close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

614.Тригонометрические ряды и преобразование Фурье

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра математического анализа
И.В.КРЮЧКОВА
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом
государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Оренбург 2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
.
УДК 517.518.4 (076.5)
ББК 22.161.5я73
К 85
Рецензент
кандидат физико-математических наук, доцент Л.М.Невоструев
К 85
Крючкова И.В.
Тригонометрические ряды и преобразование Фурье:
методические указания/ И.В.Крючкова. – Оренбург: ГОУ ОГУ,
2006.-38 с.
В
методических
указаниях
рассмотрена
теория
тригонометрических рядов и преобразования Фурье,
приводятся
примеры решения задач, в том числе с использованием системы
MathCAD, сформулированы задачи для самостоятельного решения.
Методические указания предназначены для студентов инженерных
специальностей,
обучающихся
по
программам
высшего
профессионального образования, и преподавателей, ведущих занятия по
данному разделу курса математического анализа.
ББК 22.161.5я73
© Крючкова И.В., 2006
© ГОУ ОГУ, 2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Введение....................................................................................................................... 4
1 Ряды Фурье................................................................................................................5
1.1 Тригонометрический ряд..................................................................................5
1.2 Теорема Дирихле............................................................................................... 7
1.3 Неполные ряды Фурье...................................................................................... 9
1.4 «Раздельная» запись ряда Фурье....................................................................10
1.5 Разложение функций, заданных на отрезке ................................................. 11
1.6 Разложение в ряд Фурье на произвольном отрезке..................................... 14
1.7 Комплексная запись ряда Фурье....................................................................15
1.8 Указания к решению задач по теме «Тригонометрические ряды» в
системе MathCAD..................................................................................................17
1.9 Примеры решения задач................................................................................. 18
2 Преобразование Фурье...........................................................................................27
2.1 Интеграл Фурье............................................................................................... 27
2.2 Интеграл Фурье четной и нечетной функций...............................................28
2.3 Косинус- и синус-преобразования Фурье..................................................... 30
2.4 Комплексная форма записи интеграла Фурье.............................................. 32
2.5 Указания к решению задач по теме «Преобразование Фурье» в системе
MathCAD................................................................................................................ 33
2.6 Примеры решения задач................................................................................. 34
3. Задачи для самостоятельного решения............................................................... 36
Список использованных источников.......................................................................39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
В настоящее время появилось много учебных пособий,
излагающих
теорию обобщенных рядов Фурье с точки зрения функционального анализа.
Однако, такое общее изложение слишком далеко от прикладных задач,
решаемых инженерами и специалистами в электротехнике, электронике и во
многих других прикладных и теоретических дисциплинах.
В
данных
методических
указаниях
излагается
теория
тригонометрических рядов Фурье, преобразования Фурье. Изложение
теоретического материала ведется на доступном для студентов уровне
доказательности. В согласии с обычной практикой прохождения данного
раздела курса математического анализа изложение проводится при помощи
нестрогих, «эвристических» рассуждений, доказательство теоремы Дирихле о
разложении в ряд Фурье опущено. Приводятся примеры решения задач, в том
числе с использованием системы MathCAD.
Даны рекомендации по использованию символьного процессора
MathCAD, что облегчит будущим инженерам применение теории
преобразования Фурье в дальнейшей практической деятельности.
Методические указания предназначены для студентов инженерных
специальностей, обучающихся по программам высшего профессионального
образования, и преподавателей, ведущих занятия по данному разделу курса
математического анализа.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 Ряды Фурье
1.1 Тригонометрический ряд
Системой тригонометрических функций называется совокупность
функций:
1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, … , cos nx, sin nx, …
(1.1)
Система тригонометрических функций является подмножеством
множества непрерывных функций на всей числовой оси. Как известно
множество непрерывных функций образует линейное пространство.
В этом пространстве скалярное произведение можно ввести следующим
π
образом: ( f(x); g(x) ) =
∫
f ( x) g ( x)dx .
−π
Система тригонометрических функций (1.1) является ортогональной, т.е.
 0, f ( x) ≠ g ( x)
( f ( x); g ( x)) = 
(1.2)
 π , f ( x) = g ( x)
Оставляем читателю самостоятельно убедиться в этом.
Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд вида:
a0 ∞
+ ∑ (a n ⋅ cos(n ⋅ x) + bn ⋅ sin( n ⋅ x)) ,
a n ∈ R , bn ∈ R
(1.3)
2 n= 1
Так как cos nx , sin nx - периодические функции с периодом T=
2π
, то
n
сумма ряда (1.3), если она существует, имеет период T=2π .
Предположим, что тригонометрический ряд сходится, причем
равномерно, на отрезке [-π; π]. S(x) - его сумма, она будет являться
непрерывной функцией.
Рассмотрим ряды:
∞
a0
cos
Nx
+
S(x)∙cosNx =
∑ (an ⋅ cos nx ⋅ cos Nx + bn ⋅ sin nx ⋅ cos Nx) (1.4)
2
n= 1
∞
a0
sin Nx + ∑ (a n cos nx ⋅ sin Nx + bn ⋅ sin nx ⋅ sin Nx)
S(x)∙sin Nx =
2
n= 1
(1.5)
Если тригонометрический ряд (1.3) сходится равномерно, то ряды (1.4) и
(1.5) также сходятся равномерно, и их можно почленно интегрировать.
Проинтегрируем тригонометрический ряд (1.3):
π
∫
−π
a
S ( x)dx = 0 ⋅
2
π
∞
−π
n= 1
∫ dx + ∑
И в силу утверждения (1.2):
(a n ⋅
π
π
−π
−π
∫ cos(n ⋅ x)dx + bn ⋅ ∫ sin(n ⋅ x)dx)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
π
∫
1
Отсюда: a0 = ⋅
π
−π
π
a
S ( x)dx = 0 ⋅ 2π = a0 ⋅ π
2
∫ S ( x)dx .
−π
Аналогично проинтегрируем ряды (1.4) и (1.5):
π
a
S ( x) ⋅ cos( N ⋅ x) dx = 0 ⋅
2
∫
−π
∞
∑
+
π
∫
(a n ⋅
n= 1
∫ cos
1
aN = ⋅
π
−π
+
−π
cos(n ⋅ x) ⋅ cos( N ⋅ x) dx + bn ⋅
π
−π
∫
∫ cos( N ⋅ x)dx +
−π
= aN ⋅
π
π
∑
2
( N ⋅ x)dx = a N ⋅ π
π
∫ S ( x) ⋅ cos Nxdx
−π
(a n ⋅
n= 1
bN =
π
∫
π
∫ sin( N ⋅ x)dx +
−π
cos(n ⋅ x) ⋅ sin( N ⋅ x) dx + bn ⋅
−π
= bN ⋅
∫ sin(n ⋅ x) ⋅ cos( N ⋅ x)dx) =
−π
a
S ( x) ⋅ sin( N ⋅ x)dx = 0 ⋅
2
∞
π
π
∫ sin
2
π
∫ sin(n ⋅ x) ⋅ sin( N ⋅ x)dx) =
−π
( N ⋅ x) dx = bN ⋅ π
−π
π
1
⋅
π
∫ S ( x) ⋅ sin( N ⋅ x)dx
−π
Получили формулы Эйлера – Фурье функции S (x) :
1
a0 = ⋅
π
an =
bn =
1
⋅
π
1
⋅
π
π
∫ S ( x)dx
−π
π
∫ S ( x) ⋅ cos(n ⋅ x)dx
−π
π
∫ S ( x) ⋅ sin(n ⋅ x)dx
−π
(1.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, каждой интегрируемой на отрезке
f (x) можно поставить в соответствие ее ряд Фурье:
a0 ∞
+ ∑ ( a n ⋅ cos(n ⋅ x) + bn ⋅ sin( n ⋅ x))
2 n= 1
коэффициенты
1
a0 = ⋅
π
an =
bn =
1
⋅
π
1
⋅
π
π
которого
∫
f ( x)dx
∫
f ( x) ⋅ cos(n ⋅ x)dx
∫
f ( x) ⋅ sin( n ⋅ x)dx
−π
π
−π
π
вычисляются
по
формулам
[ − π ;π ]
функции
(1.7)
Эйлера-Фурье:
−π
Однако,
выводя
формулы Эйлера-Фурье, мы предполагали
равномерную
сходимость
тригонометрического
ряда
и
равенство
∞
a
f ( x) = 0 + ∑ ( a n ⋅ cos(n ⋅ x) + bn ⋅ sin( n ⋅ x)) пока еще не доказано. В следующей
2 n= 1
теореме сформулированы достаточные условия разложимости функции в ряд
Фурье.
1.2 Теорема Дирихле
Условия Дирихле:
пусть на отрезке [ − π ; π
того:
]
задана ограниченная функция f (x) , и, кроме
1) функция f (x) кусочно-непрерывнa, т.е. имеет на отрезке [ − π ; π ] лишь
конечное число точек разрыва 1-ого рода.
2) функция f (x) кусочно-монотонна, т.е. отрезок [ − π ; π ] можно разбить
на конечное число частичных отрезков, на каждом из которых f (x) монотонно
возрастает или убывает, либо остается постоянной.
При выполнении условий Дирихле функция f (x) разлагается в
тригонометрический ряд (1.7), который сходится на отрезке [ − π ; π ] , причем:
1) в каждой точке x0 непрерывности f (x) сумма ряда S (x) равна
значению функции f (x) в этой точке:
S ( x0 ) = f ( x 0 )
2) в каждой точке x1 разрыва функции f (x) сумма ряда S (x) равна
среднему арифметическому левого и правого пределов f (x) в этой точке:

1 
S ( x1 ) = ⋅  lim f ( x)+ lim f ( x) 
2  x → x − 0 x → x + 0 
1
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) в точках x = − π и x = π сумма ряда равна среднему арифметическому
правого предела f (x) в точке -π и левого предела f (x) в точке π:

1 
S (− π ) = S (π ) = ⋅  lim f ( x) + lim f ( x) 
2  x→ − π + 0 x→ π − 0 
4) на любом частичном отрезке [α; β] ⊂ [-π; π], свободного от точек
разрыва f (x) ряд Фурье равномерно сходится к f (x) .
Замечание:
1. Если функция f (x) удовлетворяет на [-π; π] условиям Дирихле и
является периодической с периодом T = 2 ⋅ π , то ряд (1.7) будет сходиться к
f (x) не только на отрезке [-π; π] , но и во всех точках действительной оси.
Характер сходимости ряда (1.7) к функции f (x) в этом случае можно
охарактеризовать законом среднего арифметического:

1 
- в точках непрерывности: S ( x0 ) = f ( x0 ) = ⋅  lim f ( x)+ lim f ( x) 
2  x→ x − 0 x→ x + 0
0
0


- в точках разрыва это следует из пункта 2 теоремы Дирихле.
- в точках π и –π:
 1 

1 
S (π ) = ⋅  lim f ( x) + lim f ( x)  = ⋅  lim f ( x)+ lim f ( x) 
2  x→ − π + 0 x→ π − 0  2  x→ π + 0 x→ π − 0 
 1 

1 
S (− π ) = ⋅  lim f ( x) + lim f ( x)  = ⋅  lim f ( x) + lim f ( x) 
2  x→ − π + 0 x→ π − 0  2  x→ − π + 0 x→ − π − 0
Таким образом, в точках разрыва функции и в точках x = (2 ⋅ k + 1) ⋅ π
значения S (x) могут отличаться от значений функции f (x) в этих точках.
Пример показан на рисунке 1.1.
f(x)
S(x)
x
Рисунок 1.1 – Сумма 1ряда Фурье в точке разрыва
Поэтому на практике заранее (до разложения) не задают значения
функции f (x) в точках разрыва и в точках (2 ⋅ k + 1) ⋅ π .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. в случае, когда функция f (x) не является периодической или имеет
период, отличный от 2π, разложение в ряд (1.7) справедливо только на отрезке
[-π; π]. Сумма ряда S (x) повторяет свои значения, как периодическая функция
с периодом 2π , и за пределами отрезка отличается от f (x) .
Пример 1.1.
Разложить функцию f ( x) = e x , − π < x < π в ряд Фурье.
Решение.
Применим формулы Эйлера-Фурье:
π
π
1
1
1
a0 = ⋅ ∫ e x dx = ⋅ e x
= ⋅ eπ − e − π
−π π
π
π
1
an = ⋅
π
1
bn = ⋅
π
(
−π
π
∫e
x
∫e
x
−π
π
)
(− 1) n ⋅ (eπ − e − π )
⋅ cos nxdx =
π ⋅ (1 + n 2 )
(− 1) n ⋅ n ⋅ (eπ − e − π )
⋅ sin nxdx =
π ⋅ (1 + n 2 )
−π
π
e − e − π  1 cos x sin x cos 2 x 2 ⋅ sin 2 x

f ( x) =
⋅ −
+
+
−
− ... 
π
2
2
5
5
2

Исходя из теоремы Дирихле, сумма полученного ряда представлена на
рисунке 1.2.
y
-5π
-3π
-π
π
3π
5π
x
Рисунок 1.2 – Сумма ряда
1.3 Неполные ряды Фурье
Разложим в ряд Фурье четную функцию f1 ( x) :
1
bn = ⋅
π
π
∫
f1( x) ⋅ sin( n ⋅ x)dx = 0 , так как под интегралом стоит нечетная
−π
функция, а интегрирование идет по симметричному отрезку.
1
a0 = ⋅
π
π
∫
−π
2
f1 ( x)dx = ⋅
π
π
∫
0
f1 ( x)dx , так как f1 ( x) - четная функция.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
an = ⋅
π
π
∫
−π
2
f1 ( x) ⋅ cos(n ⋅ x)dx = ⋅
π
π
∫
f1 ( x) ⋅ cos(n ⋅ x)dx , так как
0
f1 ( x) ⋅ cos(n ⋅ x) - четная функция.
Получили разложение четной функции в неполный ряд Фурье:
∞
a~
f1 ( x) = 0 + ∑ a~n ⋅ cos(n ⋅ x) ,
2 n= 1
2
где a~0 = ⋅
π
π
∫
0
2
f1 ( x)dx , a~n = ⋅
π
π
∫
(1.8)
f1 ( x) ⋅ cos(n ⋅ x)dx
0
Аналогично получается разложение нечетной функции в неполный ряд Фурье:
f 2 ( x) =
2
~
где bn = ⋅
π
π
∫
∞ ~
∑
b n ⋅ sin( n ⋅ x) ,
n= 1
(1.9)
f 2 ( x) ⋅ sin( n ⋅ x)dx
0
1.4 «Раздельная» запись ряда Фурье
Под раздельной записью ряда Фурье понимают:
∞
a0 ∞
f ( x) =
+ ∑ a n ⋅ cos(n ⋅ x) + ∑ bn ⋅ sin(n ⋅ x)
2 n= 1
n= 1
Обоснуем возможность подобной записи. Любую функцию f (x) можно
представить в виде суммы четной и нечетной функций:
f ( x) = f1 ( x) + f 2 ( x),
f1(− x) = f1( x)
где
f 2 (− x) = − f 2 ( x)
Покажем это:
если f ( x) = f1 ( x) + f 2 ( x), то f (− x) = f1(− x) + f 2 (− x) = f1( x) − f 2 ( x) , отсюда
f ( x) + f ( − x)
f
(
x
)
=
1
f ( x) + f (− x) = 2 ⋅ f1 ( x)
2
⇒
f ( x) − f (− x)
f ( x) − f (− x ) = 2 ⋅ f 2 ( x)
f 2 ( x) =
2
Если функция f (x) удовлетворяет теореме Дирихле, тогда f1 ( x) и
f 2 ( x) также удовлетворяют условиям теоремы Дирихле и разлагаются в
неполные ряды (1.8), (1.9).
Для обоснования возможности раздельной записи ряда Фурье осталось
a n = a~n
показать:
~ .
bn = bn
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
a~n = ⋅
π
π
∫
0
2
f1 ( x) ⋅ cos(n ⋅ x)dx = ⋅
π
π
1 
= ⋅ ∫ f ( x) ⋅ cos(n ⋅ x) dx +
π 
0
π
1 
= ⋅ ∫ f ( x) ⋅ cos(n ⋅ x) dx −
π 
0
π
1 
= ⋅ ∫ f ( x) ⋅ cos(n ⋅ x) dx +
π 
0
1
= ⋅
π
π
∫
π
∫
0
f ( x) + f (− x)
⋅ cos(n ⋅ x)dx =
2
π
 t= −x
∫ f (− x) ⋅ cos(n ⋅ x)dx  = dt = − dx =
0

−π
 x= t
=
f
(
t
)
⋅
cos(
n
⋅
t
)
dt
=
∫
 dx = dt
0

0

∫ f ( x) ⋅ cos(n ⋅ x)dx  =
−π

f ( x) ⋅ cos(n ⋅ x)dx = a n
−π
~
Аналогично показывается bn = bn .
1.5 Разложение функций, заданных на отрезке [ − l; l ]
Пусть функция f (x) задана на отрезке [ − l ; l ] , l > 0 .
И f (x)
удовлетворяет условиям Дирихле на этом отрезке.
π
Выполним преобразование t = ⋅ x
l
− l < x < l ⇒ −π < t < π
l
Положим F (t ) = f ( ⋅ t ) = f ( x) . F (t ) удовлетворяет условиям Дирихле
π
на [-π; π]. Разложим F (t ) в тригонометрический ряд:
∞
a
F (t ) = 0 + ∑ ( a n ⋅ cos(n ⋅ t ) + bn ⋅ sin( n ⋅ t ) )
2 n= 1
π
π
⋅ x; dt = ⋅ dx
l
l
π
l
l
1
1
π
π
1
a0 = ⋅ ∫ F (t )dt = t = − π ; x = − l
= ⋅ ∫ F ( ⋅ x) ⋅ dx = ⋅ ∫ f ( x)dx
π
π
l
l
l
−π
−l
−l
t = π ;x = l
t=
Аналогично вычисляются a n и bn .
Получили следующее разложение:
a0 ∞ 
n⋅ π ⋅ x
n⋅ π ⋅ x
f ( x) =
+ ∑  a n ⋅ cos
+ bn ⋅ sin
,
2 n = 1
l
l 
где
(1.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
an = ⋅
l
bn =
a0 =
1
⋅
l
1
⋅
l
l
∫
f ( x) ⋅ cos
∫
f ( x) ⋅ sin
∫
f ( x)dx
−l
l
−l
l
n⋅π ⋅ x
dx
l
n⋅π ⋅ x
dx
l
−l
Можно переформулировать теорему Дирихле для функций, заданных на
отрезке [ − l; l ] , заменив символ π на l .
Теперь получим неполные ряды Фурье функций, заданных на отрезке
[ − l; l ] . Пусть f1 ( x) - четная функция. Тогда:
a~0 ∞ ~
n⋅π ⋅ x
f1 ( x) =
+ ∑ a n ⋅ cos
2 n= 1
l ,
(1.11)
где
l
2
a~0 = ⋅ ∫ f1 ( x)dx
l
0
l
2
n⋅π ⋅ x
a~n = ⋅ ∫ f1 ( x) ⋅ cos
dx
l
l
0
Пусть f 2 ( x) - нечетная функция. Тогда:
∞
n⋅π ⋅ x
~
f 2 ( x) = ∑ bn ⋅ sin
,
l
n= 1
(1.12)
l
2
n⋅ π ⋅ x
~
dx
где bn = ⋅ ∫ f 2 ( x ) ⋅ sin
l
l
0
Пример 1.2.
Разложим в тригонометрический ряд функцию f (x) , заданную на
промежутке (-2; 2) .
 2, − 2 < x < 0
f (x) = 
 3, 0 < x < 2
Решение.
Условия Дирихле выполнены; l = 2.
2
0
2
 1  0
2
1
1 
a0 = ⋅ ∫ f ( x) dx = ⋅ ∫ 2dx + ∫ 3dx  = ⋅  2 x
+ 3 x  = 5
 2  − 2
0
2
2 
−2
0
−2

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0
2
1 
n⋅π ⋅ x
n ⋅ π ⋅ x 
a n = ⋅ ∫ 2 ⋅ cos
dx + ∫ 3 ⋅ cos
dx =

2 
2
2
0
−2

1  2⋅ 2
n⋅π ⋅ x 0
3⋅ 2
n ⋅ π ⋅ x 2
=
= ⋅ 
⋅ sin
+
⋅ sin
2  n⋅π
2 − 2 n⋅π
2 0 
2
3
⋅ ( − sin( − n ⋅ π ) ) +
⋅ sin n ⋅ π = 0
n⋅π
n⋅π
0
2
1 
n⋅π ⋅ x
n ⋅ π ⋅ x 
bn = ⋅ ∫ 2 ⋅ sin
dx + ∫ 3 ⋅ sin
dx =

2 
2
2
0
−2

1  2 ⋅ (− 2)
n⋅π ⋅ x 0
3 ⋅ (− 2)
n⋅π ⋅ x
= ⋅ 
⋅ cos
+
⋅ cos
2  n⋅π
2 − 2
n⋅π
2
=
=
2
=
0 
1
( − 4 ⋅ (1 − cos(− n ⋅ π )) − 6 ⋅ (cos(n ⋅ π ) − 1) ) =
2⋅ n⋅ π
 0, n = 2k
1
1 − cos(n ⋅ π ) 1 − (− 1) n 
=
⋅ 2 ⋅ (1 − cos(n ⋅ π ) ) =
=
=  2
2⋅ n⋅ π
n⋅π
n⋅π
 n ⋅ π , n = 2k − 1
5 ∞
n⋅π ⋅ x 5 ∞
2
(2k − 1)π ⋅ x
f ( x) = + ∑ bn ⋅ sin
= + ∑
⋅ sin
2 n= 1
2
2 k = 1(2k − 1) ⋅ π
2
График суммы полученного ряда представлен на рисунке 1.3.
y
3
2,5
2
x
-6
-4
-2
0
2
4
6
Рисунок 1.3 - График суммы полученного ряда
При разложении в неполные ряды Фурье на отрезках [ 0; l ] поступают
следующим образом.
Пусть f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на [ 0; l ] ; l > 0 .
Такую функцию можно разложить в неполные ряды Фурье
по
косинусам или по синусам. Для этого, в первом случае, ее достраивают на
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
отрезке [ − l ;0] четным способом, а во втором случае – нечетным способом, и
применяют формулы (1.11), (1.12). Примеры продолжения функции
представлены на рисунке 1.4.
-l
-l
l
l
а) четным способом
б) нечетным способом
Рисунок 1.4 - Примеры продолжения функции f (x)
1.6 Разложение в ряд Фурье на произвольном отрезке
Произвольному отрезку [ a ;b] соответствует ортогональная система
πx
πx
nπ x
nπ x 

, cos
,... ,
функций  1, sin , cos ,..., sin
l
l
l
l


b− a
где b = a + 2l , то есть l =
. Пример представлен на рисунке 1.5.
2
a-2l
a
b
b+2l
Рисунок 1.5 – Сумма ряда Фурье функции, заданной на отрезке [ a; b]
∞
a
nπ x
nπ x 

f ( x) = 0 + ∑  an ⋅ cos
+ bn ⋅ sin
,
2 n = 1
l
l 
где
b
1
a0 = ⋅ ∫ f ( x) dx
l
an =
bn =
a
b
1
nπ x
⋅ ∫ f ( x) ⋅ cos
dx
l
l
a
b
1
nπ x
⋅ ∫ f ( x) ⋅ sin
dx
l
l
a
(1.13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.7 Комплексная запись ряда Фурье
f (x)
Пусть
функция
удовлетворяет
достаточным
условиям
разложимости в ряд Фурье. Тогда на отрезке [ − π ;π ] ее можно представить
рядом вида:
∞
a
f ( x) = 0 + ∑ (an ⋅ cos(n ⋅ x) + bn ⋅ sin( n ⋅ x))
(1.14)
2 n= 1
Используя формулы Эйлера
e inx = cos(n ⋅ x) + i ⋅ sin(n ⋅ x) , e − inx = cos(n ⋅ x) − i ⋅ sin(n ⋅ x) ,
e inx − e − inx
e − inx − e inx
e inx + e − inx
найдем
и sin( n ⋅ x) =
.
= i⋅
cos(n ⋅ x) =
2⋅ i
2
2
Подставляя эти выражения в ряд (2.1), получаем
∞
a
e inx + e − inx
e − inx − e inx
f ( x) = 0 + ∑ (an ⋅
+ i ⋅ bn ⋅
)=
2 n= 1
2
2
(1.15)
a0 ∞ an − i ⋅ bn inx an + i ⋅ bn − inx
=
+ ∑ (
⋅e +
⋅e
)
2 n= 1
2
2
a0
a − i ⋅ bn
a + i ⋅ bn
= c0 , n
= cn , n
= c− n
Введем следующие обозначения:
2
2
2
Ряд (2.2) принимает вид:
f ( x ) = c0 +
= c0 +
∞
∑
∞
∑
(cn ⋅ e inx + c− n ⋅ e − inx ) = c0 +
n= 1
cn ⋅ e inx +
n= 1
−∞
∑
cn ⋅ e inx =
n= − 1
+∞
∑
∞
∑
cn ⋅ e inx +
n= 1
∞
∑
c− n ⋅ e − inx =
n= 1
cn ⋅ e inx
n= − ∞
Таким образом, ряд Фурье представлен в комплексной форме:
f ( x) =
+∞
∑
cn ⋅ e inx
n= − ∞
(1.16)
Найдем выражения коэффициентов cn и c− n через интегралы:
π

a − i ⋅ bn
1  π
cn = n
=
⋅  ∫ f ( x) ⋅ cos(n ⋅ x) ⋅ dx − i ⋅ ∫ f ( x) ⋅ sin( n ⋅ x) ⋅ dx  =
2
2⋅ π  −π
−π

1 π
1 π
=
⋅ ∫ f ( x) ⋅ (cos(n ⋅ x) − i ⋅ sin( n ⋅ x)) ⋅ dx =
⋅ ∫ f ( x) ⋅ e − inx ⋅ dx
2⋅ π −π
2⋅ π −π
1 π
⋅ ∫ f ( x) ⋅ e inx ⋅ dx .
Аналогично c− n =
2⋅π −π
Таким образом, комплексные коэффициенты Фурье вычисляются по формуле:
1 π
cn =
⋅ ∫ f ( x) ⋅ e − inx ⋅ dx , n = 0,± 1,± 2,...
(1.17)
2⋅ π −π
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f (x) с периодом 2 ⋅ l комплексная форма ряда
Для периодической функции
Фурье примет вид:
n⋅ π ⋅ x
f ( x) =
cn ⋅ e l
n= − ∞
+∞
∑
i⋅
(1.18)
где коэффициенты cn вычисляются по формулам:
1
cn =
⋅
2⋅ l
l
∫
f ( x) ⋅ e
− i⋅
n⋅ π ⋅ x
l dx , n = 0,± 1,± 2,...
−l
Замечание:
сходимость рядов (1.16) и (1.18) понимается так: ряды являются сходящимися
для данного значения x , если существуют пределы:
k ⋅π ⋅ x
lim
ck ⋅ e l .
n→ ∞ k = − n
n
∑
lim
n
∑
ck ⋅ eikx
n→ ∞ k = − n
и
i⋅
Последовательность { cn } коэффициентов разложения (1.16) или (1.18)
называется спектральной последовательностью функции f (x) , так как с
помощью членов этой последовательности получаются характеристики всех
гармоник, на которые разложено соответствующее периодическое колебание:
возьмем сумму двух членов разложения (1.16) с противоположными номерами:
a + i ⋅ bn
c− n ⋅ e − inx + cn ⋅ einx = n
⋅ (cos(n ⋅ x) − i ⋅ sin( n ⋅ x)) +
2
a − i ⋅ bn
+ n
⋅ (cos(n ⋅ x) + i ⋅ sin( n ⋅ x)) = an ⋅ cos(n ⋅ x) + bn ⋅ sin( n ⋅ x)
2
Сумма таких двух членов
воспроизводит n − ю гармонику. Выразим
характеристики n − ой гармоники через коэффициенты разложения (1.16):
a
an = δ n ⋅ sin(ϕ 0 ) n , bn = δ n ⋅ cos(ϕ 0 ) n . Откуда δ n = an2 + bn2 , tg (ϕ 0 ) n = n .
bn
an ⋅ cos(n ⋅ x) + bn ⋅ sin( n ⋅ x) = δ n ⋅ sin( n ⋅ x + (ϕ 0 ) n ) ,
где δ n - амплитуда гармоники, n - частота, (ϕ 0 ) n - начальная фаза.
Следовательно, амплитуда δ n равна модулю cn =
π
Если рассмотреть угол (ψ 0 ) n = − (ϕ 0 ) n , то
2
bn
= (ψ 0 ) n , где cn =
Следовательно arg cn = arctg
an
an − i ⋅ bn =
an2 + bn2 .
b
tg ((ψ 0 ) n ) = ctg ((ϕ 0 ) n ) = n .
an
an + i ⋅ bn . Таким образом,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
последовательность { cn } образует амплитудный спектр функции
последовательность { arg cn } образует фазовый спектр.
f (x) , а
1.8 Указания к решению задач по теме «Тригонометрические ряды» в
системе MathCAD
Перед началом исследования следует выбрать в панели математических
инструментов кнопки «Арифметические инструменты», «Операторы
математического анализа», «Символические операторы», «Символы греческого
алфавита» открыть соответствующие панели и разместить их в удобном месте
на рабочем столе (см. рисунок 1.6).
Рисунок 1.6 – Рабочий лист MathCAD
Для определения функции, заданной разными аналитическими
выражениями на различных промежутках числовой оси, - ввести имя функции
f переменной x, щелкнуть в панели калькулятора по кнопке «Присвоить
значение» в панели «Арифметические инструменты» или ввести с клавиатуры
знак двоеточия, выбрать в панели «Программирование» кнопку «Add Line». В
рабочем документе справа от знака присваивания появится вертикальная черта
с двумя строками ввода (если в дальнейшем вам понадобиться более двух строк
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ввода, то можно добавить их, нажав дополнительно кнопку «Add Line»).
Выбрать первую строку и щелкнуть по кнопке «if», ввести слева от «if»
выражение, а справа – ограничение на аргумент. Аналогично следует поступить
для второй строки.
Далее следует ввести выражения для коэффициентов Фурье в виде
векторов а и b, для чего определить размерность вектора n, определить k диапазон изменения номера компонент векторов a и b от 0 до n, определить
выражения для коэффициентов Фурье ak - ввести с клавиатуры символ «a»,
знак нижнего индекса - «[» (или выбрать соответствующей кнопкой в панели
«Арифметика»), ввести в позиции нижнего индекса «k», вернуться в основную
строку, ввести знак присваивания и выражение для коэффициента. Аналогично
- для bk .
Частичную сумму ряда следует определить как функцию двух
переменных S ( x, n) .
Для построения графиков частичных сумм необходимо задать диапазон
значений аргумента x на отрезке [ − π ; π ] с некоторым шагом (в нашем примере
π
шаг равен
), для чего используйте кнопку «Задать диапазон дискретной
100
величины» в панели «Арифметические инструменты».
Вставка графика в рабочий лист осуществляется кнопкой «Декартов
график» (Shift+2) в панели «Графики», для ввода нескольких функций они
определяются через запятую.
Численное исследование частичных сумм состоит в сравнении значений
частичных сумм для различных n со значениями функции на концах отрезка, в
точке разрыва и в точке непрерывности.
Введя имя частичной суммы S, в скобках значения аргументов, и нажав
клавишу «=», получим на экране значение в точке.
1.9 Примеры решения задач
Задача № 1.
 − 1, при − π < x ≤ 0
Функцию f (x) = 
 1, при 0 < x < π
разложить в ряд Фурье в интервале (− π ;π ) , определить сумму ряда в
точках разрыва и на концах интервала, графически исследовать сходимость
частичных сумм полученного ряда.
Решение:
при − π < x < 0
− 1
f (x) = 
является нечетной, поэтому
при 0 < x < π
 1
используем формулы для разложения в неполный ряд Фурье. График функции
представлен на рисунке 1.7.
Функция
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f(x)
Рисунок 1.7 – График функции
2 π
2 π
2  − cos(k ⋅ π ) 1   0 при
bk = ⋅ ∫ f ( x) ⋅ sin( k ⋅ x) dx = ⋅ ∫ 1 ⋅ sin( k ⋅ x)dx = ⋅ 
+ =  4
при
π 0
π 0
π 
k
k 
k⋅π
0

k = 2⋅ l
при k = 2 ⋅ l

4
= 
k = 2 ⋅ l − 1  π ⋅ ( 2 ⋅ l − 1) при k = 2 ⋅ l − 1

∞
∞
4
4 ∞ sin((2 ⋅ l − 1) ⋅ x)
S ( x) = ∑ bk ⋅ sin( k ⋅ x) = ∑
⋅ sin(( 2 ⋅ l − 1) ⋅ x) = ⋅ ∑
=
(
2
⋅
l
−
1
)
⋅
π
π
2
⋅
l
−
1
k=1
l= 1
l= 1
4 
1
1

⋅  sin x + ⋅ sin 3 x + ⋅ sin 5 x + ...
π 
3
5

Таким образом, аналитически получили разложение данной функции в
4 
1
1

⋅  sin x + ⋅ sin 3x + ⋅ sin 5 x + ... .
ряд Фурье:
π 
3
5

В случае если аналитически вычислить коэффициенты ряда Фурье
сложно, следует использовать символьные вычисления в MathCad.
Поскольку сходимость ряда Фурье характеризуется законом среднего
арифметического, в точке разрыва x0 = 0 ряд Фурье данной функции будет
1
сходиться к ⋅ ( lim f ( x) + lim f ( x)) = 0 ; в точках x = − π ; x = π ряд Фурье
2 x→ 0− 0
x→ 0+ 0
1
⋅ ( lim f ( x) + lim f ( x)) = 0
будет сходиться к
2 x→ − π
x→ π
Сумма ряда Фурье определена на всей числовой оси и является
периодической функцией с периодом 2π :
=
при
x = − π + 2π ⋅ m
 0,
 − 1, при
− π + 2π ⋅ m < x < 0 + 2π ⋅ m

S (x) = 
, m∈ N
при
x = 0 + 2π ⋅ m
 0,
 1,
при
0 + 2π ⋅ m < x < π + 2π ⋅ m
График полученной суммы ряда представлен на рисунке 1.8.
S( x )
y
1
-3π
-2π
-π
π
-1
2π
3π
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 1.8 – График суммы ряда
Используя MathCad, исследуем графически поведение частичных сумм
полученного ряда Фурье. (См. ниже листинг 1.1 рабочего документа MathCad).
f ( x) :=
− 1 if − π < x < 0
n := 50
k := 0 .. n
1 if 0 < x < π
bk :=
⌠

⋅   f ( x) ⋅ sin ( k ⋅ x) dx 
π  ⌡0

π
2
⌠

2
⋅   1 ⋅ sin ( k ⋅ x) dx  →
⋅
π  ⌡0
π

2
π
 − cos (k ⋅ π ) + 1 


k
k

n
S ( x , n) :=
е
k
=
( bk ⋅ sin(k ⋅ x))
1
x := − π , − π +
π
100
.. π
n := 1
n := 3
2
2
1
1
S(x , n)
f( x )
S(x , n)
0
f( x)
0
1
1
2
2
0
x
2
2
2
0
x
Листинг 1.1 Лист 1
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n := 10
n := 20
2
2
1
S(x , n)
1
0
f( x)
S(x , n)
0
f( x)
1
1
2
2
0
2
x
2
n := 50
2
0
2
x


x := − 3 ⋅ π ,  − 3 ⋅ π +
2
1
π

 .. 3 ⋅ π n := 50
100 
2
S(x , n)
f( x)
0
1
S(x , n)
1
0
f( x)
2
2
0
2
1
x
2
9.42
6.28
3.14
0
3.14
6.28
9.42
x
2
1
S(x , n)
f( x)
0
1
2
9.42
6.28
3.14
0
3.14
6.28
9.42
x
Листинг
1.1 Ôóðüå
Лист 2 äëÿ n=10,20,50 â
Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ÷àñòè÷íûõ
ñóìì ðÿäà
òî÷ êàõ x=-π , x=0, x=π /2, x=π .
График на листинге 1.2 иллюстрирует
сходимость частичных сумм ряда
 π , 10  = 1.063
S
(
−
π
,
10
)
=
0.000
S
(
0
,
10
)
=
0.000
S
S ( π , 10) = 0.000

Фурье в точке непрерывности функции.  2 
На
графиках видно, что
при приближении
разрыва x разность
π
 к точкам
S ( − π , 20) = − 1.896 × 10− 15
S ( 0 , 20) = 0.000
S  , 20  = 0.968
S ( π , 20) = 1.896 × 100− 15

S n ( x) − f ( x)
увеличивается.
Это  2объясняется
тем,
что,
хотя
π


− 15
− 15
S ( − π , 50) = − 4.502 × 101
S ( 0 , 50) = 0.000
S  , 50  = 1.013
S ( π , 50) = 4.502 × 10
 2 f ( x ))
lim Sn ( x0 ) = S ( x0 ) = ⋅ ( lim f ( x) + lim
,
существуют
такие
2 x→ x0 − 0
n→ ∞
x→ x0 + 0
последовательности u n → x0 + 0 и vn → x0 − 0 , что пределы S n (u n ) и S n (vn )
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
при n → ∞ различны и оба отличаются от S ( x0 ) . Эта особенность поведения
частичных сумм Фурье в окрестности точек разрыва называется явлением
Гиббса. Явление Гиббса состоит в том, что для некоторых функций f (x) в
a
точке x0 их скачка существуют такие значения a , что lim S n ( x0 ± ) ≠ S ( x0 ) .
n
n→ ∞
n := 1 .. 50
1.4
1.3
1.2


S
π

, n
2 
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
n
Листинг 1.2
Исследуем поведение частичных сумм построенного ряда Фурье в точке
x0 = − π (см. листинг 1.3).
n := 1 .. 50
1 . 10
14
5 . 10
15
S(− π , n)
0
5 . 10
15
1 . 10
14
0
10
20
30
40
50
n
Листинг 1.3
Задача №2.
Для функции f ( x) = sin( x + 1) , заданной в интервале ( − π ;π ) , найти
тригонометрический многочлен наилучшего приближения наименьшей степени
со среднеквадратическим отклонением, меньшим 0.01 . Построить график
зависимости среднеквадратического отклонения от степени многочлена.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение:
Последовательность решения:
1. Вычисляются коэффициенты Эйлера-Фурье - ak , bk .
2. Вычисляются частичные суммы ряда Фурье - S ( x, n) .
3. Вычисляется среднеквадратическое отклонение - σ (n) .
4. Создается вектор P , элементы которого равны соответствующим
значениям среднеквадратического отклонения - Pk = σ (k ) .
σ = σ (k )
5. Анализ элементов вектора P и графика зависимости
позволяет
определить
наименьшее
количество
слагаемых
тригонометрического многочлена, удовлетворяющего заданной
точности.
Ответ: n = 20 .
Ниже приведен листинг 1.4 рабочего документа MathCad.
Листинг 1.4 Лист 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x := − π , − π +
π
100
.. π
n := 2
x := − π , − π +
1
π
100
.. π
n := 10
1
f( x)
S ( x , n ) 0.5
f( x)
S ( x , n ) 0.5
0
2
0
2
x
0
2
0
2
x
x := − π , − π +
π
100
.. π
n := 20
1
f( x)
S ( x , n ) 0.5
0
2
0
2
x
Листинг 1.4 Лист 2
Задача №3.
Разложить в интервале ( 2;6) в неполный ряды Фурье по синусам
 − x 2 + 8 ⋅ x − 12 при 2 < x < 4
кратных дуг функцию f ( x) = 
.
при 4 < x < 6

8 ⋅ x − 12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Построить график самой функции и частичных сумм ряда Фурье при n =
1, 2, 5, 10, 20 (также и вне интервала (2;6) ). При n=20 вычислить S n (3) , S n (4)
и S n (5) .
Решение:
Приведен листинг 1.5 рабочего документа MathCad.
l :=
( 6 − 2)
l= 2
2
2
f ( x) :=
− x + 8 ⋅ x − 12 if 2 < x < 4
8 ⋅ x − 12 if 4 < x < 6
n := 50
k := 0 .. n
⌠6

 k ⋅ π ⋅ x  dx 
bk :=
⋅   f ( x) ⋅ sin 

l 
l

 
 ⌡2

6
1 ⌠
 k ⋅ π ⋅ x  dx
ak := ⋅  f ( x) ⋅ cos 

l 
l


⌡2
S ( x , n) :=
a0
2
n
е
+
k
=
1
1
 a ⋅ cos  k ⋅ π ⋅ x  + b ⋅ sin k ⋅ π ⋅ x  
 k




k
l
l





x := 2 , 2.01 .. 6
n := 1
50
n := 2
50
35
S(x , n)
f( x)
35
20
S(x , n)
f( x)
5
10
20
5
2
3
4
5
6
x
10
n := 5
2
Листинг 1.5 Лист 1
35
S(x , n)
20
5
10
2
4
x
50
f( x)
3
3
4
x
5
6
5
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n := 5
50
n := 10
50
35
S(x , n)
35
20
f( x)
S(x , n)
f( x)
5
10
20
5
2
3
4
5
6
x
10
n := 20
2
3
4
5
x
50
35
S(x , n)
20
f( x)
5
10
2
3
4
5
6
x
n := 20
x := − 3 , − 2.99 .. 11
40
30
S(x , n)
20
f( x)
10
0
2
0
2
4
6
x
S ( 3 , 20) = 3.412
S ( 4 , 20) = 12.08
S ( 5 , 20) = 27.586
Листинг 1.5 Лист 2
8
10
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 Преобразование Фурье
2.1 Интеграл Фурье
Как было показано выше, всякую функцию f (x) , удовлетворяющую на
отрезке − l ≤ x ≤ l условиям Дирихле (раздел 1.2 данного пособия), можно
разложить в ряд Фурье:
∞
a
n⋅π ⋅ x
n⋅π ⋅ x
f ( x) = 0 + ∑ ( a n ⋅ cos
+ bn ⋅ sin
),
(2.1)
2 n= 1
l
l
1 l
n⋅π ⋅ t
1 l
n⋅π ⋅ t
dt , bn = ⋅ ∫ f (t ) ⋅ sin
dt
где a n = ⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos
l −l
l
l −l
l
Это разложение справедливо на всей числовой оси, если f (x) периодическая функция с периодом 2 ⋅ l .
Рассмотрим предельный случай l → ∞ , т.е. случай непериодической
функции f (x) , заданной на всей оси x .
Будем предполагать, что на всяком конечном отрезке оси x , функция
f (x) удовлетворяет условиям Дирихле, кроме того, f (x) абсолютно
интегрируема, то есть существует конечный интеграл:
+∞
∫
f ( x) dx = c
(2.2)
−∞
Замечая, что:
n⋅π ⋅ x
n⋅π ⋅ x 1 l
n⋅π ⋅ t
n⋅π ⋅ x
a n ⋅ cos
+ bn ⋅ sin
= ⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos
dt ⋅ cos
+
l
l
l −l
l
l
+
n ⋅ π ⋅ (x − t)
1 l
n⋅π ⋅ t
n⋅π ⋅ x 1 l
⋅ ∫ f (t ) ⋅ sin
dt ⋅ sin
= ⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos
dt
l −l
l
l
l −l
l
Запишем разложение (2.1) в виде:
n ⋅ π ⋅ (x − t)
1 l
1 ∞ l
f ( x) =
⋅ ∫ f (t )dt + ⋅ ∑ ∫ f (t ) ⋅ cos
dt
(2.3)
2⋅ l −l
l n= 1− l
l
Первое слагаемое полученного разложения (2.3) стремится к нулю при
1 l
1 l
1 ∞
c
⋅
f
(
t
)
dt
≤
⋅
f
(
t
)
dt
≤
⋅ ∫ f (t ) dt =
l → ∞ , т.к.
∫
∫
2⋅ l −l
2⋅ l −l
2⋅ l −∞
2⋅ l
Для выяснения предела второго слагаемого при l → ∞ введем новую
переменную α , принимающую значения, образующие бесконечную
n⋅π
арифметическую прогрессию: α n =
, n = 1,2...
l
π
∆ α n = α n − α n− 1 =
n
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n ⋅ π ⋅ (x − t)
1 ∞ l
1 ∞
⋅ ∑ ∫ f (t ) ⋅ cos
dt = ⋅ ∑ ∆ α
l n= 1− l
l
π n= 1
n
⋅
l
∫
f (t ) ⋅ cos(α
−l
где F (α n ) =
l
∫
⋅ ( x − t ) )dt =
,
∞
1
= ⋅ ∑ F (α n ) ⋅ ∆ α
π n= 1
n
n
f (t ) ⋅ cos(α
−l
n
⋅ ( x − t ))dt .
Примем без доказательства, что при l → ∞
∞
∑
n= 1
где F (α ) =
+∞
∫
F (α n ) ⋅ ∆ α
n
→
∞
∫ F (α )dα
,
0
f (t ) ⋅ cos(α ⋅ ( x − t ))dt .
−∞
Таким образом, разложение (2.1) при l → ∞ преобразуется к виду:
+∞
1 +∞
f ( x) = ⋅ ∫ dα ⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos(α ⋅ ( x − t ))dt
(2.4)
π 0
−∞
Формула (2.4) называется формулой Фурье, а интеграл в правой части
формулы (2.4) называется интегралом Фурье.
Замечания:
1.
зная характер сходимости ряда Фурье при конечном l , отмечаем, что
если x - точка разрыва функции f (x) , то под f (x) в формуле Фурье
f ( x − 0) + f ( x + 0)
следует понимать
;
2
2.
внутренний интеграл в формуле Фурье является четной функцией от α ,
+∞
1 +∞
⋅ ∫ dα ⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos(α ⋅ ( x − t ))dt
поэтому f ( x) =
(2.4`)
2⋅ π −∞
−∞
3.
вышеперечисленные условия не являются единственными достаточными
условиями представления функции интегралом Фурье, другое
достаточное условие:
- f (x) абсолютно интегрируема на каждом конечном отрезке оси x ;
- существует положительное число H такое, что при x ≥ H функция f (x)
монотонна и lim f ( x) = 0 .
x→ ∞
2.2 Интеграл Фурье четной и нечетной функций
Преобразуем
интеграла:
интеграл Фурье, развернув выражение cos под знаком
+∞
1 +∞
⋅ ∫ dα ⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos(α ⋅ ( x − t ))dt =
π 0
−∞
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+∞
1 +∞
= ⋅ ∫ dα ⋅ ∫ f (t ) ⋅ (cos(α ⋅ x) ⋅ cos(α ⋅ t ) + sin(α ⋅ x) ⋅ sin(α ⋅ t ))dt
π 0
−∞
Формула Фурье (2.4) принимает вид:
f ( x) =
+∞
∫ ( A(α ) ⋅ cos(α
⋅ x) + B (α ) ⋅ sin(α ⋅ x))dα ,
(2.5)
0
где A(α ) =
+∞
1
1 +∞
⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos(α ⋅ t )dt , B(α ) = ⋅ ∫ f (t ) ⋅ sin(α ⋅ t )dt
π −∞
π −∞
Если f (x) - четная функция, то
2 +∞
A(α ) = ⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos(α ⋅ t )dt , а B (α ) = 0
π 0
Если f (x) - нечетная функция, то
(2.6)
2 +∞
A(α ) = 0 , B(α ) = ⋅ ∫ f (t ) ⋅ sin(α ⋅ t )dt
(2.7)
π 0
Замечание:
в случае, когда функция f (x) определена лишь на полуоси ( 0;+ ∞ ) , то,
продолжая f (x) на полуось ( − ∞ ;0) четным или нечетным способом, получаем
представление f (x) двумя различными интегралами Фурье.
Ряд Фурье осуществляет разложение периодического колебания на
гармоники.
Общий член ряда Фурье представляется в виде:
n⋅π ⋅ x
n⋅π ⋅ x
n⋅π
a n ⋅ cos
+ bn ⋅ sin
= c n ⋅ sin(
⋅ x + (ϕ 0 ) n ) ,
l
l
l
a n = c n ⋅ sin(ϕ o ) n , а bn = c n ⋅ cos(ϕ o ) n , и, следовательно,
где
cn =
a n2 + bn2 ,
n⋅π
, амплитудой c n и с начальной
l
фазой (ϕ 0 ) n . Таким образом, ряд Фурье разлагает периодическое колебание на
бесконечное множество гармоник, частоты которых образуют арифметическую
π 2⋅π
n⋅π
,...,
,...
прогрессию: ,
l
l
l
Условно рассматривая интеграл Фурье (2.5) как бесконечную сумму и
представляя коэффициенты A(α ) и B(α ) , как выше были представлены
коэффициенты a n и bn тригонометрического ряда, придадим формуле Фурье
механический
смысл:
формула
Фурье
осуществляет
разложение
непериодического колебания
на непрерывное бесконечное множество
гармоник, частоты которых непрерывно изменяются от α = 0 до α = ∞ .
и определяет гармонику с частотой
Пример 2.1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Представить интегралом Фурье функцию
 1 , при x < 1

f (x) =  0 , при x > 1
 1 / 2 , при x = 1

Решение:
График функции представлен на рисунке 2.1.
y
1
x
1/2
-1
0
1
Рисунок 2.1 – График функции
Функция f (x) четная, применим формулу (2.6):
2 +∞
2 1
2 sin α
A(α ) = ⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos(α ⋅ t )dt = ⋅ ∫ 1 ⋅ cos(α ⋅ t )dt = ⋅
.
π 0
π 0
π
α
f ( x) =
+∞
∫
0
A(α ) ⋅ cos(α ⋅ x)dα =
2 + ∞ sin α
⋅ ∫
⋅ cos(α ⋅ x)dα
π 0 α
Замечание:
полученное
разложение можно использовать для
несобственного («неберущегося») интеграла.
+∞
2 + ∞ sin α
sin x
π
f (0) = ⋅ ∫
dα , но f (0) = 1 . Отсюда ∫
dx = .
π 0 α
x
2
0
вычисления
2.3 Косинус- и синус-преобразования Фурье
2
⋅ a(α ) и B(α ) =
π
Получим формулу Фурье в симметричной форме записи:
2 +∞
⋅ ∫ a(α ) ⋅ cos(α ⋅ x)dα ,
- в случае четной функции f ( x) =
π 0
Положим в формулах (2.6), (2.7)
где a(α ) =
A(α ) =
2 +∞
⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos(α ⋅ t )dt - косинус-преобразование Фурье.
π 0
2
⋅ b(α ) .
π
(2.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- в случае нечетной функции f ( x) =
2 +∞
⋅ ∫ b(α ) ⋅ sin(α ⋅ x)dα ,
π 0
(2.9)
2 +∞
⋅ ∫ f (t ) ⋅ sin(α ⋅ t )dt - синус-преобразование Фурье.
где b(α ) =
π 0
Принята следующая терминология f (x) - оригинал, a(α ) , b(α ) изображение.
Пример 2.2.
Найти косинус- и синус-преобразования функции f ( x) = e − x , x ≥ 0 .
Решение.
График функции представлен на рисунке 2.2.
Найдем косинус-преобразование:
2 +∞ −t
2
1
a(α ) =
⋅ ∫ e ⋅ cos(α ⋅ t )dt =
⋅ 2
.
π 0
π α +1
Найдем синус-преобразование:
2 +∞ −t
2
α
b(α ) =
⋅ ∫ e ⋅ sin(α ⋅ t )dt =
⋅ 2
.
π 0
π α +1
y
f(x)
1
x
Рисунок 2.2 – График функции
Таким образом, получили следующие представления функции e − x интегралом
Фурье, графики представлений – на рисунке 2.3.
e
−x
=
2 +∞
2 + ∞ cos(α ⋅ x)
⋅ ∫ a (α ) ⋅ cos(α ⋅ x)dα = ⋅ ∫
dα
π 0
π 0 α 2+1
y
1
x
e
−x
=
2 +∞
2 + ∞ α ⋅ sin(α ⋅ x)
⋅ ∫ b(α ) ⋅ sin(α ⋅ x)dα = ⋅ ∫
dα
π 0
π 0
α 2+1
y
1
x
-1
Рисунок 2.3 – Графики
представлений функции
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Замечания:
1) представление данной функции интегралом Фурье неединственно, так
как она задана при x ≥ 0 . Косинус-преобразование мы получили, продолжив
данную функцию четным образом, а синус-преобразование – нечетным
2 + ∞ cos(α ⋅ x)
2 + ∞ α ⋅ sin(α ⋅ x)
⋅ ∫
dα и
⋅ ∫
dα
образом. При x > 0 оба интеграла
π 0 α 2+1
π 0
α 2+1
При
x< 0
2 + ∞ cos(α ⋅ x)
⋅ ∫
dα = e x ,
2
π 0 α +1
2 + ∞ α ⋅ sin(α ⋅ x)
⋅ ∫
dα = − e x .
2
π 0
α +1
При
x= 0
несобственный
2 + ∞ cos(α ⋅ x)
⋅ ∫
dα
π 0 α 2+1
к
равны
функции
e
− x.
сходится
f (0) = 1 ,
а
несобственный
а
интеграл
интеграл
2 + ∞ α ⋅ sin(α ⋅ x)
⋅ ∫
dα сходится к 0.
π 0
α 2+1
2) полученные представления используются в математике под названием
интегралов Лапласа:
+∞
+∞
cos(α ⋅ x)
α ⋅ sin(α ⋅ x)
π
π
−x
−x
∫ α 2 + 1 dα = 2 ⋅ e , ∫ α 2 + 1 dα = 2 ⋅ e , при x > 0 .
0
0
2.4 Комплексная форма записи интеграла Фурье
+∞
1 +∞
⋅ ∫ dα ⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos(α ⋅ ( x − t ))dt .
Согласно равенству (2.4`) f ( x) =
2⋅ π −∞
−∞
1
⋅
Кроме того, справедливо равенство 0 =
2⋅ π
+∞
∫
−∞
dα
+∞
∫
f (t ) ⋅ sin(α ⋅ ( x − t ))dt , так
−∞
как, внутренний интеграл есть нечетная функция от α . Сложим эти два
равенства, умножив предварительно второе на i , получаем:
1
f ( x) =
2⋅ π
1
=
2⋅ π
+∞
∫
−∞
+∞
+∞
−∞
+∞
−∞
dα
∫ dα ∫
∫
f (t ) ⋅ (cos(α ⋅ ( x − t )) + i ⋅ sin(α ⋅ ( x − t )))dt =
f (t ) ⋅ ei ⋅ α ⋅ ( x − t ) dt
−∞
Получаем интеграл Фурье в комплексной форме:
1
f ( x) =
2⋅ π
+∞
α ⋅ x⋅ i
∫e
−∞
dα
+∞
∫e
−∞
− α ⋅ t⋅i
⋅ f (t )dt
(2.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Положим c(α ) =
+∞
1
f (t ) ⋅ e − α ⋅ t ⋅ i dt ,
∫
2⋅ π − ∞
(2.11)
+∞
1
c(α ) ⋅ eα ⋅ x ⋅ i dα
тогда f ( x) =
(2.12)
∫
2⋅ π − ∞
Комплексная функция c(α ) действительной переменной называется
преобразованием Фурье функции f (x) . Формулы (2.11) и (2.12) осуществляют
прямое и обратное преобразование Фурье.
По аналогии с рядом Фурье (1.16) и спектральной последовательностью
(1.17), осуществляющей дискретный спектр функции f (x) , комплексная
функция c(α ) называется
спектральной функцией для функции f (x) ,
осуществляющей непрерывный спектр ( α непрерывно изменяется от − ∞ до
+ ∞ ). Модуль c(α ) спектральной функции называется амплитудным спектром
функции f (x) , а аргумент сопряженной функции arg c(α ) - фазовым спектром.
2.5 Указания к решению задач по теме «Преобразование Фурье» в
системе MathCAD
При представлении функции через интеграл Фурье приходится
вычислять несобственные интегралы. Для вычисления несобственных
интегралов в системе MathCAD используется панель «Операторы
математического анализа». Щелкните по кнопке «Определенный интеграл»
(или используйте сочетание клавиш Shift+7), введите в отмеченных позициях
пределы интегрирования, один из которых бесконечен (символ бесконечности в
той же панели или клавиши Ctrl+Shift+Z), подынтегральную функцию и
переменную интегрирования, выделите интеграл и щелкните по кнопке
«Символическая оценка» (Ctrl+Shift+.) в панели «Символические операторы».
При помощи символьного процессора MathCad можно осуществить
прямое и обратное преобразование Фурье, для этого используются операторы
fourier и infourier панели «Символические операторы». При решении задачи
выделите функцию, щелкните по кнопке «fourier» (или «infourier») и укажите
переменную, по которой совершается преобразование.
Аналогично большинству операций символьного процессора MathCAD
интегральные преобразования Фурье можно проводить и при помощи команд
меню «Символы/Преобразования», для чего выделите переменную, по которой
совершается
преобразование,
и
выберите
в
меню
строку
«Символы/Преобразования/Фурье».
Следует иметь в виду, что результаты, получаемые в MathCad, могут
содержать обобщенные функции. Например, дельта-функция Дирака (Dirac(x)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
или ∆ (x) ), которая равна нулю при всех значениях x , отличных от нуля, и
 ∆ ( x) = 0, x ≠ 0
 +∞
принимает значение бесконечность при нулевом значении x :  ∆ ( x)dx = 1 .
 ∫
 −∞
Пример использования этих символьных операторов приводится в
листинге № 2.3.
2.6 Примеры решения задач
Задача №1.
Представить интегралом Фурье функцию f ( x) = e − x , x > 0 , продолжив
предварительно ее нечетным способом.
Решение.
Функция – нечетная, поэтому используем формулу (2.7):
2
B (α ) = ⋅
π
используем
+∞
∫e
−t
⋅ sin(α ⋅ t ) dt . Для вычисления несобственного интеграла
0
MathCAD
2
Следовательно f ( x) = ⋅
π
(листинг
+∞
∫
№
α ⋅ sin(α ⋅ x)
1+ α 2
0
2.1).
2
α
⋅
.
π 1+ α 2
dα .
∞
⌠
− t
⋅  e ⋅ s in ( α ⋅ t ) d t →
π ⌡0
2
B(α ) =
Получим
2
 π ⋅ ( 1 + α 2)
⋅ α
Листинг 2.1
Задача №2.
Представить интегралом Фурье функцию f ( x) =
Решение.
Функция
2
B (α ) = ⋅
π
+∞
∫
t
–
нечетная,
по
x
1 + x2
формуле
.
(2.7)
получаем
⋅ sin(α ⋅ t )dt . Пользуясь результатом задачи №1, данный
2
1
+
t
0
интеграл равен e − α , α > 0 . Если B(α ) вычислять при помощи MathCAD, то
внешний вид функции B (α ) будет отличаться от e − α . Это связано с тем, что по
умолчанию операции MathCAD совершаются с комплексными числами
(листинг 2.2).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∞
2 ⌠
t
2
⋅
⋅ sin ( α ⋅ t ) d t →
⋅
2
π  1+ t
π
⌡0
1000
2 ⌠
f ( α ) :=
⋅
π 
⌡0
t
1+ t
2
⋅ sin ( α ⋅ t ) d t
α := 0 , 0 + 0.1 .. 10
f1( x) := e
 1 ⋅ signum( α ) ⋅ π ⋅ cosh ( α ) − 1 ⋅ i ⋅ Ci( − i ⋅ α ) ⋅ sinh ( α ) + 1 ⋅ i ⋅ Ci( i ⋅ α ) ⋅ sinh ( α ) 
2

2
2


x := 0 , 0 + 0.1 .. 10
−x
1
0.8
f(α )
0.6
f1( x)
0.4
0.2
0
0.2
0
2
4
6
8
10
α ,x
Листинг 2.2
Задача №3.
Найти преобразование Фурье функции f ( x) = sin( x) .
Решение.
+∞
1
⋅ ∫ sin( x) ⋅ e − α ⋅ t ⋅ i dt . При решении задачи
По формуле (2.11) C (α ) =
2⋅ π − ∞
в MathCAD используем оператор fourier (см. листинг 2.3). Получаем
C (α ) = − i ⋅ π ⋅ ∆ (ω − 1) + i ⋅ π ⋅ ∆ (ω + 1) , где ∆ (x) - дельта-функция Дирака.
Совершим
обратное
преобразование
Фурье:
f ( x) =
+∞
1
c(α ) ⋅ eα ⋅ x ⋅ i dα . При решении задачи в MathCAD используем
∫
2⋅ π − ∞
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
⋅ i ⋅ (− ei ⋅ t + e − i ⋅ t ) . Используя команду
2
меню «Символы/Упростить», получаем f (t ) = sin(t ) .
оператор infourier. Получаем: f (t ) =
f ( x) := sin ( x)
f ( x) fourier , x → − i ⋅ π ⋅ ∆ ( ω − 1) + i ⋅ π ⋅ ∆ ( ω + 1)
x := − 10 , − 10 + 0.01 .. 10
1
0.5
f ( x)
0
0.5
1
6
4
2
0
2
4
6
x
− i ⋅ π ⋅ ∆ ( ω − 1) + i ⋅ π ⋅ ∆ ( ω + 1) invfourier , ω →
1
2
⋅ i ⋅ ( − exp ( i ⋅ t ) + exp ( − i ⋅ t ) )
− i ⋅ π ⋅ ∆ ( ω − 1) + i ⋅ π ⋅ ∆ ( ω + 1)
1
2
⋅ i ⋅ ( − exp ( i ⋅ t ) + exp ( − i ⋅ t ) )
sin ( t )
1
0.5
1
2
⋅ i⋅ ( − exp( i⋅ t) + exp( − i⋅ t) )
0
0.5
1
6
4
2
0
2
t
Листинг 2.3
3. Задачи для самостоятельного решения
4
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Указанные ниже функции разложить в ряд Фурье в интервале ( − π ;π )
, определить сумму ряда на концах интервала, графически исследовать
сходимость частичных сумм полученного ряда:
1.1 f ( x) = x 2 + 2 x
1.6 f ( x) = cos 2 x + x
1.2 f ( x) =
x+ x
1.7 f ( x) = sin 2 x − x
1.3 f ( x) = 3 x − x
1.4 f ( x) = e 2 x
1.8 f ( x) = x 2 + cos x
1.9 f ( x) = Ln( x + 5)
1.5 f ( x) = x + e x
1.10 f ( x) = e − x + x
2. Разложить в интервале ( 0;1) в неполные ряды Фурье: а) по синусам
кратных дуг; б) по косинусам кратных дуг следующие функции. Построить
график самой функции и частичных сумм рядов Фурье при n = 1, 2, 5, 10, 20
(также и вне интервала (0;1) .
2.1 f ( x) = x 2 + 2 x
2.6 f ( x) = cos 2 x + x
2.2 f ( x) =
x+ x
2.7 f ( x) = sin 2 x − x
2.3 f ( x) = 3 x − x
2.4 f ( x) = e 2 x
2.8 f ( x) = x 2 + cos x
2.9 f ( x) = Ln( x + 5)
2.5 f ( x) = x + e x
2.10 f ( x) = e − x + x
3. Указанные ниже функции разложить в
ряд Фурье на области
определения, определить сумму ряда в точках разрыва и на концах интервала,
графически исследовать сходимость частичных сумм полученного ряда:
 − 2 при − 3 < x < − 1
3.1 f ( x) = 
 2 + x при − 1 < x < 1
 − 2 x + 1 при − 1 < x < 1
3.2 f ( x) = 
2
при 1 < x < 2

 x + 1 при 1 < x < 2
3.3 f ( x) = 
 1 при 2 < x < 3
 − x при − 3 < x < − 1
3.4 f ( x) = 
 x + 1 при − 1 < x < 1
 2 x − 1 при − 2 < x < − 1
3.5 f ( x) = 
 1 + x при − 1 < x < 2
 1 − x при 1 < x < 2
3.6 f ( x) = 
 x + 1 при 2 < x < 3
 3 x + 2 при − 1 < x < 0
3.7 f ( x) = 
 5 − x при 0 < x < 2
 5 при 1 < x < 5
3.8 f ( x) = 
 x + 1 при 5 < x < 7
 − x при − 3 < x < − 2
3.9 f ( x) = 
 x при − 2 < x < 1
 2 − x при − 1 < x < 1
3.10 f ( x) = 
 2 + x при 1 < x < 3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Для заданной в интервале ( − π ;π ) функции найти тригонометрический
многочлен
наилучшего
приближения
наименьшей
степени
со
среднеквадратическим отклонением, меньшим 0.02. Построить график
зависимости среднеквадратического отклонения от степени многочлена.
4.1 f ( x) = sin( x) + x
4.2 f ( x) = sin( x) + 2 ⋅ x
4.3 f ( x) = sin( x) − x
4.4 f ( x) = sin( x) − 2 ⋅ x
4.5 f ( x) = 2 ⋅ sin( x) + x
4.6 f ( x) = x − 2 ⋅ sin( x)
1
4.7 f ( x) = ⋅ x + sin( x)
2
1
4.8 f ( x) = sin( ⋅ x)
2
1
4.9 f ( x) = sin( ⋅ x) + x
2
1
4.10 f ( x) = x − sin( ⋅ x)
2
5. Построить графики данных функций и представить их интегралами
Фурье:
 sin( x), x < π
 cos( x), x ≤ π
5.1 f ( x) = 
5.6 f ( x) = 
 0, x ≥ π
 0, x > π
 1 + x, − 1 < x ≤ 0

5.2 f ( x) =  1 − x,0 < x < 1

0, x ≥ 1

0, x ≤ 0


5.3 f ( x) =  cos x,0 < x < π

0, x ≥ π

 3 − x,− 1 < x < 0

5.4 f ( x) =  x − 3,0 ≤ x < 1

0, x ≥ 1

 1 − x, − 1 < x ≤ 0

5.5 f ( x) =  1 + x,0 < x < 1

0, x ≥ 1

0, x ≤ 0


5.7 f ( x) =  sin x,0 < x < π

0, x ≥ π

 2 − x, − 1 <

5.8 f ( x) =  x − 2,0 ≤

0, x ≥

 x − 2,− 1 <

5.9 f ( x) =  2 − x,0 ≤

0, x ≥

x< 0
x< 1
1
x< 0
x< 1
1
 x − 3,− 1 < x < 0

5.10 f ( x) =  3 − x,0 ≤ x < 1

0, x ≥ 1

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список использованных источников
1
2
3
4
5
6
7
8
Вся высшая математика: учебник/ М.Л.Краснов [и др.] Изд. 2-е, исп. –
М.: Едиториал УРСС, 2005. – 240 с. – ISBN 5-354-01050-0.
Босс В., Лекции по математике. Т.5. Функциональный анализ/ В.Босс. –
М.: КомКнига, 2005. – 216 с. – ISBN 5-484-00190-0.
Данко П.Е., Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. 2:
учебное пособие для втузов/ П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. –
М.: «Высшая школа», 1996. – 416 с. – ISBN 5-06-003071-7.
Запорожец Г.И., Руководство к решению задач по математическому
анализу/ Г.И.Запорожец.- М.: «Высшая школа», 1966. – 460 с. – ISBN 506-003071-7.
Ильин В.А. Математический анализ. Продолжение курса/ В.А.Ильин,
В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Под ред. А.Н.Тихонова. – М.: Изд-во
МГУ, 1987. – 358 с. – ISBN 5-7107-4294-5.
Кирьянов Д.В. Самоучитель MathCAD 13/ Д.В.Кирьянов – СПб.: БХВПетербург, 2006. – 528 с. – ISBN 5-94157-849-0.
Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т.2.
Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих
переменных. Гармонический анализ: учебник/ Л.Д.Кудрявцев.- М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 424 с. – ISBN 5-9221-0185-4.
Плис А.И. MathCAD: математический практикум для экономистов и
инженеров: учеб.пособие/ А.И.Плис, Н.А.Сливина – М.: Финансы и
статистика, 1999. – 656 с. – ISBN 5-279-02155-5.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа