемы не больше 1/2. Применима
лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 3ε – 6ε2 + 4ε3 ≥ 2ε – 2ε2 при ε ≤ 1/6.
9.9. Элемент E2 реализует функцию x1 . По лемме 3 вероятность ошибки
на выходе подсхемы, состоящей из элементов E1 и E2, при поступлении на ее
вход значения 1 равна P0 = ε + ε(1 – 2ε) = 2ε – 2ε2. Следовательно, p0 =
= 2ε – 2ε2. При ε ≤ 1/6 ненадежность рассматриваемой подсхемы не больше
1/2. Применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 2ε – 2ε2.
Теорема 4 доказана.
Из теоремы 4 следует, что схемы, построенные при доказательстве теоремы 3, являются асимптотически оптимальными по надежности для почти
всех функций в базисе B′ , содержащем функции не более чем от двух переменных.
Рассмотрим менее «богатые» полные базисы. Пусть Б – один из базисов {x1 & x2, x1 ∨ x2, x1 }, {x1 & x2, x1 , x1⏐x2}, {x1 & x2, x1 , x1↓x2}, {x1 & x2, x1 ,
x1 ∼ x2}, {x1 & x2, x1 , x1 ⊕ x2}, {x1 & x2, x1 , x1 → x2}. Тогда в базисе Б справедливы теоремы 5 и 6.
Теорема 5. При ε ∈ (0; 1/150] любую булеву функцию f ( x ) в базисе Б
можно реализовать схемой S, ненадежность которой P(S) ≤ 2ε + 70ε2.
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно рассмотреть
шесть возможных случаев.
1. Базис {x1 & x2, x1 ∨ x2, x1 }
В базисе {x1 & x2, x1 ∨ x2, x1 } справедливо утверждение, доказанное в
теореме 1 [3].
Утверждение 1. При ε ∈ (0; 1/150] любую булеву функцию f ( x ) в базисе {x1 & x2, x1 ∨ x2, x1 } можно реализовать такой схемой S, ненадежность
которой P(S) ≤ 2ε + 19ε2.
2. Базис {x1 & x2, x1 , x1⏐x2}
Так как базис {x1 & x2, x1 , x1⏐x2} содержит базис {x1⏐x2}, то в нем справедливо утверждение 2.
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
Утверждение 2. При ε ∈ (0; 1/100] любую булеву функцию f ( x ) в базисе {x1 & x2, x1 , x1⏐x2} можно реализовать такой схемой S, ненадежность которой P(S) ≤ 2ε + 19ε2.
3. Базис {x1 & x2, x1 , x1↓x2}
Так как базис {x1 & x2, x1 , x1↓x2} содержит базис {x1↓x2}, то в нем справедливо утверждение 3.
Утверждение 3. При ε ∈ (0; 1/100] любую булеву функцию f ( x ) в базисе {x1 & x2, x1 , x1↓x2} можно реализовать такой схемой S, ненадежность которой P(S) ≤ 2ε + 19ε2.
4. Базис {x1 & x2, x1 , x1 ∼ x2}
В базисе {x1 & x2, x1 , x1 ∼ x2} справедливо утверждение 4.
Утверждение 4. При ε ∈ (0; 1/150] любую булеву функцию f ( x ) в базисе {x1 & x2, x1 , x1 ∼ x2} можно реализовать такой схемой S, ненадежность
которой P(S) ≤ 2ε + 70ε2.
Для доказательства утверждения 4 воспользуемся леммами 2 [3] и 3.
Пусть схема Sh реализует функцию x1⏐x2 с ненадежностью μ .
Лемма 2 [3]. Если μ ∈ (0; 1/50], то любую функцию f ( x ) можно реализовать схемой S, ненадежность которой P(S) ≤ 4μ.
Лемма 3. Пусть f – произвольная булева функция, S – схема, реализующая функцию f с ненадежностью P(S), S ′ – схема, реализующая функцию
f с ненадежностью P(S') в базисе {x1 & x2, x1 , x1 ∼ x2}. Тогда по схемам S и
S ′ в базисе {x1 & x2, x1 , x1 ∼ x2} можно построить схему ψ1(S, S ′ ), реализую
щую функцию f, для которой P(ψ1(S, S ′ )) ≤ 2ε + 7ε2 + 18ε P ( S ) + 3 P 2 ( S ) , где
P ( S ) = max {P(S), P( S ′ )}, при ε ∈ (0; 1/150].
Доказательство. Пусть f – произвольная булева функция, а схема S
реализует функцию f с ненадежностью P(S). Для повышения надежности
схемы S будем использовать схему D1, реализующую функцию g(x1, x2, x3) =
= x1 x2 ∨ x1x3 ∨ x2 x3. Нетрудно проверить, что x1 x2 ∨ x1x3 ∨ x2 x3 = (x1 ∼ x2) &
& (x2 ∼ x3) ∼ x2. Моделируя формулу в правой части последнего равенства,
построим схему D1 из четырех элементов (рис. 1). Вероятности ошибок на
выходе этой схемы таковы: P1(000) ≤ 8ε, P0(001) ≤ 5ε, P1(010) ≤ 2ε+ 7ε2,
P1(011) ≤ 5ε, P0(100) ≤ 5ε, P0(101) ≤ 2ε + 7ε2, P1(110) ≤ 5ε, P0(111) ≤ 8ε при
ε ∈ (0; 1/150].
Возьмем два экземпляра схемы S, реализующей функцию f, и соединим
их выходы с первым и третьим входами схемы D1, затем возьмем один экземпляр схемы S ′ , реализующей функцию f , соединим ее выход со вторым
входом схемы D1. Построенную таким образом схему обозначим ψ1(S, S ′ )
(рис. 2). Вычислим вероятности ошибок на выходе этой схемы.
Пусть входной набор a схемы S является нулевым для функции f
(f( a ) = 0) и единичным для функции f ( f ( a ) = 1). Вероятность ошибки
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
P1(ψ1(S, S ′ ), a ) на выходе схемы ψ1(S, S ′ ) в этом случае удовлетворяет неравенству: P1(ψ1(S, S ′ ), a ) ≤ (1 – P1(S, a ))2P0( S ′ , a )8ε + (1 – P1(S, a )) ×
× P0( S ′ , a )⋅P1(S, a ) + (1 – P1(S, a ))2(1 – P0( S ′ , a ))(2ε + 7ε2) + (1 –
– P1(S, a ))(1 – P0( S ′ , a )) P1(S, a )5ε + P1(S, a )P0( S ′ , a ) (1 – P1(S, a )) +
+ P1(S, a )⋅P0( S ′ , a )⋅P1(S, a ) + P1(S, a )(1 – P0( S ′ , a ))(1 – P1(S, a ))5ε +
+ P12 ( S , a ) (1 – P0( S ′ , a )) ≤ 2ε + 7ε2 + 8P0( S ′ , a )ε + 10P1(S, a )ε +
+ 2P0( S ′ , a )P1(S, a ) + P12 ( S , a ) при ε ∈ (0; 1/150].
Следовательно, P1(ψ1(S, S'), a ) ≤ 2ε+ 7ε2 + 8P0( S ′ , a )ε + 10 P1(S, a )ε +
+ 2P0( S ′ , a )P1(S, a ) + P12 ( S , a ) при ε ∈ (0; 1/150].
Пусть входной набор a схемы S является единичным для функции f
(f( a ) = 1) и нулевым для функции f ( f ( a ) = 0). Вероятность ошибки
P0(ψ1(S, S ′ ), a ) на выходе схемы ψ1(S, S ′ ) в этом случае удовлетворяет неравенству: P0(ψ1(S, S ′ ), a ) ≤ P02 ( S , a ) (1 – P1( S ′ , a )) + P0(S, a ) (1 –
– P1( S ′ , a ))(1 – P0(S, a ))5ε + P02 ( S , a ) P1( S ′ , a ) + P0(S, a )P1( S ′ , a )(1
– P0(S, a )) + (1 – P0(S, a ))(1 – P1( S ′ , a ))P0(S, a )5ε + (1 – P0(S, a ))2(1
– P1( S ′ , a ))(2ε + 7ε2) + (1 – P0(S, a ))P1( S ′ , a )P0(S, a ) + (1
– P0(S, a ))2P1( S ′ , a )8ε ≤ 2ε + 7ε2 + 8P1( S ′ , a )ε + 10P0(S, a )ε
+ 2P1( S ′ , a )P0(S, a ) + P02 ( S , a ) при ε ∈ (0; 1/150].
x2
x1
~
x
x3
∼
–
–
–
+
∼
S′
S
&
f
Рис. 1
f
D1
∼
x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3
f
S
f
ψ1(S, S ′ )
D1
Рис. 2
Следовательно, P0(ψ1(S, S ′ ), a ) ≤ 2ε + 7ε2 + 8P1( S ′ , a )ε + 10P0(S, a ) ×
× ε + 2P1( S ′ , a )P0(S, a ) + P02 ( S , a ) при ε ∈ (0; 1/150].
Таким образом, при ε ∈ (0; 1/150] и P ( S , a ) = max {P(S, a ), P( S ′ , a )}
получим P(ψ1(S, S ′ ), a ) ≤ 2ε + 7ε2 + 18ε P ( S , a ) + 3 P 2 ( S , a ) .
Лемма 3 доказана.
Доказательство утверждения 4. В базисе {x1 & x2, x1 , x1 ∼ x2} построим схему Sh, реализующую функцию x1⏐x2, моделируя формулу x1⏐x2 =
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
= x1 & x2 . Схема Sh содержит два ненадежных элемента. Ненадежность одного из них не больше 2ε, другого – не больше ε. Поэтому ненадежность схемы
Sh не больше 3ε.
Пусть схема Sh реализует функцию x1⏐x2 в базисе {x1 & x2, x1 , x1 ∼ x2} с
вероятностью ошибки на выходе P(Sh) ≤ 3ε. Тогда μ ∈ (0; 3ε] и ε ∈ (0; 1/150].
По лемме 2 при ε ∈ (0; 1/150] любую булеву функцию можно реализовать схемой S с ненадежностью P( S ) ≤ 12ε.
Применяя лемму 3, по схеме S построим схему ψ1( S , S ′ ), ненадежность которой P(ψ1( S , S ′ )) ≤ 2ε + 655ε2 ≤ 7ε, при ε ∈ (0; 1/150]. Применяя
лемму 3 еще раз, получим схему ψ12 ( S , S ′) , для которой P( ψ12 ( S , S ′) ) ≤ 2ε +
+ 280ε2 ≤ 4ε, при ε ∈ (0; 1/150]. На четвертом шаге итерации построим схему
ψ13 ( S , S ′) , ненадежность которой P( ψ13 ( S , S ′) ) ≤ 2ε + 127ε2 ≤ 3ε, при
ε ∈ (0; 1/150]. По схеме ψ3 ( S , S ′) построим схему ψ 4 ( S , S ′) , реализую1
1
P( ψ14 ( S ,
щую f с ненадежностью
S ′) ) ≤ 2ε + 88ε2, при ε ∈ (0; 1/150]. Аналогично по схеме ψ14 ( S , S ′) строим схему ψ15 ( S , S ′) , ненадежность которой
P( ψ 5 ( S , S ′) ) ≤ 2ε + 74ε2, при ε ∈ (0; 1/150]. По схеме ψ5 ( S , S ′) построим
1
1
ψ16 ( S ,
схему
S ′) , реализующую f с ненадежностью P( ψ16 ( S , S ′) ) ≤ 2ε + 71ε2,
при ε ∈ (0; 1/150]. Проводим еще один шаг итерации и по схеме ψ16 ( S , S ′)
построим схему ψ 7 ( S , S ′) , реализующую f с ненадежностью P( ψ 7 ( S , S ′) ) ≤
1
2
1
≤ 2ε + 70ε , при ε ∈ (0; 1/150]. Схема
Утверждение 4 доказано.
ψ17 ( S ,
S ′) искомая, т.е. S = ψ17 ( S , S ′) .
5. Базис {x1 & x2, x1 , x1 ⊕ x2}
В базисе {x1 & x2, x1 , x1 ⊕ x2} справедливо утверждение 5.
Утверждение 5. При ε ∈ (0; 1/150] любую булеву функцию f ( x ) в базисе {x1 & x2, x1 , x1 ⊕ x2} можно реализовать такой схемой S, ненадежность
которой P(S) ≤ 2ε+ 70ε2.
Для доказательства утверждения 5 воспользуемся леммой 4.
Лемма 4. Пусть f – произвольная булева функция, S – схема, реализующая функцию f с ненадежностью P(S) в базисе {x1 & x2, x1 , x1 ⊕ x2}. Тогда
по схеме S в указанном базисе можно построить схему ψ(S), реализующую
функцию f, для которой P(ψ(S)) ≤ 2ε + 7ε2 + 18εP(S) + 3P2(S), при ε ∈ (0;
1/150].
Доказательство. Пусть f – произвольная булева функция, S – схема,
реализующая функцию f с ненадежностью P(S). Для повышения надежности
схемы S будем использовать схему D2, реализующую функцию g(x1, x2, x3) =
= x1x2 ∨ x1x3 ∨ x2x3. Нетрудно проверить, что x1x2 ∨ x1x3 ∨ x2x3 = (x1 ⊕ x2) &
& (x2 ⊕ x3) ⊕ x2. Моделируя формулу в правой части последнего равенства,
построим схему D2 из четырех элементов. Вероятности ошибок на выходе
этой схемы таковы: P1(000) ≤ 2ε + 7ε2, P1(001) ≤ 5ε, P1(010) ≤ 8ε, P0(011) ≤ 5ε,
P1(100) ≤ 5ε, P0(101) ≤ 8ε, P0(110) ≤ 5ε, P0(111) ≤ 2ε + 7ε2 при ε ∈ (0; 1/150].
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Возьмем три экземпляра схемы S, реализующей функцию f, и соединим
их выходы с входами схемы D2. Построенную таким образом схему обозначим ψ(S). Вычислим вероятности ошибок на выходе этой схемы.
Пусть входной набор a схемы S является нулевым для функции f
(f( a ) = 0). Вероятность ошибки P1(ψ(S), a ) на выходе схемы ψ(S) в этом случае удовлетворяет неравенству: P1(ψ(S), a ) ≤ (1 – P1(S, a ))3(2ε + 7ε2) +
+ (1 – P1(S, a ))2P1(S, a )5ε + (1 – P1(S, a ))2P1(S', a )8ε + (1 – P1(S, a )) ×
× P12(S, a ) + P1(S, a )(1 – P1(S, a ))25ε + P12(S, a )(1 – P1(S, a )) + P12(S, a )(1 –
– P1(S, a )) + P13 ( S , a ) ≤ 2ε + 7ε2 + 18P1(S, a )ε + 3 P12 ( S , a ) при ε ∈ (0;
1/150].
Следовательно, P1(ψ(S), a ) ≤ 2ε+ 7ε2 + 18P1(S, a )ε + 3 P12 ( S , a ) при
ε ∈ (0; 1/150].
Пусть входной набор a схемы S является единичным для функции f
(f( a ) = 1). Вероятность ошибки P0(ψ(S), a ) на выходе схемы ψ(S) в этом случае удовлетворяет неравенству: P0(ψ(S), a ) ≤ P03 ( S , a ) + P02(S, a )(1 –
– P0(S, a )) + P02 ( S , a ) (1 – P0(S, a )) + P0(S, a )(1 – P0(S, a ))25ε + P02(S, a )) ×
× (1 – P0(S, a )) + P0(S, a )(1 – P0(S, a ))28ε + (1 – P0(S, a ))2⋅P0(S, a )5ε + (1 –
– P0(S, a ))3(2ε + 7ε2) ≤ 2ε + 7ε2 + 18P0(S, a )ε + 3 P02 ( S , a ) при ε ∈ (0; 1/150].
Следовательно, P0(ψ(S), a ) ≤ 2ε + 7ε2 + 18P0(S, a )ε + 3 P02 ( S , a ) при
ε ∈ (0; 1/150].
Таким образом, при ε ∈ (0; 1/150] получим
P(ψ(S), a ) ≤ 2ε + 7ε2 + 18εP(S, a ) + 3P2(S, a ).
Лемма 4 доказана.
Доказательство утверждения 5. В базисе {x1 & x2, x1 , x1 ⊕ x2} построим схему Sh, реализующую функцию x1⏐x2, моделируя формулу x1⏐x2 =
= x1 & x2 . Схема Sh содержит два ненадежных элемента. Ненадежность одного из них не больше 2ε, другого – не больше ε. Поэтому ненадежность схемы
Sh не больше 3ε.
Пусть схема Sh реализует функцию x1⏐x2 в базисе {x1 & x2, x1 , x1 ⊕ x2} с
вероятностью ошибки на выходе P(Sh) ≤ 3ε. Тогда μ ∈ (0; 3ε] и ε ∈ (0; 1/150].
По лемме 2 при ε ∈ (0; 1/150] любую булеву функцию можно реализовать схемой S с ненадежностью P( S ) ≤ 12ε.
Применяя лемму 4, по схеме S построим схему ψ( S ), ненадежность
которой P(ψ( S )) ≤ 2ε + 655ε2 ≤ 7ε, при ε ∈ (0; 1/150]. Применяя лемму 4 еще
раз, получим схему ψ2( S ), для которой P(ψ2( S )) ≤ 2ε + 280ε2 ≤ 4ε, при ε ∈ (0;
1/150]. На четвертом шаге итерации построим схему ψ3( S ), ненадежность
которой P(ψ3( S )) ≤ 2ε+ 127ε2 ≤ 3ε, при ε ∈ (0; 1/150]. По схеме ψ3( S ) построим схему ψ4( S ), реализующую f с ненадежностью P(ψ4( S )) ≤ 2ε + 88ε2,
при ε ∈ (0; 1/150]. Аналогично по схеме ψ4( S ) строим схему ψ5( S ), ненадежность которой P(ψ5( S )) ≤ 2ε + 74ε2, при ε ∈ (0; 1/150]. По схеме ψ5( S )
построим схему ψ6( S ), реализующую f с ненадежностью P(ψ6( S )) ≤ 2ε +
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
+ 71ε2, при ε ∈ (0; 1/150]. Проводим еще один шаг итерации и по схеме ψ6( S )
построим схему ψ7( S ), реализующую f с ненадежностью P(ψ7( S )) ≤ 2ε +
+ 70ε2, при ε ∈ (0; 1/150]. Схема ψ7( S ) искомая, т.е. S = ψ7( S ).
Утверждение 5 доказано.
6. Базис {x1 & x2, x1 , x1 → x2}
Утверждение 6. При ε ∈ (0; 1/150] любую булеву функцию f ( x ) в базисе {x1 & x2, x1 , x1 → x2} можно реализовать такой схемой S, ненадежность
которой P(S) ≤ 2ε + 57ε2.
Для доказательства утверждения 6 воспользуемся леммой 5.
Лемма 5. Пусть f – произвольная функция, S – схема, реализующая
функцию f с ненадежностью P(S), S ′ – схема, реализующая функцию f с ненадежностью P( S ′ ) в базисе {x1 & x2, x1 , x1 → x2}. Тогда по схемам S и S ′ в
базисе {x1 & x2, x1 , x1 → x2} можно построить схему ψ2(S, S ′ ), реализующую
функцию f, для которой P(ψ2(S, S ′ )) ≤ max{2ε + 4ε2 + 15ε P ( S ) +
+ 3 P 2 ( S ) , 12ε2 + 12ε P ( S ) + 3 P 2 ( S ) }, где P ( S ) = max{P(S), P( S ′ )}, при
ε ∈ (0; 1/150].
Доказательство. Пусть f – произвольная булева функция. По лемме 2
при ε ∈ (0; 1/150] ее можно реализовать схемой S с ненадежностью P(S) ≤
≤ 12ε. Для повышения надежности схемы S будем использовать схему D3,
реализующую функцию g(x1, x2, x3) = x1x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 . Нетрудно проверить,
что x1x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 = ((x1 → x2) → x3) → x1 & x2. Моделируя формулу в
правой части последнего равенства, построим схему D3 из пяти элементов.
Вероятности ошибок на выходе этой схемы таковы: P0(000) ≤ 4ε, P1(001) ≤ 4ε,
P0(010) ≤ 12ε2, P0(011) ≤ 4ε, P1(100) ≤ 5ε, P1(101) ≤ 2ε + 4ε2, P0(110) ≤ 4ε,
P1(111) ≤ 6ε.
Возьмем сначала один экземпляр схемы S ′ , реализующей функцию f
и один экземпляр схемы S, реализующей функцию f, затем еще один экземпляр схемы S ′ и в указанном порядке соединим их выходы с входами схемы
D3. Построенную таким образом схему обозначим ψ2(S, S ′ ). Вычислим вероятности ошибок на выходе этой схемы.
Пусть входной набор a схемы S является нулевым для функции f
(f( a ) = 0) и единичным для функции f ( f ( a ) = 1). Вероятность ошибки
P1(ψ2(S, S ′ ), a ) на выходе схемы ψ2(S, S ′ ) удовлетворяет неравенству:
P1(ψ2(S, S ′ ), a ) ≤ (1 – P1(S, a )) P02 ( S ′, a ) + (1 – P1(S, a )))(1 – P0( S ′ , a )) ×
× P0( S ′ , a )4ε + P1(S, a )) P02 ( S ′, a ) + P1(S, a ))P0( S ′ , a )(1 – P0( S ′ , a )) + (1 –
– P1(S, a ))P0( S ′ , a )(1 – P0( S ′ , a ))5ε + (1 – P1(S, a )))(1 – P0( S ′ , a ))2(2ε +
+ 4ε2) + P1(S, a ))(1 – P0( S ′ , a ))P0( S ′ , a ) + P1(S, a ))(1 – P0( S ′ , a ))26ε ≤
≤ 2ε + 4ε2 + 9P0( S ′ , a )ε + 6P1(S, a ))ε + 2P0( S ′ , a )P1(S, a )) + P02 ( S ′, a ) .
Следовательно, P1(ψ2(S, S ′ ), a ) ≤ 2ε + 4ε2 + 9P0( S ′ , a )ε + 6P1(S, a )) ×
× ε + 2P0( S ′ , a )P1(S, a )) + P02 ( S ′, a ) .
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Пусть входной набор a схемы S является единичным для функции f
(f( a ) = 1) и нулевым для функции f ( f ( a ) = 0). Вероятность ошибки
P0(ψ2(S, S ′ ), a ) на выходе схемы ψ2(S, S ′ ) в этом случае удовлетворяет неравенству: P0(ψ2(S, S ′ ), a ) ≤ P0(S, a )(1 – P1( S ′ , a ))2 4ε + P0(S, a ) ×
× P1( S ′ , a )(1 – P1( S ′ , a )) + (1 – P0(S, a ))(1 – P1( S ′ , a ))2 12ε2 + (1 –
– P0(S, a ))(1 – P1( S ′ , a )) P1( S ′ , a )4ε + P0(S, a )(1 – P1( S ′ , a ))P1( S ′ , a ) ×
× 8ε + P0(S, a ) P12 ( S ′, a ) + (1 – P0(S, a ))P1( S ′ , a )(1 – P1( S ′ , a ))4ε + (1 –
– P0(S, a )) P12 ( S ′, a ) ≤ 12ε2 + 8P1( S ′ , a )ε + 4P0(S, a )ε + 2P1( S ′ , a ) × P0(S, a ) +
+ P12 ( S ′, a ) .
Следовательно, P0(ψ2(S, S ′ ), a ) ≤ 12ε2 + 8P1( S ′ , a )ε + 4P0(S, a )ε +
+ 2P1( S ′ , a )P0(S, a ) + P12 ( S ′, a ) .
Таким образом, при ε ∈ (0; 1/150], считая P ( S ) = max{P(S), P( S ′ )}, по
лучим: P(ψ2(S, S ′ )) ≤ max{2ε + 4ε2 + 15ε P ( S ) + 3 P 2 ( S ) , 12ε2 + 12ε P ( S ) +
+ 3 P 2 ( S ) }.
Лемма 5 доказана.
Доказательство утверждения 6. В базисе {x1 & x2, x1 , x1 → x2} построим схему Sh, реализующую функцию x1⏐x2, моделируя формулу x1⏐x2 =
= x1 & x2 . Схема Sh содержит два ненадежных элемента. Ненадежность одного из них не больше 2ε, другого – не больше ε. Поэтому ненадежность схемы
Sh не больше 3ε.
Пусть схема Sh реализует функцию x1⏐x2 в базисе {x1 & x2, x1 , x1 → x2}
с вероятностью ошибки на выходе P(Sh) ≤ 3ε. Тогда μ ∈ (0; 3ε] и ε ∈ (0;
1/150].
По лемме 2 при ε ∈ (0; 1/150] любую булеву функцию можно реализовать схемой S с ненадежностью P( S ) ≤ 12ε.
Применяя лемму 5, по схеме S построим схему ψ2( S , S ′ ), ненадежность которой P(ψ2( S , S ′ )) ≤ max{2ε + 616ε2; 12ε2 + 576ε3} ≤ 2ε + 616ε2 ≤ 6,2ε
при ε ∈ (0; 1/150]. Применяя лемму 5 еще раз, получим схему ψ 22 ( S , S ′) , для
которой P( ψ 2 ( S , S ′) ) ≤ max{2ε + 213ε2; 203ε2} ≤ 2ε + 213ε2 ≤ 3,5ε при
2
ε ∈ (0; 1/150]. На четвертом шаге итерации построим схему ψ 32 ( S , S ′) , ненадежность которой P( ψ3 ( S , S ′) ) ≤ max{2ε + 94ε2; 91ε2} ≤ 2ε + 94ε2 ≤ 2,7ε
2
при ε ∈ (0; 1/150]. По схеме ψ 32 ( S , S ′) построим схему ψ 42 ( S , S ′) , реализующую f с ненадежностью P( ψ 42 ( S , S ′) ) ≤ max{2ε + 67ε2; 67ε2} ≤ 2,5ε при
ε ∈ (0; 1/150]. Аналогично, по схеме ψ 4 ( S , S ′) , строим схему ψ5 ( S , S ′) ,
2
ненадежность которой P( ψ 52 ( S ,
ε ∈ (0; 1/150]. По схеме ψ 52 ( S ,
щую f с ненадежностью P( ψ 62 ( S ,
2
S ′) ) ≤ max{2ε + 61ε ; 61ε } ≤ 2ε + 61ε2 при
S ′) построим схему ψ 62 ( S , S ′) , реализуюS ′) ) ≤ max{2ε + 58ε2; 59ε2} ≤ 2ε + 58ε2 при
2
2
ε ∈ (0; 1/150]. Проводим еще один шаг итерации и по схеме ψ 62 ( S , S ′) по36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
строим схему ψ 72 ( S , S ′) , реализующую f с ненадежностью P( ψ 72 ( S , S ′) ) ≤
≤ max{2ε + 57ε2; 58ε2} ≤ 2ε + 57ε2 при ε ∈ (0; 1/150]. Схема ψ 7 ( S , S ′) иско2
= ψ 72 ( S ,
мая, т.е. S
S ′) . Утверждение 6 доказано.
Из утверждений 1–6 следует справедливость теоремы 5.
Теорема 6. Пусть ε ≤ 1/6, f ( x ) – булева функция, f ∉ K (n) , и S – любая схема, реализующая f в базисе Б. Тогда P(S) ≥ 2ε – 2ε2.
Доказательство. Для доказательства достаточно выделить связную
подсхему, содержащую выход схемы S и состоящую из не более двух элементов (как в теореме 4).
Из теоремы 6 следует, что схемы, построенные при доказательстве теоремы 5, являются асимптотически оптимальными по надежности для почти
всех функций в базисе Б.
Отметим, что теоремы 5 и 6 справедливы не только в базисах {x1 & x2,
x1 ∨ x2, x1 }, {x1 & x2, x1 , x1⏐x2}, {x1 & x2, x1 , x1↓x2}, {x1 & x2, x1 , x1 ∼ x2},
{x1 & x2, x1 , x1 ⊕ x2}, {x1 & x2, x1 , x1 → x2}, но и двойственных им базисах
{x1 ∨ x2, x1 , x1↓x2}, {x1 ∨ x2, x1 , x1⏐x2}, {x1 ∨ x2, x1 , x1 ⊕ x2}, {x1 ∨ x2, x1 ,
x1 ∼ x2}, {x1 ∨ x2, x1 , x1 →
/ x2}, а также во всех базисах, полученных из перечисленных добавлением любых других функций от двух переменных.
Из теорем 3–6 следует, что, добавив, по крайней мере, еще одну булеву
функцию к базису {x1 & x2, x1 }, получим асимптотическую оценку ненадежности – 2ε, хотя в самом базисе {x1 & x2, x1 } эта оценка была 4ε. Исключение составляет лишь базис {x1 & x2, x1 , x1 →
/ x2}. В нем справедливы теоремы 7 и 8.
Теорема 7. Пусть в базисе {x1 & x2, x1 , x1 →
/ x2} ε ≤ 1/200, а f ( x ) –
произвольная функция. Тогда функцию f в базисе {x1 & x2, x1 , x1 →
/ x2} мож2
но реализовать схемой S, ненадежность которой P(S) ≤ 3ε + 41ε .
Доказательство теоремы следует из того, что базис {x1 & x2, x1 ,
x1 →
/ x2} содержит базис { x1 , x1 →
/ x2} и в нем справедливо аналогичное утверждение, доказанное в [4].
Пусть K ∗ (n) – множество функций xiδ & h( x ) ( i = 1, n ) и константа 1.
n −1
Очевидно, число функций в классе K ∗ (n) не больше 2n 22 + 2 − 2n и мало
по сравнению с общим числом булевых функций.
Теорема 8. Пусть ε ≤ 1/8, f ( x ) – булева функция, f ∉ K ∗ (n) , и S – любая схема в базисе {x1 & x2, x1 , x1 →
/ x2}, реализующая f. Тогда P(S) ≥ 3ε –
2
– 6ε .
Доказательство. Пусть f – булева функция, удовлетворяющая условиям теоремы, а S – произвольная схема, ее реализующая. Поскольку f ∉ K ∗ (n) ,
схема S содержит, по крайней мере, два элемента E1 и E2. Пусть E1 – элемент,
содержащий выход схемы S. Возможны случаи.
1. Элемент E1 является конъюнктором. Возможны случаи.
1.1. Один из входов конъюнктора E1 соединен с выходом элемента E2,
реализующего произвольную функцию рассматриваемого базиса. Вероят-
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ность ошибки на выходе подсхемы, содержащей элементы E1 и E2 при поступлении на входы элемента E1 набора (11), удовлетворяет неравенству P0 =
= p0 ≥ 2ε – ε2 + ε(1 – 3ε + ε2) ≥ 3ε – 4ε2. При ε ≤ 1/8 применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 3ε – 4ε2.
1.2. Оба входа конъюнктора E1 соединены с выходом элемента E2, реализующего произвольную функцию рассматриваемого базиса. Вероятность
ошибки на выходе подсхемы, содержащей элементы E1 и E2 при поступлении
на входы элемента E1 набора (11), удовлетворяет неравенству P0 = p0 ≥ 2ε –
– ε2 + ε(1 – 2ε) ≥ 3ε – 3ε2. При ε ≤ 1/8 применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 3ε – 3ε2.
2. Элемент E1 является инвертором. Возможны случаи.
2.1. Вход инвертора E1 соединен с выходом элемента E2, реализующего
одну из функций x1 & x2 или x1 →
/ x2. Вероятность ошибки на выходе подсхемы, содержащей элементы E1 и E2, при поступлении на вход элемента E1
значения (1) равна P1 = p1 = ε + (2ε – ε2)(1 – 2ε) ≥ 3ε – 5ε2. При ε ≤ 1/8 применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 3ε – 5ε2.
2.2. Вход инвертора E1 соединен с выходом еще одного инвертора E2. В
этом случае схема S содержит, по крайней мере, еще один элемент E3 (в противном случае f ∈ K ∗ (n) ).
Если E3 реализует конъюнкцию или антиимпликацию, то вероятность
ошибки на выходе подсхемы, содержащей элементы E1, E2 и E3, при поступлении на вход элемента E1 значения (1) равна P0 = p0 = ε + (3ε – 5ε2)(1 – 2ε) ≥
≥ 4ε – 11ε2. При ε ≤ 1/8 применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1)
P(S) ≥ 4ε – 11ε2 > 3ε – 6ε2.
Если E3 реализует инверсию, то вероятность ошибки на выходе подсхемы, содержащей элементы E1, E2 и E3, при поступлении на вход элемента
E1 значения (1) равна P0 = p0 = ε + (2ε – 2ε2)(1 – 2ε) ≥ 3ε – 6ε2. При ε ≤ 1/8
применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 3ε – 6ε2.
3. Элемент E1 является антиимпликатором, левый вход которого соединен с выходом элемента E2, а правый – с выходом элемента E3 (иначе
f ∈ K ∗ (n) ). Элементы E2 и E3 реализуют произвольные функции базиса. Тогда
вероятность ошибки на выходе подсхемы, содержащей перечисленные элементы, при поступлении на входы элемента E1 набора (10) удовлетворяет неравенству P0 = p0 ≥ 2ε – ε2 + ε (1 – 2ε)2 ≥ 3ε – 5ε2. При ε ≤ 1/8 применима лемма 1, поэтому (см. замечание 1) P(S) ≥ 3ε – 5ε2.
Теорема 8 доказана.
Из теоремы 8 следует, что схемы, построенные при доказательстве теоремы 7, являются асимптотически оптимальными по надежности для почти
всех функций в базисе {x1 & x2, x1 , x1 →
/ x2}. Аналогичный результат имеет
место в базисе {x1 ∨ x2, x1 , x1 → x2}, двойственном {x1 & x2, x1 , x1 →
/ x2}.
Таким образом, из теорем 3–8 следует, что если к базису {x1 & x2, x1 },
в котором оценка ненадежности асимптотически равна 4ε, добавить функцию
x1 →
/ x2, то оценка ненадежности в полученном базисе будет асимптотически
равна уже 3ε. Если к базису {x1 & x2, x1 } добавить любую другую булеву
функцию двух переменных, то асимптотическая оценка будет равна 2ε.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Математика
Список литературы
1. Ч у г у н о в а , В . В . Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем
при инверсных неисправностях на входах элементов : автореф. канд. дис. /
В. В. Чугунова. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2007.
2. А л е х и н а , М . А . Нижние оценки ненадежности схем в некоторых базисах при
однотипных константных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехина //
Дискретный анализ и исследование операций. – 2002. – 9 т. – № 3. – С. 3–28. –
(Серия 1).
3. А л е х и н а , М . А . Об асимптотически наилучших по надежности схемах в базисе
{&, ∨, } при инверсных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехина,
В. В. Чугунова // Дискретный анализ и исследование операций. – Новосибирск :
Изд-во института математики. – 2006. – 13 т. – № 4. – C. 3–17. – (Серия 1).
4. А л е х и н а , М . А . Об асимптотически наилучших по надежности схемах в базисах { →
/ , } и {→, } при инверсных неисправностях на входах элементов /
М. А. Алехина, В. В. Чугунова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2005. – № 6 (21) – С. 16–25. – (Естественные науки).
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ФИЗИКА
УДК 621.383
С. А. Онищук
ДЕГРАДАЦИЯ СОЛНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПРИ НЕЙТРОННОМ И ПРОТОННОМ ОБЛУЧЕНИИ
Исследована деградация солнечных элементов (СЭ) на основе монокристаллического кремния при нейтронном и протонном облучении. Рассмотрен
характер взаимодействия этих частиц с кремнием, влияние радиационных дефектов на p-n-переход СЭ. В обоих случаях до и после облучения исследованы
световые и темновые ВАХ и спектральная чувствительность СЭ. Выявлены
общие черты изменения характеристик СЭ и различие в этих изменениях.
Приведены расчеты, позволяющие пересчитать деградацию СЭ, облучая их реакторными нейтронами, в соответствующую деградацию СЭ при протонном
облучении.
Для космических аппаратов основным источником электроэнергии являются солнечные батареи, состоящие из солнечных элементов (СЭ). Стойкость СЭ к радиационному облучению определяет срок службы солнечных
батарей и, соответственно, самих космических аппаратов. Наиболее значительный вклад в деградацию СЭ вносят протоны. Вследствие этого исследования деградации СЭ в земных условиях проводятся на ускорителе протонов,
и такие исследования довольно дорогостоящие.
Экономически выгоднее было бы исследовать деградацию СЭ, облучая
их реакторными нейтронами, однако характер взаимодействия этих частиц с
кремнием, из которого изготовляется большинство СЭ, различен. Тем не менее сравнительный анализ деградации СЭ при обоих видах облучения мог бы
позволить пересчитывать результаты облучения СЭ нейтронами в соответствующую деградацию СЭ при протонном облучении.
Целью данной работы было изучение деградации СЭ при протонном и
нейтронном облучении.
Методики проведения экспериментов по облучению СЭ нейтронами и
протонами были очень близки. В обоих случаях исследуемые СЭ были изготовлены на подложках из монокристаллического кремния марки КСД-3, выращенного методом Чохральского с ориентацией поверхности {111}, и отличались только размерами ( 30 × 40 мм для нейтронного облучения и 20 × 15 мм
для протонного), что не принципиально.
В обоих случаях до и после облучения были исследованы световые и
темновые вольт-амперные характеристики (ВАХ) и спектральная чувствительность СЭ.
Облучение СЭ реакторными нейтронами проводилось в реакторе
ВВРМ-10. СЭ были облучены быстрыми нейтронами со средней энергией
2,2 МэВ флюенсами 1011, 1012, 1013, 1014 н/см2.
Облучение СЭ протонами производилось на установке У-240 в прямом
пучке с лицевой стороны СЭ на воздухе при температуре около 15°С при
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
комнатном освещении люминесцентными лампами в режиме короткого замыкания. СЭ были облучены моноэнергетическими протонами со средней
энергией 20,0 МэВ флюенсами 3⋅1010, 3⋅1011, 3⋅1012 и 3⋅1013 пр/см2.
При облучении и протонами, и нейтронами характеристики СЭ изменились подобным образом. Зависимость деградации световых вольтамперных характеристик СЭ от флюенса нейтронов при облучении приведены на рисунке 1. Видно, что все облученные СЭ деградировали, причем чем
больше флюенс облучения, тем сильнее деградация.
J, мА/см2
U, мВ
Рис. 1 Световые ВАХ СЭ: 1 – до облучения; после облученния
нейтронами флюенсами: 2 – 1011; 3 – 1012; 4 – 1013; 5 – 1014 н/см2
Анализ данных показывает, что из измеренных параметров СЭ сильно
падают напряжение холостого хода Uxx, ток короткого замыкания Iкз и КПД
при практически неизменном коэффициенте заполнения ВАХ. Практическое
значение имеет эффективность СЭ, т.к. она определяет среднюю мощность,
отдаваемую батареями.
Для определения причин деградации СЭ были измерены спектральные
чувствительности приборов для обоих типов облучения. Видно (рис. 2, 3),
что их ухудшение происходит в основном в «красной» части спектра. Это
свидетельствует об уменьшении вклада в фототок базовой области приборов.
Следовательно при облучении снижается величина диффузионной длины неосновных носителей заряда в базе при практически неизменной диффузионной длине в эмиттере.
Полученный результат объясняется тем, что и протоны, и нейтроны таких энергий проникают на значительную глубину в СЭ, где и создают дефекты, распределенные по толщине прибора. В то же время толщина эмиттера
(около 0,5 мкм) почти на три порядка меньше толщины базовой области СЭ
(350–400 мкм). Таким образом, на долю эмиттера приходится значительно
меньшее количество радиационных дефектов (РД), чем на базу СЭ, что соот41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ветствующим образом сказывается на изменении диффузионных длин обеих
областей приборов.
σ, мкА/мВт
λ, нм
Рис. 2 Спектральная чувствительность СЭ: 1 – до облучения; после облучения
нейтронами флюенсами: 2 – 1011; 3 – 1012; 4 – 1013; 5 – 1014 н/см2
σ, мкА/мВт
λ, нм
Рис. 3 Спектральная чувствительность СЭ: 1 – до облучения; после облучения
протонами флюенсами: 2 – 3⋅1010; 3 – 3⋅1011; 4 – 3⋅1012; 5 – 3⋅1013 пр/см2
Кроме того, при малых флюенсах облучения протонами в «синей» области, где основной вклад в ток происходит носителями из эмиттерной области, наблюдается некоторое улучшение спектральной чувствительности. Этот
эффект связан, видимо, со встраиванием протонов в кристаллическую решетку
кремния подобно тому, как это происходит при водородной пассивации.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
Согласно [1] зависимость пробега протонов (R, мкм) от их энергии может быть представлена эмпирической формулой
R=аЕn,
(1)
где а и n – некоторые постоянные. Для протонов в кремнии n = 1,74, а значение параметра a = 13,27. Приведенное там же рассчитанное по формуле (1)
значение длины пробега протонов с энергией 20 МэВ в кремнии равно 2,4
мм, что намного превышает толщину СЭ. Исходя из этого можно считать,
что дефекты в базе СЭ расположены практически равномерно.
На рисунке 4 приведены значения диффузионной длины L в базах СЭ в
зависимости от флюенса частиц для протонов и нейтронов, определенные по
измерениям спектральной чувствительности. Видно, что радиационная стойкость СЭ для нейтронного излучения существенно выше, чем для протонного. Экспериментальные точки зависимости диффузионной длины в базе СЭ L
от флюенса частиц F хорошо описываются соотношением
1
2
L
=
1
L20
+ kF ,
(2)
где k – константа повреждаемости; L0 – исходная диффузионная длина.
L, мкм
F, см–2
Рис. 4 Зависимость диффузионной длины неосновных носителей заряда в базе СЭ
от флюенса облучения: 1 – облученных протонами; 2 – нейтронами;
3, 4 – теоретические с kпр = 2,86 ⋅ 10-6 и kн = 5,0 ⋅ 10-7
Рассчитанные по приведенным данным значения констант повреждаемости k составили kпр = 2,86 ⋅ 10–6 и kн = 5,0 ⋅ 10–7 для протонов и нейтронов
соответственно. Полученные результаты указывают на меньшую скорость
введения центров рекомбинации радиационного происхождения в случае облучения нейтронами.
Это подтверждают и прямые темновые ВАХ, представленные на рисунке 5.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
J, мА/см2
U, мВ
Рис. 5 Темновые ВАХ СЭ для максимальных флюенсов облучения:
1 – необлученных; 2 – облученных нейтронами; 3 – облученных протонами
Влияние облучения на p-n-переход в обоих случаях выразилось в том,
что после облучения вырос обратный рекомбинационный ток с увеличением
флюенса частиц, что связано с накоплением РД. Такую разницу в величинах
констант повреждаемости при облучении протонами и нейтронами следует
искать в различии взаимодействия частиц с веществом.
Рекомбинация носителей заряда в кремнии, облученном и протонами, и
нейтронами происходит на разупорядоченных областях, причем определяется их примесно-дефектной оболочкой [2]. Отсюда следует, что при нейтронном облучении в кремнии разупорядоченные области характеризуются
меньшей примесно-дефектной оболочкой. Это можно объяснить различием у
кремния механизмов образования радиационных дефектов для разного вида
частиц, причем и поверхность пластин кремния, и внутренние дефекты
структуры материала являются стоками для подвижных РД. Результаты измерения темновых ВАХ облученных СЭ указывают на усиление рекомбинационного тока с увеличением флюенса частиц, что также связано с накоплением РД.
Темновые ВАХ кремниевых пластин с мелким p-n-переходом таким,
как у СЭ, имеют вид ломаной линии, причем левая часть характеристик приблизительно до напряжения 350 мВ является областью, где преобладают рекомбинационные токи, а правая – диффузионные. Темновые ВАХ можно
описать выражением
⎧⎪
⎧⎪
⎡ e(U − IRs ) ⎤ ⎫⎪
⎡ e(U − IRs ) ⎤ ⎫⎪ U − IRs
I = I 0 ⎨exp ⎢
,
⎥ − 1⎬ + I r ⎨exp ⎢
⎥ − 1⎬ +
Rp
⎣ A1kT ⎦ ⎭⎪
⎣ A2 kT ⎦ ⎭⎪
⎩⎪
⎩⎪
(3)
где I – полный ток, проходящий через p-n-переход; I0 – диффузионный ток; Ir –
рекомбинационный ток; Rs – последовательное сопротивление; Rp – шунтирующее сопротивление; U – напряжение; е – заряд электрона; k – постоянная
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
Больцмана; T – абсолютная температура; А1 и А2 – коэффициенты неидеальности для диффузионного и рекомбинационного токов соответственно.
В связи с этим ВАХ можно аппроксимировать таким образом, что области диффузионного и рекомбинационного токов будут представлять прямые линии. Тогда пересечение этих прямых с осью плотностей токов даст величины плотностей диффузионного и рекомбинационного токов, а по наклонам прямых можно вычислить коэффициенты неидеальности.
Рассчитанные плотности токов и коэффициенты неидеальности для показанных на рисунке 5 ВАХ СЭ представлены в таблице 1.
Таблица 1
Параметры p-n-перехода для различных видов облучения
облученные
облученные
необлученные СЭ
нейтронами
протонами
J0, мкА/см2
0,0043
1,00
3,20
Jr, мкА/см2
0,17
4,8
37,6
А1
1,6
1,9
2,1
А2
2,9
2,6
3,9
Из представленных СЭ наименее дефектными являются необлученные
СЭ, не имеющие РД. У СЭ, облученных нейтронами, рекомбинационная активность значительно выше, т.к. возникают дефекты, образующиеся при
взаимодействии нейтронов с кремнием. У протонно-облученных СЭ дефектность структуры еще более высокая, судя по результатам сравнения световых
ВАХ и спектральной чувствительности.
В диффузионный и рекомбинационный токи основной вклад дает базовая область полупроводниковой структуры типа СЭ, имеющая проводимость
p-типа. Неосновными носителями заряда в ней являются электроны. Из таблицы 1 видно, что численные значения плотностей и диффузионного, и рекомбинационного токов существенно возрастают с увеличением дефектности
кремния. Причем возрастание рекомбинационного тока легко объяснить усилением рекомбинации на дефектах структуры. Если учесть, что рекомбинационный ток Ir ≈ dkTniS/τn2ϕ, где d – ширина области пространственного заряда, ni – собственная концентрация носителей заряда, S – площадь p-nперехода, τn – эффективное время жизни, ϕ – эффективный потенциальный
барьер p-n-перехода, то понятно, что увеличение Ir связано с уменьшением
либо τn, либо ϕ, на которые влияет рекомбинационная активность структуры
полупроводника.
Диффузионный ток I0 = e(Dn/τn)1/2cth(l/Ln)( ni2S/Na), где Dn – эффективный коэффициент диффузии, l – толщина базы, Ln – эффективная диффузионная длина, Na – концентрация акцепторов. Учитывая, что Ln2 = τnDn, повышение диффузионного тока с увеличением дефектности кремния можно также связать с уменьшением τn и, соответственно, Ln. Однако для максимального флюенса облучения эффективная диффузионная длина приблизительно
одинакова в обоих случаях облучения.
Это можно связать со спецификой мелкого p-n-перехода, когда при
диффузии фосфора в эмиттерном слое из-за высокой концентрации фосфора
образуются многочисленные рекомбинационные примесные комплексы,
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
влияющие на кристаллическую решетку кремния. Коэффициенты неидеальности для глубокого p-n-перехода на монокристаллическом кремнии обычно
принимают значения А1 = 1 и А2 = 2. В нашем случае их величины для всех
видов СЭ существенно выше, причем, как и токи, также с увеличением дефектности полупроводникового материала в основном растут.
Дефекты в области пространственного заряда являются причиной как
увеличения рекомбинационного тока, так и больших значений А2. Эффективное время жизни неосновных носителей заряда в этой области также может
несколько отличаться от времени жизни в базовой области.
Четыре вида взаимодействий (гравитационное, слабое, электромагнитное и сильное (ядерное)) характеризуются константой взаимодействия, которая в целой положительной степени входит множителем в выражения для вероятностей соответствующих процессов. Константы гравитационного и слабого взаимодействий чрезвычайно малы по сравнению с другими и по этой
причине не принимаются во внимание при рассмотрении явлений микромира. Константа электромагнитного взаимодействия равна 1/137, константа адронного взаимодействия – порядка единицы, т.е. вероятности этих двух типов процессов сравнимы по величине. Для каждой элементарной частицы
возможны один или несколько из видов взаимодействий.
Общеизвестно различие в поведении медленных протонов и нейтронов
в веществе. Нейтроны малых энергий захватываются ядрами, вызывая их
превращения, в то время как медленные протоны не вступают в ядерные реакции, т.к. не в состоянии приблизиться к ядру на достаточно малое растояние, чтобы могли проявиться адронные силы. В рамках сильных взаимодействий нейтроны и протоны проявляют совершенно одинаковые качества, что
дает основание рассматривать их как один класс элементарных частиц, получивший название нуклонов.
Результатом взаимодействия быстрых нуклонов с адронным полем ядра является упругое рассеяние или неупругое столкновение. Образующееся
при этом ядро отдачи, а также вторичные частицы – продукты реакции, обладая значительной скоростью, вызывают смещения атомов облучаемого материала из узлов кристаллической решетки [1].
Характер взаимодействия заряженных частиц с атомами вещества определяется их энергией [2]. Для таких частиц, как протоны, если их энергия
не превышает 20–40 МэВ, как в нашем случае, взаимодействие с атомами
среды определяется кулоновскими силами. Необходимо также заметить, что
пробег заряженных частиц в веществе и, следовательно, потеря ими энергии
определяются, скорее, ионизационными процессами, чем упругими взаимодействиями. Видимо, поэтому и наблюдаются большие значения величин
констант повреждаемости при облучении протонами, что эти частицы проявляют еще и кулоновское взаимодействие с атомами вещества в отличие от
нейтронов, а, кроме того, энергия протонов на порядок выше.
На основе теоретических расчетов, приведенных в работе [3], можно
оценить соотношение между концентрациями радиационных дефектов в
кремнии, полученных в результате облучения СЭ протонами и нейтронами
указанных энергий для одинаковых флюенсов. Концентрации дефектов Nd
связаны с флюенсами частиц F следующим уравнением:
N dn
= K n, p
N dp
46
Fn
,
Fp
(4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
причем коэффициент Kn,p представляет собой отношение
σ v
K n, p = dn n ,
σdp v p
(5)
где σd – эффективное сечение смещения атома-мишени; v – среднее число
смещенных атомов, создаваемых одним первично смещенным атомом, включая и сам атом.
Конкретно для случая облучения реакторными нейтронами кремния σd
можно вычислить по формуле
σdn = 2,6 ⋅ 10–28(1 – Ed/0,113 En),
(6)
где En – энергия нейтронов, в нашем случае 2,2 МэВ; Ed – некоторая пороговая энергия, характеризующая связь атома с решеткой в конкретных условиях, в нашем случае Ed = 13 эВ.
При подстановке числовых значений в формулу (6) второй член в скобках имеет величину существенно меньше единицы (приблизительно 5 ⋅ 10–5),
и, таким образом, выражением в скобках можно пренебречь. При этом
σdn = 2,6 ⋅ 10–28.
В случае облучения кремния протонами в диапазоне энергий от 2 до
40 МэВ сечение смещения атомов кремния можно найти из формулы
lg σdp = –22,4 – lg Еp.
(7)
–24
Для протонов с энергией Ер = 20 МэВ сечение σdp = 2 ⋅ 10 . Число
смещенных атомов кремния в случае облучения нейтронами можно вычислить по уточненной формуле Кинчина–Пиза [4]:
vn = fd f Ea / 2 Ed,
(8)
где Еа – энергия отдачи, т.е. переданная атому решетки часть энергии налетающей частицы; f – поправочный множитель, учитывающий анизотропию рассеяния быстрых нейтронов и отклонения от закона упругих столкновений, для
кремния f = 0,58; fd – поправка Дрейна для кремния, равная в нашем случае 0,8.
Вследствие того, что в нашем случае преобладают процессы ионизации, можно положить Еа = Ei, где Ei – пороговая энергия ионизации, равная в
нашем случае 7,5 кэВ. Подставляя эти значения в формулу (8), получаем
vn = 133,85.
Для нерелятивистских протонов с энергией Ер < 50 МзВ число смещенных атомов кремния можно определить по формуле
vp = 0,5 ln(0,133 Ep/Ed).
(9)
Если учесть, что для Si Ed = 20 МэВ, то vp = 5,9.
При одинаковых флюенсах частиц отношение Fn/Fp в формуле (4) принимает значение 1, и тогда коэффициент Kn,p определяет отношение концентраций радиационных дефектов при облучении нейтронами и протонами
одинаковых флюенсов. Подставляем вычисленные значения σn, σp, vn и vp в
формулу (5). При этом Kn,p принимает значение 3 ⋅ 10–3.
Такое значение Kn,p говорит о том, что при одинаковых флюенсах протонов с энергией 20 МзВ и нейтронов с энергией 2,2 МэВ концентрация дефектов в кремниевых пластинах при облучении протонами в 300 с лишним
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
раз больше, чем при облучении нейтронами. При этом константа повреждаемости, вычисленная по формуле (3), увеличилась приблизительно в 10 раз.
Таким образом, сравнивая эффекты от облучения СЭ реакторными
нейтронами и протонами с Е = 20 Мэв, можно отметить, что несмотря на то,
что среднее число смещенных атомов, создаваемых одним первично смещенным бомбардирующей частицей атомом, при облучении нейтронами в два с
половиной раза больше, чем при облучении протонами, число радиационных
дефектов тем не менее образуется значительно больше при облучении протонами за счет того, что эффективное сечение смещения атома кремния протонами на четыре порядка выше.
Полученные данные можно использовать для решения ряда прикладных задач. В частности для прогнозирования снижения эффективности СЭ
под воздействием нейтронного и протонного облучения.
Список литературы
1. К о н о п л е в а , Р . Ф . Взаимодействие заряженных частиц высоких энергий с германием и кремнием / Р. Ф. Коноплева, В. Н. Остроумов. – М. : Атомиздат, 1975. –
128 с.
2. К о н о п л е в а , Р . Ф . Особенности радиационного повреждения полупроводников частицами высоких энергий / Р. Ф. Коноплева, В. Л. Литвинов, Н. А. Ухин. –
М. : Атомиздат, 1971. – 176 с.
3. У с т ю ж а н и н о в , В . Н . Радиационные эффекты в биполярных интегральных
микросхемам / В. Н. Устюжанинов, А. 3. Чепиженко. – М. : Радио и связь, 1989. –
144 с.
4. К и н ч и н , Г . Н . Смещение атомов в твердых телах под воздействием излучения /
Г. Н. Кинчин, Р. С. Пиз // УФН. – 1956. – Т. 60. – Вып. 4. – С. 590.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
УДК 621.039.524.4–98:621.039.531
В. В. Светухин, О. Г. Сидоренко
К ВОПРОСУ О МОДЕЛИРОВАНИИ РАДИАЦИОННОГО
УПРОЧНЕНИЯ И РАДИАЦИОННОГО ОХРУПЧИВАНИЯ
МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ
В работе предложена кинетическая модель радиационно ускоренной
кластеризации и преципитации примесей в металлах и сплавах. Предложенная
модель использована для расчета сдвига температуры хрупко-вязкого перехода
корпусов реакторов ВВЭР-440. Получены математические выражения, описывающие влияние плотности потока нейтронов на радиационное охрупчивание.
Введение
В процессе облучения в материале происходят микроструктурные изменения, которые приводят к макроизменениям, а именно к изменению механических свойств металлов и сплавов: предел прочности и предел текучести повышаются, а величина относительного удлинения падает, и при определенных условиях материал становится хрупким. Если речь идет о корпусе
реактора, как об одном из барьеров безопасности, то данная проблема хрупкости материала приобретает особую актуальность. Радиационное упрочнение корпусных сталей сопровождается низкотемпературным охрупчиванием.
Низкотемпературное радиационное охрупчивание характеризуется сдвигом
температуры хрупко-вязкого перехода в область высоких температур, близким к температурам эксплуатации. Хотя явления радиационного упрочнения
и радиационного охрупчивания по действию на работоспособность металла
являются противоположными, между ними существует взаимосвязь. В настоящее время в качестве объяснения механизмов радиационного охрупчивания представляют механизмы радиационного упрочнения.
Цель данной работы: на основании простых математических выкладок
связать радиационное охрупчивание с микроструктурными изменениями,
происходящими в материале под облучением.
1. Математическая модель упрочнения металлов
примесными кластерами и преципитатами
Изменение прочностных характеристик материала при облучении обусловлено формированием дефектов различной природы, являющихся эффективными стопорами для дислокаций. В зависимости от температуры и характеристик облучения формируется тот или иной вид дефектов – примесные
кластеры, преципитаты, скопления из собственных точечных дефектов (вакансионные поры, дефекты упаковки) и т.д.
Для начала рассмотрим кинетику роста скоплений из примесных атомов, проходящую по следующей обратимой схеме:
k (i )
⎯⎯⎯
→ Ai +1C .
Ai C + A ←⎯⎯
⎯
g (i )
(1)
Эта модель соответствует росту кластеров или преципитатов из примесных атомов сорта А на центрах зарождения C с концентрацией NC ; k(i)
и g(i) – кинетические коэффициенты захвата и выброса мономера центром
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
скопления. В первом приближении будем считать, что данная концентрация
не меняется с течением времени и может быть определена экспериментально.
Центры зарождения могут или присутствовать в материале до облучения, или
формироваться на начальной стадии облучения.
В случае если рост лимитирован диффузией, кинетический коэффициент k (i ) можно представить в виде [1]
k (i ) = 4πD* R (i ) ,
(2)
где D* – эффективный коэффициент диффузии примесного мономера в облучаемом материале; R (i ) – радиус скопления из i частиц. Зависимость радиуса от числа частиц в кластере можно представить в виде
R (i ) = b(i + m)α ,
(3)
где b – величина порядка расстояния между частицами в скоплении; величина m – начальный размер скоплений, определяется из условия, что размер
центров зарождения равен R (0) = bmα .
Значение параметра α определяется из простых геометрических соображений. Так, для сферических скоплений α = 1/ 3 , для дискообразных
α = 1/ 2 , для кластеров с фрактальной размерностью DF α = 1/ DF .
Необходимо учесть, что при облучении увеличивается коэффициент
диффузии примесных атомов. В случае если реализуется вакансионноускоренный механизм диффузии, наиболее простая модель дает следующее
выражение [2]:
N
D* = D V ,
NVE
(4)
где NV – концентрация вакансий в материале при облучении; NVE – равновесная концентрация вакансий; D – коэффициент диффузии примеси в отсутствии облучения.
В случае если кинетические коэффициенты определяются формулой (2),
для среднего числа частиц в скоплениях i (t ) можно получить уравнение [3]
d i
dt
= k D ( N (t ) − N E )( i (t ) + m)α ,
(5)
где k D = 4π D*b , N E – равновесная концентрация примесных мономеров.
Кроме того, в любой момент времени для системы, описываемой схемой (1), выполняются законы сохранения центров зарождения и общего числа частиц в системе. Законы сохранения позволяют найти среднее число частиц в системе
i =
N (0) − N (t )
.
NC
(6)
Используя формулы (5) и (6), можно получить дифференциальное
уравнение, описывающее изменение концентрации мономеров в процессе
распада пересыщенного твердого раствора:
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
dN (t )
α
1−α
= − k D NC
( N (t ) − N E ) { N (0) − N (t ) + mNC } ,
dt
(7)
а, пренебрегая начальным размером скоплений ( m = 0 ) и используя приближение N (0) − N (t ) ≈ N (0) − N E , будем искать решение дифференциального
уравнения (7) на начальном этапе распада твердого раствора в виде
N (t ) = N E + [ N (0) − N E ] exp(− f (t )) ,
(8)
где
1
f (t ) = ⎡(1 − α) A( N (0) − N E )α t ⎤ 1−α , f (0) = 0 ,
⎣
⎦
df
1−α
exp(− f (t )) ≈ 1 − f (t ) ,
= k D NC
( N (0) − N E )α f α .
dt
(9)
После подстановки уравнения (9) в (8) с учетом приближений, указанных выше, получаем выражение, описывающее кинетику уменьшения концентрации мономеров на начальном этапе распада твердых растворов:
1 ⎫
⎧
N (t ) − N E
α
⎪
⎪
−α
1
= exp ⎨− NC (1 − α ) ⎣⎡ N ( 0 ) − N E ⎤⎦ k D t
⎬.
N (0) − N E
⎪
⎪
⎩
⎭
{
}
(10)
При больших временах, используя приближение N (t ) ≈ N E , решение
уравнения (7) может быть аппроксимировано выражением
{
α
}
1−α
N (t ) − N E = A exp − NC
[ N (0) + mNC − N E ] kD t ,
(11)
где А – некоторая константа.
Заметим, что уравнение (10) приводит в качестве частного результата к
уравнению Авраамии–Хэма для распада пересыщенных твердых растворов [4]:
{
}
N (t ) − N E
= exp − K t τ ,
N (0) − N E
(12)
где константа τ определяется геометрией кластеров; K – константа, зависящая от концентрации центров зарождения, степени пересыщения раствора и
коэффициента диффузии мономеров. Используя уравнение диффузии, Хэм
рассмотрел рост преципитатов различной геометрии и нашел, что τ = 3/2 для
выделений с постоянным эксцентриситетом, τ = 2 для выделений в виде дисков, τ = 1 для цилиндрических выделений.
Таким образом, в отсутствие облучения в качестве частного результата
мы автоматически получаем уравнение Авраамии–Хэма, хорошо подтвердившее свою применимость на большом числе экспериментальных данных.
Из уравнения (5), используя уравнение (3), можно найти закономерность изменения среднего геометрического размера кластеров на начальной
стадии распада твердого раствора:
α
R = b ( (1 − α)k D ( N (0) − N E )t )1−α .
(13)
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2. Расчет концентрации вакансий и вакансионно-ускоренного
коэффициента диффузии примесей
Мы сделали предположение, что диффузия примесных атомов ускоряется вакансиями, образующимися при облучении (4). Для расчета концентрации свободных междоузельных атомов и вакансий в первом приближении
можно использовать следующую систему дифференциальных уравнений [2]:
⎧ dNV
⎪⎪ dt = G − RNV N I − KV NV ;
⎨
⎪ dN I = G − RN N − K N ,
V I
I I
⎪⎩ dt
(14)
где G = σϕ – скорость введения свободно мигрирующих вакансий; σ – сечение их образования; ϕ – плотность потока быстрых нейтронов; R – константа рекомбинации; KV , I = DV , I SV , I – константа скорости поглощения вакансий (междоузлий) стоками различной природы; DV , I – коэффициент диффузии вакансии и междоузельного атома; SV , I – эффективная площадь стоков
для вакансий и междоузельных атомов.
Можно ввести в уравнение (14) процесс образования вакансионнопримесных комплексов, однако это принципиально не повлияет на характер
полученных решений, поэтому ограничимся приближением (14).
Из уравнения (14) можно найти стационарное решение для концентрации вакансий [5]:
NV =
(
GF (η)
,
SV DV
(15)
)
2
4 RG
(1 + η)1/ 2 − 1 , η =
.
DV DI SV S I
η
Таким образом, используя (4) и (15), можно записать следующее уравнение для эффективного коэффициента диффузии примесей при облучении:
где F (η) =
D* = D
GF (η)
SV DV NVE
.
(16)
В зависимости от температуры будет доминировать тот или иной механизм рекомбинации собственных точечных дефектов [5]. При высоких температурах исчезновение вакансий определяется их уходом на стоки. В этом
ϕ
случае из (15) можно получить следующую асимптотику: NV ~ G ~
, где
ϕ0
φ0 = 10–12 см–2·с–1. При «низких» температурах концентрация собственных
дефектов определяется их взаимной рекомбинацией. В этом случае можно
ϕ
получить, что NV ~
.
ϕ0
Формально определим связь между концентрацией вакансий и плотностью потока с помощью следующего эмпирического соотношения:
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
⎛ ϕ ⎞
NV = aV (T ) ⎜ ⎟
⎝ ϕ0 ⎠
n(T )
,
(17)
где показатель n изменяется в интервале от 0,5 до 1 в зависимости от температуры; aV – некоторая функция, зависящая от температуры.
Соответственно запишем выражение для вакансионно-ускоренного коэффициента диффузии примесей:
⎛ ϕ ⎞
aV (T ) ⎜ ⎟
⎝ ϕ0 ⎠
D* = D
NVE
n (T )
.
(18)
3. Упрочнение металлов и сплавов примесными кластерами
Для описания процесса упрочнения используем наиболее известную
модель Орована:
Δσ = α 0 NC R .
(19)
Используя равенство k D = 4π D*b и подставляя выражения (13) и (4) в
(19), можно получить следующее выражение:
1−α
⎛
N
⎜
Δσ = α 0 4πbD (1 − α )( NC ) α ( N (0) − N E ) V
⎜
NVE
⎝
α
⎞ 2(1−α )
.
t⎟
⎟
⎠
(20)
Используя связь между флюенсом быстрых нейтронов F = ϕ t и временем, а также эмпирическое выражение (17) для концентрации вакансий и
уравнение (6), можно получить следующую зависимость упрочнения от
флюенса быстрых нейтронов и плотности потока быстрых нейтронов при облучении на начальном этапе облучения:
⎛
⎜ F
F0
Δσ( F , ϕ) ~ ⎜
⎜ ⎛ ϕ ⎞1− n
⎜⎜ ϕ ⎟
0⎠
⎝⎝
α
⎞ 2(1−α )
⎟
⎟
,
⎟
⎟
⎠
(21)
где F0 = 1018 см–2.
На более поздних стадиях облучения при приближении к насыщению
процесса зависимость упрочнения будет носить следующий характер:
α
⎛
⎞2
⎜
⎟
λF
F0 ⎟
⎜
Δσ( F , ϕ) ~ 1 − B exp(−
) ,
1− n ⎟
⎜
⎛ϕ ⎞
⎜
⎟
⎜ ϕ ⎟
0⎠
⎝
⎝
⎠
(22)
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
A
A
1−α
где λ = NC
.
(1 − α ) ( N (0) + mNC − N E )α 4πbD Ve ; B =
N (0) − N E
NV
4. Качественный анализ полученных аналитических зависимостей
Зависимость от флюенса быстрых нейтронов
Как уже было показано, исходя из предложенной модели зависимость
упрочнения от флюенса быстрых нейтронов на начальном этапе облучения носит степенной характер (22), причем показатель степени зависит от геометрии
скоплений. Так, например, для скоплений дискообразной геометрии ( α = 1/ 2 )
Δσ( F ) ~
1
F2
.
(23)
Данная геометрия может реализовываться, например, для дефектов
упаковки или для вакансионных кластеров на ранней стадии их роста.
Для скоплений сферической формы ( α = 1/ 3 )
1
Δσ( F ) ~ F 4 .
(24)
Для примесных кластеров, образующихся при диффузионном росте,
достаточно естественной является фрактальная геометрия. Так, если фрактальная размерность кластеров равна DF = 2, 45 (соответственно α = 1/ DF ),
можно получить следующую зависимость:
Δσ( F ) ~ F 0,35 .
(25)
На более поздней стадии облучения зависимость упрочнения от флюенса быстрых нейтронов будет определяться выражением (23).
Зависимость от плотности потока быстрых нейтронов
В соответствии с предложенной моделью (22), (23) в зависимости от
температуры облучения, от параметров диффузии вакансий и междоузельных
атомов, от их взаимодействия со стоками эффект зависимости от плотности
потока быстрых нейтронов будет присутствовать в той или иной мере. Более
ярко этот эффект будет присутствовать при низких температурах, когда концентрация вакансий и междоузельных атомов определяется их взаимной рекомбинацией. Если исчезновение собственных точечных дефектов определяется их уходом на стоки, зависимость от плотности потока быстрых нейтронов становится слабой или совсем исчезает.
Заметим, что в процессе облучения при формировании и росте стоков
для собственных точечных дефектов возможно изменение механизмов рекомбинации точечных дефектов. Соответственно с увеличением флюенса
быстрых нейтронов возможно исчезновение эффекта влияния плотности потока быстрых нейтронов, проявляющегося при небольших флюенсах быстрых нейтронов.
Влияние плотности потока может сказываться и на формировании центров зарождения примесных кластеров и преципитатов. Данная задача требует отдельного рассмотрения. Однако можно сделать предположение, что ста54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
дия зародышеобразования протекает достаточно быстро, и упрочнение определяется стадией роста кластеров.
Зависимость от концентрации примеси
Необходимо учесть, что от концентрации примеси может зависеть и
концентрация центров зарождения кластеров или преципитатов. В простейшем случае эту зависимость можно записать в виде
m
NC ~ ( N (0) − N E ) ,
(26)
что позволяет получить из (20) зависимость упрочнения от концентрации
примеси:
Δσ( N ) ~ ( N − N E )
m
α
+
2 2(1−α )
.
(27)
Так, например, если m = 2 , α = 1/ 3 , можно получить Δσ( N ) ~
~ ( N − N E )1,25 , если m = 1 , α = 1/ 2 , то Δσ( N ) ~ ( N − N E ) и т.д.
На основе качественного анализа полученных аналитических зависимостей можно сделать вывод, что радиационное упрочнение будет носить
«пороговый» характер от концентрации примесей. Наличие пороговой концентрации N E обусловлено растворимостью примесей при заданных условиях облучения, и эффект влияния плотности потока быстрых нейтронов будет
присутствовать при концентрации примесей, выше некоторого значения концентрации, ниже этого значения этот эффект вероятнее всего присутствовать
не будет.
Если примесь не участвует в процессе формирования центров зарождения (механизм образования зародышей гетерогенный), то показатель степени
при концентрации примеси будет меньше единицы.
Зависимость от температуры облучения
Температурная зависимость упрочнения складывается из двух факторов: температурной зависимости степени пересыщения по концентрации
примесных дефектов ( N (0) − N E (T ) ) и температурной зависимости эффективного
коэффициента
( N (0) − N E (T ) )
диффузии
D* (T ) .
Заметим,
что
величина
при облучении отличается от термодинамически равновес-
ной величины. В наиболее простом случае влияние температуры облучения
приводит к сдвигу кривой растворимости вдоль оси температур на некоторую положительную величину. Сдвиг зависит от условий облучения (соответственно может появиться дополнительная зависимость от плотности потока быстрых нейтронов) и может быть найден из анализа кинетических
уравнений для концентрации вакансий и междоузельных атомов.
Связь между изменением предела текучести и сдвигом
температуры хрупко-вязкого перехода
Взаимосвязь между сдвигом температуры вязко-хрупкого перехода и
ростом предела текучести после облучения можно объяснить схемой Иоффе–
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Давиденкова [6]. Для феррито-перлитных сталей получена хорошая корреляция зависимостей прироста предела текучести и величины сдвига порога
хрупкости с повышением флюенса [6, 7]. В работе [7] представлен анализ изменения предела текучести и порога хрупкости большого количества образцов-свидетелей корпусных сталей, облученных в разных реакторах. Хорошая
корреляция наблюдается для основного металла четвертого блока Кольской
АЭС, для которого степень радиационного охрупчивания растет пропорционально приросту предела текучести при температуре облучения 270°С до
флюенса 1 · 1019–2 · 1020 см–2. Поэтому предполагается наличие корреляции
между Δσ ~ ΔT ,
α
⎛
⎞ 2(1−α )
F
⎜
⎟
⎜ F0
⎟
ΔT ( F , ϕ) ~ ⎜
.
1− n ⎟
⎜⎛ ϕ ⎞ ⎟
⎜⎜ ⎜ ϕ ⎟ ⎟⎟
⎝⎝ 0 ⎠ ⎠
(28)
5. Использование предложенной модели для описания радиационного
охрупчивания корпусов реакторов ВВЭР-440
Для обоснования назначенного срока службы корпуса реактора необходимо знать, когда разрушение материала корпуса станет хрупким. Для этого
следует иметь зависимость сдвига температуры хрупко-вязкого перехода от
флюенса быстрых нейтронов и величины плотности потока быстрых нейтронов.
Для описания радиационного охрупчивания стали 15Х2МФА, используемой в качестве материала корпуса реакторов ВВЭР-440, была использована разработанная выше физическая модель. Моделирование проводилось в
предположении, что за механизм охрупчивания отвечают примесные кластеры, образующиеся при облучении. Было проведено исследование влияния таких факторов, как флюенс быстрых нейтронов, температура облучения и
плотность потока нейтронов быстрых нейтронов.
Зависимость упрочнения от флюенса быстрых нейтронов носит степенной характер Δσ( F ) ~ F m . Будем считать, что за упрочнение отвечают
примесные кластеры, характеризующиеся дискообразной геометрией, тогда в
1
уравнении (21) α = .
2
Используя взаимосвязь между изменением предела текучести и сдвигом температуры хрупко-вязкого перехода, получаем ΔT ~ F 1/ 2 .
Сегодня уже ни у кого не возникает сомнений, что скорость набора повреждающей дозы влияет на механические свойства конструкционных материалов реактора. Последнее время ставится вопрос о включении плотности
потока нейтронов в нормативные зависимости, используемые для прогнозирования ресурсов реакторов ВВЭР, поэтому будем искать зависимость
ΔT = f ( F , ϕ) .
Считая, что радиационное охрупчивание происходит в области достаточно «низких» температур (Тобл = 270°С), и концентрация вакансий связана с
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
плотностью потока соотношением NV ~
ϕ
, показатель степени n в уравϕ0
нении (28) принимается равным 0,5.
Таким образом, в соответствии с предложенной моделью для сдвига
температуры хрупко-вязкого перехода ΔT можно записать следующее выражение:
ΔT ( F , ϕ) = A
F 1/ 2
ϕ1/ 4
.
(29)
Еще раз отметим, что данное выражение носит асимптотический характер и может быть использовано в области выхода величины ΔT на насыщение.
Полученное простое выражение (29) позволяет проводить пересчет
экспериментальных данных, полученных при одной плотности потока ϕ1 к
другой плотности потока ϕ2 :
1/ 4
⎛ϕ ⎞
ΔT ( F , ϕ2 ) = ΔT ( F , ϕ1 ) ⋅ ⎜ 1 ⎟
⎝ ϕ2 ⎠
.
(30)
Данная процедура может быть полезна для сопоставления экспериментальных данных, полученных на реакторах с одними условиями облучения к
другим параметрам облучения.
Используя выражение (30), мы провели процесс приведения экспериментальных данных, полученных для различных плотностей потока [8] (рис. 1)
к плотности потока 4 ⋅ 1012 см −2 с−1 (рис. 2).
ΔT , °C
F, 1020 см–2, E > 0,5 МэВ
Рис. 1 Сдвиг температуры хрупко-вязкого перехода материала сварных швов стали
15Х2МФА при облучении различными плотностями потока нейтронов:
4 ⋅ 1011 см −2 с −1 (○), (3 − 5) ⋅ 1012 см −2 с −1 (◊), 7 ⋅ 1012 см −2 с −1 (+)
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ΔT , °C
F, 1020 см–2, E > 0,5 МэВ
Рис. 2 Экспериментальные данные по сдвигу температуры хрупко-вязкого
перехода материала сварных швов стали 15Х2МФА, приведенные
к плотности потока 4 ⋅ 1012 см −2 с −1
Заключение
В работе предложена физическая модель радиационно-стимулированной
преципитации и кластеризации примесей в твердых телах. В отсутствие облучения в качестве частного результата предложенная модель приводит к теории
Хэма для диффузионного распада пересыщенных твердых растворов. Предложенная модель может быть использована для описания упрочнения металлов и
сплавов примесными преципитатами и кластерами. Модель позволяет проводить пересчет экспериментальных данных по охрупчиванию, полученных при
облучении в разных реакторах при различающихся плотностях потока быстрых
нейтронов. Показано, что предложенная модель может быть использована для
описания радиационного охрупчивания корпусной стали ВВЭР-440.
Список литературы
1. S m o l u c h o w s k i , M . V . // Z. Phys. Chem. – 1917. – V. 92. – Р. 192.
2. И в а н о в , Л . И . Радиационная физика металлов и ее приложения / Л. И. Иванов,
Ю. М. Платов. – М. : Интерконтакт Наука, 2002. – 300 с.
3. В а н К а м п е н Н . Г . Стохастические процессы в физике и химии / Н. Г. Ван
Кампен. – М. : Высшая школа, 1990.
4. H a m , F . S . Theory of Diffusion-Limited Precipitation / F. S. Ham // Phys. Chem.
Solids. – 1958. – V. 6. – P. 335–350.
5. А х и е з е р , И . А . Введение в теоретическую радиационную физику металлов и
сплавов / И. А. Ахиезер, Л. Н. Давыдов. – Киев : Наук. думка, 1985. – С. 144.
6. П а р ш и н , А . М . Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение / А. М. Паршин, И. М. Неклюдов, Н. В. Камышанченко. – город : Изд-во
БГТУ, 1998. – 378 с.
7. А м а е в , А . Д . Радиационная повреждаемость и работоспособность конструкционных материалов / А. Д. Амаев, А. М. Крюков, И. М. Неклюдов [и др.]. – СПб. :
Политехника, 1997. – 312 с.
8. С о л о в ь е в , С . П . Механические, коррозионные и радиационные свойства материалов для ядерных энергетических установок : учебное пособие по курсу «Материалы ядерных энергетических установок» / С. П. Соловьев, В. С. Хмелевская. –
Обнинск : ИАЭТ, 1991. – 174 с.
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
УДК 621.039.531
Физико-математические науки. Физика
В. В. Светухин, А. С. Кадочкин, В. Д. Рисованный
ПАРАМЕТРЫ ПРОТЕКАНИЯ ГЕЛИЯ В ПОГЛОЩАЮЩИХ
ЭЛЕМЕНТАХ РЕАКТОРОВ ВВЭР
Построена теоретическая модель, описывающая протекание гелия через
порошок карбида бора в поглощающем элементе атомного реактора. При помощи разработанной модели на основании экспериментальных данных исследован характер протекания гелия и определен коэффициент проницаемости
порошка карбида бора в отсутсвие выгорания и после эксплуатации.
Введение
Карбид бора имеет уникальные свойства: высокую эффективность поглощения нейтронов, химическую стабильность, высокую температуру плавления, низкую плотность и низкую стоимость, что обусловило широкое его
использование в стержнях системы управления и защиты ядерных реакторов
различного типа. Порошок карбида бора естественного изотопного состава
применяют в качестве поглощающего материала в поглощающих сборках реакторов ВВЭР-1000. Его поведение при облучении в решающей степени определяет работоспособность поглощающих элементов и их ресурс.
Органы защиты и регулирования должны сохранять в заданных пределах эффективность поглощения нейтронов, целостность и форму для свободного перемещения в направляющих каналах и гильзах. Недопустимы разрушение, деформация и заклинивание органов регулирования в направляющих
каналах, что может явиться следствием распухания поглотителя под воздействием реакторного облучения, взаимодействия его с теплоносителем, избыточного газового давления, перегрева и т.п., поэтому одним из факторов, ограничивающих работоспособность поглощающих элементов на основе виброуплотненного порошка карбида бора, является повышенное газовое давление под оболочкой вследствие интенсивного выделения гелия из частиц порошка в результате реакций (n, α) на изотопе 10B. При больших сроках службы пэла оно может создавать существенные напряжения в оболочке и при
определенных условиях может превысить критическое значение, определяемое прочностью оболочки и внешним давлением со стороны теплоносителя.
До недавнего времени отсутствовала методика расчета распределения давления гелия под оболочкой пэлов как в номинальных, так и в аварийных режимах эксплуатации.
Основной задачей моделирования работы поглощающего элемента в
реакторе является адекватное описание его состояния в различные моменты
эксплуатации в различных условиях и, исходя из этого, оценка ресурсных
возможностей существующих и разрабатываемых конструкций. Одной из актуальных задач, которую необходимо решить при создании математической
модели поглощающего элемента, является нахождение распределения давления вышедшего под оболочку гелия, образовавшегося в процессе поглощения
нейтронов, и изменение его в процессе облучения. Для решения данной задачи необходимо определить механизм просачивания гелия через порошок карбида бора, а также физические параметры, характеризующие этот процесс
при различных значениях выгорания.
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Описание эксперимента
Для определения параметров протекания газа через порошок карбида
бора в отсутствие выгорания был проведен модельный эксперимент, экспериментальная установка представляла собой два баллона с манометрами, соединенных между собой трубкой с виброуплотненным порошком карбида
бора. Между первым баллоном и трубкой был расположен отсечной вентиль.
Трубка, моделирующая пэл, заполнена порошком карбида бора с известной
насыпной плотностью. Для предотвращения попадания частиц порошка в
баллоны трубка с обоих концов порошковой засыпки снабжена разделителями из никелевой сетки с очень большой газопроницаемостью, размер которых много меньше длины трубки.
Воздух из баллонов и трубки с порошком откачивался с помощью форвакуумного насоса, затем баллоны заполнялись техническим гелием до различных давлений при закрытом вентиле, после чего вентиль открывался, и
регистрировалась зависимость изменения давления в баллонах от времени.
К настоящему времени выполнен также большой цикл работ по исследованию поглощающих элементов с порошком карбида бора ПС СУЗ реакторов ВВЭР-1000, отработавших различное время на Калининской и Балаковской АЭС (таблица 1). Накопленный опыт исследований отработавших в реакторах ПС СУЗ позволяет выявить основные физические процессы, происходящие в поглощающих элементах при их эксплуатации.
Таблица 1
Основные характеристики исследованных пэлов
Характеристика пэла
и режим эксплуатации
Время облучения в реакторе:
календ. сут.
эффект. сут.
Пэл АЗ
Калининской АЭС
Пэл АР
Балаковской АЭС
2464
1804
680
551
Для определения параметров протекания гелия через порошок карбида
бора при наличии выгорания был проведен ряд экспериментов с отработавшими определенное время поглощающими элементами. Исследование параметров просачивания гелия через порошок карбида бора производилось путем прокалывания оболочки поглощающего элемента. Давление гелия и объем газосборника определяли манометрическим методом прокола оболочки в
месте расположения газосборника пучком лазера с помощью стандартной
методики. В момент прокола оболочки скачкообразно выделялось некоторое
количество газа, а затем по мере выдержки гелий, просачиваясь через порошковый сердечник, постепенно выходил в измерительную систему, причем
скорость натекания уменьшалась с течением времени. Измерения объема выделившегося при проколе оболочки гелия проводили для двух пэлов, работавших в режиме аварийной защиты (АЗ) и трех пэлов, работавших в режиме
автоматического регулирования (АР).
Основные уравнения
Для описания просачивания газа через пористую среду применяется
уравнение фильтрации Дарси, записываемое в одномерном случае в виде
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
∂ ⎡ K ∂p ⎤
∂ρ
ρ ⎥=ϕ ,
⎢
∂x ⎣ η ∂x ⎦
∂t
(1)
где ρ и p − плотность и давление газа соответственно; η − вязкость газа; ϕ −
пористость порошка; K − проницаемость порошка; γ ( x, t ) − газовыделение в
единице объема в единицу времени.
В условиях рассматриваемого эксперимента выделение газа γ ( x, t )
равно нулю, кроме того, нами полагалось, что течение газа по трубке является вязким без скольжения, т.е b = 0. В этом случае уравнение (1) упрощается
и принимает вид
a
∂ ⎛ ∂p ⎞
∂p
⎜p ⎟=ϕ ,
∂x ⎝ ∂x ⎠
∂t
(2)
где a = K ϕ η.
Начальное условие имеет вид p ( x,0) = p0 , граничные условия определяются геометрией задачи и в случае модельного эксперимента по прохождению гелия через трубку с порошком карбида бора записываются как
∂p
K
∂p (0, t )
(0, t ) = −
p (0, t )
,
∂t
ϕηl
∂x
∂p
K
∂p (l , t )
(l , t ) = −
p (l , t )
,
∂t
ϕηl
∂x
(3)
что отражает тот факт, что массовый расход газа через границу баллон–
трубка зависит от объема баллона и от давления в нем.
При моделировании эксперимента по проколу пэла после эксплуатации
использовались граничные условия другого вида. Первое граничное условие
∂p
(0, t ) = 0, что означает отсутствие течения у нижнего конца пэла, а второе
∂x
граничное условие определялось из условия сохранения массы газа в замкнутом объеме:
L
∫
ϕS p ( x)dx + p ( L, t ) = p0 (ϕSL + Vg ),
(4)
0
где S – площадь поперечного сечения сердечника; L – длина порошкового
сердечника; V0 и Vg – объемы измерительной системы и газосборника пэла.
В данном эксперименте использовались следующие значения этих величин:
S = 0,38 см 2 , L = 370 см, V0 = 140, 23 см3 .
Объем вышедшего газа при нормальных условиях V (t ) определяли с
помощью соотношения
p ( L, t )(V0 + Vg )
T
p V (t )
= атм
,
T0
(5)
где pатм – атмосферное давление, равное 105 Па, T0 = 273,15 K .
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Численный расчет. Обсуждение результатов
Нелинейное дифференциальное уравнение (1) решалось нами численно
для обоих типов граничных условий при следующих значениях входящих в
него величин: η = 1,95 ⋅ 10−5 Па ⋅ с, T = 293 K , ϕ = 0,305, что соответствует
средней насыпной плотности порошка карбида бора, равной 1,75 г/см3 , коэффициент проницаемости гелия определялся методом сравнения расчетных
и экспериментальных данных как для эксперимента по проколу пэла, так и
для модельного эксперимента по просачиванию гелия через трубки
(рис. 1, 2). Путем варьирования величины K добивались минимизации суммы квадратов отклонений расчетных и экспериментальных значений объема
вышедшего гелия.
p, атм
7
6
5
4
3
0
1000
2000
t, c
3000
4000
5000
Рис. 1 Зависимость давления в баллонах от времени:
сплошные линии соответствуют расчетным данным;
кружки – экспериментальные точки
При моделировании эксперимента по прохождению гелия через трубку
с порошком карбида бора было получено значение проницаемости
K = (3,50... 7, 45) ⋅ 10−14 м2.
Для пэлов, работающих в режиме аварийной защиты (таблица 2), про-
ницаемость K составляет величину порядка 10−14 м 2 , для пэлов же, работающих в режиме автоматического регулирования, порядок величины K со-
ставляет 10−13 м 2 . В связи с этим нужно отметить следующее. С одной стороны, порошок в процессе эксплуатации подвержен спеканию, поэтому проницаемость порошка пэлов, работающих в режиме автоматического регулирования и находящихся в активной зоне реактора, со временем должна
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
уменьшаться. Пэлы, работающие в режиме аварийной защиты, находятся вне
активной зоны реактора, поэтому порошок в них подвержен спеканию в гораздо меньшей степени, и его проницаемость должна меняться значительно
слабее. С другой стороны, время работы поглощающих элементов аварийной
защиты (таблица 1) в несколько раз превышает время работы поглощающих
элементов автоматического регулирования, что позволяет, на наш взгляд,
сделать вывод о правдоподобности полученного результата.
50
Объём, см3
40
30
20
10
0
1000
2000
3000
Время, с
4000
5000
6000
а)
120
Объём, см3
100
80
60
40
0
1000
2000
3000
4000
Время, с
5000
6000
7000
б)
Рис. 2 Объем вышедшего газа: а – пэл АР № 18; б – пэл АЗ № 4
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Таблица 2
Результаты исследования выхода гелия после прокола оболочки
Характеристика
пэла
Давление гелия
в газосборнике
до прокола, атм
K ⋅ 1014 , м 2
Пэл АЗ
№4
Пэл АЗ
№ 14
Пэл АР
№4
Пэл АР
№9
Пэл АР
№ 18
2,98
2,55
1,84
1,62
1,41
3,9
3,5
13,0
25,0
19,5
На рисунках 1 и 2 приведены экспериментальные точки и теоретические кривые для модельного эксперимента и для эксперимента по проколу
оболочки пэла. Видно, что экспериментальные и теоретические зависимости
совпадают с хорошей точностью.
Таким образом, с помощью уравнения фильтрации Дарси оказалось
возможным описать просачивание гелия через порошковый сердечник пэла и
определить газопроницаемость сердечника. При помощи численного моделирования с использованием экспериментальных данных нами была определена
проницаемость порошка карбида бора при отсутствии выгорания (модельный
эксперимент), а также для пэлов, работающих в режиме автоматического регулирования и аварийной защиты. Было показано, что протекание гелия через
порошок карбида бора является преимущественно вязким, а ролью других
механизмов можно пренебречь. Следует отметить, что значения проницаемости K , полученные при моделировании двух независимых экспериментов,
совпадают по порядку величины, что позволяет считать полученные оценки
значения проницаемости достаточно надежными.
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
УДК 532
Г. Г. Куштанова
ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ ДАВЛЕНИЯ
ПРИ НЕРАВНОВЕСНОМ ЗАКОНЕ ФИЛЬТРАЦИИ
Рассматривается периодическое гидродинамическое возмущение в пористом пласте, когда движение жидкости подчиняется неравновесному закону
фильтрации. Определен вклад временных параметров в релаксационные процессы. Отмечены экстремумы амплитуды давления при прохождении границы
областей с различными гидропроводностями через точку наблюдения.
Рациональная разработка нефтяных месторождений тесно связана с построением математических моделей фильтрации, адекватно описывающих
движение жидкости в пласте. В теории фильтрации и ее приложениях широко используется модель классического упругого режима. Плоско-радиальная
нестационарная фильтрация по этой модели описывается следующей системой уравнений:
w=−
k ∂p
,
μ ∂r
ρ0 ∂
∂
(rw) + (mρ) = 0,
r ∂r
∂t
mρ = m0ρ0 + ρ0β ( p − p0 ) ,
(1)
которая сводится к известному уравнению пьезопроводности
κ ∂ ⎛ ∂p ⎞ ∂p
,
⎜r ⎟ =
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂t
(2)
где p – давление; r – радиальная координата; t – время; m – пористость; ρ –
плотность жидкости; β – коэффициент упругоемкости пласта; k – коэффициент проницаемости пласта; μ – коэффициент кинематической вязкость; w –
скорость фильтрации; V – скорость распространения возмущения, индекс 0
соответствует параметрам при р0; κ – коэффициент пьезопроводности.
Используемый закон фильтрации Дарси обеспечивает мгновенное соответствие между скоростью потока и градиентом давления и хорошо описывает медленно меняющиеся во времени процессы. Однако в некоторых условиях относительно быстрого изменения параметров наблюдается явление запаздывания в реакции фильтрационного потока. Для учета этого явления был
предложен [1] закон фильтрации, имеющий неравновесный характер и включающий параметры размерности времени
w + τw
k ∂⎛
∂w
∂p ⎞
=−
⎜ p + τp ⎟ ,
∂t
μ ∂r ⎝
∂t ⎠
(3)
где τр, τw – параметры размерности времени; k – коэффициент проницаемости пласта.
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В этом случае уравнение для давления примет вид [2]
κ ∂⎛ ∂⎛
∂p ⎞ ⎞ ∂p
∂2 p
r
p
+
τ
=
+
τ
.
p
w
⎜
⎜
⎟⎟
∂t ⎠ ⎠ ∂t
r ∂r ⎝ ∂r ⎝
∂t 2
(4)
Соответствующую модель будем называть моделью неравновесной
фильтрации.
Релаксационные явления широко распространены в нестационарных
процессах. Детальное их изучение требуется как для более глубокого проникновения в фундаментальные законы природы, так и для практического
использования в прикладных вопросах. Описываются они сложными нелинейными уравнениями в частных производных, поэтому для решения привлекается аппарат численных методов.
Для определения фильтрационных параметров пласта в промысловых
условиях применяют гидродинамические методы воздействия, среди которых
особо выделяются периодические возмущения давления или дебита. Если регистрация отклика (дебита или давления) происходит на той же скважине,
метод носит название самопрослушивания, и определяемые гидродинамические параметры относятся к прискважинной зоне. Если регистрация отклика
ведется на другой скважине, то такое исследование часто называют межскважинным прослушиванием, определяемые при этом параметры соответствуют межскважинному интервалу.
Из асимптотического анализа в моменты времени близкие к t = 0 + 0
следует, что если τр ≠ 0, фильтрационное возмущение распространяется с
бесконечно большой скоростью. Если же τр = 0, фильтрационное течение
описывается гиперболическим уравнением. В этом случае возмущение распространяется с конечной скоростью и вся область фильтрации разбивается
фронтом возмущения на возмущенную и невозмущенную части. На больших
временах, когда релаксационное поведение закона фильтрации (согласно
принципу затухающей памяти) практически прекращается, давление будет
удовлетворять уравнению пьезопроводности (2).
Процесс установления депрессионной воронки в пласте при пуске
скважины для обеих моделей при τр = 0 в ограниченном пласте представлен
на рисунке 1. В зависимости от времени возможны три различные ситуации.
В начальный период, вплоть до времен, соответствующих времени релаксации, давление в любой точке пласта меньше по классической модели. В модели неравновесной фильтрации ясно выделяется невозмущенная зона, и депрессионная воронка по этой модели как бы «вложена» в депрессионную воронку, рассчитанную по классической модели. Далее, в течение некоторого
времени в окрестности скважины давление по неравновесной модели становится меньше, чем по классической модели. Постепенно эта ситуация распространяется на весь пласт. Подобное поведение отмечено для уравнения
теплопроводности с релаксацией в линейной геометрии [3].
Сравнительный вклад каждого из временных параметров можно проследить по графику (рис. 2) (k = 0,1 мкм2, μ = 10–3 Па·с). Для сравнения там
же приведены динамика давления по классической модели упругого режима
и изменение дебита. Задержку изменения давления на принимающей скважине, иными словами, задержку, связанную со скоростью распространения,
обеспечивает параметр τw. Сдвиг фаз на принимающей скважине в исследо66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
давление, атм
ванном интервале прямо пропорционален величине параметра τw, и большая
его величина обеспечивает большую величину амплитуды пришедшего сигнала. А задержку изменения давления на задающей скважине при изменении
дебита определяет параметр τр [4].
Рис. 1 Распределение давления в пласте на различные моменты времени
(пунктирные кривые – модель классического упругого режима фильтрации,
сплошные – модель неравновесной фильтрации)
100.5
100.2
давление, атм
99.9
99.6
99.3
99
98.7
0
2
4
6
8
10
время, ч
1
2
3
4
Рис. 2 Динамика давления на принимающей скважине: 1 – по классической модели
упругого режима; 2 – по модели неравновесной фильтрации τр = 3600 с, τw = 10 c;
3 – τр = 10 с; τw = 3600 c; 4 – дебит на задающей скважине (масштаб условный)
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Введение релаксационного параметра τw трансформирует параболическое уравнение пьезопроводности в гиперболическое, что приводит к таким
физическим следствиям, как наличие конечной скорости распространения
возмущений V = κ / τ p и возрастание (по сравнению с параболическим) амплитуды распространяющихся в среде сигналов, поскольку при выполнении
∂p
∂2 p
<< τ w
условия
затухание сигнала определяется только геометрией
∂t
∂t 2
задачи (в нашей постановке – цилиндрической симметрией).
Рассмотрим ситуацию межскважинного прослушивания, когда на задающей скважине задается изменение дебита по гармоническому закону, а на
другой, принимающей, расположенной на расстоянии 100 м, регистрируется
изменение давления. Пусть пласт разбит на две области так, что вблизи задающей скважины гидропроводность на порядок больше, чем в остальной
части пласта. Рассмотрим изменение параметров на принимающей скважине,
или, иными словами, в точке наблюдения при перемещении границы этих
двух областей. Возможная физическая интерпретация – продвижение фронта
воды при заводнении или каком-то химическом воздействии и т.п.
Динамика сдвига фаз между дебитом и давлением, а также удвоенная
амплитуда давления в точке наблюдения при периодическом гидродинамическом воздействии с периодом 12 часов показаны соответственно на рисунках 3
и 4. Чем большую часть интервала между задающей скважиной и принимающей занимает зона с улучшенной гидропроводностью, тем, естественно,
меньше сдвиг фаз. До тех пор пока граница не доходит до точки наблюдения,
сдвиг фаз меньше для неравновесной модели. Сдвиг фаз по обеим моделям
сравнивается при прохождении границы через точку наблюдения. При дальнейшем продвижении границы за принимающую скважину сдвиги фаз для
обеих моделей стабилизируются, при этом для классической модели он становится меньше. Амплитуда сигнала при смещении границы в сторону принимающей скважины растет, и максимум соответствует прохождению границы через точку наблюдения. Данное поведение базируется на форме депрессионной воронки в неоднородном пласте.
Если период гидродинамического воздействия сопоставим со временем
релаксации, принципиальных изменений не происходит, но сдвиг фаз для неравновесной модели практически постоянен, изменение составляет 10%, и он
всегда меньше сдвига фаз для классической модели. Амплитуда давления на
принимающей скважине для классической модели меньше, чем для неравновесной примерно до 60 м местоположения границы зон с разными характеристиками.
В случае, когда от задающей скважины перемещается зона ухудшенной
гидропроводности, ситуация обратная. При прохождении границы через
принимающую скважину наблюдается минимум амплитуды, сдвиг фаз растет, отмеченная стабилизация сдвига фаз после прохождения границей точки
наблюдения сохраняется.
Таким образом, в результате численного исследования модели и анализа результатов разделены роли каждого из временных параметров в релаксационном процессе. Отмеченные закономерности, в частности наличие экстремума на величине амплитуды, могут быть использованы при наблюдении
за динамикой процессов выработки нефтяных месторождений.
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки. Физика
сдвиг фаз, ч
№ 2, 2007
удвоенная амплитуда, атм
Рис. 3 Сдвиг фаз в зависимости от местоположения границы зон с различными
параметрами времени: 1 – модель классического упругого режима фильтрации;
2 – модель неравновесной фильтрации
Рис. 4 Удвоенная амплитуда давления в зависимости от местоположения границы
зон с различными параметрами времени; 1 – модель классического упругого
режима фильтрации, 2 – модель неравновесной фильтрации
Список литературы
1. А л и ш а е в , М . Г . К учету явлений запаздывания в теории фильтрации /
М. Г. Алишаев, А. Х. Мирзаджанзаде // Известия вузов. Нефть и газ. – 1975. –
№ 6. – С. 71–74.
2. М о л о к о в и ч , Ю . М . Пьезометрия окрестности скважин. Теоретические
основы / Ю. М. Молокович, А. И. Марков, А. А. Давлетшин, Г. Г. Куштанова. –
Казань : Изд-во «ДАС», 2000. – 203 с.
3. V o l z, S . Transient Fourier deviation by molecular dynamics in solid argon / S. Volz,
J.-B. Saulnier, M. Lallemand // Physical review B. – 1996. – V. 54. – № 1. – P. 340–347.
4. К у ш т а н о в а , Г . Г . Восстановление давления при неравновесном законе
фильтрации жидкости в пласте / Г. Г. Куштанова // Труды международного
форума по проблемам науки, техники и образования. – М., 2005. – 3 т. – С. 99–100.
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 621.039.531.001.57
М. Ю. Тихончев, В. В. Светухин, Т. С. Ильина
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРВИЧНОЙ
РАДИАЦИОННОЙ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ α-ЖЕЛЕЗА
МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ*
В работе представлены результаты компьютерного моделирования процессов первичной радиационной повреждаемости α-железа методом молекулярной динамики с использованием расчетного кода FRENKLOW. При моделировании использован многотельный потенциал межатомного взаимодействия. Рассчитаны пороговые энергии смещения для различных кристаллографических направлений, промоделированы каскады смещений для энергий первично выбитого атома от 0,1 до 20 КэВ и проведены оценки количества дефектов, переживающих рекомбинацию в каскаде, получены результаты по количеству и размерам кластеров вакансий и внедрений, образующихся в таких каскадах.
Введение
Одной из важных характеристик радиационного воздействия, используемых в настоящее время при исследовании изменений физических и механических свойств материалов при длительном облучении, является так называемая повреждающая доза, которая выражается в количестве атомных смещений в кристаллической решетке материала на атом (сна). В физике радиационной повреждаемости материалов предложено немало различных
математических моделей, для расчета повреждающей дозы, среди которых
наибольшее признание и распространение получила модель Норжетта–
Робинсона–Торренса (NRT-стандарт) [1]. Однако эта модель имеет ряд существенных недостатков, основным из которых является неоднозначность
взаимосвязи количества смещений на атом с реальными изменениями микроструктуры материала при различных условиях облучения. В последние годы
разрабатываются новые концепции, основанные на учете процессов рекомбинации точечных дефектов в каскадах и фракций свободно-мигрирующих
дефектов (freely migrating defects, – FMD) [2, 3]. Они призваны более корректно оценивать повреждающую способность различных энергетических
групп нейтронного спектра. Для развития таких концепций необходимо получение детальной информации об особенностях процессов первичного радиационного повреждения материалов, происходящих в каскадах атомных
смещений. Вследствие скоротечности таких каскадов их исследование экспериментальными методами затруднено. Поэтому основным инструментом их
изучения является математическое моделирование.
Данная работа посвящена моделированию каскадов атомных смещений
в α-железе методом молекулярной динамики с целью определения ряда параметров первичной радиационной повреждаемости с учетом процессов рекомбинации и кластеризации точечных дефектов в каскадах смещений.
1. Молекулярно-динамическая модель
Для моделирования каскадов атомных смещений в α-железе нами использовалась компьютерная программа FRENKLOW [4], разработанная в
*
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 07–02–92282–СИГ_а РНП 2.1.2.7242.
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
Тверском государственном техническом университете. Программа базируется на методе молекулярной динамики и предназначена:
– для расчета динамическим методом пороговых энергий смещения и
замещения для различных направлений вылета первично-выбитого атома
(ПВА);
– для моделирования процессов развития цепочек атом-атомных соударений;
– для моделирования каскадов атомных смещений;
– для расчета атомных конфигураций точечных дефектов и их кластеров;
– для расчета энергий образования вакансий и миграции вакансий и
межузельных атомов.
В настоящей работе использовался полуэмпирический многотельный
потенциал межатомного взаимодействия. При использовании многотельных
потенциалов энергия каждого атома не имеет вида суммы парных взаимодействий, а представляется как некоторая функция его локального окружения.
Для переходных металлов были разработаны несколько схем построения такого потенциала: метод погруженного атома (МПА) [5], схема Финниса–
Синкляра [6] и схема Росато–Гвиллопа–Легранда [7]. Несмотря на несколько
различные физические интерпретации, все эти методы дают одинаковое аналитическое выражение для полной энергии системы из N частиц:
Etot =
N −1 N
N
i =1 j =i +1
i =1
∑ ∑ ϕ(rij ) + ∑ F (ρi ) ;
ρi =
(1)
N
∑ ψ(rij ) ,
(2)
j =1
j ≠i
где Etot – полная энергия системы; в формализме МПА: F(ρi) – функция внедрения, определяющая энергию внедрения атома в электронную жидкость
плотностью ρI; ψ(rij) – собственная электронная плотность j-го атома как
функция расстояния до его центра; ϕ(rij) – парный потенциал взаимодействия
между атомами i и j; rij – расстояние между атомами i и j.
В настоящем исследовании мы использовали функцию внедрения,
функцию электронной плотности и парную часть потенциала для α-Fe из работы [8]. Проверка потенциала проведена путем расчета и сравнения с соответствующими экспериментальными значениями равновесного параметра
решетки (a0), энергии связи (EC), упругих констант (C11, C12, C44), энергии образования вакансии (ЕVf) с учетом и без учета релаксации кристаллита, энергии активации вакансии (ED), энергии образования внедрения (Еif) типа «гантель» для трех ориентаций: <100>, <110> и <111> (рис. 1). Полученные рассчитанные величины вместе с соответствующими экспериментальными значениями представлены в таблице 1.
Отметим, что параметры a0, C11, C12, C44 и ЕVf использовались как подгоночные при построении потенциала. Поэтому по этим параметрам наблюдается очень хорошее согласие расчета и эксперимента. Для остальных рассмотренных параметров наибольшие отклонения от эксперимента наблюдаются для энергии активации вакансии (−11%), энергии образования «гантели» внедрения с ориентацией вдоль направления <100> (−10%) и энергии
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
связи (−7%). Отклонение для Еif <110> и Еif <111> составили +2,6 и +1,5% соответственно. В целом согласие между рассчитанными и соответствующими
экспериментальными величинами следует признать удовлетворительным.
Рис. 1 Ориентации «гантелей» внедрений
Экспериментальные и рассчитанные параметры α-железа
а0, Å
ЕС, эВ
С11, ГПа
С12, ГПа
С44, ГПа
ЕVf, эВ
эксперимент
2,8553 [9]; 2,866 [10]
4,316 [9]; 4,28 [14]
243,4 [9]; 233,0 [11]
145,0 [9]; 135,5 [11]
116,0 [9]; 117,8 [11]
1,84 [9]; 2,00 [12]
расчет
2,8553
4,013
243,3
145,0
116,1
1,84
1,72 (релакс.)
ED, эВ
Еif <100>, эВ
Еif <110>, эВ
Еif <111>, эВ
Е2Vf <110>, эВ
эксперимент
2,65 [15]
4,37 [13]
3,41 [13]
4,11 [13]
Е2Vf <100>, эВ
Таблица 1
расчет
2,35
4,17
3,53
3,94
3,45
3,30 (релакс.)
3,46
3,20 (релакс.)
В таблице 1 также представлены расчетные энергии образования бивакансии (Е2Vf) для двух ориентаций, а именно вдоль направлений <110> и
<100>. Полученные значения энергии образования таких бивакансий практически совпадают, если не учитывать релаксацию кристаллита. При учете релаксации энергия для бивакансии вдоль направления <100> оказывается немного ниже (на ≈ 3%), чем вдоль направления <110>.
На рисунке 2 представлены зависимости изменения энергии кристаллита от изменения ориентаций «гантелей» внедрения от направлений <111> и
<100> к направлению <110>.
а)
б)
Рис. 2 Изменение энергии кристаллита при повороте «гантели» внедрения:
а – от ориентации <111> к ориентации <110>;
б – от ориентации <100> к ориентации <110>
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
При повороте от <111> к <110> (рис. 2,а) величина энергетического
«барьера» составляет лишь ≈0,001 эВ, что находится в пределах погрешности
расчета. Таким образом, ориентацию <111> при используемом потенциале
межатомного взаимодействия можно считать неустойчивой. При повороте от
<100> к <110> (рис. 2,б) величина аналогичного энергетического «барьера»
составляет 0,045 эВ.
2. Пороговые энергии смещения
Для моделирования кристаллической структуры α -железа при расчетах пороговой энергии смещения (Ed) использовались ОЦК кристаллиты, содержащие около 10000 атомов. При расчетах использовались «периодические» граничные условия, которые позволяют имитировать бесконечную
протяженность кристалла. При решении задачи нахождения пороговой энергии поиск устойчивых конфигураций начинается с небольших энергий ПВА,
что приводит на начальном этапе расчета к образованию неустойчивых смещений. Пошагово повышая энергию ПВА, можно определить энергию, при
которой в кристаллите образуются устойчивые пары Френкеля. При реализации этой процедуры мы повышали энергию с шагом 1 эВ. Таким образом,
погрешность определения Ed для фиксированного кристаллографического
направления, обусловленная дискретным изменением энергии ПВА, не превышает здесь 1 эВ. Следует заметить, что метод пошагового повышения
энергии нельзя заменить методом бинарного поиска, поскольку наблюдение
появления устойчивой пары Френкеля при некоторой энергии ПВА, вообще
говоря, не гарантирует образования такой пары при большей энергии.
Согласно анализу, проведенному в работе [16], имеется небольшое количество экспериментальных результатов по определению пороговых энергий смещения для α-железа, полученных путем облучения электронами тонких монокристаллических фольг. Однако, согласно работам [17–19], в таких
экспериментах трудно достичь надежных результатов. В частности низкоэнергетический порог для некоторых направлений может инициироваться
электронами, движущимися по наклонной к этим направлениям. Таким образом, надежные результаты удается получить только для минимального значения Ed, которое составляет для α-железа 16–20 эВ и соответствует кристаллографическим направлениям вблизи <100>.
Рассчитанные нами значения Ed в сравнении с известными экспериментальными результатами представлены в таблице 2. Следуя методу, предложенному в [16], мы определяли пороговую энергию для заданного кристаллографического направления как минимальное из рассчитанных значений Ed
для всевозможных направлений, отклоняющихся от заданного на угол до 20°.
Полученные нами значения Ed хорошо согласуются с большинством экспериментальных результатов. Заметное расхождение наблюдается только для
направления <111>. Отметим, что рассчитанные нами значения Ed несколько
отличаются от результатов, полученных авторами работы [16], которые, используя тот же потенциал, получили 17, 33 и 33 эВ для направлений <100>,
<110> и <111> соответственно и 15 эВ – как минимальное значение.
При расчете повреждающих доз важную роль играет величина средней
пороговой энергии смещения Ed . Для оценки средней пороговой энергии Ed
проведена серия расчетов для различных направлений импульса ПВА, кото73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
рые задавали путем моделирования изотропного случайного вектора. Всего
было промоделировано 400 различных направлений. Все расчеты проводились при начальной температуре кристаллита 0 К. По результатам проведенных расчетов получена оценка Ed = 38,9 ± 1,5 эВ. Эта оценка близка к используемому в настоящее время значению Ed = 40 эВ, рекомендованному
ASTM стандартом для определения повреждающих доз в железе и сталях [23].
Таблица 2
Рассчитанные и экспериментальные значения
пороговых энергий смещения, эВ
Минимальное
значение
расчет
18
Эксперимент [20]
17
[21]
20
[22]
16–18
Кристаллографическое направление
<100>
<110>
<111>
18
29
28
17
>30
20
30
–
20
–
–
–
3. Моделирование каскадов смещений
Для моделирования каскадов атомных смещений и оценки числа «выживших» дефектов задавались ОЦК кристаллиты железа, содержащие до
≈600000 атомов. При этих расчетах также использовались «периодические»
граничные условия. Моделирование проводилось при нулевой начальной
температуре кристаллита для деcяти различных энергий ПВА (ЕПВА): 0,1; 0,5;
1; 2; 3; 4; 5; 10; 15 и 20 КэВ. Расчеты проводились с неравномерным шагом
по времени, который выбирался так, чтобы он не превосходил 10–3 пс, и чтобы за один шаг по времени атом с максимальной кинетической энергией
смещался не более чем на 0,03 Å.
Моделируемое время развития каскада подбиралось так, чтобы обеспечить моделирование всего процесса образования и релаксации дефектов в
каскаде вплоть до его затухания. Информация по размерам модельного кристаллита и моделируемого времени для рассматриваемых энергий ПВА собрана в таблице 3.
Размеры кристаллита и моделируемое время
Энергия ПВА, КэВ
0,1
0,5
1
2
3
4
5
10
15
20
74
Число атомов
кристаллита
≈100 тыс
≈150 тыс.
≈200 тыс.
≈200 тыс.
≈250 тыс.
≈300 тыс.
≈300 тыс.
≈400 тыс.
≈500 тыс.
≈600 тыс.
Таблица 3
Моделируемое
время, пс
5
10
10
15
20
30
40
50
60
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
Для каждой из рассматриваемых энергий моделировалось девятнадцать
направлений импульса ПВА:
– 5 направлений, равномерно распределенных между <100> и <110>;
– 5 направлений, равномерно распределенных между <110> и <111>;
– 5 направлений, равномерно распределенных между <001> и <111>;
– 4 направления, равномерно распределенные между <110> и <101>.
После завершения моделирования каскада смещений проводился анализ кристаллита, подсчитывалось число дефектов, переживших рекомбинацию в каскаде, и определялось среднее число таких дефектов для каждой
энергии ПВА. Подсчет дефектов в кристаллите осуществлялся следующим
образом. Каждому узлу i идеальной кристаллической решетки ставится в соответствие ячейка Дирихле Ci, которая является выпуклым многогранником и
определяется как множество всех точек пространства, расстояние от которых
до узла i (с учетом периодических граничных условий) меньше или равно
расстоянию до любого другого узла решетки. Отсутствие атомов в узле Ci
свидетельствует о вакансии в этом узле, попадание более одного атома в
ячейку Ci трактуется как наличие внедрений вблизи узла i. Число дефектов
определяется как общее количество ячеек Дирихле, не содержащих ни одного
атома материала.
Доля «выживших» дефектов определялась по формуле
p( EПВА ) =
N ( EПВА )
,
f ( EПВА )
(3)
p(ЕПВА)
N(ЕПВА)
где N(ЕПВА) – рассчитанное среднее число «выживающих» дефектов, f(ЕПВА) =
= 0,8 ⋅ ЕПВА/(2 Ed ) – количество атомных смещений по модели Кинчина–Пиза.
Величину p(ЕПВА) в современной литературе часто называют коэффициентом каскадной эффективности. Для пороговой энергии смещения в модели Кинчина–Пиза мы использовали значение Ed = 40 эВ. Полученные значения N(ЕПВА) и p(ЕПВА) представлены в рисунках 3 и 4 соответственно.
Энергия ПВА, КэВ
Энергия ПВА, КэВ
Рис. 3 Рассчитанное число
«выживающих» дефектов
Рис. 4 Доля дефектов, переживших
рекомбинацию в каскаде смещений
Из полученных результатов видно, что везде на рассматриваемом интервале энергий, кроме диапазона от 3 до 5 КэВ, наблюдается рост числа де75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
фектов с увеличением энергии. В диапазоне 3–5 КэВ наблюдается уменьшение числа дефектов с ростом энергии ПВА. Доля дефектов, переживших рекомбинацию, уменьшается с увеличением энергии ПВА до 10 КэВ, и при
энергии 10 КэВ достигает значения 0,27. В диапазоне ЕПВА от 0,5 до 3 КэВ
изменение p(ЕПВА) идет по закону, близкому к линейному. В интервале ЕПВА =
= 3 – 5 КэВ наблюдается резкое снижение числа «выживающих» дефектов,
которое продолжается до ЕПВА = 5 КэВ. При энергиях выше 10 КэВ функция
p(ЕПВА) становится возрастающей и достигает значения 0,47. Такое поведение
функции p(ЕПВА) можно объяснить тем, что при энергиях выше 10 КэВ начинает наблюдаться расщепление каскада на субкаскады. Энергия субкаскадов
ниже энергии исходного каскада, и доля дефектов, переживающих рекомбинацию в них, оказывается выше.
Известно, что существенный вклад в микроструктурную эволюцию материала под облучением вносит объединение производимых в нем точечных
дефектов в кластеры. При моделировании каскадов смещений мы, наряду с
оценкой числа «выживающих» дефектов, получили оценки размеров и количества кластеров внедрений и вакансий, остающихся в кристаллите после затухания каскада. Дефекты одного типа считали принадлежащими одному
кластеру, если границы соответствующих им ячеек Дирихле имели общий
участок. Полученные результаты представлены на рисунке 5 и в виде гистограмм на рисунке 6. Хорошо видно, что при энергиях ПВА до 15 КэВ количество вакансий, участвующих в процессе кластеризации, заметно больше числа внедрений, входящих в кластеры. При EПВА = 20 КэВ число вакансий в
кластерах лишь немного превышает число внедрений, образующих кластеры.
Начиная с EПВА = 5 КэВ вероятность образования кластеров дефектов обоих
типов монотонно возрастает с увеличением энергии ПВА. При энергиях 4 и
5 КэВ, при которых наблюдается резкое снижение числа «выживающих» дефектов, образуются преимущественно одиночные дефекты и кластеры небольших размеров (до 10 вакансий и до 7 внедрений на кластер). В каскадах
от ПВА энергий 15 и 20 КэВ увеличивается число дефектов, объединяющихся в кластеры довольно больших размеров. Так, при ЕПВА = 20 КэВ наблюдаются кластеры, содержащие до 118 внедрений, и кластеры, содержащие до
122 вакансий.
Энергия ПВА, КэВ
Рис. 5 Доля дефектов, образующих кластеры
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
Внедрения
Вакансии
Рис. 6 Число одиночных точечных дефектов и дефектов в кластерах,
образующихся в каскадах смещений от ПВА различных энергии
Полученные нами результаты по кластерам дефектов качественно отличаются от результатов моделирования из работы [24], где при молекулярно-динамическом моделировании каскадов в железе, но с использованием
другого многотельного потенциала и при температуре кристаллита Т=300 К,
наблюдалось существенно большее образование кластеров внедрений, чем
вакансий.
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Заключение
В заключении кратко сформулируем основные результаты работы.
Путем компьютерного моделирования методом молекулярной динамики вычислены значения пороговых энергий смещения α-железа для различных кристаллографических направлений вылета ПВА. Величина средней пороговой энергии смещения составила 38,9 ± 1,5 эВ, что близко к рекомендуемому ASTM значению 40 эВ.
Исследована зависимость доли точечных дефектов, «выживающих» в
каскаде смещений, от энергии ПВА (в диапазоне от 0,1 до 20 КэВ). Наименьшее значение доли «выживающих» дефектов наблюдается при EПВА = 10 КэВ и
составляет ≈0,27. Обнаружено, что в диапазоне энергий ПВА от 3 до 5 КэВ
число «выживающих» дефектов уменьшается с ростом энергии ПВА. Получены результаты по размерам и количеству кластеров вакансий и внедрений,
образующихся в каскаде смещений, для различных энергий ПВА. Согласно
этим результатам, количество вакансий, участвующих в процессе кластеризации, превосходит число образующих кластеры внедрений, и при EПВА > 5 КэВ
доля дефектов обоих типов, образующих кластеры, возрастает с увеличением
энергии ПВА.
Список литературы
1. N o r g e t t , N . J . The proposed method of displacement doze rate calculation /
N. J. Norgett, M. T. Robinson, I. M. Torrens // Nucl. Eng. And Design. – 1975. – V. 33. –
Р. 50–56.
2. W i e d e r s i c h , H . Effects of the primary recoil spectrum on microstructural evolution /
H. Wiedersich. – J. Nucl. Mater. –1991. – V. 70. – Р. 179–181.
3. H e i n i s c h , H . L . Simulating the production of free defects in irradiated metals /
H. L. Heinisch // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B 102. – 1995. –
Р. 47–50.
4. Б а л а ш о в , А . Н . Расчет методом молекулярной динамики первичных процессов радиационных повреждений, взаимодействия и свойств точечных дефектов в
многокомпонентных материалах / А. Н. Балашов, М. Ю. Тихончев, Е. И. Шамарина. – Препринт ТГТУ. – Тверь, 2000.
5. D a w , M . S . Embedded-atom method: Derivation and application to impurities, surfaces, and other defects in metals / M. S. Daw, M. I. Baskes // Phys. Rev. B 29. – 1984. –
Р. 6443–6453.
6. F i n n i s, M . F . A simple empirical N-Body potential for transition metals / M. F. Finnis, J. E. Sinclair // Philos. Mag. A 50. – 1984. – Р. 45–55.
7. R o s a t o , V . Thermodynamical and structural-properties of FCC transition-metals using a simple tight-binding model / V. Rosato, M. Guellopé, B. Legrand // Philos. Mag.
A 59. – 1989. – № 2. – Р. 321–336.
8. A c k l a n d , G . J . Development of an interatomic potential for phosphorus impurities
in α-iron. / G. J. Ackland, M. I. Mendelev, D. J. Srolovitz // J. Phys. – 2004. – Condens.
Matter 16. – Р. S2629–S2642.
9. A c k l a n d , G . J . Computer simulation of Point Defect Properties in dilute Fe-Cu alloy
using a many-body interatomic potential / G. J. Ackland, D. J. Bacon, A. F. Calder,
T. Harry // Phil. Mag. A 75. – 1997. – Р. 713–732.
10. P e a r s o n , W . B . A Handbook of Lattice Spacings and Structures of Metals and Alloys / W. B. Pearson. – New York : Pergamon, 1958.
11. R a y n e , J . E . Elastic constants of iron from 4,2 to 300°K / J. E. Rayne,
B. S. Chandrasekhar // Phys. Rev. – 1961. – V. 122. – Р. 1714–1716.
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
12. S c h e p p e r L . D e , G . K n u y t , S t a l s L . M . [et al.] Materials Science Forum. –
1987. – V. 15–18. – Р. 131–136.
13. D o m a i n , C . Ab initio calculations of defects in Fe and dilute Fe-Cu alloys / C. Domain, C. S. Becquart // Phys. Rev. B 65. – 2002. – V. 024103. – Р. 024103-1–024103-14.
14. K i t t e l , C . Introduction to Solid State Physics / C. Kittel. – 6th ed. – New York :
Wiley, 1986. – Р. 55.
15. S h e w m o n , P . G . Diffusion in Solids / P. G. Shewmon. – New York : McGraw-Hill,
1963.
16. N o r d l u n d , K . Molecular dynamics simulations of threshold displacement energies in
Fe. Nuclear Instruments and Methods / K. Nordlund, J. Wallenius, L. Malerba // Physics
Research B. – 2006. – V. 246 (2). – Р. 322–332.
17. V a j d a , P . Anisotropy of electron radiation damage in metal crystals / P. Vajda // Rev.
Mod. Phys. – 1977. – V. 49. – № 3. – Р. 481–521.
18. H o h e n s t e i n , M . The anisotropy and temperature dependence of the threshold for radiation damage in gold – comparison with other FCC metals / M. Hohenstein, A. Seeger, W. Sigle // J. Nucl. Mater. – 1989. – V. 169. – Р. 33–46.
19. F . M a u r y , P. Anisotropy of the displacement energy in single crystals of molybdenum / Maury F., Vajda P., Biget M., Lucasson A., Lucasson P. // Radiat. Effects. 1975. –
V. 25. – № 3. – Р. 175–185.
20. M a u r y , F . Anisotropy of defect creation in electron-irradiated iron crystals /
F. Maury, M. Biget, P. Vajda, A. Lucasson, P. Lucasson // Phys. Rev. B 14. – 1976. –
Issue 12. – Р. 5303–5313.
21. L o m e r , J . N . Anisotropy of defect production in electron irradiated iron /
J. N. Lomer, M. Pepper // Philos. Mag. – 1967. – V. 16. – Issue 144. – Р. 1119–1128.
22. L u c a s s o n , P . G . Production and Recovery of Electron-Induced Radiation Damage
in a Number of Metals / P. G. Lucasson, R. M. Walker // Phys. Rev. 127. – 1962. –
Issue 2. – Р. 485–500.
23. ASTM E521, (E521-89) Practice for Neutron Radiation Damage Simulation by
Charged-Particle Irradiation // Annual Book of ASTM Standards. – 1995. – V. 12.02.
24. T e r e n t y e v , D . A . Displacement cascades in Fe-Cr. A molecular dynamics study /
D. A. Terentyev, L. Malerba, R. Chakarova [et al.] // J. Nucl. Mater. – 2006. –
V. 349 (1). – Р. 119–132.
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 539.23; 539.216.1
В. Д. Кревчик, О. Н. Горшков, М. Б. Семенов,
Е. В. Грозная, Д. О. Филатов, Д. А. Антонов
УПРАВЛЯЕМОЕ ДИССИПАТИВНОЕ ТУННЕЛИРОВАНИЕ
В СИСТЕМЕ С АСМ/СТМ
Исследуется управляемость диссипативного туннелирования в системе
туннельно-связанных квантовых точек (квантовой молекуле) или системе «игла кантилевера АСМ/СТМ – квантовая точка», моделируемых двухъямным осцилляторным потенциалом, взаимодействующим с термостатом, во внешнем
электрическом поле. Полученные результаты качественно соответствуют отдельным экспериментальным ВАХ для системы «платинированная игла кантилевера АСМ/СТМ – циркониевая квантовая точка», полученным в НИФТИ при
ННГУ им. Н. И. Лобачевского.
Туннелирование частиц представляет собой фундаментальное микроскопическое явление, с которым мы встречаемся в различных областях физики и химии [1–10]. Квантовое туннелирование оказывается важным при исследовании электронного транспорта через молекулярные нити, структуры с
квантовыми точками или ямами, а также в низкотемпературных химических
реакциях. Многие из отмеченных систем рассматриваются с позиций инстантонного подхода. Вычисление константы туннелирования, основанное на инстантонном приближении, делает все перечисленные явления в некотором
смысле «подобными». В химических реакциях константа скорости предполагает экспоненциальную эволюцию для вероятности переноса, тогда как в
электронных приборах константа скорости определяет туннельный ток. В работе Ю. Н. Овчинникова [6] было показано, что проводимость гранулированных металлических пленок связана с процессами туннелирования между соседними гранулами, а также что взаимодействие с термостатом, обеспечивающее реальный переход в состояния, локализованные в «соседнем» кластере, достаточно мало. Таким образом, характеристики туннельного тока в
изучаемых системах можно рассматривать в пределе сравнительно «слабой»
диссипации, но достаточной для обеспечения «распадности» двухъямного
осцилляторного потенциала, используемого в предлагаемой модели. Кроме
того, существенный вклад в туннельный ток может внести вероятность туннелирования, оцененная с точностью до предэкспоненциального фактора. На
рисунке 1 представлена экспериментальная схема исследований и отдельные
вольт-амперные характеристики, полученные экспериментальной группой
(О. Н. Горшков, Д. О. Филатов и др.) в НИФТИ при ННГУ им. Н. И. Лобачевского. Одной из характерных особенностей ВАХ (см., например, кривую (3)
на рис. 1) является наличие единичного пика на растущей части кривой (с последующим выходом на «плато» при положительном приложенном напряжении) и отсутствие упомянутого пика при отрицательном приложенном напряжении. Похожая зависимость была продемонстрирована в недавней экспериментальной работе [7], где исследовались ВАХ между иглой кантилевера
из золота и квантовой точкой из того же металла. При этом каналы туннельного тока реализовывались через присоединенные молекулы ДНК. Теоретическая возможность использовать науку о диссипативном туннелировании
для систем с АСМ/СТМ была продемонстрирована в [8].
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
I, нА
U, В
Рис. 1 Схема экспериментальной установки с использованием совмещенного
АСМ/СТМ и отдельные полученные туннельные ВАХ
Учет влияния электрического поля на асимметричный двухъямный осцилляторный потенциал
⎡ ω2
⎤
ω2
U (q ) = 0 (q − b)2 θ(q ) + ⎢ 0 (q + a ) 2 − ΔI ⎥ θ(− q ) − e Eq ,
2
⎣⎢ 2
⎦⎥
(1)
ω2
где параметр ΔI = 0 (a 2 − b 2 ) определяет исходную асимметрию потенциа2
ла в отсутствие поля, как известно, приводит к изменению величины асимметрии, пропорциональной величине поля,
2
ω
ΔU = U 2 (a*) − U1 (b*) + 0 (a 2 − b 2 ) = e E (a + b) ~ E ,
2
2
(2)
2
e E 2 ω02 2
e E2 −
где U1 (b*) = −b e E −
, U 2 (a*) = a e E −
(a − b2 ) .
2
2
2
2ω0
2ω0
При некотором значении внешнего поля первоначально асимметричный потенциал с более глубокой левой ямой может стать симметричным
ac∗ = bc∗ (рис. 2):
2
2
e E2
e E 2 ω02 2
= ae E−
−
(a − b2 ) ,
U1 (b*) = U 2 (a*) ; −b e E −
2
2
2
2ω0
2ω0
отсюда
ω2
ω2
E e ( a + b ) = 0 (a − b)( a + b) и Ec = (a − b) 0 .
2
2e
(3)
В ряде экспериментальных приложений важно учитывать, что кроме
изменения асимметрии, связанного с изменением величины внешнего поля,
может происходить дополнительное изменение асимметрии за счет изменения геометрических размеров конечного потенциала (например, рост радиуса
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
металлической квантовой точки из коллоидного золота [9] во внешнем электрическом поле под кантилевером АСМ/СТМ). Для учета такой дополнительной управляемой асимметрии можно ввести параметр Δb , b → b + Δb . Тогда
одновременное изменение двух вкладов в общую асимметрию (за счет роста
внешнего поля и за счет роста радиуса конечной КТ) можно согласовать в
режиме, когда исходно асимметричный потенциал оказался симметричным:
ω2
ΔU (Δb) = e E (a + b + Δb) + 0 (b 2 + 2bΔb + Δb 2 − a 2 ) =
2
ω2
ω2 a
= 0 Δb 2 + Δb(ω02b + e E ) + a e E − 0 = 0 ;
2
2
тогда величина Δb может быть определена как
⎛
e E⎞
Δb = − ⎜ b +
⎟+
⎜
ω02 ⎟⎠
⎝
2
⎛
e E⎞
2 e Ea
;
⎜b +
⎟ + a2 −
2
⎜
ω0 ⎟⎠
ω02
⎝
(4)
при этом возникает естественное ограничение на изменение параметров:
2 e Ea
2eE
aω2
Δb > 0 ; a 2 −
>0, a>
, E< 0 .
2e
ω02
ω02
а)
б)
в)
Рис. 2 Влияние электрического поля на асимметричный двухъямный
осцилляторный потенциал
Приведенная простая оценка может позволить получить модель управляемого роста металлических КТ во внешнем электрическом поле.
Для того чтобы воспользоваться стандартной моделью для определения
вероятности диссипативного туннелирования, будем использовать следующие
обозначения для перенормированного двухъямного осцилляторного потенциаeE
eE
ла во внешнем электрическом поле: q1 = b∗ = b +
, q0 = a∗ = a −
. То2
ω0
ω02
гда модельный туннельный гамильтониан (с перенормированным 1D-потенциалом) можно представить в стандартном виде:
N
N
p2
1
H = 1 + v1 ( y1 ) + y1
Cα yα +
pα 2 + ωα 2 yα 2 ,
2
2
α= 2
α= 2
∑
82
∑(
)
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
при этом вводится адиабатический потенциал v( y1 ) = v1 ( y1 ) −
который после несложных преобразований сводится к виду
N
Cα 2 2
1
y1 ,
2 α= 2 ωα 2
∑
1
⎡1
⎤
2
2
v(q ) = ω02 ( q + q0 ) θ ( − q ) + ⎢ ω02 ( q − q1 ) − ΔΙ ⎥ θ ( q ) ,
2
2
⎣
⎦
где ω02 = ω12 −
N
Cα 2
∑ω
α= 2
α
2
.
Как и ранее [1–5], предполагается, что в квазиклассическое действие
S {q} основной вклад вносит траектория qB (τ) (инстантон), подчиняющаяся
уравнению Эйлера–Лагранжа. В пределе «слабой» диссипации (без учета
взаимодействия с локальными модами среды термостата) получим
SB =
(
ω0 q12 − q02
2
)
ω β ⎤ ω0
sh 0 ⎥ −
2 ⎦
⎡q − q
arcs h ⎢ 1 0
⎣ q1 + q0
2
( q12 − q02 ) β +
4
1/ 2
2
⎤
ω0β ⎢⎡ ⎛ q1 − q0 ⎞
2 ω0β ⎥
− 1+ ⎜
ch
sh
⎟
2
2
2 ⎥
⎢ ⎝ q1 + q0 ⎠
ω0 ( q1 + q0 )
⎣
⎦
+
⋅
ω0β
2
sh
2
(6)
.
Выражение для квазиклассического действия с учетом локальной моды
среды-термостата в приведенных обезразмеренных переменных принимает вид
2
2 */ 2
b * +1) ⎧⎪ (1 − x2/ ) ⎡
(
1
*/ (b * +1) ( τ0 )
= (b * +1)(3 − b*)τ0 −
−
cthβ * x1/ −
⎨
⎢
2
/
2β *
2 γ
a ω 2
⎪⎩ x1/ ⎣
1
⎧ ⎛
⎫
⎤
*/
−
x1/ ⎟⎞ − ch ⎜⎛ β * x1/ ⎟⎞⎬ + ch ⎜⎛ β * −τ*/
x1/ ⎟⎞ ⎥ −
⎨ch ⎜ β * −τ0
0
/
⎠
⎝
⎠⎭
⎝
⎠⎦
sh β * x ⎩ ⎝
S
1
(
)
(
)
⎡
(1 − x1/ ) ⎢
1
⎧ ⎛
⎫
*/
−
cthβ * x2/ −
x2/ ⎟⎞ − ch ⎜⎛ β * x2/ ⎟⎞⎬ +
⎨ch ⎜ β * −τ0
⎠
⎝
⎠⎭
sh β * x2/ ⎩ ⎝
x2/ ⎣⎢
⎤⎫
+ ch ⎛⎜ β * −τ*/
x2/ ⎞⎟ ⎥ ⎬ ,
0
⎝
⎠⎦ ⎭
(
(
)
)
(7)
q
βω
⎡1 − b *
⎤
sh β *⎥ + β * , β* =
где τ*/
; b* = 1 – перенормиро0 = 2ωτ* = arcsh ⎢
2
q0
⎣1 + b *
⎦
ванный параметр асимметрии. Кроме того, влияние локальной моды средытермостата учитывается через следующие параметры:
2
⎡ ω2
ω2
C2 ⎤
γ =
= ⎢ L +1+
−4 L =
⎥
2
ω2
ω2L ω2 ⎦⎥
ω2
⎣⎢ ω
/
γ
[ωL * +1 + C *]2 − 4
ω2L
ω2
,
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
x1,2 γ1,2
/
=
=
,
x1,2
ω02
ω02
2
⎡
⎤
2⎞
2⎞
⎛ 2
1 ⎢⎛ 2
2 C
2 C
2 2⎥
где γ1 = ⎢⎜ ωL + ω0 +
⎟ − ⎜ ωL + ω0 + 2 ⎟ − 4ω0 ωL ⎥ > 0 ;
⎜
2 ⎜⎝
ω2L ⎟⎠
ωL ⎟⎠
⎝
⎢⎣
⎥⎦
2
⎡
⎤
2⎞
2⎞
⎛ 2
1 ⎢⎛ 2
2 C
2 C
2 2⎥
γ 2 = ⎢⎜ ωL + ω0 +
⎟ + ⎜ ωL + ω0 + 2 ⎟ − 4ω0 ωL ⎥ > 0 .
2 ⎟
⎜
2 ⎜⎝
ω
ωL ⎟⎠
L
⎠
⎝
⎢⎣
⎥⎦
Расчет предэкспоненциального фактора по стандартной процедуре [2, 3]
дает в пределе «слабой» диссипации:
1/ 2
⎡
⎛ ⎛ q − q ⎞2
⎞ ⎤
ω
β
ω
β
⎢
⎥
ω03/ 2 ( q0 + q1 ) ⎢ch 0 − ⎜1 + ⎜ 0 1 ⎟ sh 2 0 ⎟ ⎥
⎜ ⎝ q0 + q1 ⎠
2
2 ⎟
⎢⎣
⎝
⎠ ⎥⎦
,
B=
1/ 2
1/
2
⎡
⎤
2
ω β ⎛ ⎛q −q ⎞
ω β⎞ ⎥
⎢
2 ⎢ π sh 0 ⎜1 + ⎜ 0 1 ⎟ sh 2 0 ⎟ ⎥
2 ⎜ ⎝ q0 + q1 ⎠
2 ⎟
⎢⎣
⎝
⎠ ⎥⎦
(8)
а с учетом взаимодействия с локальной модой среды-термостата получим
2ω2 ( a + b) 2
×
B * = 0
(2πβ)1 2
⎧
⎪
⎪
⎛ γ β⎞ ⎤ D ⎡
⎛ γ β⎞ ⎤
⎪
A ⎡
⎢ γ1βcth ⎜ 1 ⎟ − 1⎥ +
⎢ γ 2 β cth ⎜ 2 ⎟ − 1⎥
⎪
⎜ 2 ⎟ ⎥ 2γ 2 ⎢
⎜ 2 ⎟ ⎥
2 γ1 ⎢
⎪
⎝
⎠ ⎦
⎝
⎠ ⎦
⎣
⎣
×⎨
+
⎡
⎤
⎡
⎤
⎛
⎛
⎪
⎛β
⎞⎞
⎛β
⎞⎞
⎪ A ⎢ β сh ⎜ γ1 ⎜ 2 − 2τ0 ⎟ ⎟ 1 ⎥ D ⎢ β сh ⎜ γ 2 ⎜ 2 − 2τ0 ⎟ ⎟ 1 ⎥
⎝
⎠⎠
⎝
⎠⎠
⎝
⎝
⎢
⎪
− ⎥+ ⎢
− ⎥
γ1 ⎥ 2 ⎢ 2 γ 2
γ2 ⎥
⎪ 2 ⎢ 2 γ1
γ1β
γ2β
sh
sh
⎢
⎥
⎢
⎥
⎪
2
2
⎣
⎦
⎣
⎦
⎪⎩
⎫
⎛
⎛
⎡
⎡
⎛β
⎞⎤ ⎞
⎛β
⎞⎤ ⎞
ch ⎢ γ1 ⎜ − 2τ0 ⎟ ⎥ ⎟
ch ⎢ γ 2 ⎜ − 2τ0 ⎟ ⎥ ⎟ ⎪
⎜
⎜
β
β
A⎜ 1
⎝2
⎠⎦ ⎟ D ⎜ 1
⎝2
⎠⎦ ⎟ ⎪
⎣
⎣
−
+
−
⎟
⎜
⎟ ⎪
γ
2 ⎜ γ1 2 γ1
2
γ1β
γ2β
2 2 γ2
sh
sh
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎪
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎪ . (9)
+
⎬
⎡
⎤
⎡
⎤⎪
⎛
⎛
⎛β
⎞⎞
⎛β
⎞⎞
сh ⎜ γ1 ⎜ − 2τ0 ⎟ ⎟
сh ⎜ γ 2 ⎜ − 2τ0 ⎟ ⎟
⎢
⎥
⎢
⎥⎪
A⎢ β
⎝2
⎠⎠ 1 ⎥ D ⎢ β
⎝2
⎠⎠ 1 ⎥ ⎪
⎝
⎝
−
+
−
γ1 ⎥ 2 ⎢ 2 γ 2
γ2 ⎥ ⎪
2 ⎢ 2 γ1
γ1β
γ2β
sh
sh
⎢
⎥
⎢
⎥⎪
2
2
⎣
⎦
⎣
⎦ ⎪⎭
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Физика
Для последующих численных оценок используем введение обезразме2
2
⎛ω ⎞
⎛ C ⎞
ренных параметров ω∗L = ⎜ L ⎟ , C* = ⎜
⎟ ,
⎝ ω0 ⎠
⎝ ωL ω0 ⎠
⎡ 2
C2 ⎞
⎢ ⎛ ωL
1
+
+
⎜
⎟∓
⎢⎜ 2
2 2⎟
ω
ω
ω
L 0⎠
⎝ 0
γ1,2 = ω02 ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
2
⎛ ω2
4ω2
C2 ⎞
⎜ L2 + 1 + 2 2 ⎟ − 2L
⎜ω
ωL ω0 ⎟⎠
ω0
⎝ 0
2
⎤
⎥
⎥
⎥=
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
⎡ (ω * +1 + C*) ∓ (ωL * +1 + C*) − 4ωL * ⎤
= ω02 ⎢ L
⎥;
2
⎣⎢
⎦⎥
γ1,2 = ω0
= ω0
⎛ ω2
⎞
C2
⎜ L2 + 2 2 + 1⎟ ∓
⎜ω
⎟
⎝ 0 ωL ω0
⎠
2
⎛ ω2
⎞
4ω2
C2
⎜ L2 + 2 2 + 1⎟ − 2L
⎜ω
⎟
ω0
⎝ 0 ωL ω0
⎠
=
2
(ωL * +1 + C*) ∓ (ωL * +1 + C*) − 4ωL * .
2
При этом
1
ωL * − ⎡⎣ (ωL * +1 + C*) − (ωL * +1 + C*) − 4ωL * ⎤⎦
(ω2L − γ1 )
2
A=−
=
;
γ1 − γ 2
2 (ωL * +1 + C*) − 4ωL *
1
ωL * − ⎡⎣(ωL * +1 + C*) + (ωL * +1 + C*) − 4ωL * ⎤⎦
(ω2L − γ 2 )
2
D=
=
.
γ1 − γ 2
2 (ωL * +1 + C*) − 4ωL *
Как и ранее,
τ +τ
1
1 ⎡
⎡1 − b * βω ⎤ β ⎤
τ* = 1 2 =
τ0 =
+
.
arcs h ⎢
sh
⎢
2
2ω
2ω ⎣
2 ⎦⎥ 4 ⎦⎥
⎣1 + b *
Условия применимости рассматриваемой модели обусловлены приближением разреженного газа пар «инстантон – антиинстантон» и обсуждались в [1–5]. В рассматриваемой модели может происходить подавление кулоновских эффектов, если стартовая энергия частицы в КТ существенно пре-
e2
. Дополняя это
q0 + q1
условие ограничением по величине напряженности электрического поля
вышает энергию кулоновского отталкивания: U 0 >>
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
E <<
U0
, можем получить следующее значение напряженности:
e (q0 + q1 )
E << 3 ⋅ 106 В м (например, для КТ из InSb).
На рисунке 3 представлены результаты численного расчета вероятности туннелирования Г = B exp(− S ) в пределе слабой диссипации с учетом
предэкспоненциального фактора (8), при этом величина действия определяется выражением (6).
Как видно из рисунка 3 и проведенного анализа, при значении параметра асимметрии, равного 1 (или соответствующей величине приложенного
электрического поля), на кривой вероятности проявляется термоуправляемый
пик, величина которого растет с уменьшением температуры. Как отмечалось
выше, если в исходном потенциале (без приложенного электрического поля)
левая яма оказывается более глубокой (так, в проведенном эксперименте использовалась игла кантилевера с радиусом около 40 нм, а ближайшая к игле
циркониевая квантовая точка имела радиус от 2 до 4 нм), то при некотором
значении поля потенциал становится симметричным. Именно в этот момент
и наблюдается упомянутый пик (качественное сравнение с экспериментом
представлено на рисунке 4). При отрицательном приложенном напряжении
характер асимметрии потенциала качественно не меняется и соответствующий пик не наблюдается. Это косвенно подтверждается и другим экспериментом [9], когда в процессе снятия туннельной ВАХ происходил одновременный рост квантовой точки из коллоидного золота (качественное сравнение с этим экспериментом приведено на рисунке 5).
Рисунок 6 демонстрирует качественное соответствие одной из экспериментальных ВАХ и зависимостью вероятности туннелирования с учетом
взаимодействия с локальной модой среды – термостата (экспоненциальный
фактор оценивается формулой (7), предэкспоненциальный – формулой (9)).
b
Рис. 3 Зависимость вероятности туннелирования от параметра асимметрии
потенциала (пропорционального величине приложенного электрического поля)
в пределе «слабой» диссипации
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки. Физика
Г
Г
№ 2, 2007
Г
Рис. 4 Сравнение экспериментальных ВАХ (кривые 3 и 2 на рис. 1)
с теоретическими (пунктирными) кривыми для вероятности туннелирования
в пределе «слабой» диссипации
b
Г
Рис. 5 Сравнение экспериментальной туннельной ВАХ в случае единичной
квантовой точки из коллоидного золота [9] с теоретической (пунктирной)
кривой для вероятности туннелирования в пределе «слабой» диссипации
b
Рис. 6 Сравнение экспериментальной ВАХ (кривая 3 на рис. 1)
с теоретической (пунктирной) кривой для вероятности туннелирования
с учетом взаимодействия с локальной модой среды – термостата
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Как видно из приведенных сравнений, стандартная модель диссипативного туннелирования с учетом влияния на двухъямный осцилляторный потенциал электрического поля дает неплохое качественное соответствие с отдельными экспериментальными ВАХ для металлических квантовых точек в
системе с АСМ/СТМ. Хотя на сегодня нам не известны данные экспериментов по термоуправляемости выявленного единичного пика на соответствующей зависимости для вероятности туннелирования, аналогичный рост величины пика с уменьшением температуры наблюдался на термозависимости
пиков кондактанса квантовых нитей [10].
Список литературы
1. K r e v c h i k V . D . , O v c h i n n i k o v A . A . , S e m e n o v M . B . [et al.] // Phys. Rev.
B. – 2003. – V. 68. – P. 155426.
2. K r e v c h i k V . D . , S e m e n o v M . B . , Zh u k o v s k y V . C h . , Y a m a m o t o K .
[et al.] // Transfer processes in low – dimensional systems : memorial collection of articles, dedicated to prof. A. A. Ovchinnikov and A. I. Larkin’s memory/ – Tokyo : UT
Research Institute Press, Japan, 2005. – P. 690. – (Publication of this book was supported by Nobel prize winner – 2003, prof. A. J. Leggett).
3. О в ч и н н и к о в, А . А . Принципы управляемой модуляции низкоразмерных
структур : монография [Посвящается памяти члена-корреспондента РАН, зав. отделом Объединенного института химической физики РАН А. А. Овчинникова] /
Овчинников А. А. , Кревчик В. Д. , Семенов М. Б. [и др.]. – М. : УНЦ ДО, 2003. –
510 с.
4. Ж у к о в с к и й В . Ч . , К р е в ч и к В . Д . , С е м е н о в М . Б . [и др.] // Вестник
МГУ. – 2006. – Вып. 3. – С. 24. – (Серия 3 «Физика. Астрономия»).
5. Ж у к о в с к и й В . Ч . , К р е в ч и к В . Д . , С е м е н о в М . Б . [и др.] // Вестник
МГУ. – 2007. – Вып. 2. – С. 10. – (Серия 3 «Физика. Астрономия»).
6. О в ч и н н и к о в Ю . Н . // ЖЭТФ – 2007. – Т. 131. – № 2. – С. 286.
7. U l l i e n D . , C o h e n H . , P o r a t h D . // Nanotechnology. – 2007. – V. 18. – № 42. –
P. 424015.
8. L o u i s A . A . , S e t h n a J . P . // Phys. Rev. Lett. – 1995. – V. 74. – № 8. – P. 1363.
9. Y a n a g i H . , O h n o T . // Langmuir. – 1999. – V. 15. – № 14. – P. 4773.
10. B y c h k o v А . М . , S t a c e Т . М . // Nanotechnology. – 2007. – V. 18. – P. 185403.
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Аннотации
АННОТАЦИИ
Математика
УДК 519.718
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К МОДЕЛИРОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ
УСТРОЙСТВ. Алехина М. А., Лысенко А. М., Мельников Б. Ф. –
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки, 2007, № 2, с. 2–9.
Цель статьи – описание разрабатываемой модели для реализации специальных
вычислительных устройств. Авторами объединены и обобщены несколько моделей
вычислителей, фактически являющихся математическими моделями компьютеров.
Эти модели применяются в самых разных областях – от радиолокационной задачи
построения бинарных фазоманипулированных сигналов с минимальными автокорреляционными свойствами до нанотехнологий (задач с условным названием «математические модели сборки наномашин»). При этом данную статью нельзя считать только «прямой суммой» рассматриваемых в ней различных задач: именно применение
всех этих задач в комплексе и дает возможность описания новой модели вычислительного устройства, действительно являющегося возможным подходом к моделированию наномашин.
УДК 514.7
КРИВЫЕ В ОДУЛЯРНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ПРОСТРАНСТВА С РАСТРАНОМ ОБЩЕГО ВИДА. Валовик Д. В. –
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки, 2007, № 2, с. 10–18.
Указанное пространство является одним из трехмерных разрешимых одулярных галилеевых пространств – пространств с касательным отображением в одуль Ли.
Построена теория кривых трехмерного пространства на растране общего вида. Вычислены кривизна и кручение кривой, получены формулы Френе. Найдены кривые
постоянных кривизны и кручения.
УДК 517.6
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ ТМ-ВОЛН
НА НЕЛИНЕЙНОМ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ СЛОЕ. Валовик Д. В. –
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки, 2007, № 2, с. 19–25.
В статье изучается задача дифракции ТМ-поляризованных электромагнитных
волн на двух однородных изотропных немагнитных полубесконечных слоях. Один
слой содержит линейную среду, другой – нелинейную. Нелинейность в слое выражается законом Керра. Проблема сводится к нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Получено аналитическое решение краевой задачи, описывающей распространение электромагнитных волн.
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 519.718
О НАДЕЖНОСТИ СХЕМ В НЕКОТОРЫХ ПРИВОДИМЫХ
ПОЛНЫХ БАЗИСАХ. Чугунова В. В. –
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки, 2007, № 2, с. 26–39.
Показано, что если к базису {x1 & x2, x1 } добавить, по крайней мере, еще одну
булеву функцию, зависящую не более чем от двух переменных, то асимптотическая
оценка ненадежности значительно понижается.
Физика
УДК 621.383
ДЕГРАДАЦИЯ СОЛНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ НЕЙТРОННОМ
И ПРОТОННОМ ОБЛУЧЕНИИ. Онищук С. А. –
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки, 2007, № 2, с. 40–48.
Исследована деградация солнечных элементов (СЭ) на основе монокристаллического кремния при нейтронном и протонном облучении. Рассмотрен характер
взаимодействия этих частиц с кремнием, влияние радиационных дефектов на p-nпереход СЭ. В обоих случаях до и после облучения исследованы световые и темновые ВАХ и спектральная чувствительность СЭ. Выявлены общие черты изменения
характеристик СЭ и различие в этих изменениях. Приведены расчеты, позволяющие
пересчитать деградацию СЭ, облучая их реакторными нейтронами, в соответствующую деградацию СЭ при протонном облучении.
УДК 621.039.524.4–98:621.039.531
К ВОПРОСУ О МОДЕЛИРОВАНИИ РАДИАЦИОННОГО
УПРОЧНЕНИЯ И РАДИАЦИОННОГО ОХРУПЧИВАНИЯ
МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ. Светухин В. В., Сидоренко О. Г. –
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки, 2007, № 2, с. 49–58.
В работе предложена кинетическая модель радиационно ускоренной кластеризации и преципитации примесей в металлах и сплавах. Предложенная модель использована для расчета сдвига температуры хрупко-вязкого перехода корпусов реакторов
ВВЭР-440. Получены математические выражения, описывающие влияние плотности
потока нейтронов на радиационное охрупчивание.
УДК 621.039.531
ПАРАМЕТРЫ ПРОТЕКАНИЯ ГЕЛИЯ В ПОГЛОЩАЮЩИХ
ЭЛЕМЕНТАХ РЕАКТОРОВ ВВЭР.
Светухин В. В., Кадочкин А. С., Рисованный В. Д. –
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки, 2007, № 2, с. 59–64.
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Аннотации
Построена теоретическая модель, описывающая протекание гелия через порошок карбида бора в поглощающем элементе атомного реактора. При помощи разработанной модели на основании экспериментальных данных исследован характер протекания гелия и определен коэффициент проницаемости порошка карбида бора в отсутсвие выгорания и после эксплуатации.
УДК 532
ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ ДАВЛЕНИЯ ПРИ НЕРАВНОВЕСНОМ
ЗАКОНЕ ФИЛЬТРАЦИИ. Куштанова Г. Г. –
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки, 2007, № 2, с. 65–69.
Рассматривается периодическое гидродинамическое возмущение в пористом
пласте, когда движение жидкости подчиняется неравновесному закону фильтрации.
Определен вклад временных параметров в релаксационные процессы. Отмечены экстремумы амплитуды давления при прохождении границы областей с различными
гидропроводностями через точку наблюдения.
УДК 621.039.531.001.57
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРВИЧНОЙ РАДИАЦИОННОЙ
ПОВРЕЖДАЕМОСТИ α-ЖЕЛЕЗА МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНОЙ
ДИНАМИКИ. Тихончев М. Ю., Светухин В. В., Ильина Т. С. –
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки, 2007, № 2, с. 70–79.
В работе представлены результаты компьютерного моделирования процессов
первичной радиационной повреждаемости α-железа методом молекулярной динамики с использованием расчетного кода FRENKLOW. При моделировании использован
многотельный потенциал межатомного взаимодействия. Рассчитаны пороговые энергии смещения для различных кристаллографических направлений, промоделированы
каскады смещений для энергий первично выбитого атома от 0,1 до 20 КэВ и проведены оценки количества дефектов, переживающих рекомбинацию в каскаде, получены
результаты по количеству и размерам кластеров вакансий и внедрений, образующихся в таких каскадах.
УДК 539.23; 539.216.1
УПРАВЛЯЕМОЕ ДИССИПАТИВНОЕ ТУННЕЛИРОВАНИЕ
В СИСТЕМЕ С АСМ/СТМ. Кревчик В. Д., Горшков О. Н.,
Семенов М. Б., Грозная Е. В., Филатов Д. О., Антонов Д. А. –
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки, 2007, № 2, с. 80–88.
Исследуется управляемость диссипативного туннелирования в системе туннельно-связанных квантовых точек (квантовой молекуле) или системе «игла кантилевера АСМ/СТМ – квантовая точка», моделируемых двухъямным осцилляторным потенциалом, взаимодействующим с термостатом, во внешнем электрическом поле.
Полученные результаты качественно соответствуют отдельным экспериментальным
ВАХ для системы «платинированная игла кантилевера АСМ/СТМ – циркониевая
квантовая точка», полученным в НИФТИ при ННГУ им. Н. И. Лобачевского.
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Алехина Марина Анатольевна – доктор физико-математических наук, профессор, заведующая кафедрой дискретной математики Пензенского государственного университета.
Антонов Дмитрий Александрович – младший научный сотрудник научнообразовательного центра физики квантоворазмерных наноструктур Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского.
Валовик Дмитрий Викторович – аспирант кафедры математики и математического моделирования Пензенского государственного университета.
Горшков Олег Николаевич – директор НИФТИ при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского
Грозная Елена Владимировна – ассистент кафеды физики Пензенского государственного университета.
Ильина Татьяна Сергеевна – младший научный сотрудник ФГУП «ГНЦ РФ
НИИАР».
Кадочкин Алексей Сергеевич – кандидат физико-математических наук,
старший научный сотрудник Ульяновского государственного университета.
Кревчик Владимир Дмитриевич – доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой физики Пензенского государственного
университета.
Куштанова Галия Гатинишна – кандидат физико-математических наук,
доцент, ведущий научный сотрудник Казанского государственного университета.
Лысенко Алексей Михайлович – студент факультета математики и информатики Тольяттинского государственного университета.
Мельников Борис Феликсович – доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Тольяттинского государственного
университета.
Онищук Сергей Алексеевич – кандидат физико-математических наук, доцент
физико-технического факультета Кубанского государственного университета.
Рисованный Владимир Дмитриевич – доктор технических наук, заместитель
директора по инновациям ФГУП «ГНЦ РФ Научно-исследовательский институт атомных реакторов», г. Димитровград
Светухин Вячеслав Викторович – доктор физико-математических наук,
старший научный сотрудник, проректор Ульяновского государственного
университета.
Семенов Михаил Борисович – доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики Пензенского государственного университета.
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2, 2007
Физико-математические науки. Сведения об авторах
Сидоренко Оксана Георгиевна – кандидат физико-математических наук,
старший научный сотрудник ФГУП «ГНЦ РФ НИИАР».
Тихончев Михаил Юрьевич – кандидат физико-математических наук, начальник отдела ФГУП «ГНЦ РФ НИИАР».
Филатов Дмитрий Олегович – кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник научно-образовательного центра физики
квантоворазмерных наноструктур Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского.
Чугунова Варвара Валерьевна – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дискретной математики Пензенского государственного университета.
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Уважаемые читатели!
Для гарантированного и своевременного получения журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки»
рекомендуем вам оформить подписку.
Журнал выходит 4 раза в год по тематике:
• математика
• физика
• механика
Стоимость одного номера журнала – 250 руб. 00 коп.
Для оформления подписки через редакцию необходимо заполнить и отправить
заявку в редакцию журнала: факс (841-2) 56-34-96, тел.: 36-82-06, 56-47-33;
Е-mail: VolgaVuz@mail.ru
Подписку на второе полугодие 2008 г. можно также оформить по каталогу
агентства «РОСПЕЧАТЬ» «Газеты. Журналы», тематический раздел «Известия высших учебных заведений». Подписной индекс – 36949.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
ЗАЯВКА
Прошу оформить подписку на журнал «Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки» на 2007 г.
№ 1 – ______ шт., № 2 – ______ шт., № 3 – ______ шт., № 4 – ______ шт.
Наименование организации (полное) __________________________________
__________________________________________________________________
ИНН ___________________________ КПП _____________________________
Почтовый индекс __________________________________________________
Республика, край, область ___________________________________________
Город (населенный пункт) ___________________________________________
Улица ____________________________________ Дом ____________________
Корпус __________________________ Офис ____________________________
ФИО ответственного ________________________________________________
Должность ________________________________________________________
Тел. ________________ Факс ______________ Е-mail ____________________
Руководитель предприятия ____________________ _____________________
(подпись)
(ФИО)
Дата «____» _________________ 2008 г.
94
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа