close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

602.Дифференцирование функций нескольких переменных

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ДИФФЕРЕНЦИРОВAНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Методическое пособие для вузов
Составители:
Т.К. Кацаран,
Л.Н. Строева
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2009
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ 30 ноября
2009 г., протокол № 3
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой математического прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики А.И. Шашкин, канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент кафедры уравнений в частных производных и теории вероятности Ю.Б. Савченко
Методическое пособие подготовлено на кафедре нелинейных колебаний
факультета прикладной математики, информатики и механики и кафедре
прикладной математики и естественно-научных дисциплин Лискинского
филиала Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 1 курса дневного и вечернего отделения факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского
государственного университета.
Для специальности 010201 – Математика, Прикладная математика
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Введение………………………………………………………………
§ 1 Предел и непрерывность функций многих переменных…………..
1.1 Основные понятия………………………………………………..
1.2 Примеры с решениями…………………………………………...
1.3 Задания к выполнению курсовой работы……………………….
§ 2 Производные и дифференциалы первого порядка…………………
2.1 Определение частных производных…………………………….
2.2 Частные производные и дифференциал сложной функции…...
2.3 Производная по направлению и градиент………………………
2.4 Дифференцирование неявных функций………………………...
2.5 Замена переменных………………………………………………
2.6 Примеры с решениями…………………………………………...
2.7 Задания к выполнению курсовой работы……………………….
§ 3 Производные и дифференциалы высших порядков………………..
3.1 Частные производные высших порядков……………………….
3.2 Дифференциалы высших порядков……………………………..
3.3 Формула Тейлора и ряд Тейлора………………………………..
3.4 Примеры с решениями…………………………………………...
3.5 Задания к выполнению курсовой работы……………………….
§ 4 Экстремумы функций многих переменных………………………...
4.1 Локальный экстремум. Основные понятия……………………..
4.2 Необходимые и достаточные условия экстремума…………….
4.3 Применение критерия Сильвестра…..…………………………..
4.4 Условный экстремум (постановка задачи).…………………….
4.5 Прямой метод нахождения точек условного экстремума……..
4.6 Метод Лагранжа нахождения точек условного экстремума…..
4.7 Примеры с решениями…………………………………………...
4.8 Задания к выполнению курсовой работы……………………….
Список используемой литературы………………………………………...
3
4
5
5
7
9
11
11
12
13
14
15
16
19
24
24
25
26
26
28
31
31
31
32
33
33
34
35
37
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
При изучении процессов, происходящих в реальном мире, (физических, экономических, социальных, химических, биологических и т. д.) мы
имеем дело с соответствующими им числовыми величинами. Эти величины меняются в течение рассматриваемых процессов, являясь функциями
времени. При этом возможна следующая ситуация: изменение одной величины способствует изменению другой, или даже, более того, изменение одной величины является причиной изменения другой. Взаимосвязанные изменения числовых характеристик рассматриваемых величин приводят к их
функциональной зависимости в соответствующих математических моделях.
Поэтому понятия функции многих переменных и ее производных являются
одними из основных понятий в математике.
Настоящее пособие предназначено для студентов факультета прикладной математики, информатики и механики, обучающихся по специальности «Прикладная математика и информатика». В нем нашли отражение
основные понятия и теоремы раздела «Дифференцирование функций многих переменных». Как следует из его структуры, назначение пособия – помочь студентам при изучении данного раздела курса при выполнении курсовой работы по дисциплине. Материал каждого параграфа, как правило,
разбит на несколько пунктов. Часть из них посвящена изложению основных
понятий и теорем, необходимых для решения примеров и задач, приведенных в последующих пунктах. Формулировки определений и теорем соответствуют в большинстве случаев учебнику Л.Д. Кудрявцева «Курс математического анализа» т. 2. Предполагается, что основная работа над теоретическим материалом с проработкой доказательств теорем ведется по учебнику или конспектам лекций. Однако для решения задач, которые приводятся в последнем пункте каждого параграфа часто достаточно понимания
сути теоремы или формулы. В пунктах «Примеры с решениями» разобраны
типичные примеры, демонстрирующие применение на практике результатов теории.
Назначение последних пунктов каждого параграфа определено их названием. Приведенные здесь упражнения войдут в задания по курсовой работе. Авторы выражают надежду, что настоящее пособие будет полезным
как для студентов, обучающихся на факультете ПММ Воронежского государственного университета, так и в его филиалах в городах Лиски и Старый
Оскол.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1. Предел и непрерывность функций многих переменных
1.1. Основные понятия. Множество, элементами которого являются
всевозможные упорядоченные наборы n действительных чисел, обозначают R n . Для элементов x = ( x1; x2 ;...; xn ) , y = ( y1; y2 ;...; yn ) из R n вводится понятие суммы и умножения на число:
x + y = ( x1 + y1; x2 + y2 ;...; xn + yn ) ,
(1.1)
λ x = (λ x1; λ x2 ;...; λ xn ) , λ ∈ R .
(1.2)
Расстояние ρ ( x; y ) между элементами x, y ∈ R n и их скалярное произведение определяются формулой
ρ ( x; y ) =
n
n
∑ ( xi − yi ) ,
( x, y ) = ∑ xi yi .
2
i =1
(1.3)
i =1
1
Обозначим x = ( x; x ) 2 , откуда следует, что ρ ( x; y ) = x − y .
После введения операций (1.1), (1.2) R n становится линейным пространством, которое в результате введения скалярного произведения (1.3)
называют n -мерным эвклидовым пространством.
Пусть дано множество E ⊂ R n , и пусть каждой точке x ∈ E поставлено в соответствие число u ∈ R; тогда говорят, что на множестве
E определена числовая функция.
Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторой буквой, например f , и пишут
u = f ( x),
x ∈ E,
или, подробнее,
u = f ( x1; x2 ;...; xn ),
( x1; x2 ;...; xn ) ∈ E.
Множество E называют областью определения функции, точку x – аргументом, или независимой переменной, ее координаты x1 , x2 ,..., xn – независимыми переменными, функцию u = f ( x1; x2 ;...; xn ), – функцией n переменных. Число u0 , соответствующее значению аргумента x 0 = ( x10 ; x20 ;...; xn0 ) , называют значением функции в точке
x 0 и обозначают
f ( x 0 ) или
f ( x10 ; x20 ;...; xn0 ) .
Функцию f ( x1; x2 ;...; xn ), которая может быть задана с помощью конечного числа арифметических операций и композиций элементарных
функций одного переменного xi , i = 1, 2, ..., n , называют элементарной
функцией n переменных.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Графиком функции двух переменных u = f ( x; y ) , ( x, y ) ∈ E ⊂ R 2 , называют множество всех точек вида ( x; y; f ( x; y )) , где ( x; y ) ∈ E , пространства R 3 .
Например, из курса аналитической геометрии известно, что графиком
функции u = 4 x 2 + y 2 , ( x; y ) ∈ R 2 , является эллиптический гиперболоид.
Аналогичным образом можно определить понятие графика функции трех и
более переменных.
Определение (Гейне). Число a называют пределом функции f ( x) в
точке x 0 , если для любой последовательности точек x ( m ) ∈U n ( x 0 ) , x ( m ) ≠ x 0 ,
сходящейся к x 0 , числовая последовательность f ( x ( m ) ) сходится к a .
Для того чтобы доказать, что функция f ( x) не имеет предела в точке
x 0 , достаточно указать две последовательности точек: x ( m ) ∈U n ( x 0 ) и
y ( m ) ∈U n ( x 0 ) , x ( m ) ≠ x 0 , y ( m ) ≠ x 0 , сходящиеся к x 0 , такие, что lim f ( x ( m ) ) ≠
m→∞
≠ lim f ( y
m→∞
(m)
).
Определение (Коши). Число a называют пределом функции f ( x) в
точке x 0 ∈ R n , если для каждого числа ε > 0 существует такое число δ > 0 ,
что для всех x , удовлетворяющих условию 0 < ρ ( x; x 0 ) < δ , выполняется
неравенство
f ( x) − a < ε .
Определения Коши и Гейне равносильны.
Предел функции u = f ( x; y ) двух переменных в точке ( x0 ; y0 ) обычно
обозначают
lim f ( x; y ) .
x → x0
y → y0
Для функций нескольких переменных справедливы теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного функций, аналогичные соответствующим теоремам для функций одного переменного.
Для функций n > 1 переменных можно рассматривать n! так называемых повторных пределов. В частности, в случае функции двух переменных
u = f ( x; y ) можно рассматривать два повторных предела в точке ( x0 ; y0 ) :
lim( lim f ( x; y )) и lim (lim f ( x; y )) .
x → x0 y → y0
y → y0 x → x0
Функцию f ( x) , определенную в окрестности точки x 0 ∈ R n , называют непрерывной в точке x 0 , если lim f ( x) = f ( x 0 ) .
x → x0
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.2. Примеры с решениями.
x2 y
Пример 1.1. Найти lim 2
.
x →0 x + y 2
y →0
Решение. Воспользуемся определением Коши. Для любого числа
ε > 0 существует δ > 0 (а именно δ = ε ) такое, что для всех точек ( x; y ) ,
x 2 + y 2 < δ и отличных от начала координат,
удовлетворяющих условию
справедливо неравенство
x2 y
x2
y ≤ y ≤ x2 + y 2 < ε .
−
0
=
2
2
2
2
x +y
x +y
x2 y
= 0.
Следовательно, lim 2
x →0 x + y 2
y →0
xy 2
Пример 1.2. Показать, что предел функции f ( x; y ) = 2
в точке
x + y4
(0;0) не существует.
Решение. Воспользуемся определением предела Гейне. Пусть
( x( m) ; y ( m) ) – последовательность точек, лежащих на параболе x = y 2 , причем x ( m ) → 0 , y ( m ) → 0 при m → ∞ . Тогда
lim f ( x ( m ) ; y ( m )
m→∞
(y ) (y )
) = lim
(( y ) ) + ( y )
(m) 2
m→∞
2
(m) 2
(m) 2
(m) 4
1
= .
2
(1.4)
Далее, пусть ( x ( m ) ; y ( m ) ) – последовательность точек, лежащих на прямой x = y , причем x ( m ) → 0 , y ( m ) → 0 при m → ∞ . В этом случае
lim f ( x
m→∞
( y )( y )
) = lim
( y ) + ( y )
(m)
(m)
; y
(m)
m→∞
(m) 2
(m) 2
(m) 4
( y )
= lim
1 + ( y )
(m)
m→∞
(m) 2
= 0.
(1.5)
Полученные результаты (1.4) и (1.5), согласно определению Гейне,
xy 2
в точке (0;0) не сущеподтверждают, что предел функции f ( x; y ) = 2
x + y4
ствует.
Пример 1.3. Вычислить повторные пределы lim lim f ( x, y ) и
x →0 y →0
lim lim f ( x, y ) , где f ( x, y ) =
y →0 x →0
3x + 4 y
и показать, что они различны.
x− y
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Действительно
3x + 4 y
3x
lim lim
= lim = 3;
x →0 y →0 x − y
x →0 x
3x + 4 y
4y
= lim
= −4.
y →0 x →0 x − y
y →0 − y
lim lim
Пример 1.4. Выяснить, является ли функция
⎧ xy
2
2
⎪ x 2 + y 2 , если x + y ≠ 0
u ( x, y ) = ⎨
⎪
2
2
⎩ 0, если x + y = 0
в точке ( 0;0 ) : 1) непрерывной по x ; 2) непрерывной по y ; 3) непрерывной.
xy
xy
Решение. lim 2
=
0;
lim
= 0.
x →0 x + y 2
y →0 x 2 + y 2
xy
(m)
(m)
не
существует,
так
как
для
последовательности
точек
lim
x
;
y
(
),
2
2
x →0 x + y
y →0
лежащих на прямой y = kx, k ≠ 0 , x ( m ) → 0 , y ( m ) → 0 при m → ∞ ,
lim
k ( x( m) )
=
k
≠ 0.
1+ k2
(1.6)
+ k (x )
При произвольных значениях k ( k ≠ 0 ) выражение (1.6) принимает различные значения, отличные от нуля. Последнее означает, что исследуемая
функция не является непрерывной в точке ( 0;0 ) и является непрерывной по
переменной x и переменной y в этой точке.
m→∞
(x )
2
(m) 2
2
(m) 2
Пример 1.5. Найти значения a и b , при которых функция
⎧ a,
если x 2 + y 2 =1
⎪⎪
u ( x, y ) = ⎨ 5( x 2 + y 2 ) − 4 − ( x 2 + y 2 ) 2 , если 1 ≤ x 2 + y 2 < 4
⎪b,
если x 2 + y 2 ≥ 4
⎪⎩
является непрерывной на своей области определения.
Решение. Областью определения функции u ( x; y ) является множество точек ( x; y ) ∈ R 2 , описываемых неравенством 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 . Вычислим
следующие пределы
lim
2
5( x 2 + y 2 ) − 4 − ( x 2 + y 2 ) 2 = 0 ;
lim
2
5( x 2 + y 2 ) − 4 − ( x 2 + y 2 ) 2 = 0 .
2
x + y →1
2
x + y →4
Из полученных результатов следует, что a = b = 0.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.3. Задания к выполнению курсовой работы.
1.1. Найти: a) limlim u ; б) limlim u ; в) lim u ; если:
x →0 y →0
y →0 x →0
x →0
y →0
x3 − y
;
1) u = 3
x +y
y 2 − x2
;
2) u = 2
y + x2
x2 y 2
3) u = 2 2
;
x y + ( x − y)2
1
4) u = x + y sin ;
x
y
x
5) u = tg
.
x x+ y
1.2. Найти в точке (0;0) предел функции u = f ( x; y ) :
xy
;
1) u =
1 − 3 1 + xy
sin( y − x 2 )
;
2) u =
y − x2
2 − 1 + cos( x 2 + y 2 )
3) u =
;
tg 2 ( x 2 + y 2 )
4) u = x 2 + y 2 ln( x 2 + y 2 ) ;
5) u = (1 + xy 2 )1 ( x
2
+ y2 )
;
1 ( x+ y)
6) u = (1 + xy )
.
1.3. Найти следующие пределы:
x2 − 4 y 2
;
1) lim 2
x →2 x + 2 x − 2 xy − 4 y
y →1
sin xy
;
x →0
x
y →2
2) lim
3) lim(1 + x)1 ( x + x
x →0
y →1
4) lim xy sin
x →∞
y →∞
π
xy
2
y)
;
.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.4. Найти значение a , при котором функция
⎧( x 2 − y 2 ) ( x 2 + y 2 ), если x 2 + y 2 ≠ 0,
u=⎨
a,
если x 2 + y 2 = 0,
⎩
в точке (0;0) является:
1) непрерывной по x ; 2) непрерывной по y ;
3) непрерывной по кривой y = α x , α ≠ 0 ; 4) непрерывной.
1.5. Найти значение a , при котором функция
⎧( x3 − xy 2 ) ( x 2 + y 2 ), если x 2 + y 2 ≠ 0,
u=⎨
a,
если x 2 + y 2 = 0,
⎩
в точке (0;0) является:
1) непрерывной по прямой x = α t , y = β t , α 2 + β 2 ≠ 0 ;
2) непрерывной.
1.6. Найти значение a , при котором функция
⎧ x 2 y ( x 4 + y 2 ), если x 2 + y 2 ≠ 0,
u=⎨
a,
если x 2 + y 2 = 0,
⎩
в точке (0;0) является:
1) непрерывной по прямой x = α t , y = β t , α 2 + β 2 ≠ 0 ;
2) непрерывной по кривой y = α x 2 ; 3) непрерывной.
1.7. Найти значение a , при котором функция
⎧ 1 −1 x + y
, если x + y ≠ 0,
e
⎪
u = ⎨x + y
⎪
если x + y = 0,
a,
⎩
является непрерывной в R 2 .
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 2. Производные и дифференциалы первого порядка
2.1. Определение частных производных. Пусть функция f ( x; y ) определена в некоторой окрестности точки ( x0 ; y0 ) . Если существуют конечные пределы
f ( x0 + Δx; y0 ) − f ( x0 , y0 )
f ( x0 ; y0 + Δy ) − f ( x0 , y0 )
lim =
и lim =
, (2.1)
Δx →0
Δy →0
Δx
Δy
то их называют частными производными функции f в точке ( x0 ; y0 ) соответственно по переменным x и y и обозначают
∂f ( x0 ; y0 ) ∂f ( x0 ; y0 )
,
; f x′( x0 ; y0 ) , f y′( x0 ; y0 )
∂x
∂y
или просто
f x ( x0 ; y0 ) , f y ( x0 ; y0 ) .
Если частные производные функции f существуют в каждой точке
множества E ⊂ R 2 , то говорят, что функция f имеет частные производные
на множестве E .
Аналогично определяют и обозначают частные производные функций
трех и более переменных. Например, если существует конечный
lim
Δxk →0
f ( x1;...; xk + Δxk ;...; xn ) − f ( x1;...; xk ;...; xn )
,
Δxk
то его называют частной производной функции f в точке ( x1; x2 ;...; xn ) по
переменной xk и обозначают
∂f ( x1; x2 ;...; xn )
или f x′k ( x1; x2 ;...; xn ) .
∂xk
∂f
Производные
, k = 1,2,..., n , называют частными производными
∂xk
функции f первого порядка.
∂f
обычно пользуются изДля вычисления частной производной
∂xk
вестными формулами и правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все переменные, кроме переменной xk фиксированными
(постоянными).
Функцию f ( x; y ) называют дифференцируемой в точке ( x0 ; y0 ) , если
существуют числа A и B такие, что приращение
Δf ( x0 ; y0 ) = f ( x0 + Δx; y0 + Δy ) − f ( x0 ; y0 )
функции f в точке ( x0 ; y0 ) представимо в виде
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Δf ( x0 ; y0 ) = AΔx + BΔy + o( Δx 2 + Δy 2 ) , (Δx; Δy ) → (0;0) .
(2.2)
Если функция f ( x; y ) дифференцируема в точке ( x0 ; y0 ) , то в формуле (2.2)
линейную относительно приращений Δx и Δy функцию
AΔx + BΔy
называют дифференциалом (точнее, первым дифференциалом) функции
f ( x; y ) в точке ( x0 ; y0 ) и обозначают df ( x0 ; y0 ) .
Таким образом, если верно равенство (2.2), то
df ( x0 ; y0 ) = AΔx + BΔy .
(2.3)
Дифференциалом независимой переменной x или y называют ее приращение, т. е. по определению полагают dx = Δx , dy = Δy .
Если функция f дифференцируема в каждой точке множества
E ⊂ R 2 , то ее называют дифференцируемой на множестве E . Аналогично
определяются понятия дифференцируемости и дифференциала для функций
трех и более переменных.
Теорема 2.1. Если функция f ( x; y ) дифференцируема в точке ( x0 ; y0 )
и df ( x0 ; y0 ) = Adx + Bdy – ее дифференциал в этой точке, то в точке
( x0 ; y0 ) существуют частные производные функции f , причем
∂f ( x0 ; y0 )
∂f ( x0 ; y0 )
= A,
= B.
∂x
∂y
Таким образом, в каждой точке, где справедливо равенство (2.2),
дифференциал функции f может быть вычислен по формуле
∂f
∂f
(2.4)
df = dx + dy .
∂x
∂y
Формула (2.4) обобщается на случай дифференцируемой функции n
переменных f ( x1; x2 ;...; xn ) следующим образом:
∂f
∂f
∂f
df =
dx1 +
dx2 + ... +
dxn .
(2.5)
∂x1
∂x2
∂xn
Теорема 2.2. Для дифференцируемости функции f ( x) , x ∈ R n , в некоторой точке достаточно, чтобы частные производные функции f были
непрерывны в этой точке.
Функцию, частные производные которой непрерывны на некотором
множестве, называют непрерывно дифференцируемой на этом множестве.
2.2. Частные производные и дифференциал сложной функции.
Теорема 2.3. Пусть функции u ( x; y ) и v( x; y ) определены в некоторой окрестности точки ( x0 ; y0 ) , функция f (u;v) определена в некоторой
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
окрестности точки (u0 ;v 0 ) = (u ( x0 ; y0 );v( x0 ; y0 )) . Если функция f (u; v)
дифференцируема в точке (u0 ; v0 ) , и если в точке ( x0 ; y0 ) существуют производные
∂u ∂v ∂u ∂v
,
,
,
,
∂x ∂x ∂y ∂y
то в точке ( x0 ; y0 ) существуют частные производные сложной функции
f (u ( x; y ); v( x; y )) , причем
∂f ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂f ∂u ∂f ∂v
=
+
,
.
(2.6)
=
+
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
Аналогичные формулы при соответствующих предположениях справедливы для частных производных сложной функции f (u1; u2 ;...; un ) , где
uk – функции переменных xi :
n
∂f
∂f ∂uk
=∑
, i = 1, 2,..., m .
(2.7)
∂xi k =1 ∂uk ∂xi
Свойства дифференциала.
1°. Для любых дифференцируемых функций u ( x) , v( x) , x ∈ R n , справедливы равенства
d (α u + β v) = α du + β dv ,
(2.8)
где α и β – постоянные,
(2.9)
d (uv) = vdu + udv ,
⎛ u ⎞ vdu − udv
, v ≠ 0.
(2.10)
d⎜ ⎟=
v2
⎝v⎠
2°. Формулы (2.4) и (2.5) справедливы не только тогда, когда x и y –
независимые переменные, но и тогда, когда x и y являются дифференцируемыми функциями каких-либо переменных (свойство инвариантности
формы первого дифференциала).
2.3. Производная по направлению и градиент. Пусть в пространстве R задан единичный вектор
n
λ = (cos α1;cos α 2 ;...;cos α n ) ,
n
∑ cos α
k =1
2
k
= 1.
Производной функции f в точке ( x1; x2 ;...; xn ) по направлению вектора λ
называют предел
f ( x1 + t cos α1;...; xn + t cos α n ) − f ( x1;...; xn )
lim
.
t →+0
t
∂f
Производную функции f по направлению вектора λ обозначают
.
∂λ
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Производную по единичному вектору λ называют также производной
по направлению (направление вектора λ ).
Фактически этот предел, если он существует, представляет собой производную по t в точке t = 0 сложной функции f ( x1 + t cos α1;...; xn + t cos α n ) ,
поэтому согласно формуле (2.6) имеем
∂f
∂f
∂f
∂f
=
cos α1 +
cos α 2 + ... +
cos α n .
∂λ ∂x1
∂x2
∂xn
Для функции u = f ( x, y, z ) , ( x, y, z ) ∈ R 3 , λ = (cos α ,cos β ,cos γ ) , λ = 1,
последнее равенство запишется в виде
∂f ∂f
∂f
∂f
= cos α + cos β + cos γ .
∂λ ∂x
∂y
∂z
Градиентом дифференцируемой функции f ( x1; x2 ;...; xn ) называют
вектор
⎛ ∂f ∂f
∂f ⎞
;
;...;
⎜
⎟.
x
x
x
∂
∂
∂
2
n ⎠
⎝ 1
Этот вектор обозначают grad f .
Производная по направлению
изведение векторов λ и grad f :
∂f
представляет собой скалярное про∂λ
∂f
= (grad f , λ ) .
∂λ
Поскольку
1
∂f
= grad f
∂λ
⎛ ⎛ ∂f ⎞2 ⎛ ∂f ⎞ 2 ⎛ ∂f ⎞2 ⎞ 2
λ cos ϕ = ⎜ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ cos ϕ ,
⎜ ∂x
∂y
∂z ⎟
⎝⎝ 1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠
где ϕ – угол между векторами λ и grad f , то вектор grad f указывает направление скорейшего возрастания функции f ( x, y, z ) , и его модуль равен
производной по этому направлению.
2.4. Дифференцирование неявных функций. Если функция двух
переменных F ( x; y ) определена и непрерывна на некотором множестве
E ⊂ R 2 и существует такая функция одной переменной f ( x) , определенная
на некотором подмножестве X числовой прямой, т. е. X ⊂ R , что для любого x ∈ X имеет место включение ( x; f ( x) ) ∈ E и выполняется равенство
F ( x; f ( x) ) = 0 , то функция f ( x) называется неявной функцией, определенной уравнением F ( x; y ) = 0 .
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 2.4. Если функция F ( x; y ) непрерывна в некоторой окрестности точки ( x0 ; y0 ) и имеет в этой окрестности частную производную
Fy′( x; y ) , непрерывную в точке ( x0 ; y0 ) , и выполнены соотношения
F ( x0 ; y0 ) = 0,
Fy′( x0 ; y0 ) ≠ 0,
(2.11)
то найдутся такие окрестности U ( x0 ) и U ( y0 ) точек x0 и y0 , что для
любого x ∈U ( x0 ) существует единственное решение y ∈U ( y0 ) уравнения
F ( x; y ) = 0 . Это решение, обозначаемое y = f ( x) , непрерывно на окрестности U ( x0 ) и y0 = f ( x0 ) .
Если же в некоторой окрестности точки ( x0 ; y0 ) существует частная
производная Fx′( x; y ) , непрерывная в точке ( x0 ; y0 ) , то функция f ( x) имеет
в точке x0 производную и
F ′( x ; y )
(2.12)
f ′( x0 ) = − x 0 0 .
Fy′( x0 ; y0 )
Рассмотрим случай, когда функция F ( x; y ) определена при x ∈ R n ,
n > 1 , y ∈ R , равна нулю в точке ( x 0 ; y 0 ) = ( x10 ;...; xn0 ; y 0 ) и непрерывна в некоторой ее окрестности, частная производная Fy′ непрерывна в точке
( x 0 ; y 0 ) и Fy′( x 0 ; y 0 ) ≠ 0 . Тогда в некоторой окрестности точки x 0 существует единственная непрерывная функция y = f ( x) такая, что y 0 = f ( x 0 ) ,
удовлетворяющая уравнению F ( x; y ) = 0 . Если, кроме того, частные производные Fx′k , k = 1,2,..., n , непрерывны в точке ( x 0 ; y 0 ) , то в точке x 0 существуют все частные производные функции y = f ( x) , причем
f x′k = −
Fx′k
, k = 1,2,..., n .
Fy′
(2.13)
Формулы (2.13) можно записать в виде одной формулы:
( f x′1 ; f x′2 ;...; f x′n ) = −( Fu′)−1 ( Fx′1 ; Fx′2 ;...; Fx′n ) .
При дополнительном условии непрерывности частных производных
Fy′ , Fx′k , k = 1,2,..., n , в окрестности точки ( x 0 ; y 0 ) , функция y = f ( x) , определяемая неявно уравнением F ( x; y ) = 0 , будет непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности точки x 0 .
2.5. Замена переменных. В различных вопросах математики и ее
приложений часто оказывается целесообразным при рассмотрении выражений, содержащих какие-либо функции и их производные, перейти к другим
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
независимым переменным, а иногда и к другим функциям, которые связаны
с исходными переменными и функциями определенными соотношениями.
Целесообразность такого перехода объясняется обычно либо той ролью, которую играют новые переменные в изучаемом вопросе, либо тем, что в новых переменных данное дифференциальное выражение значительно упрощается. При замене переменных используются правила дифференцирования сложных и неявно заданных функций ((2.6), (2.7), (2.12), (2.13)).
2.6. Примеры с решениями.
Пример 2.1. Найти частные производные функции
f ( x; y ) = x + y 2 + ln( x + y 2 ) .
Решение. Функция определена в области y 2 > − x . Фиксируя переменную y , находим
∂f
1
, y2 > −x .
=1+
2
∂x
x+ y
Фиксируя переменную x , получаем
∂f
2y
, y2 > −x .
= 2y +
2
∂y
x+ y
Пример 2.2. Доказать, что функция
f ( x; y ) = x + y 2 + ln( x + y 2 )
дифференцируема в точке (0;1), и найти df (0;1) .
Решение. В примере 2.1 найдены частные производные данной функции. В точке (0;1) обе частные производные непрерывны. Следовательно,
функция f дифференцируема в точке (0;1), и ее дифференциал в этой точке
∂f (0;1)
∂f (0;1)
можно вычислить, применив формулу (2.4). Так как
= 2,
= 4,
∂x
∂y
то df (0;1) = 2dx + 4dy.
Пример 2.3. Исследовать на дифференцируемость в точке (0;0) функцию f ( x; y ) , если:
1) f ( x; y ) = 3 xy ;
2) f ( x; y ) = cos 3 xy ;
3) f ( x; y ) = arctg(5 + x 4 5 y 2 7 ) ;
4) f ( x; y ) = arcsin( xy + 3 x3 + y 3 ) ;
ln((1 + xy ) (1 − xy )) − 2 xy 2
, x + y 2 > 0 , f (0;0) = 0 .
5) f ( x; y ) =
2
2 52
(x + y )
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение.
1) Найдем приращение Δf функции f в точке (0;0) и вычислим ее
частные производные в этой точке, пользуясь тем, что f ( x,0) = 0 и
f (0, y ) = 0 . Получим Δf = 3 xy , f x (0,0) = f y (0,0) = 0 .
Предположим, что функция f дифференцируема в точке (0,0); тогда
справедлива формула (2.2), которая в данном случае имеет вид
xy = 0( ρ ) , ρ = x 2 + y 2 → 0 .
(2.14)
Равенство (2.14) должно выполняться для любых x и y таких, что
3
x 2 + y 2 → 0 . Пусть y = x и x > 0 ; тогда ρ = x 2 и из формулы (2.14) следует, что
x 2 = o ( x ) , x → +0 .
(2.15)
Так как утверждение (2.15) не является верным, то функция f не дифференцируема в точке (0;0).
2) Здесь f ( x;0) = 1 , f (0; y ) = 1 , и поэтому f x (0,0) = f y (0,0) = 1 . Докажем, что функция f дифференцируема в точке (0;0), т. е. удовлетворяет условию (2.2), которое можно записать в виде
3
Δf = cos 3 xy − 1 = o( ρ ) , ρ = x 2 + y 2 → 0 .
(2.16)
Так как cos t − 1 = −2sin 2 (t 2) , a sin t ≤ t , то, используя неравенства
x ≤ ρ , y ≤ ρ , получим
1 23 23 1 43
x y ≤ ρ .
2
2
Отсюда следует, что условие (2.16) выполняется, и поэтому функция
f = cos 3 xy дифференцируема в точке (0;0).
3) В этом случае f ( x;0) = f (0; y ) = f (0;0) = arctg 5 , и поэтому
f x (0;0) = f y (0;0) = 0 . Докажем, что функция f дифференцируема в точке
(0;0), т. е. удовлетворяет условию
Δf ≤
Δf = arctg(5 + x 4 5 y 2 7 ) − arctg 5 = o( ρ ) , ρ = x 2 + y 2 → 0 . (2.17)
Используя неравенства arctg a − arctg b ≤ a − b , x ≤ ρ , y ≤ ρ , из (2.17) получаем
45
27
Δf ≤ x y ≤ ρ 4 5+ 2 7 = ρ 38 35 .
Условие (2.17) выполняется, и поэтому функция f дифференцируема
в точке (0;0).
4) Так как f (0;0) = 0 , f ( x;0) = arcsin x , f (0; y ) = arcsin y , то
f x (0;0) = 1, f y (0;0) = 1 .
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предположим, что функция f дифференцируема в точке (0;0). Тогда
Δf = arcsin( xy + 3 x3 + y 3 ) = x + y + o( ρ ) , ρ = x 2 + y 2 → 0 .
(2.18)
Если y = x , где x > 0 , то ρ = x 2 , и равенство (2.18) примет вид
arcsin( x 2 + 3 2 x 3 ) = 3 x + o( x) , x → +0 ,
откуда следует, что
( 3 2 − 2) x = o( x) , x → +0 .
Это равенство не является верным, и поэтому функция f не дифференцируема в точке (0;0).
5) В этом случае f ( x;0) = f (0; y ) = 0 , f x (0;0) = f y (0;0) = 0 .
Пусть функция f дифференцируема в точке (0;0), тогда
Δf = f ( x; y ) = o( ρ ) , ρ = x 2 + y 2 → 0 .
Полагая y = x , где x > 0 , из (2.19) получаем
(2.19)
ln ((1 + x 2 ) (1 − x 2 ) − 2 x 2
Δf = f ( x; x) =
= o ( x ) , x → +0 .
(2.20)
(2 x 2 )5 2
1+ t
2
Так как ln
= 2t + t 3 + o(t 3 ) , t → 0 , то из (2.20) следует, что
1− t
3
2 x 6 3 + o( x 6 )
Δf = f ( x; x) =
= 2−3 23−1 x + o( x) = o( x) ,
52 5
2 x
т. е. x = o( x) , x → +0 .
Таким образом, равенство (2.19) не может выполняться при любых x ,
y таких, что ρ → 0 , и поэтому функция f не дифференцируема в точке
(0;0).
Пример 2.4. Пусть f (u; v) – дифференцируемая в R 2 функция, u = xy ,
∂f
∂f
∂f
∂f
v = x 2 − y 2 . Выразить
и
.
и
через
∂u ∂v
∂x
∂y
Решение. По формулам (2.6) находим
∂f
∂f
∂f ∂f
∂f
∂f
= y + 2x ,
= x + 2y .
∂x
∂u
∂u ∂y
∂v
∂v
Пример 2.5. Найти дифференциал функции f = 1 + z ( x 2 + y 2 ) .
Решение. Используя формулы (2.8)–(2.10), получаем
⎛
z ⎞
z
( x 2 + y 2 )dz − zd ( x 2 + y 2 )
=d 2
=
=
df = d ⎜1 + 2
x + y 2 ⎟⎠
x + y2
( x2 + y 2 )2
⎝
2 xz
2 yz
1
dx − 2
dy + 2
dz.
2 2
2 2
x + y2
(x + y )
(x + y )
2
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 2.6. Пусть f (u; v) – дифференцируемая в R 2 функция,
u = x y , v = y z . Найти df , если fu′ и f v′ известны.
Решение. Используя формулы (2.4) и (2.8)–(2.10), получаем
⎛x⎞
ydx − xdy
zdy − ydz
⎛ y⎞
+ f v′
=
df = f u′du + f v′dv = fu′d ⎜ ⎟ + f v′ ⎜ ⎟ = fu′
2
2
y
z
y
z
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎛1
x ⎞
y
1
fu′dx + ⎜ f v′ − 2 f u′ ⎟ dy − 2 f v′dz.
y
y
z
⎝z
⎠
Пример 2.7. Найти в точке (1;1) частные производные функции
u = f ( x; y ) , заданной неявно уравнением
u 3 + 2u 2 x + uxy − 2 = 0 .
Решение. Из уравнения найдем значение функции u в данной точке:
u = f (1;1) = 2 . Функция F ( x; y; u ) = u 3 + 2u 2 x + uxy − 2 равна нулю в точке
(1;1;2) и непрерывна в ее окрестности, а ее частные производные
Fx′ = −2u 2 + uy , Fu′ = ux , Fu′ = 3u 2 − 4ux + xy
также непрерывны, причем Fu′(1;1;2) ≠ 0 .
Следовательно, данным уравнением в окрестности точки (1;1;2) определяется непрерывно дифференцируемая функция u = f ( x; y ) , частные производные которой можно найти по формулам (2.11). Так как в точке (1;1;2)
частные производные функции F соответственно равны
Fx′ = −6 , Fy′ = 2 , Fu′ = 5 ,
то частные производные функции u = f ( x; y ) в этой точке равны
f x′ = 6 5 , f y′ = − 2 5 .
2.7. Задания к выполнению курсовой работы.
2.1. Найти частные производные первого порядка функции f ( x; y ) :
1) f = x3 + y 3 − 3 xy ;
2) f = e x (cos y + x sin y ) ;
3) f = sin x − x 2 y ;
4) f = (1 + sin 2 x)ln y ;
5) f =
x( x − y )
;
y2
x2 − y2
;
7) f = arcsin 2
x + y2
x
y
6) f = sin cos ;
y
x
8) f = ln
19
x2 + y 2 − x
x2 + y 2 + x
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.2. Вычислить частные производные первого порядка функции f в
данной точке:
1) f = x y 2 , в точке (1;1);
2) f = ln(1 + x y ) , в точке (1;2);
3) f = xyesin π xy , в точке (1;1);
4) f = (2 x + y ) 2 x + y , в точке (1;–1).
2.3. Найти частные производные первого порядка функции f ( x; y; z ) :
1
z x
;
3) f = + ;
1) f = xy + yz + zx ; 2) f =
x z
x2 + y 2 + z 2
z
⎛x⎞
4) f = ⎜ ⎟ ;
⎝ y⎠
5) f =
2.4. Вычислить x
1) f =
x
x2 + y 2
;
y
z
x
+ arctg + arctg ;
z
x
z
6) f = x xy .
∂f
∂f
+ y , если:
∂x
∂y
2) f = ln( x 2 + xy + y 2 ) .
∂f ∂f ∂f
+
+
, если:
∂x ∂y ∂z
2) f = x + ( x − y ) ( y − z ) .
1) f = ( x − y )( y − z )( z − x) ;
∂f ∂f ∂f
2.6. Вычислить
в точке (1;1;1), если:
+
+
∂x ∂y ∂z
1) f = ln( x3 + y 3 + z 3 − 2 xyz ) ; 2) f = ln(1 + x + y 2 + z 3 ) .
∂f ∂f
2.7. Решить систему уравнений
=
= 0 , если:
∂x ∂y
2.5. Вычислить
f = xy 9 − x 2 − y 2 .
2.8. Найти дифференциал функции f ( x; y ) , если:
1) f = 2 x 4 − 3 x 2 y 2 + x3 y ; 2) f = ( y 3 + 2 x 2 y + 3) 4 ;
x
y x
3) f = + ; 4) f =
;
5) f = 2− y x ;
2
2
x y
x +y
x +1
6) f = ln( x + x 2 + y 2 ) ;
7) f = ln sin
;
y
x
y
x+ y
; 10) f = (1 + xy ) y .
8) f = arctg + arctg ; 9) f = arctg
y
x
x− y
2.9. Найти точки, в которых дифференциал функции f равен нулю,
если:
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) f ( x; y ) = (5 x + 7 y − 25)e− ( x
2
+ xy + y 2 )
;
2) f ( x; y; z ) = 2 y 2 + z 2 − xy 2 − yz + 4 x + 1 .
2.10. Найти дифференциал функции f ( x; y ) в данной точке, если:
1) f =
x2 − y 2
, а) (1;1), б) (0;1);
x2 + y 2
cos( x − 2 y ) ⎛ π ⎞
, ⎜ ;π ⎟ ;
cos( x + 2 y ) ⎝ 4 ⎠
4 2 − x − xy
, (1;0);
5) f = ln
1 + cos y
y
7) f = arctg
, (1;–1);
1 + x2
⎛ 3 ⎞
9) f = ln arcsin( x + y 3 ) , ⎜
;0 ⎟ ;
2
⎝
⎠
3) f =
2) f = xy +
x
, (2;1);
y
2
4) f = 2 tg(π x ( x +3 y )) , (1;1);
6) f = arccos x 2 − 2 y , (1;0,18);
8) f = e x −1arctg
2x + 3y
, (1;1);
1 − 6 xy
10) f = arcctg ln( x + y 4 ) , (e 2 ;0) .
2.11. Найти дифференциал функции f ( x; y; z ) , если:
1) f = x 2 + y 2 + z 2 ; 2) f = e xy sin z ; 3) f = ( xy ) z ; 4) f = x y z .
2.12. Найти дифференциал функции f в заданной точке, если:
x
xy
1) f = 2
, (1;0;1) ;
2) f = arctg 2 , (3;2;1).
2
2
z
x +y +z
2.13. Доказать, что функция f дифференцируема в точке (0;0), если:
1) f = x( 3 1 +
y − 1) ; 2) f = y sin x ;
3) f = (sin x + 3 xy ) 2 ;
4) f = ch 5 x 2 y ; 5) f = 5 x 4 (cos 5 y − 1) ;
6) f = ln(2 − x
76
+ y
54
) ; 7) f = 3 y 2 arctg x ;
⎪⎧ x sin( y
8) f = ⎨
0,
⎪⎩
x ), x ≠ 0,
9) f = y 3 5 arcsin
x ;
23
x = 0;
10) f = y + ch 3 x 2 + y 2 ;
56
11) f = 1 − x y ; 12) f = 1 + xy + sin 5 x 2 y 4 .
В задачах 2.14–2.16 предполагается, что функции f (u ) , f (u; v) ,
f (u; v; w) дифференцируемы и их производные f u′ , f v′ , f w′ известны.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.14. Для функции f (u ) найти f x′ и f y′ , если:
1) u = x 2 + e y ; 2) u = 3 x3 + xy 2 ; 3) u = sin 2 3 x cos3 2 y ;
4) u = arcctg( x + ln y ) .
2.15. Для функции f (u; v) найти f x′ и f y′ , если:
1) u = xy , v = x y ; 2) u = x 2 − y 2 , v = e xy ;
3) u = x cos y , v = x sin y ; 4) u = arcsin x 2 , v = x y .
2.16. Найти дифференциал функции ϕ , если:
1) ϕ = f (u ) , u = xy + y 2 x ;
2) ϕ = f (u; v) , u = y ( x + y ) , v = x 2 − y 3 .
3) ϕ = f (u; v) , u = y 2 , v = arctg( y x) ;
4) ϕ = f (u; v; w) , u = x 2 + y 2 + z 2 , v = x + y + z , w = xyz .
2.17. Пусть функция f ( x) , x ∈ R n , дифференцируема в некоторой
точке и l – произвольный единичный вектор. Доказать, что в этой точке:
∂f
∂f
= (grad f , l ) ;
2) max
= grad f ;
1)
l
∂l
∂l
∂f
3) если grad f ≠ 0 , то производная
достигает наибольшего значе∂l
grad f
ния при l =
.
grad f
2.18. Верно ли утверждение: производная функции f ( x; y ) в точке
∂f ( x0 ; y0 )
( x0 ; y0 ) по направлению вектора (1;0) равна
?
∂x
2.19. Верно ли утверждение: градиентом функции f = x + y + xy в
точке (0;0) является вектор (1;1)?
2.20. Найти производную функции f по направлению вектора l в
точке M , если:
1) f = 3 x 2 + 5 y 2 , l = (−1 2 ;1 2) , M (1;1) ;
2) f = x sin( x + y ) , l = (−1;0) , M (π 4;π 4) ;
3) f = x3 + 2 xy 2 + 3 yz 2 , l = (2 3;2 3;1 3) , M (3;3;1) ;
4) f = ln( x 2 + y 2 + z 2 ) , l = (−1 3;2 3;2 3) , M (1;2;1) ;
5) f = x12 + x22 − x32 + x42 , l = (2 3;1 3;0; − 2 3) , M (1;3;2;1) .
2.21. Найти градиент функции f в точке M , если:
1) f = 1 + x 2 y 3 , M (−1;1) ; 2) f = yx y , M (2;1) ;
3) f = 1
x 2 + y 2 + z 2 , M (1;2;3) ;
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4) f = arctg( xy z 2 ) , M (0;1;2) ;
5) f = e x + xy + xyz , M ( x0 ; y0 ; z0 ) ;
6) f = ln(1 − x 2 − 2 y 2 − 3 z 2 ) , M ( x0 ; y0 ; z0 ) , x02 + 2 y02 + 3 z02 < 1.
2.22. Решить уравнение grad f = 0 , если:
1) f = 2 z 3 + x 2 + 2 y 2 + xy + 3 x − 2 y − 6 z + 1 ;
2) f = x3 + y 3 + z 3 − 3 xyz .
z
найти:
2.23. Для функции f =
x2 + y 2 + z 2
1) inf grad f ; 2) sup grad f в области 0 < a < z < A .
2.24. Найти производную функции f в точке M 0 по направлению
вектора M 0 M , если:
1) f = 5 x + 10 x 2 y + y 5 , M 0 (1;2) , M (5; −1) ;
2) f = xy 2 z 3 , M 0 (3;2;1) , M (7;5;1) ;
3) f = arcsin( z
x 2 + y 2 ) , M 0 (1;1;1) , M (1;5;4) ;
4) f = x2 ( x12 + x22 + x32 + x42 ) , M 0 (0;1;1;0) , M (3;2;1;0) .
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 3. Частные производные и дифференциалы высших порядков
3.1. Частные производные высших порядков. Пусть функция
u = f ( x) , x ∈ R n , в окрестности точки x = ( x1; x2 ;...; xn ) имеет частную произ∂u
∂u
водную первого порядка
, тогда частную производную функции
по
∂xk
∂xk
переменной xl называют частной производной второго порядка по переменным xk и xl и обозначают
∂ 2u
, f x′′k xl , или f xk xl .
∂xl ∂xk
Таким образом, по определению
∂ 2u
∂ ∂u
.
=
∂xl ∂xk ∂xk ∂xl
∂ 2u
∂ 2u
обозначают 2 .
В случае i = k производную
∂xk ∂xk
∂xk
Частной производной порядка m ∈ N называют частную производную первого порядка по какой-либо переменной от любой частной производной порядка m − 1 (при этом под частной производной нулевого порядка
понимается сама функция). Например, для частных производных третьего
порядка по определению имеем
∂ 3u ∂ ⎛ ∂ 2u ⎞ ∂ 3u
∂ ⎛ ∂ 2u ⎞ ∂ 3u
∂ ⎛ ∂ 2u ⎞
= ⎜
= ⎜
= ⎜
⎟,
⎟,
⎟ и т. д.
∂x3 ∂x ⎝ ∂x 2 ⎠ ∂x 2∂y ∂y ⎝ ∂x 2 ⎠ ∂y 2∂x ∂x ⎝ ∂y 2 ⎠
Частную производную по различным переменным называют смешанной частной производной. Например, для функции двух переменных могут
∂ 2u ∂ 2u
,
и две смесуществовать четыре производные второго порядка:
∂x 2 ∂y 2
∂ 2u
∂ 2u
шанные производные
и
.
∂y∂x ∂x∂y
Теорема 3.1. Если две смешанные производные порядка m , отличающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывны в некоторой
точке, то их значения в этой точке совпадают.
Функцию, все частные производные которой до некоторого порядка
m включительно непрерывны в некоторой точке (или на некотором множестве), называют m раз непрерывно дифференцируемой в этой точке (соответственно на этом множестве).
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.2. Дифференциалы высших порядков. Пусть функция u = f ( x; y )
дважды непрерывно дифференцируема на некотором множестве G ⊂ R 2 . Её
дифференциал
∂u
∂u
du = dx + dy
∂x
∂y
есть функция четырех переменных x , y , dx , dy . Исходя из этого и используя равенства (2.8) и (2.9) первого дифференциала, находим
⎛ ∂u
⎛ ∂u ⎞
∂u ⎞
∂u
∂u
⎛ ∂u ⎞
d 2u = d ⎜ dx + dy ⎟ = d ⎜ ⎟ dx + d ( dx ) + d ⎜ ⎟ dy + d ( dy ) =
∂y ⎠
∂x
∂y
⎝ ∂x ⎠
⎝ ∂x
⎝ ∂y ⎠
∂ 2u 2
∂ 2u
∂ 2u 2 ∂u 2
∂u
= 2 dx + 2
dxdy + 2 dy + d x + d 2 y.
∂x
∂x∂y
∂y
∂x
∂y
(3.1)
В случае функции u = f ( x1;...; xn ) второй дифференциал имеет вид
n
∂2 f
∂f 2
d u=∑
dxi dx j + ∑
d xk .
∂
x
∂
x
∂
x
,
1
1
=
=
i j
k
i
j
k
n
2
(3.2)
При определении второго и последующих дифференциалов очень
часто предполагается, что переменные dx , dy , dxk , k = 1, n , постоянные. В
этом случае в равенстве (3.1) d 2 x = d 2 y = 0 , в равенстве (3.2) d 2 xk = 0 ,
k = 1, n . Поэтому формулы для второго дифференциала имеют вид
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
d 2u = 2 dx 2 + 2
dxdy + 2 dy 2 ,
∂x
∂x∂y
∂y
∂2 f
d u=∑
dxi dx j .
i , j =1 ∂xi ∂x j
n
2
Аналогично определяется m -й дифференциал функции u = f ( x; y ) ,
как дифференциал от ( m − 1) -го дифференциала
d mu = d (d m−1u ) .
Для дифференциала порядка m ∈ N справедлива формула
m
d mu = ∑ Cmk
k =1
∂ mu
dx m−k dy k .
m−k
k
∂x ∂y
Как следует из (3.1) и (3.2) для сложной функции w = f ( x; y ) , где
x = x(u;v) , y = y (u; v) , второй дифференциал не выражается через dx и dy
согласно формуле (3.1). Следовательно, для дифференциалов порядка m ≥ 2
(в отличие от дифференциала первого порядка) не имеет места свойство инвариантности формы дифференциала относительно выбора переменных.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.3. Формула Тейлора и ряд Тейлора. Пусть функция f ( x; y ) в окрестности точки ( x0 ; y0 ) имеет непрерывные производные до порядка m
включительно. Тогда в этой окрестности справедлива формула
m
1 k
∂ k f ( x0 ; y0 )
(3.3)
f ( x; y ) = ∑ ∑ Cki
( x − x0 ) k −i ( y − y0 )i + o( ρ m ) ,
k −i
i
k
!
∂
x
∂
y
k =0
i =0
где
ρ = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 , x → x0 , y → y0 .
Если функция f ( x; y ) имеет в окрестности точки ( x0 ; y0 ) непрерывные производные всех порядков в окрестности точки ( x0 ; y0 ) , то имеет
место формула
∞
1 k
∂ k f ( x0 ; y0 )
f ( x; y ) = ∑ ∑ Cki
(3.4)
( x − x0 ) k −i ( y − y0 )i ,
k −i
i
k
x
y
!
∂
∂
k =0
i =0
известная как ряд Тейлора.
В случае x0 = y0 = 0 ряд (3.4) называют рядом Маклорена.
3.4. Примеры с решениями
Пример 3.1. Найти второй дифференциал функции u = xe y если:
а) x и y — функции каких-либо независимых переменных и их вторые дифференциалы d 2 x и d 2 y известны;
б) x и y — независимые переменные.
Решение.
а) 1-й способ. По определению второго дифференциала получаем
d 2u = d (d ( xe y )) = d (e y dx + xe y dy ) =
d (e y )dx + e y d 2 x + d ( xe y )dy + xe y d 2 y =
2e y dxdy + xe y dy 2 + e y d 2 x + xe y d 2 y.
2-й способ. Так как
2
2
∂u
∂ 2u
y ∂u
y ∂ u
y ∂ u
= e , 2 = xe y ,
=e ,
= xe , 2 = 0 ,
∂y
∂x
∂x
∂x∂y
∂y
то согласно формуле (3.1) находим
d 2u = 2e y dxdy + xe y dy 2 + e y d 2 x + xe y d 2 y .
б) В этом случае d 2 x = 0 , d 2 y = 0 , и, следовательно,
d 2u = 2e y dxdy + xe y d 2 y .
Пример 3.2. Для каждой дифференцируемой функции u ( x; y ) , заданной неявно уравнением
2 x 2 + 2 y 2 + u 2 − 8 xu − u + 8 = 0 ,
(3.5)
найти второй дифференциал в точке (2;0) .
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. В окрестности точки (2;0) уравнением определяются две
дифференцируемые функции; их значения в этой точке равны 1 и 16. Частные производные функции
F ( x; y; u ) = 2 x 2 + 2 y 2 + u 2 − 8 xu − u + 8
соответственно равны Fx′ = 4 x − 8u , Fy′ = 4 y , Fu′ = 2u − 8 x − 1 .
По формуле (2.13) находим
2u − x
∂u
−4 y
∂u
=
.
=4
,
2u − 8 x − 1 ∂y 2u − 8 x − 1
∂x
Дифференцируя первое равенство по x , второе по x и y , получаем
(2u − 8 x − 1)(2∂u ∂x − 1) − (2u − x)(2∂u ∂x − 8)
∂ 2u
=4
,
2
(2u − 8 x − 1) 2
∂x
∂ 2u
2∂u ∂x − 8 ∂ 2u
(2u − 8 x − 1) − 2 y∂u ∂y
, 2 = −4
.
= 4y
2
∂x∂y
(2u − 8 x − 1) ∂y
(2u − 8 x − 1) 2
В точке (2;0;1) значения найденных производных равны
∂u
∂ 2u 4 ∂ 2u
∂u
∂ 2u 4
= 0,
= 0, 2 = ,
= 0, 2 = ;
∂x
∂x 15 ∂x∂y
∂y
∂y 15
следовательно, если u (2;0) = 1 , то
4
(dx 2 + dy 2 ) .
15
В точке (2;0;16) производные равны
∂u
∂ 2u
4 ∂ 2u
∂ 2u
4
∂u
= 8,
= 0, 2 = − .
= 0, 2 = − ,
∂x
15 ∂x∂y
∂x
∂y
15
∂y
Поэтому, если u (2;0) = 16 , то
4
d 2u = − (dx 2 + dy 2 ) .
15
∂2 z
∂ 2 z ∂z
Пример 3.3. Преобразовать уравнение x
−y 2−
= 0 , приняв
∂x∂y
∂y
∂y
за новые независимые переменные u = x ; v = xy .
Решение. Применяя правило дифференцирования сложной функции,
найдем
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v
∂z
=
+
=x .
∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
∂v
d 2u =
Дифференцируя обе части этого равенства по x и y , получим
⎛ ∂ 2 z ∂u ∂ 2 z ∂v ⎞ ∂z
⎛ ∂2 z
∂ 2 z ∂z
∂2 z ⎞
,
=
+ x⎜
+ 2
=
+
+
x
y
⎟
⎜
2 ⎟
∂x∂y ∂v
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
u
x
x
u
v
v
v
v
v
⎝
⎠
⎝
⎠
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
⎛ ∂ 2 z ∂u ∂ 2 z ∂v ⎞
∂2 z
2 ∂ z
.
=
+
=
x
x
⎜
⎟
2
2
∂y 2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
u
y
y
v
v
v
⎝
⎠
Подставляя найденные значения производных в данное уравнение, будем
иметь
2
2
2
∂z
∂z
2 ∂ z
2 ∂ z
2 ∂ z
x +x
+ x y 2 − yx
− x = 0,
2
∂v
∂u∂v
∂v
∂v
∂v
2
2
∂ z
∂ z
т. е. x 2
= 0 , или, окончательно, u 2
= 0.
∂u∂v
∂u∂v
Пример 3.4. Разложить по формуле Маклорена до o( ρ 5 ) , ρ = x 2 + y 2 ,
функцию f = sin xsh 2 y .
Решение.
1-й способ. Функция f в точке (0;0) равна нулю. Из всех ее производных
до пятого порядка включительно в точке (0;0) отличны от нуля только смешанная производная второго порядка и две смешанные производные четвертого порядка, причем
∂ 2 f (0;0)
∂ 4 f (0;0)
∂ 4 f (0;0)
= −2 ,
=8.
= 2,
∂x∂ 3 y
∂x 3∂y
∂x∂y
Согласно формуле (б), положив в ней m = 5 , x0 = y0 = 0 , получаем
1
1
1
4
f = C21 2 xy + (C41 (−2) x3 y + C43 8 xy 3 ) + o( ρ 5 ) = 2 xy − x3 y + xy 3 + o( ρ 5 ) .
2!
4!
3
3
2-й способ. Воспользуемся известными разложениями функций sin x и
sh2 y по формуле Маклорена. Тогда получим
⎛
⎞
x3
8 y3
1
4
4 ⎞⎛
f = ⎜ x − + o( x ) ⎟⎜ 2 y +
+ o( y 4 ) ⎟ = 2 xy − x3 y + xy 3 + o( ρ 5 ) .
6
6
3
3
⎝
⎠⎝
⎠
3.5. Задания к выполнению курсовой работы.
3.1. Найти частные производные второго порядка функции f ( x; y ) :
x+ y
; 4) f = x y .
1) f = xy ( x3 + y 3 − 3) ; 2) f = e xy ; 3) f = arctg
1 − xy
3.2. Вычислить частные производные второго порядка функции f ( x; y )
в заданной точке:
x
1) f =
в точке (1;0);
2) f = y 2 (1 − e x ) в точке (0;1);
x+ y
3) f = ln( x 2 + y ) в точке (0;1); 4) f = y sin( y x) в точке (2;π ) ;
5) f = cos( xy − cos y ) в точке (0;π 2) ;
6) f = arctg( x y ) , в точке (1;1);
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7) f = arcsin( x
x 2 + y 2 ) в точке (1;–1);
8) f = ( xy ) x + y в точке (1;1).
3.3. Найти частные производные второго порядка функции f ( x; y; z ) ,
если:
1) f = x(1 + y 2 z 3 ) ; 2) f = sin( x + y + z ) .
3.4. Вычислить частные производные второго порядка функции
f ( x; y; z ) в заданной точке:
z
1) f = ln( x 2 + y 2 + z 2 ) в точке (1;1;1); 2) f = x y в точке (e;1;1) .
∂3 f
, если:
3.5. Найти частную производную
∂x∂y∂z
x 4 + 8 xy 3
1) f =
2) f = ln( x + y ) ;
;
x + 2y
x + y + z − xyz
3) f = sin( x + cos y ) ;
4) f = arctg
.
1 − xy − yz − zx
3.6. Найти второй дифференциал функции f ( x; y ) , если:
1) f = x(1 + y ) ; 2) f = x sin 2 y ; 3) f = (1 y )e xy ;
4) f = y ln x ; 5) f = ln( x 2 + y 2 ) ;
6) f = arcsin xy .
3.7. Найти второй дифференциал функции f ( x; y ) в указанной точке:
2
1) f = e xy в точке, (1;–1);
2) f = ( x y )e x в точке (0;1);
3) f = x cos xy в точке, (π 2 ;−1) ; 4) f = (2 x + y )ln( x y ) в точке (1;1);
5) f = e xy −π sin y в точке (0;0);
7) f = ( x + y ) xy в точке (1;0).
6) f = arctg( x 2 − 2 y ) в точке (1;0);
3.8. Найти второй дифференциал функции f ( x; y; z ) , если:
1) f = xy + yz + xz ; 2) f = ln( x + y + z ) .
3.9. Разложить по формуле Тейлора функцию f ( x; y ) в окрестности
заданной точки:
1) f ( x; y ) = − x 2 + 2 xy + 3 y 2 − 6 x − 2 y − 4 , в точке ( −2;1) ;
2) f ( x; y ) = x3 + 3 xy + 2 y 3 , в точке (1;2 ) .
3.10. Разложить по формуле Тейлора функцию в окрестности точки
( x0 ; y0 ) функцию f ( x; y ) = ax 2 + 2bxy + cy 2 , a , b , c – постоянные.
3.11. Разложить по формуле Тейлора функцию f ( x; y; z ) в окрестности заданной точки:
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) f ( x; y; z ) = ( x + y + z ) , (1;1; −2 ) ;
2) f ( x; y; z ) = xyz , (1;2;3) .
3.12. Выписать члены до второго порядка включительно формулы
Тейлора для функции f ( x; y ) в окрестности заданной точки:
1
, ( 2;1) ;
1) f ( x; y ) =
x− y
x
2) f ( x; y ) = arctg , (1;1) .
y
2
3.13. Разложить по формуле Маклорена до o( ρ 4 ) , ρ = x 2 + y 2 ,
функцию f ( x; y ) если:
1
;
1) f ( x; y ) =
(1 − x)(1 − y )
2) f ( x; y ) = cos x cos y ;
3) f ( x; y ) = e x sin y .
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 4. Экстремумы функций многих переменных
4.1. Локальный экстремум. Основные понятия. Точку x0 называют
точкой локального максимума функции u = f ( x) , x ∈ R n , если существует
окрестность точки x 0 , для всех точек x которой верно неравенство
f ( x) ≤ f ( x 0 ) .
Если для всех x ≠ x 0 из некоторой окрестности точки x 0 верно строгое неравенство
f ( x) < f ( x 0 ) ,
то точку x 0 называют точкой строгого локального максимума функции
f (x) .
Аналогично, если в некоторой окрестности точки x 0 выполняется неравенство f ( x) ≥ f ( x 0 ) , то точку x 0 называют точкой локального минимума; если для всех x ≠ x 0 из некоторой окрестности точки x 0 верно неравенство f ( x) > f ( x 0 ) , то точку x 0 называют точкой строгого локального минимума.
Для краткости слово «локальный» часто опускают и пишут просто
«точка минимума» или «точка строгого максимума».
Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.
4.2. Необходимые и достаточные условия экстремума. Необходимые условия существования экстремума. Если точка x 0 = ( x10 ; x20 ;...; xn0 ) является точкой экстремума функции u = f ( x1; x2 ;...; xn ) , то либо f x′i ( x 0 ) = 0 ,
либо f x′i ( x 0 ) не существует, i = 1, 2,..., n .
Точки, в которых функция определена, а ее частные производные равны нулю или не существуют, называют критическими точками функции.
Если у функции u = f ( x1; x2 ;...; xn ) в точке экстремума существуют частные производные по всем переменным, то все они равны нулю в этой
точке:
∂u
∂u
∂u
= 0 , 2 = 0 , …,
= 0.
(4.1)
∂x1
∂x
∂xn
Условия (4.1) являются необходимыми, но не являются достаточными
условиями существования экстремума.
Точки, координаты которых удовлетворяют системе уравнений (4.1),
называют стационарными точками функции u . Точки экстремума дифференцируемой функции следует искать только среди ее стационарных точек.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Достаточные условия строгого экстремума. Пусть функция
u = f ( x) , x ∈ R n дважды непрерывно дифференцируема в окрестности стационарной точки x 0 . Тогда точка x 0
1) является точкой строгого минимума функции, если
d 2 f ( x0 ) ≥ 0 ,
причем равенство имеет место только при условии
n
∑ dx
i =1
2
i
= 0;
2) является точкой строгого максимума функции, если
d 2 f ( x0 ) ≤ 0 ,
причем равенство имеет место только при условии
n
∑ dx
i =1
0
2
i
= 0;
3) не является точкой экстремума, если d 2 f ( x ) принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Эти условия не являются необходимыми.
4.3. Применение критерия Сильвестра. Условия 1), 2), 3) означают
соответственно, что квадратичная относительно дифференциалов независимых переменных dxi форма
∂ 2 f ( x0 )
d f (x ) = ∑
dxi dx j
i , j =1 ∂xi ∂x j
2
0
n
(4.2)
положительно определенная, отрицательно определенная, неопределенная.
Согласно критерию Сильвестра, условие 1) выполняется тогда и
только тогда, когда все главные миноры матрицы
⎛ ∂ 2 f ( x0 )
∂ 2 f ( x0 ) ⎞
...
⎜
⎟
2
∂
x
∂
x
∂
x
n
1
1
⎜
⎟
⎜ ...................................... ⎟
⎜ 2
⎟
0
2
0
⎜ ∂ f ( x ) ... ∂ f ( x ) ⎟
⎜ ∂x ∂x
∂xn2 ⎟⎠
n
1
⎝
(4.3)
квадратичной формы (4.2) положительны; условие 2) выполняется тогда и
только тогда, когда главные миноры нечетного порядка отрицательны, а
четного порядка положительны.
В частном случае функции двух переменных достаточные условия
строгого экстремума можно сформулировать следующим образом. Пусть
функция u = f ( x; y ) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности
стационарной точки ( x0 ; y0 ) . Тогда точка ( x0 ; y0 )
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) является точкой строгого минимума, если в этой точке
∂2 f
∂2 f
∂x 2 ∂x∂y
∂2 f
Δ1 = 2 > 0 , Δ 2 = 2
> 0;
∂x
∂ f
∂2 f
∂x∂y ∂y 2
2) является точкой строгого максимума, если в этой точке
∂2 f
∂2 f
∂x 2 ∂x∂y
∂2 f
Δ1 = 2 < 0 , Δ 2 = 2
> 0;
∂x
∂ f
∂2 f
∂x∂y ∂y 2
3) не является точкой экстремума, если в этой точке
∂2 f
∂2 f
∂x 2 ∂x∂y
Δ2 = 2
< 0.
∂ f
∂2 f
∂x∂y ∂y 2
4.4. Условный экстремум (постановка задачи). Пусть на открытом
множестве G ⊂ R n заданы функции
f ( x),ϕ1 ( x),...,ϕm ( x) , m < n ,
и пусть E – множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям
ϕ1 ( x) = 0 , …, ϕm ( x) = 0 .
(4.4)
Уравнения (4.4) называют уравнениями связи или ограничениями.
Точку x 0 ∈ E называют точкой условного строгого максимума функции
f ( x) относительно уравнений связи (4.4), если существует такая окрестность точки x 0 , для всех точек x ≠ x 0 которой, удовлетворяющих уравнениям связи, верно неравенство f ( x) < f ( x 0 ) . Если при тех же условиях выполняется неравенство f ( x) > f ( x 0 ) , то точку x 0 называют точкой условного строгого минимума функции f ( x) при ограничениях (4.4).
Аналогично вводится понятие нестрогого условного экстремума.
Точки условного максимума и минимума называют точками условного
экстремума.
4.5. Прямой метод нахождения точек условного экстремума. Если
уравнения связи
ϕi ( x1; x2 ;...; xn ) = 0 , i = 1, 2,..., m ,
(4.5)
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
удается разрешить относительно каких-то m переменных, например, относительно переменных xi ,..., xm , т. е.
x1 = g1 ( xm+1;...; xn ) ,
x2 = g 2 ( xm+1;...; xn ) ,
....................................
xm = g m ( xm+1;...; xn ) ,
то исследование функции u = f ( x1; x2 ;...; xn ) на условный экстремум при
ограничениях (4.5) сводится к исследованию на обычный (безусловный)
экстремум функции n − m переменных xm+1 ,..., xn :
u = f ( g1;..., g m ; xm+1;...; xn ) .
4.6. Метод Лагранжа нахождения точек условного экстремума.
Пусть функции
f ( x),ϕi ( x) , i = 1, 2,..., m , x ∈ R n , m < n ,
непрерывно дифференцируемы в окрестности точки x 0 , и ранг матрицы
Якоби
∂ϕ1 ( x) ⎞
⎛ ∂ϕ1 ( x)
...
⎜
⎟
∂x1
∂xn
⎜
⎟
⎜ ...................................... ⎟
(4.6)
⎜
⎟
⎜ ∂ϕ m ( x) ... ∂ϕm ( x) ⎟
⎜ ∂x
∂xn ⎟⎠
1
⎝
в этой точке равен m . Функцию
m
L( x) = f ( x) + ∑ λiϕi ( x)
i =1
называют функцией Лагранжа, параметры λ1 ,..., λm — множителями Лагранжа.
Необходимые условия. Для того, чтобы точка x 0 являлась точкой условного экстремума функции f ( x) , x = ( x1;...; xn ) , при уравнениях связи
ϕi ( x) = 0 , i = 1,2,..., m , необходимо, чтобы ее координаты при некоторых
значениях λ1 ,..., λm удовлетворяли системе уравнений
(4.7)
⎧ ∂L( x 0 )
=
=
0,
k
1,2,...,
n
,
⎪
⎨ ∂xk
(4.8)
⎪ϕ ( x 0 ) = 0, i = 1,2,..., m.
⎩ i
Достаточные условия. Пусть функции f ( x) , ϕ1 ( x) , i = 1,2,..., m ,
n
x ∈ R , дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки x 0 , и
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пусть в этой точке выполняются необходимые условия существования условного экстремума функции f ( x) при ограничениях (4.4).
Тогда, если при выполнении условий
n
n
∂φi ( x0 )
0
(4.9)
dφi ( x ) = ∑
dxk = 0 , ∑ dxk2 > 0 ,
∂xk
k =1
k =1
второй дифференциал d 2 L( x 0 ) функции Лагранжа является положительно
(отрицательно) определенной квадратичной формой, то функция f ( x) в
точке x 0 имеет условный строгий минимум (максимум).
Если при условиях (4.9) второй дифференциал d 2 L( x 0 ) является неопределенной квадратичной формой, то в точке x 0 условного экстремума нет.
4.7. Примеры с решениями.
Пример 4.1. Исследовать на экстремум функцию двух переменных
u = x3 + 3 xy 2 − 39 x − 36 y + 26 .
Решение. Найдем частные производные 1-го порядка
∂u
∂u
= 3 x 2 + 3 y 2 − 39 ,
= 6 xy − 36 .
∂x
∂y
Согласно необходимым условиям экстремума (формулы (4.1)) получаем
систему уравнений
⎧ x 2 + y 2 = 13,
⎨
⎩ xy = 6.
Решив эту систему, найдем все стационарные точки: ( 3;2 ) , ( −3; −2 ) , ( 2;3) ,
( −2; −3) . Вычислим частные производные 2-го порядка:
∂ 2u
= 6x ,
∂x 2
∂ 2u
∂ 2u
= 6y ,
= 6x .
∂x∂y
∂y 2
Матрица (4.3) в данном случае имеет вид
⎛ 6x 6 y ⎞
⎜ 6 y 6 x ⎟.
⎝
⎠
Ее главные миноры Δ1 и Δ 2 равны
Δ1 = 6x , Δ 2 =
6x 6 y
= 36( x 2 − y 2 ) .
6 y 6x
В точке ( 3;2 ) они положительны; следовательно, в этой точке функция
имеет строгий минимум u (3;2) = −100 . В точке ( −3; −2 ) минор 1-го порядка
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
отрицателен, 2-го порядка положителен; следовательно, в этой точке функция имеет строгий максимум u (−3; −2) = 152 . В точках ( 2;3) и ( −2; −3) минор 2-го порядка отрицателен, поэтому в этих стационарных точках экстремума нет.
Пример 4.2. Найти условные экстремумы функции u = xyz относительно уравнений связи
x + y + z = 6 , x + 2 y + 3z = 6 .
Решение. Разрешим уравнения связи относительно переменных x и
y : x = z + 6 , y = −2 z . Подставив найденные значения x и y в выражение
для u , сведем задачу к исследованию на обычный (безусловный) экстремум
функции
u = −2 z 2 ( z + 6) ;
так как u′ = −6 z ( z + 4) , u′′ = −12( z + 2) , u′′(0) = −24 , u′′(−4) = 24 , то в точке
z = 0 функция имеет максимум u = 0 , а в точке z = −4 — минимум u = −64 .
Следовательно, исходная функция при заданных ограничениях имеет один
условный максимум u (6;0;0) = 0 и один условный минимум u (2;8; −4) = −64 .
Пример 4.3. Найти условные экстремумы функции u = f ( x; y ) =
= 6 − 5 x − 4 y относительно уравнения связи ϕ ( x; y ) = x 2 − y 2 − 9 = 0 .
Решение. Функции f и ϕ дважды непрерывно дифференцируемы.
Матрица Якоби (4.6) в данном случае имеет вид (2 x − 2 y ) , и ее ранг равен
единице во всех точках, удовлетворяющих уравнению связи. Следовательно, можно применить метод Лагранжа. Запишем функцию Лагранжа:
L( x; y ) = 6 − 5 x − 4 y + λ ( x 2 − y 2 − 9) .
Согласно необходимым условиям (4.7), (4.8) получаем систему
⎧ ∂L
⎪ ∂x = −5 + 2λ x = 0,
⎪
⎪ ∂L
⎨ = −4 − 2λ y = 0,
⎪ ∂y
⎪ x 2 − y 2 − 9 = 0,
⎪
⎩
из которой находим x = −5 , y = 4 при λ = −1 2 и x = 5 , y = −4 и λ = 1 2 .
Таким образом, функция f может иметь условный экстремум только в двух
точках: (–5;4) и (5;–4). Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа.
Так как
∂2L
∂2L
∂2L
= 2λ ,
= 0 , 2 = −2λ , то d 2 L = 2λ (dx 2 − dy 2 ) .
2
∂x
∂x∂y
∂y
Найдем первый дифференциал функции ϕ :
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dϕ = xdx − ydy .
В точках (–5;4) и (5;–4) дифференциалы dx и dy связаны равенством
5dx + 4dy = 0 (условие (4.9)). При выполнении этого условия второй дифференциал функции Лагранжа в точке (–5;4) является положительно определенной квадратичной формой
9
d 2 L = dx 2 ,
16
а в точке (5;–4) – отрицательно определенной формой
d 2L = −
9 2
dx .
16
Следовательно, функция f в точке (–5;4) имеет условный минимум
u (−5;4) = 15 , а в точке (5;–4) – условный максимум u (5; −4) = −3 .
4.8. Задания к выполнению курсовой работы.
4.1. Исследовать функцию f ( x; y ) на экстремум:
1) f ( x; y ) = 3 x 2 − 2 x y + y − 8 x ;
2) f ( x; y ) = 1 + x 2 + 3 ( y + 2) 2 ;
3) f ( x; y ) = xy 12 − 4 x 2 − y 2 ;
4) f ( x; y ) = ( x + y 2 )e x 2 ;
5) f ( x; y ) = (8 x 2 − 6 xy + 3 y 2 )e 2 x +3 y ;
2
6) f ( x; y ) = x3 3 + 3 x 2e y − e − y ;
7) f ( x; y ) = (ax 2 + by ) ;
8) f ( x; y ) = x 2 + xy + y 2 − 4ln x − 10ln y ;
9) f ( x; y ) = x 2 + y 2 − 32ln( xy ) ;
10) f ( x; y ) = sin x + cos y + cos( x − y ) , x ∈ (0;π 2) , y ∈ (0;π 2) ;
11) f ( x; y ) = x + y + 4sin x sin y .
4.2. Исследовать функцию f ( x; y; z ) на экстремум:
1) f ( x; y; z ) = x 2 + y 2 + ( z + 1) 2 − xy + x ;
2) f ( x; y; z ) = x 2 + y 2 − z 2 − 4 x + 6 y − 2 z ;
3) f ( x; y; z ) = zyz (16 − x − y − 2 z ) ;
xy + xz 2 + y 2 z
4) f ( x; y; z ) =
+ x + 1;
xyz
y2 z2 2
5) f ( x; y; z ) = x +
+ + ;
4x y z
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6) f ( x; y; z ) = sin x + sin y + sin z − sin( x + y + z ) , x, y, z ∈ (0;π ) ;
7) f ( x; y; z ) = 2ln x + 3ln y + 5ln z + ln(22 − x − y − z ) .
4.3. Найти условные экстремумы функции f :
1) f ( x; y ) = xy , x + y − 1 = 0 ;
f ( x; y ) = x 2 − y 2 , 2 x − y − 3 = 0 ;
f ( x; y ) = cos 2 x + cos 2 y , x − y − π 4 = 0 ;
f ( x; y ) = 5 − 3 x − 4 y , x 2 + y 2 = 25 ;
f ( x; y ) = x 2 + xy + y 2 , x 2 + y 2 = 1 ;
f ( x; y ) = x a + y b , x 2 + y 2 = r 2 , r > 0 ;
1 1 1
1 1
7) f ( x; y ) = 1 + + , 2 + 2 = ;
x y x
y
8
2
2
2
8) f ( x; y; z ) = 2 x + 3 y + 4 z , x + y + z = 13 ;
9) f ( x; y; z ) = x 2 y 3 z 4 , 2 x + 3 y + 4 z = 18 , x > 0 , y > 0 , z > 0 ;
10) f ( x; y; z ) = x − 2 y + 2 z , x 2 + y 2 + z 2 = 9 ;
11) f ( x; y; z ) = xyz , x 2 + y 2 + z 2 = 3 ;
12) f ( x; y; z ) = x 2 + y 2 + z 2 , x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 , a > b > c > 0 ;
13) f ( x; y; z ) = xyz , x + y − z = 3 , x − y − z = 8 ;
2)
3)
4)
5)
6)
14) f ( x; y; z ) = xy + yz , x 2 + y 2 = 2 , y + z = 2 , y > 0 ;
15) f ( x; y; z ) = ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 ,
x 2 + y 2 + z 2 = 21 , 3 x + 2 y + z = 0 .
4.4. Относительно уравнения связи x a + y b − 1 = 0 найти условные
экстремумы функции u = f ( x; y ) :
1) u = xy ; 2) u = x 2 + y 2 ; 3) u = x 2 − y 2 ; 4) u = xy 2 .
4.5. Исследовать функцию u = f ( x; y ) на условный экстремум при заданных уравнениях связи (выяснить, можно ли при этом использовать метод Лагранжа):
1) u = ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 , а) x 2 + y 2 − 2 xy = 0 , б) x − y = 0 ;
2) u = x 4 + y 4 , ( x − 1)3 − y 2 = 0 .
4.6. Верно ли для непрерывно дифференцируемых функций f ( x; y ) ,
ϕ ( x; y ) следующее утверждение: точка условного локального экстремума
функции f ( x; y ) относительно уравнения связи ϕ ( x; y ) = 0 является стационарной точкой функции Лагранжа
L( x; y ) = f ( x; y ) + λϕ ( x; y ) .
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список используемой литературы
1. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных : учеб. пособие для вузов / Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин ; под ред. Л.Д. Кудрявцева. – М. : Наука. Физматлит, 1995. – 496 с.
2. Савченко Ю.Б. Математика. Функции двух переменных. Кратные интегралы (сборник задач) : учебно-методическое пособие для вузов /
Воронеж. гос. ун-т ; сост.: Ю.Б. Савченко, С.А. Ткачева. – Воронеж :
ЛОП ВГУ, 2006. – 31 с. : ил. – Библиогр.: 30 с. –
<URL:http://www.lib.vsu.ru/elib/texts/method/vsu/nov06004.pdf>.
3. Бутузов В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Кружицкая, Н.Г. Медведев, А.А. Шишкин ; под ред. В.Ф. Бутузова – 4-е изд., исправ. – М. : Физико-математическая литература,
2001. – 480 с.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Кацаран Татьяна Константиновна,
Строева Любовь Николаевна
ДИФФЕРЕНЦИРОВAНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Методическое пособие для вузов
Редактор И.Г. Валынкина
Подписано в печать 29.12.2009. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,3.
Тираж 50 экз. Заказ 2124.
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс) +7 (4732) 598-026
http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru
Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра
Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа