close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

475.Системы случайных величин

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ивановский государственный химико-технологический университет
Системы случайных величин
Методические указания для самостоятельной работы студентов
Составитель В.А. Бобкова
Иваново 2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Составитель В.А. Бобкова
УДК 519.2
Системы случайных величин: метод. указания для самостоятельн.
работы ст-тов / Сост. В. А. Бобкова; Иван. гос. хим.-технол. ун-т. – Иваново, 2010-28 с.
Методические указ ания посвящены одному из разделов курса «Теория вероятностей и математическая статистика», а именно: системам случайных величин. Дано понятие системы случайных величин, описаны способы задания систем дискретных и непрерывных случайных величин.
Р ассмотрены понятия зависимости и независимости случайных величин,
условные законы распредел ения, числовые характеристики зависимости.
Отдельно рассмотрены системы нормально распредел енных случайных
величин. Приведены графические иллюстрации и примеры решения задач.
Методические указ ания предназначены для самостоятельной работы студентов всех направлений подготовки.
Библиогр.: 4 назв.
Р ецензент доктор технических наук, про ф ессор А. Н. Лабутин
(Ивановский государственный химико-технологический университет)
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Основные сведения о системах случайных величин
и о способах их задания
1.1. Понятие о системе случайных величин
В практических применениях теории вероятностей приходится иметь
дело с зад ачами, в которых результат опыта описывается не одной случайной величиной, а двумя или боле е случайными величинами, образующими систему или случайный вектор.
Например, успева емость наудачу взятого студента характеризуется
несколькими оценками, полученными им в ходе экзаменационной сессии;
на урожайность данной сельскохозяйственной культуры влияют погодные
условия, применяемые удобрения, характер почвы, качество посевного
материала и так дал е е.
Случайным вектором (n-мерной случайной величиной, системой n случайных величин) называют упорядоченный набор из n случайных величин
(Х1, Х2, … , Хn).
Одномерные случайные величины Х1, Х2, … , Хn называются компонентами или составляющими n-мерной случайной величины (Х1, Х2, … ,
Хn). Их можно рассматривать как координаты случайной точки или случайного вектора X = ( X 1 , X 2 ,..., X n ) в пространстве n измер ений.
Системы случайных величин могут быть дискретными, непрерывными
и смешанными в зависимости от типа случайных величин, образующих
систему. В первом случае компоненты этих систем являются дискретными
случайными величинами, во втором – непрерывными случайными величинами, в третьем – случайными величинами разных типов.
Р ассмотрим сначал а наиболе е простой случай – систему, состоящую
из двух случайных величин (двумерную случайную величину).
Пример: станок-автомат штампует стальные плитки. Контролируемыми размер ами являются длина X и ширина Y. Имеем двумерную случайную величину (X,Y).
Геометрически двумерную случайную величину (X,Y) можно истолковать либо как случайную точку M(X,Y) на плоскости (то есть как точку со
случайными координатами), либо как случайный вектор ОМ (рис. 1 и рис.
2).
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y
y
M(X,Y)
M(X,Y)
O
x
x
O
Рис.1.
Рис. 2
1.2.Функция распределения вероятностей
двумерной случайной величины и её свойства
Универсальной ф ормой зад ания двумерной случайной величины является функция распредел ения (или «интегральная функция»).
Функцией распределения двумерной случайной величины (X,Y) называют
вероятность совместного выполнения двух нер авенств {X<x} и {Y<y}:
F ( x, y ) = p{ X < x; Y < y} .
(1)
Геометрическая интерпретация: если двумерную случайную величину
(X,Y) рассматривать как случайную точку в прямоугольной декартовой
системе координат, то функция распределения F(x,y) есть вероятность
попадания случайной точки (X,Y) в бесконечный квадрант с вершиной в
точке (x,y), лежащий леве е и ниже е ё (рис.3):
Рис. 3. Геометрическая интерпретация функции распредел е ния
двумерной случайной величины
В аналогичной интерпретации функция распредел ения первой компоненты X случайного вектора – обозначим е ё F1(x) – представляет собой
вероятность попадания случайной точки в полуплоскость, ограниченную
справа абсциссой х (рис. 4); функция распред ел ения величины Y – F2(y) –
вероятность попадания в полуплоскость, ограниченную сверху ординатой
y (рис. 5):
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4. Геометрическая интерпретация функции распределения первой компоненты F1(x)
двумерной случайной величины
(X,Y).
Рис. 5. Геометрическая интерпретация функции распределения второй компоненты F2(y)
двумерной случайной величины
(X,Y).
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 1. Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая X двумерной случайной величины (X,Y) примет значение X<2,
при этом составляющая Y примет значение Y<3, если известна функция
распредел ения системы
1
x 1 1
y 1
F ( x, y ) = ( arctg + ) × ( arctg + )
p
3 2
2 2 p
Решение:
Тогда
F ( x, y ) = P{ X < x; Y < y}
1
2 1 1
3 1
p{ X < 2; Y < 3} = F ( 2,3) = ( arctg + ) × ( arctg + ) =
2
2 2 p
3 2
1 p 1 1 p 1
3 3 9
= ( × + )×( × + ) = × =
= 0,5625
p 4 2 p 4 2
4 4 16
Ответ: 0,5625.
Свойства функции распределения двумерной случайной величины
1)
0 £ F ( x, y ) £ 1 ,
(2)
так как это вероятность.
2) F(x,y) есть неубывающая ф ункция своих аргументов, то есть
F ( x 2 , y ) ³ F ( x1 , y ) при x 2 > x1 ,
(3)
F ( x, y 2 ) ³ F ( x, y1 ) при y 2 > y1 .
(4)
Доказательство. При увеличении какого-либо из аргументов (x,y) заштрихованная на рис.1 область увеличивается, значит, вероятность попадания в неё случайноё точки (X,Y) не может уменьшаться.
3) Если хотя бы один из аргументов обраща ется в -∞, то функция распредел е ния F(x,y) равна нулю:
F ( x,-¥) = F (-¥, y ) = F (-¥,-¥) = 0 .
(5)
Доказательство. События {X < -¥}, {Y < -¥} и их произвед ение невозможны, следовательно, вероятности этих событий равны нулю.
4) Если оба аргумента равны +∞, то функция распределения F(x,y) равна единице:
F (+¥,+¥) = 1 .
(6)
Доказательство. Событие {X < +¥}× {Y < +¥} достоверно, следовательно,
его вероятность равна единице.
5) При одном из аргументов, равном +∞, функция распредел е ния двумерного вектора превраща ется в функцию распредел ения компоненты,
соответствующей другому аргументу:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
F ( x,+¥) = F1 ( x); F (+¥, y ) = F2 ( y ) .
(7)
Доказательство: Так как событие Y<+∞ достоверно, то F(x, +∞) определяет вероятность события X <x, то есть представляет собой функцию распредел е ния составляющей X.
Итак, зная совместное распределение двух случайных величин, можно найти одномерные распредел е ния каждой из этих случайных величин,
однако обратное, в общем случае, неверно.
Вероятность попадания случайной точки в полуполосу
Используя функцию распредел ения системы случайных величин Х и
Y, найдем вероятность того, что в результате испытания случайная точка
попадет в полуполосу x1<X<x2
и Y<y
y (x1,y)
(x2,y)
p{x1<X<x2, Y<y} =
= p( x<x2, Y<y) - p{ X<x1, Y<y}=
= F(x2,y) - F(x1,y)
x1
x
Аналогично,
p{X<x, y1<Y<y2} = F(x,y2) - F(x,y1).
Таким образом, вероятность попадания случайной
точки в полуполосу равна приращению функции
(x,y1)
распредел ения по одному из аргументов.
x2
y
y2
y1
(x,y2)
x
x
Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник
y
y2
y1
A(x1,y2)
C(x1,y1)
x1
B(x2,y2)
D(x2,y1)
x2
x
Р ассмотрим прямоугольник со сторонами, паралл е льными координатным
осям. Пусть уравнения сторон: X=x1; X=x2; Y=y1; Y=y1.
Тогда p{x1<X<x2, y1<Y<y2} = p{x1<X<x2, Y< y2} - p{x1<X<x2, Y< y1} =
= [F(x2,y2)- F(x1,y2)]- [F(x2,y1)- F(x1,y1)].
Итак,
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
p{x1 < X < x 2 , y1 < Y < y 2 } = [F (x 2 , y 2 ) - F ( x1 , y 2 )] - [F (x 2 , y1 ) - F (x1 , y1 )]
(8)
Пример 2. Найти вероятность попад ания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми
x=p/6; x=p/2; y=p/4; y=p/3, если
F(x,y)=sin(x)sin(y) (0≤x<p/2; 0≤y<p/2).
Решение:
p
p p
p
p p
p p
p p
p p
< x < , < y < ) = [ F ( , ) - F ( , )] - [ F ( , ) - F ( , )] =
6
2 4
3
2 3
6 3
2 4
6 4
p
p
p
p
p
p
p
p
= [sin sin - sin sin ] - [sin sin - sin sin ] =
2
3
6
3
2
4
6
4
æ 3
3ö æ 2
2 ö ( 3 - 2)
÷=
÷-ç
.
= çç
ç
÷
÷
2
4
2
4
4
ø
è
ø è
P(
Ответ:
( 3 - 2)
.
4
1.3. Закон распределения вероятностей
дискретной двумерной случайной величины
Законом распределения вероятностей дискретной двумерной случайной
величины называ е тся совокупность всех возможных значений этой случайной величины, то есть пар чисел (xi,yi), и их вероятностей p(xi,yi):
pij = p( xi , yi ) = p{ X = xi ; Y = yi }, i = 1, n, j = 1, m
Зд есь n, m – число возможных значений случайных величин X и Y (n и m
могут быть конечными или бесконечными).
Обычно закон распределения задают в виде таблицы. Пусть x1, x2, … ,
xn – все возможные значения случайной величины X, y1, y2, … , ym – все
возможные значения случайной величины Y. Тогда закон распредел ения
может быть представлен в виде следующей таблицы:
Таблица 1
y
x
y1
y2
…
yj
x1
p(x1,y1)
p(x1,y2)
…
x2
p(x2,y1)
p(x2,y2)
…
…
…
…
…
xi
p(xi,y1)
…
…
…
…
…
…
xn
p(xn,y1)
…
…
В клетке на пересечении строки xi
p(xi,yj) того, что двумерная случайная
(xi,yj).
8
…
ym
p(x1,yj)
…
P(x1,ym)
…
…
…
…
…
…
p(xi,yj)
…
…
…
…
…
…
…
p(xn,ym)
и столбца yj указана вероятность
величина (X,Y) примет значение
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как события { X = xi ; Y = y j }, i = 1, n, j = 1, m образуют полную
группу событий, то сумма вероятностей во всех клетках равна единице:
n
m
åå
i =1 j =1
p ij = 1
(9)
Зная закон распредел ения двумерной случайной величины, можно
найти законы распредел е ния каждой из составляющих. Действительно, так
как, например, события {X=x1,Y=y1},{X=x1,Y=y2}, … , {X=x1,Y=ym} несовместны, то вероятность p(x1) того, что одномерная случайная величина X примет значение x1, по теореме сложения вероятностей несовместных событий равна
p1 = p{ X = x1} = p ( x1 , y1 ) + p ( x1 , y2 ) + ... + p ( x1 , ym ) .
(10)
В общем случае имеем:
m
m
j =1
j =1
pi = p{ X = xi } = å p( xi , y j ) = å pij .
(11)
Аналогично можно записать:
n
p j = p{Y = y j } = å pij .
(12)
i=1
Пример 3. Качество продукции характеризуется двумя случайными величинами: X и Y. Закон распредел е ния случайного вектора (X,Y) представлен в таблице:
Таблица 2
yj
0
0,1
0,2
0,3
pi
5
6
7
0,2
0
0
0,1
0,15
0
0,05
0,15
0,1
0,05
0,1
0,1
0,4
0,4
0,2
pj
0,2
0,25
0,3
0,25
xi
åå p
i
ij
=1
j
Найдём закон распределения координат X и Y случайного вектора.
Вероятность события {X = xi } = pi есть сумма вероятностей, находящихся
в i-ой строке. Вероятности pi находятся в последнем столбце таблицы.
Ряд распредел ения случайной величины Х имеет вид:
Таблица 3
xi
5
6
9
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
pi
0,4
0,4
0,2
Ряд распредел ения Y находим, вычисляя суммы элементов столбцов
таблицы 2. Эти вероятности
p j находятся в последней строке таблицы 2.
Ряд распредел ения случайной величины Y имеет вид:
Таблица 4
yi
0
0,1
0,2
0,3
pj
0,2
0,25
0,3
0,25
1.4. Плотность распределения вероятностей
непрерывной двумерной случайной величины и её свойства
Р аспредел ение многомерных непрерывных случайных величин обычно характеризуют плотностью распредел ения.
Плотностью распределения двумерной непрерывной случайной величины
называют предел отношения вероятности попадания случайной величины
в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда оба его
размера стремятся к нулю:
y
R∆
∆y
∆x
x
p{( x, y ) Î RD } ¶ 2 F ( x, y )
f ( x, y ) = lim
=
Dx ®0
D
x
×
D
y
¶x¶y
Dy ®0
(13)
Плотность распредел ения двумерной непрерывной случайной величины вычисляется как вторая смешанная частная производная от
функции распредел ения.
Геометрически плотность распредел ения вероятностей f ( x, y ) системы двух случайных величин (X,Y) представляет собой некоторую поверхность, называ емую поверхностью распределения (рис. 6):
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f(x,y)
О
y
x
Рис. 6. Поверхность распред ел ения системы двух случайных величин
Пример 4. Найдите плотность распредел е ния вероятностей системы
двух случайных величин (X,Y) по зад анной функции распредел ения
(
)(
)
F (x, y ) = 1 - e -9 x 1 - e -3 y .
¶ 2 F ( x, y ) ¶ æ ¶
ö
1 - e -9 x 1 - e -3 y ÷ =
= ç
¶x¶y
¶y è ¶x
ø
¶
¶
¶
ö
×
1 - e -9 x ÷ ==
9e -9 x × 1 - e -3 y = 9e -9 x ×
1 - e -3 y = 9e -9 x × 3e -3 y = 27e -9 x e -3 y .
¶x
¶
y
¶
y
ø
Решение: f ( x, y ) =
=
¶ æ
-3 y
ç 1- e
¶y è
(
)
(
)
(
((
)(
(
))
))
(
)
-9 x -3 y
Ответ: f ( x, y ) = 27e e .
Используя плотность распредел ения, можно записать формулу для
вычисления вероятности попадания двумерной случайной величины (X,Y)
в прямоугольник R, ограниченный прямыми x = a, x = b, y = c, y = d :
y
R
d
c
d b
a
b
x
p{( X , Y ) Î R} = ò ò f ( x, y ) dxdy
c a
(14)
Свойства плотности распределения двумерной случайной величины
1) Плотность распределения двумерного случайного вектора есть
функция неотрицательная:
f ( x, y ) ³ 0 .
(15)
Действительно, по определ ению плотность распред ел ения есть пред ел
отношения двух неотрицательных величин: вероятности попад ания в пря11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
моугольник и площади прямоугольника – и, следовательно, отрицательной
быть не может.
2) Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область D равна
двойному интегралу от плотности по области D:
p{( X , Y ) Î D} = òò f ( x, y )dxdy
(16)
D
Действительно, разбив область D на прямоугольники и применив к каждому из них равенство (13), получаем, по теореме сложения вероятностей,
при стремлении к нулю площадей прямоугольников (то есть при dx ® 0 и
dy ® 0 ), формулу (15). Геометрически эта вероятность изображается объёмом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распредел ения f ( x, y ) и опирающегося на область D.
3) Функция распределения двумерной случайной величины выражается через плотность распредел ения следующим образом:
x y
F ( x, y ) =
ò ò f ( x, y)dxdy
(17)
-¥-¥
Эта формула следует из (13), так как F(x,y) есть вероятность попадания в
прямоугольник, ограниченный абсциссами - ¥, x и ординатами - ¥, y .
4) Условие нормировки: двойной несобственный интеграл в бесконечных предел ах от плотности вероятности двумерной случайной величины
равен единице:
¥ ¥
ò ò f ( x, y)dxdy = 1 .
(18)
- ¥- ¥
Действительно, этот интеграл есть вероятность попадания во всю плоскость xOy, то есть вероятность достоверного события. Геометрически
свойство 4 означа ет, что объём тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью xOy, равен единице.
5) Плотности распределения компонент двумерного случайного вектора могут быть получены по формулам:
¥
f1 ( x) =
ò f ( x, y)dy ,
(19)
-¥
¥
f 2 ( y) =
ò f ( x, y)dx .
-¥
Доказательство. Принимая во внимание, что
12
(20)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x y
F ( x, y ) =
ò ò f ( x, y)dxdy
F1(x) = F(x, ¥) ,
и
-¥-¥
найдем
x ¥
ò ò f ( x, y)dxdy .
F1 ( x) =
-¥-¥
Проди ф ф ер енцировав обе части этого равенства по х, получим формулу
(19):
¥
dF
f1 ( x) = 1 = ò f ( x, y )dy .
dx - ¥
Аналогично выводится формула (20).
Пример 5. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью распредел е ния вероятностей f ( x, y ) =
A
.
1+ x 1+ y2
(
2
)(
)
Найти: 1) А; 2) p{0 < x < 1, 0 < y < 2}; 3) f1 ( x) и f 2 ( y ) .
Решение: 1) Постоянную А найдём, используя условие нормировки:
¥
¥
¥
ò
(
-¥
A × arctgx
)(
¥
)
× arctgy
-¥
¥
=1 ,
A ×p 2 = 1 .
-¥
Следовательно, A =
¥
dx
dy
Aò
=1 ,
2 ò
2
1
1
+
x
+
y
-¥
-¥
A
ò-¥ 1 + x 2 1 + y 2 dxdy = 1 ,
1
.
p2
2) Используя формулу (14), находим:
{
}
2 1
2 1
1
1
dxdy = 2
2
2
2
1+ y
p
0 0 p 1+ x
p 0 < X < 1 ,0 < Y < 2 = ò ò f ( x, y )dxdy = ò ò
0 0
1
= 2
p
2
(
)(
)
æ 1 dx
ò0 ççè ò0 1 + x 2
2
ö dy
÷
÷1+ y2 =
ø
2
dy
dy
1 p
1
1
ò0 (arctg1 - arctg 0)1 + y 2 = p 2 × 4 ò0 1 + y 2 = 4p × (arctg 2 - arctg 0) = 4p × 1,107149 = 0,088104.
Можно было сначал а по ф ормуле (17) найти функцию распредел ения
1
F ( x, y ) = 2
p
æ x dx
ò çç ò 2
- ¥è - ¥1 + x
y
ö dy
1
÷
÷1+ y2 = p 2
ø
y
y
x
1 æ
pö
dy
æ
ö dy
arctgx
= 2 ç arctgx + ÷ × ò
=
ç
÷
2
ò-¥è
2 ø -¥1 + y 2
p è
-¥ ø 1 + y
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
=
y
1 æ
1 æ
pö
p öæ
pö
+
×
= 2 ç arctgx + ÷ç arctgy + ÷
arctgx
arctgy
ç
÷
2
2ø
2 øè
2ø
p è
p è
-¥
и затем воспользоваться ф ормулой (8):
p{0 < X < 1 ,0 < Y < 2} = [F (1;2 ) - F (0;2 )] - [F (1;0 ) - F (0;0 )] = (0,607224 - 0,399190 ) -
- (0.350059 - 0.230130) = 0,088104.
3) f1 (x ) =
¥
1
dy
1
×
=
ò 2 1+ x2 1+ y2 p 2 1+ x2
- ¥p
(
=
f2 (y) =
)(
1
p 1+ x2
2
(
)
)
(
¥
)
¥
dy
1
=
×
arctgy
=
ò-¥1 + y 2 p 2 1 + x 2
-¥
(
1
1
æp p ö
×p =
×ç + ÷ = 2
2
p 1+ x2
è 2 2 ø p 1+ x
(
)
(
)
)
,
¥
dx
1
1
.
×
=
=
...
.
2
2
2
ò-¥p 1 + x 1 + y
p 1+ y2
(
)(
)
(
)
Ответ:
1
1
1
; f2 (y) =
.
2 ; 2) p{0 < X < 1 ,0 < Y < 2} = 0,088104; 3) f 1 ( x ) =
2
p
p (1 + x )
p (1 + y 2 )
1.5. Система n случайных величин
Перейдём теперь к системе n случайных величин или к n-мерной случайной величине.
Функция распределения n-мерной случайной величины - это вероятность
совместного выполнения нер авенств вида: {Xi<xi}:
1) A =
(21)
F(x1,
x2 ,
…
,
xn)
=
p{ X1<x1;
X2<x2;
…
;
Xn<xn}.
Свойства функции распредел ения аналогичны двумерному случаю, в
частности:
F (x1 , x 2 , ... , x n )Î [0;1] ; F (¥, ¥, ... , ¥ ) = 1 ; Fi (xi ) = F (¥, ... , xi , ... , ¥ ) .
(22)
Закон распределения дискретной n-мерной случайной величины - это совокупность всех возможных значений, которые может принимать n-мерная
случайная величина, и их вероятностей:
pi1i2 ...in = p{ X 1 = xi1 ; X 2 = xi2 ; ... ; X n = xin } .
(23)
Для непрерывной n-мерной случайной величины вводят понятие
плотности распредел ения.
Плотность
распределения
n-мерной
случайной
величины
X 1 , X 2 , ... , X n – это n-ная смешанная частная производная функции рас-
(
)
предел е ния F ( x1 , x 2 , ... , x n ) , взятая один раз по каждому аргументу:
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f ( x1 , x2 , ... , xn ) =
¶ n F ( x1 , x2 , ... , xn )
¶x1¶x2 ... ¶xn
(24)
f (x1 , x 2 , ... , x n ) ³ 0 ,
При этом:
(25)
¥ ¥
.
¥
ò ò ... ò f (x , x , ... , x )dx dx ...dx
1
n
2
1
2
n
= 1,
-¥ -¥
-¥
1
424
3
n
(26)
p{(X 1 , X 2 , ... , X n )Î D} = ò ò ...ò
f (x1 , x2 , ... , xn )dx1dx2 ...dxn .
(27)
(D)
Функция распредел ения выражается через плотность n-кратным интегралом
F (x1 , x2 , ... , xn ) =
x1 x2
xn
-¥-¥
-¥
ò ò ... ò f (x , x , ... , x )dx dx ...dx .
1
2
n
1
2
n
(28)
1
424
3
n
2. Зависимость и независимость случайных величин
Р ане е было показ ано, как, зная закон распределения вероятностей
системы двух случайных величин (двумерного вектора), опред елить законы распред ел ения отдельных случайных величин, входящих в систему (то
есть компонент вектора).
Естественно, возникает вопрос: нельзя ли по законам распредел ения
вероятностей отдельных величин, входящих в систему, найти закон распредел е ния системы? Оказыва ется, в общем случае этого сделать нельзя.
Это можно сдела ть только в том случае, когда случайные величины X и Y
независимы.
a. Независимые случайные величины
Случайные величины X и Y называются независимыми, если события
{X<x} и {Y<y} независимы при любых x и y. В противном случае величины
называются зависимыми.
Теорема. Для того, чтобы случайные величины X и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы
(X,Y) была равна произведению ф ункций распределения составляющих:
F (x, y ) = F1 ( x) × F2 ( y ).
(29)
Доказательство
а) Необходимость. Пусть X и Y независимы. Тогда события А={X<x} и
В={Y<y} независимы, следовательно, вероятность совмещения этих событий равна произвед ению их вероятностей:
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
p{X < x, Y < y} = p( A × B) = p( A) × p( B) = p{ X < x} × p{Y < y},
1442443
1424
3 1
424
3
F ( x, y )
то есть
F1 ( x )
F2 ( y )
F ( x, y ) = F1 ( x) × F2 ( y ).
б) Достаточность. Пусть F ( x, y ) = F1 ( x) × F2 ( y). Отсюда
p{ X < x, Y < y} = p{ X < x} × p{Y < y},
то есть вероятность совмещения событий {X<x} и {Y<y} равна произвед ению вероятностей этих событий. Следовательно, случайные величины X и
Y независимы.
Следствие 1. Необходимым и достаточным условием независимости
двух непрерывных случайных величин, образующих систему (X,Y), является равенство
f ( x, y ) = f1 ( x) × f 2 ( y ).
(30)
Следствие 2. Необходимым и достаточным условием независимости
двух дискретных случайных величин, образующих систему (X,Y), явля ется
равенство
p{X = xi , Y = y j } = p{X = xi }× p{Y = y j }
(31)
для любых i = 1, 2, ... , n, j = 1, 2, ... , m
Пример 6. Плотность распредел е ния системы непрерывных случайных величин (X,Y) имеет вид:
f (x, y) =
1
p 2(x2 + y2 + x2 y2 +1) .
Определить, зависимы или независимы случайные величины X и Y.
Решение: Разлагая знаменатель на множители, получаем:
f (x, y) =
1
1
×
p (1+ x2 ) p (1+ y2 ) .
Из того, что функция f(x,y) распалась на произвед ение двух функций, из
которых одна зависит только от x, а другая только от y, заключаем, что величины X и Y независимы.
Пример 7. Определить, зависимы или независимы дискретные случайные
величины X и Y, если закон распред ел ения случайного вектора (X,Y) представлен в таблице 2 (см. пример 3 на стр.8).
Решение: Из таблицы 2 имеем p{X = 5, Y = 0} = 0,2 ; из таблицы 3 имеем
p{X = 5} = 0,4 ; из таблицы 4 имеем: p{Y = 0} = 0,2 .
Поскольку p{X = 5, Y = 0} = 0,2 ¹ p{X = 5}× p{Y = 0} = 0,2 × 0,4 = 0,08 ,
сделать вывод, что величины X и Y зависимы.
16
можно
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Понятие независимости можно обобщить на случай n величин. Случайные величины X1, X2, … , Xn называются независимыми в совокупности
(или взаимно независимыми), если события {X1<x1}, {X2<x2}, … , {Xn<xn} независимы в совокупности (взаимно независимы) при любых (x1, x2, … , xn).
Необходимым и достаточным условием взаимной независимости n случайных величин является равенство:
FX1 , X 2 ,..., X n x1 , x2 , ... , xn = FX1 ( x1 ) × FX 2 ( x2 ) × ... × FX n ( xn ) ;
(32)
(
)
для n непрерывных случайных величин
f X1 , X 2 ,..., X n (x1 , x2 , ... , xn ) = f X1 (x1 ) × f X 2 ( x2 ) × ... × f X n (xn ) .
(33)
2.2. Условные законы распределения
Обратимся теперь к зависимым величинам. Вероятностная зависимость между случайными величинами часто встреча ется на практике. Если случайные величины X и Y находятся в вероятностной зависимости, это
не означа ет, что с изменением величины X величина Y изменяется вполне
определенным образом; это лишь означает, что с изменением величины X
величина Y имеет тенденцию также изменяться (например, возрастать или
убывать с ростом X). Эта тенденция соблюдается лишь в общих чертах, и
в каком-то отдельном случа е от неё возможны отступления. Примеры случайных величин, находящихся в вероятностной зависимости: рост и возраст ребенка; затраты и прибыль при производстве определенной продукции; затраты на рекламу и объем продава е мой продукции.
Для того, чтобы полностью описать систему, недостаточно знать распредел е ние каждой из составляющих; нужно ещё знать зависимость между величинами, входящими в систему. Эта зависимость характеризуется с
помощью условных законов распределения.
Условным законом распределения одной из случайных величин, входящих
в систему (X,Y), называ е тся её закон распредел е ния, найденный при условии, что другая случайная величина приняла определ ённое значение
(или попал а в какой-то интервал).
Пусть (X,Y) – дискретная двумерная случайная величина и
pij = p{X = xi , Y = y j } , i = 1, 2, ... , n,
j = 1, 2, ... , m.
В соответствии с определением условных вероятностей событий*), условная вероятность того, что случайная величина Х примет значение xi при
условии Y = y j , определяется равенством
(
) {
} p{Xp={Yx=, Yy =} y }, i = 1, 2, ... ,
p xi y j = p X = xi Y = y j =
i
j
j
17
n,
j = 1, 2, ... , m
(34)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
) (
)
(
)
Совокупность вероятностей (34), то есть p x1 y j , p x 2 y j , ... , p x n y j ,
представляет собой условный закон распредел ения случайной величины
Х при условии Y = y j . Сумма условных вероятностей
å p(x
n
i =1
i
)
y j = 1.
Аналогично определяются условная вероятность и условный закон
распредел ения случайной величины Y при условии X = xi :
p ( y j xi ) = p{Y = y j X = xi } =
p{X = xi , Y = y j }
, i = 1, 2, ... , n,
p{X = xi }
j = 1, 2, ... , m .
(35)
Пример 8. Пусть закон распределения двумерного случайного вектора
(X,Y) задан таблицей 2 (стр. 8). Найти условный закон распределения
случайной величины Х при Y =0,1.
Решение. С учетом формулы (34) имеем:
p{X = 5 Y = 0,1} =
p{X = 5, Y = 0,1} 0,1
=
= 0,4;
p{Y = 0,1}
0,25
(значение p{Y = 0,1} = 0,25 взято из безусловного закона распред ел ения
случайной величины Y, приведенного в таблице 4 на стр. 9).
*)
Пусть А и В – случайные события. Тогда вероятность их совместного появления равна p( A × B ) = p( A) × p(B A) = p(B ) × p( A B ) , где p B A - условная
( )
( )
вероятность события В при условии, что событие А произошло; p A B условная вероятность события А при условии, что событие В произошло.
Тогда p(B A) =
p( A × B )
p( A × B )
, p(A B ) =
.
p (B )
p ( A)
p{X = 6 Y = 0,1} =
p{X = 6, Y = 0,1} 0,15
=
= 0,6;
p{Y = 0,1}
0,25
p{X = 7 Y = 0,1} =
p{X = 7, Y = 0,1}
0
=
= 0.
p{Y = 0,1}
0,25
Таким образом, условный закон распредел е ния случайной величины Х при
Y =0,1 таков:
Таблица 5
Х
5
6
18
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
pY = 0,1
0,4
0,6
0
Сравнивая найденный условный закон распредел ения случайной величины Х с безусловным законом её распределения (таблица 3 на стр. 8), видим, что они различны. Следовательно, случайные величины X и Y находятся в вероятностной зависимости.
Пусть теперь (X,Y) – непрерывная двумерная случайная величина с
плотностью f ( x, y ) ; f1 ( x) и f 2 ( y ) - плотности распред ел ения соответственно случайной величины Х и случайной величины Y.
Условной плотностью распределения составляющей X при условии Y=y
называют отношение плотности совместного распредел ения к плотности
распредел ения составляющей Y:
f ( x, y )
f ( x, y )
f X ( x | y) =
= ¥
, f 2 ( y ) ¹ 0.
(36)
f 2 ( y)
f
(
x
,
y
)
dx
ò
-¥
Аналогично определя ется условная плотность распред ел ения составляющей Y при условии X=x:
f ( x, y )
f ( x, y )
f Y ( y | x) =
= ¥
, f 1 ( x ) ¹ 0.
(37)
f1 ( x )
ò f ( x, y )dy
-¥
Из (36) и (37) получим:
f ( x, y ) = f 2 ( y ) × f X ( x | y ) = f1 ( x) × fY ( y | x) .
(38)
Таким образом, плотность распредел ения системы двух непрерывных
случайных величин равна произведению плотности одной составляющей
на условную плотность другой составляющей.
Как и любая плотность распределения, условные плотности облад ают
следующими свойствами:
¥
¥
f X ( x | y ) ³ 0; f Y ( y | x) ³ 0;
òf
X
-¥
( x | y ) dx = 1;
òf
Y
( y | x) dy = 1.
(39)
-¥
Пример 9. Непрерывный вектор (X,Y) равномерно распредел ен в круге с
радиусом 1, то есть
ì1
2
2
ï , если x + y £ 1,
f ( x, y) = íp
ï0, если x 2 + y 2 > 1.
î
Найти условные плотности распредел ения компонент этого вектора.
Решение
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
Условную плотность составляющей Х при x £ 1 - y найдём по формул е
(36):
1- y 2
¥
f 2 ( y) =
1
1
dx = ×
p
p 1- y 2
ò f ( x, y)dx = ò
-¥
-
f X ( x | y) =
1- y 2
1- y 2
1
ò dx = p × x
1- y 2
=
- 1- y 2
2
1- y2 ;
p
1
p
f ( x, y )
2
=
=
1- y2 .
2
f 2 ( y)
p
1- y2
p
Так как f ( x, y ) = 0 при x 2 + y 2 > 1 , то f X ( x | y ) = 0 при x > 1 - y .
2
Аналогично находим:
f1 ( x ) =
2
1- x2 ;
p
f Y ( y | x) =
f ( x, y ) 2
=
1- x2
f1 ( x )
p
при
y £ 1- x2
Итак, искомые условные плотности распредел ения составляющих системы
(X,Y) имеют вид:
1
1
ì
ì
2
2
если
x
+
y
£
,
1
, если x 2 + y 2 £ 1
ï
ï
2
2
f Y ( y | x) = í 2 1 - x
.
f X ( x | y) = í 2 1 - y
;
2
2
ï0, если x + y > 1
ï0, если x 2 + y 2 > 1
î
î
Для независимых случайных величин условная плотность распределения совпада ет с безусловной плотностью распредел ения. Действительно,
f X ( x | y) =
f ( x, y) f1 ( x) × f 2 ( y)
=
= f1 ( x).
f 2 ( y)
f 2 ( y)
(40)
fY ( y | x) = f 2 ( y ).
Аналогично
(41)
Степень зависимости между случайными величинами обычно оценивают с помощью числовых характеристик зависимости.
2.3. Числовые характеристики зависимости (ковариация, корреляция)
Основными числовыми характеристиками случайного вектора являются моменты.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Моментом порядка k,s случайного вектора (X,Y) называют математическое ожидание произвед ения Xk на Ys:
ìå å xik y sj pij , если ( X , Y ) дискретен
ïï i j
k
s
m ks = M ( X × Y ) = í ¥ ¥
ï ò ò x k y s f ( x , y ) dxdy , если ( X , Y ) непрерывен
ïî -¥ -¥
(42)
Центральным моментом порядка k,s случайного вектора (X,Y) называют
математическое ожидание произвед ения k-ой и s-ой степени центрированных величин:
ì å å ( xi - m x )( y j - m y ) p ij , если ( X , Y ) дискретен
ïï i j
k
s
M (X ×Y ) = í ¥ ¥
ï ò ò ( x - m x ) k ( y - m y ) s f ( x , y ) dxdy , если ( X , Y ) непрерывен (43)
ïî - ¥ - ¥
Здесь m x = M ( X ); m y = M (Y ).
Соответственно суммарному порядку k+s моменты класси фицируются
на первые, вторые и так дал е е.
На практике обычно применяют моменты первого и второго порядков.
Первые моменты представляют собой математические ожидания величин
X и Y:
M ( X 1Y 0 ) = M ( X ) = m X ;
M ( X 0Y 1 ) = M (Y ) = mY .
(44)
Совокупность математических ожиданий представляет собой характеристику положения случайного вектора (X,Y). Геометрически это координаты некоторой «средней» точки, вокруг которой происходит рассеивание
(X,Y).
Вторые несмешанные центральные моменты случайного вектора – это
дисперсии величин X и Y:
M [( X - mx ) 2 × (Y - my ) 0 ] = D( X ) ; M [( X - m x ) 0 × (Y - m y ) 2 ] = D (Y ) . (45)
Они характеризуют рассеивание (разброс) случайной точки (X,Y) вокруг
центра рассеивания ( m X , mY ) .
Особую роль для характеристики случайного вектора играет второй
смешанный центральный момент, называ е мый ковариацией.
Ковариация случайных величин X и Y – это математическое ожидание
произведения центрированных величин
cov(X ,Y ) = M[(X - mx ) × (Y - my )] =
ìåå ( xi - m X ) × ( y j - mY ) × pij , если величины X и Y дискретны,
ï i j
ï
=í¥ ¥
ï ò ò ( x - m X ) × ( y - mY ) × f ( x, y )dxdy, если величины X и Y непрерывны
ïî-¥-¥
Ковариация характеризует зависимость случайных величин X и Y.
21
(46)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема. Если случайные величины X и Y независимы, то
cov(X,Y)=0.
(47)
Доказательство следует из свойств математического ожидания: если случайные величины X и Y нез ависимы, то их отклонения тоже независимы;
математическое ожидание произвед ения независимых величин равно
произведению их математических ожиданий, следовательно,
cov(X ,Y) = M[(X - mX ) × (Y - mY )] = M( X - mX ) × M(Y - mY ) = 0,
так как M ( X - m X ) = 0, M (Y - mY ) = 0 .
Таким образом, если cov( X , Y ) ¹ 0 , то случайные величины X и Y зависимы. В этом случае ( cov( X , Y ) ¹ 0 ) их называют коррелированными. Однако из того, что cov( X , Y ) = 0 , не следует независимость X и Y. В этом случае ( cov( X , Y ) = 0 ) случайные величины называют некоррелированными. Из
независимости вытекает некоррелированность; обратное, вообще говоря,
неверно. Другими словами, некоррелированность является необходимым,
но не достаточным условием независимости случайных величин X и Y.
В качестве примера рассмотрим случайный вектор (X,Y), равномерно
распредел енный в круге с радиусом 1 и с центром в начале координат и
имеющий следующую плотность распределения вероятностей:
ì1
2
2
ï , при x + y £ 1
f ( x, y ) = í p
ïî0, при | x |> 1
Убедимся, что случайные величины X и Y зависимы:
ì2
2
ï 1- x , при | x |£ 1;
f1(x) = ò f (x, y)dy = íp
-¥
ïî0, при | x |> 1;
¥
ì2
2
ï 1- y , при | y |£ 1;
f2 ( y) = ò f (x, y)dx = íp
-¥
ïî0, при | y |> 1;
¥
Так как f ( x, y) ¹ f1 ( x) × f 2 ( y) , то случайные величины X и Y зависимы.
Вычислим ковариацию этих величин. Сначала найдем математические ожидания: m x =
¥
1
-¥
-1
ò xf1 ( x )dx = ò x ×
2
1 - x 2 dx = 0, так как подынтегральная
p
функция нечетная, а отрезок интегрирования симметричен относительно
начала координат. Аналогично получаем, что mY = 0 . Тогда ковариация
[
]
cov( X ,Y ) = M ( X - mx ) × (Y - my ) = M ( X × Y ) =
¥ ¥
ò ò xy × f ( x, y)dx =
-¥ -¥
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
=
p
1
1- y 2
1
=
ydy
xdx
ò-1
ò2
p
- 1- y
1
1- y 2
2
x
×
ydy
ò-1
2
- 1- y 2
1
=
p
1
1- y2 1- y2
ò-1 ydy( 2 - 2 ) =
1
1 1- y2 -1+ y2
= ò
× ydy = 0.
p -1
2
Таким образом, случайные величины X и Y некоррелированы, но они не
являются независимыми.
Ковариация характеризует не только степень зависимости случайных
величин, но и их рассеивание вокруг точки ( m X , mY ) . Так, если величина Х
очень мало отклоняется от своего математического ожидания, то ковариация будет мала, несмотря на наличие зависимости между X и Y. В качестве числовой характеристики зависимости (а не рассеивания) случайных
величин X и Y используют безразмерную хар актеристику – коэ ф фициент
корреляции.
Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют их нормированную ковариацию:
cov( X , Y )
cov( X , Y )
r( X ,Y ) =
=
.
(48)
s ( X ) × s (Y )
D ( X ) × D (Y )
Теорема. Если случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью
Y=aX+b, то коэ ф фициент корреляции:
ïì+1, если a > 0,
r ( X ,Y ) = í
ïî-1, если a < 0.
(49)
При доказательстве этой теоремы используются свойства математического ожидания и дисперсии случайных величин:
my = M (aX + b) = M (aX ) + M (b) = aM ( X ) + b = amx + b;
cov( X , Y ) = M [( X - m x ) × (Y - m y )] = M [( X - m X ) × ((aX + b ) - ( am X + b ) )] =
= M [( X - m x ) × ( aX + b - am x - b )] = M [( X - m X ) × ( aX - am X ) ] =
= M [( X - m X ) × a ( X - m X
)] = aM [( X
- m x ) 2 ] = aD ( X );
D(Y ) = D(aX + b) = D(aX ) + D(b) = a 2 D( X ) + 0 = a 2 D( X );
def
r ( X ,Y ) =
=
-
D ( X )>0
cov( X , Y )
=
D ( X ) D (Y )
aD ( X )
D(X )
a2D ( X )
ìï + 1, если a > 0 ;
aD ( X )
a
=
= í
a ×D(X )
a
ïî - 1, если a < 0 .
23
=
aD ( X )
a2
D2(X )
=
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Можно показать, что обратное утверждение также верно.
Возникает вопрос: в каких предел а х находится значение коэф фициента корреляции? Ответ на него даёт следующее свойство коэ ф фициента
корреляции: величина коэффициента корреляции заключена в пределах [-1,1].
Если коэф фициент корреляции r(X,Y)>0, то говорят о положительной
корреляции случайных величин X и Y; если же r(X,Y)<0, то об их отрицательной корреляции.
Положительная корреляция означа ет, что при возрастании одной из
случайных величин другая имеет тенденцию в среднем возрастать. Например, вес и рост человека связаны положительной корреляцией.
Отрицательная корреляция означа ет, что при возрастании одной из
случайных величин другая имеет тенденцию в среднем убывать. Например, время, потраченное на регулировку прибора, и количество неисправностей, обнаруженных при работе прибора, связаны отрицательной корреляцией.
В качестве характеристики зависимости системы n случайных величин
(n-мерного случайного вектора) используют ковариационную матрицу.
Ковариационная матрица случайного вектора (X1, X2, … , Xn) – это
матрица, состоящая из элементов
kij = cov(X i , X j ) = M[(X i - mXi )(X j - mX j )], i, j = 1, n.
Очевидно, что
(50)
kij = k ji , то есть ковариационная матрица симметрич-
на.
По главной диагонали ковариационной матрицы стоят дисперсии случайных величин X1, X2, …Xn. При этом, если случайные величины X1, X2,
…Xn некоррелированы, то ковариационная матрица имеет диагональный
вид:
æ D( X1)
ç
ç 0
ç ...
ç
ç 0
è
0
...
D( X 2 )
...
...
0
...
...
ö
÷
0 ÷
0 ÷
÷
D ( X n ) ÷ø
0
(51)
3. Нормальное распределение системы случайных величин
3.1. Двумерное нормальное распределение
В теории вероятностей и е ё приложениях большую роль игра ет двумерное нормальное распредел е ние. Плотность двумерной нормальной
случайной величины (X,Y) имеет вид
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
2
ìï
1 é(x - mX ) 2r(x - mX )( y - mY ) ( y - mY ) ùüï
f (x, y) =
expí+
úý
2 ê
2
2
s
s
×
s
s 2Y ûïþ
2
1
r
X
ï
2psX sY 1- r
X
Y
ë
î
1
(
)
(52)
Зд есь m X , mY - математические ожидания величин X и Y; s X , s Y - средние квадратичные отклонения величин X и Y; r – коэф фициент корреляции
величин X и Y.
Предположим, что случайные величины X и Y не коррелированы, то
есть r=0. Тогда име ем:
ì (x - m X )2 ( y - mY )2 ü
1
f ( x, y ) =
expíý=
2
2
2ps X s Y
s
s
2
2
X
Y
î
þ
=
1
sX
ì (x - m X )2 ü
ì ( y - mY )2 ü
1
expíexpíý×
ý = f1 (x ) × f 2 ( y )
2
2
s
s
2
2
Y
X
s
p
2p
2
î
þ Y
î
þ
(53)
Получили, что плотность распредел ения системы двух случайных величин
(X,Y) равна произвед ению плотностей распредел е ния компонент X и Y, а
это значит, что X и Y – независимые случайные величины.
Таким образом, доказана следующая теорема: из некоррелированности нормально распределенных случайных величин следует их независимость. Поскольку из независимости любых случайных величин следует их некоррелированность, то можно сделать вывод, что термины «некоррелированные» и «независимые» величины для случая нормального распредел ения
эквивале нтны.
Приведём формулы для вероятности попадания нормально распредел ённой двумерной случайной величины в различные области на плоскости.
Пусть случайный вектор (X,Y), компоненты которого независимы, распредел ё н по нормальному закону (53). Тогда вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник R, стороны которого паралл ельны координатным осям, равна
b d
p{( X , Y ) Î R} = òò f ( x, y )dxdy = ò ò f ( x, y )dydx =
y
R
d
c
R
b
1
=ò
sX
(54)
a
ì (x - m X ) ü
exp íýdx ×
2
2
s
2p
X
î
þ
d
х
×ò
c
a
a c
2
1
sY
b
25
ì ( y - mY )2 ü
exp íýdy =
2
2
s
2p
Y
î
þ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
é æ b - mX
= êFçç
ë è sX
где F(x ) =
ö
æ a - mX
÷÷ - Fçç
ø
è sX
öù é æ d - mY
÷÷ú × êFçç
øû ë è s Y
ö
æ c - mY
÷÷ - Fçç
ø
è sY
öù
÷÷ú ,
øû
æ z2 ö
exp
ò ççè - 2 ÷÷ødz - функция Лапласа. Эта функция табулирована.
2p 0
1
x
Пусть плотность распредел ения нормального закона системы случайных величин (X,Y) задана в виде (52). Ясно, что данная плотность сохраняет постоянное значение на эллипсах:
(x - m X )2 2r (x - m X )( y - mY ) ( y - mY )2
+
= C2 ,
(55)
2
2
s X ×s Y
s X
s Y
где С – постоянная; на этом основании такие эллипсы носят название эллипсов равных вероятностей. Можно показать, что вероятность попадания
точки (X,Y) внутрь эллипса равной вероятности равна
é
C2 ù
p(C ) = 1 - expê2 ú
2
1
r
ë
û
(
)
(56)
Пример 10. Случайные величины X и Y нез ависимы и нормально распредел ены с m X = mY = 0; D ( X ) = D (Y ) = 1. Найти вероятность того, что слу-
{
}
чайная точка (X,Y) попадет в кольцо k = ( x, y ) : 4 £ x + y £ 9 .
Решение: Так как случайные величины X и Y независимы, то они не коррелированы
и,
следовательно,
r
=
0.
Подставляя
mx = m y = 0, s x = s y = 1, r = 0 в (С), получаем
2
2
x2 + y2 = C 2 ,
то есть эллипс равной вероятности выродился в круг равной вероятности.
Тогда
æ
æ 9 öö æ
æ 4 öö
P{( X , Y ) Î k } = P(3) - P (2) = çç1 - expç - ÷ ÷÷ - çç1 - expç - ÷ ÷÷ = e - 2 - e - 4,5 » 0.1242.
è 2 øø è
è 2 øø
è
Ответ: 0,1242.
3.2. Общий случай n-мерного нормального распределения
Плотность нормального распределения системы n случайных величин
имеет вид:
f ( x1 , x2 , x3 , ... , xn ) =
c
(2p )
n
2
ì 1 n n
ü
expí- åå cij ( xi - mX i )( x j - mX j )ý ,
î 2 i =1 j =1
þ
(57)
где C - определитель матрицы С - обратной к ковариационной матрице;
m X - математическое ожидание случайной величины Хi - i-той компоненты
n-мерного нормального случайного вектора.
i
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из общего выражения вытекают все формы нормального закона для
любого числа измер ений и для любых видов зависимости между случайными величинами. В частности, при n = 2 ковариационная матрица име ет
вид:
s X2
s XsY r
k=
,
s XsY r
s Y2
(58)
е ё определитель k = s X2 × s Y2 × (1 - r 2 ) ; матрица С, обратная к ковариационной
матрице , имеет вид
1
s × (1 - r 2 )
C=
r
s X × s Y × (1 - r 2 )
2
X
-
r
s X × s Y × (1 - r 2 )
.
1
s Y2 × (1 - r 2 )
(59)
Подставляя C и элементы матрицы С в общую формулу (57), получа ем
ф ормулу для нормального распредел ения на плоскости (52).
Если случайные величины X 1 , X 2 , ... , X n независимы, то плотность
распредел ения системы (X 1 , X 2 , ..., X n ) равна
(
ìï 1 n xi - mx
1
i
f ( x1 , x2 , ... , xn ) =
expí- å
n
2
(2p ) 2 s 1s 2 ...s n ïî 2 i=1 s i
) üï
2
ý.
ïþ
(60)
При n = 2 эта формула принимает вид (53).
3.2. Функции от нормально распределенных случайных величин. Распределения хи-квадрат, Стьюдента, Фишера- Снедекора
Р ассмотрим общий случай: линейную функцию от нормально распредел енных аргументов. Пусть дан n-мерный нормально распредел е нный
случайный вектор (X 1 , X 2 , ... , X n ) , случайная величина Y представляет собой линейную функцию от этих величин:
n
Y = å ai X i + b.
i =1
(61)
Можно показать, что случайная величина Y также распределена нормально с параметрами
n
mY = å ai mi + b;
i =1
n
s = å ai2s i2 + 2å ai × a j × rij × s i × s j ,
2
Y
(62)
i =1
i< j
27
(63)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
где mi – математическое ожидание случайной величины X i , s i - диспер-
сия случайной величины X i , rij - коэф фициент корреляции между X i и
X j.
Пример 11. Записать плотность распред ел ения случайной величины
Y = X 1 + 2 X 2 + 3 , если случайные величины X 1 и X 2 имеют нормальное
распредел ение с параметрами m1 = 0 , m2 = 2 , s 1 = s 2 = 1 , их коэ ф фициент
корреляции r12 = 1.
Решение. По условию задачи име ем: n=2; a1 = 1; a 2 = 2; b = 3 . Используя
ф ормулу (62), получаем: mY = a1m1 + a 2 m2 + b = 1 × 0 + 2 × 2 + 3 = 7 . Используя
ф ормулу
(63),
получаем:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
s Y = a1 × s 1 + a 2 × s 2 + 2a1 a 2 r12s 1s 2 = 1 × 1 + 2 × 1 + 2 × 1 × 2 × 1 × 1 × 1 = 9 .
Тогда искомая функция распределения случайной величины Y имеет вид:
f (Y ) =
1
s Y 2p
e
-
( y - mY )2
2s Y2
1
=
e
3 2p
( y - 7 )2
18
.
Пусть (X 1 , X 2 , ... , X n ) - независимые случайные величины, подчиняющиеся нормальному распредел ению с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, то есть стандартному нормальному распредел ению. Распредел ение случайной величины, являющейся суммой квадратов этих величин
n
c = å X i2 .
2
n
i =1
(64)
называ е тся “распределением ХИ - квадрат с n степенями свободы”.
Плотность распредел ения ХИ – квадрат с n=2 степенями свободы равна
ì 1 - 2x
ï e , при x > 0;
f ( x) = í 2
ï0, при x £ 0.
î
(65)
Плотность ХИ – квадрат распределения с n степенями свободы имеет вид:
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ì n2 -1 - 2x
ïx ×e
, при x > 0;
ï n ænö
f ( x ) = í 2 2 Gç ÷
è2ø
ï
ï
î0 , при x £ 0,
(66)
¥
l -1 -t
где G(l ) = ò t e dt - гамма- функция Эйлер а. С возрастанием числа степе0
c 2 приближается к нормальному закону рас2
предел е ния (при n>30 распределение c практически не отличается от
2
нормального). Математическое ожидание c - распредел ения c n степеней свободы распредел ение
нями свободы равно n, а дисперсия равна 2 n.
Распределение Стьюдента с n степенями свободы St(n) определяется
как распредел ение случайной величины
Tn =
Z
1 2
cn
n
,
(67)
где Z – стандартная нормальная величина, независимая от c n распределения.
Плотность распредел ения Стьюдента с n степенями свободы имеет
вид:
æ n +1ö
n +1
Gç
÷
2 - 2
1
è 2 ø æç x ö÷
f ( x) =
×
× 1+
,
n ÷ø
æ n ö çè
np
Gç ÷
è2ø
(68)
Математическое ожидание при n ³ 2 равно 0, дисперсия при n > 2 рав2
n
. При n ® ¥ распределение Стьюдента приближа ется к нормальn-2
ному (уже при n>30 почти совпада е т с нормальным распредел ением).
на
Распределением Фишера-Снедекора (или F-распределением) с n1 и n2 степенями свободы называ ется распредел ение случайной величины
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
c n21 c n22
F (n1 , n2 ) =
:
,
n1 n2
(69)
2
2
2
где c n1 и c n2 - случайные величины, имеющие c - распределение с n1 и
n2 степенями свободы, соответственно.
Плотность распредел ения Фишера-Снедекора при x > 0 имеет вид:
æ n1 + n2 ö 21 -1
Gç
÷× x
2
è
ø
f ( x) =
.
n1 + n2
æ n1 ö æ n2 ö
Gç ÷ × Gç ÷ × (1 + x ) 2
è2ø è 2ø
n
(70)
Математическое ожидание при n > 2 равно
n
, дисперсия при n > 4 равn-2
2n 2 (m + n - 2)
на
. При n ® ¥ F - распредел ение стремится к нормальному
m(n - 2) 2 (n - 4)
закону.
Р аспредел ения ХИ - квадрат, Стьюдента, Фишера - Снедекора используются в математической статистике.
Список литературы
1. Гмурман В.Е. / Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
«Высшая школа”, 1977.
2. Гмурман В.Е. / Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. – М.: ”Высшая школа”, 1975.
3. Вентцель Е.С. / Теория вероятностей. – М.: Гос.изд-во физ.-мат. лит-ры,
1962.
4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Айрис-пресс, 2004.
Содержание
1. Основные сведения о системах случайных величин и о способах их задания . . 3
1.1. Понятие о системе случайных величин. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.....3
1.2. Функция распредел ения вероятностей двумерной случайной величины и её
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.....4
1.3. Закон распредел ения вероятностей дискретной двумерной случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
............ 7
1.4. Плотность распределения вероятностей непрерывной двумерной
случайной величины и её свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...............9
1.5. Система n случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 13
2. Зависимость и независимость случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 14
2.1. Независимые случайные величины. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 14
2.2. Условные законы распредел ения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 15
2.3. Числовые характеристики зависимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 19
3. Нормальное распределение системы случайных величин . . . . . . . . . . .
. . . . . 22
3.1. Двумерное нормальное распредел ение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 22
3.2. Общий случай n-мерного нормального распредел ения . . . . . . . . . . .
. . . . . 24
3.3. Функции от нормально распредел енных случайных величин. Распредел е ния ХИ - квадрат, Стьюдента, Фишера - Снедекора . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 25
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 27
Составитель Бобкова Вера Александровна
Системы случайных величин
Методические указания для самостоятельной работы студентов
Р ед актор Г.В.Куликова
Подписано в печать 02.03.2010. Формат 60х84 116 . Бумага писчая.
Усл.печ.л.1,63.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уч.-изд.л.1,81. Тираж 50 экз.
ГОУ ВПО Ивановский государственный химико-технологический университет
Отпечатано на полигра ф ическом оборудовании каф е дры экономики и финансов ГОУ ВПО «ИГХТУ»
153000, г.Иваново, пр. Ф.Энгельса, 7
32
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
41
Размер файла
438 Кб
Теги
величины, случайных, система, 475
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа