close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

792.Непрерывное всплесковое преобразование

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
≪ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ≫
НЕПРЕРЫВНОЕ ВСПЛЕСКОВОЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители:
И.Я. Новиков,
П.Г. Северов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2009
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Утверждено научно-методическим советом математического факультета 24 сентября 2009 г., протокол № 1
Рецензент канд. физ.-мат. наук Г.Ю. Северин
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре функционального анализа и операторных уравнений математического факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 4, 5 курсов дневного отделения математического факультета.
Для направления 010100 – Математика
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Характеристика источников
Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории / К. Блаттер. – М. :
Техносфера, 2004. – 280 с.
Весь материал дан на высоком математическом уровне (для глубокого изучения требуется высокий уровень знаний по математическому и
функциональному анализу). Автор рассматривает непрерывное всплесковое преобразование (ему посвящена целая глава), аналог формулы Планшереля, формулы обращения, функция ядра, а также убывание вейвлетпреобразований.
Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. – Ижевск :
НИЦ ≪Регулярная и хаотическая динамика≫, 2001. – 464 с.
Непрерывное всплесковое преобразование рассматривается с точки
зрения теории воспроизводящих ядер. Непрерывное всплесковое преобразование (далее НВП) сравнивается с оконным преобразованием Фурье.
С помощью НВП автор определяет различные операторы и исследует характеристики локальной регулярности функций.
Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов / С. Малла. – М. : Мир,
2005. – 671 с.
В отличие от монографий Блаттера К. и Добеши И., данная монография ориентирована на высококвалифицированных инженеров, интересующихся приложениями НВП к прикладным задачам. На ряду с общим понятием всплескового преобразования, в данной монографии вводится вещественное и аналитическое (комплексное) всплесковое преобразование. Для аналитического всплескового преобразования определяется
локально-частотная плотность энергии Pw f (скэйлограмма). Далее рассматриваются вейвлет-хребты, которые показывают в каких точках скэйлограмма максимальна. Одним из важнейших моментов является рассмотрение максимумов модуля всплескового преобразования, которые в
совокупности образуют линии максимумов (скелетоны). Скелетоны позволяют выявить различные особенности анализируемого сигнала. Большой объем работы посвящен обработке изображения.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В приложении дается краткое описание функций пакета WaveLab, с
помощью которых построены все рисунки в монографии.
Новиков И.Я. Теория всплесков / И.Я.Новиков, В.Ю. Протасов,
М.А. Скопина. – М. : Физматлит, 2005. – 612 с.
Книга посвящена строгому изложению основных результатов теории
всплесков. К сожалению, в силу ограничения объёма непрерывное всплесковое преобразование в монографии не обсуждается. Основным объектом
избраны различные факты и примеры ортогональных или ортоподобных
базисов всплесков в функциональных пространствах.
Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB /
Н.К. Смоленцев. – М. : ДМК Пресс, 2005. – 304 с.
Отличительной особенностью данной книги является то что здесь дается описание основных функций пакета MATLAB, связанных с вейвлетами. В частности описывается функция cwt, которая вычисляет всплесккоэффициенты одномерного сигнала, используя всплесковое преобразование. На практике НВП рассматривается на примере кардиосигнала.
Заслуживает внимание рассмотрение пакета Wavelet Toolbox. Вводится
одномерный и комплексный одномерный непрерывный всплесковый анализ.
Чуи Ч. Введение в вэйвлеты : пер. с англ. / Ч. Чуи. – М. : Мир,
2001. – 412 с.
Интегральное всплесковое преобразование (то же что и НВП) сравнивается с кратковременным преобразованием Фурье (КВПФ), выделяются
недостатки и достоинства того и другого преобразования. В качестве примера КВПФ рассматривается преобразование Габора.
Яковлев А.Н. Основы вейвлет-преобразования сигналов : учеб. пособие / А.Н. Яковлев. – М. : САЙНС-ПРЕСС, 2003. – 80 с.
НВП рассматривается исключительно с точки зрения приложений.
Примеры непрерывного всплескового преобразования даются с использованием пакетов MATHCAD и MATLAB. Описание функций MATLAB
по вейвлетам проводится на конкретных примерах, которые к тому же
дают неплохую практическую информацию по работе с данным пакетом.
В приложении рассматривается также GUI Wavelet Toolbox MATLAB.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Вейвлеты были введены сравнительно недавно, в 1980-х, хотя фактически уже использовались в начале XX в. Вейвлет-анализ может быть
охарактеризован как альтернатива классическому анализу Фурье.
В качестве эквивалента английского слова — wavelet, что буквально
переводится как маленькая волна, волночка, и французского термина —
ondelette, К.И. Осколков предложил термин ≪всплеск≫. Именно этот термин мы и будем использовать в дальнейшем. Термин всплеск лучше отражает суть дела, так как, в самом общем виде, ondelette — это затухающее
колебание.
Теория всплесков имеет истоки в таких классических областях математики, как теория функций вещественного переменного, теория ортогональных рядов, преобразование Фурье и другие интегральные преобразования, теория функций комплексного переменного, функциональный
анализ. Теория всплесков, так же как и анализ Фурье, имеет две важные
части: НВП и всплесковые ряды.
НВП — это свертка со сжатиями и сдвигами некоторой функции, которую называют базовым всплеском (материнским вейвлетом). Всплесковые ряды состоят из членов, которые получаются сжатиями и сдвигами одной фиксированной функции. В отличие от анализа Фурье, НВП и
всплесковые ряды тесно связаны. При определенном согласовании базового всплеска и генератора всплескового ряда коэффициенты последнего
будут в точности значениями НВП на дискретном множестве параметров. НВП дает одновременно локальную информацию о функции и о ее
преобразовании Фурье, причем для анализа высокочастотных составляющих функции — локализация более сильная (для повышения точности),
а для низкочастотных — локализация более слабая (для получения полной информации). Всплесковые ряды очень удобны для приближенных
вычислений, так как количество операций, необходимых для вычисления коэффициентов разложения, так же как и количество операций для
восстановления функции по ее всплесковым коэффициентам, пропорционально количеству отсчетов функции.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Всплески стали необходимым математическим инструментом во многих исследованиях и очень популярными в самых различных приложениях. Всплески используются при анализе наблюдаемых данных (сейсмических и акустических сигналов (именно здесь впервые возник термин
≪wavelet≫), динамике жидкости и турбулентности, строению поверхностей, потокам космических лучей, солнечному ветру, строению галактик).
Всплесковое преобразование использовалось также для анализа последовательностей ДНК с целью выявить природу и происхождение дальних
корреляций в этих последовательностях. Хорошо известен пример, когда ФБР использовало всплесковый анализ для сжатия информации, в
результате чего удалось хранить большое количество отпечатков пальцев в сравнительно небольших компьютерах, что в свою очередь позволило сэкономить значительные средства. Это становится возможным за
счет отбрасывания небольших всплесковых коэффициентов после того,
как проведено прямое всплеск-преобразование.
Красота математического аппарата всплескового преобразования и его
значение на практике привлекали и продолжают привлекать к себе исследователей, которые работают как над фундаментальными, так и над
чисто прикладными вопросами.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Всюду в дальнейшем мы без специальных оговорок будем пользоваться основными определениями и обозначениями функционального анализа.
Для лучшего понимания интегрального всплескового преобразования
рассмотрим близкие к нему преобразования, которые были известны ранее.
§ 1.
Преобразование Габора
Пусть функция f ∈ L2(R) и
fb(ω) :=
Z
e−iωtf (t)dt
(1.1)
R
ее преобразование Фурье.
Преобразование Фурье дает частотную информацию, содержащуюся
в сигнале, то есть говорит нам о том, каково содержание каждой частоты
в сигнале. Интеграл берется от минус бесконечности до плюс бесконечности, по всей временной оси. Поэтому в какой момент времени возникла та
или другая частота, когда она закончилась – на эти вопросы ответ получить не удастся. Для преобразования Фурье равнозначно, присутствует
ли какая-нибудь частота на протяжении всего исследуемого сигнала или
возникла в определенный момент времени, ее вклад все равно будет одинаковым.
Для иллюстрации этого явления приведем графики дискретного преобразования Фурье для двух функций:
(
(sin(2πν1t) + cos(2πν1t))/1000, t ∈ [0, 21 ),
f1(t) =
,
(1.2)
(sin(2πν2t) + cos(2πν2t))/1000, t ∈ [ 12 , 1).
f2 (t) = (sin(2πν1t) + cos(2πν1t) + sin(2πν2t) + cos(2πν2t))/2000.
Заметим, что любой сигнал с периодом N может быть представлен в
виде суммы дискретных синусоидальных волн (см. [9], п. 3.3.2). Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) f есть
N
−1
X
−i2πkn
f [n] exp
(1.3)
fb[k] =
N
n=0
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
−3
2
−3
x 10
2
0
−2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
−2
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
−0.5
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
−0.5
1
0.4
0.4
0.2
0.2
0
x 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Рис. 1: Преобразование Фурье
На рис. 1 первая колонка соответствует f1 , вторая – f2 , ν1 = 99,
ν2 = 237. В первой строке – графики исходных функций, во второй –
действительные части дискретного преобразования Фурье этих функций,
в третьей – мнимые, в четвертой – абсолютные величины. У первой функции частотные характеристики меняются по времени t (они различны на
первой и второй половинах отрезка [0, 1]), а у второй – нет. Однако их
преобразования Фурье (особенно абсолютные величины) похожи.
В связи с вышесказанным отметим, что преобразование Фурье непригодно для анализа нестационарных сигналов, за одним исключением, когда нас интересует лишь частотная информация, а время существования
спектральных составляющих неважно.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для исправления этих недостатков Д. Габор рассмотрел в 1946 году
следующее преобразование. Пусть
−t2
1
gα (t) := √ e 4α ,
2 πα
(1.4)
где α – фиксированный параметр. Функция gα используется в качестве
так называемого временного окна.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-4
2
-2
4
1
Рис. 2: Графики gα при α = 1, 14 , 16
Преобразование Габора функции f ∈ L2(R) определяется формулой
Z
α
(Γ f )(ω, b) := (e−iωtf (t))gα(t − b)dt.
(1.5)
R
Оно ставит в соответствие функции одного переменного функцию двух
переменных. Параметр b используется для сдвига окна с целью покрыть
всю временную область. Ясно, что (Γα f )(ω, b) локализует преобразование
Фурье вокруг точки t = b.
Упражнение 1.1 Доказать что
Z
(Γα f )(ω, b)db = fb(ω), ω ∈ R.
R
Указание 1.1 Использовать равенство,
Z
Z
gα (t − b)db =
gα (x)dx = 1,
R
R
которое получается заменой переменной из известного
Z
√
2
e−t dt = π.
R
9
(1.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из (1.6) следует, что преобразование Габора разлагает преобразование
Фурье на локальную спектральную информацию.
Пусть функция ω ∈ L2(R) и tω(t) ∈ L2(R). Такую функцию называют
оконной. Для количественной характеристики локализованности функции ω используются следующие величины:
Z
1
∗
t :=
t|w(t)|2dt — центр;
2
kwk2 R
1
∆w :=
kwk2
Z
R
21
(t − t∗ )2|w(t)|2dt
— радиус.
Ширина функции w равна двум радиусам.
Упражнение 1.2 Доказать верность равенства
∆gα =
√
α.
Преобразование Габора можно интерпретировать следующим образом. Пусть
Gαω,b (t) := eiωt gα (t − b).
Тогда
α
(Γ f )(ω, b) =
Z
f (t)Gαω,b(t)dt.
(1.7)
Преимущество (1.7) состоит в возможности применить равенство Парсеваля.
Упражнение 1.3 Доказать, что
2
α (η) = e−ib(η−ω) e−α(η−ω) .
G\
ω,b
(1.8)
Из (1.8) и равенства Парсеваля следует
Z
1
2
α
(Γ f )(ω, b) =
fd
(η)eib(η−ω)e−α(η−ω) dη =
2π R
Z 1
e−ibω
e−ibω
ibη d
√
1
=
e f (η) g 4α (η − ω)dη = √ (Γ 4α fb)(−b, ω).
2 πα R
2 πα
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0.4
0.2
-3
-2
-1
1
2
3
-0.2
-0.4
Рис. 3: График Re(Gαω, b ) при α = 14 , ω = 3π, b = 0
0.4
0.2
-3
-2
-1
1
2
3
-0.2
-0.4
Рис. 4: График Im(Gαω, b) при α = 14 , ω = 3π, b = 0
Таким образом, преобразование Габора функции f с оконной функцией gα в точке t = b с точностью до множителя совпадает с преобразованием Габора функции fb с оконной функцией g 4α1 в точке η = ω.
Произведение ширины окна gα на ширину окна g 4α1 равно
(2∆gα )(2∆g 1 ) = 2.
(1.9)
4α
Декартово произведение
√
√ 1
1
b − α, b + α × ω − √ , ω + √
2 α
2 α
этих двух окон называют прямоугольным время-частотным окном. Ши11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Η
Ω2
Ω1
t
b1
b2
Рис. 5: Окно Габора
√
рина 2 α временного окна называется шириной время-частотного окна, а
ширина √1α частотного окна называется высотой время-частотного окна.
Изображение этого окна дано на рис. 5. Отметим, что ширина времячастотного окна в преобразовании Габора не изменяется при наблюдении
спектра на всех частотах.
Для иллюстрации приведем графики абсолютной величины оконного
преобразования Фурье для функций:
(
2(sin(2πν1t) + cos(2πν1t)), t ∈ [0, 12 ),
f1(t) =
,
2(sin(2πν2t) + cos(2πν2t)), t ∈ [ 12 , 1).
f2 (t) = sin(2πν1t) + cos(2πν1t) + sin(2πν2t) + cos(2πν2t).
с параметрами ν1 = 239, ν2 = 347. Так как оконное преобразование Фурье
является функцией двух переменных, то значение его абсолютной величины изображены цветом на время-частотной плоскости (горизонтальная
ось – ось времени t, вертикальная – ось частоты ω), черный цвет соответствует большим значениям, белый – малым. В таблице первая колонка
соответствует f1 , вторая – f2 . В первой строке – графики исходных функций, во второй – абсолютная величина оконного преобразования Фурье
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
этих функций. Изменения частотных характеристик первой функции во
времени прекрасно видны на графике.
4
4
0
0
0
0.5
−4
1
400
Frequency
Frequency
−4
200
0
0
0
0.5
400
200
0
0
1
1
1
Рис. 6: Оконное преобразование Фурье
Отметим, что при использовании преобразования Габора возникает
проблема выбора ширины окна во временной области. Слишком широкое
окно может обеспечить разумное представление низкочастотных компонентов сигнала, но его ширина будет избыточной для гармоник с высокой
частотой, поскольку все интересные нерегулярности в высокочастотной
области спектра сгладятся. Наоборот, достаточно узкое окно даст возможность изучить высокочастотные компоненты, но оно не будет адекватным
для низкочастотных гармоник.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 2.
Оконное преобразование Фурье
Преобразование Габора можно обобщить. Пусть
w ∈ L2(R), tw(t) ∈ L2(R).
(2.1)
Оконным преобразованием Фурье называется
Z
e (ω, b) := (e−iωtf (t))w(t − b)dt.
Γf
R
Полагая
Wω,b(t) := eiωtw(t − b),
имеем
1 \
eiωt −ibη
Vb,ω (η) :=
Wb,ω (η) =
e w(η
b − ω),
2π
2π
Z
Z
e (ω, b) :=
Γf
f (t)Wb,ω (t)dt =
fb(η)Vb,ω (η)dη.
(2.2)
R
R
Таким образом, оконное преобразование дает локальную информацию об
f во временном окне
[t∗ + b − ∆w , t∗ + b + ∆w ]
и локальную информацию об fb в частотном окне
[ω ∗ + ω − ∆ωb , ω ∗ + ω + ∆ωb ] ,
где ω ∗ – центр ω
b . Если и ω, и ω
b удовлетворяют (2.1), то время-частотное
окно
[t∗ + b − ∆w , t∗ + b + ∆w ] × [ω ∗ + ω − ∆ωb , ω ∗ + ω + ∆ωb ]
имеет постоянную ширину 2∆w и постоянную площадь 4∆w ∆wb .
Произведение ∆w ∆wb характеризует время-частотную локализацию w
и называется константой неопределенности.
Для точной время-частотной локализации выбирают функцию-окно
w так, чтобы время-частотное окно имело достаточно малую площадь
4∆w ∆wb . Мы уже видели в (1.9), что если w – некоторая функция Гаусса
gα , α > 0, то площадь окна равняется 2. Может ли быть доступна
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
меньшая площадь окна? В следующей теореме, известной как ≪принцип
неопределенности≫ мы увидим, что невозможно найти окно размером
меньшим или равным, чем у функции Гаусса.
Теорема 2.1 Пусть w ∈ L2(R) удовлетворяет условию (2.1) вместе с
w.
b Тогда
1
∆w ∆wb ≥ .
(2.3)
2
Более того, равенство достигается тогда и только тогда, когда
w(t) = ceiat gα (t − b),
где c 6= 0, α > 0; a, b ∈ R.
Сначала докажем вспомогательное утверждение. Напомним, что
функция f (x) является абсолютно непрерывной, если она дифференцируема почти всюду, ее производная локально суммируема и
f (x) − f (y) =
Zy
f ′ (t) dt
x
для любых x, y.
Лемма 2.1 Пусть f абсолютно непрерывна. Если функции (1+|x|)f (x)
и f ′ (x) принадлежат L2(R), то
2  ∞
 ∞

Z∞
Z
Z




2
′
2
′
Re
xf (x)f (x)dx ≤
|xf (x)| dx
|f (x)| dx .
(2.4)




−∞
−∞
−∞
Более того, равенство имеет место тогда и только тогда, когда
2
f (x) = c e−x
/(4α)
,
где c ∈ R, α > 0.
Доказательство. Неравенство (2.4) следует из неравенства Коши.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если в неравенстве (2.4) имеет место равенство. то
−Re xf (x)f ′(x) = |xf (x)f ′(x)|,
|xf (x)| = 2α|f ′(x)|.
(2.5)
(2.6)
где α – некоторая положительная константа. Равенство (2.6) влечет, что
xf (x) = 2αf ′(x)eiθ(x) ,
где θ(x) – некоторая действительнозначная функция. Из равенства (2.5)
следует, что
−xf (x)f ′(x) ≥ 0,
откуда, в свою очередь, получаем, что
−2α|f ′(x)|2eiθ(x) ≥ 0,
и значит, eiθ(x) = −1. Окончательно имеем, что
xf (x) = −2αf ′(x),
значит, f ′ непрерывна и
2
x
− 4α
f (x) = ce
для некоторой константы c 6= 0.
Заметим, что если бы вместо условия (2.5) мы взяли бы условие
Re xf (x)f ′(x) = |xf (x)f ′(x)|,
тогда, проводя аналогичные вычисления, мы пришли бы к равенству
x2
f (x) = ce 4α ,
что противоречит тому, что f ∈ L2 (R).
Упражнение 2.1 Доказать следующее равенство:
1 d
Re(tf (t)f ′(t)) = t |f (t)|2.
2 dt
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Упражнение 2.2 Пусть функция f (x) абсолютно непрерывна, f (x),
f ′(x) и xf (x) принадлежат L2(R). Доказать, что
lim x|f (x)|2 = 0.
x→±∞
(2.7)
Теперь докажем теорему 2.1. Рассмотрим сначала случай, когда центры w и w
b равны нулю. Используя равенство Парсеваля и соотношение
fb′(ω) = iω fb(ω), имеем
Z
Z
1
2
(∆w ∆wb )2 =
t2 |w(t)|2dt
ω 2 |w(ω)|
b
dω =
2
2
kwk2kwk
b 2
R
R
Z
Z
1
2
2
2
=
t |w(t)| dt
|wb′ (ω)| dω =
kwk22kwk
b 22
R
R
2
′ 2
2
ktw(t)k2kw′k22
2πktw(t)k2kw k2
=
=
.
2πkwk42
kwk42
Теперь из леммы 2.1, и упражнения 2.1 следует, что
Z
2
Z
2
1
ktw(t)k22kw′k22
1 1
d
2 ′ (t)dt =
≥
Re
tw(t)w
t
|w(t)|
dt
4 2
=
kwk42
kwk42 kwk
dt
R
R
2
2
Z
2
Z
1
1
1
1 1
2 ∞
2
2
=
t|w(t)|
|
−
|w(t)|
dt
=
|w(t)|
dt
=
.
−∞
4
kwk42 2
kwk
2
4
R
R
2
При интегрировании по частям следует учитывать (2.7).
Таким образом, неравенство (2.3) доказано для случая нулевых центров у w и w.
b Более того, в силу леммы 2.1 равенство в (2.3) возможно
x2
только, если w(x) = ce− 4α , где c 6= 0, α > 0.
Доказательство теоремы 2.1 в общем случае следует из упражнения.
Упражнение 2.3 Пусть t∗ и w∗ – центры w и w
b соответственно. До∗
казать, что функция h(t) := e−iw t w(t + t∗) и ее преобразование Фурье
имеют нулевые центры и те же радиусы ∆w = ∆h , ∆wb = ∆bh .
Из теоремы 2.1 следует, что преобразование Габора имеет времячастотное окно наименьшей площади. В некоторых приложениях приходится использовать большие окна для получения дополнительных
свойств, например легкости вычислений.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приведем формулу обращения для оконных преобразований Фурье.
Обозначим
Z
hf, gi :=
f (t)g(t)dt.
R
Теорема 2.2 Пусть w ∈ L2(R), kwk2 = 1, w и w
b удовлетворяют (2.1).
Тогда
Z Z
hf, Wω, bihg, Wω, bidbdω = 2πhf, gi.
(2.8)
R
R
Если x – точка непрерывности f , то
Z Z h
i
1
iωx e
f (x) =
e
Γf (ω, b) w(x − b)dωdb.
2π R R
(2.9)
Доказательство. Для f ∈ L2 (R) обозначим через F −1f обратное преобразование Фурье
1
F −1f (t) :=
2π
Z
eiωtf (ω)dω =
R
1 b
f (−t).
2π
По равенству Парсеваля и (2.2) имеем
Z e
e (ω, b)dω =
Γf (ω, b) Γg
R
Z
−1
−1
e
e
= 2π F
Γf (·, b) (t)F
Γg (·, b) (t)dt =
R
Z
= 2π f (t)w(t − b)g(t)w(t − b)dt =
ZR
= 2π f (t)g(t)|w(t − b)|2 dt.
R
Учитывая kwk2 = 1, получаем (2.8).
Упражнение 2.4 Доказать (2.9).
Указание 2.1 Взять gα в качестве g в равенстве (2.8) и перейти к
пределу по α → 0+ .
В оконном преобразование Фурье ширина окна не изменяется при изучении любой частотной полосы. Однако частота прямо пропорциональна
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
числу периодов в единицу времени, поэтому для локализации высокочастотных изменений естественно брать более узкое окно для увеличения
точности вычислений, а для низкочастотных — более широкое для получения полной информации. Таким образом, оконное преобразование Фурье не применимо к изучению сигналов, содержащие как очень высокие,
так и очень низкие частоты. На рис. 7 приведены графики абсолютной
величины оконного преобразования Фурье для функции
sin(2πν1t) + cos(2πν1t)
+
500
sin(2πν2t) + cos(2πν2t)
+ δ(t − 0.5) + δ(t − 0.55),
+
500
где ν1 = 282, ν2 = 333, δ – импульс в точке 0. Левый график соответствует
более широкому окну, правый – более узкому.
Как видно из графиков (рис. 7), при узком окне мы можем различать
импульсы, но в этом случае не обнаруживаем двух различных частот в
сигнале; при более широком окне различимы частоты, но не импульсы.
500
500
400
400
Frequency
Frequency
f (t) =
300
200
100
0
300
200
100
0
200
400
600
800
0
1000
0
200
400
600
800
1000
Рис. 7: Оконное преобразование Фурье
Итак, чем лучше частотная локализация сигнала, тем хуже временная
и наоборот. Данная проблема оконного преобразования Фурье характеризуется, так называемым принципом неопределенности Гейзенберга. Этот
принцип гласит, что невозможно получить произвольное точное времячастотное представление сигнала, то есть нельзя определить для какогото момента времени, какие спектральные компоненты присутствуют в
сигнале.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 3.
Непрерывное всплесковое
преобразование
Недостаток оконного преобразования Фурье, который мы выявили
в предыдущем пункте исправляется в НВП. НВП обладает подвижным
время-частотным окном. Данное окно одинаково хорошо выявляет как
низкочастотные, так и высокочастотные характеристики сигнала на
разных временных масштабах.
Определение 3.1 Функцию ψ ∈ L2(R) называют базовым всплеском,
если она удовлетворяет условию допустимости:
Z b
|ψ(ω)|2
Cψ :=
dω < ∞.
|ω|
R
На основе базового всплеска определяется непрерывное всплесковое преобразование (НВП) на L2(R):
Z
1
t
−
b
f (t)ψ
(Wψ f ) (b, a) := |a|− 2
dt, f ∈ L2(R),
a
R
где a, b ∈ R и a 6= 0.
Полагая
− 12
ψa, b (t) := |a|
имеем
ψ
t−b
,
a
(Wψ f ) (b, a) = hf, ψa, bi.
(3.1)
(3.2)
В дальнейшем будем считать, что и ψ, и ψb удовлетворяют (2.1).
Упражнение 3.1 Пусть центр и радиус ψ равны t∗ и ∆ψ соответственно. Доказать, что функция ψa, b имеет центр в b + at∗ и радиус
a∆ψ .
Из упражнения 3.1 следует, что НВП дает локальную информацию о
функции f с временным окном
[b + at∗ − a∆ψ , b + at∗ + a∆ψ ].
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Это окно сужается при малых значениях a и расширяется при больших.
Рассмотрим теперь
1 Z
1 b
|a|− 2
t
−
b
ψa, b (ω) =
e−iωtψ
dt =
2π
2π R
a
1 Z
t−b
a|a|− 2
t
−
b
t
−
b
(3.3)
e−iωa( a ) e−iωbψ
d
=
=
2π
a
a
R
1
a|a|− 2 −iωb b
e
ψ(aω),
=
2π
и предположим, что центр и радиус функции ψb равны ω ∗ и ∆ψb соответственно. Полагая
b + ω ∗),
η(ω) := ψ(ω
получаем оконную функцию η с центром в нуле и радиусом ∆ψb. Применяя
равенство Парсеваля к (3.2), имеем
1
a|a|− 2
(Wψ f ) (b, a) =
2π
Z
ω∗
ibω
b
f (ω)e η(a(ω − ))dω.
a
R
∗
b
Ясно, что оконная функция η(a(ω− ωa )) = η(aω−ω ∗) = ψ(aω)
имеет ради−1
2
ус a1 ∆ψb. Поэтому, с точностью до множителя a|a|2π и линейного фазового
сдвига eibω , НВП Wψ f дает локальную информацию об fb с частотным
окном
∗
1
ω∗ 1
ω
− ∆ψb,
+ ∆ψb .
(3.4)
a
a
a
a
В дальнейшем будем считать центр ω ∗ функции ψb положительным.
Тогда окно (3.4) является частотной полосой (или октавой) с центральной
∗
2∆ b
частотой (частотным центром) ωa и шириной полосы a ψ . Важно, что
отношение
центральная частота
ω ∗ /a
ω∗
=
=
ширина
2∆ψb/a 2∆ψb
не зависит от масштаба a и положения частотного центра.
Итак, для НВП имеем прямоугольное время-частотное окно
∗
ω
1
ω∗ 1
∗
∗
[b + at − a∆ψ , b + at + a∆ψ ] ×
− ∆ψb,
+ ∆ψb .
a
a
a
a
21
(3.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Η
Ω*
€€€€€€€€€
a1
Ω*
€€€€€€€€€
a2
b1 +a1 t*
b2 +a2 t*
t
Рис. 8: Время-частотные окна, a1 < a2
Отметим еще раз, что время-частотное окно (3.5) сужается (по пере∗
менной t) при больших частотных центрах ωa для выявления высокоча∗
стотных явлений и расширяется при малых частотных центрах ωa для
исследования низкочастотных (рис. 8); в то же время площадь времячастотного окна остается постоянной, равной 4∆ψ ∆ψb. Это как раз то,
что наиболее желательно при время-частотном анализе. По этой причине
всплесковый анализ часто сравнивают с ≪математическим микроскопом≫.
С этим свойством можно встретится не только в НВП. Например, рассматривая Исаакиевский собор издалека, мы не увидим украшений его
стен, зато сможем оценить общую композицию, т. е. крупномасштабную
структуру сооружения. Наоборот, приблизившись к нему вплотную, мы
сможем разглядеть в деталях все украшения, но потеряем при этом ощущение формы самого собора.
На рис. 9 приведены графики абсолютной величины НВП функций
f1(t) =
sin(2πν1t) + cos(2πν1t)
+
500
sin(2πν2t) + cos(2πν2t)
+
+ δ(t − 0.5) + δ(t − 0.55),
500
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и
f2(t) + δ(t − 0.5) + δ(t − 0.55),
где
f2(t) =
(
(sin(2πν1t) + cos(2πν1t))/500, t ∈ [0, 21 ),
,
(sin(2πν2t) + cos(2πν2t))/500, t ∈ [ 12 , 1).
ν1 = 282, ν2 = 333.
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 1 1.5 2 2.5 3 ...
scales a
scales a
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 1 1.5 2 2.5 3 ...
23.5
22
20.5
19
17.5
16
14.5
13
11.5
10
8.5
7
5.5
4
2.5
1
1000
2000
3000
time (or space) b
4000
23.5
22
20.5
19
17.5
16
14.5
13
11.5
10
8.5
7
5.5
4
2.5
1
1000
2000
3000
time (or space) b
4000
Рис. 9: Непрерывное всплесковое преобразование
За счет изменения размера окна в зависимости от частоты НВП различает как частоты анализируемого сигнала, так и импульсы.
Следующий результат показывает, как восстановить функцию по ее
НВП.
Теорема 3.1 Пусть ψ — базовый всплеск. Тогда для любых f, g ∈ L2 (R)
Z Z h
i da
(Wψ f ) (b, a)(Wψ g) (b, a) 2 db = Cψ hf, gi.
(3.6)
a
R R
Более того, для любой f ∈ L2(R) и любой точки x, в которой f непрерывна,
Z Z
1
da
f (x) =
[(Wψ f ) (b, a)] ψa, b (x) 2 db,
(3.7)
Cψ R R
a
где ψa, b определены в (3.1).
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство. Пусть
b
F (x) := fb(x)ψ(ax),
b
G(x) := b
g (x)ψ(ax).
Применяя равенство Парсеваля и (3.3), имеем
Z
(Wψ f ) (b, a)(Wψ g) (b, a)db =
R
Z
)
Z (Z
1
t−b
s−b
=
f (t)ψ
dt g(s)ψ
ds db =
|a| R
a
a
R
R
Z Z
Z
a
1
a
−iby
b
b
·
g (y)e ψ(ay)dy
b
db =
=
fb(x)e−ibxψ(ax)dx
|a| R 2π R
2π R
Z Z
Z
a2
1
1
=
F (x)e−ibxdx ·
G(y)e−iby dy db =
|a| R 2π R
2π R
Z
Z
Z
a2
1
1
=
F (x)e−ibxdx ·
G(y)e−iby dy db =
|a| R 2π R
2π R
Z
2 Z
a
1 b
1 b
a2
=
F (b) G(b) db =
G(x)F (x)dx.
|a| R 2π
2π
2π|a| R
Таким образом,
Z Z
da
(Wψ f ) (b, a)(Wψ g) (b, a) 2 db =
a
R R
Z 2 Z
a
da
=
G(x)F (x)dx
=
a2
R 2π|a| R
Z 2 Z
a
da
b
b
=
g (x)ψ(ax)
b
fb(x)ψ(ax)dx
=
2
2π|a|
a
R
R
)
Z b
Z (
2
1
|ψ(ax)|
=
fb(x)b
g(x)
da dx =
2π R
|a|
R
)
Z (
Z b
2
1
|
ψ(y)|
=
fb(x)b
g(x)
dy dx =
2π R
|y|
R
1
= Cψ hfb, b
g i = Cψ hf, gi.
2π
Упражнение 3.2 Доказать (3.7).
Указание 3.1 См. указание (2.1).
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При анализе физических сигналов рассматриваются только положительные частоты. Так как частота обратно пропорциональна параметру
сжатия a: ω = ω ∗/a, то в этом случае необходимо рассматривать только положительные a и восстанавливать сигнал по значениям (Wψ f ) (b, a)
при положительных значениях a. Для этого на базовый всплеск надо наложить дополнительное требование:
Z
0
∞
2
b
|ψ(ω)|
dω =
ω
Z
∞
0
2
b
|ψ(−ω)|
1
dω = Cψ < ∞.
ω
2
(3.8)
Теорема 3.2 Пусть базовый всплеск ψ удовлетворяет (3.8). Тогда для
любых f, g ∈ L2(R)
Z ∞ Z
da 1
(Wψ f ) (b, a)(Wψ g) (b, a)db 2 = Cψ hf, gi.
(3.9)
a
2
0
R
Более того, для любой f ∈ L2(R) и любой точки x, в которой f непрерывна,
Z ∞ Z
2
da
f (x) =
(Wψ f ) (b, a)ψa, b (x)db 2 ,
(3.10)
Cψ 0
a
R
где ψa, b определены в (3.1).
Упражнение 3.3 Доказать теорему (3.2).
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 4.
Двоичные всплески и формулы
обращения
При анализе сигналов частотную ось часто разбивают на дизъюнктные
частотные полосы или октавы. Рассмотрим двоичное разбиение:
(0, ∞) =
∞
[
(2j ∆ψb, 2j+1∆ψb],
j=−∞
где ∆ψb > 0 – радиус преобразования Фурье ψb базового всплеска ψ. Мы,
как обычно, предполагаем, что ψb удовлетворяет (2.1). Заметим, что, не
ограничивая общности, можно считать ω ∗ = 3∆ψb (достаточно применить
к ψ соответствующий фазовый сдвиг: ψ 0 (t) := eiαt ψ(t)). Тогда при
aj := 2−j имеем
∗
ω
1
ω∗
1
− ∆ψb,
+ ∆ψb = (2j+1∆ψb, 2j+2∆ψb].
aj
aj
aj
aj
∗
Центральная частота этой полосы равна ωj := ωaj = 3 × 2j ∆ψb.
При дополнительных предположениях на базовый всплеск ψ оказывается возможным восстановить функцию, используя значения НВП
(Wψ f ) (b, a) только на дискретном множестве частот
(т. е. a = aj , j ∈ Z).
{ωj = 3 × 2j ∆ψb : j ∈ Z}
Определение 4.1 Функция ψ ∈ L2 (R) называется двоичным всплеском, если существуют две положительные константы A и B,
0 < A ≤ B < ∞, такие, что почти всюду (п.в.)
X
b −j ω)|2 ≤ B.
A≤
|ψ(2
(4.1)
j∈Z
Условие (4.1) называют условием устойчивости.
Пусть f −(x) := f (−x). Определим нормированное НВП
ψ
Wj f (b) := 2j/2 (Wψ f ) (b, 2−j ) = 2j (f ∗ ψ − (2j ·))(b).
26
(4.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Упражнение 4.1 Доказать, что
fb(x) = (fc̄−)(x); (fc−)(x) = (fb)−(x).
(4.3)
\
b −j ω).
(Wjψ f )(ω) = fb(ω)ψ(2
(4.4)
Упражнение 4.2 Доказать, что
Указание 4.1 Использовать (4.2), (4.3), h1\
∗ h2 = hb1 hb2 .
Упражнение 4.3 Доказать, что (4.1) эквивалентно
X
Akf k22 ≤
kWjψ f k22 ≤ Bkf k22, f ∈ L2(R).
j∈Z
Указание 4.2 Использовать равенство Парсеваля.
Следующий результат показывает, что двоичный всплеск всегда является
базовым.
Теорема 4.1 Пусть ψ удовлетворяет (4.1). Тогда ψ — базовый
всплеск и
Z∞ b
|ψ(ω)|2
dω ≤ B ln 2,
A ln 2 ≤
ω
(4.5)
0
Z∞ b
|ψ(−ω)|2
A ln 2 ≤
dω ≤ B ln 2.
ω
0
Если A = B, то
Cψ :=
Z
2
b
|ψ(ω)|
dω = 2A ln 2.
|ω|
R
Доказательство.
Докажем (4.5). Заметим, что
−j+1
2Z
Z2 b −j 2
2
b
|ψ(2 ω)|
|ψ(ω)|
dω =
dω.
ω
ω
1
2−j
27
(4.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разделив каждый член в (4.1) на ω и проинтегрировав по интервалу (1, 2),
получим
b −j ω)|2
A X |ψ(2
B
≤
≤ ,
ω
ω
ω
j∈Z
Z2
1
A
dω ≤
ω
Z2 X b −j 2
Z2
|ψ(2 ω)|
B
dω ≤
dω,
ω
ω
1
A ln 2 ≤
A ln 2 ≤
j∈Z
X
1
Z2
j∈Z 1
b −j ω)|2
|ψ(2
dω ≤ B ln 2,
ω
2−j+1
2
X Z |ψ(ω)|
b
j∈Z
ω
dω ≤ B ln 2,
2−j
Z∞ b
|ψ(ω)|2
A ln 2 ≤
dω ≤ B ln 2.
ω
0
Упражнение 4.4 Доказать (4.6).
Для восстановления f ∈ L2(R) по значениям НВП (Wψ f ) (b, 2−j ),
j ∈ Z легче всего использовать другой двоичный всплеск ψ ∗ , определяемый в образах Фурье следующим образом:
b
c∗ (ω) := P ψ(ω)
ψ
.
b −k ω)|2
|ψ(2
(4.7)
k∈Z
Используя равенство Парсеваля и (4.4), имеем
XZ
(Wjψ f )(b){2j ψ ∗ (2j (x − b))}db =
j∈Z
R
X 1 Z \
c∗(2−j ω)eixω dω =
=
(Wjψ f )(ω)ψ
2π R
j∈Z
X 1 Z
b −j ω)ψ
c∗ (2−j ω)eixω dω =
=
fb(ω)ψ(2
2π R
j∈Z
Z
1
=
fb(ω)eixω dω = f (x).
2π R
28
(4.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 4.2 Функция ψe
∈
L2(R) называется двоичнодвойственной к двоичному всплеску ψ, если каждая функция f ∈ L2 (R)
может быть представлена в виде
XZ
e j (x − b))}db =
f (x) =
(Wjψ f )(b){2j ψ(2
j∈Z
R
=
X
23j/2
Z
R
j∈Z
(Wjψ f )(b,
1 e j
)ψ(2 (x − b))db.
2j
В силу (4.8) функция ψ ∗ является двоично-двойственной к ψ.
Покажем, что ψ ∗ является двоичным всплеском. Используя (4.1) и
(4.7), будем иметь
A≤
X
k∈Z
b −k ω)|2 ≤ B,
|ψ(2
1
1
1
≤ ,
≤ P
b −k ω)|2
B
A
|ψ(2
k∈Z
b
b
b
ψ(ω)
ψ(ω)
ψ(ω)
≤
≤ P
,
b −k ω)|2
B
A
|ψ(2
k∈Z
b
b
ψ(ω)
c∗ (ω) ≤ ψ(ω) ,
≤ψ
B
A
2
2
b
b
|ψ(ω)|
|ψ(ω)|
2
∗
c
≤ |ψ (ω)| ≤
,
B2
A2
P b −j 2
P b −j 2
|ψ(2 ω)|
|ψ(2 ω)|
X
j∈Z
j∈Z
c∗ (2−j ω)|2 ≤
≤
|ψ
,
2
B
A2
j∈Z
P b −j 2
|ψ(2 ω)|
j∈Z
B2
откуда получаем
≤
X
1
c∗ (2−j ω)|2 ≤ 1 ≤
≤
|ψ
B
A
j∈Z
X
1
c∗ (2−j ω)|2 ≤ 1 ,
≤
|ψ
B
A
P b −j 2
|ψ(2 ω)|
j∈Z
A2
,
j∈Z
а это и означает, что ψ ∗ является двоичным всплеском.
Отметим, что двоично-двойственный всплеск к данному всплеску ψ
не единственен.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 4.2 Пусть ψ — двоичный всплеск и ψe – произвольная функция
из L2(R), удовлетворяющая условию
ess sup
x∈R
X b
e −j x)|2 < ∞.
|ψ(2
(4.9)
j∈Z
Функция ψe является двоично-двойственной к ψ тогда и только тогда,
когда
X
be −j
b −j ω)ψ(2
ψ(2
ω) = 1, п.в.
(4.10)
j∈Z
Доказательство. Будем рассуждать аналогичным образом, как в (4.8)
XZ
e j (x − b))}db =
(Wjψ f )(b){2j ψ(2
j∈Z
R
X 1 Z \
be −j
(Wjψ f )(ω)ψ(2
ω)eixω dω =
=
2π R
j∈Z
X 1 Z
be −j
b −j ω)ψ(2
=
ω)eixω dω =
fb(ω)ψ(2
2π R
j∈Z
Z X
1
be −j
b −j ω)ψ(2
=
fb(ω)ψ(2
ω)eixω dω.
2π R
j∈Z
Последний бесконечный ряд сходится п.в. в силу условий (4.9) и (4.1),
тогда для выполнения условия теоремы необходимо и достаточно, чтобы
fb(ω) =
что эквивалентно (4.10).
X
j∈Z
be −j
b −j ω)ψ(2
fb(ω)ψ(2
ω)eixω dω,
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 5.
Фреймы
Для вычислительной эффективности дискретизируем теперь и параметр сдвига b, рассматривая только дискретное множество значений:
bj, k := 2kj b0, j, k ∈ Z, где b0 > 0 – фиксированная константа, называемая
темпом измерений. Обозначим
ψb0 , j, k (t) := ψaj , bj, k (t) = 2j/2ψ(2j t − kb0 ).
Будем рассматривать только следующие значения НВП:
(Wψ f ) (bj, k , aj ) = hf, ψb0 , j, k i ,
j, k ∈ Z.
(5.1)
Если существуют константы A и B, такие, что 0 < A ≤ B < ∞ и для
всех f ∈ L2(R) выполняется двойное неравенство
X
2
Akf k2 ≤
| hf, ψb0 , j, k i |2 ≤ Bkf k22,
(5.2)
j, k∈Z
то функцию f ∈ L2(R) можно восстановить по значениям НВП из (5.1).
Определение 5.1 Говорят, что функция ψ ∈ L2(R) порождает фрейм
в L2(R) с темпом измерений b0 > 0 , если выполняется (5.2) с константами A и B, которые называются границами фрейма. Если A = B,
то фрейм называют жестким (естественно называть жесткий фрейм
обобщенной системой Парсеваля).
Рассмотрим линейный оператор T на L2 (R):
X
hf, ψb0 , j, k i ψb0 , j, k , f ∈ L2(R).
T f :=
j, k∈Z
Упражнение 5.1 Доказать, что kT kL2(R)→L2 (R) ≤ B.
Указание 5.1 Использовать равенство
khk2 =
sup
{g:kgk2=1}
31
|hh, gi|.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Упражнение 5.2 Доказать, что T является взаимно-однозначным.
Указание 5.2 Использовать следствие из (5.2):
X
hT f, f i =
|hf, ψb0 , j, k i|2 .
(5.3)
j, k∈Z
Если g = T f , то
AkT −1gk22 = Akf k22 ≤ hT f, f i = hg, T −1gi ≤ kgk2kT −1gk2 .
Откуда kT −1gk2 ≤ A1 kgk2 или kT −1k2 ≤ A−1. Значит,
Ran T := {g : g = T f, f ∈ L2(R)}
является замкнутым многообразием в L2(R).
Упражнение 5.3 Используя (5.3), доказать, что Ran T ⊥ = {0}.
Упражнение 5.4 Доказать, что Ran T = L2 (R).
Таким образом, любую функцию f ∈ L2(R) можно восстановить по значениям НВП из (5.1), применяя формулу
X
f = T −1T f =
hf, ψb0 , j, k iT −1 ψb0 , j, k .
(5.4)
j, k∈Z
Пологая ψbj,0 k := T −1ψb0 , j, k , j, k ∈ Z, можно переписать формулу (5.4)
следующим образом, для любых f, g ∈ L2(R)
X
X
j, k
hf, gi =
hf, ψb0 , j, k ihψb0 , gi; f =
hf, ψb0 , j, k iψbj,0 k .
j, k∈Z
j, k∈Z
Естественно называть {ψbj,0 k } двойственным фреймом к фрейму
{ψb0 , j, k }.
Определение 5.2 Говорят, что функция ψ ∈ L2 (R) порождает базис
Рисса (или безусловный базис) {ψb0 , j, k } с темпом измерений b0, если
выполнены следующие два условия:
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. линейная оболочка {ψb0 , j, k }j, k∈Z плотна в L2(R);
2. существуют положительные константы A и B,
0 < A ≤ B < ∞, такие, что для любых {cj, k } ∈ l2(Z 2)
2
X
≤ Bk{cj, k }k22 .
Ak{cj, k }k2l2 ≤ c
ψ
j,
k
b
,
j,
k
0
l
j, k∈Z
(5.5)
2
Константы A и B называют константами Рисса для {ψb0 , j, k }. Если
b0 = 1, то функция ψ называется R-функцией.
В дальнейшем будем использовать обозначение
ψj, k (x) := ψ1, j, k (x) = 2j/2ψ(2j x − k),
которое не надо путать с ψa, b из (3.1).
Следующий результат показывает разницу между фреймом и базисом
Рисса.
Теорема 5.1 Пусть ψ ∈ L2 (R) и b0 > 0. Тогда следующие утверждения
эквивалентны:
1. {ψb0, j, k } — базис Рисса в L2(R);
2. {ψb0, j, k } — фрейм в L2(R) и l2 — линейно независимое семейство,
т. е. если
P
cj, k ψb0 , j, k = 0 и {cj, k } ∈ l2, то cj, k = 0.
j, k∈Z
Более того, константы Рисса совпадают с границами фрейма.
Доказательство. Необходимость. Пусть {ψb0 , j, k } — базис Рисса с границами A и B. Из (5.5) следует l2 -независимость. Обозначим
γl, m; j, k := hψb0 , l, m, ψb0 , j, k i
и рассмотрим оператор в l2(Z 2), определяемый матрицей
M := [γl, m; j, k ](l, m)(j, k)∈Z 2 .
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Условие (5.5) влечет положительную определенность M:
X
Ak{cj, k }k2l2 ≤
cl, m γl, m; j, k cj, k ≤ Bk{cj, k }k2l2 .
l, m, j, k∈Z
Пусть обратный к M оператор M −1 имеет матрицу
M −1 := [µl, m; j, k ](l, m)(j, k)∈Z 2 .
Тогда
X
µl, m; r, s γr, s; j, k = δl, j δm, k ,
(r, s)∈Z 2
и
B −1k{cj, k }k2l2 ≤
X
l, m, j, k∈Z
Определим функции
ψ
l, m
:=
l, m, j, k ∈ Z,
cl, m µl, m; j, k cj, k ≤ A−1k{cj, k }k2l2 .
X
µl, m; j, k ψb0 , j, k .
(5.6)
(5.7)
(5.8)
j, k
Упражнение 5.5 Доказать, что ψ l, m ∈ L2(R).
Указание 5.3 Использовать (5.6), (5.7), (5.8).
Из (5.6) следует, что
hψ l, m , ψb0 , j, k i = δl, j δm, k ,
l, m, j, k ∈ Z.
Это означает, что ψ l, m является базисом в L2(R), биортогональным к
{ψb0 , j, k }. Из (5.6) и (5.7) получаем, что
hψ l, m , ψ j, k i = µl, m; j, k
и что границы Рисса ψ l, m равны B −1, и A−1. Таким образом, для произвольной функции f ∈ L2(R) имеем
X
f=
hf, ψb0 , j, k iψ j, k
j, k
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и
B
−1
X
j, k
2
|hf, ψb0 , j, k i| ≤
kf k22
≤A
−1
X
j, k
|hf, ψb0 , j, k i|2 ,
что означает, что {ψb0 , j, k } — фрейм в L2(R).
Достаточность. На множестве финитных последовательностей в l2 рассмотрим оператор l2(Z 2)
X
F ({cj, k }) =
cj, k ψb0 , j, k .
Упражнение 5.6 Доказать, что kF k ≤ B 1/2
По теореме Банаха — Штейнгауза оператор F продолжается на
все l2(Z 2). В силу l2-независимости оператор F является взаимнооднозначным. Из упражнения 5.4 следует, что образ этого оператора совпадает с L2(R), значит, по теореме Банаха об открытом отображении оператор F имеет ограниченный обратный.
Функция, порождающая фрейм, всегда является двоичным всплеском.
Теорема 5.2 Пусть ψ ∈ L2(R) порождает фрейм {ψb0 , j, k } в L2(R) с
границами A и B и темпом измерений b0 > 0. Тогда
X
b −j ω)|2 ≤ b0 B, п.в.
b0 A ≤
|ψ(2
j∈Z
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 6.
Всплесковые ряды
В дальнейшем будем предполагать темп измерений b0 = 1. Пусть ψ−
R-функция, {ψj, k } – базис Рисса, {ψ j, k = T −1ψj, k } – двойственный
фрейм.
В классе R-функций выделяют два важных подмножества.
Определение 6.1 Пусть ψ ∈ L2(R) − R-функция. Тогда
1. ψ называют ортогональным всплеском, если {ψj, k } удовлетворяют условию ортогональности:
hψj, k, ψl, mi = δl, j δm, k ,
l, m, j, k ∈ Z;
2. ψ называют полуортогональным всплеском, если {ψj, k } удовлетворяют условию:
hψj, k, ψl, mi = 0,
j 6= l; l, m, j, k ∈ Z.
Очевидно, что ортогональные всплески являются самодвойственными:
ψ j, k = ψj, k ,
j, k ∈ Z.
Для того, чтобы указать двойственный фрейм в полуортогональном
случае, приведем следующий критерий ортогональности.
Теорема 6.1 Для любой функции φ ∈ L2 (R) следующие утверждения
эквивалентны:
1. {φ(t − k) : k ∈ Z} – ортонормированное семейство:
hφ(· − k), φ(· − l)i = δk, l ,
k, l ∈ Z;
2. преобразование Фурье удовлетворяет условию:
Z
1
2
b
e−ijω |φ(ω)|
dω = δj, 0, j ∈ Z;
2π R
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. для почти всех ω
X
k∈Z
Доказательство
b + 2πk)|2 = 1.
|φ(ω
Упражнение 6.1 Доказать, что функция
Φ(ω) :=
∞
X
k=−∞
b + 2πk)|2
|φ(ω
определена корректно и принадлежит L1(0, 2π).
Заметим, что
1
2π
Z2π
0
∞ Z2π
X
1
b + 2πk)|2 dω =
e−ijω Φ(ω)dω =
e−ijω |φ(ω
2π
=
1
2π
1
=
2π
k=−∞ 0
2π(k+1)
Z
∞
X
k=−∞ 2πk
Z
R
2
b
e−ijω |φ(ω)|
dω =
2
b
e−ijω |φ(ω)|
dω,
откуда следует эквивалентность (2) и (3). Эквивалентность (1) и (2) следует из равенства
Z
hφ(· − k), φ(· − l)i =
φ(t − k)φ(t − l)dt =
R Z
1
−i(k−l)ω b
b
φ(ω)dω =
=
φ(ω)e
2π ZR
1
2
b
=
e−i(k−l)ω |φ(ω)|
dω.
2π R
Более слабым, чем условие ортогональности, является условие Рисса,
или условие безусловности.
Теорема 6.2 Для любой функции φ и констант 0 < A ≤ B < ∞ следующие утверждения эквивалентны:
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. {φ(· − k) : k ∈ Z} удовлетворяет условию Рисса с константами
A и B, т. е. для любых {ck } ∈ l2
2
X
2
Ak{ck }kl2 ≤ ck φ(· − k) ≤ Bk{ck }k2l2 .
k∈Z
2
2. Преобразование Фурье φb удовлетворяет п.в. условию
A≤
X
k∈Z
Доказательство. Пусть
b + 2πk)|2 ≤ B.
|φ(ω
C(ω) :=
∞
X
ck e−ikω
k=−∞
и
Φ(ω) :=
∞
X
k=−∞
b + 2πk)|2.
|φ(ω
Заметим, что из равенства Парсеваля следует, что
2
Z
∞
X
1
2
b
ck φ(· − k) =
|C(ω)φ(ω)|
dω =
2π R
k=−∞
2
∞
1 X
=
2π
=
=
2π(k+1)
Z
k=−∞ 2πk
∞ Z2π
1 X
2π
1
2π
k=−∞ 0
Z2π
2
b
|C(ω)φ(ω)|
dω =
b + 2πk)|2dω =
|C(ω)φ(ω
|C(ω)|2Φ(ω)dω.
0
Из равенства Парсеваля для периодических функций имеем, что
kCk2L2(0, 2π) :=
1
2π
Z2π
0
|C(ω)|2dω = k{ck }k2l2 .
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поэтому условие 1 эквивалентно тому, что для любой функции g, где
1
2π
Z2π
0
имеем
A≤
1
2π
|g(ω)|dω = 1,
Z2π
0
g(ω)Φ(ω)dω ≤ B.
В таком виде эквивалентность 1 и 2 очевидна.
Теперь можно указать двойственный фрейм к полуортогональным
всплескам.
Теорема 6.3 Пусть ψ ∈ L2(R) – полуортогональный всплеск. Определим ψe в образах Фурье
ψb
be
ψ := P
.
b + 2πk)|2
|ψ(ω
k∈Z
Тогда функция ψe двойственна к ψ, т. е.
где
hψj, k , ψel, mi = δj, l δk, m ,
l, m, j, k ∈ Z,
(6.1)
e l x − m).
ψel, m (x) := 2l/2ψ(2
g
Таким образом, двойственный фрейм к {ψj, k } – это {ψ j, k = ψ
j, k }.
Доказательство. Так как ψ ∈ L2(R) – полуортогональный всплеск, то
{ψj, k } является базисом Рисса. Из условия (5.5) для последовательности
cj, k = ck δj, 0, {ck } ∈ l2 и теоремы 6.2 следует корректность определения
e
функции ψ.
Упражнение 6.2 Доказать, что функция
X
e =
ψ(t)
ak ψ(t − k)
k∈Z
и найти формулу для ak .
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из упражнения следует, что
Для j = l имеем
hψj, k , ψel, mi = 0,
j 6= l; l, m, j, k ∈ Z.
Z
e j t − m)dt =
hψj, k , ψel, mi = 2j
ψ(2j t − k)ψ(2
Z R
Z
1
be
e − m)dt =
b ψ(ω)dω
=
=
ψ(t − k)ψ(t
e−i(k−m)ω ψ(ω)
2π R
R
" ∞
#
Z2π
X
1
be
b + 2πl)ψ(ω
=
e−i(k−m)ω
ψ(ω
+ 2πl) dω =
2π
=
1
2π
0
Z2π
l=−∞
e−i(k−m)ω dω = δk, m .
0
Эта теорема указывает, как исправить полуортогональный всплеск в
ортогональный. Действительно, полагая
b
ψ(ω)
c⊥ (ω) := P
,
ψ
b + 2πk)|2 )1/2
(
|ψ(ω
k∈Z
получаем, что
c⊥ (ω)
ψ
c
f⊥ (ω) =
c⊥ (ω).
ψ
=ψ
P c⊥
|ψ (ω + 2πk)|2
k∈Z
f⊥ = ψ ⊥ , т. е. ψ ⊥ — самодвойственен.
Таким образом, ψ
Существуют R-функции, у которых нет двойственных, т. е. двойственный базис {ψ j, k } к базису Рисса {ψj, k } не имеет вида {ψej, k } ни для какой
функции ψe ∈ L2(R).
Определение 6.2 R-функция ψ ∈ L2(R) называется всплеском, если
существует двойственная функция ψe ∈ L2 (R), такая, что {ψj, k } и
{ψej, k }, удовлетворяют (6.1).
Очевидно, что ψe – тоже всплеск с двойственным ψ.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
e то любую функцию f ∈ L2 (R)
Если ψ – всплеск с двойственным ψ,
можно разложить в ряды:
X
X
f (x) =
cj, k ψj, k =
dj, k ψej, k .
(6.2)
j, k∈Z
j, k∈Z
Оба этих ряда называются всплесковыми. В силу (6.1)
cj, k = hf, ψej, k i;
dj, k = hf, ψj, k i.
e Для произвольной
Теорема 6.4 Пусть ψ – всплеск с двойственным ψ.
функции f ∈ L2(R) вычислим НВП с ψ и ψe в точках
(b, a) = 2kj , 21j , j, k ∈ Z:
k 1
dj, k = hf, ψj, k i = (Wψ f ) j , j ;
2 2
k
1
cj, k = hf, ψej, k i = (Wψef ) j , j .
2 2
Тогда f можно восстановить или по {dj, k }, или по {cj, k }, используя
ряды (6.2). Более того, скалярное произведение любых двух функций из
L2(R) можно также вычислить при помощи аналогичных дискретных
значений НВП :
X
hf, gi =
hf, ψj, k ihψej, k , gi.
j, k∈Z
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
1. Основная литература
1. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории / К. Блаттер. – М. :
Техносфера, 2004. – 280 с.
2. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. – Ижевск:
НИЦ ≪Регулярная и хаотическая динамика≫, 2001. – 464 с.
3. Новиков И.Я. Основы теории всплесков / И.Я. Новиков, С.Б. Стечкин // Успехи математических наук. –
1998. – Т. 53, № 6. – С. 53–128. (электоронный вариант:
http://gamma.niimm.spb.su/user/dmp/Ruspap/Umn.ps.gz)
4. Чуи Ч. Введение в вэйвлеты : пер. с англ. / Ч. Чуи. – М. : Мир,
2001. – 412 с.
2. Дополнительная литература
5. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального
анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М. : Наука, 1976.
6. Новиков И.Я. Теория всплесков / И.Я.Новиков, В.Ю. Протасов,
М.А. Скопина. – М. : Физматлит, 2005. – 612 с.
7. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB/
Н.К. Смоленцев. – М. : ДМК Пресс, 2005. – 304 с.
8. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов / С. Малла. – М. : Мир,
2005. – 671 с.
9. Яковлев А.Н. Основы вейвлет-преобразования сигналов : учеб.
пособие / А.Н. Яковлев. – М. : САЙНС-ПРЕСС, 2003. – 80 с.
3. Интернет сайты
(a) http://www.wavelet.org/
(b) http://www.wavelet.narod.ru/
(c) http://www.wavelet.by.ru/
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предметный указатель
Базис
– Габора (Gabor transform), 8–13,
– Безусловный (unconditional
19
basis), 36
–
непрерывное
всплесковое
– Рисса (Riesz basis), 36, 39
(НВП) (continuous wavelet
Всплеск (wavelet), 6
transform (CWT)), 6, 22–26,
– базовый (wavelet basic), 22, 27
34, 35, 44
– двоичный, 28
– Фурье (Fourier transform), 8
– двоично-двойственный, 31, 32
– – оконное (shot-time Fourier
–
ортогональный
(wavelet
transform), 15, 19, 20
orthogonal), 39
Темп измерений(Sampling rate), 34,
– полуортогональный (wavelet
36, 38
semi-orthogonal), 39, 42, 43
Фрейм (frame), 34, 36, 38, 42
– ряд (wavelet series), 39, 44
– границы (frame bounds), 34
Вэйвлет (wavelet), 6
– двойственный (dual frame), 35,
Вэйвлет-анализ
39, 42
(wavelet analysis), 6
– жесткий (tight frame), 34
Критерий ортогональности, 39
Обобщенная система Парсеваля
(generalized Parseval system),
34
Окно
– Временное (time window), 9, 13,
23
–
Время-частотное
(timefrequency window), 13, 19,
24
–
Функция-окно
(window
function), 10, 12, 23
– Частотное (frequency window),
13, 15
Преобразование
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Характеристика источников
3
Введение
5
§ 1.Преобразование Габора
7
§ 2.Оконное преобразование Фурье
14
§ 3.Непрерывное всплесковое преобразование
20
§ 4.Двоичные всплески и формулы обращения
26
§ 5.Фреймы
31
§ 6.Всплесковые ряды
36
Список литературы
42
Предметный указатель
43
Содержание
44
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подписано в печать 09.11.09. Формат 60×84 1/16. Усл. печ. л. 2,55.
Тираж 0 экз. Заказ 1787
Отпечатано с готового оригинала-макета
в типографии Издательско-полиграфического центра
Воронежского государственного университета.
394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
25
Размер файла
582 Кб
Теги
непрерывного, 792, всплесковое, преобразование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа