close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

508.Дополнительные разделы школьного курса математики

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ШУЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Т.В. БУРЛАКОВА
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ШКОЛЬНОГО КУРСА
МАТЕМАТИКИ
учебное пособие
для студентов специальностей 050201.65 Математика, 050201.65
Математика с дополнительной специальностью
Шуя 2010
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ББК 74. 262
УДК 372. 851
Б 91
Печатается по решению редакционно-издательского совета ГОУ
ВПО «Шуйский государственный педагогический университет»
Рецензенты:
Б.Я. Солон, доктор физико-математических наук, профессор
С.Ф. Митенева, кандидат педагогических наук, доцент
Бурлакова Т.В.
Б 92
Дополнительные разделы школьного курса математики [Текст] :
учебное пособие / Т.В. Бурлакова. – Шуя: Издательство ГОУ ВПО
«ШГПУ». – 65 с.
В учебном пособии отражено основное содержание курса
«Дополнительные разделы школьного курса математики», представлен
необходимый теоретический материал, задания для практических
занятий и самостоятельной работы, даны рекомендации по их
выполнению. Предназначено для студентов - будущих учителей
математики.
ББК 74. 262
© Т.В. Бурлакова, 2010 г.
© ГОУ ВПО «ШГПУ», 2010 г.
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Введение ……………………………………………………………………. 4
Цели и задачи курса…………………………………………………………4
Программа курса…………………………………………………………….6
Распределение
часов
курса
по
темам
и
видам
работ………………………………………………………………………… 7
Методические указания к изучению тем …………. …………………….. 8
Тема 1. Геометрические места точек на плоскости и в пространстве
и их применение при решении планиметрических и стереометрических
задач ………………………………………………………………………...11
Тема 2.
Решение стереометрических задач
на основе циклов
взаимосвязанных задач ……………………………………………………24
Тема
3.
Геометрические
задачи
на
максимум
и
минимум
………………………………………………………………………………30
Тема 4. Применение координатного, векторного метода
и метода геометрических преобразований к решению геометрических
задач ……………………………………………………………………….36
Тема 5. Различные типы задач на построение, различные способы их
решения……………………………………………………………………47
Тема
6.
Избранные
вопросы
курса
тригонометрии
……………………..………………………………………………………..55
Задания для самостоятельной работы студентов ……………………….59
Перечень
примерных
контрольных
вопросов
……………………………………………………………………………...60
Литература ………………………………………………………………...62
Перечень используемых дисков и видеокассет ………………………...65
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Отечественную школу преподавания математики всегда отличало
сочетание четкости рассуждений с глубиной содержания и в то же время
с простотой, доступностью, конкретностью изложения материала,
которые
всегда
предпочитаются
формальным
конструкциям.
Математическое образование и математическая культура составляют
стержень научного знания и должны отличать современного учителя
математики.
Вместе с тем, в последние годы накопились проблемы в обучении
геометрии, роль которой в развитии пространственного и логического
мышления учащихся трудно переоценить. Современные методы
решения геометрических задач рассматриваются достаточно формально.
Недостаточно представлены многие разделы тригонометрии и их
применение к решению задач, слабо обозначается взаимосвязь алгебры и
геометрии.
Цели и задачи курса
Целью
курса
«Дополнительные
разделы
школьного
курса
математики» является рассмотрение отдельных вопросов школьной
математики, которые не получили должного развития на страницах
школьных учебников, а также рассмотрение известного студентам
материала под новым для них углом зрения.
Курс способен осуществить пропедевтическую методическую
подготовку, формировать познавательный интерес к элементарной
математике, к процессу решения содержательных геометрических задач.
Курс направлен на формирование у будущего учителя математики
творческого подхода к организации учебно-воспитательного процесса в
школе.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В результате изучения курса студент должен знать:
-основные геометрические места точек на плоскости и в пространстве;
- основные формулы тригонометрии, координатного и векторного
исчислений.
В результате изучения курса студент должен уметь:
- применять аналитические методы к решению геометрических
задач;
- составлять циклы взаимосвязанных задач.
В результате изучения курса студент должен владеть:
- методами решения геометрических задач.
В результате изучения курса студент должен понимать:
- факты, правила, принципы, математические тексты, схемы, рисунки,
графики.
Знания и умения, приобретенные в процессе изучения курса
«Дополнительные разделы школьного курса математики» студент может
использовать при написании курсовых и дипломных работ, а также в
своей практической деятельности в качестве учителя математики.
Изучение курса «Дополнительные разделы школьного курса
математики
организуется
через
лекции,
практические
занятия,
самостоятельную работу студентов.
Общая трудоемкость дисциплины – 100 часов.
Форма итогового контроля – зачет.
Программа курса регионального компонента «Дополнительные
разделы
школьного
Государственного
курса математики» разработана на основе
образовательного
стандарта
высшего
профессионального образования.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Программа курса
ТЕМА I
Геометрические места точек на плоскости и в пространстве
и их применение
при решении планиметрических и стереометрических задач
Понятие
геометрического
места
точек.
Основные
виды
геометрических точек на плоскости и в пространстве. Избранные задачи
на геометрические места точек. Применение геометрических мест точек
при решении планиметрических и стереометрических задач.
ТЕМА 2
Решение стереометрических задач на основе циклов
взаимосвязанных задач
Понятие цикла взаимосвязанных задач в научно-методической
литературе. Методика построения цикла взаимосвязанных задач (на
примере темы «Многогранники»). Решение стереометрических задач на
основе циклов взаимосвязанных задач.
ТЕМА 3
Геометрические задачи на максимум и минимум
Решение геометрических задач зада на максимум и минимум
элементарными средствами. Применение производной к решению
геометрических задач на максимум и минимум.
ТЕМА 4
Применение координатного, векторного метода и метода
геометрических преобразований к решению геометрических задач
Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.
Прямая
и
окружность.
Применение
координат
к
решению
содержательных геометрических задач. Особенности применения
векторного метода при решении аффинных и метрических задач.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Применение скалярного произведения векторов к доказательству
геометрических и алгебраических неравенств, к решению задач на
геометрические места точек.
Применение движений к решению
геометрических задач. Метод подобия при решении задач.
ТЕМА 5
Основные этапы в решении задач на построение.
Различные типы задач на построение, различные способы их решения
Задачи на построение на плоскости и в пространстве Методика
решения задач на построение. Применение различных методов при
решении задач на построение.
ТЕМА 6
Избранные вопросы курса тригонометрии
Основные тригонометрические тождества. Основные свойства
тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции.
Соотношения
между
элементами
треугольника.
Применение
тригонометрии к решению геометрических задач.
Распределение часов курса по темам и видам работ
№
п/п
Наименование темы
Всего
Аудиторные
Самост.
Часов
занятия
работа
Лек-
Практи-
ции
ческие
занятия
1.
Геометрические места точек на
16
6
2
8
16
6
2
8
12
4
2
6
плоскости и в пространстве и их
применение при решении
геометрических задач
2.
Решение стереометрических задач на
основе циклов взаимосвязанных задач
3.
Геометрические задачи на максимум и
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
минимум
4.
Применение координатного метода,
20
8
4
8
16
4
4
8
20
8
4
8
100
36
18
46
векторного метода и метода
геометрических преобразований к
решению геометрических задач
5.
Основные этапы решения задач на
построение. Различные способы
решения задач на построение
6.
Избранные вопросы курса
тригонометрии и их применение к
решению геометрических задач
Итого:
Методические указания к изучению тем
При изучении курса «Дополнительные разделы школьного курса
математики» следует:
-
выработать личностное отношение к изучаемой
теме,
представленной в виде системы понятий, методических проблем и
накопившихся вопросов;
-
установить, какую роль рассматриваемый материал будет
играть в профессиональной деятельности;
- зафиксировать приоритетные зоны внимания в предстоящей
деятельности;
- осознать индивидуальный смысл изучения данного материала;
- определить формы, методы и темп учения, которые наиболее
соответствуют вашим индивидуальным особенностям;
- определить индивидуальные цели в изучении темы;
- составить индивидуальную программу изучения темы;
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- самоопределиться
по
отношению к сформулированным
проблемам,
-
осуществлять рефлексию по отношению к индивидуальному
опыту, оценку и корректировку своей деятельности.
В процессе работы над темой следует:
- осмыслить заявленную тему;
- установить, как она соотносится (взаимосвязана) с другими
темами и почему важна для вас;
- определить цели и задачи, которые предстоит решить;
- выявить вопросы, которые являются ключевыми;
- изучить литературу;
- осуществить анализ внутренней логики текста и выделить его
смысловую основу;
- установить, что вы знаете и что не знаете;
- составить конспект прочитанного материала;
- подчеркнуть факты и идеи, которые вы считаете важными и
интересными;
- активизировать
знания и собственный опыт, отвечая
на
вопросы, выполняя задания, решая задачи;
- записать решения в тетрадь;
- продумать систему вопросов для уточнения;
- выявить типичные ошибки, проблемы, непонимания в изложенном
материале задачах;
- научиться применять знания и приемы работы в процессе решения
задач;
- осуществить рефлексию, осмыслить собственные знания и чувства.
Рефлексия предполагает ответ на следующие вопросы:
1. Каковы Ваши главные результаты, что Вы поняли, чему
научились?
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Восстановите этапы изучения материала в форме обнаруженных
вами ключевых проблем. Для этого изложите (восстановите) ход
ваших мыслей и действий по отношению вопросов для
обсуждения и заданий.
3. Проанализируйте результаты своей деятельности по отношению к
теме. Результаты оформите в следующем виде:
- Что для меня является (было, остается) проблемой в данной теме;
- Как я решал (решала) значимые для меня проблемы;
- Что явилось результатом этой деятельности;
- Мои цели и планы по отношению к дальнейшей своей деятельности
по изучению курса.
3. Запишите цели своего дальнейшего освоения данного курса.
4. В чем заключались особенности подготовки к занятию? Как Вы
готовились к занятию? Что от него ожидали?
5. Вспомните свою работу над выполнением заданий. Какие задачи
вызвали наибольший интерес и почему? Как Вы выполняли
задания, как решали задачи?
6. Как менялись Ваши чувства и настроения во время выполнения
заданий, в процессе решения задач?
7. Попытайтесь определить способы и виды деятельности, благодаря
которым Вам удалось решить проблемы и достигнуть своих
результатов.
8. Какие из заданий привели Вас к новым идеям, как это
происходило?
9. В чем и благодаря чему вам удалось лучше всего проявить себя?
10. Каковы были основные трудности и проблемы? Как Вы их
преодолевали?
11. Сформулируйте замечания и предложения на будущее.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Самостоятельная работа над материалом тем курса предполагает:
- индивидуальное самостоятельное и мотивированное учение на
основе индивидуального плана;
- индивидуальное консультирование студента (или в составе малой
группы);
- педагогическую поддержку;
- большую приближенность к педагогическим ситуациям и акцент
на решение педагогических проблем;
- групповую работу;
- участие в рефлексии;
- работу с литературой, текстами;
- ведение диалога.
ТЕМА I
Геометрические места точек на плоскости и в пространстве и их
применение
при решении планиметрических и стереометрических задач
План изучения темы
1. Понятие геометрического места точек.
2. Основные геометрические места точек на плоскости и в
пространстве.
3. Задачи на нахождение геометрических мест точек.
Основное содержание
Общее понятие о геометрических местах точек
Понятие геометрических мест имеет большое методическое и
образовательное значение.
Геометрическое место
точек (г.м.т.) является одним из
важнейших понятий геометрии. Оно широко используется в высшей
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
школе при изучении аналитической геометрии, механики и других
дисциплин.
Задачи на отыскание геометрического
возможность
на
большом
числе
места точек дают
примеров
систематически
иллюстрировать понятия постоянных и переменных величин.
В задачах на отыскание г.м.т. естественно используется идея
движения, так как различные положения точек геометрического
места можно рассматривать как след от перемещения точки на
плоскости.
При решении задач на отыскание г.м.т. у учащихся происходит
развитие навыков анализа и исследования задачи, что имеет
первостепенное значение в математическом образовании.
Трудно переоценить роль задач
на поиск г.м.т. для развития
пространственного воображения.
На плоскости геометрическое место точек обычно определяется
так: «Геометрическим местом точек называется фигура, состоящая
из всех точек, обладающих некоторыми свойствами, и только этих
точек».
Отсюда следует, что точки, не принадлежащие фигуре, заданными
свойствами не обладают. В связи с этим, для обоснования решения
задачи на г.м.т. необходимо доказывать две теоремы: либо 1) прямую и
ей обратную, либо 2) прямую и противоположную прямой или обратной.
1)Прямая теорема. Точка М обладает некоторым свойством.
Доказать, что она принадлежит фигуре Р.
Обратная теорема. Взята произвольная точка на фигуре Р. Доказать,
что она обладает указанным свойством.
2)Прямая теорема. Точка М обладает некоторым свойством.
Доказать, что она принадлежит фигуре Р.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Противоположная теорема. Точка N
не обладает некоторым
свойством. Доказать, что она не принадлежит фигуре Р.
Теорема, противоположная обратной. Точка N не принадлежит
фигуре Р. Доказать, что она не обладает заданным свойством.
Общий план решения задач на отыскание г.м.т. может быть
следующим.
1. Построение ряда отдельных точек искомого геометрического
места на основе условия.
2. Построение рабочего чертежа, удобного для обоснования
задачи.
3. Обоснование решения (установление закономерности в
расположении точек), доказательство двух теорем.
4. Уточнение вида найденной фигуры.
5. Исследование решения задачи в зависимости от изменения
данных.
6. Указание простейшего способа построения найденного г.м.т.
Основные геометрические места на плоскости и в
пространстве
Укажем простейшие геометрические места, встречающиеся в
школьной практике и практической жизни. Приводимый список
геометрических мест не претендует на исчерпывающую полноту и
может быть значительно расширен.
1. В пространстве:
Геометрическое место точек, каждая из которых отстоит от
данной точки О на расстоянии, равном а, есть сфера с центром в
точке О и радиусом а.
На плоскости:
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Геометрическое место точек, каждая из которых отстоит от
данной точки О на расстоянии, равном а, есть окружность с центром
в точке О и радиусом а.
2. В пространстве:
Геометрическое место точек, каждая из которых отстоит на
расстоянии а от данной прямой в, есть цилиндрическая поверхность
вращения, для которой данная прямая является осью, а направляющая –
окружность радиуса а, плоскость которой перпендикулярна оси.
На плоскости:
Геометрическое место точек, отстоящих на расстоянии а от
данной прямой в, есть две прямые, параллельные в и находящиеся от нее
на расстоянии а.
3. В пространстве:
Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена
от двух данных точек А и В, есть плоскость ß, перпендикулярная к
отрезку АВ в его середине С.
На плоскости:
Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от
двух данных точек А и В, есть перпендикуляр к отрезку АВ,
проведенный через его середину.
4. В пространстве:
Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена
от двух прямых.
Рассмотрим различные случаи взаимного расположения прямых в
пространстве.
Известно, что две прямые в пространстве могут быть параллельны,
пересекаться
или
скрещиваться.
В зависимости от взаимного
расположения прямых геометрические места точек, равноудаленные от
них, принимают различную форму.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а) Прямые а и в пересекаются.
В пространстве:
Г.м.т. состоит из двух взаимно перпендикулярных плоскостей α и
β, проведенных перпендикулярно плоскости, определяемой прямыми а и
в, и проходящими через биссектрисы углов, образуемых прямыми а и в.
На плоскости:
Геометрическим местом точек на плоскости, равноудаленных от
двух данных пересекающихся прямых, являются две прямые, делящие
пополам углы, образованные данными прямыми.
Биссектриса угла есть г.м.т., равноудаленных от сторон угла.
б) Прямые а и в параллельны.
В пространстве:
Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от
этих прямых, есть одна плоскость β, перпендикулярная к плоскости α,
определяемой прямыми а и в, и проходящая через равноотстоящую от
них на этой плоскости прямую с.
На плоскости:
Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от
двух параллельных прямых,
есть прямая, параллельная им и
равноотстоящая от них.
в) Прямые а и в скрещиваются.
Геометрическим местом точек, равноудаленным от двух данных
скрещивающихся прямых, является гиперболический параболоид.
5. В пространстве:
Геометрическое место точек, каждая из которых отстоит от
данной плоскости α на расстоянии а, состоит из двух плоскостей,
проведенных параллельно плоскости α на данном расстоянии а.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Эти же две плоскости можно рассматривать как геометрическое
место прямых, каждая из которых параллельна
плоскости
α и
отстоит от плоскости α на данном расстоянии а.
6. В пространстве:
Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от
двух пересекающихся плоскостей α и β состоит из двух взаимно
перпендикулярных плоскостей γ и δ, делящих пополам двугранные углы
между данными плоскостями.
7. В пространстве:
Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от
трех точек.
Здесь возможны два случая.
1) Данные три точки не лежат на одной прямой. В этом случае
геометрическое место точек есть прямая а, перпендикулярная
плоскости, определяемой этими тремя точками А, В, С и проходящая
через точку пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника
АВС, проведенными через их середины.
2) Данные три точки лежат на одной прямой. В этом случае
геометрического места нет, т.е. нет ни одной точки пространства,
которая бы удовлетворяла требуемому условию, так как плоскости,
проведенные через середины отрезков АВ и ВС перпендикулярные к
ним, будут между собой параллельны, и, следовательно, не пересекутся.
На плоскости г.м.т., каждая из которых равноудалена от трех
точек, есть единственная точка, являющаяся точкой пересечения
перпендикуляров, проведенных к отрезкам, соединяющих данные точки,
в их серединах.
8. В пространстве:
Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от
трех прямых.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь возможны следующие случаи.
1) Три прямые лежат в одной плоскости и пересекаются в одной
точке.
Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от
трех
прямых, пересекающихся в одной точке и лежащих в одной
плоскости α, есть прямая κ, проходящая через эту точку и
перпендикулярная к плоскости α.
2) Три прямые лежат в одной плоскости и попарно пересекаются.
Искомое геометрическое место состоит из четырех прямых,
перпендикулярных к плоскости α, в которой лежат заданные прямые, и
проходящих через точки пересечения биссектрис внутренних и внешних
углов, образуемых этими прямыми.
3) Две прямые параллельны, а третья их пересекает.
Искомое геометрическое место
состоит из двух прямых,
перпендикулярных к плоскости α, в которой лежат заданные прямые, и
проходящих через точки пересечения
биссектрис внутренних углов,
образуемых этими прямыми.
4) Три прямые лежат в одной плоскости и параллельны между собой.
В пространстве искомого геометрического места нет.
5) Три прямые пересекаются в одной точке, но не лежат в одной
плоскости.
Искомое геометрическое место
точек состоит из четырех
прямых, проходящих через эту точку.
Задание: построить эти четыре прямые.
5) Три прямые параллельны между собой, но не лежат в одной
плоскости.
Искомое
геометрическое
параллельная
данным и
место
точек
являющаяся
есть
линией
одна
прямая,
пересечения
трех
плоскостей.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. В пространстве:
Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от
трех плоскостей.
Здесь возможны следующие случаи.
1) Три плоскости пересекаются в одной точке.
Искомым геометрическим местом являются четыре прямые,
проходящие через эту точку.
Для
построения
этих
прямых
надо
рассмотреть
г.м.т.,
равноудаленных от двух плоскостей α и β. Это будут две вполне
определенные биссекторные плоскости α1 и β1. Также г.м.т.,
равноудаленных от плоскостей γ и β будут две вполне определенные
биссекторные плоскости γ2 и β2,
а от плоскостей γ и α – две
биссекторные плоскости γ3 и α3. Шесть плоскостей α1, β1, γ2, β2, γ3, α3
пересекаются по четырем прямым, которые и будут искомым г.м.т.
2) Три плоскости пересекаются по параллельным прямым.
Искомое геометрическое место точек состоит из четырех
прямых. Параллельных линиям пересечения данных плоскостей.
3) Две плоскости параллельны, а третья плоскость их пересекает.
В этом случае искомым геометрическим местом будут две
прямые.
4) Три плоскости параллельны между собой.
В этом случае г.м.т. не существует.
5) Три плоскости пересекаются по прямой.
Искомое г.м.т. вырождается в прямую, совпадающую с линией, по
которой пересекаются данные плоскости.
10. В пространстве:
Геометрическое место точек, каждая из которых делит в
данном отношении параллельные отрезки прямых, проведенных в
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
данном двугранном угле, есть плоскость, проведенная через ребро угла и
одну из таких точек.
11. В пространстве:
Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден
под прямым углом, есть сфера, для которой данный отрезок является
диаметром.
Это геометрическое место является естественным обобщением
известного плоского геометрического места: г.м.т., из которых данный
отрезок виден под прямым углом, есть окружность, для которой данный
отрезок является диаметром.
Задачи на нахождение геометрических мест точек
Окружность и треугольники
1.Найти г.м.т., удаленных от данной окружности радиуса а на
расстоянии в. Исследовать, при каких значениях а и в задача имеет
одно или два решения.
Примечание. Если через данную точку и центр окружности
провести прямую до пересечения с окружностью, то расстояния от
точки до концов образовавшегося диаметра принимаются за
расстояния от данной точки до окружности.
2. Построить точку С, равноудаленную от точки А на расстояние а
и от точки В на расстояние в. Исследовать, при каких значениях а и в
задача имеет: два решения, одно решение, не имеет решений.
3. Найти геометрическое место вершин С треугольников АВС с
данным основанием АВ=с и с данной по величине боковой стороной
ВС =а.
4. Найти геометрическое место вершин А треугольников АВС с
данным основанием АВ=с и с данной по величине боковой стороной
ВС =а.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Найти г.м.т.. симметрично расположенных с неподвижной
точкой А относительно прямой, вращающейся около другой
неподвижной точки В.
6.
Найти
точку,
одинаково
удаленную
от трех вершин
треугольника (остроугольного, тупоугольного, прямоугольного).
7. Даны прямая СД и точки А и В. Найти на прямой СД точку,
равноотстоящую от А и В.
8. Найти геометрическое место вершин С треугольников АВС с
данным основанием АВ и данным углом α наклона медианы СД к
основанию АВ.
Параллельные прямые
9. Найти геометрическое место вершин треугольников, имеющих
общее основание и равные высоты.
10. Найти г.м.т., равноудаленных от двух данных параллельных
прямых.
11. Найти г.м.т., расстояние которых от одной из двух данных
параллельных в два раза больше, чем от другой.
12. Найти геометрическое место середин отрезков параллельных
прямых, заключенных между данными параллельными прямыми.
13. Отрезки параллельных прямых, заключенных между данными
параллельными прямыми, разделены на три равные части. Найти
г.м.т. деления.
Углы в круге
14. Доказать, что г.м.т. на плоскости, из которых данный отрезок
виден под данным по величине углом, являются дуги двух
окружностей, проходящих через концы отрезка и вмещающих
данный угол (за исключением концов отрезка).
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. Доказать, что г.м.т., из которых данный отрезок виден под
прямым углом, есть окружность, построенная на данном отрезке, как
на диаметре (за исключением концов отрезка).
16. Из данной точки А окружности проведены хорды по разным
направлениям и каждая из них продолжена на длину, равную самой
хорде. Найти геометрическое место концов полученных отрезков.
17. Найти геометрическое место середин всех хорд, проведенных в
данной окружности с центром О через данную точку А внутри круга.
18. Из точки пересечения двух данных равных окружностей
проведены хорды. Найти геометрическое место середин тех частей
хорд, которые содержатся между двумя окружностями.
Линии в круге
19.
Найти
геометрическое
место
центров
окружностей,
касающихся прямой АВ в данной на ней точке М.
20.
Найти геометрическое место
центров
окружностей,
проходящих через две данные точки А и В.
21. Через две данные точки А и В проведены всевозможные
окружности.
Найти г.м.т.
пересечения
касательных (к этим
окружностям), проходящих через точки А и В.
22.
Найти
геометрическое
место
центров
окружностей,
касающихся двух данных пересекающихся прямых.
23.
Найти
геометрическое
место
центров
окружностей,
касающихся двух данных параллельных прямых.
Четырехугольники
24. Найти внутри параллелограмма геометрическое место середин
отрезков прямых, параллельных: а) его боковой стороне; б) его
основанию.
Каким
свойством
обладает
точка
пересечения
геометрических мест а) и б) ?
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
25.
Найти: 1)
на
плоскости прямоугольника,
2) внутри
прямоугольника г.м.т., а) равноудаленных от его противоположных
сторон, б) от его смежных сторон. Найти точку, равноудаленную от
трех его сторон. Для любых ли трех сторон прямоугольника
возможно найти такую точку? Можно ли найти на плоскости точку,
равноудаленную от всех сторон прямоугольника?
26.
Найти: 1) на плоскости ромба, 2) внутри ромба г.м.т., а)
равноудаленных от его противоположных сторон, б) от его смежных
сторон. Найти точку, равноудаленную от трех его сторон. Для любых
ли трех сторон ромба возможно найти такую точку? Можно ли найти
на плоскости точку, равноудаленную от всех сторон ромба?
27.
Найти: 1) на плоскости параллелограмма, 2) внутри
параллелограмма г.м.т., а) равноудаленных от его противоположных
сторон, б) от его смежных сторон. Найти точку, равноудаленную от
трех его сторон. Для любых ли трех сторон возможно найти такую
точку? Можно ли найти на плоскости точку, равноудаленную от всех
сторон параллелограмма?
28. Найти: 1) на плоскости трапеции, 2) внутри трапеции г.м.т., а)
равноудаленных от ее оснований, б) от боковой стороны и одного из
оснований; в) найти точку, равноудаленную от оснований трапеции и
одной из боковых сторон. При каком условии эта точка лежит внутри
трапеции?
Задачи на нахождение геометрических мест в пространстве
29.Найти геометрическое место прямых:
а) параллельных между собой и пересекающих данную прямую а;
б) проходящих через точку А и пересекающих данную прямую а;
30. Найти геометрическое место прямых, параллельных между
собой и пересекающих:
а) две данные пересекающиеся прямые;
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
б) две данные параллельные прямые.
31.Найти геометрическое место прямых, пересекающих две
данные:
а) пересекающиеся прямые;
б) параллельные прямые.
32. Найти геометрическое место центров шаров данного радиуса,
касающихся данной плоскости.
33. Найти геометрическое место центров шаров, касающихся
данной плоскости в одной и той же точке.
34. Найти геометрическое место прямых, параллельных данной
прямой а и отстоящих от данной точки А на расстояние в.
35. Найти геометрическое место центров шаров, касающихся
данной прямой в одной и той же точке.
36. Найти геометрическое место центров шаров данного радиуса,
касающихся некоторой прямой в одной и той же точке.
37. Найти геометрическое место центров шаров, проходящих через
две данные точки А и В.
38. Найти геометрическое место середин всевозможных отрезков,
концы
которых находятся на двух данных параллельных
плоскостях.
39. Даны две параллельные плоскости. Найти геометрическое
место прямых, параллельных им и равноудаленных от них.
40. На поверхности куба найти точки, каждая из которых
равноудалена: а) от двух его оснований; б) от двух его диагоналей;
в) от двух смежных граней.
41. На поверхности куба найти точки, удаленные от одной
вершины на расстояние, равное ребру.
42. На поверхности куба найти точки, удаленные от одной
вершины на расстояние, равное диагонали его грани.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
43. На поверхности цилиндра найти точки, равноудаленные от его
оснований.
44. Найти геометрическое место точек на поверхности цилиндра,
равноудаленных от двух точек, лежащих: а) на одной и той же
образующей; б) на окружности основания.
45. На поверхности данного шара найти точки, каждая из которых
равноудалена от двух диаметрально противоположных точек этого
шара.
46. На поверхности конуса найти точки, удаленные от его оси на
расстояние, равное половине радиуса основания.
47. На поверхности правильного тетраэдра найти точки: а)
удаленные от плоскости основания на расстояние, равное
половине высоты; б) равноудаленные от концов высоты.
48.
На поверхности правильного
тетраэдра найти точки,
равноудаленные от двух его вершин.
49. На поверхности правильной треугольной призмы найти точки,
удаленные от одного бокового ребра на расстояние, равное
половине стороны основания.
50. На поверхности правильной треугольной призмы найти точки,
равноудаленные: а) от двух боковых ребер; б) от двух боковых
граней; в) от боковой грани и основания.
51.
На поверхности правильного
тетраэдра найти точки,
равноудаленные: а) от трех вершин; б) от середин трех ребер,
выходящих из одной точки; в) от середин трех высот граней,
выходящих из одной точки.
ТЕМА 2
Решение стереометрических задач на основе циклов
взаимосвязанных задач
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
План изучения темы:
1. Понятие цикла взаимосвязанных задач в научно-методической
литературе.
2. Методика построения цикла взаимосвязанных задач (на примере
темы «Многогранники»).
3. Решение стереометрических задач на основе циклов
взаимосвязанных задач.
Основное содержание
Понятие цикла взаимосвязанных задач в научно-методической
литературе
От эффективности применения задач в обучении математике во
многом зависит степень подготовленности школьников к последующей
за обучением практической деятельности. В процессе решения задач
систематизируются знания и умения, полученные учащимися в процессе
изучения теории, осознаются и уточняются цели изучения математики,
углубляются и расширяются ранее установленные представления о
взаимосвязи понятий.
Для формирования прочных умений и навыков учащиеся должны,
как правило, решить достаточное число задач одного и тоже типа по
изучаемой теме. Однако в психологии установлено, что выполнение
однотипных заданий приводит к тому, что учащиеся начинают решать
задачи по аналогии с ранее решенными задачами, не вдумываясь в
условие, опуская отдельные существенные рассуждения. Из-за этого в
решении появляются ошибки.
Активизации
самостоятельной
познавательной
деятельности
школьников при изучении курса математики способствует применение
циклов задач, которые являются важнейшим средством формирования
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
системы основных математических знаний, умений и навыков учащихся,
средством их математического развития. Именно в ходе составления и
решения
циклов
задач
можно
самым естественным способом
сформировать у учащихся элементы творческого математического
мышления наряду с реализацией непосредственных целей обучения
математике.
В толковом словаре цикл определяется как законченная группа
или ряд каких-либо явлений.
В математике под циклом следует понимать совокупность задач,
включающих в себя:
1) целевую задачу;
2) следствия, полученные из условия и предшествующих подзадач;
3) каждая подзадача является элементарной.
В научно-методической литературе встречается много терминов,
определяющих совокупность специально подобранных задач, которые
схожи с понятием цикла взаимосвязанных задач: «обучение через
задачи»,
«обучающая
подобранных
задач»
система
(термин
задач»,
С.И.
«метод
целесообразно
Шохор-Троцкого),
«метод
подготовительных задач», «подводящая система задач» и др. Они
употребляются применительно к изучению теории и решению задач.
Обучение через
задачи может означать метод обучения
теоретическому материалу или метод обучения решению некоторых
задач. Обучающая система задач может быть определена как
совокупность таких задач, что решение первой из них подготавливает
решение второй, решение первых двух задач - решение третьей и т.д.
Подводящая система задач представляет собой последовательность
таких задач, которые, во-первых, могут быть решены учащимися
самостоятельно, во-вторых, нацеливают их на успешное решение более
трудной целевой задачи.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Интересные для нашего обсуждения термины встречаются в
работах
Д. Пойа: «вспомогательная задача», «подсобная задача»,
«Второстепенная задача». По мнению автора, вспомогательная задача –
это такая задача, которой мы вынуждены уделять внимание или над
которой мы должны работать не ради ее самой, но из-за того, что эта
работа обеспечивает решение основной задачи. Вспомогательная задача
– это средство для достижения цели, открывающее доступ к исходной
задаче. Нахождение пути к решению задачи, кажущейся недоступной,
при помощи специально для этого придуманной, а затем решенной,
вспомогательной задачи, - это одно из наиболее характерных
проявлений умственной деятельности.
Можно указать еще один методический прием: сведение задачи к
подзадачам. А.А. Столяр рассматривает данную идею к решению задач
и называет ее редукцией. Здесь осуществляется «размышление в
обратном направлении» - от задачи, которую предстоит решить, к
подзадачам, решение которых необходимо для решения исходной
задачи, затем от подзадач – к «подподзадачам» и так до тех пор, пока
исходная задача не будет сведена к набору элементарных задач. Под
элементарными задачами понимаются такие, которые, или решаются с
помощью одного действия, или представляют собой сложные задачи,
решение которых нам уже известно из имеющегося опыта решения
задач.
Различные
авторы
по-разному
объясняют
необходимость
использования циклов задач.
По мнению Г.В. Дорофеева, каждая задача, рассматриваемая сама
по себе, обычно представляет некоторое изолированное утверждение
или требование и предполагает выполнение определенных действий для
ее решения. Учитель, ставя задачу перед учениками, преследует, как
правило, более общие цели. Например, формирование или закрепление
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нового понятия; получение новых знаний или активизация уже
имеющихся; демонстрация определенного метода рассуждения и др. В
связи с этим возникает проблема создания циклов взаимосвязанных
задач. Различных по формулировку, по сюжету, но имеющих общее
дидактическое назначение, служащих достижению поставленной цели.
Г.В. Дорофеев предлагает определять цикл взаимосвязанных задач
следующим образом. Каждая конкретная задача имеет определенный
набор
связанных с
ней задач,
определенную окрестность по
содержанию, методам рассуждений, кругу используемых понятий.
Каждая задача входит в некоторый «букет окрестностей», связанных с
той или иной ее особенностью, а выбор одной из многих окрестностей
задачи для построения цикла определяется конкретной ситуацией
преподавания. Разнообразие букета окрестностей задачи предопределяет
широту ее использования, является важным критерием ее дидактической
ценности. В то же время описание даже одной окрестности задачи,
ситуационно полной в методическом отношении, представляет собой
сложную проблему, решение которой проводится на интуитивном
уровне и существенно зависит от опыта учителя, от уровня его
математического образования и методической подготовки.
В.С. Георгиев предлагает следующую структуру циклов задач.
Прежде всего, выделяется целевая задача, которая предваряется
задачами-компонентами, назначение последних состоит в актуализации
«старых» и сообщении «новых» знаний, ориентированных на решение
целевой задачи и входящих, по существу, в ее решение как составные
части. Далее указываются задачи, развивающие целевую задачу.
Задачи–компоненты являются доступными практически всем учащимся.
В совокупности же они обеспечивают решение относительно трудной
целевой задачи большинству учащихся.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Можно выделить две преимущественные особенности данного
подхода:
- сравнительная простота составления цикла;
-
большая
сюжетная
и
идейная
близость
цикла
задач,
способствующая его решению большинством задач.
Мы
придерживаемся
следующей схемы построения цикла
взаимосвязанных задач:
Подготовительные задачи (задачи-компоненты) → ключевая
(опорная задача) → задачи, связанные с опорной, развивающие ее тему.
Подготовительные
задачи,
неся
в
себе
большой
объем
информации, доступны для большинства учащихся. Это особенно важно
для первых задач серии, так как успех в решении одной задачи
стимулирует решение последующей. Если при этом результат решенной
задачи используется в решении последующей, то у учащихся
формируется потребность не просто узнавать задачу и сводить ее к
ранее решенной,
но и анализировать, наблюдать, выстраивать
правильную линию рассуждений при поиске способа решения задачи,
устанавливать закономерности.
Пример цикла задач по теме «Наклонная призма»
52. Доказать, что если в наклонной призме боковое ребро АВ
составляет равные углы со сторонами основания призмы, образующими
вершину А, то основание высоты призмы ВО принадлежит биссектрисе
угла А.
53. Основанием призмы служит правильный треугольник АВС.
Боковое ребро АМ образует равные углы со сторонами основания АВ и
АС. Доказать, что ребра АМ и ВС перпендикулярны, и одна из боковых
граней призмы – прямоугольник.
54.
Основанием
наклонной
призмы
служит
правильный
треугольник со стороной a. Длина бокового ребра b, а одно из боковых
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ребер образует с прилежащими сторонами основания угол в 45 градусов.
Определить площадь боковой поверхности призмы.
55. Основанием призмы АВСДМР служит правильный треугольник
со стороной a. Вершина Д проектируется в центр нижнего основания,
ребро АД наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов.
Определить площадь боковой поверхности призмы.
56. В основании призмы лежит равнобедренный треугольник АВС,
в котором АВ=АС, угол ВАС равен 2α. Вершина Д верхнего основания
проектируется в центр окружности радиуса R, описанной около
основания. Боковое ребро АД образует со стороной АВ угол
2α.
Определить площадь боковой поверхности призмы.
57.
Основанием
наклонной
призмы
АВСДМР
служит
равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=АС= 13 см, ВС = 10
см, а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45
градусов. Проекцией вершины Д на плоскость основания призмы служит
точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите площадь грани
СМРВ.
58. В основании наклонной призмы лежит прямоугольный
треугольник АВС с катетом ВС= а. Вершина Д верхнего основания
проектируется на середину катета ВС. Двугранный угол, образованный
боковыми гранями, проходящими через ВС и АВ, равен α. Боковые
ребра наклонены к плоскости основания под углом β. Определить
площадь боковой поверхности призмы.
В приведенном цикле задачи 1, 2, 3 – это задачи-компоненты для
целевой задачи 4. Эти задачи подобраны по сюжету и методу решения.
Обращают на себя внимание повторяющиеся элементы в условиях задач.
Содержание предыдущей задачи входит в содержание последующей.
Рассуждения, обоснования решений повторяются, но при этом
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
постепенно усложняются. Задачи 5, 6, 7 даны в развитии темы ключевой
задачи. В свою очередь, задача 7 может основать новый цикл задач.
Задание. Разработать цикл задач по теме:
1) «Пирамида»;
2) «Конус»;
3) «Объем параллелепипеда»;
4) «Объем цилиндра».
ТЕМА 3
Геометрические задачи на максимум и минимум
План изучения темы:
1. Применение производной к решению геометрических задач на
максимум и минимум.
2. Решение геометрических задач на максимум и минимум
элементарными средствами.
Основное содержание темы
Область
элементарной
применения
математики
производной
достаточно
при
широка.
решении
Это,
задач
например,
использование производной при преобразовании алгебраических
выражений, разложении на множители, доказательство тождеств,
решении уравнений, неравенств, систем, решении задач на отыскание
наибольших и наименьших значений геометрических величин.
Как известно, многие задачи на отыскание наибольшего или
наименьшего значений функции сводится к исследованию непрерывных
функций на различных промежутках (отрезке, полуинтервале, прямой и
т.п.).
Наибольшее (наименьшее) значение на отрезке [a; b] непрерывной
функции f(x) достигается либо в критической точке этой функции (т.е.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
точке, где производная функции или равна нулю, или не существует),
либо в одной из граничных точек данного отрезка.
Таким образом, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение
непрерывной функции на отрезке [a; b], имеющей на интервале (a; b)
конечное число критических точек, достаточно вычислить значение
функции во всех критических точках функции, принадлежащих
интервалу (a; b), и на концах отрезка и из полученных чисел выбрать
наибольшее и наименьшее.
Если непрерывная функция f(x) на промежутке [a; b) ([a; + ∞))
возрастает (убывает), то на этом промежутке она имеет наименьшее
(наибольшее) значение, которое достигается в точке x = a.
Аналогичные утверждения имеют место для функции, заданной на
промежутке (a; b] (( - ∞; b]).
Если непрерывная функция f(x) на промежутке (a; b) имеет
критическую точку m, принадлежащую рассматриваемому промежутку,
и возрастает (убывает) на промежутке (a; m] и убывает (возрастает) на
промежутке [m; b), то на рассматриваемом промежутке функция f(x)
имеет наибольшее (наименьшее) значение в точке m.
Если непрерывная функция f(x) рассматривается на промежутке
(- ∞;+ ∞) ([a; b)) и имеет пределы (конечные или бесконечные) при x →
- ∞ и x → + ∞ (x → b – 0), то можно заключить, имеет ли эта функция
f(x) наибольшее или наименьшее значение на рассматриваемом
промежутке, сравнив значение функции в критических точках с
предельными значениями на бесконечности (предельным значением при
x → b – 0 и точке x = a).
Для
отыскания
наибольшего
или
наименьшего
значения
геометрической величины следует из числа переменных в данной задаче
выбрать аргумент и выразить исследуемую величину как функцию этого
аргумента. Область определения полученной функции легко находится
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
по смыслу задачи. После чего наибольшее или наименьшее значение
функции вычисляется с помощью производной.
Задание.
Решить
следующие
задачи
с
использованием
производной:
Задачи по планиметрии
Задача 59. Из всех прямоугольников данной площади S найти тот,
периметр которого наименьший.
Задача
60.
В
данную
окружность
радиуса
R
вписан
равнобедренный треугольник. Какое наибольшее значение может
принимать высота этого треугольника, проведенная к боковой стороне, и
при каком значении угла при вершине?
Задача 61. Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 8.
Найти минимум суммы квадратов длин всех сторон параллелограмма.
Задача 62. Сумма двух сторон треугольника равна a, а угол между
ними равен 30 градусам. Каковы должны быть длины сторон этого
треугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
Задача 63. В равнобедренной трапеции меньшее основание и
боковая сторона равны a. Найти большее основание, чтобы площадь
трапеции была наибольшей.
Задача 64. Из трех одинаковых досок нужно изготовить желоб так,
чтобы площадь его поперечного сечения была наибольшей. Как это
сделать?
Задача 65. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника
равна l. Какое наибольшее значение может принимать высота этого
треугольника, проведенная к гипотенузе?
Задачи по стереометрии
Задача 66. Среди всех конусов, периметр осевого сечения которых
равен 8, найти конус с наибольшим объемом и вычислить этот объем.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 67. Сумма длин всех ребер правильной шестиугольной
призмы равен 36. Найти длину стороны основания призмы, при которой
объем этой призмы будет наибольшим.
Задача 68. Дан шар радиуса 10. Найти радиус основания и длину
образующей вписанного цилиндра, имеющего наибольшую площадь
боковой поверхности.
Задача 69. В конус, радиус основания которого 6 и высота 12,
вписан цилиндр наибольшего объема (основание цилиндра лежит на
основании конуса). Найти радиус основания и высоту цилиндра.
Задача 70. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды
имеет постоянную длину и составляет с плоскостью основания угол,
величина которого равна α. Найти значение α, при котором объем
пирамиды будет наибольшим.
Задача 71. Определить размеры открытого бассейна с квадратным
дном, объем которого равен V, чтобы на облицовку его стен и дна ушло
наименьшее количество материала.
Задача 72. Найти высоту конуса наибольшего объема, образующая
которого имеет заданную длину l.
Задача 73. В шар радиуса R вписан цилиндр наибольшего объема.
Найти радиус, высоту и объем цилиндра.
Задача 74. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого
был бы равен 9, причем стороны основания должны относиться, как
1 : 2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы площадь полной
поверхности ящика была наименьшей?
Задача 75. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда
объема
V относятся, как m : n. При каком соотношении между
измерениями параллелепипеда площадь его полной поверхности
принимает наименьшее значение?
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 76. Бак цилиндрической формы должен вмещать V литров
воды. Каковы должны быть его размеры, чтобы площадь поверхности
(без крышки) была наименьшей?
Задача 77. Консервная банка данного объема имеет форму
цилиндра. Каково должно быть соотношение ее размеров (высоты и
диаметра), чтобы на ее изготовление пошло минимальное количество
жести?
Отметим,
что многие задачи на отыскание наибольших и
наименьших значений геометрических величин, могут быть решены
элементарными средствами, без использования производной. Одни из
них сводятся к нахождению наибольшего или наименьшего значения
квадратного
трехчлена,
другие
–
к исследованию выражения,
содержащего тригонометрические функции.
Для
отыскания
экстремальных
значений
функций
можно
воспользоваться неравенствами.
Особое
неравенство
место
между
геометрическим
среди
неравенств
средним
положительных
занимает
замечательное
арифметическим
чисел.
Справедлива
и
средним
следующая
теорема:
Среднее арифметическое n положительных чисел не меньше их
среднего геометрического, причем равенство имеет место тогда и
только тогда, когда числа равны между собой.
Из теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом
вытекают следующие предложения:
Произведение
нескольких
положительных
переменных
сомножителей, сумма которых постоянна, имеет наибольшее значение
при равенстве сомножителей.
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сумма
нескольких положительных переменных слагаемых,
произведение которых постоянно, имеет наименьшее значение при
равенстве слагаемых.
Пользуясь этими следствиями, можно получить экономные
решения ряда задач на максимум и минимум.
Задание.
Решите приведенные ниже задачи элементарными средствами, без
использования производной:
Задача 78. Из всех треугольников с двумя данными сторонами
найдите тот, который имеет наибольшую площадь.
Задача 79. Какое наименьшее значение принимает радиус
окружности, описанной около треугольника АВС с двумя данными
сторонами АС=b и АВ = c.
Задача 80. Какое наибольшее значение принимает радиус
окружности, вписанный в четырехугольник АВСД, если АВ = АД = a и
ВС = ВД = b.
Задача 81. Из всех прямоугольных параллелепипедов с данной
диагональю найдите тот, который имеет наибольшую площадь полной
поверхности.
Задача 82. Какую наибольшую площадь боковой поверхности
может иметь правильная четырехугольная призма с данной диагональю?
Задача 83. Из всех цилиндров, вписанных в данный конус, найдите
тот, который имеет наибольшую площадь боковой поверхности.
ТЕМА 4
Применение координатного, векторного метода и метода
геометрических преобразований к решению геометрических задач
План изучения темы:
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.
Применение
координат
к
решению
содержательных
геометрических задач.
2. Применение движений к решению геометрических задач.
3. Применение векторов к решению геометрических задач.
Основное содержание темы
Применение координат к решению геометрических задач
При решении задач, в которых существенную роль играет понятие
расстояния между двумя точками, применяется прямоугольная система
координат.
Приступая
к
решению
геометрической
задачи,
следует
рационально выбрать систему координат, присоединить ее к данной
фигуре наиболее естественным образом. Желательно, чтобы данные в
условии точки располагались на осях координат. Это позволит
упростить вычисления.
Задание. Примените координатный метод к решению следующих
задач.
Задача 84. Даны равносторонний треугольник АВС и окружность,
проходящая через вершины А и В, центр которой симметричен вершине
С относительно прямой АВ. Доказать, что если М – произвольная точка
этой окружности, то из отрезков МА, МВ, МС можно составить
прямоугольный треугольник (который вырождается, если М=А или
М=В).
Задача 85. Окружность вписана в ромб с углом 60 градусов.
Расстояние от центра окружности до ближайшей вершины равно 1.
Докажите, что для любой точки Р окружности имеет место равенство:
сумма квадратов расстояний от точки Р до каждой из вершин
параллелограмма равно 11.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 86. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки М,
взятой на диаметре некоторой окружности, до концов любой из
параллельных этому диаметру хорд постоянна.
Задача 87. Пусть Д – середина основания АВ равнобедренного
треугольника АВС и F – середина перпендикуляра ДЕ, проведенного из
точки Д к стороне ВС. Докажите, что отрезки АЕ и СF перпендикулярны.
Задача 88. В плоскости правильного треугольника через его центр
проведена произвольная прямая. Докажите, что сумма квадратов
расстояний от вершин треугольника до этой прямой не зависит от
выбора этой прямой.
Задача 87. Даны параллельные хорды АВ и СД, причем АВ = 8, СД
= 10, расстояние между хордами равно 5. Найти радиус окружности.
Задача 88. Вычислить высоту треугольной пирамиды, у которой
все углы при вершине прямые, а длины боковых ребер равны
соответственно 1, 2 и 3.
Задача 89. Боковые ребра прямоугольного тетраэдра равны, высота
равна h. Найдите объем тетраэдра.
Задача 90. Найдите радиус сферы, описанной около тетраэдра
АВСД с прямым трехгранным углом при вершине Д, если ДА =а, ДВ = в,
ДС = с.
Задача 91. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и
углом 60 градусов. Высота пирамиды равна h. Боковые грани пирамиды
– равные треугольники. Найдите радиус полушара, вписанного в
пирамиду так, что его основание лежит в плоскости основания
пирамиды. Вычислите радиус при
а = 4, h= 3.
Задача 92. В правильную четырехугольную пирамиду со стороной
а и высотой h вписан шар. Найти радиус шара, если а = 12, h= 8.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 93. Через точку, делящую диагональ куба в отношении
1 : 3, перпендикулярно этой диагонали проведена плоскость. Найти
площадь полученного сечения, если ребро куба равно 4.
Применение координат к решению задач
на геометрические места точек
При решении задач на геометрические места точек координатным
методом возможно применение следующего плана решения.
1.Введите систему координат. Желательно, чтобы точки, данные в
условии задачи, располагались на осях координат.
2.Обозначьте координаты данных точек в выбранной системе
координат.
3. Обозначьте координаты текущей точки искомой фигуры.
4.Запишите определяющее свойство на «геометрическом языке».
5. Запишите определяющее свойство в координатной форме.
6. Преобразуйте найденное уравнение (неравенство, систему) и
установите, какую фигуру оно задает.
7.
Обоснуйте
решение
(проведите
доказательство
двух
утверждений).
8. Уточните вид найденной фигуры.
9. Исследуйте решение задачи в зависимости от изменения
данных.
Задание. Решите следующие задачи, используя метод координат:
Задача 94. На плоскости даны две точки А и В. Точка С
перемещается в плоскости так, что длина медианы АД треугольника АВС
остается неизменной. Найти множество точек С.
Задача 95. На плоскости даны две точки А и В. Найти г.м.т. М
плоскости, удаленных от А вдвое больше, чем от В.
Задача 96. Найдите геометрическое место точек плоскости,
отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 97. На плоскости даны две точки А и В. Найдите
геометрическое место точек С этой плоскости таких, что медианы
треугольника АВС, проведенные из вершин А и В, перпендикулярны.
Задача 98. На плоскости даны две точки А и В. Найдите
геометрическое место точек С этой плоскости таких, что в треугольнике
АВС высота СН равна медиане АД.
Задача 99. В плоскости квадрата АВСД найдите геометрическое
место точек М, для которых имеет место равенство МА + МС = МВ +
МД.
Задача 100. Найдите геометрическое место точек пересечения
диагоналей прямоугольников, вписанных в данный треугольник АВС
так, что сторона каждого прямоугольника лежит на большей стороне
треугольника.
Применение движений к решению геометрических задач
Преобразования плоскости широко применяются к решению задач
планиметрии на доказательство и построение, а иногда помогают при
решении
задач
на
вычисление.
Однако,
овладеть
методом
геометрических преобразований нелегко, поскольку нельзя указать
общих
способов
использования
преобразований
в
конкретных
ситуациях. Наряду с заданными фигурами рассматриваются их образы
или образы отдельных их элементов при некотором преобразовании.
Удача зависит от выбора вида преобразования, от выбора образов и от
глубины анализа полученной ситуации.
Решение задач с помощью осевой симметрии
Определение.
Осевой
симметрией
плоскости
называется
перемещение плоскости, при которой каждая точка некоторой прямой l
отображается на себя, а полуплоскости с границей l отображаются друг
на друга. Прямая l называется осью симметрии.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задание. Рассмотрите примеры применения осевой симметрии
при решении следующих задач на доказательство и построение:
Задача 101. Точки M и N симметричны вершине С треугольника
АВС относительно прямых, содержащих биссектрисы его углов А и В
соответственно. Доказать, что точка Р касания стороны АВ с вписанной
в треугольник АВС окружностью является серединой отрезка MN.
Задача 102. Продолжения боковых сторон АД и ВС равнобочной
трапеции АВСД пересекаются в точке S.
Доказать, что окружности,
описанные около треугольников АС S и ВД S, пересекаются в центре
окружности, описанной около данной трапеции.
Задача 103. Внутри острого угла дана точка А. Построить
треугольник АВС наименьшего периметра, вершины В и С которого
принадлежат сторонам угла.
Задача 104. Доказать, что если ортоцентр треугольника (точка
пересечения его высот)
совпадает с центром вписанной в него
окружности, то треугольник правильный.
Задача
105.
Окружность,
концентричная
с
вписанной
в
треугольник окружностью, пересекает прямые, содержащие стороны
треугольника, соответственно в парах точек А и В, С и Д, Е и М.
Доказать, что АВ = СД = ЕМ.
Задача 106. В окружности, центр которой не указан, проведены
две параллельные неравные хорды. Разделить их пополам, пользуясь
только одной линейкой.
Задача 107. Через данную точку провести прямую, которая
пересекает две данные прямые под равными углами.
Решение задач с помощью поворота
Определение. Поворотом плоскости около данной точки О на
заданный ориентированный угол величины α называется такое
перемещение плоскости, которое точку О отображает на себя, а всякую
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
другую точку М отображает на такую точку Р, что ориентированный
угол МОР имеет величину угла α. Точка О называется центром
поворота, а α – углом поворота.
Число α считается положительным, если угол МОР ориентирован
против движения часовой стрелки, и отрицательным – в противном
случае.
Задание. Рассмотрите примеры применения поворота к решению
следующих задач на доказательство, построение и вычисление:
Задача 108. В окружность вписаны два правильных треугольника
АВС и МРТ. Доказать, что точки Д = (ВС) ∩ (РТ), Е= (СА) ∩ (ТМ), К=
(АВ) ∩ (МР) являются вершинами правильного треугольника.
Задача 109. Точка В лежит между точками А и С. В полуплоскость
с границей АВ построены правильные треугольники АВМ и ВСР. Точки
К и Е – середины отрезков АР и МС. Доказать, что треугольник ВКЕ
правильный.
Задача 110. Прямоугольный треугольник КРТ симметричен
прямоугольному треугольнику АВС относительно прямой, которая
содержит биссектрису его прямого угла С. Доказать, что медиана СМ
треугольника АВС перпендикулярна прямой КР.
Задача 111. На гипотенузе прямоугольного треугольника вне его
построен квадрат. Найти расстояние от вершины прямого угла
треугольника до центра квадрата, если сумма длин катетов треугольника
равна m.
Задача
112.
Через
центр
квадрата
проведены
две
перпендикулярные прямые. Доказать, что точки их пересечения со
сторонами квадрата являются вершинами некоторого квадрата.
Задача 113. Построить правильный треугольник АВС, одна
вершина которого находится в данной точке А, вершина В – на данной
прямой l, а вершина С – на данной окружности α.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 114. Дан ромб АВСД, в котором угол В равен 60 градусам.
Прямая l пересекает стороны ВС и СД в точках М и Н так, что СМ + СН
равна стороне ромба. Доказать, что треугольник АМН правильный.
Решение задач с помощью центральной симметрии
Определение. Поворот плоскости на 180 градусов называется
центральной симметрией плоскости.
Центр симметрии фигуры определяется как точка, относительно
которой центральная симметрия отображает эту фигуру на себя.
Например, центр окружности является центром симметрии этой
окружности, точка пересечения диагоналей параллелограмма служит
центром его симметрии.
Фигура может иметь и не один центр симметрии. Полоса,
например, симметрична относительно любой точки ее средней линии.
Задание.
Рассмотрите
примеры
применения
центральной
симметрии при решении следующих задач на доказательство и
построение:
Задача 115. Вершины параллелограмма АВСД принадлежат
прямым, содержащим стороны другого параллелограмма МРТК.
Доказать, что эти параллелограммы имеют общий центр.
Задача 116. Через каждую из двух противоположных вершин
параллелограмма проведены перпендикуляры к прямым, содержащим
его стороны, которые не проходят через эти вершины. Доказать, что
основания этих перпендикуляров являются вершинами прямоугольника.
При каком условии он будет квадратом?
Задача 117. Через данную точку А провести прямую так, чтобы ее
отрезок с концами на данной прямой и данной окружности делился
точкой А пополам.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 118. На сторонах параллелограмма вне его построены
правильные
треугольники.
Доказать,
что
их центры
являются
вершинами параллелограмма.
Задача 119. Точка О – центр параллелограмма АВСД. Доказать, что
точки пересечения биссектрис треугольников АОВ, ВОС, СОД, ДОА
являются вершинами ромба. В каком случае ромб будет квадратом?
Задача 120. В четырехугольнике АВСД угол В равен углу Д, а
диагональ АС делится другой диагональю пополам. Доказать, что
данный четырехугольник – параллелограмм.
Задача 121. Построить квадрат. Если дан центр и две точки,
принадлежащие прямым, которые содержат две противоположные
стороны квадрата.
Задача 122. Построить центр данного параллелограмма,
не
используя его вершины.
Применение векторов к решению геометрических задач
Векторная алгебра может быть использована при решении
широкого класса содержательных геометрических задач. Для решения
задач,
касающихся
взаимного
расположения
двух
прямых,
принадлежности трех точек одной прямой, вычисления отношения
отрезков параллельных прямых, необходимы лишь операции сложения
и вычитания векторов, умножения вектора на число, известные из
школьного курса геометрии.
Особенностью решения многих задач является то, что все
привлекаемые для решения векторы, откладываются от одной и той же
точки О, называемой полюсом.
Векторное решение некоторых задач не зависит от того. Является
ли рассматриваемая фигура плоской или пространственной. При этом
для решения планиметрической и соответствующей стереометрической
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
задач используются одни и те же выкладки. В связи с эти не будем
разделять здесь задачи на планиметрические и стереометрические.
Задание. Решите следующие задачи векторным методом:
Задача 123.
Продолжения
сторон АВ и СД выпуклого
четырехугольника АВСД пересекаются в точке Р. Доказать, что если
точка Р и середины сторон АВ и СД принадлежат одной прямой, то
АВСД – трапеция.
Задача 124. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме.
Задача 125. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в
одной точке и делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Задача
126.
Докажите,
что
средние
линии
любого
четырехугольника точкой их пересечения делятся пополам.
Задача 127. Докажите, что отрезки, соединяющие середины пар
противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке
(центроиде тетраэдра) и делятся ею пополам.
Задача 128. Через концы трех ребер ОА, ОВ, ОС параллелепипеда
проведена плоскость АВС. Докажите, что центроид G треугольника АВС
принадлежит диагонали ОД параллелепипеда. В каком отношении делит
точка G эту диагональ?
Задача 129. Через вершину А треугольника АВС и середину Е
медианы СD проведена прямая, пересекающая ВС в точке F. Докажите,
что С F : FВ = 1 : 2. В каком отношении точка Е делит отрезок А F?
Задача 130. Точка пересечения средних линий четырехугольника
совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Докажите, что
четырехугольник – параллелограмм.
Скалярное произведение двух векторов
Операция скалярного умножения двух векторов достаточно
подробно изучается в школьном курсе геометрии. Посредством этой
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
операции можно вычислять длины отрезков и величины углов, находить
метрические соотношения между линейными и угловыми элементами
многоугольников, решать некоторые задачи, связанные с окружностью.
Вычисление длины отрезка сводится к вычислению скалярного
квадрата соответствующего вектора.
Для доказательства перпендикулярности отрезков или прямых
используется признак перпендикулярности ненулевых векторов.
Задание.
Решите следующие задачи,
используя скалярное
произведение векторов:
Задача 131. Вычислить длину медианы СD треугольника АВС,
если АС = 1, ВС = 2, величина угла С равна 120 градусам.
Задача 132. Доказать, что если биссектрисы двух плоских углов
трехгранного угла взаимно перпендикулярны, то биссектрисы третьего
плоского угла перпендикулярна первым двум биссектрисам.
Задача
133.
Докажите,
что
параллелограмм
является
прямоугольником, если его диагонали равны.
Задача 134. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если
его диагонали взаимно перпендикулярны.
Задача 135. Вычислите длину медианы СD треугольника АВС,
если АС = b, ВС =a, величина угла С равна γ.
Задача 136. Вычислите длину биссектрисы треугольника, зная
длины заключающих ее сторон и величину угла между ними.
Задача 137. На стороне АВ
треугольника АВС дана точка D.
Найдите СD, если АС = b, ВС =a, АВ =c, А D =m , В D =n.
Задача 138. Грань АВС тетраэдра АВСD является прямоугольным
треугольником с гипотенузой АВ, грань ВСD – равносторонним
треугольником. Найдите АD, если АС = 3, ВС = 2, и двугранный угол
ВС равен 30 градусам.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 139. Непересекающиеся диагонали двух смежных граней
прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под
углами α и β. Найдите угол γ между этими диагоналями.
Задача
140.
Дан
выпуклый
четырехугольник,
две
противоположные стороны которого перпендикулярны. Докажите, что
сумма квадратов диагоналей четырехугольника равна сумме квадратов
двух других противоположных сторон.
Задача 141. Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции
равна сумме квадратов ее боковых сторон, сложенной с удвоенным
произведением оснований.
Задача 142. Найдите необходимое и достаточное условие,
связывающее длины сторон треугольника АВС, при котором медианы
треугольника, проведенные к сторонам АС и ВС, перпендикулярны.
ТЕМА 5
Основные этапы в решении задач на построение.
Различные типы задач на построение, различные способы их
решения
План изучения темы:
1.Задачи на построение на плоскости и в пространстве.
2. Методика решения задач на построение.
3. Особенности применения общей схемы при решении задач
специальными методами
Основное содержание
Еще в четвертом веке до нашей эры древнегреческие геометры
разработали общую схему решения задач на построение, которой мы
пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа:
анализ, построение. Доказательство и исследование. Не следует думать,
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
что при решении каждой задачи следует строго придерживаться этой
схемы.
Однако
наличие
ее
делает
рассуждения
учащихся
целенаправленными. Ознакомление учащихся с общей схемой решения
задач на построение нужно проводить постепенно, подводя их к
самостоятельному выводу о целесообразности применения каждого
этапа.
Анализ – это важный этап в решении задачи, так как здесь мы
составляем план построения, по существу, находим решение. Название
этапа «анализ» не означает, что для отыскания решения применяется
только аналитический метод. При разборе задачи, при отыскании путей
ее решения анализ и синтез находятся в постоянном взаимодействии.
Второй этап решения задачи – построение - состоит из двух
частей: 1) перечисление в определенном порядке всех элементарных
построений, которые нужно выполнить согласно анализу, для решения
задачи; 2) непосредственное выполнение этих построений на чертеже
при помощи чертежных инструментов.
Действительно, решить задачу с помощью тех или иных
инструментов – значит указать конечную совокупность элементарных,
допустимых для данных инструментов, построений, выполнение
которых в определенной последовательности позволяет дать ответ на
вопрос задачи.
Например, допустимыми построениями, которые определяют
понятие «с помощью циркуля и линейки», являются следующие:
- построение прямой, проходящей через две данные точки;
- построение точки пересечения двух данных прямых;
- построение окружности данного радиуса при заданном центре;
- построение точки пересечения двух данных окружностей;
- построение точки пересечения данной прямой и данной
окружности.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перечисление элементарных построений в разделе «Построение»
не всегда является повторением анализа. При анализе мы находим лишь
план решения. При решении конструктивных задач, наметив план
построений, нужно еще указать, как он осуществляется, так как нередко
одно и то же построение, указанное в анализе, можно осуществить
различными способами.
Решение одной и той же задачи несколькими способами усиливает
интерес учащихся к задачам на построение и сознательное отношение к
решению таких задач. Если решать задачи на построение все время по
заранее указанным методам, то этим сковывается изобретательность и
инициатива учащихся в нахождении оригинальных способов решения и
им трудно научиться решать конструктивные задачи.
Решение
конструктивной
задачи
не
всегда
сводится
к
элементарным построениям, а чаще всего к так называемым основным
построениям или основным задачам на построение.
После того как фигура построена, необходимо установить,
удовлетворяет ли она условиям задачи. То есть показать, что фигура,
полученная
из
удовлетворяет
данных
всем
элементов
условиям
определенным
задачи.
Значит,
построением,
доказательство
существенно зависит от способа построения.
При решении простейших задач, когда все условия задачи находят
непосредственное отражение в плане построения, нет необходимости
доказывать, что фигура, полученная из данных элементов таким
построением, является искомой.
В более сложных задачах доказательство не просто зависит от
анализа и построений. Между ними существует взаимосвязь и
взаимообусловленность.
Построение
проводится
по
плану,
составленному при анализе. Таких планов можно указать несколько.
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Построение и доказательство являются своеобразным критерием
правильности составленного плана.
Хотя доказательство при решении задач на построение проводится
аналогично доказательству теорем. Между ними имеется и некоторое
различие. При доказательстве теорем в большинстве случаев без труда
выделяют условие и заключение. При решении задач на построение уже
труднее найти данные, на основании которых можно указать, что
построенная
фигура является
искомой.
Поэтому при решении
конструктивных задач в классе целесообразно специально выделять, что
дано и что требуется доказать. Например, при решении задачи:
«Построить ромб по его диагоналям» предлагаем ученику записать, что
дано (диагонали взаимно перпендикулярны и, пересекаясь, делятся
пополам) и что требуется доказать (стороны равны).
Сущность и значение исследования состоит в следующем.
Каждая задача на построение включает в себя требование
построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую определенным
условиям,
которые
в
большинстве
задаются
размерами
или
положениями некоторых геометрических образов. Условия задач
формулируются в общем виде, поэтому исходные данные являются как
бы параметрами, принимающими всевозможные допустимые значения.
Допустимые значения определяются наиболее естественным
образом. В задаче : «Построить треугольник по двум сторонам и углу
между
ними»
всевозможные
допустимыми
отрезки,
значениями
которые
длин
можно
сторон
будут
характеризовать
положительными числами, их длинами, а угол может принимать
всевозможные значения от нуля до ста восьмидесяти градусов.
В задаче: «Построить окружность, касающуюся данной прямой,»
прямая может занимать любое положение на плоскости. Окружностью
также может быть любая окружность на плоскости, но так как
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
окружность характеризуется положениями центра и величиной радиуса,
то можно сказать, что центром данной окружности может быть любая
точка плоскости, а радиусом любой отрезок, длина которого больше
нуля. Точка также может занимать произвольное положение, но уже не
плоскости, а на данной окружности, так как она обязательно должна
принадлежать ей.
При анализе, а значит, и при построении всегда исходим из
предположения, что искомая фигура существует, не учитывая всего
многообразия данных, их размеров и взаимных соотношений.
Решение задачи на построение считается законченным, если
указаны необходимые и достаточные условия, при которых найденное
решение
является
ответом
на
задачу.
Например: «Построить
окружность, проходящую через три данные различные точки». Если
данные точки не лежат на одной прямой, то задача имеет решение и
притом только одно; если же точки лежат на одной прямой, то задача
решения не имеет.
В основной школе при исследовании обычно ограничиваются
двумя моментами: 1) выясняют число решений в зависимости от данных
и 2) изменяют или упрощают решение для отдельных случаев. Для
некоторых задач в исследовании дается еще ответ на вопрос: «При каких
условиях искомая фигура удовлетворяет тем или иным дополнительным
условиям».
Например, «Около данного треугольника описать
окружность. Выяснить, когда центр этой окружности находится внутри
треугольника, вне треугольника или принадлежит одной из его сторон».
Ответ на последний вопрос также дается при исследовании.
Наиболее
доступным
способом
для
учащихся
является
исследование по самому построению. Последовательно рассматриваем
все простейшие построения, к которым сводится решение данной
задачи. Для каждого из них указываем, возможно ли построение
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
соответствующих геометрических образов и сколько, а если нет, то при
каком выборе данных нельзя построить соответствующий данному
построению образ. В заключение делаем общий вывод, выражая
зависимость числа решений от исходных данных либо в словесной
форме, либо (когда это возможно), некоторой формулой. Здесь же
выявляются и те случаи, когда общее решение не применимо или может
быть упрощено.
Для
решения
задач
средней
трудности
предложенное
исследование является громоздким. Поэтому мы устанавливаем
максимальное возможное число решений. С этой целью, перебирая всю
последовательность наших построений, устанавливаем наибольшее
число геометрических образов, которое можно получить для каждого
построения.
Учитывая
результаты исследования для отдельных
построений, определяем наибольшее возможное число решений данной
задачи.
После выполнения исследования необходимо записать результаты.
Наиболее удобной формой
записи является выражение условий,
определяющих то или иное число решений, в виде неравенств.
Особенности применения общей схемы при решении задач
специальными методами
Выбор метода решения задачи на построение
При изучении того или иного метода нужно выделять наиболее
характерные, определяющие признаки.
Задача решается методом подобия, если ее условие можно
разделить на две части, одна из которых определяет форму фигуры с
точностью до подобия, а вторая – размеры фигуры.
Метод геометрических мест при решении задач на построение в
планиметрии применяется тогда, когда одна часть условия определяет
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
одну геометрическую фигуру, а вторая – другую, при пересечении
которых получается искомая фигура.
Методом параллельного переноса решаются задачи, при анализе
которых трудно найти зависимость между данными элементами,
позволяющими построить искомую фигуру; но если мы какую-нибудь
часть или всю фигуру перенесем параллельно в некотором направлении
на определенное расстояние, то получим вспомогательную фигуру,
которую легко можно построить. Направление и величина переноса
определяются так, чтобы во вспомогательную фигуру вошло большее
число данных.
Труднее указать общие признаки задач, решаемых методом осевой
или центральной симметрии. В более сложных задачах метод осевой
симметрии, нередко спрямляющий ломаные линии в прямые, может
быть применим, если в условии содержится сумма или разность частей
некоторой ломаной линии. Можно ограничиться указанием, что метод
осевой симметрии применим для задач, в условии которых указана
прямая, являющаяся осью симметрии элементов фигуры. Такую прямую
легко установить по свойствам фигуры. Применение осевой симметрии
целесообразно для задач, которые легко решаются, если часть данных
расположена по одну сторону некоторой прямой, а остальные – по
другую. Методом центральной симметрии решаются задачи, в условии
которых в той или иной форме указана точка, являющаяся центром
симметрии искомой или некоторой вспомогательной фигуры.
Задание. Решить задачи, используя метод геометрических мест:
Задача 143. Найти точку, отстоящую от данной точки А на
расстоянии, равном а, и от точки В на расстоянии, равном в.
Задача 144. Найти точку, равноотстоящую от всех вершин данного
треугольника.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 145. Найти точку, находящуюся на расстоянии а от прямой
АВ и на расстоянии в от прямой СД.
Задача 146. Провести окружность, касающуюся сторон данного
угла и одной из его сторон в данной точке.
Задача 145. К данной окружности из внешней точки провести
касательную.
Задача 146. Построить треугольник, зная сторону в, угол В и
высоту, проведенную к стороне а.
Задача 147. На прямой АВ найти точку М, соединив которую с
двумя вершинами данного треугольника DEF, получим треугольник
MDE, равновеликий половине треугольника DEF.
Задача 148. Построить четырехугольник по двум смежным
сторонам, углу между ними, по данной диагонали, выходящей из
вершины данного угла и углу между диагоналями.
Задача 149. Данный треугольник АВС разделить на три
равновеликие части прямыми, проведенными из точек D и E, данных на
основании АС.
Задание. Решить задачи, используя метод подобия:
Задача 150. Построить треугольник, зная a : c, B и r.
Задача 151. Дан угол АВС и внутри его точка М. Найти на стороне
ВС точку К, равноотстоящую от АВ и от точки М.
Задача 152. В данный треугольник вписать параллелограмм,
имеющий данный угол α и отношение сторон его заключающих, равное
m : n.
Задача 153. Построить треугольник, зная отношение квадратов
катетов и периметр.
Задача 154. Построить прямоугольный треугольник, зная
r и
отношение катета к проекции другого катета на гипотенузу.
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 155. В данный треугольник вписать параллелограмм, зная
отношение сторон и угол между диагоналями.
Задача 156. Построить треугольник, зная две его стороны и
высоту, проведенную к третьей стороне.
Задание. Решить задачи, используя метод симметрии:
Задача 157. Построить равнобедренный треугольник, зная его
боковую сторону и сумму высоты с основанием.
Задача 158. Из данных точек А и В провести прямые так, чтобы
угол между ними делился прямой МК пополам.
Задача 159. Построить ромб с данной диагональю, которая лежала
бы на данной прямой так, чтобы другие две вершины ромба лежали на
данных двух окружностях.
Задание. Решить задачи, используя параллельный перенос:
Задача 160. Между двумя окружностями провести отрезок,
делящийся пополам в данной точке.
Задача 161. Построить четырехугольник, зная его стороны и
отрезок, делящий две противоположные стороны пополам.
Задача 162. Через данную точку провести прямую так, чтобы
сумма (или разность) расстояний от двух других данных точек была
равна данной длине.
Задача 163. Построить четырехугольник, зная три стороны и углы,
прилежащие к четвертой стороне.
ТЕМА 6
Избранные вопросы курса тригонометрии
1. Основные тригонометрические тождества.
2. Основные свойства тригонометрических функций.
3. Обратные тригонометрические функции.
4. Соотношения между элементами треугольника.
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Применение тригонометрии к решению геометрических задач.
Основное содержание
Невозможно указать все способы и приемы, применяемые при
решении геометрических задач. Способы решения задач, как правило,
зависят от того, можно ли все функциональные зависимости, которые
необходимо установить для решения задачи, получить сразу в явном
виде, или же этого сделать нельзя. Исходя из этого, можно указать
два возможных пути решения задач на вычисление:
- непосредственное нахождение неизвестных величин;
- нахождение неизвестных величин при помощи составления
уравнений.
Непосредственное нахождение неизвестных величин
При решении вычислительных задач на вычисление этот способ
осуществляется так.
Находят такую фигуру (чаще всего треугольник), в которой
имеется достаточное количество данных для нахождения других ее
элементов. Далее рассматривают ряд других прилежащих к ней
фигур так, чтобы в результате последовательного вычисления
элементов этих фигур можно было бы найти искомую величину.
Задание. Решить следующие задачи:
Задача 164. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует
с плоскостью основания угол α, а с боковой гранью угол β. Высота
параллелепипеда равна Н. Найти объем параллелепипеда.
Задача 165. Основание пирамиды служит квадрат со стороной а,
две боковые грани пирамиды перпендикулярны к основанию, а
большее боковое ребро ее наклонено к основанию под углом β. В
пирамиду вписан прямоугольный параллелепипед так, что четыре
вершины его находятся на боковых ребрах пирамиды, а четыре
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
другие вершины
–
на основании пирамиды.
Найти объем
параллелепипеда, если его диагональ образует с основание угол α.
Задача 166. Разность между образующей и высотой конуса равна
а, а угол между ними α. Найти объем конуса.
Нахождение неизвестных величин при помощи составления
уравнений
Во многих задачах по геометрии с применением тригонометрии
данные линейные элементы не входят ни в один из треугольников,
содержащих данные углы, или же длины отрезков не заданы. В таких
задачах прибегают к составлению уравнений.
Задача 167. Основание пирамиды – правильный треугольник,
сторона которого равна а. Два боковых ребра пирамиды образуют с
плоскостью основания углы, равные β, а грань, заключенная между
ними, наклонена к основанию под углом α. Найти объем пирамиды.
Задача 168. В основании наклонной призмы лежит прямоугольник
со сторонами а и в. Две смежные боковые грани составляют с
основанием острые углы α и β. Боковое ребро равно с. Найти объем
призмы.
В ряде случаев легче составить уравнения не относительно
искомых величин, а относительно некоторых вспомогательных
величин. При помощи этих вспомогательных величин искомые
величины задаются как неявные функции от известных или ранее
найденных величин.
В одних задачах, решаемых введением вспомогательных отрезков,
величину этих отрезков вычислять нет необходимости, а в других их
приходится вычислять.
Задачами первого вида являются такие, в которых требуется
определить пространственную фигуру с точностью до подобия. В
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
таких задачах величину введенных вспомогательных отрезков
обычно найти нельзя, но в этом и нет необходимости.
Рассмотрим основные типы таких задач, встречающихся в
школьной практике.
Задачи, в которых данными и искомыми элементами
являются только углы
Задача 169. Наклонная призма образует с плоскостью угол α. Через
вершину этого угла проведена в данной плоскости прямая, которая
образует с наклонной угол γ, а с проекцией наклонной угол β. Найти
зависимость между углами α, β, γ.
Задача 170. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых
граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости его
основания под углами α, β. Найти угол γ между этими диагоналями.
Задача 171. Боковые ребра правильной треугольной пирамиды
наклонены к основанию под углом α. Найти угол между смежными
боковыми гранями.
Задачи, в которых дается отношение однородных величин и
требуется найти некоторый угол
Решение подобных задач (после введения вспомогательного
отрезка), сводится к составлению и решению тригонометрического
уравнения
относительно
искомого
угла.
Для
составления
тригонометрического уравнения выражают, как правило, каждую из
однородных величин, о которых говорится в условии задачи, через
вспомогательный отрезок и подставляют в данное отношение.
Задача 172. Определить угол между образующей и плоскостью
основания конуса, объем которого в к раз больше объема вписанного
в конус шара.
Задачи, в которых даны углы и требуется найти отношение
однородных величин
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 173. Определить отношение объема конуса к объему
описанного около него шара, если образующая конуса составляет с
его осью угол α.
Задачи, в которых данными являются только углы и площадь или
углы и объем
Задача 174. В шаровой сектор с углом α в осевом сечении вписан
шар. Определить объем шарового сектора, если объем шара равен V.
Задача 175. В конус вписана пирамида, основанием которой
служит прямоугольный треугольник с острым углом α. Определить
объем пирамиды, зная, что боковая поверхность конуса равна S, а
образующая наклонена к плоскости основания под углом
β.
Задания для самостоятельной работы студентов
1. Продолжения боковых сторон AD и BC равнобочной трапеции
ABCD пересекаются в точке S. Доказать, что окружности, описанные
около треугольников ACS и BDS, пересекаются в центре окружности,
описанной около данной трапеции.
2. Внутри острого угла дана точка A. Построить треугольник ABC
наименьшего периметра, вершины
B и C которого принадлежат
сторонам угла.
3. Даны две концентрические окружности. Через две точки этих
окружностей, которые лежат на одной прямой с центром, проведена
произвольная окружность. Докажите, что две другие точки ее
пересечения с данными окружностями также коллинеарны с центром.
4.Доказать, что если ортоцентр треугольника совпадает с центром
вписанной в него окружности, то треугольник правильный.
5.Доказать, что если ортоцентр треугольника совпадает с его
центроидом, то треугольник правильный.
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.Через точку, лежащую вне данной прямой, провести при
помощи циркуля и линейки прямую, параллельную данной, пользуясь
циркулем только два раза.
7. Построить квадрат, две противоположные вершины которого
лежали бы на данной прямой, а две другие – на данных окружностях.
8.Построить треугольник по стороне, разности двух других
сторон и углу, заключенному между данной стороной и большей из двух
других.
9.Построить
треугольник по
двум сторонам и разности
противолежащих им углов.
10. Построить правильный треугольник ABC, одна вершина
которого находится в данной точке A, вершина В – на данной прямой, а
вершина C – на данной окружности.
11.Через центр квадрата проведены две перпендикулярные
прямые. Доказать, что точки их пересечения со сторонами квадрата
являются вершинами некоторого квадрата.
12.На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC вне его
построен квадрат с центром О. Доказать, что луч CО – биссектриса угла
АВС.
13. Построить квадрат, две смежные вершины которого
принадлежат данной окружности, а диагонали пересекаются в данной
точке.
14.Через данную точку A провести прямую так, чтобы ее отрезок с
концами на данной прямой и данной окружности делился точкой A
пополам.
15.Через
точку,
данную внутри угла,
провести прямую,
отсекающую от этого угла треугольник с наименьшей площадью.
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.На сторонах параллелограмма вне его построены правильные
треугольники.
Доказать,
что
их
центры
являются
вершинами
параллелограмма.
17. Стороны прямоугольника равны 2 и 5. Через каждую точку на
его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный
треугольник с периметром 8. Найдите наименьшее значение площади
оставшейся части прямоугольника.
18. Определить объем конуса, если в его основании хорда, равная
а, стягивает дугу, равную α, а высота составляет с образующей угол β.
19. В основание конуса вписан квадрат, сторона которого рана а.
Плоскость, проходящая через вершину конуса и сторону квадрата, дает в
сечении с поверхностью конуса треугольник, угол при вершине
которого равен α. Определить объем и полную поверхность конуса.
20. Шар радиуса R вписан в пирамиду, в основании которой лежит
ромб с острым углом α. Боковые грани пирамиды наклонены к
плоскости основания под углом γ. Найти объем пирамиды.
Контрольные вопросы
1. Понятие геометрического места точек. Основные виды
геометрических точек на плоскости и в пространстве.
2. Применение геометрических мест точек при решении
планиметрических и стереометрических задач.
3. Понятие цикла взаимосвязанных задач в научно-методической
литературе. Решение стереометрических задач на основе циклов
взаимосвязанных задач.
4. Применение производной к решению геометрических задач на
максимум и минимум.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Прямоугольная система координат на плоскости и в
пространстве. Прямая и окружность. Применение координат к решению
содержательных геометрических задач.
6. Особенности применения векторного метода при решении
аффинных и метрических задач.
7. Применение движений к решению геометрических задач.
8. Метод подобия при решении планиметрических задач.
9. Сущность решения задач на построение. Задачи на построение
на плоскости и в пространстве.
10. Применение различных методов при решении задач на
построение: конструктивно-синтетический, метод подобия, метод
движений.
11. Применение тригонометрии к решению стереометрических
задач.
12. Линейные уравнения и неравенства, квадратные уравнения и
неравенства, содержащие параметры.
13. Иррациональные уравнения и неравенства, содержащие
параметры.
14. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства,
содержащие параметры.
15. Тригонометрические уравнения и неравенства, содержащие
параметры.
16. Применение производной при решении некоторых задач с
параметрами.
Литература
1. Александров, А.Д. Геометрия, 7-9 [Текст] /А.Д. Александров,
А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение. 2004. – 272 с.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.
Александров, А.Д. Геометрия, 10-11 : книга для учителя [Текст]
/А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, Л.П. Евстафьева. – М.:
Просвещение, 2004.- 224 с.
3. Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение с
решениями [Текст] / И.И. Александров. - М., 1954.- 175 с.
4. Аверьянов, Д.И. С чего начать углубленное изучение геометрии в 8
классе : учебное издание [Текст] / Д. И. Аверьянов. - Москва : Чистые
пруды, 2006. - 32 с.
5. Автономова, Т.В.
Основные понятия и методы школьного курса
геометрии : книга для учителя [Текст] / Т. В. Автономова, Б. И. Аргунов.
- Москва : Просвещение, 1988. - 128 с.
6. Атанасян, Л.С. Геометрия, 7-9 [Текст] / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов,
С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. – М.: Просвещение, 2004. –
384 с.
7. Атанасян, Л.С. Изучение геометрии в 7-9 кл. [Текст] /Л.С. Атанасян,
В.Б. Бутузов, Ю.А. Глазков, Б.В. Некрасова, И.И. Юдина. – М.:
Просвещение, 2004. –
256 с.
8. Болтянский В.Г. Векторное изложение геометрии (в 9 классе средней
школы) : пособие для учителей [Текст] / В. Г. Болтянский,
М. Б. Волович, А. Д. Семушин. - Москва : Просвещение, 1982. - 143 с.
9. Вернер, А.Л. Геометрия, 7 [Текст] /А.Л. Вернер. В.И. Рыжик,
Т.Г. Ходот. – Просвещение, 2004. – 192.
10. Вернер, А.Л. Геометрия, 8 [Текст] /А.Л. Вернер. В.И. Рыжик,
Т.Г. Ходот. – Просвещение, 2004. – 192.
11. Вернер, А.Л. Геометрия, 9 [Текст] /А.Л. Вернер. В.И. Рыжик,
Т.Г. Ходот. – Просвещение, 2004. – 207.
12.. Готман, Э.Г.
- Решение геометрических задач аналитическим
методом: пособие для учащихся 9 –10 классов [Текст] /Э.Г. Готман, З.А.
Скопец. – М.: Просвещение, 1979.
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13.Гусев, В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике
[Текст] /В.А. Гусев. - М.: «Издательство «Верум-М», 2003.- 432 с.
14. Жохов, В.И. Геометрия, 7-9: книга для учителя [Текст] /В.И. Жохов,
Л.Б. Крайнева, Г.Д. Карташева. – М.: Просвещение, 2004. – 224 с.
15. Задачи по математике. Начала анализа [Текс] / В.В. Вавилов, И.И.
Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко. – М.: Наука, 1990.
16. Земляков, А.Н. Геометрия в 10 классе: методические рекомендации
[Текс] /А.Н. Земляков. – М.:. Просвещение, 2004. – 222 с.
17. Земляков, А.Н. Геометрия в 11 классе: методические рекомендации
[Текс] /А.Н. Земляков. – М.:. Просвещение, 2004. – 272 с.
18. Карпушина, Н.М. Развивающие задачи по теме «Движения
плоскости» [Текс] /Н.М. Карпушина // Математика в школе. – 2005. №. 8. – С. 53-59.
19. Ноздрачева, Л.М. Пропедевтика аналитического аппарата в
геометрических задачах [Текс]
/ Л.М. Ноздрачева // Математика в
школе. –1990.- №2. - С. 14-17.
20 Погорелов, А.В. Геометрия, 7-11 [Текс]
/А.В. Погорелов. – М.:
Просвещение. 2004. – 224 с.
21. Потоскуев, Е.В. Векторный метод решения стереометрических задач
[Текс]/ Е. Потоскуев // Математика. - 2009. - №6. - С. 27 - 34.
22. Потоскуев, Е.В. Рекомендации по изучению стереометрии [Текс]
/ Е. Потоскуев // Математика. - 2008. - №5 (март). - С. 11 - 18.
23. Потоскуев, Е.В. Рекомендации по изучению стереометрии [Текс]
/ Е. Потоскуев // Математика. - 2008. - №6 (март). - С. 17 - 25.
24. Прасолов, В.В..- Задачи по стереометрии [Текс] / В.В. Прасолов,
И.Ф. Шарыгин – М.: Наука, 1989.
25. Преподавание геометрии в 6-8 классах: сб. ст. [Текс]
/Сост.
В.А.Гусев.-М.: Просвещение, 1979.
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26. Преподавание геометрии в 9-10 классах: сб. статей [Текс] /сост.
З.А.Скопец, Р.А. Хабиб. – М.: Просвещение, 1980.
27. Саакян, С.М. Изучение геометрии в 10 - 11 классах: методические
рекомендации к учебнику: книга для учителя [Текс] / С. М. Саакян,
В. Ф. Бутузов. - Москва: Просвещение, 2004. - 224 с.
28. Фалин, Г.
Применение метода координат для решения задач ЕГЭ
по стереометрии [Текс] / Г. Фалин, А. Фалин // Математика. - 2009. №6. - С. 24 - 25.
29. Феоктистов, И. Геометрия до Евклида в очерках и задачах [Текс]
/ И. Феоктистов. - Москва : Чистые пруды, 2005. - 32 с.
30. Шарыгин. И.Ф. «Наглядная геометрия». 5-6 кл. : пособие для
учащихся [Текс]
/И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. – М.: Дрофа, 2004.
– 192 с.
31. Шарыгин, И.Ф. Геометрия. 7-9 кл.: учебник [Текс]
/И.Ф. Шарыгин.
– М.: Дрофа. 2004. – 368 с.
Перечень используемых дисков и видеокасет
1. Открытая математика. Планиметрия.
2. Открытая математика. Стереометрия.
3. Открытая математика. Функции и графики.
1.
65
Документ
Категория
Математика
Просмотров
226
Размер файла
460 Кб
Теги
школьного, раздел, 508, математика, дополнительные, курс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа