close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

270.Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №2 2013

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
№ 2 (26)
2013
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Алехина М. А. О числе элементов схемы, реализующей
обобщенную функцию голосования....................................................................... 5
Медведик М. Ю., Щукина А. А., Родионова И. А. Численное решение
задачи дифракции электромагнитных волн на теле сложной формы,
расположенном в свободном пространстве ......................................................... 17
Бойков И. В., Рязанцев В. А. О достаточных критериях устойчивости
решений дифференциальных уравнений гиперболического типа..................... 33
Валовик Д. В., Маренникова Е. А., Смирнов Ю. Г. Нелинейная задача
сопряжения на собственные значения, описывающая
распространение электромагнитных ТЕ-волн в плоском
неоднородном нелинейном диэлектрическом волноводе .................................. 50
Баумгертнер С. В., Мельников Б. Ф. Обобщенные
недетерминированные конечные автоматы ......................................................... 64
Пасиков В. Л. К теории линейных динамических неантагонистических игр ....... 75
Бойков И. В., Тында А. Н., Краснощеков П. С. Оптимальные
по точности методы решения некоторых классов
слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра.................................... 87
Жаркова Т. В., Казанцев А. В. О единственности решения уравнения
Гахова для функций из классов Яновского ....................................................... 108
Лапин К. С. Равномерная ограниченность решений систем
дифференциальных уравнений по части переменных с частично
контролируемыми начальными условиями ....................................................... 120
ФИЗИКА
Щиголев В. К. Космологические модели в теории
дробного функционала действия ........................................................................ 133
Пчелинцева Е. С., Новиков С. Г., Беринцев А. В., Костишко Б. М.,
Светухин В. В. Моделирование импульсного радиационностимулированного источника электрического питания ................................... 147
Physics and mathematics sciences. Mathematics
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Журавлев В. М., Миронов П. П. Динамика случайно возмущенного
уравнения Ферхюльста и метод максимальной энтропии ................................ 156
Головков О. Л., Купцова Г. А., Степанов В. А. Влияние потерь, вызванных
двулучепреломлением в YAG-кристалле, на генерацию двух длин
волн 1064,15 и 1061,5 нм ..................................................................................... 171
Горюнов В. А., Майоров А. М., Майоров М. И. Генератор
высоковольтных импульсов с газоразрядным стартером
для зажигания ламп высокого давления ............................................................. 178
Суворова Л. А., Буев А. Р. Применение закона сохранения магнитного
потока в исследовании критического состояния образца
высокотемпературного сверхпроводника кольцевой формы .......................... 188
Лохов В. А., Туктамышев В. С. Исследование условий отсутствия
механических напряжений в системах с собственными деформациями......... 198
Кревчик В. Д., Левашов А. В. Энергетический спектр примесного
молекулярного иона A2+ в сферически-симметричной квантовой точке ........ 208
Кревчик В. Д., Грунин А. Б., Губин Т. А. Влияние обменного взаимодействия
на энергетический спектр и оптические свойства резонансных
D2− -состояний в квантовых ямах во внешнем магнитном поле ...................... 217
Распопова Н. И., Конов И. А., Болотова И. Б., Кривчикова Ю. В.
О расчете параметров тетраэдрических расщеплений в колебательных
спектрах молекул типа XY4 симметрии Td: определение
колебательных функций в симметризованной форме ....................................... 239
2
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
UNIVERSITY PROCEEDINGS
VOLGA REGION
PHYSICS AND MATHEMATICS SCIENCES
№ 2 (26)
2013
CONTENT
MATHEMATICS
Alekhina M. A. On the issue of the elements number in the gate,
realizing the generalized voting function ................................................................... 6
Medvedik M. Yu., Shchukina A. A. Numerical solution
of the problem of electromagnetic wave diffraction
on the copound body, located in free space .... Ошибка! Закладка не определена.
Boykov I. V., Ryazantsev V. A. On the stability criteria of solutions
of partial differential equations of hyperbolic type .................................................. 33
Valovik D. V., Marennikova E. A., Smirnov Yu. G. A nonlinear
transmission eigenvalue problem that describes electromagnetic TE wave
propagation in a plane inhomogeneous nonlinear dielectric waveguide .................. 50
Baumgertner S. V., Mel'nikov B. F. Generalized indeterministic
finite automata.......................................................................................................... 64
Pasikov V. L. Towards the theory of linear dynamic
nonantagonistic games ............................................................................................. 75
Boykov I. V., Tynda A. N., Krasnoshchyokov P. S. Numerical methods
of optimal accuracy for weakly singular Volterra integral equations ...................... 87
Zharkova T. V., Kazantsev A. V. On the uniqueness of the solution of Gahov
equation for the functions in the Janowski classes................................................ 108
Lapin K. S. Uniform boundedness of differential equation system
solutions relating to variables with partially controlled initial conditions ............. 120
PHYSICS
Shchigolev V. K. Cosmological models in the theory
of fractional action functional ................................................................................ 133
Pchelintseva E. S., Novikov S. G., Berintsev A. V., Kostishko B. M.,
Svetukhin V. V. Modeling of a pulse radiation-induced power source ................. 147
Zhuravlev V. M., Mironov P. P. Dynamics of random-disturbed
Verhulst equation and the method of maximum entropy ....................................... 156
Physics and mathematics sciences. Mathematics
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Golovkov O. L., Kuptsova G. A., Stepanov V. A. The influence of losses
caused by birefringent in YAG-crystal on generation of waves
of 1064.15 and 1061.5 nm length ........................................................................... 171
Goryunov V. A., Mayorov A. M., Mayorov M. I. High-voltage pulse generator
with gas-discharge starter for high-pressure lamps ignition ................................... 178
Suvorova L. A., Buev A. R. Application of magnetic flux conservation law
in research of critical states of HTSC ring-shaped sample .................................... 188
Lokhov V. A., Tuktamyshev V. S. Investigation of stress-free conditions
in the systems with intrinsic deformation ............................................................... 198
Krevchik V. D., Levashov A. V. Energy spectrum of the impurity
molecular A2+ -ion in the spherically symmetric quantum dot ................................ 208
Krevchik V. D., Grunin A. B., Gubin T. A. Influence of exchange interaction
on the energy spectrum and optical properties of resonant D2− -states
in quantum wells of the external magnetic field ..................................................... 217
Raspopova N. I., Konov I. A., Bolotova I. B., Krivchikova Y. V.
On the calculation of parameters of tetrahedral splittings in vibrational
spectra of XY4 molecules of Td symmetry: determination
of vibrational functions in symmetrized form ........................................................ 239
4
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
МАТЕМАТИКА
УДК 519.718
М. А. Алехина
О ЧИСЛЕ ЭЛЕМЕНТОВ СХЕМЫ, РЕАЛИЗУЮЩЕЙ
ОБОБЩЕННУЮ ФУНКЦИЮ ГОЛОСОВАНИЯ
Аннотация. Рассматривается один из важнейших разделов математической
кибернетики – теория синтеза, надежности и сложности управляющих систем.
Актуальность исследований в этой области обусловлена важностью многочисленных приложений, возникающих в различных разделах науки и техники.
Все разнообразные средства цифровой техники: ЭВМ, микропроцессорные системы измерений и автоматизации технологических процессов, цифровая
связь, телевидение и т.д., строятся на единой элементной базе, в состав которой входят чрезвычайно разные по сложности микросхемы – от логических
элементов, выполняющих простейшие операции, до сложнейших программируемых кристаллов, содержащих миллионы логических элементов. Логические элементы цифровых устройств во многом определяют функциональные
возможности последних, их конструктивное исполнение, технологичность,
надежность. К числу основных модельных объектов математической теории
синтеза, сложности и надежности управляющих систем относятся схемы из
ненадежных функциональных элементов, реализующие булевы функции. В
ряде результатов, относящихся к реализации булевых функций надежными
схемами из ненадежных функциональных элементов, фигурирует параметр
N ĝ – наименьшее число функциональных элементов, необходимых для реализации функции голосования x` в рассматриваемом полном базисе. Оказалось,
что еще и другие функции (обозначим их множество через G) обладают свойствами, аналогичными свойствам функции голосования. Эти функции имеют
вид x1σ1 x2σ2 ∨ x1σ1 x3σ3 ∨ x2σ2 x3σ3 ( σi ∈{0,1} , i ∈{1, 2,3} ) и в статье называются
обобщенными функциями голосования, т.е. G – множество функций вида
x1σ1 x2σ2 ∨ x1σ1 x3σ3 ∨ x2σ2 x3σ3 . Пусть Ng – наименьшее число абсолютно надежных функциональных элементов, необходимых для реализации функции g ∈ G
в рассматриваемом полном базисе, а NG = min N g , т.е. NG – наименьшее число
g∈G
абсолютно надежных функциональных элементов, достаточное для реализации хотя бы одной функции из множества G в рассматриваемом полном базисе. Цель данной работы – получить верхнюю оценку величины NG, которая
была бы справедлива в произвольном полном базисе. Предполагается, что все
функциональные элементы базиса абсолютно надежны. Для получения верхней оценки величины NG использованы те же методы и подходы, что и при
доказательстве известной теоремы Поста о полноте систем булевых функций.
Доказано, что в произвольном полном конечном базисе хотя бы одну функцию
множества G можно реализовать схемой, содержащей не более восьми функциональных элементов. Используя это свойство, можно в неравенствах заменить величину NG константой 8. В ранее известных результатах по надежности
схем, состоящих из ненадежных функциональных элементов и содержащих
величину NG – зависящую от рассматриваемого базиса, можно улучшить ряд
Physics and mathematics sciences. Mathematics
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ранее известных оценок ненадежности асимптотически оптимальных по
надежности схем.
Ключевые слова: функциональные элементы, синтез схем из функциональных
элементов.
M. A. Alekhina
ON THE ISSUE OF THE ELEMENTS NUMBER IN THE GATE,
REALIZING THE GENERALIZED VOTING FUNCTION
Abstract. The article relates to the one of the most important topics of mathematical
cybernetics – to the theory of synthesis, reliability and complexity of control systems. Topicality of research in this field is determined by the significance of multiple applications, appearing in different fields of science and technology. All the variety of digital technologies: computers, microprocessor systems of technological
processes measurements and automation, digital communication and television etc.,
are based on the same elements including extremely different in complexity microschemes – from logical elements, executing primitive operations, to complex programmed crystals, containing millions of logical elements. Logical elements of digital devices to a large extent determine the functional features of the latter, construction, technological effectiveness and reliability thereof. The list of general modeling
objects of the mathematical theory of synthesis, complexity and reliability of control
systems includes gates with unreliable functional elements, realizing Boolean functions. In a number of results, relating to realization of Boolean functions by reliable
gates with unreliable elemenets, there appears the N ĝ parameter – minimal number
of functional elements required for realization of the voting function x` in the considered complete basis. It has been revealed that the other functions (let us letter
them G) also possess features similar to voting function features. These functions
have the following form x1σ1 x2σ2 ∨ x1σ1 x3σ3 ∨ x2σ2 x3σ3 ( σi ∈{0,1} , i ∈{1, 2,3} ) and
are designated in the article as generalized voting functions, i.e. G is the set of functions of x1σ1 x2σ2 ∨ x1σ1 x3σ3 ∨ x2σ2 x3σ3 form. Let Ng be the minimal number of absolutely reliable functional elements, required for realization of g ∈ G function in the
considered complete basis, and NG = min N g , i.e. NG is the minimal number of absog∈G
lutely reliable functional elements, sufficient for realization of at least one function
from G set in the considered complete basis. The article aims at deriving the upper
bound of NG, that would be true in the arbitrary complete basis. It is presupposed
that all functional elements of the basis are absolutely reliable. To obtain NG upper
bound the author uses the same methods and approaches, as for proving the wellknown Post’s theorem about the completetion of Boolean functions. It is proved that
in the arbitrary complete finite basis at least one function from G set may be realized
by the gate, containing at most eight functional elements. Using this feature, it is
possible to substitute NG with 8 constant. In the previously achieved results on reliability of gates, consisting of unreliable functional elements and containing NG that
depends on the considered basis, it is possible to improve the number of previously
known reliability estimations of gates asymptotically optimal in reliability.
Key words: functional elements, synthesis of combinatorial gates composed of functional elements.
Пусть P2 – множество всех булевых функций, G – множество булевых
функций, зависящих от переменных x1 , x2 ,..., xn (n ≥ 3), из которых подста-
6
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
новкой переменных можно получить некоторую
x1σ1 x2σ2 ∨ x1σ1 x3σ3 ∨ x2σ2 x3σ3 , где σi ∈{0,1} , i ∈{1, 2,3} .
функцию
вида
Булеву функцию вида x1σ1 x2σ2 ∨ x1σ1 x3σ3 ∨ x2σ2 x3σ3 ( σi ∈{0,1} ,
i ∈{1, 2,3} ) будем называть обобщенной функцией голосования.
Например, x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 ∈ G.
Замечание 1. Нетрудно проверить, что G* = G, где G* – множество булевых функций, каждая из которых двойственна [1] некоторой функции множества G.
Пусть B – произвольный полный конечный базис, B ⊆ P2. Рассматривается реализация обобщенных функций голосования схемами из функциональных элементов в базисе B [2]. Обозначим Ng – минимальное число элементов, необходимых для реализации функции g ∈ G схемой в базисе B.
Пусть NG = min N g , т.е. NG – наименьшее число элементов, достаточное для
g∈G
реализации хотя бы одной функции из множества G. Ясно, что число NG зависит от рассматриваемого базиса.
Во многих задачах, относящихся к теории синтеза, сложности и надежности управляющих систем, важно знать величины Ng (g∈G) и NG. Их исследованию посвящена эта статья.
Известно [3], что в произвольном полном конечном базисе тринадцати элементов достаточно для реализации функции голосования
g ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 схемой из функциональных элементов. Поэтому NG ≤ 13. Однако, если использовать базисные элементы более экономно, можно доказать следующую теорему.
Теорема 1. В любом полном конечном базисе NG ≤ 8.
Прежде чем доказать теорему 1, введем необходимые понятия, обозначения, утверждения, а также докажем леммы.
Обозначим (как и в [1]) T0 – класс функций, сохраняющих константу 0;
T1 – класс функций, сохраняющих константу 1; L – класс линейных функций;
M – класс монотонных функций.
Замечание 2. По теореме Поста о функциональной полноте (см. напр.,
[1, c. 40] любой полный конечный базис содержит функцию fT0 ∉ T0 , для которой верно равенство fT0 (0,...,0) = 1 . Возможны два случая: 1) fT0 (1,...,1) = 0
или 2) fT0 (1,...,1) = 1 . Следовательно, в первом случае fT0 ( x,..., x) = x , а во
втором – fT0 ( x,..., x) ≡ 1 , т.е. fT0 ( x,..., x) ∈{1, x } .
Замечание 3. По теореме Поста о функциональной полноте (см. напр.,
[1, c. 40] любой полный конечный базис содержит функцию fT1 ∉ T1 , для ко-
торой верно равенство fT1 (1,...,1) = 0 . Рассуждая так же, как в замечании 2,
нетрудно проверить, что fT1 ( x,..., x) ∈{0, x } .
Таким образом, справедливо утверждение 1.
Утверждение 1. Любой полный конечный базис содержит такие функции
fT0 ∉ T0 и fT1 ∉ T1 , что или x ∈{ fT0 ( x,..., x), fT1 ( x,..., x)} , или
fT0 ( x,..., x) ≡ 1, fT1 ( x,..., x) ≡ 0 .
Physics and mathematics sciences. Mathematics
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Из утверждения 1 следует, что в любом полном конечном базисе можно
реализовать или x , используя один функциональный элемент, или константы
0, 1, используя по одному функциональному элементу на каждую.
Лемма 1 [4]. Пусть f (x1,...,xn) ∉ M (n ≥ 3). Тогда из f подстановкой переменных можно получить такую функцию φ(x1,x2,x3)∉M, что φ(x,0,1) = x .
Обозначим M0 = { x1 x2 , x1 ∨ x2, x1 ⊕ x2 ⊕ 1}, M1 = { x1 ∨ x3 , x1 x3,
x1 ⊕ x3}.
Лемма 2 [5]. Пусть φ(x1, x2, x3) ∉ M и φ(x, 0, 1) = x .
1) Если φ(x1, x2, x3) существенно зависит только от переменной x1, то
φ(x1, x2, x3) = x1 ;
2) если φ(x1, x2, x3) существенно зависит только от переменных x1, x2, то
φ(x1, x2, x3) ∈ M0;
3) если φ(x1, x2, x3) существенно зависит только от переменных x1, x3, то
φ(x1, x2, x3) ∈ M1;
4) если φ(x1, x2, x3) существенно зависит от всех трех переменных x1, x2,
x3, то φ(x1, 0, x3) ∈ M1 ∩{ x1 }.
Замечание 4. Переменная xi (i = 2, 3) для функции φ(x1, x2, x3) из леммы 2
может быть как существенной, так и фиктивной.
В работе [6] были явно найдены все немонотонные функции φ(x1, x2,
x3), для которых выполняется условие φ(x, 0, 1) = x . Чтобы явно указать такие функции, использовалось их представление в виде полинома Жегалкина
с неопределенными коэффициентами:
φ(x1, x2, x3) = a1x1x2 x3 ⊕ a2x1 x2 ⊕ a3x1 x3 ⊕
⊕ a4 x2 x3 ⊕ a5x1 ⊕ a6x2 ⊕ a7x3 ⊕ a8.
Поскольку φ(x, 0, 1) = x , выполняются два равенства a3 ⊕ a5 = 1,
a7 ⊕ a8 = 1, из которых получаем четыре возможных условия:
а) a3 = 1, a5 = 0, a7 = 1, a8 = 0;
б) a3 = 1, a5 = 0, a7 = 0, a8 = 1;
в) a3 = 0, a5 = 1, a7 = 1, a8 = 0;
г) a3 = 0, a5 = 1, a7 = 0, a8 = 1.
Остальные коэффициенты a1, a2, a4, a6 – произвольные числа из множества {0, 1}.
В этой работе нам будут нужны лишь те немонотонные функции
φ(x1, x2, x3), для которых φ(x1, 0, x3) = x1 (случай г). Имеем шестнадцать
функций φ(x1, x2, x3), т.е. справедлива лемма 3.
Лемма 3 [6]. Пусть функция φ(x1, x2, x3) такова, что φ(x1, 0, x3) = x1 . Тогда φ(x1, x2, x3) – одна из нижеперечисленных функций:
1) φ(x1, x2, x3) = x1 ⊕ 1,
2) φ(x1, x2, x3) = x1 ⊕ x2 ⊕ 1,
3) φ(x1, x2, x3) = x2 x3 ⊕ x1 ⊕ 1,
4) φ(x1, x2, x3) = x2 x3 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1,
5) φ(x1, x2, x3) = x1 x2 ⊕ x1 ⊕ 1,
6) φ(x1, x2, x3) = x1 x2 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1,
8
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
7) φ(x1, x2, x3) = x1 x2 ⊕ x2 x3 ⊕ x1 ⊕ 1,
8) φ(x1, x2, x3) = x1 x2 ⊕ x2 x3 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1,
9) φ(x1, x2, x3) = x1x2 x3 ⊕ x1 ⊕ 1,
10) φ(x1, x2, x3) = x1x2 x3 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1,
11) φ(x1, x2, x3) = x1x2 x3 ⊕ x2 x3 ⊕ x1 ⊕ 1,
12) φ(x1, x2, x3) = x1x2 x3 ⊕ x2 x3 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1,
13) φ(x1, x2, x3) = x1x2 x3 ⊕ x1 x2 ⊕ x1 ⊕ 1,
14) φ(x1, x2, x3) = x1x2 x3 ⊕ x1 x2 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1,
15) φ(x1, x2, x3) = x1x2 x3 ⊕ x1 x2 ⊕ x2 x3 ⊕ x1 ⊕ 1,
16) φ(x1, x2, x3) = x1x2 x3 ⊕ x1 x2 ⊕ x2 x3 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1.
Лемма 4. Пусть полный базис B содержит функции x1 · x2, 0, 1 и такую
функцию φ(x1, x2, x3), существенно зависящую от трех переменных, что
φ(x1, 0, x3) = x1 . Тогда NG ≤ 7.
Доказательство. Все функции φ(x1, x2, x3), удовлетворяющие условиям
леммы 4, перечислены в формулировке леммы 3 (их 12, исключены функции
под номерами 1, 2, 5, 6, которые существенно зависят от одной или двух переменных). Покажем, как построить требуемые схемы в каждом из этих
12 случаев:
1. Пусть φ(x1, x2, x3) = x2x3 ⊕ x1 ⊕ 1. Отождествим переменные x2 и x3 и
получим функцию φ(x1, x2, x2) = x2 ⊕ x1 ⊕ 1, т.е. φ(x1, x2, x2) = x1 ~ x2. Тогда,
моделируя формулу (x1 ~ x2) · (x2 ~ x3) ~ x3, построим схему из четырех элементов, реализующую функцию x1x2 ⊕ x1 x3 ⊕ x2 x3 ∈ G.
2. Пусть φ(x1, x2, x3) = x2x3 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1. Тогда φ(x1, x2, 0) = x2 ⊕ x1 ⊕ 1,
т.е. φ(x1, x2, 0) = x1 ~ x2. Тогда, моделируя формулу (x1 ~ x2) · (x2 ~ x3) ~ x3, построим схему из пяти элементов, реализующую функцию x1x2 ⊕ x1 x3 ⊕ x2 x3
из множества G.
3. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2 ⊕ x2x3 ⊕ x1 ⊕ 1. Отождествим переменные x1 и
x2 и получим функцию φ(x1, x1, x3) = x1x3 ⊕ 1, т.е. φ(x1, x1, x3) = x1 x3 . Тогда,
моделируя формулу x1 x2 ⋅ x1 x3 ⋅ x2 x3 , построим схему из пяти элементов, реализующую функцию x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 из множества G.
4. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2 ⊕ x2x3 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1. Отождествим переменные x1 и x3 и получим функцию φ(x1, x2, x1) = x2 ⊕ x1 ⊕ 1, т.е. φ(x1, x2, x1) =
= x1 ~ x2 (случай 1).
5. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2x3 ⊕ x1 ⊕ 1. Отождествим переменные x2 и x3 и
получим функцию φ(x1, x2, x2) = x1x2 ⊕ x1 ⊕ 1, т.е. φ(x1, x2, x2) = x1 ∨ x2 . Отметим
также, что φ(x1, 0, 0) = x1 . Тогда, моделируя формулу ( x1 ∨x2)·( x1 ∨x3) ×
× (φ(φ(x2, 0, 0), x3, x3)), построим схему из семи элементов, реализующую
функцию ( x1 ∨x2) · ( x1 ∨x3) · (x2∨x3) из множества G.
6. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2x3 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1. Тогда φ(x1, x2, 0) = x2 ⊕ x1 ⊕ 1,
т.е. φ(x1, x2, 0) = x1 ~ x2 (случай 2).
7. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2x3 ⊕ x2x3 ⊕ x1 ⊕ 1. Отождествим переменные x2
и x3 и получим функцию φ(x1, x2, x2) = x1 ∨ x2 , т.е. φ(x1, x1, x3) = x1 ↓ x2 (стрелка
Пирса). Тогда, моделируя формулу ( x1 ⋅ x2 ) ↓ [( x1 ↓ x2 ) ↓ x3 ] , построим схему
из четырех элементов, реализующую функцию x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 ∈ G.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
8. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2x3 ⊕ x2x3 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1. Отождествим переменные x1 и x3 и получим функцию φ(x1, x2, x1) = x1 ⊕ x2 ⊕ 1, т.е. φ(x1, x2, x1) =
= x1 ~ x2 (случай 1).
9. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2x3 ⊕ x1x2 ⊕ x1 ⊕ 1. Отождествим переменные x1
и x2 и получим функцию φ(x1, x1, x3) = x1x3 ⊕ 1, т.е. φ(x1, x1, x3) = x1 x3
(случай 3).
10. Пусть (x1, x2, x3) = x1x2x3 ⊕ x1x2 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1. Отождествим переменные x2 и x3 и получим функцию φ(x1, x2, x2) = x1 ⊕ x2 ⊕ 1, т.е. φ(x1, x2, x2) =
= x1 ~ x2 (случай 1).
11. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2x3 ⊕ x1x2 ⊕ x2x3 ⊕ x1 ⊕ 1. Отождествим переменные x1 и x3 и получим функцию φ(x1, x2, x1) = x1x2 ⊕ x1 ⊕ 1, т.е. φ(x1, x2, x1) =
= x1 ∨ x2 (случай 5).
12. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2x3 ⊕ x1x2 ⊕ x2x3 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1. Отождествим
переменные x1 и x3 и получим функцию φ(x1, x2, x1) = x1 ∨ x2 , т.е. φ(x1, x1, x3) =
= x1 ↓ x2 (случай 7).
Лемма 4 доказана.
Лемма 5. Пусть полный базис B содержит функции x1 ∨ x2, 0, 1 и такую
функцию φ(x1, x2, x3), существенно зависящую от трех переменных, что
φ(x1, 0, x3) = x1 . Тогда NG ≤ 7.
Доказательство аналогично доказательству леммы 4. Все функции
φ(x1, x2, x3), удовлетворяющие условиям леммы, перечислены в формулировке
леммы 3 (их 12, исключены функции под номерами 1, 2, 5, 6, которые существенно зависят от одной или двух переменных). Покажем, как построить
требуемые схемы в каждом из этих 12 случаев.
1. Пусть φ(x1, x2, x3) = x2x3 ⊕ x1 ⊕ 1. Отождествим переменные x2 и x3 и
получим функцию φ(x1, x2, x2) = x2 ⊕ x1 ⊕ 1, т.е. φ(x1, x2, x2) = x1 ~ x2. Тогда,
моделируя формулу (x1 ∨ x2) ~ ((x2 ~ x3) ∨ x3), построим схему из четырех элементов, реализующую функцию x1x2 ⊕ x1x3 ⊕ x2x3 ∈ G.
2. Пусть φ(x1, x2, x3) = x2x3 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1. Тогда φ(x1, x2, 0) = x2 ⊕ x1 ⊕ 1, т.е.
φ(x1, x2, 0) = x1 ~ x2. Тогда, моделируя формулу (x1 ∨ x2) ~ ((x2 ~ x3) ∨ x3), построим схему из пяти элементов, реализующую функцию x1x2 ⊕ x1x3 ⊕ x2x3 ∈ G.
3. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2 ⊕ x2x3 ⊕ x1 ⊕ 1. Отождествим переменные x1 и
x2 и получим функцию φ(x1, x1, x3) = x1x3 ⊕ 1 = x1 x3 , т.е. φ(x1, x1, x3) = x1|x3. Тогда, моделируя формулу
( x1x2 ) ( ( x1x3 ) ( x2 x3 ) ) ( ( x1x3 ) ( x2 x3 )) ,
(1)
построим схему из шести элементов, реализующую функцию
x1 x2  x1 x3 x2 x3
x1 x3 x2 x3  = x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 из множества G.


4. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2 ⊕ x2x3 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1. Отождествим переменные x1 и x3 и получим функцию φ(x1, x2, x1) = x2 ⊕ x1 ⊕ 1, т.е. φ(x1, x2, x1) =
= x1 ~ x2 (случай 1).
5. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2x3 ⊕ x1 ⊕ 1. Отождествим переменные x2 и x3 и
получим функцию φ(x1, x2, x2) = x1x2 ⊕ x1 ⊕ 1, т.е. φ(x1, x2, x2) = φ1(x1, x2) =
(
10
) ((
)(
)) ((
)(
))
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
= x1 ∨ x2 . Отметим также, что φ(x1,0,0) = x1 , т.е. функцию x1 можно реализовать схемой из двух элементов. Тогда, моделируя формулу
φ1(φ1(φ1(x1, x2), x3), ϕ1 ( x2 , x1 ) ), построим схему из шести элементов, реализующую функцию x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 из множества G.
6. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2x3 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1. Тогда φ(x1, x2, 0) = x2 ⊕ x1 ⊕ 1,
т.е. φ(x1, x2, 0) = x1 ~ x2 (случай 2).
7. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2x3 ⊕ x2x3 ⊕ x1 ⊕ 1. Отождествим переменные
x2 и x3 и получим функцию φ(x1, x2, x2) = x1 ∨ x2 , т.е. φ(x1, x1, x3) = x1 ↓ x2. Тогда, моделируя формулу x1 ∨ x2 ∨ x1 ∨ x3 ∨ x2 ∨ x3 , построим схему из пяти
элементов, реализующую функцию x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 из множества G.
8. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2x3 ⊕ x2x3 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1. Отождествим переменные x1 и x3 и получим функцию φ(x1, x2, x1) = x1 ⊕ x2 ⊕ 1, т.е. φ(x1, x2, x1) =
= x1 ~ x2 (случай 1).
9. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2x3 ⊕ x1x2 ⊕ x1 ⊕ 1. Отождествим переменные x1
и x2 и получим функцию φ(x1, x1, x3) = x1x3 ⊕ 1, т.е. φ(x1, x1, x3) = x1 | x3 . Тогда,
моделируя формулу ( x1 ∨ x2 ) | [( x1 | x2 ) | x3 ] , построим схему из четырех элементов, реализующую функцию x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 ∈ G.
10. Пусть (x1, x2, x3) = x1x2x3 ⊕ x1x2 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1. Отождествим переменные x2 и x3 и получим функцию φ(x1, x2, x2) = x1 ⊕ x2 ⊕ 1, т.е. φ(x1, x2, x2) =
= x1 ~ x2 (случай 1).
11. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2x3 ⊕ x1x2 ⊕ x2x3 ⊕ x1 ⊕ 1. Отождествим переменные x1 и x3 и получим функцию φ(x1, x2, x1) = x1x2 ⊕ x1 ⊕ 1, т.е.
φ(x1, x2, x1) = x1 ∨ x2 (случай 5).
12. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1x2x3 ⊕ x1x2 ⊕ x2x3 ⊕ x1 ⊕ x2 ⊕ 1. Отождествим
переменные x1 и x3 и получим функцию φ(x1, x2, x1) = x1 ∨ x2 , т.е. φ(x1, x1, x3) =
= x1 ↓ x2 (случай 7).
Лемма 5 доказана.
Булевы функции x1x2 ⊕ x1x3 ⊕ x2x3 ⊕ a1x1 ⊕ a2x2 ⊕ a3x3 ⊕ a0 (ai ∈{0, 1},
i∈{0, 1, 2, 3}) будем называть особенными [7].
Лемма 6 [7]. Из всякой нелинейной и неособенной функции от трех
или более переменных подстановкой переменных можно получить либо особенную функцию, либо нелинейную функцию от двух переменных.
Из леммы 6 следует, что для всякой нелинейной функции fL имеет место ровно один из вариантов: либо fL является особенной функцией, либо fL –
функция двух переменных, либо из неособенной функции fL (x1, ..., xn) (n ≥ 3)
подстановкой переменных можно получить особенную функцию, либо из неособенной функции fL(x1, ..., xn) (n ≥ 3) отождествлением переменных можно
получить нелинейную функцию двух переменных. Таким образом, получаем
очевидное следствие.
Следствие 1. Из всякой нелинейной функции fL подстановкой переменных можно получить функцию, равную либо некоторой особенной функции ϕ( x1 ,x2 ,x3 ) = x1x2 ⊕ x1x3 ⊕ x2x3 ⊕ a1x1 ⊕ a2x2 ⊕ a3x3 ⊕ a0, либо некоторой
нелинейной функции двух переменных ψ(x1, x2) = x1x2 ⊕ a1x1 ⊕ a2x2 ⊕ a0
(ai ∈ {0, 1}, i ∈ {0, 1, 2, 3}).
Physics and mathematics sciences. Mathematics
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Доказательство теоремы 1. Пусть B – произвольный полный конечный базис. Поскольку базис B – полный, в нем содержится нелинейная функция fL. Из функции fL (см. лемму 6 и следствие 1) подстановкой переменных
можно получить функцию, равную либо ϕ( x1 ,x2 ,x3 ) = x1x2 ⊕ x1x3 ⊕ x2x3 ⊕
⊕ a1x1 ⊕ a2x2 ⊕ a3x3 ⊕ a0, либо ψ(x1, x2) = x1x2 ⊕ a1x1 ⊕ a2x2 ⊕ a0 (ai ∈ {0, 1},
i ∈ {0, 1, 2, 3}).
1. Пусть ϕ( x1 ,x2 ,x3 ) = x1x2 ⊕ x1x3 ⊕ x2x3 ⊕ a1x1 ⊕ a2x2 ⊕ a3x3 ⊕ a0.
1.1. Если функция ϕ( x1 ,x2 ,x3 ) конгруэнтна функции ϕ1 ( x1 ,x2 ,x3 ) =
= x1x2 ⊕ x1x3 ⊕ x2x3 ⊕ a4(x2 ⊕ x3) ⊕ a0,
то
ϕ1 ( x1 ,x2 ,x3 ) =
x1a0 ⊕ a4 x2a0
⊕
⊕ x1a0 ⊕ a4 x3a0 ⊕ x2a0 x3a0 , т.е. ϕ1 ( x1 ,x2 ,x3 ) = g(x1, x2, x3) ∈ G. В этом случае NG = 1.
1.2. Если функция ϕ( x1 ,x2 ,x3 ) конгруэнтна функции ϕ2 ( x1 ,x2 ,x3 ) =
= x1x2 ⊕ x1x3 ⊕ x2x3 ⊕ x3 ⊕ a4(x1 ⊕ x2) ⊕ a0, то отождествим переменные x1, x2 и
получим
функцию
ϕ2 ( x1 ,x1 ,x3 ) = x1 ⊕ x3 ⊕ a0.
Моделируя
формулу
ϕ2 ( ϕ2 ( x1 ,x2 ,x3 ) , ϕ2 ( x1 ,x2 ,x3 ) , x3), построим схему Sg из двух элементов. Нетрудно проверить, что ϕ2 ( ϕ2 ( x1 ,x2 ,x3 ) , ϕ2 ( x1 ,x2 ,x3 ) ,x3) = x1x2 ⊕ x1x3 ⊕ x2x3 ⊕
⊕ a4(x1 ⊕ x2) = g(x1, x2, x3) ∈ G. Таким образом, NG ≤ 2.
2. Пусть ψ(x1, x2) = x1x2 ⊕ a1x1 ⊕ a2x2 ⊕ a0, т.е. функция ψ(x1, x2) конгруэнтна одной из функций x1 x2 , x1 ∨ x2 , x1 x2, x1 ∨ x2, x1 x2, x1∨x2.
2.1. Пусть базис B содержит функцию x1 ∨ x2 (заметим, что
x1 ∨ x2 = x1 x2 ). Тогда (см. формулу (1)) построим схему из шести элементов,
реализующую функцию x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 из множества G.
Если базис B содержит функцию x1 x2 , двойственную функции x1 ∨ x2 ,
то, заменив в формуле (1) все функции на двойственные, получим формулу
для функции ( x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 )* = x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 . Моделируя полученную
формулу, построим схему из шести элементов, реализующую функцию
x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 из множества G, т.е. утверждение теоремы также верно.
2.2. Пусть базис B содержит функцию ψ1(x1,x2) = x1 x2. По условию базис B – полный, поэтому (утверждение 1) в нем содержатся такие функции
fT0 ∉ T0
x ∈{ fT0 ( x,..., x), fT1 ( x,..., x)} ,
и
fT1 ∉ T1 ,
что
или
или
fT0 ( x,..., x) ≡ 1, fT1 ( x,..., x) ≡ 0 .
2.2.1. Пусть x ∈{ fT0 ( x,..., x), fT1 ( x,..., x)} . Тогда, моделируя формулу
ψ1(ψ1(ψ1(x1, x2), x3), ψ1 ( x2 , x1 ) ), построим схему из пяти элементов, реализующую функцию x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 из множества G.
Если базис B содержит функцию x1 ∨x2, двойственную функции x1 x2,
то утверждение теоремы также верно (поскольку G* = G).
2.2.2. Пусть fT0 ( x,..., x) ≡ 1, fT1 ( x,..., x) ≡ 0 . Тогда, моделируя формулу
ψ1(x1,1), построим схему из двух элементов, реализующую функцию x1 . Далее действуем так же, как в случае 2.2.1, и построим схему из шести элементов, реализующую функцию x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 из множества G.
12
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
Если базис B содержит функцию x1 ∨x2, двойственную функции x1 x2,
то утверждение теоремы также верно (поскольку G* = G).
2.3. Пусть базис B содержит функцию ψ2(x1, x2) = x1x2. По условию базис B – полный, поэтому (утверждение 1) в нем содержатся такие функции
fT0 ∉ T0 и fT1 ∉ T1 , что или x ∈{ fT0 ( x,..., x), fT1 ( x,..., x)} , или fT0 ( x,..., x) ≡ 1,
fT1 ( x,..., x) ≡ 0 .
2.3.1. Пусть x ∈{ fT0 ( x,..., x), fT1 ( x,..., x)} . Тогда, моделируя формулу
x1 x2 ⋅ x1 x3 ⋅ x2 x3 , построим схему из восьми элементов, реализующую функцию x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 из множества G.
2.3.2. Пусть fT0 ( x,..., x) ≡ 1, fT1 ( x,..., x) ≡ 0 . По условию базис B – полный, поэтому в нем содержится немонотонная функция fM. По лемме 1 из
функции fM подстановкой переменных получим такую немонотонную функцию
φ(x1, x2, x3), что φ(x, 0, 1) = x . По лемме 2 для функции φ(x1, x2, x3) возможны
два случая: функция φ(x1, x2, x3) существенно зависит не более чем от двух переменных, функция φ(x1, x2, x3) существенно зависит от трех переменных.
2.3.2.1. Пусть функция φ(x1, x2, x3) существенно зависит не более чем от
двух переменных. Тогда φ(x1, x2, x3) ∈ M0 ∩ M1 ∩{ x1 } = { x1 x2 , x1 ∨x2, x1 ⊕ x2 ⊕ 1,
x1 ∨ x3 , x1 x3, x1 ⊕ x3, x1 }. Случаи, когда φ(x1, x2, x3)∈ { x1 x2 , x1 ∨x2, x1 ∨ x3 ,
x1 x3, x1 }, рассмотрены выше. Рассмотрим два оставшихся случая:
φ(x1, x2, x3) = x1 ⊕ x2 ⊕ 1 или φ(x1, x2, x3) = x1 ⊕ x3.
2.3.2.1.1. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1 ⊕ x2 ⊕ 1, т.е. φ(x1, x2, x3) = x1~x2. Тогда,
моделируя формулу (x1 ~ x2) · (x2 ~ x3) ~ x3, построим схему из четырех элементов, реализующую функцию x1x2 ⊕ x1 x3 ⊕ x2 x3 из множества G.
2.3.2.1.2. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1 ⊕ x3. Тогда, моделируя формулу
x1x2 ⊕ (x1 ⊕ x2)x3, построим схему из четырех элементов, реализующую функцию x1x2 ⊕ x1x3 ⊕ x2x3 из множества G.
2.3.2.2. Пусть функция φ(x1, x2, x3) существенно зависит от трех переменных и φ(x1, 0, x3) ∈ M1∩{ x1 } = { x1 ∨ x3 , x1 x3, x1 ⊕ x3, x1 }.
Если φ(x1, 0, x3) = x1 ∨ x3 , то повторяя рассуждения п. 2.1 и учитывая,
что для реализации константы 0 мы используем функциональный элемент,
построим схему из семи элементов, реализующую функцию x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3
из множества G.
Если φ(x1, 0, x3) = x1 ⊕ x3, то, повторяя рассуждения п. 2.3.2.1.2 и учитывая, что для реализации константы 0 мы используем функциональный элемент,
построим схему из пяти элементов, реализующую функцию голосования.
Если φ(x1, 0, x3) = x1 x3, то, повторяя рассуждения п. 2.2 и учитывая, что
для реализации константы 0 мы используем функциональный элемент, построим схему, реализующую функцию x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 из множества G и
содержащую не более семи элементов.
Если φ(x1, 0, x3) = x1 , то утверждение теоремы верно по лемме 4.
2.4. Пусть базис B содержит функцию ψ3(x1, x2) = x1∨x2.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
По условию базис B – полный, поэтому (утверждение 1) в нем содержатся такие функции fT0 ∉ T0 и fT1 ∉ T1 , что или x ∈{ fT0 ( x,..., x), fT1 ( x,..., x)} ,
или fT0 ( x,..., x) ≡ 1, fT1 ( x,..., x) ≡ 0 .
2.4.1. Пусть x ∈{ fT0 ( x,..., x), fT1 ( x,..., x)} . Тогда, моделируя формулу
x1 ∨ x2 ∨ x1 ∨ x3 ∨ x2 ∨ x3 , построим схему из восьми элементов, реализующую функцию x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 из множества G.
2.4.2. Пусть fT0 ( x,..., x) ≡ 1, fT1 ( x,..., x) ≡ 0 . По условию базис B – полный, поэтому в нем содержится немонотонная функция fM. По лемме 1 из
функции fM подстановкой переменных получим такую немонотонную функцию φ(x1, x2, x3), что φ(x, 0, 1) = x . По лемме 2 для функции φ(x1, x2, x3)
возможны два случая: функция φ(x1, x2, x3) существенно зависит не более чем
от двух переменных, функция φ(x1, x2, x3) существенно зависит от трех переменных.
2.4.2.1. Пусть функция φ(x1, x2, x3) существенно зависит не более чем от
двух переменных. Тогда φ(x1, x2, x3) ∈ M0 ∩ M1 ∩{ x1 } = { x1 x2 , x1 ∨x2,
x1 ⊕ x2 ⊕ 1, x1 ∨ x3 , x1 x3, x1 ⊕ x3, x1 }. Случаи, когда φ(x1, x2, x3) ∈ { x1 x2 ,
x1 ∨x2, x1 ∨ x3 , x1 x3, x1 }, рассмотрены выше. Рассмотрим два оставшихся
случая: φ(x1, x2, x3) = x1 ⊕ x2 ⊕ 1 или φ(x1, x2, x3) = x1 ⊕ x3.
2.4.2.1.1. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1 ⊕ x2 ⊕ 1, т.е. φ(x1, x2, x3) = x1 ~ x2. Тогда,
моделируя формулу (x1 ∨ x2) ~ ((x2 ~ x3) ∨ x3), построим схему из четырех элементов, реализующую функцию x1x2 ⊕ x1x3 ⊕ x2x3 из множества G.
2.4.2.1.2. Пусть φ(x1, x2, x3) = x1 ⊕ x3. Тогда, моделируя формулу
((x1 ⊕ x2) ∨ (x2 ⊕ x3)) ⊕ x3, построим схему из четырех элементов, реализующую функцию x1x2 ⊕ x1 x3 ⊕ x2 x3 из множества G.
2.4.2.2. Пусть функция φ(x1, x2, x3) существенно зависит от трех переменных и φ(x1, 0, x3) ∈ M1∩{ x1 } = { x1 ∨ x3 , x1 x3, x1 ⊕ x3, x1 }.
Если φ(x1, 0, x3) = x1 ∨ x3 , то повторяя рассуждения п. 2.1 и учитывая,
что для реализации константы 0 мы используем функциональный элемент,
построим схему из семи элементов, реализующую функцию
x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 из множества G.
Если φ(x1, 0, x3) = x1 ⊕ x3, то, повторяя рассуждения п. 2.4.2.1.2 и учитывая, что для реализации константы 0 мы используем функциональный элемент,
построим схему из пяти элементов, реализующую функцию голосования.
Если φ(x1, 0, x3) = x1 x3, то, повторяя рассуждения п. 2.2 и учитывая, что
для реализации константы 0 мы используем функциональный элемент, построим схему, реализующую функцию x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 из множества G и
содержащую не более семи элементов.
Если φ(x1, 0, x3) = x1 , то утверждение теоремы верно по лемме 5.
Теорема 1 доказана.
Список литературы
1. Я б л о н с к и й , С . В. Введение в дискретную математику / С. В. Яблонский. –
М. : Высш. шк., 2001. – 384 с.
14
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
2. Л у п а н о в , О . Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем /
О. Б. Лупанов. – М. : Изд-во МГУ, 1984. – 138 с.
3. А л е х и н а , М . А . О числе элементов схемы, реализующей функцию голосования /
М. А. Алехина, С. Ю. Епифанов // Молодежная математическая наука – 2012 : сб.
материалов Всероссийской с Междунар. участием молодежной научнопрактической конф. (Саранск, 27–28 апреля 2012 г.). – Саранск : Изд-во Мордовского гос. пед. института имени М. Е. Евсевьева, 2012. – С. 94–96.
4. А к с е н о в, С . И . О надежности схем над произвольной полной системой функций при инверсных неисправностях на выходах элементов / С. И. Аксенов //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. –
2005. – № 6 (21). – С. 42–55.
5. А л е х и н а , М . А . О надежности схем в произвольном полном конечном базисе
при однотипных константантных неисправностях на выходах элементов /
М. А. Алехина // Дискретная математика. – 2012. – Т. 24, № 3. – С. 17−24.
6. А л е х и н а , М . А . Об одном свойстве немонотонных булевых функций /
М. А. Алехина // Проблемы автоматизации и управления в технических системах – 2011 : тр. Междунар. науч.-техн. конф. (г. Пенза, 19–22 апреля 2011 г.) –
Пенза : Изд-во ПГУ, 2011. – 1 т. – С. 91–93.
7. Р е д ь к и н , Н . П . О полных проверяющих тестах / Н. П. Редькин // Математические вопросы кибернетики : сб. ст. / под ред. С. В. Яблонского. – Вып. 2. – М. :
Наука, 1989. – С. 198–222.
References
1. Yablonskiy S. V. Vvedenie v diskretnuyu matematiku [Introduction into discrete mathematics]. Moscow: Vyssh. shk., 2001, 384 p.
2. Lupanov O. B. Asimptoticheskie otsenki slozhnosti upravlyayushchikh sistem [Asymptotic evaluation of control systems complexity]. Moscow: Izd-vo MGU, 1984,
138 p.
3. Alekhina M. A., Epifanov S. Yu. Molodezhnaya matematicheskaya nauka. 2012: sb.
materialov Vserossiyskoy s Mezhdunar. uchastiem molodezhnoy nauchno-prakticheskoy konf. [Youth mathematical science 2012: proceedings of the All-Russian and International youth scientific-practical conference]. Saransk: Izd-vo Mordovskogo gos. ped.
instituta imeni M. E. Evsev'eva, 2012, pp. 94–96.
4. Aksenov S. I. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Estestvennye nauki [University proceedings. Volga region. Natural sciences]. 2005, no. 6 (21),
pp. 42–55.
5. Alekhina M. A. Diskretnaya matematika [Discrete mathematics]. 2012, vol. 24,
no. 3, pp. 17−24.
6. Alekhina M. A. Problemy avtomatizatsii i upravleniya v tekhnicheskikh sistemakh
2011: tr. Mezhdunar. nauch.-tekhn. konf. [Issues in automation and control in technical
systems 2011: proceedings of the International scientific and technical conference].
Penza: Izd-vo PGU, 2011, vol. 1, pp. 91–93.
7. Red'kin N. P. Matematicheskie voprosy kibernetiki: sb. st. [Mathematical problems in
cybernetics: collected papers]. Moscow: Nauka, 1989, vol. 2, pp. 198–222.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Алехина Марина Анатольевна
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующая кафедрой
дискретной математики, Пензенский
государственный университет
(г. Пенза, ул. Красная, 40)
Alekhina Marina Anatol'evna
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of discrete mathematics, Penza State
University (Penza, 40 Kransaya str.)
E-mail: alehina@pnzgu.ru
УДК 519.718
Алехина, М. А.
О числе элементов схемы, реализующей обобщенную функцию голосования / М. А. Алехина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 2 (26). – С. 5–16.
16
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.3
М. Ю. Медведик, А. А. Щукина, И. А. Родионова
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ТЕЛЕ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ,
РАСПОЛОЖЕННОМ В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ1
Аннотация. Цель работы: изучение процессов распространения электромагнитных волн внутри тел, расположенных в свободном пространстве. Исследование свойств поведения поверхностных токов на теле сложной геометрической формы. Рассматриваемая задача исследовалась методом объемных интегральных уравнений. Для тела канонической формы, имеющего вид прямоугольного параллелепипеда, строится расчетная сетка. Вводятся базисные
функции, удовлетворяющие условию аппроксимации. Применяя проекционный метод, задача сводится в системе линейных алгебраических уравнений.
Используя субиерархический метод, задача решается на телах сложной геометрической формы. Предложен эффективный метод решения рассматриваемой задачи на телах сложной геометрической формы. Применяя описанный
метод, получены решения задач дифракции на нескольких однородных телах,
имеющих различную геометрическую форму.
Ключевые слова: задача дифракции, интегральное уравнение, метод коллокации, численные результаты.
M. Yu. Medvedik, A. A. Shchukina, I. A. Rodionova
NUMERICAL SOLUTION OF THE PROBLEM
OF ELECTROMAGNETIC WAVE DIFFRACTION
ON THE COPOUND BODY, LOCATED IN FREE SPACE
Abstract. Objective of the work is to study the process of electromagnetic waves
distribution in bodies located in free space and the behavior of the surface currents
on the body of arbitrary geometrical shape. To solve the said problem the authors
use the method of volume singular integral equations. For rectangular parallelepiped-shaped bodies the researchers construct a computational grid. The authors introduce basic functions that comply with the condition of approximation. The integral equation is reduced to a system of linear algebraic equation with the help of a
projection method. Using the subhierarchic method the problem is solved on the
body of arbitrary geometrical shape. The researchers suggest an efficient numerical
solution to the considered problem. Via the said method the authors have obtained
the diffraction problem solutions for several homogeneous bodies of different geometrical shape.
Key words: problem of diffraction, integral equation, method of collocation, numerical results.
Введение
Исследование задач математической физики и, в частности, теории дифракции представляет большой теоретический и практический интерес. Од1
Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты №№ 11-07-00330-а, 12-07-97010-р_а
и ФЦП «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы, соглашение № 14.В37.21.1950.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ной из актуальных задач электродинамики, является определение рассеянного
поля на неоднородных диэлектрических телах. Рассмотрим задачу рассеяния
электромагнитной волны на трехмерных неоднородных телах. В подобных
задачах иногда удается получить аналитические решения для фигур простой
геометрической формы [1, 2], но в большинстве случаев удается получить
только численные решения. Рассмотрим задачу распространения электромагнитного поля на неоднородном теле сложной геометрической формы, расположенном в свободном пространстве. Существует два основных подхода решения подобных задач. Первый подход связан с применением конечно разностных методов. Данный подход позволяет достаточно просто свести краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений. Однако данный
подход имеет существенный недостаток. Его суть – в необходимости моделировать условия излучения на бесконечности. Для этого тело заключается в
область как можно больших размеров (моделирующую бесконечность) и
строится расчетная сетка внутри этой области. Это приводит к созданию разряженных матриц огромных размеров и поиску эффективных методов их решения. Второй подход заключается в сведении краевой задачи к объемному
сингулярному интегральному уравнению на теле [3]. Данный подход позволяет строить расчетную сетку только на теле, что является несомненным преимуществом. Однако полученное объемное сингулярное интегральное уравнение имеет особенность в области интегрирования, поэтому необходимо
разрабатывать эффективные методы решения данного уравнения. Один из таких методов представлен в [3, 4].
Следует отметить, что для тел, размеры которых значительно меньше
или значительно больше длины волны, возможно применение асимптотических методов. Однако в «резонансном» случае, когда размеры тела сравнимы
с длиной волны, применение асимптотических методов невозможно, и приходится решать задачу численно с помощью современных компьютеров.
Также малоэффективным является использование пакетного подхода
при решении данных задач. Большинство пакетов прикладных программ используют в своей основе конечноразностные методы, что по описанным выше причинам не дает достаточной точности решения.
В настоящее время, благодаря быстрому развитию компьютерной техники и разработке новых подходов и методов, появились численные решения
поставленной задачи. Однако большинство решений выполнено на телах простой геометрической формы. В данной работе мы приводим результаты решения поставленной задачи на телах сложной геометрической формы, полученных субиерархическим методом [5]. Представленный в статье метод позволяет решать подобные задачи на телах сложной геометрической формы,
опираясь на результаты, полученные при решении задачи на теле базовой
(канонической) формы [6–16].
1. Постановка задачи
Пусть тело Q ∈ R3 , расположенное в свободном пространстве, имеет
диэлектрическую проницаемость, характеризующеюся функцией ε ( x ) , и кусочно-гладкую границу ∂Q . Рассмотрим задачу дифракции электромагнитного поля на теле Q (рис. 1). Вне тела Q диэлектрическая проницаемость
18
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
ε = ε0 , где ε0 – диэлектрическая проницаемость свободного пространства.
Источник поля J E0 ∈ R3 / Q находится за пределами Q . Падающее поле выражается через ток J E0 [3].
E0 , H 0
E, H
Q
Рис. 1. Тело Q , расположенное в свободном пространстве
Данная задача описывается системой уравнений Максвелла:

 
rot H = −iωεˆ E + jE0 ,



rot E = iωμ0H .
 
Для E , H должны выполняться краевые условия на границе тела:


E τ  |∂Q = 0. H τ  |∂Q = 0,
 
 
(1)
(2)
где [⋅] – скачок предельных значений.
 
Для E , H должны выполняться краевые условия излучения на бесконечности:
 ∂E

 1   ∂H

1
− ikE  = o   , 
− ikH  = o   , r → ∞ .

 ∂r

 r   ∂r

r
(3)
Рассматриваемая задача может быть сведена к объемному интегральному сингулярному уравнению:




E 0 ( x ) = ξ ( x ) J ( x ) − k02 G ( r ) J ( y ) dy − grad div G ( r ) J ( y ) dy , x ∈ Π. (4)

Q

Q
Данное уравнение может быть решено различными численными методами (мы выбрали метод коллокации) с целью сокращения числа операций.
2. Метод коллокации
Рассмотрим метод коллокации для численного решения объемного сингулярного интегрального уравнения (4). Здесь П – прямоугольный параллелепипед Π = {x : a1 < x1 < a2 , b1 < x2 < b2 , c1 < x3 < c2 } , расположенный в свободном пространстве, имеет диэлектрическую проницаемость, характеризующуюся функцией ε ( x ) ; G ( x, y ) – функция Грина вида G ( x, y ) =
Physics and mathematics sciences. Mathematics
e
ik x − y
x− y
;
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


E 0 ( x ) – падающее поле; J ( x ) – токи поляризации внутри тела;
−1
−1

 ε( x) 
 ε ( x )  
ξ( x) = 
− 1 и J ( x ) = 
− 1 E ( x ) .
 ε0

 ε0

Построим на Π равномерную сетку, т.е. разобьем Π на элементарные
подобласти Π i с кусочно-гладкими границами ∂Π i так, чтобы выполнялись
условия Π i ∩ Π j = ∅ при i ≠ j и Π =  Π i (рис. 2).
i
Z
0
Y
0
X
Πi
Рис. 2. Построение сетки
Будем использовать трехиндексную нумерацию подобластей
Π klm = {x : x1,k < x1 < x1,k +1 , x2,l < xl < x2,l +1 , x3,m < x3 < x3,m+1} ;
a −a
b −b
c −c
x1,k = a1 + 2 1 k , x2,l = b1 + 2 1 l , x3,m = c1 + 2 1 m,
n
n
n
где k , l , m = 0,..., n − 1 .
Выберем в каждой подобласти Π i точку (узел) коллокации xi . Рассмотрим базисные функции
1, x ∈ Π i ,
vi = 
0, x ∉ Π i .
(5)
Пусть подпространства X n являются линейными оболочками базисных
функций X n = span{vl , , vn } . Потребуем, чтобы для выбранных базисных
функций выполнялось условие аппроксимации:
∀x ∈ X lim inf x − x = 0.
n→∞ x∈X n
Для уравнения Aϕ = f (ϕ, f ∈ X ) с линейным ограниченным оператором A : X → X в гильбертовом пространстве X рассмотрим метод коллока-
20
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
ции, который формулируется следующим образом. Приближенное решение
ϕn ∈ X n определяется из уравнения Pn Aϕn = Pn f . Здесь ϕn ∈ X n ( X n есть
n -мерное подпространство пространства X ), Pn : X → X n – оператор проектирования на конечномерное подпространство, который определяется ниже.
Уравнение Pn Aϕn = Pn f эквивалентно следующему:
( Aϕn )( x j ) = f ( x j ), j = 1, , n.
Представим приближенное решение в виде линейной комбинации баn
зисных функций: ϕn =
 ck vk . Подставив это представление в схему метода
k =1
коллокации, получим систему линейных алгебраических уравнений для
отыскания неизвестных коэффициентов ck :
n
 ck ( Avk )( x j ) = f ( x j ), j = 1, , n.
(6)
k =1
Расширенную матрицу, полученную из метода коллокации, удобно
представить в блочной форме:
 A11

 A21
A
 31
A12
A22
A32
A13 B1 

A23 B2  .
A33 B3 
(7)
Элементы Bk и Akl определяются из соотношений:
Bks = E0k ( xs ) ;

Aklsj = ξkl f jl ( xs ) − δ kl k02 G ( xs , y ) f jl ( y )dy −
Q
(8)
∂
∂xk
∂
 ∂xl G( xs , y) f j ( y)dy.
l
(9)
Q
Здесь xs = ( xs1 , xs 2 , xs3 ) точки коллокации с координатами
xs1 = ( s1 + 0,5 ) h1 , xs 2 = ( s2 + 0,5 ) h2 , xs3 = ( s3 + 0,5 ) h3 ,
k , l = 1, 2,3 ; s1 , s2 , s3 , j1 , j2 , j3 = 0,, n − 1 .
Продифференцировав выражение (9), можно расписать отдельно формулы для диагональных и недиагональных блоков матрицы.
Обозначим
r = xs − y , тогда функция Грина примет вид
eikr
.
r
Рассмотрим случай s ≠ j и k = l :
G ( xs , y ) =
∂
∂xl
 ∂
 ∂
G ( xs , y )  =

 ∂xl
 ∂xl
 ikr ( xl − yl )
( x − yl ) 
r − eikr l

 ∂ eikr  ∂  e ik
r
r

=

=

r2
 ∂xl r  ∂xl 
Physics and mathematics sciences. Mathematics
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
=
∂  ikr  ik ( xl − yl ) ( xl − yl )  
−
e 
 .
∂xl 
r2
r3

 
 ik ( xl − yl ) ( xl − yl ) 
−
Продифференцируем отдельно eikr и 
:
r2
r3


ik ( xl − yl )
∂ ikr
;
e = eikr
∂xl
r
2
2
2
∂  ik ( xl − yl ) ( xl − yl )  ikr − 2ik ( xl − yl ) r − 3 ( xl − yl )
.
−
=
−


∂xl 
r2
r3 
r4
r5
Подставим полученные результаты для повторного дифференцирования по xl . Получим
ik ( xl − yl ) ik ( xl − yl ) ikr ik ( xl − yl ) ( xl − yl )

∂  ∂
⋅
−e
⋅
+
G ( xs , y )  = eikr

∂xl  ∂xl
r
r
r2
r3

+e
ikr
2
2
2
ikr 2 − 2ik ( xl − yl ) ikr r 2 − 3 ( xl − yl )
eikr k ( xl − yl )
−e
=−
+
r
r4
r5
r2
(
2
eikr ik r − 3 ( xl − yl )
+
r
r3
2
)−e
 1 3 ( x − y )2 
l
l
 −
=
4
r  r2

r


ikr
 ( x − y )2  3 3ik
1 
 ik
l
= G ( xs , y )  l
−
− k0 2  + 0 −  .


r
r2
 r2
 r
r 2 

Таким образом, в случае s ≠ j и k = l матричные элементы принимают
вид

Allsj = ξll f jl ( xs ) − k02 G ( xs , y ) f jl ( xs ) dy −
Q
 ( x − y )2  3 3ik
1  l
l
2  ik0
− G ( xs , y )  l
−
−
k
+
−
f ( x ) dy ,
0 
 2
2
2 j s

r
r
r
r
r


Q



(10)
где r = xs − y .
Рассмотрим случай s ≠ j и k ≠ l :
∂
∂xk
22
 ∂

∂
G ( xs , y )  =

 ∂xl
 ∂xk
 ∂ eikr 
∂

=
 ∂xl r  ∂xk
 ikr ( xl − yl )
( x − yl ) 
r − eikr l
 e ik

r
r

=
r2


University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
=
∂  ikr  ik ( xl − yl ) ( xl − yl )  
−
e 
 .
∂xk 
r2
r3

 
Также проведем дифференцирование по частям:
ik ( xk − yk )
∂ ikr
e = eikr
;
r
∂xk
∂  ik ( xl − yl ) ( xl − yl )  −2ik ( xl − yl )( xk − yk ) 3 ( xl − yl )( xk − yk )
−
+
.

=
∂xk 
r2
r3 
r4
r5
Подставим полученные результаты:
∂
∂xk
ik ( xk − yk )  ik ( xl − yl ) ( xl − yl ) 
 ∂

G ( xs , y )  = eikr
−

+

r
r2
r3
 ∂xl



 −2ik ( xl − yl )( xk − yk ) 3 ( xl − yl )( xk − yk ) 
+eikr 
+
=
r4
r5


=
eikr ( xl − yl )( xk − yk )  3 3ik
2
 2 − r − k0  =
2
r
r
r

= G ( xs , y )
( xl − yl )( xk − yk ) 
r
3 3ik
2
 2 − r − k0  .
r

2
Таким образом, для s ≠ j и k ≠ l матричные элементы принимают вид
( )
Aklsj = ξkl f jl x j −

− G ( xs , y )
( xl − yl )( xk − yk ) 
r
Q
2
3 3ik
2 l
 2 − r − k0  f j ( xs ) dy,
r

где r = xs − y .
Выведем формулу выделения особенности
носителей.
Распишем функцию Грина следующим образом:
для
(11)
совпадающих
 eikr 1  1
− + .
G ( xs , y ) = 
 r
r  r

.
Обозначим через gˆ ( r ) =
eikr 1
− и вычислим
r
r
 k2
 k2
 ( x − yl )( xk − yk )  3 3ik
2
+ grad div + k 2 ⋅ gˆ  =
+ G ( xs , y )  l

 2 − r −k +
2
 r
 r
r
r




(
)
Physics and mathematics sciences. Mathematics
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
+
ik 1  1 3 ( xl − yl )( xk − yk )
k 2 ( xl − yl )( xk − yk )
− + −
+ k 2 gˆ =
+
×
r r 2  r3
r
r5
r2
 3eikr 3ikreikr
×
−
 r3
r3

−
3 ( xl − yl )( xk − yk )
r5
+
k2
r

( xl − yl )( xk − yk ) 2 ikeikr eikr 1
k +
−
+ −
 − G ( xs , y )

r2
r2
r3 r3

+ k 2G ( xs , y ) −
 ( x − yl )( xk − yk ) 
k2
= k 2G ( xs , y ) 1 − l
+
r
r2


 3 ( xl − yl )( xk − yk )  eikr − ikreikr − 1   eikr − ikreikr − 1  


−
 .

 


r5
r 2k 2
r 2k 2

 

Итак, формула для выделения особенности для совпадающих носителей s = j и k = l имеет вид
Alljj
= ξll f jl
( x j ) − αl δll − δll 
k02G
Q
(
 ( x − y )2 
l
 f jl x j +
x j , y 1 − l
2


r


)
( )

( xl − yl )2
k02 
3Φ ( r )
+
− Φ ( r )  f jl x j dy .
r 

r2


( )
(12)
Для s = j и k ≠ l
( )
Akljj = ξkl f jl x j − αl δkl −
 ( x − yl )( xk − yk )  l
−δkl k02G x j , y  1 − l
 f j xj +
2
r


Q

(
)
( )

( x − yl )( xk − yk )
k2 
+ 0  3Φ ( r ) l
− Φ ( r )  f jl x j dy .
2
r 
r

( )
Здесь Φ ( r ) =
eikr − ikreikr − 1
r 2k 2
αl = 1 / 3 в случае, если h1 = h2 = h3 .
(13)
– всюду дифференцируемая функция, а
3. Численные результаты
Пусть фигура Π имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Будем называть ее фигурой канонической формы. Построим расчетную сетку
для фигуры Π (см. рис. 2). Алгоритм построения расчетной сетки описан
в [6]. Используем субиерархический метод для получения решения интегрального уравнения на теле сложной геометрической формы Q . Для этого
создадим вектор геометрии W для фигуры Q [6]. Воспользуемся матрицей
полученной методом коллокации для фигуры канонической формы. Для ре-
24
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
шения задачи дифракции на теле сложной геометрической формы Q необходимо, чтобы Q целиком вмещалось в прямоугольный параллелепипед Π и
состояло из элементов сетки Π i . Если фигура сложной формы получена из
фигуры канонической формы путем исключения одного носителя Π q , то решение интегрального уравнения производится на подматрице, представленной ниже. Вектор W описывает геометрию фигуры, выделенной из фигуры
канонической формы:
1,....,2
 X ( m +1)   a1,....,1 X
a1,....,1
X1,..,2
 1,....,1   1,....,1 1,..,1
 ( m +1)   1,....,1
1,....,2
a1,....,2
X1,..,2
 X1,....,2   a1,....,2 X1,..,1



...
...
...

 
 X ( m+1)   1,....,1
1,....,2
q
...,
-1,...

 =  a...,q -1,... X1,..,1 a...,q -1,... X1,..,2
 ( m +1)  
0
0
 X ...,q ,...  
1,....,2
 ( m+1)   a 1,....,1 X
a
X
 X ...,q +1,...   ...,q +1,... 1,..,1 ...,q +1,... 1,..,2

 
...
...
...

 
1,....,2
 X ( m+1)   a1,....,1 X
an,....,n X1,..,2
 n,....,n   n,....,n 1,..,1
q-1,...
... a...,
1,....,1 X ..,q -1,..
0
q +1,...
a..,1,....,1
X ..,q +1,.. ...
q-1,...
... a...,
1,...,2 X ..,q -1,..
0
q +1,...
a..,1,....,2
X ..,q +1,.. ...
...
...
..
...
...
...
...,q-1,...
a...,
q -1,... X ..,q -1,..
0
..,q +1,...
a...,
q -1,... X ..,q +1,..
...
...
0
0
0
...
...,q-1,...
..,q +1,...
... a...,
q +1,... X ..,q -1,.. 0 a..,q +1,... X ..,q +1,.. ...
...
...
...
...
...
q-1,...
... a...,
n,.....,n X ..,q -1,..
0
+1,...
a..,nq,....,
n X ..,q +1,.. ...
n,....,n
a1,....,1
X n,..,n 


n,.....,n
X n,..,n 
a1,.....,2

...

n,....,n

a...,
X
q-1,... n,..,n 

0

n,....,n
a ..,q +1,.. X n,..,n 


...

n,....,n
an,....,n X n,..,n 
Скорость построения новой матрицы будет напрямую зависеть от размера фигуры и размера сетки.
Рассматриваемый метод позволил избежать повторных расчетов, связанных с вычислением матричных элементов. Особенно хорошо данный метод проявляет себя при расчете серии задач на телах различной формы. Очень
эффективно использование данного метода для решения больших инженерных задач.
Приведем результаты решения интегрального уравнения на кубе с размерной сеткой 8×8×8 (рис. 3).
Рис. 3. Куб с размерной сеткой 8×8×8
Волна падает вдоль оси Оy. Правая часть матричного уравнения равна
единице. На рис. 4 представлены значения модуля второй компоненты электрического поля на втором, пятом и восьмом слоях соответственно.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
а)
б)
в)
Рис. 4. Второе, пятое и восьмое сечения куба, сетка 8×8×8,
волновое число внутри тела k = 0,8
Рассмотрим тело Q более сложной геометрической формы (рис. 5, 6).
Рис. 5. Тело Q , «выделенное» из тела канонической формы
26
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
а)
б)
в)
Рис. 6. Проекции фигуры Q (рис. 4) на оси
При помощи вектора геометрии W описываем фигуру Q . Строим новую сетку и, используя построенный вектор, решаем задачу на фигуре сложной геометрической формы. Решая систему линейных алгебраических уравнений для матрицы, составленной с использованием новой сетки, находим
значения поля внутри фигуры сложной формы. Волна также падает вдоль оси
Оy. Правая часть матричного уравнения равна единице. На рис. 7 представлены значения модуля второй компоненты электрического поля на втором, пятом и восьмом слоях соответственно.
Решим задачу на теле P несимметричной сложной формы (рис. 8).
На рис. 9 представлены значения модуля второй компоненты электрического поля на втором, пятом и восьмом слоях соответственно.
Заключение
Разработан программный комплекс для решения задачи дифракции
электромагнитной волны на теле, расположенном в свободном пространстве.
Комплекс позволяет эффективно решать задачи для тел сложной формы. Построенная модель представляет интерес при расчете печатных плат и многослойных структур. Для решения рассматриваемой задачи использовался суперкомпьютерный комплекс Московского государственного университета
имени М. В. Ломоносова.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
б)
а)
в)
Рис. 7. Второе, пятое и восьмое сечения тела Q (рис. 4),
сетка 8×8×8, волновое число внутри тела k = 0,8
Рис. 8. Тело P несимметричной сложной формы,
«выделенное» из тела канонической формы
28
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
б)
а)
в)
Рис. 9. Второе, пятое и восьмое сечения тела P (рис. 8),
сетка 8×8×8, волновое число внутри тела k = 0,8
Список литературы
1. Г у р и н а , Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции
электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном
в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2010. – № 2. – С. 44–53.
2. Г р и ш и н а , Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции
электромагнитного поля на двух секциях с разной диэлектрической
проницаемостью, расположенных в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гришина,
Е. Д. Деревянчук, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 4. –
С. 73–81.
3. С а м о х и н , A . Б. Интегральные уравнения и итерационные методы
в электромагнитном рассеянии / A. Б. Самохин. – М. : Радио и связь, 1998. – 160 с.
4. И л ь и н с к и й , А . С . Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких
экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. – М. : Радиотехника, 1996. – 176 с.
5. М е дв е ди к , М . Ю . Применение субиерархического метода в задачах
электродинамики / М. Ю. Медведик // Вычислительные методы и
программирование. – 2012. – Т. 13. – С. 87–97.
6. С м и р н о в , Ю . Г . Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного
объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной
Physics and mathematics sciences. Mathematics
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2008. – № 3. – С. 39–54.
7. М е дв е ди к , М . Ю . Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов
в электромагнитной задаче дифракции на экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов,
С. И. Соболев // Вычислительные методы и программирование. – 2005. – Т. 6. –
С. 99–108.
8. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический параллельный вычислительный
алгоритм для решения задач дифракции электромагнитных волн на плоских
экранах / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2008. –
Т. 53, № 4. – С. 441–446.
9. М е дв е ди к , М . Ю . Применение ГРИД-технологий для решения объемного
сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 2. – С. 2–14.
10. С м и р н о в , Ю . Г . Метод коллокации решения объемного сингулярного
интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости
материала / Ю. Г. Смирнов, М. Ю. Медведик, Д. И. Васюнин // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. –
№ 3. – С. 71–87.
11. М е дв е ди к , М . Ю . Численное решение объемного сингулярного интегрального
уравнения методом коллокации / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2009. – № 4. – С. 54–69.
12. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический подход для решения объемного
сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом
теле в волноводе методом коллокации / М. Ю. Медведик, Д. А. Миронов,
Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2010. – № 2. – С. 32–43.
13. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический метод решения интегрального
уравнения Липпмана – Швингера / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 4. –
С. 82–88.
14. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический метод решения задачи дифракции
электромагнитных волн на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе /
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2011. – Т. 56,
№ 8. – С. 940–945.
15. М е дв е ди к , М . Ю . Метод коллокации для решения задачи дифракции
электромагнитных волн на диэлектрическом теле, расположенном в резонаторе /
М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2011. – № 2. – С. 28–40.
16. М е дв е ди к , М . Ю . Численное решение задачи дифракции электромагнитных
волн на диэлектрическом теле, расположенном в прямоугольном резонаторе /
М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2011. – № 3. – С. 22–31.
References
1. Gurina E. E., Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G. Izvestiya vysshikh uchebnykh
zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings.
Volga region. Physics and mathematics sciences]. 2010, no. 2, pp. 44–53.
2. Grishina E. E., Derevyanchuk E. D., Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G. Izvestiya
vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki
30
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
[University proceedings. Volga region. Physics and mathematics sciences]. 2010, no. 4,
pp. 73–81.
3. Samokhin A. B. Integral'nye uravneniya i iteratsionnye metody v elektromagnitnom
rasseyanii [Integral equations and iteration methods in magnetic scattering]. Moscow:
Radio i svyaz', 1998, 160 p.
4. Il'inskiy A. S., Smirnov Yu. G. Difraktsiya elektromagnitnykh voln na provodyashchikh
tonkikh ekranakh [Diffraction of electromagnetic waves on conducting thin screens].
Moscow: Radiotekhnika, 1996, 176 p.
5. Medvedik M. Yu. Vychislitel'nye metody i programmirovanie [Computational methods
in programming]. 2012, vol. 13, pp. 87–97.
6. Smirnov Yu. G. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fizikomatematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physics and mathematics
sciences]. 2008, no. 3, pp. 39–54.
7. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G., Sobolev S. I. Vychislitel'nye metody i
programmirovanie [Computational methods in programming]. 2005, vol. 6, pp. 99–108.
8. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and
electronics]. 2008, vol. 53, no. 4, pp. 441–446.
9. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy.
Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga
region. Physics and mathematics sciences]. 2008, no. 2, pp. 2–14.
10. Smirnov Yu. G., Medvedik M. Yu., Vasyunin D. I. Izvestiya vysshikh uchebnykh
zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings.
Volga region. Physics and mathematics sciences]. 2009, no. 3, pp. 71–87.
11. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy.
Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga
region. Physics and mathematics sciences]. 2009, no. 4, pp. 54–69.
12. Medvedik M. Yu., Mironov D. A., Smirnov Yu. G. Izvestiya vysshikh uchebnykh
zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings.
Volga region. Physics and mathematics sciences]. 2010, no. 2, pp. 32–43.
13. Medvedik M. Yu. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fizikomatematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physics and mathematics
sciences]. 2010, no. 4, pp.82–88.
14. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and
electronics]. 2011, vol. 56, no. 8, pp. 940–945.
15. Medvedik M. Yu. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fizikomatematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physics and mathematics
sciences]. 2011, no. 2, pp. 28–40.
16. Medvedik M. Yu. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fizikomatematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physics and mathematics
sciences]. 2011, no. 3, pp. 22–31.
Медведик Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Medvedik Mikhail Yur'evich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling, Penza State
University (Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: _medv@mail.ru
Physics and mathematics sciences. Mathematics
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Щукина Анна Александровна
студентка, Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Shchukina Anna Aleksandrovna
Student, Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Родионова Ирина Анатольевна
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Rodionova Irina Anatol'evna
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling, Penza State
University (Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
УДК 517.3
Медведик, М. Ю.
Численное решение задачи дифракции электромагнитных волн на
теле сложной формы, расположенном в свободном пространстве /
М. Ю. Медведик, А. А. Щукина, И. А. Родионова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. –
№ 2 (26). – С. 17–32.
32
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.9
И. В. Бойков, В. А. Рязанцев
О ДОСТАТОЧНЫХ КРИТЕРИЯХ УСТОЙЧИВОСТИ
РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Аннотация. Работа посвящена анализу устойчивости в смысле Ляпунова решений систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа с коэффициентами, зависящими от времени. Исследование устойчивости основано на применении преобразования Фурье по
пространственным переменным для перехода от исходной задачи к параметрической системе обыкновенных дифференциальных уравнений в спектральной области и на последующем анализе устойчивости решения этой системы
при использовании преобразований Ляпунова и логарифмических норм. Предложен алгоритм, позволяющий получать достаточные критерии устойчивости
решений конечных систем линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа с коэффициентами, зависящими от времени, а также даны
примеры применения этого алгоритма к исследованию устойчивости решений
гиперболического уравнения и системы гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами. Предложенный метод может быть использован при
исследовании динамических систем, описываемых системами гиперболических уравнений.
Ключевые слова: устойчивость, гиперболические уравнения, преобразование
Ляпунова, логарифмическая норма.
I. V. Boykov, V. A. Ryazantsev
ON THE STABILITY CRITERIA OF SOLUTIONS OF PARTIAL
DIFFERENTIAL EQUATIONS OF HYPERBOLIC TYPE
Abstract. The paper is dedicated to the analysis of Liapunov stability of solutions of
systems of linear partial differential equations of hyperbolic type with timedepending coefficients. Investigation of stability is based on the use of Fourier
transformation in space variables for the transition from original problem to parametric system of ordinary differentials equations in spectral domain, and the further
analysis of solutions of the system with the use of Liapunov transformations and
logarithmic norms. An algorithm that enables to obtain criteria of stability of solutions of finite systems of linear hyperbolic equations with time-depending coefficients has been proposed, and also several examples of application of the algorithm
for the investigation of stability of solutions of hyperbolic equation and of the system of hyperbolic equations with constant coefficients have been given. The devised
algorithm can be used for investigation of dynamical systems that are governed by
systems of hyperbolic equations.
Key words. Liapunov stability, hyperbolic equations, Liapunov transformation, logarithmic norm.
Введение
Анализ устойчивости решений уравнений в частных производных
представляет огромный интерес в связи с многочисленными приложениями
в физике и технике. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
Physics and mathematics sciences. Mathematics
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
в частных производных является предметом большого числа исследований,
результаты которых широко представлены в литературе; в первую очередь
следует назвать публикации [1–4], включающие в себя обширные библиографии.
Предметом настоящей работы является проблема устойчивости тривиальных решений линейных уравнений в частных производных гиперболического типа. В данной публикации развивается подход, ранее использованный
в работах [5, 6], для исследования устойчивости решений уравнений параболического типа. Этот подход основывается на применении преобразования
Фурье для перехода от гиперболических уравнений к соответствующим
обыкновенным дифференциальным уравнениям в спектральной области и последующей оценке их решений с помощью логарифмических норм. Логарифмическая норма некоторого оператора A задается формулой [7]
Λ ( A ) = lim
I + hA − 1
h↓0
h
,
и в случае, если A – комплексная матрица, логарифмическая норма Λ ( A )
в пространстве с нормами
 n
x =
xk
 k =1

12
2


 n n
и A =
aij
 i =1 j =1


12
2



вычисляется по следующей формуле [7, 8]:
 A + A∗ 
Λ ( A ) = λ max 
,
 2 
(1)
где λ max – максимальное собственное значение матрицы; A∗ – матрица, сопряженная к A .
В данной работе формулируется и доказывается теорема, связывающая
устойчивость тривиального решения гиперболического уравнения с существованием для соответствующего дифференциального уравнения в спектральной области матрицы Ляпунова, переводящего матрицу исходного
уравнения в матрицу с отрицательной логарифмической нормой. Описывается возможный подход к нахождению матрицы Ляпунова, а также приводятся
примеры получения критериев устойчивости с помощью построения такой
матрицы для некоторых простых классов гиперболических уравнений.
1. Основная теорема
Рассмотрим задачу Коши для системы линейных уравнений в частных
производных гиперболического типа с коэффициентами, зависящими от времени:
∂ 2u (t , x)
∂t 2
= A(t )
∂u (t , x) n
∂ 2u (t , x)
+
Bk (t )
+ Bn +1 (t )u (t , x);
∂t
∂xk2
k =1

u (t0 , x) = u00 ( x);
34
(2)
(3)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
∂u (t0 , x)
= u01 ( x);
∂t
(4)
T
где u (t , x) = ( u1 (t , x),..., um (t , x) ) , x = ( x1 ,..., xn ) , и A(t ) и Bk (t ) , k = 1, n + 1 –
квадратные матрицы порядка m .
Исследование устойчивости решения задачи Коши (2)–(4) будем проT
водить в банаховом пространстве вектор-функций f ( x) = ( f1 ( x),..., f m ( x) )
c нормой
12
∞ ∞

2
2
f =  ...  f1 ( x) + ... + f m ( x)  dx1...dxn 




 −∞ −∞

 
.
(5)
При каждом фиксированном значении t норма функции u (t , x)
определяется формулой
12
∞ ∞

2
2
u (t , x) =  ...  u1 (t , x) + ... um (t , x)  dx1...dxn 




 −∞ −∞

 
.
(6)
Будем считать, что решение u (t , x) задачи (2)–(4) существует при t ≥ t0
∂ 2u (t , x)
∂u (t , x)
и
суммируемо
∂t
∂t 2
с квадратом по пространственным переменным.
Применим к задаче (2)–(4) преобразование Фурье по пространственным
переменным, в результате чего получим
и вместе со своими производными
∂ 2U (t , ω)
∂t 2
= A(t )
∂U (t , ω) n
−
Bk (t )ω2kU (t , ω) + Bn +1 (t )U (t , ω);
∂t
k =1

(7)
∂U (t0 , ω)
= U 01 (ω);
∂t
(8)
U (t0 , ω) = U 00 (ω),
(9)
где ω = ( ω1 ,..., ωn ) .
V1 (t , ω) = U (t , ω)
Сделаем
замену
неизвестных
функций
и
∂U (t , ω)
V2 (t , ω) =
. Тогда вектор-функции V1 (t , ω) , V2 (t , ω) при каждом фикси∂t
рованном ω∈ R n подчиняются следующему операторному уравнению [7, 8]:
∂V
= Ψ (t , ω)V ,
∂t
T
где V = (V1 ,V2 )
(10)
– ( 2m ) -мерная вектор-функция,
Physics and mathematics sciences. Mathematics
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 0
Ψ (t , ω) = 
 B (t , ω)
I 
,
A(t ) 
(11)
n
причем B (t , ω) = Bn+1 (t , ω) −
 ωi2 Bi (t ) , а
0 и I – соответственно нулевая и
i =1
единичная квадратные матрицы порядка m .
T
Введем новую неизвестную вектор-функцию P = ( P1 , P2 )
V (t , ω) = Γ(t , ω) P(t , ω) , и преобразуем уравнение (10):
такую, что
∂P
= Φ (t , ω) P,
∂t
где
T
P (t , ω) = ( P1 (t , ω),..., P2m (t , ω) ) ,
(12)
Φ = Γ −1ΨΓ − Γ −1
∂Γ
;
∂t
Γ
– матрица
Ляпунова, удовлетворяющая при всех фиксированных ω∈ R n следующим
условиям [9]:
∂Γ
1) матрица Γ(t , ω) имеет непрерывную производную
при t ≥ t0 ;
∂t
∂Γ(t , ω)
2) коэффициенты матриц Γ(t , ω) и
ограничены в интервале
∂t
[ t0 , ∞ ) ;
3) величина det Γ ( t , ω) ограничена снизу некоторой положительной
постоянной.
Замечание 1.1. Условие п. 2, наложенное на матрицу Γ(t , ω) , в
{
}
частности, означает, что существует матрица Γ(ω) = γij (ω) такая, что при
n
каждом фиксированном ω∈ R при всех i, j = 1, 2m выполняются неравенства
{
}
γ ij ( t , ω) ≤ γij ( ω) , где Γ(t , ω) = γ ij (t , ω) .
Нормы вектор-функции P (t , ω) определяются формулами
P ( t , ω) =
2m
 Pk ( t , ω)
2
k =1
, P (t , ω) 1 = max Pk (t , ω) .
k =1,2 m
Справедливы следующие неравенства:
2
2m


2
P ( t , ω) = max Pk (t , ω) =  max P k (t , ω)  ≤
Pk (t , ω) = P (t , ω) ,
1 k =1,2 m
 k =1,2m

k =1
2m
P (t , ω) =

k =1
2
Pk (t , ω) ≤
2m

2


 max Pk (t , ω)  ≤ 2m P (t , ω) 1 .

k =1  k =1,2 m

Следовательно, справедлива оценка
36
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
1
P (t , ω) ≤ P (t , ω) 1 ≤ P(t , ω) .
2m
(13)
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 1.1. Пусть функции f (ω) и g (ω) непрерывны, неотрицательны
∞

и интегрируемы на всей вещественной оси, причем
−∞
Тогда справедливо представление
∞

f (ω) g ( ω) d ω > 0 .
∞
f (ω) g (ω)d ω = μ
−∞
 g (ω)d ω,
(14)
−∞
где константа μ определяется формулой
μ = f (c), − ∞ < c < ∞.
Доказательство. По определению несобственного интеграла I рода
в смысле главного значения имеем
Ai
∞

f (ω) g (ω)d ω = lim
i →∞
−∞

f (ω) g (ω)d ω,
− Ai
где Ai – некоторая бесконечно возрастающая последовательность действительных чисел. По обобщенной теореме о среднем для любого значения Ai
справедливо представление
Ai

Ai
f (ω) g (ω) d ω = f (ωi )
− Ai

g (ω)d ω.
− Ai
Ai

Поскольку пределы lim
i →∞
Ai
f (ω) g (ω)d ω и lim
i →∞
− Ai

g (ω)d ω существуют
− Ai
и конечны, то существует и конечен предел lim f (ωi ) , причем
i →∞
Ai
lim
lim f (ωi ) =
i →∞
i →∞

− Ai
lim

= −∞
Ai
i →∞
∞
f (ω) g (ω)d ω

f (ω) g (ω)d ω
∞
= μ.
 g (ω)d ω
g (ω)d ω
−∞
− Ai
Тот факт, что число μ является значением функции f (ω) , где
−∞ < ω < ∞ , следует из непрерывности функции f (ω) на всей вещественной
прямой, условия 0 < μ < ∞ и формулы lim f (ω) = 0 , вытекающей из
ω→±∞
условия интегрируемости функции f (ω) на числовой оси. Лемма доказана.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Исследуем устойчивость тривиального решения уравнения (7) к возмущению начальных условий (8), (9). При этом исследовании будем использовать логарифмическую норму, определяемую формулой (1).
Зафиксируем малые возмущения U 00 (ω) = ε1 (ω), U 01 (ω) = ε 2 (ω) . Тогда
T
вектор-функция V (t0 , ω) принимает вид V (t0 , ω) = ( ε1 (ω), ε2 (ω) ) , а векторфункция P (t0 , ω)
неравенству
ω∈ R n
удовлетворяет
ε1 (ω) + ε 2 (ω) ⋅ Γ −1 ( t0 , ω) .
(15)
при каждом фиксированном
P ( t0 , ω) ≤
2
2
Введем обозначение B [ a, r ] для замкнутого шара в пространстве R 2m
радиуса r с центром в точке a . Пусть логарифмическая норма Λ ( Φ (t , ω) )
матрицы Φ (t , ω) при всех t ≥ t0 и ω∈ R n удовлетворяет неравенству
Λ ( Φ (t , ω) ) < −α(ω), α ( ω) > 0.
(16)
Докажем, что при всяком фиксированном ω∈ R n траектория P (t , ω)
уравнения (12) при t0 ≤ t < ∞ не покидает шара B [ 0,δ0 ] , где δ0 = P ( t0 , ω) .
Для доказательства предположим противное: пусть при некотором значении
 в момент времени T траектория уравнения (12) покидает шар
ω=ω
B [ 0, δ0 ] . Тогда представим это уравнение следующим образом:
)
∂P(t , ω
 (t, ω
 ) P (t, ω
 )+ Φ
 ) P (t, ω
 ),
= Φ (T , ω
∂t
(17)
 (t, ω
 ) = Φ (t, ω
 ) − Φ (T , ω
 ).
где Φ
Решение операторного уравнения (17) можно представить в виде
t
 ( s, ω
 ) = eΦ (T ,ω )(t −T ) P (T , ω
 ) + eΦ (T ,ω )(t − s ) Φ
 ) P ( s, ω
 ) ds.
P (t , ω

(18)
T
Переходя к нормам, имеем
) ≤ e
P (t , ω
 )(t −T )
Φ (T ,ω
t
) +
P(T , ω
e
 )(t − s )
Φ (T ,ω
 ( s, ω
 ) P ( s, ω
 )ds .
Φ
(19)
T
Оценим первое слагаемое в правой части формулы (19):
 (t −T )
Φ T ,ω
 ) ≤ e−α (ω )(t −T ) P(T , ω
) .
e ( )
P (T , ω
(20)
Для второго слагаемого, используя двустороннюю оценку (13),
получаем
t

T
38

 ( s, ω
 ) P ( s, ω
 )ds ≤ 2т
eΦ (T ,ω)(t − s ) Φ
t
e
T
 )(t − s )
Φ (T ,ω
 ( s, ω
 ) P ( s, ω
 )ds ≤
Φ
1
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
t
≤ 2т
e
 )(t − s )
Φ (T ,ω
1
T
t
≤ 2т
e
 )(t − s )
Φ (T ,ω
 ( s, ω
 ) P ( s, ω
 ) ds ≤
⋅ Φ
1
 ( s, ω
 ) P ( s, ω
 ) ds ≤
⋅ Φ
1
T
t

 ( s, ω
 ) P ( s, ω
 ) ds ≤
≤ 2т e −α (ω)(t − s ) ⋅ Φ

1
T
t

 ( s, ω
 ) P ( s, ω
 ) ds.
≤ 2т e −α (ω)(t − s ) ⋅ Φ

(21)
T
 (t, ω
 ) следует, что для любого как угодно
Из структуры оператора Φ
малого δ(T ) , δ(T ) > 0 , найдется такой промежуток времени ΔT (ω) , что
 (t , ω
 ) P (t , ω
 ) ≤ δ (T ) P(t , ω
) .
Φ
(22)
Из неравенств (21), (22) следует оценка
t

t
 (t − s ) 

Ψ T ,ω
 ) P ( s, ω
 ) ds ≤ δ (T ) 2m e−α( ω)(t − s ) P( s, ω
 ) ds.
e ( )
Φ ( s, ω

T
(23)
T
Из выражений (19), (23) имеем
) ≤e
P (t , ω
 )(t −T )
−α( ω
t

 ) + δ (T ) 2m e
P (T , ω
 )( t − s )
−α( ω
 ) ds.
P ( s, ω
T
 ) . Тогда
Введем в рассмотрение функцию ϕ ( s ) = e−α (ω )(t − s ) P ( s, ω
последнее неравенство запишется следующим образом:
t

ϕ ( t ) ≤ ϕ (T ) + δ (T ) 2m ϕ( s )ds.
(24)
T
Применяя к (24) неравенство Гронуолла – Беллмана и возвращаясь
к нормам, получим
 ) ≤ e[ −α (ω )+δ(T ) 2m ](t −T ) P(T , ω
) .
P (t , ω
Поскольку
число
δ(T )
может
быть
выбрано
(25)
таким,
что
−α(ω) + δ(T ) 2m < 0 , то из (25) следует неравенство
 ) ≤ P (t0 , ω
) .
P (t , ω
Таким образом, получаем противоречие, обосновывающее справедливость при любом ω∈ R n неравенства
Physics and mathematics sciences. Mathematics
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
P (t , ω) ≤ P (t0 , ω) .
Так как V (t , ω) = Γ(t , ω) P(t , ω) , то, используя (15), имеем следующую
оценку:
2
≤ V (t , ω)
2
⋅
1
P (t0 , ω)
U (t , ω)
≤ Γ ( ω)
2
2
≤ Γ ( t , ω) P(t , ω)
2
≤ Γ ( t , ω)
2
⋅
1
P(t , ω)
2
≤
2
2
2
2
≤  ε1 (ω) + ε 2 (ω)  ⋅ Γ ( ω) ⋅ Γ −1 ( t0 , ω) . (26)


Существование матрицы Γ ( ω) следует из замечания 1.1.
Фиксируя векторы начальных возмущений ε1 (ω) и ε 2 (ω) достаточно
2
2
малыми, мы можем сделать множитель  ε1 (ω) + ε 2 (ω)  сколь угодно


малым. Следовательно, если матрица Γ(t , ω) непрерывна по ω , то для любых
Γ ( ω)
и Γ −1 ( t0 , ω) можно выбрать такие функции ε1 (ω) и ε 2 (ω) , что
правая часть неравенства (26) оказывается суммируемой по ω в пространстве
L2 ( R n ) . Кроме того, легко видеть, что ε1 (ω) и ε 2 (ω) можно выбрать такими,
что (ε12 (ω) + ε 22 )) ≤ ε(ω)(| U 00 (ω) |2 + | U 01 (ω) |2 ), где ε(ω) ((ε(ω)>0) такая
−
функция, что выражение ε(ω) || Γ(ω) 2 |||| Γ −1 (t0 , ω) ||2 ограничено при всех ω.
Поэтому интегрируя неравенство (26) и применяя доказанную лемму,
получаем
( )
2
U (t , ω) 2 ≤| ε(ω* ) | Γ ω*
∞
×
∞
 ...   U 00 (ω)
−∞ −∞
2
2
(
⋅ Γ −1 t0 , ω*
)1 ×
2
2
+ U 01 (ω)  d ω1...d ωn ,

где ω* – фиксированная точка в R n , а через U (t , ω) 2 обозначена норма
вектор-функции U (t , ω) в пространстве L2 ( R n ) . Применяя формулу
Планшереля и извлекая квадратный корень, имеем окончательно
12
 ∞ ∞

2
2
u (t , x) 2 ≤ C  ... u00
(ω) + u01
(ω) d ω1...d ωn 


−∞ −∞

 
,
где C = Γ ( ω1 ) ⋅ Γ −1 ( t0 , ω2 ) . Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 1.1. Пусть элементы матриц A(t ) и B (t ) уравнения (2)
непрерывны и ограничены по переменной t и существует матрица Γ(t , ω) ,
удовлетворяющая условиям:
∂Γ
1) матрица Γ(t , ω) имеет непрерывную производную
при t ≥ t0 ;
∂t
40
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
∂Γ
ограничены в интервале [t0 , ∞ ) ;
∂t
ограничена снизу некоторой положительной
2) коэффициенты матриц Γ(t , ω) и
3) величина det Γ ( t , ω)
постоянной.
4) матрица Γ(t , ω) непрерывна по ω ;
5) при каждом значении t ≥ t0 и ω∈ R n логарифмическая норма
∂Γ
, вычисляемая по формуле (1), отрицательна.
матрицы Φ = Γ −1ΨΓ − Γ −1
∂t
Тогда тривиальное решение системы гиперболических уравнений (2)
устойчиво.
Теорема 1.1 позволяет свести анализ устойчивости к поиску матрицы
Γ(t , ω) , удовлетворяющей сформулированным условиям. Покажем, что при
определенных ограничениях на коэффициенты уравнения соответствующая
матрица Γ(t , ω) существует.
Введем следующее определение.
Определение 2.1. Будем говорить, что квадратная матрица Φ порядка
2n , n = 1, 2,... , принадлежит классу Ωn , если ее можно представить в виде
 H1
Φ =
 −K ∗

K 
,
H 2 
где H1 , H 2 и K – квадратные матрицы порядка n , причем элементы
диагональных матриц H1 и H 2 имеют отрицательные действительные части.
Нетрудно убедиться, что вычисляемая по формуле (1) логарифмическая
норма матрицы Λ ( Φ ) , принадлежащей классу Ωn , будет отрицательной, а из
доказательства теоремы следует, что решение дифференциального уравнения
с такой матрицей будет устойчивым.
Воспользуемся теоремой 1.1 для анализа устойчивости тривиальных
решений гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами, для
котороых указаннный анализ является особенно простым в силу того, что
∂Γ
≡0.
искомая матрица Γ не зависит от t и, тем самым,
∂t
Рассмотрим задачу Коши для линейного одномерного гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами:
∂ 2u
∂t 2
= a1
∂u
∂ 2u
+ b1
+ b2u;
∂t
∂x 2
(27)
∂u (t0 , x)
= u01 ( x);
∂t
(28)
u (t0 , x) = u00 ( x).
(29)
Исследование устойчивости решения задачи Коши будем проводить
в банаховом пространстве функций f ( x) с нормой
Physics and mathematics sciences. Mathematics
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
12
∞

2
f ( x) = 
f ( x) dx 


 −∞


.
При каждом фиксированном значении t
определяется формулой
норма функции u (t , x)
12
∞

2
u (t , x) =  u (t , x) dx 


 −∞


.
Будем считать, что решение u (t , x) задачи (27)–(29) существует при
всех значениях t ≥ t0 и вместе со своими производными ∂u / ∂t и ∂ 2u / ∂t 2
суммируемо с квадратом по пространственной переменной.
Применим к задаче (27)–(29) преобразование Фурье по пространственной переменной, в результате чего получим
∂ 2U
∂t
2
= a1
∂U
− b1ω2U + b2U ;
∂t
(30)
∂U (t0 , ω)
= U 01 (ω);
∂t
(31)
U (t0 , ω) = U 00 (ω).
(32)
Сделаем замену независимых функций:
V1 (t , ω) = U (t , ω) ,
V2 (t , ω) =
∂U (t , ω)
.
∂t
Тогда функции V1 (t , ω) , V2 (t , ω) при каждом фиксированном ω∈ R
подчиняются следующему операторному уравнению:
∂V (t , ω)
= Ψ (ω)V (t , ω),
∂t
(33)
0
1

T
где V (t , ω) = (V1 (t , ω),V2 (t , ω) ) и Ψ (ω) = 
.
2
 b − b ω a 
1
 2 1
Поставим задачу отыскания удовлетворяющей условиям теоремы 1.1
матрицы Γ такой, что матрица Φ = Γ −1ΨΓ принадлежит классу Ω1 . Для
этого введем представление
Γ
Γ= 1
 Γ3
Γ2 
.
Γ4 
(34)
Матрица Γ удовлетворяет матричному уравнению ΓΦ = ΨΓ . С учетом
представления (34) это уравнение можно записать в виде системы:
42
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
Γ1H1 − Γ 2 K ∗ = Γ3 ,

Γ1K + Γ 2 H 2 = Γ 4 ,

∗
Γ3 H1 − Γ 4 K = B ( ω) Γ1 + AΓ3 ,
Γ K + Γ H = B (ω)Γ + AΓ ,
4 2
2
4
 3
(
(35)
)
где A = ( a1 ) и B ( ω) = b2 − b1ω2 .
Так как H1 , H 2 и K – квадратные матрицы порядка 1 × 1 , то они
коммутируют. Следовательно, систему (35) можно переписать следующим
образом:
 H1Γ1 − K •Γ 2 − Γ3 = 0,

 K Γ1 + H 2 Γ 2 − Γ 4 = 0,

 b ω2 − b  Γ + [ H − a ] Γ − K ∗Γ = 0,
2 1
1
1 3
4
 1
 2
 b1ω − b2  Γ 2 + K Γ3 + [ H 2 − a1 ] Γ 4 = 0.
Выразив из первых двух уравнений неизвестные Γ3 и Γ 4 , подставим
их в два последних уравнения, в результате чего получим следующую
систему:
{
} {
}
 b ω2 − b + H 2 − a H − KK ∗ Γ + a K ∗ − H K ∗ − H K ∗ Γ = 0,
2
1
1 1
1
1
1
2
2
 1
(36)

{ H1K + H 2 K − a1K } Γ1 + b1ω2 − b2 + H 22 − a1H 2 − KK ∗ Γ 2 = 0.

{
}
Обозначим матрицу системы (36) символом Θ :
 b1ω2 − b2 + H12 − a1H1 − KK ∗

[ a1 − H1 − H 2 ] K ∗

.
Θ=
2
2
∗

H
H
a
K
b
b
H
a
H
KK
+
−
ω
−
+
−
−
[ 1 2 1]
1
2
2
1 2


Предположим, что коэффициенты a1 , b1 , b2 удовлетворяют условиям:
a1 < 0, b1 > 0, b2 < −a12 / 4.
(37)
a
a2
Тогда выбором K = b1ω2 − b2 − 1 и H1 = H 2 = 1 мы можем сделать
2
4
матрицу Θ нулевой. В этом случае системе уравнений (36) будет удовлетворять любая пара чисел
вид
( Γ1, Γ 2 )T ,
Γ1


Γ = a1
 Γ1 − K Γ 2
2
а искомая матрица Γ будет иметь
Γ2

.
a
K Γ1 + 1 Γ 2 

2
Physics and mathematics sciences. Mathematics
(38)
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Легко видеть, что при любых действительных и не равных
одновременно нулю значениях Γ1 , Γ 2 определитель заданной таким образом
(
)
матрицы Γ , равный K Γ12 + Γ 22 , отличен от нуля. Следовательно, матрица
Γ имеет обратную и матрица Φ = Γ −1ΨΓ принадлежит классу Ω1 . Фиксируя,
например, Γ1 = 1 и Γ 2 = 0 , получаем матрицу
1
Γ =  a1

2
0
.
K 

Нетрудно убедиться, что указанная матрица Γ удовлетворяет всем
условиям теоремы 1.1. Следовательно, доказана следующая теорема.
Теорема 2.1. Пусть коэффициенты a1 , b1 и b2 уравнения (27)
удовлетворяют условиям (37). Тогда тривиальное решение задачи Коши для
уравнения (27) устойчиво.
Замечание 2.1. Матрица Γ может быть задана по формуле, отличной
от формулы (38), в этом случае устойчивость тривиального решения
уравнения (27) может быть доказана при ограничениях, отличных от
ограниченй (37). Например, матрицу Γ можно ввести по формуле
1 
 1
−

a1  ,
Γ(ω) =  a1

 −ξ(ω) 1 + ξ(ω) 


где значения функции ξ(ω) при любом ω∈ R и при b2 < 0 могут быть вы b ω2 − b
2

2 − 1, b1ω − b2  так, чтобы соответствуюбраны на промежутке  1


a12
a12


{
}
щая матрица Φ ( ω) = ϕij (ω) системы (12), где
a 2ξ 2 (ω) + b2 − b1ω2
ϕ11 (ω) = 1
,
a1 (1 + 2ξ(ω) )
2
b ω2 − b2 − a12 (1 + ξ(ω) )
,
ϕ22 (ω) = 1
a1 (1 + 2ξ(ω) )
ϕ12 (ω) = −ϕ12 (ω) = −
(
b1ω2 − b2 + a12 ξ 2 (ω) + ξ(ω)
a1 (1 + 2ξ(ω) )
),
принадлежала классу Ω1 . Приведенное замечание дает возможность сформулировать следующее утверждение.
Теорема 2.2. Пусть коэффициенты a1 , b1 и b2 уравнения (27)
удовлетворяют условиям
44
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
b1 > 0, b2 < −χ, χ > 0.
(39)
Тогда тривиальное решение задачи Коши для уравнения (27)
устойчиво.
Теперь воспользуемся теоремой 1.1 для анализа устойчивости
тривиального решения задачи Коши для системы гиперболических уравнений
с постоянными коэффициентами:
 ∂ 2u
∂u
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u2
+ b15u1 + b16u2 ,
 21 = a 1 + b11 21 + b12 21 + b13 22 + b14
∂t
∂x1
∂x2
∂x1
∂x22
 ∂t
(40)

∂u2
∂ 2u1
∂ 2u1
∂ 2u2
∂ 2u2
∂ 2u2
+ b25u1 + b26u2 ;
 2 = a ∂t + b21 2 + b22 2 + b23 2 + b24
2
∂
∂
∂
∂
∂
t
x
x
x
x

1
2
1
2
∂u1 ( t0 , x1 , x2 )
∂t
= u11 ( x1 , x2 ),
∂u2 ( t0 , x1 , x2 )
∂t
= u12 ( x1 , x2 );
u1 ( t0 , x1 , x2 ) = u01 ( x1 , x2 ), u2 ( t0 , x1 , x2 ) = u02 ( x1 , x2 ).
(41)
(42)
Будем считать, что решение задачи (40)–(42) существует при всех t ≥ t0
и вместе со своими частными производными второго порядка по
пространственным переменным суммируемо с квадратом в R 2 . При этом
предположении применим к (40)–(42) преобразование Фурье по x1 и x2 ,
в результате чего при каждом фиксированном наборе значений ω∈ R 2
получим следующую задачу Коши:
 ∂ 2U
∂U
2
2
2
2
 21 = a 1 − b11ω1 U1 − b12 ω2U1 − b13ω1 U 2 − b14ω2U 2 + b15U1 + b16U 2 ,
∂t
 ∂t
(43)

∂U 2
∂ 2U 2
2
2
2
2
 2 = a ∂t + b21ω1 U1 + b22 ω2U1 + b23ω1 U 2 + b24 ω2U 2 + b25U1 + b26U 2 ;
 ∂t
∂U1 (t0 , ω1 , ω2 )
∂U 2 (t0 , ω1 , ω2 )
= U11 (ω1 , ω2 ),
= U12 (ω1 , ω2 );
∂t
∂t
(44)
U1 (t0 , ω1 , ω2 ) = U 01 (ω1 , ω2 ), U 2 (t0 , ω1 , ω2 ) = U 02 (ω1 , ω2 ).
(45)
В операторной форме система (43)–(45) записывается следующим
образом:
∂ 2U
∂t
2
=A
∂U
+ B (ω)U ,
∂t
(46)
T
где U = (U1 ,U 2 ) ,
 b15 − b11ω12 − b12 ω22
a 0
A=
B
ω
=
,
( ) 

2
2
0 a
 b25 − b21ω1 − b22 ω2
Physics and mathematics sciences. Mathematics
b16 − b13ω12 − b14 ω22 
.
b26 − b23ω12 − b24 ω22 
(47)
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Сделав замену V1 = U1 , V2 = U 2 ,
V3 =
к уравнению
∂U1
∂U 2
, V4 =
, приходим
∂t
∂t
∂V
= Ψ (ω)V ,
∂t
T
где V = (V1 ,V2 ,V3 ,V4 )
 0
и Ψ (ω) = 
 B(ω)
(48)
I
.
A
Поставим задачу нахождения квадратной матрицы Γ порядка 4,
удовлетворяющей условиям теоремы 1.1 и переводящей матрицу Ψ
в принадлежащую классу Ω2 матрицу Φ . Представим блочную матрицу Γ
в виде (34), тогда система уравнений относительно неизвестных Γ k , k = 1, 4,
запишется в виде (35), где матрицы A и B (ω) задаются формулами (47).
Положим, что матрица K является симметрической и чисто мнимой,
т.е. для нее справедливо тождество K = − K ∗ ; кроме того, положим
H = H1 = H 2 . Тогда система (35) может быть переписана следующим
образом:
Γ1H + Γ 2 K = Γ3 ,
Γ K + Γ H = Γ ,
 1
2
4

Γ
+
Γ
=
H
K
B
( ω) Γ1 + AΓ3 ,
4
 3
Γ3 K + Γ 4 H = B (ω)Γ 2 + AΓ 4 .
Подставляя выражения для Γ3 , Γ 4 в два последних уравнения
системы, получаем следующую систему относительно Γ1 , Γ 2 :
Γ  H 2 + K 2  − AΓ H − B(ω)Γ + Γ [ KH + HK ] − AΓ K = 0,
1
1
2
2
 1


Γ1 [ KH + HK ] − AΓ1K + Γ 2  H 2 + K 2  − AΓ 2 H − B (ω)Γ 2 = 0.



(49)
Введем в рассмотрение матрицы B1 (ω) и B 2 (ω) как симметрические
матрицы, являющиеся решениями уравнений
B (ω)Γ = Γ B (ω)
и
B (ω)Γ 2 = Γ 2 B 2 (ω) . Пусть матрица Γ1 ищется в виде
 γ (1)
Γ1 =  1
 0

1
1 1
0 
,

γ (1)
2 
матрица Γ 2 связана с матрицей Γ1 соотношением Γ 2 = σΓ1 , где σ –
фиксируемый произвольно ненулевой параметр (вещественный или
комплексный). Тогда AΓ1 = Γ1 A и AΓ 2 = Γ 2 A ; кроме того, непосредственно
легко убедиться, что B (ω) = B (ω) = B (ω) , причем матрица B (ω) может быть
1
2
представлена следующим образом:
46
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика


B11 (ω)

B ( ω) = 
 γ (1) (ω)
 1
B (ω)
 γ (1) (ω) 21
 2

B 12 (ω) 

γ1(1) (ω)
,


B22 (ω)


γ (1)
2 (ω)
(50)
где Bij (ω) , i, j = 1, 2, – соответствующие элементы матрицы B(ω) , задаваемой второй формулой (47), причем коэффициенты γ1(1) (ω), γ (1)
2 (ω) (вещественные или комплексные) матрицы Γ1 выбираются так, чтобы при всех
ω∈ R 2 выполнялось условие
2
 γ (1) 
2 
B 21(ω) = 
B (ω) .
2 12
 γ (1) 
 1 
При сделанных предположениях система (49) сводится к системе
 H 2 + K 2 − AH − B ( ω) = 0,

 KH + HK − AK = 0.
(51)
A
A2
и K = B (ω) +
; тогда непосредственной под2
4
становкой легко убедиться, что система (51) выполняется. Стало быть система (49) имеет нетривиальные решения на описанных классах матриц Γ1 , Γ 2 .
Ранее было потребовано, чтобы элементы диагональной матрицы
A
H=
имели отрицательные действительные части, а матрица
2
Зафиксируем H =
A2
K = B (ω) +
4
(52)
была симметрической и чисто мнимой. Для того чтобы эти требования выполнялись, достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
a < 0, b11 > 0, b12 > 0, b23 > 0, b24 > 0;
(53)
b15 < −a 2 / 4, b26 < −a 2 / 4.
(54)
Из системы (35) следует, что искомая матрица Ляпунова Γ определяется формулой
Γ1

Γ=
 ( H + σK ) Γ1
σΓ1

.
( σH + K ) Γ1 
Physics and mathematics sciences. Mathematics
(55)
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Нетрудно убедиться, что построенная согласно (55) матрица Γ удовлетворяет всем условиям теоремы 1.1. Таким образом, справедлива следующая
теорема.
Теорема 2.2. Пусть коэффициенты a , bij , i = 1, 2 , j = 1,6 ,
удовлетворяют условиям (53), (54). Тогда тривиальное решение задачи Коши
для уравнения (43) устойчиво.
Замечание 2.2. Критерий устойчивости, определяемый теоремой 2.2,
по соображениям простоты получен для системы (43), в которой матрица
A = aij
определяется формулами a11 = a22 = a , a12 = a21 = 0 . Однако
{ }i, j =1,2
проведенные рассуждения могут быть распространены и на случай матрицы
A = aij
с произвольными элементами aij .
{ }i, j =1,2
Список литературы
1. К р е й н , С . Г . Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве /
C. Г. Крейн, М. И. Хазан // Итоги науки и техники. Математический анализ. – М. :
ВИНИТИ, 1983. – Т. 21. – С. 130–264.
2. С и р а з е тд и н о в , Т. К . Устойчивость систем с распределенными параметрами /
Т. К. Сиразетдинов. – М. : Наука, 1987. – 232 с.
3. Х е н р и , Д . Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений /
Д. Хенри. – М. : Мир, 1985. – 376 с.
4. Ше с та к о в , А . А . Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами / А. А. Шестаков. – М. : Наука, 1990. – 320 с.
5. Б о й к о в , И . В. Устойчивость решений параболических уравнений с дробными
производными / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 4. –
С. 84–100.
6. Б о й к о в , И . В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений /
И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2008. – 244 с.
7. Д а л е ц к и й , Ю . Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. – М. : Наука, 1970. – 536 с.
8. Д е к к е р , К . Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / К. Декккер, Я. Вервер. – М. : Мир, 1988. – 334 с.
9. Г а н тм а х е р , Ф. Р . Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. – М. : Физматлит, 2010. –
560 с.
References
1. Kreyn S. G., Khazan M. I. Itogi nauki i tekhniki. Matematicheskiy analiz [Science and
technology results. Mathematical analysis]. Moscow: VINITI, 1983, vol. 21, pp. 130–
264.
2. Sirazetdinov T. K. Ustoychivost' sistem s raspredelennymi parametrami [Stability of
distributed parameter system]. Moscow: Nauka, 1987, 232 p.
3. Khenri D. Geometricheskaya teoriya polulineynykh parabolicheskikh uravneniy [Geometric theory of semilinear parabolic equations]. Moscow: Mir, 1985, 376 p.
4. Shestakov A. A. Obobshchennyy pryamoy metod Lyapunova dlya sistem s raspredelennymi parametrami [Generalized direct Lyapunov’s method for distributed parameter systems]. Moscow: Nauka, 1990, 320 p.
48
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
5. Boykov I. V., Ryazantsev V. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy
region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physics
and mathematics sciences]. 2012, no. 4, pp. 84–100.
6. Boykov I. V. Ustoychivost' resheniy differentsial'nykh uravneniy [Stability of differential eqations’ solutions]. Penza: Izd-vo Penz. gos. un-ta, 2008, 244 p.
7. Daletskiy Yu. L., Kreyn M. G. Ustoychivost' resheniy differentsial'nykh uravneniy v banakhovom prostranstve [Stability of differential eqations’ solutions in Banach space].
Moscow: Nauka, 1970, 536 p.
8. Dekker K., Verver Ya. Ustoychivost' metodov Runge-Kutty dlya zhestkikh nelineynykh
dif-ferentsial'nykh uravneniy [Stability of Runge-Kutta methods for rigid non-linear
defferential equation]. Moscow: Mir, 1988, 334 p.
9. Gantmakher F. R. Teoriya matrits [Matrix theory]. Moscow: Fizmatlit, 2010, 560 p.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный университет
(г. Пенза, ул. Красная, 40)
Boykov Il'ya Vladimirovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics,
Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: math@pnzgu.ru
Рязанцев Владимир Андреевич
аспирант, Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Ryazantsev Vladimir Andreevich
Postgraduate student, Penza State
University (Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: math@pnzgu.ru
УДК 517.9
Бойков, И. В.
О достаточных критериях устойчивости решений дифференциальных уравнений гиперболического типа / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 2 (26). – С. 33–49.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.927, 517.968, 519.6
Д. В. Валовик, Е. А. Маренникова, Ю. Г. Смирнов
НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ
НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩАЯ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ-ВОЛН
В ПЛОСКОМ НЕОДНОРОДНОМ НЕЛИНЕЙНОМ
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ1
Аннотация. Цель работы: изучение математической модели распространения
поверхностных электромагнитных ТЕ-волн в плоском неоднородном диэлектрическом волноводе, заполненном средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Материал и методы исследования: проблема сводится к исследованию нелинейного интегрального уравнения с ядром в виде функции Грина.
Существование решений интегрального уравнения доказано с помощью метода сжимающих отображений. Для численного решения задачи предложены два
метода: итерационный алгоритм (доказана его сходимость), а также метод, основанный на решении вспомогательной задачи Коши (метод пристрелки). Результаты: доказано существование корней дисперсионного уравнения – постоянных распространения волновода. Получены условия, когда могут распространяться k волны, указаны области локализации соответствующих постоянных распространения. Выводы: полученные результаты свидетельствуют о
наличии волноводного режима распространения электромагнитных волн в нелинейной среде.
Ключевые слова: уравнения Максвелла, неоднородный волновод, задача на
собственные значения, нелинейная диэлектрическая проницаемость.
D. V. Valovik, E. A. Marennikova, Yu. G. Smirnov
A NONLINEAR TRANSMISSION EIGENVALUE PROBLEM
THAT DESCRIBES ELECTROMAGNETIC TE WAVE
PROPAGATION IN A PLANE INHOMOGENEOUS
NONLINEAR DIELECTRIC WAVEGUIDE
Abstract. Objective of the work is to study the mathematical model of surface electromagnetic TE wave propagation in a plane inhomogeneous dielectric waveguide
filled with Kerr medium. Material and methods: the physical problem is reduced to a
nonlinear integral equation with Green’s function as the kernel. The existence of solutions to the integral equation is proved with the help of the contracting mapping
method. For numerical solutions two approaches are suggested: an iteration method
(its convergence is proved); the method of Cauchy problem (a variant of the shooting method). Results: the existence of dispersion equation’s roots (propagation constants of the waveguide) is proved. The authors obtain conditions suitable for k
waves propagation. The regions of localization of the propagation constants are
found. Conclusions: the results show that there is a nonlinear waveguiding regime
for TE waves propagating in a plane inhomogeneous nonlinear waveguide.
Key words: Maxwell’s equations, inhomogeneous waveguide, boundary eigenvalue
problem, nonlinear permittivity.
1
Работа выполнена при поддержке РФФИ, контракты № 11-07-00330-а, 12-07-97010-р_а
и ФЦП «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 гг., соглашение № 14.В37.21.1950.
50
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу о распространении поверхностных электромагнитных волн в нелинейном неоднородном плоском волноводе, расположенном
между двумя полупространствами x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой
без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость
ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0 соответственно, где ε0 – диэлектрическая проницаемость
вакуума. Считаем, что всюду μ = μ0 , где μ0 – магнитная проницаемость вакуума.
На рис. 1 представлена геометрия задачи. Волновод неограниченно
продолжается в направлениях y и z ; h – толщина волновода.
x
h
ε = ε3
ε = ε2 ( x ) + a E
2
z
0
ε = ε1
Рис. 1. Геометрия задачи
Запишем уравнения Максвелла в следующей форме [1]:
 =∂ D



rot H
t , rot E = −∂ t B,
(1)
 и ∂ ≡ ∂ ∂t .
 = εE
 , B = μH
где D
t
 ,H
 обраТок проводимости j в уравнениях (1) отсутствует, так как E
зуют полное поле. Падающее поле будет введено позднее.
Таким образом из (1) получаем
( )
( )
 = ∂ εE , rot E
 = −∂ μH
 .
rot H
t
t
(2)
 ,H
 удовлетворяет системе уравнений МаксЭлектромагнитное поле E
велла (2), условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границах раздела сред x = 0 , x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при x → ∞ в областях x < 0 и x > h .
Электромагнитное поле гармонически зависит от времени [2]:
 ( x, y, z , t ) = E+ ( x, y, z ) cos ωt + E− ( x, y, z ) sin ωt ,
E
 ( x, y, z , t ) = H + ( x, y , z ) cos ωt + H − ( x, y, z ) sin ωt ,
H
Physics and mathematics sciences. Mathematics
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где ω – круговая частота,
функции.
Легко видеть, что поля
 ,E ,E ,H
 , H , H – действительные векторE
+ −
+
−
 ,H
 выражаются следующим образом:
E
{
}
{
}
 = Re Ee −iωt , H
 = Re He −iωt ,
E
где E = E+ + iE− , H = H + + iH − носят название комплексных амплитуд и
(
T
)
T
(
)
T
E = E x , E y , E z , H = H x , H y , H z ; ( ⋅ ) обозначает операцию транспонирования. Каждая компонента полей E , H является функцией трех пространственных переменных
Диэлектрическая проницаемость ε внутри волновода определяется по
2
закону Керра: ε = ε 2 ( x ) + a E , где a – вещественная положительная посто-
янная и max ( ε1 , ε3 ) < εˆ 2 = min ε 2 ( x ) . Здесь ε 2 ( x ) ∈ C [ 0, h ] – линейная соx∈[ 0,h ]
ставляющая проницаемости ε; a – коэффициент нелинейности.
2
Для диэлектрической проницаемости ε = ε 2 ( x ) + a E
зависимость
уравнений Максвелла (2) от времени такая же, как и в линейном случае (т.е.
когда ε постоянная). Это позволяет доказать справедливость уравнений
Максвелла (2) для комплексных амплитуд E, H . Действительно, подставляя
поля Ee−iωt , He−iωt в уравнения (2), получаем, что комплексные амплитуды
E, H удовлетворяют системе уравнений Максвелла
rot H = −iωεE, rot E = iωμH,
(3)
условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границах раздела сред x = 0 , x = h и условию излучения на бесконечности:
электромагнитное поле экспоненциально затухает при x → ∞ в областях
x<0 и x>h.
Разыскиваются поверхностные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода. Решение уравнений Максвелла ищется во всем пространстве.
2. ТЕ-волны
Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны в гармоническом режиме
(
Ee −iωt = e −iωt 0, E y ,0
T
)
T
, He −iωt = e−iωt ( H x ,0, H z ) ,
где E, H – комплексные амплитуды.
Подставляя эти поля в систему уравнений (3), легко убедиться, что
компоненты комплексных амплитуд не зависят от переменной y . Волны,
распространяющиеся вдоль оси z , гармонически зависят от z , т.е.
Ex = E x ( x ) eiγz , H x = H x ( x ) eiγz , H z = H z ( x ) eiγz , где γ – неизвестный
спектральный параметр – постоянная распространения электромагнитной
52
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
волны. Подставляя эти компоненты в (3), после простейших преобразований
получаем
γ 2 E y ( x ) − E ′′y ( x ) = ω2μεE y ( x ) .
Введем обозначение k 2 = ω2μ0ε0 и выполним нормировку в соответствии с формулами x = kx ,
εj
d
d
γ
a
= k , γ = , ε j =
(j = 1, 2, 3), a =
.
ε0
dx
dx
k
ε0
Обозначая u ( x ) := E y ( x ) и опуская значок тильды, из последнего уравнения
получаем
u ′′ ( x ) = γ 2u ( x ) − εu ( x ) .
(4)
Пусть k12 := γ 2 − ε1 , k22 ( x ) := ε 2 ( x ) − γ 2 , k32 := γ 2 − ε3 .
В полупространстве x < 0 из (4) получаем уравнение u ′′ = k12u , его
общее решение имеет вид u ( x ) = B1e− k1x + Bek1x , в силу условия на бесконечности получаем
u ( x ) = Bek1x .
(5)
В полупространстве x > h из (4) получаем уравнение u ′′ = k32u , его
k x−h
− k x −h
общее решение имеет вид u ( x ) = D1e 3 ( ) + De 3 ( ) , в силу условия на
бесконечности получаем
u ( x ) = De− k3 ( x −h ) .
(6)
В выражении (5) постоянная B считается известной; в (6) постоянная
D определяется из условий сопряжения.
Внутри слоя 0 ≤ x ≤ h уравнение (4) принимает вид
u ′′ ( x ) + k22 ( x ) u ( x ) = −au 3 ( x ) .
(7)
3. Условия сопряжения и задача сопряжения
Условия
сопряжения на поверхности волновода имеют
 Ey 
 
  x =0 = 0 ,  E y  x = h = 0 и [ H z ] x =0 = 0 , [ H z ] x =h = 0 , что дает
[ u ] x =0 = 0 , [ u ] x = h = 0 и
где
[ f ] x=s =
= 0 , u′
=0,
u ′
x =0
x=h
вид
(8)
lim f ( x ) − lim f ( x ) – скачок предельных значений функ-
x → s −0
x→s +0
ции в точке s .
Пусть u ( x ) – решение уравнения (7). Используя условия сопряжения
(8) и решения (5), (6), получаем
u ( 0 ) = B, u ′ ( 0 ) = Bk1 , u ( h ) = D, u ′ ( h ) = − Dk3 .
Physics and mathematics sciences. Mathematics
(9)
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Определение. Число γ = γ такое, что для заданного значения A суще-
ствует не равная тождественно нулю функция u ( x ) ∈ C1 [ 0, h ] ∩ C 2 ( 0, h ) , которая удовлетворяет уравнению (7) и краевым условиям (9), будем называть
собственным значением рассматриваемой задачи о распространении волн.
Такое определение собственного значения было дано в [3] и впоследствии нашло многочисленные применения при строгой постановке задач о
распространении собственных волн в волноведущих структурах, заполненных нелинейной средой (см., например, [4–8]).
Сформулируем теперь краевую задачу на собственные значения, к которой свелась задача о распространении TE-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном неоднородном плоском волноводе.
Задача Р: требуется отыскать собственные значения γ такие, что при
заданном значении постоянной A существуют не равные тождественно нулю
функции u ( x ) ∈ C1 [ 0, h ] ∩ C 2 ( 0, h ) , которые удовлетворяют уравнению (7) и
краевым условиям (9).
Заметим, что собственное значение γ зависит от значения собственной
функции на одной из границ волновода. Кроме того, обратим внимание читателей, что постановка задачи отличается от постановок классических задач на
собственные значения. Постоянная B в условиях (9) неизвестна и подлежит
определению вместе с собственным значением и собственной функцией.
4. Нелинейное интегральное уравнение
Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение (7) и линейное
уравнение
u′′ + k22u = 0 .
(10)
Перепишем последнее уравнение в операторной форме:
Lk u = 0 , где Lk =
d2
+ k22 ,
2
dx
здесь индекс k указывает на явную зависимость оператора Lk от x , так как
k22 ≡ k22 ( x ) .
Предположим, что существует функция Грина Gk ( x, s ) краевой задачи
Lk Gk = −δ ( x − s ) , ∂ x Gk ( x, s ) x =0 = ∂ xGk ( x, s ) x =h = 0
(0 < s < h) ,
(11)
тогда в окрестности собственного значения λi она может быть представлена
в следующем виде (см., например, [9, 10])
Gk ( x, s ) =
ϕi ( x ) ϕi ( s )
+ G1 ( x, s ) ,
λ − λi
(12)
где λ := γ 2 , G1 ( x, s ) регулярна в окрестности точки λi , а λ n , ϕn ( x ) – полная
система ортонормированных (вещественных) собственных чисел и собственных функций краевой задачи
54
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
ϕ′′n + ( ε 2 ( x ) − λ ) ϕn = λ n ϕn , ϕ′n x =0 = ϕ′n x =h = 0 .
Функция Грина существует при таких значениях параметров, когда
λ ≠ λn .
Запишем уравнение (7) в операторном виде:
Lk u + αB ( u ) = 0, B ( u ) = u 3 .
(13)
Используя вторую формулу Грина
h
h
0
0
 ( υLk u − uLk υ) dx =  ( υu′′ − uυ′′) dx =
= υ ( h ) u ′ ( h ) − υ ( 0 ) u ′ ( 0 ) − u ( h ) υ′ ( h ) + u ( 0 ) υ′ ( 0 )
и полагая υ = Gk с учетом условий (11), получаем
h
 ( Gk Lk u − uLk Gk ) dx = G ( h, s ) u′ ( h ) − G ( 0, s ) u′ ( 0 ).
(14)
0
Используя уравнение (13), получаем интегральное представление решения u ( s ) уравнения (7) на отрезке [ 0, h ] :
h

u ( s ) = −α Gk ( x, s ) u 3 ( x ) dx + f ( s ) , 0 ≤ s ≤ h ,
(15)
0
где f ( s ) = Gk ( h, s ) u ′ ( h ) − Gk ( 0, s ) u ′ ( 0 ) .
h
Введем обозначение: F ( s ) = −α  Gk ( x, s ) u 3 ( x ) dx + f ( s ) . Предпола0
гается, что f ∈ C [ 0, h ] и λ ≠ λ n .
Используя результаты работ [11–13], можно показать, что имеют место
следующие утверждение и теоремы.
2 1
, то уравнение (15) имеет по крайУтверждение 1. Если f ≤
3 3 N
ней мере одно решение и u ≤ r ∗ , где
h
h
0
s∈[ 0,h]0

Nw = N ( x, s ) w ( x ) dx , N ( x, s ) = −αGk ( x, s ) , N = max  N ( x, s ) dx
и
r * = −2
1
3 3
1
f
cos  arccos 
3
3 N
 2

 2π 
N  +


 3 
есть корень уравнения N r 3 + f = r .
Physics and mathematics sciences. Mathematics
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Теорема
1.
α ≤ A2 ,
Если
A=
где
2
3 f
1
3 N0
и
R

N 0 = max Gk ( x, s ) dx , то уравнение (15) имеет единственное решение u ,
0
являющееся непрерывной функцией:
u ∈ C [ 0, h ] , u ≤ r∗ ,
1
3 3
1
f
cos  arccos 
3
3 N
2


3
N r + f =r.
где r* = −2
 2π 
N  −
 есть корень уравнения

3


Отметим, что A > 0 и не зависит от α.
В дальнейшем нам понадобится утверждение о зависимости решений
интегрального уравнения (15) от параметра.
Теорема 2. Пусть ядро N и правая часть f интегрального уравнения (15)
непрерывно зависят от параметра λ ∈ Λ 0 , N ( x, s ) ⊂ C ( Λ 0 × [ 0, h ] × [ 0, h ]) ,
f ( λ, s ) ⊂ C ( Λ 0 × [ 0, h ]) , на некотором отрезке Λ 0 вещественной числовой
оси. Пусть также
0 < f (λ) <
2
1
3 3 N (λ)
.
(16)
Тогда решения u ( λ, x ) уравнения (15) при λ ∈ Λ 0 существуют, един-
ственны и непрерывно зависят от параметра λ, u ( λ, x ) ⊂ C ( Λ 0 × [ 0, h ]) .
5. Итерационный метод
Приближенные решения un интегрального уравнения (15), представи-
мого в виде u = F ( u ) , могут быть определены итерационным процессом
un +1 = F ( un ) , n = 0,1, 2, :
h

u0 = 0, un +1 = −α Gk ( x, s ) un3 dx + f , n = 0, 1,...
(17)
0
Последовательность un равномерно сходится к решению u уравнения
(15) вследствие того, что F ( u ) – сжимающий оператор. Известна также
оценка для скорости сходимости итерационного алгоритма (17). Сформулируем эти результаты в виде следующего утверждения.
Утверждение 2. Последовательность приближенных решений un уравнения (15), определяемых посредством итерационного алгоритма (17), существует и сходится в норме пространства C [ 0, h ] к (единственному) точному
решению и этого уравнения, и верна оценка скорости сходимости:
56
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
qn
f ( u0 ) , n → ∞ , где q := 3 Nr*2 < 1 – коэффициент сжатия отоб1− q
ражения F.
un − u ≤
6. Дисперсионное уравнение
Из уравнения (15) при s = 0 + 0 и s = h − 0 , используя краевые условия
(9), получаем

 h

 B = lim  −α Gk ( x, s ) u 3 ( x ) dx  − Dk3 lim Gk ( h, s ) − Bk1 lim Gk ( 0, s ) ,
 s →0+0 

s →0 + 0
s →0+ 0

 0

(18)

 h


3
 D = lim  −α Gk ( x, s ) u ( x ) dx  − Dk3 lim Gk ( h, s ) − Bk1 lim Gk ( 0, s ) .


→
−
s
h
s →h −0
s →h −0
0

 0



Исключая постоянную D из этой системы, получим дисперсионное
уравнение
B ( k3Gk ( h, h − 0 ) + 1) ( k1Gk ( 0,0 + 0 ) + 1) − k1k3Gk ( h,0 + 0 ) Gk ( 0, h − 0 )  =
h

= α  k3Gk ( h,0 + 0 ) lim Gk ( x, s ) u 3 ( x ) dx −
s →h −0

0



Gk ( x, s ) u 3 ( x ) dx  .
s →0 + 0

0

− (1 + k3Gk ( h, h − 0 ) ) lim
h

(19)
7. Существование решений дисперсионного уравнения
Перепишем дисперсионное уравнение (19) в следующей форме:
Bg ( λ ) = αΦ ( λ ) ,
(20)
где
g ( λ ) = ( k3Gk ( h, h − 0 ) + 1) ( k1Gk ( 0,0 + 0 ) + 1) − k1k3Gk ( h,0 + 0 ) Gk ( 0, h − 0 ) ,
h
Gk ( x, s ) u 3 ( x ) dx −

s →h −0
Φ ( λ ) = k3Gk ( h,0 + 0 ) lim
0
− (1 + k3Gk ( h, h − 0 ) ) lim
s →0 + 0
h
3
 Gk ( x, s ) u ( x ) dx .
0
Нули функции Δ ( λ ) ≡ Bg ( λ ) − αΦ ( λ ) – это значения λ , для которых
существует нетривиальное решение задачи Р, сформулированной ранее.
Рассмотрим вопрос о существовании решений дисперсионного уравнения для линейной задачи. Из уравнения (20) при α = 0 получаем g ( λ ) = 0
Physics and mathematics sciences. Mathematics
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
(заметим, что в этом случае, как это и должно быть, собственные значения не
зависят от постоянной A ).
Используя (12), имеем
ϕ2 ( 0 )
ϕ ( 0 ) ϕi ( h )
Gk ( 0,0; λ ) = − i
+ G1 ( 0,0; λ ) , Gk ( 0, h; λ ) = − i
+ G1 ( 0, h; λ ) ,
λ − λi
λ − λi
Gk ( h, h; λ ) = −
ϕi2 ( h )
λ − λi
+ G1 ( h, h; λ ) , Gk ( h,0; λ ) = −
ϕi ( h ) ϕi ( 0 )
λ − λi
(21)
+ G1 ( h,0; λ ) .
Используя формулы (21) в уравнении g ( λ ) = 0 получим



ϕ2 ( h )
ϕi2 ( 0 )
 −k3 i

+ k3G1 ( h, h; λ ) + 1 −k1
+ k1G1 ( 0,0; λ ) + 1 −



λ − λi
λ − λi



 ϕ ( h ) ϕi ( 0 )
 ϕ ( 0 ) ϕi ( h )

−k1k3  − i
+ G1 ( h,0; λ )  − i
+ G1 ( 0, h; λ )  = 0 .
λ − λi
λ − λi



(22)
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем
a (λ) =
1
b (λ)
λ − λi
где
a ( λ ) = k1k3 G1 ( h, h; λ ) G1 ( 0,0; λ ) − G1 ( 0, h; λ ) G1 ( h,0; λ )  +
+ k1G1 ( 0,0; λ ) + k3G1 ( h, h; λ ) + 1,
b ( λ ) = k1ϕi2 ( 0 )  k3G1 ( h, h; λ ) + 1 + k3ϕi2 ( h )  k1G1 ( 0,0; λ ) + 1 −
−k1k3ϕi ( 0 ) ϕi ( h ) G1 ( 0, h; λ ) + G1 ( h,0; λ )  .
Поскольку величины a ( λ ) , b ( λ ) остаются ограниченными, то это
означает, что между двумя последовательными собственными числами λi и
λi +1 существует по крайней мере одно решение уравнения g ( λ ) = 0 .
Необходимо еще показать, что в выражении Gk ( h, h; λ ) член ϕi ( h ) не
обращается в нуль. Это легко сделать методом от противного. Предположим,
что ϕi ( h ) = 0 . Тогда рассмотрим задачу Коши для уравнения
при x ∈ [ 0, h ] .
Из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [14]) известно, что решение ϕi ( x ) рассматриваемой задачи Коши суще-
ϕ′′i + k22ϕi = λi ϕi с начальными условиями ϕi
x = h = ϕ′i
x =h = 0
ствует и единственно при x ∈ [ 0, h ] . Это решение при x ∈ [ 0, h ] совпадает
с функцией ϕi ( x ) , участвующей в представлении (12) функции Грина. Также
58
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
известно, что решение задачи Коши для линейного уравнения с нулевыми
начальными данными является тождественным нулем. А это противоречит
представлению (12) функции Грина Gk ( x, s; λ ) в окрестности точки λ = λi .
Аналогично можно показать, что в выражении Gk ( 0,0; λ ) член ϕi ( 0 ) не обращается в нуль.
Теперь можно показать, что существуют решения уравнения Δ ( λ ) = 0 .
Действительно, пусть существует такое целое число k ≥ 1 , что справедливо max(ε1 , ε3 ) < λ 0 < λ1 <  < λ k −1 < λ k < ε 2 , где ε 2 = min ε 2 ( x ) . Выберем
x∈[ 0,h ]
k
достаточно малые числа δi > 0 такие, что на объединении Γ :=
 Γi
отрезков
i =1
Γi :=  λi −1 + δi −1 , λi − δi  , i = 1, k , функция Грина Gk ( x, s; λ ) существует и
непрерывна. Кроме того, выполняется g
(
) (
λi −1 + δi −1 g
)
λi − δi < 0 . Отсю-
да ясно, что величина F ( λ ) ограничена. Более того, за счет выбора величины
α произведение αF ( λ ) может быть сделано достаточно малым. Рассмотрим
дисперсионное уравнение Φ ( λ ) = 0 . Ясно, что функция g ( λ ) непрерывна и
меняет знак при изменении λ от λi −1 + δi −1 до λi − δi . Поскольку величина
F ( λ ) ограничена при изменении λ от λi −1 + δi −1 до λi − δi , то отсюда ясно,
что за счет выбора α всегда можно добиться того, что уравнение Φ ( λ ) = 0
будет иметь по крайней мере k корней λ , i = 1, k , причем
i
λ i ∈ ( λi −1 + δi −1 , λi − δi ) , i = 1, k .
Основным результатом настоящего сообщения является следующая
теорема.
Теорема 3. Пусть числа ε1 , ε3 , ε 2 = min ε 2 ( x ) удовлетворяют услоx∈[ 0,h ]
вию ε 2 > max ( ε1 , ε3 ) > 0 и существует целое число k ≥ 1 , что справедливо
max(ε1 , ε3 ) < λ 0 < λ1 <  < λ k −1 < λ k < ε 2 .
Тогда существует число α0 > 0 такое, что для всякого α ≤ α0 существует
γi ∈
(
по
крайней
мере
k
значений
)
γi ,
i = 1, k ,
причем
λi −1 + δi −1 , λi − δi , таких, что задача Р имеет нетривиальное решение.
Доказательство. Функция Грина существует для всех γ ∈Γ . Также ясно, что функция
A( γ ) =
2
3 f (γ)
3 N0 ( γ )
Physics and mathematics sciences. Mathematics
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
является непрерывной функцией при γ ∈ Γ . Пусть A1 = min A ( γ ) и пусть
γ∈Γ
α < A12 . В соответствии с теоремой 1 существует единственное решение
u = u ( γ ) уравнения (13) для всякого γ ∈ Γ . Это решение является непрерыв-
ной функцией и u ≤ r∗ = r∗ ( γ ) . Пусть r00 = max r∗ ( γ ) . Оценивая F ( λ ) , поγ∈Γ
лучаем F ( λ )
3
≤ Cr00
.
Функция g ( γ ) непрерывна и уравнение g ( γ ) = 0 имеет по крайней мере один корень γ i внутри отрезка Γi ,
M1 = min Bg
0≤i ≤ k −1
(
)
λ i + δi ,
λi −1 + δi −1 < γ i < λi − δi . Обозначим
M 2 = min Bg
1≤i ≤ k
(
)
Тогда
величина
)
(
)) < 0 .
λ i − δi .
M = min {M1 , M 2 } положительна и не зависит от α .
M
Если α ≤
, тогда
3
Cr00
( Bg (
)
λi −1 + δi −1 − αF
(
λi −1 + δi −1
) ) ( Bg (
λi − δi − αF
λ i − δi
Поскольку Bg ( λ ) − αF ( λ ) является непрерывной функцией, следова-
тельно, уравнение Bg ( λ ) − αF ( λ ) = 0 имеет корень γ i внутри Γi , т.е.

M 
λi + δi < γ i < λi +1 − δi +1 . Мы можем выбрать α0 = min  A12 ,
.
3 
Cr00


Из теоремы 3 следует, что при условиях, сформулированных выше, существуют осесимметричные распространяющиеся ТЕ-поляризованные волны
без затухания в цилиндрических диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных немагнитной, изотропной неоднородной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Этот результат обобщает известные соответствующие утверждения для диэлектрических волноводов круглого сечения с заполнением однородной нелинейной средой (при ε 2 ≡ const , α ≠ 0 )
[8, 15] и неоднородной линейной средой (при ε 2 ≠ const , α = 0 ) [16].
Различные приложения нелинейных волноведущих структур приведены в [17].
Список литературы
1. С тр э тто н , Д ж . А . Теория электромагнетизма / Дж. А. Стрэттон. – М. ; Л. :
ГИТТЛ, 1948.
2. E l e o n s k i i , P . N . Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganes'yants, V. P. Silin // Soviet Physics JETP. – 1972. – Vol. 35, № 1. – P. 44–47.
3. В а л о в и к , Д . В. О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных
волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической
физики. – 2008.– Т. 48. № 12. – С. 2186–2194.
4. В а л о в и к , Д . В. Задача о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое
с произвольной нелинейностью / Д. В. Валовик // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2011. – Т. 51, № 9. – С. 1729–1739.
60
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
5. В а л о в и к , Д . В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейной
среде с насыщением / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. – 2011. –
Т. 56, № 11. – C. 1329–1335.
6. В а л о в и к , Д . В. Нелинейные эффекты в задаче о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью / Д. В. Валовик,
Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2011. – Т. 56, № 3. – C. 309–314.
7. В а л о в и к , Д . В. Метод задачи Коши для решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для ТМ-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью / Д. В. Валовик, Е. В. Зарембо // Журнал вычислительной
математики и математической физики. – 2013. – Т. 53, № 1. – С. 74–89.
8. В а л о в и к , Д . В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое из нелинейного метаматериала / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. – 2011. –
Т. 56, № 5. – С. 589–599.
9. Н а й м а р к , М . А . Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. –
М. : Наука, 1969. – 528 с.
10. S t a k g o ld , I . Green`s Functions and Boundary Value Problems / I. Stakgold. –
Wiley, New York, 1979. – 638 с.
11. С м и р н о в , Ю . Г . Распространение электромагнитных волн в цилиндрических
волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов, С. Н. Куприянова //
Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2004. – Т. 44,
№ 10. – С. 1850–1860.
12. S m i r n o v , Y u . G . Electromagnetic Wave Propagation in Nonlinear Layered Waveguide Structures / Yu. G. Smirnov, D. V. Valovik. – Penza : PSU Press, 2011.
13. Т р е н о г и н , В. А . Функциональный анализ / В. А. Треногин. – М. : Наука, 1980. –
496 с.
14. Л и з о р к и н , П . И . Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа / П. И. Лизоркин. – М. : Наука, 1981. – 384 с.
15. S c h ü r m a n n , H . W . TE-polarized Waves Guided by a Lossless Nonlinear Threelayer Structure / H. W. Schürmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // Phys. Rev. E. –
1998. – V. 58, № 1. – P. 1040–1050.
16. З и л ь б е р г л е й т, А . С . Спектральная теория регулярных волноводов /
А. С. Зильберглейт, Ю. И. Копилевич. – Л. : ФТИ, 1983. – 302 с.
17. А х м е ди е в , Н . Н . Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки / Н. Н. Ахмедиев,
А. Анкевич. – М. : Физматлит, 2003. – 299 с.
References
1. Stretton Dzh. A. Teoriya elektromagnetizma [Electromagnetic theory]. Moscow ; Leningrad: GITTL, 1948.
2. Eleonskii P. N., Oganes'yants L. G., Silin V. P. Soviet Physics JETP. 1972, vol. 35,
no. 1, pp. 44–47.
3. Valovik D. V., Smirnov Yu. G. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy
fiziki [Calculus mathematics and mathematical physics journal]. 2008, vol. 48, no. 12,
pp. 2186–2194.
4. Valovik D. V. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Calculus
mathematics and mathematical physics journal]. 2011, vol. 51, no. 9, pp. 1729–1739.
5. Valovik D. V. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and electronics]. 2011,
vol. 56, no. 11, pp. 1329–1335.
6. Valovik D. V., Smirnov Yu. G. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and
electronics]. 2011, vol. 56, no. 3, pp. 309–314.
7. Valovik D. V., Zarembo E. V. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy
fiziki [Calculus mathematics and mathematical physics journal]. 2013, vol. 53, no. 1,
pp. 74–89.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
8. Valovik D. V. Rasprostranenie Radiotekhnika i elektronika [Calculus mathematics and
mathematical physics journal]. 2011, vol. 56, no. 5, pp. 589–599.
9. Naymark M. A. Lineynye differentsial'nye operatory [Linear differential operators].
Moscow: Nauka, 1969, 528 p.
10. Stakgold I. Green`s Functions and Boundary Value Problems. Wiley, New York, 1979,
638 p.
11. Smirnov Yu. G., Kupriyanova S. N. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Calculus mathematics and mathematical physics journal]. 2004, vol. 44,
no. 10, pp. 1850–1860.
12. Smirnov Yu. G., Valovik D. V. Electromagnetic Wave Propagation in Nonlinear Layered Wave-guide Structures. Penza: PSU Press, 2011.
13. Trenogin V. A. Funktsional'nyy analiz [Functional analysis]. Moscow: Nauka, 1980,
496 p.
14. Lizorkin P. I. Kurs differentsial'nykh i integral'nykh uravneniy s do-polnitel'nymi glavami analiza [The course of differential and integral equations with additional chapters
on analysis]. Moscow: Nauka, 1981, 384 p.
15. Schürmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. Phys. Rev. E. 1998, vol. 58, no. 1,
pp. 1040–1050.
16. Zil'bergleyt A. S., Kopilevich Yu. I. Spektral'naya teoriya regulyarnykh volnovodov
[Spectral theory of lineral waveguides]. Leningrad: FTI, 1983, 302 p.
17. Akhmediev N. N., Ankevich A. Solitony. Nelineynye impul'sy i puchki [Solitons. Nonlinear impulses and beams]. Moscow: Fizmatlit, 2003, 299 p.
Валовик Дмитрий Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Valovik Dmitriy Viktorovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: dvalovik@mail.ru
Маренникова Екатерина Алексеевна
аспирант, Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Marennikova Ekaterina Alekseevna
Postgraduate student, Penza State
University (Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
(г. Пенза, ул. Красная, 40)
Smirnov Yuriy Gennad'evich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
62
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.927, 517.968, 519.6
Валовик, Д. В.
Нелинейная задача сопряжения на собственные значения, описывающая распространение электромагнитных ТЕ-волн в плоском неоднородном нелинейном диэлектрическом волноводе / Д. В. Валовик, Е. А. Маренникова, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский
регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 2 (26). – С. 50–63.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 519.178
С. В. Баумгертнер, Б. Ф. Мельников
ОБОБЩЕННЫЕ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ
КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ
Аннотация. Рассматривается формализм, предназначенный для представления
специального расширения класса конечных автоматов – так называемых
обобщенных недетерминированных конечных автоматов. Из изложенных
в статье алгоритмов эквивалентного преобразования определяемых нами автоматов и аналога теоремы Клини для них вытекает не столько эквивалентность их и обычных конечных автоматов (эта эквивалентность очевидна априори), сколько возможность определения операции дополнения (и вообще
обобщенных регулярных выражений) обычными «автоматными» методами.
Также в статье описан метод построения конкретного обобщенного автомата,
который определяет заданное обобщенное регулярное выражение. Данный
метод вытекает из доказательства аналога теоремы Клини. Представленные
расширенные возможности для описания регулярных языков могут быть полезны в некоторых приложениях, например, в контекстном поиске.
Ключевые слова: недетерминированные конечные автоматы, обобщенные регулярные выражения, алгоритмы эквивалентного преобразования, аналог теоремы Клини.
S. V. Baumgertner, B. F. Mel'nikov
GENERALIZED INDETERMINISTIC FINITE AUTOMATA
Abstract. The article considers the formalism used for representing a special class of
extensions of finite automata, so-called generalized indeterministic finite automata.
The described algorithms of equivalent transformations of such automata and also
their analogue of Kleene theorem result in not only the equivalence between such
and usual finite automata (such equivalence is obvious a priori), but also in the possibility of defining the complement operation (and, generally, the generalized regular expressions) by usual “automata” methods. The work also describes the construction method of the specific generalized automaton, which determines the given
generalized regular expression. The given method results from the Kleene theorem
analogue proving. Extended opportunities for regular languages description introduced in the article may be of use in several applications, e.g. in contextual search.
Key words: indeterministic finite automaton, generalized regular expressions, algorithms of equivalent transformation, analogue of Kleene theorem.
Введение
В данной статье рассматривается формализм, предназначенный для
представления специального расширения класса недетерминированных конечных автоматов. Статья является обобщением нескольких предыдущих
публикаций авторов [1–3]. При этом, кроме более подробного изложения рассмотренных в [1–3] понятий и доказанных фактов, в настоящей статье также
описывается метод построения конкретного обобщенного автомата, который
определяет (среди прочих) заданное обобщенное регулярное выражение.
Этот метод построения фактически завершает описание рассматриваемого
нами формализма.
64
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
Итак, мы будем рассматривать формализм для задания автоматов, применяемых для описания обобщенных регулярных выражений (generalized
regular expressions), определяемых нами близко к [4]. С помощью предложенного формализма автоматы могут описывать не только операции, обычные
для регулярных выражений, но и применяемую для обобщенных регулярных
выражений операцию дополнения. Очевидно, что при этом мы описываем регулярные языки.
Такие расширенные возможности для описания регулярных языков
(иными словами – расширение класса недетерминированных конечных автоматов) могут быть полезны в некоторых приложениях, в частности, в контекстном поиске. Посредством обобщенных конечных автоматов и обобщенных регулярных выражений можно, например, с помощью небольшого числа
примитивов определить язык, который содержит все слова над рассматриваемым алфавитом – за исключением некоторого множества, определенного
пользователем.
В данной статье сформулированы основные определения рассматриваемых формализмов, а также изложены алгоритмы преобразования для них. Из
этих действий вытекает не столько их эквивалентность (она очевидна с самого начала), сколько возможность быстрого определения одного и того же
класса регулярных языков; в первую очередь – определения операции дополнения «обычными автоматными методами».
1. Основные определения и примеры
Обобщенными регулярными выражениями (ОРВ) согласно [4] будем
называть регулярные выражения, для которых дополнительно определена
операция дополнения ~. Подробнее: пусть задан алфавит Σ, тогда:
1) ОРВ ∅ определяет регулярный язык ∅ ;
2) для каждой буквы a ∈Σ ОРВ a определяет регулярный язык {a}.
Далее, пусть p и q – обобщенные регулярные выражения, определяющие регулярные языки P и Q соответственно, тогда:
3) ОРВ (p+q) определяет регулярный язык P ∪ Q ;
4) ОРВ (p·q) определяет регулярный язык PQ;
5) ОРВ (p*) определяет регулярный язык P*;
6) ОРВ (~p) определяет регулярный язык P = Σ* \P .
Определение 1. Обобщенное регулярное выражение – это то и только
то, что может быть образовано с помощью применения в каком-либо порядке
перечисленных шести правил; при этом каждое из этих правил может быть
применено любое (конечное) число раз.
Далее определим один из возможных вариантов обобщенного недетерминированного конечного автомата (ОНКА).
Определение 2. Назовем обобщенным недетерминированным конечным автоматом кортеж
G = (Q, Σ, δ, S , F ,T , ςin , ςout ) ,
(1)
где Q – конечное множество состояний автомата; Σ – рассматриваемый алфавит; δ – функция переходов δ : Q × (Σ ∪ {ε}) →  (Q ) ; S ⊆ Q – множество
стартовых состояний; F ⊆ Q – множество финальных состояний; T ⊆  –
Physics and mathematics sciences. Mathematics
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
конечное множество,  – множество натуральных чисел; ςin и ςout – функции вида ςin , ςout : Q × T → Q , для которых выполняются условия:
( ∀i ∈ T )( ∃! q, p ∈ Q, q ≠ p ) (ςin ( q, i ) = p)
и
( ∀i ∈ T )( ∃!q, p ∈ Q, q ≠ p ) (ςout ( q, i ) = p) .
Множество T и функции ςin , ςout определяют языки-дополнения; ниже
будет дано определение самих соответствующих языков.
Как и обычный конечный автомат, обобщенный конечный автомат может быть задан в виде помеченного орграфа. Определим граф переходов для
автомата (1) следующим образом. Множества Q, S, F и функция переходов δ
задаются аналогично графу переходов для обычного конечного автомата. Если ςin ( q, i ) = p, где q, p ∈ Q, i ∈ T , то в графе переходов имеется дуга из вершины q в вершину p, помеченная –i. Если ςout ( q, i ) = p, где q, p ∈ Q, i ∈ T , то
в графе имеется дуга из вершины q в вершину p, помеченная +i. Пример графа переходов обобщенного конечного автомата приведен на рис. 1.
Рис. 1. Пример графа переходов обобщенного конечного автомата
Определим язык, задаваемый ОНКА. Для любого i ∈ T рассмотрим состояния si , fi , in i , out i множества Q такие, что
ςin ( in i , i ) = si ,
ςout ( fi , i ) = out i .
(2)
Определение 3. Пусть G – обобщенный конечный автомат (1). Для не-
которых S ' , F ' ⊆ Q обозначим
K ( S ' , F ' ) = K (Q, Σ, δ, S ' , F ' ) .
66
(3)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
Определение 4. Пусть G – ОНКА (1). Тогда K (G ) = (Q, Σ, δ, S , F ) будет
соответствовать обычному конечному автомату.
Определение 5. Пусть G – обобщенный конечный автомат (1). Для
(
)
out
∀k ∈ T обозначим Gk = G Q, Σ, δ, {sk } , { f k } , T− k , ςin
− k , ς − k , где
T− k = T \ {k} ;
(4)
in
ςin
− k ( q, i ) = ς ( q, i ) для всех q ∈ Q, i ∈ T− k ;
out
ςout
( q, i ) для всех q ∈ Q, i ∈ T−k .
− k ( q, i ) = ς
Определение 6. Язык (G ) автомата (1) определяется следующим
образом:
 ( G ) =  ( K (G ) )

∪    ( K ( S ,
i∈T

{in i }) )  ( Gi )  ( K ({out i }, F ) )  .

(5)
Согласно определению 6 очевидно, что для любого обобщенного автомата G, определяемого согласно (1), задаваемый им язык  ( G ) регулярен.
Продолжим рассмотрение примера автомата, приведенного на рис. 1.
Подробности построения соответствующего ОРВ согласно определению 6
опускаем; кратко скажем лишь, что язык этого ОНКА описывает множество
слов над алфавитом {a, b}, в которых нет двух стоящих подряд букв b.
2. Построение обобщенного конечного автомата
по заданному обобщенному регулярному выражению
Для «классических» регулярных выражений и конечных автоматов
давно известно, что эти варианты представления регулярного языка эквивалентны. То есть для каждого конечного автомата существует регулярное выражение, задающее тот же язык, и наоборот.
Эквивалентность ОНКА и ОРВ следует просто из регулярности языка,
определяемого согласно (5). Однако в этом и следующем разделах мы опишем конкретные алгоритмы построения ОНКА по заданному ОРВ (и наоборот, ОРВ по заданному ОНКА). Таким образом, мы получим возможность
определения операции дополнения (и вообще обобщенных регулярных выражений) «обычными автоматными методами». При этом, как было отмечено
выше, с помощью небольшого числа примитивов можно, например, определить язык, который содержит все слова над рассматриваемым алфавитом – за
исключением некоторого множества (возможно, бесконечного, но обязательно регулярного), определенного пользователем.
Итак, сначала построим ОНКА, эквивалентный заданному ОРВ. Автомат будем строить по индукции. Обозначим через Gr автомат, эквивалентный выражению r. Поскольку любой автомат можно легко привести к эквивалентному автомату с одним входом и одним выходом, будем считать, что
все построенные автоматы имеют ровно один вход и один выход.
Графы переходов для ОНКА G∅ и Ga показаны на рис. 2.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 2. Графы переходов автоматов G∅ и Ga
Далее, пусть r и p – некоторые ОРВ, для которых уже построены эквивалентные автоматы
(
)
out
G p = G p ( Q p , Σ, δ p , {s p } , { f p } , T p , ςin
p , ςp ).
out
,
Gr = Gr Qr , Σ, δr , {sr } , { f r } , Tr , ςin
r , ςr
Эти автоматы изображены на рис. 3.
Рис. 3. Графы переходов автоматов Gr и G p
Тогда автоматы Gr + p и Grp построим согласно рис. 4:
(
{
} {
}
{
}
Gr + p = Gr + p Qr ∪ Q p ∪ sr + p ∪ f r + p , Σ, δr ∪ δ p ∪ δ, sr + p ,
out
{ fr + p } ,Tr ∪ Tp , ςinr ∪ ςinp , ςout
r ∪ςp ),
где
(
)
(
)
(
)
δ : δ sr + p , ε = sr , δ sr + p , ε = s p , δ ( f r , ε ) = f r + p , δ f p , ε = f r + p ,
(
{ }
)
in out
out
,
Grp = Grp Qr ∪ Q p , Σ, δr ∪ δ p ∪ δ,{sr } , f p ,Tr ∪ T p , ςin
r ∪ ς p , ςr ∪ ς p
здесь δ : δ ( f r , ε ) = s p .
68
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
Рис. 4. Графы переходов автоматов Gr + p и Grp
При этом будем считать, что ∀tr ∈ Tr , t p ∈ T p : tr ≠ t p , так как этого
условия легко добиться с помощью элементарных преобразований.
Автоматы Gr* и G~ r построим согласно рис. 5:
(
)
out
,
Gr* = Gr* Qr ∪ { f r*} , Σ, δr ∪ δ,{sr } ,{ f r*} ,Tr , ςin
r , ςr
где
δ : δ ( f r , ε ) = sr , δ ( f r , ε ) = f r* , δ ( sr , ε ) = f r* ,
(
)
in out
out
,
G~ r = G~ r Qr ∪ {s~ r } ∪ { f ~ r } , Σ, δr ,{s~ r } ,{ f ~ r } ,Tr ∪ {i}, ςin
r ∪ ς , ςr ∪ ς
здесь i = max t +1 , ςin ( s~ r , − i ) = sr , ςout ( f r , + i ) = f ~ r .
t  Tr
Корректность проведенных построений очевидна. Итак, мы привели индуктивный алгоритм построения эквивалентного ОНКА для заданного ОРВ.
3. Построение обобщенного регулярного выражения
по заданному обобщенному конечному автомату
Теперь докажем возможность построения ОРВ по заданному ОНКА,
т.е. фактически рассмотрим аналог теоремы Клини «в обобщенном случае».
При этом необходимы несколько следующих замечаний.
Во-первых, сама возможность построения следует из определения 6;
здесь же мы покажем возможность построения разных ОРВ (т.е. фактически
ОРВ, соответствующих заданному ОНКА, но с другими функциями ςin и
ςout ), что аналогично обычным доказательствам теоремы Клини [4–7].
Physics and mathematics sciences. Mathematics
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 5. Графы переходов автоматов Gr* и G~r
Во-вторых, аналогия здесь далеко не полная: «в классическом случае»
теорема Клини доказывает регулярность языка автомата – мы же, зная эту
регулярность, заранее доказываем более простой факт, а именно корректность построения конкретных ОРВ.
Также отметим, что согласно материалу предыдущего раздела построенный ОНКА определяет, вообще говоря, несколько ОРВ, и при этом одно из
них совпадает с заданным.
Как известно, в различных вариантах доказательства «обычной» теоремы Клини содержится не только доказательство регулярности языка, определяемого автоматом, но и алгоритм построения регулярного выражения по заданному автомату. Регулярное выражение при этом строится в соответствии
с инъективной функцией, определяющей порядок состояний автомата. Для
различных вариантов инъективной функции в результате получаются различные регулярные выражения, но все они определяют один и тот же регулярный язык – язык, задаваемый исходным конечным автоматом.
Аналогичные построения производятся и в нашем, «обобщенном» случае. При этом мы доказываем еще и то, что при разном порядке выбора вершин (для построения ОРВ по заданному ОНКА) мы получаем различные
описания одного и того же регулярного языка. Значит, все построенные таким образом для данного ОНКА выражения эквивалентны и определяют тот
же язык, что и автомат.
Итак, опишем аналогичный алгоритм построения обобщенных регулярных выражений по обобщенному конечному автомату в соответствии
с инъективной функцией и докажем, что все построенные выражения определяют тот же регулярный язык, что и автомат. Будем обозначать такие выражения ρτ (G ) , где G – исходный автомат (1). При фиксированном τ будем
писать ρ(G ) .
70
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
Для заданного автомата G рассмотрим произвольную инъективную
функцию τ : Q → R + . Будем считать q < r, если τ ( q ) < τ(r ) . Зафиксируем на
данном этапе автомат G и функцию τ .
Для каждой пары состояний s, f ∈ Q (возможно s = f), рассмотрим ав-
(
)
томат K s→ f = Qs → f , Σ,δ s→ f ,{s} , { f } , где
Qs→ f = {s, f } ∪ Qsf ,
Qsf = {q ∈ Q | q > max ( s, f )} .
Функция переходов δ s→ f строится следующим образом:
a 
p 
r тогда и только тогда, когда p a r , p ∈ {s} ∪ Qsf , r ∈ { f } ∪ Qsf .
δs → f
δ
Рассмотрим язык
(
)
s→ f =  K s→ f ∪

∪   K s→ f
i∈T
 (

({s} ,{in i }) )  ( Gi )  ( K s→ f ({outi },{ f }) ) .

(6)
Если s = f , будем кратко обозначать s и K s соответственно. Тогда
язык автомата G можно записать в виде


 (G ) =
s ⋅  s → f ∪ 
s →q ⋅ q ⋅ q→ f

 q< min( s , f )
s∈S , f ∈F





  ⋅ f .


(7)
Далее построим регулярные выражения ρs → f , ρs , определяющие языки s → f и s . Сделаем это по индукции по τ(min ( s, f )) . Для этого сначала
для каждой пары состояний p, q∈ Q и i ∈ T определим обобщенное регулярное выражение gi ( p, q) :
1) если p = in i , q = out i , то gi ( p, q ) =~ ρ(Gi ) , где Gi – автомат (4);
2) иначе gi ( p, q ) = ∅ .
При этих обозначениях определяем
g ( p, q ) =
g i ( p, q ) .
i∈T
Теперь запишем выражения ρs → f , ρs .
Если min ( s, f ) = qmax = max({q | q ∈ Q}) , то
*
ρqmax
a
 


=  a ∈ Σ | qmax → qmax  + g ( qmax , qmax )  .





Physics and mathematics sciences. Mathematics
(8)
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Если s ≠ f , то

a 


ρ s → f =  a ∈ Σ| s → f  + 
ρ s →q ⋅ ρq ⋅ ρq → f

  q > max( s , f )


 + g ( s, f ) .


(9)
Если s = f, то
*


a 


ρ s =   a ∈ Σ| s → s  +
ρ s →q ⋅ ρq ⋅ ρq → s + g ( s, s )  .
 

 q > s



(10)
Чтобы построить выражения g ( s, f ) , построим выражения gi ( s, f ) по
индукции по i ∈ T .
Пусть i = 1, тогда g1 ( p, q ) = ~ ρ ( G1 ) = ~ ρ( K ( {s1} ,{ f1}) . Выражение
ρ( K ( {s1} ,{ f1}) строится по алгоритму из «обычной» теоремы Клини.
Теперь предположим, что выражения g j ( p, q ) уже построены для
всех значений j < i, тогда
g i ( p, q ) =
ρ ( K ({si },{in j }) ) ⋅ g j ( in j , out j ) ⋅ ρ ( K ({out j } ,{ fi }) ) .
(11)
j <i
( ({s },{in })) и ρ ( K ({out },{ f })) построены по
Здесь выражения ρ K
(
теореме Клини, а g j in j , out j
i
)
j
j
i
– по предположению индукции.
Таким образом, у нас есть алгоритм построения выражений g ( s, f ) .
Пусть теперь известно, что все выражения из правых частей (9) и (10) уже построены. Тогда регулярное выражение, определяющее язык автомата (7),
можно записать в виде
ρ (G ) =

ρs ⋅  ρs→ f +
ρ s →q ⋅ ρq ⋅ ρ q → f

s∈S , f ∈F
q < min ( s , f )




⋅ρ .
 f

(12)
Из этого следует, что мы определили алгоритм построения обобщенного
регулярного выражения по заданному автомату G в соответствии с некоторой
инъективной функцией τ , и полученные описанным образом все такие возможные выражения всегда определяют тот же язык, что и автомат G согласно
определению 6. Итак, мы сформулировали алгоритм построения ОНКА по
ОРВ, а также алгоритм построения ОРВ по ОНКА. В результате было доказано,
что данные формализмы для описания регулярного языка эквивалентны.
Заключение
Итак, мы привели возможный подход к описанию обобщенных регулярных выражений с помощью расширения класса недетерминированных конечных автоматов. Отметим, что хотя определение обобщения автоматов мало похоже на рассматривавшееся в [5], но в то же время многие языки могут
72
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
быть определены этими двумя обобщениями с помощью практически одних и
тех же последовательностей примитивов.
Список литературы
1. Б а у м г е р т н е р , С . Мультиэвристический подход к проблеме звездно-высотной
минимизации недетерминированных конечных автоматов / С. Баумгертнер,
Б. Мельников // Вестник Воронежского государственного университета. Серия:
Cистемный анализ и информационные технологии. – 2010. – № 1. – C. 5–7.
2. Б а у м г е р т н е р , С . Математическая модель автоматов для обобщенных регулярных выражений / С. Баумгертнер, Б. Мельников // Эвристические алгоритмы и
распределенные вычисления в прикладных задачах : кол. моногр. – Тольятти :
Изд-во ТГУ, 2012. – С. 16–23.
3. Б а у м г е р т н е р , С . Аналог теоремы Клини для обобщенных недетерминированных конечных автоматов / С. Баумгертнер // Вектор науки Тольяттинского
государственного университета. – 2012. – № 4 (22). – С. 23–25.
4. С а л о м а а , А . Жемчужины теории формальных языков / А. Саломаа. – М. : Мир,
1986. – 159 с.
5. M e l n i k o v , B . Extended nondeterministic finite automata / B. Melnikov // Fundamenta Informaticae. – 2010. – Vol. 104, Т. 3. – Р. 255–265.
6. M e l n i k o v , B . Some more on the finite automata / B. Melnikov, A. Vakhitova // J. of
Applied Math. and Comp. (The Korean J. of Comp. Appl. Math.). – 1998. – Vol. 5,
№ 3. – Р. 495–506.
7. M e l n i k o v , B . Once more on the edge-minimization of nondeterministic finite automata and the connected problems / B. Melnikov // Fundamenta Informaticae. –
2010. – Vol. 104, № 3. – Р. 267–283.
References
1. Baumgertner S., Mel'nikov B. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta.
Seriya: Cistemnyy analiz i informatsionnye tekhnologii [Voronezh state university bulletin. Series: System analysis and information technologies]. 2010, no. 1, pp. 5–7.
2. Baumgertner S., Mel'nikov B. Evristicheskie algoritmy i raspredelennye vychisleniya v
prikladnykh zadachakh : kol. monogr. [Heuristic algorithms and distributed computing
in applied problems: joint monograph]. Tolyatti: Izd-vo TGU, 2012, pp. 16–23.
3. Baumgertner S. Vektor nauki Tol'yattinskogo gosudarstvennogo universiteta [Science
vector of Togliatti state university]. 2012, no. 4 (22), pp. 23–25.
4. Salomaa A. Zhemchuzhiny teorii formal'nykh yazykov [Pearls of the formal languages
theory]. Moscow: Mir, 1986, 159 p.
5. Melnikov B. Fundamenta Informaticae. 2010, vol. 104, no. 3, pp. 255–265.
6. Melnikov B., Vakhitova A. J. of Applied Math. and Comp. (The Korean J. of Comp.
Appl. Math.). 1998, vol. 5, no 3, pp. 495–506.
7. Melnikov B. Fundamenta Informaticae. 2010, vol. 104, no. 3, pp. 267–283.
Баумгертнер Светлана Викторовна
кандидат физико-математических наук,
старший преподаватель, кафедра
прикладной математики и информатики,
Тольяттинский государственный
университет (г. Тольятти,
ул. Белорусская, 14)
Baumgertner Svetlana Viktorovna
Candidate of physical and mathematical
sciences, senior lecturer, sub-department
of applied mathematics and informatics,
Togliatti State University (Togliatti,
14 Belorusskaya str.)
E-mail: S-Baumgertner@yandex.ru
Physics and mathematics sciences. Mathematics
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Мельников Борис Феликсович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра прикладной
математики и информатики,
Тольяттинский государственный
университет (г. Тольятти,
ул. Белорусская, 14)
Mel'nikov Boris Feliksovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of applied mathematics and informatics,
Togliatti State University (Togliatti,
14 Belorusskaya str.)
E-mail: B.Melnikov@tltsu.ru
УДК 519.178
Баумгертнер, С. В.
Обобщенные недетерминированные конечные автоматы / С. В. Баумгертнер, Б. Ф. Мельников // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 2 (26). –
С. 64–74.
74
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.977
В. Л. Пасиков
К ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ
НЕАНТАГОНИСТИЧЕСКИХ ИГР
Аннотация. В предлагаемой работе изучены задачи из теории динамических
игр нескольких лиц с ненулевой суммой, когда ценой игры является система
функционалов типа расстояния. Особенность работы заключается в том, что
для описания эволюции объектов выделены три случая линейных систем типа
Вольтерра: интегродифференциальная система уравнений с управляющими
воздействия вне интеграла, интегродифференциальная система уравнений
с управляющими воздействиями под знаком интервала и система интегральных уравнений. Решение задачи заключается в построении равновесного, по
Нэшу, набора оптимальных стратегий для указанных типов динамических систем и выбранного функционала. Задача решается построением некоторой модификации известной экстремальной конструкции академика Н. Н. Красовского, которая заключается в новом определении позиции игры, для чего используется полная память по управляющим воздействиям, что существенно
усложняет все исследование. Доказаны соответствующие теоремы.
Ключевые слова: интегродифференциальное уравнение Вольтерра, интегральное уравнение Вольтерра, управляющее воздействие, измеримая функция, траектория, позиция, оптимальная стратегия.
V. L. Pasikov
TOWARDS THE THEORY OF LINEAR DYNAMIC
NONANTAGONISTIC GAMES
Abstract. The article studies the problems of the theory of dynamic games of several
persons with non-zero sum, when the value of the game is the system of functionals
of distance type. The peculiarity of the work lies in the fact that to describe the evolution of objects there may be used three cases of linear systems of Volterra type: integro-differential system of equations with managing impacts outside of the integral,
integro-differential system of equations with control actions under the sign of the interval and the system of integral equations. Solution of the problem lies in the construction of equilibrium, the Nash equilibrium, the set of optimal strategies for specified types of dynamical systems and the selected features. The problem is solved by
constructing some modification of the well known extreme construction of the academician N. N. Krasovskiy, which is based on a new definition of the position of the
game that uses a full memory of the control inputs, which significantly complicates
the entire study. The corresponding theorems have been proven.
Key words: Volterra integral differential equation, Volterre’s integral equation, control action, measurable function, trajectory, game position, optimal strategy.
Рассмотрим неантагонистические динамические игры, в которых динамика описывается линейными интегродифференциальными и интегральными
системами Вольтерра. Решение задач проводится на основе методов, разработанных в [1–3], которые модифицированы к рассмотренным ниже случаям.
Пусть, как и в [3], задана система функционалов
Yi (u1 ,..., um ) = ci − x(θ) , i = 1, m,
Physics and mathematics sciences. Mathematics
(1)
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
предполагается, что игрок Pk стремится минимизировать k-й функционал из
(1) на траекториях некоторой системы, описывающей динамику игры; • –
символ евклидовой нормы в R n .
Динамика управляемой системы определяется векторным интегродифференциональным уравнением Вольтерра
t
m
x(t ) = f (t ) + A(t ) x(t ) + K (t , s ) x( s )ds +  ui (t ), x(0) = x0 ,
i =1
0

(2)
где x – n-мерный фазовый вектор; f(t) – n-мерная интегрируемая по Лебегу на
[0, θ] вектор-функция; θ > 0 – фиксированный момент окончания игры; A(t) –
непрерывная на [0, и] матрица n × n ; ui(t), i = 1, m , – управляющие воздействия, стесненные ограничениями, ui ∈U i ; Ui – выпуклые компакты в Rn,
а их реализации u[t], t ∈ [t0 , θ) , – измеримые по Лебегу функции. Такие
управления называют допустимыми.
Стратегией Uk игрока Pk называется правило выбора управления uk
в каждый момент t ∈ [t0 , θ) , t0 ∈ [0, θ) – начало процесса управления.
Задача 1. Для системы функционалов
Yi (u1 ,..., um ) = ϕi ( x[θ]), i = 1, m − 1 ;
(3)
r
Ym (u1 ,..., um ) =
α j
d j − x[θ] = ϕm ( x[θ]), α j > 0 ,
(4)
j =1
e
найти такие стратегии U1e ,...,U m
, для которых выполняются соотношения
ϕi ( xe [θ]) ≤ ϕi ( x k [θ]) , i = 1, m ; xe [θ] – точка реализовавшейся траектории x[t],
t ∈ [0, θ] , системы (2), которая отвечает стратегиям U1e ,...,U me ; x k [θ] – точка
реализовавшейся траектории x[t], t ∈ [0, θ] , системы (2), которая отвечает реаe
лизациям управлений u1e [t ],..., uke −1[t ], uk [t ], uke +1[t ],..., um
[t ] , где uie [t ], i = 1, m,
i ≠ k , формируется на основе U ie ; uk [t ] – реализация произвольного, измеримого по Лебегу управления, стесненного условием uk ∈U k . Если задача 1
e
разрешима, то набор стратегий U e = {U ie ,...,U m
} называется равновесным по
Нэшу [3] для игры, описываемой задачей 1. Такие стратегии называются оптимальными для игроков P1 ,..., Pm . Система функционалов (3), (4) интерпретируется следующим образом: игроки P1 ,..., Pm−1 стремятся «поразить» в момент и заданные точки c1 ,..., cm−1 , а игрок Pm – систему точек d1 ,..., d r [3]. Есr
ли
 αi = 1 ,
j=1
r
то
α j
d j − x(θ)
– математическое ожидание дискретной
j =1
случайной величины, возможными значениями которой являются евклидовы
расстояния от x(θ) до каждой из точек d1 ,..., d r [4]. Считаем, что к моменту
76
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
t0 ∈ [0, θ) все игроки уже реализовали некоторые допустимые управления
ui [t ] согласно тем или иным соображениям, а для t ≥ t0 управления должны
реализовываться согласно выбранным стратегиям. Предположив, что после
некоторого момента t ≥ t0 управления u[t ] ≡ 0 , получаем согласно [5] состояние системы (2) в момент t:
m t
x(θ, t ) = x(θ, t0 ) +
  x(θ, s)ui (s)ds ,
(5)
i =1 t0
где
m t0
θ

x(θ, t0 ) = X (θ,0) x0 + x (θ, s )ϕ( s )ds +
  x(θ, s)ui [s] ds ,
i =1 0
0
t

ϕ( s ) = Ô ( s,0) x0 + f ( s ), Ô (t , s ) = K (t , τ)X (τ, s )d τ ,
s
X(t, s) – матрица Коши системы x = A(t ) x(t ) ,
t

x (t , s ) = X (t , s ) + X (t , τ) R (τ, s )d τ ,
(6)
s
R(t, s) – резольвента матрицы Ф(t, s).
Для построения оптимальной стратегии игрока Pk рассматриваем выражение, построенное по (5), (6):
θ

ε k (t0 , x(θ, t0 ), ck ) = max lk′ (ck − x(θ, t0 )) − max {lk' x (θ, s)}uk ( s )ds −
lk =1 
u ∈U
t0 k k




−
min {lk' x (θ, s )}ui ( s )ds  ,
u ∈U

i =1, t0 i i

i≠k
m θ

(7)
которое является евклидовым расстоянием от начальной позиции x(θ, t0 ) до
точки ck , k = 1, m , при соответствующих управляющих воздействиях игроков
P1 ,..., Pm . В соотношении (7) максимум достигается на единственном векторе
lk0 = lk ( t , x(θ, t ) ) , непрерывно зависящем от позиции {t , x(θ, t )} , в случае, когда ε k (t , x(θ, t ), ck ) > 0 , т.е. рассматривается регулярный случай; считаем что
∀t ∈ [t0 , θ)  ε k (t , x(θ, t ), ck ) > 0 [1]; здесь и далее штрих означает транспонирование. После решения задачи (7) в момент t ∈ [t0 , θ) определяем оптималь-
ную стратегию игрока Pk , k = 1, m , соотношением
Physics and mathematics sciences. Mathematics
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
{lk0' x (θ, t )}uke = max {lk0' x (θ, t )}uk .
(8)
uk ∈U k
Обозначим xke (t ) = {lk0' x (θ, t )} . Как это следует из (6), xke (t ) – решение
интегрального уравнения второго рода
xke (t ) = {lk0' X (θ, t )} +
θ
 Ô ′(τ, t ) xk (τ)d τ ,
e
t
в котором {lk0' X (θ, t )} – решение системы
dxk
= − A' (t ) xk с краевым условием
dt
dxk
= A(t ) xk , t ∈ [t0 , θ) , k = 1, m [1].
dt
Окончательно условие (8) переписываем в виде
xk (θ) = lk0 , сопряженной к системе
xke (t )uke = max xke (t )uk .
(9)
uk ∈U k
В работе [5] было доказано, что введенные оптимальные стратегии
уравновешивают систему функционалов (1) в смысле Нэша. Будем теперь исследовать решение задачи 1. Для игроков P1 ,..., Pm−1 оптимальные стратегии
определяются равенством (9). Для построения оптимальной стратегии игрока
Pm рассматриваем выражение
θ

ε mj (t0 , x(θ, t0 ), d j ) = max l ′j (d j − x(θ, t0 )) − max {l ′j x (θ, s )}um ( s )ds −
u ∈U
l j =1 
t0 m m



′

−
min {l j x(θ, s )}ui ( s )ds  ,

ui ∈U i
i =1 t0

m−1 θ

(10)
значение которого является евклидовым расстоянием от точки x(θ, t0 ) до
точки d j , j = 1, r , при указанных управляющих воздействиях всех игроков.
Предполагается, что решение в (10) достигается на единственном векторе
l 0j = l 0j (t0 , x(θ, t0 )) и ε mj (t0 , x(θ, t0 ), d j ) > 0 , вектор l 0j непрерывно зависит от
позиции [1].
0
=
После решения задачи (10) составляем вектор lm
r
 α j l 0j
и определя-
j =1
e
игрока Pm из условия
ем оптимальную стратегию U m
0' 
e
e
{lm
x(θ, t )}um
(t ) = max xm
(t )um , t ∈ [t0 , θ)
um∈U m
или по аналогии с (9)
78
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
e
e
e
0' 
xm
(t )uke (t ) = max xm
(t )um , t ∈ [t0 , θ), xm
(t ) = {lm
x(θ, t )} .
um∈U m
(11)
Записываем функции
ε mj (t ) = ε mj (t , x(θ, t ), d j ) = l 0'
j (d j
t
− x(θ, t0 )) −
{l j x (θ, s)}um ( s)ds −
 umax
∈U
t0
−

{l 0'
j x (θ, s )}um ( s ) ds −
0'
m
m
m −1 θ
  {l 0'j x (θ, s)}uie (s)ds.
(12)
j =1 t0
t
Из функций (12) записываем линейную комбинацию
r
ε m (t ) =

α j ε mj (t , x(θ, t ), d j ) =
j =1
t
r
0'
 u ∈U {α j l j x (θ, s)}um (s)ds −
max
m
t0
−

 α j l 0'j (d j − x(θ, t 0 )) −
j =1
−
r θ
r
m
j =1
{α j l 0'
j x (θ, s )}um ( s ) ds −
j =1 t
m −1 θ r
  {α j l 0'j x(θ, s)}uie (s)ds,
(13)
i =1 t0 j =1
с использованием условия (11) формула (13) переписывается в следующем
виде:
r
ε m (t ) =

t

e
e
α j l 0'
j ( d j − x (θ, t0 )) − xm ( s )um ( s ) ds −
j =1
θ
−

t
e
xm
( s )um ds −
t0
m −1 θ
  xme (s)uie (s)ds ,
(14)
i =1 t0
здесь управления игроков P1 ,..., Pm−1 являются оптимальными; ε m (θ) – значение ε m (t ) при t = θ , когда все игроки применяли свои оптимальные управления; ε m (t0 ) – значения t = t0 при ε m (t ) , когда игроки P1 ,..., Pm−1 применяют свои оптимальные стратегии, а игрок Pm применяет произвольное допустимое управление.
Вычисляем производную
d ε m (t )
e
e
e
e
e
= − xm
(t )um
(t ) + xm
(t )um (t ) = − max xm
(t )um + xm
(t ) ≤ 0 ,
dt
um∈U m
таким образом, при замене в (13) (или в (14)) произвольного допустимого
управления игрока Pm на оптимальное функция ε m (t ) не возрастает, т.е.
ε m (t ) ≤ ε m (t0 ) . Следовательно доказана
Physics and mathematics sciences. Mathematics
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Теорема 1. Оптимальные стратегии, определяемые равенствами (9), когда k = 1, m − 1 и (11) при k = m, уравновешивают в смысле Нэша систему
функционалов (3), (4).
Пусть теперь динамика управляемого объекта описывается системой
t
m t

x (t ) = f (t ) + A(t ) x(t ) + K (t , s )x( s )ds +
  Bi (t, s)u(s)ds, x(0) = x0 ,
(15)
i =1 0
0
на которую дополнительно к (2) наложены следующие ограничения: f(t) –
функция с ограниченной вариацией на [0, и]; Bi (t , s ) – непрерывные при
0 ≤ s ≤ t ≤ θ матрицы n × ri с интегрируемыми по Лебегу производными по
первому аргументу; ui (t ) ∈U i , U i – ограниченные выпуклые замкнутые
множества в R ri .
Решение (15) с заданным начальным условием записывается следующим образом [6]:
t

x(t ) = X (t ,0) x0 + X (t , s )Ψ ( s,0)dsϕ(0) +
0
t t
t m t


 X (t , τ)χi (τ, s ) d τ  ui ( s ) ds,
+  X (t , τ) Ψ ( τ, s )d τ d ϕ( s ) +




0 s
0 i =1  s


 

(16)
здесь ϕ(t ) = f (t ) + Φ (t ,0) x0 – функция с ограниченной вариацией и, следовательно, интеграл Стилтьеса, содержащийся в правой части (16), существует;
t

Ψ (t , s ) = E + R (t , τ)d τ , Е – единичная матрица; R(t, s) – резольвента матрицы
s
t
Ф(t, s), χi (t , s ) = Ψ (t , s ) Bi ( s, s ) +

s
∂Bi ( τ, s )
dt , теперь обозначим
∂τ
θ

x(θ, t0 ) = X (θ,0) x0 + X (θ, s )Ψ ( s,0)ds ϕ(0) +
0
t0 m  θ
θ θ


 X (θ, τ)χi (τ, s )d τ  ui [ s ]ds,
+  X (θ, τ)Ψ ( τ, s )d τ  d ϕ( s ) + +




0 s
0 i =1  s


 

тогда состояние системы (15) в момент t, t0 ≤ t ≤ θ , определяется формулой
θ

 X (θ, τ)χi (τ, s )d τ ui ( s )ds .


t0 i =1  s

t m
x(θ, t ) = x(θ, t0 ) +
80
 
(17)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
С помощью формулы состояния (17) динамической системы(15) решаем задачу (1). Для любой начальной позиции (t0 , x(θ, t0 )) , t0 ∈ [0, θ) , решаем
вспомогательную задачу нахождения экстремального вектора lk0 , k = 1, m :
θ


ε k (t0 , x(θ, t0 ), Ck ) = max l '(Ck − x(θ, t0 )) − max (l ' xk (θ, s )uk ( s) ds −
l =1 
u ∈U
t0 k k




−
min {l ' xi (θ, s )}ui ( s ) ds  ;
u ∈U

i =1 t0 i i

i≠k
m θ

(18)
θ

xi (θ, s ) = X (θ, τ)χi (τ, s )d τ , i = 1, m .
(19)
s
Пусть lk0 – решение задачи (18), тогда обозначим xke (t0 ) = lk0' ⋅ xk (θ, t0 ),
для игрока Pk , k = 1, m , оптимальное управление определяется условием
xke (t )uke (t ) = max xke (t )uk , t ∈ [t0 , θ) , k = 1, m .
uk ∈U k
(20)
Оптимальные стратегии, определяемые равенствами (20), уравновешивают в смысле Нэша систему функционалов (1) [7].
Решаем теперь задачу 1 для функционалов (3), (4) и управляемой системы (15). Записываем функцию по аналогии с (12):
θ

j (t , x(θ, t ), d ) = max l '(d − x(θ, t ) − max {l ' x (θ, s )}u ( s )ds −
εm
0
0
0
j
j
m
m
l =1 
u ∈U
t0 m m



−
min {l ' xi (θ, s )}ui ( s )ds  ,

ui ∈U i
i =1 t0

m −1 θ

(21)
xi (θ, s ) определяется формулой (19).
Решением задачи (21) является единственный вектор l 0j , теперь записываем функцию
r
ε m (t ) =

ε mj (t , x(θ, t ), d j ) =
j =1
 α j l 0j ′ (d j − x(θ, t0 )) −
j =1
t
−
r
r
0′
 u ∈U {α j l j xm (θ, s)}um (s)ds −
max
t0
m
m
j =1
Physics and mathematics sciences. Mathematics
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
θ r
m −1 θ
r
0′ 
−
{α j l j xm (θ, s )}um ( s )ds −
min
{α j l 0j ′ x j (θ, s )}uie ( s )ds,
ui ∈U i
i =1 t0
j =1
t j =1


0
обозначим lm
=

(22)
r
 α j l 0j , тогда оптимальная стратегия m-го игрока определяj =1
ется условием
e
e
e
(t ) ⋅ um
(t ) = max xm
(t ) ⋅ u m ,
xm
um∈U m
(23)
e
0' 
(t ) = lm
⋅ xm (θ, t ) ; равенство (22) записываем следующим образом:
где xm
r
ε m (t ) =

α j l 0'
j (d j
t

e
e
− x(θ, t0 )) − xm
( s )u m
( s )ds −
j =1
t0
θ

e
− xm
( s )um ( s )ds −
m −1 θ
  xme (s)uie (s),
(24)
i =1 t0
t
0' 
в (22) xie ( s ) = lm
xi (θ, s ); ε m (θ) – значение ε m (t ) при t = θ , когда все игроки
на [t0, θ) применяют свои оптимальные управления; ε m (t0 ) – значение ε m (t ) ,
при t = t0, когда игрок Pk применяет произвольное допустимое управление,
а остальные игроки свои оптимальные управления.
Дифференцируя (24), получаем
d ε m (t )
e
e
e
e
e
= − xm
(t )um
(t ) + xm
(t )um (t ) = − max xm
(t )um (um ) + xm
(t )um (t ) ≤ 0,
dt
uk ∈U k
следовательно, при подстановке в (22) оптимального управления игрока Pm
значения ε m (t ) не возрастают, таким образом, ε m (θ) ≤ ε m (t0 ) , что доказывает следующую теорему.
Теорема 2. Оптимальные стратегии, определяемые равенствами (20),
когда k = 1, m − 1 и (23) при k = m, уравновешивают в смысле Нэша систему
функционалов (3), (4).
Будем теперь рассматривать управляемую систему, динамика которой
описывается системой линейных интегральных уравнений Вольтерра 2-го рода:
t

x(t ) = f (t ) + A(t , s ) x( s )ds +
0
m t
  Bi (t , s)ui (s)ds,
(25)
i =1 0
x(t) – n-мерный фазовый вектор; f(t) – n-мерная вектор-функция с ограниченной вариацией; A(t , s ), Bi (t , s ), i = 1, m, – матрицы n × n , n × ri соответственно, непрерывно дифференцируемые по первому аргументу и непрерывные по
второму.
82
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
Тогда [8, 9] состояние системы (25) в момент t ∈ [t0 , θ) определяется
формулой
θ

x(θ, t ) = Ô (θ,0) f (0) + Ô (θ, s )df ( s ) +
0
m t0
m t
i =1 0
i =1 t0
  X i (θ, s)ui [s]ds +   X i (θ, s)ui (s)ds ,
t

где Ô (t , s ) = E + R (t , τ) d τ , Е – единичная матрица; R(t, s) – резольвента матs
θ

рицы A(t, s), X i (θ , s ) = Ô (θ, s ) Bi ( s, s ) + Ô (θ, τ)
s
∂Bi (τ, s )
d τ.
∂τ
Как было показано в [7, 8], l 'Ô (θ, t ) = *x(t ) является решением интеθ

грального уравнения *x(t ) = l '+ *x( s ) * A( s, t )ds, сопряженного уравнению
t
t

x(t ) = f (t ) + A(t , s ) x( s )ds,
0
t
где * A(t , s ) = A(t , t ) +

s
∂A(t , τ)
d τ , тогда
∂t
θ

l ′X i (θ, t ) = *x(t ) Bi (t , t ) + *x( s )
t
∂Bi ( s, t )
ds .
∂s
m t0
θ
Обозначив

x(θ, t0 ) = Ô (θ,0) f (0) + Ô (t , s ) df ( s ) +
  X i (θ, s)ui (s)ds,
i =1 0
0
получаем равенство:
m t
x(θ, t ) = x(θ, t0 ) +
  X i (θ, s)ui (s)ds,
(26)
i =1 t0
которое определяет позицию игры в момент t как пару {t, x(θ, t)}; {t0, x(θ, t0)} –
начальная позиция.
Записываем выражение
θ


ε(t0 , x(θ, t0 ), ck ) = max l '(ck − x(θ, t0 ) − max {l ' X k (θ, s )} uk ( s ) ds −
l =1 
u ∈U
t0 k k



m
−
{l '⋅ X i (θ, s )}ui ( s )ds  .
 umin
∈U

i =1
i≠k
k
k
Physics and mathematics sciences. Mathematics
(27)

83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Оптимальная стратегия игрока Pk согласно (27) определяется соотношением {lk0′ X k (θ, t )}uke (t ) = max {l 'k X k (θ, t )}uk , здесь lk0 = lk0 (t , x(θ, t )) – реuk ∈U k
шение задачи (27) в каждый момент t ∈ [t0 , θ).
Обозначим xke (t ) = {lk0′ X k (θ, t )} , тогда получаем соотношения, определяющие оптимальные стратегии игроков в следующей форме:
xke (t )uke = max xke (t )uk .
(28)
uk ∈U k
Оптимальные стратегии, построенные согласно соотношению (28),
уравновешивают в смысле Нэша систему функционалов (1), [9].
Решаем теперь задачу 1. Составляем функции

ε mj (t0 , x(θ, t0 ), d j ) = max l '( d j
l =1 
t
− x(θ, t0 ) −

{l ' X m (θ, s )}um ( s )ds −
 umax
∈U
t0
m
m

− {l ' X m (θ, s )}um ( s ) ds −
min {l '⋅ X i (θ, s )}ui ( s )ds  .

ui ∈U i
i =1 t0
t

θ
m −1 θ


(29)
После нахождения единственного решения l 0j задачи (29) записываем
функцию
r
ε m (t ) =

α j ε mj (t , x(θ, t ), d j ) =
j =1
r
0
 u ∈U {α j l ' j X m (θ, s)⋅}um (s)ds −
max
m
0
m
j =1
θ r

−
{α j l '0j
t j =1
X m (θ, s )}um ( s ) ds −
m −1 θ r
  {α j l '0j X j (θ, s)}uie (s)ds .
(30)
i =1 t0 j =1
r
Обозначим
 α j l '0j (d j − x(θ, t0 )) −
j =1
t
−
r

e
αi l 0'
j X m (θ, s ) = xm ( s ),
j =1
r
 α j l 0'j X i (θ, s) = xme (s) , i = 1, m − 1 ,
j =1
тогда
r
ε m (t ) =

α j l 0j ′ (d j − x(θ, t0 )) −
j =1
θ

e
− xm
( s )um ( s )ds −
t
84
t
 umax
∈U
t0
m −1 θ
m
e
xm
( s )um ( s )ds −
m
  xme (s)uie (s)ds ,
(31)
i =1 t0
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
где ε m (t0 ) – значение ε m (t ) , когда игрок Pk в течение всей игры применяет
произвольную допустимую стратегию, а остальные свои оптимальные стратегии; ε m (θ) – значение ε m (t0 ) , когда все игроки применяют свои оптимальные стратегии. Дифференцируем (31):
d ε m (t )
e
e
e
= − max xm
(t ) ⋅ um + xm
(t ) ⋅ um
≤0.
dt
uk ∈U k
Таким образом, если игрок Pk применяет стратегию
e
e
e
xm
(t ) ⋅ um
(t ) = max xm
(t )um ,
uk ∈U k
(32)
функция не возрастает, тогда ε m (t ) ≤ ε(t ) . Следовательно, доказана теорема.
Теорема 3. Оптимальные стратегии, описываемые условиями (28), когда k = 1, m − 1 и (32) при k = m, уравновешивают систему функционалов (3),
(4) в смысле Нэша.
Список литературы
1. К р а с о в с к и й , Н . Н . Игровые задачи о встрече движений / Н. Н. Красовский. –
М. : Наука, 1970. – 420 с.
2. С у б б о ти н , А . И . Оптимизация гарантии в задачах управления / А. И. Субботин, А. Г. Ченцов. – М. : Наука, 1981. – 288 с.
3. Г о р о х о в и к , В. В. О линейных дифференциальных играх нескольких лиц /
В. В. Гороховик, Ф. М. Кириллова // Управляемые системы : сб. тр. – Вып. 10. –
Новосибирск, 1971. – С. 3–9.
4. Г н е д е н к о , Б. В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. – М. : Наука,
2005. – 448 с.
5. П а с и к о в ,
В.
Л.
Позиционное управление линейными интегродифференциальными системами Вольтерра для случая управляющих воздействий
вне интеграла / В. Л. Пасиков // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. –
2008. – № 13. – С. 95–101.
6. П а с и к о в , В. Л. Задачи сближения-уклонения для линейных интегродифференциальных систем Вольтерра с управляющими воздействиями под знаком интеграла / В. Л. Пасиков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 2. – С. 58–70.
7. П а с и к о в , В. Л. Игровые задачи наведения для линейных интегродифференциальных систем Вольтерра с управляющими воздействиями под знаком интеграла / В. Л. Пасиков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 2.
8. П а с и к о в , В. Л. Экстремальное прицеливание в игре линейных систем Вольтерра / В. Л. Пасиков // Дифференциальные уравнения. – 1986. – Т. XXII, № 5. –
С. 907–909.
9. П а с и к о в , В. Л. Игровые задачи для систем интегральных уравнений Вольтерра / В. Л. Пасиков. – Рязань : Рязанский ордена «Знак почета» госпединститут,
1983. – 42 с.
References
1. Krasovskiy N. N. Igrovye zadachi o vstreche dvizheniy [Game problem on motions
meeting]. Moscow: Nauka, 1970, 420 p.
2. Subbotin A. I., Chentsov A. G. Optimizatsiya garantii v zadachakh upravleniya [Assurance optimization in control problems]. Moscow: Nauka, 1981, 288 p.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3. Gorokhovik V. V., Kirillova F. M. Upravlyaemye sistemy: sb. tr. – Vyp. 10 [System
control: collected papers – Issue 10]. Novosibirsk, 1971, pp. 3–9.
4. Gnedenko B. V. Kurs teorii veroyatnostey [Probability theory course]. Moscow: Nauka,
2005, 448 p.
5. Pasikov V. L. Izvestiya RAEN. Differentsial'nye uravneniya [Bulletin of the Russian
Academy of Natural Sciences. Differential equations]. 2008, no. 13, pp. 95–101.
6. Pasikov V. L. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzh-skiy region. Fizikomatematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physics and mathematics
sciences]. 2011, no. 2, pp. 58–70.
7. Pasikov V. L. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzh-skiy region. Fizikomatematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physics and mathematics
sciences]. 2012, no. 2.
8. Pasikov V. L. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 1986, V. XXII, no.
5, pp. 907–909.
9. Pasikov V. L. Igrovye zadachi dlya sistem integral'nykh uravneniy Vol'terra [Gamy
problems for Volterra integral equations system]. Ryazan: Ryazanskiy ordena «Znak
pocheta» gospedinstitut, 1983, 42 p.
Пасиков Владимир Леонидович
кандидат физико-математических
наук, доцент, кафедра естественноматематических дисциплин, Орский
филиал Оренбургского государственного
института менеджмента (Оренбургская
область, г. Орск, Орское шоссе, 4)
Pasikov Vladimir Leonidovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of natural
and mathematical disciplines, Orsk branch
of Orenburg State Institute of Management
(Orenburg region, Orsk, 4 Orskoe road)
E-mail: pasikov_fmf@mail.ru
УДК 517.977
Пасиков, В. Л.
К теории линейных динамических неантагонистических игр /
В. Л. Пасиков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2013. – № 2 (26). – С. 75–86.
86
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.392
И. В. Бойков, А. Н. Тында, П. С. Краснощеков
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПО ТОЧНОСТИ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СЛАБОСИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА
Аннотация. Целью работы является построение оптимальных по порядку по
точности методов решения интегральных уравнений Вольтерра со слабосингулярными ядрами из различных классов функций. Так как вопросы построения оптимальных по точности алгоритмов тесно связаны с оптимальной аппроксимацией функций из классов решений, то в работе применяется аппарат
поперечников Бабенко и Колмогорова компактов из классов решений как
в одномерном, так и в многомерном случаях. Вычислены порядки поперечников Бабенко и Колмогорова компактов из классов решений одномерных и
многомерных уравнений с рассматриваемыми слабосингулярными ядрами.
Построены оптимальные по порядку точности численные методы сплайнколлокационного типа. Полученные теоретические оценки подтверждаются
приведенными в заключении численными примерами решения двумерных интегральных уравнений Вольтерра.
Ключевые слова: интегральные уравнения Вольтерра, оптимальные алгоритмы, поперечники Бабенко и Колмогорова, слабосингулярные ядра, метод коллокации.
I. V. Boykov, A. N. Tynda, P. S. Krasnoshchyokov
NUMERICAL METHODS OF OPTIMAL
ACCURACY FOR WEAKLY SINGULAR
VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS
Abstract. Objective: the main aim of this paper is the construction of the optimal
with respect to accuracy order methods for weakly singular Volterra integral equations of different types. Methods: since the question of construction of the accuracyoptimal numerical methods is closely related with the optimal approximation problem, the authors apply the technique of the Babenko and Kolmogorov n-widths of
compact sets from appropriate classes of functions. Results: the orders of the
Babenko and Kolmogorov n-widths of compact sets from some classes of functions
for one-dimensional and multidimensional cases are evaluated. The special local
splines realizing the optimal estimates are also constructed. The optimal (with respect to accuracy order) spline-collocation methods are suggested. Conclusions: the
obtained theoretical estimates are verified by the numerical examples for 2-D
Volterra integral equations adduced in the paper.
Key words: Volterra integral equations, optimal algorithms, Babenko and Kolmogorov n-widths, weakly singular kernels, collocation method.
Введение
Интегральные уравнения Вольтерра имеют огромное количество приложений в экономике, медицине, экологии [1, 2]. Численным методам решения интегральных уравнений Вольтерра, включая уравнения Абеля – Вольтерра, посвящено большое количество работ, в частности [1–7].
Physics and mathematics sciences. Mathematics
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В настоящей статье мы обобщаем наши результаты, связанные с построением оптимальных по точности численных методов для многомерных
слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра (ИУВ). Часть из них
публикуется впервые.
Статья организована следующим образом. В главе 1 мы вводим используемые классы функций и доказываем некоторые утверждения относительно
гладкости точных решений ИУВ. Глава 2 посвящена вычислению поперечников Бабенко и Колмогорова компактов из введенных классов функций. Здесь
же строятся специальные локальные сплайны, реализующие оптимальные
оценки. В главе 3 описан проекционный метод для многомерных ИУВ, основанный на аппроксимации точных решений такими сплайнами. Численный
пример решения двумерного ИУВ приведен в главе 4.
1. Определения и вспомогательные утверждения
1.1. Классы функций
Определение 1.1. Через Qr*,γ (Ω, M ),
f (t1 ,, tl ) ,
обозначать класс функций
удовлетворяющих следующим условиям:
∂|v| f (t1 , , tl )
v
v
∂t11  ∂tl l
≤ M , 0 ≤| v |≤ r ,
Ω = [0, T ]l , l = 1, 2,, будем
определенных
∂|v| f (t1 ,…, tl )
≤
v
v
∂t11  ∂tl l
Ω
на
M
и
,
(ρ(t , Γ0 ))|v|− r −ζ
r <| v |≤ s, t ∈{Ω \ Γ 0 },
где M – некоторая константа, 0 < M < ∞ , t = (t1 , , tl ); v = (v1 , , vl ),
| v |= v1 +  + vl ; s = r + γ, ζ = 0, если γ – целое; s = r + [ γ ] + 1, γ = [ γ ] + μ,
0 < μ < 1, ζ = 1 − μ, если γ – нецелое; Γ0 – пересечение границы Γ области
Ω со множеством координатных плоскостей; ρ(t , Γ 0 ) = min | ti | .
i
Замечание 1.1. В одномерном случае (l = 1) Γ0 определяется как точка
t =0.
Определение 1.2. Через Qr**,γ (Ω, M ) , Ω = [0, T ]l , l = 1, 2, , обозначим
класс функций f (t1 , , tl ) , определенных на
следующим условиям:
∂|v| f (t1 ,…, tl )
v
v
∂t11  ∂tl l
≤ M , 0 ≤| v |≤ r ,
Ω
∂|v| f (t1 ,…, tl )
v
v
∂t11  ∂tl l
≤
и удовлетворяющих
M
(ρ(t ,0))|v|− r −ζ
,
r <| v |≤ s, t ≠ 0,
где M – некоторая постоянная, t = (t1 ,, tl ); v = (v1 ,, vl ), | v |= v1 +  + vl ;
s = r + γ, ζ = 0, если γ – целое; s = r + [ γ ] + 1, γ = [ γ ] + μ, 0 < μ < 1, ζ = 1 − μ,
если γ – нецелое; ρ(t ,0) = min | tk | .
k =1,,l
88
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
Замечание 1.2. Очевидно, что в одномерном случае (l = 1) классы
функций Qr*,γ (Ω, M ) и Qr**,γ (Ω, M ) эквивалентны.
Определение
Ω = [0, T ]l , l = 1, 2, , r = 1, 2, , 0 < γ ≤ 1.
Пусть
1.3.
f (t1 , , tl ) принадлежит классу Br*,γ (Ω, A) , если выполняются
следующие неравенства:
Функция
| f (t1 , , tl ) |≤ A,
∂|v| f (t1 , , tl )
v
v
∂t11  ∂tl l
≤
∂|v| f (t1 , , tl )
v
v
∂t11  ∂tl l
≤ A|v| | v ||v| , 0 <| v |≤ r , t ∈ Ω,
A|v| | v ||v|
(ρ(t , Γ0 ))|v|− r −1+γ
, t ∈{Ω \ Γ0 }, r <| v |< ∞,
где A – константа, не зависящая от | v | .
Определение
Функция
Ω = [0, T ]l , l = 1, 2,, r = 1, 2,, 0 < γ < 1.
Пусть
1.4.
f (t1 ,, tl ) принадлежит классу Br**,γ (Ω, A) , если выполняются
следующие неравенства:
∂|v| f (t1 , , tl )
| f (t1 , , tl ) |≤ A,
∂|v| f (t1 , , tl )
v
v
∂t11  ∂tl l
v
v
∂t11  ∂tl l
≤
≤ A|v| | v ||v| , 0 <| v |≤ r ,
A|v| | v ||v|
(ρ(t ,0))|v|− r −1+γ
, t ≠ 0, r <| v |< ∞,
где A – константа, не зависящая от | v | .
Замечание 1.3. В одномерном случае
(l = 1)
классы функций
Br*,γ (Ω, A) и Br**,γ (Ω, A) также эквивалентны.
1.2. Гладкость решений
Для простоты изложения
интегральное уравнение:
рассмотрим
сначала
одномерное
t

x(t ) − H (t , τ) x(τ)d τ = f (t ), 0 ≤ t ≤ T .
(1)
0
Ниже доказана лемма, определяющая свойства гладкости точного
решения уравнения (1).
Лемма 1.1. 1. Пусть H (t , τ) ∈ Qr*,γ ([0, T ],1) по каждой переменной
в отдельности,
f (t ) ∈ Qr*,γ ([0, T ],1) . Тогда единственное решение
x(t )
уравнения (1) принадлежит классу Qr*,γ ([0, T ], M ) .
Physics and mathematics sciences. Mathematics
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2. Пусть H (t , τ) ∈ Br*,γ ([0, T ], A1 ) по каждой переменной в отдельности,
f (t ) ∈ Br*,γ ([0, T ], A2 ) .
Тогда
существует
единственное
решение
x(t )
уравнения (1) такое, что x(t ) ∈ Br*,γ ([0, T ], A) .
Доказательство. Хорошо известно, что точное решение (1) является
непрерывной функцией. Пусть C0 = max | x(t ) | , Fk = max | f ( k ) (t ) | ,
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
∂ k H (t , τ)
, 0 ≤ k1 , k2 ≤ k , k1 + k2 = k , 1 ≤ k ≤ r . Через M k
k
k
∂t 1 ∂τ 2
будем обозначать константы, зависящие только от порядка k .
Для доказательства утверждений данной леммы формально
Hk =
max
(t ,τ)∈[0,T ]2
t

продифференцируем выражение x(t ) = f (t ) + H (t , τ) x(τ)d τ :
0
t

x′(t ) = f ′(t ) + H t′ (t , τ) x(τ)d τ + H (t , t ) x(t ).
(2)
0
Так как правая часть этой формулы есть непрерывная функция, то
существует непрерывная производная x′(t ) точного решения x(t ) , которая
может быть оценена следующим образом: | x′(t ) |≤ F1 + H 0C0 + H1C0T = M1 .
Дифференцируя (2) еще раз, имеем
x′′(t ) = f ′′(t ) + ( H t′ + H τ′ ) x(t ) + H (t , t ) x′(t ) +
t

+ H tt′′ (t , τ) x(τ)d τ + H t′ (t , t ) x(t ).
0
Принимая во внимание, что
k ≤ r;
O(1),

H k , Fk =   1 
O  k −r −ζ  , k > r ,

 t
и используя предыдущую оценку для | x′(t ) | , получаем
| x′′(t ) |≤ F2 + 2 H1C0 + H 0 ( F1 + H 0C0 + H1C0T ) + H 2C0T + H1C0 =
= F2 + H 2C0T + 3H1C0 + H 0 ( F1 + H 0C0 + H1C0T ) = M 2 .
Далее:
| x′′′(t ) |≤ F3 + 7 H 2C0 + 5H1 | x′ | + H 0 | x′′ | + H 3C0T = M 3 .
Таким образом, дифференцируя (1) k раз ( k ≤ s ), можем заключить, что
существует x ( k ) (t ) и справедлива оценка
90
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
|x
(k )
k ≤ r;
M k ,

(t ) |≤  M k
 k −r −ζ , r < k ≤ s.
t
Следовательно, x(t ) ∈ Qr*,γ ([0, T ], M ) с M = max{M k ,1} , т.е. первое
k =1, s
утверждение Леммы 1.1 доказано.
Рассмотрим теперь класс Br*,γ ([0, T ]) . Нетрудно заметить, что | x ( r ) (t ) |
ограничена. Оценка для производной порядка v, r < v < ∞, имеет следующий
вид:
| x (v ) (t ) |≤
C v v v C0T 4v C3v v v Av v v
,
+ 2
+
t v −r −1+γ t v −r −1+γ t v −r − 2+γ t v − r −1+γ
C1v v v
(3)
где константы C1 , C2 , C3 зависят только от A1 , A2 .
Следовательно, точное решение x(t ) ∈ Br*,γ ([0, T ], A) .
Утверждения относительно гладкости точных решений слабосингулярных ИУВ распространяются на случай многомерных интегральных
уравнений следующего вида:
tl
t1
 
( I − K ) x ≡ x(t ) −  h(t , τ) g (t − τ) x(τ)d τ = f (t ),
0
где t = (t1 ,, tl ), τ = (τ1 ,, τl ),
g (t − τ) могут иметь вид
(4)
0
0 ≤ t1 ,, tl ≤ T ; слабосингулярные ядра
g (t1 ,, tl ) = t1r +α tlr +α ,
(5)
g (t1 ,, tl ) = (t12 +  + tl2 ) r +α .
(6)
или
Применяя аналогичную технику доказательства с гораздо более
объемными выкладками, заключаем:
1. Если g (t1 ,, tl ) имеет вид (5), h(t , τ) имеет непрерывные частные
производные до порядка s = r + [ γ ] + 1 и f (t ) ∈ Qr*,γ (Ω,1) , то точное решение
x(t ) уравнения (4) принадлежит классу Qr*,γ (Ω, M ) с γ = s − r − α . Если же
h(t , τ) – аналитическая функция, f (t ) ∈ Br*,γ (Ω,1) , то x(t ) ∈ Br*,γ (Ω, A) .
2. Если g (t1 , , tl ) имеет вид (6), h(t , τ) имеет непрерывные частные
производные до порядка s = r + [ γ ] + 1 и f (t ) ∈ Qr**,γ (Ω,1) , то точное решение
x(t ) уравнения (4) принадлежит классу Qr**,γ (Ω, M ) с γ = s − r − α . Если же
h(t , τ) – аналитическая функция, f (t ) ∈ Br**,γ (Ω,1) , то x(t ) ∈ Br**,γ (Ω, A) .
Physics and mathematics sciences. Mathematics
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Заметим, что свойства гладкости точных решений многомерных
слабосингулярных интегральных уравнений Фредгольма были исследованы
Г. М. Вайникко в работе [8].
2. Оптимальное восстановление функций
из классов Qr*,γ (Ω, M ) , Qr**,γ (Ω, M ) , Br*,γ (Ω, A) и Br**,γ (Ω, A)
Для построения оптимальных по точности методов численного
решения ИУВ необходимо сначала разработать оптимальные методы
аппроксимации функций из соответствующих классов. Отметим, что в работе
[9] получены оценки поперечников Бабенко и Колмогорова для достаточно
широкого набора классов функций, которым принадлежат решения
интегральных уравнений Вольтерра со степенными и логарифмическими
особенностями ядер.
В данной главе вычисляются n -поперечники Бабенко и Колмогорова
компактов из классов функций Qr*,γ (Ω, M ) , Qr**,γ (Ω, M ) ,
Br*,γ (Ω, A)
и
Br**,γ (Ω, A) , а также строятся локальные сплайны, реализующие оптимальные
(по порядкам погрешности) аппроксимации. Полученные в данной главе
результаты являются распространением результатов работ [9–13].
Напомним определения n -поперечников Бабенко и Колмогорова.
Пусть B – банахово пространство, X ⊂ B – компактное множество,
Π : X → X – отображение X ⊂ B на конечномерное пространство X .
Определение 2.1 [14]. Пусть Ln – множество n -мерных линейных
подпространств пространства B ; n -поперечник Колмогорова d n ( X , B)
определяется выражением
d n ( X , B ) = inf sup inf x − u ,
Ln x∈X u∈Ln
(7)
где внешний инфимум берется по всем n -мерным подпространствам Ln .
Определение 2.2 [14]. n -поперечник Бабенко δn ( X ) определяется
выражением
δn ( X ) =
inf
sup diam Π −1Π ( x),
Π: X → R n x∈X
где инфимум вычисляется по всем непрерывным отображениям Π : X → R n .
Если инфимум в (7) достигается для некоторого Ln , то такое
подпространство называется экстремальным подпространством.
Поперечники играют важную роль в численном анализе и теории аппроксимации, поскольку тесно связаны с такими проблемами, как ε -сложность интегрирования и аппроксимации, оптимальное дифференцирование,
оптимальная аппроксимация решений операторных уравнений. Подробное
исследование этих проблем в свете общей теории оптимальных алгоритмов
проведено в [15].
В данной работе через A и Ak , k = 1, 2, , будем обозначать некоторые
положительные константы, не зависящие от N .
92
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
Теорема 2.1. Пусть Ω = [0, T ]l , l = 1, 2, Справедливы оценки
d n (Qr*,γ (Ω, M ), C (Ω)) ~ δn (Qr*,γ (Ω, M ), C (Ω)) ~ ε n ,
где ε n ~ n − s , если l = 1 , и
l
 −( s −γ )/(l −1)
, v>
;
n
l −1

l

ε n ~ n − s/l (ln n) s/l , v =
;
l −1

l

,
n − s/l ,
v<

l −1

(8)
если l ≠ 1 . Здесь v = s/( s − γ ) (здесь и ниже запись вида ε ~ λ означает
асимптотическую эквивалентность, т.е. ε = O (λ) ).
Доказательство. Для того чтобы оценить точную нижнюю грань
поперечников Бабенко, разделим область Ω на части Δ k , k = 0,1,, N − 1 .
Здесь Δ k означает множество точек из Ω , удовлетворяющих условиям
v
v
k 
 k +1
  T ≤ ρ(t , Γ0 ) ≤ 
 T , k = 0,1, , N − 1, t = (t1 , , tl ).
N
 N 
v
v
 k +1
k 
Пусть hk = 
 T −   T , k = 0,1, , N − 1. Каждую из областей
 N 
N
Δk
Δik ,,i
покроем кубами и параллелепипедами
1
l
с ребрами, не
превосходящими величин
В каждом кубе
Δik ,,i
l
1
hk и параллельными координатным осям.
k k
= [ai , ai +1;; aik , aik +1 ], k = 0,1, , N − 1 , построим
l l
1 1
функцию следующего вида:
 ((t1 − a k )(a k − t1 ) (tl − a k )(a k − tl )) s
i1
i1+1
il
il +1
A
, t ∈ Δik ,,i ;

s (2l −1)
vγ
k
1
l
hk
((k + 1) / N )
Ψ i ,,i (t ) = 
1
l

k
0, t ∉ Δi ,,i .
1
l

Константа A выбирается из условия Ψ ik ,,i ∈ Qr*, γ (Ω, M ) .
l
1
Оценим теперь максимум функции Ψ ik ,,i (t ). Очевидно, что
l
1
k
s N 
max | Ψ i ,,i (t ) |≥ A1h 

l
1
 k +1
t∈Ω
vγ
= A2
(k + θ)(v −1) s
(k + 1)
vγ
1
N
v ( s −γ )
, 0 < θ < 1.
Значение v выбирается так, чтобы max | Ψ ik ,,i (t ) | не зависел от
t
1
l
номера k . Для этого достаточно выполнения условия v = s/( s − γ ) .
Physics and mathematics sciences. Mathematics
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Поэтому
A
| Ψ ik ,,i (t ) |≥ 1 .
l
1
Ns
(9)
Определим функцию Ψ λ (t ) формулой
Ψ λ (t ) =
N −1
  λ k ,i1,,il Ψik1,,il (t ), −1 ≤ λ k ,i1,,il ≤ 1.
k =0 i1,,il
Применяя теорему Борсука [14], получаем
A
δn (Qr*,γ (Ω, M ), C (Ω)) ≥ 1 ,
Ns
где n – количество кубов Δik ,,i , покрывающих Ω .
1
l
Нетрудно видеть, что для l = 2,3,
v

k  
−
T

N −1
  T
N 
l

n~2


hk
k =0 




l −1
N −1 

=2


v
v
k
k
+
−
(
1)


k =0 
l

Nv − kv
l −1
~
l
 v (l −1)
, v>
;
N
−
l
1
l −1 
N −1 
N v − kv 
l
 l
v (l −1)
l
~N
+2
;

 ~  N ln N , v =
v −1
l −1


k =1  ( k + θ)
l

l
v<
.
 N ,
l −1


(10)
Следовательно,
l
 −( s −γ )/(l −1)
, v>
;
n
l −1

l

*
;
δn (Qr ,γ (Ω, M ), C (Ω)) ≥ n − s / l (ln n) s / l , v =
l −1

l

.
n− s /l ,
v<

l −1

(11)
Построим непрерывный локальный сплайн, реализующий оценку (11).
Сначала более подробно опишем случай l = 1 .
Пусть N и n – целые числа, связанные соотношением
k
n = ( N − 1)( s − 1) + s . Введем разбиение сегмента [0, T ] точками vk = T ( ) q ,
N
k = 0,1,, N , где q = s/( s − γ ) , если γ – целое, или q = s/( s − [ γ ] − 1) , если γ –
нецелое.
94
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
Обозначим через Δ k сегменты Δ k = [vk , vk +1 ], k = 0,1,, N − 1. Пусть
v +v
v −v
ξkj = k +1 k + k +1 k y j ,
2
2
j = 1, 2,, s − 2; ξ0k = vk , ξks −1 = vk +1; k = 1, 2,, N − 1,
v +v
v −v
ξ0j = 1 0 + 1 0 w j , j = 1, 2, , r − 2; ξ00 = v0 , ξ0r −1 = v1 ,
2
2
где y j и w j – нули полиномов Лежандра степеней ( s − 2) и (r − 2)
соответственно.
Через Ps ( f , Δ k ) обозначим оператор, заменяющий функцию f (t ),
t ∈ Δ k , интерполяционным многочленом степени ( s − 1) для k = 0, N − 1 ,
построенным по узлам ξkj .
Через f N (t ) обозначим локальный сплайн, определенный на отрезке
[0, T ] и составленный из полиномов Ps ( f , Δ k ), k = 0,1,, N − 1 .
Нетрудно заметить, что
f (t ) − f N (t ) C[ Δ ] ≤ AN − s , k = 1, N − 1 .
k
Для сегмента Δ 0 имеем оценку
r
A (v − v ) r
A3
 T 
−s
f (t ) − f N (t ) C[ Δ ] ≤ 1 1 0 = A2 
 = qr = AN .
q
r!
0
N
N 
f (t ) − f N (t ) C[0,T ] ≤ AN − s . Поскольку общее число
функционалов n , используемых при построении сплайна f N (t ) , оценивается
как n ~ N , получаем
Таким образом,
δn (Qr*,γ (Ω)) ~ n − s .
Случай l = 2,3,
Введем оператор
t
t
Ps [ f ,[ a1 , b1;; al , bl ]] = Ps1  Ps l ,
t
где Ps i – интерполяционный полином, действующий по переменной
ti , i = 1, 2,, l , и построенный, как и ранее, в одномерном случае l = 1 .
Построение непрерывного локального сплайна начинаестя с области Δ N −1 .
В этой области функция f (t1 ,, tl ) заменяется интерполяционным
полиномом Ps [ f , Δ N −1 ] . Для построения локального сплайна в Δ N − 2
−2
покроем эту область кубами и параллелепипедами ΔiN,
. Заметим, что их
1 ,il
ребра не превосходят hN −2 . Здесь вершины Δ N −1 , расположенные на границе
Physics and mathematics sciences. Mathematics
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
с Δ N −2 , также являются вершинами соответствующих кубов из множества
−2
ΔiN,
.
,i
1
l
−2
В ΔiN,
функция f (t1 ,, tl ) аппроксимируется интерполяционными
1 ,il
−2
полиномами Ps [ f , ΔiN,
].
,i
1
l
Заметим, что мы интерполируем функцию
f (t1 ,, tl ) в
−2
t ∈{ΔiN,
1 ,il
Δ N −1}
Ps [ f , Δ N −1 ]
вместо
(это необходимо для соблюдения условия
непрерывности сплайна).
В областях Δ k , k = 0,1, , N − 3, сплайн строится затем аналогичным
образом.
Обозначим через
f s* (t1 ,, tl ) сплайн, составленный из полиномов
Ps [ f , Δik ,,i ] . Очевидно, что
1
l
f (t ) − f s* (t )
C
≤ AN − s .
(12)
Из этой оценки и неравенства (11) следует, что выполняется правая
часть соотношения (8). Используя неравенство δn ≤ 2d n [14], завершаем
доказательство.
Теорема 2.2. Пусть Ω = [0, T ] . Справедливы оценки
δn ( Br*,γ (Ω, A), C (Ω)) ≤ 2− n ( r +1−γ ) , d n ( Br*,γ (Ω, A), C (Ω)) ~ 2− n ( r +1−γ ). (13)
Доказательство. Построим сначала непрерывный локальный сплайн,
реализующий оценку (13). Это позволит получить верхнюю оценку
n-поперечника Колмогорова d n ( Br*,γ (Ω, A), C (Ω)) .
Отрезок [0, T ] разделим на N + 1 частей Δ k = [vk , vk +1 ], k = 0,, N ,
узлами v0 = 0, vk = 2k −1− N T , k = 1, , N + 1 .
Пусть
v +v
v −v
ξkj = k +1 k + k +1 k y j ,
2
2
k
j = 1, 2,, mk − 2; ξ0k = vk , ξm
= vk +1; k = 0,1, , N ,
k −1
(14)
где y j – нули многочленов Чебышева первого рода степени mk − 2 ; m0 = r ,
10
mk = [ k (r + 1 − γ ) AT ] + 1, k = 1, 2, , N .
9
Через Pk ( f , Δ k ) обозначим, как и ранее, оператор, интерполирующий
функцию f (t ), t ∈ Δ k , с помощью полиномов степени (mk − 1) , построенных
по узлам ξkj , k = 0, N . Обозначим также hk = vk +1 − vk , k = 0,1,, N .
96
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
Через f N (t ) обозначим локальный сплайн, определенный на отрезке
[0, T ] и составленный из полиномов Pk ( f , Δ k ), k = 0,1, , N .
Нетрудно видеть, что оценка погрешности аппроксимации на сегменте
t ∈ Δ0 имеет вид
f (t ) − f N (t ) C[ Δ ] ≤
0
A1 ln rh0r +1−γ
 T 
= A2 

 2N 
r +1−γ
=
2
A3
.
N ( r +1−γ )
(15)
Поскольку степени (mk − 1) интерполяционных полиномов растут
пропорционально номеру k сегмента, необходимо оценить константу Лебега
λ m для системы узлов (14). Эта константа необходима для определения
k
погрешности аппроксимации на участках Δ k , k = 1, N .
Хорошо известно, что константа Лебега не зависит от длины отрезка, а
только от распределения узлов на нем. Поэтому для простоты обозначений
рассмотрим отрезок [−a, a] и узлы
t j = ay j , j = 1, 2, , mk − 2; t0 = − a, tm −1 = a,
k
где y j – нули многочленов Чебышева первого рода степени (mk − 2) .
Тогда
λ m = max
k
mk −1

t∈[ − a ,a ] i =0
где ψ m −1,i (t ) =
k
mk −1
∏
(t − t j )
(t − t j )
j =0, j ≠i i
ψ m −1,i (t ) ,
k
– фундаментальные многочлены.
Пусть i ≠ 0, i ≠ mk − 1 , тогда
| ψ m −1,i (t ) |= Φ m −1,i (t )ϕm −1,i (t ) ≤ Φ m −1,i (t ) max | ϕm −1,i (t ) |,
k
k
k
k
k
t∈[ − a ,a ]
где
Φ m −1,i (t ) =
k
(t − t1 ) (t − ti −1 )(t − ti +1 ) (t − tm − 2 )
k
(ti − t1 ) (ti − ti −1 )(ti − ti +1 ) (ti − tm − 2 )
k
ϕm −1,i (t ) =
k
(t − t0 )(t − tm −1 )
k
(ti − t0 )(ti − tm −1 )
k
,
.
Очевидно, что
max | ϕmk −1,i (t ) |=
t∈[ − a ,a ]
a2
a2
a2
≤
=
| (ti + a)(ti − a ) | a 2 − t12 a 2 − a 2 2
cos
Physics and mathematics sciences. Mathematics
1
=
2(mk − 2)
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
=
1
1 − cos 2
1
2(mk − 2)
=
1
sin 2
1
2(mk − 2)
~ mk2 , ∀i.
Принимая во внимание, что
max | ψ mk −1,0 (t ) |~ max | ψ mk −1,mk −1 (t ) |~ mk ,
t∈[ − a ,a ]
t∈[ − a ,a ]
имеем
λm ≤
k
A4 mk2
mk − 2

i =1
Φ m −1,i (t ) + | ψ m −1,0 (t ) | + | ψ m −1,m −1 (t ) |= O(mk2 ln mk ).
k
k
k
k
Следовательно,
погрешность
f (t ) − f N (t ) C[ Δ ] ,
аппроксимации
k
k = 1, N − 1 может быть оценена следующим образом (см., например, [16]):
q
 v − v  Aq q q
,
f (t ) − f N (t ) C[ Δ ] ≤ A5λ m  k +1 k 
q − r −1+γ
k
k
 2mk  vk
 5(r + 1 − γ )k 
q=
 + 1 – максимальный порядок
9


используемых для оценки погрешности.
Продолжая предыдущее неравенство, получаем
где
A6 mk2 ln mk
f (t ) − f N (t ) C[ Δ ] ≤
k
=
=
=
 T 2k −1− N

 2mk

vkq −r −1+γ
A7 k 2 ln kT q Aq q q
mkq 2( N + 2− k ) q 2( k −1− N )( q −r −1+γ )
q
 q q
 A q


=
=
A8 k 2 ln k T q Aq q q
10
( k (r + 1 − γ )) q AqT q 2 N ( r +1−γ ) 2q −( r +1−γ )( k −1)
9
A8 k 2 ln k q q
(2q )q 2 N ( r +1−γ ) 2q −( r +1−γ )( k −1)
≤
=
производных,
A8 k 2 ln k
=
2 N ( r +1−γ ) 22q −( r +1−γ )( k −1)
A9 k 2 ln k
r +1−γ
( k +9)
N ( r +1−γ )
2
2 9
≤
.
Следовательно, для достаточно больших значений N справедливы
оценки
98
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
A10
f (t ) − f N (t ) C[ Δ ] ≤
.
N
(
k
2 r +1−γ )
Таким образом, для всего отрезка [0, T ] получаем
A11
f (t ) − f N (t ) C[0,T ] ≤
.
N ( r +1−γ )
2
(16)
Общее число n функционалов, используемых при построении сплайна,
оценивается как
n=
N
N
k =0
k =0
10
mk =  9 k (r + 1 − γ) AT ~ N 2 .
Поэтому
δn ( Br*,γ (Ω, A), C (Ω)) ≥
A13
2 n ( r +1−γ )
.
Неравенство (16) позволяет нам определить верхнюю границу
n-поперечника Колмогорова
d n ( Br*,γ (Ω, A), C (Ω)) ≤
A14
2 n ( r +1−γ )
.
δ n ≤ 2d n ,
завершаем
Принимая
во
внимание
неравенство
доказательство.
Заметим, что вместо системы (14) также можно использовать другую
систему узлов:
v +v
v −v
ξkj = k +1 k + k +1 k y j , j = 0, 2, , mk − 1; k = 0,1, , N ,
2
2
(17)
где y j – нули многочленов Чебышева первого рода степени (mk − 1) ;
m0 = r , mk = [k (r + 1 − γ ) AT ] + 1, k = 1, 2, , N .
Это позволит исключить дополнительный множитель mk2 в оценке
константы Лебега λ m . Однако замкнутая система узлов (14) более подходит
k
из практических соображений при построении численного решения ИУВ
с помощью проекционного метода, описанного в разделе 3.
Теорема
2.3.
Пусть Ω = [0, T ]l , l = 2,3,
Тогда
справедливы
следующие оценки:
δn (Qr**,γ (Ω, M ), C (Ω)) ~ d n (Qr**,γ (Ω, M ), C (Ω)) ~ n − s/l .
(18)
Доказательство. Для того чтобы оценить точную нижнюю грань
следующим образом. Куб
δn (Qr**,γ (Ω, M ), C (Ω)) , покроем область Ω кубами
Δ1 = Δ11,,1 является пересечением областей
Physics and mathematics sciences. Mathematics
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
v
v


1 
1 
 0 ≤ t1 ≤   T  ∩  ∩  0 ≤ tl ≤   T  ,


 N  
 N  


v = s/( s − γ ) , если γ – целое, v = s/( s − [ γ ] − 1) , если γ – нецелое.
Область Δ 2 определяется затем как Δ 2 = Δ 2′ \ Δ1′′ , где
v

 k  
Δ k ′ = (t1 , , tl ) : 0 ≤ t1 , , tl ≤   T  ,
 N  

v

 k  
Δ k ′′ = (t1 , , tl ) : 0 ≤ t1 , , tl <   T  .
 N  

Эта область также покрывается кубами и параллелепипедами Δi2 ,,i ,
1
l
ребра
которых
v
параллельны
осям
координат
и
не
превышают
v
2
1
h1 =   T −   T . Дальнейшее построение проводится по аналогии.
N
N
Каждая область Δ k = Δ k ′ \ Δ ( k −1)'' , k = 3, , N − 1, покрывается кубами
и параллелепипедами Δik ,,i , ребра которых не превосходят величины
l
1
v
v
k 
 k −1
hk −1 =   T − 
 T.
N
 N 
В области Δik ,,i определяется функция Ψ ik ,,i , затем в области Ω
l
l
1
1
вводится функция Ψ λ (t1 ,, tl ) (по аналогии с доказательством теоремы 2.1).
A
Затем получаем оценку | Ψ λ (t1 ,, tl ) |≥ 1 .
Ns
Определим число n параллелепипедов Δik ,,i . Очевидно, что
l
1
v


 k +1

N −1 


N 



n~
v
 k +1 v
k
   
k =1  

 − 
  N   N  

l −1
N −1 
(k + 1)v 
~


v −1

k =1  ( k + θ)

l −1
~
N −1
 k l −1 ~ N l .
k =1
Следовательно, δn (Qr**,γ (Ω, M ), C (Ω)) ≥ An − s / l . Построение локального
сплайна f N** (t1 ,, tl ) и дальнейшие рассуждения проводятся по аналогии
с доказательством теоремы 2.1. Теорема доказана.
Теорема 2.4. Пусть Ω = [0, T ]l , l = 2,3,, 0 < γ ≤ 1 . Тогда справедливы
следующие оценки:
100
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
δn ( Br*,γ (Ω, A), C (Ω)) ~ d n ( Br*,γ (Ω, A), C (Ω)) ~
1
n
( r +1−γ )/(l −1)
.
(19)
Доказательство. Обозначим через Δ 0 множество точек t ∈ Ω таких,
что 0 ≤ ρ(t , Γ0 ) ≤ 2− N T , а через Δ k , k = 1, 2, , N , множество точек t ∈ Ω ,
удовлетворяющих неравенствам
2k −1
2N
T ≤ ρ(t , Γ0 ) ≤
2k
2N
T.
Покроем каждую из областей Δ k , k = 0,1,, N , кубами Δik ,,i . Ребра
1
l
этих кубов параллельны ребрам Ω , не меньше hk и не больше, чем 2hk , где
2k −1
hk =
T , k = 0,1, , N − 1 .
2N
Оценим общее число элементов Δik ,,i , покрывающих область Ω .
l
1
Очевидно, что

2k −1 
1
−

N 
2N 

n~
k −1 
 k
k =1  2 − 2

2N 
 2N
l −1
N

N
~

2( N +1)(l −1)
k =1 2
k (l −1)
Таким образом, n ~ 2 N (l −1) .
Повторяя
рассуждения
δn ( Br*,γ (Ω, A), C (Ω)) ≥ 2− N ( r +1−γ )
=
~
 ( 2 N −k +1 − 1)
~
k =1
1
l −1
2
l −1
−1
( 2( N +1)(l −1) − 2l −1 ).
статьи
[12],
получаем
оценку
и заключаем, что
δn ( Br*,γ (Ω, A), C (Ω)) ≥
1
n
( r +1−γ )/(l −1)
.
Построение непрерывного локального сплайна, реализующего оценку
(19), производится подобно построению, приведенному в теореме 2.1.
10

Параметр s здесь равен s =  N (r + 1 − γ ) AT  + 1 .
9

Принимая во внимание хорошо известное неравенство δn ≤ 2d n ,
связывающее n -поперечники Бабенко и Колмогорова, завершаем
доказательство.
Теорема 2.5. Пусть Ω = [0, T ]l , l = 2,3, Справедливы оценки
δn ( Br**,γ (Ω, A), C (Ω)) ~ d n ( Br**,γ (Ω, A), C (Ω)) ~
Physics and mathematics sciences. Mathematics
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
~
1
l +1 n ( r +1−γ )
.
(20)
2
Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2.4.
3. Приближенное решение многомерных ИУВ
Рассмотрим многомерные интегральные уравнения Вольтерра вида
tl
t1
 
( I − K ) x ≡ x(t ) −  h(t , τ) g (t − τ) x(τ)d τ = f (t ),
0
(21)
0
где t = (t1 ,, tl ), τ = (τ1 ,, τl ), 0 ≤ t1 ,, tl ≤ T ;
g (t − τ) которых имеют следующую форму:
слабосингулярные
g (t1 ,, tl ) = t1r +α tlr +α
ядра
(22)
3.1. Численный алгоритм
Приближенное решение уравнения (21) будем искать в виде
сплайна
x*N (t1 , , tl )
(ξik ,, ξik ) ∈ Δik ,,i ,
l
l
1
1
с
неизвестными
значениями
x*N (ξik ,, ξik ),
1
l
k = 0,1,, N − 1, в узлах сетки.
Построение сплайна x*N (t1 , , tl ) описано в главе 2 и зависит от
рассматриваемого класса функций.
Значения x*N (ξik ,, ξik ) в каждом кубе Δik ,,i , k = 0,1,, N − 1,
l
l
1
1
определяются последовательно с помощью метода сплайн-коллокации из
систем линейных уравнений
( I − K ) PN  x(t ), Δik ,,i  ≡ PN

l 
1

PNτ [h(t , τ)]g (t − τ) PN
− PN  

Δik ,,i

l
1


 x(t ), Δ k
−
i1,,il 


 x(τ), Δ k
 d τ, Δ k
=
i1,,il 
i1,,il 



= PN [ fik,,i (t ), Δik ,,i ].
1
Здесь
PN
l
1
(23)
l
– оператор проектирования на множество локальных
сплайнов вида x*N (t1 , , tl ) ; fik,,i (t1 , , tl ) – новая правая часть уравнения
l
1
(21),
включающая
интегралы
по
областям
Δij ,,i , j = 0,1, , k ,
1
l
обработанным ранее на предыдущих шагах (т.е. тем областям, значения
сплайна в которых уже известны).
Все интегралы в (23) вычисляются приближенно с помощью составных
кубатурных формул типа Гаусса, построенных на неравномерных сетках.
102
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
Возможны
несколько
способов
обхода
подобластей
Δik ,,i ,
1
l
k = 0,1, , N − 1 . Один из таких способов, допускающий распараллеливание
вычислительного процесса, предложен в работе [17].
3.2. Обоснование сходимости
Перепишем уравнение (21) и проекионный метод (23) в операторном
виде:
x − Kx = f , K : X → X , X ⊂ C (Ω), Ω = [0, T ]l , l = 2,3,,
(24)
xN − PN KxN = PN f , PN : X → X N , X N ⊂ C (Ω),
(25)
где X – одно из множеств Qr*,γ (Ω, M ) или Br*,γ (Ω, A) ; X N – множества
соответствующих локальных сплайнов.
Поскольку однородное интегральное уравнение Вольтерра x − Kx = 0
имеет только тривиальное решение, оператор I − K – инъективный.
Следовательно, оператор I − K имеет ограниченный обратный оператор
( I − K )−1 : X → X . Для достаточно больших значений N имеем оценки
( I − PN K ) −1
( I − K ) −1
≤
1 − (I − K )
−1
C (Ω)
= (( I − K ) + ( K − PN K ))−1
C (Ω)
K − PN K C (Ω)
C (Ω)
≤ 2 ( I − K )−1
C (Ω)
C (Ω)
≤
= A (const) ,
если
K − PN K C (Ω) ≤
1
2 ( I − K ) −1
.
C (Ω)
Покажем, что последняя оценка имеет место для достаточно больших N .
Так как y (t ) ≡ ( Kx)(t ) ∈ X и X – плотное множество в C (Ω) (что
справедливо для классов Qr*,γ (Ω, M ) и Br*,γ (Ω, A) ), то получаем
K − PN K C (Ω) =
sup
max | x(t ) − PN x(t ) |≤ ε N ,
x∈X , x ≤1 t∈Ω
где ε N → 0 при N → ∞ . Поэтому
K − PN K C (Ω) ≤
1
2 ( I − K ) −1
, начиная
с достаточно больших значений N .
Таким образом, операторы ( I − PN K )−1 существуют и равномерно
ограничены, а уравнение (25) имеет единственное решение для всех
достаточно больших N . Принимая во внимание, что PN x → x при N → ∞
Physics and mathematics sciences. Mathematics
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
для всех x ∈ X , применим оператор проектирования PN к левой и правой
частям уравнения (24):
x − PN Kx = PN f + x − PN x.
Вычитая это уравнение из (25), получим
( I − PN K )( xN − x) = PN x − x,
( xN − x) = ( I − PN K ) −1 ( PN x − x).
Следовательно,
xN − x C ≤ A PN x − x C ≤ ε N ( X ).
(26)
Таким образом, точность приближенного решения, полученного
с помощью проекционного метода (25), определяется точностью ε N ( X )
аппроксимации функций из X локальными сплайнами.
С другой стороны, из теорем главы 2 следует, что для функций из X
порядок оценки (26) не может быть улучшен (теоремы 2.1 и 2.2).
Следовательно, алгоритм (23) является оптимальным по порядку точности на
классах функций Qr*,γ (Ω, M ) и Br*,γ (Ω, A) .
В работе [5] доказано, что такие численные методы для ИУВ также
являются оптимальными по порядку по сложности.
Численное решение многомерных ИУВ с оптимальной точностью
требует выполнения огромного числа арифметических операций. В работе
[17] на примере двумерных интегральных уравнений рассмотрена задача
ускорения вычислительного процесса за счет использования многопроцессорных систем.
Замечание 3.1. Предложенный алгоритм также может быть применен
к численному решению многомерных ИУВ вида
tl
t1
 
x(t ) −  h(t , τ)[(t1 − τ1 ) 2 +  + (tl − τl ) 2 ]r +α x(τ)d τ1  d τl = f (t ),
0
(27)
0
t = (t1 ,, tl ), τ = (τ1 ,, τl ), t ∈ [0, T ]l ,
с
коэффициентами
из
классов
Qr**,γ (Ω, M ) или Br**,γ (Ω, A) .
4. Численная иллюстрация
В качестве примера рассмотрим интегральное уравнение на классе
*
функций B2,0.5
(Ω,1) (входные функции в данном случае также являются
функциями класса Qr*,γ (Ω,1) с r = 2 и некоторым значением γ ):
t2 t1
x(t1 , t2 ) −

00
104
(t1 − τ1
5
) 2 (t
5
2
2 − τ2 ) x( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
= (t1t2
5
)2
+
25π2t16t26
,
1048576
(28)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
где
Физико-математические науки. Математика
(t1 , t2 ) ∈ Ω = [0,1]2 .
x(t1 , t2 ) = (t1t2 )
2.5
Поскольку
Точное
решение
уравнения
(28)
имеет
вид
.
Br*,γ (Ω, A) ⊂ Qr*,γ (Ω, M ) , то к уравнению (28) были
применены два различных алгоритма аппроксимации для каждого из этих
классов (их описания приведены в главе 2). Результаты приведены в табл. 1, 2.
Таблица 1
Погрешность аппроксимации на классе
N
ε1
ε2
1
7,17 e–3
0,011
2
1,12 e–5
6,15 e–4
3
2,17 e–7
9,05 e–6
5
4,89 e–8
6,73 e–7
*
Q2,2.5
(Ω,1)
10
6,13 e–9
2,39 e–8
15
20
6,32 e–11 5,89 e–13
6,84 e–10 2,87 e–11
Таблица 2
Погрешность аппроксимации на классе
N
ε1
ε2
1
6,25 e–4
0,002
2
1,04 e–7
7,45 e–6
3
3,10 e–8
9,73 e–7
5
5,99 e–9
7,62 e–8
*
B2,0.5
(Ω,1)
10
15
20
5,23 e–10 7,31 e–13 6,19 e–15
1,48 e–9 6,35 e–12 3,17 e–13
В табл. 1, 2 N – число подобластей в основном разбиении Ω ;
–
погрешность
в
узлах
сетки;
ε1 = max | x(ti , t j ) − xN (ti , t j ) |
i, j
ε 2 = x(t1 , t2 ) − xN (t1 , t2 ) C (Ω) – погрешность в Ω .
Список литературы
1. B a k e r , C . T . H . A perspective on the numerical treatment of Volterra equations /
C. T. H. Baker // J. Comp. Appl. Math. – 2000. – Vol. 125. – Р. 217–249.
2. B r u n n e r , H . Collocation methods for Volterra integral and related functional
differential equations / H. Brunner. – Cambridge : Cambridge University Press, 2004.
3. B r u n n e r , H . The piecewise polynomial collocation method for nonlinear weakly
singular Volterra equation / H. Brunner, A. Pedas, G. Vainikko // Math. Comp. – 1999. –
Vol. 68, № 227. – Р. 1079–1095.
4. D io g o , T. Collocation methods for second-kind Volterra integral equations with
weakly singular kernels / T. Diogo, S. McKee, T. Tang // Proc. Roy. Soc. Edin. – 1994. –
Vol. 124A. – Р. 199–210.
5. T y n d a , A . N . Numerical algorithms of optimal complexity for weakly singular
Volterra integral equations / A. N. Tynda // Comp. Meth. Appl. Math. – 2006. – Vol. 6,
№ 4. – P. 436–442.
6. T y n d a , A . N . Spline-collocation technique for 2D weakly singular Volterra integral
equations / A. N. Tynda // Bulletin of Middle-Volga Math. Society. – 2008. – Vol. 10,
№ 2. – Р. 68–78.
7. V e r l a n , A . F . Integral equations: methods, algorithms, programms / A. F. Verlan,
V. S. Sizikov. – Kiev : Naukova Dumka, 1986.
8. V a i n i k k o , G . M . On the smoothness of solution of multidimensional weakly
singular integral equations / G. M. Vainikko // Mat. Sbornik. – 1989. – Vol. 180, № 12. –
Р. 1709–1723.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
9. Б о й к о в , И . В. Поперечники соболевских классов функций с особенностями на
границе / И. В. Бойков, А. Н. Тында // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 1. – С. 61–81.
10. Bo ik o v , I . V . The optimal methods of approximation of the functions and
computing the integrals / I. V. Boikov. – Penza : Penza State University Publishing
House, 2007. – 236 p.
11. Bo ik o v , I . V . Approximation of Some Classes of Functions by Local Splines /
I. V. Boikov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. – 1998. – Vol.
38, № 1. – Р. 21–30.
12. Bo ik o v , I . V . The optimal algorithms of recovery of the functions and computing of
the integrals on a class of infinitely differentiable functions / I. V. Boikov // Izvestia
Vuzov. Matematika. – 1998. – № 9. – Р. 14–20.
13. Bo ik o v , I . V . Accuracy-optimal approximate methods for solving Volterra integral
equations / I. V. Boikov and A. N. Tynda // Differential Equations. – 2002. – Vol. 38,
№ 9. – Р. 1305–1313.
14. B a b e n k o , K . I . Theoretical Foundations and Construction of Numerical Algorithms
for Problems in Mathematical Physics / K. I. Babenko. – Moscow : Nauka, 1979.
15. T r a u b , J . F . A General Theory of Optimal Algorithms / J. F. Traub and
H. Wozniakowski. – New York : Academic Press, 1980.
16. D zi a d y k , V . K . Introduction in Theory of Uniform Approximation of the Functions
by Polynomials / V. K. Dziadyk. – Moscow : Nauka, 1977. – 512p.
17. Bo ik o v , I . V . Methods of optimal accuracy for approximate solution of second-kind
weakly singular Volterra integral equations for multiprocessor computers / I. V. Boikov
and A. N. Tynda // Proc. of the ICCM (Novosibirsk, 2002). – Novosibirsk, 2002. –
Р. 381–388.
References
1. Baker C. T. H. J. Comp. Appl. Math. 2000, vol. 125, pp. 217–249.
2. Brunner H. Collocation methods for Volterra integral and related functional
differential equations. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.
3. Brunner, H., Pedas A., Vainikko G. Math. Comp. 1999, vol. 68, no. 227, pp. 1079–
1095.
4. Diogo T., McKee S., Tang T. Proc. Roy. Soc. Edin. 1994, vol. 124A, pp. 199–210.
5. Tynda A. Comp. Meth. Appl. Math. 2006, vol. 6, no. 4, pp. 436–442.
6. Tynda A. N. Bulletin of Middle-Volga Math. Society. 2008, vol. 10, no. 2, pp. 68–78.
7. Verlan A. F., Sizikov V. S. Integral equations: methods, algorithms, programms. Kiev:
Naukova Dumka, 1986.
8. Vainikko G. M. Mat. Sbornik. 1989, vol. 180, no. 12, pp. 1709–1723.
9. Boykov I. V., Tynda A. N. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region.
Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physics and
mathematics sciences]. 2013, no. 1, pp. 61–81.
10. Boikov I. V. The optimal methods of approximation of the functions and computing the
integrals. Penza: Penza State University Publishing House, 2007, 236 p.
11. Boikov I. V. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1998, vol. 38, no.
1, pp. 21–30.
12. Boikov I. V. Izvestia Vuzov. Matematika. 1998, no. 9, pp. 14–20.
13. Boikov I. V., Tynda A. N. Differential Equations. 2002, vol. 38, no. 9, pp. 1305–1313.
14. Babenko K. I. Theoretical Foundations and Construction of Numerical Algorithms for
Problems in Mathematical Physics. Moscow: Nauka, 1979.
15. Traub J. F., Wozniakowski H. A General Theory of Optimal Algorithms. New York:
Academic Press, 1980.
106
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
16. Dziadyk V. K. Introduction in Theory of Uniform Approximation of the Functions by
Polynomials. Moscow: Nauka, 1977, 512 p.
17. Boikov I. V., Tynda A. N. Proc. of the ICCM (Novosibirsk, 2002). Novosibirsk, 2002,
pp. 381–388.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный университет
(г. Пенза, ул. Красная, 40)
Boykov Il'ya Vladimirovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics,
Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: math@pnzgu.ru
Тында Александр Николаевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра высшей и прикладной
математики, Пензенский
государственный университет
(г. Пенза, ул. Красная, 40)
Tynda Aleksandr Nikolaevich
Candidat of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of higher and applied
mathematics, Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: tynda@pnzgu.ru
Краснощеков Павел Сергеевич
доктор физико-математических наук,
профессор, действительный член
Российской академии наук, главный
научный сотрудник, Вычислительный
центр имени А. А. Дородницына
Российской академии наук
(г. Москва, ул. Вавилова, 40)
Krasnoshchekov Pavel Sergeevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, full member
of the Russian Academy of Sciences,
principal scientist, Computing center
named after A.A. Dorodnitsyn of the
Russian Academy of Sciences
(Moscow, 40 Vavilova str.)
E-mail: math@pnzgu.ru
УДК 517.619
Бойков, И. В.
Оптимальные по точности методы решения некоторых классов
слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра / И. В. Бойков,
А. Н. Тында, П. С. Краснощеков // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 2 (26). –
С. 87–107.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.546.1
Т. В. Жаркова, А. В. Казанцев
О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГАХОВА
ДЛЯ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССОВ ЯНОВСКОГО
Аннотация. Пусть Δ = {(α, β) ∈ R 2 : α + β > 0, α ≤ 1, β ≤ 1} и (α, β) ∈ Δ . Класс Яновского S *[α, β] есть класс функций f , голоморфных в D и таких, что
f (0) = f ′(0) − 1 = 0 и ζf ′(ζ) / f (ζ)  (1 + βζ)/(1 − αζ) , ζ ∈ D . Пусть S *[α, β] – подкласс S *[α, β] с условием f ′′(0) = 0 , задающим нулевой корень уравнения
f ′′(ζ ) / f ′(ζ ) = 2ζ /(1− | ζ |2 ) . Область единственности для семейства
S *[α, β] , ( α, β ) ∈ Δ , есть множество Δ ⊂ Δ такое, что для любых ( α, β ) ∈ Δ и
f ∈ S *[α, β] уравнение Гахова имеет единственный корень. Найдена макси-
Гахова
мальная (по включению) область единственности для семейства S *[α, β] ,
(α, β) ∈ Δ . Пусть Δ′ = Δ′0 ∪ Δ1 ∪ Δ′2 , где Δ′0 = {(α, β) ∈ Δ :|2β − 3α | ≤ 3, 3(α + β) ≤ 2} ,
Δ1 = {(α, β) ∈ Δ : 2β − 3α > 3} и Δ′2 = {(α, β) ∈ Δ : 2β − 3α < −3, α < α(β), β∈ (−1, −1 / 5)} , а
α (β) = 1 − (1 + β)3 / [(1 + β) 2 − 16β] , β∈ (−1,0) . Теорема. Множество Δ′ является
максимальной областью единственности для семейства классов S *[α, β] ,
(α, β) ∈ Δ . Таким образом, дано полное и окончательное решение проблемы,
поставленной и частично решенной А. В. Казанцевым в 1998 г. Получена двупараметрическая серия условий единственности; установлено новое свойство
известных классов однолистных функций. Метод доказательства основан на
применении леммы Шварца, вычислении неулучшаемой постоянной в оценке
левой части уравнения Гахова и анализе зависимости указанной постоянной от
параметров.
Ключевые слова: однолистные функции, классы Яновского, уравнение Гахова.
T. V. Zharkova, A. V. Kazantsev
ON THE UNIQUENESS OF THE SOLUTION OF GAHOV
EQUATION FOR THE FUNCTIONS IN THE JANOWSKI CLASSES
Abstract. Let Δ = {(α, β) ∈ R 2 : α + β > 0, α ≤ 1, β ≤ 1} and (α, β) ∈ Δ . Janowski class
S *[α, β] is the class of the functions f holomorphic in D and so that
f (0) = f ′(0) − 1 = 0 and ζf ′(ζ) / f (ζ)  (1 + βζ)/(1 − αζ) , ζ ∈ D . Let S *[α, β] be the
subclass of S *[α, β] with the condition f ′′(0) = 0 defining the zero root of the
Gahov equation f ′′(ζ ) / f ′(ζ ) = 2ζ /(1− | ζ |2 ) . The domain of uniqueness for the family
S *[α, β] , ( α, β ) ∈ Δ , is the set Δ ⊂ Δ such that for any ( α, β ) ∈ Δ and f ∈ S *[α, β]
the Gahov equation has the unique root. The maximal (on inclusion) domain of
uniqueness for the family S *[α, β] , (α, β) ∈ Δ , is find. Let Δ′ = Δ′0 ∪ Δ1 ∪ Δ′2 , where
Δ′0 = {(α, β) ∈ Δ :|2β − 3α | ≤ 3, 3(α + β) ≤ 2} , Δ1 = {(α, β) ∈ Δ : 2β − 3α > 3} and Δ′2 =
= {(α, β) ∈ Δ : 2β − 3α < −3, α < α(β),
β∈ (−1, −1 / 5)} ,
while
α (β) = 1 − (1 + β)3 /
/[(1 + β) 2 − 16β] , β∈ (−1,0) . Theorem. The set Δ′ is the maximal domain of uniqueness for the family of the classes S *[α, β] , (α, β) ∈ Δ . Thus, the article adduces the
full and complete solution for the problem posed and particularly solved in 1998 by
108
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
the second author. The impact of the result: 1) two-parametrical series of the
uniqueness conditions is obtained; 2) new property of the well-known classes of the
univalent functions is established. The proving method is based on the use of the
Schwarz lemma, the calculation of the sharp constant in the estimate of the left-hand
side of Gahov equation, and the analysis of the dependence of the constant mentioned on the parameters.
Key words: univalent functions, Janowski classes, Gahov equation.
10. Уравнение Гахова
f ′′ ( ζ )
2ζ
=
f ′ ( ζ ) 1− | ζ |2
(1)
для голоморфной и локально однолистной (т.е. f ′ ≠ 0 ) в круге
D = {ζ ∈  :| ζ | < 1} функции f является условием разрешимости ряда граничных задач теории аналитических функций и математической физики (см.,
напр., [1, § 33; 2, гл. 4, § 13). Интерес к уравнению (1) обусловлен, в частности, восходящей к [3] и впервые исследованной в [4, 5] связью с гиперболической производной
h f (ζ ) = (1− | ζ |2 ) | f ′(ζ ) | .
(2)
функции f [6]. Как известно [7], величина (2) совпадает с внутренним конформным радиусом образа f ( D) в точке f (ζ ) , где ζ ∈ D .
Совпадение решений (1) с критическими точками функции (2) – максимумами, седлами и полуседлами [8] – используется при поиске условий единственности корня уравнения Гахова. В работах [9–11] такие условия строились по некоторым подклассам однолистных функций в форме ограничений
на числовые параметры, определяющие подкласс, и в ряде случаев доведены
до неулучшаемых. При этом наличие у (1) корня ζ = 0 (т.е. условие
f ′′(0) = 0 ) постулировалось изначально, задача при этом состояла в определении множества параметров, обеспечивающих выполнение оценки (ср. с (1))
| f ′′(ζ ) / f ′(ζ ) | < 2 | ζ | /(1− | ζ |2 ) , ζ ∈ D \ {0} ,
(3)
из которой, в частности, следует убывание функции (2) вдоль радиусов D .
Данную схему удобно формализовать следующим образом. Пусть
Ω ⊂ R k и для каждого ω∈ Ω определен некоторый класс X ω функций f ,
голоморфных и локально однолистных в D . Подмножество U ⊂ Ω назовем
областью единственности для семейства классов X ω , ω∈ Ω , если при каждом ω∈U и любой f ∈ X ω уравнение (1) имеет единственный корень в D , и
этот корень – максимум функции (2). Построение неулучшаемого условия
единственности вида f ∈ X ω , ω∈U ′ , означает вычисление максимальной (по
включению) области единственности для семейства X ω , ω∈ Ω .
Условие на корень (максимум) исключает из приведенной постановки
«патологии» такие, например, как в случае f (ζ ) = ζ / (1 − ζ 2 ) , когда уравнеPhysics and mathematics sciences. Mathematics
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ние (1) имеет единственное решение ζ = 0 в D – седло поверхности
h = h f (ζ ) , которая имеет еще два бесконечных максимума на ∂D [9]. Подобные «патологии» можно наблюдать и в настоящем исследовании (случай
α = 1 , β ∈ (−1 / 3,1) в п. 40).
Пусть Δ = {(α, β) ∈ R 2 : α + β > 0, α ≤ 1, β ≤ 1} . Рассмотрим класс S *[α, β] ,
( α, β ) ∈ Δ , функций f , голоморфных в D с условиями f (0) = f ′(0) − 1 = 0 и
ζ
f ′(ζ)
f (ζ)

1 + βζ
, ζ∈D ,
1 − αζ
(4)
означающими существование функции ϕ из леммы Шварца [12, с. 356–357]
такой, что
ζ
f ′(ζ )
f (ζ)
=
1 + βϕ(ζ )
, ζ∈D .
1 − αϕ(ζ )
(5)
Отметим, что из определения класса S *[α, β] следует звездообразность
(а значит, и однолистность) его элементов. Классы S *[α, β] вошли в обиход
теории однолистных функций благодаря работам В. Яновского [13]; вместо
параметров α и β использовались A = β и B = −α .
Пусть S *[α, β] – подкласс S *[α, β] , выделяемый дополнительной нормировкой f ′′(0) = 0 , или, эквивалентно, оценкой | ϕ(ζ ) | ≤ | ζ |2 , ζ ∈ D , в (5).
В настоящей статье вычисляется максимальная область единственности
для семейства S *[α, β] , ( α, β ) ∈ Δ .
Развиваемое здесь исследование было задумано еще в середине 1990-х гг.
как продолжение части работы в рамках [10]. В статье [14] на эту тему был
представлен результат промежуточного характера с рядом пробелов в доказательстве. В настоящей статье дан новый, решающий подход к проблеме, основанный на вычислении неулучшаемой постоянной в оценке левой части
уравнения Гахова с последующим анализом зависимости указанной постоянной от параметров (см. далее лемму и следствия 1–3).
20. Нам понадобится разбиение множества Δ в дизъюнктное объединение трех его подмножеств Δ 0 , Δ1 и Δ 2 , выделяемых соответственно неравенствами | 2β − 3α | ≤ 3 , 2β − 3α > 3 и 2β − 3α < −3 (рис. 1).
Начнем с обоснования оценки сверху величины
F (ζ; f ) = (1− | ζ |2 ) | f ′′(ζ ) / (ζf ′(ζ )) |
при ζ ∈ D в классах S *[α, β] , ( α, β ) ∈ Δ .
Лемма. Пусть
оценка
( α, β ) ∈ Δ
и f ∈ S *[α, β] . Имеет место неулучшаемая
F ( ζ; f ) ≤ g ( α , β) , ζ ∈ D ,
110
(6)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
где g (α, β) = 3(α + β) , если (α, β) ∈ Δ0 , а в случае (α, β) ∈ Δ1 ∪ Δ 2 будет
g (α, β) = (α + β) −1[| 3α − β | +β(5α + β) − 2 2 | β || 3α + β | (1− | α |)(1− | β |)] . (7)
Рис. 1. Разбиение множества Δ
Доказательство. Условие (5) влечет за собой представление
ζ
f ′′(ζ )
(α + β)ζϕ′
( α + β) ϕ
=
+
, ϕ = ϕ(ζ ) , ζ ∈ D.
′
f (ζ ) (1 + βϕ)(1 − αϕ) 1 − αϕ
(8)
Исходя из (8), оценим F (ζ; f ) с помощью леммы Шварца: | ϕ | ≤ | ζ |2
в D , а также неравенств | Re ϕ | ≤ | ϕ | :
|1 − αϕ | ≥ 1 − α Re ϕ и |1 + βϕ | ≥ 1 + β Re ϕ ,
(9)
эффективных для исследования подчиненностей вида (4) [10].
Получаем
 2(1− | ϕ |)
1+ | ϕ | 1− | ζ |2 
F ( ζ ; f ) ≤ ( α + β) 
+
≤
2 |1 − αϕ |
 |1 + βϕ ||1 − αϕ | 1+ | ζ |

≤ G (Re ϕ; α, β) ≤ g (α, β) ,
(10)
где ζ ∈ D , ϕ = ϕ(ζ ) , g (α, β) = supt∈( −1,1) G (t ; α, β) ;
G (t ; α, β) = [ 2β / (1 + βt ) + (3α + β) / (1 − αt ) ] (1− | t |) .
(11)
Очевидно, функция G (t ; α, β) непрерывна на [−1,1] при любом
(α, β) ∈ Δ . Однако (10) налагает ограничение t ∈ (−1,1) , которого мы и придерживаемся.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Поиск экстремума функции (11) основан на представлении
(∂ / ∂ | t |)G (t ; α, β) = −(α + β)(1 + βt ) −2 (1 − αt ) −2 γ (t ; α, β) ,
(12)
причем в Δ 0 и Δ1 ∪ Δ 2 используются различные формы функции γ (t ; α, β) .
Случай (α, β) ∈ Δ 0 . Выражение для γ запишем в виде
γ (t ; α, β) = 3 + ( 2β − 3α ) s  (1− | t |) 2 + 2(1 + βs )(1 − αs ) 1 − (1− | t |) 2  +


+(1 − αs )  (1 + βs )2 − (1− | t |)2  ,


(13)
где s = sgn t . Так как | 2β − 3α | ≤ 3 по определению Δ 0 , то 3 + ( 2β − 3α ) s ≥ 0
при 0 < | t | < 1 . Значит, все три слагаемые в (13) неотрицательны, поэтому
G (t ; α, β) не возрастает при 0 < | t | < 1 в силу (12). В итоге
g (α, β) = G (0; α, β) = 3(α + β) .
(14)
Исчезновение первых двух слагаемых (13) в точке t0 с 0 < | t0 | < 1 приводит к двум возможностям: s = −1 , α = −1 / 3 , β = 1 ; или s = 1 , α = 1 , β = 0 ,
причем в обоих случаях третье слагаемое в (13) также обращается в нуль. Таким образом, если (α, β) ∈ Δ 0 \ {(−1 / 3,1),(1,0)} , то γ (t ; α, β) > 0 при 0 < | t | < 1 ,
значит, t = 0 – единственная точка максимума функции G на (−1,1) .
Очевидно, функции G (t ;1,0) и G (t ; −1 / 3,1) достигают своих максимумов на целых промежутках значений t : g (1,0) = 3 достигается в каждой точке полуинтервала [0,1) ( s = 1) , g (−1 / 3,1) = 2 – в каждой точке из (−1,0]
( s = −1) .
Случай (α, β) ∈ Δ1 ∪ Δ 2 . Нам предстоит следить за знаками величин
в довольно громоздких выражениях. Поэтому воспользуемся тем, что при
рассматриваемых значениях параметров имеют место равенства
ε := sgn α = − sgn β = − sgn(2β − 3α) = sgn(3α + β) = sgn(3α − β) .
(15)
Исследуем G на половинах s = ±ε интервала (−1,1) . В силу (15) при
s = −ε имеем 3 + (2β − 3α) s = 3+ | 2β − 3α | > 0 . Тогда из (13) следует, что
γ (t ; α, β) > 0 , 0 < | t | < 1 . Значит, G убывает с ростом | t | от 0 до 1 при
sgn t = −ε , откуда
sup G (t ; α, β) = G (0; α, β) = 3(α + β) .
(16)
0<|t|<1
Пусть теперь s = ε . Функцию γ удобно представить в виде квадратичного полинома от 1− | t | :
γ (t ; α, β) = β[2α + β(1 − αε)](1− | t |)2 − 2βε(1 + βε)(1 − αε)(1− | t |) +
+(1 + βε)(1 − αε)(3 + βε) .
(17)
Старший коэффициент β[2α + β(1 − αε)] =: −q (α, β) отличен от нуля:
112
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
q(α, β) = | β | [3 | α | −1 + (1− | β |)(1− | α | )] > 0 ,
(18)
так как при (α, β) ∈ Δ1 ∪ Δ 2 будет | α | > 1 / 3 .
Дискриминант указанного полинома имеет вид
d = −2β(3α + β)(1− | β |)(1− | α |) ,
(19)
причем d ≥ 0 в силу β ( 3α + β ) < 0 (см. (15)), а равенство d = 0 возможно
только при (α, β) ∈ ∂1 ∪ ∂ 2 , где
∂1 = (−1, −1 / 3) × {1} , ∂ 2 = {1} × (−1,0) .
(20)
Условие d ≥ 0 позволяет переписать (17) в виде произведения
γ (t ; α, β) = q (α, β)[1− | t | + n(α, β)][| t | − m(α, β)] ,
(21)
в котором
n(α, β) = [ d − | β | (1− | β |)(1− | α |)] / q(α, β) и
m(α, β) = 1 − [ d + | β | (1− | β |)(1− | α |)] / q (α, β) .
(22)
Оценка n(α, β) ≥ 0 очевидна, если записать d в терминах коэффициентов (17). При этом n(α, β) = 0 ⇔ (α, β) ∈ ∂1 ∪ ∂ 2 . Таким образом, второй
сомножитель в (21) положителен при 0 < | t | < 1 . С учетом (18) отсюда следует, что знакоопределяющим для функции γ является ее третий сомножитель.
Неравенство m(α, β) ≤ 1 немедленно получается из (22) и (18);
m(α, β) = 1 ⇔ (α, β) ∈ ∂1 ∪ ∂ 2 . Чтобы оценить m(α, β) снизу, представим (22)
в виде
m(α, β) = [| β | (3 | α | −1) − d ] / q (α, β) .
(23)
Определение знака числителя (23) использует запись дискриминанта d
для представления γ в виде квадратичного полинома от | t | . Имеем
d = β2 (3 | α | −1)2 + q (α, β)[3 − | 2β − 3α |] < | β |2 (3 | α | −1)2 ,
(24)
так как |2β − 3α| > 3 при (α, β) ∈ Δ1 ∪ Δ 2 . Поэтому 0 < m := m(α, β) ≤ 1 .
Таким образом, из (12) и (21) следует, что при sgn t = ε с ростом | t |
функция G возрастает на (0, m) и (в случае m < 1 ) убывает на (m,1) . С учетом (16) отсюда получаем соотношение
g (α, β) = G (m(α, β)ε; α, β) ,
(25)
справедливое и при m(α, β) = 1 .
Подсчет g (α, β) весьма трудоемок, получающееся в итоге выражение
(7) приводится как наименее громоздкое.
Остается доказать неулучшаемость оценки (6). Рассмотрим функцию
f = fα,β , определяемую из (5) при ϕ(ζ ) = ζ 2 , и положим
Physics and mathematics sciences. Mathematics
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
τ(α, β) = m(α, β)ε .
(26)
Пусть ω – произвольная вещественная или мнимая точка D .
В силу (25)
F (ω; f α,β ) = G (ω2 ; α, β) ≤ G (τ(α, β); α, β) = g (α, β) .
(27)
Если τ = τ(α, β) ∈ (−1,1) , то равенство в (27) (т.е. в (10) с f = f α,β и
ζ = ω ) достигается на D : ω = ± τ . Если же | τ | = 1 , то неулучшаемость оценsup F (ω; fα,β ) = g (α, β) , котоки (6) означает выполнение соотношения
ω2∈( −1,1)
рое следует из непрерывности функции G (t ; α, β) в точках t = ±1 .
Лемма доказана.
30. Продолжим несколько сюжетов из п. 20. Справедливо
Следствие 1. Функция τ : Δ → [−1,1] , заданная в Δ1 ∪ Δ 2 формулами
(26), (23), (15) и доопределяемая в Δ 0 нулем, будет непрерывной на множестве Δ \ {(−1 / 3,1),(1,0)}. Для каждого (α, β) ∈ Δ \ {(−1 / 3,1),(1,0)} функция
G (t ; α, β) на [−1,1] имеет единственный максимум в точке τ = τ(α, β) ; при
этом τ = −1 ⇔ (α, β) ∈ ∂1 и τ = +1 ⇔ (α, β) ∈ ∂ 2 , где ∂1 и ∂ 2 определены
в (20).
Доказательство. Обозначим π± = Δ ∩ {(α, β) ∈ R 2 : 2β − 3α = ±3} . Легко
проверить, что если (α, β) ∈ π± , то q(α, β) = 0 ⇔ (α, β) ∈{(−1 / 3,1),(1,0)} .
Исключая точки (−1 / 3,1) и (1,0) из соответствующих π± , получим интервалы π0± прямых 2β − 3α = ±3 . Функция (26) непрерывна на Δ1 ∪ π0+ и Δ 2 ∪ π0−
и при стремлении (α, β) к точкам на π0± изнутри Δ1 и Δ 2 будет τ(α, β) → 0
(см. (23)). Итак, заданное продолжение склеивает значения τ на Δ1 ∪ Δ 2 и
Δ0 \ {(−1 / 3,1),(1,0)} в непрерывную функцию и объединяет формулы (14) и
(25) в одну:
g (α, β) = G ( τ(α, β); α, β ) , (α, β) ∈ Δ \ {(−1 / 3,1),(1,0)} .
(28)
Обоснование второго утверждения следствия содержится в доказательстве леммы: после формулы (14) и при получении (25). Вычисление подмножеств из Δ \ {(−1 / 3,1),(1,0)} , на которых τ = ±1 , проверяется непосредственно.
Наконец, при рассматриваемом продолжении функции τ в Δ 0 в качестве τ(−1 / 3,1) можно было бы взять любую точку отрезка [−1,0] , а в качестве τ(1,0) – любую точку на [0,1] (см. случай (α, β) ∈ Δ 0 в доказательстве
леммы). При этом отображение (α, β, τ)  (α, β) над окрестностями обеих
«исключенных точек» имеет характер раздутия; соответствующие отрезки
изменения τ заполняются пределами функции τ(α, β) по направлениям прямых, проходящих через указанные точки и заметающих Δ1 и Δ 2 . Следствие 1
доказано. Построенную в нем функцию на Δ и будем теперь понимать под
τ = τ(α, β) .
114
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
Выпишем явный вид функции
fα,β , восстанавливаемой из (5)
с ϕ(ζ ) = ζ2 :
fα,β (ζ ) = ζ (1 − αζ 2 )−(1+β/ α )/2 при α ≠ 0 ,
2
f0,β (ζ ) = ζeβζ /2 .
(29)
Отметим, что функция F (ζ; f α,β ) непрерывна в D для любого
(α, β) ∈ Δ , и усилим утверждение, обоснованное в финале доказательства
леммы.
Следствие 2. Пусть (α, β) ∈ Δ , τ = τ(α, β) и точка a ∈ D такова, что
F (a; f α,β ) = F (± τ ; fα,β ) . Тогда a = ± τ при (α, β) ∈ Δ \ {(−1 / 3,1),(1,0)} , a –
любая точка отрезка [−i, i ] при (α, β) = (−1 / 3,1) , a – любая точка отрезка
[−1,1] при (α, β) = (1,0) .
Доказательство. При анализе равенства в (27) показано, что
F (± τ ; f α,β ) = G (τ; α, β) = g (α, β) .
(30)
По условию отсюда получается, что F (a; f α,β ) = g ( α, β ) . Это означает,
что при ζ = a и f = fα,β (т. е. ϕ ( ζ ) = ζ 2 ) в (10) имеет место цепочка равенств:
F (a; f α,β ) = F (Re a 2 ; α, β) = g ( α, β ) ,
(31)
в частности, равенства выполняются и в (9), так что a 2 ∈  . Тогда корректно
определена величина G (a 2 ; α, β) и из (30) и (31) следует равенство
G (a 2 ; α, β) = G ( τ; α, β) .
(32)
Согласно следствию 1, если (α, β) ≠ (−1 / 3,1) , (1,0) , то τ = τ(α, β) –
единственная точка экстремума функции G . Поэтому (32) сразу же влечет за
собой a 2 = τ . Оставшиеся утверждения следствия 2 – переформулировка
в терминах a заключительной части доказательства следствия 1.
Следствие 2 доказано.
Следствие 3. Функция g (α, β) , заданная на Δ 0 формулой (14), а на
Δ1 ∪ Δ 2 – представлением (7), непрерывна в Δ . Справедливы соотношения
g (α, β) = 2 +
g (α, β) = 2 +
1− β
(3α + 1)(25 − β) − (1 − β)(25 − 3β)
, (α, β) ∈ Δ1 , (33)
3 −(5α + β) 1 − β + 2 −(3α + β)β(1 + α)
(1 + β)2 − 16β
(α + β)(1 + β) − 4β(1 − α) + 2 d
(α − α(β)) , (α, β) ∈ Δ 2 ,
(34)
где d – дискриминант (19), а
Physics and mathematics sciences. Mathematics
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
α(β) = 1 −
(1 + β)3
(1 + β) 2 − 16β
, β ∈ (−1,0) .
(35)
Действительно, непрерывность g (α, β) в Δ можно проверить, опираясь
на (28) либо склеивая выражения (14) и (7) вдоль прямых 2β − 3α = ±3 ; разрывов при (α, β) = ( −1 / 3,1) и (α, β) = (1,0) здесь не возникает. Формулы (33) и
(34) получаются преобразованиями из (7). Функция (35) убывает и выпукла
вверх; касательной к ее графику в точке (13 / 15, −1 / 5) оказывается прямая
3(α + β) = 2 .
Δ′ = Δ′0 ∪ Δ1 ∪ Δ′2 ,
где
40 .
Зададим
множество
Δ′0 = {(α, β) ∈ Δ 0 : 3(α + β) ≤ 2} и Δ′2 = {(α, β) ∈ Δ 2 : α < α(β), β∈ (−1, −1 / 5)} .
Справедлива
Теорема. Множество Δ′ является максимальной областью единственности для семейства классов S *[α, β] , (α, β) ∈ Δ .
Доказательство. Пусть (α, β) ∈ Δ′ и f ∈ S *[α, β] . Тогда из (14), (33) и
(34) следует, что g (α, β) ≤ 2 , откуда в силу (10) получается неравенство
F (ζ; f ) ≤ 2 , ζ ∈ D . Докажем, что имеет место оценка (3).
Вначале рассмотрим случай (α, β) ∈ Δ1 . В силу (33) условие g (α, β) = 2
влечет за собой β = 1 , т.е. (α, β) ∈ ∂1 . Согласно следствию 1 при
−1 < α < −1 / 3 единственный максимум функции G (t ; α,1) на [−1,1] достигается в точке τ = −1 . Поэтому строгое неравенство G (t ; α,1) < G (−1; α,1) =
= g (α,1) = 2 справедливо для любого t ∈ (−1,1] . Значит, цепочка (10) приводит к неравенству (3), которое в силу (33) выполняется и в остальных точках
множества Δ1 .
Случай (α, β) ∈ Δ′2 еще более простой: неравенство g (α, β) < 2 , устанавливающее (3), следует из самого определения множества Δ′2 в силу (34).
Пусть теперь (α, β) ∈ Δ′0 . Предположим, что a ∈ D \ {0} – еще один
(кроме ζ = 0 ) корень уравнения (1). Тогда 3(α + β) = 2 , соотношения (10) при
ζ = a обращаются в равенства и по лемме Шварца получаем ϕ(ζ ) = ξζ 2 с некоторым ξ ∈ ∂D , откуда f (ζ ) = ξ fα,β (ξζ ) – вращение функции (29). При переходе f → f ξ от функции f к ее вращениям fξ (ζ ) = ξ f (ξζ ) ненулевые
корни уравнения Гахова преобразуются поворотами a → aξ ; кроме того,
F (a; f ) = F ( aξ; fξ ) . Поэтому без ограничения общности считаем ξ = 1 и оказываемся в условиях следствия 2: благодаря (30) и равенству концов цепочки
(10) при f = fα,β и ζ = a мы должны иметь F (a; f α,β ) = F (± τ ; fα,β ) (≡ 2) .
Множество
Δ′0
содержит
одну
точку
разрыва
функции
τ:
2
(α, β) = (−1 / 3,1) . Здесь f −′′1/3,1 (ζ ) / f −′1/3,1 (ζ ) = 2ζ / (1 + ζ ) , но уравнение (1)
имеет единственный корень ζ = 0 – противоречие с a ≠ 0 . Противоречие бу-
116
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
дет и в остальных точках (α, β) ∈ Δ′0 , так как на Δ′0 \ {(−1 / 3,1)} имеем
a = ± τ = 0 в силу следствий 1 и 2.
Итак, Δ′ – область единственности для семейства S *[α, β] , (α, β) ∈ Δ .
Максимальность Δ′ устанавливается с помощью анализа картины разрешимости уравнения (1) для семейства (29). Исследование оказывается
весьма громоздким и приводит к следующим результатам. Для всех точек
(α, β) ∈ Δ выше прямой 3(α + β) = 2 , а также на ее участке 13 / 15 < α ≤ 1 , поверхность h = hα,β (ζ ) , кроме седла в ζ = 0 , имеет два максимума, при α = 1
выходящих на ∂D . Для остальной части Δ \ Δ′ корень ζ = 0 будет максимумом, причем на кривой α = α(β) , β ∈ (−1, −1 / 5) , функция hα,β имеет еще два
полуседла в точках ± τ(α(β), β) , а на множестве α > α(β) , 3(α + β) < 2 ,
β ∈ (−1, −1 / 5) , – два седла и два максимума (при α = 1 последние вновь выходят на ∂D ).
Теорема доказана.
Список литературы
1. Г а х о в, Ф. Д . Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М. :
Наука, 1977. – 640 с.
2. Ф р и д м а н, А . Вариационные принципы и задачи со свободными границами /
А. Фридман. – М. : Наука, 1990. – 536 с.
3. Г а х о в, Ф. Д . Об обратных краевых задачах / Ф. Д. Гахов. – ДАН СССР. – 1952. –
Т. 86, № 4. – С. 649–652.
4. R u s h e w e y h , S t . On extreme Bloch functions with prescribed critical points /
St. Rusheweyh, K.-J. Wirths // Math. Z. – 1982. – Bd. 180. – S. 91–106.
5. А к с е н ть е в , Л. А . Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области / Л. А. Аксентьев // Известия вузов. Математика. – 1984. – № 2. –
С. 3–11.
6. К а з а н ц е в , А . В. Бифуркации и новые условия единственности критических
точек гиперболических производных / А. В. Казанцев // Ученые записки Казанского университета. Физико-математические науки. – 2011. – Т. 153, № 1. –
С. 180–194.
7. H a e g i , H . R . Extremalprobleme und Ungleichungen conformer Gebietsgrössen /
H. R. Haegi // Compositio Math. – 1950. – Vol. 8. – F. 2. – S. 81–111.
8. К и н д е р , М . И . О числе решений уравнения Ф. Д. Гахова в случае многосвязной области / М. И. Киндер // Известия вузов. Математика. – 1984. – № 8. –
С. 69–72.
9. А к с е н ть е в , Л. А . О единственности решения внешней обратной краевой задачи / Л. А. Аксентьев, А. В. Казанцев, А. В. Киселев // Известия вузов. Математика. – 1984. – № 10. – С. 8–18.
10. А к с е н ть е в , Л. А . О классах единственности внешней обратной краевой задачи /
Л. А. Аксентьев, А. В. Казанцев, М. И. Киндер, А. В. Киселев // Труды семинара
по краевым задачам. – Вып. 24. – Казань : Казан. ун-т, 1990.– С. 39–62.
11. А к с е н ть е в , Л. А . Экстремальные задачи для площадей при конформном
отображении и их применение / Л. А. Аксентьев, А. В. Казанцев, Н. И. Попов //
Известия вузов. Математика. – 1995. – № 6. – С. 3–15.
12. Г о л у з и н, Г . М . Геометрическая теория функций комплексного переменного /
Г. М. Голузин. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Наука, 1966. – 628 с.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
13. J a n o ws k i, W . Some extremal problems for certain families of analytic functions. I /
W. Janowski // Ann. Polon. Math. – 1973. – Vol. 28. – P. 297–326.
14. А к с е н ть е в , Л. А . О теоремах единственности для внешней обратной краевой
задачи в подклассах однолистных функций / Л. А. Аксентьев, А. В. Казанцев,
Н. И. Попов // Известия вузов. Математика. – 1998. – № 8. – С. 3–13.
References
1. G a k h o v F . D . Kraevye zadachi [Boundary-value problems]. Moscow: Nauka, 1977,
640 p.
2. F r id ma n A . Variatsionnye printsipy i zadachi so svobodnymi granitsami [Variational
principles and problems with free boundaries]. Moscow: Nauka, 1990, 536 p.
3. G a k h o v F . D . Ob obratnykh kraevykh zadachakh [On the issue of inverse boundatyvalue problems]. DAN SSSR. 1952, vol. 86, no. 4, pp. 649–652.
4. R u s h e w e y h S t . , Wirths K.-J. Math. Z. 1982, vol. 180, pp. 91–106.
5. A k s e n t'e v L . A . Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 1984, no. 2, pp. 3–11.
6. K a z a n t s e v A . V . Uchenye zapiski Kazan-skogo universiteta. Fiziko-matematicheskie nauki [Kazan university memoir. Physical and mathematical sciences]. 2011,
vol. 153, no. 1, pp. 180–194.
7. H a e g i H . R . Compositio Math. 1950, vol. 8, F. 2, pp. 81–111.
8. K i n d e r M. I . Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings. Mathematics].
1984, no. 8, pp. 69–72.
9. A k s e n t'e v L . A . , Kazantsev A. V., Kiselev A. V. Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 1984, no. 10, pp. 8–18.
10. A k s e n t'e v L . A . , Kazantsev A. V., Kinder M. I., Kiselev A. V. Trudy seminara po
kraevym zadacham. Vyp. 24 [Proceedings of the seminar on boundary-value problems.
Issue 24]. Kazan: Kazan. un-t, 1990, pp. 39–62.
11. A k s e n t'e v L . A . , Kazantsev A. V., Popov N. I. Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 1995, no. 6, pp. 3–15.
12. G o l u z i n G . M. Geometricheskaya teoriya funktsiy kompleksnogo peremennogo [Geometric theory of complex variable functions. 2nd edition]. 2-e izd., pererab. i dop. M:
Nauka, 1966, 628 p.
13. J a n o w s k i W . Ann. Polon. Math. 1973, vol. 28, pp. 297–326.
14. A k s e n t'e v L . A . , Kazantsev A. V., Popov N. I. Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 1998, no. 8, pp. 3–13.
Жаркова Татьяна Васильевна
аспирант, Казанский (Приволжский)
федеральный университет
(Казань, ул. Кремлевская, 18)
Zharkova Tat'yana Vasil'evna
Postgraduate student, Kazan (Volga region)
Federal University
(Kazan, 18 Kremlyovskaya str.)
E-mail: zharkova89@yandex.ru
Казанцев Андрей Витальевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математической
статистики, Казанский (Приволжский)
федеральный университет
(Казань, ул. Кремлевская, 18)
Kazantsev Andrey Vital'evich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematical statistics,
Kazan (Volga region) Federal University
(Kazan, 18 Kremlyovskaya str.)
E-mail: kazandrey0363@rambler.ru
118
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.546.1
Жаркова, Т. В.
О единственности решения уравнения Гахова для функций из
классов Яновского / Т. В. Жаркова, А. В. Казанцев // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2013. – № 2 (26). – С. 108–119.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.925.51
К. С. Лапин
РАВНОМЕРНАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ С ЧАСТИЧНО
КОНТРОЛИРУЕМЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Аннотация. Актуальность и цель исследования: японским математиком
Т. Йосидзавой было дано развитие теории различных видов ограниченности
решений систем дифференциальных уравнений. При исследовании ограниченности решений он использовал метод, который в своей сущности аналогичен прямому методу Ляпунова в теории устойчивости. Исследования различных видов ограниченности решений систем дифференциальных уравнений по
части переменных и, в частности, равномерной ограниченности решений по
части переменных впервые были проведены В. В. Румянцевым и А. С. Озиранером. С другой стороны, В. И. Воротниковым и Ю. Г. Мартышенко было
разработано новое направление в теории частичной устойчивости, а именно
была развита теория частичной устойчивости положения равновесия, у которого часть координат контролируется. Таким образом, возникает интересная
идея создания в теории частичной ограниченности решений методов, которые
были бы в идейном плане аналогичны методам указанной выше теории устойчивости по части переменных частичного положения равновесия. Основным
методом исследования является метод функций Ляпунова. Теоремы в данной
работе сформулированы и доказаны в терминах производной Дини. Введено
понятие равномерной и тотальной ограниченности решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми
начальными условиями. Получен критерий равномерной ограниченности и достаточный признак тотальной ограниченности решений по части переменных
с частично контролируемыми начальными условиями. Полученные в данной
статье результаты могут применяться в исследовании реальных процессов
на различные виды частичной ограниченности в естественно-технических
задачах.
Ключевые слова: ограниченность решений, ограниченность по части переменных, функция Ляпунова, частично контролируемые начальные условия.
K. S. Lapin
UNIFORM BOUNDEDNESS OF DIFFERENTIAL EQUATION
SYSTEM SOLUTIONS RELATING TO VARIABLES WITH
PARTIALLY CONTROLLED INITIAL CONDITIONS
Abstract. Background. Japanese mathematician T. Yoshizawa developed the theory of various types of boundedness of solutions of systems of differential equations. In the investigation of boundedness of solutions he used a method which is
similar to the direct method of Lyapunov in the stability theory. Research of
different types of boundedness of solutions of systems of differential equations
with respect to variables and, in particular, of the uniform boundedness of solutions with respect to variables were first carried out by V. V. Rumyantsev and
A. S. Oziraner. On the other hand, V. I. Vorotnikov and Yu. G Martyshenko developed a new direction in the theory of partial stability, namely, the theory of
120
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
partial stability of the equilibrium position with a controlled part of the coordinates. Thus, there is an interesting idea to create in the theory of partial boundedness of solutions the methods that would be conceptually similar to those of the
above-mentioned theory of the stability with respect to a part of the variables of
partial equilibrium positions. The main research method in this paper is the method of Lyapunov functions. All the main theorems in this paper are stated and
proved in terms of the Dini derivative. The author introduces the concept of the
partial uniform boundedness of solutions of systems of differential equations with
partially controlled initial conditions. The researcher obtains a criterion of the
partial uniform boundedness of solutions with partially controlled initial conditions and a sufficient condition for partial total boundedness. The results obtained
in this paper can be applied in research of real processes to different types of partial boundedness in the natural and technical problems.
Key words: boundedness of solutions, partial boundedness, Liapunov’s function,
partially controlled initial conditions.
Введение
В классической работе Т. Йосидзавы [1] была развита теория различных видов ограниченности решений систем дифференциальных уравнений.
Основным средством исследования ограниченности решений в работе [1] является метод, который в своей сущности аналогичен прямому методу Ляпунова в теории устойчивости. Исследования различных видов ограниченности
решений систем дифференциальных уравнений по части переменных и, в
частности, равномерной ограниченности решений по части переменных,
впервые были проведены В. В. Румянцевым и А. С. Озиранером [2]. С другой
стороны, В. И. Воротниковым и Ю. Г. Мартышенко [3] было разработано новое направление в теории устойчивости по Ляпунову относительно части переменных, а именно в [3] была развита теория частичной устойчивости положения равновесия, у которого часть координат контролируется.
В связи с этим возникает интересный вопрос о возможности создания в теории ограниченности решений по части переменных методов, которые были
бы в идейном плане аналогичны методам указанной выше теории устойчивости по части переменных частичного положения равновесия.
В данной работе введено понятие равномерной ограниченности решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично
контролируемыми начальными условиями. Это новое понятие является
в идейном плане родственным понятию равномерной устойчивости относительно части переменных частичного положения равновесия из работы [3].
В терминах производной Дини получен критерий равномерной ограниченности решений по части переменных с частично контролируемыми начальными
условиями. Проведено сравнение этого критерия с критерием равномерной
ограниченности решений систем по части переменных [2]. Далее в работе
введено понятие тотальной ограниченности (или, по-другому, ограниченности при постоянно действующих возмущениях систем дифференциальных
уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными
условиями. В терминах производной Дини получен достаточный признак тотальной ограниченности решений систем по части переменных с частично
контролируемыми начальными условиями.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1. Критерий равномерной y-ограниченности решений
систем дифференциальных уравнений c y0-контролем
Пусть задана произвольная система дифференциальных уравнений от
n переменных
dx
= F (t , x) , F (t , x) = ( F 1 (t , x),..., F n (t , x)),
dt
(1)
правая часть которой задана и непрерывна в области Ω = {(t , x) ∈ R + × R n } ,
где R + = {t ∈ R t ≥ 0} . Предполагается, что каждое решение системы (1) продолжимо на всю полуось R + .
Далее под ⋅ везде будем понимать обычную евклидову норму. Для
каждого x = ( x1 ,, xn ) ∈ R n и любого фиксированного числа k , 1 ≤ k ≤ n , бу-
дем использовать обозначения y = ( x1 ,..., xk ) ∈ R k и z = ( xk +1 ,..., xn ) ∈ R n −k .
Определение 1 [2]. Говорят, что решения системы (1) равномерно
ограничены по части переменных y = ( x1 ,..., xk ) , или, более кратко, равномерно y -ограничены, если для каждого неотрицательного числа α ∈ R существует такое положительное число β(α) ∈ R , что для любой точки
(t0 , x0 ) ∈ Ω ,
x0 ≤ α , выполнено условие
y (t , x0 , t0 ) < β при t ≥ t0 , где
x = x(t , x0 , t0 ) – произвольное решение системы (1), проходящее через точку
(t0 , x0 ).
Легко видеть, что на геометрическом языке равномерная y -ограниченность решений системы (1) означает, что решения этой системы, стартующие в произвольный момент времени из точек n -мерного шара Bn (O, α)
радиуса α с центром в начале системы координат O ∈ R n , будут во все последующие моменты времени находиться в n -мерном полном бесконечном
цилиндре Bk (O, β(α)) × R n −k , радиус сечения которого β(α) не зависит от
момента времени старта решений.
Определение 2. Будем говорить, что решения системы (1) равномерно
ограничены по части переменных y = ( x1 ,..., xk ) c контролируемой частью
начальных условий y0 = (( x0 )1 ,...,( x0 )k ) , или, более кратко, равномерно
y -ограничены с y0 -контролем, если для каждого неотрицательного числа
α ∈ R существует такое положительное число β(α) ∈ R , что для любой точки
(t0 , x0 ) ∈ Ω ,
y0 ≤ α выполнено условие
y (t , x0 , t0 ) < β при t ≥ t0 , где
x = x(t , x0 , t0 ) – произвольное решение системы (1), проходящее через точку
(t0 , x0 ).
На геометрическом языке, по сравнению с определением равномерной
y-ограниченности, равномерная y -ограниченность с y0 -контролем решений
системы (1) означает, что решения этой системы, стартующие в произвольный момент времени из точек n-мерного полного бесконечного цилиндра
122
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
Bk (O, α) × R n −k радиуса сечения α , будут во все последующие моменты
времени находиться в n-мерном полном бесконечном цилиндре
Bk (O, β(α)) × R n −k , радиус сечения которого β(α) не зависит от момента
времени старта решений.
Таким образом, различие понятий равномерной y-ограниченности и
равномерной ограниченности с y0 -контролем заключается в том, что при исследовании решений системы на равномерную y-ограниченность интересуются всеми координатами точек, из которых стартуют решения, а при исследовании решений на равномерную y-ограниченность с y0 -контролем интерес
представляет лишь контролируемая часть точек старта решений.
Ясно, что если решения системы (1) равномерно y-ограничены с y0 контролем, то решения этой системы являются и просто равномерно
y-ограниченными, поскольку множество Bαn = {x ∈ R n : x ≤ α} является подмножеством множества Bαk × R n −k = {x ∈ R n : y ≤ α} . Обратное, вообще говоря, неверно, т.е. из равномерной y-ограниченности решений системы (1),
вообще говоря, не следует равномерная y-ограниченность с y0 -контролем
решений этой системы.
Напомним теперь [1], что производной Дини функции G (t , x) в силу
системы (1) называется функция GF′+(t , x ) (t , x) , которая определяется следующей формулой:

G (t + h, x + F (t , x)h − G (t , x) 
GF′+(t , x ) (t , x) = lim  sup
.

h
α→+0  h∈(0;α ]

(2)
Легко видеть, что для любой фиксированной точки (t , x) указанный
выше предел существует всегда, но может обращаться в бесконечность. Поэтому условие существования производной Дини GF′+(t , x ) (t , x) в силу системы
(1) как функции от (t , x) со значениями в R равносильно условию не обращения в бесконечность данного предела (2) для любой точки (t , x) .
Для
функции
G (t , x) ,
заданной
в
некоторой
области
E ⊆ {(t , x) ∈ R + × R n } , будем употреблять запись G (t , x) ∈ L(t , x) , если для
любого ограниченного подмножества B ⊂ E , замыкание которого принадлежит E, выполнено условие Липшица по переменным t и x, т.е. существует такая постоянная Липшица L, зависящая от B, что для любых точек
(t , x), (t ′, x′) ∈ B справедливо следующее неравенство:
G (t , x) − G (t ′, x′) ≤ L ( t − t ′ + x − x′ ) .
В случае, когда функция G (t , x) имеет непрерывные частные производные по переменным t , x1 , , xn (соответственно по переменным x1 ,, xn ),
будем употреблять запись G (t , x) ∈ D(t , x)
(соответственно запись
G (t , x) ∈ D( x) ).
Physics and mathematics sciences. Mathematics
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Отметим, что если G (t , x) ∈ L(t , x) , то производная Дини существует
как функция со значениями в R, т.е. функция GF′+(t , x ) (t , x) не обращается
в бесконечность ни в одной точке из области своего определения. Действительно, так как G (t , x) ∈ L(t , x) и F (t , x) < +∞ , для любой точки получаем

G (t + h, x + V (t , x)h − G (t , x)
GF′+(t , x ) (t , x) ≤ lim  sup
h
α→+0  h∈(0;α ]

≤



L(h + V (t , x) h) 
≤ lim  sup
 = L (1 + V (t , x) ) < ∞ .

h
α→+0  h∈(0;α ]

Напомним утверждение из работы [1], которое связывает верхнюю
производную Дини GF′+(t , x ) (t , x) с решениями системы (1).
Теорема 1. Для произвольной функции G (t , x) ∈ L(t , x) , t ≥ 0 , x ∈ R n ,
условие GF′+(t , x ) (t , x) ≤ 0 выполнено тогда и только тогда, когда для любого
решения x = x(t ) системы (1) функция G (t , x(t )) от переменной t является невозрастающей.
Сформулируем и докажем теперь достаточный признак равномерной
y-ограниченности с y0 -контролем системы (1) в терминах производной
Дини.
Теорема 2. Пусть для системы (1) имеется неотрицательная функция
V (t , x) , определенная в области t ≥ 0 , x = ( y, z ) ∈ R n , y ∈ R k , y ≥ R0 , где
R0 > 0 – некоторое фиксированное число, для которой выполнены следующие условия:
1) b( y ) ≤ V (t , x) ≤ a ( y ) , где a(r ) > 0 и b(r ) ≥ 0 – непрерывные возрастающие функции и b(r ) → ∞ при r → ∞ ;
2) VF′+(t , x ) (t , x) ≤ 0 внутри области t ≥ 0 , x ∈ R n , y ≥ R0 .
Тогда решения системы (1) равномерно y -ограничены с y0 -контролем.
Доказательство. Требуется доказать, что для каждого α > 0 существует такое число β(α) > 0 , что для любых t ≥ 0 , x ∈ R n , y0 ≤ α выполнено
условие y (t , x0 , t0 ) < β при всех t ≥ t0 . Сразу отметим, что без ограничения
общности доказательство достаточно провести только для тех решений
x = x(t , x0 , t0 ) ,
которые
при
y0 ≥ R0
удовлетворяют
условию
y (t , x0 , t0 ) ≥ R0 , и для тех α > 0 , которые удовлетворяют условию α > R0 .
Приступим теперь к доказательству. Пользуясь условием 1 из формулировки
доказываемой теоремы, получаем, что для любого решения x = x(t , x0 , t0 ) си-
стемы (1) имеет место неравенство b( y (t , x0 , t0 ) ≤ V (t , x(t , x0 , t0 )) . Из условия 2
доказываемой теоремы следует, что для любого решения x = x(t , x0 , t0 ) системы (1) функция V (t , x (t , x0 , t0 )) от переменной t является невозрастаю-
124
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
щей. Из этого при t ≥ t0 получаем неравенство V (t , x(t , x0 , t0 )) ≤ V (t0 , x0 ) .
Так как при y0 ≤ α справедливо неравенство V (t0 , x0 ) ≤ a (α) , то имеем неравенства:
b( y (t , x0 , t0 ) ) ≤ V (t , x(t , x0 , t0 )) ≤ V (t0 , x0 ) ≤ a (α) .
Пользуясь теперь условием b(r ) → ∞ при r → ∞ , выберем такое число
β , которое зависит от α , но не зависит от t0 , что a(α) < b(β) . Из этого получаем неравенство b( y (t , x0 , t0 ) ) < b(β) . Так как функция b(r ) является непрерывной и возрастающей, то для этой функции имеется обратная функция,
которая также является возрастающей. Применяя эту обратную функцию к
неравенству b( y (t , x0 , t0 ) ) < b(β) , получим неравенство y (t , x0 , t0 ) < β . Таким образом, показано, что решения системы (1) равномерно y -ограничены
с y0 -контролем. Теорема доказана.
Отметим, что если V (t , x) ∈ D(t , x) , то VF′+(t , x ) (t , x) совпадает с обычной
производной функции V (t , x) в силу систем (1).
Сформулируем и докажем теперь необходимый признак равномерной
y-ограниченности с y0 -контролем решений системы (1) в терминах производной Дини.
Теорема 3. Пусть для правой части F (t , x) системы (1) выполнено
условие F (t , x) ∈ D( x) и решения системы (1) равномерно y-ограничены с y0 контролем. Тогда в области t ≥ 0 , x = ( y, z ) ∈ R n , y ∈ R k , y ≥ R0 = β(0) , где
β(α) – функция из определения 2, имеется неотрицательная функция
V (t , x) ∈ L(t , x) , обладающая следующими свойствами:
1) b( y ) ≤ V (t , x) ≤ a ( y ) , где a(r ) > 0 и b(r ) ≥ 0 – непрерывные возрастающие функции и b(r ) → ∞ при r → ∞ ;
2) VF′+(t , x ) (t , x) ≤ 0 внутри области t ≥ 0 , x ∈ R n , y ≥ R0 .
Доказательство. Определим сначала функцию V (t , x) . Рассмотрим на
отрезке 0 ≤ τ ≤ t произвольное решение x = x(τ, x, t ) системы (1). Так как решение x = x(τ, x, t ) продолжимо на всю полуось τ ≥ 0 , то оно определяет
2
функцию y (τ, x, t ) , которая непрерывна при изменении τ от τ = t до τ = 0 .
Определим в области t ≥ 0 , x ∈ R n неотрицательную функцию V (t , x) ,
полагая
2
V (t , x) = min{ y (τ, x, t ) : 0 ≤ τ ≤ t} .
τ
Проверим, что функция V (t , x) обладает свойством 1. Из определения
2
функции V (t , x) видно, что V (t , x) ≤ y . Таким образом, если в качестве
функции a (r ) взять функцию a(r ) = r 2 , то получим V (t , x) ≤ a( y ) . По опреPhysics and mathematics sciences. Mathematics
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
делению равномерной y -ограниченности с y0 -контролем решений имеем
y (t , x0 , t0 ) < β(α) при y0 ≤ α . Без ограничения общности можно считать,
что β(α) является непрерывной возрастающей функцией от α . В самом деле,
если это не так, то функцию β(α) всегда можно заменить непрерывной возрастающей функцией γ (α) , для которой выполнено условие β(α) ≤ γ (α) .
Итак, будем считать, что функция β(α) является непрерывной возрастающей
функцией от α . Из неравенства y (t , x0 , t0 ) < β(α) при y0 ≤ α , где β(α) –
непрерывная возрастающая функция от α , получаем неравенство
y (t , x0 , t0 )
2
2
< ( β(α) ) . Очевидно, что ( β(α) )
2
– непрерывная возрастающая
2
функция от α . Обратная функция ξ(r ) ≥ 0 к функции ( β(α) ) определена на
2
r ≥ ( β(0) ) . При помощи функции
множестве
y (t , x0 , t0 )
2
< ( β(α) )
2
получаем для каждого
ξ( r )
ó
2
из неравенства
≥ ( β(0) )
2
неравенство
2
ξ( y ) ≤ V (t , x) . Если теперь в качестве b(r ) ≥ 0 взять функцию ξ(r 2 ) , которая определена при r ≥ R0 , где R0 = β(0) , то для каждого x ∈ R n , y ≥ R0 получим неравенство b( y ) ≤ V (t , x) . Ясно, что функция b( r ) является возрастающей и b(r ) → ∞ при r → ∞ . Также ясно, что полученное выше для любого x ∈ R n неравенство V (t , x) ≤ a( y ) является справедливым и для каждого
y ≥ R0 . Очевидно, что a(r ) = r 2 > 0 при r ≥ R0 . Таким образом, проверка
того, что неотрицательная функция V (t , x) , рассматриваемая в области t ≥ 0 ,
x ∈ R n , y ≥ R0 , обладает свойством 1, завершена.
Для доказательства справедливости условия V (t , x) ∈ L(t , x) заметим
сначала, что для произвольной точки (t , x) из области определения функции
V (t , x)
найдется такое
0 ≤ τ′ ≤ t , что имеет место равенство
2
V (t , x) = y (τ′, t , x) . Действительно, в силу компактности отрезка [0; t ] и не-
прерывности функции
y (τ′, t , x)
2
на этом отрезке, такое 0 ≤ τ ' ≤ t всегда
существует. Покажем теперь, что V (t , x) ∈ L(t , x) . Рассмотрим сначала раз2
ность V (t , x) − V (t , x′) . Пусть V (t , x′) = y (τ1 , x′, t ) . Тогда имеем
V (t , x) − V (t , x ') ≤ y (τ1 , x, t )
2
− y (τ1 , x′, t )
2
≤ A x − x′ .
Здесь A – некоторая константа в δ -окрестности U ( P, δ) точки
P = (t , x) , где (t , x′) ∈U ( P, δ) , определяемая условием существования непрерывных частных производных функции y (τ, x, t )
2
по переменным x1 ,, xn
2
в этой окрестности. Пусть теперь V (t , x) = y (τ2 , x, t ) . Тогда имеем
V (t , x) − V (t , x′) ≥ y ( τ2 , x, t )
126
2
− y (τ2 , x′, t )
2
≥ − A x − x′ .
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
Таким образом, в окрестности U ( P, δ) точки P = (t , x) справедливо
следующее неравенство:
V (t , x) − V (t , x′) ≤ A x − x′ .
Теперь
V (t , x) − V (t ′, x)
рассмотрим
(3)
t < t′ .
при
Пусть
2
V (t ′, x) = y (τ′, x, t ′) , где 0 ≤ τ′ ≤ t . Тогда имеем
2
2
V (t , x) − V (t ′, x) ≤ y (τ′, x, t ) − x( τ′, x, t ′) =
= y (τ′, x, t )
2
− y (τ′, X , t )
2
≤ A x − X ≤ C1 t − t ′ ,
где X = x(t , x, t ′) . Здесь C1 – некоторая константа в δ -окрестности U ( P, δ)
точки P = (t , x) , где (t ′, x) ∈U ( P, δ) , определяемая условием непрерывной
дифференцируемости функции y (τ, x, t )
2
по переменной t в этой окрестно-
сти. Аналогично получаем неравенство V (t , x) − V (t ′, x) ≥ −C1 t − t ′ . Пусть теперь V (t , x) = y (τ′′, x, t )
t < τ′ ≤ t ′ . Тогда имеем
и равенство V (t ′, x) = y (τ′, x, t ′)
V (t , x) − V (t ′, x) = y (τ′′, x, t )
+ y (t , x, t ′)
2
− y (τ′, x, t ′)
2
2
− y (τ′, x, t ′)
2
≤ y (t , x , t )
2
2
выполнено при
− y (t , x, t ′)
2
+
≤ A x − X + C2 t − τ′ ≤ C1 t − t ′ + C2 t − t ′ = C t − t ′ ,
где C = C1 + C2 ; C2 – некоторая константа, определяемая условием непрерывной дифференцируемости функции y (t , x, t ′) по переменной t .
Аналогично получаем, что V (t , x) − V (t ′, x) ≥ −C t − t ′ . Итак, в окрестности U ( P, δ) точки P = (t , x) справедливо следующее неравенство:
V (t , x) − V (t ′, x) ≤ C t − t ′ .
(4)
Из неравенств (3) и (4) в окрестности U ( P, δ) точки P = (t , x) получаем
V (t , x) − V (t ′, x′) = V (t , x) − V (t ′, x) + V (t ′, x) − V (t ′, x′) ≤
≤ C t − t ′ + A x − x′ ≤ L( t − t ′ + x − x′ ),
где L = max(C , A) .
Таким образом, доказано, что V (t , x) ∈ L(t , x) . Из этого, как было показано выше, следует, что для функции V (t , x) внутри области t ≥ 0 , x ∈ R n
существует производная Дини VF′+(t , x ) (t , x) в силу системы (1).
Докажем теперь, что VF′+(t , x ) (t , x) ≤ 0 внутри области t ≥ 0 , x ∈ R n . Для
этого заметим сначала, что для любого решения x = x(t ) системы (1), проходящего через точку (t0 , x0 ) , функция V (t , x(t )) является невозрастающей.
В самом деле, пусть заданы произвольные 0 ≤ t1 < t2 . Тогда имеем
Physics and mathematics sciences. Mathematics
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
V (t , x(t1 )) = min y (τ, x(t1 ), t1 ) ≥ min y (τ, x(t2 ), t2 ) = V (t2 , x(t2 )) .
0≤τ≤t1
0≤τ≤t2
Применяя теперь к функции V (t , x)
теорему 1, получаем, что
VF′+(t , x ) (t , x) ≤ 0 внутри области t ≥ 0 , x ∈ R n . Таким образом, проверка того,
что неотрицательная функция V (t , x) , рассматриваемая в данной области, обладает свойством 2, завершена.
Объединяя теперь утверждения теорем 2 и 3, получаем следующий
критерий равномерной y-ограниченности с y0 -контролем решений системы
(1) в терминах производной Дини.
Теорема 4 (Критерий равномерной y-ограниченности с y0 -контролем
решений систем дифференциальных уравнений). Для того чтобы решения системы (1), где F (t , x) ∈ D ( x) , были равномерно y-ограничены с y0 -контролем, необходимо и достаточно существование неотрицательной функции
V (t , x) ∈ L(t , x) , определенной в области t ≥ 0 , x = ( y, z ) ∈ R n , y ∈ R k ,
y ≥ R0 , где R0 > 0 – некоторое фиксированное число, которая обладает следующими свойствами:
1) b( y ) ≤ V (t , x) ≤ a ( y ) , где a(r ) > 0 и b(r ) ≥ 0 – непрерывные возрастающие функции и b(r ) → ∞ при r → ∞ ;
2) VF′+(t , x ) (t , x) ≤ 0 внутри области t ≥ 0 , x ∈ R n , y ≥ R0 .
Проведем теперь сравнение полученного выше критерия со следующим
критерием равномерной y-ограниченности из работы [2].
Теорема 5 (Критерий равномерной y-ограниченности решений систем
дифференциальных уравнений). Для того чтобы решения системы (1) были
равномерно y-ограничены, необходимо и достаточно существование неотрицательной функции V (t , x) , определенной в области t ≥ 0 , x ∈ R n , y ≥ R0 ,
где R0 > 0 – некоторое фиксированное число, которая обладает следующими
свойствами:
1) b( y ) ≤ V (t , x) ≤ a ( x ) , где x = ( y, z ) ∈ R k × R n− k , a(r ) > 0 и b(r ) ≥ 0 –
непрерывные возрастающие функции и b(r ) → ∞ при r → ∞ ;
2) для любого решения x = x(t ) системы (1), удовлетворяющего условию y (t ) ≥ R0 , функция V (t , x(t )) является невозрастающей.
Представляется важным указать на то, что в работе [2] не рассматривался вопрос о том, можно ли выбрать функцию V (t , x) в теореме 5 так, чтобы она удовлетворяла условию Липшица V (t , x) ∈ L(t , x) . Если рассмотреть
этот вопрос, то можно показать, что при выполнении условия F (t , x) ∈ D ( x)
ответ на него положительный. Действительно, аналогично тому, как это сделано в доказательстве теоремы 3, доказывается, что функцию V (t , x) в теореме 5 можно выбрать так, чтобы она удовлетворяла условию V (t , x) ∈ L(t , x) ,
из которого вытекает существование VF′ (t , x ) (t , x) . Как следствие получаем
утверждение, которое уточняет теорему 5.
128
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
Теорема 6. Для того чтобы решения системы (1), где F (t , x) ∈ D( x) ,
были равномерно y-ограничены, необходимо и достаточно существование
неотрицательной функции V (t , x) , определенной в области t ≥ 0 , x ∈ R n ,
y ≥ R0 , где R0 > 0 – некоторое фиксированное число, которая обладает следующими свойствами:
1) b( y ) ≤ V (t , x) ≤ a ( x ) , где x = ( y, z ) ∈ R k × R n− k , a(r ) > 0 и b(r ) ≥ 0 –
непрерывные возрастающие функции и b(r ) → ∞ при r → ∞ ;
2) VF′ (t , x ) (t , x) ≤ 0 внутри области t ≥ 0 , x ∈ R n , y ≥ R0 .
Сравнивая теперь теоремы 4 и 6, а также пользуясь очевидным неравенством y ≤ x , получаем следующее утверждение, которое устанавливает
связь между равномерной y-ограниченностью решений системы (1) и равномерной y-ограниченностью с y0 -контролем решений этой системы.
Следствие 1. Пусть решения системы (1), где F (t , x) ∈ D( x) , равномерно y-ограничены. Решения этой системы будут равномерно y-ограничены
с y0 -контролем тогда и только тогда, когда функцию V (t , x) из теоремы 6
можно выбрать так, чтобы она удовлетворяла условию V (t , x) ≤ a( y ) , где
a(r ) > 0 – некоторая непрерывная возрастающая функция.
2. Достаточное условие тотальной y-ограниченности
решений систем дифференциальных уравнений с y0-контролем
Введем теперь понятие тотальной ограниченности (или, по-другому,
ограниченности при постоянно действующих возмущениях) решений системы (1) по части переменных с контролируемой частью начальных условий.
Пусть вместе с системой (1) задана еще одна система дифференциальных
уравнений
dx
= F (t , x) + H (t , x), H (t , x) = ( H1 (t , x),, H n (t , x)) ,
dt
(5)
где F (t , x) – правая часть системы (1) и H (t , x) – переменное векторное поле
в R n , называемое возмущением системы (1), которое является определенным
и непрерывным в области Ω = {(t , x) ∈ R + × R n } . Далее везде будет предполагаться, что все решения системы (5), проходящие через произвольную точку
(t0 , x0 ) , продолжимы на всю полуось t ≥ t0 .
Систему (5) удобно для последующих рассмотрений записать в следующем виде:
 dy
 dt = Y (t , y, z ) + M (t , y, z ),

 dz = Z (t , y , z ) + N (t , y , z ),
 dt
где x = ( y, z ) ∈ R n = R k × R n −k , 1 ≤ k ≤ n , и
Physics and mathematics sciences. Mathematics
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Y (t , y, z ) = ( F1 (t , x),, Fk (t , x)) ,
Z (t , y, z ) = ( Fk +1 (t , x),, Fn (t , x)) ,
M (t , y, z ) = ( H1 (t , x),, H k (t , x)) ,
N (t , y , z ) = ( H k +1 (t , x),, H n (t , x)) .
Определение 3. Будем говорить, что решения системы (1) тотально
ограничены по части переменных y = ( x1 ,..., xk ) c контролируемой частью
начальных условий y0 = (( x0 )1 ,...,( x0 )k ) , или, более кратко, тотально y -ограничены с y0 -контролем, если для каждого неотрицательного числа α ∈ R
существуют такие положительные числа β(α), γ (α) ∈ R , что для любой точки
(t0 , x0 ) ∈ Ω ,
y0 ≤ α выполнено условие
y (t , x0 , t0 ) < β при t ≥ t0 , где
x = x(t , x0 , t0 ) – произвольное решение системы (5), удовлетворяющей при
α ≤ y ≤ β неравенству M (t , x) ≤ γ .
Для функции G (t , y ) , t ≥ 0 , y ∈ E , где E – некоторая область в R k , далее будем употреблять запись G (t , y ) ∈ Lt ( y ) , если для любого ограниченного
подмножества B ⊂ E , замыкание которого принадлежит E, существует такая
постоянная Липшица L, зависящая от B, что для каждого t ≥ 0 и любых
y , y ′ ∈ B справедливо следующее неравенство:
G (t , y ) − G (t , y ′) ≤ L y − y ′ .
Отметим, что из справедливости условия G (t , y ) ∈ L(t , y ) , вообще говоря, не следует справедливость условия G (t , y ) ∈ Lt ( y ) .
Сформулируем и докажем теперь достаточный признак тотальной
y-ограниченности с y0 -контролем решений системы (1) в терминах производной Дини.
Теорема 7. Пусть для системы (1) существует такая непрерывная и неотрицательная функция V (t , y ) , определенная в области t ≥ 0 , y ∈ R k ,
y ≥ R0 , где R0 > 0 – некоторое фиксированное число, что V (t , y ) ∈ L(t , y ) и
V (t , y ) ∈ Lt ( y ) . Кроме того, пусть для указанной выше функции V (t , y ) выполнены следующие условия:
1) b( y ) ≤ V (t , y ) ≤ a( y ) , где a(r ) > 0 и b(r ) ≥ 0 – непрерывные возрастающие функции и b(r ) → ∞ при r → ∞ ;
2) VF′+(t , x ) (t , x) ≤ −c( y ) внутри области t ≥ 0 , x ∈ R n , y ≥ R0 , где
c(r ) – некоторая непрерывная функция, положительная при r > 0 .
Тогда решения системы (1) тотально y -ограничены с y0 -контролем.
Доказательство. При помощи условия 1 точно так же, как это было
сделано в доказательстве теоремы 2, выберем для произвольного α > 0 такое
число β > α , что b(β) > a(α) . Теперь требуется показать существование тако-
130
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
го γ , что решения системы (5), правая часть которой в области α ≤ y ≤ β
удовлетворяет условию
M (t , x) ≤ γ , являются равномерно y -ограничены
с y0 -контролем. Из теоремы 2 следует, что указанное выше число γ можно
найти из требования справедливости условия VF′+(t , x )+ H (t , x) (t , x) ≤ 0 . Действительно, при α ≤ y ≤ β имеем
VF′+(t , x )+ H (t , x ) (t , x) = VY′+(t , x )+ M (t , x ) (t , x) =

V (t + h, y + (Y (t , x) + M (t , x))h) − V (t , y ) 
= lim  sup
=

h
α→+0  h∈(0;α ]

1
(V (t + h, y + Y (t , x)h + M (t , x)h) −
α→+0 h∈(0;α ] h
= lim
sup
−V (t + h, y + Y (t , x) h) + V (t + h, y + Y (t , x)h) − V (t , y ) ) .
Так как V (t , y ) ∈ Lt ( y ) , то получаем
V (t + h, y + Y (t , x)h + M (t , x)h) − V (t + h, y + Y (t , x)h)
≤ L M (t , x) ,
h
где константа Липшица L выбрана для множества B = { y ∈ R k α ≤ y ≤ β} . Из
этого, учитывая неравенство VY′+(t , x ) (t , x) ≤ −c( y ) , имеем

V (t + h, y + Y (t , x)h) − V (t , y ) 
VY′+(t , x )+ M (t , x ) (t , x) ≤ lim  sup
 + L M (t , x) =

h
α→+0  h∈(0;α ]

= VY′+(t , x ) (t , x) + L M (t , x) ≤ −c( y ) + L M (t , x) .
Ясно, что если −c( y ) + L M (t , x) ≤ 0 , то VY′+(t , x )+ M (t , x ) (t , x) ≤ 0 .
Определим число γ , полагая γ = min
α≤ y ≤β
c( y )
L
.
Легко видеть, что если M (t , x) ≤ γ , то справедливо неравенство
VF′+(t , x )+ H (t , x ) (t , x) ≤ VY′+(t , x )+ M (t , x ) (t , x) ≤ 0
и, следовательно, решения системы (5) являются равномерно y-ограниченными с y0 -контролем. Для завершения доказательства осталось только заметить, что число γ зависит от α , но не зависит от t0 , поскольку числа L и
min c( y ) , где α ≤ y ≤ β , зависят от α , но не зависят от t0 . Таким образом,
показано, что при выполнении условий 1 и 2 решения системы (1) тотально
y-ограничены с y0 -контролем. Теорема доказана.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Список литературы
1. Y o s h iza wa , T. Liapunovs function and boundedness of solutions / T. Yoshizawa //
Funkcialaj Ekvacioj. – 1959. – Vol. 2. – P. 95–142 (Русский перевод: Математика :
сборник переводов. – 1965. – № 5. – С. 95–127).
2. Р у м я н ц е в , В. В. Устойчивость и стабилизация движения относительно части
переменных / В. В. Румянцев, А. С. Озиранер. – М. : Наука, 1987. – 255 с.
3. В о р о т н и к о в , В. И . К теории частичной устойчивости нелинейных динамических систем / В. И. Воротников, Ю. Г. Мартышенко // Известия РАН. Теория и
системы управления. – 2010. – № 5. – С. 23–31.
References
1. Yoshizawa T. Funkcialaj Ekvacioj [Collection of translations “Mathematics”]. 1959,
vol. 2, pp. 95–142.
2. Rumyantsev V. V., Oziraner A. S. Ustoychivost' i stabilizatsiya dvizheniya otnositel'no
chasti peremennykh [Stability and stabilization of motion relative to variables]. Moscow: Nauka, 1987, 255 p.
3. Vorotnikov V. I., Martyshenko Yu. G. Izvestiya RAN. Teoriya i sistemy upravleniya
[Bulletin of the Russian Academy of sciences. Control theory and systems]. 2010, no. 5,
pp. 23–31.
Лапин Кирилл Сергеевич
аспирант, Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева
(г. Саранск, ул. Большевистская, 68)
Lapin Kirill Sergeevich
Postgraduate student, Mordovia State
University named after N. P. Ogaryov
(Saransk, 68 Bolshevistskaya str.)
E-mail: klapin@mail.ru
УДК 517.925.51
Лапин, К. С.
Равномерная ограниченность решений систем дифференциальных
уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями / К. С. Лапин // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 2 (26). –
С. 120–132.
132
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
ФИЗИКА
УДК 530.12:531.51; 524.834
В. К. Щиголев
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ТЕОРИИ
ДРОБНОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЕЙСТВИЯ
Аннотация. Рассмотрено получение и исследование динамических уравнений
для космологических моделей, основанных на эффективных действиях дробного порядка. Для вывода модифицированных уравнений Фридмана однородных и изотропных космологических моделей из феноменологически построенного дробного действия применяются обобщения уравнений ЭйлераПуассона, полученные ранее в теории дробного функционала. Для получения
точных решений применяются математические анзацы и феноменологические
законы эволюции космологического члена. Получены динамические уравнения
и их точные решения в космологической теории дробного функционала действия. Рассмотрены космологические модели двух типов: модель дробного полного действия и модель дробного действия Эйнштейна – Гильберта. Исследованы случаи различных уравнений состояния вещества, заполняющего Вселенную.
На основе предложенного анзаца для космологического члена получены точные
решения уравнений динамики моделей. Приведены примеры законов эволюции
космологического члена, широко обсуждаемых в литературе и имеющих
наблюдательную основу. Установлена возможность ускоренного расширения
Вселенной в наших моделях. Полученные результаты демонстрируют новые
свойства космологических моделей, полученных из дробного действия, по
сравнению со стандартными моделями, и открывают новые возможности в исследовании феномена Темной энергии. Предполагаемыми областями применения полученных результатов являются теоретическая космология и астрофизика.
Ключевые слова: космологические модели, дробный функционал действия,
точные решения, ускоренное расширение.
V. K. Shchigolev
COSMOLOGICAL MODELS IN THE THEORY
OF FRACTIONAL ACTION FUNCTIONAL
Abstract. The objective of the work is to obtain and study the dynamical equations
for cosmological models based on the effective action of fractional order. In order to
derive the modified Friedmann equations of the homogeneous and isotropic cosmological models phenomenologically constructed on the basis of fractional action, the
author applies generalization of the Euler-Poisson equation obtained previously in
the theory of fractional functional. To obtain exact solutions the researchers uses
mathematical ansätzs and phenomenological laws of the cosmological term evolution. The dynamical equations and their exact solutions in the cosmological theory
of the fractional action are obtained. The article considers two types of cosmological
models: the model of fractional total action functional and the fractional model of
the Einstein – Hilbert action. The study investigates the cases of various equations
Physics and mathematics sciences. Physics
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
of state of the matter that fills the universe. On the basis of some ansatzs for the
cosmological term proposed in this paper, exact solutions to the dynamical equations of the models are obtained. Some examples of the laws of evolution of the
cosmological term, widely discussed in the literature, are provided. The author also
establishes the possibility of accelerated expansion of the universe in his models.
The results demonstrate the new features of cosmological models derived from the
fractional action compared to the standard models and open up new possibilities in
the study of the dark energy phenomenon. The expected fields of application of the
obtained results are the theoretical cosmology and astrophysics.
Key words: cosmological models, fractional action functional, exact solutions, accelerated expansion.
Введение
В настоящей работе представлены результаты исследования космологических моделей, построенных автором из функционала действия дробной
кратности [1, 2], и их модификаций на основе сформулированного в [3] дробного вариационного принципа для динамических полевых теорий вообще и
в теории гравитации в частности. В этом подходе интеграл действия S L [q]
для лагранжиана L(τ, q(τ), q (τ)) записывается как дробный интеграл [4]:
t
1
S L [ qi ] =
L(τ, qi (τ), qi (τ))(t − τ)α−1 d τ,
Γ (α )

(1)
t0
по существу являющийся при фиксированном t интегралом Римана – Стилтьеса от L с интегрирующей функцией gt (τ) = [t α − (t − τ)α ] / Γ(1 + α) , обладающей следующим масштабным свойством: gμt (μτ) = μα gt (τ), μ > 0 (см.
также [5, 6]).
Целью настоящей работы является построение моделей двух типов на
основе дробного интеграла действия, записанного для всей системы или
только для его гравитационной компоненты, и исследование их эволюционных уравнений. Решение модифицированных уравнений в моделях дробного
действия представляется важным для анализа поведения моделей в аспекте
исследования ускоренного космологического расширения. К сожалению, до
сих пор известно малое число таких решений. Более того, эти решения находят исходя из заданных режимов эволюции масштабного фактора [7, 8], хотя
логичнее исходить из некоторых физически или математически обоснованных предпосылок и уже после этого анализировать характер поведения масштабного фактора. В настоящей работе решения для космологических моделей дробного функционала действия получены как из предположения о вакуум-подобном состоянии материи, так и из определенной зависимости между
космологическим членом и параметром Хаббла достаточно общего характера,
частные случаи которой ранее использовались в литературе многими авторами. Также нами исследована возможность ускоренного расширения Вселенной в исследуемых моделях.
1. Уравнения модели дробного полного интеграла действия
Следуя определению (1), модифицированное действие в пространственно-плоской метрике Фридмана – Робертсона – Уокера,
134
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
ds 2 = N (t ) 2 dt 2 − a 2 (t )δik dxi dx k ,
где N – функция шага, представляется в виде следующего дробного интеграла для гравитационного поля и материи, заполняющей Вселенную [1, 2]:
α
Seff
=
t 
  Λa 3  3 
1
3  a 2 a aa 2 a 2 aN
N
−
 2 + 2 −
 + a Lm  (t − τ)α−1 d τ , (2)
3

3 
Γ (α )
N
N
 8πG  N

0 

где α ∈ (0,1) , точка над функцией означает производную по времени t , а
Lm – плотность лагранжиана для материи, характеризуемой плотностью
энергии ρ и давлением p . Вариация действия (2) с последующим выбором
калибровки N = 1 позволяет получить модифицированное уравнение неразрывности,
1− α 

ρ + 3  H +
 (ρ + p) = 0,
3t 

(3)
и систему уравнений Эйлера – Пуассона, которой можно придать следующий
вид модифицированных уравнений Фридмана [2]:
ρ = 3H 2 + 3
(1 − α)
H −Λ,
t
(1 − α)
(1 − α)(2 − α)
p = −2 H − 3H 2 − 2
H−
+Λ,
t
t2
(4)
(5)
где гравитационная постоянная 8πG = 1 , а H (t ) = a / a суть параметр Хаббла.
Известно, что в стандартной космологии уравнение неразрывности для
идеальной жидкости, т.е. закон сохранения энергии материи как источника
гравитации, следует из тождества Бианки для тензора кривизны Римана. Иначе говоря, в стандартной космологии, когда α = 1 , уравнение неразрывности
(3) является дифференциальным следствием уравнений (4), (5). Легко убедиться, что из этих уравнений в случае α ≠ 1 также следует модифицированное уравнение неразрывности (3), но только если выполняется равенство [1, 2]:

2(4 − α)
(1 − α )(2 − α)
tΛ
H + 3H 2 −
H−
.
=
t
1− α
t2
(6)
Заметим, что уравнение (6) записано после деления на ненулевой множитель (1 − α) , первоначально возникающий в левой части этого уравнения.
Поэтому при переходе к стандартной космологии ОТО, т.е. для α = 1 , исходное уравнение (6) однозначно приводит к постоянному космологическому
члену Λ , а уравнения (4), (5) приобретают свою обычную форму уравнений
Фридмана.
Уравнение неразрывности (6) точно интегрируется для идеальной жидкости с уравнением состояния p = wρ , что дает
ρ=
ρ0
.
a3(1 + w)t (1 + w)(1 − α)
Physics and mathematics sciences. Physics
(7)
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Если требование постоянства баротропного индекса w в уравнении состояния отсутствует, к чему все более вынуждают современные наблюдательные данные и исследования в области теоретической космологии, то
в качестве определяющей системы динамических уравнений модели удобнее
взять систему (4)–(6). При этом эффективное уравнение состояния
weff = peff / ρeff , где peff = p − Λ и ρeff = ρ + Λ , согласно выражениям (4) и
(5) может быть приведено к виду
H − 1 − α + (1 − α)(2 − α)
2 H 2 2(tH )
2(tH )2
weff = −1 −
.
3
1+ 1− α
(tH )
(8)
Отметим, что weff совпадает с известным стандартным выражением
weff = −1 − 23 ( H / H 2 ) в предельном переходе α → 1 , но может существенно
отличаться от него в случае дробной кратности эффективного функционала
действия (2). Более того, из возможности равенства нулю числителя дроби
в выражении (8) в некоторый момент времени следует, что модель допускает
пересечение так называемой фантомной границы weff = −1 . Разумеется, последнее не означает, что в момент пересечения фантомной границы уравнение состояния материи также w = −1 . Следует заметить, что эффективное
уравнение состояния является динамической характеристикой модели и получило новое определение в виде формулы (8), а параметр замедления
q=−
a 2 a
2
a
= −1 −
H
H2
(9)
определяется так же, как и в стандартной космологии, являясь кинематической характеристикой модели [9].
2. Модель с квази-вакуумным состоянием материи: w = −1
Приведем пример точного решения для модели в этом случае. Из соотношения (7) следует, что ρ(t ) = ρ0 = const и p = −ρ = −ρ0 , как и в стандартной
космологии. Тогда оставшиеся независимыми уравнения из системы (4)–(6)
для параметра Хаббла H (t ) и космологического члена Λ(t ) можно переписать в следующем виде:
1− α
(1 − α)(2 − α)
H −
H+
=0,
2t
2t 2
H2 +
1− α
1
Λ
H = ρ0 + .
t
3
3
(10)
(11)
Из уравнения (10) легко найти, что параметр Хаббла меняется со временем по закону
1−α
C
H = α + H 0t 2 ,
t
136
(12)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
(1 − α)(2 − α)
; H 0 – положительная константа интегрирования, из ко(3 − α)
торого следует следующая зависимость масштабного фактора от времени t :
где Cα =
3−α 
 3−α
a = a0t Cα exp 
H 0t 2  .
 2



(13)
В качестве иллюстрации на рис. 1 приведены графики функций H (t ) и
a(t ) для α = 0,8 . Эффективный космологический член Λ eff = Λ + ρ0 как
функцию времени можно найти из уравнения (11) в виде
Λ eff = 3H 02t1−α
1+α
(1 − α)(7 − 3α) − 2
3(1 − α) 2 (2 − α)(5 − 2α) 1
t
+ 3H 0
+
⋅ . (14)
(3 − α)
(3 − α)
t2
Рис. 1. Эволюция уравнения состояния weff , параметра замедления q ,
масштабного фактора a и параметра Хаббла H в модели w = −1 .
Здесь α = 0,8 , t0 = 0, 25 и H 0 = 0,15
Видно, что при переходе к стандартной модели в пределе α → 1 полученное решение (12)–(14) приводит к известному экспоненциальному закону
расширения Вселенной: a = a0 e H 0t , H = H 0 , Λ eff = 3H 02 .
Интересной особенностью полученного решения является то, что согласно формуле (8) и уравнению (10) эффективное уравнение состояния совпадает с уравнением состояния материи, т.е. равно weff = −1 , но космологический член эволюционирует согласно формуле (14). Еще более значительное
отличие исследуемой модели от стандартной Λ CDM-модели заключается
в поведении параметра замедления. Из уравнений (9) и (10) следует, что
Physics and mathematics sciences. Physics
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
q(t ) = −1 −
1 − α (1 − α)(2 − α)
+
.
2(tH )
2(tH )2
Воспользовавшись явным видом выражения tH = Cα + H 0 t (3−α )/2 из
решения (12), легко показать, что параметр замедления начинает уменьшаться от значения q0 = q (t = 0) = −1 + Cα−1 > 0 до нуля в некоторый момент ti , который просто найти из равенства q(ti ) = 0 как
2
− 2 
(1
)(11
5
)
−
α
−
α

3
−
α.
ti = (4 H 0 ) 3 − α  (1 − α)(17 − 9α) −

3−α


После этого первоначально замедленное расширение сменяется уско2/(3−α )
ренным для всех t > ti . В момент времени tdS = [ 2(2 − α) / H 0 (3 − α)]
параметр замедления пересекает де Ситтеровский режим q = −1 и далее достигает своего минимума qmin = −1 − [(1 − α) / 8(2 − α)] в момент времени
больший tdS , а именно tmin = [(2 − α)(5 − α) / H 0 (3 − α)]2/(3−α ) . Начиная
с этого момента параметр замедления асимптотически стремится к q ∞ = −1
из области q < −1 . На рис. 1 представлены зависимости q и weff от времени.
Для стандартной Λ CDM-модели, т.е. при α = 1 , находим ti = 0 , что соответствует ускоренному расширению для всех моментов времени t ≥ 0 с параметром замедления q = −1 .
3. Модель с уравнением состоянием материи w ≠ −1
Получим класс точных решений уравнения (3), предполагая известным
закон эволюции космологического члена Λ(t ) . Для этой цели выполним следующие подстановки в уравнение (3):
x = ln(t / t0 ) ⇔ t = t0 exp( x);
Y (t ) = t H (t ),
(15)
где t0 > 0 - некоторая константа, в результате чего оно перепишется в виде
Y ′( x) − (9 − 2α)Y ( x) + 3Y 2 ( x) − (1 − α)(2 − α) =
t02 2 x
e Λ′( x),
1− α
(16)
где штрих означает производную по переменной x . Из вида этого уравнения
можно предположить, что существует класс решений исследуемой модели,
для которого космологический член удовлетворяет следующему уравнению:
Λ′( x) =
1 − α −2 x 
e
k1Y ′( x) + k2Y ( x) + k3Y 2 ( x) + k4  ,
2


t0
(17)
где ki – произвольные константы.
Действительно, подстановка (17) в уравнение (16) приводит его к виду
138
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
AY ′( x) − BY ( x) + CY 2 ( x) = D,
(18)
где коэффициенты равны:
A = 1 − k1 , B = 9 − 2α + k2 , C = 3 − k3 , D = (1 − α)(2 − α) + k4 .
(19)
Поэтому все модели, в которых космологический член представляется
через анзац (17), имеют однотипные решения и эволюционируют подобным
образом. Общее решение уравнения (18) можно записать как
Y ( x) =

 B 2 + 4CD
1 
B + B 2 + 4CD tanh 

2C 
2A



x  ,


(20)
где B 2 + 4CD > 0 и C ≠ 0 , а постоянная интегрирования включена в произвольную константу t0 , что всегда можно сделать в силу определения (15).
Отметим еще одну особенность рассматриваемой модели, связанную
с особым типом симметрии уравнения (18). Легко убедиться, что функция
X ( x) = 1 / Y ( x) удовлетворяет уравнению того же типа, что и уравнение (18)
с заменой в нем коэффициентов (19) согласно A → A , B → − B , C ↔ D при
условии C , D ≠ 0 , т.е. уравнению вида AX ′( x) + BX ( x) + DX 2 ( x) = C . Поэтому решение для X ( x) = Y −1 ( x) можно представить в следующем виде:
X ( x) =

 B 2 + 4CD

1 
− B + B 2 + 4CD tanh 
( x + x0 )   ,


2D 
2A



(21)
где константа x0 определяется из соотношения
2
tanh B + 4CD x0 =
2A
B 2 + 4CD .
B
После этого можно убедиться, что эффективное уравнение состояния
(8) может быть просто выражено через найденную функцию X ( x) из (21)
в следующем виде:
1 2 X ′ + (3 − α) X − (1 − α)(2 − α) X 2
weff ( x) = −1 +
.
3
1 + (1 − α) X
(22)
Возвращаясь к исходным переменным согласно (15), решение (20) для
параметра Хаббла может быть представлено как
H (t ) =
1
( B + 2n A tanh[n ln(t / t0 )]) , n =
2Ct
B 2 + 4CD
,
2A
(23)
откуда следует выражение для масштабного фактора вида
a(t ) = a0 t B /2C ( cosh [ n ln(t / t0 ) ])
Physics and mathematics sciences. Physics
A/ C
,
(24)
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где a0 – постоянная интегрирования, n ∈ R . На рис. 2 графически проиллюстрированы зависимости H (t ) и a(t ) , представленные соответственно формулами (23) и (24). Графики эволюции эффективного уравнения состояния
weff (t ) для полученного решения приведены на рис. 3. Можно отметить, что
при определенных значениях коэффициентов уравнения (18), т.е. констант α
и ki в формулах (19), возможно позднее ускоренное космологическое расширение и неоднократное пересечение фантомной границы weff = −1 . Именно
такое поведение Вселенной предполагается по современным астрофизическим наблюдениям [10, 11].
Рис. 2. Эволюция параметра Хаббла (23) и масштабного фактора (24)
при различных значениях B и n (здесь A = 1 , C = 3 и a0 = 2 )
Эволюция модели качественно меняется при B 2 + 4CD < 0 , что допустимо в силу произвольности констант ki в определениях (19). Обозначая
в этом случае чисто мнимый коэффициент n = in0 , где n0 = | 4CD + B 2 | ∈R ,
мы можем записать для масштабного фактора выражение, аналогичное (24),
но с заменой cosh [ n ln(t / t0 )] → cos [ n ln(t / t0 ) ] . Последнее означает, что эволюция масштабного фактора приобретает свойство цикличности по логарифмической временной переменной x = ln(t / t0 ) . Отметим, что эволюция масштабного фактора циклического характера обсуждалась в литературе ранее
в различных контекстах.
Наконец, приведем примеры реализации полученных решений с некоторыми феноменологическими зависимостями Λ(t ) , имеющими наблюдательное обоснование и широко обсуждаемыми в литературе (см., например,
140
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
[12, 13]). Для этого перепишем анзац (17) с помощью определений (15) через
исходные переменные в виде
2
 

 = (1 − α)  k H + (k + k ) H + k H + k4  .
Λ
1
1
2 2
3
t
t
t 3 
 t
(25)
Рис. 3. Эффективное уравнение состояния weff для случая (a)
на рис. 2 как функция времени при различных значениях α
Рассмотрим следующие случаи:
1. Пусть ki = 0 , где i = 1, ..., 4 . Тогда из (25) следует, что Λ = const .
В соответствии с определениями (19) и (23) находим
A1 = 1, B1 = 9 − 2α, C1 = 3, n1 =
1
(9 − 4α )2 + 24.
2
2. Пусть теперь k1 = k2 = k3 = 0 и k4 = −2β / (1 − α) , где β – произвольная положительная константа. Интегрируя (25), получаем Λ(t ) = β / t 2 , где
постоянная интегрирования положена равной нулю, а из (19) и (23) находим
следующие значения коэффициентов:
A2 = 1, B2 = 9 − 2α, C2 = 3, n2 =
1
1− α − β
(9 − 4α) 2 + 24
.
2
1− α
3. Наконец, пусть k1 = β / (1 − β), k2 = −2k1 , k3 = k4 = 0 . Из уравнения
(25) находим, что Λ(t ) = (β / t ) H (t ) , а значения постоянных коэффициентов из
(19) и (23) даются следующими выражениями:
Physics and mathematics sciences. Physics
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
A3 =
n3 =
1− α − β
2β
, B3 = 9 − 2α −
, C3 = 3,
1− α
1− α
1
2(1 − α − β)
[(1 − α)(9 − 4α) − 2β]2 + 8(1 − α) [3(1 − α) − αβ].
Интересно отметить, что параметр n2 может принимать мнимые значения при значениях константы связи β > (1 − α)[(9 − 4α)2 + 24] / 24 , что соответствует случаю циклической эволюции модели, упомянутой выше.
4. Модель дробного интеграла действия Эйнштейна – Гильберта
В этом разделе мы представим второй тип космологических моделей,
получаемых из вариационного принципа для дробного интеграла действия.
Эти модели основаны на различии в весовых функциях для интегралов действия гравитации и материи. Пусть полное действие системы имеет вид
α
α
Stot
= S EH
+ Sm , где эффективное действие для материи записывается
в обычном виде: Sm = Lm Na3d t , а интеграл действия Эйнштейна – Гильберта имеет то же дробное выражение, что и гравитационная часть интеграла (2):
α
S EH
t
 a 2 a aa 2 a 2 aN
  Λa 3 
1
3
=
N
+
−
−
 (t − τ)α−1 d τ .
2
2
3

3 
Γ(α) 8πG  N
N
N
0

(26)
Из вариационного принципа, примененного к Stot с учетом (26), следуют следующие основные динамические уравнения:
t1−α ρ = 3H 2 + 3
t1−α p = −2 H − 3H 2 − 2
(1 − α )
H −Λ;
t
(27)
(1 − α)
(1 − α)(2 − α)
H−
+Λ,
t
t2
(28)
где мы положили для простоты 8πGΓ(α) = 1 .
Замечательной особенностью модели является то, что уравнение неразрывности записывается в обычном виде
ρ + 3H (ρ + p) = 0,
(29)
выражая собой стандартный закон сохранения энергии для идеальной жидкости такой же, как и в космологии общей теории относительности.
Можно показать, что из уравнений (27) и (28) в случае α ≠ 1 следует
уравнение неразрывности (29), если только выполняется равенство
(2 − α)
t 2−α d α−1
H − 2
H=
t Λ ,
3(1 − α) dt
t
(
)
(30)
записанное после деления на ненулевой множитель (1 − α) .
142
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Можно заметить, что в пределе α = 1 из уравнения (30) вновь следует
постоянство космологического члена: Λ = const . Используя уравнения (27) и
(28), можно найти уравнение состояния материи в следующем виде:
H − 1 − α + (1 − α)(2 − α)
2 H 2 2(tH )
p
2(tH )2
.
wm = = −1 −
3
ρ
1+ 1− α − Λ
(tH ) 3H 2
(31)
Легко найти, что для квазивакуумного состояния материи при wm = −1
из (31) следует уравнение, совпадающее с уравнением (10) в модели первого
типа. Поэтому решения для H (t ) и a(t ) в этом случае совпадают с решениями (12), (13) для соответствующей модели первого типа. Отличие состоит
только в том, что космологический член согласно (28) представляется правой
частью уравнения (14) за вычетом слагаемого t1−α ρ0 , медленно возрастающего со временем при α , близких к 1. Интересно, что при условии ρ0 = 3H 02
космологический член содержит только убывающие со временем члены, что
согласуется с результатами наблюдений.
Рассмотрим далее случай wm ≠ −1 . Воспользовавшись определениями
(15), можно переписать уравнение (30) в виде
Y ′ − (5 − 2α)Y =
′
t02
e(3 − α) x e −(1 − α) x Λ ,
3(1 − α)
(
)
(32)
где штрих означает производную по переменной x .
Очевидно, что существует класс решений исследуемой модели, для которого космологический член удовлетворяет следующему уравнению:
′
(e−(1 − α) xΛ( x)) = 3(1t− α) e(α − 3) x ( c Y ′( x) + c Y ( x) + c ) ,
2
0
1
2
3
(33)
где ci – произвольные константы. Подстановка (33) в уравнение (32) приводит последнее к виду
KY ′( x) − LY ( x) = M ,
(34)
K = 1 − c1 , L = 5 − 2α + c2 , M = c3 .
(35)
где коэффициенты равны:
Не представляет труда найти общее решение уравнения (34):
Y ( x) = − M + const ⋅ exp L x , что позволяет записать для параметра Хаббла
L
K
выражение
( )
1 H L
M
H (t ) = ⋅  0 ⋅ t L / K −  ,
t  K
L
(36)
где введена новая константа интегрирования H 0 .
Physics and mathematics sciences. Physics
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Отсюда следует закон эволюции масштабного фактора вида
{
}
a(t ) = a0t − M / L exp H 0t L / K .
(37)
В качестве примеров рассмотрим три случая значений констант ci
в формуле (33), предварительно записав ее в исходных переменных согласно
(15):
(
)
d α −1
Λ (t ) = 3(1 − α)t α − 4  c1t 2 H (t ) + (c1 + c2 )tH (t ) + c3  .
t


dt
(38)
1. Пусть все ci = 0 . Из уравнения (38) следует Λ = Λ 0 t1 − α , где Λ 0 > 0
суть постоянная интегрирования. Согласно формулам (35) имеем для коэффициентов в решении (36) и (37): K = 1, L = 5 − 2α, M = 0 .
2. Пусть c1 = c2 = 0 и c3 = −β(3 − α) / 3(1 − α) < 0 , где β > 0 суть постоянный параметр. Интегрируя уравнение (38) и полагая постоянную интегрирования равной нулю, имеем известное выражение для закона эволюции космологического члена: Λ = β / t 2 .
3. Пусть c1 = β / 3(1 − α), c2 = −c1 (3 − α) и c3 = 0 , где β > 0 суть постоянный параметр. Интегрируя уравнение (38) и полагая постоянную интегрирования равной нулю, имеем другое известное выражение для закона эволюции космологического члена: Λ = (β / t ) H (t ) .
Можно убедиться, что во всех этих случаях уравнение состояния материи (31) зависит от времени. Для исследования поведения модели в случае
фиксированного уравнения состояния wm = const удобно переписать уравнения (31) относительно параметра Хаббла в виде
(1 − α)
(1 − α)(2 − α)
= (1 + wm )Λ.
2 H + 3(1 + wm ) H 2 + (2 + 3wm )
H+
t
t2
(39)
При этом решение уравнения (29) можно записать в стандартном виде
−3(1+ wm )
ρ = ρ0 a
, а уравнение (30) все еще имеет силу, обеспечивая вывод
уравнения (29) из системы (27)–(28). Подстановка Λ из уравнения (39)
в уравнение (30) приводит к следующему уравнению для параметра Хаббла:
 + 6(1 + w )tHH − 3(1 − α) H − (1 − α)(2 − α)(1 + 2 w ) H −
2tH
m
m
t
−3(1 + wm )(1 − α) H 2 − (1 − α)(2 − α)(3 − α)
1
t2
= 0.
(40)
Можно указать точные аналитические решения этого уравнения лишь
для некоторых частных значений wm и α или получить решения численными
методами. Надо помнить при этом, что порядок уравнения был повышен при
подстановке Λ из (39) в уравнение (30) и, следовательно, могли появляться
решения, не удовлетворяющие исходные уравнения. Поэтому решения уравне-
144
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
ния (40) должны быть подставлены одновременно с ρ = ρ0 a −3(1+ wm ) в систему
(27)–(28) для должного отбора констант интегрирования. Такая задача представляет определенный интерес и она будет рассмотрена в отдельной работе.
Заключение
Таким образом, в работе получен ряд точных решений для двух типов
космологических моделей, построенных из вариационного принципа для
дробного функционала действия в [1] в приложении либо к полной системе
гравитационных и материальных полей, либо только к гравитации. Решение
динамических уравнений моделей найдены из предположения о вакуумподобном состоянии материи, заполняющей Вселенную, и исходя из достаточно общих предположений для эволюции космологического члена. В любом случае поведение моделей демонстрирует их значительное отличие от
соответствующих стандартных моделей, что, очевидно, является следствием
дробности функционалов действия и, возможно, фрактальной природы пространства-времени (см., например, [5, 6]).
Особенно привлекательной, на наш взгляд, является та особенность полученных решений, что эффективное уравнение состояния, определенное
в работе формулами (8), способно пересекать фантомную границу, как то
диктуется современными астрофизическими наблюдениями. Отметим, что
в стандартной космологии с единственным источником такое пересечение
невозможно (так называемая «No-Go»-теорема). Кроме того, при определенных условиях существуют модели, способные совершать циклическую эволюцию, также привлекающую внимание исследователей в последнее время.
Список литературы
1. S h c h i g o l e v , V . K . Cosmological Models with Fractional Derivatives and Fractional Action Functional / V. K. Shchigolev // Commun. Theor. Phys. – 2011. – Vol. 56. –
P. 389–396.
2. Shchigolev, V. K. – URL: http://arxiv.org;article-id: arXiv:[gr-qc] 1208.3454.
3. E l - N a b u l s i , A . R . Cosmology with a Fractional Action Priciple / A. R. El-Nabulsi //
Rom. Report in Phys. – 2007. – Vol. 59. – P. 763–771.
4. У ч а й к и н , В. В. Метод дробных производных / В. В. Учайкин. – Ульяновск :
Артишок, 2008. – 512 с.
5. C a l c a g n i , G . Quantum field theory, gravity and cosmology in a fractal universe /
G. Calcagni // JHEP. – 2010. – Vol. 03. – P. 120.
6. C a l c a g n i , G . Fractal universe and quantum gravity / G. Calcagni // Phys. Rev.
Lett. – 2010. – Vol. 104. – P. 251301.
7. D e b n a t h , U . Fractional Action Cosmology: Emergent, Logamediate, Intermediate,
Power law Scenarios of the Universe and Generalized Second Law of Thermodynamics of dark energy / U. Debnath, M. Jamil, S. Chattopadhyay // Int. J. Theor. Phys. –
2010. – Vol. 51. – P. 812–837.
8. J a m il, M . Fractional Action Cosmology with Power Law Weight Function /
M. Jamil, M. A. Rashid, D. Momeni, O. Razina, K. Esmakhanova // J. Phys.: Conf.
Ser. – 2012. – Vol. 354. – P. 012008.
9. S a h n i , V . Statefinder – a new geometrical diagnostic of dark energy / V. Sahni,
T. D. Saini, A. Starobinsky, U. Alam // JETP Lett. – 2003. – Vol. 77. – P. 201.
10. R i e s s , A . G . Results from the High-z Supernova Search Team / A. G. Riess et al. //
Astron. J. – 1998. – Vol. 116. – P. 1009.
Physics and mathematics sciences. Physics
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
11. P e r l m u t t e r , S . Measurements of Ω and Λ from 42 High-Redshift Supernovae /
S. Perlmutter еt al. // The Astrophysical Journal. – 1999. – Vol. 517, № 2.
12. O v e r d u i n , J . M . Evolution of the scale factor with a variable cosmological term /
J. M. Overduin, F. I. Cooperstock // Phys. Rev. D. – 1998. – Vol. 58. – P. 043506.
13. S a h n i , V . The Case for a Positive Cosmological Λ -Term / V. Sahni, A. Starobinsky //
Int. J. Mod. Phys. D. – 2000. – V. 9. – P. 373.
References
1.
2.
3.
4.
Shchigolev V. K. Commun. Theor. Phys. 2011, vol. 56, pp. 389–396.
Shchigolev, V. K. Available at: http://arxiv.org;article-id: arXiv:[gr-qc] 1208.3454.
El-Nabulsi A. R. Rom. Report in Phys. 2007, vol. 59, pp. 763–771.
Uchaykin V. V. Metod drobnykh proizvodnykh [Method of fractional derivatives]. Ulyanovsk: Artishok, 2008, 512 p.
5. Calcagni G. JHEP. 2010, vol. 03, p. 120.
6. Calcagni G. Phys. Rev. Lett. 2010, vol. 104, p. 251301.
7. Debnath U., Jamil M., Chattopadhyay S. Int. J. Theor. Phys. 2010, vol. 51, pp. 812–
837.
8. Jamil M., Rashid M. A., Momeni D., Razina O., Esmakhanova K. J. Phys.: Conf. Ser.
2012, vol. 354, p. 012008.
9. Sahni V., Saini T. D., Starobinsky A., Alam U. JETP Lett. 2003, vol. 77, p. 201.
10. Riess A. G., et al. Astron. J. 1998, vol. 116, p. 1009.
11. Perlmutte S. еt al. The Astrophysical Journal. 1999, vol. 517, no. 2. стр?
12. Overduin J. M., Cooperstock F. I. Phys. Rev. D. 1998, vol. 58, p. 043506.
13. Sahni V., Starobinsky A. Int. J. Mod. Phys. D. 2000, vol. 9, p. 373.
Щиголев Виктор Константинович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра теоретической физики,
Ульяновский государственный
университет (г. Ульяновск,
ул. Л. Толстого, 42)
Shchigolev Viktor Konstantinovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of theoretical physics,
Ulynovsk State University (Ulyanovsk,
42 L. Tolstogo str.)
E-mail: vkshch@yahoo.com
УДК 530.12:531.51; 524.834
Щиголев, В. К.
Космологические модели в теории дробного функционала действия /
В. К. Щиголев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2013. – № 2 (26). – С. 133–146.
146
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
УДК 537.533.9
Е. С. Пчелинцева, С. Г. Новиков,
А. В. Беринцев, Б. М. Костишко, В. В. Светухин
МОДЕЛИРОВАНИЕ ИМПУЛЬСНОГО
РАДИАЦИОННО-СТИМУЛИРОВАННОГО
ИСТОЧНИКА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПИТАНИЯ1
Аннотация. Цель работы: моделирование импульсного режима работы радиационно-стимулированного источника электрического тока на основе изотопа
63
Ni. Моделирование проводилось в системе LTspice IV согласно структурной
схеме импульсного радиационно-стимулированного источника тока. Бетавольтаический элемент питания представлял собой батарею из 1000 кремниевых
pin-структур с глубиной залегания p-n-перехода 1,2 мкм и кремниевых фотодиодов с глубиной залегания перехода 6,5 мкм, включенных последовательно
и параллельно с общей площадью p-n-переходов около 1000 см2. В конструкции импульсного радиационно-стимулированного источника тока в соответствии со схемой удалось достигнуть увеличения выходного напряжения до
1,3 В в постоянном режиме, выходного импульсного тока – до значения
200 мА, импульса напряжения – до значения 180 мВ, с длительностью импульса до 2 мс и частотой повторения порядка 800 Гц. Полученные результаты
свидетельствуют об эффективности применения радиационно-стимулированного элемента электрического питания, работающего в импульсном режиме,
когда имеется необходимость в источнике питания, работающем более 50 лет
и дающем ток генерации до 200 мА в пике разрядки. Предполагаемыми областями применения полученного материала являются микроэлектромеханические системы, нуждающиеся в элементе питания, работающие длительное
время в труднодоступных местах и климатических условиях.
Ключевые слова: бетавольтаический эффект, радиационно-стимулированная
генерация тока, моделирование физических процессов.
E. S. Pchelintseva, S. G. Novikov,
A. V. Berintsev, B. M. Kostishko, V. V. Svetukhin
MODELING OF A PULSE
RADIATION-INDUCED POWER SOURCE
Abstract. Objective: The present work considers modeling of pulse radiationinduced power source based on 63Ni isotope. Modeling has been performed in
LTspice IV system in accordance with the structural chart of the pulseradiationinduced power source. Betavoltaic power source is a cell that combines 1000 silicon
pin- structures with p-n- junction depth of 1.2 µm and silicon photodiodes with p-njunction depth of 6.5 µm connected in series and in parallel with a total junction area of 1000 cm2. From a designed pulse radiation-induced power source the authors
have obtained an increase of the output voltage up to 1.3 V for the DC operation and
an increase of the output pulse current up to 200 mA, voltage pulse up to 180 mV
for the pulsed operation with the pulse duration under 2ms and repletion rate of
about 800 Hz. The results demonstrate that the pulse radiation-induced power source
can operate efficiently over 50 years generating current up to 200 mA at the maxi1
Работа финансируется в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы».
Physics and mathematics sciences. Physics
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
mum discharge. The sources can be employed for microelectromechanical systems
requiring long lifetime power source able to operate in nooks and severe climates.
Key words: betavoltaic effect, radiation-induced power generation, modeling of
physical processes.
Для современных микроэлектромеханических систем и полупроводниковых приборов нового поколения необходимы миниатюрные источники
электрического питания, работающие продолжительное время и обладающие
высокой эффективностью и малыми габаритами. Среди подобных источников
электрического питания выделяются радиоизотопные источники питания.
Преимущества энергетических источников на основе радиоизотопов являются большой срок работы (свыше 10 лет в зависимости от выбора изотопа),
низкий вес, небольшой размер, широкий температурный диапазон и высокая
надежность. Периоды полураспада и соответствующая длительность работ
таких батарей питания варьируются от нескольких (147Pr) до ста лет (63Ni)
[1–3]. На основе радиоизотопных источников питания возможно создание гибридного источника тока или напряжения с элементами накопления заряда,
работающего в импульсном режиме.
Предлагаемый импульсный радиационно-стимулированный источник
тока, основанный на использовании энергии радиоактивного распада различных изотопов, содержит первичный преобразователь на основе полупроводниковой структуры с p-n-переходами с нанесенным на его поверхность изотопом 63Ni, испускающим бета-электроны с широким энергетическим спектром, а также устройство преобразования постоянного напряжения первичного источника в переменное, умножитель напряжения и импульсный генератор. Структурная схема источника приведена на рис. 1.
Рис. 1. Структурная схема импульсного
радиационно-стимулированного источника питания
Электрическая принципиальная схема импульсного радиационностимулированного источника питания приведена на рис. 2, где блок 1 представляет собой инвертор на коммутируемых конденсаторах, блок 2 – умножитель напряжения, блок 3 – импульсный генератор с низковольтным питанием.
Представленная схема работает следующим образом. Под воздействием
бета-электронов, испускаемых источником 63Ni, в области пространственного
заряда (ОПЗ) генерируются электронно-дырочные пары, а за счет встроенного электрического поля в ОПЗ происходит разделение заряда. Таким образом,
на входе Х1 и Х2 образуется контактная разность потенциалов.
148
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3
1
Рис. 2. Электрическая принципиальная схема импульсного радиационно-стимулированного источника питания
Физико-математические науки. Физика
2
№ 2 (26), 2013
Physics and mathematics sciences. Physics
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Если задействовать блоки 1 и 2, то такой режим на выходах Х5 и Х6
позволяет получить преобразование импульсного низкого напряжения в высокое постоянное напряжения, а если блоки 1 и 3 то на выходе Х3 и Х4 радиационно-стимулированного источника импульсы тока амплитудой до сотен
миллиампер. Переключение режима работы импульсного источника тока
осуществляется ключом SW1.
В качестве инвертора используется широко распространенная микросхема IСL7660, которая содержит четыре силовых МОП ключа, управляемых
логическими элементами и сдвигателем уровня напряжения, работа которых
осуществляется на частоте, полученной в результате деления на два частоты
задающего RC-генератора. Это позволяет формировать управляющие импульсы с требуемыми характеристиками «меандр» и оптимизировать по потреблению работу задающего RC-генератора, рабочая частота которого без
внешних элементов составляет 10 кГц. Внутренний регулятор напряжения
необходим для обеспечения работы микросхемы от источника с пониженным
напряжением. Принцип работы микросхемы в режиме идеального инвертора
напряжения рассмотрим по функциональной схеме, приведенной на рис. 3.
При замыкании ключей S1 и S3 и размыкании ключей S2 и S4 во время первой половины цикла внешний конденсатор С1 заряжается от источника питания до напряжения V+, а при замыкании ключей S2 и S4 и размыкании ключей S1 и S3 во время второй половины цикла конденсатор С1 передает частично свой заряд внешнему конденсатору С2, обеспечивая на выводе VOUT
микросхемы напряжение –(V+). Указанные значения напряжения соответствуют установившемуся режиму.
Рис. 3. Функциональная схема работы микросхемы IСL7660
В качестве умножителя используется MCP1623/24 – компактный высокоэффективный повышающий преобразователь с фиксированной частотой
переключения. Высокая эффективность достигается за счет использования
P- и N-канальных переключателей с низким сопротивлением. Схема компенсации и схема защиты интегрированы в микросхему для минимизации внешних компонентов. MCP1624 потребляет всего 19 мкА в рабочем режиме.
Схема включения приведена на рис. 4.
Схема импульсного генератора с низковольтным питанием приведена
на рис. 3 (блок 3). В качестве элемента питания используется модель источника с выходным напряжением 2 В и внутренним сопротивлением 1 кОм.
150
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Конденсатор C4 заряжается от элемента через инвертор, напряжение с C4 через резистор R4 поступает на пороговый элемент VT2, R1, R2 и времязадающую цепочку C3, R3. Транзистор VT1 осуществляет сброс заряда C4 и разряд
конденсатора C3 на импульсный трансформатор.
Рис. 4. Схема включения MCP1623/24
Для
моделирования
работы
импульсного
радиационностимулированного элемента питания использовались экспериментальные
данные, полученные в ОАО ГНЦ «НИИ Атомных реакторов», по определению генерации тока на кремниевых диодах с применением изотопа 63Ni различной активности. В качестве первичных радиоизотопных преобразователей
были использованы кремниевые pin-структуры, предоставленные ОАО «Завод Искра» (тип А) с глубиной залегания p-n-перехода 1,2 мкм, шириной ОПЗ
8 мкм, и кремниевые p-n-диоды, предоставленные ОАО «Сапфир» (тип В),
представляющие собой некорпусированные фотодиоды ФД-344 с охранным
кольцом из p-n-перехода, созданные на основе пластин кремния n-типа
КДБ-10 с глубиной залегания p-n-перехода 6,5 мкм и ОПЗ 3,6 мкм [4].
Кремниевый p-n-диод типа А был подвергнут облучению в течение года с использованием радионуклида Ni63 активностью 40 мКи. При этом ток
генерации составлял 40–50 нА, а напряжение на внешних контактах образца
18 мВ. Для образцов типа В ток генерации составил 60 и 90 нА, 2,9 и 16,5 мВ
для источников активностью 10 и 40 мКи соответственно [5].
Моделирование проводилось в системе LTspice IV согласно структурной схеме импульсного радиационно-стимулированного источника тока. Для
получения уровней токов и напряжений, достаточных для работы электрической схемы генерации импульсов тока, необходима сборка батареи из нескольких сотен элементов. При моделировании импульсного радиационностимулированного источника тока использована батарея из 1000 элементов,
включенных последовательно и параллельно с общей площадью p-n-переходов около 1000 см2.
В конструкции импульсного радиационно-стимулированного источника тока в соответствии со схемой удалось достигнуть увеличения выходного
напряжения до 1,3 В в постоянном режиме, выходного импульсного тока до
значения 200 мА (рис. 5), импульса напряжения до значения 180 мВ (рис. 6),
с длительностью импульса до 2 мс и частотой повторения порядка 800 Гц.
Physics and mathematics sciences. Physics
151
152
-20mV
0ms
0mV
20mV
40mV
60mV
80mV
100mV
120mV
140mV
160mV
180mV
0mA
0ms
20mA
40mA
60mA
80mA
100mA
120mA
140mA
160mA
180mA
200mA
8ms
12ms
16ms
20ms
24ms
28ms
32ms
8ms
12ms
16ms
20ms
24ms
28ms
32ms
36ms
36ms
Рис. 6. Импульс напряжения на выходе автономного источника импульсного электрического питания
4ms
V(n007)
Рис. 5. Импульс тока на выходе автономного источника импульсного электрического питания
4ms
I(L1)
40ms
40ms
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Заключение
Конструктивно предлагаемый импульсный радиационно-стимулированный источник электрического питания с применением бета-источника 63Ni
активностью 40 мКи может представлять собой герметичный корпус с выведенными наружу клеммами для подключения полезной нагрузки с небольшими габаритными размерами и временем работы более 50 лет. При работе
схемы в постоянном режиме мощность источника электрического питания
составляет около 250 мВт, а в импульсном режиме 3,6 мВт.
Список литературы
1. G u o , H . Nanopower betavoltaic microbatteries / H. Guo, A. Lal // The 12th International Conference on Solid State Sensors, Actuators and Microsystems (Boston, 2003). –
Boston, 2003. – P. 36–39.
2. А н у фр е н к о , В. Б. Использование сверхмногослойных наноструктур для прямого преобразования ядерной энергии в электрическую / В. Б. Ануфренко,
А. М. Михайлова, А. Н. Палагушкин // Нано- и микросистемная техника. – 2008. –
№ 8. – С. 30–38.
3. Bla n c h a r d , J . Nuclear microbatteries for MEMS and nano devices / J. Blanchard
et al. // Asia-Pacific Conference of Transducers and Micro-Nano Technology – APCOT. –
2006. – P. 1–4.
4. Н а г о р н о в, Ю . Р . Моделирование радиационно-стимулированного источника
тока на pin-структурах / Ю. Р. Нагорнов, Е. С. Пчелинцева, Б. М. Костишко,
О. А. Корнилов, В. М. Радченко, В. Д. Рисованный // Известие высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. –
№ 3 (11). – С. 113–125.
5. П ч е л и н ц е в а , Е. С . Радиационно-стимулированный источник энергии на основе изотопа никель-63 / Е. С. Пчелинцева и др. // ВАНТ. Физика радиационного
воздействия на радиоэлектронную аппаратуру. – 2011. – № 1. – С. 65–69.
References
1. Guo H., Lal A. The 12th International Conference on Solid State Sensors, Actuators
and Microsystems (Boston, 2003). Boston, 2003, pp. 36–39.
2. Anufrenko V. B., Mikhaylova A. M., Palagushkin A. N. Nano- i mikrosistemnaya
tekhnika [Nanosystems and Microsystems technology]. 2008, no. 8, pp. 30–38.
3. Blanchard J., et al. Asia-Pacific Conference of Transducers and Micro-Nano Technology. APCOT. 2006, pp. 1–4.
4. Nagornov Yu. R., Pchelintseva E. S., Kostishko B. M., Kornilov O. A., Radchenko V.
M., Risovannyy V. D. Izvestie vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physics and mathematics sciences]. 2009, no. 3 (11), pp. 113–125.
5. Pchelintseva E. S., et al. VANT. Fizika radiatsionnogo vozdeystviya na radioelektronnuyu apparaturu [Physics of radiation exposure of radio electronic equipment]. 2011,
no. 1, pp. 65–69.
Physics and mathematics sciences. Physics
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Пчелинцева Екатерина Сергеевна
кандидат физико-математических наук,
начальник зондовой и электронной
микроскопии, Научно-исследовательский
технологический институт, Ульяновский
государственный университет
(г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42)
Pchelintseva Ekaterina Sergeevna
Candidate of physical and mathematical
sciences, head of the laboratory probe
and electronic microscopy, Research
Technological Institute, Ulyanovsk State
University (Ulyanovsk, 42 L. Tolstogo str.)
E-mail: nanolabniti@gmail.com
Новиков Сергей Геннадьевич
кандидат технических наук, начальник
лаборатории твердотельной электроники,
Научно-исследовательский
технологический институт, Ульяновский
государственный университет
(г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42)
Novikov Sergey Gennad'evich
Candidate of engineering sciences, head
of the laboratory of solid state electronics,
Research Technological Institute,
Ulyanovsk State University (Ulyanovsk,
42 L. Tolstogo str.)
E-mail: novikovsg@ulsu.ru
Беринцев Алексей Валентинович
научный сотрудник лаборатории
твердотельной электроники, Научноисследовательский технологический
институт, Ульяновский государственный
университет (г. Ульяновск,
ул. Л. Толстого, 42)
Berintsev Aleksey Valentinovich
Researcher, laboratory of solid state
electronics, Research Technological
Institute, Ulyanovsk State University
(Ulyanovsk, 42 L. Tolstogo str.)
E-mail: berints@mail.ru
Костишко Борис Михайлович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
физических методов в прикладных
исследованиях, ректор Ульяновского
государственного университета
(г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42)
Kostishko Boris Mikhaylovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of the subdepartment of physical methods in applied
research, rector of Ulyanovsk State
University (Ulyanovsk, 42 L. Tolstogo str.)
E-mail: kost@sv.uven.ru
Светухин Вячеслав Викторович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
физического материаловедения,
директор Научно-исследовательского
технологического института,
Ульяновский государственный
университета (г. Ульяновск,
ул. Л. Толстого, 42)
Svetukhin Vyacheslav Viktorovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of materials science, director of Research
Technological Institute, Ulyanovsk State
University (Ulyanovsk, 42 L. Tolstogo str.)
E-mail: slava@sv.uven.ru
154
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
УДК 537.533.9
Моделирование
импульсного
радиационно-стимулированного
источника электрического питания / Е. С. Пчелинцева, С. Г. Новиков,
А. В. Беринцев, Б. М. Костишко, В. В. Светухин // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. –
№ 2 (26). – С. 147–155.
Physics and mathematics sciences. Physics
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 534.04: 536.12: 51-7
В. М. Журавлев, П. П. Миронов
ДИНАМИКА СЛУЧАЙНО ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ
ФЕРХЮЛЬСТА И МЕТОД МАКСИМАЛЬНОЙ ЭНТРОПИИ1
Аннотация. На основе метода Рейнольдса и принципа максимума энтропии
анализируется поведение одномерных случайно возмущенных систем, динамика которых описывается уравнением Ферхюльста. Рассматривается интерпретация с точки зрения моделей возмущенного осциллятора с затуханием и
кинетической модели численности населения. К уравнению Ферхюльста применяется метод Рейнольдса. Полученные усредненные уравнения замыкаются
при помощи метода максимальной энтропии. Выведен закон сохранения
удельной энтропии. Проанализирована устойчивость стационарной точки
усредненной модели. Получено аналитическое решение усредненной модели
Ферхюльста. Выявлены общие особенности динамики на основе аналитического решения усредненной системы уравнений. Получено, что динамика
уравнения Ферхюльста существенным образом зависит от величины дисперсии шума. При небольших значениях этого параметра модель в среднем эволюционирует вблизи значения, которое удовлетворяет невозмущенному уравнению Ферхюльста. Было показано, что все состояния с ненулевыми дисперсиями оказываются неустойчивыми в общем случае уже в первом порядке
теории возмущений, что означает, что очень быстро они переходят в первоначальное невозмущенное состояние. Показано, что аналитическое решение является устойчивым по Ляпунову.
Ключевые слова: случайно возмущенное уравнение Ферхюльста, метод Рейнольдса, метод максимальной энтропии.
V. M. Zhuravlev, P. P. Mironov
DYNAMICS OF RANDOM-DISTURBED VERHULST EQUATION
AND THE METHOD OF MAXIMUM ENTROPY
Abstract. The article analyzes the behavior of one-dimensional random-disturbed
systems the dynamics of which is described by the Verhulst equation. The analysis
is carried out on the basis of the Reynolds method and the maximum entropy principle. The authors consider interpretation from the point of view of models of the disturbed oscillator with attenuation and kinetic model of population. The Reynolds
method is applied to Verhulst equation. The received average equations are isolated
with the help of the maximum entropy method. The researchers establish a conservation law of specific entropy. The stability of station point of an average model is
analysed. The analytical solution of average Verhulst model is obtained. The authors
reveal general features of dynamics on the basis of analytical solution of an average
system of equations. It is obtained that the dynamics of Verhulst equation essentially
depends on the value of noise dispersion. For small dispersions the model on the av1
Настоящая работа выполнена в рамках федеральных целевых программ «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007–2012 годы» и «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009–2013 годы», а также работ в рамках государственного задания Минобрнауки России № 2.1894.2011, гранта для аспирантов Ульяновского государственного университета и при частичной поддержке РФФИ (проект 11-01-00747-а).
156
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
erage evolves near the value that satisfies the undisturbed Verhulst equation. It is
shown that all conditions with nonzero dispersions are unstable generally already in
the first order of the theory of perturbations, which means that they rapidly turn to
the initial undisturbed condition. It is also shown that the analytical solution is stable
according to Lyapunov.
Key words: random-disturbed Verhulst equation, Reynolds method, maximum entropy method.
Введение
Уравнение Ферхюльста (логистическое уравнение) является хорошо
исследованным во всех отношениях уравнением, описывающим динамику
численности популяций [1]:
x = αx − βx 2 + q + ε.
(1)
В рамках биофизической интерпретации этой модели в этом уравнении
x – число особей какого-либо сообщества (ареала, планеты, государства, города, района и т.д.) в определенный момент времени. Параметры α, β описывают рождаемость в сообществе (параметр α ) и степень самодействия популяции за счет эффекта тесноты (параметр β ), параметр q описывает внешний детерминированный приток жителей в популяцию. Функция времени
ε(t ) является случайной с математическим ожиданием, равным нулю:
< ε(t ) >= 0 . Параметр α может иметь произвольный знак, а параметр β будем считать неотрицательным.
Другим типом модели, которая позволяет использовать случайно возмущенное уравнение Ферхюльста для описания своего поведения, является
модель осциллятора с затуханием, собственная частота колебаний которого
испытывает случайные возмущения с нулевым средним. Эта модель имеет
следующий вид:
(
)

ζ + 2γζ + ω2 + τ ζ = 0.
Здесь ζ = ζ (t ) – координата осциллятора; ω – невозмущенная собственная частота колебаний; γ – коэффициент затухания; τ = τ(t ) – случайные возмущения частоты. Эта модель преобразуется к модели (1) подстановкой x = ζ / ζ . Величина x = ζ / ζ представляет собой скорость экспоненциального роста или убывания амплитуды колебаний. При этом α = −2γ , β = 1 ,
q = −ω2 , ε = −τ . Если полагать, что q = −ω2 = const , то уравнение (1) простым преобразованием x′ = x − x0 приводится к виду с q = 0 . При этом параметр α преобразуется по формуле α = α − 2βx0 , где x0 находится как решение уравнения
q − βx02 + αx0 = 0.
Это уравнение имеет два вещественных корня
X 0(1) = (α − α 2 + 4qβ ) / 2β, X 0(2) = (α + α 2 + 4qβ ) / 2β
Physics and mathematics sciences. Physics
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
в случае, если α 2 + 4qβ ≥ 0 .
Для модели осциллятора это означает, что ω2 ≤ γ 2 , т.е. собственная частота осциллятора меньше коэффициента затухания. Если это условие не выполняется, то корни уравнения являются комплексными и преобразование
приводит к комплексной модели Ферхюльста, что выходит за рамки данной
работы. Поэтому в данной работе мы будем исследовать случай, когда x0 является вещественным и в уравнении (1) можно полагать q = 0 .
С точки зрения идеологии кинетических моделей [1] внутреннее
содержание уравнения Ферхюльста является простым и ясным, что дает
основание использовать его для моделирования реальных систем. Однако,
поскольку модель является жесткой (см., например, [2]), применение ее на
практике оказывается ограниченным, в частности, из-за неполной ясности
с ее поведением при наличии случайного внешнего воздействия. Такое
воздействие всегда присутствует в реальных системах. При наличии
внешнего случайного воздействия речь может идти лишь об описании
динамики уравнения «в среднем» [3]. Однако при усреднении уравнения (1)
полученная совокупность уравнений для моментов случайных величин уже
оказывается незамкнутой, а при различных способах замыкания обладает
различными свойствами, которые могут существенно отличаться от свойств
исходной модели. В дальнейшем уравнение (1) будем называть случайно
возмущенным уравнением, или СВ-уравнением.
В работах [4–7] был предложен метод исследования случайно возмущенных уравнений на основе анализа уравнений усредненной динамики по
методу Рейнольдса с выводом условий замыкания уравнения Рейнольдса
с помощью принципа максимума энтропии [8]. В работах [4, 6] этот метод
применялся к одномерным механическим системам, в [5] – к уравнениям вязкой жидкости, а в [7] – к динамике двухвидовой популяции. Использование
принципа максимума энтропии для вывода условий замыкания усредненных
уравнений Рейнольдса основано на общей «термодинамической» идее, состоящей в том, что состояния с максимальной энтропией должны быть максимально устойчивыми [8]. Однако, хотя такая гипотеза и является очень правдоподобной, для различных систем прямое ее доказательство представляет
ряд сложностей. Для одномерных механических систем эта сложность состоит в том, что свойства «термодинамической» устойчивости смешиваются со
свойствами устойчивости самой механической системы как таковой. Разделить их для уравнений усредненной динамики в этом случае оказывается невозможно. Даже если невозмущенная одномерная механическая система является устойчивой, например частица находится в потенциальной яме, то при
наличии внешнего случайного воздействия с нулевой средней силой система
может обмениваться энергией с окружающей средой, что может приводить к
неконтролируемой потере устойчивости в среднем. Поэтому для демонстрации факта наличия «термодинамической» устойчивости усредненных систем
необходимо иметь простую модель, для которой эффекты, специфичные для
механических систем, не имеют существенного значения. На роль такой модели подходит уравнение Ферхюльста.
Целью настоящей работы являлось получить замкнутое описание
усредненной динамики СВ-уравнения Ферхюльста с помощью принципа
158
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
максимума энтропии, доказать прямыми вычислениями устойчивость усредненных решений и исследовать их асимптотическое поведение. В начале
кратко излагаются основные положения метода максимальной энтропии. Затем выводятся уравнения теории и закон сохранения удельной энтропии системы. Целью дальнейших построений является выяснение общих свойств
полученных уравнений. В частности, исследуется устойчивость усредненной
системы.
1. Метод Рейнольдса и усредненное уравнение Ферхюльста
Метод Рейнольдса основывается на представлении переменных модели
в виде их разложения на среднее значение X (t ) и флуктуации x′ :
x = X (t ) + x′ , где X (t ) =< x > , < x′ >= 0 . Усреднение « < > » переменных
понимается везде как усреднение по ансамблю. Применяя такое усреднение
к СВ-уравнению (1), получаем следующее усредненное уравнение:
X = αX − βX 2 − β < x′2 > .
(2)
В это уравнение входит дисперсия флуктуаций < x′2 > , для которой
необходимо дополнительно указать уравнение эволюции, которое не следует
из исходного уравнения. В этом и состоит проблема замыкания систем
усредненных уравнений Рейнольдса. В случае отсутствия шума ( ε ≡ 0 ,
< x′2 >= 0 ) имеются две стационарные точки:
X 0 = 0, X 0 =
α
.
β
(3)
При наличии шума обе точки смещаются и их положение определяется
усредненной динамикой уравнения, которую мы исследуем далее. В отсутствие же шума известное решение уравнения (1) представляет собой кривую,
асимптотически стремящуюся к одной из стационарных точек (3).
На рис. 1 представлены решения СВ-уравнения, полученные численно
с генераций квазислучайного шума. Для дальнейшего изложения важно отметить, что случайные возмущения в уравнении не приводят к систематическому отклонению параметров от невозмущенных решений. Это указывает на
устойчивость этой модели по отношению к случайным воздействиям.
2. Принцип максимума энтропии для уравнения Ферхюльста
и замкнутая система усредненных уравнений Рейнольдса
Для замыкания усредненного уравнения Рейнольдса воспользуемся методом максимальной энтропии, развитым в работах [4, 5]. Принцип максимума энтропии основывается на свойстве энтропии стохастических систем достигать своего максимума на множестве макросостояний, которые реализуются
максимальным числом микросостояний [9]. Для его формулировки [6, 10] в
случае непрерывных случайных процессов необходимо воспользоваться шенноновским определением энтропии в форме континуального интеграла по пространству случайных величин X [t0 , t1 ] , которое в нашем случае можно представить в виде прямого произведения всех одномерных пространств R1 (t )
вещественных чисел, соответствующих всевозможным значениям переменPhysics and mathematics sciences. Physics
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ных {x(t )} , параметрически зависящих от t ∈ [t0 , t1 ] . Энтропия в этом случае
может быть записана в виде следующего континуального интеграла:

H 0 = − ρ({x}[t0 , t1 ])ln ρ({x}[t0 , t1 ]) DX [t0 , t1 ].
(4)
Рис. 1. Изменение x(t ) как функции времени при наличии шума (кривая 1)
и без него (кривая 2). Параметры модели: α = 143 , β = 1 , дисперсия
случайного шума 10000. Стационарная точка 143
Здесь ρ({x}[t0 , t1 ]) – плотность вероятности совместного распределения
случайных величин {x(t )} на интервале времени [t0 , t1 ] . Максимизация энтропии производится при условии, что матожидание X (t ) и второй момент
< x′2 > связаны уравнением (2).
Для вычисления максимального значения H 0 следует воспользоваться
следующими основными фактами. Первый состоит в том, что поскольку
уравнение (2) локально по времени, то по аналогии с конечномерными распределениями [10], распределения, максимизирующие H 0 , соответствуют
условию независимости значений переменной x′(t ) в различные моменты
времени:
< x′(t ) x′(t ′) >= δ(t − t ′)σ2x (t ),
где σ2x (t ) – некоторая функция t . Условие независимости означает, что континуальный интеграл (4) сводится на самом деле к континуальному произведению отдельных интегралов для каждого момента времени относительно
каждого удельного распределения ρ( x, t ) для фиксированного момента времени t :
ρ({x}[t0 , t1 ]) =
160
∏
ρ( x′(t ), t ).
t∈[t0 ,t1 ]
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Это означает, что при отсутствии «патологий» в распределениях ρ( x, t )
выражение для энтропии в силу ее свойства иерархической аддитивности [10]
можно представить в следующем виде:
t1
H0 = −
  ρ( x, t )ln ρ( x, t )dxdt.
(5)
t0 R (t )
Второй факт состоит в том, что теперь задача отыскания максимума энтропии H 0 при условии выполнения уравнений (2) может быть решена стандартными средствами вариационного исчисления для функционала (5). Решения этой задачи в случае, если заданы первые и вторые моменты случайной величины, хорошо известны [9, 10] и сводятся к тому, что соответствующее удельное распределение ρ( x, t ) является нормальным распределением
с заданными средними и вторыми моментами:
(
ρ( x, t ) = 4π2 det C (t )
где
C (t )
)
−1/2
 1

exp  − X'T C −1 (t ) X ′ ,
 2

(6)
– матрица ковариаций одномерного векторного процесса
X ′ = column{x′} : C = x′2 , операция T означает транспонирование так, что
X ′T – вектор-строка: X ′T = {x′} .
Эти факты позволяют записать решение задачи об условном максимуме
энтропии H 0 в следующем общем виде [10]:
t1
1
H max =
lndet Cdt + C0 .
2

(7)
t0
Здесь det C =< x′2 > – определитель матрицы ковариаций C флуктуаций x′ , C0 – несущественная числовая постоянная.
Поскольку H max зависит от набора параметров X , x′2 , которые связаны одним уравнением, то среди всех распределений (6) можно найти те, которые дают максимум энтропии H max при тех же условиях (2). Этот принцип, который может быть использован для всех систем, усредненные уравнения Рейнольдса для которых содержат моменты второго порядка, в дальнейшем будет называться принципом максимума энтропии. Заметим также, что
этот результат, касающийся пока только нормальных удельных распределений, на самом деле может быть расширен на общий случай негауссовых распределений [4].
Следуя этому принципу максимума энтропии для описания усредненной динамики системы, мы должны решить задачу о максимуме функционала
энтропии следующего вида:
Physics and mathematics sciences. Physics
161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
t1
t1
t1
1
S = Ldt =
lndet Cdt + U ( X − αX + βX 2 + β < x′2 >) dt.
2

t0


t0
(8)
t0
Здесь U (t ) – множитель Лагранжа в задаче об условном экстремуме
H max . Этот функционал фактически аналогичен функционалам принципа
наименьшего действия в механике.
Уравнения Эйлера – Лагранжа для функционала (8) имеют следующий
вид:
1
X = αX − βX 2 − βZ , U = −αU + 2βXU ,
+ βU = 0.
2Z
(9)
Здесь и далее Z = x′2 – дисперсия флуктуаций в системе.
Эта система допускает закон сохранения. Как и в механике, условия
достижения функционалом S экстремума (здесь максимума) приводят к общему первому интегралу движения, аналогичному интегралу полной механической энергии. Аналогом энергии для функции Лагранжа L является следующая величина:
S ( X ,U , Z ) =
(
)
∂L 
1
X − L = − ln Z + U αX − βX 2 − βZ ,
∂X
2
(10)
представляющая собой удельную энтропию распределения вероятностей.
Вычисляя полную производную по времени от величины S на траекториях
системы, приходим к следующему соотношению:
dS
= 0.
dt
(11)
Этот закон сохранения можно представить в следующем виде:
{ (
)}
S
Z = e 0 exp 2U αX − β X 2 − β Z .
(12)
Он позволяет анализировать глобальные свойства системы по характеру ее траекторий.
3. Стационарная точка и ее устойчивость
С точки зрения полезности развитого подхода важным является вопрос
об устойчивости полученных уравнений по отношению к малым возмущениям. Для динамических систем важно найти стационарные точки и циклы и
исследовать их устойчивость. Система (9) обладает одной стационарной точкой, координаты которой вычисляются из уравнений
αX 0 − βX 02 − βZ 0 = 0, −αU 0 + 2βX 0U 0 = 0,
1
+ βU 0 = 0.
2Z 0
(13)
Решение этой системы имеет следующий вид:
X0 =
162
α
2β
α2
, U0 = −
, Z0 =
.
2β
α2
4β2
(14)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Для анализа устойчивости стационарной точки представим параметры
модели (9) в следующем виде:
X = X 0 + ξ, U = U 0 + u , Z = Z 0 + z ,
(15)
где X 0 , U 0 , Z 0 – значения, соответствующие стационарной точке, а ξ, u, z –
возмущения, являющиеся функциями первого порядка малости. Уравнения
для ξ, u , z имеют в линейном приближении следующий вид:
ξ = αξ − 2βX 0 ξ − βz , u = −αu + 2βX 0u + 2βU 0 ξ, U 0 z + Z 0u = 0.
(16)
В этом случае выполняется следующий закон сохранения:
(
)
 − Z 3 + 5Z 2 + 2 Z + 4

0
0
0

+ βU 0  z = ( α − 2βX 0 )U 0 ξ + αX 0 − βX 02 − βZ 0 u.
4


( Z0 + 1)


(
)
Собственные числа системы (16) имеют следующий общий вид:
λ1,2 = ±
α
.
2
Среди этих собственных ненулевых значений всегда имеется корень
с положительной вещественной частью. Следовательно, в линейном приближении стационарная точка системы является неустойчивой для всех параметров СВ-уравнения. Этот вывод подтверждается графиками численного решения системы (1), приведенными на рис. 1. Действительно, стационарная точка
усредненной системы всегда лежит точно по середине между двумя стационарными точками невозмущенного уравнения со значениями 0 и α / β в фазовой плоскости. Кривая же возмущенного движения на рис. 1 совершает колебания вблизи стационарной точки невозмущенного движения.
4. Аналитическое решение усредненной системы уравнений
Выразим X из второго уравнения системы (9)
 ∂U 1
 1
+ α
X =
 ∂t U
 2β
(17)
и введем функцию θ = θ(t ) таким образом, что для X , U и Z выполняются
следующие соотношения:
X=
1 θ α
1
+ , U = −C1θ2 , Z =
.
β θ 2β
2β C1θ2
(18)
Заметим, что для осцилляторной интерпретации модели Ферхюльста
( β = 1 ) функция θ = θ(t ) связана с усредненной координатой осциллятора
< ς >= W соотношением
W = θ e αt / 2 .
Physics and mathematics sciences. Physics
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Подставляя эти соотношения в (9), получаем уравнение для θ :
 α2
β 

θ=
−
 θ.
 4 2C θ2 

1 
(19)
Из этого следует, что анализ всей усредненной системы (9) сводится
к решению одного дифференциального уравнения (19). Интегрируя это
уравнение, получаем
C
α2 2 β
θ = ±
θ − ln θ + 2 .
4
C1
4
(20)
Здесь C 2 – постоянная интегрирования. В зависимости от параметров
модели и постоянной интегрироваяния C 2 могут существовать такие
значения θ = θ(t ) , при которых подкоренное выражение становится мнимым.
Это означает, что в области таких значений θ отсутствуют вещественные
решения уравнения (19). В свою очередь это означает, что при таких
параметрах модели и начальных условиях система не переходит в состояние
с максимумом энтропии.
Проделывая аналогичные вычисления для уравнения (1) без шумов,
получаем другое выражение:
α 2 2 C2
θ = ±
θ +
.
4
4
(21)
Типичные фазовые траектории уравнений (20) и (21) для различных
значений параметра C 2 представлены на рис. 2. Сплошными линиями обозначены траектории усредненной системы, а пунктиром – траектории уравнения (1) без шума. Параметр C 2 определяет тип фазовой траектории системы. Как видно из рис. 2, существует критическое значение параметра C 2 , которое разделяет возможные траектории в усредненной системе по типу их
асимптотического поведения. Таких областей четыре. На рисунке они обозначены римскими цифрами.
Траектории усредненной системы, соотвествующие критическому
значению параметра C 2 (на рис. 2 точка Pcr ), разделяют всю фазовую
плоскость (правую полуплоскость на рис. 2) на четыре области, в которых
располагаются траектории четырех различных типов. В областях I и IV
содержатся траектории системы, которые выходят из точек θ = +∞, θ = −∞
(IV) и θ = 0, θ = +∞ (I) и при t → ∞ стремятся к точке θ = 0, θ = −∞ ,
что
соотвествует
предельному
значению
X (∞) = −∞
и
дисперсии
Z (∞) = σ2x (∞) = ∞ . В областях II и III содержатся траектории системы,
которые при t → ∞ стремятся к точке θ = ∞, θ = ∞ , что соотвествует
предельному значению X (∞) = α / β и дисперсии Z (∞) = σ2 (∞) = 0. Это
164
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
означает, что, если в начальный момент времени наблюдаемые параметры
системы X (0) и Z (0) = σ2 (0) таковы, что находятся в одной из областей I
или IV, то система переходит в максимально хаотическое состояние. Если же
начальные параметры лежат в областях II и III, то система переходит
в детеминированное состояние.
Рис. 2. Фазовый портрет уравнений (20) и (21) для различных
значений параметра C2 . Параметры модели: α = 0, 4 , β = 100 , C1 = 1
Поскольку с точки зрения осцилляторной интерпретации модели
Ферхюльста величина x = ζ / ζ представляет собой скорость экспоненциального роста или убывания амплитуды колебаний, то при t → ∞ коэффицент
затухания будет иметь следующий вид:
(k )
γ∞
= 2 γ − X 0( k ) = 2(−1) k γ 2 − ω2 , k = 1, 2.
То есть амплитуда либо будет расти, либо убывать при t → ∞ .
Случайные же флуктуации при этом будут вести себя в соотвествии
с диаграммой на рис. 2. Следовательно, внешний шум может приводить как
к росту колебаний, так и к их затуханию. Эта ситуация относится, как это
указывалось в первом разделе, только к случаю γ ≥ ω . Случай с частотой
осциллятора большей, чем коэффицент затухания, требует отдельного
анализа.
Physics and mathematics sciences. Physics
165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
5. Анализ устойчивости аналитического
решения усредненной системы уравнений
Для анализа устойчивости этого решения в линейном приближении
представим усредненные переменные следующим образом:
X = X 0 (t ) + ξ, U = U 0 ( t ) + u , Z = Z0 ( t ) + z ,
(22)
где ξ, u, z – возмущения первого порядка малости. Подставляя (22) в систему
уравнений (9), отбрасывая слагаемые квадратичные по возмущениям ξ, u, z и
выражая в последнем уравнении z через u , получаем
θ
u
θ
ξ = −2 ξ −
, u = 2 u − 2βC1θ2ξ.
θ
θ
2C12θ4
Для возмущения ξ из выражения для X 0 получаем

1ψ
θ 
ξ =  − ψ .
β  θ θ2 
(23)
(24)
Здесь принималось, что θ = θ ( t ) + ψ, где ψ – также возмущение
первого порядка малости. Учитывая это, получаем новую систему уравнений:

 θ
θ
βu
  .
 = ψ −
ψ
, u = 2  u − C1θψ + C1θψ
2
3
θ
2C1 θ
θ

(25)
Выражая u через ψ и учитывая (19), получаем следующее уравнение:
 β
α2 
 − 
ψ
+
 ψ = 0.
 2C θ2
4 
 1
(26)
Численный анализ (рис. 2, 3) показывает, что параметр θ , а
следовательно, и θ2 ( t ) в областях II и III со временем стремится
к бесконечности. Это означает, что в данном случае уравнение (26)
принимает следующий приближенный вид:
 −
ψ
α2
ψ ≈ 0.
4
(27)
Решение данного уравнения
 αt 
 αt 
ψ ( t ) = A exp   − B exp  − 
 2 
 2 
(28)
является неустойчивым по Ляпунову [11]. Подставляя полученное решение в
выражение (24) для ξ , анализируя численное решение для X (t ) (рис. 4) и
систему (23), получаем
ξ=
166
ψ (t )
αB
 αt 
exp  −  , u = −C1θψ ( t ) , z = −
.
βθ
 2 
2βC1θ3
(29)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Рис. 3. Изменение Z (t ) как функции времени при различных значениях C1
в областях II и III. Параметры модели: α = 0, 2 , β = 0,1 , C1 = 1 (1), C1 = 4 (2), C1 = 8 (3)
Рис. 4. Изменение X (t ) как функции времени при различных значениях C1
в областях II и III. Параметры модели: α = 0, 2 , β = 0,1 , C1 = 1 (1), C1 = 4 (2), C1 = 8 (3)
Действительно, для ξ из (20) и рис. 2 видно, что
θ α
= .
t →∞ θ 2
lim
Стационарная точка усредненной системы под действием случайного
возмущения асимптотически стремится к стационарной точке уравнения
Ферхюльста без шумов, которая имеет значение α / β . Полученное решение
Physics and mathematics sciences. Physics
167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
для ξ является устойчивым по Ляпунову в силу своей ограниченности.
Действительно, параметр θ , стоящий в знаменателе (29), является
возрастающей функцией времени, а экспонента – убывающей функцией
времени. Два ограниченных множителя и дают в итоге ограниченное, а
значит, и устойчивое решение. Возмущение для u носит неустойчивый
характер. Однако, несмотря на это, решение для возмущений основного
параметра X является ограниченным. Возмущение z при t → ∞ стремится
к нулю. Иначе говоря, шум стабилизирует систему. Для областей I и IV
получаем, что возмущения ξ и z при t → ∞ являются неограниченными, что
соответствует неустойчивому решению СВ-уравнения. Значение дисперсии
при этом стремится к бесконечности, а система переходит в максимально
хаотическое состояние.
Заключение
Из проведенного анализа СВ-уравнения Ферхюльста следует, что динамика такого уравнения существенным образом зависит от величины дисперсии шума, точнее, от значения параметра Z . При сравнительно небольших значениях этого параметра модель в среднем эволюционирует вблизи
значения, которое удовлетворяет невозмущенному уравнению Ферхюльста.
Было показано, что все состояния с Z =/ 0 оказываются неустойчивыми в общем случае уже в первом порядке теории возмущений, что означает, что
очень быстро они переходят в первоначальное невозмущенное состояние.
Однако, решив усредненную систему аналитически и проверив ее решение
на устойчивость в первом порядке теории возмущений, получили, что
возмущения ξ и u являются ограниченными, а решение устойчивым по Ляпунову в силу своей ограниченности. Важным свойством данной системы является возможность ее перехода при t → ∞ как в детерминированное состояние с дисперсией, равной нулю, так и в состояние с бесконечной дисперсией.
Переход в ту или иную область определяется начальными условиями
в усредненной системе, для которых были выяснены общие условия перехода
в то или иное состояние. Найденные закономерности относятся в целом и
к модели затухающего осциллятора с флуктуирующей частотой. Однако для
полного анализа свойств этой модели необходимо дополнительное исследование.
Список литературы
1. Р и з н и ч е н к о , Г . Ю . Лекции по математическим моделям в биологии /
Г. Ю. Ризниченко. – М. ; Ижевск : Научно-издательский центр «Регулярная и
хаотическая динамика», 2002. – Ч. 1. – 231 с.
2. А р н о л ь д, В. И . «Жесткие» и «мягкие» математические модели /
В. И. Арнольд. – М. : МЦНМО, 2000. – 32 с.
3. М о н и н , А . С . Статистическая гидромеханика / А. С. Монин, А. М. Яглом. –
М. : Наука, 1967. – Ч. 1. – 639 с. ; 1969. – Ч. 2. – 720 с.
4. Ж у р а в л е в , В. М . Принцип вторичного максимума энтропии и уравнения
Рейнольдса в стохастической динамике одномерных нелинейных систем /
В. М. Журавлев, В. А. Шляпин // Нелинейный мир. – 2008. – Т. 6, № 7. – C. 352–363.
5. Ж у р а в л е в , В. М . Турбулентность течений несжимаемой жидкости вблизи локального равновесия и принцип вторичного максимума энтропии / В. М. Журавлев //
Журнал теоретической физики. – 2009. – Т. 79, № 1. – С. 16–27.
168
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
6. Ж у р а в л е в , В. М . Прикладная математика и механика / В. М. Журавлев,
В. А. Шляпин. – Ульяновск : УлГТУ 2009. – С. 72–88.
7. Ж у р а в л е в , В. М . Динамика случайно-возмущенной системы Вольтерра –
Лотки и метод максимальной энтропии / В. М. Журавлев, П. П. Миронов // Нелинейный мир. – 2011. – Т. 9, № 4. – С. 201–212.
8. К л и м о н то в и ч , Ю . Л. Введение в физику открытых систем / Ю. Л. Климонтович. – М. : Янус-К, 2002. – 284 с.
9. Ф р и д е н, Б. Р . Оценки, энтропия, правдоподобие / Б. Р. Фриден // Труды
института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. – 1985. – Vol. 73,
№ 12. – Р. 78
10. С тр а та н о в и ч , Р . Л. Теория информации / Р. Л. Стратанович. – М. : Сов.
радио, 1975. – 424 с.
11. Б а з ы к и н , А . Д . Нелинейная динамика взаимодействующих популяций /
А. Д. Базыкин. – Москва ; Ижевск : ИКИ, 2003. – 368 с.
References
1. Riznichenko G. Yu. Lektsii po matematicheskim modelyam v biologii [Lectures on
mathematical problems in biology]. Moscow ; Izhevsk: Nauchno-izdatel'skiy tsentr
«Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika», 2002, pt. 1, 231 p.
2. Arnol'd V. I. «Zhestkie» i «myagkie» matematicheskie modeli [Rigid and soft
mathematical models]. Moscow: MTsNMO, 2000, 32 p.
3. Monin A. S., Yaglom A. M. Statisticheskaya gidromekhanika [Statistical
hydromechanics]. Moscow: Nauka, 1967, pt. 1, 639 p. ; 1969, pt. 2, 720 p.
4. Zhuravlev V. M., Shlyapin V. A. Nelineynyy mir [Nonlinear world]. 2008, vol. 6, no. 7,
pp. 352–363.
5. Zhuravlev V. M. Zhurnal teoreticheskoy fiziki [Theoretical physics journal]. 2009,
vol. 79, no. 1, pp. 16–27.
6. Zhuravlev V. M., Shlyapin V. A. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied
mathematics and mechanics]. Ulyanovsk: UlGTU 2009, pp. 72–88.
7. Zhuravlev V. M., Mironov P. P. Nelineynyy mir [Nonlinear world]. 2011, vol. 9, no. 4,
pp. 201–212.
8. Klimontovich Yu. L. Vvedenie v fiziku otkrytykh sistem [Introduction into physics of
open systems]. Moscow: Yanus-K, 2002, 284 p.
9. Friden B. R. Trudy instituta inzhenerov po elektrotekhnike i radioelektronike
[Proceedings of the institute of engineers in electrical engineerings and radio
electronics]. 1985, vol. 73, no. 12, p. 78.
10. Stratanovich R. L. Teoriya informatsii [Theory of information]. Moscow: Sov. radio,
1975, 424 p.
11. Bazykin A. D. Nelineynaya dinamika vzaimodeystvuyushchikh populyatsiy [Nonlinear
dynamics of interacting populations]. Moscow ; Izhevsk: IKI, 2003, 368 p.
Журавлев Виктор Михайлович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра теоретической
физики, Ульяновский государственный
университет (г. Ульяновск,
ул. Л. Толстого, 42)
Zhuravlev Viktor Mikhaylovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, sub-department of theoretical
physics, Ulyanovsk State University
(Ulyanovsk, 42 L. Tolstogo str.)
E-mail: zhvictorm@gmail.com
Physics and mathematics sciences. Physics
169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Миронов Павел Павлович
аспирант, Научно-исследовательский
технологический институт, Ульяновский
государственный университет
(г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42)
Mironov Pavel Pavlovich
Postgraduate student, Research
Technological Institute, Ulyanovsk State
University (Ulyanovsk, 42 L. Tolstogo str.)
E-mail: museum86@mail.ru
УДК 534.04: 536.12: 51-7
Журавлев, В. М.
Динамика случайно возмущенного уравнения Ферхюльста и метод
максимальной энтропии / В. М. Журавлев, П. П. Миронов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2013. – № 2 (26). – С. 156–170.
170
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
УДК 621.373.826
О. Л. Головков, Г. А. Купцова, В. А. Степанов
ВЛИЯНИЕ ПОТЕРЬ, ВЫЗВАННЫХ
ДВУЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕМ В YAG-КРИСТАЛЛЕ,
НА ГЕНЕРАЦИЮ ДВУХ ДЛИН ВОЛН 1064,15 И 1061,5 нм
Аннотация. Цель работы: определение необходимой разницы потерь между
длинами волн 1064,15 и 1061,5 нм, вызванных двулучепреломлением в кристалле YAG, для устойчивой генерации двух длин волн. Приведено решение
системы уравнений Танга, Статца и Демарса, описывающей генерацию
Nd:YAG-лазером, имеющим три контура усиления на длинах волн 1064,15,
1064,4 и 1061,5 нм и генерирующим с двух штарковских подуровней мультиплета 4F3/2. Было показано, что режим двухволновой генерации возникает, когда разница внутрирезонаторных потерь для длин волн 1064,15 и 1061,5 нм
превышает 0,07. Такой уровень потерь возможен при наличии двулучепреломления в кристалле YAG и наличии поляризующего элемента внутри резонатора (окна Брюстера). В результате расчетов было показано, что для устойчивой
генерации двух длин волн 1064,15 и 1061,5 нм достаточно наличие разности
потерь для указанных длин волн 0,07.
Ключевые слова: двулучепреломление, YAG:Nd3+-кристалл.
O. L. Golovkov, G. A. Kuptsova, V. A. Stepanov
THE INFLUENCE OF LOSSES CAUSED
BY BIREFRINGENT IN YAG-CRYSTAL ON GENERATION
OF WAVES OF 1064.15 AND 1061.5 NM LENGTH
Abstract. The article aims at determination of the required difference of losses between wave lengths of 1064,15 and 1061,5 nm caused by birefringent in YAGcrystal on generation of 2 wave lengths. The authors adduce a solution of the equation system of Tang – Stats – Demars, describing the generation by Nd:YAG-laser,
having three amplification contours on wavelengths of 1064,15, 1064,4 and 1061,5
nanometers and generating from two stark sublevels of a multiplet 4F3/2. It is shown
that the mode of dual wavelength generation occurs when the difference of intracavity losses for wavelengths of 1064,15 and 1061,5 nanometers exceeds 0,07.
Such level of losses may occur in presence of birefringement in YAG crystal and in
presence of a polarizing element inside a resonator (Brewster window). The calculation results show that for stable generation of two wavelengths of 1064,15 and
1061,5 nanometers it is sufficient to have a difference of losses for said wavelengths
being 0,07.
Key words: birefringent, YAG:Nd3+-crystal.
Введение
Известно, что при комнатной температуре одновременная генерация на
длинах волн 1064,15 и 1061,5 нм YAG:Nd3+-лазером, генерирующим множество продольных мод, возможна при выполнении следующих условий:
– YAG:Nd3+-кристалл должен обладать собственным двулучепреломлением;
– ориентация кристалла должна обеспечивать максимальное двулучепреломление для плоскости поляризации, генерируемой лазером;
Physics and mathematics sciences. Physics
171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
– плоскость поляризации накачки должна быть ортогональна поляризации генерации, задаваемой ориентацией окна Брюстера [1].
В данной работе проведен теоретический анализ, объясняющий причину генерации на длинах волн 1064,15 и 1061,5 нм YAG:Nd3+-лазера при температуре 300 К.
Математическое описание
Анализируя структуру энергетических подуровней иона неодима в кристаллической решетке YAG для мультиплетов 4F3/2 и 4I11/2 [2], видим, что генерация на λ = 1064,15 нм идет с более высокого подуровня А (11507 см−1),
чем генерация на λ = 1061,5 нм и λ = 1064,4 нм подуровень В (11423 см−1).
Ширины линий усиления на λ = 1064,15, 1061,5 и 1064,4 нм одинаковы. Усиление на λ = 1064,15 нм (сечение σ1 = 7,1×10−19см2) выше усиления на
λ = 1061,5 нм (сечение σ2 = 4,7 × 10−19см2) и усиления на λ = 1064,4 нм (сечение σ2 = 1,9 × 10−19см2).
Для теоретического объяснения одновременной генерации двух длин
волн 1064,15 и 1061,5 нм использовалась модель, основанная на системе уравнений Танга, Статца и Де Марса [3]. Система уравнений для случая трех линий
усиления имеет вид
)
(
dmk
(1)
(2)
(3)
= Gmk  g k ( n0 + nk ) + g k + g k ( n0′ + nk′ ) − 1 − βk  ,


dτ
M

 M (1)
dn0
(1) m  −
gm
g m mm nm ,
= A − n0 1 +
m


dτ
 m=1
 m =1


M

 1 (1)
dnk
(1)
g m mm  − g k mk n0 ,
= −nk 1 +

 2
dτ
 m=1


M

 M
dn0′
(2)
(3)
(2)
(3)
′ ,
g k + g k mm  −
g k + g k mm nm
= A′ − n0′ 1 +


dτ
 m=1
 m =1
)
(
)
(
M

 1 (2)
dnk′
(2)
(3)
(3)
= −nk′ 1 +
g k + g k mm  − g k + g k mk n0′ ,


dτ
 m=1
 2
)
(
(
)
(1)
где mk – интенсивность k-й генерируемой продольной моды; βk – потери k-й
продольной моды; А и A′ – параметр накачки на подуровень А и В мультиплета 4F3/2; n0 и nk – пространственно однородная инверсия и ее решетки на
переходе с верхним рабочим подуровнем А; n0′ и nk′ – пространственно
однородная инверсия и ее решетки на переходе с верхним рабочим подуровнем В; М – число продольных мод; G = 2k / γ|| , τ = t / γ|| , γ|| и k – скорости релаксации инверсии населенности и поля в резонаторе; g k – нормированные
лоренцевы функции формы линий, равные
2
g k(1) = 1 + ( ( p − k ) Δ 0 − Δ ) 


172
−1
σ
2 −1
, g k(2) = 2 1 + ( ( p − k ) Δ 0 − Δ + Δ 2 )  ,

σ1 
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
σ
2 −1
g k(3) = 3 1 + ( ( p − k ) Δ 0 − Δ + Δ3 )  ,

σ1 
(1)
ω − ωp
ω
− ωk
,
Δ 0 = k +1
, Δ= 0
γ⊥
γ⊥
ω(2) − ω0(1)
ω(3) − ω(1)
0 ,
Δ2 = 0
, Δ3 = 0
γ⊥
γ⊥
(2)
где γ ⊥ − скорость релаксации поляризации (равная полуширине однородной
(1)
линии усиления); ∆0 – межмодовый интервал; ω0
– центр сильной линии
усиления (λ = 1064,15 нм); ω p − частота ближайшей продольной моды с номером р; ∆ – отстройка продольной моды с номером р от центра сильной ли(3)
нии усиления; ω(2)
0 – центр линии усиления с λ = 1061,5 нм; ω0 – центр
линии усиления с λ = 1064,4 нм.
Так как время кросс-релаксации между подуровнями мультиплета 4F3/2
менее 10–7 с, а время «жизни» мультиплета 4F3/2 равно 2,5·10–4 с, то справедливы следующие предположения:
– параметры накачки А и A′ для подуровней мультиплета 4F3/2 подчиняются распределению Больцмана;
– пространственно однородные инверсии подуровней мультиплета 4F3/2
n0 и n0′ подчиняются распределению Больцмана.
Аналитического решения системы уравнений (1) не существует. Решение системы уравнений (1) для стационарного случая имеет вид
)
(
 1 + β − g (2) + g (3) n′

k
0
k
k

F 1
− n0 
(1)
gk
n



,
n0 = A + A′ − (1 + βk )
I n − n0′ , nk′ =
(2)
(3)
g +g 
m =1
F 2 + F1 k (1) k 


gk



nk =
(
)
1 + βk − g k(2) + g k(3) ( n0′ + nk′ )
g k(1)
− n0 ,
(3)
где
F1 =
(
g k(2)
+
g k(3)
)
M
M




(1)
(2)
(3)
′
1 +
g m mm  n0 , F 2 = 1 +
gm
+ gm
mm  g k(1) n0 .




 m=1

 m=1


(
)
 E − EA 
n
Введя величину w = 0 = exp  B
 , где ЕА и ЕВ – энергии подn0′
 k BT 
уровней А и В; kВ – постоянная Больцмана, можно провести разделение переменных первого уравнения системы уравнений (3) в виде
Physics and mathematics sciences. Physics
173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
n0′ =
M
M


1 
w 
 A + A′ − (1 + βk )
 A + A′ − (1 + βk )
mm  . (4)
mm  , n0 =


1 + w 
1 + w 
m=1
m=1




Результаты расчетов
Далее представлены результаты решения системы уравнений (3) с учетом разделения переменных (4) для разных случаев.
На рис. 1 представлен модовый состав излучения YAG:Nd3+-лазера
в зависимости от параметра накачки для следующих условий: межмодовый
интервал Δ 0 = 0,05 (соответствует резонатору длиной 30 мм), температура
кристалла Т = 250 К, потери неселективные βk = 0,15 (соответствует потерям
на выходном зеркале).
а)
г)
б)
д)
в)
е)
Рис. 1. Зависимость модового состава излучения YAG:Nd3+-лазера на длине волны
1064,15 нм (а–в) и длине волны 1061,5 нм (г–е) при температуре кристалла
Т = 250 К от мощности накачки: А = 5 (а, г); А = 7,5 (б, д); А = 15 (в, е)
Из рис. 1 видно, что при температуре 250 К происходит одновременная
генерация двух длин волн, при этом с ростом мощности накачки (параметра
накачки А+ A′ ) происходит перераспределение мощности в сторону увеличения относительной мощности на длине волны 1061,5 нм. Также заметно смещение максимальной моды относительно центра усиления на длине волны
174
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
1061,15 нм на 4 моды ( Δ = 0, 2 ), что обусловлено влиянием слабой компоненты усиления на длине волны 1064,4 нм, отстоящей от центра усиления сильной компоненты спектра на величину Δ = 0,9 .
Данные, полученные в результате расчетов системы уравнений (3), не
противоречат общепринятым известным данным [3, 4].
Дальнейшие расчеты показали, что при температуре 300 К генерация на
длине волны 1061,5 нм отсутствует независимо от мощности накачки. Основной причиной подавления генерации на длине волны 1061,5 нм является
наличие слабой компоненты усиления 1064,4 нм, так как при g k(3) = 0 реализуется генерация на двух длинах волн 1064,15 и 1061,5 нм одновременно.
Установлено, что одновременная генерация на двух длинах волн при
комнатной температуре осуществляется при наличии значительного двулучепреломления [1]. Так как исследовались YAG:Nd3+-кристаллы длиной 10 мм,
то было проверено предположение, что потери βk могут быть различны для
разных длин волн.
а)
г)
б)
д)
в)
е)
Рис. 2. Зависимость модового состава излучения YAG:Nd3+-лазера
на длине волны 1064,15 нм (а–в) и длине волны 1061,5 нм (г–е), от потерь
на длине волны 1064,15 нм: βk = 0,175 (а, г); βk = 0, 2 (б, д);
βk = 0, 225 (в, е), при потерях на длине волны 1061,5 нм βk = 0,15
Physics and mathematics sciences. Physics
175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
На рис. 2 представлены результаты расчета модового состава излучения
YAG:Nd3+-лазера на длине волны 1064,15 нм и длине волны 1061,5 нм в зависимости от роста потерь на длине волны 1064,15 нм при следующих постоянных условиях: потери на длине волны 1061,5 нм βk = 0,15 , мощность накачки
(параметр накачки А = 15), межмодовый интервал Δ 0 = 0,05 , температура
кристалла Т = 300 К.
Как видно из рис. 2, при превышении уровня потерь на длине волны
1064,15 нм над уровнем потерь на длине волны 1061,4 нм на величину более
0,05 происходит резкий перескок генерации на длину волны 1061,5 нм. В реальных условиях перескок не наблюдается, а наблюдается одновременная генерация двух длин волн. Это обусловлено тем, что генерация осуществляется
по всей длине YAG-кристалла, поэтому при прохождении излучения через
окно Брюстера потери, вызванные двулучепреломлением, для разных сечений
YAG-кристалла разные.
Заключение
В результате теоретического анализа была представлена математическая модель многомодовой генерации YAG:Nd3+-лазера, имеющего три
близких линии усиления. Показано влияние слабой компоненты усиления
(1064,4 нм) на генерацию второй длины волны (1061,5 нм). Показано влияние
потерь, вызванных двулучепреломлением кристалла YAG, на одновременную
генерацию двух длин волн 1064,15 и 1061,5 нм при комнатной температуре
(300 К).
Список литературы
1. Г о л о в к о в, О . Л. Непрерывная генерация двух длин волн 1064,15 и 1061,5 нм
Nd:YAG–лазером / О. Л. Головков, Г. А. Купцова, В. А. Степанов // Физика лазерных процессов и применение : сб. науч. тр. Междунар. науч. семинара
(Россия – Китай). – Рязань : РГУ им. С. А. Есенина, 2012. – С. 60–64.
2. К а м и н с к и й , А . А . Лазерные кристаллы / А. А. Каминский. – М. : Наука, 1975. –
256 с.
3. Х а н и н , Я . И . Основы динамики лазеров / Я. И. Ханин. – М. : Наука, Физматлит, 1999. – 360 с.
4. М е з е н о в, А . В. Термооптика твердотельных лазеров / А. В. Мезенов,
Л. Н. Сомс, А. И. Степанов. – Л. : Машиностроение, 1986. – 199 с.
References
1. Golovkov O. L., Kuptsova G. A., Stepanov V. A. Fizika lazernykh protsessov i primenenie : sb. nauch. Tr. Mezhdunar. nauch. seminara (Rossiya – Kitay) [Physics of laser
processes and application: proceedings of the International scientific seminar (Russia China)]. Ryazan: RGU im. S. A. Esenina, 2012, pp. 60–64.
2. Kaminskiy A. A. Lazernye kristally [Laser crystals]. Moscow: Nauka, 1975, 256 p.
3. Khanin Ya. I. Osnovy dinamiki lazerov [Fundamentals of laser dynamics]. Moscow:
Nauka, Fizmatlit, 1999, 360 p.
4. Mezenov A. V., Soms L. N., Stepanov A. I. Termooptika tverdotel'nykh lazerov [Thermal optics of solid-state lasers]. Leningrad: Mashinostroenie, 1986, 199 p.
176
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Головков Олег Леонидович
кандидат физико-математических наук,
докторант кафедры общей
и теоретической физики и методики
преподавания физики, Рязанский
государственный университет
имени С. А. Есенина
(г. Рязань, ул. Свободы, 46)
Golovkov Oleg Leonidovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, doctor degree applicant,
sub-department of general and theoretical
physics and physics teaching technique,
Ryazan State University named after
S. A. Esenin (Ryazan, 46 Svobody str.)
E-mail: golovkow@mail.ru
Купцова Галина Александровна
аспирант, Рязанский государственный
университет имени С. А. Есенина
(г. Рязань, ул. Свободы, 46)
Kuptsova Galina Aleksandrovna
Postgraduate student, Ryazan State
University named after S. A. Esenin
(Ryazan, 46 Svobody str.)
E-mail: golovkow@mail.ru
Степанов Владимир Анатольевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой общей
и теоретической физики и методики
преподавания физики, Рязанский
государственный университет
имени С. А. Есенина (г. Рязань,
ул. Свободы, 46)
Stepanov Vladimir Anatol'evich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of general and theoretical physics
and physics teaching technique,
Ryazan State University named
after S. A. Esenin (Ryazan, 46 Svobody str.)
E-mail: golovkow@mail.ru
УДК 621.373.826
Головков, О. Л.
Влияние потерь, вызванных двулучепреломлением в YAG-кристалле,
на генерацию двух длин волн 1064,15 и 1061,5 нм / О. Л. Головков, Г. А. Купцо-
ва, В. А. Степанов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 2 (26). – С. 171–177.
Physics and mathematics sciences. Physics
177
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 621.327.534
В. А. Горюнов, А. М. Майоров, М. И. Майоров
ГЕНЕРАТОР ВЫСОКОВОЛЬТНЫХ ИМПУЛЬСОВ
С ГАЗОРАЗРЯДНЫМ СТАРТЕРОМ ДЛЯ ЗАЖИГАНИЯ
ЛАМП ВЫСОКОГО ДАВЛЕНИЯ
Аннотация. Газоразрядный стартер представлен комбинацией трех элементов:
ключа, сопротивления утечки и разрядника, что позволяет расширить сферу
применения стартеров, создавая на их основе устройства для зажигания газоразрядных ламп высокого давления. Параметры разрядника (напряжение пробоя) зависят от конструкции стартера, состава и давления наполняющего газа –
чем больше давление газа в стартере, тем ниже его «пробивное» напряжение,
чем легче газ, тем больше напряжение пробоя. Место локализации катодного
пятна находится возле спая электрода со стеклом. Объяснение возникновения
пробоев в стартере дано с позиции возникновения взрывной электронной
эмиссии, которая обеспечивает достаточную плотность тока для такого перехода. Измеренная величина тока достигала 400 А. Для генерирования импульсов с амплитудой 15–30 кВ представлены варианты устройств со стартером и
автотрансформатором (ИЗУС-А), со стартером и трансформатором (ИЗУС-Т).
Ключевые слова: генератор импульсов, стартер тлеющего разряда, генерирование импульсов.
V. A. Goryunov, A. M. Mayorov, M. I. Mayorov
HIGH-VOLTAGE PULSE GENERATOR WITH GAS-DISCHARGE
STARTER FOR HIGH-PRESSURE LAMPS IGNITION
Abstract. The gas-discharge starter consists of a combination of three elements: a key,
leakage resistance and a gap that allows to expand the application field of starters, creating their basis the devices for igniting high-pressure discharge lamps. Parameters of
the gap (breakdown voltage) depend on the design of the starter composition and pressure of the filling gas – the more is the gas pressure in the starter, the lower is its
"breakdown" voltage, the lighter is the gas the greater is the breakdown voltage. The
area of the cathode spot localization is located near the junction of the electrode with
glass. The occurence of breakdowns in the starter is explained from position of an explosive electron emission occurence, which provides sufficient current density for such
a transition. The measured value of the current reached 400 A. To generate a pulse
with an amplitude of 15–30 kV the authors introduce variations of devices with the
starter and auto-transformer (IZUS-A), with a starter and a transformer (IZUS-T).
Key words: pulse generator, glow discharge starter, pulse generation.
Для зажигания некоторых типов ламп высокого давления необходима
амплитуда импульса порядка 15–30 кВ.
Известны устройства для зажигания газоразрядных ламп, содержащие
подключенный к сети переменного тока через выпрямитель с умножением
напряжения конденсатор, в цепь разряда которого через газонаполненный
разрядник включена первичная обмотка импульсного трансформатора, вторичная обмотка которого включена в цепь питания лампы [1].
В устройстве для зажигания газоразрядных ламп от сети переменного
тока [2] один конец повышающей обмотки импульсного автотрансформатора
178
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
соединен с первым выходным выводом для подключения лампы, другой –
через разделительный конденсатор со вторым выводом для подключения
лампы, и первичная обмотка включена в контур, образованный тиристором и
разрядным конденсатором.
Наличие в устройствах полупроводниковых приборов и других деталей
ограничивает температурный диапазон их функционирования, усложняет изготовление, ведет к увеличению веса и габаритов.
При исследовании характеристик стартеров тлеющего разряда нами
было установлено, что в эквивалентной электрической схеме включения
стартера для зажигания газоразрядных ламп (рис. 1), стартер S может быть
представлен комбинацией трех элементов: ключа К, сопротивления утечки
R2, разрядника Р [3, 4]. Параметры разрядника Р (напряжение пробоя – Umax)
зависят от конструкции стартера, состава и давления наполняющего газа. Зависимость Umax от давления наполняющего стартер газа для Не и Ne приведена на рис. 2 (катодом включен электрод без биметалла). Стартеры по конструкции не отличались от стартеров 80С 220-2.
D
D
A
а
II1
11
II2
22
I3
I
33
RR2
22
SS
1
K
C
2
PР
R11
R1
б
B
Рис. 1. Эквивалентная электрическая схема включения
стартера для зажигания газоразрядных ламп
Umax, B
2
1
p, мм рт. ст.
Рис. 2. Зависимость напряжение пробоя Umax от давления
наполняющего стартер газа: 1 – Ne; 2 – Не
Physics and mathematics sciences. Physics
179
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Анализ данных графиков, указывает на закономерность: чем больше
давление газа в стартере, тем ниже его «пробивное» напряжение; чем легче
газ, тем больше напряжение пробоя Umax
Сопротивление R2 определяется для стадии аномального тлеющего разряда в стартере.
Объяснение возникновения пробоев в стартере можно дать с позиции
возникновения взрывной электронной эмиссии (ВЭЭ) [5].
Установлено, что электроны проводимости, перенося электрический
ток, приносят из глубины катода к границе эмиссии среднюю энергию на
один электрон, близкую к энергии Ферми. Электроны эмиссии уносят с катода среднюю энергию на один электрон, меньшую энергии Ферми. В результате в катоде вблизи границы эмиссии накапливаются горячие электроны, что
приводит к локальному разогреву катода. Это приводит, в свою очередь,
к локальному увеличению электросопротивления и бурному выделению джоулева тепла, что является второй составляющей теплового разрушения. При
высоких плотностях тока (108 А/см2 и выше) процесс может быть настолько
интенсивным, что приводит к взрывообразному разрушению отдельных
участков катода. Из продуктов эрозии катода образуется прикатодная плазма,
т.е. газ, состоящий из электронов и ионов различной кратности заряда. Температура электронов Те = (4–5) · 104 К, температура ионов Ti = 104 К. Прикатодная плазма распространяется в межэлектродный промежуток со скоростью υ = (1–2) · 106 см/с. Эта скорость слабо зависит от приложенной межэлектродной разности потенциалов и материала катода.
Концентрация электронов в этой плазме высока, энергия связи их с положительными ионами мала, что обеспечивает высокую эмиссию электронов
(плотность тока на несколько порядков выше других видов электронной
эмиссии) из этого сгустка плазмы. Длительность процесса эмиссии мала (порядка нескольких микросекунд).
Результаты исследований [6] показали, что как только напряженность
поля в приэлектродной области достигает величин, превышающих 2 · 105 В/см,
аномальный тлеющий разряд переходит в низковольтную форму с катодным
пятном – реализуется механизм ВЭЭ. Наиболее показательно это проявляется
в стартерах – место локализации катодного пятна находится возле спая электрода со стеклом. Данный экспериментальный факт можно объяснить тем,
что при работе стартера реализуется процесс напыления натрия на внутренние поверхности газоразрядного стартера, так как колба стартера изготовлена
из стекла, в состав которого входит натрий. В месте пробоя, при возникновении ВЭЭ, поверхность электрода вместе с осевшим на ней слоем натрия
взрывается и в спектре свечения появляется интенсивная линия натрия.
На рис. 3 изображен результат воздействия ВЭЭ на электрод стартера.
Хорошо видно разрушение электрода в месте контакта со стеклом.
В этой области наблюдалось наиболее интенсивное излучение натрия при
пробоях в стартере.
Для оценки возможных значений силы тока при пробое конденсатор
емкостью 10 мкФ заряжали от источника питания до начального напряжения
200 В и подключали к электродам стартера последовательно с сопротивлением 0,1 Ом. Инициирующий высоковольтный импульс вызывал протекание
тока между электродами. При этом конденсатор разряжался. Осциллограмма,
характеризующая зависимость тока от времени, изображена на рис. 4. Мак-
180
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
симальное значение тока ограничивалось наличием паразитной индуктивности ~ 2 мкГн.
Рис. 3. Результат воздействия ВЭЭ на электрод стартера
(стрелкой указана область разрушения электрода)
I
t
Рис. 4. Зависимость тока от времени при пробое стартера. Ток I – 130 А/дел; время t –
20 мкс/дел (стрелкой обозначен момент пробоя газоразрядного промежутка)
Результаты измерений показали, что процесс нарастания тока определялся не характеристиками электродов, не составом газового наполнения, а
параметрами внешней цепи. Эмиссионные свойства электродов, их размер не
являлись ограничителем тока через газоразрядный промежуток; эмиссионный
ток был больше 400 А, что может быть обеспечено механизмом ВЭЭ.
Таким образом, стартер тлеющего разряда является сложным газоразрядным прибором с подвижными электродами, в котором реализуется, кроме
тлеющего, и дуговой разряд с «холодным» катодом, что позволяет расширить
сферу применения стартеров, создавая на их основе устройства для зажигания
газоразрядных ламп высокого давления.
Physics and mathematics sciences. Physics
181
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В разработанном нами генераторе высоковольтных импульсов с газоразрядным стартером [7], содержащим импульсный автотрансформатор, один
конец повышающей обмотки которого соединен с первым выводом лампы,
первичная обмотка импульсного автотрансформатора включена в контур, образованный конденсатором и стартером тлеющего разряда, общая точка которых подключена ко второму выходному выводу лампы, а сеть подключена
через дроссель между вторым выходным выводом лампы и концом первичной обмотки импульсного автотрансформатора, не общим с повышающей
(рис. 5,а). В устройстве исключены все полупроводниковые приборы, их
функции выполняет один прибор – газоразрядный стартер. Он обеспечивает
зарядку емкости до напряжения больше сетевого и ее разряд через первичную
обмотку импульсного автотрансформатора, приводящий к появлению на
лампе высоковольтного импульса.
1
5
4
2
1
4
2
6
б)
а)
5
4
2
6
3
в)
6
3
3
1
5
1
5
4
2
6
3
г)
Рис. 5. Электрическая схема импульсного зажигающего устройства
со стартером и автотрансформатором (ИЗУС-А).
Работает устройство следующим образом. При включении устройства
в сеть через дроссель 1 в газоразрядном стартере 2 возникает тлеющий разряд. Биметалл стартера нагревается и замыкает цепь. При этом тлеющий разряд в стартере гаснет. Через дроссель протекает ток, в дросселе накапливается энергия WM = L I 2 / 2, где L – индуктивность дросселя, I – ток. При размыкании контактов стартера ток разрывается и энергия магнитного поля дросселя переходит в энергию электрического поля конденсатора 3: WЭ = CU 2 / 2,
где С – емкость конденсатора, U – напряжение на конденсаторе. Напряжение
на конденсаторе 3 нарастает не мгновенно, а с постоянной времени τ = LC.
С такой же скоростью нарастает напряжение и на стартере 2. Через стартер
протекает ток аномального тлеющего разряда. При некоторой величине
напряжения на стартере (называемой амплитудой высоковольтного импульса
Umax) аномальный тлеющий разряд в стартере переходит в низковольтную
форму, характеризуемую низким напряжением (10–30 В) При этом конденсатор 3, заряженный до Umax, разряжается через первичную обмотку 4 импульсного автотрансформатора, благодаря повышающей обмотке 5 которого
к лампе 6 прикладывается высоковольтный импульс. Высоковольтные импульсы генерируются до тех пор, пока не израсходуется вся энергия WM,
182
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
накопленная в дросселе, или же пока лампа не зажжется. Количество высоковольтных импульсов, генерируемых устройством после одного контактирования стартера, близко к числу, определенному отношением WM / WЭ.
В ряде случаев целесообразно подключать зажигающее устройство так,
чтобы один из выводов обмотки токоограничительного дросселя был подключен к лампе, а высоковольтная обмотка импульсного зажигающего
устройства одним выводом была подключена к сети, а другим – к выводу обмотки токоограничительного дросселя, не соединенному с газоразрядной
лампой, при этом параллельно обмотке токоограничительного дросселя подключен конденсатор емкостью 10–9–10–10Ф [8].
Одна из модификаций зажигающего устройства приведена на рис. 5,б.
Разница между устройствами по схеме рис. 5,а,б состоит в том, что точки
подключения стартера тлеющего разряда и конденсатора взаимно изменены.
Работает устройство так же, как и описанное выше.
Схема устройства для зажигания газоразрядных ламп, в котором сеть
подключена через дроссель параллельно электродам газоразрядной лампы,
представлено на рис. 5,в,г. Порядок подключения сети не меняет существа
изобретения, описание работы устройства остается прежним.
В изготовленных устройствах использовали стартеры 2 с Umax = 2000 В,
конденсатор 3 с С = 10000 пФ, импульсный автотрансформатор был намотан
на ферритовом кольце, обмотка 4 содержала четыре витка провода диаметром
1 мм, обмотка 5 – 30 витков такого же привода. При использовании дросселя 1
на мощность от 40 до 400 Вт между электродами лампы генерировались импульсы амплитудой до 15 кВ с длительностью 0,5 мкс (рис. 6) при включении
устройства в сеть переменного тока 220 В. При каждом пробое стартера реализуется ударное возбуждение колебаний в контуре, состоящем из первичной
обмотки 4 импульсного автотрансформатора, конденсатора 3 и стартера 2.
Период Т этих колебаний можно оценить, используя Т = 2 π LC , где L –
индуктивность первичной обмотки импульсного автотрансформатора, С –
емкость конденсатора 3. В реализованном нами варианте устройства для зажигания газоразрядных ламп высоковольтный импульс представляет собой
серию затухающих колебаний с периодом около 1 мкс.
Рис. 6. Осциллограмма серии высоковольтных импульсов генерируемых ИЗУС-А;
По вертикали – 5000 В/дел, по горизонтали – 2 мкс/дел.
Изображены два импульса из всей серии
Physics and mathematics sciences. Physics
183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Количество высоковольтных импульсов (больше 10), генерируемых
устройством после одного контактирования стартера, определялось соотноше2
нием LI 2 / CU max
. Как видно, это количество определяется емкостью конденсатора, индуктивностью дросселя, током, текущим в дросселе в момент разрыва контактов стартера, величиной Umax. Именно при этом напряжении происходит переход разряда к низковольтной форме (пробой стартера). Более
подробно о переходе аномального тлеющего разряда в низковольтную форму
в стартерах тлеющего разряда и о причинах, определяющих значение Umax,
изложено в [9].
Реализованное устройство было работоспособно в интервале температур от –40 до +140 °С, содержало всего три детали, занимало объем 25 см3 и
при массе 35 г зажигало натриевую лампу высокого давления за 3–5 с.
Устройство обеспечивало зажигание как холодной, так и горячей лампы.
Другой вариант генератора высоковольтных импульсов с газоразрядным стартером, разработанный нами, предложен в [10]. Технический эффект
заключается в обеспечении возможности зажигания бездроссельных, например ксеноновых, ламп. Отличие устройства заключается в том, что оно содержит подключенный к источнику напряжения через дроссель конденсатор,
в цепь разряда которого через стартер включена первичная обмотка импульсного трансформатора, через вторичную обмотку которого лампа подключена
к источнику питания лампы. При этом должно выполняться следующее усло2
вие: LI 2 > CU max
. На рис. 7,а приведена электрическая схема устройства
с импульсным трансформатором, используемая для зажигания газоразрядной
лампы [10]; схема содержит подключенный к источнику напряжения через
дроссель 1 конденсатор 2, в цепь разряда которого через стартер 3 включена
первичная обмотка 4 импульсного трансформатора, через вторичную обмотку 5 которого лампа 6 подключена к источнику питания 7 лампы.
Еще один вариант схемы устройства [10] приведен на рис. 7,б. Устройство для зажигания газоразрядной лампы содержит подключенный к источнику напряжения через дроссель 1 конденсатор 2, в цепь разряда которого
или через стартер 3 включена первичная обмотка 4 импульсного трансформатора, через вторичную обмотку 5 которого лампа 6 подключена к источнику
питания 7 лампы, при этом источником напряжении является источник питания 7 лампы. Такое включение упрощает конструкцию устройства и может
быть использовано для ряда применений.
Если необходимо ограничить ток разрыва контактов газоразрядного
прибора, то последовательно с дросселем можно включить резистор или конденсатор или включить их совместно, обеспечив ограничения величины тока
в пределах от 0,1 до максимально допустимого значения для данного газоразрядного прибора. Схема устройства с токоограничительным элементом изображена на рис. 7,в. В цепь дросселя 1 включено токоограничительное сопротивление 8 с емкостной или активной характеристикой.
Устройства [10] работают как и описанные ранее. В реализованных
нами вариантах устройств высоковольтный импульс представляет собой серию затухающих колебаний с периодом около 1 мкс, подобных изображенным на рис. 6.
184
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Для применения в разработанных нами и описанных в данной статье
генераторах высоковольтных импульсов можно использовать стартеры тлеющего разряда как отечественного, так и иностранного производства.
1
1
2
6
3
4
6
3
5
а)
2
4
б)
7
1
5
7
8
2
3
4
в)
6
5
7
Рис. 7. Электрическая схема импульсного зажигающего
устройства со стартером и трансформатором (ИЗУС-Т)
Список литературы
1. А.С. №561310 СССР, кл.Н05В 41/23. Устройство для зажигания газоразрядных
ламп / Хузмиев М. А., Филоненко В. Г. Опубл. 05.06.77, Бюл. № 21.
2. А. С. 568225 СССР, МКИ Н05В 41/23. Устройство для зажигания газоразрядных
ламп / В. И. Догилев, В. Е. Боленок, М. Е. Клыков, Б. Ф. Козлов. Опубл. 1977,
Бюл. № 20.
3. М а й о р о в , М . И . Исследование причин возникновения пробоя в газоразрядных
стартерах / М. И. Майоров // Фундаментальные и прикладные проблемы физики :
тезисы докладов III Междунар. науч.-техн. конф. – Саранск, 2001. – С. 16.
4. М а й о р о в М . И . О механизме пробоя газоразрядного стартера / М. И. Майоров, А. М. Майоров, В. А. Горюнов // Фундаментальные и прикладные проблемы
физики : тезисы докладов IV Междунар. науч.-техн. конф. – Саранск, 2003. – С. 12.
5. К о р о л е в , Ю . Д . Автоэмиссионные и взрывные процессы в газовом разряде /
Ю. Д. Королев, Г. А. Месяц. – Новосибирск : Наука, 1982. – 254 с.
6. М а й о р о в , М . И . Стартеры тлеющего разряда. Физические основы конструирования / М. И. Майоров. – Саранск : Изд-во Мордов. ун-та, 2007. – 176 с.
7. Пат. 2134496 РФ, МПК7 Н 05 В 41/23. Устройство для зажигания газоразрядных
ламп / М. И. Майоров (Россия). Опубл. 10.08.99, Бюл. № 22.
8. Пат. 2291597 РФ, МПК7 Н05В41/231. Пускорегулирующее устройство для газоразрядной лампы / М. И Майоров, А. М. Майоров, В. А. Горюнов (Россия).
Опубл. 10.01.07, Бюл. № 1.
9. Г о р ю н о в , В. А . Механизм ограничения амплитуды высоковольтного импульса, генерируемого в стартерной схеме включения газоразрядных ламп / В. А. Горюнов, А. М. Майоров, М. И. Майоров // Светотехника. – 2006. – № 2. – С. 15–18.
Physics and mathematics sciences. Physics
185
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
10. Пат. 2211549 РФ, МПК7 Н 05 В 41/23. Устройство для зажигания газоразрядной
лампы / М. И. Майоров (Россия). Опубл. 27.08.03, Бюл. № 24.
References
1. A.S. №561310 SSSR, kl.N05V 41/23. Ustroystvo dlya zazhiganiya gazorazryadnykh
lamp [Device for ignition of gas-discharge lamps]. Khuzmiev M. A., Filonenko V. G.
05.06.77, no. № 21.
2. A. S. 568225 SSSR, MKI N05V 41/23. Ustroystvo dlya zazhiganiya gazorazryadnykh
lamp [Device for ignition of gas-discharge lamps]. Dogilev V. I., Bolenok V. E.,
Klykov M. E., Kozlov B. F.1977, no. 20.
3. Mayorov M. I. Fundamental'nye i prikladnye problemy fiziki : tezisy dokladov III
Mezhdunar. nauch.-tekhn. konf. [Fundamental and applied problems of physics: brief
reports of the III International scientific and technical conference]. Saransk, 2001, p.
16.
4. Mayorov M. I., Mayorov A. M., Goryunov V. A. Fundamental'nye i prikladnye problemy fiziki : tezisy dokladov IV Mezhdunar. nauch.-tekhn. konf. [Fundamental and applied problems of physics: brief reports of the IV International scientific and technical
conference]. Saransk, 2003, p. 12.
5. Korolev Yu. D., Mesyats G. A. Avtoemissionnye i vzryvnye protsessy v gazovom
razryade [Field-emission and explosion processes in gas discharge]. Novosibirsk: Nauka, 1982, 254 p.
6. Mayorov M. I. Startery tleyushchego razryada. Fizicheskie osnovy konstrui-rovaniya
[Glow discharge starters. Physical basics of construction]. Saransk: Izd-vo Mordov. unta, 2007, 176 p.
7. Pat. 2134496 RF, MPK7 N 05 V 41/23. Ustroystvo dlya zazhiganiya gazorazryadnykh
lamp [Device for ignition of gas-discharge lamps]. Mayorov M. I. 10.08.99, no. 22.
8. Pat. 2291597 RF, MPK7 N05V41/231. Puskoreguliruyushchee ustroystvo dlya gazorazryadnoy lampy [Start controlling device for gas-discharge lamps]. Mayorov M. I.,
Mayorov A. M., Goryunov V. A. 10.01.07, no. 1.
9. Goryunov V. A., Mayorov A. M., Mayorov M. I. Svetotekhnika [Lighting technology].
2006, no. 2, pp. 15–18.
10. Pat. 2211549 RF, MPK7 N 05 V 41/23. Ustroystvo dlya zazhiganiya gazorazryadnoy
lampy [Device for ignition of a gas-discharge lamp]. Mayorov M. I. 27.08.03, no. 24.
Горюнов Владимир Александрович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра экспериментальной
физики, Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева
(г. Саранск, ул. Пролетарская, 63)
Goryunov Vladimir Aleksandrovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of experimental physics, Mordovia State
University named after N. P. Ogaryov
(Saransk, 63 Proletarskaya str.)
E-mail: gorval1934@mail.ru
Майоров Александр Михайлович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра автоматизации
производственных процессов,
Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева
(г. Саранск, ул. Пролетарская, 63)
Mayorov Aleksandr Mikhaylovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of production processes
automation, Mordovia State University
named after N. P. Ogaryov (Saransk,
63 Proletarskaya str.)
E-mail: mayorovam@mail.ru
186
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Майоров Михаил Иванович
доктор технических наук, профессор,
кафедра общенаучных дисциплин,
Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева
(г. Саранск, ул. Пролетарская, 63)
Mayorov Mikhail Ivanovich
Doctor of engineering sciences, professor,
sub-department of general scientific
disciplines, Mordovia State University
named after N. P. Ogaryov (Saransk,
63 Proletarskaya str.)
E-mail: mayorovmi@mail.ru
УДК 621.327.534
Горюнов, В. А.
Генератор высоковольтных импульсов с газоразрядным стартером
для зажигания ламп высокого давления / В. А. Горюнов, А. М. Майоров,
М. И. Майоров // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2013. – № 2 (26). – С. 178–187.
Physics and mathematics sciences. Physics
187
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 538.945
Л. А. Суворова, А. Р. Буев
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ МАГНИТНОГО
ПОТОКА В ИССЛЕДОВАНИИ КРИТИЧЕСКОГО
СОСТОЯНИЯ ОБРАЗЦА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО
СВЕРХПРОВОДНИКА КОЛЬЦЕВОЙ ФОРМЫ
Аннотация. Цель работы: исследование кривой намагничивания в зависимости магнитного поля сверхпроводящего кольца BК (i) и магнитного поля соленоида BС (i) от скорости изменения магнитного потока через отверстие
кольца. Материал и методы исследования: проведены эксперименты по измерению критического тока высокотемпературного сверхпроводящего (ВТСП)
кольца индуктивным методом. Основная особенность индуктивного метода
снятия кривых намагничивания заключается в том, что ВТСП-кольцо взаимодействует только с собственным магнитным полем, и отсутствует непосредственное воздействие внешнего магнитного поля на данный образец. Измеряется магнитное поле, создаваемое ВТСП-кольцом, который наводится путем
введения внешнего магнитного потока в отверстие кольца с помощью соленоида с постоянным током. Одним из достоинств проведенных экспериментальных работ является то, что в эксперименте наглядно продемонстрировано действие двух законов, описывающих индуктивные токи и диапазоны действия
этих законов. При этом показано, для ВТСП образцов при токах I < I 2c выполняется закон сохранения магнитного потока; для образцов в резистивном
(или частично резистивном) состоянии при токах I ≥ I 2c выполняется закон
электромагнитной индукции. Поскольку на вещество кольца отсутствует
непосредственное воздействие внешнего магнитного поля, из кривой намагничивания наблюдаем, что кривая магнитного поля кольца BК (i) проходит параллельно оси внешнего магнитного поля BС (i) и не зависит от скорости изменения магнитного потока. С помощью исследования хода кривой намагничивания от скорости изменения магнитного потока установлено явление эквидистантности кривых намагничивания при кратных скоростях изменения магнитного потока. В результате найдено новое соотношение для вольтамперной
характеристики ВТСП для области токов, близких к критическому. При этом
наиболее важным является то, что характер перехода не зависит от типа и
структуры и микроструктуры сверхпроводника, а определяется только лишь
законом сохранения магнитного потока.
Ключевые слова: керамические высокотемпературные сверхпроводники, кольцевой образец, ток индукции, собственное магнитное поле, кривая намагничивания, закон сохранения магнитного потока, закон электромагнитной индукции,
вольтамперная характеристика.
L. A. Suvorova, A. R. Buev
APPLICATION OF MAGNETIC FLUX CONSERVATION
LAW IN RESEARCH OF CRITICAL STATES OF HTSC
RING-SHAPED SAMPLE
Abstract. Objective of the work is to study the magnetization curve as a function of
the magnetic field of a superconducting ring BК (i) on the magnetic field of the sole-
188
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
noid BС (i) on the velocity of change of magnetic flux through the hole of the ring.
Material and Methods: Experiments were conducted to measure the critical current
of HTSC ring inductive method. The main feature of the inductive method of magnetization curves removal is that HTSC ring interacts only with its own magnetic
field and there is no direct effect of the external magnetic field on the sample. The
authors measure the magnetic field generated by HTSC ring, which is induced by
administration of the external magnetic flux in the ring hole by means of solenoid
with constant current. One of the advanteges of the conducted experimental work is
the fact that the experiment clearly demonstrates the action of two laws describing
the inductive currents and the ranges of these laws. It is shown, for HTSC samples
at currents I < I 2c – it is the law of conservation of magnetic flux, and for the samples in the resistive (or partially resistive) state, with the currents I ≥ I 2c – it is the
law of electromagnetic induction. As the material of the ring is not a directly effected by the external magnetic field of the magnetization curve, the curve of the magnetic field extends parallel to the ring axis of the external magnetic field and depends on the velocity of change of magnetic flux. By means of the magnetization
curve study to velocity of magnetic flux change the researchers determined the phenomenon of equidistance of magnetization curve on the multiple velocities of magnetic flux change. As a result the authors discovered a new correlation for the voltage-current characteristic of HTSC for area of near-critical current. Thus the most
important fact is that nature of transition doesn't depend on type and structure and
superconductor microstructure, and is defined only by the law of magnetic flux conservation.
Key words: ceramic HTSC, ring sample, induction current, self-magnetic field,
magnetization curve, magnetic flux conservation law, law of electromagnetic induction, voltage-current characteristic.
Введение
Проведены эксперименты по измерению критического тока кольца высокотемпературного сверхпроводника (ВТСП) индуктивным методом [1, 2]. Основная особенность заключается в том, что индуктивный метод снятия кривых намагничивания к специальному исследованию взаимодействия ВТСПкольца непосредственно только с собственным магнитным полем. Измеряется
магнитное поле, создаваемое ВТСП-кольцом, который наводится путем введения внешнего магнитного потока в отверстие кольца с помощью соленоида
с постоянным током. В силу того, что магнитное поле длинного соленоида
сосредоточено только внутри него, построены индуктивные кривые с помощью двух датчиков Холла, один из которых находится в плоскости сверхпроводящего кольца, а второй – вдалеке от кольца, внутри соленоида. Разность
напряжений датчиков Холла дает величину собственного магнитного поля
ВТСП-кольца.
1. Бесконтактный метод и устройство для измерения критического тока
ВТСП-кольца и других его характеристик. Экспериментальная кривая
В работе используется способ бесконтактного измерения критического
тока ВТСП-кольца и других его параметров [2–4]. В данной работе проводится анализ экспериментальных результатов. Измерительная ячейка, которая
используется в эксперименте, представлена на рис. 1 [3].
Данным методом исследованы несколько сотен поликристаллических ВТСП-образцов кольцевой формы составов Bi 2Sr2CaCu 2 O x ,
Physics and mathematics sciences. Physics
189
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Bi 2Sr2 Ca 2 Cu 3O8+δ , YBa 2 Cu 3O x . В результате эксперименты коррелируют
с результатами, полученными известными методами [5]. В то же время
найдены новые закономерности в результате особенностей данного метода
измерения, главной из которых является то, что кольцо взаимодействует
только с собственным магнитным полем. Это достигается тем, что внешнее
магнитное поле вводится внутрь кольца с помощью соленоида (рис. 1). В результате полностью отсутствует непосредственное воздействие внешнего
магнитного поля на вещество кольца и воздействует на него индуктивно, т.е.
посредством закона сохранения магнитного потока.
D
d
1
4
2
L
L1
3
d1
D1
Рис. 1. Измерительная ячейка для бесконтактного исследования сверхпроводящих
параметров ВТСП-колец: 1 – магнитозамкнутый сердечник из магнитомягкого
материала (используется в тех случаях, когда необходимо усиление магнитного
поля); 2 – датчик (магнитного поля) Холла; 3 – соленоид; 4 – ВТСП-кольцо
На длинный соленоид с двумя датчиками Холла внутри него надевается
ВТСП-кольцо так, чтобы один из датчиков находился в центре кольца, а другой – вне этого кольца. Вся измерительная ячейка (с двумя датчиками Холла)
замораживается в жидком азоте до температуры 77 К.
После замораживания в соленоид подается ток, который создает магнитное поле BС (i ) , пронизывающее кольцевой образец, при этом не взаимодействуя с веществом образца. С помощью датчиков Холла измеряется зависимость BК (i ) магнитного поля сверхпроводящего кольца от магнитного поля соленоида BС (i ) .
В результате измерений строится зависимость BК ( BС ) , представленная
на рис. 2. Скорость изменения магнитного потока задается скоростью изме-
190
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
нения тока соленоида ν = di / dt = const. На рис. 2 представлены три кривых
намагничивания для трех кратных скоростей ν m (m = 1, 2, 3) изменения магнитного поля соленоида. При этом гистерезисные кривые оказываются эквидистантными.
BK(i)
3
4
5
0
2
1
BC(i)
3 2 1
Рис. 2. Кривые намагничивания BК ( BС ) для трех скоростей роста тока
соленоида νm (m = 1, 2, 3), порождающего магнитное поле BС (i) при:
1 – v1 = 0,3 мА/с; 2 – v2 = 3 мА/с; 3 – v3 = 30 мА/с
Участки 3-4 и 5-2 проходят строго параллельно оси BС (i ) .
С ростом скорости ν m расстояния между соответствующими кривыми
BК ( BС ) увеличиваются до тех пор, пока при достаточно больших скоростях
ν m они не становятся эквидистантными. При ν m → 0 расстояния между
кривыми BК ( BС ) стремятся к нулю.
2. Закон электромагнитной индукции и закон сохранения
магнитного потока для сверхпроводящего кольца
Особенностью кривой намагничивания (см. рис. 2) является то, что
кривая магнитного поля кольца BК (i ) проходит параллельно оси внешнего
магнитного поля BС (i ) . Следует отметить, что во многих аналогичных экспериментах эта зависимость имеет вид, приведенный на рис. 3.
BK(i)
BC(i)
Physics and mathematics sciences. Physics
191
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 3. Зависимость BК ( BС ) в случае размещения
ВТСП-кольца внутри соленоида с током i [5, 7]
То есть собственное магнитное поле кольца убывает. Это объясняется
тем, что сверхпроводящее вещество кольца подвержено действию трех факторов, это: сверхпроводящий ток кольца, магнитное поле сверхпроводящего
тока кольца и магнитное поле соленоида. В результате воздействия магнитного поля соленоида на вещество критический ток кольца, а также создаваемое
им магнитное поле кольца убывают, поскольку в этом случае магнитное поле
подавляет сверхпроводящее состояние кольца (эффект Мейсснера – Оксенфельда) [6]. На соответствующих кривых намагничивания (см., например, [5])
описанный процесс приводит к тому, что участок 1-2 гистерезисной кривой
приближается к оси BС (i ) вплоть до пересечения с нею. Сверхпроводящий
ток и соответствующее магнитное поле равны нулю, а ВТСП-кольцо переходит полностью в резистивное состояние.
Такое существенное отличие экспериментальных кривых BК ( BС )
(рис. 2, 3) объясняется тем, что в нашем эксперименте внешнее магнитное
поле создается соленоидом, вставленным в отверстие кольца, и поэтому
внешнее магнитное поле не имеет непосредственного контакта с веществом,
т.е. не действует эффект Мейсснера – Оксенфельда.
В нашем эксперименте собственное магнитное поле кольца взаимодействует с веществом кольца и при этом при достижении критического состояния ток кольца и его магнитное поле остаются постоянными при любых значениях магнитного поля, создаваемого соленоидом, вставленным внутрь
кольца.
До т. 1 (см. рис. 2) сверхпроводящий ток в кольце и соответствующее
собственное магнитное поле определяются законом сохранения магнитного
потока: магнитный поток от собственного поля кольца равен магнитному потоку от внешнего поля кольца с противоположным знаком. После т. 1 (см.
рис. 2) поток магнитного поля от собственного тока остается постоянным.
Несмотря на дальнейшее увеличение внешнего магнитного поля, происходит
кажущееся «нарушение» закона сохранения магнитного потока на участке
1–2. Это легко объясняется тем, что малейшему увеличению сверхпроводящего тока кольца (для собственного магнитного поля свыше критического)
соответствует частичная потеря сверхпроводимости и переход в частично резистивное состояние. В этом случае, как следует из эксперимента, закон сохранения магнитного потока для образца уже не выполняется. Сказанное
наглядно подтверждается многочисленными экспериментами ВТСП-образцов
различных составов. После т. 1 (см. рис. 2) увеличение собственного тока
кольца происходит при увеличении скорости роста внешнего магнитного поля, что будет объяснено в дальнейшем.
В рамках вышеописанного эксперимента проводились также исследования собственного магнитного поля от скорости увеличения внешнего магнитного поля. Установлено, что с ростом скорости происходит некоторое
«разбухание» гистерезисной кривой намагничивания, т.е. некоторый дополнительный прирост тока, магнитного поля кольца. Было также установлено,
что при кратных скоростях увеличения внешнего магнитного поля образуется
семейство кривых намагничивания, особенностью которого является его эквидистантность. Этот эффект может быть объяснен следующим образом. По-
192
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
скольку ВТСП-кольцо достигает в т. 1 (см. рис. 2) критического состояния, то
прибавка к току является резистивной и определяется законом электромагнитной индукции. Именно закону электромагнитной индукции подчиняется
ВТСП-образец, достигший критического состояния, поскольку рост тока выше критического возможен только при частично резистивном состоянии.
На рис. 4 изображен фрагмент рис. 2, соответствующий начальному
участку 0–1 кривых BК ( BС ) , полученных при различных скоростях ν m .
BK(i)
BC(i)
0
123
1
Рис. 4. Начальные участки кривых намагничивания BК ( BС ) (m = 1, 2, 3, 4),
построенные при кратных скоростях νm : 1 – ν2 = 0,3 мА/с;
2 – ν3 = 3 мА/с; 3 – ν4 = 30 мА/с
Из рис. 4 следует, что на участке 0-1 кривые идут по одной линии и
только после т. 1 кривые расходятся в семейство эквидистантных кривых
намагничивания. Следует отметить, что эксперименты проводились при гораздо большем, чем это изображено на рис. 2 и 4, числе (10–20) кратных скоростей ν m .
Из обнаруженного эффекта эквидистантности кривых намагничивания
при различных кратных скоростях увеличения внешнего магнитного поля
можно определить вольтамперную характеристику ВТСП-кольца для токов
больших или равных критическому I 2c . Расстояние между кривыми равно
резистивной прибавке к критическому току I 2c вследствие эффекта электромагнитной индукции. Это означает, что при I > I 2c в нашей постановке эксперимента начинает действовать ЭДС индукции ε , порождающий этот самый ток. Из эквидистантности кривых намагничивания может быть определена зависимость I (ε) . Вследствие эквидистантности зависимость I (ε) может быть логарифмического вида:
I (ε) = I 2c [1 + α ln(1 + βε)] ,
(1)
где I 2c – максимальный критический кольцевой ток; α , β – константы.
Physics and mathematics sciences. Physics
193
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В большинстве работ вольт-амперная характеристика (ВАХ) представлена в виде зависимости ε( I ) [5, 7], поэтому (1) потенцируем в виде зависимости U ( I ) = ε( I ) , где U – напряжение:
 I / I 2c −1 
1
U ( I ) =  e α − 1 .

β


(2)
Подобной формулы в литературе не найдено. В предельном случае, когда I > I 2c , данная формула преобразуется в известную зависимость
U ~ exp j [7].
ВАХ для поликристаллических ВТСП исследовались во многих работах. Однако до настоящего времени отсутствует единая картина зависимостей
напряжения (напряженности электрического поля) от плотности тока, протекающему по образцу. Отсутствует также единый теоретический подход, объясняющий ход ВАХ, особенно для плотностей токов лишь не на много превышающих критическую. Для описания полученных экспериментальных
данных предложено несколько зависимостей:
– степенные:
E ~ j n [8],
E ~ ( j − jc )n [9];
– экспоненциальная:
E ~ exp( j ) [7],
и другие, описываемые более сложными выражениями (например, [10]).
Универсальность этих соотношений, а также причины различий между
ними остаются неясными, поскольку экспериментальные результаты в этих
работах были получены в сравнительно узких диапазонах напряжения (напряженностей электрического поля), и соответствующих плотностей токов.
Среди этого ряда работ следует выделить работу [11], поскольку она по
своей схеме эксперимента наиболее близка к установке (рис. 1).
В силу вышесказанного найденная новая формула представляет особый
интерес, так как раскрывает область ВАХ с токами, значительно более близкими к току I 2c по сравнению с известными формулами.
Дадим более подробное физическое объяснение фрагмента кривых
намагничивания (см. рис. 4). Все эксперименты с различным составом образцов и колец различных размеров по определению кривой намагничивания
 dB 
BК  С  приводили к характерному ходу кривых. Особенность заключает dt 
ся в следующем. На участке 0–1 все кривые идут слитно и только после т. 1
проходят эквидистантно. Причиной является то, что на участке 0–1 ВТСПкольцо находится в сверхпроводящем состоянии и подчиняется закону сохранения магнитного потока, на основании которого выводится формула для
194
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
участка 0–1. При этом полностью отсутствует зависимость от скорости магнитного потока. Начиная от т. 1 перестает действовать закон сохранения магнитного потока. И ход кривых определяется законом электромагнитной индукции.
В результате проведенных экспериментальных работ одним из их достоинств является то, что в эксперименте наглядно продемонстрировано действие двух законов, описывающих индуктивные токи и диапазоны действия
этих законов. При этом показано (для ВТСП-образцов) при токах I < I 2c –
это закон сохранения магнитного потока, и для образцов в резистивном (или
частично резистивном) состоянии при токах I ≥ I 2c – это закон электромагнитной индукции.
Заключение
Таким образом, из проведенных экспериментальных работ можно сделать некоторые выводы.
1. С помощью бесконтактного измерения критического тока ВТСП
кольца строятся кривые намагничивания в зависимости BК (i ) магнитного
поля сверхпроводящего кольца от магнитного поля соленоида BС (i ) .
Поскольку на вещество кольца отсутствует непосредственное воздействие внешнего магнитного поля, из кривой намагничивания наблюдаем, что
кривая магнитного поля кольца BК (i ) проходит параллельно оси внешнего
магнитного поля BС (i ) (см. рис. 2) и не зависит от скорости изменения магнитного потока, в отличие от аналогичных экспериментов (рис. 3).
2. На начальном участке кривых намагничивания (0–1) (см. рис. 2, 4)
сверхпроводящий ток в кольце и соответствующее собственное магнитное
поле определяются законом сохранения магнитного потока: магнитный поток
от собственного поля кольца равен магнитному потоку от внешнего поля
кольца с противоположным знаком.
3. После т. 1 (см. рис. 2) поток магнитного поля от собственного тока
остается постоянным. Это легко объясняется тем, что малейшему увеличению сверхпроводящего тока кольца (для собственного магнитного поля свыше критического) соответствует частичная потеря сверхпроводимости и переход в частично резистивное состояние. Именно закону электромагнитной
индукции подчиняется ВТСП-образец, достигший критического состояния,
поскольку рост тока выше критического возможен только при частично резистивном состоянии.
4. То факт, что ВТСП-кольцо находится в критическом состоянии, подтверждается обнаруженным экспериментально эффектом эквидистантных
кривых намагничивания, которые образуются при кратном увеличении тока
соленоида, а следовательно, и магнитного потока внешнего поля. Эти эквидистантные кривые (рис. 2) соответствуют росту тока сверхпроводящего
кольца выше критического значения, потому что этот добавочный ток является резистивным, так как возникает в результате электромагнитной индукции. Из эквидистантности кривых намагничивания определена зависимость
I (ε) , см (1).
Physics and mathematics sciences. Physics
195
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
5. Из обнаруженного эффекта эквидистантности кривых намагничивания при различных кратных скоростях увеличения внешнего магнитного поля
определена вольт-амперная характеристика ВТСП-кольца (2) для токов
больших или равных критическому току I 2c .
Список литературы
1. С у в о р о в а , Л. А . Модель процесса перехода поликристаллического высокотемпературного сверхпроводника в критическое состояние / Л. А. Суворова,
А. Р. Буев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2010. – № 3 (15). – С. 102–114.
2. Б у е в , А . Р . Исследование высокотемпературной сверхпроводимости с помощью нового бесконтактного метода / А. Р. Буев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. Естественные науки. – 2004. – № 5. –
С. 98–104.
3. Пат. Российского агентства по патентам и товарным знакам РФ на изобретение.
№ 2244317. Способ бесконтактного измерения тока ВТСП и устройство для его
реализации / Буев А. Р. – 02.12.2002, БИ № 1. 2005.
4. Пат. Российского агентства по патентам и товарным знакам РФ на изобретение
№ 2216805. Соленоид максимального магнитного поля / Буев А. Р., Игумнов В. Н.,
Иванов В. В. – 20.11.2003, БИ № 32, 2003.
5. P o l a k , M . Contactless measurement of voltage-current characteristics of high-Tc thin
film superconductors / M. Polak, V. Windte, W. Schauer et al. // Physica C. – 1991. –
Vol. 174. – P. 14–22.
6. Б у к к е л ь , В. Сверхпроводимость / В. Буккель. – М. : Мир, 1975. – 102 с.
7. P o l a k , M . Magnetic field distribution above a superconducting YBaCuO sample as
an indication of sample inhomogeneities / M. Polak, P. Kottman, M. Majoros et al. //
Superconductor Science Technology. – 1990. – Vol. 3, № 2. – P. 67–71.
8. E v e t t s , J . E . Relation of critical current irreversibility to trapped flux and microstructure in polycrystalline YBa2Cu3O7 / J. E. Evetts, B. A. Glovacki // Cryogenics. –
1988. – Vol. 28. – P. 641.
9. M e s za r o s , S . Investigation of the coupling mechanism between superconducting
grains in high-Tc superconductors / S. Meszaros, K. Vad, G. Halasz // Physica C. –
1990. – Vol. 167. – P. 139.
10. H u a n g , Z. J . The E-J characteristic of YBa2Cu3O7−δ in very low dissipation region /
Z. J. Huang, Y. Y. Xue, H. H. Feng, C. W. Chu // Physica C. – 1991. – Vol. 184. – P. 371.
11. Ж у к о в , А . А . Вольт-амперные характеристики керамического сверхпроводника Bi2Sr2Ca2Cu3O8+δ / А. А. Жуков, Д. А. Комарков, И. Миркович, В. П. Шабатин,
В. В. Палачев // Сверхпроводимость: физика химия техника. – 1993. – Т. 6, № 4. –
С. 743–749.
References
1. Suvorova L. A., Buev A. R. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physics and
mathematics sciences]. 2010, no. 3 (15), pp. 102–114.
2. Buev A. R. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Ser. Estestvennye nauki [University proceedings. Volga region. Natural sciences]. 2004, no. 5,
pp. 98–104.
3. Pat. № 2244317 Russian Federation. Sposob beskontaktnogo izmereniya toka VTSP i
ustroystvo dlya ego realizatsii [Method of contactless HTSC current change and device
of realization thereof]. Buev A. R. 02.12.2002, no. 1, 2005.
196
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
4. Pat. №2216805 Russian Federation. Solenoid maksimal'nogo magnitnogo polya [Solenoid of the maximum magnetic field]. Buev A. R., Igumnov V. N., Ivanov V. V.
20.11.2003, no. 32, 2003.
5. Polak M., Windte V., Schauer W., et al. Physica C. 1991, vol. 174, pp. 14–22.
6. Bukkel' V. Sverkhprovodimost' [Super conductivity]. Moscow: Mir, 1975, 102 p.
7. Polak M., Kottman P., Majoros M., et al. Superconductor Science Technology. 1990,
vol. 3, no 2, pp. 67–71.
8. Evetts J. E., Glovacki B. A. Cryogenics. 1988, vol. 28, p. 641.
9. Meszaros S., Vad K., Halasz G. Physica C. 1990, vol. 167, p. 139.
10. Huang Z. J., Xue Y. Y., Feng H. H., Chu C. W. Physica C. 1991, vol. 184, p. 371.
11. Zhukov A. A., Komarkov D. A., Mirkovich I., Shabatin V. P., Palachev V. V.
Sverkhprovodimost': fizika khimiya tekhnika [Superconductivity: physics, chemistry,
technology]. 1993, vol. 6, no. 4, pp. 743–749.
Суворова Людмила Алексеевна
аспирант, Марийский государственный
университет (г. Йошкар-Ола,
пл. Ленина, 1)
Suvorova Lyudmila Alekseevna
Postgraduate student, Mari State University
(Yoshkar-Ola, 1 Lenina square)
E-mail: suv87L@mail.ru
Буев Андрей Романович
доктор технических наук, профессор,
кафедра теоретической и прикладной
физики, Марийский государственный
университет (г. Йошкар-Ола,
пл. Ленина, 1)
Buev Andrey Romanovich
Doctor of engineering sciences, professor,
sub-department of theoretical and applied
physics, Mari State University
(Yoshkar-Ola, 1 Lenina square)
E-mail: suv87L@mail.ru
УДК 538.945
Суворова, Л. А.
Применение закона сохранения магнитного потока в исследовании
критического состояния образца высокотемпературного сверхпроводника кольцевой формы / Л. А. Суворова, А. Р. Буев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. –
№ 2 (26). – С. 188–197.
Physics and mathematics sciences. Physics
197
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 539.37
В. А. Лохов, В. С. Туктамышев
ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ ОТСУТСТВИЯ
МЕХАНИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ В СИСТЕМАХ
С СОБСТВЕННЫМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ1
Аннотация. Проводится исследование условий для собственных (неупругих)
деформаций, не вызывающих механических напряжений. В рамках задачи
теории упругости отсутствие напряжений возможно, если собственные деформации являются совместными, а соответствующие им перемещения обращаются в нуль на опорах. Данные условия адаптируются к решению задачи об
определении напряженно-деформированного состояния в плоском изотропном
диске, изготовленном из материала с эффектом памяти формы. В качестве
собственных деформаций в данной задаче рассматриваются деформации фазовых переходов. При этом показывается, что использование условий для собственных деформаций, свободных от напряжений, позволяет найти искомые
поля напряжений и полных деформаций в диске без непосредственного решения соответствующей краевой задачи. Данный результат может быть использован при решении сложных задач, в которых исследуются системы с неупругими деформациями.
Ключевые слова: собственная деформация, условия совместности деформаций,
эффект памяти формы, задача Ламе.
V. A. Lokhov, V. S. Tuktamyshev
INVESTIGATION OF STRESS-FREE CONDITIONS
IN THE SYSTEMS WITH INTRINSIC DEFORMATION
Abstract. The authors investigate the conditions for the intrinsic (inelastic strain) deformation without causing mechanical stress. In the framework of elasticity theory
problem, zero stress occurs when intrinsic deformation is compatible and appropriate displacement vanishes at the immovable supports. Obtained conditions are
adapted for determination of the stress-strain state in the plane isotropic disk made
of shape memory alloy. In this problem phase transition strain is considered as intrinsic deformation. It is shown that usage of conditions for stress-free intrinsic deformation allows to find stress and strain distributions in the disk without total solution of appropriate boundary value problem. This result can be successfully used for
solution of more complicated problems for the systems with inelastic deformation.
Key words: intrinsic deformation, compatibility conditions, shape memory effect,
Lame problem.
Введение
Термин «собственные деформации» как неупругие деформации, соответствующие остаточным напряжениям, был введен Х. Рейсснером в 1931 г.
[1]. В 1991 г. Т. Мура [2] предложил обобщение данного термина, принятое
в современной научной литературе. В рамках геометрически линейной теории собственные деформации – это неупругие деформации любой природы
(температурные, пьезоэлектрические, фазовые и др.). На основе сделанного
1
198
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-01-31404_мол_а).
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
обобщения, развиваемый в работах [3–8] подход к исследованию вопросов
управления напряжениями и деформациями в системах с собственными деформациями предлагает новые методики для изучения закономерностей между распределением различных видов собственных деформаций в упругом теле и его НДС. Одним из важнейших аспектов этого подхода является исследование двух понятий: 1) собственной деформации, свободной от напряжений (т.е. не вызывающей напряжений в рассматриваемой системе); 2) собственной деформации, свободной от полных деформаций (не влияющей на
деформированное состояние системы). Для каждого из этих понятий определены соответствующие условия [4, 5].
В представленной работе известные условия отсутствия напряжений
в системах с собственными деформациями используются при исследовании
свойств распределения деформаций фазовых переходов (фазовых деформаций), возникающих в нагруженном поверхностными силами диске. В качестве определяющих соотношений, описывающих фазовые деформации, выбраны уравнения модели А. А. Мовчана [9].
1. Дифференциальная постановка краевой задачи
с собственными деформациями
Рассмотрим тело, которое занимает ограниченную область V трехмерного евклидова пространства. Границу (которая считается достаточно гладкой) обозначим через Γ, замыкание области – V . Краевая задача формулируется согласно следующим уравнениям. Уравнения статического равновесия
в области:
∇·σ + Q = 0, x ∈V ,
(1)
где σ – симметричный тензор напряжений; Q – вектор объемных сил. Здесь
и далее величины σ , ε (тензор малых деформаций) и u (вектор перемещений) будут рассматриваться как функции пространственных декартовых координат, обозначаемых радиус-вектором x ∈V . Отсчет напряжений ведется
от естественного (ненапряженного и недеформированного) состояния.
Деформации считаются малыми и аддитивными, т.е. тензор малой деформации ε является суммой упругой ε e и собственной ε* деформаций:
ε = ε e + ε* , x ∈V .
(2)
При этом собственные деформации ε* можно найти отдельно, используя соответствующие определяющие соотношения. Например, для температурной деформации ε* = αΔT ( α – тензор коэффициентов температурного
расширения, ΔT – изменение температуры, отсчитываемое от некоторого состояния, в котором σ = 0 , ε = 0 , u = 0 ) и т.д. Поэтому в рамках данной постановки ε* считается известной величиной.
Закон Гука:
σ = C ⋅ εe , x ∈V ,
(3)
где C - тензор упругих модулей.
Physics and mathematics sciences. Physics
199
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Геометрические соотношения Коши:
ε=
1
( ∇ u + u∇ ) , x ∈ V ,
2
(4)
где u – вектор перемещения.
Предполагается, что граница области Γ делится на две взаимно непересекающиеся части: Γ = Γu ∪ Γσ . На части границы Γu заданы нулевые кинематические граничные условия, на части Γσ задан вектор напряжений P :
u = 0 , x ∈ Γu ,
n ⋅ σ = P , x ∈ Γσ .
(5)
Кинематические граничные условия предполагаются такими, что движение тела как жесткого целого невозможно.
Таким образом, совместное решение уравнений (1)–(5) позволяет определить напряжения σ , деформации ε и перемещения u системы.
2. Собственные деформации, свободные от напряжений
Пусть собственная деформация ε* распределена таким образом, что не
вызывает напряжений в теле, тогда краевая задача (1)–(5) с учетом отсутствия
объемных и поверхностных сил принимает вид
σ = 0, x ∈V ,

*
ε = ε , x ∈V ,

1
 ε = ( ∇ u + u∇ ) , x ∈ V ,
2

u = 0, x ∈ Γu .
В результате полная деформация равна собственной деформации.
В работе [4] показано, что собственная деформация является свободной
от напряжений, когда ее компоненты удовлетворяют условиям совместности
деформаций, а соответствующие ей перемещения обращаются в нуль на границе Γu .
Совместность собственных деформаций, не влияющих на напряжения,
можно проиллюстрировать на простом примере. Предположим, что в начальном состоянии ненагруженное тело мысленно разделено на некоторые элементы. Если эти элементы подвергнуть воздействию независимых между собой собственных деформаций (например, температурных), то из деформированных таким образом частей без дополнительных напряжений невозможно
составить сплошное тело (рис. 1).
Таким образом, напряжения в собранном из таких элементов теле будут
отсутствовать, если налагаемые собственные деформации совместны (рис. 2).
Условия совместности деформаций выражаются уравнениями совместности (дифференциальными зависимостями Сен-Венана) [10]:
εij ,kk + ε kk ,ij − εik , jk − εik , jk = 0, i, j , k = 1, 2, 3 .
200
(6)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Для отсутствия напряжений в закрепленном теле (при наличии границы
Γu ), свободном от нагрузок, условие совместности собственных деформаций
является недостаточным.
Рис. 1. Компоновка элементов с несовместными собственными деформациями
Рис. 2. Компоновка элементов с совместными собственными деформациями
Рассмотрим систему, представляющую собой однородный стержень,
жестко заделанный по краям (рис. 3).
Рис. 3. Жестко закрепленный по краям стержень
Создадим в стержне собственную деформацию, представляющую собой температурную деформацию εT , которая соответствует однородному
нагреву системы и удовлетворяет условиям совместности. Найдем перемещения, вызванные этим нагревом:
uT ( x) = εT x + C1 .
На границе Γu :
x = 0 : C1 = 0 , x = l : uT = εT l .
Неравное нулю перемещение uT на правой опоре свидетельствует о
том, что закрепление препятствует температурному деформированию стержня. Следовательно, при таком нагреве в системе появятся напряжения.
Physics and mathematics sciences. Physics
201
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Таким образом, выполнение условий совместности для собственной
деформации, свободной от напряжений, должно быть дополнено условием
равенства нулю на опорах перемещений, соответствующих данной собственной деформации.
3. Демонстрационный пример
Рассмотрим плоский изотропный упругий диск, выполненный из материала с эффектом памяти формы (ЭПФ). К внешнему и внутреннему контурам диска, находящегося в аустенитном состоянии, прикладывается нагрузка
(рис. 4), после чего диск равномерно охлаждается до температуры окончания
мартенситного перехода. Во время охлаждения в диске реализуются деформации фазовых переходов ε* . Задача исследования НДС такой системы может рассматриваться как простейшая модель сосудистого стента, изготовленного из материала с ЭПФ.
Рис. 4. Нагруженный диск
Одной из характеристик фазового перехода является объемная доля
мартенсита q ( 0 ≤ q ≤ 1 ) [9]: для чистого аустенита q = 0 , для чистого мартенсита q = 1 . При охлаждении диска в нем происходит фазовый переход,
диаграмма которого показана на рис. 5. Температуры M s и M f определяют
начало и конец мартенситного перехода и зависят от действующего напряжения. Отметим, что при обратном нагревании произойдет аустенитный переход и накопленная фазовая деформация полностью восстановится. Температуры M s и M f зависят от действующих напряжений, в данной задаче этот
эффект считается малым, и предполагается, что фазовый переход происходит
одновременно во всем диске.
В представленном примере собственная деформация ε* , а значит, и
полные деформации с напряжениями зависят от двух параметров: пространственной координаты r и объемной доли мартенсита q .
202
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
К
Рис. 5. Кинетика мартенситного перехода
В полярных координатах постановка задачи содержит следующие
уравнения.
Уравнение равновесия:
d σ r σ r + σθ
+
=0.
dr
r
(7)
Выражение для полных деформаций (2), записанное с использованием
закона Гука (3):
εr =
1
1
( σr − ν(q)σθ ) + ε*r , εθ =
( σθ − ν(q)σr ) + ε*θ ,
E (q)
E (q)
(8)
где E (q) и ν(q) – модуль Юнга и коэффициент Пуассона соответственно:
1
q 1− q
1
q 1− q
E (q)
, ν(q ) =
−1 ,
=
+
,
=
+
E ( q ) Em
Ea
G (q ) Gm Ga
2G (q )
(9)
здесь Em , Ea , Gm и Ga – соответствующие упругие характеристики для
мартенситного и аустенитного состояний [9]. Эти четыре параметра должны
быть определены экспериментально.
Соотношения Коши:
εr =
∂ur
u
, εθ = r .
∂r
r
(10)
Граничные условия:
σr (r = r1 ) = − p1 , σr (r = r2 ) = − p2 .
(11)
Определяющие соотношения модели А. А. Мовчана для прямого мартенситного перехода [9]:
(
)
(
)
∂ε*r = c0 sr + a0ε*r ∂q , ∂ε*θ = c0 sθ + a0 ε*θ ∂q при ∂q > 0 ,
(12)
где символ s обозначает девиатор тензора напряжений; c0 , a0 – константы
материала, определяемые экспериментально; ∂ε*r и ∂ε*θ – изменения собPhysics and mathematics sciences. Physics
203
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ственной деформации в данной точке рассматриваемой области, вызванные
изменением объемной доли мартенсита ∂q .
Найдем напряжения, вызванные поверхностным давлением до начала
охлаждения ( q = 0), что представляет собой решение задачи Ламе [10]:
r22 ( r12 − r 2 )
(
)
σr = p1
+ p2
,
r 2 ( r22 − r12 )
r 2 ( r22 − r12 )
r12 ( r 2 + r22 )
r22 ( r12 + r 2 )
σθ = p1
− p2
.
r 2 ( r22 − r12 )
r 2 ( r22 − r12 )
r12 r 2 − r22
(13)
Компоненты девиатора тензора напряжений также удовлетворяют
уравнению равновесия (1) и имеют вид
(
r22 ( r12 − 3r 2 )
)
sr = p1
+ p2
,
3r 2 ( r22 − r12 )
3r 2 ( r22 − r12 )
r12 ( r 2 + 3r22 )
r22 ( 3r12 + r 2 )
sθ = p1
− p2
.
3r 2 ( r22 − r12 )
3r 2 ( r22 − r12 )
r12 r 2 − 3r22
(14)
Для дальнейшего решения задачи о фазовом переходе необходимо интегрировать соотношения (12) по параметру q. Это представляет собой весьма сложную проблему, так как возникающая фазовая деформация влияет, вообще говоря, на напряжения, и уравнения (7)–(12) становятся связанными. Но
если фазовая деформация является свободной от напряжений, т.е. не изменяет напряжений в диске, то соотношения (12) можно интегрировать по q, считая напряжения постоянными.
Проверим условия для собственной деформации свободной от напряжений. Уравнение совместности главных деформаций для рассматриваемого
случая [11]
∂
( r εθ ) = 0 ,
∂r
εr −
(15)
можно записать в приращениях компонент тензора собственной деформации
по переменной q:
∂ε*r −
∂
(r ∂ε*θ ) = 0 .
∂r
(16)
Для ε*r = ε*θ = 0 (при q = 0 ) согласно (12), (14) получаем
∂ε*r
204
(
)
)
(
 r 2 r 2 − 3r 2
r22 3r12 − r 2
1
2

= c0 sr ∂q = c0 p1
+ p2

3r 2 r22 − r12
 3r 2 r22 − r12

(
(
)  ∂q ,
) 
(17)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
∂ε*θ
Физико-математические науки. Физика
(
)
)
(
 r 2 r 2 + 3r 2
r22 3r12 + r 2
1
2

= c0 sθ ∂q = c0 p1
+ p2

3r 2 r12 − r22
 3r 2 r22 − r12

(
(
)  ∂q.
) 
(18)
Подстановка соотношений (17), (18) в (16) показывает тождественность
деформаций ∂ε*r и ∂ε*θ в рамках уравнения совместности.
Поскольку граница Γu = ∅ для поставленной задачи, то выполнение
необходимых условий доказывает, что собственные деформации (17), (18)
являются свободными от напряжений.
При следующем приращении ∂1q соотношения (12) дают
(
)
∂1ε*θ = ( c0 sr + a0 ∂ε*θ ) ∂1q ,
∂1ε*r = c0 sr + a0 ∂ε*r ∂1q ,
что также удовлетворяет условию для собственной деформации, свободной
от напряжений, так как напряжения sr и sθ не изменились после первого ша-
га ∂q , а деформации ∂ε*r и ∂ε*θ после первого шага свободны от напряжений.
Следовательно, зная напряжения (13), можно найти фазовую деформацию, возникающую при мартенситном переходе, интегрируя уравнения (12):
ε*r
∂ε*r
 c0 sr + a0ε*r
= 1,
ε*θ
∂ε*θ
 c0 sr + a0ε*θ = 1 .
0
0
Результат интегрирования:
(
)
(
)
c
c
ε*r = 0 e a0 − 1 sr , ε*θ = 0 e a0 − 1 sθ .
a0
a0
(19)
Полные деформации вычисляются согласно уравнениям (8), (13), (19),
где упругие характеристики берутся для мартенситного состояния. Выражения для полных деформаций достаточно громоздкие, поэтому здесь не приводятся.
Таким образом, поставленная задача решена, и все уравнения краевой
задачи выполнены.
После снятия поверхностной нагрузки диск, находясь в охлажденном
состоянии, сохранит накопленную фазовую деформацию (19).
Поле перемещений, соответствующее (19), будет следующим:
ur*
= ε*θ r
( r 2 + 3r22 ) − p r22 (3r12 + r 2 )  .
2
( r22 − r12 ) 3r ( r22 − r12 ) 
 r2
1
c0 a0
=
e − 1  p1

a0
3r


(
)
Пример показывает, что использование свойств собственных деформаций позволяет избежать связанности определяющих уравнений краевой задачи. В дальнейшем эта задача будет использована для моделирования системы
кровеносный сосуд – стент.
Physics and mathematics sciences. Physics
205
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Заключение
Определение напряженно-деформированного состояния систем с неупругими деформациями зачастую представляет сложную проблему. В свою
очередь знание общих свойств собственных деформаций может привести
к существенному упрощению решения подобных задач.
В данной работе приведены условия отсутствия напряжений в телах,
имеющих собственные деформации. Показано, что использование этих условий позволяет избежать связанности математических соотношений краевой
задачи определения НДС в нагруженном диске, выполненном из материала
с эффектом памяти формы.
Список литературы
1. R e i s s n e r , H . Eigenspannungen und Eigenspannungsquellen / H. Reissner // ZAMM. –
Z. Angew. Math. Mech. – 1931. – Vol. 11. – P. 1-8.
2. M u r a , T . Micromechanics of Defects in Solids / T. Mura. – 2-nd ed. – Kluwer, Dordrecht, 1991. – 601 p.
3. П о з д е е в , А . А . Остаточные напряжения: теория и приложения / А. А. Поздеев,
Ю. И. Няшин, П. В. Трусов. – М. : Наука, 1982. – 111 с.
4. N y a s h i n , Y . Biological stresses in living tissues. The modeling and control
problems / Y. Nyashin, V. Kiryukhin // Russian Journal of Biomechanics. – 2002. –
Vol. 6, № 3. – P. 13–31.
5. N y a s h i n , Y . Decomposition method in linear elastic problems with eigenstrain /
Y. Nyashin, V. Lokhov, F. Ziegler // ZAMM – Z. Angew. Math. Mech. – 2005. –
Vol. 85, № 8. – P. 557–570.
6. Ту кта м ышев , В. С . Независимое управление напряжениями и деформациями
в растущих живых тканях / В. С. Туктамышев, В. А. Лохов, Ю. И. Няшин // Российский журнал биомеханики. – 2011. – Т. 15, № 2. – С. 69–76.
7. Ло х о в , В. А . Биомеханическое моделирование эффекта сближения фрагментов
твердого неба при ортопедическом лечении / В. А. Лохов, О. Ю. Долганова,
Ю. И. Няшин // Российский журнал биомеханики. – 2012. – Т. 16, № 1. – С. 38–45.
8. Ло х о в , В. А . Алгоритм поиска оптимальных усилий для лечения двусторонней
расщелины твердого неба / В. А. Лохов, О. Ю. Долганова // Российский журнал
биомеханики. – 2012. – Т. 16, № 3. – С. 42-56.
9. М о в ч а н , А . А . Микромеханические определяющие уравнения для сплавов с
памятью формы / А. А. Мовчан // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 1994. – № 6. – С. 47–53.
10. Д е м и д о в , С . П . Теория упругости / С. П. Демидов. – М. : Высшая школа, 1979. –
432 с.
11. Zie g l e r , F . Mechanics of solids and fluids / F. Ziegler. – Second Edition. – Vienna :
Springer, 1998. – 845 p.
References
1. Reissner, H. ZAMM. – Z. Angew. Math. Mech. 1931, vol. 11, pp. 1-8.
2. Mura T. Micromechanics of Defects in Solids. 2-nd ed. Kluwer, Dordrecht, 1991,
601 p.
3. Pozdeev A. A., Nyashin Yu. I., Trusov P. V. Ostatochnye napryazheniya: teoriya i
prilozheniya [Residual stress: theory and application]. Moscow: Nauka, 1982, 111 p.
4. Nyashin Y., Kiryukhin V. Russian Journal of Biomechanics. 2002, vol. 6, no. 3,
pp. 13–31.
5. Nyashin Y., Lokhov V., Ziegler F. ZAMM Z. Angew. Math. Mech. 2005, vol. 85, no. 8,
pp. 557–570.
206
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
6. Tuktamyshev V. S., Lokhov V. A., Nyashin Yu. I. Rossiyskiy zhurnal biomekhaniki
[Russian Journal of Biomechanics]. 2011, vol. 15, no. 2, pp. 69–76.
7. Lokhov V. A., Dolganova O. Yu., Nyashin Yu. I. Rossiyskiy zhurnal biomekhaniki
[Russian Journal of Biomechanics]. 2012, vol. 16, no. 1, pp. 38–45.
8. Lokhov V. A., Dolganova O. Yu. Rossiyskiy zhurnal biomekhaniki [Russian Journal of
Biomechanics]. 2012, vol. 16, no. 3, pp. 42–56.
9. Movchan A. A. Problemy mashinostroeniya i nadezhnosti mashin [Problems of mechanical engineering and machines reliability]. 1994, no. 6, pp. 47–53.
10. Demidov S. P. Teoriya uprugosti [Elasticity theory]. Moscow: Vysshaya shkola, 1979,
432 p
11. Ziegler F. Mechanics of solids and fluids. Second Edition. Vienna: Springer, 1998,
845 p.
Лохов Валерий Александрович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра теоретической
механики, Пермский национальный
исследовательский политехнический
университет (Пермь,
пр. Комсомольский, 29а)
Lokhov Valeriy Aleksandrovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of theoretical mechanics,
Perm National Research Polytechnic
University (Perm, 29a Komsomolsky
avenue)
E-mail: valeriy.lokhov@yandex.ru
Туктамышев Вадим Саитзянович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра теоретической
механики, Пермский национальный
исследовательский политехнический
университет (Пермь,
пр. Комсомольский, 29а)
Tuktamyshev Vadim Saitzyanovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of theoretical mechanics,
Perm National Research Polytechnic
University (Perm, 29a Komsomolsky
avenue)
E-mail: helpinvader@list.ru
УДК 539.37
Лохов, В. А.
Исследование условий отсутствия механических напряжений в системах с собственными деформациями / В. А. Лохов, В. С. Туктамышев //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 2 (26). – С. 198–207.
Physics and mathematics sciences. Physics
207
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 535.8; 537.9; 539.33
В. Д. Кревчик, А. В. Левашов
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ПРИМЕСНОГО
МОЛЕКУЛЯРНОГО ИОНА A2+ В СФЕРИЧЕСКИСИММЕТРИЧНОЙ КВАНТОВОЙ ТОЧКЕ1
Аннотация. Цель исследования: теоретическое исследование влияния обменного взаимодействия, связанного с изменением пространственной конфигурации молекулярного иона A2+ в объеме сферически-симметричной квантовой
точки, на термы и энергетический спектр A2+ -центра. Численный анализ полученных дисперсионных уравнений проведен для случая квантовой точки на
основе InSb. Для расчета энергетического спектра A2+ -центра в квантовой точке, описываемой в рамках модели «жестких» стенок, использовался метод потенциала нулевого радиуса и приближение эффективной массы. Исследовано
влияние обменного взаимодействия, инициированного изменением пространственной конфигурации A2+ -центра в объеме квантовой точки, на положение
g- и u-термов примесного молекулярного иона. Показано, что с ростом обменного взаимодействия возрастает величина расщепления между термами и заметно изменяется энергия связи g- и u-состояний A2+ -центра. Обменное взаимодействие между A2+ -центрами в молекулярном ионе A2+ может приводить
к существенной модификации g- и u-термов A2+ -центра и, как следствие, к изменению положения пика фотолюминесценции, связанного с излучательным
переходом фотовозбужденного электрона в g-состояние A2+ -центра.
Ключевые слова: сферически-симметричная квантовая точка, термы примесного молекулярного иона, обменное взаимодействие, величина расщепления
между термами, пространственная конфигурация примесного молекулярного
иона, метод потенциала нулевого радиуса.
V. D. Krevchik, A. V. Levashov
ENERGY SPECTRUM OF THE IMPURITY
MOLECULAR A2+ -ION IN THE SPHERICALLY
SYMMETRIC QUANTUM DOT
Аннотация. The work aims at theoretical study of influence of the exchange interaction associated with a change in spatial configuration of the molecular ion in volume of the spherically symmetric quantum dot on the terms and the energy spectrum
of A2+ -center. Numerical analysis of the dispersion equations has been made for the
case of the quantum dot, based on InSb. The method of the zero-range potential and
the effective mass approximation have been used for calculation of the energy spectrum for A2+ -center in the quantum dot, described by the model of "rigid" walls. The
1
Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.1165 «Особенности эффекта фотонного увлечения
электронов в нанотрубке со спиральным дефектом и в двумерной ленте, свернутой в спираль,
во внешнем магнитном поле».
208
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
authors have investigated the influence effect of the exchange interaction, initiated
by the change in the spatial configuration for the A2+ -center in volume of the quantum dot, to the position of the g- and u-terms of the impurity molecular ion. It is
shown that with the increase of the exchange interaction the splitting between terms
is also increased and the binding energy of g- and u-states for A2+ -center considerably changes. The exchange interaction between A2+ -centers in the molecular ion can
lead to the essential modification of g- and u-terms for the A2+ -center, and as a consequence, to change in the photoluminescence peak position associated with the radiative transition of the photoexcited electron to g-state of the A2+ -center.
Key words: spherically symmetric quantum dot, terms of the impurity molecular ion,
exchange interaction, splitting value, spatial configuration of the impurity molecular
ion, method of zero radius potential.
Введение
В последние годы возрос интерес к молекулярным состояниям
A -центров в полупроводниковых наноструктурах. Этот интерес обусловлен
+
прежде всего тем, что такие примесные состояния могут оказывать существенное влияние на оптические и транспортные свойства наноструктур. Повидимому, впервые молекулярные состояния A+ -центров были обнаружены
в квантовых ямах GaAs/AlGaAs [1], которые проявлялись в наличии второго
пика фотолюминесценции, связанной с A+ -центрами. В работе [2] выдвинуто
предположение о том, что линия фотолюминесценции в квантовых ямах
GaAs/AlGaAs с меньшей энергией соответствует излучательному переходу
фотовозбужденного электрона на спаренное состояние двух близко расположенных A+ -центров, образующих единую молекулярную структуру. Однако
в рассматриваемой ситуации образование дырочных пар близко расположенных A+ -центров маловероятно из-за малости постоянной электрон-фононного взаимодействия.
В работе [3] нами предложена и теоретически обоснована несколько
иная интерпретация природы этой линии, в основе которой лежит представление об оптическом переходе фотовозбужденного электрона в g-состояние
A2+ -центра, образованного двумя близко расположенными A0 -центрами
с общей дыркой. Необходимо отметить, что, в отличие от квантовых ям,
в квантовых точках (КТ) эффекты размерного квантования выражены значительно сильнее из-за размерного ограничения по трем пространственным
направлениям. В этом случае возрастает роль обменного взаимодействия, которое может приводить к существенной модификации g- и u-термов A2+ центра и, как следствие, к изменению положения пика фотолюминесценции,
связанного с излучательным переходом фотовозбужденного электрона
в g-состояние A2+ -центра.
Цель настоящей работы состоит в теоретическом исследовании влияния
обменного взаимодействия, связанного с изменением пространственной конPhysics and mathematics sciences. Physics
209
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
фигурации молекулярного иона A2+ в объеме сферически-симметричной КТ,
на энергетический спектр A2+ -центра в КТ.
1. Дисперсионные уравнения дырки, локализованной на A2+ -центре
в сферически-симметричной квантовой точке
Рассмотрим КТ с потенциалом конфайнмента в виде сферически-симметричной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками.
Двухцентровой потенциал моделируется суперпозицией потенциалов
нулевого радиуса мощностью γ i = 2π 2 / (αi mh* ), i = 1, 2 :
2
  
 
 
γ i δ( r − Ri ) 1 + (r − Ri )∇ r  ,
Vδ = (r , R1 , R 2 ) =

(1)
i =1

где Ri = (ri , θi , ϕi ) – координаты A+ -центров; αi определяется энергией Ei
дырочного локализованного состояния на этих же A+ -центрах в массивном

∂  1 ∂ 
1 ∂ 
eθ +
eϕ – вектор Набла в сферичеполупроводнике; ∇ r = er +
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
∂r
ской системе координат; mh∗ – эффективная масса дырки.
  
Волновая функция ψ λ 2 (r , R1 , R 2 ) дырки, локализованной
на
A20 - центре, удовлетворяет уравнению Липпмана – Швингера для связанного
состояния
  
 
  
  
ψ λ 2 (r , R1 , R 2 ) = d r1G (r , r1; Eλ )Vδ (r1 , R1 , R2 )ψ λ 2 (r1 , R1 , R 2 ),
(2)


где G (r , r1 , Eλ ) – однодырочная функция Грина‚ соответствующая источнику

в точке r1 и энергии Eλ = − 2 λ 2 / (2mh* ) .
Подставляя двухцентровой потенциал в уравнение Липпмана – Швингера, получим
  
 
  
Ψ λ 2 (r , R1 , R 2 ) = γ1G (r , R1 , Eλ )(T1Ψ λ 2 )( R1 , R1 , R 2 ) +
где
 
  
+γ 2G (r , R 2 , Eλ )(T 2 Ψ λ 2 )( R2 , R1 , R2 ),
(3)
 
Ti = lim (1 + ( r − Ri )∇ r ).
(4)
r → Ri
Применяя последовательно операцию Ti к обеим частям соотношения
(3), получим систему алгебраических уравнений вида
c1n = γ1a11c1n + γ 2 a12 c2n ,

c2n = γ1a21c1n + γ 2 a22 c2n ,
210
(5)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
здесь
  
  
c1 = (T1Ψ λ 2 )( R1 , R1 , R 2 ), c2 = (T 2 Ψ λ 2 )( R 2 , R1 , R 2 ),
 
ai, j = (T i Ψ λ 2 )( Ri , R j , Eλ ); i, j = 1, 2.
(6)
Исключив из системы (5) коэффициенты ci , содержащие неизвестную
функцию, получим дисперсионное уравнение, определяющее зависимость
энергии связанного состояния Eλ дырки, локализованной на A20 -центре, от
координат A0 -центров и параметров КТ:
γ1a11 + γ 2 a22 − 1 = γ1γ 2 (a11a22 − a12 a21 ).
(7)
В случае, когда γ1 = γ 2 = γ , уравнение (7) распадается на два уравнения, определяющие симметричное (g-терм) и антисимметричное (u-терм) состояния дырки соответственно:
γa11 = 1 − γ a12 ; при (c1 = c2 ),
γa11 = 1 + γ a12 ; при (c1 = −c2 ).
(8)
Учитывая явный вид однодырочной функции Грина в сферической системе координат
 
m*
G r , R a ; Eλ =
2π 2
(
)

 − ch λR −

R

I  1  ( λR0 ) 
− l + 

2l + 1) Pl ( cos ω)
(
π
2
,
−
I 1 ( λr ) I 1 ( λRa )  
1
l+
l+
2 l =0
I 1 ( λR0 ) 
2
2
l+
( rRa ) 2

2

∞

(9)
где R = r 2 + Ra 2 − 2rRa cos ω ; cos ω = cos θ cos θa + sin θ sin θa cos(ϕ − ϕa ) , а
также что a11
 
a11 = T , G R, R a1 ; Eλ =
( )(
)
 
 
 
= lim G r , R a1 ; Eλ + r − R a1 ∇ r G r , R a1 ; Eλ  ,

r →R 
a1
(
) (
)
(
)
(10)
и принимая во внимание
 
 
 
∂
r − R a1 ∇ r G r , R a1 ; Eλ = ( r − Ra ) G r , R a1 ; Eλ +
∂r
 
θr − θa1 Ra ∂G r , R a1 ; Eλ
+
+
∂θ
r
(
)
(
(
)
) (
Physics and mathematics sciences. Physics
(
)
)
211
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 
( r sin θ ) ϕ − Ra sin θa1 ϕa1 ∂G r , R a1 ; Eλ
(11)
+
,
r sin θ
∂ϕ


где r = ( r , θ, ϕ ) , R a1 = Ra , θa1 , ϕa1 ‚ получим окончательно для a11 следу-
(
) ) (
(
(
)
)
ющее выражение:

 

∂

a11 = lim G θ, ϕ, r ; θa1 , ϕa1 , Ra ; Eλ +  ( r − Ra ) G r , R a1 ; Eλ +
∂r
θ→α

ϕ→δ 
(
)
(
)
r → Ra
 
 
(( r sin θ) ϕ − ( Ra sin θa ) ϕa ) ∂G ( r, Ra ; Eλ ) + ( θr − θa Ra ) ∂G ( r, Ra ; Eλ )  =
+
1
1
1
r sin θ
1
1
∂ϕ
(


∂θ
r
)
= G θa1 , ϕa1 , Ra ; θa1 , ϕa1 , Ra ; Eλ ,
(12)
здесь
(
)
G θa1 , ϕa1 , Ra ; θa1 , ϕa1 , Ra ; Eλ =
2
 π ( −1)l (1 + 2l ) I

 1  ( λR0 ) I 1 +  ( λRa ) 

l
−
+


m*
2
2 

.
=
2


2 Ra I 1 ( λR0 )
2π l =0


+l
2


∞

(13)
Аналогично для a12 получим
 
a12 = (T , G ) R a1 , R a2 ; Eλ =
=  lim

r → R a1
(
)

 

G ( r , R a ; Eλ ) + ( r − R a ) ∇ r G ( r , R a ; Eλ )  ,


2
1
(14)
2
учитывая, что выполнение условия γ1 = γ 2 = γ требует, чтобы Ra1 = Ra2 = Ra ,


и принимая во внимание R a2 = Ra , θa2 , ϕa2 и R a1 = Ra , θa1 , ϕa1 , получим
(
)
(
)


 

   ∂
a12 = lim G θ, ϕ, r , θa1 , ϕa1 , Ra ; Eλ +  r − R a
G r , R a2 ; Eλ
∂r
r → Ra 

θ→θa2 

(
) (
)
(
)
+
ϕ→ϕa2
 
 
(( r sin θ) ϕ − ( Ra sin θa ) ϕa ) ∂G ( r, Ra ; Eλ ) + ( θr − θa Ra ) ∂G ( r, Ra ; Eλ )  =
+
1
r sin θ
212
2
1
∂ϕ
2
1
r
∂θ


University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
(
)
= G Ra , θa2 , ϕa2 , Ra , θa1 , ϕa1 ; Eλ ,
(15)
где
(
)
G Ra , θa2 , ϕa2 , Ra , θa1 , ϕa1 ; Eλ =

2
 π ( −1)l (1 + 2l ) I
=
 1  ( λR0 ) I 1 +l ( λRa ) ×
2

− + l 
2π l =0 
2
2 

m*
∞



× Pl cos θa1 cos θa2 + sin θa1 sin θa2 cos ϕa1 − ϕa2  2 Ra I 1 ( λR0 ) 
+l


2


(
(
)
(

ch  λ 2 Ra2 − 2 Ra2 cos θa1 cos θa2 + sin θa1 sin θa2 cos ϕa1 − ϕa2
− 
(
(
(
2 Ra2 − 2 Ra2 cos θa1 cos θa2 + sin θa1 sin θa2 cos ϕa1 − ϕa2
))
−1 

−

) ) 
.
(16)
Учитывая, что α1 = α 2 = α , можно переписать уравнения (8) в виде
αmh*
2π 2
= a11 + a12 , u -терм,
αmh*
2π 2
= a11 − a12 , g -терм.
(17)
Подставляя в (17) конкретные выражения для a11 и a12 , получим дисперсионные уравнения, определяющие u- и g-термы:
α=
(

2
 π ( −1)l (1 + 2l ) I
 1  ( λR0 ) I 1 +l ( λRa ) ×

− + l 
l =0 
2
2 
∞

(
(
× 1 ± Pl cos θa1 cos θa2 + sin θa1 sin θa2 cos ϕa1 − ϕa2
))


 2 Ra I 1 ( λR0 ) 
+l


2


(

ch  λ 2 Ra2 − 2 Ra2 cos θa1 cos θa2 + sin θa1 sin θa2 cos ϕa1 − ϕa2
 
(
(
(
2 Ra2 − 2 Ra2 cos θa1 cos θa2 + sin θa1 sin θa2 cos ϕa1 − ϕa2
))
) ) 
−1

,
(18)
где верхний знак соответствует g-терму, а нижний u-терму соответственно.
Переписывая последние уравнения в боровских единицах, получим
( )
( )
∗
2
∗
 π ( −1)l (1 + 2l ) I

 1  ηR0 I 1 +l ηRa (1 ± Pl ( ω12 ) ) 

− + l 
∞
2
2 


ηi Ra∗ =


∗
2 I 1 λR0
l =0 

+l
2



Physics and mathematics sciences. Physics
( )
213
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

(
ch λRa∗ 2 (1 − ω12 )
2 (1 − ω12 )
),
(19)
где
(
ω12 = cos θa1 cos θa2 + sin θa1 sin θa2 cos ϕa1 − ϕa2
)
2. Термы молекулярного иона A2+
На рис. 1 представлены результаты численного анализа дисперсионных
уравнений (19). Из рис. 1 видно, что при взаимном сближении A0 -центров
(при уменьшении угла θ ) возрастает величина расщепления между g- и
u-термами (сравн. кривые на рис. 1,а,в с 0,03 мэВ до 1,8 мэВ), а точка вырождения термов сдвигается к границе КТ (Rа = 14,4 нм при θ = π , и Rа = 57 нм
при θ = π / 6 ) вследствие роста обменного взаимодействия между A0 центрами. При этом энергия связи g-состояния возрастает, а энергия связи uсостояния уменьшается. Выявленные особенности влияния обменного взаимодействия на энергетический спектр A2+ -центра, связанные с изменением
его пространственной конфигурации в объеме КТ, могут быть обнаружены
экспериментально в спектрах фотолюминесценции квазинульмерных структур с примесными молекулярными состояниями акцепторного типа.
мэВ
2.5
a
2
1.5
1
0.5
14.4
28.8
43.2
57.6
72
нм
а)
Рис. 1. Зависимость положения термов в КТ InSb от угла θ между
A -центрами при R0 = 72 нм , Ei = 1 мэВ : a – θ = π ; б – θ = π ; в – θ = π
4
6
0
(на вставке к рисункам изображена КТ с A -центрами,
образующими примесный молекулярный ион A2+ )
0
214
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
мэВ
2.5
b
2
1.5
1
0.5
нм
б)
мэВ
2.5
с
2
1.5
1
0.5
14.4
28.8
43.2
57.6
72
нм
в)
Рис. 1. Окончание
Таким образом, в работе в рамках метода потенциала нулевого радиуса
в приближении эффективной массы получено аналитическое решение задачи
о связанных состояниях дырки, локализованной на A2+ -центре в сферическисимметричной КТ. Исследовано влияние обменного взаимодействия, инициированного изменением пространственной конфигурации A2+ -центра в объеме КТ, на положение g- и u-термов примесного молекулярного иона. Показано, что с ростом обменного взаимодействия возрастает величина расщепления между термами и заметно изменяется энергия связи g- и u-состояний
A2+ -центра.
Physics and mathematics sciences. Physics
215
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Список литературы
1. П е тр о в, П . В. Циркулярно поляризованная фотолюминесценция, связанная
с A+ -центрами в квантовых ямах GaAs/AlGaAs / П. В. Петров, Ю. Л. Иванов,
К. С. Романов, А. А. Тонких, Н. С. Аверкиев // Физика и техника полупроводников. – 2006. – Т. 40, № 9. – С. 1099–1102.
2. П е тр о в, П . В. Молекулярное состояние A+ -центров в квантовых ямах
GaAs/AlGaAs / П. В. Петров, Ю. Л. Иванов, А. Е. Жуков // Физика и техника полупроводников. – 2007. – Т. 41, № 7. – С. 850–853.
3. К р е в ч и к , В. Д . Идентификация молекулярных состояний A+ -центров в квантовых ямах GaAs/AlGaAs / В. Д. Кревчик, А. В. Левашов // Нанотехнологии, экология, производство. – 2011. – № 4 (11). – С. 106–108.
References
1. Petrov P. V., Ivanov Yu. L., Romanov K. S., Tonkikh A. A., Averkiev N. S. Fizika i
tekhnika poluprovodnikov [Physics and technology of semiconductors]. 2006, vol. 40,
no. 9, pp. 1099–1102.
2. Petrov P. V., Ivanov Yu. L., Zhukov A. E. Fizika i tekhnika po-luprovodnikov [Physics
and technology of semiconductors]. 2007, vol. 41, no. 7, pp. 850–853.
3. Krevchik V. D., Levashov A. V. Nanotekhnologii, ekologiya, proizvodstvo [Nanotechnology, ecology, production]. 2011, no. 4 (11), p. 106–108.
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, декан физикоматематического факультета,
Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Krevchik Vladimir Dmitrievich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, dean of the faculty
of physics and mathematics, Penza State
University (Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Левашов Александр Владимирович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра физики, Пензенский
государственный университет
(г. Пенза, ул. Красная, 40)
Levashov Aleksandr Vladimirovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of physics, Penza State
University (Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: physics@pnzgu.ru
УДК 535.8; 537.9; 539.33
Кревчик, В. Д.
Энергетический спектр примесного молекулярного иона A2+ в сферически-симметричной квантовой точке / В. Д. Кревчик, А. В. Левашов //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 2 (26). – С. 208–216.
216
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
УДК 535.8; 537.9; 539.33
В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, Т. А. Губин
ВЛИЯНИЕ ОБМЕННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
НА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И ОПТИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА РЕЗОНАНСНЫХ D2− -СОСТОЯНИЙ
В КВАНТОВЫХ ЯМАХ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ1
Аннотация. Интерес к квантовым ямам с резонансными состояниями примесных центров связан с перспективой создания новых источников стимулированного излучения на примесных переходах. Особый интерес представляют
резонансные D2− -состояния, образующиеся в результате обобществления
электрона двумя нейтральными донорами. В этом случае появляются новые
возможности для управления термами примесных молекулярных состояний,
где важную роль начинают играть расстояние между нейтральными донорами
и пространственная конфигурация D2− -центра в объеме квантовой ямы. Целью
данной работы является теоретическое исследование влияния обменного взаимодействия на энергетический спектр D2− -центров с резонансными g- и
u-состояниями в квантовой яме при наличии внешнего магнитного поля, а
также на примесное магнитооптическое поглощение в многоямной квантовой
структуре с резонансными D2− -состояниями. Сравнение полученных теоретических результатов проведено с экспериментальными данными по зависимости энергии связи D − -состояния от величины внешнего магнитного поля в
квантовой яме GaAs/AlGaAs, легированной мелкими донорами Si. Для решения задачи о связанных состояниях электрона, локализованного на D2− -центре
с резонансными g- и u-состояниями в параболической квантовой яме во внешнем магнитном поле, использовался метод потенциала нулевого радиуса и
приближение эффективной массы. Расчет коэффициента примесного магнитооптического поглощения в многоямной квантовой структуре с резонансными
D2− -состояниями проведен в дипольном приближении с учетом лоренцева
уширения энергетических уровней. Исследована зависимость средней энергии
связи резонансного g-состояния D2− -центра от величины внешнего магнитного
поля с учетом лоренцева уширения энергетических уровней. Проведено сравнение с экспериментальными данными по зависимости энергии связи электрона на D − -центре от величины внешнего магнитного поля в квантовой яме
GaAs/AlGaAs с мелкими донорами Si и продемонстрировано хорошее согласие с теоретическими расчетами. Выдвинуто предположение, что в квантовых
ямах GaAs/AlGaAs, легированных мелкими донорами Si, при определенных
условиях возможно существование резонансных D2− -состояний, образующихся в результате обобществления электрона двумя нейтральными донорами.
Обменное взаимодействие между D 0 -центрами может приводить к образованию резонансных D2− -состояний в квантовых ямах GaAs/AlGaAs, легирован1
Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.1165 «Особенности эффекта фотонного увлечения
электронов в нанотрубке со спиральным дефектом и в двумерной ленте, свернутой в спираль,
во внешнем магнитном поле».
Physics and mathematics sciences. Physics
217
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ных мелкими донорами Si. В спектрах примесного магнитооптического поглощения в многоямных квантовых структурах обменное взаимодействие проявляется в наличии осцилляций интерференционной природы, амплитуда которых достаточно быстро убывает с ростом среднего расстояния между
нейтральными донорами.
Ключевые слова: квантовая яма, обменное взаимодействие, энергетический
спектр примесного молекулярного иона, примесные резонансные состояния,
магнитное поле, примесное магнитооптическое поглощение, квантоворазмерный эффект Зеемана, осцилляции интерференционной природы.
V. D. Krevchik, A. B. Grunin, T. A. Gubin
INFLUENCE OF EXCHANGE INTERACTION
ON THE ENERGY SPECTRUM AND OPTICAL PROPERTIES
OF RESONANT D2− -STATES IN QUANTUM WELLS
OF THE EXTERNAL MAGNETIC FIELD
Abstract. The interest to the impurity centers resonant states in quantum wells is associated with possibility to create new sources of stimulated emission at impurity
transitions. The resonant D2− - states, which are formed as a result of connection of
an electron by two neutral donors, are of particular interest. In this case, there are
new possibilities for the control of the impurity molecular states terms, where the
distance between the neutral donors and the spatial configuration of the D2− -center
in the volume of the quantum well begin to play an important role. The aim of this
work is to theoretically study the exchange interaction influence on the energy spectrum of the D2− -centers with the resonant g- and u-states in the quantum well in the
presence of an external magnetic field, as well as on the impurity magneto-optical
absorption in quantum multiwell structure with D2− -resonant states. The authors
compare the obtained theoretical results with experimental data for dependence of
the D − -state binding energy on the external magnetic field in the quantum well
GaAs / AlGaAs, doped with shallow donors of Si. To solve the problem of bound
states for electron, which is localized on the D2− -center with the resonance g-and ustates in a parabolic quantum well in an external magnetic field, it is necessary to
use the method of zero-range potential and the effective mass approximation. Calculation of the impurity magneto-optical absorption coefficient in the quantum multiwell structure with resonance D2− -states is conducted in the dipole approximation
with account of the Lorentzian broadening for energy levels. The researcher investigate the dependence of the average binding energy of the resonant g-state for D2− center on the external magnetic field with account of the Lorentzian broadening for
energy levels. The scientists compare experimental data concerning the dependence
of the electron binding energy for D2− -center on the external magnetic field in the
GaAs / AlGaAs quantum well with shallow donors of Si and demonstrate a good
agreement with theoretical calculations. It is supposed that the existence of resonant
D2− -states, formed as a result of connection of electron by two neutral donors is
possible under certain conditions in the GaAs / AlGaAs quantum wells, doped with
shallow donors of Si. The exchange interaction between the D 0 -centers can lead to
the formation of resonant D2− -states in the quantum wells of GaAs / AlGaAs, doped
with shallow donors of Si. The exchange interaction in the presence of oscillations
of the interference nature, amplitude of which rapidly decreases with an increase of
218
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
the average distance between neutral donors, is realized in the magneto-optical impurity absorption spectra in quantum multiwell structure.
Key words: quantum well, exchange interaction, energy spectrum of an impurity
molecular ion, impurity resonant states, magnetic field, impurity magneto-optical
absorption, quantum-dimensional Zeeman effect, scillations of interference nature.
Введение
В работе [1] приведены результаты экспериментальных исследований
зависимости энергии связи D–-центров ED в многоямных квантовых структурах GaAs/AlGaAs с мелкими донорами Si от величины внешнего магнитного
поля B. Выявлен нелинейный характер данной зависимости: ED  B . Ранее
[2] нами была предпринята попытка интерпретации полученных в [1] результатов в рамках модели потенциала нулевого радиуса для D–-центра в квантовой яме (КЯ). Однако, как показали расчеты, зависимость ED ( B ) оказалась
достаточно близкой к линейной. В настоящей работе выдвинуто и теоретически обосновано предположение о возможном вкладе в нелинейную зависимость ED ( B ) обменного взаимодействия между D0-центрами с обобществленным электроном, так называемые D2− -центры. Последние могут образовываться вследствие роста концентрации нейтральных примесей, когда расстояние между D0-центрами становится достаточно малым и электрон обобществляется. При этом энергетический спектр D2− -центра расщепляется из-за
обменного взаимодействия. Теоретическое исследование энергетической
структуры и оптических свойств D2− -центров с локализованными g- и
u-состояниями в квантовых проволоках при наличии внешнего магнитного
поля проводилось в работах [3, 4]. Было показано, что энергия связи g- и
u-состояний, а также величина расщепления между термами зависят от пространственной конфигурации молекулярного иона D2− в объеме квантовой
проволоки. Целью данной работы является теоретическое исследование влияния обменного взаимодействия на энергетический спектр D2− -центров с резонансными g- и u-состояниями в КЯ при наличии внешнего магнитного поля, а также на примесное магнитооптическое поглощение в многоямной квантовой структуре (МКС) с резонансными D2− -состояниями. Проводится сравнение с экспериментальными данными по зависимости энергии связи D − состояния от величины внешнего магнитного поля в квантовой яме
GaAs/AlGaAs, легированной мелкими донорами Si.
1. Влияние обменного взаимодействия на резонансное
g-состояние D2− -центра во внешнем магнитном поле
Рассматривается полупроводниковая КЯ с параболическим потенциалом конфайнмента:
V ( z) =
m ∗ ω 02 z 2
,
2
Physics and mathematics sciences. Physics
(1)
219
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где m∗ – эффективная масса электрона; ω0 – характерная частота удерживающего потенциала КЯ; − L / 2 ≤ z ≤ L / 2 ; L – ширина КЯ.
Внешнее магнитное поле направлено вдоль оси размерного квантования КЯ, а ось D2− -центра ориентирована перпендикулярно по отношению
к направлению магнитного поля. В приближении эффективной массы в сим

A = 1 / 2 B ρ eϕ , где
метричной калибровке векторного потенциала


B = ( 0,0, B ) – вектор магнитной индукции, eϕ – единичный вектор в цилиндрической системе координат, для невозмущенных примесями одноэлектронных состояний в продольном магнитном поле гамильтониан в выбранной
модели имеет вид
∧
H =−
 2  1 ∂  ∂  1 ∂2
∂2 
ρ +
+

+

2 m*  ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ2 ∂ϕ2 ∂z 2 
ω ∧
m*ω2B ρ2
 2 ∂ 2 m*ω02 z 2
+ B M z+
+−
+
,
2
8
2
2 m* ∂z 2
(2)
где ωB = e B m* – циклотронная частота; e – абсолютное значение заряда
∧
∂
электрона, M z = − i 
– оператор проекции момента импульса на ось z .
∂ϕ
Собственные значения En1 ,m,n и соответствующие собственные функции Ψ n1 ,m,n ( ρ, ϕ, z ) гамильтониана (2) даются выражениями вида
En1 ,m,n =
 ωB
 ωB
1

2n1 + m + 1 +
m + ω0  n +  ;
2
2
2

(
)

n1 !

Ψ n1 ,m,n ( ρ, ϕ, z ) =
m
3  n + m
 1
m
+
1
n
+
1
2 2 aB
2 n !π 2 a
1
  2

ρ
z 2  m


L
× exp −
+
  4 a 2 2 a 2   n1
B
 
 
(
 2
 ρ
 2a 2
 B
)


!

(3)
1/2
ρ
m
×

 H  z  exp ( i m ϕ ) ,
 n  a 

(4)
где n1 = 0,1, 2,... – радиальное квантовое число, соответствующее уровням
Ландау; m = 0, ±1, ±2,... – магнитное квантовое число; n = 0,1, 2,... – осцилляторное
квантовое
(
a =  / m∗ω 0
число;
(
aB =  / m∗ωB
)
–
магнитная
длина;
) – характерная длина осциллятора; Lnm ( x ) – полиномы Ла1
герра; H n ( y ) – полиномы Эрмита.
220
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Поскольку удерживающий потенциал КЯ, вообще говоря, должен
иметь конечную глубину, то в выбранной нами модели потенциала конфайнмента (1) амплитуда потенциала U 0 является эмпирическим параметром и
(
)
удовлетворяет соотношению U 0 = m ∗ ω 02 L 2 / 8 , причем U 0 /  ω 0 >> 1 .

Пусть D0 -центры расположены в точках Ra1 ( ρa1 ,ϕa1 ,za1 ) и


Ra 2 ( ρa 2 ,ϕa 2 ,za 2 ) ( Rai = ρai ,ϕa i ,zai ( i = 1, 2 ) – цилиндрические коорди-
(
)
наты примесных центров). Двухцентровой потенциал моделируется суперпозицией потенциалов нулевого радиуса мощностью γ i = 2 π  2
в цилиндрической системе координат имеет вид
( αi m ∗ )
и
Vδ ( ρ, ϕ, z; ρa1 , ϕa1 , za1 , ρa 2 , ϕa 2 , za 2 ) =
2
=
 γi
(
δ ρ − ρa i
ρ
i =1
) δ ϕ − ϕ δ z − z 1 + ( ρ − ρ ) ∂ + ( z − z ) ∂  ,
( ai ) ( ai ) 
ai
ai
∂ρ
∂z 
(5)
( 2 m∗ ) электронного локализо-
где αi определяется энергией E i 2 = −  2 αi2
ванного состояния на этих же D0 -центрах в объемном полупроводнике.
В приближении эффективной массы для резонансного D2− -состояния
волновая функция электрона
 
Ψ λres ( ρ ,ϕ,z; ρa1 ,ϕa1za1 ,ρa 2 ,ϕa 2 ,za 2 ) = Ψ λres r,Ra1 ,Ra 2
(
)
удовлетворяет уравнению Липпмана – Швингера для связанного состояния:
  
Ψ λres r ; Ra1 ,Ra 2 =
(
(
)
)

  (0)
  
  
= dr1 G r,r1; EλB 2 + i  Γ Vδ r1; R a1 ,R a 2 Ψ λres r1; Ra1 ,Ra 2 ,

(
)
(
)
(
)
(6)
  (0)
где G r, r1 ; E λB 2 + i Γ – одноэлектронная функция Грина, соответствующая

(0)
источнику в точке r1 и энергии E λB 2 =  2 λ 2
луширина резонансного уровня) [5]:
(
)
 
( 0)
G r, r1 ; E λB 2 + i  Γ =
Ψ λres
(

n1 , m, n
( 2 m ∗ ) ( E(λ0B)2 > 0 ) (  Γ – по-


Ψ n∗ , m, n r 1 Ψ n , m, n ( r )
1
1
( )
( 0)
E λB 2 + i  Γ − En , m, n
1
.
(7)
Подставляя (5) в (6), получим, что волновая функция электрона
  
r; R a1 ,R a 2 имеет вид линейной комбинации:
)
Ψ λres
(
(
)
2
  

( 0)
r ; R a1 ,R a 2 =
γ i ci G r,R a i ; E λB 2 + i  Γ ,
) 
i =1
Physics and mathematics sciences. Physics
(8)
221
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где
∧
 
∧
 
 
c i =  T i Ψ λres  R a i ; R a1 ,R a 2 ; T i =  lim 1 + r − R a i ∇  .


r → R ai


(
(
)
)
∧
Применяя последовательно операцию T i ( i = 1, 2 ) к обеим частям выражения (8), получим систему алгебраических уравнений вида
c 1 = γ 1 a 11 c 1 + γ 2 a 12 c 2 ,

c 2 = γ 1 a 21 c 1 + γ 2 a 22 c 2 ,
(
(9)
)

∧  
( 0)
здесь a i j =  T i G  R ai , Ra j ; E λB 2 + i  Γ ; i, j = 1, 2 .


Исключая из системы (9) коэффициенты c i , содержащие неизвестную
  
волновую функцию Ψ λres r ; R a1 ,R a 2 , получим дисперсионное уравнение
для
(
определения
)
средней
энергии
EλB 2 = (ωB + ω0 ) / 2 − Re Eλ(0)
B2
(0)
ΔE = 2 Im EλB 2 :
и
связи
резонансного
ширины
g-состояния
резонансного
(
уровня
)
γ 1 a 11 + γ 2 a 22 − 1 = γ 1 γ 2 a 11 a 22 − a 12 a 21 .
(10)
Одноэлектронная функция Грина в (7) с учетом (3) и (4) может быть
представлена в виде
(
)
(0)
G ρ, ϕ, z , ρa , ϕa , za ; E λB 2 + i  Γ = −
1
3
3 2
2 π
×
a d3 E d β

1 iΓ 
 +∞
1
−  −βη 2B 2 +β a ∗B − 2 + +
t  1
−

2 Ed 
×  dt e 
×  2 2 β a ∗B − 2 1 − e − 2 t 2 δ −1 ( t ) ×

0


(

×sh
−1
(
β a ∗B − 2 t
)
(
) (
 ρ2 + ρ2 cth β a ∗ − 2 t
a
B
⋅ exp  −
2
4a B

)
)  ×


 ρ ρ ch i ( ϕ − ϕ ) − β a ∗ − 2 t  
a
a
B

×
× exp 

2
∗−2 

2 a B sh β a B t




(
)
3
 z 2 + z 2 cth ( t ) 
2
a


 z a z  − 2
 Δ  
× exp −
⋅ exp 
− t ⋅ exp  −


  + 2π ×
2
2a 2
 2 t  


 a sh ( t ) 



222
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика

1 i  Γ   

exp − 2  −βη 2B 2 + β a ∗B − 2 + +
 ⋅ Δ
2 Ed   


 ,
×
Δ

(11)
где
β = L∗  4 U 0∗  ; L∗ = L ad ; U 0∗ = U 0 Ed ; a ∗B = aB ad ;


η 2B 2
{
( ρ − ρa ) 2 ( z − za ) 2
}
( 0)
= E λB 2 Ed ; δ ( t ) = exp − β a ∗B − 2 t ; Δ =
2 a B2
+
a2
.
Коэффициенты a i j , входящие в (10), с учетом (11) примут вид

1 i Γ 
 +∞
−  −βη 2B 2 +β a ∗B − 2 + +
t

2 Ed 
⋅  dt e 
×
ai j = −
3
0
2 3 π 2 a d3 E d β 
1

1
 1
∗−2
− 2t − 2 − 1
2

1− e
× 2 βa B
δ ( t ) sh − 1 β a ∗B − 2 t 




(
) (
(
 ρ 2 + ρ 2 cth β a ∗ − 2 t
aj
ai
B
× exp  −
2
4a B

(
)
)  exp  ρ




(
)
∗ − 2 
 ϕ −ϕ
t
ai
a j − βa B
×

∗
2
−
2
2 a B sh β a B t 



a j ρa i ch i
)
2
2


3
2

 z a j + z a i cth ( t ) 
 za j za i  − 2
 Δ i , j  
× exp  −
⋅
−
⋅
−
exp
t
exp

 2


 + 2π ×
2a 2


 a sh ( t ) 
 2t  



 

1 i Γ 
exp − 2  −βη 2B 2 + β a ∗B − 2 + +
 ⋅ Δi , j  
2 Ed 



  ,
×
Δi , j

(12)

1 i Γ 
 +∞
−  −βη 2B 2 +β a ∗B − 2 + +
t

2 Ed 
⋅  dt e 
×
ai i = −
3
0
2 3 π 2 a d3 E d β 
1

1
 1
∗−2
− 2 t − 2 −1
2

1− e
δ ( t ) ⋅ sh − 1 β a ∗B − 2 t ×
× 2 βa B


(
)
Physics and mathematics sciences. Physics
(
)
223
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 2
 t 
 z a i th  2   − 3 

   − t 2  − 2π ⋅ 2  −βη 2 + β a ∗ − 2 + 1 + i  Γ   , (13)
× exp  −


B
B2

2 Ed  
a2





где Δ i , j =
( ρa i − ρa j )
2
(2a ) + ( z
2
B
ai
− za j
)
2
a2 .
В случае, когда γ1 = γ 2 = γ , уравнение (10) распадается на два уравнения, определяющих симметричное (g-терм) и антисимметричное (u-терм) состояния электрона соответственно:
γ a 11 + γ a 12 = 1 (c1 = c2 );
(14)
γ a 11 − γ a 12 = 1 ( c1 = −c2 ) .
(15)
Для поперечного по отношению к направлению магнитного поля рас

положения оси D2− -центра R a 1 = ( 0,0,0 ) и R a 2 = ( ρa 2 , ϕa 2 ,0 ) уравнения (14)
и (15) с учетом (12) и (13) могут быть записаны в виде
−

E λB 2 + i  Γ
1
−
t  ω
∞
 ω B
−
ω0
B
−
2
t
2 δ − 1 ( t ) sh −1 

1− e
 dt e
 2ω0
 2 ω0
Ei2 0



 ω0
2 π
(

(
)

t ×


) )
(

 ρ* 2 cth  ω



* 2  
a2
B 2  ω 0 ×t  
 ρa 2   

−3 2 

1 ± exp −
×  1 ± exp −
−t
±2 π×
* 2  

 

4 a *B 2


 4a B t   







 exp  −




×


(
E λB 2 + i  Γ
)(
ω0
ρ∗a 2 / a ∗B
)

ρ∗a 2 
a ∗B 
 
( E λB 2 + i  Γ ) (




 ω 0   = 1 , (16)

 
)
где верхние знаки относятся к симметричным (g-терм), а нижние знаки –
к
антисимметричным
(u-терм)
состояниям
электрона;
ρ ∗a 2 = ρa 2 ad ;
R 12 = ρ a 2 – расстояние между D 0 -центрами.
(0)
Уравнения (16) соответствуют случаю, когда примесный уровень E λB 2
расположен между дном потенциала КЯ и уровнем энергии ее основного состояния E 0,0,0 =  ( ωB + ω0 ) 2 . Для перехода к случаю, когда примесный
( 0)
уровень расположен ниже дна КЯ ( EλB 2 < 0 ), необходимо в уравнениях (16)
энергию связи D2− -центра определить выражением
224
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
( 0)
(
E λB 2 = E λ B 2 +  ω B + ω 0
)
2,
(0)
где E λB 2 в этом случае является действительной величиной.
Для учета дисперсии ширины КЯ в многоямной квантовой структуре
(МКС) в выражениях (11)–(13) необходимо произвести замену β = L∗  4 U 0∗ 


на β ( u ) = L∗ u  4 U 0∗  , здесь u = L L – дисперсия ширины КЯ, L – сред

нее значение ширины КЯ. В этом случае энергию связи g-состояния (как резонансного, так и локализованного) необходимо усреднить по возможным
значениям ширины КЯ:
u max
E λB 2
L
=

du P ( u ) E λB 2 ( u ) ,
(17)
u min
где umin , umax – минимальное и максимальное значения дисперсии u ; P ( u ) –
функция распределения дисперсии ширины КЯ:
P (u ) =
2
( (
)
(
π Φ u max − u 0 + Φ u 0 − u min
))
e
(
− u −u 0
)
2
,
(18)
где Φ ( z ) – интеграл ошибок;
(
u 0 = u min + u max
)
2;
в случае резонансного g-состояния в (17) необходимо выполнить замену
E λB 2 на E λB 2 .
На рис. 1 приведены результаты численного анализа дисперсионных
уравнений (16) для локализованных и резонансных g-состояний D2–-центра
как с учетом дисперсии ширин КЯ (см. кривые 1 и 3 соответственно). Так
и с учетом уширения энергетических уровней (см. кривые 2 и 4), величина
которого Δ = 4,8 мэВ взята из эксперимента [5]. Точками на рис. 1 обозначены результаты эксперимента [1] по исследованию зависимости энергии связи
электрона на D–-центре от величины внешнего магнитного поля в КЯ
GaAs/AsGaAs с мелкими донорами Si. Можно видеть, что значение энергии
связи примеси Si в селективно легированных МКС GaAs/AsGaAs в большей
степени отвечают резонансным D2–-состояниям (сравн. кривые 3 и 4 с кривыми 1 и 2). Таким образом, в КЯ GaAs/AsGaAs, легированных мелкими донорами Si, возможно существование резонансных D2–-состояний, образующихся
в результате обобществления электрона двумя нейтральными донорами, расположенными друг от друга на расстоянии не более 4 нм. На рис. 2 представлена зависимость энергии связи D2–-состояния от величины внешнего магнитного поля для различных расстояний между D0-центрами R12 . Видно, что
Physics and mathematics sciences. Physics
225
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
с ростом обменного взаимодействия (с уменьшением R12 ) меняется характер
зависимости энергии связи резонансного g-состояния от величины внешнего
магнитного поля В (сравн. кривые 1 и 5 на рис. 2): если расстояние между D0центрами R12 больше эффективного боровского радиуса ad , то характер
искомой зависимости близок к линейной (см. кривые 4 и 5), что отвечает
D–-состояниям атомного типа, при R12 < ad энергия связи g-состояния  B
(см. кривые 1, 2 и 3 на рис. 2).
1
2
3
4
В, Тл
Рис. 1. Зависимость энергии связи D2 -состояния от величины магнитной
индукции B для случая поперечного расположения оси примесной молекулы
по отношению к оси размерного квантования в КЯ GaAs при Ei = 0,4 мэВ,
–
L = 10 нм, U0 = 0,2 эВ, R12 = 4 нм; кривые: 1 и 3 – локализованные и резонансные
примесные состояния с учетом дисперсии ширины КЯ; 2 и 4 – соответствующие
состояния с учетом экспериментального значения уширения Δ = 4,8 мэВ.
Точками обозначены результаты эксперимента в селективно
легированных структурах GaAs / AlGaAs [1]
Волновая функция электрона в резонансном g-состоянии D2− -центра
(
)
в КЯ Ψ λ ρ, ϕ, z; ρ a1 , ϕa1 , za1 , ρa 2 , ϕa 2 , za 2 , находящейся в продольном маг-
226
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
нитном поле, в цилиндрической системе координат может быть представлена
в виде
(
)
Ψ λ ρ, ϕ, z; ρa1 , ϕa1 , za1 , ρa 2 , ϕa 2 , za 2 = γ c 1 ×
{(
( 0)
) (
(0)
× G ρ, ϕ, z; ρa1 , ϕa1 , za1; E λB 2 + G ρ, ϕ, z; ρa 2 , ϕa 2 , za 2 ; E λB 2
) }.
(19)
5
4
3
2
1
В, Тл
Рис. 2. Зависимость энергии связи резонансного g-состояния D2–- центра
от величины магнитной индукции B в КЯ GaAs при Ei = 0,4 мэВ, L = 10 нм,
U0 = 0,2 эВ для различных расстояний R12 между D 0 -центрами;
кривые: 1 – R12 = 4 нм; 2 – R12 = 8 нм; 3 – R12 = 12 нм; 4 – R12 = 16 нм,
5 – R12 = 20 нм. Точками обозначены результаты эксперимента в селективно
легированных структурах GaAs / AlGaAs [1]
Physics and mathematics sciences. Physics
227
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Из условия нормировки волновой функции (19) можно получить уравнение для нормировочного множителя c 1 :

γ 2 c 12 β E d− 1 ×  −
(
∂G
2
 ∂ βη B 2
)

(R

a1 , R a 1; β
)
η 2B 2 −
(
∂G
∂ βη 2B 2
)

(R

2
a 2 , R a 2 ; βη B 2
)−



2 
−
(20)
R a1 , R a 2 ; βη B 2  = 1 .
∂ βη 2B 2
∂ βη 2B 2


Уравнение (20) с учетом (11) при условии, что R a1 = ( 0,0,0 ) , примет
(
∂G
)
(


R a 2 , R a1; βη 2B 2 −
)
(
∂G
)
)
(
вид
γ
2
c 12
+∞
β2
⋅
3
2 2
2 π
a B2 a E d2
−1
−1
×δ
( t ) ⋅ sh

−2 1 

−  −βη 2B 2 +β a ∗B +  t
2
dt ⋅ t e 
⋅
0
(
β a ∗B − 2 t
)
1
− 2t − 2
1− e
(
)
×

 z 2 th ( t 2 ) 
 a2


× 1 + exp −
+
2

a





 2

∗ −2  
 ρa 2 cth  β a B t  
 z 2 cth ( t )  

  ⋅ exp  − a 2
  =1.
+2 exp  −
2



2a 2  
4a B



 
(21)
Получим выражение для волновой функции резонансного g-состояния
в случае поперечной конфигурации D2− -центра в КЯ:


( R a1 = ( 0,0,0) , R a 2 = (ρa 2 , ϕa 2 ,0) ) .
В этом случае уравнение (21) примет вид
γ
2
c 12
+∞
β2

3
0
2
2π aB2 aEd2
−2 1 

−  −βη 2B 2 +β a B∗ +  t
2
dt ⋅ t ⋅ e 
(
⋅ 1 − e −2 t
)
−
1
2
×

 2
 ∗ −2  

 ρa 2 cth  β a B t   

  =1.
×δ −1 ( t ) ⋅ sh −1 β a ∗B − 2 t 1 + exp  −
2



4a B


 
(
)
(22)
При вычислении нормировочного множителя c 1 появляются интегралы
вида J 1′ и J ′2 :
228
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
−2
1
1
−2
2
∗
− 
 1  −βη B 2 +β a B + 2
2 β a B∗
2
2
1 − y
J1′ = dy ⋅ ln   y
⋅ 1− y

y


0
1
(

1
J 2′ =
2
+∞

−2 1 

−  −βη 2B 2 +β a B∗ +  t
2
dt ⋅ t ⋅ e 
)
1
−2 t − 2
1− e
(
⋅
0
)




−1
;
⋅ δ −1 ( t ) ×
 2
 ∗− 2  
 ρ a 2 cth  β a B t  

 .
× sh −1 β a ∗B − 2 t × exp  −
2


4a B




)
(
(23)
(24)
Учитывая, что
−2

2 β a ∗B
1 − y






−1
=
∞
y
2 k β a ∗B
−2
,
(25)
k =0
интеграл (23) запишется следующим образом:
J1′ = −
(
∞
∂
)
1
  dy ⋅ y
−βη 2B 2 +β a ∗B
−2
( 2 k +1) +
1
2
1
2 −2
y
(1 − )
.
(26)
1 μ 
Β  , ν  , Re μ > 0, Re ν > 0, λ > 0 .
λ λ 
(27)
∂ βη 2B 2 k = 0 0
В выражении (26) введем обозначение
−2
d = −βη 2B 2 + ( 2k + 1) β a ∗B
+3 2
и воспользуемся интегральным представлением бета-функции
1

0
(
x μ −1 1 − x λ
)
ν −1
dx =
В результате для J1′ получим
d
Γ 
∞
1 1
2 G d ,
J1′ = Γ   ⋅
Ψ( )
4  2  k = 0  d +1
Γ

 2 
(28)
 d +1
d 
GΨ ( d ) = Ψ 
 − Ψ .
 2 
2
(29)

здесь
−2 

В интеграле (24) введем новую переменную u = th  β a ∗B t  , тогда


Physics and mathematics sciences. Physics
229
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
J 2′ = −
1

× du ⋅ u
−1
(1 − u )
1
∗−2
βa B
1
2
−βη B 2 +
2
∗−2
βa B
∂
(
∂ βη 2B 2
−
⋅ (1 + u )
)
×
1
2
−βη B 2 +
2 −1
∗−2
βa B
0
 ρ2 
a2 
exp  −
.
 4a 2 u 
B 

(30)
Далее, используя следующие соотношения:
u
x
ν −1
β
μ −1 − x
(u − x ) e
dx =
0
ν −1 2μ+ν−1

= β 2 u 2 exp −
β 
β

 Γ ( μ ) W1− 2μ−ν ν   , Re μ > 0, Re β > 0, u > 0 ; (31)
, u
 2u 
2
2
Wk , μ ( z ) = z
μ+
1
G 2 ( α, γ , z ) =
Γ (α)
1
2
+∞
e
e
−
z
2G
1
− k + μ, 2μ + 1,
2
2
− z t α −1
t
(1 + t ) γ − α −1 dt ,

z ;

(32)
Re α > 0 ,
(33)
0
для J 2′ получим
J 2′ = −
1
−4
β 2 a ∗B
 ρ2
a2
exp  −
 4a 2
B

ρ 2a 2
t

4 a B2
− α −1
 ∂
dt e
t α (1 + t )
.
 ∂α
0

−
+∞

(34)
Нахождение производной в выражении (34) приводит к интегралу вида
R′ =
+∞
 dt ⋅ e
−
ρ 2a 2
4 a B2
t
t α (1 + t )
− α −1
0
 t 
ln 
,
1+ t 
(35)
в котором можно принять, что
1
 t 
ln 
≈− .
t
1+ t 
(36)
Учитывая вклад на нижнем и верхнем пределах интегрирования, получим

ρ 2a 2 

.
′
R = − Γ ( α ) G 2 α, 0,

4 a B2 


230
(37)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
В этом случае выражение (34) примет вид
J 2′ =
1
−4
β 2 a ∗B
 ρ2
a2
exp  −
 4a 2
B

1
1

  −βη2B 2 + 
−βη2B 2 +
ρ a2 2

2
2
 ⋅Γ
, 0,
 G2 
 
∗ −2
∗−2
4 a B2


βa B
  βa B




 . (38)


Окончательное выражение для множителя c 1 в (22) запишется следующим образом:
 3
π2
c1 = 



1
2

d 
 ρ2 
a B2 a E d2   1  1  ∞ Γ  2 
1

a2 
 ⋅ Γ
G Ψ (d ) +
exp  −
×
 
∗
2 2
−
2
4

d
1
+
4
2

γ β
4 a B2 
β aB
   k = 0 Γ 




 
 2 
 

1
1


2
2
ρ 2a 2
 −βη B 2 + 2 
 −βη B 2 + 2
× Γ
, 0,
⋅G2 
−2
−2
4 a B2
 β a ∗B

 β a ∗B








−
1
 2

 .


(39)
Тогда волновая функция электрона в резонансном g-состоянии


для случая R a1 = ( 0,0,0 ) , R a 2 = ρa 2 , ϕa 2 ,0 запишется в виде
D2− -центра
(
)
Ψ λ ( ρ, ϕ, z;0,0,0, ρ a 2 , ϕa 2 ,0 ) ≡ Ψ λ ( ρ, ϕ, z;0, ρa 2 , ϕa 2 ,0 ) =
= − γ c1
×δ
−1
+∞
β
3
22 π 2
( t ) ⋅ sh
−1
(
a B2 a E d
β a ∗B − 2 t
(
)

−2 1 

−  −βη 2B 2 +β a B∗ +  t
2

dt ⋅ e
0
(
 ρ 2 cth β a ∗ − 2 t
B

exp  −
2
4a B


 ρ 2 cth β a ∗ − 2 t
B
 a2

× 1 + exp  −
4 a B2



)
(
1 − e− 2 t
)  exp − z



)
−
1
2
×
cth ( t ) 
×
2 a 2 
2


∗−2   

ρ
ρ
ch
i
ϕ
−
ϕ
−
β
a
(
)
2
2
a
a
B t  



   . (40)
⋅
exp


2
∗
2
−


2 a B sh β a B t



 
(
)
2. Спектры примесного магнитооптического поглощения в многоямной
квантовой структуре с резонансными D2− -состояниями
Рассмотрим процесс фотоионизации D2− -центра, связанный с оптическим переходом электрона из резонансного g-состояния в гибридно-квантованные состояния КЯ в продольном магнитном поле, для случая поперечной
Physics and mathematics sciences. Physics
231
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
по отношению к направлению магнитного поля поляризации

e λ t ( cos ψ, sin ψ, 0 ) , где ψ – полярный угол единичного вектора поляризации

e λ t в цилиндрической системе координат.
Эффективный гамильтониан взаимодействия с полем световой волны
∧ t
()
H int B
в цилиндрической системе координат будет иметь вид
∧ t
()
H int B = − i  λ 0

∂ sin ( ψ − ϕ ) ∂
I 0 ⋅ exp ( i q z z )  cos ( ψ − ϕ ) +
−
∂ρ
ρ
∂ϕ
m∗ 2 ω

2 π  2 α∗
−

ρ sin ( ϕ − ψ )  ,

2 a B2

i
(41)
где λ 0 = Eeff / E0 – коэффициент локального поля, учитывающий увеличение
амплитуды оптического перехода за счет того, что эффективное локальное
поле примесного центра Eeff превышает среднее макроскопическое поле в
2
(
кристалле E0 ; α ∗ = e / 4 πε 0 ε  c
)
– постоянная тонкой структуры
с учетом диэлектрической проницаемости ε ; I 0 – интенсивность света; ω –

его частота; q = 0,0, q z – волновой вектор фотона.
(
)
(t )
Матричный элемент M f , λ ⊥ рассматриваемого оптического перехода
в дипольном приближении можно записать как
∧ t
()
(t )
(
)
M f , λ ⊥ = Ψ ∗n , m, n ( ρ, ϕ, z ) H int B Ψ λ ρ, ϕ, z;0, ρ a 2 , ϕa 2 ,0 .
1
(42)
(t )
При вычислении матричного элемента M f , λ ⊥ появляются интегралы
вида
2π


∗ −2
 d ϕ exp ( − i m ϕ) cos ( ϕ − ψ ) ⋅ cth  βaB
0
(


t  + i sin ( ϕ − ψ )  =


)
−2


= π  cth  βa∗B t  e − i ψ δm, +1 + e i ψ δm, − 1 + e − i ψ δm, +1 − e i ψ δm, −1  ; (43)





z2
z
dz H n   exp  −
 a 2 1 − e− 2 t
a
−∞

+∞

(
j
= a δ n, 2 j ( −1) 2
232
2j
(
)

=


)
1
1

Γ  j +  1 − e− 2 t 2 e − 2 j t .
2

(44)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
В процессе вычисления матричного элемента были использованы следующие соотношения:
1

β2
Γμ + ν + 
β2 
2  −1 2 α −μ
e − α x I 2ν 2 β x dx = 
β e
α M −μ, ν 
,
 α 
Γ ( 2ν + 1)


∞ μ− 1
x 2
(

0
)
1

Re  μ + ν +  > 0 ;
2

M k,μ ( z ) = z
μ+
1
z
−
2e 2
(45)
1

F  − k + μ, 2 μ + 1, z  ;
2

(46)
F ( a , c, x ) = e x F ( c − a , c, − x ) ;
1

B ( x, y ) = t x −1 (1 − t )
y −1
(47)
dt , Re x > 0, Re y > 0 .
(48)
0
(t )
Окончательное выражение для матричных элементов M f , λ ⊥ рассматриваемых оптических переходов имеет вид
(t )
M
f,λ⊥
×2
2 j+
1
2
= −2
−
×e
3
3
1
α∗ I 0
j
−
i λ0
γ c 1 β 4 a B− 2 a d2 ( n!) 2 δ n, 2 j ( −1) ×
ω


1 

1 
1

Γ  j +   n 1 + 1 2 ⋅  e − i ψ δ m, + 1
+
−
2
1
2 



∗
2

−βη
+
β
+
+
+
2
1
2
a
n
j


B2
B
1


2


(
+ e i ψ δ m, − 1
×
n 1
3
−
−
2 4π 4
1
−2
2 βa∗B
)

∗ −2
2
 −βηB 2 + β aB

(
− i ( m −1) ϕa2
e
−i ψ
1
 



2

n
!
1
1

 + 
 ×
1
n + m )!

2 n1 + 3 + + 2 j     ( 1
2
  
(
 ρ2
 2a 
a2
B

 ⋅ exp  − 2
 ρa 2 
 4a


B

)
)
 n1 n − p −1 p
( )
⋅
C n 1+ m

1
p!
 p=0


m − m −1 +1
× p +
! ⋅
2


Physics and mathematics sciences. Physics
p+
m − m −1 +1
2

k =0
 ρ2
a2
⋅ 
 2 a 2
 B




m −1 +1
2
×
m − m −1 +1
−k
C m + m2−1 +1
p+
2
p+
×
233
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
k
1  ρ2
×  a2
k !  2 aB2
 
 − i ( m +1) ϕa2 i ψ
m + m −1 + 2k
m − m −1 +1
−k+e
,p+
e ×
 Bν +
 
2
2


 ρ2
×  a2
 2 a2
 B
1  ρ2
×  a2
u !  2 aB2




m +1 +1
2

m − m +1 +1
p+
! ⋅
2


p+
m − m +1 +1
2

u =0
m − m +1 +1
−u
C m + m2+1 +1
p+
2
p+
×
u
 
m + m +1 + 2u
m − m + 1 + 1  ρ a 2 − i m ϕa2
+ 2, p +
−u−
×
e
 Bν+
 
2
2
2aB


 ρ2
× a2
 2
 2 aB
m +1
p
 2
1  ρ2
⋅ p! ⋅
C pp+−υm ⋅ ⋅  a 2


υ!  2 aB2

υ= 0

υ

 i (ϕ − ψ)
×
 × e a2




m + m +1+ 2υ

− i ( ϕa2 − ψ )
×B  ν +
, p − υ + e
×
2




   
m + m + 3+ 2υ
, p − υ     .
×Bν +
2

 
  
1


где ν =  −βηB22 + + 2 j 
2


Для оптического
(49)

∗ −2 
 2 β aB  .


перехода с максимальной силой осциллятора
( n1 = 0, n = 0) матричный элемент M (ft,)λ ⊥ согласно (49) примет вид
(t )
M
f,λ⊥
1
1
−
= −2 4 π 4
3
3
α∗ I 0
i λ0
γ c 1 β 4 a B− 2 a d2 ×
ω


1
1
×  e − i ψ δ m, + 1
+ e i ψ δ m, − 1
+



2
2
∗−2 1 
∗ −2 1 
 −βηB 2 + βaB + 
 −βηB 2 + 3βaB + 

2
2


+
1
−2
2 βa∗B
 ρ2
⋅ exp  − a 2
2

 4 aB
×
234
 − i m ϕa
2
⋅e


1
1

 ν0 + m − 
2

−e
(
1

−
⋅  Θ ( m ) ( m!) 2

− i ϕa2 − ψ
)  ρ2a 2
 2 a2
 B


⋅ m



 ρ2
 a 22
 2a
 B
m −1
 2 i ( ϕa −ψ )
2
×
e



m +1


 2
1
−


3


 ν0 + m +  
2

University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
−Θ ( − m − 1) ( m !)
1
−
2
m +1
−
2
2
− i ϕa2 − ψ  ρa 2 
e
 2
 2a 
 B
(
)

m +


ρ2a 2
2 aB2



1



3
  ν0 +  
2  



 , (50)



1, x ≥ 0
– единичная функция Хевисайда;
где Θ ( x ) = 
0, x < 0
−2
1

ν0 =  −βη2B 2 +   2 β a∗B  .
2 


Вычислим коэффициент примесного магнитооптического поглощения
для МКС с учетом лоренцева уширения ħΓ. Магнитное поле направлено
вдоль оси размерного квантования КЯ. Считается, что в каждой КЯ находится по одному D2− -центру. Рассматривается случай поперечного расположения оси D2− -центра по отношению к направлению магнитного поля.
(t ) ω
( )
Коэффициент примесного магнитооптического поглощения K B
можно представить в виде
(t ) ω =
( )
KB
×
2
2
(t )
Mf,λ⊥ ×
L c S  I0 m n n
1

Γ
2

1


2
( 0)
  ωB 2 n1 + m + m + 1 / 2 +  ω0  n + 2  − E λB 2 −  ω  + (  Γ )




(
)
, (51)
где Lc – среднее значение периода структуры; S – площадь КЯ в плоскости,
перпендикулярной оси размерного квантования; ω – энергия фотона.
(t )
На рис. 3 представлена спектральная зависимость K B ( ω) , рассчитанная по формуле (51) для МКС на основе GaAs/AlGaAs для различных средних
расстояний между D0 -центрами. Можно видеть, что для спектральной зави-
(t )
симости K B ( ω) характерен квантово-размерный эффект Зеемана с осцилляциями интерференционной природы, которые исчезают с ростом среднего
расстояния между D0 -центрами (см. вставку к рис. 3). Необходимо отметить,
что из-за наличия вырождения по магнитному и радиальному квантовым числам имеет место совмещение пиков в двух соседних дублетах Зеемана.
Таким образом, обменное взаимодействие между D0 -центрами может
приводить к образованию резонансных D2− -состояний в КЯ GaAs/AlGaAs,
легированных мелкими донорами Si. Показано, что обменное взаимодействие
эффективно проявляется на расстояниях R12 < ad , при этом энергия связи резонансного g-состояния зависит от внешнего магнитного поля как  B .
Physics and mathematics sciences. Physics
235
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Найдено, что в спектрах примесного магнитооптического поглощения в МКС
обменное взаимодействие проявляется в наличии осцилляций интерференционной природы, амплитуда которых быстро убывает с ростом среднего расстояния между нейтральными донорами.
( t ) ω примесного
( )
Рис. 3. Спектральная зависимость коэффициента K B
магнитооптического поглощения в МКС ( Lc = 10 нм , S = 1 см2)
с D2− -центрами ( Ei =0,4 мэВ, L = 10 нм, U0 = 0,2 эВ) в магнитном поле
с индукцией B = 5 Тл для различных средних расстояний между
D0 -центрами; кривые: 1 – R12 = 4 нм; 2 – R12 = 12 нм; 3 – R12 = 20 нм
Примечание. На вставке в более мелком масштабе показана правая часть кривых данного рисунка.
236
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Список литературы
1. H u a n t , S . Two-dimensional D − -Centers / S. Huant and S. P. Najda // Physical Review Letters. – 1999. – Vol. 65, № 12. – P. 1486–1489.
2. К р е в ч и к , В. Д . Магнитооптика квантовых ям с D − -центрами / В. Д. Кревчик,
А. Б. Грунин // Физика и техника полупроводников. – 2006. – Т. 40, № 4. – С. 433–
438.
3. К р е в ч и к , В. Д . Магнитооптические свойства молекулярного иона D2− в квантовой нити // В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, А. А. Марко // Физика твердого тела. –
2004. – Т. 46, № 11. – С. 2099–2103.
4. Ж у к о в с к и й , В. Ч . Термы молекулярного иона D2− в продольном магнитном
поле / В. Ч. Жуковский, В. Д. Кревчик, А. А. Марко, М. Б. Семенов, А. Б. Грунин //
Вестник МГУ. Сер. Физика. Астрономия. – 2004. – № 5. – С. 7–10.
5. Ж у к о в с к и й , В. Ч . Изучение управляемости туннелирования в структурах типа «квантовая точка – квантовая яма» или «квантовая молекула» / В. Ч. Жуковский, Ю. И. Дахновский, В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов, В. Г. Майоров, Е. И. Кудряшов, K. Yamamoto // Вестник МГУ. Серия 3: Физика. Астрономия. – 2006. –
№ 3. – С. 24–27.
References
1. Huant S., Najda S. P. Physical Review Letters. 1999, vol. 65, no. 12, pp. 1486–1489.
2. Krevchik V. D., Grunin A. B. Fizika i tekhnika poluprovodnikov [Semiconductor physics and technology]. 2006, vol. 40, no. 4, pp. 433–438.
3. Krevchik V. D., Grunin A. B., Marko A. A. Fizika tverdogo tela [Solid bofy physics].
2004, vol. 46, no. 11, pp. 2099–2103.
4. Zhukovskiy V. Ch., Krevchik V. D., Marko A. A., Semenov M. B., Grunin A. B. Vestnik MGU. Ser. Fizika. Astronomiya [Moscow State University bulletin. Physics. Astronomy]. 2004, no. 5, pp. 7–10.
5. Zhukovskiy V. Ch., Dakhnovskiy Yu. I., Krevchik V. D., Semenov M. B., Mayorov V. G.,
Kudryashov E. I., Yamamoto K. Vestnik MGU. Seriya 3: Fizika. Astronomiya [Moscow
State University bulletin. Physics. Astronomy]. 2006, no. 3, pp. 24–27.
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, декан физикоматематического факультета,
Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Krevchik Vladimir Dmitrievich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, dean of the faculty
of physics and mathematics, Penza
State University (Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Грунин Александр Борисович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра физики, Пензенский
государственный университет (г. Пенза,
ул. Красная, 40)
Grunin Aleksandr Borisovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of physics, Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Physics and mathematics sciences. Physics
237
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Губин Тихон Алексеевич
аспирант, Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Gubin Tikhon Alekseevich
Postgraduate student, Penza State
University (Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: physics@pnzgu.ru
УДК 535.8; 537.9; 539.33
Кревчик, В. Д.
Влияние обменного взаимодействия на энергетический спектр и
оптические свойства резонансных D2− -состояний в квантовых ямах во
внешнем магнитном поле / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, Т. А. Губин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 2 (26). – С. 217–238.
238
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
УДК 539.194
Н. И. Распопова, И. А. Конов, И. Б. Болотова, Ю. В. Кривчикова
О РАСЧЕТЕ ПАРАМЕТРОВ ТЕТРАЭДРИЧЕСКИХ
РАСЩЕПЛЕНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ
СПЕКТРАХ МОЛЕКУЛ ТИПА XY4 СИММЕТРИИ Td:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
В СИММЕТРИЗОВАННОЙ ФОРМЕ1
Аннотация. Целью работы является разработка высокоэффективного метода
определения колебательной структуры молекул высокой симметрии типа XY4,
а именно построение колебательных волновых функций, симметризованных
в группе симметрии Td, и на этой основе получение аналитических выражений
для расчета тетраэдрических расщеплений высоковозбужденных колебательных состояний. Для реализации поставленной цели были решены следующие
задачи: 1) построение симметризованных волновых функций с использованием свойства симметрии молекулы, а также результатов и теоремы теории неприводимых тензорных систем; 2) разработка и практическая реализация метода построения в аналитическом виде матричных элементов гамильтониана
молекулы на полученных симметризованных волновых функциях; 3) разработка алгоритмов и создание программ на языке программирования MAPLE
для получения выражений, определяющих тетраэдрические расщепления. Математический аппарат теории неприводимых тензорных операторов использовался для определения в симметризованной форме гамильтониана и колебательных волновых функций молекул тетраэдрической симметрии. На этой основе с применением языков аналитического программирования MAPLE и
MATHEMATICA определены аналитические формулы, позволяющие определить зависимость собственных значений колебательного гамильтониана такого типа молекул от параметров тетраэдрических расщеплений. На основе теории неприводимых тензорных операторов решена задача построения симметризованных волновых функций. Разработан и практически реализован метод
построения в аналитическом виде матричных элементов гамильтониана молекулы на полученных симметризованных волновых функциях. Разработан алгоритм и создана программа на языке аналитического программирования
MAPLE, позволяющая как в аналитической форме, так и численно определить
тетраэдрические расщепления в молекулах типа XY4 симметрии Td. Полученные в работе результаты позволяют предсказывать с высокой точностью значения колебательных энергий состояний симметрии F1 молекул типа XY4(Td)
вплоть до состояний, соответствующих восьмикратному возбуждению колебательных квантов, и создают основу для выполнения аналогичных расчетов колебательных состояний другой симметрии.
Ключевые слова: молекулы высокой симметрии, колебательные состояния,
тетраэдрические расщепления.
N. I. Raspopova, I. A. Konov, I. B. Bolotova, Y. V. Krivchikova
ON THE CALCULATION OF PARAMETERS
OF TETRAHEDRAL SPLITTINGS IN VIBRATIONAL SPECTRA
1
Работа частично финансирована Федеральным агентством по науке и инновациям
России по контракту № 02.740.11.0238.
Physics and mathematics sciences. Physics
239
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
OF XY4 MOLECULES OF Td SYMMETRY: DETERMINATION
OF VIBRATIONAL FUNCTIONS IN SYMMETRIZED FORM
Abstract. Objective: development of a highly effective method of determination of
vibrational structure of XY4 molecules of high symmetry, namely, construction of
vibrational wave functions, symmetrized in the Td symmetry group, and determination of analytical expressions for calculation of tetrahedral splittings of the highexcited vibrational states using the mentioned symmetrized wave functions.
In order to achieve assigned objectives the following tasks were solved: 1. Using
properties of symmetry of a molecule, and also results and theorems of the Irreducible Tensorial System Theory the problem of construction of symmetrized wave
functions was solved. 2. Development and practical realization of a method of construction of matrix elements of Hamiltonian of a molecule in analytical form using
the obtained symmetrized wave functions. 3. Development of algorithms and creation of programs in the MAPLE programming language for determination of expressions describing tetrahedral splittings. The mathematical apparatus of the irreducible
tensorial operators theory was used for determination of a Hamiltonian in a symmetrized form and vibrational wave functions of molecules of tetrahedral symmetry.
On that basis, using analytical programming language MAPLE and
MATHIMATICS, the analytical formulas, allowing to determine the dependence of
eigen values of vibrational Hamiltonian of such molecules on the parameters of tetrahedral splittings were obtained. Results: 1. On the basis of the irreducible tensorial
operators theory the problem of construction of symmetrized wave functions was
solved. 2. The method of construction of matrix elements of Hamiltonian of a molecule in analytical form using the obtained symmetrized wave functions was developed and practically realized. 3. The authors developed an algorithm and created a
program on the basis of analytical programming language MAPLE, allowing both
analytically and numerically determine the tetrahedral splitting in XY4 molecules of
Td symmetry. The results obtained in this work allow predicting with high accuracy
the values of vibrational energies of F1 symmetry states of XY4 (Td) molecules up to
the states corresponding to eightfold excitation of vibrational quanta, and create a
basis for realization of similar calculations of vibrational states of other symmetry.
Key words: molecules of high symmetry, vibrational states, tetrahedral splittings.
Спектры высокого разрешения (колебательно-вращательные) являются
уникальным и вплоть до настоящего времени наиболее точным источником
количественной информации о структуре и внутренней динамике многоатомных молекул. Среди множества многоатомных молекул особое место занимают молекулы, в равновесной конфигурации обладающие высокой симметрией (Td или Oh). Наличие высокой симметрии, с одной стороны, позволяет
существенно унифицировать расчеты, но, с другой стороны, в ряде случаев
приводит к значительным сложностям при их практической реализации.
Вплоть до недавнего времени к подобного рода проблемам относились попытки определить в аналитическом виде так называемые тетраэдрические
расщепления в колебательных спектрах молекул симметрии Td для трех- и
более кратного возбуждения колебательных мод. Для самых низших колебательных состояний задача была решена почти 50 лет назад [1]. Колебательные состояния симметрии F2 были исследованы недавно1 в работе [2] вплоть
1
Ulenikov O. N., Bekhtereva E. S., Bauerecker S., Albert S., Niederer.H.-M., Quack M. // Survey of the High Resolution Infrared Spectrum of Methane 12CH4 and 13CH4: Partial Vibrational Assignment Extended Towards 12000 cm-1 (в печати).
240
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
до 12000 см–1. В данном сообщении мы приводим результаты, позволяющие
определить в аналитической симметризованной форме функции всех колебательных состояний симметрии F1 и, как следствие, также в аналитической
форме определить тетраэдрические расщепления/сдвиги соответствующих F1
колебательных уровней.
Известно [3], что колебательные энергии молекулы типа XY4 симметрии Td определяются общей формулой
Evib. = Eυ + W (m2 z , l3 , l4 , l , Γ),
(1)
где первое слагаемое Eυ описывает невозмущенные колебательные состояния и имеет очень простой вид:
Eυ =
 xij (υi + di / 2)(υ j + d j / 2),
(2)
i< j
здесь индексы i и j нумеруют колебательные моды молекулы XY4; ωi и xij –
гармонические частоты и коэффициенты ангармоничности соответственно;
1
3
для одномерных, двумерных или трехмерных колебаний соотdi = , 1 или
2
2
ветственно. Второе слагаемое в (1) описывает упомянутые выше тетраэдрические расщепления уровней, задаваемых первым слагаемым. Определение
именно величин W (m2 z , l3 , l4 , l , Γ) в выражении (1) в аналитическом виде представляет собой серьезную проблему (индекс Γ здесь различает симметрию колебательных состояний с совпадающими остальными квантовыми числами).
В то же время для выполнения качественного анализа колебательной структуры необходимо иметь величины W именно в аналитической форме.
Для решения задачи определения величин W (m2 z , l3 , l4 , l , Γ) необходимо знать операторы в гамильтониане молекулы, ответственные за тетраэдрические расщепления различного типа и иметь в аналитической форме симметризованные колебательные функции различных состояний молекулы. Необходимые для решения задачи операторы могут быть взяты из работы [1].
Поэтому данное сообщение посвящено в основном решению задачи о построении необходимых волновых функций.
Следуя теории неприводимых тензорных операторов [3, 4], можно показать, что симметризованные колебательные волновые функции молекулы
XY4 симметрии Td должны иметь следующий вид:
v1; v2l2 γ 2 ; v3l3 , v4l4 , l nl γ 34 ; nγσ = v1
( v2l2 γ 2 ) ⊗ ( v3l3 , v4l4 , l nl γ34 )σnγ .
(3)
Здесь v1 – элементарные функции невырожденного осциллятора, связанного с колебательной модой Q1 ; v2l2 γ 2 – симметризованные функции
дважды вырожденного гармонического осциллятора, где γ 2 – симметрия
этих функций; знак ⊗ означает «тензорное произведение». Третьи функции,
v3l3 , v4l4 , l nl γ 34 , в правой части выражения (3) связаны с трижды вырожденными колебательными модами и имеют существенно более сложный вид
по сравнению с первыми двумя:
Physics and mathematics sciences. Physics
241
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
l
v3l3 , v4l4 , l nl γ 34 =

m =−l
l
=

m =−l
(l ) m
Gn γ σ
l 34 34
(l ) m
Gn γ σ
l 34 34

l3 −l4 ≤l ≤l3 +l4

l3 −l4 ≤l ≤l3 +l4
( v3l3
⊗ v4l4
)l
=
m
Сllmm l m v3l3m3 v4l4 m4 .
3 34 4
(4)
В выражении (4) Сllmm l m – это хорошо известные коэффициенты
3 34 4
Клебша-Гордана (см., например, [5]). Наибольшую сложность при определении волновых функций (4) представляют коэффициенты (l )Gnmγ σ – элеl 34 34
менты так называемых G-матриц, обеспечивающих редукцию функций, преобразующихся по неприводимым представлениям DJ группы SO(3), к функциям, преобразующимся по неприводимым представлениям группы Td.
Не останавливаясь здесь на деталях, отметим, что, как было показано
в работах [6, 7], элементы G-матриц могут быть определены из решения системы линейных уравнений
J

m =− J
(J )
Dmk
(α, β, γ; R ) ( J )GnmΓσ =
 DσΓs ( R) ( J )GnkΓs .
(5)
s
В выражении (5) DσΓs ( R ) ( J ) – элементы матрицы неприводимого пред(J )
ставления Г группы Td, соответствующей элементу группы R; Dmk
(α, β, γ; R ) –
D-функции Вигнера (см., например, [5]) с углами α, β, γ , также соответствующими элементу группы R. Значения углов, соответствующие различным
элементам R группы Td, приведены в табл. 1.
Таблица 1
Значения углов α, β и γ, определяющих D-функции
Вигнера для различных операций из группы симметрии Td
Операция
E
C3(111)
C23(111)
C3(-111)
C23(-111)
C3(-1-11)
C23(-1-11)
C3(1-11)
C23(1-11)
C2(x)
C2(y)
C2(z)
242
Α
0
π/2
π
0
π/2
–π/2
0
π
–π/2
π
0
Π
β
0
π/2
π/2
π/2
π/2
π/2
π/2
π/2
π/2
π
π
0
γ
0
0
π/2
π/2
π
π
–π/2
–π/2
0
0
0
0
Операция
S4(x)
S34(x)
S4(y)
S34(y)
S4(z)
S34(z)
σd(011)
σd(0-11)
σd(101)
σd(10-1)
σd(110)
σd(-101)
α
–π/2
π/2
π
0
–π/2
π/2
π/2
–π/2
π
0
π/2
–π/2
β
π/2
π/2
π/2
π/2
0
0
π/2
π/2
π/2
π/2
π
π
γ
π/2
–π/2
π
0
0
0
π/2
–π/2
0
π
0
0
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Для решения системы уравнений была создана программа на языке
MAPLE, с помощью которой были определены в аналитической форме все
отличные от нуля элементы ( J )Gnmγ σ для значений числа J ≤ 20. Полуl 34 34
ченные таким образом значения величин ( J )Gnmγ σ можно теперь использоl 34 34
вать в формуле (4) для построения симметризованных функций. Поскольку
объем полученной информации чрезвычайно велик, здесь в качестве иллюстрации мы приводим лишь две из полученных симметризованных функций:
2v3 + v4 , 2 F1z =
1
3
{ v3 = l3 = 2m3 = 1
v4 = l4 = m4 = 1 +
+ v3 = l3 = 2m3 = −1 v4 = l4 = m4 = −1 } +
+
1
6
{ v3 = l3 = m3 = 2
v4 = l4 = m4 = 0 +
+ v3 = l3 = 2m3 = −2 v4 = l4 = m4 = 0 } ;
v2 + v3 + 2v4 , 4 F1z =
1
2 2
{ v2 = l2 = 1
(6)
− v2 = 1l2 = −1 } ×
 1
×
( v3 = l3 = m3 = 1 v4 = l4 = 2m4 = 1 +
 6
+ v3 = l3 = 1m3 = −1 v4 = l4 = 2m4 = −1 ) +
+
1
2 3
( v3 = l3 = 1m3 = 0
v4 = l4 = m4 = 2 +
+ v3 = l3 = 1m3 = 0 v4 = l4 = 2m4 = −2
)} .
(7)
Последний шаг на пути решения проблемы определения тетраэдрических расщеплений заключается в использовании полученных симметризованных функций для построения матричных элементов операторов, ответственных за тетраэдрические расщепления, в гамильтониане молекулы
(последние, как отмечалось выше, могут быть взяты из работы [1]). Для
этого была создана программа, так же как и выше реализованная на языке
аналитического программирования MAPLE. Результатом работы явились
полученные в виде аналитических функций от спектроскопических параметров матричные элементы операторов тетраэдрических расщеплений для
колебательных состояний с суммарным значением квантового числа N ≤ 4
( N = v1 + v2 / 2 + v3 + v4 / 2 ).
В качестве иллюстрации в табл. 2 приведены матричные элементы для
всех колебательных состояний симметрии F1. Полученные результаты могут
использоваться далее в различных задачах, связанных с исследованием сложной колебательно-вращательной структуры высокосимметричных молекул
типа XY4.
Physics and mathematics sciences. Physics
243
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Таблица 2
Значения отличныx от нуля матричных элементов
операторов, ответственных за тетраэдрические расщепления
ν1ν2ν3ν4,n
1
ν1 + ν2 + ν3
ν2 + 2ν3
ν1ν2ν3ν4,n
2
ν1 + ν 2 + ν 3
ν2 + 2ν3
ν1 + ν3 + ν4
ν1 + ν 3 + ν 4
2ν3 + ν4,1
2ν3 + ν4,1
2ν3 + ν4,2
2ν3 + ν4,2
2ν3 + ν4,1
2ν3 + ν4,2
3ν2 + ν3,2
3ν2 + ν3,1
3ν2 + ν3,2
3ν2 + ν3,2
2ν2 + ν3 + ν4,1 2ν2 + ν3 + ν4,1
2ν2 + ν3 + ν4,2 2ν2 + ν3 + ν4,2
2ν2 + ν3 + ν4,3 2ν2 + ν3 + ν4,3
2ν2 + ν3 + ν4,1 2ν2 + ν3 + ν4,2
2ν2 + ν3 + ν4,1 2ν2 + ν3 + ν4,3
ν1 + ν2 + 2ν4 ν1 + ν2 + 2ν4
ν2 + ν3 + 2ν4,1 ν2 + ν3 + 2ν4,1
ν2 + ν3 + 2ν4,2 ν2 + ν3 + 2ν4,2
ν2 + ν3 + 2ν4,3 ν2 + ν3 + 2ν4,3
ν2 + ν3 + 2ν4,4 ν2 + ν3 + 2ν4,4
ν2 + ν3 + 2ν4,5 ν2 + ν3 + 2ν4,5
ν2 + ν3 + 2ν4,1 ν2 + ν3 + 2ν4,2
ν2 + ν3 + 2ν4,1 ν2 + ν3 + 2ν4,3
ν2 + ν3 + 2ν4,1 ν2 + ν3 + 2ν4,4
244
Значение
3
–8T33
8T23 – 8T33
10
– S34 – G34
3
16
14
4
T33 –
S34 + T34 – G34
3
3
3
4
4
4
– T33 + S34 – T34 + 2G34
3
3
3
20
10
–I 2
T33 + I 2 T34
3
3
–16T23
–8 3 T23
10
– S34 – G34
3
10
– S34 – G34
3
2
S34 – 4T34 + G34
3
8T23 + 8T24
8 I 3 T23 – 8 I 3 T24
8T24 – 8T44
–8T23
4
28
14
– T23 –
T24 +
S34 – 3G34
5
5
3
16
2
5
4T23 – 4T24 +
T44 + S34 – 4T34 + G34
3
3
3
16
32
4
T24 + 4T44 + S34 +
– T23 –
5
5
3
+ 4T34 + 2G34
4
4
4
– T44 + S34 – T34 + 2G34
3
3
3
16
2
– 5
T24 + 5 S34
5
3
16
– I 3 T24
3
2
4
30 T24 – 30 T34
3
3
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Продолжение табл. 2
1
2
3
8
– 6 T24
3
ν2 + ν3 + 2ν4,1 ν2 + ν3 + 2ν4,5
ν2 + ν3 + 2ν4,2 ν2 + ν3 + 2ν4,3
ν2 + ν3 + 2ν4,2 ν2 + ν3 + 2ν4,4
ν2 + ν3 + 2ν4,2 ν2 + ν3 + 2ν4,5
ν2 + ν3 + 2ν4,3 ν2 + ν3 + 2ν4,4
ν2 + ν3 + 2ν4,3 ν2 + ν3 + 2ν4,5
ν2 + ν3 + 2ν4,4 ν2 + ν3 + 2ν4,5
ν1 + 3ν4
ν3 + 3ν4,1
ν3 + 3ν4,2
ν3 + 3ν4,3
ν3 + 3ν4,1
ν3 + 3ν4,1
ν1 + 3ν4
ν3 + 3ν4,1
ν3 + 3ν4,2
ν3 + 3ν4,3
ν3 + 3ν4,2
ν3 + 3ν4,3
ν3 + 3ν4,2
4ν2 + ν4,1
3ν2 + 2ν4,1
3ν2 + 2ν4,2
3ν2 + 2ν4,1
2ν2 + 3ν4,1
2ν2 + 3ν4,3
2ν2 + 3ν4,4
ν3 + 3ν4,3
4ν2 + ν4,2
3ν2 + 2ν4,1
3ν2 + 2ν4,2
3ν2 + 2ν4,2
2ν2 + 3ν4,1
2ν2 + 3ν4,3
2ν2 + 3ν4,4
2ν2 + 3ν4,1
2ν2 + 3ν4,2
2ν2 + 3ν4,1
2ν2 + 3ν4,3
2ν2 + 3ν4,2
2ν2 + 3ν4,3
ν2 + 4ν4,1
ν2 + 4ν4,1
ν2 + 4ν4,2
ν2 + 4ν4,2
ν2 + 4ν4,3
ν2 + 4ν4,3
4
4
T23 + I 15
T24
5
15
12
4
2
6 T23 + 6 T24 – 4 6 T44 – 6 T34
5
5
3
4
4
– 30 T23 – 30
T24
5
15
4
12
I 10 T23 + I 10
T24
5
5
4
4
4
– I 2 T23 + I 2 T24 – I 2 T44 –
3
3
3
13
4
I 2
S34 + I 2 2 T34 – I 2 G34
6
3
8
16
– 5 T23 – 5
T24
5
5
–4T44
–6S34 – G34
2T44 – 6S34 – 3T34 – G34
6T44 + 2S34 + 3T34 + 3G34
12T44 + 2T34
4 I 15 T44 – 2 I 15 T34
–I
Physics and mathematics sciences. Physics
15
2I
15 T44 – I 15 T34
–16T24
–8T44
16T24 – 8T44
8 3 T24
–4T44
12T44
–4T44
15
T24
– 30
6
48
– 5
T24
5
– 8 6 T44
152
152
T24 –
T44
7
7
–16T24 + 12T44
32
156
– T24 –
T44
7
7
245
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Окончание табл. 2
1
2
ν2 + 4ν4,1
ν2 + 4ν4,2
ν2 + 4ν4,1
ν2 + 4ν4,3
ν2 + 4ν4,2
ν2 + 4ν4,3
5ν4,1
5ν4,1
5ν4,2
5ν4,2
5ν4,1
5ν4,2
3
24
– 14
T24
7
24
40
6
T24 + 6
T44
7
7
8
– 14 T24
7
28
– T44
3
40
T44
3
40
T44
2
3
Список литературы
1. H e c h t , K . The vibration-rotation energies of tetrahedral XY4 molecules: Part I. Theory of spherical top molecules / K. Hecht // J. Mol. Spectrosc. – 1960 – Vol. 5. –
P. 355–389.
2. P a p o u s e k , D . Molecular Vibrational Rotational Spectra / D. Papousek and M. R. Aliev. – Elsevier, Amsterdam, 1982.
3. F a n o , U . Irreducible tensorial sets / U. Fano and G. Racah // New York : Academic
Press, 1959.
4. W i g n e r , E . P . Quantum Theory of Angular Momentum / E. P. Wigner. – New York :
Academic Press, 1965.
5. V a r s h a l o v i t c h , D . A . Quantum Theory of Angular Momentum / D. A. Varshalovitch, A. N. Moskalev and V. K. Khersonsky. – Leningrad : Nauka, 1975.
6. C h e g l o k o v , A . E . On determination of the analytical formulas for reduction matrices of tetrahedral-symmetry molecules / A. E. Cheglokov and O. N. Ulenikov // J. Mol.
Spectrosc. – 1985. – Vol. 110. – Р. 53–64.
7. C h e g l o k o v , A . E . Analytical representation of the values describing the spectra
of Td symmetry molecules and crystals / A. E. Cheglokov, V. N. Saveliev and
O. N. Ulenikov // J. Phys. B-At. Mol. Opt. Phys. – 1986. – Vol. 19. – Р. 3687–3693.
References
1. Hecht K. J. Mol. Spectrosc. 1960, vol. 5, pp. 355–389.
2. Papousek D., Aliev M. R. Molecular Vibrational Rotational Spectra. Elsevier, Amsterdam, 1982.
3. Fano U., Racah G. Irreducible tensorial sets. New York: Academic Press, 1959.
4. Wigner E. P. Quantum Theory of Angular Momentum. New York: Academic Press,
1965.
5. Varshalovitch D. A., Moskalev A. N., Khersonsky V. K. Quantum Theory of Angular
Momentum. Leningrad: Nauka, 1975.
6. Cheglokov A. E., Ulenikov O. N. J. Mol. Spectrosc. 1985, vol. 110, pp. 53–64.
7. Cheglokov A. E., Saveliev V. N., Ulenikov O. N. J. Phys. B-At. Mol. Opt. Phys. 1986,
vol. 19, pp. 3687–3693.
246
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Распопова Наталья Ивановна
инженер, кафедра теоретической
и экспериментальной физики,
Национальный исследовательский
Томский политехнический университет
(г. Томск, пр. Ленина, 30)
Raspopova Natal'ya Ivanovna
Engineer, sub-department of theoretical
and experimental physics, National
Research Tomsk Polytechnic University
(Tomsk, 30 Lenina avenue)
E-mail: natalia.raspopova@mail.ru
Конов Иван Александрович
инженер, кафедра теоретической
и экспериментальной физики,
Национальный исследовательский
Томский политехнический университет
(г. Томск, пр. Ленина, 30)
E-mail: kiaff1188@mail.ru
Болотова Ирина Баторовна
аспирант, Томский государственный
университет (г. Томск, пр. Ленина, 36)
Konov Ivan Aleksandrovich
Engineer, sub-department of theoretical
and experimental physics, National
Research Tomsk Polytechnic University
(Tomsk, 30 Lenina avenue)
Bolotova Irina Batorovna
Postgraduate student, Tomsk State
University (Tomsk, 36 Lenina avenue)
E-mail: irbol89@mail.ru
Кривчикова Юлия Валерьевна
студент, Томский государственный
университет (г. Томск, пр. Ленина, 36)
Krivchikova Yuliya Valer'evna
Student, Tomsk State University
(Tomsk, 36 Lenina avenue)
E-mail: yuliao_o@mail.ru
УДК 539.194
Распопова, Н. И.
О расчете параметров тетраэдрических расщеплений в колебательных спектрах молекул типа XY4 симметрии Td: определение колебательных функций в симметризованной форме / Н. И. Распопова, И. А. Конов, И. Б. Болотова, Ю. В. Кривчикова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 2 (26). –
С. 239–247.
Physics and mathematics sciences. Physics
247
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Вниманию авторов!
Редакция журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки» приглашает специалистов опубликовать на его страницах оригинальные статьи, содержащие новые научные результаты в области математики, физики, механики, а также обзорные статьи по тематике журнала.
Статьи, ранее опубликованные, а также принятые к опубликованию в других
журналах, редколлегией не рассматриваются.
Редакция принимает к рассмотрению статьи, подготовленные с использованием текстового редактора Microsoft Word for Windows (тип файла – RTF, DOC).
Необходимо представить статью в электронном виде (VolgaVuz@mail.ru) и
дополнительно на бумажном носителе в двух экземплярах. Оптимальный объем рукописи 10–14 страниц формата А4. Основной шрифт статьи – Times New Roman,
14 pt через полуторный интервал.
Статья обязательно должна содержать индекс УДК, ключевые слова и развернутую аннотацию объемом от 100 до 250 слов, имеющую четкую структуру:
предмет, тема и цель работы, метод и методология проведения работы, результаты и
область их применения, выводы, на русском и английском языках.
Рисунки и таблицы должны быть размещены в тексте статьи и представлены в
виде отдельных файлов (растровые рисунки в формате TIFF, ВМР с разрешением
300 dpi, векторные рисунки в формате Corel Draw с минимальной толщиной линии
0,75 рt). Рисунки должны сопровождаться подрисуночными подписями.
Формулы в тексте статьи обязательно должны быть набраны в редакторе
формул Microsoft Word Equation (версия 3.0) или MathType. Символы греческого и
русского алфавита должны быть набраны прямо, нежирно; латинского – курсивом,
нежирно; обозначения векторов и матриц прямо, жирно; цифры – прямо, нежирно.
Наименования химических элементов набираются прямо, нежирно. Эти же требования необходимо соблюдать и в рисунках. Допускается вставка в текст специальных
символов (с использованием шрифтов Symbol).
В списке литературы нумерация источников должна соответствовать
очередности ссылок на них в тексте ([1], [2], …). Номер источника указывается в
квадратных скобках. В списке указываются:
•
для книг – фамилия и инициалы автора, название, город, издательство,
год издания, том, количество страниц;
•
для журнальных статей, сборников трудов – фамилия и инициалы автора,
название статьи, полное название журнала или сборника, серия, год, том, номер, выпуск, страницы;
•
для материалов конференций – фамилия и инициалы автора, название
статьи, название конференции, время и место проведения конференции, город, издательство, год, страницы.
Эти же требования к оформлению списка литературы распространяются на
иностранные источники.
В конце статьи допускается указание наименования программы, в рамках которой выполнена работа, или наименование фонда поддержки.
К материалам статьи должна прилагаться следующая информация: фамилия,
имя, отчество, ученая степень, звание и должность, место и юридический адрес работы
(на русском и английском языках), e-mail, контактные телефоны (желательно сотовые).
Плата с аспирантов за публикацию рукописей не взимается. Рукопись, полученная редакцией, не возвращается. Редакция оставляет за собой право проводить редакторскую и допечатную правку текстов статей, не изменяющую их основного смысла, без согласования с автором.
Статьи, оформленные без соблюдения приведенных выше требований,
к рассмотрению не принимаются.
248
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа