close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

код для вставки
Функциональные уравнения
Общепризнано, что решение задач является важнейшим средством формирования у
школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей
формой учебной деятельности учащихся в процессе учения математики, является одним
из основных средств их математического развития.
Ориентируя школьников на поиски красивых, изящных решений математических задач,
учитель тем самым способствует эстетическому воспитанию учащихся и повышению их
математической культуры. И всё же главная цель задач - развить творческое и
математическое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к
“открытию” математических фактов.
Достичь этой цели с помощью одних стандартных задач невозможно. Необходимы задачи,
направленные на воспитание у учащихся устойчивого интереса к изучению математики,
творческого отношения к учебной деятельности математического характера. Необходимы
специальные упражнения для обучения школьников способам самостоятельной
деятельности, для овладения ими методами научного познания реальной
действительности и приемами умственной деятельности, которыми пользуются ученыематематики, решая ту или иную задачу.
В данной статье речь идет о функциональных уравнениях, о методах их решения.
Функциональным уравнением называется соотношение, выражающее определённое
свойство, которым обладает некоторый класс функций (некоторая функция).
Простейшими примерами функциональных уравнений могут служить : f(x) =f(- x) –
уравнение чётности, f(x+Т) = f(x) – уравнение периодичности и др.
Функция f(x) называется решением данного функционального уравнения, если она
удовлетворяет ему при всех значениях аргумента в области её определения.
Например, функции f(x) = ax2,f(x)=sin2x, где a R, являются частными решениями
приведённых соответственно выше уравнений, в чём убедимся подстановкой ах2= а (-х)2.
Решить функциональное уравнение – значит установить, имеет ли оно решения, и найти
их, если они имеются.
Приведем примеры решения функциональных уравнений методом подстановки. Этот
метод заключается в том, что, применяя вместо х (или у) различные подстановки и
комбинируя полученные уравнения с исходным, получаем (обычно путём исключения)
алгебраическое уравнение относительно искомой функции.
Пример 1.
1) Пусть
2) Подставим в исходное уравнение, получим
3)Заменим z на
получим
или после преобразований в правой части
уравнения:
4)Итак, получили два уравнения:
5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим со 2-ым уравнением, получим:
Пример 2.
1)Заменим в уравнении
2
на
, получим
2) Умножим обе части исходного уравнения
уравнением
получим:
2
,
2
2
.
на (-2) и сложим с
.
Пример 3.
1. Пусть
тогда уравнение принимает вид:
2. Заменим в уравнении
.
на , получим
3. Умножим уравнение
.
на (-2) и сложим с уравнением
получим
Таким образом,
Пример 4.
1) Заменим в уравнение
на
,
.
2)Умножим уравнение
на
и вычтем из уравнения
,получим -
, где
Пример 5.
1)Заменим в уравнении
,
на
получим
2)Выразим из исходного уравнения
.
, получим
,
или
.
3)Подставим
в уравнение
, получим
.
Выполним преобразования
Пример 6.
.
1. Заменим на
, получим
2. Умножим обе части уравнения
уравнения
получим
Пример 7.
1)Пусть
, тогда уравнение принимает вид:
на
и вычтем из
2)Пусть
тогда исходное уравнение принимает вид:
3)Умножим обе части уравнения из п.1 на 2, а обе части уравнения из п.2 на (-3) и
почленно сложим получившиеся уравнения:
Пример 8.
1) Заменим
на
, получим
или
.
2)Умножим обе части уравнения из п.1 на (-2) и сложим с исходным уравнением:
получаем :
Литература
1. Кострикина Н.П. “Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов” - М:
“Просвещение”, 1991г.
2. Смышляев В.К.. Практикум по решению задач школьной математики. – М:
“Просвещение”, 1978г.
3. Захарова В. А. статья: Функциональные уравнения
Автор
sudarinya_324512
Документ
Категория
Образование
Просмотров
8
Размер файла
124 Кб
Теги
переработки
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа