close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

148.Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №3 2009

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
№ 3 (11)
2009
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Коновалова Н. И., Мартынов С. И. Динамика магнитных частиц
в вязкой жидкости.................................................................................................... 3
Андронов А. Н. Об устойчивости разветвляющихся решений задачи
о поверхностных волнах на горизонтальной границе раздела
двух жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство ................... 12
Долгарев А. И., Рябова Е. И. Кривые в галилеевом пространстве
с 3-мерным V-растраном ....................................................................................... 22
Долгарев А. И., Подвалова О. А. Кривые в галилеевых пространствах
с 4-мерными растранами ....................................................................................... 35
Богданов А. Ю. Об одном подходе к исследованию динамики
неавтономных дискретных включений................................................................ 50
Медведик М. Ю., Родионова И. А. Субиерархический метод
для решения псевдодифференциального уравнения в задаче
дифракции в слоях, связанных через отверстие.................................................. 59
Смирнов Ю. Г., Медведик М. Ю., Васюнин Д. И. Метод коллокации
решения объемного сингулярного интегрального уравнения
в задаче определения диэлектрической проницаемости материала.................. 71
Эйрих С. Н. Подход к модернизации генетического алгоритма
для решения систем линейных алгебраических уравнений ............................... 88
Борисова Е. С., Мельников Б. Ф. Аппроксимационные алгоритмы
и псевдометрический вариант задачи коммивояжера ........................................ 96
ФИЗИКА
Журавлев В. М., Фундаев С. В. Вычисление спектральной плотности
сигнала с помощью антенной решетки переменной конфигурации ............... 101
Нагорнов Ю. С., Пчелинцева Е. С., Костишко Б. М., Корнилов Д. А.,
Радченко В. М., Рисованый В. Д. Моделирование радиационностимулированного источника тока на pin-структурах...................................... 113
Булярский С. В., Пятилова О. В., Цыганцов А. В. Роль поверхностного
натяжения в формировании кластеров катализаторов
при росте углеродных нанотрубок ..................................................................... 126
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Булярский С. В., Ермаков М. С. Влияние облучения гамма-квантами
на свойства p-n-переходов на основе GaAs........................................................133
Булярский С. В., Вострецова Л. Н. Моделирование процессов
переноса тока в углеродных нанотрубках..........................................................138
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
МАТЕМАТИКА
УДК 532.133/.135
Н. И. Коновалова, С. И. Мартынов
ДИНАМИКА МАГНИТНЫХ ЧАСТИЦ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Аннотация. Рассматривается динамика двух дипольных частиц в вязкой жидкости в переменном внешнем магнитном поле. Получено численное решение
системы уравнений движения частиц с учетом их магнитного и гидродинамического взаимодействия.
Ключевые слова: вязкая жидкость, сферы, нестационарное магнитное поле,
взаимодействие.
Abstract. Dynamics of two magnetic spheres in viscous fluid and non-stationary
magnetic field is considered. Hydrodynamic and magnetic interactions of particles
are taken into account. The solution of problem was obtained by numerically.
Keywords: viscous flow, spheres, non-stationary magnetic field, interaction.
Введение
Процессы образования структур в жидкости (вихревые структуры,
структурирование частиц в потоке) в последние годы представляют все больший интерес. Это связано как с теоретическими вопросами моделирования,
так и с различными приложениями. Как известно, в двухфазных средах типа
суспензии существует два принципиально разных механизма взаимодействия
частиц. Первый механизм связан с силами, непосредственно действующими
между частицами. В результате действия сил притяжения между частицами
возможна коагуляция с образованием более крупных агрегатов с последующим выпадением их в осадок или образованием структуры в суспензии. Изменение агрегативного состояния диспергированной фазы существенно влияет на реологические свойства всей системы в целом, что важно для практических приложений.
Второй механизм связан с гидродинамическим взаимодействием частиц. Например, в суспензии распределение скорости и давления жидкости
вблизи какой-либо частицы зависит от расположения других частиц. Следовательно, движение одной частицы влияет на движение всех остальных, и
наоборот. Такое взаимодействие частиц влияет на все процессы, происходящие в двухфазной среде.
Изучение агрегации частиц в магнитной жидкости в историческом плане является одним из первых исследований такого рода. Однако, несмотря на
такую давнюю историю, проблема агрегирования частиц в магнитной жидкости по-прежнему является малоизученным явлением. Это связано как со
сложностью самого явления, так и со сложностью строения магнитной жидкости. По крайней мере, имеется два фактора, существенно влияющие на этот
процесс: диполь-дипольное и гидродинамическое взаимодействия частиц.
В работах [1, 2] предложен метод аналитического решения задачи о гидроди-
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
намическом взаимодействии частиц в вязкой жидкости. Метод основан на
представлении решения уравнений Лапласа и Пуассона в виде рядов по мультиполям с тензорными коэффициентами. Задача решалась в квазистационарном приближении при малых числах Рейнольдса. Уравнения движения жидкости при этом существенно упрощаются и становятся линейными (уравнения Стокса). Это означает, что движение происходит настолько медленно,
что нестационарными членами уравнений можно пренебречь по сравнению
с членами, учитывающими вязкость жидкости. Однако в магнитных жидкостях в быстропеременных магнитных полях возможно и быстрое изменение
течения жидкости. Поэтому при определенных условиях нестационарные
слагаемые в уравнениях движения жидкости становятся сравнимыми по порядку величины с вязкими членами. К изучению агрегации частиц в переменном магнитном поле этот случай имеет непосредственное отношение.
В силу сказанного выше представляет интерес рассмотрение задачи о
взаимодействии двух магнитных частиц в нестационарном внешнем магнитном поле и исследование влияния как магнитного, так и гидродинамического
взаимодействий на динамику самих частиц в результате взаимодействия
в жидкости возможности образования устойчивой структуры из частиц.
1 Постановка задачи
Пусть две сферические частицы A и B одинакового радиуса a находятся в жидкости с вязкостью  постоянной магнитной проницаемостью 1 .

Считается, что частицы обладают постоянными магнитными моментами m A

и mB . Положение произвольной точки среды относительно центров частиц


A и B будем обозначать векторами X A и X B . Для введенных векторов




имеем соотношение X B  X A  r , где r соединяет центры сфер A и B .
Энергия взаимодействия частиц, обладающих такими моментами, известна, и из нее определяются силы и моменты, действующие на частицы.
Сила, действующая на каждую частицу, равна [3]


  
   15     
3   
FA   FB   (m A r )mB  (mB r )m A  (m A mB )r   (m A r )(mB r )r .
5
r
r7
Аналогично, моменты равны



3   
1 
N A  (mB r )( m A  r )  (mB  m A ) ;
5
3
r
r



3   
1 
N B  (m A r )( mB  r )  (m A  mB ) .
5
3
r
r
На систему действует внешнее однородное переменное магнитное поле



H : H (t )  H 0 exp(it ) . Здесь i – мнимая единица, i 2  1 . Считается, что
это среднее поле и рассматриваемые две частицы не искажают его. Распреде
ление скорости V и давления p в жидкости описывается уравнениями (рассматривается случай малых чисел Рейнольдса, когда конвективным слагае-
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
мым в уравнении Навье – Стокса можно пренебречь, а нестационарный член
в уравнении остается):



V

 p  V , divV  0.
(1)
t

  

Скорость жидкости V представим в виде V  U  u , где u – возмущение скорости.
На поверхности частиц A и B должны выполняться следующие граничные условия (j = 1, 2, 3):

u j  V jA  U j   Ajk x Aj , x A  a,

u j  V jB  U j   Bjk x Bj , x B  a.
Далеко от частиц имеет место затухание возмущений:


u  0, p  p0 x   .
(2)
(3)


Здесь векторами V A , V B обозначены абсолютные линейные скорости
сфер A и B, приобретаемые ими в результате взаимодействия с потоком и между собой;  Ajk ,  Bjk – тензоры угловых скоростей сфер; p0 – невозмущенное давление в жидкости, удовлетворяющее соотношению

 U

 p0 .
 t
Линейные и угловые скорости сфер есть неизвестные функции, зави 
сящие от векторов U , r и параметров a / r ,  /  . Для их определения необходимо составить уравнения движения частиц:


h

dV A 
dVB 
gA
 FA  FA , g B
 FB  FBh ,
dt
dt




dA 
d B 
(4)
IA
 N A  M A, IB
 NB  M B ,
dt
dt




где FAh , FBh – силы; M A , M B – моменты сил, действующие на частицы со


стороны жидкости; g A , g B – массы; I A , I B – моменты инерции;  A ,  B –
угловые скорости частиц A и B соответственно. Причем связь между угловой

скоростью частицы  и тензором  jk имеет следующий вид:  j  e jkl  kl ,
где e jkl – тензор Леви – Чивита.
Так как магнитные моменты вморожены в частицы, то их изменение со
временем описывается уравнениями


dm A 
dmB 


  A  mA ,
  B  mB .
dt
dt
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Таким образом, для определения движения частиц необходимо решить
гидродинамическую задачу. В силу линейности уравнений (1) и граничных
условий (2), (3) решение задачи можно представить в виде суммы решений
двух задач. Первая задача заключается в нахождении решения уравнений (1)
со следующими граничными условиями:


u j  V jA  U j , x A  a, u j  V jB  U j , x B  a .
На бесконечности по-прежнему должны выполняться условия (3).
Вторая задача заключается в нахождении решения уравнений (1) с граничными условиями для компонент скорости (j = 1, 2, 3):


u j   Ajk x Aj , x A  a, u j   Bjk x Bj , x B  a.
На бесконечности также должны выполняться условия (3).
2 Метод решения первой задачи

Из первого уравнения системы (1) следует, что скорость u должна
иметь вид [4]



(5)
u  rot rot f (V A  U ) .


Следуя работе [4], получаем уравнение для функции f :
2 f 
i

f  0,   ,


где Δ – оператор Лапласа.
Вводя обозначение f   , получим уравнение
 
i
0.

Решение этого уравнения для одиночной частицы имеет вид [4]
  SL0 exp(ikx) ;
1
1 i
2
.
L0  , k 
,


x
Необходимо учесть, что все частные производные от этого решения
тоже есть решение. В общем случае уравнение для функции f записывается
в виде
xq

x 

f  SL0 exp(ikx)  H s  Ls  ikL0 s  exp(ikx)  H sq  Lsq  ikLs

x 
x


 sq x 2  xs xq
xq xs 
xs
 exp(ikx)  
 ikLq
 ikL0
 k 2 L0
x
x3
x 2 
6
(6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
Здесь введены следующие обозначения: H s , H sq – неизвестные тензорные коэффициенты; Ls , Lsq – мультиполя, вычисляемые по правилу
Lsqr ...t 
     


 xs    xq   xr

  
 ...
   xt
 1

x

     .
    
Общее решение уравнения (6) записывается в виде
1
f 
k
2
SL0 exp(ikx) 
x 

H s  Ls  ikL0 s  exp(ikx)    BL0  Cs Ls  
x 

k
1
2
Все это проделано для одной частицы. Если имеем две частицы, то реA
шение должно содержать мультиполя двух типов LsA , Lsq
, LBs , LBsq . Поэтому
решение уравнения (6) для двух частиц имеет вид
f 
1
k2


S L0A exp(ikx A )  L0B exp(ikx B ) 
 B
 Ls  ikLB0



H s  LsA  ikL0A

k2
1
xsA 
 exp(ikx A ) 
A
x 

xsB 
exp(ikx B )     B ( L0A  LB0 )  Cs ( LsA  LBs )  


x B 
В силу линейности уравнений и граничных условий решение должно


быть линейным по вектору V A  U , а это уже учтено в виде решения (5), поэтому тензорные коэффициенты S , B, H s , H sq , Cs ,  зависят только от век
тора r . Эти тензорные коэффициенты можно записать в виде
H s  rs H , Cs  rs C , H sq  rs rq F   sq FA.
Здесь H, F, FA, С, ... – неизвестные скалярные коэффициенты, которые
находятся из граничных условий. Знаки мультиполей в решении выбираются

исходя из того, что скорость жидкости u должна быть четной функцией координат (это следует из граничных условий). Скорость и давление в жидкости находятся по формулам





  i
u  (VA  U ) f  (VA  U )f , p  u  
f  f




  p0 .

После подстановки полученных выражений для скорости в граничные
условия находятся скалярные коэффициенты H, F, FA, С, ... с использованием
метода разложение по малому параметру a / r .
3 Метод решения второй задачи
Аналогично рассмотренному выше методу решается вторая задача.
В этом случае скорость представляется в виде


u  rot( A) .
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Вектор A определяется следующим образом:



A  rot( f )  rot rot(  ).
Для функций f ,  получаем уравнения
f 
i
i
f  0,  2     0 .


Решение полученных уравнений для одиночной частицы имеет такой
же вид, как и в первой задаче:
f  TL0 exp(ikx) ,   RL0 exp(ikx) .
Для случая нескольких частиц процедура нахождения решения такая
же, как и для двух частиц в первой задаче (используются мультиполя от нескольких частиц).
Давление в жидкости находится по формуле

 i

p  div     
      p0 .



По выражениям для скорости и давления в первой и второй задачах в
работе [5] вычислены силы и моменты, действующие на частицы со стороны
жидкости. В силу громоздкости выражений они в данной статье не приводятся. Таким образом, можно получить систему уравнений движения частиц (4)
и исследовать их динамику с учетом сил инерции, а также возможность их
агрегирования в нестационарном внешнем магнитном поле.
4 Динамика частиц в переменном магнитном поле
Найти аналитическое решение полученной системы не представляется
возможным, поэтому она решалась численно при различных начальных условиях и параметрах жидкости и частиц. Полученные результаты представлены
для двух случаев внешнего магнитного поля:
1. Одномерное внешнее магнитное поле. Магнитное поле изменяется
вдоль одной оси по закону cos t и имеет следующие координаты:
H x  H 0 cos t , H y  0 . Аналогичные результаты получаются и при изменении магнитного поля по закону sin t .
2. Вращающееся внешнее магнитное поле. Магнитное поле меняется
в двух направлениях и имеет следующие координаты: H x  H 0 cos t ,
H y  H 0 sin t .
Результаты вычислений приводятся при следующих значениях параметров в системе СГС (сантиметр, грамм, секунда): ρ = 0,889 г/см3, η = 0,01 г/см·с,
a = 0,001 см – сплошная линия, a = 0,002 см – пунктирная линия; a = 0,003 см –
штрихпунктирная линия; ω = 10000 с–1, H = 100 э. Вычисления показывают,
что вращение частиц (рис. 1, 2) не является периодическим, а имеет сложный характер в зависимости от их размеров (с размером частиц связан их
дипольный момент). Здесь φ – угол между проекцией вектора дипольного
момента частицы на плоскость XY и осью Х; θ – угол между вектором момента и осью Z.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
jj
Физико-математические науки. Математика
1
88
66
44
22
0.05
0,05
0.15
0,15
0.25
0,25
0.35
0,35
t*t*
Рис. 1 Зависимость угла поворота φ частицы А
QQ
11
44
33
22
11
0,05
0.05
0.15
0,15
0.25
0,25
0.35
0,35
t*t*
-–1
1
-–2
2
-–3
3
Рис. 2 Зависимость угла поворота θ частицы А
Во всех рассмотренных случаях частицы в результате взаимодействия
удаляются друг от друга (рис. 3), что свидетельствует о том, что частицы не
смогут образовать агрегаты. Такое поведение частиц в быстропеременном
магнитном поле существенно отличается от результата по взаимодействию
магнитных частиц в стационарных или квазистационарных магнитных полях
[6], когда внешнее магнитное поле способствует агрегации частиц.
Заключение
Результаты вычислений позволяют предположить, что подбором частоты магнитного поля можно исследовать магнитные жидкости без образования
агрегатов в них частицами определенного размера. Чем больше размер частиц, тем меньше частота поля.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
rr**
3.65
3,65
3.6
3,6
3.55
3,55
0.05
0,05
0,15
0.15
0.25
0,25
0.35
0,35
tt**
3,45
3.45
Рис. 3 Зависимость безразмерного расстояния r / a размера частиц
В реальной жидкости мы имеем полидисперсные частицы. Поэтому,
для того чтобы образование агрегатов было минимизировано внешним магнитным полем, необходимо определять характерный размер частиц в жидкости и уже по ним определять частоту, при которой магнитное поле не способствует их агрегированию.
Список литературы
1. М а р ты н о в, С . И . Гидродинамическое взаимодействие частиц / С. И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. – 1998. – № 2. – С. 112–119.
2. М а р ты н о в, С . И . Вязкость суспензии с кубической решеткой сфер в сдвиговом потоке / С. И. Мартынов, А. О. Сыромясов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. – 2005. – № 4. – С. 3–14.
3. Ла нда у , Л. Д . Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. –
М. : Наука, 1982. – 620 с.
4. Ла нда у , Л. Д . Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – М. : Наука,
1986. – 736 с.
5. К о н о в а л о в а , Н . И . Обтекание двух сфер нестационарным потоком вязкой
жидкости / Н. И. Коновалова, С. И. Мартынов // Нелинейная динамика. – 2008. –
Т. 4. – № 4. – С. 467–481.
6. Б о р и с к и н а , И . П . Взаимодействие частиц в неоднородном магнитном поле /
И. П. Борискина // Вестник МГУ. – 2003. – № 4. – С. 20–23.
Мартынов Сергей Иванович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедры прикладной
математики и информатики в геологии
и нефтегазовом деле, Института нефти
и газа, Югорский государственный
университет
E-mail: martynovsi@mail.ru
10
Martynov Sergey Ivanovich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, sub-department of applied
mathematics and computer science
in geology and oil and gas industry,
Institute of Oil and Gas,
Yugra State University
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
Коновалова Наталья Ивановна
преподаватель, кафедра математики
и теоретической механики, Мордовский
государственный университет
им. Н. П. Огарева (г. Саранск)
Konovalova Natalya Ivanovna
Lecturer, sub-department of mathematics
and theoretical mechanics,
Mordovia State University
named after N. P. Ogarev (Saransk)
E-mail: martynovsi@mail.ru
УДК 532.133/.135
Коновалова, Н. И.
Динамика магнитных частиц в вязкой жидкости / Н. И. Коновалова,
С. И. Мартынов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2009. – № 3 (11). – С. 3–11.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.988.67
А. Н. Андронов
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗВЕТВЛЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ
ЗАДАЧИ О ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛНАХ
НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА
ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ, НИЖНЯЯ ИЗ КОТОРЫХ
ЗАНИМАЕТ ПОЛУПРОСТРАНСТВО1
Аннотация. Рассматриваются потенциальные течения двух несмешивающихся
несжимаемых жидкостей в пространственном слое с границей раздела, близкой к горизонтальной плоскости z  0 , ответвляющиеся от основных течений
со скоростями V1 и V2 в направлении оси Ox в случае, когда нижняя, более
тяжелая, жидкость занимает полупространство. Исследуется их орбитальная
устойчивость относительно возмущений той же симметрии. Применяются методы группового анализа в теории ветвления в условиях групповой инвариантности.
Ключевые слова: двухслойная жидкость, капиллярно-гравитационные волны,
ветвление, устойчивость, групповая симметрия.
Abstract. Potential flows of two immiscible incompressible fluids in a spatial layer
with an interface close to the horizontal plane z  0 bifurcating from the basis flows
V1 and V2 in Ox-direction in case the lower (the heavier) fluid occupies a halfspace are considered. Their orbital stability relative to perturbations with the same
symmetry is investigated. Group analysis methods in bifurcation theory under the
group invariance conditions are applied.
Keywords: two-layer fluid, capillary-gravity waves, bifurcation, stability, group
symmetry.
Введение
Нелинейная задача о волнах установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости, описывающая плоские потенциальные течения, была решена в 20-х гг. прошлого столетия в работах А. И. Некрасова [1, 2], Т. ЛевиЧивита [3] и Д. Стройка [4]. В 1928 г. Н. Е. Кочиным методами теории функций комплексного переменного исследована плоская задача о движении несмешивающихся несжимаемых жидкостей с плотностями 1 и 2 в слое, ограниченном горизонтальными плоскостями. Линия раздела жидкостей обладает периодом и перемещается без изменения формы с постоянной горизонтальной скоростью. Было доказано существование решений задачи.
С начала XX в. развивается теория ветвления решений нелинейных
уравнений, основы которой были заложены в работах А. М. Ляпунова и
Э. Шмидта. Они показали, что исходная задача о ветвлении решений нелинейных интегральных уравнений эквивалентна исследованию уравнения разветвления (УР) – системе неявных аналитических функций. Метод построе1
Полученные результаты поддержаны программой «Развитие научного потенциала
высшей школы» (проект 2.1.1/6194) Министерства образования и науки РФ, грантом Российского фонда фундаментальных исследований – Румынская академия
№ 07-01-91680а.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
ния УР стали называть методом Ляпунова – Шмидта. Далее теория ветвления
развивалась в работах Л. Лихтенштейна, А. И. Некрасова, М. А. Красносельского, В. А. Треногина, М. М. Вайнберга [5]. Наиболее интересным и трудным является случай кратного вырождения линеаризованного оператора (так
называемое многомерное ветвление), полностью не исследованный до настоящего времени. В конкретных приложениях многомерного ветвления нелинейное уравнение может иметь семейство решений. Как правило, параметры семейства имеют групповой смысл, нелинейная задача допускает непрерывную группу преобразований. Идея применения групповой симметрии
в теории ветвления принадлежит В. И. Юдовичу (1967), исследовавшему
вместе с авторами гидродинамические задачи стационарной и динамической
бифуркации. Дальнейшим развитием симметрийной теории ветвления явился
метод группового расслоения для построения редуцированного УР (Б. В. Логинов, В. А. Треногин, 1971). Доказанная в 1971 г. и опубликованная в 1973 г.
теорема о наследовании [6] уравнением разветвления групповой симметрии
первоначальной нелинейной задачи положила начало методам теоретикогруппового моделирования теории ветвления решений нелинейных уравнений и ее прикладных аспектов. Она обосновала возможности применения методов группового анализа дифференциальных уравнений по С. Ли –
Л. В. Овсянникову [7] для построения общего вида УР по допускаемой группе симметрии, оказавшихся наиболее полезными в прикладных задачах о нарушении симметрии [8].
В работе теория многомерного ветвления в условиях групповой симметрии применяется к решению системы нелинейных дифференциальных
уравнений, возникающей в задаче о поверхностных волнах на границе двух
жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство.
1 Постановка задачи
Рассматриваются периодические потенциальные течения с периодами
2
2
 a1 и
 b1 двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей с плотa
b
ностями 1 и 2 в пространственном слое с границей раздела, близкой к горизонтальной плоскости z  0 , ответвляющиеся от основных течений с постоянными скоростями V1 и V2 в направлении оси Ox в случае, когда нижняя, более тяжелая, жидкость занимает полупространство. Потенциалы скоростей имеют вид  j ( x, y, z )  V j x   j ( x, y, z ) , j  1, 2 .
В безразмерных переменных ответвляющиеся периодические режимы
описываются системой дифференциальных уравнений:
1  0,   z  f ( x, y ),
 2  0, f ( x, y )  z  1,
 2
 0, z  1,
z
 j
z

f  j f  j f
, z  f ( x, y ), j  1, 2,


x
x x
y y
(1)
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1
 2 1
2 k
2
 k0
 1  0  2  (1  k0 ) F 2 f 
2
2
x
x


 
 F 
x 
  1 
2


  


f x2  f y2  y  1 


fx

  , z  f ( x, y ),


f x2  f y2  

fy
с условиями убывания функций  j и первых ее производных по x, y на бес
hg
конечности; k0  2 – отношение плотностей жидкостей; F 2 
– квадрат
V
1

– число Бонда.
величины, обратной числу Фруда;  
1h 2 g
Система (1) инвариантна относительно 2-параметрической группы
сдвигов L g ( x, y )  g ( x  1 , y  2 ) и отражений
S1 : x   x,  j ( x, y, z )   j ( x, y, z ), f ( x, y )  f ( x, y ),
S2 : y   y ,  j ( x, y , z )   j ( x,  y, z ), f ( x, y )  f ( x,  y ),
представляющих собой группу симметрии прямоугольной решетки.
2 Построение систем разветвления
Выполняя распрямляющую границу раздела, замену переменных
z  f ( x, y )
,
и полагая

u j ( x, y,  )   j  x, y,  (1  f ( x, y ))  f ( x, y ) 
1  f ( x, y )
2
F 2  Fmn
  , получаем эквивалентную (1) систему:




u j  2(  1) f x u jx  f y u j y  2 fu j  (  1) f xx  f yy u j 


 f


2(  1) f f x u jx  f y u j y  (  1)2 f x2  f y2 u j  3 f 2u j 

(  1) 2 f x2  f y2
xx


 f yy f u j , j  1, 2,
 u2 
 u1 

  0, 
  0;
  1
   


u j  f x   fu j  f x u jx  f y u j y  f x2  f y2  f 2 u j ,   0, j  1, 2,
2
2
u1x  k0u2 x  (1  k0 ) Fmn
f  Fmn
f  

 u
 
k u u  f
1
2 k
2
u1  0 u2 
2
2
 
 f f 2f

 u1  k0u2 f x  u1  k0u2 ff x  u1x u1  k0u2 x u2 f x 
1y u1
14
0 2 y 2
y
2
 Fmn
2
x xx
x f y f xy

 f y2 f yy 
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика


 1(1  k0 ) f   ( f xx  f yy  f x2 f xx  2 f x f y f xy  f y2 f yy ) ,   0.
Система (2) может быть представлена нелинейным функциональным
уравнением BX  R( x, ) , R (0, )  0 , Rx (0, 0)  0 , X  (u1 , u2 , f ) – задачей о
точках бифуркации с линейным фредгольмовым [9] оператором
B  Bmn : C 2   0   ,0  C 2   0   0,1  C 2   0  
 C    0   ,0  C    0   0,1  C    0  ,
0    1 ,  0 – прямоугольник периодов в плоскости  x, y  .
Представляя функцию f ( x, y ) ее рядом Фурье
  amn cos max cos nby  bmn cos max sin nby 
m, n
cmn sin max cos nby  d mn sin max sin nby 
в однородном уравнении BX  0 и решая первые шесть уравнений системы
методом разделения переменных, находим
u1 ( x, y,  ) 
mae smn
 cmn cos max cos nby  d mn cos max sin nby 
smn
m, n

amn sin max cos nby  bmn sin max sin nby  ;
u 2 ( x, y ,  )  
ma cosh( smn (  1))
 cmn cos max cos nby  d mn cos max sin nby 
smn
m,n

amn sin max cos nby  bmn sin max sin nby  ;
2
2
smn
 m 2 a 2  n 2b 2 , Fmn
 F02 .
Тогда последнее уравнение системы (2) дает дисперсионное соотношение (ДС)
2
2
(1  k0  smn
)
Fmn
m2 a 2
(1  k0 coth smn ),
smn
(3)
справедливое для некоторых пар (m j , n j ) , j  1, 2, ,  , таких, что базисные
элементы подпространства нулей N ( B ) линеаризованного оператора B имеют вид

1 j  v1 j ( )sin m j ax cos n j by,  v2 j ( )sin m j ax cos n j by, v3 j cos m j ax cos n j by ;



2 j  v1 j ( )sin m j ax sin n j by ,  v2 j ( )sin m j ax sin n j by, v3 j cos m j ax sin n j by ;

3 j  v1 j ( ) cos m j ax cos n j by, v2 j ( )cos m j ax cos n j by, v3 j sin m j ax cos n j by ;
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион



4 j  v1 j ( )cos m j ax sin n j by, v2 j ( )cos m j ax sin n j by, v3 j sin m j ax sin n j by ,
где v1 j ( ) 
m j a ab cosh( sm j n j (  1))
m j a ab sm j n j
ab
, v1 j ()  
,
, v3 j ( ) 
e

sm j n j sinh sm j n j
sm j n j
и возможные порядки dim N ( B ) представляют собой суммы четверок (двумерная решетка периодичности) и двоек (одномерная решетка).
Упрощающий вычисление коэффициентов УР переход от вещественного базиса к комплексному осуществляется с помощью матрицы C с диагональными блоками C j , если j -я решетка двумерная:
 i i i i 
i 1



1 1 1 1 1
1 i 1

, C j 1  
  C  , C j  
2 1 1 1 1 
2  i 1
 i i i i 
 i 1



1 i 

1 i 
,
1 i 

1 i 
или
2
1  i i 
1 1  2i
Cj  
, Cj  
,
2  1 1
2  2i 2 
если j -я решетка одномерная.

Уравнение разветвление (УР) t (, )  0 в вещественных переменных
при переходе к комплексному базису переходит в УР в комплексных переменных 1,2  1  i2 , 3,4  3  i4 :

t j (, )  (C 1t ) j (C , )  0 , j  1 4.
Симметричность оператора B доказывается стандартными методами
[10]. Те же самые методы, примененные к неоднородной системе, приводят
к условиям ее разрешимости, позволяющим получить выражения для коэффициентов первого уравнения разветвления, отвечающего j -й решетке периодичности:
(1 )
t;kj  


 0  ,0
w(11)
;k u1 j dxdyd  
 [w;k u1 ( x, y,0)  k0 w;k u2
(21)
0
(22)
j
j

 0  0,1
k0 w(12)
;k u2 j dxdyd  
( x, y,0)]dxdy 
 w;k f2 dxdy,
(3)
0
j
где w( j;k) – коэффициенты при   k правых частей (2) в их разложении по
  (1 , , n ) и  при применении метода неопределенных коэффициентов
Некрасова – Назарова.
Для построения общего вида уравнения разветвления используется теория инвариантов и инвариантных многообразий С. Ли – Л. В. Овсянникова.
В частности, при n  dim N ( B )  4 (одна двумерная решетка периодичности)
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
ts (, )  a0( s ) () s 
 aq( s) ()s (12 )q (34 )q
1
2
 0, s  1 4,
q
где соотношения между коэффициентами и уравнениями (групповая симметрия УР) определяются равенствами
( pk t ) r (, )  tr ( pk , ) , k  1, 2, 3 ,
(4)
где p1  (12)(34) , p2  (13)(24) , p3  (14)(23) .
Равенства (4) позволяют выразить все УР через первое:
t1 (, )  A1  B12 2  C 134    0;
A  te(1);1 , B  t2(1)e e ;0 , C  te(1) e  e , e1  (1, 0, 0, 0), , e4  (0, 0, 0, 1);
1
1 2
1 2 3
tk (, )  pk 1t1 (, )  0, k  2, 3, 4.
Вычисление коэффициентов УР проводилось с использованием систе2
мы Mathematica 6: A  (1  k0  smn
)  0 , вид коэффициентов B и C громоздкий.
Симметрия задачи относительно L позволяет выполнить редукцию УР

в вещественных переменных t (, )  0 , полагая 2  4  0 . Тогда главная
часть редуцированной системы принимает вид
A1  B13  C 132  0;
A3  C 12 3  B33  0.
Таким образом, справедлива следующая теорема.
2
Теорема 2.1. Задача (1) в окрестности точки бифуркации F02  Fmn
– 4кратного собственного значения, определяемого условием (3), имеет с точностью до преобразования y   y два 2-параметрических семейства периодических решений:

1

 ma ab smn
 A
(1)
2 2 
e
) 
cos[ ma ( x  1 )  nb( y  2 )],
1(1) ,  (1)
   ( F 2  Fmn
2 ,f
 B
  smn

ma ab cosh( smn (  1))
cos[ma ( x  1 )  nb( y  2 )],
smn sinh smn


ab
sin[ ma ( x  1 ) 


z  f (1) ( x, y )
2
2
 nb( y  2 )]  O F 2  Fmn
; (5)
, sign F 2  Fmn
 sign B ,  
1  f (1) ( x, y )





1
A
 2ma ab smn

(2)
2 2 
( F 2  Fmn
) 
e
cos[ ma ( x  1 )] 
1(2) ,  (2)
 
2 ,f
 BC
  smn
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 cos[nb( y  2 )], 
2ma ab cosh( smn (  1))
cos[ma ( x  1 )]cos[ nb( y  2 )],
smn sinh smn



2 ab
2
sin[ma( x  1 )]cos[nb( y  2 )]  O F 2  Fmn
,




2
sign F 2  Fmn
 sign( B  C ) ,  
z  f (2) ( x, y )
1  f (2) ( x, y )
(6)
.
3 Об устойчивости решений задачи о волнах
на границе раздела двух жидкостей
Орбитальная устойчивость семейств разветвляющихся решений (1) определяется [11] устойчивостью стационарных решений обыкновенного дифd
 t (, ) , где t (, ) – левая часть уравнения
ференциального уравнения
dt
2
разветвления,   F 2  Fmn
. Устойчивость же последних определяется знака t 
ми собственных значений матрицы Якоби J   i  на этих решениях. Ус k 
тойчивость здесь понимается по отношению к возмущениям с той же симметрией, что и ответвившееся решение. Неустойчивость по отношению к таким возмущениям означает неустойчивость вообще. Полученные для случая
n  dim N ( B )  4 критерии устойчивости выражены в виде неравенств, содержащих коэффициенты УР, которые зависят от нескольких параметров. Их
реализация представлена в виде таблиц.
Теорема 3.1. Для того чтобы первое семейство решений (1) было орбитально устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
sign   sign B  sign( B  C )  1 ( B  B  C , C  3B  C ) ;
C
 B  C  0,
1.
 0
 
B
C  B  0
Действие оператора L12 на произвольный элемент N ( Bmn ) равносильно преобразованию его координат в разложении по базису подпространства нулей с помощью матрицы Ag (здесь f1 (1 , 2 )  cos ma1 cos nb2 ,
f 2 (1 , 2 )  cos ma1 sin nb2 ,
 sin ma1 sin nb2 );
f3 (1 , 2 )  sin ma 1 cos nb2 ,
f 2 (1 , 2 )
f3 (1 , 2 )
 f1 (1 , 2 )

f1 (1 , 2 )  f 4 (1 , 2 )
   f 2 (1 , 2 )
Ag 
f1 (1 , 2 )
ab   f3 (1 , 2 )  f 4 (1 , 2 )

 f 4 (1 , 2 )  f3 (1 , 2 )  f 2 (1 , 2 )
18
f 4 (1 , 2 ) 
f 4 (1 , 2 ) 

f3 (1 , 2 ) 
.
f 2 (1 , 2 ) 

f1 (1 , 2 ) 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
С помощью матрицы Ag определяется семейство решений
  Ag  0 () 
1/ 2

 A 
( f1 (1 , 2 ),  f 2 (1 , 2 ),  f3 (1 , 2 ),  f 4 (1 , 2 ))T    
ab
 B 
1/ 2
 A 
o(1/ 2 ) ,  0 ()  (1,0,0,0)T    
 B 

 o(1/ 2 ) ,
где  0 () – решение редуцированного УР. Таким образом, устойчивость ответвляющихся решений Ag  0 () определяется знаками главных членов собственных значений матрицы Якоби на этом решении, которые имеют вид
1,2  0 , 3  2A ,  4 
A
2 A  
(B  C) 
(C  B ) .

B
B  C
Теорема 3.2. Для того чтобы второе семейство решений (1) было орбитально устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
sign   sign( B  C )  sign B  1 ;
0
B
1.
C
Решение редуцированного УР:
1/ 2
A


 0 ()  (1,0,1,0)T  

 BC 
 o(1/ 2 ) ,
устойчивость определяется знаками главных членов собственных значений
матрицы Якоби на этом решении, которые имеют вид
1,2  0 , 3  2A ,  4 
2 A
(C  B ) .
BC
Придавая значения параметрам n, b, q 
C
ma
, мы определяем
. Реnb
B
зультаты (для k0  0,8 ) первой группы решений представлены в табл. 1, где
решения (5) устойчивы, а решения (6) неустойчивы.
Таблица 1
n
B
q
C / B
n
b
q
C / B
1
1,000
1,000
1,000
2,000
2,000
2,000
2
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
3
0,4500
0,5000
0,5500
0,4000
0,4500
0,5000
4
0,900557655
0,057744454
0,721048916
0,905174164
0,482613624
0,020687025
5
2,000
2,000
2,000
2,000
3,000
3,000
6
2,000
2,000
2,000
2,000
3,000
3,000
7
0,4000
0,4500
0,5000
0,5500
0,1500
0,2000
8
0,322462678
0,287869724
0,213069993
0,311566767
0,854370203
0,888436527
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Окончание табл. 1
1
2,000
2,000
2,000
2,000
2,000
2,000
2
1,000
2,000
2,000
2,000
2,000
2,000
3
0,5500
0,1500
0,2000
0,2500
0,3000
0,3500
4
0,641085992
0,511768485
0,076154192
0,140149238
0,256014710
0,312168742
5
3,000
3,000
3,000
3,000
3,000
3,000
6
3,000
3,000
3,000
3,000
3,000
3,000
7
0,2500
0,3000
0,3500
0,4000
0,4500
0,5000
8
0,906207058
0,915218725
0,917925930
0,914252870
0,900971896
0,865188101
Результаты для второй группы решений содержатся в табл. 2, где решения (6) устойчивы, а решения (5) неустойчивы.
Таблица 2
n
1,000
1,000
1,000
2,000
2,000
B
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
q
0,3000
0,3500
0,4000
0,1000
0,1500
B / C
0,023310436
0,157844790
0,399998387
0,046064575
0,125067544
n
2,000
2,000
2,000
2,000
2,000
b
1,000
1,000
1,000
2,000
2,000
q
0,2000
0,2500
0,3000
0,0500
0,1000
B / C
0,229482091
0,361195193
0,526581055
0,138166358
0,614013465
Список литературы
1. Н е к р а с о в, А . И . О волнах установившегося вид / А. И. Некрасов // Известия
Ивановского политехнического института. – 1922. – № 6. – С. 155–171.
2. Н е к р а с о в, А . И . Точная теория волн установившегося вида на поверхности
тяжелой жидкости / А. И. Некрасов. – М. : Изд-во АН СССР, 1951. – 96 с.
3. L e v i- C i v i t a , T . Détermination rigoureuse des ondes permanents d’ampleur finie /
T. Levi-Civita // Math. Annallen. – 1925. – № 93. – P. 264–324.
4. S t r u i k , D . J . Détermination rigoureuse des ondes irrotationelles périodiques /
D. J. Struik // Math. Annallen. – 1926. – № 95. – P. 595–634.
5. В а й н б е р г , М . М . Теория ветвления решений нелинейных уравнений /
М. М. Вайнберг, В.А. Треногин. – М. : Наука, 1969. – 524 с.
6. Л о г и н о в , Б. В. Об использовании групповой инвариантности в теории ветвления / Б. В. Логинов, В. А. Треногин // Дифференциальные уравнения. – 1975. –
№ 8. – С. 1518–1521.
7. О в с я н н и к о в , Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений /
Л. В. Овсянников. – М. : Наука, 1978.
8. Л о г и н о в , Б. В. Ветвление решений нелинейных уравнений и групповая симметрия / Б. В. Логинов // Вестник Самарского государственного университета. –
1998. – № 4 (10). – С. 15–70.
9. А г р а н о в и ч , М . С . Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях /
М. С. Агранович // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. – М. : ВИНИТИ, 1990 – Вып. 63. – С. 5–129.
10. Н а й м а р к , М . А . Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. –
М. : Наука, 1969.
11. Lo g in o v , B. V . Generalized Jordan Structure in the problem of the stability of bifurcating solutions. / B. V. Loginov, Yu. B. Rousak // Nonlinear Analysis. – TMA. –
1991. – V. 17. – № 3. – P. 219–231.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
Андронов Артем Николаевич
аспирант, Мордовский государственный
университет им. Н. П. Огарева
(г. Саранск)
Andronov Artem Nikolaevich
Post graduate student,
Mordovia State University
named after N. P. Ogarev (Saransk)
E-mail: arbox@inbox.ru
УДК 517.988.67
Андронов, А. Н.
Об устойчивости разветвляющихся решений задачи о поверхностных волнах на горизонтальной границе раздела двух жидкостей, нижняя
из которых занимает полупространство / А. Н. Андронов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2009. – № 3 (11). – С. 12–21.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 514.126
А. И. Долгарев, Е. И. Рябова
КРИВЫЕ В ГАЛИЛЕЕВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
С 3-МЕРНЫМ V-РАСТРАНОМ
Аннотация. Определен растран еще одного вида – 3-мерный V -растран, введено галилеево скалярное произведение на V -растране. Как и другие геометрии пространств с растраном, геометрия одулярного галилеева пространства
с V -растраном некоммутативна. Для кривых определены кривизна и кручение,
получены натуральные уравнения. Составлена система обыкновенных дифференциальных уравнений, коэффициентами которой являются заданные функции
кривизны и кручения кривой, а решением являются компоненты растранных
функций, описывающих кривые с заданными функциями кривизны и кручения.
Ключевые слова: натуральное уравнение кривой в некоммутативном галилеевом пространстве.
Abstract. Arrays in 3-dimensional noncommutative Galilean space with V -array are
examined. V -rastran is a direct sum of 2-dimensional rastran and 1-dimensional
vector space. Definition of curved rastran function was received according to line
natural equation.
Keywords: line natural equation in noncommutative Galilean space.
Действительные растраны относятся к разрешимым одулям Ли, которые введены в [1, c. 102–112]. Одули Ли обобщают действительные линейные
пространства и являются частным случаем одулей над кольцом [2]. В работе
[1] изучаются некоммутативные геометрии вейлевских одулярных пространств размерности 3 – пространств с одулями Ли, построенными в схеме
Г. Вейля; в том числе геометрия пространства с однородным растраном.
Начальные сведения по геометрии пространства с растраном общего вида
содержатся в [3]. Ниже определен растран еще одного вида – 3-мерный
V -растран и начато изучение геометрии пространства с этим растраном. Определено галилеево скалярное произведение на V -растране. Найдены производные соответствующих растранных функций, что позволило изучать дифференциальную геометрию одулярного галилеева пространства с V -растраном.
Как и другие геометрии пространств с растраном [1, 3], эта геометрия некоммутативна. Для кривых введена естественная параметризация, определены
кривизна и кручение, получены формулы Френе и натуральные уравнения.
Составлена система обыкновенных дифференциальных уравнений, коэффициентами которой являются заданные функции кривизны и кручения кривой,
а решением являются компоненты растранных функций, описывающих кривые с заданными функциями кривизны и кручения.
1 Растранные функции
1.1 V-растран
Существует несколько видов 3-мерных растранов, в [1, c. 106–107]
рассмотрены растран общего вида и однородный растран, заданные операциями на тройках R 3 действительных чисел. Ниже рассматривается растран, являющийся прямой суммой 2-мерного растрана и 1-мерного линей-
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
ного пространства, называемый V -растраном. Обозначение V -растрана:


Pv3  R 3 , , R    . На многообразии R 3 этот растран определяется следующими операциями на тройках действительных чисел:

 

( x, x1 , x 2 )  y, y1 , y 2  x  y, x1  y1 , x 2e y  y 2 ;
(1)

e xt  1 
t x, x1 , x 2   tx, tx1 , x 2
 , x  0 ; t 0, x1 , x 2  0, tx1 , tx 2 .
x

e  1 




 

(2)
Элементы растранов называются растами и обозначаются малыми гре-

ческими буквами,   x, x1 , x 2
 – произвольный раст. Внешнюю операцию
умножения растов на действительные числа принято обозначать R (t ) , т.к.
она связана с внутренней операцией сложения на растране. Раст    0, 0, 0 
является нулевым. Действительно, на основании сложения растов (1)

 
 

     0, 0, 0   x, x1 , x 2  0  x, 0  x1 , 0  x 2  x, x1 , x 2 .


(3)
  ( x, x1 , x 2 )    x,  x1 ,  x 2e x  ,
т.к. по (1):  x, x1 , x 2     x,  x1 ,  x 2 e x    0, 0, 0  . Кроме того, используя
внешнюю операцию (2), получаем  1  x, x1 , x 2     x,  x1 ,  xe x  .
Расты вида    0, x1 , x 2  называются трансляциями, расты
   x, x1 , x 2  , где x  0 , называются расширениями. По (1) и (2) получаем,
Противоположным к расту   x, x1 , x 2 является раст
что трансляции составляют в Pv3 2-мерное линейное пространство L2 , расширения вида   ( x, 0, 0) составляют в растране Pv3 1-мерное линейное пространство.
1.2 Генетический код V -растрана

Всякий раст   x, x1 , x 2

однозначно представляется в виде суммы,
см. (1) и (2):


  x, x1 , x 2  x 1, 0, 0   x1  0,1, 0   x 2  0, 0,1 .
Введем обозначения: 1, 0, 0    ,
сматриваемое разложение имеет вид

 0,1, 0    ,  0, 0, 1   .
Тогда рас-

  x, x1 , x 2  x  x1  x 2  .
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Следовательно, расты , ,  составляют базис V -растрана Pv3 , кото-
рый обозначаем Б =  , ,   .
Коммутатор растов ,  , как коммутатор элементов группы (Pv3 , ) ,
равен [, ]         . По (3) находим:   (1, 0, 0) ,   (0,  1, 0) ,
   0, 0,  1 . Используя операцию (1), вычислим коммутаторы базисных
растов.
 ,            0, 0,  1   0,  1, 0    0, 0,1   0,1, 0    0, 0, 0    ;
 ,     0, 0, e  1   e  1  , ,     .
Теперь запишем генетический код V -растрана:
Pv3  , ,  ,    ;  ,   ;  ,     e    .
На основе генетического кода V -растрана заключаем, что V -растран
является прямой суммой 2-мерного растрана P 2 и 1-мерного линейного пространства L1 :
Pv3  P 2  L1 ,
где P 2 состоит из растов вида
 x, 0, x2  ,
L1 состоит из растов вида
 0, x1, 0 . Определение растрана P2 см. в [1].
1.3 Норма на растране
Обычным образом, как в линейном пространстве [1, c. 46–48], определим галилееву норму растов.



Галилеево скалярное произведение растов   x, x1 , x 2 ,   y , y1 , y 2

обозначается  и задается следующим образом:
 xy , если x  0 или y  0,
   1 1
2 2
 x y  x y , если x  y  0.
Скалярным квадратом раста  называется число   2 . По определению скалярного произведения растов имеем
( x) 2 , если x  0,
 
( x1 ) 2  ( x 2 ) 2 , если x  0.
2
Выполняются следующие свойства: скалярный квадрат раста  равен
нулю, если и только если    ; для всякого раста  : 2  0 .
Нормой раста называется корень квадратный из его скалярного квад-


рата:   2 . Для раста   x, x1 , x 2 имеем
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
| x |, если x  0,
|  | 
1 2
2 2
 ( x )  ( x ) , если x  0.
Расты    x, 0, 0  называются времениподобными, или временными,

расты   0, x1 , x 2

называются пространственноподобными, или про-
странственными. Все временные расты являются расширениями. Всякая
трансляция пространственна, согласно определению нормы раста, она является евклидовым вектором. Скалярные произведения различных растов базиса равны нулю, скалярные квадраты этих растов равны 1. Поэтому базис Б
является ортонормированным. Трансляции составляют в Pv3 2-мерное евклидово векторное пространство V 2 .
1.4 Дифференцирование растранной функции
Пусть x  t  , x1  t  , x 2  t  – действительные функции действительного
параметра t , заданные на общем интервале I  R . Рассмотрим функцию


  t   x  t  , x1  t  , x 2  t  , t  I ,
со значениями на Pv3 : всякому значению t из I соответствует раст


  t   x  t  , x1  t  , x 2  t  из Pv3 . С изменением параметра t имеем растран-
ную функцию (t ) параметра t .

Раст   h, h1 , h 2



называется пределом функции   t   x  t  , x1  t  ,
x 2  t  , t  I в точке t0 , если lim xi  t   hi , lim x  t   h, i  1, 2 . Функция
t t0
t t0
  t  называется непрерывной в точке t0 , если предел функции в точке t  t0
равен   t0  . Функция   t  непрерывна на интервале I , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Наличие внешней операции на растране позволяет традиционно определить производную функции   t  :

1
 lim
 .
t 0 t
t 0 t
lim
Приращение

функции
  t  t     t    , откуда
t 
вычисляется
из
равенства
    t     t  t  .
Ввиду некоммутативности внутренней операции на V -растране слагаемые в правой части последнего равенства неперестановочны. С использо-
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

ванием противоположного раста, см. (3), для раста   t   x  t  , x1  t  , x 2  t 



x t
имеем   t    x  t  ,  x1  t  ,  x 2  t  e   . Находим:
    t     t  h  


 x1 t x1 t  h
  x1  t  h   x1  t  , x 2  t  h   x 2  t  ,  x  t  e   e    x  t  h   .


Введем обозначения:
x(t  h)  x(t )  x , x1 (t  h)  x1 (t )  x1 , x 2 (t  h)  x 2 (t )  x 2 , h  t .
В этих обозначениях приращение растранной функции таково:


  x, x1 , x 2  t  h   x 2  t  ex .
Умножим раст  на число
1
, см (2):
h
x

1


x x
e h 1
 ,
, x 2 (t  h)  x 2 (t )ex
h  h h
e x  1








.



(4)

. Согласно определению предела растранной функh0 h
ции в начале настоящего п. 1.4 указанный предел вычисляется покомпонентно. Для первых двух компонент в (4) получаем
Вычислим lim
x
x1
 x , lim
 x1 .
h0 h
h 0 h
lim
Предел в третьей компоненте раста (4) имеет вид
x

 2
e h 1
lim  x (t  h)  x 2 (t )ex
h 0 
e x  1








x 2 (t  h)  x 2 (t )ex

.
  e x  1 lim
x
h0

e
1







Применим правило Лопиталя:
x2  t  h   x 2  t  x  t  h  ex  x(t )ex 
 x 2  t 


x
  e  1 
 x2 t   .
 e  1 hlim
 x  t 

0
x1 t  h e x
x


1


Таким образом, мы получили формулу для вычисления производной
растранной функции:

  t    x  t  , x1  t  , e x  1



26

 x 2  t 


 x 2 (t )   .
 x  t 



(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
В частности, если x1  t   C – постоянная величина, то


  t   0, x1 (t ), x2  t  ;
(6)
если x1  t   t , то формула производной принимает вид



  t   1, x1  t  ,  e  1 x2  t   x 2  t  .
(7)
Согласно (6) производная второго порядка (t )  ((t )) в случае
x  t   t является евклидовой векторной функцией и далее дифференцируется
как евклидова векторная функция.
2 Пространство с V -растраном
2.1 ВО-пространство
Пусть  ,   – группа Ли. Структура    , , R ( )  с внутренней
бинарной операцией (+) и внешней операцией R () умножения элементов
группы Ли на действительное число называется одулем Ли. При этом для любых   , t , s  R требуется выполнение следующих аксиом:
s (t )  ( st ) , ( s  t )  ( s  t ) , 0   , 1   .
Растран является частным случаем одуля Ли. Элементы одуля называются одулярами. Рассмотрим непустое множество W , его элементы называются точками и обозначаются: А, В, …, М, … Задано отображение
WW  Ω
пар точек в одуль Ли Ω , т.е. всякой паре  A, B  точек соответствует единственный одуляр  , пишем AB   . Считаем, что для рассматриваемого отображения выполняются аксиомы Г. Вейля:
1. Для всякой точки A и всякого одуляра  существует единственная
точка B , что AB   .
2. Для любых трех точек A, B, C , если AB   , BC   , то
AC     .
Множество W называется вейлевским одулярным пространством, или
коротко BO -пространством. Для любых трех точек A, B, C выполняются
соотношения
AB  BC  AC ; если AB   , то BA   ; AA   .
2.2 ЕМ-пространства
BO -пространство с нормированным растраном называется EM -
пространством и обозначается M 3 . EM -пространство с V -растраном Pv3
называется VEM -пространством и обозначается M 3v . Репер B   O, , ,  
EM -пространства является ортонормированным. Для точек A( a, a1 , a 2 ) и
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
B (b, b1 , b 2 ) раст
AB находится из соотношения
AB  OA  OB . По формулам (3) и (2) находим
OA  AB  OB :
AB  (b  a, b1  a1 , b 2  a 2 eb a ) .
Расстояние AB между точками A( a, a1 , a 2 ) и B (b, b1 , b 2 ) , как во всяком BO -пространстве с галилеевой метрикой, равно норме раста AB :
 b  a , если b  a,

AB  
2
2
 b1  a1  b 2  a 2 , если b  a.


 

При b  a расстояние между точками A и B является евклидовым.
3 Свойства кривых VEM -пространства
3.1 Кривые в EM -пространстве
Пусть I – интервал в R . Дифференцируемой кривой класса Ck в
VEM -пространстве M 3v называется дифференцируемое отображение 
класса Ck интервала I в M 3v . Значению параметра t из интервала I соответствует точка   (t ) в VEM -пространстве. В ортонормированном репере


B   O, , ,   пространства M 3v положим   t   x  t  , x1  t  , x 2  t  . Параметр t пробегает интервал I   a, b  в R , возможно, I совпадает с R . Кривая описывается растранной функцией   t  . Принято говорить, что


    t   x  t  , x1  t  , x 2  t  , t  I ,
есть кривая в VEM -пространстве M 3v . Вместе с тем кривая   t  является
множеством точек l  {OM | OM    t  , t  I } . Поэтому говорят, что задана
кривая l или кривая   t  . Кривая   t  называется регулярной класса Ck на
интервале I , если отображение  имеет класс Ck и в каждой точке t  I ,
  t    . Рассматриваем регулярные кривые с условием x  0 . Функция
x  x  t  является обратной, t  t  x  , параметр x пробегает некоторый ин-
тервал I1 в R . Обозначая x  s , имеем кривую l в параметризации
  s    s, x  s  , y  s   , s  I .
(8)
Полученная параметризация обладает следующими свойствами: вопервых,


 '  s   1, x  s  ,  e  1  y  s   y  s   ,
см. (7) , и по определению нормы растов в п. 1.3,
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
 ' s   1.
Во-вторых, если P    s0  и M  M ( s ) , s  s0 , – две точки кривой l ,


то (согласно п. 2.2) PM  s  s0 , x  s   x  s0  , y  s   y  s0  e s  s0 и
PM  s  s0 .
Это означает, что параметризация (8) кривой l является естественной.
 … Точке   t  кривой сопоставляПроизводные функции (8) обозначаем  , 
ется раст   t  при том же значении t  I . Имеем касательное отображение
VEM -пространства в растран. Прямая M  t0  ,   t0  называется касательной к кривой   t  в точке t0 этой кривой.
Пусть   t    u (t ), v(t ), w(t )  – произвольная параметризация кривой l .
В каждой точке P кривой l имеем касательные: P,  '  t  и P,   s  . Находим производные растранных функций, считая s  s (t ) :



 w' s '

u' t
  t    u '  t  , vs s 't , e    1  s t  w  s    


 s 't






u' t
 u '  t  , v 's s 't , e    1  w 's  w  ;
  s   1, x ,  e  1  y  y    1, v 's ,  e  1  w 's  w   .
Вычислим произведение u   t     s  :

  
u t

e   1

u   t    s    u   t  , u   t   vs ,  e  1  ws  w 
e1  1











u t
 u   t  , vs st , e    1  ws  w     t  .
Выполняется равенство   t     t  s    u   t     s  , значит, положение
касательной к кривой l , т.е. первой соприкасающейся плоскости кривой
в VEM -пространстве, не зависит от параметризации кривой l .
Подпространство  P, ,   в VEM -пространстве 2-мерно, т.е. су-
ществует вторая соприкасающаяся плоскость кривой l . Для раста   t 
получаем

 


u t

 st  vs stt , eu  t   1 
  t   u   t  , vs st , e    1  ws  w   u   t  , vss




29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


u t

  ws   
e    1  wss




u t
u t
   e    1  ws  w  s    e    w  t   w  s   
;

u   t 






  u     A  
,
где A – некоторый коэффициент.
Таким образом, положение второй соприкасающейся плоскости кривой
l зависит от ее параметризации. Для сравнения заметим, что в BO пространстве с однородным растраном положение первой и второй соприкасающихся плоскостей кривой не зависит от параметризации кривой.
3.2 Кривизна кривой
Рассмотрим кривую   s    s, x  s  , y  s   в естественной параметриза-
ции. Функцию   s  можно записать в разложении по базису
  s   s  x  s    y  s   .
Раст x  s    y  s   является трансляцией, множество всех трансляций
в Pv3 . Поэтому

имеем векторную функцию x  s    y  s   , которую обозначим r  s  . Полу-
V -растрана составляет векторное пространство V 2  , 
чаем разложение раста   s  на времениподобную и пространственноподобную составляющие:

  s   s  r  s  .
Для кривой (8) VEM -пространства в естественной параметризации по
(7) и (6) во всякой ее точке имеем производные расты:
    s   1, x ,  e  1 y  y   ,   
  s    0, 
x,  e  1 
y  y   .
По определению нормы раста в п. 1.3 раст  касательной к кривой (8)
является единичным:
    1 .
Раст    является трансляцией, т.е. вектором из V 2  ,  . По опре   0 , поэтому   
делению скалярного произведения растов в п. 1.3, 
.
В точке P раст     s  определяет главную нормаль  P,   кривой (8). Обозначим
 
  k1n , n  1 .
(9)
  k1 . По определению нормы растов в п. 1.3
Таким образом,   
имеем
2
2

  
x 2   e  1  
y  y   k1 .
30
(10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
Величина k1 называется кривизной линии   s  в точке P (по аналогии
с кривизной евклидовой и галилеевой кривой [1]). Функция k1  k1  s  называется функцией кривизны линии   s  (8). Трансляция
 1
n   0, 
x,  e  1 
y  y  
k1
называется единичной трансляцией главной нормали кривой   s  в точке P .
3.3 Кручение кривой

В работе [1, с. 59–60] для евклидова вектора u  t    v  t  , w  t   введена

 -функция следующим образом: для производной u   t  выполняется

vw  vw  w v 
u  t  
 2   u , u  .
u


 w v 
Вектор g  t      ,   является единичным, обозначим
 u u 




u t    t  g t  .
 vw  vw
называется  -функцией евклидова векФункция   t     u  
2
u

тора u  t  . Кручением кривой (8)   s  называется  -функция вектора   t  :
k2  t    e  1

x  
y  
y   
x  
y  y 
k12
;
(11)
k2 (t ) называется функцией кручения линии (8).
3.4 Формулы Френе
Выше найден вектор  , формула (9) – это первая формула Френе для
 , получаем
кривой VEM -пространства M 3v . Вычисляя  -функцию вектора 
 
 

 
n   k2b , b  1, b  n .
k1
Это вторая формула Френе. И точно так же находим


b   k2 n ,
(12)
(13)
это третья формула Френе.
Формулы (9) , (12), (13) являются формулами Френе:
 
 

  k1n , n  k2b , b  k2 n .
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 
В каждой точке P кривой (8) определены векторы , n , b ;  есть еди
ничный вектор касательной кривой   s  ; n – единичный вектор главной

нормали кривой   s  и b – единичный вектор бинормали кривой   s  . Ре 
пер ( P, , n , b ) сопровождает точку в движении по кривой (8).
3.5 Уплощение кривой

Если кривая (8) плоская, то ее кручение k2  0 , вектор бинормали b
кривой остается постоянным. Если же кручение кривой k2  0 , то вектор би
нормали b кривой постоянен и кривая лежит в плоскости.
3.6 Натуральные уравнения кривой VEM -пространства
По формулам (10) и (11) запишем систему уравнений:
2
2
 
y  y   k12 (t ),
 x   e  1  

x 
y  
y   
x  
y  y    k12  t  k2  t  .
 e  1  
(14)
Считая функции k1 (t )  0 и k2 (t ) заданными, найдем функции
x(t ), y (t ) – компоненты растранной функции   t    t , x(t ), y (t )  , t  I  R ,
описывающей кривую VEM -пространства. Находим функции x(t ) и y (t )
как решение системы (14). Обозначим

x  u  t  ,  e  1 
y  y   v  t  .
(15)
Система уравнений (14) запишется в виде
u 2  v 2  k12  t  ,

u  v  v  u  k12  t   k2  t  .
По виду первого уравнения системы положим
u  k1 cos w, v  k1 sin w,
(16)
где

w  w(t )  k2 (t )dt .
(17)
Удостоверимся, что функции (15) удовлетворяют второму уравнению
системы (14). Действительно,
  k12 k2 .
u  k1 cos w  k1k2 sin w , v  k1 sin w  k1k2 cos w , uv  uv
Подставляя (16) в (15), предварительно проинтегрировав (17), и решая
уравнения (15), получаем компоненты x(t ), y (t ) функции   t    t , x  t  , y  t   ,
т.е. кривую VEM -пространства, кривизна и кручение которой совпадают
с заданными функциями k1 (t )  0 и k2 (t ) . Начальные условия
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
t  t0 , ( x(t0 ), y (t0 ))  (a, b)  P , (1, x (t0 ), y (t0 ))  (1, c, d )  
определяют единственную кривую VEM -пространства, проходящую через
точку P в направлении раста касательной  .
В частности, пусть кривизна k1 и кручение k2 кривой (t ) постоянны.
По (17) находим
w  k2  t  c0 .
Воспользовавшись (16) и (17), вычислим x  t  :
k

x  k1 cos  k2t  c0  , x  1 sin  k2t  c0   c1 ;
k2
k
x   1 cos  k2t  c0   c1t  c2 .
k2
(18)
Для отыскания функции y  t  получаем дифференциальное уравнение:
k k sin  k2t  c0 

,
y  y  1 2
 e  1
введем обозначение
y  p.
В уравнении
dp k1 sin  k2t  c0 

p
dt
e 1
положим p  c(t )et , где c(t ) – неизвестная функция,
k sin  k2t  c0 
p  et c(t )  et c(t ) , et c(t )  c(t )et  1
 c(t )et ,
e 1
значит,
c(t ) 
c t  
k1 sin  k2t  c0 
dt ;
e 1
et

 sin  k2t  c0   k2 cos  k2t  c0  
k1
 ( e t ) 
  c3 ,
2


e 1

1
k


2
и теперь
p
y
k1  sin  k2t  c0   k2 cos  k2t  c0  

  c3 ;

e  1 
1  k22

  cos  k2t  c0 


 sin  k2t  c0   c3t  c4  .
k2
(e  1)(k22  1) 

k1
(19)
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Указанные выше начальные условия выделяют единственную кривую,
проходящую через данную точку   t0  в направлении вектора
  t0   1, x  t0  , y  t0   . Таким образом, по кривизне k1 и кручению k2 кривой (t ) получаем задание кривой растранной функцией   t    t , x(t ), y (t )  ,
t  I  R , где x(t ) и y (t ) – функции (18) и (19).
Список литературы
1. Д о л г а р е в , А . И . Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств : монография / А. И. Долгарев. – Пенза : Информационноиздательский центр ПГУ, 2005. – 306 с.
2. С а б и н и н , Л. В. Одули как новый подход к геометрии со связностью /
Л. В. Сабинин // ДАН СССР. – 1977. – № 5. – C. 800–803.
3. В а л о в и к , Д . В. Кривые в одулярной дифференциальной геометрии пространства с растраном общего вида / Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 2. –
С. 10–18.
Долгарев Артур Иванович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Dolgarev Artur Ivanovich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: delivar@yandex.ru
Рябова Екатерина Ивановна
студент, Пензенский государственный
университет
Ryabova Ekaterina Ivanovna
Student, Penza State University
E-mail: delivar@yandex.ru
УДК 514.126
Долгарев, А. И.
Кривые в галилеевом пространстве с 3-мерным V-растраном /
А. И. Долгарев, Е. И. Рябова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 3 (11). – С. 22–34.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
УДК 514.126
А. И. Долгарев, О. А. Подвалова
КРИВЫЕ В ГАЛИЛЕЕВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
С 4-МЕРНЫМИ РАСТРАНАМИ
Аннотация. На множестве 4-мерных кортежей действительных чисел определено два вида растранов размерности четыре посредством задания операций
над кортежами. Определено скалярное произведение растов, получены формулы дифференцирования растранных функций. Проводится аналогия с кривыми 4-мерного пространства-времени Галилея, рассматриваются кривые
в естественной параметризации, определяется три вида кривизн, получены
формулы Френе и вычислительные формулы кривизн.
Ключевые слова: кривые на множестве 4-мерных кортежей в некоммутативной
галлилеевой геометрии.
Abstract. Detected two types of 4-dimentional rastrans. Lines in Galilean space with
mentioned rastrans are examined. Arches are calculated and Frene formulas are received. This work is applied to noncommutative Galilean geometry.
Keyword: Lines in 4-dimensional arrays of noncommutative Galilean geometry.
На многообразии R 4 кортежей действительных чисел ниже определено
два вида растранов размерности четыре посредством задания операций над
кортежами. 3-мерные растраны, как частные случаи одулей Ли, приведены
в [1], где определены однородный растран и растран общего вида. В работе [1]
развивается некоммутативная одулярная дифференциальная галилеева геометрия 3-мерного пространства-времени с однородным растраном. Первые
положения теории кривых 4-мерного коммутативного пространства-времени
Галилея содержатся в [2, 3]. Ниже проводится аналогия с кривыми из [2], рассматриваются кривые в естественной параметризации, определяется три вида
кривизн, получены формулы Френе и вычислительные формулы кривизн.
1 Растраны размерности 4
1.1 Определение одуля
Пусть   (, ) – алгебраическая структура с бинарной внутренней
операцией «+», коммутативности операции не требуется. Элементы структуры  обозначаем , , ..., , ... Рассматривается кольцо K и отображение
K    : K     ,
называемое операцией умножения элементов структуры  на скаляр из
кольца K ; в отображении
K    : K     t ,   t   .
Для всех t , s  K и  требуется выполнение условий:
s  t    st  ,  t  s    t   s .
Алгебраическая структура    , , K     называется одулем над
кольцом K или K -одулем. Выписанные условия называются аксиомами
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
одуля. Элементы одуля называются одулярами. Если структура   (, )
является группой Ли и K  R , то    , , K     называется одулем Ли.
К указанным аксиомам K -одуля добавляются еще аксиомы:
1  , 0  , t (1 )  (t )1 ,
где  – нулевой одуляр,    .
K -одули введены Л. В. Сабининым в 1977 г. [4], одули Ли впервые
рассматриваются в [1]. Частными случаями одуля Ли являются действительное линейное пространство и растран.
1.2 Растраны размерности 4
Рассмотрим два вида 4-мерных растранов, которые задаются разными
операциями на многообразии R4. Элементы растранов называются растами.
I. Однородный растран. Операции:
 x, x1, x2 , x3    y, y1, y 2 , y3    x  y, x1e y  y1, x2e y  y 2 , x3e y  y3  ;

e xt  1 2 e xt  1 3 e xt  1 
t x, x1 , x 2 , x3   xt , x1
,x
,x
, x0;

ex 1
ex 1
e x  1 




 

t 0, x1 , x 2 , x3  0, x1t , x 2t , x3t , t  R .
Нулевой
раст:
  (0, 0, 0, 0) ;

раст,
противоположный

расту
  ( x, x1 , x 2 , x3 ) , равен    x,  x1e y ,  x 2e y ,  x3e y . Обозначение однородного растрана: P 4 .
II. V -растран. Операции:
 x, x1, x2 , x3    y, y1, y 2 , y3    x  y, x1e y  y1, x2e y  y 2 , x3  y3  ;

e xt  1 2 e xt  1 3 
t x, x1 , x 2 , x3   xt , x1
,x
, x t , x  0;


ex 1
ex 1





 

t 0, x1 , x 2 , x3  0, x1t , x 2t , x3t , t  R .
Нулевой раст есть
1
2
3
  (0, 0, 0, 0) ; раст, противоположный расту


  ( x, x , x , x ) , равен    x,  x1e y ,  x 2 e y ,  x3 . Обозначение V -растрана: Pv31 .
В каждом растране: расты (0, x1 , x 2 , x3 ) называются трансляциями,
расты ( x, x1 , x 2 , x3 ) , x  0 , называются расширениями; число e x называется
коэффициентом расширения ( x, x1 , x 2 , x3 ) . Все вычисления над растами производятся на основе операций, определяющих растран. Расты вида
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
( x, x1 , x 2 , 0) , x  0 , составляют в V -растране Pv31 подрастран, являющийся
однородным 3-мерным растраном P3 , см [1]; расты (0, 0, 0, x3 ) составляют
подрастран, являющийся 1-мерным действительным линейным пространством L1 ; см. операции на V -растране. V -растран Pv31 есть прямая сумма
3-мерного однородного растрана P3 и 1-мерного линейного пространства L1 :
Pv31  P3  L1 .
В дальнейшем, если не будет специально оговорено, будем оба
4-мерных растрана обозначать P 4 .
1.3 Растранные функции
Обозначим: (1, 0, 0, 0)   , (0,1, 0, 0)   , (0, 0,1, 0)   , (0, 0, 0,1)   .
Для всякого раста   ( x, x1 , x 2 , x3 ) имеется однозначное разложение:
  ( x, x1 , x 2 , x3 )  x  x1  x 2   x3 .
Поэтому Б =  , , ,   является базисом каждого из растранов P 4 .
Пусть I есть интервал в R. Растранная функция     t  , t  I, одного параметра есть отображение I  P 4 интервала I в растран P 4 , в котором числу
t  I соответствует раст     t  из P 4 :


    t   x  t  , x1  t  , x 2  t  , x3  t  , t  I .
Четыре действительные скалярные функции x  t  , x1  t  , x 2  t  , x3  t 
аргумента t, заданные на интервале I и взятые в рассматриваемом порядке, и
есть растранная функция аргумента t на интервале I.
1.4 Скалярное произведение растов
Норму растов можно определить на основе скалярного произведения
растов. Введем галилеево скалярное произведение растов по аналогии с галилеевым скалярным произведением векторов [1].
Пусть ,  – расты из P 4 . Галилеевым скалярным произведением растов   ( x, x1 , x 2 , x3 ) ,   ( y, y1 , y 2 , y 3 ) называется число, обозначаемое 
и равное
 xy , если x  0 или y  0,
   1 1
2 2
3 3
 x y  x y  x y , если x  y  0.
Выполняются следующие равенства:
   ; (  )     ;  t       t    t    , t  R.
Скалярным квадратом раста  называется число   2 . По определению скалярного произведения растов
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 x 2 , если x  0,
2  
( x1 ) 2  ( x 2 ) 2  ( x3 ) 2 , если x  0.
Нормой раста называется корень квадратный из его скалярного квадрата   2 . Для раста   ( x, x1 , x 2 , x3 ) выполняется
| x |, если x  0,
 
1 2
2 2
3 2
 ( x )  ( x )  ( x ) , если x  0.
Растраны P 4 нормированы посредством галилеева скалярного произведения растов. Это галилеевы растраны. Первые компоненты растов считаются временными, остальные компоненты считаются пространственными.
Нормированный V -растран Pv31 является прямой суммой галилеева
3-мерного галилеева однородного растрана P3 и 1-мерного евклидова векторного пространства V1 :
Pv31  P3  V1 .
1.5 Предел и непрерывность
Предел растранной функции, как и векторной функции в галилеевом

векторном пространстве, определяем покомпонентно. Раст   h, h1 , h 2 , h3
называется пределом функции


    t   x  t  , x1  t  , x 2  t  , x3  t  ,

t  I,
в точке t0 , если
lim x  t   h , lim xi  t   hi , i  1, 2, 3.
t t0
t t0
Правила предельного перехода для растранных функций такие же, как
для векторных функций.
Функция   t  называется непрерывной в точке t0 , если предел функции в точке t  t0 равен   t0  . Функция   t  непрерывна на интервале I, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
1.6 Дифференцирование на однородном растране P4
Наличие внешней операции на одуле позволяет традиционно определять производную одулярной функции.
Производным растом функции   t  в точке p  I назовем раст
  p  
  p     t 
d

1
 lim
 lim
  lim
.
dt t  p t  p t  p t  p
t p
t p
Производной функцией от функции   t  на некотором интервале I назовем функцию, значение которой в каждой точке интервала равно производному расту данной функции.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
Вычислим производный раст функции   t  в точке p  I для однородного растрана. Сначала найдем отношение приращений:
  p     t 
t p



 

1 
 x  p  , xi  p   x  t  , xi  t   

t  p 



1 
x p
 x  p  ,  e   xi  p   x  t  , xi  t   


t p

1 
x t x p
x  t   x  p  , xi  t   xi  p  e      

t  p 
 x p   x t 


 x t   x  p 

t p
e
1 i

,
( x (t )  xi ( p)e x (t ) x ( p ) )  , i  1, 2, 3 .
 t p

e x (t )  x ( p )  1




Так как
lim
t p
xi (t )  xi ( p)e x (t ) x ( p )
e x (t )  x ( p )  1

 lim
xi (t )  xi ( p )e x (t ) x ( p ) x(t )
t p
x(t )e x (t ) x ( p )

xi ( p )  xi ( p ) x( p) xi ( p )

 xi ( p ),
x( p )
x( p ))
то окончательно получаем

 xi ( p)

( p)   x( p),(e x( p )  1) 
 xi ( p )   .
 x( p )





На основании этого равенства производная функции   t  такова:
 xi (t )

 
(t )  x(t ), xi (t )   x(t ),(e x(t )  1) 
 xi (t )   .
 x(t )







В частности, если x(t )  t , то


  t   1,(e  1)( xi (t )  xi (t )) , t  1, 2, 3 ;
если x(t )  0 при t  p или x(t )  const , то
(t )  (0, xi (t ))  (0, xi (t )) .
Выражения для координат раста производной (t ) через координаты
раста (t ) сложнее, чем соответствующие выражения для векторных функций. Вычисления показывают, что правила дифференцирования растранных
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
функций в общем случае не совпадают с правилами дифференцирования векторных функций, т.е.


(  )    ,  c   c ,  u   u   u .
1.7 Дифференцирование на V -растране Pv31
По аналогии с предыдущим на основе операций на V -растране вычислим производный раст функции   t  со значениями в V -растране в точке
p  I. Находим:
  p     t 
t p



1 
 x  p  , x1  p  , x 2  p  , x3  p  
t  p 


 x  t  , x1  t  , x 2  t  , x3  t   




1 
x p
x p
 x  p  ,  e   x1  p  ,  e   x 2  p  ,  x3  p  

t p


 x  t  , x1  t  , x 2  t  , x3  t   


1 
x t x p
x  t   x  p  , x1  t   x1  p  e     ,


tp
x t x p
x 2  t   x 2  p  e     , x 3  t   x3  p   

 x p  x t 

 x t   x  p 
e t p
1 1

,
( x (t )  x1 ( p )e x (t ) x ( p ) ),

x
t
x
p
(
)
(
)
 t p
e
1


 x p   x t 
t p


e
1 2
2
x (t )  x ( p ) x  t   x  p  
( x (t )  x ( p ) e
),
.

tp
e x (t )  x ( p )  1


3
3
Предел во второй и третьей компонентах вычислен в предыдущем
п. 1.6, поэтому


 x1 ( p ) 1

 x 2 ( p )

( p )   x( p ),(e x( p )  1) 
 x ( p )  ,(e x( p )  1) 
 x 2 ( p )  , x3 ( p )  .
 x( p )

 x( p )









Таким образом, производная функции   t  такова:

(t )  x(t ), x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t ) 

40

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика


 x1 (t ) 1  x(t )
 x  2 (t )

  x(t ),(e x(t )  1) 
 x (t )  ,(e
 1) 
 x 2 (t )  , x3 (t )  .
 x(t )

 x(t )









Если x(t )  t , то


  t   1,(e  1)( xi (t )  xi (t )), x3 (t ) , t  1, 2 ;
если x(t )  0 при t  p или x(t )  const , то
(t )  (0, xi (t ))  (0, xi (t )) .
2 Галилеево 4-мерное пространство с растраном. ЛМ-, ЕМ-пространства
В аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства заменяем одулем Ли
линейное пространство. Линейное пространство является коммутативным
одулем Ли. Получаем обобщение аффинного пространства, называемое вейлевским одулярным пространством, или коротко ВО-пространством. Геометрия ВО-пространства строится по аналогии с аффинной геометрией с учетом
специфики одуля Ли. ВО-пространство с ненормированным однородным
растраном называется ЛМ-пространством, оно обозначается Λ 4 , в случае
V -растрана имеем VЛМ-пространство, обозначаемое Λ31 .
ВО-пространство с нормированным однородным растраном называется
ЕМ-пространством, оно обозначается M 4 , если V -растран нормирован, то
имеем VЕМ-пространство, его обозначение M31 .
2.1 Пространства Λ 4 , M 4 . Уравнения прямых и плоскостей.
Евклидовы подпространства
В ЛМ-пространстве Λ 4 выбираем репер B =  O, , , ,   , где O –
точка и  , ,  ,   – базис растрана. Координатами точки M в репере B называются координаты раста OM в базисе  , ,  ,   . Если A(a, a1 , a 2 , a3 ) и
B (b, b1 , b 2 , b3 ) – точки ЛМ-пространства, то на основании операций на растране и равенства AB  OA  OB получаем раст


AB  b  a, b1  a1eb a , b 2  a 2 eb  a , b3  a3eb a .
Координатные плоскости O, ,  , O, ,  , O,  , 
являются аффин-
ными, а координатные плоскости O, ,  , O, ,  , O, ,  – ЛМ-плоскостями. По аналогии с 3-мерным ЛМ-пространством, см. [1], имеем, что для
любых независимых растов  и  и любой точки A в Λ 4 существует плоскость A, ,  . Она либо аффинна, либо ЛМ-плоскость. Через всякие три неколлинеарные точки ЛМ-пространства проходит единственная плоскость.
Во всякой ЛМ-плоскости через всякую ее точку проходит единственная
прямая, параллельная прямой P,  , если  – трансляция; и две различные
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
параллельные прямые (ко-параллельная и тран-параллельная), если  есть
расширение.
Формулы замены координат точек при переходе к другому реперу ЛМпространства имеют вид
 x  kx  c,
 i
i kx
i
j
i
 x  k e  b j x  c , i, j  1, 2, 3.
Прямая B,  ЛМ-пространства, где B (b, b1 , b 2 , b3 ) ,   (r , r1 , r 2 , r 3 ) ,
описывается параметрическими уравнениями:
x  rt  b , y  b1e rt 
e rt  1 1
e rt  1 2
e rt  1 3
r , z  b 2 e rt 
r , d  b3e rt 
r .
e 1
e 1
e 1
Прямую можно также задать в виде
( s )  ( s, ae s  с, be s  d , fe s  g ) или ( s )  (b, r1s  b1 , r 2 s  b 2 , r 3 s  b3 ) ,
если r  1 , или, соответственно, r  0 . В ЛМ-плоскости уравнения прямой
таковы:
x1  ke x  c или x  a .
Параметрические уравнения ЛМ-плоскости в случае однородного растрана:
 x  rv  b,
 i
i rv
i
i
 x  p e  a u  c , i  1, 2, 3.
Уравнения аффинной плоскости ЛМ-пространства:
 x  v,
 i
i v
i
i
 x  p e  q  r , i  1, 2, 3.
Общее уравнение ЛМ-плоскости в ЛМ-пространстве имеет вид
Ae x  Bi xi  D  0 .
Уравнения прямых и плоскостей ЛМ-пространства нелинейны.
Репер B ЕМ-пространства является ортонормированным. Расстояние
AB между точками A(a, a1 , a 2 , a3 ) и B (b, b1 , b 2 , b3 ) , как во всяком
ВО-пространстве с галилеевой метрикой, равно
AB  b  a , если b  a ;
AB  (b1  a1 )2  (b 2  a 2 ) 2  (b3  a3 )2 , если b  a .
Через всякую точку A ЕМ-пространства проходит единственное 3-мерное евклидово подпространство E3  A, ,  ,  . В ЕМ-пространстве существуют евклидовы плоскости – это плоскости с коммутативными подрастранами:
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
 ,   ,  ,   ,   ,   , остальные – ЕМ-плоскости. Движения ЕМ-пространства задаются двумя ортонормированными реперами; их формулы:
 x  x  c,
 i
i x
i j
i
 x  k e  b j x  c , i, j  1, 2, 3;
 
матрица bi j ортогональна.
2.2 Пространства Λ31 , M31 . Уравнения прямых и плоскостей.
Евклидовы подпространства
В VЛМ-пространстве Λ 31 выбираем репер B =  O, , , ,   по аналогии с репером ЛМ-пространства Λ 4 , также определяем и координаты точек.
Если A(a, a1 , a 2 , a3 ) и B(b, b1 , b 2 , b3 ) – точки VЛМ-пространства, то на основании операций на V -растране и равенства AB  OA  OB получаем
ABV  (b  a, b1  a1eb a , b 2  a 2 eb a , b3  a3 ) .
Координатные плоскости O, ,  , O, ,  , O, ,  , O,  ,  являются аффинными, а координатные плоскости O, ,  , O, ,  – ЛМплоскостями. Для любых независимых растов  и  и любой точки A
в Λ 31 существует плоскость A, ,  . Некоторые из них аффинны, остальные – ЛМ-плоскости. Через всякие три неколлинеарные точки VЛМ-пространства проходит единственная плоскость.
Во всякой ЛМ-плоскости через всякую ее точку проходит единственная
прямая, параллельная прямой P,  , если  – трансляция; и две различные
параллельные прямые (ко-параллельная и тран-параллельная), если  есть
расширение.
Формулы замены координат точек при переходе к другому реперу
VЛМ-пространства имеют вид
 x  kx  c,

i
i kx
i
j
i
 x  k e  b j x  c , i, j  1, 2,
 3
3 3
3
 x  k x  c .
Прямая B,  VЛМ-пространства, где B(b, b1 , b 2 , b3 ) ,   (r , r1 , r 2 , r 3 ) ,
описывается параметрическими уравнениями:
x  rt  b , y  b1e rt 
e rt  1 1
e rt  1 2
r , z  b 2 e rt 
r , d  r 3t  b3 .
e 1
e 1
Прямую можно также задать в виде
( s )  ( s, ae s  d 1 , be s  d 2 , cs  d 3 ) или ( s )  (b, r1s  b1 , r 2 s  b 2 , r 3 s  b3 ) .
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В ЛМ-плоскости уравнения прямой таковы:
x1  ke x  c или x  a .
Параметрические уравнения ЛМ-плоскости:
 x  rv  b,
 i
i rv
i
i
 x  p e  a u  c , i  1, 2,
 3
3
3
 x  r v  b .
Уравнения аффинной плоскости VЛМ-пространства:
 x  v,
 i
i v
i
i
 x  p e  q  r , i  1, 2,
 3
3
 x  v .
Общее уравнение ЛМ-плоскости в VЛМ-пространстве имеет вид
Ae x  Bi xi  D  0 .
Уравнения прямых и плоскостей VЛМ-пространства нелинейны.
Репер B =  O, , , ,   VЕМ-пространства является ортонормированным. Через всякую точку A VЕМ-пространства проходит единственное
3-мерное евклидово пространство E3  A, ,  ,  . Расстояние AB между
точками A(a, a1 , a 2 , a3 ) и B(b, b1 , b 2 , b3 ) , как во всяком ВО-пространстве с
галилеевой метрикой, равно
AB  b  a , если b  a ;
AB  (b1  a1 )2  (b 2  a 2 ) 2  (b3  a3 )2 , если b  a .
Движения VЕМ-пространства задаются двумя ортонормированными
реперами; их формулы:
 x  x  c,

i
i x
i j
i
 x  k e  b j x  c , i, j  1, 2,
 3
3
3
 x  x  c ;
 
матрица bi j ортогональна.
3 Кривые в ЕМ-, VЕМ-пространстве
3.1 Определение кривой. Естественная параметризация
Ортонормированный репер пространств M 4 , M 31 обозначаем
  
B = (0, , i , j , k ) , коэффициент базисного расширения  равен e , его норма
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
  
есть   1 , и (i , j , k ) – ортонормированный базис векторного пространства
V 3 трансляций растрана каждого пространства.
Дифференцируемой кривой Ck в M 4 , M31 называется дифференцируемое отображение класса Ck интервала I соответственно в M 4 , M 31 . Значению параметра t из I соответствует точка M  M (t ) кривой. В репере B
положим M (t )  M ( x(t ), xi (t )) . Параметр t пробегает интервал I = (a, b) в R
или совпадает с R. Обозначаем кривые:


    t   x  t  , xi  t  , t  I.
(1)
Кривая есть множество точек
l  { OM OM    t  , t  I}.
Точка M кривой определяется растом OM  (t ) , кривая (t ) описывается растранной функцией (1) класса Ck.
Рассматриваем кривые с условием x  t   0 . В противном случае кривая (1) лежит в евклидовом подпространстве пространств M 4 , M31 и является евклидовой. Функция x(t ) обратима, существует обратная функция


t  t ( x) , и функция (1) записывается в виде   x    x, xi ( x) . Переобозначая
параметр, имеем
  s    s, x  s  , y  s  , z ( s )  , s  I.
(2)
Для точек A  A( s1 ) и B  B( s2 ) , s2  s1 , кривой (2) выполняется
| AB | s2  s1 . Кроме того, | ( s) | 1 . Поэтому (2) – естественная параметризация кривой.
Пусть   t    u  t  , v  t  , w(t ), g (t )  – произвольная параметризация
кривой l,   s  – естественная параметризация той же кривой l, s  u (t ) . Име-
ем в точке P кривой l касательные: P,   t  и P,   s  . Пусть P – обыкновенная точка кривой l, т.е. (t )    t  .
Точке M (t ) кривой сопоставляется раст   t  при том же значении
t I. Имеем касательное отображение вдоль кривой и касательное отображение ЕМ-пространства в растран. Прямая M (t0 ), (t0 ) называется касатель-
ной к кривой   t  в точке t0 этой кривой.
По аналогии с кривыми в 3-мерном ЕМ-пространстве [1, с. 138] для
кривых в 4-мерном ЕМ-пространстве получаем
u   t    s     t  и P, ,   P,  , 
 .
Свойство 1. Касательная прямая
M (t0 ), (t0 ) и соприкасающаяся
плоскость M (t0 ), (t0 ), (t0 ) кривой ЕМ-пространства не зависят от параметризации кривой.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В VЕМ-пространстве выполняется равенство u   t    s     t  , а равен не выполняется.
ство P, ,   P,  , 
Свойство 2. Положение касательной прямой M (t0 ), (t0 ) в VЕМпространстве не зависит от параметризации, а положение соприкасающейся плоскости M (t0 ), (t0 ), (t0 ) зависит от параметризации.
Кривую (2) в ЕМ-пространстве записываем в виде

  s   s  r  s  ,
(3)

где r  s   x  y   z   x( s ), y ( s ), z ( s )  – евклидова кривая, лежащая в евк-
лидовом подпространстве E3 пространства с нормированным растраном,
см. п. 2.1, 2.2, растран которого есть ,  ,  , это 3-мерное евклидово векторное пространство.
3.2 Кривизны галилеевой кривой


Рассмотрим кривую (2)   t   t , xi  t  , t  I, в ЕМ-, VЕМ-пространствах в естественной параметризации. В ЕМ-пространстве используем разложение (3). Раст касательной кривой (t ) (2) таков:
 
   (t )  (1, (e  1)( x i  xi ))    (e  1)( r  r ) в ЕМ-пространстве, i  1, 2, 3 ;


   (t )  1, (e  1)( x1  x1 ), (e  1)( x 2  x 2 ), x 3 в VЕМ-пространстве.
В окрестности обыкновенной точки P раст является единичным. Далее
получаем

 
  
(t )  (0,(e  1)( 
xi  x i ))  (e  1)(
r  r ) ;

  
(t )  (0, (e  1)( 
x1  x1 ), (e  1)( 
x 2  x 2 ), 
x3 ) .
(t ) является трансляцией, т.е. это евклидов вектор, поэтому
Раст 
(t )   . Вектор (t ) называется вектором главной нормали кривой (t )

  
  (e  1) 
r  r n1 ,
в точке P. Пусть n1 – единичный вектор главной нормали: 

  
 n1 . Величина
соответственно 
 
1

k1  
r  r 
 в ЕМ-пространстве,
e 1
k1   в VЕМ-пространстве
называется кривизной кривой (t ) , точнее, первой кривизной кривой; выполняются равенства:

  (e  1)k1n1 в ЕМ-пространстве;


  k1n1 в VЕМ-пространстве.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
   
Создадим ортонормированный репер ( P, , n1 , n2 , n3 ) пространства M4
с началом в точке P кривой и движущейся вдоль кривой вместе с изменением


  

параметра t . Вектор n получим из равенства n  n n , n  n , величина
2
1
1
2
2
1

n1  k2 называется второй кривизной кривой,


n1  k2 n2 .


 
Четвертый вектор n3 репера определим, положив n3  n1  n2 . Имеем:


 
 
 
 


n3  n1  n2  n1  n2 . Здесь n1  n2  k2 n2  n2  0 . Из n2  n2 следует

 
n2  n1 , n3 ,



 



 
обозначим n2  un1  vn2 . Вычислим: n1  n2  n1  (un1  vn3 )  v(n1  n3 ) 




 vn2 . Таким образом, n3  k3n2 , k3  v  n3 . k3 называется третьей кри



 
n2  un1  k3n3 . Так как
n2  n3  n1 и
визной кривой. Теперь

   


n  n  n  n  n  k n  k n , то u  k . Поэтому
2
3
1
3
1
3 3
2 1
2



n2  k2 n1  k3n3 .
 
При нахождении векторов n2 , n3 и величин k2 , k3 результаты в про-
странствах M31 и M4 одинаковы.
Мы получили формулы Френе для кривых галилеевых пространств
M4 , M31 :


  k1n1 ,


n1  k2 n2 ,



n2  k2 n1  k3n3 ,


n3  k3n2 .
3.3 Вычисление кривизн в пространстве Галилея M31 , M4

 -функция евклидова вектора a  (a, a1 , a 2 , a3 ) определяется из ра 
a  a



 n , где n (t )  1 ; см. [2]. Она равна
венства   a   
2
a
 a2a3  a3a2    a1a3  a3a1    a1a2  a2a1  .
2
2
2
 a1    a2    a3 
2

a 

Для вычисления кривизн линий сначала найдем значения  , 
, 
 , 



в M31 для функции   t   t , xi  t  :
  (1, (e  1)( xi  xi ), x3 ) ;

  (0, (e  1)( xi  xi ), x3 ) ;

  (0, (e  1)( xi  xi ), x3 ) ;
(4)
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


  (0, (e  1)( xi  xi ), x3 ) , i  1, 2 .
Используя  -функцию, определения кривизн и векторов сопровождающего репера, п. 3.2, получим вычислительные формулы для кривизн кривой. Введем обозначения:
xi  xi  u i ; xi  xi  u i ; xi  xi  u i ;
x3  u , x3  u , x3  u , x3  u , i  1, 2.
Запишем вычислительные формулы с учетом введенных обозначений:
k1  (e  1)2 (u1 ) 2  (e  1) 2 (u 2 ) 2  (u ) 2 ;
k2 
2

e  1 u 2u   u u 2  



(e  1) 2 (u1 )2  (e  1)2 (u 2 )2  (u ) 2  
1
1/ 2
2
2
  e  1 u1u   u (e  1)u 1    e  1 u1u 2  (e  1)u 2u 1  



 
k3 
2
2 2
1
;
k1
[(e  1)u u   u u ]  [u u   u u 1 ]2 (e  1)  [u1u 2  u 2u 1 ]2 (e  1) 2



2
2
2
 u 2u   u u 2   e  1 u 1  u1u   u u 1   e  1 u 2  u1u 2  u 2u 1   e  1 u  .






Вычислим производные растранной функции в M4 :
  (1,  e  1 ( xi  xi )) ;

  (0,  e  1 ( xi  xi )) ;

  (0,  e  1 ( xi  xi )) ;


  (0,  e  1 ( xi  xi )) , i  1, 2, 3 .
Воспользуемся обозначениями (4), считая, что x3  x3  u 3 и т.д. Найдем кривизны k1 , k2 , k3 :
k1  (u1 ) 2  (u 2 )2  (u 3 ) 2 ;
2
k2 
k3 
48
2
2
u 2u 3  u 3u 2   u1u 3  u 3u 1   u1u 2  u 2u 1 






;
2
2
 1 2

2
3
 u 
 (u )  u


   
{[u 2u 3  u 3u 2 ]u 1  [u1u 3  u 3u 1 ]u 2  [u1u 2  u 2u 1 ]u 3}k1
2
2
u 2u 3  u 3u 2   u1u 3  u 3u 1   u1u 2  u 2u 1 






2
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
Тем самым получены вычислительные формулы всех кривизн линий
4-мерных одулярных пространств с двумя видами растранов.
Список литературы
1. Д о л г а р е в , А . И . Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств : монография / А. И. Долгарев. – Пенза : Информационноиздательский центр ПГУ, 2004. – 306 с.
2. Д о л г а р е в , А . И . Кривые 4-мерного пространства-времени Галилея /
А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2007. – № 3. – С. 2–11.
3. Д о л г а р е в , А . И . Специальные вопросы теории кривых 4-мерного пространства-времени Галилея / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 1 (5). – С. 41– 54.
4. С а б и н и н , Л. В. Одули как новый подход к геометрии со связностью /
Л. В. Сабинин // ДАН СССР. – 1977. – № 5. – C. 800–803.
Долгарев Артур Иванович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования
Пензенский государственный
университет
Dolgarev Artur Ivanovich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: delivar@yandex.ru
Подвалова Оксана Анатольевна
студент, Пензенский государственный
университет
Podvalova Oksana Anatolyevna
Student, Penza State University
E-mail: delivar@yandex.ru
УДК 514.126
Долгарев, А. И.
Кривые в галилеевых пространствах с 4-мерными растранами /
А. И. Долгарев, О. А. Подвалова // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 3 (11). –
С. 35–49.
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.929
А. Ю. Богданов
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ
НЕАВТОНОМНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ1
Аннотация. Рассматриваются новые методы исследования асимптотического
поведения решений неавтономных дискретных включений. Устанавливается
свойство квазиинвариантности положительного предельного множества решения относительно семейства предельных уравнений.
Ключевые слова: неавтономное дискретное включение, предельное уравнение,
положительное предельное множество, квазиинвариантность, асимптотическая устойчивость.
Abstract. New methods of asymptotic behavior investigation of the solutions of
nonautonomous discrete inclusions are considered. The property of quasi-invariance
of positive limit set of the solution relative to the family of limiting equations is established.
Keywords: nonautonomous discrete inclusion, limiting equation, positive limit set,
quasi-invariance, asymptotic stability.
Введение
Сходимость многих алгоритмов стохастической и негладкой оптимизации является следствием устойчивости траекторий некоторых дискретных
включений [1]. К исследованию устойчивости дискретных включений сводятся многие задачи управления и автоматического регулирования, теории
дифференциальных уравнений. Поэтому исследование таких включений
представляется важной задачей. В данной статье рассматриваются такие
свойства устойчивости и притяжения траекторий дискретных включений, которые не используют специфику предметной области, но ввиду своей общности и конструктивности могут найти применение для получения содержательных результатов сразу в нескольких предметных областях.
Рассматривая неавтономные дискретные включения и особенности их
топологической динамики, мы установим свойство квазиинвариантности положительного предельного множества решения дискретного включения относительно семейства предельных включений. При этом главной особенностью
представленной методики исследования дискретных включений по сравнению
с разностными уравнениями является отсутствие так называемых условий
предкомпактности, которые обеспечивают существование семейства предельных уравнений.
1 Предварительные предположения и определения
Рассмотрим неавтономное дискретное включение вида
x(n  1)  F (n x(n))
где x  R m  F  Z  R m  2 R
m
(1)
– множественно-значное отображение, т.е.
m
n  Z и x  R , имеется множество точек F (n x)  R m (возможно, пустое).
1
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты № 08-01-97010, 08-08-97033.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
Включение (1) является обобщением неавтономного уравнения
x(n  1)  f (n x(n))
(2)
которое в зарубежной литературе принято называть линейными итерациями,
а в отечественной литературе – простыми итерациями. Сразу отметим, что
мы здесь интересуемся этим обобщением не из абстрактных соображений, а
ввиду того, что многие типы разностных уравнений могут быть приведены
как раз к общей форме (1), а не к форме (2). Более того, даже если исходное
уравнение имеет форму (1), то его предельные уравнения имеют в общем
случае вид дискретных включений. Заметим, что при переходе к общей форме (1) дискретного включения теория в определенном смысле становится более
простой и естественной, причем проблема существования предельных уравнений снимается полностью, т.к. нет необходимости в удовлетворении тем
или иным условиям предкомпактности (для семейства сдвиговых уравнений).
Последовательность (конечная или бесконечная) {x(n)  M  n  N }
удовлетворяющая x(n  1)  F (n x(n)) для всех M  n  N  1 , называется решением (1). Решение называется максимально продолженным вправо, если
N   (соответственно, M   ) или если F ( N  1 x( N  1))   (соответственно, не существует y  R m таких, что выполнено включение x( M  1) 
 F ( M  y ) ). Как обычно, решение, связанное с некоторым начальным условием, будем обозначать x(n)  x(n n0  x0 ) где x0  x(n0  n0  x0 ) x0  R m  n0  Z 
В дальнейшем всегда будем считать выполненным следующее предположение.
Предположение 1. Для каждого n  Z множество {( x y )  y  F (n x)}
замкнуто в R m  R m . В частности, все значения отображения F замкнуты.
Для удобства дальнейшего изложения введем некоторые обозначения и
определения. Для произвольной точки x  R m , числа r  0 и множества



D  R m положим B ( x, r )  y  R m : x  y  r , B ( D, r )  y  R m : x  D,
m1
x  y  r . Ограниченное множественно-значное отображение F :   2 R ,
m1
определенное в некоторой области   2 R (m1  m), называется полунепрерывным сверху на , если для любых последовательностей {xn }   и { yn } ,
yn  F ( xn ), n  Z  , удовлетворяющих условиям xn  x  , yn  y  R m1 ,
справедливо включение y  F ( x). Множественно-значное отображение F ( x)
называется ограниченным на множестве , если y  C0  const  0 для всех
y  F ( x), x   R m .
Вместе с предположением 1 можно требовать выполнения следующего
условия.
m
Предположение 2. Имеется отображение F ( x), F : R m  2 R , ограниченное и полунепрерывное сверху в окрестности некоторого компакта
D  R m , так что x  D,   0 существуют числа N  N ( x, ) и   ( x, ),
для которых
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
  F (n, y)  B(conv F ( x), ) .
yB ( x, ) n N
Здесь через conv F ( x), F ( x)  R m , обозначена выпуклая оболочка этого
множества. Отображение F ( x) на множестве D является в некотором смысле


верхним пределом семейства отображений F (n, x), n  Z  . Заметим, что на
отображения F (n, x) условия ограниченности или полунепрерывности не
накладываются.
Приведем пример множественно-значных отображений F (n, x) и F ( x) ,
связанных между собой соотношениями предположения 2. Придерживаясь
терминологии [2], липшицеву функцию f : R m  R будем называть регулярной в точке x, если она дифференцируема в точке x по любому направлению
v  R m , причем для всех v  R m :

f ( x)  max  y, v ,
v
yf ( x )
где через f ( x) обозначен дифференциал Кларка.
Пример 1. Пусть f : R m  R регулярна в некоторой окрестности компакта D  R m , для любого   0 обозначим  -квазидифференциал f ( x) через
 () f ( x)
[3].
Тогда
для
любой
числовой
последовательности
( rn )
rn  0, rn  0, отображение F (n, x)  
f ( x) и отображение F ( x)  f ( x)
удовлетворяют условию предположения 2.
Возможны и иные примеры, показывающие актуальность рассматриваемой проблемы в приложениях к задачам негладкой и стохастической оптимизации [1].
Определение 1. Определим обратное отображение для F следующим
образом: F 1 (n x)  {z  x  F (n  1 z )} . При этом включение x(n  1) 
 F 1 (n x) соответствует направлению дискретного времени, измененному
на противоположное.
Определение 2. Пусть x(n)  x( n n0  x0 ) является решением (1). Назовем положительным предельным множеством этого решения   ( x(n, n0  x0 )) 
   (n0  x0 ) множество всех векторов p  R m  p  lim x(nk  n0  x0 ) . В чаnk 
стности, если x(n n0  x0 ) определено только для конечного числа n  0 , то
  (n0  x0 )   .
Инвариантность положительного предельного множества в автономном
случае доказана в работе [4].
Предложение 1 [4] (Инвариантность в автономном случае). Рассмотрим
дискретное включение x(n  1)  F ( x(n)) F  R m  R m . Пусть x(n)  x(n x0 ) –
соответствующее решение,  ( x(n x0 )) – его предельное множество:
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
1) если решение x(n x0 ) n  0 ограничено, тогда  ( x(n x0 )) инвари-
антно, т.е. для каждого p   ( x(n x0 )) множества F ( p )
F 1 ( p )
  ( x(n x0 )) и
  ( x(n x0 )) не пусты;
2) если для каждого ограниченного множества D  R m множество
 F ( x)
ограничено, то  ( x( n x0 )) положительно инвариантно, т.е.
xD
F ( p)
  ( x(n x0 )) не пусто для каждого
p    ( x(n x0 )) . Если для каж-
дого ограниченного множества D  R m множество
 F 1( x) ограничено,
xD

то  ( x(n x0 )) отрицательно инвариантно, т.е. F
1
( p)
  ( x(n x0 ))  
для каждого p   ( x(n x0 )) .
При доказательстве предложения 1 используется свойство, указанное
в предположении 1. Заметим, что положительная (и, соответственно, отрицательная) инвариантность влечет существование для любого p  ( x(n x0 ))
решения x (n p ) x (0 p )  p включения x(n  1)  F ( x(n)) , определенного для
всех n  0 (соответственно, для всех n  0 ).
2 Основные теоремы
Развивая подход работы [4], получим обобщения результата, изложенного в предложении 1, используя аппарат предельных уравнений.
Сдвигом отображения F (n x) на целое число k называется отображение Fk (n x)  F (n  k  x) . Заметим, что задача нахождения решения
x(n  1)  F (n x(n)) x(k )  x0  эквивалентна задаче x(n  1)  Fk (n x(n))
x(0)  x0 .
Определение 3. Отображение F  (n x)  Z  R m  R m является  -пределом последовательности множественно-значных отображений Fk (n x) 
Z  R m  R m , обеспечивающим y  F  (n x) ,
( x y )  lim ( xk  yk ) , где yk  Fk (n xk ) .
если
и
только
если
k 
Здесь символ «  » означает «нижний», и сходимость порождается существованием нижнего предела последовательности множеств (графиков
отображений Fk в нашем случае) [5].
Определение 4. Дискретное включение x(n  1)  F  (n x(n)) называется  -предельным уравнением для x(n  1)  F (n x(n)) , если существует последовательность nk   такая, что F  (n x) является  -пределом для
{Fnk (n x)  F (n  nk  x)} при k   .
Замечание 1. Легко видеть, что  -предел F  (n x) также будет удовлетворять условиям предположения 1. Кроме того, любая последовательность
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
nk   определяет некоторое предельное уравнение, т.к.  -предел будет
корректно задан. Такая ситуация не сохраняется для разностных уравнений
вида (2), а также для других типов уравнений, например, дифференциальных
уравнений. В этих случаях даже существование одного предельного уравнения зачастую не очевидно.
Теорема 1. Пусть x(n n0  x0 ) является ограниченным решением включения (1). Тогда для каждого p    (n0  x0 ) существует  -предельное уравнение y ( n  1)  F  (n y (n)) , решение которого y (n)  y (n 0 p) определено
для всех n  Z и y ( n)    (n0  x0 )n  Z  Таким образом,  (n0  x0 ) квазиинвариантно относительно семейства  -предельных уравнений.
Доказательство. Пусть p  lim x(nk  n0  x0 ) . Построим следующие
nk 
подпоследовательности {nk( j ) } j  0 1 … где {nk(0) }  {nk } . Предположим, что
{nk( j ) } уже построена. Для каждой подпоследовательности {nk( j ) } j  0 рассмотрим конечный набор векторов [ x(nk( j )  j  1) x(nk( j )  j ) … x(nk( j )  j  1)] .
Некоторая подпоследовательность этой последовательности (2 j  3) -векторов будет сходящейся. Обозначим индексы этой сходящейся последовательно( m)
сти как nk( j 1) . Рассмотрим последовательность nm  nm
 m  0 1 2 … , тогда
существует F  (n x) –  -предел последовательности Fm ( n x)  F (n  nm  x)
Очевидно, что включение x(n  1)  F  (n x(n)) является искомым предельным уравнением. В самом деле, для n  Z , если m достаточно велико, то
xm (n)  x(n  nm  n0  x0 ) определено и сходится, скажем, к y ( n) при m  
В то же время очевидно, что y ( n)  ( x(n n0  x0 )) n  Z  По определению
 -предела имеем, что y ( n) является решением включения y ( n  1) 
 F  (n y (n)) причем y ( n)  y ( n 0 p) □
Теорема 2. Если для каждого ограниченного множества D  R m
множество

{F (n x)} ограничено в R m , то положительное пре-
n n0  xD
дельное множество  (n0  x0 ) любого решения x(n n0  x0 ) включения (1)
положительно квазиинвариантно, т.е. для любого p  (n0  x0 ) существует
 -предельное
уравнение
y ( n  1)  F  (n y (n)) ,
решение
которого
y (n)  y (n 0 p) определено для всех n  Z  и y (n)    (n0  x0 ) n  Z  
Множество  (n0  x0 ) отрицательно квазиинвариантно, если для каждого
ограниченного множества D  R m множество

n n0  xD
чено в R m 
54
{F 1 ( n x)} ограни-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
Доказательство. Рассмотрим сначала случай положительной квазиинвариантности положительного предельного множества  (n0  x0 ) произвольного фиксированного решения x(n n0  x0 ) включения (1). Пусть
p  lim nk  x(nk  n0  x0 ) . Построим подпоследовательности {nk( j ) } j  0 1 …
где {nk(0) }  {nk } . Предположим, что {nk( j ) } уже построена. Для каждой подпоследовательности {nk( j ) } j  0 , рассмотрим конечный набор векторов
[ x(nk( j ) ) … x(nk( j )  j  1)] . Некоторая подпоследовательность этой последова-
тельности ( j  2) -векторов будет сходящейся ввиду ограниченности данных
векторов, следующей из ограниченности множества

{F (n x)} , тре-
n n0  xD
буемого в условии теоремы. Обозначим индексы этой сходящейся последовательности как nk( j 1) и далее продолжим процесс.
В итоге мы можем рассмотреть последовательность
( m)
nm  nm
,
m  0 1 2 …, для которой существует F  (n x) –  -предел последовательности Fm (n x)  F ( n  nm  x) Очевидно, что включение x(n  1)  F  (n x(n))
является искомым предельным уравнением. В самом деле, для любого n  Z 
значения xm (n)  x(n  nm  n0  x0 ) определены и сходятся к некоторому зна-
чению y ( n) при m   В то же время очевидно, что y (n)    (n0  x0 ) 
  ( x(n n0  x0 )) n  Z   По определению  -предела имеем, что y ( n) при
n  0 является решением включения y ( n  1)  F  (n y (n)) причем
y ( n)  y ( n 0 p)
Доказательство отрицательной квазиинвариантности положительного
предельного множества аналогично рассмотренному выше случаю положительной квазиинвариантности. При этом должны рассматриваться наборы
( j  2) -векторов [ x( nk( j )  j  1) … x(nk( j ) )] j  0 1 2 … Ограниченность этих
наборов, которая обеспечивает сходимость подпоследовательностей, следует
из условия ограниченности множества

{F 1 (n x)} , требуемого в ус-
n n0  xD
ловии теоремы. □
Теорема 3. (модификация теоремы 1). Пусть x(n n0  x0 ) является ограниченным решением включения (1). Тогда для каждого  -предельного
уравнения y ( n  1)  F  (n y (n)) существует точка p  (n0  x0 ) такая,
что решение предельного уравнения y (n)  y (n 0 p) определено для всех
n  Z и y (n)    ( n0  x0 ) n  Z 
Замечание 2. Важным частным случаем теоремы 3 является ситуация,
когда x(n n0  x0 )  p при n   Тогда p является точкой равновесия для
каждого предельного уравнения, т.е. F  (n p)  p n  0 F  
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Замечание 3. Квазиинвариантность положительного предельного множества, установленная нами для класса  -предельных уравнений, может
быть распространена на некоторый новый (больший) класс дискретных
включений, обладающий свойством, что график любого  -предельного уравнения содержится в графике некоторого элемента соответствующего большего класса, который, возможно, будет легче определить.
Определение 5. Будем говорить, что множество H  R m устойчиво
относительно включения (1), если n0  Z  для данной окрестности U множества
H
(U
открыто, замыкание
W  W (n0 ) множества H такая, что
Fnn 1
0

H  U ) существует окрестность
Fnn (W )  U  n  Z  
0
Здесь Fn0  I 
0
F (n0  n Fnn ( x))
0
Предложение 2. Если H устойчиво, то замыкание H положительно
инвариантно относительно включения (1). В частности, если точка устойчива, то это точка равновесия.
Таким образом, мы можем ограничиться рассмотрением только замкнутых положительно инвариантных множеств.
3 Обсуждение результатов
Важным случаем, когда появляются дискретные включения, является
случай управляемых систем
x(n  1)  f (n x(n) u )
где управление
u
(3)
принадлежит множеству допустимых управлений
k
u U  R  При этом допустимые траектории (решения) совпадают с решениями дискретного включения (1), где F (n x)  { f (n x u )  u U } Предельные уравнения для (3) при достаточно общих предположениях [6] могут быть
представлены в форме (3).
Главным преимуществом предложенного подхода является то, что
сейчас мы можем методами топологической динамики исследовать разностные уравнения, которые не являются простыми линейными итерациями,
например,
x(n  1)  f (n x(n) x(n  1))
(4)
Решением уравнения (4) является дискретная функция ( n) такая, что
(n  1)  f (n (n) (n  1)) n  ( M  N ) . Таким образом, здесь приходится
«решать» уравнение, а не просто итерировать отображение. Так как (4) является векторным уравнением (системой), то к этой форме сводится любое
уравнение x(n  1)  f (n x(n  k ) … x(n) x(n  1)) порядка k  2 путем введения дополнительных переменных, количество которых равно величине запаздывания k .
Отметим, что вид уравнения (4) имеют общие многошаговые формулы
k -го порядка, используемые для численного решения задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений:
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
k
k
i 0
i 0
 i x(n  i)  h i fi (n x(n  i)).
(5)
Здесь  k  0  0    0  0 . Формулы вида (5) часто называют разностными. Уравнение (5) есть некоторое линейное соотношение между xi и fi ,
поэтому (5) называют также линейным многошаговым методом. Иногда используют и нелинейные, нестационарные (с переменным шагом) многошаговые методы. Чтобы с помощью k -шагового метода можно было определить
последовательность значений x(n) необходимо сначала вычислить k начальных значений вида x(0)  x(0)  … x(k  1)  x( k 1)  Если при  k  0 коэффициент k  0 то формулу (5) называют явной (или экстраполяционной).
Если же k  0 , то формула (5) называется неявной (или интерполяционной).
Подводя итог, еще раз подчеркнем, что мы доказали квазиинвариантность положительного предельного множества решения дискретного включения по отношению к весьма большому классу предельных уравнений, настолько большому, что не возникает проблемы их существования. Если мы
хотим установить квазиинвариантность по отношению к определенному подклассу F, то достаточно показать, что для каждой последовательности
nk   существует такая ее подпоследовательность nk j   , что  -предельное уравнение, определяемое этой подпоследовательностью, принадлежит классу F. Это свойство может быть названо положительной предкомпактностью по отношению к классу F. Некоторые достаточные условия положительной предкомпактности уравнения (2) представлены в [6], при этом
исходное и предельное уравнения имеют одну и ту же форму.
На основе доказанных в статье результатов может быть получена новая
теорема о локализации положительного предельного множества  (n0 , x0 )
решения x(n, n0 , x0 ) включения (1) с использованием вырожденных знакопо-
стоянных функций Ляпунова V (n, x) : Z   R m  R  , чья первая разность
в силу (1) не является отрицательно определенной. Кроме того, далее может
быть получен ряд новых теорем, решающих проблему асимптотической устойчивости и неустойчивости положительно инвариантного относительно (1)
множества, не исключая зависимость положительно инвариантного множества от времени [6, с. 63–75].
Список литературы
1. З а в р и е в , С . К . Прямой метод Ляпунова в исследовании притяжения траекторий конечно-разностных включений / С. К. Завриев, А. Г. Перевозчиков // Журнал
вычислительной математики и математической физики. – 1990. – 30 т. – № 1. –
С. 22–32.
2. К л а р к , Ф. Оптимизация и негладкий анализ / Ф. Кларк. – М. : Наука, 1988. –
280 с.
3. Н у р м и н с к и й , Е. А . Численные методы решения детерминированных и стохастических задач / Е. А. Нурминский. – Киев : Наукова думка, 1979.
4. A r t s t e i n , Z. On the limiting equations and invariance of time-dependent difference
equations / Z. Artstein // Stability of dynamical systems (Theory and applications). Proceedings of NSF conference. – Mississippi State University, 1976. – P. 3–9.
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
5. К у р а т о в с к и й , К . Топология / К. Куратовский. – М. : Мир, 1966. – 594 с.
6. Бо г да н о в , А . Ю . Дискретные динамические системы: проблемы устойчивости
и управления / А. Ю. Богданов. – Ульяновск : УлГТУ, 2008. – 262 с.
Богданов Андрей Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра прикладной
математики, Ульяновский
государственный университет
Bogdanov Andrey Yuryevich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of applied mathematics,
Ulyanovsk State University
E-mail: BogdanovAYu@ulsu.ru
УДК 517.929
Богданов, А. Ю.
Об одном подходе к исследованию динамики неавтономных дискретных включений / А. Ю. Богданов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 3 (11). –
С. 50–58.
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.6
М. Ю. Медведик, И. А. Родионова
СУБИЕРАРХИЧЕСКИЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ
ДИФРАКЦИИ В СЛОЯХ, СВЯЗАННЫХ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЕ
Аннотация. Статья посвящена исследованию краевой задачи дифракции для
системы уравнений Максвелла в слоях, связанных через отверстие. Слои
сформированы тремя идеально проводящими и бесконечно тонкими параллельными плоскостями. Электромагнитные параметры в разных областях могут быть различны. Используются условия Свешникова – Вернера на бесконечности. Применяется метод функций Грина для сведения краевой задачи
к псевдодифференциальному уравнению на отверстии, которое рассматривается в пространствах Соболева. Данная задача принадлежит классу задач о
связи объемов через отверстие. Представлены численные результаты, полученные с использованием субиерархического метода.
Ключевые слова: краевая задача, электромагнитная задача дифракции, интегральное уравнение, численный метод, субиерархический параллельный метод.
Abstract. The paper is devoted to the solvability of boundary value problem of diffraction for Maxwell equations in layers connected though a hole. The layers are
formed by three infinitely thin and perfectly conducting parallel planes. Electromagnetic parameters can be different in the layers. Radiation conditions by Werner –
Sveshnikov are used at the infinity. Method of Green functions is applied for reduction of boundary value problem to the pseudodifferential equation on a hole in
Sobolev spaces. The problem belongs to the class of problems of connection of volumes via a hole. The numerical results are obtained by subhierarchal approach.
Keywords: boundary value problem, electromagnetic scattering, integral equations,
numerical method, subhierarchal parallel method.
Рассмотрим задачу дифракции стороннего монохроматического элек-



тромагнитного поля E0  E10 , E20 , E30 , H 0  H10 , H 20 , H 30
ных слоях, связанных через отверстие.
U    x   x1 , x2 , x3  : 0  x3  1
Пусть
и

в экранирован-
U    x   x1 , x2 , x3  :
1  x3  0 – слои, сформированные тремя идеально проводящими и беско-
нечно тонкими параллельными плоскостями; отверстие   R 2   x3  0 
 R3 – ограниченная область с кусочно-гладкой границей    , состоящей
из конечного числа простых дуг класса C  , сходящихся под углами, отличными от нулевого (рис. 1). Будем решать задачу дифракции в области
U *  U  U    .
Предполагается, что падающее поле E0 , H 0 является решением системы уравнений Максвелла [1]
rot H 0  i1E0 , rot E0  i1H 0 , x U  ,
в слое U  без отверстия с краевым условием
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
E0
 E0
x3 0
x3 1
0
и создается источниками, расположенными вне  , поэтому
H 0

 C  .
x3
1
0
E ,H
U
0

0
x2
U
1
x1
Рис. 1
Поле E0 , H 0 в слое U  тождественно равно нулю.
Будем считать, что среды в U  и U  имеют постоянные электромагнитные параметры   1 ,   1 и    2 ,    2 соответственно, относительно которых предполагаем, что Im  j  0 , Re  j  0 , Im  j  0 ,




Re  j  0 , k 2j   j  j 2 , Im k j  0 k j  0 , где   0 – круговая частота.
Рассмотрим случай E -поляризации в задаче дифракции падающего по0
ля E , H 0 на отверстии  , соединяющем два параллельных слоя U  и U  .
Эта задача состоит в определении рассеянного E -поляризованного электро-


магнитного поля E, H , E  0, 0, E 3 , H  H 1 , H 2 , 0 , удовлетворяющего:
– условию
E, H  C 2 U 
где U  U 
 C U  \    C U  \   ,
0
(1)
0
U  ,  : x : x  y  , y     ;
– однородным уравнениям Максвелла
rot H  iE , rot E  iH, x U ,
где   1 ,   1 в U  и    2 ,    2 в U  ;
– краевым условиям
60
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
E   0
(3)
для касательных к поверхности идеального проводника   0
    ,
составляющих электрического поля, где


 0  x : x3  0, x  R 2 \  ,     x : x3  1;
– условиям сопряжения на границе раздела сред
 E   0 ;
(4)
 H      H 0   ,
(5)
где  f  : lim f  lim f , x   x1 , x2    ;
x3 0
x3 0
– условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме
E, H  L2loc U  ;
(6)
– условиям Свешникова – Вернера на бесконечности при x  U  (при
x U  аналогично):
• если Im  2  0 или Im  2  0 , то


E, H  o 1 2 ,  : x  
(7)
равномерно по всем направлениям x  и по x3 ;
• если Im  2  0, Im  2  0, 2  0 и  2  0, то требуем, чтобы коэффициенты Фурье
0
un  x   2 u  x  cos nx3dx3

(8)
1
для компонент u  H1 , H 2 или E3 удовлетворяли условиям





un  iknun  о 1 2 , un  О 1 2 ,   

(9)
при kn2 : k 2  2 n 2  0 ( kn  0 , если k  n и kn  0 , если k  n );
un  О 1 ,   
(10)
при kn  0 ;


un  о 1 2 ,


un
 о 1 2 ,   

(11)
при Im kn  0 равномерно по всем направлениям x  и по n .
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Соотношение (9) определяет условия Зоммерфельда для двумерной ограниченной области, а (10) является условием на бесконечности для двумерного уравнения Лапласа. Эти условия накладываются лишь на конечное число коэффициентов Фурье; следовательно, равномерность по n для них не
требуется. Требование равномерности оценок (11) по n существенно и будет
использовано ниже.
Из уравнений Максвелла (2) получаем краевую задачу для u  E3 :
u  k 2j u  0, x U   j  1 , x U   j  2  ;
(12)
u
u

0;
x3 
x3 x 1
0
3
(13)
 u   [E30 ] ,
u  C 2 U 
 u 

 0;
 x3  
(14)
 C1 U  \    C1 U  \   ;
0
(15)
0
1
u  H loc
U 
(16)
со сформулированными выше условиями на бесконечности (7)–(11). Здесь
1
H loc
U  – пространство Соболева.
Для сведения краевой задачи к интегральному уравнению будем использовать метод функций Грина. Рассмотрим функцию Грина G  x, y  для
уравнения Гельмгольца для слоя U : U  . Относительно волнового числа k
считаем, что Im k  0 и k  0 .
Функция Грина G  x, y  может быть представлена в следующем виде:
 ik x  y 2 je
ik x  y*  2 je3
3
1  e
e
G  x, y  

4 j   x  y  2 je3
x  y*  2 je3




,


(17)
где e3   0, 0,1 .
Представление имеет смысл при Im k  0 и k  n , n   .
В дальнейшем потребуются свойства следа функции G при x3  0 и
y3  0 . Выделим особенность при x  y   0 функции G  x, y   :


12

2
2


exp
ik
x
y
4
j





1


G x  y 0  G  x, y   
1
2
3
3
2 j 
2
x  y   4 j 2

62


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика


12


2
2




exp
ik
x
y
4
j



 2ikj

2ikj
1 e
1
e
1 

e



12
 j 1
2 x  y   j 1 2 j
2j
2

x  y   4 j 2


ik x y

ik x y













1 e
1

ln 1  e 2ik  B  x, y    L  x  y    P  k   B  x, y   , (18)
2  x  y  2
где
Pk  


1
ln 1  e 2ik ,
2
(19)
здесь ln z обозначает аналитическое продолжение вещественной функции
ln t , t  0 на множество C \ (i, 0] и


12


2
2




exp
ik
x
y
4
j




2ikj
1 

e


B  x , y  :
12
 j 1
2j
2

x  y   4 j 2







.




Для коэффициентов b j  x, y   ряда B  x, y   и их производных любого
порядка  по x j и y j верны оценки [6]
D  b j  x, y    C j 2 , x, y   ,
равномерные на каждом компакте   R 2 .

(20)

Следовательно, мы доказали, что B  C  R 2  R 2 .
Из представления (17) получаем, что функция G  G  x, y; k  аналитич-
на по k в C  k : Im k  0 .


Обозначим через  j U  :  :  j  j 2  2 n 2 , n   , j  1, 2 , множество значений  , при которых функции Грина G j  x, y  не определены,
 U   1 U    2 U  . Будем рассматривать краевые задачи на собственные значения относительно спектрального параметра  в области
R  \  U  , R    :   0 .
Введем пространство распределений Соболева. Положим для любого
sR

  и H s    : u  H s  R2  : supp u   .
H s    : u  : u  H s R 2
Скалярная задача (12)–(16) для u  E3 может быть сведена к интегральному уравнению на отверстии  :
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
A() :
1
2
  1G  x, y  2G  x, y    y ds  f  x , x   ,
(21)
du
 y  y    ,   H 1 2    , f ( x)  [E30 ] ;
dx3
(22)

где
  y 
x :  x1 , x2  и y  :  y1 , y2  , f  x   C     .
(23)
Пусть   U   j  1, 2  и уравнение (21) A  f имеет единственное
решение, где A : H 1 2     H 1 2    – интегральный оператор. Рассматри-
ваемый оператор является эллиптическим, поэтому для него справедливы основные утверждения о сходимости метода Галеркина [5].
Будем проводить аппроксимации  элементами  n Vn , где
V  H 1/ 2    – n -мерное пространство. Методом Галеркина находим 
n
n
из системы уравнений
( A n , v)  ( f , v), v Vn .
(24)
Каждый элемент матрицы получается путем вычисления четырехкратного интеграла
Aij :
1
2
  1G  x, y  2G  x, y   j  y vi  x ds .

Пусть  – прямоугольная область,    0, a    0, b   . Построим в области  равномерную прямоугольную сетку:


 x  x ai 1  x1  ai , b j 1  x2  b j ;


 y  y ai 1  y1  ai , b j 1  y2  b j , i  1, n, j  1, m,
a
b
по оси x1  y1  и шагом h2 
по оси x2  y2  .
n
m
В качестве базисных функций v  x  выбираем функции вида
с шагом h1 


1, если x   ai 1 , ai   b j 1 , b j  ,
ij  x   
0, иначе.
(25)
Будем рассматривать семейство VN из N  nm функций ij  x  ,
i  1, n, j  1, m . Выбранные функции удовлетворяют условию аппроксимации
в пространстве H 1/ 2    .
Разобьем каждый элемент сетки на k прямоугольников. Внутри каждого такого прямоугольника выберем среднюю точку – точку пересечения диа-
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
гоналей. Интегрирование производим методом прямоугольников, суммируя
значение функции во всех точках, умноженных на площадь прямоугольника.
Рассмотрим отдельно интеграл, содержащий слабую особенность:
I  L  x  y   ds 



ik x y
1 e
ds 
2 x  y 


ik x y
1 e
1


2  x  y 
x  y 



1
1
 ds 
ds  L0  L1.

2  x  y 



Сместим элемент сетки с помощью введения новой переменной
t  x  y  ( y  фиксируем). Тогда (рис. 2) t1  x1  y1 , t2  x2  y2 ,
ai 1  y1  t1  ai  y1 , b j 1  y2  t2  b j  y2 , dt1  dx1 , dt2  dx2 .
Рис. 2
Вводя полярные координаты t1   cos  , t2   sin  , dt1dt2   d  d  ,
получим
I1  L1  x  y   ds 


1

2


 y
1
2
 
 x  y 
dy 

 t  y
1
1
dxdy  
2
x  y 
1
1
dt 
2
t

dy 
 y
4 i 1

dy 
 y

i 1 i

x
1
dx 
x  y 
i d .

Здесь  x  ai 1  x1  ai , b j 1  x2  b j ,
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


 t  ai 1  y1  t1  ai  y1 , b j 1  y2  t2  b j  y2 , i  1, n, j  1, m ;
b j  y2
b j 1  y2
a  y1
a y
, 3     i 1 1 , 4    
;
1     i
, 2    
cos 
sin 
cos 
sin 
1  5  arctg
3 
b j 1  y2
ai  y1
, 2  arctg
b j  y2
,
ai  y1
b j 1  y2
a y

.
 arctg i 1 1 , 4    arctg
2
b j  y2
ai 1  y1
Тогда внутренний интеграл вычисляется следующим образом:
4 i 1

i 1 1
i d  
2

1
ai  y1
d 
cos 
3

2
b j  y2
d 
sin 
4

3
ai 1  y1
d 
cos 
5

b j 1  y2
4
sin 
d 

 3
  2
 ai  y1 ln tg   
 b j  y2 ln tg

2
2 4
2
1





 5
  4
.
 ai  1  y1 ln tg   
 b j  1  y2 ln tg
2
2 4
4
3




Решая систему линейных алгебраических уравнений, например, методом сопряженных градиентов получаем решение задачи дифракции на отверстии прямоугольной формы.
Субиерархический параллельный вычислительный метод
Численное решение поставленной задачи для апертуры прямоугольной
формы строится с помощью метода Галеркина. Рассмотрим алгоритм построения решения задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие произвольной формы. Будем предполагать, что решение задачи
для экрана прямоугольной формы получено и в нашем распоряжении находится матрица, составленная методом Галеркина. Для решения задачи дифракции на отверстии сложной формы необходимо, чтобы поверхность
сложной апертуры целиком принадлежала посчитанному ранее прямоугольному отверстию [2–4]. Предлагаемый метод позволяет получить матрицу для
новой фигуры с использованием матрицы, составленной для прямоугольного
отверстия. Скорость построения новой матрицы будет напрямую зависеть от
размера апертуры и количества вершин в сетке. На рис. 3 это рассматривается
на примере одной фигуры, описываемой двумя разными сетками. Слева находится фигура, в центре приведен пример менее оптимальной сетки, справа
построена более оптимальная сетка. С точки зрения скорости счета правая
сетка предпочтительнее.
В построенной фигуре введем новую нумерацию вершин. Произведя
полный перебор вершин, получаем новую сетку. Эту сетку будем использовать для расчета поля на отверстии сложной формы.
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
Рис. 3
Параллельный подход
Рассматриваемая задача требует составления матрицы как можно
большего размера, что требует больших затрат времени. Для минимизирования временных затрат максимально упростим в решаемой задаче процессы,
связанные с составлением матричного уравнения. Наиболее естественным
подходом, упрощающим решение задач, является использование матричной
симметрии. За счет этого время, потраченное на составление матрицы, можно
сократить в два раза. Значительно сокращается время составления матрицы
при использовании внутренней симметрии матричных элементов. Матрица,
полученная по алгоритму метода Галеркина, является теплицевой. Субиерархический подход в подобных задачах позволяет избавиться от лишнего счета
матричных элементов и использовать ранее насчитанные матрицы. Еще один
подход при минимизации временных затрат связан с использованием параллельных вычислений. В представленной задаче каждый элемент матрицы
формируется независимо друг от друга, поэтому можно рассчитать элементы
матрицы на нескольких процессорах или кластере. Матрица для рассматриваемой задачи с использованием сетки 128×128 носителей была рассчитана
на кластере НИВЦ МГУ. Решение СЛАУ осуществлялось методом сопряженных градиентов.
Результаты расчета
Приведем результаты расчета решения интегрального уравнения для нескольких апертур сложной формы. Графики (рис. 4–8) состоят из двух рисунков. Левый рисунок отвечает за форму апертуры и ее положение на сетке. Правый рисунок отображает значения модулей решения интегрального уравнения.
Рис. 4
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Все численные результаты, представленные в статье, полученны для
апертур сложной формы и составлялись с использованием матрицы, рассчитанной для задачи прямоугольной формы. Размер сетки для задачи прямоугольной формы составляет 16×16 носителей.
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
Рис. 8
Список литературы
1. И л ь и н с к и й , А . С . Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких
экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. – М. : ИПРЖ «Радиотехника», 1998.
2. М е дв е ди к , М . Ю . Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов в
электромагнитной задаче дифракции на экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов,
С. И. Соболев // Вычислительные методы и программирование. – 2005. – Т. 6. –
С. 99–108.
3. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм и сходимость метода Галеркина в задачах дифракции электромагнитного
поля на плоском экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. – 2004. – № 5. – С. 3–19. – (Естественные науки).
4. М е дв е ди к , М . Ю . Численный метод решения псевдодифференциального
уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие / М. Ю. Медведик, И. А. Родионова, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 1. – С. 87–99.
5. С м и р н о в , Ю . Г . Проекционные методы / Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Изд-во
Пенз. гос. техн. ун-та, 1998.
6. M o r g e n r o t h e r , K . On the instability of resonances in parallelplane waveguides /
K. Morgenrother, P. Werner // Mathematical Methods in the Applied Sciences. –
1989. – V. 11. – P. 279–315.
Медведик Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Medvedik Mikhail Yuryevich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail|: _medv@mail.ru
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Родионова Ирина Анатольевна
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Rodionova Irina Anatolyevna
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: mmm@pnzgu.ru
УДК 517.6
Медведик, М. Ю.
Субиерархический метод для решения псевдодифференциального
уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие /
М. Ю. Медведик, И. А. Родионова // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 3 (11). –
С. 59–70.
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.9
Ю. Г. Смирнов, М. Ю. Медведик, Д. И. Васюнин
МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ РЕШЕНИЯ ОБЪЕМНОГО
СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
В ЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ
ПРОНИЦАЕМОСТИ МАТЕРИАЛА
Аннотация. Рассмотрена задача дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом теле, расположенном в прямоугольном волноводе. Задача сведена к объемному сингулярному интегральному уравнению на теле. Рассмотрен численный метод коллокации для решения этого уравнения. Представлены
расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации.
Ключевые слова: краевая задача, электромагнитная задача дифракции, интегральное уравнение, численный метод.
Abstract. Electromagnetic diffraction problem on dielectric body located in rectangular waveguide is considered. The problem is reduced to volume singular integral
equation on the body. Numerical collocation method for solving the equation is considered. The formulas of matrix coefficients for collocation method are presented.
Keywords: boundary value problem, electromagnetic scattering, integral equations,
numerical method.
Определение диэлектрических и магнитных параметров нанокомпозитных материалов и сложных наноструктур с различной геометрией является
актуальной задачей нанотехнологии и наноэлектроники. Однако эти параметры, как правило, недоступны для экспериментального измерения (ввиду композитного характера материалов и малых размеров образцов), что приводит
к необходимости применять методы математического моделирования и решать
задачи численно с помощью компьютеров. При этом приходится решать
трехмерные векторные задачи в полной электродинамической постановке.
Решение таких задач является в настоящее время одной из самых актуальных
проблем в электродинамике и с приемлемой для практики точностью на электродинамическом уровне строгости математическими методами требует
очень большого объема вычислений, что зачастую невозможно даже на самых современных суперкомпьютерах. Особенно остро стоит проблема решения обратных электродинамических задач на сложной системе поверхностей
и тел в резонансном диапазоне частот, возникающая при определении параметров нанокомпозитных материалов и наноструктур. Многочисленные дорогостоящие пакеты прикладных программ для решения задач электродинамики (Ansis, Quikwave и т.д.), имеющиеся на рынке программных продуктов,
решают задачу традиционными конечно-разностными методами или методами конечных элементов и не дают удовлетворительных по точности результатов [1].
Альтернативным подходом является применение метода объемных
сингулярных интегральных уравнений [2–4]. Настоящая статья посвящена
разработке численного метода для решения уравнения. Применяется метод
коллокации с аналитическим суммированием медленно сходящихся рядов
в функциях Грина.
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1 Краевая задача дифракции для системы уравнений Максвелла
Рассмотрим следующую задачу дифракции. Пусть в декартовой системе координат P  {x : 0  x1  a, 0  x2  b,    x3  } – волновод с идеально
проводящей поверхностью P . В волноводе расположено объемное тело Q
( Q  P – область), характеризующееся постоянной магнитной пpоницаемостью 0 и положительной 3  3 -матрицей-функцией (тензором) диэлектриче

ской проницаемости  ( x) . Компоненты  ( x) являются ограниченными функ

циями в области Q ,   L (Q) , а также  1  L (Q) .
Граница Q области Q кусочно-гладкая. Точнее, предположим, что
для каждой точки границы x0  Q существует окрестность  (в R3 ) и
C 2 -диффеоморфизм этой окрестности на R3 , при котором точка x0 переходит в точку 0 , а образом множества   Q является множество одного из
следующих типов (ниже ( x1 , x2 , x3 ) – декартовы, (r , ), r  0,  S 2 – сферические координаты в R3 ). Либо x1  0 ( x0 – точка гладкости границы), либо
x1  0, x2  0 ( x0 – точка на «выходящем» ребре), либо R3 \ {x1  0, x2  0}
( x0 – точка на «входящем» ребре), либо r  0,  Q , где Q  S 2 – односвязная область с кусочно-гладкой границей Q ( x0 – вершина «конуса с ребрами»). В частности, если Q – гладкая, то x0 – коническая точка; если Q
образована дугами больших окружностей, то x0 – вершина многогранного
угла. Пусть Q – ограниченная область и каждая точка x  Q принадлежит
одному из этих типов. Тогда будем говорить, что Q – область с кусочногладкой границей. Будем также предполагать, что тело Q не касается стенок
волновода, Q  P   . В P \ Q среда изотропна и однородна с постоянными 0 (  0), 0 ( 0) .
Требуется определить электромагнитное поле E, H  L2,loc ( P ) , возбуждаемое в волноводе сторонним полем с временной зависимостью вида e it .
Источник стороннего поля – электрический ток j0  L2,loc ( P) . В области
P  R3 стандартные дифференциальные операторы grad, div, rot понимаются
в смысле обобщенных функций.
Будем искать «слабые» (обобщенные) решения системы уравнений
Максвелла:

rot H  iE  j0E ;
rot E  i0 H.
(1)
Эти решения должны удовлетворять условиям на бесконечности: поля
E и H при x3  C для достаточно больших C  0 имеют представление
(«+» соответствует  , «–» соответствует  )
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
1
E
 i x
Rp  e p 3
 
H p


 1  e  i  1  
p 2 p
 p p 3

 i    e 
p
0
2
3






 i0  2  p  e3 
 2
 i x
,
Qp  e p 3 
  2 

2

p
  p  p e3  i  p  2  p 

(2)
j
j
j
j
j
1
где  p   k02  p  , Im  p   0 или Im  p   0 , k  p   0 и p  ,  p  x1 , x2 
и p  ,  p  x1 , x2 
2
 k02  200  – полная система собственных значений и
ортонормированных в L2    собственных функций двумерного оператора
Лапласа  в прямоугольнике  :  x1 , x2  : 0  x1  a, 0  x2  b с условия-
ми Дирихле и Неймана соответственно, и  2  e1  x1  e2  x2 . Для коэффициентов разложений (2) имеют место оценки
 


R p  , Q p   O p m , p   ,
(3)
для всех m  N .
С физической точки зрения условия (2) означают, что рассеянное поле
является суперпозицией нормальных волн, расходящихся от тела. Условия (3)
обеспечивают экспоненциальную сходимость рядов (2), а также возможность
их почленного дифференцирования по xj любое число раз.
Для E , H должны выполняться краевые условия на стенках волновода:
E |P  0, H  |P  0.
(4)
Если выполняются уравнения Максвелла, то второе условие в (4) следует из первого, и его можно опустить. Но если рассматривать оператор Максвелла, порождаемый левой частью (1), то надо ставить оба условия.
Для u  H 1 ( P ) существуют граничные значения из пространства
H 1/ 2 (P ) в смысле теории следов. Почти везде на P определен вектор
нормали.
Пусть также E0 и H 0 – решения рассматриваемой краевой задачи в



отсутствие неоднородного тела Q ,  ( x)  0 I , x  P ( I – единичный тензор):
rot H 0  i0 E0  j0E , rot E0  i0 H 0
(5)
с краевыми условиями
E0 |P  0, H 0 |P  0.
(6)
Эти решения могут быть выражены аналитически через j0E с помощью
введенного ниже тензора Грина. Решения не обязаны удовлетворять условиям на бесконечности. Например, E0 и H 0 могут быть ТМ- или ТЕ-модой
этого волновода.
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Имеют место результаты о гладкости решений задач (1)–(4) и (5)–(6)
при более гладких данных [3]. Сформулируем один из таких результатов.
Утверждение 1. Пусть j0E  H 1loc( P) . Тогда E0 , H 0  H 1loc( P). Пусть,

кроме того, Q  C 2 ,   C1 (Q ) . Тогда сужения E |Q , H |Q  H 1 (Q) и E |P \Q ,
H |P \Q  H 1loc( P \ Q) . Кроме того, справедливы условия сопряжения на Q :
[E ] |Q  0, [H  ] |Q  0 ,
где [  ] означает разность следов с разных сторон Q .
В предположениях утверждения 1 краевые условия на P и условия
сопряжения на Q понимаются в смысле равенства следов элементов из
H 1/ 2 loc(P ) и H 1/ 2 (Q) . Ясно, что при первоначальных общих предположе
ниях о тензоре  такие условия сопряжения не имеют смысла.
2 Тензоpная функция Грина прямоугольного волновода

Построим диагональный тензор Грина GE , компоненты которого являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца в P с коэффициентом k02  2 00 и удовлетворяют краевым условиям первого или
второго рода на P , обеспечивающим обращение в нуль тангенциальных составляющих напряженности электрического поля на стенках волновода. Его
компоненты имеют вид [3]



x y
2
e nm 3 3
n
m
n
m
cos x1 sin
x2 cos
y1 sin
y2 ;
ab n 0 m1  nm (1  0n )
a
b
a
b
(7)
 x  y
2   e nm 3 3
n
m
n
m
G2 
sin
x1 cos
x2 sin
y1 cos
y2 ;
ab n 1 m0  nm (1  0m )
a
b
a
b
(8)
G1 
 
 
G3 
 x  y
2   e nm 3 3
n
m
n
m
sin
x1 sin
x2 sin
y1 sin
y2 .
ab n1 m 1
 nm
a
b
a
b
 
2
(9)
2
 n   m 
2
В этих выражениях  nm     
  k0 , при этом ветвь квад a   b 
ратного корня выбирается так, чтобы Im  nm  0 .
Запишем Gm с выделенной особенностью при x  y :
Gm 
1 eik0 | x  y|
 g m ( x, y ), x, y  P ,
4 | x  y |
(10)
где функция g m  C  (Q  P ) .
Отсюда и в силу симметрии функций Грина Gm ( x, y )  Gm ( y , x) ,
(m  1, 2, 3) имеем следующее утверждение.
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика

Утверждение 2. Тензор Грина GE допускает представление

1 eik0 | x  y|  
GE 
I  g ( x, y ), x, y  P ,
4 | x  y |
(11)


где матрица-функция (тензор) g  C  (Q  P ) и g  C  ( P  Q ) .
Такое представление функции Грина удобно для теоретического исследования задачи дифракции, но непригодно для численных расчетов, т.к. не

содержит алгоритма вычисления g . Отметим, что функции Грина имеют
1 eik0 | x  y|
и не имеют других особенностей
4 | x  y |
в силу сделанного нами предположения о том, что тело не касается поверхности волновода.
единственную особенность вида
3 Объемное сингулярное интегральное уравнение
Наша ближайшая цель – свести краевую задачу к объемному сингулярному интегральному уравнению и доказать теорему эквивалентности.
Пусть решения краевых задач (1)–(4) и (5), (6) существуют и единственны. Перепишем (1) в эквивалентной форме:
rot H  i0E  jE , rotE  i0 H ,
(12)
где
jE  j0E  jEp .
(13)


В последнем равенстве jEp  i  ( x)  0 I E – электрический ток по-


ляризации.
Нетрудно проверить, что решение краевой задачи (4), (12) имеет вид
E  i0 A E 
1
grad div A E , H  rot A E ,
i0
(14)
где

A E  GE (r ) jE ( y )dy –

(15)
P
векторный потенциал электрического тока.
Потенциал A E удовлетворяет уравнению
A E  k02 A E   jE .
(16)
Таким образом, потенциал A E есть свертка с тензором Грина прямоугольного волновода для уравнения Гельмгольца, обеспечивающий выполнение требуемых краевых условий для полей.
Однако формулы (14) не дают явного решения задачи (4), (12), т.к. ток
jE зависит от E . Из соотношений (13)–(15) для поля E следует интегродифференциальное уравнение
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


 ( y )  
E( x)  E0 ( x)  k02 GE (r ) 
 I  E( y )dy 
0


Q



 ( y)  
 grad div GE ( r ) 
 I  E( y )dy, x  Q.
0


Q

(17)
Кроме того,


 ( y )  
E( x)  E0 ( x)  k02 GE (r ) 
 I  E( y )dy 
0


Q



 ( y)  
 grad div GE ( r ) 
 I  E( y )dy, x  P \ Q.
0


Q

(18)
Формула (18) дает представление решения E( x) в области P \ Q , если
E( y ), y  Q – решение уравнения (17). Поле H выражается через решение
(17) в виде


 ( y)  
0
H ( x)  H ( x)  i0 rot GE (r ) 
(19)
 I  E( y )dy , x  P.
0


Q

Сведем полученное выше интегродифференциальное уравнение к объемному векторному сингулярному интегральному уравнению.
Представим функцию Грина в виде




GE (r )  G0 (r )  G00 (r )  g 2 (r ), r | x  y |;
(20)

eik0r  1  
1  
G0 ( r ) 
 I , G00 (r ) 
 I , g 0 ( r )  diag{g10 , g 02 , g 03}.
4r
4r
(21)
Применяя теорему о дифференцировании интеграла с ядром, имеющим
слабую особенность, придем к известному представлению:

xl

Q
1
1
 1
2
U n ( y )dy  v.p.
U n ( y )dy  lnU n ( x) .
3
xn 4r
xl xn 4r

(22)
Q
Используя полученные соотношения, переходим от интегродифференциального уравнения (16) к векторному сингулярному интегральному уравнению:



 ( y)  
1  ( x)  
E( x )  
 I  E( x)  v.p. 1 ( x, y ) 
 I  E( y )dy 
3  0
0



Q





 ( y)  
 ( y )  
  ( x, y ) 
 I  E( y )dy   2 ( x, y ) 
 I  E( y )dy  E0 ( x).


 0

 0

Q
Q

76

(23)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
  
Здесь тензоры , 1 ,  2 имеют вид


( x, y )  k02GE (r )  (  , grad)grad G0 (r );
(24)

1 ( x, y )  (  ,grad) grad G00 ( r );
(25)

 2 g0j (r )
(
x
,
y
)


 2 ij x x .
i j
(26)
Часто интерес представляют задачи рассеяния в среде, характеризующейся постоянной во всем объеме волновода диэлектрической проницаемо


стью (   0 I ) и тензорной магнитной проницаемостью  в Q (вне Q
  
  0 I ). В этом случае краевая задача сводится к объемному сингулярному
интегральному уравнению (такого же типа) для магнитного поля и выражению для электрического поля через решение этого уравнения:

  ( y )  
H ( x)  H 0 ( x)  k02 GH (r ) 
 I H ( y )dy 
0


Q


  ( y )  
 grad div GH (r ) 
 I H ( y )dy , x  Q,
0


Q


  ( y )  
E( x)  E0 ( x)  i0 rot GH (r ) 
 I H ( y ) dy , x  P .
0


Q


В последних формулах GH ( x, y ) – тензорная функция Грина прямоугольного волновода, отвечающая произвольному распределению источни
ков магнитного поля. Как и для рассматривавшейся функции Грина GE ( x, y ) ,
имеет место представление в виде суммы сингулярного слагаемого того же
вида и гладкой функции.
4 Представление функций Грина
с суммированием медленно сходящихся рядов
Рассмотрим выражение
  k0 GEU  grad div (GEU ) dy ,
2
 
 
Q
 G1 

 
где GE   G2  .
G 
 3
Здесь каждая компонента тензора представляется в следующем виде:
G1 

x y
2   e nm 3 3
cos  nX1  sin  mX 2  cos  nY1  sin  mY2 ;
ab n 0 m 1  nm 1  0n 

77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
G2 

x y
2   e nm 3 3
sin  nX1  cos  mX 2  sin  nY1  cos  mY2  ;
ab n 1 m0  nm 1  0n 

G3 
2   e
ab n1 m1

 nm x3  y3
 nm
sin  nX1  sin  mX 2  sin  nY1  sin  mY2  .
Проинтегрировав компоненты тензора Грина по параллелепипеду


x
x
x
Pi1i2i3  ( x1 , x2 , x3 ) : i1  1  i1  1, i2  2  i2  1, i3  3  i3  1 , будем иметь
h1
h2
h3


(сохраним прежние обозначения для проинтегрированных компонент тензора
Грина)
G1 
0
8   f nm  x3 
cos  nX1  sin  mX 2  cos  nH1  i1  0,5   
2
nm
2 n 1 m1  nm

 nH 
 mH 2 
 sin  1  sin  mH 2  i2  0,5   sin 

 2 
 2 
0
2 H1  f0m  x3 
 mH 2 

sin  mX 2  sin  mH 2  i2  0,5   sin 
;
2
2
 2 
 m1  0 m m

0
8   f nm  x3 
G2 
sin  nX1  cos  mX 2  sin  nH1  i1  0,5   
2
nm
2 n 1 m1  nm

 nH 
 mH 2 
 sin  1  cos  mH 2  i2  0,5   sin 

 2 
 2 

G3 
0
2 H1  f n 0  x3 
 nH 
sin  nX1  sin  nH1  i1  0,5   sin  1  ;
2
2
 2 
 n 1  n0 m

0
8   f nm  x3 
sin  nX1  sin  mX 2  sin  nH1  i1  0,5   
2
nm
2 n 1 m1  nm

 nH 
 mH 2 
 sin  1  sin  mH 2  i2  0,5   sin 
.
 2 
 2 
Здесь
X1 
x1
x
y
y
h
h
, X 2  2 , Y1  1 , Y2  2 , H1  1 , H 2  2 ;
a
b
a
b
a
b
x1  j1h1 , x2  j2 h2 , y1  i1h1 , y2  i2 h2 ;
2
2
 n   m 
2
 nm     
  k0 ;
a
b
  

78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика







  exp   x   i  1 h  
3
3
3 nm  exp    x3  i3h3   nm  , x3   i3  1 h3 ,


 exp    i3h3  x3   nm   exp    i3  1 h3  x3   nm , x3  i3h3 ,
0
f nm
( x3 )  
 2  exp    x3  i3h3   nm   exp    i3  1 h3  x3   nm ,


i3h3  x3   i3  1 h3 .




Введем обозначения:
r ( x, y ;  ) 

sin nx cos ny
 n( n 2   2 )
 p( x, y; )  q( x, y; ) (0  x, y  ) ;
n 1
p ( x, y ;  ) 


4 1  e 2
2


 2  x  y 
  2  x  y   x  y 
 x  y
 e 
e
 sign  x  y   e
e


q ( x, y ;  ) 
1
4 2
 ;


   x  y  sign  x  y     x  y   ;
p2 ( x, y; )  p( x, y; i) 


2
4 sin 



 sin    x  y      sign  x  y  sin   x  y    ;
p1 ( x, y; )  p ( x, y; ) ;
s ( x , y;  ) 

 e
4
 x  y
e
 2  x  y 


sin nx sin ny
2
2
n 1 n  

 x  y 
 2  x  y 
e 
e 
1  e 2 
s2 ( x , y ;  )  s ( x , y ; i  ) 
, ( x  0, y  0, x  y  2);



cos      x  y    cos     x  y  ;
4 sin 

s1 ( x, y; )  s ( x, y; ) ;
d ( x , y;  ) 
s

1
 2  x  y  
  x  y
 
  e
e
 sign  x  y  

2

x
4



1 e
 x  y 
 2  x  y  
e 
e 
, ( x  0, y  0, x  y  2) ;

d 2 ( x, y;  )  d ( x , y ; i  ) 




sin      x  y    sign  x  y  sin     x  y  ;
4sin 

79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
d1 ( x, y; )  d ( x, y;  ) ;







  exp   x   i  1 h  
3
3
3 nm  exp    x3  i3h3   nm  , x3   i3  1 h3 ,


 exp    i3h3  x3   nm   exp    i3  1 h3  x3   nm , x3  i3h3 ,
f nm ( x3 )  
  exp    x3  i3h3   nm   exp    i3  1 h3  x3   nm ,


i3h3  x3   i3  1 h3 .




В точке коллокации

1
1
1 



Q j1 j2 j3   x1   j1   h1 , x2   j2   h2 , x3   j3   h3 
2
2
2 




значения компонент тензора Грина после суммирования медленно сходящихся рядов будут иметь вид (снова сохраним прежние обозначения для проинтегрированных компонент тензора Грина в точке коллокации)
 
1 
f nm  h3  j3   
2 
nH
8
1
1


 
G1 
cos n  i1   H1 cos n  j1   H1 sin 1 
2
2
2
2
2


 n 1 m1
 nm nm
 

mH 2
1
1


 sin m  i2   H 2 sin m  j2   H 2 sin

2
2
2



1 
f 0m   j3   h3 
2 
mH 2
2H
1
1



 1
 i3 j3 
sin m  i2   H 2 sin m  j2   H 2 sin
2
2
2
2
2


 m 1
 0m m



 sin
i3 j3
8b 2  1
1
1


cos n  i1   H1 cos n  j1   H1 
4
2
2


 n 1 n

nH1   
1

 p   j2   H 2 , i2 H 2 ,  n  
2  
2

1


p   j2   H 2 ,  i2  1 H 2 ,  n   
2


2b 2 H1 
1
kb
1
kb 
p ( H 2 ( j2  ), H 2i2 ; )  p2 ( H 2 ( j2  ), H 2 (i2  1); )  
4  2
2
2

 


1 
1

  H 2  sign  j2  i2      H 2 j2  i2 
2 
2


1 
1

sign  j2  i2      H 2 j2  i2 
2 
2

 a

4
 
2
80




 

 

1  ka 
1  ka  


 p2  H1  i1  1 , H1  j1   ;   p2  H1i1 , H1  j1   ;   
2  
2   



 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика


1 
1

H1  sign  j1  i1      H1 j1  i1 

2 
2

4k 2 2 
1
1 
1

sign  j1  i1      H1 j1  i1 
2 
2




H1 

  2 2  ;
  2 k 
 
1 
f nm  h3  j3   
2 
nH
8
1
1


 
G2 
sin n  i1   H1 sin n  j1   H1 sin 1 
2
2
2
2
2


 n 1 m 1
 nm nm
 

mH 2
1
1


 cos m  i2   H 2 cos m  j2   H 2 sin

2
2
2



2H 2



1 
f n0   j3   h3 
2 

n 1
 2n0 n

2

 sin
i3 j3
mH 2
2
nH
1
1


sin n  i1   H1 sin n  j1   H1 sin 1  i3 j3 
2
2
2


8a 2  1
1
1

cos m  i2   H 2 cos m( j2  ) H 2 
4
2
2

 m 1 m

 
1

 p   j1   H1 , i1H1 ,  m  
2

 
1


p   j1   H1 ,  i1  1 H1 ,  m   
2


2a 2 H 2   
 
1
ka 
1
ka  
p2  H1  j1   , H1i1;   p2  H1  j1   , H1  i1  1 ;   

2
2

 
4   
 

1 
1

  H1  sign  j1  i1      H1 j1  i1 
2 
2





1 
1 

 sign  j1  i1      H1 j1  i1    
2 
2 

 b 2

4
 
 

1  kb 
1  kb  


 p2  H 2  i2  1 , H 2  j2   ;   p2  H 2i2 , H 2  j2   ;   
2  
2   



 


1 
1

 H 2  sign  j2  i2      H 2 j2  i2 
2 
2

4k  
1
2 2



H2 
1 
1 

 sign  j2  i2      H 2 j2  i2    
 ;
2 
2   22 k 2 

 
1 
f nm  h3  j3   
2 
nH
8
1
1


 
G3 
sin n  i1   H1 sin n  j1   H1 sin 1 
2
2
2
2
2


 n 1 m1
 nm nm
 

81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
mH 2
1
1


 sin m  i2   H 2 sin m  j2   H 2 sin

2
2
2


i3 j3
nH
8b 2  1
1
1


sin n  i1   H1 sin n  j1   H1 sin 1 
2
2
2


4 n 1 n

 



1
1


  p  H 2  j2   , H 2i2 ;  n   p  H 2  j2   , H 2  i2  1 ;  n   
2
2





 
i3 j3
a2 
1 
1

H 2  sign  j2  i2      H 2 j2  i2 

2 
2

4 
1 
1

sign  j2  i2      H 2 j2  i2 
2 
2





 

  
 
1
ka 
1
ka 
 p2  H1  j1   , H1i1;   p2  H1  j1   , H1  i1  1 ;  


2
2
 
  
2

1 
1

H1  sign  j1  i1      H1 j1  i1 

2 
2

4k 2 a 2 
1 
1

sign  j1  i1      H1 j1  i1 
2 
2




 
  .
  
Вычислим последовательно операции дивергенции и градиента:
 
grad div (GEU )  grad div (G1U1 , G2U 2 , G3U 3 ) 

 G
   2G1
G
 2G3
G
 2G2
 grad  1 U1  2 U 2  3 U 3   
U1 
U2 
U 3  x1 
2

x2
x3
x1x2
x1x3
 x1
  x1

2
2
2
2
  2G

 2

1 U   G2 U   G3 U  x    G1 U   G2 U   G3 U  x .

1
2
3
2
1
2
3
 x2 x1

 x3x1
 3
x2 x3
x3x2
x22
x32




Продифференцируем функции G1 , G2 , G3 и вычислим вторые производные
 2G3
x32
 2G1
x12
,
 2G3
 2G3
 2G2
 2G1
 2G1
 2G2
 2G2
,
,
,
,
,
,
,
x2 x1 x3x1 x1x2
x3x2 x1x3 x2 x3
x22
.
Для вторых производных имеем
 2G1
x12
82

8a
3

1
1
1
 m sin m(i2  2 ) H 2 sin m( j2  2 ) H 2 sin
 m1
mH 2

2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика

 



1
1
 i3 j3  D   j1   H1 ,  i1  1 H1 ,  m   D   j1   H1 , i1H1 ,  m   
2
2




 

 
1 
nf nm  h3  j3   

2 
nH
1
1



 
cos n  i1   H1 cos n  j1   H1 sin 1  ;

2
2
2
2 


a3 n 1
 nm


3 

 2G2
x22

8b
3

1
1
1
 n sin n(i1  2 ) H1 sin n( j1  2 ) H1 sin
 n1
nH1

2

 



1
1
 i3 j3  D   j2   H 2 ,  i2  1 H 2 ,  n   D   j2   H 2 , i2 H 2 ,  n   
2
2




 

 
1 
mf nm  h3  j3   

2 
mH 2 
1
1



 
cos m  i2   H 2 cos m  j2   H 2 sin

.
2
2
2
2 


 nm
b3 m1


3 

Здесь функция d ( x, y; )  d1 ( x, y;  ) – для вещественных  n , и
d ( x, y;  )  d 2 ( x, y; ) – для чисто мнимых  n ;
 
1 
f nm  h3  j3   
2 
 G1
8
1
1


 

sin n  j1   H1 cos n  i1   H1 
2
x2 x1
ab n 1 m1
2
2


 nm
 
2

 sin
i3 j3
nH1
mH 2
1
1


sin m  i2   H 2 cos m  j2   H 2 sin

2
2
2
2


8a 

1

1
 sin m  i2  2  H 2 cos m  j2  2  H 2 sin
 b
2
m 1
mH 2

2
  
  

1
1
  s  H1  j1   , H1  i1  1 ;  m   s  H1  j1   , H1i1;  m   .
2
2
  

  
Далее,
 2G2
 2G1
(i1 , i2 , j1 , j2 ) 
( j1 , j2 , i1 , i2 ) .
x1x2
x2 x1
Здесь функция s ( x, y; )  s1 ( x, y; ) – для вещественных  m , и
s ( x, y; )  s2 ( x, y; ) – для чисто мнимых  m ;
2
 
 G1 8

x3x1 a n 1 m1


0
 f nm
( x3 ) 

 x3
 2nm m
sin  nX1  sin  mX 2  cos  nH1 (i1  0,5)  
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 nH 
 mH 2 
 sin  1  sin  mH 2 (i2  0,5)  sin 
;
 2 
 2 
 
2
 G2
8

x3x2
b n 1 m 1


0
 f nm
( x3 ) 

 x3
2
n
 nm
sin  nX1  sin  mX 2  sin  nH1  i1  0,5   
 nH 
 mH 2 
 sin  1  cos  mH 2  i2  0,5   sin 
;
 2 
 2 
 
2
 G3
8

x1x3 a n 1 m 1


0
 f nm
( x3 ) 

 x3
2
m
 nm
cos  nX1  sin  mX 2  sin  nH1  i1  0,5   
 nH 
 mH 2 
 sin  1  sin  mH 2  i2  0,5   sin 
;
 2 
 2 
 
2
 G3
8

x2 x3 b n1 m1


0
 f nm
( x3 ) 

 x3
2
n
 nm
sin  nX1  cos  mX 2  sin  nH1 (i1  0,5)  
 nH 
 mH 2 
 sin  1  sin  mH 2 (i2  0,5)  sin 
;
 2 
 2 
2
 G3
x32

8
 

2 n1 m1

0
 f nm
( x3 ) 

 x3 x3
2
nm
 nm
sin  nX1  sin  mX 2  sin  nH1  i1  0,5   
 nH 
 mH 2 
 sin  1  sin  mH 2  i2  0,5   sin 
.
 2 
 2 
Полученные формулы позволяют эффективно вычислять приближенные суммы соответствующих рядов, т.к. оставшиеся ряды сходятся быстро
(экспоненциально).
5 Метод коллокации
Рассмотрим теперь вопрос о построении схемы для метода коллокации
для рассматриваемой задачи дифракции. Будем формулировать метод не для
сингулярного интегрального уравнения, а для интегродифференциального
уравнения. Этот подход оказывается эффективным в силу более удобного

 ( x)  
 I  обпредставления интегралов. Будем предполагать, что матрица 
 0

1


  ( x)  
ратима в Q , 
 I   L (Q), I – единичная матрица.
 0

84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
Введем обозначения
1

   ( x)   
 ( x)  

 I  , J : 
 I E
 0

 0

и перейдем к следующему уравнению:





AJ  J ( x)  k02 G ( x, y ) J ( y )dy  grad div G ( x, y ) J ( y )dy  E 0 ( x) .


Q
(27)
Q
Представим это уравнение в виде системы трех скалярных уравнений:
3


 li J i ( x)  k02  G( x, y) J l ( y)dy  xl div x  G( x, y) J ( y)dy  E 0l ( x), l  1, 2,3. (28)
i 1
Q
Q

Определим компоненты приближенного решения J следующим образом:
J1 
N

k 1
ak f k1 ( x), J 2 
N

k 1
bk f k2 ( x), J 3 
N
 ck fk3 ( x),
k 1
где f ki – базисные функции-«ступеньки», существенно зависящие лишь от
переменной xi .
Ниже проводится построение функций f k1 . Будем считать, что Q – параллелепипед: Q  {x : a1  x1  a2 , b1  x2  b2 , c1  x3  c2 } . Разобьем Q параллелепипедами:
1klm  {x : x1,k  x1  x1,k 1 , x2,l  xl  x2,l 1 , x3,m  x3  x3,m1};
a a
b b
c c
x1,k  a1  2 1 k , x2,l  b1  2 1 l , x3,m  c1  2 1 m,
n
n
n
где k  1, , n  1; l , m  1, , n  1 .
1
:
Обозначив h1 :| x1,k  x1,k 1 | , получим формулы для f klm
1
f klm
1, x  1klm ,

0, x  1klm .
2
3
Функции f klm
, f klm
, зависящие от переменных x2 и x3 соответственно, определяются аналогичными соотношениями. Построенное множество базисных функций удовлетворяет необходимому условию аппроксимации в L2 .
Перенумеруем базисные функции:
f k1 , f k2 , f k3 , k  1, , N ,
1
где N  (n3  n 2 ) .
4
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Расширенную матрицу для нахождения неизвестных коэффициентов
ak , bk , ck удобно представить в блочной форме:
 A11

 A21
A
 31
A12
A22
A32
B1 

B2  ;
A33 B3 
A13
A23
элементы столбцов Bk и матриц Akl определяются из соотношений:
Bki  E0k  xi  ;
 

ij
Akl
  kl fil x j   kl k02 G k ( x j , y ) fil ( y ) dy 


xk
Q

 xl G ( x j , y) fi ( y)dy,
l
l
(29)
Q
где координаты точки коллокации:
xi   xi1 , xi 2 , xi3  , xi1   i1  1/ 2  h1 , xi 2   i2  1/ 2  h2 , xi 3   i3  1/ 2  h3 ,
k , l  1, 2, 3; i, j  1, , N .
Таким образом, в статье представлены расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации для решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала. Численные результаты расчетов решения интегрального
уравнения методом коллокации будут приведены в отдельной статье.
Список литературы
1. S h e s t o p a lo v , Y u . V . Development of Mathematical Methods for Reconstructing
Complex Permittivity of a Scatterer in a Waveguide / Yu. V. Shestopalov, Yu. G. Smirnov, V. V. Yakovlev // Proceedings of 5th International Workshop on Electromagnetic
Wave Scattering, October 22–25. – Antalya, Turkey, 2008.
2. М е дв е ди к , М . Ю . Применение ГРИД-технологий для решения объемного
сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 2. – С. 2–14.
3. С м и р н о в , Ю . Г . О существовании и единственности решений обратной краевой задачи для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский
регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 1. – С. 11–24.
4. С м и р н о в , Ю . Г . Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного
объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной
диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 3– С. 2–10.
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
Smirnov Yury Gennadyevich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Медведик Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Medvedik Mikhail Yuryevich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail|: _medv@mail.ru
Васюнин Денис Игоревич
аспирант, Пензенский
государственный университет
Vasyunin Denis Igorevich
Post graduate student,
Penza State University
E-mail: mmm@pnzgu.ru
УДК 517.9
Смирнов, Ю. Г.
Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Ю. Г. Смирнов, М. Ю. Медведик, Д. И. Васюнин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2009. – № 3 (11). – С. 71–87.
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 512.5- 004.021
С. Н. Эйрих
ПОДХОД К МОДЕРНИЗАЦИИ ГЕНЕТИЧЕСКОГО
АЛГОРИТМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация. Рассматривается оригинальная версия генетического алгоритма
для решения систем линейных алгебраических уравнений. Основное внимание
уделяется настройке алгоритма на особенности этой задачи и модернизации
алгоритма. Методами вычислительного эксперимента выбираются параметры
генетического алгоритма, дающие «хорошие» решения.
Ключевые слова: генетический алгоритм, Холланд, система линейных алгебраических уравнений, СЛАУ.
Abstract. In present article the original version of genetic algorithm for the decision
of systems of the linear algebraic equations is considered. The basic attention is
given adjustment of algorithm on feature of this problem and modernization of algorithm. Methods of computing experiment the parameters of genetic algorithm giving
"good" decisions get out.
Keywords: genetic algorithm, Holland, system of the linear algebraic equations,
SLAE.
Введение
Решение ряда задач математической физики (задачи гидрогазодинамики, расчета электромагнитных полей, уравнения Максвелла, Навье-Стокса
и др.) методами конечных элементов (FEM) и конечных объемов (FVM) особенно на неструктурированных сетках приводит к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с разреженными матрицами большой размерности, которые, как правило, являются несимметричными [1].
Эффективным средством решения задач большой размерности являются многопроцессорные вычислительные системы, однако соответствующая
реализация классических методов требует их специальной адаптации и проведение связанных с этим исследований [1, 2].
В настоящей работе рассматривается генетический алгоритм, использующий метод обобщенных минимальных невязок GMRES [2] для вычисления функции приспособленности (фитнес-функции) [3, 4], эффективный для
решения СЛАУ с несимметричной матрицей.
Обоснованием выбора генетического алгоритма служили следующие
соображения:
– генетические алгоритмы продемонстрировали свою эффективность
для решения дискретных экстремальных задач, плохо поддающихся решению
традиционными методами;
– стохастика, используемая генетическими алгоритмами, позволяет надеяться, что мы не пропустим решения, «не поддающегося» той или иной эвристике;
– вычислительное время генетических алгоритмов для большинства
приложений практически линейно зависит от размера задачи и числа оптимизируемых параметров.
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
Основными сложностями применения генетических алгоритмов для
решения рассматриваемой задачи являются:
– настройка операций скрещивания, мутации и селекции;
– попадание в локальные минимумы;
– выбор способа задания критериев останова и выживаемости.
1 Описание задачи
Основной рассматриваемой задачей будет являться получение решения
СЛАУ
Ax  b ,
где A – невырожденная матрица размерности m  n , а x и b – векторы размерности n  1 , составленные из действительных коэффициентов.
При этом СЛАУ имеют большую
P  NM  109...1010
или даже сверхбольшую
P  NM  1011
размерность.
В силу невырожденности матрицы A существует некоторое точное
решение x*  A1b . Задача получения решения СЛАУ сводится к нахождению x* . Невязкой, соответствующей вектору x , будем называть вектор
x  b  Ax  A( x*  x) , где ( x*  x) есть ошибка решения [5].
Линейный оператор [5], заданный матрицей A , действует в пространстве n . Введем в нем скалярное произведение:
( x, y ) 
n
 xi yi .
i 1
Для действительного случая сопряженный оператор A* определяется


матрицей AT , так что  Ax, y   x, AT y . Иногда также оказывается удобным
использование скалярного A-произведения:
( x, y ) A  ( Ax, y )  ( x, AT y )  yT Ax  xT AT y .
На основе скалярных произведений введем в n векторные нормы:
x 2  ( x, x);
x 2  ( Ax, x)  ( x, x) A ,
это евклидова норма и А-норма соответственно [5].
Для невырожденной матрицы A симметризованная матрица AT A является положительно определенной, и тогда для евклидовой и А-нормы справедливо соотношение
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2
2
x  x* AT A  ( AT A( x  x* ),( x  x* ))  ( A( x  x* ), A( x  x* ))  (x, x)  x 2 .
Метод обобщенных минимальных невязок GMRES, который используется для вычисления функции приспособленности (фитнес-функции), сводится к вычислению
x 
n
m
  aij x j  bi ,
i 1 j 1
где m  n – размерность матрицы A .
Таким образом, для решения СЛАУ алгоритм сходится к минимуму невязки, и сложность одной итерации имеет порядок n 2 .
2 Описание алгоритма
Генетические алгоритмы предназначены для решения задач оптимизации. Примером подобной задачи служит получение решения СЛАУ. При
этом в основе генетического алгоритма лежит метод случайного поиска [6].
Основным недостатком случайного поиска является то, что нам неизвестно,
сколько понадобится времени для решения задачи. Для того чтобы избежать
таких расходов времени при решении задачи, применяются методы, проявившиеся в биологии и открытые при изучении эволюции и происхождения
видов. Как известно, в процессе эволюции выживают наиболее приспособленные особи [3]. Это приводит к тому, что приспособленность популяции
возрастает, позволяя ей лучше выживать в изменяющихся условиях [7].
Впервые подобный алгоритм был предложен в 1975 г. Джоном Холландом
(John Holland) в Мичиганском университете. Он получил название «репродуктивный план Холланда» и лег в основу практически всех вариантов генетических алгоритмов [3].
Схема алгоритма Холланда [3]:
1. Сгенерировать случайным образом популяцию, состоящую из k
особей.
2. Вычислить целевую функцию F ( x) (фитнес-функцию), т.е. приспособленность каждой особи популяции. Значение этой функции определяет,
насколько хорошо подходит особь, описанная данной хромосомой, для решения задачи.
3. Выполнить операцию селекции.
4. Выполнить операцию скрещивания:
4.1. Выбрать пары для скрещивания;
4.2. Для каждой выбранной пары: с заданной вероятностью выполнить
скрещивание, получить двух потомков и произвести в популяции замену родителей на их потомков.
5. Выполнить операцию мутации: с заданной вероятностью изменить
гены потомков.
6. Если критерий останова не достигнут, перейти к шагу 2, иначе завершить работу.
Далее будет рассмотрена настройка алгоритма Холланда на особенности задачи решения СЛАУ. Для большей вычислительной мощности алго-
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
ритма и решения СЛАУ больших размерностей некоторые шаги классического алгоритма Холланда будут заменены неклассическими [4, 7] и эвристическими. Для решения СЛАУ больших размерностей не подошла ни одна операция мутации, описанная в работах [3–7]. Поэтому использована новая модернизация операции мутации, описанная далее.
Теперь подробно рассмотрим настройку классических и неклассических этапов алгоритма для задачи решения СЛАУ.
3 Модернизация и настройка алгоритма для решения СЛАУ.
Применение классических и неклассических методов
и эвристик для улучшения алгоритма
3.1 Начальные значения. Эвристика ограничения
На первом шаге особи стартовой популяции [4, 6, 7] генерируются
произвольно, но с условием того, что гены [3, 7] не превышают максимального по модулю элемента матрицы A и вектора b . Эта эвристика
применяется для того, чтобы повысить вычислительную мощность алгоритма, т.к., если генерировать начальные значения произвольно, то алгоритм работает только на матрицах размерности не выше 10. В нашем случае матрицы являются не просто больших размерностей, а сверхбольших.
Для решения СЛАУ таких размерностей была разработана эвристика ограничения выбора. То есть гены вектора решения выбираются из интервала
  max( A, b); max( A, b)  .
В данном алгоритме не предполагается аналогово-дискретных преобразований исходной задачи, в отличие, например, от алгоритмов, описанных
в работе [4]. Поэтому гены являются не битами, а действительными числами.
3.2 Оценка приспособленности (выживаемости)
По методу обобщенных минимальных невязок получаем целевую
функцию для вычисления коэффициентов выживаемости (fitness) в следующем виде:
F ( x) 
n
m
  aij x j  bi
 min .
i 1 j 1
Так как меньшие значения ближе к решению, то они более желательны.
В нашем случае большие численные значения коэффициентов выживаемости
подходят меньше. Чтобы создать систему, где хромосомы [3] с более подходящими значениями имеют большие шансы оказаться родителями, мы должны вычислить, с какой вероятностью (в процентах) может быть выбрана каждая. Одно решение заключается в том, чтобы взять сумму обратных значений
коэффициентов и, исходя из этого, вычислять проценты. Для этого используем формулу пропорциональной селекции [3, 7]:
1

fitnessi
 100 % .
1
fitnessi
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3.3 Операция селекции
Для выбора родителей используем турнирную селекцию [4]. Среди всех
элементов популяции выбирается один элемент с наибольшим значением целевой функции. Турнирная селекция имеет определенные преимущества перед пропорциональной, т.к. не теряет своей избирательности, когда в ходе
эволюции все элементы популяции становятся примерно равными по значению целевой функции. Операторы селекции строятся таким образом, чтобы
с ненулевой вероятностью любой элемент популяции мог бы быть выбран
в качестве одного из родителей. Более того, допускается ситуация, когда оба
родителя представлены одним и тем же элементом популяции.
3.4 Операция скрещивания
Каждый потомок содержит информацию о генах обоих родителей. Вообще говоря, это можно обеспечить различными способами, однако в нашем
случае можно использовать так называемый «кроссовер» (cross-over). Есть
достаточно много путей передачи информации потомку, и кроссовер – только
один из них.
Будем использовать простейший однородный оператор скрещивания
[3]. Позиция разделителя может быть абсолютно произвольной. Например,
рассмотрим двух родителей: x = 01001101 и y = 11100011. Выполнив одноточечное скрещивание на пятой позиции, мы получаем два потомка:
x1 = 01001011 и y1 = 11100101. То есть x1 и y1 содержит первые 5 битов (генов) x, а последние 3 бита – y. Таким образом, x1 и y1 тоже будут допустимыми решениями [6].
После скрещивания вычисляем коэффициенты выживаемости (fitness)
потомков.
3.5 Операция мутации
Следующее поколение может мутировать. Например, мы можем заменить одно из значений какой-нибудь хромосомы на случайное. Для задачи
решения СЛАУ будем использовать модернизированную операцию мутации,
описанную в следующем подпункте. Это самое важное для улучшения алгоритма и его настройки под задачу решения СЛАУ.
3.5.1 Модернизация мутации
Проанализировав критерии выживаемости и операцию мутации, улучшим работу генетического алгоритма (ГА).
Без операции мутации популяция никогда не выйдет за границы значений, определенных при формировании стартовой популяции. Следовательно,
не удастся найти решение, которое содержит значение генов не использующееся при формировании стартовой популяции. Таким образом, алгоритм сразу может попасть в локальный минимум и не выбраться из него. Но замена одной хромосомы на случайное значение может преобразовать хромосому настолько сильно, что она выйдет за границы значений решения слишком далеко.
Ввиду вышесказанного модернизируем операцию мутации. Будем изменять значение хромосомы на случайное число, равномерно распределенное
на интервале  min( A), max( A)  . Это дает возможность выйти за границы популяции, но не дает уйти далеко за ее пределы.
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
3.6 Критерий останова
Зададим критерии останова следующим образом: если хромосома достигнет коэффициента выживаемости 0, т.е. станет решением, то происходит
останов алгоритма. В противном случае алгоритм останавливается через заданное число итераций, и лучшая хромосома будет решением.
4 Результаты
Исследование проводилось методом проб: алгоритм запускался с различными значениями параметров (на каждом новом запуске прибавлялось
0,0005 к параметру). Значение считается «хорошим», если получаем «хорошее» решение. Критерии «хорошего» решения – минимизация суммы целевой функции для различных матриц. Таким образом, мы вычислили оптимальные значения параметров алгоритма, которые находятся в интервалах:
– порог вероятности мутации 0,0075–0,0085;
– порог вероятности скрещивания 0,3–0,5;
– размер популяции 25.
Запуск алгоритма с другими значениями параметров значительно
ухудшает качество получаемых результатов. Все дальнейшие исследования
проводились при различной комбинации значений параметров из указанных
интервалов. Алгоритм для каждого варианта исходных данных запускался
несколько раз с различными комбинациями значений параметров.
Подходящее решение находилось за 50–1500 итераций алгоритма. Зависимость числа итераций от качества получаемых решений и параметров
алгоритма не прослеживается.
Динамика ошибок алгоритма (изменение отличия решения от целевой
функции в популяции) приведена на графиках (рис. 1).
Данные представляют собой ошибки, полученные после работы генетического алгоритма Холланда и модернизированного генетического алгоритма на одном и том же тестовом множестве СЛАУ.
Из графиков можно сделать вывод, что ошибки простого генетического
алгоритма в 2 раза выше ошибок модернизированного ГА.
Наибольшее влияние на сложность получения и качество решения оказывает порог вероятности мутации. Для большинства тестов основное число
хороших решений алгоритм получает при пороге вероятности мутации, равной 0,008, и при значениях остальных параметров, находящихся в указанных
интервалах.
Очень сильное влияние на качество получаемых решений оказывает
размер популяции. Он имеет ярко выраженный оптимум, равный 25 (алгоритм в этом случае сходится быстро и стабильно).
Выводы
Описанный в данной работе алгоритм хорошо работает на СЛАУ
больших размерностей. Классическим методам Якоби и Гаусса-Зейделя алгоритм не уступает как в размерности матриц, но уступает в скорости, однако
важно заметить, ГА не требует предобусловливания [2], которое не учитывалось при исследовании этих методов. Однако применение предобусловливания в ГА возможно. Предварительные результаты показывают, что применение некоторых эвристик к операциям алгоритма, использование предобу-
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
словливания и специальное хранение разреженных матриц может дать рабочий алгоритм и для сверхбольших размерностей. Поэтому на будущее ставится задача увеличения размерности СЛАУ.
а)
б)
Рис. 1 Графики ошибки для тестовых СЛАУ размерности P = 109:
a – простой ГА; б – модернизованный ГА
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
Список литературы
1. N a t a r a j a n , R . Finite element applications on a shared-memory multiprocessor: algorithms and experimental results / R. Natarajan // Ibid. – 1991. – № 94. – Р. 352–381.
2. Aspects of Computational Science. – Stichting Nationale Computer Faciliteiten, The
Netherlands, 1995.
3. H o l l a n d , J . N . Adaptation in Natural and Artificial Systems / J . N . H o lla n d ;
Ann Arbor. – Michigan : Univ. Michigan Press, 1975.
4. С т а р и к о в , А . Генетические алгоритмы – математический аппарат [Электронный ресурс] / А. Стариков. – Режим доступа: http://www.basegroup.ru/genetic/
math.htm
5. В о е в о ди н , В. В. Вычислительные основы линейной алгебры / В. В. Воеводин. – М. : Наука, 1977. – 304 с.
6. H r o m k o v ic , J . Algorithms for Hard Problems / J. Hromkovic. – Springer, 2003.
7. Zb ig n e v , M . Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs /
Michalewiz Zbignev // Third, revised and extended edition. – Springer, 1999.
8. М е л ь н и к о в, Б. Ф. Эвристики в программировании недетерминированных игр /
Б. Ф. Мельников // Известия РАН. Программирование. – 2001. – № 5 – С. 63–80.
9. М е л ь н и к о в, Б. Ф. Мультиэвристический подход к задачам дискретной оптимизации / Б. Ф. Мельников // НАН Украины. Кибернетика и системный анализ. –
2006. – № 3. – С. 32–42.
Эйрих Станислав Николаевич
инженер электросвязи II категории,
ЗАО «АИСТ»
Eyrikh Stanislav Nikolaevich
Telecommunication engineer
of the second degree, closed
corporation "Aist"
E-mail: boos@rambler.ru
УДК 512.5-004.021
Эйрих, С. Н.
Подход к модернизации генетического алгоритма для решения систем линейных алгебраических уравнений / С. Н. Эйрих // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2009. – № 3 (11). – С. 88–95.
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 004.021:519.8:519.724.6
Е. С. Борисова, Б. Ф. Мельников
АППРОКСИМАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ
И ПСЕВДОМЕТРИЧЕСКИЙ ВАРИАНТ
ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЕРА
Аннотация. Рассматривается классический подход к аппроксимационным алгоритмам, даются примеры, иллюстрирующие основное определение данных
алгоритмов. Рассматриваются полиномиально-временные аппроксимационные
схемы и совершенные полиномиально-временные аппроксимационные схемы.
В качестве примера приводится псевдометрический вариант задачи коммивояжера, для которого пока не разработаны эффективные алгоритмы, дающие
оптимальное решение.
Ключевые слова: аппроксимационные алгоритмы, относительная ошибка, аппроксимационное отношение, аппроксимационные схемы, псевдометрическая
задача коммивояжера.
Abstract. An Article contains classical approach to approximation algorithms, there
are given examples illustrating the basic definition of these algorithms. There are
contained polynomial-time approximation scheme and fully polynomial-time approximation scheme. There is cited an example psevdometric traveling salesperson
problem. Efficient algorithms giving optimal solution this problem haven’t yet
developed.
Keywords: approximation algorithms, relative error, approximation ratio, approximation scheme, psevdometric traveling salesperson problem.
Введение
В настоящее время аппроксимационные алгоритмы представляют собой наиболее успешный подход к решению сложных оптимизационных задач. Если для некоторой оптимизационной задачи не существует эффективных алгоритмов, дающих оптимальное решение, то существует возможность
эффективно вычислить его некоторую аппроксимацию, – это было установлено для некоторых оптимизационных задач в середине 1970-х гг. То есть
можно перейти от экспоненциальной сложности к полиномиальной, легко
поддающейся обработке. Для этого нужно внести небольшие изменения
в требованиях задачи: вместо необходимости найти точное оптимальное решение можно найти некоторое решение, стоимость которого отличается от
стоимости оптимального не более чем на   для некоторого   0. Считается,
что некоторая оптимизационная задача легко решается, если существует полиномиально-временной аппроксимационный алгоритм, решающий ее с приемлемой относительной ошибкой [1].
1 Классический подход к аппроксимационным алгоритмам
Подзадача (subproblem), или вариант проблемы, определяется как некоторое подмножество множества входов оптимизационной задачи.
Определение. Пусть U  ( I , 0 , L, LI , M , cos t , goal ) – оптимизационная проблема, а A – непротиворечивый алгоритм для ее решения. Для каждого x  LI относительная ошибка  A ( x) алгоритма A на входе x определяется
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
как  A ( x) 
онное
Физико-математические науки. Математика
cos t ( A( x))  OptU ( x)
OptU ( x)
отношение RA ( x)
. Для каждого входа x  LI аппроксимаци-
алгоритма
A
на
x
определяется
как
 cos t ( A( x)) OptU ( x) 
,
RA ( x)  max 
 . Для каждого вещественного   1 ал OptU ( x) cos t ( A( x)) 
горитм A является -аппроксимационным алгоритмом для U, если  A ( x)  
для каждого x  LI . Для каждой функции вида f : N  R  алгоритм A является f (n) -аппроксимационным алгоритмом для U, если RA (n)  f (n) для
каждого n  N .
Простейшими примерами, иллюстрирующими данное определение, являются 2-аппроксимационные алгоритмы решения упрощенной задачи о
рюкзаке (SKP) и проблемы составления расписания (MS).
Для каждого входа (частного случая проблемы SKP) w1 , w2 , ..., wn , b и
каждого T  1, ..., n стоимостью является значение cos t (T ) 
 wi . Если
iT
cos t (T )  b , то T является допустимым решением. В работе [1] приводится
следующий жадный алгоритм для решения упрощенной задачи о рюкзаке.
Алгоритм 1.
Вход: n  N , w1 , w2 , ..., wn , b  N .
Шаг 1: Отсортировать w1 , w2 , ..., wn . Для простоты можно предполагать
w1  w2  ...  wn .
Шаг 2: T : 0, cos t (T ) : 0.
Шаг 3: for i = 1 to n do
if cos t (T )  wi  b then
do begin T : T  i ; cos t (T ) : cos t (T )  wi
end.
Выход: T.
Обычно бывает достаточно найти какой-нибудь -аппроксимационный
алгоритм для заданной оптимизационной задачи с малым , приемлемым для
этой задачи. Но для некоторых оптимизационных задач можно поступить
иначе: для каждого варианта проблемы (входа x) можно выбрать некоторую
достаточно малую относительную ошибку , после чего обеспечить для этого
входа x приемлемое допустимое решение с относительной ошибкой, не превышающей . В таких случаях говорится об аппроксимационных схемах
PTAS и FPTAS.
Определение. Пусть U  ( I , 0 , L, LI , M , cos t , goal ) – оптимизационная задача. Алгоритм A называется полиномиально-временной аппроксимационной схемой (PTAS) для проблемы U, если он для каждого входа – пары
 x,    LI  R  – вычисляет подходящее решение A(x) с относительной
ошибкой, не превосходящей ; при этом значение time A ( x,  1 ) может быть
ограничено функцией, полиномиальной относительно x . Если при этом зна-
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
чение time A ( x,  1 ) может быть ограничено функцией, полиномиальной как
относительно x , так и относительно  1 , то A – совершенная полиномиально-временная аппроксимационная схема (FPTAS) решения проблемы U.
Обычно функция time A ( x,  1 ) возрастает как относительно x , так и
относительно  1 . Это означает, что необходимо платить за уменьшение относительной ошибки увеличением временной сложности. Преимущество
схемы PTAS заключается в том, что при ее использовании имеется выбор
между двумя альтернативами – значением , отражающим качество выхода, и
количеством вычислительной работы time A ( x,  1 ) . Схемы FPTAS очень
удобны, поскольку функция time A ( x,  1 ) с увеличением  1 возрастает не
очень быстро.
2 Пример – псевдометрический вариант задачи коммивояжера
Обычно эти схемы очень удобны для практического применения, но
существуют примеры, в которых временная сложность схемы PTAS составляет значение, неприемлемое для практики.
Для примера рассмотрим так называемую псевдометрическую задачу
коммивояжера (ЗКВ). Эта задача в различных ее интерпретациях интенсивно
изучается математиками в течение большого периода времени, и до настоящего момента не существует алгоритмов, точно и быстро решающих задачу
коммивояжера большой размерности. Хотя разработано много различных
алгоритмов, в том числе так называемых эвристических, значительно снижающих полный перебор. [1].
Классическая задача коммивояжера заключается в следующем: заданы
N городов v1 , v2 , ..., vn  и расстояния dij  d (vi , v j ) между ними. Необходимо найти кратчайший замкнутый маршрут по всем городам без повторений.
Более формальная постановка задачи:
Вход: Полный взвешенный граф (G , d ) , где G  (V , N ) и d : E  R ,
V  v1 , v2 ,..., vn  , n  N .
Ограничения:
Для
каждого
частного
случая
графа
(G , d )
M (G , d )  vi1 , vi 2 , ..., vin (i1 , i2 , ..., in ) – некоторая перестановка чисел
(1, 2, ..., n) , т.е M (G , d ) – множество всех гамильтоновых циклов графа G.
Стоимость:
Для
каждого
cos t ((vi1 , vi 2 , ..., vin , vi1 ), (G , d )) 
цикла
H  vi1 , vi 2 ,..., vin , vi1  M (G , d )
n
 d  vi , vi
j 1
j
( j mod n ) 1
.
Цель: minimum.
Рассмотрим псевдометрический вариант ЗКВ, для этого на значение dij
накладываются ограничения:
1. Координаты городов с равномерным распределением бросаются
в квадрат  0,1   0,1 . По координатам рассчитывается матрица расстояний.
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Математика
2. На каждое значение dij матрицы расстояний умножаются нормально
распределенные случайные величины   () с математическим ожиданием
M   1 и достаточно малой дисперсией D (которая обычно зависит от числа городов N) [2].
С наложением ограничений на значение dij возникает проблема, состоящая в том, что нельзя с уверенностью сказать, существует ли для псевдометрической ЗКВ подходящее решение, для которого относительная ошибка
не превосходит .
Заключение
Формулировка псевдометрической ЗКВ максимально приближена
к практическим приложениям. Во-первых, матрица расстояний в постановке
задачи не является симметричной относительно главной диагонали – это условие является необходимым для разработки практических приложений. Вовторых, в постановке задачи производится умножение всех элементов матрицы расстояний на нормально распределенные случайные величины. Нормальный закон распределения позволяет моделировать наиболее часто встречающиеся в науке и технике ситуации. Псевдометрический вариант ЗКВ
применяется в приложениях к системам спутниковой навигации GPS,
GLONASS, GALILEO, которые требуют разработки специального программного обеспечения, в состав которого входит модуль решения псевдометрической ЗКВ. Этот модуль позволяет вычислять оптимальные замкнутые маршруты по всем пунктам назначения в режиме реального времени. Подобное
программное обеспечение используется в различных областях человеческой
деятельности: скорая помощь, пожарная охрана, развоз продуктов питания.
Поскольку известные схемы решения задачи коммивояжера не могут
рассматриваться в случае наложения ограничений на расстояния dij , то авторы предполагают разработать альтернативный вариант решения псевдометрической ЗКВ и изложить его в ближайшей публикации.
Список литературы
1. H r o m k o v ic J . Algorithmics for Hard Problems. Introduktion to Combinatorial Optimization, Randomization, Approximation and Heuristics / J. Hromkovic. – Springer,
2004. – 534 p.
2. М е л ь н и к о в, Б. Ф. Мультиэвристический подход к задачам дискретной оптимизации / Б. Ф. Мельников // Кибернетика и системный анализ (НАН Украины). –
2006. – № 3. – С. 32–42.
Борисова Елена Сергеевна
аспирант, Тольяттинский
государственный университет
Borisova Elena Sergeevna
Post graduate student,
Togliatti State University
E-mail: e-lena-borisova@mail.ru
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Мельников Борис Феликсович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра прикладной
математики и прикладной информатики,
Тольяттинский государственный
университет
Melnikov Boris Felixovich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, sub-department of applied
mathematics and applied computer science,
Togliatti State University
E-mail: B.Melnikov@tltsu.ru
УДК 004.021:519.8:519.724.6
Борисова, Е. С.
Аппроксимационные алгоритмы и псевдометрический вариант задачи коммивояжера / Е. С. Борисова, Б. Ф. Мельников // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2009. – № 3 (11). – С. 96–100.
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
ФИЗИКА
УДК 52-17:519.254
В. М. Журавлев, С. В. Фундаев
ВЫЧИСЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
СИГНАЛА С ПОМОЩЬЮ АНТЕННОЙ РЕШЕТКИ
ПЕРЕМЕННОЙ КОНФИГУРАЦИИ1
Аннотация. Рассматривается задача вычисления спектральной плотности
волнового процесса на основе данных от антенной решетки переменной
конфигурации. Такая антенна представлет собой совокупность точеных датчиков, которые движутся в пространстве с постоянными скоростями относительно лабораторной системы отсчета и относительно друг друга. Предложен
способ преобразования исходных данных, позволяющий устранять неоднородный доплеровский сдвиг в отдельных узлах решетки. Предложена реализация
такой вычислительной процедуры для случая дискретных временных рядов.
Ключевые слова: многомерный спектральный анализ сигналов, пространственно-временной спектр, антенные решетки переменной конфигурации, метод
главных нормальных мод, оценивание спектральной плотности.
Abstract. The problem of calculation of spectral density of wave process are represented in this work on base of data from antenna array with variable configuration.
This antenna array is an aggregate sensing elements moving in space with constant
velocities related to laboratory frame system and related one another. The new way
of transformation an initial data set obviated difficulties with inhomogeneous Dopler’s shifts in antenna nodes are suggested. The some realization of such method
for a discreet time series are represented.
Keywords: multidimensional spectral analysis of signals, spatial-temporary spectra,
antenna array with variable configuration, the method of normal principal components, an estimation of spectral densities.
Введение
Одним из самых эффективных методов анализа характеристик динамики волновых процессов на основе экспериментальных данных в различных
физических системах являются методы спектрального анализа временных
рядов и связанные с ними методы оценивания пространственно-временных
спектров с помощью дискретных антенных решеток [1, 2]. Такой спектральный анализ нашел широкое применение в задачах радио- и акустической
локации объектов, в изучении волновых процессов дистанционными методами в океане и атмосфере, а также во многих задачах космофизики, астрофизики и астрономии. Одним из основных элементов такого подхода является
стационарная антенная решетка, состоящая из сравнительно небольшого
числа точечных узлов, в которых расположены датчики, измеряющие изме1
Работа выполнена в рамках проекта, поддержанного Российским фондом фундаментальных исследований (проект 08-01-97013-р_поволжье_а).
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
няющийся во времени физический параметр, служащий индикатором волнового процесса. Таким индикатором может быть любой физический параметр,
например, напряженности магнитного и электрического полей, давление
в среде, температура, интенсивность потоков заряженных частиц и т.п.
Обычно считается, что дискретная антенная решетка должна обладать
набором прецизионных свойств. Расстояния между узлами антенной решетки, называемые базами, должны быть известны с максимально возможной
точностью. Также предполагается, что сигналы в узлах антенной решетки
измеряются синхронно с максимально возможной точностью. Ошибки
в синхронизации измерений и в определении расстояний между элементами
антенной решетки определяют точность нахождения углового положения
источников сигналов. Максимальное расстояние между узлами антенной
решетки называется ее апертурой и определяет разрешающую способность
по углу антенной решетки. Оценивание длины волны гармонического сигнала на заданной частоте и направления его прихода [1–3] формально основано
на простом вычислении фазовых сдвигов этого сигнала между узлами a, b
антенной решетки с помощью системы уравнений:
(k ,( xa  xb )) = ab (),
(1)
где k = k () – волновой вектор на частоте  ; xa – радиус-вектор положения узла антенной решетки с номером a ; ab () – сдвиг фаз между
узлами a и b .
Реально же из-за наличия шума в окружающей среде и различного рода
случайных ошибок, воспринимаемых как шум, задача оценивания длин волн
и направлений их прихода на фиксированной частоте усложняется и
решается с помощью процедур спектрального оценивания [1, 2]. Такой
подход хорошо развит и используется в различных прикладных задачах.
Вместе с тем во многих современных задачах возникает необходимость
обрабатывать наборы данных от датчиков, которые не составляют антенную
решетку в указанном выше смысле, например, непрерывно перемещаются
в пространстве друг относительно друга. Примером могут служить спутниковые системы дистанционных измерений, составленные из нескольких отдельных спутников, снабженных одинаковыми приборами. Каждый спутник
движется по своей индивидуальной орбите, параметры которой отличаются
от параметров другого спутника. В результате расстояния между спутниками
постоянно меняются по определенным законам, что приводит к изменяющимся доплеровским сдвигам, которые к тому же различны для различных
пар узлов антенной решетки. В настоящее время на орбитах Земли находится
множество спутников со сходными программами наблюдений и типом
датчиков, например, метеорологические спутники типа NOAA и Метеор,
геостационарные спутники типа GOES, METEOSAT и т.п. Однако данные от
различных спутников пока невозможно объединить в один интерферометрический набор данных, с помощью которого можно было бы исследовать не
только частотные спектры волн в окружающем космическом пространстве,
но и пространственные характеристики таких волн в форме пространственновременных спектров. В настоящей работе обсуждаются вопросы создания
такого метода оценивания пространственно-временных спектров, который бы
позволил использовать данные от различных спутников Земли, находящихся
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
на различных орбитах. Сначала мы в данной работе обсудим общие вопросы
оценивания пространственно-временных спектров по данным, получаемым
от движущихся узлов антенной решетки, а затем рассмотрим вопрос применения этого подхода к задачам обработки спутниковых данных.
1 Случай гармонических сигналов
В начале рассмотрим ситуацию, когда датчиками в узлах антенной
решетки регистрируется гармонический сигнал, который в лабораторной
системе отсчета имеет частоту  и волновой вектор k . Предположим, что
узлы антенной решетки движутся относительно лабораторной системы отсчета с постоянными скоростями Va , a = 1, , M , где индекс a соответствует
номерам узлов антенной решетки, число которых равно M . В этом случае
частоты измеряемого сигнала в узлах антенной решетки испытывают
доплеровский сдвиг и равны соответственно:
a =   (Va , k ).
(2)
Это соотношение в некотором смысле аналогично (1) . Из совокупности этих соотношений можно установить характеристики гармонического
сигнала – его частоту относительно лабораторной системы отсчета и его
волновой вектор при достаточном числе узлов антенной решетки. В случае
трехмерного пространства для полного восстановления параметров сигнала
достаточно иметь четыре узла антенной решетки. Систему уравнений (2)
можно переписать в следующем виде:
(Va  Vb , k ) = a  b , a < b = 1, , M .
(3)
При M = 4 имеется шесть пар уравнений, из которых только три
любых уравнения этой системы линейно-независимы. Эти три уравнения и
представляют собой систему уравнений для вычисления компонент волнового вектора k = (k x , k y , k z ) . Остальные три должны выполняться автоматически. Матрица системы (3) является невырожденной в случае, если все
вектора Va попарно неколлинеарны. Эти свойства аналогичны свойствам
обычных фазовых антенных решеток относительно не скоростей узлов, а их
радиус-векторов. Поэтому такие антенные решетки можно было бы назвать
доплеровскими.
При наличии шума в сигнале и в приемной аппаратуре, как и для
фазовых антенных решеток, условия согласованности измерений в отдельных
узлах могут оказаться нарушенными. В этом случае каждая тройка уравнений
(3) будет давать свою оценку волнового вектора, т.е. задача оценивания
оказывается некорректной. В силу этого требуется построение корректного
алгоритма, учитывающего шум в данных.
2 Ковариационная матрица для антенной решетки
переменной конфигурации
Это означает, что в каждом элементе антенной решетки доплеровский
сдвиг частот будет иметь различное значение. Кроме этого, сдвиги фаз между
значениями гармонического сигнала, распространяющегося в неподвижной
относительно лабораторной системы отсчета среде, в разных элементах
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
антенной решетки будут меняться со временем. Возникает вопрос, можно ли
в такой ситуации построить несмещенную и состоятельную оценку спектральной плотности для спектра в лабораторной системе отсчета.
Пусть изучаемый процесс в лабораторной системе отсчета может быть
представлен в форме стационарного в широком смысле процесса u ( x, t ) , где
x – декартовы координаты лабораторной системы отсчета, t – время. Условие стационарности в широком смысле означает, что
< u ( x, t ) >= a = const,
< u ( x, t )u ( x', t ) >= R( x  x, t  t ).
Без ограничения общности будем полагать, что a = 0 . В силу сделанного предположения этот процесс можно представить в форме разложения
в интеграл Фурье:
u ( x, t ) = a (k , )ei ( k , x )it dk 3d ,

где Фурье-компоненты процесса удовлетворяют условиям:
< a (k , ) > = 0, S (k , )(k  k )(  ) = < a (k , )a* (k , ) > .
(4)
Функция S (k , ) называется спектральной плотностью процесса.
Значения процесса, измеряемые датчиком в каждом узле с номером
a (a = 1,, M ) антенной решетки, который движется со скоростью Va , будут
даваться следующим преобразованием Галилея:
va (t ) = u ( xa  Va t , t ), a = 1, , M .
Отсюда находим, что va (t ) – процессы, которые можно также представить в форме интегралов Фурье:

va (t ) = a (k , )e
i ( k ,[ xa Vat ])it
dk 3d .
Взаимная корреляционная матричная функция этих процессов в этом
случае будет иметь следующий вид:
Rab (t , t ) = < va (t )vb (t ) > =
e
i ( k ,[ xa  Vat ])  it i ( k ,[ xb
e
(  )e

 < a(k , )a (k , ) > 
Vbt ])  it 
*
dk 3d dk'3d  =
i ( k ,[ xa  Vat ])  it i ( k',[ xb  Vbt )]  it 
= S (k , )e
e
 S (k , )(k  k ) 
dk 3d dk 3d  =
i ( k ,[( xa  xb )  (Vat Vbt )]  i(t  t )
dk 3d  .
(5)
Из этих соотношений следует, что процессы va (t ) не являются взаимно
стационарными в широком смысле, поскольку их кросс-корреляционная
матрица зависит не только от t  t  , но и от обоих моментов времени t и t  .
Однако эта зависимость не слишком сложная, и мы можем ее использовать
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
для построения новой оценки спектральной плотности S (k , ) . Например,
дисперсии и средние всех процессов остаются независящими от времени.
3 Построение пространственно-временного спектра
Будем предполагать, что ковариационная матричная функция c компонентами Rab (t , t ) может быть оценена с достаточной степенью точности.
Тогда проблема построения S (k , ) состоит, во-первых, в отыскании подходящей обратной к (5) формулы, выражающей S (k ) через Rab (t , t ) , а во-вторых, позволяющей подавлять шум в данных, что характерно для различных
адаптивных методов построения спектральной оценки. К сожалению, в рассматриваемом случае нет возможности воспользоваться стандартными методами спектрального анализа, например, методом максимальной энтропии [4–7].
Это связано с тем, что между каждой парой узлов антенной решетки
существует собственный доплеровский сдвиг. Поэтому взаимные спектры
будут содержать доплеровский сдвиг, а автоспектры – нет. Поэтому мы
воспользуемся методом компонент, который является разновидностью общего метода главных нормальных мод [8, 9].
Для этого рассмотрим задачу о собственных векторах и собственных
числах ковариационной матричной функции. Собственные векторы (aA) (t )
должны удовлетворять уравнению
M
 Rab (t , t )b( A) (t , )dt  = (aA) (t , ).
(6)
b =1
Верхний индекс A A = 1,, M у (aA) нумерует собственные вектора
при фиксированном значении собственного числа  . Матричное ядро этого
интегрального уравнения, согласно общей теории интегральных уравнений
Фредгольма, может быть представлено следующим образом:
Rab (t , t ) =
M
 a
( A)*
A=1
(t , )b( A) (t , )d  .
Используя (5), приходим к следующему уравнению:

S (k , )e
i ( k ,[( xa  xb )  (Vat  Vbt )]  i (t  t )
dk 3d  
M
 a
A1
( A)*
(t ,  )b( A) (t , )d .
Теперь левую часть уравнения (6) можно переписать следующим
образом:
M
  S (k ', )e
i ( k ,[( xa  xb )  (Vat  Vbt )]  i(t  t )
b =1
=

S (k , )e
i ( k ,[ xa  Vat ])  it
dk 3d 
M
e
b =1
dk 3d b( A) (t ,  )dt  =
i ( k , xb )  i[  ( k ,Vb )]t  ( A)
b (t , )dt .
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Ведем следующее обозначение:
M
 e
 ( A) (k , ,  ) =
b =1
M
=

e
i ( k , xb )
b =1

e
i ( k , xb )  i[ ( k ,Vb )]t  ( A)
b (t ,  )dt  =
i[ ( k ,Vb )]t  ( A)
b (t , )dt  =
M
e
b =1
i ( k , xb ) ( A)
gb (  (k ,Vb ), ),
(7)
где gb( A) (, ) = eit b( A) (t , )dt .

i ( k , xa )  i[  ( k ,Va )] t
Умножая (6) на множитель e
, затем суммируя по
a и интегрируя по t , получаем следующее представление левой части (6):

S (k , )
M


  i( )t dtdk 3d  M
i ( k   k ),  xa  Vat 
e
e
a =1
i ( k , xb )  i[ ( k ,Vb )]t 

b =1

 b( A) (t , )dt  = S (k , ) K ( k   k ,   ) ( A) (k , , )dk 2 d .
В результате приходим к следующему интегральному уравнению для
функций  ( A) ( k , , ) :
S (k , )(k   k ,   )
где ( k , ) =
e 
i k , xa
a

e

i  k ,Va

( A)
(k , , )dk 2 d  =  ( A) (k , , ),
t dt =
e
i ( k , xa )
(8)
(  (k ,Va )).
a
Соотношение (8) является аналогом соотношения (4), определяющего
свойства Фурье-компонент стационарного в широком смысле процесса. При
этом в каком-то смысле суммирование по собственным числам  матрицы
ковариаций, оказывается эквивалентным математическому ожиданию. Мы
постараемся использовать эту аналогию для построения оценок по методу
максимальной энтропии.
Уравнение (8) представляет собой интегральное уравнение на собственные функции и собственные значения. При этом функции  (k , ,  ) являются
собственными функциями для эрмитова ядра S (k , ) (k   k ,   ) . Следовательно, это ядро можно представить в следующем виде:
S (k , ) (k   k ,   ) =
M
  ( A)* (k , , )( A) (k , , )dV ().
(9)
A=1
Это соотношение и служит основой для построения оценок спектральной плотности S (k , ) .
4 Простая регуляризация
Уравнение (9) содержит в качестве множителя к оцениваемой функции
S (k , ) сингулярную функцию ( k , ) . Это требует дополнительной регуля-
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
ризации построений для нахождения завершенного алгоритма построения
оценки. Во-первых, видно, что в точке k = 0 функция ( k , ) имеет следующий вид:
(0, ) = M (),
где M – число элементов антенной решетки.
Таким образом, вместо (9) имеем
S (k , )(  ) =
1 M
 ( A)* (k , , ) ( A) (k , , )dV ( ).
M A=1

(10)
Левая часть этого соотношения уже в точности совпадает с левой частью соотношения (4). Однако существенным отличием данного соотношения
от (4) является то, что операция усреднения по ансамблю в (10) здесь скрыта
в собственных векторах  ( A) (k , , ) .
В выражении (10)  -функция слева возникает по причине ортогональности собственных функций  ( A) (k , , ) отвечающих различным собственным числам, в то время как в (4) эта функция возникает как следствие
свойств Фурье-образов стационарного в широком смысле процесса. Однако
формальное сходство левых частей (10) и (4) можно использовать для регуляризации оценок на основе данной формулы. Именно, если предположить, что
комплексные процессы по t
 ( A) ( k , t ,  ) =
i k , x V t
e  b b b( A) (t , )
M
(11)
b =1
сами являются случайными стационарными в широком смысле процессами
при каждом k , A и  , то в этом случае имеет место стандартная теорема
Винера-Хинтчина:
<  ( A)* (k , , ) ( A) (k , , ) >= S ( A) (k , , )(  ),
(12)
где S ( A) (k , , ) – спектральные плотности процессов ( A) (k , t , ) .
Подставляя (12) в (10) и сравнивая правую и левую части, в результате
получаем
S (k , ) =
1 M
S ( A) (k , , )dV ().
M A=1

(13)
Это означает, что для построения спектральной плотности исследуемого процесса необходимо вычислить спектральную плотность отдельных
одномерных случайных процессов (11) при каждом A ,  и k , которые
являются линейными комбинациями собственных вектор-функций ковариационной матричной функции. Сумма таких спектральных плотностей по всем
собственным числам матрицы ковариаций при заданном волновом числе k и
будет окончательной формулой для спектральной плотности исходного процесса. Поскольку полученные соотношения являются точными при условии
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
стационарности в широком смысле исходного поля u ( x, t ) и постоянства Va ,
то формально усреднение в (12) излишне. Однако при использовании этого
подхода для построения оценок спектральной плотности по реальным данным такое усреднение необходимо в силу появления дополнительной стохастичности собственных векторов матрицы, связанной с шумом в приемниках,
ограниченностью выборки, флуктуациями скоростей датчиков и ошибками
округления при вычислениях.
5 Переход к дискретным рядам
Рассмотрим теперь дискретный аналог полученных оценок. В случае
дискретных рядов с шагом по времени t матрица ковариаций может быть
представлена в следующем виде:
nm
= Rab (nt , mt ), n, m = 0, , L ,
Rab
где L – число шагов по времени, для которых оценена матрица ковариций.
В результате соотношение (5) можно переписать так:
nm
Rab
1/2
=
  S ( k , f )e
i ( k ,) ( xa  xb )t (Va nVb m)  i 2f ( nm)/L
dk 3df ,
(14)
1/2
где f = t/(4( L  1)) – нормированная безразмерная частота; значения
f n = 1/2 соответствуют частоте Найквиста дискретного процесса.
Уравнения на собственные вектора этой матрицы можно записать
в следующем виде:
M
L
  Rabnm(mA, )b (q) =  A, q (mA, )a (q).
(15)
b =1m =0
nm
можно представить как квадратную
Для удобства вычислений Rab
матрицу размерности M  ( L  1) , состоящую из блоков. Блоки нумеруются
индексами a, b = 1, , M , а нумерация элементов внутри блоков – индексами
n, m . В этом случае (15) не отличается от задачи на собственные вектора
полученной симметричной положительно определенной квадратной матрицы
R . Согласно общим свойствам этой матрицы имеем
nm
Rab
=
  A, q (nA, a) (q)(mA, )b (q).
A, q
Подставляя (14) в (15), затем умножая полученное соотношение на
i ( k , xa )i[2f ( k ,Va ) t ]n/L
e
аналог соотношения (8):
1/2
, суммируя по a и суммируя по l , получаем
  S (k , f )(k'  k ,   )
1/2
108
( A, q )
( k', f )dk 2 df  =  A, q  ( A, q ) (k , ),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
где
 ( A, q ) (k , f ) =
 M ( A)
i ( k , xa )t ( k ,Va ) n/L  2ifn/L
;
  m , b ( q )e
e


n =0  a =1

L
 
(k , f ) =
 M i ( k , x )it (k ,V )n/L  2ifn/L
a
a
.
 e
e
n =0  a =1

L
 
Поскольку ядро этого интегрального уравнения эрмитово, то имеет
место соотношение
S (k , f ) (k   k ,   ) =
  A, q ( A, q)* (k , f )( A, q) (k , f ) .
A, q
При k = k  и f = f 
(0, 0) = ML.
В результате окончательно находим:
S (k , f ) =
1
 A,q  ( A,q )* ( k , f ) ( A,q ) (k , f ).
ML A,q

(16)
Используя идею дополнительного усреднения, эту формулу по аналогии
с (13) можно представить в виде
S (k , f ) =
1
1
 A, q <|  ( A, q ) (k , f ) |2 > =
 A, q S ( A, q)(k , f ).
ML A, q
ML A, q


(17)
6 Алгоритм построения оценки
Основная трудность при реализации рассмотренного подхода

к построению оценки S (k , f ) спектральной плотности на основе конечных
рядов измерений состоит в отыскании достаточно надежной оценки матрицы
 m,n
на достаточно большом количестве временных сдвигов.
ковариаций Rab
Для этого можно воспользоваться естественным методом оценивания ковариаций с временным усреднением на основе последовательности отрезков
фиксированной длины исходных рядов с началом, смещенным на одинаковое
число временных отсчетов. Такого рода процедуры применялись ранее в задачах отыскания нестационарностей в рядах измерений (см., например, [10]).

Алгоритм вычисления оценки S (k , f ) на основе соотношения (17)
должен состоять из следующих этапов:
 m,n
по дискретному набо1) построение оценки матрицы ковариаций Rab
ру синхронных данных для узлов антенной решетки;
2) вычисление собственных векторов и собственных чисел матрицы
ковариаций;

3) вычисление оценок Фурье-преобразования  A, q (k , f ) собственных
векторов матрицы ковариаций;
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

4) построение собственно оценки S (k , f ) на основе соотношения (17).
 m,n
Построение оценки матрицы ковариаций Rab
может быть проведено
с заменой осреднения по ансамблю осреднением по времени, а именно, пусть
xi( a ) , i = 1, ..., N , a = 1, ..., M – набор данных от M узлов антенной решетки
в равноотстоящие синхронные моменты времени tn = nt . Для каждого узла
антенной решетки из ряда xi( a ) создаем набор из ( L  1) рядов длинной
N1 = N  L по правилу [10]:
ui(,an) = xi(an)  X n( a ) , n = 0, , L; i = 0, , N  L,
где
X n( a )
N L
1
=
xi(an)
N  L  1 i =0

представляют собой средние значения отдельных отрезков исходного ряда.
Тогда оценка матрицы ковариаций строится по формуле

Rnab,m =
1 N  L ( a ) (b )
u u .
N  L i =0 i ,n i,m

(18)

Оценку ковариационной матрицы Rnab,m можно представить в виде
квадратной симметричной блочной матрицы R размером K  K , где
K = (L  M ) :



 R11 R12  R1L 

 

R21 R22  R2 L 

R=
,
(19)

   

 
 
 RL1 RL 2  RLL 

здесь блоки Rnm являются матрицами размерности M  M .
Решая задачу на собственные числа и собственные значения этой
матрицы
R =  ()  ,  = 1, , K ,
получаем собственные вектора этой матрицы в виде векторов размерности K
с компонентами:
 = column{1 , , M , M 1 , , 2 M , , ( L 1) M 1 , , LM }.
Функция   (k , f ) вычисляется следующим образом:
 (k , f ) =
110
M 
i ( k , xa )t ( k ,Va ) j/L  2ifj/L
.
  jM  a e
e
j =0  a =1

L
 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
Окончательно оценка спектральной плотности вычисляется по формуле
K
K

1
1
S (k , f ) =
 () Б  ( )* ( k , f ) ( ) (k , f ) >=
 ( ) <|  ( ) (k , f ) |2 > .
ML =1
ML  =1


Для построения оценки спектральных плотностей

S ( ) (k , f ) =<|  ( ) ( k , f ) |2 >
можно воспользоваться хорошо развитыми методами оценивания спектральной плотности временных рядов на основе методов максимальной энтропии
или любым другим аналогичным методом (см. [3, 4, 6, 8] и библиографию).
Заключение
Предложенный метод дает реальную возможность построения оценок
спектральной плотности исходного волнового процесса на основе данных от
датчиков, движущихся друг относительно друга с постоянными скоростями.
Как было показано, такая процедура опирается на три основных предположения. Первое предположение касается требования стационарности в широком смысле исходного процесса, что является вполне естественным для методов спектрального оценивания. Второе предположение касается требования
детерминированности или хотя бы стационарности в широком смысле вспомогательных процессов  A (k , t , ) . Это предположение требует дополнительного изучения, однако можно надеяться, что оно будет иметь место для
широкого класса исходных процессов. Последнее предположение состоит
в том, что с помощью конечных рядов можно построить удовлетворительную
оценку матрицы ковариаций Rab (m, n) . Последнее определяется свойствами
исходных рядов измерений и требует изучения в каждом конкретном случае.
В целом рассмотренные требования относятся к стандартным требованиям,
которые накладываются на временные ряды измерений при спектральном
оценивании. Из этого можно сделать вывод, что метод будет работать
в достаточно общем классе условий и задач. Однако в силу определенных
новых особенностей метода, которые не характерны для обычного метода
оценивания спектральной плотности, например связанных с непрерывным
изменением баз решетки и ее аппертуры, требуется определенная работа по
выяснению ее разрешающей способности. Последнее можно выяснить на
тестовых задачах, что выходит за рамки данной работы.
В заключение отметим, что наиболее перспективной областью применения данного подхода является исследование волновых процессов в космическом пространстве на основе данных, поступающих с совокупности датчиков различных космических аппаратов. В настоящее время имеется уже
несколько спутниковых кластеров, данные от которых можно обрабатывать
предложенным способом.
Список литературы
1. К е й п о н , Д . Пространсвенно-временной спектральный анализ с высоким
разрешением / Д. Кейпон // ТИИЭР. – 1969. – Т. 51. – С. 69–79.
2. Д ж о н с о н , Д . Х . Применение методов спектрального анализа к задаче
определения угловых координат источников излучений / Д. Х. Джонсон //
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ТИИЭР. – 1982. – Т. 70. – № 9. – С. 126–139.
3. Б е нд а т, Д ж . Применения корреляционного и спектрального анализа /
Дж. Бендат, А. Пирсол. – М. : Мир, 1983.
4. B u r g , J . P . Maximum entropy spectral analysis / J. P. Burg // In proc. 37-th Meet.
Society of Exploration Geophysisists. – Oklahoma city, 1967. – Oct. 31.
5. С тр а та н о в и ч , Р . Л. Теория информации / Р. Л. Стратанович. – М. : Сов.
радио, 1975. – 424 с.
6. Д в о р я н и н о в , Г . С . Метод максимальной энтропии в многомерном
спектральном анализе. Ч. 1, 2 / Г. С. Дворянинов, В. М. Журавлев,
А. В. Прусов. – Препринт МГИ АН УССР, 1987.
7. Д в о р я н и н о в , Г . С . Метод максимальной энтропии в многомерном
спектральном анализе временных рядов / Г. С. Дворянинов, В. М. Журавлев,
А. В. Прусов // Морской гидрофизический журнал. – 1987. – № 3. – С. 41–48.
8. М а р п л ( м л . ) С . Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения /
С. Л. Марпл (мл.). – М. : Мир, 1990.
9. Д в о р я н и н о в , Г . С . Методы максимальной энтропии и комплексных
нормальных мод для многомерного и прстранственно-временного спектрального
анализа / Г. С. Дворянинов, В. М. Журавлев, Е. М. Лемешко, А. В. Прусов //
Моделир. гидрофиз. процессов и полей в замкнутых водоемах и морях / под ред.
А. С. Саркисяна. – М. : Наука, 1987. – С. 213–228.
10. T a k e n s , F . Lect. Notes in Math. / F. Takens. – Berlin : Springer, 1981. – V. 898. –
Р. 336–381.
Журавлев Виктор Михайлович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра теоретической
физики, Ульяновский государственный
университет
Zhuravlev Victor Mikhaylovich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, sub-department of theoretical
physics, Ulyanovsk State Univbersity
E-mail: zhvictorm@gmail.com
Фундаев Сергей Валерьевич
аспирант, Ульяновский
государственный университет
Fundaev Sergey Valeryevich
Post graduate student,
Ulyanovsk State University
E-mail: zhvictorm@gmail.com
УДК 52-17:519.254
Журавлев, В. М.
Вычисление спектральной плотности сигнала с помощью антенной
решетки переменной конфигурации / В. М. Журавлев, С. В. Фундаев //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 3 (11). – С. 101–112.
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
УДК 537.533.9
Ю. С. Нагорнов, Е. С. Пчелинцева, Б. М. Костишко,
Д. А. Корнилов, В. М. Радченко, В. Д. Рисованый
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАДИАЦИОННО-СТИМУЛИРОВАННОГО
ИСТОЧНИКА ТОКА НА PIN-СТРУКТУРАХ1
Аннотация. Проведено моделирование и исследование генерации тока под
действием электронного облучения с энергиями электронов 5–40 кэВ на pinдиодах. Разработана модель батареи питания, которая учитывает следующие
процессы: генерацию электронно-дырочных пар за счет ионизации атомов
кремния, диффузию и дрейфовый перенос электронов в объеме ОПЗ, а также
рекомбинацию. Сравнение экспериментальных данных и численных расчетов
подтверждает достоверность модели при облучении электронами средних
энергий. Кроме этого, проведены измерения вольтамперной характеристики
pin-диодов при воздействии бета-источника на основе Ni-63 с активностью
20–40 мКи.
Ключевые слова: генерация тока, радиационно-стимулированные процессы,
электронное облучение, бета-источник.
Abstract. The simulation and research of current generation under electron irradiation in energy range 5–40 keV based on pin diodes have been implemented in the
present work. The model of the cell taking into account electron-hole pair generation by means of Si atoms ionization under electron irradiation, electron diffusion in
spatial charge region, drift of charge carriers under electric field in spatial charge
region, and recombination has been developed. The comparison of experimental
data and calculations confirms the model reliability for average energy of electron
irradiation. Besides, the measurements of voltage-current characteristic of pindiodes under influence of beta-source based on Ni-63 (with activity range
20–40mKi) have been performed.
Keywords: current generation, radiation induced processes, electron beam irradiation, beta-source.
Введение
Современные микроэлектромеханические системы (МЭМС) направлены на расширение функциональности и интеграцию элементов микроэлектроники с целью создания приборов микронных размеров. Для внедрения
этой перспективной технологии в серийное производство, необходимо решить ряд вопросов, где одним из наиболее существенных является проблема
питания МЭМС. С начала 1990-х гг. предлагались технологии создания микроячеек, преобразующих механическую, термическую или химическую энергии в электрическую. Однако подобные технологии требуют внешних микрокамер и энергии для движения мотора, перекачивающего химические реагенты и топливо в рабочую камеру [1]. Наиболее перспективные разработки направлены на создание микрохимических литиевых батареек, которые достаточно долго хранят заряд, но обладают низкой плотностью энергии и малым
временем работы. Солнечные элементы микронных размеров для эффектив1
Работа частично финансируется из средств гранта Российского фонда фундаментальных исследований 08-08-99068-р_офи.
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ной работы должны быть достаточно хорошо освещаемы в определенном
спектральном диапазоне, что часто не выполняется в реальных условиях для
МЭМС. Таким образом, создание миниатюрных источников питания на основе долгоживущих радиоактивных изотопов является актуальной и перспективной задачей.
В сравнении с химическими радиоактивные элементы обладают на несколько порядков большей плотностью энергии [2]. При этом периоды полураспада, а следовательно, и работы таких батарей питания варьируются от
нескольких лет (прометий-147) до сотен (никель-63). Существует также возможность применять радиоизотопы в виде тонких пленок, что позволит их
легко интегрировать в технологию МЭМС. Например, пленочная батарея
может применяться в качестве подложки МЭМС или быть другой составной
микрочастью системы. Задача изоляции радиоактивного слоя может быть
решена нанесением внешней пленки толщиной порядка 100–150 мкм, полностью поглощающей все бета-излучение [3]. Современные радиационностимулированные источника тока имеют КПД порядка 0,01 %, что не достаточно для их практического использования [2, 4]. Именно поэтому моделирование генерации тока в полупроводниковых структурах под действием бетачастиц является актуальной задачей, решение которой позволит оптимизировать структуры диодов под выбранный бета-источник.
1 Функция энерговыделения
Известно, что количество генерируемых электронно-дырочных пар определяется энергией бета-частицы N  E0 / Ei , где E0 – энергия бетачастицы, а Ei  3,8 эВ – характеристическая энергия для кремния, определяемая как линейная функция запрещенной зоны [5]. При этом генерация носителей заряда должна быть пропорциональна функции энерговыделения,
определяемой из табличных данных [3, 6] (рис. 1). Данные по энерговыделению аппроксимировались функцией Гаусса
G ( z )  Ae

( z  z0 )2
2
,
которая содержит три параметра – z0 ,  и A . Параметр A определялся из
условия нормировки:
NI е
A
r0 d
2e

( z  z0 )

e 2
2
,
(1  H ( r  re ))rdrdz
00
здесь N – число электронов, генерируемых одной бета-частицей; I e – поток
бета-частиц,  определяется из справочных данных; z0 – глубина проникновения электронов с максимальным энерговыделением; H (r  r0 ) – функция
Хэвисайда. Необходимо отметить, что различные авторы [7, 8] выбирают более сложный профиль энерговыделения для различных материалов и большего диапазона энергии электронов.
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
Относительное
%
Относительное энерговыделение,
энерговыделение, %
120
120
0,1
0,015 МэВ
0,5
3
80
80
40
40
0,03
00
0,000
0.000
0,001
0.001
2
0,04
0,010
0.010
0,100
0.100
1,000
1.000
Рис. 1 Распределение энерговыделения по глубине
для электронов различной энергии
Из справочных данных для энергий электронного облучения 0,1; 0,5; 2
и 3 МэВ были определены величины z0 и  . Аппроксимация полученных
зависимостей линейной и квадратичной функциями (рис. 2) позволила рассчитать значения величин z0 и  для электронного пучка с энергиями, используемыми в эксперименте, т.е. 15, 30 и 40 кэВ. Как видно, аппроксимация
достаточно хорошо описывает справочные экспериментальные данные, при
этом значения максимального пробега R рассчитывались по эмпирической
зависимости от энергии E [6]:
 мг 
R
 412 E n , n  1, 265  0,0954ln E (МэВ) .
2
 см 
Значения глубины максимального энерговыделения и полуширины
функции энерговыделения определялись по полученным зависимостям:
z0  0,36 R и   0,1R 2 .
Таким образом, определяя величину максимального пробега R и рассчитывая величины z0 и  по полученным зависимостям, получили параметры z0 ,  и A для энергий электронов от 15 до 40 кэВ.
2 Моделирование генерации тока
При моделировании генерации носителей заряда в области пространственного заряда (ОПЗ) pin-диодов при электронном облучении были учтены
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
следующие процессы: генерация электронно-дырочных пар за счет ионизации атомов кремния при электронном облучении, диффузия электронов
в объеме ОПЗ, дрейфовый перенос носителей заряда электрическим полем
в ОПЗ, а также рекомбинация. В модели предполагалось, что носители, сгенерированные вне ОПЗ, не вносят вклад в ток, поскольку практически сразу
рекомбинируют. Плотность тока сгенерированных носителей и их распределение в ОПЗ определялись из уравнения непрерывности:

u
 div j  uR  G ,
(1,а)
t
где R – коэффициент рекомбинации; G – коэффициент генерации электронов; j – плотность тока; u – концентрация сгенерированных электронов.
100000
100000
10000
10000
1000
1000
100
100
10
10
σ, мг2/см4
1000000
1
10
100
1000
z0, мг/см2
1000000
1
R, мг/см2
Рис. 2 Зависимость глубины максимального энерговыделения и полуширины
функции энерговыделения от глубины проникновения электронов
Переписывая уравнение непрерывности в цилиндрических координатах, получим:
u
u
 2u Ddif   u 
 G  uR  e E
 Ddif

r ,
t
z
r r  r 
z 2
(1,б)
где E – напряженность, e – подвижность электронов, Ddiff – коэффициент
диффузии.
Из условия, что носители заряда, достигая границ ОПЗ, дают вклад
в ток, получаются нулевые граничные условия (рис. 3):
u ( r , z , t ) r r  0 ;
(2)
u ( r , z , t ) z 0  u ( r , z , t ) z  d  0 .
(3)
0
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
Рис. 3 Схема эксперимента облучения на электронном микроскопе: А – амперметр;
V – вольтметр; Rн – сопротивление нагрузки, n+ и p– – p и n – области диода;
r0 – радиус образца; d n – ширина n области; d – ширина ОПЗ; re , I e и Ee – радиус,
ток и энергия электронного пучка; r , z – координаты цилиндрической системы
Для решения системы из уравнения (1,б) и граничных условий (2) и (3)
введем функцию v(r , z , t ) . Запишем решение в виде: u (r , z , t )  v(r , z , t )ez t ,
где  и  выбираются таким образом, чтобы сократить слагаемые, содержаu
. Окончательный вид уравнения для функции v(r , z , t ) :
щие u и
z
 1   v   2 v 
v
z t
 Ddif 
.
 r   2   Ge
t


r
r
r

 z 

(4)
При этом начальные и граничные условия для новых функций остаются
нулевыми. Так как уравнение (4) является неоднородным, сначала находим
решение однородного уравнения с помощью разделения переменных
v
 Ddif
t
 1   v   2 v 

 r   2   Ddif v ,
 r r  r  z 
(5)
представим v (r , z , t ) в виде  (r , z )T (t ) , при этом для  (r , z ) справедливы
нулевые граничные условия:
T
Ddif T

    0,

  или  

T  Ddif T  0.
(6)
Решим уравнение для  (r , z ) :
1      2
   0 ,
r

r r  r  z 2
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
пусть  (r , z )  (r ) ( z ) , причем для (r ) и ( z ) справедливы нулевые граничные условия.
Разделяя переменные, получим систему уравнений:
 d  d  2
r dr  r dr   r   0,



 2
 d Z  (  ) Z  0.
 dz 2

(7)
Введя замену в первом уравнении системы x  r , получим уравнение Бесселя нулевого порядка, решением которого является ( x)  J 0 ( x) или
(r )  J 0 ( r ) .
Применяя граничные условия, находим значение  :
2
 
n   n  ,
 r0 

и окончательно n ( r )  J 0  n
 r0

r  , где n  1, 2, 3, ...

 mz 
Решением второго уравнения системы (7) является Z m ( z )  sin 
,
 d 
m
причем    
, где m  1, 2, 3, ... , и окончательно получим собственные
d
значения:

 mn   n
 r0

2
  m  2
.
 
  d 

(8)
В результате собственные функции имеют вид
  r   mz 
(r , z )  J 0  n  sin 
.
 r0   d 
(9)
С учетом найденных собственных значений и собственных функций
решение уравнения (4) ищем в виде ряда:
v(r , z , t ) 
 
  Tnm (t )nm (r , z) .
n 1 m 1
Подставляя результат в (4), получим:
 

n 1 m 1
nm
 
dTnm
Tnm nm  Ge z t .
 Dn
dt
n 1 m 1

Помножим обе части уравнения на kl (r , z ) и проинтегрируем в сферических координатах, учитывая, что nm  nm :
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
2  r0 d
 
 dTnm

nm (r , z )kl (r , z ) rdrd dz 
 dt   nmTnm Ddif 


n 1 m 1
0 00

 

2  r0 d
   Ge
z t
kl (r , z )rdrd dz .
0 00
В левой части уравнения производится скалярное умножение ортогональных собственных функций, которое можно свести к квадрату нормы.
Введем обозначение:
G1 
r0 d
  Ge
z
kl (r , z )rdrdz ,
00
тогда
2
  r   dT

d J 0  k   kl   kl Tkl Ddif   2e t G1 .
r
dt

 0  
Отсюда
Tkl (t ) 
2G1
 r
d J0  k 
 r0 
2
 Ddif  kl  
 e t  e  kl tDdif  .


Получим окончательное выражение для u (r , z , t ) :
u (r , z , t )  ez t
 

n 1 m 1

2A e
t
e
 nmtDdif
 r
d J0  n 
 r0 
2
0
  J  r r  rdr
0
0
d  ( z  z0 ) z
mz
sin
 e 2
dzJ

re
d
2
n
0

 Ddif  nm  
  n r  mz
.
 sin
d
 r0 
0
Уравнение непрерывности было решено для двух случаев: при постоянной величине напряженности электрического поля в ОПЗ и при линейно
убывающей напряженности поля. Решение уравнения в первом случае было
получено аналитически и численно с целью верификации численного решения. Во втором случае решение было получено только численно, и полученные результаты были использованы для описания и объяснения экспериментальных данных. Необходимо отметить, что решения уравнений в первом и
втором случаях отличаются незначительно, а в самом уравнении постоянная
напряженность поля меняется на ее линейную зависимость.
Сравнение аналитического и численного решений для одинаковых постоянных уравнения показывает, что оба решения дают одинаковый резуль-
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
тат (рис. 4). Видно, что не только распределение концентрации неравновесных носителей в ОПЗ совпадает, но и временные зависимости также хорошо
согласуются. Кроме этого, видно, что, поскольку поле направлено от границы
с x  0 , то максимум распределения концентрации электронов со временем
смещается также к этой границе. Анализ полученных данных позволяет заключить, что правый фронт распределения обусловлен динамическим равновесием диффузионного потока и противоположно направленного дрейфового
потока электронов. Таким образом, при широкой ОПЗ электроны дают вклад
в ток только на границе с x  0 , где и диффузионный, и дрейфовый токи сонаправлены, а при узком ОПЗ необходимо учитывать два противоположно
направленных потока на двух границах ОПЗ.
концентрация
электронов,
см–3 см-3
концентрация
электронов,
5
3E+8
4
2E+8
3
1E+8
2
1
0E+0
0.000
0.001
0.002
0.003
толщина,
см
толщина,см
Рис. 4 Концентрация электронов на оси пучка со временем облучения:
1 – 10–10 с; 2 – 10–9 с; 3 – 3 · 10–9 с; 4 – 10–8 с; 5 – 10–7 с
(линии – аналитический расчет, точки – численный расчет)
3 Верификация модели
Для проверки полученной модели радиационно-стимулированного источника тока был проведен эксперимент на электронном микроскопе РЭМ100У. Энергия первичных электронов при этом варьировалась в диапазоне
5–40 кэВ, ток пушки зависел от коэффициента рассеяния электронов и автоматически регулировался системой управления пушкой, так что его значение
было в диапазоне от 20 до 300 нА. Остаточный вакуум в камере микроскопа
при измерениях был порядка 10–3 Па.
В экспериментах использовались образцы двух типов. Образцы типа А
предоставлены ОАО «ОКБ Искра» и представляли собой pin-диоды, изготовленные по технологии гомоэпитаксиального роста кремния на кремнии с одновременным легированием до уровня 1017–1018 см–3 и глубиной залегания
p-n-перехода 1,1–1,4 мкм. При этом в качестве подложки использовался
кремний p-типа с уровнем легирования 7,2 · 1012 см–3. Образцы типа В предоставлены ОАО «Сапфир» и представляют собой некорпусированные фото-
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
диоды ФД-344 с охранным кольцом из p-n-перехода, созданные на основе
пластин кремния n-типа КДБ-10 [9]. На используемых образцах были определены структурные особенности: четырехзондовым методом измерения сопротивления растекания определены поверхностное сопротивление и уровень
легирования эпитаксиальных слоев, методом косого шлифа измерена глубина
залегания p-n-перехода.
На рис. 3 показана схема эксперимента облучения pin-диодов типа А
электронами с энергиями от 5 до 40 кэВ. В ходе эксперимента сопротивление
нагрузки менялось от 0 (короткое замыкание) до бесконечности (разрыв).
Промежуточные значения сопротивления выбирались из принципа наибольшего изменения тока генерации диода в процессе облучения электронами.
Необходимо отметить, что при облучении электронами с энергиями 5 кэВ
генерации тока в образцах не наблюдалось. Экспериментальное значение
скорости генерации тока при коротком замыкании лежит в диапазоне 5000–
6000 для электронов с энергиями 30–40 кэВ, однако при уменьшении энергии
электронов до 15 кэВ скорость генерации уменьшается более чем в 5 раз. При
этом, учитывая теоретическое значение скорости генерации как отношения
энергии первичных электронов к характеристической энергии для кремния,
должно было наблюдаться увеличение скорости генерации на 33 % при увеличении энергии от 30 до 40 кэВ. На практике увеличение произошло только
на 10 %. На основании этого можно заключить, что облучение электронами
с энергией 30 кэВ является оптимальным для структур типа А.
Сравнение численных и экспериментальных значений тока генерации
представлено на рис. 5. Видно, что получено достаточно хорошее согласие
модели с экспериментально наблюдаемыми величинами тока генерации и
напряжения источника. При этом необходимо учесть, что при расчетах не
был использован какой-либо подгоночный параметр. Некоторое расхождение
экспериментальных точек с теоретическим расчетом, по-нашему мнению,
связано с наблюдаемой зарядкой поверхности образцов. Косвенным подтверждением этого является то, что при электронном облучении ток пушки
возрастал в несколько раз при увеличении сопротивления нагрузки и увеличения напряжения источника соответственно. Действительно, при зарядке
поверхности в микроскопе увеличивается ток отраженных электронов, что
автоматически приводит к возрастанию тока пушки [7]. Зарядку подтверждает также то, что изображение поверхности образца пропадало по причине
расфокусировки луча.
4 Эксперимент с бета-источником
Перед проведением эксперимента с бета-источником был проведен
анализ существующих радионуклидов. При выборе бета-источника необходимо было учитывать несколько требований. Во-первых, период полураспада
должен быть максимальным, поскольку именно он определяет время работы
батареи питания. Во-вторых, токи утечки в современных солнечных элементах составляют единицы микроампер, это в свою очередь накладывает ограничения на скорость генерации носителей заряда или активность бета-источника.
С другой стороны, высокая активность радионуклида связана с более опасными работами и накладывает дополнительные ограничения в технологию
изготовления бета-источника. В-третьих, максимальная энергия бета-частиц не
должна превышать энергии дефектообразования в кристалле, в противном слу-
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
чае время работы прибора будет определяться временем набора дозы, разрушающей кристаллическую структуру и, соответственно, p-n-переход.
4.0E-5
40 кэВ
30 кэВ
J,J,A/Ки
A/Ки
3.0E-5
2.0E-5
1.0E-5
0.0E+0
100
150
200
250
мВ
UU,
, мВ
300
350
Рис. 5 Вольтамперная характеристика pin-диода при электронном облучении
с энергией луча 30–40 кэВ. Ток генерации был нормирован на ток электронной
пушки, выраженный в единицах Ки (точки – экспериментальные значения,
линии – численный расчет)
Принимая во внимание перечисленные факторы, на начальном этапе
для эксперимента был выбран бета-источник на основе никеля-63. Поскольку
активность такого источника достаточно мала (20–40 мКи/см2), для предотвращения влияния токов утечки был выбран фотодиод с охранным кольцом
(образец типа В). Результаты проведенных измерений представлены на рис. 6.
Видно, что образец А показывает большую эффективность в сравнении с образцом В: ток короткого замыкания в 5,6 раз больше, а напряжение –
в 1,8 раз. В рамках модели наблюдаемый эффект объясняется различием глубины залегания p-n-перехода: в образцах В – 6,5 мкм, А – 1,2 мкм. Действительно, в образце В происходит большее поглощение энергии в поверхностном n+-слое и соответственно меньшая генерация в ОПЗ. При этом потери
в электродвижущей силе образца А больше за счет больших токов утечки.
Средняя энергия бета-частиц в Ni-63 составляет 17,1 кэВ, именно поэтому
вольтамперная характеристика образца А пересекает ВАХ для 15 кэВ.
Заключение
Таким образом, была разработана модель радиоактивного источника
питания, которая учитывает процессы генерации бета-частицами носителей
заряда в ОПЗ, их диффузию, дрейф и рекомбинацию. Модель достаточно хорошо описывает экспериментальные данные по облучению тестовых структур электронами средних энергий 30–40 кэВ, а также позволяет проводить
расчеты эффективности структур, исходя из их геометрических параметров,
ширины ОПЗ и активности источника.
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
40 кэВ
30 кэВ
10
I, мкА/Ки
I, мкА/Ки
15 кэВ
Ni-63
образец В
1
Ni-63
образец А
0
1
10 U, мВ
U мВ
100
Рис. 6 Вольтамперная характеристика pin-диода при электронном облучении
с энергией луча 15–40 кэВ и облучением от источника Ni-63
с активностью 20–40 мКи/см2
Таким образом, полученная модель позволит рассчитать наиболее эффективные структуры и без проведения дополнительных экспериментов
с бета-источниками получить структуру с максимальной эффективностью.
Список литературы
1. H a n g G u o Amit Lal Nanopower betavoltaic microbatteries / Hang Guo // Actfuators
and Microsystems : the 12th International Conference on Solid State Sensors. – Boston,
2003. – P. 36–39.
2. А н у фр е н к о , В. Б. Использование сверхмногослойных наноструктур для прямого преобразования ядерной энергии в электрическую / В. Б. Ануфренко,
А. М. Михайлова, А. Н. Палагушкин [и др.] // Нано- и микросистемная техника. –
2008. – № 8. – С. 30–38.
3. Таблицы физических величин : справочник / под ред. акад. И. К. Кикоина. – М. :
Атомиздат, 1976. – 1008 с.
4. Г о л о в и н , Ю . И . Бетавольтаический эффект в донорно-акцепторном комплексе LCV C60 / Ю. И. Головин, Д. В. Лопатин, А. Ю. Наседкин, М. А. Умрихин //
Вестник Тамбовского университета. – 2007. – Т. 12. – Вып. 1. – С. 80–81. – (Естественные и технические науки).
5. Ц е р б с т, М . Контрольно-измерительная техника / М. Цербст. – М. : Энергоатомиздат, 1989. – 320 с.
6. Справочник физических величин / под ред. И. С. Григорьева, Е. З. Мейлихова. –
М. : Энергоатомиздат, 1991. – 1232 с.
7. Г а н н , В. В. Исследование профиля энерговыделения в NaCl при облучении /
В. В. Ганн, Г. В. Хартог, А. В. Сугоняко, Д. И. Вайнштейн // Вопросы атомной
науки и техники. – 2005. – Т. 88. – С. 32–35. – (Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение).
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
8. С м о л я р , В. А . Распределение выделенной энергии и инжектированного заряда
при нормальном падении на мишень пучка быстрых электронов / В. А. Смоляр,
А. В. Еремин, В. В. Еремин // ЖТФ. – 2002. – Т. 72. – Вып. 4. – С. 46–52.
9. А с та х о в , В. П . О влиянии сопротивления поверхностного канала на темновой
ток квадрантных pin-фотодиодов на кремнии / В. П. Астахов, Д. А. Гиндин,
В. В. Карпов, К. В. Сорокин // Прикладная физика. – 1999. – № 2. – С. 32–39.
Нагорнов Юрий Сергеевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра физических методов
в прикладных исследованиях,
Ульяновский государственный
университет
Nagornov Yury Sergeevich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of physical methods
in applied research,
Ulyanovsk State University
E-mail: imfit@ulsu.ru
Пчелинцева Екатерина Сергеевна
аспирант, Ульяновский
государственный университет
Pchelintseva Ekaterina Sergeevna
Post graduate student,
Ulyanovsk State University
E-mail: 4udo06@list.ru
Костишко Борис Михайлович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой физических методов в прикладных исследованиях, ректор Ульяновского государственного университета
Kostishko Boris Mikhaylovich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of physical methods in applied research,
Rector of Ulyanovsk State University
E-mail: rector@ulsu.ru
Корнилов Дмитрий Александрович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра физики, Ульяновский
государственный университет
(филиал в г. Димитровград)
Kornilov Dmitry Alexandrovich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of physics,
Ulyanovsk State University
(affiliated branch in Dimitrovgrad)
E-mail: kda75@mail.ru
Радченко Вячеслав Михайлович
доктор химических наук, ведущий
научный сотрудник, начальник
лаборатории ОАО «ФГУП ГНЦ
НИИ Атомных реакторов»
(г. Димитровград)
E-mail: ryabinin@niiar.ru
124
Radchenko Vyacheslav Mikhaylovich
Doctor of chemical sciences,
chief research officer, director
of the laboratory at the public corporation
"Federal State Unitary Facility – State
Scientific Center – Research Institute
of Nuclear Reactors" (Dimitrovgrad)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Рисованый Владимир Дмитриевич
доктор технических наук, профессор,
директор центра коллективного
пользования, заместитель генерального
директора ОАО «ФГУП ГНЦ НИИ
Атомных реакторов» (г. Димитровград)
Физико-математические науки. Физика
Risovany Vladimir Dmitrievich
Doctor of engineering sciences, professor,
director of the multiuser center, deputy
director general of the public corporation
"Federal State Unitary Facility – State
Scientific Center – Research Institute
of Nuclear Reactors" (Dimitrovgrad)
E-mail: rvd@niiar.ru
УДК 537.533.9
Нагорнов, Ю. С.
Моделирование радиационно-стимулированного источника тока
на pin-структурах / Ю. С. Нагорнов, Е. С. Пчелинцева, Б. М. Костишко,
Д. А. Корнилов, В. М. Радченко, В. Д. Рисованый // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. –
№ 3 (11). – С. 113–125.
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 538.95; 539.21
С. В. Булярский, О. В. Пятилова, А. В. Цыганцов
РОЛЬ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
В ФОРМИРОВАНИИ КЛАСТЕРОВ КАТАЛИЗАТОРОВ
ПРИ РОСТЕ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК
Аннотация. Получено аналитическое выражение для распределения кластеров
по размерам. Формула учитывает поверхностное натяжение кластера, температуру роста и другие технологические параметры. Вычислены температурные
зависимости коэффициента поверхностного натяжения и радиуса кластера. Результаты работы позволяют вычислить распределение кластеров по размерам
по заданным технологическим параметрам процесса роста.
Ключевые слова: кластер, поверхностное натяжение, температура роста, коэффициент поверхностного натяжения.
Abstract. In work analytical expression for distribution clasters in the sizes is received. The formula considers a superficial tension claster, temperature of growth
and other technological parameters. Temperature dependences of factor of a superficial tension and radius clasters are calculated. Results of work allow to calculate distribution кластеров in the sizes on the set technological parameters of process of
growth.
Keywords: claster, superficial tension, temperature of growth, factor of a superficial
tension.
Зарождение новых кластеров фазы «нуклеация» является сложным
процессом, протекающим под влияние ряда факторов [1]. Свойства малых
кластеров зависят от условий кристаллизации. Определяющую роль играет
температура формирования кластера и число атомов в нем. Причем в условиях термодинамического равновесия доминирует температура, которая определяет размеры кластера [2]. Сам кластер в зависимости от условий выращивания может быть твердым, жидким либо иметь твердую сердцевину, окруженную жидкостью. Важную роль играет поверхностное натяжение на границах раздела «поверхность кластера – окружающая среда» и на границе
жидкой и твердой фазы внутри кластера [3]. В частности, в работе показано,
что размеры кластера связаны с величиной поверхностного натяжения [4].
Данная работа является развитием предыдущей [2]. В ней развита термодинамика нуклеации, которая учитывает величину поверхностного натяжения, проведены эксперименты по выращиванию кластеров железа, образующихся в процессе пиролиза ферроцена и определена температурная зависимость поверхностного натяжения наноразмерных кластеров.
1 Термодинамика формирования кластеров
с учетом поверхностного натяжения
Кластер – система связанных атомов и молекул. Парциальная свободная энергия кластера ( gi ) состоит из суммы энергий присоединения отдельных атомов к кластеру. Эта энергия равна химическому потенциалу атомов
в кластере, который сопоставим с энтальпией десорбции (испарения атома)
с поверхности твердого тела. К этой энергии следует добавить энергию поверхностного натяжения [5]:
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
gi  Hni  4ri2  ,
(1)
где ni – количество атомов в кластере; H – величина энергии сублимации
атомов из расплава элемента, образующего кластер; ri – радиус кластера;  –
коэффициент поверхностного натяжения. Знак минус указывает только на
притяжение между атомами в кластере.
В работе [2] было получено следующее выражение для распределения
кластеров по числу частиц:
1
Ni  aFe  Ri  ni
N Fe
ni2
 g 
exp   i  ,
 kT 
(2)
где aFe – активность железа в газовой фазе; Ri – фактор вырождения, связанный с геометрией кластера; N Fe – число мест для атомов железа в газовой
фазе, вычисляется по давлению насыщения данной фазы.
Подставляя (1) в (2), получаем распределение кластеров с учетом поверхностного натяжения. Для этого используем для свободной энергии кластера формулу (1). При этом учитываем, что железо в кластерах имеет гранецентрированную элементарную ячейку. Поэтому она имеет объем a3 и
в этом объеме находятся два атома. Соответственно объем кластера a3ni / 4 , а
его радиус можно вычислить по формуле
1
 3 a3ni  3
ri  
 ,
16  
(3)
где a – параметр кристаллической решетки железа.
Получаем следующую формулу для распределения кластеров по
размерам:
3

1

  3 2
H  4a 2   ni  3 

 
Fe
1
N
 16   .
exp 
Ni  aFe  Ri  ni
kT


ni2






(4)
Из формулы (4) вытекает, что распределение имеет вид кривой с максимумом, положение которого ( rmax ) определяется коэффициентом поверхностного натяжения:
rmax 
a3 
.
8kT
(5)
Само распределение можно аппроксимировать выражением
Ni 
 b
exp    .
 r
r
A
6
(6)
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2 Экспериментальное определение коэффициента
поверхностного натяжения кластеров
Рост металлических кластеров осуществлялся в потоке аргона в реакторе CVD, где проводился каталитический пиролиз ксилола с использованием
в качестве «летучего» катализатора ферроцена. Синтез кластеров происходил
при трех температурах: 850, 950 и 1050 °С, при задаваемой концентрации источника железа в углеводородной смеси ферроцена с ксилолом (ферроцен,
1–10 вес.% смеси) и скорости газоносителя (Ar, 50–200 см3/мин.).
Температура в реакторе достаточно высока. Кроме того, за пределы реактора выносятся кластеры, которые находятся в пространстве реактора, а не
на подложке. Те, что на подложке, скреплены с ней и на подложке остаются.
Постоянная распада ферроцена: K  2,14  109 exp  1,77 / kT  , с–1. При мономолекулярной реакции разложения равновесие в реакторе при 950 °С устанавливается за 0,006 с. При этом в газовой фазе существуют кластеры определенного размера в соответствии с равновесным термодинамическим распределением (4). Никаких иных, кроме равновесных, процессов не происходит, в том числе нет коалесценции и спекания, т.к. эти процессы кинетические и в равновесных условиях не протекают.
По специальной методике сформировавшиеся кластеры выносились потоком аргона из рабочей зоны реактора. Кластеры за пределами реактора
осаждались на медную сетку, температура которой составляла не более 250 °С.
Градиент температуры был достаточно резкий, кластер менее чем за секунду
выходил из высокотемпературной рабочей зоны, поэтому можно предположить, что процессы диффузии и спекания кластеров были «заморожены», что
препятствовало процессам коалесценции кластеров. Они фиксировались быстрым понижением температуры. Поэтому размеры кластеров, образовавшихся в рабочей зоне, не изменялись. Кроме того, кластеры не свободны,
часть из них, как это видно на рис. 1, соединены углеродными нанотрубками,
которые образуют подобие сети и делают кластеры изолированными и малоподвижными. Это дает основания предположить, что распределение кластеров по размерам сохраняется.
Конечно, процесс формирования динамический, кластеры в реакторе
сталкиваются, меняют свои размеры и т.д. Однако в то же время этот процесс
статистический, а значит, в целом равновесие обусловлено термодинамическим равновесием, которое устанавливается в результате многократных
взаимодействий частиц. Поэтому сопоставление расчетной формулы с экспериментом правомерно. Совпадение формы экспериментального и теоретического распределения, а также порядка коэффициента поверхностного натяжения говорит о том, что модель достаточно точна.
Параметры полученных образцов определялись на просвечивающем
электронном микроскопе марки Philips СМ30. Контраст полученных при
данных условиях образцов приведен на рис. 1. Видно, что диаметры кластеров изменяются в достаточно широком диапазоне: от 0,5 до 8 нм. Этот диапазон был разбит на интервалы по 0,5 нм, после чего подсчитывалось количество кластеров на единицу площади, приходящихся на заданный интервал размеров. По результатам подсчета была построена гистограмма, которая приведена на рис. 2.
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
Рис. 1 Электронномикроскопический контраст кластеров железа,
полученных при температуре 950 °С
Рис. 2 Распределения кластеров катализатора УНТ по размерам
при трех температурах, °С: 1 – 1050; 2 – 950; 3 – 850
С целью повышения точности определения коэффициента поверхностного натяжения был разработан метод моментов. В этом методе рассчитываются моменты распределения, которые являются интегральными показателями, вычисляемыми по формулам:


Mn  rn
0
b
1 r
e dr ,
r6
где M n – момент распределения порядка n; r – радиус кластера;
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
b
3a3 
.
4kT
(7)
Первый момент имеет смысл площади распределения. Нормируя на него, мы тем самым устраняем ряд ошибок эксперимента. Кроме того, процесс
интегрирования во многом уменьшает случайные ошибки вычислений. Первые нормированные моменты теоретического распределения (4) приведены
в табл. 1.
Таблица 1
Первые нормированные моменты теоретического распределения (4)
Порядок момента
Выражение для момента, полученное по формуле (6)
Нормированный момент М n / M 0
A
1
6
b4
1
b
4
A
2
2
b3
1 2
b
12
A
3
1
b2
1 3
b
24
Для определения коэффициента поверхностного натяжения вычислялись первые нормированные моменты экспериментального распределения
кластеров по размерам, определялся параметр b , а затем по формуле (7) определялся коэффициент поверхностного натяжения. На рис. 2 приведен вид
функций распределения кластеров по размерам (6) при различных температурах, она достигает максимума при определенном радиусе – rmax , который
также зависит от температуры. Находя экстремум функции распределения
(6), легко получить, что rmax  6b .
Таким образом, поверхностная энергия существенным образом зависит
от температуры и от размеров кластера. При равновесном формировании кластеров одновременно влияют оба фактора. Поэтому важно вычислить экспериментальные величины, описывающие функцию распределения.
В работах [6, 7] получены зависимости поверхностного натяжения от
радиуса кластера. В классической работе Толмена приводится следующее
выражение для этого параметра:
 2 
   0 / 1   ,
r 

(8)
где  0 – коэффициент поверхностного натяжения массивного образца;  –
постоянная Толмена, равная толщине поверхностного слоя, который, по порядку величины, составляет 6 периодов решетки [7]; r – радиус кластера.
В работе [7] получено боле точное выражение, которое, по мнению авторов, обеспечивает точность 5 %:
4 

   0 exp  
.
   2r 
(9)
Определим температурную зависимость поверхностного натяжения
массивного образца (  0 ), воспользовавшись выражением (9). Результаты вычислений при трех температурах приведены на рис 3,а. Температурная зави-
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
симость радиуса, соответствующего максимуму распределения, приведена на
рис. 3,б. Эти зависимости близки к линейным. Аппроксимируя их соответствующими функциями, получаем характеристические коэффициенты температурной зависимости, позволяющие выразить эти параметры как функции от
температуры:
 0  4,10T  6440 , rmax  0,016T  24 .
(10)
γ0, мДж/м2
T, К
а)
rmax, нм
T, К
б)
Рис. 3 Температурные зависимости коэффициента поверхностного натяжения (а)
и радиуса кластера, соответствующего центру распределения (б)
Таким образом, задав рост кластеров, с помощью формул (9) и (10) вычисляем коэффициент поверхностного натяжения, а по формуле (6) восстанавливаем само распределение.
В данной работе показано, что поверхностное натяжение и размеры
кластеров существенно зависят от температуры, а также вычислены коэффициенты, определяющие эту зависимость. Полученные зависимости и параметры позволяют, задав температуру эксперимента, восстанавливать функ-
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
цию распределения кластеров по размерам. Это позволяет прогнозировать
размеры кластеров, задавая параметры роста, в частности температуру.
Список литературы
1. К у к у ш к и н , С . А . Процессы конденсации тонких пленок / С. А. Кукушкин,
А. В. Осипов // УФН. – 1998. – Т. 68. – № 10. – Р. 1083–1116.
2. Б у л я р с к и й , С . В. Термодинамика формирования металлических кластеров /
С. В. Булярский, А. В. Цыганцов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. № 1. – С. 139–145.
3. К и д я р о в , Б. И . Термодинамика образования кристаллических нанозародышей
из жидкой фазы / Б. И. Кидяров // Журнал структурной химии. – 2004. – Т. 43. –
С. 32–36.
4. S c h e r m e l ze r , J . W . P . Kinetic and thermodynamic theories of nucleartion /
J. W. P. Schermelzer // Mater. Phys. B. – 2003. – V. 6. – Р. 21–33.
5. S a m s o n o v , V . M . Thermodynamic model of crystallization and melting of small
particles / V. M. Samsonov, O. A. Malkov // Central European J. of Physics. – 2004. –
№ 2 (1). – Р. 90–103.
6. T o l m a n , R . C . The defect of droplet size on surface tension / R. C. Tolman //
J. Chem. Phys. – 1949. – V. 17. – № 2. – С. 333–338.
7. Р е х и а ш в и л и, С . Ш. О температуре плавления наночастиц и наноструктурных веществ / С. Ш. Рехиашвили, Е. В. Киштикова // Письма ЖТФ. – 2006. –
Т. 32. – № 10. – С. 50–55.
Булярский Сергей Викторович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
инженерной физики, Ульяновский
государственный университет,
Заслуженный деятель науки России,
член-корреспондент АН Татарстана
Bulyarsky Sergey Viktorovich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of engineering physics, Ulyanovsk State
University, Honored Science Worker
of the Russian Federation, corresponding
member of the Tatarstan Science Academy
E-mail: bsv@ulsu.ru
Пятилова Ольга Вениаминовна
студентка, Ульяновский
государственный университет
Pyatilova Olga Veniaminovna
Student, Ulyanovsk State University
E-mail: bsv@ulsu.ru
Цыганцов Андрей Валерьевич
аспирант, Ульяновский
государственный университет
Tsygantsov Andrey Valeryevich
Post graduate student,
Ulyanovsk State University
E-mail: bsv@ulsu.ru
УДК 538.95; 539.21
Булярский, С. В.
Роль поверхностного натяжения в формировании кластеров катализаторов при росте углеродных нанотрубок / С. В. Булярский, О. В. Пятилова, А. В. Цыганцов // Известия высших учебных заведений. Поволжский
регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 3 (11). – С. 126–132.
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
УДК 621.315.592
С. В. Булярский, М. С. Ермаков
ВЛИЯНИЕ ОБЛУЧЕНИЯ ГАММА-КВАНТАМИ
НА СВОЙСТВА p-n-ПЕРЕХОДОВ НА ОСНОВЕ GaAs
Аннотация. При облучении образцов на основе GaAs гамма-квантами с энергией 1,25 МэВ было выявлено, что в образцах с дозой 0,3 Мрад, происходит
уменьшение количества дефектов. Для анализа экспериментальных данных
применялась такая физическая величина, как приведенная скорость рекомбинации, которая обратна к времени жизни носителей заряда.
Ключевые слова: дефект, гамма-квант, скорость рекомбинации, время жизни,
носитель заряда.
Abstract. Irradiation of samples on the basis of GaAs scale in quanta with energy
1,25 MeV, were considered. It has been revealed reduction of quantity of defects in
samples with an irradiation dose 0,3 Mrad. The resulted speed recombination (RSR)
model was applied for the analysis of experimental data (the RSR is the physical
size which returns by life time charge carriers).
Keywords: defects, scale in quanta, speed recombination, life time, charge carriers.
Для прогнозирования работы полупроводниковых приборов в условиях
повышенной радиации необходимо исследовать изменение их свойств под
действием излучений [1, 2]. Наиболее важным представляется определение
электрически активных дефектов, образовавшихся под действием ионизирующих излучений, а также выяснение их роли в изменении электрических
свойств приборов. Излучение приводит к модификации свойств полупроводниковых материалов, открывая новые возможности для их применения в
электронике [3].
Настоящая работа посвящена исследованию процессов, происходящих
в диодах на основе арсенида галлия, до и после облучения их гаммаизлучением c энергией 1,25 МэВ. Для исследования использовались светодиоды, излучающие свет в инфракрасном диапазоне, с длиной волны 940 нм.
До и после облучения измерялись вольт-амперные, вольт-емкостные характеристики приборов, а также проводилось исследование их термостимулированной емкости. Методики измерения и обработки результатов подробно
описаны в работах [1, 2].
Для проведения анализа вольт-амперных характеристик (ВАХ) использовалась новая физическая величина – приведенная скорость рекомбинации
Rпр , которая является обратной времени жизни, определяется как
 qU 
 m exp 

 kT 
,
Rпр (U ) 
qU  2

m 1 2 m exp 
  m  1
 kT 
s

(1)
n 
n  c
где  m   1m  cnm Ntm ;  m   1m  nm ; cnm , c pm – усредненные по всем
 ni 
 ni  c pm
состояниям коэффициенты захвата электрона и дырки m-го энергетического
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
уровня; ni – концентрация собственных носителей заряда; n1m – концентрация носителей заряда для m-го уровня; Ntm – концентрация глубокого
уровня; q – заряд; k – постоянная Больцмана; T – температура; U – напряжение.
Таким образом, величина Rпр определяется только параметрами  m и
 m , которые зависят лишь от природы глубоких уровней их концентрации и
материала полупроводника. Выражение (1) лежит в основе ряда методов определения энергии активации глубоких уровней из ВАХ [1, 2]. Если s  1
(один глубокий уровень), то (1) описывается всего двумя параметрами  и  .
При этом в области малых напряжений, если
 qU
2 exp 
 kT

2
    1 ,

(2)
то
Rпр (U ) 

 qU 
exp 
,
 kT 
 1
(3)
2
а с ростом напряжения, если
 qU
2 exp 
 kT

2
    1 ,

(4)

 const .
2
(5)
то
Rпр (U ) 
По начальному участку этой кривой легко можно определить предэкс

потенциальный множитель
, а по конечному участку
, после чего
2
2
 1
можно найти  и  , которые, в свою очередь, связанны с параметрами глубокого уровня [4]. Зная  m , находим энергию активации m-го глубокого
уровня:
Etm 
m* 1
c
3
 kT ln  m  kT ln n  kT ln nm ,
*
2
4
c pm
mp 2
Eg
(6)
где E g – ширина запрещенной зоны; mn* , m*p – эффективная масса электрона
и дырки соответственно.
Энергию активации можно определить с точностью до последнего слаc
гаемого, т.к. отношение nm , как правило, заранее неизвестно (для многих
c pm
центров не превосходит 102 ), тогда при T  300 K :
134
kT cn
ln
 0,03 эВ [4].
2 cp
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
Если число уровней больше единицы, то зависимость представляет собой суперпозицию аналогичных кривых. Поэтому при анализе экспериментальной приведенной скорости рекомбинации она разделялась на составляющие. Разделение экспериментальной Rпр (U ) на составляющие удобно проводить следующим образом. На каждом участке кривой подбираются значения  m и  m таким образом, чтобы отклонение экспериментальной кривой
от теоретической на этом участке было минимальным.
На рис. 1 приведен пример разложения приведенной скорости рекомбинации на составляющие. На рис. 2 представлены три экспериментальных
Rпр (U ) для образцов: необлученного, с дозой 0,3 Мрад и с дозой 0,5 Мрад.
Из зависимостей приведенной скорости рекомбинации от напряжения видно:
кривая зависимости Rпр (U ) для образца с дозой 0,3 Мрад лежит ниже кривой
для необлученного образца, а кривая для образца с дозой 0,5 Мрад при малых
напряжениях лежит ниже кривых необлученного и образца с дозой 0,3 Мрад,
но с увеличением напряжения он сначала поднимается выше кривой образца с
дозой 0,3 Мрад, а затем и немного выше кривой необлученного образца. Таким
образом, поскольку приведенная скорость рекомбинации обратно пропорциональна времени жизни, то с облучением образцов происходит сначала увеличение времени жизни (для образца с дозой 0,3 Мрад), а затем уменьшение практически до прежнего значения. Результаты вычислений представлены в табл. 1.
Rpr,
Rпр ,1/1/c
c
1000000
500000
200000
100000
50000
20000
10000
5000
2000
U ,BВ
U,
1000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Рис. 1 Пример разложения Rпр (U ) на составляющие
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Rpr,
1/c
Rпр ,1/
c
1000000
необлученный
с дозой 0.3 Мрад
с дозой 0.5 Мрад
500000
200000
100000
50000
20000
10000
5000
2000
U
В
U,, B
1000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Рис. 2 Сравнение приведенной скорости рекомбинации
для образцов с различной дозой облучения
Таблица 1
С дозой
0,5 Мрад
С дозой
0,3 Мрад
Необлученный
Параметры уровней в необлученных
и облученных образцах при температуре 291 K
136
1
0,68
2
0,43
3
0,34
0, 230  105
0,380  105
0,500  105
cn / c p
3600
1300
750
Et , эВ
0,68
0,43
0,34
0,19  105
0,300  105
0, 420  105
cn / c p
3600
1400
730
Et , эВ
0,66
0,45
0,35
0, 250  105
0,330  105
0,530  105
3600
2000
790
Et , эВ
сn с p
2
сn с p
2
сn с p
2
1
Nt , c
1
Nt , c
1
Nt , c
cn / c p
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что с увеличением полученной дозы энергия активации не изменяется, но происходит
сn с p
Nt . Как видно, сначала с увеличением полученизменение величины
2
сn с p
ной дозы значение
Nt уменьшается, при дальнейшем увеличении до2
зы это значение увеличивается и возвращается практически к значениям до
облучения.
Таким образом, мы можем сказать, что при облучении с небольшой дозой происходит уменьшение дефектов в кристаллической решетке, т.е. эти
дозы облучения залечивают дефекты в кристалле, а при увеличении дозы облучения дефекты вновь «открываются». На это же указывается в работе [5].
Список литературы
1. Б у л я р с к и й , С . В. Генерационно-рекомбинационные процессы в активных
элементах / С. В. Булярский, Н. С. Грушко. – М. : МГУ, 1995. – 399 с.
2. Б у л я р с к и й , С . В. Обобщенная модель рекомбинации / С. В. Булярский,
Н. С. Грушко // ЖЭТФ. – 2000. – № 11. – С. 687–698.
3. У в а р о в, Е. Ф. Радиационные эффекты в широкозонных полупроводниках
А3B5 / Е. Ф. Уваров. – М. : ЦНИИ «Электроника», 1978. – 77 с.
4. Б у л я р с к и й , С . В. Инновационные методы диагностики наноэлектронных
элементов : учебно-методический комплекс / С. В. Булярский. – Ульяновск :
УлГУ, 2006. – 93 с.
5. Ч е р н о в, И . П . Аномальное воздействие малых доз ионизирующего излучения
на металлы и сплавы / И. П. Чернов, А. П. Мамонтов, А. А. Ботаки [и др.] // ФТП. –
1984. – Т. 57. – Вып. 1. – С. 56–58.
Булярский Сергей Викторович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
инженерной физики, Ульяновский
государственный университет,
Заслуженный деятель науки России,
член-корреспондент АН Татарстана
Bulyarsky Sergey Viktorovich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of engineering physics, Ulyanovsk State
University, Honored Science Worker
of the Russian Federation, corresponding
member of the Tatarstan Science Academy
E-mail: bsv@ulsu.ru
Ермаков Михаил Сергеевич
аспирант, Ульяновский
государственный университет
Ermakov Mikhail Sergeevich
Post graduate student,
Ulyanovsk State University
E-mail: bsv@ulsu.ru
УДК 621.315.592
Булярский, С. В.
Влияние облучения гамма-квантами на свойства p-n-переходов на
основе GaAs / С. В. Булярский, М. С. Ермаков // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. –
№ 3 (11). – С. 133–137.
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 538.95; 539.21
С. В. Булярский, Л. Н. Вострецова
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА ТОКА
В УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБКАХ
Аннотация. В работе рассматривается зависимость приведенной скорости туннельной рекомбинации Rпр от напряжения прямого смещения. Приводятся
два приближения, описывающие зависимость Rпр от напряжения: при условии
ограничения процесса рекомбинации туннелированием и условием ограничения скоростью рекомбинации в квантовой яме. Показано, что из обобщенной
модели рекомбинации можно получить ступенчатое возрастание тока от напряжения при увеличении напряжения смещения на образце.
Ключевые слова: скорость туннельной рекомбинации, процесс рекомбинации
туннелированием, квантовая яма.
Abstract. In work dependence of the resulted speed tunnel recombnations from voltage of direct displacement is considered. Two approaches describing dependence on
voltage are resulted: under condition of process restriction recombnations tunneling
and a condition of restriction in the speed recombnations in a quantum hole. It is
shown that from the generalized model recombnations it is possible to receive step
increase of a current from pressure at increase in pressure of displacement at the
sample.
Keywords: speed tunnel recombnations, process restriction recombnations, quantum
hole.
В неоднородных наноразупорядоченных полупроводниковых материалах, в том числе и углеродных нанотрубках (УНТ), электроны и дырки пространственно разделены. Рекомбинация возможна только, если одна из стадий процесса является туннельной [1]. Теоретические и экспериментальные
исследования электрических и магнитных свойств нанотрубок обнаружили
ряд эффектов, которые указывают на квантовую природу переноса заряда.
В работах [2–4] рассматриваются теоретические концепции мезоскопического транспорта для низко-размерных систем и беспорядочных материалов, основные теоретические особенности квантового транспорта в углеродных нанотрубок в пределах невзаимодействующих электронов, механизмы,
влияющие на перенос тока. Показано, что при низких температурах в металлических нанотрубках наблюдается ступенчатое возрастание тока (квантование проводимости) при увеличении напряжения смещения, приложенного
к нанотрубке: каждый скачок отвечает появлению очередного делокализованного уровня нанотрубки в промежутке между уровнями Ферми катода и анода.
В работах [5, 6] проведен анализ электрических и магнитных характеристик УНТ с использованием феноменологических моделей спектра электронов. Считалось, что перенос тока осуществляется баллистическим способом. В точках изменения угла наклона ВАХ химический потенциал сравнивается со значением энергии дискретного квантового состояния, что приводит
к включению в проводимость нового баллистического канала. Это приводит
к появлению на ВАХ характерных осцилляций. Однако с повышением температуры данные осцилляции сглаживаются [7], что не следует из теории баллистического транспорта.
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
Таким образом, можно сделать вывод, что зависимость спектра проводимости и ВАХ нанотрубок от температуры делают модель баллистического
переноса тока не единственной. При повышении температуры доминирующими становятся процессы рассеяния; наличие энергетической щели, а также
локализованных состояний, вызванных дефектами, может привести к прыжковым и генерационно-рекомбинационным механизмам переноса носителей
заряда.
В данной работе будет показано, что из обобщенной модели рекомбинации [1] можно получить ступенчатое возрастание тока от напряжения при
увеличении напряжения смещения на образце.
1 Описание ВАХ структуры на основе
обобщенной модели рекомбинации
В работах [1, 8] получено общее выражение для скорости рекомбинации в структурах с пространственным разделением электронов и дырок
в рамках обобщенной модели рекомбинации (ОМР), а также выражение для
рекомбинации, когда одной из стадий процесса является туннелирование:
Rпр 
I r U  U k  U 

 qU
2kTSd U  ni  exp 
 2kT

 
  1
 


 qU  
N 2 cn c p ni  exp 
  1
 2kT  

, (1)

cn c p  n U   n1   p U   p1   N cn  n U   n1   c p  p U   p1  
где I r – ток при прямом напряжении смещения; U – приложенное напряжение; U k – контактная разность потенциалов (определялась по C-U-
характеристикам); S – площадь p-n-перехода; d U  – ширина области пространственного заряда (ОПЗ);  – вероятность туннелирования; N – кон-
 
центрация глубоких уровней; cn c p – коэффициент захвата электронов (дырок) локализованными состояниями; k – постоянная Больцмана; Т – температура; n1  N c exp    Ec  E  kT  – концентрация электронов, выброшенных в результате эмиссии в зону проводимости; p1  N v exp    E  Ev  kT  –
концентрация дырок, выброшенных в результате эмиссии в валентную зону;
n U   ni
c p  cn n1  N 
 qU
exp 
 2kT
cn c p p1  N




cn c p p1  N
 qU 

exp 
p
U
n

,


i
 –

c p  cn n1  N 
 2kT 

значения концентраций носителей заряда в максимуме приведенной скорости
рекомбинации.
Предполагаем, что скорость рекомбинации одинакова во всех точках
ОПЗ и равна максимальной, тогда
Rпр
U
0.
(2)
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Используя (2), получаем условие максимума приведенной скорости рекомбинации:
 qU
сn c p ni 2 exp 
 kT

  c n c p n1 p1  Ncn n1  Nc p p1 .

(3)
С учетом (3) выражение (1) принимает вид

 qU
Rпр  cn c p N 2 ni  exp 
 2kT


 
 qU
2
  1 cn c p ni exp 
 
 kT

 qU
  2exp 

 2kT


 ni 

 cn c p c p p1  N  cn n1  N   Ncn n1  Nc p p1  сn c p n1 p1 

1
.
(4)
Считаем, что
 qU
N  cn n1 , c p p1 , exp 
 2kT

  1 .

(5)
После применения условий (5) и (3) получаем
N 2 cn c p
Rпр 
.


 qU 
2  cn c p ni exp 
  N 
 2kT 


(6)
В зависимости от приложенного напряжения меняются условия заполнения центров. Возможны два случая:
1. Пусть
 qU 
cn c p ni exp 
  N ,
 2kT 
(7)
тогда выражение (6) принимает вид
Rпр 
N 2 cn c p
2N

N U  c p cn
2
.
(8)
Выражение (8) описывает зависимость приведенной скорости рекомбинации, когда ограничивающей стадией процесса токопереноса является рекомбинация носителей заряда исследуемой структуры.
Из формулы (1) видно, что
 eU
I r U  ~ Rпр U   exp 
 2kT

.

(9)
Тогда при выполнении условия (8) будет наблюдаться насыщение зависимости приведенной скорости рекомбинации от напряжения и экспоненциальный рост тока при увеличении напряжения смещения на образце.
2. Пусть
 qU 
(10)
cn c p ni exp 
  N ,
 2kT 
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
тогда выражение (6) примет вид
N 2 cn c p
Rпр 
 qU
2ni cn c p exp 
 2kT




N 2
 qU 
exp  
.
2ni
 2kT 
(11)
Используя (9), получаем, что при выполнении условия (10) ВАХ структуры определяется зависимостью от напряжения вероятности туннелирования через образец.
2 Расчет ВАХ на основе обобщенной модели рекомбинации
для квантовой проволоки
Пусть вероятность туннелирования определяется как
 E  
E
 f  E  D  E  1  f  E   dE ,
0
где f  E  – функция плотности состояния, имеющая ступенчатый вид для
квантовой проволоки; D  E  – коэффициент пропускания. Тогда зависимость
вероятности туннелирования от напряжения имеет вид, представленный на
рис. 1.
ω
U, B
Рис. 1 Зависимость вероятности туннелирования от напряжения на образце
ВАХ рассчитывались по полученным выражениям для приведенной
скорости рекомбинации как
Ir 
2kT
 qU
Sd U  ni exp 
Uk  U
 2kT

 Rпр U  .

(12)
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Если выполняется условие (7), то ВАХ структуры возрастает с ростом
q
напряжения на образце с наклоном в логарифмических координатах  
.
2kT
Если выполняется условие (10), то приведенная скорость рекомбинации
и ВАХ структуры имеют вид, представленный на рис. 2,а,б.
Rпр
U, B
а)
I, A
U, B
б)
Рис. 2 Зависимость приведенной скорости рекомбинации от напряжения (а),
ВАХ структуры при выполнении условия (10) (б)
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 3 (11), 2009
Физико-математические науки. Физика
Таким образом, из рис. 2 видно, что при выполнении условия (10) ВАХ
определяется зависимостью вероятности туннелирования от напряжения
(рис. 1), а приведенная скорость рекомбинации уменьшается с ростом напряжения на образце. На зависимости Rпр U  наблюдаются особенности, связанные с особенностями на зависимости вероятности туннелирования от напряжения. Следовательно, зависимость Rпр U  можно использовать для определения энергетического положения уровней, участвующих в создании тока в исследуемой структуре [10].
Заключение
Показано, что из выражения для приведенной скорости рекомбинации
с учетом туннелирования следует два частных случая:
1. Процесс токопереноса ограничен рекомбинацией носителей заряда
в исследуемой структуре. Тогда зависимость приведенной скорости рекомбинации от напряжения описывается выражением (8) и выходит на насыщении
при увеличении напряжения на образце. На ВАХ структуры наблюдается
экспоненциальный рост тока с увеличением напряжения на образце.
2. Процесс рекомбинации ограничен туннелированием. Тогда зависимость приведенной скорости рекомбинации от напряжения описывается выражением (11). ВАХ определяется зависимостью вероятности туннелирования от напряжения, а приведенная скорость рекомбинации уменьшается
с ростом напряжения на образце (рис. 2).
Список литературы
1. Б у л я р с к и й C . В. , Г р у ш к о Н . С . // ЖЭТФ. – 2000. – Т. 118. – № 11. –
С. 1222–1229.
2. S a n v i t o , S . QUANTUM TRANSPORT IN INHOMOGENEOUS MULTI-WALL
NANOTUBES / S. Sanvito, Y.-K. Kwon, D. Tomanek, C. Lambert // Lecture notes in
Physics. – 2007. – V. 680. – P. 351–380.
3. Zh e n Y a o . Electrical Transport Through Single-Wall Carbon Nanotubes / Zhen Yao,
Cees Dekker, Phaedon Avouris // Carbon Nanotubes, Topics Appl. Phys. – 2001. –
V. 80. – Р. 147–171.
4. Б е л о с л у дц е в, А . В. Симметрия и электронные свойства углеродных нанотрубок : автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–
математических наук / А. В. Белослудцев. – Ижевск : ГОУВПО «Удмуртский государственный университет», 2007.
5. С а в и н с к и й , С . С . Кондактанс однослойной углеродной нанотрубки в однопараметрической модели сильной связи / С. С. Савинский, А. В. Белослудцев //
ФТТ. – 2004. – Т. 46. – Вып. 7. – С. 1333–1338.
6. C a o , J ie n . Electron transport in very clean, as-grown suspended carbon nanotubes /
Jien Cao, Qian Wang and Hongjie Dai // Nature materials. – 2005. – V. 4. – October. –
Р. 745–749.
7. Charlier. Electronic and transport properties of nanotubes / Charlier, Blase, Roche //
Rev. Mod. Phys. – 2007. – V. 79. – № 2. – April–June. – Р. 677–732.
8. Б у л я р с к и й , С . В. Туннельная рекомбинация в наноразупорядоченных полупроводниковых структурах / С. В. Булярский, А. С. Басаев, А. Н. Сауров [и др.] //
ФТП. – 2009. – Т. 43. – Вып. 4. – С. 460–466.
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Булярский Сергей Викторович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
инженерной физики, Ульяновский
государственный университет,
Заслуженный деятель науки России,
член-корреспондент АН Татарстана
Bulyarsky Sergey Viktorovich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of engineering physics, Ulyanovsk State
University, Honored Science Worker
of the Russian Federation, corresponding
member of the Tatarstan Science Academy
E-mail: bsv@ulsu.ru
Вострецова Любовь Николаевна
кандидат физико-математических наук,
старший преподаватель, кафедра
инженерной физики, Ульяновский
государственный университет
Vostretsova Lyubov Nikolaevna
Candidate of physico-mathematical
sciences, senior lecturer, sub-department
of engineering physics,
Ulyanovsk State University
E-mail: bsv@ulsu.ru
УДК 538.95; 539.21
Булярский, С. В.
Моделирование процессов переноса тока в углеродных нанотрубках / С. В. Булярский, Л. Н. Вострецова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 3 (11). –
С. 138–144.
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4, 2008
Технические науки. Сведения об авторах
Вниманию авторов!
Редакция журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки» приглашает специалистов опубликовать на его страницах оригинальные статьи, содержащие новые научные результаты в области математики, физики, механики, а также обзорные статьи по тематике журнала.
Статьи, ранее опубликованные, а также принятые к опубликованию в других
журналах, редколлегией не рассматриваются.
Редакция принимает к рассмотрению статьи, подготовленные с использованием текстового редактора Microsoft Word for Windows версий не выше 2003.
Необходимо представить статью в электронном виде (VolgaVuz@mail.ru, дискета 3,5'', СD-диск) и дополнительно на бумажном носителе в двух экземплярах.
Оптимальный объем рукописи 10–14 страниц формата А4. Основной шрифт
статьи – Times New Roman, 14 pt через полуторный интервал. Тип файла в электронном виде – RTF.
Статья обязательно должна сопровождаться индексом УДК, краткой аннотацией и ключевыми словами на русском и английском языках.
Рисунки и таблицы должны быть размещены в тексте статьи и представлены в
виде отдельных файлов (растровые рисунки в формате TIFF, ВМР с разрешением
300 dpi, векторные рисунки в формате Corel Draw с минимальной толщиной линии
0,75 рt). Рисунки должны сопровождаться подрисуночными подписями.
Формулы в тексте статьи выполняются в редакторе формул Microsoft Word
Equation, версия 3.0 и ниже. Символы греческого и русского алфавита должны быть
набраны прямо, нежирно; латинского – курсивом, нежирно; обозначения векторов и
матриц прямо, жирно; цифры – прямо, нежирно. Наименования химических элементов набираются прямо, нежирно. Эти же требования необходимо соблюдать и в рисунках. Допускается вставка в текст специальных символов (с использованием
шрифтов Symbol).
В списке литературы нумерация источников должна соответствовать
очередности ссылок на них в тексте ([1], [2], …). Номер источника указывается в
квадратных скобках. В списке указывается:

для книг – фамилия и инициалы автора, название, город, издательство,
год издания, том, количество страниц;

для журнальных статей, сборников трудов – фамилия и инициалы автора,
название статьи, полное название журнала или сборника, серия, год, том, номер, выпуск, страницы;

для материалов конференций – фамилия и инициалы автора, название
статьи, название конференции, время и место проведения конференции, город, издательство, год, страницы.
В конце статьи допускается указание наименования программы, в рамках которой выполнена работа, или наименование фонда поддержки.
К материалам статьи должна прилагаться информация для заполнения учетного листа автора: фамилия, имя, отчество, место работы и должность, ученая степень,
ученое звание, адрес, контактные телефоны (желательно сотовые), e-mail.
Плата с аспирантов за публикацию рукописей не взимается.
Рукопись, полученная редакцией, не возвращается.
Редакция оставляет за собой право проводить редакторскую и допечатную правку текстов статей, не изменяющую их основного смысла, без согласования с автором.
Статьи, оформленные без соблюдения приведенных выше требований,
к рассмотрению не принимаются.
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Уважаемые читатели!
Для гарантированного и своевременного получения журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки»
рекомендуем вам оформить подписку.
Журнал выходит 4 раза в год по тематике:
• математика
• физика
• механика
Стоимость одного номера журнала – 250 руб. 00 коп.
Для оформления подписки через редакцию необходимо заполнить и отправить
заявку в редакцию журнала: факс (841-2) 56-34-96, тел.: 36-82-06, 56-47-33;
Е-mail: VolgaVuz@mail.ru
Подписку на второе полугодие 2010 г. можно также оформить по каталогу
агентства «РОСПЕЧАТЬ» «Газеты. Журналы», тематический раздел «Известия высших учебных заведений». Подписной индекс – 36949.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
ЗАЯВКА
Прошу оформить подписку на журнал «Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки» на 2010 г.
№ 1 – ______ шт., № 2 – ______ шт., № 3 – ______ шт., № 4 – ______ шт.
Наименование организации (полное) __________________________________
__________________________________________________________________
ИНН ___________________________ КПП _____________________________
Почтовый индекс __________________________________________________
Республика, край, область____________________________________________
Город (населенный пункт) ___________________________________________
Улица ____________________________________ Дом ____________________
Корпус __________________________ Офис ____________________________
ФИО ответственного ________________________________________________
Должность ________________________________________________________
Тел. ________________ Факс ______________ Е-mail_____________________
Руководитель предприятия ____________________ ______________________
(подпись)
Дата «____» _________________ 2010 г.
146
(ФИО)
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа