close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

271.Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №2 2011

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
№ 2 (18)
2011
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Болотнова Р. Х., Галимзянов М. Н., Агишева У. О.
Моделирование процессов взаимодействия сильных
ударных волн в газожидкостных смесях ............................................................... 3
Бойков И. В., Захарова Ю. Ф., Дмитриева А. А., Будникова О. А.
Устойчивость математических моделей противобактериального
иммунного ответа................................................................................................... 15
Медведик М. Ю. Метод коллокации для решения задачи дифракции
электромагнитных волн на диэлектрическом теле,
расположенном в резонаторе ................................................................................ 28
Тактаров Н. Г., Миронова С. М. Математическое моделирование
поверхностных волн в слое жидкости с поверхностным
зарядом на пористом основании ........................................................................... 41
Козлов М. В., Щенников В. Н. Один подход к исследованию
устойчивости решений сингулярно возмущенных
систем дифференциальных уравнений ................................................................ 49
Пасиков В. Л. Задача сближения–уклонения для линейных
интегродифференциальных систем Вольтерра
с управляющими воздействиями под знаком интеграла .................................... 58
Васюнин Д. И. Расчеты двухслойным итерационным методом
диэлектрической проницаемости неоднородного образца материала .............. 71
Ладошкин М. В. Построение аналога симплициальных
вырождений в A∞-случае ....................................................................................... 80
Геращенко С. М. Построение замкнутой математической модели
электрохимических методов и средств оценки
состояния биологических объектов........................................................................90
ФИЗИКА
Орищенко А. В., Авдонин В. В. Обогащение солнечных
космических лучей сверхтяжелыми элементами ................................................ 98
Браже Р. А., Каренин А. А. Компьютерное моделирование
физических свойств супракристаллов................................................................ 105
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Кревчик В. Д., Семенов М. Б., Зайцев Р. В., Гаврина З. А. Диссипативный
туннельный транспорт: состояние проблемы и перспективы .......................... 113
Кревчик В. Д., Калинин Е. Н., Гаврина З. А. Резонансные состояния
доноров в квантовых молекулах во внешнем электрическом поле ................. 131
Булярский С. В., Басаев А. С. Особенности управляемой
технологии углеродных нанотрубок ................................................................... 141
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
МАТЕМАТИКА
УДК 532.529
Р. Х. Болотнова, М. Н. Галимзянов, У. О. Агишева
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
СИЛЬНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СМЕСЯХ1
Аннотация. Разработана модель газожидкостной смеси для исследования
сильных ударных волн в пузырьковых средах. Для достоверного описания
термодинамических свойств пузырьковой жидкости в условиях сильных ударных волн использовалось широкодиапазонное уравнение состояния воды и
пара в аналитической форме. Проведено сравнение расчетов с экспериментами
для УВ с амплитудой давлений p1 = 2,4 МПа в воде с пузырьками азота
с начальным газосодержанием  20 = 4 %, проанализированы процессы распространения и отражения от жесткой стенки ударных волн при изменении
 20 от 0,5 до 6 % и амплитуды от 2 до 100 МПа.
Ключевые слова: сильные ударные волны, пузырьковая жидкость, уравнение
состояния, математическое и численное моделирование.
Abstract. The authors have developed a model of gas-liquid mixture for investigating strong shock waves (SW) in bubble medium. In order to reliably describe thermodynamic properties of bubble liquid under SW conditions it has been suggested
to use a wide range equation of water and steam state analytically. The researchers
have compared the experiments for SW with amplitude of pressure p1 = 2,4 MPa in
water with nitrogen bubbles with initial gas content  20 = 4 % and analyzed the
processes of propagation and reflection of shock waves from solid wall with  20
changes from 0,5 to 6 % and SW amplitude changes from 2 to 100 MPa.
Key words: strong shock waves, bubble liquid, equation of state, mathematical and
numerical modeling.
Введение
Ударно-волновое воздействие на газожидкостную среду сопровождается кумулятивным сжатием пузырьков, приводящим к значительному росту
давления и температуры. Различные аспекты изучения волновых процессов
в пузырьковых средах обобщены в монографиях [1–3], в которых рассматривалось взаимодействие ударных волн (УВ) слабой (p/p0 << 1) и умеренной
интенсивности (p/p0 ~ 1), когда при моделировании возможно не учитывать
сжимаемость жидкости или ограничиться предположением ее слабой сжимаемости. Авторы [4, 5] исследовали ударные волны в пузырьковой жидкости
в диапазоне давлений p/p0 ~ 5 в двумерном приближении с учетом акустической сжимаемости. Проблема генерации высоких давлений (p/p0 >> 1) и тео1
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 08-01-00434-а и 11-01-00171-а) и Совета
по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (грант НШ-4381.2010.1).
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ретические исследования сильных УВ в пузырьковых жидкостях до настоящего времени весьма актуальны.
В работе [6] проведено экспериментальное исследование падающих и
отраженных ударных волн в пузырьковых средах в вертикально расположенной гидродинамической ударной трубе с высотой столба исследуемой газожидкостной смеси L = 3,55 м, с начальным объемным содержанием газовой
фазы  20 от 0,5 до 6 %, амплитудой падающей ударной волны до 5 МПа.
Ударные волны различной интенсивности создавались при варьировании
начального давления сгорающей ацетилено-кислородной стехиометрической
газовой смеси в секции высокого давления. Параметры ударных волн регистрировались установленными по длине ударной трубы пьезоэлектрическими
датчиками давления. На рис. 1 представлена схема гидродинамической ударной трубы, заполняемой пузырьковой жидкостью, на которой проводились
экспериментальные исследования по формированию и взаимодействию УВ.
Камера
высокого
давления
Диафрагма
Датчики
Камера
низкого
давления
Датчики
Рис. 1. Схема ударной трубы для исследования пузырьковых жидкостей
Для бóльших интенсивностей УВ при теоретическом исследовании
становится важным учет не только сжимаемости газа в пузырьках, но сжимаемости жидкости, при описании термодинамических свойств которых необходимо использовать широкодиапазонные уравнения состояния, полученные
на основе экспериментальных данных по ударной и изотермической сжимаемости. В работах [7, 8] предложена и реализована методика построения единого аналитического уравнения состояния жидкости и газа, которое учитывает поведение вещества на линии насыщения, в окрестности критической точки, согласуется с экспериментальными данными по ударной сжимаемости,
в области низких плотностей и давлений переходит в уравнение состояния
совершенного газа, а также описывает процессы диссоциации и ионизации,
происходящие при сверхвысоких давлениях и температурах.
В настоящей работе построена модель и проведено численное исследование процессов распространения и взаимодействия сильных УВ (до 100 МПа)
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
в пузырьковой жидкости с применением широкодиапазонного уравнения состояния воды и пара [8]. Анализ проведенных исследований позволил определить режимы динамики газовой фазы при ударно-волновом воздействии,
при которых наблюдается удовлетворительная корреляция расчетов и экспериментальных осциллограмм давления [6], а также условия на начальное газосодержание и интенсивность УВ в газожидкостных средах, когда становится важным учет сжимаемости и жидкой фазы.
1. Основные уравнения модели
Построение модели осуществлялось с использованием уравнений гидродинамики двухфазной среды [1] в условиях двухтемпературной схемы
в односкоростном приближении с равным давлением в фазах. Для газовой
(пузырьковой) фазы принималось условие адиабатичности, что более предпочтительно по сравнению с однотемпературной моделью пузырьковой жидкости, принимаемой автором [6]. Справедливость приближения адиабатичности газовой фазы следует из опытов с водно-пузырьковой смесью с добавлением глицерина [9], в которых отмечен «аномально» низкий уровень давления в отраженной от преграды УВ, и подтверждается выполненными ниже
расчетами. Действительно, при достаточно мелких пузырьках (до 2 мм), если
исключить возможность дробления пузырей в УВ, затрудняются условия
теплообмена: большие амплитуды падающей УВ определяют высокую скорость движения УВ и конечность скорости межфазного теплообмена. Такие
режимы не дают газу в пузырьках охладиться до температуры жидкости и являются основанием для применения адиабатической модели [10]. Еще одним
ограничением в предлагаемой модели является неучет мелкомасштабных
пульсаций пузырей, что допустимо при рассмотрении пузырьковых жидкостей с малым содержанием газа в смеси [10].
В качестве пузырьковой жидкости, как и в экспериментах [6], исследовалась вода с паровыми (газовыми) пузырьками. Система уравнений в лагранжевых переменных в случае одномерного плоского движения включает
законы сохранения массы для каждой фазы, импульса и энергии смеси.
Законы сохранения массы первой и второй фаз:
1 10 10 1
 v

 1
 b1 ;
 t
 t
0 r
(1)
1  1 02 02 1
 v

 2
 b2 .
 t
 t
0 r
(2)
Законы сохранения импульса и энергии для смеси:
o
v
p

;
t
r
(3)
1  e1  10 2  e2  02






  10  t
  02  t
T
T
  e  T1 2  e2  T2
p v
 1 1
 

.

  T1 0 t
  T2 0 t
0 r
1
2
(4)
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Условие равенства давлений фаз используется в дифференциальной
форме:
 p1  10  p2  02  p1  T1  p2  T2



 0.
 0





 0
 1 T t  2 T t  T1 10 t  T2 02 t
(5)
Для газовой (пузырьковой) фазы принимается условие адиабатичности:
de2
d 1 
 p2    0.
dt
dt  02 
i0
(6)
i  i0  i – текущая и приведенная плотности i-й фазы;
  10  1  02   2 – средняя плотность смеси; 0 – начальная средняя плотность среды; i – объемное содержание; Тi – температура i-й фазы (i =1 –
жидкая фаза, i = 2 – газовая); r – лагранжева координата; v – массовая скои
рость; pi (i0 , T ) и ei (i0 , T ) – давление и внутренняя энергия фаз, определяемые с помощью уравнения состояния.
2. Уравнение состояния воды и пара
Термодинамические свойства рассматриваемой парожидкостной системы описывались уравнением состояния воды и пара [8], в котором использовалась форма Ми-Грюнайзена в виде суммы потенциальной (холодной) и
тепловой составляющих для давления и внутренней энергии: p = p
(p)
e=e
(T)
+e
(p)
(T)
+p ,
+ e(ch) , здесь e(ch) – величина, необходимая для согласования
внутренних энергий газовой и жидкой фаз.
Холодная составляющая давления и энергии представлена в виде потенциала типа Борна – Майера [11]:
ρ 
p () = A  
 0 
(p)

(p)
e () =

p (p)   
2


β 1
ξ 1
    β  
ρ 
ρ
1




K  ,  ;
exp b 1   
   0   
V
 0 

 
ξ
   β  
ρ
A
K ρ 





exp b 1   
d =
  + e.
   0    ξ ρ 0  0 
βρ0b

 
(7)
Здесь A, K, b, ,  – постоянные; e – константа интегрирования для вы(p)
(p)
полнения условия: e () = 0 (p () = 0). При определении тепловых состав(T)
(T)
ляющих (p , e ) принимается упрощающее приближение, следующее из
термодинамического тождества [11]:
 e
T V (V , T )  p  
 V
6
 p 

 , V (V , T )  
 ,
T
 T V
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
при условии постоянства теплоемкости сV и зависимости изохорического коэффициента давления V и, следовательно, функции Грюнайзена Г только от
объема:
(V )cV
 p 
p (T) (V , T )  
T , e(T) = сV T.
(8)
 T  V (V )T 
V
 T V
Внутренняя энергия пара e ( (T), T) и жидкости e ( (T), T) коррек2
2S
1
1S
тировалась исходя из условия согласования энергий на линии насыщения
с тем, чтобы получить совпадение расчетной зависимости теплоты парообразования hS(T) с экспериментальными данными [8]. Молекулярные газовая и
жидкая фазы описывались единым по давлению уравнением состояния и различающимися теплоемкостью и функцией Грюнайзена (8).
Полученное в [8] и используемое в настоящей работе уравнение состояния воды и пара согласуется с экспериментальными данными по ударной и
изотермической сжимаемости, на линии насыщения и в критической точке, а
в области низких плотностей и давлений (p < 10 бар) переходит в уравнение
состояния совершенного газа.
3. Постановка задачи и метод решения
Начальные и граничные условия соответствуют схеме эксперимента [6]:
t  0 : 0  r  L : v(0, r )  0, p (0, r )  p0  1 bar , T1  T2  T0  288 K ,
10 (0, r )  10 ( p0 , T0 ) , 02 (0, r )  02 ( p0 , T0 ),  2 (0, r )   20 ;
(9)
r  0 : v(t ,0)  v(t ) – закон движения поршня;
r  L : v(t , L)  0 – условие жесткой стенки.
Система уравнений (1)–(6) с замыкающими соотношениями для давления и внутренней энергии (7), (8), начальными и граничными условиями (9)
решалась на явной разностной сетке методом прямых частиц с использованием линейной и квадратичной искусственных вязкостей Неймана – Рихтмайера [1].
4. Анализ результатов численного исследования.
Сопоставление с экспериментальными данными
В рамках предлагаемой модели исследовалось влияние сорта газовой
фазы и начального объемного газосодержания в воде на амплитуду и скорость ударного фронта (УФ) падающих и отраженных от жесткой стенки
УВ. Из представленных в [6] данных для исследования были выбраны эксперименты, соответствующие водоглицериновым растворам с объемной
концентрацией глицерина 0,25, что соответствовало вязкости жидкости
µ = 2,27 · 10–3 Пa · с. В качестве газа пузырьков в расчетах исследовался азот
и водяной пар.
Закон движения поршня v(t ) (9) определялся таким образом, чтобы получить ниспадающий профиль давления УВ, соответствующий экспериментальным осциллограммам, фиксируемым датчиками давления [6]. На рис. 2
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
представлена экспериментальная зависимость давления падающей и отраженной УВ (линия 1), регистрируемая в [6] для воды с пузырьками азота объемной концентрации  20 = 4 % на расстоянии 0,535 м от торца ударной трубы. Нерегулярная структура давления в отраженной УВ в эксперименте (линия 1 на рис. 2) является следствием конструктивных особенностей ударной
трубы: отражение УВ происходит от преграды, имеющей конечную толщину
[6]. При численном моделировании подвижность преграды не учитывалась,
и предполагалось, что процесс отражения набегающей ударной волны осуществляется от абсолютно твердой стенки. Здесь же приведены расчетные
данные по предложенной модели для различного сорта газовой фазы: тонкая
линия 2 и штриховая линия 3 соответствуют модели адиабатического сжатия
газовой фазы для азота и водяного пара соответственно; пунктирная линия 4 –
изотермическое сжатие газовой фазы (азот). За начало отсчета по временной
шкале принят момент прихода ударной волны к датчику давления для всех
приведенных зависимостей. Как и в экспериментах [6], в расчетах наблюдается пульсационный характер на фронте УВ, являющийся следствием существенного различия сжимаемостей жидкой и газовой фаз, а также осцилляциями, вызванными особенностями выбранного численного алгоритма.
15
1
4
2
3
p, МПа
10
5
0
0
9000
1
10000
2
11000
3
12000
4
13000
t , мс
Рис. 2. Экспериментальная осциллограмма давления падающей
и отраженной УВ (1 – вода-азот,  20 = 4 %) и расчетные профили давления
на расстоянии 0,535 м от торца ударной трубы. Модель адиабатического
сжатия газа: 2 – азот, 3 – водяной пар; 4 – однотемпературная модель (азот)
Сравнительный анализ приведенных на рис. 2 зависимостей показывает, что скорости УФ и амплитуды давлений для падающих и отраженных от
жесткой стенки УВ согласуются с экспериментальными данными в случае
использования модели адиабатического сжатия газовой фазы как для азота
(линия 2), так и для водяного пара (линия 3), при этом амплитуда профиля
давления отраженной УВ по модели адиабатического сжатия соответствует
осредненному значению экспериментально полученного профиля давления
(см. рис. 2). Расчет по модели изотермического сжатия газовой фазы показывает меньшую скорость распространения УВ (линия 4) и большую амплитуду
отраженной УВ по сравнению с экспериментальной осциллограммой (линия 1).
Для вариантов расчетов с разными газовыми фазами (азот или водяной пар)
амплитуда и скорость распространения падающих и отраженных УВ находятся в соответствии с экспериментальными данными [6] в случае использования модели адиабатического сжатия газовой фазы (рис. 2).
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
На рис. 3 приведены расчетные профили давления (рис. 3,а), объемного
содержания жидкой фазы 1 (рис. 3,б) и температуры (рис. 3,в) для падающих и отраженных от твердой границы УВ в зависимости от времени t и лагранжевой координаты r, моделирующие условия эксперимента [6] в соответствии с экспериментальной осциллограммой, представленной на рис. 2. Обозначения линий соответствуют расчетам по различным приближениям модели в зависимости от сорта газовой фазы по аналогии с рис. 2.
К моменту времени t = 4 мс становится заметным отставание фронта
УВ и большее сжатие газовой фазы в случае однотемпературной модели
(пунктирная линия) по сравнению с адиабатическим приближением для газовой фазы: азот (сплошная линия), водяной пар (штриховая линия). В отличие
от однотемпературной модели, при адиабатическом приближении разогрев
газовой фазы (азота) на фронте волны достигает 950 К, а для водяного пара –
700 К. Процесс отражения УВ от жесткой стенки показан на рис. 3 при t ≥ 12 мс.
Отраженная УВ в случае однотемпературной модели имеет большую амплитуду и скорость УФ по сравнению с адиабатическим приближением и к моменту t = 15 мс догоняет ударную волну, рассчитанную по модели адиабатического сжатия газовой фазы (азот).
Сопоставление серий проведенных расчетов процесса распространения
падающих и отраженных УВ (рис. 2, 3) и экспериментальных данных [6]
(рис. 2) свидетельствует об адиабатическом характере процесса сжатия газовой фазы в ударной волне в рассматриваемом диапазоне давлений и объемной концентрации газовой фазы.
Будем полагать, что адиабатическая модель сжатия газовой фазы, как
было обосновано выше, тем более допустима для бóльших интенсивностей
УВ при условии исключения возможности дробления пузырьков и отсутствия
теплообмена между газовой и жидкой фазами [1–3, 9, 10].
На следующем шаге исследований рассматривалось влияние амплитуды формирующихся ударных волн и начального объемного газосодержания
 20 на скорость УФ, степень усиления давления и температуру разогрева газовой фазы для падающих и отраженных УВ. Численные расчеты проводились по модели адиабатического сжатия газа (азота).
На рис. 4 показаны расчетные зависимости скорости фронта падающих
и отраженных УВ: от  20 для различных давлений падающей ударной волны
р1 и экспериментальные точки [6] (рис. 4,а); от амплитуды падающей УВ для
различных  20 (рис. 4,б). Имеется удовлетворительное согласование расчетов и экспериментов для падающих УВ р1= 2,4 МПа (рис. 4,а). Расчетная скорость УФ отраженных волн имеет завышенные значения по сравнению с экспериментальными точками по мере увеличения  20 , что может быть связано
погрешностью экспериментальных измерений, вызванных конструкционными особенностями экспериментальной установки, дающими занижение значений скорости УФ в отраженной УВ [6].
Расчеты показали, что для р1 < 6 МПа скорость УФ как падающей, так
отраженной УВ уменьшается c ростом  20 . При увеличении давления падающей УВ р1 > 6 МПа скорость фронта падающей УВ уменьшается при росте
 20 , а скорость фронта отраженной УВ, напротив, возрастает с увеличением
 20 (см. рис. 4).
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
15
12
с
5
8
t,
м
p, МПa
16
10
4
0
0
500
1000 1500 2000 2500 3000 3500
r , мм
а)
100
16
12
с
98
8
97
t,
м

1
99
4
96
0
500
1000 1500 2000 2500 3000 3500
r , мм
б)
1200
16
800
12
с
600
8
400
t,
м
TG , K
1000
4
0
500
1000 1500 2000 2500 3000 3500
r, мм
в)
Рис. 3. Расчетные профили давления (а), температуры газовой фазы (б)
и объемного содержания жидкой фазы 1 (в) в зависимости от r и t;
газовая фаза – азот (сплошная линия – адиабатическое сжатие, пунктирная –
однотемпературная модель); водяной пар (штриховая линия – адиабатическое сжатие)
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
D, м/с
D , м/с
2500
2500
100
2000
50
6
4
2
0.5
0
2000
26
I
1500
1500
0
0.5
2
4
6
5
3.6
2.4
100
1000
1000
50
26
500
5
3.6
2.4
0
500
0
0
0
2
4
а)
40
80
6 
20
p1 , MПa
б)
Рис. 4. Расчетные зависимости по модели адиабатического сжатия газа (азот)
скорости фронта падающих (пунктир) и отраженных УВ (штрих) в зависимости
от 20 (а) для различных р1 (МПа) и в зависимости от р1 для различных
20 (%) (б). Экспериментальные точки соответствуют падающим ( )
и отраженным ( , ) УВ для р1= 2,4 МПа
Обнаруженный «узел» (см. на рис. 4,б точку I с координатой
p1 = 6 МПа, D2 = 1500 м/с), полученный в результате пересечения изолиний
постоянства начальных объемных газосодержаний  20 на плоскости: скорость УФ отраженной УВ – давление падающей УВ, характеризует изменение режима ударно-волнового течения газожидкостной смеси: при увеличении амплитуды давления падающей УВ (p1 > 6 МПа) влияние сжимаемости
жидкости на амплитуду давления и скорость распространения фронта отраженных УВ в газожидкостной смеси становится определяющим.
На рис. 5 приведены расчетные зависимости степени усиления амплитуды давления отраженной УВ относительно амплитуды падающей УВ для
различных  20 . Степень усиления давления отраженной УВ растет по мере
увеличения  20 и уменьшается с ростом давления падающей УВ. В работах
[9, 10] приведены данные, где показано, что для меньших интенсивностей падающих УВ (p1 < 6 МПа) наоборот степень усиления давления p2 / p1 возрастает при увеличении p1, что является следствием определяющего влияния сжимаемости газовой фазы для давлений падающей УВ p1< 6 МПа, в отличие от
условий формирования отраженных УВ при p1 > 6 МПа, когда на степень
усиления давления p2 / p1 существенно влияет сжимаемость жидкости. Отмеченная немонотонность степени усиления давления p2 / p1 от p1 (в области
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
давления p1 ≈ 6 МПа) согласуется с результатами расчетов, представленными на
рис. 4,б (см. обнаруженный «узел» с координатой p1 = 6 МПа, D2 = 1500 м/с).
8
7
6
2
1
p /p
5
4
3
6
4
2
0.5
0
2
1
0
20
40
60
80
100
p1, МПa
Рис. 5. Расчетные зависимости степени усиления амплитуды давления отраженной
УВ относительно амплитуды падающей УВ для различных 20 (%)
На рис. 6 приведены расчетные зависимости температуры газовой фазы
(азота) на фронте падающей и отраженной УВ для различных начальных объемных газосодержаний.
3500
6
4
2
0.5
3000
TG, K
2500
6
4
2
0.5
2000
1500
1000
500
0
20
40
60
80
100
p1, МПа
Рис. 6. Расчетные зависимости температуры газовой фазы (азот) на фронте
падающей (пунктир) и отраженной (штрих) УВ для различных 20 (%)
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
Температура адиабатического разогрева газовой фазы на фронте падающей УВ возрастает от 700 до 2000 К с увеличением давления p1 от 6 до
100 МПа и не зависит от  20 . Температура адиабатического разогрева в отраженных УВ изменяется от 1100 до 3000 К в рассматриваемом диапазоне
давлений p1 и, в отличие от разогрева газа в падающих УВ, зависит от  20 :
чем выше  20 , тем сильнее разогрев газовой фазы в отраженной ударной
волне, что объясняется возрастанием амплитуды давления отраженной УВ с
увеличением  20 (ср. с рис. 5).
Заключение
В работе показано, что для исследования сильных УВ в пузырьковых
средах применима предлагаемая модель газожидкостной среды на основе
уравнений гидродинамики в односкоростном двухтемпературном приближении с условием равенства давлений в фазах и адиабатическим приближением
для газовой фазы. Для достоверного описания термодинамических свойств
газожидкостной среды в условиях сильных УВ становится важным использование уравнения состояния жидкости и газа в аналитической форме, полученного на основе экспериментальных данных по ударной и изотермической
сжимаемости в широком диапазоне изменения плотностей и температур.
В выполненных расчетах, как и в экспериментах [6], наблюдается пульсационный характер фронта УВ, являющийся следствием существенного различия плотностей и сжимаемостей жидкой и газовой фаз. Получено удовлетворительное согласование расчетов с экспериментом при начальной концентрации газовой фазы  20 = 4 % в случае адиабатического сжатия газа для
давлений падающей УВ p1 = 2,4 МПа. При использовании модели однотемпературного приближения расчеты и экспериментальные данные различаются.
Проведено численное исследование распространения падающих и отраженных от жесткой стенки УВ в воде при варьировании  20 для газовой
фазы азота от 0,5 до 6 % и амплитуды падающей УВ от 2 до 100 МПа. Скорость фронта УВ для давлений p1< 6 МПа уменьшается при увеличении  20 ,
а для больших давлений падающей УВ, наоборот, скорость УФ возрастает
при увеличении  20 , что объясняется влиянием сжимаемости жидкой фазы
(воды) на формирование отраженных УВ при p1 > 6 МПа.
Список литературы
1. Н и г м а ту л и н , Р . И . Динамика многофазных сред : в 2 ч. / Р. И. Нигматулин. –
М. : Наука, 1987.
2. Н а к о р я к о в , В. Е. Распространение волн в газо- и парожидкостных средах /
В. Е. Накоряков, Б. Г. Покусаев, И. Р. Шрейбер. – Новосибирск : Изд-во инст-та
теплофизики, 1983. – 237 с.
3. К е д р и н с к и й , В. К . Гидродинамика взрыва. Эксперимент и модели /
В. К. Кедринский. – Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2000. – 435 с.
4. Н и г м а ту л и н , Р . И . Двумерные волны давления в жидкости, содержащей пузырьковые зоны / Р. И. Нигматулин, В. Ш. Шагапов, И. К. Гималтдинов,
М. Н. Галимзянов // Доклады Академии наук. – 2001. – Т. 378, № 6. – С. 763–768.
5. Ш а г а п о в , В. Ш. Двумерные волны давления в жидкости, содержащей пузырьки / В. Ш. Шагапов, И. К. Гималтдинов, М. Н. Галимзянов // Механика жидкости и газа. – 2002. – № 2. – С. 139–147.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
6. С ы ч е в , А . И . Сильные ударные волны в пузырьковых средах / А. И. Сычев //
Журнал технической физики. – 2010. – Т. 80, № 6. – С. 31–35.
7. Н и г м а ту л и н , Р . И . Широкодиапазонное уравнение состояния органических
жидкостей на примере ацетона / Р. И. Нигматулин, Р. Х. Болотнова // Доклады
РАН. – 2007. – Т. 415, № 5. – С. 617–621.
8. Н и г м а ту л и н , Р . И . Широкодиапазонное уравнение состояния воды и пара.
Упрощенная форма / Р. И. Нигматулин, Р. Х. Болотнова // Теплофизика высоких
температур. – 2011. – Т. 49, № 2. – С. 310 –313.
9. Г е л ь фа н д, Б. Е. Отражение плоских ударных волн от твердой стенки в системе пузырьки газа – жидкость / Б. Е. Гельфанд, С. А. Губин, Е. И. Тимофеев // Изв.
АН СССР. МЖГ – 1978. – № 2. – С. 174–178.
10. С у р о в , В. С . К расчету ударно-волновых процессов в пузырьковых жидкостях /
В. С. Суров // Журнал технической физики. – 1998. – Т. 68, № 11. – С. 12–19.
11. З е л ь д о в и ч, Я . Б. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений / Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер. – М. : Наука, 1966. – 688 с.
Болотнова Раиса Хакимовна
доктор физико-математических наук,
доцент, Учреждение Российской
академии наук «Институт механики
Уфимского научного центра РАН»
Bolotnova Raisa Khakimovna
Doctor of physical and mathematical
sciences, associate professor, Institute
of Mechanics, Ufa Scientific Center
of the Russian Academy of Sciences
E-mail: bolotnova@anrb.ru
Галимзянов Марат Назипович
кандидат физико-математических наук,
доцент, Учреждение Российской
академии наук «Институт механики
Уфимского научного центра РАН»
Galimzyanov Marat Nazipovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, Institute
of Mechanics, Ufa Scientific Center
of the Russian Academy of Sciences
E-mail: monk@anrb.ru
Агишева Ульяна Олеговна
аспирант, Башкирский
государственный университет
Agisheva Ulyana Olegovna,
Postgraduate student,
Bashkir State University
E-mail: agisheva_u@mail.ru
УДК 532.529
Болотнова, Р. Х.
Моделирование процессов взаимодействия сильных ударных волн
в газожидкостных смесях / Р. Х. Болотнова, М. Н. Галимзянов, У. О. Агишева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2011. – № 2 (18). – С. 3–14.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
УДК 519.6
И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, А. А. Дмитриева, О. А. Будникова
УСТОЙЧИВОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ПРОТИВОБАКТЕРИАЛЬНОГО ИММУННОГО ОТВЕТА
Аннотация. Описываются математические модели противобактериального
иммунного ответа, представленные в виде систем нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и запаздываниями. Исследуется устойчивость моделей при различных начальных условиях, отражающих различные состояния организма.
Ключевые слова: математические модели иммунологии, устойчивость, системы нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием.
Abstract. The article describes a mathematical model of antibacterial immune response, introduced as nonlinear differential equation with variable coefficients and
delays. The authors investigate the stability of the models under various initial conditions, reproducing different states of an organism.
Key words: mathematical models of immunology, stability, systems of nonlinear differential equations with delays.
Введение
Работы по математическому моделированию в иммунологии начаты
в 1974 г. Г. И. Марчуком. Им были построены и исследованы базовая (простейшая) модель инфекционного заболевания, модели противовирусного и
противобактериального иммунного ответов [1].
Базовая (или так называется простейшая) модель описывается системой
дифференциальных уравнений
dV (t )
 (  F (t ))V (t )
dt
dC (t )
 ( m)V (t  ) F (t  )  c (C (t )  C  )
dt
dF (t )
 C (t )  ( f  V (t )) F (t )
dt
dm
 V (t )   m m(t )
dt
(1)
где V (t ) – концентрация патогенных размножающихся антигенов; F (t ) –
концентрация антител; C (t ) – концентрация плазматических клеток; m(t ) –
относительная характеристика пораженного органа;  – коэффициент размножения антигенов;  – коэффициент нейтрализации антигена антителом
при их встрече; ( m) – коэффициент восстановления деятельности организма; c – коэффициент, определяющий уменьшение числа плазматических
клеток за счет старения; C  – постоянный уровень плазмаклеток в здоровом
организме;  – время, в течение которого осуществляется формирование кас-
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
када плазматических клеток;  – коэффициент, учитывающий вероятность
встреч антител с антигенами и определяющий скорость образования новых
клеток;  m – коэффициент пропорциональности, характеризующий обратную величину восстановления органа в e раз;  – некоторая константа, своя
для каждого заболевания;  – скорость производства антител одной плазматической клеткой;  f – коэффициент, обратно пропорциональный времени
распада антител;  – коэффициент, определяющий уменьшение числа антител за счет их реакции с антигенами.
Начальные значения в модели (1) определяются начальными условиями
в момент времени t0  Предположим, что здоровый организм инфицирован
в момент времени t0  Тогда, исходя из биологической постановки задачи,
можно считать, что при t  t0 вирусов в организме не было: V (t )  0 при
t  t0  Из второго из уравнений системы (1) следует, что концентрация антител при t  t0 не влияет на решение системы (1) и оно зависит только от значения V (t0 )
Следовательно, систему (1) нужно исследовать при начальных значениях:
V (t0 )  V0  F (t0 )  F0  C (t0 )  C0  m(t0 )  m0 
(2)
Система (1) в зависимости от начальных условий имеет различные стационарные решения. Одним из них является стационарное решение, описывающее состояние здорового организма:
V (t0 )  0 C (t0 )  C   F (t0 )  F   C    f  m(t0 )  0
(3)
Вторым стационарным решением является решение, имитирующее
хроническое заболевание. Оно имеет слудеющий вид [1]:
V
C
c  f (  F  )
(  c  )

 f  c  2C 
 (  c  )

F    
m  V   m 
(4)
где знак означает, что идет речь о стационарном нетривиальном решении.
В работах [2, 3] исследована устойчивость тривиальных решений простейшей модели иммунологии, моделей противобактериального и противовирусного иммунного ответов в предположении, что коэффициенты уравнений, описывающих эти модели, зависят от времени.
Исследование математических моделей инфекционных заболеваний,
предложенных Г. И. Марчуком, было продолжено его многочисленными учениками и последователями. Обзор этих работ содержится в статье [4].
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
Обобщением простейшей модели является следующая система интегродифференциальных уравнений, предложенная в работе [5]:
dV
 (  F (t )  db B (t ))V (t ) t  0 ;
dt
dC

dt
t c

N (m(t ))V ( s ) B ( s ) ds  c (C (t )  C * ), t  0;
t 
dF
 C (t )  ( f  V (t )) F (t ), t  0;
dt
dm
 (1  m(t ))
dt
t

f (t  s )V ( s ) ds   m m(t ), t  0;
t m
dB
 bbb (m(t )) B(t  b )V (t  b )  bb B (t )V (t )  b ( B(t )  B* ), t  0.
dt
(5)
Здесь дополнительно к обозначениям, используемым в системе уравнений, вводятся следующие обозначения:
c – момент времени в каскадном процессе, длящемся промежуток
времени  в который появляются незрелые плазматические клетки;
m – промежуток времени, в течение которого бактерия оказывает патогенное действие на орган-мишень после своей нейтрализации за счет продуктов метаболизма;
f (t ) – известная неотрицательная финитная функция. Множитель
(1  m(t )) в четвертом уравнении системы (5) оказывает лимитирующее действие на скорость поражения органа бактериями.
К системе уравнений (2) присоединены начальные условия на отрезке
[ max(m b ) 0] :
V (t )  1 (t ) C (t )  2 (t ) F (t )  3 (t ) m(t )  4 (t ) B(t )  5 (t )
(6)
где 1 (t )  0 2 (t )  C   0 3 (t )  F   0 0  4 (t )  1 5 (t )  B  0 – известные непрерывные функции; C   F  и B – ненулевые уровни антителообразующих клеток, антител и B -лимфоцитов в здоровом организме соответственно.
Система (5) с начальными условиями (6) представляет собой математическую модель противобактериального иммунного ответа.
Ряд моделей иммунологии предложен в книгах [6, 7].
Nowak и May [7] исследовали модель, описываемую системой обыкновенных дифференциальных уравнений:
dx
   dx  xy
dt
dy
 xv  y ,
dt
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
dv
 ky  uv,
dt
(7)
где   0   0   0 a  0 k  0 – параметры. В этой модели участвуют
три вида клеток: неинфицированные клетки x инфицированные клетки y
свободные вирусы v
Система (7) имеет несколько неподвижных точек:
– первая неподвижная точка: x    d  y  0 v  0;
k  dau
k  dau
– вторая неподвижная точка: x  au  y 
 v 

ak
au
k
В работе [6] при ряде упрощений исследована устойчивость решения
системы уравнений (7) относительно первой неподвижной точки.
В данной работе предложены некоторые обобщения простейшей модели Г. И. Марчука и исследована их устойчивость.
Исследование устойчивости будем проводить в пространстве Rn n-мерных векторов x  ( x1 ,..., xn ) с нормой x = max | xk | .
1 k  n
Ниже используются следующие обозначения:
B  a, r   Z  Rn : Z  a  r , S (a, r )  Z  Rn : Z  a  r ,
 ( K )  lim( I  hK  1)h 1 .
h 0
Здесь  ( K ) – логарифмическая норма оператора К; через I обозначен
тождественный оператор.
Некоторые обобщения простейшей модели иммунологии
Рассмотрим следующее обобщение простейшей модели, в которую
введены логистические слагаемые:
dV
 (  V  F )V 
dt
dC
 (m)V (t  ) F (t  )  1c (C  C  )   2c (C  C  )2 
dt
dF
 C  (0f   f F  V ) F 
dt
dm
 V   m m
dt
(8)
Здесь использованы обозначения, описанные в системе (1).
Найдем неподвижные точки системы (8).
Первая неподвижная точка очевидна:
0f  (0f ) 2  4C  f
V (0)  0 F (0) 
 C (0)  C   m(0)  0
2 f
18
(9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
Исследуем устойчивость неподвижной точки.
Для этого введем функции
x1 (t )  V (t ) x2 (t )  C (t )  C   x3 (t )  F (t )  F (0) x4 (t )  m(t )
(10)
Воспользовавшись этими функциями, приведем систему уравнений (8)
в промежутке времени 0  t   к следующему виду:
dx1 (t )
    F (0)  x1 (t )  x12 (t )  x3 (t ) x1 (t )
dt
dx2 (t )
 1c x2 (t )   2c x22 (t )
dt
dx3 (t )
 F (0) x1 (t )  x1 (t ) x3 (t )   2 f F (0)  0f  x3 (t )   f x32 (t )  x2 (t )


dt
dx4 (t )
 x1 (t )   m x4 (t )
dt
(11)
Исследуем устойчивость тривиального решения системы уравнений
(11).
Из критериев устойчивости и асимптотической устойчивости решений
систем обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных в [8–10],
следует, что система уравнений (11) асимптотически устойчива при выполнении следующих условий:
  F (0)  
1c  
2 f F (0)  0f    F (0)  
   m  
(12)
где   0
Продолжим исследование устойчивости стационарного решения уравнения (8) при t   Так как при t   в модели начинают сказываться запаздывания, то от уравнения (11) необходимо вернуться к уравнению (8) и
учесть запаздывания. В результате приходим к системе уравнений
dx1 (t )
    F (0)  x1 (t )  x12 (t )  x3 (t ) x1 (t )
dt
dx2 (t )
 (m)x1 (t  ) x3 (t  )  (m)F (0) x1 (t  )  1c x2 (t )   2c x22 (t )
dt
dx3 (t )
 F (0) x1 (t )  x1 (t ) x3 (t )  2 f F (0) x3 (t )  0f x3 (t )  x2 (t )   f x32 (t )
dt
dx4 (t )
 x1 (t )   m x4 (t )
dt
(13)
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
При выполнении условий (12) система уравнений (11) асимптотически
устойчива. Таким образом, существует шар B (0 r0 ) с центром в начале координат и с достаточно малым радиусом r0 такой, что траектории, начавшиеся
в этом шаре, стремятся к началу координат. В результате при t   траектория системы уравнений (11) и, следовательно, траектория системы уравнений
(13) находятся в шаре B(0 r0 )
Примем вектор решений системы уравнений (11) при t   за начальное
приближение для системы (13).
Представим систему (13) в виде, удобном для применения критериев
устойчивости, сформулированных в [10]. В качестве одного из представлений
возьмем следующее:
dx1 (t )
    F (0)  x1 (t )  x3 (t )  x1 (t )
dt
dx2 (t )
 (1c   2c x2 (t )) x2 (t )  f 2 (t )
dt
dx3 (t )
 F (0) x1 (t )   x1 (t )  2 f F (0)  0f  x3 (t )  x2 (t )   f x32 (t )


dt
dx4 (t )
 x1 (t )   m x4 (t )
dt
(14)
Здесь
f 2 (t )  ( m)x1 (t  ) x3 (t  )  (m)F (0) x1 (t  )
Систему уравнений (14) будем рассматривать как систему уравнений
с постоянным возмущением f 2 (t ) Так как при t   x1 (t  )  0 то существует промежуток времени   t  1 в течение которого векторная функция
( x1 (t  ) x2 (t  ) x3 (t  ) x4 (t  )) не покидает шара B (0 r0 ) Тогда
f 2 (t )  ( m)    r02  (m)    F (0)r0  f  
Воспользовавшись теоремой 1 из работы [2], можно показать, что если
существует такое отрицательное число (  0) , при котором выполняются
условия
  F (0)  (   )r0  
1c   2c r0  
r0 F (0)  2 f F (0)   f  0f    
   m  
f   r0  0
то решение системы уравнений (14) не покидает шара B (0 r0 )
20
(15)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
Таким образом, при выполнении условий (12) и (15) решение системы
уравнений (8) не покидает шара B (0 r0 ) Следовательно, при выполнении
этих условий решение задачи Коши (8), (9) устойчиво.
Условия (15) при достаточно малых значениях r0 эквивалентны следующим:
  F (0)  
1c   ,
2 f F (0)   f  0f    
   m  
(m)    F (0)  
(16)
Выполнение критериев (12), (16) означает следующее: в промежутке
времени 0  t   колония антигенов уменьшается и ее численность в момент
времени  достигает величины V () Затем в промежуток времени   t  
колония антигенов не превосходит величины V ()
Таким образом, из критериев (12), (16) следует устойчивость, но не
асимптотическая устойчивость неподвижной точки (9) системы уравнений
(8). Это означает, что полного излечения не наступает и некоторая колония
антигенов остается в организме. Кроме того, устойчивость исследована при
малых возмущениях относительно неподвижной точки. В действительности
заражения могут быть велики и следует исследовать устойчивость в целом.
Исследуем асимптотическую устойчивость неподвижной точки (9) системы уравнений (8) при t   в предположении, что условия (12), (15) выполнены. Рассмотрим систему (14). Для удобства представим ее в виде
dx1 (t )
 g1 (t ) x1 (t )
dt
dx2 (t )
  g 2 (t ) x2 (t )  f 2 (t )
dt
dx3 (t )
  g3 (t ) x3 (t )  f3 (t )
dt
dx4 (t )
 x1 (t )   m x4 (t )
dt
(17)
где
g1 (t )    F0  x1 (t )  x3 (t )
g 2 (t )  1c   2c x2 (t )
g3 (t )  x1 (t )  2 f F0   f x3 (t )  0f 
f3 (t )  F0 x1 (t )  x2 (t )
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рассмотрим каждое из уравнений системы (17) в отдельности. В качестве начальных значений возьмем вектор ( x1 ( ) x2 () x3 () x4 ()) решения
системы (11) при t  
Очевидно, при t  
t

x1 (t )  x1 ()exp  g1 ( s )ds  





t
x2 (t )  e

  g 2 ( s ) ds 
x3 (t )  e
v
t

 g 2 ( s )ds

 x2 ()  f 2 (v)e 



t

  g3 ( s ) ds 

v
t

 g 2 ( s ) ds
 x3 ()  f3 (v)e 





dv  




dv  


t


x4 (t )  e  m (t )  x4 ()  x1 (v)em (v ) dv  






(18)
Проанализируем полученное решение в предположении, что были выполнены условия (12), т.е. в предположении, что значения x1 (t )… x4 (t ) при
t   остаются внутри шара B (0 r0 ) достаточно малого радиуса.
Из первого уравнения следует, что если   nF0  (   )r0  0 то
| x1 (t ) | 0 при t  
Приступим к анализу второго равенства системы (18). Так как
lim  x1 (t )  0 то lim  f 2 (t )  0 Следовательно, если
t 
t 
1c   2c r0  0
то lim  x2 (t )  0
t 
Из стремления x1 (t ) и x2 (t ) к нулю при t   следует, что
lim  f3 (t )  0 Поэтому из третьего выражения системы (18) следует, что
t 
lim  x3 (t )  0
t 
Аналогичные рассуждения показывают, что при  m  0
lim  x4 (t )  0
t 
Таким образом, показано, что при выполнении условий (12) первая неподвижная точка системы уравнений (8) асимптотически устойчива.
Исследуем устойчивость решения системы уравнений (8), описывающего при t   протекание хронической болезни. После того как в базовую
модель (1) были введены логистические слагаемые, нахождение в общем виде
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
неподвижной точки системы (8) с буквенными параметрами при t   представляется невозможным. Поэтому приходится исследовать устойчивости модели (8) при конкретных числовых значениях параметров. Пусть при достаточно больших значениях t (t  2) неподвижная точка системы (8) имеет вид
V (2)  V   F (2)  F   C (2)  C   m(2)  m 
(19)
Замечание. Значение 2 выбрано для того, чтобы правая часть системы уравнений (8) была неизменной.
Исследуем устойчивость неподвижной точки (19), для этого введем
функции:
x1 (t )  V (t )  V   x2 (t )  F (t )  F   x3 (t )  C (t )  C   x4 (t )  m(t )  m 
Воспользовавшись этими обозначениями, систему (8) приведем к следующему виду:
dx1 (t )
 (  2V   F  ) x1 (t )  x12  x1 x3  x3V  
dt
dx2 (t )
 (m) ( x1 (t  ) x3 (t  )  x1 (t  ) F   x3 (t  )V  ) 
dt
(1c  2 2c (C   C  )) x2 (t )   2c x22 
dx3 (t )
 (F   x3 (t )) x1 (t )  x2 
dt
(0f  2 f F   V  ) x3 (t )   f x32 
dx4 (t )
 x1 (t )   m x4 (t )
dt
(20)
К исследованию устойчивости неподвижной точки (19) системы (8)
применим тот же метод, что и к исследованию неподвижной точки (9) системы уравнений (8).
Можно показать, что при выполнении условий
  2V   F   V   
1c  2 2c (C   C  )  
(0f  2 f F   V  )  F     
 m    
(m)( F   V  )    0
где   0 неподвижная точка (19) решения системы уравнений (8) устойчива.
Изложенный выше метод исследования устойчивости модели (8) можно
применить к нахождению критериев устойчивости простейшей задачи иммунологии при хронических заболеваниях.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В монографии [4] приведены условия асимптотической устойчивости
задачи Коши (1), (4) при   .
Исследуем устойчивость этой задачи при ряде других условий.
Введем новые функции: x1 = V  V , x2 = C  C , x3 = F  F , x4 = m  m.
Тогда система уравнений (1) принимает следующий вид:
 dx1 (t )
 dt = (  F  x3 (t )) x1 (t ),

 dx2 (t ) = (m)( x (t  ) x (t  )  x (t  ) F )   x (t ),
c 2
1
3
1
 dt

 dx3 (t ) = Fx (t )  x (t )  (  x (t )) x (t ),
1
2
1
3
f
 dt
 dx (t )
 4 = x1 (t )   m x4 (t ).
 dt
(21)
Исследуем асимптотическую устойчивость системы уравнений (21) при
малых возмущениях вектора ( x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ), x4 (t )).
Пусть в промежутке времени [T0 , T1 ], T1  T0 >  , система (21) имеет
нулевое решение, которое нарушается в момент времени T1 возмущением
X (T1 ) = ( x1 (T1 ),, x4 (T1 ))
(22)
с нормой X (T1 ) = 1.
Исследуем устойчивость задачи Коши (21), (22). Покажем, что при
выполнении условий
  F < 0,

 F (m)  c < 0,

F     f < 0,
   < 0
m

(23)
задача Коши (21), (22) устойчива.
Доказательство проведем от противного. Предположим, что в момент
времени T2 , T2 > T1 , траектория решения задачи Коши (21), (22) покидает
шар B(0, 2 ), 2 = 21 , проходя через точку x* (T2 ). Для определенности будем считать, что x* (T2 ) =| x4 (T2 ) | . Остальные случаи рассматриваются аналогично. Представим систему уравнений (21) в следующем виде:
dx1 (t )
= (  F  x3 (t )) x1 (t ),
dt
 x (t  )

dx2 (t )
x (t  )
= ( m )  1
x4 (t ) x3 (t  )  1
x4 (t ) F   c x2 (t ) 
dt
x4 (T2 )
 x4 (T2 )

 x (t  )

x (t   )
(m)  1
x3 (t  )  x4 (t )  x4 (T2 )   1
x4 (t )  x4 (T2 ) F   ,

x4 (T2 )
 x4 (T2 )

24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
dx3 (t )
= Fx1 (t )  x2 (t )  ( f  x1 (t )) x3 (t ),
dt
dx4 (t )
= x1 (t )   m x4 (t ).
dt
(24)
| x1 (t  ) |
< 1 и | x3 (t  ) | 2 при t  [T0 , T2 ] , то к системе (21)
| x4 (T2 ) |
можно применить критерии устойчивости, предложенные в книге [10]. Из
этих критериев следует, что при выполнении условий (23) система уравнений
(21) устойчива.
Перейдем к исследованию асимптотической устойчивости. Выше было
показано, что при выполнении условий (23) система уравнений (21)
устойчива и, следовательно, x(t )  2 при t  T .
Покажем, что если существует такое положительное число ,  > 0,
что выполняются условия
Так как
  F < ,

 F (m)  c < ,

F     f < ,
   < ,
m

(25)
то система уравнений (21) асимптотически устойчива.
Из первого из уравнений системы (21) следует, что при t  T2
t



x1 (t ) = x1 (T2 ) exp  (  F  x3 (t ))d  
T

2


и, следовательно,
t



| x1 (t ) || x1 (T2 ) | exp  (  F  2 ) d   ,


T2


lim | x1 (t ) |= 0.
t 
Введем обозначения:
f 2 (t ) = (m)( x1 (t  ) x3 (t  )  x1 (t  ) F ),
f3 (t ) = Fx1 (t )  x2 (t ).
Тогда второе уравнение системы уравнений (21) можно представить
в виде
dx2 (t )
 c x2 (t ) = f 2 (t ),
dt
(26)
где f (t )  0 при t  .
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Решением уравнения (26) при начальном условии x2 (T2 ) является
функция

x2 (t ) = e
c (t T2 ) 
t

 x2 (T2 )  f 2 ( )e

T2

c ( T2 )

d  


и, следовательно, lim | x2 (t ) |= 0.
t 
Аналогичным образом доказывается, что
lim | x3 (t ) |= 0,
t 
lim | x4 (t ) |= 0.
t 
Таким образом, доказано, что при выполнении условий (25) тривиальное решение системы (21) асимптотически устойчиво и, следовательно, хроническое заболевание, описываемое простейшей моделью иммунологии (21),
не реагирует на малые возмущения.
Список литературы
1. М а р ч у к , Г . И . Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты / Г. И. Марчук. – М. : Наука, 1991. – 304 с.
2. Б о й к о в , И . В. Устойчивость простейшей математической модели иммунологии / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, А. А. Дмитриева / Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 4. –
C. 32–46.
3. Б о й к о в , И . В. Устойчивость моделей противовирусного и противобактериального иммунного ответа / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, А. А. Дмитриева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 4. – C. 47–57.
4. Р о м а н ю х а , А . А . Анализ данных и моделирование инфекционных заболеваний / А. А. Романюха, С. Г. Руднев, С. М. Зуев // Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования : в 2 т. Т. 2. Математическое моделирование / отв. ред. В. П. Дымников ; Ин-т вычисл. математики. – М. :
Наука, 2005. – С. 352–403.
5. Левченко, О. Ю. Математическое моделирование противобактериального
иммунного ответа / О. Ю. Левченко // Научный журнал КубГАУ. – 2011. –
№ 66 (02). – C. 1–12.
6. Wodarz, D. Killer Cell Dynamics / D. Wodarz // Mathematical and Computational
Approaches to Immunology. – Springer Science + Business Media, LLC, 2007. –
220 p.
7. N o wa k , M . A . Virus dynamics. Mathematical principles of immunology and virology / M. A. Nowak, R. M. May. – Oxford : Oxford University Press, 2000. – 237 p.
8. Б о й к о в , И . В. Об устойчивости решений дифференциальных и разностных
уравнений / И. В. Бойков // ДАН СССР. – 1990. – Т. 314, № 6. – С. 1298–1300.
9. Б о й к о в , И . В. Об одном критерии устойчивости решений систем нелинейных
дифференциальных уравнений / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. –
2006. – Т. 42, № 1. – С. 3–10.
10. Б о й к о в , И . В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений /
И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2008. – 244 с.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный
университет
Boykov Ilya Vladimirovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics,
Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
Захарова Юлия Фридриховна
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра высшей и прикладной
математики, Пензенский
государственный университет
Zakharova Yuliya Fridrikhovna
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of higher and applied
mathematics, Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
Дмитриева Алла Аркадьевна
ассистент, кафедра высшей
и прикладной математики, Пензенский
государственный университет
Dmitrieva Alla Arkadyevna
Assistant, sub-department of higher
and applied mathematics,
Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
Будникова Ольга Андреевна
студентка, Пензенский
государственный университет
Budnikova Olga Andreevna
Student, Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
УДК 519.6
Бойков, И. В.
Устойчивость математических моделей противобактериального
иммунного ответа / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, А. А. Дмитриева,
О. А. Будникова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2011. – № 2 (18). – С. 15–27.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.3, 519.6
М. Ю. Медведик
МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ
ТЕЛЕ, РАСПОЛОЖЕННОМ В РЕЗОНАТОРЕ
Аннотация. Рассмотрена задача дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом теле, расположенном в прямоугольном резонаторе. Задача сведена к объемному сингулярному интегральному уравнению на теле. Рассмотрен численный метод коллокации для решения этого уравнения. Представлены
расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации.
Ключевые слова: краевая задача, электромагнитная задача дифракции, интегральное уравнение, численный метод.
Abstract. The article examines a problem of electromagnetic field diffraction on a
dielectric body located in a rectangular resonator. The problem is reduced to volume
singular integral equation on the body. The author has considered a numerical collocation method for solving the equation and presented the formulas of matrix coefficients for the collocation method.
Key words: boundary value problem, electromagnetic scattering, integral equations,
numerical method.
Введение
В статье рассматривается задача дифракции стороннего электромагнитного поля на локально неоднородном теле, помещенном в прямоугольный
резонатор с идеально проводящими стенками. Это актуальная задача электродинамики. В связи с неоднородной структурой и сложной геометрией тела
распределение электромагнитного поля внутри него сложно измерить экспериментально. Особенно острой является проблема определения электродинамического поля на сложной системе поверхностей и тел в резонансном диапазоне частот, возникающая при определении параметров нанокомпозитных
материалов и наноструктур. Это приводит к необходимости применять методы математического моделирования и решать задачу численно с помощью
компьютеров. При этом приходится решать трехмерные векторные задачи
в полной электродинамической постановке. Для численного решения задачи
возможно использование метода конечных элементов. Однако применение
метода конечных элементов связано с большой вычислительной емкостью
поставленной задачи. Для получения приемлемых результатов приходится
строить достаточно мелкую сетку как внутри тела, так и за его пределами.
Поэтому поставленная задача с трудом решается даже на самых современных
суперкомпьютерах. Применение при решении дорогостоящих пакетов прикладных программ (Ansis, Quikwave и т.д.) также не дает удовлетворительных по точности результатов. От этих недостатков свободен метод объемных
сингулярных интегральных уравнений. Здесь интегральное уравнение решается только внутри тела. Исследованием данной задачи занимался ряд авторов (A. Б. Самохин, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак [1–3]).
1. Постановка задачи
Рассмотрим следующую задачу дифракции. Пусть в декартовой системе координат P  {x : 0  x1  a, 0  x2  b, 0  x3  c} – резонатор с идеально
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
проводящей поверхностью P . В резонаторе расположено объемное тело Q
( Q  P – область), характеризующееся постоянной магнитной проницаемостью 0 и положительной ( 3  3 )-тензорной функцией диэлектрической проницаемости ˆ ( x) . Компоненты ˆ ( x) являются ограниченными функциями
в области Q , обратный тензор ˆ 1  x  существует в Q , и его компоненты
также ограничены в Q [3].
Граница Q области Q кусочно-гладкая. Будем также предполагать,
что тело Q не касается стенок резонатора, Q  P   . Вне Q среда изотропна и однородна с постоянными 0 (  0), 0 ( 0) .
 
Требуется определить электромагнитное поле E , H  L2,loc ( P ) (и, сле 
довательно, E , H  L2  Q  ), возбуждаемое в резонаторе сторонним полем
с временной зависимостью вида exp(it ) , где  – круговая частота. Источ
ник стороннего поля – электрический ток j E0  L2,loc ( P) с компактным носителем в волноводе P.
0
В области P  R 3 стандартные дифференциальные операторы grad,
div, rot понимаются в смысле обобщенных функций.
Будем искать «слабые» (обобщенные) решения системы уравнений
Максвелла:

 
rot H  iˆ E  jE ,


rot E  i0H , x  P.
(1)
 
Для E , H должны выполняться краевые условия на стенках волновода:

E  |P  0;

H  |P  0.
(4)

Из соотношений (1)–(4) для поля E следует интегродифференциальное
уравнение [3]



  y ˆ 
2 ˆ
 I  E  y  dy 
E  x   E 0  x   k0 GE  r  
0


Q


  y ˆ 
ˆ
grad div GE  r  
 I  E  y  dy, x  Q .
 0

Q

(5)
Кроме того, представление E  x  в области P \ Q имеет вид



  y ˆ 
E  x   E 0  x   k02 Gˆ E  r  
 I  E  y  dy 
0


Q

29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

  y ˆ 
grad div Gˆ E  r  
 I  E  y  dy, x  P \ Q .
0


Q

Поле H выражается следующим образом:

   y  ˆ 
0
ˆ
H  x   H  x   i0 rot GE 
 I E  y  dy, x  P ,
0


Q

где Iˆ – единичный тензор.

Компоненты диагонального тензора Грина Gˆ E  diag G1E , GE2 , GE3

имеют вид [3]
G1E 


2  1  

 n
   a  b   nm  sh 0 n nm  c   cos  a
n 0 m 1

 m 
 n 
x1   sin 
x2   cos 
y1  
b



 a 
 m  sh   nm x3   sh   nm  c  y3   ,
y2   
 sin 
 b
 sh   nm y3   sh   nm  c  x3   ,
GE2 


2  1  

 n
  a  b   nm  sh0m nm  c   sin  a
n 1 m 0
 
 n
4
  a  b   nm  sh   nm  c   sin  a
n 1 m 1
x3  y3 ;

 m 
 n 
x1   cos 
x2   sin 
y1  
b



 a 
 m  sh   nm x3   sh   nm  c  y3   ,
y2    
cos 
 b
 sh   nm y3   sh   nm  c  x3   ,
GE3 
x3  y3 ,
x3  y3 ,
x3  y3 ;

 m 
 n 
x1   sin 
x2   sin 
y1  
b



 a 
 m  ch   nm x3   ch   nm  c  y3   , x3  y3 ,
y2   
 sin 
 b
  ch   nm y3   ch   nm  c  x3   , x3  y3 .
В этих выражениях
2
2
 n   m 
2
 nm     
  k0 ,
 a   b 
при этом ветвь квадратного корня выбирается так, чтобы Im  nm  0 .
Для применения численного метода [4, 5] проинтегрируем компоненты
тензора Грина по параллелепипеду:

 i1i2i3  ( x1 , x2 , x3 ) : i1 

x1
x
 i1  1, i2  2  i2  1, i3 
h1
h2
обозначим их через G1I , GI2 , GI3 , тогда
30

x3
 i3  1 ,
h3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
G1I

8  

0
f nm
 x3 
2 n1 m1 n  m   2nm
 cos  nX1   sin  mX 2  
 nH 
m

 sin  mH 2  i2  0,5    sin  H 2   cos  nH1  i1  0,5   sin  1  
2

 2 

0
2 H1  f10 m  x3 
m

 sin  mX 2   sin  mH 2  i2  0,5    sin  H 2  ;
2
2
2

 m 1 m   0m

GI2 
8  

0
f nm
 x3 
2 n1 m1 n  m   2nm
 sin  nX1   cos  mX 2  
 mH 2 
n 
 sin  nH1  i1  0,5    sin  H1   cos  mH 2  i2  0,5   sin 

2 
 2 

0
2 H 2  f2n0  x3 
n 
 sin  nX1   sin  nH1  i1  0,5    sin  H1  ;
2 
2 n 1 n   2n0

GI3 
8  

1
f nm
 x3 
2 n 1 m 1 n  m   2nm
 sin  nX1   sin  mX 2  
 H 
 H 
 sin  nH1  i1  0,5    sin  n 1  sin  mH 2  i2  0,5   sin  m 2  .
 2 
 2 
Здесь


h3  
h3 


 2  sh   nm x3   sh   nm  c  i3h3     sh  γ nm
2 
2 




, еслиx3  i3h3 ;

sh   nm  c 

 2  sh   nm  c  x3     nm  x3  i3h3     nm  x3  i3h3  
sh 

 sh 

sh   nm  c 
2
2


 


2  sh   nm x3  
i3h3  h3  x3  

0
f nm
 x3     sh    c  sh   nm  c 

2


nm



x i h  h  
  sh   nm 3 3 3 3  , если h3i3  x3   i3  1 h3 ;
2




 2sh   nm   c  x3   
h  
h 

sh   nm   i3h3  3   sh   nm 3  ,

sh   nm  c 
2  
2




если x3   i3  1  h3 ,

f 100m  x3   4  f00m  x3  ,
f 20n0  x3   4  f n00  x3  ,
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 4  ch   nm x3 
h  
h 


 sh   nm 3  ch   nm  c  i3h3  3   , если x3  i3h3 ;

2 
2 


 sh   nm  c 
 4  ch 
 nm  c  x3   sh    x3  i3h3   ch    x3  i3h3   

 nm 
   nm 


sh   nm  c 
2
2

 




4  ch   nm x3  

 x  i h  h 
sh   nm  3 3 3 3   


1
sh   nm  c 
2
f nm  x3   





 2c  x3  i3h3  h3  

 ch   nm 
  , если h3i3  x3   i3  1 h3 ;

2




 4  ch   nm   c  x3  
h  
h 


 sh   nm 3  ch   nm  i3h3  3   ,

sh   nm  c 
2 
2 




если x3   i3  1 h3 ;

X1 
x1
x
y
y
h
h
, X 2  2 , Y1  1 , Y2  2 , H1  1 , H 2  2 ,
a
b
a
b
a
b
x1  j1h1 , x2  j2 h2 , y1  i1h1 , y2  i2 h2 ,
2
2
 n   m 
2
 nm     
  k0 .
 a   b 
Продифференцируем функции G1I , GI2 , GI3 и вычислим вторые производные
 2GI3
x32
 2G1I
x12
,
 2GI2
 2G1I
 2G1I
 2GI2
 2GI2
 2GI3
 2GI3
,
,
,
,
,
,
,
x2 x1 x3x1 x1x2
x3x2 x1x3 x2 x3
x22
.
Для вторых производных имеем
 2G1I
x12

0
8   f nm  x3   n

a 2 n 1 m 1 m   2nm
 cos  nX1   sin  mX 2  
 nH 
m

 sin  mH 2  i2  0,5    sin  H 2   cos  nH1  i1  0,5   sin  1  ;
2

 2 
0
 2G1 8   f nm  x3 

 sin  nX1   cos  mX 2  
2
x2 x1 ab n 1 m1  nm

 nH 
m

 sin  mH 2  i2  0,5    sin  H 2   cos  nH1  i1  0,5   sin  1  ;
2

 2 
0
 2G1 8   d _ f nm  x3 

 sin  nX1   sin  mX 2  
x3x1 a n 1 m1 m   2nm

32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
 nH 
m

 sin  mH 2  i2  0,5    sin  H 2   cos  nH1  i1  0,5   sin  1  ;
2

 2 
0
 2GI2 8   f nm  x3 

 cos  nX1   sin  mX 2  
x1x2 ab n 1 m1  2nm

 mH 2 
n 
 sin  nH1  i1  0,5    sin  H1   cos  mH 2  i2  0,5   sin 
;
2 
 2 
 2GI2
x22

0
8   f nm  x3  m
 sin  nX1   cos  mX 2  
2
b 2 n 1 m1 n   nm

 mH 2 
n 
 sin  nH1  i1  0,5    sin  H1   cos  mH 2  i2  0,5   sin 
;
2 
 2 
0
 2GI2 8   d _ f nm  x3 

 sin  nX1   sin  mX 2  
2
x3x2 b n1 m1 n   nm

 mH 2 
n 
 sin  nH1  i1  0,5    sin  H1   cos  mH 2  i2  0,5   sin 
;
2 
 2 
1
 2GI3
8   d _ f nm  x3 

 cos  nX1   sin  mX 2  
x1x3 a n 1 m 1 m   2nm

 H 
 H 
 sin  nH1  i1  0,5    sin  n 1  sin  mH 2  i2  0,5   sin  m 2  ;
 2 
 2 
1
 2GI3
8   d _ f nm  x3 

 sin  nX1   cos  mX 2  
x2 x3 b n1 m1 n   2nm

 H 
 H 
 sin  nH1  i1  0,5    sin  n 1  sin  mH 2  i2  0,5   sin  m 2  ;
 2 
 2 
 2GI3
x32

1
8   d 2 _ f nm  x3 

2
2 n1 m1 n  m   nm
 sin  nX1   sin  mX 2  
 H 
 H 
 sin  nH1  i1  0,5    sin  n 1  sin  mH 2  i2  0,5   sin  m 2  .
 2 
 2 
0
Здесь d _ f nm
 x3  – значение первой производной по x3 от функции
0
1
f nm
 x3  ; d _ f nm
 x3  – значение первой производной по x3 от функции
1
1
f nm
 x3  ; d 2 _ f nm
 x3  – значение второй производной по x3 от функции
1
f nm
 x3  ;
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион



h3  
h3  



 2  sh   nm  c  i3h3     sh   nm  
2 
2 



  ch   x   
,
nm 3 
 nm

sh   nm  c 







если x3  i3h3 ;



  nm ch   nm  x3  c  i3h3    nm ch   nm  x3  c  i3h3  



2sh
2sh




c
c




nm
nm

  ch   x  ch    c  h  i h  
3 3 3
nm 3
nm
0
,
d _ f nm
 x3    nm
sh   nm  c 


если h3i3  x3   i3  1 h3 ;





h3   
h3  


 2  sh   nm   i3h3    sh   nm  

2  
2 


  nm ch   nm   c  x3   
,


sh   nm  c 








если x3   i3  1  h3 ;





h3  
h3  


 4 nm sh   nm x3  sh   nm  ch   nm  c  i3h3   
2 
2 



,

sh   nm  c 

если x3  i3h3 ;



  nm ch   nm  i3h3  c  x3    nm ch   nm  i3h3  c  x3  



sh   nm  c 
sh   nm  c 


 2sh   nm  c  i3h3  h3   

1
,
d _ f nm  x3    nmsh   nm x3  


sh   nm  c 




если h3i3  x3   i3  1 h3 ;





h3  
h3   



 4  sh   nm  ch   nm  i3h3    
2 
2  


 sh     c  x    
,
nm
nm
3



sh   nm  c 







если x3   i3  1 h3 ;

34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика

h3  
h3  


2
 4 nm ch   nm x3  sh   nm  ch   nm  c  i3h3   
2 
2 



,

sh   nm  c 

если x3  i3h3 ;



  2 sh    i h  c  x    2 sh    i h  c  x  
nm 3 3
nm
nm 3 3
3
3
 nm



sh   nm  c 
sh   nm  c 

 2 2 ch   x  sh   nm  c  i3h3  h3  
1
d 2 _ f nm
,
 x3    nm nm 3
sh   nm  c 


если h3i3  x3   i3  1 h3 ;



h3  
h3  


 2
 4 nm sh   nm 2  ch   nm  i3h3  2   ch   nm   c  x3  



,
sh   nm  c 


если x3   i3  1 h3 .



Уравнение (5) может быть решено различными численными методами.
В данной работе был выбран метод коллокации, так как использование метода Галеркина влечет за собой более громоздкие выкладки.
2. Метод коллокации
Для уравнения A  f (, f  X ) с линейным ограниченным оператором A : X  X в гильбертовом пространстве X рассмотрим метод коллокации, который формулируется следующим образом. Приближенное решение
n  X n определяется из уравнения Pn An  Pn f . Здесь n  X n ( X n есть
n -мерное подпространство пространства X ), Pn : X  X n – оператор проектирования на конечномерное подпространство, который определяется ниже.
Разобьем область Q на элементарные подобласти Qi с кусочногладкими границами Qi так, чтобы выполнялись условия Qi  Q j   при
i  j и Q   Qi . Выберем в каждой подобласти Qi точку (узел) коллокации
i
i
x . Рассмотрим базисные функции:
1, x  Qi ,
vi  
0, x  Qi .
Пусть подпространства X n являются линейными оболочками базисных
функций: X n  span{vl , , vn } . Потребуем, чтобы для выбранных базисных
функций выполнялось условие аппроксимации:
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
x  X lim inf x  x  0.
n xX n
Проектор Pn : X  X n определим так: ( Pn )( x)  ( xi ), x  Qi . Заметим,
что при таком определении проектора не определены значения функций
( Pn )( x) при x  Qi , но это не будет важно, так как в нашем случае X  L2 .
Уравнение Pn An  Pn f эквивалентно следующему:
( An )( x j )  f ( x j ), j  1, , n.
Представим приближенное решение в виде линейной комбинации базисных функций: n 
n
 ck vk . Подставив это представление в схему метода
k 1
коллокации, получим систему линейных алгебраических уравнений для
отыскания неизвестных коэффициентов ck :
n
 ck ( Avk )( x j )  f ( x j ), j  1, , n.
k 1
Рассмотрим теперь вопрос о построении схемы решения интегрального
уравнения методом коллокации [4–7]. Будем формулировать метод для инте ˆ ( x) ˆ 
гродифференциального уравнения (5). Предположим, что тензор 
I
 0

 ˆ ( x) ˆ 
обратим в Q , а компоненты тензора 
I
 0

функциями.
Введя обозначения
 ˆ ( x) ˆ 
ˆ  
I
 0

1
1
являются ограниченными
  ˆ ( x)

, J 
 Iˆ  E ,
 0

перейдем к следующему уравнению:



AJ  ˆ ( x)J ( x)  k02 Gˆ E ( x, y )J ( y )dy 

Q


 grad div Gˆ E ( x, y )J ( y )dy  J 0 ( x) , x  Q .

(6)
Q
Представим это уравнение в виде системы трех скалярных уравнений:
3
 li J i ( x)  k02  Gˆ E ( x, y) J l ( y)dy 
i 1
36
Q
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика



div x Gˆ E ( x, y )J ( y )dy  E 0l ( x), l  1, 2,3.
xl

(7)
Q

Определим компоненты приближенного решения J n  ( J 1n , J n2 , J n3 ) следующим обpазом:
J 1n

n

k 1
ak f k1 ( x),
J n2

n

k 1
bk f k2 ( x),
J n3

n
 ck fk3 ( x),
k 1
где f ki – базисные функции-«ступеньки».
Ниже проводится построение функций f k1 . Будем считать, что Q – параллелепипед: Q  {x : a1  x1  a2 , b1  x2  b2 , c1  x3  c2 } . Разобьем Q на
элементарные параллелепипеды:
 klm  {x : x1,k  x1  x1,k 1 , x2,l  xl  x2,l 1 , x3,m  x3  x3,m1},
a a
b b
c c
x1,k  a1  2 1 k , x2,l  b1  2 1 l , x3,m  c1  2 1 m,
n
n
n
где k , l , m  0, ..., n  1 .
i
, i  1, 2,3 :
Запишем формулы для f klm
1, x   klm ,
i
f klm

0, x   klm .
Построенное множество базисных функций удовлетворяет необходимому условию аппроксимации в L23  L2  L2  L2 .
Применим метод коллокации для параллелепипеда Q (рис. 1). Для этого произведем последовательный перебор всех точек коллокации для каждого
из носителей.
Q
Рис. 1. Тело Q , разбитое на элементарные параллелепипеды  klm
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Используя проинтегрированные компоненты функции Грина G1I , GI2 ,
GI3 и значение их вторых производных, вычислим значение матричных элементов. Расширенную матрицу, полученную из метода коллокации, удобно
представить в блочной форме:
 A11

 A21
A
 31
A12
A22
A32
B1 

B2  .
A33 B3 
A13
A23
Элементы Bk и Akl определяются из соотношений:
Bki  E0k  xi  ;
 

ij
  kl fil x j   kl k02 G k ( x j , y ) fil ( y )dy 
Akl
Q
(8)

xk

 xl G ( x j , y) fi ( y)dy,
l
l
(9)
Q
где координаты точки коллокации
xi   xi1 , xi 2 , xi 3  , xi1   i1  0,5  h1 , xi 2   i2  0,5  h2 , xi 3   i3  0,5  h3 ,
k , l  1, 2,3 ; i1 , i2 , i3 , j1 , j2 , j3  0,, n  1 .
Таким образом, получены расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации для решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала. Решая систему линейных алгебраических уравнений для матрицы, составленной с использованием сетки, находим значения поля внутри фигуры.
Используя субиерархический метод, можно вычислить значение поля на фигурах сложной формы [8–18]. Численные результаты для данной задачи будут
представлены в отдельной статье.
Список литературы
1. С а м о х и н , A . Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / A. Б. Самохин. – М. : Радио и связь, 1998.
2. С м и р н о в , Ю . Г . Математические методы исследования задач электродинамики / Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Информационно-издательский центр ПензГУ, 2009.
3. С м и р н о в , Ю . Г . Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле методом объемного сингулярного интегрального уравнения /
Ю. Г. Смирнов, Д. А. Цупак // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2004. – Т. 44, № 12. – С. 2252–2267.
4. В а с ю н и н , Д . И . Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Д. И. Васюнин, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. –
№ 3. – С. 71–87.
5. М е дв е ди к , М . Ю . Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2009. – № 4. – С. 54–69.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
6. М е дв е ди к , М . Ю . Применение ГРИД-технологий для решения объемного
сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 2. – С. 2–14.
7. С м и р н о в , Ю . Г . О существовании и единственности решений обратной
краевой задачи определения диэлектрической проницаемости материалов /
Ю. Г. Смирнов, Д. А. Миронов // ЖВМиМФ. – 2010. – Т. 50, № 9. – С. 1587–1597.
8. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм и сходимость метода Галеркина в задачах дифракции электромагнитного
поля на плоском экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г Смирнов // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. – 2004. – № 5. – С. 5–19. – (Естественные науки).
9. М е дв е ди к , М . Ю . Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов
в электромагнитной задаче дифракции на экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, С. И. Соболев // Вычислительные методы и программирование. – 2005. –
Т. 6. – С. 99–108.
10. А н то н о в , А . В. Разработка web-ориентированного вычислительного комплекса для решения трехмерных векторных задач дифракции электромагнитных волн
на основе субиерархических параллельных алгоритмов и ГРИД-технологий /
А. В. Антонов, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 4. –
С. 60–67.
11. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения задач дифракции электромагнитных волн на плоских экранах /
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2008. – Т. 53,
№ 4. – С. 441–446.
12. М е дв е ди к , М . Ю . Численный метод решения псевдодифференциального
уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие / М. Ю. Медведик, И. А. Родионова, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 1. – С. 87–99.
13. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический метод для решения псевдодифференциального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие /
М. Ю. Медведик, И. А. Родионова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 3. – С. 59–70.
14. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический метод решения интегрального уравнения на плоских экранах произвольной формы / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2009. – № 4. – С. 48–53.
15. М е дв е ди к , М . Ю . Численное решение задачи о распространении электромагнитных TM -волн в круглых диэлектрических волноводах заполненных нелинейной средой / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2010. – № 1. – С. 2–13.
16. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический подход для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле
в волноводе методом коллокации / М. Ю. Медведик, Д. А. Миронов, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2010. – № 2. – С. 32–43.
17. Г у р и н а , Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном
в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов //
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 2. – С. 44–53.
18. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический метод решения интегрального уравнения на поверхностях произвольной формы / Медведик М. Ю. // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. –
№ 3. – С. 88–94.
Медведик Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Medvedik Mikhail Yuryevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: _medv@mail.ru
УДК 517.3, 519.6
Медведик, М. Ю.
Метод коллокации для решения задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле, расположенном в резонаторе /
М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 2 (18). – С. 28–40.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
УДК 539.19
Н. Г. Тактаров, С. М. Миронова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ
ВОЛН В СЛОЕ ЖИДКОСТИ С ПОВЕРХНОСТНЫМ
ЗАРЯДОМ НА ПОРИСТОМ ОСНОВАНИИ1
Аннотация. Построена и исследована математическая модель распространения волн на поверхности слоя электропроводной жидкости с поверхностным
электрическим зарядом, находящейся на слое пористой среды.
Ключевые слова: поверхностные волны, слой, пористый, электропроводный,
электрический заряд.
Abstract. The authors have developed and analyzed a mathematical model of
waves propagation on the surface of electroconductive fluid layer with electrical
surface charge situated on a porous medium.
Key words: surface waves, layer, porous, electroconductive, electrical charge.
Рассматривается распространение волн по заряженной поверхности
жидкого проводника. Проводящая жидкость находится на недеформируемой
пористой среде, ограниченной снизу сплошным твердым электропроводным
основанием (дном). Распространение поверхностных волн на заряженной поверхности жидкого проводника бесконечной глубины рассмотрено в [1]. Поверхностные волны в жидкости на пористой среде при отсутствии электрического поля исследованы в работе [2].
Декартова система координат Oxyz выбирается так, что ось Oz направлена вертикально вверх против вектора g ускорения свободного падения,
а оси Ox и Oy лежат на плоской поверхности раздела жидкости и пористой
среды. Величины, относящиеся к пористой среде, жидкости и атмосфере,
обозначаются в необходимых случаях номерами 1, 2 и 3 соответственно.
Как известно [3], в электростатическом случае заряды проводников сосредоточиваются только на их поверхности, а внутри проводника напряженность электрического поля E  0 . Таким образом, напряженность электрического поля будет отличаться от нуля лишь в атмосфере, находящейся над
слоем жидкости. На поверхности проводника выполняется соотношение
En  4 , где En  E  n , n – единичная внешняя (т.е. направленная из жидкости в атмосферу) нормаль к поверхности жидкости;  – плотность поверхностного заряда, приходящаяся на единицу площади.
Уравнения движения жидкости в пористой среде при условии E  0
имеют вид [4]
 u1

 grad p1  g  u1 , div u1  0 .
K
 t
(1)
1
Работа проводилась за счет средств ФЦП «Научные и научно-педагогические
кадры инновационной России» на 2009–2013 гг. по теме «Построение математической модели поверхностных волн в жидкостях» (Государственный контракт № П695
от 20.05.2010).
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Здесь  – плотность жидкости;  – пористость среды; p1 – давление;
u1 – макроскопическая скорость фильтрации;  – вязкость; K – коэффициент проницаемости пористой среды, вычисляемый по формуле Козени [4].
Предполагая, что амплитуда волны значительно меньше ее длины,
уравнения движения свободной жидкости при E  0 запишем в линейном
приближении [5]:

u2
 grad p2  g , div u2  0 ,
t
(2)
где u2 – скорость жидкости.
Уравнения для электрического поля в атмосфере:
rot E  0 , div D  0 ( D  E ,   const ),
(3)
где  – диэлектрическая проницаемость.
Из уравнений (2), (3) следует: u2  grad  , E  grad  , где  и  потенциал скорости и электрического поля, удовлетворяющие уравнениям
Лапласа:
( x, y , z , t )  0 ,  ( x, y , x, t )  0 .
(4)
Система граничных условий:
– на границах раздела:
1) u1z  0 при z   h1 (на дне);
2) u1z  u2 z при z  0 (на границе пористой среды);
3) p1  p2 при z  0 ;
– на свободной поверхности жидкости с уравнением z  h2  ( x, y , t ) :
(5)
4) u2n  Vn ;
5) E  E  nEn  0 или   C0  const ;
Ei E j E 2
 1
1 

ij .
6) pij ni n j  p2    
 , pij   pатм ij 
4
8
 R1 R2 
Здесь Vn   / t – нормальная скорость свободной жидкости; R1 , R2 –
радиусы кривизны поверхности; pатм – постоянное давление в атмосфере,
pij – максвелловский тензор механических напряжений в области 3;  – коэффициент поверхностного натяжения. Величина  находится из условия


  En / 4 . В линейном приближении n   e1  e2  e3 ; e1 , e2 , e3 –
x
y
базисные векторы системы координат Oxyz.
Переменные величины записываем в виде
p1  p10  p1w , p2  p20  p2w ,   0  w ,   0   w ,
( Ew   grad  w ),   0   w .
(6)
Здесь индексом 0 отмечены невозмущенные величины, а индексом w –
возмущения соответствующих величин, связанные с волновым движением.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
В равенствах (6)
E0  E0 z e3 ,  0   E0z z  C , 0  E0 z / 4 ,  w  Ewz / 4 .
(7)
Выбирая C  C0  E0 z h2 , условие 5 в системе (5) можно записать в виде:  E0 z    w  0 . Из условия 6 системы (5) следует при z  h2  

Здесь  2  
 2
x 2

E0 z  w
 p2 w   2  .
4 z
 2
y 2
(8)
. При выводе (8) учитывается, что
p02  pатм 
E02z
,
2
 w
– в линейном приближении.
z
В результате упрощения система (5) вместе с условием на бесконечности принимает следующий вид:
1) u1z  0 ( z  h1 );
2) u1z  u2 z ( z  0 );
3) p1w  p2 w ( z  0 );

( z  h2   );
(9)
4) u2 z 
t
5)  E0 z    w  0 ( z  h2   );
 w
1
 p2 w   2 ( z  h2   );
6)  E0 z
4
z
7)  w  0 ( z   ).

Здесь p2 w  g   
в условии 6. Все малые величины второго и
t
более высоких порядков отбрасываются.
Из уравнений (1) следует
En  ( E0  Ew )  n  E0 z 
 u1z

  u1z .
K
 t
В связи с тем, что при отсутствии волн:
0  p20  g , уравнения для возмущений принимают вид
1)
(10)
0  p10  g ,
 u1

 p1w  u1 ,
K
 t
2) 
u2
 p2 w .
t
(11)
Из уравнения 2 системы (11) с учетом div u2  0 следует

 2u2 z
 2 p 2w ,
t z
(12)
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
а из уравнения 1 системы (11) с учетом div u1  0 находим
  2u1z  u1z

  2 p1w .
 t z K z
(13)
С учетом (12) и (13) граничное условие 3 в системе (9) принимает вид:
 2u2 z   2u1z  u1z


(при z  0 ).
3 ) 
t z
 t z K z
С учетом (4) и (10) система трех уравнений для нахождения  ,  w ,
u1z окончательно принимает вид:
1)   0 ;
2)  w  0 ;
 u1z

3)
  u1z .
(14)
K
 t
А граничные условия (9) с учетом u2 z   / z окончательно запишутся в виде:
1) u1z  0 ( z  h1 );

2) u2 z 
( z  0 );
z
 2u2 z   2u1z  u1z
3) 


( z  0 );
t z
 t z K z
 

( z  h2 );
4)
z t
  w

 0 ( z  h2 );
5)  E0 z
z
t
 2 w

 2

1
E0 z
 g

  2
( z  h2 );
2
zz
z
z
4
t
(15)
7)  w  0 ( z   ).
Решение уравнений (14) с граничными условиями (15) ищем в виде бегущих затухающих волн:
6) 
 ( x, y , z , t )   ( z ) exp[t  i (k1 x  k2 y )] ;
 w ( x, y, z , t )   ( z )exp[t  i (k1 x  k2 y )] ;
u1z ( x, y, z , t )  U ( z ) exp[t  i (k1 x  k2 y )] .
(16)
Здесь     i ;  – коэффициент затухания;  – частота; k1 , k2 –
волновые числа.
Подставляя функции (16) в уравнения (14), получим систему дифференциальных уравнений для амплитуд  ( z ) ,  ( z ) , U ( z ) :
1) ( z )  k 2   0 ;
2)  ( z ) ;

  
2
3)   
 U   k U   0 .
K



44
(17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
Здесь k 2  k12  k22 .
Граничные условия для амплитуд получаются из (15):
1) U  0 ( z  h1 );
2) U    ( z  0 );


3)    U    ( z  0 );
(18)
K

( x, y , z , t )
4)  
z  h2 dt (уравнение для нахождения функции
z
( x, y, t ) );
5) E0 z     0 ( z  h2 );
1
6) [ g    2  ] 
E0 z    k 2   0 ( z  h2 );
4
7)  w  0 ( z   ).
Общее решение системы (18) имеет вид

U  C1 exp( kz )  C2 exp(kz ) ;
  C3 exp( kz )  C4 exp(kz ) ;
  C5 exp( kz )  C6 exp(kz ) ,
(19)
где Ci ( i  1,...,6 ) – произвольные постоянные.
Подставляя формулы (19) в условия (18), получим однородную систему
линейных относительно постоянных Ci алгебраических уравнений, которая
имеет ненулевое решение только при условии обращения в нуль определителя системы. Из этого условия получаем дисперсионное уравнение для поверхностных волн:
a b 
ab 




 32  a1b1  2 2    2 a2b2    a2b1  1 2  G  a1b2G  0 ,
K
K
 
 


где
a1  1  exp(2kh2 ) , a2  1  exp(2kh2 ) , b1  1  exp(2kh1 ) ;
b2  1  exp(2kh1 ) , G  k g  k 3 
E02 k 2
( E0  E0z ).
4
Рассмотрены следующие частные случаи:
1) h1 /   1 , h2 /   1 ;
2) h1 /   1 , h2 /   1 ;
3) h1 – произвольное, h2 /   1 .
Конкретные числовые расчеты велись для жидкого натрия при температуре 100 C с параметрами:   0,93 г/см3 ,   206, 4 дин/см ,
г
  0,69
. Значения E0 брались в промежутке от 0 до 50 ед. СГС (1 ед.
см  с
СГС = 300 В/см ). Принимаем, что  = 1 в атмосфере.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Остановимся подробнее на первом случае. Расчеты показывают, что
в этом случае частота  уменьшается с увеличением длины волны  и слабо
зависит от толщины пористой среды h1 , но с ростом толщины слоя свободной жидкости h2 значения  увеличиваются (при   const ); коэффициент
  0 также уменьшается с ростом  , при этом с ростом h1 величина  увеличивается (при   const ), а с ростом h2 – уменьшается (при   const ).
С ростом E0 значения  уменьшаются при заданных  , h1 , h2 . При
этом изменение h1 практически не влияет на  , при увеличении h2 значения
 увеличиваются (при заданных  , h1 ).
С увеличением E0 значения  уменьшаются при заданных  , h1 , h2 .
При увеличении h1 значения  увеличиваются. При увеличении h2 значения
 уменьшаются.
При увеличении  значения  монотонно увеличиваются до макси-
мального значения max  1, 24 с 1 (при   1 ), при этом с ростом h1 , а также h2 , величина  возрастает; значения  вначале возрастают практически
от нуля до максимального значения max  0, 2 с1 (при   0,91 ), а затем
монотонно убывают, стремясь к нулю (при заданных h1  h2  25 см ,
k  0,006 см 1 ), при этом с ростом h1 значения  увеличиваются, а при росте h2 – уменьшаются.
На рис. 1 номерами 1–5 обозначены кривые, рассчитанные соответственно для следующих значений толщины пористой среды h1 : 25; 50; 75;
100; 125 (см). Толщина слоя свободной жидкости зафиксирована: h2 = 25 см.
Интервал изменения волнового числа: 0  k  2  102 см 1 .
  102 , с1
k  102 , см 1
Рис. 1. Зависимость коэффициента затухания волны от волнового числа
для различных значений толщины пористой среды
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
Из рис. 1 видно, что с ростом волнового числа, а также толщины пористого слоя увеличиваются значения коэффициента затухания волны.
На рис. 2 номерами 1–5 обозначены кривые, рассчитанные соответственно для следующих значений толщины свободной жидкости h2 : 25; 50;
75; 100; 125 (см). Толщина пористой среды h1 зафиксирована и равна 25 см.
Здесь значения коэффициента затухания уменьшаются с ростом h2 .
  103 , с1
k  102 , см 1
Рис. 2. Зависимость коэффициента затухания волны от волнового числа
для различных значений толщины слоя свободной жидкости
На рис. 3 номерами 1–5 обозначены кривые, рассчитанные соответственно для следующих значений толщины свободной жидкости h2 : 25; 50;
75; 100; 125 (см).
, с1
k  102 , см 1
Рис. 3. Зависимость частоты волны от волнового числа для различных
значений толщины слоя свободной жидкости
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Толщина пористой среды h1 зафиксирована и равна 25 см. Значения
частоты увеличиваются с ростом h2 .
Из полученных в настоящей работе результатов как частный случай
следуют результаты работ [1, 2].
В заключение отметим, что полученные результаты могут найти применение для расчета различных технологических процессов.
Список литературы
1. Ла нда у , Л. Д . Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. –
М. : Физматлит, 2000. – 736 с.
2. С то л яр о в , И . В. Распространение поверхностных волн в слое жидкости на
пористом основании / И. В. Столяров, Н. Г. Тактаров // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. – 1987. – № 5. – С. 183–186.
3. Т а м м , И . Е. Основы теории электричества / И. Е. Тамм. – М. : Наука, 1976. –
616 с.
4. Г е р ш у н и , Г . З . Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости /
Г. З. Гершуни, Е. М. Жуховицкий. – М. : Наука, 1972. – 392 с.
5. Ла нда у , Л. Д . Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – М. : Физматлит, 1986. – 735 с.
Тактаров Николай Григорьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра математики,
Мордовский государственный
педагогический институт
имени М. Е. Евсевьева (г. Саранск)
Taktarov Nikolay Grigoryevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of mathematics, Mordovia State
Pedagogical Institute named
after M. E. Evsevyev (Saransk)
E-mail: colonnt@mail.ru
Миронова Светлана Михайловна
аспирант, Мордовский государственный
педагогический институт
имени М. Е. Евсевьева (г. Саранск)
Mironova Svetlana Mikhaylova
Postgraduate, Mordovia State
Pedagogical Institute
named after M. E. Evsevyev (Saransk)
E-mail: MironovaSvtln@rambler.ru
УДК 539.19
Тактаров, Н. Г.
Математическое моделирование поверхностных волн в слое жидкости с поверхностным зарядом на пористом основании / Н. Г. Тактаров,
С. М. Миронова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2011. – № 2 (18). – С. 41–48.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.928.4
М. В. Козлов, В. Н. Щенников
ОДИН ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ
РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ
СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация. Предлагается один подход к исследованию на устойчивость нулевого решения сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений. Как и в большинстве работ, посвященных этой тематике, отправной точкой служит исследование соответствующей вырожденной системы. Найдены
достаточные условия устойчивости нулевого решения при всех достаточно
малых положительных значениях параметра.
Ключевые слова: сингулярно возмущенная система дифференциальных
уравнений, вырожденная система, устойчивость, устойчивость по части переменных.
Abstract. The authors suggest an approach to studying the stability of zero solution
of singularly perturbed systems of differential equations. As it is in most studies on
this topic, the starting point lies in investigating the corresponding degenerate system. The researchers have found sufficient conditions zero solution stability for all
sufficiently small positive values.
Key words: singularly perturbed system of differential equations, degenerate system,
stability, stable variables.
Введение
Как известно, теория устойчивости относительно фазовых переменных
является обобщением теории обычной устойчивости по Ляпунову. Обзор
накопленных сведений об устойчивости по части переменных содержится
в работах [1–3]. Приведем необходимые здесь определения и теоремы из монографии [1].
Пусть дана система дифференциальных уравнений
 x  X  t , x, y  ,

 y  Y  t , x, y  ,
T
(1)
T
в которой t  0 , x   x1 , , xk  , y   y1 , , ym  , X  t ,0,0   0 , Y  t ,0,0   0 .
Рассмотрим вопрос об устойчивости нулевого решения относительно
фазовых координат вектора y .
Определение 1. Нулевое решение системы (1) называется устойчивым
относительно координат фазового вектора y ( y -устойчивым), если для любых   0 и t0  0 найдется такое число     t0 ,    0 , что если
x
T
0
, yT
0

T
  , то y  t , t0 , x 0 , y0    при t  t0 .
Определение 2. Нулевое решение системы (1) называется асимптотически y -устойчивым, если оно y -устойчиво, и для любого t0  0 существует
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
такое     t0   0 , что если
 x0T , y0T 
T
  , то
y  t , t0 , x0 , y0   0 при
t   .
Для исследования устойчивости по части переменных мы будем применять описанный в той же работе [1] метод функций Ляпунова, которые
должны удовлетворять определенным условиям.
Определение 3. Функция Ляпунова V  t , x, y  называется y -определенно положительной, если существует такая определенно положительная
функция   y  , что V  t , x, y     y  .
Теорема 1. Если для системы (1) можно найти y -определенно положительную функцию Ляпунова V  t , x, y  такую, что V  t ,0,0   0 и ее полная
производная на решениях системы (1) неположительна ( y -определенно отрицательна), то нулевое решение системы (1) y -устойчиво (асимптотически).
1. Автономные системы
Рассмотрим автономную сингулярно возмущенную систему [4]
 x  f1  x, y  ,

y  f 2  x, y  ,
T
(1)
T
где x   x1 , , xk  , y   y1 , , ym  ,   0 – малый параметр; f1  0,0   0 ,
f 2  0,0   0 .
Предполагается, что отображения f1  x, y  и f 2  x, y  удовлетворяют
достаточным условиям существования и единственности решения задачи
Коши для системы (1) во всем пространстве R k  m .
Сделав замену t   , перейдем к регулярно возмущенной системе относительно функций x     x    и y     y    :

 x  f1  x , y  ,

 y  f 2  x , y  .
(2)
Ей соответствует вырожденная система
 x  0,

 y  f 2  x , y  .
(3)
Заметим сразу, что характер поведения решений систем (1) и (2) одинаков при   0 . В частности, это касается устойчивости и ограниченности.
Однако при   0 нужная связь между системами теряется. Регулярно возмущенная система более удобна для дальнейшего исследования, поскольку ее
правая часть определена и непрерывно дифференцируема по параметру 
при всех его значениях.
Нашей первостепенной задачей является отыскание таких условий, при
которых решения системы (2) в определенной мере наследуют свойства ре-
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
шений вырожденной системы (3). Нас будет интересовать устойчивость нулевого решения относительно произвольного набора координат. Для системы
(1) обозначим этот набор через вектор z , а для системы (2) – через z . Для
определенности

будем
z  x1 , , x p , y1 , , y q

T
считать,
что

z  x1 , , x p , y1 , , yq

T
,
, где 0  p  k , 0  q  m . Изначально предположим,
что нулевое решение системы (3) z -устойчиво (при этом оно в любом случае x -устойчиво) и выполняются условия теоремы 1. Иными словами, существует z -определенно положительная функция Ляпунова V0  x , y  такая,
dV0
 0 . К тому же по определению 3 найдется опредеd  (3)
ленно положительная функция 0  z  , для которой будет справедливо неравенство
что W0  x , y  
V0  x , y   0  z  .
(4)
Если рассматривать систему (2) при конкретных значениях параметра
   0; 0  , где 0  0 есть некоторое достаточно малое число, то z -устойчивость нулевого решения эквивалентна существованию z -определенно
положительной функции V  x , y  , для которой справедливы требования теоремы 1. Определим условия, при которых существует «общая» функция
Ляпунова V  , x , y  , которая при каждом    0; 0  будет удовлетворять
требованиям теоремы 1. Более того, предположим, что эта функция непрерывно дифференцируема по переменной  при    0; 0  . Тогда V0  x , y 
будет играть роль «начальной функции», т.е. функции V  , x , y  при   0 .
Теперь остается задать «направление» изменения функции V  , x , y  по параметру  .
Введем систему
 V
   F  , x , y  ,


 W   V , f    F , f   F , f
x
1
x
1
y
2
 
(5)
и начальные данные к ней
V  0, x , y   V0  x , y  ,

W  0, x , y   W0  x , y  .
Функция F  , x , y  удовлетворяет следующим требованиям:
1. F  , x , y  непрерывно дифференцируема по всем переменным
в пространстве R1 k  m ;
2. F  ,0,0   0 .
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Именно она играет роль того «направления», о котором говорилось
выше. Решения системы (5), определенные поставленными начальными данными, обозначим через V  , x , y  и W  , x , y  .
Проинтегрируем первое уравнение системы (5):

V  , x , y   V0  x , y   F  s, x , y  ds .

(6)
0
Тогда, правая часть второго уравнения системы (5), которую мы обозначим за G  , x , y  , примет вид
G  , x , y    xV0 , f1 

  x F  s, x, y  , f1
ds    x F , f1   y F , f 2 .
0
Следующие утверждения показывают, какими должны быть функции
F  , x , y  и G  , x , y  , чтобы функции V  , x , y  и W  , x , y  обладали нужными нам свойствами.
Лемма 1. Пусть при    0; 0  , 0  0 , выполнены условия:
1) F  , x , y       0  z  , где     – непрерывная на  0; 0  функ-
ция;
2) G  , x , y   0 (  1  z  , где 1  z  – определенно положительная
функция).
Тогда существует 1   0; 0  такое, что при всех    0; 1  функция
V  , x , y  будет z -определенно положительной, а функция W  , x , y  будет
принимать только неположительные значения (будет z -определенно отрицательна).
Доказательство. Пусть условия леммы выполнены. Воспользуемся равенством (6). Очевидно, что V  ,0,0   0 . В силу первого условия леммы и
неравенства (4) справедливо неравенство

 

V  , x , y   0  z   0  z    s  ds  0  z   1    s  ds  .


0
 0



Отсюда видно, что функция V  , x , y  будет z -определенно положи
тельна, если 1    s  ds  0 , что справедливо при всех достаточно малых

0
 0.
Проинтегрируем второе уравнение системы (5). Получим

W  , x , y   W0  x , y   G  s, x , y  ds .

0
52
(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
Пользуясь вторым условием леммы (1), получим
W  , x , y   W0  x , y   0 (  1  z  ),
т.е. функция W  , x , y  принимает только неположительные значения
( z -определенно отрицательна).

Определим теперь величину 1 . Пусть уравнение
   s  ds  1
имеет
0
положительные корни. Обозначим через  2 минимальный из них. Тогда
1  min 0 ;  2  . Если же уравнение не имеет корней, то 1  0 . Лемма доказана.
Из этой леммы следует теорема.
Теорема 2. Если при    0; 0  для некоторой функции F  , x , y  , удовлетворяющей поставленным к ней требованиям, выполняются условия леммы 1, то нулевое решение системы (2) будет z -устойчиво (асимптотически), а нулевое решение системы (1) z -устойчиво (асимптотически) при всех
достаточно малых значениях параметра    0; 1  .
Практическое применение теоремы 2 сильно осложняется вторым
условием леммы 1. Чтобы облегчить задачу поиска функции F  , x , y  , нужно рассмотреть различные варианты ее структуры. Рассмотрим один такой
вариант. Пусть F  , x , y       F  x , y  , где     – непрерывная на  0; 0 
функция, F  x , y  непрерывно дифференцируема на всем R k  m . Тогда функция G  , x , y  из второго условия леммы 1 примет вид


G  , x , y    xV0 , f1     s  ds        x F , f1       y F , f 2 .


0


Функцию     можно выбрать наиболее удобной для дальнейших
оценок. Пусть, например,      a  0 . Тогда получим
G  , x , y    xV0 , f1  2a  x F , f1  a  y F , f 2 .
Теперь, исходя из всего сказанного, сформулируем теорему.
Теорема 3. Если при    0; 0  для некоторой функции F  x , y  , удовлетворяющей поставленным к ней требованиям, существует число a  0 ,
при котором выполняются условия:
1) F  x , y   0 0  z  , где 0  R ;
2) G  , x , y   0 (  1  z  , где 1  z  – определенно положительная
функция), то нулевое решение системы (2) будет z -устойчиво (асимптотически), а нулевое решение системы (1) z -устойчиво (асимптотически) при
всех достаточно малых значениях параметра    0; 1  . При этом
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
min 0 ,1 /  0 a  , 0  0;
1  
0 ,  0  0.
Задачу об устойчивости по всем переменным можно рассматривать как
частный случай задачи относительно части переменных. В этом случае все
проведенные рассуждения остаются справедливыми с учетом лишь того, что

z  xT , y T

T
.
Пример. Дана сингулярно возмущенная система третьего порядка:
 x  e y ( x  x ),
1
2
 1

y
 x2   x2 e ,

2
y   ye  x1  x2  .
(8)
Как видно, она имеет одно положение равновесия x1  x2  y  0 . Будем исследовать его на устойчивость относительно всех фазовых координат,
T
т.е. z   x1 , x2 , y  . Соответствующая регулярно возмущенная система имеет
вид
 x  e y ( x  x ),
1
2
 1


y
 x2  x2 e ,

  2
 y   ye
  x1  x2  ,
(9)
 x  0,
 1

 x2  0,

  2
 y   ye
  x1  x2  .
(10)
а она вырождается в систему
Нулевое решение системы (10) устойчиво, т.к. для функции Ляпунова
dV0
2
0.
V0  x1 , x2 , y    x1  x2   x 22  y 2 выполняется соотношение
d  10 
Рассмотрим функцию F  x1 , x2 , y   y 2 . Она в любом случае удовлетворяет первому условию теоремы 3 при 0  0 . Второе условие этой теоремы
будет также выполнено, т.к. при a  1 для всех значений  справедливо неравенство
G  x1 , x2 , y   2  x1  x2  e y   x1  x2  
 x  x
  2  x1  x2   2 x2  x2 e y  2 y 2 e  1 2   0 .
2
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
Таким образом, согласно теореме 3 с учетом, что 0  0 , нулевое решение систем (9) и (8) должно быть устойчивым при всех значениях параметра   0 .
Правильность этого вывода можно проверить традиционным способом,
т.е. используя функцию Ляпунова V  , x1 , x2 , y  , удовлетворяющую требованиям теоремы об устойчивости при всех значениях   0 . В этом нам может
помочь все та же теорема 3. Подставим в равенство (6) найденные
F  , x1 , x2 , y  и V0  x1 , x2 , y  и получим определенно положительную функ2
цию V  , x1 , x2 , y    x1  x2   x22  1    y 2 . При этом
dV
0.
d  9
Тогда по теореме об устойчивости нулевое решение системы (9), а значит и системы (8), устойчиво при всех   0 .
2. Неавтономные системы
Для неавтономных систем можно провести те же самые рассуждения.
Рассмотрим систему
 x  f1  t , x, y  ,

y  f 2  t , x, y  ,
T
(11)
T
где x   x1 , , xk  , y   y1 , , ym  ;   0 – малый параметр; f1  t , x, y  ,
f 2  t , x, y  удовлетворяют тем же требованиям, что и в разд. 1. Соответствующая регулярно возмущенная система примет вид

 x  f1  , x , y  ,

 y  f 2  , x , y  .
(12)
При   0 система (12) становится автономной:
 x  0,

 y  f 2  0, x , y  ,
(13)
а ее нулевое решение по-прежнему предполагается z -устойчивым. Это означает, что существует z -определено положительная функция V0  x , y  такая,
dV0
 0 . При этом V0  x , y   0  z  , где 0  z  – некоторая
d  13
определенно положительная функция.
В дальнейшем не будем выписывать все выкладки, поскольку они повторяют выкладки из разд. 1 с той лишь разницей, что в данном случае нужно
учитывать зависимость всех функция от переменной  . Заметим лишь, что
для неавтономных систем функция G , которую нужно в дальнейшем оценивать, будет иметь следующую структуру:
что W0  x , y  
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
G  , , x , y  
f
F
   x F , f1    xV0 , 1 

t


0
0
f
  x F  s  ds, 1   xV0 , f1   x F  s  ds, f1 
t



f
f
  y F , f 2    yV0 , 2    y F  s  ds, 2 .
t
t

0
Теорема 4. Если для некоторой функции F  , , x , y  , удовлетворяю-
щей требованиям из разд. 1, при    0; 0  и   0 выполняются условия:
1) F  , , x , y       0  z  , где     – непрерывная  0; 0  функция,
2) G  , , x , y   0 ,
то нулевое решение системы (12) будет z -устойчиво, а нулевое решение системы (11) z -устойчиво при всех достаточно малых значениях параметра
 0.
Список литературы
1. Р у м я н ц е в , В. В. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных / В. В. Румянцев, А. С. Озиранер. – М. : Наука, 1987. – 253 с.
2. В о р о т н и к о в , В. И . Устойчивость и управление по части координат фазового
вектора динамических систем: теория, метода и приложения / В. И. Воротников,
В. В. Румянцев. – М. : Научный мир, 2001. – 320 с.
3. В о р о т н и к о в , В. И . Частичная устойчивость и управление: состояние, проблемы и перспективы развития / В. И. Воротников // Автоматика и телемеханика. –
2005. – № 4. – С. 3–32.
4. Тихонов, А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры / А. Н. Тихонов // Математический сборник. – 1950. – Т. 27, № 1. –
С. 147–157.
Козлов Михаил Владимирович
магистрант, Мордовский
государственный университет
имени Н. П. Огарева (г. Саранск)
Kozlov Mikhail Vladimirovich
Undergraduate student, Mordovia State
University named after N. P. Ogaryov
(Saransk)
E-mail: mhl1988@yandex.ru
Щенников Владимир Николаевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
дифференциальных уравнений,
Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева
(г. Саранск)
E-mail: mhl1988@yandex.ru
56
Shchennikov Vladimir Nikolayevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of differential equations, Mordovia State
University named after N. P. Ogaryov
(Saransk)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.928.4
Козлов, М. В.
Один подход к исследованию устойчивости решений сингулярно
возмущенных систем дифференциальных уравнений / М. В. Козлов,
В. Н. Щенников // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2011. – № 2 (18). – С. 49–57.
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.977
В. Л. Пасиков
ЗАДАЧА СБЛИЖЕНИЯ–УКЛОНЕНИЯ
ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
СИСТЕМ ВОЛЬТЕРРА С УПРАВЛЯЮЩИМИ
ВОЗДЕЙСТВИЯМИ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
Аннотация. Для конфликтно управляемой линейной интегродифференциальной системы Вольтерра изучены игровые ситуации наведения и сближенияуклонения. Для решения таких задач предложена некоторая модификация известной экстремальной конструкции академика Н. Н. Красовского.
Ключевые слова: интегродифференциальная система, управляющее воздействие, позиция игры, программный максимин, полунепрерывность.
Abstract. The article investigates game situations of aiming, approaching and deviating for a conflict-controlled linear integrodifferential Volterre’s system. In order to
solve such problems the author suggests a kind of modification of the well-known
extreme construction by prof. N. Krasovsky.
Key words: integrodifferential game, control action, game position, policy maximin,
semicontinuity.
Введение
В работе изучаются задачи управления системами, эволюция которых
описывается линейными векторными интегродифференциальными уравнениями Вольтерра, что усложняет применение методов решения подобных задач
для дифференциальных систем, развитых в [1–8]. Предлагаемые модификации этих методов используют полную память по управляющим воздействиям
[2, 7, 8]. Задачи трактуются как позиционные дифференциальные игры при
подходящем выборе пространства позиций.
Рассматривается управляемая система на промежутке  0, :
t

t
z  t   f  t   A  t  z  t   K  t , s  z  s  ds  B  t , s    s  ds , z  0   z0 ,

0

(1)
  t  Wt  R r ,
(2)
0
где z  z  t   R n – n -мерный фазовый вектор в момент t  [0, ] ; A  t  – матрица n  n , непрерывная на  0,  ; f  t  – матрица n  1 , интегрируемая по
Лебегу на
0, ;
K  t , s  – матрица n  n , непрерывная при 0  s  t   ;
B  t , s  – непрерывная при 0  s  t   матрица с интегрируемой по Лебегу
производной по первому аргументу;   t  – управляющее воздействие игро-
ка, стесненное условием (2), ее реализация ω[t], t   0,  , – интегрируемая по
Лебегу на  0,  r -мерная вектор-функция; Wt – ограниченные замкнутые
выпуклые множества в R r .
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
Функция W  W  t , z  t   , которая каждому вектору
t , z  t 
ставит
в соответствие некоторое ограниченное замкнутое выпуклое множество W
r-мерного евклидова пространства R r , называется допустимой стратегией
игрока, если W  t , z  t    Wt и множества W  t , z  t   полунепрерывны сверху
по включению на множестве возможных значений  t , z  . Соответствующее
управляющее воздействие   t  Wt называется допустимым.
Таким образом игрок, управляющий системой (1), распоряжается выбором значений функции   t  .
Пусть теперь в (1) до момента t0 управление является некоторой допу-
стимой измеримой функцией t  , t   0, t0  , а после момента t0 управление
организуется по принципу обратной связи, тогда система (1) записывается
в следующей форме:
t0

t
z  t   f  t   A  t  z  t   K  t , s  z  s  ds  K  t , s  z  s  ds 


0
t0
t0
t
 B  t , s   s  ds  B  t , s    s  ds .


0
(3)
t0
Правая часть (3) при любой допустимой реализации управляющего
воздействия на t0 , t  удовлетворяет условию Каратеодори [1, 3, 9] и, следовательно, имеет на
0, 
единственное абсолютно непрерывное решение,
удовлетворяющее начальному условию z  0   z0 . Символы t  , z t  озна-
чают реализации   t  и z  t  на некотором промежутке.
По схеме из [9, с. 43] получим формулу состояния (1) в момент t с
начальным условием z  0   z0 .
Обозначим

k t   z t   At  z t  ,
отсюда
z  0   z0 , по формуле Коши [1, с. 370] получаем:

z t   k t   At  z t  ,
t
z  t   Z  t ,0  z0  Z  t , s  k  s  ds ,

(4)
0

где Z  t , s  – матрица Коши системы   A  t   .

Подставляем (4) и z  t  в (1) и меняем порядок интегрирования по
формуле Дирихле [9, с. 38]:
t
k  t   f  t   K  t , s  Z  s,0  dsz0 

0
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
t t
t

  K  t ,   Z  , s  d   k  s  ds  B  t , s    s  ds .


0 s
0



t
Пусть
  t , s   K  t ,   Z  , s  d  , тогда

(5)
t
  t ,0   K  t ,   Z  ,0  d  ,

0
s
  t   f  t     t ,0  z0 , подставляем в (5):
t
t
k  t     t     t , s  k  s  ds  B  t , s    s  ds .


0
(6)
0
Соотношение (6) является линейным интегральным уравнением Вольt
терра; аналогично [10, с. 133] обозначим   t , s   E  R  t ,   d  , где R  t ,   –

s
резольвента матрицы   t ,   , E – единичная матрица; тогда решение (6) записывается согласно [11] следующим образом:
t
K  t     t ,0    0     t , s  d   s  

0
t
t
B  , s  
    t , s  B  s, s     t ,  
d     s  ds .



0
s



(7)
Далее обозначаем
t
  t , s     t , s  B  s, s     t ,  

B  , s 

s
d
и подставляем в (7):
t
t
yi  t     t ,0  i  0     t , s  d i  s     t , s  i  s  ds ;


0
0
теперь k  t  подставляем в (4) и меняем порядок интегрирования:
t
z  t   Z  t ,0  z0  Z  t , s    s,0  ds  0  

0
t t
t t


  Z  t ,     , s  d   d   s    Z  t ,     , s  d     s  ds .




0 s
0 s




(8)
Теперь, предполагая, что до момента t0 , 0  t0   , реализовалось
некоторое допустимое управление t  , а после t0 будет t   0 , получа-
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
ем состояние системы (1) в момент  , которое обозначаем символом
z  , t0  :

z  , t0   Z  ,0  z0  Z  , s    s,0  ds  0  

0
 
t0  





Z  ,     , s  d  d   s    Z  ,     , s  d    s  ds;




0 s
0 s




тогда состояние системы (1) в момент t , t0  t   , определяется формулой
t 

z  , t0   z  , t0    Z  ,     , s  d     s  ds .


t0  s


t , z  , t  ,
Пара
t0  t   , называется позицией игры;
(9)
t0 , z  , t0 
–
начальная позиция.
Пусть l0 – n-мерный числовой вектор, у которого после m -й координаты приписаны нули, m  n , тогда согласно [1, с. 387] получаем
l0 z  , t     t 

– решение дифференциального уравнения    A  t  
с краевым условием      l0 , штрих означает транспонирование.
t0 ,  системой полуинтервалов  i , i 1  ,
 i  0,1,..., n  1; 0  t0 , n    ,  j – диаметр покрытия, отвечающий j-му разПокроем
отрезок
биению.
В каждый момент i управляющее воздействие выбирается из условия
  i  Wi . Символом z  t  обозначим решение системы

t
t0
0
0
z  t   f  t   A  t  z  t   K  t , s  z  s  ds  B  t , s   s  ds 
1


2
 B  t , s    0  ds  B  t , s    1  ds  ... 

0

1
t
 B  t , s   n1  ds .
(10)
n 1
Его состояние z  , t  в момент t согласно (9):
z  , t   z  , t0  
2  
1  

 Z  ,     , s  d     0  ds 


0  s

 
t 


 Z  ,     , s  d     n1  ds . (11)
  Z  ,     , s  d     1  ds  ... 




1  s
n 1  s


 
 
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Определение 1. Движением системы (1), порожденным стратегией
W  t , z  t   , из позиции  t0 , z  , t0   называется всякая абсолютно непре-
рывная функция z t  , для которой на отрезке  0,  найдется подпоследова-
тельность z t  последовательности (11), равномерно сходящаяся на  0, 
к z t  при условии j  
  j  0 .
При неограниченном измельчении разбиений получаем последовательность решений (11) пошагового уравнения (10). Согласно [12, с. 9] последовательность (11) на  0,  равностепенно непрерывна, а сумма конечного
числа интегралов суммируемых функций равномерно ограничена. По теореме Арцела [12], множество движений, удовлетворяющих определению 1, не
пусто.
1. Игровая задача сближения–уклонения для линейных
интегродифференциальных систем Вольтерра
Рассматривается динамическая система, которая складывается из двух
управляемых объектов, движения которых на  0,  описываются уравнениями типа (1)

t
t
x  t   f1  t   A1  t  x  t   K1  t , s x  s  ds  B1  t , s  u  s  ds , x  0   x0 ; (12)


t
t
0

0
y  t   f 2  t   A2  t  y  t   K 2  t , s  y  s  ds  B2  t , s v  s  ds , y  0   y0 ; (13)


0
0
u  t  U t  R r1 , v  t  Vt  R r2 .
(14)
Игра рассматривается на заданном промежутке, плата изображается равенством
   
 y   m   x   m
,
(15)
 – символ евклидовой нормы; символ {z}m обозначает вектор, составленный из первых m координат вектора z, остальные координаты равны нулю.
Первый игрок распоряжается выбором управления u  t  U t и стремит-
ся минимизировать величину     на траекториях x t  , 0  t   , в паре
с любой допустимой интегрируемой реализацией v t  , 0  t   , управления
второго игрока.
Цель второго игрока, который распоряжается выбором управления
v(t ) Vt , противоположна и состоит в максимизации величины (4) на траек-
ториях y t  , 0  t   , в паре с любой допустимой интегрируемой реализацией u t  , 0  t   , управления второго игрока.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
Состояния систем (12), (13) записываются аналогично (9):
t 

x  , t   x  , t0    X  ,   1  , s  d   u  s  ds ;


t0  s


t 

y  , t   y  , t0    Y  ,    2  , s  d   v  s  ds .


t0  s


Определение 2. Тройка p  t , x  , t  , y  , t  называется позицией иг-
ры в момент t , t0 ≤ t < θ, 0  t0   ; p0  t0 , x  , t0  , y  , t0  – начальная позиция игры [1–3], а также [13].
Из определения 2 вытекает, что области достижимости [1, с. 399] систем (12) и (13) в момент  из начальной позиции p0  t0 , x  , t0  , y  , t0 
состоят из всех точек соответственно:
 

x     x  , t0    X  ,   1  , s  d   u  s  ds ,


t0  s


 

y     y  , t0    Y  ,   2  , s  d   v  s  ds ,


t0  s


(16)
u t  , v t  , t0  t   , – всевозможные допустимые реализации управляющих
воздействий.
Из вида формул (16) вытекает, что все свойства областей достижимости, установленные в [1], имеют место и в рассматриваемом случае. Для вычисления позиции требуется полная память по управлениям.
Определение 3. Стратегией U V  первого (второго) игрока будем
называть многозначное отображение, которое каждой реализовавшейся позиции p  t , x  , t  , y  , t  , t0  t   , ставит в соответствие некоторое непу-
стое множество [1]:
U  U  t , x  , t  , y  , t    u  t , x  , t  , y  , t    U t ,
V  V  t , x  , t  , y  , t    v  t , x  , t  , y  , t    Vt .
Реализации допустимых управлений являются измеримыми селекторами многозначных стратегий U и V существующими согласно теореме об измеримом выборе [3, с. 55].
Уточним постановку задач для обоих игроков.
Задача 1. Среди допустимых стратегий U первого игрока найти стратегию U e , которая при любом допустимом способе управления второго игрока для любой начальной позиции p0  t0 , x  , t0  , y  , t0  , 0  t0   , гарантирует результат игры
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
   t , x , t  , y  , t  ,U , v    t , x  , t  , y  , t  .
0
0
e
0
0
0
0
0
Задача 2. Среди допустимых стратегий V второго игрока найти стра-
тегию V e , которая при любом допустимом способе управления первого игрока для любой начальной позиции p0  t0 , x  , t0  , y  , t0  , 0  t0   , гарантирует результат игры
   t , x , t  , y  , t  , u,V    t , x  , t  , y  , t  .
0
0
e
0
0
0
0
0
Здесь 0  t0 , x  , t0  , y  , t0   , 0  t0   , – программный максимин для
начальной позиции p0 , который определяется согласно (16) формулой
[1, с. 131]:




0  t0 , x  , t0  , y  , t0    max 
max  l Y  ,   2  , s  d   v  s  ds 

l 1  v s vVs 
s

 t0




 l X  ,   1  , s  d   u  s  ds  l   y  , t0   x  , t0    ,
u  s uU s 


t0
s





max

(17)
если 0  t0 , x  , t0  , y  , t0    0 , иначе 0  t0 , x  , t0  , y  , t0    0 .
Аналогично [1, с. 131], говорят, что имеет место регулярный случай,
если для всех позиций, которые могут встретиться в рассматриваемой игре,
максимум в правой части (17) достигается на единственном векторе l0 . Иначе
говорят, что случай не является регулярным. Здесь рассматривается только
регулярный случай. Введем теперь в рассмотрение функцию:
t 

  t , x  , t  , y  , t     l0/ Y  ,    2  , s  d   v[ s ]ds 


t0  s




t 






 u  s  ds 













l
Y
,
,
s
d
v
s
ds
l
X
,
,
s
d










max
0
2
0
1



v s vVs 
t
t0  s
s









max  l0 Y  ,   1  , s  d   u  s  ds  l0  y  , t0   x  , t0   ,

u s uU s 
t  
s


где
l0

–
решение
0  t0 , x  , t0  , y  , t0   .
задачи
(17);
при
t  t0
получаем
(18)
значение
Все свойства функций   t , x  , t  , y  , t   и l0  t , x  , t  , y  , t   , установленные в [1], имеют место и для нашего случая вследствие аналогичности
формул.
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
Вычисляем производную:


d
 l0 Y  ,    2  , t  d   v  t   max l0 Y  ,    2  , t  d   v 
dt
vVt


t
t


 l0 X  ,   1  , t  d   u  t   max l0 X  ,   1  , t  d   u .
uU

t
t

t
Здесь согласно [1, с. 387] m-мерные векторы-строки
 l0 Y  ,   
–
решения
(19)
дифференциальных
систем
 l0 X  ,   

1   A1  t  1
и
и

 2   A2  t   2 с краевым условием l0 .
Тогда производная
d
записывается в следующей форме [14, с. 234]:
dt


d
 2     2  , t  d v  t   max 2    2  , t  d v 
dt
vVt


t
t


 1    1  , t  d u  t   max 1    1  , t  d u .

uU t
t

(20)
t
Обозначим для краткости

x e  t   1    1  , t  d  ,

t

y  t   2    2  , t  d  ,
e

t
получаем
d
 y e  t  v  t   max y e  t  v  xe  t  u  t   max xe  t  u .
dt
vVt
uU t
Определение 4. Пусть m-мерный вектор l0 в каждый момент t ,
0  t   , доставляет максимум правой части (17), тогда если позиция
p  t , x  , t  , y  , t  такова, что 0  t , x  , t  , y  , t    0 , то с этой позицией
будем сопоставлять множество

U e  t , x  , t  , y  , t   V e  t , x  , t  , y  , t  



всех векторов U e  t , x  , t  , y  , t   U t0 V e  t , x  , t  , y  , t   Vt , которые
удовлетворяют условию


x e  t  u e  t   max x e  t  u ,  y e  t  v e  t   max y e  t  v  .
uU t
vVt


(21)
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
  называют экстремальной стратегией первого (вто-
Стратегию U e V e
рого) игрока. Из определения 4 и результатов [1] следует, что экстремальные
стратегии допустимы.
Используя приведенные выше фрагменты доказательств, покажем
справедливость следующих утверждений.
Теорема 1. В регулярном случае при выборе первым игроком стратегии U e  U e  t , x  , t  , y  , t   , t0  t   , 0  t0   , описываемой определением 4, ему будет гарантирован результат игры
 y   m   x   m
 0  t0 , x  , t0  , y  , t0  
при любом допустимом способе управления второго игрока.
Доказательство. В равенстве (20) будем считать, что первый игрок
в течение всей игры применяет свою экстремальную стратегию, а второй игрок – произвольную допустимую, тогда из (20) и (21)
d
 y e  t  v  t   max y e  t  v ,
dt
vVt
d
0.
dt
Таким образом, когда функция   t  положительна, то при почти всех t,
отсюда
t0  t   , она имеет неположительную производную, следовательно, функция
  t  , t0  t   , не возрастает, а значит,
  , x  ,   , y  ,     0  t0 , x  , t0  , y  , t0   ,
где   , x  ,   , y  ,    
 y   m   x   m
для случая, когда первый игрок
применяет свою экстремальную стратегию, а второй игрок – произвольную
допустимую.
Теорема 2. В регулярном случае при выборе вторым игроком страте-
гии U e  U e  t , x  , t  , y  , t   , t0  t   , 0  t0   , описываемой определением 4, ему будет гарантирован результат игры
 y   m   x   m
 0  t0 , x  , t0  , y  , t0  
при любом допустимом способе управления игрока.
Доказательство. Считаем теперь, что второй игрок в течение всей игры применяет свою экстремальную стратегию, тогда из (20), (21)
d
  x e  t  u  t   max x e  t  u ,
dt
uU t
отсюда
66
d
0.
dt
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
Получаем, что когда функция   t  положительна, то при почти всех t,
t0  t   , она имеет неотрицательную производную, следовательно, функция
  t  , t0  t   , не убывает, а значит,
  , x  ,   , y  ,     0  t0 , x  , t0  , y  , t0   ,
где   , x  ,   , y  ,    
 y   m   x   m
для случая, когда первый игрок
применяет произвольную допустимую стратегией, а второй – свою экстремальную стратегию.
Непосредственным следствием теорем 1 и 2 является следующая теорема о седловой точке.
Теорема 3. В регулярном случае при выборе игроками своих экстремальных стратегий U e , V e , описываемых определением 4, им будет гарантирован результат игры
 y   m   x   m
 0  t0 , x  , t0  , y  , t0   .
Пример. Пусть движение управляемого объекта описывается скалярным уравнением

t
t
t


z (t )  e  z ( s )ds  ( s ) ds ,
0
0
здесь f (t )  et , K  t , s   1, A  t   0, B  t , s   1.

Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид   t   0 ,
тогда положим, что фундаментальная матрица Z (t )  1 , матрица Коши
Z  t , s   Z  t  Z 1  s   1 .
Далее вычисляем
t
t
  t , s   K  t ,  Z  , s  d   d   t  s,


s
s
резольвента этой матрицы определяется формулой [15]
R  t , s   sh(t  s ) 
et  s  e  ( t  s )
,
2
тогда
 t, s   1 
1
1
2
t
 e
s
t 

t
t 
1
 e (t ) d   1   et   e (t )  
s
s
2
1
et  s  e  ( t  s )
1  et  s  1  e (t  s ) 
 ch(t  s ) ,
2
2


67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
согласно (7) (t , s )   (t , s ) , (t )  et  t , (0)  1 .
Вычисляем теперь слагаемые в (8):
t

Z  t , s   s, o  ds  0  
0
t

t

0
t
e s  e s
1
ds  ch s ds sh s |t0  sh t  et  e t ;
2
2


0
t
t
Z  t ,    , s  d     , s  d   ch    s  d   sh  t  s  

s

s
s



1 t s
 t s
e e   ;
2
t
t

 Z  t ,     , s  d   d   s   sh  t  s  e s  s ds 


0 s
0

t

1

2
t
 e
t s
e


 t  s 
0


1
e  s ds 
2
s
t
 e
t


 t s
 e t  2 s  set  s  se   ds 
0
1
1
1
1
1 1 1
1
1
 tet  et  e t  et  t   et  t  
2
4
4
2
2 2 2
2
2


1
1
 1
1
 1
1
 1
 t  et  1  et  e t  t  et  1  et  et  t  et  1  sht ;
4
2
 4
2
 4
2
 2
получаем для начального условия z  0   1 :
t
1
3
1

1

z  t   1  sht  sht  t  et  1  1  sht  t  et  1  sh  t  s  u  s  ds ;
2
2
2

2
 0

для начального условия z  0   2 :
t
3
1

z  t   2  sht  t  et  1  sh  t  s  v  s  ds.
2
2

 0

Рассматриваем теперь задачу сближения двух однотипных объектов [1]:

t
t
xi  t   e  xi  s  ds  u  s  ds, xi  0   1 , i  1, 2 ;
t


t
t
0

0
y i  t   e  yi  s  ds  v  s  ds, yi  0   2 , i  1, 2 ;
t

0

0
для позиции игры получаем
t0
3
1

xi  , t0   1  sh    e  1  sh  t0  s  u  s  ds ,
2
2


0
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
t0
3
1

yi  , t0   2  sh    e  1  sh  t0  s  v  s  ds .
2
2



0
Будем теперь считать, что игрок, управляющий движением x  t  , выбирает управляющее воздействие со значениями на отрезке [2,5], а игрок,
управляющий движением y  t  , выбирает управляющее воздействие со значениями на отрезке [3,4]. Из элементарных соображений заключаем, что экстремальный вектор l0 имеет постоянное направление по прямой y  x
в направлении возрастания x и y ; экстремальное управление имеет вид
u1e , u2e   5,5 ,  v1e , v2e    4, 4 . При таком использовании ресурсов управле-
ния первый объект догонит второй объект.
Список литературы
1. К р а с о в с к и й , Н . Н . Игровые задачи о встрече движений / Н. Н. Красовский. –
М. : Наука, 1970. – 420 с.
2. К р а с о в с к и й , Н . Н . Позиционные дифференциальные игры / Н. Н. Красовский, А. И. Субботин. – М. : Наука, 1974. – 456 с.
3. С у б б о ти н , А . И . Оптимизация гарантии в задачах управления / А. И. Субботин, А. Г. Ченцов. – М. : Наука, 1981. – 288 с.
4. К р а с о в с к и й , Н . Н . Управление динамической системой / Н. Н. Красовский. –
М. : Наука, 1985. – 518 с.
5. О с и п о в , Ю . С . Дифференциальные игры систем с последействием /
Ю. С. Осипов // ДАН СССР. – 1971. – Т. 196, № 4. – С. 779–782.
6. Осипов, Ю. С. Альтернатива в дифференциально-разностной игре /
Ю. С. Осипов // ДАН СССР. – 1971. – Т. 197, № 5. – С. 1025–1025.
7. С у б б о ти н , А . И . Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с полной памятью / А. И. Субботин // ДАН СССР. – 1972. – Т. 206, № 3. – С. 552–555.
8. С у б б о ти н , А . И . Дифференциальные игры с полной памятью. Экстремальные
стратегии в позиционных дифференциальных играх / А. И. Субботин. – Свердловск, 1974. – С. 211–233.
9. Ла ндо , Ю . К . Элементы математической теории управления движением /
Ю. К. Ландо. – М. : Просвещение, 1984. – 88 с.
10. Ц а л ю к , З . Б. Интегральные уравнения Вольтерра. Математический анализ.
Итоги науки и техники / З. Б. Цалюк. – М., 1971. – Т. 15. – С. 131–198.
11. В и н о к у р о в , В. Р . Некоторые вопросы теории устойчивости интегральных
уравнений Вольтерра / В. Р. Винокуров // Известия вузов. Математика. – 1969. –
№ 6. – С. 24–34.
12. Ф и л и п п о в , А . Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью /
А. Ф. Филиппов. – М. : Наука, 1985. – 224 с.
13. П а с с и к о в , В. Л. Экстремальное прицеливание в игре линейных систем Вольтерра / В. Л. Пасиков // Дифференциальные уравнения. – 1986. – Т. XXII, № 5. –
С. 907–909.
14. Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной / И. П. Натансон. –
М. : Наука, 1974. – 480 с.
15. Краснов, М. Л. Интегральные уравнения. Задачи и упражнения / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Т. И. Макаренко. – М. : Наука, 1976. – 215 с.
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Пасиков Владимир Леонидович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математического
анализа и информатики, Орловский
гуманитарно-технологический институт
(филиал Оренбургского
государственного университетеа)
Pasikov Vladimir Leonidovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematical analysis
and informatics, Orel Humanitarian
and Technological Institute (affiliated
branch of Orenburg State University)
E-mail: pasikov_fmf@mail.ru
УДК 517.977
Пасиков, В. Л.
Задача сближения–уклонения для линейных интегродифференциальных систем Вольтерра с управляющими воздействиями под знаком
интеграла / В. Л. Пасиков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 2 (18). – С. 58–70.
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.9
Д. И. Васюнин
РАСЧЕТЫ ДВУХСЛОЙНЫМ ИТЕРАЦИОННЫМ
МЕТОДОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
НЕОДНОРОДНОГО ОБРАЗЦА МАТЕРИАЛА
Аннотация. Исследуется задача определения диэлектрической проницаемости
неоднородных образцов материалов произвольной геометрической формы,
помещенных в прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками.
Предложен итерационный метод для численного решения задачи. Доказана
его сходимость. Представлены результаты расчетов диэлектрической проницаемости образцов материалов.
Ключевые слова: диэлектрическая проницаемость материала, обратная краевая
задача, итерационный метод.
Abstract. The article investigates a problem of dielectric permittivity determination
of non-homogeneous arbitrary shaped materials located in rectangular waveguide.
The author suggests an iteration method for numerical solving of the problem. The
article proves the method’s convergence and presents numerical results for dielectric
body permittivity determination.
Key words: permittivity of dielectric body, inverse boundary value problem, iteration method.
Введение
Определение диэлектрических и магнитных параметров нанокомпозитных материалов и сложных наноструктур с различной геометрией является
актуальной задачей нанотехнологии и наноэлектроники. Однако эти параметры, как правило, недоступны для экспериментального измерения (ввиду композитного характера материалов) [1, 2], что приводит к необходимости применять методы математического моделирования и решать задачи численно
с помощью компьютеров [3]. При этом приходится решать трехмерные векторные задачи в полной электродинамической постановке.
В статье исследуется задача определения диэлектрической проницаемости неоднородных образцов материалов произвольной геометрической
формы, помещенных в прямоугольный волновод с идеально проводящими
стенками. В работе [4] задача сведена к решению нелинейного объемного
сингулярного интегрального уравнения. Интегральное уравнение изучали,
опираясь на результаты исследования соответствующей краевой задачи и
теорему эквивалентности краевой задачи и интегрального уравнения [5].
Была доказана теорема о существовании и единственности решений нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения и обратной краевой задачи для определения эффективной диэлектрической проницаемости
наноматериалов [6–8]. Численные результаты для случая однородного тела
были получены в [9]. Некоторые особенности реализации численного алгоритма представлены в [10].
1. Постановка обратной задачи
Пусть в декартовой системе координат P  {x : 0  x1  a, 0  x2  b,
  x3  } – волновод с идеально проводящей поверхностью P . В волно-
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
воде расположено неоднородное анизотропное тело Q ( Q  P – область),
хаpактеpизующееся постоянной магнитной пpоницаемостью  0 и функцией
переменной диэлектрической проницаемости ( x) . Функция ( x) является
ограниченной функцией в области Q ,   L (Q ) , а также  1  L (Q ) . Граница Q области Q кусочно-гладкая.
Случай переменной магнитной проницаемости (при постоянной диэлектрической проницаемости, равной 0 ) рассматривается аналогично и
может быть получен из рассматриваемого случая простой заменой обозначений.
Как показано в [4, 5], рассматриваемая обратная задача может быть
сведена к следующей задаче для нелинейного объемного сингулярного
уравнения.
Введем ток
  x 
J  x  
 1 E  x  ,
 0

(1)
где E  x  – электрическое поле.
Тогда электрическое поле выражается через ток по формуле
  x 
E x  
 1
 0

1
J  x .
(2)
Интегродифференциальное уравнение, к которому сводится обратная
задача, имеет вид
   x 
 1

 0

1

J  x   E0  x   k02 GE  x, y  J  y  dy 

Q

 grad div GE  x, y  J  y  dy, x  Q.

(3)
Q

Здесь GE  x, y  – (известный) диагональный тензор Грина [4, 5, 10]
с компонентами


x y



x y
2
e nm 3 3
n
m
n
m

cos x1 sin
x2 cos
y1 sin
y2 ;
ab n0 m1  nm (1  0n )
a
b
a
b
GE2
2
e nm 3 3
n
m
n
m

sin
x1 cos
x2 sin
y1 cos
y2 ;
ab n1 m0  nm (1  0m )
a
b
a
b
 
GE3
72

G1E
 


2
e

ab n1 m1
 
 nm x3  y3
 nm
sin
n
m
n
m
x1 sin
x2 sin
y1 sin
y2 .
a
b
a
b
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
В этих выражениях
2
2
 n   m 
2
 nm     
  k0 ,
a
b
  

при этом ветвь квадратного корня выбирается так, чтобы Im  nm  0 и
Re  nm  0 , если Im  nm  0 . В формуле (3) k0 – волновое число свободного
пространства, k02  2  0 0 ,  – круговая частота. Параметры волновода выбраны так, чтобы  a  k0   b . В этом случае в волноводе может распроx i  2  x


страняться только одна мода. E0  x   e 2 A i0 sin 1 e 1 3 – известa
a
   – (известная) амплитуда па-
ное падающее поле (мода в волноводе); A
2
 2  k 2   ;
e 2 – второй орт в декартовой системе ко0
2
дающей волны; 1
a
ординат.
Дополнительное асимптотическое уравнение запишется в форме [4, 5]
    A    k 2
Q1
0
y i 2  y    y  
1
 1 E  y   e2 dy ,
sin 1 e 1 3 
b10i0
a
 0


(4)
Q
где 10 
2
a2
 k02 .
   считается известным из измерений. Требуется
Коэффициент Q1
определить диэлектрическую проницаемость   x  , x  Q, посредством серии
измерений.
Поскольку количество измерений должно быть конечным, то и неизвестных параметров также должно быть конечное число. Поэтому будем
предполагать, что тело Q состоит из N подобластей Q j таких, что
Q
 Q j , Qi  Q j  , i  j . Мы предполагаем, что   x   ( j )
при x  Q j ,
j
т.е. в каждой подобласти диэлектрическая проницаемость постоянна. Тогда
общее число неизвестных параметров будет равно N .
При измерениях изменяются частоты (1) , (2) ,..., ( N ) (происходит
сканирование по частоте); при этом волновое число изменяется по формуле
k0(i )  (i ) 00 .
2. Формулировка итерационного метода
Будем предполагать, что тело имеет форму параллелепипеда
Q  {x : a1  x1  a2 , b1  x2  b2 , c1  x3  c2 } . Выберем равномерную прямоугольную сетку в Q , образованную элементарными параллелепипедами
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 klm  {x : x1,k  x1  x1,k 1 , x2,l  xl  x2,l 1 , x3,m  x3  x3,m1} ,
a a
b b
c c
x1,k  a1  2 1 k , x2,l  b1  2 1 l , x3,m  c1  2 1 m,
N1
N2
N3
где k  0, , N1  1, l  0, , N 2  1, m  0, , N3  1 . Перенумеруем эти элементарные параллелепипеды с помощью одноиндексной нумерации  s ,
s  0,..., N 0  1 , N 0  N1 N 2 N 3 .
Построим двухслойный итерационный процесс для решения обратной
задачи по формулам:
1
   x 
n  x    n
 1 ;
 0


n  x  J n  x   k02 G  x, y  J n  y  dy 
(5)

Q

 grad div G  x, y  J n  y  dy  E0  x  , x  Q ;

(6)
Q
En  x   n  x  J n  x  ;
F  A  k02
1
 y  i (2) y
sin  1  e 1 3 n 1 ( y )En  y   e 2 dy ,
ab10
 a 
Q

(7)
(8)
где
F
   x 
i0   
i0   
A , n  x    n
Q1 , A 
 1 , n ( x)  n 1  x  . (9)
a
a

 0

По этим формулам вычисление производится следующим образом.
Сначала выбираем начальное приближение 0  x   e  n  0  , где e  eff ,
eff – эффективная диэлектрическая проницаемость тела, вычисленная как
решение обратной краевой задачи с постоянной диэлектрической проницаемостью [4, 5]. Нельзя взять в качестве e  0 , так как по формуле (7) нельзя
определить электрическое поле. По формуле (5) вычисляется значение 0 ( x) .
Далее по формуле (6) определяется ток J n  x  как решение интегродифференциального уравнения методом коллокации. Затем по формуле (7) по
току определяем электрическое поле E n  x  на сетке. Данную процедуру
проводим N раз при различных значениях k0  k0(1) , k0  k0(2) ,..., k0  k0( N ) .
(2)
(N )
Таким образом, получаем N значений полей E(1)
при различn , E n ,..., E n
ных k0(1) , k0(2) ,..., k0( N ) . На этом заканчивается вычисление на первом
«слое».
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
На втором «слое» по известным значениям полей E(ni )  x   i  1,..., N  из
формулы (8) определяем новое значение n1  x  . Для этого потребуется
произвести решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ),
составленной из уравнения (8), относительно неизвестных параметров. При
этом «коэффициенты прохождения» Fi  F ( k0(i ) ) находятся с помощью изме
рений. Считаем, что A   1 .
Мы предположили выше, что n  x   (nj ) при x  Q j . Кроме того,
пусть подобласти Q j состоят из объединения элементарных параллелепипедов сетки Q j 
 l .
Мы будем считать также, что E(ni )  x   E(ni ,l ) при
l
x   l , т.е. поле аппроксимируется некоторой постоянной внутри элементарных параллелепипедов.
Формула (8) приводит к конечномерной СЛАУ. Образуем матрицы

E  e 2  E(ni ,l )
i1,l 1 размера
N , N0
 l 1, j 1 размера
N  N 0 и H  H lj
N0 , N
N 0  N , где
H lj  0 при l таких, что  l  Q j . Тогда будем иметь СЛАУ с матрицей
AN  EH размера N  N :
AN n 1  B ,
(10)
(N ) T
которая решается относительно неизвестных n 1  ((1)
n 1 ,..., n 1 ) . Здесь и
ниже мы будем отождествлять (кусочно-постоянную) функцию
(N ) T
n 1  n 1 ( x ) и вектор ((1)
n 1 ,..., n 1 ) , так как они однозначно определяют
друг друга.
Коэффициенты матрицы AN и правой части B в случае изотропного
неоднородного тела вычисляются по следующим формулам:
aij 

l: l Q j
e 2  E(ni ,l ) H li ;
(11)
2
(i ) 2
 Fi  A ab 2 (i) 2
 y1  iy3 ( k0 )  a 2
e
,
H li  sin 
dy
dy
dy
b

 (k0 ) . (12)
1 2 3 i
(i ) 2
2
a 

a
k
(
)
0
l

Значение интеграла по параллелепипеду  l можно вычислить аналитически:
H li 
xl 0  h1 /2 yl 0  h2 /2 zl 0  h3 /2
 x 
sin  e
 a 
xl 0  h1 /2 yl 0 h2 /2 zl 0 h3 /2



iz ( k0( i ) )2 
2
a2
dxdydz 
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

4h2 a
2
 (k0(i ) ) 2  2
a
e
izl 0 ( k0(i ) )2 
2
a2
h
2
sin  3 (k0(i ) ) 2 
 2
a2

 h
 sin 1 sin xl 0 .

2

i)
(i )
Далее проверяется выполнение неравенств (n
1  n  
 i  1,..., N 
с заданной точностью    0  . Если требуемая точность достигнута для каждого (ni) 1
 i  1,..., N  ,
то вычисления прекращаются. Если требуемая точ-
ность не достигнута, то n1 ( x) : n11  x  , n : n  1 , и вычисления повторяются с формулы (6).
В качестве искомого выбирается значение для относительной диэлектрической проницаемости
n  x 
0
 n  x   1 .
Ключевым моментом в данном двухслойном итерационном процессе
является возможность определения  n 1  x  по известному полю E n  x  из
формулы (7). Если искомая функция   x  имеет N неизвестных параметров, то необходимо иметь по крайней мере результаты N различных измерений.
Поскольку размер матрицы AN сравнительно невелик (не более нескольких тысяч), при решении системы (12) можно воспользоваться простыми методами решения систем линейных алгебраических уравнений, например
методом Гаусса с выбором ведущего элемента по всей матрице.
Решение уравнения (5) подробно описано в [10].
Теорема 1. Пусть существует F (e ) для некоторого e и верно
e  F (e ) Be . Тогда найдется такое r  0 , что при выполнении условий
max B    F ()  F (e ) B   F (e ) B  Be   r и B   M 1 отобr e
ражение F () B : Br  e   Br  e  является сжимающим, итерационный
процесс n 1  F (n ) B сходится к точному (единственному) решению
 Br  e  уравнения
  F () B
(13)
со скоростью геометрической прогрессии с показателем q : B  M ( 1) при
любом начальном приближении 0  Br  e  .
Эта теорема теоретически обосновывает двухслойный итерационный
метод определения функции   x  . Наиболее сложным является обеспечение
условия e  F (e ) Be . Оно означает, что должно быть известно решение обратной задачи с «близкими» параметрами. В качестве такой задачи можно
выбрать, например, задачу определения эффективной диэлектрической про-
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
ницаемости, когда (1)  ...  ( N )  e . Эта задача подробно исследована в [4,
6, 7] (где также указаны условия существования ее решения).
3. Численные результаты
Описание решения интегродифференциального уравнения методом
коллокации имеется в [10]. В качестве точек коллокации выбираем центры
элементарных параллелепипедов. Параметры задачи: a  2, b  1, c  2,
k0  2,5, N  1, N 0  8 . Коэффициент F вычисляется с помощью аналитического решения прямой задачи дифракции [13, 14].
На рис. 1 и 2 представлены результаты расчетов относительной диэлектрической проницаемости двухслойным итерационным методом для случая
неоднородного тела, состоящего из двух секций:
Q1  {x : 0  x1  a, 0  x2  b, 0  x3  c1} ;
Q2  {x : 0  x1  a, 0  x2  b, c1  x3  c} .
Рис. 1. Разбиение 4 к 6
Рис. 2. Разбиение 6 к 4
Параметры задачи: a  2, b  1, c  2, c1  1, k0(1)  1,7, k0(2)  1,6,
N  2, N 0  8 . Начальное значение относительной диэлектрической прони-
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
цаемости в каждой секции равнялось e  1, 2 . Точные значения, полученные
в результате аналитического решения модельной задачи, равнялись (1)  1,1
в первой секции и (2)  1,3 – во второй секции.
Расчеты показывают высокую точность (порядка 0,4 %) при определении относительной диэлектрической проницаемости образца. Метод быстро
сходится даже при выборе сильно отличающегося начального приближения
от точного значения.
Список литературы
1. Solymar, L. Waves in Metamaterials / L. Solymar, E. Shamonina. – New York :
Oxford University Press, 2009.
2. Zh a r o v a , N . A . Nonlinear Transmission and Spatiotemporal Solutions in Metamaterials with Negative Refraction / N. A. Zharova, I. V. Shadrivov, A. A. Zharov,
Yu. S. Kivshar // Optics Express. – 2005. – V. 13, № 4. – P. 1291–1298.
3. S h e s t o p a lo v , Y u . V . Development of Mathematical Methods for Reconstructing
Complex Permittivity of a Scatterer in a Waveguide / Yu. V. Shestopalov,
Yu. G. Smirnov, V. V. Yakovlev // Proceedings of 5th International Workshop on Electromagnetic Wave Scattering, (Antalya, Turkey, 22–25 October, 2008). – Antalya,
2008.
4. С м и р н о в , Ю . Г . Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного
объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 3. – С. 2–10.
5. K o b a y a s h i, K . Investigation of Electromagnetic Diffraction by a Dielectric Body
in a Waveguide Using the Method of Volume Singular Integral Equation / K. Kobayashi, Yu. V. Shestopalov, Yu. G. Smirnov // SIAM Journal of Applied Mathematics. –
2009. – V. 70, № 3. – С. 969–983.
6. С м и р н о в , Ю . Г . О существовании и единственности решений обратной краевой задачи для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский
регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 1. – С. 11–24.
7. С м и р н о в , Ю . Г . О существовании и единственности решений обратной
краевой задачи определения диэлектрической проницаемости материалов /
Ю. Г. Смирнов, Д. А. Миронов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2010. – Т. 50, № 9. – С. 1587–1597.
8. S m i r n o v , Y u . G . Existence and uniqueness of a solution to the inverse problem
of the complex permittivity reconstruction of a dielectric body in a waveguide /
Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov // Inverse Problems. – 2010. – V. 26. –
№ 105002. – P. 1–14.
9. S m i r n o v , Y u . G . Analysis of Inverse Scattering in a Waveguide using the Method
of Volume Singular Integral Equation / Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov,
D. Mironov // URSI Internetional Symposium on Electromagnetic Theory (EMTS
2010), (Germany, Berlin, 16–19 August, 2010). – Berlin, 2010. – P. 532–534.
10. В а с ю н и н , Д . И . Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Д. И. Васюнин, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. –
№ 3. – С. 68–78.
11. К о л м о г о р о в , А . Н . Элементы теории функций и функционального анализа /
А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. – М. : Наука, 1976.
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
12. К а н то р о в и ч , Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович,
Г. П. Акилов. – М. : Наука, 1984.
13. Г у р и н а , Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2010. – № 2. – С. 32–43.
14. Г р и ш и н а , Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на двух секциях с разной диэлектрической проницаемостью,
расположенных в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гришина, Е. Д. Деревянчук,
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 4. – С. 73–81.
Васюнин Денис Игоревич
аспирант, Пензенский
государственный университет
Vasyunin Denis Igorevich
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: mmm@pnzgu.ru
УДК 517.9
Васюнин, Д. И.
Расчеты двухслойным итерационным методом диэлектрической
проницаемости неоднородного образца материала / Д. И. Васюнин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 2 (18). – С. 71–79.
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 512.662.1
М. В. Ладошкин
ПОСТРОЕНИЕ АНАЛОГА СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ
ВЫРОЖДЕНИЙ В A∞-СЛУЧАЕ1
Аннотация. Рассматривается вопрос построения аналога симплициальных вырождений в A∞-случае. Предъявляется конструкция высших граней, доказывается теорема об их существовании на гомологиях, а также рассматривается
вопрос о действии дифференциала на таком объекте. Доказательство теоремы
существования конструктивно, что позволяет строить полученные новые объекты на гомологиях цепных комплексов. При доказательстве теорем используется техника SDR-ситуаций.
Ключевые слова: симплициальный объект, гомологии, гомотопическая устойчивость, SDR-ситуация, высшие вырождения.
Abstract. The article considers the construction of A∞-case simplicial degeneracy
analogue. The author presents a design of higher facets, proves their existence on
the homology, and addresses the effect of the differential on this site. As the proof
of the existence theorem is constructive, it allows to construct new objects on the
homology of chain complexes. While proving the theorems the author used the
technique of SDR-situations.
Key words: simplicial object, homology. homotopy stable, SDR-situation, high degenerations.
Введение
В последнее время в алгебраической топологии актуальным является
процесс создания аналогов алгебраических структур, которые были бы
устойчивы при переходе к гомотопическому случаю. Первые работы в этом
направлении относятся к 70-м гг. прошлого века (Дж. Мэй, Т. Кадеишвили,
В. Смирнов) и касались построения аналога градуированных и дифференциальных алгебр [1]. Позднее велись работы по созданию подобного рода аналогов для алгебр Ли, дифференциальных модулей, коммутативных алгебр
и др. [2].
Результаты, представленные в данной работе, являются обобщением
работ, начатых в [3]. Подход, предлагаемый автором, является более алгебраическим и позволяет построить в дальнейшем аналог всей структуры симплициального множества, а не только его предсимплициальной части. Аналоги высших граней, необходимые для дальнейшего построения всей симплициальной структуры, были получены в [4]. Основными результатами данной
работы являются сама конструкция аналога высших вырождений, а также
утверждения о его существовании и правиле вычисления дифференциалов от
высшего вырождения.
Все основные утверждения, конструкции и доказательства теорем приводятся над полем характеристики 2, т.е. над Z2. Подобный прием является
1
Работа выполнена в рамках проекта «Описание волновых процессов методами гомологической алгебры и алгебраической топологии» ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России на 2009–2013 гг.». Государственный
контракт № П1113 от 2 июня 2010 г.
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
часто используемым в алгебраической топологии, так как позволяет избежать
постоянной записи знаков, а также проверки их совпадения. Однако большинство утверждений, верных для случая поля характеристики 2, остаются
верными и для произвольного случая.
1. Конструкция высших симплициальных вырождений
Изложим основные определения, необходимые для дальнейшего изложения положений работы. Начнем с определения симплициального множества [5].
Определение 1. Симплициальным множеством называется градуированное множество K  K q , q  0 , рассматриваемое вместе с отображени-

q
ями di : K q  K q 1 и si : K q  K q 1 , 0  i  q , которые удовлетворяют следующим условиям:
(i) di d j  d j 1di если i  j ,
(ii) si s j  s j 1si если i  j ,
(iii) di s j  s j 1di если i  j ,
(1)
d j s j  id  d j 1s j ,
di s j  s j di 1 если i  j  1 .
Элементы K q будем называть q-симплексом, или симплексом размерности q. Отображения di и s j называют соответственно операторами граней
и вырождений.
При рассмотрении гомотопически устойчивых аналогов симплициальных вырождений нам особенно интересны будут соотношения (ii) из формулы (1).
Прежде чем сформулировать определение гомотопически устойчивого
аналога симплициальных вырождений, введем некоторые обозначения, которые будут необходимы в дальнейшем при формулировке утверждений и построении конструкций. Для этого рассмотрим сначала упорядоченный набор
натуральных чисел i1 ,..., ik , в котором каждый индекс также принадлежит
множеству натуральных чисел. Будем обозначать t (i j ) для числа i j , входящего в i1 ,..., ik , если ir1  i j ,..., irt  i j и r1  j ,..., rt  j . Другими словами, t –
количество чисел ir1  is , стоящих правее is . Также можно сказать, что t (i j ) –
число инверсий в подстановке (i1 ,..., ik ) , соответствующих элементу i j . Будем обозначать iˆj для числа i j , входящего в i1 ,..., ik , если iˆj  i j  t (i j ) .
Пример 1. Рассмотрим последовательность (3, 1, 2, 4, 5). Вычислим
значения x̂ для каждого числа x из данной последовательности:
3̂  3  2  5 ,
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1ˆ  1, 2ˆ  2, 4ˆ  4,5ˆ  5 .
Рассмотрим цепной комплекс X , т.е. модуль X  Ci , где каждый
Ci – модуль, снабженный последовательностью отображений di : Ci  Ci 1 ,
называемых дифференциалами, удовлетворяющих условию
di (di 1 )  0 .
Определим на этом комплексе структуру высших симплициальных вырождений.
Определение 2. Будем говорить, что на цепном комплексе X с дифференциалом d заданы высшие симплициальные вырождения, если цепной комплекс снабжен набором отображений si1,i2 ,...,in ,
si1 ,i2 ,...,in : X m  X m1 ,
которые удовлетворяют следующим условиям:
dsi  si d ,
(2)
 sˆ (i ),ˆ (i ),...,ˆ (i )  0 ,
1
2
n
(3)
где σ – подстановка из симметрической группы Sk, а суммирование идет по
всем подстановкам из группы Sk, действующим на данный набор i1 ,..., ik .
Символ ˆ (i1 ) рассматривается в смысле введенных выше обозначений.
Отображения si1 ,i2 ,...,in будем называть высшими вырождениями.
Определение 3. Если высшее вырождение si1,i2 ,...,in удовлетворяет
условию i1  i2  ...  in , то высшее вырождение будем называть упорядоченным. Заметим, что если вырождение si ,i ,...,i упорядоченное, то iˆj  0 .
1 2
n
Рассмотрим условия из определения 2. Следует отметить, что соотношения (2) означают, что высшие вырождения в первой размерности являются
отображениями дифференциальных модулей. Соотношения (3) соответствуют обычным симплициальным соотношениям (ii) для вырождений в случае
симплициального модуля. В размерности 2 соотношения (3) в точности повторяют соотношения (ii) из определения 1. Как и симплициальные соотношения, соотношения (3) позволяют записать любое высшее вырождение в виде линейной комбинации вырождений, одно из которых упорядочено.
Пример 2. Рассмотрим соотношения (3) из определения 2 на примере.
Рассмотрим последовательность чисел (1, 3, 2, 4). Если применить к входящим в нее числам операцию x̂ , то получим последовательность (1, 4, 2, 4).
Применяя подстановки из S4, получим последовательности (1, 3, 4, 2),
(1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2), (2, 1, 3, 4), (2, 1, 4, 3), (2, 3, 1, 4),
(2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (3, 1, 4, 2), (3, 2, 1, 4), (3, 2, 4, 1),
(3, 4, 2, 1), (3, 4, 1, 2), (4, 1, 2, 3), (4, 1, 3, 2), (4, 2, 1, 3), ( 4, 2, 3, 1), ( 4, 3, 2, 1),
(4, 3, 1, 2).
Применяя к каждой из полученной подстановке операцию x̂ , получим
соответственно (1, 4, 5, 2), (1, 2, 3, 4), (1, 2, 5, 3), (1, 6, 2, 3), (1, 6, 4, 2), (3, 1, 3, 4),
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
(3, 1, 5, 3), (3, 4, 1, 4), (3, 4, 5, 1), (3, 5, 1, 3), (3, 6, 4, 1), (5, 1, 2, 4), (5, 1, 5, 2),
(5, 3, 1, 4), (5, 3, 5, 1), (5, 6, 3, 1), (5, 6, 1, 2), (7, 1, 2, 3), (7, 1, 4, 2), (7, 3, 1, 3),
(7, 3, 3, 1), (7, 5, 3, 1), (7, 5, 1, 2). Применяя формулу (2) из определения 2,
получаем
s1,4,5,2  s1,2,3,4  s1,2,5,3  s1,6,2,3  s1,6,4,2  s3,1,3,4  s3,1,5,3  s3,4,1,4 
 s3,4,5,1  s3,5,1,3  s3,6,4,1  s5,1,2,4  s5,1,5,2  s5,3,1,4  s5,3,5,1  s5,6,3,1 
 s5,6,1,2  s7,1,2,3  s7,1,4,2  s7,3,1,3  s7,5,3,1  s7,5,1,2  s1,4,2,4  0 .
Таким образом, соотношения между высшими симплициальными гранями с n индексами содержат n! слагаемых.
2. Существование высших симплициальных вырождений
Опишем топологический объект, на котором существуют высшие вырождения. Для этого рассмотрим цепной комплекс C c дифференциалом d.
Пусть на данном цепном комплексе заданы отображения si: C → C, удовлетворяющие условиям (ii) из определения 1 и согласованные с дифференциалом d таким образом, что каждое вырождение является цепным отображением, т.е. dsi  si d . Тогда на гомологиях данного цепного комплекса H(C), рассматриваемого как цепной комплекс с нулевым дифференциалом, существует
структура высших симплициальных вырождений.
Теорема 1. На гомологиях H(C) цепного комплекса C, на котором заданы цепные вырождения, удовлетворяющие условиям si s j  s j 1si , если
i  j , существует структура высших симплициальных вырождений.
Доказательство. Для того чтобы доказать данное утверждение, предъявим алгоритм получения высших вырождений на гомологиях цепного комплекса и покажем, что полученные вырождения определяют на H(C) структуру высших симплициальных вырождений.
Рассмотрим стандартную SDR-ситуацию цепных комплексов C и
H (C ) , т.е. систему отображений  : C  H (C ) : , h , если для отображений
h : C  C ,  : C  H (C ),  : H (C )  C
выполняются следующие условия:
dh  hd    id ; h  0; h  0; hh  0;   id .
(4)
Отображение h : C  C – гомотопия между отображением ξη и тождественным отображением. Отображение  : C  H (C ) – выбор класса гомологий по представителю, отображение  : H (C )  C – выбор представителя
в классе. В общем случае отображение ξ является неоднозначным, однако путем фиксации разложения C в прямую сумму C  H (C ) однозначность отображения ξ может быть достигнута. Поскольку мы рассматриваем все модули
над полем (здесь не важна характеристика поля), то такое разложение всегда
существует и однозначно определяет отображение ξ путем выбора представителя из второго слагаемого. Заметим, что отображения η и ξ являются цепными,
т.е. перестановочны с дифференциалом в соответствующих комплексах (дифференциал в комплексе гомологий рассматривается как тривиальный).
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Теперь рассмотрим получение высшего вырождения на комплексе гомологий. Для произвольного высшего вырождения si1 ,i2 ,...,ik составим упорядоченную последовательность si1 , si2 ,..., sik . К каждой паре последовательных
вырождений st , st 1 из данной последовательности применим симплициальные соотношения (ii) из определения 1 (слева направо), если возможно. Затем
к полученным последовательностям тоже, если это возможно. Процесс всегда
конечен, поскольку рано или поздно будет получена последовательность,
в которой все числа расположены по неубыванию слева направо. Получим
для каждой исходной последовательности si1 , si2 ,..., sik набор последователь-


ностей st1 , st2 ,..., stk .
Определим высшее вырождение si1 ,i2 ,...,ik по следующим формулам:
st1  st1 
(5)
для высших вырождений первого порядка (т.е. обычных симплициальных
вырождений, определяемых в гомологиях);
si1 ,i2 ,...,ik 
   si hsi h...hsi  
1
2
k
(6)
для получения высших вырождений, порядок выше первого.
Суммирование в формуле (6) будет идти по всем возможным последовательностям si1 , si2 ,..., sik , полученным в результате процедуры, описанной
выше.
Покажем, что определенные приведенным способом отображения задают на комплексе гомологий структуру высших вырождений. Для этого
сначала покажем, что высшие грани удовлетворяют условиям (2) и (3). Применим дифференциал к отображению st1  st1  . Получим, применяя стандартное правило дифференцирования,
d ( st1 )  d (st1 )  d st1   st1 d .
Так как отображения ,  являются цепными, т.е. перестановочны
с дифференциалом, то последнее равенство можно переписать в виде
d ( st1 )  d st1   st1 d  dst1   st1 d   (dst1  st1 d )  0 .
Последнее равенство выполнено, так как вырождения перестановочны
с дифференциалом в исходном комплексе, т.е. являются цепными отображениями. Так как дифференциал в комплексе гомологий определяется как тривиальный, то полученное равенство показывает выполнение условия (2) из
определения 2.
Рассмотрим условие (3) из определения 2. Для того чтобы убедиться
в том, что сумма высших вырождений действительно равна нулю, заметим,
что число iˆj будет совпадать с числом инверсий для числа i, т.е. инверсий,
которые переводят последовательность индексов в упорядоченную. Применение каждого симплициального соотношения к паре индексов приводит к
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
увеличению номера переходящего влево вырождения элемента на 1. Таким
образом, если мы возьмем некоторую упорядоченную последовательность
натуральных индексов и будем попарно применять к каждой возможной паре
последовательно симплициальные соотношения, то число, на которое уменьшается номер грани в результате последовательного действия нескольких
симплициальных соотношений, есть в точности число упорядоченных инверсий, или число t (i j ) . При этом среди перечисленных в формуле (3) высших
вырождений будет только одно упорядоченное. Таким образом, любая грань,
входящая в формулу (3), может быть получена в результате одной из перестановок из симметрической группы Sk с учетом симплициальных соотношений из одной и той же упорядоченной симплициальной грани. Верно и обратное, т.е. перебор всех перестановок из группы Sk даст все возможные вырождения, входящие в формулу. Таким образом, оба способа перебора возможных вырождений – с помощью формулы (3) и с помощью процедуры из
определения высших вырождений в гомологиях – приводят к перечислению
одних и тех же выражений. Таким образом, любая равная некоторой упорядоченной грани si1,i2 ,...,in , где i1  i2  ...  in , высшая грань будет иметь вид
sˆ (i1 ),ˆ (i2 ),...,ˆ (in ) , где σ – подстановка из симметрической группы Sk , что и
требовалось показать.
Но тогда для
двух
равных
вырождений
si1 ,i2 ,...,ik ,ik 1 ,...,in
и
si1 ,i2 ,...,ik 1 1,ik ,...,in набор последовательностей st1 , st2 ,..., stk , используемых для
их построения, окажется одним и тем же. Это следует из того, что последовательность
si1 , si2 ,..., sik , sik 1 ,..., sin
входит в набор последовательностей для последовательности
si1 , si2 ,..., sik 1 1 , sik ,..., sin ,
полученных в результате применения последовательности симплициальных
соотношений. Таким образом, мы показали, что высшие грани
si1,i2 ,...,ik ,ik 1,...,in и si1,i2 ,...,ik 1 1,ik ,...,in будут состоять из одних и тех же составных слагаемых вида ( st1 hst2 h...hstk ) , т.е. на гомологиях рассматриваемого
цепного комплекса существует структура высших вырождений, что и требовалось показать. Теорема доказана.
Пример 3. Рассмотрим построение на гомологиях цепного комплекса
с цепными вырождениями высшего вырождения s2,4,5 . Применим к каждой
паре последовательности s2 s4 s5 симплициальные соотношения. Получим
набор последовательностей s2 s4 s5 , s5 s2 s5 , s5 s6 s2 , s7 s5 s2 , s7 s2 s4 , s2 s6 s4 .
Заметим, что каждая из них может быть получена из другой последовательным применением соотношений (ii). Используя формулу (6), получим следующее выражение:
s2,4,5  s2 hs4 hs5  s5 hs2 hs5  s5 hs6 hs2 
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 s7 hs5 hs2   s7 hs2 hs4   s2 hs6 hs4 .
Покажем, что для вырождения s2,4,5 выполнены соотношения (3) из
определения высших вырождений. Для рассматриваемого вырождения они
примут вид
 s2,4,5  s5,2,5  s5,6,2  s2,6,4  s7,2,4  s7,5,2  0 .
Справедливость последнего равенства следует из того, в определении
каждого из входящих в него высших вырождений будет использован один и
тот же набор последовательностей вырождений на исходном цепном комплексе s2 s4 s5 , s5 s2 s5 , s5 s6 s2 , s7 s5 s2 , s7 s2 s4 , s2 s6 s4 .
3. Действие дифференциала на высших вырождениях
Теперь покажем, как на определенных нами высших вырождениях на
гомологиях должен действовать дифференциал. Данное утверждение сформулируем в виде следующей теоремы
Теорема 2. Дифференциал от высшего вырождения si1,i2 ,...,in , где
i1  i2  ...  in , равен нулю при k = 1, а при k > 1 определяется формулой
d ( si1 ,i2 ,...,in ) 
  sˆ (i ),...,ˆ (i ) sˆ (i
Sk I 
1
t
ˆ
ˆ (in )
t 1 ),...,
.
(7)
Суммирование в формуле (7) идет в первом случае по всем возможным перестановкам из симметрической группы Sk , а во втором – по множеству I  всех разбиений набора ˆ (i1 ),..., ˆ (it ) на два строго упорядоченных блока ˆ (i1 ),..., ˆ (ik ) и ˆ (ik 1 ),..., ˆ (it ) , т.е. блоки, в которых выполняются условия ˆ (i1 )  ˆ (i2 )  ...  ˆ (ik ) и ˆ (ik 1 )  ˆ (ik  2 )  ...  ˆ (it ) . В данном
определении символ ˆ (ik ) рассматривается в смысле ранее введенных отображений.
Замечание. Множество Iσ может быть и пустым для некоторой подстановки σ. Например, для подстановки σ = (2 3 5 4 1) множество Iσ пусто.
Доказательство. Рассмотрим вырождение si1,i2 ,...,ik . Рассмотрим действие дифференциала на данном вырождении. Оно задается, как обычно, правилом Лейбница:
d ( si1,i2 ,...,ik )  dsi1,i2 ,...,ik  si1,i2 ,...,ik d .
Подставим в полученную формулу выражения для определения высших вырождений из формулы (6). Получим следующее выражение:
d ( si1 ,i2 ,...,ik )  d
   si hsi h...hsi       si hsi h...hsi  d ,
1
2
k
1
2
k
где суммирование берется по всем возможным последовательностям
st1 , st2 ,..., stk , полученным в результате действия симплициальных соотношений для вырождений на подстановки, примененные к последовательности
i1 , i2 ,..., ik .
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
Поскольку отображения , si ,  цепные, то дифференциалы можно внести в суммы и провести до первой встреченной гомотопии, т.е. получить выражение
d ( si1 ,i2 ,...,ik ) 
   st dhst h...hst       st hst h...hdst   .
1
2
k
1
2
k
Учитывая определение гомотопии, мы сможем в слагаемых, входящих
в первую сумму, поменять дифференциал и гомотопию, т.е. получить выражение вида
d ( si1 ,i2 ,...,ik ) 

   st hdst h...hst       st st h...hst   
1
2
k
1
2
k
   st st h...hst       st hst h...hdst   .
1
2
k
1
2
(8)
k
Рассмотрим вторую сумму:
   st st h...hst   .
1
2
k
Она будет равна нулю, так все последовательности st1 , st2 ,..., stk получены в результате действия симплициальных соотношений. Поэтому все
наборы t1 , t2 ,..., tk можно будет разбить на пары, отличающиеся только первыми двумя числами, причем отличие будет таковым:
   st st h...hst       st st
1
2
k
1
2

 st2 1st1 )h...hstk  .
Учитывая симплициальные соотношения, выражение в каждой из скобок равно нулю. Поэтому формула (8) примет вид
d ( si1 ,i2 ,...,ik ) 

   st hdst h...hst   
1
2
k
   st st h...hst       st hst h...hdst   .
1
2
k
1
2
k
Продолжим процесс далее. Пользуясь тем, что отображения , si , 
цепные, продолжим движение дифференциала по первой сумме. Получим
d ( si1 ,i2 ,...,ik ) 

   st hst dh...hst   
1
2
k
   st st h...hst       st hst h...hdst   .
1
2
k
1
2
k
Заменяя dh в первом слагаемом по определению гомотопии, получим
выражение вида
d ( si1 ,i2 ,...,ik ) 

   st hst hd ...hst       st hst ...hst   
1
2
k
1
2
k
   st st h...hst       st hst h...hst       st hst h...hdst   .
1
2
k
1
2
k
1
2
k
По соображениям, аналогичным ранее приведенным, четвертое слагаемое будет равно нулю. Продолжая данный процесс, получим
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
d ( si1 ,i2 ,...,ik ) 
 (st hst h......hst
1
2
k
) ,
где суммирование идет, кроме всех наборов t1 , t2 ,..., tn , еще и по всем местам,
на которых может стоять отображение  . Поскольку будут перебраны все
возможные варианты перемножений каждого из наборов на другой, то для
доказательства теоремы становится достаточно заметить, что из всевозможных последовательностей st1 , st2 ,..., stk , входящих в определение высшего вырождения, только одно является упорядоченным, т.е. удовлетворяет условию
t1  t2  ...  tn . Таким образом, каждая подпоследовательность, входящая
в определение некоторого высшего вырождения, определяется одним упорядоченным представителем. Эти рассуждения позволяют сделать вывод о
справедливости утверждения теоремы.
Заключение
В результате наших исследований построен А∞-аналог вырождений для
симплициального случая, а также описан пример существования данной конструкции на гомологиях цепного комплекса. Доказательство теоремы 1 является конструктивным, что позволяет строить высшие симплициальные операции на гомологиях цепного комплекса специального вида. Кроме того, в теореме 2 исследуется вопрос о связи полученных операций с дифференциалом
в цепном комплексе. Полученные результаты могут быть использованы для
построения общей структуры гомотопически устойчивого объекта, что является целью дальнейших исследований автора.
Список литературы
1. К а д е и ш в и л и, Т. В. К теории гомологий расслоенных пространств /
Т. В. Кадеишвили // Успехи математических наук. – 1980. – Т. 35, Вып. 3 (213). –
С. 183–188.
2. Л а п и н , С . В. Дифференциальные возмущения и D∞-дифференциальные модули / С. В. Лапин // Математический сборник. – 2001. – Т. 192, № 11. – С. 55–76.
3. С м и р н о в , В. А . А∞-симплициальные объекты и А∞-топологические группы /
В. А. Смирнов // Математические заметки. – 1999. – Т. 66, Вып. 6. – С. 913–919.
4. Л а д о ш к и н , М . В. Гомотопически устойчивый аналог симплициальных граней /
М. В. Ладошкин // Учебный эксперимент в образовании. – 2010. – № 3. – С. 62–69.
5. M a y , J . P . Simplicial objects in algebraic topology / J. P. May // Van Nostred,
Math.Studies. – 1967. – V. 11. – 162 p.
6. G u g e n h e i m , V . K . A . M . On a chain complex of a fibration / V. K. A. M.
Gugenheim // Illinois J. Math. – 1972. – V. 3. – P. 398–418.
Ладошкин Михаил Владимирович
кандидат физико-математических наук,
доцент, заведующий кафедрой
математики, Мордовский
государственный педагогический
институт им. М. Е. Евсевьева
(г. Саранск)
E-mail: michldosh@gmail.com
88
Ladoshkin Mikhail Vladimirovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, head
of sub-department of mathematics,
Mordovia State Pedagogical Institute
named after M. E. Evsevyev (Saransk)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
УДК 512.662.1
Ладошкин, М. В.
Построение аналога симплициальных вырождений в A∞-случае /
М. В. Ладошкин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2011. – № 2 (18). – С. 80–89.
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 53.082.8, 54.084
С. М. Геращенко
ПОСТРОЕНИЕ ЗАМКНУТОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И СРЕДСТВ ОЦЕНКИ
СОСТОЯНИЯ БИОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Аннотация. Автором ранее был рассмотрен круг вопросов, возникающих при
построении модели внутренних физических и химических процессов в классической электрохимической ячейке, с помощью которых были получены уравнения, описывающие электродиффузионные процессы без явного учета химических превращений. В данной работе рассмотрены вопросы описания слагаемых, отвечающих за химическую кинематику, построена замкнутая математическая модель физико-химических процессов внутри электрохимической
ячейки в целях разработки и обоснования электрохимических методов и
средств оценки состояния биологических объектов.
Ключевые слова: математическое моделирование, электрохимическая ячейка,
методы и средства контроля, динамика воспалительных процессов.
Abstract. Previously the author considered the questions, appearing during the development of the model of inner physical and chemical processes for a classic electrochemical cell, resulting in production of equations for electrodiffusion processes
without taking into account chemical transformation. In this article, the author has
disclosed chemical kinematics, which helps to construct a self-contained mathematical model of physicochemical processes in electrochemical cell, intended for development and substantiation of electrochemical methods and means for biological object condition estimation.
Key words: mathematical modeling, electrochemical cell, methods and means of
control, inflammatory process dynamics.
В различных областях медицины оценка состояния биологических тканей и жидкостей является очень важной задачей [1]. Практически при каждом
заболевании требуются диагностика на ранних стадиях и выбор рациональной тактики лечения.
Биологические объекты изменяют свои свойства при воздействии электрического тока во время электрохимических исследований. Это обстоятельство требует оценки получаемых значений параметров, характеризующих исследуемый объект, в динамике [2, 3]. В этой связи разработка математической
модели физико-химических процессов внутри электрохимической ячейки
приобретает актуальность.
Отталкиваясь от общих законов сохранения массы/заряда в виде уравнения непрерывности в [4] была получена следующая система нелинейных
интегродифференциальных уравнений пространственно-временной эволюции
концентраций в растворе электролита классической электрохимической ячейки
zi F


ci 
   ( Di ci )  zi F    ci vC   zi Fui 
t
 
N

 N

 

4
4 

 ci   F
G (r; r )  zk ck (r)  dr   E(r )   ci
F  zk ck    i , (1)



  k 1
 


 k 1


V



90


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
где i  1, N – количество компонент (веществ), участвующих в электрохимических процессах переноса заряда; zi – заряд ионов (валентность) i -го вещества; F – постоянная Фарадея ( F  96485,3 Кл/моль); ci – молярная концентрация ионов i -го вещества; ui – подвижности носителей заряда i -го веще
ства; E(r )  эл ( эл – потенциал, получаемый из граничных условий на
электродах); i – изменение (рождения/исчезновения) массы mi i -й компоненты смеси в единицу времени на единицу объема за счет химической реакции или ионизации.
Раскроем явную структуру правой части уравнений i , отвечающую за
рождение/уничтожение носителей заряда в системе, с помощью определений
и закономерностей химической кинетики.
Изменение массы i -й компоненты для данной единичной химической
реакции в закрытой системе за промежуток времени dt можно представить
следующим образом:
dmi  i M i d  ,
(2)
где M i – молярная масса i -го компонента;  i – стехиометрический коэффициент i -го компонента в химической реакции (он считается положительным,
если i -й компонент появляется в правой части уравнения реакции, и отрицательным, если он находится в левой части уравнения);  – степень полноты
данной химической реакции.
Суммарное изменение масс всех компонент реакции:
 N

 N

dmi  d  mi   dm   i M i  d  .




i 1
 i 1 
 i 1

N



N
С учетом того, что в закрытой системе полная масса
сохраняется, т.е. dm  0 , должно выполняться
 mi  m  const
i 1
N
 i M i  0 .
(3)
i 1
Выражение (3) называется уравнением химической реакции, или, короче, стехиометрическим уравнением [5, 6].
Скорость изменения массы за счет химической реакции имеет следующий вид:
dmi
d
 i M i
 i M i v .
dt
dt
(4)
Вместо молекулярных весов компонент реакции удобнее использовать
число молей ( ni  mi M i ), инфинитезимальное изменение которых можно
представить как
dni  i d  ,
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
а скорость соответственно
dni
 i v .
dt
В случае, если в изменении i -й компоненты задействовано несколько
химических реакций, для каждой реакции задают отдельный коэффициент
степени полноты k -й реакции  k , скорости k -й реакции vk  d  k dt и стехиометрические коэффициенты i,k ( k  1,, R ). Выражение (2) запишется
тогда как сумма
dmi  M i
R
 i ,k d  k ,
k 1
а скорость изменения массы i -й компоненты как
R
dmi
 M i i ,k vk .
dt
k 1

(5)
С другой стороны, уравнения неразрывности в [1] записаны в терминах
интенсивных параметров системы, т.е. относящихся к каждой точке (физически бесконечно малой частичке) системы, в том числе и параметр изменения
массы i . А масса mi , как и ее скорость изменения dmi dt , в свою очередь
является экстенсивным параметром, так же как и объем V , т.е. относятся ко
всей системе в целом [6].
Таким образом, нужно представить скорость изменения массы i -го
компонента системы следующим образом [7]:
dmi

dt
 i (r, t )d  .
(6)
V
Сравнивая (5) и (6), приходим к выражению

i (r , t )d   M i
V
R
 i,k vk (t ) ,
(7)
k 1
где скорости k -й реакции vk являются также экстенсивными параметрами.
Современное определение скорости химической реакции звучит следующим образом: это число элементарных актов или изменение количества вещества (исходного или продукта) в единицу времени в единице объема, рассчитанное на единицу его стехиометрического коэффициента [5]. Данное
определение дает не зависящее от природы компонента, используемого для
нахождения скорости единичной химической реакции, общее выражение
v
1 dni
,
iV dt
(8)
где количество i -го вещества ni берется по конечному объему V . Рассматривая достаточно физически малые объемы исследуемой физико-химической
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
системы, мы можем считать, что скорость химической реакции v имеет локальный характер, т.е. характеризуется в данной точке. Выражение (8) позволяет естественно перейти от числа молей ni к концентрации Ci i -го вещества:
v
1 d  ni  1 dCi

.
i dt  V  i dt
(8*)
В пределе V  0 в выражении (8*) можно перейти к локальным конn
центрациям вещества lim i  ci :
V 0 V

1 dci
.
i dt
(9)
Опираясь на определение (8), введем интенсивный эквивалент скорости
k -й реакции для физически бесконечно малого элемента системы в следующем виде:
vk (t ) 
1
V
  k (r, t )d  ,
V
и, используя выражение (7), окончательно получим для параметра изменения
массы i -го компонента i связь со скоростями химических реакций:
i  M i
R
 i , k  k .
(10)
k 1
Экспериментальным путем для многих реакций, протекающих при постоянной температуре, было показано [5], что скорость реакции в каждый
момент времени пропорциональна произведению текущих концентраций взаимодействующих веществ в объеме V , возведенных в определенные степени:
v  kVG
 Ci
i
,
(11)
i
где kVG – коэффициент пропорциональности, который не зависит от концентраций реагирующих веществ (по предложению Я. Вант-Гоффа называется
«константой скорости реакции», [ kVG ]  [C ]1 [t ]1 ), но сильно зависит от тем1
ci (r, t )d  );
пературы; Ci – экстенсивные концентрации веществ ( Ci (t ) 
V

V
i – экспериментально определяемые показатели степени при концентрации
i -го компонента.
Коэффициент i называется порядком реакции по i -му веществу,
 i  
 i , как правило, отличается от
суммы стехиометрических коэффициентов  i , равенство  i     i
– порядок реакции в целом (
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
выполняется только для простейших (элементарных) реакций). Порядок реакции – число, формальная величина, принимающая любые значения, в гомогенной среде обычно от 0,5 до 4; этот термин используется при описании
простых и сложных реакций. Порядок реакции зависит, как правило, от механизма сложной реакции и, следовательно, от влияющих на него параметров
(концентрации, давления, температуры, катализатора) [5].
Теперь подставим (11) в (10), учитывая связь экстенсивной концентрации Ci с локальной концентрацией i -го вещества ci ,
i  M i
R

k 1
i,k kVG k
N
l , k
 cl
.
(12)
l
Таким образом, выражение (12) позволяет полностью замкнуть систему
(1) относительно концентраций ci и представить ее в следующем виде:
 

 N


ci
4



 zi Fui ci 
G (r; r )  zk ck (r)  dr   E(r )  
zi F
F


t
 


 k 1

V




 ci
N
    N
 

4 
F  zk ck       Dik ck   zi F    ci vC  



  k 1

 k 1



 Mi
R
N
k 1
l
l , k
 i,k kVGk  cl
,
(13)
Данная система уравнений позволяет записать в едином виде изменение концентрации вещества в электрохимической ячейке под влиянием естественной диффузии, диффузии заряженных частиц во внешнем электрическом поле и химической реакции.
Замечание. В выражении (13) учтена не только самодиффузия, но и
возможность взаимной диффузии с помощью недиагональных элементов
матрицы коэффициентов диффузии Dik через обобщенный закон Фика. Взаимная диффузия отсутствует только тогда, когда равны между собой все коэффициенты самодиффузии Dii . Как правило, при упрощенном анализе полагается, что матрица «диффузии» является диагональной. Однако в некоторых случаях такое упрощение принципиально недопустимо. Например,
в водном растворе сильных электролитов NaSO 4 и H 2SO 4 Dik  1 2 Dii .
Также стоит отметить, что в общем случае необходимо учитывать зависимость коэффициентов диффузии Dik от концентраций ci и температуры T ,
особенно в случае таких нелинейных сред, как сильный электролит или плазма. Однако вдали от критических состояний системы использование уравнений диффузии с постоянными коэффициентами часто вполне оправдано.
Объединяющие свойства системы (13) являются следствием того, что
они были получены из уравнений неразрывности на основе закона сохранения заряда и массы вещества.
Учитывая, что плотности заряда и тока связаны с концентрацией следующим образом:
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика


c
i  zi Fci ,   ji  i  zi F i ,
t
t
(14)
можно сделать заключение о том, что, зная изменения концентраций веществ
в пространстве и времени, можно однозначно определить плотность заряда,
находящегося в электрохимической ячейке, и с точностью до константы
определить ток в ячейке.
Далее рассмотрим равенство
N 
Ai vi
dS 1  dQ 
 


dt T  dt  p,T i 1 T

и проинтегрируем его от 0 до t :
S (t ) 
1
T
t
N
 dQ 


Ai vi  dt  .


 dt  p,T i 1

0


(15)
Будем считать, что изменение тепла в электрохимической ячейке осуществляется за счет притока тепла Джоуля – Ленца при протекании через нее
 dQ 
 j 2 R ; R – интегральное сопротивление
электрического тока 

 dt  p,T
электрохимической ячейки; j – полный (общий) ток через ячейку.
Тогда выражение (14) можно представить в виде
S (t ) 
С другой стороны,
1
T
t
N
 2


j
R
Ai vi  dt  .



i 1

0


(16)
Ai vi
1 i ji
и (16) можно представить в виде

T
T zi F
1
S (t ) 
T
t
N
 2
i ji 
 j R 
 dt  ,
zi F 

1
i


0


где токи ji связаны с плотностями ji соотношением ji 
(17)
 ji (r, t )dτ ;
 –

площадь поперечного сечения электрохимической ячейки.
Выражение (17) позволяет сделать заключение о возможности использования в качестве обобщенного интегрального показателя значения работы.
Этот показатель характеризует изменение электрохимических свойств биологических объектов в процессе воздействия внешнего импульса. Данный показатель определяется разностью между работой, затраченной источником тока
(воздействия), и работой, произведенной в объекте при переводе его из одного состояния в другое, в течение времени достижения равновесия.
Рассматривая процессы, происходящие в электрохимических объектах,
как процессы, которые требуют затраты энергии извне в течение некоторого
времени в количестве, пропорциональном произведенному изменению, мож-
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
но сказать, что работа выступает в качестве интегрального параметра, характеризующего изменение энтропии. Она зависит от реакции всех видов веществ, содержащихся в исследуемой системе, и динамик их превращения,
определяемого с помощью системы (13), которая характеризует электрохимические превращения и ответную реакцию биообъекта.
Учитывая, что vi  kVG i
N
l ,i
 Cl
, выражение (16) можно представить
l
в виде
S (t ) 
где Ci (t ) 
1
V
1
T
t
N
N
 2
 


j
R
A
k
Cl l ,i dt  ,


i VG i

i 1
l


0



(18)
 ci (r, t )d , а ci определяются системой уравнений (13).
V
К выражению (18) можно прийти другим путем, отталкиваясь от равенства (17) и учитывая связь токов с электрохимическими процессами в ячейке
с помощью закона Фарадея.
Теперь представим систему (13) в виде уравнения неразрывности (материального баланса) для концентраций ci , аналогичного исходному уравнению для плотностей заряда i в [1]:

ci
 Fi (c1 ,, cN )    J i ,
t
(19)
где
Fi (c1 ,, cN ) 
N
Mi R

i,k kVGk
cl l , k ,
zi F k 1
l


N

Dik 
J i  ci ( vC  ui ) 
ck ,
z
F
i
k 1


4
 
F

 N


G (r; r)  zk ck (r )  dr  E(r ).


 k 1

V


С помощью систем, аналогичных системе (19), моделируются многие
так называемые автоволновые процессы в физике, технике, химии и биологии, такие как распространение уединенных фронтов возбуждения и бегущего импульса, горение, стоячие волны, ревербатор, диссипативные структуры
и многое другое.
Таким образом, система (19) потенциально описывает целый класс явлений, в том числе и нелинейных, происходящих в электрохимической ячейке. Также стоит отметить, что система интегродифференциальных уравнений
(19) охватывает более широкий круг процессов, чем аналогичная система
квазилинейных параболических уравнений и совпадает с математической моделью, описывающей динамику биологических нейронных ансамблей.
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
Список литературы
1. В о л ч и х и н , В. И . Джоульметрические медицинские приборы и системы /
В. И. Волчихин, С. И. Геращенко, С. М. Геращенко // Избранные труды Российской школы по проблемам науки и технологий. – М. : РАН, 2008. – 131 с.
2. Г е р а щ е н к о , С . М . Оценка параметров линейных динамических моделей биологических тканей / С. М. Геращенко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 3. – С. 63–70.
3. Г е р а щ е н к о , С . М . Джоульметрический метод контроля объектов с ионной
проводимостью / С. М. Геращенко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. – 2008. – № 2. – С. 106–114.
4. Г е р а щ е н к о , С . И . Вопросы моделирования электрохимических методов и
средств контроля динамики воспалительных процессов / С. И Геращенко,
С. М. Геращенко, Е. В. Кучумов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3 (15). – С. 165–172.
5. Ба й р а м о в, В. М . Основы химической кинетики и катализа : учеб. пособие для
студ. высш. учеб. заведений / В. М. Байрамов – М. : Академия, 2003. – 256 с.
6. П р и г о ж и н , И . Введение в термодинамику необратимых процессов / И. Пригожин. – М. : Изд-во иностр. лит-ры, 1961. – 160 с.
7. С е до в , Л. И . Механика сплошной среды / Л. И. Седов – М. : Наука, 1970. –
Т. 1. – 492 с.
Геращенко Сергей Михайлович
кандидат технических наук, доцент,
кафедра медицинских информационных
систем и технологий, Пензенский
государственный университет
Gerashchenko Sergey Mikhaylovich
Candidate of engineering sciences,
associate professor, sub-department
of medical information systems
and technologies, Penza State University
E-mail: sgerash@inbox.ru
УДК 53.082.8, 54.084
Геращенко, С. М.
Построение замкнутой математической модели электрохимических
методов и средств оценки состояния биологических объектов / С. М. Геращенко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 2 (18). – С. 90–97.
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ФИЗИКА
УДК 523.9-36
А. В. Орищенко, В. В. Авдонин
ОБОГАЩЕНИЕ СОЛНЕЧНЫХ КОСМИЧЕСКИХ
ЛУЧЕЙ СВЕРХТЯЖЕЛЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Аннотация. Рассмотрено явление обогащения состава солнечных космических
лучей элементами с массовыми числами 78–220. Для расчетов применяется
модель предварительного нагрева частиц при нерезонансном рассеянии плазмонов ионно-звуковой турбулентности. Впервые показано, что используемый
механизм способен объяснить особенности регистрируемого состава солнечных космических лучей для области сверхтяжелых элементов.
Ключевые слова: коэффициент обогащения, сверхтяжелые элементы, механизм
Кочарова – Орищенко.
Abstract. The article considers the phenomenon of solar cosmic rays composition
enrichment by the elements with mass numbers from 78 to 220. The authors apply
the model of ion’s preliminary heating in the process of nonresonant scattering of
ion-acoustic plasmons. For the first time it is shown, that this mechanism is able to
describe the features of the observable solar cosmic rays composition for ultraheavy elements.
Keywords: enrichment factor, ultra-heavy elements, Kocharov – Orishchenko mechanism.
Введение
К сверхтяжелым элементам относят ядра частиц солнечных космических лучей (СКЛ) с массой М > 78 а.е.м. Первые сообщения о регистрации
сверхтяжелых элементов в СКЛ появились лишь в 2000 г. [1–3], при этом их
содержание (т.е. относительная концентрация) в СКЛ значительно превосходит
содержание этих же элементов в солнечной атмосфере. Такое явление, наблюдавшееся ранее для тяжелых элементов (углерод – железо), называется обогащением. Логичнее всего пытаться объяснить обогащение состава СКЛ сверхтяжелыми элементами с помощью механизмов, в рамках которых удавалось
добиться наблюдаемого обогащения элементами с 12  M  60. Одним из таких
механизмов является модель Кочарова – Орищенко [4–5], основанная на нелинейном поглощении частицами солнечной плазмы энергии ионно-звуковой
турбулентности. Целью данной работы является исследование возможности
обогащения СКЛ сверхтяжелыми элементами в рамках механизма, предложенного Л. Г. Кочаровым и А. В. Орищенко задолго до обнаружения в составе солнечных космических лучей элементов, тяжелее никеля. Проверка возможности обогащения сверхтяжелыми элементами является дополнительным способом подтверждения или опровержения модели формирования состава.
1. Экспериментальные данные по сверхтяжелым элементам
Для количественной характеристики состава СКЛ пользуются двумя
стандартными величинами: содержанием и коэффициентом обогащения. Под
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
содержанием Γi,o понимают относительную концентрацию элемента по сравn
нению с концентрацией кислорода: i ,o  i , где ni и no – концентрации i-го
no
элемента и кислорода. Коэффициент обогащения Ei,o определяется следующим соотношением:
 i ,o
СКЛ ,
(1)
Ei ,o 
 i ,o

где i,o
СКЛ и  i,o СА
 
 СА
– содержание элемента в составе солнечных косми-
ческих лучей и в составе солнечной атмосферы соответственно [5].
Сверхтяжелые элементы принято условно разделять на три группы, соответствующие «островкам» относительно высокого содержания элементов
в Солнечной системе: это элементы с массовыми числами 78  A  100 ,
125  A  150 и 180  A  220 (или с порядковыми номерами 34  Z  40 ,
50  Z  56 и 70  Z  82 ) и содержанием в короне Солнца относительно кислорода 2,22 · 10–5, 2,89 · 10–6 и 1,01 · 10–6 соответственно [1]. Экспериментальные значения коэффициентов обогащения вычисляются по определению
(1) относительно этих величин.
В работах Д. В. Римза [1, 3] приведен каталог событий, в которых
наблюдалось обогащение состава сверхтяжелыми элементами. К настоящему
времени известно о сорока событиях с обогащением сверхтяжелыми элементами при энергиях частиц 3,3–10 МэВ/нуклон [3] и около дюжины событий с
энергией частиц порядка 0,3 МэВ/нуклон [2]. Основываясь на этих данных, а
также на результатах своих измерений, авторы [2] установили основные
свойства исследуемого класса событий.
В среднем по всем наблюдениям группа элементов с 78  A  100 имеет
коэффициент обогащения ~40, с 125  A  150 – порядка 120 и элементы
с 180  A  220 обогащены в ~215 раз; при этом в отдельных событиях значения коэффициентов обогащения могут отличаться в 5 раз (при энергии
325 кэВ/нуклон) [2]. Максимальный зарегистрированный коэффициент обогащения равен 2 · 105 для элементов с 70  Z  82 в событии 20.02.1999 [3].
Также установлено, что величины коэффициентов обогащения СКЛ
тяжелыми и сверхтяжелыми элементами скоррелированы между собой, а их
ионизационные температуры по порядку величины составляют 3 МК. Эти
факты, а также схожие формы спектров тяжелых и сверхтяжелых элементов
и оценка времен инжекции свидетельствуют в пользу того, что формирование
состава СКЛ тяжелыми и сверхтяжелыми элементами происходит одновременно и в едином механизме [2].
2. Механизм обогащения СКЛ тяжелыми элементами
Среди всех предложенных механизмов обогащения состава СКЛ тяжелыми элементами наиболее популярны так называемые двухстадийные. Ряд
моделей, среди которых и механизм Л. Г. Кочарова и А. В. Орищенко, рассматривают изменение состава частиц во время ускорения до промежуточной
энергии, меньшей, чем наблюдаемая в СКЛ, но большей, чем тепловая в области вспышки. Такой этап начального ускорения называют инжекцией в основной механизм ускорения, а под основным механизмом понимается уско-
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
рение частиц от промежуточной энергии инжекции до наблюдаемой энергии
в составе СКЛ. При этом предполагается, что механизм основного ускорения
не изменяет полученный при промежуточной энергии состав на значительную по порядку величину [5].
Для предварительного нагрева в процессе инжекции было предложено
использовать энергию ионно-звуковой турбулентности. В результате нелинейного индуцированного рассеяния ионно-звуковой турбулентности на инжектируемых частицах происходит изменение их функции распределения.
Этот процесс можно описать уравнением диффузии в пространстве скоростей
(уравнением Фоккера – Планка) [4–5]:
f V , t 
t

f V , t 

 2
 F V   f V , t   ,
V  Dsi 
V
V 2 V


1

(2)
где f(V,t) – функция распределения частиц данного сорта по скорости V в момент времени t; Dsi – коэффициент диффузии ионов в пространстве скоростей; F(V) – коэффициент, описывающий вклад кулоновского трения частиц
(т.е. взаимодействие заряженных частиц с фоном) в изменение функции распределения.
Селективность инжекции частиц обеспечивается зависимостью коэффициентов диффузии и кулоновских потерь от массового А и зарядового Z
чисел ионов. Коэффициент диффузии определяется по формуле
2
Z  Z

Dsi      1  Dsp ;
 A  A 
(3)
2
Dsp  107   s  Te ne ,
(4)
где Dsp – коэффициент диффузии протона в пространстве скоростей (численное значение в СИ); s – относительная плотность энергии ионно-звуковой
турбулентности; Те – электронная температура плазмы; ne – концентрация
электронов [4, 5].
Коэффициент кулоновского торможения частицы:
2
2
mp
n q2 
 Z  2e ln 
F V     
1 A

me
 A  m 2p kVTe  T / m 

  V 
G 
,
  VТ  
(5)
где n , q , m , T и VТ  – плотность, заряд, масса, температура и тепловая
скорость σ-й компоненты плазмы; k – постоянная Больцмана; ln   20 – кулоновский логарифм; функция G(x) определяется как
G  x 
где erf  x  
2
erf  x   2 x e x
x2

,
x
2
2
e  y dy – функция ошибок [6].


0
При расчетах мы рассматриваем трение на двух плазменных компонентах: протонной (σ = р) и электронной (σ = е).
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
Основной механизм ускорения характеризуется пороговой скоростью:
Vth 
Z
Va ,
A
(6)
H
– альвеновская скорость, Н – напряженность магнитного
4ne m p
где Va 
поля [5]. Частицы, скорость которых не превышает значение Vth, в основной
механизм ускорения и состав СКЛ не вовлекаются. Для моделирования состава нам фактически необходимо решить уравнение (2) с коэффициентом
диффузии (3), (4), коэффициентом торможения (5) и начальным распределением в пространстве скоростей в виде функции Максвелла и определить количество частиц со скоростью, превышающей пороговое значение (6).
3. Метод моделирования состава СКЛ
Стандартные методы решения уравнения (2), как аналитические, так и
численные, сталкиваются с трудностями при учете граничных условий: процессы инжекции и основного ускорения происходят одновременно, и если
частица достигает пороговой скорости, то она покидает рассматриваемую систему. Функция распределения не имеет хвоста: f(V > Vth, t)  0, и частицы
в пространстве скоростей проходят через точку Vth только в одном направлении – в сторону увеличения своей скорости. Подобрать соответствующее
граничное условие трудно, так как темп покидания частицами системы в общем случае не известен и зависит от времени.
Поэтому моделирование состава производится методом (названным методом локальных диффузионных потоков), аналогичным методу МонтеКарло: рассматриваемая область разбивается на интервалы, число частиц
в которых в момент времени t = 0 находится интегрированием начального
максвелловского распределения f(V,0). В последующие моменты времени из
каждого интервала частицы перебрасываются в соседние. Однако количество
N переброшенных частиц определяется не случайным образом, как в методе Монте-Карло, а исходя из уравнения (2). Величина в квадратных скобках
уравнения (2) является потоком частиц в пространстве скоростей с противоположным знаком, поэтому число частиц N , прошедших за время t через
«площадку» в точке V, можно определить как

f V , t 

N    Dsi 
 F V   f V , t   t .
V


(7)
Доля частиц, «нагревшихся» выше пороговой скорости (6), вычисляется непосредственно суммированием на каждом шаге по времени (более подробно см. [7]). Коэффициент обогащения i-го элемента находится следующим образом [5]:

Ei ,o  i ,
o
где i 
 i,Z   Zi 
Zi
i
(8)
– полная относительная доля i-го элемента, инжекти-
рованного в основной механизм ускорения: i,Zi – относительная доля ионов
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
i-го элемента с зарядом +Ze, инжектированных в основной механизм ускорения;   Zi  – доля ионов с зарядом +Ze среди всех ионов i-го сорта при данной температуре, а суммирование ведется по всем ионизационным состояниям; ηо – полная доля ионов О в составе СКЛ. Именно коэффициент обогащения является той моделируемой величиной, с применением которой мы будем сравнивать результаты моделирования состава СКЛ с экспериментальными данными.
Применение метода локальных диффузионных потоков дает возможность моделировать состав СКЛ с учетом одновременности действия механизмов предварительного нагрева ионов и основного механизма ускорения.
Кроме этого, особенностями расчета является учет полного кулоновского
трения (5) инжектируемых ионов на протонной и электронной компонентах
фоновой плазмы, а также изотермия протонной и ионной компонент (и в отличие от [5], где для лучшего согласия с экспериментальными данными была
предложена гипотеза о протон-ионной неизотермии, нам не требуется дополнительно рассматривать способы ее создания).
4. Результаты и их обсуждение
Результаты моделирования обогащения СКЛ сверхтяжелыми элементами приведены в табл. 1. Так как в [1–3] приводятся обогащения не отдельных элементов, а массовых групп, то мы будем сравнивать рассчитанные значения со средними данными из [2]. При этом в качестве моделируемых элементов из группы с 78  A  100 выбираем криптон и родий, из группы
с 125  A  150 – ксенон и барий, а из группы с массовыми числами
180  A  220 – золото.
Таблица 1
Обогащение сверхтяжелых элементов
Элемент
O
Kr
Rh
Xe
Ba
Au
M, а.е.м.
16
83
102
131
137
197
Z,e
7,8
15,8
16,4
19,0
18,0
18,5
ηi, %
0,027
2,13
2,86
3,12
3,69
5,43
Ei,o (расчет)
 1,0
78,9
105,9
115,6
136,7
201,1
Ei,o (эксперимент)
 1,0
~40–50
~125
~215
Рассчитанные значения коэффициента обогащения определяются по
формуле (8). К сожалению, мы не имеем данных об ионизационных состояниях   Zi  сверхтяжелых элементов, поэтому в (8) подставляем не суммарные доли инжектированных ионов всех ионизационных состояний, а полную
долю инжектированных ионов среднего ионизационного состояния (эти данные заимствованы из [2]). Оценка возможности такой замены, проведенная
для ионов кислорода, показала, что это приведет к ошибке в определении доли вовлеченных в состав СКЛ элементов, не превышающей 15 % (что вполне
приемлемо для наших расчетов).
Очевидно, что рассчитанные обогащения сверхтяжелых элементов качественно согласуются со средними наблюдаемыми данными (табл. 1); это
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
является подтверждением адекватности выбранной модели. Подобранные параметры модели (электронная температура Te = 4 · 106 К, магнитное поле
H = 31 Гс, относительная плотность ионно-звуковой турбулентности
εs = 6 · 10–4) для обогащения сверхтяжелых элементов несколько отличаются
от параметров, полученных при расчете содержания тяжелых элементов в [7] –
обогащение состава сверхтяжелыми элементами происходит в более слабых
по энерговыделению и по уровню ионно-звуковой турбулентности событиях,
что соответствует наблюдаемым фактам. Поэтому в основной механизм
ускорения вовлекается меньшая доля в первую очередь ионов кислорода на
1–2 порядка, в результате чего и наблюдается столь высокое обогащение
сверхтяжелых элементов. Если увеличить магнитное поле Н на 30 %, то коэффициенты обогащения сверхтяжелых элементов увеличатся примерно на
порядок, т.е. мы можем смоделировать не только средний, но и максимально
обогащенный состав. Таким образом, моделирование обогащения тяжелыми
элементами вкупе с обогащением сверхтяжелыми элементами позволит более
корректно определить параметры вспышечной плазмы (ионизационную температуру, напряженность магнитного поля, относительную плотность ионнозвуковой турбулентности и т.д.).
Выводы
Модель Л. Г. Кочарова и А. В. Орищенко [4, 5] позволяет объяснить
обогащение СКЛ сверхтяжелыми элементами. Подобная проверка на возможность обогащения состава сверхтяжелыми элементами должна проводиться для всех механизмов, предложенных ранее для объяснения явления
обогащения состава СКЛ тяжелыми элементами.
Список литературы
1. R e a m e s , D . V . Abundances of trans-iron elements in solar energetic particle events /
D. V. Reames // The Astrophysical Journal. – 2000. – V. 540. – P. 111–114.
2. M a s o n , G . M . Abundances of heavy and ultraheavy ions in 3He-rich solar flares /
G. M. Mason, J. E. Mazur, J. R. Dwyer et al. // The Astrophysical Journal. – 2004. –
V. 606. – P. 555–564.
3. R e a m e s , D . V . Heavy element abundances in solar energetic particle events /
D. V. Reames, C. K. Ng // The Astrophysical Journal. – 2004. – V. 610. – P. 510–522.
4. K o c h a r o v , L. G . The plasma mechanism for preferential acceleration of heavy ions /
L. G. Kocharov, A. V. Orishchenko // Proc. 19-th Intern. Cosmic Ray Conf. – 1985. –
V. 4. – P. 293–296.
5. К о ч а р о в , Л. Г . Механизм обогащения солнечных космических лучей тяжелыми
ионами / Л. Г. Кочаров, А. В. Орищенко // Известия АН СССР. Серия физическая. –
1984. – Т. 11. – С. 2162–2164.
6. K o r c h a k , A . A . Coulomb losses and the nuclear composition of the solar flare accelerated particles / A. A. Korchak // Solar Phys. – 1980. – V. 66. – P. 149–158.
7. А в д о н и н , В. В. Метод локальных диффузионных потоков в задаче о моделировании состава солнечных космических лучей [Электронный ресурс] / В. В. Авдонин,
А. В. Орищенко // Материалы 7-й Всероссийской научно-технической конференции
ИАМП-2010. – Бийск : Изд-во Алтайского государственного технического университета, 2010. – С. 12–16. – URL : http://iamp.e-digit.ru/material.
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Орищенко Алексей Васильевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра физики, Ульяновский
государственный университет (филиал
в г. Димитровграде)
Orishchenko Aleksey Vasylyevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, sub-department
of physics, Ulyanovsk State University
(affiliated branch in Dimitrovgrad)
E-mail: astralexor@mail.ru
Авдонин Василий Вячеславович
аспирант, Ульяновский
государственный университет
(филиал в г. Димитровграде)
Avdonin Vasily Vyacheslavovich
Postgraduate student, Ulyanovsk
State University (affiliated branch
in Demitrovgrad)
E-mail: avd-vasya@yandex.ru
УДК 523.9-36
Орищенко, А. В.
Обогащение солнечных космических лучей сверхтяжелыми элементами / А. В. Орищенко, В. В. Авдонин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. –
№ 2 (18). – С. 98–104.
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
УДК 539.23:548.12
Р. А. Браже, А. А. Каренин
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СУПРАКРИСТАЛЛОВ1
Аннотация. Показана возможность существования твердотельных кристаллических структур, которые мы назвали супракристалами. В отличие от обычных кристаллов, в узлах кристаллической решетки супракристаллов отсутствуют отдельные атомы или ионы. Они замещены симметричными атомными
ассоциатами. Определены классы симметрии 2D- и 3D-супракристаллов. С использованием пакета программ Abinit-5.8.4 в приближении Хартри – Фока вычислены длина связи, энергия связи, энергия, приходящаяся на один атом, и
ширина запрещенной зоны 2D- и 3D-супракристаллов, составленных из атомов C, Si, B, N, S. Необычные свойства супракристаллов представляют интерес для их производства и практического применения.
Ключевые слова: супракристаллы, энергия связи, ширина запрещенной зоны.
Abstract. The article demonstrates the possibility of solid state crystalline structures
existence, which are called supracrystals. Unlike ordinary crystals, there are no separate atoms or ions in the nodes of crystalline lattices. They are replaced by symmetric atomic associates. The authors determines symmetry classes of 2D- and 3Dsupracrystals. The bond length, energy per one atom, bond energy, and gap energy
of 2D- and 3D-supracrystals consist of C, Si, B, N, S are calculated by the program
A-5.8.4 in Hartree – Fock approximation. Unusual properties of supracrystals are of
interest for their production and practical use.
Key words: supracrystals, bond energy, gap energy.
Введение
Возможность существования двумерных (2D) кристаллических пленок
долгое время ставили под сомнение, ссылаясь на авторитет Л. Д. Ландау и
Р. Пайерлса, показавших в 30-х гг. прошлого века, что силы межатомного
взаимодействия неизбежно должны свернуть их в трубку или смять в гармошку [1, 2]. Однако в 2004 г. К. С. Новоселов и другие сумели получить
приемлемые для исследования и использования монослои графена простым
отшелушиванием от графита при помощи обыкновенного скотча [3]. Затем
были предложены и другие способы получения графена: термическим разложением SiC, химическим расслоением графита, под действием серной или
соляной кислот, в растворе аммиака [4–6]. Обладая, по сравнению с кремнием, высокой термической устойчивостью, большей подвижностью электронов, особенностями энергетических зон электронных и дырочных состояний,
графен представляется весьма перспективным материалом для наноэлектроники и нанофотоники [7–11].
Большой интерес представляют также так называемые хаекелитные
структуры [12, 13] – двумерные углеродные и бор-азотные планарные монослои, состоящие из пяти- и семиугольников, из пяти-, шести- и семиугольников, либо из четырех- и восьмиугольников. Среди них встречаются металлические, полупроводниковые и диэлектрические структуры.
1
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№ 10-02_97002р_Поволжье_a).
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Теоретически доказана возможность существования и более сложных,
чем графен, 2D-углеродных сетей из sp2-гибридизированных атомов углерода
[14, 15], образующих структуры, состоящие из трех- и двенадцатиугольников,
четырех-, шести- и двенадцатиугольников. Их можно рассматривать как двумерные кристаллы, образованные квадратными или шестиугольными ячейками, в узлах которых находятся не отдельные атомы или ионы, а правильные многоугольники из атомов (ионов). Мы назвали такие атомные сети
2D-супракристаллами [16, 17].
Трехмерным обобщением 2D-супракристаллов являются также предложенные нами 3D-супракристаллы. Они содержат кубические элементарные
ячейки, в узлах которых находятся правильные или полуправильные многогранники (тела Платона и тела Архимеда). Атомы (ионы) располагаются
в вершинах многранников и связаны друг с другом валентными химическими
связями. Такие рыхлые, с малой плотностью, кристаллические структуры могут интеркалировать в себе другие атомы, например атомы водорода, что
представляет интерес с точки зрения их использования в топливных элементах водородных источников энергии. В отличие от обладающих похожими
свойствами супрамолекулярных клатратных и коллоидных кристаллов, супракристаллы, обладая более прочными химическими связями, термически
устойчивее их.
В настоящей работе представлены результаты компьютерного моделирования структуры и физических свойств 2D- и 3D-супракристаллов. Все
расчеты проводились в приближении Хартри – Фока с использованием программного пакета Abinit-5.8.4 [18]. Для генерации k-точек в зоне Бриллюэна
использовался алгоритм Монхорста – Пака [19]. В качестве математического
приближения применялся метод итераций Бройдена. Энергия обрезания выбиралась автоматически из расчета k = 6.
2D-супракристаллы
С геометрической точки зрения двумерные супракристаллы представляют собой сетки Кеплера – плоские мозаики, составленные только из правильных многоугольников [20]. Из 11 существующих сеток Кеплера только
5 могут быть реализованы в строении супракристаллов. Это следует из необходимости получения всей двумерной кристаллической решетки путем
трансляции супраячейки вдоль двух базовых направлений на плоскости. При
этом все связи между атомами должны быть эквивалентными. Рисунок 1 иллюстрирует возможные типы супракристаллических ячеек, образующих 2Dсупракристаллы. В силу одинаковости всех связей они должны быть образованы либо одинаковыми атомами, либо атомами двух разных видов. Во втором случае гомогенные связи как энергетически менее выгодные по сравнению с гетерогенными [21] должны отсутствовать.
В обозначении супраячеек 2D-супракристаллов (рис. 1) буквы X или Y,
стоящие в скобках, определяют символ химического элемента. Индексы за
скобками распологаются в следующем порядке: первый индекс определяет
вид супраячейки, последующие индексы описывают вид ячеек вложения.
Сначала указывается количество сторон узловой ячейки, затем то же самое у
окружающих ячеек (если они существуют). В супраячейках (Х)63(6) и (Х)63(12)
числа в скобках указывают вид многоугольника в центре ячейки.
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
(XY)44
Физико-математические науки. Физика
(X)44
(X)634
(Х)63(6)
(X)63(12)
(X)664
(XY)664
Рис. 1. Супраячейки 2D-супракристаллов и их обозначение
Из рис. 1 легко заметить, что 2D-супракристаллы принадлежат к тетрагональной и гексагональной сингониям, причем (XY)44 – к классу 4, (X)44 –
к классу 4mm, (XY)664 – к классу 6, остальные – к классу 6mm.
В табл. 1 представлены результаты оптимизации параметров супраячеек из рис. 1 и расчетные значения длины связи l, энергии E, приходящейся на
один атом, энергии Eb, приходящейся на одну связь.
Приведем для сравнения расчитанные по этой же методике значения
E для графеновых сеток. Из атомов углерода: –15,3 эВ/атом, из атомов кремния: –8,7 эВ/атом, из атомов бора и азота: –11,2 эВ/атом. Отсюда следует, что
все типы рассмотренных 2D-супракристаллов оказались стабильными, но
энергетически менее устойчивыми, чем соответствующие графеноподобные
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
слои. При этом наиболее устойчивыми являются 2D-супракристаллы, составленные из атомов серы, а наименее устойчивы кремниевые структуры. В случае одних и тех же атомов наиболее устойчивыми являются структуры, содержащие треугольные ячейки вложения. Это связано, по-видимому, с их
большей устойчивостью к различным деформациям.
Таблица 1
0
Структура
l, А
1,35
1,95
1,51
1,38
2,20
2,57
1,11
1,71
3,13
1,08
1,56
3,17
3,40
1,44
1,10
1,51
1,01
(C)44
(Si)44
(S)44
(BN)44
(C)63(6)
(Si)63(6)
(S)63(6)
(C)63(12)
(Si)62(12)
(S)63(12)
(C)664
(Si)664
(S)664
(BN)664
(C)634
(Si)634
(S)634
E, эВ/атом
Eb, эВ
–13,1
–6,1
–15,6
–10,2
–13,2
–6,8
–17,2
–14,7
–7,4
–17,8
–11,3
–6,1
–17,4
–9,1
–12,3
–5,6
–16,3
–3,0
–1,1
–3,4
–2,3
–3,6
–1,8
–5,0
–4,6
–2,4
–5,6
–1,2
–1,1
–7,2
–0,6
–2,2
–0,7
–4,1
Косвенным подтверждением полученных результатов является работа
[13], где представлены результаты по одной из рассмотренных нами ячеек
(BN)44. В табл. 2 представлены результаты расчета ширины запрещенной зоны Eg для 2D-супракристаллов из рис. 1.
Таблица 2
Структура
(C)44
(Si)44
(S)44
(BN)44
(C)63(6)
(Si)63(6)
(S)63(6)
(C)63(12)
(Si)62(12)
(S)63(12)
(C)664
(Si)664
(S)664
(BN)664
(C)634
(Si)634
(S)634
108
Eg
<10>
, эВ
0,6
0,8
2,9
0,7
Eg
<11>
, эВ
0,9
1,3
3,5
1,2
Eg
<211>
, эВ
0,4
0,5
2,2
0,9
1,0
3,4
3,2
3,2
6,1
3,0
1,1
1,4
2,9
Eg
<011>
, эВ
1,1
0,9
3,3
1,1
1,4
4,6
4,4
4,6
8,2
4,0
1,4
1,8
3,7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
Ширины запрещенной зоны существенно зависят от направления, которое задано нами в индексах Миллера. В частности, для квадратных супраячеек символ <10> обозначает все эквивалентные направления, параллельные ребру супраячейки, а символ <11> соответствует направлению вдоль
ребер супраячейки. Для шестиугольных супраячеек символ <211> соответствует направлению вдоль ребер супраячейки, а символ <011> – направлениям, перпендикулярным ребрам супраячейки.
Как видим из рассмотренных нами 2D-супракристаллов, сера всегда
обнаруживает диэлектрические свойства, углерод и кремний – плупроводниковые, за исключением структуры (X)664, являющейся диэлектриком. В связи
с этим отметим, что в данной структуре оба химических элемента имеют самую большую длину связи (см. табл. 1). Стало быть, концентрация атомов
в этом случае наименьшая; потенциальные барьеры, разделяющие электроны
соседних атомов, выше; время пребывания электронов в фиксированном атоме больше; ширина энергетических уровней меньше. Это приводит к сужению разрешенных зон энергии и, соответственно, к расширению запрещенных зон. То же можно сказать и о BN-структурах.
Отметим также, что результаты, представленные в табл. 2, получены
без учета влияния подложки. Подбором подложки значение ширины запрещенной зоны можно варьировать. В большинстве случаев из-за квантовых
эффектов в области контакта происходит перекрытие энергетических зон
атомов подложки и структуры, что ведет к появлению разрешенных уровней
в области запрещенной зоны и к ее некоторому сужению.
3D-супракристаллы
Элементы строения 3D-супракристаллов показаны на рис. 2. Здесь использована та же, что и для 2D-супракристаллов, система обозначений. Буквы X или Y определяют символ химического элемента. Первый индекс «С» за
скобкой определят вид супраячейки (кубическая). Последующие буквенные
индексы обозначают вид правильного или полуправильного многогранника,
образующего узловой элемент: O – octahedron (октаэдр), TO – truncated
octahedron (усеченный октаэдр), CO – cuboctahedron (кубооктаэдр), RCO –
rhombicubooctahedron (ромбокубооктаэдр).
Обратим внимание, что 3D-супракристаллы могут быть получены путем кристаллизации 4-, 5- или 6-валентных атомов, в то время как для получения 2D-супракристаллов требуются 3- или 4-валентные атомы. Все
3D-супракристаллы принадлежат к кубической сингонии, причем (XY)CTO –
к классу 432, а остальные – к классу m3m.
В табл. 3 представлены результаты расчета тех же параметров, что и
в табл. 2, но для 3D-супракристаллов. Расчеты проводились для атомов углерода, принимающего в своих соединениях валентность 4, атомов серы, образующей среди прочих 4-, 5- и 6-валентные связи, и атомов 5-валентного фосфора.
Сравнивая результаты из табл. 1 и табл. 3, видим, что энергия, приходящаяся на один атом, в 3D-супракристаллах существенно выше, чем
в 2D-супракристаллах. Таким образом, потенциальные ямы, в которых находятся их атомы, менее глубоки, а сами 3D-супракристаллы менее устойчивы,
чем 2D-супракристаллы.
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 2. Супраячейка 3D-супракристаллов (вверху слева) и возможные
типы узловых элементов. Обращенные к наблюдателю связующие
кубы у неоктаэдрических элементов не показаны
Таблица 3
Структура
(S)CO
(P)CO
(C)CTO
(S)CTO
(S)CCO
(Si)CRCO
(P)CRCO
0
L, А
2,1
2,7
1,3
1,7
0,9
1,5
2,7
E, эВ/атом
Eb, эВ
–7,2
–5,8
–5,8
–6,3
–5,8
–6,1
–4,6
–6,6
–5,2
–4,2
–5,4
–4,9
–5,2
–4,2
В табл. 4 приведены результаты расчета ширины запрещенной зоны для
3D-супракристаллов из рис. 2 по основным кристаллографическим направлениям, заданным в индексах Миллера.
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
Таблица 4
Структура
Eg<100>, эВ
Eg<010>, эВ
Eg<111>, эВ
(S)CO
(P)CO
(С)CTO
(S)CTO
(S)CCO
(Si)CRCO
(P)CRCO
6,6
2,2
1,1
6,2
4,4
4,3
1,9
6,8
4,0
2,2
6,6
6,1
6,2
2,6
7,3
4,4
2,6
6,8
6,8
6,7
3,8
Из рассмотренных в табл. 4 структур лишь углерод и, с некоторой
натяжкой, фосфор могут проявлять полупроводниковые свойства в структурах, (С)CTO, (P)CRCO и то лишь для направлений, совпадающих с кристаллографическими осями. Во всех остальных случаях указанные 3D-супракристаллы
являются диэлектриками.
Заключение
Термическая устойчивость, полупроводниковые свойства и высокая
подвижность электронов, прежде всего углеродных и бор-азотных супракристаллов, позволяют надеяться, что они придут на смену традиционно используемому кремнию в устройствах микро- и наноэлектроники. Свернутые
в нанотрубки 2D-супракристаллы могут найти применение как для производства полупроводниковых приборов, так и в качестве диэлектрических,
например из серы, оболочек нанопроволок. Рыхлые, с большими камерами
3D-супракристаллы могут быть использованы в качестве контейнеров для
композитных материалов, а также для накопителей водорода в топливных
элементах водородной энергетики.
Список литературы
1. Ла нда у , Л. Д . Статистическая физика. Ч. 1 / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. – М. :
Наука, 1976. – 584 с.
2. P e i e r l s , R . Remarks on trusition temperatures / R. E. Peierls // Helv. Phys. Acta. –
1934. – V. 7. – Sapple 2. – P. 81–83.
3. N a v o s e lo v , K . S . Electric field effect in atomically thin carbon film / K. S. Novoselov,
A. K. Greim, S. V. Morozov et al. // Science. – 2004. – V. 306. – P. 666–669.
4. N a v o s e lo v , K . S . Two-dimensional atomic crystals / K. S. Novoselov, D. Jiang,
F. Schedin et al. // Proc. Nat. Acad. Sci. – 2005. – V. 102. – P. 10451–10453.
5. N a v o s e lo v , K . S . Observation at Landau levels of Dirac fermions in graphite /
K. S. Novoselov, A. K. Greim, S. V. Morozov et al. // Nature. – 2005. – V. 438. – P. 197–
201.
6. R o l l i n g , E . Synthesis and characterization of atomically thin graphite films on a
silicon carbide substrate / E. Roling, G. H. Gweow, S. Y. Zhou et al. // J. Phys. Chem.
Solids. – 2006. – V. 67. – 2172 p.
7. H i l l , E . W . Graphene spin valve dences / E. W. Hill, A. K. Geim, K. Novoselov
et al. // IEEE Trans. Magnet. – 2006. – V. 42. – 2694 p.
8. K a t s n e l s o n , M . I . Graphene: carbon in two dimension / M. I. Katsnelson // Mater.
Today. – 2006. – V. 10. – P. 20–27.
9. O w e n s , F . J . Electronic and magnetic properties of armchair and zigzag graphene
nanoribbons / F. J. Owens // J. Chem. Phys. – 2008. – V. 128. – 194701 p.
10. G o e r b i g , M . O . Electron interactions in graphene in a strong magnetic field /
M. O. Goerbig, R. Moessner, B. Doucot // Phys. Rev. B. – 2006. – V. 74. – 61407 p.
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
11. A v o u t is , P . Nanotubes for electronics / P. Avoutis, Z. H. Chen, V. Perebeinos //
Nature nanotech. – 2007. – V. 59. – 8271 p.
12. T e r r o n e s , H . New Metallic Allotropes of Planar and Tubular Carbon / H. Terrones,
E. Hernandez et al. // Phys. Rev. Lett. – 2000. – V. 84. – 1716 p.
13. Л и с е н к о в , С . В. Геометрическая структура и электронные свойства BN
планарных и нанотрубных структур типа «хаекилит» / С. В. Лисенков,
Т. А. Виноградов, Т. Ю. Астахова и др. // ФТТ. – 2006. – Т. 48, Вып. 1. –
С. 179–184.
14. B a l a b a n , A . T . Annuline, benzo-, hetero-, homo-derivatives and their valence
isomers/ A. T. Balaban, C. C. Rentia, E. Ciupitu // Rev. Roum. Chim. – 1968. – V. 13. –
P. 231–243.
15. B a l a b a n , A . T . Annuline, benzo-, hetero-, homo-derivatives and their valence
isomers / A. T. Balaban // Comput. Matt. Applic. – 1989. – V. 17. – 397 p.
16. Б р а ж е , Р . А Симметрия и физические свойства 2D-супракристаллов /
Р. А. Браже, А. А. Каренин // Формирование учебных умений и навыков
в процессе реализации стандартов образования. – Ульяновск : Ульяновский
педагогический университет, 2009. – C. 59–62.
17. Б р а ж е , Р . А Математические модели двумерных супракристаллов /
Р. А. Браже, А. А. Каренин // Математическое моделирование физических,
экономических, технических, социальных систем и процессов / под ред. д.т.н.
проф. Ю. В. Полянского. – Ульяновск : УлГУ, 2009. – C. 51–52.
18. URL: http://www.abinit.org
19. M o n k h o r s t , H . B . On special Points for Brillouin zone integrations /
H. B. Manchorst, J. D. Pack // Phys. Rev. B. – 1976. – V. 13, № 12. – 5188 p.
20. У р у с о в В. С . Теоретическая кристаллохимия : учеб. пособие / В. С. Урусов. –
М. : МГУ, 1987. – 275 c.
21. Br o ws e r , J . R . Computational Studies of New Materials / J. R. Browser,
D. A. Jelski, T. F. George // Inorg. Chem. – 1992. – V. 31, № 2. – P. 154–163.
Браже Рудольф Александрович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
физики, Ульяновский государственный
технический университет
Brazhe Rudolf Alexandrovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, head of sub-department
of physics, Ulyanovsk State
Technical University
E-mail: brazhe@ulstu.ru
Каренин Алексей Александрович
аспирант, Ульяновский
государственный технический
университет
Karenin Aleksey Alexandrovich
Postgraduate student,
Ulyanovsk State Technical University
E-mail: aspralx86@mail.ru
УДК 539.23:548.12
Браже, Р. А.
Компьютерное моделирование физических свойств супракристаллов / Р. А. Браже, А. А. Каренин // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 2 (18). –
С. 105–112.
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322
В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов, Р. В. Зайцев, З. А. Гаврина
ДИССИПАТИВНЫЙ ТУННЕЛЬНЫЙ ТРАНСПОРТ:
СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ
Аннотация. Настоящий обзор посвящен анализу развития теории квантового
туннелирования с диссипацией применительно к проблеме электронного
транспорта. Анализируются особенности туннельной динамики квантовой частицы, взаимодействующей с термостатом, а также существующие методы
описания этой динамики, дающие аналитические результаты: метод инстантонов, ВКБ и др. Обсуждаются перспективы развития этого направления и
спектр нерешенных проблем. Рассматриваются физические реализации, где
преимущественным является туннельный распад.
Ключевые слова: диссипативное туннелирование, туннельный распад, метод
инстантонов.
Abstract. This review is devoted to analysis of the quantum dissipative tunneling
theory with application to the problem of electron transport. The authors analyze
the features of the quantum particle tunnel dynamics interacting with a heat-bath.
The article describes the existing methods for describing this dynamics (such
as the instanton – method, VKB – method etc.). The researchers review the perspectives for development of this direction and corresponding unsolved problems.
The article also considers physical realizations with preferential method of tunnel
decay.
Key words: dissipative tunneling, tunnel decay, instanton method.
1. Методы и системы
В данном обзоре обсуждается современное положение дел в исследованиях диссипативного туннелирования для систем с контактами Джозефсона,
низкотемпературных адиабатических химических реакций и рассматриваются перспективы применения науки о диссипативном туннелировании для
описания транспорта в туннельно-связанных наноструктурах. В последние
годы проблеме электронного транспорта в туннельно-связанных наноструктурах уделяется значительное внимание исследователей [1–50]. Актуальной
также является проблема управляемости параметрами наноструктур и мезоскопических систем (МС) с учетом их нелинейных свойств. Научный и практический интерес к туннельным процессам обусловлен прежде всего необычайно сильной чувствительностью вероятности туннелирования к электронному энергетическому спектру, потенциалу конфайнмента системы, параметрам внешнего поля и среды – термостата. Именно последнее обстоятельство
дает дополнительную «степень свободы» для возможного управления свойствами туннельно-связанных наноструктур. С другой стороны, при изучении
МС необходимо учитывать, что физика и химия электронных процессов
в наномасштабах имеют много общего. МС подобны макромолекулам, и они,
как правило, связаны с матрицей или средой – термостатом. Неслучайным
является в этой связи введение таких терминов, как «квантовые молекулы»,
образованные туннельно-связанными квантовыми точками. Это дает возможность рассматривать физику МС в сочетании с многомерным диссипативным
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
туннелированием, которое происходит не только в МС, но и во многих химических реакциях. Исследование движения квантовой частицы, взаимодействующей с термостатом, является одной из важных проблем современной
теоретической физики. Интерес к дальнейшему развитию науки о квантовом
туннелировании с диссипацией возродился в последнее время в связи с активизацией исследований туннельно-связанных МС, которые, в частности,
можно рассматривать как реактивные молекулярные комплексы. При этом
существенным оказывается тот факт, что в искусственных, доступных современным нанотехнологиям структурам с квантовыми точками (КТ) и квантовыми молекулами (КМ) оказывается возможным наличие нетривиальных нелинейных квантовых эффектов (типа бифуркаций, изломов и т.д.), которые,
в отличие от «естественных» химических реакций, оказываются устойчивыми. Актуальность дальнейшего развития науки о диссипативном туннелировании применительно к структурам с квантовыми точками, несмотря на использование квазиклассических (инстантонных) подходов, связана с возможностью получения основных результатов в аналитической форме, что в других часто используемых подходах при необходимости учитывать принципиально важное влияние среды на процесс туннельного переноса не представляется возможным. Таким образом, изучение квантовых эффектов, связанных с
диссипативной туннельной динамикой в системах с квантовыми точками, является актуальной проблемой современной физики конденсированного состояния.
Туннелирование частиц представляет собой фундаментальное микроскопическое явление [1–50], с которым мы встречаемся в различных областях
физики, химии и биологии. Квантовое туннелирование оказывается важным
при исследовании электронного транспорта через молекулярные нити, структуры с квантовыми точками или ямами, а также в низкотемпературных химических реакциях. Многие из отмеченных систем рассматриваются с позиций
инстантонного подхода. Вычисление константы туннелирования, основанное
на инстантонном приближении, делает все перечисленные явления в некотором смысле «подобными». В химических реакциях константа скорости предполагает экспоненциальную эволюцию для вероятности переноса, тогда как
в электронных приборах константа скорости определяет туннельный ток.
Cкорость туннелирования может задаваться выражением [50]
T  1   2  
w      p  1     k   2  ,

  p k
p, k
где w p k – «составляющая» вероятности обнаружить электрон в области

правого контакта в состоянии k при условии, что электрон стартовал из об
ласти левого контакта из состояния p . Как только скорость туннелирования
найдена, можно выписать выражение для электрического тока, пользуясь
следующим соотношением [50]:
J  J for  J back 
1
d 1 d  2 T  1  2  f  1  1  f   2   
e


T   2  1  f   2  1  f  1   ,
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
где f    – функция распределения Ферми. В этом соотношении рассматриваются прямой и обратный токи. Существуют различные подходы для вычисления скорости туннелирования T  1 ,  2  . Один способ основан на использовании Гамильтониана переноса (transfer-type Hamiltonian) [50], а другие предполагают применение вычислений, основанных на квазиклассическом приближении. Скорость туннелирования может быть найдена с использованием достаточно мощной техники, которую ввел Langer и развил Leggett
с сотрудниками [50] – так называемое инстантонное приближение [45–50].
Эквивалентность между инстантонным и квазиклассическим приближениями
рассматривал Schmid (следует также отметить недавние работы В. А. Бендерского, Е. В. Ветошкина и Е. И. Каца [39–43]). Метод инстантонов становится
очень полезен, если включить взаимодействие электрона с колебаниями среды (термостатом), что соответствует ситуации многомерного туннелирования. Такая проблема оказывается важной в различных областях физики, таких
как туннелирование в контактах Джозефсона, туннелирование в системах с
квантовыми точками и молекулярными пленками, в химии низкотемпературных реакций. В своих работах Nitzan и соавторы [50] отмечали, что составляющая вероятности переноса внутренне связана со скоростью электронного
переноса в соответствующих химических реакциях. Однако, как обсуждал
Nitzan [50], выражение, которое получили Landauer и Buttiker, используемое
при выводе электронного тока, подразумевает когерентное движение электронов. При низких температурах w p k может быть вычислена с использованием инстантонного приближения. Такой подход имеет ряд преимуществ:
– это хорошо развитый метод, позволяющий включать в рассмотрение
взаимодействие с термостатом (осцилляторами среды) [50];
– может быть также рассмотрено электрон-электронное взаимодействие, когда используется «гамильтониан квантованного заряда» [50].
Инстантонный подход в рамках развития науки о квантовом туннелировании с диссипацией был успешно применен в низкотемпературной химической динамике для одно- и двухчастичного туннелирования, В. А. Бендерский, Д. Е. Макаров и соавторы [39–43] использовали этот метод для двумерных моделей, Voth и соавторы развили модификацию этого метода (centroid
modification) [50]. Как отмечалось в [50], двухпротонное туннелирование
представляет интересную особенность – нарушение симметрии при низких
температурах, когда вместо последовательного туннелирования (несинхронного) одного за другим протонов возникает режим синхронного скоррелированного туннельного переноса этих двух частиц. Другими словами, наблюдается эффект бифуркации двумерных туннельных траекторий. Интересно отметить, что этот эффект в некотором смысле аналогичен ситуации, рассмотренной Ю. Н. Овчинниковым и Б. И. Ивлевым для двумерной модели взаимодействующих контактов Джозефсона [13].
Как отмечалось выше, задача о туннельной динамике квантовой частицы, взаимодействующей с термостатом, представляет несомненный научный
интерес в различных физических, химических и даже биологических приложениях. Исторически впервые эта наука была развита применительно
к сверхпроводящим системам с контактами Джозефсона в работах I. Affleck,
P. Wolynes, A. J. Leggett, А. И. Ларкина, Ю. Н. Овчинникова и других авторов
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
[1–21]. Продуктивным оказалось также применение этой науки к низкотемпературной адиабатической химической кинетике [24–28]. В последнее время
в cвязи с бурным развитием физики и химии мезосистем, а также современной технологии наноструктур активно изучаются системы туннельно-связанных квантовых точек и нитей [50], где продуктивность развития и применения науки о квантовом туннелировании с диссипацией может оказаться
вполне оправданной. Впервые предлагается рассматривать мезосистемы и
макромолекулы с позиций квантовой химической динамики. Продуктивность
такого подхода связана с тем, что в пространстве наномасштабов физика и
химия электронных процессов имеют много общего и появляется интересная
возможность для изучения взаимодействия мезосистем с контактной средой
в рамках науки о квантовом туннелировании с диссипацией.
К настоящему моменту исторически сложились два направления теоретического исследования молекулярных систем [50]. Одно из них – изучение
структуры и электронно-колебательно-вращательных спектров устойчивых
конфигураций молекул, другое – изучение химических реакций, т.е. переходов между устойчивыми конфигурациями. Эти направления развивались
независимо, опираясь на различные теоретические модели. Если основу теории молекул и молекулярных спектров составляет квантовая механика, теория химических реакций исходит из статистических моделей типа теории переходного состояния. Различие подходов объясняется тем, что предметом
молекулярной спектроскопии являются низкоэнергетические состояния дискретного спектра с определенными значениями квантовых чисел, тогда как
в химических реакциях доминируют высокоэнергетические состояния почти
непрерывного спектра, для которых единственным интегралом движения является полная энергия. Сегодня указанное различие начинает исчезать: молекулярная спектроскопия с высоким временным и спектральным разрешением
стремится изучать молекулы и молекулярные комплексы вдали от положений
равновесия (т.е. в области переходов между устойчивыми конфигурациями),
а химическая динамика – переходы между определенными колебательновращательными состояниями. Тенденция к объединению теоретических представлений молекулярной спектроскопии и химической динамики привела
к появлению квантовой химической динамики как универсального квантовомеханического метода описания внутренних движений в молекулах и реактивных комплексах в широкой области энергий и геометрий от дискретных
низкоэнергетических состояний до порога диссоциации. Другой не менее важной причиной быстрого развития квантовой химической динамики в двух последних десятилетиях является прогресс вычислительной квантовой химии.
Современные квантово-химические методы в сочетании с суперкомпьютерами позволяют находить поверхности потенциальной энергии (ППЭ)
молекул и реактивных комплексов, содержащих до десяти атомов первого и
второго периодов, с так называемой «химической точностью» в 0,1–
0,3 Ккал/моль, которая достаточна для расчета констант скорости типичных
термоактивированных реакций. Возможность построения таких ППЭ создает
надежный фундамент для последующих динамических расчетов и позволяет
им приобрести предсказательную ценность. Благодаря появлению «химически точных» ППЭ, изменились и методы квантовой химической динамики.
Вместо развивавшихся ранее качественных методов (типа гамильтониана пути
реакции (Миллер) и приближения прямолинейных траекторий (Овчинникова,
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
Маркус) [50], в которых многомерная ППЭ заменяется одномерным эффективным потенциалом вдоль пути, постулируемом в адиабатическом или высокочастотном пределе) стали развиваться значительно более трудоемкие, но
более обоснованные квантовые методы Монте-Карло и зависящего от времени самосогласованного поля. Хотя эти методы полностью решают динамическую задачу, их возможности ограничены экспоненциальным ростом объема
вычислений с ростом числа степеней свободы. В отличие от обычных задач
квантования, в которых чтобы воспроизвести волновые функции в классически разрешенной области, достаточно степенное увеличение объема вычислений, динамические расчеты требуют корректного представления экспоненциально малых «хвостов» этих функций в классически запрещенной области,
т.е. учета малых вкладов возбужденных состояний. Требование к точности
расчета возрастает с ростом высоты барьера и связанным с ним экспоненциальным уменьшением амплитуд междуямных переходов.
Альтернативой квантовым методам могут служить квазиклассические,
точность которых, напротив, возрастает с высотой барьера. Однако метод
ВКБ, универсальный в одном измерении, до сих пор не удалось обобщить для
многомерных задач из-за факториального роста числа границ между областями с различными комбинациями действительных и мнимых импульсов,
сопряженных нормальным координатам. По этой причине для решения
многомерных задач квантовой динамики необходимы методы построения
глобально-однородных (несингулярных) квазиклассических волновых функций. Одним из таких методов является метод инстантонов, выдвинутый
Поляковым и Колманом (1977) в общей теории поля [50]. Так, в работах
[29–31, 39–43, 50] была использована основная идея метода инстантона и
разработан квазиклассически точный метод, позволяющий решить задачу о
туннельных расщеплениях для симметричных двухъямных потенциалов в
широкой области энергий от основного состояния до состояний, расположенных вблизи вершины барьера. Метод инстантонов применялся также для
квантования связанных состояний многоямных 1D-потенциалов. Удалось
оценить точность метода инстантонов и сравнить ее с точностью метода ВКБ.
Метод инстантонов также применялся к расчету вероятностей распада квазистационарных состояний. При этом были решены:
– модельная задача о разрушении когерентности состояний в двухъямном 1D-потенциале;
– задача Ландау – Зинера методом инстантонов.
Метод инстантонов также применялся к квантованию и расчету вероятностей переходов между пересекающимися диабатическими потенциалами
при произвольной величине адиабатической связи. Диссипативное туннелирование в моделях разной мерности подразумевает также квазистационарность состояний (при этом существенным остается вопрос возникновения
распадных (квазистационарных) состояний в нераспадных, например двухъямных, потенциалах).
2. Туннельный распад квазистационарных состояний
Полная совокупность состояний произвольного, не зависящего от времени потенциала включает также состояния непрерывного спектра с энергией
E  U  (т.е. превышающей высоту барьера), волновые функции которой
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 E  x  действительны, ограничены на бесконечности и удовлетворяют условию нормировки
  E  x   E  x  dx    E  E  .
(1)
Эволюцию любого первоначально приготовленного состояния
  x, t  0  можно описать суперпозицией собственных функций дискретного и непрерывного спектра с зависящими от времени фазами
  x, t  

 an exp  i
n
En 
 E 
t   n  x   aE exp  i t   E  x  dE ;
 
  

(2)
2
  x, t   0 при x   , U  x   E .
Начальная плотность распределения   t  
x2
   x, t 
2
dx, сосредото-
x1
ченная в яме при t  0 , экспоненциально уменьшается во времени по закону
радиоактивного распада:
d

  
  ,   t     0  exp   t  .
dt

  
(3)
Соотношение (3) означает, что волновые функции состояний имеют
вид
 E  i n
n

2
 n  x, t    n  x  exp i





t ,



(4)
а их собственные значения комплексны и расположены в нижней полуплоскости  E ,   . Квантование состояний дискретного спектра осуществляется
2
указанным выше условием   x, t   0 при x   , эквивалентным сохранению плотности вероятности во времени. Однако это условие не выполняется для квазистационарных состояний, поскольку комплексным значениям
энергии соответствуют комплексные значения волнового вектора
kn  En ,  n   k1  i k2 , k1 
2 En

, k2  k1
n
;
4 En
(5)
где волновые функции  n  x  экспоненциально возрастают в области инфинитного движения и имеют вид
n  x  
 2En
1
exp  i


v


 
 exp 

 4 En


2En 
,
 
(6)
где v  2 E  – скорость. Причина роста волновой функции заключается
в том, что в момент времени t в точке x находятся частицы, покинувшие яму
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
в момент времени t  x / v , когда амплитуда волновой функции была больше,
чем в момент времени t в силу соотношения (4). Выбор граничного условия
для квазистационарных состояний основан на предположении, что барьер
настолько высок, что время пребывания в яме намного больше периода колебаний в ней En /  :
U   En , En  .
(7)
Условие исчезновения волновых функций на бесконечности заменяется
условием постоянства потока функции  n  x  из области ямы через барьер,
т.е. отсутствия асимптотического решения, направленного в сторону барьера
из области инфинитного движения. Для функций (6) рассматриваемое условие имеет вид
1 d
 ik  E ,   .
 dx x
(8)
Соотношения (4)–(8) показывают, что различие квазистационарных и
стационарных состояний исчезает при   0 , т.е. при непрозрачном барьере,
разделяющем области финитного и инфинитного движения, квазистационарное состояние становится истинно стационарным. Однако при конечных скоростях распада функции квазистационарных состояний не входят в совокупность собственных функций, что следует из отмеченных особенностей их
асимптотического поведения. Можно показать, что в разложении функций
квазистационарных состояний по собственным функциям с действительными
значениями энергии (и, следовательно, волнового вектора), описываемом соотношением (2), доминирует вклад функций непрерывного спектра, расположенных в окрестности собственных значений En :
 A(k )(0) ( x), x  x ,
m
k

k  x   2
sin  kx    k   , x  xm ,

 
(9)
где функция (0)
k нормирована на единицу, а фаза описывается соотношением
(k )  0  tan 1
k2
,
k  k1
(10)
в котором 0 означает составляющую фазы, не зависящую от k .
Для волновых функций, отвечающих значениям энергии E и E  , близким к En , справедливо соотношение
x


k  x  k   x  dx 
d
d 
2

 E  E   1   k  k   k k   ,
dx
dx 
2

(11)
которое можно получить тем же способом, что и формулу Лифшица – Херринга. Переходя в соотношении (11) к пределу E  E   0 , находим коэффициент A  k  , определяющий амплитуду волновой функции в яме,
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
A2  E  
n
2 2 En
.

 4  E  E 2   2
n
n
(12)
Соотношение (12) показывает, что амплитуды волновых функций непрерывного спектра резко возрастают в области квазистационарного уровня
En . При E  En средняя плотность вероятности пребывания в яме приближенно равна
1
1
2k  A2  En  2 xm     nTt  , Tt  xm
1

.
2 En
Поскольку по определению квазистационарного состояния время пролета внутренней области Tt мало по сравнению с временем распада, плотность вероятности в ней намного больше, чем в области инфинитного движения. Ширина лоренцева распределения A  E  определяется скоростью распада  . Таким образом, в терминах стационарных состояний значения  n характеризуют ширины резонансов при действительных собственных значениях En . Локализованное нестационарное состояние формируется такой комбинацией функций непрерывного спектра, что их интерференция обеспечивает экспоненциальное уменьшение результирующей амплитуды в области инфинитного движения. Рассмотренную особенность функций непрерывного
спектра при наличии квазистационарного состояния можно описать с помощью формализма матрицы рассеяния. Соотношение (12) показывает, что амплитуда волновой функции (9) обращается в бесконечность при комплексных
значениях энергии En  i  n / 2 , т.е. квазистационарным состояниям отвечают
полюса матрицы рассеяния.
При рассмотрении эволюции во времени функции начально приготовленного квазистационарного состояния  n  x, t  0    (0)
n  x  с помощью
соотношения (2) можно показать, что благодаря нерезонансной составляющей   x, t  начальная эволюция неэкспоненциальна и определяется свойствами потенциала в области U  x   En . С другой стороны, экспоненциальность распада нарушается при больших временах, когда
  
 n  En exp   n t  .
  
(13)
Таким образом, экспоненциальный закон распада (3) наблюдается
в ограниченном интервале времени:

  En 
t 
ln 
,
En
n  n 
(14)
который быстро сокращается с увеличением  n . Поскольку скорость распада
минимальна для состояний с наименьшей энергией, именно распад последних
описывается соотношением (3). Для состояний, близких к вершине барьера,
распад становится быстрым и неэкспоненциальным.
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
Теория возмущений для квазистационарных состояний, разработанная
Я. Б. Зельдовичем, формулируется как задача об изменении E и  при малом изменении потенциала  V  x  (уравнение Шредингера при этом преобразуется в уравнение типа Рикатти для логарифмической производной от
волновой функции).
Было показано, что изменение собственных значений, обусловленное
нерезонансным туннелированием, пропорционально квадрату туннельного
матричного элемента как в асимметричном двухъямном, так и распадном
(типа кубической параболы) потенциалах. Распадный потенциал типа кубической параболы подробно изучался как в одномерных моделях, так и многомерных (в рамках науки о квантовом туннелировании с диссипацией, для систем с контактами Джозефсона; подобным потенциалом описываются и реакции молекулярного распада). Изменения собственных значений в упомянутых потенциалах относятся к принципиально различным эффектам. Сдвиг
уровней двухъямного потенциала обусловлен когерентным туннелированием,
при котором амплитуды локализованных волновых функций осциллируют во
времени с частотой, пропорциональной H122 / A , где A – расстройка резонанса локализованных состояний. Напротив, амплитуды волновых функций
состояний распадного потенциала экспоненциально затухают во времени
2
/  L . Таким образом, изменения собственных значес вероятностью   H12
ний локализованных состояний действительны и характеризуют частоты когерентных туннельных переходов, а мнимые поправки к собственным значениям состояний определяют вероятности их туннельного распада, т.е. константы скорости. В работах [40–43] рассматривался потенциал
V (X ) 
1 2

1 
X 1  X   1 
X,
2
 b2 
(15)
который с ростом параметра b превращается из симметричного двухъямного
при b  1 в распадный при b   . Потенциал (15) в формализме инстантонов
характеризуют точка поворота второго порядка X  0 и две точки поворота
первого порядка X  1 и X  b 2 , ограничивающие классически разрешенную
область правой ямы. Уровни квантования находятся методом матриц связи.
Это уравнение в форме ВКБ имеет вид

 



tan  W1 tan  W3  4 exp 2 W2 .
(16)
При энергиях, малых по сравнению с высотой барьера, туннелирование
вызывает малые изменения собственных значений левой ямы, и действие в
ней пропорционально энергии
1


W1    n       .
2


(17)
Квазиклассические волновые функции асимптотически гладко переходят в решения уравнения Шредингера. Коэффициенты линейных комбинаций
ВКБ-функций при X   связаны матрицей связи
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

 B3   2cos W


 
 A3   sin W 
2

 sin W    A1 
 , W  
21 cos W    B1 
 2



2   V  X  dX , (18)



где W  – укороченное действие между точками поворота. Из условия огра-


ниченности решений следует, что B1  0 , B3  0 , т.е. cos  W   0 , это
непосредственно приводит к формуле Бора – Зоммерфельда для квантования
действия W    n  1 .
2


Действие в правой яме определяется интегралом (18) и при b 2  1 описывается соотношением, справедливым с точностью до членов порядка


O 2 /  2 :
2
 2
b2  1
W3  W3(0)  , W3(0) 
b  1 b2  1 ,  
.
16b
b



(19)
Соотношение (19) можно переписать в виде
1


W3    n3       ,
2


(20)
где n3 – ближайшее целое число к W3(0)     n  1 / 2   1 2 ;  n – разность
между ним и n3 , т.е.  n – расстройка резонанса n -го уровня левой ямы и
ближайшего к нему уровня правой ямы,  n  1 / 2 . Параметр   2 / R , где
R – частота нелинейных колебаний в правой яме при   0 , определяет
плотность спектра, растущую пропорционально b , когда b  1 . В результате
уравнение квантования приобретает вид
tan   n  tan     n   n    Rn .
(21)
Уравнение квантования в инстантонной форме отличается от уравнения
 
(21) только членами порядка O  2 в левой части:
  
(22)

(23)
 n tan     n   n    Rn 1  O  1 ,
где
Rn 
2n 2 

1
n 1
2 n!
2

exp 2W2 .
 
Правая часть уравнения (22) содержит поправку порядка O  1
вследствие смещения точек поворота с изменением  . Как следует из уравнений (22) и (23), характер спектра зависит от параметра  Rn , равного квад-
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
рату отношения туннельного матричного элемента к расстоянию между соседними уровнями в конечном состоянии. При решении уравнений (21) и (22)
при  Rn  1 показано [40–43], что экспоненциально малые, пропорциональ-

ные exp 2 W2
 смещения уровней описываются соотношениями, учиты-
вающими изменения частоты правой ямы:
n  n 


1 1  2 42
1 1 
42

n 
Rn   n  ,  n0  n     2n 
Rn   n  ;


2 2 
2 2 
2
2




 nm  n 
1 1 

2 2 

 m   n 2 

Rn  (m   n )  , m  1, 2, ...

2

42
(24)
Первые два из соотношений (24) определяют резонансную пару уровней, а третье – уровни правой ямы, расположенные в ее окрестности и нумеруемые индексом m относительно L -уровня. Поскольку сдвиг R -уровней
m  0 уменьшается пропорционально m 2 , существенно сдвигается только
уровень m  0 , ближайший к L -уровню. Таким образом, туннелирование изменяет положение только пар ближайших уровней, не затрагивая остальные.
Как показано в [40–43], при совпадении частот ям, когда некоторые из значений  n  0 , возникают изолированные резонансы, при которых сдвиги пропорциональны Rn .
Картина изолированных резонансов полностью изменяется, когда
 Rn  1 . При использовании для решения уравнения (22) разложения
2

1 

tan z 
2 z  z 2  2  m   

2 

m 0 


1
(25)
было найдено, что туннелирование создает почти эквидистантный спектр
L R -уровней, расположенных вблизи полюсов tan          :
nm  
m  1  n 
1 
2
1 
.

 Rn 
(26)
Число таких уровней в окрестности n -го растет пропорционально
 Rn . Хотя изолированные резонансы перекрываются, спектр собственных
значений остается действительным. Когда  Rn  1 , разделение во времени
внутриямной и туннельной динамики перестает выполняться. При постоянной прозрачности барьера сдвиги уровней уменьшаются обратно пропорционально их плотности.
Инстантонные волновые функции в классически запрещенной области
находятся как решения квазиклассических уравнений при собственных значениях  mn . Вблизи минимума эти функции асимптотически гладко переходят в функции параболического цилиндра, а вблизи точки поворота
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
X  1  2 nm – в функции Эйри. В классически разрешенной области функции
Эйри переходят в быстро осциллирующие функции в форме ВКБ:
 dW3 
 dX 


1
2
b2
1


cos  W3  X ,  nm    , W3  X ,  nm     nm  V  x   2 dx . (27)
4

X

Коэффициенты разложения находятся из уравнений для собственных
значений с учетом нормировки собственных функций. При  Rn  1 задача
для двухуровневой системы также рассматривалась в [40–43]. Для каждого
значения n наиболее сильно делокализованы функции двух ближайших
уровней, описываемых соотношениями (24) при m  0 , тогда как уровни
m  0 локализованы в R -яме. Вид волновых функций кардинально изменяется при  Rn  1 . В этом случае функция левой ямы смешивается со всей
совокупностью функций правой ямы, образующих эквидистантный спектр
в окрестности ее собственного значения. В свою очередь все эти функции обладают заметной амплитудой в L -яме. Поскольку коэффициенты разложения
быстро уменьшаются при m   Rn , задача решается численно при произвольных значениях  Rn . Следует подчеркнуть, что полученные в [40–43]
результаты непосредственно применимы к асимметричному потенциалу
произвольной формы. Изменение спектра собственных значений и волновых функций происходит независимо от формы потенциала, когда частота
нелинейных колебаний в правой яме при резонансных значениях энергии
становится сравнимой с туннельным расщеплением, т.е. в области  Rn  1 .
По этой причине все изменения туннельной динамики рассматриваются
в зависимости от этого параметра, непосредственно относящегося к золотому правилу Ферми.
Динамику междуямных переходов в зависимости от плотности состояний можно охарактеризовать с помощью вероятности выживания начально
приготовленного локализованного состояния
P  , t     0    t 
2
.
(28)
Эта корреляционная функция широко используется для описания классически неинтегрируемых систем [40–43]. Для собственных стационарных
состояний P  t   1 , а для метастабильных состояний с временем распада 
спектральное распределение имеет  -пик в нижней полуплоскости при
E  i / 2 , и P  t   exp  t  . Для дискретного спектра связанных состояний
спектральное распределение произвольного состояния  выражается совокупностью  -пиков с амплитудами, равными квадратам коэффициентов разложения  по ортонормированному базису собственных функций
 n ,  nm  ,
S  , E  

n
124
 n
2
  E  En  .
(29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
Для локализованных функций амплитуды   n являются элементами матрицы, обратной матрице коэффициентов разложения (27). Вероятность
выживания является квадратом преобразования Фурье для спектрального
распределения (23):
  0  t  

 E 
 S ( E ) exp  i  t  dE ,
(30)

что непосредственно следует из разложений   0  и   t  по собственным
функциям с независящими от времени амплитудами [40–43].
В работах [40–43] демонстрируется изменение спектрального распределения функции локализованного начального состояния  n в левой яме при
изменении  Rn . При малых расщеплениях спектр состоит из двух пиков
одинаковой амплитуды, соответствующих состояниям  n и  n0 , энергии
которых различаются на величину туннельного расщепления. Амплитуды со-


стояний с m  0 малы – порядка O 1 / m 2 Rn . С увеличением  Rn спектральное распределение превращается в совокупность эквидистантных пиков
с m   Rn . При малых  Rn P  t  осциллирует в масштабе частоты туннельного расщепления порядка Rn /  в результате когерентных междуямных
переходов между резонансными состояниями
R 
1
P ( n , t )   1  cos n  , Rn  1 .

 
2
(31)
Однако в области  Rn  1 осцилляции с таким периодом почти полностью подавляются и восстановление начальной амплитуды (возвращение
в левую яму) происходит в масштабе периода колебаний в правой яме
   / Rn . Благодаря «битве экспонент» вероятность выживания уменьшается в масштабе времен порядка Rn1 , т.е. вероятности перехода, предсказываемой золотым правилом Ферми. Таким образом, для времен Rn1  t   переходы некогерентны, а для t   становятся когерентными.
В терминах матрицы плотности вероятность выживания и спектральное
распределение описывается соотношениями
P  , t   2 Tr    0    t   ;
S  , E    2 
1

 E 


H 

 exp  i  t  Tr  exp  i  t    0   ,
(32)

где   t     X , X , t     X , t    X , t  – матрица плотности, отвечающая
  X , t  . Огибающая спектрального распределения (так называемое сглажен-
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ное распределение, или силовая функция) вводятся соотношением при ограниченном интервале интегрирования:
ST  , E    2 
1
T
 E 


H 

 exp  i  t  Tr  exp  i  t    0   .
(33)
T
С помощью равенства
T

sin   E  E   


 E  E 
1

exp  i
t  dt    E  E  
  2 

  E  E 




(34)
соотношение (32) можно переписать в виде
ST  , E  

 T  E  E  S  , E  dE    T  E  En 
 n
2
,
(35)
n

поясняющем процедуру сглаживания при уменьшении интервала интегрирования. Силовая функция количественно описывает переход от некогерентного туннелирования к когерентному с увеличением времени.
Хеллер ввел константу скорости эволюции начального локализованного состояния:
T

R 1 T    P  t  dt  .


 T


(36)
Поскольку
  0  t  


E 
 exp  i  t  ST  E  dE, t  T ,

то константа скорости эволюции связана с силовой функцией соотношением
R
1

T   2 
ST2  E  dE .
(37)

Заключение
Проблеме туннельного распада квазистационарных состояний в мезосистемах различной природы (в различных задачах физики, химии и биологии) посвящено множество монографий, обзоров и статей [1–50]. Вполне
универсальными в различных приложениях оказываются типичные формы
поверхностей потенциальной энергии. При рассмотрении задач туннельного
распада, как уже упоминалось, часто рассматриваются потенциалы типа «кубической параболы» с состояниями как вблизи дна ямы, так и вблизи верхушки барьера (при этом часто одномерные задачи обобщаются на многомерный случай (+ осцилляторная «среда – термостат»). Помимо классических
задач  -распада и мономолекулярных реакций диссоциации, уместно вспом-
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
нить известную задачу Франца – Келдыша (ионизация в полях лазерного излучения; состояния вблизи границы непрерывного спектра во внешнем поле),
а также развитие науки о квантовом туннелировании с диссипацией применительно к системам с контактами Джозефсона. Сюда же примыкает знаменитая задача Ландау – Зинера (преддиссоциация), магнитный пробой (Займан),
эффект Яна – Теллера, спектроскопия переходного состояния в реальном
времени (Зивейл) и др. В моделях с двухъямными потенциалами (в том числе
асимметричными) изучаются реакции изомеризации, динамическая водородная связь в биологии, а также изомеризация в бистабильных системах (на
примере фотохромных материалов). Особый интерес представляют пары связанных бистабильных систем, а также модели квантовых бифуркаций в таких
системах [13, 42, 46]. В последнее время активно изучаются системы и модели туннельно-связанных квантовых точек и нитей [48–50].
Актуальным также оказывается экспериментальное изучение кластеров
с небольшим числом степеней свободы методом спектроскопии высоко разрешения (например, реакции изомеризации в газах с молекулами с малым
числом степеней свободы). Теоретически важной задачей является рассмотрение перехода от регулярных состояний к эргодическим в упомянутых модельных потенциалах. Исторически, начиная с работ Ландау, Вигнера и Зельдовича, изучалось квазиклассическое квантование, а также комплексные собственные значения энергии, комплексное время, инстантонные траектории.
В многомерных задачах, как правило, рассматривается система V  x  + гармонический термостат с бистабильной связью. Устанавливается связь свойств
термостата (появление статистики) с броуновским движением (феноменологическое уравнение Ланжевена и Лиувилля – фон Неймана, флуктуационнодиссипационная теорема, модель Крамерса и ее обобщения), изучаются различные типы состояний – регулярные вблизи дна ямы и эргодические вблизи
вершины барьера. Формулируются соответствующие постулаты в спектроскопии и квантовой динамике. Изучаются модели и системы с динамическим
и статистическим хаосом, в том числе распадные 2D-потенциалы [48–50].
При всех существующих достижениях в этой области на сегодняшний
момент остается ряд серьезных проблем (квантовая проблема Ландау – Зинера, проблема возникновения распадных состояний в «нераспадных» потенциалах, квантовая динамика открытых систем и др.), которые требуют своего
разрешения.
Более детальное изложение рассматриваемых в данной статье проблем
можно найти в [50].
Авторы благодарят проф. В. А. Бендерского (институт проблем химической физики РАН) за полезное обсуждение материалов обзора и предоставленные материалы.
Список литературы
1. C a l d e i r a , A . O . Influence of dissipation on quantum tunneling in macroscopic systems / A. O. Caldeira, A. J. Leggett // Phys. Rev. Lett. – 1981. – V. 46, № 4. – P. 211–
214.
2. A f f l e c k , I . Quantum-statistical metastability / I. Affleck // Phys. Rev. Lett. – 1981. –
V. 46, № 6. – P. 388–391.
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3. W o l y n e s , P . G . Quantum theory of activated events in condensed phases /
P. G. Wolynes // Phys. Rev. Lett. – 1981. – V. 47, № 13. – P. 968–971.
4. L a n g e r , J . S . Theory of the condensation point / J. S. Langer // Ann. of Phys. –
1967. – V. 41, № 1. – P. 108–157.
5. Л а р к и н , А . И . Квантовое туннелирование с диссипацией / А. И. Ларкин,
Ю. Н. Овчинников // Письма в ЖЭТФ. – 1983. – Т. 37, № 7. – С. 322–325.
6. L a r k i n , A . I . Decay of the supercurrent in tunnel junctions / A. I. Larkin,
Yu. N. Ovchinnikov ; Preprint Istituto di Cibernetica del Consiglo Nazionalle delle Ricerche Arco Felice. – Napoli, 1983. – 23 p.
7. Л а р к и н , А . И . Квантовомеханическое туннелирование с диссипацией. Предэкспоненциальный множитель / А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников // ЖЭТФ. –
1984. – Т. 86, № 2. – С. 719–726.
8. Л а р к и н , А . И . Затухание тока в сверхпроводящих контактах при неравновесной функции распределения электронов / А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников //
ЖЭТФ. – 1984. – Т. 87, № 5 (11). – С. 1842–1856.
9. Л а р к и н , А . И . Квантовая локализация в нерегулярных системах разной мерности (макроскопическое квантовое туннелирование с диссипацией). – М. :
Изд-во МИФИ, 1985. – 40 с.
10. М е л ь н и к о в, В. И . О броуновском движении квантовых частиц / В. И. Мельников, С. В. Мешков // Письма в ЖЭТФ. – 1983. – Т. 38, № 3. – С. 111–113.
11. Л а р к и н , А . И . Влияние квантования уровней на время жизни метастабильных
состояний / А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников // ЖЭТФ. – 1986. – Т. 91, № 1 (7). –
С. 318–325.
12. И в л е в , Б. И . Туннельно-активационное движение струны через потенциальный барьер / Б. И. Ивлев, В. И. Мельников // ЖЭТФ. – 1986. – Т. 91, № 5 (11). –
С. 1944–1954.
13. И в л е в , Б. И . Распад метастабильных состояний при наличии близких подбарьерных траекторий / Б. И. Ивлев, Ю. Н. Овчинников // ЖЭТФ. – 1987. – Т. 93,
№ 2 (8). – С. 668–679.
14. G r a b e r t , H . Thermal enhancement of the quantum decay rate in a dissipative system /
H. Grabert, U. Weiss // Z. Phys. – 1984. – V. 56, № 2. – P. 171–183.
15. C a l d e i r a , A . O . Quantum tunnelling in a dissipative system / A. O. Caldeira,
A. J. Leggett // Ann. of Phys. – 1983. – V. 149, № 2. – P. 374–456.
16. М е л ь н и к о в, В. И . Активационно-туннельный распад метастабильных состояний / В. И. Мельников // ЖЭТФ. – 1984. – Т. 87, № 2 (8). – С. 663–673.
17. D e k k e r , H . Classical and quantum mechanics of the damped harmonic oscillator /
H. Dekker // Phys. Repts. – 1981. – V. 80, № 1. – P. 1–112.
18. Le g g e t t , A . J . Quantum tunneling in the presence of an arbitrary linear dissipation
mechanism / A. J. Leggett // Phys. Rev. – 1984. – V. 30, № 3. – P. 1208–1218.
19. С у м е ц к и й, М . Ю . Неупругое туннелирование частицы, взаимодействующей
с колебаниями / М. Ю. Сумецкий // ЖЭТФ. – 1985. – Т. 89, № 2 (8). – С. 618–634.
20. О в ч и н н и к о в , Ю . Н . Динамика частицы в двухъямном потенциале /
Ю. Н. Овчинников // ЖЭТФ. – 1988. – Т. 94, № 5. – С. 365–375.
21. И в л е в , Б. И . О динамике частицы в двухъямном потенциале / Б. И. Ивлев //
ЖЭТФ. – 1988. – Т. 94, № 7. – С. 333–343.
22. Туннельные явления в твердых телах : пер. с англ. / под ред. Э. Бурштейна,
С. Лундквиста. – М. : Мир, 1973. – 422 с.
23. К о ж у ш н е р , М . А . Туннельные явления / М. А. Кожушнер. – М. : Знание,
1983. – 64 с.
24. Б е л л , Р . Протон в химии : пер. с англ. / Р. Белл. – М. : Мир, 1977. – 384 с.
25. Ч е р н а в с к а я, Н . М . Туннельный транспорт электронов в фотосинтезе /
Н. М. Чернавская, Д. С. Чернавский. – М. : Изд-во Моск. ун-та, 1977. – 176 с.
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
26. B e l l , R . P . The tunnel effect in chemistry / R. P. Bell. – London ; New York : Chapman and Hall, 1980. – 222 p.
27. З а м а р а е в , К . И . Туннелирование электрона в химии / К. И. Замараев,
Р. Ф. Хайрутдинов, В. П. Жданов. – Новосибирск : Наука, Сибирское отделение,
1985. – 318 с.
28. Г о л ь д а н с к и й , В. И . Туннельные явления в химической физике / В. И. Гольданский, Л. И. Трахтенберг, В. Н. Флеров. – М. : Наука, 1986. – 296 с.
29. В а й н ш т е й н , А . И . Инстантонная азбука / А. И. Вайнштейн, В. И. Захаров,
В. А. Новиков, М. А. Шифман // УФН. – 1982. – Т. 136, № 4. – С. 553–591.
30. Р а дж а р а м а н , Р . Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля : пер.
с англ. / Р. Раджараман. – М. : Мир, 1985. – 416 с.
31. C o l e m a n , S . The uses of instantons / S. Coleman // The ways of subnuclear physics /
ed. by A. Zichichi. – L. ; N. Y. : Plenum press, 1979. – P. 805–941.
32. Фейнман, Р. Статистическая механика : пер. с англ. / Р. Фейнман. – М. : Мир,
1975. – 408 с.
33. Ла нда у , Л. Д . Квантовая механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – М. : Наука,
1974. – 752 с.
34. Справочник по специальным функциям : пер. с англ. / под. ред. М. Абрамовица,
И. Стиган. – М. : Наука, 1979. – 832 с.
35. Ф е й н м а н, Р . Квантовая механика и интегралы по траекториям : пер. с англ. /
Р. Фейнман, А. Хибс. – М. : Мир, 1968. – 384 c.
36. Г л а з м а н , Л. И . Неупругое туннелирование через тонкие аморфные пленки /
Л. И. Глазман, К. А. Матвеев // ЖЭТФ. – 1988. – Т. 94, № 6. – С. 332–343.
37. Т е р н о в , И . М . Квантовая механика и макроскопические эффекты / И. М. Тернов, В. Ч. Жуковский, А. В. Борисов. – М. : Изд-во МГУ, 1993. – 198 с.
38. Ж у к о в с к и й , В. Ч . Квантовые эффекты в мезоскопических системах. Ч. I.
Квантовое туннелирование с диссипацией / В. Ч. Жуковский, В. Д. Кревчик,
М. Б. Семенов, А. И. Тернов. – М. : Изд-во. физического ф-та МГУ, 2002. – 108 с.
39. B e n d e r s k i i , V . A . Chemical Dynamics at Low Temperatures, Willey-Interscience
V. A. Benderskii, D. E. Makarov, C. A. Wight. – New York, 1994. – 385 с.
40. B e n d e r s k i i , V . A . Semiclassical approach to states near the potential barrier top /
V. A. Benderskii, E. V. Vetoshkin, E. I. Kats. // Zh. Eksp. Teor. Fiz. (Russian). – 2002. –
V. 122, № 4. – P. 746–764.
41. B e n d e r s k i i , V . A . Instanton versus traditional WKB approach to Landau-Zener
problem / V. A. Benderskii, E. V. Vetoshkin, E. I. Kats. – URL:
http://www.arxiv.org/cond-mat/0303275
42. B e n d e r s k i i , V . A . Competing tunneling trajectories in a 2D potential with variable
topology as a model for quantum bifurcations / V. A. Benderskii, E. V. Vetoshkin,
E. I. Kats, H. P Trommsdorff // Phys. Rev. E. – 2003. – V. 67. – URL:
http://www.arxiv.org/cond-mat/0209030.
43. B e n d e r s k i i , V . A . Coherent oscillations and incoherent tunneling in onedimensional asymmetric double-well potential / V. A. Benderskii, E. I. Kats. – URL:
http://www.arxiv.org./cond-mat/0107495 .
44. О в ч и н н и к о в , Ю . Н . Проводимость гранулированных металлических пленок /
Ю. Н. Овчинников // ЖЭТФ. – 2007. – Т. 131, № 2. – С. 286–290.
45. О в ч и н н и к о в , А . А . Принципы управляемой модуляции низкоразмерных
структур : моногр. / А. А. Овчинников и др. – М. : Изд-во УНЦ ДО, 2003. – 510 с.
46. A r i n g a zi n , A . K . Two-dimensional tunnel correlations with dissipation /
А. К. Aringazin, V. D. Krevchik, M. B. Semenov [et al.] // Physical Review B. –
2003. – V. 68. – P. 155426-1–155426-12.
47. И м р и , Й . Введение в мезоскопическую физику / Й. Имри. – М. : Физматлит,
2002. – 304 с.
48. А р ы н г а з и н , А . К . Введение в современную мезоскопику / А. К. Арынгазин,
В. Д. Кревчик, М. Б. Семнов [и др.] – Пенза : Изд-во ПГУ, 2003. – 570 с.
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
49. Transfer processes in low-dimensional systems : сборник статей / под ред.
Ю. И. Дахновского, В. Д. Кревчика, В. Я. Кривнова, М. Б. Семенова, К. Yamamoto. – Tokyo, Japan : UT Research Institute Press, 2005. – 690 p.
50. Управляемое диссипативное туннелирование : коллективная монография ; посв.
памяти академика РАН А. И. Ларкина ; под ред. Нобелевского лауреата Э. Леггетта ; при ред. участии В. Д. Кревчика, М. Б. Семенова, К. Ямамото и др. – М. :
Изд-во физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, 2009. – Ч. 1, 2.
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
физики, Пензенский государственный
университет
Krevchik Vladimir Dmitrievich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of physics
sub-department, Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Семенов Михаил Борисович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра физики, Пензенский
государственный университет
Semenov Mikhail Borisovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of physics, Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Зайцев Роман Владимирович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра физики,
Пензенский государственный
университет
Zaytsev Roman Vladimirovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of physics,
Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Гаврина Зоя Алексеевна
соискатель, Пензенский
государственный университет
Gavrina Zoya Alekseevna
Applicant, Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322
Кревчик, В. Д.
Диссипативный туннельный транспорт: состояние проблемы и
перспективы / В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов, Р. В. Зайцев, З. А. Гаврина //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 2 (18). – С. 113–130.
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322
В. Д. Кревчик, Е. Н. Калинин, З. А. Гаврина
РЕЗОНАНСНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДОНОРОВ В КВАНТОВЫХ
МОЛЕКУЛАХ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Аннотация. Выполнены расчеты средней энергии связи и ширины уровня резонансного D(–)-состояния в квантовой молекуле при наличии внешнего электрического поля. Расчеты проводились в модели потенциала нулевого радиуса
с учетом туннельного распада резонансного состояния. Показано, что внешнее
электрическое поле стимулирует распад резонансных D(–)-состояний в условиях диссипативного туннелирования.
Ключевые слова: резонансные донорные состояния, средняя энергия связи,
ширина примесного уровня, диссипативное туннелирование.
Abstract. The authors have calculated the average binding energy and level width of
D(–)-stat resonance in a quantum molecule in an external electric field. The calculations have been performed in a model of zero-range potential in consideration of
tunnel collapse resonant state. The article shows that the external electric field stimulates the decay of D(–)-state resonance during dissipative tunneling.
Key words: resonant donor states, average binding energy, impurity level width, dissipative tunneling.
Введение
В последние годы возрос интерес к исследованиям примесных резонансных состояний в полупроводниковых наноструктурах [1]. Этот интерес
связан прежде всего с кардинальной модификацией примесных состояний
в условиях размерного квантования [2, 3], которая дает дополнительные степени свободы для управления не только зонным, но и примесным спектрами.
Необходимо отметить, что привлекательность полупроводниковых наноструктур с примесными резонансными состояниями также связана с возможностью создания новых источников стимулированного излучения на примесных переходах [4, 5]. В этой связи становится актуальным теоретическое исследование влияния различных факторов на время жизни примесных резонансных состояний, которое является основным параметром, определяющим возможность получения инверсии заселенности, а также порог генерации на примесных переходах. Влияние локализации в квантовой яме на
время жизни состояний мелких примесных центров теоретически и экспериментально исследовалось в работе [6]. Было показано [5], что локализация в квантовой яме приводит к замедлению спадания волновых функций
примесных состояний в пространстве волновых векторов и может приводить
к экспоненциальному уменьшению времени жизни примесных состояний
с уменьшением ширины ямы.
В работе [7] показано, что электрон-фононное взаимодействие модифицируется вблизи энергий резонансных состояний в квантовой яме. Эта модификация обусловлена гибридизацией подзон размерного квантования. Испускание фонона электроном, находящимся в гибридизированном состоянии,
как было показано в [6], представляет собой многоканальный процесс, причем в квазидвумерном случае в нем участвуют два слабо интерферирующих
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
канала. При этом один канал соответствует взаимодействию фонона с электроном, локализованным на примесном центре, а второй – отвечает уходу
электрона от примеси из-за туннелирования в континуум нижележащей подзоны и внутриподзонному испусканию LО-фонона [7].
Цель настоящей работы заключается в теоретическом исследовании
влияния внешнего электрического поля и туннельного распада на среднюю
энергию связи резонансных D(–)-состояний и ширину резонансного уровня
в квантовой молекуле. Предполагалось, что распадность примесного резонансного уровня обусловлена процессом диссипативного туннелирования.
Расчеты средней энергии связи и ширины уровня резонансного D(–)-состояния
выполнены в модели потенциала нулевого радиуса. Расчет вероятности туннелирования проведен в одноинстантонном приближении с учетом взаимодействия с локальной фононной модой среды.
Расчет средней энергии связи и уширения резонансного
уровня D(–)-состояния в квантовой молекуле
Квантовая молекула (КМ) моделируется двухъямным осцилляторным
потенциалом, т.е. представляет собой две туннельно-связанные сферические квантовые точки (КТ). Донорный уровень резонансного D(–)-состояния
расположен между дном КТ и уровнем энергии ее основного состояния,

а D(–)-центр расположен в точке R  ( xa , ya , za ) . Удерживающий потенциал
КТ моделируется потенциалом трехмерного гармонического осциллятора:
V  x, y , z  

m02 x 2  y 2  z 2
2
,
(1)
где m – эффективная масса электрона; 0 – характерная частота удерживающего потенциала КТ.
Оператор Гамильтона при наличии внешнего электрического поля в декартовой системе координат имеет вид
 2 2 m*02 2

Hˆ QD

 
x  y 2  z 2  e xE ,
(2)
*
2
2m

где E – напряженность внешнего электрического поля E   E ,0, 0  ; e – величина заряда электрона.
Потенциал D(–)-центра моделируется потенциалом нулевого радиуса
мощностью   2 2 / (m* ) :
 
 
  
V r ; Ra    r  Ra 1  r  Ra  r  ,
(3)










где  определяется энергией E i связанного состояния такого же D(–)-центра
в объемном полупроводнике.
Собственные значения En ,n ,n и соответствующие собственные вол1
новые функции
132
 n ,n ,n
1 2 3
 x, y , z 
2
3
гамильтониана (2) имеют вид
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
3  e2 E 2

;
En ,n ,n  0  n1  n2  n3   
1 2 3
2  2m02


 n ,n ,n  x, y, z   a03  3/2  n1! n2 !n3 ! 2n1  n2  n3
1 2 3

(4)
1/2

  x  x 2  y 2  z 2 
 x  x0 
 y 
 z 
0
  Hn 
,
 exp  


H
H



n
n
1
2 a
3a 
2
a


2
a
0
0
0






0


(5)
 m02  ; n1, n2 , n3 – осцилляторные квантовые
где a0   / (m*0 ) ; x0  e E
числа; H n  x  – полином Эрмита.
Задача определения волновой функции и средней энергии E резонансного D(–)-состояния состоит в построении одноэлектронной функции Грина
G   x, y , z , xa , ya , za , E  для уравнения Шредингера с гамильтонианом рассматриваемой задачи:


*n1, n 2, n3  r1   n1, n 2, n3  r 
  
G  r , r1; E  
,
(6)
2 2


e
E
n1, n 2, n 3
 i Г 0 
 E  En1, n 2, n3 


2m*02



где Г0 – вероятность распада резонансного D(–)-состояния; E – комплексная
энергия, соответствующая резонансному D(–)-состоянию.
Согласно методу потенциала нулевого радиуса [3] энергия резонансного состояния электрона является полюсом функции Грина, т.е. решением
уравнения

  
где Tˆ  lim 1  (r  R ) r  .
r R
2  2 ˆ
TG
m


   Ra , Ra ; E  ,
(7)
a
Очевидно, что чем меньше энергия связи, тем легче система разваливается под действием внешнего электрического поля. Распад резонансного
D(–)-состояния в рассматриваемом нами случае происходит за счет туннельного перехода. Используя явный вид одночастичных волновых функций

 n , n , n  r  , для функции Грина в (6) получим
1
2
3


a0
1
 

G  r , Ra ;   
 

a033/20  2 r  Ra


 

2iГ0
e2 E 2 r  Ra
 exp   2  3 

0

m*020 a0







133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


 
3 iГ0
e2 E 2  

dt exp      
t
0
2
 
2m*02 0  
 2 3/2 0
1



 R2 t 
 exp   a2 th 

 a
2 

1 
0



,
3/2 t t 
 23/2 1  exp  2t 


 


(8)
где 0  0 ,   E 0 , Ra2  ( xa  x0 ) 2  ya2  za2 .
Подставляя (8) в (7) и выполняя необходимые предельные переходы,
получим дисперсионное уравнение для определения средней энергии
E  Re E и ширины резонансного уровня E  2 Im E :
3
2  1  4 iГ*0 
2

x02 ad2
a04

 i 
 
2
3
dt exp    2   4iГ*0 

2
 

0

 R*2 t  
2 x02 ad2    1
1
t
exp   a th   ,


2  
a04    2t t 1  exp  2t   3/2
 2




(9)
где
2  E / Ed ; i  Ei / Ed ;   R0* /  4 U 0*  ;


R0*  2 R0 / ad ; U 0*  U 0 / Ed ;
U0
–
амплитуда
потенциала
конфайнмента
КТ:
U 0  m*02 R02 / 2 ;
Ra*  Ra / ad ; Г 0*  Г 0 / (4 Ed ) ; Ed и ad – эффективные боровская энергия и
радиус соответственно.
Нетрудно показать, что волновая функция резонансного D(–)-состояния
в КТ, отличающаяся от одноэлектронной функции Грина (8) только постоянным множителем, может быть представлена в виде
3
 
 r 2  Ra2  

3 i Г 0
e2 E 2  
 

2
dt exp      
  r , Ra  CQD  exp  


t 

2
0
 
2a02  0
2m*02 0  



 1  exp  2t 

3

2

где CQD
определяется как
134




 exp(2t ) r 2  R 2  2exp(t ) r , R
a
a
exp  

a02 1  exp  2t 

  ,


(10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика

 7 i Г 0
   3 iГ0
 
e2 E 2
e2 E 2

 * 2     
 * 2  
Г 
 4 2 0 4 m  

2   4 20 4m 0 0 2 
0 0



  2 a03

CQD
2

2
2
 3 i Г 0

e E

 * 2   
 



0
2m 0 0
2



1
2 2
  1 i Г
 7 iГ0
 
     2
e2 E 2
0  e E
 








   1
 4 20 4m*2 
  4 20 4m*2
2 
2    
0
0
0
0



 
, (11)

2 2
 1 i Г 0



e E

 
Г 

 4 20 4m*2 
2 

0 0


где   x   Г  x  Г  x  – логарифмическая производная гамма-функции.
В одноинстантонном приближении вероятность распада (диссипативного туннелирования) Г0 можно представить в виде Г0  B0 exp   S B  , где
B0 и S B определяются как [8]
B* 
2 Ed
U 0*
 


 *2   
 b0  W0
 *  *  *  1*  
* *











A
D
1
ch
1
ch


  1  


 T
1 
2 



 a0  W0

 
 2  
 2   


1
 

 *
 
 *
  2
  ch  1   *01  
 ch  2   *02   
*
*
 2
 

 
  
  1  D*  2  2
 1  
  A*  1 



2
 1* 
 *2 
 2



sh  
sh  
 



 2 
 2 
 
 


 
 
 

 *

 *
 
 
ch  1   *01  
ch  2   *02   

*



  *  2
   D*  2 *  2
  1  
  A* 1  1 



2
2
 1*  
 *2 
 


sh   
sh  
 

 
 2 
 2 
  
 


 
1
 
 
 2


 1* *  
 *2

  ch    01  
ch 
  *02    

*
*




2
 
  1  D*  2 *  2
  1   ,
  A*  1 


 
2
 1* 
 *2 
 2


 
sh  
sh  
 


  
 2 
 2 
 
 


 
 

(12)
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2


b  W0  *
1  b  W0
1  b0  W0
S*   0
 1 3  0
 1 *2
 0  *  
0 
2  a0  W0
a0  W0 
2  a0  W0



2
 1  x2
1  b0  W0

1

 
2    a0  W0
  x1


ch * x1

1
cth * x  
1

* 
sh  x1

 


 ch     x  
*
*
0
1

1  x1 
1

x1  
cth * x2 


*
x2
2

sh
x

 

  
 
 

  x1  x2 ) x2  ,
 
 ch *  *0
 ch *  *0

x2 ch * x2

 ch *  *0




x2   ,



(13)
где

*2
A*  2*2
L a  x1

  x1  x2  x1  ,
*2
D*  2*2
L a  x2
   U 0* x1 a* ,    U 0* x2 a* ,  *01  x1 
 *02  x1 
2,
2 , W0  e E 02 m* ad ,
  b  W0 
*
*0  arcsh   1  0
 sh 


a
W
0
0

 b0  W0   *
1 
    ;
 a0  W0  
b0  b0 ad , a0  a0 ad , а0 и b0 – координаты потенциальных минимумов
двухъямного осцилляторного потенциала; *  U 0* a*T* ,
*T  kT Ed ,
*c   c Ed , *L  L Ed ;
2
 *2 a*2
 4 a*2 
*2 a*2
    L
1 c
 L
,

*2 * 
*
 4U *

U
U
4
L 0
0
0

2

 *2 a*2
c4 a*2
c4 a*2 
a*2
*2 a*2
1  *2
L
L
x1  
1
 
1
 L

*
*
 4U *
2 4U 0*
U 0*
4*2
4*2
0
L U0
L U0 





,



4 *2
4 *2  2
*2
*2 *2


a

a
a

a
*2 a*2
1  *2
x2   L
1 c
  L
1 c
 L

*
*
 4U *
2 4U 0*
U 0*
4*2
4*2
0
L U0
L U0 





.


Следует отметить, что параметрами диссипативного туннелирования
являются *T , *С и *L , содержащие соответственно температуру, константу
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
взаимодействия с туннелирующего электрона с контактной средой и частоту
фононной моды L .
На рис. 1 представлена зависимость средней энергии связи Е резонансного D(–)-состояния от радиуса R0 InSb КТ для различных значений Е и
параметров диссипативного туннелирования, рассчитанная с помощью уравнения (9). Можно видеть, что при уменьшении R0 средняя энергия связи резонансного D(–)-состояния сначала увеличивается из-за все более сильной локализации волновой функции электрона по трем пространственным направлениям. Но при дальнейшем уменьшении R0 волновая функция начинает
«выжиматься» из КТ, поэтому средняя энергия связи уменьшается. Видно
также (сравн. кривые 1 и 2 на рис. 1), что в электрическом поле средняя энергия связи резонансного D(–)-состояния уменьшается, что связано с электронной поляризацией и штарковским сдвигом энергии. Рост параметра *T приводит к увеличению вероятности распада и к соответствующему уменьшению величины E (сравн. кривые 2 и 3 на рис. 1).
Рис. 1. Зависимость средней энергии связи резонансного D(–)-состояния E
от радиуса КТ R0 при U0 = 0,4 эВ, xa*  ya*  za*  0 , Ei = 1,38·10–2 эВ для
различных значений Е и параметров диссипативного туннелирования:
1 – *L  1 , *С  1 , *T  1 , E = 0 кВ/см; 2 – *L  1 , *С  1 , *T  1 , E = 32 кВ/см;
3 – *L  1 , *С  1 , *T  3 , E = 32 кВ/см
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
На рис. 2 приведена зависимость ширины E резонансного уровня
от координаты D(–)-центра в х-направлении КТ для различных значений
параметров диссипативного туннелирования. Из рис. 2 видно, что наименьшее время жизни имеют резонансные D(–)-состояния, соответствующие
D(–)-центрам, расположенным вблизи границ КТ. Рост параметра *С блокирует туннельный распад резонансного состояния за счет увеличения «вязкости» контактной среды, в то время как рост параметров *L и *T увеличивает
вероятность распада.
Рис. 2. Зависимость ширины резонансного уровня E от координаты xa*
D -центра в КТ при R0 = 70 нм, U0 = 0,38 эВ, E = 15 кВ/см для различных значений
параметров диссипативного туннелирования: 1 – *L  1 , *С  1 , *T  1 ;
(–)
2 – *L  3 , *С  1 , *T  1 ; 3 – *L  1 , *С  1 , *T  3 ; 4 – *L  1 , *С  3 , *T  1
Заключение
В рамках модели потенциала нулевого радиуса теоретически исследовано влияние внешнего электрического поля на резонансные D(–)-состояния
в квантовой молекуле в условиях туннельного распада. Показано, что
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
чем больше вероятность туннельного распада, тем легче резонансное
D(–)-состояние разваливается под действием внешнего электрического поля.
Найдено, что в электрическом поле средняя энергия связи резонансного
D(–)-состояния уменьшается за счет электронной поляризации и штарковского
сдвига энергии. Показано, что наименьшее время жизни имеют резонансные
состояния, соответствующие D(–)-центрам, расположенным вблизи границ
КТ. Найдено, что увеличение константы взаимодействия электрона с контактной средой приводит к блокировке туннельного распада, что обусловлено
ростом «вязкости» контактной среды.
Список литературы
1. А л е ш к и н , В. Я . Примесные резонансные состояния в полупроводниках /
В. Я. Алешкин, Л. В. Гавриленко, М. А. Одноблюдов, И. Н. Яссиевич // ФТП. –
2008. – Т. 42, № 8. – С. 899–922.
2. К р е в ч и к , В. Д . К теории фотоионизации глубоких примесных центров в параболической квантовой яме / В. Д. Кревчик, Р. В. Зайцев, В. В. Евстифеев // ФТП. –
2000. – Т. 34, № 10. – С. 1244–1249.
3. К р е в ч и к , В. Д . Примесное поглощение света в структурах с квантовыми точками / В. Д. Кревчик, Р. В. Зайцев // ФТТ. – 2003. – Т. 43, № 3. – С. 504–507.
4. B l o m , A . Mechanism of terahertz lasing in SiGe/Si quantum wells / A. Blom,
M. A. Odnoblyudov, H. H. Cheng, I. N. Yassievich, K. A. Chao // Appl. Phys. Lett. –
2001. – V. 79. – P. 713.
5. A l t u k h o v , I . V . Towards Si_{1 - x}Ge_{x} quantum-well resonant-state terahertz
laser / I. V. Altukhov, E. G. Chirkova, V. P. Sinis, M. S. Kagan, Yu. P. Gousev,
S. G. Thomas, K. L. Wang, M. A. Odnoblyudov, I. N. Yassievich // Appl. Phys. Lett. –
2001. – V. 79. – P. 3909.
6. О р л о в а , Е. Е. Влияние локализации в квантовой яме на время жизни состояний мелких примесных центров / Е. Е. Орлова, P. Harrison, W.-M. Zheng,
M. P. Halsall // ФТП. – 2005. – Т. 39, № 1. – С. 67–70.
7. Б е к и н , Н . А . Резонансные состояния доноров в квантовой яме / Н. А. Бекин //
ФТП. – 2005. – Т. 39, № 4. – С. 463–471.
8. Ж у к о в с к и й , В. Ч . Управляемое диссипативное туннелирование во внешнем
электрическом поле / В. Ч. Жуковский и др. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. –
2009. – № 1. – С. 27–31.
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
физики, Пензенский государственный
университет
Krevchik Vladimir Dmitrievich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of physics, Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Калинин Евгений Николаевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра общей физики,
Пензенский государственный
педагогический университет
им. В. Г. Белинского
Kalinin Evgeny Nikolaevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of general physics,
Penza State Pedagogical University
named after V. G. Belinsky
E-mail: kalinin_en@mail.ru
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Гаврина Зоя Алексеевна
соискатель, Пензенский
государственный университет
Gavrina Zoya Alekseevna
Applicant, Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322
Кревчик, В. Д.
Резонансные состояния доноров в квантовых молекулах во внешнем электрическом поле / В. Д. Кревчик, Е. Н. Калинин, З. А. Гаврина //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 2 (18). – С. 131–140.
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
УДК 538.95; 539.21
С. В. Булярский, А. С. Басаев
ОСОБЕННОСТИ УПРАВЛЯЕМОЙ
ТЕХНОЛОГИИ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК
Аннотация. Исследовано влияние различных факторов на рост углеродных
нанотрубок (УНТ). Показано, что скорость роста массива на катализаторе
FeNiCo20/Al толщиной менее 10 мкм замедляется. Концентрации ферроцена
в газовой смеси оказывает существенное влияние на рост УНТ. Снижение
концентрации ферроцена увеличивает свободную энергию расплава и приводит к росту нанотрубок меньшего диаметра и меньшее число стенок – 2 или 3.
Повышение концентрации ферроцена выше 1 % приводит к снижению качества растущих нанотрубок. Проанализированы технологические возможности
формирования отдельно стоящих УНТ.
Ключевые слова: углеродные нанотрубки, термодинамика роста, кластеры, катализатор.
Abstract. The authors investigate the influence of various factors on carbon nanotubes (CNT) growth. The article shows that the rate of array growth on the catalyst
FeNiCo20/Al, which is less than 10 microns thick, slows down. Concentration of
ferrocene in the gas mixture significantly impacts the growth of CNTs. Reduction of
ferrocene concentration increases free melting energy and leads to the growth of
nanotubes with smaller diameter and to a fewer amount of walls – 2 or 3. Increasing
the ferrocene concentration over 1 % leads to a decrease in the quality of nanotubes
growth. The authors analyze the technological possibilities of free-standing nanotubes formation.
Key words: carbon nanotubes, thermodynamics of growth, clusters, catalyst.
Исследования последних лет показали, что рост углеродных нанотрубок (УНТ) можно успешно совмещать с процессами кремниевой планарной
технологии [1, 2]. Это открывает перспективы создания многофункциональных наноструктурированных материалов с новыми уникальными свойствами.
Для успешной реализации данной задачи необходимо, чтобы рост УНТ был
управляемым с предсказуемыми параметрами. Оптимизация технологического процесса осложняется большим количеством факторов, определяющих качественные показатели углеродных нанотрубок. В зависимости от способа
роста нанотрубок рост температуры УНТ может изменяться в диапазоне
от 400 °C [3, 4] до 3600 °С [5]. Росту многостенных УНТ благоприятствуют,
как правило, температуры от 500 до 1000 °С, а рост одностенных углеродных
нанотрубок (ОУНТ) происходит при более высоких температурах, хотя в последнее время сообщалось о росте ОУНТ при 750 °С [6, 7]. Важную роль при
росте УНТ играет катализатор. Применяются различные методы формирования наночастиц катализаторов [8, 9]. Например, используется предварительное испарение металла катализатора в виде тонкой пленки [10, 11]. Применяются жидкие катализаторы [12, 13]. Эти методы различаются с точки зрения
источника, целевых приложений, стоимости и окончательных свойств получаемых УНТ. Кристаллическая структура УНТ, спиральность, диаметр, темп
роста зависят от типа катализатора [14, 15]. Однако, несмотря на значительное количество публикаций, далеко не всегда удается вырастить нанотрубки
нужного качества.
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В настоящей работе исследуется влияние толщины подслоя катализатора на скорость роста массива углеродных нанотрубок, влияние концентрации
ферроцена и других факторов на получение отдельно стоящих нанотрубок.
1. Влияние подслоя катализатора
Были изготовлены образцы массивов УНТ, топология которых представляла ступенчатую змейку. Шаг ступени варьировался от 25 до 180 мкм,
а толщина меандра в змейке – от 1,5 до 30 нм. Основу змейки составляли меандры FeNiCo20/Al, где толщина Al равна 10 нм для каждого образца, а толщина пленки катализатора FeNiCo20, напыленной на Al, составляла на I образце
1,5 нм, на II образце 2,5 нм и на III образце 3,5 нм.
Синтез УНТ протекал при температуре 700 °С в течение 5 мин, расход
Ar составлял 200 см3/мин, а реактива (0,5 % ферроцена в этаноле) – 6 г/ч. На
всех образцах были получены растровым электронным микроскопом (РЭМ)
изображения, по которым определялась длина нанотрубки в массиве. Экспериментальные данные показывают, что формирование топологического рисунка на поверхности образца приводит к уменьшению скорости роста массивов
УНТ, причем с уменьшением толщины каталитической пленки падает и скорость роста УНТ. Эксперименты показывают, что этот эффект усиливается
с уменьшением ширины меандра катализатора. На меандрах толщиной 5 мкм
уменьшение скорости роста заметнее по сравнению с меандрами толщиной
10 мкм (рис. 1). Полученный результат показывает влияние геометрических
размеров топологического рисунка на скорость роста УНТ. На пластинусвидетель рисунок не наносился. Высота массива составила 68 мкм, хотя толщина подслоя катализатора составляла 1,5 нм.
Высота массива УНТ, мкм
8
6
4
2
0
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Толщина пленки, нм
□ – толщина меандра 10 мкм, ○ – толщина меандра 5 мкм
Рис. 1. Зависимость высоты массива от толщины пленки FeNiCo20
Для подтверждения влияния толщины пленки на скорость роста УНТ
был проведен эксперимент, в котором толщину пленки уменьшали при помощи ионного пучка, причем на одном ребре меандра были выполнены обра-
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
ботки с разной длительностью, в результате чего были сформированы разные
толщины пленок. РЭМ изображение массива УНТ, сформированного в данной области, представлено на рис. 2. Представленное изображение демонстрирует уменьшение высоты массива УНТ с увеличением времени обработки ионным пучком, что равносильно уменьшению толщины пленки. Поставленный эксперимент наглядно демонстрирует зависимость высоты массива
УНТ от толщины пленки катализатора.
Рис. 2. РЭМ изображение области меандра с массивом УНТ на подложках,
у которых подслой катализатора подвергался травлению ионным пучком
с разной длительностью обраотки (t1 < t2 < t3 < t4 < t5)
Важно отметить, что на образцах-свидетелях, без топологического рисунка данный эффект не проявляется, хотя толщина подслоя пленки катализатора была в этом случае самая тонкая. Это позволяет отвергнуть предположение о каком-либо влиянии диффузии алюминия в катализатор. Возможно,
что при росте массива углеродные трубки заряжаются, возникает электрическое поле, способствующее их росту. Вероятно, с уменьшением толщины
массива и подслоя катализатора это поле уменьшается. Данное предположение является одним из возможных объяснений эффекта и требует дальнейшего исследования. Это предположение подтверждается особенностями роста
массива на топологическом рисунке. РЭМ изображения такого массива приведены на рис. 3. Заметно, что по мере удаления от краев высота массива
проседает. Этот факт не противоречит приведенному выше предположению.
В заключение отметим, что полученные результаты подтверждают, что
на скорость роста УНТ влияют не только толщина каталитической пленки, но
и размеры топологического рисунка. Сравнение массивов УНТ выращенных
на образцах, подготовленных при помощи фотолитографии и литографии
ионным пучком позволяет сделать вывод о влиянии дополнительных технологических операций при фотолитографии на рост УНТ. Поэтому при проведении синтеза отдельных УНТ необходимо учитывать толщину каталитической пленки и корректировать время синтеза УНТ.
2. Влияние концентрации ферроцена
в газовой смеси на формирование УНТ
В качестве растворителя ферроцена и источника углерода использовался этанол марки «Экстра». Для проведения синтеза УНТ методом CVD ис-
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
пользовалась установка УНТ-3, специально разработанная для работы с жидкими углеводородами или растворами металлорганических соединений, такими как ферроцен.
а)
б)
Рис. 3. РЭМ изображения массива УНТ, выращенного на подложке
с топологическим рисунком: а – вид сверху; б – вид сбоку
Разработанный метод синтеза УНТ с использованием совмещенного
катализатора позволяет проводить синтез наноструктур в диапазоне температур от 600 до 800 °С с возможностью роста массива УНТ в заданной точке
подложки, при этом характерный диаметра УНТ в массиве можно варьировать в диапазоне от 4 до 15 нм с регулируемой плотностью УНТ. Высота массива может задаваться от 2 мкм и выше. Концентрация ферроцена в этаноле
варьируется от 0,1 до 1 %, что ограничивает внедрение железа в полость и
стенки УНТ.
Для синтеза массивов УНТ использовались подложки на основе кремния размерами 6×6 мм2 с нанесенными на поверхность пленками Al и
FeNiCo6 толщинами 26 и 1,5 нм, соответственно. Синтез протекал при температуре 700 °С в течение 15 мин. Расход Ar составлял 200 см3/мин, расход раствора ферроцена (концентрация 0,1 и 1 %) в этаноле – 3 г/ч.
Изображения массива УНТ, полученные с помощью ПЭМ, представлены на рис. 4. Визуально заметно, что уменьшение концентрации ферроцена
приводит к уменьшению диаметра УНТ. С использованием полученных
изображений массивов УНТ были построены диаграммы распределения УНТ
по диаметрам для разных концентраций ферроцена (рис. 5). Из представленных диаграмм видно, что разброс по диаметрам УНТ в случае концентрации
ферроцена 0,1 % минимальный, а характерный диаметр равен 3–4 нм. В случае увеличения концентрации ферроцена до 1 % разброс по диаметрам увеличивается с увеличением характерного диаметра до 5–7 нм.
Характерный диаметр УНТ, равный 3–4 нм, указывает, что синтезируемые УНТ имеют малое число стенок. В работе [16] также получались массивы УНТ с характерным диаметром, равным 3–4 нм, а измеренное число стенок не превышало трех. Проводя аналогию между нашими результатами и
работы [16], можно сделать вывод, что число стенок в синтезируемых нами
массивах УНТ не превышает трех. Используемый нами источник углеводорода – этанол для синтеза массивов УНТ в присутствии паров воды на локализованном катализаторе имеет преимущество перед газообразными углево-
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
дородами, так как формируемая азеотропная смесь этанола и воды однозначно определяет концентрацию паров воды в процессе синтеза УНТ, что повышает повторяемость при проведении экспериментов.
а)
б)
Рис. 4. Изображения УНТ, полученные в просвечивающем электронном микроскопе:
а – концентрация ферроцена 1 %; б – концентрация ферроцена 0,1 %
а)
б)
Рис. 5. Диаграммы распределения УНТ по диаметрам:
а – концентрация ферроцена 1 %; б – концентрация ферроцена 0,1 %
Увеличение концентрации ферроцена в растворе более 1 % при проведении синтеза приводит к росту массива УНТ с дефектами. На поверхности
массива происходит формирование «иголок», которые имеют витиеватую
структуру, а в самом массиве, кроме УНТ малого диаметра (меньше 15 нм),
присутствуют углеродные формирования диаметром порядка 100 нм. Из
представленных экспериментальных результатов следует, что увеличение
концентрации ферроцена приводит к уменьшению однородности структуры
синтезированных массивов УНТ.
Для того чтобы понять характер изменения распределения, приведенного на рис. 2 с изменением концентрации ферроцена, необходимо принять
во внимание тот факт, что при росте УНТ в объеме катализатора увеличивается концентрация карбидов железа. Их концентрация в нанокапле катализатора определяется соотношением углеводорода и ферроцена в газовой смеси.
При малой концентрации ферроцена углеводородов относительно больше и
при этом в капле больше карбида железа. Можно предположить, что это из-
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
меняет эффективный коэффициент поверхностного натяжения (  ef ) , введенный в работе [16]. Вместе с этим изменяется характер распределения, задаваемый формулой (1) [16]:
3

1
2

3



H  4a 2  ef  ni  3   

Fe
1
N
 8   ,
Ni  aFe  Ri  ni
exp 
kT


ni






(1)
где aFe – активность железа в газовой фазе; Ri – фактор вырождения кластера, равный для газовой фазы 1; ni – количество атомов железа в кластере;
N Fe – концентрация атомов железа при насыщении газовой фазы, определяется по закону Клайперона – Менделеева; H – энтальпия испарения атома
железа из расплава; а – параметр решетки железа в расплаве.
Железо в кластерах имеет объемно-центрированную элементарную
ячейку. Она имеет объем а3 и в этом объеме находятся 2 атома. Соответственно объем кластера а3ni/2, а его радиус можно вычислить по формуле
1
 3 a3ni  3
ri  
 .
 8  
(2)
Подставим (2) в (1) и получим распределение кластеров по размерам
в явном виде:
3a3  ef
 b
.
Ni  exp    , где b 
2kT
ri3
 ri 
A
(3)
Формула для распределения кластеров по размерам качественно согласуется с результатами эксперимента на рис. 2. Распределение имеет асимметричный вид и достигает максимума, когда радиус кластера принимает
значение
ri max  b / 3 .
(4)
Проведенный анализ показывает, что при увеличении процентного содержания углеводорода в газовой смеси по сравнению с ферроценом коэффициент поверхностного натяжения увеличивается.
3. Получение отдельно стоящих УНТ
Для формирования массивов ориентированных УНТ был использован
синтез, основанный на самоорганизации тонкой субнанометровой пленки металла катализатора заданной площади в один нанокластер. Разработанный
метод синтеза УНТ позволяет проводить синтез наноструктур в диапазоне
температур от 600 до 800 °С с возможностью роста массива УНТ в заданной
точке подложки, при этом характерный диаметра УНТ в массиве можно варьировать в диапазоне от 4 до 15 нм с регулируемой плотностью УНТ. Высота массива может задаваться от 2 мкм и выше.
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
Проведенные нами исследования влияния скорости подачи реактива на
структуру массива УНТ показали, что уменьшение расхода реактива приводит к уменьшению плотности массива вплоть до формирования отдельно
расположенных УНТ с падением скорости роста УНТ. На рис. 6 показан массив отдельно растущих УНТ, синтезированный при расходе реактива 0,6 г/ч.
Предложенный вариант позволяет получать отдельно расположенные УНТ,
но в результате уменьшения расхода реактива процесс синтеза становится
недостаточно воспроизводимым и требует стабилизации дополнительных параметров, таких как концентрация остаточного кислорода, нестабильность
работы системы испарения при малых расходах.
Рис. 6. РЭМ изображение отдельно расположенных УНТ
при расходе реактива 0,6 г/ч и температуре роста 750 °С
Рассматривался эффект влияния ионной предобработки поверхности
кремния на рост УНТ. Опираясь на эти результаты, мы подвергали ионной
обработке образцы кремния с осажденными пленками Ni/Al или Ni/Al/Ti. Образцы отжигались при температуре 700 °С в течение 10 мин, а расход аргона
составлял 200 см3/мин. Синтез УНТ протекал при 700 °С в течение 5 мин. Расход аргона был равен 200 см3/мин, а реактива (0,5 % ферроцена в этаноле) –
6 г/ч. Примем эксперименты, поставленные по данной методике, за стандартные для упрощения интерпретации экспериментальных данных. На рис. 7
представлены типичные РЭМ изображения для данной серии экспериментов.
На обоих образцах полученные массивы УНТ состоят из отдельно расположенных неупорядоченных УНТ. Проведенный эксперимент показывает
возможность формирования разреженных массивов УНТ на поверхности
с напыленным каталитическим слоем, подвергнутым ионному травлению.
Следует отметить, что синтезированные УНТ на пленке Ni/Al/Ti имеют ровную структуру и больший диаметр по сравнению с УНТ, полученными на
пленке Ni/Al.
Для понимания, какие параметры влияют на формирование разреженных массивов УНТ после ионной обработки поверхности был проведен ряд
экспериментов. Для исследования влияния длительности времени синтеза на
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
рост разреженных массивов УНТ был проведен эксперимент, в котором использовались образцы, где на поверхность кремния наносилась пленка Al
толщиной 10 нм и пленка Ni толщиной 10 нм. Полученные структуры подвергались ионной обработке в течение 9 мин. После этого проводился синтез
УНТ с использованием стандартных параметров процесса, при этом варьировалась длительность синтеза от 2 до 10 мин. Было установлено, что увеличение длительности синтеза не приводит к увеличению длины и плотности
УНТ. Данный эффект можно связать с отравлением катализатора атомами
кремния, которые диффундируя в зародыш роста УНТ образуют интерметаллиды, блокирующие рост УНТ.
а)
б)
Рис. 7. РЭМ изображение УНТ, синтезированных после ионной
обработки пленки Ni/Al: а – на титане; б – на кремнии
Для преодоления отрицательного влияния атомов кремния на рост УНТ
были созданы буферные слои, препятствующие отравлению катализатора.
Для этого на поверхности кремния формировался оксид кремния толщиной
200 нм, чтобы предотвратить отравление катализатора кремнием после ионной обработки; далее на поверхность SiO2 наносился слой Al толщиной 10 нм
и слой Ni толщиной 10 нм. С использованием данных образцов было изучено
влияние длительности ионной обработки на синтез разреженных массивов
УНТ. Полученные образцы подвергались ионной обработке разной длительности (7, 9 и 11 мин). Энергия ионов аргона равнялась 600 эВ. Далее полученные образцы использовались для синтеза УНТ при стандартных условиях
синтеза. Длительность эксперимента варьировалась от 1 до 5 мин.
Увеличение длительности ионной обработки приводит к уменьшению
плотности нанотрубок, причем УНТ изгибаются случайным образом и прижимаются к подложке, в отличие от УНТ, выросших в плотном массиве. Это
связано с влиянием сил различной природы (электростатических, гравитационных, магнитных и т.д.) на ориентацию УНТ. В плотном массиве УНТ испытывают взаимное влияние и указанные случайные воздействия взаимно
компенсируются рядом стоящими трубками.
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
В целом влияние ионной обработки связано с тем, что в этом процессе
происходит распыление пленки Ni и внедрение атомов Ni в слой Al, при этом
процесс травления не может протекать равномерно, так как в объеме пленки
присутствуют различные дефекты и неоднородности, приводящие к увеличению или уменьшению скорости травления. В результате на поверхности
остаются островки Al c внедренными атомами Ni, и чем больше время травления, тем меньше плотность островков в итоге. Данные островки являются
каталитическими центрами, так как в присутствии Ni распад ферроцена ускоряется.
Увеличение времени синтеза приводит к существенному росту УНТ,
при этом они не способны ориентироваться вертикально. Диаметр синтезированных УНТ равен приблизительно 40 нм, что значительно больше характерного диаметра УНТ (5–7 нм), синтезированных при тех же условиях на подложке, не подвергнутой ионной обработке. Увеличение диаметра УНТ, возможно, связано с увеличением удельной концентрации ферроцена, приходящейся на долю атомов никеля, плотность которых падает на поверхности после ионной обработки. В результате чего в заданной точке может сформироваться зародыш УНТ большего диаметра, поэтому при проведении синтеза
разреженных массивов надо проводить корректировку концентрации ферроцена в меньшую сторону.
Полученные нанотрубки на поверхности кремния и оксида кремния закручиваются в процессе роста, в результате чего при подаче на них потенциала может не произойти выпрямление, если их длина слишком велика, что
скажется на электрофизических характеристиках.
Для исследования роста УНТ на поверхности Ti были изготовлены два
типа образцов. Первый тип образцов представляет собой титан толщиной
200 нм, нанесенный через маску на поверхность кремния, на который наносят
никель магнетронным распылением и после чего его удаляют химическим
способом, чтобы не активировать поверхность для роста УНТ, где нет титана.
После таких операций поверхность титана становится рельефной. Второй тип
образцов представляет собой титан толщиной 200 нм, нанесенный на поверхность кремния, который подвергается химическому травлению в течение разных промежутков времени (20, 40 и 65 с) для формирования на поверхности
Ti неоднородностей.
Проведенный синтез по стандартной методике показал, что выросшие
нанотрубки имеют малую длину (< 1 мкм) при диаметре 30–50 нм, а в случае
титана, на поверхность которого не производилось нанесение никеля, рост
отсутствует полностью. Выше упоминалось, что увеличение температуры
способствует появлению паразитного роста, интенсивность которого зависит
от концентрации ферроцена, поэтому температуру синтеза мы увеличили до
800 °С, а концентрацию ферроцена уменьшили в этаноле с 0,5 до 0,2 %, чтобы уменьшить паразитный рост УНТ. Длительность синтеза УНТ составила
5 мин. На рис. 8 представлены РЭМ изображения УНТ, выросших на поверхности титана, на который в процессе изготовления образцов наносился никель. Сформированный массив УНТ имеет неупорядоченную и разряженную
структуру, состоящую преимущественно из ровных УНТ. При этом сформированные УНТ имеют форму цилиндра (рис. 3,б) или конуса (рис. 8,в), а аспектное соотношение варьируется от 1:50 и более. С точки зрения эмиссии
УНТ, имеющие форму конуса, могут быть предпочтительнее.
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
а)
б)
в)
Рис. 8. РЭМ изображение УНТ, выросших на поверхности Ti, на которую
наносился и удалялся Ni: а – общий план; б – УНТ конической формы;
в – УНТ цилиндрической формы
В случае формирования УНТ на поверхности титана, который подвергался химической обработке в течение 20 с без нанесения никеля, плотность
УНТ меньше, а высота УНТ не превышает 1 мкм, при этом рельефность титана по сравнению с первым типом образцов меньше.
Таким образом, при формировании топологии методами фотолитографии следует учитывать толщину каталитического слоя и размеры топологического рисунка. Уменьшение ферроцена в газовой смеси приводит к увеличению коэффициента поверхностного натяжения катализатора. При использовании совмещенного катализатора наблюдаются следующие закономерности, влияющие на синтез и структуру массивов отдельно стоящих УНТ.
Во-первых, перед нанесением каталитического слоя необходимо формировать буферный слой для предотвращения отравления катализатора атомами
кремния. Заметим, что на рост УНТ влияет тип буферного слоя и рельеф поверхности. Во-вторых, подслой титана способствует формированию прямых
УНТ с нужным аспектным соотношением. Благодаря ионной обработке поверхности массива можно управлять плотностью УНТ вплоть до формирования отдельно расположенных УНТ.
Список литературы
1. E i n a r s s o n , E . Minimal bundling of single-walled carbon nanotubes comprising vertically aligned films / Erik Einarsson, Hidetsugu Shiozawa, Christian Kramberger,
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Физика
Mark H. Rummeli, Alex Gruneis, Thomas Pichler, and Shigeo Maruyama. – URL:
http://arxiv.org/PS_cache/cond-mat/pdf/0702/0702630v1.pdf
2. Ж б а н о в, А . И . Устройства наноэлектроники на основе углеродных нанотрубок /
А. И. Жбанов, Н. И. Синицын, Г. В. Торгашов // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. – 2004. – Т. 47, № 5–6. – Р. 487.
3. S h y u , Y . M . Low-temperature growth and field emission of aligned carbon nanotubes by chemical vapor deposition / Y. M. Shyu and F. C. N. Hong // Materials Chemistry and Physics. – 2001. – V. 72. – P. 223–227.
4. S h y u , Y . M . The effects of pre-treatment and catalyst composition on growth of carbon nanofibers at low temperature / Y. M. Shyu and F. C. N. Hong // Diamond and Related Materials. – 2001. – V. 10. – P. 1241–1245.
5. L a p l a ze , D . Carbon nanotubes: dynamics of synthesis processes / D. Laplaze et al. //
Carbon. – 2002. – V. 40. – P. 1621–1634.
6. H a t a , K . Waterassisted highly efficient synthesis of impurity-free single-waited carbon nanotubes / K. Hata et al. // Science. – 2004. – V. 306. – P. 1362–1364.
7. K i m , M . J . Efficient transfer of a VASWNT film by a flip-over technique /
M. J. Kim et al. // Journal of the American Chemical Society. – 2006. – V. 128. –
P. 9312–9313.
8. F a n , S . S . Self-oriented regular arrays of carbon nanotubes and their field emission
properties / S. S. Fan et al. // Science. – 1999. – V. 283. – P. 512–514.
9. K o n g , J . AChemical vapor deposition of methane for single-walled carbon nanotubes /
J. Kong, A. M. Cassell and H. J. Dai // Chemical Physics Letters. – 1998. – V. 292. –
P. 567–574.
10. M e r k u l o v , V . I . Shaping carbon nanostructures by controlling the synthesis process / V. I. Merkulov et al. // Applied Physics Letters. – 2001. – V. 79. – P. 1178–1180.
11. C h h o w a l l a , M . Growth process conditions of vertically aligned carbon nanotubes
using plasma enhanced chemical vapor deposition / M. Chhowalla et al. // Journal of
Applied Physics. – 2001. – V. 90. – P. 5308–5317.
12. S e n , R . Metal-billed and hollow carbon nanotubes obtained by the decomposition of
metal-containing free precursor molecules / R. Sen, A. Govindaraj and C. N. R. Rao //
Chemistry of Materials. – 1997. – V. 9. – P. 2078–2081.
13. N i k o l a e v , P . Gas-phase catalytic growth of single-walled carbon nanotubes from
carbon monoxide / P. Nikolaev et al. // Chemical Physics Letters. – 1999. – V. 313. –
P. 91–97.
14. L e e , C . J . Catalyst effect on carbon nanotubes synthesized by thermal chemical vapor deposition / C. J. Lee, J. Park and J. A. Yu // Chemical Physics Letters. – 2002. –
V. 360. – P. 250–255.
15. A n d r e w s , R . Multiwall carbon nanotubes: Synthesis and application / R. Andrews,
D. Jacques, D. L. Qian and T. Rantell // Accounts of Chemical Research. – 2002. –
V. 35. – P. 1008–1017.
16. Б у л я р с к и й , С . В. Расчет параметров нуклеации кластеров катализаторов для
роста углеродных нанотрубок / С. В. Булярский, А. С. Басаев, В. А. Галперин
и др. // Известия вузов. Электроника. – 2010. – № 3 (83). – С. 38–44.
Булярский Сергей Викторович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
инженерной физики, Ульяновский
государственный университет
Bulyarsky Sergey Viktorovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of engineering physics, Ulyanovsk
State University
E-mail: bsv@ulsu.ru
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Басаев Александр Сергеевич
кандидат физико-математических наук,
заместитель директора ГНЦ НПК
«Технологический центр», г. Москва
Basaev Alexander Sergeevich
Candidate physical and mathematical
sciences, vice director of “Technological
center”, Moscow
E-mail: bsv@ulsu.ru
УДК 538.95; 539.21
Булярский, С. В.
Особенности управляемой технологии углеродных нанотрубок /
С. В. Булярский, А. С. Басаев // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 2 (18). –
С. 141–152.
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4, 2008
Технические науки. Сведения об авторах
Вниманию авторов!
Редакция журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки» приглашает специалистов опубликовать на его страницах оригинальные статьи, содержащие новые научные результаты в области математики, физики, механики, а также обзорные статьи по тематике журнала.
Статьи, ранее опубликованные, а также принятые к опубликованию в других
журналах, редколлегией не рассматриваются.
Редакция принимает к рассмотрению статьи, подготовленные с использованием текстового редактора Microsoft Word for Windows версий не выше 2003.
Необходимо представить статью в электронном виде (VolgaVuz@mail.ru, дискета 3,5'', СD-диск) и дополнительно на бумажном носителе в двух экземплярах.
Оптимальный объем рукописи 10–14 страниц формата А4. Основной шрифт
статьи – Times New Roman, 14 pt через полуторный интервал. Тип файла в электронном виде – RTF.
Статья обязательно должна сопровождаться индексом УДК, краткой аннотацией и ключевыми словами на русском и английском языках.
Рисунки и таблицы должны быть размещены в тексте статьи и представлены в
виде отдельных файлов (растровые рисунки в формате TIFF, ВМР с разрешением
300 dpi, векторные рисунки в формате Corel Draw с минимальной толщиной линии
0,75 рt). Рисунки должны сопровождаться подрисуночными подписями.
Формулы в тексте статьи выполняются в редакторе формул Microsoft Word
Equation, версия 3.0 и ниже. Символы греческого и русского алфавита должны быть
набраны прямо, нежирно; латинского – курсивом, нежирно; обозначения векторов и
матриц прямо, жирно; цифры – прямо, нежирно. Наименования химических элементов набираются прямо, нежирно. Эти же требования необходимо соблюдать и в рисунках. Допускается вставка в текст специальных символов (с использованием
шрифтов Symbol).
В списке литературы нумерация источников должна соответствовать
очередности ссылок на них в тексте ([1], [2], …). Номер источника указывается в
квадратных скобках. В списке указывается:

для книг – фамилия и инициалы автора, название, город, издательство,
год издания, том, количество страниц;

для журнальных статей, сборников трудов – фамилия и инициалы автора,
название статьи, полное название журнала или сборника, серия, год, том, номер, выпуск, страницы;

для материалов конференций – фамилия и инициалы автора, название
статьи, название конференции, время и место проведения конференции, город, издательство, год, страницы.
В конце статьи допускается указание наименования программы, в рамках которой выполнена работа, или наименование фонда поддержки.
К материалам статьи должна прилагаться информация для заполнения учетного листа автора: фамилия, имя, отчество, место работы и должность, ученая степень,
ученое звание, адрес, контактные телефоны (желательно сотовые), e-mail.
Плата с аспирантов за публикацию рукописей не взимается.
Рукопись, полученная редакцией, не возвращается.
Редакция оставляет за собой право проводить редакторскую и допечатную
правку текстов статей, не изменяющую их основного смысла, без согласования с автором.
Статьи, оформленные без соблюдения приведенных выше требований, к
рассмотрению не принимаются.
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Уважаемые читатели!
Для гарантированного и своевременного получения журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки»
рекомендуем вам оформить подписку.
Журнал выходит 4 раза в год по тематике:
• математика
• физика
• механика
Стоимость одного номера журнала – 500 руб. 00 коп.
Для оформления подписки через редакцию необходимо заполнить и отправить
заявку в редакцию журнала: факс (841-2) 36-84-87, тел.: 36-84-87, 56-47-33;
Е-mail: VolgaVuz@mail.ru
Подписку на второе полугодие 2011 г. можно также оформить по каталогу
агентства «РОСПЕЧАТЬ» «Газеты. Журналы», тематический раздел «Известия высших учебных заведений». Подписной индекс – 82413.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
ЗАЯВКА
Прошу оформить подписку на журнал «Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки» на 2011 г.
№ 1 – ______ шт., № 2 – ______ шт., № 3 – ______ шт., № 4 – ______ шт.
Наименование организации (полное) __________________________________
__________________________________________________________________
ИНН ___________________________ КПП _____________________________
Почтовый индекс __________________________________________________
Республика, край, область____________________________________________
Город (населенный пункт) ___________________________________________
Улица ____________________________________ Дом ____________________
Корпус __________________________ Офис ____________________________
ФИО ответственного ________________________________________________
Должность ________________________________________________________
Тел. ________________ Факс ______________ Е-mail_____________________
Руководитель предприятия ____________________ ______________________
(подпись)
Дата «____» _________________ 2011 г.
154
(ФИО)
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа