close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

439.Математический анализ функции одной переменной

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра прикладной математики
Т.А. ТАРАСОВА
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом
государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Оренбург 2009
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.5(07)
ББК 22.161 я7
Т 19
Рецензент: доктор технических наук, профессор И.П. Болодурина
Т 19
Тарасова Т.А.
Математический анализ функции одной переменной:
методические указания / Тарасова Т.А. – Оренбург: ГОУ ОГУ,
2009. – 37 с.
Методические указания составлены для студентов экономических и
химико-биологических специальностей, но могут быть использованы и
студентами других специальностей, изучающих раздел математики
«Математический анализ функции одной переменной».
УДК 517.5(07)
ББК 22.161 я7
© Тарасова Т.А., 2009
© ГОУ ОГУ, 2009
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Введение…………………………………………………………………………. 4
1 Теоретические вопросы…………………………………………………........ 5
2 Задания для проведения практических занятий и домашней работы ….… 6
2.1 Предел функции…………………………………………………………….
6
2.2 Непрерывность функции…………………………………………………... 8
2.3 Дифференциальное исчисление функции одной переменной…………... 9
2.4 Исследование функции и построение ее графика ……………………….. 11
3 Задания для проведения самостоятельных работ……………………..........
13
4 Задания для проведения тестового контроля……………………………….
28
Список использованных источников ………………………………………….. 36
Приложение А …………………………………………………………………... 37
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Предлагаемые методические указания состоят из четырех разделов.
1 раздел – теоретические вопросы курса «Математический анализ
функции одной переменной».
2 раздел – задания для проведения практических занятий и домашней
работы. Каждый преподаватель вправе решать сам, какие из предложенных
заданий рассматривать на практических занятиях, а какие – рекомендовать
студентам для самостоятельной работы вне учебной аудитории.
3 раздел – задания для проведения индивидуальных проверочных
самостоятельных работ на практических занятиях. Эти задания составлены с
целью: постоянного контроля за индивидуальной работой каждого студента;
проверки знаний студентов по теоретической и практической части изучаемого
курса. Задания каждой из пяти самостоятельных работ составлены с учетом тех
вопросов курса, которые студент должен изучить к занятию, на котором будет
проводиться данная самостоятельная работа.
4 раздел – тестовые задания для проверки знаний студентов по всему
курсу «Математический анализ функции одной переменной».
Для выполнения каждой самостоятельной работы рекомендуется
выделять не более 15 – 20 минут, для проведения тестового контроля – 2
академических часа.
При написании этих методических указаний автор ставил цель не только
помочь преподавателям и студентам работать эффективно на практических
занятиях, студентам – дома, но и постоянно проверять самостоятельную работу
каждого студента по данному разделу программы. Для контроля
самостоятельной работы студентов создано достаточное количество заданий,
содержащихся как теоретические, так и практические вопросы курса
«Математический анализ функции одной переменной».
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 Теоретические вопросы
•
1 Основные множества вещественных чисел: [а;b], (а;b), Оb(а), О b(а) –
определение, геометрическая иллюстрация.
2 Определение ограниченного множества.
3 Предельная точка множества.
4 Замкнутое множество.
5 Переменная величина и ее предел: lim x = a, lim x = ∞ .
6 Определение функции y = f(x).
7 Определение предела функции и его геометрическая иллюстрация:
lim f ( x ) = b, lim f ( x ) = b, lim f ( x ) = ∞, lim f ( x ) = ∞ ,
x→a
lim f ( x ) = b1 ,
x→a −0
x →∞
x→a
x →∞
lim f ( x ) = b2 .
x→a +0
8 Определение бесконечно малой функции.
9 Определение бесконечно большой функции.
10 Свойства бесконечно малых:
- теорема о сумме двух бесконечно малых;
- теорема о произведении бесконечно малой на ограниченную
функцию;
- теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функции.
11 Теорема о представлении функции, имеющей конечный предел.
12 Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел.
13 Свойства пределов, выраженные равенствами (арифметические
действия над пределами).
14 Понятие неопределенности под знаком предела.
15 Правило Лопиталя.
16 Первый и второй замечательные пределы.
17 Сравнение бесконечно малых (4 определения).
18 Свойства эквивалентных бесконечно малых.
19 Таблица эквивалентных бесконечно малых.
20 Свойства пределов, выраженные неравенствами.
21 Три определения функции непрерывной в точке.
22 Теорема о непрерывности всякой элементарной функции
23 Три условия непрерывности функции в точке.
24 Классификация точек разрыва функции – определение, примеры.
25 Свойства функций, непрерывных на отрезке.
26 Определение производной функции.
27 Геометрический смысл производной.
28 Необходимое условие существование конечной производной функции
в точке.
29 Арифметические действия над производными.
30 Теорема о производной сложной функции.
31 Таблица производных.
32 Специальные методы нахождения производных:
а) производная сложно-показательной функции;
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
б) неявно заданная функция и ее производная.
33 Определение функции, дифференцируемой в точке.
34 Определение дифференциала функции в точке.
35 Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в
точке.
36 Определение производной функции n-го порядка.
37 Исследование функции и построение ее графика:
а) определение области определения функции;
б) определение возрастающей (убывающей) функции;
в) достаточное условие монотонности функции;
г) определение минимума (максимума) функции;
д) необходимое условие существования локального экстремума
функции;
е) достаточное условие существования локального экстремума
функции;
ж) определение выпуклой (вогнутой) функции;
з) достаточное условие выпуклости (вогнутости) функции;
и) определение точки перегиба функции;
й) достаточное условие существования точки перегиба функции;
к) определение асимптоты функции;
л) виды асимптот функции и их уравнения.
2 Задания для проведения практических занятий и домашней
работы
2.1 Предел функции
Практическое занятие №1
1) Дать определение предела функции y = f ( x) , построить схематично её
график в малой окрестности точки а или при x → ∞ , если:
а) lim f ( x) = 3;
б) lim f ( x) = 3;
в) lim f ( x) = ∞;
x →1
x →∞
x →−1
г) lim f ( x) = ∞;
д) lim f ( x) = 1;
е) lim f ( x) = −2;
ж) lim f ( x) = 4;
з) lim f ( x) = 1;
и) lim f ( x) = +∞.
x →∞
x →+∞
x →2− 0
x →−∞
x →3+ 0
x →−∞
2) Задать аналитически функцию y = f ( x) , для которой:
б) lim f ( x) = ∞;
в) lim f ( x) = ∞;
а) limπ f ( x) = 1;
x→ 4
г) lim f ( x) = 0;
x →∞
6
x →0
f ( x) = 0
⎧⎪lim
x →∞
д) ⎨
;
=
∞
lim
f
(
x
)
⎪⎩ x→0
x →2
f ( x) = 0
⎧⎪lim
x →∞
.
е) ⎨
⎪⎩ f (1) = 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) Построить схематично график функции y = f ( x) , если известно, что:
⎧⎪ lim f ( x) = +∞
⎧⎪lim f ( x) = 0
x →1+ 0
x →∞
;
;
б) ⎨
в) ⎨
а) lim f ( x) = +∞;
x →+∞
lim
f
(
x
)
=
−∞
f
(1)
3
=
⎪⎩
⎪⎩ x→1−0
⎧⎪ lim f ( x) = 1
⎧⎪ lim f ( x) = 2
x →0 + 0
x →+∞
;
.
д) ⎨
е) ⎨
lim
f
(
x
)
1
lim
f
(
x
)
=
4
=
−
⎪⎩ x→−∞
⎪⎩ x→0−0
4) Известно, что ∃δ > 0 ∀x ∈ O&δ (1) : f ( x) = 3 + α ( x) , где α ( x) → 0 при x → 1 .
Чему равен lim f ( x) ?
⎧⎪lim f ( x) = 3
;
г) ⎨ x→1
⎪⎩ f (1) = 3
x →1
⎧⎪lim f ( x) = 5
. Как может быть представлена функция
5) Известно, что ⎨ x→2
⎪⎩ f (2) = 5
y = f ( x) в Oδ (2) ? Нарисовать схематично график этой функции в Oδ (2) .
Практическое занятие № 2
1) Какие арифметические действия можно совершить над пределами и по
каким правилам?
2) Дать определения:
а) бесконечно малой функции;
б) бесконечно большой функции;
в) эквивалентных бесконечно малых функций и привести примеры
таких функций.
3) f ( x) ~ x − 2 при x → 2 . Привести пример функции f(x).
4) lim ( e x −5 − 1) = 0 . Чему равно а? Назвать функцию эквивалентную
x →a
бесконечно малой e x −5 − 1 .
5) Написать формулы первого и второго замечательных пределов. Какой
из ниже перечисленных пределов находится с помощью второго замечательного
предела?
x2
⎛ x −1 ⎞
а) lim ⎜
⎟ ;
x →0 x + 2
⎝
⎠
6) Найти пределы:
⎛ x −1 ⎞
б) lim ⎜
⎟
x →∞ x + 3
⎝
⎠
3 x +1
x
3x
;
⎛ x −1⎞
в) lim ⎜
⎟ .
x →∞
⎝ x ⎠
1. lim ( sin x + 2 x ) ;
1
2. lim sin x;
x →∞ x
3. lim
x2 + 5
4. lim
;
x →2 x − 2
x 4 − x5 + 3x6
5. lim
;
x →∞ 1 + x + x 2
8 x3 + 2 x − 1
6. lim
;
x →∞
2 x3 + 5
x →0
x2 − x + 4
;
x →∞ x 5 − 2 x 2 + 6
7. lim
8. lim
x →1
x2 − 1
;
x3 − 1
x →1
9. lim
x →4
x2 − 4 x + 5
;
x+2
x−4
;
x −2
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x 4 − 12 x + 12
;
11. lim 3
x →2
x − x−6
x2 −1 − x2 + x ; 14. lim arctg10 x ;
x →0
sin 2 x
1 ⎞
⎛ 3
10. lim ⎜
+
⎟;
x →1 1 − x 3
x
1
−
⎝
⎠
13. lim
x→∞
(
)
1− 3 x
;
12. lim
x →1 1 −
x
1 − cos 4 x
;
15. lim
x →0
x
cos ( 32π − x )
18. limπ
;
x→ 6
3 − 2cos x
e x −4 − 1
;
16. lim
x →2 x − 2
ln (1 + sin 2 x )
;
19. lim
x →0
1 − cos x
1 − tg 2 x
;
17. limπ
x→ 4
2 cos x − 1
x
20.
2 2
21. lim (1 + x ) ;
x →0
ln(1 +3x+x2 ) + ln(1 − 3x + x2 )
lim
;
x→0
x2
22. lim (1 + x 2 ) 2 x ;
23. lim (1 + 3 x ) x ;
2
1
x →0
3x
1 ⎞
⎛
25. lim ⎜1 + ⎟ ;
x →∞
⎝ 4x ⎠
4
x →0
2x
⎛ x +1 ⎞
26. lim ⎜
⎟ ;
x →∞ x − 4
⎝
⎠
24. lim (1 + sin 2 x ) x ;
2
x →0
5x
⎛ x +1⎞
27. lim ⎜
⎟ .
x →∞
⎝ x ⎠
2.2 Непрерывность функции
Практическое занятие №3
1) Какое определение записано в строке:
∀ε > 0∃δ ( ε ) > 0 ∀x : 0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x) − f ( x0 ) < ε ?
2) Что нужно изменить в предыдущем определении, чтобы функция
y = f ( x) стала непрерывной в точке х0?
3) Известно, что x0 ∈ D ( f ) вместе с некоторой своей окрестностью и
lim f ( x) = f ( x0 ),
⎧ x→
⎪ x0 +0
⎨
lim f ( x) = b.
⎪⎩ x→
x0 − 0
Каким должно быть число b, чтобы функция y = f ( x) :
а) была непрерывна в точке х0;
б) имела неустранимый разрыв первого рода в точке х0;
в) имела в точке х0 разрыв второго рода.
4) Изобразите схематично функцию y = f ( x) в малой окрестности точки
х0, если известно, что:
lim f ( x) = a
lim f ( x) = f ( x0 )
lim f ( x) = f ( x0 )
⎧ x→
⎧ x→
⎧ x→
⎪ x0 +0
⎪ x0 +0
⎪ x0 +0
а) ⎨
; б) ⎨
; в) ⎨
;
lim
(
)
lim
(
)
(
)
lim
f
(
x
)
f
x
b
f
x
f
x
=
=
=
∞
0
⎪⎩ x→ x0 −0
⎪⎩ x→ x0 −0
⎪⎩ x→ x0 −0
Как можно охарактеризовать поведение функции y = f ( x) в точке х0 в
каждом задании а) – в) ?
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5) Функция y = f ( x) определена в некоторой окрестности точки х0. Будет
ли эта функция непрерывна в точке х0, если:
а) ∃ε > 0 ∀δ ( ε ) > 0 ∀x : x − x0 < δ ⇒ f ( x) − f ( x0 ) < ε ;
б) ∀δ > 0 ∃ε (δ ) > 0 ∀x : x − x0 < δ ⇒ f ( x) − f ( x0 ) < ε ;
в) ∀ε > 0 ∃δ ( ε ) > 0 ∀x : x − x0 < δ ⇒ f ( x) − f ( x0 ) < ε ?
6) Привести пример функции, имеющей:
а) в точке 0 устранимый разрыв первого рода;
б) в точке 2 неустранимый разрыв первого рода;
в) в точке
π
разрыв второго рода.
2
7) Известно, что функция y = f ( x) определена в некоторой окрестности
точки х0 и ∃δ > 0 ∀x ∈ Oδ ( x0 ) : f ( x) = f ( x0 ) + α ( x) , где α ( x) → 0 при x → x0 .
а) Чему равен lim f ( x) ?
x → x0
б) Является ли функция непрерывной в точке х0?
8) При каком значении а функция y = f ( x) будет непрерывной в точке 0,
если:
x
⎧
при x ≠ 0
⎪
,
а) y = ⎨ ln(1 + 2 x)
⎪a при x =0
⎩
⎧⎪e − x2 при x ≠ 0
б) y = ⎨
,
a
при
x
=0
⎪⎩
1
⎧ ex − 1
⎧⎪(1 + 2 x) при x ≠ 0
⎪
при x ≠ 0
в) y = ⎨
,
г) y = ⎨ x 2
.
⎪⎩a при x =0
⎪a при x =0
⎩
9) Найти точки разрыва функции, определить их вид; построить
схематично график функции в малой окрестности точки разрыва, если у
функции такая точка существует
x
1 + x2
1
1
, г) y = arcsin ,
, в) y =
,
б) y = 2
а) y =
x + x−6
x
1+ x
ln( x − 1)
x
x −1
arcsin x
1 − cos x
y
=
д) y =
, е) y = 31− x2 ,
ж) y =
,
з)
,
x2 − 1
x2
sin 3 x
1
2
− 1x
1
и) y =
,
к)
y
=
e
,
л) y = 5 x −1 ,
м) y = (1 + sin2x ) 4 x .
1
1 + 2 x −3
2
3
x
2.3 Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Практические занятия № 4, № 5
1) Какой из ниже перечисленных пределов определяет производную
функции y = f ( x) в точке х0?
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f (x0 + x) − f ( x0 )
f (x +∆x) − f (x0 )
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
, б) lim 0
, в) lim
.
∆x→0
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
x
2) Какие арифметические действия можно совершить под знаком
производной и по каким правилам?
3) Записать вид функции, для которой производная в точке х0 находится
по формуле fϕ′ (ϕ0 ) ⋅ϕ ′x ( x0 ) , где ϕ0 = ϕ ( x0 ) .
4) Указать правильное утверждение «Если у функции в точке х0
существует конечная производная, то функция в этой точке…»
а) непрерывна; б) разрывна; в) дифференцируема.
1
5) Существует ли y′ ( 0 ) , если y = e x ?
6) Функция y = f ( x) называется дифференцируемой в точке х0, если её
приращение в этой точке ∆f ( x0 ) = A ⋅ ∆x + α ( ∆x ) ⋅ ∆x . Что представляет собой А
а) lim
и α ( ∆x ) в этом определении?
7) Если y = f ( x) дифференцируема в точке х0, то её дифференциал
df ( x0 ) в этой точке равен:
б) df ( x0 ) = f ( x0 ) ⋅ ∆x ;
а) df ( x0 ) = f ′( x0 ) ;
в) df ( x0 ) = f ′( x0 ) ⋅ ∆x ;
8)
Для
каких
f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 ) ∆x ?
г) df ( x0 ) = f ′( x0 )dx .
∆x
справедлива
значений
9) Найти производную y′ ( x ) для функции:
ln 3 3
а) 1. y = 7 x5 − 5 x −2 ,
2. y =
+e ,
x
x +1
log 2 x
4. y =
5. y =
,
− xe 2 ,
arctgx
tgx
7. y = sin 2 x ,
8. y = sin 2 x ,
13. y = e
−
x2
2
9. y = sin e x ,
12. y = arccos3 2 x ,
14. y = arc tg ln 4 x ,
16. y = 2sin x ,
19. y = cos2 ( 4x − 5) − 8,
17. y = ln log 3 lg 2 x ,
x+4
20. y = ln
,
x
1
15. y = log 32 ( 4 x + 8 ) ,
2
18. y = e − x ⋅ arctg e x ,
21. y = arccos tgx ,
23. y = ( ln 2 x ) log2 x + 1 , 24. y = 2arcsin x ,
2
22. y = tg 210 x ,
25. y = ln 5 cos 4 x ,
sin 2 x
,
4. y = ( arctgx ) ,
x2
10
6. y = x 4 ⋅ 4 x ,
5
,
б) 1. y = ( tgx )
3. y = 3 x 2 ⋅ cos x ,
11. y = ( 3x −10) ,
10. y = cosln x ,
формула
26. y = arcsin 2 ( ex ⋅ cos x ) ,
27. y = ctg 1 + cos2 2 x .
2. y = ( 4 x − 1)
3. y = ( cos x )
ctg 2 x
5. y = ( ln x ) ,
2x
,
sin 3 x
6. y = ( 2 + 3 x )
ln x
,
,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. y =
x2 ( 2 x + 4)
( x − 1)
3
5
( 3x − 1) cos2x ,
8. y =
tg 3 ( x + 4)
2
,
⎧⎪ x = cos3 t
2. ⎨
,
3
⎪⎩ y = sin t
⎧ x = 2cos t
,
в) 1. ⎨
⎩ y = 2sin t
⎧⎪ x = a ( t − sin t )
,
4. ⎨
⎪⎩ y = a (1 − cos t )
г) 1. x 2 + y 2 = 4 ,
4. e x − y = x + y ,
( x − 1) ( 5x + 8)
9. y =
3
2
.
sin 2 x
⎧⎪ x = e −3t
3. ⎨
,
3t
⎪⎩ y = e
1
⎧
⎪x =
6. ⎨
cos t .
⎪⎩ y = tgt − t
⎧ x = ln cos t
,
5. ⎨
⎩ y = ln cos 2t
2. x 2 − y 2 = a 2 ,
3. y 2 = 2 px ,
5. e 2 y − 2ln x − 1 = 0 ,
6. e x − ln ( x + y ) = 0 .
10) Найти df ( x) для функций
а) y = sin x ,
б) y = x 2 ,
в) y = e x ,
г) y = cos 2 x , д) y = ln( x − 1) ,
е) y = x 2 + 1 , ж) y = sin 2 x .
11) Используя формулу нахождения приближенного значения функции
f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )∆x , вычислить:
а) tg 47 0 ,
б)
9,04 ,
в) 4 17 ,
г) arcsin 0,51 с точностью до
0,01
2.4 Исследование функции и построение её графика
Практическое занятие №6
1) Если y = f1 ( x) + f 2 ( x), D( f1 ) = ( −∞;4 ) ; D ( f 2 ) = (1;9] , то D( y ) = ?
2) Каким свойством обладает функция y = f ( x) на множестве Х, если
справедливо:
а) ∀x1 , x2 ∈ X : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) ,
б) ∀x1 , x2 ∈ X : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ,
в) ∀x1 , x2 ∈ X : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) = f ( x2 ) ?
3) Как называется точка х0 для функции y = f ( x) , если справедливо
следующее:
а) ∃δ > 0 ∀x ∈ Oδ ( x0 ) : f ( x) ≤ f ( x0 ) ,
б) ∃δ > 0 ∀x ∈ Oδ ( x0 ) : f ( x) ≥ f ( x0 ) ?
4) Схематично изобразить функцию y = f ( x) , если известно, что
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
⎧ f ′ (1) = 0
⎪
а) ⎨∀x < 1: f ′( x) < 0 ;
⎪∀x > 1: f ′( x) > 0
⎩
⎧∃f (1) , ∃f ′ (1)
⎪
б) ⎨∀x < 1: f ′ ( x ) < 0 ;
⎪
⎩∀x > 1: f ′ ( x ) > 0
⎧⎪ f ′ ( x ) > 0
;
в) ∀x ∈ ( a; b ) : ⎨
′′
<
f
x
0
(
)
⎪⎩
⎧ lim f ( x ) = −∞
⎪ x→ a −0
lim f ( x ) = +∞
г) ⎪⎨ x → a + 0
.
⎪ ∀ x > a ; f ′′ ( x ) > 0
⎪
⎩ ∀ x < a ; f ′′ ( x ) < 0
д)
f ′( x )
y = f ′( x)
f ′( x )
y = f ′( x)
2
х
3
х
5) Как называется прямая y = kx + b для функции y = f ( x) , если числа k и
f ( x)
, b = lim [ f ( x) − kx ] ?
b находятся по формулам: k = lim
x →∞
x →∞
x
6) Провести полное исследование функции и построить её график:
1
x2 − x − 6
в) y = x 2e x ;
;
б) y = x − ln x;
а) y =
x−2
2
x −1
1
г) y =
;
д) y = 2 x 2 − x 3 ;
е) y = xe1− x ;
2x + 3
3
2 x −1
3
2
2x
e( )
3
2
з) y = ( x − 4 ) ;
и) y =
;
ж) y = 2 ;
x −1
x −1
x2
x
;
к) y =
л) y = x − arctgx;
м) y =
.
3
ln x
(1 + x )
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3 Задания для проведения самостоятельных работ
Самостоятельная работа №1
Вариант 1
1 Дать определение lim x = a
2 Сформулировать теорему о сумме двух бесконечно малых.
3 Изобразить схематично функцию y = f ( x ) , если известно, что
lim f ( x) = 2.
x→+∞
4 Известно, что α → 0. Назвать бесконечно малую функцию,
эквивалентную α .
f ( x) = ∞?
5 Как называется функция y = f ( x ) при x → a , если lim
x→a
Вариант 2
1 Дать определение limx =∞.
2 Сформулировать теорему о произведении бесконечно малой на
ограниченную функцию.
3 Изобразить схематично функцию y = f ( x ) , если известно, что
lim f ( x ) = ∞.
x→2
2
1 − cosα
= 1?
4 Как называются функции 1 − cos α и α , если αlim
α
→0
2
2
2
f ( x ) = 0.
5 Привести пример функции y = f ( x ) , для которой lim
x →0
Вариант 3
1 Дать определение lim f ( x ) = b.
x→a
2 Сформулировать теорему о связи бесконечно малой и бесконечно
большой.
3 Изобразить схематично функцию y = f ( x ) , если известно, что
lim f ( x ) = 0, f (1) = 2 .
x →+∞
4 Написать формулу первого замечательного предела.
5 Если функция α ( x ) является бесконечно малой при x → a , то чему
равен lim α ( x ) ?
x→a
Вариант 4
1 Дать определение Oδ ( a ) .
2 Сформулировать теорему
конечный предел (прямая часть).
о
представлении
функции,
имеющей
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3 Изобразить
схематично
функцию
lim f ( x ) = +∞, lim f ( x ) = 1.
x →−1−0
x →−∞
4 Если
lim
α →0
ln (1 + α )
α
= 1,
y = f ( x ) , если
известно,
что
то как называется функция ln (1 + α ) по
отношению к α ?
5 Если limπ tgx = ∞, то tgx - является …. при x → π .
2
x→ 2
Вариант 5
1 Дать определение lim f ( x ) = b.
x →∞
2 Сформулировать теорему об ограниченности функции, имеющей
конечный предел.
3 Изобразить схематично функцию y = f ( x ) , если известно, что
⎧⎪ f ( 0 ) = 0
⎨ lim f x = −2 .
⎪⎩ x→+∞ ( )
4 Дать определение эквивалентных бесконечно малых.
5 Если α ( x ) - бесконечно малая при x → a , f(x) – ограничена в Oδ ( a ) , то
чему равен lim α ( x ) ⋅ f ( x)?
x →a
Вариант 6
1 Дать определение lim f ( x ) = ∞.
x→a
2 Сформулировать теорему об арифметических
пределами.
3 Известно, что lim f ( x ) = 2, lim f ( x ) = −∞.
x →+0
действиях
над
x →−0
Изобразить функцию y = f ( x ) схематично.
4 Написать формулу второго замечательного предела.
5 Если α ( x ) - бесконечно большая при x → a , то чему равен lim 1 ?
x→a α ( x )
Вариант 7
1 Дать определение Οδ ( a )
2 Сформулировать теорему о представлении
конечный предел (обратная часть).
3 Изобразить схематично функцию y = f ( x ) ,
lim f ( x ) = 0, lim f ( x ) = 1 .
x →+∞
x →−∞
функции,
имеющей
если известно, что
4 При x → 1 функция arcsin (1 − x ) является бесконечно малой; назовите
для неё эквивалентную.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5 Если α ( x ) - бесконечно малая при x → a , то чему равен lim 1 ?
x→ a α ( x )
Вариант 8
1 Дать определение lim f ( x ) = ∞.
x →∞
2 Назвать свойства, которыми обладают эквивалентные бесконечно
малые функции.
3 Изобразить схематично функцию y = f ( x ) , если известно, что
lim f ( x ) = ∞, f (1) = 1.
x →0
4 Если lim f ( x ) = ∞ , то как называется функция y = f ( x ) при x → a ?
x →a
Приведите пример такой функции.
5 Если функция y = sin( x − 1) является бесконечно малой при x → a , то
чему равно а?
Вариант 9
1 Как называется множество точек х, удовлетворяющих условию
0< x−a <δ ?
2 Известно, что ∃ lim f ( x) = b . Является ли функция y = f ( x )
x→a
ограниченной в O&δ (a )?
3 Изобразить схематично функцию
lim f ( x) = 2, lim f ( x) = −3. .
x →1+ 0
y = f ( x ) , если известно, что
x →1− 0
1
= ∞ , то чему равен lim α ( x ) ? .
x→a
x→a α ( x )
4 Если lim
5 lim (1 + α ) α = ?
1
α →0
Вариант 10
1 Дать определение lim f ( x) = b .
x →a −0
2 Сформулировать теорему об арифметических действиях над
пределами.
3 Изобразить схематично функцию y = f ( x ) , если известно, что
lim f ( x) = 2, ∃f (1).
x →1
4 Как называется lim
α →0
sin α
α
= 1?
5 Функция y = tg ( x − 2) является бесконечно малой при x → .... ?
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Самостоятельная работа № 2
Вариант 1
1 Дать определение lim f ( x ) = b .
x →a
2 Сформулировать теорему о связи бесконечно малой и бесконечно
большой.
3 Дать определение функции непрерывной в точке.
3x
esin x − 1
1 ⎞
⎛
; lim ⎜1 + ⎟ .
4 Найти: lim 2
x →0 x − 1
x →∞
⎝ 2x ⎠
Вариант 2
1 Дать определение lim f ( x ) = ∞ .
x →a
2 Сформулировать теорему о представлении функции,
конечный предел (прямая часть).
3 Назвать три условия непрерывности функции в точке.
1
sin x − cos x
; lim (1 + sin x ) 2 x .
4 Найти: limπ
x →0
π
x→
x−
4
4
имеющей
Вариант 3
1 Дать определение lim f ( x ) = b
x →a −0
2 Сформулировать теорему о сумме двух бесконечно малых.
3 Какая точка называется точкой разрыва первого рода для функции
y = f ( x) ?
2x
1 − cos x
⎛ x −1 ⎞
4 Найти: lim
; lim ⎜
⎟ .
x →0
x →∞ x + 1
x
⎝
⎠
Вариант 4
1 Дать определение lim f ( x ) = b .
x →∞
2 Сформулировать теорему о произведении бесконечно малой на
ограниченную функцию.
3 Какая точка называется точкой разрыва второго рода для функции
y = f ( x) ?
1
1
4 Найти: lim (1 + tgx ) 3 x ; lim x sin .
x →0
x →0
x
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вариант 5
1 Дать определение lim f ( x ) = ∞
x →∞
2 Сформулировать теорему о представлении функции, имеющей
конечный предел (обратная часть).
3 Известно, что ∀ε > 0∃δ ( ε ) > 0∀x ⏐
: x − x0⏐< δ ⇒⏐f ( x ) − f ( x0 )⏐< ε . Что
можно сказать о поведении функции y = f ( x ) в точке x0 ?
arctg ( x − 2 )
⎛ x+2⎞
4 Найти: lim
; lim ⎜
⎟ .
x →2
x →∞ x − 1
x
⎝
⎠
2x
Вариант 6
1 Дать определение Οδ ( a ) .
2 Сформулировать теорему об арифметических действиях
пределами.
⎧⎪ lim f ( x ) ≠ ∞
3 Известно, что ∃ ⎨ x→a +0
; и lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) .
x→a + 0
x→a −0
lim
f
x
≠
∞
(
)
⎪⎩ x→a −0
Изобразить схематично функцию y = f ( x ) .
над
1
1 − cos 2 x
sin
lim
1
+
5
x
;
(
) x.
x →0
x →0 ln 1 + x 2
( )
4 Найти: lim
Вариант 7
1 Как называется множество точек х, удовлетворяющих условию
x −a <δ ?
2 Сформулировать правило Лопиталя.
3 Известно, что ∃ lim f ( x) = f ( x0 ) . Как ведет себя функция y = f ( x ) в
x → x0
точке х0?
4x
e x−2 − 1
⎛ x ⎞
; lim ⎜
4 Найти: lim 2
⎟ .
x →2 x − 4
x →∞ x + 1
⎝
⎠
Вариант 8
1 Определение ограниченной функции в Oδ (a ) .
α ( x)
= 1. Как называются
2 Известно, что α ( x) → 0; β ( x) → 0 и lim
β ( x)
функции α ( x ) и β ( x ) ?
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3 Функция y = f ( x ) определена в некоторой окрестности точки х0.
lim f ( x) = f ( x0 ), lim f ( x) = 5.
x → x0 + 0
x → x0 −0
Чему должно равняться f ( x0 ) , чтобы функция
непрерывной в точке х0?
5x
ln (1 + sin x )
⎛ 2⎞
; lim ⎜1 + ⎟ .
4 Найти: lim
x →0
x →∞
tgx 2
x⎠
⎝
y = f ( x ) была
Вариант 9
1 Дать определение lim f ( x) = b .
x →a + 0
2 lim f ( x) = b ⇔ ∃δ > 0∀x ∈ O&δ ( a ) : f ( x) = b + α ( x ) ,
x →a
где α ( x ) → 0
при
x→a.
Какая теорема сформулирована выше?
3 ∃ lim ∆f ( x0 ) = 0 . Что можно сказать о поведении функции y = f ( x ) в
∆x →0
точке х0?
4 Найти: lim
x →0
3
x − sin x
x
;
lim
1
+
tgx
.
(
)
x
x →0
e −1
Вариант 10
1 Дать определение Oδ ( 2 )
2 ∃δ > 0, C > 0∀x ∈ Oδ ( a ) : f ( x) ≤ C.
Каким свойством обладает функция y = f ( x ) в Oδ ( a ) ?
3 Дать первое определение функции непрерывной в точке.
3x
ln (1 + 3 x + x 2 )
⎛ x −1⎞
; lim ⎜
4 Найти: lim
⎟ .
x →0
x →∞
2x
⎝ x ⎠
Самостоятельная работа № 3
Вариант 1
1 Какие две бесконечно малые называются эквивалентными?
2 Известно, что lim f ( x ) = f ( x0 ) и f ( x ) определена в некоторой
x → x0
окрестности точки x0 . Что можно сказать о поведении функции y = f ( x ) в
точке x0 ?
sin 2 x
3 Найти lim
.
x →0 e 4 x − 1
4 Следующие функции исследовать на непрерывность, построить
схематично график каждой функции в малой окрестности её точки разрыва:
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
x
а) y = e ; б) y =
x +1
+ 2.
x +1
Вариант 2
1 Дать первое определение функции, непрерывной в точке.
2 Сформулировать теорему о связи бесконечно малой и бесконечно
большой функции.
1 − tg 2 x
.
3 Найти limπ
x − π4
x→
4
4 Следующие функции исследовать на непрерывность, построить
схематично график каждой функции в малой окрестности её точки разрыва:
1
− 2
1 − cos x
x
.
а) y = e ; б) y =
2 x3
Вариант 3
1 Дать второе определение функции, непрерывной в точке.
2 Привести графический пример функции, которая в точке x = 1 имеет
неустранимый разрыв первого рода.
1
3 Найти lim (1 + tg 4 x ) 2 x .
x→0
4 Следующие функции исследовать на непрерывность, построить
схематично график каждой функции в малой окрестности её точки разрыва:
arcsin 2 x
1
.
; б) y =
а) y =
x
1+ x
Вариант 4
1 Дать третье определение функции, непрерывной в точке.
2 Чему равно произведение бесконечно малой на ограниченную
функцию?
3 Привести пример функции, для которой точка x = 3 является точкой
разрыва второго рода.
4 Следующие функции исследовать на непрерывность, построить
схематично график каждой функции в малой окрестности её точки разрыва:
x2 + 2x − 3
1
; б) y =
.
а) y =
ln ( x + 1)
x+3
Вариант 5
1 Сформулировать три условия непрерывности функции в точке.
2 Сформулировать теорему о представлении функции, имеющей
конечный предел (прямая часть).
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3 Привести пример функции, для которой точка x = 1 является точкой
разрыва первого рода.
4 Следующие функции исследовать на непрерывность, построить
схематично график функции в малой окрестности её точки разрыва:
x
x+3
1+ x
а) y =
; б) y = 4 .
x+3
Вариант 6
1 Известно, что y = f ( x ) определена в некоторой окрестности точки x0 и
∃ lim f ( x ) ≠ ∞, lim f ( x ) = ∞. Что можно сказать о поведении функции в
x → x0 −0
x → x0 + 0
точке x0 ?
2 Сформулировать теорему об ограниченности функции, имеющей
конечный предел.
1−3 x
2 ⎞
⎛
3 Найти lim ⎜1 −
⎟ .
x →∞
⎝ 3x − 1 ⎠
4 Следующие функции исследовать на непрерывность, построить
схематично график каждой функции в малой окрестности её точки разрыва:
1
−
1
x −1
а) y =
; б) y = 2 .
x
Вариант 7
1 Дать определение точки разрыва функции первого рода.
2 Сформулировать теорему о представлении функции, имеющей
конечный предел (обратная часть).
3 Привести пример функции, которая удовлетворяет следующему
условию ∀ε > 0∃δ ( ε ) > 0∀x : x − 2 < δ ⇒ f ( x ) − 4 < ε .
4 Следующие функции исследовать на непрерывность, построить
схематично график каждой функции в малой окрестности её точки разрыва:
1
−
sin ( x − 1)
x +3
а) y =
; б) y = 2 .
x −1
Вариант 8
1 Дать определение lim f ( x ) = ∞
x →a
2 Дано: ∀ε > 0∃δ ( ε ) > 0∀x : x − x0 < δ ⇒ f ( x ) − b < ε .
Чему должно равняться b, чтобы функция y = f ( x ) была непрерывной
в точке x0 ?
1
3 Найти lim (1 + sin 2 x ) 4 x
x →0
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4 Следующие функции исследовать на непрерывность, построить
схематично график каждой функции в малой окрестности её точки разрыва:
1
2
x
x −1
а) y = 1 − ; б) y = 3( ) .
x
Вариант 9
1 Дать определение lim f ( x ) = b .
x →a
2 Известно, что lim f ( x) = b, lim f ( x) = a и f ( x) определена в Oδ (1) .
x→1+0
x→1−0
Чему должны равняться а и b, чтобы функция y = f ( x ) была
непрерывной в точке х=1?
ln (1 + sin 2 x )
3 Найти lim
.
x →0
4x
4 Следующие функции исследовать на непрерывность, построить
схематично график каждой функции в малой окрестности её точки разрыва:
1
x +1
а) y =
− 1; б) y = e x .
x +1
Вариант 10
1 Известно, что α ( x ) → 0 при x → 2, f ( x) − ограничена в Oδ ( 2 ) .
Чему
равен limα ( x ) ⋅ f ( x)?
x→2
2 Если lim f ( x) = f ( x0 ) , то будет ли функция y = f ( x ) непрерывной в
x → x0
точке х0?
3 Привести пример функции непрерывной на всей числовой оси.
4 Следующие функции исследовать на непрерывность, построить
схематично график каждой функции в малой окрестности её точки разрыва:
2
sin 2x
а) y =
; б) y =
.
x
x−3
Самостоятельная работа № 4
Вариант 1
1 Дать определение производной функции y = f ( x ) в точке x0 .
1
2 Будет ли существовать f ′ (1) для функции y =
? Ответ обосновать.
x −1
3 ⎡⎣u ( x ) + v ( x ) ⎤⎦′ = ?
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
esin x −1
4 Найти lim 2 .
x→0
x
5 Функцию y = e
1
x −3
исследовать на непрерывность.
Вариант 2
1 Сформулировать необходимое условие ∃f ′ ( x0 ) ≠ ∞ .
2 В какой области у функции y = ln x будет существовать производная и
чему она равна?
3 ⎡⎣u ( x ) ⋅ v ( x ) ⎤⎦′ = ?
tgx − 1
4 Найти lim 2 π 2 .
π
x→ x − 16
4
5 Функцию y = 1 −
x−2
исследовать на непрерывность.
x−2
Вариант 3
⎧
∆f ( x0 )
=b
⎪⎪∆lim
1 ∃⎨ x→+0 ∆x
⇒∃f ′ ( x0 ) − ?
⎪ lim ∆f ( x0 ) = e
⎩⎪∆x→−0 ∆x
′
2 ⎡⎢ u ( x ) ⎤⎥ = ?
⎣ v( x) ⎦
3 В чем состоит геометрический смысл значения производной функции в
точке?
1
6x
4 Найти lim (1 + sin 2 x ) .
x→0
x2 − 4
исследовать на непрерывность.
5 Функцию y = 1 −
x−2
Вариант 4
∆f (1)
для функции y = f ( x ) в точке x0 = 1?
∆ x → 0 ∆x
2 Сформулировать правило нахождения производной сложной функции.
3 Известно, что y = f ( x ) непрерывна в точке x0 . Достаточно ли этого
условия для ∃f ′ ( x0 ) ?
1 − cos3x
4 Найти lim
.
x→0 ln 1 + 2 x 2
(
)
1 Что определяет lim
2
x
5 Функцию y = (1 + x ) исследовать на непрерывность.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вариант 5
... − f ( x0 )
.
∆x→0
∆x
об арифметических
1 Допишите определение: f ′( x0 ) = lim
действиях над
2 Сформулировать теорему
производными.
3 Чему равен tgα , где α - угол между касательной к графику функции
y = x3 в точке x0 = 1 и положительным направлением оси OX ?
x
x − 2 ⎞6
4 Найти lim ⎛⎜
⎟ .
x →∞
⎝ x ⎠
arcsin ( x − 1)
5 Функцию y =
исследовать на непрерывность.
x −1
Вариант 6
1 Известно,
y = f ( x)
что
∀ε > 0∃δ ( ε ) > 0∀∆x : ∆x < δ ⇒
-
непрерывна
в
точке
∆f ( x0 )
− f ′ ( x0 ) < ε .
∆x
x0
и
Какое определение записано выше?
2 y = f ⎡⎣ϕ ( x ) ⎤⎦ ⇒ y′x = ?
3 В какой области у функции y = arcsin x существует производная и чему
она равна?
1 − cos x
.
4 Найти lim
x→0
x2
5 Функцию y = 3
1
x −1
исследовать на непрерывность.
Вариант 7
1 Дать определение производной функции y = sin x в точке x0 = 2 .
2 Будет ли существовать производная функции y = 3 x 2 в точке x0 = 0 ?
3 [u ( x) ⋅ν ( x) ]′ = ?
−x
1
4 Найти lim ⎛⎜1 + ⎞⎟ .
x→∞
⎝ 2x ⎠
1
исследовать на непрерывность.
5 Функцию y = x
2 −1
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вариант 8
f ( x + ∆x ) − ....
∆x →0
∆x
2 Чему равен tgα , где α - угол между касательной к графику функции
1 Допишите определение f ′ ( x ) = lim
y = x 2 в точке х0=3 и положительным направлением оси ОХ?
⎧ x = x(t )
⎪
3 ⎨ y = y (t ) ⇒ y′x = ?
⎪t ∈ T
⎩
cos2x −1
4 Найти lim
.
x→0 sin x2
sin ( x − 1)
5 Функцию y =
исследовать на непрерывность.
x −1
Вариант 9
1 Если приращение функции y = f ( x) в точке х0 представимо в виде
⎧A ≠ ∞
; то как называется
∆f ( x0 ) = A∆x + α ( ∆x ) ⋅ ∆x , где ⎨
⎩α ( ∆x ) → 0, при ∆x → 0
главная часть приращения функции в точке х0?
2 Сформулировать правило нахождения производной функции
y = f [ϕ ( x) ] .
3 ∀x ∈ R : f ′ ( x ) = 0 . Чуму равна функция f ( x) на R?
4x
⎛ x +1 ⎞
4 Найти lim⎜
⎟
x→∞
⎝ x ⎠
x
5 Функцию y = e x −1 исследовать на непрерывность.
Вариант 10
1 Чему равен df ( x0 )?
2 В чем состоит геометрический смысл значения производной функции
y = f ( x) в точке х0?
3 Если у функции существует производная в точке, то какой должна быть
функция в этой точке?
1
4 Найти lim(1+ arctg2x) x .
x→0
5 Функцию y =
24
x +1
исследовать на непрерывность.
x +1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Самостоятельная работа № 5
Вариант 1
1 Найти y′ ( x ) для следующих функций:
⎧ x = ln t
⎪
а) y = 3x ⋅ cos x ; б) y = arcsin 1 − x 2 ; в) ⎨
1 3 .
y
t −t
=
⎪⎩
3
2 Найти локальные экстремумы и интервалы выпуклости (вогнутости)
функции y = xe1− x .
Вариант 2
1 Найти y′ ( x ) для следующих функций:
⎧⎪ x = sin 2 t
б) y = ln (1 + 2arctgx ) ; в) ⎨
.
2
⎪⎩ y = 2cos t
2 Найти локальные экстремумы и интервалы выпуклости (вогнутости)
x2
.
функции y =
x +1
ex
а) y =
;
tgx
Вариант 3
1 Найти y′ ( x ) для следующих функций:
а) y = ( log 2 x ) ⋅ ctgx ;
1 2
⎧
⎪x = t + t
2
.
б) y = arccos ( 3 x − 1) ; в) ⎨
⎪
⎩ y = ln (1 + t )
5
2 Найти локальные экстремумы и интервалы выпуклости (вогнутости)
1
функции y = x 3 + 2 x .
3
Вариант 4
1 Найти y′ ( x ) для следующих функций:
⎧⎪ x = 2cos3 t
x4
2
а) y = x ; б) y = sin 3ln x ; в) ⎨
.
3
4
⎪⎩ y = 3sin t
2 Найти локальные экстремумы и интервалы выпуклости (вогнутости)
функции y = x3 + 2 x 2 + x − 6 .
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вариант 5
1 Найти y′ ( x ) для следующих функций:
1 4 1 2
⎧
⎪x = t − t
а) y = ( ctgx ) e ; б) y = ⎡⎣ 4 + ln ( 2 x − 1) ⎤⎦ ; в) ⎨
4
2 .
2
⎪ y = t −1
⎩
2 Найти локальные экстремумы и интервалы выпуклости (вогнутости)
x2
.
функции y =
x−9
5
x
Вариант 6
1 Найти y′ ( x ) для следующих функций:
⎧ x = ctgt
6arctgx
4
y
=
cos
2
x
−
1
;
в)
;
б)
.
⎨
x2
⎩ y = 1 − cos t
2 Найти локальные экстремумы и интервалы выпуклости (вогнутости)
1
функции y = − x 4 + 3 x3 .
4
а) y =
Вариант 7
1 Найти y′ ( x ) для следующих функций:
⎧ x = ln tgt
4x
; б) y = tg 2 (1 − cos 2 x ) ; в) ⎨
а) y =
.
cos
y
=
t
sin x
⎩
2 Найти локальные экстремумы и интервалы выпуклости (вогнутости)
функции y = x − ln x .
Вариант 8
1 Найти y′ ( x ) для следующих функций:
⎧ x = 2cos t
arctg ( 4 x 2 +1)
cos x
; б) y = l
; в) ⎨
.
3sin
y
=
t
log 2 x
⎩
2 Найти локальные экстремумы и интервалы выпуклости (вогнутости)
ex
.
функции y =
x +1
а) y =
Вариант 9
1 Найти y′ ( x ) для следующих функций:
а) y = x ⋅ ctgx ;
3
26
⎧⎪ x = l 2t −1
б) y = arcsin (1 + ln 2 x ) ; в) ⎨
.
2 t +1
l
=
y
⎪⎩
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 Найти локальные экстремумы и интервалы выпуклости (вогнутости)
функции y = ln ( x 2 + 1) .
Вариант 10
1 Найти y′ ( x ) для следующих функций:
⎧⎪ x = 1 − t 2
а) y = 4 ⋅ arccos x ; б) y = arctg 1 + x ; в) ⎨
.
y
=
arcsin
t
⎪⎩
2 Найти локальные экстремумы и интервалы выпуклости (вогнутости)
x −1
.
функции y =
x +1
x
5
(
)
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4 Задания для проведения тестового контроля
1) Отрезок с граничными точками а и b ( a < b ) обозначается
а) ( a; b ) ;
б) [ a; b ) ;
в) ( a; b ] ;
г) [ a; b ] .
2)
Oδ ( x0 )
называется множество действительных
удовлетворяющих условию:
а) x0 − δ < x < x0 + δ ;
б) x0 − δ < x < x0 ;
в) x0 < x < x0 + δ ;
г) δ − x0 < x < δ + x0 .
3) Выколотой δ −окрестностью точки 2 называется
действительных чисел х, удовлетворяющих условию
б) 2 − δ < x < 2 ;
а) 2 < x < 2 + δ ;
г) δ − 2 < x < δ + 2 .
в) 2 − δ < x < 2 + δ ;
4) Если функция y = f ( x) ограничена на [ a; b ] , то
а) ∃c∀x ∈ [ a; b ] :
в) ∀ c ∀x ∈ [ a; b ] :
f ( x) > c ;
f ( x) ≥ c ;
б) ∃c > 0 ∀x ∈ [ a; b ] :
г) ∀ c ∀x ∈ [ a; b ] :
чисел
х,
множество
f ( x) ≤ c ;
f ( x) < c .
⎧⎪ ( −1)n ⎫⎪
5) Третий член последовательности ⎨
⎬ равен
n
!
⎪⎩
⎭⎪
1
1
а) 0;
б) 1;
в) − ; г) − .
3
6
6) lim f ( x) = b , если:
x→a
а) ∀ε > 0 ∃δ ( ε ) > 0 ∀x : x − a < δ ⇒ f ( x) − b < ε ;
б) ∀ε > 0 ∃δ ( ε ) > 0 ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − b < ε ;
в) ∃ε > 0 ∀δ ( ε ) > 0 ∀x : x − a < δ ⇒ f ( x) − b < ε ;
г) ∀ε > 0 ∃δ ( ε ) > 0 ∀x : 0 < x − a < ε ⇒ f ( x) − b < δ .
7) Если ∃δ > 0 ∀x ∈ O&δ ( a ) : f ( x) = b + α ( x ) , где b ≠ ∞, α ( x ) → 0 при
x → a , то
а) lim f ( x) = 0 ; б) lim f ( x) = α ; в) lim f ( x) = b ; г) lim f ( x) = ∞ .
x→a
x→a
x→a
x →a
8) Если lim f ( x) = b ≠ ∞ , то в некоторой выколотой окрестности точки а
x →a
функция f ( x) будет
а) ограниченной;
б) непрерывной;
в) монотонной;
г) дифференцируемой.
9) Если α ( x ) ~ β ( x ) при x → a , то
а) lim ( β − α ) = 1;
x →a
б) lim β ⋅ α = 1 ;
x →a
в) lim (α + β ) = 1 ;
x →a
ax3 + 3 x 2 + 5
a
= 1 . Отношение равно:
10) lim 3
x →∞ bx − 2 x + 10
b
а) 2;
б) -3;
в) 0;
г) 1.
28
α
= 1.
x →a β
г) lim
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
sin 2 x
равен:
x →0 arctg10 x
1
в) 5;
а) 0;
б) ;
5
e x −1 − 1
равен:
12) lim
x →1 sin x 2 − 1
( )
11) lim
г) ∞.
1
.
2
13) Вторым замечательным пределом называется выражение вида
n
n
n
n
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
а) lim ⎜1 + ⎟ ; б) lim ⎜1 + ⎟ ; в) lim (1 + n ) ; г) lim ⎜1 + ⎟ .
n →0
n →∞
n →a
n →0
⎝ n⎠
⎝ n⎠
⎝ n⎠
а) 1;
в) ∞;
б) 2;
г)
14) Если lim (1 + α ) α = l , то а равно:
1
α →a
а) 0;
б) ∞;
в) 1;
г) -1.
bx
1 ⎞
⎛
15) Если lim ⎜1 + ⎟ = e 2 , то b равно:
x →∞
⎝ 4x ⎠
а) 0;
б) 1;
в) -8;
г) 8.
16) lim f ( x ) находится с помощью второго замечательного предела, если
x →a
под знаком предела содержится неопределенность вида:
∞
⎛0⎞
⎛∞⎞
∞
в) (1 ) ; г) ⎜ ⎟ .
а) ( 0 ⋅ ∞ ) ; б) ⎜ ⎟ ;
⎝∞⎠
⎝0⎠
ln (1 + x ) 1
= . Число a равно:
17) lim
x →a sin 2 x
2
а) 0;
б) 1;
в) ∞;
г) 5.
18) В точке 2 разрывной является функция
1
1
sin x
.
а) y = tgx ; б) y = e x − 2 ; в) y = e x ; г) y =
x
19) В точке 0 неустранимый разрыв первого рода имеет функция
x
1
sin x
; в) y = ; г) y = ctgx .
а) y = e x ; б) y =
x
x
1
20) В точке 1 функция y = e x − a имеет разрыв. Значение a равно:
в) 2; г)0.
а) ∞; б) 1;
21) Если функция y = f ( x) определена в некоторой окрестности точки х0
и lim f ( x) = f ( x0 ) , то функция y = f ( x) в точке х0:
x → x0
а) непрерывна; б) разрывна; в) дифференцируема; г) имеет минимум.
22) Если lim f ( x) = b ≠ ∞, lim f ( x) = ∞ , то функция y = f ( x) в точке
x → x0 −0
x → x0 + 0
х0:
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а) непрерывна; б) имеет разрыв первого рода;
в) имеет разрыв
второго рода.
23) Функция y = f ( x) , имеющая в точке 2 разрыв второго рода,
изображена на чертеже
а)
б)
у
у
х
2
х
2
в)
г)
у
у
х
2
2
х
24) Если функция y = f ( x) непрерывна в точке х0, то верно:
а) lim f ( x) = 0 ; б) lim f (x) = f (x0 ) ; в) lim f (x) = 0 ; г) lim ∆f ( x) = ∆f ( x0 ) .
∆x→0
x→x0
x→x0
x→x0
25) Производная функции y = f ( x) в точке х0 − это:
f ( x) − f ( x0 )
f ( x0 + ∆x) − f ( x)
;
б) lim
;
а) lim
x→ x0
∆x→0
∆x
∆x
∆f ( x0 )
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
;
г) lim
.
в) lim
∆x→∞
∆x→0
∆x
∆x
26) Приращением функции y = f ( x) в точке х0, соответствующим
приращению аргумента ∆x , называется выражение вида:
а) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ;
б) f ( x0 + ∆x ) − f ( x) ;
г) f ( x + ∆x ) − f ( x0 ) .
в) f ( x0 + ∆x ) + f ( x0 ) ;
27) Если у функции y = f ( x) в точке х0 существует конечная
производная, то в этой точке функция
а) монотонна; б) имеет локальный экстремум; в) разрывна; г) непрерывна.
28) Производная сложной функции y = f ⎡⎣ϕ ( x ) ⎤⎦ находится по формуле:
б) y′x = fϕ′ ⋅ ϕ ′x ;
в) y′x = fϕ′ + ϕ ′x ;
г) y′x = f x′ + ϕ ′x .
а) y′x = f x′ ⋅ ϕ ′x ;
2
29) Производная функции y = e x равна:
2
2
2
1 2
в) e x ; г) e x .
а) 2 xe x ; б) 2e x ;
2
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30) y = ln cos x . Производная этой функции в точке
а) 2;
б) 0;
в) -1;
г) 5.
2
3x
. Функция y ( x) равна:
31) y′ ( x ) =
1 + x6
а) ln (1 + x 6 ) ; б) ln (1 + x 3 ) ; в) arctgx3 ;
π
4
равна:
г) tgx 3 .
32) Если функция y = f ( x) дифференцируема в точке х0, то справедлива
формула:
а) ∆f ( x0 ) = df ( x0 ) ; б) ∆f ( x0 ) > df ( x0 ) ; в) ∆f ( x0 ) < df ( x0 ) ; г) ∆f ( x0 ) ≈ df ( x0 ) .
33) Приращение дифференцируемой в точке х0 функции y = f ( x)
представимо в виде:
а) A ⋅ α ( ∆x ) ; б) A∆x + α ( ∆x ) ∆x ; в) A + α ( ∆x ) ⋅ ∆x ; г) A + α ( ∆x ) .
34) Значение функции y = sin x для х=0.2 может быть найдено с помощью
формулы:
а) sin 0.2 ≈ sin 0 + ( cos0 ) ⋅ 0.2 ;
б) sin 0.2 ≈ cos0 + ( sin 0 ) ⋅ 0.2 ;
г) sin 0.2 ≈ ( cos0 ) ⋅ 0.2 .
в) sin 0.2 ≈ cos0 + sin 0 ;
35) Уравнение касательной к графику функции y = f ( x) в точке х0 имеет
вид:
б) y − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ;
а) y − f ( x0 ) = x − x0 ;
в) y − f ( x0 ) = f ′( x0 )( x − x0 ) ;
г) y = f ′( x0 ) + ( x − x0 ) .
36) Главная часть приращения дифференцируемой в точке функции
называется её
а) детерминантом;
б) дискриминантом;
в) дифференциалом;
г) делимым.
37) Дифференциал функции y = f ( x) в точке х0 равен:
б) f ′( x0 ) + dx ;
в) f ( x0 )dx ;
г) f ′( x0 ) .
а) f ′( x0 )dx ;
38) y = ctgx . Дифференциал функции в точке
а) 2dx ;
б) −dx ;
в)
1
dx ;
2
π
2
равен:
г) dx .
39) Если t = x3 , то dt равен:
а) x3dx ;
б) 3х2;
в) dx;
г) 3х2dx.
40) Если y = f ( x) дифференцируема в точке х0, ∆x мало, то значение
функции в точке x0 + ∆x находится по формуле
а) f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )∆x ;
б) f ( x0 + ∆x ) ≈ f ′( x0 )∆x ;
г) f ( x0 + ∆x ) = f ( x0 ) .
в) f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 )∆x ;
41) Если ∀x1 , x2 ∈ X : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) , то функция y = f ( x) на
множестве Х называется:
а) постоянной; б) возрастающей; в) невозрастающей; г) убывающей.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
42) Если функция y = f ( x) убывает на множестве Х, то ∀x1 , x2 ∈ X
справедливо
б) x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) = f ( x2 ) ;
а) x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) ;
г) x1 > x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) .
в) x1 > x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) ;
43) Если ∃δ > 0 ∀x ∈ Oδ ( x0 ) : f ( x) ≤ f ( x0 ) , то точка х0 – называется точкой:
б) минимума функции y = f ( x) ;
а) максимума функции y = f ( x) ;
г) пересечения функции y = f (x) с
в) перегиба функции y = f ( x) ;
осью ОХ.
44) Если точка х0 является точкой перегиба дважды дифференцируемой в
некоторой её окрестности функции y = f ( x) , то:
а) при переходе через х0 f ′′( x) меняется знак на противоположный;
в) f ′′( x0 ) < 0 ;
г) f ′( x0 ) > 0 .
б) f ′′( x0 ) > 0 ;
f ( x)
= k ≠ 0 , lim [ f ( x) − kx ] = b . Прямая y = kx + b
x →∞
x →∞
x
является для функции y = f ( x) :
а) касательной;
б) горизонтальной асимптотой;
в) наклонной асимптотой;
г) вертикальной асимптотой.
46) Прямая х=а является вертикальной асимптотой функции y = f ( x) ,
если:
а) lim f ( x) = 0 ; б) lim f ( x) = ∞ ; в) lim f ( x) = a ; г) lim f ( x) = a .
45) Известно, что lim
x →a
π
x→a
x →+∞
x →−∞
для функции y = tgx является:
2
а) касательной;
б) наклонной асимптотой;
в) горизонтальной асимптотой; г) вертикальной асимптотой.
48) Для функции y = x3 точкой перегиба является точка:
а) 0;
б) 1;
в) -1; г) 10.
47) Прямая x =
49) Пусть y′ изображена на графике
у'
y′ = f ′( x )
х0
х
Тогда график функции y = f ( x) имеет вид:
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
б)
а)
у
у
х0
в)
х
y
y
г)
x0
х
х0
x
x
х0
50) Пусть y′ изображена на графике
у'
y′ = f ′( x )
х0
x
Тогда график функции y = f ( x) имеет вид:
а)
б)
у
у
х0
в)
х0
х
у
г)
х0
х
х
у
х0
х
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
51)
Если
функция
y = f ( x)
удовлетворяет
условиям:
∀x ∈ X : f ( x) > 0, f ′′( x) < 0; ∃x0 ∈ X : f ′( x0 ) = 0 , то график этой функции имеет
вид:
а) у
б)
у
х0
в)
х
г)
у
х0
х
х0
х
х0
х
у
52) Известно, что функция не имеет локальных экстремумов. Этой
функцией является:
а) y = x 2 ;
б) y = e x ;
в) y = cos x ;
г) y = sin x .
x
53) Наибольшее значение функции y = e на [−2;0] равно:
1
а) 0;
б) ;
в) -1;
г) 1.
2
54) Вертикальная асимптота существует у функции:
1
а) y = x 2 ;
б) y = x ; в) y = ;
г) y = sin x .
x
55) Выпуклой на всей области своего определения является функция:
б) y = ln x ; в) y = a x ; г) y = tgx .
а) y = cos x ;
56) Если функция y = f ( x) - выпукла и возрастает на множестве Х, то на
Х для этой функции справедливы условия:
б) f ′( x) > 0, f ′′( x) > 0 ;
а) f ′( x) > 0, f ′′( x) < 0 ;
г) f ′( x) = 0, f ′′( x) > 0 .
в) f ′( x) < 0, f ′′( x) < 0 ;
57) Наименьшее значение, которое принимает функция y = x 2 − 2 x + 2 на
D( y ) равно:
а) 0;
б) -2;
в) 1;
г) 3.
58) Функция y = f ( x) не обладает свойством четности (нечетности). Этой
функцией является:
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а) y = sin x ;
б) y = x 2 ;
в) y = tgx ;
г) y = log a x .
59) Функция f ( x) и g ( x) является нечетными на множестве Х, на этом
множестве функции y = f ( x) ⋅ g ( x)
а) является нечетной;
б) является четной;
в) не обладает свойством четности (нечетности).
60) Функция y = f ( x) является периодической с периодом Т. Эта
функция удовлетворяет условию
а) f ( x + T ) = f (x) ; б) f ( x) + T = f (x) ; в) Tf (x) = f (x) ; г) f ( x + T ) = f ( x) + T .
61) Функция является всюду положительной и вогнутой. Этой функцией
является
1
в) y = ;
г) y = e x .
а) y = x3 ; б) y = ln x ;
x
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список использованных источников
1 Высшая математика для экономистов; под редакцией Н.Ш. Кремера.
– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. – 440с.
2 Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное
пособие для вузов в 2Ч. /П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. 5-е изд. –
М.: Высшая школа, 1996. Ч.1 – 304с.: ил.
3 Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное
пособие; под редакцией В.И. Ермакова. – М.: ИНФОРА-М, 2001. – 575с. –
(Серия «Высшее образование»).
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение А
(справочное)
Методика проведения контрольного занятия по проверке итоговых
базовых знаний по теме «Математический анализ функции одной переменной»
Количество оценок 4
Название оценок
Неудовлетворительно,
удовлетворительно,
хорошо,
отлично.
Пороги оценок: удовлетворительно
36 правильных ответов,
хорошо
48 правильных ответов,
отлично
60 правильных ответов.
Предел длительности всего контроля
90 минут
Предел длительности ответа на 1,5 минуты
каждый вопрос
Предложенное количество вопросов
61
37
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа