close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

299.Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №1 2013

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
№ 1 (25)
2013
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Медведик М. Ю., Смирнов Ю. Г. Восстановление диэлектрической
проницаемости неоднородного тела, помещенного в прямоугольный
волновод по коэффициенту прохождения и отражения ....................................... 5
Мегралиев Я. Т. О разрешимости одной обратной краевой задачи
для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка
с дополнительным интегральным условием........................................................ 19
Деревянчук Е. Д. Решение обратной задачи определения тензора
магнитной проницаемости диафрагмы в прямоугольном волноводе ............... 34
Александрова И. Л., Плещинский Н. Б. Проводящий тонкий экран
в волноводной структуре: задача дифракции и задача трансмиссии ................ 45
Бойков И. В., Тында А. Н. Поперечники соболевских классов
функций с особенностями на границе .................................................................. 61
Атряхин В. А., Шаманаев П. А. О приложении систем дифференциальных
уравнений с отклоняющимся аргументом к моделированию
процесса воспроизводства научных кадров ........................................................ 82
ФИЗИКА
Кревчик В. Д., Калинин В. Н., Калинин Е. Н. Энергетический спектр
D–-центра в квантовом сужении при наличии внешних
электрического и магнитного полей .................................................................... 91
Егоров Г. А., Журавлев В. М. Спектральный анализ волновых
процессов в атмосфере Солнца на основе серий изображений ....................... 100
Головков О. Л., Купцова Г. А., Степанов В. А. Непрерывная генерация
YAG:Nd-лазера на двух длинах волн 1064,15 и 1061,5 нм .............................. 113
Гадомский О. Н., Алтунин К. К., Русин А. А., Зубков Е. Г. Усиленное
оптическое пропускание композитных наноструктурных толстых
пленок с квазинулевым показателем преломления (II. Теория) ...................... 122
Силантьев А. В. Влияние деформации на энергетический
спектр фуллерена С20 ........................................................................................... 135
Physics and mathematics sciences. Mathematics
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Муралев А. Б., Тихончев М. Ю., Светухин В. В. Моделирование
каскадов атомных смещений в альфа-железе, содержащем
симметрично-наклонную межзеренную границу .............................................. 144
Кревчик В. Д., Семенов М. Б., Зайцев Р. В., Ямамото К.,
Арынгазин А. К., Кревчик П. В. Диссипативное туннелирование
и оптика низкоразмерных структур .................................................................... 159
Лизина Е. А., Щенников В. Н., Щенникова Е. В. Стабилизация
непрерывно-дискретной системы с периодической
матрицей коэффициентов .................................................................................... 181
2
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
UNIVERSITY PROCEEDINGS
VOLGA REGION
PHYSICS AND MATHEMATICS SCIENCES
№ 1 (25)
2013
CONTENT
MATHEMATICS
Medvedik M. Y., Smirnov Y. G. Restoration of dielectric permittivity
of a heterogeneous body placed into a rectangular waveguide
according to transmission and reflection coefficients ................................................ 5
Megraliev Y. T. On the issue of solubility of one boundary-value problem
for a pseudohyperbolic quartic with an additional integral condition ...................... 19
Derevyanchuk E. D. Solution of an inverse problem of determining
magnetic permeability tensor of a diaphragm in a rectangualr waveguide .............. 34
Aleksandrova I. L., Pleshchinskiy N. B. Thin conducting screen in a waveguide
structure: the problem of diffraction and the problem of transmission ................... 45
Boykov I. V., Tynda A. N. Diameters of sobolev class functions
with boundary peculiarities ...................................................................................... 61
Atryakhin V. A., Shamanaev P. A. Application of a system of differential equations
with a dvergent argument in modeling a process of scientific staff reproduction.... 82
PHYSICS
Krevchik V. D., Kalinin V. N., Kalinin E. N. D–-center energy spectrum
in a quantum constriction given the electric and magnetic fields ............................ 91
Egorov G. A., Zhuravlev V. M. Spectral analysis of wave processes
in the Solar atmosphere on the basis of a number of images ................................. 100
Golovkov O. L., Kuptsova G. A., Stepanov V. A. Continuous
wave generation of the YAG:Nd-laser at two wave lengths
of 1064,15 DQG 1061,5 nanometers ........................................................................ 113
Gadomskiy O. N., Altunin K. K., Rusin A. A., Zubkov E. G. Enhanced
optical transmission of composite nanostructures of thick films
with quasi-zero index of refraction (II. Theory) .................................................... 122
Silant'ev A. V. Effect of deformation on the fullerene С20 energy spectrum .............. 135
Muralev A. B., Tikhonchev M. Y., Svetukhin V. V. Modeling
the cascades of atomic displacements in alpha iron containing
simmetrically tilt grain boundary ........................................................................... 144
Physics and mathematics sciences. Mathematics
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Krevchik V. D., Semenov M. B., Zaytsev R. V., Yamamoto K.,
Aryngazin A. K., Krevchik P. V. Dissipative tunneling
and low-dimension structure optics ........................................................................ 159
Lizina E. A., Shchennikov V. N., Shchennikova E. V. Stabilization
of continuous-discrete system with periodic matrix of coefficients ....................... 181
4
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
МАТЕМАТИКА
УДК 519.634
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ
ПРОНИЦАЕМОСТИ НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА,
ПОМЕЩЕННОГО В ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ВОЛНОВОД
ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ПРОХОЖДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ
Аннотация. Рассмотрены два итерационных метода определения диэлектрической проницаемости. Получены результаты, показывающие сходимость методов. Представлены графики зависимости значения диэлектрической проницаемости от числа итераций для тел сложной геометрической формы.
Ключевые слова: электромагнитная задача дифракции, эффективная диэлектрическая проницаемость, итерационный метод.
M. Y. Medvedik, Y. G. Smirnov
RESTORATION OF DIELECTRIC PERMITTIVITY
OF A HETEROGENEOUS BODY PLACED INTO
A RECTANGULAR WAVEGUIDE ACCORDING TO
TRANSMISSION AND REFLECTION COEFFICIENTS
Abstract. The aticle consideres two iteration methods for permittivity determination
and presents the results demonstrating convergence of the methods. The authors adduce the graphs of dependences of the permittivity value on the number of iterations
for bodies with complex shape.
Key words: electromagnetic diffraction problem, effective permittivity, iteration
method.
Введение
Последнее время характеризуется развитием электродинамических методов в задачах определения диэлектрических и магнитных параметров материалов. Интерес к этим задачам вызван разработкой новых образцов нанокомпозитных материалов и изучением их свойств. Экспериментальное измерение параметров материала в связи с их композитными свойствами является
труднодоступным, поэтому эффективным является применение методов математического моделирования для решения представленных задач. Восстановление диэлектрической проницаемости неоднородного материала является классической в электродинамике. Данной тематикой занимались многие
авторы, предлагавшие различные численно-аналитические и экспериментальные методы решения задачи. В статье [1] рассматривается один из экспериментальных способов восстановления диэлектрической и магнитной проницаемости для секции прямоугольного волновода, заполненного метаматериалом. Метод определения коэффициента преломления, импеданса и диэлекPhysics and mathematics sciences. Mathematics
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
трической и магнитной проницаемости по данным прохождения и отражения
указан в [2]. В работе [3] теоретически анализируются характеристики передачи электромагнитных волн в метаматериале, помещенном в волновод. В статье
[4] рассматривается восстановление комплексной диэлектрической проницаемости композитов на основе диэлектрических матриц. В статье [5] приводится численно-аналитический метод определения коэффициентов отражения и
прохождения электромагнитной волны через многослойную структуру.
Следует отметить, что большинство авторов ограничиваются исследованием свойств материалов, имеющих несложную геометрию. В данной работе предлагается метод, позволяющий определять диэлектрическую проницаемость образцов материала, имеющих сложную геометрическую форму.
Постановка задачи
Пусть объемное тело Q расположено в прямоугольном волноводе
P   x : 0  x1  a, 0  x2  b,    x3   ,
поверхность волновода P идеально проводящая. Данное тело характеризуется постоянной магнитной проницаемостью 0 и положительной ( 3  3 )матрицей-функцией (тензором) диэлектрической проницаемости ˆ ( x) . Компоненты ˆ ( x) представляют собой ограниченные функции в области Q ,
ˆ  L (Q) , а также
Граница Q
полагать, что тело
ˆ 1  L (Q) .
области Q является кусочно-гладкой. Будем также предQ не касается стенок волновода, Q  P   . В области
P \ Q среда является изотропной и однородной, при этом 0 (  0), 0 ( 0) являются постоянными (рис. 1).
Рис. 1. Волновод
Выберем параметры волновода так, чтобы  a  k0   b . В этом случае в волноводе может распространяться только одна мода. Пусть
x i 2  x


E0  x   e 2 A i0 sin 1 e 1 3 –
a
a
(1)
   – (известная) амплитуда
известное падающее поле (мода в волноводе); A
2
 2   k 2   ; e – второй орт в декартовой системе ко0
2
2
падающей волны; 1
6
a
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
ординат. Требуется определить диэлектрическую проницаемость неоднородного материала по значению поля внутри материала и коэффициенту прохождения или отражения. Задача по определению электромагнитного поля
E внутри тела Q , расположенного в прямоугольном волноводе P , представлена в [6].
Определение диэлектрической проницаемости
по коэффициенту прохождения
Запишем дополнительное асимптотическое уравнение в форме [7]:
    A    k 2
0
Q1
y i 2  y    y  
1
 1 E  y   e 2 dy ,
sin 1 e 1 3 
b10i0
a
 0


(2)
Q
где 10 
2
a
2
 k02 .
   считается известным из измерений.
Коэффициент прохождения Q1
Требуется определить диэлектрическую проницаемость   x  , x  Q посредством серии измерений. Поскольку количество измерений должно быть конечным, то и неизвестных параметров также должно быть конечное число.
Поэтому будем предполагать, что тело Q состоит из N подобластей Q j таких, что Q 
 Q j , Qi  Q j  ,
i  j . Мы предполагаем, что   x   ( j )
j
при x  Q j , т.е. в каждой подобласти диэлектрическая проницаемость постоянна. Тогда общее число неизвестных параметров будет равно N .
При измерениях изменяются частоты (1) , (2) ,..., ( N ) (происходит
сканирование по частоте); при этом волновое число изменяется по формуле
k0(i )  (i ) 00 .
Будем предполагать, что тело имеет форму параллелепипеда
Q  {x : a1  x1  a2 , b1  x2  b2 , c1  x3  c2 } . Выберем равномерную прямоугольную сетку в Q , образованную элементарными параллелепипедами
 klm  {x : x1,k  x1  x1,k 1 , x2,l  xl  x2,l 1 , x3,m  x3  x3,m1} ,
a a
b b
c c
x1,k  a1  2 1 k , x2,l  b1  2 1 l , x3,m  c1  2 1 m,
N1
N2
N3
где k  0,, N1  1, l  0,, N 2  1, m  0,, N3  1 . Перенумеруем эти элементарные параллелепипеды с помощью одноиндексной нумерации  s ,
s  0,..., N 0  1 , N 0  N1 N 2 N3 .
Если тело имеет сложную геометрическую форму, то необходимо ввести вектор геометрии W , заполнить вектор геометрии единицами или нулями.
Если элементарный параллелепипед  i принадлежит телу сложной геометриPhysics and mathematics sciences. Mathematics
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ческой формы, то Wi равен единице, иначе нулю. На каждой итерации будем
перемножать поэлементно значение поля E на вектор геометрии W [8].
Построим двухслойный итерационный процесс для решения обратной
задачи по формулам:
1
   x 
n  x    n
 1 ;
 0


n  x  J n  x   k02 G  x, y  J n  y  dy 
(3)

Q

 grad div G  x, y  J n  y  dy  E0  x  , x  Q;

(4)
Q
En  x   n  x  J n  x  ;
F  A  k02
(5)
1
 y  i (2) y
sin  1  e 1 3 n 1 ( y )En  y   e2 dy ,
ab10
 a 
Q

(6)
где
F
   x 
i0   
i0   
 1 , n ( x)  n 1  x  . (7)
Q1 , A 
A , n  x    n
a
a
 0

По этим формулам вычисление производится следующим образом.
Сначала выбираем начальное приближение 0  x   e  n  0  , где e  eff ,
eff – эффективная диэлектрическая проницаемость тела, вычисленная как
решение обратной краевой задачи с постоянной диэлектрической проницаемостью [9]. Нельзя взять в качестве e  0 , так как по формуле (5) нельзя
определить электрическое поле. По формуле (3) вычисляется значение  ( x) .
0
Далее по формуле (4) определяется ток J n  x  как решение интегродифференциального уравнения методом коллокации. Затем по формуле (5) по
току определяем электрическое поле En  x  на сетке. Данную процедуру
проводим N раз при различных значениях k0  k0(1) , k0  k0(2) ,..., k0  k0( N ) .
(2)
(N )
при различТаким образом, получаем N значений полей E(1)
n , E n ,..., E n
ных k0(1) , k0(2) ,..., k0( N ) . На этом заканчивается вычисление на первом «слое».
На втором «слое» по известным значениям полей E(ni )  x   i  1,..., N  из
формулы (6) определяем новое значение n 1  x  . Для этого потребуется
произвести решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ),
составленной из уравнения (6), относительно неизвестных параметров. При
этом «коэффициенты прохождения» Fi  F (k0(i ) ) находятся с помощью изме-

рений. Считаем, что A   1 .
8
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Мы предположили выше, что n  x   (n j ) при x  Q j . Кроме того,
пусть подобласти Q j состоят из объединения элементарных параллелепипедов сетки Q j 
 l .
Мы будем считать также, что E(ni )  x   E(ni ,l ) при
l
x   l , т.е. поле аппроксимируется некоторой постоянной внутри элементарных параллелепипедов.
Формула (6) приводит к конечномерной СЛАУ. Образуем матрицы

E  e2  E(ni,l )
i1,l 1 размера
N , N0
 l 1, j 1 размера
N  N 0 и H  H lj
N0 , N
N 0  N , где
H lj  0 при l таких, что  l  Q j . Тогда будем иметь СЛАУ с матрицей
AN  EH размера N  N :
AN n 1  B ,
(8)
(N ) T
которая решается относительно неизвестных n1  ((1)
n 1 ,..., n 1 ) . Здесь и
ниже мы будем отождествлять (кусочно-постоянную) функцию
(N ) T
n1  n1 ( x) и вектор ((1)
n 1 ,..., n 1 ) , так как они однозначно определяют
друг друга.
Выпишем коэффициенты матрицы AN и правой части B в случае изотропного неоднородного тела. Они вычисляются по формулам:
aij 
H li 
l: l Q j
 y1 
e
a 
 sin 
l
bi 

e2  E(ni ,l ) H lj ;
iy3 ( k0( i ) )2 
 Fi  A ab
2
(k0(i ) )2
a2
(9)
2
a2
dy1dy2 dy3 ;
 (k0(i ) )2 .
(10)
Значение интеграла по параллелепипеду  l можно вычислить аналитически:
2
xl 0  h1 /2 yl 0  h2 /2 zl 0  h3 /2
(i ) 2
h2 a
 x  iz ( k0 )  a 2
H li 
dxdydz 
sin  e

2
a 


xl 0  h1 /2 yl 0  h2 /2 zl 0  h3 /2
i (k0(i ) ) 2  2
a



2
 
h3 
h 
2

(i ) 2 
i zl 0  3  ( k0(i ) )2  2
 i zl 0  2  ( k0 )  2
2

a e 
a
 e 




h1 
h1  


  cos  xl 0    cos  xl 0    .
2
2 


 

Physics and mathematics sciences. Mathematics
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
i)
(i )
Далее проверяется выполнение неравенств (n
1  n  
 i  1,..., N 
с заданной точностью    0  . Если требуемая точность достигнута для кажi)
дого (n
1
 i  1,..., N  ,
то вычисления прекращаются. Если требуемая точ-
ность не достигнута, то n 1 ( x) : n11  x  , n : n  1 , и вычисления повторяются с формулы (4).
В качестве искомого выбирается значение для относительной диэлек  x
 n  x   1 .
трической проницаемости n
0
Определение диэлектрической проницаемости
по коэффициенту отражения
Аналогично, как и в первом случае, будем предполагать, что дополнительное асимптотическое уравнение имеет вид [9]:
Q ( )  k02
 y  i (2) y
sin  1  e 1 3 n1  x  En  y   e2 dy ,
 2
iab Q  a 
1

1
2
 2  k 2   .
0
2
где 1
a
   считается известным из измерений.
Коэффициент прохождения Q1
Требуется определить диэлектрическую проницаемость   x  , x  Q , посредством серии измерений.
При измерениях изменяются частоты (1) , (2) ,..., ( N ) (происходит
сканирование по частоте); при этом волновое число изменяется по формуле
k0(i )  (i ) 00 .
Пусть тело имеет форму параллелепипеда Q  {x : a1  x1  a2 ,
b1  x2  b2 , c1  x3  c2 } . Выберем равномерную прямоугольную сетку в Q ,
образованную элементарными параллелепипедами
 klm  {x : x1,k  x1  x1,k 1 , x2,l  xl  x2,l 1 , x3,m  x3  x3,m1},
a a
b b
c c
x1,k  a1  2 1 k , x2,l  b1  2 1 l , x3,m  c1  2 1 m,
n
n
n
где k , l , m  0, ..., n  1 .
Если тело имеет сложную геометрическую форму, то необходимо ввести вектор геометрии W . Заполнить вектор геометрии единицами или нулями. Если элементарный параллелепипед  i принадлежит телу сложной геометрической формы, то Wi равен единице иначе нулю. Производя описанные
ниже вычисления на каждой итерации будем перемножать в каждой формуле
поле E на вектор геометрии W [8].
10
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Построим двухслойный итерационный процесс для решения обратной
задачи по формулам [9]:
1

   y 
n  x    n 1
 1 ;
(11)
 0


n  x  J n  x   E0  x   k02 G  x, y  J n  y  dy 

Q

grad div G  x, y  J n  y  dy , x  Q;

(12)
Q
En  x   n  x  J n  x  ;
Q ( )  k02
 y  i (2) y
sin  1  e 1 3 n1  x  En  y   e2 dy ,
 2
iab Q  a 
1

(13)
(14)
1
где
   x 
n  x    n
 1 , n  x   n 1  x  .

 0

По этим формулам вычисление производится следующим образом.

Сначала выбираем начальное приближение 0  y   e  n  0  , где e  eff ,
eff – эффективная диэлектрическая проницаемость тела, вычисленная как решение обратной краевой задачи с постоянной диэлектрической проницаемостью. Нельзя взять в качестве e  0 , так как по формуле (13) нельзя определить электрическое поле. По формуле (11) вычисляется значение 0  x  .
Далее, по формуле (12) определяется ток J n  y  как решение интегродифференциального уравнения методом коллокации. Затем по формуле (13)
по току определяем электрическое поле En  y  . В соответствии с размером
сетки
 N1  N 2  N3  ,
наложенной на фигуры, данную процедуру проводим
N  N1  N 2  N3 раз при различных значениях k0  k (1) , k0  k (2) ,..., k0  k ( N ) .
Таким образом, получаем N значений полей En(1) , En(2) ,..., En( N ) при различных частотах. На этом заканчивается вычисление на первом «слое».
На втором «слое» по известным значениям полей En(i )  y   i  1,..., N  из
формулы (14) определяем новое значение n 1  x  . Для этого потребуется
произвести решение СЛАУ, составленной из уравнения (14) относительно не-
  
известных параметров. При этом «коэффициенты отражений» bi  Q ( ) k0
находятся с помощью измерений.
j
j
Мы предположили выше, что n  x   n  при x  Q j . Кроме того,
пусть подобласти Q j состоят из объединения элементарных параллелепипедов
Physics and mathematics sciences. Mathematics
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
j
i ,l
сетки Q j   l . Мы будем считать также, что En   x   En  при x   l , т.е.
l
поле аппроксимируется некоторой постоянной внутри элементарных параллелепипедов.
Формула (14) приводит к конечномерной СЛАУ. Образуем матрицы

i ,l
E  e2 En 

N , N0
i 1,l 1

размера N  N 0 и H  H l , j
l 1,i1
N0 , N
размера N 0  N , где
H lj  0 при l таких, что  l  Q j . Тогда будем иметь СЛАУ с матрицей
An  EH размера N  N
AN n 1  B ,
(15)

N 
которая решается относительно неизвестных n 1  (1)
n 1 ,...., n 1
ниже
мы
будем
отождествлять
 
N
1
n 1  n1  x  и вектор n 1 ,..., n 1

T
 . Здесь и
T
(кусочно-постоянную)
функцию
, так как они однозначно определяют
друг друга.
Коэффициенты матрицы AN и правой части B в случае изотропного
неоднородного тела вычисляются по следующим формулам:
ai, j 
 y 
sin  1  e
 a 
l

H li 
iy3

l: l Q j
 k     a
i
0
 i ,l 
2
e2  E N H l ,i ;
2
2
dy1dy2 dy3 ; bi 
 
iabQi( )
 
i 
k
i 
k0
2
2

0
2
a2
.
Значение интеграла по параллелепипеду  l можно вычислить аналитически:
 
2
2
i 
 x  iz k0  a 2
sin    e
H li 
dxdydz 
a 

xl 0  h1 /2 yl 0  h2 /2 zl 0  h3 /2
xl 0  h1 /2 yl 0  h2 /2 zl 0  h3 /2





2
2
 
h3 
h3 

i  2  
i  2   




i
z
k
i
z
k




l
l
0
0


0
0
iah2
2
2
a2  e 
a2 
e 

2 2 

j

k0
 2 

a
 
 
 

 
h 
 
h 
  cos   xl 0  1    cos   xl 0  1    .
2 
2 
a
a

12
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
i 
Далее проверяется выполнение неравенств n 1  n   
i
 i  1,..., n 
с заданной точностью    0  . Если требуемая точность достигнута для каж-
i 
дого n 1  i  1,..., N  , то вычисления прекращаются. Если требуемая точ-
ность не достигнута, то n  x   n 11  x  , n  n  1 , и вычисления повторяются с формулы (12).
В качестве искомого выбирается значение для относительной диэлектрической проницаемости
n  x 
0
 n  x   1 .
Ключевым моментом в двухслойном итерационном процессе является
возможность определения  n1  x  по известному полю En  x  . Если искомая
функция   x  имеет N неизвестных параметров, то необходимо иметь по
крайней мере результаты N различных измерений.
Поскольку размер матрицы AN сравнительно невелик (не более нескольких тысяч) при решении системы можно воспользоваться простыми методами решения систем линейных алгебраических уравнений, например методом Гаусса с выбором ведущего элемента по всей матрице.
Численные результаты
С использованием коэффициента прохождения и отражения были получены результаты восстановления диэлектрической проницаемости неоднородных материалов, имеющих сложную геометрическую форму. Представлены результаты сравнения двух методов.
На рис. 2 изображено тело, имеющее неоднородную диэлектрическую
проницаемость. Первая половина тела, изображенная светло-серым цветом,
имеет диэлектрическую проницаемость 1  1,1 . Вторая половина тела, изображенная темно-серым цветом, имеет диэлектрическую проницаемость
2  1, 4 . Обе части тела имеют одинаковую форму и представляют собой
прямоугольные параллелепипеды с отверстием в форме прямоугольного параллелепипеда, расположенного вдоль оси 0Z и равноотстоящим от осей 0X и
0Y. На рис. 3 представлен график восстановления диэлектрической проницаемости тела по коэффициенту прохождения. На рис. 4 представлен график
восстановления диэлектрической проницаемости тела по коэффициенту отражения. Вычисления в обоих случаях производились при волновых числах
k1  1,6 и k1  1,7 . Начальное приближение диэлектрической проницаемости
каждой половины тела равнялось 10  1, 2 и 02  1,3 соответственно.
На рис. 5 изображено тело, имеющее неоднородную диэлектрическую
проницаемость. Первая половина тела, изображенная светло-серым цветом,
имеет диэлектрическую проницаемость 1  1,1 . Вторая половина тела,
изображенная темно-серым цветом, имеет диэлектрическую проницаемость
2  1,6 . На рис. 6 представлен график восстановления диэлектрической проPhysics and mathematics sciences. Mathematics
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ницаемости тела по коэффициенту прохождения. На рис. 7 представлен график восстановления диэлектрической проницаемости тела по коэффициенту
отражения. Вычисления в обоих случаях производились при волновых числах
k1  1,6 и k1  1,7 . Начальное приближение диэлектрической проницаемости
каждой половины тела равнялось 10  1, 2 и 02  1,5 соответственно.
Рис. 2. Форма тела, расположенного в волноводе; a  2, b  1, c  2, l  1
Рис. 3. График восстановления диэлектрической проницаемости
неоднородного материала по коэффициенту прохождения Q (  )
Рис. 4. График восстановления диэлектрической проницаемости
неоднородного материала по коэффициенту отражения Q ( )
14
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Рис. 5. Форма тела, расположенного в волноводе; a  2, b  1, c  2, l  1
Рис. 6. График восстановления диэлектрической проницаемости
неоднородного материала по коэффициенту прохождения Q (  )
Рис. 7. График восстановления диэлектрической проницаемости
неоднородного материала по коэффициенту отражения Q ( )
Physics and mathematics sciences. Mathematics
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Результаты восстановления диэлектрической проницаемости однородного образца материала, расположенного в прямоугольном волноводе, представлены в работе [10].
Список литературы
1. C h e n , H . Experimental retrieval of the effective parameters of metamaterials based
on a waveguide method / H. Chen, J. Zhang, Y. Bai et al. // Optic Express. – 2006. –
V. 14, № 26. – P. 12944–12949
2. C h e n , X . Robust method to retrieve the constitutive effective parameters of metamaterials / X. Chen, T. M. Grzegorczyk, B.-I. Wu et al. // Physical Review E. –
2004. – V. 70, № 1. – P. 016608-1–016608-7
3. M e n g , F . - Y . Controllable Metamaterial-Loaded Waveguides Supporting Backward
and Forward Waves / F.-Y. Meng, Q. Wu, D. Erni, L.-W. Li // IEEE Transaction on
Antennas and Propagation. – 2011. – V. 59, № 9. – P. 3400–3411
4. У с а н о в, Д . А . Комплексная диэлектрическая проницаемость композитов на
основе диэлектрических матриц и входящих в их состав углеродных нанотрубок /
Д. А. Усанов, А. В. Скрипаль, А. В. Романов // Журнал технической физики. –
2011. – Т. 81, № 1. – С. 106–110.
5. У с а н о в, Д . А . Измерения толщины нанометровых слоев металла и электропроводности полупроводника в структурах металл–проводник по спектрам отражения и прохождения электромагнитного излучения / Д. А. Усанов, А. В. Скрипаль, А. В. Абрамов, А. С. Боголюбов // Журнал технической физики. – 2006. –
Т. 76, № 5. – С. 112–117.
6. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе /
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2011. – Т. 56,
№ 8. – С. 940–945.
7. С м и р н о в , Ю . Г . Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного
объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной
диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2008. – № 3. – С. 39–54.
8. М е дв е ди к , М . Ю . Применение субиерархического метода в задачах электродинамики / М. Ю. Медведик // Вычислительные методы и программирование. –
2012. – Т. 13. – С. 87–97.
9. М е дв е ди к , М . Ю . Итерационный метод определения диэлектрической проницаемости образца неоднородного материала, расположенного в прямоугольном
волноводе / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2012. – Т. 52, № 12. – C. 2228–2237.
10. С м и р н о в , Ю . Г . Итерационный метод определения эффективной диэлектрической проницаемости неоднородного образца материала / Ю. Г. Смирнов,
М. Ю. Медведик, Е. Е. Гришина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 3. – С. 3–13.
References
1. C h e n , H . Experimental retrieval of the effective parameters of metamaterials based
on a waveguide method / H. Chen, J. Zhang, Y. Bai et al. // Optic Express. – 2006. –
V. 14, № 26. – P. 12944–12949
2. C h e n , X . Robust method to retrieve the constitutive effective parameters of metamaterials / X. Chen, T. M. Grzegorczyk, B.-I. Wu et al. // Physical Review E. – 2004. –
V. 70, № 1. – P. 016608-1–016608-7
16
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
3. M e n g , F . - Y . Controllable Metamaterial-Loaded Waveguides Supporting Backward
and Forward Waves / F.-Y. Meng, Q. Wu, D. Erni, L.-W. Li // IEEE Transaction on
Antennas and Propagation. – 2011. – V. 59, № 9. – P. 3400–3411
4. U s a n o v , D . A . Kompleksnaya dielektricheskaya pronitsayemost' kompozitov na osnove dielektricheskikh matrits i vkhodyashchikh v ikh sostav uglerodnykh nanotrubok /
D. A. Usanov, A. V. Skripal', A. V. Romanov // Zhurnal tekhnicheskoy fiziki. – 2011. –
T. 81, № 1. – S. 106–110.
5. U s a n o v , D . A . Izmereniya tolshchiny nanometrovykh sloyev metalla i elektroprovodnosti poluprovodnika v strukturakh metall–provodnik po spektram otra-zheniya
i prokhozhdeniya elektromagnitnogo izlucheniya / D. A. Usanov, A. V. Skri-pal',
A. V. Abramov , A. S. Bogolyubov // Zhurnal tekhnicheskoy fiziki. – 2006. – T. 76,
№ 5. – S. 112–117.
6. M e d v e d i k , M . Y U . Subiyerarkhicheskiy metod resheniya zadachi difraktsii
elek-tromagnitnykh voln na dielektricheskom tele v pryamougol'nom volnovode /
M. YU. Medvedik, YU. G. Smirnov // Radiotekhnika i elektronika. – 2011. – T. 56,
№ 8. – S. 940–945.
7. S m i r n o v , Y U . G . Primeneniye GRID-tekhnologiy dlya resheniya nelineynogo
ob"yemnogo singulyarnogo integral'nogo uravneniya dlya opredeleniya effektivnoy
dielektricheskoy pronitsayemosti nanomaterialov / YU. G. Smirnov // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki. –
2008. – № 3. – S. 39–54.
8. M e d v e d i k , M . Y U . Primeneniye subiyerarkhicheskogo metoda v zadachakh
elektro-dinamiki / M. YU. Medvedik // Vychislitel'nyye metody i programmirovaniye. –
2012. – T. 13. – S. 87–97.
9. M e d v e d i k , M . Y U . Iteratsionnyy metod opredeleniya dielektricheskoy pronitsayemosti obraztsa neodnorodnogo materiala, raspolozhennogo v pryamougol'nom
volnovode / M. YU. Medvedik, YU. G. Smirnov // Zhurnal vychislitel'noy matematiki i
matematicheskoy fiziki. – 2012. – T. 52, № 12. – C. 2228–2237.
10. S m i r n o v , Y U . G . Iteratsionnyy metod opredeleniya effektivnoy dielektri-cheskoy
pronitsayemosti neodnorodnogo obraztsa materiala / YU. G. Smirnov, M. YU. Medvedik, Ye. Ye. Grishina // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzh-skiy region.
Fiziko-matematicheskiye nauki. – 2011. – № 3. – S. 3–13.
Медведик Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Medvedik Mikhail Yur'evich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling, Penza State
University (Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: _medv@mail.ru
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
(г. Пенза, ул. Красная, 40)
Smirnov Yuriy Gennad'evich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Physics and mathematics sciences. Mathematics
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 519.634
Медведик, М. Ю.
Восстановление диэлектрической проницаемости неоднородного
тела, помещенного в прямоугольный волновод по коэффициенту прохождения и отражения / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2013. – № 1 (25). – С. 5–18.
18
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.95
Я. Т. Мегралиев
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ
ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ
Аннотация. Исследована одна обратная задача для псевдогиперболического
уравнения четвертого порядка с несамосопряженными краевыми условиями.
Сначала исходная задача сводится к эквивалентной задаче (в определенном
смысле), для которой доказывается теорема о существовании и единственности. Далее на основе этих фактов доказывается существование и единственность классического решения исходной задачи.
Ключевые слова: обратная краевая задача, псевдогиперболическое уравнение,
метод Фурье, классическое решение.
Y. T. Megraliev
ON THE ISSUE OF SOLUBILITY OF ONE BOUNDARY-VALUE
PROBLEM FOR A PSEUDOHYPERBOLIC QUARTIC
WITH AN ADDITIONAL INTEGRAL CONDITION
Abstraсt. The article investigates an inverse problem for a pseudohyperbolic quartic
with periodical boundary conditions. At first the initial problem is reduced to an
equivalent problem, for which the author proves the theorem of existence and
uniqueness. Then on the basis of these facts the researcher proves the existence and
uniqueness of the classical solution of the initial problem.
Key words: inverse boundary problem, pseudohyperbolic quartic, Fourier method,
classic solution.
Введение
Современные проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования качественно новых задач, ярким примером которых
является класс нелокальных задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Исследование таких задач вызвано как теоретическим интересом, так и практической необходимостью.
Среди нелокальных задач можно выделить класс задач с интегральными условиями. Условия такого вида появляются при математическом моделировании явлений, связанных с физикой плазмы [1], распространением тепла [2, 3], процессом влагопереноса в капиллярно-простых средах [4], вопросами демографии и математической биологии, а также при исследовании некоторых обратных задач математической физики.
Вопросы разрешимости задач с нелокальными интегральными условиями для уравнений с частными производными изучены в работах [5–7]. Обратные задачи с интегральным условием переопределения для параболических уравнений были исследованы в работах [8–10].
Целью данной работы является доказательство единственности и существования решений обратной краевой задачи для псевдогиперболичеPhysics and mathematics sciences. Mathematics
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ского уравнения четвертого порядка с интегральным условием переопределения.
1. Постановка задачи и ее сведение к эквивалентной задаче
Для уравнения [11]
utt ( x, t )  uttxx ( x, t )  u xx ( x, t )  a(t )u ( x, t )  f ( x, t )
(1)
в области DT =  x, t  : 0  x  1, 0  t  T  рассмотрим обратную краевую задачу при несамосопряженных граничных условиях
u (0, t )  u (1, t ), u x (1, t )  0  0  t  T  ,
(2)
u  x,0     x  , ut  x,0     x   0  x  1
(3)
начальных условиях
c дополнительным условием
1
 u( x, t )dx  h(t ) ,
(4)
0
где f  x, t  ,   x  ,   x  , h  t  – заданные функции, а u  x, t  , a  t  – искомые
функции.
Определение. Классическим решением обратной краевой задачи (1)–
(4) назовем пару u  x, t  , a  t  функций u  x, t  и a  t  , обладающих следующими свойствами:
1) функция u  x, t  непрерывна в DT вместе со всеми своими производными, входящими в уравнение (1);
2) функция a  t  непрерывна на  0, T  ;
3) все условия (1)–(4) удовлетворяются в обычном смысле.
Справедлива следующая
Лемма 1. Пусть f ( x, t )  C ( DT ), ( x),  ( x)  C[0,1], h  t   C 2  0, T  ,
h  t   0 при t   0, T  и выполняются условия согласования:
1
1
0
0
   x  dx  h  0  ,    x  dx  h  0  .
Тогда задача нахождения классического решения задачи (1)–(4) эквивалентна задаче определения функций u  x, t  и a  t  , обладающих свойствами
1 и 2 определения классического решения задачи (1)–(4), из соотношений (1)–
(3) и
a t  h t  
1
 f  x, t  dx  h  t   uttx  0, t   ux  0, t   0  t  T  .
(5)
0
20
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Доказательство. Пусть u ( x, t ), a(t ) является решением задачи (1)–(4).
Из (4) видно, что
1
1
d
d2
u ( x, t )dx  h(t ),
u (1, t )dx  h(t ) (0  t  T ) .
2
dt
dt
0
0


(6)
Проинтегрируем уравнение (1) по x от 0 до 1 и, учитывая условия (2),
получим
d2
1

dt 2 0
1

1

u ( x, t )dx  uttx (0, t )  u x (0, t )  a (t ) u ( x, t )dx  f ( x, t ) dx (0  t  T ) . (7)
0
0
Отсюда с учетом (4) и (6) приходим к выполнению (5).
Теперь предположим, что u ( x, t ), a(t ) является решением задачи (1)–
(3), (5). Тогда из (5) и (7) получаем
1

1

d 2 
u ( x, t )dx  h(t )   a(t )  u ( x, t )dx  h(t )  (0  t  T ) .



dt 2  0

0



Далее в силу (3) и
1
1
0
0
   x  dx  h  0  ,    x  dx  h  0  имеем
1
1
 u ( x, t )dx  h(0)  ( x)dx  h(0)  0,

0
0
1
1

 ut ( x,0)dx  h(0)   ( x)dx  h(0)  0.
 0
0


(8)

(9)

Из (8) и (9) заключаем, что выполняется условие (4). Лемма доказана.
2. Сведения из теории спектральных задач
и введение некоторых пространств
Известно [3], что последовательности функции
X 0  x   2,..., X 2k 1  x   4cos( k x),...,
X 2k  x   4(1  x)sin( k x),... k  1, 2,... ,
(10)
Y0  x   x,..., Y2k 1  x   x cos( k x),...,
Y2k  x   sin( k x),... k  1, 2,...,
(11)
образуют в L2  0,1 биортогональную систему и система (10) образует
базис в L2  0,1 , где  k  2k (k  1, 2,...) . Тогда произвольная функция
g  x   L2  0,1 разлагается в биортогональный ряд
Physics and mathematics sciences. Mathematics
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
g  x 

 gk X k  x  ,
k 0
где
1
g k  g  x  Yk  x  dx (k  0,1,...) .

0
Для любой функции g  x   L2  0,1 справедлива оценка

1
2
2
.
g  x

g k2  g  x 
L2  0,1
L2  0,1
2
k 0

(12)
При предположениях
2i
g    x   L2  0,1
g  x   C 2i 1  0,1 ,
2s
2s
2 s 1
и g    0   g   1 , g 
1  0
 s  0, i  1; i  1
устанавливается справедливость оценок:

   2k i g2k 
2

k 1

   2k i g2k 1 
k 1
2

2
1  2i 
g
;
 x
2
L2  0,1
1  2i 
.
g
 x   2ig  2i 1  x 
2
L2  0,1
(13)
(14)
А при предположениях g  x   C  0,1 , g   x   L2  0,1 и g  0   g (1)
устанавливается следующее:

   k g 2k 
2
k 1

   k g2k 1 
2
k 1


1
2
;
g x
2
L2  0,1
1
2
.
g   x  x  g ( x)
L2  0,1
2
(15)
(16)
Далее при предположениях
2i 1
g  x   C 2i  0,1 , g 
 x   L2  0,1 ,
g (2 s ) (0)  g (2 s ) (1), g (2 s 1) (1)  0 (i  1; s  0, i )
доказывается оценка:


k 1
22
( k2i 1g 2k ) 2 
2
1  2i 1
;
g
 x
2
L2  0,1
(17)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013

Физико-математические науки. Математика
1
 ( k2i1g2k 1)2  2
g
2i 1
k 1
 x  x  (2i  1) g  2i   x 
2
L2  0,1
.
(18)
С целью исследования задачи (1)–(3), (5) рассмотрим следующее пространство.
3
[12] совокупность всех функций u  x, t  вида
Обозначим через B2,T
u  x, t  

 uk  t  X k  x  ,
k 0
рассматриваемых на DT , для которых uk  t   C[0, T ] и
JT (u )  u0 (t ) C{0,T ] 
1
1
  3
2 2  
2 2

 k u2k 1 (t ) C[0,T ]   
3k u2k (t ) C[0,T ]  ,




 k 1

 k 1





где функции X k  x   k  0,1, 2,... определены соотношениями (10).
Норму в этом множестве определим так: u ( x, t ) B3  JТ (u ) .
2,T
что
Через ET3 обозначим пространство вектор-функций {u ( x, t ), a(t )}
3
u  x, t   B2,
T , a  t   C[0, T ] . Снабдим это пространство нормой
таких,
z E 3  u ( x, t ) B3  a (t ) C 0,T .
 
T
2,T
3
Очевидно, что ET3 и B2,T
являются банаховыми пространствами.
3. Исследование существования и единственности
классического решения обратной краевой задачи
Так как система (10) образует базис L2  0,1 и система (10) и (11) обра-
зует биортогональную в L2  0,1 систему функций, то первую компоненту
u  x, t  решения {u ( x, t ), a(t )} задачи (1)–(3), (5) будем искать в виде
u  x, t  

 uk  t  X k  x  ,
(19)
k 0
где
1

uk (t )  u ( x, t )Yk ( x)dx
0
является решением следующей задачи:
u0  t   F0  t ; u , a  (0  t  T ) ;
Physics and mathematics sciences. Mathematics
(20)
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1  2k  u2k t   2k u2k t   F2k t; u, a  (0  t  T , k  1, 2,...),
1  2k  u2k 1 t   2k u2k 1 t  
 F2 k 1  t ; u , a   2 k  u2 k  t   u2k  t   , (0  1  T , k  1, 2,...);
uk  0   k , uk  0    k
 k  0,1, 2,... ,
(21)
(22)
(23)
причем
Fk  t ; u , a   a  t  uk  t   f k  t  , f k  t  
1
 f  x, t Yk  x  dx ;
0
1
1
k    x  Yk  x  dx,  k    x  Yk  x  dx


0
 k  0,1,... .
0
Решая задачу (20)–(23), находим:
u0  t   0   0t 
t
  t   F0  ; u, a  d ; ,
(24)
0
u2k  t   2k cos k t 


t
1

k 1   2k 0
1
 2 k sin k t 
k
F2 k  ; u , a  sin k  t    d  ;
u2k 1  t   2k 1 cos k t 

1

(25)
1
 2 k 1 sin k t 
k
t

 F2k 1  ; u, a  sin k  t    d  
k 1   2k 0
 
 

2 k 1  2k  t  
 F2k  ; u , a  sin k  t    d   sin k  t    d  

2  

k2 1   2k  0  0

 k 1  2k 

 1
 1

t 2k sin k t   sin k t  t cos k t   2 k  


k 1   2k 
 k
 k

24
2 k
t

F2k
2 2
k 1   k 0


 ; u, a  sin  k  t    d ,
(26)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
где
k 
k
1   2k
После подстановки выражения uk  t 
.
 k  0,1,...
в (19) для определе-
ния компоненты u  x, t  решения задачи (1)–(3), (5) получаем
t



u  x, t   2 0   0t   t    F0  ; u , a  d   


0






1
 2k cos k t  k  2k sin k t 
k 1



F2k  ; u , a  sin k  t    d   4(1  x)sin(2x) 
2
k 1   k 0



t
1

t


1
1
 2k 1 cos k t   2 k 1 sin k t 
F2 k 1  ; u , a  sin k  t    d  
k
k 1   2k 0
k 1 



 
 

2 k 1  2k  t  
 F2k  ; u , a  sin k      d   sink  t    d  

2  

k2 1   2k  0  0

2 k 1  2k 

 1
 1

t 2k sin k t   sin k t  t cos k t   2 k  

k 1   2k 
 k
 k




F2k  ; u , a  sin k  t    d   4cos(2kx).
2

k 1   2k 0


2 k
t


(27)
Теперь из (5) с учетом (19) имеем
1



a(t )  h 1  t   h  t   f  x, t  dx  4  k  u2 k  t   u2 k  t    .
k 1
0




(28)
Далее из (21) с учетом (25) получаем
 2k  u2 k  t   u2 k  t    F2k  t   u2 k  t  

 2k
1   2k
( F2 k (t )  u2k (t )) 
 2k 
1
 cos k t 
 2 k sin k t 
2  2k
1   k 
k
Physics and mathematics sciences. Mathematics
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион



F2 k  ; u , a  sink  t    d   F2k (t )  .
k 1   2k 0



t
1

Тогда из (28) имеем
a(t )  h
1
1


k 
1
 cos k t 
 2k sin k t 
 t  h  t   f  x, t  dx  4
2  2k
k

k 11   k 
0





F2k  ; u , a  sin k  t    d   F2 k (t ; u , a)   .

2
k 1   k 0
 

1
t


(29)
Для изучения вопроса единственности решения задачи (1)–(3), (5) важную роль играет следующая
Лемма 2. Если u  x, t  , a  t  – любое решение задачи (1)–(3), (5), то
функции
1
uk  t   2 u  x, t  Yk ( x)dx  k  0,1,...

0
удовлетворяют системе (24)–(26).
Замечание. Из леммы 2 следует, что для доказательства единственности решения задачи (1)–(3), (5) достаточно доказать единственность решения
системы (27), (29).
Теперь рассмотрим в пространстве ET3 оператор
 (u , a)  1 (u , a),  2 (u , a) :
1 (u , a )  u ( x, t ) 

 uk (t ) X k ( x) ,
k 0
 2 (u , a)  a (t ) ,
где u0 (t ), u2 k (t ), u2k 1 (t ) и a (t ) равны соответственно правой части (24), (25),
(26) и (29).
Очевидно, что
1 / 2  k  1,
1
0  1  2k  ;
2
 
1
1

.
3
2
k 1   k  1   2k  1   2k  k
 k 1  2k
Учитывая эти соотношения, имеем
26
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
u0  t 
C[0,T ]
 0  T  0 
1
T
 2
2
T T  f0    d    T 2 a (t ) C[0,T ] u0 (t ) C[0,T ] ;


0


1
(30)
1
  3
 2
 
 2
 ( k u2k  t 
) 2   2  (3k 2k ) 2  
C[0,T ] 



 k 1

 k 1



1
1
2
T 
 2
  3

2
2 2  ( k  2 k )   2 2T 
( k f 2 k    ) 2 d   


 k 1

 k 1

0



1
 
 2
2 2T a(t ) C[0,T ]  ( k u2k (t ) C[0,T ] )2  ;


 k 1


1
(31)
1
2 2
   3
  3
2 2
 
   k u2k 1  t 
  10 
 k 2k 1  

C 0,T   



 k 1

 k 1



1


2
 20 
3k  2k 1 


 k 1



2

1
T 
2  2
 20T 
 k f 2k 1    d   
 k 1

0

 

1
 
 
2 2

 20T a (t )
 k u2k 1 (t ) C[0,T ]   10T 
2 k
C 0,T  


 k 1

 k 1


 
 ( 2  T ) 20 
 2k

 k 1


2



1
2

1
1
2
T 
 2
2
2
  2 10T (T  1) 
f 2k    d   

 k 1


0


1
 
 2
2

u2k (t ) C[0,T ]  ;
2 10T (T  1) a (t )
C 0,T  

 k 1


(32)

1

a (t ) C[0,T ]  h (t )

 h(t )  f ( x, t )dx
C[0,T ] 
0
C[0,T ]

1

1 
  2  2  
4   k  
2 k



 k 1
  k 1



1
2
 
2
  2
 2k



 k 1
Physics and mathematics sciences. Mathematics

1
2
2
 


27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1
2
T 
 2
 

2
2
f 2k () d    2T a (t ) C[0,T ] 
u2k (t ) C[0,T ]  
 2T 


 k 1

1

k


0



1
1 

2
2
 




2
2
f 2 k (t ) C[0,T ]   a(t ) C[0,T ] 
u2k (t ) C[0,T ]    .





 k 1

 k 1
 



(33)
Предположим, что данные задачи (1)–(3), (5) удовлетворяют следующим условиям:
1. ( x)  C 2 [0,1], ( x)  L2 (0,1), (0)  (1), (1)  0 , (0)  (1) .
2. ( x)  C 2 [0,1], ( x)  L2 (0,1),  (0)   (1), (1)  0 , (0)  (1) .
3. f ( x, t )  C ( DT ), f x ( x, t )  L2 ( DT ), f (0, t )  f (1, t ) (0  t  T ) .
4. h  t   C 2  0, T  , h  t   0 при t   0, T .
Тогда из (30)–(33) с учетом (12)–(18) соответственно получаем
u0  t 
C 0,T 
  x x
T T f  x, t  x
L2  DT 
L2  0,1
 T   x x
L2  0,1

 T 2 a (t ) C[0,T ] u0 (t ) C[0,T ] ;
(34)
1
2 2
 
 
  3k u2 k  t 
  2   x 
 2   x 

L2  0,1
L2  0,1
C 0,T   
 
 k 1


1
2 2
  
 
  3k u2 k  t 
 ; (35)
2 T f x  x, t 
 2 2 T a t 
L2  DT 
C 0,T  
C 0,T   
 k 1


1
2 2
  
 
  3k u2k 1  t 
  5   x  x  3( x)

L2  0,1
C  0,T   
 
 k 1


 10   x  x  3( x)
 10 T   x 
L2  0,1
L2  0,1
 2 5T (T  1) f x  x, t  x  f ( x, t )
 ( 2  T ) 20   x 
L2  0,1
L2  DT 
 2 10T (T  1) f  x, t 

L2  DT 

1
 
2 2
 
 
   k u2 k 1  t 
 
2 10T (T  1) a  t 
C 0,T  
C 0,T   

 k 1


1
2 2
 


 ;
    k u2 k  t 

C 0,T   
 
 k 1
 


28
(36)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика

1




a (t ) C[0,T ]  h (t )
h
(
t
)
f ( x, t )dx

C[0,T ] 
0
C[0,T ]

1

1
 
 2
   k 2   ( x) L (0,1)  2 ( x) L (0,1)  2T f ( x, t ) L ( D ) 

 
2
2
2 T
 k 1


2
 
  
2
 f ( x, t ) C[0,T ]
 ( 2T  1) a(t ) C[0,T ] 
u2k (t ) C[0,T ]    . (37)

 
L2 (0,1)
 k 1
  
Теперь из (34)–(36) имеем

u  x, t 
3
B2,
T
 A1 T   B1 T  u  x, t 
3
B2,
T
,
(38)
где
A1 T     x  x
 2 (3)  x 
L2 0,1
L2 0,1
 T   x
 2  (3)  x 
 5 (3)  x   3(2)  x 
L2 0,1
L2  0,1
L2  0,1
 4 T f  x, t  x
L2  DT 

 2 T f x  x, t 

L2  DT 
 10  (3)  x  x  3 (2)  x 
L2  0,1

2 5 T (T  1) f x  x, t  x  f  x, t 
 10T   x 

L2  DT 
L2 0,1


2 T

20   x 
L2  0,1
 2 10T (T  1) f  x, t 
L2  DT 
,
B1 T   T 2  2 2T  2 10T (T  1) .
Примем обозначения:
1

1

2



 x
2



A2 T   h 1  t 
h
t

f
(
x
,
t
)
dx

4




k 
   L2  0,1 

C 0,T  

 k 1

0
C 0,1



 2   x
L2  0,1
 2T f  x, t 
L2  DT 

 f ( x, t ) C[0,T ]
,
L2 (0,1) 
1
  2  2
  k  ( 2T  1) .
B2 T   h 1  t 

C 0,T  
 k 1


Тогда из (37) ясно, что
a (t ) C[0,T ]  A2 (T )  B2 (T ) a(t ) C[0,T ] u ( x, t ) B3 .
2,T
Physics and mathematics sciences. Mathematics
(39)
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Из неравенств (38), (39) заключаем
u  x, t 
3
B2,
T
 a  t 
C 0,T 
 A T   B T  a  t 
C 0,T 
u  x, t 
3
B2,
T
,
(40)
где
A T   A1 T   A2 T  , B T   B1 T   B2 T  .
Итак, доказана следующая
Теорема 1. Пусть выполнены условия 1–4 и
B T   A T   2   1 .
2
(41)


Тогда задача (1)–(3), (5) имеет в шаре K  K R z E 3  R  A T   2 из
T
ET3 единственное решение.
Доказательство. В пространстве ET3 рассмотрим уравнение
z  Фz ,
(42)
где z  u , a , компоненты Фi (u , a )  i  1, 2  оператора Ф  u , a  определены
правыми частями уравнений (27), (29) соответственно.
Рассмотрим оператор Ф  u , a  в шаре K  K R из ET3 . Аналогично (40)
получаем, что для любых z , z1 , z2  K R справедливы оценки:
Фz E 3  A  T   B  T  a  t 
u  x, t  3 ,
C 0,T 
B2,T
T

Фz1  Фz2 E 3  B T  R  a1  t   a2  t 
 u1  x, t   u2  x, t  3
C 0,T 
B2,T
T

(43)

 . (44)

Тогда с учетом (41) из оценок (43), (44) следует, что оператор Ф действует в шаре K  K R и является сжимающим. Поэтому в шаре K  K R опе-
ратор Ф имеет единственную неподвижную точку u , a , которая является
решением уравнения (42), т.е. u , a является в шаре K  K R единственным
решением системы (27), (29) .
3
Функция u  x, t  как элемент пространства B2,
T , непрерывна и имеет
непрерывные производные u x ( x, t ) , u xx ( x, t ) в DT .
Далее, из (20)–(22) с учетом (15), (16) имеем
u0 (t ) C[0,T ] 
f ( x, t )  a (t )u ( x, t ) C[0,T ]
;
L2 (0,1)
1
  3
 2
 ( k u2 k (t ) C[0,T ] ) 2  


 k 1


6
 3(1  a(t ) C[0,T ] ) u ( x, t ) B3 
2,T
2
30
f x ( x, t ) C[0,T ]
;
L2 (0,1)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
1
  3
 2
 ( k u2 k 1 (t ) C[0,T ] ) 2   5(3  a(t ) C[0,T ] ) u ( x, t ) B3 


2,T
 k 1


1
10

2
 
 2
f x ( x, t )  f ( x, t ) C[0,T ]
 2 5  (3k u2 k (t ) C[0,T ] ) 2  .


L2 (0,1)
 k 1


Отсюда следует, что utt ( x, t ), uttxx ( x, t ) непрерывны в DT .
Легко проверить, что уравнение (1) и условия (2), (3) и (5) удовлетворяются в обычном смысле.
Значит, u  x, t  , a  t  является решением задачи (1)–(3) и (5), причем
в силу леммы 2 оно единственное. Теорема доказана.
С помощью леммы 2 из последней теоремы вытекает однозначная разрешимость исходной задачи (1)–(4).
Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1 и
1

1
( x)dx  h  0  , ( x)dx  h  0  .

0
0


Тогда задача (1)–(4) имеет в шаре K  K R z E 3  R  A T   2 из ET3
T
единственное классическое решение.
Список литературы
1. С а м а р с к и й , А . А . О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / А. А. Самарский // Дифференциальные уравнения. – 1980. – Т. 16, № 11. –
С. 1925–1935.
2. C a n n o n , J . R . The solution of the heat equation subject to the specification of energy / J. R. Cannon // Quart. Appl. Math. – 1963. – V. 5, № 21. – P. 155–160.
3. И о н к и н , Н . И . Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н. И. Ионкин // Дифференциальные уравнения. –
1977. – Т. 13, № 2. – С. 294–304.
4. Н а х у ш е в, А . М . Об одном приближенном методе решения краевых задач для
дифференциальных уравнений и его приближения к динамике почвенной влаги и
грунтовых вод / А. М. Нахушев // Дифференциальные уравнения. – 1982. – Т. 18,
№ 1. – С. 72–81.
5. К а п у с т и н , Н . Ю . О спектральных задачах со спектральным параметром
в граничном условии / Н. Ю. Капустин, Е. И. Моисеев // Дифференциальные
уравнения. – 1997. – Т. 33, № 1. – С. 115–119.
6. К о ж а н о в , А . И . О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным
условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений /
А. И. Кожанов, Л. С. Пулькина // Дифференциальные уравнения. – 2006. – Т. 42,
№ 9. – С. 1166–1179.
7. Г о р д е з и а н и , Д . Г . Решения нелокальных задач для одномерных колебаний
среды / Д. Г. Гордезиани, Г. А. Авалишвили // Математическое моделирование. –
2000. – Т. 12, № 1. – С. 94–103.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
8. П р и л е п к о , А . И . О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением / А. И. Прилепко, А. Б. Костин //
Математический сборник. – 1992. – Т. 183, № 4. – С. 49–68.
9. П р и л е п к о , А . И . Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением /
А. И. Прилепко, Д. С. Ткаченко // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2003. – Т. 43, № 4. – С. 562–570.
10. К а м ы н и н , В. Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения / В. Л. Камынин // Математические заметки. – 2005. – Т. 77, № 4. – С. 522–534.
2
11. Г а б а с о в, С . А . Об уравнении  u xx  u   u xx  0 и некоторых связанных
2
t
с ним задачах / С. А. Габасов, Б. Б. Оразов // Журнал вычислительной математики
и математической физики. – 1986. – Т. 26, № 1. – С. 92–102.
12. Х у да в е р ди е в , К . И . Исследование одномерной смешанной задачи для одного
класса псевдогиперболических уравнений третьего порядка с нелинейной операторной правой частью / К. И. Худавердиев, А. А. Велиев. – Баку : Чашыоглы,
2010. – 168 с.
References
1. S a m a r s k i y , A . A . O nekotorykh problemakh teorii differentsial'nykh urav-neniy /
A. A. Samarskiy // Differentsial'nyye uravneniya. – 1980. – T. 16, № 11. – S. 1925–
1935.
2. C a n n o n , J . R . The solution of the heat equation subject to the specification of energy / J. R. Cannon // Quart. Appl. Math. – 1963. – V. 5, № 21. – P. 155–160.
3. I o n k i n , N . I . Resheniye odnoy krayevoy zadachi teorii teploprovodnosti s neklassicheskim krayevym usloviyem / N. I. Ionkin // Differentsial'nyye uravneniya. –
1977. – T. 13, № 2. – S. 294–304.
4. N a k h u s h e v , A . M . Ob odnom priblizhennom metode resheniya krayevykh zadach
dlya differentsial'nykh uravneniy i yego priblizheniya k dinamike pochvennoy vlagi i
gruntovykh vod / A. M. Nakhushev // Differentsial'nyye uravneniya. – 1982. – T. 18,
№ 1. – S. 72–81.
5. K a p u s t i n , N . Y U . O spektral'nykh zadachakh so spektral'nym parametrom v
granichnom uslovii / N. YU. Kapustin, Ye. I. Moiseyev // Differentsial'nyye
uravneniya. – 1997. – T. 33, № 1. – S. 115–119.
6. K o zh a n o v , A . I . O razreshimosti krayevykh zadach s nelokal'nym granichnym
usloviyem integral'nogo vida dlya mnogomernykh giperbolicheskikh uravneniy /
A. I. Kozhanov, L. S. Pul'kina // Differentsial'nyye uravneniya. – 2006. – T. 42, № 9. –
S. 1166–1179.
7. G o r d e zi a n i , D . G . Resheniya nelokal'nykh zadach dlya odnomernykh kolebaniy
sredy / D. G. Gordeziani, G. A. Avalishvili // Matematicheskoye modelirovaniye. –
2000. – T. 12, № 1. – S. 94–103.
8. P r i l e p k o , A . I . O nekotorykh obratnykh zadachakh dlya parabolicheskikh uravneniy s final'nym i integral'nym nablyudeniyem / A. I. Prilepko, A. B. Kostin // Matematicheskiy sbornik. – 1992. – T. 183, № 4. – S. 49–68.
9. P r i l e p k o , A . I . Svoystva resheniy parabolicheskogo uravneniya i yedinstven-nost'
resheniya obratnoy zadachi ob istochnike s integral'nym pereopredeleniyem /
A. I. Prilepko, D. S. Tkachenko // Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matemati
cheskoy fiziki. – 2003. – T. 43, № 4. – S. 562–570.
10. K a m y n i n , V . L . Ob obratnoy zadache opredeleniya pravoy chasti v parabolicheskom uravnenii s usloviyem integral'nogo pereopredeleniya / V. L. Kamynin // Matematicheskiye zametki. – 2005. – T. 77, № 4. – S. 522–534.
32
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
2
11. G a b a s o v , S . A . Ob uravnenii  u xx  u   u xx  0 i nekotorykh svyazannykh s nim
2
t
zadachakh / S. A. Gabasov, B. B. Orazov // Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. – 1986. – T. 26, № 1. – S. 92–102.
12. K h u d a v e r d i y e v , K . I . Issledovaniye odnomernoy smeshannoy zadachi dlya odnogo klassa psevdogiperbolicheskikh uravneniy tret'yego poryadka s nelineynoy operatornoy pravoy chast'yu / K. I. Khudaverdiyev, A. A. Veliyev. – Baku : Chashyogly,
2010. – 168 s.
Мегралиев Яшар Топуш оглы
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра дифференциальных
и интегральных уравнений, Бакинский
государственный университет
(Азербайджан, Баку, ул. Академика
Захид Халилова, 23)
Megraliev Yashar Topush ogly
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of differential
and integral equations, Baku State
University (Azerbaijan, Baku,
23 Academica Zakhid Khalilova str.)
E-mail: yashar_aze @ mail.ru
УДК 517.95
Мегралиев, Я. Т.
О разрешимости одной обратной краевой задачи для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка с дополнительным интегральным условием / Я. Т. Мегралиев // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 1 (25). –
С. 19–33.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.3
Е. Д. Деревянчук
РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ТЕНЗОРА МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ДИАФРАГМЫ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ1
Аннотация. Рассматривается обратная задача электродинамики – задача определения тензора магнитной проницаемости односекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками.
Разработан метод решения такой задачи. На основе предложенного метода построена математическая модель.
Ключевые слова: обратные краевые задачи электродинамики, диагональный
тензор магнитной проницаемости, дифференциальные уравнения.
E. D. Derevyanchuk
SOLUTION OF AN INVERSE PROBLEM OF DETERMINING
MAGNETIC PERMEABILITY TENSOR OF A DIAPHRAGM
IN A RECTANGUALR WAVEGUIDE
Abstract. The article considers the inverse problem of electromagnetic waves – permeability tensor determination of a single-sectional diaphragm, enclosed in a rectangular waveguide with the perfectly conducting boundary surface. The author has
developed a method of solving such an inverse problem and tested it.
Key words: inverse problem of electromagnetic waves, permeability tensor, differential equations.
Введение
Задача определения электромагнитных параметров материалов исследуется более полувека. Разработаны различные методы решения таких задач.
Тем не менее эта задача остается актуальной до сих пор. С появлением композитных, нано- и метаматериалов возникла необходимость в разработке новых методов решения обратных задач электродинамики, так как применение
известных методов на практике, как правило, невозможно из-за композитного
характера материалов и малых размеров образцов [1]. Поэтому применяют
методы математического моделирования [2] и решают задачи численно с помощью компьютеров.
При этом приходится решать трехмерные векторные задачи в полной
электродинамической постановке [3–5].
Решение таких задач требует достаточно большого объема вычислений,
которые зачастую невозможно выполнить даже с помощью современных суперкомпьютеров с приемлемой для практики точностью.
Одной из важнейших проблем электродинамики является решение обратных электродинамических задач на сложной системе поверхностей и тел
в резонансном диапазоне частот, возникающих при определении параметров нанокомпозитных материалов и наноструктур.
1
Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты № 11-07-00330-А, 12-07-97010-р_А)
и ФЦП «Научные и педагогические кадры инновационной Росии» на 2009–2013 гг., соглашение № 14.В37.21.1950.
34
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
По данному направлению имеется целый ряд работ как в России ([4, 5]
и др.), так и за рубежом [6, 7].
Цель данной работы – разработка численно-аналитического метода решения обратной задачи электродинамики для определения тензора магнитной
проницаемости односекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный
волновод.
Данная работа состоит из трех частей: в первой части изложена постановка задачи; во второй части представлен метод решения поставленной задачи, в третьей приведены численные результаты.
1. Постановка задачи
Пусть в декартовой системе координат задан волновод P   x : 0  x1  a,
0  x2  b,   x3   с идеально проводящей поверхностью P .
В волноводе расположена диафрагма Q ( Q  P – область), которая
представляет собой параллелепипед Q   x : 0  x1  a, 0  x2  b, 0  x3  l1 ,
имеющий одну секцию (рис. 1). В P \ Q среда изотропна и однородна с постоянными магнитной проницаемостью  0  0  и диэлектрической проница-
емостью  0  0  ; диафрагма Q представляет собой анизотропную среду
с диагональным тензором магнитной проницаемости [6]
 11 0

ˆ   0  22
 0
0

0 

0 
33 
(1)
и постоянной диэлектрической проницаемостью
  1 .
(2)
Рис. 1. Диафрагма в волноводе
Требуется по известным коэффициентам A и F электромагнитного
поля, известной толщине диафрагмы l1 определить компоненты тензора
магнитной проницаемости ̂ (см. рис. 1, 2).
Physics and mathematics sciences. Mathematics
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
D1
B
0
1
0
F
C1
A
0
l1
Рис. 2. Схема распространения волн в волноводе
Амплитуда F прошедшего поля считается известной и получается
в результате измерений.
Рассмотрим математическую постановку задачи. Поведение электромагнитного поля внутри и вне объекта, расположенного в волноводе, описывается уравнениями Максвелла:
 rot H  iΕ,

 rot E  iˆ H,
(3)
где E – вектор напряженности электрического поля; H – вектор напряженности магнитного поля;  – круговая частота.
Предполагаем, что  a  k0   b , где k0 – волновое число вакуума,
k02  2 00 . В этом случае в волноводе распространяется только одна волна
(волновод «работает» в одномодовом режиме) [8]. Используя уравнения (3),
рассчитаем поле внутри Q . Будем предполагать, что внешнее электрическое
поле имеет следующий вид [9]:

 x 
E 0  e2 A sin  1  e i 0 x3
 a 
с известной амплитудой A . Здесь   k02  2 a 2  2 00  2 a 2 .
Подставим (1)–(2) в уравнения Максвелла (3). С учетом того, что в волноводе распространяется только волна H10 с поляризацией, получаем
E   0 E2 0  , H   H1 0 H 3  .
Полное поле внутри и вне Q имеет вид
  0
 x1 
i x
i 0 x3
 Be 0 3 ),
 E2  sin 
 ( Ae
 a 


 x1 
i x
i x
 1
 E2  sin 
 (C1e 1 3  D1e 1 3 ),
 a 


x
 E  2   sin  1  Fei 0 x3 .
2

 a 
36
(4)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Тогда внутри Q имеем

 1
 H 1   1
E ,
1

i11 x3 2

1
 1
 1
E ,
H3 
i33 x1 2


2
2
 1  E 1  1  E 1  i E 1 ,
1 2
 i33 x 2 2
i11 x12 2
3

(5)

  0
H 0   1
E ,
1

i0 x3 2

1   0
 0
E2 ,
H3 

i
0 x1


2
2
 1  E  0   1  E  0   i E  0  .
0 2
 i0 x 2 2
i0 x12 2
3

(6)
а вне Q :
Из последнего уравнения системы (5) получаем

1
1   33  2 1 

11

2 
.
a 2 
(7)
Из последнего уравнения системы (6) получаем
 0   200 
2
a2
.
(8)
Для определенности выберем знак «+» в формулах (7), (8).
На границе областей L :  x3  0, x3  l1 должны выполняться условия
сопряжения [8]:
[ E ] L  0; [ H ] L  0 ,
или
0
E2 
1
x3 0 0
 E2
x3 00
,
E2 
 2
1
x3 l1  0
 E2
x3 l1 0
;
1  0
1  1

E2
E
;
0 x3
11 x3 2 x 00
x3 00
3
1  1
1   2

E2
E
11 x3
0 x3 2 x l 0 ,
x3 l1 0
3 1
Physics and mathematics sciences. Mathematics
(9)
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
отсюда с учетом уравнений (4) мы приходим к следующей системе:
 A  B  C1  D1 ,

  0  B  A   1  D1  C1  ,
 0
11
 i  l
i  l
i l
C1e 1 1  D1e 1 1  Fe 0 1 ,
 

 1 ( D1ei1l1  C1e i1l1 )   0 Fe i 0l1 ,
0
 11
(10)
где

1
1  33  21 


11

2 
.
a 2 
Тогда, зная коэффициенты A, F , толщину секции диафрагмы, диэлектрическую проницаемость 1 , а также 11 или 33 , можно найти одну из
компонент тензора: либо 11 (если известна компонента 33 ), либо 33 (если
известна 11 ), на основе следующей формулы:
1


  
 
A  Fe i 0l1  cos  1l1   i sin  1l1   0 11  0 1   ,

 1
2 011  
 2 1 0


(11)
где

1
1
1  33  2 1 

11

2 
.
a 2 
(11.1)
Для того чтобы найти все компоненты тензора, был разработан следующий метод решения задачи.
Суть метода состоит в том, чтобы, пространственно ориентируя диафрагму относительно волновода определенным образом, получить ряд измерений для каждого положения диафрагмы в волноводе и на основе данных измерений (коэффициентов F ) определить все три компоненты тензора [10].
Постановка задачи: Требуется по известным коэффициентам А и F
электромагнитного поля для различных пространственных ориентаций
диафрагмы относительно волновода определить тензор магнитной проницаемости.
2. Метод решения обратной задачи
Суть метода состоит в том, чтобы найти такие преобразования тензора,
под действием которых компоненты тензора изменяли бы свое положение на
главной диагонали, причем каждое такое преобразование можно было бы
осуществить на практике.
Такие преобразования были найдены.
38
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
1 0 0


Пусть A1 – тождественное преобразование A1   0 1 0  .
0 0 1


1
Тогда очевидно, что ˆ  A11ˆ A1 .
Рассмотрим преобразование A2 :
 0 0 1


A2   0 1 0  .
1 0 0 


(12)
 2
1
После поворота исходный тензор преобразуется в ˆ  A21ˆ A2
( A2 – ортогональная матрица). Распишем формулы преобразования компонент тензора при повороте пространства относительно оси Ox2 :
0 1   11 0

1 0   0  22
 1 0 0   0
0


0
 2 
  0
0
 33

  0  22
 0
0

0   0 0 1


0  0 1 0  
33   1 0 0 
0 

0 .
11 
Преобразование (12) есть не что иное, как поворот диафрагмы на угол


относительно оси Ox2 . Такое преобразование можно выполнить,
2
например, используя образец диафрагмы с геометрическими параметрами
( a , b , l1  a ).
Проводя рассуждения для ̂
 2  , получим следующее выражение:
2
 2     2  1   .


11
1
2
1


(13)
33 a 
С учетом выражения (13), уравнение (11) преобразуется в уравнение
 2


0 1  
 011
2  i 0l1 


A F e
cos  1l1   i sin  1l1 

,

 2   2 
2 011  


1
0
(14)

где
2
 2     2  1   .


11
1
2
1


33 a 
Physics and mathematics sciences. Mathematics
(14.1)
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Отметим, что (14.1) отличается от (11.1). Решая совместно оба уравнения (11) и (14), мы можем определить две компоненты тензора 11 и 33 .
Для того чтобы определить оставшуюся компоненту тензора, выполним следующее преобразование.
Рассмотрим преобразование A3 :
1 0 0


A3   0 0 1  .
 0 1 0 


После
выполнения
A3
исходный
(15)
тензор
запишется
в
виде
 3
1
ˆ  A31ˆ A3 . В результате формулы преобразования компонент тензора
примут следующий вид:
1 0
0   11
0 1

0   0
 3 

ˆ   0 0 1  0
0
 22
0
0  1 0 0


0  0 0 1 
33   0 1 0 
0 
 11 0


  0 33
0 .
 0
0  22 

Аналогично для ̂
 3 :

1
 3
1   22  2 1 

11

2 
,
a 2 
(16)
1 0 0



A3   0 0 1  – поворот на угол   относительно оси Ox1 .
2
 0 1 0 


Данное преобразование можно выполнить, если изменить длину диаl
фрагмы l1 на 1 .
2
С учетом (16) выражение (11) преобразуется в уравнение
 3


0 1  
11
3 il1 


,
A F e
cos  1l1   i sin  1l1 


 2   3
2 011  


1
0
(17)

где

1
 3
1   22  2  

11

2 
.
a 2 
(17.1)
Отметим, что (17.1) отличается от уравнений (11.1) и (14.1).
40
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Уравнения (11), (14), (17) образуют следующую систему уравнений:

1  


 A  F 1 ei 0l1  cos   l   i sin   l    011  0 1   ,
11
11


 1
2  011  
 2 1 0




 2 



0 1  
 011
2  i 0l1 



cos  1l1   i sin  1l1 
,
A  F e

 2   2 
2  011  

 1 0




 3  


 A  F  3 ei 0l1  cos   l   i sin   l    011  0 1   ,
11
11


  3
2 011  
 21 0



(18)
где

1
1
1  33  2 1 


11


2   2 
1
; 1  11  21 

2


a 
33


1
 3
1   22  2 1 

11

2 
;
a 2 
2 
.
a 2 
Таким образом, получена система (18) из трех нелинейных уравнений
для определения всех компонентов тензора.
Для того чтобы составить систему (18), потребуются измерения
F   , F   , F   . Для этого на практике достаточно будет иметь образец
с геометрическими параметрами ( a , b , l1  a ) и известной диэлектрической
1
2
3
проницаемостью 1 . Для такого образца измеряем сначала F   , F   , выполнив повороты образца в соответствии с описанными преобразованиями
A1 , A2 .
Далее, изменив геометрические параметры образца на следующие:
a
a , b , l1  , и пространственную ориентацию образца в соответствии с пре2
1
2
образованием A3 , измеряем F   .
Предполагается, что образец выполнен из композитного материала, для
которого такое изменение геометрических параметров образца не влияет на
11 ,  22 , 33 , 1 .
3
Численные результаты
На основе предложенного метода была разработана математическая
модель, результаты численных вычислений которой представлены в табл. 1.
Исходные данные для обратной задачи были получены путем численного моделирования прямой задачи. В качестве математического пакета для реализации данной модели использовался пакет компьютерной математики MathCad.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Таблица 1
Тип задачи
Прямая
Обратная
Исходные данные
  2,5 , a  2 , b  1 ,
c  2 , l1  2 ; A  1 ,
0  1 , 1  1,1 ,
11  1, 2 ,  22  1, 4 ,
33  1,8
  2,5 , a  2 , b  1 ,
c  2 l1  2 ;
A  1 , 0  1 , 1  1,1
1  0, 406  0,909i,
F1
Результаты
1  0, 406  0,909i,
F1
 2   0,319  0,907i
F1
 3  0, 264  0,96i
F1
11  1,19991539  1,7799412  105 i
 22  1,3999351  5,529641  105 i
33  1,80000337  2,770592  104 i
 2   0,319  0,907i
F1
 3  0, 264  0,96i
F1
Заключение
В данной работе представлен метод определения тензора магнитной
проницаемости диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод. Разработан метод решения такой задачи. В работе приведены численные результаты решения поставленной обратной задачи.
Список литературы
1. S o l y m a r , L . Waves in Metamaterials / L. Solymar, E. Shamonina. – New York : Oxford University Press Inc., 2009.
2. С м и р н о в , Ю . Г . Математические методы исследования задач электродинамики : моногр. / Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2009. – 268 с.
3. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм и сходимость метода Галеркина в задачах дифракции электромагнитного
поля на плоском экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Сер. Естественные науки. – 2004. –
№ 5. – С. 3–19.
4. С м и р н о в , Ю . Г . Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного
объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной
диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2008. – № 3. – С. 39–55.
5. Г у р и н а , Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном
в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 2. – С. 44–53.
6. Ta o P a n . Study of a slab waveguide loaded with dispersive anisotropic / Tao Pan,
Guo-Ding Xu, Tao-Cheng Zang, Lei Gao // Applied Physics A. – 2009. – Р. 367–372.
7. Ba e n a , J . D . Near-perfect tunnelling and amplification of evanescent electromagnetic waves in a waveguide filled by a metamaterial: Theory and experiment / J. D. Baena,
L. Jelinek, R. Marques and F. Medina // Physical Review B. – 2005. – № 72.
42
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
8. В а й н ш т е й н , Л. А . Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. – М. : Радио
и связь, 1988. – 442 с.
9. Г р и ш и н а , Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на двух секциях с разной диэлектрической проницаемостью,
расположенных в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гришина, Е. Д. Деревянчук,
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 4. – С. 73–81.
10. А н г о , А . Математика для электро- и радиоинженеров / А. Анго. – М. : Наука,
1965. – С. 288–291.
References
1. S o l y m a r , L . Waves in Metamaterials / L. Solymar, E. Shamonina. – New York :
Ox-ford University Press Inc., 2009.
2. S m i r n o v , Y U . G . Matematicheskiye metody issledovaniya zadach elektrodinami-ki
: monogr. / YU. G. Smirnov. – Penza : Inf.-izd. tsentr PenzGU, 2009. – 268 s.
3. M e d v e d i k , M . Y U . Subiyerarkhicheskiy parallel'nyy vychislitel'nyy algo-ritm i
skhodimost' metoda Galerkina v zadachakh difraktsii elektromagnitnogo polya na
ploskom ekrane / M. YU. Medvedik, YU. G. Smirnov // Izvestiya vysshikh uchebnykh
zavedeniy. Povolzhskiy region. Ser. Yestestvennyye nauki. – 2004. – № 5. – S. 3–19.
4. S m i r n o v , Y U . G . Primeneniye GRID-tekhnologiy dlya resheniya nelineynogo
ob"yemnogo singulyarnogo integral'nogo uravneniya dlya opredeleniya effektivnoy
dielektricheskoy pronitsayemosti nanomaterialov / YU. G. Smirnov // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki. –
2008. – № 3. – S. 39–55.
5. G u r i n a , Y e . Y e . Chislennoye i analiticheskoye resheniye zadachi difraktsii elektromagnitnogo polya na dielektricheskom parallelepipede, raspolozhennom v
pryamougol'nom volnovode / Ye. Ye. Gurina, M. YU. Medvedik, YU. G. Smirnov //
Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki. – 2010. – № 2. – S. 44–53.
6. Ta o P a n . Study of a slab waveguide loaded with dispersive anisotropic / Tao Pan,
Guo-Ding Xu, Tao-Cheng Zang, Lei Gao // Applied Physics A. – 2009. – R. 367–372.
7. Ba e n a , J . D . Near-perfect tunnelling and amplification of evanescent electromagnetic waves in a waveguide filled by a metamaterial: Theory and experiment / J. D. Baena,
L. Jelinek, R. Marques and F. Medina // Physical Review B. – 2005. – № 72.
8. V a y n s h t e y n , L. A . Elektromagnitnyye volny / L. A. Vaynshteyn. – M. : Radio i
svyaz', 1988. – 442 s.
9. G r i s h i n a , Y e . Y e . Chislennoye i analiticheskoye resheniye zadachi difraktsii elektromagnitnogo polya na dvukh sektsiyakh s raznoy dielektricheskoy pronitsayemost'yu,
raspolozhennykh v pryamougol'nom volnovode / Ye. Ye. Grishina, Ye. D. Derevyanchuk, M. YU. Medvedik, YU. G . Smirnov // Izvestiya vysshikh uchebnykh
zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki. – 2010. – № 4. –
S. 73–81.
10. A n g o , A . Matematika dlya elektro- i radioinzhenerov / A. Ango. – M. : Nauka,
1965. – S. 288–291.
Деревянчук Екатерина Дмитриевна
аспирант, Пензенский
государственный университет
(г. Пенза, ул. Красная, 40)
Derevyanchuk Ekaterina Dmitrievna
Postgraduate student,
Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Physics and mathematics sciences. Mathematics
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.3
Деревянчук, Е. В.
Решение обратной задачи определения тензора магнитной проницаемости диафрагмы в прямоугольном волноводе / Е. Д. Деревянчук // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 1 (25). – С. 34–44.
44
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.958
И. Л. Александрова, Н. Б. Плещинский
ПРОВОДЯЩИЙ ТОНКИЙ ЭКРАН В ВОЛНОВОДНОЙ
СТРУКТУРЕ: ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ
И ЗАДАЧА ТРАНСМИССИИ1
Аннотация. Задача дифракции и задача трансмиссии электромагнитной волны
на идеально проводящем тонком экране в плоском волноводе сведены к парному сумматорному функциональному уравнению относительно коэффициентов разложения искомой волны в ряд Фурье. Парное уравнение равносильно
бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, которая решается
методом усечения. Предложена вычислительная схема для решения задачи
трансмиссии в случае, когда экран находится в открытом пространстве.
Ключевые слова: электромагнитные волны, задача дифракции, задача трансмиссии, плоский волновод, волны в открытом пространстве, интегральные
уравнения.
I. L. Aleksandrova, N. B. Pleshchinskiy
THIN CONDUCTING SCREEN IN A WAVEGUIDE
STRUCTURE: THE PROBLEM OF DIFFRACTION
AND THE PROBLEM OF TRANSMISSION
Abstract. The diffraction problem and the transmission problem for an electromagnetic wave on a thin conducting screen in a plane waveguide are reduced to a paired
summatory functional equation with respect to coefficients of the Fourier expansion.
The paired equation is equivalent to an infinite set of linear equations. This set is
solved by the truncation method. The authors obtain a computational scheme for
solving the transmission problem on the screen in the open space.
Key words: electromagnetic waves, diffraction problem, transmission problem,
plane waveguide, waves in open space, integral equations.
1. Постановка задач
Как правило, любая электромагнитная волна в волноводной структуре
может быть представлена в виде суммы двух волн противоположной ориентации. Будем говорить, что в случае среды без потерь волна ориентирована
положительно (прямая волна), если она переносит энергию или затухает
в направлении оси волновода. Волна отрицательной ориентации (обратная
волна) переносит энергию или затухает в противоположном направлении.
Пусть в волноводе имеется неоднородность конечного размера, например,
диэлектрическая вставка или проводящее тело. Если на неоднородность набегают приходящие с бесконечности электромагнитные волны, причем в общем
случае с двух сторон, то появляется дифрагированное поле – волны, уходящие от неоднородности на бесконечность. Таким образом, в общем случае
в процессе дифракции участвуют четыре волны: две волны, положительно и
отрицательно ориентированные, с одной стороны от неоднородности и две
волны, также разной ориентации, с другой стороны.
1
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 12-01-97012-р_поволжье_а.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Задача дифракции электромагнитных волн на неоднородности в волноводной структуре ставится так: по набегающим на неоднородность волнам
нужно найти уходящие от нее волны. Назовем задачей трансмиссии следующую задачу: по электромагнитному полю с одной стороны от неоднородности
нужно найти поле с другой ее стороны (лат. transmissio – передача, переход).
Можно рассматривать две равноправные задачи трансмиссии: или по
полю с одной стороны от неоднородности ищется поле с другой стороны, или
наоборот. У задачи дифракции, вообще говоря, также есть пара – задача, когда по уходящему от неоднородности полю нужно восстановить набегающие
на нее волны. Отметим, что и задача дифракции, и задача трансмиссии ставятся как задачи сопряжения для уравнений электродинамики, но имеется
существенное отличие: в первом случае нужно найти их решения в двух областях, удовлетворяющие некоторым условиям на общей границе, а во втором – в одной и той же области, но решения разной ориентации.
Задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих
тонких экранах относятся к классическим задачам электродинамики (см.,
например, [1], гл. IV, § 2). Близкими к ним по постановке и по методам исследования являются задачи дифракции на отверстиях в экранах, а также так
называемые задачи «о связи объемов через отверстие». Первое (и фактически
единственное) явное решение задачи дифракции на идеально проводящей полуплоскости получил А. Зоммерфельд. Морс и Рубинштейн [2] построили решение задачи дифракции на ленте в виде ряда по функциям Матье как предельный случай решения задачи дифракции на проводящем эллиптическом цилиндре. Приближенное решение задачи дифракции на ленте и щели, основанное на
функциональном уравнении Винера – Хопфа, дано в книге Б. Нобла [3]. Монография А. С. Ильинского и Ю. Г. Смирнова [4] посвящена аналитическому
исследованию векторных электродинамических задач на незамкнутых проводящих тонких поверхностях. Теория разрешимости соответствующих краевых задач построена методами теории псевдодифференциальных операторов.
В данной работе исследуется случай, когда неоднородность представляет собой идеально проводящую бесконечно тонкую пластину (экран), расположенную на поперечном сечении волноводной структуры. Будем обозна
чать через M экран, на котором w0 ( x) = u0 ( x) , и через N – оставшуюся
часть сечения (дополнение для M ), где w1 ( x) = 0 . Как обычно, предельные

значения (следы) компонент электромагнитного поля: w0 ( x) = u0 ( x) на M ;
w1 ( x) = 0 на N , должны удовлетворять условиям: на M касательные составляющие электрического вектора обращаются в нуль, а на N касательные
составляющие электрического и магнитного вектора непрерывны.
Рассматриваются две простые волноводные структуры: плоский волновод и открытое пространство (рис. 1). Предполагается, что составляющие
гармонически зависящего от времени электромагнитного поля не зависят от
поперечной координаты y декартовой системы координат. В этом случае,
как известно, компоненты TE- или TM-поляризованных волн выражаются через потенциальную функцию – решение двумерного уравнения Гельмгольца.
Следовательно, следы компонент поля на сечении волноводов выражаются
через следы потенциальной функции и ее нормальной (по отношению к сечению) производной. В дальнейшем эти следы будем помечать нижними
46
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
индексами 0 и 1, будем называть их нулевым и первым следами волны соответственно.
Рис. 1. Проводящий тонкий экран в плоском волноводе и в открытом пространстве
Ограничимся случаем, когда электромагнитное поле TE-поляризовано.
Также предположим, что волноводные структуры слева и справа от экрана
заполнены одной и той же однородной изотропной средой без потерь.
2. Электромагнитные волны в плоском волноводе
В случае TE-поляризации поля потенциальная функция u ( x, z ) –
решение уравнения Гельмгольца
 2u
x 2

 2u
z 2
 k 2 u ( x, z ) = 0 –
(1)
должна обращаться в нуль при x = 0 и при x = a . Так как функции
2
nx
sin
, n = 1, 2, ,
a
a
sn ( x) =
образуют полную ортонормированную систему функций на отрезке [0, a] , то
любое решение однородной краевой задачи для уравнения (1) в полосе имеет
вид
  un e

u ( x, z ) =

 i n z  i  n z
 un e
sn ( x),
n =1
(2)


где un и un – некоторые постоянные;  n – такие числа, что
2
 n 
 n2    = k 2 .
 a 
Условимся, что Re n > 0 или Im n < 0 . Тогда при зависимости от

времени вида eit слагаемые с коэффициентами un соответствуют волнам

положительной ориентации, а с коэффициентами un – волнам отрицательной
ориентации. Ситуация, когда  n = 0 (волны нулевой ориентации) здесь не
рассматривается.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
u
( x,0) – следы волны на сечении z = 0
z
волновода. Будем обозначать u0,n и u1,n коэффициенты Фурье этих следов
Пусть u0 ( x) = u ( x,0), u1 ( x) =
относительно системы функций sn ( x) . Легко получить следующее утверждение.
Лемма 1. Электромагнитная волна в плоском волноводе положительно ориентирована тогда и только тогда, когда
u1,n  i  n u0,n = 0, n = 1, 2, ,
(3)
или когда
a
a


u1 ( x) = u0 (t ) K1 (t , x) dt , или u0 ( x) = u1 (t ) K 1 (t , x) dt ,
0
(4)
0
где
K1 (t , x) = i


n =1
 n sn (t ) sn ( x), K 1 (t , x) = i

1
  n sn (t )sn ( x).
(5)
n =1
Заметим, что равенства (4) представляют собой нелокальные граничные
условия, связывающие друг с другом нулевой и первый следы волны в плоском волноводе. Их можно рассматривать как пару обращающих друг друга
интегральных уравнений.
Ядро K 1 (t , x) имеет логарифмическую особенность на диагонали
области определения, а ядро K1 (t , x) – гиперсингулярное. Сходимость рядов
в формулах (2) и (5) в общем случае, так же как и некоторые равенства,
следует понимать в обобщенном смысле.
Для отрицательно ориентированных волн в формулах (3)–(5) нужно
поставить другой знак перед постоянными  n .
Лемма 2. Ориентированная волна в плоском волноводе однозначно
определяется по одному своему следу на сечении волновода. Неориентированная волна однозначно определяется по двум своим следам.
Действительно, если на сечении z = 0 однородного плоского волновода
заданы функции (в общем случае – распределения) u0 ( x) и u1 ( x) , то при
любом n коэффициенты представления (2) находятся из системы уравнений




un  un = u0,n ,  i  n un  i  nun = u1,n . Для ориентированной волны для
каждого n остается только одно уравнение.
Утверждение леммы остается в силе для любого сечения плоского волновода, а также для полубесконечного волновода, поскольку потенциальная функция поля в полуполосе естественным образом продолжается на всю полосу.
3. Плоский волновод. Сумматорные уравнения
Пусть на экран в плоском волноводе набегает слева электромагнитная

волна с потенциальной функцией u ( x, z ) . При ее дифракции появляются волны, отраженные влево и прошедшие вправо; их потенциальные функции обо

значим u ( x, z ) и v ( x, z ) .
48
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика


Будем искать v ( x, z ) = u ( x, z )  w( x, z ) , где w( x, z ) – возмущение от
экрана потенциальной функции. Тогда граничные условия и условия сопряжения на сечении волновода имеют вид



u0 ( x)  u0 ( x) = 0, u0 ( x)  w0 ( x) = 0 на M ;


u0 ( x) = w0 ( x), u1 ( x) = w1 ( x) на N .
(6)
Теорема 1. Задача дифракции электромагнитной волны на экране
в плоском волноводе эквивалентна бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) относительно коэффициентов Фурье функции w( x)
 wk 


 n wn
n =1


1

I n,m J m,k =
un I n,k , k = 1, 2, ,

m =1 m
n =1


(7)
где
I n ,m =
 sn (t )sm (t ) dt ,

J m,k = sm (t ) sk (t ) dt.
M
(8)
N

Доказательство. Из равенств (6) следует, что u0 ( x) = w0 ( x) всюду на

[0, a] и un = wn , n = 1, 2, Поэтому числа wn должны удовлетворять парному сумматорному функциональному уравнению (ПСФУ)


wn sn ( x) = 
n =1



un sn ( x) на M ,
n =1

  n wn sn ( x) = 0 на N .
(9)
n =1
Преобразуем ПСФУ к БСЛАУ с помощью интегрально-сумматорного
тождества
a  

  1


wn sn ( x) =
 n wn sn (t ) 
sm (t ) sm ( x)  dt ,



n =1
 m=1  m

0  n =1



x  [0, a].
(10)
Из тождества (10) следует, что на N


n =1
wn sn ( x) =
 
  1

  n wn sn (t ) 
sm (t ) sm ( x)  dt 



 m=1  m

M  n =1
 




n =1
m =1
1
  n wn   m sm ( x) I n,m .
(11)
Спроектируем новое парное уравнение (первое равенство из (9) и равенство (11)) на функции sk ( x) и получим БСЛАУ (7). #

При решении задачи дифракции по un из БСЛАУ нужно найти wn ,



тогда vn = un  wn и un = wn , n = 1, 2, Отметим, что интегралы (8) вычисляются аналитически, причем все рассуждения легко перенести на ситуацию,
когда M – не один экран на сечении волновода, а несколько таких экранов.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Аналогичным образом рассматривается задача дифракции в случае, когда волна от внешнего источника набегает на экран справа или когда заданы


две волны с потенциальными функциями u ( x, z ) и v ( x, z ) . При этом в БСЛАУ
(7) изменятся правые части уравнений, но не матрица коэффициентов. Поэтому
разделять общую задачу дифракции на две подзадачи не имеет особого смысла.
Задача трансмиссии в общей постановке также может быть разделена
на две подзадачи. Действительно, если заданы потенциальные функции


v ( x, z ) и v ( x, z ) , то по первой из них можно найти решение задачи дифрак

ции – волну u'( x, z ) , прошедшую влево, и волну v'( x, z ) , отраженную вправо.


Затем по разности v ( x, z )  v'( x, z ) нужно восстановить приходящую справа


волну u ( x, z ) и второе слагаемое u ''( x, z ) в потенциальной функции волны,
уходящей влево. Такое упрощение задачи трансмиссии целесообразно.

Итак, при решении упрощенной задачи трансмиссии по vn нужно

найти un , но для этого можно использовать ту же самую БСЛАУ (7). Доста

точно заменить в правой части коэффициенты un на vn  wn . Отметим, что

числа vn не могут быть заданы произвольно. Должно быть выполнено условие


 vn sn ( x) = 0 на M .
n =1
Теорема 2. Задача трансмиссии электромагнитных волн на экране
в плоском волноводе эквивалентна БСЛАУ
 wk 


 n wn
n =1



1

I n, m J m,k 
I n,k wn =
vn I n,k , k = 1, 2,

m =1 m
n =1
n =1



(12)
4. Плоский волновод. Вычислительный эксперимент
Приближенное решение БСЛАУ (7) может быть получено методом
усечения. В конечномерной СЛАУ
 wk 
K

 n wn
n =1
L
K
1

I n,m J m,k = I n,k un , k = 1.. K ,

m =1 m
n =1


(13)
присутствуют два параметра усечения K и L .
Задача дифракции. Численное решение СЛАУ (13) легко находится,
например, методом Гаусса.
Можно искать одновременно и вектор w = ( w1 , , wK ) , и вектор
 

v = (v1 , , vK ) , если удвоить число неизвестных и число уравнений, т.е. добавить к соотношениям (12) уравнения


 wk  vk = uk , k = 1..K .
(14)

Задача трансмиссии. Если заданы значения vn и нужно определить wn

и un , то проще всего переписать уравнения (13), (14) следующим образом:
 wk 
K

n =1
50
 n wn
L
K
1



I n ,m J m,k 
I n,k un = 0, wk  uk = vk .

m =1 m
n =1


(15)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Если в качестве исходных данных в задаче трансмиссии использовать

приближенное решение задачи дифракции, то вектор u может быть восстановлен с достаточной точностью при относительно малых размерах экрана.
При увеличении экрана результат становится хуже, но можно компенсировать потерю точности за счет увеличения параметра L . Аналогичный эффект
наблюдается, если вместо (15) рассматривать СЛАУ вдвое меньшей размерности
 wk 
K

n =1
 n wn
L
K
K
1

I n ,m J m,k 
I n,k wn =
I n,k vn , k = 1. . K ,

m =1 m
n =1
n =1



(16)
которая является усечением БСЛАУ (12) или выводится непосредственно
из (13).
Вычислительный эксперимент показал, что решение задачи трансмиссии устойчиво по отношению к достаточно малым возмущениям исходных
данных.
Приведем простые рассуждения, уточняющие связь между задачей дифракции и задачей трансмиссии. Если задача дифракции (прямая задача) сво
дится к операторному уравнению вида Aw = Bu , то при решении задачи
трансмиссии (обратной задачи) нужно искать вектор w так, чтобы получи 
лось w  u = v . Тогда новое уравнение для определения w имеет вид

( A  B ) w = Bv . Следовательно, задача трансмиссии может быть решена численно примерно с той же точностью, что и задача дифракции, если при возмущении оператора A оператором B сохраняются его свойства.
Стабилизировать счет при решении задачи трансмиссии можно и с по
мощью следующего приема. Если известно, что у искомого вектора u по
следние компоненты должны быть равны нулю: un = 0 при n > K1 (здесь
K1 < K ), то эти равенства можно использовать при модификации алгоритма.
Нужно взять K1 первых уравнений из СЛАУ (16) и добавить к ним уравне
ния wk = vk , k = K1  1. . K .
Решение задачи трансмиссии можно получить также методом, который
часто используется при решении обратных задач. Выберем множество ли
нейно независимых векторов u j , j = 1. . K и найдем соответствующие им ре

шения v j задачи дифракции. Если векторы v j тоже линейно независимы, то

любой заданный вектор v можно разложить по этому базису. Если






v = 1v1    K v K , то решение задачи трансмиссии u = 1u1    K u K . Вычислительный эксперимент показал, что в этом случае результат тем лучше,
чем больше экран.
5. Волны в открытом пространстве
Открытое пространство (плоскость в двумерном случае) также является
волноводной структурой. Потенциальными функциями собственных волн являются решения уравнения Гельмгольца (1) вида u ( x, z ) = eix iz , если
2   2 = k 2 (в общем случае  и  – комплексные числа).
Physics and mathematics sciences. Mathematics
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Сузим класс допустимых решений уравнения Гельмгольца. Пусть при
каждом фиксированном значении z дважды дифференцируемая функция
u ( x, z ) как функция аргумента x имеет медленный рост на бесконечности (не
может возрастать быстрее, чем полином). Тогда в выражении u ( x, z ) = eix iz
параметр  может принимать только вещественные значения. Кроме того, у
неограниченной во всех направлениях волноводной структуры как бы появляются стенки, ось z становится ее осью, а прямые z = c – поперечными сечениями.
Будем рассматривать u ( x, z ) при фиксированном z как распределение
медленного роста на бесконечности. Применим интегральное преобразование
Фурье по переменной x   и получим из уравнения Гельмгольца дифференциальное уравнение
 2u
2
 (k 2  2 )u (, z ) = 0 (обобщенная производная
z
совпадает с классической). При    k общее решение этого уравнения
u (, z ) = c1 ()e i () z  c2 ()ei () z , где c1 (), c2 () – распределения медлен 2u
ного роста и  () = k 2  2  0 . При  =  k имеем
= 0 и, следовательz 2
но, u (, z ) = c1 ()  c2 () z .
Условимся, что или Re () > 0 , или Im () < 0 при    k . Тогда элементарная волна eix ei () z имеет положительную ориентацию по отношению к оси z , а волна e ix ei () z – отрицательную ориентацию. В случае
 =  k будем говорить, что элементарные волны имеют нулевую ориентацию.
Таким образом,
u ( x, z ) =
1
2

 c1 ()e

i  (  ) z
 c2 ()ei () z  e ix d ,

(17)
здесь распределение c1 () определяет волны положительной ориентации, а
распределение c2 () – волны отрицательной ориентации (по отношению
к оси z или к поперечному сечению волноводной структуры z = 0 ). «Лишнее» решение (при  =  k ) не зависит от z , u ( x, z ) = c1e ikx  c2 eikx . Такое решение нулевой ориентации не переносит энергию вдоль оси z и не затухает.
Утверждения о следах потенциальных функций на прямой z = 0 такие
же, как и в случае плоского волновода. Отличие в том, что они формулируются на языке образов Фурье следов волны.
Лемма 3. Электромагнитная волна в открытой плоскости положительно ориентирована тогда и только тогда, когда
u1 ()  i  ()u0 () = 0
(18)
или когда
52
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика

u1 ( x) =
 u0 (t ) K1 (t , x) dt,

или u0 ( x) =

 u1 (t ) K1 (t , x) dt,
(19)

где
i
K1 (t , x) =
2

  ()e
i (t  x ) 

i
d , K 1 (t , x) =
2



1 i (t  x ) 
e
d .
 ()
Лемма 4. Ориентированная волна в открытой плоскости однозначно
определяется по одному своему следу на прямой z = 0 . Неориентированная
волна однозначно определяется по двум своим следам.
Действительно, положительно ориентированная волна восстанавливается по образу Фурье нулевого следа так:
u ( x, z ) =
1
2

 u0 ()e
i  () z ix
d .

Для волн отрицательной ориентации нужно изменить во всех формулах
знак у функции  () .
Если же заданы оба следа u0 ( x), u1 ( x) , то имеем СЛАУ для образов
Фурье следов слагаемых положительной и отрицательной ориентации




u0 ()  u0 () = u0 (), u1 ()  u1 () = u1 (),




u1 ()  i  ()u0 () = 0, u1 ()  i  ()u0 () = 0.
Открытая плоскость отличается от плоского волновода тем, что каждую волну в такой волноводной структуре однозначно определяет некоторое
распределение (образ Фурье следа потенциальной функции), а не дискретный
набор коэффициентов разложения по полной системе собственных волн (коэффициенты Фурье).
6. Экран в открытом пространстве.
Интегральные уравнения 1-го рода
Задача дифракции электромагнитной волны на проводящем тонком
экране в открытом пространстве может быть сведена к интегральным уравнениям различного вида. Удобно использовать связь между следами искомого
поля на поперечном сечении волноводной структуры. Наиболее просто получить интегральное уравнение 1-го рода с логарифмической особенностью
в ядре.
Пусть, как и в случае плоского волновода, на экран набегает слева

электромагнитная волна с потенциальной функцией u ( x, z ) . Будем искать по

тенциальные функции u ( x, z ) и v ( x, z ) волны, отраженной влево, и волны,


прошедшей вправо, причем так, что v ( x, z ) = u ( x, z )  w( x, z ) , где w( x, z ) –
возмущение от экрана. Как и в случае плоского волновода, должны быть выполнены условия
Physics and mathematics sciences. Mathematics
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион



u0 ( x)  u0 ( x) = 0, u0 ( x)  w0 ( x) = 0 на M ;


u0 ( x) = w0 ( x), u1 ( x) = w1 ( x) на N .
(20)
Теорема 3. Задача дифракции электромагнитной волны на экране
в открытой плоскости эквивалентна интегральному уравнению относительно первого следа возмущения от экрана

w1 (t ) K 1 (t , x) dt = u0 ( x), x  M ; w1 ( x) = 0 x  N .
(21)

M

Доказательство. Из условий (20) следует, что u0 ( x) = w0 ( x) и на N , и
на M . Тогда из равенства (18) и его аналога для волн отрицательной ориен

тации следует, что u1 ( x) = w1 ( x) . Поэтому w1 ( x) = u1 ( x) = 0 на N , и второе
из условий (19) принимает вид
w0 ( x) =
 w1 (t ) K 1 (t , x) dt.
(22)
M
Таким образом, для определения вспомогательной функции w( x, z )
в полуплоскости z > 0 имеем смешанные граничные условия

w0 ( x) = u0 ( x) на M ; w1 ( x) = 0 на N .
(23)
Эта задача, легко видеть, сводится к интегральному уравнению (21).
Заметим, что это уравнение – парное, его следует рассматривать как уравнение 3-го рода. #
При численном решении интегрального уравнения (21) удобно использовать метод Галеркина с разложением искомой функции по полиномам Чебышева 1-го рода с весом, если ширина ленты не более, чем длина волны.
Этот метод используется достаточно часто (см., например, [4, 5]), поэтому на
деталях мы не останавливаемся. Отметим только, что если M = [1,1] (этого
всегда можно добиться заменой переменных), то
w1 (t ) 
K
 ak
k =0
Tk (t )
1 t2
.
Вместо интегрального уравнения (21) можно рассматривать интегральное уравнение относительно образа Фурье w1 () первого следа w1 ( x ) . Действительно, непосредственно из равенства (18) следует, что
w0 ( x) =
1
2



i
w1 ()e ix d .
 ()
Тогда первое условие из (23) сводится к уравнению
1
2



i

w1 ()e ix d  = u0 ( x) на M .
 ()
(24)
Его решение должно быть таким, чтобы было выполнено и второе
условие из (23).
54
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Как известно, при преобразовании Фурье функции
Tk (t )
1 t
2
,
доопределенные нулем вне отрезка [1,1] , переходят в функции Бесселя,
а точнее, в функции
 k
(i ) J k ().
2
Поэтому приближенное решение интегрального уравнения (24) целесообразно искать в виде
w1 () 
 K
ak (i ) k J k ().
2 k =0

Как показал вычислительный эксперимент, при использовании метода
Галеркина в этом случае получаются те же самые значения коэффициентов ak .
Построим вычислительную схему для решения задачи трансмиссии
в случае, когда экран расположен в открытом пространстве. Предположим,
что образы Фурье следов волны, набегающей слева на экран, имеют ограниченный носитель, расположенный в пределах отрезка [  A, A] . Тогда
u0 ( x) =
1
2
A
 u0 ()e
ix
d .
A
В такой волне отсутствует часть элементарных гармоник, затухающих
в направлении оси z (возможно даже, что затухающие слагаемые вообще отсутствуют).
Выберем на [  A, A] конечную систему линейно независимых функций
 j (), j = 1. . L . Для каждой из них найдем
u0j ( x) =
1
2
A

j
()e ix d 
A
и построим приближенное решение интегрального уравнения (21), т.е. вектор
a j = (a0j ,, aKj ) , составленный из коэффициентов разложения функции
w1j (t ) по полиномам Чебышева с весом. В силу указанного выше соответствия между полиномами Чебышева и функциями Бесселя при преобразовании Фурье легко выписать коэффициенты разложения образа Фурье w1j ()
по функциям  j (), j = 1.. L . Так как w1j ()  i  () w0j () = 0 , то коэффициенты разложения по тем же функциям образа Фурье нулевого следа w0j () равны
Physics and mathematics sciences. Mathematics
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
bnj
K

a j (i )k
=i
2 k =1 k

A

A
1
J k ()n () d .
 ( )
Будем рассуждать на языке коэффициентов разложения по базисным
функциям образов Фурье нулевых следов волн, участвующих в волновом
процессе. Векторы из коэффициентов разложения прошедших вправо волн

v0j () получаются как суммы единичных векторов e j , соответствующих
следам u0j () =  j () набегающих слева волн, и векторов b j = (b0j , , bKj ) .
При этом векторы e j  b j будут линейно независимыми.

Если задан нулевой след v0 () волны справа от экрана, то соответствующий ему вектор коэффициентов разложения по функциям  j () запишем как линейную комбинацию векторов e j  b j с некоторыми коэффициентами  j . Тогда нулевой след искомого решения задачи трансмиссии имеет
вид
L
  j  j ().
j =1
Если в качестве исходных данных в задаче трансмиссии использовать
приближенное решение задачи дифракции, то коэффициенты разложения

функции u1 ( x) в ряд по полиномам Чебышева могут быть восстановлены
с достаточной точностью. Возмущение параметра A не влияет на результат.
Данный метод устойчив к небольшим возмущениям исходных данных.
7. Интегральные уравнения 2-го рода
Задача дифракции электромагнитной волны на экране в открытом пространстве может быть сведена также и к интегральным уравнениям 2-го рода.
Рассмотрим связи вида (19) между нулевым и первым следами потенциальной функции w( x, z ) с учетом граничных условий (23) – равенства (22) и

w1 ( x) = w0 (t ) K1 (t , x) dt  f1 ( x),
N

f1 ( x) = u0 (t ) K1 (t , x) dt.

(25)
M
Чтобы перейти к интегральным уравнениям 2-го рода, нужно исключить из формул (22) и (25) одну из искомых функций (см. [6], а также [7],
гл. 6).
В случае плоского волновода можно получить интегральное уравнение
точно того же вида, если рассуждать не на языке коэффициентов Фурье следов потенциальных функций, а на языке самих этих функций. Действительно,
ПСФУ (9) равносильно смешанным граничным условиям (23). Интегральносумматорное тождество (10) превращается во второе равенство (4), причем
интегрирование в этом равенстве проводится только по M в силу условия
w1 ( x) = 0 на N . Если выражение для w1 ( x ) из первого равенства (4) подставим в равенство (22), то получим
56
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
a

 w0 () K1 (, t ) d   K 1 (t , x) dt


M0


при x  N . С другой стороны, w0 ( x) = u0 ( x) при x  M . Если это парное
уравнение спроектировать на функции sk ( x ) , то придем к БСЛАУ (7).
В случае плоского волновода регулярные БСЛАУ, эквивалентные задачам дифракции и трансмиссии, были равносильны интегральным уравнениям
2-го рода, заданным на всем сечении волноводной структуры. Покажем, как
для открытой плоскости можно свести задачу дифракции электромагнитной
волны на экране к регулярному интегральному уравнению на оси. Для этого
нужно принять во внимание, что в периодическом случае коэффициенты
Фурье функции заменяют ее образ Фурье, а сумма ряда Фурье – аналог обратного преобразования Фурье.
Как было установлено выше, возмущение w( x, z ) электромагнитного
поля справа от экрана определяется по смешанным граничным условиям (23)

w0 ( x) = u0 ( x) на M ;
w1 ( x) = 0 на N ,
w0 ( x) =
 
при этом для положительно ориентированной волны (см. вторую формулу
(19)) с учетом второго граничного условия

w0 ( x) =
 w1 (t ) K 1(t , x) dt =  w1 (t ) K 1 (t , x) dt.

M
Функции под знаком интеграла заменим на обратные преобразования
Фурье, и тогда на N
w0 ( x) =
 1 
 1  i i (t  x)

i t

i  (1 ) w0 (1 )e 1 d 1 
e 2
d 2  dt =
 2
 2  (2 )


M
 



1
=
2


 1  1

i x
e 2 I (2  1 ) d 2  d 1 ,
 (1 ) w0 (1 ) 
 2   ( 2 )


 



здесь и дальше
I ( ) =
e
it
dt ,
J () = eit dt.

M
N
Теперь перейдем к образу Фурье искомой функции. Имеем
w0 () =
1
2

 w0 ( x)e
ix
dx =

1
w0 ( x)e
2 
ix
dx 
M
1
w0 ( x)e
2 
N
ix
dx = 
1
2


  1

1

ix
 u0 ( x)e dx 
 (1 ) w0 (1 ) 
I (2  1 ) J (  2 ) d 2  d 1.
  ( 2 )

42 
M
 




Physics and mathematics sciences. Mathematics
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


Выразим функцию u0 ( x) через ее образ Фурье u0 () и получим
  1

I (2  1 ) J (  2 ) d 2  d 1 = f (), (26)
 w0 () 
 (1 ) w0 (1 ) 
  ( 2 )

42 
 

1



  (, ),
1
f ( ) =
2


 u0 (1 ) I (  1 ) d 1.

Так как J (  2 ) = 2(2  )  I (  2 ) , то это интегральное уравнение можно переписать в виде

 w0 () 
 w0 (1 ) K (1, ) d 1 = f (),
  (, ),




1
1

 (1 ) 2
K (1 , ) =
I (  1 ) 
I (2  1 ) I (  2 ) d  2  .
 ( 2 )
  ( )

4 2



1

Можно перейти от интегрального уравнения к БСЛАУ, если подобрать
систему функций (распределений) на оси, по которым можно разлагать в ряды следы потенциальных функций всех участвующих в процессе дифракции
волн. Как известно, любое распределение умеренного роста на бесконечности
и его образ Фурье разлагаются в ряды по функциям Эрмита h j ( x) , причем
между коэффициентами разложений имеется простая связь.
Если
u0 () =

 u j h j (),
w0 () =
j =0

 w j h j (),
j =0
то


1
f ( ) =
uj
h j (1 ) I (  1 ) d 1.
2
j =0



Умножим обе части интегрального уравнения на hk () , проинтегрируем по оси и получим БСЛАУ
k wk 



w j K kj =
j =0
 u j f kj ,
k = 0,1,,
j =0
где

K kj =
  hk ()h j (1 ) K (1, ) d 1 d ,

58
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
1
f kj =
2

  hk ()h j (1 ) I (  1 ) d 1 d .

Список литературы
1. Х е н л , Х . Теория дифракции / Х. Хенл, А. Мауэ, К. Вестпфаль. – М. : Мир,
1964. – 428 с.
2. M o r s e , P . M . The diffraction of waves by ribbons and by slits / P. M. Morse,
P. J. Rubinstein // Phys. Rev. – 1938. – V. 54, № 11. – P. 895.
3. Н о б л , Б. Метод Винера – Хопфа / Б. Нобл. – М. : ИЛ, 1962. – 280 с.
4. И л ь и н с к и й , А . С . Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких
экранах (Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции) / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. – М. : ИПРЖР, 1996. – 176 с.
5. С м и р н о в , Ю . Г . Применение многочленов Чебышева к решению одномерных
интегральных уравнений типа потенциала / Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Изд-во
Пенз. гос. тех. ун-та, 1994.
6. П л е щ и н с к и й , Н . Б. Уравнение Гельмгольца в полуплоскости и скалярные
задачи дифракции электромагнитных волн на плоских металлических экранах /
Н. Б. Плещинский. – Препринт ПМФ-03-02. Казань : Казанск. матем. об-во, 2003. –
30 с.
7. П л е щ и н с к и й , Н . Б. Модели и методы волноводной электродинамики : учеб.
пособие / Н. Б. Плещинский. – Казань : Казан. гос. ун-т, 2008. – 104 с.
References
1. K h e n l , K H . Teoriya difraktsii / KH. Khenl, A. Maue, K. Vestpfal'. – M. : Mir,
1964. – 428 s.
2. M o r s e , P . M . The diffraction of waves by ribbons and by slits / P. M. Morse,
P. J. Rubinstein // Phys. Rev. – 1938. – V. 54, № 11. – P. 895.
3. N o b l , B . Metod Vinera – Khopfa / B. Nobl. – M. : IL, 1962. – 280 s.
4. I l ' i n s k i y , A . S . Difraktsiya elektromagnitnykh voln na provodyashchikh tonkikh
ekranakh (Psevdodifferentsial'nyye operatory v zadachakh difraktsii) / A. S. Il'-inskiy,
YU. G. Smirnov. – M. : IPRZHR, 1996. – 176 s.
5. S m i r n o v , Y U . G . Primeneniye mnogochlenov Chebysheva k resheniyu
odnomernykh integral'nykh uravneniy tipa potentsiala / YU. G. Smirnov. – Penza : Izdvo Penz. gos. tekh. un-ta, 1994.
6. P l e s h c h i n s k i y , N . B . Uravneniye Gel'mgol'tsa v poluploskosti i skalyarnyye
zadachi difraktsii elektromagnitnykh voln na ploskikh metallicheskikh ekranakh /
N. B. Pleshchinskiy. – Preprint PMF-03-02. Kazan' : Kazansk. matem. ob-vo, 2003. –
30 s.
7. P l e s h c h i n s k i y , N . B . Modeli i metody volnovodnoy elektrodinamiki : ucheb.
posobiye / N. B. Pleshchinskiy. – Kazan' : Kazan. gos. un-t, 2008. – 104 s.
Александрова Ирина Леонидовна
ассистент, кафедра прикладной
математики, Казанский федеральный
университет (г. Казань,
ул. Кремлевская, 18)
Aleksandrova Irina Leonidovna
Assistant, sub-department of applied
mathematics, Kazan Federal University
(Kazan, 18 Kremlyovskaya str.)
E-mail: iralexand@ksu.ru
Physics and mathematics sciences. Mathematics
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Плещинский Николай Борисович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
прикладной математики, Казанский
федеральный университет
(г. Казань, ул. Кремлевская, 18)
Pleshchinskiy Nikolay Borisovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of applied mathematics, Kazan Federal
Unversity (Kazan, 18 Kremlyovskaya str.)
E-mail: pnb@ksu.ru
УДК 517.958
Александрова, И. Л.
Проводящий тонкий экран в волноводной структуре: задача дифракции и задача трансмиссии / И. Л. Александрова, Н. Б. Плещинский //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 1 (25). – С. 45–60.
60
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 518.5
И. В. Бойков, А. Н. Тында
ПОПЕРЕЧНИКИ СОБОЛЕВСКИХ КЛАССОВ
ФУНКЦИЙ С ОСОБЕННОСТЯМИ НА ГРАНИЦЕ
Аннотация. Оценены поперечники Колмогорова и Бабенко классов функций,
к которым принадлежат решения интегральных уравнений Вольтерра с сингулярными ядрами. Отличительной особенностью этих классов является неограниченный рост модулей производных функций при приближении к границе
области определения. Для этих же классов функций построены локальные
сплайны, являющиеся оптимальным по порядку алгоритмом аппроксимации.
Ключевые слова: пространства Соболева, оптимальные алгоритмы, поперечники Бабенко и Колмогорова, локальные сплайны.
I. V. Boykov, A. N. Tynda
DIAMETERS OF SOBOLEV CLASS FUNCTIONS WITH
BOUNDARY PECULIARITIES
Abstract. The article estimates the diameters of Kolmogorov and Babenko class
functions which have the solutions of Volterra integral functions with singular kernels. A distinctive feature of these classes is an unlimited growth of function derivative modules when approaching a definitial domain boundary. For these function
classes the authors have built local splines being optimal order algorithms of approximation.
Key words: Sobolev space, optimal algorithms, Babenko and Kolmogorov diameters, local splines.
Введение
При построении эффективных методов решения уравнений математической физики естественно приближенные решения искать в экстремальных
подпространствах, являющихся подпространствами наилучших приближений
для классов функций, к которым принадлежат решения соответствующих
уравнений [1, 2]. Таким образом, задача нахождения экстремальных подпространств является актуальной в вычислительной математике. Решения одномерных и многомерных слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра принадлежат [3] классам функций Qr*, (, M ), Qr**, (, M ) , Br*, (, A) , Br**, (, A) , Qru (, M ) ,
Qr**, (, M ) , Ar*,u (, M ),
u
Ar , (, M ), Br*, (, A) , Br*,u () и близким к ним
(определения см. в работах [4–7] и ниже в разд. 1). Значения сингулярных и
гиперсингулярных интегралов с переменной сингулярностью также принадлежат этим классам функций [8, 9].
Поэтому для построения оптимальных по точности и сложности приближенных методов решения слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра нужно найти оптимальные по порядку по точности алгоритмы аппроксимации этих классов
Physics and mathematics sciences. Mathematics
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
функций. Отметим, что ряд результатов по построению оптимальных по точности и сложности приближенных методов решения слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра получен в [3, 10–12].
Решению задачи построения оптимальных по порядку по точности алгоритмов аппроксимации классов функций Qr*, (, M ), Qr**, (, M ) ,
Br*, (, A) , Br**, (, A) , Qru (, M ) , Qr**, (, M ) , Ar*,u (, M ),
u
Ar , (, M ),
Br*, (, A) , Br*,u () посвящена данная работа. В ней оценены поперечники
Колмогорова и Бабенко упомянутых выше классов функций и построены локальные сплайны, являющиеся оптимальным по порядку алгоритмом приближения функций из этих классов.
В работе используются следующие обозначения.
Через Ts ( f ,[a, b], c), a  c  b , обозначен отрезок Тейлора
s
Ts ( f ,[a, b], c) =
 f ( k ) (c )
k =0
(t  c ) k
.
k!
Через Ts ( f ,[a1 , b1;; al , bl ], c), l = 2,3, , c  [ a1 , b1;; al , bl ], обозначен
отрезок ряда Тейлора
s
Ts ( f ,[ a1 , b1;; al , bl ], c) =
1
 k! d k ( f , c),
k =0
k
где d ( f , c) – дифференциал k -го порядка функции f по степеням ( x  c),
x = ( x1 ,..., xl ), c = (c1 ,..., cl ).
На протяжении работы через c будем обозначать константы, независящие от N .
1. Классы функций
Приводимые ниже классы функций Qr , (, M ) и Br , (, M ) являются
обобщениями [1, 2] класса Qr (, M ) . Классами функций Qr*, (, M ),
Qr**, (, M ) , Br*, (, A) , Br**, (, A) , Qru (, M ) , Qr**, (, M ) , Ar*,u (, M ),
u
Ar , (, M ), Br*, (, A) , Br*,u () описываются решения слабосингулярных,
сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений [3].
Пусть  = [0, T ]l , l  1,  =  – граница области , r , u – целые
положительные числа. Пусть 0 – пересечение  с объединением
координатных плоскостей. Пусть t = (t1 ,, tl ), v = (v1 ,, vl ), | v |= v1    vl ,
v
v
D v = |v| / tl l , tl l
и vi – неотрицательные числа, i = 1, 2, , l. Через
(t , 0 ) обозначено расстояние от точки t до границы 0 , вычисляемое по
формуле (t , 0 ) = min | tk | . Аналогично, через (t ,0) обозначено
k =1,,l
62
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
расстояние от точки t до начала координат, вычисляемое по формуле
(t ,0) = min | tk | .
k =1,,l
Определение 1. Пусть  = [1,1]l , l = 1, 2, Функция f принадлежит
классу Qr , (, M ),
0 | v | r ;
если выполнены условия max x | D v ( f ) | M
при
| D v ( f ) | M / ((t , ))|v| r  , t   \ , при r <| v | s, где M
–
некоторая константа, (0 < M < ); s =  r    ,  = [  ]  , 0 <  < 1,  = 1   .
Определение 2. Через Qr*, (, M ),  = [0, T ]l , l = 1, 2, , будем
обозначать класс функций f , определенных на  и удовлетворяющих
следующим условиям:  Dv f M , 0 | v | r; | Dv f (t ) | M / ((t , 0 ))|v| r  ,
r <| v | s, t   \ 0 , где M – некоторая константа (0 < M < ); s =  r    ;
 = 0, если  целое;  = 1  ,  = [  ]  , 0 <  < 1, если  нецелое.
Определение 3. Через Qr**, (, M ) ,  = [0, T ]l , l = 1, 2, , обозначим
класс функций f , определенных на  и удовлетворяющих следующим
условиям:  D v f M , 0 | v | r ; | D v f (t ) | M / ((t ,0))|v| r  , r <| v | s,
t  0, где M – некоторая постоянная; s = r  ,  = 0, если  целое;
 = [  ]  , 0 <  < 1,  = 1  ,
если

нецелое;
s = r  [  ]  1,
(t ,0) = min | tk | .
k =1,,l
Определение 4. Пусть  = [0, T ]l ,
l = 1, 2, ,
r = 1, 2, , 0 < 1.
Функция f принадлежит классу Br*, (, A) , если выполняются следующие
неравенства:
f (t )  A, t  ; | Dv f (t ) | A|v| | v ||v| , 0 <| v | r , t  ;
| D v f (t ) | A|v| | v ||v| /((t , 0 ))|v| r 1 , t { \ 0 }, r <| v |< ,
где A – константа, независящая от | v | .
Определение 5. Пусть  = [0, T ]l , l = 1, 2, , r = 1, 2, , 0 < 1. Функция
f принадлежит классу Br**, (, A) если выполняются следующие неравенства:
f (t )  A;  D v f  A|v| | v ||v| , 0 <| v | r;
| Dv f | A|v| | v ||v| /((t ,0))|v| r 1 , t  0, r <| v |< ,
где A – константа, независящая от | v | .
Определение 6. Пусть  = [1,1]l , l = 1, 2,; , r и u – неотрицательные целые числа. Множество Qru (, M ) состоит из функций f , удовлетворяющих условиям
Physics and mathematics sciences. Mathematics
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
D v f  M , t  , 0 | v | r  1; | Dv f | M (1 | ln u( x, ) |), | v |= r , t   \ ;
| D v f | M (1 | ln u 1(t , ) |) / ((t , ))|v| r , t   \ , r <| v | s,
где s = r  .
Определение 7. Пусть  = [1,1]l , l = 1, 2, , u – натуральное число,
 – нецелое число. Класс Qru, (, M ) состоит из функций, удовлетворяющих
условиям
D v f  M , t  , 0 | v | r ;
| D v f | M (1 | ln u(t , ) |) / ((t , ))|v| r  , r <| v | s, t   \ ,
где s = r  [  ]  1,  = [  ]  , 0 <  < 1,  = 1  .
Определение 8. Пусть  и u – целые положительные числа. Пусть
u
Ar , (, M ),  = [0, T ]l , l = 1, 2, , – класс функций, определенных на  и
удовлетворяющих условиям
v
v
max | D f (t ) | M , 0 | v | r , | D f (t ) | M (1 | ln u(t , 0 ) |), t   \ 0 ,| v |= r;
t
| D v f (t ) | M (1 | ln u 1(t , 0 ) |) / ((t , 0 ))|v| r , t   \ 0 , r <| v | s,
где s = r  .
Определение 9. Пусть Aru, (, M ),  = [0, T ]l , l = 1, 2, , – класс функций определенных на  и удовлетворяющих следующим условиям:
v
max | D f (t ) | M , 0 | v | r ,
t
| Dv f (t ) | M (1 | ln u(t , 0 ) |) / ((t , 0 ))|v| r  , r | v | s, t   \ 0 ,
где s = r    ,  =     .
Определение 10. Пусть Ar*,u (, M ),  = [0, T ]l , l = 1, 2, , – класс
функций, определенных на  и удовлетворяющих следующим условиям:
v
max | D f  t  | M , 0 | v | r ;
t
| Dv f (t ) | M (1 | ln u(t ,0) |) / ((t ,0))|v| r  ; r | v | s, t   \ {0},
где s = r    ,  =     .
Определение 11. Пусть  и u – целые положительные числа. Пусть
*u
Ar , (, M ),  = [0, T ]l , l = 1, 2, , – класс функций, определенных на  и
удовлетворяющих следующим условиям:
64
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
v
v
max | D f (t ) | M , 0 | v | r ; | D f (t ) | M (1 | ln u(t ,0) |), t   \ {0},| v |= r ;
t
| D v f (t ) | M (1 | ln u 1(t ,0) |) / ((t ,0))|v| r , t   \ {0}, r <| v | s,
где s = r  , M = const, 0 < M < .
Определение 12. Пусть  = [0, T ]l , l = 1, r = 1, 2, , 0 <   1. Функция
f (t ) принадлежит классу Br*,u () , если выполнены условия
v
|v|
|v|
max | f (t )  A; max | D f (t ) | A | v | , 0 <| v | r ;
t
t
| D v f (t ) | A|v| | v ||v| (1 | ln u (t ,0) |) / ((t , 0 ))|v| r 1 |, t   \ 0 , r <| v |< ;
где A – константа, независящая от | v | .
Определение 13. Пусть  = [0, T ]l , l  1, r , u – положительные числа,
0 <   1. Функция
выполнены условия
f (t )
принадлежит классу функции
*u
B r , (), если
v
|v|
|v|
max | f (t ) | A ; | D f (t ) | A | v | (1 | ln u(t , 0 ) |),| v |= r , t   \ 0 ;
t
| D v f (t ) | A|v| | v ||v| (1 | ln u 1(t , 0 ) |) / ((t , ))|v| r 1 , t   \ 0 , r <| v |< ,
где A – константа, независящая от | v | .
2. Оптимальные методы аппроксимации
функций одной переменной
Этот и последующий разделы посвящены построению оптимальных
u
методов аппроксимации классов функций Aru, (, M ), Ar , (, M ), Aru,* (, A),
u*
*
Ar , (, A), Br*  , A  , B r   , A  ,  = [1,1]l , l  1, при l = 1 (данный раздел) и
l = 2,3, (см. следующий раздел).
При построении оптимального метода аппроксимации класса функций
 вначале оцениваются поперечники Колмогорова и Бабенко данного класса
функций, а затем строятся локальные сплайны, точность которых на классе
 совпадает (по порядку) с величиной поперечника данного класса.
Сплайны, обладающие такой точностью, являются оптимальными по порядку
методами аппроксимации функциональных классов  .
Напомним определения поперечников Колмогорова и Бабенко.
Пусть B – банахово пространство, X  B – компакт,  : X  Rn 
представление компакта X  B конечномерным пространством Rn .
Определение 14. Пусть Ln – множество n -мерных линейных
подпространств пространства B. Выражение d n ( X , B ) = inf sup inf  x  u ,
Ln xX uLn
Physics and mathematics sciences. Mathematics
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где последний inf берется по всем подпространствам Ln размерности n,
определяет n -поперечник Колмогорова.
Определение 15 [1]. Пусть   R n . Выражение
n ( X ) =
inf
sup diam 1 ( x),
(: X  Rn ) xX
где inf берется по всем непрерывным отображениям  : X  R n , определяет
n -поперечник Бабенко.
Ниже будет неоднократно использоваться следующее утверждение,
связывающее величины поперечников Бабенко и Колмогорова.
Лемма 1 [1]. Пусть B – банахово пространство, X  B – компакт.
Величины поперечников Бабенко и Колмогорова связаны неравенством
n ( X )  2d n ( X , B).
Теорема 1. Пусть  = [ 1,1]. Пусть r , u,  – целые положительные
u
u
числа, s = r  . Тогда n ( Ar , (,1))  d n ( Ar , (,1))  n  s .
u
Доказательство. Вначале оценим снизу поперечник n ( Ar , (,1)).
Известно [1, 2], что n (W s (1))  cn  s . Так как класс функций W s (1) вложен
u
в класс функций Ar , (,1)) при любом u , то
u
n ( Ar , (,1))  n (W s (1))  cn  s .
(1)
При построении локальных сплайнов, аппроксимирующих функции из
u
Ar , (,1)
с точностью cn  s , рассмотрим два случая: 1) u = 1, 2) u  2.
1. Пусть u = 1. Разделим сегмент [0, T ] на N более мелких сегментов
точками tk = (k / N )v T , k = 0,1,, N , v = s / ( s   ). Пусть  k = [tk , tk 1 ],
k = 0,1, , N  1. Разобьем сегмент  0 на M  ln N  более мелких
сегментов
 0,k = [t0,k , t0,k 1 ],
k = 0,1, , M  1 ,
точками
t0, j = jt1 / M ,
j = 0,1, , M . В сегменте [a, b] построим полином Ps ( f ,[a, b]),
интерполирующий функцию f . Обозначим через  k , k = 1, 2, , s, нули
полинома Чебышева первого рода. Отобразим сегмент [1 ,  s ] на [a, b] таким
образом, чтобы точка 1 отобразилась в точку a, а точка  s – в b . Образы
узлов  k , k = 1, 2, , s, обозначим через 'k . Полином степени ( s  1),
интерполирующий функцию f на сегмент [a, b] по узлам 'k , k = 1, 2, , s,
обозначим через Ps ( f ,[a, b]).
Функцию f будем аппроксимировать на сегменте [0, T ] сплайном
f N , составленным из полиномов Ps ( f ,  0, j ), j = 0,1, , M  1, Ps ( f ,  k ),
k = 1, 2, , N  1.
Теперь оценим
k = 1, 2, , N  1,
66
погрешность
|| f  f N || .
На
сегментах
k ,
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
|| f  f N ||C (  )  Es 1 ( f ,  k )(1   s ) 
k
c || f  Ts 1 ( f ,  k , tk ) ||  s 
c(tk 1  tk ) s
v
(kT / N ) s!
= cT r / N s ,
где  s – константа Лебега по соответствующей системе узлов; Es ( f ,[a, b]) –
наилучшее приближение функции f полиномами степени s в метрике
C[ a , b ] .
Приступим к оценке || f  f N ||C (  ) , j = 0,1, , M  1.
0, j
Вначале оценим
|| f  f N ||C (  )  Es ( f ,  0,0 )(1   s )  c || f  Tr 1 ( f , 10,0 ,0) ||C (  ) 
0,0
0,0

c
max
(r  1)! t
t
f
(r )
()(t  )r 1 d  
0,0 0
t
c
Tr
r 1

,
max (1 | ln  |)(t  ) d   c s
(r  1)! t
N ln r 1N

0,0 0
где h0,k =| t0,k 1  t0,k |, k = 0,1, , M  1.
Аналогичным образом оцениваем
s
c s
c s
cT r
 T

|| f  f N ||C (  )  s h0,

( N v ln N )  

.
j


0, j
N s ln r N
( j )v T 
 N v ln N 
t0,
j
Собирая полученные оценки, имеем
 f  f N C[0,T ]  cT r / N s .
(2)
Общее число узлов, используемых при построении сплайна, равно
n = s  ( s  1)( M  N  2)  N .
Так как сплайн f N – непрерывный на сегменте [0, T ], то из
1
неравенства (2) и соотношения n  N следует, что d n ( Ar , (,1))  cT r / n  s .
Отсюда и из (1) имеем
1
1
n ( Ar , (,1))  d n ( Ar , (,1))  T r / n s .
2. Рассмотрим случай, когда u  2. Будем использовать узлы tk ,
k = 0,1, , N , и сегменты  k = [tk , tk 1 ], k = 0,1, , N  1, введенные выше.
Разделим каждый из сегментов  k на M k равных частей, k = 0,1, , N  1,
где M 0 =  ln u / r N  , M k = ln (u 1)/ s (n / k ) N  , k = 1, , N  1. Полученные
в результате деления сегменты обозначим через  k , j j = 0,1,, M k 1 ,
k = 0,1, , N  1. Функцию
f
будем аппроксимировать сплайном
Physics and mathematics sciences. Mathematics
fN ,
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
составленным из полиномов Ps ( f ,  k , j )
j = 0,1,, M k 1 , k = 0,1, , N  1.
Оценим погрешность аппроксимации функции f сплайном f N .
Очевидно,
 f  f N C (  )  Es 1 ( f ,  0,0 )(1   s )  f  Tr 1 ( f ,  0,0 ,0) C (  ) (1   s ) 
0,0
0,0
c

max
(r  1)! t
t
f
(r )
( )(  t )
r 1
0,0 0
r
 ch0,0
c
d 
max
(r  1)! t
t
 | ln u | (t  )
r 1
d 
0,0 0
r
ln uh00
v
v
r
1  T 
u 1   T   c T ,
 c  
 ln   

 N   M0 
 N   M0 
Ns
где h00 = h0 / M 0 , h0 = t1  t0 .
Продолжая оценки, имеем
 f  f N C ( 
0, j )


s
v 
N Mj 
 j T

 ln u  
 
 N  M j
 j  T 
s 
Es ( f ,  0, j )(1   s )  ch0,0

s
  1 v T   N v   M j

 c 

  N  M j   j   T



 j v T  
 r

 
  c T
 ln u   
 s
 N  M  

N
j 





при j = 1, 2, , M  1;
v
v


c
1
 N   1 
u 1   N 
1
 f  f N C (  )  s ( hkj ) s   

ln




k, j
 k  T 
s!
 k   T 


   T s
   c 
 N

при j = 1, 2, , M k  1, k = 1, 2, , N  1.
Таким образом,
 f  f N C[0,1]  cT r / N s .
(3)
Нетрудно видеть, что общее число n узлов локального сплайна f N
равно n  N . Отсюда и из оценки (3) следует, что
d n ( Aru, (,1))  cT s / n  s .
Из сопоставления этого неравенства с оценкой (1) и леммы 1 следует
Теорема 2. Пусть  = [0, T ], u – целое положительное число,  –
положительное нецелое число. Справедлива оценка
n ( Aru, (,1))  d n ( Aru, (,1), C )  T r / n s .
Доказательство теоремы подобно доказательству предыдущей
теоремы. Отличие состоит в том, что сегменты  k , k = 0,1, , N  1, делятся
68
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
на M k частей, k = 0,1, , N  1, где M 0 = ln u /( r 1 )N  , M k = ln u / sN  ,
k = 1, 2, , N  1,  = 1  .
3. Оптимальные методы восстановления
функций многих переменных
В этом разделе построены оптимальные по порядку алгоритмы
аппроксимации классов функций
Aru, (, M ),
Aru, (, M ),
Aru,* (, M ),
u
Aru,* (, M ), Bru, (, A), B r , (, A),  = [0, T ]l , l = 1, 2,
Теорема 3. Пусть  = [0, T ]l , l  2, u = 1, 2, , v = s / ( s   ). Справедливы следующие оценки:
n ( Aru, (,1))  d n ( Aru (,1), C )  T r / n s / l
(4)
при v < l / (l  1);
c
Tr
n
s /l
(ln n)u 1 s / l  n ( Aru (,1))  2d n ( Aru (,1), C ) 
 Tr
us / r
, u / r  1 / l  (u  1) / s,
 s / l (ln n)
n
 c
 Tr
u 1 s / l
, u / r  1 / l  (u  1) / s
 s / l (ln n)
n
(5)
при v = l / (l  1).
Доказательство. Оценим вначале поперечник Колмогорова. Для этого
нужно построить непрерывные локальные сплайны, имеющие погрешности,
совпадающие с правыми частями неравенств (4)–(5).
Вначале построим необязательно непрерывный локальный сплайн,
погрешность которого совпадает с правыми частями неравенств (4)–(5).
Обозначим через  k множество точек x  , удовлетворяющих неравенствам
v
v


k 
 k 1
 =  x   :   T  (t , 0 )  
 T , k = 0,1, , N  1 .
N
 N 


k
Покроем множества
k
кубами и параллелепипедами
ik ,,i ,
1
l
k = 0,1, , N  1, ребра которых параллельны координатным осям и длины
hk ,
и
не
больше,
чем
2hk ,
которых
не
меньше,
чем
hk = ((k  1) / N )v T  (k / N )v T , k = 0,1, , N  1.
Отметим, что при построении покрытия область  k покрывается
наибольшим возможным числом кубов с ребрами, имеющими длину hk .
Physics and mathematics sciences. Mathematics
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Оценим число n кубов и параллелепипедов ik ,,i , k = 0,1, , N  1,
1
l
которыми покрывается область .
Можно показать [5], что
 N v (l 1) , v > l / (l  1),


n   N l , v < l / (l  1),
 l
 N ln N , v = l / (l  1).
(6)
Пусть M 0 = [(ln N )u / r ]  1, M k = [(ln( N / k ))(u 1)/ s ]  1, k = 0,1, , N  1.
Разделим каждое из ребер ik ,,i на M k равных частей и проведем через
1
l
точки
деления
плоскости,
параллельные
координатным плоскостям.
Полученные в результате области обозначим через ik ,,i ; j ,, j .
1
l 1
l
В разд. 2 построен интерполяционный полином Ps ( f ;[a , b ]) . Для
аппроксимации функции f (t1 , , tl ) l переменных, определенной в области
[a1 , b1;; al , bl ], введем интерполяционный полином Ps ,,s ( f ;[ a1 , b1;; al , bl ])
формулой
t
t
t
Ps ,,s ( f ;[a1 , b1;; al , bl ]) = Ps1 ( Ps 2 ( Ps l ( f ;[al , bl ]);[al 1 , bl 1 ]);;[ a1 , b1 ]).
Это полином степени ( s  1) по каждой переменной t1 , , tl . Другими
t
словами, Ps l ( f ;[al , bl ]) интерполирует функцию f (t1 ,, tl ) по переменной
tl
в
сегменте
t
t
Ps l 1 ( Ps l ( f ;[al , bl ]),[al 1 , bl 1 ])
[al , bl ];
интерполирует
t
Ps l ( f ;[al , bl ])
по переменной tl 1 в сегменте [al 1 , bl 1 ] и т.д.
В каждой из областей ik ,,i ; j ,, j функцию f будем аппроксими1
l 1
l
функцию
ровать интерполяционным полиномом Ps ,,s ( f , ik ,,i ; j ,, j ). Локальный
1
l 1
l
сплайн f N составим из полиномов Ps ,,s ( f , ik ,,i ; j ,, j ), k = 0,1, , N  1.
1
Оценим точность аппроксимации функции f
l 1
l
u
 Qr , (,1)
сплайном f N .
Пусть k = 0. Тогда

f  Ps ,,s f , i0 ,...,i ; j ,..., j
1
l l
l
  cT
r
/ N s.
(7)
Пусть теперь k = 1, 2, , N  1, тогда
f
70

 Ps ,, s f , ik ,...,i ; j ,..., j
l l
l
1

v

k  
 1  ln   
 N  
C ( ik1 ,...,il ; jl ,..., jl )) 

u 1
  k v  
  T  
 N 

1

University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика

   k  1 v  k v 
1
c T  
  

   N   N   (ln N )(u 1)/ s T
k

s


cT r
  s .
N


(8)
Из оценок (7) и (8) следует, что
 f  f N  cT r / N s .
(9)
Оценим число узлов, используемых при построении локального
сплайна f N . Рассмотрим в отдельности два случая: 1) v < l / (l  1) ;
2) v = l / (l  1).
Пусть v < l / (l  1). Оценка сверху числа n следует из цепочки

k v
)
N
n
 k 1
k
k =1  (
)v  ( )v
N
 N
N 1

1 (





l 1
M kl  N v (l 1) ([ln N ]  1)lu / r  cN l .
(10)
Из (9) и (10) следует оценка  f  f N  cn  s / l при v < l / (l  1).
Пусть теперь v = l / (l  1). Оценка сверху числа n следует из цепочки
k

1  ( )v
N 1 
N
n
 k 1
k
v
k =1  (
)  ( )v
N
 N






l 1
M kl  mN v (l 1) ([ln N ]  1)lu / r 
 N l (ln N )lu / r , lu / r  1  (u  1)l / s,
 c
 N l (ln N )(u 1)l / s 1 , lu / r  1  (u  1)l / s.
(11)
Из (6), (10), (11) следует, что при v = l / (l  1) справедлива оценка
 1  s /l
  (ln n)us / r , u / r  1 / l  (u  1) / s,
 n 
 f  f N  c 
 1  s /l
u 1 s / l
, u / r  1 / l  (u  1) / s,
  (ln n)
 n 
(12)
где n – число узлов локального сплайна.
Приступим теперь к построению непрерывного локального сплайна.
Покроем область  кубами и параллелепипедами  k , а область  k –
кубами и параллелепипедами ik ,,i так, как описано выше. Пусть
1
l
hk = T ((( k  1) / N )v  (k / N ))v ),
область 
N 2
hk* = hk / M k ,
кубами и параллелепипедами
k = 0,1, , N  1.
2
iN,...,
il
1
Покроем
, имеющими ребра,
параллельные координатным осям, но, в отличие от предыдущего, потребуем,
Physics and mathematics sciences. Mathematics
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1
2
чтобы вершины кубов iN,...,
входили в число вершин областей iN,...,
.
il
il
1
1
2
Кроме того, потребуем, чтобы длины ребер областей iN,...,
были бы не
il
1
меньше hN 2 и не превосходили 2hN 2 . Затем разделим каждое из ребер
областей
2
iN,...,
i
на
l
1
M N 2
равных частей и проведем плоскости,
2
параллельные координатным плоскостям. В результате области iN,...,
il
1
2
оказываются покрытыми более мелкими областями iN,...,
.
il ; j1 ,..., j
1
3
,
Чтобы покрыть область  N 3 более мелкими областями iN,...,
il ; j1 ,..., jl
1
2
поступим следующим образом. Через вершины областей iN,...,
,
il ; j1 ,..., j
1
расположенные на гиперплоскости  N  2   N 3 , проведем плоскости,
параллельные координатным плоскостям. В результате область  N 3
покрывается более мелкими областями, которые обозначим через
3
3
giN,...,
. Пусть giN,...,
= [ a1 , b1;; al , bl ]. Если длина ребра [ak , bk ],
i ; j ,..., j
i ; j ,..., j .
l
1
1
l
l
1
1
l
2h*N 3 ,
k = 1, 2, , l , превосходит
то делим это ребро на [| bk  ak | / h*N 3 ]
равных частей и через точки деления проводим плоскости, параллельные
3
оказывается
координатным плоскостям. В результате область giN,...,
i ; j ,..., j
1
3
iN,...,
.
il ; j1 ,..., jl
1
покрытой областями
3
giN,...,
,
i ; j ,..., j
областей
1
l
l
1
l
1
l
Проделывая эту процедуру с каждой из
покрываем
область
 N 3
кубами
и
3
iN,...,
. Продолжая этот процесс, покрываем
il ; j1 ,..., jl
1
параллелепипедами
область  кубами и параллелепипедами ik ,...,i ; j ,..., j , k = 0,1, , N  1.
1
l 1
l
Построим непрерывный локальный сплайн. В области  N 1 функция
аппроксимируется интерполяционным полиномом Ps ,,s ( f ,  N 1 ).
f
2
функция f аппроксимируется интерполяционным
В области iN,...,
il ; j1 ,..., j l
1
2
). Функция f совпадает с функцией f во
полиномом Ps ,,s ( f , iN,...,
il ; j1 ,..., j l
1
всех
узлах
интерполяционного
полинома
2
Ps ,,s ( f , iN,...,
)) ,
i ; j ,..., j
1
l
1
за
l
2
  N 1.
исключением узлов, расположенных на поверхности iN,...,
il ; j1 ,..., jl
1
В
этих
узлах
значения
функции
f
равны
значениям
полинома
1
Ps ,,s ( f , iN,...,
).
il
1
Продолжая этот процесс, строим интерполяционные полиномы
Ps ,,s ( f , ik ,...,i ; j ,..., j ),
k = 0,1, , N  2. Сплайн, составленный из
1
72
l
1
l
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
полиномов
Физико-математические науки. Математика
1
Ps ,,s ( f , iN,...,
),
i
l
1
Ps ,,s ( f , ik ,...,i ; j ,..., j ),
1
l 1
l
k = 0,1, , N  2,
обозначим через f N* .
Повторяя оценки, проделанные при исследовании не обязательно
непрерывного локального сплайна, имеем
 f  f N* C ()  cT r N  s .
(13)
Из неравенств (10), (11), (13) следует, что
d n ( Aru, (,1), C )  cT r / n s / l
(14)
 1  s / l
  (ln n)us / l , u / r  1 / l  (u  1) / s,
 n 
d n ( Aru, (,1), C )  cT r 
 1  s / l
u 1 s / l
, u / r  1 / l  (u  1) / s,
  (ln n)
n



(15)
при v < l / (l  1),
если v = l / (l  1).
Оценим снизу величину поперечника Бабенко n ( Ar , (,1)) при
v = s / ( s   ), v  l / (l  1). Повторяя расуждения, проведенные в [3] и в главе 2
монографии [6], имеем
n ( Aru (,1))  T r / n s / l
(16)
cT / n s /l (ln n)u 1 s / l  n ( Aru (,1))
(17)
при v < l / (l  1);
при v = l / (l  1).
Из неравенств (16)–(17) и леммы 1 следует справедливость теоремы.
Теорема доказана.
Теорема
4.
Пусть
 = [1,1]l ,
l  2,
u = 1, 2, ,
v = s / ( s   ),
v > l / (l  1). Справедлива оценка n ( Aru, (,1))  cT r n ( s  )/(l 1) ln u 1N .
Доказательство подобно проведенному в работе [3] и проведенному
в главе 2 монографии [6] при доказательстве теоремы 2.2.
Пусть v > l / (l  1) . Для аппроксимации функций f  Aru, (,1) при
v > l / (l  1) вначале построим необязательно непрерывный сплайн. После
этого укажем изменения, которые нужно внести в его конструкцию для
построения непрерывного локального сплайна.
Покроем область  кубами и параллелепипедами  k , а область  k –
кубами и параллелепипедами ik ,,i так, как неоднократно делали ранее
l
1
при построении необязательно непрерывных локальных сплайнов.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Нетрудно видеть, что общее число кубов и параллелепипедов  N 1 ,
ik ,,i , k = 0,1, , N  2, равно
1
l
n  N v (l 1) .
В каждой области  N 1 ,
ik ,...,i
1
(18)
функция
l
интерполяционным полиномом Ps ,,s ( f ,  N 1 ),
fN
составлен из всех полиномов
f
аппроксимируется
Ps ,,s ( f , ik ,...,i ). Сплайн
Ps ,,s ( f , 
1
N 1
l
Ps ,,s ( f , ik ,...,i ),
),
1
l
определенных в кубе .
Можно показать, что при 1  k  N  1 справедлива оценка
v
k 
| ln   |u 1
(ln N )u 1
N
 f  f N C (  k )  chks
c
.
i1 ,...,il
((k / N )v ) 
Ns
Пусть
k = 0.
рассмотрением
Без
куба
ограничения
 00,,0
общности
= [1, a1;; 1, a1 ],
можно
(19)
ограничиться
a1 = 1  (1 / N )v ,
где
x 0 = (1,..., 1).
Используя отрезок ряда Тейлора с остаточным членом в интегральной
форме [13], имеем
 f  fN  0
 cls Er 1,,r 1 ( f ,  00,,0 ) 
C ( 0,,0 )
1
 c max
x00,,0
|
uN
1
(1  ) r 1 ( xk  1) k | ln u(tk  1) |)d  | ch0r | ln uh0 | c ln .
k!
Ns
|k |= r
 
0
Из этой оценки и неравенства (19) имеем
 f  f N C ()  c
Приступим
к
построению
аппроксимирующего функции f
T r ln uN
c
Ns
T r ln un
n( s  )/(l 1)
непрерывного
 Aru, (,1)
.
(20)
локального
сплайна,
при v > l / (l  1) с точностью
cT r (ln un)n ( s  )/(l 1) . Для этого достаточно повторить построение, проведенное выше для непрерывного локального сплайна, аппроксимирующего
функции f  Aru, (,1) при v  l / (l  1) (см. доказательство теоремы 3).
Обозначим
построенный
сплайн
через
f N* .
Нетрудно
видеть,
что
 f  f N* C ()  cT r n  s ln u N  cT r (ln un) / n( s  )/(l 1) .
74
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Так как при построении локального сплайна f N* в каждой области
ik ,,i число узлов равно s l , то приходим к следующему утверждению.
1
l
Теорема 5. Пусть  = [1,1]l ,
v > l / (l  1). Справедлива оценка
l  2,
u = 1, 2,...,
v = s / ( s   ),
u
d n ( Ar , (,1), C )  cT r (ln un) / n( s  )/(l 1) .
Приступим к построению оптимальных методов аппроксимации
функций f  Aru, (,1). Напомним, что, следуя определению 9, константы
s, r ,  связаны соотношениями  = s  r  1  ,  =   [  ].
Теорема 6. Пусть  = [1,1]l , l  2, u = 1, 2,..., v = s / ( s   ). Тогда
d n ( Aru, (,1), C )  cT r / n s / l при v < l / (l  1);
d n ( Aru, (,1), C )  cT r
(ln n)us /( r 1)
n s /l
,
(21)
(22)
если lu / (r  1  )  ul / s  1;
d n ( Aru, (,1), C )  cT r
(ln n)(ul  s )/ l
n s /l
,
(23)
если lu / (r  1  ) < ul / s  1 при v = l / (l  1).
Доказательство подобно доказательству теоремы 3. Отличие состоит
в способе покрытия куба .
Покроем область  кубами и параллелепипедами ik ,,i ; j ,, j ,
l 1
l
1
k = 0,1, , N  1, подобно тому, как уже сделали при доказательстве теоремы 3.
Для этого ребра кубов  N 1 , ik ,,i разделим на M k равных частей, где
l
1
[(ln N )u /( r 1) ]  1,k = 0,
Mk = 
[(ln( N / k ))u / s ]  1,k = 0,1, , N  1,
и проведем через точки деления плоскости, параллельные координатным
ik ,,i ; j ,, j ,
плоскостям.
В
результате
получаем
покрытие
l 1
l
1
k = 0,1, , N  1, области . После этого
проведенные при доказательстве теоремы 3.
Теорема 7. Пусть  = [1,1]l , l  2,
повторяем
рассуждения,
u = 1, 2, ,
v = s / ( s   ),
v < l / (l  1). Справедлива оценка n ( Aru, (,1))  CT r n  s / l .
Доказательство подобно проведенному в работе [3] и проведенному
в главе 2 монографии [6] при доказательстве теоремы 2.2.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Теорема 8.
v = l / (l  1). Тогда
Пусть
 = [1,1]l ,
l  2,
v = s / ( s   ),
u = 1, 2,...,
n ( Aru, (,1))  c(ln n)u  s / l / n s / l .
Доказательство подобно проведенному в работе [3] и в главе 2
монографии [6] при доказательстве теоремы 2.2.
Объединяя теоремы 6–8, приходим к следующему утверждению.
Теорема 9. Пусть  = [1,1]l , l  2, u = 1, 2,..., v = s / ( s   ). Тогда
 Tr
n ( Aru, (,1))  d n ( Aru, (,1), C )  
 n s /l

cT r
(ln n)(ul  s )/ l
n s /l

 при v < l / (l  1);


 n ( Aru (,1))  2d n ( Aru (,1), C )  cT r
(ln n)us /( r 1)
n s /l
,
если lu / (r  1  )  ul / s  1;
n ( Aru (,1))  d n ( Aru (,1), C )  T r
(ln n)(ul  s )l
n s /l
,
если lu / (r  1  ) < ul / s  1 при v = l / (l  1).
Теорема 10. Пусть  = [1,1]l , l  2, v = s / ( s   ), v > l / (l  1). Тогда
n ( Aru, (,1))  cT r n ( s  )/(l 1) ln un.
Доказательство теоремы подобно доказательству теоремы 3.
Теорема 11. Пусть  = [1,1]l , l  2, v = s / ( s   ), v > l / (l  1). Тогда
d n ( Aru, (,1), C )  cT r n ( s  )/(l 1) ln un.
Сопоставляя утверждения теорем 10 и 11, приходим к следующему
утверждению.
Теорема 12. Пусть  = [1,1]l , l  2, u = 1, 2,..., v = s / ( s   ),
v > l / (l  1). Тогда
n ( Aru, (,1))  d n ( Aru, (,1), C )  T r n ( s  )/(l 1) ln un.
Доказательство теоремы подобно доказательству теоремы 3.
Теорема 13. Пусть
 = [0, T ]l , l = 2,3, , u = 1, 2, , v = s / ( s   ).
Справедливы следующие оценки:
*u
n ( A r , (,1))  n ( A*u r , (,1))  T r n  s / l , если v < l / (l  1).
(24)
Доказательство. Вначале оценим поперечник Колмогорова. Построим
необязательно непрерывный локальный сплайн, имеющий погрешность, совпадающую по порядку с правой частью неравенства (24). Затем укажем изме-
76
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
нения, которые необходимо внести в это построение для получения непрерывного локального сплайна, имеющего такую же погрешность, что и в правой
части неравенств (24). Покроем куб  более мелкими кубами. Обозначим
через 1 = 11,,1 множество точек, удовлетворяющих неравенствам
v
v


1 
1 
 0  t1    T      0  tl    T  .


 N  
 N  


Области  k определяются формулой  k = 'k / "k 1 , где
v
k 
'k = (t1 , , tl ) : 0  t1 , , tl    T ;
N
v
 k 1
"k = (t1 , , tl ) : 0  t1 , , tl  
 T , k  2,..., N .
 N 
покроем кубами и параллелепипедами  k = ik ,...,i ,
1
l
k = 1, 2, , N  1, с боковыми гранями, параллельными координатным
плоскостям, и с ребрами, длины которых не меньше hk и не больше 2hk , где
Область  k
  k  1 v  k v 
 T , k = 1, 2, , N .
hk =  

  N   N  


Каждую из областей ik ,,i разделим на M kl , k = 1, 2, , N , равных
1
1
частей,
где
 N u ( s  ) 
 , k  2,..., N .
M1 = ln u / r N , M k   ln 
 k 

Для
этого
в области ik ,...,i каждое ребро делим на M k равных частей и через точки
1 l
деления проводим плоскости, параллельные координатным плоскостям.
Области, полученные в результате этих построений, обозначим через
ik ,...,i ; j ,..., j , k = 1, 2, , N .
1
l
1
l
В области
ik ,...,i ; j ,..., j
1
l
1
l
функцию
f
будем аппроксимировать
интерполяционным полиномом Ps ( f , ik ,...,i ; j ,..., j ) . Сплайн, составленный из
1
полиномов
Ps ( f , ik ,...,i ; j ,..., j ), k
1
l 1
l
l
1
l
= 1, 2, , N , обозначим через f N . Оценим
погрешность  f  f N C () .
Очевидно,
|| f  f N || 1
 Es 1,,s 1 ( f , 11,,1;0,,0 ) ,
C ( (1,,1;0,,0)
Physics and mathematics sciences. Mathematics
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1
(1   s )l  cTr 1,,r 1 ( f , 1,
,1;0,,0 ) 
r
 Ch1,0
1
(1  )
r 1
(1 | ln u (h) |)d  
0
r
r
 ch1,0
| ln uh1,0
  1 v T 
  1 v T 
Tr
 ln u   
C
| C   
;
s
  N  M1 
  N  M1 
N




s  v
h1,0
N M1 
M
|| f  f N ||C ( 1



1,...,1;i1 ,...,il )
s!  jT 
s
v
c   1  T   N v M1 
 
  

s!   N  M1   jT 


Здесь h1,0 =
T
v
N M1
,
jT



jT
1  ln u 1
v

N M1


jT
1  ln u 1
v

N M1






Tr
c
.

Ns

– расстояние области 11,...,1;i ,...,i до начала
v
N M1
1
l
координат.
Tr
Таким образом, получена оценка || f  f N ||C ( 1

.
C
1,...,1;i1 ,...,il )
Ns
Приступим к оценке

v
v
hks   N  M k  
k  T 
 
 1 | ln u 1 
C
|| f  f N ||C (  k

| 
i1 ,...,il ; j1 ,..., jl )
s!   k  T  
 N  M k 

 
v
v
c  k 1  k   T
 

   
s!    N   N   M k






s

v

  N v M  
k  1  u 1 k  T  
 
ln  
 k
T  
 N  M k 
 
 

s
v
v
c  (k  )v 1 T    N  M k  
Tr
 k  T 
 
  1  ln u 1 
 
c
.

s
s! 
M k    k  T  
N  Mk 

Nv
N

 

Из последних двух неравенств следует оценка
|| f  f N ||C ()  cT r / N s .
(25)
Теперь, повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве
теоремы 3, строим непрерывный локальный сплайн f N* с оценкой
r
T
|| f  f N* ||C ()  C
.
Ns
78
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Оценим число узлов локального сплайна f N* . Для этого достаточно оценить число областей ik ,...,i ; j ,..., j , k = 1, 2, , N  1 , покрывающих область .
1
l 1
l
Нетрудно видеть, что
v

 k 1
N 1


 N 

m
v
v

k 
k =1   k  1 

 N   N 
  



N 1
N 1
k =1
k =2

k l 1M kl  M1l 








l 1
M kl
N 1
(k  1)v 



v 1 


k =1  ( k  )

k l 1M kl  (ln N )ul / r 
l 1
N 1
M kl 
l
 N
k l 1  ln   N l .
 k 
k =2

В каждой области ik ,,i ; j ,, j используется ( s  1)l узлов локально1
l 1
l
го сплайна f N* . Исключение составляют граничные (для областей  k ) области ik ,,i ; j ,, j , в которых используется s l узлов локального сплайна f N* .
1
l 1
l
Таким образом, общее число n узлов локального сплайна f N* равно n  N l .
Отсюда и из неравенства (25) следует оценка сверху поперечника
Колмогорова
*u
d n  A r  (,1)   cT r / n s / l .


(26)
Для оценки снизу поперечника Бабенко заметим, что класс функций
s
*u
W (1) вложен в класс функций At , (,1). Так как n (W s (1))  c / n s / l , то


u
n  At ,  (,1)   n W s (1)  cT r / n s / l .


(27)
Из неравенств (26), (27) и леммы 1 следует, что
u
u*
n  At ,  (,1)   d n  Ar  (,1), C   T r / n s / l .




Теорема доказана.
Теорема 14. Пусть  = [0, T ]l , l = 2,3, , u , – целое положительное
число;  – нецелое положительное число; v = s / ( s   ). Справедливы следующие оценки
u*
u*
n  Ar ,  (,1)   d n  Ar  (,1), C   T r / n s / l .




Доказательство этой теоремы подобно доказательству предыдущей
теоремы. Отличие состоит в том, что области ik ,,i делятся на M kl равных
1
l
частей, где
Physics and mathematics sciences. Mathematics
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 (ln N )u /( r 1 ) , k = 1;

u /( s  )
Mk = 
 N
, k = 2, , N  1,
  ln 
  k 
 = 1  .
Список литературы
1. Ба б е н к о , К . И . О некоторых задачах теории приближений и численного
анализа / К. И. Бабенко // Успехи математических наук. –1985. – Т. 40, № 1. – С. 3–28.
2. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач
математической физики / под ред. К. И. Бабенко. – М. : Наука, 1979. –196 с.
3. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных
уравнений / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. – 316 с.
4. Б о й к о в , И . В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными
сплайнами / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и
математической физики. – 1998. – Т. 38, № 1. – С. 25–33.
5. Б о й к о в , И . В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления
интегралов / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2007. – 236 с.
6. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы решения прямых и обратных задач
гравиразведки / И. В. Бойков, А. И. Бойкова. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2012. – 450 с.
7. Б о й к о в , И . В. Оптимальные алгоритмы восстановления функций и вычисления интегралов на одном классе бесконечно дифференцируемых функций /
И. В. Бойков // Известия вузов. Математика. – 1998. – № 9. – С. 14–20.
8. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы вычисления сингулярных и
гиперсингулярных интегралов. Часть 1. Сингулярные интегралы / И. В. Бойков. –
Пенза : Изд-во ПГУ, 2005. – 360 с.
9. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы вычисления сингулярных и
гиперсингулярных интегралов. Часть 2. Гиперсингулярные интегралы / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2009. – 252 с.
10. Б о й к о в , И . В. Оптимальные по точности приближенные методы решения интегральных уравнений Вольтерра / И. В. Бойков, А. Н. Тында // Дифференциальные уравнения. – 2002. – № 9. – C. 1215–1232.
11. Б о й к о в , И . В. Сверхсходимость приближенного решения многомерных интегральных уравнений Вольтерра / И. В. Бойков, А. Н. Тында // Труды Средневолжского математического общества. – 2003. – Т. 5, № 1. – С. 119–126.
12. Б о й к о в , И . В. Сверхсходимость решений многомерных интегральных уравнений Фредгольма / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. – 2004. – Т. 40,
№ 9. – С. 1214–1223.
13. Н и к о л ь с к и й , С . М . Курс математического анализа / С. М. Никольский. – М. :
Наука, 1975. – Т. 1. – 432 с.
References
1. B a b e n k o , K . I . O nekotorykh zadachakh teorii priblizheniy i chislennogo analiza /
K. I. Babenko // Uspekhi matematicheskikh nauk. –1985. –T. 40, № 1. – S. 3–28.
2. Teoreticheskiye osnovy i konstruirovaniye chislennykh algoritmov zadach matematicheskoy fiziki / pod red. K. I. Babenko. – M. : Nauka, 1979. –196 s.
3. Bo y k o v , I . V . Priblizhennyye metody resheniya singulyarnykh integral'nykh
uravneniy / I. V. Boykov. – Penza : Izd-vo PGU, 2004. – 316 s.
4. Bo y k o v , I . V . Approksimatsiya nekotorykh klassov funktsiy lokal'nymi splaynami /
I. V. Boykov // Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. – 1998. –
T. 38, № 1. – S. 25–33.
80
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
5. Bo y k o v , I . V . Optimal'nyye metody priblizheniya funktsiy i vychisleniya integralov /
I. V. Boykov. – Penza : Izd-vo PGU, 2007. – 236 s.
6. Bo y k o v , I . V . Priblizhennyye metody resheniya pryamykh i obratnykh zadach
gravirazvedki / I. V. Boykov, A. I. Boykova. – Penza : Izd-vo PGU, 2012. – 450 s.
7. Bo y k o v , I . V . Optimal'nyye algoritmy vosstanovleniya funktsiy i vychisleniya integralov na odnom klasse beskonechno differentsiruyemykh funktsiy / I. V. Boykov //
Izvestiya vuzov. Matematika. – 1998. – № 9. – S. 14–20.
8. Bo y k o v , I . V . Priblizhennyye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh integralov. Chast' 1. Singulyarnyye integraly / I. V. Boykov. – Penza : Izd-vo
PGU, 2005. – 360 s.
9. Bo y k o v , I . V . Priblizhennyye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh integralov. Chast' 2. Gipersingulyarnyye integraly / I. V. Boy-kov. – Penza :
Izd-vo PGU, 2009. – 252 s.
10. Bo y k o v , I . V . Optimal'nyye po tochnosti priblizhennyye metody resheniya integral'nykh uravneniy Vol'tera / I. V. Boykov, A. N. Tynda // Differentsial'nyye
uravneniya. – 2002. – № 9. – C. 1215–1232.
11. Bo y k o v , I . V . Sverkhskhodimost' priblizhennogo resheniya mnogomernykh integral'nykh uravneniy Vol'terra / I. V. Boykov, A. N. Tynda // Trudy Srednevolzhskogo
matematicheskogo obshchestva. – 2003. – T. 5, № 1. – S. 119–126.
12. Bo y k o v , I . V . Sverkhskhodimost' resheniy mnogomernykh integral'nykh uravneniy
Fredgol'ma / I. V. Boykov // Differentsial'nyye uravneniya. – 2004. – T. 40, № 9. –
S. 1214–1223.
13. N i k o l ' s k i y , S . M . Kurs matematicheskogo analiza / S. M. Nikol'skiy. – M. : Nauka,
1975. – T. 1. – 432 s.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный университет
(г. Пенза, ул. Красная, 40)
Boykov Il'ya Vladimirovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics,
Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: math@pnzgu.ru
Тында Александр Николаевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра высшей и прикладной
математики, Пензенский
государственный университет
(г. Пенза, ул. Красная, 40)
Tynda Aleksandr Nikolaevich
Candidat of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of higher and applied
mathematics, Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: math@pnzgu.ru
УДК 518.5
Бойков, И. В.
Поперечники соболевских классов функций с особенностями на границе / И. В. Бойков, А. Н. Тында // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 1 (25). –
С. 61–81.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 51-77, 519.62
В. А. Атряхин, П. А. Шаманаев
О ПРИЛОЖЕНИИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ
К МОДЕЛИРОВАНИЮ ПРОЦЕССА
ВОСПРОИЗВОДСТВА НАУЧНЫХ КАДРОВ 1
Аннотация. Предлагается математическая модель, описывающая процесс воспроизводства научных кадров на этапе поступления в аспирантуру с использованием системы обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, излагается численный алгоритм ее решения. Неизвестные
параметры математической модели находятся на основе известных статистических данных за промежуток времени, предшествующий прогнозируемому.
Далее в статье приводятся результаты прогнозирования процесса воспроизводства научных кадров на основе построенной математической модели.
Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздывающим
аргументом, математическое моделирование, воспроизводство научных кадров.
V. A. Atryakhin, P. A. Shamanaev
APPLICATION OF A SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS
WITH A DVERGENT ARGUMENT IN MODELING A PROCESS OF
SCIENTIFIC STAFF REPRODUCTION
Abstract. The article suggests a mathematical model describing the process of reproduction of the scientific staff at the stage of admission to graduate school, using
a system of ordinary differential equations with retarded arguments, presents a numerical algorithm to solve it. The unknown parameters of the mathematical model
are calculated on the basis of the known statistical data for the preceding predictable
period of time. Further, the article presents the forecasting results of the scientific
staff reproduction on the basis of the constructed mathematical model.
Key words: ordinary differential equations with retarded argument, mathematical
modeling, reproduction of scientific staff.
Введение
Одной из проблем системы высшего профессионального образования
на современном этапе является проблема обновления и воспроизводства
научных кадров. В связи с этим появилась необходимость в разработке
и апробации методики и моделей для прогнозирования динамики кадров
высшей научной квалификации на этапе поступления в аспирантуру.
В настоящей статье в качестве математической модели для прогнозирования численности претендентов на поступление в аспирантуру среди учащихся заведений высшего профессионального образования берется система
обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом
[1], широко использующихся для моделирования динамики социально1
Работа выполнена при поддержке федеральной целевой программы «Научные и
научно-педагогические кадры инновационной России на 2010–2013 гг.» Государственный контракт № 14.740.11.0225.
82
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
экономических процессов [2]. Эта задача ставится в рамках решения более
общей задачи прогнозирования потока научных и научно-педагогических
кадров [3]. В основу построения модели положены механизмы, использующиеся для прогнозирования социодемографического поведения населения
[4]. На основе статистических данных об успеваемости студентов очной формы обучения специальности «Прикладная математика и информатика» математического факультета МГУ им. Н. П. Огарева за промежуток времени,
предшествующий прогнозируемому, находятся неизвестные параметры математической модели и строится прогноз количества претендентов на поступление в аспирантуру.
1. Постановка задачи
Рассмотрим процесс обучения студентов от момента поступления
до окончания высшего учебного заведения. Будем предполагать, что студенты за весь срок обучения проходят девять промежуточных этапов учета
знаний.
Группу студентов, участвующих в процессе обучения от момента поступления до окончания высшего учебного заведения, будем называть потоком. Очевидно, что каждый поток студентов из года в год оказывается в похожих обстоятельствах, так как набор преподавателей и сложность изучаемых предметов зачастую остаются неизменными. А значит, влияние данных
факторов на численные значения потоков вливающихся в группу претендентов на поступление в аспирантуру (и выбывающих из нее) можно оценить по
статистической информации о данных показателях за некоторый отрезок
времени, предшествующий прогнозируемому и по количественному составу
этой группы в данный момент времени. Все множество студентов разобьем
на две группы: группу претендентов на поступление в аспирантуру и группу
остальных студентов. Сделать это можно, например, взяв за критерий некую
фиксированную величину среднего балла на последних экзаменах. Состав
группы претендентов на поступление в аспирантуру будет меняться два раза
в год по итогам очередной сессии. Часть студентов будет выбывать из данной
группы, а часть – в нее вливаться.
Предположим, что изменение потока присоединяющихся к группе претендентов на поступление в аспирантуру в фиксированный момент времени
зависит от численности претендентов на поступление в аспирантуру, от потока присоединяющихся к группе претендентов на поступление в аспирантуру и от потока выбывающих из группы претендентов на поступление в аспирантуру в некоторый момент времени, предшествующий фиксированному.
С учетом вышеперечисленных предположений математическая модель, описывающая динамику потока присоединяющихся к претендентам на поступление в аспирантуру в момент времени t , описывается дифференциальным
уравнением с отклоняющимся аргументом следующего вида:
y  t   aw  t   by  t    cz  t   ,
где w  t  – численность претендентов на поступление в аспирантуру в мо-
мент времени t ; y  t  – численность потока присоединяющихся к группе
Physics and mathematics sciences. Mathematics
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
претендентов на поступление в аспирантуру в момент времени t ; z  t  – численность потока выбывающих из группы претендентов на поступление
в аспирантуру в момент времени t ;  – промежуток времени между сессиями.
Аналогичным образом предположим, что изменение потока выбывающих из группы претендентов на поступление в аспирантуру в фиксированный
момент времени зависит от численности претендентов на поступление в аспирантуру, потока выбывающих из группы претендентов на поступление
в аспирантуру и потока присоединяющихся к группе претендентов на поступление в аспирантуру в некоторый момент времени, предшествующий фиксированному. Таким образом, изменение потока выбывающих из группы претендентов на поступление в аспирантуру в момент времени t описывается дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом следующего вида:
z  kw  t   my  t    lz  t   .
Балансовое уравнение, связывающее прирост и отток численности претендентов на поступление в аспирантуру с количеством людей в данной
группе, имеет вид
w  t   y  t   z  t  .
Итоговая модель, описывающая динамику численности претендентов
на поступление в аспирантуру, может быть записана в виде следующей системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом:
 y  t   aw  t   by  t     cz  t    ,

 z  t   kw  t   my  t     lz  t    ,

 w  t   y  t   z  t  .
(1)
Все коэффициенты системы дифференциальных уравнений для фиксированной сессии постоянны и не зависят от времени t .
2. Построение разностной вычислительной схемы
Для экспериментальной проверки построенной математической модели
необходимо перейти от системы дифференциальных уравнений к разностной
вычислительной схеме, позволяющей найти неизвестные параметры модели и
оценить численность претендентов на поступление в аспирантуру. Заметим,
что в системе (1) используются «мгновенные» значения численности претендентов на поступление в аспирантуру потоков, вливающихся в эту группу и
выбывающих из нее. На практике статистические данные о численности претендентов на поступление в аспирантуру могут быть получены лишь за определенный промежуток времени. В силу этого применим к системе (1) интегроинтерполяционный метод построения разностных схем [5].
Для построения разностной схемы на отрезке t0 , T  введем равномерную сетку с шагом  , т.е. множество точек ti  t0  i , i  0,1, 2,.., N ,
T  t0  N  . Проинтегрировав систему (1) по отрезку  i  1 , i  , получим
систему
84
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
 i
i
i
i

y    d   a
w  d   b
y     d   c
z      d ,

 i 1
 i 1
 i 1
 i 1
 i
i
i
i













z
d
k
w
d
m
y
d
l
z      d ,







 i 1
 i 1
 i 1
 i 1

i
i
 i

w    d  
y   d  
z    d .

 i 1
 i 1
 i 1










(2)

Введем следующие обозначения:
t
Y (t ) 

t
y ()d  , Z (t ) 
t 

t
z ()d  , W (t ) 
t 
 w()d  ,
t 
аппроксимируем конечными разностями
1
1
1
Y (i)  Y ((i  1)) ,  Z (i)  Z ((i  1)) , W (i)  W ((i  1))



соответствующие интегралы от производных в левых частях системы (2). Инi
теграл

 i 1
w    d  аппроксимируем выражением

 w   i  1    w  i   . С
2
учетом этих замечаний получим следующую систему конечно-разностных
уравнений:

1
  Y (i)  Y ((i  1))   a 2  w   i  1    w  i    bY ((i  1))  cZ ((i  1)),


1
  Z (i)  Z ((i  1))   k  w   i  1    w  i    mY ((i  1))  lZ ((i  1)), (3)
2

1
  W (i)  W ((i  1))   Y (i)  Z (i).

Вводя для краткости записи системы (3) следующие обозначения:
i
i
i
y  Y (i) , z  Z (i) , w  W (i) ,
aˆ  a2 , bˆ  b  1, cˆ  c, kˆ  k 2 , lˆ  l   1,
запишем систему конечно-разностных уравнений для фиксированной сессии:
i 1  ˆ i 1
i 1
 i 1  i
ˆ
,
 y  2 aˆ  w  w   b y  cz

 z i  1 kˆ  wi  wi 1   m y i 1  lˆ z i 1 ,


2 
 i
i 1
i
i
 w  w  y  z .
Physics and mathematics sciences. Mathematics
(4)
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3. Описание численного алгоритма решения разностной схемы
Рассмотрим алгоритм проведения вычислений по полученной разностной схеме с учетом известных статистических данных по N потокам. Введем
i
следующие обозначения : y j – количество студентов j -го потока, присоединяющихся к группе претендентов на поступление в аспирантуру после i -й
i
сессии, z j – количество студентов j -го потока, выбывающих из группы преi
тендентов на поступление в аспирантуру после i -й сессии, w j – численность
группы претендентов на поступление в аспирантуру j -го потока студентов
после i -й сессии. Тогда изменения, которые происходят в процессе обучения
j -го потока претендентов на поступление в аспирантуру, могут быть представлены, как на рис. 1.
Рис. 1. Динамика потоков, влияющих на группу претендентов,
при поступлении в аспирантуру для j -го потока студентов
Предполагается, что известна статистическая информация в разрезе девяти сессий по N потокам, предшествующим прогнозируемому ( N  1) -му
потоку: y ij , z ij , wij , x ij , j  1, N , i  2,9, и данные о результатах первой сессии
( N  1) -го потока – w1N 1 . Цель вычислений – найти количество студентов
( N  1) -го потока, которые будут в группе претендентов на поступление в аспирантуру после девятой сессии, – w9N 1 .
Численный алгоритм состоит из двух этапов. На первом этапе для каждой i-й сессии вычисляются неизвестные параметры системы (4). Обозначим
их aˆ i , bˆi , cˆi , kˆi , mi , lˆi ( i  2,9 ).
Коэффициенты aˆ i , bˆi , cˆi , i  2,9 , первого уравнения системы (4) находятся как решение системы линейных алгебраических уравнений следующего вида:
AiT Y i  AiT Ai X i , i  2,9 ,
 wi  wi 1
i 1
i 1 
2
 2
y1
z1 
 aˆ i 
 yi 
2


1
 


i
i
i 


где Y 


  , X   bˆi  .
 , A 
 


 wi  wi 1

 cˆi 
 yi 
i 1
i 1
N
 N 1 
 N
 
y N 1 z N 1 
2


Коэффициенты kˆi , mi , lˆi i  2,9 , второго уравнения системы (4) находят-
ся как решение системы линейных алгебраических уравнений следующего вида:
86
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
BiT Z i  BiT Bi F i , i  2,9 ,
 w2i  w2i 1
i 1
i 1 
y1
z1 
 ki 

 zi 
2
1
 






  , F i   mi  .
где Z i     , Bi  
 


 i 
i
i 1
 li 


z

w
w
i

1
i

1
N
N
 N 1 
 
y
z
N

1


N 1
2


На втором этапе численного алгоритма с использованием найденных
коэффициентов aˆ i , bˆi , cˆi , kˆi , lˆi , mi , i  2,9 , находятся прогнозируемые численности группы претендентов на поступление в аспирантуру wiN 1 , i  2,9 .
Вычисления осуществляются по итерационной формуле:
i
w N 1
i 1
i
i
1  aˆ i / 2  kˆi / 2  w N 1   bˆi  mi  y N   cˆi  lˆi  z N


,
1  kˆi / 2  aˆi / 2
i  2,9 .
4. Численный эксперимент и анализ результатов прогнозирования
Апробацию предложенной модели проведем на основе статистических
данных об успеваемости одной группы студентов очной формы обучения специальности «Прикладная математика и информатика» математического факультета МГУ им. Н. П. Огарева, поступивших в университет с 2000 по 2006 г.
Примем за критерий включения в группу претендентов на поступление
в аспирантуру величину среднего балла по итогам последней сессии большую или равную 4,2 балла (при 5-балльной системе оценки знаний). По статистическим данным составим таблицу численности претендентов на поступление в аспирантуру (табл. 1), таблицу вливающихся в группу претендентов
на поступление в аспирантуру (табл. 2) и таблицу выбывающих из группы
претендентов на поступление в аспирантуру (табл. 3) в разрезе семи потоков
студентов и сессий за 2000–2006 гг.
Таблица 1
Численность претендентов на поступление в аспирантуру
Номер
потока
2006
2005
2004
2003
2002
2001
2000
1
7
8
9
12
9
6
5
2
7
13
10
9
14
6
8
3
7
8
9
10
12
8
8
4
4
4
2
4
7
6
4
Номер сессии
5
6
7
15
14
19
7
10
11
11
16
19
8
18
6
14
7
11
16
12
13
20
21
15
8
16
19
13
15
20
21
15
9
10
11
12
11
21
19
12
График, построенный на основании данных по численности группы
претендентов на поступление в аспирантуру (рис. 2), подтверждает предположение о том, что изменение количественного состава групп претендентов
по разным потокам в разрезе сессий сохраняет общие тенденции. Здесь по
Physics and mathematics sciences. Mathematics
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
оси абсцисс отложены номера сессий, а по оси ординат – число претендентов
на поступление в аспирантуру.
Таблица 2
Численность вливающихся в группу
претендентов на поступление в аспирантуру
Номер
потока
2006
2005
2004
2003
2002
2001
2000
1
0
0
0
0
0
0
0
2
0
5
1
1
5
1
5
3
0
0
0
2
1
3
3
4
0
0
0
0
0
2
0
Номер сессии
5
6
3
8
10
5
5
4
7
3
9
3
4
11
3
8
7
1
0
2
4
2
4
4
8
5
4
1
3
1
2
2
9
0
0
2
3
2
4
1
Таблица 3
Численность выбывающих из группы
претендентов на поступление в аспирантуру
Номер
потока
2006
2005
2004
2003
2002
2001
2000
1
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
4
0
1
2
3
0
5
1
1
3
1
3
4
3
4
7
6
5
4
4
Номер сессии
5
6
0
0
0
0
0
1
0
3
0
0
2
1
1
0
7
5
3
0
2
1
1
3
8
0
1
0
1
1
2
2
9
10
8
3
7
1
6
4
Рис. 2. Изменение численности групп претендентов на поступление
в аспирантуру для потоков 2000–2006 гг. в разрезе сессий
Итог построения прогноза с использованием математической модели
(1) приведен в табл. 4 вместе с реальными статистическими данными за тот
же промежуток времени.
88
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Таблица 4
Результаты прогнозирования количества претендентов
на поступление в аспирантуру для 2007 потока в разрезе сессий
Год
Прогноз
Реальные данные
2007
2007
1
8
8
2
12
6
3
8
14
Номер сессии
4
5
6
5
20
29
4
8
20
7
24
20
8
33
22
9
20
18
Среднеквадратичное отклонение прогнозируемых данных от реальной
статистики составляет 18,26 %, что говорит о том, что прогнозируемые значения достаточно близки к реальным данным с точки зрения математического моделирования в социологических исследованиях. Таким образом, построенная математическая модель позволяет прогнозировать динамику численности претендентов на поступление в аспирантуру на основе статистических
данных за несколько лет, предшествующих прогнозируемому отрезку времени. Графически данные табл. 4 представлены на рис. 3.
Рис. 3. Результаты прогнозирования количества претендентов
на поступление в аспирантуру для 2007 потока в разрезе сессий
Список литературы
1. Э л ь с г о л ь ц , Л. Э . Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Л. Э. Эльсгольц, С. Б. Норкин. – М. : Наука, 1971. – 296 с.
2. Ш а м а н а е в , П . А . Численное моделирование динамики потока научных
и научно-педагогических кадров на основе статистических данных по МГУ
им. Н. П. Огарева / П. А. Шаманаев, В. А. Атряхин // Журнал Средневолжского
математического общества. – 2011. – Т. 13, № 1. – С. 84–90.
3. Б о р о д к и н , Ф. М . Прогнозирование численности населения и миграции системой дифференциальных уравнений / Ф. М. Бородкин, С. В. Соболева // Математические методы в социологии. – Новосибирск, 1974. – С. 99–145.
4. П р а с о л о в, А . В. Динамические модели с запаздыванием и их приложения в
экономике и инженерии / А. В. Прасолов. – СПб. : Лань, 2010. – 192 с.
5. С а м а р с к и й , А . А . Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин. – М. :
Наука, 1989. – 262 с.
References
1. E l ' s g o l ' t s , L . E . Vvedeniye v teoriyu differentsial'nykh uravneniy s otklonyayushchimsya argumentom / L. E. El'sgol'ts, S. B. Norkin. – M. : Nauka, 1971. – 296 s.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2. S h a m a n a y e v , P . A . Chislennoye modelirovaniye dinamiki potoka nauchnykh i
nauchno-pedagogicheskikh kadrov na osnove statisticheskikh dannykh po MGU im.
N. P. Ogareva / P. A. Shamanayev, V. A. Atryakhin // Zhurnal Srednevolzhskogo matematicheskogo obshchestva. – 2011. – T. 13, № 1. – S. 84–90.
3. B o r o d k i n , F . M . Prognozirovaniye chislennosti naseleniya i migratsii si-stemoy
differentsial'nykh uravneniy / F. M. Borodkin, S. V. Soboleva // Mate-maticheskiye
metody v sotsiologii. – Novosibirsk, 1974. – S. 99–145.
4. P r a s o lo v , A . V . Dinamicheskiye modeli s zapazdyvaniyem i ikh prilozheniya v
ekonomike i inzhenerii / A. V. Prasolov. – SPb. : Lan', 2010. – 192 s.
5. S a m a r s k i y , A . A . Chislennyye metody / A. A. Samarskiy, A. V. Gulin. – M. :
Nauka, 1989. – 262 s.
Атряхин Владимир Андреевич
аспирант, Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева
(Республика Мордовия, г. Саранск,
ул. Большевистская, 68)
Atryakhin Vladimir Andreevich
Postgraduate student, Mordovian
State University named after N. P. Ogaryov
(Republic of Mordovia, Saransk,
68 Bolshevistskaya str.)
E-mail: Atrvol@rambler.ru
Шаманаев Павел Анатольевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, заведующий кафедрой
прикладной математики, Мордовский
государственный университет
имени Н. П. Огарева (Республика
Мордовия, г. Саранск,
ул. Большевистская, 68)
Shamanaev Pavel Anatol'evich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, head
of the department of applied mathematics,
Mordovian State University named
after N. P. Ogaryov (Republic of Mordovia,
Saransk, 68 Bolshevistskaya str.)
E-mail: Korspa@yandex.ru
УДК 51-77, 519.62
Атряхин, В. А.
О приложении систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом к моделированию процесса воспроизводства научных
кадров / В. А. Атряхин, П. А. Шаманаев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 1 (25). –
С. 82–90.
90
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
ФИЗИКА
УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322
В. Д. Кревчик, В. Н. Калинин, Е. Н. Калинин
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР D–-ЦЕНТРА
В КВАНТОВОМ СУЖЕНИИ ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНИХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ
Аннотация. В рамках модели потенциала нулевого радиуса теоретически исследованы D–-состояния в квантовом сужении при наличии внешних, продольных относительно оси сужения, электрического и магнитного полей. Получено дисперсионное уравнение электрона, локализованного на D–-центре,
и исследована зависимость энергии связи D–-состояния от эффективной длины
сужения, координат примеси и величины приложенных электрического и магнитного полей. Показано, что особенность геометрического конфайнмента
квантового сужения проявляется в существенной зависимости энергии связи
D–-состояния от эффективной длины сужения. Выявлен эффект магнитного
вымораживания D–-состояния в квантовом сужении.
Ключевые слова: квантовое сужение, эффективная длина квантового сужения,
продольное электрическое и магнитное поле.
V. D. Krevchik, V. N. Kalinin, E. N. Kalinin
D–-CENTER ENERGY SPECTRUM
IN A QUANTUM CONSTRICTION GIVEN
THE ELECTRIC AND MAGNETIC FIELDS
Abstract. In the framework of the model of zero-radius potential the authors theoretically investigate the D–-states in a quantum constriction given the external longitudinal axis contraction, the electric and magnetic fields. The article describes the obtained dispersion equation of the electron localized on the D–-center and examines
its dependence on the effective length of the constriction, the coordinate values of
the impurity and the tensions and the magnetic induction of external fields.
Key words: quantum constriction, effective length of the quantum restrictions, longitudinal electric and magnetic fields.
Введение
В последние годы возрос интерес к исследованию влияния эффектов
магнитного и электрического полей на оптические свойства полупроводниковых низкоразмерных систем [1–3]. Это обусловлено тем, что как магнитное,
так и электрическое поле, модифицируя электронный спектр, существенно
меняют физические свойства наноструктур, приводя к интересным с фундаментальной и прикладной точки зрения квантоворазмерным эффектам Штарка и Зеемана [4, 5]. Известно, что оптические свойства полупроводниковых
наноструктур в значительной мере определяются наличием в них примесных
центров [6]. Особенно актуальной такая ситуация представляется в электриPhysics and mathematics sciences. Physics
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ческом и магнитном полях, которые могут приводить к кардинальной модификации примесных состояний и тем самым динамически изменять концентрацию носителей в размерно-квантованной зоне проводимости [7].
Цель настоящей работы заключается в теоретическом исследовании
влияния эффектов электрического и магнитного полей на энергетический
спектр D–-центра в квантовом сужении (КС) с параболическим потенциалом
конфайнмента.
Расчет энергии связи D–-состояния в квантовом сужении
при наличии внешних электрического и магнитного полей
В качестве модели потенциала конфайнмента КС выбирается потенциал «мягкой стенки» [8]:


V  x, y z   m 02 x   02 y   2z z 2 / 2 ,
(1)
где m – эффективная масса электрона; z – координата вдоль оси КС; часто-


та z определяется эффективной длиной КС Lz : z   / m* Lz 2 ; 0 –
характерная частота двумерного гармонического осциллятора, потенциалом
которого моделируется потенциал КС в плоскости, перпендикулярной оси

КС. Векторный потенциал однородного магнитного поля A , направленного

вдоль оси КС, выбирался в симметричной калибровке A    yB / 2, xB / 2,0  .
Для невозмущенных примесью одноэлектронных состояний гамильтониан

H в выбранной модели запишется как

H BE


 H   H z ,
(2)
где

H   
 2  1     1  2  iB  m*  

  ,


  
2  8
2m*        2 

Hz 
2  2
2m* z 2

m* 2 2
z z  e E0 z ,
2
(3)
(4)
 z – цилиндрические координаты; B | e | B / m* – циклотронная частота,
| e | – величина заряда электрона;   4  2B
– гибридная частота;
W p ( z )   e E0 z – потенциальная энергия электрона в однородном электри
ческом поле с напряженностью E   0,0, E0  .
Спектр гамильтониана (2) имеет вид
En,m, 
92
 B m 

 2n | m | 1  z   W0 ,
2
2
(5)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
 n,m,   z    n,m       z  ,
(6)
здесь W0  e 2 E02 / (2m*2z ) ;  n,m    и    z  – собственные функции


операторов H  и H z соответственно:
|m|
1
 2  |m|   
1 
n !  2    2
 n,m    

  2  exp   2  Ln  2  exp  im  , (7)
2a1   n  | m |!  2a1 
  a1 
 2a1 



z  z0 
z  z0  
  z   C  D
D
 ,
  1  i 
   1  i 
i 
Lz 
Lz  
 i 




(8)
где z0  e E0 / (m*2z ) ; n  0,1, 2,... – квантовое число, соответствующее
уровням Ландау;
m  0,  1,  2,... – магнитное квантовое число;

 





a12  a 2 /  2 1  a 4 / 4aB4  ; a   / m*0 ; aB   / m*B – магнитная


длина; Lm
n  x   полиномы Лагерра; D p  x   функция параболического цилиндра; C  21/4 exp    / 4   2Lz 1  exp   2   
 1/2
.

Предполагается, что D–-центр расположен в точке Ra   a , a , za  се-
чения узкого горла КС, здесь a  a  za – координаты примесного центра.
Потенциал примеси описывается в рамках модели потенциала нулевого радиуса V  , , z; a , a , za  , который в цилиндрической системе координат имеет вид
V   z; a a  za   
    a 





        z  za  1     a    z  za   ,

z 

(9)
 
где     / m* – мощность потенциала нулевого радиуса;  определяется энергией Ei связанного состояния электрона на этом же D  -центре
в объемном полупроводнике.
Задача определения волновой функции и энергии связанного состояния
E D–-центра, расположенного в сечении узкого горла КС  za  0  , состоит
B
в построении одноэлектронной функции Грина для уравнения Шредингера
с гамильтонианом

H
E
HB
V  , , z; a , a , za  .
Physics and mathematics sciences. Physics
(10)
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Одноэлектронная функция Грина к уравнению Шредингера с гамиль
тонианом (10), соответствующая источнику в точке r1   1 , 1 , z1  и энергии
E B , запишется в виде



 d 
G , , z1 , 1 , z1; E B  

*n,m,  1 , 1 , z1   n,m,  , , z 
E B  En,m,
m,n
. (11)
Уравнение Липпмана – Швингера для D–-состояния в КС с параболическим потенциальным профилем запишется как
 n,m,  , , z; a , a , za  
 2  
   1d 1d 1dz1G  , , z, 1, 1, z1; E  
B
 0 0
V  1 , 1 , z1; a , a , za   n,m,  1 , 1 , z1; a , a , za  .
(12)
Применяя стандартную процедуру метода потенциала нулевого радиуса, получим дисперсионное уравнение, определяющее зависимость энергии

связанного состояния E B от положения Ra   a , a , za  D–-центра, параметров КС, величины B магнитной индукции и величины напряженности
внешнего электрического поля:
  a1*2 
e 2 E02
2m*2z Ed

 
e2 E02
1 *
a dt exp      a1* 2 
 

2m*2z Ed
 
0

 i 
 1
1
 *2

 2a1* 1  exp 2a1*2t  exp   a cth a1*2t
 2a*2


1

 t t




 *2 ch a*2t
B
a

 exp
 2a*2
* 2
sh a1 t

 1

 
t  
 
 

  

   f  z , z , L , t  .
a a z

 

(13)
Следует отметить, что из-за наличия квантового размерного эффекта
энергию связи EBE D–-центра необходимо определить как
B
EBE  E0,0,0  E B , E B  0 ,
(14)
B
или в боровских единицах:
EBE / Ed  2  a1*2  W0* , E B  0
B
Если D–-центр расположен в сечении узкого

( Ra   a , a ,0  ), то дисперсионное уравнение (13) примет вид
94
(15)
горла
КС
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
  a1*2 
Физико-математические науки. Физика
e 2 E02
2m*2z Ed
 i 

 
e 2 E02
1 *
a dt exp      a1* 2 
 

2m*2z Ed
 
0

1
 *2
 1

 2a1* 1  exp 2a1*2t  exp   a cth a1* 2t
*2



 2a1
 t t




 *2 ch a*2t
B
a

 exp
 2a*2
sh a1* 2t

 1

 
t  
 
 

  

   f  0,0, L , t  .
z

 

(16)
На рис. 1 и 2 представлены результаты численного анализа дисперсионного уравнения (16) в случае D–-состояния в КС на основе InSb.
Рис. 1. Зависимость энергии связи D–-состояния EBE от координаты примесного
B
центра *a
 a / ad при L  65 нм ; U 0  0, 2 эВ ;
Ei  1 мэВ; кривые: 1 – L*z  10 ; 2 – L*z  20 ; 3 –
B  0 Тл; E0  0 В/м;
L*z  30 ; 4 – L*z  
Как видно из рис. 1, энергия связи D–-центра EBE в КС является убыB
*a
вающей функцией его радиальной координаты
, что обусловлено размерным квантованием. С уменьшением эффективной длины КС Lz энергия связи
Physics and mathematics sciences. Physics
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
D–-центра заметно возрастает (ср. кривые 2 и 1). Действительно, с уменьшением Lz D–-орбиталь вытягивается вдоль оси КС и соответственно сжимается
в плоскости сечения узкого горла КС. Это приводит к углублению основного
состояния D–-центра. С ростом Lz динамика кривой EBE (*a ) такова, что
B
она приближается к соответствующей кривой 4, построенной для случая
квантовой проволоки (КП) при тех же значениях параметров, входящих в (16)
(ср. кривые 1–3 и 4).
На рис. 2 представлена зависимость энергии связи D–-центра, расположенного в сечении узкого горла КС  a  za  0  и на оси КП, от эффективной длины КС при различных значениях напряженности электрического поля
Е0, величины магнитного поля В и параметра i .
Рис. 2. Зависимость энергии связи D–-состояния EBE от эффективной длины КС

B
L*z
 Lz / ad
 при L  65 нм ; U0  0, 2 эВ ; кривые: 1 – B  0 Тл; E0  0 В/см;
i  2 ; 2 – B  5 Тл; E0  0 В/см; i  2 ; 3 – B  0 Тл; E0  20 кВ/см; i  2 ;
4 – B  0 Тл; E0  0 В/см; i  1
96
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
Можно видеть, что с ростом L*z энергия связи EBE монотонно убываB
ет, так как D–-орбиталь сжимается вдоль оси КС и соответственно растягивается в плоскости сечения узкого горла КС. Это приводит к уменьшению энергии связи D–-состояния. Во внешнем магнитном поле энергия связи D–-центра
при фиксированном значении L*z значительно возрастает (см. кривые 1 и 2),
что связано с сжатием D–-орбитали в радиальной плоскости сечения узкого
горла КС. Во внешнем электрическом поле энергия связи D–-состояния
уменьшается (сравн. кривые 1 и 3 на рис. 2) вследствие электронной поляризации и штарковского сдвига энергии.
Волновая функция D–-состояния в КС в модели потенциала нулевого
радиуса только постоянным множителем отличается от одноэлектронной

функции Грина. Для центрированного случая Ra  (0,0,0) ее можно представить в виде
 2 
  B  , , z   CB exp  

 4a 2 
1 




d  exp      1  exp  2  

1
2i /2

  3 / 4  i / 2 



z  z0 
z  z0  
 D
D
 
1  1  i 
1   1  i 
i 
Lz 
Lz  
 i 
2
2



1
2


 dt  t  exp    2  a1*2  2 L*t   W0*  t   1  exp 2a1*2t

 
 


0

2a

 exp   exp 2a1*2t 
a12 1  exp 2a1*2t










,

(17)
где    , , z      , , z ,0,0,0  .
Заключение
В работе исследовано влияние эффектов магнитного и электрического
полей на энергию связи D–-состояния в КС. Показано, что в КС имеет место
эффект магнитного вымораживания D–-состояний, обусловленный гибридизацией размерного и магнитного квантования. Найдено, что электрическое
поле приводит к дестабилизации D–-состояния за счет электронной поляризации и штарковского сдвига энергии. Установлено, что особенности геометрической формы КС проявляются в существенной зависимости энергии связи
D–-состояния от эффективной длины сужения. Полученные результаты могут
быть использованы при разработке ИК-фотоприемников с управляемыми параметрами.
Physics and mathematics sciences. Physics
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Список литературы
1. К р е в ч и к , В. Д . Энергетический спектр и оптические свойства D  -центров
в структурах с квантовыми дисками / В. А. Прошкин, В. И. Жуковский, В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов // Вестник МГУ. Сер. 3. – 2008. – №. 4. – С. 19–24.
2. К р е в ч и к , В. Д . Магнитооптические свойства D2 -центра в квантовом микросужении / В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, В. А. Прошкин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. – 2008. – № 3. –
С. 90–103.
3. P r o s h k i n , V . A . Optical properties of the disk – shaped quantum dots with D  impurity centers / V. A. Proshkin, A. K. Arigazov, V. D. Krevchik, M. B. Semenov //
Hadronic Journal. – 2008. – V. 31, № 2. – P. 140–152.
4. П р о ш к и н , В. А . Термы молекулярного иона D2 в квантовой нити /
В. А. Прошкин // Материалы 53-й научной студенческой конференции : сб. науч.
работ студентов ун-та. – Пенза : Изд-во ПГПУ им. В. Г. Белинского, 2004. –
С. 118–120.
5. К р е в ч и к , В. Д . Магнитооптические свойства D2 -центра в микросужении /
В. А. Прошкин, В. Д. Кревчик, А. А. Марко // Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики, физ. св-ва и применение : тез. докл. IV межрег. научной школы для студентов и аспирантов. – Саранск : Изд-во Морд. гос.
ун-та, 2005. – С. 50.
6. П р о ш к и н , В. А . Эффект передислокации электронно-волновой функции
в D2 -системе в квантовой точке во внешнем электрическом поле / В. А. Прошкин, В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, Л. Н. Туманова, А. М. Иванов // Материалы
нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики, физ. св-ва и применение :
сб. тр. V всерос. молодеж. науч. школы. – Саранск : Изд-во Морд. гос. ун-та,
2006. – С. 19.
7. К р е в ч и к , В. Д . Энергетический спектр D2 -центра в полупроводниковой
квантовой точке при наличии внешних электрического и магнитного полей /
В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, В. А. Прошкин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 3. – С. 91–104.
8. К р е в ч и к , В. Д . Энергетический спектр и магнитооптические свойства
D–-центра в квантовом сужении / В. Д. Кревчик, А. А. Марко, А. Б. Грунин //
Физика и техника полупроводников. – 2006. – Т. 40, № 4. – С. 433–438.
References
1. K r e v c h i k , V . D . Energeticheskiy spektr i opticheskiye svoystva D  -tsentrov v
strukturakh s kvantovymi diskami / V. A. Proshkin, V. I. Zhukovskiy, V. D. Krev-chik,
M. B. Semenov // Vestnik MGU. Ser. 3. – 2008. – №. 4. – S. 19–24.
2. K r e v c h i k , V . D . Magnitoopticheskiye svoystva D2 -tsentra v kvantovom mikrosuzhenii / V. D. Krevchik, A. V. Razumov, V. A. Proshkin // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskiye nauki. – 2008. – № 3. – S. 90–
103.
3. P r o s h k i n , V . A . Optical properties of the disk – shaped quantum dots with D  impurity centers / V. A. Proshkin, A. K. Arigazov, V. D. Krevchik, M. B. Semenov //
Hadronic Journal. – 2008. – V. 31, № 2. – P. 140–152.
4. P r o s h k i n , V . A . Termy molekulyarnogo iona D2 v kvantovoy niti / V. A. Proshkin //
Materialy 53-y nauchnoy studencheskoy konferentsii : sb. nauch. rabot studentov un-ta. –
Penza : Izd-vo PGPU im. V. G. Belinskogo, 2004. – S. 118–120.
98
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
5. K r e v c h i k , V . D . Magnitoopticheskiye svoystva D2 -tsentra v mikrosuzhenii /
V. A. Proshkin, V. D. Krevchik, A. A. Marko // Materialy nano-, mikro-, optoelektroniki i volokonnoy optiki, fiz. sv-va i primeneniye : tez. dokl. IV mezhreg. nauchnoy
shkoly dlya studentov i aspirantov. – Saransk : Izd-vo Mord. gos. un-ta, 2005. – S. 50.
6. P r o s h k i n , V . A . Effekt peredislokatsii elektronno-volnovoy funktsii v D2 -sisteme
v kvantovoy tochke vo vneshnem elektricheskom pole / V. A. Proshkin, V. D.
Krevchik, A. V. Razumov, L. N. Tumanova, A. M. Ivanov // Materialy nano-, mikro-,
optoelektroniki i volokonnoy optiki, fiz. sv-va i primeneniye : sb. tr. V vseros. molodezh. nauch. shkoly. – Saransk : Izd-vo Mord. gos. un-ta, 2006. – S. 19.
7. K r e v c h i k , V . D . Energeticheskiy spektr D2 -tsentra v poluprovodnikovoy kvantovoy tochke pri nalichii vneshnikh elektricheskogo i magnitnogo poley / V. D. Krevchik, A. V. Razumov, V. A. Proshkin // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavede-niy.
Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki. – 2008. – № 3. – S. 91–104.
8. K r e v c h i k , V . D . Energeticheskiy spektr i magnitoopticheskiye svoystva D–-tsentra
v kvantovom suzhenii / V. D. Krevchik, A. A. Marko, A. B. Grunin // Fizika i tekhnika
poluprovodnikov. – 2006. – T. 40, № 4. – S. 433–438.
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, декан физикоматематического факультета,
Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Krevchik Vladimir Dmitrievich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, dean of the faculty
of physics and mathematics, Penza
State University (Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Калинин Владимир Николаевич
аспирант, Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Kalinin Vladimir Nikolaevich
Postgraduate student, Penza State
University (Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Калинин Евгений Николаевич
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры общей физики,
Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Kalinin Evgeniy Nikolaevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, sub-department
of general physics, Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: kalinin_en@mail.ru
УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322
Кревчик, В. Д.
Энергетический спектр D–-центра в квантовом сужении при наличии
внешних электрического и магнитного полей / В. Д. Кревчик, В. Н. Калинин, Е. Н. Калинин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 1 (25). – С. 91–99.
Physics and mathematics sciences. Physics
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 523.9; 53.08;
Г. А. Егоров, В. М. Журавлев
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
В АТМОСФЕРЕ СОЛНЦА НА ОСНОВЕ СЕРИЙ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Аннотация. Излагается метод вычисления спектральной плотности волновых
процессов на Солнце по серии изображений в форме магнитограмм,
получаемых с борта космических аппаратов SOHO или SDO.
Ключевые слова: цифровой спектральный анализ, волновые процессы на
Солнце.
G. A. Egorov, V. M. Zhuravlev
SPECTRAL ANALYSIS OF WAVE PROCESSES IN THE SOLAR
ATMOSPHERE ON THE BASIS OF A NUMBER OF IMAGES
Abstract. The article introduces a spectral density calculation method for the wave
processes in the Sun based on a number of images in the form of magnetograms obtained from spacecraft SOHO or SDO.
Key words: digital spectral analysis, wave processes on the Sun.
Введение
Одним из наиболее перспективных направлений исследования внутреннего строения Солнца является в настоящее время гелиосейсмология,
опирающаяся на вычисление профилей распределения скорости звука по глубине атмосферы Солнца на основе исследования волн, наблюдаемых на его
поверхности. Основным диапазоном периодов волн в гелиосейсмологии принят диапазон звуковых колебаний вблизи периода 5 мин. В этом диапазоне
имеется набор пиков, соответствующих основным модам колебаний, целое
число раз укладывающихся вдоль сферической поверхности Солнца. Однако
на поверхности Солнца существуют волновые процессы, периоды которых
имеют гораздо большую величину и физический механизм существования
которых иной, чем звуковые колебания. Наименее изученным является диапазон периодов, начинающийся от нескольких часов и более. Это связано
с тем, что физические механизмы образования и поддержания волн в этой области разнообразны и содержат достаточно много шумовых составляющих,
что делает их изучение достаточно сложным. С другой стороны, этот диапазон содержит достаточно много информации о внутреннем строении Солнца,
которая может существенным образом дополнять информацию, получаемую
в диапазоне звуковых колебаний. Например, в области низких частот можно
получать информацию о дифференциальном вращении Солнца и распределении скоростей этого вращения по глубине.
В настоящей работе рассматриваются методы вычисления спектральных характеристик волн в диапазоне периодов T > 3 часов по серии изображений Солнца, получаемых с борта солнечной обсерватории SOHO. Эти методы опираются на многомерный спектральный анализ, основанный на методе максимальной энтропии. В работе описаны основные алгоритмы вычисления спектров и их интегральных характеристик, а также дисперсионных кривых соответствующих процессов.
100
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
1. Метод вычисления спектральной плотности
на основе антенных решеток
Метод построения спектральной плотности процессов, происходящих
на Солнце на основе анализа серий изображений, опирается на широко
используемый в геофизике метод фазовых антенных решеток (ФАР) [1–3].
Под антенной решеткой в таком подходе подразумевается совокупность
датчиков, измеряющих некоторый физический параметр среды (например,
температуру, давление и т.п.), в некотором наборе точек, расположенных на
некотором точно известном фиксированном расстоянии друг от друга.
Измерения всеми датчиками производятся синхронно через равные промежутки времени длительностью t . В результате получается набор рядов
измерений X i( a ) , где a – номер датчика (или узла антенной решетки),
а индекс i указывает номер временного отчета, в котором получены
измерения. Для построения пространственно-временного спектра волнового
процесса, который предполагается стационарным в широком смысле [4],
используют оценку фазовых задержек на данной частоте f Фурьесоставляющей процесса между всеми парами узлов антенной решетки. Для
сигнала в форме плоской гармонической волны фазовые задержки ab ( f )
между любыми тремя несовпадающими узлами c номерами a, b, c
удовлетворяют условию треугольника:
ab ( f )  bc ( f )  ca ( f ) = 0.
Это является следствием того, что фазовая задержка для гармонической
плоской волны с волновым вектором k = (k1 , k2 , k3 ) может быть вычислена
по формуле
ab ( f )  (k , ra  rb ) 
 k1 ( xa  xb )  k2 ( ya  yb )  k3 ( za  zb ), a, b = 1,, N .
(1)
Здесь ra = ( xa , ya , za ) – радиус-вектор положения узлов антенной решетки, число которых равно N . Знак фазовой задержки определяется порядком
узлов, в котором проводится вычисление. Если известны фазовые задержки
ab ( f ) между парами узлов, то, решая систему алгебраических уравнений
(1), можно вычислить волновые вектора k ( f ) для каждой частоты f . Для
этого фазовые задержки в двумерном пространстве должны быть известны
для двух пар узлов, а в трехмерном – для трех. В случае наличия шума или
негармоничности падающих волн фазовые задержки вычисляются с ошибками, что приводит к различным значениям оценок волновых векторов
процессов для разных групп узлов на данной частоте f . В этом случае для
вычисления волновых векторов используют методы спектрального анализа.
Основой такого подхода, который описан, например, в [4], является
последовательная процедура оценивания спектральной матрицы Sab ( f )
векторного процесса X ia и последующее оценивание пространственновременного спектра S (k , f ) по уже известной спектральной матрице. Вся эта
процедура может быть описана в терминах метода максимальной энтропии.
Physics and mathematics sciences. Physics
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Оценка спектральной матрицы по методу максимальной энтропии
строится таким образом, чтобы максимизировать энтропию векторного
процесса при заданных значениях ковариационной матрицы на первых
нескольких сдвигах в предположении его стационарности в широком смысле,
нормальности его вероятностного распределения. Энтропия такого дискретного по времени векторного процесса может быть вычислена по формуле
Hm = 
1
2
1/2

ln(det S ) df ,
(2)
1/2
где S = ( Sab ( f )) .
Интеграл берется по нормированной частоте по интервалу, ограниченному частотой Найквиста, равной для нормированной частоты значению
1 / 2 . Согласно формуле Винера – Хинчина спектральная матрица связана
с ковариационной функцией:
1/2

S ( f ) ab ei 2kf df = Rab (k ), k = 0, 1, 2,
(3)
1/2
В результате для вычисления спектральной матрицы S ( f ) при
заданных значениях ковариационной матричной функции R (k ) = ( Rab (k ))
для сдвигов | k |< M необходимо максимизировать функционал:
1
H = 
2
 1/2

ln(det S)df 
S ( f ) ab ei 2kf df  Rab (k )  ,
 ab 


|k |< M 1a ,b <1
1/2
 1/2

1/2

N
 

где  ab – множители Лагранжа.
Как было показано в работах [2, 3, 5, 6], решение этой вариационной
задачи эквивалентно построению для заданных матриц R(k ) модели
авторегрессии исследуемого векторного процесса. Поэтому для вычисления
спектральной матрицы обычно используют методы оценивания параметров
модели авторегрессии [4, 7], наиболее эффективным из которых является
рекуррентный алгоритм Левинсона [7, 8].
Следующим шагом построения оценки пространственно-временного
спектра является максимизация того же функционала, но при условии, что
значения спектральной матрицы связаны с пространственно-временным
процессом, стационарным в широком смысле. В этом случае к функционалу
(3) следует добавить дополнительные условия следующего вида:
k0 k0 k 0
   S (k , f )e
i 2(k ,(ra  rb ))
dk1dk2 dk3 = Sab ( f ),
(4)
 k0  k0  k0
фиксирующие связь пространственно-временного спектра S (k , f ) со значением спектральной матрицы для каждой пары узлов на данной частоте.
102
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
В реальности энтропия пространственно-временного процесса, стационарного в широком смысле с нормальным распределением, описывается
следующей формулой [9]:
1
Hs =
2
1/2
k0 k 0 k0
   
ln S (k , f ) dk1dk2 dk3df .
(5)
1/2  k0  k0  k0
При условии выполнения соотношений энтропии H m и H s отличаются друг от друга на величину, не зависящую от значений спектральной
матрицы S = ( Sab ( f )) . Поэтому вариации соответствующих функционалов
при фиксированных значениях спектральной матрицы должны совпадать.
Отсюда легко находим [2, 3], что наилучшей оценкой S (k , f ) является
оценка вида
1
S ( f , k ) = Tr ( S ( f ) E (k ))  .
(6)
Здесь матрица E (k ) имеет следующий вид:
e(k ),
E(k ) = e (k )
а
элементы
направляющего
вектора
e(k ) = (e1 , e2 ,, eN ) вычисляются по формуле
ea ( k ) = e

i k ,ra
гармонической
волны
.
Оценка (6) является искомой оценкой спектральной плотности сигнала,
обоснованной с точки зрения принципа максимальной энтропии.
2. Метод вычисления спектральной
плотности на основе серий изображений
Метод оценивания спектральной плотности на основе антенных решеток может быть использован в задаче оценивания спектров по сериям изображений. Такой подход может быть реализован несколькими способами [10].
В данной работе реализован способ, в рамках которого в качестве антенной
решетки используются фиксированные точки снимков, привязанные к определенным, не изменяющимся от изображения к изображению, их геометрическим элементам.
В данной работе изучались волны в атмосфере Солнца на основе снимков, сделанных с борта космической обсерватории SOHO. Изображения, поступающие с SOHO, имеют фиксированные размеры. Аппарат SOHO находится в точке Лагранжа системы Солнце–Земля. Поэтому его относительное
смещение по отношению к расстоянию от Земли до Солнца практически не
сказывается на изменении масштабов элементов изображений на Солнце.
В качестве неизменного геометрического элемента, с которым связываются
элементы антенной решетки, выбираются геометрические параметры изображения диска Солнца. Изображение диска Солнца позволяет ввести систему
координат в плоскости каждого снимка, которая привязана к экватору солнечного диска и среднему его солнечному меридиану. В результате каждая
Physics and mathematics sciences. Physics
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
точка на снимке получает фиксированные координаты, не изменяющиеся от
снимка к снимку. В качестве антенной решетки для анализа волн выбирались
различные наборы точек числом от 3 до 10, которые располагались вблизи
центра изображений на расстоянии не более 30° от гелиоэкватора и центрального меридиана (рис. 1). Поскольку анализ волн проводился в плоскости
снимков, такой выбор антенной решетки обеспечивал допустимый уровень
сферических искажений, что давало приемлемый уровень погрешности вычисления длин волн вдоль поверхности Солнца.
Рис. 1. Магнитограмма Солнца MDI_mag 1024×1024 пикселей, сглаженная
прямоугольным фильтром, радиус сглаживания 20 пикселей, с выделенным
регионом обработки и антенной решеткой из девяти элементов
На точность оценки частоты волновых компонент при анализе серий
изображений в области низких частот оказывает влияние собственное движение Земли (и вместе с ней аппарата SOHO) по орбите вокруг Солнца. Это
влияние в основном сводится к доплеровскому смещению частоты волн на величину, равную частоте с периодом в 1 год. Поскольку в работе исследовались
периоды в диапазоне от нескольких часов до нескольких дней, то такой доплеровский сдвиг существенного влияния на оценки частоты волн не оказывал.
В качестве данных от антенной решетки в работе использовались цифровые значения величин интенсивностей излучения, зафиксированного
в изображениях. В данной работе для анализа использовались MDI-магнитограммы. Цифровое значение интенсивности точек изображения пропорци-
104
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
онально величине магнитного поля в точке излучения, лежащей вблизи поверхности Солнца.
3. Описание исходного набора данных и предварительная обработка
В качестве данных для анализа волн в атмосфере Солнца в данной работе использовались, как указывалось выше, данные, получаемые с космических обсерваторий SOHO или SDO в форме MDI-магнитограмм (эти данные
имеются в открытом доступе на сайте: http://soho.nasa.gov). В данной работе
в качестве демонстрации метода исследовались магнитограммы, полученные
в интервале времени от 1 января 2001 г. до 31 декабря 2002 г., полученные
с аппарата SOHO. Магнитограммы, находящиеся в открытом доступе, получены через неравные промежутки времени в среднем с интервалом между
ними 1,5 ч. Поскольку временные интервалы между изображениями менялись, то для их использования в качестве источников данных для многомерного спектрального анализа необходимо было интерполировать эти данные
во временную сетку с равномерным шагом. Такая процедура проводилась
с помощью метода линейной интерполяции с выбором шага сетки, равным
среднему значению интервала между отдельными изображениями для данного набора магнитограмм.
Поскольку интенсивность элементов магнитограмм может меняться
значительно быстрее, чем 1,5 ч (звуковые колебания), то для исключения
элайзинга (просачивания высокочастотных составляющих в низкие частоты за
счет дискретизации непрерывного процесса) ряды подвергались низкочастотной фильтрации. Поскольку аналогичные проблемы могут возникать и при
пространственном анализе, то длинноволновой фильтрации подвергались и
сами магнитограммы. Пространственная фильтрация проводилась с помощью
прямоугольного двумерного фильтра. В качестве отфильтрованного значения
для дальнейшей обработки выбирались значения, полученные по формуле
L
I a ,b =
1
I a i,b  j .
N i, j =  L

(7)
Пример отфильтрованного изображения с L = 20 приведен на рис. 1.
Спектральному анализу подвергались ряды данных длительностью
в несколько месяцев с последующим сдвигом по времени на несколько дней.
В качестве антенной решетки выбиралась решетка с шаблоном из девяти
элементов, расположенных так, как показано на рис. 2, расстояние между
соседними узлами – 20 пикселей.
Рис. 2. Шаблон ФАР
Physics and mathematics sciences. Physics
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
С каждой магнитограммы в указанных точках шаблона, положение
которых определялось относительно края изображения, выбирались значения
интенсивностей, которые относились к моменту времени, указанному как
время получения данной магнитограммы (в имени файла). В результате
формировался векторный ряд из девяти компонент, относящихся к отдельным
узлам антенной решетки. Затем эти ряды интерполировались в равномерную
сетку по времени.
4. Оценки спектральной плотности и интегральные спектры
Оценив спектральную матрицу каким-либо известным способом [4–6],
можно рассчитать оценки для пространственно-временного спектра [5]. Часто
используются три оценки:
1. Оценка Бартлета.
Формула для оценки Бартлета следующая:
S (k x , k y , f ) 
 Ea* (k x , k y )Sab ( f )Eb (k x , k y ) ,
(8)
a ,b
где Ea ( k x , k y )  exp(i (k x xa  k y ya )) , kx, ky – компоненты волнового вектора,
индексы a, b нумеруют узлы антенной решетки.
2. Оценка метода максимального правдоподобия:
S (k x , k y , f ) 
1

1
Ea* ( k x , k y ) Sab
( f )Eb (k x , k y )
,
(9)
a ,b
1
Sab
( f ) – обратная спектральная матрица на частоте f.
3. Оценка метода максимального правдоподобия с учетом интерференции
S (k x , k y , f ) 
1

Ea* (k x , k y )(S n ) ab1 ( f )Eb (k x , k y )
,
(10)
a ,b
Матрица Sn здесь обозначает нормированную спектральную матрицу.
Общий вид спектральной матрицы:
Saa
Sab exp(iab ) ... 

 *

Sbb
...  .
S   Sab exp(iab )

...
...
... 


Ее можно представить как
 Saa

S  0

 

0
Sbb

 
1
 ab exp(iab )    Saa


1
    ab exp(iab )
  0


1   
  




0
Sbb



 ,



тогда
106
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
1
 ab exp(iab ) ... 



1
...  ,
S n    ab exp(iab )

...
...
1 


(11)
 ab и ab – когерентности и сдвиг фаз сигнала в узлах ФАР.
Оценка Бартлета наиболее универсальна, и в этом ее преимущество, но
обладает худшим разрешением по частоте. Оценки метода максимального
правдоподобия дают большее разрешение по частоте (по сравнению с оценкой Бартлета), но при наличии интерференции эта оценка может оказаться
несостоятельной вследствие возможной вырожденности спектральной матрицы на частотах вблизи пиков спектральной плотности. Поэтому в данном
случае необходимо использовать нормированную спектральную матрицу, которая по определению невырождена.
5. Дисперсионные кривые волн
Для получения дисперсионных кривых необходимо рассчитывать
пространственно-временной спектр на всем доступном интервале частот, а не
только для гармоник, найденных по пикам графика автоспектров. Таким
образом, получается 4-мерный массив данных, каждая точка в этом массиве
является амплитудой спектра S (k x , k y , f ) . Также, представляя этот массив
в сферической системе координат S (| k |, , f ) , можно получать дополнительную информацию о процессе. Для визуального представления такого массива
данных необходимо делать «срезы», проводить интегрирование по какому-либо
параметру. В программе реализованы расчеты срезов: зональный (интегрирование по k y ) S (k x , f ), меридиональный (интегрирование по k x ) S (k y , f ) и
срез по модулю волнового числа (интегрирование по | k | ) S (| k |, f ) .
На рис. 3–6 представлены наиболее яркие, типичные спектры, получаемые при анализе серий магнитограмм в период максимума активности
Солнца 2001–2002 гг.
Зональный срез спектра характеризует перенос вещества в атмосфере
Солнца в зональном направлении. Главным процессом для этого переноса
является дифференциальное вращение. Таким образом, можно предположить,
что преобладающий наклон дисперсионной кривой связан со скоростью дифференциального вращения на широте, для которой получена эта дисперсионная
кривая:   Vk  B , V – скорость дифференциального вращения.
Полученные оценки метода максимального правдоподобия выявляют
на пространственно-временном спектре более тонкую структуру дисперсионной кривой. Интересным фактом стало появление второй ветви кривой.
Таким образом, кроме переноса вещества по направлению с дифференциальным вращением, в анализируемом процессе присутствует и обратно направленный перенос вещества.
Меридиональный срез спектра характеризует перенос вещества в атмосфере Солнца в меридиональном направлении. Поиск и выделение главного
процесса здесь остается открытой задачей.
Physics and mathematics sciences. Physics
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 3. Дисперсионная кривая k x  k x ( f ) .
Зональный срез спектра S (k x , f ) , оценка Бартлета
Рис. 4. Дисперсионная кривая k x  k x ( f ) . Зональный срез
спектра S (k x , f ) , оценка метода максимального правдоподобия
108
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
Рис. 5. Дисперсионная кривая k y  k y ( f ) .
Меридиональный срез спектра S (k y , f ) , оценка Бартлета
Рис. 6. Дисперсионная кривая k y  k y ( f ) . Меридиональный срез
спектра S (k y , f ) , оценка метода максимального правдоподобия
Physics and mathematics sciences. Physics
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Для оценок, полученных по методу максимального правдоподобия для
меридионального среза спектра, характерно осциллирующее поведение
вблизи нуля.
Заключение
Как было показано в данной работе, метод оценивания спектров на
основе метода максимальной энтропии по серии изображений оказывается
эффективным способом выявления характеристик волновых процессов
в атмосфере Солнца и других астрономических объектов Солнечной системы.
Основным результатом проделанной работы является выявление в атмосфере Солнца устойчивых волновых процессов, распространяющихся как
в зональном, так и в меридиональном направлениях. Было показано, что
в исследуемом диапазоне частот волновые компоненты с меридиональной
составляющей имеют осциллирующую вблизи нуля дисперсионную кривую.
Зональные волновые числа в области низких частот порождены переносом длинноволновых контрастов потоком, связанным с дифференциальным вращением Солнца. С помощью вычисления наклона дисперсионной
кривой вблизи нулевой частоты можно вычислять скорость дифференциального вращения Солнца. Однако в некоторых случаях в низкочастотной области появляются отдельные волновые составляющие, которые можно
с некоторой долей вероятности интерпретировать по направлению их
распространения, обратного дифференциальному вращению Солнца, как
волны Россби. Однако этот вывод требует дальнейших проверок.
Выявлено также специфическое поведение в ряде случаев дисперсионной кривой в области периодов около двух суток и меньше, которое
содержит две почти зеркальные ветви, имеющие форму парабол. Это
означает, что данном случае мы имеем дело с процессами, не связанными
с дифференциальным вращением Солнца. Анализ этих волн требует дополнительной проработки.
Список литературы
1. М а к л е л л а н , Д ж . Х . Многомерный спектральный анализ / Дж. Х. Маклеллан //
ТИИЭР. – 1982. – Т. 70, № 9. – С. 139–151.
2. Д в о р я н и н о в , Г . С . Метод максимальной энтропии в многомерном
спектральном анализе временных рядов / Г. С. Дворянинов, В. М. Журавлев,
А. В. Прусов // Морской гидрофизический журнал. – 1987. – № 3. – С. 41–48.
3. Д в о р я н и н о в , Г . С . Методы максимальной энтропии и комплексных
нормальных мод для многомерного и пространственно-временного спектрального
анализа / Г. С. Дворянинов, В. М. Журавлев, Е. М. Лемешко, А. В. Прусов //
Моделирование гидрофизических процессов и полей в замкнутых водоемах и
морях / под ред. А. С. Саркисяна. – М. : Наука, 1987. – С. 213–228.
4. Ж у р а в л е в , В. М . Оценивание пространственно-временных спектров
волновых процессов на основе последовательности изображений с помощью
многомерного метода максимальной энтропии / В. М. Журавлев, А. В. Журавлев,
Г. А. Егоров // Известия высших учебных заведений, Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2008. – № 3. – С. 71–81.
5. К е й п о н , Д . Пространсвенно-временной спектральный анализ с высоким
разрешением / Д. Кейпон // ТИИЭР. – 1969. – Т. 51. – С. 69–79.
110
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
6. Д ж о н с о н , Д . Х . Применение методов спектрального анализа к задаче
определения угловых координат источников излучений / Д. Х. Джонсон //
ТИИЭР. – 1982. – Т. 70, № 9. – С. 126–139.
7. М а р п л , С . Л. м л . Цифровой спектральный анализ и его приложения /
С. Л. Марпл мл. – М. : Мир, 1990.
8. Бен да т, Д ж . Применения корреляционного и спектрального анализа /
Дж. Бендат, А. Пирсол. – М. : Мир, 1983.
9. С тр а та н о в и ч , Р . Л. Теория информации / Р. Л. Стратанович. – М. : Сов.
радио, 1975. – 424 с.
10. Электронный практикум «Космофизика–2007» / под ред. В. М. Журавлева. – Ульяновск : Изд-во Ульяновского гос. ун-та, 2007.
References
1. M a k l e l l a n , D zh . K H . Mnogomernyy spektral'nyy analiz / Dzh. KH. Maklellan //
TIIER. – 1982. – T. 70, № 9. – S. 139–151.
2. D v o r y a n in o v , G . S . Metod maksimal'noy entropii v mnogomernom spektral'nom
analize vremennykh ryadov / G. S. Dvoryaninov, V. M. Zhuravlev, A. V. Prusov //
Morskoy gidrofizicheskiy zhurnal. – 1987. – № 3. – S. 41–48.
3. D v o r y a n in o v , G . S . Metody maksimal'noy entropii i kompleksnykh normal'nykh
mod dlya mnogomernogo i prostranstvenno-vremennogo spektral'nogo analiza /
G. S. Dvoryaninov, V. M. Zhuravlev, Ye. M. Lemeshko, A. V. Prusov // Modelirovaniye gidrofizicheskikh protsessov i poley v zamknutykh vodoyemakh i moryakh / pod
red. A. S. Sarkisyana. – M. : Nauka, 1987. – S. 213–228.
4. Zh u r a v l e v , V . M . Otsenivaniye prostranstvenno-vremennykh spektrov volnovykh
protsessov na osnove posledovatel'nosti izobrazheniy s pomoshch'yu mnogomernogo
metoda maksimal'noy entropii / V. M. Zhuravlev, A. V. Zhuravlev, G. A. Yegorov //
Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy, Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye
nauki. – 2008. – № 3. – S. 71–81.
5. K e y p o n , D . Prostransvenno-vremennoy spektral'nyy analiz s vysokim razresheniyem
/ D. Keypon // TIIER. – 1969. – T. 51. – S. 69–79.
6. D zh o n s o n , D . K H . Primeneniye metodov spektral'nogo analiza k zadache opredeleniya uglovykh koordinat istochnikov izlucheniy / D. KH. Dzhonson // TIIER. –
1982. – T. 70, № 9. – S. 126–139.
7. M a r p l , S . L . m l . Tsifrovoy spektral'nyy analiz i yego prilozheniya / S. L. Marpl ml.
– M. : Mir, 1990.
8. B e n d a t , D zh . Primeneniya korrelyatsionnogo i spektral'nogo analiza / Dzh. Bendat,
A. Pirsol. – M. : Mir, 1983.
9. S t r a t a n o v i c h , R . L . Teoriya informatsii / R. L. Stratanovich. – M. : Sov. radio,
1975. – 424 s.
10. Elektronnyy praktikum «Kosmofizika–2007» / pod red. V. M. Zhuravleva. – Ul'yanovsk : Izd-vo Ul'yanovskogo gos. un-ta, 2007.
Егоров Геннадий Александрович
аспирант, Ульяновский
государственный университет
(г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42)
Egorov Gennadiy Aleksandrovich
Postgraduate student, Ulyanovsk
State University (Ulyanovsk,
42 Lva Tolstogo str.)
E-mail: egorov_g_a@mail.ru
Physics and mathematics sciences. Physics
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Журавлев Виктор Михайлович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра теоретической
физики, Ульяновский
государственный университет
(г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42)
Zhuravlev Viktor Mikhaylovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of theoretical physics, Ulyanovsk
State University (Ulyanovsk,
42 Lva Tolstogo str.)
E-mail: zhvictorm@gmail.com
УДК 523.9; 53.08;
Егоров, Г. А.
Спектральный анализ волновых процессов в атмосфере Солнца на
основе серий изображений / Г. А. Егоров, В. М. Журавлев // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2013. – № 1 (25). – С. 100–112.
112
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
УДК 621.373.826
О. Л. Головков, Г. А. Купцова, В. А. Степанов
НЕПРЕРЫВНАЯ ГЕНЕРАЦИЯ YAG:ND-ЛАЗЕРА
НА ДВУХ ДЛИНАХ ВОЛН 1064,15 И 1061,5 нм
Аннотация. Исследованы причины непрерывной генерации YAG:Nd-лазера на
двух длинах волн 1064,15 и 1061,5 нм при накачке лазерными диодами. Определены условия получения непрерывной одновременной генерации на этих
линиях (двойное собственное лучепреломление кристалла и ортогональность
плоскости поляризации излучения накачки к излучению лазера). Показано, что
возникновение генерации на 1064,7 и 1061,7 нм линиях связано с условиями
заселения верхних лазерных уровней и обусловлено вкладом релаксационных
переходов между этими уровнями.
Ключевые слова: двулучепреломление, YAG:Nd3+-лазер, поляризация.
O. L. Golovkov, G. A. Kuptsova, V. A. Stepanov
CONTINUOUS WAVE GENERATION OF THE YAG:ND-LASER
AT TWO WAVE LENGTHS OF 1064,15 $1' 1061,5 NANOMETERS
Abstract. The article investigates a reason of continuous generation of two wave
lengths of 1064.15 and 1061.5 nm in the Nd:YAG-laser with diode laser pumping.
The authors have determined the conditions of continuous simultaneous generation
at these lines (crystal birefringence and orthogonality of the pumping radiation polarization surface to the laser radiation). It is shown that the appearance of regeneration at 1064,7 and 1061,7 nm lines is related to the conditions of upper laser level
filling and caused by the contribution of relaxation transitions between these levels.
Key words: birefringent, YAG:Nd-laser, polarization.
Введение
При комнатной температуре YAG:Nd3+-лазер генерирует на длине волны
1064,15 нм. При охлаждении лазерного кристалла YAG:Nd3+-лазер до температуры 250 К наблюдается одновременная генерация на двух длинах волн
1064,15 и 1061,5 нм [1]. При комнатной температуре одновременная генерация
на длинах волн 1064,15 и 1061,5 нм впервые наблюдалась в YAG: Nd3+лазерах с коротким резонатором (не более 0,5 мм), когда на сильном переходе
(λ = 1064,15 нм) обеспечивался одночастотный режим генерации [2].
В кристалле YAG:Nd3+ с двойным лучепреломлением при использовании внутри резонатора окна Брюстера возможна одновременная генерация на
двух длинах волн 1064,15 и 1061,5 нм при температуре 300 К и генерации
множества продольных типов колебаний, чему и посвящена настоящая работа.
Эксперимент
Для эксперимента использовались активные элементы, вырезанные из
монокристалла Y3Al5О12(YAG) вдоль кристаллографической оси (001) в виде
цилиндра диаметром 4 мм длиной 10 мм, активированного ионами неодима.
На входной торец активного элемента нанесено селективное зеркало с коэффициентом отражения более 99 % на длине волны 1064 нм и высокой прозрачностью на длине волны 808 нм. Выходной торец активного элемента
Physics and mathematics sciences. Physics
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
просветлен. Линейный резонатор лазера длиной 30 мм создавался селективным зеркалом, нанесенным на торец активного элемента и сферическим зеркалом радиусом 200 мм с коэффициентом отражения 84 % на длине волны
1064 нм. Генерация осуществлялась на основной поперечной моде ТМ00. Линейно поляризованное излучение трех лазерных диодов на длине волны 808 нм
суммарной мощностью 8 Вт фокусировалось на торец активного элемента зоной накачки 0,5×0,5 мм2. Ориентация плоскости поляризации лазерного излучения задавалась положением окна Брюстера, размещенного внутри резонатора. Исследовалась возможность и условия одновременной генерации YAG:
Nd3+-лазера, схема которого представлена на рис. 1, на двух длинах волн
1064,15 и 1061,5 нм при комнатной температуре.
Рис. 1. Схема экспериментальной установки: 1 – полупроводниковые лазеры;
2 – линза фокусирующая; 3 – YAG:Nd3+кристалл; 4 – окно Брюстера,
5 – выходное зеркало; 6 – термоэлектрический модуль с датчиком температуры;
7 – анализатор спектра лазерного излучения LM-5
В результате экспериментов установлено, что одновременная генерация
на двух длинах волн 1064,15 и 1061,5 нм возможна в случае, когда плоскость
поляризации излучения накачки ортогональна поляризации генерации, задаваемой ориентацией окна Брюстера.
На рис. 2 представлены зоны устойчивой генерации на двух длинах
волн 1064,15 и 1061,5 нм в зависимости от угла поворота YAG:Nd3+кристалла вокруг оси z (азимутального угла) для двух образцов при условии
ортогональности поляризации излучения накачки и поляризации генерации,
при Т = 300 К.
Как видно из рис. 2, зона устойчивой генерации на обеих длинах волн
коррелирует с термооптической характеристикой Q кристалла YAG:Nd3+ [3],
описывающей эффект термонаведенного двулучепреломления. Это указывает
на связь генерации на этих длинах волн с двулучепреломлением в кристалле
лазера.
Идеальный кристалл YAG, имеющий кубическую систему и группу
симметрии m3m, не обладает собственным двулучепреломлением [4]. При
наличии внутренних напряжений, вызванных дефектами кристаллической
решетки или примесями, кристалл YAG приобретает собственное наведенное
двулучепреломление.
На рис. 3 представлены зависимости степени деполяризации плоскополяризованного излучения He-Ne лазера, прошедшего через YAG:Nd3+-кристалл, от угла поворота кристалла (азимутального угла).
114
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
Рис. 2. Отношение мощности генерации с λ = 1061,5 нм к мощности генерации
с λ = 1064,15 нм в зависимости от угла поворота YAG:Nd3+-кристалла вокруг оси z
Рис. 3. Степень деполяризации прошедшего через YAG:Nd3+-кристалл
плоско поляризованного излучения He-Ne лазера в зависимости
от угла поворота кристалла вокруг оси z
Из рис. 2 и 3 видно, что максимальная величина собственного двулучепреломления совпадает с максимумом термооптической характеристики Q
кристалла YAG:Nd3+, при этом чем больше величина собственного двулучепреломления в кристалле, тем интенсивнее генерация на второй длине волны
излучения 1061,5 нм.
Установлено, что для одновременной генерации на двух длинах волн
1064,15 и 1061,5 нм необходимо выполнение следующих условий:
– YAG:Nd3+-кристалл должен обладать собственным двулучепреломлением;
– YAG:Nd3+-кристалл необходимо ориентировать в положение максимального двулучепреломления для плоскости поляризации излучения, генерируемого лазером;
– плоскость поляризации излучения накачки должна быть ортогональна
плоскости поляризации генерации, задаваемой ориентацией окна Брюстера.
Physics and mathematics sciences. Physics
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
На рис. 4,а приведен нормированный спектр излучения образца № 1
YAG:Nd3+-кристалла при азимутальном угле 45°, когда происходит генерация
на двух длинах волн 1064,15 и 1061,5 нм. На рис. 4,б приведен нормированный спектр излучения образца № 1 YAG:Nd3+-кристалла при азимутальном
угле 0°, когда происходит генерация на одной длине волны 1064,15 нм. На
рис. 4,в приведена абсолютная разница нормированных спектров излучения
образца № 1 YAG:Nd3+-кристалла при азимутальных углах 45° и 0°.
а)
б)
в)
Рис. 4. Нормированный спектр генерации YAG:Nd3+-лазера: а – при генерации
на двух длинах волн 1064,15 и 1061,5 нм; б – при генерации на одной
длине волны 1064,15 нм; в – абсолютная разница в спектрах генерации
116
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
Проведенный анализ спектров генерации YAG:Nd3+-лазера при азимутальных углах 45 и 0° показал следующее:
– при генерации на одной длине волны 1064,15 нм (рис. 4,б) часть
ионов неодима генерирует на длине волны 1064,4 нм (на рис. 4,в светлые зоны), что соответствует слабому переходу с подуровня 5 (11423 см−1) уровня
4
F3/2 на подуровень 3 (2028 см−1) уровня 4I11/2;
– при генерации на двух длинах волн 1064,15 и 1061,5 нм (рис. 4,а)
часть ионов неодима генерирует на длине волны 1063,95 нм (на рис. 4,в темные зоны), что указывает на энергетический сдвиг подуровней основного перехода ионов неодима, при этом генерация на длине волны 1064,4 нм отсутствует.
В результате дальнейших экспериментов установлено, что порог
генерации на λ = 1061,5 нм незначительно больше порога генерации на
λ = 1064,15 нм; плоскость поляризации излучения на λ = 1064,15 нм совпадает с плоскостью поляризации излучения на λ = 1061,5 нм; модуляции генерируемого излучения в частотном интервале от 0 до 10 МГц нет.
Анализ полученных результатов
Анализируя структуру энергетических уровней иона неодима в кристаллической решетке YAG 4F3/2 и 4I11/2, представленную на рис. 5, видно, что
генерация на λ = 1064,15 нм идет с более высокого подуровня А (11507 см−1),
чем генерация на λ = 1061,5 нм, подуровень В (11423 см−1).
Рис. 5. Структура лазерных переходов иона Nd3+,
размещенного в кристаллической решетке YAG
Physics and mathematics sciences. Physics
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Ширина линий усиления на λ = 1064,15 и 1061,5 нм одинакова, а усиление на λ = 1064,15 нм (сечение σ1 = 7,1×10−19см2) выше усиления на
λ = 1061,5 нм (сечение σ2 = 4,7×10−19см2), что при комнатной температуре
должно приводить к подавлению генерации на λ = 1061,5 нм. Однако экспериментально установлено, что в рассматриваемом режиме генерации при
комнатной температуре пороги генерации для λ = 1064,15 и 1061,5 нм близки.
Для теоретического объяснения одновременной генерации на двух длинах волн 1064,15 и 1061,5 нм использовалась модель, основанная на решении
систем уравнений Танга, Статца и Демарса [5] для излучения основной моды
ТЕМ00. Уравнения нами решены для случая двух линий усиления, когда генерация может идти с двух подуровней А и В верхнего уровня 4F3/2, и между
подуровнями А и В осуществляются релаксационные переходы:
dI k(1)
 GI k(1)  L(1)
 D0  Dk  1 ,
 k
d
dI k(2)


 GI k(2)  2 L(2)
k  N 0  N k  1  ,
d
 1

M

 M (1) (1)
dD0
(1)
 A  D0 1 
L(1)
I
Lm I m Dm  wAB D0  wBA N 0 ,
m m  

d
 m1
 m1


M

 1 (1) (1)
dDk
(1)
  Lk I k D0  wAB Dk  wBA N k ,
L(1)
Im
  Dк  1 
m

 2
d
 m1


M

dN 0
2 (2) (2)  M 2 (2) (2)
 A  N0 1 
Lm I m  
Lm I m N m  wBA N0  wAB D0 ,




d
1
1
 m1
 m 1


M

dN k
2 (2) (2)  1 2 (2) (2)
  N к 1 
Lm I m  
L I N 0  wBA N k  wAB Dk ,

 2 1 k k

d
1
 m1


(1)
где Ik – нормированная интенсивность генерируемых мод; А – параметр
накачки, D0 и Dk – пространственно однородная инверсия и ее решетки на переходе с верхним рабочим подуровнем А (11507 см−1); N0 и Nk – пространственно однородная инверсия и ее решетки на переходе с верхним рабочим
подуровнем В (11423 см−1); wВА и wАВ = wВА/w – скорость релаксации между
 E  EA 
подуровнями А и В, w  exp  B
 ; ЕА и ЕВ – энергии подуровней А и В;
 k BT 
kВ – постоянная Больцмана; М – число продольных мод; G  2k / || ,   t / || ,
|| и k – скорости релаксации инверсии населенности и поля в резонаторе;
Lk – Лорентцева функция формы линии:
2

L(1)
k  1    p  k   0    
118
1
2

, L(2)
k  1    p  k   0     2  
1
,
(2)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
(1)   p
(2)  (1)
  k
0 9,
 0  k 1
,  0
, 2  0



где   – скорость релаксации поляризации, равная полуширине однородной
линии усиления; ∆0 – межмодовый интервал; (1)
0 – центр сильной линии
усиления (λ = 1064,15 нм);  p − частота ближайшей продольной моды с номером р; ∆ − отстройка продольной моды с номером р от центра сильной линии усиления; (2)
0 – центр линии усиления с λ = 1061,5 нм.
Аналитическое решение данной системы уравнений может быть найдено при условии, когда на какой-либо длине волны генерирует одна продольная мода (частота). В случае генерации одной продольной моды α на длине
волны 1061,5 нм стационарное решение уравнений (1) имеет вид
Ik 
D0  1 / L(1)
k
L(1)
k
 1  wBA 
, I  A  1
 wAB D0 ,
2 L(2)
 S1   M  0,5 D0 


A
1 
D0  
2 S1  wAB 
2 2M  1 


 2S1  A  M  0,5  wAB 
S1 
M

m 1
2


2 wBA  
 4  M  0,5   AS1  S2 
 ,


1L(2)
 


1 / L(1)
m , S2 
M
 1 / L(1)m 
2
(3)
.
m 1
Расчет влияния температуры кристалла YAG:Nd3+ на возможность генерации двух длин волн показал: чем ниже температура, тем выше интенсивность генерации слабой линии на длине волны 1061,5 нм, что подтверждается
экспериментально. Расчет влияния скорости релаксации между подуровнями
на возможность генерации двух длин волн показал: чем меньше скорость релаксации, тем интенсивнее генерация слабой линии на длине волны 1061,5 нм.
Расчет влияния длины резонатора на возможность генерации двух длин волн
показал: чем длиннее резонатор, тем слабее генерация слабой линии на
длине волны 1061,5 нм.
С повышением температуры возникает смещение длины волны основной линии генерации 1064,15 нм в длинноволновую область за счет генерации
на слабой компоненте (λ = 1064,4 нм) [6], имеющей одинаковый верхний подуровень с компонентой генерации на λ = 1061,5 нм, что в свою очередь обеспечивает дополнительное подавление генерации на длине волны 1061,5 нм
при высоких температурах. Данные выводы согласуются с результатами измерения разности нормированных спектров генерации YAG:Nd3+-лазера,
представленными на рис. 4,в, из которого видно, что при генерации одной длины волны 1064,15 нм часть ионов неодима генерирует на длине волны 1064,4 нм
(светлые зоны разности спектров), что и является причиной подавления генераPhysics and mathematics sciences. Physics
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ции на длине волны 1061,5 нм, а при генерации одновременно на двух длинах
волн 1064,15 и 1061,5 нм YAG:Nd3+-лазер на длине волны 1064,4 нм не генерирует (темные зоны разности спектров).
При изменении температуры YAG:Nd3+-кристалла происходит изменение ширины линии генерации ∆ν и длины волны генерации ν (1064,15 нм) по
закону [7]:
d   
dT
 1,8  102 см 1К 1 ,
d 
dT
 5  102 см 1К 1 .
(4)
Расчет показал, что YAG:Nd3+-лазер при Т = 250 К генерирует основную компоненту на длине волны 1063,95 нм. Как видно из рис. 4,в, при генерации двух длин волн часть ионов неодима генерирует на длине волны
1063,95 нм (на рисунке темные зоны) при температуре кристалла 300 К. Подобное смещение спектра генерации лазерного излучения объясняется влиянием дефектов кристаллической решетки на ионы неодима. Так как для обеспечения генерации на двух длинах волн необходимо использовать YAG:Nd3+кристаллы с собственным двулучепреломлением, возникающим на дефектах
кристаллической решетки, то можно утверждать, что генерация на двух длинах волн при температуре 300 К происходит благодаря влиянию дефектов
YAG-кристалла на ионы неодима.
Выводы
1. Установлен и исследован режим непрерывной одновременной генерации YAG:Nd3+-лазера на двух длинах волн 1064,17 и 1061,5 нм с множеством продольных типов колебаний (частот) при комнатной температуре.
2. Определены условия получения непрерывной одновременной генерации на этих линиях (двойное собственное лучепреломление кристалла и ортогональность плоскости поляризации излучения накачки к излучению лазера).
3. Показано, что возникновение генерации на 1064,7 и 1061,7 нм линиях связано с условиями заселения верхних лазерных уровней и обусловлено
вкладом релаксационных переходов между этими уровнями.
Список литературы
1. B r a u c h , U . Temperature dependence of efficiency and thermal lensing of diodelaser-pumped Nd:YAG lasers / U. Brauch // Applied Physics B. – 1994. – V. 58. –
P. 397–402.
2. И е в л е в , И . В. Непрерывная двухволновая генерация в микрочип-Nd: YAGлазерах / И. В. Иевлев, И. В. Корюкин, Ю. С. Лебедева, П. А. Хандохин // Квантовая электроника. – 2011. – V. 41. – С. 715.
3. М е з е н о в, А . В. Термооптика твердотельных лазеров / А. В. Мезенов,
Л. Н. Сомс, А. И. Степанов. – Л. : Машиностроение, 1986. – С. 41.
4. С и р о ти н , Ю . И . Основы кристаллофизики / Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская. – М. : Наука, 1979. – С. 216.
5. Х а н и н , Я . И . Основы динамики лазеров / Я. И. Ханин. – М. : Наука ; Физматлит, 1999. – С. 145.
6. З в е р е в , Г . М . Лазеры на алюмоиттриевом гранате с неодимом / Г. М. Зверев. –
М. : Радио и связь, 1985. – C. 27.
7. К а м и н с к и й , А . А . Лазерные кристаллы / А. А. Каминский. – М. : Наука,
1975. – 256 с.
120
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
References
1. B r a u c h , U . Temperature dependence of efficiency and thermal lensing of diodelaser-pumped Nd:YAG lasers / U. Brauch // Applied Physics B. – 1994. – V. 58. –
P. 397–402.
2. I y e v l e v , I . V . Nepreryvnaya dvukhvolnovaya generatsiya v mikrochip-Nd: YAGlazerakh / I. V. Iyevlev, I. V. Koryukin, YU. S. Lebedeva, P. A. Khandokhin // Kvantovaya elektronika. – 2011. – V. 41. – S. 715.
3. M e ze n o v , A . V . Termooptika tverdotel'nykh lazerov / A. V. Mezenov, L. N. Soms,
A. I. Stepanov. – L. : Mashinostroyeniye, 1986. – S. 41.
4. S i r o t i n , Y U . I . Osnovy kristallofiziki / YU. I. Sirotin, M. P. Shaskol'skaya. –
M. : Nauka, 1979. – S. 216.
5. K h a n i n , Y A . I . Osnovy dinamiki lazerov / YA. I. Khanin. – M. : Nauka ; Fizmatlit,
1999. – S. 145.
6. Zv e r e v , G . M . Lazery na alyumoittriyevom granate s neodimom / G. M. Zverev. –
M. : Radio i svyaz', 1985. – C. 27.
7. K a m i n s k i y , A . A . Lazernyye kristally / A. A. Kaminskiy. – M. : Nauka, 1975. –
256 s.
Головков Олег Леонидович
кандидат физико-математических наук,
кафедра общей и теоретической физики
и МПФ, Рязанский государственный
университет имени С. А. Есенина
(г. Рязань, ул. Свободы, 46)
Golovkov Oleg Leonidovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, sub-department of general
and theoretical physics and physics teaching
methods, Ryazan State University named
after S. A. Esenin (Ryazan, 46 Svobody str.)
E-mail: golovkow@mail.ru
Купцова Галина Александровна
аспирант, Рязанский государственный
университет имени С. А. Есенина
(г. Рязань, ул. Свободы, 46)
Kuptsova Galina Aleksandrovna
Postgraduate student, Ryazan State
University named after S. A. Esenin
(Ryazan, 46 Svobody str.)
E-mail: golovkow@mail.ru
Степанов Владимир Анатольевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой общей
и теоретической физики и МПФ,
Рязанский государственный
университета имени С. А. Есенина
(г. Рязань, ул. Свободы, 46)
Stepanov Vladimir Anatol'evich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of general and theoretical physics
and physics teaching methods, Ryazan
State University named after S. A. Esenin
(Ryazan, 46 Svobody str.)
E-mail: golovkow@mail.ru
УДК 621.373.826
Головков, О. Л.
Непрерывная генерация YAG:Nd-лазера на двух длинах волн 1064,15
и 1061,5 нм / О. Л. Головков, Г. А. Купцова, В. А. Степанов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2013. – № 1 (25). – С. 113–121.
Physics and mathematics sciences. Physics
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 535.8
О. Н. Гадомский, К. К. Алтунин, А. А. Русин, Е. Г. Зубков
УСИЛЕННОЕ ОПТИЧЕСКОЕ ПРОПУСКАНИЕ
КОМПОЗИТНЫХ НАНОСТРУКТУРНЫХ ТОЛСТЫХ ПЛЕНОК
С КВАЗИНУЛЕВЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
(II. ТЕОРИЯ)
Аннотация. Представлен теоретический подход, позволяющий правильно
объяснить необычные оптические свойства синтезированных по нашей технологии композитных пленок (PMMA + Ag). Для объяснения этих свойств (интерференция света в толстых пленках, усиленное оптическое пропускание)
выведены формулы для амплитуд отражения и пропускания слоя с квазинулевым показателем преломления, а также получены полуэмпирические формулы
для отражательной и пропускательной способностей слоя с учетом оптических
бликов.
Ключевые слова: квазинулевой показатель преломления композитного слоя
PMMA с наночастицами серебра, отрицательный показатель преломления системы наночастиц, усиленное оптическое пропускание, интерференция света
в толстых пленках.
O. N. Gadomskiy, K. K. Altunin, A. A. Rusin, E. G. Zubkov
ENHANCED OPTICAL TRANSMISSION OF COMPOSITE
NANOSTRUCTURES OF THICK FILMS WITH QUASI-ZERO
INDEX OF REFRACTION
(II. THEORY)
Abstract. The article introduces a theoretical approach allowing to correctly explain
the unusual optical properties of (PMMA + Ag) composite films synthesized by the
authors’ technology. In order to explain these properties (interference of light in
thick films, enhanced optical transmission) the authors have derived the formulas
for the reflection amplitudes and the transmission of the layer with quasi-zero index
of refraction. The researchers have also obtained semiempirical formulas for reflective and transmission capacities of the layer subject to optical flares.
Key words: quasi-zero refractive index of (PMMA + Ag) composite films, highnegative refractive index of the nanoparticle system, enhanced optical transmission,
interference of light in the thick films.
Введение
В I части статьи были представлены экспериментальные данные, показывающие необычные оптические и фотовольтаические свойства пленок,
синтезированных по разработанной нами технологии.
Во II части предлагается теоретический подход, позволяющий правильно описать эти необычные свойства. Предлагаемый теоретический подход основан на радиационной теории металлических кластеров [1]. Доказано,
что обнаруженные экспериментально эффекты интерференции света в толстых пленках, усиленное оптическое пропускание объясняются формированием в этих слоях квазинулевого показателя преломления.
122
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
1. Оптические поля внутри и вне слоя
Пусть плоскопараллельный слой (рис. 1) вещества 2 находится между
вакуумом (среда 1) и произвольной средой 3. Из вакуума на слой падает
плоская волна, поляризованная перпендикулярно плоскости падения (случай
s-поляризации). Обозначим посредством А0 и А1 амплитуды поля в падающей
и отраженной волнах; θ1 – угол падения волны в плоскости падения xz. Поле
в слое складывается из преломленной волны (амплитуда А2) и волны, отраженной от границы 2–3 (амплитуда А2 ).
Рис. 1. Схема незеркального взаимодействия света со слоем
Граничное условие на поверхности 1–2 дает равенство вида


А2  b  A1  r12 A0e ik0 x sin 1 ,
(1)

, ω – частота волны.
c
При отражении от полубесконечной среды 2 волна А2 отсутствует, так
что (1) определяет r12 смысл как френелевский коэффициент отражения на
границе 1–2.
Еще одно уравнение получается из (1) перестановкой А1 с А0 и заменой
А2 на А2, что соответствует просто изменению знака z-компонент волнового
вектора:
где b и r12 – постоянные величины; k0 


А2  b  A0 e ik0 x sin 1  r12 A1 .
(2)
В среде 3 имеется только прошедшая волна. Для ее амплитуды А3 имеем уравнения:
A2ei2  b  A3 , A2 e i2  b  r32 A3 ,
Physics and mathematics sciences. Physics
(3)
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
аналогичные уравнениям (1), (2) с А1 = 0. Экспоненциальный множитель учитывает изменение фазы волны на толщине слоя d2, причем
2  k0 d 2  n2  i  2  ,
(4)
где n2 – показатель преломления слоя; κ2 – показатель поглощения.
Исключая из уравнений (3) А3, имеем
A2 ei2  r23 A2 ei2 ,
(5)
где r23 = – r32. Из уравнений (1), (2), (5) найдем амплитуду отражения от слоя:
r
A1
A0 e ik0 x sin 1

r12  r23e 2i2
1  r12 r 23 e 2i2
.
(6)
Смысл постоянной r23 выясняется из того, что при d2 = 0 амплитуда отражения r должна совпадать с френелевским коэффициентом отражения r13
от полубесконечной среды 3, следовательно,
r r
r23  12 13 .
r12 r13  1
(7)
В частном случае, когда среды 2 и 3 прозрачные, все величины β2, r12,
r13 вещественны и r23 представляет собой френелевский коэффициент отражения на границе 2–3.
Из уравнений (2), (3) найдем амплитуду пропускания слоя:
A3
A0e ik0 x sin 1
2 2i
1  r12

e

2
1  r12 r 23 e 2i2
.
(8)
Аналогичным образом с помощью уравнений (1)–(3) найдем и оптическое поле внутри слоя с амплитудами A2 , А2.
Полученные формулы (6), (8) для коэффициентов отражения и пропускания слоя не связаны с какими-либо предположениями о свойствах сред 2
и 3, которые могут быть как прозрачными, так и поглощающими. Рассмотрим
свойства формул (6), (8) при n2 = κ2 = 0.
Условие идеального просветления слоя, при котором r  0 , имеет вид
r12   r23e2i2 .
(8а)
Оно выполняется при точном обращении показателя преломления слоя
в нуль (n2 = κ2 = 0). При выполнении условия (8а) и знаменатель в формуле
(6) также обращается в нуль, т.е. имеем неопределенность типа 0 / 0. Однако
эта неопределенность устраняется, и получим, что при n2 = κ2 = 0 условие
идеального просветления слоя r = 0 действительно достигается. При выполнении условия (8а) имеем также, что амплитуда пропускания слоя равна единице, т.е. при n2 = κ2 слой является абсолютно прозрачным.
Однако при малом смещении показателя преломления слоя от нулевого
значения амплитуда отражения становится близкой к 1. Это означает, что
124
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
 r 
  . Для устранения этой расходимости представим амплитуду


 n2 n2 0
отражения как волновой пакет амплитуд (6) с показателем преломления n2
в пределах малого интервала Δn2. Полагая, что френелевские коэффициенты
в формуле (6) не зависят от изменения показателя преломления в пределах
этого интервала, а вся зависимость от n2 содержится в экспоненциальных
множителях, получим после интегрирования следующую формулу для амплитуды отражения слоя [2]:
rc  r12 n2  i
2
1  r12 r23Ф 22
1  r12
ln
,
2r12 k0 d 2
1  r12 r23
(9)
где Ф 2  exp(ik0 d 2 n2 ) .
Аналогичным образом вычислим амплитуду пропускания слоя и получим следующую формулу:

2
tc  1  1  r12
 k0id2 F (r12r23 ) ,
(10)
1 
 Ф2 
 1 
 arctg 
  arctg 
 .
x
 x
 x 
Френелевские коэффициенты в формулах (9), (10) зависят от показателя преломления слоя, равного одному из значений n2 в пределах малого интервала Δn2. Будем в дальнейших расчетах считать, что n2 = Δn2. Для квазинулевых значений показателя преломления имеем
где F ( x) 
r12 
1  n3
1  n2
, r13 
.
1  n2
1  n3
(11)
Важным свойством полученных формул (9), (10) является их независимость от угла падения внешнего излучения при условии, что амплитуды А0
падающего под определенным углом θ1 излучения являются одинаковыми
для разных углов θ1.
2. Квазинулевой показатель преломления композитного материала
Показатель преломления композитного материала (PMMA + Ag) определим по следующей формуле [3]:


n2  q1m n p  1  q1m  nm ,
(12)
где nm – показатель преломления полимерной матрицы (PMMA); n p – показатель преломления наночастиц серебра; q1m – весовое содержание серебра
в композитном материале,
q1m 
 A q1
,
 A q1  m (1  q1 )
Physics and mathematics sciences. Physics
(13)
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где  A , m – плотность массивного серебра и полимера соответственно,
q1  N 0
N 0 
4 3
a ,
3
(14)
1
– концентрация наночастиц в композитном материале; а – раRx R y Rz
диус наночастиц; R  2a    ,   – среднее расстояние между поверхностями соседних наночастиц,   x, y, z .
Для равномерной концентрации сферических наночастиц имеем
N 0 
1
 2a   3
,
(15)
где Δ – среднее расстояние между поверхностями соседних наночастиц
в композите.
В наших экспериментах весовое содержание серебра было равно 3 %.
Это означает, что при радиусе наночастиц а = 2,5 нм среднее расстояние
между наночастицами Δ ≈ 21,6 нм, т.е. с высокой степенью точности можно
рассматривать наночастицы как изолированные и пренебрегать взаимодействием между ними.
Показатель преломления наночастиц в формуле (12) определим следующим образом:
 n p  i p 
2
8
p
N eff
3
,

4
p
1
N eff
3
1
(16)
где κр – показатель поглощения; N – концентрация валентных электронов
p
в наночастицах серебра (N = 5,8 · 1022 см –3); eff
– эффективная поляризуемость валентных электронов [1],
p
eff


,
1  aT N 
(17)
где α – квантовая поляризуемость,

2d02
1
,

   i
0
T2
(18)
соответствующая изолированному резонансу на частоте ω; d0 – дипольный
момент перехода; 1 / T2 – ширина резонанса; aT – внутренний геометрический
фактор.
В радиационной теории металлических кластеров [1] параметры дипольных переходов d0, ω0, 1 / T2 определяются с помощью эксперименталь-
126
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
ных данных [4], а внутренний геометрический аТ для наночастиц малого радиуса имеет следующий приближенный вид:
aT  
 
4 
1  i a  .
c 
3 
(19)
p
На рис. 2 представлены дисперсионные зависимости Im  и Im eff
при а  2,5 нм, которые показывают формирование широкой (от 450 до
1000 нм) области отрицательной дисперсии в наночастицах серебра.
Рис. 2. Увеличение ширины резонанса и формирование области отрицательной
дисперсии в сферических наночастицах серебра с радиусом а = 2,5 нм
Действительно, представим квантовую поляризуемость (18) как функ
цию относительной длины волны x 
. Тогда мнимая часть квантовой по0
ляризуемости (18) примет вид
Im  
2d02


2
1
T2
 2  c   x  1  2  1 

 
  
  0   x   T2 
Physics and mathematics sciences. Physics
2
.
(20)
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Ширина резонанса согласно (20) равна 1 / T2 . Для сферической металлической наночастицы ширину резонанса представим следующим образом:
1 4d02 30 4

  Na3 .
T2
3c3 3
(21)
Для определения ширины резонанса в сферической наночастице малого
радиуса с внутренним геометрическим фактором (19) используем формулу
( p)

Im eff
2d02


При x 
 1  
3 02
1 




1
 
2
 T2   2   2  a 2 x 
 2c 


 0 
2
2
2d02 
2
 x  1 4
 1 
N


    1 
 x
3
   T2   2  2 


1 
a x 
3 02
2 2
2
. (22)
3 02
, как следует из формулы (22), образуется точка пе2(2) 2 а 2
региба, разделяющая области отрицательной и положительной дисперсии
эффективной поляризуемости валентных электронов в металлической наночастице. В этом случае ширина резонанса в окрестности х = 1 становится зна1
чительно меньше ширины резонанса
. Однако для очень малых наночаT2
стиц в широком диапазоне длин волн х >> 1 дисперсия эффективной поляризуемости отрицательная.
Выделим в формуле (16) действительную и мнимую части. Тогда получим следующую систему уравнений для вычисления np и κp:
n 2p  2p  1
(23)
2n p  p   2 ,
 3
 3

 1 
 21   2 22



4
4


1  
,
2
 3

2
 1    2

 4

2 
(24)
32
3

,
2
4  3

2
 1    2

 4

p
p
1  N Re eff
, 2  N Im eff
.
Показатель преломления полимерной матрицы nM = 1,492, поэтому согласно формуле (12) для достижения квазинулевых значений показателя преломления композитного материала необходимо, чтобы показатель преломле-
128
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
ния np был отрицательным. Это возможно, если ε2 < 0, κр > 0, т.е. необходимо
p
достижение отрицательной дисперсии, когда Im eff
< 0.
На рис. 2 было показано, что в сферических наночастицах серебра с радиусом а  2,5 нм наблюдается широкая область отрицательной дисперсии
в диапазоне длин волн от 450 до 1000 нм. При этом, как показывает численное исследование формулы (17), область отрицательной дисперсии будет
наблюдаться также и для других радиусов наночастиц в диапазоне значений
от 2,5 до 12,5 нм.
Из системы уравнений (23) получим следующую формулу для показателя преломления системы наночастиц:
np  
1
1 2 2
1 
1   2 .
2
2
(25)
Большие отрицательные значения показателя преломления np получаются, как видно из (25), при больших значениях ε1, которые, в свою очередь,
4
4
зависят от разности 1 
1 . Когда
 = 0,999, q1m = 0,03, а = 2,5 нм,
3
3
найдем значение n p   48,3 , при котором показатель преломления компо4
1 по отно3
шению к 0,999, благодаря, например, распределению радиусов наночастиц
в композитном материале, позволяет достигнуть экспериментального значения n2 = 0,039.
зитного материала обращается в нуль. Небольшое изменение
3. Отражательная и пропускательная способности композитного
слоя с квазинулевым показателем преломления
Применим формулы (9), (10) для теоретического описания экспериментальных оптических спектров отражения и пропускания структур с синтезированными по нашей технологии композитными пленками. Покажем, что эти
пленки действительно обладают квазинулевыми показателями преломления
в широком диапазоне длин волн от 450 до 1000 нм.
Как видно из рис. 3, пленка толщиной d2 = 30 мкм обеспечивает равномерное оптическое просветление кремния, понижая отражательную способность кремния с 30 до 5 %, при незеркальном отражении света. Видно, что
осцилляции в этом спектре отражения отсутствуют, поэтому основную роль
в спектре отражения играет первое слагаемое в формуле (9), т.е. отражательная способность rc
2
s 2 2
 r12
n2 = 0,05. Из этого уравнения вычислим показа-
тель преломления пленки, учитывая, что в формуле (9) в области квазинуле1  n2
. Решение уравнения дает
вых значений показателя преломления r12 
1  n2
два корня: n2 = – 0,164 и n2  1,385 .
Как показано выше, отрицательный показатель преломления композитного материала (PMMA + Ag) обусловлен формированием в наночастицах
серебра отрицательной дисперсии эффективной поляризуемости валентных
Physics and mathematics sciences. Physics
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
электронов eff , т.е. знак показателя преломления обусловлен знаком
Im eff < 0. При этом Re eff > 0, что, как показано выше, достигается в широком диапазоне длин волн. Было показано также, что квазинулевые значения показателя преломления композитного материала при небольшом весовом содержании серебра могут быть достигнуты, если показатель преломления системы наночастиц серебра имеет большое отрицательное значение.
Было отмечено также, что в формировании больших отрицательных значений
показателя преломления системы наночастиц важную роль играет безразмер4
N Re eff . Изменение этого параметра всего лишь на 1 %
ный параметр
3
приводит к тому, что показатель преломления композитного материала переходит из области квазинулевых значений в область больших значений, близких к показателю преломления полимерной матрицы. В соответствии с ролью
этого безразмерного параметра будем считать, что композитный материал
имеет два показателя преломления: n2 = – 0,1614 и n2  1,385 . При этом один
из них (n2 = – 0,1614) соответствует рассеянному отражению и пропусканию,
а другой (n2 = 1,385) соответствует процессам зеркального отражения и пропускания света, т.е. бликам.
35,00
R, %
30,00
25,00
1
20,00
15,00
10,00
2
5,00
л, нм
0,00
400
450
500
550
600
650
700
Рис. 3. Зависимость отражательной способности кремния без покрытия (кривая 1)
и с покрытием из нанокомпозитного материала с 1 % содержанием Ag (кривая 2)
от длины волны. Толщина покрытия d2 = 30 мкм. Рассматривается незеркальное
отражение света, когда коллимированный пучок света направляется
на поверхность образца под углом 45°, а отраженное излучение
фиксируется по направлению нормали к поверхности образца
Отражательную способность структуры с композитной пленкой представим следующим образом:
2
R (1 )  WR (d 2 , 1 ) rc ,
130
(26)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
где WR ( d 2 , 1 ) – коэффициент, определяющий долю зеркального отражения
(бликов), зависящий от угла падения света. В случае незеркального отражения, как на рис. 3, WR = 1 и отражение света обусловлено только влиянием
покрытия с квазинулевым показателем преломления. Заметим при этом, что
формулы (9), (10) получены для случая положительных квазинулевых значений показателя преломления, когда область интегрирования (0, n2 ) захватывает лишь положительные значения n2. Формулы (9), (10) легко обобщаются на случай учета отрицательных квазинулевых значений показателя преломления композитной пленки.
В I части этой статьи были представлены спектры отражения структур
(PMMA + Ag) / glass, измеренные на оптической установке с интегрирующей
сферой. На рис. 4 представлены спектры незеркального отражения на стекле
для коллимированных пучков, падающих на поверхность образцов под углом
45°. Отражение света фиксируется с помощью фотодетектора, расположенного по направлению нормали к поверхности образцов. На кривой 6 (рис. 4)
видны интерференционные максимумы и минимумы, указывающие на интерференцию света в толстых пленках. Показатель преломления композитной
пленки определим по формуле
n2 
1 2
,
4d 2  1   2 
(27)
где λ1, λ2 – длины волн соседних минимумов. При d2 = 30 мкм получим показатель преломления композитной пленки n2 = 0,07. Отсутствие интерференционных максимумов и минимумов в пленке (PMMA +Ag), полученной по
способу 1, указывает на то, что показатель преломления этой пленки принимает такие значения, при которых в формуле (9) основную роль играет первое слагаемое.
3
6
1
Рис. 4. Отражательная способность стекла с пленкой нанокомпозита (PMMA + Ag).
Толщина пленки d2 = 30 мкм. Пленки 1, 3, 6 получены различными способами
Physics and mathematics sciences. Physics
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Формулу для оптического пропускания композитного слоя с квазинулевым показателем преломления с учетом бликов запишем следующим образом:
2
T (1 )  n3WT ( d 2 , 1 ) tc ,
(28)
где WT ( d 2 , 1 ) – коэффициент, учитывающий направленное оптическое пропускание слоя с показателем преломления n2() , близким к показателю преломления полимерной матрицы; n3 – показатель преломления подстилающей
среды. Коэффициент WT в формуле (28) определяется экспериментально для
композитных пленок, полученных различным способом. Таким образом,
формулы (26), (28) учитывают два показателя преломления композитной
пленки n2() и квазинулевой показатель преломления n2, что позволяет учитывать процессы направленного и рассеянного пропускания и отражения.
В I части был представлен экспериментальный спектр усиленного оптического пропускания структуры (PMMA + Ag) / glass, измеренный с помощью измерительной установки, содержащей интегрирующую сферу. Учитывая, что оптическое пропускание стекла без пленки (PMMA + Ag) в среднем
равно 90 %, можно с помощью формулы (28) оценить величину WT . По2
скольку согласно формуле (10) tc  1 , то при n3  1,5 имеем WT  0,8 , что
указывает на значительную роль оптических процессов, обусловленных показателем преломления n2() . Однако при этом, благодаря квазинулевому показателю преломления композитной пленки, достигается усиленное оптическое
пропускание T (1 )  120 % . Как отмечено в I части данной статьи, такое увеличение оптического пропускания связано с формированием в сферических
наночастицах серебра отрицательного сечения экстинкции. Это означает, что
дополнительная энергия образуется за счет трансформирования энергии релаксационных процессов в энергию дипольного излучения наночастиц. Как
показано в радиационной теории металлических кластеров [1], это возможно
при некоторых радиусах наночастиц серебра.
В I части данной статьи представлены также спектры пропускания
структуры (PMMA + Ag) / glass со стороны пленки (пропускательная способность Т2) и со стороны подложки (пропускательная способность Т1). Как видно из этого эксперимента, Т2 > Т1 в широком диапазоне длин волн от 450 до
1000 нм. Обычные материалы имеют одинаковые пропускательные способности как со стороны пленки, так и со стороны подложки. Свойство Т2 > Т1
можно объяснить лишь при условии, что пленка (PMMA + Ag) в эксперименте обладает квазинулевым показателем преломления.
Заключение
Итак, в данной статье (части I и II) представлены экспериментальные и
теоретические доказательства того, что синтезируемые по разработанной
нами технологии композитные материалы (PMMA + Ag) действительно являются материалами с квазинулевым показателем преломления в широком
диапазоне длин волн от 450 до 1000 нм.
132
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
Отражение и пропускание света толстыми слоями из этих материалов
в значительной степени определяются квазинулевым показателем преломления. Однако, как видно из формул (26), (28), заметное влияние в этих процессах играют блики, обусловленные зеркальным отражением и направленным
пропусканием света в этих слоях, обладающих также показателем преломления, близким к показателю преломления полимерной матрицы. Наличие вто4
,
рого показателя преломления, как отмечено выше, связано с величиной
3
малое изменение которой всего на 1 % приводит к значительному изменению
показателя преломления.
В наших дальнейших работах мы предполагаем за счет совершенствования технологии синтеза композитного материала устранить полностью
влияние бликов.
Список литературы
1. Г а д о м с к и й , О . Н . Радиационная теория металлического кластера / О. Н. Гадомский, К. К. Алтунин, Е. Г. Зубков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2012. – № 3. – С.144–153.
2. G a d o m s k y , O . N . High-negative effective refractive index of silver nanoparticles
system in nanocomposite films / O. N. Gadomsky, K. K. Altunin // Optics Communications. – 2012. – V. 285, № 5. – P. 816–820.
3. V o s h c h i n n i k o v , N . V . Effective medium theories for irregular fluffy structures:
aggregation of small particles / N. V. Voshchinnikov, G. Videen, T. Henning // Applied
Optics. – 2007. – V. 46, № 19. – P. 4065–4072.
4. T a m a r u , H . Resonant light scattering from individual Ag nanoparticles and particle
pairs / H. Tamaru, H. Kuwata, H. T. Miyazaki, K. Miyano // Applied Physics Letters. –
2002. – V. 80, № 10. – P. 1826–1828.
References
1. G a d o m s k i y , O . N . Radiatsionnaya teoriya metallicheskogo klastera / O. N. Gadomskiy, K. K. Altunin, Ye. G. Zubkov // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. – 2012. – № 3. – S.144–153.
2. G a d o m s k y , O . N . High-negative effective refractive index of silver nanoparticles
system in nanocomposite films / O. N. Gadomsky, K. K. Altunin // Optics Communications. – 2012. – V. 285, № 5. – P. 816–820.
3. V o s h c h i n n i k o v , N . V . Effective medium theories for irregular fluffy structures:
aggregation of small particles / N. V. Voshchinnikov, G. Videen, T. Henning // Applied
Optics. – 2007. – V. 46, № 19. – P. 4065–4072.
4. T a m a r u , H . Resonant light scattering from individual Ag nanoparticles and particle
pairs / H. Tamaru, H. Kuwata, H. T. Miyazaki, K. Miyano // Applied Physics Letters. –
2002. – V. 80, № 10. – P. 1826–1828.
Гадомский Олег Николаевич
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра радиофизики
и электроники, Ульяновский
государственный университет
(г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42)
Gadomskiy Oleg Nikolaevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of radio physics and electronics,
Ulyanovsk State University
(Ulyanovsk, 42 Lva Tolstogo str.)
E-mail: gadomsky@mail.ru
Physics and mathematics sciences. Physics
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Алтунин Константин Константинович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра физики, Ульяновский
государственный педагогический
университет (г. Ульяновск,
площадь 100-летия со дня
рождения В. И. Ленина, 4)
Altunin Konstantin Konstantinovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of physics, Ulyanovsk
State Pedagogical University
(Ulyanovsk, 4 Stoletiya so dnya rozhdeniya
V. I. Lenina square)
E-mail: gadomsky@mail.ru
Русин Александр Анатольевич
аспирант, Ульяновский
государственный университет
(г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42)
Rusin Aleksandr Anatol'evich
Postgraduate student,
Ulyanovsk State University
(Ulyanovsk, 42 Lva Tolstogo str.)
E-mail: al.an.rusin@gmail.ru
Зубков Евгений Геннадьевич
аспирант, Ульяновский
государственный университет
(г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42)
Zubkov Evgeniy Gennad'evich
Postgraduate student,
Ulyanovsk State University
(Ulyanovsk, 42 Lva Tolstogo str.)
E-mail: w12345673@yandex.ru
УДК 535.8
Гадомский, О. Н.
Усиленное оптическое пропускание композитных наноструктурных
толстых пленок с квазинулевым показателем преломления (II. Теория) /
О. Н. Гадомский, К. К. Алтунин, А. А. Русин, Е. Г. Зубков // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2013. – № 1 (25). – С. 122–134.
134
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
УДК 538.22
А. В. Силантьев
ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ НА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ
СПЕКТР ФУЛЛЕРЕНА С20
Аннотация. В приближении статических флуктуаций вычислены антикоммутаторные функции Грина для фуллерена С20. Исследовано влияние деформации на энергетический спектр фуллерена С20.
Ключевые слова: модель Хаббарда, функции Грина, энергетический спектр,
наносистемы, фуллерен С20.
A. V. Silant'ev
EFFECT OF DEFORMATION
ON THE FULLERENE С20 ENERGY SPECTRUM
Abstract. The author has calculated the anticommutator Green functions of fullerene
С20 in static fluctuations approximation. The article also investigates the influence of
the deformation on the energy spectrum of fullerene С20.
Key words: Hubbard model, Green functions, energy spectrum, nanosystems, fullerene С20.
В настоящее время большое число теоретических и экспериментальных
исследований посвящено изучению наносистем, в том числе и фуллеренов,
которые представляют собой полиэдрические кластеры углерода [1]. Простейшим из фуллеренов, как это следует из теоремы Эйлера для полиэдра,
является фуллерен С20, который был открыт в 2000 г. [2]. Он состоит из
20 атомов углерода, причем каждый из атомов углерода связан с тремя атомами углерода. Особенностью этого фуллерена является то, что он состоит из
12 пентагонов и не содержит гексагонов. Простейшей структурой фуллерена
С20 может служить додекаэдр с группой симметрии Ih, в вершинах которого
располагаются атомы углерода. Однако вычисления в рамках модели Хюккеля показали, что у фуллерена С20 с группой симметрии Ih энергетический
уровень, который соответствует высшей занятой молекулярной орбитали
(HOMO), четырехкратно вырожден и содержит два электрона, которые согласно правилу Хунда располагаются на разных орбиталях [3]. Согласно теореме Яна-Теллера [4], в такой молекуле должно происходить нарушение
симметрии, которое приводит к снятию вырождения энергетических состояний и понижению энергии молекулы. В фуллерене С20 с группой симметрии
Ih возможно несколько вариантов нарушения симметрии. Если нарушение
симметрии у фуллерена С20 с группой симметрии Ih происходит вдоль оси
симметрии пятого порядка, то это приводит к фуллерену С20 с группой симметрии D5d, а если нарушение симметрии происходит вдоль оси симметрии
третьего порядка, то это приводит к фуллерену С20 с группой симметрии D3d.
Отметим, что кроме этих двух вариантов нарушения симметрии у фуллерена
С20 возможны также еще и другие. Вычисления полуэмпирическими методами энергетических спектров фуллеренов С20 с группами симметрии D5d [5] и
D3d [6] показали, что понижение симметрии молекулы фуллерена С20 с групPhysics and mathematics sciences. Physics
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
пой симметрии Ih приводит к расщеплению некоторых ее энергетических
уровней, в том числе и энергетического уровня, который соответствует
HOMO.
Отметим, что наряду с моделью Хюккеля для исследования углеродных
наносистем также используется модель Хаббарда. Эти модели отличаются
друг от друга тем, что в модели Хюккеля взаимодействие между валентными
электронами отсутствует, а в модели Хаббарда учитывается взаимодействие
между валентными электронами, находящимися на одном атоме. В данной
работе для фуллерена С20 с группами симметрии Ih, D5d и D3d в рамках модели
Хаббарда в приближении статических флуктуаций [7–9] вычислим антикоммутаторные функции Грина и исследуем, как симметрия этого фуллерена
влияет на его энергетический спектр.
В рамках модели Хаббарда [10] фуллерен С20 описывается гамильтонианом следующего вида:
H
 i ni
1 ,i
1


1 ,i  j
tij ci c j1 
1
1
U i ni1 ni1 ,
2  ,i

(1)
1
где ci , ci – операторы рождения и уничтожения электронов со спином 
на узле i; ni – оператор числа частиц со спином  на узле i; i – собственная энергия электрона на узле i; tij – интеграл переноса, описывающий перескоки электронов с узла i на узел j; U i – энергия кулоновского отталкивания
двух электронов с разными спинами, находящимися на i-м узле;    .
Как известно, фуллерены могут быть изображены в виде плоских однородных молекулярных графов степени три [1], которые называются диаграммами Шлегеля. Диаграмма Шлегеля для фуллерена С20 изображена на рис. 1.
Рис. 1. Диаграмма Шлегеля для фуллерена С20
136
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
В фуллерене С20 с группой симметрии Ih все атомы углерода, а также
связи между ними эквивалентны. Поскольку все связи между атомами углерода в фуллерене С20 с группой симметрии Ih эквивалентны, то для описания
этого фуллерена в рамках модели Хаббарда необходимо ввести один интеграл переноса, который обозначим через b . У фуллерена С20 с группой
симметрии D5d имеется два набора неэквивалентных атомов углерода. Если
деформация происходит вдоль оси симметрии пятого порядка, проходящей
через две плоскости, которые содержат атомы углерода 1, 2, 3, 4, 5 и 16, 17,
18, 19, 20, то неэквивалентные атомы углерода можно разбить на следующие
два множества: G5,1 = {1, 2, 3, 4, 5, 16, 17, 18, 19, 20}, G5,2 = {6, 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13, 14, 15}. В такой структуре можно выделить три типа неэквивалентных
связей, которым в рамках модели Хаббарда можно сопоставить три различных интеграла переноса: t1,2  b, t1,8  b1 , t8,9   b2 . У фуллерена С20 с группой симметрии D3d имеется три набора неэквивалентных атомов углерода.
Если деформация происходит вдоль оси, проходящей через атомы углерода 1
и 20, то неэквивалентные атомы углерода можно разбить на следующие три
множества: G3,1 = {1, 20}, G3,2 = {2, 5, 8, 13, 16, 19}, G3,3 = {3, 4, 6, 7, 9, 10, 11,
12, 14, 15, 17, 18}. В такой структуре можно выделить четыре типа неэквивалентных связей, которым в рамках модели Хаббарда можно сопоставить четыре различных интеграла переноса:
t1,2  b, t2,10  b1 , t9,10  b2 , t10,11   b3 .
Запишем уравнения движения для операторов c f     , заданных
в представлении Гейзенберга,
 dc1
   c1  t1,2  c2  t1,5  c5  t1,8  c8  Uc1 n1


d

........................................................................................
 




 dc20    c   t
20
20,13  c13  t20,16  c16  t20,19  c19  Uc20 n20 ,
 d 
(2)
где   it .
Решив систему дифференциальных уравнений (2) в приближении однородных статических флуктуаций [7–9], можно вычислить фурье-образы антикоммутаторных функций Грина для каждого узла фуллерена C20:
c j
c j
p
F j ,m
i
,

2 m1 E  Em  ih

Ek    ek , Ek  p 2  Ek  U F j ,m  qm,  Q j ,m ,
Q j ,k  p 2  Q j ,k , k  1... p 2,
 n
 1  2 , m  1... p 2,
qm,  
 n , m  p 2  1... p.
 2
Physics and mathematics sciences. Physics
(3)
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Значения коэффициентов для различных групп симметрии:
1. Для фуллерена С20 с группой симметрии Ih:
Q j ,1 
1
3
1
1
, Q j ,2  Q j ,6  , Q j ,3  , Q j ,4  Q j ,5  , j  1...20,
20
20
4
5
e1  3b, e2   5b, e3  b, e4  0, e5  2b, e6  5b, p  12 .
(4)
2. Для фуллерена С20 с группой симметрии D5d:
e1  b  b2  h1 , e2 
e3  b  b2  h2 , e4 


1
b  b2  5b  5b2  h5 ,
4


1
b  b2  5b  5b2  h3 , e5  b  b2  h1 ,
4












e6 
1
1
b  b2  5b  5b2  h4 , e7  b  b2  5b  5b2  h5 ,
4
4
e8 
1
1
b  b2  5b  5b2  h6 , e9  b  b2  5b  5b2  h4 ,
4
4
e10 
1
1
b  b2  5b  5b2  h3 , e11  b  b2  5b  5b2  h6 ,
4
4
 b  b2 2  b12 ,
e12  b  b2  h2 , h1 
h2 
 b  b2 2  b12 ,


h4  6b 2  8b  b2  6b22  16b12  2 5  b22  b 2  ,
h5  6b 2  8b  b2  6b22  16b12  2 5  b22  b 2  ,
h6  6b 2  8b  b2  6b22  16b12  2 5  b22  b 2  ;
em  b  1  5   2  b12  b  b2  2 
1
Qs ,m  
,
5 e   b  1  5   b    1  5    4  b 2  b  b   
m
2 2
1
2 2
em  b  1  5   2  b12  b  b2  3 
1
Qs ,m  
,
5 e   b  1  5   b    1  5    4  b 2  b  b   
m
2 3
1
2 3
h3  6b 2  8b  b2  6b22  16b12  2 5 b22  b 2 ,
Qs ,m 
1 em  2  b2  1

,
20 em  b  b2  1
Qz , m 

 
(5)
em  2  b
1

,
20 em  b  b2  1

em  b2  2  1  5  2 b12  b  b2  2
1
Qz ,m  
,
5 e  b  1  5  b    1  5  4 b2  b  b  
m
2 2
1
2 2
 
138


 

University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика

 
  

em  b2  3  1  5  2 b12  b  b2  3
1
Qz ,m 
, s  G5,1 , z  G5,2 ,
5 e  b  1  5  b    1  5  4 b2  b  b  
m
2 3
1
2 3
 

 1, m  1, 4,
1  
1, m  3,12,

 1, m  5,10,
 1, m  6,9,
2  
3  
p  24 .
 1, m  2,7,
 1, m  8,11,
(6)
3. Для фуллерена С20 с группой симметрии D3d:

1




e1    2h9  sin  2    b2  b3  , e2  2h8  sin  4   ,
3
 3 6
 3 6



1
1

 

e3    2h10  cos  3   b2  b3  , e4    2h9  cos  2    b2  b3  ,
3
3
 3 3
 3 


 
 
e5  2h7  sin  1   , e6  2h7  cos  1   , e7  b2  b3 ,
 3 6
 3 3


1



e8  2h8  cos  4   , e9   2h10  cos  3    b2  b3  ,
3
 3 3
 3 3


1
 
e10  b2  b3 , e11   2h9  cos  2   b2  b3  ,
3
 3 



1

 
 
e12  2h7  cos  1  , e13  2h8  cos  4  , e14   2h10  sin  3    b2  b3 
3
 3 
 3 
 3 6

 b12 
1  arccos 




2


2
2
b

b

27
b

9
b

b

b



2
3
1
2
3


 b2  b3  

 ,
, 2  arccos 
3
3



h9
2h7





2


2
2
  b2  b3    27b  9b1  b2  b3  
 2


  ,   arccos  b1   b2  b3   ,
3  arccos 
4
3




h10
2h83




h7 




1
1
 2b12  b22  b2 b3  b32 , h8 
 2b12  b22  b2 b3  b32 ,
3
3

h9  9b 2  6b12  b2  b3

2

, h10  9b 2  6b12  b2  b3

2
;
(7)
Qs ,2  Qs ,5  Qs ,6  Qs,7  Qs,8  Qs,10  Qs,12  Qs ,13  Qz ,7  Qz ,10  0 ,
Qs ,m 
2
em
 em  b2  1  b3   2b12
1
,

2
2 3em
 2em  b2  1  b3   2b12  3b 2
Physics and mathematics sciences. Physics
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
em  em  b2  1  b3 
1
Qz ,m  
,
2
6 3em
 2em  b2  1  b3   2b12  3b 2
2
em
 b22  b32  2  b2b3
1
Qz ,m  
,
2
3 3em
 2b12  b22  b32  2  b2b3
Qx,m 
2
em
 3b 2
1

,
2
12 3em
 2em  b2  1  b3   2b12  3b 2
2
em
 b12
1
Qx,m  
;
2
3 3em
 2b12  b22  b32  2  b2b3
Qx,m 
1
, m  7,10; s  G3,1 , z  G3,2 , x  G3,3 ,
12
 1, m  1, 4,11,
1  
1, m  3,9,14,
 1, m  5,6,12,
p  28.
2  
 1, m  2,8,13,
(8)
Зная функции Грина для фуллерена С20, можно найти его энергетический спектр и степень вырождения каждого энергетического уровня. Из (4),
(5) и (7) следует, что при понижении симметрии фуллерена С20 от Ih до D5d и
от Ih до D3d некоторые ek расщепляются:
e1  e1 , e2  e2 , e3  , e3  e4 , e5 , e6  , e4  e7 , e8  ,
e5  e9 , e10  , e6  e11 , e12  ;
(9)
e1  e1 , e2  e2 , e3  , e3  e4 , e5 , e6  , e4  e7 , e8 , e9  ,
e5  e10 , e11 , e12  , e6  e13 , e14  .
(10)
Это приводит к расщеплению некоторых полюсов функций Грина. Как
известно, полюса функций Грина определяют энергетический спектр системы. Поэтому расщепление полюсов функций Грина приводит к расщеплению
соответствующих энергетических состояний системы.
При построении энергетических состояний для фуллерена С20 воспользуемся методом, предложенным в [8, 11]. Согласно этому методу для того
чтобы получить энергетические состояния фуллерена С20, следует в нижней
хаббардовской подзоне оставить состояния, которые соответствуют связывающим и несвязывающим орбиталям, а в верхней хабардовской подзоне оставить состояния, которые соответствуют разрыхляющим орбиталям. Тогда из
функций Грина следует, что у фуллерена С20 с группами симметрии Ih, D5d и
D3d будут соответственно следующие энергетические состояния:
E1 , E2 , E3 , E4 , E11 , E12 ;
(11)
E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 , E7  E8  , E20  E19  , E21 , E22 , E23 , E24 ; (12)
E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 , E7 , E22 , E23 , E24 , E25 , E26 , E27 , E28 . (13)
140
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
Из (5) следует, что для фуллерена С20 с группой симметрии D5d
E7  E8   при b  b2  b12 , т.е. в этом случае, как и в случае фуллерена С20
с группой симметрии Ih, энергетический уровень, который соответствует
HOMO, четырехкратно вырожден и соответствует несвязывающим орбиталям. При b  b2  b12 энергетическим уровнем, который соответствует HOMO,
будет уровень с энергией E7 , которая соответствует связывающим орбиталям. При b  b2  b12 энергетическим уровнем, который соответствует HOMO,
будет уровень с энергией E8 , которая соответствует связывающим орбиталям.
Для того чтобы найти степени вырождения энергетических состояний
фуллерена С20, воспользуемся следующим соотношением:
gm 
k
 Q j ,m ,
(14)
j 1
где g m – степень вырождения состояния с энергией Em , k – число атомов
углерода в фуллерене.
Подставляя (4), (6), (8) в (14), найдем g m для фуллерена С20 с группами
симметрии Ih, D5d, D3d:
g1  1, g 2  g12  3, g3  5, g 4  g11  4 ,
(15)
g1  g3  g 4  g 24  1,
g 2  g5  g6  g7  g8  g19  g 20  g 21  g 22  g 23  2 ;
(16)
g1  g 2  g 4  g7  g 22  g 24  g 25  g 27  1,
g3  g5  g6  g 23  g 26  g 28  2.
(17)
Из (12) и (16) следует, что у фуллерена С20 с группой симметрии D5d
энергетический уровень, который соответствует HOMO, двукратно вырожден
и содержит два электрона, которые согласно правилу Хунда располагаются
на разных орбиталях. Согласно теореме Яна-Теллера, в такой молекуле
должно происходить нарушение симметрии, которое приводит к снятию вырождения энергетических состояний и понижению энергии молекулы. Из (13)
и (17) следует, что у фуллерена С20 с группой симметрии D3d у энергетического уровня, который соответствует HOMO, вырождение отсутствует. Таким образом, с точки зрения теоремы Яна-Теллера фуллерен С20 с группой
симметрии D3d является более устойчивым, чем фуллерены С20 с группами
симметрии Ih и D3d.
Список литературы
1. С о к о л о в , В. И . Фуллерены – новые аллотропные формы углерода: структура,
электронное строение и химические свойства / В. И. Соколов, И. В. Станкевич //
Успехи химии. – 1993. – Т. 62, № 5. – С. 455–472.
2. P r i n zb a c h , H . Gas-phase production and photoelectron spectroscopy of the smallest
fullerene C20 / H. Prinzbach, A. Weller, P. Landenberger et al. // Nature. – 2000. –
V. 407. – P. 60–63.
Physics and mathematics sciences. Physics
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3. Ellzey , M . L . Finite Group Theory for Large Systems. 2. Generating Relations and
Irreducible Representations for the Icosahedral Point Group Ih / M. L. Ellzey,
r. D. Villagran // Journal of chemical information and modeling. – 2003. – V. 43. –
Р. 1763–1770.
4. Х а р г итта и , И . Симметрия глазами химика / И. Харгиттаи, М. Харгиттаи. –
М. : Мир, 1989. – С. 496.
5. P a r a s u k , V . C20: the smallest fullerene? / V. Parasuk, J. Almlof // Chemical Physical
Letters. – 1991. – V. 184. – P. 187–190.
6. R a g h a v a c h a r i, K . Isomers of C20. Dramatic effect of gradient corrections in density functional theory / K. Raghavachari, D. L. Strout, G.K. Odom et al. // Chemical
Physics Letters. – 1993. – V. 214. – P. 357–361.
7. С и л а н ть е в , А . В. Применение метода статических флуктуаций к модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 3 (19). – С. 151–163.
8. С и л а н ть е в , А . В. Исследование наносистем в модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Структура и динамика молекулярных систем. – 2011. – № 13А. – С. 96–112.
9. С и л а н ть е в , А . В. Модель Хаббарда в приближении статических флуктуаций /
А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 4 (20). – С. 86–100.
10. Hubbard, J. Electron correlations in narrow energy bands/ J. Hubbard // Proceedings
of the Royal Society A. – 1963. – V. 276. – P. 238–257.
11. С и л а н ть е в , А . В. Димер в модели Хаббарда в приближении статических
флуктуаций / А. В. Силантьев // Вестник Марийского государственного университета. – 2012. – № 8. – С. 22–25.
References
1. S o k o l o v , V . I . Fullereny – novyye allotropnyye formy ugleroda: struktura,
elektronnoye stroyeniye i khimicheskiye svoystva / V. I. Sokolov, I. V. Stankevich //
Uspekhi khimii. – 1993. – T. 62, № 5. – S. 455–472.
2. P r i n zb a c h , H . Gas-phase production and photoelectron spectroscopy of the smallest
fullerene C20 / H. Prinzbach, A. Weller, P. Landenberger et al. // Nature. – 2000. –
V. 407. – P. 60–63.
3. E l l z e y , M . L . Finite Group Theory for Large Systems. 2. Generating Relations and
Irreducible Representations for the Icosahedral Point Group Ih / M. L. Ellzey,
r. D. Villagran // Journal of chemical information and modeling. – 2003. – V. 43. –
R. 1763–1770.
4. K h a r g it t a i, I . Simmetriya glazami khimika / I. Khargittai, M. Khargittai. – M. :
Mir, 1989. – S. 496.
5. P a r a s u k , V . C20: the smallest fullerene? / V. Parasuk, J. Almlof // Chemical Physical
Letters. – 1991. – V. 184. – P. 187–190.
6. R a g h a v a c h a r i, K . Isomers of C20. Dramatic effect of gradient corrections in density functional theory / K. Raghavachari, D. L. Strout, G.K. Odom et al. // Chemical
Physics Letters. – 1993. – V. 214. – P. 357–361.
7. S i l a n t ' y e v , A . V . Primeneniye metoda staticheskikh fluktuatsiy k modeli Khabbarda / A. V. Silant'yev // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki. – 2011. – № 3 (19). – S. 151–163.
8. S i l a n t ' y e v , A . V . Issledovaniye nanosistem v modeli Khabbarda / A. V. Silan-t'yev
// Struktura i dinamika molekulyarnykh sistem. – 2011. – № 13A. – S. 96–112.
9. S i l a n t ' y e v , A . V . Model' Khabbarda v priblizhenii staticheskikh fluktuatsiy /
A. V. Silant'yev // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region.
Fiziko-matematicheskiye nauki. – 2011. – № 4 (20). – S. 86–100.
10. H u b b a r d , J . Electron correlations in narrow energy bands/ J. Hubbard // Proceedings of the Royal Society A. – 1963. – V. 276. – P. 238–257.
142
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
11. S i l a n t ' y e v , A . V . Dimer v modeli Khabbarda v priblizhenii staticheskikh fluktuatsiy / A. V. Silant'yev // Vestnik Mariyskogo gosudarstvennogo universi-teta. – 2012. –
№ 8. – S. 22–25.
Силантьев Анатолий Владимирович
старший преподаватель, кафедра общей
и прикладной физики, Марийский
государственный университет
(г. Йошкар-Ола, площадь Ленина, 1)
Silant'ev Anatoliy Vladimirovich
Senior lecturer, sub-department of general
and applied physics, Mari State University
(Yoshkar-Ola, 1 Lenin square)
E-mail: kvvant@rambler.ru
УДК 538.22
Силантьев, А. В.
Влияние деформации на энергетический спектр фуллерена С20 /
А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2013. – № 1 (25). – С. 135–143.
Physics and mathematics sciences. Physics
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 544.022.342, 544.022.344.2
А. Б. Муралев, М. Ю. Тихончев, В. В. Светухин
МОДЕЛИРОВАНИЕ КАСКАДОВ АТОМНЫХ СМЕЩЕНИЙ
В АЛЬФА-ЖЕЛЕЗЕ, СОДЕРЖАЩЕМ СИММЕТРИЧНОНАКЛОННУЮ МЕЖЗЕРЕННУЮ ГРАНИЦУ1
Аннотация. Работа посвящена исследованию первичного радиационного повреждения бикристаллитов альфа-железа с двойниковой границей зерна путем
молекулярно-динамического моделирования. Моделирование проведено на
основе многотельного межатомного взаимодействия. Рассмотрены атомарные
модели шести типов протяженных двойниковых межзеренных границ в ОЦКжелезе, рассчитаны их удельные энергии и определены размеры межзеренных
областей. Проведено моделирование развития каскадов атомных смещений
в бикристаллах альфа-железа с симметричной межзеренной границей
∑5 (310)[001]. На основе полученных результатов проведен сравнительный
анализ числа образующихся радиационных дефектов в идеальной кристаллической решетке и бикристаллитах, содержащих межзеренную границу.
Ключевые слова: метод молекулярной динамики, межзеренная граница, первичное радиационное повреждение, каскады атомных смещений
A. B. Muralev, M. Y. Tikhonchev, V. V. Svetukhin
MODELING THE CASCADES OF ATOMIC
DISPLACEMENTS IN ALPHA IRON CONTAINING
SIMMETRICALLY TILT GRAIN BOUNDARY
Abstract. The work is devoted to examination of primary radiation damage of alphairon bicrystals with twin grain boundary by means of molecular dynamics simulation. Simulation is based on the multibody interatomic interaction. The authors have
considered atomic models of six types of extended twin grain boundaries in bcc
iron. Their specific energies have been calculated and grain region sizes have been
determined. The researchers have simulated evolution of atomic cascade displacements in bicrystals of alpha-iron with a symmetric grain boundary Σ5 (310)[001].
According to the obtained results, the authors have conducted a comparative analysis of a number of radiation-induced defects formed in a perfect crystal lattice and
bicrystals containing grain boundaries.
Key words: molecular dynamics, grain boundary, radiation damage, atomic displacement cascade.
Введение
Метод молекулярной динамики является общепринятым способом моделирования каскадов атомных смещений в конструкционных материалах
ядерной техники. Различными группами исследователей по всему миру проведено большое количество таких исследований применительно к различным
1
Работа выполнена при поддержке Минобрнауки в рамках государственного задания
на 2012–2014 гг., федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры
инновационной России на 2009–2013 годы» и «Исследования и разработки по приоритетным
направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007–2012 годы», а
также при частичной поддержке гранта РФФИ: проект № «12-08-97076-р_поволжье_а».
144
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
материалам. Особенно много данных получено для «чистого» α-Fe с использованием разнообразных потенциалов межатомного взаимодействия. Также
широко выполняется моделирование в сплавах (см., например, работы [1–5]),
хотя для многокомпонентных систем сохраняется проблема подготовки
надежных функций взаимодействия частиц. Как правило, в молекулярнодинамическом моделировании рассматриваются изначально идеальные кристаллические структуры. В реальности же твердым телам присуща сложная
внутренняя структура, образованная в том числе и протяженными межзеренными границами.
Ранее моделирование развития каскадов атомных смещений в кристаллитах с внутренней структурой проводилось в работах [6–9]. В работах [6, 7]
выполнено моделирование каскадов атомных смещений энергии 1 keV в
бикристаллитах -Fe с двойниковой межзеренной границей ∑17 (530)[001].
При моделировании использовался многотельный потенциал межатомного
взаимодействия типа Финниса – Синклера (Finnis – Sinclair). Авторы уделили
особое внимание вопросам влияния первоначального строения кристаллитов,
содержащих межзеренную границу, на релаксационные процессы и эволюцию атомных смещений в целом.
В работах [8, 9] рассмотрены бикристаллиты ванадия и ванадиевого
сплава. Межатомное взаимодействие было описано в рамках приближения
Финниса – Синклера и модифицированного метода погруженного атома
(MEAM). Исследование первичного радиационного повреждения проводилось вблизи симметрично-наклонных межзеренных границ ∑13 (320)[001]
и ∑17 (410)[001]. Моделировались каскады атомных смещений с энергиями
до 10 keV.
Обобщая результаты этих четырех работ, можно сформулировать следующие выводы об особенностях развития каскадов атомных смещений
в кристаллитах с межзеренными границами. Межзеренные границы выступают в качестве барьера, препятствующего распространению смещений по
другую сторону границы. При развитии каскада в непосредственной близости
от границы приграничная область аккумулирует значительную долю произведенных радиационных дефектов.
Настоящая работа посвящена исследованию особенностей первичного
радиационного повреждения бикристаллитов альфа-железа с двойниковой
межзеренной границей. Исследование проводилось путем молекулярно-динамического моделирования развития каскадов атомных смещений энергии
10 keV. В расчетах применялся многотельный потенциал межатомного взаимодействия, разработанный Акландом, Менделеевым и др. [10]. Этот потенциал
является модификацией потенциала из работы [11]. Для моделирования был
применен комплекс специализированных компьютерных программ MDRDS
(Molecular Dynamics for Radiation Damage Simulation), разработанных в Научно-исследовательском технологическом институте УлГУ (http://niti.ulsu.ru).
1. Первичное радиационное повреждение монокристаллита -Fe
Развитие каскадов атомных смещений начинается с момента генерации
первично-выбитого атома (ПВА) с заданными кинетической энергией и
направлением импульса и продолжается до тех пор, пока вся энергия, переPhysics and mathematics sciences. Physics
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
данная от ПВА атомам вещества, не распределится по его объему. При этом
в качестве количественной меры последствий радиационного воздействия часто используют количество оставшихся («выживших») после затухания каскада точечных дефектов кристаллической решетки: вакансий и собственных
междоузельных атомов (СМА).
Для идентификации и подсчета точечных дефектов применялся метод,
использующий анализ ячеек Вигнера – Зейтца. Каждому узлу первоначальной кристаллической решетки ставится в соответствие ячейка Вигнера – Зейтца, которая определяется как множество всех точек пространства, расстояние от которых до рассматриваемого узла кристаллита меньше или равно
расстоянию до любого другого узла решетки. Отсутствие атомов в ячейке
трактуется как вакансия, а попадание более одного атома в ячейку – как
наличие СМА вблизи этого узла.
Моделирование процесса повреждения идеальной кристаллической
решетки α-Fe проводилось для кристаллита, состоящего из ~ 400 тысяч атомов, с использованием периодических граничных условий. Энергия первично-выбитого атома соответствовала 10 keV. Направление вылета ПВА выбрано вдоль кристаллографического направления [135]. Перед началом моделирования каскадов кристаллит релаксировали при температуре 300 К и нулевом давлении в течение 30 ps. Моделируемое время развития каскадов составило 20 ps, что обеспечило рассмотрение всего процесса образования и релаксации дефектов в каскаде вплоть до его затухания.
Среднее рассчитанное число Френкелевских пар, «выживающих»
в каскадах смещений, составило 25 ± 11. Эта оценка хорошо согласуется с результатами других исследователей, полученных для ОЦК-Fe с использованием различных потенциалов межатомного взаимодействия, а также других метеллов и сплавов (см. работы [1, 12–19] дальнейшие ссылки в них). Наблюдаемое согласие свидетельствует об адекватности используемой расчетной модели и корректности используемого вычислительного алгоритма.
2. Моделирование протяженной межзеренной границы
Кристаллические структуры, содержащие двойниковые (специальные,
симметрично-наклонные) границы зерен (ГЗ, GB), представляют собой монокристаллические области, структуры которых связаны друг с другом операцией точечной симметрии. Специальная межзеренная граница представляет
собой границу между двойниками, являясь плоскостью зеркальной симметрии. Такие дефекты нарушают трансляционную инвариантность в направлении, перпендикулярном плоскости распространения межзеренной границы,
однако в направлениях, параллельных границе трансляционная, симметрия
сохраняется (рис. 1).
Для шести типов двойниковых межзеренных границ (табл. 1) проведена
релаксация бикристаллитов альфа-железа при температуре 0 K. Релаксация
проводилась с применением смешанных граничных условий (ГУ): атомы на
границах, параллельных плоскости распространения ГЗ, закреплялись в своих
первоначальных положениях; для границ, перпендикулярных ГЗ, использовались периодические ГУ.
1
Здесь и далее приводятся статистические погрешности, соответствующие доверительной вероятности p = 0,67 (1) для выборочного среднего.
146
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
Рис. 1. Двойниковая межзеренная граница
Таблица 1
Исследуемые симметрично-наклонные межзеренные границы
Тип межзеренной границы
Ось вращения
∑13 (320)[001]
∑17 (530)[001]
∑5 (210)[001]
∑5 (310)[001]
∑17 (410)[001]
∑13 (510)[001]
[001]
Угол наклона одного зерна
относительно другого α, °
22,62
28,07
36,87
53,13
61,93
67,38
В процессе релаксации бикристаллита в приграничной области ГЗ происходит разупорядочивание нескольких атомных слоев, образуется так называемая межзеренная или зернограничная область. При этом в объеме двойников сохраняется кристаллическая структура ОЦК-железа. Размер межзеренной области определялся методом, основанным на анализе потенциальной
энергии кристаллита в прилегающих к ГЗ областях (см., например, работу
[4]). В этом методе исследуемый бикристаллит разбивается, начиная от ГЗ, на
слои шириной XS, параллельные плоскости распространения ГЗ. Далее в каждом таком слое вычисляется значение потенциальной энергии Ep, приходящееся на один атом, и оценивается разница величин ΔE = Ep – Ec, где Ec – энергия связи на атом в идеальной кристаллической решетке ОЦК-Fe. Слои, для
которых ΔE превышает по модулю заданное пороговое значение ΔEPmax, составляют межзеренную область. В данной работе использовано значение
Ec = 4,013 eV, которое обеспечивается используемым потенциалом межатомного взаимодействия, ΔEPmax = 0.01 eV и XS = 0,2 Å.
Удельная энергия межзеренной границы рассчитывалась по выражению
EGB 
E p  N  Eс
S
,
где E'p – полная потенциальная энергия отрелаксированного бикристалла
с ГЗ; N – число частиц, находящееся в расчетной области; S – площадь межзеренной границы в модельном бикристалле.
Полученные значения удельной энергии рассмотренных двойниковых
межзеренных границ, а также размеры соответствующих их зернограничных
областей представлены в табл. 2. Представленные оценки получены для нуPhysics and mathematics sciences. Physics
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
левой температуры бикристаллита. Наряду с результатами настоящей работы
в табл. 2 представлены соответствующие оценки, полученные другими исследователями.
Таблица 2
Рассчитанные параметры межзеренных границ в α-Fe.
Тип
двойниковой
границы
∑13 (320)[001]
∑17 (530)[001]
∑5 (210)[001]
∑5 (310)[001]
∑17 (410)[001]
∑13 (510)[001]
Удельная энергия межзеренной границы, eV/Å2
Результаты
Результаты
настоящей работы
других исследователей
0,080
–
0,072
0,080[6]
0,07
0,087[20]
0,062[20],
0,079[21],0,062[21],
0,063
0,063[21],0,081[21],
0,093[21], 0,069[21],
0,069
0,069[20]
0,063
0,115[20]
Ширина
межзеренной
области, Å
19,6
19,2
16,4
9,2
12
10
Наименьшим значением удельной энергии обладают межзеренные границы ∑5 (310)[001] и ∑13 (510)[001], наибольшим – ∑13 (320)[001]. При этом
все полученные значения попадают в относительно узкий интервал 0,06–
0,08 eV/Å2. В работе [20] указано значение удельной энергии 0,093 eV/Å2 для
симметрично-наклонной межзеренной границы ∑5 (310)[001], которое получено в расчетах из первых принципов Ab Initio. В целом полученные в данной
работе оценки удельной энергии ГЗ хорошо согласуются с опубликованными
результатами других исследователей. Исключение составляет только граница
∑13 (510)[001], для энергии которой получена оценка почти вдвое ниже
оценки, полученной ранее Д. Терентьевым [21]. Существующее различие
в рассчитанных характеристиках специальных ГЗ можно объяснить применением различных потенциалов межатомного взаимодействия.
3. Моделирование прохождения каскада
атомных смещений через межзеренную границу
Моделирование процесса первичного радиационного повреждения
ОЦК-бикристаллитов железа с симметрично-наклонной границей проведено
только для ГЗ ∑5 (310)[001] и энергии первично-выбитого атома, равной
10 keV. Форма исследуемых бикристаллитов представляла собой параллелепипед объемом V = 235,16  171,84  168,75 Å3; общее число частиц в расчетном блоке составило 549290 атомов. Предварительная релаксация проводилась при температуре 300 К. Рассмотрено два направления вылета ПВА
(рис. 2), первое из которых соответствует кристаллографическому направлению [310] (направление перпендикулярно плоскости распространения ГЗ),
второе – направлению [130 ] (направление параллельно плоскости распространения ГЗ). Для каждого направления ПВА рассмотрено четыре начальных расстояния от ПВА до границы LПВА: 10, 30, 53, 71 Å для направления
[310] и 10, 30, 53, 63 Å – для [130 ]. Моделируемое время развития каскадов
составило около 30 ps.
148
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
Рис. 2. Моделирование каскадов атомных смещений в образце с межзеренной
границей (области двойников, в которых после процесса релаксации сохранялась
кристаллическая решетка α-железа, называли монообластью І и монообластью II)
Части бикристаллита, расположенные по разные стороны от межзеренной области, являются монокристаллитами ОЦК-Fe. Область, где инициируется ПВА, будем в дальнейшем называть монообластью I, а противоположную ей область – монообластью II. Подсчет числа точечных дефектов осуществлялся путем описанного выше метода анализа ячеек Вигнера – Зейтца.
При этом рассматривались только узлы кристаллической решетки, расположенные в монообластях I и II, структурные изменения межзеренной области
не учитывались. Отметим, что, в отличие от случая каскадов в идеальном
кристаллите, здесь оценки числа вакансий и числа СМА дают, вообще говоря,
несовпадающие значения.
Полученные оценки среднего числа точечных дефектов, «выживающих» в каскаде смещений, для направлений вылета ПВА [310] и [ 130 ] представлены на рис. 3 и 4 соответственно.
Вакансии в монообласти I
Вакансии в монообласти II
СМА в монообласти I
СМА в монообласти II
70
60
50
N 40
30
20
10
0
5
15
25
35
45
Lпва, A
55
65
75
Рис. 3. Среднее число «выживающих» вакансий и СМА (N) в монооблостях
бикристаллита α-железа в зависимости от положения генерации ПВА относительно
ГЗ (LПВА) (направление вылета ПВА соответствует направлению [310])
Physics and mathematics sciences. Physics
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Вакансии в монообласти I
70
Вакансии в монообласти II
СМА в монообласти I
60
СМА в монообласти II
50
N
40
30
20
10
0
5
15
25
35
Lпва, А
45
55
65
Рис. 4. Среднее число «выживающих» вакансий и СМА (N) в монообластях
бикристаллита α-железа в зависимости от положения генерации ПВА относительно
ГЗ (LПВА) (направление вылета ПВА соответствует направлению [ 1 30])
Сплошными горизонтальными линиями на рис. 3, 4 обозначен доверительный интервал для среднего числа пар Френкеля, образующихся в каскадах той же энергии (10 keV), инициированных в идеальном кристаллите
ОЦК-Fe без ГЗ. Такой кристаллит ниже будем называть монокристаллитом.
Представленные результаты позволяют отметить ряд особенностей для
каскадов атомных смещений в кристаллитах с межзеренными границами.
Прежде всего отметим пониженное по сравнению со случаем монокристаллита среднее число СМА. Это отличие достигает 1,5–2-х раз для каскадов, инициированных на относительно небольших расстояниях от ГЗ (10 и 30 Å для
направления ПВА [310] и 10 Å – для [130 ]).
Второй особенностью является повышенное в 2–2,5 раза число вакансий, образующихся в каскадах, инициированных ПВА на расстояниях 10 и
53 Å вдоль направления [310] и на расстоянии 30 Å вдоль направления [130 ].
Далее для случая ПВА, инициированного вдоль [310] на расстоянии 30 Å от
ГЗ, среднее число «выживающих» СМА оказывается вдвое ниже, чем в случае монокристаллита. Оценка среднего числа вакансий в пределах погрешности совпадает с соответствующей оценкой для монокристаллита. Для случаев
относительно больших расстояний (расстояние 53 Å и направление [130 ], а
также 73 Å и оба рассмотренных направления) не наблюдается заметных различий в оценках числа СМА и вакансий, которые хорошо согласуются с числом пар Френкеля, «выживающих» в монокристалле, т.е. влияние ГЗ в этом
случае можно считать незначительным.
Чтобы дать объяснение полученным результатам, необходимо подробнее рассмотреть положение охваченной каскадом области относительно межзеренной границы. В зависимости от положения генерации ПВА относительно ГЗ значительная часть каскадной области может охватывать:
150
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
– только одну из монообластей (рис. 5);
– одну монообласть и зернограничную область (рис. 6);
– обе монообласти и зернограничную область (рис. 7).
Рис. 5. Пример развития каскадов атомных смещений в бикристаллите
α-железа с двойниковой межзеренной границей ∑5 (310) [001]. Направление
вылета ПВА параллельно плоскости распространения ГЗ; точка генерации
ПВА расположена на расстоянии 63 Å от ГЗ. Точки черного цвета
соответствуют СМА, точки серого цвета – вакансии
Physics and mathematics sciences. Physics
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 6. Пример развития каскадов атомных смещений в бикристаллите
α-железа с двойниковой межзеренной границей ∑5 (310) [001]. Направление
вылета ПВА перпендикулярно плоскости распространения ГЗ; точка генерации
ПВА расположена на расстоянии 50 Å от ГЗ. Точки черного цвета
соответствуют СМА, точки серого цвета – вакансии
В первом случае каскад практически не выходит из монообласти I (рис. 5).
Это наблюдается для каскадов, инициированных ПВА на расстояниях более
70 Å для направления [310] и более 50 Å для направления [ 130 ]. В этом слу-
152
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
чае граница раздела между двойниками практически не влияет на процесс
развития каскадов атомных смещений, и полученные результаты хорошо согласуются с результатами, полученными для монокристалла.
Рис. 7. Пример развития каскадов атомных смещений в бикристаллите
α-железа с двойниковой межзеренной границей ∑5 (310) [001]. Направление
вылета ПВА перпендикулярно плоскости распространения ГЗ; точка
генерации ПВА расположена на расстоянии 30 Å от ГЗ. Точки черного цвета
соответствуют СМА, точки серого цвета – вакансии
Physics and mathematics sciences. Physics
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
На рис. 6 приведен пример, когда атомные смещения на баллистической стадии в значительной степени охватывают одну из монообластей (причем это может быть как монообласть I так и монообласть II) и зернограничную область. В этом случае на стадии релаксации каскада значительная часть
СМА, которые обладают достаточно высокой подвижностью, переходит
в межзеренную область. Это, в свою очередь, влечет уменьшение числа рекомбинаций в монообласти и тем самым повышает число вакансий. Этим
объясняется повышенное число вакансий, «выживающих» в каскадах от ПВА
на расстояниях 10, 50 Å для направления вылета [310] и 30 Å – для [130 ].
В том случае когда, каскады атомных смещений распространяются через двойниковую границу из одного двойника в другой, осуществляется переход СМА в зернограничную область из обеих монообластей (рис. 7). Также
в межзеренную область попадает заметная часть не только СМА, но и вакансий. Такой случай наблюдается для ПВА, инициированного вдоль [310] на
расстоянии 30 Å от ГЗ, когда среднее суммарное число вакансий в монообластях близко к числу вакансий, «выживающих» в монокристалле. В то же время здесь наблюдается заметное снижение числа СМА. Это объясняется переходом большой части СМА в зернограничную область.
Заключение
В работе рассмотрены атомарные модели двойниковых межзеренных
границ в -Fe. Рассмотрено шесть типов таких границ, для которых рассчитаны удельные энергии и определены размеры межзеренных областей. Ширина межзеренной области составляет 9–20 Å. Для всех рассмотренных границ полученные оценки удельной энергии лежат в интервале 0,06–0,08 eV/Å2.
Эти результаты удовлетворительно согласуются с соответствующими результатами других исследователей. Наблюдаемые в отдельных случаях расхождения объясняются использованием различных потенциалов межатомного взаимодействия.
Методом молекулярной динамики проведено моделирование каскадов
атомных смещений энергии 10 keV в бикристалле -Fe, содержащем ГЗ
∑5 (310)[001], при температуре 300 К. Получены оценки среднего числа
«выживающих» в каскаде точечных дефектов для различных направлений
импульса ПВА и его положений относительно ГЗ. Эти оценки сопоставлялись с соответствующими результатами, полученными для монокристалла
-Fe при той же температуре с использованием того же потенциала межатомного взаимодействия. Установлены следующие особенности влияния ГЗ на
параметры первичного радиационного повреждения. Для каскадов, инициированных на относительно небольших расстояниях от двойниковой границы,
среднее число образующихся СМА оказывается в 1,5–2 раза ниже, чем в случае монокристалла. В случаях, когда область, охватываемая каскадом на его
баллистической стадии, оказывается «примыкающей» к ГЗ, наблюдается увеличение числа «выживающих» вакансий в 2–2,5 раза. Оба этих случая объясняются интенсивным переходом образовавшихся в каскаде СМА в межзеренную область. Переход в зернограничную область вакансии в процессе развития каскада оказывается менее значимым в силу их существенно более низкой (по сравнению с СМА) подвижностью.
154
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
Полученные результаты целесообразно использовать в дальнейшем для
учета внутренней структуры материалов при разработке новых моделей радиационного повреждения.
Список литературы
1. V o r t l e r , K . The effect of Cr concentration on radiation damage in Fe–Cr alloys /
K. Vortler, C. Bjorkas, D. Terentyev et al. // Journal of Nuclear Materials. – 2008. –
V. 382. – P. 24–30.
2. M a l e r b a , L . Molecular dynamics simulation of displacement cascades in Fe–Cr alloys /
L. Malerba, D. Terentyev, P. Olsson et al. // Journal of Nuclear Materials. – 2004. –
V. 329–333. – P. 1156–1160.
3. T i k h o n c h e v , M . MD simulation of atomic displacement cascades in Fe–10 at.%Cr
binary alloy / M. Tikhonchev, V. Svetukhin, A. Kadochkin, E. Gaganidze // Journal of
Nuclear Materials. – 2009. – V. 395. – P. 50–57.
4. T e r e n t y e v , D . Displacement cascades in Fe–Cr: A molecular dynamics study /
D. A. Terentyev, L. Malerba, R. Chakarova et al. // Journal of Nuclear Materials. –
2006. – V. 349. – P. 119–132.
5. S v e t u k h i n , V . Kinetics and thermodynamics of Cr nanocluster formation in Fe–Cr
system / V. Svetukhin, P. L’vov, E. Gaganidze, M. Tikhonchev, C. Dethloff // Journal
of Nuclear Materials. – 2011. – V. 415. – P. 205–209.
6. J a v i e r P e r e z- P e r e z, F . Modelling radiation effects at grain boundaries in bcc iron /
F. Javier Perez-Perez, R. Smith // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B. – 1999. – V. 153. – P. 136–141.
7. J a v i e r P e r e z- P e r e z, F . Preferential damage at symmetrical tilt grain boundaries in
bcc iron / F. Javier Perez-Perez, R. Smith // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B. – 2001. – V. 180. – P. 322–328.
8. П с а х ь е , C . Развитие каскадов атомных соударений в кристалле ванадия с внутренней структурой / C. Г. Псахье, В. М. Чернов, К. П. Зольников, Д. С. Крыжевич,
А. В. Железняков // Кристаллография. – 2009. – V. 54. – P. 1053–1062.
9. Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика : тр. Междунар. конф. посвящ. 90-летию со дня рождения академика Н. Н. Яненко (Новосибирск, Россия, 30 мая – 4 июня 2011 г.). – Новосибирск, 2011.
10. A c k l a n d , G . Development of an interatomic potential for phosphorus impurities in
α-iron / G. J. Ackland, M. I. Mendelev, D. J. Srolovitz, S. Han, A. V. Barashev //
J. Phys.: Condens. Matter. – 2004. – V. 16. – P. 2629.
11. M e n d e l e v , M . Development of new interatomic potentials appropriate for crystalline
and liquid iron / M. I. Mendelev, S. Han, D. J. Srolovitz et al. // Philosophical Magazine. – 2003. – V. 83. – P. 3977–3994.
12. T i k h o n c h e v , M . MD simulation of atomic displacement cascades in Fe–10 at.%Cr
binary alloy / M. Tikhonchev, V. Svetukhin, A. Kadochkin, E. Gaganidze // Journal of
Nuclear Materials. – 2009. – V. 395. – P. 50–57.
13. D e t h l o f f , C . Modeling of helium bubble formation and growth in RAFM steels under neutron irradiation / C. Dethloff, E. Gaganidze, V. Svetukhin et al. // Extended Abstracts Book of First International Conference on Materials for Energy. – 2010. –
P. 196–198.
14. Ти х о н ч е в , М . Ю . Моделирование процессов первичной радиационной повреждаемости сплава Fe–1.8ат.%Ni методом молекулярной динамики / М. Ю. Тихончев, В. В. Светухин, Д. В. Козлов, В. Н. Голованов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. –
№ 3(15). – С. 143–155.
Physics and mathematics sciences. Physics
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
15. S v e t u k h i n , V . Kinetics and thermodynamics of Cr nanocluster formation in Fe-Cr
system / V. Svetukhin, P. L’vov, E. Gaganidze, M. Tikhonchev, C. Dethloff // Journal
of Nuclear Materials. – 2011. – V. 415. – P. 205–209.
16. Ти х о н ч е в , М . Ю . Молекулярно-динамическое моделирование каскадов атомных смещений для сплава Fe-9ат.%Cr с углеродом в растворе / М. Ю. Тихончев,
В. В. Светухин, А. С. Кадочкин, Э. Гаганидзе // Металлы. – 2011. – № 3. – C. 22–30.
17. Ти х о н ч е в , М . Ю . Моделирование процессов первичной радиационной повреждаемости -железа методом молекулярной динамики / М. Ю. Тихончев,
В. В. Светухин, Т. С. Ильина, // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 2. – С. 70–79.
18. Ти х о н ч е в , М . Ю . Молекулярно-динамическое моделированиe каскадов атомных смещений в -цирконии / M. Ю. Тихончев, B. В. Светухин. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2006. – № 5. – C. 70–82.
19. Ти х о н ч е в , М . Ю . Расчетное определение пороговых энергий смещения и исследование особенностей развития каскадов атомных смещений вблизи протяженной границы раздела фаз циркония и ниобия: молекулярно-динамическое моделирование / М. Ю. Тихончев, В. В. Светухин // Вопросы материаловедения. –
2011. – № 4 (68). – C. 140–152.
20. G a o , N . Multiscale modelling of bi-crystal grain boundaries in bcc iron / N. Gao,
C. Fu, M. Samaras, R. Shäublin, M. Victoria, W. Hoffelner // Journal of Nuclear Materials. – 2009. – V. 385. – P. 262.
21. T e r e n t y e v , D . Properties of grain boundaries in BCC iron and iron-based alloys: An
atomistic study / D. Terentyev, Xinfu He // Open report of the Belgian nuclear research
centre SCK•CEN-BLG. – 2010. – V. 1072. – P. 70.
References
1. V o r t l e r , K . The effect of Cr concentration on radiation damage in Fe–Cr alloys /
K. Vortler, C. Bjorkas, D. Terentyev et al. // Journal of Nuclear Materials. – 2008. –
V. 382. – P. 24–30.
2. M a l e r b a , L . Molecular dynamics simulation of displacement cascades in Fe–Cr alloys / L. Malerba, D. Terentyev, P. Olsson et al. // Journal of Nuclear Materials. –
2004. – V. 329–333. – P. 1156–1160.
3. T i k h o n c h e v , M . MD simulation of atomic displacement cascades in Fe–10 at.%Cr
binary alloy / M. Tikhonchev, V. Svetukhin, A. Kadochkin, E. Gaganidze // Journal of
Nuclear Materials. – 2009. – V. 395. – P. 50–57.
4. T e r e n t y e v , D . Displacement cascades in Fe–Cr: A molecular dynamics study /
D. A. Terentyev, L. Malerba, R. Chakarova et al. // Journal of Nuclear Materials. –
2006. – V. 349. – P. 119–132.
5. S v e t u k h i n , V . Kinetics and thermodynamics of Cr nanocluster formation in Fe–Cr
system / V. Svetukhin, P. L’vov, E. Gaganidze, M. Tikhonchev, C. Dethloff // Journal
of Nuclear Materials. – 2011. – V. 415. – P. 205–209.
6. J a v i e r P e r e z- P e r e z, F . Modelling radiation effects at grain boundaries in bcc iron /
F. Javier Perez-Perez, R. Smith // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B. – 1999. – V. 153. – P. 136–141.
7. J a v i e r P e r e z- P e r e z, F . Preferential damage at symmetrical tilt grain boundaries in
bcc iron / F. Javier Perez-Perez, R. Smith // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B. – 2001. – V. 180. – P. 322–328.
8. P s a k h ' y e , C . Razvitiye kaskadov atomnykh soudareniy v kristalle vanadiya s vnutrenney strukturoy / C. G. Psakh'ye, V. M. Chernov, K. P. Zol'nikov, D. S. Kryzhevich,
A. V. Zheleznyakov // Kristallografiya. – 2009. – V. 54. – P. 1053–1062.
9. Sovremennyye problemy prikladnoy matematiki i mekhaniki: teoriya, eksperi-ment i
praktika : tr. Mezhdunar. konf. posvyashch. 90-letiyu so dnya rozhdeniya akade-mika
156
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
N. N. Yanenko (Novosibirsk, Rossiya, 30 maya – 4 iyunya 2011 g.). – Novosibirsk,
2011.
10. A c k l a n d , G . Development of an interatomic potential for phosphorus impurities in
a-iron / G. J. Ackland, M. I. Mendelev, D. J. Srolovitz, S. Han, A. V. Barashev //
J. Phys.: Condens. Matter. – 2004. – V. 16. – P. 2629.
11. M e n d e l e v , M . Development of new interatomic potentials appropriate for crystalline
and liquid iron / M. I. Mendelev, S. Han, D. J. Srolovitz et al. // Philosophical Magazine. – 2003. – V. 83. – P. 3977–3994.
12. T i k h o n c h e v , M . MD simulation of atomic displacement cascades in Fe–10 at.%Cr
binary alloy / M. Tikhonchev, V. Svetukhin, A. Kadochkin, E. Gaganidze // Journal of
Nuclear Materials. – 2009. – V. 395. – P. 50–57.
13. D e t h l o f f , C . Modeling of helium bubble formation and growth in RAFM steels under neutron irradiation / C. Dethloff, E. Gaganidze, V. Svetukhin et al. // Extended Abstracts Book of First International Conference on Materials for Energy. – 2010. –
P. 196–198.
14. T i k h o n c h e v , M . Y U . Modelirovaniye protsessov pervichnoy radiatsionnoy povrezhdayemosti splava Fe–1.8at.%Ni metodom molekulyarnoy dinamiki / M. YU. Tikhonchev, V. V. Svetukhin, D. V. Kozlov, V. N. Golovanov // Izvestiya vysshikh
ucheb-nykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki. – 2010. –
№ 3(15). – S. 143–155.
15. S v e t u k h i n , V . Kinetics and thermodynamics of Cr nanocluster formation in Fe-Cr
system / V. Svetukhin, P. L’vov, E. Gaganidze, M. Tikhonchev, C. Dethloff // Journal
of Nuclear Materials. – 2011. – V. 415. – P. 205–209.
16. T i k h o n c h e v , M . Y U . Molekulyarno-dinamicheskoye modelirovaniye kaskadov
atom-nykh smeshcheniy dlya splava Fe-9at.%Cr s uglerodom v rastvore / M. YU. Tikhonchev, V. V. Svetukhin, A. S. Kadochkin, E. Gaganidze / / Metally. – 2011. –
№ 3. – C. 22–30.
17. T i k h o n c h e v , M . Y U . Modelirovaniye protsessov pervichnoy radiatsionnoy povrezhdayemosti -zheleza metodom molekulyarnoy dinamiki / M. YU. Tikhonchev,
V. V. Svetukhin, T. S. Il'ina, // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy
region. Fiziko-matematicheskiye nauki. – 2007. – № 2. – S. 70–79.
18. T i k h o n c h e v , M . Y U . Molekulyarno-dinamicheskoye modelirovanie kaskadov
atomnykh smeshcheniy v -tsirkonii / M. YU. Tikhonchev, B. V. Svetukhin. // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. – 2006. – № 5. – C. 70–82.
19. T i k h o n c h e v , M . Y U . Raschetnoye opredeleniye porogovykh energiy smeshcheniya i is-sledovaniye osobennostey razvitiya kaskadov atomnykh smeshcheniy vblizi protya-zhennoy granitsy razdela faz tsirkoniya i niobiya: molekulyarno-dinamicheskoye
mo-delirovaniye / M. YU. Tikhonchev, V. V. Svetukhin / / Voprosy materialovedeniya. –
2011. – № 4 (68). – C. 140–152.
20. G a o , N . Multiscale modelling of bi-crystal grain boundaries in bcc iron / N. Gao,
C. Fu, M. Samaras, R. Shäublin, M. Victoria, W. Hoffelner // Journal of Nuclear Materials. – 2009. – V. 385. – P. 262.
21. T e r e n t y e v , D . Properties of grain boundaries in BCC iron and iron-based alloys: An
atomistic study / D. Terentyev, Xinfu He // Open report of the Belgian nuclear research
centre SCK•CEN-BLG. – 2010. – V. 1072. – P. 70.
Муралев Артем Борисович
аспирант, Ульяновский
государственный университет
(г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42)
Muralev Artem Borisovich
Postgraduate student, Ulyanovsk State
University (Ulyanovsk, 42 Lva
Tolstogo str.)
E-mail: a.b.muralev@yandex.ru
Physics and mathematics sciences. Physics
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Тихончев Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
начальник лаборатории Компьютерного
моделирования неорганических
материалов научно-исследовательского
технологического института,
Ульяновский государственный
университет (г. Ульяновск,
ул. Льва Толстого, 42)
Tikhonchev Mikhail Yryevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, head of computer modeling
laboratory of inorganic materials, Research
Institute of Technology, Ulyanovsk
State University (Ulyanovsk, 42 Lva
Tolstogo str.)
E-mail: tikhonchev@sv.ulsu.ru
Светухин Вячеслав Викторович
доктор физико-математических
наук, профессор, директор научноисследовательского технологического
института, Ульяновский
государственный университет
(г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42)
Svetukhin Vyacheslav Viktorovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of Research
Institute of Technology, Ulyanovsk State
University (Ulyanovsk, 42 Lva
Tolstogo str.)
E-mail: slava@sv.uven.ru
УДК 544.022.342, 544.022.344.2
Муралев, А. Б.
Моделирование каскадов атомных смещений в альфа-железе, содержащем симметрично-наклонную межзеренную границу / А. Б. Муралев,
М. Ю. Тихончев, В. В. Светухин // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 1 (25). –
С. 144–158.
158
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322
В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов, Р. В. Зайцев,
К. Ямамото, А. К. Арынгазин, П. В. Кревчик
ДИССИПАТИВНОЕ ТУННЕЛИРОВАНИЕ
И ОПТИКА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СТРУКТУР1
Аннотация. Приведены результаты экспериментального исследования влияния вида обработки поверхности квантовых точек (КТ) из селенида кадмия на
их фотолюминесценцию. Показано, что наибольшую интенсивность фотолюминесценции дают КТ с поверхностью, обработанной донорной электронной
примесью. Теоретически изучена роль легирования КТ примесями. Показано,
что интенсивность фотолюминесценции в этом случае может повышаться на
порядок. Исследовано влияние двумерного диссипативного туннелирования
на вероятность двухфотонной ионизации D–-центра в системе двух взаимодействующих квантовых молекул. Выявлены эффекты 2D-туннельных бифуркаций и квантовых биений для случая параллельного 2D-туннелирования, которые могут наблюдаться в соответствующих полевых зависимостях вероятности двухфотонной ионизации.
Ключевые слова: квантовая точка, фотолюминесценция, двумерное диссипативное туннелирование, вероятность двухфотонной ионизации, квантовая молекула.
V. D. Krevchik, M. B. Semenov, R. V. Zaytsev,
K. Yamamoto, A. K. Aryngazin, P. V. Krevchik
DISSIPATIVE TUNNELING
AND LOW-DIMENSION STRUCTURE OPTICS
Abstract. The article introduces the investigation results of the influence of the type
of cadmia selenide quantum dot (QD) surface processing on their photoluminescence. It is shown that the most active photoluminescence is demonstrated by QD
with surface processed by the donor electronic impurity. The authors theoretically
investigate the importance of QD impurity doping. The article proves that inthis
case the intensiveness of photoluminescence significantly rises. The authors have also researched the influence of two-dimensional dissipative tunneling on the probability of two-photon ionization of the D--center in the system of two interactive
quantum molecules. The article reveales the effects of 2D-tunnel bifurcations and
quantum beats for the case of parallel 2D-tunneling, which may be observed in the
corresponding field dependencies of the two-photon ionization probability.
Key words: quantum dot, photoluminescence, 2D dissipative tunneling, two-photon
ionization probability, quantum molecule.
Введение
Последние несколько лет резко выросло количество экспериментальных и теоретических исследований в области оптики наноструктур с примесными центрами [1–4]. Успехи в развитии методов синтеза флуоресцентных
1
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ грант № 12-02-97002) и Фонда
фундаментальных исследований в области естественных наук Министерства науки Республики Казахстан (грант 1253/ГФ).
Physics and mathematics sciences. Physics
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
нанокристаллов (квантовых точек) с заданными свойствами и методов функционализации их поверхности открыли пути создания нового класса флуорофоров для многочисленных биологических и медицинских применений [5].
Флуоресцентные нанокристаллы детектируются как индивидуальные объекты с помощью обычных флуоресцентных микроскопов, что позволяет визуализовать процессы на уровне единичных молекул. Достоинствами нанокристаллов по сравнению с органическими флуорофорами являются их высокая
яркость, обусловленная большим значением коэффициента поглощения, уникально высокая фотостабильность и узкий, симметричный пик эмиссии. Длина волны фотолюминесценции (ФЛ) нанокристаллов строго зависит от их
размеров, при этом для возбуждения нанокристаллов всех цветов достаточно
одного источника излучения. Такие уникальные свойства делают нанокристаллы идеальными флуорофорами для сверхчувствительной, многоцветной
детекции биологических объектов и медицинской диагностики, требующей
регистрации многих параметров одновременно.
Целью данной работы является теоретическое и экспериментальное исследование влияния легирования полупроводниковых квантовых точек на их
ФЛ, имеющую важное прикладное значение как для целей наномедицины,
так и при создании прецизионных устройств наноэлектроники с управляемыми характеристиками.
1. Зависимость интенсивности флуоресценции
квантовых точек от вида обработки их поверхности
В современной нанотехнологии для синтеза квантовых точек (КТ) применяют различные материалы, такие как полупроводники [6], металлы [7] и
решетки [8, 9]. Множество свойств КТ было изучено на примере КТ, полученных на основе тонких слоев полупроводников [10–12] и металлов [13–15].
В данной работе мы изучим обработку поверхности КТ, влияющую на цитотоксичность КТ [16, 17]. Актуальность исследования обусловлена тем, что
взаимодействие молекул клетки и поверхности КТ играет ключевую роль
в безопасности человека и окружающей среды [18], а также обработка поверхности КТ определяет размер агрегации [18]. В данной работе будет исследовано влияние обработки поверхности КТ на особенности их ФЛ.
1.1. Материал и методы исследования
КТ, окрашенные в красный и в желтый цвета, были приготовлены на
основе кадмия и селена с помощью метода горячего обмыливания с оксидом
триокрилфосфина (TOPO), затем оболочки КТ были покрыты меркаптоцинком, в результате были получены КТ, нерастворимые в воде. Затем на поверхности КТ молекулы TOPO были заменены водорастворимыми молекулами 11-меркапто-удекановой кислоты (MUA) и меркапто-глицерина. Vero
клетка (клетка почки Африканской зеленой обезьяны) была культивирована
стандартными методами. Для наблюдения была использована система флуоресцентного микроскопа OLYMPUS [16]. Измерение фотолюминесцентного
спектра было сделано с помощью флуоресцентного спектрофотометра JASCO.
Измерение дзета-потенциала и размера частицы было проведено с помощью
измерительной системы SYSMEX [18].
160
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
1.2. Результаты и обсуждение
Увеличение интенсивности ФЛ КТ обусловлено возрастанием интенсивности облучающего света, данный эффект известен как эффект световой
памяти [19]. Впервые этот эффект наблюдался в КТ с высушенной оболочкой.
Для проверки наличия этого эффекта в клетке в воде КТ была введена в клетку Vero. Ряд фотографий слева (см. рис. 1) был сделан непосредственно после
облучения КТ. В среднем ряду – через 15 мин. Ряд справа был сделан через
30 мин. Фотографии излучения КТ красного флуоресцентного света, покрытых водорастворимой MUA, представлены на верхней панели рис. 1. Как
видно, на верхней панели, интенсивность красного флуоресцентного света
через 30 мин намного выше, чем сразу после освещения. Исследование ФЛ
КТ, окрашенных в желтый цвет, представлено в средней панели рис. 1. В этом
случае интенсивность желтого флуоресцентного цвета КТ, также покрытых
MUA, намного выше через 30 мин, чем вначале. Нижняя панель рис. 1 соответствует органической флуоресцентной пластине FITC, которая обычно используется в исследованиях биоизображений. Результат эксперимента с помощью FITC был прямо противоположным случаю КТ.
0 мин
15 мин
30 мин
Красные QD
Желтые QD
FITC
Рис. 1. Коротковолновый сдвиг ФЛ КТ (две верхние панели)
и ФЛ органической пластины FITC (нижняя панель)
В случае с органической пластинкой не было изменений цвета флуоресцентного света через 30 мин. Интенсивность непосредственно после
освещения наиболее сильная, чем через 30 мин, в отличие от двух верхних
панелей. Через 60 мин с FITC флуоресцентный свет отсутствовал. Для двух
верхних панелей интенсивность флуоресцентного света была еще сильнее через 60 мин. При сравнении цвета через 30 мин и через 60 мин заметим, что
цвет меняется от красного до оранжевого (панель вверху) и от желтого до зеленого (панель в середине). В случае с FITC цвет не менялся. Эффект световой памяти в воде наблюдался при соответствующей обработке поверхности
КТ. Через некоторое время после окончания облучения интенсивность ФЛ достигает максимума и снижается. Длина волны флуоресцентного света уменьPhysics and mathematics sciences. Physics
161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
шается. Одной из причин коротковолнового сдвига ФЛ является легкое лазерное травление. Известно, что КТ меркапто-кадмия могут быть созданы с помощью травления лазерным светом из объемного материала. В нашем случае
с КТ Cd/Se это также могло иметь место. Но мы еще не имеем каких-либо
данных для доказательства различия размеров частиц. Другой причиной коротковолнового сдвига ФЛ могла бы быть оксидация КТ легкой дозой лазерного облучения. Электрон может изменять локализацию в КТ, что могло привести к оксидации внешней стороны КТ.
В данной работе мы используем КТ Cd/Se, обработанную ZnS, на поверхности частицы. Так как эта наночастица водонерастворимая, мы используем для обработки поверхности MUA, меркапто-глицерин и меркапто-амин
для получения гидрофильности. Наиболее высокая базовая линия ФЛ для КТ,
обработанных MUA (см. рис. 2), cредняя – для КТ, обработанных меркаптоглицерином. Самая низкая базовая линия ФЛ среди трех соединений для КТ,
обработанных меркапто-амином. Измерения дзета-потенциала поверхности
различно обработанных КТ показали, что КТ, обработанные MUA, являются
отрицательно заряженными, обработанные меркапто-амином – положительно
заряжены и обработанные меркапто-глицерином – не заряжены.
QD-COOH
-58.75mV
QD-NH2
+40.52mV
Рис. 2. Дзета-потенциалы КТ
162
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
QD-COOH соответствует КТ с меркапто-органической кислотой,
QD-NH2 – КТ, обработанной меркапто-органическим амином. QD-OH – КТ,
обработанной меркапто-глицерином.
Анализ рис. 2 свидетельствует, что дзета-потенциал изменяется от минимума к максимуму в обратном порядке по отношению к интенсивности
света. Наиболее вероятно, что электрический потенциал поверхности КТ играет ключевую роль для интенсивности ФЛ. Различная поверхностная обработка приводит к различным значениям дзета-потенциала КТ.
Цитотоксичность КТ скорее зависит от обработки поверхности, чем от
внутренней части самой КТ [18]. Коньюгация КТ с такими биомолекулами,
как белок, сахарид и нуклеиновые кислоты будет изменять дзета-потенциал,
что приводит к предположению о том, что дзета-потенциал биомолекулы
определяет интенсивность ФЛ комплекса коньюгированных биомолекул КТ.
1.3. Влияние донорной примеси на интенсивность флуоресцентного света
Изучим влияние реагента донорной примеси (азид натрия) на увеличение интенсивности флуоресцентного света КТ, поверхность которых была обработана MUA для данного эксперимента. Измерение выполнено сразу после
добавления реагента в раствор. На рис. 3 интенсивность ФЛ повышалась при
повышении концентраций донорной примеси. На рис. 3 показано, что интенсивность ФЛ повысилась сразу после добавления реагентов в растворитель.
Нет никакого доказательства того, что добавленный азид вступил в реакцию
с поверхностью КТ и КТ покрылась молекулами азида. Однако молекула азида натрия может играть важную роль в повышении эффективности локализации электронов внутри частиц КТ.
Intensity
A
B
500sec
а)
500sec
б)
Рис. 3. Действие реагентов донорной примеси
В данном исследовании мы имеем несколько доказательств важности
электрического потенциала поверхности КТ для управления интенсивностью
ФЛ. Под действием реагентов акцепторной примеси в водном растворе, содержащем водорастворимые КТ, флуоресцентный свет стал очень слабым.
При добавлении реагентов донорной примеси восстановилась сильная ФЛ
(данные не указаны). Одним из применений данного эффекта является способ
восстановления ФЛ и нахождение меченой клетки органа с помощью микроPhysics and mathematics sciences. Physics
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
скопа. Обработка поверхности и дзета-потенциал не являются уникальными
факторами, которые изменяют интенсивность ФЛ.
На рис. 3,a показана интенсивность ФЛ с различными концентрациями
реагентов донорной примеси. Измерения выполнены сразу после добавления
реагента в раствор КТ. Процентное отношение представляет собой процентную весовую концентрацию реагента в растворе. В данном исследовании поверхность КТ была обработана MUA. На рис. 3,б показано изменение интенсивности ФЛ при добавлении реагента донорной примеси. Стрелкой показано
время добавления реагента донорной примеси.
2. Влияние двумерного диссипативного туннелирования
на вероятность двухфотонной ионизации D–-центра
в системе двух взаимодействующих квантовых молекул
В настоящее время двухфотонная (ДФ) спектроскопия широко применяется для исследования зонной структуры низкоразмерных систем [1, 2] как
неразрушающий метод считывания информации в устройствах трехмерной
оптической памяти [3], для изучения когерентных свойств излучения [4], а
также в целом ряде приложений. Развитие технологии получения квантовых
молекул (КМ) (туннельно-связанных КТ) требует расширения возможностей
ДФ спектроскопии, в частности, применительно к исследованию особенностей диссипативного туннелирования. Использование науки о квантовом туннелировании с диссипацией [20–26] для изучения взаимодействия КМ с контактной средой оказывается продуктивным, поскольку, несмотря на использование инстантонных подходов, появляется возможность получить основные результаты в аналитической форме с учетом влияния среды на процесс
туннельного переноса, что в других часто используемых подходах не представляется возможным. Одной из целей настоящей работы является теоретическое исследование ДФ примесного поглощения в КМ, в условиях 2Dдиссипативного туннелирования при наличии внешнего электрического поля.
2.1. Особенности спектров ДФ примесного поглощения в КМ
Рассмотрим поглощение света при ДФ ионизации D  -центра для

случая, когда примесный атом расположен в центре КТ Ra  (0, 0, 0) . Волновая функция начального состояния определяется следующим выражением:






3

 
3 
exp     2  W0*   t  1  e 2t 2 
   x, y, z;0,0,0   С
3/2
2 
 0
 


  x  x 2  x 2  y 2  z 2 1  e 2t 
  x  x0  x0 2e t 
0
0
 exp  
 exp  


 , (1)
2t 
2t
2
2

a
e
a
e
2
1
1




0
0



где нормировочный множитель C дается выражением вида

 x2   
7
a03 exp  02    2  W0*  

a  2
4

 0
C

    2  W0*  3     2  W0*  1
4 2

  2


164




University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика


  2

3   
7


    W0*      2  W0*      2  W0*  1   1 
4   2
4
2
  
 2









1
2
. (2)
В выражении для энергетического спектра учтем лоренцево размытие
уровней:
2
2
3  e E0

 i0 ,
En1n2n3  0  n1  n2  n3   
2  2m*02

(3)
здесь 0 – вероятность диссипативного туннелирования.
Гамильтониан взаимодействия с полем электромагнитной волны имеет
вид
2 2 I 0
  
(4)
Hˆ int   0
exp  iqr   e p  ,
2
m 


где e – единичный вектор поляризации; q – волновой вектор;  0 – коэффициент локального поля;  – постоянная тонкой структуры c учетом диэлектрической проницаемости; I0,  – интенсивность и частота света соответственно.
Матричный элемент ДФ оптического перехода с учетом лоренцева
уширения запишется в виде
M
 n1n2n3 Hint  n1n2 n3  n1n2 n3 Hint  
,
E  En1n2 n3  
n1n2 n3

(5)
где  n1n2 n3 и En1n2 n3 – волновая функция и энергия виртуального состояния.
Выражение для матричного элемента  n1n2 n3 Hˆ int  
можно пред-
ставить в виде
1
 2 I 0  2
 n1n2 n3 Hint    i 0 
 ( En1n2 n3  E ) 
 6 nn n 
1
2
3



 x2   
7

exp  02    2  W0*  
a  2
4

 0


    2  W0*  3     2  W0*  1
4 2
 2





Physics and mathematics sciences. Physics



165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 
3   
7

  
  2  W0*      2  W0*      2  W0*  1   1 
4   2
4
2
   
 2


a03 2


n1  n2  n3 
2


1  e 2t
0



3
2



1
2


 
3 
exp     2  W0*   t  
2 
 
  
2
 x  x x
x  x0   y 2  z 2 

2e  t
0
0

exp  



2
2
2t


a
e
a

1
2
0
0
  


  
  x  x 2  x 2  y 2  z 2 1  e 2t 
0
0
 x
 exp  

2
2t 


a
e
2
1
0


 x  x0 
 y 
 z 
 H n1 
 H n2   H n3   dxdydzdt .
 a0 
 a0 
 a0 
(6)
Вычисление интегралов в (6) приводит к следующему выражению для
матричного элемента:
1

2
 I 0 Ed2
 n1m2 m3 Hint    i 0 
 
 n1 ! 2m2 ! 2m3 ! 



 x*2   
7

exp  02    2  W0*  
 a  2
4

 0 


    2  W0  3     2  W0*  1
4 2
 2









1
 
3   
7

   2
  2  W0*      2  W0*      2  W0*  1   1  
4   2
4
2
   
 2


ad a0*n1 !1 2


n1  2 m2  2 m3 1

2
 n1  2m2



 1  e 2t
0

 n1 
 2 

m 0
166
 1

m  n1  m2  m3
f
 


1
2

 2m3 


3  2
  
    W0*  i
  
2 
Ed  

 
3 
exp     2  W0*   t  
2 
 
    2m  2m  t   2m ! 2m !
 f x* , t
0
n1  2 m
x0* , t
exp 

4


m! n1  2m !m2 !m3 !
2
3



2
3

University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
 n1  2 m 

k
 2 

f x0* , t
n2 ,2 m2 n3 ,2m3  x0*  n1  2m 


  2 m  2 k  !k !
n

1
k 0


 

a0*  n1  2m  1
 n1  2 m 1 


2


 dt ,
2  n1  2m  2k  1!k !


 
f x0* , t

k 0
 k 1
(7)
здесь a0*  a0 ad , x0*  x0 ad , x*  x ad , y*  y ad , z*  z ad .
Матричный элемент, определяющий величину силы осциллятора дипольных оптических переходов электрона из виртуальных состояний
 n1m2 m3  x, y , z  в конечные состояния  n1n2n3  x, y , z  дискретного спектра
КТ можно записать в виде
2
3 
 I 0 2  1 2 3 1
 n1n2n3 Hint  n1m2 m3  i 0

a0*3 2 n1 !n2 !n3 !n1 ! 2m2 ! 2m3 !
 n  n  n  n  2 m  2 m 1


2


x*  x0*  y*2  z*2 
 x*  x0* 

x* exp  
H
 En1n2n3  En1n2 n3

 n1 
*2
* 
a
a


0
0


  



  
  
 x*  x0* 
 y* 
 y* 
 z* 
 z* 
H n1 
H n2   H n2   H n3   H n3   dx*dy*dz* .

 a* 
 a* 
 a* 
 a* 
 a* 
0 

 0
 0
 0
 0
(8)
После интегрирования для (8) получим
 n1n2n3 Hˆ int  n1m2 m3
1
 i 0  2 a0* Ed


 I0
1
4 n1  n2  n3  2
2


2    n1  1! n2 ! n3 !
n1 ,n1 1n2 ,2 m2 n3 ,2m3 .
1
 n1 !n2 !n3 ! 2
1
2

(9)
После суммирования в (5) по виртуальным состояниям для квадрата
модуля матричного элемента M
2
 MM * будем иметь
2


 2  2  *4 4 4 2 1 4 *2 2
1
 1  n1  n2  n3    W0*  2  
 a a  I 0  0  
2  0 d
2


E


d 
2

M  
2
2

 2  2   n2   n3  

1


1
*
2
2
   n1  n2  n3    W0    X  
  ! ! X
2


Ed2   2   2  

Physics and mathematics sciences. Physics
167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

 x*2   
7

exp  0*2    2  W0*  
a  2
4

 0 


    2  W0*  3     2  W0*  1
4 2
 2








 
3   
7

  
  2  W0*      2  W0*      2  W0*  1   1 
4   2
4
2
   
 2



5 n  n  n 3
2  1 2 3  n1 !n2 !n3 !



1  e2t
0


1
2



1


 
3 
exp     2  W0*  n2  n3   t  
2 
 
 
 f x* , t 
0

 n1 
exp 
 4  
 2 

  *

 x0  n1  2m  1 
 1m f x0* , t
m! n1  2m  1! 
m 0

 


 n1  2 m 1 


2
 
f x0* , t
 n1  2 m 
 2 
k
  n1  2m  2k 1!k !  a0*  n1  2m  
k 0
k 0
2


f x0* , t
 dt . (10)
2  n1  2m  2k !k !


 
 k 1
Вероятность ДФ ионизации D  -центра в КТ W (2) с параболическим
потенциалом конфайнмента при наличии внешнего электрического поля
с учетом лоренцева уширения энергетических уровней виртуальных и конечных состояний КТ запишется как
 (1 (n1  n2  n3  1 )  W0*  2 ) 2   202 Ed2  X 2
2


W (2)  B0

1
*
2
2
2 2
2
1

n1 , n2 , n3  ( ( n1  n2  n3  2 )  W0    X )    0 Ed 


 exp( x02 a02 )((2  W0* ) / 2  7 4)


((n2 2)!(n3 2)!) 2  ((2  W0* ) / 2  3 4)((2  W0* ) / 2  1)
1
((2  W0* ) / 2  3 4)( ((2  W0* ) / 2  7 4)   ((2  W0* ) / 2  1))  1 


1


25( n1  n2  n3 )3  n1 !n2 !n3 ! dt (1  e2t )1 2 exp  ((2  W0* )  n2  n3  3 2) t 


0
[ n1 2]


m 0
168
(1) m f ( x0 , t )
exp( f ( x0 , t ) / 4)  *
x0 ( n1  2m  1) 
m!(n1  2m  1)! 
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
[( n1  2 m 1) 2]


k 0
[( n1  2 m ) 2]
f ( x0 , t )  k
a0* ( n1  2m)
(n1  2m  2k  1)!k !

(3
1

k 0

f ( x0 , t )1 k

2(n1  2m  2k )!k !

0
2  W0*
2
   X )2   2 02 Ed2
,
2
(11)
где B0  2(a0* 0 ) 4 (ad * ) 2 I 0 Ed ; X   Ed – энергия фотона в единицах
эффективной боровской энергии; f ( x0* , t )  x0*2 (2et  e2t ) a0*2 ; ( x) – логарифмическая производная  -функции. Процесс вычисления выявил следующие правила отбора: оптические переходы с примесного уровня возможны только в размерно-квантованные состояния КТ с четными значениями
квантовых чисел n2 , n3 и со значением квантового числа n1  n1  1
(n  0,1, 2) .
Вероятность туннелирования Г0 в КМ рассчитана в одноинстантонном
приближении.
2.2. 2D-диссипативное туннелирование
при наличии внешнего электрического поля
Влияние внешнего электрического поля учитывается через перенормировку параметров 2D -потенциала:
U1  R1 , R2  

2  R2  a 
2
2
2  R1  a 
2
2
2

2  R1  b  
   R1  
   R1     
2




2
2

2  R2  b  
  R1  R2 
   R2  
, (12)
   R2     
2
2




где   x  – единичная функция Хевисайда;


1
b  b0  e E0 02 ; а  а0  e E0 02 ,   2 b 2  a 2 .
2
При этом смена знака напряжения приводит к тому, что исходная
асимметрия потенциала (правая потенциальная яма глубже левой) только
усиливается и симметрия потенциала не достигается. На рис. 4 показано изменение асимметрии поверхности потенциальной энергии для случая параллельного переноса частиц во внешнем электрическом поле при отрицательном приложенном напряжении.
Можно видеть, что при определенном значении приложенного напряжения 2D -потенциал становится симметричным (рис 4,б). Для случая 2D параллельного переноса с учетом взаимодействия туннелирующих частиц,
а также их взаимодействия с осцилляторами среды получена аналитическая
формула для евклидова действия S . Траектория, которая минимизирует евклидово действие S , может быть найдена из уравнений движения. Моменты
времени 1 и 2 , в которые частицы проходят вершины барьера, определяются из системы уравнений
Physics and mathematics sciences. Physics
169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
q1 (1 )  0,

q2 (2 )  0,
(13)
где q1 и q2 – координаты туннелирования.
16
11
6
15,0
B
A
2,5
-5,0
0,0
-2,5
0,0
y
x
-2,5
2,5
-5,0
5,0
а)
26
21
16
11
6
1
5,0
B
A
2,5
5,0
0,0
2,5
0,0
y
-2,5
x
-2,5
-5,0
-5,0
б)
A
5,0
16
11
6
1
-5,0
B
2,5
0,0
-2,5
y
0,0
-2,5
2,5
-5,0
x
5,0
в)
Рис. 4. Изменение асимметрии поверхности потенциальной энергии
для параллельного переноса частиц во внешнем электрическом поле
В случае параллельного движения туннелирующих частиц, действие S
как функция параметров 1 и 2 принимает вид
S  2a  b  a  1  2   
2
170
2  a  b 
2

 1  2 2

4  a  b 
2
 1  2 2
 2  2 

University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013

Физико-математические науки. Физика
24  a  b 

Введем


2
 sin  n 1  sin  n 2 2 
  sin  n 1  sin  n 2 

 2
.
2
2
 n 2  n 2  2  2 
n 1   n  n    n


2 





     1  2   ;
обозначения:
(14)
  2   1  2   ;
   / 2 ;   2 / 2 ; b  b / a , b  a .
Если пренебречь взаимодействием с осцилляторами среды ( n  0 ),
действие S как функция параметров  и  принимает вид

ab
1    a  b 
S   a  b    2a 
1


2  1    
2

2
    

1  

2

  a  b  
1 




  













ch
ch
ch
ch
 cth  

2
sh  





 


1
  
ch    

cth   1    

3/2

 sh   1     


2 1 





 a  b 

2



ch   1     ch    





1     ch    






1    




1     .
 


(15)
В случае взаимодействия с выделенной локальной осцилляторной модой среды L выражение для действия S как функции параметров  и 
 
(   1  2 ,   1 2 ) принимает вид
2
S   b  a  3a  b  2  


 2
2
2  a  b     x2


2 
x1




4
a  b

2
2 

2   2


42  a  b 

2
  
2

  
 2  2  
4  a  b 
2
2


  cth  



  
1



x1  
 ch   2  x1  


2

2
 sh 


x1   

2




   
 1   
 1  
 





 ch     x1   ch     2  x1   ch   2    x1   



 2
 2  2
 2  2
 


Physics and mathematics sciences. Physics
171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

2  x1   
  

   

1


 cth 
x2  

 ch   2  x2   ch     x2  
x2   2
 sh   x    2



 2


2

2






 1  

1  


 ch     2  x2   ch   2    x2   
2  2


 2  2
 









  a  b  
1



2  2  

  cth 
3/2

2


2


2

sh 
  2 
2   2

2

2
4


  

 



  ch     2  2   ch   2  2  2  



 2

  2


1  
 1  
 


 ch     2  2  2   ch   2    2  2    , (16)
2  2


 2  2
 

где

x1,2  2  L 2  C 2 L 2
 

2
 2  L2  C 2 L2 
 2  L2  C 2 L2 
2
2
 42 L 2 2 ;
 42L 2 ;
С – константа взаимодействия с локальной модой ωL.
Или в боровских единицах:
2

 b*  W0  

1  *
 
 *

b*  W0    a  W0 
*
*  b  W0
S  a U0 
 1 3 

 

  a*  W0
a*  W0 
2 1  *





2

2
 b*  W0  2  b*  W0  2
1  *
 
1  *
 
 a W 
 a W 
0
0



*
*
2
1   *

172

University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
 b*  W0 
1  *

 a W 
0


2 *

 ch  *  


2

*
 1  x2

 x1*










1
 ch  *    
2 


1
x1*   ch  *    
 2 
1
  * 
x2*  
 ch   
 sh  * x*   

2






1
  * 
x1*  
 ch   
 sh  * x*   

1 


1
x1*   ch  *    
 2 

1  x1*  

 *

 cth  
x2*
  cth  *



x1*  




x1*    
  


x2*   ch  *  



1
x2*   ch  *    
 2 


x2*  

 
x2*    
  

2
 b*  W0 
1  *
 
 a W  
1
  * 
0 

*
 *

 cth   1    
 ch    
3/2

 sh  * 1  *   

2 1  *









ch  *  



1
1  *   ch  *    
 2 

1
 ch  *    
2 



1  *  

1  *  

 
1  *    ,
  

(17)
где *  U 0* a**T , *T  kT Ed , *c   c Ed , *L  L Ed , b*  b ad ,
 *2L a*2
a*  a ad ,  * 
x1* 



2
*2
 *2
U 0* ,
La
1  *2 *2
*
 L a 4U 0*  1  c4 a*2 4*2
L U0 
2 
 *2L a*2
x2* 
*
4U 0*  1  c4 a*2 4*2
L U0
*
4U 0*  1  c4 a*2 4*2
L U0

2

*2
 *2
U 0*  ,
La

1  *2 *2
*
 L a 4U 0*  1  c4 a*2 4*2
L U0 
2 
 *2L a*2
*
4U 0*  1  c4 a*2 4*2
L U0
Physics and mathematics sciences. Physics

2

*2
 *2
U 0*  ;
La

173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
U 0*  U 0 Ed ; U0 – амплитуда потенциала конфайнмента КТ.
Следующая система трансцендентных уравнений связывает величины
 и  между собой и с параметрами туннелирования:

1


sh   1   
sh   ch  cth β  sh   cth   



1 

  



 
 

 
 ch   1    cth   1     sh   1     cth   1      0,








 

4
1

 ch  sh  cth   ch   1  sh  cth  
(18)
3 




 1 b 1 

1

ch   1    sh   1    cth   1     ch   1    
 ch 




 




1 


1  

sh  1    cth   1     ch   1      0.
1  
  







1 

Решение системы уравнений (18) имеет вид
   1  2    0, ,  
1  2 
2
;
2
1  b
1

  
Arcsh 
sh

 .

2 2
2  4
1  b
(19)
При достаточно низких температурах (   1 ) с экспоненциальной
точностью и в диапазоне параметров
1  b / a  3 ,  b  a  2  b  a   2 2  2  b  a   3b  a    c
появляется еще одно решение:





4
1 
 1/ 1 1
e  1  3 




1

 1  b 1   



1


1/ 1 1 
1
4
1  

  
3
/
1
1
 1  1  







  ,

 

 
 
 1   1 b 1   



 


4
1 
1
e    3 


e  1  / e  1 ,




 1  b 1    1  

(20)
где   m*a*2 ad2 U 0* Ed .
Решение (20) справедливо для случая, когда

174
1  

ln exp   1     c .
  

(21)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
Особенности ДФ примесного поглощения в условиях
2D-диссипативного туннелирования
Решение системы уравнений (18) позволяет выявить бифуркацию
2 D -туннельных траекторий при определенных значениях температуры, либо параметра асимметрии потенциала (связанного с величиной внешнего
электрического поля), либо коэффициента взаимодействия  . Численный
анализ системы (18) позволяет также выявить тонкую структуру перехода
в окрестности точки бифуркации, т.е. режим квантовых биений для параллельного переноса туннелирующих частиц (при этом кроме тривиального
решения (19) появляются еще два решения). На рис. 5 представлена рассчитанная зависимость вероятности ДФ ионизации D  -центра в системе, состоящей из двух взаимодействующих КМ, от величины напряженности
внешнего электрического поля в условиях 2 D -диссипативного туннелирования. Из рис. 5 видно, что для полевой зависимости вероятности ДФ примесного поглощения характерен излом, соответствующий точке 2 D -бифуркации – как результат смены режима 2 D -диссипативного туннелирования
с синхронного на асинхронный. Видно также, что в малой окрестности точки бифуркации реализуется режим квантовых биений, связанный с существованием конкурирующих решений при поиске 2 D -инстантона. Можно
видеть, что с ростом постоянной взаимодействия  точка 2 D -бифуркации
смещается в область более сильных полей (сравн. рис. 5,a и рис. 5,б), что
обусловлено изменением симметрии 2 D -потенциала за счет усиления кулоновского отталкивания туннелирующих частиц. Аналогичная ситуация
имеет место и при уменьшении температуры (параметр T ) (сравн. рис. 5,в
и 5,б). С уменьшением параметра T вероятность 2 D -туннелирования
уменьшается и, следовательно, требуется большая величина напряженности
внешнего электрического поля для увеличения асимметрии 2 D -потенциала.
Таким образом, эффекты бифуркаций и квантовых биений существенно зависят от таких параметров 2 D -туннелирования, как температура и постоянная взаимодействия туннелирующих частиц. При этом роль внешнего
электрического поля сводится к восстановлению асимметрии 2 D -потенциала, необходимой для появления бифуркаций.

Заключение
Таким образом, оптические и транспортные свойства легированных полупроводниковых КТ с биосопряженными оболочками могут найти применение в качестве люминесцентных меток для визуализации биологических объектов и в наномедицине для диагностики и лечения ряда тяжелых заболеваний, включая онкологические. Планируется экспериментальная проверка
предсказанных эффектов 2D-бифуркаций и квантовых биений на полевых за-
висимостях вероятности ДФ ионизации D  -центра в системе, состоящей из
двух взаимодействующих КМ. Предсказанный эффект может найти применение в прецизионных устройствах опто- и наноэлектроники с управляемыми
характеристиками.

Physics and mathematics sciences. Physics
175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
а)
б)
в)
Рис. 5. Зависимость вероятности ДФ ионизации D   -центра в системе,
состоящей из двух взаимодействующих КМ от величины напряженности
электрического поля E0 , при U 0*  250, a0  1, b0  1.5, i  7,  L  1,
C  1: а –   0,38 , T  1 ; б –   0.37 , T  1 ; в –   0,37 , T  1,5
Список литературы
1. Г а п о н е н к о , С . В. Оптика наноструктур / С. В. Гапоненко, Н. Н. Розанов,
Е. Л. Ивченко и др. ; под ред. А. В. Федорова. – СПб. : Недра, 2005. – 325 с.
2. М и к о в , С . Н . Спектры двухфотонно-возбуждаемой люминесценции /
С. Н. Миков // Физика твердого тела. – 1999. – Т. 41, № 6. – С. 1110–1112.
3. А к и м о в, Д . А . Считывание информации с помощью однофотонной и двухфотонной люминесценции в устройствах трехмерной оптической памяти на основе
176
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
фотохромных материалов / Д. А. Акимов, А. М. Желтиков, Н. И. Коротеев и др. //
Квантовая электроника. – 1998. – Т. 25, № 6. – С. 563–570.
4. Б е р е д и х и н , В. И . Двухфотонное поглощение и спектроскопия / В. И. Бередихин, М. Д. Галанин, В. Н. Генкин // Успехи физических наук. – 1973. – Т. 110,
№ 1. – С. 1–43.
5. О л е й н и к о в а , В. А . Флуоресцентные полупроводниковые нанокристаллы
в биологии и медицине / В. А. Олейникова, А. В. Суханова, И. Р. Набиев // Российские нанотехнологии. – 2007. – № 1–2. – C. 160–172.
6. M u r r a y , C . B. Synthesis and characterization of nearly mono disperse CDE (E = S,
SE, TE) semicnductor nanocrystallites / C. B. Murray, D. J. Norris, M. G. Bowendi //
Journal of the American Chemical Society. – 1993. – V. 115 (19). – Р. 8706–8715.
7. B r u s t , M . Sythesis of thiol-derivated gold nanoparticles in a 2 phase liquid-liquid
system / M. Brust, M. Walker, D. Bethell et al. // Journal of the chemical society and
Chemical communications. – 1994. – V. 7. – Р. 801–802.
8. O h a r a , P . C . Crystallization of opals from polysdisperese nanoparticles / P. C. Ohara, D. V. Leff, J. R. Heath, W. M. Gelbart // Physical Review Letters. – 1995. – V. 75,
№ 19. – Р. 3466–3469
9. F r e e m a n , R . G . Self assembled metal colloid monolayers; an approach to SERS
substrate / R. G. Freeman, K. C. Garabar, K. J. Allison et al. // Science. – 1995. – V. 267
(5204). – Р. 1629–1632
10. M u r r a y , C . B. Self-organization of CdSe nanocrystallites into 3-dimensional quantumdot superlattices / C. B. Murray, C. R. Kagan, M. G. Bawendi // Science. – 1995. –
V. 270 (5240). – Р. 1335–1338.
11. K a g a n , C . R . Long-range resonance transfer of electronic excitations in closepacked CdSe quantum-dot solids / C. R. Kagan, C. B. Murray, M. G. Bawendi // Physical Review. – 1996. – V. B 54 (12). – Р. 8633–8643
12. M a e n o s o n o , S . Optical memory media based on excitation-time dependent luminescence from a thin film of semiconductor nanocrystals / S. Maenosono, C. D. Dushkin,
S. Saita, Y. Yamaguchi // Japanese Jounal of Applied Physics. – 2000. – V. 39. –
Р. 4006–4012
13. C o l l i e r , C . P . Reversible tuning of silver quantum dot monolayers through the metal-insulator transition / C. P. Collier, R. J. Saykally, J. J. Shiang, S. E. Henrichs,
J. R. Heath // Science. – 1997. – V. 277 (5334). – Р. 1978–1981.
14. M a r k o v i c h , G . Reversible metal-insulator transition in ordered metal nanocrystal
monolayers observed by impedance spectroscopy / G. Markovich, C. P. Collier,
J. R. Heath // Physical Review Letters. – 1998. – V. 80 (17). – Р. 3807–3810.
15. P i l e n i , M . P . Nanocrystal self-assemblies / M. P. Pileni // Fabrication and collective
properties Joural of physical chemistry. – 2001. – V. B 105 (17). – Р. 3358–3371.
16. H o s h i n o , A . Applications of T-lymphoma labeled with fluorescent quantum dots to
cell tracing markers in mouse body / A. Hoshino, K. Hanaki, K. Suzuki and K. Yamamoto // B.B.R.C. – 2004. – V. 314. – Р. 46–53.
17. S h io h a r a , A . On the cyto-toxicity caused by quantum dots / A. Shiohara,
A. Hoshino, K. Hanaoki, K. Suzuki and K. Yamamoto // Microbiol. Immunol. – 2004. –
V. 48. – Р. 669–675.
18. H o s h i n o , A . Physicochemical propaties and cellular toxicity of nanocrystal quantum
dots depend on their surface modification / A. Hoshino, K. Fujioka, T. Oku et al. //
Nano Letters. – 2004. – № 4 (11). – P. 2163–2169.
19. A t u s i K u r i t a . Observation of optical memory effect due to interference of multiply
scattered light by using a focused beam / Atusi Kurita, Yasuo Kanematsu, Takashi Kushida // Journal of Luminescence. – 2002. – V. 98, № 1. – P. 325–329.
20. C a l d e i r a , A . O . Influence of dissipation on quantum tunneling in macroscopic systems I / A. O. Caldeira, A. J. Leggett // Phys. Rev. Lett. – 1981. – V. 46, № 4. – P. 211–
214.
Physics and mathematics sciences. Physics
177
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
21. Л а р к и н , А . И . Квантовое туннелирование с диссипацией / А. И. Ларкин,
Ю. Н. Овчинников // Письма в ЖЭТФ. – 1983. – Т. 37, № 7. – С. 322–325.
22. И в л е в , Б. И . Распад метастабильных состояний при наличии близких подбарьерных траекторий / Б. И. Ивлев, Ю. Н. Овчинников // Журнал экспериментальной и теоретической физики. – 1987. – Т. 93, № 2(8). – С. 668–679.
23. К а г а н , Ю . О туннелировании с «диссипацией» / Ю. Каган, Н. В. Прокофьев //
Письма в ЖЭТФ. – 1986. – Т. 43, № 9. – С. 434–437.
24. B e n d e r k i i , V . A . Effect of molecular motion on low-temperature and other anomalously fast chemical reactions in the solid phase / V. A. Benderkii, V. I. Goldanskii,
A. A. Ovchinnikov // Chem. Phys. Lett. – 1980. – V. 73, № 3. – P. 492–495.
25. Competing tunneling trajectories in a 2D potential with variable topology as a model
for quantum bifurcations / V. A. Benderskii, E. V. Vetoshkin, E. I. Kats,
H. P. Trommsdorff // Phys. Rev. E. – 2003. – V. 67. – P. 026102.
26. K i s e l e v , M . N . Resonance Kondo tunneling through a double quantum dot at finite
bias / M. N. Kiselev, K. Kikoin, L. W. Molenkamp // Phys. Rev. B. – 2003. – V. 68. –
P. 155323.
References
1. G a p o n e n k o , S . V . Optika nanostruktur / S. V. Gaponenko, N. N. Rozanov,
Ye. L. Ivchenko i dr. ; pod red. A. V. Fedorova. – SPb. : Nedra, 2005. – 325 s.
2. M ik o v , S . N . Spektry dvukhfotonno-vozbuzhdayemoy lyuminestsentsii /
S. N. Mikov // Fizika tverdogo tela. – 1999. – T. 41, № 6. – S. 1110–1112.
3. A k i m o v , D . A . Schityvaniye informatsii s pomoshch'yu odnofotonnoy i dvukhfotonnoy lyuminestsentsii v ustroystvakh trekhmernoy opticheskoy pamyati na osnove
fotokhromnykh materialov / D. A. Akimov, A. M. Zheltikov, N. I. Koroteyev i dr. //
Kvantovaya elektronika . – 1998. – T. 25, № 6. – S. 563–570.
4. B e r e d i k h i n , V . I . Dvukhfotonnoye pogloshcheniye i spektroskopiya / V. I. Beredikhin, M. D. Galanin, V. N. Genkin // Uspekhi fizicheskikh nauk. – 1973. – T. 110,
№ 1. – S. 1–43.
5. O le y n ik o v a , V . A . Fluorestsentnyye poluprovodnikovyye nanokristally v biologii i
meditsine / V. A. Oleynikova, A. V. Sukhanova, I. R. Nabiyev // Ros-siyskiye nanotekhnologii. – 2007. – № 1–2. – C. 160–172.
6. M u r r a y , C . B. Synthesis and characterization of nearly mono disperse CDE (E = S,
SE, TE) semicnductor nanocrystallites / C. B. Murray, D. J. Norris, M. G. Bowendi //
Journal of the American Chemical Society. – 1993. – V. 115 (19). – R. 8706–8715.
7. B r u s t , M . Sythesis of thiol-derivated gold nanoparticles in a 2 phase liquid-liquid
system / M. Brust, M. Walker, D. Bethell et al. // Journal of the chemical society and
Chemical communications. – 1994. – V. 7. – R. 801–802.
8. O h a r a , P . C . Crystallization of opals from polysdisperese nanoparticles / P. C. Ohara, D. V. Leff, J. R. Heath, W. M. Gelbart // Physical Review Letters. – 1995. – V. 75,
№ 19. – R. 3466–3469
9. F r e e m a n , R . G . Self assembled metal colloid monolayers; an approach to SERS
substrate / R. G. Freeman, K. C. Garabar, K. J. Allison et al. // Science. – 1995. –
V. 267 (5204). – R. 1629–1632
10. M u r r a y , C . B. Self-organization of CdSe nanocrystallites into 3-dimensional quantumdot superlattices / C. B. Murray, C. R. Kagan, M. G. Bawendi // Science. – 1995. –
V. 270 (5240). – R. 1335–1338.
11. K a g a n , C . R . Long-range resonance transfer of electronic excitations in closepacked CdSe quantum-dot solids / C. R. Kagan, C. B. Murray, M. G. Bawendi // Physical Re-view. – 1996. – V. B 54 (12). – R. 8633–8643
12. M a e n o s o n o , S . Optical memory media based on excitation-time dependent luminescence from a thin film of semiconductor nanocrystals / S. Maenosono, C. D. Dushkin,
178
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
S. Saita, Y. Yamaguchi // Japanese Jounal of Applied Physics. – 2000. – V. 39. –
R. 4006–4012
13. C o l l i e r , C . P . Reversible tuning of silver quantum dot monolayers through the metal-insulator transition / C. P. Collier, R. J. Saykally, J. J. Shiang, S. E. Henrichs,
J. R. Heath // Science. – 1997. – V. 277 (5334). – R. 1978–1981.
14. M a r k o v i c h , G . Reversible metal-insulator transition in ordered metal nanocrystal
monolayers observed by impedance spectroscopy / G. Markovich, C. P. Collier,
J. R. Heath // Physical Review Letters. – 1998. – V. 80 (17). – R. 3807–3810.
15. P i l e n i , M . P . Nanocrystal self-assemblies / M. P. Pileni // Fabrication and collective
properties Joural of physical chemistry. – 2001. – V. B 105 (17). – R. 3358–3371.
16. H o s h i n o , A . Applications of T-lymphoma labeled with fluorescent quantum dots to
cell tracing markers in mouse body / A. Hoshino, K. Hanaki, K. Suzuki and K. Yamamoto // B.B.R.C. – 2004. – V. 314. – R. 46–53.
17. S h io h a r a , A . On the cyto-toxicity caused by quantum dots / A. Shiohara,
A. Hoshino, K. Hanaoki, K. Suzuki and K. Yamamoto // Microbiol. Immunol. – 2004. –
V. 48. – R. 669–675.
18. H o s h i n o , A . Physicochemical propaties and cellular toxicity of nanocrystal quantum
dots depend on their surface modification / A. Hoshino, K. Fujioka, T. Oku et al. //
Nano Letters. – 2004. – № 4 (11). – P. 2163–2169.
19. A t u s i K u r i t a . Observation of optical memory effect due to interference of multiply
scattered light by using a focused beam / Atusi Kurita, Yasuo Kanematsu, Takashi Kushida // Journal of Luminescence. – 2002. – V. 98, № 1. – P. 325–329.
20. C a l d e i r a , A . O . Influence of dissipation on quantum tunneling in macroscopic systems I / A. O. Caldeira, A. J. Leggett // Phys. Rev. Lett. – 1981. – V. 46, № 4. – P. 211–
214.
21. L a r k i n , A . I . Kvantovoye tunnelirovaniye s dissipatsiyey / A. I. Larkin,
YU. N. Ovchinnikov // Pis'ma v ZHETF. – 1983. – T. 37, № 7. – S. 322–325.
22. I v l e v , B . I . Raspad metastabil'nykh sostoyaniy pri nalichii blizkikh podba-r'yernykh
trayektoriy / B. I. Ivlev, YU. N. Ovchinnikov // Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki. – 1987. – T. 93, № 2(8). – S. 668–679.
23. K a g a n , Y U . O tunnelirovanii s «dissipatsiyey» / YU. Kagan, N. V. Prokof'yev //
Pis'ma v ZHETF. – 1986. – T. 43, № 9. – S. 434–437.
24. B e n d e r k i i , V . A . Effect of molecular motion on low-temperature and other anomalously fast chemical reactions in the solid phase / V. A. Benderkii, V. I. Goldanskii,
A. A. Ovchinnikov // Chem. Phys. Lett. – 1980. – V. 73, № 3. – P. 492–495.
25. Competing tunneling trajectories in a 2D potential with variable topology as a model
for quantum bifurcations / V. A. Benderskii, E. V. Vetoshkin, E. I. Kats,
H. P. Trommsdorff // Phys. Rev. E. – 2003. – V. 67. – P. 026102.
26. K i s e l e v , M . N . Resonance Kondo tunneling through a double quantum dot at finite
bias / M. N. Kiselev, K. Kikoin, L. W. Molenkamp // Phys. Rev. B. – 2003. – V. 68. –
P. 155323.
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, декан физикоматематического факультета,
Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Krevchik Vladimir Dmitrievich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, dean of the faculty of
physics and mathematics, Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Physics and mathematics sciences. Physics
179
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Семенов Михаил Борисович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
физики, Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Semenov Mikhail Borisovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of physics, Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Зайцев Роман Владимирович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра физики, Пензенский
государственный университет
(г. Пенза, ул. Красная, 40)
Zaytsev Roman Vladimirovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, sub-department
of physics, Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Кенджи Ямамото
профессор, директор исследовательского
института при Международном
медицинском центре (Токио, Япония)
Kenji Yamamoto
Professor, Director of Research Institute
at the International Medical Center
(Tokyo, Japan)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Арынгазин Аскар Канапьевич
доктор физико-математических наук,
директор Института фундаментальных
исследований, Евразийский
национальный университет имени
Л. Н. Гумилева (Казахстан, Астана,
ул. Мирзояна 2); профессор института
фундаментальных исследований
(Флорида, США)
Aryngazin Askar Kanapyevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, director of the Institute
of Fundamental Research, Eurasian
National University named after
L. N. Gumilyov (Kazakhstan, Astana, 2
Mirzoyana str.);
professor, Institute of fundamental
research (Florida, USA)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Кревчик Павел Владимирович
студент, Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Krevchik Pavel Vladimirovich
Student, Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: physics@pnzgu.ru
УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322
Диссипативное туннелирование и оптика низкоразмерных структур /
В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов, Р. В. Зайцев, К. Ямамото, А. К. Арынгазин,
П. В. Кревчик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2013. – № 1 (25). – С. 159–180.
180
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
УДК 517.977.1
Е. А. Лизина, В. Н. Щенников, Е. В. Щенникова
СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ
С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Аннотация. Рассматривается управляемая динамическая система, заданная
в виде линейной системы дифференциальных уравнений с периодической
матрицей коэффициентов. Доказывается существование кусочно-постоянного
стабилизирующего управления по всем фазовым переменным. Доказательство
в существенной части опирается на критерий асимптотической устойчивости
линейных систем дифференциальных уравнений с периодической матрицей.
При этом используются приближенно построенные матрицы монодромии и их
мультипликаторы.
Ключевые слова: непрерывно-дискретные системы, кусочно-постоянное
управление, периодические коэффициенты.
E. A. Lizina, V. N. Shchennikov, E. V. Shchennikova
STABILIZATION OF CONTINUOUS-DISCRETE SYSTEM
WITH PERIODIC MATRIX OF COEFFICIENTS
Abstract. The article considers a controlled dynamical system given as a linear system of differential equations with periodic coefficient matrix. The authors prove the
existence of piecewise continuous stabilizing control over all phase variables. The
proof is substantially based on the criterion of asymptotic stability of linear differential equations with a periodic matrix. At their research the authors use the approximate construction of the monodromy matrix and its multiples.
Key words: continuous-discrete systems, piecewise constant control, periodic coefficients.
1. Постановка задачи
В настоящее время большое внимание уделяется моделям так называемых неперывно-дискретных систем, содержащих дискретные и непрерывные
компоненты [1–3]. Такие системы встречаются всюду, где дискретные регулирующие устройства (компьютеры, микропроцессоры и просто пороговые
устройства) сочетаются с непрерывными по своей природе объектами управления. Здесь под непрерывно-дискретными системами понимаются системы
дифференциальных уравнений, в которых управление является кусочнопостоянным.
Рассмотрим систему уравнений с дискретно-непрерывным временем:
x  A  t  x  B  t  u  ph  ,
(1)
где x  R n , u  R , A  t  , B  t  – непрерывные  -периодические матрицы
размерности соответственно n  n и n  1 ; u  u  ph  – кусочно-постоянное
управление, зависящее от дискретных моментов времени; x  0   x0 – начальное условие, под нормой вектора понимается евклидова норма, согласованная
с нормой матрицы.
Physics and mathematics sciences. Physics
181
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Измерения вектора состояния системы (1) производятся в равноотстоящих точках t  ph , где h – шаг квантования, p  0,1, 2, ... На основе этих
измерений и формируется управление u  u  ph  . При этом возникает задача
нахождения кусочно-постоянного управления, стабилизирующего систему (1).
Для решения поставленной задачи предлагается перейти от исходной
системы (1) к вспомогательной дискретно-непрерывной системе с кусочно
постоянными матрицами коэффициентов, для которой строится приближенная матрица монодромии и стабилизирующее управление. Доказывается, что
данное управление может быть принято за сколь угодно точное стабилизирующее управление исходной системы.
2. Стабилизация управляемой непрерыно-дискретной
динамической системы с периодической матрицей
Разобьем отрезок [0, ] на m равных частей точками tk k 0,m так, чтобы t0  0, tm   .
Случай 1. Для определенности сначала рассмотрим случай, когда точки разбиения u  u  ph  tk
системы (1)
 k  0, m  1 совпадают с моментами квантования
 ph p 0,1,...,m . Обозначим через
hk величину k-го шага разбие-
ния, т.е. hk  tk 1  tk , k  0, m  1 . По предположению hk  h.
В системе (1) на каждом промежутке tk  t  tk 1 заменим матрицы
A  t  и B  t  постоянными матрицами, построенными по следующему
правилу:
Ak 
1
tk 1
 A  t  dt ,
hk t
k
Bk 
1
tk 1
 B  t  dt ,
hk t
k
k  0, m  1.
(2)
Тогда на отрезке [0, ] матрицу A  t  заменит кусочно-постоянная матрица A  t  , т.е.
A  t    A1 ,..., Am  ,
где
min
ttk ,tk 1 
A  t   Ak 
max
ttk ,tk 1 
(3)
A  t  , t  tk , tk 1  , k  0, m  1.
Аналогично в рассмотрение вводится кусочно-постоянная матрица
B  t  , т.е.

B  t   B1 ,...., Bm  ,
где
182
min
ttk ,tk 1 
B  t   Bk 
max
ttk ,tk 1 
(4)
B  t  , t  tk , tk 1  , k  0, m  1.
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
Введем обозначение x  t  – непрерывный вектор, удовлетворяющий
в точках непрерывности матриц A  t  и B  t  системе дифференциальных
уравнений с кусочно-постоянной матрицей
x  A  t  x  B  t  u  ph  , t   0, .
(5)
Рассмотрим данную систему на промежутке t  tk , tk 1  , где (5) будет
представлять собой непрерывно-дискретную систему с постоянными коэффициентами вида
x  Ak x  Bk uk  ph  , t  tk , tk 1  , k  0, m  1.
(6)
Для системы (6) выберем кусочно-постоянное управление uk  ph 
uk  CkT x  ph  , t  tk , tk 1  , k  0, m  1 ,
где Ck
tk , tk 1 
 k  0, m  1
(7)
– n -мерный вектор такой, что для каждого промежутка


выполняется условие Re  j Ak  Bk CkT  0 . Как известно, данное
условие выполнимо тогда и только тогда, когда матрицы управляемости

Калмана Bk , Ak Bk , ..., Akn 1Bk
 имеют ранг n [4, с. 51]. Отметим, что условие
управляемости выполнено при t  tk , tk 1  , k  0, m  1 . Далее будем считать,
что такие коэффициенты уже найдены.
В качестве управления для системы (5) выбирается векторная функция
вида
u  C T  t  x  ph  ,
(8)
где C T  t  – n-мерный вектор-строка, определяемый следующим образом:
C   t   C1 ,... , Cm  , где C   t   Ck при t  tk , tk 1  ,

(9)

Re  j Ak  Bk CkT  0, j  1, k , k  n.
Подставив управление (8) в систему (5), получим
x  A  t  x  B  t  C T  t  x  ph  ,
или




x  A  t   B  t  C   t  x  B  t  C T  t  x  ph   x , t   0, . (10)
Введем
следующие
обозначения:
A  t   B  t  C T  t   M   t 
и
B  t  C T  t   N   t  . Тогда
Physics and mathematics sciences. Physics
183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


M   t   M1 ,..., M m ,где M   t   M k  Ak  Bk CkT при t  tk , tk 1  , k  0, m ,
N   t    N1 ,..., N m  , где N   N k  Bk CkT при t  tk , tk 1  , k  0, m .
С учетом этих обозначений система (10) примет вид


x  M   t  x  N   t  x  ph   x , t   0, .
(11)
При этом отметим, что для системы
x  M   t  x
(12)
в силу выбора непрерывного управления выполняется условие асимптотической устойчивости решения, т.е. мультипликаторы матрицы монодромии
данной системы по модулю меньше единицы [5].
Для промежутка времени tk , tk 1  системы (11) будет справедливо
следующее неравенство [6, с. 100]:
x  x  ph    k h x  ph  , t  tk , tk 1  , k  0, m  1,
где  k
 k  0, m  1
(13)
– вещественные числа, не зависящие от h. Здесь и далее
используется евклидова норма. Используя данную оценку в неравенстве (11),
получим

x  M   t  x  N   t  h x  ph  , t  tk , tk 1 , k  0, m  1,

где    k при t  tk , tk 1  и система сравнения для которого имеет вид

y   M   t  y  N   t  h x  ph  , y  ph   x  ph  , t  tk , tk 1 , k  0, m  1.

Запишем ее фундаментальную матрицу решений на промежутках
t
,
t
 k k 1  и t  tk 1, tk 2  соответственно. В результате получим
Yk
t t M
 e k  k Dk   k hDk X   ph 
t
e
 tk  M k N
k
   d ,
tk
Yk1  e
t


t tk 1  M k 1
e
Dk 1   k 1hDk 1 X    p  1 h  
tk 1  M k
N k 1    d   k  0,1,..., m  1 .
tk 1
Здесь Dk и Dk 1 есть произвольные матрицы, tk  ph , tk 1   p  1 h .
Используя непрерывность решения Y   t  в точке t  tk 1  ( p  1)h согласно
[7] будем иметь
184
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
Dk (e
hM k
 k h X

t
 ph 
e
  ph M k N
k
   d ) 
ph
t
 Dk 1 ( E   k 1h X    p  1 h 
e

 p 1h  M k
N k 1    d ).
( p 1) h
Оценив по норме в данном равенстве, получим
Dk (e
h Mk
 k h X

t
 ph 
e
  ph  M k
 N k    d ) 
ph
 Dk 1 (1   k 1h x   p  1 h 
t

e
 p 1h
  p 1h  M k  N    d ),
k 1
или
t


h Mk
  ph  M k


  k h X  ph  e
 N k   d  
Dk 1  Dk  e


ph





t
 p 1h  M k 1



 1   k 1h X   p 1 h 
e
N k 1    d  


 p 1h



1
.
(14)
При k  0 и t  t0  0 получаем
X  0   E  D0 .
Из формулы (14) последовательно получили оценки норм матриц
D1 , ..., Dm1 :
e
h M0
 0 h X

D1 
1  1h X

h
 0
t
t
e
 M0
 N0    d 
0
e
 h  M1
,
N1    d 
h
e
h M0
 0 h X   0 
t
e
 M0
 N0   d 
0
D2 
1  1h X   h 
t
e
 h  M1

N1    d 
h
Physics and mathematics sciences. Physics
185
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
e
t
h M1
 1h X   h  e


N1    d 
h
t
1   2 h X   2h 
 h  M1
e
 2h  M k
,
N2   d 
2h
...
e
h M0
 0h X   0 
t
e
 M0
 N0   d 
0
Dm 1 
t
1  1h X   h 
e
  h  M1
 ... 
(15)
N1    d 
h
e
 m 2 h M m  2
  m2 h X

 m  2 h 

1   m 1h X

t

 m  2 h
t
  m  1 h  
e
 m1h
  m2 h  M m  2 N
m2    d 
  m1h  M m 1 N    d 
e
m 1
,
Слагаемые, содержащие интегралы, обозначим в равенствах (15) следующим образом:
0 h X

 0
t
e
 M0
 N 0    d   v0  0  t  h,
0
t
1h X  h  e

 h  M1
 N1    d   v11  t  h,
h
...
 m1h X   (m  1)h 
t

e
 m1h
  m1h  M m 1  N    d   v   t  h.
m 1
m 1 m 1
Тогда из (15) будем иметь
D1 
D2 
e
e
h M0
 v0  0  t  h
1  v11  t  h
h M0
,
hM
 v0  0  t  h e 1  v11  t  h

,
1  v11  t  h
1  v2  2  t  h
...
186
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Dm 1 
Физико-математические науки. Физика
e
h M0
 v0  0  t  h
1  v11  t  h
 ... 
e
 m  2 h M m  2
 vm  2  m 2  t  h
1  vm 1 m 1  t  h
,
где  0  t  , ...,  m 2  t  – вещественные функции. Таким образом, при достаточно малом h и t  tm  0    0 фундаментальную систему решений системы (11) можно оценить следующим образом:
 t t  M
hM
hM
e k k e k 1  ...  e 0
X t  

1  v11  t    ...  1  vm1 m1  t  

  t  h  v0  ...  vm 1 0  ...   m1  h m 1 , tk  t  tk 1 ,
где   t  − вещественная функция. На последнем промежутке [tm 1 , tm  ]
данная оценка примет вид
 t ( m1) h  M m 1
hM
hM
e m  2  ...  e 0
X t  

1  v11  t    ...  1  vm1 m1  t  

e
  t  h  v0  ...  vm1   0  ...   m1  h m 1 ,
Таким образом, получим при t  tm  0    0
X    
hM
hM
hM
e k e k 1  ...  e 0

1  v11  t    ...  1  vm1 m1  t  
  t  h  v0  ...  vm1   0  ...   m 1  h m1.
(16)
Итак, найдена оценка нормы фундаментальной матрицы решений системы (11) при совпадении точек разбиения tk
 k  0, m  1
с моментами
квантования системы (1). Далее рассмотрим случаи, когда разбиение периода
0, системы (1) точками tk ( k  1, m  1 ) не совпадает с моментами квантования данной системы.
Случай 2. Пусть период  0, разбивается точками tk ( k  0, m  1,
t0  0, tm   ) таким образом, что промежуток разбиения tk , tk 1  содержит
несколько моментов квантования ph. Для определенности положим, что на
рассматриваемом промежутке tk , tk 1  проводится n измерений, p  1, n .
При этом первый и n-й моменты квантования совпадают с точками tk и tk 1
соответственно, т.е. tk  h , tk 1  nh .
Используя преобразования (2)−(4) и управление, построенное по правилам (8)−(9) перейдем к системе вида (11). В отличие от рассматриваемого
выше случая, на промежутке tk , tk 1  будет выполняться (n  1) неравенство
Physics and mathematics sciences. Physics
187
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 ph,( p  1)h   tk , tk 1  .
вида (13) для каждого отрезка
Следовательно, на
промежутке tk , tk 1  имеет место система неравенств
x  M k  t  x  N k  t  1h x  ph  , t   ph,( p  1)h  ,
x  M k  t  x  N k  t   2 h x  ( p  1)h  , t   ( p  1)h,( p  2)h  ,
...
x  M k  t  x  N k  t   n h x  (n  1)h  , t   (n  1)h, nh  .
Система сравнения для данной системы имеет вид
y   M k  t  y  N k  t   k h x  ph  , t   ph,( p  1) h  , p  1, n  1,
фундаментальная матрица решений которой запишем следующим образом:
Yk  e
t h M k
Dk   k hDk
t

i  h,2 h,...,nh
X   i  e

i  M k
N k    d , t  tk , tk 1  ,
i
а при t  tk 1 , tk  2  :
Yk1  e
t  h  M k 1


X
j  nh,( n 1) h,...,2 nh

Dk 1   k 1hDk 1 
t
 j   e  j M k 1 N k 1    d .
j
Так как решение системы непрерывно в точках tk 1  nh, то имеет место следующее соотношение:
e
t h  M k
 k h
Dk 1  Dk
1   k 1h

t
i  h,2 h,...,nh

i  nh,( n 1) h,...,2 nh
X  i  e

t
X  i  e

 i  M k
Nk   d 
i
 i  M k 1
.
N k 1    d 
i
Используя предыдущие рассуждения и обозначив
k h

j  h,2 h,...,nh
X

t
 j   e
j
 j  M k


N k    d    k  t  h i  1, n ,
получим оценку матрицы монодромии в виде неравенства (16)
Случай 3. Рассмотрим последовательность точек разбиения
tk , tk 1 , tk  2 , где tk  ph , tk  2   p  1 h , а tk 1 не совпадает ни с одним моментом квантования.
188
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
Тогда на промежутках tk , tk 1  и tk 1 , tk  2  система (6) примет вид
соответственно

x  Ak x  Bk uk  ph  , t  t k , tk 1 , x0  x  tk   x  ph  ,


x  Ak 1 x  Bk 1uk 1  ph  , t  t k 1 , tk  2 , x0  x  tk 1  .

Управление для данных промежутков выбирается в соответствии с (7)

uk  СkT x  ph  , t  t k , tk 1 ,


uk 1  СkT1 x  ph  , t  t k 1 , tk  2 ,

где Сk  n -мерный вектор, таким образом, чтобы выполнялись условия:



Re  j Ak  Bk CkT  0 при t  t k , tk 1 ,




Re  j Ak 1  Bk 1CkT1  0 при t  t k 1 , tk  2 .

Подставив выбранные управления в системы, получим





x   Ak 1  Bk 1CkT1  x  Bk 1CkT1  x  ph   x  , t  t k 1 , tk  2  .

x  Ak  Bk CkT x  Bk CkT x  ph   x , t  t k , tk 1 ,

Заменив невязку x  ph   x оценкой (13), которая выполняется на

промежутке t k , tk  2 , и обозначив Ak  Bk CkT  M k , Bk CkT  N k , получим

систему неравенств

xk  M k x  N k  k h x  ph  , t  t k , tk 1 ,

xk1  M k 1x  N k 1 k h x  ph  , t  t k 1 , tk  2


и соответствующую систему сравнения

y k  M k y  N k  k h x  ph  , t  t k , tk 1 ,


y k1  M k 1 y  N k 1 k h x  ph  , t  t k  2 , tk  2 .

Фундаментальная матрица решений данной системы на промежутках
t k , tk 1 и t k 1 , tk  2 соответственно запишется следующим образом:




Yk
t t M
 e k  k Dk   k hDk X   ph 
t
e
 tk  M k N
k
   d ,
tk
Physics and mathematics sciences. Physics
189
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Yk1
t t
M
 e k 1  k 1 D
k 1   k hDk 1
X

t
 ph 

e
tk 1  M k
N k 1    d .
tk 1
Отсюда при переходе к нормам и t  tk 1 будем иметь
e
 t t k  M k
 k h X

t
 ph 
e
 tk  M k
Nk   d 
tk
Dk 1  Dk 
t
1   k h X   ph 

e
 tk 1  M k 1
.
N k 1    d 
tk 1
Следовательно, для данного случая также выполняется оценка (16).
Итак, независимо от способа разбиения периода, матрица монодромии
линейной непрерывно-дискретной системы с кусочно-постоянными коэффициентами (10) оценивается через матрицу монодромии системы (11). Следовательно, вывод относительно устойчивости или неустойчивости данной системы можно сделать, оценив мультипликаторы фундаментальной матрицы
решений системы (12).
Далее проведем обоснование того, что кусочно-постоянные коэффициенты управления системы (10) C   t  , построенные по правилу (6), решают
задачу
стабилизации
u  ph   С
T
 t  x  ph  ,
для
уравнения
(1).
Для
этого
примем,
что
где C  t  – некоторый непрерывный периодический
вектор, и запишем уравнение (1) в виде
x  A  t  x  B  t  C T  t  x  ph  , t   0,  ,
или


x  A  t   B  t  C T  t  x  B  t  C T  t   x  ph   x  , t   0, .
(17)
Введем обозначения A  t   B  t  C T  t   M  t  , B  t  C T  t   N  t  . Тогда (17) примет вид
x  M  t  x  N  t   x  ph   x  , t   0, .
(18)
Докажем следующую теорему.
Теорема. Пусть для системы (5) построено стабилизирующее управление (8) с кусочно-постоянными коэффициентами C   t  , вычисляемыми по
правилам (9). Тогда, если для любого существует такое разбиение отрезка
0, , что коэффициенты управления u  С T  t  x  ph  системы (1) удовлетворяют условию
T
СT  t   C 
190
t 


,
3L
(19)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
то верно
x  t   x  t   e 2R 1 ,
где x  t  – решение системы (1); x  t  – решение системы (5); L – верхняя
граница нормы матрицы B  t  ; R – верхняя граница нормы матрицы M  t  ;
 − вещественное число.
Доказательство. Зададим число   0 . В доказательстве будем рассматривать системы (1) и (5) соответственно в виде (18) и (11). Так как коэффициенты управления C   t  кусочно-постоянные на промежутках, очевидно,
что существует такое разбиение отрезка  0, на части точками tk так, что
max hk  tk 1  tk   , и при этом будет выполняться неравенство
k
C  S.
(20)
Далее оценим нормы матриц C   t  и M  t  . Так как матрицы A  t  и
B  t  непрерывны и  -периодические, то они ограничены, т.е. существуют
числа K  0 и L  0 такие, что A  t   K , B  t   L . Тогда
Ak 
tk 1
1
 A  t  dt

h t
k

tk 1
1

1
 A  t  dt  h hK  K .
h t
k
B t   L ,
Аналогично, из того что
C   t   S , следует
Bk  L ,
  0 Ck  S . Следовательно,
M k  Ak  Bk CkT  K  LS  R

для всех промежутков в t k , tk 1 , а значит, M   R .

Учитывая (19) и (20), оценим норму
C  t  . Запишем неравенство
C  t   C   t   C  t   C   t  . Откуда получаем
C t   C t   C t   C t   S 

 P.
3L
x  t   x  t  . Решения x  t  и x  t  при
Далее оценим норму
0  t   , можно записать:

t
x t   E  M

0


 t1  x  t1  dt1 

i 0,h,2 h,...,
Physics and mathematics sciences. Physics
t
c1h x  i  N   t1  dt1 ,

i
191
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
t
t
x  t   E  M  t1  x  t1  dt1  N  t1 x  t1  dt1 


0
0
t

i 0,h,2 h,...,
x  i  N  t1  dt1 ,

i
откуда
t
x  t   x  t   [ M   t1  x  t1   ( M  t1   N  t1 ) x  t1 ]dt1 

0


i 0,h,2 h,...,
[c1h x  i 
t

t
N   t1  dt1 x  i  N  t1  dt1 ].

i
0
Переходя к норме при 0  t   , получим

x t   x t  
t
M

 t1  x  t1   M  t1   N  t1 
 x  t1  dt1 
0
t
 M  t1   N  t1   x  t1   x  t1  dt1 

0


i 0,h,2 h,...,
c1h  1  x  i 
t

 N  t1   N  t1  dt1.
(21)
0
Из неравенства (16) при t   0,  находим
x  t   e
h Mk
e
h M k 1
 ...  e
h M0
 e
h  h .. h  R
 e R .
Так как A  t  и B  t  непрерывны на отрезке  0, , то для любого   0
существует   0 (       ) такое, что
A  t    A  t   
при t , t    0,  и


, B  t    B  t   
,
3
3P
t   t    . Разобьем отрезок
0,
(k  0,1,..., m  1) . Тогда для всех t   0,  будем иметь
так, что hk  


A  t   A  t   , B  t   B  t  
,
3
3P
а следовательно,
M  t   M t   N t  
 A  t   B  t  C T  t   A  t   B  t  C T  t   B  t  C T  t  
192
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
 A  t   A  t   B  t  C T  t  

 LS ,
3
M  t   N  t   A  t   B  t  CT  t   B  t  CT  t   A  t   K ,
N   t   N  t   B  t  C T  t   B  t  C T  t  
 B  t   C T  t   C T  t   C T  t   B  t   B  t   L

 2
P
 .
3L
3P 3
Таким образом, из формулы (21) получаем
t
t


x  t   x  t     Ls  x  t1  dt1  K x  t1   x  t1  dt1 
3

0
0


i 0,h,2 h,...,

t
c1h  1  x  i 

i
t
2


dt1    LS eR  K x  t1   x  t1  dt1 
3
3



0
t

 c1h  1 KeR     LS  c1h  1 K  eR  K x  t1   x  t1  dt1 .
3P

0
Применяя лемму Гронуолла – Беллмана [6], получим
x  t   x  t      LS  c1h  1 K  eR t  eR t
и, следовательно,
 R 1
x    x    e   .
(22)
Так как число   0 можно взять произвольно малым, то из неравенства
(22) будем иметь
lim x  t   x  t   0.
h 0
Причем стремление к нулю является монотонным. Теорема доказана.
Рассмотрим характеристические уравнения


det  x    E   0 и det x     E  0 ,
пусть  j , j  h 
 j  1, n 
– соответственно корни этих уравнений. Так как
корни j  h  являются непрерывными функциями величины h , то в силу
соотношения (22) имеем
lim j  h    j ,
h 0
Physics and mathematics sciences. Physics
 j  1, n  .
193
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Таким образом, выбрав h достаточно малым, можно определить мультипликаторы  j с любой степенью точности. Отметим, что решение непрерывной системы (17) асимптотически устойчиво по Ляпунову, а значит, при
всех h  h0 решение системы (5) также асимптотически устойчиво. В этом
 j  1, n  системы (5)
lim j  h    j ,  j  1, n  , т.е.
h 0
случае абсолютное значение мультипликаторов j  h 
меньше единицы. По доказанной теореме
мультипликаторы исходной непрерывно-дискретной периодической системы
(1) также меньше единицы, что означает ее асимпточескую устойчивость.
Итак, в работе доказывается существование стабилизирующего управления дискретно-непрерывной линейной с периодическими матрицами коэффициентов. Для этого рассматриваемые системы переводятся в системы с кусочно-постоянными коэффициентами, для которых строится стабилизирующее управление. При выполнении приведенных выше условий данное управление будет стабилизировать также и исходную систему.
Таким образом, в работе приведены условия для нахождения кусочнопостоянного управления применительно к непрерывно-дискретным линейным и линейным многосвязным управляемым системам с периодическими
матрицами коэффициентов.
Список литературы
1. D e C a r l o , R . Perspectives and results on the stability and stabilisability of hybrid systems / R. DeCarlo, M. Branicky, S. Pettersson, B. Lennartson // Proc. IEEE. – 2000. –
V. 88. – Р. 1069–1082.
2. S h o r t e n , R . Stability criteria for switched and hybrid systems / R. Shorten, F. Wirth,
O. Mason, K. Wulf et al. // SIAM Rev. – 2007. – V. 49, № 4. – P. 545–592
3. H a i L i n . Stability and stabilizability of switched linear systems: a survey of recent results / Hai Lin, P. J. Antsaklis // IEEE Trans. Automat. Control. – 2009. – V. 54, № 2. –
P. 308–322.
4. В о р о н о в , А . А . Введение в динамику сложных управляемых систем /
А. А. Воронов. – М. : Наука, 1985. – 352 с.
5. Б л и н о в , И . Н . Линейные дифференциальные системы с кусочно-постоянными
периодическими коэффициентами / И. Н. Блинов // Автоматика и телемеханика,
1965. – Т. XXVI, №1. – С. 180–183.
6. З у б о в , В. И . Лекции по теории управления / В. И. Зубов. – М. : Наука, 1975. –
496 с.
7. Д е м и д о в и ч , Б. П . Лекции по математической теории устойчивости /
Б. П. Демидович. – М. : Наука, 1967. – 472 с.
References
1. D e C a r l o , R . Perspectives and results on the stability and stabilisability of hybrid systems / R. DeCarlo, M. Branicky, S.Pettersson, B. Lennartson // Proc. IEEE, 88 (2000),
1069–1082 pp.
2. S h o r t e n , R . Stability criteria for switched and hybrid systems / R. Shorten, F. Wirth,
O. Mason, K. Wulf et al. // SIAM Rev., 49:4 (2007). Pp. – 545–592.
3. H a i L i n Stability and stabilizability of switched linear systems: a survey of recent results / Hai Lin, P. J. Antsaklis // IEEE Trans. Automat. Control, 54:2 (2009). – Pp. 308–
322.
4. V o r o n o v , A . A . Vvedeniye v dinamiku slozhnykh upravlyayemykh sistem /
A. A. Voronov. – M. : Nauka, 1985. – 352 s.
194
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Физика
5. B l i n o v , I . N . Lineynyye differentsial'nyye sistemy s kusochno-postoyannymi periodicheskimi koeffitsiyentami / I. N. Blinov // Avtomatika i telemekhanika, 1965. –
T. XXVI. – №1. – S. 180–183.
6. Zu b o v , V . I . Lektsii po teorii upravleniya / V. I. Zubov. – M. : Nauka, 1975. –
496 s.
7. D e m i d o v i c h , B . P . Lektsii po matematicheskoy teorii ustoychivosti / B. P. Demidovich. – M. : Nauka, 1967. – 472 s.
Лизина Елена Александровна
аспирант, Мордовский государственный
университет им. Н. П. Огарева
(г. Саранск, ул. Большевистская, 68)
Lizina Elena Aleksandrovna
Postgraduate student, Mordovia State
University named after N. P. Ogaryov
(Saransk, 68 Bolshevistskaya str.)
E-mail: lizina-elena@yandex.ru
Щенников Владимир Николаевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
дифференциальных уравнений,
Мордовский государственный
университет им. Н. П. Огарева
(г. Саранск, ул. Большевистская, 68)
Shchennikov Vladimir Nikolaevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of differential equations, Mordovia State
University named after N. P. Ogaryov
(Saransk, 68 Bolshevistskaya str.)
E-mail: du@math.mrsu.ru
Щенникова Елена Владимировна
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра информатики
и вычислительной техники, Мордовский
государственный университет
им. Н. П. Огарева (г. Саранск,
ул. Большевистская, 68)
Shchennikova Elena Vladimirovna
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of informatics and computer science,
Mordovia State University named
after N.P. Ogaryov (Saransk,
68 Bolshevistskaya str.)
E-mail: du@math.mrsu.ru
УДК 517.977.1
Лизина, Е. А.
Стабилизация непрерывно-дискретной системы с периодической
матрицей коэффициентов / Е. А. Лизина, В. Н. Щенников, Е. В. Щенникова //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 1 (25). – С. 181–195.
Physics and mathematics sciences. Physics
195
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Вниманию авторов!
Редакция журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки» приглашает специалистов опубликовать на его страницах оригинальные статьи, содержащие новые научные результаты в области математики, физики, механики, а также обзорные статьи по тематике журнала.
Статьи, ранее опубликованные, а также принятые к опубликованию в других
журналах, редколлегией не рассматриваются.
Редакция принимает к рассмотрению статьи, подготовленные с использованием текстового редактора Microsoft Word for Windows версий не выше 2003.
Необходимо представить статью в электронном виде (VolgaVuz@mail.ru, дискета 3,5'', СD-диск) и дополнительно на бумажном носителе в двух экземплярах.
Оптимальный объем рукописи 10–14 страниц формата А4. Основной шрифт
статьи – Times New Roman, 14 pt через полуторный интервал. Тип файла в электронном виде – RTF.
Статья обязательно должна сопровождаться индексом УДК, краткой аннотацией и ключевыми словами на русском и английском языках.
Рисунки и таблицы должны быть размещены в тексте статьи и представлены в
виде отдельных файлов (растровые рисунки в формате TIFF, ВМР с разрешением
300 dpi, векторные рисунки в формате Corel Draw с минимальной толщиной линии
0,75 рt). Рисунки должны сопровождаться подрисуночными подписями.
Формулы в тексте статьи выполняются в редакторе формул Microsoft Word
Equation, версия 3.0 и ниже. Символы греческого и русского алфавита должны быть
набраны прямо, нежирно; латинского – курсивом, нежирно; обозначения векторов и
матриц прямо, жирно; цифры – прямо, нежирно. Наименования химических элементов набираются прямо, нежирно. Эти же требования необходимо соблюдать и в рисунках. Допускается вставка в текст специальных символов (с использованием
шрифтов Symbol).
В списке литературы нумерация источников должна соответствовать
очередности ссылок на них в тексте ([1], [2], …). Номер источника указывается в
квадратных скобках. В списке указывается:

для книг – фамилия и инициалы автора, название, город, издательство,
год издания, том, количество страниц;

для журнальных статей, сборников трудов – фамилия и инициалы автора,
название статьи, полное название журнала или сборника, серия, год, том, номер, выпуск, страницы;

для материалов конференций – фамилия и инициалы автора, название
статьи, название конференции, время и место проведения конференции, город, издательство, год, страницы.
В конце статьи допускается указание наименования программы, в рамках которой выполнена работа, или наименование фонда поддержки.
К материалам статьи должна прилагаться информация для заполнения учетного листа автора: фамилия, имя, отчество, место работы и должность, ученая степень,
ученое звание, адрес, контактные телефоны (желательно сотовые), e-mail.
Плата с аспирантов за публикацию рукописей не взимается.
Рукопись, полученная редакцией, не возвращается.
Редакция оставляет за собой право проводить редакторскую и допечатную
правку текстов статей, не изменяющую их основного смысла, без согласования с автором.
Статьи, оформленные без соблюдения приведенных выше требований, к
рассмотрению не принимаются.
196
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа