close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

285.Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №2 2009

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
№ 2 (10)
2009
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Чугунова В. В. Об одном множестве функций ........................................................... 2
Миронов Д. А. Применение суперкомпьютерных вычислительных сред
для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи
дифракции на диэлектрическом теле ................................................................... 14
Бойков И. В., Кучумов Е. В. Об одном итерационном методе решения
интегральных уравнений Вольтерра .................................................................... 25
Долгарев А. И., Долгарев И. А. Некоторые приложения галилеевых методов ..... 39
Алехина М. А., Зиновьева С. М. Синтез асимптотически
оптимальных по надежности неветвящихся
программ в базисе { x1  x2 , x1 & x2 , x1 , stop}.................................................... 60
Долгарев И. А. Получение поверхностей одулярного галилеева пространства
с сибсоном по коэффициентам их квадратичных форм ..................................... 68
Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Аналитическое продолжение
функции Грина для уравнения Гельмгольца в слое............................................ 83
ФИЗИКА
Голованов О. А., Макеева Г. С., Савченкова М. В. Вычислительный алгоритм
определения дескрипторов автономных блоков с магнитными
нановключениями и каналами Флоке .................................................................. 91
Макеева Г. С., Голованов О. А., Савченкова М. В. Электродинамический
расчет ферромагнитного резонанса в магнитных композитных
наноматериалах на основе решеток ферромагнитных наносфер .................... 102
Амелин И. И. Роль различных поверхностей монокристалла CuO
в сверхпроводимости интерфейса CuO–Cu ....................................................... 110
Тимофеев В. Ю., Зайцев А. А. Моделирование тепловых полей в сложных
динамических системах средствами САПР....................................................... 115
Жуковский В. Ч., Горшков О. Н., Кревчик В. Д., Семенов М. Б.,
Смирнов Ю. Г., Чупрунов Е. В., Рудин В. А., Скибицкая Н. Ю.,
Кревчик П. В., Филатов Д. О., Антонов Д. А., Лапшина М. А.,
Шенина М. Е., Ямамото К. Особенности двумерных туннельных
бифуркаций в условиях внешнего электрического поля.................................. 123
Довыденков В. А., Ярмолык М. В., Буев А. Р., Леухин А. В., Сазонов А. Р.
Нанокристаллические материалы с термически устойчивой структурой ...... 136
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
МАТЕМАТИКА
УДК 519.718
В. В. Чугунова
ОБ ОДНОМ МНОЖЕСТВЕ ФУНКЦИЙ
Аннотация. Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадежных функциональных элементов в базисах, содержащих функцию h(x1, ..., x2k 1 )
множества H2k + 1. Предполагается, что базисные элементы независимо друг от
друга с вероятностью  (  (0; 1/2)) подвержены инверсным неисправностям
на входах элементов. В работе показано: 1) в произвольном конечном полном
базисе B, содержащем функцию h(x1, ..., x2k 1 ) множества H2k + 1, все булевы
функции можно реализовать схемами с ненадежностью не более ak+1 + k+2
1
при  
, где a = C2kk11 , m – наибольшее число входов элементов
2
48am (2k  1)
в полном конечном базисе B; 2) в базисе B , содержащем все функции, зависящие не более чем от двух переменных, и функцию h(x1, ..., x2k 1 )  H2k + 1,
функции 0, 1, x1, x2, …, xn можно реализовать абсолютно надежно, а все остальные функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически
(при   0) равной ak+1, где a = C2kk11 .
Ключевые слова: булевы функции, синтез, асимптотически оптимальные по
надежности схемы.
Abstract. The realization of Boolean functions with circuits of unreliable functional
elements in bases, contained the function h(x1, ..., x2k 1 ) from set H2k + 1 is considered. The basis elements are supposed to be prone to inverse faults on element inputs
independently from each other with the probability (  (0; 1/2)). I this work there are
demonstrated: 1) in arbitrary finite full basis B, contained function h(x1, ..., x2k 1 )
of set H2k + 1, all Boolean functions are possible to realize with circuits with reliabil1
ity at most ak+1 + k+2 at  
, where a = C2kk11 , m is the greatest
2
48am (2k  1)
number of element inputs in finite full basis B; 2) in basis B , contained all functions, depended at most on two variables, and the function h(x1, ..., x2k 1 )  H2k + 1,
functions are possible to realize with asymptotically optimal on reliability circuits,
worked with unreliability, asymptotically equal to ak+1 (at   0), where a = C2kk11 .
Keywords: boolean functions, asymptotically optimal reliable circuits.
Впервые задачу синтеза надежных схем из ненадежных элементов рассматривал Дж. фон Нейман [1]. Он предполагал, что все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью  ( < 1/2 ) подвержены инверсным
неисправностям на выходах, когда функциональный элемент с приписанной
ему булевой функцией e( x ) в неисправном состоянии реализует e ( x ) .
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
Для повышения надежности схем Дж. фон Нейман использовал схему, реализующую функцию голосования g1 ( x1 , x2 , x3 )  x1 x2  x1x3  x2 x3 . Позднее
М. А. Алехина и С. И. Аксенов ввели в рассмотрение новые классы функций,








корректирующих ошибки: G1 = { x1 1 x2 2  x1 1 x3 3  x2 2 x3 3 }, G2 = { x1 1 x2 2 






 x3 3 x4 4 }, G3 = {( x1 1  x2 2 )&( x3 3  x4 4 )} (где i  {0, 1}, i = 1, 2, 3, 4).
С. И. Аксенов показал [2], что при инверсных неисправностях на выходах элементов наличие любой из функций множества G = G1  G2  G3 в заданном полном базисе Б гарантирует реализацию произвольной булевой
функции схемой, функционирующей с вероятностью ошибки не больше
 + c2 , где  ≤ d, c, d – некоторые положительные константы.
В работе [3] М. А. Алехина ввела новый класс функций M k , повышающих надежность схем, и доказала для него теорему 1. Множество M k –
множество всех булевых функций m( x1 , ..., xk ) (k  3), обладающих свойством: найдется такой набор (b1 , ..., bk ) , что на нем и всех соседних с ним наборах функция m( x1 , ..., xk ) принимает значение 0, а на наборе (b1 , ..., bk ) и всех
соседних с ним наборах – значение 1. Наборы (b1 , ..., bk ) и (b1 , ..., bk ) называются характеристическими наборами функции m( x1 , ..., xk ) .
Теорема 1 [3]. Пусть f ( x1 , ..., xn ) – произвольная булева функция, а S –
схема, ее реализующая с ненадежностью P(S) ≤ p. Пусть схема Sm реализует
функцию m( x1 , ..., xk )  M k и P( Sm )  p . Обозначим v1 и v0 – вероятности
ошибок схемы Sm на характеристических наборах. Тогда функцию
f ( x1 , ..., xn ) можно реализовать такой схемой (S), что P((S)) ≤ max{v1, v0} +
+ cp2 , где положительная константа c  kCk[ k / 2] .
Следствие 1. Пусть полный базис Б содержит функцию m( x1 , ..., xk ) 
 M k , а функциональные элементы с вероятностью  подвержены инверсным неисправностям на выходах. Пусть f ( x1 , ..., xn ) – произвольная булева
функция, а S – схема, реализующая ее с ненадежностью P(S) ≤ s (s – положительная константа). Тогда функцию f ( x1 , ..., xn ) можно реализовать такой
схемой A над Б, что P(A) ≤  + c2 (положительная константа c  kCk[ k / 2] s 2 ).
Из рассмотренных выше результатов следует, что существуют такие
булевы функции, наличие которых в рассматриваемом базисе при инверсных
неисправностях на выходах позволяет реализовать почти все булевы функции
асимптотически оптимальными по надежности схемами с ненадежностью 
(при   0).
Пусть функциональные элементы подвержены инверсным неисправностям на входах. Эти неисправности характеризуются тем, что поступающее
на каждый вход элемента значение a (a  {0, 1}) с вероятностью  (0 <  < 1/2)
может превратиться в значение a . Очевидно, что при инверсных неисправностях на входах с увеличением t – числа входов каждого элемента базиса Б,
его ненадежность увеличивается до t . Возникает вопрос: можно ли при инверсных неисправностях на входах элементов реализовать произвольную бу-
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
леву функцию схемой с ненадежностью порядка [t/2] + 1 (где t  3)? Ответ на
него получен в этой статье.
Пусть Pf ( a ) ( S , a ) – вероятность появления значения f (a ) на выходе
схемы S, реализующей булеву функцию f ( x )  f ( x1 , ..., xn ) при входном наборе a . Ненадежность P(S) схемы S определяется как максимальное из чисел
Pf ( a ) ( S , a ) при всевозможных входных наборах a . Надежность схемы S равна 1 – P(S).
Обозначим P ( f )  inf P ( S ) , где S – схема из ненадежных элементов,
реализующая булеву функцию f ( x ) . Схему A из ненадежных элементов, реализующую булеву функцию f ( x ) , назовем асимптотически оптимальной
(наилучшей) по надежности, если P(A)  P ( f ) при   0.
Рассмотрим множество функций H2k + 1, содержащее функции h(x1, ...,
x2k + 1), существенно зависящие от (2k + 1) (где k = 1, 2, ...) переменных и обладающие свойствами:
1) найдется такой набор значений переменных b  (b1 , ..., b2k 1 ) , что на
нем и на всех наборах a  (a1 , ..., a2k 1 ) таких, что
(a , b ) 
2 k 1
  ai  bi   k ,
i 1
функция принимает значение 0, т.е. h(b )  h(a )  0 ;
что
2) на наборе b  (b1 , ..., b2k 1 ) и на всех наборах c  (c1 , ..., c2k 1 ) , таких,
(c , b ) 
2 k 1
  ci  bi   k ,
i 1
функция принимает значение 1, т.е. h(b )  h(c )  1 .
Наборы b  (b1 , ..., b2k 1 ) и b  (b1 , ..., b2k 1 ) назовем характеристическими наборами функции h(x1, ..., x2k + 1).
Функции множества H2k+1 можно представить в виде ДНФ. Для этого
фиксируем числа 1, 2, ..., 2k+1  {0, 1} и получаем соответствующую им
функцию:
h( x1 , ..., x2k 1 ) 

i1 ,i2 ,..., ik 1{1, 2, ..., 2 k 1}
i j i p



1
2
k 1
xi i 1 xi i 2 ... xi i k 1 ,
где под знаком дизъюнкции стоят все возможные элементарные конъюнкции
ранга (k + 1) от (2k + 1) переменных (их C2kk11 штук).
Число функций во множестве H2k + 1 равно: |H2k + 1| = 22k + 1.
Пример 1. При k = 1 множество рассматриваемых функций H3 имеет






вид: h( x1 , x2 , x3 ) = x1 1 x2 2  x1 1 x3 3  x2 2 x3 3 , где i  {0, 1}, i = 1, 2, 3.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
Пример 2. При k = 2 и 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 1 функция множества H5
может быть задана СДНФ: h( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = x1x2 x3 x4 x5  x1 x2 x3 x4 x5 
 x1x2 x3 x4 x5  x1x2 x3 x4 x5  x1 x2 x3 x4 x5  x1x2 x3 x4 x5  x1x2 x3 x4 x5 
 x1x2 x3 x4 x5  x1x2 x3 x4 x5  x1 x2 x3 x4 x5  x1x2 x3 x4 x5  x1x2 x3 x4 x5 
 x1x2 x3 x4 x5  x1x2 x3 x4 x5  x1 x2 x3 x4 x5  x1 x2 x3 x4 x5 .
Минимизируя СДНФ, получим: h(x1, x2, x3, x4, x5) = x1 x2 x3  x1 x2 x4 
 x1 x2 x5  x2 x3 x4  x2 x3 x5  x3 x4 x5  x2 x4 x5  x1 x3 x4  x1 x3 x5  x1 x4 x5.
В случае k = 2 и произвольных i  {0, 1}, рассуждая аналогично, по





лучим: h( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = x1 1 x2 2 x3 3  x1 1 x2 2 x4 4




















 x1 1 x2 2 x5 5 




 x2 2 x3 3 x4 4  x2 2 x3 3 x5 5  x3 3 x4 4 x5 5  x2 2 x4 4 x5 5  x1 1 x3 3 x4 4  x1 1 x3 3 x5 5 
 x1 1 x4 4 x5 5 , где i  {0, 1}, i = 1, 2, 3, 4, 5.
Теорема 2. Пусть полный базис B содержит функцию h(x1, ..., x2k+1) 
 H2k + 1, а функциональные элементы с вероятностью  подвержены инверсным неисправностям на входах. Допустим, что произвольную булеву функцию f ( x ) можно реализовать такой схемой S, что P(S) ≤ p. Тогда функцию
f ( x ) можно реализовать такой схемой (S) над B, что
P((S)) ≤ ak + 1 + (2k + 1)ap2,
(1)
где a  C2kk11 .
Доказательство. Пусть f ( x ) – произвольная булева функция, а S –
схема, реализующая ее с ненадежностью P(S) ≤ p в базисе B, содержащем
функцию h(x1, ..., x2k+1), удовлетворяющую условиям теоремы 2. Пусть элемент Eh реализует функцию h(x1, ..., x2k+1) и P(Eh) ≤ p. Так как множество
функций H2k + 1  M2k + 1, то для функций h(x1, ..., x2k+1) утверждение теоремы 1
справедливо.
Найдем вероятности ошибок на выходе функционального элемента
1   2  C2kk11 k 1 (1  )k 
+ C2kk21 k  2 (1  ) k 1 + ... + C22kk1 2k (1  ) + C22kk112 k 1 ≤ C2kk11 k 1 .
Используя теорему 1, по схеме S построим такую схему (S), ненадежность которой: P((S)) ≤ a k 1  cp 2 , где a = C2kk11 , c ≤ (2k + 1)a.
Схема (S) является искомой схемой (S).
Теорема 2 доказана.
Следствие 1. При k = 1 неравенство (1) принимает вид
Eh
на
характеристических
наборах:
P((S)) ≤ 32 + 9p2.
(2)
Следствие 2. При k = 2 неравенство (1) принимает вид
P((S)) ≤ 103 + 50p2.
(3)
Следствие 3. При k = 3 неравенство (1) принимает вид
P((S)) ≤ 354 + 245p2.
(4)
Следствие 4. При k = 4 неравенство (1) принимает вид
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
P((S)) ≤ 1265 + 1134p2.
(5)
1
Пусть B – произвольный конечный полный базис, содержащий хотя бы
одну из функций множества H3, а m – наибольшее число входов элементов
базиса B1 (m  3). Тогда в базисе B1 справедлива теорема 3.
Теорема 3. При  ≤ 1/(432m2) любую булеву функцию f ( x ) в полном
конечном базисе B1 можно реализовать такой схемой S, ненадежность которой P(S) ≤ 32 + 3.
Для доказательства теоремы 3 используем леммы 1 и 2.
Лемма 1 [2]. Если B – конечный полный базис, тогда функцию штрих
Шеффера xy можно реализовать над B схемой, в которой не более шести
функциональных элементов.
Лемма 2 [4]. Если схема S* в произвольном базисе B реализует функцию штрих Шеффера xy с ненадежностью P(S*) ≤ , то при  ≤ 1/50 любую
булеву функцию f ( x ) в базисе B можно реализовать схемой S, ненадежность
которой P(S) ≤ 4.
Доказательство теоремы 3. В базисе B1, содержащем хотя бы одну из
функций множества H3, можно построить схему S*, реализующую функцию
штрих Шеффера xy и состоящую из не более шести функциональных элементов (лемма 1), т.е. P(S*) ≤ 6m, тогда  ≤ 6m, где m – наибольшее число
входов элементов базиса B1 (m  3).
Следовательно, используя лемму 2, получим: при  ≤ 1/(300m) любую
булеву функцию f ( x ) в базисе B1 можно реализовать схемой S , ненадежность которой P( S ) ≤ 24m.
Используя следствие 1 из теоремы 2, по схеме S построим схему ( S ),
ненадежность которой P(( S )) ≤ 32 + 9(24m)2 ≤ 13 при  ≤ min{1/(300m);
1/(2492m2)} = 1/(432m2) (по формуле (2)). Применяя теорему 2 еще раз, по
схеме ( S ) построим схему 2( S ), для которой P(2( S )) ≤ 32 + 9(13)2 =
= 15242 ≤  при  ≤ 1/(432m2). На четвертом шаге итерации построим схему
3( S ), ненадежность которой P(3( S )) ≤ 32 + 9()2 = 122 при  ≤ 1/(432m2).
По схеме 3( S ) построим схему 4( S ), реализующую f ( x ) с ненадежностью
P(4( S )) ≤ 32 + 9(122)2 = 32 + 12964 ≤ 32 + 3 при  ≤ 1/(432m2). Схема
4( S ) искомая, т.е. S = 4( S ).
Теорема 3 доказана.
В базисе B2 – произвольном конечном полном базисе, содержащем хотя
бы одну из функций множества H5, можно аналогично доказать теорему 4.
Пусть m – наибольшее число входов элементов базиса B2 (m  3).
Теорема 4. При  ≤ 1/(2400m2) любую булеву функцию f ( x ) в полном
конечном базисе B2 можно реализовать такой схемой S, ненадежность которой P(S) ≤ 103 + 4.
Доказательство. В базисе B2, содержащем хотя бы одну из функций
множества H5, можно построить схему S*, реализующую функцию штрих
Шеффера xy и состоящую из не более шести функциональных элементов
(лемма 1), т.е. P(S*) ≤ 6m, тогда  ≤ 6m, где m – наибольшее число входов
элементов базиса B2 (m  3).
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
Следовательно, используя лемму 2, получим: при  ≤ 1/(300m) любую
булеву функцию f ( x ) в базисе B2 можно реализовать схемой S , ненадежность которой P( S ) ≤ 24m.
Используя следствие 2 из теоремы 2, по схеме S построим схему ( S ),
ненадежность которой P(( S )) ≤ 103 + 50(24m)2 ≤ 13 при ≤ min{1/(300m);
1/(24502m2)} = 1/(2400m2) (по формуле (3)). Применяя теорему 2 еще раз, по
схеме ( S ) построим схему 2( S ), для которой P(2( S )) ≤ 103 + 50(13)2 =
= 84512 ≤  при  ≤ 1/(2400m2). На четвертом шаге итерации построим схему
3( S ), ненадежность которой P(3( S )) ≤ 103 + 50()2 = 512 при  ≤ 1/(2400m2).
По схеме 3( S ) построим схему 4( S ), реализующую f ( x ) с ненадежностью
P(4( S )) ≤ 103 + 50(512)2 ≤ 173 при  ≤ 1/(2400m2). Применяя теорему 2 еще
раз, по схеме 4( S ) построим схему 5( S ), для которой P(5( S )) ≤ 103 +
+ 50(173)2 ≤ 103 + 4 при  ≤ 1/(2400m2). Схема 5( S ) искомая, т.е. S = 5( S ).
Теорема 4 доказана.
В базисе B3 – произвольном конечном полном базисе, содержащем хотя
бы одну из функций множества H7, можно доказать теорему 5.
Пусть m – наибольшее число входов элементов базиса B3 (m  3).
Теорема 5. При  ≤ 1/(11760m2) любую булеву функцию f ( x ) в полном
конечном базисе B3 можно реализовать такой схемой S, ненадежность которой P(S) ≤ 354 + 5.
Доказательство. В базисе B3, содержащем хотя бы одну из функций
множества H7, можно построить схему S*, реализующую функцию штрих
Шеффера xy и состоящую из не более шести функциональных элементов
(лемма 1), т.е. P(S*) ≤ 6m, тогда  ≤ 6m, где m – наибольшее число входов
элементов базиса B3 (m  3).
Следовательно, используя лемму 2, получим: при  ≤ 1/(300m) любую
булеву функцию f ( x ) в базисе B3 можно реализовать схемой S , ненадежность которой P( S ) ≤ 24m.
Используя следствие 3 из теоремы 2, по схеме S построим схему ( S ),
ненадежность которой P(( S )) ≤ 354 + 245(24m)2 ≤ 13 при  ≤ min{1/(300m);
1/(242452m2)} = 1/(11760m2) (по формуле (4)). Применяя теорему 2 еще раз,
по схеме ( S ) построим схему 2( S ), для которой P(2( S )) ≤ 354 +
+ 245(13)2 ≤  при  ≤ 1/(11760m2). На четвертом шаге итерации построим
схему 3( S ), ненадежность которой P(3( S )) ≤ 354 + 245()2 ≤ 2462 при
 ≤ 1/(11760m2). По схеме 3( S ) построим схему 4( S ), реализующую
f ( x ) с ненадежностью P(4( S )) ≤ 354 + 245(2462)2 = 603054 ≤ 3 при  ≤
≤ 1/(11760m2). Применяя теорему 2 еще раз, по схеме 4( S ) построим схему
5( S ), для которой P(5( S )) ≤ 354 + 245(3)2 ≤ 354 + 5 при  ≤ 1/(11760m2).
Схема 5( S ) искомая, т.е. S = 5( S ).
Теорема 5 доказана.
В базисе B4 – произвольном конечном полном базисе, содержащем хотя
бы одну из функций множества H9, можно доказать теорему 6.
Пусть m – наибольшее число входов элементов базиса B4 (m  3).
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Теорема 6. При  ≤ 1/(54432m2) любую булеву функцию f ( x ) в полном
конечном базисе B4 можно реализовать такой схемой S, ненадежность которой P(S) ≤ 1265 + 6.
Доказательство. В базисе B4, содержащем хотя бы одну из функций
множества H9, можно построить схему S*, реализующую функцию штрих
Шеффера xy и состоящую из не более шести функциональных элементов
(лемма 1), т.е. P(S*) ≤ 6m, тогда  ≤ 6m, где m – наибольшее число входов
элементов базиса B3 (m  3).
Следовательно, используя лемму 2, получим: при  ≤ 1/(300m) любую
булеву функцию f ( x ) в базисе B4 можно реализовать схемой S , ненадежность которой P( S ) ≤ 24m.
Используя следствие 4 из теоремы 2, по схеме S построим схему ( S ),
ненадежность которой P(( S )) ≤ 1265 + 1134(24m)2 ≤ 13 при  ≤
≤ min{1/(300m); 1/(2411342m2)} = 1/(54432m2) (по формуле (5)). Применяя
теорему 2 еще раз, по схеме ( S ) построим схему 2( S ), для которой
P(2( S )) ≤ 1265 + 1134(13)2 ≤  при  ≤ 1/(54432m2). На четвертом шаге итерации построим схему 3( S ), ненадежность которой P(3( S )) ≤ 1265 +
+ 1134()2 ≤ 11352 при  ≤ 1/(54432m2). По схеме 3( S ) построим схему 4( S ),
реализующую f ( x ) с ненадежностью P(4( S )) ≤ 1265 + 1134(11352)2 ≤
≤ 29833 при  ≤ 1/(54432m2). Применяя теорему 2 еще раз, по схеме 4( S )
построим схему 5( S ), для которой P(5( S )) ≤ 1265 + 1134(29833)2 ≤
≤ 207245 ≤ 4 при  ≤ 1/(54432m2). На следующем шаге итерации построим
схему 6( S ), ненадежность которой P(6( S )) ≤ 1265 ++ 1134(4)2 ≤ 1265 + 6
при  ≤ 1/(54432m2). Схема 6( S ) искомая, т.е. S = 6( S ).
Теорема 6 доказана.
Теорема 7. Пусть m – наибольшее число входов элементов в полном
конечном базисе B, содержащем хотя бы одну функцию h(x1, ..., x2k + 1) множества H2k + 1 (m  3), тогда любую булеву функцию f ( x ) в базисе B при
1

можно реализовать схемой S, ненадежность которой
2
48am (2k  1)
P ( S )  a k 1   k  2 , где a = C2kk11 , k = 1, 2, ...
Доказательство. Проведем индукцией по числу k.
При k = 1 утверждение верно (см. теорему 3).
При k = 2 утверждение верно (см. теорему 4).
При k = 3 утверждение верно (см. теорему 5).
При k = 4 утверждение верно (см. теорему 6).
Допустим, что при k  5 утверждение теоремы 7 верно, т.е. в базисе B ,
содержащем функцию h( x1 , ..., x2 k  1 ) , найдется такая схема S , реализующая функцию f ( x ) , ненадежность которой: P( S ) ≤ ak + k + 1 ≤ (a + 1)k
при  
8
1
2
48m (2k  1)C2kk 1
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
Докажем справедливость теоремы для (k + 1), т.е. в базисе B, содержащем функцию h( x1 , ..., x2k 1 ) . Так как базис B содержит функцию
h( x1 , ..., x2k 1 ) , то можно считать, что он содержит и функцию h( x1 , ..., x2k 1 ) ,
т.к. функцию h( x1 , ..., x2k 1 ) можно получить из h( x1 , ..., x2k 1 ) отождествлением переменных (например, x2k 1 с x2k 1 , x2k с x2k 2 ). Поэтому в базисе B можно построить схему S , реализующую функцию f ( x ) , с ненадежностью P( S ) ≤ ak + k + 1 ≤ (a + 1)k при  
1
2
48am (2k  1)
(из предыдущего
пункта доказательства). Тогда, используя теорему 2, по схеме S построим
схему ( S ) , для которой P( ( S ) ) ≤ ak + 1 + (2k + 1)a(a + 1)22k ≤ ak + 1 +
2
1  1
1
1 
 2k 3 ≤ a k 1   2k 3 ≤ a k 1   k  2 при
3 
6
2
a

m (2k  1)
48
1
. Схема ( S ) является искомой схемой S, т.е. S = ( S ) .

2
48am (2k  1)
1
Таким образом, при  
в базисе B можно построить
2
48am (2k  1)
схему S, реализующую произвольную булеву функцию f ( x ) , для которой
P(S) ≤ ak+1 + k+2, т.е. теорема 7 верна.
Теорема 7 доказана.
Таким образом, показано, что при инверсных неисправностях на входах
элементов наличие хотя бы одной функции h( x1 , ..., x2k 1 )  H 2 k 1 в полном
конечном базисе B позволяет реализовать все булевы функции схемами с не1
надежностью не более a k 1   k  2 при  
, где a = C2kk11 , m –
2
48am (2k  1)
наибольшее число входов элементов в полном конечном базисе B.
Пусть B – это множество всех булевых функций, зависящих не более
чем от двух переменных. Тогда множество попарно неконгруэнтных булевых
функций, зависящих (возможно, фиктивно) от двух переменных x1, x2, есть
M(x1, x2) = {x1 & x2, x1  x2, x1x2, x1  x2, x1  x2, x1 
 x2, x1  x2, x1  x2, x1 , 0, 1}.
При перечислении функций использованы следующие обозначения:
x1 x2  x1  x2 , x1  x2  x1 & x2 , x1  x2  x1 & x2  x1 & x2 , x1  x2 
+
 x1  x2 , x1 
 x2  x1 & x2 , x1  x2  x1 & x2  x1 & x2 .
Пусть базис B = M(x1, x2){h(x1, ..., x2k + 1)}, где h(x1, ..., x2k + 1)  H2k + 1.
Тогда в базисе B справедливы теоремы 8 и 9.
Теорема 8. Пусть в базисе B  
1
48a (2k  1)3
(где a = C2kk11 ), а f ( x ) –
произвольная функция. Тогда функцию f в базисе B можно реализовать схемой S, ненадежность которой P(S)  ak+1 + k+2.
Доказательство. В базисе B , содержащем функции, зависящие не более чем от двух переменных, и функцию h( x1 , ..., x2k 1 )  H 2k 1 , наибольшее
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
число входов m = 2k + 1 имеет функциональный элемент, реализующий
функцию h( x1 , ..., x2k 1 ) . Справедливость теоремы 8 непосредственно следует из теоремы 7, т.к. базис B удовлетворяет всем условиям теоремы 7.
Теорема 8 доказана.

Пусть K (n) – множество, содержащее функции xi ( i  1, n ) и константы
0, 1, которые в базисе B можно реализовать абсолютно надежно, т.к. элементы, реализующие константы 0 и 1 при инверсных неисправностях на входах
считаем абсолютно надежными. Очевидно, число функций во множестве
n

K (n) равно (n + 2) и мало по сравнению с общим числом 22 булевых функций от n переменных.

1
Теорема 9. Пусть  
, f ( x ) – булева функция, f  K (n) , S –
2(2k  1)
любая схема в базисе B , реализующая f ( x ) . Тогда P(S)  ak + 1 – akk + 2, где
a = C2kk11 .
Для доказательства теоремы 9 воспользуемся леммой 3.
Лемма 3 [5]. Пусть f ( x ) – произвольная булева функция, отличная от
константы, S – любая схема ее реализующая. Пусть подсхема B схемы S содержит выход схемы S и реализует булеву функцию f ( x ) с ненадежностью
P(B)  1/2. Обозначим p1 – минимум вероятностей ошибок на выходе схемы B
по таким входным наборам b , что f (b )  0 . Аналогично, p0 – минимум вероятностей ошибок на выходе схемы B по таким входным наборам b , что
f (b )  1 .
Тогда вероятности ошибок на выходе схемы S удовлетворяют условиям:
P1(S, a )  p1, если f (a ) = 0;
P0(S, a )  p0, если f (a ) = 1.
Замечание 1 [5]. Из леммы 3 следует, что P(S)  max{p0, p1}.
Доказательство теоремы 9. Пусть f ( x ) – булева функция, удовлетворяющая условиям теоремы, а S – произвольная схема, ее реализующая в бази
се B . Поскольку f  K (n) , схема S содержит хотя бы один ненадежный элемент. Обозначим E1 – ненадежный элемент, содержащий выход схемы S.
Возможны случаи:
1. Элемент E1 реализует функцию x1 & x2. Вероятности ошибок на выходе элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих входных
наборов равны: P1(00) = 2, P0(11) = 2 – 2, P1(01) =  – 2, P1(10) =  – 2. При
 ≤ 1/4 применима лемма 3. Так как p0 = 2 – 2, p1 = 2, то (см. замечание 1)
P(S)  2 – 2.
2. Элемент E1 реализует функцию x1  x2. Вероятности ошибок на выходе элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих входных
наборов равны: P1(00) = 2 – 2, P0(11) = 2, P0(01) =  – 2, P0(10) =  – 2. При
 ≤ 1/4 применима лемма 3. Так как p1 = 2 – 2, p0 = 2, то (см. замечание 1)
P(S)  2 – 2.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
3. Элемент E1 реализует функцию x1  x2. Вероятности ошибок на выходе элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих входных
наборов равны: P0(00) =  – 2, P0(11) =  – 2, P0(01) = 2, P1(10) = 2 – 2. При
 ≤ 1/4 применима лемма 3. Так как p1 = 2 – 2, p0 = 2, то (см. замечание 1)
P(S)  2 – 2.
4. Элемент E1 реализует функцию x1 
 x2. Вероятности ошибок на выходе элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих входных
наборов равны: P1(00) =  – 2, P1(11) =  – 2, P1(01) = 2, P0(10) = 2 – 2. При
 ≤ 1/4 применима лемма 3. Так как p0 = 2 – 2, p1 = 2, то (см. замечание 1)
P(S)  2 – 2.
5. Элемент E1 реализует функцию x1  x2. Вероятности ошибок на выходе элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих входных
наборов равны: P0(00) = P0(11) = P1(01) = P1(10) = 2 – 22. При  ≤ 1/4 применима лемма 3. Так как p1 = p0 = 2 – 22, то (см. замечание 1) P(S)  2 – 22.
6. Элемент E1 реализует функцию x1  x2. Вероятности ошибок на выходе элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих входных
наборов равны: P1(00) = P1(11) = P0(01) = P0(10) = 2 – 22. При  ≤ 1/4 применима лемма 3. Так как p1 = p0 = 2 – 22, то (см. замечание 1) P(S)  2 – 22.
7. Элемент E1 реализует функцию x1x2. Вероятности ошибок на выходе элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих входных наборов равны: P0(00) = 2, P1(11) = 2 – 22, P0(01) =  – 2, P0(10) =  – 2. При
 ≤ 1/4 применима лемма 3. Так как p1 =  – 2, p0 = 2, то (см. замечание 1)
P(S)   – 2.
8. Элемент E1 реализует функцию x1x2. Вероятности ошибок на выходе элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих входных наборов равны: P0(00) = 2, P1(11) = 2 – 22, P1(01) =  – 2, P1(10) =  – 2. При
 ≤ 1/4 применима лемма 3. Так как p1 =  – 2, p0 = 2, то (см. замечание 1)
P(S)   – 2.
9. Элемент E1 реализует функцию x1 . Вероятности ошибок на выходе
элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих значений равны: P1(0) = P0(1) = . При  ≤ 1/4 применима лемма 3. Так как p1 = p0 = , то
(см. замечание 1) P(S)  .
10. Элемент E1 реализует функцию h( x1 , ..., x2k 1 )  H 2 k 1 . Вероятности ошибок на выходе элемента E1 при поступлении на его входы характеристических наборов равны: p1 = p0 = C2kk11 k 1 (1  )k + C2kk21 k  2 (1  ) k 1 +
1
.
... + C22kk1 2k (1  ) + C22kk112 k 1  C2kk11 k 1 (1  ) k при  
2(2k  1)
Учтем, что:
(1  ) k  Ck0 0  C1k 1  Ck2 2  Ck33  ...  Ckt t  Ckt 1t 1  ...  (1) k Ckk  k .
 C t 1t 1 
Воспользуемся условием: Ckt t – Ckt 1t 1 = Ckt t  1  k
 =

Ckt t 


k!
t !(k  t )! t   
 k t 
= Ckt t  1 


 .
 = Ckt t  1 
t
 (t  1)!(k  t  1)!

!
k

t
1





11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Так как 0   
0
k t
k t
1
1
 

, поэтому
, то 0 
2(2k  1)
t 1
t  1 2(2k  1)
k t
1
k t
1
k
1
k
1 1 1
 





   .
t 1
t  1 2(2k  1) t  1 2(2k  1) t  1 4k  2 2 4 8
Если 0 
1
k t
k t
   1 , поэтому:
   , то 0  1 
t 1
t 1
8
 k t 
Ckt t – Ckt 1t 1 = Ckt t  1 
   > 0.
t 1 

Значит: (1  ) k = Ck0 0 – C1k 1 + Ck2 2 – Ck33 + … + Ckt t – Ckt 1t 1 +
+ … + (1)k Ckk  k  Ck0 0 – C1k 1 = 1 – k.
Таким образом, p1 = p0 = C2kk11 k 1 (1  ) k + C2kk21 k  2 (1  ) k 1 + ... +
+ C22kk1 2k (1  ) + C22kk112 k 1  C2kk11 k 1 (1  ) k  C2kk11 k 1 (1 – k) при
1

.
2(2k  1)
При  
1
применима лемма 3 (см. замечание 1), поэтому
2(2k  1)
P(S)  a k  1 (1 – k) = a k  1 – ak  k  2 , где a  C2kk11 .
Теорема 9 доказана.
Из теоремы 9 следует, что схемы, построенные при доказательстве теоремы 8, являются асимптотически оптимальными по надежности для почти
всех функций (кроме xi ( i  1, n ) и констант 0, 1) в базисе B . Функции xi
( i  1, n ) и константы 0, 1 в базисе B можно реализовать абсолютно надежно.
В работе [6] доказано, что если из базиса B убрать функцию
h( x1 , ..., x2k 1 )  H 2k 1 , то в полученном базисе M справедливы теоремы 10
и 11.
Теорема 10 [6]. При   (0; 1/100] любую булеву функцию f ( x ) в базисе M можно реализовать такой схемой S, что P(S)  2 + 192.
Теорема 11 [6]. Пусть   (0; 1/6], f ( x ) – булева функция, отличная от
функций xi , xi ( i  1, n ) и констант 0, 1, а S – схема, реализующая f ( x )
в базисе M. Тогда P(S)  2 – 22.
Таким образом, из теорем 10 и 11 следует, что асимптотически оптимальные по надежности схемы в базисе M функционируют с ненадежностью
2 при   0.
Сравнивая полученные в этой работе результаты (теоремы 8 и 9) с результатами работы [6] (теоремы 10 и 11), приходим к выводу, что наличие
в рассматриваемом базисе функции h( x1 , ..., x2k 1 )  H 2k 1 позволяет реализовать почти все функции (кроме xi ( i  1, n ) и констант 0, 1) в этом базисе
с большей надежностью.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
Список литературы
1. Н е й м а н, фо н Д ж . Вероятностная логика и синтез надежных организмов из
ненадежных компонент / Дж. фон Нейман // Автоматы. – М. : Изд-во иностр. лит.,
1956. – С. 68–139.
2. А к с е н о в, С . И . О надежности схем над произвольной полной системой функций при инверсных неисправностях на выходах элементов / С. И. Аксенов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2005. – № 6 (21). –
C. 42–55. – (Естественные науки).
3. А л е х и н а , М . А . О функциях и схемах, корректирующих ошибки / М. А. Алехина // Синтез и сложность управляющих систем : материалы XVI Международной школы-семинара. – М. : Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2006. – С. 8–12.
4. А л е х и н а , М . А . Об асимптотически наилучших по надежности схемах в базисе {&, , } при инверсных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехина, В. В. Чугунова // Дискретный анализ и исследование операций. – 2006. –
Т. 13. – № 4. – C. 3–17. – (Сер. 1).
5. А л е х и н а , М . А . Нижние оценки ненадежности схем в некоторых базисах при
однотипных константных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехина //
Дискретный анализ и исследование операций. – 2002. – Т. 9. – № 3. – С. 3–28. –
(Сер. 1).
6. Ч у г у н о в а , В. В. О надежности схем в некоторых приводимых полных базисах /
В. В. Чугунова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 2. – С. 25–37.
Чугунова Варвара Валерьевна
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра дискретной математики,
Пензенский государственный
университет
Chugunova Varvara Valeryevna
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of discrete mathematics,
Penza State University
E-mail: chugunov@sura.ru
УДК 519.718
Чугунова, В. В.
Об одном множестве функций / В. В. Чугунова // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2009. – № 2 (10). – С. 2–13.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 519.642
Д. А. Миронов
ПРИМЕНЕНИЕ СУПЕРКОМПЬЮТЕРНЫХ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СРЕД ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБЪЕМНОГО
СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ
ДИФРАКЦИИ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ТЕЛЕ
Аннотация. Рассматривается задача дифракции стороннего электромагнитного
поля на локально неоднородном теле, помещенном в свободном пространстве.
Поставленная задача сводится к объемному сингулярному интегральному
уравнению. Решение задачи производится параллельно численным методом
Галеркина и численным методом коллокации. В связи с большой емкостью
решение задачи численным методом Галеркина при различных параметрах
было реализовано с использованием двух программных продуктов для суперкомпьютерных вычислительных комплексов: реализации MPI и программной
системы x-com. Исследованы особенности выполнения задачи на суперкомпьютерном комплексе.
Ключевые слова: дифракция стороннего электромагнитного поля, объемное
сингулярное интегральное уравнение, метод Галеркина, метод коллокации.
Abstract. In this paper the problem of diffraction of external electromagnetic field
on locally heterogeneous body placed in free space is considered. The formulated
problem is reduced to three-dimensional singular integral equation. The problem is
solved using Galerkin numerical method and at the same time using the collocation
numerical method. Because of high capacity the task solving was realized by
Galerkin numerical method at various parameters with use of two types of software
for supercomputing complexes: realization of MPI and realization of program system x-com. The features of performance of a task on a supercomputer complex are
investigated.
Keywords: diffraction of external electromagnetic field, three-dimensional singular
integral equation, Galerkin method, collocation method.
Постановка задачи для системы уравнений Максвелла
Рассмотрим следующую задачу дифракции. Пусть в свободном пространстве расположено объемное тело Q, характеризующееся постоянной
магнитной проницаемостью 0 и положительной ( 3  3 )-матрицей-функцией


(тензором) диэлектрической проницаемости  ( x) . Компоненты  ( x) являют

ся ограниченными функциями в области Q ,   L (Q) , а также  1  L (Q) .
Граница Q области Q кусочно-гладкая.
 
Требуется определить электромагнитное поле E , H  L2 (Q ) , возбуж-
даемое сторонним полем с временной зависимостью вида e it . Источник

стороннего поля – электрический ток j 0 или падающая плоская волна.
 
Будем искать электромагнитное поле E , H , удовлетворяющее уравнениям Максвелла, условиям непрерывности касательных компонент поля при
переходе через границу тела и условиям излучения на бесконечности:



 
rotH  iE  jE0 ; rotE  i0 H ;
(1)
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика


(2)
[E]  [H ]  0 ;
Q
Q
E
 E
1  E 
1
   ik0    o( R ),    O( R ), R : x  .
H
H
R  H 
 
 
(3)
Здесь k0 – волновое число свободного пространства (вне Q ).
Краевую задачу (1)–(3) можно свести к объемному (векторному) сингулярному интегральному уравнению [1]:



 ( y )   
1   ( x)   
E ( x)  
 I  E ( x)  v.p. 1 ( x, y ) 
 I  E ( y )dy 
3  0
0



Q



 ( y )   
 ( x, y ) 
 I  E ( y )dy  E 0 ( x),
 0

Q

(4)
где
( x, y )  k02G ( r )  (  ,grad) grad G0 (r );
1 ( x, y )  (  ,grad)grad G1 (r ).
Функция Грина имеет вид
G ( x, y ) 
1 eik0 | x  y|
;
4 | x  y |
G (r )  G0 (r )  G1 (r ), r | x  y |; G 0 (r ) 
eik0r  1
1
, G1 (r ) 
.
4r
4r
Численные методы решения
Для численного решения интегрального уравнения (4) использованы
два из наиболее эффективных методов численного решения интегральных
уравнений – метод Галеркина и метод коллокации.
По методу Галеркина решение интегрального уравнения сводится
к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида [1]:
AX  B ,
(5)
где
 A11

A   A21
A
 31
A12
A22
A32
A13 
 B1 
 

A23  , B   B2  .
B 
A33 
 3
Akl – блок матрицы вида:
ij
Akl


 lj  ik
 kl f jl  x  fik  x dx  kl k02
l
k
  G  x, y  f j  y  fi  x  dydx 
 ik  lj
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

 l

  G  x, y  yl f j  y  xk
 ik
fik  x  dydx;
(6)
 lj
Bki  ( E0k , fik ) , k , l  1, 2, 3; i, j  1, , N ;
1
f klm
1

1
1  1 | x1  x1,k |, x   klm ,
 h
0, x  1 ;
klm

1klm  {x : x1,k 1  x1  x1,k 1 , x2,l  xl  x2,l 1 , x3,m  x3  x3,m 1};
a a
b b
c c
x1,k  a1  2 1 k , x2,l  b1  2 2 1 l , x3,m  c1  2 2 1 m,
n
n
n
k  1, , n  1; l , m  1, , n / 2  1 ;
h1 :| x1,k  x1,k 1 | .
2
3
, f klm
, зависящие от переменных x2 и x3 соответственФункции f klm
но, определяются аналогичными соотношениями.
По методу коллокации решение интегрального уравнения сводится
к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида [2]:
( AJ) pl 
3
1
  plm J pm  0   B pqlm J qm  iE 0pl , l  1, ..., 3,
m 1
(7)
q m 1
где
B pqln 
 3 2ik
 ( x pl  xl )( x pn  xn )

G (r )   0  k02 
2
r

r2
 r
q

ik
1  

  k02  0   ln  dx1dx2 dx3 , p  q;
r
r2  

B ppln  l ln  ln
 2

 k0 G(r ) 1 
p
( x pl  xl )( x pn  xn ) 

r2

 
k 2  3 (r )( x pl  xl )( x pn  xn )
 0 
  (r )   dx1dx2 dx3 , p  q;
4r 
r2
 
1/ 2
 3

r   ( xn  x pn ) 2 
 n 1


;
a1  f (h1 , h2 , h3 ), a2  f (h2 , h1 , h3 ), a3  f (h3 , h1 , h2 );
16
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика


h1h3
2
f ( h1 , h2 , h3 )  1  arcsin 
 h2  h2  h2  h2

2
2
3
 1

 (r )  1  (1  ik0 r )


h1h2
  arcsin 

 h2  h2  h2  h2
3
2
3

 1
exp(ik0 r )  1  ik0 r
( k0 r ) 2

  ;


–
всюду дифференцируемая функция;
h
h
h
x p1  p1h1  1 , x p 2  p2 h2  2 , x p 3  p3h3  3 ;
2
2
2
h
h
h
xq1  q1h1  1 , xq 2  q2 h2  2 , xq 3  q3h3  3 ,
2
2
2
x pl – l -я декартова координата p -й узловой точки;
h
h
h
h

П p   x : x p1  1  x1  x p1  1 , x p 2  2  x2  x p 2  2 ,
2
2
2
2

h
h 
x p3  3  x3  x p3  3  ;
2
2
h
h
h
h

П q   x : xq1  1  x1  xq1  1 , xq 2  2  x2  xq 2  2 ,
2
2
2
2

h
h 
xq3  3  x3  xq3  3  ;
2
2
p  ( p1 , p2 , p3 ), p1  0,..., N1  1, p2  0,..., N 2  1, p3  0,..., N3  1 ;
q  (q1 , q2 , q3 ), q1  0,..., N1  1, q2  0,..., N 2  1, q3  0,..., N3  1 .
Уравнения (5) и (7) решаются методом сопряженных градиентов [3] –
итеративный метод вида
X i  A  X i 1 ,
где X i – решение уравнения на i -й итерации; X 0  B .
Итерации выполняются до тех пор, пока не будет выполнено условие
| X i  X i 1 |  , где  – заданная точность.
ij
были задействованы ресурсы мноДля вычисления коэффициентов Akl
гопроцессорных вычислительных комплексов с использованием двух программных интерфейсов – MPI ( m  8 ) и x-com ( m  16 ). Для вычисления
B pqln использован программный интерфейс MPI. Далее будут освещены особенности реализации алгоритмов с использованием данных программных интерфейсов.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Расчет необходимого объема памяти для хранения коэффициентов.
Особенности выделения места в оперативной памяти во время вычисления
Для уменьшения времени на работу алгоритма программы и уменьшения объема занимаемой памяти в [4] предложено учитывать симметрию коij
(6) – достаточно вычислить и хранить в памяти коэффициэффициентов Akl
енты блоков A11 и A12 . Общее количество коэффициентов данных блоков
вычислялось по формуле
6
N   m  1  2 ,
(9)
где m – количество интервалов разбиения всей области по одной координате.
При оптимизации алгоритма вычислений было выявлено, что достаточно вычислить и хранить коэффициенты блоков A11 и A12 в количестве
N  m6  2 .
(10)
ij
Зависимость количества коэффициентов Akl
и необходимого объема
оперативной памяти для их хранения прямо пропорциональная. Результаты
расчета необходимого объема оперативной памяти при различных значениях
m по формулам (9) и (10) представлены в табл. 1.
Таблица 1
Результаты расчета необходимого объема оперативной памяти
для хранения коэффициентов блоков A11 и A12
m
4
8
16
Количество Мбайт
при использовании формулы (9)
0,477
16,218
736,620
Количество Мбайт
при использовании формулы (10)
0,125
8
512
Из табл. 1 видно, что при использовании выявленного свойства существенно уменьшается объем необходимой оперативной памяти для хранения
коэффициентов. В табл. 2 приведены коэффициенты уменьшения использованного объема оперативной памяти относительно исходной задачи (где не
учтена симметрия).
Таблица 2
Коэффициенты уменьшения использованного объема оперативной памяти
m
4
8
16
Коэффициент уменьшения
при использовании формулы (9)
4,5
4,5
4,5
Коэффициент уменьшения
при использовании формулы (10)
17,17
9,123
6,474
Количество коэффициентов B pqln (8) при N1  N 2  N3  m вычисляется формуле
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
N  m6  9 .
(11)
В работе [2] показано, что для решения интегрального уравнения достаточно вычислить малую часть коэффициентов B pqln , от которых зависят
все коэффициенты для уравнения (7) (последние можно быстро вычислить
в дальнейшем). Количество хранимых коэффициентов B pqln вычисляется по
формуле
N  m3  6 .
(12)
В табл. 3 приведены необходимые объемы памяти для хранения коэффициентов матрицы уравнения (7) и необходимых коэффициентов B pqln .
Таблица 3
Результаты расчета необходимого объема оперативной памяти для хранения
коэффициентов матрицы и необходимых коэффициентов B pqln
m
4
8
16
Количество Мбайт
при использовании формулы (11)
0,5625
36
2304
Количество Мбайт
при использовании формулы (12)
0,00586
0,04688
0,375
Реализация MPI-версии алгоритма вычисления коэффициентов.
Алгоритм распределения вычислений на многопроцессорных комплексах
MPI [5] – удобный стандартный API для использования в прикладных
задачах ресурсов многопроцессорных комплексов. На каждом вычислительном многопроцессорном комплексе используется одна или несколько реализаций (компиляторов) MPI.
ij
Для упрощения вычислений необходимых коэффициентов Akl
(6),
B pqln (8) и передачи их между процессорами на многопроцессорных комплексах память выделяется в виде одномерного массива.
Общая схема алгоритма вычисления коэффициентов с учетом использования MPI в реализации [3] представлена на рис. 1. Количество выделенных
процессоров на задачу – p .
Количество коэффициентов C , которое необходимо вычислить на каждом процессоре, вычисляется по формуле
 N 
N 
    1, если номер процессора меньше   ,
 p 
 p
C
  N  , если номер процесора больше или равен  N  ,
 
 p 
 p
 
где N – общее количество коэффициентов;
 
– остаток от целочисленного
деления;   – целая часть деления; p – количество выделенных процессоров на задачу.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1. Вычисление коэффициентов
Массив
коэффициентов
Вычисления
на процессоре
(p – 1)
Вычисления
Вычисления
на процессоре 0 на процессоре 1
2. Объединение вычисленных коэффициентов на процессоре 0,
запись результатов на процессоре 0 и выход
Рис. 1 Общая схема алгоритма вычисления коэффициентов
с использованием многопроцессорных комплексов
Программы, реализованные с использованием MPI-функций, были запушены на суперкомпьютерном комплексе СКИФ МГУ. Основные характеристики комплекса представлены в табл. 4.
Таблица 4
Основные характеристики суперкомпьютерного
вычислительного комплекса СКИФ МГУ
Модель
процессора
Количество процессоров
Минимальный объем оперативной
памяти на один процессор
Intel Xeon
E5472 3.0 ГГц
от 1 до 5000 в зависимости
от количества и объема задач,
уже работающих на комплексе
2 Гбайт
Для вычисления коэффициентов блоков A11 и A12 , при m  8, n  10 ,
произведен запуск программы. Количество выделенных процессоров на задачу – 500. В табл. 5 показано время выполнения программы. Для сравнения
приведено время выполнения представленного в [4] алгоритма и алгоритма
с учетом выявленного свойства, т.е. при количестве коэффициентов, вычисленных по формулам (9) и (10) соответственно.
Таблица 5
Время на вычисление коэффициентов в блоках A11 и A12
Время на вычисление
элементов матрицы
Секунды
Минуты
Часы
20
При количестве
коэффициентов,
вычисленном
по формуле (9)
6012,26
100,204333333
1,670072222
При количестве
коэффициентов,
вычисленном
по формуле (10)
2241,74
37,362333333
0,622705555
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
По результатам, представленным в табл. 5, нетрудно вычислить примерное время выполнения вычисления коэффициентов матрицы при m = 16,
n = 10. При n = 500 необходимо 40–45 ч на выполнение с использованием алгоритма, учитывающего выявленное свойство.
Вычисление коэффициентов матрицы по методу Галеркина.
Алгоритм распределения вычислений при помощи системы «x-com»
Основные причины применения системы «x-com» для решения задач.
Основные понятия системы «x-com»
При заполнении блоков A11 и A12 на суперкомпьютерном вычислительном комплексе СКИФ МГУ с использованием MPI-функций при m = 16,
n = 10 с учетом дополнительных расходов системы на передачу коэффициентов между процессорами, время на решение задачи составит ~ 1–2 суток при
1000 выделенных процессах. Если в течение этого времени возникнет ситуация, при которой хотя бы один процесс прекратит работу, необходимые коэффициенты блоков мы не получим.
Программная система «x-com», разработанная специалистами НИВЦ
МГУ, предназначена для многопроцессорных комплексов. Основная цель
системы – решать задачи в многопроцессорных средах, где возможно прекращение работы одного или нескольких процессоров во время решения задачи. Эта система оптимальна для решения задач, которые допускают разбиение на независимые подзадачи.
Основные термины системы «x-com»:
1. Порция – независимая подзадача общей задачи. Может выполняться
одновременно, параллельно с другими подзадачами (порциями).
2. Серверная часть системы «x-com». Программный модуль, содержащий алгоритмы распределения порций по процессорам. Содержит функции,
определяющие:
а) алгоритмы разбиения всей задачи на порции – количество порций,
время на выполнение одной порции. Эти функции специфичны для конкретной задачи;
б) алгоритмы объединения результатов работы всех подзадач-порций.
3. Клиентская часть системы «x-com». Программный модуль, содержащий алгоритмы приема на выполнение порции каждым процессором. Выполняет алгоритм работы подзадачи.
Для нашей задачи при работе в системе «x-com» необходимо реализовать:
1. Функции серверной части, реализующие алгоритм разбиения всей задачи на порции.
2. Алгоритм работы каждой порции.
Функции серверной части, реализующие алгоритм
разбиения всей задачи на порции
После выполнения MPI-программы алгоритма вычисления коэффициентов блоков A11 и A12 вычислено среднее время на вычисление одного коэффициента – t0 .
Задано среднее время выполнения порции – t1 .
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Известно N – общее количество коэффициентов блоков A11 и A12 .
Время T для вычисления коэффициентов блоков A11 и A12 определяется по формуле
T  t0  N .
Тогда количество порций P определяется по формуле
T 
P    1,
 t1 
где
  – целая часть деления.
Количество вычисляемых коэффициентов в подзадаче (порции)
В каждой порции выполняется вычисление определенного количества
коэффициентов.
Перед выполнением алгоритма решения подзадачи, клиенту передаются:
– номер порции;
– количество порций.
Количество коэффициентов, вычисляемое в порции с номером i  1, P ,
определяется по формуле
 N 
N 
  P   1, если номер порции меньше или равно  P  ,
 
 
Ci  
  N  , если номер порции больше  N  ,
 
  P 
P
где N – общее количество коэффициентов в блоках A11 и A12 , P – количество порций,   – остаток от целочисленного деления,   – целая часть
деления.
Статистика по работе системы «x-com»
при выполнении задачи вычисления коэффициентов
Программа с реализацией алгоритма вычисления коэффициентов блоков A11 и A12 при m = 16, n = 10 была запущена в системе «x-com». Было
задействовано 4000 процессоров.
Время счета на «x-com»: общее время счета: 06 ч 54 мин 23 с (24863 с).
Общее количество коэффициентов в блоках A11 и A12 : 33554432.
Объем памяти для хранения коэффициентов блоков A11 и A12 :
536870912 Байт (524288 кБ; 512 МБ; 0,5 ГБ).
Время для расчета с использованием только одного процессора для запуска программы с использованием «x-com»: 19525 ч 55 мин 33 с (813,54 сут;
2,23 лет).
Количество частей-порций в задаче, которые могли выполняться в произвольном порядке (одновременно, параллельно): 140428.
Количество коэффициентов в одной части-порции: от 199 до 200.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
Время расчета каждой порции:
– минимальное: 458,522 с (7,64 мин);
– максимальное: 609 с (10,15 мин);
– среднее: 485,211 с (8,09 мин).
Количество отправленных порций на выполнение (порция может отправляться более одного раза): 168062. Из них посчитанных порций (порция
может считаться более одного раза): 144875.
Количество отправок без посчитанных порций: 23187.
Количество отправок с лишним счетом порций: 4447.
Данные статистики выполнения алгоритма на системе «x-com»:
1. Доля эффективности системы только с учетом проблем на узлах (непосчитанные порции) относительно идеальной ситуации, когда каждая порция будет посчитана с первого раза и только один раз, составляет 0,86203
(86,203 %);
2. Доля эффективности системы с учетом дополнительных расходов на
качественное выполнение задачи (лишний счет порций) относительно идеальной ситуации, когда каждая порция будет посчитана с первого раза и
только один раз, составляет 0,96930 (96,930 %).
3. Доля эффективности системы с учетом проблем на узлах и дополнительных расходов на качественное выполнение задачи относительно идеальной ситуации, когда каждая порция будет посчитана с первого раза и только
один раз, составляет 0,83557 (83,557 %).
Важный результат при применении системы «x-com»
Применение системы «x-com» позволило получить коэффициенты блоков A11 и A12 при m = 16, n = 10. Ранее это не удалось сделать по следующим причинам:
1) большая вычислительная сложность задачи;
2) время на получение результатов было неприемлемо большое, даже при
вычислении на суперкомпьютерном комплексе с применением функций MPI.
Вычисление коэффициентов по методу коллокации с использованием
суперкомпьютерной вычислительной среды MPI
Для вычисления необходимых коэффициентов B pqln произведен запуск программы при m = 16, n = 10. Количество выделенных процессоров
на задачу – от 1 до 3. В табл. 6 показано время выполнения программы.
Таблица 6
Время вычисления коэффициентов B pqln
Время на вычисление элементов матрицы, с
Время на вычисление элементов матрицы,
включая запись на жесткий диск результатов, с
Один
Два
Три
процессор процессора процессора
8,033112 4,018449
2,677404
12
11
8
По результатам, представленным в табл. 6, видно, что по времени вычисления коэффициентов B pqln метод коллокации выгодно отличается по
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
сравнению с выполнением процедуры вычисления коэффициентов блоков
A11 и A12 . Необходимо продолжить исследование алгоритма метода коллокации для данной задачи – время решения СЛАУ для полной оценки скорости решения задачи по этому методу. Следует заметить, что вычисление коэффициентов B pqln может производиться сразу перед решением СЛАУ без
предварительной записи на жесткий диск результатов, что может существенно уменьшить время для получения результатов.
Действительно, по скорости вычисления коэффициентов метод Галеркина явно уступает методу коллокаций. Но необходимо отметить, что при
реализации алгоритма по методу Галеркина получены не только коэффициенты, но и результаты решения задачи в целом после решения СЛАУ при параметрах m = 16, n = 10 (впервые). Кроме того, испытана при вычислении
коэффициентов система «x-com», показавшая высокое качество работы над
трудоемкой с вычислительной точки зрения задачей. По сравнению с применением среды MPI, среда «x-com» предназначена для многопроцессорных
вычислительных систем, где возможно прекращение работы нескольких процессоров во время вычислений.
Список литературы
1. М е дв е ди к , М . Ю . Применение ГРИД-технологий для решения объемного
сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 2 (6). – С. 2–14.
2. С а м о х и н , A . Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / A. Б. Самохин. – М. : Радио и Связь, 1998.
3. О р те г а , Д ж . Введение в параллельные и векторные методы решения линейных
систем / Дж. Ортега. – М. : Мир, 1991.
4. М и р о н о в , Д . А . Применение суперкомпьютерных вычислительных комплексов для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле / Д. А. Миронов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 3. – С. 55–62.
5. MPI: A Message – Passing Interface Standart. Version 1.0. – University of Tennessee,
1994. – May, 5.
Миронов Денис Алексеевич
аспирант, Пензенский государственный
университет
Mironov Denis Alexeevich
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: dionis-m@mail.ru
УДК 519.642
Алехина, М. А.
Применение суперкомпьютерных вычислительных сред для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле / Д. А. Миронов // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. –
№ 2 (10). – С. 14–24.
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.968.2; 519.62/.64
И. В. Бойков, Е. В. Кучумов
ОБ ОДНОМ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА
Аннотация. Предложены и обоснованы итерационные методы решения
интегральных уравнений Вольтерра в свертках первого и второго родов.
t
Основное внимание уделяется уравнениям первого рода:
 h(t  ) x()d  = f (t ),
0
t1 t2
 h(t1  1, t2  2 ) x(1, 2 )d 1d 2 = f (t1, t2 ).
00
Ключевые слова: интегральные уравнения Вольтерра, итерационные методы.
Abstract. Offered iteration methods for solution of Volterra integral equatios of first
and second kinds. Considered Volterra equations with convolution. Base attention is
t
given
for
integral
equations
of
the
first
kind
 h(t  ) x()d  = f (t ),
0
t1 t2
 h(t1  1, t2  2 ) x(1, 2 )d 1d 2 = f (t1, t2 ).
00
Keywords: Volterre integral equations, interation methods.
Введение
Интегральные уравнения Вольтерра исторически являются одним из
первых видов интегральных уравнений, ставших известными математикам.
Несмотря на более чем столетнюю историю, теория интегральных уравнений
Вольтерра продолжает активно развиваться. Это связано с несколькими
обстоятельствами. Во-первых, постоянно возникают все новые области
физики, экономики, экологии, в которых основные процессы моделируются
интегральными уравнениями Вольтерра. Это приводит к возникновению новых
классов интегральных уравнений типа Вольтерра. Во-вторых, продолжается
исследование с различных позиций классических уравнений Вольтерра.
Представить подробный обзор современных публикаций, посвященных
интегральным уравнениям Вольтерра, в короткой заметке не представляется
возможным, т.к. по этой тематике ежегодно публикуется несколько сотен
статей. Отметим только, что подробное изложение классических результатов,
относящихся к уравнениям Вольтерра, и обширная библиография приведены
в работах [1–9].
В данной работе предлагается и обосновывается новый итерационный
метод решения интегральных уравнений Вольтерра первого и второго родов.
1 Одномерные интегральные уравнения Вольтерра
Рассмотрим интегральные уравнения
t
 h(t  ) x()d  = f (t );
(1)
0
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
t

x(t )  h(t  ) x()d  = f (t ),
(2)
0
которые часто встречаются в физике.
Стандартные методы операционного исчисления заключаются в том,
что к уравнениям (1) и (2) применяется преобразование Лапласа, которое
приводит эти уравнения к алгебраическим уравнениям
H ( p ) X ( p) = F ( p);
(3)
X ( p )  H ( p) X ( p) = F ( p ),
(4)
где X ( p ), H ( p), F ( p) – преобразования Лапласа функций x(t ), h(t ), f (t ).
Оператор Лапласа будем обозначать буквой L : L(h) = H ( p).
Решения уравнений (3), (4) имеют вид
X ( p ) = F ( p)/H ( p);
(5)
X ( p) = F ( p )/(1  H ( p )).
(6)
Применяя к выражениям (5), (6) обратное преобразование Лапласа,
формально можно получить решения соответствующих уравнений. Однако
из-за возможности обращения функций H ( p) или (1  H ( p )) в нуль, расходимости интегралов обратного преобразования Лапласа получение достаточно точных и устойчивых решений во многих случаях весьма проблематично.
Поэтому представляет интерес развитие других приближенных методов решения интегральных уравнений видов (1) и (2). В первую очередь представляет интерес построение итерационных методов из-за их устойчивости и
фильтрующих свойств по отношению к возмущениям.
Прежде чем перейти к построению итерационных алгоритмов, оценим
нормы прямого и обратного преобразования Лапласа. Обозначим через c
вещественное число, определяющее полуплоскость сходимости функции
F ( p). Ниже через c будем обозначать число, определяющее полуплоскости
сходимости всех используемых функций, и будем рассматривать функции
F ( p), H ( p), X ( p) при p = u  iv, u = const > c,   < v < .
Норму функции F ( p ) определим формулой
1/2


|| F ( p) ||=  | F (u  iv) |2 dv 


 


.
(7)
Выведем формулу, аналогичную формуле Парсеваля для преобразования Фурье. Очевидно,

2
|| F ( p) || =
 | F (u  iv) |
2
 
dv =

 
=
 e
 0
26
2
ivt
(e
ut
f (t ))dt dv =
 e
2
ut ivt
f (t )dt dv =
 0
 
 e
 
2
ivt
(e
ut
f (t ))  dt dv =
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика

= 2


V (e

ut
f (t ))

2

dv = 2

2
(e ut f (t )) dt =


2
= 2 e ut f (t ) dt = 2 || fu (t ) ||2 .

(8)
0
Здесь
e ut f (t ), t  0,
fu (t ) = (e ut f (t ))  = 
0, t < 0,
V ( f ) – преобразование Фурье функции f (t ), определяемое формулой
V( f ) =
1
2

e
it
f (t ) dt ;

1/2


 e ut f (t ) =  | e ut f (t ) |2 dt 


0


(9)
.
Рассмотрим уравнение (1). Применив к нему преобразование Лапласа,
приходим к уравнению (3). Пусть действительное число c определяет
полуплоскость сходимости. Положим, p = u  iv, u  const > c. Предположим, что при изменении v в пределах  < v <  значения функции H ( p)
лежат внутри угла раствора, меньшего . Тогда существует такое
комплексное число  , при котором значения функции H u (v) при
изменении v в пределах от  до , лежат внутри окружности радиуса 1
с центром в точке (1,0) плоскости комплексной переменной и, возможно,
в точке (0,0). Здесь H u (v) – преобразование Лапласа функции (eut h(t ))
при p = u  iv.
В случае, если значения функции H u ( p), p = u  iv, лежат внутри
единичной окружности с центром в точке (1,0) и радиусом 1 (по аналогии с
[10] это условие назовем условием A), рассмотрим итерационный процесс
t

xn 1 (t ) = xn (t )    h(t  ) xn ()d   f (t )  , n = 0,1,


0


Докажем
сходимость
уравнение (10) на e
e
ut
ut
xn1 (t ) = e
этого
итерационного
процесса.
(10)
Умножим
. В результате имеем
ut
t

xn (t )    eu (t ) h(t  )eu xn ()d   eut f (t )  .


0


(11)
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Преобразуем это уравнение следующим образом:
e
ut
( xn 1 (t )  xn (t )) = e
ut
t

 xn (t )  xn1 (t )   h(t  )( xn ()  xn1 ())d    .


0


Переходя к нормам, имеем
|| e ut ( xn 1 (t )  xn (t )) ||=|| eut  xn (t )  xn 1 (t ) 
t

  h(t  )( xn ()  xn 1 ( )d )  ||=


0


=

t

1
L ( xn (t )  xn1 (t ))    h(t  )( xn ()  xn1 ())d    =


2 
0



=


1
2
(1  H (v))( X n (v))  X n1 (v) 
1
sup |1  H (v) | X n (v)  X n 1 (v) 
2  <v <
sup |1  H (v) | eut ( xn (t )  xn1 (t ))  .
 < v < 
Здесь во временной области использована норма, определяемая
формулой (9), а в спектральной области – норма, определяемая формулой (7).
Так как по предположению sup |1  H (v) | q < 1, то, как следует из
 < v < 
теоремы Банаха [11], итерационный процесс (10) сходится к решению x(t )
уравнения (1) как геометричеcкая прогрессия со знаменателем q.
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 1.1. Пусть значения функции H u (v) лежат внутри угла
с вершиной в начале координат и с раствором, меньшим  , в плоскости
комплексной переменной. Тогда найдется такая константа , что
выполняется условие
sup
 <v <
|1  H u (v) | q < 1 и итерационный процесс (10)
сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q
к решению x* (t ) уравнения (1).
В случае, если условие А не выполняется, но значения функции H (v)
лежат внутри угла раствора меньшего  с вершиной в начале координат
плоскости комплексной переменной, и, возможно, в его вершине для решения
уравнения (1) может быть использован следующий итерационный процесс:
t

xn 1 (t ) =  n xn (t )  (1   n )( xn (t )    h(t  ) xn ()d   f (t )   , n = 0,1,, (12)


0


28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
где 0 < *   n  * < 1, константа  выбрана таким образом, чтобы
выполнялось неравенство sup |1  H (v) | 1.
 < v < 
Из условия, наложенного на функцию H (v) , следует, что последнее
неравенство выполнимо. Пусть уравнение (1) разрешимо. Тогда справедливо
следующее утверждение.
Теорема 1.2. Пусть уравнение (1) разрешимо. Пусть значения функции
H u (v),   < v < 1, расположены внутри угла раствора меньшего 
с вершиной в начале координат плоскости комплексной переменной и,
возможно, в его вершине. Тогда итерационный процесс (12) сходится к
решению уравнения (1).
Замечание. Если уравнение (1) имеет несколько решений, то процесс
сходится к одному из решений. Доказательство основано на теореме
сходимости итерационных процессов с унитарными операторами [12].
Рассмотрим теперь случай, когда условие A не выполняется.
Зафиксируем u (u > c) и построим множества  k , k = 0,1,, N , где
 0 = (, v0 ),  k = [vk , vk 1 ], k = 1, 2,, N  1,  N = (vN , ), конечные точки
v j , j = 0,1, , N , которых подбираются таким образом, чтобы множество
значений H (u  iv) при v   k , k = 0,1, , N , было расположено внутри угла
с раствором меньшим  и с вершиной в начале координат плоскости
комплексной переменной w. При выполнении этого условия для каждого k
найдется такое комплексное число  k , что при v   k , k = 0,1, , N ,
значения функции H (u  iv) расположены внутри единичной окружности
с центром в точке (1,0) плоскости комплексной переменной w и, возможно,
в точке (0,0).
Вначале рассмотрим случай, когда функция H (u  iv) не обращается
в нуль при конечных значениях v,  < v < .
Тогда для решения уравнения (1) может быть использован следующий
итерационный процесс:
t

xnk1 (t ) = xnk (t )   k  hk (t  ) xnk ()d   f k (t )  , k = 1, , N  1, n = 0,1, ; (13)


0


N 1
xn 1 (t ) =
 xnk1 (t ).
(14)
k =1
t
Здесь

hk (t ) = h(t  )ek ()d  ;
ek ()
– обратное преобразование
0
Лапласа функции Ek (u  iv), определяемой формулой
1, v   k ,
Ek (u  iv) = 
k = 0,1, , N .
0, v   ,   \  k ,
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
При каждом фиксированном значении k , k = 1, 2,, N  1, сходимость
итерационной схемы (13) доказывается так же, как и сходимость
итерационного процесса (2).
Можно показать, что итерационный процесс (13), (14) сходится
к функции x*N (t ), которая является прообразом функции X * ( p ) Ev ,v  ( p ),
 0 N
где
*
X ( p ) – образ решения
*
x (t )
уравнения (1), а
Ev ,v  ( p) –
 0 N
характеристическая функция сегмента [v0 , vN ]:
1,  [0 ,  N ],
Ev ,v  (u  iv) = 
 0 N
0,  (, ) \ [0 ,  N ].
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 1.3. Пусть выполнены следующие условия:
1) уравнение (1) имеет единственное решение x* (t );
2) функция H (u  iv) не обращается в нуль при конечных значениях v,
 < v < ;
3) преобразование Лапласа решения x* (t ) суммируемо с квадратом:

 |X
*
(u  iv) |2 dv = k < .

Тогда для любого  найдутся такие узлы vk , k = 0,1, , N , и такие
комплексные константы  k , k = 0,1, , N , что итерационный процесс (13),
(14) сходится к функции x*N (t ) , и справедлива оценка


 | e ut ( x* (t )  x*N (t )) |2 dt  <  .


0


В случае, если функция H (u  iv) с фиксированным значением u (u > c)
при изменении v от  до  может обращаться в нуль в конечном числе
точек, то для решения уравнения (1) нужно использовать другую вычислительную схему.
Пусть функция H (u  iv) при фиксированном значении u (u > c) и при
v изменяющемся в пределах от  до , обращается в нуль в конечном
числе точек. Тогда существует такой набор узлов vk , k = 0,1, , N , что при
изменении параметра v на множествах  0 = (, v0 ],  k = [vk , vk 1 ],
k = 1, 2, , N  1,  N = [vN , ), значения функции H (u  iv), u = const, u > c,
находятся внутри угла с раствором меньшим  с вершиной в начале
координат плоскости комплексной переменной w и, возможно, в его
вершине. Тогда каждому множеству  k , k = 0,1, , N , можно поставить
в соответствие комплексное число  k , k = 0,1, , N , такое, что значения
функции  k H (u  iv) при u = const, u > c, v   k , расположены внутри
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
единичной окружности с центром в точке (1,0) и, возможно, в точке (0,0).
Построим итерационный метод
xnk1 (t ) =  kn xnk (t )  (1   nk ) 

t

k

 xn (t )   k  hk (t  ) xn ()d   f k (t )   , k = 0,1, , N , n = 0,1, , (15)



0



N
xn 1 (t ) =
 xnk1 (t ).
(16)
k =0
Здесь hk (t ), f k (t ) – прообразы функций H (u  iv) Ek (u  iv),
F (u  iv) Ek (u  iv), где Ek (u  iv) – характеристическая функция множества
 k , k = 0,1, , N , определяемая формулой
1,   k ,
Ek (u  iv) = 
0,  (, ) \  k .
Относительно сходимости итерационной схемы (15), (16) справедливо
следующее утверждение.
Теорема 1.4. Пусть уравнение (1) разрешимо. Тогда итерационный
процесс (15), (16) сходится к одному из решений.
Доказательство проводится по аналогии с доказательством теоремы 1.2.
Изложенный выше итерационный метод решения интегральных
уравнений Вольтерра в свертках может быть применен и к решению
интегральных уравнений вида


x(t )  h(t  ) x() d  = f (t );
t

h(t  ) x()d  = f (t ),
t
которые, как отмечается в [1], широко используются при анализе процессов
в физических системах.
Здесь при обосновании вычислительных схем нужно применить
специальную теорему о свертке [1]


L  h(t  ) x()d   = H ( p ) X ( p ),


t



где

H ( p) = h(t )e pt dt ;
X ( p)
–
стандартное
изображение,
0

X ( p ) = x(t )e  pt dt.

0
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Замечание. Наряду с построением итерационных процессов в действительной области естественно рассмотреть аналогичные процессы в
области изображений. Рассмотрим итерационный процесс:
X n 1 ( p) = X n ( p)   ( H ( p ) X n ( p)  F ( p)), n = 0, 1, ,
(17)
построенный по аналогии с итерациями (10). Его сходимость при p = u  iv,
 < v <  следует из доказательства теоремы 1.1. Вычислив по формуле
(17) значения X ( p ) на сетке узлов pk = u  ivk , k = 1, 2, , N , и используя
квадратурные формулы вычисления обратного преобразования Лапласа
1
2
u  i
 x(t ), t > 0,
e(u iv )t X (u  iv)dv = 
0, t < 0,
u i

(18)
находим значения x(t ) в узлах сетки tk , k = 1, 2, , M .
По этим значениям строится локальный сплайн, восстанавливающий
функцию x(t ).
Вычисление интеграла, стоящего в левой части формулы (18) по
квадратурным формулам, может оказаться неустойчивым.
Здесь следует использовать методы регуляризации, изложенные
в книге [13].
Результаты, аналогичные приведенным в данном разделе, могут быть
получены и для уравнений второго рода вида (2). Однако, т.к. для уравнений
вида (2) метод простой итерации всегда сходится, то распространение
предыдущих результатов на уравнения вида (2) не представляет
значительного практического интереса, поэтому здесь не приводится.
2 Многомерные интегральные уравнения Вольтерра в свертках
В этом разделе будем исследовать итерационные методы решения
многомерных интегральных уравнений Вольтерра в свертках. При этом
ограничимся двумерными уравнениями первого рода вида
t1t2
  h(t1  1, t2  2 ) x(1, 2 )d 1d 2 = f (t1, t2 ).
(19)
00
Обозначим через H ( p1 , p2 ) преобразование Лапласа функции h(t1 , t2 ),
осуществляемое формулой

H ( p1 , p2 ) =
e
 ( p1t1  p2t2 )
h(t1 , t2 )dt1dt2 .
00
Аналогично определяются преобразования X ( p1 , p2 ) и F ( p1 , p2 )
функций x(t1 , t2 ) и f (t1 , t2 ) .
Будем считать функции H ( p1 , p2 ) и F ( p1 , p2 ) аналитическими по
переменным pi = ui  ivi при ui  ci , i = 1, 2. Зафиксируем значения ui  ci ,
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
i = 1, 2,
Физико-математические науки. Математика
и рассмотрим функцию
H u u (v1 , v2 ) = H (u1  iv1 , u2  iv2 )
при
H u u (v1 , v2 )
при
1 2
 < vi < , i = 1, 2.
Предположим вначале, что значения функции
1 2
изменении значений  < vi < , i = 1, 2, лежат внутри угла раствора
меньшего , в плоскости комплексной переменной . Тогда найдется такое
комплексной число , что значения функции H u u (v1 , v2 ) при  < vi < ,
1 2
i = 1, 2, лежат внутри окружности с центром в точке (1,0) и с радиусом,
равным единице в плоскости комплексной переменной . По аналогии с [10]
назовем это условие условием A. Решение уравнения (19) будем искать
итерационным методом:
xn 1 (t1 , t2 ) = xn (t1 , t2 ) 
 t1t2



h(t1  1 , t2  2 ) xn ( 1 , 2 )d 1d 2  f (t1 , t2 )  , n = 0,1, ...


00


В случае, если значения функции
H u u (v1 , v2 )
1 2
(20)
при изменении
значений  < vi < , i = 1, 2, лежат внутри угла раствора меньшего  и
в вершине угла, решение уравнения (19) ищется итерационным методом
xn 1 (t1 , t2 ) =  n xn (t1 , t2 )  (1   n )( xn (t1 , t2 ) 
 t1t2



h(t1  1 , t2  2 ) xn ( 1 , 2 )d 1d 2  f (t1 , t2 ))  , n = 0, 1, ... ,


00


(21)
где 0 < *   n  * < 1.
Докажем сходимость итерационных методов (20) и (21).
Норму функции F ( p1 , p2 ) определим формулой
 

 F ( p1 , p2 )  = 
| F (u1  iv1 , u2  iv2 ) |2 dv1dv2  .


 

2

(22)
Для обоснования сходимости итерационных процессов в (20) и (21) нам
понадобится формула, аналогичная формуле Парсеваля для преобразования
Фурье.
Очевидно,
2
 F ( p1 , p2 )  =
 
  | F (u1  iv1, u2  iv2 ) |
2
dv1dv2 =

33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2
  
=
    f (t1, t2 )e
 (u1 iv1 )t1  (u2 iv2 )t2
e
dt1dt2 dv1dv2 =
 0 0
2
  
=
   e
u1t1 u2t2
f (t1 , t2 )e
i (v1t1  v2t2 )
dt1dt2 dv1dv2 =
 0 0
   
=
    e
u1t1 u2t2
f (t1 , t2 )
 
= 42
 

 e
2
i ( v1t1  v2t2 )
dt1dt2 dv1dv2 =
2
V ((e u1t1 u2t2 f (t1 , t2 )) dv1dv2 =

= 42  V (eu1t1 u2t2 f (t1 , t2 ))  ) 2 = 42  (eu1t1 u2t2 f (t1 , t2 ))  2 =
= 4
 
2
 e

0 0
u1t1 u2t2
1/2

f (t1 , t2 ) dt1dt2 


2
.
Здесь

e u1t1 u2t2 f (t1 , t2 )
Докажем

e u1t1 u2t2 f (t1 , t2 ), (0  t1 < )  (0  t2 < ),
=
 0, t , t .
 1 2
сходимость
уравнение (20) на e
u1t1 u2t2
итерационного
процесса
(20).
Умножим
. В результате имеем
e u1t1 u2t2 xn 1 (t1 , t2 ) = e u1t1 u2t2 ( xn (t1 , t2 ) 
 t1t2



h(t1  1 , t2  2 ) xn (1 , 2 )d 1d 2  f (t1 , t2 ))  , n = 0,1, 


00


(23)
Вычитая почленно из (22) такое же выражение, но со значением
индекса на единицу меньшим, и переходя к нормам, получаем
 e u1t1 u2t2 ( xn 1 (t1 , t2 )  xn (t1 , t2 )) = e u1t1 u2t2 ( xn (t1 , t2 )  xn 1 (t1 , t2 )) 
 t1t2

  h(t1  1 , t2  2 )( xn ( 1 , 2 )  xn1 (1 , 2 ))d 1d 2 )  =


00


=
34
1
L  xn (t1 , t2 )  xn 1 (t1 , t2 ) 
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика

 h(t1  1 , t2  2 )( xn (1 , 2 )  xn1 (1 , 2 ))d 1d 2  =

00

t1t2

=

1
X n ( p1 , p2 )  X n 1 ( p1 , p2 )  H ( p1 , p2 )( X n ( p1 , p2 )  X n 1 ( p1 , p2 )) 
4

1
|1  H (u1  iv1 , u2  iv2 ) |
|| X n ( p1 , p2 )  X n 1 ( p1 , p2 ) ||=
sup
4
 < vi <,i =1,2
|1  H (u1  iv1 , u2  iv2 ) | e u1t1 u2t2 ( xn (t1 , t2 )  xn 1 (t1 , t2 )) . (24)
sup
 < vi <, i =1,2
При условии
sup
 <vi , j 1,2
|1  H (u1  iv1 , u2  iv2 ) | q < 1
(25)
сходимость итерационного метода (20) следует из теоремы Банаха [11].
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 2.1. Пусть выполнено условие (24). Тогда уравнение (19)
имеет единственное решение, к которому сходится итерационный процесс
(20) со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q.
В случае, если вместо условия (24) выполняется условие
sup
 <vi , j 1, 2
|1  H (u1  iv1 , u2  iv2 ) | 1,
(26)
то справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.2. Пусть выполнены следующие условия:
1) уравнение (19) разрешимо;
2) существует такое комплексное число , что справедливо
неравенство (25).
Тогда итерационный процесс (21) сходится к одному из решений
уравнения (19).
Доказательство следует из результатов [12] о сходимости
итерационных процессов с унитарными операторами и неравенства
|| x(t1 , t2 )  
t1t2
  h(t1  1, t2  2 ) x(1, 2 )d 1d 2 |||| x(t1, t2 ) ||,
00
справедливость которого доказывается рассуждениями,
приведенными в (23).
Построим итерационные схемы решения уравнения
положении, что для функции H (u1  iv1 , u2  iv2 ), ui = const,
аналогичными
(19) в предii  c, i = 1, 2,
при изменении (v1 , v2 )  (, )2 условие A не выполняется. Вначале
рассмотрим случай, когда функция H (u1  iv1 , u2  iv2 ) не обращается в нуль
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
во внутренних точках области (, ) 2 . Обозначим через B достаточно
большое положительное число, величина которого будет определенно ниже.
При выполнении приведенных выше условий область  = [ B, B;  B, B]
2kB
,
можно покрыть прямоугольниками  kl = [tk , tk 1; l , l 1 ], tk =  B 
M1
k = 0,1, ... , M1 ,
l =  B 
2lB
, l = 0,1, ..., M 2 ,
M2
таким образом, чтобы при
(v1 , v2 )   kl значения функции H (u1  iv1 , u2  iv2 ) были расположены
внутри угла раствора меньшего  с вершиной в начале координат плоскости
комплексной переменной w.
В этом случае каждому прямоугольнику  kl можно поставить в
соответствие комплексное число  kl такое, что значения функции
(1   kl H (u1  iv1 , u2  iv2 )) при (v1 , v2 )   kl лежат внутри окружности
радиуса 1 с центром в точке (1,0) плоскости комплексной переменной w.
Обозначим через Ekl (u1  iv1 , u2  iv2 ) характеристическую функцию
области  kl , определяемую формулой
1, ( 1 , 2 )   kl ,
Ekl (u1  iv1 , u2  iv2 ) = 
2
0, (1 , 2 )  ( , ) \  kl .
Решение уравнение (19) будем искать итерационным методом:
xnkl1 (t1 , t2 ) =  nkl xn (t1 , t2 )  (1   nkl )( xnkl (t1 , t2 ) 
 t1t2

 kl 
hkl (t1  1 , t2  2 ), xn (1 , 2 )d 1d 2  f kl (t1 , t2 )  ,


00


(27)
где n = 0,1,  , k = 0,1, , M1  1, l = 0,1, , M 2  1,
xn 1 (t1 , t2 ) =
M11M 2 1
  xnkl1(t1, t2 ),
(28)
k =0 l =0
здесь hkl (t1 , t2 ) – прообраз функции H (u1  iv1 , u2  iv2 ) Ekl (u1  iv1 , u2  iv2 ),
f kl (t1 , t2 ) – прообраз функции F (u1  iv1 , u2  iv2 ) Ekl (u1  iv1 , u2  iv2 ).
Будем считать, что уравнение (19) имеет единственное решение
x* (t1 , t2 ) , удовлетворяющее условию

 e
u1t1 u2t2 *
2
x (t1 , t2 ) dt1dt2  k < .
00
Тогда найдется постоянное число
неравенство
36
B
такое, что справедливо
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика


2
e u1t1 u2t2 x* (t1 , t2 ) dt1dt2 < .
( , )2 \[  B, B ]2
При сделанных выше предположениях справедливо следующее
утверждение.
Теорема 2.3. Пусть уравнение (19) имеет единственное решение. Тогда
итерационный процесс (26), (27) сходится к этому решению при n  ,
B   и при соответствующем выборе констант  kl , k = 0,1, , M1 ,
l = 0,1, , M 2 (отметим, что при увеличении значения B параметры
M1 , M 2 могут также возрастать).
Рассмотрим теперь случай, когда функция H (u1  iv1 , u2  iv2 )
(u1 , u2 = const, u1 , u2  c) может обращаться в нуль на конечном числе линий.
В этом случае область [ B, B;  B, B ], где B – достаточно большое
положительное
число,
может
быть
покрыта
прямоугольниками
 kl , k = 0,1, , M1  1, l = 0,1, , M 2  1, такими, что при (v1 , v2 )   kl
значения функции H (u1  iv1 , u2  iv2 ) лежат внутри угла (и, возможно, в его
вершине) раствора меньшего .
Тогда каждому прямоугольнику  kl , k = 0,1, , M1  1, l = 0,1, ,
M 2  1, можно поставить в соответствие такое комплексное число  kl , что
значения функции 1   kl H (u1  iv1 , u2  iv2 ), (v1 , v2 )   kl , будут лежать в
круге радиуса 1 с центром в точке (1,0). При этих значениях  kl итерационный
процесс (27), (28) сходится к одному из решений уравнения (19).
Замечание 1. Утверждения, аналогичные сформулированным в теоремах 2.1–2.3, справедливы и для уравнений второго рода.
Замечание 2. Для уравнений Вольтерра первого и второго родов
можно по аналогии с итерационными схемами (20), (21) построить итерационные процессы в частотной области.
Список литературы
1. В е р л а н ь , А . Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы /
А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. – Киев : Наукова думка, 1986. – 544 с.
2. Интегральные уравнения. – М. : Наука, 1968. – 448 с. – (Справочная
математическая библиотека).
3. С и з и к о в , В. С . Математические методы обработки результатов измерений /
В. С. Сизиков. – СПб. : Политехника, 2001. – 240 с.
4. Т р и к о м и, Ф. Интегральные уравнения / Ф. Трикоми. – М. : ИЛ, 1960. – 300 с.
5. Ц а л ю к , З . Б. Интегральные уравнения Вольтерра / З. Б. Цалюк // Итоги науки
и техники. – М. : Наука, 1979. – Т. 17. – С. 131–198. – (Математический анализ).
6. B a k e r , C . T . H . A perspective on the numerical treatment of Volterra equations /
C. T. H. Baker // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2000. – V. 125. –
P. 217–249.
7. B r u n n e r , H . On the History of Numerical Methods for Volterra Integral Equations /
H. Brunner // CWI Newsletter. – 1986. – № 11. – 20 p.
8. B r u n n e r , H . The numerical solution of Volterra equations : CWI Monographs /
H. Brunner, P. J. van der Houwer. – 3 North. – Holland, Amsterdam, 1986. – 320 p.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
9. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных
уравнений / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. – 316 с.
10. Б о й к о в , И . В. Итерационные методы решения уравнений в свертках /
И. В. Бойков // Известия вузов. Математика. – 1998. – № 2. – С. 8–15.
11. Л ю с те р н и к , Л. А . Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник,
В. И. Соболев. – М. : Наука, 1965. – 540 с.
12. О б л о м с к а я, Л. Я . О методах последовательных приближений для линейных
уравнений в банаховых пространствах / Л. Я. Обломская // Журнал
вычислительной математики и математической физики. – 1968. – Т. 8. – № 2. –
С. 417–426.
13. Ти х о н о в , А . Н . Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов,
В. Я. Арсенин. – М. : Наука, 1974. – 224 с.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный
университет
Boykov Ilya Vladimirovich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics,
Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
Кучумов Евгений Владимирович
аспирант, Пензенский государственный
университет
Kuchumov Evgeny Vladimirovich
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
УДК 517.968.2; 519.62/.64
Бойков, И. В.
Об одном итерационном методе решения интегральных уравнений Вольтерра / И. В. Бойков, Е. В. Кучумов // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. –
№ 2 (10). – С. 25–38.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
УДК 514.126
А. И. Долгарев, И. А. Долгарев
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГАЛИЛЕЕВЫХ МЕТОДОВ
Аннотация. Методами галилеевой геометрии решены некоторые системы второго порядка обыкновенных дифференциальных уравнений. Определены галилеевы кривизны евклидовых кривых и галилеевы квадратичные формы евклидовых поверхностей. Приведены примеры отыскания кривых и поверхностей по галилеевым кривизнам и коэффициентам галилеевых квадратичных
форм соответственно. Указана галилеева связность для евклидовых поверхностей, позволяющая находить галилееву метрическую функцию евклидовой поверхности. Галилеевыми методами решена задача И. Ньютона – найдены траектории движения материальной точки двух и трех степеней свободы по заданному 2-мерному полю ускорений движения.
Ключевые слова: галилеевы кривизны евклидовых кривых; галилеевы квадратичные формы евклидовой поверхности; галилеева метрическая функция евклидовой поверхности; галилеева связность; траектория точки с 2 и 3 степенями свободы.
Abstract. Methods of Galilean geometry will allow us to find solutions of some systems of differential equations. Defined Galilean curvature of Euclidean curves and
Galilean quadratic forms of Euclidean surface. They just found Euclidean curves
and surfaces. By connectedness found Galilean metric functions of the Euclidean
and the surface. For 2-dimensional field, the accelerated motion of a trajectory of
motion of point 2 and 3 degrees of freedom.
Keywords: Galilean curvature Euclidean curves; Galilean quadratic forms Euclidean
surface; Galilean metric function is the Euclidean surface; Galilean connectivity;
trajectory points with 2 and 3 degrees of freedom.
Галилеева дифференциальная геометрия 3-мерных пространств построена в работе [1] по аналогии и в полном соответствии с евклидовой дифференциальной геометрией. Поэтому галилеевы методы являются и евклидовыми методами, вобравшими в себя своеобразие галилеевой геометрии, основа которого – галилеево скалярное произведение векторов. Строятся евклидова и галилеева геометрии в единой схеме – схеме Г. Вейля. Рассматривается
действительное аффинное пространство A3 с действительным линейным
пространством L3 , представляющим собой арифметическое пространство R 3
без нормы векторов, т.е. без скалярного произведения векторов. Выбранная
размерность 3 несущественна. В работе [1] изложена 3-мерная геометрия.
Многие положения верны и для n -мерного случая. Различные скалярные
произведения векторов определяют на аффинном пространстве различные
пространства, в том числе евклидово и галилеево пространства. Имеется
большое разнообразие галилеевых пространств, пространство Галилея выделяется из них коммутативной и линейной геометрией. Это исторически первое из изучаемых галилеевых пространств. О некоммутативных пространствах см. в [1], о нелинейных – в [2, 3]. О нелинейной геометрии аффинной
плоскости написано и в [4, c. 237–261]. Еще предстоит выяснить, какое из
галилеевых пространств лучше соответствует свойствам окружающего нас
пространства.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Ниже приведены основные факты теории кривых и поверхностей
3-мерного пространства-времени Галилея из [1, 5]. Методы галилеевой геометрии позволили решить некоторые новые системы обыкновенных дифференциальных уравнений, новые системы дифференциальных уравнений с частными производными первого и второго порядков. Приведены схемы решения указанных систем дифференциальных уравнений и приведены системы
дифференциальных уравнений, решенные в геометриях некоммутативных
галилеевых пространств.
Определены галилеевы кривизны евклидовых кривых и получены новые натуральные уравнения этих кривых. Получение векторных функций,
описывающих регулярные евклидовы кривые, по их галилеевым кривизнам
значительно проще, чем по евклидовым кривизнам. Введены галилеевы квадратичные формы евклидовых поверхностей, по коэффициентам галилеевых
квадратичных форм получены векторные функции, описывающие евклидовы
регулярные поверхности. Методы решения указанной задачи значительно
проще известных. Приведены примеры отыскания кривых и поверхностей по
галилеевым кривизнам и коэффициентам галилеевых квадратичных форм соответственно. Указана галилеева связность для евклидовых поверхностей,
позволяющая находить галилееву метрическую функцию евклидовой поверхности; приведены примеры галилеево изометричных поверхностей.
Галилеевыми методами решена задача И. Ньютона – найдены траектории движения материальной точки двух и трех степеней свободы по заданному 2-мерному полю ускорений движения, по тангенциальной и нормальной
составляющим ускорения.
1 О пространстве Галилея
1.1 Галилеево скалярное произведение векторов
Рассматривается действительное линейное пространство L3 . Евклидо

вым скалярным произведением векторов r  ( x, y , z ) и s  (u , v, w) называет

 
ся число rs  xu  yv  zw . Векторы r , s перпендикулярны в случае rs  0 .




Евклидова норма вектора r равна | r | = x 2  y 2  z 2 , | r | r 2 . При этом
линейное пространство L3 становится евклидовым векторным пространством V 3 .
Для векторов линейного пространства L3 определим галилеево скалярное произведение, обозначая векторы строчными греческими буквами. Галилеево скалярное произведение  векторов   ( x, y, z ) и   (u , v, w) и галилеева норма |  | вектора  таковы:
| x |, если x  0;
 xu , если x  0 или u  0;
  
|  | 
2
2
 yv  zw, если x  u  0.
 y  z , если x  0.
(1)
Как и выше: |  | = 2 . Линейное пространство L3 становится галилеевым векторным пространством V3 . Выделенная первая компонента векторов называется временной, т.е. смысл первой компоненты вектора
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
  ( x, y, z ) есть время. Оставшиеся компоненты векторов из V3 называются
пространственными. Используется следующее обозначение:
  (t , x, y ) .
Векторы (0, x, y ) называются евклидовыми, они составляют евклидово
векторное пространство, изоморфное V 2 . Обозначим евклидовы векторы


a , ..., r , ... Векторы   ( x, y, z ) , t  0 , называются галилеевыми. Векторы  ,
 перпендикулярны в случае   0 . Всякий евклидов вектор перпендикулярен всякому галилееву вектору. Имеем прямую сумму: V3  V1  V 2 , V1 –
1-мерное временное пространство, изоморфное V1 .
В связи с тем, что временная составляющая V1 галилеева векторного
пространства 1-мерна, в V3 имеется единственное временное направление
(точнее – два взаимно обратных). Об углах между галилеевыми векторами
говорить не приходится.
1.2 Дифференцирование галилеевых функций
Галилеевы векторные функции есть
 (v)  (t (v), x(v), y (v)) , v  I1  R ,
(2)
I1 есть некоторый интервал из множества действительных чисел R ; или
функции вида
 (t , u )  (t (v, u ), x(v, u ), y (v, u )) , (v, u )  D1  R 2 ,
(3)
D1 – некоторая область евклидовой плоскости, ее можно считать прямоугольной: a  v  b , c  u  d . Производные галилеевых векторных функций
отыскиваются покомпонентно. Смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования.
1.3 Пространство Галилея размерности 3
3-мерное аффинное пространство, в линейном пространстве которого
определено галилеево скалярное произведение векторов, называется 3-мерным
пространством Галилея или 3-мерным пространством-временем Галилея и
обозначается Γ3 . Пространство-время Γ3 является прямой суммой оси времени и евклидовой плоскости
Γ3  T 1  E 2 ,
где T 1  R – ось времени.
Такое определение (n  1) -мерного пространства Галилея приведено
в работе [6, c. 11–15], мы рассматриваем случай n  2 (заметим, что в [6] галилеево скалярное произведение векторов не рассматривается). Точки пространства-времени Γ3 называются еще событиями. События A  (t , x, y ) и
A1  (t , x1 , y1 ) называются одновременными.
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Прямые и плоскости аффинного пространства являются прямыми и
плоскостями пространства Галилея. Галилеевы векторы задают временное
направление в Γ3 , оно единственно. Одновременные между собою события
составляют евклидову плоскость в Γ3 . Через всякую точку пространства Γ3
проходит единственная евклидова плоскость. Направление времени в пространстве Γ3 есть полупространство с евклидовой границей, проходящей
через данную точку. Углов между временными направлениями не существует. Евклидова плоскость не содержит галилеевых векторов. Галилеева плоскость содержит галилеевы и евклидовы векторы.
1.4 Кривые
Согласно [1, c. 54–69] регулярная кривая класса C 3 с галилеевыми касательными векторами в естественной параметризации задается галилеевой
векторной функцией
 (t )  (t , x(t ), y (t )) , t  I  R ,
(4)
естественным параметром является время.
Кривые с евклидовыми касательными векторами изучает евклидова
геометрия. От функции вида (2) к функции вида (4) переходим, обращая
функцию t  t (v) . Функция производной первого порядка есть
   (t )  (1, x (t ), y (t )) ,
это галилеев вектор, галилеева норма вектора производной является единичной: |  (t ) | 1 , см. галилееву норму (1) вектора в п. 1.1; длина дуги линии (4)
от точки  (t0 ) до точки  (t1 ) равна | t1  t0 | . Вектор производной второго порядка является евклидовым
x(t ), 
y (t )) .
   (t )  (0, 
Так как    (см. п. 1.1) (галилеев вектор перпендикулярен евклидову
вектору), то (t ) есть вектор нормали кривой (4). Единичный вектор нормали
кривой (4) равен
 1
n
(0, 
x, 
y) .
|  |
(5)
Кривизна галилеевой кривой (4) вычисляется по формуле
 1
k1 |  (t ) | 
x 2  
y 2 , n  (0, 
x, 
y) .
k1
(6)
Кручение галилеевой кривой (4) равно
k2 

x y  
x 
y
k12
.
(7)
Функции кривизны и кручения кривой (4) k1  k1 (t )  0, k2  k2 (t ) задают натуральные уравнения галилеевой кривой (4), функции x  x(t ) ,
y  y (t ) есть решение системы
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
 
x 2  
y 2  k12 (t ),

x 
y  
x 
y  k12 (t )k2 (t )
 
(8)
обыкновенных дифференциальных уравнений, полученной по формулам (6) и
(7). Кривая (4) определяется с точностью до положения в пространстве [5].
Схема решения системы дифференциальных уравнений (8). По виду
первого уравнения системы (8) вводим обозначения:


x  k1 (t )cos m(t ) , 
y  k1 (t )sin m(t ) , m(t )  k2 (t )dt .
(9)
Введенные функции удовлетворяют и второму уравнению системы (8).
Интегрируя функции (9) дважды по временному параметру t , находим функции x(t ) и y (t ) и получаем кривую (4). Начальные условия
t  t0 ,  (t0 )  (t0 , x(t0 ), y (t0 ))  P ,  (t0 )  (1, x(t0 ), y(t0 ))  (1, m, n)
определяют единственную кривую, проходящую через данную точку
 (t0 )  P и имеющую данный Галилеев единичный касательный вектор
 (t0 )  (1, m, n) .
Пример 1. Зададим кривизны
k1 
1 t2
t
3
, k2 
1
1 t2
галилеевой кривой  (t )  (t , x(t ), y (t )) . Найдем функции x(t ), y (t ) . Согласно (9)
dt
имеем m(t )  k2 (t )dt =
 arctg t  c . Считаем c  0 . Вводим функции
1 t2



x
1 t2
t3
cos(arctg t ) 
1
t
3
x
, 
1 t2
t3
cos (arctg t )  
1
t2
.
После двукратного интегрирования получаем семейство кривых
 1

 (t )   t ,  C1t  C3 , ln t  C2t  C4  .
2
t


3
1
Начальные условия t  1, x  , y  0, x  , y  0 выделяют кривую
2
2
 1  1

 (t )   t ,  t   , ln t  .
 2 t 

Это цепная линия. Ее кривизны совпадают с заданными. Заменяя пара1


метр ln t  u , приходим к функции  (u )   eu , (eu  e u ), u  .
2


1.5 Поверхности
В работе [1, c. 70–101] изучаются регулярные поверхности класса C 3
в естественной параметризации
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 (t , u )  (t , x(t , u ), y (t , u )) , (t , u )  D  R 2 .
(10)
Векторы частных производных
 t  (1, xt (t , u ), yt (t , u )) ,  u  (0, xu (t , u ), yu (t , u ))
в каждой точке P поверхности (10) неколлинеарны и определяют касательную плоскость  P,  t ,  u  поверхности. Функция (10) получается в результате обращения функции t  t (v, u ) по параметру v функции (3). Первая
квадратичная форма поверхности есть
dt 2 , если t изменяется,
ds 2  
2
2
 xu  yu , если t не изменяется.
Вид первой квадратичной формы поверхности такой же, как вид галилеевой нормы (1) вектора из V3 . Коэффициент
E  E (t , u )  xu2  yu2  0
(11)
первой квадратичной формы называется метрической функцией поверхности
(10). Расстояния по поверхности (10) вдоль u -линии вычисляются как
s

E (t , u ) du ; вдоль всех остальных линий поверхности (10) расстояние от
точки  (t0 , u0 ) до точки  (t1 , u1 ) равно s | t1  t0 | . Единичный вектор нормали поверхности (10) таков:

1
n
(0,  yu , xu ) .
E
(12)
Вторая квадратичная форма поверхности равна
II  Adu 2  2 Bdudt  Cdt 2 ,
(13)
ее коэффициенты вычисляются формулам
  x y  yuu xu
  x y  ytu xu
, B   tu n  tu u
,
A   uu n  uu u
E
E
  x y  ytt xu
.
C   tt n  tt u
E
(14)
Полная кривизна поверхности есть
K  AC  B 2 .
Деривационные формулы поверхности таковы:
E
E


 

B
A
 tt  Cn ,  tu  t  t  Bn ,  uu  u  u  An , nt    u , nu    u . (15)
2E
2E
E
E
Имеются аналоги формул Гаусса-Петерсона-Кодацци:
E 2  2 Ett E
, AEt  2 At E  BEu  2 Bu E , BEt  2 E ( Bt  Cu )  0 . (16)
K t
4E
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
Символы Кристоффеля:
E
E
ij2  0 , 111  0 , 112  121  t , 122  u .
2E
2E
(17)
Если все коэффициенты E , A, B, C первой и второй квадратичных
форм поверхности являются функциями временного параметра t , то коэффициенты A, B, C второй квадратичной формы поверхности являются функциями метрической функции поверхности:
A  p E, B 
E 2  2 Ett E  4qE
q
, C t
,
4 pE E
E
(18)
где p, q постоянные, см. [8]. Поверхность определяется только метрической
функцией [5].
Если заданы коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности
E  E (t , u )  0, A  A(t , u ), B  B (t , u ), C  C (t , u ) ,
(19)
то функции x  x(t , u ), y  y (t , u ) – компоненты векторной функции  (t , u )
(10), описывающей поверхность пространства-времени Галилея Γ3 , являются
решением следующей системы дифференциальных уравнений с частными
производными, составленной по формулам (11) и (14):
 xu 2  yu 2  E (t , u ),

 xuu yu  yuu xu  A(t , u ) E (t , u ),

 xtu yu  ytu xu  B (t , u ) E (t , u ),

 xtt yu  ytt xu  C (t , u ) E (t , u ).
(20)
Полученная поверхность имеет квадратичные формы с заданными коэффициентами (19). Единственная поверхность определяется однозначно
следующими начальными условиями:
t  t0 , u  u0 ,  (t0 , u0 )  (t0 , x(t0 , u0 ), y (t0 , u0 ))  P ,
 t (t0 , u0 )  (1, xt (t0 , u0 ), yt (t0 , u0 ))  (1, a, b) ,
 u (t0 , u0 )  (0, xu (t0 , u0 ), yu (t0 , u0 ))  (0, c, d ) .
(21)
Это поверхность, проходящая через точку P и имеющая касательную
плоскость с заданными векторами (1, a, b), (0, c, d ) . Тем самым для поверхностей пространства-времени Галилея Γ3 устанавливается аналог теоремы
Бонне евклидовой геометрии [5]. Аналоги формул Петерсона-Кодацци (16)
являются условиями интегрируемости системы дифференциальных уравнения с частными производными (20).
По формуле (11) метрической функции поверхности и деривационным
формулам (15) получаются две системы дифференциальных уравнений с частными производными:
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 xu 2  yu 2  E (t , u ),

Eu (t , u )

 xuu  E (t , u ) xu  A(t , u ) yu ,

 x  Et (t , u ) x  B(t , u ) y ,
u
 tu E (t , u ) u

 xtt  C (t , u ) yu ;
 xu 2  yu 2  E (t , u ),

Eu (t , u )

 yuu  E (t , u ) yu  A(t , u ) xu ,

 y  Et (t , u ) y  B(t , u ) x ,
u
 tu E (t , u ) u

 ytt  C (t , u ) xu ,
(22)
решением каждой из которых являются функции x  x(t , u ), y  y (t , u ) – те же,
что и решения системы (20) – компоненты векторного задания поверхности (10).
Начальные условия (21) определяют единственную поверхность с заданными коэффициентами квадратичных форм (19). В работе [9] приведены
примеры получения поверхностей по функциям (19).
Заданные функции (17) – галилеева связность, приводят к системе
дифференциальных уравнений с частными производными:
 Et  2 E 112 ,

1
 Eu  2 E  22 ,
решением которой является метрическая функция E  E (t , u ) поверхности
 (t , u ) (10), пространства-времени Галилея Γ3 . Получаем:
t
u
t0
u0

L(t , u )  112 (t , u )dt 
1 L (t ,u )
,
 22 (t0 , u )du , E (t , u )  c e
1
см. [10]. Если E , A, B, C являются функциями параметра t , то при A  0 определяется семейство поверхностей (см. [8]):


E
E
sin w  C1 (t ), 
cos w  C2 (t )  , w  pu  qt ;
 (t , u )   t ,
p
p


при A  0 определяется семейство линейчатых поверхностей:


 (t , u )  t , u E cos qt  C1 (t ), u sin qt  C2 (t ) .
Ci (t ) – постоянные интегрирования по параметру u . Это семейства поверхностей по заданной галилеевой связности – множество попарно изометричных поверхностей [10].
Пример 2. Галилеева связность
112 
t
2
t u
2
, 122 
u
2
t  u2
определяет метрическую функцию поверхностей пространства-времени Галилея
E
46


1 2
t  u2 .
c
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
При c  1 и
A
t
t 2  u2
, B
u
t 2  u2
, C 0
имеем семейство изометричных поверхностей


u2
 (t , u )   t , tu  C1t  C3 ,
 C2 t  C4  ,


2


здесь Ci – постоянные, определяемые начальными условиями.
Пример 3. Если A и B – указанные в примере 2 функции, но
C  t 2  u 2 , то имеем семейство изометричных поверхностей:


t 2u
u2 t3
 (t , u )   t , tu 
 C1t  C3 ,
 C2 t  C4  .


2
2
6


Все приведенные поверхности попарно изометричны, их метрическая
функция E  t 2  u 2 Есть и другие изометричные им поверхности [10]. Получены все эти поверхности в результате решения системы дифференциальных
уравнений с частными производными (20). Среди поверхностей с метрической функцией E  1  u 2 имеются поверхности
a
1 
1
1 


 (t , u )   t , u , t 2  u 2  ,  (t , u )   t , u , t 2  u 2  ,
2
2 
2
2 


см. [9], эллиптический и гиперболический параболоиды; они изометричны.
Вместе с тем компоненты x  x(t , u ), y  y (t , u ) поверхности (10) получаются в результате решения следующих систем дифференциальных уравнений с частными производными в векторной форме
Eu


  uu  2 E  u  An ,

    Et   Bn ,
u
 tu
2E


  tt  Cn ,

где  u  (0, xu , yu ) , вектор n есть (12).
Схема решения системы дифференциальных уравнений с частными
производными (20) согласно [5] такова. По виду первого уравнения имеем
xu  E cos w(t , u ) , yu  E sin w(t , u ) ,
(23)
функцию w  w(t , u ) предстоит найти. Дифференцируем функции (23) по параметру u :
xuu 
Eu
2 E
cos w  Ewu sin w , yuu 
Eu
2 E
sin w  Ewu cos w .
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Подставляя значения производных во второе уравнение системы (20),
получаем
wu 
A
E
.
Дифференцируем функции (23) по параметру t и по третьему уравнеB
нию системы (20) получаем wt 
. Находим:
E
wut 
2 At E  Et A
2 E
3
, wtu 
2 Bt E  Et B
2 E
3
.
По аналогу первой формулы Петерсона-Кодацци (16) приходим к выводу, что функция w  w(t , u ) является решением уравнения с полным дифференциалом
B
A
dt 
du  0 ,
E
E
интегрируя которое, имеем функцию w  w(t , u ) .
Интегрируем функции (23) по параметру u ; постоянными интегрирования являются функции параметра
x

E cos wdu  C1 (t ) , y 

E sin wdu  C2 (t ) .
Дифференцируя дважды эти функции по параметру по четвертому
уравнению системы (20) находим функции C1 (t ), C2 (t ) и функции
x  x(t , u ), y  y (t , u ) . Начальные условия (21) определяют единственные
функции x(t , u ), y (t , u ) и единственную поверхность (10). Проверка показывает, что заданные коэффициенты (11) и (14) системы уравнений (20) являются коэффициентами квадратичных форм найденной поверхности.
В примерах 2, 3 получены поверхности по коэффициентам квадратичных форм.
2 Решения систем дифференциальных уравнений
2.1 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
В исследованиях геометрических свойств пространства-времени Галилея приходится решать дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений. В частности, по натуральным уравнениям кривых получается векторное задание кривой в естественной параметризации. Задача
эта разрешена и в евклидовой, и в галилеевой геометрии. Для евклидовой

кривой в естественной параметризации r ( s ) = ( x( s), y ( s ), z ( s)) вычислительные формулы кривизны и кручения таковы:
1
  
  
  
xy )
z  ( xz
xz )
y  ( yz
yz )
x.
k1 ( s )  
x 2  
y 2  
z 2 , k2 ( s ) 
 ( xy
k12
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
Заданные функции кривизны и кручения
k1  k1 ( s )  0 , k2  k2 ( s )
(24)
однозначно, с точностью до положения в евклидовом пространстве, опреде
ляют кривую r ( s ) , имеющую кривизны (24). Здесь по двум функциям k1 ( s ) и
k2 ( s) однозначно отыскиваются три функции x  x( s ), y  y ( s ), z  z ( s ) –

компоненты векторного задания пространственной кривой r ( s ) . В связи
с чем (24) называются натуральными уравнениями кривой. Система двух
дифференциальных уравнений для трех функций, составленная по вычислительным формулам k1 ( s ) и k2 ( s )
 
x 2  
y 2  
z 2  k12 ,

  
  
  
xy )
z  ( xz
xz )
y  ( yz
yz )
x  k12 k2 ,
( xy
не позволяет найти три требуемые функции.
Задача решается другими методами, см. [11, c. 196–205; 12, c. 38–41].
В пространстве-времени Галилея размерности 3 задача решена,
см. п. 1.4; по вычислительным формулам кривизны и кручения (6) и (7) составлена система обыкновенных дифференциальных уравнений (8), ее решением являются две функции x(t ) , y (t ) – компоненты векторного задания
галилеевой кривой (4)  (t )  (t , x(t ), y (t )) в естественной параметризации.
Схема решения этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений
приведена в п. 1.4.
В других галилеевых пространствах решены системы обыкновенных
дифференциальных уравнений следующего вида:
( 
x  x ) 2  ( 
y  y ) 2  k12 (t ),

x  x )( 
y  
y )  ( 
y  y )(
x  
x)  k12 (t )k2 (t );
( 
2

1 

 
x 2   
y  x  
x   k12 (t ),
2 



x (
y  
x)  
x ( 
y  x )  k12 (t )k2 (t );
 
2

1

 
( 
x  x 
y  ey )   ( 
y  y )2  k12 (t ),

e 1


1
1




x  x 
y  ey )  ( 
y  
y )  ( 
y  y )  
x  
x
y  e 
y )   k12 (t ) k2 (t ).
( 
(
 
e 1
e 1




Случай постоянных коэффициентов рассмотрен в [1], общий случай – в [7].
В 4-мерном пространстве-времени Галилея составлена система трех
обыкновенных дифференциальных уравнений:
 x2  y 2  z 2  k12 ,


2
2
2
4 2
( y z   z y )  ( xz   z x)  ( xy  y x)  k1 k2 ,

3 3
( y z   z y ) x  ( xz   z x) y   ( xy   y x) z   k1 k2 k3
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
с заданными функциями кривизн k1  k1 (t )  0, k2  k2 (t ), k3  k3 (t ) кривой
 (t ) = (t , x(t ), y (t ), z (t )) .
К настоящему времени указанная система уравнений решена только
в случае постоянных кривизн. В работе [13] установлено, что в этом случае
k3  0 , т.е. кривая с постоянными кривизнами уплощается. Тем самым получено некоторое локальное ограничение на размерность пространства-времени
Галилея. В малой окрестности всякого события 4-мерного пространствавремени мировая линия события не более чем 3-мерна, она вкладывается
в 3-мерное пространство-время. Это согласуется с известным фактом, что
наша солнечная система плоская – все планеты движутся в плоскости эклиптики; и наша галактика – Млечный путь, тоже плоская.
2.2 Системы дифференциальных уравнений
с частными производными первого порядка
По заданным векторным полям класса C1


a (t , u )  (a1 (t , u ), a 2 (t , u )) и b (t , u )  (b1 (t , u ), b 2 (t , u ))
на некоторой области D евклидовой плоскости определяется регулярная поверхность класса C 2
(t , u )  (t , x(t , u ), y (t , u ))
на той же области в одулярном галилеевом пространстве с точностью до положения в пространстве как решение одной из систем дифференциальных
уравнений с частными производными первого порядка:
xu  a1 (t , u ), yu  a 2 (t , u ),
xt  b1 (t , u ), yt  b 2 (t , u );
при условиях a1t  bu1 , at2  bu2 ;
xu  a1 (t , u ),
yu  a 2 (t , u ),
xt  x  b1 (t , u ), yt  y  b 2 (t , u );
при условиях a1t  a1  bu1 , at2  a 2  bu2 ;
2
xu  a1 (t , u ), yu  a (t , u ),
1
2
xt  b1 (t , u ), yt  xt  x  b (t , u );
2
1
при условиях a1t  bu1 , at2  a1t  a1  bu2 ;
2
2
xu  a1 (t , u ), yu  y  a (t , u ),
1
( yt  ey )  b 2 (t , u );
xt  b1 (t , u ), yt  x 
e 1
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
1
(at2  ea 2 )  bu1 , at2  a 2  bu2 .
e 1
Решения указанных систем дифференциальных уравнений приведены в [14].
при условиях a1t  a1 
2.3 Системы дифференциальных уравнений
с частными производными второго порядка
В евклидовой геометрии доказана теорема Бонне об определяемости
поверхности заданными коэффициентам первой и второй квадратичных
форм. Заданы шесть функций
E (u , v), F (u , v), G (u , v), L(u , v), M (u , v), N (u, v) ,
(25)
которые определяют три функции: x(u , v), y (u , v), z (u , v) – компоненты поверхности

r (t , u )  (t , x(t , u ), y (t , u )) ,
имеющей первую и вторую квадратичные формы с коэффициентами (25).
Система дифференциальных уравнений с частными производными, написанная по формулам коэффициентов (25), является громоздкой (см., например
[15], или в тензорной форме [16], разворачивающуюся в громоздкую систему
уравнений). Схемы доказательства теоремы Бонне евклидовой геометрии
приведены в [15, c. 455–458; 16, c. 212–214], см. также [12, c. 111–117].
В геометрии пространства-времени Галилея доказательство аналога теоремы
Бонне основано на решении систем дифференциальных уравнений (20) и (22)
[5]. В некоммутативном пространстве с растраном [17] решена система уравнений
 xu 2  yu 2  E (t , u ),

  xuu yu  yuu xu  A(t , u ) E (t , u ),

  xtu yu  ytu xu  B(t , u ) E (t , u ),

 ( xtt  xt ) yu  ( ytt  yt ) xu  C (t , u ) E (t , u ).
В других пространствах решены системы уравнений, в которых последнее уравнение заменено одним из следующих уравнений:
1


xu  ytt  xtt  xt   yu xtt  C E ;
2


1
( ytt  eyt )  C E .
xu ( ytt  yt )  yu ( xtt  xt 
e 1
Решение системы уравнений при этом усложняется.
3 Галилеевы методы в евклидовой геометрии
3.1 Галилеевы кривизны евклидовой кривой
Рассматривается регулярная кривая класса C 3 3-мерного евклидова

пространства r (t )  ( x(t ), y (t ), z (t )) , t  I1  R , I1 есть интервал из R . Функ-
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

ция x(t ) обратима, существует обратная функция t  t ( x) , и кривая r (t ) задается в параметризации

r ( x)  ( x, y ( x), z ( x)) , t  I  R .
(26)
Такая параметризация кривой называется выделенной, функция не менее трех раз дифференцируема. Выделенная параметризация евклидовой кривой напоминает естественную параметризацию галилеевой кривой, см. (4).

Только в частном случае y 2 ( x)  z 2 ( x)  a 2 кривая r ( x) лежит на круглом
цилиндре, в общем случае это произвольная регулярная кривая. Имеем:


r ( x)  (1, y ( x), z ( x)) , r ( x)  (0, y ( x), z ( x)) .
Функция производной второго порядка имеет одну нулевую компоненту.
Определение. Галилеевой кривизной евклидовой кривой (26) в выделенной параметризации называется величина

k1  r ( x)
y 2 ( x)  z 2 ( x) ,
галилеевым кручением евклидовой кривой (26) в выделенной параметризации
называется величина
k2 =
y z   y z 
(k1 ) 2
.
Согласно п. 1.4 справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Компоненты y  y ( x), z  z ( x) кривой (26) являются решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
 y 2  z 2  (k1 ) 2 ( x),

 2

 y z   y z   (k1 ) ( x)k2 ( x),
(27)
где k1 ( x)  0 , k2 ( x) – заданные на интервале I функции класса C 3 галилеевых кривизн. Единственная кривая определяется начальными условиями:
x  x0 , ( x0 , y ( x0 ), z ( x0 ))  (a, b, c) , (1, y ( x0 ), z ( x0 ))  (1, d , f ) .
# Схема решения системы дифференциальных уравнений приведена
в п. 1.4. В результате получается евклидова кривая в выделенной параметризации. #
Теорема 1 означает, что выполняется следующее утверждение.
Теорема 2. Функции
k1  k1 ( x)  0 , k2  k2 ( x)
являются галилеевыми натуральными уравнениями евклидовой кривой. #
Пример 4. По галилеевым кривизнам
k1 
52
2
1
, k2 ( x) 
x
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика

найдем евклидову кривую r ( x)  ( x, y ( x), z ( x)) . Система обыкновенных дифференциальных уравнений (27) принимает вид
2
 2
2
 y  z   2 ,

x

 y z   y z   2 .

x3
Согласно (9) m( x)  k2 dx  ln x (постоянную интегрирования считаем

равной нулю). Полагаем:
1
1
y    (cos ln x  sin ln x) , z   (sin ln x  cos ln x) .
x
x
Эти функции удовлетворяют рассматриваемой системе дифференциальных уравнений. После двукратного интегрирования находим
y  x cos ln x  C1 x  C3 , z  x sin ln x  C2 x  C4 .
Начальные условия x0  1, y0  0, z0  0, y0  1, z0  1 выделяют кривую

r ( x)  ( x, x cos ln x, x sin ln x) .
Ее галилеевы кривизны совпадают с заданными. После замены пара
метра x  et кривая записывается в виде r ( x)  (et , et cos t , et sin t ) . Это коническая спираль. Заметим, что в п. 1.4 функции y , z  подбираются так, чтобы
они удовлетворяли первому уравнению системы. Подбор осуществляется неоднозначно.
3.2 Галилеевы квадратичные формы евклидовой поверхности
Пусть задана регулярная поверхность класса C 3 3-мерного евклидова

пространства r (u, v)  ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) , (u , v)  D1  R 2 , D1 – область
евклидовой плоскости. Ввиду регулярности поверхности, функция x  x(u , v)
обратима по каждому параметру, существует обратная функция v  v( x, u ) , и

поверхность r (u , v) записывается в параметризации

r ( x, u )  ( x, y ( x, u ), z ( x, u )) , ( x, u )  D  R 2 ,
(28)
D – область евклидовой плоскости. Параметризация (28) евклидовой поверх
ности называется выделенной, r ( x, u ) является функцией класса C 3 . Имеем:


rx  (1, y x ( x, u ), z x ( x, u )) , ru  (0, yu ( x, u ), zu ( x, u )) ;


векторы rx , ru неколлинеарны, каждая точка поверхности (28) является
обыкновенной.
Для поверхности (28) рассматриваем следующие квадратичные формы.
Первой галилеевой квадратичной формой евклидовой поверхности (28) в выделенной параметризации называется форма
I  dx 2  E ( x, u ) du 2 ,
(29)
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ее коэффициент
E  E ( x, u )  yu2  zu2  0
(30)
называется галилеевой метрической функцией поверхности (28). Квадрат
элемента площади поверхности вычисляется по формуле ds 2  E ( x, u )dxdu .

Элемент расстояния вдоль линии r ( x)  ( x, y ( x, u ( x)), z ( x, u ( x))) на поверхности (28) определяется равенством dl 2  (1  E ( x, u ( x))dx 2 . Угол  между
двумя направлениям на поверхности (28) отыскивается из соотношения
1  E ( x, u1 ( x)) E ( x, u2 ( x))
.
cos  
1  E ( x, u1 ( x)) 1  E ( x, u2 ( x))
Вектор
z
y 
 
n   0,  u , u 
E
E

(31)

является единичным и перпендикулярен вектору ru – касательному вектору
u -линии поверхности. Назовем его галилеевой нормалью поверхности (28).
Второй галилеевой квадратичной формой евклидовой поверхности (28) в выделенной параметризации называется форма
II  Adu 2  2 Bdudx  Cdx 2 ,
(32)
где
   y z  zuu yu
   y z  ztu yu
, B  rut n  tu u
,
A  ruu n  uu u
E
E
   y z  ztt yu
.
C  rtt n  tt u
E
(33)
Галилеевой полной кривизной поверхности (28) в выделенной параметризации называется K   AC  B 2 . Функции
E 
E 

 
 
 
B 
A
rtt  Cn , rtu  t ru  Bn , ruu  u ru  An , nt   ru , nu   ru
2E
2E
E
E
(34)
называются галилеевыми деривационными формулами поверхности (28);
уравнения
E 2  2 Ett E
K  t
, AEt  2 At E  BEu  2 Bu E , BEt  2 E ( Bt  Cu )  0 (35)
4E
называются галилеевыми формулами Гаусса-Петерсона-Кодацци евклидовой
поверхности (28); совокупность функций
E
E
ij2  0 , 111  0 , 112  121  t , 122  u
2E
2E
(36)
называется галилеевой связностью евклидовой поверхности (28). Евклидовы
поверхности в выделенной параметризации (28), имеющие одну и ту же галилееву метрическую функцию (30), называются галилеево изометричными.
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
Теорема 3. Пусть на области D евклидовой плоскости заданы функ-
ции класса C 3
E  E (t , u )  0, A  A(t , u ), B  B (t , u ), C  C (t , u ) .
(37)
Действительные функции y  y (t , u ), z  z (t , u ) класса C 3 на области
D , являющиеся решением системы дифференциальных уравнений с частными производными вида (20)
 yu 2  zyu 2  E (t , u ),

 yuu zu  zuu yu  A(t , u ) E (t , u ),

 ytu zu  ztu yu  B (t , u ) E (t , u ),

 ytt zu  ztt yu  C (t , u ) E (t , u )
(38)
определяют в евклидовом пространстве регулярную поверхность

r ( x, u )  ( x, y ( x, u ), z ( x, u )) , коэффициенты галилеевых квадратичных форм
которой совпадают с заданными функциями (37). Начальные условия вида
(22) выделяют единственную поверхность, проходящую через данную точку
и имеющую данную касательную плоскость.
# Схема решения системы уравнений (38) совпадает со схемой решения
системы уравнений (20). Эти системы уравнений различаются только обозначениями неизвестных функций. Уравнения (35) являются условиями интегрируемости системы уравнений (38). #
По формулам (33) составляются системы дифференциальных уравнений с частными производными вида (22), их решениями являются те же
функции y  y (t , u ), z  z (t , u ) .
Теорема 4. Галилеева связность (36) определяет галилееву метрическую функцию регулярной евклидовой поверхности (28) класса C 3 с точностью до постоянного множителя. При E  E (t ) имеем класс галилеево изометричных поверхностей в выделенной параметризации.
# Справедливость утверждения основана на аналогии с поверхностями
пространства-времени Галилея. #
Примеры. В примере 3 п. 1.5 по заданным функциям коэффициентов
галилеевых квадратичных форм евклидовой поверхности
A
t
2
t u
2
, B
u
2
t u
2
, C  t2  u2
найдены евклидовы поверхности в выделенной параметризации [10]. По метрической функции E  1  u 2 получаются, см. [9], эллиптический и гиперболический параболоиды (п. 1.5) евклидова пространства. В работе [9] приведены и другие примеры получения евклидовых поверхностей по заданным коэффициентам их галилеевых квадратичных форм. В примере 2 получены евклидовы поверхности по их галилеевой связности. Указаны галилеево изометричные поверхности. Согласно примеру 3 галилеево изометричны эллиптический и гиперболический параболоиды.
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
4 Механические приложения
В механике известна задача И. Ньютона: по заданному полю ускорений
движения материальной точки указать уравнения траектории точки [6, c. 11–

30]. Функции, описывающие траекторию r (t ), являются решением уравнения
И. Ньютона, которое можно записать в виде

   

r  F (r , r , t )  F (t ) .
В аннотации к параграфу 5 [6, c. 26] В. И. Арнольд отмечает: «Анализ
общей потенциальной системы с двумя степенями свободы выходит за рамки
возможностей современной науки». Методы галилеевой геометрии, развитые
после публикации В. И. Арнольда, предоставляют возможность решения задачи И. Ньютона [7, 18].
4.1 Движения с двумя степенями свободы
Материальная точка ( x, y ) массы 1 движется по плоской траектории

r (t )  ( x(t ), y (t )) во времени t под действием некоторой силы, которая созда
ет поле F ускорений движения. В пространстве-времени Галилея рассматривается событие (t , x(t ), y (t )) , мировая линия которого описывается галилеевой векторной функцией
 (t )  (t , x(t ), y (t )) , t  I  R .
(39)
Поле ускорений движущейся точки

F (t )  ( f 1 (t ), f 2 (t ))
(40)

определяет траекторию движения r (t )  ( x(t ), y (t )) как составляющую миро
 
вой линии движения  (t )  te  r (t ) , где e – единичный вектор направления

времени. Функции r (t )  ( x(t ), y (t )) являются решением уравнения И. Ньютона
 

r  F (t ) .
(41)
Геометрия окружающего нас пространства локально является галилеевой, но еще экспериментально не установлен вид этой геометрии. В работе
[1] и других работах авторов изучаются различные галилеевы геометрии, методы которых позволяют отыскивать уравнения траектории движения материальных точек в заданном поле ускорения [6, 17].
Поле ускорений (40) согласно уравнению И. Ньютона (41) определяет
кривизну k1 и кручение k2 мировой линии (39) движения материальной точки в этом поле:
k1  ( f 1 (t )) 2  ( f 2 (t )) 2 , k2 
f 1 (t ) f 2 (t )  f 1 (t ) f 2 (t )
( f 1 (t )) 2  ( f 2 (t ))2
,
(42)
см. [7]. Согласно п. 1.4 функции кривизны и кручения определяют мировую
линию движения с точностью до положения в 3-мерном галилеевом пространстве, а траекторию движения – с точностью до положения на плоскости.
Начальные условия, в которых задана точка траектории и касательный вектор
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
в этой точке, выделяют единственную траекторию точки, движущейся в данном поле ускорений.

Обозначим компоненты скорости движущейся точки: v  ( p, q) .
Теорема 5. Функции f 1 (t ), f 2 (t ) – компоненты поля ускорения движения, определяют компоненты p(t ), q (t ) скорости движения как решение
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
 p 2  q 2  k12 (t ),

   
pq  k12 (t )k2 (t ),
 pq
(43)
где k1 (t ) и k2 (t ) есть (42).
# Указанная система обыкновенных дифференциальных уравнений есть
система вида (8), схема решения которой приведена в п. 1.4, см. теорему 3 в [7]. #
Теорема 6. Параметрические уравнения x  x(t ), y  y (t ) траектории
движения материальной точки в различных галилеевых геометриях являются решением одной из следующих систем обыкновенных дифференциальных
уравнений:
 x  p,  x  x  p,


 y  q;  y  y  q;
 x  p,


1
 y  q  2 p  x;
1

( y  ey ),  x  p  1,
 x  x  p 
e 1


 y  q  1;
 y  y  q;
компоненты p, q вектора скорости движения по заданному полю ускорения
движения являются решением системы обыкновенных дифференциальных
уравнений (43).
# Решения всех указанных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений существуют. Для третьей системы уравнений сначала отыскивается функция x(t ) , затем функция y (t ) . Для четвертой системы уравнений сначала решается второе уравнение, потом первое. # Это содержание теоремы 4
в [7], см. также [19].
4.2 Движение с тремя степенями свободы
Траектория движения материальной точки с тремя степенями свободы

описывается евклидовой векторной функцией r (t )  ( x(t ), y (t ), z (t )) , ее мож
но описать и функцией в выделенной параметризации r ( x)  ( x, y ( x), z ( x)) .
Согласно п. 3.1 выполняется следующее утверждение.

Теорема 7. Двумерное поле ускорений F (t )  ( f 1 (t ), f 2 (t )) материальной точки в движении с тремя степенями свободы определяется галилеевыми кривизнами (п. 3.1) k1 (t ) и k2 (t ) (42) как решение системы обыкновенных
дифференциальных уравнений вида (43) и систем уравнений теоремы 6. #

Как известно, вектор ускорения a движущейся точки имеет две составляющие – тангенциальную и нормальную:



a  at t  an n ,


где n – единичный вектор касательной к траектории; n – единичный вектор
нормали траектории. Поэтому теорема 7 решает задачу И. Ньютона для дви-
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
жения с тремя степенями свободы локально. Если заданы функции тангенциального at ( x) и нормального an ( x) ускорений движущейся точки, то функции y ( x), z ( x) отыскиваются следующим образом. Галилеева кривизна мировой линии движения есть k1  at2  an2 , кручение равно
k2 
| an ( x) | 
k1 , где v( x)  at ( x)dx .
v 2 ( x)

Теперь траектория движения в выделенной параметризации находится
по галилеевым кривизне и кручению.
Список литературы
1. Д о л г а р е в , А . И . Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств / А. И. Долгарев. – Пенза : Информационно-издательский
центр ПензГУ, 2005. – 306 с.
2. Д о л г а р е в , И . А . Альтернативное 2-мерное действительное линейное пространство. Группа Ли базисов пространства / И. А. Долгарев, А. И. Долгарев //
Владикавказский математический журнал. – 2007. – Т. 9. – Вып. 4. – С. 4–14.
3. Д о л г а р е в , И . А . Альтернативная аффинная плоскость / И. А. Долгарев,
А. И. Долгарев // Владикавказский математический журнал. – 2008. – Т. 10. –
Вып. 2. – С. 9–20.
4. X y б е ж ты , И . А . Теория плоскостей / И. А. Хубежты. – Владикавказ (Дзауджикау) : ГОУ ВПО СОГУ, 2009. – 476 с.
5. Д о л г а р е в , И . А . Системы дифференциальных уравнений в частных производных для поверхностей пространства Галилея : дис. … канд. физ.-мат. наук /
И. А. Долгарев. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2007. – 120 с.
6. А р н о л ь д, В. И . Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. – М. : Наука, 1989. – 472 с.
7. Д о л г а р е в , А . И . Методы одулярной галилеевой геометрии в описании механических движений / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 3. – С. 12–24.
8. Д о л г а р е в , И . А . Поверхности 3-мерного пространства Галилея, коэффициенты квадратичных форм которых являются функциями только времениподобного
параметра или только пространственноподобного параметра / И. А. Долгарев //
Дифференцируемые многообразия фигур : межвуз. тематич. сборник научных
трудов. – Вып. 38. – Калининград : Изд-во КГУ, 2007. – С. 44–50.
9. Д о л г а р е в , И . А . Поверхности 3-мерного пространства-времени Галилея как
решения систем дифференциальных уравнений с частными производными /
И. А. Долгарев // Актуальные проблемы математики и методики преподавания
математики : межвуз. сборник научных работ. – Пенза : Изд-во ПГТА, 2007. –
С. 7–10.
10. Д о л г а р е в , И . А . Поверхности пространства-времени Галилея по символам
Кристоффеля / И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 2 (6). – С. 39–51.
11. Р а ш е в с к и й , П . К . Курс дифференциальной геометрии / П. К. Рашевский. – М. :
Гостехиздат, 1956. – 420 с.
12. П о з н я к , Э . Г . Дифференциальная геометрия / Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин. – М. :
Изд-во МГУ, 1990. – 384 с.
13. Д о л г а р е в , А . И . Специальные вопросы теории кривых 4-мерного пространства-времени Галилея / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 1 (5). – С. 41–54.
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
14. Д о л г а р е в , А . И . Дифференциальные уравнения поверхностей одулярных пространств. Нормальная кривизна поверхности / А. И. Долгарев // Труды СВМО. –
Саранск, 2004. – Т. 6. – № 1. – С. 132–144.
15. В ы г о дс к и й , М . Я . Дифференциальная геометрия / М. Я. Выгодский. – М. ;
Л. : Гостехиздат, 1949. – 512 с.
16. Н о р д е н , А . П . Теория поверхностей / А. П. Норден. – М. : Гостехиздат, 1956 –
260 с.
17. Д о л г а р е в , И . А . Получение поверхности 3-мерного галилеева пространства
с растраном по коэффициентам ее квадратичных форм / И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2007. – № 6. – С. 17–31.
18. Д о л г а р е в , А . И . Решение задачи И. Ньютона методами галилеевой геометрии /
А. И. Долгарев // Труды участников Междунар. школы-семинара по геом. и анализу памяти Н. В. Ефимова (9–15 сентября). – Ростов-на-Дону : ЮРУ, 2008. –
С. 28–29.
19. Д о л г а р е в , А . И . Кривые 3-мерных вейлевских одулярных пространств и кривые евклидовой плоскости / А. И. Долгарев // Дифференцируемые многообразия
фигур : межвуз. тематич. сборник научных трудов. – Вып. 33. – Калининград :
Изд-во КГУ, 2002. – С. 25–28.
Долгарев Артур Иванович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования
Пензенский государственный
университет
Dolgarev Artur Ivanovich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: delivar@yandex.ru
Долгарев Иван Артурович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования
Пензенский государственный
университет
Dolgarev Ivan Arturovich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: delivar@yandex.ru
УДК 514.126
Долгарев, А. И.
Некоторые приложения галилеевых методов / А. И. Долгарев,
И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 39–59.
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 519.95
M. А. Алехина, С. М. Зиновьева
СИНТЕЗ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ
ПО НАДЕЖНОСТИ НЕВЕТВЯЩИХСЯ ПРОГРАММ
В БАЗИСЕ {x1x2, x1x2, x1 , stop}1
Аннотация. Рассматривается задача синтеза асимптотически оптимальных по
надежности неветвящихся программ с условной остановкой, реализующих булевы функции, при инверсных неисправностях на выходах операторов в базисе {x1x2, x1x2, x1 , stop}. Доказано, что в рассматриваемом базисе все булевы
функции f(x1, x2,…, xn) можно реализовать асимптотически оптимальными по
надежности программами с условной остановкой, причем для функций xi
(i {1, 2, …, n}) эти программы являются абсолютно надежными (не содержат
операторов), а для остальных функций эти программы функционируют с ненадежностью, асимптотически равной ε при ε → 0 (ε – вероятность инверсной
неисправности на выходе оператора).
Ключевые слова: булевы функции, неветвящиеся программы, оператор условной остановки, синтез, надежность.
Abstract. We consider the problem of synthesis of optimal on reliability nobranching programs with conditional stop-operator at inverse faults on operator outputs in basis {x1x2, x1x2, x1 , stop}. We proved that in this basis it’s possible to
realize all Boolean functions with asymptotically optimal on reliability programs
with conditional stop-operator, and for functions xi (i {1,2,…,n}) these programs
are absolutely reliable (contain no operators), and for remaining functions these
programs work with unreliability asymptotically equal ε at ε → 0 (ε is a probability
of the inverse fault on the operator output).
Keywords: Boolean functions, nobraching programs, conditional stop-operator, synthesis, reliability.
Рассматривается реализация булевых функций неветвящимися программами с условной остановкой [1]. Предполагается, что все операторы –
конъюнкторы, дизъюнкторы, инверторы и операторы условной остановки –
независимо друг от друга с вероятностью ε (ε  (0; 1/2)) подвержены инверсным неисправностям на выходах. Эти неисправности характеризуются тем,
что в исправном состоянии вычислительный оператор реализует приписанную ему булеву функцию φ, а в неисправном – функцию  . В неисправном
состоянии оператор условной остановки вместо единицы выдает нуль. Считаем, что программа Pr реализует функцию f(x1, x2, …, xn), если она реализует
ее при отсутствии неисправностей.
Ненадежностью N(Pr) программы Pr назовем максимальную вероятность ошибки на всех выходах программы Pr при всевозможных входных
наборах.
Чтобы сформулировать известные результаты для схем из функциональных элементов, которые отличаются от неветвящихся программ наличием оператора условной остановки, введем необходимые определения.
1
Работа выполнена при финансовой поддержке РГНФ, номера проектов 08-0600503а, 09-06-28615а/В.
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
Ненадежностью N(S) схемы S из функциональных элементов, подверженных инверсным неисправностям на выходах, назовем максимальную вероятность ошибки на выходе схемы S при всевозможных входных наборах.
Обозначим Nε(f) = inf N(S), где инфимум берется по всем схемам S из ненадежных элементов, реализующим булеву функцию f( x ) ( x = (x1, x2, …, xn)).
Схема A из ненадежных элементов, реализующая функцию f, называется
асимптотически оптимальной по надежности, если N(A) ~ Nε(f) при ε → 0, т.е.
N ( f )
1.
lim
  0 N ( A)
Теорема 1 [2]. При ε  (0, 1/128] любую булеву функцию f ( x ) можно
реализовать такой схемой S, что N(S) ≤ 3ε + 32ε2.
Обозначим K(n) – множество булевых функций f(x1, x2, …, xn), не представимых в виде ( xia & h( x ))b , где i  {1, 2, …, n}, a, b  {0, 1}.
Теорема 2 [2]. Пусть ε  (0, 1/6], а f(x1, x2, …, xn)  K(n). Тогда любая
схема S, реализующая f, имеет ненадежность N(S) ≥ 3ε – 6ε2 + 4ε3.
Из теорем 1 и 2 следует, что в базисе {x1& x2, x1 x2, x1 } для почти всех
функций асимптотически оптимальные по надежности схемы функционируют с ненадежностью, асимптотически равной 3ε при ε → 0.
Для неветвящихся программ с надежным оператором условной остановки доказана теорема 3 [3].
Теорема 3 [3]. При ε  (0, 1/128] любую булеву функцию можно реализовать такой программой Pr f с надежным оператором условной останов-
ки, что N(Prf ) ≤ ε + 41ε2 .
Докажем теорему о нижней оценке ненадежности программ с надежным оператором условной остановки.
Теорема 4. При ε  (0,1/2) для любой функции f(x1, x2, …, xn), не равной
xi (i  {1, 2, …, n}), и любой программы Pr f с надежным оператором условной остановки, реализующей функцию f, справедливо неравенство N(Prf ) ≥ ε.
Доказательство. Пусть f(x1, x2, …, xn) – произвольная функция, отличная от переменных xi (i  {1, 2, …, n}), а Pr f – любая программа, ее реализующая. Отметим, что любая программа для рассматриваемой функции содержит хотя бы один функциональный оператор. Если в программе Pr f вход
ни одного оператора условной остановки не соединен с выходом никакого
функционального оператора (т.е. либо операторов остановки нет, либо все
они соединены с полюсами), то хотя бы один из выходов программы является
выходом функционального оператора. Поскольку рассматриваемая подпрограмма является схемой из функциональных элементов, для которой известно
[4], что вероятность ошибки на выходе не меньше ε, поэтому N(Prf ) ≥ ε. Если
же в программе Pr f имеется хотя бы один оператор условной остановки,
вход которого соединен с выходом функционального оператора, то вероятность ошибки на выходе этого оператора остановки равна ε. Поэтому ненадежность программы, которая равна максимальной вероятности ошибки на всех
выходах программы Pr f при всевозможных входных наборах, не меньше ε.
Теорема 4 доказана.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Далее будем считать все операторы условной остановки ненадежными,
подверженными инверсным неисправностям на выходе. Для неветвящихся
программ с оператором условной остановки, подверженным инверсным неисправностям на выходах, справедливы лемма 1 и теорема 5.
Лемма 1. При ε  (0, 1/128] программа Prg (рис. 1) реализует функцию
голосования g(x1, x2, x3) с ненадежностью N(Prg) ≤ 3ε, а вероятности
P0I , P1I , P0II , P1II появления нуля и единицы соответственно на каждом из двух
выходов I и II приведены в табл. 1.
Таблица 1
Выход I
Наборы
(000)
(001), (010), (100)
(011)
(101), (110)
(111)
P0I
ε2
ε2
ε – ε2
ε2
ε – ε2
Выход II
P1I
P0II
ε – ε2
1 – 2ε + 3ε3 – 2ε4
2
ε–ε
1 – 3ε + 5ε2 – 5ε3 + 2ε4
2
(1 – ε)
ε – 2ε2 + 3ε3 – 2ε4
2
ε–ε
3ε – 8ε2 + 7ε3 – 2ε4
2
(1 – ε)
3ε2 – 5ε3 + 2ε4
P1II
ε – 3ε3 + 2ε4
2ε – 5ε2 + 5ε3 – 2ε4
2ε2 – 3ε3 + 2ε4
1 – 4ε + 8ε2 – 7ε3 + 2ε4
ε – 3ε2 + 5ε3 – 2ε4
Доказательство.
Запишем
функцию
голосования
в
виде
g ( x1 , x2 , x3 )  ( x2 x3  x1 )( x2  x3 ) и представим программу (рис. 1) с оператором условной остановки функциональной схемой (рис. 2).
g(x1, x2, x3):
1) z1 = x2 & x3
2) stop (z1)
3) z2 = x2  x3
4) z3 = x1  z1
5) z4 = z2 & z3
Рис. 1
Рис. 2
Заметим, что оператор остановки срабатывает, когда на его вход поступает единица (при этом в исправном состоянии на выходе оператора тоже
единица).
Вычислим и оценим вероятности P0I , P1I , P0II , P1II программы Prg на всех
входных наборах a .
Набор a  (000) :
– вероятность P1I : P1I ( Prg , a ) = ε(1 – ε) = ε – ε2 < ε;
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
– вероятность P1II : P1II ( Prg , a ) = (1 – ε)[(1 – ε)ε + ε((1 – ε)ε + ε(1 – ε))] =
= ε – 3ε3 + 2ε4 < ε;
– вероятность P0I : P0I ( Prg , a ) = ε · ε = ε2;
– вероятность P0II : P0II ( Prg , a ) = 1 – ε + ε2 – ε + 3ε3 – 2ε4 – ε2.
Наборы a  (001), (010) :
– вероятность P1I : P1I ( Prg , a ) = ε(1 – ε) = ε – ε2 < ε;
– вероятность P1II : P1II ( Prg , a ) = (1 – ε)[(1 – ε)ε + ε(ε2 + (1 – ε)2)] = 2ε –
– 3ε2 + 5ε3 – 2ε4 < 2ε;
– вероятность P0I : P0I ( Prg , a ) = ε·ε = ε2;
– вероятность P0II : P0II ( Prg , a ) = 1 – ε + ε2 – 2ε + 3ε2 – 5ε3 + 2ε4 – ε2 = 1 –
– 3ε + 5ε2 – 5ε3 + 2ε4.
Набор a  (100) :
– вероятность P1I : P1I ( Prg , a ) = ε(1 – ε) = ε – ε2 < ε;
– вероятность P1II : P1II ( Prg , a ) = (1 – ε)[(1 – ε)ε + ε(ε2 + (1 – ε)2)] = 2ε –
– 3ε2 + 5ε3 – 2ε4 < 2ε;
– вероятность P0I : P0I ( Prg , a ) = ε · ε = ε2;
– вероятность P0II : P0II ( Prg , a ) = 1 – ε + ε2 – 2ε + 3ε2 – 5ε3 + 2ε4 – ε2 = 1 –
– 3ε + 5ε2 – 5ε3 + 2ε4.
Заметим, что на рассмотренных наборах (000), (001), (010), (100) ошибкой будет появление 1, и вероятность ошибки на выходе программы Prg будет
равна max{P1I , P1II } , который не превосходит 2ε.
Набор a  (011) :
– вероятность P0I : P0I ( Prg , a ) = ε(1 – ε) = ε – ε2 < ε;
– вероятность
P0II :
P0II ( Prg , a ) = ε[(1 – ε)2 + ε(ε(1 – ε) + (1 – ε)ε)] = ε –
– 2ε2 + 3ε3 – 2ε4 < ε;
– вероятность P1I : P1I ( Prg , a ) = (1 – ε)2;
– вероятность P1II : P1II ( Prg , a ) = 1 – ε + ε2 – ε + 2ε2 – 3ε3 + 2ε4 – 1 + 2ε –
– ε2 = 2ε2 – 3ε3 + 2ε4.
Наборы a  (101),(110) :
– вероятность P0I : P0I ( Prg , a ) = ε2;
– вероятность
P0II :
P0II ( Prg , a ) = (1 – ε)[ε(1 – ε) + (1 – ε)(ε(1 – ε) + (1 –
– ε)ε)] = 3ε – 8ε2 + 7ε3 – 2ε4 < 3ε;
– вероятность P1I : P1I ( Prg , a ) = ε(1 – ε);
– вероятность P1II : P1II ( Prg , a ) = 1 – ε2 – 3ε + 8ε2 – 7ε3 + 2ε4 – ε + ε2 = 1 –
– 4ε + 8ε2 – 7ε3 + 2ε4.
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Набор a  (111) :
– вероятность P0I : P0I ( Prg , a ) = (1 – ε)ε = ε – ε2 < ε;
– вероятность P0II : P0II ( Prg , a ) = ε[ε(1 – ε) + (1 – ε)(ε(1 – ε) + (1 – ε)ε)] =
= 3ε2 – 5ε3 + 2ε4 < 3ε2;
– вероятность P1I : P1I ( Prg , a ) = (1 – ε)2;
– вероятность P1II : P1II ( Prg , a ) = 1 – ε + ε2 – 3ε2 + 5ε3 – 2ε4 – 1 + 2ε – ε2 =
= ε – 3ε2 + 5ε3 – 2ε4.
Заметим, что на рассмотренных наборах (000), (001), (010), (100) ошибкой будет появление 0, и вероятность ошибки на выходе программы Prg будет
равна max{P0I , P0II } , который не превосходит 3ε.
Лемма 1 доказана.
Теорема 5. При ε  (0, 1/128] любую булеву функцию можно реализовать такой программой Prf , что N(Prf ) ≤ ε + 41ε2.
Доказательство. Пусть f(x1, x2, …, xn) – произвольная булева функция.
По теореме 1 ее можно реализовать неветвящейся программой (схемой) S с
ненадежностью N(S) ≤ 3ε + 32ε2 .
Используя эту схему S, построим для f неветвящуюся программу с оператором условной остановки Prf (рис. 3) и представим ее схемой (рис. 4). Вычислим и оценим вероятности ошибки для каждого из двух выходов I и II
программы Prf (рис. 4).
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Prf:
t1 = f(x1, x2, …, xn) (S)
t2 = f(x1, x2, …, xn) (S)
t3 = f(x1, x2, …, xn) (S)
z1 = t2 & t3
stop (z1)
z2 = t2  t3
z3 = t1  z1
z4 = z2 & z3
Рис. 3
Рис. 4
~ )  0 . Оценим вероятность ошибки на
Пусть набор a такой, что f (a
выходе I программы:
P1 ( Pr f , a ) = (1 – p1)3·( – 2) + 3·(1 – p1)2·p1·( – 2) + (1 – p1)·p12·(1 – )2 +
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
+ 2·(1 – p1)·p12·( – 2) + p13·(1 – )2 ≤  + 3p1 + p12,
где p1 ≤ 3 + 322. Тогда P1 ( Pr f , a ) ≤  + 212.
Оценим вероятность ошибки на выходе II программы:
P1 ( Pr f , a ) = (1 – p1)3·(ε – 3ε3 + 2ε4) + 3·(1 – p1)2·p1·(2ε – 5ε2 + 5ε3 – 2ε4) +
+ (1 – p1) ·p12·( 2ε2 – 3ε3 + 2ε4) + 2·(1 – p1)·p12·(1 – 4ε + 8ε2 – 7ε3 + 2ε4) +
+ p13·( ε – 3ε2 + 5ε3 – 2ε4) ≤  + 6p1 + 2p12,
тогда P1 ( Pr f , a ) ≤  + 412.
Пусть набор a такой, что f ( a )  1 . Оценим вероятность ошибки на выходе I программы:
P0 ( Pr f , a ) = (1 – p0)3·( – 2) + 2·(1 – p0)2·p0·2 + (1 – p0)2·p0·( – 2) +
+ 3·(1 – p0)·p02·2 + p03·2 ≤  + p0,
где p0 ≤ 3 + 322. Тогда P0 ( Pr f , a ) ≤  + 42.
Оценим вероятность ошибки на выходе II программы:
P0 ( Pr f , a ) = (1 – p0)3·(3ε2 – 5ε3 + 2ε4) + 2·(1 – p0)2·p0·(3ε – 8ε2 + 7ε3 – 2ε4) +
+ (1 – p0)2·p0·(ε – 2ε2 + 3ε3 – 2ε4) + 3·(1 – p0)·p02·(1 – 3ε + 5ε2 – 5ε3 + 2ε4) +
+ p03·(1 – 2ε + 3ε3 – 2ε4) ≤ 32 + 7p0 + 3p02,
тогда P0 ( Pr f , a ) ≤ 532.
Выбирая из полученных для вероятности ошибок значений максимальное, видим, что ненадежность программы N(Prf) удовлетворяет неравенству
N(Prf ) ≤ ε + 41ε2.
Теорема 5 доказана.
Заметим, что функции xi (i  {1, 2, …, n}) можно реализовать абсолютно надежно без использования каких-либо операторов. Докажем утверждение
о нижней оценке ненадежности программ для других, отличных от xi
(i  {1, 2, …, n}), функций.
Теорема 6. При ε  (0, 1/2) для любой булевой функции f(x1, x2, …, xn),
не равной xi (i  {1, 2, …, n}), и любой программы Prf с ненадежным оператором условной остановки, реализующей функцию f, справедливо неравенство N(Prf) ≥ ε(1 – ε).
Доказательство. Пусть f(x1, x2, …, xn) – произвольная функция, отличная от переменных xi (i  {1, 2, …, n}), а Prf – любая программа, ее реализующая.
Для каждого из тех операторов программы, выход которых является
выходом программы, верно одно из утверждений: он является функциональным оператором либо оператором остановки, на вход которого подается переменная xi (i  {1, 2, …, n}), либо оператором остановки, вход которого соединен с выходом некоторого функционального оператора.
В первом случае рассматриваемая подпрограмма является схемой из
функциональных элементов, для которой известно [4], что вероятность
ошибки на выходе не меньше ε, поэтому N(Prf) ≥ ε.
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Во втором случае вероятность ошибки на выходе также не меньше ε,
поэтому N(Prf) ≥ ε.
В третьем случае вероятность ошибки на выходе функционального
оператора равна p, где p ≥ ε [4]. Тогда на выходе оператора остановки вероятность ошибки равна max{p(1 – ε), ε(1 – p)} ≥ ε(1 – ε), поэтому N(Prf) ≥ ε(1 – ε).
Таким образом, ненадежность любой программы не меньше ε(1 – ε).
Теорема 6 доказана.
Из теорем 5 и 6 следует, что в базисе {x1&x2, x1x2, x1 } для всех функций
f(x1, x2, …, xn), исключая функции xi (i  {1, 2, …, n}), асимптотически оптимальные по надежности программы с ненадежным оператором условной остановки функционируют с ненадежностью, асимптотически равной ε при ε→0.
Проведенные исследования показывают, что при ε  (0, 1/128] все булевы функции в базисе {x1&x2, x1x2, x1 } можно реализовать программами
с ненадежным оператором условной остановки, которые функционируют
с ненадежностью не больше ε + 41ε2, в то время как ненадежность асимптотически оптимальных схем не превосходит (3ε + 32ε2), т.е. приблизительно
в три раза хуже.
Список литературы
1. Ч а ш к и н , А . В. О среднем времени вычисления значений булевых функций /
А. В. Чашкин // Дискретный анализ и исследование операций. – 1997. – Январь–
март. – Том 4. – № 1. – С. 60–78.
2. В а с и н , А . В. Об асимптотически оптимальных схемах в базисе {x1&x2, x1/x2,
x1 } при инверсных неисправностях на выходах элементов / А. В. Васин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 4. – С. 3–17.
3. З и н о в ь е в а , С . М . Синтез надежных неветвящихся программ с условной остановкой / С. М. Зиновьева // Материалы Седьмой молодежной научной школы по
дискретной математике и ее приложениям (г. Москва, 18–23 мая 2009 г.). – В печати.
4. N e u m a n , V o n J . Probabilistic logics and the synthesis of reliable organisms from
unreliable components / J. Von Neuman // Automata studies / edited by C. Shannon,
Mc. Carthy J. – Princeton University Press, 1956. – (Русский перевод: Автоматы. –
М. : ИЛ, 1956. – С. 68–139).
Алехина Марина Анатольевна
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующая кафедрой
дискретной математики, Пензенский
государственный университет
Alekhina Marina Anatolyevna
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of discrete mathematics,
Penza State University
E-mail: alehina@pnzgu.ru
Зиновьева Светлана Михайловна
ассистент, кафедра дискретной
математики, Пензенский
государственный университет
E-mail: dm@pnzgu.ru
66
Zinovyeva Svetlana Mikhaylovna
Assistant, sub-department of discrete
mathematics, Penza State University
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
УДК 514.126
Алехина, М. А.
Синтез асимптотически оптимальных по надежности неветвящихся
программ в базисе {x1x2, x1x2, x1 , stop} / M. А. Алехина, С. М. Зиновьева //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 60–67.
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.9 + 514.7
И. А. Долгарев
ПОЛУЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОДУЛЯРНОГО
ГАЛИЛЕЕВА ПРОСТРАНСТВА С СИБСОНОМ
ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ ИХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
Аннотация. На основе коэффициентов квадратичных форм поверхности
одулярного галилеева пространства с сибсоном (единственным 3-мерным
нильпотентным одулем Ли) составлена система дифференциальных уравнений с частными производными, решение которой приводит к определению
поверхности.
Ключевые слова: некоммутативное галилеево пространство, поверхность, коэффициенты квадратичных форм.
Abstract. As a result of solution of combined differential equations with partial derivatives we have surface of noncommutative Galilean space in sibson by value coefficients of quadratic forms.
Keyword: noncommutative Galilean space, surface, coefficients of quadratic forms.
В геометрии свойства поверхностей характеризуются некоторыми
функциями или константами, получаемыми в процессе дифференцирования
функций, задающих поверхности. Большой интерес представляет обратная
задача: получение поверхностей, свойства которых описываются заданными
функциями – коэффициентами квадратичных форм поверхности. Поверхностям сопоставляются квадратичные формы, их коэффициенты позволяют решать метрические задачи на поверхности, вычислить кривизну поверхностей,
линий на поверхностях. Ставится задача – по коэффициентам квадратичных
форм поверхности найти поверхность. В евклидовой геометрии эта задача
решена, а именно доказана теорема Бонне о том, что поверхность определяется заданием коэффициентов ее первой и второй квадратичных форм [1].
Заданы шесть скалярных функций двух параметров – коэффициентов первой
и второй квадратичных форм поверхности. Эти функции и их производные
связывают три уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци. Требуется найти три
скалярные функции двух параметров, являющиеся компонентами векторной
функции, задающей поверхность в евклидовом пространстве. В галилеевом
пространстве имеется четыре скалярные функции двух параметров – коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности и три уравнения
Гаусса-Петерсона-Кодацци. Требуется найти две скалярные функции двух
параметров, которые служат компонентами в общем случае одулярной функции, задающей поверхность в галилеевом пространстве. Поверхность галилеева пространства определяется векторным полем евклидовой плоскости, но
при этом может получиться и поверхность в некоммутативной одулярной
галилеевой геометрии.
Примеры получения одулярных поверхностей по евклидовым 2-мерным векторным полям с помощью дифференциальных уравнений содержатся
в [2]. Основы дифференциальной геометрии некоммутативного одулярного
пространства с сибсоном изложены в [3, 4]. Монография [4] рассматривает
3-мерные разрешимые действительные одули Ли и вейлевские одулярные
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
пространства с этими одулями. Существует пять видов действительных разрешимых одулей Ли, к ним относится и абелев одуль Ли – линейное пространство. Вейлевские одулярные пространства обобщают аффинное пространство, имеют с ним общую аксиоматику. Вводя на одуле Ли галилееву
норму, получаем галилеевы одулярные пространства. Среди них содержится
и классическое пространство-время Галилея. Дифференциальная геометрия
3-мерного пространства-времени Галилея изложена в [4]. Отличные от пространства Галилея пространства с галилеевой нормой называются галилеевыми. Основная теорема теории поверхностей пространства Галилея, аналог
теоремы Бонне, доказана в [5], подробные исследования проведены в [6].
Наиболее близким к пространству Галилея является одулярное галилеево
пространство с растраном, растран – это одуль Ли, составленный из параллельных переносов и гомотетий аффинного пространства. Основная теорема
теории поверхностей некоммутативного галилеева пространства с растраном
доказана в [7]. Сибсон является единственным нильпотентным одулем Ли, он
состоит из галилеевых движений.
Ниже доказывается аналог теоремы Бонне для поверхностей ЕСпространства, т.е. галилеева пространства с касательным отображением о
одуль Ли галилеевых движений. В процессе доказательства используются
дифференциальные уравнения. Трудности в доказательстве связаны с тем,
что полная кривизна поверхности ЕС-пространства не относится к внутренней геометрии поверхности и формулы Гаусса-Петерсона-Кодацци содержат,
кроме коэффициентов квадратичных форм поверхности, еще дополнительные
функции.
Рассмотрен также случай, в котором коэффициенты квадратичных
форм поверхности являются постоянными величинами.
Поверхности ЕС-пространства изучаются в [3], одулярные галилеевы
пространства описаны в [4]. Результаты описания поверхности ЕС-пространства по коэффициентам ее первой и второй квадратичных форм доложены
на Лобачевских чтениях в Казанском университете в 2007 г. [8], о поверхностях одулярных галилеевых пространств сообщено в Международной школесеминаре памяти Н. В. Ефимова в 2006 г. [9].
1 Сибсон и ЕС-пространство
1.1 Нормированный сибсон
Действительный 3-мерный сибсон 3 определяется на многообразии
R 3 следующими операциями над тройками чисел, см. [4]:
( x, x1 , x 2 )  ( y, y1 , y 2 )  ( x  y, x1  y1 , x 2  y 2 );
t ( x, x1 , x 2 )  ( xt , x1t , x 2t  xx1
(t  1)t
), t  R .
2
Операция сложения некоммутативна. Элементы сибсона называются
сибсами и обозначаются , , ..., , ... Пусть   (1, 0, 0) ,   (0,1, 0) ,
  (0, 0,1) . Имеется разложение
  ( x, x1 , x 2 )  x  x1  x 2  .
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Упорядоченное множество Б  (, ,  ) является базисом сибсона 3 .
Сибсы ( x, 0, 0) составляют линейное пространство L1 над R , сибсы
(0, x1 , x 2 ) составляют линейное пространство L2 над R . Сибсон является
полупрямой суммой линейных пространств: 3 = L2 ┤ L1 . На линейных пространствах L1 , L2 определена евклидова норма, превращающая их в евклидовы пространства V1 , V 2 . На сибсоне задается галилеева норма: галилеевой
нормой  сибса   ( x, x1 , x 2 ) называется
  x , если x  0 ;   ( x1 ) 2  ( x 2 ) 2 , если x  0 .
Компонента x всякого сибса является временной, компоненты x1 , x 2
являются пространственными.
Сибсон по сложению является нильпотентной группой Ли ступени 2.
Как группа Ли, сибсон порождается двумя сибсами. Неперестановочные сибсы ,  порождают сибсон 3 . Всякие два перестановочных сибса порождают 2-мерное евклидово векторное пространство или 2-мерное галилеево пространство.
1.2 Сибсонные функции
Сибсонная функция одного параметра является совокупностью трех
действительных функций одного действительного параметра
(t )  ( x(t ), x1 (t ), x 2 (t )) , t  I  R .
Считаем, что функции x(t ), x1 (t ), x 2 (t ) есть функции класса C 3 . Формула дифференцирования сибсонных функций такова:

1

(t )   x(t ), x1 (t ), x2 (t )  x  x1  x1   ,
2


см. [4]. Сибсонная функция двух параметров – это тройка действительных
функций двух действительных параметров:
(u , v)  ( x(u , v), x1 (u , v), x 2 (u , v)) , (u , v)  D  R 2 .
Рассматриваем функции класса C 3 . Для функции (u , v) частные производные находятся по правилу дифференцирования сибсонных функций одного параметра [4]. Смешанные производные второго порядка зависят от порядка дифференцирования: uv  vu .
1.3 ЕС-пространство
Рассматривается множество { A, B, ..., M , ...} точек и сибсон 3 . Отображение пар точек ( A, B ) в сибсон 3 удовлетворяет аксиомам Г. Вейля.
Тем самым определяется вейлевское одулярное пространство – ВО-пространство с сибсоном [4]. ВО-пространство с нормированным сибсоном, п. 1.1,
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
называется ЕС-пространством. Точка O и базис Б  (, ,  ) сибсона составляют репер ЕС-пространства B  (O, , ,  ) . ЕС-пространство является одулярным галилеевым пространством-временем. Координаты сибса OM в базисе Б есть координаты точки M в репере B . Если OM  ( x, x1 , x 2 ) – сибс
в репере B , то M  ( x, x1 , x 2 ) . Компонента x всякой точки M  ( x, x1 , x 2 ) является временной, компоненты x1 , x 2 являются пространственными. ЕС-пространство является галилеевым пространством-временем. Расстояние AB между точками A и B определяется как норма сибса AB . Координатная плоскость  O, ,   ЕС-пространства является евклидовой, координатная плоскость  O, ,   является галилеевой; не существует плоскости, определяемой точкой O и сибсами ,  . Через всякую точку A ЕС-пространства проходит единственная евклидова плоскость  A, ,   . Всякая другая плоскость,
проходящая через точку A , является галилеевой плоскостью. Существуют
неколлинеарные точки, через которые не проходит никакой плоскости [3, 4].
1.4 Поверхности ЕС-пространства
Регулярная поверхность ЕС-пространства в естественной параметризации, см. [4], задается сибсонной функцией двух параметров:
(t , u )  (t , x(t , u ), y (t , u )) , (t , u )  D  R 2 .
(1)
u -линии поверхности (t0 , u )  (t0 , x(t0 , u ), y (t0 , u )) являются линиями
евклидовых плоскостей t  t0 ЕС-пространства, t -линии поверхности
(t , u0 )  (t , x(t , u0 ), y (t , u0 )) есть кривые ЕС-пространства в естественной параметризации. Сибсы t , u порождают сибсон 3 , поэтому поверхность не
обладает касательной плоскостью [3, 4]. Основные сведения о поверхностях
ЕС-пространства содержатся в [3, 4].
Сибсонную функцию (1), задающую поверхность, запишем в виде двух
составляющих:

(2)
(t , u )  t   r (t , u ) .
Составляющая t  является временной, t есть время; составляющая


r (t , u )  ( x(t , u ), y (t , u )) является пространственной. Функция r (t , u ) – евклидова векторная функция, она является проекцией поверхности ЕС-пространства на евклидову плоскость E2  O, ,   . Для того чтобы задать поверхность в ЕС-пространстве в естественной параметризации, достаточно

задать векторную функцию r (t , u ) .
Согласно правилу дифференцирования сибсонных функций, п. 1.2,
производные первого порядка функции (1) равны
t    ( xt , yt 

 1
1

xt  x)    rt   xt  x   , u  (0, xu , yu )  ru ,
2
2

(3)
здесь  – третий сибс репера B  (O, , ,  ) ЕС-пространства. Единичный
сибс нормали поверхности таков:
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

n
1
xu2  yu2
(  yu , xu ) .
(4)
Производные второго порядка функции (1) равны:


 1
 1


tt  rtt   xtt  xt   , tu  rtu   xtu  xu   , ut  rut , uu  ruu . (5)
2

2

Первая квадратичная форма поверхности есть
 dt 2 , если t  const,
ds  
 Edu 2 , если t  const.
2
(6)
Ненулевой, тождественно не равный единице коэффициент первой
квадратичной формы поверхности таков:
E  xu2  yu2 .
(7)
Функция E  E (t , u ) называется еще метрической функцией поверхности галилеева пространства. Вторая квадратичная форма поверхности:
II  Adu 2  2 Bdudt  Cdt 2 ,
(8)
 
 
1


A  ruu n , B  rut n , C   rtt  ( xtt  xt )   n .
2


(9)
ее коэффициенты
Полная кривизна поверхности равна
K  AC  B 2 .
(10)
Деривационные формулы поверхности ЕС-пространства:
E 
E 




uu  ruu  u ru  An , ut  rut  t ru  Bn ;
2E
2E
E  xtu yu  2 xu yu  
x x  2 xu2  

tu  t
ru   B  tu u
 n , tt  Cn .


2E
2E


(11)
1.5 Основные уравнения теории поверхностей ЕС-пространства
В работе [4] получены формулы Гаусса и Петерсона-Кодацци для поверхностей ЕС-пространства. Имеется два аналога формулы Гаусса:
E 2  2 EEtt  BEt
1
x

 E

 Bt E  C E  u   xtu  xttu 
;
K t
4E
2
 yu
2 E
 yu 
E 2  2 EEtt  BEt
y

 Bt E  C E  u ;
K t
4E
2 E
 xu
72
(12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
и формулы Петерсона-Кодацци:
2 E ( Bu  At )  BEtt  AEt ;
(13)
BEt  2 E (Cu  Bt )  E (2 xtu  xttu ) xu .
(14)
Согласно формулам (12) полная кривизна поверхности не относится
к внутренней геометрии поверхности ЕС-пространства.
2 Определение поверхности ЕС-пространства
коэффициентами ее первой и второй квадратичных форм
2.1 Постановка задачи
В ЕС-пространстве рассматриваем поверхность, заданную сибсонной
функцией (t , u ) (1) в естественной параметризации. Ее пространственная

составляющая r (t , u ) задана на односвязной области D  E2 евклидовой
плоскости ЕС-пространства. Для поверхности (1) на области D определяются четыре скалярные функции класса C 2 :
E  E (t , u )  0 , A  A(t , u ) , B  B (t , u ) , C  C (t , u ) ,
(15)
являющиеся коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверхности. Эти функции связывают уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци и выполняются четыре деривационные формулы (11) для производных второго
порядка сибсонной функции (1). Ставим задачу: по заданным функциям (15)

найти векторную функцию r (t , u ) – пространственную составляющую поверхности ЕС-пространства, записанную в виде (2), чтобы эта поверхность
имела первую и вторую квадратичные формы, коэффициенты которых есть
функции (15). Для однозначного определения поверхности заданы начальные
условия
 

 


r (t0 , u0 )  a , ru (t0 , u0 )  b , b  E , rt (t0 , u0 )  c ,
(16)

  

где (t0 , u0 )  D и a , b , c – известные векторы, причем векторы b и c неколлинеарны.

Так как r (t , u ) – векторная функция, то выполняется следующее условие.

Условие ( p ) . Компоненты x(t , u ), y (t , u ) функции r (t , u ) удовлетворяют обычным условиям C 2 -функций: смешанные производные этих функций не зависят от порядка дифференцирования.
Сформулированная задача сводится к доказательству теоремы, аналогичной теореме Бонне, см. [1], евклидовой геометрии.
Основная теорема. Если на односвязной области D евклидовой плоскости заданы функции (15) класса C 2 , для них выполнены условия (12)–(14),

то на области D существует функция r (t , u )  ( x(t , u ), y (t , u )) , являющаяся
евклидовой, т.е. пространственной составляющей сибсонной функции

(t , u )  t   r (t , u ) , задающей поверхность в ЕС-пространстве, единственную, удовлетворяющую условиям (16), первой и второй квадратичными фор-
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
мами которой являются (6) и (8), коэффициенты которых совпадают со
значениями заданных функций (15) в точках области D .
Доказательство теоремы содержится в п. 2.3–2.5.
2.2 Системы дифференциальных уравнений с частными производными

Определить компоненты векторной функции r (t , u ) по функциям (15)
можно на основе формул (3), (4), (8), (10), составив по ним систему дифференциальных уравнений с частными производными:

ru2  E ,

Et  xtu yu  2 xu yu  
x x  2 xu2  
1
 
ru   B  tu u
 n,
rtu  ( xtu  xu )  


2
2E
2E




rtt  ( 1 xtt  xt )   Cn.

2
(17)
Это система уравнений в векторной форме. Второе уравнение системы
получено из второй формулы в (5) и третьей деривационной формулы в (11).
Третье уравнение системы получено из первой формулы в (5) и четвертой
деривационной формулы в (11). Формулы (12), (13) представляют собой условия интегрируемости системы уравнений (17), к ним относится и условие (р).
Второе и третье уравнения в (17) запишем в компонентах входящих
в них векторных функций. Для компонент векторов из второго уравнения
с учетом (4) и   (0,1) , как евклидова вектора, выполняются равенства:

E  xtu yu  2 xu yu
x x  2 xu2   yu 
xtu  t
xu   B  tu u
 
;


2E
2E
E


ytu 

E  xtu yu  2 xu yu
x x  2 xu2  xu
1
.
xtu  xu  t
yu   B  tu u


 E
2
2E
2E


(18)
(19)
Перепишем (18) в виде
xtu 
Et
x  2 xu
x  2 xu
B
xu  tu
yu xu 
yu  tu
yu xu ,
2E
2E
2E
E
отсюда получаем
xtu 
Et
B
xu 
yu .
2E
E
В равенстве (19) производим тождественные преобразования.
ytu 
x y 2  2 xu yu2  xtu xu2  2 xu xu2 Et
x
1
xtu  xu  tu u
yu  B u ;

2
2E
2E
E
xtu ( xu2  yu2 )  2 xu ( xu2  yu2 ) Et
x
1
ytu  xtu  xu 

yu  B u .
2
2E
2E
E
74
(20)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
С учетом E  xu2  yu2 , см. (6), получаем
ytu 
Et
B
yu 
xu .
2E
E
(21)
Третье векторное уравнение системы (17) легко заменяется двумя покомпонентными уравнениями и система векторных уравнений (17) эквивалентна следующей системе дифференциальных уравнений с частными производными, куда вошли уравнения (20) и (21):
 E  xu2  yu2 ,

 x  Et x  B y ,
u
 tu 2 E u
E

E
B

y  t y 
xu ,
 tu 2 E u
E

x  C y ,
u
 tt
E

y  1 x x  x x  C x .
t u
u
 tt 2 tt u
E
(22)
Составляющие x(t , u ), y (t , u ) сибсонной функции (t , u )  t  
( x(t , u ), y (t , u )) являются решением системы дифференциальных уравнений
с частными производными (22).
В доказательстве основной теоремы используются заданные функции –
коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности. Эти функции не являются производными искомых функций, описывающих поверхность, но выражаются через них. Поэтому сначала отыскиваются частные



производные ru и rt неизвестной функции r (t , u ) по коэффициентам квадратичных форм поверхности с использованием деривационных формул поверхности и уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци. Затем по найденным функци


ям ru и rt находится функция r (t , u ) . В этом состоит метод последовательного интегрирования системы уравнений (22).

Функция ru (t , u ) для поверхности ЕС-пространства отыскивается так
же, как для поверхности коммутативного пространства Галилея [5]. Условия

нахождения функции rt осложняются тем, что деривационные формулы поверхности и уравнения Петерсона-Кодацци содержат не только заданные
 
функции E , A, B, C , но и отдельные компоненты функций rtt , rt . Чтобы най
ти функции xt , yt – компоненты функции r (t , u ) , приходится решать вспомогательные дифференциальные уравнения в частных производных, затем используется условие (р). После этого возникают уравнения с полным дифференциалом функций x(t , u ), y (t , u ) .

2.3 Функция ru
Согласно виду формулы (6) для коэффициента E первой квадратичной
формы поверхности обозначим
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
xu  E cos w , yu  E sin w ,
(23)
где w  w(t , u ) – функция, которую предстоит найти. Как в [5], находим по
второму и третьему уравнениям системы (22)
A
wu 
E
, wt 
B
E
;
(24)
на основе (13) получаем уравнение с полным дифференциалом:
A
B
du 
dt  0 ,
E
E
решением которого является функция w  w(t , u ) . Начальные условия, см.
(16), определяют единственную функцию

ru (t , u )  ( E cos w, E sin w) .
(25)
Теперь единичный вектор нормали поверхности есть (согласно (4) и (24))

n  ( sin w, cos w) .
(26)

2.4 Функция rt (t , u )

Функцию rt пространственной составляющей поверхности (t , u ) (1)
находим по компонентам производных второго порядка tu , tt , сибсонной
функции (t , u ) , входящим в систему уравнений (22). Сначала мы отыщем



векторные функции rtu и rtt , а затем функцию rt будем находить по ее про

изводным rtu и rtt по условию (p) из п. 2.1. В третье уравнение системы (22),
т.е. в уравнение (20), подставляем уже найденные функции (23):
xtu 
Et
cos w  B sin w .
2E
Интегрируем равенство по параметру u , в результате в качестве постоянного слагаемого интегрирования имеем функцию c1 (t ) параметра t :
 E

xt   t cos w  B sin w  du  c1 (t ) .
2 E


(27)
Для нахождения функции c1 (t ) воспользуемся четвертым уравнением
системы (22); дифференцируем (27) по параметру t :
  E


xtt    t cos w  B sin w  du  c1 (t )   C sin w .

 2 E
t

Получаем
  E
 
c1 (t )  C sin w    t cos w  B sin w  du  ,
 t
 2 E

76
(28)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
 E

c1 (t )   C sin w   t cos w  B sin w  du .
2 E



Подставляя c1 (t ) в (27), находим

xt   C sin wdt  c2 .
(29)
По третьему уравнению системы (22), т.е. по уравнению (21), с использованием функций (23) получаем
 E

yt   u sin w  B cos w  du  c3 (t ) .
2 E


По аналогии с предыдущим, привлекая пятое уравнение из (22) и выражения (28), (29), имеем функцию

yt  C cos wdt 
1
C sin wdt 
2

   C sin wdt  dt  c4t  c5 .
(30)

Таким образом, найдена векторная функция rt = ( xt , yt ) , ее компоненты


есть функции (29) и (30). По начальному условию rt (t0 , u0 )  c (c1 , c 2 ) из (16)

определяется единственная функция rt , для которой xt (t0 , u0 )  c1 ,
yt (t0 , u0 )  c 2 .

2.5 Отыскание функции r
Согласно условию (p) из п. 2.1 имеем уравнения с полным дифференциалом
xu du  xt dt  0 , yu du  yt dt  0 .
Функции xu , yu , xt , yt найдены в п. 2.3, 2.4. Решения указанных уравнений составляют векторную функцию

r (t , u )  ( x(t , u ), y (t , u )) .


Начальное условие r (t0 , u0 )  a (a1 , a 2 ) , см. (16), выделяет единственную функцию, определяемую функциями (3) и (5).
2.6 Поверхность с заданными коэффициентами квадратичных форм
Условия основной теоремы из п. 2.1 обеспечивают существование

единственной функции r (t , u )  ( x(t , u ), y (t , u )) , отыскиваемой в п. 2.5. Следовательно, существует единственная поверхность
(t , u )  (t , x(t , u ), y (t , u )) , (t , u )  D  E2 ,
ЕС-пространства, определяемая функциями (15) и удовлетворяющая начальным условиям (16). По условиям основной теоремы в п. 2.1 найдена функция


ru ( xu , yu )  ( xu (t , u ), yu (t , u )) . При этом u  ru . Получены

xu  E cos w , yu  E sin w , n  ( sin w,cos w) .
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Вычисляем:

ru2  xu2  yu2  E ,
т.е. найденная поверхность (t , u ) имеет первую квадратичную форму с заданным в (15) коэффициентом E  E (t , u ) . Поверхность (t , u ) имеет вторую
квадратичную форму с заданными коэффициентами A, B, C . Это следует из

того, что для поверхности сначала найдена производная u  ru , п. 2.3, по ко
  
торой получаем uu  ruu  ( A sin w, A cos w) . Следовательно, uu n  ruu n  A ,
результат совпадает со второй заданной функцией в (15).

Кроме того, найдена функция rut , компоненты которой есть (20) и (21),
вместе с (23) имеем:
E

 E

rut   t cos w  B sin w, t sin w  B cos w  ,
2 E
2 E

см. (29), (21) и (23). Таким образом,
 
rut n  B ,



для векторной функции r выполняется rtu  rut . Коэффициент B второй
квадратичной формы поверхности (t , u ) совпадает с третьей заданной в (15)
функцией.
Производная tt , см. (5), и четвертая формула в (11), используемая

в п. 1.5 при нахождении функции rt и входящая в условия основной теоремы, дают


tt n  Cnn  C .
Коэффициент C второй квадратичной формы найденной поверхности
(t , u ) совпадает с заданной в (15) функцией C  C (t , u ) , определяющей поверхность (t , u ) .
Как показывают равенства (29) и (30) и предшествующие им формулы,
функции xt , yt , а значит, и y  y (t , u ) , могут быть выражены или через функции B, E , или через функцию C . Их связывает вторая формула для полной
кривизны ЕС-пространства в (12), что и дает зависимость между различными
выражениями для функции yt . Пример использования второй формулы
в (12) имеется ниже.
3 Поверхность ЕС-пространства, коэффициенты
квадратичных форм которой постоянны
3.1 Теорема для поверхности, имеющей
постоянные коэффициенты квадратичных форм
По основной теореме, п. 2.1, функции E (t , u ), A(t , u ), B(t , u ), C (t , u ) (15) –
коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности и начальные условия (16) однозначно определяют поверхность ЕС-пространства.
Пусть коэффициенты квадратичных форм поверхности постоянны, т.е. функ-
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
ции A, B, C (15) постоянны. В этом случае определяется поверхность конкретного вида, она описывается следующей теоремой.
Теорема. Если коэффициенты первой и второй квадратичных форм
поверхности ЕС-пространства постоянны, то поверхность является аналогом квазиплоскости. В этом случае E  0, A  B  0, C  0 . Поверхность задается сибсонной функцией
1


(t , u )   t , u E cos c0  at  C1 , u E sin c0  bt 2  C2t  C3  ,
2


это цилиндрическая поверхность с евклидовой образующей, направляющая
которой является галилеевым циклом.
Квазиплоскости изучаются в [3]. Поверхность, определяемая точкой и
двумя некоммутирующими сибсами, называется квазиплоскостью. Плоскость
определяется точкой и двумя коммутирующими сибсами. Доказательству
теоремы посвящены п. 3.2–3.5.
3.2 Производные по пространственному параметру
Полная кривизна поверхности описывается формулами Гаусса (12),
в каждом слагаемом первой из формул содержатся как сомножители, производные коэффициентов квадратичных форм поверхности, которые равны нулю, т.к. коэффициенты постоянны. Следовательно, такая поверхность имеет
нулевую полную кривизну:
K  AC  B 2  0 .

Для функции ru  ( xu , yu ) в п. 2.3 получено
xu  E cos w , yu  E sin w , wu 
A
E
, wt 
B
E
.
(31)
Функция w  w(t , u ) получается в результате решения уравнения с полным дифференциалом
A
B
du 
dt  0 ;
E
E
в случае постоянных коэффициентов его решением является функция
w
A
E
u
B
E
t  c0 , c0  const .
(32)

Вычисляем: ru  E . Поверхность с выписанной производной ( xu , yu )
пространственной составляющей имеет в первой квадратичной форме заданный коэффициент E. Единичный вектор нормали поверхности равен

n  ( sin w,cos w) , см. (26). По функциям xu и yu находим компоненты

функции r :

x  E cos wdu 
B E
E
sin w  C1 (t ) , y  E sin wdu 
cos w  C2 (t ) . (33)
A
A

79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
При интегрировании по параметру u получается слагаемое, зависящее
от параметра t .
Полученные выражения (33) предстоит уточнить, функции C1 (t ), C2 (t )
найти.
3.3 Производные по времени. Пространственная составляющая
По функциям (33) находим
xt 
B E
B E
cos w  C1 (t ) , yt 
sin w  C2 (t ) ;
A
A
xtt 
B2
B2
sin w  C1(t ) , ytt 
cos w  C2 (t ) .
A
A
Из K  AC  B 2  0 получаем B 2  AC . Тогда по (5)
1


tt   0, xtt , ytt  xtt  xt  
2




1
1
B E
cos w  C1 (t )  .
  C sin w  C1(t ), C cos w  C2 (t )  C sin w  C1(t ) 
2
2
A


Далее получаем:

1
tt n  C  C  C1(t )sin w  C2 (t ) cos w  C sin w cos w 
2
1
B E
cos 2 w  C1 (t )cos w .
 C1(t ) cos w 
2
A
Значит,


1
1
B E


cos w  C1 (t )  cos w  0 .
 C1(t )  C cos w  sin w   C2 (t )  C1 
2
2
A




Для выполнения этого равенства каждый из множителей при sin w и
cos w должен обращаться в нуль. Имеем по первому слагаемому:
1
1
C1(t )  C cos w  0 , C1(t )   C cos w .
2
2
Функция C1 (t ) зависит только от параметра t , поэтому в (32) отсутствует слагаемое, содержащее параметр u , что возможно только при A  0 . Так
как AC  B 2  0 , то B  0 . По (32) имеем, что w – постоянная величина:
w  c0 .
Снова находим функции x(t , u ), y (t , u ) , см. (33), при найденном значении w  c0 :
x  u E cos c0  C1 (t ) , y  u E sin c0  C2 (t ) ;
80
(34)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
тогда
xt  C1 (t ), yt  C2 (t ) , xtt  C1(t ), ytt  C2 (t ) ;

1
C  tt n  C1(t )sin c0  (C2 (t )  C1 (t )  C1 (t )) cos c0 .
2
Значение C постоянно, следовательно, C1(t ), C2 (t ) и C1 (t ) постоянны.
Обозначим: C1 (t )  a , C2 (t )  b . Отсюда
1
C1 (t )  at  C1 , C2 (t )  t 2  C2t  C3 .
2
По (34) получаем компоненты пространственной составляющей поверхности (t , u ) .
3.4 Поверхность
Поверхность одулярного ЕС-пространства задается функцией (2),
см. п. 1.4, (t , u )  t   ( x(t , u ), y (t , u )) , функции x(t , u ), y (t , u ) только что
найдены в конце предыдущего пункта, поэтому отыскиваемая поверхность
такова:
1


(t , u )   t , u E cos c0  at  C1 , u E sin c0  bt 2  C2t  C3  ,
2


как указано в теореме. В предыдущем параграфе в основной теореме установлено, что функции E (t , u ), A(t , u ), B(t , u ), C (t , u ) определяют поверхность
некоммутативного галилеева пространства с сибсоном. В частности, это относится и к случаю, в котором функции A, B, C постоянны. Начальные условия вида (16) определяют единственную поверхность.
Выше найдены поверхности ЕС-пространства по заданным коэффициентам их квадратичных форм, т.е. для поверхностей ЕС-пространства доказан
аналог теоремы Бонне в евклидовой геометрии.
Список литературы
1. П о з н я к , Э . Г . Дифференциальная геометрия / Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин – М. :
Изд-во МГУ, 1990. – 384 с.
2. Д о л г а р е в , А . И . Дифференциальные уравнения поверхностей одулярных пространств. Нормальная кривизна поверхности / А. И. Долгарев // Труды Средневолжского математического общества. – Саранск : СВМО. – 2004. – Т. 6. – № 1. –
С. 132–144.
3. Д о л г а р е в , А . И . Поверхности в дифференциальной геометрии пространства
с касательным отображением в одуль галилеевых движений / А. И. Долгарев. –
Саранск : Средневолжское математическое общество, 2003. – Препринт 62. – 40 с.
4. Д о л г а р е в , А . И . Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств : монография / А. И. Долгарев. – Пенза : Информационноиздательский центр ПензГУ, 2005. – 306 с.
5. Д о л г а р е в , И . А . Нахождение поверхности в пространстве Галилея по ее квадратичным формам / И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2006. – № 5 (26). – С. 51–60. – (Естественные науки).
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
6. Д о л г а р е в , И . А . Системы дифференциальных уравнений в частных производных для поверхностей пространства Галилея : дис. … канд. физ.-мат. наук /
И. А. Долгарев. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2007. – 120 с.
7. Д о л г а р е в , И . А . Получение поверхности 3-мерного галилеева пространства с
растраном по коэффициентам ее квадратичных форм / И. А. Долгарев // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2007. – № 6 (33). – С. 17–31. –
(Естественные науки).
8. Д о л г а р е в , И . А . Система дифференциальных уравнений с частными производными для поверхностей в некоммутативном галилеевом пространстве с сибсоном / И. А. Долгарев // Лобачевские чтения – 2007 : труды математического центра
им. Н. И. Лобачевского. – Казань : Изд-во КМО-КГУ, 2007. – Т. 36. – С. 16–19.
9. Д о л г а р е в , И . А . Получение поверхностей 3-мерных одулярных галилеевых
пространств по заданным коэффициентам их квадратичных форм / И. А. Долгарев //
Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова :
труды участников. – Ростов-на-Дону, 2006. – С. 38–39.
Долгарев Иван Артурович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования
Пензенский государственный
университет
Dolgarev Ivan Arturovich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: delivar@yandex.ru
УДК 517.9 + 514.7
Долгарев, И. А.
Получение поверхностей одулярного галилеева пространства с сибсоном по коэффициентам их квадратичных форм / И. А. Долгарев //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 68–82.
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.6
Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В СЛОЕ1
Аннотация. В статье рассматриваются функции Грина 1-го и 2-го рода для
уравнения Гельмгольца в слое. Доказывается возможность аналитического
продолжения через положительную часть действительной оси в нижнюю полуплоскость на основе принципа симметрии Римана-Шварца. Доказана справедливость известного представления функции Грина в верхней полуплоскости для нижней полуплоскости.
Ключевые слова: уравнение Гельмгольца для слоя, аналитическое продолжение функции Грина.
Abstract. In the article Green’s functions first and second kind for the Helmholtz
equation in a layer are considered. The opportunity of analytical continuation across
positive part of real axis is based upon Riemann–Schwartz principle of symmetry
was proved. Correctness of known Green’s functions representations in upper halfplane was proved for lower half-plane.
Keywords: Helmholtz equation in a layer, analytical continuation of Green’s function.
Введение
В ряде задач математической физики важно иметь аналитическое продолжение функций Грина для уравнения Гельмгольца в слое в нижнюю полуплоскость [1]. Обширные исследования по аналитическому продолжению
функций Грина для задач математической физики представлены в работе [2].
В статье [3] получены представления для функций Грина в первом квадранте
комплексной плоскости и исследованы их свойства. Однако результаты о поведении функций Грина в нижней полуплоскости в этой статье отсутствуют.
Целью настоящей работы является доказательство возможности аналитического продолжения функций Грина в нижнюю полуплоскость и получения
явной формулы для этого продолжения.
1 Функции Грина 1-го и 2-го рода
для уравнения Гельмгольца в слое
Мы будем рассматривать функции Грина 1-го рода G1  x, y  и 2-го рода
G2  x, y  для уравнения Гельмгольца с параметром k 2 в неограниченной области
в
R3
слоя
U    x   x1 , x2 , x3  : 1  x3  0
(для
слоя
U    x   x1 , x2 , x3  : 0  x3  1 рассматривается аналогично). Относительно
волнового числа k считаем, что Im k  0 и k  0 .
Функция Грина G1  G1  x, y  , x, y U  определяется как решение
краевой задачи ( y U  фиксировано):
1
Работа выполнена при поддержке гранта Минобрнауки РФ по ФЦП «Развитие потенциала высшей школы» № 2.1.1/1647.
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
G1  k 2G1    x  y  , x U  ;
(1)
G1 x 0  G1 x 1  0 ,
3
3
(2)
с условиями на бесконечности [3]: для g1,n , n  0,
g1,n

т.к.

 : x12  x22

12




 ikn g1,n  o 1 2 , g1,n  O 1 2 ,

равномерно
по
всем
(3)
направлениям
x  ,
x :  x1 , x2  и равномерно по y из любого ограниченного подмножества
в U  , где
kn2  k 2  2 n 2 , Im kn  0 ;
(4)
kn  0 , если k  n ; kn  0 , если k  n , и
0
g1,n : 2 G1  x, y  cos nx3dx3 .

(5)
1
Соотношения (3) и (4) являются условиями Зоммерфельда для двумерной ограниченной области. Коэффициенты Фурье (5) являются решениями
двумерного уравнения Гельмгольца с параметром kn2 в области   0 для
g1,n
некоторого 0 . Отсюда и из условия (3) следует [4], что g1,n и
экспо
ненциально убывают при    , если k 2  2 n 2 ,  Im kn  0  .
Функция Грина G1  x, y  1-го рода может быть представлена в одной из
следующих форм [3]:
G1  x, y  

i
1
sin jx3 sin jy3 H 0 k j x  y ,
2 j 1



(6)
для x  y  , где x :  x1 , x2  и y  :  y1 , y2  или

  exp ik x  y  2 je
exp ik x  y*  2 je3

1

3

G1  x, y  
4 j  
x  y  2 je3
x  y*  2 je3


1
 ,



(7)
где e3   0, 0,1 , y*   y1 , y2 ,  y3  , H 0  z  – функция Ханкеля нулевого порядка первого рода. Формулы (6) и (7) имеют смысл при Im k  0 и
k  n, n   . Отметим, что функция Грина 1-го рода определена при k  0 .
Эквивалентность представлений (6) и (7) доказана в [4].
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
Функция Грина G2  G2  x, y  , x, y U  определяется как решение
краевой задачи ( y U  фиксировано):
G2  k 2G2    x  y  , x U  ;
(8)
G2
G
 2
 0,
x3 x 0 x3 x 1
3
3
(9)
с условиями на бесконечности [3]: для g 2,n , n  1 ,
g 2,n


т.к.  : x12  x22

12




 ikn g 2,n  o 1 2 , g 2,n  O 1 2 ,
(10)
  равномерно по всем направлениям x  , x :  x1 , x2 
и равномерно по y из любого ограниченного подмножества в U  , где
kn2  k 2  2 n 2 , Im kn  0 ;
(11)
kn  0 , если k  n ; kn  0 , если k  n , и
0
g 2,n : 2 G2  x, y  sin nx3dx3 .

(12)
1
Соотношения (10) и (11) являются условиями Зоммерфельда для двумерной ограниченной области. Коэффициенты Фурье (12) являются решениями двумерного уравнения Гельмгольца с параметром kn2 в области   0
g 2,n
для некоторого 0 . Отсюда и из условия (10) следует [4], что g 2,n и

экспоненциально убывают при    , если k 2  2 n 2  Im kn  0  .
Для функции Грина G2  x, y  2-го рода верны следующие представления [3]:

i
1
1
G2  x, y  
cos jx3 cos jy3 H 0 k j x  y ,
2 j 0 1   0 j



(13)
для x  y  , где x :  x1 , x2  и y  :  y1 , y2  или
*
ik x  y  2 je3
ik x  y  2 je3
1  e
e

G2  x, y  

4 j   x  y  2 je3
x  y*  2 je3




,


(14)
1
где e3   0, 0,1 . Здесь H 0  z  – функция Ханкеля нулевого порядка первого
рода и ij – символ Кронекера. Представления (13) и (14) эквивалентны [3].
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Формулы (13) и (14) имеют смысл при Im k  0 и k  n , n   \ 0 . Отметим, что функция Грина 2-го рода не определена при k  0 .
2 Сходимость представлений для функций Грина
и аналитическое продолжение в нижнюю полуплоскость
Будем рассматривать функцию Грина 2-го рода G2  x, y  и использовать для нее представление (13). Для функции Грина 1-го рода доказательство
ничем не отличается.
Пусть k  a  bi , будем считать, что Re k  a  0 и Im k  b  0 . Тогда
0     2 , где   arg k . Для kn2 получаем

2

kn2   a  bi   2 n 2  a 2  b 2  2 n 2  2abi .
Тогда
2
2
для
любых
a  0, b  0
найдется
n : n
такое,
что
2 2
a  b   n  0 и kn   un  vn i , где
un  a 2  b 2  2 n2  0 , vn  2ab  0 и wn  un  vni .
(15)
Следовательно,  2  arg wn   и
arg wn
arg wn 

.
kn   un2  vn2  cos
 i sin
2
2 

Пусть
arg wn
  , тогда ясно, что 0     2 ,
2
kn   un2  vn2  cos   i sin   .
Обозначим
n  un2  vn2 cos   0
и
n  un2  vn2 sin   0 , тогда
kn    n  in  , используя условие Im kn  0 , выбираем перед корнем знак
«+» и получаем
kn   n  in , где n  0 и n  0 .
Из формул (15) для un и vn ясно, что при n   : un   , а
arg wn

 . Это значит, что при n  
vn  2ab  0 , и, следовательно,  
2
2
имеем n   .
Вернемся к рассмотрению ряда (13), обозначим
an 
i 1
1
cos jx3 cos jy3 H 0 k j p ,
2 1  0 j


1 k p  H 1   i p .
 n 
n 
0  n
где p  x  y   0 , тогда an  H 0
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
Известно представление [5, с. 29]
1
1
H0  z   


e
iz ch t
dt , 0  arg z   ;

тогда n  2ab  0 , и
1   i p  1
 n n  
an  H 0

где C 
2


1

e



eipn ch t  e  pn ch t dt 

2 ab1ch t  p
1



ip  i ch t
e  n n
dt 


e
 pn ch t
dt  Ce pn ,
(16)

dt   – константа, не зависящая от n .
0
Из формулы (16) следует, что исходный ряд (13) сходится равномерно
и определяет в любом ограниченном подмножестве точек первого квадранта
 Re k  0, Im k  0  аналитическую функцию.
Теперь вернемся к обозначению kn2  k 2  2 n 2 . Рассмотрим вопрос о
поведении ряда (13) при действительных значениях аргумента k .
При действительных значениях k найдется такое число n , что
kn2  k 2  2 n2  0 , и, значит, kn будет чисто мнимым. Так как мы имеем
условие Im kn  0 , то kn  izn , где zn  0 при n  n . Известно, что
1
i 1
K 0  z   H 0  iz  , где K 0  z  – функция Макдональда, и мы получаем

2
G2  x, y  
1 
1
cos nx3 cos ny3 K 0  pzn  .
 n 0 1  0 n


Для K 0  z  известно представление [5, с. 94] K 0  z   e  z ch t dt ,

0
Re z  0 .
Обозначим an 
1 1
cos nx3 cos ny3 K 0  pzn  , тогда из (15) при
 1  0 n
b  0 получим, что un  a 2  2 n2 , следовательно, zn  kn 
a 2   2 n2 ,
из этого имеем

an  K 0  pzn   e  pzn ch t dt  Ce  pzn ,

(17)
0
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

a 2 2 n2 1ch t  p

где C  e
dt   – константа, не зависящая от n .
0
Оценка (17) означает, что при действительных значениях k ряд (13)
сходится равномерно по k на любом ограниченном подмножестве множества


M  R  \  n  k    , n  0 . Кроме того, следует помнить, что при оценке
сходимости мы отбросили конечное число членов ряда (13) до номера n  1
включительно, которые, разумеется, не влияют на сходимость. Значения отброшенных членов, вообще говоря, невещественны. Ясно, что для каждого из
отброшенных членов аналитическое продолжение существует и определяется
теми же формулами.
Известно, что K 0  z  при z  0 принимает вещественные значения, и,
значит, функция, определяемая рядом (13), может быть продолжена аналитически в четвертый квадрант  Re k  0, Im k  0  . Этот факт следует из принципа симметрии Римана-Шварца.
Если теперь мы докажем сходимость ряда (13) при k  a  bi , где a  0 ,
b  0 , то тем самым мы найдем аналитическое продолжение функции Грина
G2  x, y  в части нижней полуплоскости (четвертом квадранте).
Пусть
k  a  bi
и
a0,
b  0,
тогда
2
kn2   a  bi   2 n 2 
 a 2  b 2  2 n 2  2abi . Ясно, что для любых a  0, b  0 найдется n : n та-
кое, что a 2  b 2  2 n2  0 . Пусть a 2  b 2  2 n2  un , где un  0 и
2ab  vn  0 . Тогда kn2  un  vni и kn  i un  vn i . Пусть wn  un  vni ,
тогда 0  arg wn   2 . Получаем
arg wn
arg wn

kn  i un2  vn2  cos
 i sin
2
2


  i  n  in  ,

arg wn
arg wn
 0 , n  un2  vn2 sin
 0.
2
2
Из условия Im kn  0 выбираем знак «+» и получаем
где n  un2  vn2 cos
kn  i   n  in  .
Теперь мы можем записать ряд (13) в такой форме:
G2  x, y  
1 
1
cos nx3 cos ny3 K 0  p  n  in   .
 n 0 1  0 n

выясним
поведение
n
при
n.
Так
как
arg wn
arg wn
n  un2  vn2 cos
и un2  vn2   , cos
 1 при n   , то из
2
2
этого следует, что n   при n   и  n  2ab  0 .
Теперь
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Математика
an  G2  x, y  
Обозначим
1 1
cos nx3 cos ny3 K 0  p  n  in   .
 1  0 n
Получаем следующую оценку:
an  K 0  p   n  in   

e
 p n in  ch t
dt 
0



e ipn ch t  e  pn ch t dt 
0


где C  e

e
 pn ch t
dt  Ce pn ,
(18)
0
2 ab1ch t  p
dt   – константа, не зависящая от n .
0
Это значит, что формула (18) дает равномерную оценку, из этого следует, что ряд (13) сходится и при Re k  0 , Im k  0 во всяком ограниченном
подмножестве точек четвертого квадранта. В соответствии с принципом симметрии Римана-Шварца получаем аналитическое продолжение функции Грина G2  x, y  из части верхней полуплоскости  Re k  0, Im k  0  в часть нижней полуплоскости  Re k  0, Im k  0  .
1
Поскольку функции H 0  z  z0  , K 0  z  z0  и z  z0 имеют точки
разветвления при z  z0 , то нам необходимо еще указать, как проводить разрезы из точек разветвления. Один из вариантов проведения разрезов представлен на рис. 1.
Imk
π
2π
3π
0
4π
Rek
Рис. 1 Представление области M  на комплексной плоскости
1 z  z и K z  z выбирается
 0
0
0
После проведения разрезов для H 0
главное значение логарифма ln  z  z0  , а для kn  k 2  2 n 2 выбираются
в зависимости от k такие ветви, чтобы k j  0 при k  j или k j  0 при
k  j [3].
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Если рассматриваемая точка k попадает на разрез, то направление разреза можно немного изменить так, чтобы он не проходил через k .
Таким образом, мы не только доказали, что функцию Грина можно определить во всяком ограниченном подмножестве точек правой полуплоскости
при Re k  0, k  n , для n  0,1, 2, ..., но и доказали справедливость представления (13) для функции Грина 2-го рода во всяком ограниченном подмножестве множества M    Re k  0  \  n  k  , n  0  (с выбором соот-


ветствующих разрезов).
Список литературы
1. Р о ди о н о в а , И . А . О фредгольмовости электромагнитной задачи о собственных колебаниях в слоях, связанных через отверстие / И. А. Родионова,
Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. –
2004. – № 5. – С. 39–48. – (Естественные науки).
2. М и з о х а та , С . Теория уравнений с частными производными / С. Мизохата. –
М. : Мир, 1977.
3. M o r g e n r o t h e r , K . On the Instability of Resonances in Parallelplane Waveguides /
K. Morgenrother, P. Werner // Mathematical Methods in the Applied Sciences. – 1989. –
V. 11. – P. 279–315.
4. И л ь и н с к и й , А . С . Математические модели электродинамики / А. С. Ильинский, В. В. Кравцов, А. Г. Свешников. – М. : Высшая школа, 1991.
5. Б э й т м е н , Г . Высшие трансцендентные функции : в 3 т. / Г. Бэйтмен,
А. Эрдейи. – М. : Наука, 1974. – Т. 3.
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
Smirnov Yury Gennadyevich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
E-mail: Smirnov@Penzadom.ru
Валовик Дмитрий Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования
Пензенский государственный
университет
Valovik Dmitry Viktorovich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: necco@mail.ru
УДК 517.6
Валовик, Д. В.
Аналитическое продолжение функции Грина для уравнения
Гельмгольца в слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2009. – № 2 (10). – С. 83–90.
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
ФИЗИКА
УДК 537.874.6
О. А. Голованов, Г. С. Макеева, М. В. Савченкова
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ДЕСКРИПТОРОВ АВТОНОМНЫХ БЛОКОВ С МАГНИТНЫМИ
НАНОВКЛЮЧЕНИЯМИ И КАНАЛАМИ ФЛОКЕ1
Аннотация. На электродинамическом уровне строгости определяются дескрипторы линейных и нелинейных автономных блоков (АБ) в виде прямоугольных параллелепипедов с магнитными нановключениями и виртуальными
каналами Флоке на гранях. Основой построения дескрипторов являются уравнения Максвелла, решаемые совместно с уравнением Ландау-Лифшица, в котором учитывается поле обменного взаимодействия. Для решения нелинейной
краевой задачи дифракции для АБ c магнитными нановключениями и каналами Флоке применен проекционный метод Галеркина.
Ключевые слова: дескриптор, автономный блок, каналы Флоке, магнитные нановключения, уравнения Максвелла, уравнение Ландау-Лифшица.
Abstract. The descriptors of linear and nonlinear autonomous blocks (ABs) in the
form of the rectangular parallelepipeds with Floquet channels on bounds containing
the magnetic nanoinsertions are determined at ectrodynamic accuracy level. The descriptors are based on the solution of the nonlinear full Maxwell`s equations with
electrodynamic boundary conditions, complemented by the Landau-Lifshitz equation of motion of the magnetization vector including the exchange term. The 3D diffraction boundary problem for AB with Floquet channels containing the magnetic
nanoinsertions was solved using the Galerkin’s projection method.
Keywords: descriptor, autonomous block, Floquet channels, magnetic nanoinsertions, the Maxwell`s equations, Landau-Lifshitz equation.
Введение
Декомпозиционный подход является основой построения систем автоматизированного моделирования (проектирования) технических систем и
устройств СВЧ и ИК-диапазона. При декомпозиционном подходе наибольшую ценность представляют автономные блоки (АБ), дескрипторы которых
получены без упрощения уравнений электродинамики и краевых условий
(в строгой электродинамической постановке задачи). В настоящее время в
практике решения задач электродинамики применяются многомодовые АБ [1],
минимальные АБ [2], универсальные АБ с каналами Флоке [3]. Эти известные
АБ с однородным заполнением могут иметь лишь весьма ограниченное применение в построении математических моделей устройств СВЧ на основе
магнитных наноматериалов, т.к. основой построения их дескрипторов являются уравнения Максвелла для изотропных линейных сред. Указанные не1
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант
№ 05-08-33503.
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
достатки не присущи АБ в виде прямоугольных параллелепипедов с магнитными нановключениями и виртуальными каналами Флоке на гранях, т.к. основой построения их дескрипторов являются уравнения Максвелла, решаемые совместно с уравнением Ландау-Лифшица, в котором учитывается поле
обменного взаимодействия. Развитие декомпозиционного подхода к математическому моделированию устройств СВЧ на основе магнитных наноматериалов требует нахождения дескрипторов линейных и нелинейных АБ с магнитными нановключениями и каналами Флоке – их математических описаний
в виде матриц рассеяния или систем нелинейных уравнений, связывающих
амплитуды падающих и отраженных волн на комбинационных частотах.
1 Математическая модель. Стационарные уравнения поля
с учетом обменного взаимодействия
Формулировка краевой задачи электродинамики для структур, содержащих системы магнитных наночастиц, состоит в следующем. Необходимо
решить уравнения Максвелла:


E (t )
rot H (t ) = 0 
  E (t ) ;
(1)
t

B (t )
rot E (t ) = 
;
(2)
t



B (t )  M (t )   0 H (t ) ,
(3)
совместно с уравнением движения вектора намагниченности в ферромагнетике в форме Ландау-Лифшица с учетом обменного взаимодействия [4]:





dM (t )
  M (t )  H эф (t )  r 0 H (t )  M (t ) ;
(4)
dt



H эф (t )  H (t )  H q (t ) ;
(5)






H q (t )  q  2 M (t ) ,
(6)


где E (t ), H (t ) – векторы напряженности электрического и магнитного полей;


M (t ) – вектор намагниченности среды; B (t ) – вектор магнитной индукции;


H эф (t ) – суммарное эффективное поле, включающее H q (t ) – поле
обменного взаимодействия;  – оператор Лапласа;  – относительная
диэлектрическая проницаемость среды;  – электропроводность среды; 0 ,
0 – электрическая и магнитная постоянные;  – гиромагнитное отношение;
r – частота релаксации; 0 – статическая восприимчивость; q – константа
обменного взаимодействия.
Используя формулы векторного анализа, запишем поле обменного

взаимодействия H q (t ) (6) в виде



H q (t )  q grad div M (t )  rot rot M (t ) .

92

(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика

Учитывая, что div M (t )  0 , и вводя векторную функцию


F (t )  rot M (t ) ,
запишем (7) в виде


H q (t )   q rot F (t ).
(8)
Подставляя (3) в (2) и учитывая (8), систему уравнений для
электромагнитного поля (с учетом поля обменного взаимодействия) запишем
в виде



E (t )
rot H (t ) = 0 
  E (t ) ;
t


 
rot E (t ) =  ( M (t )  0 H (t )) ;
t






dM (t )
   ( M (t )  ( H (t )  H q (t ))  r (0 H (t )  M (t )) ;
dt


rot M (t )  F (t ) ;


rot F (t )   q 1H q (t ) .
(9)
Сведем систему нестационарных нелинейных уравнений (9) к
стационарным, полагая, что электромагнитные поля источников с частотами
1 , 2 , ..., m , ... монохроматические.





Представляя векторные функции E (t ) , H (t ) , M (t ) , F (t ) , H q (t ) в виде
рядов по всевозможным комбинационным частотам
 
 


E (t ) 
E (m ) exp(imt ) ; H (t ) 
H (m ) exp(im t ) ;


m 
m 

 



M (t ) 
M (m ) exp(imt ) ; F (t ) 
F (m ) exp(imt ) ;


m 
m 
 

H q (t ) 
H q (m ) exp(imt )

m 
и подставляя эти ряды в (9), получаем следующие системы стационарных
нелинейных уравнений на каждой из комбинационных частот:


rot H (m )  i m 0  (m ) E (m ) ;
(10.1)



rot E (m )  i m M (m )  i m 0 H (m ) ;
(10.2)



 
i  j 




 ij (M ( i )  ( H ( j )  H q ( j )))  (r  i m ) M (m ) 
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион







r 0 H (t )   M 0  H (m )   M 0  H q (m )   M (m )  H 0 ;


rot M (m )  F (m ) ;


rot F (m )   q 1H q (m ) ;
(10.3)
(10.4)
(10.5)
m   1,  2, ... ,
–
где m


H 0  H ( 0 ) ;
комбинационные
 m  0,
частоты
 m   m, 0  0  ;


(m )
0, если i   j  m ,
M 0  M ( 0 ) ;  (m )  (m )  i
;  ij  
0 m
1, если i   j  m .
2 Формулировка нелинейной краевой задачи
дифракции для автономных блоков с магнитными
нановключениями и каналами Флоке
На рис. 1 показан АБ в виде прямоугольного параллелепипеда, содержащего магнитное нановключение, с виртуальными каналами Флоке на гранях блока. Собственные волны виртуальных каналов Флоке могут быть записаны в виде [3]



Ek  (m )  ek  (m )  ekz  (m ) exp i  k    (m ) z ;

 
 
 



H
( )    h
( )  h
( )  exp  i   ( ) z  ;
 
 
 
 

k 
m
k 
m
z
k 
k 
m
m

(11)
k  1, 2, ..., ;   1, 2, ..., 6; m   1,  2, ...,




где ek  (m ) , hk  (m ) и hkz  (m ) , ekz  (m ) – продольные и попереч 
 
 
 
ные компоненты электрического и магнитного полей собственных волн;
 k    (m ) – постоянные распространения собственных волн;  – номер
входного сечения S (грани АБ); k – индекс собственных волн; z – продольные координаты в локальных системах координат, знаком «  » обозначены падающие и отраженные волны.


Системы векторных функций ek  (m ) , hk  (m ) в (11) ортого-


 
 

нальны и нормированы:

S




ek  (m )  hn*   (m )  dS  kn ,
 
(12)

где dS – векторный элемент поверхности;  – знак комплексно-сопря-
1, если k  n,
женной величины; kn  
0, если k  n.
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
0
Рис. 1 Автономный блок с магнитными нановключениями и виртуальными
каналами Флоке: V0 – внутренняя область АБ; V – область магнитных
нановключений; V0  V – область, заполненная немагнитной средой
с диэлектрической и магнитной проницаемостями v , v
На каждом входном сечении S (гранях параллелепипеда) АБ касательное электромагнитное поле можно представить в виде суперпозиции прямых и обратных собственных волн каналов Флоке (11) [3]:



E (m ) 
(сk( ) (m )  ck( ) (m )) ek ( ) (m );
(13.1)



H  (m ) 
(ck( ) (m )  ck( ) (m )) hk ( ) (m );
(13.2)

k 1

k 1`
  1, 2, ..., 6; m  1,  2, ...,
где ck  (m ) , ck   (m ) – амплитуды падающих и отраженных волн.
 

Определим векторные произведения, умножая (13.1) на hn( ) (m ) и

en  (m ) на комплексно-сопряженное выражение (13.2), затем проинтегриру-
 
ем их по поверхности S  с учетом нормировки (12), и в результате получим:



ck( ) (m )  ck( ) (m )  ( E (m )  h k( ) (m ))  dS ;
(14.1)

S
ck( ) (m )  ck( ) (m ) 



 (ek () (m )  H k () (m ))  dS ;
(14.2)
S
  1, 2, ..., 6; m  1,  2, ...,
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Складывая (14.1) и (14.2), получаем условие неасимптотического излучения [5]:



( E (m )  h k( ) (m ))  dS 

S





(ek ( ) (m )  H k( ) (m ))  dS  2ck( ) (m ) .
(15)
S
Нелинейная краевая задача дифракции для АБ с магнитными нановключениями и виртуальными каналами Флоке (рис. 1), формулируется следующим образом. Электромагнитное поле должно удовлетворять в области
магнитных нановключений V АБ, системе стационарных нелинейных уравнений (10.1)–(10.5), а в области V0  V – однородным уравнениям Максвелла:


rot H (m )  i m 0 v E (m ) ;
(10а)


rot E (m )  i m 0 v H (m ) ,
а также условиям неасимптотического излучения (15) на гранях АБ (входных
сечениях S ).
Неизвестными в задаче дифракции являются амплитуды ck( ) (m ) отраженных волн на входных сечениях S (гранях) АБ, если амплитуды
ck( ) (m ) волн, падающих на входные сечения S , известны.
3 Построение алгоритма решения нелинейной
краевой задачи дифракции для автономных блоков
с магнитными нановключениями и каналами Флоке
Для решения нелинейной краевой задачи дифракции для АБ c магнитными нановключениями и каналами Флоке (рис. 1) применим проекционный


метод Галеркина [6]. В качестве базисных функций Еk ( m) , H k ( m)

 

(где k – индекс базисной функции; m – индекс комбинационной частоты)
используем систему собственных функций прямоугольного резонатора с однородно-периодическими граничными условиями на стенках резонатора (гранях АБ) (рис. 1).


Собственные частоты k и собственные функции Еk ( m) , H k ( m)

 

резонатора определяются из решения краевой задачи для однородных уравнений Максвелла:


rot H k ( m)  i k 0 Ek ( m) ; 
(16)
 в области V0 ,


rot Ek ( m)   i k 0 H k ( m) , 
с граничными условиями на стенках резонатора (гранях АБ):




Ek ( m ) ( S1 )  Ek ( m) ( S4 ), H k ( m) ( S1 )  H k ( m) ( S4 );
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика




Ek ( m) ( S2 )  Ek ( m) ( S5 ), H k ( m) ( S2 )  H k ( m) ( S5 );




Ek ( m) ( S3 )  Ek ( m) ( S6 ), H k ( m) ( S2 )  H k ( m) ( S6 ).
(17)
Собственные функции резонатора ортогональны и нормированы:




0 H k( m)  H n( m) dV  0 Ek( m)  H n( m) dV  kn .


V0
(18)
V0
Используя теорему Остроградского-Гаусса, тождество векторного ана  

 
лиза brot a  a rot b  rot (a  b ) и учитывая (16), запишем систему стационарных нелинейных уравнений (10.1)–(10.5) в проекционной интегральной
форме [7]:





( H (m )  Ek( m) )  dS  i m 0  (m ) E (m )  Ek( m) dV 


S
V0
i k 0



H (m )  H k( m) dV ;
V0





 ( E (m )  H k(m) )  dS  i m  M (m )  H k(m) dV 
S
V0
i m 0



H (m )  H k( m) dV  i k 0
V0




E (m )  Ek( m) dV ;
V0


F (m )  Ek( m) dV  i k 0
V0


M (m )  H k( m) dV  0;

V0


q 1 H q (m )  H k( m) dV  i k 0

V0
(r  i m )



F (m )  Ek( m) dV  0;
(19)
V0



M (m )  H k( m) dV  
V0




( M 0  H (m ))  H k( m) dV 
V0






 ( M 0  H q (m ))  H k( m) dV  ( M (m )  H 0 )  H k( m) dV 


V0
V0
 r 0



H (m )  H k( m ) dV 
V0



 
i  j 
 ij





( M (i )  ( H ( j )  H q ( j ))  H k( m) dV ,
V0
где S  S1  S2  ...  S6 .
Решение нелинейной краевой задачи дифракции для уравнений (10.1)–
(10.5) с граничным условием (15) для АБ c магнитными нановключениями и
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
каналами Флоке (рис. 1) ищем в виде рядов Фурье по следующим системам
функций:
– в области V0 АБ (рис. 1) по системе собственных функций прямо

угольного резонатора Еn ( m) , H n( m) :

 







E (m ) 
an (m ) En ( m) ; H (m )  bn (m ) H n( m) ;


n 1
n 1






M (m ) 
d n (m ) H n( m) ; H q (m ) 
g n (m ) H n( m) ;


n 1
n 1



F (m ) 
f n (m ) En( m) ;

(20)
n 1
– на гранях АБ – по системе собственных волн каналов Флоке


el  (m ) , hl  (m ) :
 
 






E (m ) 
cl() (m )  cl() (m ) el () (m ) ;


l 1



H  (m ) 
cl() (m )  cl() (m ) hl () (m ) .


l 1
(21)
Подставляя (20), (21) в (19), (15) и учитывая уравнения (10а) и нормировку (18), получаем следующую систему нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов an  ωm  , bn  ωm  ,
d n  ωm  , g n  ωm  , f n  ωm  и cl() (m ) , cl() (m ) :
6 

1 l 1
M k ( m) l () cl() (m ) 

 (i m v kn  i m 0 ( (m )  v ) 
n 1
 Ak ( m) n( m) ) an (n )  i k kn bn (m ) 
6 

1 l 1
n 1
6 
 M k (m) l () cl() (m );
(22.1)
1 l 1
 Nk (m) l () cl() (m )   i k kn an (m )  (i m v kn  im 0 (1  v ) 
Bk ( m) n( m) )bn (m )  i m Bk ( m) n( m) d n (m ) 

6 
 N k (m) l () cl() (m );
1 l 1
 i k 0 Bk (m) n(m) dn (m )  Ak (m) n(m)
n 1
98
f n (m )  0;
(22.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика

 q 1 Bk (m) n(m) gn (m )  i k 0 Ak (m) n(m)
n 1
f n (m )  0;

U q() n(m) an (m )  Rq() n(m) bn (m )  2 cq() (m );
(22.3)
(22.4)
n 1

 ( X k (m) n(m)  r 0 Bk (m) n(m) ) bn (m ) 
n 1
  Yk ( m) n( m)  (r  i m ) Bk ( m) n( m) d n (m )   X k ( m) n( m) g n (m )  J k ( m) (m );
J k ( m) (m )  
 
 
i 1 j 1
p 1 r 1
 ij    Wk (m) p(i) r ( j ) d p (i ) (br ( j )  gr ( j )); (22.6)
  1, 2, ... 6; q, k  1, 2, ...; m  1,  2, ...,
где
M k ( m) n( m) 



 (hl () (m )  Ek (m) )  dS ;
S
N k ( m) n( m) 




(el () (m )  H k( m) )  dS ;
S


Ak ( m) n( m)  ( En( m)  Ek( m) ) dV ;

V


Bk ( m) n( m)  ( H n( m)  H k( m) ) dV ;

V



X k ( m) n( m)  ( M 0  H n( m) )  H k( m) dV ;

V



Yk ( m) n( m)  ( H n( m)  H 0 )  H k( m) dV ;

V



Wk ( m ) p (i ) r ( j )  ( H p (i )  H r ( j ) )  H k( m) dV ;

V
U q ( ) n( m) 



 ( En(m)  hq() (m ))  dS ;
S
Rq ( ) n ( m) 



 (eq() (m )  H n(m) )  dS .
S
Для решения системы нелинейных алгебраических уравнений (22.1)–
(22.6) используем итерационный метод, или метод Ньютона [6].
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
При решении системы уравнений (22.1)–(22.6) итерационным методом на
каждом шаге итераций функция J k ( m) (m ) определяется следующим образом:
J kим
( m) (m )  
 
 
    Wk (m) p(i) r ( j ) d 0p (i ) (br0 ( j )  gr0 ( j )) ,
i 1 j 1
 ij
p 1 r 1
где d 0p (i ), br0 ( j ), g r0 ( j ) – значения коэффициентов, полученные на предыдущем шаге итерации.
При решении уравнений (22.1)–(22.6) методом Ньютона на каждой итерации функция J k ( m) (m ) определяется
J kмн
( m) (m )  
 
 
i 1 j 1
p 1 r 1
 ij    Wk (m) p(i) r ( j ) ( d 0p (i ) (br0 ( j )  gr0 ( j )) 
 d 0p (i ) br ( j )  (br0 ( j )  g r0 ( j )) d p (i )  d 0p (i ) g r ( j )),
где d 0p (i ), br0 ( j ), g r0 ( j ) – значения коэффициентов, полученные на предыдущей итерации.
При малых амплитудах падающих волн (в линейном приближении) дескрипторы АБ, частично заполненных магнетиком, – это матрицы рассеяния
R , проводимости Z или сопротивления Y [8]. Элементы матрицы рассеяния
R определяются из решения системы уравнений (22.1)–(22.6) при парциальных режимах функционирования АБ [8], когда все амплитудные коэффициенты ck( ) (m ) падающих волн в виртуальных каналах Флоке АБ равны нулю, кроме одного cn()  1 [8]. Решая систему линейных (в этом приближении) алгебраических уравнений (22.1)–(22.6), находим коэффициенты отра
женных волн ck( ) – элементы матрицы рассеяния Rkn
 ck( ) [8]).
Заключение
Математические модели устройств СВЧ на основе магнитных наноматериалов, базирующиеся на решении уравнений Максвелла совместно с уравнением Ландау-Лифшица без упрощения уравнений и краевых условий, адекватны, что позволит отказаться от экспериментально-эмпирического подхода
в проектировании и разработке технических систем и устройств.
Построение математических моделей технических систем и устройств
СВЧ осуществляется следующим образом. Область магнитных наноматериалов расчленяется на АБ с магнитными нановключениями и каналами Флоке.
В результате соединения этих АБ по виртуальным каналам Флоке получаем
дескрипторы (матрицы рассеяния или системы нелинейных алгебраических
уравнений) областей, заполненных магнитными наноматериалами, рассматриваемых как волноводные трансформаторы (базовые элементы) [3]. Далее
полученные в данной работе дескрипторы этих волноводных трансформаторов используются наряду с дескрипторами АБ с изотропным однородным
заполнением в декомпозиционном подходе к математическому моделированию технических систем в целом.
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
Список литературы
1. Н и к о л ь с к и й , В. В. Электродинамика и распространение радиоволн /
В. В. Никольский. – М. : Наука, 1978. – 544 с.
2. Н и к о л ь с к и й В. В. , Г о л о в а н о в О . А . // Радиотехника и электроника. –
1979. – Т. 24. – № 6. – С. 1070.
3. Н и к о л ь с к и й В. В. , Л а в р о в а Т. И . // Радиотехника и электроника. – 1978. –
Т. 23. – № 2. – С. 241.
4. Г о л о в а н о в О . А . М а к е е в а Г . С . // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2005. – Т. 8. – № 4. – С. 10–18.
5. Г у р е в и ч , А . Г . Магнитные колебания и волны / А. Г. Гуревич, Г. А. Мелков. –
М. : Наука, 1994.
6. Г о л о в а н о в О . А . // Радиотехника и электроника. – 1990. – Т. 35. – № 9. –
С. 1853.
7. Ба х в а л о в , Н . С . Численные методы / Н. С. Бахвалов. – М. : Наука, 1975. –
632 с.
8. Н и к о л ь с к и й , В. В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики / В. В. Никольский. – М. : Наука, 1967.
9. Н и к о л ь с к и й , В. В. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики /
В. В. Никольский, Т. И. Никольская. – М. : Наука, 1983. – 304 с.
Макеева Галина Степановна
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра радиотехники
и радиоэлектронных систем, Пензенский
государственный университет
Makeeva Galina Stepanovna
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, sub-department of radio
engineering and radio-electronic systems,
Penza State University
E-mail: radiotech@pnzgu.ru
Голованов Олег Александрович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и начертательной геометрии,
Пензенский артиллерийский
инженерный институт им. Н. Н. Воронова
Golovanov Oleg Alexandrovich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of mathematics and descriptive geometry,
Penza Artillery and Military Engineering
Institute named after N. N. Voronov
E-mail: radiotech@pnzgu.ru
Савченкова Мира Викторовна
инженер, Пензенский государственный
университет архитектуры и строительства
Savchenkova Mira Viktorovna
Engineer, Penza State University
of Architecture and Construction
E-mail: mira1965@mail.ru
УДК 537.874.6
Голованов, О. А.
Вычислительный алгоритм определения дескрипторов автономных блоков с магнитными нановключениями и каналами Флоке /
О. А. Голованов, Г. С. Макеева, М. В. Савченкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. –
№ 2 (10). – С. 91–101.
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 537.874.6
Г. С. Макеева, О. А. Голованов, М. В. Савченкова
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ
ФЕРРОМАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА В МАГНИТНЫХ
КОМПОЗИТНЫХ НАНОМАТЕРИАЛАХ НА ОСНОВЕ РЕШЕТОК
ФЕРРОМАГНИТНЫХ НАНОСФЕР1
Аннотация. Рассчитана зависимость действительных и мнимых частей компонент тензора эффективной магнитной проницаемости наноструктурированной
гиромагнитной среды на основе периодической решетки ферромагнитных (железо) наносфер от постоянного поля намагничивания на частоте
f  9,375 ГГц . Проведено сравнение вычисленной частоты и ширины линии
ферромагнитного резонанса в наноструктурированной среде на основе магнитной нанорешетки (магнитном наноматериале) и частоты ферромагнитного
резонанса в сплошной гиромагнитной среде.
Ключевые слова: тензор магнитной проницаемости, наноструктурированная среда, периодическая решетка, ферромагнитные наносферы, поле намагничивания.
Abstract. The real and imaginary parts of effective permeability tensor components
of the nanostructured gyromagnetic medium based on a 3D periodic array of ferromagnetic (iron) nanospheres were calculated depending on the bias magnetic field
at frequency f  9,375 GHz. The comparison of the calculated frequency and
width of line of ferromagnetic resonance in the nanostructured medium based on the
magnetic nanoarray (the magnetic nanomaterial) and ones in the continuum gyromagnetic medium was done.
Keywords: permeability tensor, nanostructured medium, periodic array, ferromagnetic nanospheres, bias magnetic field.
Введение
Ферриты, широко используемые в устройствах СВЧ, обладают достаточно малой магнитной проницаемостью, низким магнитным моментом и
относительно высокими потерями для их продвижения в миллиметровый и
терагерцовый диапазоны. Новой тенденцией развития техники СВЧ, КВЧ и
ИК диапазонов является применение магнитных композитных наноматериалов на основе решеток ферромагнитных металлических наночастиц в немагнитной диэлектрической матрице. В этой связи актуальной является задача
электродинамического расчета размерно-зависимых электромагнитных свойств и параметров магнитных наноматериалов в зависимости от геометрии
магнитных элементов (сферы, эллипсоиды, цилиндры, диски, параллелепипеды), а также размеров и расстояний между магнитными наночастицами при
их сокращении до длины обменного взаимодействия.
1 Математическая модель
Математическая модель магнитных явлений в системах ферромагнитных
наночастиц базируется на уравнении движения намагниченности в ферромагнетике в форме Ландау-Лифшица с учетом обменного взаимодействия [1]:
1
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант
№ 05-08-33503.
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика





dM (t )
  M (t )  H эф (t )  r 0 H (t )  M (t ) ;
(1)
dt



H эф (t )  H (t )  H q (t ) ;






H q (t )  q  2 M (t ) ,
совместно с уравнениями Максвелла:


E (t )
rot H (t ) = 0 
  E (t ) ;
t

B (t )
rot E (t ) = 
;
t



B (t )  M (t )   0 H (t ) ,
(2)


где E (t ), H (t ) – векторы напряженности электрического и магнитного полей;


M (t ) – вектор намагниченности среды; B (t ) – вектор магнитной индукции;


H эф (t ) – суммарное эффективное поле, включающее H q (t ) – поле
обменного взаимодействия;  – оператор Лапласа;  – относительная
диэлектрическая проницаемость среды;  – электропроводность среды; 0 ,
0 – электрическая и магнитная постоянные;  – гиромагнитное отношение;
r – частота релаксации; 0 – статическая восприимчивость; q – константа
обменного взаимодействия.
Система уравнений Максвелла (2) совместно с уравнением ЛандауЛифшица (1) с учетом обменного взаимодействия дополняется электродинамическими граничными условиями и условиями неасимптотического излучения.
В работе [2] разработана математическая модель распространения электромагнитных волн в гиромагнитных наноструктурированных средах, базирующаяся на решении краевой задачи для уравнений Максвелла (2) совместно с уравнением движения намагниченности в форме Ландау-Лифшица (1)
с учетом поля обменного взаимодействия. Краевая задача решена на основе
декомпозиционного подхода с использованием в качестве базового элемента
автономного блока (АБ) в виде прямоугольного параллелепипеда с магнитными нановключениями и каналами Флоке [3].
В работе [2] показано, что наноструктурированная среда на основе периодической решетки ферромагнитных металлических наночастиц в немагнитной диэлектрической матрице (рис. 1) ведет себя как гиромагнитная среда
с тензором эффективной магнитной проницаемости

   i
0 




   i
 0 


0
0 z 


(3)
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
и относительной эффективной диэлектрической проницаемостью  , при
r
 0, 2 (расстоянии
a
между наносферами d  5r ), где r – радиус наносфер (r = 150 нм), a – период
решетки. На основе разработанной методики [2] были рассчитаны значения

компонентов тензора эффективной магнитной проницаемости  и эффекплотности упаковки ячейки периодической нанорешетки
тивной диэлектрической проницаемости  из уравнений для постоянных
распространения продольных и поперечных волн в трехмерной периодической решетке ферромагнитных наносфер. При этом постоянные распространения были получены из решения краевой электродинамической задачи без
упрощения уравнений и граничных условий.
a
 
H
EE ,,H
k
y
S4
b
S3
x
S5
S2
S6
S1
а)
б)
в)
Рис. 1 Модель наноструктурированной гиромагнитной среды на основе решетки маг
нитных наночастиц: а – направление распространения волнового процесса z0 ;
б – трехмерная периодическая решетка ферромагнитных наносфер;
в – моделирование ячейки АБ с каналами Флоке
Однако вычислительный алгоритм решения краевой задачи для уравнений Максвелла (2) совместно с Ландау-Лифшица с учетом обменного взаимодействия (1) достаточно сложный [3], поэтому возможны ошибки на этапах
разработки и создания алгоритма. Определенные гарантии достоверности результатов математического моделирования может дать лишь тестовая задача,
имеющая аналитическое решение. Сформулируем такую задачу и решим ее.
2 Ферромагнитный резонанс в сплошной гиромагнитной среде и решетке
ферромагнитных металлических наносфер. Тестовая задача
Рассмотрим свободную прецессию намагниченности в неограниченной
гиромагнитной среде, исходя из уравнения движения намагниченности (1).
Рассматривая вынужденную прецессию с учетом потерь, получим из (1), если
пренебречь малыми величинами второго порядка, следующую систему уравнений:
(i  r ) M x  H M y  M 0 H y  r 0 H x ,
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
H M x  (i  r ) M y  M 0 H x  r 0 H y ,
(i  r ) M z  r 0 H z ,
(4)
M0
– статическая магнитная восH0
приимчивость; r  H 0 – частота релаксации; H  H 0 – частота ферромагнитного резонанса. Собственная частота прецессии намагниченности является комплексной и равна 0  H  ir .
Решая систему линейных алгебраических уравнений (4), определяем
компоненты тензора магнитной восприимчивости [1]:
где  – гиромагнитное отношение; 0 
  0
2rr  ir
;
2rr  2  i 2rr
  0
2rr
H
 2  i 2rr
 z  0
(5)
;
(6)
r
,
i  r
(7)
где rr  2H  r2 – резонансная частота.
Разделяя вещественные и мнимые части (5), (6) и (7), получаем:
2
2 (2  2 )  22 r2
rr (rr
 2 )
    i  0 rr rr
 i 0
;
2
(2rr  2 ) 2  42 r2
(rr
 2 ) 2  42r2
    i  0
2
H (rr
 2 )
(2rr  2 ) 2  42r2
 i 0
22 r H
2
(rr
 2 ) 2  42r2
;
(8)
(9)
r2
 r
.
(10)
 z  z  iz  0
 i 0
2
2
  r
2  r2

Компоненты тензора магнитной проницаемости  определяются следующим образом:
    i  (1  4)  i (4),
    i  (4 )  i (4 ),
 z  z  iz  (1  4z )  i (4z ).
(11)
Результаты расчетов компонентов тензора магнитной проницаемости

 по формулам (11) хорошо согласуются с результатами эксперимента [1]
при намагничивании ферромагнитного материала до насыщения. Компонен
M
ты тензора  в (11) зависят от величины 0  0 (статическая магнитная
H0
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
восприимчивость). Провести
сравнение значений компонентов тензора маг
нитной проницаемости  сплошной ферромагнитной среды, рассчитанных
по формулам (11), с вычисленными при помощи разработанного алгоритма
значениями компонентов тензора эффективной магнитной проницаемости

 наноструктурированной гиромагнитной среды затруднительно, т.к. вычислительный алгоритм не позволяет проводить расчеты эффективной статической восприимчивости 0 для магнитного наноматериала.
Поэтому сравнение результатов вычислений при помощи разработанного алгоритма с аналитическими расчетами по известным формулам проведем по совпадению частот ферромагнитного резонанса в сплошной гиромагнитной среде и наноструктурированной среде (магнитном наноматериале),
что не требует знания численного значения эффективной статической магнитной восприимчивости 0 .
Такое сравнение возможно лишь для случая наноструктурированной
среды на основе решетки магнитных наносфер, т.к. только в этом случае сферической геометрии наночастиц собственная частота однородного типа колебаний намагниченности ферритовой сферы [1]
o  H 0 ,
(причем как уединенной ферритовой сферы, так и системы магнитных наночастиц [4, 5]), совпадает с частотой прецессии намагниченности (частотой
ферромагнитного резонанса)
H  H 0
в неограниченной ферромагнитной среде [1].
3 Результаты математического моделирования явления ферромагнитного
резонанса в решетке ферромагнитных металлических наносфер
На графике (рис. 2) показана рассчитанная зависимость действительных и мнимых частей компоненты  тензора эффективной магнитной про
ницаемости  наноструктурированной среды на основе решетки ферромагнитных (железо) наносфер (рис. 1) (r/a = 2) от постоянного поля намагничивания H 0 на частоте f  9,375 ГГц .
Постоянные распространения электромагнитных волн, распространяющихся в трехмерной периодической решетке (  x   y  90 ;  z  0 ;
a  b  c , рис. 1) ферромагнитных наносфер, рассчитаны при помощи разработанного вычислительного алгоритма методом АБ с магнитными нановключениями и каналами Флоке.
Электродинамический расчет проведен при следующих параметрах
магнитного наноматериала: ферромагнитные металлические наносферы радиусом r = 150 нм (материал наночастиц – железо, константа обменного взаимодействия 0 q  2, 2  109 Э  см 2 ; проводимость   1,03  105 Ом 1  см 1 ; параметр диссипации r  0,0023 H 0 , α = 0,0023 [1]; намагниченность насы-
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
щения 4M 0  21580 Гс ) находятся в немагнитной матрице – диэлектрической среде с относительными диэлектрической и магнитной проницаемостями v  2, 25, v  1 .
Рис. 2 Ферромагнитный резонанс в наноструктурированной гиромагнитной среде
на основе решетки ферромагнитных (железо) наносфер: кривая 1 – действительная
r
часть  ; кривая 2 – мнимая часть  ; r = 150 нм;  0, 2 ; f  9,375 ГГц
a
На графике (рис. 3) показана теоретическая зависимость (параметры
феррита взяты из эксперимента) [1] действительных и мнимых частей компо
ненты  тензора магнитной проницаемости  сплошной ферромагнитной
среды (намагниченность насыщения M 0  160 Гс , магнитные потери
α = 0,025 [1], для H0 = 3330 Э на частоте f  9,375 ГГц ) от постоянного поля
намагничивания H 0 .
Из графиков на рис. 2 и 3 следует, что совпадение частот ферромагнитного резонанса наблюдается при постоянном поле намагничивания
H 0  3330 Э . Ход кривых на графиках (рис. 2, 3) качественно совпадает, хотя
численные значения действительных и мнимых частей компонентов  и 
различны.
На частоте ферромагнитного резонанса действительные и мнимые час
ти компонентов тензора магнитной проницаемости  из (11) равны [1]:


    i  (1  20 )  i  20 rr
r


 
    i  0  i  20 H  .
r 


,

(12)
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

6
2
1
4
2
0
3000
3500
4000
H0 , Э
–2
Рис. 3 Ферромагнитный резонанс в сплошной ферромагнитной среде [1]:
кривая 1 – действительная часть  ; кривая 2 – мнимая часть  ;
M 0  160 Гс ; f  9,375 ГГц ; r  3  109
Используя формулы (12) и вычисленные значения действительных и
мнимых частей компонентов тензора эффективной магнитной проницаемости

 (3) (рис. 2), можно сделать оценку ширины кривой ферромагнитного резонанса, определяющей магнитные потери магнитного наноматериала и эффективную намагниченность магнитной нанорешетки.
Из электродинамического расчета, результаты которого представлены
на рис. 2, следует, что наноструктурированная гиромагнитная среда имеет
более узкую ширину кривой ферромагнитного резонанса, чем сплошная ферромагнитная среда (рис. 3).
Неоднородное магнитное поле в магнитной нанорешетке (эффективная
намагниченность магнитной нанорешетки M 0  1709 Гс ) имеет величину
порядка магнитного момента насыщения ферромагнетика (намагниченность
насыщения 4M 0  21580 Гс ) и масштаб изменения, определяемый периодом
решетки a.
Узкая ширина кривой ферромагнитного резонанса (малые магнитные
потери) и большие значения напряженности магнитного поля в нанорешетке
(порядка магнитного момента насыщения ферромагнетика) позволяют в перспективе создавать на основе таких магнитных наноматериалов параметрические усилители и генераторы с низким уровнем мощности накачки.
Как следует из результатов математического моделирования, магнитное поле наночастиц можно перестраивать путем перемагничивания всей решетки или отдельных ее частей внешним магнитным полем H 0 . Это свойство
решеток ферромагнитных наночастиц открывает новые возможности для
управления свойствами сред, высокочувствительных к магнитному полю, и
создавать магнитные фотонные кристаллы и устройства на их основе в микроволновом и терагерцовом диапазонах.
Список литературы
1. Г у р е в и ч , А . Г . Магнитные колебания и волны / А. Г. Гуревич, Г. А. Мелков. –
М. : Наука, 1994.
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
2. Г о л о в а н о в , О . А . Математическое моделирование и электродинамический
расчет эффективных параметров магнитных наноматериалов / О. А. Голованов,
Г. С. Макеева, М. В. Савченкова // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Технические науки. – 2008. – № 4. – С. 80–85.
3. Г о л о в а н о в О . А . Вычислительный алгоритм определения дескрипторов
автономных блоков с магнитными нановключениями и каналами Флоке /
О. А. Голованов, Г. С. Макеева, М. В. Савченкова // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. –
№ 2 (10). – C. 91–101.
4. М а к е е в а , Г . С . Анализ распространения и дифракции электромагнитных волн
в микроволновых магнитных наноструктурах / Г. С. Макеева, О. А. Голованов //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 1. – С. 110–121.
5. P a r d a v i- H o r v a t h , M . Nonlinear Phenomena in Magnetic Nanoparticle Systems at
Microwave Frequencies / M. Pardavi-Horvath. G. S. Makeeva, O. A. Golovanov //
IEEE Transaction on Magnetics. – 2008. – V. 44. – № 10. – Oct.
Макеева Галина Степановна
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра радиотехники
и радиоэлектронных систем, Пензенский
государственный университет
Makeeva Galina Stepanovna
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, sub-department of radio
engineering and radio-electronic systems,
Penza State University
E-mail: radiotech@pnzgu.ru
Голованов Олег Александрович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и начертательной геометрии,
Пензенский артиллерийский
инженерный институт им. Н. Н. Воронова
Golovanov Oleg Alexandrovich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of mathematics and descriptive geometry,
Penza Artillery and Military Engineering
Institute named after N. N. Voronov
E-mail: radiotech@pnzgu.ru
Савченкова Мира Викторовна
инженер, Пензенский государственный
университет архитектуры и строительства
Savchenkova Mira Viktorovna
Engineer, Penza State University
of Architecture and Construction
E-mail: mira1965@mail.ru
УДК 537.874.6
Макеева, Г. С.
Электродинамический расчет ферромагнитного резонанса в магнитных композитных наноматериалах на основе решеток ферромагнитных наносфер / Г. С. Макеева, О. А. Голованов, М. В. Савченкова // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 102–109.
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 538.945
И. И. Амелин
РОЛЬ РАЗЛИЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ МОНОКРИСТАЛЛА
CuO В СВЕРХПРОВОДИМОСТИ ИНТЕРФЕЙСА CuO–Cu
Аннотация. В приближении Шубина-Вонсовского сделан анализ свойств
сверхпроводящего состояния в интерфейсе CuO–Cu в зависимости от напыления атомов Cu на xz-, yz-, xy-грани монокристалла CuO. Показано, что наибольшее значение критической температуры Tc  300K можно получить с помощью напыления атомов Cu на yz-грань. При напылении атомов Cu на другие
грани возможно СП-состояние с небольшими значениями Tc  10 K.
Ключевые слова: комнатнотемпературные сверхпроводники, интерфейс, кулоновский интеграл, зарядовое упорядочение, Бозе-жидкость.
Abstract. The analysis of superconducting states in the interface CuO-Cu depending
on the spraying of Cu atoms on the xz, yz, xy faces of monocrystal CuO is done in
the Shubin-Vonsovskiy approximation. It is shown that the highest value of critical
temperature Tc > 300 K can be obtained using the spraying of atoms on the yz face.
The spraying of Cu atoms on the other faces leads to the superconducting states with
the small values of Tc ~10 K.
Keywords: Indoor-temperature, superconductors, the interface, the Coulomb Integral, the Charge Ordering, the Boze-liquid.
В металлах и соединениях типа BaPbBiO3, NbN и MoN критическая
температура Tc порядка 1–16 К. Данные сверхпроводники имеют трехмерную
кристаллическую решетку.
В 1986 г. были открыты высокотемпературные сверхпроводники
(ВТСП) с высокой Tc порядка 100 K. Исследования показали, что ВТСП имеют слоистую кристаллическую решетку. Именно поэтому ВТСП являются
сильно анизотропными металлами и имеют большие Tc. Основным токонесущим элементом в ВТСП является CuO2-плоскость. Многие теоретические
работы, объясняющие механизм образования сверхпроводимости ВТСП, не
учитывают фактор слоистости новых веществ. В серии работ [1–4] автором с
учетом слоистости ВТСП предложен механизм образования СП-состояния и
возможный путь получения комнатнотемпературных сверхпроводников.
Объяснены многие экспериментальные свойства ВТСП, в том числе и большие Tc  1000 K в интерфейсе CuO–Cu. Однако повторные эксперименты по
измерению параметров СП-состояния интерфейса CuO–Cu не дали положительных результатов. В работе показаны возможные причины данного несоответствия.
В приближении CNDO выполнены расчеты электронной структуры
кластера кристалла YBa2Cu3O6+δ [1]. Установлено, что гибридизированная
d-p-зона CuO2-плоскостей состоит из почти заполненной d-подзоны шириной
3 эВ и незаполненной p-подзоны полушириной B = 0,4 эВ. Рассчитанная структура зоны удовлетворительно согласуется с экспериментальными исследованиями. Показано выполнение в плоскостях условия Шубина-Вонсовского.
Данные условия являются причиной образования в анионной подсистеме
плоскостей волны зарядовой плотности (ВЗП). Не исключена возможность
образования ВЗП и в металлах M3C60, в которых B = 0,25 эВ и Tc  40K [5].
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
В 1934 г. С. П. Шубин и С. В. Вонсовский показали [6], что в узкой наполовину заполненной металлической зоне с одним электроном на центр при
выполнении условия
ZV > I,
(1)
где Z – число ближайших соседей; I – энергия электростатического взаимодействия двух коллективизированных (бывших валентных) электронов у одного узла кристаллической решетки и такая же энергия между двумя коллективизированными электронами V двух соседних узлов решетки, возникает
полярное состояние (именуемое в литературе как состояние с ВЗП) с параметром порядка m = 2. Параметр m равен разности электронной плотности на
соседних центрах. Значение m = 2 соответствует образованию в системе электронных пар малого радиуса.
В обычных металлах условие (1) выполняется при межцентровых расстояниях r0  2a0, где a0 – радиус Бора. Но, как показано в [2, 7], при таких r0
состояние с ВЗП не реализуется из-за наличия широкой зоны (большой кинетической энергии носителей). Однако условие (1) будет реализовано
в 2D-плоских системах в узкой зоне проводимости (наличие небольшого числа ближайших соседей) и уменьшенного значения параметра I анионной подсистемы. При незначительном уменьшении r0 происходит уширение зоны и
резкое уменьшение параметра m [7].
В работе [1] показано, что в кристалле YBa2Cu3O6+ с увеличением 
происходит рост t1 и уменьшение t, где t1 – число дырок в p-оболочке анионов
О, t – число дырок в d-оболочке катионов Cu в CuO2-плоскости. При увеличении  также происходит увеличение параметра m кислородной подсистемы
от значения m  0,37 до m  0,72. Наличие ВЗП в CuO2-плоскости подтверждено экспериментальными исследованиями [8]. С нашей точки зрения,
с учетом электрон-фононного взаимодействия (ЭФВ) в системе возможна достройка электронных пар небольшого размера.
В приближении Шубина-Вонсовского с учетом ЭФВ установлена колоколообразная зависимость энергии образования электронных пар:
E = kT*(δ)  E1m/2 + Tef,
(2)
где E1 = (ZV – I), Tef – вклад в энергию спаривания электронов от ЭФВ порядка 20 К. Сделаны оценки параметров V и I с учетом экранировки кулоновского взаимодействия в металлической CuO2-плоскости кристалла YBa2Cu3O6+.
Из расчетов следует [1], что T*(δ) ~ n(δ) = t1 + t, где n – число дырок в CuO2плоскости. С учетом данной оценки получено значение кулоновского псевдопотенциала μ* [4]. При наличии сильной электрон-фононной связи (λ ~ 0,5)
и электронной корреляции в электронном спаривании зависимость критической температуры Tc(δ) ~ n(δ) имеет колоколообразную зависимость, что
полностью соответствует экспериментальным исследованиям. Оценка температуры Tc кристалла YBa2Cu3O7 дает значение Tc ~ 100 K, что также соответствует экспериментальным данным. Вычислено отношение 2Δ/kTc  4,13,
которое подтверждает наличие эффекта сильного спаривания электронов.
В работе [9] исследованы температурные зависимости электропроводности и вольтамперные характеристики пленок Cu, нанесенных термическим
испарением на естественные грани монокристаллов CuO, как на подложку.
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В интерфейсе CuO–Cu зафиксирована большая Tc порядка 800–1100 K [10].
Однако повторные эксперименты по измерению электропроводности в интерфейсе не подтвердили наличие СП-состояния с большими Tc.
Анализируя работу [11], можно сделать вывод, что на поверхности антиферромагнитного полупроводника CuO, по-видимому, образуется двумерная парамагнитная решетка, состоящая из Cu2+ и O2– ионов. В работе [3] показано, что, по всей вероятности, при напылении Cu на поверхности окиси меди
двумерная решетка CuO состоит из Cu2+ и O1– ионов и имеет узкую частично
заполненную зону. В этом случае в кислородной подсистеме плоскости при
выполнении условия (1) возможно образование электронных пар малого размера. В данном приближении оценка температуры образования пар дает значение T* ~ 104 K. При концентрации пар в интерфейсном слое n ~ 1,61020 см–3
и эффективной массе носителей (дырок) m* ~ me температура начала бозеэйнштейновской конденсации может иметь значение Tс ~ 103 K. Полученная
оценка температуры Tс по порядку величины соответствует экспериментальному значению. Рассмотрим возможные причины повторных экспериментов,
которые не подтвердили наличие СП-состояния с Tс ~ 103 K.
Оксид CuO принадлежит к структурному типу тенорита, который представляет собой моноклинно искаженный тип структуры NaCl. Параметры
ячейки равны: a = 4,684, b = 3,425, c = 5,129 Å, β = 99,46 [12]. В xy-плоскости
межъядерные расстояния будут равны: вдоль оси x Rx = 2,342 Å, вдоль оси y
Ry = 1,712 Å. Вдоль оси z можно положить Rz = 2,564 Å. Анионы кислорода
в плоскостях будут иметь четыре соседних иона Cu.
Анализируя межъядерные расстояния кристалла CuO, можно прийти
к выводу, что поверхность кристалла, имеющая xz-грань, должна иметь самую
узкую гибридизированную зону ΔExz. Зона ΔEyz (поверхность CuO – yz-грани)
должна быть шире зоны ΔExz, но уже зоны плоскости ΔExy, т.е. ΔExz < ΔEyz <
< ΔExy. Таким образом, из вышеизложенного следует, что при напылении меди на поверхности CuO, которые могут быть xz-, yz- или xy-гранями, возможны совершенно различные механизмы СП-состояния и, соответственно, различные температуры Tc.
В приближении Шубина-Вонсовского по формуле (2) сделаем оценку
энергии kT* = E в различных гранях, взяв их в качестве поверхности монокристалла CuO. Такая оценка энергии без Tef сделана в [3], предполагая t1 = 1,
t = 1 и m = 2 в кислородной подсистеме xy-грани. В плоскостях каждый анион
O–1 окружен четырьмя ионами Cu2+. Оценка дает значение T*xy = Exy ~
~ 16103 K. Вычисляя подобным образом, получим значение для yz-плоскости
T*yz = Eyz ~ 13103 K. Аналогичные расчеты для плоскости xz показывают, что
условие (1) не выполняется. В плоскости xy параметр m может иметь небольшое значение.
Сравнивая Cu–O расстояния в xy- и yz-плоскостях, можно сделать вывод, что в плоскости yz гибридизированная CuO-зона поверхности будет более узкой по сравнению с зоной xy-плоскости. А это может привести к увеличению параметра m (в предельном случае до m = 2) в несколько раз в
yz-плоскости [2, 7] по сравнению с m плоскости xy и, соответственно, к резкому увеличению T*. Возможно также, что в плоскости xy параметр m ~ 0, а
в плоскости yz m > 0. В этом случае в плоскостях xy и xz интерфейса возможно
образование СП-состояния с помощью ЭФВ с Tc ~ 10 K, а в плоскости yz при
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
m = 0,2 возможно значение T* ~ 1300 K и сверхпроводимость с зафиксированной в экспериментах температурой Tc > 300 K. Конкретные ответы на поставленные в работе вопросы даст расчет электронной структуры интерфейса
CuO–Cu. Однако в настоящее время такие расчеты пока невозможны.
Анализируя результаты работы, можно сделать следующие выводы:
1. Высокие Tc при повторных экспериментах, аналогичных работам [9–
11], по-видимому, не получились из-за того, что атомы Cu напылялись на поверхность монокристалла CuO, которая представляла собой xz- или xy-грань.
2. В случае напыления атомов Cu на грань xz CuO СП-состояние с
Tc > 300 K в интерфейсе должно отсутствовать. При напылении Cu на грань
xy в интерфейсе CuO–Cu должен быть сверхпроводящий слой с Tc, гораздо
меньшей 300 K. Возможно, что в данном слое механизм образования
СП-состояния с Tc ~ 10 K связан с узкой зоной проводимости, параметром
m ~ 0 при участии ЭФВ. Аналогичная ситуация может быть и в плоскости xz
интерфейса CuO–Cu.
3. В случае напыления атомов Cu на плоскость yz CuO в интерфейсе
CuO–Cu поверхность yz, по-видимому, должна иметь более узкую гибридизированную зону проводимости по сравнению с зоной проводимости поверхности xy и, соответственно, параметр m > 0 ВЗП. Это вызовет увеличение
температур T* и Tc, т.е. в плоскости yz интерфейса CuO–Cu будем иметь, по
всей вероятности, зафиксированную в работах [9–11] температуру Tc > 300 K.
Список литературы
1. А м е л и н И . И . // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. –
1999. – Т. 70 (1). – С. 24.
2. А м е л и н И . И . // Журнал физической химии. – 1999. – Т. 73 (12). – С. 2274.
3. А м е л и н И . И . // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. –
2002. – Т. 76 (3). – С. 219.
4. А м е л и н И . И . // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. –
2003. – Т. 77 (3). – С. 159.
5. G u n n a r s s o n O . // Review Modern Physic. – 1997. – V. 69. – P. 575.
6. S h u b i n S . P . , V o n s o v s k i i S . V . // Proc. Roy. Soc. – 1934. – V. 145. – P. 159.
7. I o n o v S . P . , A m e l i n I . I . , L u b i m o v V . S . [et al.] // Physica Status Solidi (b). –
1976. – V. 77. – P. 441.
8. M c Q u e e n e y R . J . , P e t r o v Y . , Eg a m i T. [et al.] // Physical Review Letters. –
1999. – V. 8 (3). – P. 628.
9. Осипов В. В., Самохвалов А. А. // Физика металлов и металловедение. – 2000. –
Т. 89. – С. 43.
10. О с и п о в В. В. , К о ч е в И . В. , Н а у м о в С . В. // Журнал экспериментальной
и теоретической физики. – 2001. – Т. 120. – С. 1246.
11. А р б у з о в а Т. И . , Н а у м о в С . В. , С а м о х в а л о в А . А . [и др.] // Физика
твердого тела. – 2001. – Т. 43. – С. 846.
12. Л а з а р е в , В. Б. Химические и физические свойства простых оксидов металлов /
В. Б. Лазарев, В. В. Соболев, И. С. Шаплыгин. – М. : Наука, 1983.
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Амелин Иван Иванович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра теоретической физики,
Мордовский государственный
университет им. Н. П. Огарева
(г. Саранск)
Amelin Ivan Ivanovich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of theoretical physics,
Mordovia State University
named after N. P. Ogeryev (Saransk)
E-mail: theorphysics@mrsu.ru
УДК 538.945
Амелин, И. И.
Роль различных поверхностей монокристалла CuO в сверхпроводимости интерфейса CuO–Cu / И. И. Амелин // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. –
№ 2 (10). – С. 110–114.
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
УДК 517.9 + 536.212
В. Ю. Тимофеев, А. А. Зайцев
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ В СЛОЖНЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ СРЕДСТВАМИ САПР
Аннотация. Рассматривается моделирование теплопередачи в системах со
сложными граничными условиями. Приведены примеры моделей, разработанные авторами, со статическими и динамическими граничными условиями, выполненные с помощью современных средств моделирования, а также их влияние на прочностные параметры изделий.
Ключевые слова: моделирование систем, сложные граничные условия.
Abstract. We describe heat transfer modeling of systems with complex boundary
conditions. Described examples of models with static and dynamic boundary conditions designed with CAE. All models created by authors.
Keywords: modeling of systems, complex boundary conditions.
Современные изделия предъявляют все более жесткие требования
к прочности, износостойкости, долговечности и, не в последнюю очередь,
к материалоемкости и массе изделий. В условиях жесткой конкуренции не
всегда возможно проведение натурных испытаний, как из-за сжатых сроков,
так и из-за отсутствия материальной базы. В таких условиях математическое
моделирование начинает играть очень важную роль, выступая в качестве
средства оптимизации и прогнозирования.
В процессе проектирования можно построить математическую модель
детали и просчитать все нагрузки и напряжения, возникающие в процессе
эксплуатации. При этом производится оптимизация геометрии изделия: на
участках с низкой нагрузкой с целью экономии материала и уменьшения массы делаются технологические отверстия или уменьшается толщина материала. В местах, испытывающих сильную деформацию и высокую степень нагружения, напротив, добавляются ребра жесткости и увеличивается толщина.
Однако процесс проектирования не ограничивается конструкторской
деятельностью – на параметры изделия очень сильно влияет технология его
изготовления и применяемый инструмент.
В условиях автоматизированного малолюдного производства надежное
функционирование станков с ЧПУ возможно только при применении систем
диагностирования, которые осуществляют контроль работы основных элементов оборудования. Одним из элементов, ограничивающих надежность
работы станка с ЧПУ, является режущий инструмент. Его неконтролируемый
предельный износ или поломка могут привести к браку изделия и разрушению узлов станка. В связи с этим моделирование технологических процессов
и выбор оптимальных режимов резания приобретают очень большое значение, особенно для прецизионной обработки, предъявляющей жесткие требования к режущему инструменту [1].
Однако традиционная реализация средств математического моделирования с помощью языков программирования высокого уровня (Fortran, C++)
или математических САПР, таких как MathCAD, MATLAB и Maple оправдывает себя только при решении или очень простых, или, наоборот, очень спе-
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
цифических задач. Вызвано это тем, что трудозатраты растут в геометрической прогрессии при усложнении задачи.
Выходом из данной ситуации является применение Computer Assisted
Engineering (CAE) – систем автоматического проектирования, специально
предназначенных для решения инженерных задач, связанных с прочностью,
деформациями, разрушением, теплообменом и другими областями расчетов [2].
Почти все специализированные САПР используют метод конечных
элементов (МКЭ) – численный метод решения задач прикладной механики,
широко используемый для решения задач механики деформируемого твердого тела, теплообмена, гидродинамики и электромагнитных полей. С точки
зрения вычислительной математики идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей
подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его
как одну из конкретных ветвей диакоптики – общего метода исследования
систем путем их расчленения [3].
Расчет комбинированного воздействия – температуры и механических
напряжений – очень важен для узлов и деталей, работающих в сложных условиях. При больших приложенных усилиях и нагреве в металле возникают явления ползучести и текучести. Модель Джонсона-Кука описывает пластические напряжения, возникающие в материале, как функцию величины деформации, интенсивности деформаций и температуры, определяемую уравнением (1) [4].
      T  Tн
n

   A  B     1  C  ln    1  


 
 0     Tпл  Tком



m
,


(1)
где A, B, C, n и m – коэффициенты;  – эквивалентное пластическое напряжение;  – скорость деформации; 0 – начальная скорость деформации; Т –
температура; Т пл – температура плавления; Т н – начальная температура.
Тела вращения, имеющие сложную форму и технологические отверстия
для крепления, вентиляции и т.д., являются типовыми и могут применяться
во многих изделиях, в частности, это может быть крышка с отверстиями для
болтов. В процессе работы может возникнуть ситуация, когда деталь будет
нагреваться неравномерно, создавая недопустимые механические напряжения
и деформации.
Первым этапом является построение геометрической модели и разбиение на конечные элементы (КЭ) (рис. 1).
Предположительно, отверстия будут являться концентраторами напряжений, поэтому возле них требуется задать сгущение сетки КЭ для более
точного расчета.
Так как в нормальном состоянии крышка закреплена болтами, то одним
из граничных условий будет фиксация перемещения внутренних поверхностей отверстий по осям x, y и z. Вторым граничным условием будет наличие
источника тепла с температурой 800 °С (рис. 2).
Следующим шагом будет определение параметров материала крышки.
В качестве материала возьмем сталь 45, распространенный конструкционный
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
материал. В данном случае модель стали будет гомогенной и изотропной, со
следующими характеристиками:
Коэффициент теплового расширения α (мкм/м·°С)…………………….11
Плотность (кг/м3)……………………………………………………….7800
Коэффициент Пуассона…………………………………………………..0,3
Теплоемкость (Дж/Кг/°С)……………………………………………..432,6
Теплопроводность (Вт/м·°С)…………..….……..……….…….………47,7
Модуль Юнга (ГПа)……………………………………………………...200
Рис. 1 Разбиение модели на КЭ
Рис. 2 Механические и тепловые граничные условия
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Для выбранного материала коэффициенты в формуле (1) будут принимать следующие значения: A = 551,3 МПа; В = 600,8 МПа; n = 0,234; C = 0,013;
m = 1.
Примем время моделирования 10 с: за это время успеет прогреться
только часть крышки и механические напряжения, вызванные градиентом
температур, будут максимальными.
Результат расчета показан на рис. 3, 4. Крышка показана в разрезе
с учетом деформаций.
Рис. 3 Распределение теплового поля в теле крышки
Рис. 4 Распределение напряжений в теле крышки
Из рис. 4 хорошо видно, что отверстия для болтов являются, как и
предполагалось, концентраторами напряжений: величина напряжений в них
достигает 3,189 ГПа, в то время как предел прочности стали 45 составляет
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
0,6 ГПа. Таким образом, с помощью модели удалось установить, что прочность детали при данном типе нагрева недостаточна.
Однако для определения параметров прочности и износостойкости требуется учитывать и технологические процессы, применяемые при изготовлении. Например, перегрев режущего инструмента может приводить к его повышенному износу, и, как следствие, отклонению параметров обрабатываемых поверхностей от заданных. Неоптимальный выбор параметров резания
может вызвать недопустимую деформацию детали в процессе обработки, появление микротрещин и т.д., поэтому следующей задачей явилось построение
модели механической обработки металла резанием.
При моделировании резания металлов деформации и их интенсивность
могут достигать очень больших значений, при этом всегда требуется учитывать как пластическую, так и упругую составляющие.
Авторами было проведено исследование зависимости ЭДС естественной термопары сверло–деталь от износа режущего инструмента. Для подтверждения теоретических выкладок были проведены натурные эксперименты и построена математическая модель сверления цилиндрической заготовки
(рис. 5) [6] .
Рис. 5 Модель сверления цилиндрической заготовки
При построении данной модели были учтены следующие граничные
условия: тепловой поток возникает при упругопластической деформации металла заготовки и трении стружки о переднюю режущую поверхность сверла.
Напряжение, возникающее при пластической деформации металла, является функцией деформации  , интенсивности деформации  и температуры Т. Металл начинает деформироваться пластически, когда возникающее
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
напряжение начинает превышать величину ползучести или текучести (критерий Губера-Мизеса) [7].
Для расчета пластического напряжения в сталях наиболее точные результаты дает табличный метод, основанный на экспериментальных данных:
     ,  ,T  .
На рис. 6 представлены зависимости пластического напряжения от деформации и температуры при разных значениях интенсивности деформаций [8].


Рис. 6 Зависимость пластического напряжения от деформации при   1
Теплопередача при обработке металлов резанием осуществляется как
между инструментом и материалом заготовки, так и между передней режущей поверхностью и стружкой, причем количество тепла, отдаваемое
в стружку, может превышать отдачу в тело заготовки в несколько раз.
Стружка же, в свою очередь, охлаждается посредством конвекции, и ее
температура снижается по мере удаления от зоны резания, что хорошо видно
на рис. 5.
В процессе металлообработки тепловые потоки не являются стационарными: стружка, через которую происходит значительный теплоперенос,
постоянно скалывается и деформируется. Геометрия контактирующих поверхностей изменяется при врезании инструмента, изменяя тем самым условия теплопередачи. Теплоемкость и теплопроводность как самого инструмента, так и обрабатываемой детали нелинейно зависят от температуры.
Таким образом, линейная задача теплопередачи при наложении сложных граничных условий приобретает значительную нелинейность.
Результаты моделирования представлены на рис. 7, 8.
Из графика на рис. 7 видно, что максимальная температура на режущей
кромке сверла составляет 192 °С, что является допустимым для инструментальной стали Р6М5.
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
Рис. 7 Распределение теплового поля по режущей кромке
и передней режущей поверхности сверла
Рис. 8 Распределение теплового поля в теле сверла
на расстоянии 2 мм от оси вращения
Данные, полученные с помощью математического моделирования, достаточно точно совпадают с экспериментальными [9].
Основным преимуществом данного метода, по сравнению с традиционными, такими как моделирование с помощью языков программирования
высокого уровня и математическими САПР, является радикальное уменьшение трудозатрат и сокращение времени, требующегося для проектирования.
Список литературы
1 Т и м о фе е в , В. Ю . Неразрушающая диагностика металлорежущего инструмента методом измерения сигнала термоЭДС / В. Ю. Тимофеев, А. А. Зайцев // Тео-
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2
3
4
5
6
7
8
9
рия и практика производства листового проката : сборник научных трудов. Ч. 2. –
Липецк : Изд-во ЛГТУ, 2008. – С. 231–237.
Ли , К . Основы САПР (CAD, CAM, CAE) / К. Ли. – СПб. : Питер, 2004. – 560 с.
Г а л л а г е р , Р . Метод конечных элементов. Основы : пер. с англ. / Р. Галлагер. –
М. : Мир, 1984. – 428 с.
J o h n s o n , G . R . A constitutive model and data for metals subjected to large strains,
high strain rates and high temperatures / G. R. Johnson, W. H. Cook // Proceedings of the
7th International Symposium on Ballistics. – Hague, Netherlands, 1983. – Р. 541–547.
Abaqus Analysis User's Manual. – Dassault Systèmes, 2008.
Т и м о фе е в , В. Ю . Исследование изменения термоЭДС резания в процессе износа инструмента / В. Ю. Тимофеев, А. А. Зайцев // Необратимые процессы
в природе и технике : сборник научных трудов. Ч. 2. – М. : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2009. – С. 220–223.
В а рд а н я н , Г . С . Сопротивление материалов с основами теории упругости и
пластичности / Г. С. Варданян, В. И. Андреев, Н. М. Атаров, А. А. Горшков. –
М. : АСВ, 1993. – 573 с.
E c k a r t , D . Fließkurvenatlas metallischer Werkstoffe / D oege Eckart, Heinz MeyerNolkemper, Imtiaz Saaed. – München : Hanser, 1986. – 224 c.
Р е з н и к о в , А . Н . Теплофизика резания / А. Н. Резников. – М. : Машиностроение, 1969. – 288 с.
Тимофеев Василий Юрьевич
аспирант, Елецкий государственный
университет им. И. А. Бунина
Timofeev Vasily Yuryevich
Postgraduate student,
Eletsk State University
named after I. A. Bunin
E-mail: zaitsev@elsu.ru
Зайцев Андрей Анатольевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, проректор, Елецкий
государственный университет
им. И. А. Бунина
Zaytsev Andrey Anatolyevich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor, vice rector,
Eletsk State University
named after I. A. Bunin
E-mail: zaitsev@elsu.ru
УДК 517.9 + 536.212
Тимофеев, В. Ю.
Моделирование тепловых полей в сложных динамических системах средствами САПР / В. Ю. Тимофеев, А. А. Зайцев // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2009. – № 2 (10). – С. 115–122.
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
УДК 539.2:541.117
В. Ч. Жуковский, О. Н. Горшков, В. Д. Кревчик,
М. Б. Семенов, Ю. Г. Смирнов, Е. В. Чупрунов,
В. А. Рудин, Н. Ю. Скибицкая, П. В. Кревчик, Д. О. Филатов,
Д. А. Антонов, М. А. Лапшина, М. Е. Шенина, К. Ямамото
ОСОБЕННОСТИ ДВУМЕРНЫХ ТУННЕЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЙ
В УСЛОВИЯХ ВНЕШНЕГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ1
Аннотация. Исследуется проблема управляемости двумерного диссипативного
туннелирования в системе «игла кантилевера АСМ/СТМ – квантовая точка»,
моделируемой 2D-осцилляторным потенциалом, взаимодействующим с термостатом, во внешнем электрическом поле. Методом инстантонов рассчитана вероятность 2D-туннельного переноса и исследована ее зависимость от величины
внешнего электрического поля. Полученные зависимости качественно соответствуют отдельным экспериментальным ВАХ для системы «платинированная игла кантилевера АСМ/СТМ – квантовая точка из золота», полученным в НИФТИ
при ННГУ им. Н. И. Лобачевского. Экспериментально наблюдаемыми и устойчивыми оказываются предсказанные ранее 2D-туннельные бифуркации с диссипацией для случая параллельно туннелирующих взаимодействующих частиц.
Ключевые слова: диссипативное туннелирование, двумерные бифуркации,
квантовые точки.
Abstract. Controllability problem for two-dimensional dissipative tunneling in system of «the AFM/STM cantilever tip – quantum dot», simulated by 2D oscillator
potential in a heat bath and external electric field, has been investigated. The 2D
tunnel transfer probability dependence on external electric field has been calculated
in frames of instanton approximation. Obtained results are qualitatively corresponded to separate experimental VACs for system «platinized cantilever tip –
golden quantum dot», which have been obtained in N. Novgorod State University.
Earlier predicted 2D tunnel bifurcations with dissipation for case of parallel tunneling interacting particles are found as experimentally observed and stable ones.
Keywords: dissipative tunneling, 2d-bifurcations, quantum dots.
Настоящая работа посвящена теоретическому исследованию влияния
внешнего электрического поля на наблюдаемые характеристики 2D-диссипативного туннелирования для металлических квантовых точек (КТ) в системе
совмещенного АСМ/СТМ. Актуальность данного исследования обусловлена
тем, что проведенные теоретические расчеты предлагают практически значимые механизмы управления для экспериментально реализуемых структур
с туннельно связанными квантовыми точками (КТ) и квантовыми молекулами (КМ) в системе совмещенного АСМ/СТМ, что является существенным
для целей современной наноэлектроники с управляемыми характеристиками.
Этим обусловлена и практическая значимость выполненного исследования.
Впервые существование 2D-туннельных бифуркаций было предсказано
в работе Ю. Н. Овчинникова и Б. И. Ивлева [1] для систем взаимодействую1
Данная работа выполнена при частичной поддержке гранта Минобрнауки РФ по
ФЦП «Развитие потенциала высшей школы» № 2.1.1/1647, а также в рамках тематического плана проведения фундаментальных научных исследований по заданию Рособразования, № 1.15.09.
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
щих контактов Джозефсона. Был предсказан эффект излома на температурной или токовой зависимости вероятности распада в окрестности точки бифуркации. Однако, как предполагалось, соответствующая температурная область могла оказаться узкой для детального экспериментального изучения.
Соответствующая особенность вероятнее всего замывалась флуктуациями.
Несколько позднее в работе Ю. И. Дахновского и М. Б. Семенова [2] неустойчивый эффект 2D-туннельных бифуркаций изучался для антипараллельного переноса в системах типа порфиринов (или на примере димеров
7-азаиндола). В работе коллектива авторов [3] исследована тонкая структура
2D-туннельных бифуркаций с диссипацией при параллельном и антипараллельном переносе частиц. Было показано, что в случае параллельного переноса туннелирующих частиц в асимметричном осцилляторном потенциале
в точке бифуркации может наблюдаться устойчивый излом на зависимости
вероятности туннелирования от температуры, а также режим квантовых биений в окрестности точки бифуркации. В. А. Бендерский, Е. И. Кац и соавторы
[4] исследовали конкурирующие туннельные траектории в 2D-потенциале
с варьируемой топологией как модель для квантовых бифуркаций. В последние годы процессы туннелирования вызывают особый интерес исследователей структур с квантовыми точками и квантовыми молекулами, что во многом связано с возможностями современных нанотехнологий [5–15].
Многие из отмеченных систем рассматриваются с позиций инстантонного подхода. Вычисление константы туннелирования, основанное на инстантонном приближении, делает все перечисленные явления в некотором
смысле «подобными». В химических реакциях константа скорости предполагает экспоненциальную эволюцию для вероятности переноса, тогда как в электронных приборах константа скорости определяет туннельный ток. В работе
Ю. Н. Овчинникова [9] было показано, что проводимость гранулированных
металлических пленок связана с процессами туннелирования между соседними гранулами, а также, что взаимодействие с термостатом, обеспечивающее
реальный переход в состояния, локализованные в «соседнем» кластере, достаточно мало. Таким образом, характеристики туннельного тока в изучаемых
системах можно рассматривать в пределе сравнительно «слабой» диссипации,
но достаточной для обеспечения «распадности» двухъямного осцилляторного
потенциала, используемого в предлагаемой модели. Кроме того, существенный вклад в туннельный ток может внести вероятность туннелирования, оцененная с точностью до предэкспоненциального фактора в работе [15]. На рис. 1
представлена экспериментальная схема исследований и одна из вольт-амперных характеристик, полученная экспериментальной группой (О. Н. Горшков,
Д. О. Филатов и др.) в НИФТИ при ННГУ им. Н. И. Лобачевского.
Одной из характерных особенностей ВАХ, приведенной на рис. 1, является резкий излом, наблюдаемый при положительных напряжениях, который, как мы предполагаем, обусловлен сменой режима туннелирования по
параллельным каналам в асимметричном 2D-потенциале или наличием точки
бифуркации, описанной в [3]. Вблизи этой точки на ВАХ наблюдается небольшая переходная область с отдельной особенностью, которая, вероятно,
может отвечать режиму квантовых биений, также предсказанных нами в [3].
И, наконец, в области отрицательных напряжений мы наблюдаем характерный
единичный пик, который, как описано ранее [15], связан с особенностью предэкспоненциального фактора в момент, когда с изменением внешнего элек-
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
трического поля, влияющего на величину параметра асимметрии потенциала,
модельный потенциал становится симметричным.
I,nA
а)
4
3
2
1
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
U, V
-1
б)
Рис. 1 Схема экспериментальной установки с использованием совмещенного
АСМ/СТМ и отдельные полученные туннельные ВАХ: а – схема туннелирования
электронов через нанокомпозитную структуру Si/SiO2/SiO2: НК–Au/SiO2:
A1 – туннельно-прозрачный барьер зонд-кластер, A2 – барьер кластер-подложка;
б – одна из вольт-амперных характеристик, измеренных на структуре
Si(100)/SiO2(1,5 нм)/SiO2: НК–Au(1,6 нм)/SiO2(1,8 нм),
в местах расположения нанокластеров Au в SiO2
Эта совокупность изученных теоретически и экспериментально эффектов позволяет делать вывод о возможности экспериментального наблюдения
устойчивых 2D-туннельных бифуркаций с диссипацией, что и является основным результатом данной работы. Теоретическая возможность использовать науку о диссипативном туннелировании для систем с АСМ/СТМ была
ранее продемонстрирована в работе [11]. В работе [15] приводится сравнение
теоретической зависимости для вероятности диссипативного туннелирования
с экспериментальной ВАХ в структуре с КТ из коллоидного золота для совмещенного АСМ/СТМ [12].
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
При изучении туннельного тока с иглы кантилевера совмещенного
АСМ/СТМ в ближайший нанокластер золота (квантовую точку) вполне вероятной может быть ситуация, когда из-за неоднородностей на поверхности иглы реализуются параллельные близко расположенные каналы туннельного
тока. Если размер неоднородности оказывается меньше размера нанокластера
(квантовой точки), то при отрицательном приложенном напряжении меняется
асимметрия потенциала вдоль координаты переноса, как это изображено на
рис. 2. С учетом взаимодействия туннелирующих по параллельным каналам
частиц перестройка потенциала становится существенно двумерной (рис. 3).
а)
б)
в)
Рис. 2 Учет влияния электрического поля на асимметричный двухъямный
осцилляторный потенциал. При некотором значении приложенного
отрицательного напряжения потенциал становится симметричным (б),
что может дать в предэкспоненциальном факторе вероятности переноса
наблюдаемый единичный пик
Учет влияния электрического поля (при отрицательном напряжении) на
асимметричный двухъямный осцилляторный потенциал дает
 2

2
U ( q)  0 (q  a0 )2 ( q)   0 (q  b0 )2  I  (q )  e Eq ,
2
 2

(1)
02 2
b0  a02 определяет исходную асимметрию потенциагде параметр I 
2
ла в отсутствие поля, как известно, приводит к изменению величины асимметрии, пропорциональной величине поля;


2



U  U 2 (b )  U1 (a )  0 a02  b02  e E  a0  b0  ~ E ,
2
2
2
(2)
e E2 
e E 2 02 2



, U 2 (a)  a0 e E 

a0  b02 .
где U1 (b )  b0 e E 
2
2
2
20
20
При некотором значении внешнего поля первоначально асимметричный потенциал с более глубокой правой ямой может стать симметричным
ac  bc :
2


2
e E2
e E 2 02 2
U1 (a )  U 2 (b ) ; a0 e E 
 b0 e E 

(b0  a02 ) ,
2
2
2
20
20
126
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
16
11
6
15,0
B
A
2,5
-5,0
0,0
-2,5
0,0
y
x
-2,5
2,5
-5,0
5,0
а)
26
21
16
11
6
1
5,0
B
A
2,5
5,0
0,0
2,5
0,0
y
-2,5
x
-2,5
-5,0
-5,0
б)
A
5,0
16
11
6
1
-5,0
B
2,5
0,0
-2,5
y
0,0
-2,5
2,5
-5,0
x
5,0
в)
Рис. 3 Изменение асимметрии поверхности потенциальной энергии
для параллельного переноса частиц во внешнем электрическом поле
(при отрицательном приложенном напряжении). При некотором значении
приложенного напряжения потенциал становится симметричным (б)
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Из формулы (3)
2
2
E e  a0  b0   0 (b0  a0 )( a0  b0 ) и Ec  (b0  a0 ) 0 .
2
2e
Таким образом, влияние электрического поля можно учесть через пере|e| E
|e| E
, b  b  b0 
. Смена знака нанормировку параметров a  a  a0 
2
0
02
пряжения приводит к тому, что исходная асимметрия потенциала (правая яма
глубже левой) будет только усиливаться, состояние симметричного потенциала при таком знаке напряжения не достигается. Для 2D-потенциала мы
получим картину, напоминающую рис. 3,a, где минимум B справа будет более глубоким, а минимум A более мелким. Если исходная асимметрия потенциала (как предполагается) была недостаточной для достижения точки
бифуркации туннельных траекторий, то с ростом поля мы можем ее достичь.
Для 2D-параллельного переноса с учетом взаимодействия частиц и перенормировки параметров потенциала во внешнем электрическом поле мы
получим перенормированный потенциал в виде
2U p  q1 , q2 
2
2
U p  q1 , q2  
  q1  a    q1    (b 2  a 2 )   q1  b     q1  
2







2
2
 q2  a 2   q2    (b 2  a 2 )   q2  b     q2  
q1  q2  .



2
(4)
При введении взаимодействия между частицами в диполь-дипольном
приближении выбираем Vint в форме гармонического потенциала «притяжения»:

 q1 y  q2 y
Vint  
2

2
.
(5)
Такая потенциальная энергия может описывать, например, следующую
физическую ситуацию (с «обычным» кулоновским отталкиванием): две взаимодействующие одноименно заряженные частицы расположены на достаточно большом расстоянии R0 друг от друга вдоль оси x , и также предполагается R0  d , где d – дистанция параллельного переноса взаимодействующих
частиц вдоль оси y в одном направлении (рис. 4).
В этом случае функция потенциальной энергии взаимодействия может


2
R02 , где
быть представлена в виде ряда по степеням параметра q1 y  q2 y
q1 y и q2 y – координаты туннелирования (рис. 4). Для кулоновского отталкивания частиц в среде ( 0 – диэлектрическая постоянная,  – относительная
диэлектрическая проницаемость) получим
e2
Vrep 

0 R
128

q1 y  q2 y
e2
1 e2

 

1/ 2
0 R0 2 0 R0
R02
0  R02  ( q1 y  q2 y ) 2 


e2

2
. (6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
Следовательно,

e2
0 R03
.
(7)
Рис. 4 Введение координаты туннелирования: R0 (вдоль оси qx ) – дистанция между
туннелирующими частицами; q1y и q2 y – координаты туннелирования
Отрицательная гармоническая потенциальная энергия (второе слагаемое в разложении) появляется, следовательно, как эффективное притягивающее взаимодействие, хотя потенциал остается все время отталкивающим.
Этот отрицательный вклад уменьшает отталкивающий потенциал от его макe2
может
0 R0
быть включена в определение потенциальных энергий отдельных частиц.
Мы предполагаем, что две частицы независимо взаимодействуют с
гармоническим термостатом. Такое взаимодействие рассматривается в билинейном приближении. Динамика среды описывается осцилляторным гамильтонианом (при этом мы используем систему единиц с   1 , k B  1 и массами
осцилляторов, равными 1):
симального значения в R0 . Постоянная составляющая U  R0  
H ph 
  Pi2  i2Qi2  .
1
2 i
(8)
Каждая из туннелирующих частиц (электронов или эффективных зарядов) взаимодействует с осцилляторным термостатом следующим образом:
V p(1) ph  q1 , Qi   q1
 CiQi , V p(2) ph  q2 , Qi   q2  CiQi .
i
(9)
i
Как и в работе [3], мы интересуемся вероятностью переноса в единицу
времени или, строго говоря, только ее экспоненциальной частью, которая
может быть записана в форме Лангера
  2T
Im Z
.
Re Z
(10)
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Для вычисления  удобно представить статистическую сумму Z в
форме интеграла по траекториям [1–8]
Z
  Dq1Dq2 DQi exp S q1, q2 , Qi  .
(11)
i
Здесь S обозначает подбарьерное действие для всей системы. Мнимая
часть Im Z появляется благодаря распадности энергетических уровней в исходной яме потенциальной энергии. Справедливость этого приближения требует, чтобы диссипация была бы достаточно сильной, так что реализуется
только некогерентный распад [3].
Интеграл (11) может быть взят по фононным координатам [3], в результате
S q1 , q2  
/ 2
1
1
d   q12  q22  V  q1 , q2  
2
2
 / 2


d D       q1     q2       q1     q2      ,

 / 2

(12)
1 
D   
D  vn  exp  i  n   ,
 n 
(13)
/ 2


где

   /  k BT  – обратная температура (ниже мы предполагаем, что   1 и
k B  1 ), vn  2n /  является мацубаровской частотой, и
D  vn   
Ci2
Ci2
 2  v2  2  n .
i
i

n
i
(14)
i
Траектория, которая минимизирует евклидово действие S , может быть
найдена из уравнений движения. Моменты времен 1 и 2 , в которые частицы проходят вершины барьера, определяются из следующих уравнений:
q1  1   0, q2  2   0 .
(15)
В случае параллельно туннелирующих частиц [потенциальная энергия
(4)], результирующее евклидово действие задается следующим образом:
4
1
2
2 
S  2a  a  b  1  2    2  a  b   1  2  

2

24  a  b 


 2  2  
 sin 2 v   sin 2 v 

n 1
n 2
 sin vn 1  sin vn 2 2 

,


2 2
2
vn2 vn2  2  2 
n 1  vn vn     n


2 


где n определяется соотношением (14).
130

 a  b 2  1  2 2




(16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
Ниже мы используем следующие обозначения:
     1  2  ,   2   1  2  ,    / 2,   2 / 2 , b  b / a,
и предполагаем, что b  a . В отсутствие взаимодействия с осцилляторами
среды – термостата, т.е. при n  0 , действие (16) как функция параметров 
и  принимает вид

4a 
 
1     


 coth  

1 


a
b
a
b


1
1







2
a  b  

S
2






 sinh 1  cosh    cosh   cosh     cosh     



 1  


 cosh    




3/ 2 


1 

  coth   1     sinh   1    








1     cosh   1     1  cosh    
 


 

  
1       . (17)
  

Как только траектория найдена, уравнения (15) могут быть представлены в следующей форме:
1

sinh  cosh  coth   sinh   coth   
sinh   1    cosh   1    

 1  





 coth   1     sinh   1     coth   1      0;






3

4

1 b

1
 cosh  sinh  coth   cosh   1  sinh  coth   cosh  


1 



cosh   1    sinh   1    coth   1     cosh   1    1 







 
1 
1





 

 

sinh   1    coth   1     cosh   1      0 .
1 
1

(18)
Как было проанализировано нами в работе [3], решение этой системы и
позволяет выявить бифуркацию 2D-туннельных траекторий, т.е. при определенном значении температуры  , либо параметра асимметрии потенциала,
связанного с величиной приложенного электрического поля b  b / a , либо
коэффициента взаимодействия   2 / 2 (где  
e2
зависит, в частно0 R03
сти, от относительной диэлектрической проницаемости среды – термостата;
проблема изучения 2D-бифуркаций с диссипацией при изменении параметра 
может представлять отдельный интерес). Численный анализ системы (18) позволяет также выявить тонкую структуру перехода в окрестности точки бифур-
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
кации, а именно режим квантовых биений для параллельного переноса туннелирующих частиц. В итоге вероятность 2D-туннелирования с экспоненциальной точностью определяется как   exp   S  , где S задается выражением (17)
с учетом решения системы (18). Поскольку нас интересует качественное сравнение с имеющимися туннельными ВАХ для системы «игла кантилевера – нанокластер из золота», мы интересуемся зависимостью  от параметра асимметрии b  b / a . Результат сравнения этой теоретической кривой с экспериментальной ВАХ приведен на рис. 5. Но необходимо учесть, что в целом мы
рассматриваем две области изменения электрического поля: при положительном
напряжении с реализацией режима 2D-бифуркации; при отрицательном напряжении с достижением симметричного потенциала, что в случае синхронного
туннельного переноса по параллельным координатам дает в удвоенном предэкспоненциальном факторе особенность типа единичного пика в этом случае.
I, нА
2
1
-5
-3
-1
1
0
3
5
Vg, В
Рис. 5 Сравнение теоретической кривой (пунктирная кривая)
для 2D-диссипативного параллельного туннелирования
с экспериментальной ВАХ, приведенной на рис. 1 (точечная кривая)
Условия применимости рассматриваемой модели обусловлены приближением разреженного газа пар «инстантон – антиинстантон» и обсуждались в [2–8]. В рассматриваемой модели может происходить подавление кулоновских эффектов, если стартовая энергия частицы в КТ существенно преe2
вышает энергию кулоновского отталкивания: U 0 
.
a0  b0
Таким образом, обобщая результаты работ [3, 15], мы приходим к качественному сравнению теоретических кривых для вероятности диссипативного 2D-туннелирования как функции приложенного электрического поля
с учетом точки бифуркации (при положительном напряжении) и наличия единичного пика в случае симметричного потенциала (при отрицательном напряжении) с отдельными экспериментальными ВАХ для системы «игла платинированного кантилевера – квантовая точка (нанокластер из золота)», по-
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
лученными группой соавторов из Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского. Эти результаты приведены на рис. 5.
Помимо достаточно хорошего качественного соответствия теоретической и экспериментальной зависимости (за исключением небольших переходных областей), результат этой работы позволяет сделать вывод об экспериментальном обнаружении устойчивой 2D-бифуркации (смене режима туннелирования с синхронного на асинхронный), предсказанной в работе [3]. Вблизи
этой точки (резкий излом на ВАХ) небольшой локальный минимум может
быть следствием режима квантовых биений, также описанных в [3], и которые учитывались в процессе численного анализа, представленного на рис. 5.
Список литературы
1. И в л е в Б. И . , О в ч и н н и к о в Ю . Н . // ЖЭТФ. – 1987. № 93. – С. 668.
2. D a h n o v s k y Y u . I . , S e m e n o v M . B . // J. Chem. Phys. – 1989. – № 91. – № 12. –
P. 7606.
3. D a h n o v s k y Y u . I . , O v c h i n n i k o v A . A . , K r e v c h i k V . D . [ et al.] // Phys.
Rev. B. – 2003. – № 68. – P. 155426.
4. B e n d e r s k i i V . A . , V e t o s h k i n E . V . , T r o m m s d o r f f H . P . , K a t s E . I . //
Phys. Rev. E. – 2003. – № 67. – P. 026102.
5. K r e v c h i k , V . D . Transfer processes in low – dimensional systems (memorial collection of articles, dedicated to prof. A. A. Ovchinnikov and A. I. Larkin’s memory) /
V. D. Krevchik, M. B. Semenov, V. Ch. Zhukovsky, K. Yamamoto [et al.] // UT Research Institute Press. – Tokyo. Japan, 2005. – 690 P. – (Publication of this book was
supported by Nobel prize winner – 2003. prof. A. J. Leggett).
6. О в ч и н н и к о в , А . А . Принципы управляемой модуляции низкоразмерных
структур : монография (посвящается памяти члена-корреспондента РАН, зав. отделом Объединенного института химической физики РАН А. А. Овчинникова) /
А. А. Овчинников, В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов [и др.]. – М. : УНЦ ДО, 2003. –
С. 510.
7. Ж у к о в с к и й В. Ч . , К р е в ч и к В. Д , С е м е н о в М . Б. [и др.] // Вестник
Моск. ун-та. Физ., Астрон. – 2006. – № 3. – С. 24.
8. Ж у к о в с к и й В. Ч . , К р е в ч и к В. Д , С е м е н о в М . Б. [и др.] // Вестник
Моск. ун-та. Физ., Астрон. – 2007. – № 2. – С. 10.
9. О в ч и н н и к о в Ю . Н . // ЖЭТФ. – 2007. – Т. 131. – № 2. – С. 286.
10. U l l i e n D . , C o h e n H . , P o r a t h D . // Nanotechnology. – 2007. – V. 18. – № 42. –
P. 424015.
11. L o u i s A . A . , J . P . S e t h n a // Phys. Rev. Lett. – 1995. – V. 74. – № 8. – P. 1363.
12. Y a n a g i H . , O h n o T . // Langmuir. – 1999. – V. 15. – № 14. – P. 4773.
13. By c h k o v А . М . , S t a c e Т. М . // Nanotechnology. – 2007. – V. 18. – P. 185403.
14. А н то н о в Д . А . , В у г а л ь т е р Г . А . , Г о р ш к о в О . Н . [и др.] // Вестник
ННГУ. – 2007. – № 3. – С. 55. – (Физика твердого тела).
15. Ж у к о в с к и й В. Ч . , К р е в ч и к В. Д , С е м е н о в М . Б. [и др.] // Вестник
Моск. ун-та. Физ., Астрон. – 2009. – № 1.
Жуковский Владимир Чеславович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра теоретической
физики, Московский государственный
университет им. М. В. Ломоносова
Zhukovsky Vladimir Cheslavovich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, sub-department of theoretical
physics, Moscow State University
named after M. V. Lomonosov
E-mail: zhukovsk@phys.msu.ru
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Горшков Олег Николаевич
директор НИФТИ при Нижегородском
государственном университете
им. Н. И. Лобачевского
Gorshkov Oleg Nikolaevich
Director of Physics and Engineering
Research Institute attached to Nizhniy
Novgorod State University
named after N. I. Lobachevskiy
E-mail: gorshkov@nifti.unn.ru
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
физики, Пензенский государственный
университет
Krevchik Vladimir Dmitrievich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of physics sub-department,
Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Семенов Михаил Борисович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра физики, Пензенский
государственный университет
Semenov Mikhail Borisovich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, physics sub-deparment,
Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
Smirnov Yury Gennadyevich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
E-mail: Smirnov@Penzadom.ru
Чупрунов Евгений Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, ректор Нижегородского
государственного университета
им. Н. И. Лобачевского
Chuprunov Evgeny Vladimirovich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, rector of Nizhniy Novgorod State
University named after N. I. Lobachevskiy
E-mail: chuprun@phys.unn.runnet.ru
Рудин Вадим Александрович
студент, Пензенский
государственный университет
Rudin Vadim Alexandrovich
Student, Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Скибицкая Наталья Юрьевна
аспирант, Пензенский
государственный университет
E-mail: physics@pnzgu.ru
134
Skibitskaya Natalya Yuryevna
Postgraduate student,
Penza State University
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Кревчик Павел Владимирович
студент, Пензенский
государственный университет
Физико-математические науки. Физика
Krevchik Pavel Vladimirovich
Student, Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Филатов Дмитрий Олегович
кандидат физико-математических наук,
доцент, НИФТИ при Нижегородском
государственном университете
им. Н. И. Лобачевского
Filatov Dmitry Olegovich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor, Physics
and Engineering Research Institute attached
to Nizhniy Novgorod State University
named after N. I. Lobachevskiy
E-mail: filatov@phys.unn.ru
Антонов Дмитрий Александрович
научный сотрудник НИФТИ
при Нижегородском государственном
университете им. Н. И. Лобачевского
Antonov Dmitry Alexandrovich
Research worker, Physics and Engineering
Research Institute attached to Nizhniy
Novgorod State University
named after N. I. Lobachevskiy
Лапшина Мария Александровна
аспирант, НИФТИ при Нижегородском
государственном университете
им. Н. И. Лобачевского
Lapshina Mariya Alexandrovna
Postgraduate student, Physics and Engineering Research Institute attached to
Nizhniy Novgorod State University named
after N. I. Lobachevskiy
Шенина Мария Евгеньевна
аспирант, НИФТИ при Нижегородском
государственном университете
им. Н. И. Лобачевского
Shenina Mariya Evgenyevna
Postgraduate student, Physics
and Engineering Research Institute attached
to Nizhniy Novgorod State University
named after N. I. Lobachevskiy
Кенджи Ямамото
профессор, заместитель директора
исследовательского института
при международном медицинском
центре (г. Токио, Япония)
Kendji Yamomoto
Professor, vice director of research
institute of International Medical Centre
(Tokyo, Japan)
E-mail: i_kudryashov@tokyoinst.co.jp
УДК 539.2:541.117517.9 + 536.212
Жуковский, В. Ч.
Особенности двумерных туннельных бифуркаций в условиях внешнего электрического поля / В. Ч. Жуковский, О. Н. Горшков, В. Д. Кревчик
[и др.] // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 123–135.
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 538.911
В. А. Довыденков, М. В. Ярмолык,
А. Р. Буев, А. В. Леухин, А. Р. Сазонов
НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
С ТЕРМИЧЕСКИ УСТОЙЧИВОЙ СТРУКТУРОЙ
Аннотация. Исследовались материалы, полученные из композиций Cu–CuО–
Al–C с применением реакционного размола и последующего отжига. Показано, что за счет твердофазных взаимодействий, инициированных деформацией
при реакционном размоле и термически активируемых при отжиге, возможно
получение материалов с размерами зерен матричного металла 150–300 нм
с расположенными по границам включениями фазы   Al2O3 размерами
30–60 нм. Такая структура является термически устойчивой и не склонна
к рекристаллизации до температуры 860 °С.
Ключевые слова: реакционный, размол, отжиг, твердофазные взаимодействия,
рекристаллизация, нанокристаллит.
Abstract. Materials obtained from Cu–CuО–Al–C compositions using reaction milling and subsequent annealing were studied. It was demonstrated that owing to solid
phase interactions initiated by strain under reaction milling and thermally activated
under annealing, the materials with matrix metal grain size of 150–300 nm with located at the boundaries   Al2O3 phase inclusions of 30–60 nm can be obtained.
Such a structure is thermally stable and it is not subject to re-crystallization under
the temperature of up to 860 °С.
Keywords: reaction, milling, annealing, solid phase interactions, re-crystallization,
nanocrystallite.
Согласно общепринятой модели объемного нанокристаллического материала [1, 2] повышенные свойства таких материалов обусловлены двумя
факторами. Во-первых, нанокристаллиты имеют практически бездефектную
структуру, что связано с термодинамическими условиями существования дефектов в твердом теле. Во-вторых, значительная доля объема нанокристаллического материала занята границами (иногда более 50 %), в которых структура не обладает дальним порядком и близка к аморфной. И действительно, при
комнатной температуре материал, имеющий нанокристаллическую структуру, обладает прочностью, в несколько раз превосходящей прочность материала с обычной структурой [1–3].
Вместе с тем набор технологий, позволяющих получать макроскопические образцы из металлов с нанокристаллической структурой, пока еще ограничен. К таковым относятся технологии, основанные на интенсивной пластической деформации (равноканальное угловое прессование, кручение под давлением), импульсные низкотемпературные процессы компактирования металлических нанопорошков, кристаллизации аморфных сплавов, метод Глейтера, механохимический синтез [1, 2]. На сегодняшнем уровне развития указанные методы позволяют (в лучшем случае) получать образцы для исследований и опытных работ, поскольку не создано еще высокопроизводительных
технологий, основанных на этих методах. В связи с этим поиск новых технологических вариантов, обеспечивающих приемлемую производительность,
представляет актуальную задачу.
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
Кроме того, структура таких материалов является термодинамически
неравновесной, поэтому при нагреве она неустойчива и склонна к рекристаллизации и фактическому превращению в структуру обычных материалов. Из
сказанного выше вытекает, что одной из главных задач, которая должна решаться при создании температурно стабильных нанокристаллических материалов, является закрепление границ между нанокристаллитами. Одним из
методов решения этой задачи является создание на границах нанокристаллитов высокодисперсных фаз, которые препятствуют термически активируемому движению этих границ. Показано, как можно решить эту задачу на примере меди, применяя реакционный размол, дополнительный термический синтез нанодисперсного γ-Аl2O3 процесса твердофазных реакций кислорода.
Перспективны гибридные технологии, основанные на применении реакционного размола (механохимического синтеза) в сочетании с последующей низкотемпературной обработкой продуктов размола. Известно [3], что
при реакционном размоле смесей Fe2O3–Fe–Ni–(Ti, Zr) происходит частичное
деформационное растворение оксида железа с образованием пересыщенных
твердых растворов кислорода в металлической фазе и его миграция к элементам с большим сродством к кислороду с образованием дисперсных упрочняющих оксидов. Такая же схема применяется для систем CuO–Cu–(А1, Cr,
Ti, Zr)–C [4]. Вместе с тем наш многолетний опыт [5, 6] показал, что непосредственно в размольном агрегате при разумном времени обработки реакции
в твердой фазе не проходят до конца. В результате после компактирования
образуются промежуточные неустойчивые структуры, в которых присутствуют оксиды матричного металла, растворенные в матрице активные к кислороду металлы, оксиды матричного металла, покрытые оксидами типа
А12О3. Все это приводит к тому, что набор физико-механических свойств полученных материалов неоптимален, особенно если от материалов требуется
жаропрочность. В настоящей работе исследовалась возможность дополнительного синтеза нанодисперсных фаз с одновременной «очисткой» матрицы
от растворенных элементов за счет использования низкотемпературного
внутреннего твердофазного окисления-восстановления. При этом источником
внутреннего кислорода являются оксиды матричного металла, а их восстановителем является высокодисперсный углерод. Исследования проводились на
примере материалов на основе железа и меди как наиболее распространенных
в технике, а также потому, что эти элементы существенно по-разному ведут
себя по отношению к углероду. На рис. 1 приведена твердость и электропроводимость дисперсно-упрочненной меди, полученной из исходных составов
согласно табл. 1.
Реакционный размол осуществлялся в высокоэнергетическом аттриторе
с удельной энергией 2,5 квч на 1 кг композиции. Гранулы, полученные в результате реакционного размола состава № 1, подвергались отжигу. После отжига гранулы в холодном состоянии прессовались в брикеты, брикеты нагревались в нейтральной среде и подвергались горячей экструзии в пруток диаметром 22 мм при степени обжатия (отношение площадей брикета и прутка)
равной 10.
Гранулы, полученные в результате реакционного размола состава № 2,
отжигу не подвергались и перерабатывались в прутки аналогично гранулам
состава № 1.
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 1 Твердость и электропроводность образцов при различном времени
реакционного размола: 1–2 – твердость; 3–4 – электропроводность;
1–3 – состав № 1; 2–4 – состав № 2
Таблица 1
Исходный состав композиций на основе меди
Компоненты
1. Графит
2. Порошок алюминия
3. Порошок оксида (II) меди
4. Порошок меди ПМС-1
Итого
Содержание компонентов (% масс)
Состав № 1
Состав № 2
0,25
0,25
0,5
0,5
согласно [4]
–
остальное
остальное
100
100
В табл. 2 приведены данные по изменению химического состава композиции № 1, прошедшей реакционный размол в течение 60 мин в зависимости
от времени отжига.
Таблица 2
Изменение массы, потеря массы при отжиге в водороде и содержание
углерода в грануляте состава № 1 после различного времени отжига
Характеристики гранул после отжига
1. Изменение массы по отношению к исходной
m
 100
m
2. Потеря массы при отжиге в водороде
3. Содержание углерода, % масс
Время изотермической выдержки, ч
1
2
3
4
5
0,12
0,28
0,36
0,44
0,44
0,45
0,17
0,34
0,14
0,13
0,10
0,05
0,08
0,05
0,08
Из приведенных на рис. 1 и в табл. 2 данных следует, что отжиг композиций после реакционного размола существенно влияет на свойства, особенно на электропроводность, которая очень чувствительна к чистоте матричного металла. При отжиге происходит окончательное окисление алюминия и
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
одновременное восстановление оксида меди высокодисперсным углеродом.
Структура материала, подвергнутого отжигу, представляет собой медную
матрицу с размером зерен 150…300 нм с расположенными по границам
включениями γ-Al2O4 размерами 30…60 нм (рис. 2).
Рис. 2 Типичная структура материала на основе меди (×100000)
В табл. 3 приведены свойства одного из материалов в сравнении с хромциркониевой бронзой Бр.ХЦр.
Таблица 3
Основные физико-механические свойства материала,
получаемого с применением реакционного размола
и углеродного восстановления Cu–CuO–Al–C
Характеристики материалов при 20 °С
1. Основа материала
2. Упрочняющая фаза
3. Плотность, кг/м3
4. Твердость, HRB, не менее
5. Относительная электропроводность, % JACS
6. Предел прочности при растяжении, МПа
7. Относительное удлинение, %
8. Температура рекристаллизации, °С
Разработанный
Бр.ХЦр
(патент РФ № 2195394)
Сu
Сu
А12О3, С
Сг, Zr
8550
8900
74
82
84
74
500
490
15
15
860
500
Созданные на основе изложенных выше технологических принципов
материалы уже находят промышленное применение, в том числе и за рубежом. Основным преимуществом указанных материалов является их высокая
жаропрочность. Это материалы для токосъемных элементов высокоскоростных электропоездов, разрывные электроконтакты, электроды для сварочного
инструмента, износостойкие детали погружных насосов, детали демпфирующих устройств, детали клапанного узла автомобилей. Обзоры некоторых областей применения материалов приведены в работах [5, 7–9].
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В городе Йошкар-Оле на ООО «Завод «Купол» создано опытное производство объемных нанокристаллических материалов (рис. 3). Опыт, полученный при эксплуатации этого производства, позволяет ставить задачи создания
промышленных комплексов оборудования и крупномасштабного производства изделий из указанных материалов.
Рис. 3 Двумерная модель нанокристаллического материала
Список литературы
1. С у з д а л е в, И . П . Нанотехнология: физикохимия нанокластеров, наноструктур
и наноматериалов / И. П. Суздалев. – М. : КомКнига, 2006. – 592 с.
2. А н д р и е в с к и й , Р . А . Наноструктурные материалы : учебное пособие для сту3.
4.
5.
6.
7.
дентов высш. учеб. заведений / Р. А. Андриевский, А. В. Рагуля. – М. : Изд. центр
«Академия», 2005. – 192 с.
К о з л о в, К . А . Деформационно-индуцированные структурно-фазовые переходы в системах «оксид железа – металл/сплав» при измельчении в шаровой мельнице / К. А. Козлов, А. В. Литвинов, В. А. Шабашов [и др.] // Дислокационная
структура и механические свойства металлов и сплавов «ДСМСМС-208» : материалы XI Международной конференции (Екатеринбург, 10–14 апреля 2008 г.). –
Екатеринбург, 2008. – С. 165–166.
Патент РФ 2195394. Дисперсно-упрочненный композиционный материал для электродов контактной сварки / Шалунов Е. П., Матросов А. Л., Довыденков В. А.,
Симонов B. C., Липатов Я. М. Заявл. 2.02.2001 ; Опубл. 27.12.2002. – С. 8.
Д о в ы д е н к о в , В. А . Получение композитов на основе меди механическим
легированием. Опыт реальной технологии / В. А. Довыденков, B. C. Симонов //
Новейшие технологии в порошковой металлургии и керамике. – Киев, 2003. –
С. 101–102.
D o v y d e n k o v , V . A . Granule formation kinetics in the process of mechanical alloying and their influence upon the properties of materials Cu-Al-O-C and Cu-Ti-C-O /
V. A. Dovydenkov, V. S. Simonov, E. P. Shalunov, M. V. Yarmolyk // Proc. of the PM.
2004. World congress. – Vienna. – 2004. – V. 1. – Р. 177–180.
Д о в ы д е н к о в , В. А . Порошковая металлургия как метод изучения объемных
нанокристаллических материалов / В. А. Довыденков // Новые материалы и изделия из металлических порошков. Технология. Производство. Применение (ТПППМ 2008) : материалы докладов научно-практ. семинара (Йошкар-Ола, 17–19 июня 2008 г.). – Йошкар-Ола, 2008. – С. 22–28.
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (10), 2009
Физико-математические науки. Физика
8. Ш а л у н о в , Е. П . Нанокомпозиционные материалы ДИСКОМ® для электрических контактов сильноточной аппаратуры / Е. П. Шалунов, И. С. Гершман,
А. Л. Матросов [и др.] // Новые материалы и изделия из металлических порошков.
Технология. Производство. Применение (ТПП-ПМ 2008) : материалы докладов
научно-практического семинара (Йошкар-Ола, 17–19 июня 2008 г.). – ЙошкарОла, 2008. – С. 29–32.
9. Ш а л у н о в , Е. П . Высокоресурсные электроды контактной сварки из медных
композиционных материалов с нанодисперсными упрочняющими фазами /
Е. П. Шалунов, В. А. Довыденков // Электрические контакты и электроды : труды
Института проблем материаловедения НАН Украины. – Киев, 2004. – С. 190–201.
Довыденков Владислав Андреевич
кандидат технических наук, Президент
ЗАО «Завод металлокерамических
материалов «Метма» (респ. Марий Эл,
г. Йошкар-Ола)
Dovydenkov Vladislav Andreevich
Candidate of engineering sciences,
president of joint-stock company
«Cermet materials factory «Metma»
(Mari El rep., Yoshkar Ola)
E-mail: metma@yoshkar-ola.ru
Ярмолык Милана Владимировна
инженер-технолог,
ЗАО «Завод металлокерамических
материалов «Метма» (респ. Марий Эл,
г. Йошкар-Ола)
Yarmolyk Milana Vladimirovna
Mechanical engineer, joint-stock company
«Cermet materials factory «Metma»
(Mari El rep., Yoshkar Ola)
E-mail: metma@yoshkar-ola.ru.
Буев Андрей Романович
доктор технических наук, профессор,
декан физико-математического
факультета, Марийский государственный
университет (респ. Марий Эл,
г. Йошкар-Ола)
Buyev Andrey Romanovich
Doctor of engineering sciences, professor,
dean of physico-mathematical department,
Mari State University
(Mari El rep., Yoshkar Ola)
E-mail: Ulenspigel@mail.ru
Леухин Александр Викторович
кандидат физико-математических наук,
заведующий кафедрой общей физики,
Марийский государственный
университет (респ. Марий Эл,
г. Йошкар-Ола)
Leukhin Aleksandr Viktorovich
Candidate of physico-mathematical
sciences, head of sub-department of general
physics, Mari State University
(Mari El rep., Yoshkar Ola)
E-mail: Ulenspigel@mail.ru.
Сазонов Андрей Рудольфович
ведущий специалист, кафедра
общей физики, Марийский
государственный университет
(респ. Марий Эл, г. Йошкар-Ола)
Sazonov Andrey Rudolfovich
Senior staff, sub-department of physics,
Mari State University
(Mari El rep., Yoshkar Ola)
e-mail: Ulenspigel@mail.ru.
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 538.911
Довыденков, В. А.
Нанокристаллические материалы с термически устойчивой структурой / В. А. Довыденков, М. В. Ярмолык, А. Р. Буев, А. В. Леухин, А. Р. Сазонов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 136–142.
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4, 2008
Технические науки. Сведения об авторах
Вниманию авторов!
Редакция журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки» приглашает специалистов опубликовать на его страницах оригинальные статьи, содержащие новые научные результаты в области математики, физики, механики, а также обзорные статьи по тематике журнала.
Статьи, ранее опубликованные, а также принятые к опубликованию в других
журналах, редколлегией не рассматриваются.
Редакция принимает к рассмотрению статьи, подготовленные с использованием текстового редактора Microsoft Word for Windows версий не выше 2003.
Необходимо представить статью в электронном виде (VolgaVuz@mail.ru, дискета 3,5'', СD-диск) и дополнительно на бумажном носителе в двух экземплярах.
Оптимальный объем рукописи 10–14 страниц формата А4. Основной шрифт
статьи – Times New Roman, 14 pt через полуторный интервал. Тип файла в электронном виде – RTF.
Статья обязательно должна сопровождаться индексом УДК, краткой аннотацией и ключевыми словами на русском и английском языках.
Рисунки и таблицы должны быть размещены в тексте статьи и представлены в
виде отдельных файлов (растровые рисунки в формате TIFF, ВМР с разрешением
300 dpi, векторные рисунки в формате Corel Draw с минимальной толщиной линии
0,75 рt). Рисунки должны сопровождаться подрисуночными подписями.
Формулы в тексте статьи выполняются в редакторе формул Microsoft Word
Equation, версия 3.0 и ниже. Символы греческого и русского алфавита должны быть
набраны прямо, нежирно; латинского – курсивом, нежирно; обозначения векторов и
матриц прямо, жирно; цифры – прямо, нежирно. Наименования химических элементов набираются прямо, нежирно. Эти же требования необходимо соблюдать и в рисунках. Допускается вставка в текст специальных символов (с использованием
шрифтов Symbol).
В списке литературы нумерация источников должна соответствовать
очередности ссылок на них в тексте ([1], [2], …). Номер источника указывается в
квадратных скобках. В списке указывается:

для книг – фамилия и инициалы автора, название, город, издательство,
год издания, том, количество страниц;

для журнальных статей, сборников трудов – фамилия и инициалы автора,
название статьи, полное название журнала или сборника, серия, год, том, номер, выпуск, страницы;

для материалов конференций – фамилия и инициалы автора, название
статьи, название конференции, время и место проведения конференции, город, издательство, год, страницы.
В конце статьи допускается указание наименования программы, в рамках которой выполнена работа, или наименование фонда поддержки.
К материалам статьи должна прилагаться информация для заполнения учетного листа автора: фамилия, имя, отчество, место работы и должность, ученая степень,
ученое звание, адрес, контактные телефоны (желательно сотовые), e-mail.
Плата с аспирантов за публикацию рукописей не взимается.
Рукопись, полученная редакцией, не возвращается.
Редакция оставляет за собой право проводить редакторскую и допечатную правку текстов статей, не изменяющую их основного смысла, без согласования с автором.
Статьи, оформленные без соблюдения приведенных выше требований,
к рассмотрению не принимаются.
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Уважаемые читатели!
Для гарантированного и своевременного получения журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки»
рекомендуем вам оформить подписку.
Журнал выходит 4 раза в год по тематике:
• математика
• физика
• механика
Стоимость одного номера журнала – 250 руб. 00 коп.
Для оформления подписки через редакцию необходимо заполнить и отправить
заявку в редакцию журнала: факс (841-2) 56-34-96, тел.: 36-82-06, 56-47-33;
Е-mail: VolgaVuz@mail.ru
Подписку на второе полугодие 2010 г. можно также оформить по каталогу
агентства «РОСПЕЧАТЬ» «Газеты. Журналы» тематический раздел «Известия высших учебных заведений». Подписной индекс – 36949.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
ЗАЯВКА
Прошу оформить подписку на журнал «Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки» на 2010 г.
№ 1 – ______ шт., № 2 – ______ шт., № 3 – ______ шт., № 4 – ______ шт.
Наименование организации (полное) __________________________________
__________________________________________________________________
ИНН ___________________________ КПП _____________________________
Почтовый индекс __________________________________________________
Республика, край, область____________________________________________
Город (населенный пункт) ___________________________________________
Улица ____________________________________ Дом ____________________
Корпус __________________________ Офис ____________________________
ФИО ответственного ________________________________________________
Должность ________________________________________________________
Тел. ________________ Факс ______________ Е-mail_____________________
Руководитель предприятия ____________________ ______________________
(подпись)
Дата «____» _________________ 2009 г.
144
(ФИО)
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа