close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

484.Параболические уравнения

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Учебное пособие для вузов
Составители:
В.З. Мешков,
А.Т. Астахов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2009
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ 19 октября
2009 г., протокол № 2
Рецензент канд. физ.-матем. наук, доцент Ю.Д. Щеглова
Учебное пособие подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 3—5 курса дневного и вечернего отделений
и магистров факультета ПММ Воронежского государственного университета.
Для специальностей: 010500, 010501 – Прикладная математика и информатика
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА
В ИЗОТРОПНОМ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
Процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде (из
R ) описывается следующим общим уравнением диффузии:
n
ρ
∂u
= div (κ grad u) − qu + F (x, t).
∂t
(1)
ρ(x) > 0 , κ(x) > κ0 > 0 , q(x) > 0 , κ(x) ∈ C 1 (Ω) , q(x) ∈ C(Ω) ,
F (x, t) ∈ C(QT ) .
Рассмотрим твердое тело в R3 , температура которого в точке (x,y,z)
в момент времени t определяется функцией u(x, y, z, t) . Если различные
части тела находятся при различной температуре, то в теле будет происходить движение тепла от более нагретых частей к менее нагретым.
Возьмем какую-нибудь поверхность S внутри тела и на ней малый элемент ∆S . В теории теплопроводности экспериментально установлено,
что количество тепла ∆Q , проходящего через элемент ∆S за время
∂u
∆t , пропорционально ∆t · ∆S и нормальной производной
, т. е.
∂~n
∆Q = −κ ·
∂u
· ∆S · ∆t = −κ · ∆S · ∆t · gradn u,
∂~n
(2)
где κ > 0 — коэффициент внутренней теплопроводности, а ~n — нормаль к элементу поверхности ∆S в направлении движения тепла. Будем считать, что тело изотропно в отношении теплопроводности, т. е. что
коэффициент внутренней теплопроводности κ зависит только от точки
(x, y, z) тела и не зависит от направления нормали поверхности S в этой
точке.
Обозначим через q тепловой поток, т. е. количество тепла, проходящего через единицу площади поверхности за единицу времени. Тогда
(2) можно записать в виде
q = −κ
∂u
.
∂~n
(3)
Для вывода уравнения распространения тепла выделим внутри тела произвольный объем V , ограниченный гладкой замкнутой поверхностью S ,
и рассмотрим изменение количества тепла в этом объеме за промежуток
времени (t1 , t2 ) . Нетрудно видеть, что через поверхность S за промежуток времени (t1 , t2 ) , согласно формуле (2), входит количество тепла,
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Zt2
равное Q1 = −
ZZ
dt
t1
κ(x, y, z)
∂u
dS , где ~n — внутренняя нормаль
∂~n
S
к поверхности S .
Рассмотрим элемент объема ∆V . На изменение температуры этого
объема на ∆u за промежуток времени ∆t нужно затратить количество
тепла ∆Q2 = [u(x, y, z, t + ∆t) − u(x, y, z, t)]γ(x, y, z)ρ(x, y, z)∆V , где
ρ(x, y, z) , γ(x, y, z) – плотность и теплоемкость вещества. Таким образом, количество тепла, необходимое для изменения температуры объема
V на ∆u = u(x, y, z, t2 ) − u(x, y, z, t1 ) , равно
Z Z Z
Q2 =
[u(x, y, z, t2 ) − u(x, y, z, t1 )]γρ dV
V
или
Zt2
Q2 =
Z Z Z
dt
γρ
t1
V
Zt2
так как
∂u
dV,
∂t
u(x, y, z, t2 ) − u(x, y, z, t1 ) =
t1
∂u
dt .
∂t
Предположим, что внутри рассматриваемого тела имеются источники тепла. Обозначим через F (x, y, z, t) плотность (количество поглощенного или выделяемого тепла в единицу времени в единице объема тела)
тепловых источников. Тогда количество тепла, выделяемого или поглощаемого в объеме V за промежуток времени (t1 , t2 ) , будет равно
Zt2
Q3 =
Z Z Z
dt
F (x, y, z, t) dV.
t1
V
Составим теперь уравнение баланса тепла для выделенного объема V .
Очевидно, что Q2 = Q1 +Q3 , (т. е. изменение температуры внутри равно
количеству тепла от внутренних источников плюс то, что проходит через
поверхность).
Zt2 Z Z Z
∂u
dt
γρ dV =
∂t
t1
Zt2
=−
ZZ
dt
t1
V
∂u
κ(x, y, z) dS +
∂~n
S
4
Zt2
Z Z Z
dt
t1
F (x, y, z, t) dV,
V
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
или, применяя формулу Гаусса – Остроградского ко второму интегралу,
будем иметь
Z Z Z ·
Zt2
dt
t1
¸
∂u
γρ
− div (κgrad u) − F (x, y, z, t) dV = 0.
∂t
V
Так как подынтегральная функция непрерывна, объем V и промежуток
времени (t1 , t2 ) произвольны, то для любой точки (x, y, z) рассматриваемого тела и для любого момента времени t должно быть
γρ
или
∂u
= div (κ grad u) + F (x, y, z, t)
∂t
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∂u
∂
∂u
∂
∂u
∂
∂u
=
κ
+
κ
+
κ
+ F (x, y, z, t).
γρ
∂t
∂x ∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
(4)
(40 )
Это уравнение называется уравнением теплопроводности неоднородного
изотропного тела.
Если тело однородно, то γ , ρ и κ — постоянные, и уравнение ( 40 )
можно переписать в виде
µ 2
¶
2
2
∂u
∂
u
∂
u
∂
u
= a2
+
+
+ f (x, y, z, t),
(5)
∂t
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
где
r
κ
F (x, y, z, t)
a=
, f (x, y, z, t) =
.
γρ
γρ
Если в рассматриваемом однородном теле нет источников тепла, т. е.
F (x, y, z, t) = 0 , то получаем однородное уравнение теплопроводности
µ 2
¶
2
2
∂u
∂
u
∂
u
∂
u
= a2
+
+
.
(6)
∂t
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
В частном случае, когда температура зависит только от координат
x, y и t , что, например, имеет место при распространении тепла в очень
тонкой однородной пластинке, уравнение (6) переходит в следующее:
µ 2
¶
2
∂u
∂
u
∂
u
= a2
+
.
∂t
∂x2 ∂y 2
Наконец, для тела линейного размера, например для однородного
стержня, уравнение теплопроводности принимает такой вид:
µ 2 ¶
∂u
2 ∂ u
=a
.
∂t
∂x2
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим, что при такой форме уравнений не учитывается тепловой обмен между поверхностью пластинки или стержня с окружающим
пространством.
Мы будем записывать уравнения диффузии единой формулой:
∂u
= a2 ∆u + f.
∂t
(7)
Уравнение (7) называется уравнением теплопроводности.
Постановка основных задач
Будем рассматривать следующее уравнение:
ut = a2 uxx + f (x, t),
0 < x < `,
0 < t 6 T.
Если нам известна температура в стержне в начальный момент времени,
то мы получаем начальное условие:
u(x, 0) = ϕ(x),
0 6 x 6 `,
а если всегда знаем ход температуры на краях, то некоторые из краевых
условий:
при x = 0 , 0 6 t 6 T

 (1) u(0, t) = µ1 (t) − первое краевое условие,
(2) ux (0, t) = ν1 (t) − второе краевое условие,

(3) ux (0, t) = λ1 (u(0, t)−Θ1 (t))−третье краевое условие (λ1 > 0);
при x = ` , 0 6 t 6 T

 (4) u(`, t) = µ2 (t) − первое краевое условие,
(5) ux (`, t) = ν2 (t) − второе краевое условие,

(6) ux (`, t) = −λ2 (u(0, t)−Θ2 (t))−третье краевое условие (λ2 > 0).
Выбирая несколько из этих условий, можно получить различные
типы задач.
Первая краевая задача.

ut = a2 uxx + f (x, t), 0 < x < `, 0 < t 6 T ;



u(0, t) = µ1 (t),
0 6 t 6 T;
u(`, t) = µ2 (t),
0 6 t 6 T;



u(x, 0) = ϕ(x),
0 6 x 6 `.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вторая краевая задача.

ut = a2 uxx + f (x, t),



ux (0, t) = ν1 (t),
u (`, t) = ν2 (t),


 x
u(x, 0) = ϕ(x),
0 < x < `, 0 < t 6 T ;
0 6 t 6 T;
0 6 t 6 T;
0 6 x 6 `.
Задача на полупрямой.

ut = a2 uxx + f (x, t), x > 0, 0 < t 6 T ;

u(0, t) = µ(t),
0 6 t 6 T;

u(x, 0) = ϕ(x),
x > 0.
Задача Коши.
½
ut = a2 uxx + f (x, t), −∞ < x < +∞, 0 < t 6 T ;
u(x, 0) = ϕ(x),
−∞ < x + ∞.
ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Пусть Ω – ограниченная область в пространстве Rn . Пусть T > 0
фиксированное число. Обозначим через QT цилиндр вида
QT = {(x, t) : x ∈ Ω ⊂ Rn , 0 < t 6 T }.
При n = 2 – цилиндр с основанием в области Ω , его высота равна T .
t 6
@
T@
@
@
@
@
@
@
QT
0
¡
¡
¡
¡
¡
¡
ª
¡
-
¡@
@
x2
@
@
@
@
@
@
Ω
x1
P uc. 1
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обозначим Γ = ∂Ω – границу области Ω . S = {(x, t) : x ∈ Γ, t ∈ [0, T ]} –
боковая поверхность цилиндра. Для множества точек (x, 0) , где x ∈ Ω
оставим то же обозначение.
Теорема (принцип максимума для уравнения теплопроводности). Всякое решение уравнения теплопроводности ut = ∆u , непрерывное в QT ∪ Ω ∪ S , принимает наибольшее и наименьшее значение
на Ω ∪ S , т. е. max u(x, t) = max u(x, t) .
Ω∪S
QT
Доказательство. Теорема о минимуме сводится к теореме о максимуме переменой знака у u(x, t) , поэтому ограничимся доказательством
только теоремы о максимуме. Предположим, что теорема о максимуме
неверна, т. е. найдется в QT точка (x0 , t0 ) , в которой
u(x0 , t0 ) > M = max u(x, t).
Ω∪S
Обозначим ε = u(x0 , t0 ) − M > 0 , рассмотрим функцию
υ(x, t) = u(x, t) +
Имеем υ(x, t) 6 u(x, t) +
υ(x0 , t0 ) = u(x0 , t0 ) +
εT −t
.
2 T
ε
∀(x, t) ∈ QT . Тогда
2
ε T − t0
> u(x0 , t0 ) = ε + M > ε + u(x, t) =
2 T
εT −t
ε
ε
> ε + υ(x, t) − = + υ(x, t), ∀(x, t) ∈ Ω ∪ S.
2 T
2 2
Отсюда следует, что υ(x, t) принимает свое максимальное значение в какой-то внутренней точке цилиндра. Обозначим эту точку через
(x1 , t1 ) ∈ QT . (Точка (x1 , t1 ) может совпадать с (x0 , t0 ) .) Тогда по теореме из математического анализа в этой точке должно быть
= ε + υ(x, t) −
∂υ
= 0,
∂xκ
∆υ 6 0,
∂υ
>0
∂t
∂υ
∂υ
= 0 в точке (x1 , t1 ) , если же t1 = T , то
> 0,
∂t
∂t
т. е. может быть граничный экстремум). Поэтому в точке (x1 , t1 ) имеем
∂υ
− ∆υ > 0 . С другой стороны,
∂t
(если t1 < T , то
∂u
ε
ε
∂υ
− ∆υ =
− ∆u −
=−
< 0.
∂t
∂t
2T
2T
Получили противоречие, теорема доказана. ¤
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим одномерный случай n = 1 :
t 6 ut = uxx , QT = {(x, t) : a < x < b, 0 < t 6 T }
T
-
0
a
b
max u(x, t) =
QT
max
(a,b)∪{(x,t):x=a,x=b,t∈[0,T ]}
x
u(x, t)
Следствие 1. Принцип минимума. При условиях теоремы справедливо:
min u(x, t) = min u(x, t).
Ω∪S
QT
Доказательство. Если u(x, t) решение, то υ(x, t) = −u(x, t) тоже решение уравнения теплопроводности и выполняются другие условия теоремы. Применяя к υ(x, t) принцип максимума, доказываем следствие. ¤
Следствие 2. Принцип максимума модуля. При условиях принципа
минимума верно:
max |u(x, t)| = max |u(x, t)|.
Ω∪S
QT
Доказательство следует из принципа максимума и минимума. ¤
Следствие 3. О продолжении неравенств справедливых на нижнем
основании или боковой поверхности.
Пусть u(x, t) , υ(x, t) – удовлетворяют условиям теоремы и
u(x, t) > υ(x, t), ∀(x, t) ∈ Ω ∪ S . Тогда соотношение u(x, t) > υ(x, t)
верно и ∀(x, t) ∈ QT .
Доказательство. Пусть ω(x, t) = u(x, t)−υ(x, t) > 0 , ∀(x, t) ∈ Ω∪S .
Следовательно ее минимум min ω(x, t) > 0 . По следствию (1) имеем
Ω∪S
ω(x, t) > 0 , ∀(x, t) ∈ QT . ¤
Доказать самостоятельно единственность и устойчивость первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.
Принцип максимума выполняется и для общего уравнения параболического типа, описывающего самые различные физические явления, а
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
не только процессы распространения тепла. Сформулируем без доказательства.
Теорема(принцип максимума для общего параболического
уравнения). Пусть функция u(x, t) непрерывна в замкнутом цилиндре QT и удовлетворяет в открытом цилиндре QT однородному уравнению
ρut = div (κ grad u) − qu,
(11)
где ρ(x) > 0 , κ(x) > κ0 > 0 , а q(x) > 0 . Тогда функция u(x, t) может
достигать своих положительного максимального и отрицательного
минимального значения только либо при t = 0 , либо на поверхности
S границы области Ω .
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Перейдем к изучению начальной задачи для уравнения теплопроводности в неограниченной области. Начнем с одномерного случая.
Постановка задачи Коши для уравнения
теплопроводности на бесконечной прямой
Рассмотрим задачу Коши в одномерном случае на бесконечной прямой
R для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами.
Введем обозначения: Ω = R × (0, T ] и Ω = R × [0, T ] , где T > 0 –
фиксированное число. Задача Коши имеет вид
½
ut = a2 uxx + f (x, t), (x, t) ∈ Ω,
(1)
u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ R.
(2)
Определение. Классическим решением задачи (1), (2) называется
функция u(x, t) , определенная и непрерывная вместе со вторыми производными по x и первыми производными по t в области Ω , удовлетворяющая уравнению (1) в этой области, непрерывная по t в области Ω и
удовлетворяющая начальному условию (2).
Теорема единственности
Теорема. Задача (1), (2) может иметь только одно классическое
решение, ограниченное в области Ω .
Доказательство. Предположим противное. Пусть u1 (x, t) и
u2 (x, t) – два классических ограниченных решения задачи (1), (2). Функции u1 и u2 непрерывны и ограничены в области Ω :
∃M > 0 : |uκ (x, t)| 6 M, ∀(x, t) ∈ Ω, κ = 1, 2.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Используем стандартный прием, используемый при доказательстве единственности решения. Рассмотрим функцию υ(x, t) , равную разности
этих функций:
υ(x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t).
(3)
Функция υ(x, t) непрерывна в области Ω , ограничена
|υ(x, t)| = |u1 (x, t) − u2 (x, t)| 6 |u1 (x, t)| + |u2 (x, t)| 6 2M,
удовлетворяет в области Ω однородному уравнению теплопроводности
и однородному начальному условию
½
υt = a2 υxx , (x, t) ∈ Ω,
υ(x, 0) = 0, x ∈ R.
Однако применить к функции υ(x, t) принцип максимума сразу нельзя,
поскольку в неограниченной по x области функция υ(x, t) может нигде
не принимать максимального значения.
Чтобы воспользоваться принципом максимума, рассмотрим ограниченную по x область |x| 6 L , где L > 0 – вспомогательное число,
которое будем затем неограниченно увеличивать. Обозначим
ΩL = [−L, L] × [0, T ] и ΩL = [−L, L] × (0, T ].
Введем вспомогательную функцию (ее обычно называют барьером)
µ
¶
4M x2
ω(x, t) = 2
+ a2 t .
L
2
Функция ω(x, t) непрерывна в области ΩL и удовлетворяет в области
4M
4M
ΩL однородному уравнению теплопроводности: ωt = 2 a2 , ωx = 2 x ,
L
L
4M
ωxx = 2 =⇒ ωt = a2 ωxx . Кроме того, функции υ(x, t) и ω(x, t) связаL
ны следующими неравенствами: 6t
T
0
-
−L
L
x
ω(x, 0) > |υ(x, 0)| = 0,
(4)
ω(±L, t) > 2M > |υ(±L, t)|.
(5)
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В ограниченной области ΩL уже справедлив принцип максимума.
Применяя принцип сравнения к функциям −ω(x, t) , υ(x, t) и к функциям υ(x, t) , ω(x, t) , с учетом (4) и (5) получим
µ
¶
µ 2
¶
4M x2
4M
x
− 2
+ a2 t 6 υ(x, t) 6 2
+ a2 t .
(6)
L
2
L
2
Зафиксируем точку (x, t) ∈ ΩL и перейдем в формуле (6) к пределу при
L → ∞ . Тогда по известной теореме анализа получим lim υ(x, t) = 0 .
L→∞
Отсюда в силу независимости функции υ(x, t) от L и в силу произвольности точки (x, t) получаем, что всюду в области Ω функция υ(x, t) ≡ 0 .
Поэтому всюду в области Ω u1 ≡ u2 , т. е. решение единственно. ¤
Фундаментальное решение. Интеграл Пуассона
Для решения задачи (1), (2) применим метод разделения переменных. Сначала найдем нетривиальное ограниченное решение ω(x, t) однородного уравнения
ut = a2 uxx ,
(7)
представимое в виде произведения ω(x, t) = X(x)T (t) 6≡ 0 . ПодставX 00 (x)
T 0 (t)
ляя ω(x, t) в (7), получим
≡ 2
≡ −λ , где λ – параметр
X(x)
a T (t)
разделения. Отсюда для функции T (t) получим уравнение
T 0 (t) + a2 λT (t) = 0,
(8)
а для функции X(x) – следующую задачу на собственные значения:
X”(x) + λX(x) = 0, x ∈ R,
(9)
|X(x)| 6 M,
(10)
где M > 0 – некоторая постоянная.
2
Общее решение уравнения (8) имеет вид T (t) = Ce−a λt , где C –
некоторая постоянная, и из ограниченности решения следует Re λ > 0 ,
а общее решение задачи (9), (10) записывается в виде
√
X(x) = C1 ei
λx
√
+ C2 e−i
λx
,
где C1 и C2 – некоторые постоянные и Im λ = 0 , что вытекает из ограниченности решения. Отсюда следует, что λ – вещественное и λ > 0 .
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Положим для удобства λ = κ2 и предположим, что параметр κ
меняется непрерывным образом от −∞ до +∞ : κ ∈ R . Тогда ограниченные решения задачи (9), (10) имеют вид X(x) = eiκx , κ ∈ R .
Отметим, что спектр задачи (9), (10) непрерывный.
2 2
Функция T (t) принимает вид: T (t) = C(κ)e−a κ t , и, окончательно,
2 2
функция ω(x, t) представима в виде ω(x, t) = C(κ)e−a κ t+iκx . Построим
теперь решение задачи Коши (7), (2) как суперпозицию частных ограниченных решений ω(x, t) уравнения (7). При этом, поскольку параметр
κ меняется непрерывным образом, вместо суммы нужно взять интеграл
Z+∞
2 2
u(x, t) =
C(κ)e−a κ t+iκx dκ.
(11)
−∞
Если этот несобственный интеграл, зависящий от параметров x и t , сходится при (x, t) ∈ Ω к непрерывной функции u(x, t) и существуют ее
частные производные, входящие в уравнение (7), которые можно вычислить путем дифференцирования под знаком интеграла (11), то функция
u(x, t) , представимая в виде интеграла (11), удовлетворяет уравнению
(7). Чтобы функция u(x, t) (11) удовлетворяла начальному условию (2),
Z+∞
должно выполняться соотношение ϕ(x) =
C(κ)eiκx dκ , из которого
−∞
определяется функция C(κ) . Это соотношение, очевидно, представляет
собой разложение заданной функции ϕ(x) в интеграл Фурье.
Используя формулу преобразования Фурье, получим
1
C(κ) =
2π
Z+∞
ϕ(ξ)e−iκξ dξ.
(12)
−∞
Подставим формулу (12) в (11) и поменяем порядок интегрирования. В
результате получим
Z+∞½
u(x, t) =
−∞
¾
1 −a2 κ2 t+iκ(x−ξ)
e
dκ ϕ(ξ) dξ.
2π
(13)
Обозначим внутренний интеграл в правой части формулы (13) следующим образом:
Z+∞
1
2 2
G(x, ξ, t) =
e−a κ t+iκ(x−ξ) dκ.
(14)
2π
−∞
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вычислим интеграл в правой части формулы (14). Рассмотрим интеZ+∞
2 2
e−α κ +iκβ dκ . Продифференцируем интеграл I(β) по
грал I(β) =
−∞
параметру β и проинтегрируем по частям:
dI
=
dβ
Z+∞
Z+∞
i
2 2
2 2
iκe−α κ +iκβ dκ = − 2
eiκβ de−α κ =
2α
−∞
−∞
Z+∞
i
β
i iκβ−α2 κ2 ¯¯+∞
2 2
iβe−α κ +iκβ dκ = − 2 I(β).
= − 2e
¯ + 2
−∞
2α
2α
2α
−∞
В результате для функции I(β) получается обыкновенное дифференdI
β
циальное уравнение первого порядка
+
I = 0 , общее решение
dβ
2α2
β2
которого имеет вид I(β) = Ce− 4α2 . Определим постоянную C из соот√
Z+∞
Z+∞
1
π
2 2
−z 2
−α κ
ношения C = I(0) =
dκ =
e dz =
и окончательно
e
α
α
−∞
−∞
получим
√
Z+∞
π − β22
−α2 κ2 +iκβ
I(β) =
e 4α .
e
dκ =
(15)
α
−∞
√
Сравнивая формулы (14) и (15) и полагая α = a t , β = x − ξ , имеем
G(x, ξ, t) =
(x−ξ)2
1
√ e− 4a2 t .
2a πt
(16)
Определение. Функцию G(x, ξ, t) , определяемую формулой (16),
будем называть фундаментальным решением уравнения теплопроводности в одномерном случае.
Из формулы (13) вытекает, что формальное решение задачи Коши
(7), (2), представляется формулой
Z+∞
u(x, t) =
G(x, ξ, t)ϕ(ξ) dξ.
(17)
−∞
Представление решения задачи Коши в виде интеграла (17) обычно называют интегралом Пуассона.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойства фундаментального решения
1) Из формулы (16) следует, что функция G(x, ξ, t) определена при
t > 0 и положительна: G(x, ξ, t) > 0 .
2) Непосредственной проверкой легко установить, что функция
G(x, ξ, t) по переменным x и t удовлетворяет однородному уравнению
теплопроводности при t > 0 :
Gt (x, ξ, t) = a2 Gxx (x, ξ, t),
(x, t) ∈ Ω,
ξ ∈ R.
3) Известно, что разложение дельта-функции в интеграл Фурье имеZ+∞
1
ет вид δ(x, ξ) =
eiκ(x−ξ) dκ . Поэтому из формулы (14) следует, что
2π
−∞
G(x, ξ, 0) = δ(x, ξ) . Это позволяет дать следующее определение фундаментального решения.
Замечание. Фундаментальное решение G(x, ξ, t) уравнения теплопроводности в одномерном случае является решением задачи Коши
Gt = a2 Gxx ,
(x, t) ∈ Ω,
G(x, ξ, 0) = δ(x, ξ),
x ∈ R,
ξ ∈ R,
ξ ∈ R,
непрерывное всюду в области Ω , за исключением точки (ξ, 0)
(т. е. x = ξ , t = 0 ).
Из этого определения следует, что функция G(x, ξ, t) является обобщенной функцией.
4) Из формулы (17) следует, что функция G(x, ξ, t) с физической
точки зрения представляет собой температуру в точке x в момент времени t , если в начальный момент t = 0 в точке ξ , мгновенно выделяется
некоторое количество тепла q > 0 .
Проинтегрировав функцию G(x, ξ, t) по x от −∞ до +∞ , испольx−ξ
зуя замену z = √ , получим
2a t
Z+∞
G(x, ξ, t) dx = 1.
(18)
−∞
Физический смысл формулы (18) заключается в том, что количество тепла, находящегося на бесконечной прямой x ∈ R в последующие моменты времени t > 0 , не изменяется с течением времени. Действительно,
количество тепла, находящееся в момент t > 0 на оси x ∈ R , равно
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Z+∞
q = ce
ρ
G(x, ξ, t) dx = ce
ρ = ρ , где c = const – удельная теплоемкость,
−∞
ρe – линейная плотность бесконечной прямой.
Точечный источник, находящийся в точке ξ , в начальный момент
t = 0 выделяет количество тепла q = ce
ρ = ρ.
5) Изобразим график функции G(x, ξ, t) для различных значений
t (рис. 1).
6
G(x, ξ, t)
t = t1
t = t2
0 < t1 < t2 < t 3
t = t3
-
ξ
x
P uc. 1
Величина площади фигуры, расположенной между кривой и осью x ,
умноженная на ce
ρ = ρ , равна количеству тепла, подведенному к бесконечной прямой в начальный момент. Для малых значений t > 0 почти
все тепло сосредоточено в малой окрестности точки ξ . В начальный момент времени t = 0 все количество тепла сосредоточено в точке ξ . В
точке x = ξ получаем
1
G(ξ, ξ, t) = √ .
2a πt
Таким образом, температура в точке ξ , где в начальный момент происходит мгновенное выделение тепла (действует мгновенный точечный
источник), для малых t неограниченно велика.
6) Из формулы (16) следует, что функция G(x, ξ, t) является симметричной по x и ξ . Симметрия функции G(x, ξ, t) по переменным x и
ξ , представляет собой математическое отражение известного физического принципа взаимности: источник, помещенный в точке x , производит
в точке ξ такое же действие, какое производит в точке x тот же источник, помещенный в точку ξ . Или более кратко – источник и точку
наблюдения можно поменять местами.
Отметим, что относительно переменной t такая симметрия не имеет
места, что является выражением необратимости тепловых процессов во
времени.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Замечание. Из вида функции G(x, ξ, t) следует, что температура
точки бесконечной прямой, сколь угодно далеко расположенной от точки
ξ , где находится источник, и в моменты времени, сколь угодно близкие к
начальному моменту t = 0 , отлична от нуля. Это явление противоречит
конечной скорости распространения тепла и носит название парадокса
бесконечной теплопроводности. Указанный парадокс связан с недостаточной полнотой феноменологической физической модели, применяемой
при выводе уравнения теплопроводности. Для построения более полной
математической модели следует использовать дополнительные физические соображения, учитывающие, в частности, молекулярную структуру
вещества.
Решение задачи Коши для уравнения
теплопроводности в Rn . Интеграл Пуассона
Мы исследуем задачу Коши для уравнения теплопроводности
½
ut = a2 ∆u,
x ∈ Rn , t > 0
u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ Rn .
Будем вначале считать, что ϕ(x) ∈ S(Rn ) и u(x, t) ∈ S(Rnx ) при
каждом t > 0 , причем u(x, t) является непрерывной функцией от t
при t > 0 со значениями в S(Rnx ) и, более того, бесконечно дифференцируемой функцией от t при t > 0 значениями в S(Rnx ) . Сделаем
преобразование Фурье по переменным x , а поскольку оператор преобразования Фурье осуществляет взамнооднозначное и непрерывное отображение F : S(Rnx ) → S(Rξ ) , то его можно Zменять местами с производной
1
∂
.
Итак,
пусть
F[u(x,
t)](ξ,
t)
=
u(x, t)e−i<x·ξ> dx . Стандарт∂t
n/2
(2π)
Rn
ное интегрирование по частям дает:
¶
µ
Z
1
∂u
− a2 ∆x u dx =
e−i<x·ξ>
n/2
∂t
(2π)
Rn
·
¸
Z
∂
1
∂F[u]
−i<x·ξ>
=
+ a2 |ξ|2
+ a2 |ξ|2 F[u].
e
u(x,
t)
dx
=
n/2
∂t
∂t
(2π)
Rn
Таким образом, уравнение теплопроводности равносильно обыкновенному дифференциальному уравнению по t с параметром ξ .
∂F[u](ξ, t)
+ a2 |ξ|2 F[u](ξ, t) = 0.
∂t
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Начальное же условие, приобретает вид F[u](ξ, 0)=F[ϕ](ξ) . С учетом на2
2
чального условия мы получим решение F[u](ξ, t)=F[ϕ](ξ)e−a t|ξ| . Взглянув на эту формулу, мы видим, что F[u](ξ, t) действительно является
непрерывной при t > 0 и бесконечно дифференцируемой при t > 0
функцией от t со значением в S(Rnξ ) . Поэтому совершая обратное преобразование Фурье, мы получим решение задачи Коши u(x, t) , удовлетворяющее описанным выше условиям.
Напишем более явную формулу. Имеем:
Z
1
u(x, t) =
F[u](ξ, t)ei<ξ·x> dξ =
n/2
(2π)
1
=
(2π)n/2
Rn
Z
F[ϕ](ξ)ei<ξ·x>−a
2
2
t|ξ|
1
dξ =
(2π)n
Rn
ZZ
ϕ(y)ei<(x−y)·ξ>−a
2
t|ξ|2
dy dξ.
RnRn
Меняя порядок интегрирования
(это возможно по теореме Фубини), поZ
лучим: u(x, t) = G(x, y, t)ϕ(y) dy , где
Rn
Z
1
G(x, 0, t) =
(2π)n
2
ei<x·ξ>−a
t|ξ|2
dξ.
Rn
(Мы повторили выкладку, доказывающую, что преобразование Фурье
переводит умножение в свертку). Вычислим явно G(x, y, t) , взяв последний интеграл. Для этого нужно выделить полный квадрат в показателе экспоненты:
i < x · ξ > −a2 t|ξ|2 = −a2 t < ξ · ξ > +i < x · ξ >=
¿µ
¶ µ
¶À
ix
ix
|x|2
2
= −a t
ξ− 2 · ξ− 2
− 2 .
2a t
2a t
4a t
ix
Делая замену переменных ξ − 2ta
2 = η , т. е. сдвигая контур интегрирования по каждому ξj , мы получим:
Z
Z
|x|2
1 − |x|22
1
1
2
2
2
G(x, 0, t) =
e 4a t e−a t|η| dη =
e− 4a2 t √ n e−|z| dz,
n
n
(2π)
(2π)
(a t)
Rn
√
где z = a tη . Используем формулу
тельно
Rn
Z
2
e−|ξ| dξ = π n/2 , получим окончаRn
µ
¶
|x|2
1
√
exp − 2 .
G(x, 0, t) =
4a t
(2a πt)n
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности в
n -мерном случае записывается в виде интеграла Пуассона
Z
2
1
− |x−y|
2
√
u(x, t) =
ϕ(y)e 4a t dy.
(2a πt)n
Rn
7) Вычислить самостоятельно преобразование Фурье фундаментального решения уравнения теплопроводности в n -мерном случае и проверить, что выполняются следующие равенства:
∂F[G](ξ, 0, t)
+ a2 |ξ|2 F[G](ξ, 0, t) = 0,
∂t
t > 0, F[G](ξ, 0, 0) = 1.
Обоснование интеграла Пуассона
При n = 1 интеграл Пуассона имеет вид
1
u(x, t) = √
2a πt
Z+∞
(x−ξ)2
ϕ(ξ)e− 4a2 t dξ.
(19)
−∞
Докажем, что для любой непрерывной и ограниченной функции
ϕ(x) , функция (19) удовлетворяет уравнению теплопроводности
ut = a2 ∆u . Для этого достаточно показать, что интеграл (19), а также интегралы, полученные его формальным дифференцированием под
знаком интеграла по x и t сколько угодно раз, равномерно сходятся в
любом прямоугольнике [−` 6 x 6 `, t0 6 t 6 T ] , где t0 > 0 . Действительно, дифференцируя (19) несколько раз по x и t , мы получим сумму
интегралов. Покажем, что каждый интеграл равномерно сходится. После дифференцирования под знаком интеграла выделяется множитель
(ξ − x) в положительной степени, который остается под знаком интеграла и множитель t в некоторой степени, который можно вынести из-под
знака интеграла. Таким образом, мы получим конечную сумму интегралов вида
Z+∞
(x−ξ)2
1
m − 4a2 t
ϕ(ξ)(ξ − x) e
dξ.
(20)
I= κ
t
−∞
ξ−x
√ , (t > 0) преобразуем ин2a t
Z+∞
√
2
m+1
ϕ(x + 2αa t)αm e−α dα . Легко
теграл (20) к виду I = (2a)m+1 t 2 −κ
Произведя замену переменных α =
−∞
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
видеть, что этот интеграл равномерно сходится при t > t0 > 0 , так как
m −α2
подинтегральная
функция
мажорируется
функцией
M
|α|
e , где
√
|ϕ(x + 2aα t)| < M, которая интегрируема в промежутке (−∞, ∞) .
Таким образом, функция u(x, t) , определенная формулой (19),
непрерывна и имеет производные любого порядка по x и t при t > 0 .
Так как подинтегральная функция удовлетворяет уравнению теплопроводности Gt = a2 Gxx при t > 0 , то отсюда следует, что и функция
u(x, t) удовлетворяет этому уравнению при t > 0 .
Докажем теперь, что функция (19) удовлетворяет начальному условию u(x, 0) = ϕ(x) , т. е. что lim u(x, t) = ϕ(x) при любом x из
t→0
(−∞, ∞) . Введем вместо ξ новую переменную α по формуле
ξ−x
√ ,
2a t
α=
(t > 0).
Тогда формула (19) примет следующий вид:
1
u(x, t) = √
π
Z+∞
√
2
ϕ(x + 2aα t)e−α dα.
−∞
Отсюда вытекает ограниченность решения
если |ϕ(x)| 6 M при всех x . Действительно,
1
|u(x, t)| 6 √
π
(21)
u(x, t)
при t > 0 ,
Z+∞
Z+∞
√ −α2
M
2
|ϕ(x + 2aα t)|e
e−α dα = M,
dα 6 √
π
−∞
−∞
так как
1
√
π
Z+∞
2
e−α dα = 1.
(22)
−∞
Умножим (22) на ϕ(x) и вычтем из (21), тогда получим:
1
u(x, t) − ϕ(x) = √
π
1
откуда |u(x, t) − ϕ(x)| 6 √
π
Z+∞
√
2
[ϕ(x + 2aα t) − ϕ(x)]e−α dα,
−∞
Z+∞
√
2
|ϕ(x + 2aα t) − ϕ(x)|e−α dα .
−∞
В силу√ограниченности функции ϕ(x) при любых x t и α мы имеем
|ϕ(x + 2aα t) − ϕ(x)| 6 2M .
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Можно найти
столь большое положительное число N , что в силу сходимости интеграZ−N
Z∞
2M
ε 2M
ε
2
2
ла (21), будем иметь √
e−α dα 6 , √
e−α dα 6 . При этом
3
3
π
π
−∞
N
из (22) будет следовать, что
|u(x, t) − ϕ(x)| 6
2ε
1
+√
3
π
Z+N
√
2
|ϕ(x + 2aα t) − ϕ(x)|e−α dα.
−N
В силу непрерывности ϕ(x) можем утверждать, что при всех t , доста√
ε
точно близких к нулю, и при |α| 6 M , |ϕ(x + 2aα t) − ϕ(x)| <
и
3
Z+N
2ε ε 1
2
последнее неравенство дает |u(x, t)−ϕ(x)| 6 + √
e−α dα , и тем
3 3 π
более |u(x, t) − ϕ(x)| 6
2ε ε 1
+ √
3
3 π
−N
Z+∞
2
e−α dα , т. е. в силу (21), мы име−∞
ем |u(x, t) − ϕ(x)| < ε при всех t , достаточно близких к нулю. Отсюда
ввиду произвольности ε следует, что lim u(x, t) = ϕ(x) . Таким образом,
t→0
мы доказали
Теорема. Если ϕ(x) – непрерывная и ограниченная на бесконечной прямой R функция, то формула (17) определяет при (x, t) ∈ Ω
классическое решение задачи (7), (2).
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. ПРИНЦИП ДЮАМЕЛЯ
Найдем решение задачи
(
∂u1
− ∆u1 = f (x, t),
∂t
u1 (x, 0) = 0,
x ∈ Rn , t > 0,
n
x∈R .
Тогда, как легко видеть, сумма решений задачи
(
∂u2
− ∆u2 = 0, x ∈ Rn , t > 0,
∂t
u1 (x, 0) = ϕ(x), x ∈ Rn .
(1)
(2)
и задачи (1) (ввиду их линейности), т. е. u = u1 +u2 , есть решение задачи
(
∂u
− ∆u = f (x, t), x ∈ Rn , t > 0,
(3)
∂t
n
u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ R .
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение задачи (1) можно получить так же, как и решение задачи (2). В
преобразовании Фурье мы получим неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение с однородным начальным условием, решая которое и переходя затем к функции u(x, t) с помощью обратного преобразования Фурье, мы получим формулу для решения задачи (1) в виде:
1
u(x, t) = √ n
(2 π)
Zt Z
¡√
0 Rn
|x−y|2
1
¢n e− 4(t−τ ) f (y, τ ) dy dτ.
t−τ
(4)
Однако формулу (4) можно получить из формулы Пуассона, т. е. решения задачи (2), с помощью следующего приема, который называется
«принципом Дюамеля».
Рассмотрим вспомогательную задачу:
(
∂υ
− ∆υ = 0, x ∈ Rn , t > τ,
(10 )
∂t
υ(x, τ, τ ) = f (x, τ ), x ∈ Rn .
Ее решение определяется формулой Пуассона:
Z
2
1
− |x−y|
4(t−τ
) f (y, τ ) dy.
´n e
υ(x, t, τ ) = ³ p
2 π(t − τ ) Rn
(5)
Тогда, как легко проверить, решение задачи (1) есть
Zt
u1 (x, t) =
υ(x, t, τ ) dτ.
(6)
0
Действительно,
1) для (6) выполняется начальное условие из (1):
u1 (x, 0) = 0;
2) функция u1 вида (6) удовлетворяет уравнению теплопроводности:
∂u1
=
∂t
Zt
0
∂υ(x, t, τ )
dτ + υ(x, t, t) =
∂t
Zt
∆x u1 =
∆x υ dυ.
0
22
Zt
0
∂υ
dτ + f (x, t)
∂t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как υ , определяемая формулой (5), есть решение однородного уравнения теплопроводности, то мы имеем:
∂u1
− ∆u1 = f (x, t) +
∂t
Zt µ
0
∂υ
− ∆υ
∂t
¶
dτ = f (x, t),
т. е. (6) есть решение задачи (1). Мы доказали теорему.
Теорема. Пусть υ(x, t, τ ) – решение задачи Коши для однородного
уравнения теплопроводности (1’). Тогда функция u1 (x, t) , определяемая формулой (6), является решением задачи Коши для неоднородного
уравнения с нулевым начальным условием (1).
НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
ПОРЯДКА. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА.
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ И НЕПРЕРЫВНОЙ
ЗАВИСИМОСТИ
Рассмотрим уравнение, описывающее распространение тепла в неоднородной среде при наличии источников (стоков) тепла:
µ
¶
n
∂u(x, t) X ∂
∂u
=
p(x)
− q(x)u(x, t) + f (x, t),
(1)
∂t
∂x
∂x
i
i
i=1
где p(x) > p0 > 0 , q(x) > 0 , p(x) ∈ C 1 (Ω) ,
f (x, t) ∈ C(QT ) , с начальным условием
u(x, 0) = ϕ(x),
q(x) ∈ C(Ω) ,
x∈Ω
и однородными граничными условиями всех трех типов
¯
¯
u(x, t)¯ = 0,
S
или
∂u ¯¯
¯ = 0,
∂~n S
¶¯
µ
∂u
¯
+ σ(x)u ¯ = 0,
S
∂~n
или
на множестве
(x, t) ∈ QT = {x ∈ Ω ⊂ Rn ,
23
0 < t 6 T < ∞},
(2)
(30 )
(300 )
(3000 )
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S – боковая поверхность цилиндра QT , u(x, t) ∈ C 2 (Q) ∩ C 1 (Q) , где
−
→
n – внешняя нормаль к S , σ(x) > 0 .
Краевые условия (3’), (3”), (3” ’) можно записать одной формулой
¶
µ
∂u ¯¯
(3)
α(x)u + β(x) →
¯ = 0,
S
∂−
n
где при β(x) ≡ 0 , α(x) 6≡ 0 имеем (3’), при α(x) ≡ 0 , β(x) 6= 0 имеем
(3”), при β(x) > β0 > 0 , α(x) 6= 0 имеем (3” ’):
µ
¶¯
∂u
α(x)
¯
+
u ¯ = 0.
−
→
S
∂n
β(x)
α(x)
= σ(x) , ∂Ω ∈ C 1 .
β(x)
Лемма 1. Пусть σ(x) > 0 , u(x, t) – классическое решение задачи
(1)–(3). Тогда ∀t ∈ [0, T ] имеем


Zt Z
ku(x, t)kL2 (Ω) 6 kϕkL2 (Ω) + 2  f (x, τ )u(x, τ ) dx dτ.
(4)
Пусть
0
Ω
Доказательство. Умножим уравнение (1) на 2u(x, t) и проинтегрируем
по Qt при любом t > 0 . Имеем
Z
∂u2
dx dτ =
∂t
QT
)
µ
¶ X
µ
¶2
Z (X
n
n
∂u
∂
∂u
2u −
−2qu2 dxdτ +
=
p(x)
2p
∂xi
∂xi
∂xi
i=1
i=1
QT
Zt


+2
0

Z
f (x, τ )u(x, τ ) dx dτ.
Ω
Пользуясь теоремой Гаусса – Остроградского и граничными условиями
(3), получаем
)
¶2
µ
Z
Z
Z t Z (X
n
∂u
+ 2qu2 dx dτ − (5)
u2 (x, t) dx = ϕ2 (x) dx −
2p
∂xi
i=1
ΩT
Ω0
0
Ω
Zt Z
Zt
2u2 (x, τ )σ(x)p(x) dτ dS + 2
−
0
0
S
24


Z
 f (x, τ )u(x, τ ) dx dτ
Ω
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(предпоследнее слагаемое справа равно нулю в задаче ( 30 ) и ( 300 )), откуда отбрасывая справа отрицательные слагаемые, получаем утверждение
леммы 1. ¤
Следствие. Если f (x, t) ≡ 0 , то ∀t ∈ [0, T ]
ku(x, t)kL2 (Ω) 6 kϕ(x)kL2 (Ω) .

1/2
Z
Обозначим E(t) = ku(x, t)kL2 (Ω) = 
(6)
|u(x, t)|2 dx
, E(t) – теп-
Ω
ловая энергия, это есть средняя температура тела в Ω в момент времени t при f ≡ 0 и однородных граничных условиях (3). Неравенство (6)
означает, что тепловая энергия не возрастает. ¤
Лемма 2. В предположениях леммы (1) ∀t ∈ [0, T ] справедливо
неравенство
Zt
ku(x, t)kL2 (Ω) 6 kϕ(x)kL2 (Ω) + kf (x, τ )kL2 (Ω) dτ.
(7)
0
Доказательство. Продифференцируем равенство (5) по t , учитывая
Z
u2 (x, t) dx = E 2 (t),
Ω
получаем
2E(t)E 0 (t) = −2
Ω
Z
−2
Z (X
n
µ
p(x)
i=1
u (x, t)σ(x)p(x) dS + 2
dx−
f (x, t)u(x, t) dx,
Ω
Z
откуда E(t)E 0 (t) 6
+ q(x)u2
Z
2
∂Ω
∂u
∂xi
)
¶2
f (x, t)u(x, t) dx 6 kf (x, t)kL2 (Ω) ku(x, t)kL2 (Ω) , соΩ
кращая на E(t) имеем E 0 (t) 6 kf (x, t)kL2 (Ω) , и интегрированием по t
получаем утверждение леммы 2. ¤
Теорема 1. Классическое решение начально-краевых задач (1)–(3)
единственно.
Доказательство. Пусть имеется 2 решения u1 (x, t) и u2 (x, t) . Рассмотрим разность u(x, t) = u1 − u2 . Для нее имеем
Z
u2 (x, t) dx = 0 ∀t ∈ [0, T ],
Ω
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и так как u(x, t) ∈ C(QT ) , то отсюда следует, что u(x, t) ≡ 0 в QT
т. е. u1 (x, t) ≡ u2 (x, t) . ¤
Теорема 2. Классическое решение задач (1)–(3) непрерывно
зависит от начальных данных и правой части f (x, t) в следующем
смысле: пусть kf − fekL2 (QT ) < ε , kϕ − ϕk
e L2 (Ω) < ε , Тогда, если u –
решение с правой частью f и начальной функцией ϕ , а u
e – решение
соответственно с fe и ϕ
e , то ∀t ∈ [0, T ]
ku(x, t) − u
e(x, t)kL2 (Ω) 6 Cε,
где ε зависит только от T .
Доказательство. По лемме 2, используя неравенство Коши – Буняковского в интеграле по t , имеем
Zt
kf − fekL2 (QT ) dτ 6
ku(x, t) − u
e(x, t)kL2 (Ω) 6 kϕ − ϕk
e L2 (Ω) +
6 kϕ − ϕk
e L2 (Ω) +
√
где C = 1 + T . ¤
√
0
tkf − fekL2 (QT ) 6 ε +
√
T ε = Cε,
НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
Сформулируем задачу об отыскании нестационарного температурного поля u(x, t) в плоском слое конечной толщины ` , имеющем в начальный момент времени температуру ϕ(x) , если на поверхностях x = 0
и x = ` этого слоя происходит теплообмен с окружающей средой, имеющей нулевую температуру. Требуется найти решение линейного однородного параболического уравнения
ut = a2 uxx ,
0 < x < `,
t > 0,
(1)
удовлетворяющее при t = 0 начальному условию
u(x, 0) = ϕ(x),
0 6 x 6 `,
и однородным граничным условиям третьего рода
¶¯
µ
∂u
¯
+ β1 u ¯
= 0, t > 0;
−α1
x=0
∂x
µ
¶¯
∂u
¯
α2
+ β2 u ¯
= 0, t > 0.
x=`
∂x
26
(2)
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение задачи (1)–(3) ищем в виде u(x, t) =
∞
P
κ
Xκ (x)Tκ (t) . Пер-
вый этап — определяем, как изменяется индекс суммирования κ , и находим все функции Xκ (x) 6≡ 0 . Второй этап — находим все функции
Tκ (t) 6≡ 0 .
Следуя методу Фурье разделения переменных, нетривиальные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (3), будем
искать в виде
u(x, t) = X(x)T (t) 6≡ 0.
(4)
Подставив предполагаемую форму решения (4) в уравнение (1) и разX 00 (x)
T 0 (t)
=
= −λ = const . Поэтому
делив переменные, получим 2
a T (t)
X(x)
функции T (t) и X(x) должны быть определены как решения дифференциальных уравнений
T 0 (t) + λa2 T (t) = 0;
(5)
X 00 (x) + λX(x) = 0.
(6)
Граничные условия (3) с учетом (3) дают условия для функции X(x) в
виде
−α1 X 0 (0) + β1 X(0) = 0;
(7)
α2 X 0 (`) + β2 X(`) = 0.
Задача Штурма – Лиувилля (6), (7) имеет нетривиальные решения толь³ µ ´2
n
, n = 1, 2, . . .
ко при определенных, собственных значениях λn =
`
которые можно выразить через неотрицательные корни µn трансцендентного уравнения
α1 α2 µ2 − β1 β2 `2
ctg µ =
,
(α1 β2 ` + α2 β1 `)µ
(8)
а соответствующие им собственные функции
Xκ (x) имеют вид
√
√
α1 λκ
.
Xκ (x) = sin( λκ x + Θκ ) , Θκ = arctg
β1
Квадраты норм этих функций
½
¾
`
(α1 α2 µ2 + β1 β2 `2 )(α1 β2 ` + α2 β1 `)
2
kXκ (x)k =
1+
.
2
(α12 µ2κ + β12 `2 )(α22 µ2κ + β22 `2 )
Первый этап завершен. Известны все функции Xκ (x) и начальное значение индекса κ . На втором этапе находим все функции Tκ (t) 6≡ 0 .
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При λ = λκ для выражения (5) запишем общее решение
2
Tκ (t) = Cκ e−a
λκ t
,
Cκ = const.
(9)
Подставив найденные функции Xκ (x) и Tκ (t) в выражение (4), получим
частные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным
условиям (3):
p
2
uκ (x, t) = Tκ (t)Xκ (x) = Cκ e−a λκ t sin( λκ x + Θκ ).
Составим формально ряд, членами которого являются функции uκ (x, t) :
u(x, t) =
∞
X
Cκ e
−a2 λκ t
sin(
p
λκ x + Θκ ).
(10)
κ=1
Функция u(x, t) удовлетворяет граничным условиям (3), так как этим
условиям удовлетворяет каждый член ряда (10).
Определим коэффициенты Cκ так, чтобы выполнялось начальное
условие. Подставляя ряд ( 10 ) в (2), получаем
u(x, 0) =
∞
X
p
Cκ sin( λκ x + Θκ ) = ϕ(x).
(11)
κ=1
Это соотношение по теореме Стеклова представляет собой разложение
функции ϕ(x) в ряд Фурье по системе ортогональных
на отрезке
√
0 6 x 6 ` собственных функций Xκ (x) = sin( λκ x + Θκ ) , κ = 1, 2, . . . ,
а коэффициенты Cκ являются коэффициентами Фурье и определяются
по формуле
Z`
1
Cκ =
ϕ(x)Xκ (x) dx.
(12)
kXκ k2
0
Покажем, что если функция ϕ(x) кусочно-непрерывная на отрезке [0, `] ,
то ряд (10) с коэффициентами Cκ , определяемыми по формуле (12),
удовлетворяет уравнению (1) в области 0 < x < ` , t > 0 , т. е. этот ряд
сходится и его можно дифференцировать почленно дважды по x и один
раз по t . Для этого достаточно установить, что ряды
∞
X
∂uκ
κ=1
∞
X
κ=1
∂t
= −a
2
∞
X
p
2
Cκ λκ e−λκ a t sin( λκ x + Θκ );
κ=1
∞
X
p
∂ uκ
−λκ a2 t
=
−
C
λ
e
sin(
λκ x + Θκ )
κ κ
∂x2
κ=1
2
28
(13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сходятся равномерно на отрезке [0, `] при t > T > 0 .
Рассмотрим числовой ряд
∞
X
2
M λκ e−λκ a T , M = const,
(14)
κ=1
который согласно признаку Даламбера сходится. Так как для ограниченной кусочно-непрерывной функции ϕ(x) коэффициенты Фурье ограничены по модулю, то для общих членов рядов (13) справедливы оценки
¯
¯
¯ ∂uκ ¯
¯
¯ < a2 |Cκ |λκ e−λκ a2 t < M1 λκ e−λκ a2 T , t > T > 0;
¯ ∂t ¯
¯ 2 ¯
¯ ∂ uκ ¯
¯
¯ < |Cκ |λκ e−λκ a2 t < M2 λκ e−λκ a2 T , t > T > 0.
¯ ∂x2 ¯
Это означает, что при M > M1 , M > M2 ряд (14) является мажорантным для рядов (13). Поэтому эти ряды сходятся равномерно при
t > T > 0 . Так как T – произвольное число, то равномерная сходимость
рядов (13) имеет место при любом t > 0 .
Таким образом, на основании принципа суперпозиции частных
решений uκ (x, t) заключаем, что функция u(x, t) , определяемая рядом
(10), удовлетворяет уравнению (1) в области 0 < x < ` , t > 0 .
Рассмотрим теперь частный случай задачи (1)–(3).
При значениях параметров α1 = α2 = 0 , β1 = β2 = 1 граничные
условия принимают вид
u(0, t) = 0 u(`, t) = 0,
(15)
и краевая задача (1), (2), (15) описывает процесс остывания плоского
слоя конечной толщиной ` (или стержня конечной длиной ` с идеально теплоизолированной боковой поверхностью), с температурным профилем ϕ(x) в начальный момент времени, если граничные плоскости
x = 0 и x = ` (торцы стержня) поддерживаются при постоянной нулевой температуре.
³ πκ ´2
, κ = 1, 2, . . . , а
В этом случае собственные значения λκ =
`
соответствующие собственные функции
πκx
Xκ (x) = sin
, kXκ k2 = `/2.
`
Поэтому решение первой краевой задачи (1), (2), (15) принимает вид
u(x, t) =
∞
X
Cκ e−(
κ=1
29
) sin πκx ,
`
aκπ 2
t
`
(16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где
2
Cκ =
`
Z`
ϕ(x) sin
0
πκx
dx.
`
(17)
Пусть функция ϕ(x) непрерывна на отрезке [0, `] и имеет кусочнонепрерывную производную. Кроме того, пусть ϕ(0) = ϕ(`) = 0 , т. е.
имеет место согласование начальных и граничных условий. Тогда коэффициенты Cκ тригонометрического ряда
Фурье, определяемые выражеµ ¶
1
нием (17), имеют порядок малости O
. В этом случае числовой ряд
κ2
∞
P
|Cκ | сходится и является мажорантным для ряда (16) при t > 0 и
κ=1
0 6 x 6 `.
Следовательно, ряд (16) сходится к функции u(x, t) равномерно при
t > 0 , 0 6 x 6 ` , и из непрерывности членов этого ряда вытекает
непрерывность суммы u(x, t) .
Функция источника
Преобразуем полученное решение (10) задачи (1)–(3), заменив в нем коэффициенты Cκ по формуле (12):


`
Z
∞
X
p
p
−λκ a2 t
 1

u(x, t) =
ϕ(ξ)
sin(
λ
ξ
+
Θ
)
dξ
e
sin(
λκ x + Θκ ).
κ
κ
2
kX
k
κ
κ=1
0
Изменив порядок суммирования и интегрирования, получим
u(x, t) =
Z ` "X
∞
0
κ=1
1
2
e−λκ a t sin(
2
kXκ k
p
λκ ξ + Θκ ) sin(
#
p
λκ x + Θκ ) ϕ(ξ) dξ.
(18)
Такая операция справедлива, так как ряд в квадратных скобках при
фиксированном x сходится равномерно в области t > T > 0 , 0 6 ξ 6 ` .
∞
P
2
Действительно, числовой сходящийся ряд
M eλκ a T является мажоκ=1
рантным для ряда, стоящего в квадратных скобках в формуле (18). Обозначим сумму этого ряда через
G(x, ξ, t) =
∞
X
κ=1
p
p
1
−λκ a2 t
e
sin(
λ
ξ
+
Θ
)
sin(
λκ x + Θκ ) =
κ
κ
kXκ k2
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
=
∞
X
Xκ (ξ)Xκ (x)
kXκ k2
κ=1
2
e−λκ a t .
(19)
Тогда решение задачи (1)–(3) можно представить в виде
Z`
u(x, t) =
G(x, ξ, t)ϕ(ξ) dξ.
(20)
0
Выясним физический смысл функции G(x, ξ, t) . Пусть начальное распределение температуры ϕ(x) создано сосредоточенным тепловым источником, т. е.
q0
ϕ(x) = δ(x − x0 ), x0 ∈ (0, `).
ρc
В этом случае из формулы (20) следует
q0
u(x, t) =
ρc
Z`
G(x, ξ, t)δ(ξ − x0 ) dξ =
0
q0
G(x, x0 , t).
ρc
Это означает, что функция G(x, ξ, t) определяет температуру в любой
точке x в момент времени t , вызванную действием сосредоточенного
в плоскости x = ξ теплового источника, выделяющего в начальный
момент времени мгновенно количество теплоты на единицу площади,
равное q0 = ρc . Поэтому функцию G(x, ξ, t) , определяемую формулой
(19), называют функцией мгновенного сосредоточенного источника (функцией источника) для общей задачи (1)–(3).
В частных случаях для первой и второй краевых задач функции
источника соответственно имеют вид
∞
2
2 X −( aκπ
κπx
κπξ
G1 (x, ξ, t) =
e ` ) t sin
sin
;
` κ=1
`
`
(21)
∞
2
κπξ
1 2 X −( aκπ
κπx
t
)
`
e
cos
.
G2 (x, ξ, t) = +
cos
` ` κ=1
`
`
(22)
Решения этих задач с помощью функций источника G1 (x, ξ, t) и
G2 (x, ξ, t) также можно представить в виде (20).
Докажем несколько свойств функции Грина первой краевой задачи.
Свойство 1.
G(x, s, t) = G(s, x, t).
Это свойство очевидно из определения функции Грина. ¤
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойство 2.
G(x, s, t) ∈ C ∞ (R × R × R+ ).
Доказательство. Докажем непрерывность в точке (x, s, t) . Для этого достаточно заметить, что при t > t0 ряд равномерно сходится по признаку
Вейерштрасса, так как его можно ограничить сходящимся рядом из экспонент:
∞
n
³ ´ o
X
2
2 πκ
|G(x, s, t)| 6
exp −a
t0 .
`
`
κ=1
Для доказательства дифференцируемости достаточно заметить, что ряд
из производных будет равномерно сходиться, так как при дифференцировании в качестве новых множителей появятся только полиномы от κ ,
которые не помешают, – экспонента все равно обеспечивает сходимость.
¤
Свойство 3.
½
Gt = a2 Gxx ;
Gt = a2 Gss .
Первое уравнение можно проверить простым дифференцированием формулы (12), а второе – дифференцированием уравнения из свойства 1. ¤
Свойство 4.
G(x, s, t) > 0,
x, s ∈ [0, `], t > 0.
Без доказательства.
Неоднородное уравнение теплопроводности
Рассмотрим задачу для неоднородного уравнения теплопроводности
ut = a2 uxx + f (x, t),
t > 0, 0 < x < `,
(23)
с начальным условием
u(x, 0) = ϕ(x),
0 6 x 6 `,
и граничными условиями
¶¯
µ
∂u
¯
+ β1 u ¯
= 0, t > 0;
−α1
¶ ¯ x=0
µ ∂x
∂u
¯
+ β2 u ¯
= 0, t > 0.
α2
x=`
∂x
32
(24)
(25)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение этой задачи будем искать
√ в виде ряда Фурье по системе собственных функций Xκ (x) = sin( λκ x + Θκ ) задачи на собственные значения (6), (7), т. е. в форме разложения
∞
X
u(x, t) =
Vκ (t)Xκ (x) =
∞
X
κ=1
p
Vκ (t) sin( λκ x + Θκ ),
(26)
κ=1
считая при этом t параметром.
Ряд (26) удовлетворяет граничным условиям (25). Поэтому функции
Vκ (t) следует определить так, чтобы ряд (26) удовлетворял уравнению
(23) и начальному условию (24). Учитывая полноту системы собственных
функций, представим функции f (x, t) и ϕ(x) в виде следующих рядов
Фурье:
∞
∞
√
P
P
f (x, t) =
fκ (t)Xκ (x) =
fκ (t) sin( λκ x + Θκ ),
κ=1
κ=1
(27)
∞
∞
√
P
P
ϕ(x) =
ϕκ Xκ (x) =
ϕκ sin( λκ x + Θκ ),
κ=1
κ=1
fκ (t) и ϕκ – коэффициенты Фурье, определяемые по формулам
1
fκ (t) =
kXκ k2
ϕκ =
1
kXκ k2
Z`
0
1
f (x, t)Xκ (x) dx =
kXκ k2
Z`
ϕ(x)Xκ (x) dx =
0
1
kXκ k2
Z`
f (x, t) sin(
p
λκ x + Θκ ) dx;
0
Z`
ϕ(x) sin(
p
λκ x + Θκ ) dx.
0
(28)
Подставляя предполагаемую форму решения (26) и разложение (27) для
функции f (x, t) в уравнение (23) и заменяя при этом Xκ00 (x) на
−λκ Xκ (x) , получаем
∞
X
£
¤
Vκ0 (t) + λκ a2 Vκ (t) − fκ (t) Xκ (x) = 0
κ=1
Это соотношение, а значит, и уравнение (23) будут удовлетворены, если
все коэффициенты разложения равны нулю, это следует из теоремы о
равенстве двух рядов Фурье, т. е.
Vκ0 (t) + λκ a2 Vκ (t) = fκ (t).
Из начального условия (24) с учетом (26) и (27) находим
u(x, 0) =
∞
X
Vκ (0)Xκ (x) =
κ=1
∞
X
κ=1
33
ϕκ Xκ (x), 0 < x < `,
(29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
откуда
Vκ (0) = ϕκ .
(30)
Таким образом, для нахождения искомой функции Vκ (t) приходим к задаче Коши (29), (30) для обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Решение этой задачи может
быть найдено методом Лагранжа вариации постоянной. Оно имеет вид
Z`
2
2
Vκ (t) = ϕκ e−λκ a t +
fκ (τ )e−λκ a
(t−τ )
dτ.
0
Подставляя функции Vκ (t) , κ = 1, 2, . . . , в разложение (26), находим
решение исходной задачи (23)–(25) в следующей форме:
 `

Z
∞
∞
X
X
2
 fκ (τ )e−λκ a2 (t−τ ) dτ  Xκ (x) =
u(x, t) =
ϕκ e−λκ a t Xκ (x) +
κ=1
=
∞
X
2
ϕκ e−λκ a t sin(
κ=1
p
λκ x+Θκ )+
κ=1
∞
X
0
 `

Z
p
 fκ (τ )e−λκ a2 (t−τ ) dτsin( λκ x+Θκ ),
κ=1 0
(31)
где ϕκ и fκ (τ ) определены формулами (28).
Первое слагаемое в выражении (31) представляет собой решение
краевой задачи для однородного уравнения [f (x, t) ≡ 0] . Как было показано выше (20), его можно представить в виде
Z`
u1 (x, t) =
G(x, ξ, t)ϕ(ξ) dξ,
(32)
0
где функция источника G(x, ξ, t) определена формулой (19).
Второе слагаемое в формуле (31)
 `

Z
∞


X
p
−λκ a2 (t−τ )
u2 (x, t) =
fκ (τ )e
dτ sin( λκ x + Θκ )


κ=1
(33)
0
представляет собой решение краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности с нулевым начальным условием ϕ(x) ≡ 0 .
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Преобразовав (31), подставим вместо fκ (τ ) их значения (28) и изменим в уравнении (31) порядок суммирования и интегрирования. В результате получим
#
Z tZ`"X
∞
−λκ a2 (t−τ )
p
p
e
u2 (x, t) =
sin( λκ x + Θκ ) sin( λκ ξ + Θκ ) f (ξ, τ )dξdτ.
2
kX
k
κ
κ=1
0 0
Это решение с помощью функции источника можно записать в виде
Z t Z`
u2 (x, t) =
G(x, ξ, t − τ )f (ξ, τ ) dξ dτ.
0
0
Таким образом, окончательно решение краевой задачи (23)–(25) для
неоднородного уравнения теплопроводности можно записать с помощью
функции источника как
Z`
u(x, t) =
Z t Z`
G(x, ξ, t)ϕ(ξ) dξ +
0
G(x, ξ, t − τ )f (ξ, τ ) dξ dτ.
0
0
МЕТОД ФИКТИВНЫХ КАНОНИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ
В книге «Интеллектуальное моделирование физических проблем»
авторы С.Г. Гладкий, Н.А. Степанов, Л.Н. Ясницкий, рассмотрен
МФКО, с помощью которого можно найти точные решения краевых,
начально-краевых, и т. д. задач на компьютере (если это возможно).
Пусть требуется найти функцию u(x, t) , удовлетворяющую в пределах тела D дифференциальному уравнению:
Lu(x, t) = 0,
x ∈ D,
(1)
а на поверхности тела S – уравнениям граничных условий
¯
¯
Qm (u(x, t))¯ = Q∗m m = 1, M
Sm
Здесь L – некоторый дифференциальный оператор. Искомая функция
u(x, t) может иметь самую различную математическую природу (скаляр, вектор, тензор) и различный физический смысл.
Qm – операторы
¯
¯
граничных уравнений (граничные операторы), Qm ¯ – их значения на
Sm
частях поверхности Sm , Q∗m – заданные функции, причем каждая из них
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
определена на части поверхности Sm , и объединение всех Sm составляет
полную поверхность S :
S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ SM = S.
Существуют такие области, называемые каноническими, для которых можно получить решение уравнения (1) (обычно методом разделения переменных Фурье) в виде бесконечного ряда. Назовем его общим
решением основного уравнения
u(x, t) =
∞
X
Cκ uκ (x, t),
(3)
κ=1
где uκ (x, t) – координатные функции, тождественно удовлетворяющие
уравнению (1), Cκ – постоянные коэффициенты. Если теперь исходное
тело D вписать в каноническое тело V (рис. 1), для которого известно решение уравнения (1) в виде (3), и создать на поверхности тела V
такие граничные условия, что на поверхности S будут выполнены граничные уравнения (2), то решение (3) будет являться решением краевой
задачи (1)–(2). Математически задача нагружения фиктивного тела V
(создание необходимых граничных условий на его поверхности) состоит
в подборе коэффициентов Cκ , для этого в бесконечном ряде слагаемых
(3) ограничиваются конечным числом слагаемых N :
u(x, t) =
N
X
Cκ uκ (x, t).
(4)
κ=1
О методах нахождения коэффициентов будет сказано далее. Очевидно,
что добиться тождественного удовлетворения граничных уравнений путем подбора Cκ можно не всегда. Таким образом, в методе ФКО основное
уравнение краевой задачи удовлетворяется тождественно, а граничные
уравнения – приближенно.
D
S
V
D
S
P uc. 1
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
V
D
S
V
D
S
P uc. 2
¢A
¢ A
¢
¢
¢
A
A
¢
A
A
A
¢
¢
¢
A
A
A
¢
¢
A
¢
A
¢
A
¢
A
¢
¢
¢
¢
¢
A
¢
¢V3 V2
A
A
V1
D
A
A
S
A
¢
A
A
A
¢
¢
A
P uc. 3
На рисунках 1 и 2 исходное тело D погружается в каноническое
тело V . На рисунке 3 исходное тело D погружается в пересечение трех
канонических областей: V1 , V2 и V3 .
Из самой идеи отыскания решения в виде ряда следует, что исходное
тело D можно погружать не в одну фиктивную область, а в пересечение
нескольких областей (рис. 3). В этом случае решение исходной краевой
задачи ищется в виде суммы решений для этих фиктивных областей:
u(x, t) =
I
X
i
u (x, t) =
I X
∞
X
CκI uiκ (x, t),
(5)
i=1 κ=1
i=1
где индекс i – номер фиктивной области, I – число фиктивных областей.
Решение (5) можно рассматривать как общее решение уравнения (1) для
области пересечения I канонических областей.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихонов А.М. Уравнения математической физики / А.М. Тихо–
нов, А.А. Самарский. – М. : Изд-во МГУ ; Наука, 2004. – 798 с.
2. Свешников А.Г. Лекции по математической физике / А.Г. Свеш–
ников, А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов. – М. : Изд-во МГУ ; Наука,
2004. – 416 с.
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Вла–
димиров. – М. : Наука, 1988. – 512 с.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Учебное пособие для вузов
Составители:
Мешков Виктор Захарович,
Астахов Александр Тимофеевич
Редактор Валынкина И.Г.
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
25
Размер файла
452 Кб
Теги
уравнения, 484, параболические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа