close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

626.Математическая экономика. Ч

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
А.М. Барлуков
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА
Часть 1
Рекомендовано Учебно-методическим советом БГУ
в качестве учебно-методического пособия для студентов направлений
подготовки 080200.62(080500.62) Менеджмент, 080100.62 Экономика,
080400.62 Управление персоналом, 081100.62 Государственное
и муниципальное управление
Улан-Удэ
2014
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 330.42
ББК 65в631Я73
Б 253
Утверждено к печати
редакционно-издательским советом
Бурятского государственного университета
Рецензенты
Т.В. Бурзалова, канд. физ.-мат. наук, доц. БГУ
Д.Ц. Будаева, канд. экон. наук, доц. БГСХА
Барлуков А.М.
Б 253
Математическая экономика: учебно-методическое
пособие. – Ч. 1. – Улан-Удэ: Изд-во Бурятского госуниверситета, 2014. – 50 с.
Данное учебно-методическое пособие соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта
высшего профессионального образования по направлениям подготовки 080100.62 Экономика, 080200.62 (080500.62) Менеджмент,
080400.62 Управление персоналом, 081100.62 Государственное и
муниципальное управление.
В пособии изложены основы высшей математики по прикладным разделам: применение линейной алгебры в экономике, аналитической геометрии в экономике, математического анализа в экономике (предельный анализ и интегральное исчисление). В конце
даются контрольные работы для самостоятельной работы студентов. К каждой контрольной работе даны подробные указания.
УДК 330.42
ББК 65в631Я73
© Бурятский госуниверситет, 2014
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебно-методическое пособие по математической экономике, составленное в соответствии с
программой этого курса и предназначенное для студентов экономических направлений Бурятского государственного университета, будет также полезно для школьников и учителей средней школы, работающих в классах с углубленным изучением математики.
Необходимость этого пособия вызвана недостаточным количеством методических пособий и указаний,
изданных Министерством образования и науки РФ.
В начале каждого параграфа приводятся теоретические сведения с доказательством основных теорем и
формулировкой определений, затем даются подробно
разобранные типовые примеры, задачи для самостоятельного решения. Задачи снабжены указаниями к их
решению.
Цель – помочь студентам и школьникам освоить
теоретический материал, а также овладеть приемами и
методами решения задач по математической экономике.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1.1. Понятие матрицы
Прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей.
Для обозначения матриц используются прописные буквы латинского
алфавита: А, В, С, ....
Числа, образующие матрицу, называются ее элементами. В обозначениях элементы матрицы снабжаются двумя индексами i, j, первый индекс – номер строки, второй индекс – номер столбца, в которых находится элемент, т.е. aij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) – элементы матрицы. Таким образом, полное обозначение матрицы имеет вид:
 а11

а
А   21
 
а
 m1
а12
а 22

а m2




а1n 

а 2n 
.
 
а mn 
(1.1)
Для краткого обозначения матрицы будем использовать запись:
A  ( a ij ) mn
(1.2)
Числа m и n называются размерами матрицы, т.е. (1.1), (1.2) –
записи матрицы размеров m на n (m строк и n столбцов).
Если число строк матрицы совпадает с числом столбцов, т.е. m =
n, то матрица называется квадратной порядка n.
Матрица, в которой столбцы заменены строками, а строки
столбцами, называется транспонированной и обозначается A т .
Элементы квадратной матрицы с одинаковыми индексами называются главной диагональю, т.е. элементами главной диагонали будут: а11 , а 22 ,  , аnn .
Транспонированная матрица A т получается из матрицы А поворотом на 180° относительно главной диагонали. Например,
если
 а11 а12 а13 
 а11 а 21 а31 




т
А   а 21 а 22 а 23  , то А   а12 а 22 а32  .
а а а 
а а а 
 31 32 33 
 13 23 33 
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.2. Действия над матрицами
Рассмотрим две матрицы одинаковых размеров m  n:
A  ( aij ) mn , B  (bij ) mn . Обозначим через I множество, состоящее из первых m чисел натурального ряда, т.е.
I = {1, 2, ..., m}.
Матрицы А и В называются равными, если
i  I , j  J : aij  bij ,
т.e. в которых равны элементы, стоящие на одинаковых местах.
Обозначается: А = В.
Суммой матриц А и В называется матрица С  ( сij ) m  n , элементы которой определяются по формулам:
i  I , j  J : cij  aij  bij ,
т.e. элементы матрицы С равны сумме соответствующих элементов
матриц А и В.
Обозначается: С = А + В.
Произведением матрицы А на действительное число  называется матрица С  ( сij ) mn , элементы которой вычисляются по формуле:
i  I , j  J : cij    aij ,
т.е. каждый элемент матрицы А умножается на число  .
Обозначается: C    A .
Пусть теперь A  ( aij ) m p , B  (bij ) p n , т.е. число столбцов
матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.
Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица
размера m  n С  ( сij ) m  n , элементы которой вычисляются по
формуле:
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
p
i  I , j  J : cij   aik bkj ,
k 1
т.е. элемент матрицы С с номерами i и j равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие
элементы j-го столбца матрицы В (правило «строка на столбец»).
Обозначается: C  A  B .
Произведение матриц не коммутативно, т.е., вообще говоря,
A  B  B  A . Но если все-таки A  B  B  A , то матрицы А и В называются перестановочными.
Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной
диагонали, равны 1, а все остальные равны 0, называется единичной и обозначается: Е.
Единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей порядка n, т.к. нетрудно убедиться, что A  E  E  A .
Определим понятие обратной матрицы. Оно определяется только
для квадратных матриц. Далее А – квадратная матрица порядка n.
Матрица A1 называется обратной к матрице А, если
A 1  A  A  A 1  E .
Очевидно, если A1 – матрица, обратная к А, то матрица А является обратной к A1 (вытекает из определения, оно симметрично
относительно матриц А и A1 ), т.е. ( A 1 ) 1 = А. Поэтому матрицы
А и A1 называются взаимно обратными.
Матрица называется невырожденной, если det A  0 , и вырожденной в противном случае.
Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует.
Получим формулу для нахождения обратной матрицы.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Транспонированная матрица, составленная из алгебраических
дополнений к элементам матрицы А, называется присоединенной и
обозначается: Аv. Таким образом, по определению
 A11

A
v
A   21

A
 n1
A12
A22

An 2




т
A1n   A11
 
A2 n   A12

 
Ann   A1n
A21
A22

A2 n




An1 

An 2 
.

Ann 
Найдем произведения А  А v , Аv  А . Пусть С  А  А v  [cij ]n n ,
тогда
 а11

а
С   21

а
 n1
а12
а22

аn 2




а1n   A11
 
а 2 n   A12

 
аnn   A1n
A21
A22

A2 n




An1 

An 2 
.

Ann 
По определению произведения матриц, элементы матрицы С вычисляются по формуле:
n
cij   aik A jk .
k 1
Здесь если i = j, то по теореме о разложении определителя по
строке
сii  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2    ain Ain    det A ,
если i  j, то по теореме аннулирования
сij  ai1 A j1  ai 2 A j 2    ain A jn  0 .
Таким образом, матрица С имеет вид:
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 0 0  0 0
1 0 0  0 0




0  0  0 0
0 1 0  0 0
С  A  Av  
  
 E
     
     
0 0 0  0 
0 0 0  0 1




.
Аналогично можно показать, что Av  A =  Е, следовательно,
выполняются равенства: A  Av = Av  A =  Е. Если А – невырожденная матрица, т.е.   det A  0 , то эти равенства можно переписать в виде:
1
 1

A    Av     Av   A  E .

 

Откуда, по определению обратной матрицы, получаем:
A1 
1 v
A .

1.3. Определители
Рассмотрим квадратную матрицу А  ( aij ) nn порядка n.
Определителем, или детерминантом, n-го порядка матрицы А
называется число
n(  )
  1

 a1 j1  a 2 j2    a njn ,
где сумма вычисляется по всем перестановкам вторых индексов.
Обозначения определителя:  , det A, или в полной записи:
 а1n
а11
а12
а21
а 22  а2 n


аn1
аn 2  аnn


.
Таким образом, по определению
  det A     1n (  ) a1 j a2 j  anj .

1
2
8
n
(1.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В правой части формулы (1.3) n! слагаемых, причем n!/2 слагаемых со знаком «+» и n!/2 со знаком «–», так как если
 – четная перестановка, то  1n (  )  1 , а если  – нечетная, то
 1n (  )  1 . При этом каждое из слагаемых является произведением n чисел, которые расположены в разных строках и разных
столбцах матрицы.
Используя определение определителя порядка n, получим формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядка.
При n = 2 перестановок вторых индексов будет 2! = 2, одна четная – (12) и одна нечетная (21), следовательно:
  det A 
a11
a12
a 21
a 22
 a11a 22  a12 a 21 .
(1.4)
При n = 3 перестановок вторых индексов – 3! = 6. Четные: (123)
(0 инверсий), (231) (2 инверсии), (312) (2 инверсии). Нечетные:
(321) (3 инверсии), (132) (1 инверсия). (213) (1 инверсия). Следовательно:
а11
а12
det А  а21 а22
а31 а32
а13
а23  a11a22 a33  a12a23a31  a13a21a32  (1.5)
а33
 a13a22a31  a11a23a32  a12a21a33 .
Для запоминания знаков слагаемых и сомножителей в каждом
слагаемом полезно запомнить следующее мнемоническое правило.
Правило Крамера (треугольников)
Слагаемые со знаком «+»:
Слагаемые со знаком «–»:
Вычисление определителей более высокого порядка непосредственно по определению затруднительно, так как уже при вычислении
определителя 4-го порядка слагаемых в формуле (1.3) будет 4! = 24.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поэтому определители порядка выше 3-го вычисляются с использованием свойств определителей.
Минором M ij элемента aij матрицы А называется определитель
матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и jгo столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент).
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А называется число, равное ( 1)i  j M ij .
Таким образом, по определению:
Aij  ( 1)i  j M ij .
Теорема о разложении определителя по строке
Определитель равен сумме попарных произведений элементов
какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т.е.
n
i  J :   det A  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2    ain Ain   aij Aij . (1.6)
j 1
Свойства определителей
1. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы A т , т. е.
det A = det A т .
2. Если хотя бы одна строка матрицы А состоит из нулей, то определитель этой матрицы равен нулю.
3. При перестановке (транспозиции) любых двух строк в матрице
у определителя этой матрицы изменится знак.
4. Определитель матрицы, содержащей две одинаковые строки,
равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки матрицы умножить на
действительное число   0 , то определитель этой матрицы умножится на  .
6. Пусть матрицы А, В, С отличаются друг от друга только k-й
строкой, причем элементы k-й строки матрицы С равны сумме соответствующих элементов k-х строк матриц А и В, т.е.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
i  J , j  J (i  k ) : aij  bij  cij
и j  J : c kj  akj  bkj ,
тогда det C  det A  det B.
7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какойлибо строки прибавить соответствующие элементы другой строки,
умноженные на число  .
8. (Теорема аннулирования). Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения соответствующих
элементов другой строки равна нулю, т.е.
n
k  J , p  J ( k  p ) :
 a kj A pj  0 .
(1.7)
j 1
1.4. Матричное решение систем линейных уравнений
Рассмотрим систему n линейных уравнений c n неизвестными:
 a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1 ;
a x  a x    a x  b ;
22 2
2n n
2
 21 1






 a n1 x1  a n 2 x 2    a nn x n  b n .
Пусть матрица системы A  ( aij ) n  n является невырожденной.
Обозначим через Х матрицу-столбец, составленную из неизвестных
х1, х2, ..., хn, и через В матрицу-столбец из свободных коэффициентов b1 , b2 ,..., bn , т.е.
 x1 
 b1 
 
 
x2 
b

X
, B  2 .
 
 
x 
b 
 n
 n
Тогда систему можно записать в матричном виде:
A X  B .
Для того чтобы найти решение системы, умножим левую и правую части последнего равенства на матрицу А–1 слева (произведение матриц не коммутативно), получим:
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A1  ( A  X )  A1  B  ( A1  A)  X  A1  B  E  X  A1  B .
Отсюда матричное решение системы будет:
X  A1  B .
(1.8)
1.5. Применение линейной алгебры в экономике
Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – линейная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в
достаточно простой, а главное – компактной матричной форме.
С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, дано распределение ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.):
Отрасли экономики
Электроэнергия
Труд
Природные ресурсы
ЖКХ
4,3
1,8
2,8
Строительство
3,1
3,2
1,0
Данное распределение ресурсов можно записать в компактной
форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:
 4,3 3,1 


1
,
8
3
,
2


А=
 2,8 1,0 


В данной записи, например, матричный элемент а11 = 4,3 показывает, сколько электроэнергии потребляет ЖКХ, а элемент а22 =
3,2 – сколько трудовых ресурсов потребляет строительство.
Таким образом, понятие матрицы часто используется в практической деятельности. Например, данные о выпуске продукции нескольких видов в каждом квартале года или нормы затрат нескольких видов ресурсов на производство продукции нескольких типов и
т.д. удобно записать в виде матриц.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.5.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
В настоящее время большое число работ посвящается модели
Леонтьева многоотраслевой экономики. Эта модель хорошо отражает многие существенные особенности современного производства и в то же время сравнительно легко поддается расчету. Во многих странах мира балансовый метод используется для экономического анализа, планирования и прогнозирования.
Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании
такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y, что эквивалентно решению балансового уравнения (в матричной записи): X = AX+Y.
Перепишем матричное уравнение в виде:
(E-A)X = Y.
Если матрица (E-A) невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю, тогда:
X = (E-A)-1Y.
Матрицу S = (E-A)-1 называют матрицей коэффициентов косвенного потребления или матрицей полных затрат.
Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S =
(sij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта.
Следовательно, каждый элемент sij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.
В соответствии с экономическим смыслом задачи значения xi
должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях yi и
aij.
Матрица А называется продуктивной, если для любого вектора
Y существует решение X уравнения (E-A) X = Y. В этом случае и
модель Леонтьева называется продуктивной.
Существует несколько критериев продуктивности матрицы А.
Один из них свидетельствует о том, что матрица А продуктивна,
если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго
меньше единицы.
Справедливо соотношение (E-A)-1=E+A+A2+….
Откуда X=Y+AY+A2Y+…
Данное соотношение показывает, что весь валовой выпуск слагается из затрат: 0-го порядка Y, 1-го порядка AY, 2-го порядка A2Y и
т.д.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Можно отметить, что при решении относительно простого балансового уравнения возникает ряд подзадач:
• нахождение произведения матриц;
• вычисление обратной матрицы;
• учет ошибок округления при вычислениях.
Кроме того, собственные векторы и собственные значения матрицы A характеризуют степень сбалансированности торговых отношений.
Таким образом, расчет балансовой модели Леонтьева позволяет
не только познакомить студентов с современными экономическими
методами, но и рассмотреть некоторые алгоритмы матричной алгебры. Кроме того, студенты знакомятся с экономическим смыслом
матрицы A и ее степеней. Описанный выше алгоритм позволяет
рассматривать матрицы достаточно большого размера.
1.5.2. Модель международной торговли
В качестве примера математической модели экономического
процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).
Пусть имеется n стран S1, S2, ..., Sn, национальный доход каждой
равен соответственно x1, x2, ..., xn. Обозначим коэффициентами aij
долю национального дохода, которую страна Sj тратит на покупку
товаров у страны Si. Будем считать, что весь национальный доход
тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из
других стран, т.е.
a1j + a2j + ... + anj = 1 (j = 1,2,...,n).
Рассмотрим матрицу, которая получила название «структурная
матрица торговли»:
 a11 a12

a 22
a
A   21
...
...

a
 n1 an 2
... a1n 

... a2 n 
... ... 

... ann 
В соответствии с предыдущим равенством сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.
Для любой страны Si (i = 1,2,...,n) выручка от внутренней и
внешней торговли составит:
pi = ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность
торговли каждой страны Si, т.е. выручка от торговли каждой страны
должна быть не меньше ее национального дохода:
pi ≥ xi (i = 1,2,...,n).
Вводя вектор x = (x1, x2, ..., xn) национальных доходов стран, получим матричное уравнение:
AX = X,
где X – матрица-столбец из координат вектора x, т.е. задача свелась
к отысканию собственного вектора матрицы A, отвечающего собственному значению, равному единице.
Таким образом, для нахождения соотношения национальных доходов стран для сбалансированной торговли, при заданной структурной матрице торговли этих стран А, нужно найти собственный
вектор X, отвечающий собственному значению   1 , решив уравнение  A  E   X  0 методом Гаусса.
1.5.3. Примеры и указания к контрольной работе 1
1. В легкой промышленности 3 фабрики выпускают 3 вида продукции женской одежды. Матрица А задает объемы продукции на
каждой фабрике в первом полугодии, матрица В – соответственно
во втором; (аij, bij) – объемы продукции j-го вида на i-й фабрике
в 1-м и 2-м полугодии соответственно:
 10 30 50 


A   40 80 20 ;
 70 60 30 


 20 50 40 


B   60 70 20 .
 50 20 80 


Найти:
а) объемы продукции за год;
б) прирост объемов продукции во 2-м полугодии по сравнению с
первым по видам продукции и фабрикам.
Решение:
а) объемы продукции за год определяются суммой матриц А и В,
 30 80 90 


т.е. C  A  B  100 150 40 ,
120 80 110 


где элементы матрицы cij представляют объемы продукции j -го
вида, произведенной за год i -й фабрикой.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
б) прирост во втором полугодии по сравнению с первым определяется разностью матриц:
20  10 
 10


D  B  A   20  10
0 .
  20  40 50 


Отрицательные элементы d ij показывают, что на i -й фабрике
объем производства j -того вида продукции уменьшился, положительные – увеличился; нулевые – не изменился.
2. Предприятие легкой промышленности производит 3 типа продукции, используя 4 вида ресурсов. Нормы затрат ресурсов на производство единицы продукции каждого типа задана матрицей затрат А. Пусть матрица В задает количество продукции каждого типа, выпущенной предприятием за 1-е полугодие, матрица C – стоимость каждого вида ресурсов в расчете на единицу.
Определить полную стоимость всех затраченных за полугодие
ресурсов, если:
 2 5 3


100 


 0 1 8
A
, B   80 , C  10 20 10 10 .

1 3 1
110 




 2 2 3


Решение:
Определим матрицу полных затрат ресурсов S как произведение
матриц A и B.
 930 


 960 
S  A B  
450 


 690 


Стоимость всех затраченных ресурсов D определяется как произведение матриц C и S.
D  C  S  3990 (ден. ед.)
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
2.1. Прямая на плоскости
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат: 0
– начало координат, i , j – единичные направляющие векторы осей
координат. Рассмотрим на плоскости 0ху произвольную прямую l.
Уравнением прямой l называется уравнение, содержащее переменные х, у, которому удовлетворяют координаты любой точки,
лежащей на l, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не
лежащей на l. Прямая однозначно определяется:
1) точкой и вектором, перпендикулярным l (нормальным вектором);
2) точкой и вектором, параллельным l (направляющим вектором);
3) ее двумя точками;
4) угловым коэффициентом и начальной ординатой.
В каждом из этих случаев получим соответствующий вид уравнения прямой.
Пусть прямая l (рис. 2.1)
y
определена точкой M1(x1, y1),
лежащей на l, и нормальным
n
вектором n (т.е. nl );
l
М
n  Ai  Bj (или, что то же
самое, n ={A, B}).
Пусть М(х, у) – любая
точка прямой. Тогда вектор
М1
j
M 1 M  { x  x1 , y  y1 }
i
х
0
Рис. 2.1
перпендикулярен
вектору
n , поэтому скалярное произведение этих векторов
равно нулю ( M 1 M  n = 0).
Выражая это произведение через координаты сомножителей, получим:
A( x  x1 )  B( y  y1 )  0 ,
(2.1)
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
т.е. уравнение прямой, проходящей через данную точку y
l
М(х1, у1), перпендикулярно
данному вектору n = {A, B}.
М
Преобразуем
уравнение
(2.1). Раскрыв скобки и переs
ставив слагаемые, получим:
М1
Ax  By  ( Ax1  By1 )  0 .
Обозначим число (–Ах1 –
By1) через С и получим:
0
х
Ax  By  C  0
(2.2)
Рис. 2.2
– общее уравнение прямой.
Итак, уравнение прямой
(2.1) является уравнением первой степени относительно переменных х, у (координат произвольной точки М, которые называются
текущими координатами).
Покажем, что любое уравнение первой степени (2.2) есть уравнение некоторой прямой на плоскости 0ху. Для этого приведем
уравнение (2.2) к виду (2.1).
Если A  0 , то уравнение (2.2) равносильно уравнению:
A( x  (C / A))  B( y  0)  0 .
Если В  0 , то уравнение (2.2) равносильно уравнению:
A( x  0)  B ( y  (C / B ))  0 .
В любом случае получаем уравнение прямой, проходящей через
некоторую точку, перпендикулярно известному вектору n ={A, B}.
Итак, уравнение (2.2) является уравнением некоторой прямой. Его
коэффициенты А, В являются координатами нормального вектора.
Если в уравнении (2.2) С = 0, то прямая l проходит через начало
координат. Если А = 0 ( В  0 , С  0 ), т.е. уравнение имеет вид у =
у1, ( y1  C / B ), то прямая l параллельна оси 0х. Если В = 0 ( А  0 ,
С  0 ), т.е. уравнение имеет вид x  x1 , ( x1  C / B ), то прямая l
параллельна оси 0у. Уравнение у = 0 (А = С = 0) является уравнением оси 0х, а уравнение x  0 (В = С = 0) – уравнением оси 0y. Пусть
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
прямая l (рис. 2.2) задана своей точкой M1(x1, y1) и направляющим
вектором s  {m, n} ( s || l ) . Тогда векторы s и M1M  {x  x1 , y  y1}
коллинеарны, следовательно, их соответствующие координаты
пропорциональны, т.е.
х  х1 y  y1

.
m
n
(2.3)
Полученное уравнение является уравнением искомой прямой l и
называется каноническим.
Может оказаться, что вектор s перпендикулярен одной из
осей, тогда либо m = 0 ( s0 x ) , либо n = 0 ( s 0 y ) . В этих случаях
каноническое уравнение прямой все равно будем записывать соответственно в виде:
х  х1 y  y1
х  х1 y  y1

, либо

.
0
n
m
0
Пусть прямая l проходит через две заданных точки M1(x1, y1) и
M2(x2,y2) (рис. 2.3). Тогда векторы M 1M  {x  x1 , y  y1} и
M 1M 2  {x2  x1 , y2  y1} коллинеарны, поэтому уравнение
х  х1
y  y1

х2  х1 у 2  у1
(2.4)
является уравнением прямой, проходящей через точки М1(х1, у1) и
М2(х2, у2).
Пусть прямая l пересекает оси координат в точках М1(0, b),
М2(a, 0) (рис. 2.4). Запишем уравнение прямой l в виде (2.4)
х0 y b

, отсюда получаем:
а 0 0b
x y
 1.
a b
(2.5)
Уравнение (2.5) называется уравнением прямой в отрезках (а и b
– отрезки, отсекаемые прямой l на осях координат).
Пусть прямая l образует с осью 0х угол  (рис. 2.5) и проходит
через точку М1(х1, у1). Запишем каноническое уравнение прямой l,
взяв в качестве направляющего вектора вектор s = {m, n} единичной длины, который составляет с осью 0х угол  . Очевидно, что
т = cos  , n = sin  и уравнение прямой l принимает вид:
x  x1 y  y1

.
cos 
sin 
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если    / 2 (т.е. l неперпендикулярна оси 0х), то из последнего уравнения получаем:
y  y1  tg  ( x  x1 ) .
Пусть k = tg  (это число называется угловым коэффициентом
прямой), тогда можно записать
y  y1  k  ( x  x1 )
(2.6)
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом k,
проходящей через данную точку М1(х1, у1).
y
y
y
М2
М1
М1
s
M1
М
s

М2
l
0
0
х
l
Рис. 2.3
0
х
l
Рис. 2.4

0
x
Рис. 2.5
Если в качестве точки М1 взять точку М0(0, b), пересечение
прямой l с осью 0у, то уравнение (2.6) примет вид:
y  kx  b .
(2.7)
Полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.2. Применение аналитической геометрии в экономике
2.2.1. Линейная модель издержек. Точка безубыточности
При производстве х единиц любой продукции совокупные издержки (затраты) С(х) состоят из двух слагаемых – постоянных
(фиксированных) и переменных:
С(х) = F + V.
Постоянные издержки F – это издержки, не зависящие от числа
единиц произведенной продукции. Они включают в себя амортизацию, аренду помещения, проценты по займам и т.п.
Переменные издержки V – это издержки, напрямую зависящие
от количества произведенной продукции. Они включают в себя
стоимость сырья, рабочей силы и т.п.
В простейшем случае переменные издержки прямо пропорциональны х – количеству произведенной продукции. Коэффициент
пропорциональности а – это переменные затраты по производству
одной единицы продукции.
Если обозначить через b фиксированные затраты, то получится
уравнение, которое называется линейной моделью издержек:
С(х) = b + ах.
Совокупный доход, или выручка, R(x), получаемый предприятием от продажи х единиц продукции, определяется формулой:
R(x) = рх, где р – цена единицы товара.
Очевидно, что область определения этой функции {х: х  0} и
R(0) = 0.
Если произведено и продано х единиц продукции, то прибыль
Р(х) определяется формулой
Р(х) = R(х) – С(х).
Точка, в которой прибыль обращается в нуль, называется точкой
безубыточности.
2.2.2. Закон спроса и предложения
Количество товара, которое покупатели приобретут на рынке,
зависит от цены на этот товар. Соотношение между ценой и количеством купленного товара называется функцией или законом спроса.
Количество товара, которое производители выставят на продажу,
также зависит от цены на этот товар. Соотношение между ценой и
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
количеством товара, выставленного на продажу, называется функцией или законом предложения.
В простейшем случае эти функции линейны. Закон спроса обозначен через D, закон предложения – через S; х – количество товара,
р – цена на этот товар.
Уравнение спроса можно составить, если заданы две точки, лежащие на его графике. Для этого нужно использовать уравнение
прямой, проходящей через две заданные точки:
p  p1 
p2  p1
x  x1 .
x2  x1
Точка пересечения кривых спроса и предложения (x0, p0) называется точкой рыночного равновесия. Соответственно р0 называется
равновесной ценой, а х0 – равновесным количеством (объемом продаж).
Если известен закон спроса р(х), то совокупный доход R = хр
можно выразить через х.
Очень часто правительство вводит налог t на товар или предоставляет субсидию s, чтобы население могло приобрести этот товар
по разумной цене.
При использовании линейных моделей предполагается, что
спрос определяется только ценой товара на рынке рс, а предложение
– только ценой ps, получаемой поставщиками. Эти цены связаны
между собой следующими уравнениями:
pc  p s  t ,
pc  p s  s ,
где t и s – соответственно налог и субсидия на единицу товара.
2.2.3. Примеры и указания к контрольной работе 2
1. Фиксированные издержки составляют 8 тыс. р. в месяц, переменные издержки – 20 р., выручка – 40 р. за единицу продукции.
Составить функцию прибыли и найти точку безубыточности.
Решение:
C x   F  V ,
F  8000, V  20 x
C x   8000  20 x
R x   40 x
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, прибыль
P x   R  x   C x   40 x  20 x  8000  20 x  8000
При малых значениях х прибыль отрицательна, т.е. производство убыточно. При увеличении х прибыль возрастает, в точке
x  400 она обращается в нуль и после этого становится положительной.
x  400 – точка безубыточности.
2. Законы спроса и предложения на некоторый товар определяются уравнениями
p  2 x  12,
p  x  3.
а) найти точку рыночного равновесия.
б) найти точку равновесия после введения налога, равного 3.
Найти увеличение цены и уменьшение равновесного объема продаж.
в) какая субсидия приведет к увеличению объема продаж на 2
единицы?
г) вводится пропорциональный налог, равный 20%. Найти новую точку равновесия и доход правительства.
д) правительство установило минимальную цену, равную 7.
Сколько денег будет израсходовано на скупку излишка?
Решение:
а) находим точку равновесия М:
x  3  2 x  12,
x  3, p  6.
Точка М (3, 6) является точкой равновесия.
б) если введен налог t = 3, то система уравнений для определения новой точки равновесия примет вид
D : pc  2 x  12,
S : ps  x  3,
pc  ps  3.
Используя соотношение между ценой на рынке рс и ценой ps, получаемой поставщиками, имеем следующую систему для определения точки рыночного равновесия:
 pc  2 x  12,

 pc  x  6.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решая эту систему, получаем новую точку равновесия М'(2, 8).
Следовательно, после введения налога равновесная цена увеличилась на 2 единицы, а равновесный объем уменьшился на 1 единицу.
в) если предоставлена субсидия, то система уравнений для определения точки равновесия имеет вид:
D : pc  2 x  12,
S : ps  x  3,
pc  ps  s.
Новый объем продаж равен 5 единицам (3 + 2). Подставляя х = 5
в систему, находим:
pc  2,
ps  8,
s  8  2  6.
г) если налог составляет 20% , то вся рыночная цена составляет
120%, из них 100% получают поставщики товара, 20% – государство. Итак, поставщики получают
ps 
100
5
pc  pc .
120
6
Уравнение спроса остается неизменным, а в уравнение предложения подставляем ps 
5
p c.
6
 pc  2 x  12,

5
 6 pc  x  3.

Решая эту систему, находим новую точку равновесия М":
 2 x  12 
x2
6
18
x
5
5
5
8
3
4
 5 3
M  2 ,6 .
 8 4
pc  6
R
1 5 3
61
2 6  2 .
6 8 4
64
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
д) если установлена минимальная цена, то из уравнений спроса и
предложения можно найти объемы спроса и предложения. Разницу
между ними скупает правительство. Так как р=7, то
xS  p  3  7  3  4,
xD 
12  p 12  7

 2,5.
2
2
Затраты правительства составят
( xS  x D ) p  (4  2.5)  7  10,5.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
3.1. Производная функции.
Правила дифференцирования
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки
х0. Предел отношения приращения Δy функции в этой точке (если
он существует) к приращению Δх аргумента, когда Δх0, называется производной функции f(x) в точке х0.
Обозначения: f  (x 0 ); y (x 0 );
df (x 0 )
; f  x x .
0
dx
Таким образом,
f ( x0 )  lim
x  0
Вычисление
функции.
y
f ( x0  x )  f ( x0 )
 lim

x

0
x
x
производной
называется
дифференцированием
Основные правила дифференцирования
Пусть u(x) и v(x) имеют производные в некоторой точке х. Тогда
функции u(x) ± v(x), u(x) v(x) и
u ( x)
(где v(x)≠0) также имеют проv( x )
изводные в этой точке, причем в точке х справедливы равенства:

 u  uv  uv
(u  v )  u  v; (uv)  uv  uv;   
.
v2
v
3.2. Производная сложной функции.
Логарифмическая производная
Производная сложной функции
Если функция t=  (x) имеет в точке х0 производную   (х0), а
функция у= (x) имеет в точке t0=  ( x0 ) производную   (t 0), то
сложная функция у=  ( ( x))
х0,причем f ( x0 )   ( ( x0 )) ( x0 ) .
имеет
26
производную в точке
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Логарифмическая производная
При нахождении производных от показательно-степенной функции u(x)v(x) , а также других громоздких выражений, допускающих
логарифмирование (произведение, частное и извлечение корня),
удобно применять логарифмическую производную.
Следовательно, логарифмической производной от функции
у=f(x) называется производная от логарифма этой функции:
(ln y ) 
y
. Используя логарифмическую производную, нетрудно выy
вести формулу для производной показательно-степенной функции
u ( x )v( x ) : (u v )  u vv ln u  u v 1uv .
3.3.
Производная обратной функции, неявной функции
и функции, заданной параметрически
Производная обратной функции
Если функция f(x) строго монотонна и непрерывна в некоторой
окрестности точки х0, имеет производную в точке х0 и f ( x0 )  0 , то
существует обратная функция х= f 1 ( y ) , которая определена в некоторой окрестности точки у0=f(x0) и имеет производную в точке
у0, причем ( f 1 ( y0 )) 
1
.
f ( x0 )
Производная неявной функции
Пусть функция у=у(х), имеющая производную в точке х, задана
неявно уравнением F(x,y)=0. Тогда производную y(x) этой функции можно найти, продифференцировав данное уравнение (при
этом у считается функцией от х) и разрешая затем полученное
уравнение относительно y .
Производная функции, заданной параметрически
Пусть функция у=f(x) определена параметрически функциями
x=x(t) и y=y(t). Тогда, если функции x(t) и y(t) имеют производные
в точке t0 ,причем x(t0 )  0 , а функция у=f(x) имеет производную в
точке х0=х(t0), то эта производная находится по формуле
y( x0 ) 
yt (t0 )
xt (t 0 )
или yx 
yt
.
xt
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.4. Дифференциал функции
Дифференцируемость функции
Функция у=f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если
ее приращение ∆у в этой точке можно представить в виде
∆у=А∆х+α∆х , где А- некоторое число, а α- функция аргумента ∆х,
бесконечно малая и непрерывная в точке ∆х=0.
При этом главная, линейная относительно ∆х часть этого приращения, т.е. А∆х, называется дифференциалом функции в точке х0 и
обозначается dy или df(x0).
Нетрудно показать, что dx=∆x.
Функция f(x) дифференцируема в точке х0 тогда и толъко тогда,
когда в этой точке существует конечная производная f (x) ; при
этом А= f  (х0). Поэтому df(х0)= f  (х0)dх, или, если f  (х) существует на данном интервале (а;в), то dy= f ( x)dх, x (a;b). Отсюда f (х) =
dy
, т.е. производная функции y= f (x)
dx
в точке х равна от-
ношению дифференциала этой функции в данной точке к дифференциалу независимой переменной.
Если приращение ∆х аргумента х близко к нулю (т.е. достаточно
мало), то приращение ∆у функции приближенно равно ее дифференциалу, т.е. ∆у  dу, откуда f(х0+∆х)  f(х0)+ f ( х0 )x . Последняя
формула удобна для приближенного вычисления значения функции
f(x) в точке х0+∆х по известному значению этой функции и ее производной в точке х0.
Инвариантность формы первого дифференциала
Если у=f(u(x)) – сложная функция, то df(u)= f (u)du или
dy= yu du , т.е. форма дифференциала не меняется (инвариантна) независимо от того, рассматривается у как функция независимой переменной х или зависимой переменной u.
3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
Определение производных высших порядков
Если производная f (x) функции y= f (x) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой точке производную, то эта
производная от f (x) называется второй производной (или произ28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
водной второго порядка) функции y= f (x) в точке х0 и обозначается
одним из следующих символов: f ( x0 ) , f (2 ) ( x ), у’’(x0), у(2)(x0).
Третья производная определяется как производная от второй
производной и т.д. Если уже введено понятие (n-1)-й производной
и если (n-1)-я производная имеет производную в точке x0, то указанная производная называется n-й производной (или производной
n-го порядка) функции y= f (x) в точке x0 и обозначается f ( n ) ( x0 )
или y (n ) ( x0 ) .
Таким образом, производные высших порядков определяются
индуктивно по формуле у(n)(х)=(у(n-1)(х))’.
Функция, имеющая n-ю производную в точке х0, называется n
раз дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая в точке х0
производные всех порядков, называется бесконечно дифференцируемой в этой точке.
Основные правила вычисления n-х производных
1. (u±v)(n)=u(n)± v(n)
2. Формула Лейбница:
n
(uv)(n)=  Cni u (i )v ( n i ) , где u(0) =u, v(0) =v, Cni 
i 0
n!
, 0!=1
i!(n  i )!
Формулы для n-х производных некоторых функций:
1. (ах)(n)= ахlnnа(0<а≠1), (ех)(n)= ех.
2. (хm)(n)=m(m-1)….(m-n+1)xm-n (x>0, α-любое число)

)
2

4. (cosx)(n)= cos(x+n )
2
n 1
(

1
)
(
n

1)!
5. (lnx) (n)=
n
x
3. (sinх)(n)=sin(x+n
Дифференциалы высших порядков
Пусть х – независимая переменная и функция y= f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х0.
Дифференциал произвольного n-го порядка функции y= f (x) определяется индуктивно по формуле dny=d(dn-1y). При этом справедлива формула dny= f ( n ) ( x0 )dx n , откуда f (n ) ( x0 ) =
29
dny
.
dx n
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.6. Применение математического анализа в экономике.
Предельный анализ
Производные применяются в экономике для получения так называемых предельных издержек, предельной выручки, предельной
прибыли и т.п. Слово «предельный» в этих терминах означает производную, или скорость изменения.
Оптимальным значением выпуска для производителя является то
значение x единиц продукта, при котором прибыль P(x) оказывается
наибольшей.
3.6.1. Примеры и указания к контрольной работе 3
1. Спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим
образом:
D( p) 
25000
p
2
1
.
5

Найти скорость изменения спроса, если цена равна 10.
Решение:
D( p) 
50000
p
3
D(10) 
50000
 50
1000
При увеличении цены на 1 спрос будет уменьшаться на 50.
2. Найти максимальную прибыль, которую может получить фирмапроизводитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p и известен вид функции издержек C(x):
C ( x)  8 
x x3
 ; p  6,5
2 8
Решение:
x x3

2 8
R( x)  6,5  x
C ( x)  8 
P( x)  R( x)  C ( x)  6,5 x  8 
x x3
x3

 6x  8 
2 8
8
3
P( x)  6  x 2
8
3
6  x2  0
8
3 2
x 6
8
x 2  16  x  4  оптимальное значение выпуска
P( 4 )  24  8  8  8 – максимальная прибыль.
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
4.1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на отрезке
[a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F(x) = f(x).
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции
может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга
некоторым постоянным числом.
F1(x) = F2(x) + C.
Неопределенным интегралом функции f(x) называется
совокупность первообразных функций, которые определены
соотношением:
F(x) + C.
Записывают:  f ( x)dx  F ( x)  C;
Условием существования неопределенного интеграла на
некотором отрезке является непрерывность функции на этом
отрезке.
Свойства неопределенного интеграла:
1.  f ( x )dx   ( F ( x )  C )  f ( x);
2. d  f ( x)dx  f ( x)dx;
3.  dF ( x)  F ( x)  C ;
4.  (u  v  w)dx   udx   vdx   wdx;
функции от х.
5.  C  f ( x)dx  C   f ( x)dx
где u, v, w – некоторые
4.2. Методы интегрирования
Непосредственное интегрирование
Метод непосредственного интегрирования основан на
предположении о возможном значении первообразной функции с
дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием.
Вообще заметим, что дифференцирование является мощным
инструментом проверки результатов интегрирования.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим применение этого метода на примере:
Требуется найти значение интеграла 
формулы дифференцирования
dx
. На основе известной
x
ln x   1 можно сделать вывод, что
x
искомый интеграл равен ln x  C , где С – некоторое постоянное
число. Однако, с другой стороны,
ln( x)    1  (1)  1 . Таким
x
x
образом, окончательно можно сделать вывод:

dx
 ln x  C
x
Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для
нахождения производной использовались четкие приемы и методы,
правила нахождения производной, наконец, определение
производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если
при нахождении производной мы пользовались, так сказать,
конструктивными методами, которые, базируясь на определенных
правилах, приводили к результату, то при нахождении
первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц
производных и первообразных.
Что касается метода непосредственного интегрирования, то он
применим только для некоторых весьма ограниченных классов
функций. Функций, для которых можно с ходу найти
первообразную, очень мало. Поэтому в большинстве случаев
применяются способы, описанные ниже.
Способ подстановки (замены переменных)
Если требуется найти интеграл  f ( x)dx , но сложно отыскать
первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получаем:
 f ( x)dx   f ( (t )) (t )dt
Интегрирование по частям
Способ основан на известной формуле
произведения:
(uv) = uv + vu
где u и v – некоторые функции от х.
В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu
32
производной
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проинтегрировав,
получаем:
а
в
 d (uv)   udv   vdu ,
соответствии с приведенными ранее свойствами неопределенного
интеграла:
uv   udv   vdu или  udv  uv   vdu
Получили формулу интегрирования по частям, которая
позволяет находить интегралы многих элементарных функций.
4.3. Определенный интеграл
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).
Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции
на отрезке [a, b].
Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n
точками.
x0 < x1 < x2 < … < xn
Тогда x1 – x0 = x1, x2 – x1 = x2, … ,xn – xn-1 = xn.
На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и
наибольшее значение функции.
[x0, x1]  m1, M1; [x1, x2]  m2, M2; … [xn-1, xn]  mn, Mn.
Составим суммы:
n
S n = m1x1 + m2x2 + … +mnxn =  mi xi
i 1
n
S n = M1x1 + M2x2 + … + Mnxn =  M i xi
i 1
Сумма S называется нижней интегральной суммой, а сумма S –
верхней интегральной суммой,
т.к. mi  Mi, то S n  S n,
а
m(b – a)  S n  S n  M(b – a)
Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку .
x0 < 1 < x1, x1 <  < x2, … , xn-1 <  < xn.
Найдем значения функции в этих точках и составим выражение,
которое называется интегральной суммой для функции f(x) на
отрезке [a, b].
n
Sn = f(1)x1 + f(2)x2 + … + f(n)xn =  f ( i )xi
i 1
Тогда можно записать: mixi  f(i)xi  Mixi
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
n
n
i 1
i 1
i 1
Следовательно,  mi xi   f ( i )xi   M i xi
Sn  Sn  Sn
Геометрически это представляется следующим образом: график
функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу
– вписанной ломаной.
Обозначим maxxi – наибольший отрезок разбиения, а minxi –
наименьший. Если maxxi 0, то число отрезков разбиения отрезка
[a, b] стремится к бесконечности.
n
Если S n   f ( i )xi , то
i 1
n
 f ( i )xi  S .
lim
max x i  0 i 1
При любых разбиениях отрезка [a, b], таких, что maxxi 0, и
n
произвольном выборе точек i интегральная сумма S n   f ( i )xi
i 1
стремится к пределу S, который называется определенным
интегралом от f(x) на отрезке [a, b].
b
Обозначение:  f ( x)dx.
a
а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная
интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.
Если
для
n
lim
функции
f(x)
существует
предел
b
 f ( i )xi   f ( x)dx, то функция называется интегрируемой
max x i  0 i 1
a
на отрезке [a, b].
n
Также верны утверждения:
lim
b
 mi xi   f ( x)dx
max xi  0 i 1
n
a
b
 M i xi   f ( x)dx
max x  0
lim
i
i 1
a
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она
интегрируема на этом отрезке.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойства определенного интеграла:
b
b
1)  Af ( x )dx  A  f ( x )dx;
a
a
b
b
b
2)  ( f1 ( x)  f 2 ( x ))dx   f1 ( x )dx   f 2 ( x)dx
a
a
a
a
3)  f ( x)dx  0
a
b
b
4) если f(x)  (x) на отрезке [a, b] a < b, то  f ( x)dx    ( x)dx
a
a
5) если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее
значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:
b
m(b  a)   f ( x )dx  M (b  a)
a
6) теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке
[a, b], то на этом отрезке существует точка  такая, что
b
 f ( x)dx  (b  a) f ( )
a
7) для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:
b
c
b
 f ( x)dx   f ( x )dx   f ( x)dx
a
a
c
b
a
8)  f ( x)dx    f ( x)dx
a
b
4.4. Вычисление определенного интеграла
b
Пусть в интеграле  f ( x )dx нижний предела = const, а верхний
a
предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний
предел, то изменяется и значение интеграла.
x
Обозначим  f (t )dt = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х)
a
по переменному верхнему пределу х.
d x
 f (t )dt  f ( x )
dx a
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного
нижнего предела.
Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b],
существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует
неопределенный интеграл.
Теорема Ньютона-Лейбница
Если функция F(x) – какая-либо первообразная от непрерывной
функции f(x), то
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a )
a
Это выражение известно как формула Ньютона-Лейбница, которая представляет собой общий подход к нахождению определенных
интегралов.
4.5. Применение интегрального исчисления в экономике
Интегрирование используется для нахождения функций издержек, прибыли, потребления, если известны соответственно функции
предельных издержек, предельной прибыли и т.д. Для определения
произвольной постоянной интегрирования необходимо дополнительное условие. Если находится функция издержек, используется
то, что ее значение в точке x=0 (x – число единиц произвольной
продукции) равно значению фиксированных издержек, а при определении функции дохода – то, что ее значение в точке х=0 равно
нулю (доход равен нулю, если не продано ни одного изделия).
4.5.1. Примеры и указания к контрольной работе 4
1. Функция предельного дохода некоторого предприятия имеет
вид R ' x   10  0,02 x .
Найти функцию дохода. Каково уравнение спроса?
Решение:
x2
 C  10 x  0,01x 2  C ,
2
R0  0 , следовательно C  0 ,
R x    10  0,02 x dx  10 x  0,02 
R x   10 x  0,01x 2 – функция дохода.
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если каждая единица продукции продается по цене p , то доход
определяется формулой R  xp . Следовательно, деля на x функцию
дохода, находим закон спроса px  : p  10  0,01x. – уравнение спроса.
2. Функция предельных издержек некоторой продукции имеет
вид:
С '  x   20  30 x  0,06 x 2 .
Найти функцию издержек, если фиксированные издержки составляют 10 тыс. р.


Сx   20  30x  0,06x 2 dx  20x  30 
x2
x3
 0,06   C 
2
3
 20x  15x 2  0,02x3  C.
Решение: C0  10000 фиксированные издержки
C0  C, следовательно С  10000.
Сx  20x  15x 2  0,02x3  10000- функцияиздержек.
3. Скорость изменения издержек и дохода во времени имеет следующий вид:
C ' t   4  t
R ' t   12  3t.
Найти максимальное значение прибыли, которое можно получить от этого производства. Когда производство следует остановить?
P ' t   R ' t   C ' t   12  3t  4  t  8  4t.
P ' t   0 при t  2
Решение: P" t   4  0, следовательно, t  2 – точка максимума
2
2
0
0

P2   P ' t dt   8  4t dt  8t  2t 2

2
0  16  8
 8.
Ответ: Максимальное значение прибыли равно 8. Производство
следует остановить через время t  2.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 5. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
5.1. Контрольная работа 1
I. Три различных вида чая продаются в трех магазинах. Матрица
А – объемы продаж этих продуктов в магазинах в 1-м квартале;
матрица В – во 2-м квартале (в тыс. р.). Определить: а) объем продаж за 2 квартала; б) прирост продаж во 2-м квартале по сравнению
с первым.
3 2 5 


1) A   2 4 2  ;
5 3 3 


4 3 2


B  5 2 3 ;
7 4 6


5 4 3


2) A   7 3 6  ;
 4 5 6


6 3 5


B  8 4 6 ;
 7 2 3


6 5 4


3) A   3 7 8  ;
5 2 7


7 4 5


B   4 6 7 ;
5 3 8 


 4 7 3


5 6 4


B  8 7 3  .
5 3 7


4) A   6 5 2  ;
4 8 5


II. Предприятие выпускает три вида продукции, используя 3 вида сырья, нормы расходов сырья на единицу продукции задаются
матрицей А. Определить денежные расходы предприятия на осуществление выпуска товаров, задаваемого матрицей С, если стоимость
единицы каждого вида сырья выражается матрицей В.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 4 2 3
 2


 
1) A   3 1 4  , С   2  , В  3; 2; 1 ;
2 3 2
 3


 
3 1 4 
1


 
2) A   2 3 5  , С   3  , В  4; 3; 2 ;
1 4 3 
 2


 
1 3 5 
 2


 
3) A   2 4 3  , С   3  , В  2; 3; 4 ;
3 5 2
 2


 
 2 4 5
1


 
4) A  1 3 2  , С   2  , В  3; 4; 2 .
4 3 1 
 3


 
III. Дана матрица прямых затрат А и вектор валового выпуска X.
 у1 
 
Найти компоненты вектора конечного продукта У   у2  .
у 
 3
 0,3 0,4 0,5 
 700 




1) A   0,1 0,2 0,3  , X   500  ,
 0,5 0,1 0,2 
 300 




 0,4 0,6 0,1 


 400 


 0,3 0,4 0,2 


 500 


 0,7 0,8 0,3 


 600 


 0,5 0,6 0,1 


 200 


2) A   0,2 0,3 0,5  , X   300  ,
3) A   0,2 0,5 0,4  , X   100  ,
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 0,8 0,3 0,2 
 500 




4) A   0,5 0,1 0,6  , X   200  .
 0,4 0, 2 0,7 
 600 




IV. Дана матрица прямых затрат А из задания III и вектор конечного продукта У. Найти компоненты вектора валового выпуска
 х1 
 
Х   х2  .
х 
 3
 70 
 
1) У   80  ;
 50 
 
 40 
 
2) У   30  ;
 70 
 
 80 
 
3) У   80  ;
 50 
 
 30 
 
4) У   70  .
 50 
 
V. Найти соотношение национальных доходов трех стран для
сбалансированной торговли, если задана структурная матрица торговли А.
 0,3 0,3 0,8 


1) A   0,1 0,6 0,1  ;
 0,4 0,3 0,1 


2) A   0,5 0,3 0,6  ;
 0,6 0,1 0,1 


 0,1 0,4 0,3 


40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 0,1 0,2 0,5 


3) A   0,2 0,5 0,1  ;
 0,7 0,3 0,4 


 0,6 0,4 0,6 


4) A   0,2 0,3 0,2  .
 0,2 0,3 0,2 


5.2. Контрольная работа 2
I. 1. Функция издержек производства шин имеет вид
С(х) = З0x + 2100. Цена одной шины 60 р. Найти точку безубыточности. Построить графики.
2. Постоянные издержки при производстве ручных часов составляют 12 тыс. р. в месяц, а переменные – 300 р. за одни часы. Цена
часов 500 р. Написать функции дохода и издержек. Построить графики. Найти точку безубыточности.
3. Настольные лампы продаются по цене 1200 р. каждая. Постоянные издержки составляют 24 тыс. р. в месяц, а переменные – 800
р. за лампу. Найти точку безубыточности, построить график.
4. Постоянные издержки производства некоторой продукции составляют 125 тыс. р. в месяц, а переменные – 700 р. за единицу продукции. Продукция продается по цене 1200 р. за единицу. Составить функцию прибыли. Определить точку безубыточности.
II. 1. Пусть предложение и спрос на некоторый товар определяются уравнениями
р = х + 100,
р = -2х + 250.
а) найти точку рыночного равновесия.
б) был введен налог, равный 10 на единицу продукции. Найти
новую точку рыночного равновесия и доход государства от введения этого налога.
в) налог был удвоен. Найти доход государства. Может ли государство потерять деньги, увеличивая налог?
г) правительство предоставило субсидию, равную 5 на единицу
продукции. Найти новую точку рыночного равновесия.
2. Пусть предложение и спрос на некоторый товар определяются
уравнениями
р = 0,5x- + 5,
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
р = -0,5x + 45.
а) найти точку рыночного равновесия.
б) правительство ввело налог, равный 5. Найти новую точку рыночного равновесия.
в) была предоставлена субсидия, равная 3 на единицу товара.
Найти новую точку рыночного равновесия.
3. Пусть спрос и предложение на некоторый товар определяются
уравнениями
4р + =34,
6р -х=38.
а) найти точку рыночного равновесия и построить графики.
б) правительство ввело налог, равный 20%. Найти новую точку
равновесия, доход, полученный правительством, и показать его на
графике.
в) установлена минимальная цена, равная 7,5. Сколько потратит
правительство на покупку излишка продукции?
4. Законы спроса и предложения имеют следующий вид:
2р + 3х=36,
5р – Зx = 48.
а) найти точку рыночного равновесия и построить графики.
б) правительство ввело налог, равный 25%. Найти новую точку
равновесия, доход правительства и показать его на графике.
в) введена минимальная цена, равная 13. Сколько потратит правительство на покупку излишка продукции?
г) выделена сумма денег, равная 105, для установления минимальной цены. Найти эту цену.
5.3. Контрольная работа 3
I.
1. Объем продаж видеомагнитофонов задается следующей
2
функцией времени: V(t)=5000+1000t-100t , где t – время, измеряемое в месяцах; V – количество видеомагнитофонов, проданных за
месяц.
Найти скорость изменения объема продаж в момент времени:
а) t = 0; б) t = 3; в) t = 6.
2. Население некоторой страны растет по следующему закону:
2
P(t)=100000(1+t) ,
где время t измеряется в годах.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найти скорость изменения населения в момент времени:
а) t = 0; б) t = 2; в) t = 5.
3. Эпидемия медленно распространяется среди населения. Число
заболевших определяется формулой
5
A(t )  200(t 2  t 2 ),
где t – число недель, прошедших с момента начала эпидемии.
Найти скорость изменения числа заболевших в момент времени:
а) t = 1;
б) t = 4;
в) t = 9.
4. Предположим, что издержки получения питьевой воды заданы
формулой
С
10000
 100 ,
p
где p – процентное содержание загрязняющих воду примесей.
Найти скорость изменения издержек производства, если примеси
составляют 5%.
II. Найти предельную выручку для следующих функций R(x):
1) R(x) = 2х- 0,01x2;
3
2
2) R(x) = 4x- 0,005x :
5
2
2
4 2
3) R(x) = 0,2x – 10 x – 10 x ;
4) R(x) = 50x – 2x3( x + 1).
III. Найти предельную выручку, если заданы уравнение спроса и
значение цены на некоторую продукцию:
1) 10x + p = 100,
p = 80;
2)
3)
x + Зp = 50,
3
x2
+ 10р = 94,
p = 10;
p = 38,6;
4) 2р + x + 0,02x2 = 1000,
p = 494.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
IV. В задании III дополнительно заданы функция издержек и
точка. Найти предельную прибыль и вычислить её значение в заданной точке.
1) C(x) = 50 + Зх,
х = 3;
2) C(x) = 40 + х,
x = 6;
3) C(x) = 100 + х2 ,
x = 4;
4) C(x) = 70 + 0,1x2,
x=25.
V. Определить оптимальное для производителя значение выпуска x0 , при условии, что весь товар реализуется по фиксированной
цене за единицу p и известен вид функции издержек C(x):
1) C ( x )  13  2 x  x 3 ; p  14
2)
3)
4)
1
x x; p  8
3
1
1
C ( x)  8  x  x 2 ; p  1,85
4
10
C ( x)  10  x 
C ( x)  10 
x x2
 ; p  10,5
2 4
5.4. Контрольная работа 4
I. 1. Функция предельных издержек имеет вид С’(х) = 50 + 0,02х.
а) найти функцию издержек, если фиксированные издержки составляют 2500 р. в месяц.
б) каковы издержки производства 250 изделий в месяц?
в) если продукция продается по цене 75 р. за изделие, сколько
нужно произвести и продать, чтобы прибыль была максимальной?
2. Функция предельных издержек некоторого предприятия имеет вид
C’(х) = 60 – 0,04х + 0,003х 2.
а) найти функцию издержек, если издержки производства 100
единиц продукции составляют 7 тыс. р.
б) найти фиксированные издержки.
в) каковы издержки производства 250 единиц продукции?
г) если цена составляет 65,5 р. за единицу продукции, найти максимальное значение прибыли.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Функция предельных издержек имеет вид
C’(х) = 60 + 0,04х.
Фиксированные издержки составляют 1800 р. в месяц, а цена
одного изделия равна 80 р.
а) найти переменные издержки.
б) каковы издержки производства 150 изделий?
в) найти приращение прибыли, если объем производства вырос
со 150 до 200 изделий.
II. 1. Функция предельной прибыли имеет вид:
Р’(х) = 25-0,004х.
Прибыль предприятия составляет 35,8 тыс. р., если продано 1200
изделий. Найти функцию прибыли.
2. Функция предельных издержек некоторой продукции имеет
вид:
C ' ( x )  30 xe 0.001 x
2
Найти функцию издержек, если фиксированные издержки составляют 20 тыс. р.
3. Функция предельного дохода имеет вид:
R ' ( x )  (5  x)e

x
5
.
Найти функцию дохода. Найти закон спроса на продукцию.
III. 1. Сколько лет нужно продолжать добычу полезных ископаемых до достижения максимального значения прибыли, если скорость изменения издержек и дохода имеет следующий вид:
С'(t) = 3 + 2t,
R'(t) = 28 – 3t.
Найти максимальное значение прибыли.
2. Сколько лет нужно продолжать добычу полезных ископаемых
до достижения максимального значения прибыли, если скорость
изменения издержек и дохода имеет следующий вид:
2
2
С'(t) = 10 + 3t 3 ,
R'(t) = 46 – t 3 .
Найти максимальное значение прибыли.
3. Сколько лет нужно продолжать добычу полезных ископаемых
до достижения максимального значения прибыли, если скорость
изменения издержек и дохода имеет следующий вид:
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
5
4
5
С’(t) = 22 + 4t , R'(t) =134-3t .
Найти максимальное значение прибыли.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / под
ред. Н.Ш. Кремера. – Москва: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998. –
471 с.
Замков О.О. Математические методы в экономике: учебник /
О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. – Москва:
Изд-во МГУ, 1998. – 368 с.
Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное пособие / под ред. В.И. Ермакова. – Москва: ИНФРА – М,
2002. – 575 с.
Солодовников А.С. Математика в экономике: учебник: в 2 ч. /
А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов. – Москва:
Финансы и статистика, 1999. – Ч. 1. – 224 с.
Солодовников А.С. Математика в экономике: учебник: в 2 ч. /
А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. – Москва: Финансы и статистика, 1999. – Ч. 2. – 376 с.
Практикум по высшей математике для экономистов: учебное
пособие для вузов / под ред. Н.Ш. Кремера. – Москва: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 423 с.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие …………………………………………………………….
3
Глава 1. Элементы линейной алгебры…………………………………
4
1.1. Понятие матрицы……………………………………………….
4
1.2. Действия над матрицами…………………………....................
5
1.3. Определители…………………………………………………..
8
1.4. Матричное решение систем линейных уравнений…………..
11
1.5. Применение линейной алгебры в экономике…………………
12
1.5.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики……..
13
1.5.2. Модель международной торговли……………………..
14
1.5.3. Примеры и указания к контрольной работе 1………..
15
Глава 2. Элементы аналитической геометрии………………………...
17
2.1. Прямая на плоскости…………………………………………...
17
2.2. Применение аналитической геометрии в экономике………...
21
2.2.1. Линейная модель издержек. Точка безубыточности...
21
2.2.2. Закон спроса и предложения…………………………...
21
2.2.3. Примеры и указания к контрольной работе 2………..
22
Глава 3. Дифференциальное исчисление функции
одной переменной……………………………………………………….
26
3.1. Производная функции. Правила дифференцирования………
26
3.2. Производная сложной функции.
Логарифмическая производная……………………………….
26
3.3. Производная обратной функции, неявной функции
и функции, заданной параметрически……………………….
27
3.4. Дифференциал функции……………………………………….
28
3.5. Производные и дифференциалы высших порядков…………
28
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.6. Применение математического анализа в экономике.
Предельный анализ…………………………………………….
30
3.6.1. Примеры и указания к контрольной работе 3………..
30
Глава 4. Интегральное исчисление функции одной переменной……
31
4.1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл………..
31
4.2. Методы интегрирования……………………………………….
31
4.3. Определенный интеграл……………………………………….
33
4.4. Вычисление определенного интеграла……………………….
35
4.5. Применение интегрального исчисления в экономике………..
36
4.5.1. Примеры и указания к контрольной работе 4………..
36
Глава 5. Задания для самостоятельной работы………………………..
38
5.1. Контрольная работа 1…………………………………………..
38
5.2. Контрольная работа 2…………………………………………..
41
5.3. Контрольная работа 3…………………………………………..
42
5.4. Контрольная работа 4…………………………………………..
44
Библиографический список…………………………………………….
47
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Александр Михайлович Барлуков
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА
Часть 1
Учебно-методическое пособие
Редактор Ж.В. Галсанова
Компьютерная верстка Н.Ц. Тахинаевой
Свидетельство о государственной аккредитации
№ 1289 от 23 декабря 2011 г.
Подписано в печать 18.03.14. Формат 60х84 1/16.
Усл. печ. л. 3,00. Уч.-изд. л. 1,27. Тираж 55. Заказ 34.
Цена договорная.
Издательство Бурятского госуниверситета
670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а
riobsu@gmail.com
Отпечатано в типографии Издательства БГУ
670000, г. Улан-Удэ, ул. Сухэ-Батора, 3а
50
Документ
Категория
Экономика
Просмотров
535
Размер файла
507 Кб
Теги
626, математические, экономика
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа