close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

259.Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №1 2014

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
№ 1 (29)
2014
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Алехина М. А., Барсукова О. Ю. Оценки ненадежности схем
в базисе Россера – Туркетта .................................................................................... 5
Деревянчук Е. Д. Задача дифракции электромагнитной волны
на многосекционной анизотропной диафрагме
в прямоугольном волноводе ................................................................................. 20
Цупак А. А. О единственности решения задачи дифракции
акустической волны на системе непересекающихся
экранов и неоднородных тел ................................................................................. 30
Бойков И. В., Баулина О. А. Приближенное решение эллиптических
уравнений на нейронных сетях Хопфилда .......................................................... 39
Султанова Г. А. Некоторые лифты тензорных полей типа (1, r)
c базы в его касательное расслоение .................................................................... 54
Бойков И. В. Поперечники Колмогорова и ненасыщаемые методы
аппроксимации классов функций, определяемых решениями уравнений
математической физики (Часть I. Функции одной переменной) ....................... 65
Горюнов В. А., Жалнин Р. В., Пескова Е. Е., Тишкин В. Ф. О построении
WENO схем для гиперболических систем уравнений
на неструктурированных сетках ........................................................................... 79
ФИЗИКА
Булярский С. В., Жуков А. В., Игошина А. А. Влияние параметров
электрон-фононного взаимодействия на вероятность электронноколебательных переходов носителей заряда с глубоких уровней ..................... 88
Нищев К. Н., Панов А. А., Заикин А. И. Синтез, структура
и спектрально-люминесцентные свойства магний-алюмосиликатной
стеклокерамики, активированной ионами никеля .............................................. 97
Кузьмичев Н. Д., Чугунов М. В. Магнитнополевые и температурные
зависимости гармоник намагниченности тонкого сверхпроводящего
диска в модели критического состояния с критической плотностью тока,
зависящей обратно пропорционально квадрату напряженности поля............ 113
Physical and mathematical sciences. Mathematics
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Малыханов Ю. Б., Горшунов М. В. О точности метода Хартри – Фока
в расчетах атомов и ионов ................................................................................... 128
Голованов О. А., Макеева Г. С., Ширшиков Д. Н., Горлов Г. Г.
Электродинамический расчет комплексной эффективной
диэлектрической проницаемости нанокомпозитов на основе массивов
углеродных нанотрубок в диапазоне сверхвысоких частот ............................. 141
Муралев А. Б., Тихончев М. Ю., Светухин В. В.
Молекулярно-динамическое моделирование каскадов атомных
смещений в сплаве FeCr ....................................................................................... 156
Кревчик В. Д., Калинин В. Н., Калинин Е. Н. Подвижность
электронов в квантовой проволоке с краевой дислокацией
во внешнем магнитном поле ............................................................................... 167
2
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
UNIVERSITY PROCEEDINGS
VOLGA REGION
PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
№ 1 (29)
2014
CONTENT
MATHEMATICS
Alekhina M. A., Barsukova O. Yu. Circuit failure estimate
in the Rosser – Turkett basis ...................................................................................... 5
Derevyanchuk E. D. Electromagnetic waves diffraction by
n-sectional anisotropic diaphragm in a rectangular waveguide ............................... 20
Tsupak A. A. On uniqueness of solution of the problem
of acoustic wave diffraction on a system of non-intersecting
screens and heterogeneous bodies............................................................................ 30
Boykov I. V., Baulina O. A. Approximate solution of elliptic
equations on Hopfield neural networks ................................................................... 39
Sultanova G. A. Some lifts of tensor fields of type (1, r)
with base In its tangent bundle ................................................................................. 54
Boykov I. V. Kolmogorov diameters and unsaturable methods
of approximation of functionclasses, determined by solutions
of mathematical physics’ equations (Part I. Function of single variable) ................ 65
Goryunov V. A., Zhalnin R. V., Peskova E. E., Tishkin V. F. On construction
of WENO schemes for hyperbolic systems on unstructured meshes ...................... 79
PHYSICS
Bulyarskyi S. V., Zhukov A. V., Igoshina A. A. Influence
of the electron-phonon interaction on the rate of electron-vibrational
transitions of charge carriers from deeper levels from ............................................. 88
Nishchev K. N., Panov A. A., Zaikin A. I. Synthesis, structure
and spectral-luminescent properties of nickel doped
magnesium aluminosilicate glass-ceramic ............................................................... 97
Kuz'michev N. D., Chugunov M. V. Magnetic and temperature dependencies
of magnetization harmonics of a thin superconducting disk
in the model of critical state with critical current density,
inversely proportional to field stength squared ...................................................... 113
Malykhanov Yu. B., Gorshunov M. V. On accuracy of the Hartree-Fock
method in calculation of atoms and ions ................................................................ 128
Physical and mathematical sciences. Mathematics
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Golovanov O. A., Makeeva G. S., Shirshikov D. N., Gorlov G. G.
Electrodynamic calculation of the complex effective permeability
of nanocomposites based on the arrays of carbon nanotubes
in the microwave frequency range.......................................................................... 141
Muralev A. B., Tikhonchev M. Yu., Svetukhin V. V. Molecular-dynamic
simulation of atomic displacement cascades in FeCr alloy .................................... 156
Krevchik V. D., Kalinin V. N., Kalinin E. N. Electron mobility in quantum
wire with edge dislocation in external magnetic field ............................................ 167
4
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
МАТЕМАТИКА
УДК 519.718
М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова
ОЦЕНКИ НЕНАДЕЖНОСТИ СХЕМ
В БАЗИСЕ РОССЕРА – ТУРКЕТТА1
Аннотация.
Актуальность и цель. В современной математике и технике теория синтеза
схем из ненадежных функциональных элементов занимает важное место. Стоит отметить, что до сих пор рассматривались задачи построения надежных
схем, реализующих только булевые функции. В данной работе предложена
математическая модель построения асимптотически оптимальных по надежности схем, реализующих функции трехзначной логики. Исследуется задача
реализации функций трехзначной логики схемами из ненадежных функциональных элементов в базисе Россера – Туркетта. Предполагается, что все базисные элементы независимо друг от друга переходят в неисправные состояния и любой базисный элемент на любом входном наборе (с вероятностью
1 – 2ε) выдает правильное значение и с вероятностью, равной ε, может выдать
любое из двух неправильных. Целью данной работы является получение нижних и верхних оценок ненадежности схем и построение асимптотически оптимальных по надежности схем.
Результаты. В результате исследования полученные ранее верхние оценки
ненадежности удалось доказать, существенно ослабив ограничения на ε (ранее эта вероятность зависела от n – числа переменных функции, а в этой работе ее удалось заменить константой). Доказана асимптотическая точность верхних оценок, т.е. в базисе Россера – Туркетта найден класс K функций трехзначной логики такой, что при реализации любой функции из этого класса
любой схемой нижняя оценка ненадежности этой схемы будет асимптотически равна верхней оценке ненадежности. Класс K описан в явном виде, а
также найдена оценка для количества функций, входящих в данный класс.
Выводы. Установлено, что любую функцию трехзначной логики можно реализовать схемой, функционирующей с ненадежностью, асимптотически (при
ε → 0) не больше 6ε. Доказано, что функции класса K (содержащего почти все
функции трехзначной логики) нельзя реализовать схемами с ненадежностью,
асимптотически (при ε → 0) меньше 6ε. Таким образом, почти все функции
трехзначной логики можно реализовать асимптотически оптимальными по
надежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически
равной 6ε при ε → 0 .
Ключевые слова: функции трехзначной логики, схема из функциональных
элементов, ненадежность схемы.
M. A. Alekhina, O. Yu. Barsukova
CIRCUIT FAILURE ESTIMATE
IN THE ROSSER – TURKETT BASIS
1
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований, проекты 14-0131360 и 14-01-00273.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Abstract.
Background. In modern mathematics and engineering the theory of synthesis of
circuits consisting of unreliable functional elements takes an important place. It
should be noted that until now one have used to consider the problems of building
reliable circuits, realizing the Boolean functions only. The authors suggest a mathematical model for constructing asymptotically optimal reliable circuit, realizing ternary logics functions. The researchers studied the problem of realization of ternary
logic function circuits of unreliable functional elements in the Rosser – Turkett basis. It is assumed that all the basic elements get faulty independently of each other,
and any basic element at any input set (with probability 1–2ε) gives the correct value, and, with ε probability, can give any of the two incorrect values. The aim of this
work is to obtain lower and upper bounds for reliability of circuits and to construct
asymptotically optimal reliable circuits.
Results. As a result of the study the authors managed to prove the previously obtained upper failure estimates, significantly weakening ε restrictions (previously
the probability depended on n – number of variables, functions, and in this work it
was replaced by a constant). The authors proved asymptotic accuracy of the upper
bounds, i. e. in the Rosser – Turkett basis they found the K class of ternary logic
functions, which means that the lower bound for the unreliability of a circuit is asymptotically equal to the upper bound of unreliability for the implementation of any
function of this class by any circuit. The K class was explicitly described, as well
there was found an estimate for the number of functions, which are included in this
class.
Conclusion. It is established that any ternary logic functions can be realized by a
circuit that operates with unreliability, asymptotically (at ε → 0), not greater than 6ε.
It is proved that the function of K class (containing almost all ternary logic functions) can not be realized by circuits with unreliability, asymptotically (at ε → 0)
less than 6ε. Thus almost all ternary logic functions can be realized by asymptotically optimal reliable circuits that operate with unreliability, that is asymptotically
equal to 6ε at ε → 0.
Key words: ternary logics functions, functional elements circuit, unreliability of
circuit.
Введение
В современной технике и математике в подавляющем большинстве
случаев используется двузначная логика. Это исторически сложившееся положение предопределено ее сравнительной простотой и сделало ее применение предпочтительным (в сравнении с другими логическими системами)
с технической и экономической точек зрения. Основные модельные объекты,
работающие на основе двузначной логики (например, схемы из ненадежных
элементов [1], неветвящиеся программы [2]), на данный момент являются хорошо изученными. Однако сложность решаемых задач, а следовательно, и
технических устройств постоянно возрастает.
Многозначная логика предоставляет более широкие возможности для
разработки различных алгоритмов во многих областях. Она позволяет
уменьшить как вычислительную сложность, так и размеры, число соединений
в различных арифметико-логических устройствах, повысить плотность размещения элементов на схемах, найти альтернативные методы решения задач.
Уже сейчас многозначная логика с успехом применяется при решении
многих задач и во множестве технических разработок. Среди них различные
6
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
арифметические устройства, системы искусственного интеллекта и обработки
данных, обработка сложных цифровых сигналов и т.д.
Определенный интерес представляет задача исследования надежности
функционирования схем в полном базисе из трехзначных функций. Данная
статья посвящена нахождению нижних оценок ненадежности схем в базисе
Россера – Туркетта.
1. Постановка задачи
Пусть n ∈ N , а P3 – множество всех функций трехзначной логики, т.е.
функций f ( x1 ,..., xn ) :{0,1, 2}n → {0,1, 2} . Рассмотрим реализацию функций из
множества P3 схемами из ненадежных функциональных элементов в базисе
Россера – Туркетта
{0,1, 2, J 0 ( x1 ), J1 ( x1 ), J 2 ( x1 ), max( x1 , x2 ), min( x1 , x2 )} .
Для краткости обозначим max( x1 , x2 ) через ∨ , а min( x1 , x2 ) через & .
Будем считать, что схема из ненадежных элементов реализует функцию

f ( x) ( x = ( x1 ,..., xn )) , если при поступлении на входы схемы набора a при отсутствии неисправностей в схеме на ее выходе появляется значение f (a ) .
Предполагается, что все базисные элементы ненадежны, переходят
в неисправные состояния независимо друг от друга. Базисный элемент с приписанной ему функцией ϕ( x1 , x2 ) на любом входном наборе (a1 , a2 ),
ϕ(a1 , a2 ) = τ с вероятностью 1 − 2ε (ε ∈ (0,1 / 4)) выдает значение τ ( mod 3) , с
вероятностью ε выдает значение τ + 1 (mod 3) и с вероятностью ε выдает
значение τ + 2 (mod 3) .
Пусть схема S реализует функцию f ( x ) , a – произвольный входной
набор схемы S , f (a ) = τ . Обозначим через Pf ( a )≠τ ( S , a ) вероятность появления ошибки на выходе схемы S при входном наборе a . Ясно, что
Pf ( a )≠τ ( S , a ) = Pτ+1 ( S , a ) + Pτ+ 2 ( S , a ) .
Например, если входной набор a схемы S такой, что f (a ) = 0 , то вероятность ошибки на этом наборе равна Pf ( a )≠ 0 ( S , a ) = P1 ( S , a ) + P2 ( S , a ) .
S
будем
называть
число
Ненадежностью
схемы
P ( S ) = max{Pf ( a )≠τ ( S , a )} , где максимум берется по всем входным наборам
a схемы S . Надежность схемы S равна (1 − P ( S )) .
Пусть Pε ( f ) = inf P ( S ) , где инфимум берется по всем схемам S из
ненадежных элементов, реализующим функцию f .
Схема A из ненадежных элементов, реализующая функцию f , называется асимптотически оптимальной по надежности, если P ( A) ~ Pε ( f )
при ε → 0 .
Замечание 1. Учитывая рассматриваемые неисправности, отметим, что
каждый базисный элемент на любом входном наборе выдает правильное значение с вероятностью (1 − 2ε) , а любое из двух неверных значений – с вероPhysical and mathematical sciences. Mathematics
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ятностью ε . Таким образом, ненадежность P ( E ) любого базисного элемента
E равна 2ε (т.е. P ( E ) = 2ε ), а надежность элемента E равна (1 − 2ε) .
2. Верхние оценки ненадежности схем
Пусть f – произвольная функция из P3 , а S – любая схема, реализующая функцию f . По схеме S построим новую схему, которую будем использовать для повышения надежности исходной схемы S . Для этого возьмем два экземпляра схемы S и соединим их выходы со входами базисного
элемента E , реализующего функцию & . Полученную схему назовем схемой
B′. Далее возьмем два экземпляра схемы B′ и соединим их выходы со входами базисного элемента E , реализующего функцию ∨ . Новую схему обозначим ψ ( S ) . Нетрудно проверить, что ψ ( S ) реализует ту же функцию f .
Ранее доказана теорема 1 [3], в которой получено рекуррентное соотношение для ненадежностей схем S и ψ( S ) .
Теорема 1 [3]. Пусть f – произвольная функция из P3 , S – любая
схема, реализующая f , а P ( S ) – ненадежность схемы S . Тогда схема ψ( S )
реализует функцию f c ненадежностью
{
}
P (ψ( S )) ≤ max 6ε + 4εP ( S ) + 2 P 2 ( S ), 4ε + ε 2 + 4[ε + P( S )]2 .
(1)
Докажем теоремы 2 и 3, в которых полученные ранее верхние оценки
ненадежности [3] удалось доказать, существенно ослабив ограничения на ε
(ранее эта вероятность зависела от n – числа переменных функции, а в этой
работе ее удалось заменить константой).
Теорема 2. При любом n ∈ Ν произвольную функцию f ( x1 ,..., xn ) ∈ P3
можно реализовать схемой D с ненадежностью P ( D ) ≤ 8ε при ε ∈ (0,1 / 1000] .
Доказательство проведем индукцией по n .
1. Докажем утверждение для n = 1 , т.е. для всех возможных функций
f ( x) , зависящих от одной переменной. Представим функцию f ( x) в первой
форме [4]:
f ( x) = J 0 ( x) & f (0) ∨ J1 ( x) & f (1) ∨ J 2 ( x) & f (2).
Чтобы промоделировать представленную формулу схемой, назовем ее
S', потребуется не более 11 элементов. Следовательно, ненадежность данной
схемы P( S ′) ≤ 22ε .
По схеме S' построим схему ψ( S ′) , заменив S схемой S'. Используя
1
, оценим ненадежность схемы ψ( S ′) :
теорему 1 и условие ε ≤
1000
{
}
P (ψ (C )) ≤ max 6ε + 4 · 22ε 2 + 2 · 222 ε 2 , 4ε + ε 2 + 4 · 232 ε 2 =
{
}
1056
2117 

= max 6ε + 1056ε 2 , 4ε + 2117ε 2 ≤ max 6ε +
ε, 4 ε +
ε  ≤ 8ε.
1000
1000 

Таким образом, для n = 1 теорема верна.
8
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
2. Пусть индукционное предположение верно для функций с числом
переменных (n − 1) . Докажем, что оно верно для функций f ( x1 ,..., xn ) . Разложим функцию f ( x1 ,..., xn ) по последней переменной
f ( x1 ,..., xn−1 , xn ) = J 0 ( xn ) & f ( x1 ,..., xn−1 ,0) ∨ J1 ( xn ) &
& f ( x1 ,..., xn−1 ,1) ∨ J 2 ( xn ) & f ( x1 ,..., xn −1 , 2)
и реализуем следующей схемой C (рис. 1), где схема S0 реализует
f0 = f ( x1 ,..., xn −1 ,0) , схема S1 реализует f1 = f ( x1 ,..., xn −1 ,1) , а схема S2 реализует f 2 = f ( x1 ,..., xn−1 , 2).
Рис. 1
В схеме C выделим подсхему A , состоящую из восьми элементов
(рис. 1), выход которой является выходом схемы C , а на входы подаются
значения xn , f0 = f ( x1 ,..., xn−1 ,0), f1 = f ( x1 ,..., xn −1,1) и f 2 = f ( x1 ,..., xn −1, 2) .
Выделенная подсхема A состоит из восьми элементов, поэтому ее ненадежность P ( S ) ≤ 16ε . Функции f0 = f ( x1 ,..., xn −1 ,0), f1 = f ( x1 ,..., xn −1 ,1) и
f 2 = f ( x1 ,..., xn −1 , 2) согласно индуктивному предположению можно реализовать схемами с ненадежностью не более 8ε . Если схема A исправна, то для
реализации f она использует значение одной из схем, реализующих f0 , f1 и
f 2 . Поэтому
P (C ) ≤ P ( A) + 8ε ≤ 16ε + 8ε = 24ε .
Physical and mathematical sciences. Mathematics
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
По схеме C построим схему ψ(C ) (см. теорему 1). Воспользуемся соот1
ношением (1) при условии, что ε ≤
, и оценим ненадежность схемы ψ(C ) :
1000
{
}
P (ψ(C )) ≤ max 6ε + 4·24ε 2 + 2·242 ε 2 , 4ε + ε 2 + 4·252 ε 2 =
{
}
1248
2501 

max 6ε + 1248ε 2 , 4ε + 2501ε 2 ≤ max 6ε +
ε, 4ε +
ε  ≤ 8ε .
1000
1000 

Следовательно, схема ψ(C ) – искомая схема D . Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Любую функцию f ∈ P3 можно реализовать схемой D с
ненадежностью P ( S ) ≤ 6ε + 126ε 2 , при ε ∈ (0,1 / 1000] .
Доказательство. По теореме 2 любую функцию f ∈ P3 можно реализовать схемой D с ненадежностью P ( D) ≤ 8ε . По схеме D построим схему
ψ ( D) и оценим ее ненадежность по формуле (1) из теоремы 1 при условии,
1
что ε ≤
:
1000
{
}
P (ψ( D)) ≤ max 6ε + 4·8ε 2 + 2 ·82 ε 2 , 4ε + ε 2 + 4 ·92 ε 2 =
{
}
160
325 

ε, 4 ε +
ε  ≤ 7ε .
max 6ε + 160ε 2 , 4ε + 325ε 2 ≤ max 6ε +
1000
1000 

И наконец, построим схему ψ(ψ ( D)) , заменив схему D схемой ψ ( D) ,
используя формулу (1). Тогда
{
}
P (ψ(ψ( D))) ≤ max 6ε + 4 ·7ε 2 + 2 ·7 2 ε 2 , 4ε + ε2 + 4 ·82 ε 2 ≤ 6ε + 126ε 2 .
Теорема 3 доказана.
Из теоремы 3 следует, что все функции из P3 можно реализовать схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически (при ε→0) не
больше 6ε.
3. Нижние оценки ненадежности схем
Теорема 4. Пусть f – произвольная функция, отличная от константы;
S – любая схема, ее реализующая. Пусть подсхема A схемы S содержит выход схемы S и реализует функцию ϕ( y ,..., y ) (( y ,..., y ) = y ) с ненадежно1
m
1
m
стью P ( A) ≤ 1 / 2 . Пусть p0 = min Pϕ(b )≠0 ( A, b 0 ) , где b 0 такой входной набор
0
b
0
схемы A , что ϕ(b 0 ) = 0 ; p1 = min Pϕ(b )≠1 ( A, b1 ) , где b1 такой входной набор
1
b
1
схемы A , что ϕ(b1 ) = 1 ; p2 = min Pϕ(b )≠ 2 ( A, b 2 ) , где b 2 такой входной набор
2
b 2
схемы A , что ϕ(b 2 ) = 2 .
10
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Тогда вероятности ошибок на выходе схемы S удовлетворяют неравенствам:
Pf ( a )≠0 ( S , a ) ≥ p0 , если f (a ) = 0 ;
Pf ( a )≠1 ( S , a ) ≥ p1 , если f ( a ) = 1 ;
Pf ( a )≠ 2 ( S , a ) ≥ p2 , если f (a ) = 2 .
Доказательство. Пусть a – такой входной набор схемы S , что f (a ) = 0 .
В зависимости от набора a и неисправностей в схеме на входы схемы A по-
ступает некоторый набор длины m с компонентами из множества {0,1, 2} .
Обозначим множество всех таких наборов через M (a ) . Разобьем множество
M (a ) на подмножества M i (a ) = {(c1 ,..., cm ) | ϕ(c1 ,..., cm ) = i} (i ∈ 0,1, 2) . Обозначим через ν (a ) вероятность появления на входах схемы A набора из
i
множества M i (a ) . Очевидно, что νi (a ) ≥ 0 и ν 0 ( a ) + ν1 (a ) + ν 2 (a ) = 1 .
Найдем вероятность P ( S , a ) появления 0 на выходе схемы S:
0
P0 ( S , b i ∈ M i (a )) ≤ ν 0 (a )(1 − p0 ) + ν1 (a ) P ( A) + ν 2 (a ) P( A) = (1 − ν1 (a ) − ν 2 (a )) ×
×(1 − p0 ) + (ν1 (a ) + ν 2 ( a )) P ( A) = 1 − p0 − (ν1 (a ) + ν 2 (a ))(1 − p0 − P ( A)),
где b i ∈ M i (a ) .
Тогда вероятность появления ошибки на выходе схемы S удовлетворяет неравенству
Pf ( a )≠0 ( S , a ) ≥ p0 + (ν1 (a ) + ν 2 (a ))(1 − p0 − P ( A)) ≥
≥ p0 + (ν1 (a ) + ν 2 (a ))(1 − 2 P( A)) ≥ p0 ,
так как P ( A) ≤ 1 / 2 .
Пусть a такой входной набор схемы S , что f ( a ) = 1 . Аналогично проверяется, что вероятность появления ошибки на выходе схемы S удовлетворяет неравенству
Pf ( a )≠1 ( S , a ) ≥ p1 + (ν0 ( a ) + ν 2 (a ))(1 − 2 P( A)) ≥ p1 ,
так как P ( A) ≤ 1 / 2 .
Пусть a такой входной набор схемы S , что f (a ) = 2 . Аналогично проверяется, что вероятность появления ошибки на выходе схемы S равна
Pf ( a )≠ 2 ( S , a ) ≥ p2 + (ν0 (a ) + ν1 (a ))(1 − 2 P( A)) ≥ p2 ,
так как P ( A) ≤ 1 / 2 .
Теорема 4 доказана.
Следствие 1. P( S ) ≥ max{ p0 , p1 , p2 } .
Пусть в схеме S , реализующей функцию f , отличную от константы,
выделена подсхема B , содержащая выход схемы S и реализующая тождеPhysical and mathematical sciences. Mathematics
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ственную функцию. Обозначим через C подсхему, получаемую из схемы S
удалением подсхемы B . Очевидно, что схема C реализует функцию f .
Будем говорить, что схема C надежнее схемы S (и получается из схемы S удалением подсхемы B ), если выполнено неравенство P (C ) < P ( S ) .
Схему S , реализующую функцию f , отличную от константы, будем
называть b -схемой, если из нее нельзя получить более надежную схему удалением подсхемы, реализующей тождественную функцию.
Обозначим через wi , i ∈{0,1, 2}, вероятность появления ошибки на выходе схемы B при поступлении на ее вход значения i .
Теорема 5. Пусть схема S , ненадежность которой равна P ( S ) , реализует функцию f ( x ) и является b -схемой. Пусть в схеме S можно выделить
подсхему B , содержащую выход схемы и реализующую тождественную
функцию с такими вероятностями ошибок w0 , w1 , w2 , что 0 < w0 + w1 + w2 < 1 .
Тогда верно неравенство


w0
w1
w2
min 
,
,
 ≤ P( S ).
 w0 + w1 + w2 w0 + w1 + w2 w0 + w1 + w2 
Доказательство (от противного). Пусть при всех u ∈{0,1, 2}
wu
> P ( S ).
w0 + w1 + w2
Тогда
wu
w (1 − w0 − w1 − w2 )
− wu = u
> P ( S ) − wu .
w0 + w1 + w2
w0 + w1 + w2
Следовательно,
wu
P ( S ) − wu
>
.
w0 + w1 + w2 1 − w0 − w1 − w2
(2)
Пусть a – произвольный входной набор схемы S , пусть f ( a ) = i .
Найдем вероятность Pi ( S , a ) появления i на выходе схемы S :
Pi ( S , a ) = Pi (C , a ) Pi ( B, i ) + Pi +1 (C , a ) Pi ( B, i + 1) + Pi + 2 (C , a ) Pi ( B, i + 2) =
= Pi (C , a )(1 − wi ) + Pi +1 (C , a ) Pi ( B, i + 1) + Pi + 2 (C , a ) Pi ( B, i + 2) = (1 − Pi +1 (C , a ) −
− Pi + 2 (C , a ))(1 − wi ) + Pi +1 (C , a ) Pi ( B, i + 1) + Pi + 2 (C , a ) Pi ( B, i + 2) =
= 1 − wi + Pi +1 (C , a )( wi + Pi ( B, i + 1) − 1) + Pi + 2 (C , a )( wi + Pi ( B, i + 2) − 1).
Тогда вероятность появления ошибки на выходе схемы S равна
Pf ( a )≠i ( S , a ) = wi + Pi +1 (C , a )(1 − wi − Pi ( B, i + 1)) +
+ Pi + 2 (C , a )(1 − wi − Pi ( B, i + 2)) ≥ wi + (1 − w0 − w1 − w2 ) ×
×( Pi +1 (C , a ) + Pi + 2 (C , a )) = wi + (1 − w0 − w1 − w2 ) P(C ),
12
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
т.е. верно неравенство
Pf ( a )≠i ( S , a ) ≥ wi + (1 − w0 − w1 − w2 ) P (C ).
(3)
Из соотношения (3) следует неравенство
Pf ( a )≠i ( S , a ) − wi
1 − w0 − w1 − w2
≥ P (C ).
(4)
Учитывая (4) и (2), имеем
P (C ) ≤
Pf ( a )≠i ( S , a ) − wi
1 − w0 − w1 − w2
≤
P ( S ) − wi
wi
<
.
1 − w0 − w1 − w2 w0 + w1 + w2
Тогда
− P (C )( w0 + w1 + w2 ) > − wi .
(5)
Из неравенства (3), учитывая (5), следует
Pf ( a )≠i ( S , a ) ≥ wi + P(C )(1 − w0 − w1 − w2 ) =
= wi + P (C ) − P (C )( w0 + w1 + w2 ) > wi + P (C ) − wi = P (C ),
т.е. Pf ( a )≠i ( S , a ) > P(C ) . Следовательно, P( S ) > P(C ) , что противоречит
условию.
Теорема 5 доказана.
Обозначим через K (n) множество функций f ( x1 , x2 ,..., xn ) ( n ≥ 3) из
P3 , каждая из которых принимает все три значения 0, 1, 2 и не представима
ни в виде xk ∨ g ( x ) , ни в виде xk &g ( x ) ( k ∈{1, 2,..., n}, g ( x ) – произвольная
функция из P3 ). Обозначим через K множество K =
∞
 K (n).
n =3
Справедлива теорема 6, доказательство которой аналогично доказательству теорем о нижних оценках [5, 6].
Теорема 6. Пусть функция f ∈ K . Тогда для любой схемы S , реализующей f , при ε ∈ (0,1 / 1000] верно неравенство
P ( S ) ≥ 6ε − 16ε 2 + 12ε3 .
Доказательство. Пусть функция f ∈ K , пусть S – любая схема, реализующая f . Для ненадежности P ( S ) схемы S верно одно из двух нера-
венств: либо P ( S ) > 6ε + 126ε 2 (тогда утверждение теоремы верно), либо
P ( S ) ≤ 6ε + 126ε 2 .
Пусть P ( S ) ≤ 6ε + 126ε 2 . Без ограничения общности схему S можно
считать b -схемой (иначе будем удалять из схемы S подсхемы, реализующие
тождественную функцию, и получать более надежные схемы, реализующие
функцию f , до тех пор, пока не получим b -схему S'', для которой и проведем дальнейшие рассуждения, заменив S на S''.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Обозначим его через E1 функциональный элемент, содержащий выход
схемы S , и в зависимости от приписанных ему базисных функций рассмотрим следующие варианты.
1. Пусть элементу E1 приписана функция & . Поскольку f ∈ K , входы
элемента E1 соединены не с полюсами, а с выходами некоторых элементов
E2 и E3 .
1.1. Пусть элементы E2 и E3 различны. Обозначим через B подсхему,
состоящую из элементов E1 , E2 и E3 . Пусть входной набор схемы B таков,
что при отсутствии неисправностей в схеме B на ее выходе появляется значение 2 (такой набор найдется, поскольку f ∈ K ).
1.1.1. Пусть выход элемента E2 не соединен со входом элемента E3 и
выход элемента E3 не соединен со входом элемента E2 . Вычислим вероятность появления 2 на выходе схемы B по формуле полной вероятности и получим
(1 − 2ε)3 + 2 · 2ε(1 − 2ε)ε + (2ε)2 ε = 1 − 6ε + 16ε 2 − 12ε3 .
Тогда вероятность появления ошибки на выходе подсхемы B равна
p2 = 6ε − 16ε2 + 12ε3 . По теореме 4 получаем неравенство
P( S ) ≥ 6ε − 16ε 2 + 12ε3 ,
т.е. утверждение теоремы верно.
1.1.2. Пусть выход одного из элементов, например E2 , соединен со
входом другого элемента E3 .
1.1.2.1. Пусть элементу E3 приписана функция J 2 ( x) или константа 2
(иначе значение 2 не появится на выходе схемы B ) или же элементу E3 приписана функция двух переменных ( & или ∨ ) и оба входа элемента E3 соединены с выходом элемента E2 . Вероятность появления значения 2 на выходе схемы B в этих случаях равна
(1 − 2ε)  (1 − 2ε)2 + 2ε · ε  + 2ε · ε = 1 − 6ε + 16ε 2 − 12ε3 .


Тогда вероятность появления ошибки на выходе подсхемы B равна
p2 = 6ε − 16ε2 + 12ε3 . По теореме 1 получаем неравенство
P( S ) ≥ 6ε − 16ε 2 + 12ε3 ,
т.е. утверждение теоремы верно.
1.1.2.2. Пусть элементу E3 приписана функция & или ∨ , но только
один из входов элемента E3 соединен с выходом элемента E2 . Вероятность
появления значения 2 на выходе схемы B в этих случаях равна
(1 − 2ε)  (1 − 2ε)2 + 2ε · ε  + 2ε · ε = 1 − 6ε + 16ε 2 − 12ε3 .


14
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Тогда вероятность появления ошибки на выходе подсхемы B равна
p2 = 6ε − 16ε2 + 12ε3 . По теореме 4 получаем неравенство
P ( S ) ≥ 6ε − 16ε 2 + 12ε3 ,
т.е. утверждение теоремы верно.
1.2. Пусть элементы E2 и E3 совпадают, т.е. оба входа элемента E1
соединены с выходом элемента E2 . Обозначим через B подсхему, состоящую из элемента E1 . Очевидно, что схема B реализует тождественную
функцию, а вероятности появления ошибок на выходе схемы B равны:
2ε
≤ 6ε + 126ε 2 ,
w0 = w1 = w2 = 2ε . По теореме 5 справедливо неравенство
8ε
что неверно, поскольку при ε ≤ 1 / 1000
1
> 6ε > 6ε + 126ε 2 .
4
Полученное противоречие означает, что рассматриваемая схема не может быть подсхемой b -схемы S .
2. Пусть элементу E1 приписана функция ∨ . Поскольку f ∈ K , входы
элемента E1 соединены не с полюсами, а с выходами некоторых элементов
E2 и E3 .
2.1. Пусть элементы E2 и E3 различны. Обозначим через B подсхему,
состоящую из элементов E1 , E2 и E3 . Пусть входной набор схемы B таков,
что при отсутствии неисправностей в схеме B на ее выходе появляется значение 0 (такой набор найдется, поскольку f ∈ K ).
2.1.1. Пусть выход элемента E2 не соединен со входом элемента E3 и
выход элемента E3 не соединен со входом элемента E2 . Вычислим вероятность появления 0 на выходе схемы B по формуле полной вероятности и получим
(1 − 2ε)3 + 2 · 2ε(1 − 2ε)ε + (2ε)2 ε = 1 − 6ε + 16ε 2 − 12ε3 .
Тогда вероятность появления ошибки на выходе подсхемы B равна
p0 = 6ε − 16ε 2 + 12ε3 . По теореме 1 получаем неравенство
P ( S ) ≥ 6ε − 16ε 2 + 12ε3 ,
т.е. утверждение теоремы верно.
2.1.2. Пусть выход одного из элементов, например E2 , соединен со
входом другого элемента E3 .
2.1.2.1. Пусть элементу E3 приписана одна из функций J i ( x), i ∈{1, 2},
или константа 0 (иначе значение 0 не появится на выходе схемы B ) или же
элементу E3 приписана функция двух переменных ( & или ∨ ) и оба входа
элемента E3 соединены с выходом элемента E2 . Вероятность появления значения 0 на выходе схемы B в этих случаях равна
Physical and mathematical sciences. Mathematics
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
(1 − 2ε)  (1 − 2ε)2 + 2ε · ε  + 2ε · ε = 1 − 6ε + 16ε 2 − 12ε3 .


Тогда вероятность появления ошибки на выходе подсхемы B равна
p0 = 6ε − 16ε 2 + 12ε3 . По теореме 4 получаем неравенство
P ( S ) ≥ 6ε − 16ε 2 + 12ε3 ,
т.е. утверждение теоремы верно.
2.1.2.2. Пусть элементу E3 приписана функция & или ∨ , но только
один из входов элемента E3 соединен с выходом элемента E2 . Вероятность
появления значения 0 на выходе схемы B в этих случаях равна
(1 − 2ε)  (1 − 2ε)2 + 2ε · ε  + 2ε · ε = 1 − 6ε + 16ε 2 − 12ε3 .


Тогда вероятность появления ошибки на выходе подсхемы B равна
p0 = 6ε − 16ε 2 + 12ε3 . По теореме 4 получаем неравенство
P ( S ) ≥ 6ε − 16ε 2 + 12ε3 ,
т.е. утверждение теоремы верно.
2.2. Пусть элементы E2 и E3 совпадают, т.е. оба входа элемента E1
соединены с выходом элемента E2 . Обозначим через B подсхему, состоящую из элемента E1 . Очевидно, что схема B реализует тождественную
функцию, а вероятности появления ошибок на выходе схемы B равны:
2ε
≤ 6ε + 126ε 2 ,
w0 = w1 = w2 = 2ε . По теореме 5 справедливо неравенство
8ε
что неверно, поскольку при ε ≤ 1 / 1000
1
> 6ε > 6ε + 126ε 2 .
4
Полученное противоречие означает, что рассматриваемая схема не может быть подсхемой b -схемы S .
3. Пусть элементу E1 приписана любая из функций J i ( x) или константа j (i, j ∈{0,1, 2}) . Тогда схема S реализует либо функцию, принимающую
только два значения 0 и 2, либо константу j , что противоречит условию
f ∈ K . Теорема 6 доказана.
Из теоремы 4 следует, что при ε ∈ (0,1 / 1000] любая схема, удовлетворяющая условиям теоремы 3 и реализующая функцию f ∈ K , является
асимптотически оптимальной по надежности и функционирует с ненадежностью, асимптотически равной 6ε при ε → 0 .
Оценим количество функций f ∈
/ K (n) . Для этого воспользуемся
утверждением 1.
Утверждение 1. Любую функцию f ( x1 ,..., xk −1 , xk , xk +1 ,..., xn ) можно
разложить по переменной xk (k ∈{1, 2,..., n}) следующим образом:
16
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
f ( x1 ,..., xk −1 , xk , xk +1,..., xn ) = J 0 ( xk ) & f ( x1,..., xk −1 ,0, xk +1,..., xn ) ∨
∨ J1 ( xk ) & f ( x1 ,..., xk −1 ,1, xk +1 ,..., xn ) ∨
∨ J 2 ( xk ) & f ( x1 ,..., xk −1 , 2, xk +1 ,..., xn ).
(6)
Доказательство проводится непосредственной подстановкой различных значений переменной xk в правую и левую части тождества (6).
n −1
n
n
Утверждение 2. | K (n) |≥ 33 − 2n32 ·3 − 3· 23 .
Доказательство. Используя формулу (6),
xk & g ( x ) по переменной xk :
разложим
функцию
xk &g ( x ) = J 0 ( xk )&0&g ( x1 ,..., xk −1 ,0, xk +1 ,..., xn ) ∨ J1 ( xk )&
&1 &g ( x1 ,..., xk −1 ,1, xk +1 ,..., xn ) ∨ J 2 ( xk )&2&g ( x1 ,..., xk −1 , 2, xk +1 ,..., xn ) =
= J1 ( xk )&1&g ( x1 ,..., xk −1 ,1, xk +1 ,..., xn ) ∨ J 2 ( xk )&g ( x1 ,..., xk −1 , 2, xk +1 ,..., xn ) .
Тогда число функций, представимых в виде xk &g ( x ) , не больше
n −1
n33
n −1
n −1
·33 = n32 ·3 .
Теперь рассмотрим функции вида xk ∨ g ( x ) . Используя формулу (5),
разложим функцию xk ∨ g ( x ) по переменной xk :
xk ∨ g ( x ) = J 0 ( xk )& [ 0 ∨ g ( x1 ,..., xk −1 ,0, xk +1 ,..., xn ) ] ∨
∨ J1 ( xk )& [1 ∨ g ( x1 ,..., xk −1 ,1, xk +1 ,..., xn ) ] ∨ J 2 ( xk ) &
& [ 2 ∨ g ( x1 ,..., xk −1 , 2, xk +1 ,..., xn ) ] = J 0 ( xk ) &
& g ( x1 ,..., xk −1 ,0, xk +1 ,..., xn ) ∨ J1 ( xk ) & [1 ∨ g ( x1 ,..., xk −1 ,1, xk +1 ,..., xn )] ∨ J 2 ( xk ).
Тогда число функций, представимых в виде xk ∨ g ( x ) , не больше
n −1
n33
n −1
·33
n −1
= n32 ·3
.
Таким образом, число функций, представимых в виде xk & g ( x ) или
n −1
xk ∨ g ( x ) , не больше 2n32 · 3 .
Теперь рассмотрим функции, принимающие не больше двух значений
n
n
из множества {0,1, 2} . Очевидно, их число не больше C32 · 23 = 3· 23 .
n −1
2 ·3
Следовательно, число функций f ∈
/ K (n) не больше 2n3
n −1
n
| K (n) | ≥ 33 − 2n32 ·3
n
+ 3· 23 , а
n
− 3· 23 .
Утверждение 2 доказано.
Из утверждения 2 следует, что класс K содержит почти все функции
n −1
из P3 , поскольку lim
n→∞
n
2n32 ·3
+ 3· 23
n
33
= 0.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Выводы
1. Из теоремы 3 следует, что любую функцию из P3 можно реализовать
схемой, функционирующей с ненадежностью, асимптотически (при ε → 0) не
больше 6ε.
2. Из теоремы 6 следует, что функции класса K (содержащего почти все
функции из P3 ) нельзя реализовать схемами с ненадежностью, асимптотически (при ε → 0) меньше 6ε.
3. Таким образом, почти все функции из P3 можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной 6ε при ε → 0 .
Список литературы
1. В а с и н , А . В. О базисах, в которых асимптотически оптимальные схемы функционируют с ненадежностью 5ε / А. В. Васин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 1 (13). –
С. 64–79.
2. Г р а б о в с к а я, С . М . О надежности неветвящихся программ с ненадежным
оператором условной остановки в произвольном полном конечном базисе /
С. М. Грабовская // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2011. – № 3 (19). – С. 52–60.
3. А л е х и н а , М . А . О ненадежности схем, реализующих функции из P3 /
М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 1 (21). – С. 57–65.
4. Я б л о н с к и й , С . В. Введение в дискретную математику / С. В. Яблонский. – М. :
Наука, 1986. – 384 с.
5. А л е х и н а , М . А . О ненадежности схем из ненадежных функциональных элементов при однотипных константных неисправностях на выходах элементов /
М. А. Алехина // Дискретная математика. – 1993. – Т. 5, № 2. – С. 59.
6. A l e k h i n a , M . A . Synthesis and complexity of asymptotically optimal circuits with
unreliable gates / M. A. Alekhina // Fundamenta Informaticae. – 2010. – № 104 (3). –
P. 219–222.
References
1. Vasin A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fizikomatematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2010, no. 1 (13), pp. 64–79.
2. Grabovskaya S. M. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fizikomatematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2011, no. 3 (19), pp. 52–60.
3. Alekhina M. A., Barsukova O. Yu. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2012, no. 1 (21), pp. 57–65.
4. Yablonskiy S. V. Vvedenie v diskretnuyu matematiku [Introduction into discrete mathematics]. Moscow: Nauka, 1986, 384 p.
5. Alekhina M. A. Diskretnaya matematika [Discrete mathematics]. 1993, vol. 5, no. 2,
p. 59.
6. Alekhina M. A. Fundamenta Informaticae. 2010, no. 104 (3), pp. 219–222.
18
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Алехина Марина Анатольевна
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующая кафедрой
дискретной математики, Пензенский
государственный университет (Россия,
г. Пенза, ул. Красная, 40)
Alekhina Marina Anatol'evna
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of discrete mathematics, Penza State
University (40 Krasnaya street, Penza,
Russia)
E-mail: alehina@pnzgu.ru
Барсукова Оксана Юрьевна
старший преподаватель, кафедра
дискретной математики, Пензенский
государственный университет (Россия,
г. Пенза, ул. Красная, 40)
Barsukova Oksana Yur'evna
Senior lecturer, sub-department of discrete
mathematics, Penza State University
(40 Krasnaya street, Penza, Russia)
E-mail: kuzya_7@mail.ru
УДК 519.718
Алехина, М. А.
Оценки ненадежности схем в базисе Россера – Туркетта / М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2014. – № 1 (29). – С. 5–19.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.3, 517.958, 537.876.46, 517.927
Е. Д. Деревянчук
ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
НА МНОГОСЕКЦИОННОЙ АНИЗОТРОПНОЙ
ДИАФРАГМЕ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ1
Аннотация.
Актуальность и цели. Целью работы является исследование задачи дифракции электромагнитной волны многосекционной анизотропной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод.
Материалы и методы. Применены общие методы теории краевых задач, а
также методы линейной алгебры.
Результаты. Получена явная формула зависимости коэффициента прохождения электромагнитной волны от электромагнитых параметров диафрагмы, а именно: диэлектрической и магнитной проницаемостей.
Выводы. Получены рекуррентные формулы решения задачи дифракции
электромагнитной волны на многосекционной анизотропной диафрагме, помещенной в прямоугольный волновод; результаты решения данной задачи могут быть использованы в нанотехнологиях, нанооптике, а также при исследовании композитных материалов.
Ключевые слова: задача дифракции электромагнитной волны, многосекционная диафрагма, тензор диэлектрической проницаемости, тензор магнитной проницаемости, прямоугольный волновод.
E. D. Derevyanchuk
ELECTROMAGNETIC WAVES DIFFRACTION BY N-SECTIONAL
ANISOTROPIC DIAPHRAGM IN A RECTANGULAR WAVEGUIDE
Abstract.
Background. The article investigates diffraction of electromagnetic waves by nsectional anisotropic diaphragm in a rectangular waveguide.
Materials and methods. The author used the theory of boundary value problem
for Maxwell’s equations and the methods of linear algebra.
Results. The researcher obtained an explicit formula of dependence of the coefficient transmission on the electromagnetic parameters.
Conclusions. The developed recurrent formula allows determining the transmission coefficient of n-sectional anisotropic diaphragm in a rectangular waveguide;
these results can be applied in nanotechnology, optics, and for composite materials
investigation.
Key words: electromagnetic waves diffraction, n-sectional diaphragm, permittivity tensor, permeability tensor, rectangular waveguide.
Введение
Задача дифракции электромагнитной волны на многосекционной диафрагме в прямоугольном волноводе возникает при исследовании нанокомпозитных материалов и наноструктур [1–3]. Данная статья является продолже1
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Минобрнауки РФ (в рамках
госзадания).
20
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
нием работ [4–8]. В работе [4] был представлен метод решения задачи дифракции ЭМ-волны на многосекционной диафрагме, каждая секция которой
имеет скалярные диэлектрическую и магнитную проницаемости; а также
представлено решение обратной к ней задачи. Разработанный метод решения
применяется в работах [5–8].
Данная работа – продолжение работы [5], в которой были рассмотрены
задача дифракции и обратная к ней задача для односекционной диафрагмы
с тензорными электромагнитными параметрами в прямоугольном волноводе.
В отличие от работы [5], будет рассмотрена задача дифракции ЭМ-волны на
многосекционной анизотропной диафрагме, помещенной в прямоугольный
волновод. Предложен рекуррентный метод решения поставленной задачи. На
основе разработанного метода решены задачи дифракции для двух-, трехсекционной диафрагм. Представлены численные результаты.
1. Постановка задачи
Рассмотрим волновод
P = {( x, y, z ) : 0 < x < a,0 < y < b, −∞ < z < ∞}
с идеально проводящими стенками ∂P , расположенный в декартовой системе
координат Oxyz . В волновод помещена неоднородная диафрагма
Q := {( x, y, z ) : 0 < x < a,0 < y < b,0 < z < l} (рис. 1).
Рис. 1. Диафрагма в волноводе
В P \ Q среда изотропна и однородна с проницаемостями ε0 > 0,
μ0 > 0 . Считаем, что всюду магнитная проницаемость постоянна и равна μ0 .
Диафрагма Q представляет собой анизотропную среду с диагональным тензором магнитной проницаемости
 μ ( j ) ( ω)

0
0
 11

j)
(


0
0
μ 22 ( ω)
μˆ ( ω) =


j)

(
0
0
μ33 ( ω) 



Physical and mathematical sciences. Mathematics
(1)
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
и с диагональным тензором диэлектрической проницаемости в каждой
секции:
 ε ( j ) ( ω)

0
0
 11

j)
(
.
ˆε ( ω) = 
ε 22 ( ω)
0
0


j)

(
ε33 ( ω) 
0
0



(2)
j
j
Здесь εˆ ( ω) = εˆ ( ) ( ω) , μˆ ( ω) = μˆ ( ) ( ω) в j -й секции, l j – длина каждой
секции диафрагмы, предполагается известной.
Поведение электромагнитного поля внутри волновода P удовлетворяет
уравнениям Максвелла
rot H = −iωε0 E ,
rot E = iωμ0 H
(3)
вне диафрагмы и
rot H = −iωεˆ E ,
ˆ
rot E = iωμH
(4)
внутри диафрагмы, где E – вектор напряженности электрического поля; H –
вектор напряженности магнитного поля; ω > 0 – круговая частота.
Будем искать решение задачи в виде ТЕ-волн:
(
)
E = 0, E y , 0 , H = ( H x , 0, H z ) .
(5)
Будем предполагать, что внешнее электрическое поле имеет вид волны
H10
 πx 
E0 = A sin   e −iγ 0 z e 2
 a 
с известной амплитудой А, где γ 0 = γ 0 ( ω) ≠ 0 ; k02 = ω2 ε0μ0 ; k0 – волновое
число вакуума; e 2 – орт вдоль оси Oy . Вектор H 0 определяется из второго
уравнения системы (3). Тогда поле E вне объекта Q имеет вид
(
)
  πx 
−i γ 0 z
+ Beiγ 0 z e 2 ,
sin  a  Ae
  
E=
sin  πx  Fe −iγ 0 z e , z > l
2
  a 
z < 0,
(6)
вне объекта Q и
−iγ z
iγ z
 πx 
E = sin   (C j e j + D j e j )e 2 , l j −1 < z < l j , j = 1,, n + 1 .
 a 
22
(7)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Здесь γ n +1 = γ 0 ; A – амплитуда падающей волны; B и F – коэффициенты, подлежащие измерению. На границе областей должны выполняться
следующие условия:
[ E y ]L = 0; [ H x ]L = 0 ,
где L := {( x, y , z ) : z = 0, z = l} ,
[ ]L
(8)
– скачок предельных значений функции на
границе раздела сред L ; E y , H x – тангенциальные составляющие векторов
E, H соответственно.
2. Определение коэффициентов
прохождения и отражения
Из уравнений Максвелла (4) и уравнений (1), (2), (5) получаем
1
( j)
μ33
∂2
∂x
2
Ey +
1
( j)
μ11
∂2
∂z
2
( j)
E y = −ω2 ε 22 E y , j = 1, , n ,
(9)
причем
1
∂

Ey ,
H x = −
j
( )
iωμ11 ∂z


∂
H = 1
E .
z
( j ) ∂x y

ωμ
i
33

Подставляя выражение (7) в уравнение (9), находим выражение для γ j :
( j)
 2 j
π2  μ11
, j = 1,, n .
γ j =  ω ε 22 −


a 2  μ( j )

33
(10)
Из уравнений Максвелла (3) и того, что ε0 , μ0 – скалярные величины,
согласно постановке задачи получаем
∂2
∂x 2
Ey +
∂2
∂z 2
E y = −ω2ε0μ0 E y ,
(11)
причем
1 ∂

 H x = − iωμ ∂z E y ,

0

H = 1 ∂ E .
 z iωμ0 ∂x y
(12)
Подставляя выражение (6) в уравнение (11), находим выражение
для γ 0 :
Physical and mathematical sciences. Mathematics
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
π2
π2
γ 0 = ω2ε0μ0 −
= k02 −
.
a2
a2
(13)
Здесь k0 – волновое число.
С учетом того, что H x = −
∂
E y , граничные условия (8) для век( j)
iωμ11 ∂z
1
тора H можно записать в следующем виде:
∂

 ∂z E y  = 0 .

L
(14)
Подставляя выражения (6), (7) в граничные условия (8), (14), получим
следующую систему уравнений:
 A + B = C1 + D1 ,

 γ 0 ( B − A ) = γ1 ( D1 − C1 ) ,
(1)
μ0
μ11

−iγ j +1l j

−i γ j l j
iγ l
iγ l
+ D j e j j = C j +1e
+ D j +1e j +1 j ,
C j e

 γ j C e −iγ j l j − D eiγ jl j = γ j +1 C e −iγ j +1l j − D eiγ j +1l j .
j
j +1
 ( j) j
( j +1) j +1
μ11
 μ11
(
)
(
(15)
)
Здесь 1 ≤ j ≤ n , Cn +1 = F , Dn +1 = 0 , γ j , γ 0 выражаются по формулам
(10) и (13) соответственно.
Система уравнений (15) относительно неизвестных B , C j , D j представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, которую можно решить любым известным методом решения СЛАУ.
Прямая задача. Требуется по известной амплитуде A падающего поля,
j
известным диагональным тензорам магнитной проницаемости μˆ ( ) и диэлек-
j
трической проницаемости εˆ ( ) и известным длинам l j каждой секции диафрагмы найти электромагнитное поле в волноводе.
Будем использовать разработанный в работе [4] метод для решения поставленной задачи. Выражая коэффициенты C j , D j на j -м шаге через ко-
эффициенты C j +1 , D j +1 на следующем шаге, получим следующую рекуррентную зависимость неизвестного коэффициента прошедшего поля F от
известного коэффициента падающего поля A :
F=
 γ0

 μ0
2 Aγ 0 / μ0
,
γ1    γ 0 γ1  
+
−
 C1 + 
 D1
μ11 
 μ0 μ11 
(16)
где
24
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
±iγ j l j
e
C j , D j =
γj
2
( j)
μ11



 C  γ j ± γ j +1  e −iγ j +1l j +
j
+
1

 μ( j ) μ( j +1) 
11
 11


 γ
γ j +1  iγ j +1l j
j
e
+ D j +1 

 μ( j ) μ( j +1) 
11
 11


 , 1 ≤ j ≤ n;


(17)
C n +1 = Cn+1 = F , D n +1 = Dn +1 = 0 , C j = C j ⋅ F , 1 ≤ j ≤ n;
(18)
D j = D j ⋅ F , 1 ≤ j ≤ n;
(19)
B=
γ
γ 
1  
C1 + D1 0 − ( C1 − D1 ) 1  .

γ
μ0
μ11 
2 0 
μ0
(
)
(20)
Подставляя выражение (17) в формулы (16) и (20), мы получим следующие рекуррентные формулы зависимости коэффициента прохождения
F A и коэффициента отражения B A от компонент диагональных тензоров магнитной проницаемости μ̂ и диэлектрической проницаемости ε̂ и
длин l j :
n
∏
2
F
=
A
γj
( j)
j =0 μ11


γ
(+) γ (+)
e −iγ 0ln  n pn +1 + 0 qn +1 
 μ( n )

μ0
 11


 γn
 (n)
B  μ11
=
A 
 γn
 μ( n )
 11
;

(−) γ (−)
pn +1 + 0 qn +1 

μ0
.

(+) γ (+)
pn +1 + 0 qn +1 

μ0

(21)
(22)
Здесь
( ± ) = γ j −1 p cos α ± γ j q i sin α ;
j
j
( j −1) 1
( j) 1
μ
μ
p1 = 1; p2
11
(±)
p j +1 =
γ j −1
( j −1)
μ11
11
γ j (±)
(±)
p j cos α j +
q i sin α j ;
( j) j
μ11
Physical and mathematical sciences. Mathematics
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
q1 = 1; q2 =
(±)
q j +1 =
γ j −1
p1 i sin α j ±
( j −1)
μ11
γ j −1
( j −1)
μ
(±)
p j i sin α j +
11
γj
( j)
μ11
γj
( j)
μ
q1 cos α j ;
(±)
q j cos α j ;
11
(
)
α j = γ j l j − l j −1 ,
j = 1,..., n.
Элементы γ j , γ 0 определяются по формулам (10), (13) соответственно.
Таким образом, формулы (6), (7), (12), (17)–(19), (21), (22) будут давать
полное решение задачи дифракции.
3. Численные результаты
На основе предложенного метода решены задачи для случаев двух- и
трехсекционной диафрагм. Результаты вычислений представлены, соответственно в табл. 1, 2. Все единицы измерения указаны в системе СГС.
Таблица 1
Двухсекционная диафрагма
Исходные данные
Результаты вычислений
B = −0,179 − 0,984i,
(1)
( 2)
l1 = 1,5 см, l2 = 2 см, ε 22 = 1,3 , ε22 = 1,5 ,
(1)
(1)
μ11 = −1,8 , μ33 = −1,5 ,
( 2)
C1 = 3, 497 ⋅ 10−6 + 3, 497 ⋅ 10−6 i,
D1 = 0,821 − 0,984i,
C2 = 2,562 ⋅ 10−3 − 2,51 ⋅ 10−3 i,
( 2)
μ11 = 1,7 , μ33 = 2
D2 = −2,11 ⋅ 10−4 − 1,098 ⋅ 10−3 i
F = −1, 432 ⋅ 10−3 + 3,517 ⋅ 10−3 i
B = −0,108 + 0,032i,
(1)
C1 = 0,909 + 2,657 ⋅ 10−3 i,
( 2)
l1 = 1,5 см, l2 = 2 см, ε 22 = 1,3 , ε22 = 1,5 ,
(1)
μ11
(1)
= 1,8 , μ33
( 2)
= −1,5 , μ11
( 2)
= 1,7 , μ33
(1)
=2
l1 = 1,5 см, l2 = 2 см, ε 22 = 1,3 + 0,1i ,
( 2)
(1)
(1)
ε 22 = 1,5 μ11 = 1,8 , μ33 = 1,5 ,
( 2)
( 2)
μ11 = 1,7 , μ33 = 2
D1 = −0,016 + 0,03i,
C2 = 0,713 − 0,61i,
D2 = −0,055 − 6,56 ⋅ 10−3 i
F = −0, 435 + 0,893i
B = 0,077 − 0, 231i,
C1 = 1,016 − 0,02i,
D1 = 0,061 − 0, 21i,
C2 = 1,08 + 0,536i,
D2 = −0,02 − 0,068i
F = −1, 275 − 0,066i
26
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Таблица 2
Трехсекционная диафрагма
Исходные данные
Результаты вычислений
B = −0,945 − 0,188i,
l1 = 1, 2 см, l2 = 1,5 см, l2 = 2 см,
C1 = 0,821 − 0,017i,
ε 22 = 1, 4 , ε 22 = 2 , ε 22 = 5 ,
D1 = −0,766 − 0,17i,
(1)
( 2)
(1)
( 3)
(1)
C2 = −5, 419 ⋅ 10−5 − 2,875 ⋅ 10−5 i,
( 2)
D2 = −45, 484 + 440,38i,
μ11 = 1,3 , μ33 = 1,8 ,
( 2)
μ11 = −1,8 , μ33 = −1,5 ,
C3 = −0,028 + 0, 2i,
( 3)
( 3)
μ11 = 2 , μ33 = 4
D3 = −0,016 + 0,066i,
F = −0, 218 + 0,159i
B = −0,105 − 0,129i,
l1 = 1, 2 см, l2 = 1,5 см, l2 = 2 см,
(1)
ε 22
C1 = 0,899 − 0,012i,
( 2)
( 3)
= 1, 4 , ε 22 = 1,7 , ε 22 = 1,9 ,
(1)
(1)
μ11 = 1,3 , μ33 = 1,8 ,
( 2)
( 2)
μ11 = 1,8 , μ33 = 1,5 ,
( 3)
( 3)
μ11 = 2 , μ33 = 4
D1 = −3, 489 ⋅ 10−3 − 0,117i,
C2 = 0, 423 + 0,823i,
D2 = −45, 484 + 440,38i,
C3 = −0,028 + 0, 2i,
D3 = −0,016 + 0,066i,
F = −0, 218 + 0,159i
B = −0,121 − 0,149i,
l1 = 1, 2 см, l2 = 1,5 см, l2 = 2 см,
(1)
( 2)
( 3)
ε 22 = 1, 4 + 0,01i , ε 22 = 1,7 , ε 22 = 1,9 ,
(1)
(1)
μ = 1,3 , μ = 1,8 ,
33
11
( 2)
( 2)
μ11 = 1,8 , μ33 = 1,5 + 0, 2i ,
C1 = 0,897 − 0,016i,
D1 = −0,018 − 0,134i,
C2 = 0, 404 + 0,788i,
D2 = −0,115 − 0,024i,
C3 = −0,507 + 0,715i,
( 3)
( 3)
μ11 = 2 + 0,03i , μ33 = 4
D3 = −0,043 + 0,09i,
F = −0,996 + 0, 281i
Параметры волновода: a = 2 см, b = 1 см, c = 2 см, измерения проводятся на частоте f = 11,93 ГГц, амплитуда падающего поля A = 1 . Диэлектрическая и магнитная проницаемости вне диафрагмы равны: ε0 = 1 , μ0 = 1 .
В первом столбце таблиц указаны длины l j каждой секции диафрагмы, а
также компоненты тензоров, необходимые для вычислений. Следует отметить, что из формул (10), (21) для проведения вычислений достаточно знать
( j)
значения компоненты ε22 диагонального тензора диэлектрической проница-
( j)
( j)
емости и значения компонент μ11 , μ33 диагонального тензора магнитной
проницаемости. Во втором столбце представлены вычисленные значения коэффициентов B , C j , D j , F .
Physical and mathematical sciences. Mathematics
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Подставляя значения коэффициентов B , C j , D j ( j = 1, 2 ), F в уравнения поля (6), (7), (12), получаем полное решение задачи дифракции для
двухсекционной диафрагмы. В качестве математического пакета для реализации данной модели использовался пакет компьютерной математики MathCad.
Подставляя значения коэффициентов B , C j , D j , ( j = 1, 2, 3 ), F
в уравнения поля (6), (7), (12), получаем полное решение задачи дифракции
для трехсекционной диафрагмы.
Заключение
В данной работе рассмотрена задача дифракции ЭМ-волны на многосекционной диафрагме, каждая секция которой имеет скалярные диэлектрическую и магнитную проницаемости, в прямоугольном волноводе. Разработан рекуррентный метод решения поставленной задачи, на основе которого
решены задачи дифракции для двух- и трехсекционной диафрагм.
Список литературы
1. S o l y m a r , L . Waves in Metamaterials / L. Solymar, E. Shamonina. – Oxford : Oxford
University Press, 2009.
2. У с а н о в, Д . А . Комплексная диэлектрическая проницаемость композитов на
основе диэлектрических матриц и входящих в их состав углеродных нанотрубок /
Д. А. Усанов, А. В. Скрипаль, А. В. Романов // Журнал технической физики. –
2011. – Т. 81, № 1. – С. 106–110.
3. Ta o P a n . Study of a slab waveguide loaded with dispersive anisotropic / Tao Pan,
Guo-Ding Xu, Tao-Cheng Zang, Lei Gao // Applied Physics A. – 2009. – Р. 367–372.
4. Д е р е в я н ч у к , Е. Д . Решение обратной задачи определения диэлектрической
проницаемости диафрагмы в волноводе / Е. Д. Деревянчук // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. –
№ 4 (20). – С. 36–43
5. Д е р е в я н ч у к , Е. Д . Решение обратной задачи определения тензора магнитной
проницаемости диафрагмы в прямоугольном волноводе / Е. Д. Деревянчук // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2013. – № 1 (25). – С. 34–44.
6. S m i r n o v , Y u . G . Permittivity reconstruction of layered dielectrics in a rectangular
waveguide from the transmission coefficients at different frequencies / Yu. G. Smirnov,
Yu. V. Shestopalov, E. D. Derevyanchuk // Inverse Problems and Large-Scale Computations, Series: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. – New York, Heidelberg, Dordrecht, London, 2013. – Vol. 52. – Р. 169–182.
7. S m i r n o v , Y u . G . Permittivity determination of multi-sectional diaphragm with
metamaterial layers in rectangular waveguide / Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov,
E. D. Derevyanchuk // Proceedings of Progress in Electromagnetic Research
Symposium (PIERS 2013). – Taipei, Taiwan, 2013. – P. 135–139.
8. S m i r n o v , Y u . G . Reconstruction of permittivity and permeability tensors
of anisotropic materials in a rectangular waveguide from the reflection and transmission
coefficients at different frequencies / Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov,
E. D. Derevyanchuk // Proceedings of Progress in Electromagnetic Research
Symposium (PIERS 2013). – Stockholm, Sweden, 2013. – P. 290–295.
References
1. Solymar L., Shamonina E. Waves in Metamaterials. Oxford: Oxford University Press,
2009.
28
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
2. Usanov D. A., Skripal' A. V., Romanov A. V. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Journal of
technical physics]. 2011, vol. 81, no. 1, pp. 106–110.
3. Tao Pan., Guo-Ding Xu, Tao-Cheng Zang, Lei Gao Applied Physics A. 2009, pp. 367–
372.
4. Derevyanchuk E. D. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2011, no. 4 (20), pp. 36–43
5. Derevyanchuk E. D. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2013, no. 1 (25), pp. 34–44.
6. Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu. V., Derevyanchuk E. D. Inverse Problems and
Large-Scale Compu-tations, Series: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics.
New York, Heidel-berg, Dordrecht, London, 2013, vol. 52, pp. 169–182.
7. Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu.V., Derevyanchuk E. D. Proceedings of Progress in
Electromagnetic Research Symposium (PIERS 2013). Taipei, Taiwan, 2013, pp. 135–
139.
8. Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu. V., Derevyanchuk E. D. Proceedings of Progress in
Electromagnetic Research Symposium (PIERS 2013). Stockholm, Sweden, 2013,
pp. 290–295.
Деревянчук Екатерина Дмитриевна
аспирант, Пензенский государственный
университет (Россия, г. Пенза,
ул. Красная, 40)
Derevyanchuk Ekaterina Dmitrievna
Postgraduate student, Penza State
University (40 Krasnaya street,
Penza, Russia)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
УДК 517.3, 517.958, 537.876.46, 517.927
Деревянчук, Е. Д.
Задача дифракции электромагнитной волны на многосекционной
анизотропной диафрагме в прямоугольном волноводе / Е. Д. Деревянчук //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2014. – № 1 (29). – С. 20–29.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.968, 517.983.37, 517.958:535.4
А. А. Цупак
О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ
АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ НА СИСТЕМЕ
НЕПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ЭКРАНОВ И НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ1
Аннотация.
Актуальность и цели. Целью работы является теоретическое исследование
скалярной задачи рассеяния плоской волны препятствием сложной формы, состоящим из нескольких объемных тел, бесконечно тонких, акустически мягких и акустически жестких экранов.
Материалы и методы. Задача рассматривается в квазиклассической постановке (решение разыскивается в классическом смысле всюду, за исключением
края экранов); для доказательства основной теоремы применяются классические интегральные формулы анализа, распространенные на пространства
функций Соболева, элементы теории следов псевдодифференциальных операторов на многообразиях с краем.
Результаты. Сформулирована квазиклассическая постановка задачи дифракции; доказана теорема о единственности квазиклассического решения
скалярной задачи дифракции.
Выводы. Предложенный метод исследования позволяет получить важный
результат о единственности квазиклассического решения задачи дифракции,
который может быть использован при исследовании разрешимости интегральных уравнений задач рассеяния и обосновании численных методов их приближенного решения.
Ключевые слова: задача дифракции, квазиклассические решения, теорема
единственности, пространства Соболева.
A. A. Tsupak
ON UNIQUENESS OF SOLUTION OF THE PROBLEM
OF ACOUSTIC WAVE DIFFRACTION ON A SYSTEM OF NONINTERSECTING SCREENS AND HETEROGENEOUS BODIES
Abstract.
Background. The work is aimed at theoretical study of the scalar problem of
plane wave scattering by an obstacle of complex shape consisting of several solid
bodies, infinitely thin, acoustically soft and acoustically hard screens.
Materials and methods. The problem is considered in the quasiclassical
formulation (solution is sought in the classical sense everywhere except the screen
boundary); to prove the main theorem the author used classical integral formulas
generalized for the elements of Soboblev spaces as well as the trace theory for
pseudodifferential operators on manifolds with a boundary.
Results. The researcher suggests the quasiclassical formulation of the diffraction
problem; the theorem on uniqueness of the quasi-classical solution of the boundary
value problem was proved.
Conclusions. The suggested research method allows to obtain the important result on the uniqueness of the quasi-classical solution of the diffraction problem and
1
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-07-97010р\_поволжьe\_а).
30
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
can be used in the study of solvability of integral equations which arise in the diffraction theory as well as for validation of numerical methods of approximate solution thereof.
Key words: diffraction problem, quasi-classical solutions, uniqueness theorem,
Sobolev spaces.
Введение
Настоящая работа посвящена исследованию скалярной задачи дифракции плоской волны на системе, состоящей из двух- и трехмерных рассеивателей сложной формы. Как задачи дифракции на экранах, так и задачи дифракции на неоднородных телах, по существу, являются хорошо изученными
в работах отечественных и зарубежных исследователей. В работах [1–4] исследован широкий класс задач акустического рассеяния в ограниченных и
неограниченных трехмерных областях методом поверхностных интегральных
уравнений. Исследование скалярных задач дифракции на незамкнутых экранах и их численное решение описано, например, в работе [5].
Изучению задач дифракции посвящен ряд работ автора настоящего исследования. Изучение задач дифракции на объемных рассеивателях методом
сингулярных интегральных уравнений проведено в статьях [6–9].
В данной статье рассматривается новый тип задач – рассеивающую
структуру образуют и объемные тела, и бесконечно тонкие экраны. Решением
задачи называется функция, определенная всюду, кроме края экранов, удовлетворяющая в классическом смысле уравнению Гельмгольца, условиям непрерывности на границе раздела сред, условиям акустической мягкости или
жесткости экранов и условиям излучения на бесконечности.
Доказательство основного утверждения вызывает ряд трудностей, связанных с незамкнутостью рассеивающих экранов. Для таких рассеивателей
решения, как известно, являются неограничеными вблизи края экрана, поэтому интегральные формулы анализа неприменимы в классической формулировке. В данной статье показано, что первая формула Грина применима для
функций из пространств Соболева. На основе указанной формулы и свойств
решений уравнения Гельмгольца на бесконечности доказывается теорема
единственности.
1. Постановка краевой задачи
Рассмотрим в пространстве  задачу дифракции акустических волн
на системе непересекающихся тел Qi и экранов Ω1, j , Ω 2,k .
3
Пусть
 Ωi, j , Ω1. j
1
 Ω1, j2 = ∅ ( j1 ≠ j2 ) ,
 Ω2,k , Ω2,k
1
 Ω2,k2 = ∅ (k1 ≠ k2 ) –
Ω1 =
j
Ω2 =
k
объединение конечного числа связных ориентируемых незамкнутых и
непересекающихся ограниченных поверхностей класса C ∞ в 3 , причем
Physical and mathematical sciences. Mathematics
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Ω1  Ω 2 = ∅. Край ∂Ωi , j := Ωi, j \ Ωi, j поверхности Ωi, j (i = 1, 2) есть гладкая
кривая класса C ∞ без точек самопересечения;
Ω := Ω1  Ω 2 и ∂Ω := ∂Ω1  ∂Ω 2 .
Определим трубчатые окрестности края экранов:
∂Ωi ,δ :=
 Bδ ( x),
x∈∂Ω
где Bδ ( x) – открытый шар в 3 с центром в точке x радиуса δ.
Предполагаем, что Qi – ограниченные области, границы которых
∂Qi = Qi \ Qi – кусочно-гладкие замкнутые ориентируемые поверхности,
состоящие из конечного числа поверхностей класса C1. Определим
Q :=
Qi . Предполагаем, что Q  Ω = ∅. Рассматриваемые тела являются

i
в общем случае акустически неоднородными – неоднородность задачи
описывается функцией
c

 ke , x ∈ Q  Ω ,
k ( x) = 
ki ( x), x ∈ Qi ,
(
)
где ki ( x) ∈ C ∞ (Qi ) ; свободное пространство однородно с волновым числом
ke ; всюду в 3 выполняются условия Re k ( x) > 0 и Im k ( x) ≥ 0. Здесь и
∂u
– производная
всюду ниже приняты обозначения: M c := 3 \ M ; un :=
∂n
в направлении единичного вектора нормали n , внешней к области
определения функции u .
Предполагаем, что экран Ω1 акустически мягкий, а Ω2 – акустически
жесткий с определенным заранее полем внеших нормалей n . Пусть также
M – гладкая замкнутая ориентируемая поверхность, содержащая Ω 2 , а M + ,
M − – области, внешняя и внутренняя по отношению к M .
Задача дифракции плоской волны
ik (αx +βx +γx )
u0 ( x) = e e 1 2 3 ,
x ∈ 3
(вектор (α, β, γ )T задает направление падения волны u0 , α 2 + β2 + γ 2 = 1 ), на
системе тел и бесконечно тонких экранов состоит в определении полного
поля u = u ( x)
(
u ∈ C 2 (∂Q ∪ Ω)c
32
)  C1 (Qc \ Ω )  C1(Q)  C ( (∂Ω1,δ )c ) 
δ>0
δ>0
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
 C (M + \ ∂Ω2,δ )  C (M − \ ∂Ω2,δ ),
δ>0
(1)
δ>0
удовлетворяющего уравнению Гельмгольца вне экранов и границы тел
Δu ( x) + k 2 ( x)u ( x) = 0,
(
)
c
x ∈ ∂Q ∪ Ω ,
(2)
условиям сопряжения на границе ∂Q тел
 ∂u 
[u ] ∂Q = 0,  
= 0,
 ∂n  ∂Q
(3)
краевым условиям Дирихле и Неймана на поверхности экранов Ω1 и Ω2
соответственно (за исключением точек края экранов)
u Ω1 = 0, un Ω = 0,
2
(4)
условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме пространства
1
u ∈ H loc
(3 )
(5)
и условиям излучения Зоммерфельда для рассеянного поля us := u − u0 на
бесконечности
∂us
1
= ikeus + o   , при Im ke = 0;
∂r
r
 1 
us (r ) = O   , при Im ke > 0; r := x → ∞.
 r2 
(6)
Определение 1. Решение u ( x) задачи (2)–(6), удовлетворяющее
условиям (1), будем называть квазиклассическим.
2. Единственность решения краевой задачи
Теорема 2. При Im k ( x) ≥ 0 неоднородная краевая задача (2)–(6) имеет
не более одного решения.
Доказательство. Достаточно показать, что однородная краевая задача
с условием на экране для рассеянного поля us Ω = 0 имеет только
тривиальное решение.
Дополним экраны Ωi ,(i = 1, 2) до произвольных кусочно-гладких
односвязных замкнутых ориентируемых поверхностей ∂Vi , охватывающих
ограниченные области Vi ⊂ 3 таких, что Q  V 1 , Q  V 2 = ∅. Далее пусть
B := BR (0) – шар достаточно большого радиуса R и такой, что Q, Vi ⊂ B.
Обозначим Q =: V3 и определим область V4 := B \ (V 1  V 2  V 3 ) с границей
c
∂V4 = ∂B  ∂V1  ∂V2  ∂V3 ; также рассмотрим V5 := B .
Physical and mathematical sciences. Mathematics
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рассматриваемую краевую задачу для рассеянного поля us сведем
к следующей задаче сопряжения в областях Vi :
(Δ + ke2 )vi ( x) = 0, x ∈Vi
vi ( x) := us ( x), x ∈V i ;
(i = 1, 2, 4,5) ,
v3 ( x) := us ( x), x ∈V 3 ; (Δ + k 2 ( x))v3 ( x) = 0, x ∈V3 ,
∂v5
1
= ik0v5 + o   , r → +∞ ;
∂r
r
(7)
v1 ( x) = v4 ( x), x ∈ ∂V1 , v1,n ( x) = −v4,n ( x), x ∈ ∂V1 \ Ω1 ,
v1 ( x) = v4 ( x) = 0, x ∈Ω1 ,
v2,n ( x) = −v4,n ( x), x ∈ ∂V2 , v2 ( x) = v4 ( x), x ∈ ∂V2 \ Ω 2 ,
v2,n ( x) = −v4,n ( x), x ∈ Ω 2 ,
v3 ( x) = v4 ( x), x ∈ ∂V3 , v3,n ( x) = −v4,n ( x), x ∈ ∂V3 ,
v4 ( x) = v5 ( x), x ∈ ∂B, v4,n ( x) = −v5,n ( x), x ∈ ∂B .
(8)
Условия vi ,n = −v j ,n означают равенство нормальных производных
поля при переходе через границы смежных областей c учетом направления
векторов внешней нормали.
Применим
первую
формулу
 ( uΔv + ∇u∇v ) dV =  uvn ds
Грина
∂V
V
в ограниченных областях Vi (i = 1, 2,3, 4), беря в качестве u , v соответственно
vi , vi , и учтем уравнение Гельмгольца:
 ( vi Δvi + | ∇vi |
2
Vi
) dx = −ke2  | vi |2 dx +  | ∇vi |2 dx =  vi vi,n ds,
Vi
 ( v3Δv3 + | ∇v3 |
2
V3
i = 1, 2, 4 ,
∂Vi
Vi
) dx = −  k 2 ( x) | v3 |2 dx +  | ∇v3 |2 dx =  v3v3,n ds .
V
V
∂V
3
3
(9)
3
Применимость формулы Грина в областях V1 ,V2 ,V4 требует
дополнительного доказательства, так как в общем случае решение будет
неограниченным (см. [5]) в окрестности края экрана.
Определим дифференциальные операторы Гельмгольца в областях Q и
( Q  Ω1  Ω2 )
c
:
Pu ( x) := (−Δ − k 2 ( x))u ( x), x ∈ Q ,
(
Pe u ( x) := (−Δ − ke2 )u ( x), x ∈ Q  Ω1  Ω 2
34
)
c
.
(10)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Пусть V – произвольная ограниченная область, не пересекающаяся
с ∂Q  Ω. Введем пространство H 1P (V ) – это множество функций из
1
пространства Соболева u ∈ H 1 (V ) ⊂ H loc
(3 ) таких, что Pu ∈ L2 (V )
(оператор P определяется по области V согласно (10)). Норма в этом
пространстве задается следующим образом:
 u 2 1
H P (V )
:= u 2 1
H P (V )
+  Pu L2 (V ) .
2
Важное значение в последующих рассуждениях будет играть
следующее утверждение (см. [3, с. 614]) о следах (определение следа см.,
например, в [10]): если V ⊂ 3 – ограниченная область с кусочно-гладкой
(или даже липшицевой) границей, то оператор следа
γ 0 : u  γ 0u := u ∂V
s
непрерывен, как отображение из H loc
(3 ) в H s −1/2 (∂V ) и при всех
s ∈ (0,5; 1] имеет непрерывный правый обратный оператор
s
γ 0− : H s −1/2 (∂V ) → H loc
(3 ).
Следовательно, для функций u ∈ H 1P имеем γ 0u ∈ H 1/2 (∂V ) для любой
области V рассматриваемого класса, не пересекающейся с ∂Q  Ω . Для
функций u ∈ H 2 (V ) в ограниченных областях V определена нормальная
производная на границе ∂V : γ1u := un ∂V .
Запишем формулу Грина в виде
 γ1v, u  :=
 uvn ds =  ( uΔv + ∇u∇v ) dx.
∂V
V
Этим равенством по гладкой функции v определяется непрерывный
функционал γ1v в классах достаточно гладких на ∂V функций.
Непрерывность γ1v сохраняется и в соболевских пространствах.
Точнее, верно утверждение (см. [3, с. 617]): если v ∈ H 1P (V ), то отображение
ϕ   γ1v, ϕ :=
 ( γ0 ϕ ⋅ Δv + ∇γ0 ϕ ⋅ ∇v ) dx
−
−
V
представляет собой непрерывный линейный функционал γ1v на H 1/2 (∂V ),
совпадающий при v ∈ H 2 (V ) с обобщенной функцией
vn ∂V ∈ L2 (∂V ) ⊂ H −1/2 (∂V ),
кроме того, отображение γ1 : H 1P (V ) → H −1/2 (∂V ) непрерывно.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Так как пространство C ∞ (V ) плотно в H 1P (V ), то первая формула
Грина может быть распространена по непрерывности. Следовательно, для
 ( uΔv + ∇u∇v ) dx =  γ1v, γ 0u.
всех v ∈ H 1P (V ), u ∈ H 1 (V ) верно равенство
V
Преобразуем правые части равенств (9), используя граничные условия
из (8)
 v1v1,n ds = 
∂V1
 v2v2,n ds = 
v1v1,n ds,
∂V1 \ Ω1
 v4v4,n ds = − 
∂V4
∂V2

v1v1,n ds −
∂V1 \ Ω1
v2v2,n ds,
∂V2 \ Ω2
v2 v2,n ds −
∂V2 \ Ω2
 v3v3,n ds +  v4v4,n ds .
∂V3
(11)
∂B
Сложим равенства (9) и (11)
 v4v4,n ds = −ke  | v1 |
2
∂B
2
dx − ke2
V1
 | v2 |
2

dx − k 2 ( x) | v3 |2 dx − ke2
V2
V3
 | v4 |
2
dx +
V4
4
+
  | ∇vi |2 dx = −  v5v5,n ds
i =1V
i
(12)
∂B
и рассмотрим несколько случаев.
Пусть k ( x) всюду вещественно. Беря мнимую часть равенства (12)
с учетом условия излучения, выводим




Im  v5v5,n ds  = Im  (ike v5 + o( R −1 ))v5 ds  =




 ∂B

 ∂B



 | v5 |
2
= ke
ds +
∂B
 o( R
−2
)ds = ke
∂B
 | v5 |
2
ds + o(1) = 0.
∂B
В силу леммы Реллиха (см. [1, с. 88]) v5 ≡ 0 в V5 , откуда ui ≡ 0 в Vi
в силу условий сопряжения на границах областей и непрерывности всех
функций.
Пусть теперь всюду Im k > 0. Из второго условия в (6) следует
u ( x) = O( R −2 ) на сфере ∂B и левая часть равенства (12) исчезает при
R → +∞. Следовательно,
− ke2
  | vi |
2

2
2
dx − k ( x) | v3 | dx +
i =1,2,4V
i
3
  | ∇vi |2 dx → 0,
R → +∞. (13)
i =1V
i
V3
Беря мнимую часть (13), получим
− Re ke Im ke
  | vi |2 dx −  (Re kIm k )( x) | v3 |2 dx → 0,
i =1,2,4V
i
36
R → +∞.
V3
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Здесь оба слагаемых имеют один знак в силу ограничений на
параметры среды, откуда снова заключаем, что vi ( x) ≡ 0, x ∈Vi , i = 1, 2,3, 4.
Если, наконец, в свободном пространстве ke > 0, а внутри тела
(Im kRe k )( x) > 0, то снова получаем тот же результат: сначала по лемме
Реллиха находим, что v5 ≡ 0 вне некоторого шара BR ; далее, если необходимо,
перейдем к шару большего радиуса BR′ так, чтобы выполнялось условие

v5v5,n ds = 0,
∂BR′
откуда и получим требуемое утверждение. Теорема доказана.
Заключение
Доказанная теорема играет существенную роль для дальнейшего исследования поставленной задачи дифракции. Методами теории потенциала исходная краевая задача может быть сведена к системе интегральных уравнений по области Q и поверхностях Ωi . Несложно показать, что оператор такой системы, как псевдодифференциальный оператор в пространствах Соболева, является фредгольмовым. Прямое доказательство его инъективности затруднительно – его можно провести, установив эквивалентность интегральных уравнений исходной краевой задаче и однозначную разрешимость последней. Результаты такого исследования будут представлены в следующих
статьях.
Список литературы
1. К о л то н , Д . Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон,
Р. Кресс. – М. : Мир, 1987. – 311 с.
2. D u r a n d , M . Layer potentials and boundary value problems for the Helmholz
equation in the complement of a thin obstacle / M. Durand // Math. Meth. Appl. Sci. –
1983. – Vol. 5 (1). – P. 389–421.
3. C o s t a b e l , M . A direct boundary integral equation method for transmission problems /
M. Costabel, E. Stephan // J. Math. Anal. Appl. – 1985. – Vol. 106.0. – P. 367–413.
4. T u r c , C . Efficient Solution of Three-Dimensional Problems of Acoustic and
Electromagnetic Scattering by Open Surfaces / C. Turc, A. Anand, O. Bruno,
J. Chaubell // Proceedings of the Waves Conference (July 25–29, 2011). – URL:
https://filer.case.edu/cct21/abstract_waves11_abct.pdf
3
5. S t e p h a n , E . P . Boundary integral equations for screen problems in  / E. P. Stephan // Integral equations and potential theory. – 1987. – Vol. 10. – P. 236–257.
6. С м и р н о в , Ю . Г . Исследование электромагнитной задачи дифракции на
диэлектрическом теле методом объемного сингулярного интегрального уравнения /
Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Дифференциальные уравнения. – 2005. – Т. 41,
№ 9. – С. 1190–1197.
7. С м и р н о в , Ю . Г . Существование и единственность решения объемного
сингулярного интегрального уравнения в задаче дифракции / Ю. Г. Смирнов,
А. А. Цупак // Журнал вычислительной математики и математической физики. –
2004. – Т. 44, № 12. – С. 2264–2274.
8. М е дв е ди к , М . Ю . Численное решение объемного сингулярного интегрального
уравнения методом коллокаций / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия
Physical and mathematical sciences. Mathematics
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2009. – № 4 (12). – С. 54–69.
9. С м и р н о в , Ю . Г . Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Ю. Г. Смирнов, М. Ю. Медведик, Д. И. Васюнин // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. –
№ 3 (11). – С. 71–87.
10. А г р а н о в и ч , М . С . Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические
задачи в областях с гладкой и липшицевой границей / М. С. Агранович. – М. :
МЦНМО, 2013. – 379 c.
References
1. Kolton D., Kress R. Metody integral'nykh uravneniy v teorii rasseyaniya [Methods of
integral equations in the scattering theory]. Moscow: Mir, 1987, 311 p.
2. Durand M. Math. Meth. Appl. Sci. 1983, vol. 5 (1), pp. 389–421.
3. Costabel M. A, Stephan E. J. Math. Anal. Appl. 1985, vol. 106.0, pp. 367–413.
4. Turc C., Anand A., Bruno O., Chaubell J. Proceedings of the Waves Conference (July
25–29, 2011). Available at: https://filer.case.edu/cct21/abstract_waves11_abct.pdf
5. Stephan E. P. Integral equations and potential theory. 1987, vol. 10, pp. 236–257.
6. Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations].
2005, vol. 41, no. 9, pp. 1190–1197.
7. Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy
fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 2004, vol. 44, no. 12,
pp. 2264–2274.
8. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy.
Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2009, no. 4 (12), pp. 54–69.
9. Smirnov Yu. G., Medvedik M. Yu., Vasyunin D. I. Izvestiya vysshikh uchebnykh
zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings.
Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2009, no. 3 (11), pp. 71–87.
10. Agranovich M. S. Sobolevskie prostranstva, ikh obobshcheniya i ellipticheskie zadachi
v oblastyakh s gladkoy i lipshitsevoy granitsey [Sobolev spaces, generalizations thereof
and elliptic problems in areas with Lipschitz smooth boundary]. Moscow: MTsNMO,
2013, 379 p.
Цупак Алексей Александрович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский
государственный университет (Россия,
г. Пенза, ул. Красная, 40)
Tsupak Aleksey Aleksandrovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics and super
computer modeling, Penza State University
(40 Krasnaya street, Penza, Russia)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
УДК 517.968, 517.983.37, 517.958:535.4
Цупак, А. А.
О единственности решения задачи дифракции акустической волны
на системе непересекающихся экранов и неоднородных тел / А. А. Цупак //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2014. – № 1 (29). – С. 30–38.
38
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
УДК 004.02
И. В. Бойков, О. А. Баулина
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ НА НЕЙРОННЫХ СЕТЯХ ХОПФИЛДА
Аннотация.
Актуальность и цели. Решение задач математической физики на искусственных нейронный сетях является активно развивающимся направлением,
объединяющим методы вычислительной математики и информатики. Применение нейронных сетей особенно эффективно при решении обратных и некорректных задач и уравнений с неточно заданными параметрами. В настоящее
время основным методом решения задач математической физики на искусственных нейронных сетях является минимизация функционала погрешности.
Целью данной работы является построение устойчивого и быстродействующего метода решения уравнений математической физики на искусственных
нейронный сетях, основанного на теории устойчивости решений дифференциальных уравнений.
Материалы и методы. В работе предлагается приближенный метод решения эллиптических уравнений на нейронных сетях Хопфилда. Метод заключается в аппроксимации исходной краевой задачи разностной схемой и построении системы обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой
сходится к точному решению разностной схемы.
Результаты. Предложен метод решения краевых задач для линейных и нелинейных эллиптических уравнений, основанный на методах теории устойчивости. Эффективность метода проиллюстрирована модельными примерами.
Выводы. Результаты работы могут быть использованы при решении широкого класса краевых задач для линейных и нелинейных эллиптических уравнений, определенных в кусочно-гладких областях.
Ключевые слова: нейронная сеть Хопфилда, краевые задачи для эллиптических уравнений, устойчивые методы решения.
I. V. Boykov, O. A. Baulina
APPROXIMATE SOLUTION OF ELLIPTIC
EQUATIONS ON HOPFIELD NEURAL NETWORKS
Abstract.
Background. Solution of mathematical physics’ problems on artificial neural
networks is an actively developing concept combining methods of calculus mathematics and computer science. Application of neural networks is especially effective
in solution of reverse and incorrect problems and equations with inaccurately set parameters. At the present time the main method of solution of mathematical physics’
problems on artificial neural networks is minimization of functional error. The study
is aimed at development of a stable and quick method of solving mathematical physics’ problems on artificial neural networks, based on the theory of differential equation solution stability.
Materials and methods. The article describes an approximate method of elliptic
equations’ solution on Hopfield neural networks. The method consists in approximation of the source boundary problem of difference scheme and formation of a
system of regular differential equations, the solution of which is reduced to solution
of the difference scheme.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Results. The authors suggest a method of boundary problem solution for linear
and non-linear elliptic equations, based on the methods of the stability theory. Effectivenes of the method is demonstrated by the model examples.
Conclusions. The results of the study may be used for solution of a wide class of
boundary problems for linear and non-linear elliptic equations, determined in sectionally smooth areas.
Key words: Hopfield neural network, boundary problems for elliptic equations,
stable solution methods.
Применение нейронных сетей Хопфилда [1, 2] для решения задач
математической физики основано на возможности представления нейрона в
виде электронной схемы, описываемой нелинейным обыкновенным
дифференциальным уравнением. Согласно этому представлению i -й нейрон,
соединенный с N нейронами сети (включая самого себя), описывается
системой уравнений
Ci
N
dui
u
= − i + wij f (u j ) + I i , i = 1, 2, , N ,
dt
Ri j =1

где wij – синаптические веса нейронов сети; Ii – ток, представляющий
внешнее смещение; ui – индуцированное локальное поле на входе функции
активации f (ui ) ; f (ui ) – нелинейные функции активации; Ri и Ci –
сопротивление утечки и емкость утечки соответственно.
Опишем архитектуру нейронной сети Хопфилда, используемой
в данной работе. Предлагаемая сеть, состоящая из n нейронов, показана на
рис. 1.
В нейронную сеть входят нелинейные устройства, реализующие
нелинейные функции fi ( x1 , x2 , , xn ), i = 1, 2, , m.
Выходные сигналы fi ( x1 , x2 ,, xn ), i = 1, 2, , n, суммируются в блоке
wij ,
i = 1, 2, , n,
сумматора с синаптическими коэффициентами
j = 1, 2, , m, и после прохождения RC цепочки подаются на вход
устройства активации, реализующего функцию x = ϕ(u ).
В данной архитектуре используется функция ϕ(u ) = au. Таким образом,
представленная на рис. 1 нейронная сеть Хопфилда реализует систему
нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
Ci dxi (t ) xi (t ) m
= wij fij ( x1 ,, xn ) + I i , i = 1, 2,, n.
+
a dt
aRi
j =1

Отметим, что в качестве сопротивлений Ri могут браться достаточно
большие значения, а также Ii могут полагаться равными нулю. В результате
нейронные сети Хопфилда могут моделировать системы уравнений вида
Ci dxi (t ) m
= wij fij ( x1 ,, xn ), i = 1, 2,, n.
a dt
j =1

40
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Рис. 1. Архитектура нейронной сети
В известных авторам работах численные методы решения задач
математической физики на искусственных нейронных сетях (ИНС) основаны
на методах минимизации функционалов (подробная библиография работ по
численным методам решения задач математической физики на ИНС
содержится в [3]). В данной работе, являющейся продолжением работы [4, 5],
в основу построения алгоритмов положены методы теории устойчивости
решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Ниже используются следующие обозначения:
R (a, r ) = {z ∈ B : z − a ≤ r}, S (a, r ) = {z ∈ B : z − a = r},
Λ ( K ) = lim ( I + hK − 1) h −1.
h↓0
Здесь B – банахово пространство; a ∈ B; K – линейный оператор,
действующий из B в B; Λ ( K ) – логарифмическая норма [6] оператора K ;
через I обозначен тождественный оператор.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1. Непрерывные методы решения операторных уравнений
Рассмотрим нелинейное операторное уравнение
A( x) = 0,
(1)
действующее из банахова пространства B в B.
Рассмотрим в банаховом пространстве B задачу Коши
dx(t )
= A( x(t ));
dt
(2)
x(0) = x0 .
(3)
Пусть оператор A имеет непрерывную производную Гато; A(0) = 0.
Теорема 1 [7, 8]. Пусть на любой дифференцируемой кривой ϕ(t ),
расположенной в шаре B (0, r ) достаточно малого радиуса r , интеграл
t
Λ ( A′(ϕ(τ) ) d τ
0
не положителен (отрицателен и
t
1
lim Λ ( A′(ϕ(τ) ) d τ = −α, α > 0.)
t →∞ t

0
Тогда тривиальное решение уравнения (2) устойчиво (асимптотически
устойчиво).
Замечание. Теорема справедлива и при r = ∞.
Из теоремы 1 следует, что если для любой непрерывно дифференцируемой функции g (t ), определенной в банаховом пространстве B ,
выполняется неравенство
t
1
lim Λ( A'( g (τ))d τ ≤ −α, α > 0,
t →∞ t

(4)
0
то задача Коши (2)–(3) сходится к решению x* уравнения (1).
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2 [9]. Пусть уравнение (1) имеет решение x* . Пусть на любой
дифференцируемой кривой g (t ), расположенной в банаховом пространстве
B, справедливо неравенство (4). Тогда решение задачи Коши (2)–(3)
сходится к решению x* уравнения (1) при любом начальном приближении.
Замечание. Из неравенства (4) следует, что логарифмическая норма
Λ ( A'( x)) может обращаться в нуль или принимать положительные значения
в конечном или счетном числе точек пространства B.
Теорема 3 [9]. Пусть уравнение (1) имеет решение x* . Пусть на любой
дифференцируемой кривой g (t ),
выполняются следующие условия:
42
расположенной
в
шаре
B( x* , r )
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
t

1) при любом t (t > 0) выполняется неравенство Λ ( A'g (τ))d τ ≤ 0;
0
t
1
Λ ( A'( g (τ))d τ = −α, α > 0.
t →∞ t
2) справедливо равенство lim

0
Тогда решение задачи Коши (2)–(3) сходится к решению x* уравнения (1).
Решение линейных эллиптических
уравнений на нейронных сетях Хопфилда
Пусть D = [0,1;0,1]. В области D рассмотрим задачу Дирихле
a ( x1 , x2 )Δu ( x1 , x2 ) + b( x1 , x2 )
+c( x1 , x2 )
∂u ( x1 , x2 )
+
∂x1
∂u ( x1 , x2 )
+ d ( x1 , x2 )u ( x1 , x2 ) = f ( x1 , x2 )
∂x2
(5)
с граничными условиями
u ( x1 , x2 ) |Γ = u0 ( x1 , x2 ).
(6)
Здесь Γ = ∂D.
Замечание 1. Двумерные уравнения рассматриваются для простоты
обозначений.
Замечание 2. Рассматривается простейший вид эллиптических уравнений и прямоугольная область для простоты описания. Нетрудно видеть, что
полученные ниже результаты распространяются на эллиптические уравнения
более общего вида и на произвольные границы Γ, удовлетворяющие
условиям Ляпунова [10].
Введем сетку узлов (vk , vl ),
k , l = 0,1, , N , где vk = k / N ,
k = 0,1,, N .
Во внутренних узлах (vk , vl ), k , l = 0,1, , N − 1, оператор Δu
аппроксимируется пятиточечной разностной схемой
u (vk −1 , vl ) + u (vk +1 , vl ) − 2u (vk , vl )
h
а операторы
2
+
u (vk , vl +1 ) + u (vk , vl −1 ) − 2u (vk , vl )
h2
,
∂u
∂u
и
аппроксимируются двухточечными разностными
∂x1
∂x2
схемами
u (vk +1 , vl ) − u (vk , vl )
u (vk , vl +1 ) − u (vk , vl )
и
,
h
h
где h = 1 / N .
Physical and mathematical sciences. Mathematics
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В результате задача Дирихле (5), (6) аппроксимируется разностной
схемой
 u (vk −1 , vl ) + u (vk +1 , vl ) − 2u (vk , vl )
a(vk , vl ) 
+
h2

u (vk , vl +1 ) + u (vk , vl −1 ) − 2u (vk , vl ) 
u (vk +1 , vl ) − u (vk , vl )
+ c(vk , vl ) ×
 + b(vk , vl )
2
h
h

+
×
u (vk , vl +1 ) − u (vk , vl )
+ d (vk , vl )u (vk , vl ) − f (vk , vl ) = 0, k , l = 1, 2, , N − 1. (7)
h
Замечание. Из условия (6) следует, что
u (v0 , vl ) = u0 (v0 , vl ), u (vN , vl ) = u0 (vN , vl ),
u (vk , v0 ) = u0 (vk , v0 ), u (vk , vN ) = u0 (vk , vN ).
Представим систему уравнений (7) в виде
a(vk , vl )(u (vk +1 , vl ) + u (vk −1 , vl ) + u (vk , vl +1 ) + u (vk , vl −1 ) − 4u (vk , vl )) +
+ hb(vk , vl )(u (vk +1 , vl ) − u (vk , vl )) + hc(vk , vl )(u (vk , vl +1 ) − u (vk , vl )) +
+ h 2 d (vk , vl )u (vk , vl ) − h 2 f (vk , vl ) = 0, k , l = 1, 2,, N − 1.
(8)
Системе уравнений (8) поставим в соответствие систему дифференциальных уравнений
dukl (t )
= α kl (a(vk , vl )(uk +1,l (t ) + uk −1,l (t ) + uk ,l +1 (t ) + uk ,l −1 (t ) − 4uk ,l (t )) +
dt
+ hb(vk , vl )(uk +1,l (t ) − ukl (t )) + hc(vk , vl )(u (vk , vl +1 ) − u (vk , vl )) +
+ h 2 d (vk , vl )u (vk , vl ) − h 2 f (vk , vl )), k , l = 1, 2,, N − 1.
(9)
Здесь α kl – константы, выбор которых будет описан ниже,
uk ,l (t ) = u (vk , vl , t ) .
Пусть система уравнений (8) однозначно разрешима. Обозначим через
*
u (vk , vl ), k , l = 0,1, 2,, N , решение этой системы и введем обозначения
*
*
wkl (t ) = ukl (t ) − ukl
, ukl
= u (vk , vl ), k , l = 0,1, 2, , N .
Тогда система уравнений (9) принимает вид
dwkl (t )
= α kl ( a (vk , vl )( wk +1,l (t ) + wk −1,l (t ) + wk ,l +1 (t ) + wk ,l −1 (t ) − 4 wk ,l (t )) +
dt
+ hb(vk , vl )( wk +1,l (t ) − wkl (t )) + hc(vk , vl )( w(vk , vl +1 ) − w(vk , vl )) +
+ h 2 d (vk , vl ) wk ,l (t )), k , l = 1, 2, , N − 1.
44
(10)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Замечание. Очевидно, что
w0,l (t ) ≡ wN ,l ≡ wk ,0 (t ) ≡ wk , N (t ) ≡ 0, k = 0,1,..., N .
Теорема 4. Пусть существует функция α(t1 , t2 ) такая, что
α(t1 , t2 )a(t1 , t2 ) ≥ 0, α(t1 , t2 )b(t1 , t2 ) ≥ 0,
α(t1 , t2 )c(t1 , t2 ) ≥ 0, α(t1 , t2 )d (t1 , t2 ) < 0
(11)
при всех t1 , t2 ∈ D. Тогда система уравнений (10) устойчива в целом.
Доказательство. Представим систему уравнений (10) в операторной
форме:
dw(t )
= Aw(t ),
dt
(12)
где w(t ) – вектор функция,
w(t ) = {w11 (t ),, w1, N −1 (t ),, wN −1, N −1 (t );
матрица A строится очевидным образом.
Нетрудно видеть, что при выполнении перечисленных условий (11)
логарифмическая норма матрицы A равна Λ ( A) = max h 2 d (vk , vl ) < 0.
1≤ k ,l ≤ N −1
Пусть
функция
d ( x1 , x2 ) < 0
в
области
D.
Следовательно
2
d ( x1 , x2 ) ≤ −β < 0 в этой области, тогда Λ ( A) < −βh .
Из этого условия следует, что решение системы уравнений (12) при
t → ∞ абсолютно устойчиво при любых начальных условиях wkl (0),
k , l = 1, 2,..., N − 1, и при единственном ограничении:
w0,l (0) = wN ,l (0) = wk ,0 (0) = wk , N (0) = 0, k , l = 0,1,..., N .
Таким образом, при указанном ограничении система уравнений (12)
устойчива в целом. Отсюда следует, что система уравнений (9) устойчива
в целом при любых начальных возмущениях, не нарушающих граничных
значений.
Поэтому решение системы уравнений (9) сходится при t → ∞
к решению u* (vk , vl ), k , l = 1, 2,, N − 1, системы уравнений (7).
Теорема доказана.
Из доказательства теоремы 4 следует, что при t → ∞ решение системы
дифференциальных уравнений (9) стремится к решению системы алгебраических уравнений (7).
Решение нелинейных эллиптических
уравнений на нейронных сетях Хопфилда
Рассмотрим в области D = [0,1]2 систему нелинейных уравнений
 ∂u ( x1 , x2 ) 
a( x1 , x2 ) g1 (Δu ( x1 , x2 )) + b( x1 , x2 ) g 2 
+
∂x1


Physical and mathematical sciences. Mathematics
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 ∂u ( x1 , x2 ) 
+ c( x1 , x2 ) g3 
 + d ( x1 , x2 ) g 4 (u ( x1 , x2 )) = f ( x1 , x2 )
 ∂x2

(13)
с граничными условиями
u ( x1 , x2 ) |Γ = u0 ( x1 , x2 ).
(14)
Здесь Γ = ∂D; gi ( x), i = 1, 2,3, 4 – непрерывно-дифференцируемые
функции на R1.
По аналогии с линейным случаем введем сетку узлов (vk , vl ),
k , l = 0,1,, N и поставим граничной задаче (13), (14) в соответствие систему
разностных уравнений:
 u (vk −1 , vl ) + u (vk +1 , vl ) − 2u (vk , vl )
a(vk , vl ) g1 
+
h2

+
u (vk , vl +1 ) + u (vk , vl −1 ) − 2u (vk , vl ) 
+
h2

 u (vk +1 , vl ) − u (vk , vl ) 
 u (vk , vl +1 ) − u (vk , vl ) 
+b(vk , vl ) g 2 
+ c(vk , vl ) g3 

+
h
h




+ d (vk , vl ) g 4 (u (vk , vl )) = f (vk , vl ), k , l = 1, 2,, N − 1.
(15)
Системе уравнений (15) поставим в соответствие систему нелинейных
дифференциальных уравнений
 uk −1,l (t ) + uk +1,l (t ) + uk ,l +1 (t ) + uk ,l −1 (t ) − 4ukl (t ) 
dukl (t )
= α kl (a (vk , vl ) g1 
+
dt
h2


 uk +1,l (t ) − uk ,l (t ) 
 uk ,l +1 (t ) − uk ,l (t ) 
+b(vk , vl ) g 2 
 + c(vk , vl ) g3 
+
h
h




+ d (vk , vl ) g 4 (uk ,l (t )) − f (vk , vl )), k , l = 1, 2, , N − 1.
(16)
Здесь
ukl (t ) = u (vk , vl , t ); k , l = 0,1,, N ;
u0l (t ) = u0 (0, vl ), l = 0,1,, N ,
ukN (t ) = u0 (vk ,1), k = 0,1,, N ,
u Nl (t ) = u0 (1, vl ), l = 0,1,, N ,
uk 0 (t ) = u0 (vk ,0), k = 0,1,, N .
Предположим, что система уравнений (15) имеет решение u* (vk , vl ),
k , l = 0,1, , N . Введем новую функцию w(vk , vl , t ), положив
46
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
u (vk , vl , t ) = w(vk , vl , t ) + u* (vk , vl ).
Тогда систему уравнений (16) можно представить в виде
 wk +1,l (t ) + wk −1,l (t ) + wk ,l +1 (t ) + wk ,l −1 (t ) − 4 wkl (t )
dwkl (t )
+
= α kl ( a (vk , vl ) g1 
dt
h2

+
*
uk* +1,l + uk* −1,l + uk*,l +1 + uk*,l −1 − 4ukl
h2

−


*
 uk* +1,l + uk* −1,l + uk*,l +1 + uk*,l −1 (t ) − 4ukl
−a(vk , vl ) g1 

h2


+


 wk +1,l (t ) − wk ,l (t ) uk* +1,l − uk*,l
+b(vk , vl ) g 2 
+

h
h


 u*
− uk*,l
 − b(vk , vl ) g 2  k +1,l


h



+


 wk ,l +1 (t ) − wk ,l (t ) uk*,l +1 − uk*,l
+c(vk , vl ) g3 
+

h
h


 u*
− u*
 − c(vk , vl ) g3  k ,l +1 k ,l


h



+


+ d (vk , vl ) g 4 ( wk ,l (t ) + uk*,l ) − d (vk , vl ) g 4 (uk*,l )), k , l = 1, 2,, N − 1.
(17)
В первом приближении система уравнений (17) имеет вид
*
 uk* +1,l + uk* −1,l + uk*,l +1 + uk*,l −1 − 4ukl
dwkl (t )
= α kl ( a(vk , vl ) g1′ 

dt
h2


×


 wk +1,l (t ) + wk −1,l (t ) + wk ,l +1 (t ) + wk ,l −1 (t ) − 4 wkl (t ) 
×
+
h2


 uk* +1,l − uk*,l
+b(vk , vl ) g 2′ 

h

 wk +1,l (t ) − wk ,l (t )

+

h

 uk*,l +1 − uk*,l
+c(vk , vl ) g3′ 

h

 wk ,l +1 (t ) − wk ,l (t )

+

h

+ d (vk , vl ) g 4′ (uk*,l ) wk ,l (t )), k , l = 1, 2,, N − 1.
(18)
Исследуем устойчивость решения системы уравнений (18).
Теорема 5. Пусть D = [0,1]2 . Пусть α( x1 , x2 ) – функция, определенная
на D, α( x1 , x2 ) ≠ 0 при ( x1 , x2 ) ∈ D, и такая, что при любых ( x1 , x2 ) ∈ D, и
любом натуральном N , N ≥ 2, выполняются условия:
Physical and mathematical sciences. Mathematics
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
*
 uk* +1,l + uk* −1,l + uk*,l +1 + uk*,l −1 − 4ukl
1) α( x1 , x2 ) a( x1 , x2 ) g1′ 

h2

 uk* +1,l − uk*,l
2) α( x1 , x2 )b( x1 , x2 ) g 2′ 

h


 ≥ 0;


 uk*,l +1 − uk*,l
3) α( x1 , x2 )c( x1 , x2 ) g3′ 

h


 ≥ 0;



 ≥ 0;


4) α( x1 , x2 )d ( x1 , x2 ) g 4′ (uk*,l ) ≤ −β < 0
при 1 ≤ k , l ≤ N − 1.
Тогда решение системы уравнений (18) устойчиво в целом.
Доказательство. Представим систему уравнений (18) в операторной
форме:
dwkl (t )
= Bw(t ),
dt
(19)
где
w(t ) = {w11 (t ),, w1, N −1 (t ), w2,1 (t ),, w2, N −1 (t ), , wN −1,1 (t ), , wN −1, N −1 (t )};
построение матрицы B очевидно.
Нетрудно видеть, что при выполнении условий теоремы логарифмическая норма матрицы B отрицательна. Тогда из неравенства Винтнера
(см. [6; 8, с. 51] следует устойчивость в целом системы уравнений (18).
Теорема доказана.
Устойчивость в целом решения системы уравнений (18) дает основание
полагать, что решение системы уравнений (16) будет устойчиво относительно
*
, k , l = 1, 2,, N − 1. Для строгого доказательства устойчивости
вектора ukl
*
, k , l = 1, 2,, N − 1,
решения системы уравнений (16) относительно вектора ukl
нужно использовать критерии, предложенные в работах [7, 8]. В применении
к системе уравнений (16) эти критерии оказываются трудно обозримыми.
Поэтому при решении нелинейных эллиптических уравнений на нейронных
сетях Хопфилда достаточно ограничиться критериями теоремы 5.
Выполнение этих критериев дает достаточные основания для проведения
вычислений.
Эффективность предложенного метода проиллюстрирована на
следующих примерах.
Пример 1. Рассмотрим уравнение ∆u = 0 в области D = [0,1]2 с граничными условиями u0(x, y):
прямая AB = {y = 0, 0 ≤ x ≤ 1} uAB = x;
прямая AD = {x = 0, 0 ≤ y ≤ 1} uAD = 0;
прямая CD = {y = 1, 0 ≤ x ≤ 1} uCD = x;
прямая BC = {x = 1, 0 ≤ y ≤ 1} uBC = 1.
48
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Точное решение u(x, y) ≡ x.
Задача Дирихле была приведена к системе уравнений (9), которая решалась методом Эйлера.
Результаты решения задачи Дирихле приведены на рис. 2–5. Здесь m –
число итераций метода Эйлера; N – число узлов разностной схемы по одной
переменной; h – шаг метода Эйлера.
Рис. 2. Результаты решения задачи с шагом в методе Эйлера h = 0,1
Рис. 3. Результаты решения задачи с шагом в методе Эйлера h = 0,01
Physical and mathematical sciences. Mathematics
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 4. Результаты решения задачи с шагом в методе Эйлера h = 0,001
Рис. 5. Результаты решения задачи с шагом в методе Эйлера h = 0,0001
Пример 2. Рассмотрим уравнение ∆w – w = 0 в области D = [0,1]2 при
граничных условиях w0(x, y):
прямая AB = {y = 0, 0 ≤ x ≤ 1} wAB = x + 1;
прямая AD = {x = 0, 0 ≤ y ≤ 1} wAD = ch y + sh y;
прямая CD = {y = 1, 0 ≤ x ≤ 1} wCD = (x + 1)(ch(1) + sh(1));
прямая BC = {x = 1, 0 ≤ y ≤ 1} wBC = 2(ch y + sh y);
Точное решение – w(x, y) ≡ (x + 1)(ch y + sh y).
Краевая задача была приведена к системе уравнений (9), которая решалась методом Эйлера.
50
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Результаты решения уравнения приведены на рис. 6–8. Здесь m – число
итераций метода Эйлера; N – число узлов разностной схемы по одной переменной; h – шаг метода Эйлера.
Рис. 6. Результаты решения задачи с шагом в методе Эйлера h = 0,1
Рис. 7. Результаты решения задачи с шагом в методе Эйлера h = 0,01
Заключение
Предложен метод решения краевых задач для линейных и нелинейных эллиптических уравнений, основанный на методах теории устойчивости.
Эффективность метода проиллюстрирована модельными примерами.
Результаты работы могут быть использованы при решении широкого
класса краевых задач для линейных и нелинейных эллиптических уравнений,
определенных в кусочно-гладких областях.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 8. Результаты решения задачи с шагом в методе Эйлера h = 0,001
Список литературы
1. H o p f i e l d , J . J . Neural Networks and Physical Systems with Emergent Collective
Computational Abilities / J. J. Hopfield // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. – 1982, April. –
Vol. 79. – P. 2554–2558.
2. H o p f i e l d , J . J . Neurons with Graded Response have Collective Computational
Properties like those of Two–State Neurons / . J. Hopfield // Proc. Natl. Acad. Sci.
USA. – 1984, May. – Vol. 81. – P. 3088–3092.
3. Г о р б а ч е н к о , В. И . Нейрокомпьютеры в решении краевых задач теории поля /
В. И. Горбаченко. – М. : Радиотехника, 2003. – 336 с.
4. Б о й к о в , И . В. Приближенное решение задач математической физики на
нейронных сетях Хопфилда / И. В. Бойков, В. А. Руднев, А. И. Бойкова //
Нейрокомпьютеры, разработка, применение. – 2013. – № 10. – С. 13–22.
5. Б о й к о в , И . В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных
уравнений на нейронных сетях Хопфилда / И. В. Бойков, О. А. Баулина // Журнал
Средневолжского математического общества. – 2013. – Т. 15, № 1. – С. 41–51.
6. Д а л е ц к и й , Ю . Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. – М. : Наука, 1970. –
534 с.
7. Б о й к о в , И . В. Об устойчивости решений дифференциальных и разностных
уравнений / И. В. Бойков // ДАН СССР. – 1990. – Т. 314, № 6. – С. 1298–1300.
8. Б о й к о в , И . В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений /
И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2008. – 244 с.
9. Б о й к о в , И . В. Об одном непрерывном методе решения нелинейных
операторных уравнений / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. – 2012. –
Т. 48, № 9. – С. 1308–1314.
10. Г ю н т е р , Н . М . Теория потенциала и ее применение к основным задачам
математической физики / Н. М. Гюнтер. – М. : ГИТТЛ, 1953. – 415 с.
References
1. Hopfield J. J. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1982, April, vol. 79, pp. 2554–2558.
2. Hopfield J. J. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1984, May, vol. 81, pp. 3088–3092.
52
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
3. Gorbachenko V. I. Neyrokomp'yutery v reshenii kraevykh zadach teorii polya [Neurocomputers in solution of boundary problems of the field theory]. Moscow: Radiotekhnika, 2003, 336 p.
4. Boykov I. V., Rudnev V. A., Boykova A. I. Neyrokomp'yutery, razrabotka, primenenie
[Neurocomputers, development, application]. 2013, no. 10, pp. 13–22.
5. Boykov I. V., Baulina O. A. Zhurnal Srednevolzhskogo matematicheskogo obshchestva
[Journal of Middle Volga mathematical society]. 2013, vol. 15, no. 1, pp. 41–51.
6. Daletskiy Yu. L., Kreyn M. G. Ustoychivost' resheniy differentsial'nykh uravneniy v
banakhovom prostranstve [Stability of differential equations solution in Banach space].
Moscow: Nauka, 1970, 534 p.
7. Boykov I. V. DAN SSSR [Reports of the USSR Academy of Sciences]. 1990, vol. 314,
no. 6, pp. 1298–1300.
8. Boykov I. V. Ustoychivost' resheniy differentsial'nykh uravneniy [Stability of differential equations solutions]. Penza: Izd-vo PGU, 2008, 244 p.
9. Boykov I. V. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 2012, vol. 48, no. 9,
pp. 1308–1314.
10. Gyunter N. M. Teoriya potentsiala i ee primenenie k osnovnym zadacham matematicheskoy fiziki [Theory of potentials and application thereof to main problems of mathematical physics]. Moscow: GITTL, 1953, 415 p.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный
университет (Россия, г. Пенза,
ул. Красная, 40)
Boykov Il'ya Vladimirovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, head of sub-department of higher
and applied mathematics, Penza State
University (40 Krasnaya street,
Penza, Russia)
E-mail: math@pnzgu.ru
Баулина Ольга Александровна
аспирант, Пензенский государственный
университет (Россия, г. Пенза,
ул. Красная, 40)
Baulina Ol'ga Aleksandrovna
Postgraduate student, Penza State
University (40 Krasnaya street,
Penza, Russia)
E-mail: math@pnzgu.ru
УДК 004.02
Бойков, И. В.
Приближенное решение эллиптических уравнений на нейронных
сетях Хопфилда / И. В. Бойков, О. А. Баулина // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2014. –
№ 1 (29). – С. 39–53.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 514.76
Г. А. Султанова
НЕКОТОРЫЕ ЛИФТЫ ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ ТИПА (1, r)
C БАЗЫ В ЕГО КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ
Аннотация.
Актуальность и цели. Векторные поля типов γG , G H γ , представляющие
собой лифты тензорного поля G ∈ ℑ11 ( M ) , заданного на гладком многообразии
М в касательное расслоение T ( M ) , возникают при изучении инфинитезимальных аффинных преобразований со связностью полного лифта. Данные лифты были введены в работах К. Яно, Ш. Ишихара и использовались Ф. И. Каганом при изучении инфинитезимальных аффинных, инфинитезимальных
проективных преобразований в T ( M ) , снабженных полным лифтом линейной
связности без кручения, заданной на базе М, Х. Шадыевым при описании
инфинитезимальных аффинных преобразований синектического лифта линейной связности без кручения с гладкого многообразия М в его касательное
расслоение T ( M ) . Целью настоящей работы является построение γ r -лифтов
(r = 2,..., n) тензорных полей типа (1, r) (r ≥ 1) и выяснение некоторых их
свойств по отношению к дифференцированию Ли и ковариантным
дифференцированиям.
Материалы и методы. Объектом изучения является касательное расслоение T ( M ) гладкого многообразия М. Использованы методы тензорного анализа, теории производной Ли. Многообразие, функции, тензорные поля предполагались гладкими класса C ∞ .
Результаты. Найдены коммутаторы векторных полей типов γG , G H γ , где
G ∈ ℑ11 ( M ) , а также введено определение γγ -лифта тензорного поля типа (1,2).
Доказаны некоторые свойства γγ -лифта. Построен γ r -лифт для любого тензорного поля G типа (1, r) и доказаны его свойства.
Выводы. Для любого тензорного поля G типа (1, r) можно построить γ r лифт как отображение γ r : ℑ1r ( M ) → ℑ10 (T ( M )) , которое в локальных коорди∂
j
j
.
натах ( x0i , x1i ) определяется условием γ r G = G i
x 1 ...x1 r ∂1i , где ∂i =
j1... jr 1
∂xi
Ключевые слова: гладкое многообразие, касательное расслоение, лифты
тензорных полей, тензорное поле, коммутатор векторных полей.
G. A. Sultanova
SOME LIFTS OF TENSOR FIELDS OF TYPE (1, r)
WITH BASE IN ITS TANGENT BUNDLE
Abstract.
Background. Vector fields of type γG , G H γ , representing lifts of tensor field
G ∈ ℑ11 ( M ) , defined on a smooth manifold M to the tangent bundle T ( M ) , arise in
the study of infinitesimal affine transformations with a complete lift. These lifts
54
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
were introduced by K.Yano, Sh.Ishihara and used by F.I. Kagan in the study of
infinitesimal affine, infinitesimal projective transformations equipped with full lift
of torsion-free linear connection, defined on the basis of M, used by H.Shadyev
when he described infinitesimal affine transformations of synectic lift of linear
torsion-free connection with a smooth manifold M to its tangent bundle T ( M ) . The
purpose of this paper is to construct γ r -lifts of tensor fields of type (1, r), (r ≥ 1)
and explain some of their properties with respect to the differentiation of Lee and
covariant differentiation.
Materials and methods. The object of the study is the tangent bundle T ( M ) of a
smooth manifold M. There are used the methods of tensor analysis, the theory of the
Lie derivative. The manifold, functions, tensor fields were assumed to be the smooth
of C ∞ class.
Results. In paragraph 2 of this paper there were discovered commutators of
vector fields γG , G H γ , where G ∈ ℑ11 ( M ) , and there was introduced a definition of
γγ -lift of tensor field of type (1,2). In paragraph 3 there were proved some of
properties of γγ -lift. In paragraph 4 there was constructed γ r -lift for any tensor
field G of type (1, r) and the properties were proved.
Conclusions. For any tensor field G of type (1, r) it is possible to construct γ r lift as a mapping γ r : ℑ1r ( M ) → ℑ10 (T ( M )) , which in local coordinates ( x0i , x1i ) is
∂ .
j
j
determined by the condition γ r G = Gi
x 1 ...x1 r ∂1i , where ∂i =
j1... jr 1
∂xi
Key words: smooth manifold, tangent bundle, lifts of tensor fields, tensor field,
commutator of vector fields.
Введение
Векторные поля типов γG , G H γ , представляющие собой лифты
тензорного поля G ∈ ℑ11 ( M ) , заданного на гладком многообразии М в касательное расслоение T ( M ) , возникают при изучении инфинитезимальных
аффинных преобразований со связностью полного лифта. Они были введены
в работах [1–3]. Исследование алгебр Ли инфинитезимальных аффинных
преобразований различных типов основано на использовании коммутаторных
соотношений между ними. В настоящей работе мы находим коммутаторы
векторных полей указанных выше типов, а также вводим новые лифты
тензорных полей типа (1, r) и изучаем их свойства.
1. Предварительные сведения
Пусть M – дифференцируемое многообразие класса C ∞ размерности
n, TP ( M ) – касательное пространство к нему в точке P ∈ M , т.е. множество
всех касательных векторов многообразия М в точке Р. Тогда множество
T (M ) =
 TP (M )
P∈M
называется касательным расслоением над многообразием М.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Отображение π : T ( M ) → M , определенное условием π(t x ) = x , называется канонической проекцией. На T ( M ) возникает естественная структура
гладкого многообразия над полем действительных чисел, атлас которого состоит из координатных окрестностей вида (π−1 (U ), x0i , x1i ) . Закон преобразования координат при переходе от локальной карты (π−1 (U ), x0i , x1i ) к локальной карте (π−1 (V ), x0i , x1i ) имеет вид
 x0i = x0i ( x10 ,..., x0n ),

 i ∂x0i k
 x1 = k x1 .
∂x0

(1)
Напомним, как определяются лифты функций, векторных полей с базы
в касательное расслоение, а также полный лифт линейной связности ∇ .
Пусть f – функция класса С ∞ , заданная на М, и f : M → R . Функции
f(0) = f  π и f(1) = (∂ j f )(0) x1j называются вертикальным и полным лифтом
функции f соответственно с базы М в его касательное расслоение T ( M ) .
На T ( M ) для X ∈ ℑ10 ( M ) определены его вертикальный X (1) и полный X (0) лифты, которые в локальных координатах имеют вид
X (1) = X 0i ∂1i ,
X (0) = X 0i ∂ i0 + X1i ∂1i ,
где X 0i = ( X i )(0) , X1i = (∂ j X i )(0) x1j .
Предположим, что на M задана линейная связность ∇ . На касательном
расслоении T ( M ) существует единственная линейная связность ∇ (0) , удовлетворяющая условиям
∇(0) X (0) Y (0) = (∇ X Y )(0) , ∇(0) X (0) Y (1) = (∇ X Y )(1) ,
∇(0) X (1) Y (0) = (∇ X Y )(1) , ∇(0) X (1) Y (1) = 0,
(2)
где X , Y ∈ ℑ10 ( M ). Такая связность называется полным лифтом линейной
связности ∇ [1, 2].
В дальнейшем мы будем рассматривать линейные связности ∇ на базе
без кручения, т.е. тензорное поле кручения, определяемое условием
T ( X , Y ) = ∇ X Y − ∇Y X − [ X , Y ] , будет равно нулю.
В работе [1] векторные поля γG и G H γ , называемые вертикальновекторным и горизонтально-векторным поднятием аффинора G ∈ ℑ11 ( M )
соответственно, в локальных координатах определяются условиями:
γG = Gi j x1i ∂1j ,
56
(3)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
G H γ = Gij x1i ∂ Hj ,
(4)
где ∂ Hj = ∂ 0j − Γ pjs x1s ∂1p .
2. Коммутаторные соотношения
Прежде чем перейти к вычислению коммутаторов, введем операции
i
свертки ,  для тензорных полей Φ ∈ ℑ1r ( M ) ( r ≥ 1), K ∈ ℑ11 ( M ) по правилам:
K  Φ ( X1 , X 2 ,..., X r ) = K (Φ ( X1 , X 2 ,..., X r )),
i
Φ  K ( X1 , X 2 ,..., X i ,..., X r ) = Φ ( X1 , X 2 ,..., K ( X i ),..., X r ),
∧
i
Φ  X ( X1 ,..., X i −1 , , X i +1 ,..., X r ) = Φ ( X1 ,..., X i −1 , X , X i +1 ,..., X r ),
(5)
∧
где X , X1 , X 2 ,..., X r ∈ ℑ10 ( M ), а знак означает пропущенный аргумент.
В естественных координатах равенства (5) будут иметь вид
( K  Φ ) hj j ... j ∂ h = K hp Φ hj j ... j ∂ p ,
1 2
r
1 2
r
i
(Φ  K ) hj j ... j ∂ h = Φ pj j ...h... j Kih ∂ p ,
1 2
r
1 2
r
i
(Φ  X ) hj ... j j ... j ∂ h = Φ hj ... j i j ... j X i ∂ h .
1
i −1 i +1
r
1
i −1
i +1
r
(5′)
Пусть X ∈ ℑ10 ( M ), Φ ∈ ℑ11 ( M ) , тогда ковариантный дифференциал ∇X
является тензорным полем типа (1,1), а ∇Φ – тензорным полем типа (1,2).
1
2
Рассмотрим свертки ∇X  K , ∇Φ  K , ∇Φ  K , где K ∈ ℑ11 ( M ) . На основании
(5) получаем
∇X  K (∂i ) = ∇X ( K (∂ i )) = ∇X ( Kih ∂ h ) = Kih ∇X (∂ h ) = Kih∇ ∂ h X p ∂ p ;
1
∇Φ  K (∂ i , ∂ j ) = ∇Φ ( K (∂ i ), ∂ j ) = ∇∂ j Φ ( Kih ∂ h ) = Kih ∇∂ j Φ (∂ h ) = Kih∇∂ j Φ hp ∂ p ;
2
∇Φ  K (∂ i , ∂ j ) = ∇Φ ((∂ i , K (∂ j )) = ∇Φ ((∂ i , K hj ∂ h ) =
= ∇ K h∂ Φ (∂ i ) = K hj ∇∂ h Φip ∂ p .
j h
(6)
Перейдем к нахождению коммутаторов [ γG , γP ], [ γG , P H γ ], [ P H γ , G H γ ] ,
где P, G ∈ ℑ11 ( M ) . Вычисления проведем, используя естественные локальные
координаты на T ( M ) . На основании равенства (2) имеем
Physical and mathematical sciences. Mathematics
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
k m 1
k m j 1
[ γG , γP ] = Gm
x1 ∂ k , Pi j x1i ∂1j  = Gm
x1 Pk ∂ j − Pi j x1i G kj ∂1k =


(
)
= Gmj Pjk − Pmj G kj x1m ∂1k = γ [ P, G ].
(7)
Аналогично, используя равенства (2) и (3), получим
k m 1
k m j 0
k j m i 1
 γG , P H γ  = Gm
x1 ∂ k , Pi j x1i ∂ 0j − Pi j x1i Γ pjs x1s ∂1p  = Gm
x1 Pk ∂ j − ∂ 0j Gm
Pi x1 x1∂ k −

 

k j p m i 1
k j p m s 1
k m j 0
−Gm
Pi Γ jk x1 x1∂ p + Pi j Γ kjs Gkp x1s x1i ∂1p − Gm
Pk Γ js x1 x1 ∂ p = Gm
x1 Pk ∂ j −
)
(
k j p
k j p
k m j
− ∂ j Gmp Pi j + Gm
Pi Γ jk − Pi j Γ kjm Gkp + Gm
Pk Γ ji x1m x1i ∂1p = Gm
x1 Pk ×
)
(
× ∂ j − Γ pji x1i ∂1p − ∇ j Gmp Pi j x1m x1i ∂1p = ( P  G ) H γ − ∇ m G ij Pkm x1j x1k ∂1i .
(8)
Точно так же поступаем и при вычислении коммутатора  P H γ , G H γ  ,


применяя равенство (3):
(
k m 0
k m q z 1
k
 P H γ , G H γ  =  P j x1i ∂ 0j − P j x1i Γ p x1s ∂1p , Gm
x1 ∂ k − Gm
x1 Γ kz x1 ∂ q = Pi j ∂ j Gm
−
i
js

  i

)
(
−G Γ P ) Γ x x x ∂ + P G ( −∂ Γ + ∂ Γ + Γ Γ − Γ Γ ) x x x ∂ =
= ( P ∇ G − G ∇ P ) x x (∂ − Γ x ∂ ) + P G R x x x ∂ =
(9)
= (P ∇ G − G ∇ P ) x x ∂ + P G R x x x ∂ .
p k
k
− Pi j Γ mj
G p − Gmj ∂ j Pik + Gmj Γ pji Pqk x1m x1i ∂ 0k + − Pi j ∂ j Gm
+ Pi j Γ pjm G kp + Gmj ∂ j Pik −
j p k
m ji q
i
q m i s 1
ks 1 1 1 q
j
k
j m
i
j
m
j
i
j i
k
j m
j
k
j
m
q
j ks
k
m
m i
1 1
j i
k
k
q
js
p q
js kp
q s 1
ks 1 q
0
k
m i H
1 1 k
i
i
j
j
p q
ks jp
m i s 1
1 1 1 q
k q m i s 1
m skj 1 1 1 q
k q m i s 1
m skj 1 1 1 q
В равенстве (8) набор функций ∇ m G ij Pkm определяет тензорное поле
типа (1,2) на М. Положим, Aijk = −∇ m G ij Pkm . Разность
 γG , P H γ  − ( P  G ) H γ = Aijk x j x1k ∂1i = γγА
1


есть векторное поле на касательном расслоении T ( M ) . Докажем, что вид
компонент этого векторного поля не зависит от выбора локальной системы
координат.
Для этого предположим, что (π−1 (V ), x0i , x1i ) – другая локальная карта
такая, что π−1 (U ) ∩ π−1 (V ) ≠ ∅ . В локальной карте (U ∩ V , xi ) имеем:
i
i
j
x = x ( x ), ∂ i =
∂x k ∂
i
∂x ∂x
k
(
. Поэтому на π−1 (U ) ∩ π−1 (V ), x0i , x1i
) для индуци-
рованных координат на T ( M ) получим
58
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
x1j
=
∂x0j
xk ,
k 1
∂x0
∂1i
 ∂x k
=
 ∂xi

  ∂
 
  ∂x k
(0) 




(1)
.
(10)
Подставляя соотношения (10) в γγA , будем иметь
Aijk x1j x1k ∂1i
= ( Aijk )(0)
q
∂x0j a ∂x0k b  ∂x

x1
x1
 ∂xi
∂x0a
∂x0b

 
  ∂
  ∂x q
(0) 




(1)
=
 ∂x j ∂x k ∂x q 
 x1a x1b ∂1q = A q x1a x1b ∂1q .
ab
a
b
i
 ∂x ∂x ∂x 

(0)
= ( Aijk )(0) 
На основании доказанного свойства можно ввести следующее
Определение 2.1. Векторное поле γγA называется γγ -лифтом тензорного поля A ∈ ℑ12 ( M ).
Из соотношений (6) и определения γγ -лифта получаем, что имеет место следующая теорема
Теорема 2.1. Для любых P, G ∈ ℑ11 ( M )
2 

 γG, P H γ  = ( P  G ) H γ − γγ  ∇G  P  .




(11)
3. Дальнейшие свойства γγ -лифтов тензорных полей типа (1,2)
Рассмотрим новые свойства γγ -лифтов тензорных полей типа (1,2).
Теорема 3.1. Для любых X ∈ ℑ10 ( M ), A ∈ ℑ12 ( M )
1
2
LX (1) γγA = γ ( A  X + A  X );
(12)
LX (0) γγA = γγ ( LX A).
(13)
Доказательство. Так как X (0) , X (1) , γγA – векторные поля, то производная Ли LX γγA = [ X , γγA] вдоль векторного поля X от векторного поля
γγA
есть скобка Ли [ X , γγA] . В частности,
LX (0) γγA = [ X (0) , γγA]
и
LX (1) γγA = [ X (1) , γγA] . Из определения коммутатора векторных полей имеем
2 
 1
LX (1) γγA =  X 0i ∂1i , Am
x1j x1k ∂1m  = X 0i Aikm + Akim x1k ∂1m = γ  A  X + A  X  .
jk




(
)
(
j k 1 
i 0 m
0 i m
LX (0) γγA =  X 0i ∂ i0 + X1i ∂1i , Am
jk x1 x1 ∂ m  = X 0 ∂ i A jk + ∂ j X 0 Aik +

Physical and mathematical sciences. Mathematics
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
)
j k 1
0 m i
+∂ 0k X 0i Am
ji − ∂ i X 0 A jk x1 x1 ∂ m = γγ ( LX A).
Теорема 3.2. Для любых X ∈ ℑ10 ( M ), A ∈ ℑ12 ( M ) справедливы тожде-
ства:
1
2
∇(0)(1) γγA = γ ( A  X + A  X ) ,
(14)
X
1
2
∇(0)(0) γγA = γγ (∇ X A + A  ∇X + A  ∇X ),
(15)
X
Доказательство этих тождеств проведем, используя естественные локальные координаты на Т(М).
На основании определений вертикального и полного лифта векторных
полей, а также полного лифта линейной связности ∇ будем иметь
)
(
j 1
∇(0)(1) γγA = ∇(0)i 1 Am
x j x k ∂1 = X 0i Aikm x1k + Am
ji x1 ∂ m =
X
X ∂ jk 1 1 m
0 i
2 
 1
m k 1
= X 0i Aikm + Aki
x1 ∂ m = γ  A  X + A  X  ;


(
∇(0)(0) γγA = ∇(0)i
X 0∂i0 + X1i ∂1i
X
(
)
)
(
j k 1
i 0 m j k 1
m j k p 1
Am
jk x1 x1 ∂ m = X 0 ∂ i A jk x1 x1 ∂ m + A jk x1 x1 Γim ∂ p +
)
)
(
(
p
p
j k 1
p
0 i j k
+ X1i Aikm x1k ∂1m + Akim x1k ∂1m = X 0i ∂ i0 A jk
+ Am
jk Γim x1 x1 ∂ p + ∂ j X 0 x1 x1 Aik +
)
(
(
p
p
(0) i
p i
+ Akip ∂1p = X 0i ∂i0 A jk
+ Am
jk Γim + ∇ j X 0 − X 0 Γ pj
)( A
p
ik
+ Akip
)) x x ∂
j k 1
1 1 p
=
1
2


p
j k 1
(0) i p
i p
= X 0i ∇i(0) A jk
+ ∇(0)
j X 0 Aik + ∇ j X 0 Aki x1 x1 ∂ p = γγ  ∇ X A + A  ∇X + A  ∇X  .


(
)
Теорема 3.3. Для любых X ∈ ℑ10 ( M ), A ∈ ℑ12 ( M ) имеют место тождества:
(1)
∇(0)
= 0;
γγA X
(0)
∇(0)
= γγ (∇X  A) .
γγA X
Доказательство. Так как T ( γγA, X (1) ) = 0 , то
(1)
∇(0)
= ∇(0) X (1) γγA +  γγA, X (1)  .
γγA X


На основании равенств (12), (14) получим
2 
2 
 1
 1
(1)
∇(0)
= γ  A  X + A  X  − γ  A  X + A  X  = 0.
γγA X

 

60
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Аналогично доказывается второе равенство. Так как T ( γγA, X (0) ) = 0 ,
(0)
= ∇ (0) X (0) γγA + [ γγA, X (0) ] . Используя теоремы 3.1 и 3.2, будем
то ∇ (0)
γγA X
иметь
1
2
1



(0)
∇(0)
= γγ  ∇ X A + A  ∇X + A  ∇X  − γγ ( LX A) = γγ  ∇ X A + A  ∇X +
γγA X



2
1
2

+ A  ∇X − ∇ X A − A  ∇X − A  ∇X + ∇X  A  = γγ (∇X  A).

4. Лифт γ r тензорных полей типа (1, r) и его свойства
Лифты γ , γγ = γ 2 можно распространить на общий случай, рассматривая отображение γ r : ℑ1r ( M ) → ℑ10 (T ( M )) , которое в локальных координатах
определим как
j
j
γ r G = G ij ... j x1 1 ...x1 r ∂1i
(16)
r
1
для любого тензорного поля G типа (1, r).
Для этого предварительно нужно убедиться, что выражение, стоящее
в правой части равенства (16), не зависит от выбора локальной системы координат.
Пусть (π−1 (V ), x0i , x1i ) – другая локальная карта такая, что
(π−1 (U ) ∩ π−1 (V ) ≠ ∅ . Используя формулы (2) и подставляя их в γ r G ,
получим
j
j
G ij ... j x1 1 ...x1 r ∂1i
1
r
=
(
)
G ij ... j
1
r (0)
j
j
∂x01 a1 ∂x0 r ar
x ...
x
a 1
a 1
∂x0 1
∂x0 r
 ∂x q

 ∂xi

  ∂
 
  ∂x q
(0) 




(1)
=
q
j
 ∂x j1
∂x r ∂x 
a
a
 0 ⋅ ... ⋅ 0
 x a1 ⋅ ... ⋅ x ar ∂1q = G q
x 1 ⋅ ... ⋅ x1 r ∂1q .
= G ij ... j
1
1
a1...ar 1
a1
ar
i 
1
r (0) 
∂x0 ∂x 
 ∂x0
(0)
(
)
Доказанное свойство позволяет ввести следующее определение.
Определение 4.1. Векторное поле γ r G , определенное условием (16),
называется γ r -лифтом тензорного поля G ∈ ℑ1r ( M ).
Перейдем к изучению свойств γ r - лифтов.
Теорема 4.1. Для любых X ∈ ℑ10 ( M ), G ∈ ℑ1r ( M )
1
2
r
LX (1) γ r G = γ r −1 (G  X + G  X + ... + G  X );
LX (0) γ r G = γ r ( LX G ).
Physical and mathematical sciences. Mathematics
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Доказательство:
(
j
j
i
LX (1) γ r G =  X (1) , γ 3G  =  X 0q ∂1q , G ij ... j x1 1 ...x1 r ∂1i  = X 0q Gqj
+ G ij qj ... j +

 

1
1... jr −1
1 2
r
r −1
)
2
r 
 1
+G ij ... j q x11...x1r −1∂1i = γ r −1  G  X + G  X + ... + G  X  ;
1
r −1


(
j
j
LX (0) γ r G =  X (0) , γ r G  =  X 0q ∂ 0q + X1q ∂1q , G ij ... j x1 1 ...x1 r ∂1i  = X 0q ∂ 0q G ij ... j +

 

1
1
r
r
)
j
j
i
+∂ 0j X 0q Gqj
+ ∂ 0j X 0q G ij qj ... j + ∂ 0j X 0q G ij ... j q − ∂ 0q X 0i G qj ... j x1 1 ...x1 r ∂1q =
1
2 ... jr
2
1 3
1
1
r
r
r −1
r
j
j
= ( LX G ) x1 1 ...x1 r ∂1q = γ r ( LX G ).
Теорема 4.2. Для любых X ∈ ℑ10 ( M ), G ∈ ℑ1r ( M ) справедливы тождества:
2
r 
 1
∇(0)(1) γ r G = γ r −1  G  X + G  X + ... + G  X  ,
X


1
r


∇(0)(0) γ r G = γ r  ∇ X G + G  ∇X + ... + G  ∇X  .
X


Доказательство этих тождеств проведем, используя локальные координаты на T(M):
j
(
j
i
∇(0)(1) γ r G = ∇(0)q 1 G ij ... j x1 1 ...x1 r ∂1i = X 0q Gqj
+ G ij qj ... j +
1... jr −1
1 2
r −1
X
X ∂q 1 r
0
)
2
r 
 1
j j
j
+G ij ... j q x1 1 x1 2 ...x1 r −1 ∂1i = γ r −1  G  X + G  X + ... + G  X  ;
r −1
1


∇(0)(0) γ r G = ∇(0)q
i
G
X 0 ∂ 0q + X1q ∂1q j1... jr
X
j
j
( (
)
x1 1 ...x1 r ∂1i = X 0q ∂ 0q G ij ... j + G jp ... j Γiqp +
1
1
r
r
(
i
+∂ 0j X 0q Gqj
+ +G ij qj ... j + G ij ... j q
r
r −1
r
1... jr −1
1 2
1
( (
) (
= X 0q ∂ 0q G ij ... j + G jp ... j Γiqp + ∇0j X 0q − X 0p Γ qpj
1
r
1
r
r
r
+G ij ... j q
r
1
))
)) x
j1
r 1
1 ...x1 ∂ i
)(G
i
qj1... jr −1
=
+ G ij qj ... j +
1 2
r −1
1
2
r


j
x1 1 ...x1r ∂1i = γ r  ∇ X G + G  ∇X + G  ∇X + ... + G  ∇X  .


Теорема 4.3. Для любых X ∈ ℑ10 ( M ), G ∈ ℑ1r ( M ) имеют место тождества:
62
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
∇(0)
X (1) = 0;
r
γ G
(0)
∇(0)
= γ r (∇X  G ) .
r X
γ G
Доказательство. Так как T ( γ r G, X (1) ) = 0 , то
∇(0)
X (1) = ∇(0) X (1) γ r G +  γ r G, X (1)  .


γrG
На основании теорем 4.1 и 4.2 получим
1
2 
1
2 
r −1 
r −1 
(1)
∇(0)
X
=
γ
G

X
+
...
+
G

X
−
γ
G

X
+
...
+
G
 X  = 0.



γrG




Аналогично доказывается второе равенство. Так как T ( γ r G, X (0) ) = 0 ,
то
∇(0)
X (0) = ∇(0) X (0) γ r G +  γ r G, X (0)  .


γrG
Иcпользуя теоремы 4.1 и 4.2, будем иметь
1
r
1



(0)
∇(0)
= γ r  ∇ X G + G  ∇X + ... + A  ∇X  − γ r ( LX G ) = γ r  ∇ X G + G  ∇X +
r X
γ G



r
1
r

+... + G  ∇X − ∇ X G − G  ∇X − ... − G  ∇X + ∇X  G  = γ r (∇X  G ).

Список литературы
1. Y a n o , K . Tangent and Cotangent Bundles / K. Yano and S. Ishihara // Marcel Dekker, Inc. – New York, 1973. – P. 12–25.
2. С у л та н о в , А . Я . Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения
линейных реперов со связностью полного лифта / А. Я. Султанов // Труды
геометрического семинара. – Вып. 22. – Казань : Изд-во Казан. ун-та, 1994. –
С. 78–88.
3. Ша дыев, X . Аффинная коллинеация синектической связности в касательном
расслоении / Х. Шадыев // Труды геометрического семинара. – Вып. 16. – Казань :
Изд-во Казан. ун-та, 1984. – C. 117–127.
References
1. Yano K. and Ishihara S. Marcel Dek-ker, Inc. New York, 1973, pp. 12–25.
2. Sultanov A. Ya. Trudy geometricheskogo seminara [Proceedings of the seminar on geometry]. Issue 22. Kazan': Izd-vo Kazan. un-ta, 1994, pp. 78–88.
3. Shadyev X. Trudy geometricheskogo seminara [Proceedings of the seminar on geometry]. Issue 16. Kazan': Izd-vo Kazan. un-ta, 1984, pp. 117–127.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Султанова Галия Алиевна
аспирант, Пензенский государственный
университет (Россия, г. Пенза,
ул. Красная, 40)
Sultanova Galiya Alievna
Postgraduate student, Penza State
University (40 Krasnaya street,
Penza, Russia)
E-mail: sultgaliya@yandex.ru
УДК 514.76
Султанова, Г. А.
Некоторые лифты тензорных полей типа (1, r) c базы в его касательное расслоение / Г. А. Султанова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2014. – № 1 (29). –
С. 54–64.
64
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
УДК 518.5
И. В. Бойков
ПОПЕРЕЧНИКИ КОЛМОГОРОВА И НЕНАСЫЩАЕМЫЕ
МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ,
ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ РЕШЕНИЯМИ УРАВНЕНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
(Часть I. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ)
Аннотация.
Актуальность и цели. Среди ряда важных проблем вычислительной математики можно сформулировать две проблемы: вычисление поперечников
Колмогорова и Бабенко на классе Qr (Ω, M ) ; построение ненасыщаемых методов аппроксимации компактов функций. Вычислены поперечники Колмогорова и Бабенко классов функций Qru,γ (Ω, M ) и Qru,γ (Ω, M ) , являющиеся обобще-
нием класса функций Qr (Ω, M ) ; построены оптимальные по порядку методов
приближения этих классов; построены ненасыщаемые алгоритмы аппроксимации этих же классов. Точность ненасыщаемых алгоритмов отличается от
точности оптимальных множителей O (ln α n) , где n – число функционалов, используемых при построении алгоритма, α – некоторая константа. Классам
функций Qru,γ (Ω, M ) , Qru,γ (Ω, M ) принадлежат решения эллиптических уравнений, слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных
уравнений.
Материалы и методы. Вычисление поперечника Колмогорова основано на
оценке снизу поперечника Бабенко, оценке сверху поперечника Колмогорова
и на использовании леммы, устанавливающей связь между этими поперечниками. Для оценки сверху поперечника Колмогорова строятся локальные
сплайны, которые являются оптимальными методами приближения классов
функций Qru,γ (Ω, M ) , Qru,γ (Ω, M ) .
Результаты. Построены оптимальные методы аппроксимации классов
функций Qru,γ (Ω, M ) , Qru,γ (Ω, M ) , которые могут быть положены в основу эффективных численных методов решения эллиптических уравнений, слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений.
Выводы. Построенные в работе сплайны могут быть положены в основу
конструирования эффективных численных методов решения эллиптических
уравнений, слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений.
Ключевые слова: поперечники Колмогорова, поперечника Бабенко, ненасыщаемые методы, сплайны, оптимальные алгоритмы, весовые пространства
Соболева.
I. V. Boykov
KOLMOGOROV DIAMETERS AND UNSATURABLE METHODS
OF APPROXIMATION OF FUNCTIONCLASSES, DETERMINED BY
SOLUTIONS OF MATHEMATICAL PHYSICS’ EQUATIONS
(Part I. FUNCTION OF SINGLE VARIABLE)
Physical and mathematical sciences. Mathematics
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Abstract.
Background. Among the important problems of calculus mathematics there can
be formulated two problems: calculation of Kolmogorov and Babenko diameters in
Qr (Ω, M ) class; development of unsaturable methods of function compacts approx-
imation. The author calculated Kolmogorov and Babenko diameters of Qru,γ (Ω, M )
and Qru,γ (Ω, M ) function classes, being the generalization of the Qr (Ω, M ) function
class; built optimal in method order approximations of the said classes; built unsaturable algorithms of the said classes’ approximation. Accuracy of the unsaturable algorithms differs from optimal O (ln α n) multipliers, where n – number of functionals
used in algorithm construction, α – certain constant. Qru,γ (Ω, M ) , Qru,γ (Ω, M ) function classes include solutions of elliptic equations, weakly singular, singular and
hypersingular integral equations.
Materials and methods. Calculation of Kolmogorov diameter is based on the estimate at the bottom of Babenko diameter, on the estimate on the top of Kolmogorov
diameter and on usage of the lemma connecting the said two diameters. To estimate
the top of Kolmogorov diameter one builds local splines, which appear to be the optimal methods of approxaimation of Qru,γ (Ω, M ) , Qru,γ (Ω, M ) function classes.
Results. The author developed optimal methods of approxaimation of
Qru,γ (Ω, M ) function classes, which may form a base of effective numer-
Qru,γ (Ω, M ) ,
ical methods of solution of elliptic equations, weakly singular, singular and
hypersingular integral equations.
Conclusions. The splines, built in the work, may form a base for construction of
effective numerical methods of solutions of elliptic equations, weakly singular, singular and hyper singular integral equations.
Key words: Kolmogorov diameter, Babenko diameter, unsaturable methods, unsaturable splines, optimal algorithms, Sobolev weight space.
Введение
В работе [1] К. И. Бабенко сформулировал ряд важных задач
вычислительной математики.
Одна из них относится к вычислению поперечников Колмогорова и
Бабенко на классе функций Qr (Ω, M ). Как отмечает К. И. Бабенко, интерес
к этой задаче вызван тем, что решения эллиптических уравнений принадлежат классу Qr (Ω, M ) . Позднее было показано, что решения слабосингулярных интегральных уравнений [2, 3], решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений [4, 5] принадлежат классам функций
Qr γ (Ω, M ) , Br γ (Ω, M ), являющихся обобщениями класса функций Qr (Ω, M ).
Задача вычисления поперечников Колмогорова и Бабенко на классах
функций Qr γ (Ω, M ), Qr γ (Ω, M ) Br γ (Ω, M ) решена автором [6–8].
Для оценки сверху поперечников Колмогорова классов функций
Qr γ (Ω, M ) и Br γ (Ω, M ) были построены [6–8] локальные сплайны, являющиеся оптимальными по порядку методами аппроксимации классов функций
Qr γ (Ω, M ) Br γ (Ω, M ) .
Вторая задача относится к построению ненасыщаемых численных
методов.
66
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Исследование ненасыщаемых алгоритмов аппроксимации бесконечнодифференцируемых функций было проведено В. Н. Белых [9].
Построенные в работах [6–8] оптимальные методы аппроксимации
функций из классов Qr γ (Ω, M ) являются насыщаемыми. Поэтому представляется актуальной задача построения ненасыщаемых методов аппроксимации
u
функций из классов Q r γ (Ω, M ), Qruγ (Ω, M ), являющихся обобщением класса
функций Qr γ (Ω, M ).
В разделе 1 описаны классы функций, используемые в работе, и
приведены необходимые определения и обозначения.
В пункте 1 раздела 2 построены оптимальные по порядку методы
u
аппроксимации классов функций Q r γ (Ω, M ), Qruγ (Ω, M ), Ω = [ −1,1].
В пункте 2 раздела 2 построены ненасыщаемые методы аппроксимации
u
классов функций Q r γ (Ω, M ), Qruγ (Ω, M ), Ω = [ −1,1].
1. Классы функций. Определения
В работе К. И. Бабенко [1] введен класс функций Qr (Ω, M ).
Определение 1. Пусть Ω = [−1,1]l , l = 1, 2, Функция ϕ ( x1 ,, xl )
принадлежит классу Qr (Ω, M ), если выполнены условия:
v
v
|v|
max ∂ ϕ( x1 ,, xl ) / ∂x11  ∂xl l ≤ M при 0 ≤| v |≤ r ;
x∈Ω
M
v
v
∂|v|ϕ( x1 ,, xl ) / ∂x11  ∂xl l ≤
(d ( x, Γ))|v|− r
, x ∈ Ω \ Γ, при r <| v |≤ 2r + 1,
где x = ( x1 ,, xl ), v = (v1 ,, vl ), | v |= v1 +  + vl , d ( x, Γ) – расстояние от
точки x до границы Γ области Ω, вычисляемое по формуле
d ( x, Γ) = min1≤i ≤l min (| −1 − xi |,|1 − xi |) .
Приводимые
ниже
классы
функций
Qr ,γ (Ω, M ),
Qru,γ (Ω, M ),
Qru,γ (Ω, M ) являются обобщениями класса Qr (Ω, M ).
Определение 2. Пусть Ω = [−1,1]l , l = 1, 2, Функция φ( x1 , xl )
принадлежит классу Qr ,γ (Ω, M ), если выполнены условия:
v
v
|v|
max ∂ ϕ( x) / ∂x11  ∂xl l ≤ M при 0 ≤| v |≤ r ;
x∈Ω
v
v
∂|v|ϕ( x) / ∂x11  ∂xl l ≤
M
(d ( x, Γ))|v|− r −ζ
, x ∈ Ω \ Γ, при r <| v |≤ s,
где s = r + [ γ ] + 1, γ = [ γ ] + μ, 0 < μ < 1, ζ = 1 − μ при γ нецелом, s = r + γ
при γ целом.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Определение 3. Пусть Ω = [−1,1]l , l = 1, 2,; γ, r и u – неотрица-
тельные
целые
числа.
Qruγ (Ω, M )
Множество
состоит
из
функций
ϕ( x1 , x2 ,, xl ), удовлетворяющих условиям:
v
v
|v|
max ∂ ϕ( x) / ∂x11  ∂xl l ≤ M при 0 ≤| v |≤ r − 1;
x∈Ω
v
v
∂|v|ϕ( x) / ∂x11  ∂xl l ≤ M (1+ | ln ud ( x, Γ) |), x ∈ Ω \ Γ, при | v |= r;
v
v
∂|v|ϕ( x) / ∂x11  ∂xl l ≤
M (1+ | ln u −1d ( x, Γ) |)
( d ( x, Γ))|v|− r
, x ∈ Ω \ Γ, при r <| v |≤ s,
где s = r + γ.
Определение 4. Пусть Ω = [−1,1]l , l = 1, 2,, u , – натуральное число,
γ – нецелое число. Класс Qru,γ (Ω, M ) состоит из функций, удовлетворяющих
следующим условиям:
v
v
|v|
max ∂ ϕ( x) / ∂x11  ∂xl l ≤ M при 0 ≤| v |≤ r ;
x∈Ω
v
v
∂|v|ϕ( x) / ∂x11  ∂xl l ≤
≤
M
|v|− r −ζ
(d ( x, Γ))
(1+ | ln ud ( x, Γ) |) ,
x ∈ Ω \ Γ, при r <| v |≤ s,
где s = r + [ γ ] + 1, γ = [ γ ] + μ, 0 < μ < 1, ζ = 1 − μ.
Определение 5. Через Clr (1) обозначен класс функций l независимых
переменных, у которых существуют и ограничены по модулю единицей все
частные производные до r -го порядка включительно.
Пусть Δ = [a, b], c ∈ [a, b], f ( x) ∈W r . Через Tr ( f , Δ, c) обозначен
отрезок ряда Тейлора
Tr ( f , Δ, c) = f (c) +
f ′(c)
f ( r ) (c )
( x − c) +  +
( x − c) r .
1!
r!
В работе используется формула Тейлора с остаточным членом
в интегральной форме [10].
Напомним эту формулу:
f ( x ) = f (c ) +
x−c
( x − c)2
( x − c)r −1 r −1
f ′(c) +
f ′′(c) +  +
f (c) + Rr ( x),
1!
2!
( r − 1)!
где
68
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
t
1
( x − t )r −1 f ( r ) (t )dt.
Rr ( x) =
(r − 1)!

a
Пусть Δ = [a1 , b1;; al , bl ], l = 2,3, , c ∈ Δ,
Tr ( f , Δ, c) обозначим отрезок ряда Тейлора
Tr ( f , Δ, c) = f (c) +
f ( x1 , , xl ) ∈ Clr . Через
1
1
df (c) +  + d r f (c),
1!
r!
где d r f (c) – дифференциал r -го порядка функции f ( x1 ,, xl ), вычисленный в точке c.
В работе используется формула Тейлора для функций многих
переменных с остаточным членом в интегральной форме [11].
Напомним эту формулу:
l
l
0
k
1
 x − x0   x − x0  ∂ f ( x ) + R ( x), (1)

 j1
r +1
j1   jk
jk  ∂x  ∂x

k!
j1
jk
k =0 j1=1 jk =1
r
f ( x1 , , xl ) =
  
где
Rr +1 ( x) =
1
l
l
1
 x − x 0 
(1 − u ) r

 j1
j1 

r!
j1=1 jr +1=1
0


  x j − x0j 
r +1 
 r +1

(
(
∂ r +1 f x0 + u x − x0
∂x j  ∂x j
r +1
1
1
)) du =
( x − x0 )k
= (r + 1)
(1 − u ) r f ( k ) x0 + u x − x0 du.
k!
|k |= r +1

(

0
(
))
(2)
Пусть B – банахово пространство; X ⊂ B – компакт; Π : X → X –
представление компакта X ⊂ B конечномерным пространством X .
Определение 6 [12]. Пусть Ln – множество n -мерных линейных
подпространств пространства B. Выражение
d n ( X , B ) = inf sup inf x − u ,
Ln x∈X u∈Ln
где последний inf берется по всем подпространствам Ln размерности n,
определяет n -поперечник Колмогорова.
Определение 7 [12]. Пусть χ ∈ R n . Выражение
δn ( X ) =
inf
sup diamΠ −1Π ( x),
(Π: X → R n ) x∈X
Physical and mathematical sciences. Mathematics
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где inf берется по всем непрерывным отображениям Π : X → R n , определяет
n -поперечник Бабенко.
2. Методы аппроксимации классов функций
u
Q r γ (Ω, M ) и Qruγ (Ω, M ), Ω = [−1,1]
2.1. Оптимальные по порядку методы
u
аппроксимации классов функций Q r γ (Ω, M ) и Qruγ (Ω, M )
В этом разделе оцениваются поперечники Бабенко и Колмогорова для
u
классов функций Q r γ (Ω, M ) , Qruγ (Ω, M ), Ω = [−1,1] и строятся оптимальные
методы аппроксимации этих классов.
u
Рассмотрим класс функций Q r γ (Ω, M ). Построим локальный сплайн,
u
аппроксимирующий функции класса Q r γ (Ω,1) с точностью cn − s , где n −
число функционалов, используемое при построении сплайна.
Разделим сегмент [−1,1] на 2N частей точками tk = −1 + (k / N )v и
τk = 1 − ( k / N )v , k = 0,1, , N , v = s / ( s − γ ). Через Δ1k и Δ 2k обозначим
Δ1k = [tk , tk +1 ],
сегменты
Δ 2k = [ τk +1 , τk ],
k = 0,1, , N − 1.
Каждый
из
Δik ,
сегментов
k = 0,1, , N − 1, i = 1, 2, разделим на M k равных частей,
k = 0,1,, N − 1 , точками
tk , j = tk + (tk +1 − tk ) j / M k , τk , j = τk − (τk − τk +1 ) j / M k ,
j = 0,1,, M k , k = 0,1, , N − 1.
Здесь M 0 = ln n , M k = 1, k = 1, 2,, N − 1, если u = 1 и M 0 = ln u / r N ,
M k = ln (u −1)/ s ( N / k ), k = 1, 2,, N − 1, если u = 2,3,
Полученные в результате деления сегменты обозначим через Δik , j ,
j = 0,1, , M k − 1, k = 0,1, , N − 1, i = 1, 2.
Δ1k , j = [tk , j , tk , j +1 ],
Δ 2k , j = [τk , j +1 , τk , j ],
j = 0,1, , M k − 1 ,
k = 0,1, , N − 1.
Пусть f ∈ C[ a, b]. На каждом сегменте [a, b] построим полином
Здесь
u
Ps ( f ,[a, b]), интерполирующий функцию f ∈ Q r γ (Ω,1) следующим образом.
Обозначим нули полинома Чебышева первого рода степени s через
ζ k , k = 1, 2,, s. Аффинно отобразим сегмент [ζ1 , ζ s ] ⊂ [ −1,1] на [a, b] так,
чтобы точки ζ1 и ζ s отобразились в точки a и b соответственно.
Обозначим образы точек ζi через ζ'i , i = 1, 2, , s. Обозначим через
70
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Ps ( f ,[a, b]) полином, интерполирующий функцию
f
по узлам
ζ'i , i = 1, 2, , s, на сегменте [a, b].
Обозначим через f N локальный сплайн, составленный из полиномов
Ps ( f , Δik , j ), j = 0,1, , M k − 1 , k = 0,1, , N − 1, i = 1, 2.
Теорема 1. Пусть Ω = [ −1,1]. Пусть r , u , γ – положительные постоянu
u
ные, s = r + γ. Тогда δn (Q r γ (Ω, M )) = c d n (Q r γ (Ω, M ), C ) = c n − s и сплайн f N
является оптимальным по порядку методом аппроксимации фукций класса
u
Q r γ (Ω, M ) .
Доказательство. Оценим погрешность || f − f N ||C (Ω) . Для определенности рассмотрим случай, когда u = 2,3, Случай, когда u = 1, рассматривается аналогично.
Оценивая точность аппроксимации на сегменте Δi0 , ограничимся
рассмотрением || f − f N || i . Очевидно,
C ( Δ0,0 )
(
)
|| f − f N ||c ( Δi ) ≤ Es −1 f , Δi0,0 (1 + λ s ),
0,0
где Es −1 ( f , Δ) – наилучшее приближение функции f в равномерной
метрике на сегменте Δ полиномами степени s − 1; λ s – константа Лебега по
s узлам, расположенным на сегменте Δ.
Используя формулу Тейлора, имеем
(
Es −1 f , Δ10,0
≤
)≤
f
(
)
− Tr −1 f , Δ10,0 , −1
1
max
(r − 1)! t∈Δ1
t
1
≤
max
1
C ( Δ 0,0 ) ( r −1)! t∈Δ1
 (1+ | ln u(1 + τ) |)(t − τ)
t
f
(r )
( τ)(t − τ) r −1 d τ ≤
0,0 −1
r −1
r
| ln uh00 |≤
d τ ≤ ch00
0,0 −1
r
 1 
 1 
1
1
u
(ln u N + ln u ln N ) ≤ c
,
≤ c

 ≤c s
ln
 N vM 
 N vM 
u
N ln N
Ns
0
0


где h00 = h0 / M 0 , h0 = t1 − t0 .
Следовательно,
f − f N C ( Δi ) ≤ cN − s , i = 1, 2.
0
Оценим теперь норму
f − f N C ( Δi ) , j = 0,1,, M k −1 , k = 1,, N − 1, i = 1, 2.
k, j
Physical and mathematical sciences. Mathematics
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Оценка следует из цепочки неравенств
f − f N C ( Δ1 ) ≤
k ,1
vγ
c(tk ,1 − tk ,0 ) s  N vγ 
u −1 N 

1
+
ln
 
 
k 
2s −1 s!  k  

≤


s
 hk   N vγ 
u −1 N  ≤
≤ c
   1 + ln

k 
 Mk   k  


v
v
1
 k +1  k  


≤ c 
−
(u −1)/ s
   N   N  
  ln N 




 k 

≤c
(k + θ)(v −1) s −vγ
N
s
s


vγ
  N  1 + u −1 N  ≤

  k   ln
k 



c
≤
Ns
,
где tk , j = tk + (tk +1 − tk ) j / M k , j = 0,1,..., M k , k = 0,1,..., N − 1.
Нормы f − f N C ( Δi ) , j = 0,1, , M k − 1, k = 0,1, , N − 1, i = 1, 2,
k, j
оцениваются аналогично.
Из оценок (1), (2) следует, что
f − f N C (Ω) ≤ cN − s .
(3)
Оценим число узлов используемых для построения локального сплайна
f N . Вначале оценим общее число сегментов Δik ,l , j = 0,1, , M k − 1,
k = 0,1, , N − 1, i = 1, 2, покрывающих [−1,1].
Пусть q = (u − 1) / s. Тогда
m=2
N −1 u −1 
 u
N
≤
M k ≤ 2  ln r N +
ln s


k
k =0
k =1


N −1


N q
N −1



N
ln t 
≤ c N +
dt ≤ cN .
ln q  ≤ c  N + N



k 
t2
k =2

1




(4)
Общее число узлов, используемых для построения сплайна, равно
n = ( s + 1)m + 1 = cN .
Следовательно, f − f N C ([ −1,1]) ≤ cN − s ≤ cn − s .
Так как сплайн f N непрерывный, то
u
d n (Q r ,γ (Ω,1), C ) ≤ cn − s .
72
(5)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Докажем неулучшаемость оценки (5). Для этого покажем, что
u
d n (Q r ,γ (Ω,1), C ) ≥ cn − s .
Заметим,
что
u
Qr , γ (Ω,1) ⊂ Q r , γ (Ω,1).
Известно
[7,
8],
что
∪ −s
δn (Qr ,γ (Ω,1)) ∩
n . Следовательно,
u
δn (Q r ,γ (Ω,1)) ≥ cn − s .
(6)
Сопоставляя оценки (5), (6), имеем
u
u
∪
−s
δn (Q r ,γ (Ω,1) ∪
∩ d n (Q r , γ (Ω,1)), C ) ∩ cn .
Теорема доказана.
Рассмотрим класс функций Qru,γ (Ω,1).
Построим непрерывные локальные сплайны, являющиеся оптимальными по порядку алгоритмами аппроксимации функций класса Qru,γ (Ω,1).
Для этого покроем сегмент [−1,1] более мелкими сегментами Δik , j ,
j = 0,1, , M k − 1, k = 0,1, , N − 1, i = 1, 2, подобно тому, как это сделано на
u
классе Q r ,γ (Ω,1). Отличие состоит в том, что теперь
M 0 = ln u /( r +1−μ )N , μ = 1 − ζ, M k = ln u / sN , k = 1, 2, , N − 1.
Функцию f ∈ Qru,γ (Ω,1) аппроксимируем сплайном f N , составленным
из полиномов Ps ( f , Δik , j ), j = 0,1, , M k − 1, k = 0,1, , N − 1, i = 1, 2. Повторяя,
с изменениями технического характера рассуждения, приведенные при
доказательстве теоремы 1, приходим к следующему утверждению.
Теорема 2. Пусть Ω = [−1,1]. Пусть r , u – положительные целые числа,
γ – положительное нецелое число. Тогда сплайн f N является оптимальным
по порядку (по точности) методом аппроксимации функций f ∈ Qru,γ (Ω,1).
Справедлива оценка δn (Qru,γ (Ω,1)) = cd n (Qru,γ (Ω,1), C ) = cn − s .
2.2. Ненасыщаемые алгоритмы аппроксимации
u
функций из Q r , γ (Ω,1), Qru,γ (Ω,1), Ω = [−1,1]
u
Рассмотрим класс функций Q r , γ (Ω,1). Для аппроксимации функций
u
f ∈ Q r , γ (Ω,1) построим непрерывный локальный сплайн, использующий не
более, чем n узлов. Обозначим через n0 , n1 натуральные числа, причем
n0 = ln n , n1 = n / n0 . Обозначим через n2 натуральное число, величину
Physical and mathematical sciences. Mathematics
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
которого определим ниже. Введем узлы tk = −1 + (k / n2 )v , τk = 1 − (k / n2 )v ,
Δ1k = [tk , tk +1 ], Δ 2k = [ τk +1 , τk ],
k = 0,1,, n2 . Каждый из сегментов Δik покроем более мелкими сегментами
Δik , j , j = 0,1,, M k − 1, k = 0,1,, n2 , i = 1, 2. Построение сегментов Δik , j
k = 0,1, , n2 ,
v = s / ( s − γ ),
и сегменты
аналогично приведенному при доказательстве теоремы 1. Здесь M 0 = ln n2 ,
M k = 1 при u = 1 и M 0 = ln u / rn2 , M k = ln (u −1)/ s (n2 / k ), k = 1, 2,, n2 .
Обозначим через n3 общее число сегментов Δik , j , j = 0,1,, M k − 1,
k = 0,1,, n2 − 1, i = 1, 2, покрывающих [–1,1].
Пусть n2 – наименьшее натуральное число, при котором n3 ≥ n1. Для
определенности положим, что n3 = n1.
Как отмечено выше, число n2 используется при построении сегментов
Δik , j , j = 0,1,, M k −1 , k = 0,1, , n2 − 1, i = 1, 2.
Функцию
составленным
f
из
будем аппроксимировать локальным сплайном
интерполяционных
полиномов
fn
Pn ( f , Δik , j ),
0
j = 0,1,, M k −1, k = 0,1,, n2 − 1, i = 1, 2.
Оценим f − f n C ([ −1,1]) .
Нужно рассмотреть два случая: 1) s ≤ n0 ; 2) s > n0 .
Вначале рассмотрим случай, когда s ≤ n0 .
Из теоремы Джексона следует
vγ
 tk ,1 − tk ,0  1  n2 vγ 
 n2 
1
−
u

f − f N C ( Δ1 ) ≤ c 
 s   1 + ln  
2
k ,0
 k 

 n  k  
s
s
 hk   n2 vγ
≤ c
  
 2M k   k 

 (k + 1)v − k v
≤ c
 n2v (ln n2 )(u −1)/ s
k

vγ
1 
 n2 
1
u
−
1 + ln  
 k 
n0s 

≤



≤


s

  n2 vγ 1 u −1 n2 vγ
c
c
ln   ≤ s s = s .
  
s
 k 
n2 n0 n
  k  n

(7)
Здесь использована формула (4), из которой следует, что n1 = cn2 .
f − f N C ( Δi ) , j = 0,1, , M k − 1, 1 ≤ k ≤ n2 − 1, i = 1, 2, оцеk, j
нивается по аналогии с неравенством (7).
Следовательно,
Нормы
c
f − f n C ( Δi ) ≤ s ,
n2
k, j
74
(8)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
где j = 0,1,, M k − 1, k = 1, 2,, n2 − 1, i = 1, 2.
(
)
Оценим f − f n C ( Δ1 ) ≤ Es −1 f , Δ10,0 (1 + λ s ).
0,0
Используя формулу Тейлора, имеем
(
) C (Δ
Es −1 ( f , Δ10,0 ) ≤ f − Tr −1 f , Δ10,0 , −1
1
≤
max |
(r − 1)! t∈Δ1
t
f
(r )
1
0,0 )
≤
(τ)(t − τ)r −1 d τ |≤
00 −1
≤
1
max
(r − 1)! t∈Δ1
t
 (1+ | ln
u
(1 + τ) |)(t − τ)r −1 d τ ≤
00 −1
(
)
c r
1
r
h0,0 | ln u h00 | + h00
≤c ,
r!
n2s
где h0,k =| t0,k +1 − t0,k |, k = 0,1, , M − 1.
Следовательно,
(
)
Es −1 f , Δ10,0 ≤
c
n2s
.
Так как константа Лебега λ s не зависит от n2 и инвариантна
относительно длины сегмента, то имеем
c
f − f n C ( Δ1 ) ≤ .
0,0
n2s
(9)
2
Аналогичные оценки справедливы и для Δ 0,0
= [τ0,1 , τ0,0 ].
Окончательно имеем
c
f − f n C ( Δ1 ) ≤ .
0,0
n2s
(10)
Из формул (7)–(10) имеем при s ≤ n0
c cln sn
=
.
f − f n C (Ω) ≤
n2s
ns
Рассмотрим теперь случай, когда n0 < s.
Здесь в отдельности нужно рассмотреть случаи, когда n0 ≤ r − 1, r = n0 ,
r < n0 < s.
Нетрудно видеть, что при n0 ≤ r − 1
n
 tk ,1 − tk ,0  0 1
f − f n C ([ −1,1]) ≤ max f − f n C ( Δi ) ≤ c max 
≤

n
2
k, j
k , j ,i
k 
 2 0 n0!
Physical and mathematical sciences. Mathematics
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

 (k + 1)v − k v
≤ c max1≤k ≤ n2 −1 
 2n2v (ln n2 )(u −1)/ s
k

≤ c max
k
k
n
 0
n
 1  0 1

1
+ c
≤


n
v
n
 2 0 n0!  n2 M 0  2 0 n0!

( v −1) n0
vn  n 
2n2 0  ln 2 
 k 
1
c
c
≤
=
.
n
n
nn0! n 0 nn ! n 0 +1
0
2
(u −1) n0 / s
Рассмотрим случай, когда n0 = r.
Выше было показано, что
c cln sn
f − f n C ( Δi ) ≤
=
.
0, j
n2s
ns
При 1 ≤ k ≤ n2 − 1 имеем оценку
 (k + 1)v − k v
f − f n C ( Δi ) ≤ 
k, j
 v  n2 u / r
 2n2  ln 
 k 

≤c
k (v −1) r
1
2r n2vr 2r −1 r!
=c





u
r
v 

1
 ln  1 + ln  k   
≤
−
r
 
n2    2 1 r!


 
1
n2r n 2 r!
=c
rr
.
n r + 2 r!
1
Из последних двух оценок следует, что
 ln sn 1 r r 
,
f − f N C ([ −1,1]) ≤ c min 
.
 n s n r + 2 r! 


Рассмотрим случай, когда r < n0 ≤ s.
В этом случае, как показано выше,
c cln sn
=
.
f − f N C ( Δi ) ≤
0, j
n2s
ns
При 1 ≤ k ≤ n2 − 1 имеем оценку
 (k + 1)v − k v
f − f N C ( Δi ) ≤ 
k, j
 v  n2 (u −1)/ s
 2n2  ln 
 k 

γ

 n  
×  1 + ln  2   

 k   

76
u −1
n
 0 1  n2 v ( n0 −r )
×

 
 2n0 n0!  k 


n
 k (v −1)  0  n2 v ( n0 − r ) 1  n2 (u −1)(1−n0 / s )
ln
≤ C
≤

 2nv   k 
nn0!  k 
2 

University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
s −n
≤
c 1 k 0
c
1
c
(u −1)( s − n0 )/ s
n +u −1
≤
(ln n2 )
(ln n)u −1 ≤
(ln n) 0
.
2
2
vr
n
n
+
n n2 n n0!
0 n !
n n0! n 0
n
0
2
Из последних двух неравенств следует, что
 sn

1
n +u −1
ln
.
f − f N C ([ −1,1]) ≤ C min 
,
(ln n) 0
 n s n n0 + 2 n !

0


Таким образом, построен ненасыщаемый метод аппроксимации
функций класса Qru,γ (Ω,1).
Ненасыщаемый метод аппроксимации функций класса Qru,γ (Ω,1)
строится аналогично.
Список литературы
1. Ба б е н к о , К . И . О некоторых задачах теории приближений и численного
анализа / К. И. Бабенко // Успехи математических наук. – 1985. – Т. 40, № 1. –
С. 3–28.
2. В а й н и к к о , Г . М . О гладкости решения многомерных слабосингулярных
интегральных уравнений / Г. М. Вайникко // Математический сборник. – 1989. –
Т. 180, №12. – С. 1709–1723.
3. В а й н и к к о , Г . М . Методы решения слабосингулярных интегральных уравнений / Г. М. Вайникко, А. Педас, П. Уба. – Тарту : Тартуский гос. ун-т, 1984. –
94 с.
4. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть I. Сингулярные интегралы / И. В. Бойков. – Пенза :
Изд-во ПензГУ, 2005. – 360 с.
5. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть II. Сингулярные интегралы / И. В. Бойков. – Пенза :
Изд-во ПензГУ, 2009. – 252 с.
6. Б о й к о в , И . В. Оптимальные по точности алгоритмы вычисления интегралов /
И. В. Бойков // Оптимальные методы вычислений и их применение. – Вып. 8. –
Пенза : Изд-во ППИ, 1987. – С. 4–22.
7. Б о й к о в , И . В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными
сплайнами / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1998. – Т. 38, № 1. – С. 25–33.
8. Б о й к о в , И . В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления
интегралов / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2007. – 236 с.
9. Б е л ы х , В. Н . О свойствах наилучших приближений C ∞ -гладких функций на
отрезке вещественной оси (к феномену ненасыщаемости численных методов) /
В. Н. Белых // Сибирский математический журнал. – 2005. – Т. 46, № 3. – С. 483–
499.
10. Н и к о л ь с к и й , С . М . Квадратурные формулы / С. М. Никольский. – М. :
Наука, 1979. – 254 с.
11. Н и к о л ь с к и й , С . М . Курс математического анализа / С. М. Никольский. – М. :
Наука, 1975. – Т. 1. – 432 с.
12. Ба б е н к о , К . И . Основы численного анализа / К. И. Бабенко. – М. : Наука,
1986. – 744 с.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
References
1. Babenko K. I. Uspekhi matematicheskikh nauk [Progress of mathematical sciences].
1985, vol. 40, no. 1, pp. 3–28.
2. Vaynikko G. M. Matematicheskiy sbornik [Mathematical collection]. 1989, vol. 180,
no. 12, pp. 1709–1723.
3. Vaynikko G. M., Pedas A., Uba P. Metody resheniya slabosingulyarnykh integral'nykh
uravneniy [Methods of weakly singular integral equations solution]. Tartu: Tartuskiy
gos. un-t, 1984, 94 p.
4. Boykov I. V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh integralov. Chast' I. Singulyarnye integraly [Approximate methods of singular and
hypersingular integrals calculation. Part I. Singular integrals]. Penza: Izd-vo PenzGU,
2005, 360 p.
5. Boykov I. V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh integralov. Chast' II. Singulyarnye integraly [Approximate methods of singular and
hypersingular integrals calculation. Part II. Singular integrals]. Penza: Izd-vo PenzGU,
2009, 252 p.
6. Boykov I. V. Optimal'nye metody vychisleniy i ikh primenenie [Optimal methods of
calculations and application thereof]. Issue 8. Penza: Izd-vo PPI, 1987, pp. 4–22.
7. Boykov I. V. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of
calculus mathematics and mathematical physics]. 1998, vol. 38, no. 1, pp. 25–33.
8. Boykov I. V. Optimal'nye metody priblizheniya funktsiy i vychisleniya integralov [Optimal methods of function approximation and calculation of integrals]. Penza: Izd-vo
PenzGU, 2007, 236 p.
9. Belykh V. N. Sibirskiy matematicheskiy zhurnal [Siberian mathematical journal]. 2005,
vol. 46, no. 3, pp. 483–499.
10. Nikol'skiy S. M. Kvadraturnye formuly [Quadrature formulas]. Moscow: Nauka, 1979,
254 p.
11. Nikol'skiy S. M. Kurs matematicheskogo analiza [Course of mathematical analysis].
Moscow: Nauka, 1975, vol. 1, 432 p.
12. Babenko K. I. Osnovy chislennogo analiza [Fundamentals of numerical analysis]. Moscow: Nauka, 1986, 744 p.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный
университет (Россия, г. Пенза,
ул. Красная, 40)
Boykov Il'ya Vladimirovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics, Penza
State University (40 Krasnaya street,
Penza, Russia)
E-mail: math@pnzgu.ru
УДК 518.5
Бойков, И. В.
Поперечники Колмогорова и ненасыщаемые методы аппроксимации классов функций, определяемых решениями уравнений математической физики (Часть I. Функции одной переменной) / И. В. Бойков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2014. – № 1 (29). – С. 65–78.
78
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
УДК 519.6
В. А. Горюнов, Р. В. Жалнин, Е. Е. Пескова, В. Ф. Тишкин
О ПОСТРОЕНИИ WENO СХЕМ
ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ
Аннотация.
Актуальность и цели. Математическое моделирование течений жидкости и
газа сводится к решению системы уравнений Эйлера в областях сложной геометрии. Реальные течения характеризуются появлением газодинамических
разрывов. Это приводит к использованию численных методов высокого порядка точности. Целями данной работы являются: построение существенно не
осциллирующей схемы высокого порядка точности (WENO схемы) для решения уравнений газовой динамики на неструктурированной сетке; сравнение
полученных результатов с результатами численного моделирования, полученными при использовании схемы первого порядка точности.
Материалы и методы. Основная идея метода WENO заключается в линейной комбинации полиномов, построенных с помощью схемы ENO. Весовые
коэффициенты в линейной комбинации зависят от гладкости решения на каждом шаблоне. Для случая отрицательных весовых коэффициентов приведена
технология их расщепления.
Результаты. Построена существенно не осциллирующая схема третьего
порядка точности (WENO схема) для решения уравнений газовой динамики на
неструктурированной сетке. Проведено сравнение полученных результатов
с результатами численного моделирования, полученными при использовании
схемы первого порядка точности.
Выводы. Разработана схема третьего порядка точности, основанная на комбинации линейных полиномов. С использованием представленной схемы проведена серия тестовых расчетов для задачи Римана. Сделан вывод, что предложенная схема меньше размазывает решение на разрывах, чем схема первого
порядка точности.
Ключевые слова: WENO схема, неструктурированная сетка, высокий порядок точности.
V. A. Goryunov, R. V. Zhalnin, E. E. Peskova, V. F. Tishkin
ON CONSTRUCTION OF WENO SCHEMES
FOR HYPERBOLIC SYSTEMS ON UNSTRUCTURED MESHES
Abstract.
Background. Mathematical simulation of fluid and gas flows is reduced to solving the equations of the Euler system in areas of complicated geometry. Real flows
are characterized by the appearance of gas dynamic discontinuities. It leads to the
usage of numerical methods of high order accuracy. The purpose of this paper is to
construct essentially non oscillatory high order scheme (WENO scheme) on unstructured meshes for gas dynamics equations; and to compare the obtained results
with the numerical results using first-order accuracy.
Materials and methods. The basic idea of WENO scheme is linear combination
of polynomials constructed by the ENO scheme. Weights in the linear combination
depend on the smoothness of solution in each set. For treatment of negative weights
the authors carried out disintegration thereof.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Results. The authors developed an essentially non oscillatory third-order scheme
(WENO scheme) on unstructured meshes for gas dynamics equations. The obtained
results were compared with the numerical results using first-order accuracy.
Conclusions. The researchers developed a third order scheme using a combination of linear polynomials. A series of test calculations for the Riemann problem using this scheme was performed. It is concluded that the proposed scheme smears the
solutions on discontinuities less than the first order scheme.
Key words: WENO scheme, unstructured mesh, high-order accuracy.
Введение
Численное моделирование реальных газодинамических процессов сводится к решению системы уравнений Эйлера в областях сложной геометрии.
Для большинства течений газа характерно появление газодинамических разрывов, таких как ударные волны, контактные разрывы.
В настоящее время для расчета разрывных решений широко применяются схемы повышенного порядка аппроксимации TVD и ENO типов. Эти
схемы обладают высоким порядком точности в областях гладкого решения и
характеризуются отсутствием нефизических осцилляций на разрывах. В данной работе описан метод построения WENO схем на неструктурированных
сетках. Основная идея метода заключается в выпуклой линейной комбинации
полиномов, построенных с помощью схемы ENO. Весовые коэффициенты
в линейной комбинации зависят от гладкости решения на каждом шаблоне.
Также в статье приведена технология расщепления весовых коэффициентов
для случая отрицательных весовых коэффициентов.
1. Математическая модель и разностная схема
Рассмотрим систему уравнений газовой динамики в переменных Эйлера:
∂U ∂F 1 (U ) ∂F 2 (U )
+
+
= 0,
∂t
∂x
∂y
(1)
где
ρ




ρu



;
ρ
v
U=


 
u 2 + v2  

 ρ  ε +
2  



ρu
ρv








ρuv
ρu 2 + p








2
ρuv
ρv 2 + p
F1(U ) = 
 ; F (U ) = 
.
 

 

u 2 + v2 
u 2 + v2 
 ρu  ε +
 ρv  ε +
 + pu 
 + pv 
 

 

2 
2 
 

 

80
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Система дополнена уравнением состояния
p = ( γ − 1)ρε .
(2)
Здесь ρ, p, ε – плотность, давление и удельная внутренняя энергия
соответственно; u , v – компоненты вектора скорости; γ – показатель
адиабаты.
Введем треугольную сетку ω = {Pi = ( xi , yi ), i = 1, 2,..., N } , содержащую
все внутренние и граничные точки расчетной области. На ω построим
{
}
триангуляцию Δ(ω) = Δ m = Δ ( Pim , Pjm , Pkm ), Pim , Pjm , Pkm ∈ ω, m = 1, 2,..., M .
Построим разностную схему, аппроксимирующую систему уравнений
газовой динамики, пользуясь интегроинтерполяционным методом:
d
1
U i (t ) +
Δi
dt

F ⋅ nds = 0.
(3)
∂Δi
Здесь F = ( F (1) , F (2) )T , n – внешняя нормаль к грани ячейки ∂Δi .
Интеграл в (3) рассчитываем по квадратурной формуле Гаусса:


k =1
∂Δi
( (
q
3
F ⋅ n ds ≈
) (
∂Δi
 ω j F ( u + ( G (jk ) , t ) , u − ( G (jk ) , t ) ) ⋅ nk ,
(4)
j =1
))
где F u + G (jk ) , t , u − G (jk ) , t ⋅ nk – дискретные потоки, которые рассчиты-
(
) (
ваются по схеме распада разрыва [1]; u + G (jk ) , t , u − G (jk ) , t
)
– «левые» и
«правые» значения вектора U на границе ячейки, алгоритм нахождения которых будет описан ниже.
Используем двухточечную квадратуру Гаусса q = 2 . Для ребра
треугольника с координатами P1 и P2 точки Гаусса определяем следующим
образом: G1 = cP1 + (1 − c) P2 , G2 = cP2 + (1 − c) P1 , где c =
1
3
1
+
, ω1 = ω2 = .
2
2 6
2. Линейная реконструкция
Пусть дана триангуляция области {Δ1 , Δ 2 ,..., Δ N } и заданы средние
значения некоторой функции u ( x, y ) для каждой ячейки сетки
Δi (i = 1, 2,..., N ) :
ui =
1
Δi
 u( x, y)dxdy .
(5)
Δi
Для каждой ячейки Δi (i = 1, 2,..., N ) построим полином p ( x, y ) степени, не больше k , который интерполирует функцию u ( x, y ) с порядком точности k + 1 такой, что
Physical and mathematical sciences. Mathematics
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1
Δi
 p( x, y)dxdy = ui .
(6)
Δi
Для построения полиномов pi ( x, y ) k -й степени для ячейки Δi будем
(k + 1)(k + 2)
рассматривать шаблоны Si = {Δ1 ,..., Δ K } , где K =
– количество
2
ячеек в каждом из шаблонов. Используя выражение (6) для каждого треугольника из шаблона и решив линейную систему K × K уравнений, найдем
искомый полином pi ( x, y ) .
Для построения линейной схемы третьего порядка точности [2] для
нахождения газодинамических параметров для ячейки Δ 0 используем шаблон, включающий в себя два ряда соседних ячеек S = {Δ 0 , Δi , Δia , Δib , Δ j , Δ ja ,
Δ jb , Δ k , Δ ka , Δ kb } (рис. 1).
Рис. 1
Используя данный шаблон, строим полином второй степени
p ( x, y , z ) = a0 + a1 x + a2 y + a3 x 2 + a4 y 2 + a5 xy методом наименьших квадра2
тов. Для каждой точки Гаусса
( xG , y G )
находим набор коэффициентов
{cl }lN=1 , которые зависят только от геометрии ячеек:
(
82
N
)  cl ul .
l =1
p 2 xG , y G =
(7)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Здесь N – число треугольников в шаблоне; ul – среднее значение
u ( x, y ) в ячейке.
Идея WENO схемы заключается в следующем [2, 3]. Строим линейные
полиномы pi ( x, y ) , взвешенная сумма которых дает тот же результат, что и
квадратичный полином p 2 ( x, y ) .
Используя шаблон S , строим линейные полиномы
pi ( x, y ) = a0i + a1i x + a2i y, i = 1,...,9 ,
на следующих шаблонах-кандидатах [2]: S1 = {Δ 0 , Δ j , Δ k } , S2 = {Δ0 , Δi , Δ k } ,
S3 = {Δ 0 , Δi , Δ j } ,
S4 = {Δ 0 , Δi , Δia } ,
S5 = {Δ 0 , Δi , Δib } ,
S6 = {Δ 0 , Δ j , Δ ja } ,
S7 = {Δ 0 , Δ j , Δ jb } , S8 = {Δ 0 , Δ k , Δ ka } , S9 = {Δ 0 , Δ k , Δ kb } .
Используя выражение (6) для каждого треугольника из шаблона и решив линейную систему 3 × 3 , найдем искомый полином pi ( x, y ) . Например,
для шаблона-кандидата S1 = {Δ 0 , Δ j , Δ k } получим следующую систему:

 1
p1 ( x, y ) dxdy = u0 ,
Δ
0 Δ

0
 1

p1 ( x, y )dxdy = u j ,

 Δ j Δj

 1
p1 ( x, y ) dxdy = uk .
Δ
 k Δ k



Для каждой точки Гаусса ( xG , y G ) находим набор коэффициентов
{c }
(i ) 3
,
l
l =1
которые зависят только от геометрии ячеек:
(
3
)  cl(i)ul(i) .
l =1
pi xG , y G =
(8)
Здесь ul – среднее значение U в ячейке.
Для каждой точки Гаусса необходимо найти линейные весовые коэффициенты γ i , которые зависят от параметров сетки. Строим полином с помощью комбинации линейных полиномов
9
R ( x, y ) =
 γi pi ( x, y) ,
(9)
i =1
который удовлетворяет условию
(
)
(
)
R xG , y G = p 2 xG , y G .
Physical and mathematical sciences. Mathematics
(10)
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Из равенства (10) получаем линейную систему уравнений вида
Mγ =c,
(11)
где c = (c1 , c2 ,..., cN )T – вектор, координатами которого являются коэффициенты в (7) для полинома второй степени. Каждый столбец матрицы M состоит из коэффициентов в (8) для полиномов первой степени.
3. WENO реконструкция
Алгоритм WENO построения интерполяционного полинома заключается в использовании комбинации всех возможных полиномов для данной
ячейки [2]:
(
N
)  wm pm ( xG , yG ) ,
m =1
pweno xG , y G =
(12)
где N – количество полиномов; wm – нелинейные весовые коэффициенты,
сохраняющие все свойства существенно не осциллирующих схем:
N
 wm = 1, wm =
m =1
w m
N
 w m
, w m =
γm
(ε + ISm )2
.
(13)
m =1
Здесь ε – малая положительная величина, введенная, чтобы избежать
деления на ноль. В расчетах принимаем ε = 10−3 ; ISm – индикатор гладкости
для полинома pm ( x, y ) :
 
ISm =
Δ0
1≤ α ≤k Δ 0
α −1
( Dα pm ( x, y))
2
dxdy ,
(14)
где k – степень полинома pm ( x, y ) .
N
Линейные весовые коэффициенты {γ i }i=
1 зависят только от геометрии
ячейки, поэтому могут быть отрицательными. Если min( γ1 , γ 2 ,..., γ N ) < 0 , то
применяем технологию расщепления весовых коэффициентов [4]. Разбиваем
линейные коэффициенты на две группы:
1
γ i+ = ( γ i + 3 γ i ), γ − = γ + − γ i ,
2
σ± =
N
 γ l± ,
γ i± = γ i± / σ± , i = 1,..., N .
(15)
l =1
Используя линейные коэффициенты γ i± , вычисляем нелинейные весовые коэффициенты wi± . Затем проводим WENO реконструкцию
(
±
pweno
xG , y G
)
для каждой группы нелинейных весовых коэффициентов.
В результате WENO реконструкция представляется следующим выражением:
84
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
(
)
(
)
(
)
+
−
pweno xG , y G = σ+ pweno
xG , y G − σ − pweno
xG , y G .
(16)
4. Тестовые расчеты
Была проведена серия тестовых расчетов для задачи Римана (задача о
распаде разрыва). Расчеты были выполнены в двумерной постановке для
начальных данных Сода [5]:
(ρ1 , u1 , v1 , p1 ) = (1,0,0,1), (ρ2 , u2 , v2 , p2 ) = (0.125,0,0,0.1) .
Здесь ρ1 , u1 , v1 , p1 и ρ2 , u2 , v2 , p2 – плотность, компоненты вектора скорости и давление в канале слева и справа соответственно.
Задача рассматривалась в следующей области: [−1,1] × [−1,1] . Разрыв
располагался вдоль прямой x = 0. Расчет велся до времени t = 0,3.
На рис. 2–4 представлены значения плотности, скорости и давления.
Полученные результаты сравнивались с результатами расчетов с использованием схемы первого порядка точности.
Рис. 2. График плотности
Рис. 3. График давления
Physical and mathematical sciences. Mathematics
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 4. График скорости
Заключение
В работе построена существенно не осциллирующая схема повышенного порядка точности. Проведено сравнение результатов расчетов с результатами, полученными с помощью схемы первого порядка точности.
Таким образом, из графиков плотности, скорости и давления можно
сделать вывод, что предложенная схема меньше размазывает решение на разрывах.
Список литературы
1. Г о д у н о в , С . К . Численное решение многомерных задач газовой динамики /
С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов, А. Н. Крайко, Г. П. Прокопов. – М. :
Наука, 1976. – 400 с.
2. H u , C . Weighted Essentially Non-oscillatory Schemes on Triangular Meshes / C. Hu,
C.-W. Shu // Journal of Computational Physics. – 1999. – Vol. 150, № 1. – P. 97–127.
3. Zh a n g , Y . - T. Third order WENO schemes on three dimensional tetrahedral meshes /
Y.-T. Zhang, C.-W. Shu // Communications in Computational Physics. – 2009. –
Vol. 5. – P. 836–848.
4. S h i , J . A technique of treating negative weights in WENO schemes / J. Shi, C. Hu,
C.-W. Shu // Journal of Computational Physics. – 2002. – Vol. 175. – P. 108–127.
5. S o d , G . A . A survey of several finite difference methods for systems of nonlinear
hyperbolic conservation laws / G. A. Sod // J. Comput. Phys. – 1978. – Vol. 27. –
P. 1–31.
References
1. Godunov S. K., ZabrodinA. V., M. Ivanov Ya., Krayko A. N., Prokopov G. P. Chislennoe reshenie mnogomernykh zadach gazovoy dinamiki [Numerical solution of multidimensional problems of gas dynamics]. Moscow: Nauka, 1976, p. 400.
2. Hu C., Shu C.-W. Journal of Computational Physics. 1999, vol. 150, no. 1, pp. 97–127.
3. Zhang Y.-T., Shu C.-W. Communications in Computational Physics. 2009, vol. 5,
pp. 836–848.
4. Shi J., Hu C., Shu C.-W. Journal of Computational Physics. 2002, vol. 175, рр. 108–
127.
5. Sod G. A. J. Comput. Phys. 1978, vol. 27 рр. 1–31.
86
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Горюнов Владимир Александрович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра экспериментальной
физики, Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева
(Россия, г. Саранск,
ул. Большевистская, 68)
Goryunov Vladimir Aleksandrovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of experimental physics, Ogaryev Mordovia
State University (68 Bolshevistskaya street,
Saransk, Russia)
E-mail: gorval1934@mail.ru
Жалнин Руслан Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра прикладной математики,
Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева
(Россия, г. Саранск,
ул. Большевистская, 68)
Zhalnin Ruslan Viktorovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of applied mathematics,
Ogaryev Mordovia State University
(68 Bolshevistskaya street, Saransk, Russia)
E-mail: zhalnin@gmail.com
Пескова Елизавета Евгеньевна
ассистент, кафедра прикладной
математики, Мордовский
государственный университет
имени Н. П. Огарева (Россия, г. Саранск,
ул. Большевистская, 68)
Peskova Elizaveta Evgen'evna
Assistant, sub-department of applied
mathematics, Ogaryev Mordovia State
University (68 Bolshevistskaya street,
Saransk, Russia)
E-mail: lizanika@mail.ru
Тишкин Владимир Федорович
доктор физико-математических наук,
профессор, заместитель директора
по научной работе, Институт прикладной
математики имени М. В. Келдыша
Российской академии наук (Россия,
г. Москва, Миусская площадь, 4)
Tishkin Vladimir Fedorovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, deputy director
for reseach, Keldysh Institute of Applied
Mathematics Russian Academy of Sciences
(4 Miusskaya square, Moscow, Russia)
E-mail: office@keldysh.ru
УДК 519.6
Горюнов, В. А.
О построении WENO схем для гиперболических систем уравнений
на неструктурированных сетках / В. А. Горюнов, Р. В. Жалнин, Е. Е. Пескова, В. Ф. Тишкин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2014. – № 1 (29). – С. 79–87.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ФИЗИКА
УДК 621.315
С. В. Булярский, А. В. Жуков, А. А. Игошина
ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ВЕРОЯТНОСТЬ
ЭЛЕКТРОННО-КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ
НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА С ГЛУБОКИХ УРОВНЕЙ
Аннотация.
Актуальность и цели. В полупроводниках и полупроводниковых соединениях образуются комплексы дефектов. Эти комплексы имеют квазимолекулярную структуру. В таких структурах возможны локальные колебания по типу щелочно-галлоидных кристаллов. В этом случае имеет место сильное электрон-фононное взаимодействие, которое существенно изменяет вероятность
перехода. В научной литературе данные эффекты в большинстве случаев не
учитываются, что приводит к расхождению теоретических и экспериментальных результатов. Цель данной статьи – показать важный вклад электронфононного взаимодействия и продемонстрировать теоретически и экспериментально методику его оценки.
Материалы и методы. В работе приводятся результаты квантовомеханических расчетов вероятности электронно-колебательного перехода,
проводится моделирование вероятности перехода в зависимости от параметров форм-функции электронного перехода, а также сопоставление теоретических расчетов с экспериментальными результатами. Сочетание таких подходов приводит к высокой достоверности результатов. Эксперимент выполняется на важном для современной техники материале – GaAs. Это повышает актуальность данной работы.
Результаты. Теоретически и экспериментально показано, что электронфононное взаимодействие увеличивает вероятность электронных переходов с
участием глубоких уровней. В работе получено выражение для вероятности
электронно-колебательного перехода. Данная вероятность представляет сверку чисто электронного перехода с выражением для форм-функции оптического перехода, характеризующей электрон-фононное взаимодействие. Показано,
что с увеличением дисперсии этой функции вероятность перехода возрастает.
Выводы. Экспериментально и теоретически показано, что электронфононное взаимодействие оказывает определяющее влияние на формирование
обратных токов на основе арсенида галлия.
Ключевые слова: вероятность электронно-колебательного перехода, электрон-фононное взаимодействие, глубокие уровни, форм-функция оптического
перехода, арсенид галлия.
S. V. Bulyarskyi, A. V. Zhukov, A. A. Igoshina
INFLUENCE OF THE ELECTRON-PHONON INTERACTION
ON THE RATE OF ELECTRON-VIBRATIONAL TRANSITIONS
OF CHARGE CARRIERS FROM DEEPER LEVELS FROM
88
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
Abstract.
Background. There are defect complexes formed in semiconductors and semiconductor compounds. These complexes have a quasi-molecular structure. In such
structures there is a possibility of local variations by the type of alkali-halide crystals. In this case there is a strong electron-phonon interaction, which significantly alters the probability of transition. In the scientific literature these effects in most cases are not considered, which leads to discrepancy between the theoretical and experimental results. The purpose of this article is to show the important contribution of
the electron-phonon interaction and demonstrate the method of evaluation thereof
theoretically and experimentally.
Materials and methods. The paper presents the results of quantum-mechanical
calculations of the probability of electron-vibrational transition, modeling of the
transition probability as a function of the shape parameter function of the electronic
transition, as well as comparison of theoretical calculations with experimental results. The combination of these approaches leads to high confidence in the results.
The experiment was performed in the important modern technology material GaAs. This increases the relevance of the work.
Results. It is theoretically and experimentally shown that the electron-phonon interaction increases the probability of electron transitions involving deep levels. In
this paper the authors derived an expression of the probability of electronvibrational transition. This probability is a reconciliation of the purely electronic
transition with the expression of the form-function optical transition characterizing
the electron-phonon interaction. It is shown that an increase in the dispersion of this
feature increases the probability of transition.
Conclusions. It is theoretically and experimentally shown that the electronphonon interaction has a decisive influence on the formation of reverse currents
based on gallium arsenide.
Key words: probability of electron-vibrational transition, electron-phonon interaction, deep levels, forms function of optical transition, gallium arsenide.
Введение
Теоретические исследования вероятности термической эмиссии носителей заряда с участием квантов колебаний решетки исследовались в работах
Тимашова [1, 2], Куджмаускаса [3, 4], Далидчика [5], Пастлера [6], Понса и
Макрам-Эбейда [7–9]. Эти работы объединяет тот факт, что вероятность таких процессов в сильных электрических полях экспоненциально возрастает
с квадратом напряженности электрического поля. Влияние электрического
поля тем сильнее, чем больше величины параметров, характеризующие электрон-фононное взаимодействие, например тепловыделение. В однокоординатной модели эта величина определяется произведением энергии колебания,
участвующего в электронно-колебательных переходах, умноженной на количество фононов, необходимых для термолизации.
В данной работе исследуется зависимость вероятности перехода от величины тепловыделения, которое в некоторой степени может характеризовать силу электрон-фононного взаимодействия.
1. Вероятность перехода с учетом электрон-фононного взаимодействия
Вероятность перехода W между невозмущенными состояниями 1 и 2
определяется квадратом абсолютного значения матричного элемента опера
тора возмущения H ′ , вызывающего переход
Physical and mathematical sciences. Physics
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

2
2π
(1)
1 H′ 2 .

В отсутствие взаимодействия между электронами и решеткой такие
процессы могли бы протекать без возмущений состояний осцилляторов.
Но такое возмущение становится неизбежным, поскольку при изменении
электронного состояния смещаются положения равновесия осцилляторов.
Даже если возмущение, вызывающее электронный переход, не действует
непосредственно на нормальные колебания решетки, указанное смещение
приводит к испусканию или поглощению фононов. Поэтому матричный элемент таких переходов должен включать в себя как электронные, так и колебательные волновые функции.
Вероятность перехода в первом порядке теории возмущения дается
следующим выражением [10]:

2
ρ1n 1n ( H ′ ( 2n′ δ ( E2n′ − E1n − Et ) ,
W=
(2)
W=
 ((
((
n,n′
где n и n′ нумеруют колебательные состояния основного и возбужденного
электронного терма; ρ1n – вероятность нахождения электрона в колебательном состоянии с индексом n терма 1 [10], которая с учетом распределения
Больцмана имеет вид
ρ1n = exp ( − E1n kT )
 exp ( − E1n′′
n′′
kT ) .
В адиабатическом приближении квантовомеханический вектор состояния можно записать в виде
( 2n′ ( = ( 2e (( 2nL′ ( ,
где
( 2e (
– вектор состояния
( (
мущения [11] ( 2e ( не зависит от координаты осциллятора Q , также от Q не
L
– вектор состояния решетки. В первом порядке теории возэлектрона; 2n′
зависит и оператор возмущения. Это обычно называют приближением Кондона [11]. Его применимость основана на том, что электронная волновая
функция слабо зависит от Q , а начальное и конечное состояния располагаются
вблизи минимумов кривых, описывающих энергию колебаний так, что актуальный интервал значений Q мал. Поэтому мы можем разложить матричный
элемент на чисто электронную составляющую и чисто колебательную, содержащую только интеграл перекрытия волновых функций осциллятора:
W=

n,n′
(( ( ( (( (( ( ((
2
2

ρ1n 1e H ′ 2e
1nL 2nL′ δ ( E2n′ − E1n − Et ) .
(3)
∞
Воспользуемся правилом
 F ( x ) δ ( y − x ) dx = F ( y ) . Получаем:
−∞
W ( Et ) =
90
∞
 ′ ρ1n ( (1 ( H ′ ( 2
−∞ n,n
e

e
(( ((1 ( 2 ((
2
L
n
L
n′
2
δ ( E2n′ − E1n − ε ) δ ( ε − Et ) d ε =
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
∞
=
 ((
Физико-математические науки. Физика
( ( ((
2

δ ( ε − Et )
1e H ′ 2e
−∞

n,n′
(( ( (( δ ( E
2
ρ1n 1nL 2nL′
2 n′
− E1n − ε ) d ε =
∞
=
 W0 ( Et − ε ) g ( ε ) d ε ,
(4)
−∞
где W0 ( Et − ε ) – вероятность чисто электронного перехода; g ( ε ) – функция,
содержащая информацию о вкладе в вероятность перехода фононной подсистемы. Покажем, что g ( ε ) с точностью до постоянного коэффициента равняется форм-функции оптического перехода f ( hν ) :
f ( hν ) =
=

 ρ1n ((1n ( M ( 2n′ ( ( δ ( E2n′ − E1n − hν ) =
n,n′
 ρ1n ( (1e ( M ( 2e ( (

((1 ( 2 (( δ ( E
2
L
n
n,n′
(( ( ( ((
2

= 1e M 2e
2
2
L
n′
2 n′
− E1n − hν ) =
 ρ1n ((1nL ( 2nL′ ( ( δ ( E2n′ − E1n − hν ) = ( M120 ( hν )(
2
n,n′
2
g ( hν ) . (5)
Таким образом, выражение (4) можно переписать в виде
W ( Et ) =
∞
 W0 ( Et − ε )
−∞
(
f (ε)
(
2
0
M12
(ε)
dε .
(6)
В пределах оптической полосы перехода 1 → 2 матричный элемент дипольного взаимодействия можно считать независимым от энергии [12], следовательно,
W ( Et ) =
∞
 W0 ( Et − ε ) f ( ε ) d ε ,
(7)
−∞
здесь матричный элемент дипольного взаимодействия входит в нормировочный коэффициент f ( ε ) .
Теперь рассмотрим случай, когда энергетический спектр состоит из двух
(
)
групп близких уровней 1i ;2 j , разделенных большой энергетической щелью.
Предположим, что время релаксации внутри группы 1 значительно меньше
времени жизни по отношению к переходам 1 → 2 . Тогда согласно [13] выражение для вероятности квантовомеханического перехода с учетом электронфононного взаимодействия в общем виде может быть записано в виде
∞
W=
  W0i, j ( Et i, j − ε ) fi, j ( ε ) d ε ,
(8)
i , j −∞
Physical and mathematical sciences. Physics
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
(
)
где W0i , j Eti, j − ε – вероятность чисто электронного перехода с i -подуровня мультиплета исходного состояния центра, на j -подуровень конечного состояния мультиплета, а fi , j ( ε ) – выражение для форм-функции оптического
перехода с i -подуровня мультиплета исходного состояния центра на
j -подуровень конечного состояния мультиплета;
– суммирование по

i, j
всем подуровням мультиплетов.
Таким образом, получено общее выражение, которое позволяет вычислять полевые и температурные зависимости вероятностей электронноколебательных переходов при условии, что известна форм-функция оптического перехода.
2. Моделирование вероятности термического перехода
При средних электрических полях эмиссия электронов с центров рекомбинации ускоряется за счет эффекта Френкеля, связанного с понижением
потенциального барьера рекомбинационного центра в электрическом поле.
В этом случае скорость эмиссии может быть представлена в виде [13]:
(
)
ent = rn cn N c exp  − Et − γF 1/2 / kT  ,


(9)
ent ( x) – скорости термической эмиссии электронов и дырок; cn – коэффициенты захвата электронов и дырок на центры рекомбинации; rn – факторы вырождения уровня глубокого центра для электронов и дырок, данные факторы
изменяются в пределах от 0,5 до 2; N c – эффективная плотность состояний
в зоне проводимости и валентной зоне; Et – энергетическое положение центра рекомбинации в запрещенной зоне относительно зоны проводимости;
Ec – энергии зоны проводимости и валентной зоны; k – постоянная Больцмана; T – температура р-п-перехода.
В случае, когда электрон-фононное взаимодействие обусловлено локальным или квазилокальным колебанием, слабо связанным с колебаниями основной решетки, в качестве форм функции можно использовать формулу Гаусса. Это может иметь место для вакансионно-примесных комплексов в полупроводниках. Данные комплексы представляют квазимолекулу в полупроводниковой матрице. Квазилокальное колебание является характеристическим для такого комплекса. В этом случае вероятность перехода (8) примет вид
rc N
W= n n c
σ 2π
 ( E − ε )2 
 dε ,
exp  −(ε − γF 1/2 ) / kT  exp  − t
2




σ
2
−∞


∞

(10)
где σ = S ω kT ; S – фактор Хуанга и Риса, показывающий количество фононов, участвующих в тепловыделении; ω – энергия фонона локального
колебания.
Результаты расчета вероятности перехода от величины тепловыделения
приведены на рис. 1. С ростом величины тепловыделения вероятность пере-
92
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
хода возрастает экспоненциально. Величина обратных токов в первом приближении пропорциональна вероятности перехода с рекомбинационного центра в разрешенные для проводимости зоны. В связи с этим для приборов, содержащих рекомбинационные центры, у которых достаточно сильно влияние
электрон-фононного взаимодействия, величина обратных токов будет выше.
Это снижает эффективность фотоприемников, а также допустимую мощность
преобразования силовыми полупроводниковыми приборами. Поэтому важна
не только концентрация рекомбинационных центров в области пространственного заряда таких приборов, но и их природа. Крайне не желательно
присутствие вакансионно-примесных комплексов, на ионизацию которых
существенную роль оказывает электрон-фононное взаимодействие.
et, c-1
1
0.1
0.01
0.001
σ, ∋Β
0.0001
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Рис. 1. Зависимость величины вероятности
перехода от дисперсии форм-функции
2. Экспериментальные результаты
В настоящей работе экспериментально изучалось влияние электронфононного взаимодействия на величину обратных токов р-п-переходов на основе арсенида галлия.
Вольтамперные характеристики р-п-переходов на основе GsAS при
прямом и обратном смещениях (ВАХ) измерялись на автоматизированном
комплексе, созданном на основе приборов, обладающих каналом общего
пользования для связи с компьютером. Ток измерялся пикоамперметром
KEITHLEY 6485, напряжение – цифровым вольтметром В7-40, оно задавалось управляемым источником питания MOTECH. Комплекс прост в изготовлении и наладке, использует типовые измерительные приборы с классом
точности не хуже 0,01. (погрешность измерения напряжения вольтметра
В7-40 не превосходит 0,03 %) Шаг изменения напряжения прямого смещения
0,02 В. При этом случайные погрешности измерений менее 1 %.
Обратные вольтамперные характеристики приведены на рис. 2. Они
демонстрируют очень сильную зависимость обратного тока от приложенного
напряжения. Для определения параметров электрон-фононного взаимодействия были использованы результаты измерения коэффициента поглощения
Physical and mathematical sciences. Physics
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ловушкой EL2, приведенные в работе [14]. Алгоритм расчета приведен в работе [13]. Расчет параметров электрон-фононного взаимодействия дал следующие результаты: параметр Хуанга и Риси (S) – 3; энергия колебания в однокоординатной модели ( ω ) – 0,03 эВ; энергия чисто электронного перехода
(E0) – 1,04 эВ.
-2
10
I, A
-3
10
-4
10
-5
10
-6
10
8
7
6
5
4
-7
10
3
2
1
F, B/cm
-8
10
5
2x10
5
3x10
5
3x10
5
4x10
5
4x10
5
5x10
5
5x10
5
6x10
5
6x10
5
7x10
Рис. 2. Экспериментальные обратные ВАХ (точки) и модельные
кривые (сплошные линии) при температурах: 1 – 333 К, 2 – 323 К, 3 – 313 К,
4 – 303 К, 5 – 295 К, 6 – 230 К, 7 – 170 К, 8 – 77 К
Расчет проводился по формуле (1) с учетом (3)–(5). Результаты расчета
приведены на рис. 1 сплошными линиями. Данные, необходимые для определения величины напряженности электрического поля, вычислялись по результатам емкостных измерений.
Полученные результаты (рис. 1) характеризуют хорошее согласие теории с экспериментом. Можно сделать вывод, что мягкий пробой обратных
вольтамперных характеристик в большинстве случаев связан с ускорением
скорости термической эмиссии в сильных электрических полях. Таким образом, сложные процессы, происходящие при взаимодействии квантовых
частиц, позволяют анализировать вольтамперные характеристики микро- и
наноэлементов при обратном смещении, фотоэлектрические процессы, оптическое поглощение и излучение, туннелирование и другие процессы.
Список литературы
1. Т и м а ш о в, С . Ф. О термическом поглощении в сильном электрическом поле
ниже края поглощения / С. Ф. Тимашов // Физика твердого тела. – 1972. – Т. 14. –
С. 2621.
2. Т и м а ш о в, С . Ф. О термической ионизации глубоких центров в слое объемного заряда в полупроводниках / С. Ф. Тимашов // Физика твердого тела. – 1972. –
Т. 14. – С. 171.
94
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
3. К у д ж м а у с к а с , Ш . П . Теория туннелирования электронов из глубоких примесных уровней в зону проводимости в сильных электрических полях с учетом
многофононных процессов / Ш. П. Куджмаускас // Литовский физический журнал. – 1976. – Т. 19, № 4. – С. 459.
4. K i v e r i s , A . Release of electrons from trap by an a electryc field with phonon participation / A. Kiveris, S. Kudzmauskas, P. Pipinys // Phys. Stat. Sol. – 1976. – Vol. –37. –
P. 321.
5. Д а л и д ч и к , Ф. И . Многофононные туннельные процессы в однородном электрическом поле / Ф. И. Далидчик // Журнал экспериментальной и теоретической
физики. – 1978. – Т. 74, № 2. – С. 472.
6. P a s s l e r , R . Temperatyre dependances of the nonradiative multiphonon carriercapture and injection properties of deep trap in semiconductors / R. Passler // Phys. Stat.
Sol. – 1978. – Vol. 85. – P. 203.
7. P o n s , D . Phonon assisted tunnel emission of electrons from deep levels in GaAs /
D. Pons, S. Makram-Ebeid // J. Phis. (France). – 1979. – Vol. 4, № 12. – P. 1168.
8. M a k r a m - E b e i d , S . Effect of electric field on deep-level transients in GaAs and
GaP / S. Makram-Ebeid // Appl. Phys. Lett. – 1980. – Vol. 37, № 5. – P. 464.
9. M a k r a m - E b e i d , S . Quantum model for phonon assisted tunnel ionization of deep
levels in semiconductors / S. Makram-Ebeid, M. Lannoo // Phys. Rev. – 1982. –
Vol. 25, № 10. – P. 6406.
10. M a k r a m - E b e i d , S . Electric-field-induced phonon-assisted tunnel ionization from
deep levels in semiconductors / S. Makram-Ebeid, M. Lannoo // Phys. Rev. Lett. –
1982. – Vol. 48, № 18. – P. 1281.
11. Б е р с у ке р , И . Б. Электронное строение и свойства координационных соединений / И. Б. Берсукер. – Л. : Химия, 1976. – 350 с.
12. П е р л и н , Ю . Е. Эффекты электронно-колебательного взаимодействия в оптических спектрах примесных парамагнитных ионов / Ю. Е. Перлин // Успехи физических наук. – 1963. – Т. 80, № 4. – С. 553.
13. Б у л я р с к и й , С . В. Генерационно-рекомбинационные процессы в активных
элементах / С. В. Булярский, Н. С. Грушко. – М. : МГУ, 1997. – 462 с.
14. J i m e n e z, J . Photocapacitance studies of the EL2 deep trap in GaAs optical cross
section, energy level and concentration / J. Jimenez, A. Alvares // Phys. Rev. – 1989. –
Vol. 39. – P. 8193.
References
1. Timashov S. F. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 1972, vol. 14, p. 2621.
2. Timashov S. F. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 1972, vol. 14, p. 171.
3. Kudzhmauskas Sh. P. Litovskiy fizicheskiy zhurnal [Lithuanian physical journal]. 1976,
vol. 19, no. 4, p. 459.
4. Kiveris A., Kudzmauskas S., Pipinys P. Phys. Stat. Sol. 1976, vol. 37, p. 321.
5. Dalidchik F. I. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki [Journal of experimental and theoretical physics]. 1978, vol. 74, no. 2, p. 472.
6. Passler R. Phys. Stat. Sol. 1978, vol. 85, p. 203.
7. Pons D., Makram-Ebeid S. J. Phis. (France). 1979, vol. 4, no. 12, p. 1168.
8. Makram-Ebeid S. Appl. Phys. Lett. 1980, vol. 37, no. 5, p. 464.
9. Makram-Ebeid S., Lannoo M. Phys. Rev. 1982, vol. 25, no. 10, p. 6406.
10. Makram-Ebeid S., Lannoo M. Phys. Rev. Lett. 1982, vol. 48, no. 18, p. 1281.
11. Bersuker I. B. Elektronnoe stroenie i svoystva koordinatsionnykh soedineniy [Electronic
structure and properties of coordination compounds]. Leningrad: Khimiya, 1976, 350 p.
12. Perlin Yu. E. Uspekhi fizicheskikh nauk [Progress of physical sciences]. 1963, vol. 80,
no. 4, p. 553.
Physical and mathematical sciences. Physics
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
13. Bulyarskiy S. V., Grushko N. S. Generatsionno-rekombinatsionnye protsessy v aktivnykh elementakh [Generation-recombination processes in active elements]. Moscow:
MGU, 1997, 462 p.
14. Jimenez J., Alvares A. Phys. Rev. 1989, vol. 39, p. 8193.
Булярский Сергей Викторович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
инженерной физики, Ульяновский
государственный университет (Россия,
г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42)
Bulyarskiy Sergey Viktorovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of engineering physics, Ulyanovsk State
University (42 Lva Tolstogo street,
Ulyanovsk, Russia)
E-mail: bulyar2954@mail.ru; bsv@ulsu.ru
Жуков Андрей Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, заместитель проректора
по научной работе, Ульяновский
государственный университет (Россия,
г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42)
Zhukov Andrey Viktorovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor deputy
vice-rector for research, Ulyanovsk State
University (42 Lva Tosltogo street,
Ulyanovsk, Russia)
E-mail: zhukovav@ulsu.ru
Игошина Анастасия Александровна
студентка, Ульяновский
государственный университет (Россия,
г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42)
Igoshina Anastasiya Aleksandrovna
Student, Ulyanovsk State University
(42 Lva Tosltogo street, Ulyanovsk, Russia)
E-mail: kif@ulsu.ru
УДК 621.315
Булярский, С. В.
Влияние параметров электрон-фононного взаимодействия на вероятность электронно-колебательных переходов носителей заряда с глубоких уровней / С. В. Булярский, А. В. Жуков, А. А. Игошина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2014. – № 1 (29). – С. 88–96.
96
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
УДК 535.33.34; 535.37; 548.73
К. Н. Нищев, А. А. Панов, А. И. Заикин
СИНТЕЗ, СТРУКТУРА И СПЕКТРАЛЬНОЛЮМИНЕСЦЕНТНЫЕ СВОЙСТВА МАГНИЙАЛЮМОСИЛИКАТНОЙ СТЕКЛОКЕРАМИКИ,
АКТИВИРОВАННОЙ ИОНАМИ НИКЕЛЯ
Аннотация.
Актуальность и цели. Стеклокерамика (СК) более 50 лет привлекает исследователей своими уникальными физическими свойствами. Основным способом получения прозрачной СК с наноразмерными включениями является
термическая обработка исходного оптического стекла, прерванная на определенной стадии. Совместное исследование СК методами рентгенофазового анализа, малоуглового рентгеновского рассеяния и оптической спектроскопии
позволяет детально изучить протекающие процессы нуклеации и фазового
разделения. Целью данной работы является получение прозрачной магнийалюмосиликатной СК, активированной ионами Ni2+, и исследование ее физических свойств.
Материалы и методы. В качестве основы для получения стеклокерамики
использовалось магний-алюмосиликатное стекло, синтезированное из шихты
состава 28MgO–10Al2O3–8TiO2–xGa2O3–(54–x)SiO2+yNiO мол.%, где (x = 0, 3, 5;
y = 0,001, 0,01, 0,1). Для создания наноструктурированной стеклокерамики основа была подвергнута последовательному высокотемпературному отжигу
в течение 2–5 ч при температурах: 720, 740, 760 и 780 °С. Определение фазового состава образующихся кристаллитов проводилось на дифрактометре
PANanalitical Empyrean. Измерения спектров поглощения осуществлялись на
двухлучевом спектрофотометре Perkin Elmer Lambda 950. Для исследования
структурных особенностей стеклокерамики методом малоуглового рентгеновского рассеяния использовался дифрактометр Hecus S3-MICRO.
Результаты. В работе представлены результаты исследования процессов
образования кристаллической фазы в магний-алюмосиликатной СК, активированной ионами Ni2+, в процессе последовательной высокотемпературной обработки. Установлено, что добавление Ga2O3 в стекольную матрицу приводит
к подавлению кристаллической фазы алюмотитаната магния и увеличению
объема фазы алюмомагниевой шпинели. Показано, что с ростом температуры
изохронного отжига возрастает концентрация кристаллической фазы в стекле,
при этом радиус инерции неоднородностей увеличивается от 20 до 120 Å.
Уменьшение концентрации оксида никеля приводит к увеличению радиуса
инерции рассеивающих областей. Полученная СК обладает широким спектром люминесценции с максимумом в области 1300–1400 нм, полуширина
контура люминесценции составляет 350 нм.
Выводы. Получена прозрачная наноструктурированная СК на основе
магний-алюмосиликатной стеклокерамики, активированной ионами Ni2+.
Изучено влияние оксида галлия на кинетику выпадения кристаллической
фазы в стекле. Показано, что СК, полученная при контролируемой термообработке исследуемых стекол, обладает широким спектром люминесценции с
максимумом в области 1300–1400 нм, совпадающим с окном прозрачности
телекоммуникационных волоконных световодов.
Ключевые слова: оптические стекла, стеклокерамика, изохронный отжиг,
наноразмерные кристаллиты, малоугловое рентгеновское рассеяние, оптические спектры поглощения, люминесценция.
Physical and mathematical sciences. Physics
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
K. N. Nishchev, A. A. Panov, A. I. Zaikin
SYNTHESIS, STRUCTURE AND SPECTRAL-LUMINESCENT
PROPERTIES OF NICKEL DOPED MAGNESIUM
ALUMINOSILICATE GLASS-CERAMIC
Abstract.
Background. Glass-ceramics (GC) has attracted researchers for over 50 years
due to its unique physical properties. Thermal treatment of initial glass interrupted at
a particular stage is the main way to obtain transparent GC with nanoscale inclusions. Combined XRD, SAXS and optical spectroscopy studies allow to investigate
the occurring processes of nucleation and phase separation of GC. The aim of this
work is to obtain Ni2+-doped transparent magnesium aluminosilicate GC and study
its physical properties.
Materials and methods. Glasses of 28MgO-10Al2O3-8TiO2-xGa2O3-(54x)SiO2+yNiO mol% systems were used as the host of Ni2+ (where x=0, 3, 5;
y=0.001, 0.01, 0.1.). Nanostructured GC was obtained by sequential high temperature annealing of initial glass at temperatures 720 º C and 740 º C, 760 º C and 780 º
C for 2-5 hours. The phase composition of formed crystallites was determined by
diffractometer PANanalitical Empyrean. The absorption spectra were carried out by
dual-beam spectrophotometer Perkin Elmer Lambda 950. The GC structure was investigated by the small-angle X-ray scattering (SAXS) diffractometer Hecus S3MICRO.
Results. The article presents the results of the study of formation of the crystalline phase in Ni2+-doped magnesium aluminosilicate GC in the course of sequential
high temperature treatment. Addition of Ga2O3 in the glass matrix leads to suppression of the magnesium alumotitanate crystalline phases and to the increase of the
aluminum-magnesium spinel phase. It is shown that the crystalline phase concentration and radius of gyration of inhomogeneities increase with growth of temperature
of isochoric annealing. The radius of gyration of inhomogeneities changes from 20
to 120 Å with temperature growth. Reduction of NiO concentration leads to the increase of the radius of gyration of scattering domains. The luminescence spectra of
GC are characterized by width peak centered at 1300-1400 nm. The half-width of
the peak is 350 nm.
Conclusions. The authors obtained the Ni2+-doped transparent magnesium aluminosilicate GC. The influence of gallium oxide on the kinetics of crystalline phase
deposition was investigated. It is shown that the GC, obtained by controlled crystallization of optical glasses, has a wide range of luminescence centered at 1300-1400
nm that matches with the telecommunication window.
Key words: glass-ceramics, small-angle X-ray scattering, nanoscale crystalline,
isochoric annealing, absorption optical spectra, luminescence spectra.
Введение
В последнее время значительно возрос интерес к изучению прозрачных
стеклокерамик, представляющих собой стеклянную матрицу, в которой путем специальной термической обработки созданы кристаллические включения с линейными размерами, существенно меньшими длин волн оптического
диапазона. Данные оптические материалы уже нашли широкое практическое
применение. Прозрачные стеклокерамики (СК) на основе литий-алюмосиликатного стекла применяются в телескопах, лазерных гироскопах и компонен-
98
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
тах оптических систем [1–3]. Стеклокерамики на основе фторидных [4, 5],
оксифторидных [6–9], халькогенидных стекол [10, 11], активированных
ионами переходных и редкоземельных элементов, успешно используются
в качестве преобразователей частоты излучения и активной среды в волоконно-оптических усилителях. Разработаны СК для генерации второй гармоники
лазерного излучения [12, 13], СК с высокой постоянной Керра для электрооптических устройств [14, 15].
Исследования прозрачных СК, активированных ионами переходных
металлов, проводятся с 1980-х гг. [16, 17]. Интерес к таким материалам вызван тем, что ионы переходных металлов в кристаллическом окружении обладают уникальными оптическими свойствами: большим сечением поглощения (Co2+: шпинель [18]), широкополосной люминесценцией в ближнем ИК
диапазоне (Ni2+: шпинель [19], Cr4+: форстерит [20]). Например, в работах
[19, 21] показано, что оптические центры ионов Ni2+, ответственные за люминесценцию в диапазоне 1100–1700 нм, занимают октаэдрические позиции шпинели с общей формулой IV[A1-δBδ] VI[B2-δAδ]O4, где δ – инверсный параметр,
IV
[] и VI[] представляют тетра- и октаэдрические позиции соответственно.
В связи с этим весьма актуальной задачей является осуществление контролируемой кристаллизации с целью получения наноразмерных кристаллических включений в прозрачной стеклокерамике. Образующиеся кристаллиты должны быть заданного фазового состава и распределения по размерам,
при этом ионы активатора должны в процессе наноструктурирования практически полностью заселить кристаллографические позиции, в которых реализуется их координационно-валентное состояние, оптимальное для люминесценции.
1. Получение и физические свойства
стеклокерамик (литературный обзор)
Стеклокерамика была открыта С. Стуки в конце 1950-х гг. [22] в экспериментах по осаждению частиц серебра в стекле с целью получения фотографического изображения. В частности, Стуки исследовал литий-силикатные
стекла, которые подвергались термической обработке для осаждения частиц
серебра. Параллельно со Стуки Хуммель [23] открыл стеклокерамику на основе β-эвкрептита (Li2O–Al2O3–2SiO2) с отрицательным температурным коэффициентом линейного расширения (ТКЛР). Уже в своих первых работах
Стуки отметил определяющую роль оксида титана на процессы нуклеации в
литий-алюмосиликатных системах. Позднее Билл и Дьюк показали, что для
литий-алюмосиликатных и магний-алюмосиликатных систем в качестве гетерогенных нуклеаторов, влияющих на образование кристаллитов и фазовое
разделение, могут выступать TiO, ZrO, P2O5, Ta2O5, WO3, Fe2O3, и F [24].
Большой вклад в разработку технологий получения прозрачной стеклокерамики внес И. И. Китайгородский [25], минимизировавший рассеяние света
путем уменьшения разности показателей преломления кристаллической и
стеклянной фаз в ситаллах.
С середины 1970-х гг. ведутся активные исследования прозрачной
стеклокерамики на основе оксидных стекол. В работах [26, 27] авторами исследовались изменения интенсивности кривых малоуглового рентгеновского
рассеяния (МУРР) во время релаксационных процессов в стеклах. УстановPhysical and mathematical sciences. Physics
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
лено, что структурная неоднородность стекол не может быть объяснена чисто
флуктуационными явлениями. В малощелочных стеклах систем B2O3–R2O
(R = Na, K, Rb, Cs) неоднородности являются следствием выделения структурных элементов, содержащих ионы щелочных металлов, в виде цепочек.
В щелочно-боратных стеклах неоднородность связана с предкристаллизационными явлениями. Авторы [28, 29] методами МУРР исследовали изменения
структуры и фазового состава стекол системы R–Al2O3–SiO2–TiO2 (R = MgO,
Li2O, ZnO) при различных содержаниях TiO2. Было установлено, что при
термообработке в высококремнеземной матрице появляются области двух
рентгеноаморфных фаз – магниево-алюмотитанатной, обогащенной оксидами
магния, алюминия, титана, и алюмомагниевой с повышенной концентрацией
оксидов магния и алюминия. Тот факт, что скорости выпадения фаз не совпадают, связан с различной подвижностью структурных элементов фаз. Выпадение каждой из фаз происходит по механизму спинодального распада, в результате чего наблюдается регулярность распределения областей фаз, сохраняющаяся и на стадии кристаллизации.
Широкое использование волоконно-оптических линий связи и необходимость увеличения скорости передачи данных стимулировали изучение прозрачной стеклокерамики, активированной ионами редкоземельных и переходных элементов. Прогресс в этой области возможен при использовании
в качестве активной среды наноструктурированной стеклокерамики, легированной ионами переходных металлов, что было продемонстрировано в работе
Самсона и Пинкни [30]. Авторы показали, что оптическое волокно с нанокристаллами, активированными ионами Ni2+, обладает оптическим усилением,
несмотря на присутствие кристаллов, находящихся в пределах сердцевины
волновода, что в свою очередь стимулировало многочисленные исследования
прозрачной стеклокерамики с основной кристаллической фазой шпинели
MgAl2O4 [31], ZnAl2O4 [32], LiGa5O8 и γ-Ga2O3 [33], β-Ga2O3[34].
2. Методы получения наноструктурированной стеклокерамики
Простая, высокопроизводительная и недорогая технология получения
стеклокерамики, по сравнению с выращиванием монокристаллов, обусловливает повышенный интерес к подобным материалам. Метод получения прозрачной наноструктурированной стеклокерамики основан на вторичной термической обработке оптического стекла при температуре выше температуры
стеклования (Tg) [35]. Такая обработка приводит к появлению кристаллических зародышей и их росту в матрице стекла. Затем стекло нагревают до более высоких температур, после чего начинается рост кристаллов на поверхности образовавшихся зародышей. Высокая концентрация и равномерное распределение зародышей приводит к их незначительно росту. Для описания
данного процесса применяют теорию кристаллизации расплавов, ключевыми
понятиями которой являются скорость образования зародышей новой фазы
(число центров кристаллизации (ЧЦК), образовавшихся в единицу времени) и
скорость роста зародышей (линейная скорость кристаллизации (ЛСК).
На рис. 1 схематически приведены типичные кривые ЧЦК и ЛСК для
большинства стеклообразных систем. В области, где кривая ЛСК расположена правее кривой ЧЦК при кристаллизации исходного стекла, образуется небольшое число крупных кристаллитов. Однако при выполнении условия, когда скорость образования зародышей больше скорости их роста (кривая ЧЦК
100
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
левее ЛСК), в процессе кристаллизации получается большое число мелких
кристаллитов.
Рис. 1. Зависимость числа центров кристаллизации
и линейной скорости кристаллизации от температуры
С целью получения стеклокерамики с заданными свойствами наиболее
широко применяется двухступенчатый режим термической обработки, когда
на первом этапе образуются зародыши кристаллов, а на втором происходит
их рост до кристаллов требуемого размера. Для формирования наноразмерных кристаллических включений и подавления выпадающих паразитных фаз
используют одностадийную термическую обработку [36].
Гетерогенное зародышеобразование может осуществляться за счет введения нуклеаторов или процесса микроликвации. Особенностями такого процесса являются: уменьшение поверхностной энергии за счет образования границы раздела фаз, постепенное изменение состава образующихся фаз до достижения равновесного состояния, тенденция к беспорядочному распределению включений по размерам и по положению в объеме матрицы. В связи
с этим в ходе кристаллизации вероятно выпадение паразитных кристаллических фаз, которого можно избежать путем подбора определенного химического состава исходного стекла и режимов термической обработки.
3. Синтез, структура и спектрально-люминесцентные
свойства магний-алюмосиликатной стеклокерамики,
активированной ионами никеля
3.1. Образцы и методы исследования
В качестве основы для получения стеклокерамики использовалось магний-алюмосиликатное стекло, синтезированное из шихты состава 28MgO–
10Al2O3–8TiO2–xGa2O3–(54–x)SiO2+yNiO мол.%, где (x = 0, 3, 5; y = 0,001,
0,01, 0,1). Синтез стекол проводился в корундовых тиглях в воздушной атмосфере в температурном интервале 1500–1550 °С с выдержкой расплава при
максимальной температуре в течение 2 ч. Расплав выливался на предварительно нагретую массивную металлическую изложницу и охлаждался до
комнатной температуры. Для снижения остаточных термических напряжеPhysical and mathematical sciences. Physics
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ний, остывшие формованные слитки отжигались в течение 2 ч при температуре 550 °С.
Внешний вид и составы синтезированных стекол представлены в табл. 1.
Таблица 1
Внешний вид и составы синтезированных стекол
28MgO–10Al2O3–
8TiO2–54SiO2
(MATS)
без Ga2O3
(MAGTS)
3Ga2O3
(MAGTS)
5Ga2O3
+0.1NiO
+0.01NiO
+0.001NiO
Для определения основных характеристических температур полученных оптических стекол (температуры стеклования Tg, температуры начала
процесса кристаллизации Тх и температуры кристаллизации Tc) использовалась термоаналитическая установка Mettler Toledo TGA/SDTA851e. Исследования фазового состава термообработанных стекол проводились на дифрактометре PANanalitical Empyrean с использованием Cu Kα излучения
(λ = 0,154 нм). Для исследований изменений структуры стекол в процессе высокотемпературной обработки применялся метод малоуглового рентгеновского рассеяния. Измерения проводились на дифрактометре Hecus S3MICRO. Использовалось CuKα излучение (λ = 0,154 нм) с коллиматором по
Кратки. Интенсивность рассеянного пучка при прохождении через тонкий
образец стекла (около 100 мкм) измерялась в интервале углов 0,1–10°. В этом
интервале углов модуль волнового вектора рассеяния q = 4πsinθ/λ изменяется
в пределах 0,008 < q < 0,59 1/Å, что позволяет регистрировать неоднородности с линейным размером в пределах 1–100 нм.
Измерения оптических спектров поглощения осуществлялись на двухлучевом спектрофотометре Perkin Elmer Lambda 950 в спектральном диапазоне 350–1500 нм с разрешением 1 нм. Спектры и кинетики затухания люминесценции регистрировались с использованием спектрофлюориметра
Edinburgh Instruments FLS920.
102
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
3.2. Результаты и их обсуждение
Для создания наноструктурированной стеклокерамики с заданными
свойствами необходимо определить основные характеристические температуры исходных оптических стекол – температуры: стеклования (Tg), начала
процесса кристаллизации (Тх), кристаллизации (Tc). Значения и относительное
положение этих параметров на температурной шкале определяют способность стекольной системы к управляемой кристаллизации. В связи с этим были исследованы термомеханические свойства синтезированных стекол методом дифференциального термического анализа (ДТА) (рис. 2).
Рис. 2. Кривые ДТА исследуемых стекол
В табл. 2 представлены характеристические температуры образцов. Экзотермические эффекты, наблюдаемые на кривых ДТА, соответствуют процессам кристаллизации, происходящим в матрице стекла при температурах
Tс1 и Tс2. Таким образом, в исследуемых образцах при термообработке до
1000 °С формируются две кристаллические фазы. Введение в состав стекла
оксида галлия приводит к смещению экзотермических процессов в высокотемпературную область, а увеличение температурного интервала Tx – Tg ведет
к уменьшению спонтанной кристаллизации стекольной системы в процессе
термической обработки.
С целью определения влияния термической обработки на изменения
в структуре стекла исследуемые образцы были подвергнуты последовательному высокотемпературному отжигу в течение 5 ч при температурах: 720,
740, 760 и 780 °С. Было установлено, что на дифрактограмме образца, не содержащем оксид галлия, присутствуют дифракционные отражения как
алюмотитаната магния Mg3Al4Ti3O25 (ASTM 00-005-0636), так и алюмомагниPhysical and mathematical sciences. Physics
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
евой шпинели MgAl2O4 (ASTM 00-047-0254) (рис. 3). Введение оксида галлия
в матрицу приводит к подавлению кристаллической фазы алюмотитаната
магния. В то же время наблюдается увеличение объема фазы MgAl2O4, что
хорошо заметно на дифрактограмме стекла, содержащего 5 мол.% Ga2O3.
Таблица 2
Характеристические температуры образцов.
№
Образец
Тg, °С
Tс1, °С
Tс2, °С
Tx, °С
Tx – Tg, °С
1
2
3
MATS+0,1NiO
MAGTS(3Ga2O3)+0,1NiO
MAGTS(5Ga2O3)+0,1NiO
735
770
775
819
915
913
888
953
965
780
870
870
45
100
95
Рис. 3. Рентгенограмма стекла состава MATS с различной
концентрацией оксида галлия: 1 – Mg3Al4Ti3O25; 2 – MgAl2O4
Результаты исследований малоуглового рассеяния рентгеновского излучения образцов, содержащих 0,1 мол.% NiO, представлены на рис. 4. Для
стекол с концентраций 0,01, 0,001 мол.% NiO кривые рассеяния имеют аналогичный вид. Широкая область рассеяния на малоугловых дифрактограммах
в координатах I(q) обусловлена явлением межчастичной интерференции.
Данный эффект наблюдается в случаях, когда рассеяние происходит не от отдельной неоднородности, а от совокупности близко расположенных рассеивающих областей. При этом если на зависимостях I·q(q) наблюдается максимум, то радиус инерции неоднородности можно найти из выражения
Rg = (5 / 2)1/2 ⋅ q0−1 ,
где Rg – радиус инерции неоднородностей; q0 – вектор рассеяния, при котором наблюдается максимум в координатах I·q(q) [37].
104
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
Смещение центра области рассеяния в направлении меньшего значения
векторов q при увеличении температуры отжига в координатах I·q(q) указывает на монотонное увеличение размеров рассеивающих неоднородностей.
Рис. 4. Кривые малоуглового рентгеновского рассеяния в координатах I(q) и I·q(q)
Physical and mathematical sciences. Physics
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
При этом изменение формы и площади под кривой рассеяния в координатах I·q(q) указывает на увеличение рассеивающей способности стекла, что
связано с увеличением общей площади поверхности рассеивающих областей
(т.е. образованием новых областей рассеяния). Увеличение времени термообработки стекла при температуре 780 °С до 5 и 10 ч приводит к появлению
на кривых рассеяния двух интерференционных максимумов (на рис. 4 штриховыми линиями показано разделение кривой рассеяния для образца
MATS+0,1NiO 780 °С 10 ч). Это свидетельствует о бидисперсности структуры, т.е. о присутствии двух типов областей неоднородности – крупных и
мелких. Наличие бидисперсности в структуре стекла может указывать как на
образование новой кристаллической фазы, так и на процессы переконденсации, связанные с ростом среднего квадрата разности электронных плотностей
матрицы и неоднородностей. В то же время для образца, содержащего в своем составе 3 мол.% Ga2O3, на кривых малоуглового рассеяния присутствует
только один интерференционный максимум. Полученные значения радиуса
инерции неоднородностей в стеклах представлены на рис. 5 (на вставке – значения радиуса инерции мелких областей неоднородностей).
Рис. 5. Зависимости радиуса инерции неоднородностей
исследуемых стекол от режима термообработки
Для образцов, не содержащих в своем составе Ga2O3, наблюдается монотонный рост радиуса инерции крупных областей неоднородности от 25–30
до 100 Å. При введении оксида галлия температурный интервал процессов
фазового разделения смещается в сторону больших значений, что хорошо заметно для серии стекол, содержащих 0,1 мол.% NiO. Уменьшение концентрации оксида никеля приводит к увеличению скорости роста кристаллитов. Так
106
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
как при этом рассеивающая способность стекла не изменяется, то можно
предположить, что оксид никеля является центром кристаллизации. После
термической обработки при 780 °С в течение 2 ч наблюдается рост радиуса
инерции рассеивающих областей от 40–60 до 100–120 Å, увеличение времени
отжига при данной температуре практически не сказывается на изменении
размеров неоднородностей, что указывает на достижение равновесного состояния структуры стеклокерамики. На рис. 6 представлены спектры поглощения ионов Ni2+ в исходном стекле и стеклокерамике. Полосы поглощения с
центрами в области 435, 890 и 1750 нм соответствуют разрешенным переходам 3E′(3F) → 3A′2(3P), 3E′(3F) → 3A′2(3F) и 3E′(3F) → 3E′′ (3F) пятикоординированного иона Ni2+ в окружении тригональной бипирамиды.
Рис. 6. Спектры поглощения (слева) и спектры люминесценции (справа) образцов
Physical and mathematical sciences. Physics
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Плечо в районе 500 нм связано с поглощением четырехкоординированного иона Ni2+ в тетраэдрической позиции [31]. Последовательная термическая
обработка приводит к изменению формы спектров поглощения. Полосы поглощения с центрами на 680 и 1130 нм соответствуют разрешенным переходам
3
A2(3F) → 3T1(3F) и 3A2(3F) → 3T2(3F) иона Ni2+ в октаэдрических позициях [31].
Для полученной стеклокерамики, содержащей 0,1 мол.% NiO, отмечена
широкополосная люминесценция в ближней ИК-области спектра с максимумом в области 1350 нм (рис. 6), соответствующая переходу 3T2(3F) → 3A2(3F).
Полуширина контура люминесценции составляет 350 нм. Провал на контуре
люминесценции в области 1380 нм связан с поглощением гидроксильными
группами, присутствующими в стеклокерамике. Характеристическое время
затухания люминесценции составляет 160 мкс.
Заключение
В работе продемонстрирована возможность получения прозрачной
наноструктурированной стеклокерамики на основе магний-алюмосиликатных
оптических стекол, активированных ионами Ni2+. Установлено, что добавление Ga2O3 в стекольную матрицу приводит к подавлению кристаллической
фазы алюмотитаната магния и увеличению концентрации фазы алюмомагниевой шпинели. Установлено увеличение среднего радиуса инерции неоднородностей в объеме стекла от 20 до 120 Å в процессе последовательного изохронного отжига в интервале температур 720–780 °С. Отмечено влияние концентрации оксида никеля на кристаллизационную способность стекла.
Уменьшение концентрации оксида никеля приводит к увеличению радиуса
инерции рассеивающих областей.
Полученная стеклокерамика обладает широким спектром люминесценции с максимумом в области 1300–1400 нм, совпадающим с окном прозрачности телекоммуникационных волоконных световодов.
Список литературы
1. D u k e , D . A . Glass-ceramics for high precision reflective-optic applications /
D. A. Duke, G. A. Chase // Apllied Optics. – 1968. – Vol. 7, № 5. – P. 813–818.
2. P e t zo ld t , J . Chemistry and structure of glass-ceramic materials for high precision
optical applications / J. Petzoldt, W. Pannhorst // Journal of Non-Crystalline Solids. –
1991. – Vol. 129, № 1. – P. 191–198.
3. S a m s o n , B . N . Efficient neodymium-doped glass-ceramic fiber laser and amplifier /
B. N. Samson, P. A. Tick, N. F. Borrelli // Optics Letters. – 2001. – Vol. 26, №. 3. –
P. 145–147.
4. L i p i n s k a - K a l i t a , K . E . Raman and spectroscopic studies of the early steps of
crystallization in ZrF4-LaF3-AlF3-ErF3 glass / K. E. Lipinska-Kalita, F. Auzel, P. SantaCruz // Journal of Non-Crystalline Solids. – 1996. – Vol. 204, № 2. – P. 188–195.
5. A u ze l , F . A new Er3+-doped vitreous fluoride amplification medium with crystal-like
cross-sections and reduced inhomogeneous line width / F. Auzel, K. E. Lipinska-Kalita,
P. Santa-Cruz // Optical Materials. – 1996. – Vol. 5, № 1. – P. 75–78.
6. W a n g , Y . New transparent vitroceramics codoped with Er3+ and Yb3+ for efficient
frequency upconversion / Y. Wang, J. Ohwaki // Apllied Physics Letters. – 1993. –
Vol. 63, № 24. – P. 3268–3270.
7. T i c k , P . A . Transparent glass ceramics for 1300 nm amplifier applications /
P. A. Tick, N. F. Borrelli, L. K. Cornelius, M. A. Newhouse // Journal Applied Physics. –
1995. – Vol. 78, № 11. – P. 6367–6374.
108
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
8. T i k h o m i r o v , V . K . On a qualitative model for the incorporation of fluoride nanocrystals within an oxide glass network in oxy-fluoride glass-ceramics / V. K. Tikhomirov, A. B. Seddon, M. Ferrari, M. Montagna, L. F Santos, R. M. Almeida // Journal
of Non-Crystalline Solids. – 2004. – Vol. 337, № 2. – P. 191–195.
9. N e m o v a , G . Laser cooling with Tm3+-doped oxy-fluoride glass ceramic / G. Nemova, R. Kashyap // Journal of the Optical Society of America B. – 2012. – Vol. 12,
№ 11 – P. 3034–3038.
10. S e zn e c , V . Preparation and luminescence of new Nd3+ doped chloro-sulphide glass–
ceramics / V. Seznec, H. L. Ma, X. H. Zhang, V. Nazabal, J.-L. Adam, X. S. Qiao,
X. P. Fan // Optical Materials. – 2006. – Vol. 29, № 4 – P. 371–376.
11. L i n , C . Mechanism of the enhancement of mid-infrared emission from GeS2-Ga2S3
chalcogenide glass-ceramics doped with Tm3+ / C. Lin, S. Dai, C. Liu, B. Song, Y. Xu,
F. Chen, J. Heo // Applied Physics Letters. – 2012. – Vol. 100, № 23. – P. 231910–
231914.
12. K o m a t s u , T . Transparent tellurite-based glass-ceramics with second harmonic generation / T. Komatsu, H. G. Kim, K. Shioya, K. Matusita, K. Tanaka, K. Hirao // Journal of Non-Crystalline Solids. – 1996. – Vol. 208, № 3 – P. 303–307.
13. G u i g n a r d , M . Chalcogenide glass-ceramics for second harmonic generation /
M. Guignard, V. Nazabal, H. L. Ma, X. H. Zhang, H. Zeghlache, G. Martinelli,
Y. Quiquempois, F.Smektala // European Journal of Glass Science and Technology
Part B. – 2007. – Vol. 48, № 1. – P. 19–22.
14. B o r r e l l i , N . F . Electro-optic effects in transparent niobate glass-ceramic systems /
N. F. Borrelli // Journal Applied Physics. – 1967. – Vol. 38, № 11. – P. 4243–4247.
15. Zh i l i n , A . A . Vitreous materials for electrooptics / A. A. Zhilin, G. O. Karapetyan,
A. A. Lipovskii, L. V. Maksimov, G. T. Petrovskii, D. K. Tagantsev // Glass Physics
and Chemistry. – 2000. – Vol. 26, № 3. – P. 242–246.
16. A n d r e w s , L . J . Luminescence of Cr3+ in mullite transparent glass ceramics /
L. J. Andrews, G. H. Beall, A. Lempicki // Journal of Luminescence. – 1986. – Vol. 36,
№ 2. – P. 65–74.
17. D o e n i t z, F . - D . The coordination of NiII in glasses and glass-ceramics of the system
MgO-Al2O3-SiO2 / F.-D. Doenitz, C. Russ, W. Vogel // Journal of Non-Crystalline Solids. – 1982. – Vol. 53, № 3 – P. 315–324.
18. K u l e s h o v , N . V . Absorption and luminescence of tetrahedral Co2+ ion in MgAl2O4 /
N. V. Kuleshov, V. P. Mikhailov, V. G. Scherbitsky, P. V. Prokoshin, K. V. Yumashev //
Journal of Luminescence. – 1993. – Vol. 55, № 5–6. – P. 265–269.
19. D o n e g a n , J . F . The optical spectroscopy of LiGa5O8: Ni2+ / J. F. Donegan,
F. J. Bergin, T. J. Glynn, G. F. Imbusch, J. P. Remeika // Journal of Luminescence. –
1986. – Vol. 35, № 1. – P. 57–63.
20. P e t r i c e v i c , V . Laser action in chromium-activated forsterite for near infrared excitation / V. Petricevic, S. K. Gayen, R. R. Alfano // Applied Optics. – 1988. – Vol. 27,
№ 20. – P. 4162–4163.
21. K u l e s h o v , N . V . Spectroscopy and excited-state absorption of Ni2+-doped
MgAl2O4 / N. V. Kuleshov, V. G. Shcherbitsky, V. P. Mikhailov, S. Kück, J. Koetke,
K. Petermann, G. Huber // Journal of Luminescence. – 1997. – Vol. 71, № 4. – P. 265–268.
22. S t o o k e y , S . D . Catalyzed crystallization of glass in theory and practice /
S. D. Stookey // Journal of Industrial & Engineering Chemistry. – 1959. – Vol. 51, № 7,
P. 805–808.
23. H u m m e l , F . A . Thermal expansion properties of some synthetic lithia minerals /
F. A. Hummel // Journal of the American Ceramic Society. – 1951. – Vol. 34, № 8. –
P. 235–239.
24. B e a l l , G . H . Glass-Ceramic Technology / G. H. Beall, D. A. Duke // Glass Science
and Technology / ed. D. R. Uhlmann, N. J. Kreidl. – 1983. – Vol. 1. – P. 404–445.
Physical and mathematical sciences. Physics
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
25. Справочник по производству стекла. Т. 2 / под ред. И. И. Китайгородского и
С. И. Сильвестровича. – М. : Госстройиздат, 1963 – 820 c.
26. П о р а й - К о ш и ц , Е. А . О ликвации и субмикронеоднородной структуре стекол
системы B2O3–SiO2 / Е. А. Порай-Кошиц, Т. Н. Василевская, В. В. Голубков // Физика и химия стекла. – 1980. – Т. 6, № 1. – С. 51–59.
27. Г о л у б к о в , В. В. Проблема неоднородного строения стекол / В. В. Голубков //
Физика и химия стекла. – 1998. – T. 24, № 3. – С. 289–304.
28. Г о л у б к о в , В. В. Исследование кинетики фазового распада в стеклах системы
LI2O-AL2O3-SiO2-TiO2 методом РМУ / И. П. Алексеева, В. В. Голубков,
Т. И. Чуваева // Физика и химия стекла. – 1981. – T. 7, №1. – С. 47–54.
29. Г о л у б к о в , В. В. Фазовое разделение в стеклах системы Mg(Ca, Zn)O–Al2O3–
SiO2–TiO2(ZrO2) и их кристаллизация по данным рентгеновского рассеяния
под малыми углами / В. В. Голубков, Бек Донг Су, О. С. Дымшиц, А. А. Жилин,
Т. И. Чуваева // Физика и химия стекла. – 1997. – T. 23, № 4. – С. 374–388.
30. S a m s o n , B . N . Nickel-doped nanocrystalline glass-ceramic fiber / B. N Samson,
L. R. Pinckney, J. Wang, G. H. Beall, N. F. Borelli // Optic Letters. – 2002. – Vol. 27,
№ 15. – P. 1309–1311.
31. W u , B . Enhanced luminescence from transparent Ni2+-doped MgO–Al2O3–SiO2 glass
ceramics by Ga2O3 addition / B. Wu, S. Zhou, J. Ren, Y. Qiao, D. Chen, C. Zhu, J. Qiu //
Journal of Physics and Chemistry of Solids. – 2008. – Vol. 69, № 4. – P. 891–894.
32. D y m s h i t s , O . S . Influence of NiO on phase transformations and optical properties
of ZnO–Al2O3–SiO2 glass–ceramics nucleated by TiO2 and ZrO2. Part II. Optical absorption and luminescence / P. A. Loiko, O. S. Dymshits, A. A. Zhilin, I. P. Alekseeva,
K. V. Yumashev // Journal of Non-Crystalline Solids. – 2013. – Vol. 376, № 4. –
P. 99–105.
33. S ig a e v , V . N . Nickel-assisted growth and selective doping of spinel-like gallium oxide nanocrystals in germano-silicate glasses for infrared broadband light emission /
V. N. Sigaev, N. V. Golubev, E. S. Ignat’eva, V. I. Savinkov, M. Campione, R. Lorenzi, F. Meinardi, A. Paleari // Nanotechnology. – 2012. – Vol. 23, № 1. – P. 015708–
015715.
34. W u , B . Broadband infrared luminescence from transparent glass-ceramics containing
Ni2+-doped β-Gа2O3 nanocrystals / В. Wu, S. Zhou, J. Ren, D. Chen, X. Jiang,
C. Zhu, J. Qiu // Appl. Phys. B. – 2007. – Vol. 87, № 4. – P. 697–699.
35. Химическая технология стекла и ситаллов / Н. М. Павлушкина. – М. : Стройиздат,
1983. – 429 с.
36. Нанокристаллические материалы / А. И. Гусев, А. А. Ремпель. – М. : Физматлит,
2000. – 224 с.
37. Г о л у б к о в , В. В. О фазовом разделении и кристаллизации стекол системы
MgO-Al2O3-SiO2-TiO2 / В. В. Голубков, О. С. Дымшиц, А. А. Жилин // Физика и
химия стекла. – 2003. – Vol. 29, № 3. – P. 359–377.
References
1. Duke D. A., Chase G. A. Apllied Optics. 1968, vol. 7, no. 5, pp. 813–818.
2. Petzoldt J., Pannhorst W. Journal of Non-Crystalline Solids. 1991, vol. 129, no. 1,
pp. 191–198.
3. Samson B. N., Tick P. A., Borrelli N. F. Optics Letters. 2001, vol. 26, no. 3, pp. 145–
147.
4. Lipinska-Kalita K. E., Auzel F., Santa-Cruz P. Journal of Non-Crystalline Solids. 1996,
vol. 204, no. 2, pp. 188–195.
5. Auzel F., Lipinska-Kalita K. E., Santa-Cruz P. Optical Materials. 1996, vol. 5, no. 1,
pp. 75–78.
110
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
6. Wang Y., Ohwaki J. Apllied Physics Letters. 1993, vol. 63, no. 24, pp. 3268–3270.
7. Tick P. A., Borrelli N. F., Cornelius L. K., Newhouse M. A. Journal Applied Physics.
1995, vol. 78, no. 11, pp. 6367–6374.
8. Tikhomirov V. K., Seddon A. B., Ferrari M., Montagna M., Santos L. F., Almeida R. M.
Journal of Non-Crystalline Solids. 2004, vol. 337, no. 2, pp. 191–195.
9. Nemova G., Kashyap R. Journal of the Optical Society of America B. 2012, vol. 12,
no. 11, pp. 3034–3038.
10. Seznec V., Ma H. L., Zhang X. H., Nazabal V., Adam J.-L., Qiao X. S., Fan X. P. Optical Materials. 2006, vol. 29, no. 4, pp. 371–376.
11. Lin C., Dai S., Liu C., Song B., Xu Y., Chen F., Heo J. Applied Physics Letters. 2012,
vol. 100, no. 23, pp. 231910–231914.
12. Komatsu T., Kim H. G., Shioya K., Matusita K., Tanaka K., Hirao K. Journal of NonCrystalline Solids. 1996, vol. 208, no. 3, pp. 303–307.
13. Guignard M., Nazabal V., Ma H. L., Zhang X. H., Zeghlache H., Martinelli G.,
Quiquempois Y., Smektala F. European Journal of Glass Science and Technology Part
B. 2007, vol. 48, no. 1, pp. 19–22.
14. Borrelli N. F. Journal Applied Physics. 1967, vol. 38, no. 11, pp. 4243–4247.
15. Zhilin A. A., Karapetyan G. O., Lipovskii A. A., Maksimov L. V., Petrovskii G. T., Tagantsev D. K. Glass Physics and Chemistry. 2000, vol. 26, no. 3, pp. 242–246.
16. Andrews L. J., Beall G. H., Lempicki A. Journal of Luminescence. 1986, vol. 36, no. 2,
pp. 65–74.
17. Doenitz F.-D., Russ C., Vogel W. Journal of Non-Crystalline Solids. 1982, vol. 53,
no. 3, pp. 315–324.
18. Kuleshov N. V., Mikhailov V. P., Scherbitsky V. G., Prokoshin P. V., Yumashev K. V.
Journal of Luminescence. 1993, vol. 55, no. 5–6, pp. 265–269.
19. Donegan J. F., Bergin F. J., Glynn T. J., Imbusch G. F., Remeika J. P. Journal of Luminescence. 1986, vol. 35, no. 1, pp. 57–63.
20. Petricevic V., Gayen S. K., Alfano R. R. Applied Optics. 1988, vol. 27, no. 20,
pp. 4162–4163.
21. Kuleshov N. V., Shcherbitsky V. G., Mikhailov V. P., Kück S., Koetke J., Petermann
K., Huber G. Journal of Luminescence. 1997, vol. 71, no. 4, pp. 265–268.
22. Stookey S. D. Journal of Industrial & Engineering Chemistry. 1959, vol. 51, no. 7,
pp. 805–808.
23. Hummel F. A. Journal of the American Ceramic Society. 1951, vol. 34, no. 8, pp. 235–
239.
24. Beall G. H., Duke D. A. Glass Science and Technology. 1983, vol. 1, pp. 404–445.
25. Spravochnik po proizvodstvu stekla. T. 2 [Glass production handbook]. Ed. I. I. Kitaygorodsky and S. I. Sil'vestrovich. Moscow: Gosstroyizdat, 1963, 820 p.
26. Poray-Koshits E. A., Vasilevskaya T. N., Golubkov V. V. Fizika i khimiya stekla [Physics and chemistry of glass]. 1980, vol. 6, no. 1, pp. 51–59.
27. Golubkov V. V. Fizika i khimiya stekla [Physics and chemistry of glass]. 1998, vol. 24,
no. 3, pp. 289–304.
28. Golubkov V. V., Alekseeva I. P., Chuvaeva T. I. Fizika i khimiya stekla [Physics and
chemistry of glass]. 1981, vol. 7, no. 1, pp. 47–54.
29. Golubkov V. V., Bek Dong Su, Dymshits O. S., Zhilin A. A., Chuvaeva T. I. Fizika i
khimiya stekla [Physics and chemistry of glass]. 1997, vol. 23, no. 4, pp. 374–388.
30. Samson B. N., Pinckney L. R., Wang J., Beall G. H., Borelli N. F. Optic Letters. 2002,
vol. 27, no. 15, pp. 1309–1311.
31. Wu B., Zhou S., Ren J., Qiao Y., Chen D., Zhu C., Qiu J. Journal of Physics and
Chemistry of Solids. 2008, vol. 69, no. 4, pp. 891–894.
32. Dymshits O. S., Loiko P. A., Zhilin A. A., Alekseeva I. P., Yumashev K. V. Journal of
Non-Crystalline Solids. 2013, vol. 376, no. 4, pp. 99–105.
Physical and mathematical sciences. Physics
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
33. Sigaev V. N., Golubev N. V., Ignat’eva E. S., Savinkov V. I., Campione M., Lorenzi
R., Meinardi F., Paleari A. Nanotechnology. 2012, vol. 23, no. 1, pp. 015708–015715.
34. Wu B., Zhou S., Ren J., Chen D., Jiang X., Zhu C., Qiu J. Appl. Phys. B. 2007, vol. 87,
no. 4, pp. 697–699.
35. Khimicheskaya tekhnologiya stekla i sitallov [Chemical technology of glass and glassceramics]. Ed. N. M. Pavlushkina. Moscow: Stroyizdat, 1983, 429 p.
36. Nanokristallicheskie materially [Nanocrystalline materials]. Ed. A. I. Gusev,
A. A. Rempel'. Moscow: Fizmatlit, 2000, 224 p.
37. Golubkov V. V, Dymshits O. S., Zhilin A. A. Fizika i khimiya stekla [Physics and
chemistry of glass]. 2003, vol. 29, no. 3, pp. 359–377.
Нищев Константин Николаевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра общей физики,
директор Института физики и химии,
Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева
(Россия, г. Саранск,
ул. Большевистская, 68)
Nishchev Konstantin Nikolaevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, subdepartment of general physics, director
of the Institute of physics and chemistry,
Ogarev Mordovia State University
(68 Bolshevistskaya street, Saransk, Russia)
E-mail: nishchev@inbox.ru
Панов Андрей Александрович
аспирант, Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева
(Россия, г. Саранск,
ул. Большевистская, 68)
Panov Andrey Aleksandrovich
Postgraduate student, Ogarev Mordovia
State University (68 Bolshevistskaya
street, Saransk, Russia)
E-mail: aapanov@yandex.ru
Заикин Артем Игоревич
аспирант, Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева
(Россия, г. Саранск,
ул. Большевистская, 68)
Zaikin Artem Igorevich
Postgraduate student, Ogarev Mordovia
State University (68 Bolshevistskaya
street, Saransk, Russia)
E-mail: artem_zaikin@hotmail.com
УДК 535.33.34; 535.37; 548.73
Нищев, К. Н.
Синтез, структура и спектрально-люминесцентные свойства магний-алюмосиликатной стеклокерамики, активированной ионами никеля /
К. Н. Нищев, А. А. Панов, А. И. Заикин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2014. – № 1 (29). –
С. 97–112.
112
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
УДК 519.6/538.945
Н. Д. Кузьмичев, М. В. Чугунов
МАГНИТНОПОЛЕВЫЕ И ТЕМПЕРАТУРНЫЕ
ЗАВИСИМОСТИ ГАРМОНИК НАМАГНИЧЕННОСТИ
ТОНКОГО СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО ДИСКА В МОДЕЛИ
КРИТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ С КРИТИЧЕСКОЙ
ПЛОТНОСТЬЮ ТОКА, ЗАВИСЯЩЕЙ ОБРАТНО
ПРОПОРЦИОНАЛЬНО КВАДРАТУ
НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ
Аннотация.
Актуальность и цели. Исследование магнитных свойств критического состояния жестких сверхпроводников второго рода, в частности высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП), важны из-за их практических приложений
в электро- и радиоизмерительной технике. Для этого необходимо знать отклик
различной структуры и геометрической формы ВТСП на переменное и постоянное магнитные поля. Целью данной работы является математическое моделирование гармоник намагниченности жесткого сверхпроводника второго рода в виде тонкого диска в приближении экранировки поля в центре образца в
рамках модели критического состояния с зависимостью критической плотности тока от напряженности магнитного поля вида Jc ~ γ/H2. Указанная зависимость использовалась для описания критического состояния сверхпроводников при большой плотности вихрей Абрикосова и для описания магнитных
свойств керамических ВТСП.
Материалы и методы. Начальная кривая и ветви петли гистерезиса намагниченности критического состояния тонкого сверхпроводящего диска вычислены аналитически. Вычисления магнитнополевых и температурных зависимостей первой и высших гармоник намагниченности проводились численно в
системе MathCad.
Результаты. В настоящей работе рассчитаны гистерезисные кривые
намагниченности и ряд зависимостей действительной и мнимой частей первой
и высших гармоник намагниченности от величин напряженностей переменного и постоянного магнитных полей, а также от температуры. Получено, что на
зависимости амплитуд гармоник намагниченности сильно влияет амплитуда
переменного магнитного поля, качественно меняя указанные зависимости от
постоянного поля для малых и больших амплитуд переменного поля. Результаты данной работы сравниваются с экспериментальными данными, полученными для поликристаллических высокотемпературных сверхпроводников другой работы.
Выводы. Полученные кривые первой и третьей гармоник намагниченности
качественно совпадают с экспериментальными данными работы одного из авторов настоящей работы, в которой исследовались гармоники сигнала отклика
пропорциональных гармоникам намагниченности поликристаллических дисков в слабых магнитных полях и оценивался параметр модели γ.
Ключевые слова: высокотемпературный сверхпроводник, жесткий сверхпроводник II рода, критическое состояние, тонкий диск, критическая
плотность тока, петля гистерезиса намагниченности, гармоники намагниченности.
Physical and mathematical sciences. Physics
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
N. D. Kuz'michev, M. V. Chugunov
MAGNETIC AND TEMPERATURE DEPENDENCIES
OF MAGNETIZATION HARMONICS OF A THIN
SUPERCONDUCTING DISK IN THE MODEL OF CRITICAL STATE
WITH CRITICAL CURRENT DENSITY, INVERSELY
PROPORTIONAL TO FIELD STENGTH SQUARED
Abstract.
Background. Research of the magnetic properties of critical state of the hard superconductors of the II type, in particular high-temperature superconductors (HTSC)
is important because of their practical application in electro- and radio measuring
equipment. For this purpose it is necessary to know a response of various structures
and HTSC geometrical forms to ac and dc magnetic fields. The purpose of this work
is mathematical modeling of magnetization harmonics of a hard superconductor of
the II type in the form of a thin disk in apprroximation of field shielding in the sample center within the model of critical state with dependence of critical density of
current on intensity of the magnetic field of Jc ~ 1/H2 type. The specified dependence was used to describe the critical state of superconductors at the large density of
Abrikosov vortex and to describe the magnetic properties of ceramic HTSC.
Materials and methods. The initial curve and branches of the hysteresis loop of
magnetization of critical state of a thin superconducting disk were calculated analytically. Calculations of the magnetic field and temperature dependencies of the first
and the highest harmonics of magnetization were carried out numerically in
MathCad system.
Results. The authors calculated the hysteresis curves of magnetization and a number of dependencies of the real and imaginary parts of the first and the highest harmonics of magnetization from sizes taking into account intensity of ac and dc magnetic
field, and temperature. It is discovered that the dependencies of amplitudes of harmonics of magnetization are influenced strongly by the amplitude of the ac magnetic field,
qualitatively changing the specified dependencies of the dc field for small and large
amplitudes of the ac field. The results of this work are compared to the experimental
data obtained for polycrystalline high-temperature superconductors from another work.
Conclusions. The received curves of the first and third harmonics of magnetization qualitatively coincide with experimental data of the work by one of the authors
of the present work, in which the author researched the response signal harmonics
proportional to harmonics of magnetization of polycrystalline disks in weak magnetic fields and estimated a γ model parameters.
Key words: high-temperature superconductor, hard superconductor of II type,
critical state, thin disk, critical current density, hysteretic loop of magnetization,
harmonics magnetization.
Введение
Магнитные свойства различной структуры высокотемпературных
сверхпроводников (ВТСП) важны из-за их практических приложений
в электро- и радиоизмерительной технике. Для этого необходимо знать отклик различной структуры и геометрической формы ВТСП на переменное и
постоянное магнитные поля. Имеется много работ как в отечественной, так и
зарубежной литературе, посвященных данной теме [1–13] и др.
Известно, что при воздействии внешнего магнитного поля на ВТСП образец откликается сигналом сложной формы и намагниченность сверхпро-
114
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
водника зависит от предыстории его состояния, т.е. обнаруживает гистерезис.
Такое поведение сверхпроводника описывается в основном различными моделями, которые базируются на модели критического состояния, предложенной Ч. Бином в работе [1] для жестких сверхпроводников второго (II) рода.
Магнитное поле в сверхпроводники II рода проникает в виде потока,
образованного нитями Абрикосова и распространяется фронтом внутрь
сверхпроводника, преодолевая силу пиннинга (силу закрепления вихря на неоднородности). Слабые магнитные поля в керамические ВТСП проникают
в виде вихрей Джозефсона или гипервихрей. Изменение магнитного потока
внутри сверхпроводника вызывает в области проникновения вихрей электрическое поле, которое в свою очередь мгновенно создает экранирующий
сверхпроводящий ток (сверхток) с критической плотностью Jc. Величина Jc
зависит от локальной плотности магнитного потока (концентрации вихрей –
средней индукции поля B или напряженности поля H) т.е. Jc = Jc(B) [2]. Указанная зависимость обусловлена силой пиннинга и силой отталкивания между вихрями. Расчет сверхтока и магнитного поля внутри сверхпроводника,
а также намагниченности и восприимчивости сверхпроводника представляет
собой непростую задачу [3–13].
1. Модель
В настоящей работе рассмотрен процесс проникновения магнитного
поля в диск жесткого сверхпроводника II рода в приближении полной
экранировки внешнего магнитного поля в центре образца. Использовалась
следующая зависимость критической плотности тока от магнитного поля:
Jc(H) = γ/H2. Это выражение приближенно описывает ситуацию при высокой
плотности проникших в образец вихрей и для керамических сверхпроводников [12]. В этом случае уравнение критического состояния для очень тонкого
диска радиуса R и полутолщины b (R >> b) [13] в аксиальном внешнем поле
имеет вид
dH
γb
=±
.
dr
H 2r
(1)
Здесь r есть текущий радиус цилиндра, H(r) представляет собой осевую
составляющую напряженности магнитного поля. Знак правой части уравнения (1) определяется знаком производной по времени от вешнего поля, т.е.
знаком dH/dt. Вышеуказанная зависимость Jc(H) рядом авторов использовалось для описания критического состояния гранулярных поликристаллических высокотемпературных сверхпроводников (например, [12]).
Уравнение (1) решается с граничным условием H(R) = He, где He –
напряженность внешнего магнитного поля. Знак (+) в уравнении (1) соответствует растущему во времени магнитному полю, а знак (–) – убывающему
полю. Решение (1) для растущего поля имеет вид
1

 R  3
H ( r ) =  H e3 − 3γb ⋅ ln    ,
 r 

(2)
а для убывающего решение уравнения (1) есть
Physical and mathematical sciences. Physics
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1

 R  3
H ( r ) =  H e3 + 3γb ⋅ ln    .
 r 

(3)
Магнитное поле в тонкий диск проникает на глубину (R – ρ), а радиус ρ
определяется из условия H(ρ) = 0:
 H3 
ρ ( H e ) = R ⋅ exp  − e  .
 3γb 


(4)
В данной модели, как следует из выражения (4), ρ → 0 при He → ∞.
Намагниченность M(He) сверхпроводника в виде тонкого диска вычислялась согласно формуле, используемой для определения магнитного момента системы токов [13, 14], учитывая, что экранирующий ток в силу цилиндрической симметрии является азимутальным:
M ( He ) =
1
2V
R
 [ r , J c ] dV .
(5)
ρ
Здесь V – объем сверхпроводника; ρ – радиус внутренней части цилиндра, куда поле не проникло.
Начальная кривая намагниченности для возрастающего внешнего поля
от 0 до He, следуя (5), вычисляется по формуле
R
 H3 
M in ( H e ) = −
J c ( H ) r 2 dr = − M 0 ⋅ exp  − e 
 γb 
R 2 ρ( H )


e
1
(

( ))
Здесь M 0 = γR3 / 9b 2
1/3
( H e3 3γb ) 3z
e dz
 z 2/3 .
(6)
0
. Интеграл в выражении (6) не выражается
через элементарные функции.
В переменном магнитном поле (He(t) = H0 + h cos(ωt)) сверхпроводник
разбивается на области с противоположно текущими экранирующими сверхтоками (рис. 1). Это приводит к гистерезису в намагничивании жесткого
сверхпроводника. Уравнения кривых, которые определяют петлю гистерезиса
намагниченности, будут выражаться следующими интегралами:
ζ

R
λ

 M ( H , h) = − 1  J ( H )r 2 dr − J ( H )r 2 dr + J ( H )r 2 dr  ,
c
c
c
 + 0

R2 ρ
λ
ζ




R
ξ


1 
 M − ( H 0 , h) = −
J c ( H )r 2 dr − J c ( H )r 2 dr  ,


R2 ρ
ξ







(7)

где M+(H0, h) – ветвь петли в возрастающем поле, а M–(H0, h) – ветвь петли
для убывающего внешнего магнитного поля; ρ – радиус центральной части
диска, куда возрастающее поле до величины H0 + h еще не проникло;
λ – внутренний радиус кольцевого слоя диска с противоположно текущим
116
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
экранирующим сверхтоком в убывающем поле до значения (H0 – h) и ζ –
внешний радиус этого же кольцевого слоя диска. Величина ξ является внутренним радиусом кольцевого слоя в убывающем поле от значения H0 + h до
текущего значения H(t) (см. рис. 1).
а)
б)
Рис. 1. Разбиение сверхпроводника в постоянном и переменном аксиальных
магнитных полях на области с противоположно текущими сверхтоками:
а – возрастающее поле проникло на глубину (R – ρ), убывающее – на глубину (R – λ)
и снова возрастающее на (R – ζ) (ветвь петли гистерезиса в растущем поле – М+);
б – возрастающее поле проникло на глубину (R – ρ), убывающее – на глубину (R – ξ)
(ветвь петли гистерезиса в убывающем поле – М–)
Аналитический расчет по формулам (7) для М- и М+ приводит к следующим выражениям:

 ( H + h)3  ( H 0 + h)3 + H e3  6 γb e3 z dz

M − ( H 0 , h, H e ) = − M 0 exp  − 0
+
⋅ 

 0
b
γ

z2 3



 H 3  H e3 3γb
e −3 z dz 
;
+ exp  e  ⋅
 γb  ( H 0 + h)3 + H e3  6 γb z 2 3 






(8)

 ( H + h)3  ( H 0 + h)3 +( H 0 −h )3  6 γb e3 z dz

M + ( H 0 , h, H e ) = − M 0  exp  − 0
+
 ⋅ 

 0
γ
b

z2 3



 ( H − h )3 
+ exp  0
⋅


γ
b


 H3 
+ exp  − e  ⋅
 γb 


 H 3 +( H − h )3  6 γb
0
 e

( H + h )3 +( H − h )3  6 γb
0
 0


e −3 z dz
z2 3
e −3 z dz 
.
( H 0 − h )3 + H e3  6 γb
z 2 3 



H e3 3γb
+
(9)
На практике важны гармоники намагниченности, так как экспериментально их достаточно легко измерить. В работе [7] показано, что вклад в синфазные (действительные) части гармоник дает средняя кривая намагниченноPhysical and mathematical sciences. Physics
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
сти M ( H 0 , h, H e ) , а в квадратурные (мнимые) составляющие вклад дает разностная кривая намагниченности ΔM ( H 0 , h, H e ) . Указанные кривые определяются следующим образом [7]:
M ( H 0 , h, H e ) =
M − ( H 0 , h, H e ) + M + ( H 0 , h , H e )
,
(10)
ΔM ( H 0 , h, H e ) = M − ( H 0 , h, H e ) − M + ( H 0 , h, H e ) .
(11)
2
На рис. 2 построены графики зависимостей Min, M+ и M– от внешнего
магнитного поля с использованием формул (6), (8) и (9).
Рис. 2. Начальная кривая намагниченности Min, ветвь петли гистерезиса
в возрастающем поле M+ , ветвь петли гистерезиса в убывающем поле M–,
средняя М и разностная ΔМ кривые. Здесь Н – текущее магнитное поле.
Кривые построены с использованием формул (6), (8)–(11). Магнитное поле H
выражено в единицах Hp = (γb)1/3, а намагниченность в единицах M0 (6)
В эксперименте при изучении магнитных свойств сверхпроводников
часто измеряется напряжение сигнала отклика сверхпроводника на переменное магнитное поле в присутствии постоянного поля [6, 7, 11, 12, 15]. Указанное напряжение возникает на концах приемной катушки, внутри которой
помещен сверхпроводник. Напряжение сигнала отклика будет периодической
негармонической функцией времени, имеющей в своем составе большое количество синфазных (действительных) и квадратурных (мнимых) составляющих гармоник. Гармоники напряжения пропорциональны соответствующим
гармоникам намагниченности или восприимчивости: U n'," ∞ M ',"n . Здесь
n =1, 2, 3,… – номер гармоники.
Действительные M n′ и мнимые M n′′ составляющие гармоник намагниченности вычислялись согласно формулам, приведенным в работе [7]:
118
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
1
M n′ ( H 0 , h ) =
π
2π
 M ( H 0 , h, H e ( t ) ) cos ( nωt ) d ( ωt ) ;
(12)
0
π
1
M n′′ ( H 0 , h ) =
ΔM ( H 0 , h, H e ( t ) ) sin ( nωt ) d ( ωt ) .
π

(13)
0
Модули гармоник намагниченности определяются формулой
M n ( H0 , h) =
( M n′ ( H 0 , h ) )2 + ( M n′′ ( H 0 , h ) )2 .
(14)
Заметим, что (см. например, [7])
M1′′ =
1
πh
Q
 HdM = πμ0Vh ,
(15)
здесь Q – энергия потерь на перемагничивание за цикл; μ0 – магнитная постоянная; V – объем сверхпроводника.
Аналитические вычисления гармоник намагниченности приводят
к чрезвычайной громоздкости функций, выраженных через интегралы и неудобных для дальнейшего анализа и сравнения с экспериментом, поэтому их
вычисления впоследствии проводились численно в системе MathCad.
2. Результаты расчета магнитополевых
зависимостей гармоник намагниченности
На рис. 3–5 приведены расчеты амплитуд 1, 3 и 5 гармоник намагниченности в зависимости от величины амплитуды h напряженности внешнего
переменного магнитного поля (H0 = 0). Из рисунков видно, что гармоники
имеют максимумы, положения которых зависят от номера гармоники. С ростом n максимум смещается в сторону роста h. Максимумы обусловлены
конкуренцией двух механизмов – увеличением объема сверхпроводника занятого сверхтоком и подавлением величины Jc с ростом поля.
Учитывая формулу (15) и рис. 3 (кривая 2), получим, что максимум потерь на перемагничивание сверхпроводника приходится на величину
hm ≈ 1,7Hp. Величина равна Hp = (γb)1/3. Мнимая часть пятой гармоники
(рис. 5) намагниченности M 5′′ меняет знак при h ≈ hm, т.е. фазу. Отметим, что
при h > 3Hp в сверхпроводнике происходят в основном потери на перемагничивание (см. рис. 3).
На рис. 6–8 представлены расчеты амплитуд 1 и 3 гармоник намагниченности в зависимости от величины напряженности внешнего постоянного
магнитного поля H0 при двух значения амплитуды модуляции h = 0,25Hp и
Hp. Для h = 0,25Hp из рис. 6 видно, что потери с ростом возрастают и достигают максимума при H0 ≈ 2 Hp. При h = Hp и H0 = 0 потери максимальны
(рис. 7). Третья гармоника намагниченности имеет сложную зависимость
с переменой знака как в действительной части, так и в мнимой части для
h = Hp (рис. 8). Пятая гармоника имеет еще более сложную зависимость с
большим числом максимумов и минимумов.
Physical and mathematical sciences. Physics
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 3. Амплитуды действительной M1′ (1), мнимой M1′′ (2) частей и модуля
M1 (3) первой гармоники намагниченности в зависимости от амплитуды h
переменного магнитного поля (H0 = 0). Магнитное поле выражено в единицах
Hp = (γb)1/3, амплитуды гармоник намагниченности – в единицах M0 (6)
Рис. 4. Амплитуды действительной M 3′ (1), мнимой M 3′′ (2) частей и модуля
M 3 (3) третьей гармоники намагниченности в зависимости от амплитуды h
переменного магнитного поля (H0 = 0). Магнитное поле выражено в единицах
Hp = (γb)1/3, амплитуды гармоник намагниченности – в единицах M0
3. Температурные зависимости гармоник намагниченности
Температурные зависимости гармоник намагниченности определяются
температурной зависимостью единственного параметра γ уравнения (1) т.е.
γ(T). Данная зависимость определяется температурной зависимостью крити-
120
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
ческой плотности тока Jc(T) ∝ γ(T) (см. разд. 1). Была выбрана следующая
температурная зависимость:
 T
γ (T ) = γ 0 1 − 
  Tc




2 2
 .


(16)
Рис. 5. Амплитуды действительной M 5′ (1), мнимой M 5′′ (2) частей и модуля
M 5 (3) пятой гармоники намагниченности в зависимости от амплитуды h
переменного магнитного поля (H0 = 0). Магнитное поле выражено в единицах
Hp = (γb)1/3, амплитуды гармоник намагниченности – в единицах M0
Рис. 6. Зависимости действительной M1′ (1), мнимой M1′′ (2) частей и модуля
M1 (3) первой гармоники намагниченности от постоянного поля Н0
для h = 0,25Hp. Напряженность магнитного поля выражена в единицах Hp = (γb)1/3,
а амплитуды гармоник намагниченности – в единицах M0 (6)
Physical and mathematical sciences. Physics
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 7. Зависимости действительной M1′ (1), мнимой M1′′ (2) частей и модуля
M1 (3) первой гармоники намагниченности от постоянного поля Н0 для h = Hp.
Напряженность магнитного поля выражена в единицах Hp = (γb)1/3,
а амплитуды гармоник намагниченности – в единицах M0 (6)
Рис. 8. Амплитуды действительной M 3′ (1), мнимой M 3′′ (2) частей и модуля
M 3 (3) третьей гармоники намагниченности в зависимости от постоянного
магнитного поля H0 для h = Hp. Магнитное поле выражено в единицах
Hp = (γb)1/3, амплитуды гармоник намагниченности – в единицах M0
Для удобства сравнения с экспериментом критическая температура Тс
была выбрана равной 92 К, так как эта температура является критической для
широко распространенного ВТСП YBa2Cu3O7-x. Результаты расчета приведены
на рис. 9–11. Из рисунков видно, что мнимая часть первой гармоники и высшие
гармоники намагниченности имеют максимум вблизи Тс. Данный максимум,
122
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
как показывают расчеты, с ростом амплитуды модуляции h уширяется и смещается в область низких температур. Максимум обусловлен конкуренцией следующих процессов: уменьшением Jc c ростом температуры, что приводит к
большему объему сверхпроводника, занятому сверхтоком, росту намагниченности и росту потерь на перемагничивание (15). Показатели степени в формуле
(16) качественно не влияют на температурные зависимости гармоник.
Рис. 9. Температурные зависимости амплитуд первой гармоники
намагниченности ( M1′ – 1, M1′′ – 2 и M1 – 3) для h = 0,25Hp (H0 = 0).
Амплитуды гармоник намагниченности выражены в единицах M0
Рис. 10. Температурные зависимости амплитуд третьей гармоники
намагниченности ( M 3′ – 1, M 3′′ – 2 и M 3 – 3) для h = 0,25Hp (H0 = 0).
Амплитуды гармоник намагниченности выражены в единицах M0
Обсуждение
Полученные результаты качественно совпадают с результатами экспериментальной работы [16], в которой исследовались гармоники намагниченности поликристаллических дисков в слабых магнитных полях.
Physical and mathematical sciences. Physics
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 11. Температурные зависимости амплитуд пятой гармоники
намагниченности ( M 5′ – 1, M 5′′ – 2 и M 5 – 3) для h = 0,25Hp (H0 = 0).
Амплитуды гармоник намагниченности выражены в единицах M0
Приведем результаты для первой и третьей гармоник сигнала отклика
на рис. 12, 13. Из рис. 12 видно, что зависимость модуля напряжения первой
гармоники качественно совпадает с кривой 3 на рис. 7. Количественное сравнение указанных кривых приводит к следующему экспериментальному значению γ для поликристалла YBa2Cu3O7-x: γ ~ 1,1 ⋅ 1015 A3/m4. Данные рис. 8
также качественно совпадают с экспериментальными данными, приведенными на рис. 13.
Рис. 12. Зависимость модуля напряжения первой гармоники
дискообразного поликристалла от постоянного магнитного поля
для амплитуды модуляции h = 40 Oe [16]
124
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
Рис. 13. Зависимость модуля напряжения третьей гармоники
дискообразного поликристалла от постоянного магнитного поля
для амплитуды модуляции h = 10 и 20 Oe [16]
Список литературы
1. B e a n , C . P . Magnetization of hard superconductors / C. P. Bean // Phys. Rev. Lett. –
1962. – Vol. 8. – P. 250–251.
2. K i m , Y . B . Critical persistent currents in hard superconductors / Y. B. Kim,
C. F. Heampstead, A. R. Strnad // Phys. Rev. Lett. – 1962. – Vol. 9. – P. 306–309.
3. F r a n k e l , D . Critical-state model for the determination of critical currents in diskshaped superconductors / D. Frankel // J. Appl. Phys. – 1979. – Vol. 50. – P. 5402–
4849.
4. A n d e r s o n , P . W . Hard superconductivity: Theory of the motion of Abricosov flux
line / P. W. Anderson, Y. B. Kim // Rev. Mod. Phys. – 1964. – Vol. 36. – P. 39–46.
5. D a u m l i n g , M . Critical state in disk-shaped superconductors / M. Daumling,
D. C. Larbalestier // Phys. Rev. B. – 1989. – Vol. 40. – P. 9350–9353.
6. M i k h e e n k o , P . N . Inductance measurements of HTSC films with high critical currents / P. N. Mikheenko, Yu. E. Kuzovlev // Physica C. – 1993. – P. 229–236.
7. К у з ь м и ч е в Н . Д . Гистерезисная намагниченность и генерация гармоник магнитными материалами: Анализ спектра гармоник намагниченности на примере
высокотемпературных сверхпроводников / Н. Д. Кузьмичев // Журнал технической физики. – 1994. – Т. 64, № 12. – С. 63–74.
8. C l e m , J . R . Hysteretic ac losses and susceptibility of thin superconducting disks /
J. R. Clem, Alvaro Sanchez // Phys. Rev. B. – 1994. – Vol. 50. – P. 9355–9362.
9. B r a n d t , E . H . Superconductor disks and cylinders in an axial magnetic field. I. Flux
penetration and magnetization curves / E. H. Brandt // Phys. Rev. B. – 1998. – Vol. 58. –
P. 6506–6522.
10. B r a n d t , E . H . Superconductor disks and cylinders in an axial magnetic field.
II. Nonlinear and linear ac susceptibilities / E. H. Brandt // Phys. Rev. B. – 1998. –
Vol. 58. – P. 6523–6533.
11. К у з ь м и ч е в , Н . Д . Гармоники намагниченности текстурированных поликристаллов YBa2Cu3O7-x выше температуры перехода в сверхпроводящее состояние /
Н. Д. Кузьмичев, В. В. Славкин // Физика твердого тела. – 2007. – Т. 49. –
С. 1549–1553.
Physical and mathematical sciences. Physics
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
12. L a m , Q . H . Nonlinear electrodynamics in granular YBa2Cu3O7: Measurements and
models of complex permeability / Q. H. Lam, Y. Kim, and C. D. Jeffries // Phys. Rev.
B. – 1990. – Vol. 42. – P. 4846–4849.
13. К у з ь м и ч е в , Н . Д . Математическое моделирование нелинейного отклика короткого цилиндра из жесткого сверхпроводника / Н. Д. Кузьмичев, А. А. Федченко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 3 (19). – С. 110–119.
14. Ла нда у , Л. Д . Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. –
М. : Наука, 1982. – 620 с.
15. К у з ь м и ч е в , Н . Д . Генерация гармоник поликристаллическими YBa2Cu3O7-x
в сильных переменных магнитных полях / Н. Д. Кузьмичев, В. В. Славкин //
Письма в Журнал технической физики. – 1992. – Т. 18, № 8. – С. 11–15.
16. Г о л о в а ш к и н , А . И . Зависимость напряжения гармоник сигнала отклика керамических образцов YBa2Cu3O7-x от величины постоянного магнитного поля
в зависимости от глубины модуляции поля / А. И. Головашкин, Н. Д. Кузьмичев,
И. С. Левченко, Г. П. Мотулевич, В. В. Славкин. – М. : ФИАН, 1990. – 40 с. (Препринт 163).
References
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Bean C. P. Phys. Rev. Lett. 1962, vol. 8, pp. 250–251.
Kim Y. B., Heampstead C. F., Strnad A. R. Phys. Rev. Lett. 1962, vol. 9, pp. 306–309.
Frankel D. J. Appl. Phys. 1979, vol. 50, pp. 5402–4849.
Anderson P. W., Kim Y. B. Rev. Mod. Phys. 1964, vol. 36, pp. 39–46.
Daumling M., Larbalestier D. C. Phys. Rev. B. 1989, vol. 40, pp. 9350–9353.
Mikheenko P. N., Kuzovlev Yu. E. Physica C. 1993, pp. 229–236.
Kuz'michev N. D. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Journal of technical physics]. 1994,
vol. 64, no. 12, pp. 63–74.
8. Clem J. R., Alvaro Sanchez Phys. Rev. B. 1994, vol. 50, pp. 9355–9362.
9. Brandt E. H. Phys. Rev. B. 1998, vol. 58, pp. 6506–6522.
10. Brandt E. H. Phys. Rev. B. 1998, vol. 58, pp. 6523–6533.
11. Kuz'michev N. D., Slavkin V. V. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 2007, vol.
49, pp. 1549–1553.
12. Lam Q. H., Kim Y. and Jeffries C. D. Phys. Rev. B. 1990, vol. 42, pp. 4846–4849.
13. Kuz'michev N. D., Fedchenko A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-mate-maticheskie nauki [University proceedings. Volga region.
Physical and mathematical sciences]. 2011, no. 3 (19), pp. 110–119.
14. Landau L. D., Lifshits E. M. Elektrodinamika sploshnykh sred [Continuum electrodynamics]. Moscow: Nauka, 1982, 620 p.
15. Kuz'michev N. D., Slavkin V. V. Pis'ma v Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Letters to the
journal of technical physics]. 1992, vol. 18, no. 8, pp. 11–15.
16. Golovashkin A. I., Kuz'michev N. D., Levchenko I. S., Motulevich G. P., Slavkin V. V.
Zavisimost' napryazheniya garmonik signala otklika keramicheskikh obraztsov
YBa2Cu3O7-x ot velichiny postoyannogo magnitnogo polya v zavisimosti ot glubiny
modulyatsii polya [Dependence of response signal harmonic voltage of YBa2Cu3O7-x
ceramic sample on the value of a constant magnetic field depending on field’s modulation depth]. Moscow: FIAN, 1990, 40 p. (Preprint 163).
126
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Кузьмичев Николай Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
общенаучных дисциплин, Мордовский
государственный университет имени
Н. П. Огарева (Россия, г. Саранск,
ул. Большевистская, 68)
Физико-математические науки. Физика
Kuz'michev Nikolay Dmitrievich
Doctor of physical and mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of general scientific disciplines, Ogarev
Mordovia State University
(68 Bolshevistskaya street, Penza, Russia)
E-mail: kuzmichevnd@yandex.ru
Чугунов Михаил Владимирович
кандидат технических наук, доцент,
заведующий кафедрой общетехнических
дисциплин, Мордовский
государственный университет
имени Н. П. Огарева (Россия, г. Саранск,
ул. Большевистская, 68)
Chugunov Michail Vladimirovich
Candidate of engineering sciences, associate
professor, head of sub-department
of general technical disciplines, Ogarev
Mordovia State University
(68 Bolshevistskaya street, Penza, Russia)
E-mail: m.v.chugunov@mail.ru
УДК 519.6/538.945
Кузьмичев, Н. Д.
Магнитнополевые и температурные зависимости гармоник намагниченности тонкого сверхпроводящего диска в модели критического состояния с критической плотностью тока, зависящей обратно пропорционально квадрату напряженности поля / Н. Д. Кузьмичев, М. В. Чугунов //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2014. – № 1 (29). – С. 113–127.
Physical and mathematical sciences. Physics
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 539.184
Ю. Б. Малыханов, М. В. Горшунов
О ТОЧНОСТИ МЕТОДА ХАРТРИ – ФОКА
В РАСЧЕТАХ АТОМОВ И ИОНОВ
Аннотация.
Актуальность и цели. В ряде областей физики необходимо знание свойств
не только нейтральных атомов, но и их высокоионизованных состояний. Это
обусловлено некоторыми специфическими свойствами, возникающими в многократно ионизованных системах. Одной из основных задач при исследовании
свойств атомов и ионов является вычисление их полной энергии в стационарных состояниях. Энергию основного состояния атома или его иона можно вычислить, экспериментально определив все потенциалы ионизации атома. Это
очень сложная экспериментальная задача. В связи с этим особую актуальность
приобретают теоретические расчеты энергии атомов и ионов, которые практически можно выполнить для любого атома и иона в рамках метода Хартри –
Фока. Целью данной работы является установление уровня эффективности
применения метода Хартри – Фока в расчетах энергии атомов и ионов.
Материалы и методы. Сравнение теоретически рассчитанных значений
энергии для атомов от H до Cu и всех их ионов позволит объективно оценить
точность метода Хартри – Фока, который изначально носит приближенный
характер. В данной работе авторами выполнены расчеты в алгебраическом
приближении Хартри – Фока энергии атомов (21 ≤ Z ≤ 29) периодической системы и всех их ионов до водородоподобного атома включительно. На примере этих чисел выполнено сравнение с экспериментальными значениями энергии, полученными из данных для потенциалов ионизации. Экспериментальные
значения потенциалов ионизации взяты из известных источников, ссылки на
которые приведены в тексте статьи.
Результаты. Благодаря проведенному сравнению теоретически рассчитанных в рамках метода Хартри – Фока значений энергии атомов от H до Cu, а
также ионов атомов от Sc до Cu, мы получили результаты, характеризующие
точность рассчитанных нами значений. Для атомов (Z ≤ 5) погрешность теоретических расчетов превышает 0,5 %. Для атомов (5 < Z ≤ 20) погрешность теоретически полученных значений энергии в рамках метода Хартри – Фока составляет всего 0,3–0,5 %. Для изоэлектронных рядов Sc, Ti, V погрешность
наших расчетов относительно эксперимента остается порядка 0,6 %. Однако
далее она начинает расти, и для атомов Ni и Cu достигает 1 %. В то же время
для таких атомов снижается точность самих экспериментальных данных, на
основе которых выполнялось сравнение.
Выводы. Приведенные в работе результаты показали, что использование
метода Хартри – Фока в расчетах энергии атомов и ионов является вполне эффективным. Погрешность таких теоретических расчетов, не превышающая
1 %, с учетом погрешности самих экспериментальных данных позволяет с
уверенностью утверждать о корректности приближений, лежащих в основе
метода Хартри – Фока.
Ключевые слова: энергия, атом, ион, метод Хартри – Фока, одноэлектронное приближение.
Yu. B. Malykhanov, M. V. Gorshunov
128
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
ON ACCURACY OF THE HARTREE-FOCK METHOD
IN CALCULATION OF ATOMS AND IONS
Abstract.
Background. In a number of fields of physics it is necessary to know not only
the properties of the neutral atoms, but also their highly ionized states. This is so due
to some specific properties arising in multiply ionized systems. One of the main
problems in the study of the properties of atoms and ions is calculation of total energy in stationary states. The energy of the ground state of an atom or an ion can be
calculated by experimentally determining all of the ionization potentials of the atom.
It is a very difficult experimental problem. Therefore, the theoretical calculation of
atom and ion energy, which can be done for almost any atom and ion in the framework of the Hartree-Fock method, is of special topicality. The aim of this work is to
establish the level of effectiveness of the Hartree-Fock method in calculation of the
energy of atoms and ions.
Materials and methods. Comparison of the theoretically calculated values of the
energy for the atoms from H to Cu and all of their ions will allow to obtain objective
assessment of the Hartree-Fock method’s accuracy, which is initially approximate.
In this paper, the authors calculated in the Hartree-Fock algebraic approximation the
energy of atoms (21≤Z≤29) of the periodic system and all their ions to hydrogen atoms, inclusive. These numbers were compared with the experimental values of the
energy obtained from the data for ionization potentials. The experimental values of
the ionization potentials were taken from the known sources, which are linked in the
text.
Results. Due to the comparison of the theoretically calculated by the HartreeFock method energies of atoms from H to Cu, as well as atomic ions from Sc to Cu,
the authors got the results characterizing the accuracy of the calculated values. For
atoms (5 <Z ≤ 20) the error of theoretically obtained values of energy by the Hartree-Fock method is only 0.3%-0.5%. For the isoelectronic series of Sc, Ti, V error
of experimental calculations is around 0.6%. However, it starts to grow, and for Ni
and Cu atoms is up to 1%. At the same for such atoms the accuracy of experimental
data, used for comparison, falls.
Conclusions. The results presented in this paper show that the use of the HartreeFock method in the calculation of atom and ion energy is quite effective. The error
of the theoretical calculations, not exceeding 1 %, taking into account the uncertainty of the experimental data, allows to confirm the correctness of the approximations,
that compile the base of the Hartree-Fock method.
Key words: energy, atom, ion, Hartree-Fock method, one-electron approximation.
Введение
Первым шагом при исследовании свойств атомов и ионов является вычисление их полной энергии в основном состоянии. Энергию основного состояния атома, так же как и любого иона из его изоэлектронного ряда, можно
вычислить, если иметь все потенциалы ионизации атома, вплоть до водородоподобного состояния. Однако это является крайне сложной экспериментальной задачей атомной спектроскопии. Все потенциалы ионизации на данный момент экспериментально определены из спектров атомов лишь для первых 29 атомов [1, 2]. Для остальных атомов определены лишь первые потенциалы ионизации. В связи с этим особую актуальность приобретают теоретиPhysical and mathematical sciences. Physics
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ческие расчеты энергии атомов и ионов, которые практически можно выполнить для любого атома и иона в рамках метода Хартри – Фока (ХФ) [3–6].
Сравнение теоретически рассчитанных значений энергии для атомов от
H до Cu и всех их ионов позволяет объективно оценить точность метода ХФ,
который носит приближенный характер, так как в его основе лежит одноэлектронное приближение. Применительно к атомам в рамках этого метода
используется дополнительное упрощение – приближение центрального поля,
позволяющее в одноэлектронных функциях разделить радиальные и угловые
части. Именно благодаря этим упрощениям решение уравнений ХФ для любых конфигураций атомов может быть выполнено как численным методом
[7], так и в рамках алгебраического подхода [8–10]. Ранее в работе [11] были
представлены рассчитанные значения энергии в сравнении с экспериментальными данными для первых 20 атомов и всех их ионов. Было показано,
что для атомов и ионов с 5 > Z ≤ 20 погрешность метода ХФ составляет
0,3–0,5 %. В данной работе выполнены расчеты в алгебраическом приближении метода ХФ энергии атомов (21 ≤ Z ≤ 29) периодической системы и всех
их ионов до водородоподобного атома включительно. На примере этих чисел
выполнено сравнение с экспериментальными значениями энергии, полученными из данных для потенциалов ионизации [1, 2].
1. Расчет энергии атомов и ионов в алгебраическом
приближении метода Хартри – Фока
В расчетах энергии и волновых функций атомов с произвольным числом заполненных и открытых оболочек в алгебраическом приближении
наибольшее распространение получила атомная теория Рутана – Хартри –
Фока (метод Рутана – Багуса) [12]. Этот метод основан на формуле для энергии атома в приближении центрального поля, в которой выполнено интегрирование по спин-угловым переменным, а радиальные части орбиталей ищутся в форме разложения по базисным функциям заданного вида. Основные
уравнения метода Рутана – Багуса для случая атома с произвольным числом
открытых оболочек различной симметрии, а также подробные математические выкладки, приводящие к ним, можно найти в работах [3–6].
Решение уравнений ХФ в алгебраическом приближении сводится
к двум задачам – непосредственно решению уравнений самосогласованного
поля (ССП) для орбитальных коэффициентов и нахождению оптимальных
значений нелинейных параметров атомных орбиталей (АО) (орбитальных
экспонент), дающих минимум энергии атома. Для решения уравнений ССП
мы используем циклический метод Рутана, а в случае расходимости процесса
согласования подключается метод наискорейшего градиентного спуска, область сходимости которого шире, чем метода Рутана. Более сложной задачей
является высокоточная оптимизация экспонент АО. Для оптимизации орбитальных экспонент традиционно используются методы прямой минимизации
(методы нулевого порядка). Однако для проведения высокоточной оптимизации орбитальных экспонент приходится задействовать методы минимизации
второго порядка (метод Ньютона). Нами показано [3–5], что единственно
возможным способом добиться глубокой оптимизации является использование многоступенчатой схемы, последовательно использующей различные методы. Размер базиса и глубина оптимизации экспонент не столько влияет на
значение энергии атома, сколько на значения энергий переходов, сил осцил-
130
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
ляторов, поляризуемостей и других свойств атомов, вычисляемых с их использованием. Ранее в работах [3–6] нами было показано, что в алгебраическом приближении метода Хартри – Фока с использованием достаточно широких базисных наборов при применении методов минимизации второго порядка
можно достичь выполнения теоремы вириала с погрешностью 10–15...10–17.
Если целью исследования является получение надежного значения полной
энергии атома или иона, то высокоточная оптимизация не является необходимой. Для этого достаточно добиться получения 6–8 корректно рассчитанных значащих цифр в энергии, для чего необходимо выполнение теоремы вириала с погрешностью 10–7...10–9. Это существенно облегчает задачу оптимизации экспонент. Следствием из всего вышесказанного явился отказ от использования метода Ньютона в многоступенчатой схеме оптимизации экспонент. Все представленные рассчитанные значения энергии атомов и ионов
были получены с использованием лишь одного или двух методов. В большинстве случаев приходилось использовать прямой метод минимизации
Нелдера и Мида для получения хорошего начального приближения, после чего подключался квазиньютоновский метод Муртага – Саджента. При быстрой
сходимости процесс останавливался при достижении значения градиента
энергии по экспонентам до 10–8. Однако иногда процесс оптимизации приобретал сложный характер, и тогда окончание оптимизации экспонент происходило при значении градиента энергии 10–5...10–7. Такие трудности возникали,
например, при расчете некоторых ионов изоэлектронных рядов Fe, Co, Ni,
Cu, имеющих электронную конфигурацию 4s03dn.
2. Результаты и их обсуждение
По описанному алгоритму был произведен расчет атомов (21 ≤ Z ≤ 29)
в алгебраическом приближении метода ХФ и всех их ионов вплоть до водородоподобного. Для вычисления экспериментальных значений энергии атомов и ионов мы использовали данные для потенциалов ионизации [1, 2], которые определялись на основе анализа спектров атомов. Тяжелые атомы
имеют огромное число спектральных линий, систематизация которых очень
затруднена. Поэтому энергию тяжелых атомов и их ионов, необходимую
в различных приложениях, пока можно вычислить только теоретически.
В большинстве источников потенциалы ионизации приводятся в eV, реже –
в см–1. В табл. 1 мы приводим все потенциалы ионизации атомов от Sc до Cu,
взятые из оригинальных источников [1, 2], которые мы использовали в данной работе. В работах [1, 2] большинство экспериментальных значений приведено с точностью 7–8 значащих цифр. Отдельные потенциалы ионизации
оценены лишь приближенно (с точностью 4–5 знаков).
При переходе от одних единиц к другим может возникнуть погрешность из-за неточности переводных коэффициентов, которая особенно
ощутима для легких атомов. Что касается квантовомеханических расчетов
энергии атомов, то они всегда выполняются в атомных единицах. Поэтому
экспериментальные данные, найденные в см–1, целесообразнее всего переводить в атомные единицы, используя переводной коэффициент 1 см–1 =
= 4,55633497 · 10–6 а.е., найденный на основе констант (ħ, m, e, c) с точностью
девять значащих цифр. Из табл. 1 видно, что для некоторых потенциалов
ионизации (потенциалы высших порядков для тяжелых атомов, имеющих
Z > 20) отсутствовали экспериментальные данные, выраженные в см–1 [2].
Physical and mathematical sciences. Physics
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
132
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
Physical and mathematical sciences. Physics
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В табл. 1 эти данные мы взяли из [1], где они приведены в eV. Для перевода этих значений в а.е. использовался коэффициент 1 eV = 3,67239008 · 10–2 а.е.
Во всех дальнейших таблицах, приведенных в данной работе, для оценки
точности выполненных нами расчетов мы вычисляли экспериментальные
значения энергий атомов и ионов, опираясь на данные табл. 1. Проанализируем теперь результаты конкретных расчетов, выполненных в рамках метода
Хартри – Фока, сравнив их с экспериментальными данными, полученными
описанным методом из табл. 1. В табл. 2 представлены теоретически рассчитанные значения энергии основных состояний нейтральных атомов (Z ≤ 20).
Для этих атомов сравнение с экспериментом носит наиболее объективный
характер, так как экспериментальные данные представлены с достаточно высокой точностью [2]. Приведенные теоретически рассчитанные значения
энергии являются высокоточными (теорема вириала для всех атомов выполнялась с точностью не ниже 10–14, что позволяет с уверенностью судить, как
минимум, о 12–13 достоверных значащих цифрах). Однако приводить такое
высокоточное значение в данном случае не имеет смысла, поэтому для всех
значений энергия приводится с точностью 6 десятичных знаков.
Таблица 2
Энергии (а.е.) основных состояний нейтральных атомов (Z ≤ 20),
рассчитанные в алгебраическом приближении метода Хартри – Фока
А
H
He
Li
Be
B
C
N
–Eтеор
0,500000
2,861679
7,432726
14,573023
24,529060
37,688618
54,400934
Δ%
–0,05
0,49
0,60
0,65
0,52
0,44
0,38
А
O
F
Ne
Na
Mg
Al
Si
–Eтеор
74,809398
99,409349
128,547098
161,858911
199,614636
241,876707
288,854362
Δ%
0,40
0,39
0,21
0,35
0,34
0,34
0,34
А
P
S
Cl
Ar
K
Ca
–Eтеор
340,718780
397,504895
459,482072
526,817512
599,164786
676,758185
Δ%
0,35
0,38
0,41
0,43
0,46
0,49
Примечание. Eтеор – значение энергии атомов, вычисленное в алгебраическом
приближении метода Хартри – Фока (наш расчет); Δ% – разность теоретически рассчитанного значения энергии и экспериментального относительно экспериментального значения, выраженная в процентах.
Из табл. 2 видно, что для атомов (Z ≤ 5) погрешность теоретических
расчетов превышает 0,5 %. Это связано с тем, что основное упрощение метода ХФ не позволяет учесть корреляцию электронов в атоме, что особенно
ощутимо для систем с небольшим количеством электронов. Для остальных
атомов погрешность теоретически полученных значений энергии в рамках
метода ХФ составляет всего 0,3–0,5 %, что наблюдается и для всех ионов
этих атомов, представленных в [11].
В табл. 3 представлены теоретически рассчитанные значения энергии
основных состояний нейтральных атомов (21 ≤ Z ≤ 29) и всех их ионов. Для
нейтральных атомов был выполнен высокоточный расчет. При расчете многозарядных ионов основной целью было лишь вычисление полной энергии, и
высокоточный расчет не требовался. Для ионов мы добивались точности выполнения теоремы вириала не ниже 10–8, поэтому приведем во всех значениях
их энергий 7 значащих цифр, которые однозначно являются достоверными.
Также для нейтральных атомов приведено еще одно значение под знаком *.
134
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
Таблица 3
Энергии (а.е.) основных состояний нейтральных
атомов (21 ≤ Z ≤ 29) и всех их ионов, рассчитанные
в алгебраическом приближении метода Хартри – Фока
n
1
20
19
18
17
–Eтеор
2
21. Sc
759,735717
756,8908*
759,5391
758,9808
758,2148
755,5514
0,41
0,78*
0,40
0,42
0,40
0,39
16
752,2333
0,39
23
15
14
13
12
11
10
9
8
748,2267
743,2197
737,4432
730,8659
722,7131
713,5959
688,4117
660,6545
0,38
0,37
0,37
0,37
0,35
0,35
0,36
0,37
7
630,2338
6
5
4
3
2
1
21
20
19
18
17
16
596,1037
559,0797
519,0712
475,0027
427,9860
220,5000
22. Ti
848,405995
845,1599*
848,2033
847,5563
846,3805
845,1908
841,5802
837,2440
0,50
0,88*
0,50
0,52
0,54
0,50
0,49
0,48
15
832,1496
0,48
24
14
13
12
11
10
9
8
7
6
825,9630
818,9391
811,0472
801,4447
790,8093
761,8918
730,2359
695,7514
657,3396
0,48
0,48
0,47
0,46
0,46
0,47
0,49
0,51
0,55
23
22
21
20
19
18
17
16
15
21
22
Δ%
3
n
4
5
–Eтеор
5
615,8692
Δ%
6
0,58
n
7
14
–Eтеор
8
1004,800
Δ%
9
0,60
4
571,2499
0,58
13
994,9438
0,59
3
2
1
0,53
0,52
0,55
12
11
10
9
984,0853
971,2475
957,2406
920,1050
0,59
0,58
0,57
0,60
0,56
0,94*
0,55
0,57
0,59
0,62
0,54
0,54
0,54
0,53
8
879,9006
0,61
22
21
20
19
18
17
16
15
522,3548
470,3610
242,0000
23. V
942,884336
939,1657*
942,6707
941,9816
940,6881
938,7599
937,0764
932,4023
926,9329
920,6365
7
6
5
4
3
2
1
0,63
0,67
0,69
0,70
0,65
0,63
0,67
0,45
14
913,1570
0,53
25
0,49
0,52
0,53
0,48
0,46
0,49
13
12
11
10
9
8
7
904,7729
895,4538
884,2896
872,0243
839,1230
803,3180
764,5194
0,53
0,52
0,51
0,51
0,53
0,55
0,56
24
23
22
21
20
19
18
836,5376
788,8119
737,6985
683,1073
623,8090
561,1110
288,0000
25. Mn
1149,86625
1144,9715*
1149,649
1149,109
1147,905
1145,224
1142,241
1138,434
1135,561
0,68
1,10*
0,67
0,67
0,67
0,74
0,77
0,80
0,67
6
721,5757
0,60
17
1128,415
0,67
675,4088
0,63
625,9286
0,64
571,9569
0,59
514,7360
0,58
264,5000
0,60
24. Cr
1043,356374 0,62
1039,0409* 1,03*
1043,139
0,62
1042,577
0,62
1040,994
0,66
1038,919
0,69
1036,112
0,71
1033,867
0,61
1028,014
0,61
1021,298
0,60
1013,685
0,60
16
15
14
13
12
11
1120,337
1111,296
1100,893
1089,451
1076,941
1062,318
0,67
0,66
0,66
0,66
0,66
0,64
10
1046,458
0,64
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1004,837
959,9837
911,8062
859,0483
802,7383
742,7861
677,9111
609,4860
312,5000
0,65
0,67
0,69
0,73
0,75
0,76
0,71
0,70
0,73
5
4
3
2
1
Physical and mathematical sciences. Physics
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Окончание табл. 3
1
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
2
26. Fe
1262,443662
1256,7813*
1262,213
1261,564
1260,614
1258,626
1254,660
1250,647
1245,722
1242,155
1233,602
1224,050
1213,468
1201,433
1188,294
1174,021
1157,501
1139,676
0,67
1,11*
0,67
0,67
0,66
0,66
0,76
0,79
0,82
0,66
0,66
0,66
0,66
0,65
0,65
0,65
0,63
0,63
9
1093,321
0,64
28
8
7
6
5
4
3
2
1
1043,567
990,3250
932,2849
870,5282
804,9648
734,2632
659,8610
338,0000
27. Co
1381,41455
1374,8903*
1381,128
1380,423
1379,064
1377,628
1374,724
1369,296
1364,134
1357,973
1353,647
0,66
0,67
0,71
0,73
0,72
0,67
0,76
0,80
27
26
25
24
23
22
21
20
19
26
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
3
0,82
1,28*
0,82
0,82
0,83
0,80
0,80
0,93
0,96
0,99
0,81
4
17
5
1343,575
6
0,81
7
8
8
1221,235
9
0,88
16
1332,435
0,81
7
1157,113
0,90
1320,199
0,81
1306,422
0,81
1291,473
0,81
1275,325
0,80
1256,796
0,79
1236,895
0,79
1185,555
0,81
1130,651
0,81
1072,094
0,83
1008,521
0,87
941,0681
0,89
869,6436
0,89
792,8654
0,85
712,2360
0,83
364,5000
0,87
28. Ni
1506,870905 0,86
1499,3759* 1,35*
1506,568
0,87
1506,030
0,86
1504,336
0,89
1502,130
0,90
1500,135
0,85
1496,189
0,85
1489,127
1,00
1482,699
1,03
1475,185
1,07
6
5
4
3
2
1
0,94
0,96
0,97
0,92
0,90
0,94
28
27
26
25
24
23
22
21
20
1087,758
1014,358
936,8224
853,7175
766,6110
392,0000
29. Cu
1638,694
1638,084
1636,820
1633,931
1630,747
1628,123
1623,016
1614,149
1606,338
19
1597,358
1,15
18
17
16
15
14
13
12
11
10
1591,321
1577,871
1563,220
1547,338
1529,739
1510,838
1490,604
1467,724
1443,336
0,93
0,93
0,93
0,93
0,93
0,93
0,93
0,92
0,91
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0,92
0,91
0,91
0,96
0,98
0,91
0,91
1,08
1,12
18
1470,036
0,86
9
1381,274
0,93
17
16
15
14
13
12
11
10
9
1458,331
1445,492
1431,489
1415,857
1398,988
1380,853
1360,204
1338,116
1281,539
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,84
0,84
0,86
8
7
6
5
4
3
2
1
1315,319
1245,382
1169,995
1090,398
1006,501
916,8196
822,9860
420,5000
0,95
0,97
1,01
1,04
1,04
1,00
0,97
1,01
Примечание. n – число электронов в атоме или ионе; Eтеор – значение энергии
атомов и ионов, вычисленное в алгебраическом приближении метода Хартри – Фока
(наш расчет); Δ% – разность теоретически рассчитанного значения энергии и экспериментального относительно экспериментального значения, выраженная в процентах.
Это результаты, взятые из [13], где проводится сравнение вычисленных
значений энергии атомов от калия до меди в рамках предложенного авторами
метода конфигурационного взаимодействия (КВ) с экспериментальными
136
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
данными [1]. Очевидно, что метод КВ [13] во всех случаях дает более высокую погрешность значения энергии, чем метод ХФ. В этом легко можно убедиться, исходя из данных, представленных в табл. 3. Из табл. 3 видно, что для
изоэлектронных рядов Sc, Ti, V погрешность наших расчетов относительно
эксперимента остается порядка 0,6 %, что сопоставимо с точностью, имеющей место для атомов и ионов с 5 < Z ≤ 20 [11]. Однако далее она начинает
расти, и для атомов Ni и Cu достигает 1 %. Однако не следует однозначно
рассматривать эту тенденцию как снижение точности метода ХФ. Сравнение
рассчитанной энергии с экспериментом для атомов, начиная с атома Sc, следует проводить с определенной осторожностью, так как измеренные потенциалы ионизации для этих атомов и ионов имеют низкую точность. Погрешность экспериментальных данных можно легко проверить, анализируя результаты для водородоподобных атомов и ионов. Для таких атомов метод ХФ
дает точное теоретическое значение энергии, равное –Z2/2 а.е. Легко заметить, что с ростом Z увеличивается погрешность эксперимента. И если для
атома водорода она составляет всего 0,05 %, то для иона Сu28+ уже 1,01 %
(т.е. погрешность эксперимента практически перекрывает максимальную погрешность теоретического расчета – 1,15 %). Также важно заметить, что для
некоторых потенциалов ионизации таких тяжелых атомов, как Ni или Cu,
опытное значение приблизительно оценивалось с точностью лишь до 1000
см–1. Это свидетельствует о том, что к экспериментальным данным для потенциалов ионизации таких атомов следует относиться с некоторой осторожностью. С учетом вышеизложенного можно утверждать, что точность, с которой выполняется расчет энергии (0,3–1 %) в методе ХФ для атомов и ионов
(21 ≤ Z ≤ 29), позволяет уверенно говорить о корректности приближений, лежащих в основе данного метода. Несомненно, с ростом Z увеличивается абсолютная погрешность теоретических расчетов. Так, для некоторых ионов
изоэлектронного ряда Cu абсолютная ошибка достигает 16 а.е. Однако, анализируя точность теоретического метода, естественно, следует говорить об
относительной погрешности, выраженной в процентах.
Напомним, что все экспериментальные значения энергии атомов и
ионов можно получить лишь на основе данных для потенциалов ионизации
атома [1, 2]. В табл. 4 для примера мы приводим все потенциалы ионизации
атома Sc, рассчитанные в алгебраическом приближении метода ХФ, в сравнении с экспериментальными значениями. Следует обратить внимание на заметную погрешность для нескольких первых потенциалов.
Таблица 4
Потенциалы ионизации (а.е.) атома Sc, рассчитанные
в алгебраическом приближении метода Хартри – Фока
J1
J2
J3
J4
J5
J6
J7
J теор
0,196575
0,558316
0,765952
2,663414
3,318134
4,006590
5,006937
J эксп
0,240347
0,470396
0,909900
2,700084
3,368498
4,082476
5,071656
J8
J9
J10
J11
J12
J13
J14
J теор
5,776566
6,577279
8,152749
9,117236
25,184253
27,757151
30,420671
J эксп
5,832109
6,615798
8,280683
9,181379
25,206556
27,763572
30,039461
Physical and mathematical sciences. Physics
J15
J16
J17
J18
J19
J20
J21
J теор
34,130144
37,024010
40,008443
44,068578
47,016655
207,486054
220,500000
J эксп
34,030810
37,054416
40,175947
44,546091
47,299282
208,400792
221,581441
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Такую же картину можно наблюдать, если провести подобное сопоставление и для других атомов. Данное сопоставление легко провести, используя данные теоретического расчета из табл. 2, вычитая энергии соседних
ионов. При увеличении номера потенциала ионизации точность теоретических расчетов увеличивается и в итоге стремится к значениям, характерным
для точности расчета энергии. Это имеет простое объяснение – погрешность
расчета в рамках метода ХФ для первых потенциалов ионизации рассчитывается относительно слишком малых величин. При этом абсолютная погрешность значений остается той же самой.
Заключение
При расчете энергии атомов и ионов метод Хартри – Фока априори не
может дать результат, полностью соответствующий истинному значению.
Вычисленная таким образом энергия будет выше по своему значению, так как
этот метод изначально использует некоторые приближения. Тем не менее его
использование для получения количественных результатов является достаточным. Это наглядно видно из сравнения большого массива значений энергии
атомов и ионов, вычисленных нами в алгебраическом приближении метода
ХФ, с экспериментальными значениями. Также эффективность использования
этого метода доказывается практической реализацией расчета атомов различных групп [3], в то время как экспериментальное определение энергии атомов и
ионов для большинства элементов остается неразрешимой задачей. А точность
выполнения таких теоретических расчетов (в пределах 1 %) с учетом погрешности экспериментальных данных позволяет с уверенностью утверждать
о корректности приближений, лежащих в основе метода Хартри – Фока.
Список литературы
1. L i d e , D . R . Handbook of Chemistry and Physics / D. R. Lide. – 84th edition. – New
York : CRS Press, 2004. – 2475 p.
2. M o o r e , C . E . Ionization Potentials and Ionization Limits Derived from the Analysis
of Optical Spectra / C. E. Moore // Natl. Stand. Ref. Data Ser., Natl. Bur. Stand. – 1970. –
№ 34. – 22 p.
3. М а л ых а н о в , Ю . Б. Таблицы высокоточных аналитических хартри-фоковских
функций атомов / Ю. Б. Малыханов, М. В. Горшунов, С. В. Евсеев, И. Н. Еремкин, С. А. Романов, Р. М. Чадин. – Саранск : Изд-во Морд. гос. пед. инст-та,
2012. – 233 с.
4. М а л ых а н о в , Ю . Б. Расчет энергии основных состояний нейтральных атомов
(Z ≤ 54) в алгебраическом варианте метода Хартри – Фока / Ю. Б. Малыханов,
М. В. Горшунов, С. В. Евсеев, И. Н. Еремкин, Р. М. Чадин // Оптика и спектроскопия. – 2013. – Т. 114, № 3. – С. 335–362.
5. М а л ых а н о в , Ю . Б. Расчет атомов с открытой p-оболочкой в алгебраическом
приближении метода Хартри – Фока / Ю. Б. Малыханов, С. В. Евсеев, М. В. Горшунов // Журнал прикладной спектроскпии. – 2012. – Т. 79, № 1. – С. 5–14.
6. М а л ых а н о в , Ю . Б. Расчет энергии атомов в конфигурациях с тремя открытыми оболочками в алгебраическом варианте метода Хартри – Фока /
Ю. Б. Малыханов, С. В. Евсеев, И. Н. Еремкин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 3 (19). –
С. 120–130.
7. F r o s e - F i s h e r , C . The Hartree-Fock Method for Atoms / C. Frose-Fisher. – New
York : Wiley, 1977. – 309 p.
138
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
8. B u n g e , C . F . Slater-type orbital expansions and expectation values for Z = 2–54 /
C. F. Bunge, J. A. Barrientos, A. V. Bunge // At. Data and Nucl. Data Tables. – 1993. –
Vol. 53. – Р. 113–162.
9. K o g a , T. Roothan-Hartree-Fock wave functions for atoms with Z ≤ 54 / T. Koga,
H. Tatewaki, A. J. Thakkar // Phys. Rev. A. – 1993. – Vol. 47, № 5. – P. 4510–4512.
10. K o g a , T. Roothan-Hartree-Fock wave functions for ions with Z ≤ 54 / T. Koga,
Y. Seki, A. J. Thakkar, H. Tatewaki // J. Phys. B.: At. Mol. Opt. Phys. – 1993. –
Vol. 26. – P. 2529–2532.
11. М а л ых а н о в, Ю . Б. Расчет энергии атомов и ионов методом Хартри – Фока /
Ю. Б. Малыханов, М. В. Горшунов // Журнал прикладной спектроскопии. –
2013. – Т. 80, № 5. – С. 649–654.
12. R o o t h a a n , C . C . J . Atomic Self-Consistent Field Calculations by the Expansion
Method / C. C. J. Roothaan, P. S. Bagus // Methods in Computational Physics. – New
York : Academic Press Inc. – 1963. – Vol. 2. – Р. 47–94.
13. M e n d l , C . B . Efficient algorithm for asymptotics-based configuration-interaction
methods and electronic structure of transition metal atoms / C. B. Mendl, G. Friesecke //
J. Chem. Phys. – 2010. – Vol. 133, № 18. – P. 1–14.
References
1. Lide D. R. Handbook of Chemistry and Physics. 84th edition. New York: CRS Press,
2004, 2475 p.
2. Moore C. E. Natl. Stand. Ref. Data Ser., Natl. Bur. Stand. 1970, no. 34, 22 p.
3. Malykhanov Yu. B., Gorshunov M. V., Evseev S. V., Eremkin I. N., Romanov S. A.,
Chadin R. M. Tablitsy vysokotochnykh analiticheskikh khartri-fokovskikh funktsiy
atomov [Tables of high-precision analytical Hartree-Fock functions of atoms]. Saransk:
Izd-vo Mord. gos. ped. inst-ta, 2012, 233 p.
4. Malykhanov Yu. B., Gorshunov M. V., Evseev S. V., Eremkin I. N., Chadin R. M.
Optika i spektroskopiya [Optics and spectroscopy]. 2013, vol. 114, no. 3, pp. 335–362.
5. Malykhanov Yu. B., Evseev S. V., Gorshunov M. V. Zhurnal prikladnoy spektroskpii
[Journal of applied spectroscopy]. 2012, vol. 79, no. 1, pp. 5–14.
6. Malykhanov Yu. B., Evseev S. V., Eremkin I. N. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2011, no. 3 (19), pp. 120–130.
7. Frose-Fisher C. The Hartree-Fock Method for Atoms. New York: Wiley, 1977, 309 p.
8. Bunge C. F., Barrientos J. A., Bunge A. V. At. Data and Nucl. Data Tables. 1993,
vol. 53, pp. 113–162.
9. Koga T., Tatewaki H., Thakkar A. J. Phys. Rev. A. 1993, vol. 47, no. 5, pp. 4510–4512.
10. Koga T., Seki Y., Thakkar A. J., Tatewaki H. J. Phys. B.: At. Mol. Opt. Phys. 1993,
vol. 26, pp. 2529–2532.
11. Malykhanov Yu. B., Gorshunov M. V. Zhurnal prikladnoy spektroskopii [Journal of
applied spectroscopy]. 2013, vol. 80, no. 5, pp. 649–654.
12. Roothaan C. C. J., Bagus P. S. Methods in Computational Physics. New York: Academic Press Inc. 1963, vol. 2, pp. 47–94.
13. Mendl C. B., Friesecke G. J. Chem. Phys. 2010, vol. 133, no. 18, pp. 1–14.
Physical and mathematical sciences. Physics
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Малыханов Юрий Борисович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра физики и методики
обучения физике, Мордовский
государственный педагогический
институт имени М. Е. Евсевьева
(Россия, г. Саранск,
ул. Студенческая, 11а)
Malykhanov Yuriy Borisovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of physics and physics teaching technique,
Mordovia State Pedagogical Institute
named after M. E. Evsevyev
(11a Studencheskaya street, Saransk,
Russia)
E-mail: malykhanov@mail.ru
Горшунов Максим Владимирович
аспирант, Мордовский государственный
педагогический институт
имени М. Е. Евсевьева (Россия,
г. Саранск, ул. Студенческая, 11а)
Gorshunov Maksim Vladimirovich
Postgraduate student, Mordovia State
Pedagogical Institute named after
M. E. Evsevyev (11a Studencheskaya
street, Saransk, Russia)
E-mail: malykhanov@mail.ru
УДК 539.184
Малыханов, Ю. Б.
О точности метода Хартри – Фока в расчетах атомов и ионов /
Ю. Б. Малыханов, М. В. Горшунов // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2014. – № 1 (29). –
С. 128–140.
140
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
УДК 535.32
О. А. Голованов, Г. С. Макеева, Д. Н. Ширшиков, Г. Г. Горлов
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ КОМПЛЕКСНОЙ
ЭФФЕКТИВНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
НАНОКОМПОЗИТОВ НА ОСНОВЕ МАССИВОВ УГЛЕРОДНЫХ
НАНОТРУБОК В ДИАПАЗОНЕ СВЕРХВЫСОКИХ ЧАСТОТ
Аннотация.
Актуальность и цели. Наноструктурные материалы на основе углеродных
нанотрубок (УНТ) благодаря электронным свойствам УНТ играют важную
роль в создании материалов для поглощения и экранирования электромагнитного излучения СВЧ. Целью данной работы является теоретическое исследование взаимодействия электромагнитных волн с массивами ориентированных
УНТ и расчет эффективной диэлектрической проницаемости анизотропных
нанокомпозитов на УНТ в СВЧ-диапазоне на основе математического моделирования электродинамического уровня строгости.
Материалы и методы. Методом автономных блоков с каналами Флоке
проведено математическое моделирование распространения электромагнитных волн в периодических 3D-решетках ориентированных УНТ в диапазоне
СВЧ. Вычислительный алгоритм решения краевой 3D-задачи дифракции для
определения матрицы проводимости автономных блоков с каналами Флоке в
виде прямоугольного параллелепипеда, содержащего УНТ, построен проекционным методом Галеркина. Разработана методика электродинамического расчета эффективной диэлектрической проницаемости нанокомпозита на основе
УНТ, базирующаяся на теории эффективной среды.
Результаты. Получены результаты электродинамического расчета частотных зависимостей действительной и мнимой частей комплексной диэлектрической проницаемости нанокомпозита на основе УНТ в диапазоне частот
2–5 ГГц для различной ориентации вектора электрического поля Е волны к
оси УНТ при различном соотношении объема УНТ к общему объему композита.
Выводы. Показано, что степень ослабления СВЧ-излучения за счет поглощения массивом УНТ, существенно возрастает при увеличении проводимости
УНТ, фактора заполнения композита УНТ, изменяется в зависимости от взаимной ориентации вектора электрического поля Е волны и осей УНТ и при
параллельной ориентации Е в сравнении с ортогональной увеличивается.
Ключевые слова: углеродные нанотрубки, нанокомпозит, эффективная
диэлектрическая проницаемость, распространение, электромагнитные волны,
автономные блоки.
O. A. Golovanov, G. S. Makeeva, D. N. Shirshikov, G. G. Gorlov
ELECTRODYNAMIC CALCULATION OF THE COMPLEX
EFFECTIVE PERMEABILITY OF NANOCOMPOSITES
BASED ON THE ARRAYS OF CARBON NANOTUBES
IN THE MICROWAVE FREQUENCY RANGE
Abstract.
Background. The nanostructured materials, based on carbon nanotubes (CNTs),
have attracted a special interest due applications thereof in the fields of microwave
absorption and shielding. The goal of the present work is the theoretical research of
Physical and mathematical sciences. Physics
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
interaction of electromagnetic waves with arrays of CNTs and the calculation of the
effective permeability for the anisotropic CNT nanocomposites in the microwave
frequency range using mathematical modeling at the electrodynamic level of rigor.
Materials and methods. Using the numerical method of autonomous blocks with
Floquet channels (FABs) the authors carried out mathematical modeling of propagation of electromagnetic waves in the 3D- periodic arrays of CNTs at microwaves.
The computational algorithm for determining the conductivity matrix of FAB in the
form of a rectangular parallelepipeds, containing CNT, was developed to solve
3D-diffraction boundary problem using the Galerkin’s projection method. The
methodology of calculation of the effective permeability of nanocomposites based
on the arrays of CNTs was developed based on the effective medium theory.
Results. The authors obtained the results of electrodynamic calculation of the
frequency dependencies of the complex effective permeability for the CNT nanocomposites, at different orientation of the rf electric field of the wave with respect to
CNT axis depending on the CNT filling factor of materials at microwave frequencies of 2–5 GHz.
Conclusions. It is shown that the dielectric losses and the absorption in arrays of
CNTs increase due to the conductivity of CNTs, the CNT filling factor of materials,
change depending on the orientation of the rf electric field of wave with respect to
CNT axis and increase with parallel orientation in comparison with the orthogonal one.
Key words: carbon nanotubes, nanocomposite, effective permeability, electromagnetic waves, propagation, autonomous blocks
Введение
Развитие устройств СВЧ-радиоэлектроники и увеличение их мощности
обусловливает актуальность разработки новых материалов для уменьшения
помех и обеспечения электромагнитной совместимости. Важную роль в этих
областях приобретают материалы, эффективно поглощающие СВЧ-излучение. Радиопоглощающие материалы СВЧ-диапазона являются также незаменимыми в радиолокации и специальной технике.
Особый интерес для создания высокоэффективных систем защиты от
электромагнитного излучения СВЧ представляют нанокомпозиты на основе
углеродных нанотрубок (УНТ) [1–3], благодаря их низкому удельному весу и
соответствующим электронным свойствам.
Углеродные нанотрубки характеризуются высокими значениями
удельной поверхностной проводимости и аспектного отношения размеров
(длины и диаметра УНТ l/d), они сильно анизотропны, их характеристики
(включая и электродинамические) отличаются в продольном и поперечном
направлении УНТ [1].
В работе [3] представлены результаты экспериментальных исследований взаимодействия электромагнитного излучения с массивом вертикально
ориентированных многослойных УНТ (рис. 1). Исследованы характеристики
экранирования массивом вертикально ориентированных УНТ при различной
ориентации нанотрубок относительно вектора электрического поля Е электромагнитной волны и УНТ, изотропно распределенными в эпоксидной матрице. Экспериментальные исследования коэффициента ослабления выполнялись при различной ориентации УНТ в волноводе, т.е. при распространении
электромагнитной волны вдоль оси УНТ и в направлении, перпендикулярном
оси УНТ. Обнаружено, что величина ослабления электромагнитного излучения массивом УНТ достаточно высока и изменяется в пределах от 25 до 38 дБ
142
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
(при толщине образца 1 мм в волноводе) в зависимости от взаимной ориентации вектора электрического поля волны и осей УНТ [3].
Рис. 1. Массив углеродных нанотрубок [1]
В этой связи актуальной является задача построения математической
модели электродинамического уровня строгости и разработки вычислительных алгоритмов, позволяющих рассчитать эффективную диэлектрическую
проницаемость нанокомпозитов в СВЧ-диапазоне.
1. Математическая модель
Нанокомпозит на основе массива периодической 3D-решетки ориентированных УНТ рассматриваем как периодическую 3D-наноструктуру
(рис. 2,а). Элементарная ячейка периодической 3D-наноструктуры моделируется автономным блоком, содержащим углеродную нанотрубку, и виртуальными каналами Флоке на гранях (ФАБ) (рис. 2,б).
Сложная структура наноматериала требует определения дескриптора
ФАБ, содержащего УНТ. Дескриптор (в линейном приближении в виде матрицы рассеяния R или проводимости Y) ФАБ определяем из решения краевой
3D-задачи дифракции проекционным методом Галеркина.
Построим вычислительный алгоритм решения краевой 3D-задачи дифракции для определения матрицы проводимости Y ФАБ в виде прямоугольного параллелепипеда, содержащего УНТ (рис. 3).
Запишем систему уравнений для областей ФАБ, используя кусочнонеоднородную функцию заполнения полости ФАБ (прямоугольного параллелепипеда):


rot H = i ωε E ,
(1)



rot E = −i ωμ0 H ,
где
ε, в Vунт ,
ε = 
ε0 , в V0 − Vунт ,
Physical and mathematical sciences. Physics
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 
ε – диэлектрическая проницаемость УНТ; E , H – векторы напряженности
электрического и магнитного поля; ε0 , μ0 – электрическая и магнитная
постоянные.
2r
1
c
Δ
l
b
a
а)
б)
Рис. 2. Расчетная схема математической модели композита на основе углеродных
нанотрубок: а – периодическая 3D-структура композита; б – моделирование
ячейки периодической 3D-наноструктуры автономным блоком с каналами Флоке:
1 – углеродные нанотрубки; a, b, c – геометрические размеры ФАБ
x6
y6
y5
o5
Vунт
S6
o6
y4
x4
z6
o4
z4
S4
y2
S5
z5
x5
V0
y1
x1
S2
S1
z1
o1 y3
S3
x3
z3
o3
z2
o2
x2
Виртуальные
каналы Флоке
Рис. 3. Автономный блок в виде прямоугольного параллелепипеда,
содержащего УНТ, и виртуальными каналами Флоке на гранях:
V0 – основная область ФАБ, Vунт – область УНТ,
oα xα yα zα (α = 1, 2,...,6) – локальные системы координат для сечений Sα
144
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
Построим проекционную модель [4] для системы дифференциальных
уравнений (4). Сформулируем вспомогательную краевую задачу на собственные значения (частоты) [4] для прямоугольного резонатора с геометрическими размерами основной области ФАБ (область V0 на рис. 3):


rot H k = i ωk ε0 Ek ; 
(2)

  в области V0 ,
rot Ek = − i ωk μ0 H k 




Ek ( S1 ) = Ek ( S4 ), H k ( S1 ) = H k ( S4 ); 





Ek ( S2 ) = Ek ( S5 ), H k ( S2 ) = H k ( S5 );  на гранях,





Ek ( S3 ) = Ek ( S6 ), H k ( S2 ) = H k ( S6 ) 
 
где ωk – собственные частоты резонатора; Ek , H k – собственные электрические и магнитные поля (собственные функции) резонатора.
 
Система собственных функций Ek , H k состоит из соленоидальной
 
 
Ekc′ , H kc′ и потенциальной подсистем Ekп′′ , H kп′′ [4]. Индекс k определен на
{
{
{
}
}
}
множестве индексов k ′ и k ′′ .
Собственные функции ортогональны и нормированы:
 
 
μ0 H k∗ ⋅ H n dV = ε0 Ek∗ ⋅ En dV = δkn .


V0
(3)
V0
Запишем выражения для собственных электромагнитных волн виртуальных каналов Флоке ФАБ [5]:



Ek± α = ek α ± ekz α exp ±i Γ k ( α ) zα ;
)
( ( ) ( )) (



H
= ±h
±h
exp ( ±iΓ ( ) z ) ;
( ) ( ( )
( ))
( )
±
k α
k α
z
k α
k α
α
(4)
k = 1, 2, ..., ∞; α = 1, 2, ...,6;


где k – номера мод собственных волн каналов Флоке; ek α , hk α – попе( )
( )

речные электрические и магнитные компоненты собственных волн; ekz α ,
( )
z
hk α – продольные электрические и магнитные компоненты собственных
( )
волн; Γ k ( α ) – постоянные распространения собственных волн.
Поперечные электрические и магнитные компоненты собственных волн
каналов Флоке образуют полную систему ортогональных функций


ek (α ) , hk (α ) [2]. Любое поперечное электромагнитное поле на входных се-
{
}
чениях Sα автономного блока представляем в виде разложения по этим систе

мам ek (α ) , hk (α ) в ортогональные ряды Фурье:
{
}
Physical and mathematical sciences. Physics
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
∞


ak ( α ) ek ( α ) ,
 Eα =

k =1
α = 1, 2, ... ,6,

∞


 H α = bk ( α ) hk ( α ) ,
k =1


(5)

где ck+ α , ck−( α ) – амплитуды падающих и отраженных волн.
( )
Из рядов Фурье (5) и их нормировки [2]


0, k ≠ n,

ek ( α ) × hn∗( α ) ⋅ dSα = 
1, k = n,
Sα
(
)
(6)
следуют следующие интегральные выражения:



ak (α ) = ( Eα × hk∗(α ) ) ⋅ dSα ;

(7)
Sα
bk (α ) =
∗


 (ek (α) × H α ) ⋅ dSα .
(8)
Sα
Выражения (7), (8) являются интегральными краевыми условиями на
гранях автономного блока и известны в электродинамике [4] как условия неасимптотического излучения.
Используя краевую задачу на собственные значения (2), тождество век  

 
торного анализа brot a − a rot b = rot (a × b ) , формулу Остроградского – Гаусса
и условие неасимптотического излучения (8), запишем для системы уравнений (1) проекционную интегральную модель:
 6

 
 
 
( E × H k∗ ) ⋅ dSβ = − i ωk ε0 E ⋅ Ek∗ dV − i ωμ0 H ⋅ H k∗ dV ,

β=1 S
V0
V0
β

 6

 
 
 

( H × Ek∗ ) ⋅ dSα = iω ε E ⋅ Ek∗ dV + i ωk μ0 H ⋅ H k∗ dV ,

β=1 Sβ
V0
V0




b
(eq (α ) × H α∗ ) ⋅ dSα ,
q (α) =

Sα







(9)

k = 1, 2,...N 0 , q = 1, 2,...N α , α = 1, 2,...,6 , где N 0 – количество базисных функций в области автономного блока; N α – количество базисных функций на
гранях автономного блока.
Решение краевой задачи ищем в виде линейной комбинации по систе

мам функций Еn , H n (собственные функции прямоугольного резонато

ра), el β , hl β (собственные функции каналов Флоке).
{ } { }
{ ( )} { ( )}
146
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
В области V0 ФАБ (рис. 3):
 N0

 N0

E=
an En , H = bn H n .


n =1
(10)
n =1
На гранях Sβ (β = 1, 2,...,6) ФАБ:
Nβ
Nβ




Eβ = al (β) el (β) , H β = bl (β) hl (β) .


l =1
(11)
l =1`
Подставляя (10) и (11) в (9), получаем следующую систему алгебраических уравнений:
 A ⋅ a + B ⋅ b = −L ⋅ a,

D ⋅ a + U ⋅ b = 0,


 W ⋅ b = b,
(12)
где A, B, D, U, W, L – матрицы с элементами:
Akn = i ωk δ kn , Bkn = i ωδkn ,
 


 i ω ε Enc′ ⋅ Ekc′∗ dV i ω ε Enп′′ ⋅ Ekc′∗ dV

V0
 V0
Dkn = 
 c  п∗
 п  п∗
 i ω ε En′ ⋅ Ek ′′ dV i ω ε En′′ ⋅ Ek ′′ dV
 V
V0
0





6



 i ωk ′δk ′n′ −
( H nc′ × Ekc′∗ ) ⋅ dSβ

β=1 Sβ
U kn = 

6


 i ωk ′′δk ′′n′ −
( H nc′ × Ekп′′∗ ) ⋅ dSβ

β=1 Sβ

6




,






i ωk ′δ k ′n′′ −
  ( H nп′′ × Ekc′∗ ) ⋅ dSβ 

,

 п  п∗
i ωk δ kn −
( H n′′ × Ek ′′ ) ⋅ dSβ 

β=1 Sβ

β=1 Sβ
6







Wq (α ) n =  (eq (α ) × H nc′∗ ) ⋅ dSα
(eq (α ) × H nп′′∗ ) ⋅ dSα  ,


Sα
 Sα


 (el (β) × H kc′∗ ) ⋅ dSβ 


 Sβ

Lkl (β) =  
 п∗
 , k = 1, 2,...N 0 , q = 1, 2,...Nα , α = 1, 2,...,6 .
 (el (β) × H k ′′ ) ⋅ dSβ 
 Sβ







Компонентами векторов a , b , a, b являются коэффициенты рядов
Фурье (10) и (11), которые равны {an } , bn , al (β) , bl (β) .
{ } {
Physical and mathematical sciences. Physics
} {
}
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Исключая векторы a , b из системы линейных алгебраических уравнений (12), получаем
(
b = W ⋅ A ⋅ D−1 ⋅ U − B
)
−1
⋅L ⋅a ,
(13)
⋅L .
(14)
откуда следует матрица проводимости ФАБ:
(
Y = W ⋅ A ⋅ D−1 − B
)
−1
2. Методика и результаты электродинамического расчета
эффективной диэлектрической проницаемости нанокомпозита
на основе углеродных нанотрубок
Геометрия задачи – направление распространения волнового процесса
и электродинамическая модель нанокомпозита на основе массива – периодической 3D-решетки ориентированных УНТ, который рассматриваем как квазипериодическую 3D-наноструктуру с геометрическими размерами ячейки
a, b, c (рис. 3).
Свободный электромагнитный процесс, в 3D-периодической наноструктуре (рис. 4) подчинен теореме Флоке [4] в форме




E ( x + a, y, z ) = E ( x, y, z ) exp( −iϕ x ) , H ( x + a, y, z ) = H ( x, y, z )exp( −iϕ x ) ,




E ( x, y + b, z ) = E ( x, y, z ) exp(−iϕ y ) , H ( x, y + b, z ) = H ( x, y, z ) exp(−iϕ y ) ,




E ( x, y, z + c) = E ( x, y, z )exp(−iϕ z ) , H ( x, y, z + c) = H ( x, y, z ) exp(−iϕ z ) , (15)
где ϕ x = Γ n a cos β x , ϕ y = Γ n b cos β y , ϕ z = Γ n c cos β z ; β x , β y , β z – углы ориентации направления распространения волнового процесса.

k
y
βy
βz
z
βx
x
o
а)
б)
Рис. 4. Электродинамическая модель нанокомпозита на основе периодической
3D-решетки ориентированных УНТ: а – направление распространения волнового
процесса с волновым вектором k; б – периодическая 3D-наноструктура
148
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
Ячейку периодической 3D-наноструктуры моделируем ФАБ с дескриптором в виде матрицы проводимости Y. Для матрицы проводимости ФАБ
(14) справедливо выражение
b = Y ⋅a ,
(16)
где векторы a и b составлены соответственно из коэффициентов an(β) и
bk (α ) ( α, β = 1, 2,...6; k , n = 1, 2,... N α,β ) рядов Фурье (5). Тогда условия теоремы Флоке (15) принимают следующий вид:
an (4) = an(1) exp( −iϕ x ),


an (6) = an(3) exp(−iϕ z ),

bk (5) = bk (2) exp(−iϕ y ),

an(5) = an(2) exp(−iϕ y ),
bk (4) = bk (1) exp(−iϕ x ),
(17)
bk (6) = bk (3) exp(−iϕ z ), k , n = 1, 2,... N α,β .
Подставляя (17) в (16), получаем характеристическое уравнение для
определения постоянных распространения Γ n волн в периодической 3Dнаноструктуре на основе периодической 3D-решетки ориентированных УНТ:
Δ(Γ n ) = YΑΑ − H −1 ⋅ YΒΑ + YΑΒ ⋅ H − H −1 ⋅ YΒΒ ⋅ H = 0 ,
(18)
где Δ (Γ n ) – определитель матрицы; YΑΑ , YΒΑ , YΑΒ , YΒΒ – клетки матрицы
Y 
Y
проводимости Y =  ΑΑ ΑΒ  ( Α , Β – индексы входных сечений ФАБ
 YΒΑ YΒΒ 
 hx

S1 , S2 , S3 и S4 , S5 , S6 соответственно); H =  0

0
0 0 

hy 0  – диагональная мат
0 hz 
рица с элементами:
hx (l j ) = −i δl j Γ n a cos β x , hy (l j ) = −i δl j Γ n b cos β y , hz (l j ) = −i δl j Γ n c cos β z .
Предметом исследования в периодической 3D-наноструктуре является
нулевая пространственная гармоника, которой соответствует постоянная распространения волны Γ0 .
Методика определения комплексной эффективной диэлектрической
проницаемости нанокомпозитов на основе массивов УНТ базируется на теории эффективной среды: постоянные распространения волн в неограниченной сплошной среде совпадают с аналогичными постоянными распространения волн в периодической 3D-наноструктуре. В этом случае комплексная
эффективная диэлектрическая проницаемость определяется следующим
образом:
εΣ =
Γ02
ω2μ0
Physical and mathematical sciences. Physics
.
(19)
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
На рис. 5, 6 показаны результаты расчета частотных зависимостей комплексной диэлектрической проницаемости нанокомпозита на основе периодической 3D-решетки ориентированных УНТ для ориентации вектора напряженности электрического поля Е волны параллельно (рис. 5) и ортогонально
(рис. 6) оси УНТ при различном соотношении ν объема УНТ к общему объему
композита (выбор периода решетки a, b – выполнение этого соотношения).
εΣ = ε′Σ − iε′′Σ
8
ν = 0, 25 a = b = 28,5нм
7
3
Em
k
4
Hm
6
5
ε′Σ
4
3
ε′Σ
2
1
2
1
2
3
2.5
3.5
4
4.5
ε Σ = ε′Σ − iε′′Σ
5
f , ГГц
ν = 0, 2 a = b = 31,0нм
4
ε′Σ
3
2
ε′′Σ
1
1
2
3
2
2.5
4
3
3.5
4
4.5
f , ГГц
Рис. 5. Частотные зависимости действительной и мнимой частей комплексной
диэлектрической проницаемости нанокомпозита на основе периодической
3D-решетки ориентированных УНТ при различном соотношении ν объема УНТ
к общему объему композита для ориентации вектора электрического поля Е волны
параллельно оси УНТ: Δ = 3 нм, 2r = 25 нм, l = 1000 нм, с = 1025 нм;
Em , Н m – ориентация электрического и магнитного полей квази-ТЕМ волны;
кривая 1 – ε УНТ = 62 , σ УНТ = 2,5 Ом −1м −1 ; кривая 2 – ε УНТ = 62 ,
σ УНТ = 5,0 Ом −1м −1 ; кривая 3 – ε УНТ = 62 , σ УНТ = 7,5 Ом −1м −1 ;
кривая 4 – ε УНТ = 62 , σ УНТ = 10,0 Ом −1м −1
150
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
εΣ = ε′Σ − iε′′Σ
3
ν = 0,15 a = b = 37,0нм
2.5
ε′Σ
2
1.5
1
0.5
3
2
1
ε′′Σ
5
2.5
2
3
3.5
4
4.5
ε Σ = ε′Σ − iε′′Σ
1.6
ε′Σ
1.4
ν = 0,1 a = b = 45,0нм
1 2 3 4
1.2
f , ГГц
1
0.8
0.6
ε′′Σ
0.4
0.2
2
2.5
3
4
3.5
4.5
f , ГГц
εΣ = ε′Σ − iε′′Σ
1.2
ε′Σ
1
ν = 0,05 a = b = 64,0нм
0.8
0.6
1
2
3
4
0.4
0.2
ε′′Σ
2
2.5
3
3.5
4
4.5
f , ГГц
Рис. 5. Окончание
Physical and mathematical sciences. Physics
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Как следует из результатов математического моделирования (рис. 5, 6),
величина ослабления излучения в СВЧ-диапазоне достаточно высока, что
связано с хорошей электропроводностью УНТ.
ε Σ = ε′Σ − iε′′Σ
7
Hm
ν = 0, 25 a = b = 28,5нм
6
3
k
Em
4
5
ε′Σ
4
3
2
ε′Σ
1
1
2
2
3
2.5
3.5
4
4.5
f , ГГц
εΣ = ε′Σ − iε′′Σ
5
ν = 0, 2 a = b = 31,0нм
4
ε′Σ
3
2
1
1
2
3
2
2.5
ε′′Σ
4
3
3.5
4
4.5
f , ГГц
Рис. 6. Частотные зависимости действительной и мнимой частей
комплексной диэлектрической проницаемости нанокомпозита
на основе периодической 3D-решетки ориентированных УНТ
при различном соотношении ν объема УНТ к общему
объему композита для ориентации вектора электрического поля Е
волны ортогонально оси УНТ: Δ = 3 нм, 2r = 25 нм,
l = 1000 нм, с = 1025 нм; кривая 1 – ε УНТ = 62 , σ УНТ = 2,5 Ом −1м −1 ;
кривая 2 – ε УНТ = 62 , σ УНТ = 5,0 Ом −1м −1 ; кривая 3 – ε УНТ = 62 ,
σ УНТ = 7,5 Ом −1м −1 ; кривая 4 – ε УНТ = 62 , σ УНТ = 10,0 Ом −1м −1
152
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
εΣ = ε′Σ − iε′′Σ
3
ν = 0,15 a = b = 37,0нм
2.5
ε′Σ
2
1.5
1
0.5
2
1
3
ε′′Σ
5
2.5
2
3
3.5
4
4.5
εΣ = ε′Σ − iε′′Σ
1.6
f , ГГц
ε′Σ
1.4
ν = 0,1 a = b = 45,0нм
1.2
12 3 4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
ε′′Σ
2
2.5
3
4
3.5
4.5
f , ГГц
εΣ = ε′Σ − iε′′Σ
1.2
ε′Σ
1
ν = 0,05 a = b = 64,0нм
0.8
0.6
1
2
3
4
0.4
0.2
ε′′Σ
2
2.5
3
3.5
4
4.5
f , ГГц
Рис. 6. Окончание
Physical and mathematical sciences. Physics
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Как видно из графиков (рис. 5, 6), чем выше проводимость УНТ и соотношение ν объема УНТ к общему объему композита, тем больше мнимая
часть комплексной диэлектрической проницаемости нанокомпозита ε′′Σ , и,
следовательно, выше степень ослабления электромагнитного излучения за
счет поглощения. Для массива УНТ ослабление зависит от взаимной ориентации вектора напряженности электрического поля Em волны и осей углеродных нанотрубок: при параллельной (рис. 5) ориентации в сравнении с ортогональной (рис. 6) ослабление СВЧ излучения увеличивается.
Список литературы
1. Д ь я ч к о в , П . Н . Углеродные нанотрубки: строение, свойства, применения /
П. Н. Дьячков. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. – 294 c.
2. D e c r o s s a s , E . Carbon Nanotubes for Electromagnetic Compatibility Applications /
E. Decrossas, M. A. EL Sabbagh, V. F. Hanna and S. M. El-Ghazaly // Electromagnetic
Compatibility (EMC), IEEE International Symposium (6–10 Aug. 2012). – Pittsburgh,
PA, 2012. – P. 428–433.
3. В о в ч е н к о , Л. Л. Резонансный характер взаимодействия многослойных углеродных нанотрубок с излучением миллиметрового диапазона волн / Л. Л. Вовченко, Л. Ю. Мацуй, В. В. Олейник, В. Л. Лаунец, В. В. Загородний, Ф. Ле Норманд //
Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології. – 2011. – Т. 9, № 4. – С. 759–769.
4. Н и к о л ь с к и й , В. В. Проекционные методы в электродинамике / В. В. Никольский // Сборник научно-методических статей по прикладной электродинамике. –
М. : Высшая школа, 1977. – С. 4–23.
5. Г о л о в а н о в , О . А . Автономные блоки с виртуальными каналами Флоке и их
применение для решения прикладных задач электродинамики / О. А. Голованов //
Радиотехника и электроника. – 2006 – Т. 51, № 12. – С. 1423–1430.
References
1. D'yachkov P. N. Uglerodnye nanotrubki: stroenie, svoystva, primeneniya [Carbonic
nanotubes: structure, properties, application]. Moscow: BINOM. Laboratoriya znaniy,
2006, 294 p.
2. Decrossas E., EL Sabbagh M. A., Hanna V. F. and El-Ghazaly S. M. Electromagnetic
Compatibility (EMC), IEEE International Symposium (6–10 Aug. 2012). Pittsburgh,
PA, 2012, pp. 428–433.
3. Vovchenko L. L., Matsuy L. Yu., Oleynik V. V., Launets V. L., Zagorodniy V. V.,
Le Normand F. Nanosistemi, nanomaterіali, nanotekhnologіi [Nanosystems, nanomaterials, nanotechnologies]. 2011, vol. 9, no. 4, pp. 759–769.
4. Nikol'skiy V. V. Sbornik nauchno-metodicheskikh statey po prikladnoy elektrodinamike
[Collection of scientifical and methodological articles on applied electrodynamics].
Moscow: Vysshaya shkola, 1977, pp. 4–23.
5. Golovanov O. A. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and electronics].
2006, vol. 51, no. 12, pp. 1423–1430.
154
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Голованов Олег Александрович
доктор физико-математических
наук, профессор, кафедра
общепрофессиональных дисциплин,
Филиал Военного учебно-научного
центра сухопутных войск
«Общевойсковая академия Вооруженных
сил РФ» (Россия, г. Пенза-5)
Физико-математические науки. Физика
Golovanov Oleg Aleksandrovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of interprofessional disciplines, branch
of the Military Educational and Research
Center of the land forces “Combined Arms
Academy of the Armed Forces of RF”
(Penza-5, Russia)
E-mail: golovanovol@mail.ru
Макеева Галина Степановна
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра радиотехники
и радиоэлектронных систем, Пензенский
государственный университет (Россия,
г. Пенза, ул. Красная, 40)
Makeeva Galina Stepanovna
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department of radio
engineering and radio electronic systems,
Penza State University (40 Krasnaya street,
Penza, Russia)
E-mail: radiotech@pnzgu.ru
Ширшиков Дмитрий Николаевич
адъюнкт, филиал военной академии
материально-технического обеспечения
(Россия, г. Пенза-5)
Shirshikov Dmitriy Nikolaevich
Postgraduate student, branch of the Military
academy of maintenance supply (Penza-5,
Russia)
E-mail: shirshikov1981@mail.ru
Горлов Геннадий Геннадьевич
адъюнкт, филиал военной академии
материально-технического обеспечения
(Россия, г. Пенза-5)
Gorlov Gennadiy Gennad'evich
Postgraduate student, branch of the Military
academy of maintenance supply
(Penza-5, Russia)
E-mail: mitsubisi-gor82@mail.ru
УДК 538.95
Голованов, О. А.
Электродинамический расчет комплексной эффективной диэлектрической проницаемости нанокомпозитов на основе массивов углеродных нанотрубок в диапазоне сверхвысоких частот / О. А. Голованов,
Г. С. Макеева, Д. Н. Ширшиков, Г. Г. Горлов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2014. –
№ 1 (29). – С. 141–155.
Physical and mathematical sciences. Physics
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 544.022.342, 544.022.344.2
А. Б. Муралев, М. Ю. Тихончев, В. В. Светухин
МОЛЕКУЛЯРНО-ДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
КАСКАДОВ АТОМНЫХ СМЕЩЕНИЙ В СПЛАВЕ FeCr
Аннотация.
Актуальность и цели. Стали различных типов являются одними из наиболее
распространенных конструкционных материалов ядерных реакторов, планируется их широкое применение в разрабатываемых реакторах нового поколения и
реакторах термоядерного синтеза. Также в связи с возрастающими требованиями к способности материалов работать при повышенных температурах и дозных
нагрузках возникают задачи выбора и разработки новых конструкционных материалов с повышенной радиационной стойкостью. Несмотря на достаточно
большой опыт эксплуатации, вопросы достоверного теоретического описания и
предсказания поведения материалов под облучением остаются открытыми.
Материалы и методы. Моделирование каскадов атомных смещений в
сплаве FeCr с различными концентрациями хрома проводилось методом молекулярной динамики. Для описания межатомного взаимодействия была использована модифицированная версия многочастичного потенциала, предложенного А. Каро и др. и хорошо воспроизводящего кривую энтальпии смешения
случайного ферромагнитного сплава FeCr.
Результаты. Молекулярно-динамическое моделирование проведено в пяти
сплавах FeCr (Fe – 5ат.% Cr, Fe – 10ат.% Cr, Fe – 14ат.% Cr, Fe – 20ат.% Cr,
Fe – 25ат.% Cr) для температуры 300 К. Рассмотрению подлежали каскады
атомных смещений для энергий первично-выбитого атома 10 и 20 кэВ. На основе полученных результатов моделирования проведен количественный анализ образующихся радиационных дефектов, оценено содержание хрома в
междоузельных конфигурациях на момент затухания каскада. Также получены
результаты по кластеризации точечных дефектов в исследуемых сплавах при
первичном радиационном воздействии.
Выводы. Количество радиационных дефектов, образующихся на завершающей стадии развития каскадов атомных смещений для выбранных энергий
смещения, практически не зависит от содержания хрома в исходной матрице
сплава; концентрация атомов хрома в междоузельных конфигурациях превосходит исходную концентрацию хрома в матрице от 1,6 до 2 раз, увеличение
доли хрома в сплаве приводит к постепенному уменьшению его концентрации
междоузлиях; доля кластеризованных вакансий с учетом погрешностей практически равна доле кластеризованных междоузельных конфигураций для всех
рассмотренных случаев.
Ключевые слова: каскады атомных смещений, метод молекулярной динамики, пара Френкеля.
A. B. Muralev, M. Yu. Tikhonchev, V. V. Svetukhin
MOLECULAR-DYNAMIC SIMULATION OF ATOMIC
DISPLACEMENT CASCADES IN FECR ALLOY
Abstract.
Background. High-chromium ferritic–martensitic steels and austenitic steels are
primary candidates to be structural materials for present nuclear reactors and future
fusion power plants. Increasing demands to the material’s ability to be used at high
156
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
temperatures and radiation doses raise a problem of development of new radiationresistant structural materials. Despite considerable experience in exploitation of
such materials, the problems of providing reliable theoretical description and prediction of material’s behavior under irradiation still remain a great challenge.
Materials and methods. The simulation of atomic displacement cascades was
performed using MD method in FeCr alloy with different Cr concentration. To describe the interatomic interaction the authors used a modified version of many-body
interatomic potential, proposed by Caro et al. and well reproducing the mixing enthalpy curve in random ferromagnetic FeCr alloy.
Results. The MD simulation was performed at 300 К for five alloys: FeCr
(Fe-5at.%Cr, Fe-10at.%Cr, Fe-14at.%Cr, Fe-20at.%Cr, Fe-25at.%Cr). The atomic
displacement cascades are considered for the PKA of 10 and 20 keV. The obtained
simulation results allowed to perform a quantitative analysis of produced radiationinduced defects and evaluate Cr concentration in interstitial configurations at the final cascade stage. The results of point defect clusterization induced by the primary
radiation damage were obtained for alloys under consideration.
Conclusions. The performed simulation revealed: 1) the number of radiationinduced defects formed at the final cascade stage for the selected displacement energies is almost independent of Cr concentration in initial matrix of the alloy; 2) Cr
concentration in interstitial configurations is 1.6–2 times higher than the initial Cr
concentration in the matrix. Increasing Cr fraction in the alloy results in a gradual
decrease of Cr concentration in interstitials; 3) the part of clustered vacancies is almost equal (within errors in calculations) to the fraction of clustered interstitial configurations for all cases under consideration.
Key words: atomic displacement cascades, molecular dynamics, Frenkels pair.
Введение
В настоящее время одними из перспективных конструкционных материалов для проектируемого реактора синтеза ITER являются ферритомартенситные RAFM-стали с быстроспадающей наведенной активностью
7–10 % Cr–WVTa [1–3]. Известно, что нейтронное облучение инициирует
атомные смещения, которые ведут к упрочнению таких сталей [4]. В последние годы опубликовано достаточно большое количество работ, посвященных
изучению процессов первичного радиационного повреждения сплавов Fe-Cr
(см., например работы [5–10]).
Целью настоящей работы является определение ряда параметров первичной радиационной повреждаемости в сплавах FeCr с учетом процессов
рекомбинации и кластеризации точечных дефектов в каскадах смещений для
широкого диапазона изменения концентраций Cr в сплаве. Моделирование
проведено для пяти сплавов с различным содержанием хрома: Fe – 5 ат.% Cr,
Fe – 10 ат.% Cr, Fe – 14 ат.% Cr, Fe – 20 ат.% Cr, Fe – 25 ат.% Cr при температуре 300 К.
1. Межатомное взаимодействие
Для атомистического моделирования сплава FeCr был выбран многочастичный потенциал межатомного взаимодействия, предложенный в работе
[11]. Этот потенциал хорошо воспроизводит кривую энтальпии смешения
случайного ферромагнитного сплава FeCr, в том числе и в области низких
концентраций хрома, где энтальпия отрицательна. Согласно этому потенциалу полная потенциальная энергия системы из N атомов определяется как
Physical and mathematical sciences. Physics
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 


 FTi  ρTj ( rij )  + 1 hTiTj ( xij )VTiTj (rij ) ,
 

 2 j ≠i
i =1 
 j ≠i


N
Etot =



(1)
где Etot – полная потенциальная энергия системы; Ti – тип i -го атома: Fe
или Cr; ρTi – собственная электронная плотность атома Ti как функция расстояния до его центра; FTi – функция внедрения; rij – расстояние между атоV
+ VCrCr
, hTiT j ( x) = 1 ,
мами i и j ; VTiT j (rij ) – парный потенциал; VFeCr = FeFe
2
если Ti = T j , иначе hTiT j ( x) – полином Редлиха – Кистера четвертой степени,
Fe
1  ρiFe ρ j 
,
+
xij =

2  ρtot
ρtot
j 
 i
(2)
где ρiFe – вклад в электронную плотность в узле i ( ρtot
i ) только от атомов
железа.
Потенциалы для взаимодействий Fe-Fe и Cr-Cr взяты авторами [11] из
работ [12] и [8] соответственно. Параметры полинома hTiT j ( x) были подобраны
так, чтобы близко воспроизвести кривую энтальпии смешения случайного ферромагнитного сплава Fe-Cr, рассчитанную методом ab initio из работы [13].
В данной работе вышеупомянутый потенциал межатомного взаимодействия использовался в несколько модифицированном виде, предложенном
в работе [6]. Во-первых, потенциал для железа взят из более поздней работы
[14]. Во-вторых, в силу моделирования каскадов атомных смещений модифицирована репульсивная часть потенциала для взаимодействий Fe-Cr при относительно небольших (<1 Å) межатомных расстояниях. Для чего слагаемое
hFeCr ( x)VFeCr (r ) в формуле (1) заменено следующей функцией:
mod
VFeCr ( x, r ) = h( x)VFeCr
(r ) + V (r ) ,
(3)
r > r0 ,
VFeCr ( r ),
mod
VFeCr
(r ) =  3
2
cr + dr , 0 < r ≤ r0 ,
(4)
 Z1Z 2 e 2  r 
Φ   , 0 < r ≤ r1 ,

V (r ) =  4πε0 r  a 

3 βr
 α(r − r2 ) e , r1 < r ≤ r2 ,
(5)
где
V (r ) – экранированный кулоновский парный потенциал для r < r1 .
Длина экранирования a определена согласно работе [15], а функция
Φ( x) – в соответствии с подходом Циглера, Берсака и Литтмарка [16]. Коэффициенты c, d , α и β подбираются из условия непрерывности соответ-
158
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
ствующих функций и их первых производных; r1 = 1 Å, r0 и r2 – подгоночные параметры. Подгонка проведена под энергии связи смешанных FeCr гантелей внедрений с ориентацией <110> и <111>, рассчитанных Ольссоном
и др. [17] методом ab initio. Полученные значения r0 и r2 составили 2,22815
и 1,9664 Å соответственно.
2. Моделирование каскадов атомных смещений в сплаве FeCr
Молекулярно-динамическое моделирование первичного радиационного
повреждения бинарного неупорядоченного ОЦК-сплава FeCr проведено для
пяти различных концентраций хрома: 5, 10, 14, 20 и 25 %.
Изначально все моделируемые микрокристаллиты (общее количество
атомов ≈ 106) были отрелаксированы при температуре 300 К и нулевом давлении в течение 30 пс с шагом интегрирования 1 фс.; далее одному из атомов
придавался импульс в соответствии с заданной кинетической энергией
в направлении < 135 > . Всего рассмотрено две энергии первично выбитого
атома (ПВА): 10 и 20 кэВ. Расчеты проводились с неравномерным шагом по
времени, который выбирался так, чтобы он не превосходил 1 фс и чтобы
за один шаг по времени атом с максимальной кинетической энергией смещался не более, чем на 0,02 Å. Время моделирования каскадов атомных
смещений составило около 30 пс., что позволило рассмотреть все стадии
развития каскада. При моделировании использованы периодические граничные условия.
На стадии остывания каскада для каждого микрокристаллита проводился подсчет образующихся радиационных дефектов. Для этого каждому
узлу i идеальной кристаллической решетки ставится в соответствие ячейка
Вигнера – Зейца Ci , которая определяется как множество всех точек пространства, расстояние от которых до узла i (с учетом периодических граничных условий) меньше или равно расстоянию до любого другого узла решетки. Обобщения подобных ячеек известны в математике и физике под названиями ячеек Дирихле и полиэдров Вороного. Отсутствие атомов в ячейке Ci
трактуется как вакансия в узле i , попадание более одного атома в ячейку Ci
трактуется как наличие внедрений вблизи узла i. Число дефектов определяется как общее количество ячеек Вигнера – Зейца, не содержащих ни одного
атома материала. Пример развития дефектной структуры приведен на рис. 1.
Моделирование каскадов атомных смещений в сплаве FeCr показало,
что на завершающей стадии каскадов общее число «выживающих» точечных
дефектов кристаллической решетки для одной и той же энергии ПВА (рис. 2)
изменяется незначительно с ростом концентрации атомов хрома в исходной
матрице. Для EПВА = 10 кэВ количество точеных дефектов приблизительно
равно 50∗, для EПВА = 20 кэВ – практически в 2 раза больше, т.е. ≈90. Максимальное число радиационных дефектов образуется при энергии EПВА = 20 кэВ
в сплаве Fe – 25 ат.% Cr (≈110 дефектов).
Для рассмотренных энергий ПВА содержание атомов хрома в междоузельных конфигурациях (рис. 3) превышает исходное содержание хрома
∗
Здесь и далее приводятся статистические погрешности, соответствующие доверительной вероятности p = 0,67 (1σ) для выборочного среднего.
Physical and mathematical sciences. Physics
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
в матрице приблизительно в 2 раза для сплавов с процентным содержанием
Cr от 5–14 и ≈ 1,6 раза для 20, 25 % Cr.
Рис. 1. Пример развития каскадов атомных смещений в бинарном сплаве
Fe – 10 ат.% Cr (светлыми окружностями показаны вакансии, темными –
собственные междоузельные конфигурации)
160
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
Количество "выживающих" пар
Френкеля
60
Eпва=10 кэВ
Eпва=20 кэВ
55
50
45
40
35
30
25
20
15
0
5
10
15
20
25
Содержание атомов Cr в матрице, %
30
Содержание атомов Cr
междоузельных конфигурациях, %
Рис. 2. Количество пар Френкеля на завершающей стадии каскадов
атомных смещений в зависимости от концентрации атомов Cr в матрице
Eпва=10 кэВ
Eпва=20 кэВ
38
33
28
23
18
13
8
0
5
10
15
20
Содержание атомов Cr в матрице, %
25
30
Рис. 3. Содержание атомов Cr в образующихся междоузельных
конфигурациях в зависимости от концентрации атомов Cr в матрице
Наблюдаемый эффект объясняется тем, что формирование междоузельных конфигураций смешанного типа энергетически предпочтительнее
конфигураций, состоящих из атомов одного сорта. В работе [6] авторами были исследованы каскады атомных смещений в бинарном сплаве Fe – 9 ат.% Cr
при температуре 600 К для энергий ПВА 0,1, 0,5, 1, 2, 5, 10, 15 и 20 кэВ;
оценка доли атомов Cr в междоузлиях в среднем составила ≈ 22 %, что количественно согласуется с аналогичным результатом для Fe – 9 ат.% Cr данной
работы.
Physical and mathematical sciences. Physics
161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Количество точечных дефектов,
связанных в кластеры, %
Наряду с оценками числа «выживающих» дефектов также были получены оценки количества, размеров вакансионных и междоузельных кластеров, остающихся в кристаллите после затухания каскада. Дефекты одного типа считали принадлежащими одному кластеру, если соответствующие им узлы решетки находятся на расстоянии не далее вторых ближайших соседей
(2nn) для вакансий и третьих (3nn) ближайших соседей для междоузельных
конфигураций.
Для каждого из всех рассмотренных случаев количество междоузельных конфигураций, объединенных в кластеры, оказалось в среднем равным
количеству кластеризованных вакансий. Оценки фракций кластеризованных
точечных дефектов для рассмотренных концентрации атомов Cr в матрице
представлены на рис. 4.
100
Eпва=10 кэВ
90
Eпва=20 кэВ
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
Содержание атомов Cr в матрице, %
30
Рис. 4. Доля кластеризованных точечных дефектов
в зависимости от концентрации атомов Cr в матрице
От 30 до 50 % «выживающих» точечных дефектов на завершающей
стадии каскадов атомных смещений связаны в кластеры. Для энергии первично-выбитого атома 10 кэВ наблюдается увеличение доли кластеризованных дефектов до 1,5 раз по сравнению с энергией 20 кэВ. При этом только
в сплавах Fe – 10 ат.% Cr и Fe – 25 ат.% Cr для обеих энергий ПВА кластеризуется равная с учетом погрешности доля радиационных дефектов.
С увеличением энергии первично выбитого атома наблюдается увеличение среднего размера кластеров точечных дефектов (рис. 5, 6). Размер кластеров с учетом погрешностей практически не зависит от состава сплава, за
исключением Fe – 14 ат.% Cr, для которого при энергии первично выбитого
атома 20 кэВ средний размер кластеров междоузельных конфигураций превосходит размер вакансионных кластеров примерно в 1,5 раза.
162
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
6
Вакансионные кластеры
Средний размер кластеров
5
Междоузельные кластеры
4
3
2
1
0
0
10
20
Содержание атомов Cr в матрице, %
30
Рис. 5. Средний размер кластеров в зависимости
от концентрации атомов Cr в матрице ( EПВА = 10 кэВ)
Средний размер кластеров
6
Вакансионные кластеры
Междоузельные кластеры
5
4
3
2
1
0
0
10
20
Содержание атомов Cr в матрице, %
30
Рис. 6. Средний размер кластеров в зависимости
от концентрации атомов Cr в матрице ( EПВА = 20 кэВ)
Заключение
В представленной работе путем молекулярно-динамического моделирования рассмотрены процессы первичного радиационного повреждения пяPhysical and mathematical sciences. Physics
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ти сплавов FeCr с различным содержанием хрома в матрице. Моделирование
проведено при температуре 300 К для двух энергий первично выбитого атома: 10 и 20 кэВ. В расчетах был использован многочастичный потенциал
межатомного взаимодействия.
Результаты проведенных расчетов позволили установить, что для энергий первично выбитого атома 10 и 20 кэВ общее число радиационных дефектов, образующихся на завершающей стадии развития каскадов атомных смещений, практически не зависит от содержания хрома в исходной матрице
сплава. Для энергии EПВА = 10 кэВ число «выживающих» точечных дефектов в среднем равно 50, для энергии EПВА = 20 кэВ составляет в среднем
90 точечных дефектов.
Концентрация атомов хрома в междоузельных конфигурациях во всех
рассмотренных микрокристаллитах для обеих энергий ПВА превосходит исходную концентрацию хрома в матрице от 1,6 до 2 раз. При этом увеличение
доли хрома в сплаве приводит к постепенному уменьшению его концентрации в собственных междоузельных конфигурациях.
В целом доля кластеризованных точечных дефектов для энергии первично-выбитого атома 10 кэВ оказалась немного выше и составила ≈45 %, по
сравнению с каскадами с энергией ПВА 20 кэВ. Более детальный анализ образования кластеров дефектов показал, что во всех рассмотренных сплавах
доля кластеризованных вакансий с учетом погрешностей практически равна
доле кластеризованных междоузельных конфигураций.
Также в работе оценен средний размер вакансионных и междоузельных
кластеров, образующихся после затухания каскадов. Размер кластеров вакансий практически совпадает с размером междоузельных кластеров. Исключением является сплав Fe – 14 ат.% Cr, в котором средний размер вакансионного кластера оказался меньше (примерно в 1,5 раза) для ПВА с энергией 20
кэВ и составляет 2,9 ± 0,2. При повышении энергии первично выбитого атома
увеличивается размер кластеров дефектов обоих типов около 1,3–1,4 раза.
Список литературы
1. G a g a n id ze , E . Mechanical properties and TEM examination of RAFM steels irradiated up to 70 dpa in BOR-60 / E. Gaganidze, C. Petersen, E. Materna-Morris,
C. Dethloff, O. J. Weiß, J. Aktaa, A. Povstyanko, A. Fedoseev, O. Makarov,
V. Prokhorov // J. Nucl. Mater. – 2011. – Vol. 417. – P. 93.
2. M a l e r b a , L . Multiscale modelling of radiation damage and phase transformations:
The challenge of FeCr alloys / L. Malerba, A. Caro, J. Wallenius // J. Nucl. Mater. –
2008. – Vol. 382. – P. 112–125.
3. M a t i j a s e v i c , M . Effect of Cr on the mechanical properties and microstructure of
Fe–Cr model alloys after n-irradiation / M. Matijasevic, A. Almazouzi // J. Nucl. Mater. –
2008. – Vol. 377. – P. 147–154.
4. M a n s u r , L . K . Materials needs for fusion, Generation IV fission reactors and spallation neutron sources – similarities and differences / L. K. Mansur, A. F. Rowcliffe,
R. K. Nanstad et al. // J. Nucl. Mater. –2004. – Vol. 329–333. – P. 166–172.
5. T e r e n t y e v , D . A . Displacement cascades in Fe-Cr. A molecular dynamics study /
D. A. Terentyev, L. Malerba, R. Chakarova, K. Nordlund, P. Olsson, M. Rieth,
J. Wallenius // J. Nucl. Mater. – 2006. – Vol. 349(1). – P. 119–132.
6. T i k h o n c h e v , M . MD simulation of atomic displacement cascades near chromiumrich clusters in FeCr alloy / M. Tikhonchev, V. Svetukhin, E. Gaganidze // J. Nucl. Mater. – 2013. – Vol. 442. – P. S618–S623.
164
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
7. M a l e r b a , L . Molecular dynamics simulation of displacement cascades in Fe–Cr alloys / L. Malerba, D. Terentyev, P. Olsson, R. Chakarova, J. Wallenius // J. Nucl. Mater. – 2004. – V. 329–333 (Part B). – P. 1156–1160.
8. Wallenius, J. Modeling of chromium precipitation in Fe-Cr alloys / J. Wallenius,
P. Olsson, C. Lagerstedt, N. Sandberg, R. Chakarova, V. Pontikis // Physical Review B. –
2004. – Vol. 69. – P. 94103-1–94103-9.
9. S h i m , J . - H . Molecular dynamics simulation of primary irradiation defect formation
in Fe–10 % Cr alloy / J.-H. Shim, H.-J. Lee, B. D. Wirth // J. Nucl. Mater. – 2006. –
Vol. 351. – P. 56–64.
10. T i k h o n c h e v , M . MD simulation of atomic displacement cascades in Fe–10 at. % Cr
binary alloy / M. Tikhonchev, V. Svetukhin, A. Kadochkin, E. Gaganidze // J. Nucl.
Mater. – 2009. – Vol. 395. – P. 50–57.
11. C a r o , A . Classical Many-Body Potential for Concentrated Alloys and the Inversion
of Order in Iron-Chromium Alloys / A. Caro, D.A. Crowson, M. Caro // Phys. Rev.
Lett. – 2005. – Vol. 95(7). – P. 4.
12. M e n d e l e v , M . I . Development of new interatomic potentials appropriate for crystalline and liquid iron / M. I. Mendelev, S. Han, D. J. Srolovitz, G. J. Ackland, D. Y. Sun,
M. Asta // Phil. Mag. – 2003. – Vol. 83. – P. 3977–3994.
13. O l s s o n , P . Ab initio formation energies of Fe-Cr alloys / P. Olsson, I. A. Abrikosov,
L. Vitos, and J. Wallenius // J. Nucl. Mater. – 2003. – Vol. 321. – P. 84–90.
14. A c k l a n d , G . J . Development of an interatomic potential for phosphorus impurities
in a-iron / G. J. Ackland, M. I. Mendelev, D. J. Srolovitz, S. W. Han, A. V. Barashev //
J. Phys.: Condens. Matter. – 2004. – Vol. 16. – P. 2629–2642.
15. B o h r , N . On the penetration of charged particles through matter / N. Bohr, Kgl.
Dansk, Vid. Selsk // Mat. Fys. Medd. – 1948. – Vol. 18. – P. 1–141.
16. Zie g l e r , J . F . The stopping and range of ions in solids / J. F. Ziegler, J. P. Biersack,
U. Littmark. – Vol. 1. – New York : Pergamon Press, 1985. – 321 р.
17. O l s s o n , P . Ab initio study of Cr interactions with point defects in bcc Fe / P. Olsson,
C. Domain, J. Wallenius // Phys. Rev. B. – 2007. – Vol. 75. – P. 014110-1–014110-12.
References
1. Gaganidze E., Petersen C., Materna-Morris E., Dethloff C., Weiß O. J., Aktaa J., Povstyanko A., Fedoseev A., Makarov O., Prokhorov V. J. Nucl. Mater. 2011, vol. 417,
p. 93.
2. Malerba L., Caro A., Wallenius J. J. Nucl. Mater. 2008, vol. 382, pp. 112–125.
3. Matijasevic M., Almazouzi A. J. Nucl. Mater. 2008, vol. 377, pp. 147–154.
4. Mansur L. K., Rowcliffe A. F., Nanstad R. K. et al. J. Nucl. Mater. 2004, vol. 329–333,
pp. 166–172.
5. Terentyev D. A., Malerba L., Chakarova R., Nordlund K., Olsson P., Rieth M., Wallenius J. J. Nucl. Mater. 2006, vol. 349 (1), pp. 119–132.
6. Tikhonchev M., Svetukhin V., Gaganidze E. J. Nucl. Mater. 2013, vol. 442, pp. S618–
S623.
7. Malerba L., Terentyev D., Olsson P., Chakarova R., Wallenius J. J. Nucl. Mater. 2004,
vol. 329–333 (Part B), pp. 1156–1160.
8. Wallenius J., Olsson P., Lagerstedt C., Sandberg N., Chakarova R., Pontikis V. Physical Review B. 2004, vol. 69, pp. 94103-1–94103-9.
9. Shim J.-H., Lee H.-J., Wirth B. D. J. Nucl. Mater. 2006, vol. 351, pp. 56–64.
10. Tikhonchev M., Svetukhin V., Kadochkin A., Gaganidze E. J. Nucl. Mater. 2009,
vol. 395, pp. 50–57.
11. Caro A., Crowson D. A., Caro M. Phys. Rev. Lett. 2005, vol. 95 (7), p. 4.
12. Mendelev M. I., Han S., Srolovitz D. J., Ackland G. J., Sun D. Y., Asta M. Phil. Mag.
2003, vol. 83, pp. 3977–3994.
Physical and mathematical sciences. Physics
165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
13. Olsson P., Abrikosov I. A., Vitos L. and Wallenius J. J. Nucl. Mater. 2003, vol. 321,
pp. 84–90.
14. Ackland G. J., Mendelev M. I., Srolovitz D. J., Han S. W., Barashev A. V. J. Phys.:
Condens. Matter. 2004, vol. 16, pp. 2629–2642.
15. Bohr N., Dansk Kgl., Selsk Vid. Mat. Fys. Medd. 1948, vol. 18, pp. 1–141.
16. Ziegler J. F., Biersack J. P., Littmark U. The stopping and range of ions in solids.
Vol. 1. New York: Pergamon Press, 1985, 321 p.
17. Olsson P., Domain C., Wallenius J. Phys. Rev. B. 2007, vol. 75, pp. 014110-1–014110-12.
Муралев Артем Борисович
аспирант, Ульяновский государственный
университет (Россия, г. Ульяновск,
ул. Льва Толстого, 42)
Muralev Artem Borisovich
Postgraduate student, Ulyanovsk State
University (42 Lva Tolstogo street,
Ulyanovsk, Russia)
E-mail: a.b.muralev@yandex.ru
Тихончев Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
начальник лаборатории компьютерного
моделирования неорганических
материалов, Научно-исследовательский
технологический институт
имени С. Капицы, Ульяновский
государственный университет
(Россия, г. Ульяновск,
ул. Льва Толстого, 42)
Tikhonchev Mikhail Yur'evich
Candidate of physical and mathematical
sciences, head of laboratory of computer
modeling of inorganic materials, Research
Technological Institute named after
S. Kapitsa, Ulyanovsk State University
(42 Lva Tolstogo street, Ulyanovsk, Russia)
E-mail: tikhonchev@sv.ulsu.ru
Светухин Вячеслав Викторович
доктор физико-математических наук,
профессор, директор научноисследовательского технологического
института имени С. Капицы,
Ульяновский государственный
университет (Россия, г. Ульяновск,
ул. Льва Толстого, 42)
Svetukhin Vyacheslav Viktorovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, director of Research
Technological Institute named after
S. Kapitsa, Ulyanovsk State University
(42 Lva Tolstogo street, Ulyanovsk, Russia)
E-mail: slava@sv.uven.ru
УДК 544.022.342, 544.022.344.2
Муралев, А. Б.
Молекулярно-динамическое моделирование каскадов атомных
смещений в сплаве FeCr / А. Б. Муралев, М. Ю. Тихончев, В. В. Светухин //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2014. – № 1 (29). – С. 156–166.
166
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
УДК 539.23; 539.216.1
В. Д. Кревчик, В. Н. Калинин, Е. Н. Калинин
ПОДВИЖНОСТЬ ЭЛЕКТРОНОВ В КВАНТОВОЙ
ПРОВОЛОКЕ С КРАЕВОЙ ДИСЛОКАЦИЕЙ
ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Аннотация.
Актуальность и цели. Технология выращивания квантовых проволок может сопровождаться возникновением дефектов упаковки и краевых дислокаций. Последние играют существенную роль в рассеянии носителей заряда при
достаточно низких температурах, а следовательно, оказывают значительное
влияние на транспортные свойства квантовых проволок. Во внешнем продольном магнитном поле появляются новые возможности для управления подвижностью носителей заряда в квантовой проволоке, что важно для приложений в полупроводниковой наноэлектронике. Цель работы заключается
в теоретическом исследовании влияния краевой дислокации на подвижность
электронов в квантовой проволоке во внешнем продольном магнитном поле,
а также в сравнении с влиянием других механизмов рассеяния.
Материалы и методы. Кривые зависимости времени релаксации от кинетической энергии налетающего на краевую дислокацию электрона в квантовой
проволоке при наличии внешнего магнитного поля построены для квантовой
проволоки из InSb. При расчете времени релаксации использовалась модель
Бонч-Бруевича и Когана и борновское приближение. Расчет подвижности выполнен для квантовой проволоки из GaAs.
Результаты. Показано, что для зависимости времени релаксации от кинетической энергии налетающего на краевую дислокацию электрона характерны
осцилляции, период которых в продольном магнитном поле уменьшается,
а величина времени релаксации увеличивается вследствие гибридного квантования. Найдено, что рассмотренный механизм рассеяния может быть существенным в сравнении с рассеянием на LA-фононах и на случайных неровностях границы квантовой проволоки, при этом температурный интервал его
эффективности определяется величиной вероятности заполнения акцепторных
центров в дислокационной линии.
Выводы. Зарядовое состояние дислокационной линии может существенно
влиять на ширину температурного интервала, в котором доминирует рассеяние электронов на краевой дислокации.
Ключевые слова: краевая дислокация, время релаксации, внешнее магнитное поле, квантовая проволока, подвижность электронов.
V. D. Krevchik, V. N. Kalinin, E. N. Kalinin
ELECTRON MOBILITY IN QUANTUM WIRE WITH EDGE
DISLOCATION IN EXTERNAL MAGNETIC FIELD
Abstract.
Background. Technology of quantum wire growing may be accompanied by occurrence of stacking fault and edge dislocations. The latter are very important in
scattering of charge carriers at considerably low temperatures, and therefore, significantly influence transporting properties of quantum wires. In a longitudinal magnetic field there appear new opportunities for charge carriers mobility control in a
quantum wire, which is important for applications in semiconductor nanoelectron-
Physical and mathematical sciences. Physics
167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ics. The study aims at theoretical research of the influence of edge dislocation on
electron mobility in a quantum wire in an external magnetic field, and also at comparison with influences of other mechanisms of scattering.
Materials and methods. For quantum wires of InSb the authors built curves of
dependency of relaxation time on kinetic energy directed to edge dislocation of an
electron in a quantum wire in condition of an external magnetic field. For calculation of relaxation time the model of Bonch-Bruevich and Kogan as well as Born approximation were used. Mobility calculation was performed for a quantum wire
made of GaAs.
Results. It is shown that for the dependecy of relaxation time on kinetic energy
directed to edge dislocation of an electron characteristic are the oscillations, the period of which in a longitudinal magnetic field decreases, and the value of relaxation
time increases due to hybrid quantization. It is revealed that the considered mechanism of scattering may be significant in comparison with scattering on LA-phonons
and on occasional irregularities of quantum wire boundary, with the temperature interval of its effectiveness being determined by the valueof probability of acceptor
centers filling in a dislocation line.
Conclusions. Charge state of a dislocation line may significantly influence the
range of the temperature interval, at which electron scattering predominates on edge
dislocation.
Key words: edge dislocation, relaxation time, external magnetic field, quantum
wire, electron mobility.
Введение
В последние годы заметно вырос интерес к исследованиям электронного транспорта в квантовых проволоках (КП). Одной из задач таких исследований является задача расчета температурной зависимости электропроводности КП, что важно для различных приложений в наноэлектронике. В работе
[1] было получено аналитическое выражение для электропроводности КП при
рассеянии невырожденных электронов проводимости продольными акустическими (LA) фононами матрицы. Было показано, что при независящей от
температуры концентрации носителей заряда сопротивление КП растет
с температурой более сильно, чем в объемном ковалентном полупроводнике
[1]. Авторами работы [2] теоретически исследовано влияние флуктуаций
толщины на подвижность электронов и статическую электропроводность КП.
Показано [2], что рассмотренный механизм релаксации носителей заряда является существенным для электропроводности достаточно тонкой и чистой
КП при низких температурах. В работе [3] исследовано влияние электрического поля, направленного перпендикулярно оси КП и продольного магнитного поля на электропроводность КП. Выявлены особенности, возникающие
в подвижности в присутствии внешних электрического и магнитного полей.
Цель данной работы заключается в теоретическом исследовании влияния краевой дислокации на подвижность электронов в КП во внешнем продольном магнитном поле, а также в сравнении с влиянием других механизмов
рассеяния, рассмотренных ранее в работах [1, 2].
Актуальность проведенных исследований определяется тем, что технология изготовления структур пониженной размерности может сопровождаться
возникновением дислокаций, которые, как известно, играют существенную роль
в рассеянии носителей заряда при достаточно низких температурах, а следовательно, оказывают значительное влияние на транспортные свойства КП [4].
168
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
1. Временя релаксации при рассеянии электронов
на краевой дислокации в квантовой проволоке
Рассмотрим полупроводниковую КП, находящуюся в продольном по
отношению к ее оси магнитном поле. Будем считать, что КП имеет форму
круглого цилиндра, радиус основания LX которого значительно меньше его
длины LZ ( LX << LZ ). Предположим, что дислокация ориентирована вдоль
оси y в плоскости поперечного сечения КП, а рассеяние электронов происходит в плоскости xz (рис. 1).
Рис. 1. Квантовая проволока с краевой дислокацией во внешнем магнитном поле
 
Векторный потенциал магнитного поля A ( r ) выберем в симметричной
 1  
калибровке A =  B, r  так, что
2


A = ( − y B / 2, x B / 2,0 ) , B = ( 0,0, B ) .
Потенциал конфайнмента КП моделируется потенциалом двумерного
гармонического осциллятора:
V1 (ρ) =
m∗ 2 2
ω0 ρ ,
2
(1)
где ρ = x 2 + y 2 ≤ LX ; ρ, ϕ, z – цилиндрические координаты; m∗ – эффективная масса электрона; ω0 – характерная частота удерживающего потенциала.
Гамильтониан в выбранной модели в цилиндрической системе координат имеет вид
∧
H =−
 2  1 ∂  ∂  1 ∂ 2  i  ωB ∂ m∗  2 ω2B
+
 ω0 +

−
ρ  +
2 ∂ϕ 2 
4
2m∗  ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ2 ∂ϕ2 
∧
 2
 ρ + H Z , (2)


где ωB = e0 B / m∗ – циклотронная частота; e0 – абсолютное значение элек∧
(
( ))
трического заряда электрона; H Z = −  2 / 2m∗ ∂ 2 / ∂ z 2 .
Physical and mathematical sciences. Physics
169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Спектр гамильтониана (2) запишется как [5]
ωB m
ω2
2k 2
+ ω0 1 + B ( 2n + m + 1) +
,
2
4ω02
2m∗
En, m, k =
1
(3)
m

1
n !  2  ρ2  2
Ψ n, m, k ( ρ, ϕ, z ) =
 ×

 
2πLz a1  ( n + m )!   2a12 
 ρ2  m
× exp  −
L
 4a 2  n
1 

 ρ2 
 2  exp ( imϕ ) exp ( i k z ) ,
 2a 
 1 
(4)
где n = 0,1, 2,... – квантовое число, соответствующее уровням Ландау;
m = 0,1, 2,... – магнитное квантовое число; k – проекция квазиволнового
вектора
электрона
(
в
КП
(
)
на
a =  / m∗ ω0 ; a B =  / m∗ ω B
ось
Oz;
(
)


a 12 = a 2 /  2 1 + a 4 / 4 a B4  ;


) – магнитная длина; Lαβ ( x ) – полиномы
Лагерра.
Как известно [6], краевые дислокации в полупроводниках с долей ковалентной связи действуют как акцепторные центры, поэтому в кристаллах
n-типа дислокационная линия становится отрицательно заряженной и вокруг
нее образуется область положительного заряда. Налетающие на дислокацию
электроны испытывают с ее стороны отталкивание, приводящее к их рассеянию и тем самым уменьшению подвижности.
Согласно модели Бонч-Бруевича и Когана экранированный потенциал
заряженной дислокации имеет вид [6]
ρ 
e02 f 0* K 0  1 
 λ0  ,
U ( ρ1 ) =
2πεε0 a0*
(5)
где f0* – вероятность заполнения акцепторного центра в дислокационной линии; a0* – расстояние между акцепторными центрами в дислокационной линии; ε – диэлектрическая проницаемость материала КП; ε0 – электрическая
постоянная;
(
K0 ( x )
λ 0 = εε0 k0T / e02 ne
–
функция
Макдональда;
ρ1 = x 2 + z 2 ,
) – длина экранирования Дебая; k0 – постоянная Больц-
мана; Т – термодинамическая температура; ne – концентрация электронов
в КП.
Принимая во внимание (4) и (5), выражение для матричного элемента
B
M
рассматриваемого процесса рассеяния запишется следующим
n,m,k ,n′,m′,k ′
образом:
170
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
MB
n,m,k ,n′,m′,k ′
=
+∞ 2 π +∞
×
1/2
e02 f0*
n ! n ′!


2
2
*  ( n + m )!( n′ + m′ )! 
4π Lz a1 εε0 a0 

m + m′
 2
 ρ
ρd ρd ϕdz 

 2a 2 
1


−∞ 0 0
2

 ρ2   ρ2 cos 2 ϕ + z 2
× Lnm′ ′ 
K 
 2a 2  0 
λ0
 1  
 ρ2  m
exp  −
L
 2a 2  n
1 

×
 ρ2 
 2 ×
 2a 
 1 

 exp [i (m − m′)ϕ] exp [i (k − k ′) z ] .


При вычислении матричного элемента M B
n,m,k ,n′,m′,k ′
(6)
появляются инте-
гралы следующего вида [7]:
+∞
 2
2
2
K 0  ρ cos ϕ + z

λ0

−∞

 exp [i (k − k ′) z ] dz =



2
=
πa1 exp [ (k − k ′)a1 ]
exp ( −ρ* cos ϕ ) ,
(7)
cos ϕ  d ϕ = 2πI m− m′ ( ρ* ) ,
(8)
2
λ*0− 2 + [ (k − k ′)a1 ]
где ρ* = ρ / a1 ; λ*0 = λ 0 / a1 , а также
2π
 exp i(m − m′)ϕ − ρ
*
0
где I ν ( x) – функция Бесселя.
При этом правила отбора таковы, что возможны лишь такие переходы
электрона, для которых выполняется условие: m′ − m = 0,1, 2,...
Интегрирование по координате ρ приводит к следующему выражению [8]:
+∞
m + m′
 2
 ρ
ρ

 2a 2 
1


0

2
= a12 2
 ρ2  m
exp  −
L
 2a 2  n
1 

m −5m′
2
 ρ2  m′
 2  Ln′
 2a 
 1 
 ρ2 
ρ
 2  I m′−m   d ρ =
 2a 
 a1 
 1 
(1 + m) n ∞ 2−3 p Γ(m′ + p + 1)(− p) n′
×
n!n′! p =0 p !Γ(m′ − m + p + 1)

× 3 F2 ( −n, m′ + p + 1, p + 1;1 + m, p − n′ + 1;1) ,
(9)
где 3 F2 (α, β, γ; δ, σ; x) – гипергеометрическая функция; (a) n – символ Похгаммера [7].
Принимая во внимание (7)–(9), для матричного элемента (6)
получим
Physical and mathematical sciences. Physics
171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
MB
n,m,k ,n′,m′,k ′
×
=
e02 f 0*a1
2 Lz εε0 a0*
(−1) n′ 2
m −5m′
2 
1/2
n ! n ′!

 (n + m )!(n′ + m′ )! 


×
2
∞
exp [ (k − k ′)a1 ]
Γ(1 + m + n)
2−3 p Γ( m′ + p + 1)Γ( p + 1)
×
n!n′!Γ(1 + m) λ*− 2 + (k − k ′)a 2 p =0 p !Γ(m′ − m + p + 1)Γ( p − n′ + 1)
[
0
1]

× 3 F2 ( −n, m′ + p + 1, p + 1;1 + m, p − n′ + 1;1) .
(10)
В борновском приближении обратное время релаксации τ−1 ( n, m, k )
при рассеянии электронов на краевой дислокации в КП запишется как
2L
τ ( n, m, k ) = z

−1
+∞

  (1 − cos θ) M n,B m,k ,n′,m′,k′
2
−∞ n′ m′
δ ( E ′ − E ) dk ′ , (11)
где δ( x) – дельта-функция Дирака; θ – угол рассеяния, который при нормальном падении на дислокацию принимает значения θ1 = 0 и θ2 = π .
′ аргуВычисление интеграла в (11) связано с нахождением корней k1,2
мента δ -функции Дирака, удовлетворяющих закону сохранения энергии для
переходов электрона из состояния с квантовыми числами n, m, k в возбужденные состояния КП при рассеянии на краевой дислокации:
(m′ − m)aB−2 + a1−2 (2n′ − 2n + m′ − m) − k 2 + k ′2 = 0 .
(12)
′ уравнения (12) имеют вид
Корни k1,2
′ = ± k 2 − (m′ − m) aB−2 − a1−2 (2n′ − 2n + m′ − m) .
k1,2
(13)
С учетом (10) и (13) выражение для обратного время релаксации (11)
запишется в виде
τ
−1
*2 3
2 N1 N 2
−1 f 0 a1 (1 − cos θ )  Γ(1 + m + n) 
2m−5m′ a1−1 ×
( n , m , k ) = τ0
 Γ(1 + m) 
*2
Lz a0

 n′=0 m′=0
 
(
× k 2 − ( m′ − m)aB−2 − a1−2 ( 2n′ − 2n + m′ − m )
)
−1/2
×

2 2
  exp  k − k 2 − (m′ − m)a −2 − a −2 (2n′ − 2n + m′ − m) a  
1
1  
B

×
+
2



*
2
2
2
2
−
−
−
 λ 0 +  k − k − (m′ − m)aB − a1 (2n′ − 2n + m′ − m) a1 



(
)
(
)
2 2 



2
2
2
−
−
 exp  k + k − (m′ − m)aB − a1 (2n′ − 2n + m′ − m) a1   

  
+
×
2 


λ*0−2 +  k + k 2 − (m′ − m)aB−2 − a1−2 (2n′ − 2n + m′ − m) a1  

(
)
(
172
)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
 ∞
2−3 p Γ( m′ + p + 1)Γ( p + 1)
×
×
 p =0 p !Γ(m′ − m + p + 1)Γ( p − n′ + 1)


2

×3 F2 (−n, m′ + p + 1, p + 1; m + 1, p − n′ + 1;1)  ,

(
(14)
)
λ
где τ0−1 = m*e04 / 23ε02 ε 2 ; λ*0 = 0 ; N1 = [C1 ] , N 2 = [C2 ] – целые части чисел
a1
(
)
C1 = (ka1 ) 2 / 2 − (m′ − m) a12 / aB2 + 1 / 2 + n ,
(
)(
)
C2 = (ka1 ) 2 + m(a1 / aB ) 2 − 2n′ + 2n − m / a12 / aB2 + 1 .
Для случая, когда налетающий на дислокацию электрон находился
в основном состоянии ( n = 0, m = 0 ) КП выражение (14) примет вид
f *2 a3 (1 − cos θ )
τ−1 ( 0,0, k ) = τ0−1 0 1
×
Lz a0*2
×
N1′
N 2′
 
n′=0 m′=0
(
2−5m′ a1−1 k 2 − m′aB−2 − a1−2 ( 2n′ + m′)
)
−1/2
×

2 2
  exp  k − k 2 − m′a −2 − a −2 ( 2n′ + m′) a  
B
1
1  

×
+
2



−
−
−
*
2
2
2
2
 λ 0 +  k − k − m′aB − a1 ( 2n′ + m′) a1 



(
)
(
)
2 2 



−
−
2
2
2
 exp  k + k − m′aB − a1 ( 2n′ + m′) a1   

  
+
×
2 


λ*0− 2 +  k + k 2 − m′aB−2 − a1−2 ( 2n′ + m′) a1  

(
)
(
)
2
 ∞ 2−3 p Γ( p + 1)

×
3 F2 (0, m′ + p + 1, p + 1;1, p − n′ + 1;1)  ,
 p =0 p !Γ( p − n′ + 1)


(15)
где N1′ = C1/  , N 2′ = C2/  – целые части чисел
C1′ =
(ka1 )2 m′(a12 / aB2 + 1)
(ka ) 2 − 2n′
.
−
, C2′ = 1
2
2
a12 / aB2 + 1
На рис. 2 приведены зависимости времени релаксации τ от кинетической энергии Ez налетающего на краевую дислокацию электрона для случая
InSb КП. Как видно из рис. 2,а, в магнитном поле уменьшается период осцилляций в зависимости τ( E z ), при этом величина времени релаксации возрастает вследствие гибридного квантования (сравн. кривые 1 и 2 на рис. 2,а).
Physical and mathematical sciences. Physics
173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
а)
б)
Рис. 2. Зависимость времени релаксации τ от кинетической энергии Ez
налетающего на краевую дислокацию электрона для InSb КП при a0* = 0,65 нм;
–3
ne = 5 ⋅ 1016 см ; U0 = 0,2 эВ; LX = 50 нм; LZ = 1 мкм; Т = 65 К: а – для различных зна-
чений величины внешнего магнитного поля В: 1 – B = 0; 2 – В = 2 Тл ( f 0* = 0,15 );
б – для различных значений вероятности заполнения акцепторных центров
в дислокационной линии f 0* : 1 – 0,12; 2 – 0,15; 3 – 0,17
174
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
Из рис. 2,б можно видеть, что с ростом вероятности заполнения акцепторных центров в дислокационной линии f0* время релаксации уменьшается
из-за увеличения заряда краевой дислокации и соответствующего усиления ее
рассеивающего действия.
2. Особенности подвижности электронов в квантовой
проволоке с краевой дислокацией во внешнем магнитном поле
Выражение для плотности тока в КП можно записать в виде
j=−
e
  k z f1(n, m, k z )dk z ,
(16)
3π L2x m* n,m
где f1 (n, m, k z ) – неравновесная добавка к функции распределения
f0 (n, m, k z ) , определяемая выражением [9]
f1 ( n, m, k z ) =
e  ∂f 0 (n, m.k z )
τ(n, m, k z ) ( E ⋅ k ) ,
m* ∂En,m,k z
(17)
где E = (0,0, E z ) – напряженность электрического поля.
Равновесная функция распределения электронов в КП согласно [5]
определяется следующим выражением:
1/2
E 
f0 ( n, m, k z ) = 8 πne ad3  d 
 k0T 
 En,m,k z 
E

βω−1sh  d β−1ω  exp  −
 , (18)
k0T 
 k0T


1/2
2
4
где β = Lx E1/2
d / (2ad U 0 ) ; ω = 1 + β ( ad / aB ) ; sh( x ) – гиперболический
синус.
С учетом (17) и (18) выражение для j перепишется в виде
×
1/2
−1
8e 2  2 ne ad3 E1/2
d βω
E

sh  d β−1ω 
3/2
2 *2
k
T
3 π Lx m ( k0T )
 0

j=
×
 En,m,k z 
 dk z .
k0T 
  k z ( E ⋅ k ) τ(n, m, k z ) exp  −
n,m
(19)
Ограничиваясь вкладом основной подзоны размерного квантования для
подвижности носителей тока в КП, получим
μ=
−1
16 e  2 ad3 E1/2
d βω
1/2
E

sh  d β−1ω 
3/2
3 π L2x m*2 ( k0T )
 k0T

×
2 a −1
×
 E0,0,k z 
k z2 τ(0,0, k z ) exp  −
 dk z .
 k0T 
0

Physical and mathematical sciences. Physics
(20)
175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
На рис. 3 представлены температурные зависимости подвижности электронов в GaAs КП при рассеянии на LA-фононах [1] (кривая 1), на флуктуациях толщины КП [2] (кривая 2) и на краевой дислокации согласно (20) для
параметров GaAs [2]: плотность ρ = 5,3 · 103 кг/м3, продольная скорость звука
v = 5,2 · 103 м/с, константа деформационного потенциала С = 2,2 · 10–18 Дж,
корреляционный радиус Λ = 1 · 10–8 м [2].
Рис. 3. Температурная зависимость подвижности электронов в GaAs КП
при ne = 4,16 ⋅ 1017 см–3; 2LX = 7 нм; LZ = 1 мкм; a0* = 0,65 нм; f 0* = 0,15 ,
для различных механизмов рассеяния: 1 – рассеяние на LA-фононах [1];
2 – рассеяние на флуктуациях толщины КП [2]; 3–6 – рассеяние на краевой
дислокации (кривые 1–3, 5–6 построены при В = 0 Тл; кривая 4 – при В = 2 Тл,
кривая 5 построена при f0* = 0,06 , кривая 6 – при f0* = 0,08 )
Из рис. 3 следует, что вклад механизма релаксации, связанного с рассеянием электронов на краевой дислокации, зависит от величины параметра f0* –
вероятности заполнения акцепторных центров в дислокационной линии
(сравн. кривые 5 и 3). При f0* ≤ 0,08 данный механизм в области температур
от 5 до 30 К может быть существенным в сравнении с рассеянием на акустических фононах и на случайных неровностях границ КП (сравн. кривые 1, 2 и 3).
В области температур от 50 до 100 К рассмотренный механизм становится
эффективным по сравнению с рассеянием на LA-фононах при f0* ≤ 0,15
(сравн. кривые 1 и 4 на рис. 4). В магнитном поле подвижность электронов
уменьшается за счет сжатия электронной волновой функции в радиальной
плоскости КП (сравн. кривые 3 и 4 на рис. 3 и кривые 5 и 4 на рис. 3).
176
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Физика
Рис. 4. Температурная зависимость подвижности электронов в GAAs КП
при ne = 4,16 ⋅ 1017 см–3; 2LX = 7 нм; LZ = 1 мкм: 1 – рассеяние на LA-фононах [1];
2–6 – рассеяние на краевой дислокации (кривые 1–3, 6 построены при В = 0 Тл;
кривая 5 – при В = 2 Тл) для различных значений параметров дислокационной
линии a0* и f 0* : 2 – a0* = 0,65 нм; f 0* = 0,15 ; 3 – a0* = 0,65 нм; f 0* = 0,12 ;
4 – a0* = 0,5 нм; f 0* = 0,15 ; 5 – a0* = 0,65 нм; f 0* = 0,15 ; 6 – a0* = 0,65 нм; f 0* = 0,11
Заключение
В борновском приближении в рамках модели Бонч-Бруевича и Когана
получено аналитическое выражение для времени релаксации импульса при
рассеянии электронов на краевой дислокации в КП при наличии внешнего
продольного магнитного поля. Показано, что для зависимости времени релаксации от кинетической энергии налетающего на краевую дислокацию
электрона характерны осцилляции, период которых в продольном магнитном
поле уменьшается, а величина времени релаксации увеличивается вследствие
гибридного квантования. Рассчитана подвижность электронов при рассеянии
на краевой дислокации в GaAs КП. Найдено, что рассмотренный механизм
рассеяния может быть существенным в сравнении с рассеянием на LAфононах и на случайных неровностях границы КП, при этом температурный
интервал его эффективности определяется величиной вероятности заполнения акцепторных центров в дислокационной линии.
Список литературы
1. П о к л о н с к и й , Н . А . О температурной зависимости статической электропроводности полупроводниковой квантовой проволоки в изоляторе. / Н. А. Поклонский, Е. Ф. Кисляков, С. А. Вырко // Физика и техника полупроводников. –
2003. – Т. 37, № 6. – С. 735.
Physical and mathematical sciences. Physics
177
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2. Р у в и н с к и й, М . А . О влиянии флуктуаций толщины на статическую электропроводность квантовой полупроводниковой проволоки / М. А. Рувинский,
Б. М. Рувинский // Физика и техника полупроводников. – 2005. – Т. 39, № 2. –
С. 247.
3. С и н я в с к и й , Э. П . Особенности подвижности в нанопроволоках в поперечных
электрическом и магнитном полях / Э. П. Синявский, С. А. Карапетян // Физика и
техника полупроводников. – 2014. – Т. 48, № 2. – С. 229.
4. Создание и исследование оптических свойств квантовых проволок InGaAs/GaAs /
Н. А. Берт, С. А. Гуревич, Л. Г. Гладышева, С. О. Когновицкий, С. И. Кохановский, И. В. Кочнев, С. И. Нестеров, В. И. Скопина, В. Б. Смирницкий, В. В. Травников, С. И. Трошков, А. С. Усиков // Физика и техника полупроводников. – 1994. –
Т. 28, № 9. – С. 1605.
5. К р е в ч и к , В. Д . Эффект увлечения одномерных электронов при фотоионизации D(–)-центров в продольном магнитном поле / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин //
Физика твердого тела. – 2003. – Т. 45, № 7. – С. 1272.
6. Бо нч - Б р у е в и ч , В. Л. К теории электронной плазмы в полупроводниках /
В. Л. Бонч-Бруевич, С. М. Коган // Физика твердого тела. – 1959. – Т. 1, № 8. –
С. 1221.
7. Г р а д ш т е й н , И . С . Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений /
И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. – М. : Физматгиз, 1962.
8. П р у дн и к о в , А . П . Интегралы и ряды : в 4 т. / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. – М. : Физматлит, 2003.
9. А н с е л ь м , А . И . Введение в теорию полупроводников / А. И. Ансельм. – М.,
1978. – 616 с.
References
1. Poklonskiy N. A., Kislyakov E. F., Vyrko S. A. Fizika i tekhnika poluprovodnikov
[Physics and technology of semiconductors]. 2003, vol. 37, no. 6, р. 735.
2. Ruvinskiy M. A., Ruvinskiy B. M. Fizika i tekhnika poluprovodnikov [Physics and
technology of semiconductors]. 2005, vol. 39, no. 2, р. 247.
3. Sinyavskiy E. P., Karapetyan S. A. Fizika i tekhnika poluprovodnikov [Physics and
technology of semiconductors]. 2014, vol. 48, no. 2, р. 229.
4. Bert N. A., Gurevich S. A., Gladysheva L. G., Kognovitskiy S. O., Kokhanovskiy S. I.,
Kochnev I. V., Nesterov S. I., Skopina V. I., Smirnitskiy V. B., Travnikov V. V.,
Troshkov S. I., Usikov A. S. Fizika i tekhnika poluprovodnikov [Physics and technology of semiconductors]. 1994, vol. 28, no. 9, р. 1605.
5. Krevchik V. D., Grunin A. B. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 2003, vol. 45,
no. 7, р. 1272.
6. Bonch-Bruevich V. L., Kogan S. M. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 1959,
Vol. 1, no. 8, р. 1221.
7. Gradshteyn I. S. I., Ryzhik M. Tablitsy integralov, summ, ryadov i proizvedeniy [Tables
of integrals, sums, series and products]. M.: Fizmatgiz, 1962.
8. Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A., Marichev O. I. Integraly i ryady: v 4 t. [Integrals
and series: in 4 volumes]. M.: Fizmatlit, 2003.
9. Ansel'm, A. I. Vvedenie v teoriyu poluprovodnikov [Introduction into the theory of semiconductors]. M., 1978. – 616 р.
178
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (29), 2014
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, декан физикоматематического факультета,
Пензенский государственный
университет (Россия, г. Пенза,
ул. Красная, 40)
Физико-математические науки. Физика
Krevchik Vladimir Dmitrievich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, dean of the faculty
of physics and mathematics, Penza State
University (40 Krasnaya street, Penza,
Russia)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Калинин Владимир Николаевич
аспирант, Пензенский государственный
университет (Россия, г. Пенза,
ул. Красная, 40)
Kalinin Vladimir Nikolaevich
Postgraduate student, Penza State
University (40 Krasnaya street, Penza,
Russia)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Калинин Евгений Николаевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра общей физики
и методики обучения физике,
Пензенский государственный
университет (Россия, г. Пенза,
ул. Красная, 40)
Kalinin Evgeniy Nikolaevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of general physics
and physics teaching technique, Penza State
University (40 Krasnaya street, Penza,
Russia)
E-mail: kalinin_en@mail.ru
УДК 539.23; 539.216.1
Кревчик, В. Д.
Подвижность электронов в квантовой проволоке с краевой дислокацией во внешнем магнитном поле / В. Д. Кревчик, В. Н. Калинин,
Е. Н. Калинин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2014. – № 1 (29). – С. 167–179.
Physical and mathematical sciences. Physics
179
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Вниманию авторов!
Редакция журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки» приглашает специалистов опубликовать на его страницах оригинальные статьи, содержащие новые научные результаты в области математики, физики, механики, а также обзорные статьи по тематике журнала.
Статьи, ранее опубликованные, а также принятые к опубликованию в других
журналах, редколлегией не рассматриваются.
Редакция принимает к рассмотрению статьи, подготовленные с использованием текстового редактора Microsoft Word for Windows (тип файла – RTF, DOC).
Необходимо представить статью в электронном виде (VolgaVuz@mail.ru) и
дополнительно на бумажном носителе в двух экземплярах. Оптимальный объем рукописи 10–14 страниц формата А4. Основной шрифт статьи – Times New Roman, 14 pt через полуторный интервал. Статья обязательно должна содержать индекс УДК, ключевые слова и развернутую аннотацию объемом от 100 до 250 слов, имеющую четкую
структуру на русском (Актуальность и цели. Материал и методы. Результаты. Выводы)
и английском языках (Background. Materials and methods. Results. Conclusions).
Рисунки и таблицы должны быть размещены в тексте статьи и представлены в
виде отдельных файлов (растровые рисунки в формате TIFF, ВМР с разрешением
300 dpi, векторные рисунки в формате Corel Draw с минимальной толщиной линии
0,75 рt). Рисунки должны сопровождаться подрисуночными подписями.
Формулы в тексте статьи обязательно должны быть набраны в редакторе
формул Microsoft Word Equation (версия 3.0) или MathType. Символы греческого и
русского алфавита должны быть набраны прямо, нежирно; латинского – курсивом,
нежирно; обозначения векторов и матриц прямо, жирно; цифры – прямо, нежирно.
Наименования химических элементов набираются прямо, нежирно. Эти же требования необходимо соблюдать и в рисунках. Допускается вставка в текст специальных
символов (с использованием шрифтов Symbol).
В списке литературы нумерация источников должна соответствовать
очередности ссылок на них в тексте ([1], [2], …). Номер источника указывается в
квадратных скобках. Требования к оформлению списка литературы на русские и
иностранные источники: для книг – фамилия и инициалы автора, название, город,
издательство, год издания, том, количество страниц; для журнальных статей, сборников трудов – фамилия и инициалы автора, название статьи, полное название журнала или сборника, серия, год, том, номер, страницы; для материалов конференций –
фамилия и инициалы автора, название статьи, название конференции, город, издательство, год, страницы.
К материалам статьи должна прилагаться следующая информация: фамилия,
имя, отчество, ученая степень, звание и должность, место и юридический адрес работы
(на русском и английском языках), e-mail, контактные телефоны (желательно сотовые).
Обращаем внимание авторов на то, что перевод имен собственных на английский язык в списке литературы осуществляется автоматически с использованием программы транслитерации в кодировке BGN (сайт translit.ru). Для обеспечения единообразия указания данных об авторах статей во всех реферируемых базах при формировании авторской справки при подаче статьи необходимо предоставить перевод фамилии,
имени, отчества каждого автора на английский язык, или он будет осуществлен автоматически в программе транслитерации в кодировке BGN.
Плата с аспирантов за публикацию рукописей не взимается. Рукопись, полученная редакцией, не возвращается. Редакция оставляет за собой право проводить редакторскую и допечатную правку текстов статей, не изменяющую их основного смысла, без согласования с автором.
Статьи, оформленные без соблюдения приведенных выше требований,
к рассмотрению не принимаются.
180
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа