close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1234.Физико-химическая механика

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Е.Н. Коржов
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Учебное пособие
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2009
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рекомендовано к изданию научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики ВГУ 11 июня 2008 г., протокол № 9
Рецензент доцент кафедры теоретической физики Воронежского госуниверситета кандидат физико-математических наук А.Н. Алмалиев
Настоящее учебное пособие ставит своей целью развить основные представления о современных подходах и методах механики с учетом разнообразных физических и химических взаимодействий между материальными
объектами реальной действительности.
В первой части пособия дается общее представление о тех областях знаний
и практической деятельности, в которых имеют место какие-либо процессы
или явления, характеризующиеся физическими или химическими превращениями и взаимодействиями между реальными объектами. Приводятся
основные понятия и представления, свободное владение которыми требуется при математическом моделировании функционирования реальных объектов. Во второй части представлены задания и примеры их выполнения в
рамках семинарских занятий, рассчитанных на 34 аудиторных часа.
Учебное пособие подготовлено на кафедре теоретической и прикладной
механики факультета прикладной математики, информатики и механики
Воронежского государственного университета. Рекомендуется для студентов 5 и 6 курсов факультета ПММ.
Для специальности: 010900 – Механика
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. КРАТКИЙ ОБЗОР НЕКОТОРЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
РАЗВИТИЯ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ:
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
В начале XXI века одной из характерных особенностей развития науки и техники является все большая степень интеграции различных их разделов вместе с широким внедрением тех или иных элементов информационных технологий. Последний факт является важным обстоятельством, отмечаемым не только в механике, но и других областях знаний.
В механике, как и в большинстве естественных наук, еще с середины
прошлого века интенсивное развитие получили так называемые «пограничные» области знаний. Термин «пограничные» выражает существенную особенность, заключающуюся в том, что основная масса исследований выполняется, как правило, на стыке наук. Вместе с тем следует отметить, что такого рода исследования выполнялись в науке уже достаточно давно. По
крайней мере, в области механики подобного рода исследования относят к
началу прошлого века, когда были получены существенные результаты с
привлечением теории или эксперимента при учете разнообразных физических взаимодействий или химических превращений.
Так, например, известная задача Стефана о поведении систем, состоящих из твердых и жидких сред, при замерзании или отвердевании и обратные им явления (таяние, плавление) была сформулирована и успешно
решена еще в 1891 году. В течение XX века была развита целая относительно самостоятельная область механики для систем с подвижными границами
и фазовыми переходами. В настоящее время прямые и обратные задачи попрежнему широко изучаются в связи с многочисленными и разнообразными приложениями. Большое внимание уделяется задачам с промежуточным
фазовым состоянием, называемым иногда «мягким» слоем. Такие задачи
весьма актуальны в металлургии, химической промышленности, биологии и
медицине, в исследованиях, связанных с изучением поведения ледников
(больших массивов льда и снега) и мн. др.
К середине XX века у нас в стране и за рубежом формируются коллективы и группы специалистов по различным направлениям исследований
в области физико-химической механики. Создаются специальные лаборатории в Институте механики Академии наук (в настоящее время Институт
проблем механики РАН), институте механики Московского университета, в
институтах Сибирского отделения АН СССР (Институт гидродинамики,
Институт теоретической и прикладной механики, организуется даже самостоятельный академический Институт механики многофазных систем
(г. Тюмень)) и в других научных центрах. Многочисленные шаги по расширению фронта исследований в области физико-химической механики предпринимаются в различных государствах. Безусловно, ведущими здесь яв3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ляются такие научные центры, как Массачусетский и Калифорнийский технологические институты, Принстонский, Вашингтонский и Джона Гопкинса в Балтиморе университеты, Лос-Аламосская национальная лаборатория и
Национальное аэрокосмическое агентство (США), Кембриджский университет и Лондонский королевский колледж (Великобритания), ONERA
(Франция), университеты Штудгарта, Эссена, Дортмунда (Германия). К исследованиям в области физико-химической механики все чаще подключаются ученые Японии, Китая, Бельгии, Голландии, Италии, Израиля, Канады, Австралии и других стран мира.
В настоящее время отсутствует единая строгая структурная классификация исследований в этой области. Из наиболее удачных, на наш взгляд,
можно отметить подход, выработанный ВИНИТИ РАН, добавив некоторые
традиционные для механики разделы.
Прежде всего, необходимо отметить те взаимодействия и перемещения
жидких, газообразных или твердых деформируемых тел, которые происходят
при непостоянных температурах, то есть класс неизотермических задач механики. К ним относятся задачи динамики с учетом эффектов теплопроводности
(или диффузии), а также конвективного переноса в жидких или газообразных
средах, в том числе с учетом теплового излучения. Отдельный класс представляют течения, вызванные непостоянством распределения температуры
или концентрации растворенных в жидкости или газе веществ.
Другим ведущим разделом физико-химической механики являются
проблемы, возникающие при действии электромагнитных полей. Электрические и магнитные эффекты могут проявляться в разной степени, поэтому
порою отдельно выделяют электро- и магнитодинамические задачи.
Традиционно большое внимание в механике уделялось и сейчас уделяется проблемам горения и детонации как в гомогенных средах, так и гетерогенных системах. Среди других разделов механики данный предмет
выделяется важностью разнообразных и многочисленных приложений.
Прежде всего, это комплекс вопросов, связанных с двигателестроением,
многочисленными процессами в химической и оборонной отраслях промышленности, энергетике и проч.
Более общая задача динамики для материальных сред, находящихся в
различных агрегатных состояниях, с разнообразными химическими реакциями между фазами или компонентами, также была успешно сформулирована и получила относительно последовательное развитие во второй половине прошлого века. Благодаря выполненным исследованиям, удалось успешно решить комплексы вопросов как научного содержания, так и имеющих большое прикладное значение. Результаты подобного рода исследований широко внедрены в добывающей и пищевой промышленности, металлургии, химическом производстве, фармакологии и т. д.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Интенсивно развивается та часть физико-химической механики, в которой исследуется поведение реологически сложных сред, то есть тех, которые проявляют неньютоновские свойства, а их модели характеризуются
нелинейными зависимостями между тензорами напряжений и скоростей
деформаций. Этот раздел механики получил наименование реология. Отдельный подраздел его составляют, так называемые, «неклассические» среды, в том числе те, которые учитывают внутреннюю структуру материала и
специфические свойства и эффекты, природа которых зачастую лежит в
учете взаимодействий на молекулярном уровне.
Но, пожалуй, наибольший расцвет во второй половине ХХ века пришелся на механику многофазных систем. Именно здесь были разработаны
качественно новые подходы к построению математических моделей реальных объектов, с помощью которых осуществлены важнейшие научнотехнические проекты крупного промышленного масштаба прошедшего века, а также получили импульсы для последующего развития многие разделы математики, физики, химии, биологии и других естественных наук.
Немаловажное значение имеет поверхностная механика, как твердых
деформируемых тел, так и жидких сред. Многочисленные поверхностные эффекты и особенности позволили значительно усовершенствовать существующие промышленные процессы, а также создать и широко внедрить принципиально новые, основанные на учете специфических явлений на границах раздела сред технологии. Например, струйные принтеры стали уникальным инструментом для создания различного рода печатных изданий.
Диффузионные, ионные и мембранные процессы относятся к числу
наукоемких. Их разнообразию уделяется все более пристальное внимание.
Исследования, учитывающие микроструктурные особенности на молекулярном или ионном уровне, послужили основой для выделения стремительно прогрессирующего направления, получившего собственное наименование – нанотехнология. Значительную роль в этих исследованиях составляют
задачи механики.
В заключение этого краткого обзора хотелось бы высказать соображение о том, что два раздела механики в наибольшей степени определяют
нынешний этап её развития, являются непременным условием успешного
развития и средством удовлетворения многочисленных потребностей общества – это физико-химическая и вычислительная механика. Первый из них
обеспечивает создание более сложных корректных математических моделей, а второй – разработку и реализацию с помощью компьютеров эффективных численных методов для получения ответов на те вопросы и проблемы, которые общество выдвигает перед наукой.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ПРЕДСТАВЛЕНИЯ,
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ
Механика есть наука об изменении со временем взаимного положения
в пространстве материальных объектов и их силовом взаимодействии между собой и окружающей средой.
Уточняя это понятие, в классической механике оговаривается, что такими объектами могут быть любые материальные тела, кроме элементарных частиц, атомов или молекул. Поведение этих микрочастиц является
предметом исследования в специальных разделах физики – молекулярной
физике и квантовой механике. Второе существенное ограничение – быстрота перемещения материальных объектов осуществляется со скоростями
намного меньше скорости света. Если скорость движения материальных
объектов становится соизмеримой со скоростью света, то такого рода движения изучаются в теории относительности.
В механике, как ни в какой другой науке, основным методом исследования является математическое моделирование. Все материальные объекты,
которые изучает механика, представляются в виде некоторых их аналогов
или отображений, называемых моделями. Принято выделять следующие
основные типы моделей: материальная точка, система материальных точек,
абсолютно твердое тело, сплошная среда или их комбинации.
Если движение или взаимодействия реальных материальных объектов
характеризуются какими-либо физическими или химическими превращениями или взаимодействиями, то такого рода движения и взаимодействия
составляют предмет исследования физико-химической механики.
Под физическими превращениями и взаимодействиями понимают фазовые переходы из одного агрегатного состояния в другое, разнообразные
явления и эффекты в многофазных системах, тепло- и массообмен в однородных и неоднородных средах, взаимодействие материальных объектов с
электромагнитными полями и многое другое [3, 5, 7, 10]. Основные закономерности собственно физических взаимодействий изучаются в физической
кинетике, поэтому данный раздел науки рассматривается как одна из базовых составляющих физико-химической механики.
К числу химических взаимодействий относятся любые процессы,
включая химические реакции, в результате которых одни вещества возникают, а другие исчезают. Это такие процессы, как горение, окисление и восстановление веществ, ионный обмен и мн. др. Законы и закономерности
химических превращений составляют предмет исследования химической
кинетики [3, 4, 7, 9]. Естественно, что её результаты так же входят, как основной составляющий элемент, в физико-химическую механику.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, можно определить физико-химическую механику
как раздел механики, изучающий перемещение и взаимодействие материальных объектов с учетом физических или химических взаимодействий.
Существуют и другие точки зрения на предмет физико-химической
механики, прежде всего в кругу специалистов в области коллоидной химии.
Представляется, что такая точка зрения является несколько ограниченной,
сужающей область исследования этого раздела науки.
Следует также понимать различия в предмете исследования, подходах
и методах изучения реальных явлений, принятых в физико-химической механике, и отдельных частных науках, тесным образом развивающихся совместно и с многочисленными проявлениями взаимного влияния друг на
друга. Так, например, физико-химическая механика исследует процессы горения, которые составляют основу одноименной теории. Однако между
подходами, применяемыми методами и средствами существуют, по крайней
мере, в настоящее время, и вполне определенные отличия. Если теория горения основное внимание уделяет собственно механизму осуществления
этого процесса, влиянию потоков жидкости или газа на процесс горения, то
физико-химическая механика, прежде всего, обращает внимание на такие
стороны, как построение соответствующих математических моделей, влияние реакций горения на динамику потока, изменение распределенных и интегральных динамических характеристик от параметров химических реакций и т. д. Поэтому было бы неправильным противопоставлять эти две науки или пытаться навязать методологию одного раздела науки другому. Наоборот, следует стремиться к более полному использованию результатов
одной науки в другой, не подменяя предмет исследования каждой из них, а
развивать его, делать все более разнообразным по форме и более глубоким
по содержанию.
И еще одна особенность физико-химической механики – постоянное
обобщение результатов в различных частных науках и разработка наиболее
общих моделей, а также подходов и методов решения полученных математических задач и их применение в прикладных исследованиях. Так, например, динамика пузырька применяется при изучении самых разнообразных
процессов и явлений – кавитации, металлургии (продувка металла), производстве полимерных изделий, технологиях пищевой промышленности, двигателестроении, системах с полупроницаемыми мембранами и пористыми
электродами (топливные элементы), геологических исследованиях и прочее.
Основные принципы построения математических моделей для теоретических исследований в области физико-химической механики базируются
на основе фундаментальных законов природы, а также тех законов и закономерностей, которые установлены в конкретной предметной области. Та-
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кой методологический подход может быть признан наиболее корректным с
точки зрения общей теории моделирования.
Первую группу уравнений, на базе которых строятся математические
модели распределенных систем, в том числе физико-химического континуума, составляют уравнения, получаемые из фундаментальных законов
природы или естествознания. К числу таких фундаментальных постулатов
относятся законы баланса массы, импульса или количества движения, момента импульса и внутренней энергии [3, 10–13].
В наиболее общем виде их можно записать таким образом:
1. Уравнение неразрывности, получаемое из закона сохранения массы [3],
¶ρ
+ Ñ × (ρv ) = 0 ,
¶t
(2.1)
где ρ – плотность среды; v – вектор скорости; t – время.
2. Уравнение движения континуума или сплошной среды [3]
æ ¶v
ö
rç
+ ( v × Ñ) v ÷ = Ñ × R + ρf ,
è ¶t
ø
(2.2)
где R – тензор напряжений; f – плотность массовых сил.
3. Уравнение баланса момента импульса [3]
æ ¶k
ö
rç
+ ( v × Ñ ) k ÷ = Ñ × M + rl + R ×´ I .
è ¶t
ø
(2.3)
Здесь k – вектор внутреннего момента импульса; M – тензор моментных напряжений; l – массовая плотность распределенных моментов;
I – единичный тензор.
4. Уравнение для температуры, если процессы неизотермические и
происходят в несжимаемой среде [3],
æ ¶T
ö
ç
ρcv çç
+ v × Ñ T ÷÷÷ = -Ñ× q + μ D + Q .
(2.4)
¶
t
è
ø
Для многокомпонентных или многофазных систем, которые представляют собой жидкие или газообразные смеси, требуется использовать
соответствующее уравнение для концентрации
¶ ci
+ v × Ñci = -Ñ × J i + k i ,
¶t
8
(2.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которое называется уравнением конвективной диффузии [3]. Входящие в
него переменные ci , J i , k i – концентрация, плотность диффузионного потока и функция источника или стока, характеризующая скорость химической реакции, в результате которой возникает или исчезает i – компонент
смеси.
В случае, когда имеет место взаимодействие с внешним электромагнитным полем, при построении математических моделей, необходимо привлекать полуэмпирические уравнения Максвелла [9]
Ñ´E = -
1 ¶B
,
c ¶t
Ñ × B = 0,
(2.6)
4π 1 ¶ D
j, Ñ × D = 4πre .
(2.7)
c
c ¶t
В этих уравнениях представлены векторные величины E , D , H , B – напряженность и индукция электрического и магнитного полей, соответственно.
Системы уравнений, получаемые из (2.1) – (2.7), как правило, не являются замкнутыми. Поэтому дополнительно к основным уравнениям записывают так называемые определяющие или конститутивные уравнения,
представляющие собой некоторые математические соотношения, связывающие между собой неизвестные величины, входящие в уравнения (2.1) –
(2.7). В случае связи между динамическими переменными, такие уравнения
называются реологическими и устанавливают связь между тензорами напряжений и скоростей деформаций.
К числу наиболее часто употребляемых определяющих уравнений относятся законы Эйлера для идеальной (не вязкой) жидкости
Ñ´H =
R = - pI ;
(2.8)
– закон Ньютона для реальных (вязких) жидкостей
R = - pI + 2μ ε ;
(2.9)
– закон Фурье для теплообмена
q = - λÑ T ;
(2.10)
в случае, когда требуется учет скорости распространения тепла, применяют
так называемый гиперболический закон теплообмена
q+τ
¶q
= -λÑT ;
¶t
(2.11)
для высокоинтенсивных процессов переноса тепла определяющее уравнение представляется с учетом конечности скорости распространения тепловых изменений
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
¥
q(t ) = -λ(0) - ò λ'(ξ)ÑT (t - ξ)dξ ;
(2.12)
0
– закон Стефана–Больцмана для радиационного теплообмена
q = – σ (Т4 – Т *4 );
(2.13)
– закон Фика для диффузионных процессов
J i = - Di Ñci ;
(2.14)
– закон Нернста–Планка для потока заряженных компонентов
J ied = - Di Ñci +
zi e
Di ci E ;
kT
(2.15)
– закон Дарси для движения газов или жидкостей в пористых средах
k
v = - Ñ p;
μ
(2.16)
связи между индукцией и напряженностью электрических и магнитных полей в простейшем случае могут быть представлены в виде линейной зависимости [2]
D = ε E + 4 pP
¶ 2W
,
¶v 2
B = μ H + 4πM .
(2.17)
и другие закономерности, установленные, как правило, в результате экспериментальных исследований в конкретных предметных областях.
Отметим, что имеется и общая теория построения определяющих
уравнений на основании принципов неравновесной термодинамики [8, 9],
успешно применявшаяся для объяснения некоторых «тонких» эффектов в
неклассических задачах.
Пусть имеется некоторая величина f, описывающая какое-либо свойство реального объекта. Тогда она может иметь неконвективный перенос,
плотность потока которого обозначим J. В неравновесной термодинамике
все эти потоки называются обобщенными термодинамическими потоками.
Факторы, вызывающие эти потоки, то есть являющиеся причиной их возникновения, получили название термодинамических обобщенных сил X.
Как установлено в многочисленных экспериментах, наличие потоков величин f обусловлено неоднородностью их распределения. Другими словами,
градиенты этих величин f в простейшем случае и являются обобщенными
термодинамическими силами. В простейшем случае эта связь может быть
представлена в виде линейной зависимости, причем для любого потока
имеет место действие всех термодинамических сил, то есть
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
J i = å Lij X j (i = 1, 2, …, n).
(2.18)
j =1
Здесь Lij – коэффициенты взаимности Онзагера, обладающие при определенных дополнительных условиях свойством симметрии. С их помощью и удается описать так называемые перекрестные эффекты.
Фазовые переходы и химические реакции
Многие процессы в живой и неживой природе, технологиях и т. п. происходят в условиях физических или химических взаимодействий и превращений веществ. В случае, если имеет место изменение агрегатного состояния
какого-либо компонента смеси, то такое превращение именуется физическим,
а его закономерности исследуются в рамках физической кинетики [2].
Если же в ходе взаимодействия каких-либо веществ некоторые из
них исчезают и возникают другие, то такие превращения являются химическими реакциями, а их закономерности изучаются в химической
кинетике [4, 6, 10]. Этот раздел науки призван исследовать скорости
химических взаимодействий различных веществ и влияние на них различных факторов (температуры, концентрации веществ и т. п.).
Теперь введем понятия, поясним термины и обсудим представления,
принятые и развитые в этих науках, и являющиеся для классической механики новыми.
Гомогенная реакция – химическая реакция между отдельными компонентами газовой или жидкой смеси в объеме пространства, занятого этой
смесью веществ.
В случае наличия такого рода реакции в уравнениях баланса массы
компонентов смеси должна быть определена функция источника или стока
соответствующего компонента, называемая в химической кинетике
скоростью химической реакции.
Гетерогенная реакция – химическая реакция, происходящая на границе (поверхности) раздела двух сред, каждая из которых содержит какойлибо компонент, участвующий в данном химическом взаимодействии.
Катализатор – вещество или материал, изменяющие скорость химической реакции, но не участвующие при этом в происходящих химических
превращениях.
Каталитическая реакция – химическая реакция, протекающая при
участии катализаторов.
Сорбция – общее наименование совокупности явлений или процессов
массопередачи, при которых происходит поглощение веществ из окружающей среды какой-либо средой, находящейся в твердом или жидком агрегатном состоянии.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сорбционные процессы, при которых не возникают химические реакции, называются физической сорбцией.
Сорбент – среда, которая поглощает вещество из окружающей среды
в процессах сорбции.
Сорбат – вещество, которое поглощается сорбентом в процессе
сорбции.
Абсорбция – явление или процесс массопередачи, при котором происходит поглощение какого-либо вещества в объеме некоторой среды из
окружающего газообразного пространства.
Фактически это понятие представляет сбой наименование совокупности процессов перехода какого-либо вещество или компонента через границу раздела фаз и его последующее распространение в объеме некоторой
среды.
Адсорбция – явление или процесс массопередачи, при котором происходит поглощение какого-либо вещества на границе раздела фаз из окружающего газообразного пространства.
Таким образом, данное понятие относится к явлениям, при которых
происходит процесс осаждения какого-либо вещества на поверхности
раздела фаз.
Десорбция – процесс, обратный процессу сорбции – удаление вещества из объема некоторой среды, являющейся сорбентом по отношению к
некоторому веществу или компоненту смеси.
Псевдоожижение – процесс гидромеханического типа, при котором
частицы зернистого слоя движутся в потоке жидкости или газа, но не покидают этого слоя.
В тех случаях, когда молекулы или атомы среды по каким-либо причинам теряют или приобретают электроны, они превращаются в электрически заряженные «частички». В этом случае принято говорить об ионном составе сплошной среды, вводя новые дополнительные параметры. Например,
зарядовое число иона.
Зарядовое число иона – характеристика иона какой-либо смеси или
раствора, численно равная числу элементарных электрических зарядов, эквивалентных заряду данного иона. Характеристика, схожая с традиционным
химическим понятием валентности иона.
Хроматография – общее наименование совокупности методов и процессов разделения веществ, анализа и физико-химических исследований,
основанных на различии в скоростях движения компонентов смесей, перемешивающихся в потоке подвижной фазы относительно неподвижной.
К числу наиболее перспективных видов хроматографии относятся
мембранные методы разделения смесей. Среди большой совокупности
последних можно выделить две основные группы, используя в качестве
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
классификационного признака движущий механизм мембранного процесса – баромембранные и электромембранные.
· Баромембранные – совокупность мембранных методов разделения жидких или газообразных смесей, когда в качестве движущей силы
процесса используется перепад давления по разные стороны мембраны.
Осмос – перенос растворителя через мембрану в область с более высокой концентрацией раствора.
Осмотическое давление – разность гидростатических давлений между двумя областями растворов, разделенных полупроницаемой мембраной, при которой устанавливается равновесие.
Обратный осмос – мембранное разделение растворов под
действием перепада давления, превышающего осмотическое; разделение осуществляется за счет преимущественного проникновения
через мембрану молекул растворителя.
Ультрафильтрация – один из видов баромембранного разделения растворов каких-либо веществ за счет различия эффективных
размеров одного из компонентов смеси.
Нанофильтрация – то же, что и ультрафильтрация, но при
условии, что характерный размер переносимого компонента значительно меньше.
· Электромембранные – основной причиной, вызывающей перенос
компонентов раствора через мембрану, является внешнее электрическое поле.
· Электродиализ – один из наиболее распространенных видов электромембранного разделения компонентов жидких смесей с помощью электрического поля и ионоселективных мембран.
· Диссоциация молекул – химическая реакция, при которой молекула какого-либо вещества распадается на составные части – ионы.
· Рекомбинация ионов – химическая реакция, обратная
д и с с о ц и а ц и и.
· Электролит – смесь, возникающая при диссоциации молекул какого-либо вещества в некотором жидком растворителе.
· Электроосмос – направленное движение жидкой фазы электролитов вдоль твердой поверхности под действием внешнего электрического
поля вследствие наличия вблизи границы раздела фаз двойного электрического слоя.
· Ионообменные мембраны – мембраны, изготовленные из
и о н и т а , обладают высокой селективностью по отношению к ионам определенного знака заряда.
· Число переноса – доля электрического заряда, переносимого отдельным сортом компонентов смеси.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
– Миграционное число переноса – доля электрического заряда, переносимого в однородном растворе электролита за счет лишь электромиграционного механизма транспорта.
– Эффективное число переноса – доля электрического заряда, переносимого через мембрану за счет всех возможных механизмов ионного
транспорта.
· Селективность мембраны – свойство мембраны избирательно
пропускать через себя лишь определенные компоненты смеси.
· Ионит – твердый материал, способный при попадании в водный
раствор к процессу ионного обмена.
· Ионообменная мембрана – мембрана, изготовленная из и о н и т а .
· Противоион – сорт ионов, знак заряда которых противоположен
знаку заряда ионогенных групп матрицы мембраны.
· Коион – сорт ионов, знак заряда которых одинаков знаку заряда
ионогенных групп матрицы мембраны.
· Ионный обмен – процесс обмена ионами разных сортов между
ионообменником и окружающим его раствором электролита.
· Стехиометрическое уравнение – уравнение, устанавливающее количественную связь между реагентами и продуктами химической реакции.
Химические реакции могут осуществляться с разной степенью интенсивности. Для её характеристики вводится понятие скорости химической
реакции, которая определяет количество вещества, возникающее или исчезающее в единице объема за единицу времени. В теоретической физике эта
величина носит наименование функции объемного источника или стока.
Скорость химической реакции – количество вещества, возникающего или исчезающего в результате химической реакции за единицу времени в единице объема.
Принцип независимости. Согласно существующим представлениям,
большинство химических реакций носит многостадийный характер, то есть
протекают в несколько этапов. При этом на каждой стадии происходит
взаимодействие лишь двух веществ. В физической химии считается установленным факт независимости отдельных стадий друг от друга, что выражено в специальном законе химической кинетики, называемом принципом
независимости сложных химических взаимодействий.
Принцип независимости. Если химическая реакция является сложной, то есть в системе одновременно протекает несколько
химических взаимодействий, то каждое из них осуществляется независимо от других.
В соответствии с данным принципом любое химическое взаимодействие между различными веществами может быть представлено в виде после14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
довательности отдельных или параллельных реакций, каждая из которых
протекает лишь между двумя компонентами. После выполнения декомпозиции сложного химического взаимодействия на последовательность возможных взаимодействий между двумя веществами составляется соответствующая цепочка стехиометрических уравнений. В последующем она используется для построения «источниковых» членов в уравнениях баланса
массы для каждой из компонент исследуемой многокомпонентной системы.
Простая реакция. Простой называется такая реакция, скорость которой определяется концентрациями исходных веществ и не зависит от концентрации продуктов реакции. Пусть имеет место химическое взаимодействие двух веществ A и B.
A + B ® C.
(2.19)
И пусть соответствующие им концентрации обозначаются C1 и C 2 .
Тогда функция источника продуктов реакции может быть представлена в
следующем виде:
κ = F1 (C1 , C2 ).
(2.20)
Обратная реакция – реакция, идущая в обратном направлении. Для
неё стехиометрическое уравнение записывается в виде
C ® A + B.
(2.21)
Если обратная реакция является простой, то функция источника такой
реакции для компонентов A и B записывается следующим образом:
κ = F2 (C3 ) .
(2.22)
Обратимая реакция. Обратимой называется реакция, идущая в прямом и обратном направлении одновременно, а её скорость может быть
представлена в виде
κ = F1 (C1 , C2 ) - F2 (C3 ) .
(2.23)
Стехиометрическое уравнение такой реакции может быть представлено в общем случае в виде
ν1 A + ν 2 B « ν 3C.
(2.24)
Большинство известных химических реакций являются обратимыми.
В общем случае скорость реакции определяется разностью прямой и обратной реакций. Однако скорости прямой и обратной составляющих могут существенно отличаться друг от друга (иногда отличие может составлять несколько порядков). В таком случае при выполнении некоторых дополнительных условий выражение (2.24) упрощается в соответствии с установленным «сдвигом реакции» в ту или иную сторону. Так, например, в обыч15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ных условиях скорость реакции рекомбинации ионов водорода и гидроксила на несколько порядков превышает скорость диссоциации молекул воды.
Поэтому во многих случаях ограничиваются условием постоянства концентрации ионов водорода и гидроксила в объеме раствора, равной величине
порядка 10-4 моль/м3 [16].
Закон действующих масс – устанавливает зависимость скорости химической реакции от концентраций исходных веществ; относится к числу
основных законов химической кинетики [4, 5]:
Скорость химической реакции пропорциональна произведению
степеней концентраций реагирующих веществ, равных их стехиометрическим коэффициентам в её уравнении
То есть, если в каком-либо процессе происходит простая химическая реакция между двумя веществами А и В, и соответствующее стехиометрическое уравнение имеет вид (2.19), при этом концентрации реагирующих веществ определены как Ci (i = 1,2), то функция источника для
уравнения концентрации продукта реакции должна быть представлена в виде
κ = k1C1ν1 C2ν 2 ,
(2.25)
где k1 – константа скорости реакции, не зависящая от концентраций веществ и называемая также удельной скоростью реакции. Численно её величина равна скорости реакции, когда концентрации взаимодействующих веществ равны единице.
Приведем еще один пример построения функции источника для компонентов A и B. Пусть реакция взаимодействия между ними является обратимой, а соответствующее стехиометрическое уравнение имеет вид (2.24)
при условии, что ν1 = ν 2 = 1. Тогда функция источника для веществ A и B будет одна и та же, а её выражение представляется как
κ = k1C1C2 - k2C3 .
(2.26)
Если реакция протекает таким образом, что в её результате образуются два вещества, то стехиометрическое уравнение записывается в виде
ν1 A + ν 2 B « ν 3C + ν 4 D .
(2.27)
Или в общем виде
4
åν A
i =1
16
'
i
i
= 0,
(2.28)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где стехиометрические коэффициенты для продуктов реакции принимаются
отрицательными. Тогда функция источника для уравнения баланса масс в
наиболее общем случае может быть записана как
κ = k1C1ν1 C2ν 2 - k2C3- v3 C4- ν 4 .
(2.29)
Здесь ν i (i = 1, 2, 3, 4) – стехиометрические коэффициенты; Ai – концентрации исходных вещества, вступающие в реакцию и продуктов реакции. При этом отметим, что коэффициенты обратных реакций ν 3 , ν 4 в выражениях (2.28) и (2.29) являются отрицательными.
Уравнение Аррениуса. Важное значение для химических систем
имеет место учета зависимости скорости реакции от температуры. Экспериментально установлено, что скорость большинства химических реакций
быстро возрастает с повышением температуры. Согласно принятым в химической кинетике представлениям эта зависимость определяется эмпирическим уравнением Аррениуса [4, 5]
æ E
k1 = k10 exp ç
è RT
ö
÷.
ø
(2.30)
Здесь E – энергия активации, численно равная величине, при превышении которой вещество вступает в химическое взаимодействие; R =
= 8,31441 Дж/(К×моль) – универсальная газовая постоянная.
Химический потенциал. При исследовании процессов в многокомпонентных смесях помимо таких традиционных параметров состояния, как
давление и температура, вводится понятие химического потенциала.
Определение. Под химическим потенциалом понимается некоторый
интенсивный параметр смеси, характеризующий состояние или изменение
энергетического состояния системы и определяемый как частная производная от внутренней энергии по числу частиц (или молей) при постоянном
давлении, температуре и массе других компонентов.
μ i = μ i0 + RT ln Ci
(2.31)
где μ i0 – стандартный потенциал i-го компонента смеси. Если компоненты
взаимодействуют с электрическим полем, то вводится понятие электрохимического потенциала
μ i = μ i0 + RT ln Ci + zi F j .
(2.32)
Здесь j – электрический потенциал или потенциал электрического
поля, F = 96484,56 Кл/моль – число Фарадея.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
1. Зельдович Я.Б. Избранные труды. Химическая физика и гидродинамика / Я.Б. Зельдович. – М. : Наука, 1984. – 374 с.
2. Ландау Л.Д. Теоретическая физика : в 10 т. Т. 8 : Электродинамика
сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. – М. : Физматлит, 2001. – 620 с.
3. Ландау Л.Д. Теоретическая физика : в 10 т. Т. 10 : Физическая кинетика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. – М. : Физматлит, 2001. – 528 с.
4. Седов Л.И. Механика сплошной среды : в 2 т. / Л.И. Седов. – М. :
Физматлит, 1994. – 1088 с.
5. Феттер К. Электрохимическая кинетика / К. Феттер. – М. : Химия,
1967. – 856 c.
6. Эвери Г. Основы кинетики и механизмы химических реакций /
Г. Эвери. – М. : Мир, 1978. – 214 с.
7. Эмануэль Н.М. Курс химической кинетики / Н.М. Эмануэль,
Д.Г. Кнорре. – М. : Высшая школа, 1984. – 464 с.
8. Baker R.W. Membrane Technology and Applications / R.W. Baker. –
nd
2 ed. – Chichester : Wiley, 2004. – 538 p.
9. de Groot S.R. Non-Equilibrium Thermodynamics / S.R. de Groot,
P. Mazur. – Amsterdam : Nort-Holland Publ. Cor, 1962.
10. де Грот С.Р. Неравновесная термодинамика / C.P. де Грот, П. Мазур. – М. : Мир, 1964. – 456 с.
11. Demirel Y. Nonequilibrium Thermodynamics: Transport and Rate
Processes in Physical and Biological Systems / Y. Demirel. – New York : Elsevier, 2002. – 408 p.
12. Denisov E.T. Chemical Kinetics. Fundamentals and New Developments / E.T. Denisov, O.M. Sarkisov, G.I. Likhtenshtein. – New York : Elsevier,
2003. – 457 p.
13. Elnashaie S. Conservation equations and modeling of chemical and biochemical processes / S. Elnashaie, P. Garhyan. – New York : Dekker, 2003. – 661 p.
14. Eringen A.C. Mechanics of continua / A.C. Eringen. – New York :
Wiley, 1967. – 502 p.
15. Eringen A.C. Non-linear theory of continuum media / A.C. Eringen. –
New York : McGraw-Hill, 1962. – 478 p.
16. Truesdell C. The non-linear field theories of mechanics / C. Truesdell,
W. Noll. – 3nd ed. – Berlin : Springer, 2004. – 602 p.
17. Truesdell C. The classical field theories / C. Truesdell, Toupin R.A. //
Handbuch der Physik. – Berlin : Springer-Verlag, 1960. – Bd. 3/1. – Р. 226 –793.
18. Vetter K. Elektrochemische Kinetik / K. Vetter. – Berlin : Springer,
1961.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. ПРОЦЕССЫ ТЕПЛООБМЕНА
Классификация видов теплообмена и теплопередачи. Теплопроводность твердых, жидких и газообразных сред. Конвективные течения. Явление свободной конвекции. Свободная конвекция в вертикальном канале и около вертикальной поверхности. Свободная конвекция около сферы. Естественная конвекция в замкнутых объемах. Вынужденная конвекция. Смешанная
конвекция. Радиационный нагрев абсолютно твердого тела. Охлаждение движущегося твердого тела в жидкости. Термоконцентрационная конвекция. Транспирационное охлаждение канала с высокотемпературным газовым потоком. Тепловые источники в потоках за счет эффектов вязкой диссипации. Неизотермичность процессов переноса в растворах электролитов за
счет джоулева тепловыделения.
3.1.
Естественная конвекция в плоском вертикальном канале
Среди конвективных течений значительную роль в процессах теплообмена играют свободно- или естественно-конвективные течения. Основные закономерности такого рода явлений и особенности постановки задач
данного типа можно первоначально изучить на примере математической
модели для движения жидких или газообразных сред, возникающих в замкнутой плоской вертикальной полости, стенки которой имеют постоянные,
но различные температуры [4].
Поскольку около более горячей стенки канала плотность среды, будет
меньше по сравнению с плотностью в средней части, то под действием сил
всплытия среда будет двигаться вверх. Около противоположной стенки –
движение будет направлено вертикально вниз. Эти силы всплытия и являются единственной причиной возникновения движения. Поскольку полость
замкнута, то в верхней и в нижней её частях будет происходить разворот
потока, и возникнет циркуляционное течение.
Ограничимся рассмотрением полностью развитого течения, устанавливающегося внутри замкнутой полости, длина которой значительно превосходит её ширину 2h, то есть в условиях, при которых имеет место выполнение неравенства L >> 2h . Скорость и температура в этом случае оказываются функциями только горизонтальной координаты, что позволяет
получить для описания поведения системы простые обыкновенные дифференциальные уравнения. Примем, что вектор скорости имеет лишь одну
компоненту, отличную от нуля, которая направлена вдоль оси канала. Действительно, пренебрегая краевыми эффектами полости, в силу того, что
температуры её боковых стенок различны и постоянны, то есть не зависят
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
от продольной координаты, и с учетом отсутствия внутренних источников
или стоков тепла, можно заключить, что внутри полоски также не будет изменений температуры в вертикальном направлении, то есть она будет изменяться лишь с расстоянием от боковых стенок (рис. 1).
Рис. 1. Естественно-конвективное течение в вертикальном канале
Выберем декартову систему координат, начало которой поместим на
центральной оси полости, ось Z направим вертикально вверх, а ось X – по
ортогонали к холодной стенке.
С учетом традиционных предположений о малой интенсивности такого рода движений воспользуемся приближением Буссинеска и предложим
математическую модель в виде, представленном в работе Б. Гебхарта [3]
æ ¶ 2u ¶ 2 u ö
1 ¶p
¶u
¶u
u
+v
=+n ç 2 + 2 ÷ ;
¶x
¶z
ρ0 ¶ x
¶z ø
è ¶x
æ ¶ 2v ¶ 2v ö
¶v
¶v
1 ¶p
u
+v =+ n ç 2 + 2 ÷ - gβT (T - T* ) ;
¶x
¶z
ρ ¶z
¶z ø
è ¶x
¶ u ¶n
+
= 0;
¶ x ¶z
æ ¶ 2 T ¶ 2T
¶T
¶T
u
+n
= aç 2 + 2
¶x
¶z
¶z
è ¶x
(3.1)
(3.2)
(3.3)
ö
÷.
ø
(3.4)
В центральной части канала устанавливается одномерное течение так,
что лишь одна компонента вектора скорости остается отличной от нуля, а
вторая становится функцией лишь поперечной координаты, то есть v = v(x ) ,
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
как, впрочем, и температура – T = T (x) . В этом случае уравнения (3.1)–(3.4)
сводятся к следующей системе уравнений в обыкновенных производных
d 2v
1 dp
+ ν 2 - gβT (T - T* ) = 0 ;
dx
r dx
d 2T
= 0.
d x2
(3.5)
(3.6)
Для завершения построения математической модели ставятся граничные условия прилипания и постоянства температур боковых стенок. Кроме
того, формулируется уравнение, характеризующее условие замкнутости полости – жидкость (газ) не втекает в неё и не вытекает
x = -h :
v(- h) = 0, T (-h) = T- ;
(3.7)
x = +h :
v(+ h) = 0, T (+ h) = T2 ;
(3.8)
+h
ò v( x) dx = 0 .
(3.9)
-h
Двухточечная краевая задача (3.5)–(3.9) с интегральным условием
(3.9) имеет точное аналитическое решение, которое и помогает установить
основные особенности и закономерности естественной конвекции в замкнутой прямоугольной полости.
3.2. Радиационный нагрев металлического стержня
При моделировании процесса «светлого отжига» пакета стержней в
металлургическом производстве возникает задача о нагреве тепловым излучением отдельного стержня. Поскольку задача не линейна, её приходится
решать численными методами. Однако имеется приближенное аналитическое решение упрощенной модели, которая может рассматриваться как базовая модель в моделировании процесса светлого отжига.
Пусть имеется прямой круглый цилиндрический стержень, длина которого равна l0, а радиус окружности поперечного сечения – r0, причем r0<< l0.
В этом случае, пренебрегая краевыми эффектами торцевого нагрева, можно
ограничиться на первом этапе рассмотрением плоской задачи равномерного
нагрева стержня, имеющего температуру T0 и помещаемого в неограниченное пространство источника радиационного нагрева с температурой T*. На
боковой поверхности стержня теплообмен происходит по закону Стефана–
Больцмана [8].
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Построение математической модели приводит к следующей начальнокраевой задаче для уравнения теплопроводности, которое с учетом осевой
симметрии задачи записывается в виде
æ ¶ 2T 1 ¶T ö
¶T
= λç 2 +
(3.10)
÷ , 0 £ r £ r0 .
¶t
¶
r
r
¶
r
è
ø
Уравнение (3.10) записано с учетом дополнительного предположения
о постоянстве теплофизических свойств материала, из которого изготовлен
стержень, в цилиндрической системе координат.
Для нахождения единственного решения задачи поставим условия его
однозначности в виде начального условия однородности распределения
температуры внутри стержня в начальный момент времени
ρcv
t = 0:
T (r ,0) = T0 , 0 £ r £ r0 ,
(3.11)
и равномерности нагрева боковой поверхности тепловым излучением
t > 0, r = r0 :
q = σ (T 4 - T*4 ) .
(3.12)
С учетом еще одного дополнительного предположения о том, что
распространение тепла внутри стержня происходит согласно закону Фурье,
граничное условие (3.12) перепишется в виде
t > 0, r = r0 :
¶T
σ
= - (T 4 - T*4 ) .
¶r
λ
(3.13)
Предположим, что относительная разность температуры окружающей
среды и поверхности стержня достаточно мала. Тогда за исключением начального периода нагрева будет справедливым следующее её преобразование. Разложим функцию, входящую в правую часть этого уравнения, в ряд
Тейлора в окрестности значения T* и ограничимся лишь первыми линейными членами.
f (T ) º T 4 = f (T* ) +
¶f
¶T
(T - T* ) + ... = T*4 + 4T*3 (T - T* ) + ... » 4T*3T - 3T*4 .
T =T*
В результате граничное условие (3.13) представим в виде линейного
граничного условия третьего рода или граничного условия Роббина
t > 0, r = r0 :
¶T
4σT*3
=(T - T* ) .
λ
¶r
22
(3.14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Еще одно граничное условие можно поставить на оси стержня, которое характеризует условие осевой симметрии процесса нагрева и ограниченности температуры
¶T
= 0.
(3.15)
¶r
Будем рассматривать случай, когда не возникает плавление материала, из которого изготовлен стержень. В частности это всегда выполняется,
если T* < Tm , где Tm – температура плавления материала.
Приведем полученную краевую задачу к безразмерному виду, введя в
рассмотрение следующие безразмерные величины:
t > 0, r = 0 :
R=
T - T0
at
r
, θ=
, τ= 2 ,
r0
T* - T0
r0
(3.16)
где a = λ / ρcv – коэффициент температуропроводности. При таких преобразованиях значения новой функция q ( R,t ) очевидно будут удовлетворять
условию
0 £ θ( R, τ) £ 1.
В безразмерных переменных математическая модель рассматриваемого приближения представляется в виде
¶ θ ¶ 2θ 1 ¶ θ
=
+
, 0 £ R £ 1;
¶ τ ¶R 2 R ¶ R
τ = 0:
θ( R,0) = 0 , 0 £ R £ 1 ;
¶θ
= 0;
¶R
τ > 0, R = 0 :
R = 1:
¶θ
= a (1 - θ ) .
¶R
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
Здесь безразмерный параметр математической модели
4σT*3r0
.
(3.21)
λ
Выполнив оценку этой величины для интересующих нас значений исходных данных задачи, устанавливаем, что она является величиной порядка 0,2.
Для нахождения аналитического решения начально-краевой задачи
(3.17)–(3.20) можно применить метод интегрального преобразования Лапласа [1]
α=
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
¥
L [ f (τ) ] º f L ( s ) = ò f (τ)e - st dτ .
0
С учетом правил преобразования производных от функции двух переменных от задачи (3.17) – (3.20) перейдем к двухточечной краевой задаче
относительно изображения функции θ L ( R, s )
d 2θ L 1 dθ L
+
- sθ L ( R , s ) = 0 ,
d R2 R d R
(3.22)
R = 0:
q L (0, s ) = 0,
(3.23)
R = 1:
dθ
æ1
ö
= α ç - θL ÷ .
dR
ès
ø
(3.24)
Уравнение (3.22) представляет собой уравнение Бесселя, а его общее
решение имеет вид
θ L ( R, s ) = C1I 0
(
)
sR + C2 K 0
(
)
sR .
(3.24)
Поскольку функция θ L ( R, s ) является ограниченной, то коэффициент
C 2 при модифицированной функции Бесселя второго рода нулевого порядка
должен быть равен нулю. Следовательно, решение (3.24) при граничном условии (3.23) примет окончательный вид
θ L ( R, s ) =
α
s éα I 0
ë
( s)+
sI1
( )
s ù
û
I0
(
)
sR .
(3.25)
Решение (3.25) является однозначной функцией параметра преобразования s и представляет собой отношение двух обобщенных полиномов,
причем полином, стоящий в знаменателе, не содержит постоянной.
θ L ( R, s ) =
F (s)
.
Y (s)
Таким образом, условия теоремы разложения выполнены и её можно
применить к нахождению оригинала функции по его изображению [1].
Здесь знаменатель дроби может быть представлен следующим образом
Y ( s ) = s é αI 0
ë
( s)+
sI1 ( s ) ù = sj( s ) .
û
(3.26)
Здесь выражение в квадратных скобках обозначено через j ( s ) . Из
(26) находим корни:
1) s = 0;
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2) j( s ) = 0 Þ aI0 ( s ) + sI1 ( s) = 0 ;
(3.27)
Находя корни соответствующего характеристического уравнения и
воспользовавшись соответствующей теоремой разложения, проводим обратный переход от изображения к оригиналу, который представляется в виде ряда[1]
¥
θ( R, τ) = 1 - å An J 0 ( μ n R ) exp ( -μ 2nt ) ,
(3.28)
n =1
где коэффициенты An имеют вид
An =
2 J1 ( μ n )
μ n J 02 ( μ n ) + J12 ( μ n )
.
(3.29)
Выражение для изменения распределением размерной температуры
вычисляется по формуле
æ r at ö
T (r , t ) = T0 + (T* - T0 )θ ç , 2 ÷ .
è r0 r0 ø
(3.30)
Зная выражение для распределения температуры (3.30), можно определить любую другую характеристику процесса нагрева, в том числе продолжительность нагрева стержня до температуры T* , изменение плотности
теплового потока к стержню и температуры его поверхности со временем,
суммарное количество тепла, необходимое для разогрева стержня от температуры T0 до температуры T* и т. д.
Литература
1. Лыков А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. – М. : Высшая
школа, 1967. – 600 с.
2. Самарский А.А. Вычислительная теплопередача / А.А. Самарский,
П.Н. Вабищевич. – М. : Едиториал УРСС, 2003. – 784 с.
3. Гебхарт Б. Свободно-конвективные течения, тепло- и массообмен :
в 2 кн. / Б. Гебхарт, Й. Джалурия, Р.Л. Махаджан, Б. Саммакия. – М. : Мир,
1991. – 1206 с.
4. Спэрроу Е.М. Теплообмен излучением / E.M. Спэрроу, Р.Д. Сесс.
Л. : Энергия, 1971. – 294 с.
5. Baehr H.D. Heat and Mass Transfer / H.D. Baehr, K. Stephan. – Berlin :
Springer, 2006. – 688 p.
6. Naterer G.F. Heat transfer in single and multiphase systems /
G.F. Naterer. – Boca Raton : CRC Press, 2003. – 603 p.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Nield D.A. Convection in porous media /D.A. Nield, A. Bejan. – New
York : Springer, 2006. – 640 p.
8. Sparrow E.M. Radiation Heat Transfer / E.M. Sparrow, R.D. Сess. –
Washington : Hemisphere Pub., 1978. – P. 254.
4. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ И ПЕРЕНОС МАССЫ
Законы диффузии Фика. Соотношение Эйнштейна для
подвижности. Правило Онзагера о перекрестных эффектах. Растворение или рост газового пузырька. Электродиффузия ионов
через селективно проницаемую мембрану. Диффузиофорез.
Литература
1. Аксельруд Г.А. Теория диффузионного извлечения веществ из пористых тел / А.Г. Аксельруд. – Львов : Львовский политехнический институт, 1959. – 168 с.
2. Лыков А.В. Теория тепло- и массопереноса / А.В. Лыков,
Ю.А. Михайлов. – М. : Госэнергоиздат. 1963. – 536 с.
3. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической
кинетике / Д.А. Франк-Каменецкий. – М. : Наука, 1987. – 502 с.
4. Crank J. The Mathematics of Diffusion / J. Crank. – London : Oxford
University Press, 1975. – 414 p.
5. Cussler E.L. Diffusion, Mass Transfer in Fluid Systems /
E.L. Cussler. – Cambridge : Cambridge University Press, 1997. – p. 652.
6. Jäger W. Reactive Flows, Diffusion and Transport. From Experiments
via Mathematical Modeling to Numerical Simulation and Optimization / W.
Jäger, R. Rannacher, J. Warnatz. – Heidelberg : Springer, 2007. – 676 p.
7. Rubinstein I. Electro-diffusion of Ions / I. Rubinstein. – Philadelphia,
PA : SIAM, 1990. – 254 p.
8. Taylor R. Multicomponent mass transfer / R. Taylor, R. Krishna. – New
York : Wiley, 1993. – 579 p.
5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СРЕДЫ С ЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ
ИЛИ МАГНИТНЫМИ ПОЛЯМИ
Уравнения Максвелла. Магнитная гидродинамика. Течения ферро жидкостей. Электрогидродинамика. Поляризующиеся и намагничивающиеся среды.
Электролиты, электролиз. Электрохимические системы
(ЭХС). Электродные процессы. Вращающийся дисковый электрод. Двойной электрический слой, электорокапиллярность.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Неизотермические явления в ЭХС. Явление свободной конвекция в ЭХС. Электрофорез.
Литература
1. Ландау Л.Д. Теоретическая физика : в 10 т. Т. 8: Электродинамика
сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. – М. : Физматлит, 2001. –
620 с.
2. Тамм И.Е. Основы теории электричества / И.Е. Тамм. – М. : Наука,
1976. – 616 с.
3. Дерягин Б.В. Электрофорез / Б.В. Дерягин, С.С. Духин. – М. : Наука, 1976. – 326 с.
4. Ньюмен Дж. Электрохимические системы / Дж. Ньюмен. – М. :
Мир, 1977. – 464 с.
5. Rosensweig R.E. Ferrohydrodynamics / R.E. Rosensweig. – Cambridge : Cambridge University Press, 1985. – 320 p.
6. Розенцвейг Р. Феррогидродинамика / Р. Розенцвейг. – М. : Мир,
1989. – 356 с.
7. Sato N. Electrochemistry at Metal and Semiconductor Electrodes /
N. Sato. – New York : Elsevier, 1998. – 400 p.
8. Weinberger R. Practical Capillary Electrophoresis / R. Weinberger. –
nd
2 ed. – Amsterdam : Elsevier, 2000. – 462 p.
6. МЕХАНИКА МНОГОФАЗНЫХ СРЕД
Модели движения неоднородных сред. Движение твердых
частиц и ансамбля (Spray). Динамика пузырька и капли. Образование, рост и распад газовых пузырьков. Кавитация. Потоки
газа и жидкости с твердыми и жидкими частицами. Распыление
жидкости и распад струй. Осаждение и захват частиц. Газо- и
парожидкостные потоки. Струи газа и пара в жидкости, барботаж. Взвешенные слои. Движение жидкостей и газов в пористых
средах. Движение жидкостей и газов в пористых средах. Движение суспензий и фильтры. Физико-химические превращения
в потоках.
Поверхностные эффекты. Процессы на границах раздела
фаз, адсорбционные и десорбционные явления. Силы Ван дер
Ваальса. Поверхностное натяжение и капиллярные эффекты.
Уравнение равновесия Лапласа. Динамические условия для поверхности раздела жидкость–газ или жидкость– жидкость.
Движение сред с особыми свойствами. Реологически
сложные среды. Вязкопластические и вязкоупругие жидкости.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.1. Динамика пузырьков газа
Большое число природных явлений и существующих технологических процессов в различных отраслях промышленности связано с разнообразными пузырьковыми системами – кавитация, продувка газом жидкого металла, производство полимеров и многое другое. В качестве основной или базовой задачи для этих процессов выступает задача о динамике
одиночного пузырька газа в неограниченном объеме покоящейся жидкости.
Впервые постановка задачи о динамике пузырька была осуществлена
в 1959 году Безантом [10]. Он рассмотрел поведение пустой полости в однородной жидкости при постоянном давлении на бесконечности. Последующее развитие математической модели выполнил лорд Рэлей, исследовавший вопрос о давлении, развивающемся в жидкости при схлопывании
сферической каверны [11].
Рассмотрим решение указанной задачи, используя подход, предложенный Безантом и основанный на уравнениях непрерывности и баланса
количества движения для жидкости, окружающей пузырек. Такого рода
подход, когда для изучения поведения некоторого объекта (пузырька) строится математическая модель окружающей его среды (жидкости), оказался
не только весьма оригинальным, но и плодотворным при исследовании некоторых других реальных систем.
Исследуется поведение полости правильной сферической формы, внезапно образующейся в неограниченном пространстве покоящейся жидкости. Под действием окружающей среды происходит сжатие полости. Требуется определить время схлопывания, а также развивающиеся при этом давление и скорость жидкости.
Будем считать, что жидкость является несжимаемой и внутренними
силами трения при её движении можно пренебречь. При сжатии пузырька
происходит радиальное движение окружающей среды, так что задача является центрально симметричной. Массовые силы отсутствуют. С учетом
концептуальной модели задачи основные уравнения динамики и неразрывности идеальной несжимаемой жидкости [5]
é ¶v
ù
ρ ê + ( v × Ñ ) v ú = -Ñp + ρf ,
ë ¶t
û
(6.1)
Ñ × v = 0,
(6.2)
в сферической системе координат запишутся в следующем виде
æ ¶n
¶v ö
¶p
ρ ç r + nr r ÷ = ,
¶
t
¶
r
¶
r
è
ø
(6.3)
¶ 2
( r nr ) = 0 .
¶r
(6.4)
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Формулировка начально-краевой задачи для системы двух уравнений
(6.3)–(6.4) относительно двух неизвестных функций n r (r , t ) и p (r , t ) требует задания начальных и граничных условий. Постановку начальных условий осуществим, исходя из предположений о выполнении условий равновесия в момент возникновения пузырька, то есть
t = 0:
vr (r ,0) = 0,
p(r ,0) = p0 при 0 £ r < R(t ) ,
(6.5)
p (r ,0) = p¥ при R(t ) £ r < ¥,
(6.6)
где R(t ) – текущий радиус пузырька, начальное значение которого должно
быть задано
t = 0 : R (0) = R0 .
(6.7)
На поверхности пузырька задаются условия гидродинамического равновесия, представляющие условие равенства нулю суммы всех сил, действующих на каждый элемент его поверхности
t > 0, r = R(t ) :
pb (t ) = p ( R(t ), t ) +
2s
,
R (t )
vr ( R(t ), t ) = R& (t ) .
(6.8)
(6.9)
Здесь pb – давление внутри пузырька, p ( R(t ), t ) – давление в окружающей жидкости на поверхности пузырька, второй член в правой части
задает действие поверхностных сил натяжения в соответствии с законом
Лапласа; σ – коэффициент поверхностного натяжения для жидкости. Условие (6.9) означает, что скорость движения жидкости на границе пузырька
равна скорости движения его границы, то есть скорости сжатия пузырька.
Считается, что внутри пузырька давление одинаково в любой точке,
но меняется по мере сжатия пузырька.
Вдали от пузырька жидкость остается неподвижной и давление не изменяется, то есть можно записать
t > 0, r ® ¥ :
vr (r , t ) ® 0,
p ( r , t ) ® p¥ .
(6.10)
Известно, что для начально-краевой задачи (6.3)–(6.9) решение существует и единственно. Для его нахождения первоначально проинтегрируем
уравнение неразрывности (6.4)
f (t )
(6.11)
vr (r , t ) = 2 ,
r
где неизвестная функция интегрирования f (t ) может быть определена из
граничного условия (6.9)
f (t ) = R 2 (t ) R& (t ) .
(6.12)
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следовательно, выражение для скорости vr имеет вид
R 2 R&
vr ( r , t ) = 2 .
r
(6.13)
Теперь обратимся к интегрированию уравнения (6.3) в пределах от
R(t ) до ¥ с учетом найденного выражения (6.13)
¥
æ ¶ æ R 2 R& ö 1 æ R 2 R& ö 2 ö
÷÷ + çç 2 ÷÷ ÷ = - p¥ + p(R (t ), t )
r ç çç ç ¶t è
r ø 2 è r ø ÷ø
è
R (t )
(6.14)
или
æ
&&(t ) + 3 R& 2 (t ) ö÷ = - p¥ + p( R (t ), t ) .
r ç R(t ) R
2
è
ø
(6.15)
После подстановки в полученное уравнение (6.15) граничного условия (8) получаем известное уравнение Рэлея [10]
&&(t ) + 3 R& 2 (t ) = 1 æç pb - p¥ - 2s ö÷ .
R(t ) R
r çè
2
R (t ) ÷ø
(6.16)
Уравнение (6.16) относительно неизвестной функции R(t ) является
существенно нелинейным, и его точное аналитическое решение до настоящего времени не найдено. Однако имеется подход, позволяющий приближенно определить время, необходимое для достижения неизвестной функцией R(t ) нулевого значения, то есть времени схлопывания пузырька. Действительно, ограничившись случаем пустой каверны и не учитывая силы
поверхностного натяжения, уравнение (6.16) примет простой вид
&&(t ) + 3 R& 2 (t ) = - p¥ .
R(t ) R
2
r
(6.17)
Полученное уравнение (6.17) допускает нахождение его первого интеграла. С этой целью представим его левую часть в виде
&&(t ) + 3 R& 2 (t ) = 1 d (R 3 R& 2 ) .
R(t ) R
2
2 R 2 R& dt
(6.18)
После подстановки (6.18) в (6.17) получаем дифференциальное уравнение с разделенными переменными
d ( R 3 R& 2 ) = -
2 p¥ 2
R dR .
ρ
(6.19)
Выполнив его интегрирование с учетом начального условия (6.7) и
дополнительного условия равновесия пузырька в начальный момент времени
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
t = 0 : R& (0) = 0
(6.20)
приходим к следующей зависимости:
3
2 p¥ æ æ R0 ö ö
2
&
R =ç1 - ç ÷ ÷
3ρ çè è R ø ÷ø
(6.21)
Как было отмечено [11], уравнение (6.21) можно проинтегрировать,
получив зависимость для времени, в течение которого сферическая каверна
сжимается от R0 до R(t )
3ρ
t=
2 p¥
3
R0
ò
R (t )
R2
(R
3
0
-R
1
3 2
)
dR .
(6.22)
Введя в рассмотрение безразмерный радиус пузырька β = R(t ) , можно
R0
представить выражение (6.22) в виде
1
t = R0
3
1
3ρ
3 -2
2
x (1 - ξ ) dξ .
2 p¥ òβ
(6.23)
Полученное Рэлеем выражение (6.23) позволяет определить время
схлопывания пузырька, положив в нем величину β = 0 (что соответствует
пределу R(t ) ® 0 )
ρ
t* = 0,91468 R0
(6.24)
p¥
Таким образом, поставленная задача динамики схлопывания пустой
каверны принципиально решена.
Вопрос о растворении газового пузырька, всплывающего в неограниченном объеме вязкой жидкости, исследовался в многочисленных работах
(см., например, [2, 9]).
6.2. Модель турбулентного двухфазного потока
Математическое представление двухфазных течений неоднократно рассматривалось целым рядом специалистов в многочисленных публикациях по
этому вопросу (см., например [7, 11]). В большинстве случаев ими использовались континуальный, дискретный или же стохастический подходы, уравнения записывались в эйлеровой или лагранжевой системах координат [4, 7].
Однако наиболее успешным оказалось предложение несколько иной
математической модели турбулентного двухфазного потока. Данная модель
основана на включении аддитивных «источниковых» членов в основные
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
соотношения для газового потока. Эти члены определяются путем решения
соответствующей системы лагранжевых уравнений, описывающих движение, дробление и испарение капель [12].
Такой смешанный подход оказывается весьма удобным как при построении математической модели для рабочего процесса, например, в камере сгорания двигателя, так и при ее численной реализации на ЭВМ. Определяющими уравнениями для рассматриваемого метода в этом случае являются уравнения баланса импульса и массы, а также переноса кинетической энергии турбулентности и скорости ее диссипации.
Первые два уравнения в операторной форме имеют следующий вид [11]
¶r V
+ Ñ × (ρVV ) = Ñ × P + ρF + ΩV ,
(6.25)
¶t
¶ρ
+ Ñ × (ρV ) = W .
(6.26)
¶t
Здесь ΩV и W – источниковые члены, характеризующие изменения
импульса и массы вследствие всевозможных физико-химических превращений капель жидкой фазы, а значение вектора скорости V является осредненной по А. Фавру величиной.
Система уравнений (6.25) и (6.26) дополняется соотношениями, описывающими модель турбулентности газового потока. В качестве такой модели может быть использована любая модель турбулентности, обеспечивающая возможность проведения расчетов на ЭВМ, то есть вычисления параметров турбулентности. В частности, в качестве основной модели для
расчетов наиболее часто предлагается использовать стандартную двухпараметрическую k–ε модель турбулентности, которая широко применяется для
прогнозирования сложных проблем течения без рассмотрения вопросов
внутренней структуры турбулизированных объемов среды и введена во все
наиболее известные в мире пакеты программ вычислительной механики
жидкости.
Основные уравнения для кинетической энергии турбулентных пульсаций k и скорости ее диссипации ε в операторной форме при условии изотропности турбулентной вязкости выглядят следующим образом [1]
¶ρk
μ
+ Ñ × (ρkV ) = Ñ × ( Ñk ) + G k 1 - ρε + Wk o ,
(6.27)
¶t
σk
¶ρε
μ
ε
+ Ñ × (ρεV ) = Ñ × ( Ñε) + (C1G k 1 - C2ρε) + Wε o ,
(6.28)
¶t
σε
k
где k0, e0 – эффективные параметры турбулентности оттекающего от капель
μ
μ
пара, эмпирические константы С1 = 1,44, С2 = 1,92, s k = 1,0 [1], а
и
–
sk
σε
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
эффективные коэффициенты обмена для k и ε соответственно, s e определяется выражением (см. [5])
χ2
σε =
,
Cμ (C2 - C1 )
Сμ = 0,09, χ = 0,4 – постоянная Кармана, Gk1 описывает генерирование кинетической энергии турбулентности
Gk1 = P × (ÑV ) .
Здесь необходимо отметить, что во всех приведенных уравнениях под
μ понимается коэффициент эффективной вязкости, который представляется
как сумма коэффициентов, соответствующих турбулентной и ламинарной
составляющим
μ = μt + μl .
(6.29)
Обычно для ламинарной вязкости μ l принимается, что она зависит от
температуры и состава смеси
μ l = μ l (T , М ),
где Т – температура, М – молекулярный вес смеси.
Доля же турбулентной эффективной вязкости μt является функцией
локальных величин, например градиента скорости. Часто величина μt достаточна велика по сравнению с μ l , поэтому не допуская серьезной ошибки
принимается, что последней можно пренебречь.
Система уравнений (6.25)–(6.28) может быть замкнута с помощью соотношения Прандтля–Колмогорова [1,4,6],
k2
μ t = Cm ρ ,
(6.30)
ε
основанного на локальной аналогии с теорией однородной и изотропной
турбулентности.
При этом плотность газового потока определяется уравнением состояния идеального газа
pM
(6.31)
ρ=
,
RT
где R – газовая постоянная.
Таким образом, получена замкнутая система восьми уравнений с восемью неизвестными, в которой присутствуют «источниковые» члены
WVr , W, Wk o , Wε o .
Для капель одного класса i можно записать, что
i
,
W i = g ini - g out
33
(6. 32)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r
r
W Vir = ( gV ) iin - ( gV ) iout .
(6.33)
Здесь g – массовый расход капель одного класса через грани контрольного объема.
Причем, чтобы вычислить полностью «источники», входящие в уравнения (6.25)–(6.28), необходимо просуммировать выражения типа (6.32),
(6.33) по классам капель, определяемых их характерными параметрами:
скоростью, диаметром и т. д.
Литература
1. Белов И.А. Моделирование турбулентных течений / И.А. Белов,
С.А. Исаев. – СПб. : БГТУ «Военмех», 2001. – 108 с.
2. Богдевич В.Г. Всплытие сферического пузырька с растворением в
покоящейся жидкости / В.Г. Богдевич, Н.К. Рубан // Изв. СО АН СССР. –
Сер. Техн. науки, 1977, № 8. – Bып. 2. – С. 121–125.
3. Кнэпп Р. Кавитация / Р. Кнэпп, Дж. Дейли, Ф. Хэммит. – М. : Мир,
1974. – 688 с.
4. Лапин Ю.В. Внутренние течения газовых смесей / Ю.В. Лапин,
М.Х. Стрелец. – М. : Наука, 1989. – 368 с.
5. Левицкий С.П. Динамика и тепломассобмен пузырьков в полимерных жидкостях / С.П. Левицкий, З.П. Шульман. – Минск : Наука и техника,
1990. – 175 с.
6. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. –
М. : Дрофа, 2003. – 840 с.
7. Несис Е.И. Кипение жидкостей / Е.И. Несис. – М. : Наука, 1973. – 280 с.
8. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред : в 2 т. – М. : Наука,
1987. – 824 c.
9. Холпанов Л.П. Гидродинамика и теплообмен с поверхностью раздела / Л.П. Холпанов, В.Я. Шкадов. – М. : Наука, 1990. – 272 с.
10. Besant W.H. Hydrostatics and Hydrodynamics / W.H. Besant. – London : Cambridge University Press, 1959.
11. Clift R. Bubbles, drops and particles / R. Clift, J.R. Grace,
M.E. Weber. – London : Academic Press, 1978. – 380 p.
12. Crowe C.T. Multiphase Flows with Droplets and Particles /
C.T. Crowe, M. Sommerfeld, Y. Tsuji. Boca Raton : CRC Press, 1997. – 387 p.
13. Raylegh, Lord (Strutt J.W.) Jn pressure development in a liquid during the collapse of a spherical cavity / Lord Raylegh (Strutt J.W.). // Phil. Mag.,
1917. V. 34, Р. 94–98.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. ПРОЦЕССЫ В МИКРО- И НАНОСИСТЕМАХ
Общие вопросы нанотехнологии. Динамика в микро- и наносистемах. Основные концепции механики микроструктурного
континуума. Течение микроструктурных жидкостей в пограничном слое. Электрические явления в наносистемах. Эффекты внутреннего тепловыделения в микро- и наногидродинамике.
Эффекты внутреннего тепловыделения в микро- и наноканалах
Для физико-химических систем, характерные размеры которых составляют величины порядка нескольких десятков мкм, учет некоторых
свойств текущих сред вызывает необходимость построения математических
моделей, отличающихся от традиционных моделей механики жидкости и
газа. Процессы динамики и тепломассопереноса происходят при существенном влиянии различного рода факторов, которыми при традиционных
исследованиях можно было бы пренебречь [10].
Проанализируем тепловые эффекты вязкой диссипации и джоулева
разогрева, которые возникают при электроосмотических течениях в высокопористых средах [7, 8, 13]. Обсудим использование моделей микрожидкостей [1, 4, 9], лежащих в основе построения соответствующих математических моделей при теоретическом изучении, например, функционирования
электромембранных систем. Влияние вязкой диссипации изучим для плоскопараллельного микроканала при задании двух возможных тепловых режимов на стенках канала – постоянства температуры или теплового потока.
Причиной, вызывающей электроосмотическое течение, является не перепад
давления, а градиент электрического потенциала (рис. 2).
Рис. 2. Электроосмотический поток в пористой заряженной среде
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Возникающее при этом поле течения характеризуется не параболическим распределением скорости, а уникальными нелинейными электроосмотическими профилями скорости (рис. 3)[11].
Рис. 3. Схематическое изображение электроосмотического потока
Для построения математической модели выберем микрополярную
модель жидкости, поддерживающую масштабные эффекты в тонких капиллярах [6].
æ ¶v
ö
ρ ç + ( v × Ñ ) v ÷ = -Ñp + ( μ + κ ) Ñ 2 v + κÑ ´ ω + ρf .
è ¶t
ø
(7.1)
æ ¶ω
ö
ρj ç
+ ( v × Ñ ) ω ÷ = ( α + β + γ ) ÑÑ × ω - γÑ ´ Ñ ´ ω + κÑ ´ v + ρl. (7.2)
è ¶t
ø
Неизотермические эффекты для такого рода сред анализируются с
помощью теплопроводной микрополярной модели. В случае независимости
физических свойств от температуры к уравнениям (7.1)–(7.2) необходимо
добавить уравнение, выводимое из закона баланса внутренней энергии
æ ¶T
ö
ρc v ç
+ v × ÑT ÷ = λÑ 2T + ( μ + κ ) D + γDw ,
è ¶t
ø
(7.3)
где D – диссипативная функция Рэлея, Dw – тепловыделение за счет внутреннего микровращения в жидкости.
Поскольку среда взаимодействует в приложенным внешним электрическим полем, то необходимо привлечь электрогидординамические члены
для микроструктурных континуумов [5], добавив в правую часть уравнения
(7.1) силу кулона, а в уравнение (7.3) джоулево тепловыделение
ρeE , j × E .
(7.4)
Кроме того, из системы уравнений Максвелла об электромагнитных
взаимодействиях получаем дополнительные уравнения
Ñ ´ E = 0 , Ñ ( e E ) = re .
36
(7.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В случае плоскопараллельного течения в достаточно длинном тонком
канале уравнения (7.1)–(7.3) с учетом (7.4)–(7.5) приводят к следующей
системе уравнений
d 2u
dω
( μ + κ ) 2 + κ + ρe E = 0,
dy
dy
(7.6)
d 2ω
du
κ
- 2γω = 0,
d y2
dy
(7.7)
γ
2
2
æ du
ö
æ du ö
æ dw ö
d 2T
λ 2 + (μ + κ )ç ÷ + γ ç
+ 2κ ç ω
+ ω2 ÷ + jE = 0. (7.8)
÷
dy
è dy ø
è dy ø
è dy
ø
В трех уравнениях (7.6)–(7.8) содержится четыре неизвестных функции. Для замыкания этой системы уравнений требуется привлечение (7.5.2).
Уравнение (7.5.1) показывает, что электрическое поле является потенциальным, то есть существует такая скалярная функция j(X, t) , что её градиент с
противоположным знаком определяет напряженность электрического поля
j : E = -Ñj.
(7.9)
Из закона Гаусса получаем известное уравнение Пуассона для электрического потенциала
εÑ 2 j = -ρe .
(7.10)
Решение соответствующей математической задачи позволило установить, что интегральные характеристики динамики и тепломассо обмена зависят от трех критериев подобия: отношений радиуса канала к дебаевской
длине, джоулева тепла к плотности теплового потока через стенку канала и
диссипативного разогрева к джоулеву. Построенные профили скорости и
температуры, а также зависимость числа Нуссельта для различных геометрий канала на участке развитого теплового режима при различных типах
граничных условий и значений безразмерных параметров демонстрируют
основные закономерности и особенности функционирования такого рода
систем. Показано также, что отношение тепловых эффектов диссипативного и джоулева разогрева является параметром, который в свою очередь зависит лишь от теплофизических свойств жидкости и её электроосмотического взаимодействия со стенками канала. Данный параметр увеличивается
непосредственно с ростом удельной электропроводности жидкости, вязкости, электроосмотической подвижности и обратной величины дебаевской
длины.
В работе M. Maynes [11] было показано, что учет влияния вязкой диссипации важен только при больших значениях безразмерного параметра
вязкого разогрева и существенен лишь для малого относительного радиуса
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
канала. Для практических применений электроосмотического течения и теплопереноса влияние вязкого разогрева на распределение температуры и
число Нуссельта существенно только для каналов наномасштаба. В последнем случае эффект вязкого разогрева приводит к уменьшению числа Нуссельта при постоянном тепловом потоке на стенках канала и его возрастанию, если стенки канала поддерживаются при постоянной температуре.
Результаты расчетов сопоставлены с экспериментальными данными,
полученными для двух типов электролитов, если канал имеет прямоугольное поперечное сечение в работе. Отмечено, что для более полного совпадения теоретических и экспериментальных данных требуется дальнейшее
развитие метода решения сингулярно возмущенного дифференциального
уравнения для электрического потенциала. Для простейшего модельного
случая в рамках приближения диффузионного слоя Нернста предложено
применение метода пограничных функций и соответствующий алгоритм
расчетов, включающий численное решение трансцендентного уравнения
для плотности тока.
Литература
1. Мигун Н.П. Гидродинамика и теплообмен градиентных течений
микроструктурной жидкости / Н.П. Мигун, П.П. Прохоренко. – Минск :
Наука и техника, 1984. – 264 с.
2. Bao M. Analysis and Design Principles of MEMS Devices / M. Bao. –
New York : Elsevier, 2006. – 312 p.
3. Bechtold T. Fast Simulation of Electro-Thermal MEMS. Efficient Dynamic Compact / T. Bechtold, E. Rudnyi, J. Korvink. – Berlin, Heidelberg :
Springer, 2007. – 180 p.
4. Eringen A.C. Theory of micropolar fluids // Journal of Mathematics and
Mechanics. 1966 – V.16, № 1. – P.1–16 (русский перевод: Эринген А.К. Теория микрополярных жидкостей // Механика : сб. перев. иностр. статей. –
М. : Мир, 1969. № 4. – C. 79–93).
5. Eringen A.C. Electrodynamics of microstretch and micropolar fluids /
A.C. Eringen // ARI. – 1998. – V. 50. – P. 169–179.
6. Hetsroni G. Fluid flow in microchannels / G. Hetsroni, A. Mosyak,
E. Pogrebnyak, L.P. Yarin // Int. J. Heat Mass Transfer, 2005.
7. Kandlikar S.G. Heat transfer and fluid flow in minichannels and microchannels / S.G. Kandlikar, S. Garimella, D. Li. – New York : Elsevier, 2006. –
450 p.
8. Karniadakis G.E. Microflows and nanoflows. Fundamentals and simulation / G.E. Karniadakis, A. Beskok, N. Aluru. – New York : Springer. 2005. – 817
p.
9. Kucaba-Pietal A. Microflows modeling by use micropolar fluid theory /
A. Kucaba-Pietal. – Rzeszow : OW.PRz, 2004.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. Li D. (Ed.) Encyclopedia of Microfluidics and Nanofluidics / D. Li. –
Berlin : Springer, 2008. – 2226 p.
11. Maynes D. The effect of viscous dissipation in thermally fullydeveloped electro-osmotic heat transfer in microchannels / D. Maynes,
B.W. Webb. // Int. J. Heat Mass Transfer. – 2004. V.47. – P. 987–999.
12. Papautsky I. Laminar fluid behavior in microchannels using micropolar
fluid theory / I. Papautsky, J. Brazzle, T. Ameel, B. Frazier // Sensors Actuators ,
1999. – V. 73. – P. 101–108.
13. Volz S. Microscale and Nanoscale Heat Transfer / S. Volz. – Berlin :
Springer, 2006. – 359 p.
8. ИОНООБМЕННЫЕ И МЕМБРАННЫЕ СИСТЕМЫ
Ионный обмен на зерне ионита. Потенциал Доннана. Закон
Нернста – Планка. Соотношение Эйнштейна для подвижности
сферической частицы. Электродиффузионный транспорт. Процессы электромассопереноса в ионоселективных мем бранных системах. Модель ионного обмена на отдельном зерне ионита.
Электромембранные системы и технологии. Селективность
мембран. Эффективное число переноса противоионов через мембрану. Предельный электродиффузионный ток. Нестационарная
электродиффузия около ионоселективной мембраны. Подход
Пирса – Розенберга – Тиррелла. Сопряженные модели электромембранных систем. Гидродинамическая теория электродиализа.
Каналы прямые и со вставками, с засыпкой межмембранного пространства зернами ионита. Естественная конвекция в электромембранных системах. Системы с вращающимся мембранным диском. Роль объемного электри ческого заряда. Электрофорез второго рода.
Баромембранные системы и мембранные технологии. Осмос, процессы в мембранах. Баромембранные процессы в каналах, с вращением раствора, в условиях естественной конвекции.
8.1. Математическое моделирование электродиффузионного
процесса переноса около ионоселективной мембраны
Одним из наиболее перспективных электромембранных методов разделения жидких смесей является процесс электродиализа. Более ста лет тому назад
была предпринята попытка разработки промышленных технологий. Однако
лишь после создания ионитовых мембран в начале второй половины прошло века были построены первых заводы, на которых этот процесс использовался в основном для опреснения и обессоливания воды. Многочисленные интересные
сведения можно получить из прекрасного обзора В.И. Заболоцкого и
В.В. Никоненко[2].
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исторически первой подход к математическому описанию процесса
электромембранного разделения растворов электролитов был предложен в
работах Т. Теорела и Р. Шлёгля. С помощью предложенных ими моделей и
разоаботанных методов решения неклассических нелинейных задач для
системы обыкновенных дифференциальных уравнений были установлены
некоторые особенности переноса ионов в мембранах. Однако ограниченность данного подхода, заключалась в том, что предпринималась попытка
изучения функционирования мембраны без учета поведения окружающего
её раствора. Это и явилось причиной того, что многие важнейшие закономерности трансмембранного транспорта остались не установленными.
Второй альтернативный подход, предложенный в работах Пирса, Розенберга и Тиррелла, оказался значительно более успешным, В частности с его
помощью было теоретически установлена возможность достижения «предельного» состояния мембранной системы и, как следствие, качественного
изменения её функционирования. Рассмотрим одну из наиболее простых математических моделей, которую можно построить в рамках этого подхода.
Вся область течения раствора между мембранами разбивается на три
подобласти. Две из них, непосредственно прилегающие к мембранам, в которых пренебрегается конвективным переносом ионов и принимаются во внимание лишь диффузионный и миграционный потоки. Между диффузионными
слоями происходит движение однородного бинарного раствора электролита.
Рассмотрение электродиффузионных процессов в примембранной области осуществляется в одномерной постановке. Начало системы отсчета
помещается на внешней границе d –слоя, а ось х декартовой системы координат направлена по направлению протекания электрического тока к поверхности мембраны.
Для определенности изложения будем считать, что правая мембрана
электродиализного канала является катионитовой. Следовательно, противоионы, движущиеся слева направо к поверхности мембраны и легко проходящие через неё, являются положительно, а коионы, движущиеся в противоположном направлении, – отрицательно заряженными компонентами
раствора электролита (см. рис. 4).
Рис. 4. Схема электродиффузионного переноса
в канале электродиализа
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Процесс электродиффузионного переноса в диффузионном слое должен удовлетворять закону баланса массы для каждого из компонентов раствора, который после перехода от массовых плотностей к концентрациям
приводит к уравнениям
¶ ci
¶J
= - i + k i , i = 1,2
¶t
¶x
(8.1)
где ci , J i , k i – концентрация, плотность диффузионного потока и скорость
функции источника или стока для i-го компонента за счет возможных гомогенных химических реакций; t-время.
Плотность электродиффузионного потока, как правило, представляется в соответствии с законом Нернста–Планка [3]
J i = - Di grad ci +
zi e
Di ci E , i = 1,2.
kT
(8.2)
Здесь введены следующие обозначения: z i , Di – зарядовое число и
коэффициент диффузии i-го компонента, e = 1.60×10-19 Кл - элементарный
электрический заряд, k =1.38×10-23 Дж/К – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура.
Для замыкания системы уравнений постулируется, так называемое,
условие электронейтральности, которое для бинарного раствора имеет вид
z1c1 + z2c2 = 0 .
(8.3)
Для стационарного процесса электродиффузии при отсутствии гомогенных реакций в системе процессы электродиффузии в дельта-слое Нернста будут описываться следующей математической моделью:
dJ i
= 0 , (i = 1, 2);
dx
dci z i e
J
=
ci E - i .(i = 1, 2).
dx kT
Di
(8.4)
(8.5)
Совместно с условием электронейтральности (8.3) уравнения (8.4), (8.5)
образуют замкнутую математическую модель относительно пяти неизвестных
функций – ci , J i (i = 1, 2) и E. Вводя в рассмотрение электрический потенциал
в силу потенциальности постоянного электрического поля, получаем систему
уравнений, описывающих электродиффузионные процессы в дельта слое,
включающую уравнения (8.3)–(8.5) и уравнение (8.6)
dj
= -E .
dx
41
(8.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение в качестве новой неизвестной функции электрического потенциала позволяет задать граничные условия для задач подобного типа более естественным образом. Действительно, полагая, что все свойства мембраны, включая её селективность, известны, можно записать следующие
условия однозначности решения уравнений (8.3)–(8.6):
– на внешней границе дельта-слоя известны концентрации и задано
начало отсчета потенциала, то есть
x = 0:
ci (0) = ci0 (i = 1, 2),
φ(0) = 0;
(8.7)
– на границе раздела раствор – мембрана определим непрерывность
плотности потоков заряженных компонентов (ионов, то есть
x = δ:
zi FJ i = ni j0 (i = 1, 2).
(8.8)
Здесь введены новые величины: ni – эффективное число переноса
компонентов через мембрану, характеризующее её селективность, и j0 –
известная при величина плотности тока в системе.
Прежде всего, используя уравнение электронейтральности исключается одна из функций, например, c2 , тогда для второй неизвестной концентрации получаем уравнение в виде
dc1
z2 æ J1 J 2 ö
ç
÷
=
+
dx z1 - z 2 çè D1 D2 ÷ø
(8.9)
и уравнение для электрического потенциала
æ z1 J1 z2 J 2 ö
dj
kT
=
+
ç
÷.
dx z1 ( z1 - z2 ) c1 è D1
D2 ø
(8.10)
Последовательное интегрирование уравнений (8.9) и (8.10) с учетом
граничных условий (8.7), (8.8) приводит к следующему решению задачи:
c1 ( x) = c
0
1
(n - t ) j
1
m
1
z1FD*
0
x,
n1 - t1m ) j0
(
kT D1 - D2 n1 - t1d
j( x) =
ln 1 x,
e z1D1 - z2 D2 n1 - t1m
z1FD*c10
(8.11)
(8.12)
где введены обозначения D* = ( z1 - z 2 ) D1 D2 – коэффициент диффузиибинарz1 D1 - z 2 D2
ного электролита; t1m =
инов в растворе, t1d =
z1 D1
– миграционное число переноса противоz1 D1 - z 2 D2
D1
.
D1 - D2
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найденное решение позволяет установить основные закономерности
и особенности исследуемого процесса. В частности, из решения (8.11) непосредственно получается выражение для так называемой «предельной
электродиффузионной плотности тока», являющейся одной из основных
характеристик процесса [2]
j* =
z1 FD* c10
.
(n1 - t1m )d
(8.13)
Из решения (8.12) может быть найдено важное в теории мембранных
систем выражение, связывающее величину падения напряжения в дельтаслое с плотностью протекающего в ней электрического тока
n1 - t1m ) j0
(
kT D1 - D2 n1 - t1d
d .
Dj0 = ln 1 e z1D1 - z2 D2 n1 - t1m
z1FD*c10
(8.14)
Данное выражение может быть использовано, в частности, для расчета вольтамперной характеристики мембранной системы.
8.2. Математическое моделирование электродиффузионного
процесса переноса около ионоселективной мембраны с учётом
объёмного электрического заряда
Вопрос об электродиффузионном переносе ионов около ионитовых
мембран с учетом объемного электрического заряда относится к числу актуальных проблем дальнейшего развития теории электромембранного разделения растворов электролитов [2]. В настоящее время предложено несколько математических моделей, которые представляют собой двухточечные краевые задачи с сингулярно возмущенной системой обыкновенных
дифференциальных уравнений. Отличие их между собой заключается, в основном, в используемых граничных условиях. Для нахождения приближенного аналитического решения применяется метод асимптотических разложений в уравнении для напряженности электрического поля, получаемом из
исходной системы электродиффузионных уравнений.
Рассмотрим несколько иной подход как к построению математической модели, так и к нахождению её асимптотического решения.
В рамках традиционного подхода Пирса–Розенберга–Тиррелла ограничимся рассмотрением одномерного процесса переноса ионов бинарного
электролита в диффузионном d-слое Нернста около ионоселективной мембраны при отсутствии химических реакций между какими-либо компонентами как внутри d-слоя, так и на его границах. Подобного рода задачи рассматривались ранее в работах В.И. Заболоцкого и В.В. Никоненко, И. Рубинштейна, А.В. Листовничего и др.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Соответствующая математическая модель получается при использовании законов баланса массы многокомпонентной системы, уравнений
Нернста–Планка для плотности потока электрически заряженных компонентов и уравнения Пуассона для электрического потенциала. После приведения уравнений к нормальному виду получаем систему обыкновенных
дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старшей производной [2, 3]
dJ i
= 0,
dx
dci
z e dj Ji
= - i ci
- ,
dx
kT dx Di
(i = 1, 2) ,
(i = 1, 2)
(8.15)
d 2j
ε 2 = - F ( z1c1 + z2c2 ),
dx
где x Î [ 0, d] , z i , Di , J i , ci – зарядовое число, коэффициент диффузии, плотность электродиффузионного тока и концентрация ионов i-го сорта; j –
электрический потенциал; ε – диэлектрическая проницаемость раствора
электролита; F = 9,65×104 Кл/моль – число Фарадея.
Граничные условия формулируются следующим образом. На внешней границе диффузионного слоя, за которой все свойства раствора считаются известными, заданы концентрации для обоих сортов ионов, а также
начальное значение электрического потенциала, определяемого с точностью до константы
x = 0:
ci (0) = ci0 (i = 1,2) ,
j(0) = 0 .
(8.16)
Заметим, что значения концентраций ci0 (i = 1,2) удовлетворяют условию локальной электронейтральности, так что только одна из этих величин
ci0 задается независимым образом, а вторая определяется из уравнения
электронейтральности
z1c10 + z2c20 = 0 .
Подобное ограничение связано с существующими представлениями о
том, что размеры как d-слоя Нернста, так и области пространственного заряда вблизи границы раздела фаз раствор–мембрана значительно меньше
расстояния между мембранами.
На внутренней границе диффузионного слоя, то есть на границе раздела раствор–мембрана, можно определить плотность диффузионного потока, учитывая его неразрывность при переходе через границу раздела фаз,
и задавая количественную меру селективности мембраны введением эффективного числа переноса ионов. Отметим, что под этой величиной пони44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мается доля электрического заряда, переносимого через мембрану компонентами i-го сорта за счет всех возможных механизмов ионного транспорта.
Кроме того, будем также считать заданной величину падения напряжения в
диффузионном d-слое, как разность между значениями электрического потенциала на его границах, то есть
x = δ:
Ji =
ni j0
( i = 1, 2 ) ,
zi F
j (δ)= - Δj0 .
(8.17)
Здесь Dj0 > 0 – величина падения электрического потенциала в dслое; j0 – плотность электрического тока в системе, возникающего под
действием заданной величины приложенного напряжения или падения
электрического потенциала Dj0 . При задании в качестве известного параметра рассматриваемой системы величины Dj0 , величина j0 не может быть
задана произвольным образом, и для замыкания системы уравнений (8.15)
должно быть записано еще одно уравнение, включающее неизвестные
функции и величину j0 . Отметим, что в случае задания в качестве известного параметра модели величины j0 , замыкание задачи не требуется, но
граничное условие (8.17.2) будет иметь другой вид.
Из первого уравнения системы (8.15) следует, что в диффузионном
слое при отсутствии химических взаимодействий плотность электродиффузионного потока ионов является постоянной величиной, и с учетом граничного условия (8.17.2) выражение для него записывается в виде
Ji =
ni j0
(i = 1, 2) .
zi F
(8.18)
Тогда система уравнений, описывающих процесс электродиффузии
около мембраны, принимает вид
dci
z e d j ni j0
= - i ci
,
dx
kT dx zi FDi
(i = 1, 2),
(8.19)
d 2j
ε 2 = - F ( z1c1 + z2c2 )
dx
и должна быть решена при граничных условиях
x = 0:
ci (0) = ci0 (i = 1, 2) ; j(0) = 0,
x = δ:
j( d) = -Dj0 .
.
(8.20)
При приведении полученной математической модели (8.19–8.20) к
безразмерному виду безразмерные переменные введем обычным образом,
выбирая в качестве нормирующих величин их масштабы
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
c
c
x
j
j
; p = 10 , n = 20 ; F =
; J0 = 0 ,
d
Dj0
j*
c1
c2
z1FD*c10
где j* =
– так называемая предельная электродиффузионная
m
n
t
δ
1
плотность тока.
1 Эта величина соответствует плотности тока, при которой
достигалось бы нулевое значение концентрации ионов на поверхности мембраны при использовании в ходе построения математической модели вместо уравнения (8.15.3) уравнения, соответствующего условию локальной
электронейтральности раствора;
X=
(
D* =
t1m =
)
(z1 - z 2 )D1 D2 – коэффициент диффузии бинарного электролита,
z1 D1 - z 2 D2
z1 D1
– миграционное число переноса противоионов за пределами
z1 D1 - z 2 D2
d-слоя.
Тогда двухточечная краевая задача в данном случае может быть записана в виде совокупности трех обыкновенных дифференциальных уравнений
dp
dF
= -p
- a pJ0 ,
dX
dX
(8.21)
dn
dF
=n
+ an J0 ,
dX
dX
(8.22)
d 2F
μ
= -p + n,
dX 2
(8.23)
2
которые должны быть решены совместно с граничными условиями
X = 0:
p (0) = 1,
X = 1:
n(0) = 1, F (0) = 0 ,
(8.24)
F (1) = -1.
(8.25)
При получении уравнений (8.21) – (8.23) были приняты допущения о
том, что
kT
, z1 = 1 , z2 = -1 .
e
e Dj0
(1 - n1 ) D*
2
и введены обозначения a p = n1D* m , α n =
,
m
=
.
C10d2 F
D2 (n1 - t1m )
D1 (n1 - t1 )
Уравнение (8.23) содержит при второй производной от функции
F = F ( X ) коэффициент m 2 , являющийся малым параметром, а уравнения
(8.21) – (8.22) величины, являющиеся величинами порядка единицы. Таким
образом, полученная система дифференциальных уравнений относится к
числу сингулярно возмущенных, то есть зависит от малого параметра нерегулярным образом. Для нахождения её решения воспользуемся методом пограничных функций, предложенным А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузовым.
Dj0 ~
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Его применение к сингулярно возмущенной электродиффузионной задаче
(8.21)–(8.25) было выполнено в [3], а приближенное аналитическое решение
имеет вид
éæ
êç 1 + Ke
p ( X ) = 1 - J 0 X + (1 - J 0 ) êç
êç
Ke
1
êëè
2
ù
ö
ú
÷
1
ú,
æ 1- X ö ÷
2(1- J 0 ) ç
÷
ú
è μ ø ÷
ø
úû
æ 1- X ö
2(1- J 0 ) ç
÷
è μ ø
é æ
ê ç 1 - Ke
n( X ) = 1 - J 0 X - (1 - J 0 ) ê1 - ç
ê ç
Ke
1
+
êë è
ö
÷
æ 1- X ö ÷
2(1- J 0 ) ç
÷
è μ ø ÷
ø
æ 1- X ö
2(1- J 0 ) ç
÷
è μ ø
æ
α p + αn
ç 1 - Ke
Ф(X ) =
ln 1 - J 0 X + 2ln ç
2
ç 1 + Ke è
где введено обозначение
K=
1- e
1+ e
1
Π0F ( 0 )
2
1
Π0F ( 0 )
2
2
ù
ú
ú,
ú
úû
ö
÷
,
æ 1- X ö ÷
2(1- J 0 ) ç
÷
è μ ø ÷
ø
æ 1- X ö
2(1- J 0 ) ç
÷
è μ ø
.
(8.26)
(8.27)
(8.28)
(8.29)
Отметим также, что в выражения (8.26)–(8.29) входит пока не определенная величина безразмерной плотности тока J 0 , а также введено обозначение
1
Π 0 F (0) = -1 - ( α p + α n ) ln 1 - J 0 ,
2
которое представляет собой значение пограничной составляющей решения
для электрического потенциала, вычисленное на границе раздела раствормембрана, и также содержащее неизвестную пока величину J 0 .
Подход для определения величины J 0 был предложен в работе [3] и
реализован для некоторых конкретных растворов бинарных электролитов,
используемых в процессе электродиализной обработки. Показано, что величина безразмерной плотности тока J 0 должна удовлетворять уравнению
1
J0 ò
0
dp
dn
æ
ö
-A
ç
÷
1
dX
dX
dX
ç
- B 1- ò
dX ÷ = 0 .
p + An
p
+
An
ç 0
÷
ç
÷
è
ø
47
(8.30)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
как
D2C20
FD1C10
Здесь введены обозначения A =
, B=
.
D1C10
j*δ
Численное решение уравнения (8.30), представляемого в общем виде
f ( J 0 ) = 0 , выполнено с помощью метода дихотомии на отрезке
-2
é æ
öù
αn +α p
ê0, ç1 - e
÷ ú для различных типов и концентраций растворов, соответç
÷ú
êë è
øû
ствующих данным экспериментальных исследований. С этой целью строится график функции f = f ( J 0 ) . Результат для случая задания параметров математической модели, соответствующих концентрации 10 моль/м3 раствора
NaCl, представлен на рисунке 5.
Рис. 5 График функции f (J0) = 0
Из построенного графика видно, что существует единственное значение плотности тока J 0 , являющееся корнем уравнения f ( J 0 ) = 0 , и оно принадлежит промежутку [0.2, 0.4].
Проведенные численные расчеты различных характеристик процесса
для пяти типов растворов и трех значений их концентраций позволили выявить их зависимости от параметров рассматриваемой модели (табл.). На
основании анализа полученных результатов установлено, что в рамках заданного диапазона изменения параметров модели, величина безразмерной
плотности тока J 0 с ростом концентрации раствора возрастает, причем для
всех типов растворов её величина с точностью до третьего знака после запятой остается постоянной.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица
Зависимость безразмерной величины плотности тока в системе
для различных типов и концентраций растворов электролитов
C0, моль/м3
NaCl
10
0.305151
1
0.288867
0,5
0.279932
NaF
0.302319
0.284302
0.274561
MgSO4
0.304907
0.288452
0.279443
AgNO3
0.302588
0.284717
0.275037
NaNO3
0.304565
0.287866
0.278748
В таблице даны значения искомой величины J 0 для различных типов
и концентраций растворов.Для более наглядного представления основных
закономерностей и особенностей электродиффузионных процессов переноса могут быть построены профили концентрации и распределения электрического потенциала, например, для раствора NaCl с концентрацией
10 моль/м3 (рис. 6).
а)
б)
Рис. 6. Концентрационные профили противоинов:
а – коионов; б – в дельта-слое Нернста
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На основании проведенных расчетов и представленных графиков можно сделать вывод о том, что в непостредственной близости от принимающей
поверхности мембраны концентрация противоионов возрастает, а коинов падает. Следовательно, около её поверхности образуется область пространственного заряда со знаком, совпадающим со знаком заряда противоинов.
Причем максимальное значение заряда достигается непосредственно на поверхности мембраны, а не на некотором расстоянии от неё (рис. 7).
Рис. 7. Распределение электрического потенциала в диффузионном слое
и около поверхности мембраны
Из приведенных графиков видно, что большая часть величины падения напряжения приходится на область в непосредственной близости от поверхности мембраны, протяженность которой является величиной порядка
10-3d. Вне этой области величина напряженности электрического поля остается практически постоянной.
Представляет интерес получение аналитического выражения для определения толщины области пространственного заряда. Заметим, что приближенное выражение было получено для случая симметричного электролита с зарядовыми числами z1 = - z 2 = 1
æ
1
Π0 F (0)
ç
2
μδ
1
e
δe =
ln ç
×
1
2 p 0 (1) ç 1 + e 2 Π0F (0)
çç
è
ö
ξ
+1 +1 ÷
p0 (1)
÷
÷.
ξ
+ 1 - 1 ÷÷
p0 (1)
ø
(8.31)
В выражении (8.31) через p0 (1) и ξ обозначены регулярная составляющая нулевого приближения безразмерной величины концентрации противоинов на поверхности мембраны и точность определения толщины области слоя с пространственным электрическим зарядом
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
p 0 (1) = 1 -
1
α p - α n ) J 0 , ξ = 10-3 .
(
2
На рисунках 8 и 9 представлены графики результатов расчета зависимости толщины области пространственного электрического заряда от концентрации раствора электролита NaCl, изменяющейся в диапазоне от 10 до
160 моль/м3. Из рисунка видно, что с ростом концентрации происходит
уменьшение толщины области (рис. 8), в которой образуется электрический
заряд, однако максимальное значение его величины возрастает (рис. 9).
Рис. 8. Изменение толщины области пространственного
электрического заряда от концентрации раствора NaCl
Рис. 9. Зависимость величины плотности электрического заряда
на поверхности мембраны от концентрации раствора NaCl
Аналогичные результаты расчетов получены также для других типов
и концентраций растворов. Таким образом, задача математического моделирования электродиффузионного разделения бинарных растворов элек-
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тролитов с учетом объемного электрического заряда для выбранных условий осуществления процесса электромассопереноса принципиально решена.
Литература
1. Гельферих Ф. Иониты. Основы ионного обмена / Ф. Гельферих. –
М. : ИИЛ, 1962. – 490 с.
2. Заболоцкий В.И. Перенос ионов в мембранах / B.И. Заболоцкий,
В.В. Никоненко. – М. : Наука, 1996. – 396 с.
3. Коржов Е.Н. Математическое моделирование электродиффузионного процесса переноса около ионоселективной мембраны с учётом объёмного электрического заряда / Е.Н. Коржов, А.С. Чопчиян // Сорбционные и
хроматографические процессы. – 2007. – Т. 7, вып. 5. – С. 815–824.
4. Inglezakis V.J. Adsorption, Ion Exchange and Catalysis: Design of Operations and Environmental Applications / V.J. Inglezakis, S.G. Poulo- poulos. –
New York : Elsevier, 2006. – 602 p.
9. ПРОЦЕССЫ ГОРЕНИЯ
Процессы горения газовых и гетерогенных смесей. Модели горения жидких и твердых топлив.
Горение в топках и камерах сгорания. Рабочие процессы
ЖРД. Процесс смесеобразования. Впрыск топливной смеси в камеру сгорания. Процессы в форсунках, камере сгорания и сопле.
Системы охлаждения камеры сгорания.
Горение топливной смеси в камере сгорания
Процесс горения газовых смесей относится к числу наиболее сложных и
недостаточно изученных разделов физико-химической механики жидкости и
газа. До настоящего времени многие вопросы динамики и тепломассообмена
течений горящих газовых смесей при высоких температурах и давлениях не
нашли своего удовлетворительного решения [1].
Процессы горения, происходящие в тепловых двигателях или энергосиловых установках, имеют ряд специфических особенностей, вызванных высокими
давлениями, температурами и градиентами скоростей движения смесей [3–5, 6].
Моделирование процессов горения с помощью современных систем научного и
инженерного анализа также ставит ряд проблем, без решения которых не могут
быть получены необходимые результаты для использования их в инженерноконструкторской практике [1, 2].
В этой связи в области моделирования вышеуказанных процессов
предлагается вести исследования таким образом, чтобы по мере решения
серии задач выработать методику такого рода исследований в дальнейшем.
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Показать влияние процесса горения на изменение гидравлических характеристик потока можно путем сопоставления результатов расчетов некоторых характерных величин для случаев, когда есть, и когда нет горения.
К числу таких характерных факторов можно отнести: поля течения, распределения скорости и давления в канале, а также изменение некоторых интегральных величин, таких, например, как зависимость падения давления или
коэффициента сопротивления канала от величины определяющих параметров потока (числа Рейнольдса, геометрических и физических параметров
модели). Отдельный круг вопросов составляют задачи изучения тепловых
факторов и особенностей массообмена в процессах горения.
С этой целью на первом этапе рассматривается семейство простейших
моделей, из которых в качестве базовой выбирается ламинарное и турбулентное течения однородной среды, например, воздуха, в прямой цилиндрической трубе. Вход газов ос уществляется на одном из торцов, который
представляет собой круг с симметричным образом расположенными отверстиями (см. рис. 10).
Рис. 10. Общая схема входа и течения газовой смеси в канале
Далее на основе базовой модели рассмотрим следующие задачи:
· В качестве второй модели будет рассмотрено течение без горения
смеси воздуха и пропана. Выбор данной модели объясняется наличием в
печати публикаций с решениями нескольких подобного рода задач [5].
· Третья модель. Та же задача, но имеет место горение смеси воздуха и пропана. Были выбраны именно эти компоненты для расчета горения,
так как только для них в программном пакете STAR-CD заложена химическая реакция. Для задания каких-либо других химических реакций необходимо более глубокое изучение пакета.
· Четвертая модель. Предыдущая задача, но на входе имеет место
закрутка потоков воздуха.
После анализа полученных результатов и сопоставления их с результатами других теоретических и экспериментальных работ будет выработана
стратегия последующих исследований. Это переход к задачам более слож-
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ной геометрии, с другими составами топливной смеси, учет возможной
многофазности потока и многое другое.
Работы должны выполняться для различных моделей турбулентности,
горения и при варьировании их параметров в определяемом диапазоне изменения их значений.
Основные цели проведения расчетно-аналитических работ можно
сформулировать следующим образом:
· Получение поля течения, профилей скорости в различных сечениях канала, распределения и эпюры для давления при различных параметрах
модели.
· Построение графиков зависимости величины падения давления и
коэффициента гидравлического сопротивления от числа Рейнольдса для
случаев с горением и без него при различных значениях параметров модели.
· Установление основных закономерностей и особенностей течения
для различных моделей и диапазонов изменения безразмерных параметров
модели.
Постановка задачи осуществляется с учетом наличия решений аналогичных задач, выполненных ранее. Это даст возможность проверить получаемые решения, а также использовать сопоставление решений, получаемых с помощью пакета STAR-CD с решениями, выполненными другими
исследователями.
Формулировка базовой концептуальной модели процесса
Рассматривается стационарное течение однородной вязкой сжимаемой среды в круглой цилиндрической трубе при заданном однородном распределении скорости на входе в канал (см. рис. 10). Рассматривается стационарное течение в прямом цилиндрическом канале кругового поперечного сечения длиной L0 и радиуса R0, через торцевое круговое осевое отверстие радиуса R1, из которого подается воздух (далее – пропан) с заданной
скоростью w0 и температурой T0. На этой же торцевой поверхности по окружностям радиусов R2 > R1 и R3 > R2 на одинаковом расстоянии друг от
друга для каждого из радиусов расположены n и m отверстий равного радиусам соответственно R4 < R0 – R2 и R5 < R0 – R3, через которые происходит
подача воздуха. При этом его вдув может осуществляться как с учетом местной закрутки потока, так и без неё. Поэтому начальная скорость течения
воздуха будет определяться двумя компонентами вектора скорости v0 =
= {v θ0 , v 0z }. На выходе из трубы определяем нормальные условия, то есть
температура равна 200 С, а давление р = 0.980665×Па ( 1 кг/м2 = 1 техн. атм).
При ламинарном режиме течения параметрами являются коэффициент вязкости m и плотность среды r. Ограничиваемся рассмотрением изотермического
потока однородной среды, которая на внутренних стенках трубы удовлетворя54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ет условию прилипания. Поскольку течение является осесимметричным, то
решение можно проводить лишь в одном из сегментов трубы. Выберем 1/8
часть канала, на боковых поверхностях выделенного сегмента ставятся условия симметрии (при осевой подаче газовой смеси в трубу) или периодичности
(при наличии закрутки потока на входе).
Первоначально ограничиваемся ламинарным режимом, тогда лишь
1 безразмерных параметров будут характеризовать такого рода течение –
число Рейнольдса, как отношение инерциальных сил к силам вязкости, и
отношение радиуса (или диаметра) трубы к её длине – g, как единственный
геометрический параметр модели.
Математическая модель процесса
Для построения базовой модели воспользуемся стационарным ламинарным режимом течения вязкой несжимаемой жидкости. Его уравнения,
записанные в операторной форме без учета массовых сил, имеют вид
r( v × Ñ )v = -Ñp + mÑ 2 v
Ñ×v =0
(9.1)
(9.2)
Решение уравнений выполняется при следующих граничных условиях:
z = L0 :
S0 :
νS0 = {0,0, w 0 } ,
(9.3)
Si :
ν S = {0,vq ,v z } (i = 1,3).
(9.4)
p(r, q, L0) = pатм, T(r,q, L0) = Tну
(9.5)
i
Для турбулентного режима течения выбирается стандартная (k,e) модель турбулентности [4]. При этом дополнительно предполагается, что среда является слабо сжимаемой, то есть имеет место зависимость r = r(P), и
основные уравнения динамики и неразрывности записываются в форме
Ñ × ( rνν ) = Ñ × P + rf ,
(9.6)
Ñ × ( ρν ) = 0,
(9.7)
где P – тензор турбулентных напряжений, полученный на основании осреднения скорости турбулентного переноса по Фавру и имеющий вид
P = - ( p + VÑ× n) I + 2μE - r τ,
(9.8)
где p – давление, I – единичный тензор, E – тензор осредненных скоростей
деформаций, τ – тензор дополнительных или рейнольдсовых напряжений
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вследствие турбулентных пульсаций в потоке, V – коэффициент объемной
вязкости.
Дополнительно записываются уравнения для кинетической энергии
турбулентных пульсаций и скорости их диссипации в случае изотропности
коэффициента турбулентной вязкости [4]
æm
ö
Ñ × ( ρkn ) = Ñ × ç Ñk ÷ + D - ρε,
è σk
ø
æ μ
ö ε
Ñ × ( ρεn ) = Ñ × ç Ñe ÷ + ( C1D - C2ρε ) .
è se
ø k
(9.9)
(9.10)
Здесь k – кинетическая энергия турбулентных пульсаций, Gkl – генерация турбулентных пульсаций в потоке, e – скорость её диссипации, С1 =
=1,44 и С2 = 1,92 – эмпирические константы, s k =0.9 – число Шмидта [4,5],
s e определяется по формуле
c2
se =
,
( C2 - C1 ) Cm
(9.11)
где c = 0.4 – постоянная Кармана, Сm = 0.09 – эмпирическая константа модели.
Для функции D предложено следующее выражение
D = P × (Ñv ) .
(9.12)
Для работы с пакетом STAR-CD необходимо определить значения
этих функций на входе в канал. Для этого используются два подхода:
1. Пользователь может ограничиться заданием лишь степени интенсивности турбулентного потока на входе I (%) и длины пути перемешивания Прандтля;
2. Задается величина кинетической энергии турбулентных пульсаций
k 0 и скорость её диссипации e 0 на входе.
В последнем случае величины k 0 и e 0 на входе в канал могут быть
вычислены по формулам
3/ 2
3
2
3 / 4 k0
ε0 = Cμ
,
(9.13)
k0 = ( uI ) ,
2
l
где l – длина пути перемешивания Прандтля.
В случае включения горения добавляются следующие уравнения:
уравнение теплообмена (9.14), уравнение конвективной диффузии (9.15),
выражение для функции источника или стока вещества за счет прямой и
обратной реакции (9.16).
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ñ × ( cvρT n ) = - pÑ × n + Ñ × ( λÑT ) + μD
Ñ × ( ci n )= Ñ × ( DiÑci ) + κi ,
κi =
n
å
j ,k = 1
n
aikj ck c j - å bij c j .
(9.14)
(9.15)
(9.16)
j =1
Особенностью моделирования течений с учетом химических реакций
является отсутствие единой универсальной модели кинетики этих процессов, которую можно было бы успешно применять для различных составов
топливных смесей.
Литература
1. Алемасов В.Е. Основы теории физико-химических процессов в тепловых двигателях и энергетических установках / В.Е. Алемасов,
А.Ф. Дрегалин, А.С. Черенков. – М. : Химия, 2000. – 520 с.
2. Варнатц Ю. Горение. Физические и химические аспекты, моделирование, эксперименты, образование загрязняющих веществ / Ю. Варнатц,
У. Масс, Р. Диббл. – М. : Физматлит, 2003. – 352 с.
3. Волчков Э.П. Моделирование горения твердого топлива /
Э.П. Волчков, Л.И. Зайчик, В.А. Першуков. – М. : Наука, 1994. – 378 с.
4. Baumgarten C. Mixture Formation in Internal Combustion Engine /
С. Baumgarten. – Berlin : Springer, 2007. – 294 p.
5. Merker G. Simulating Combustion. Simulation of combustion and pollutant formation for engine-development / G. Merker, C. Schwarz, G. Stiesch. –
Berlin, Heidelberg : Springer, 2006. – 425 p.
6. Williams F.A. Combustion theory / F.A. Williams. – Massachusetts:
Addison –Wesley, 1985 – 516 p.
10. ПРОЦЕССЫ ОКИСЛЕНИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВ
(применительно к процессам металлургии)
Светлый отжиг металла. Процесс металлизации окисленного
окатыша (восстановление железа из его оксидов).
Построение базовой математической модели процесса металлизации
одиночной гранулы
Рассматривается задача моделирования процесса металлизации отдельного окисленного окатыша, возникающая при математическом описании одного из этапов бездоменной технологии MIDREX [2]. Процессы данного типа порождают группу задач, возникающих при построении матема57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тических моделей с учетом химических реакций, когда один из взаимодействующих компонентов находится в твердом агрегатном состоянии, а второй – в жидком или газообразном [10] (рис. 11).
Рис. 11. Схема процесса бездоменной металлургии MILDREX
Имеется достаточно большое число математических моделей, относящихся к процессам данного типа. Хорошо описывая ту или иную частную
ситуацию, они не могут быть использованы при исследовании достаточно
общих закономерностей и особенностей моделируемого процесса, пригодных для создания и развития существующих автоматизированных систем.
В этой связи представляется целесообразным развитие метода физикохимической механики многофазных систем, апробированного для многих
процессов химической технологии.
Основные концепции разрабатываемой математической модели процесса металлизации окисленных окатышей были сформулированы в работах А.И. Гиммельфарба, В.А. Кудрина и др. [1, 2]. Предложено рассматривать иерархию математических моделей, учитывающих в целом всю совокупность физико-химических факторов, определяющих протекание процесса. В основе дерева моделей лежит некоторая так называемая «базовая» модель, учитывающая минимальный набор определяющих факторов, но дающая качественно верное решение.
В отличие от имеющихся математических описаний процессов данного типа (см., например, [8, 12]) в предлагаемой математической модели
движение восстановительного газа не является заданным, а определяется
уравнениями Навье–Стокса для газового пространства вокруг частицы и
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
уравнениями динамики газа в пористых средах для сферической оболочки
губчатого железа, образующейся вокруг её твердого ядра.
Построение базовой модели было осуществлено относительно недавно. Основные предположения сводились к следующему:
· Твердая частица оксида железа правильной сферической формы
радиуса R0 помещается в пространство покоящегося восстановительного
газа с температурой Tg0 , значительно превосходящей начальную температуру частицы T p0 .
· При взаимодействии частицы с высокотемпературным газом происходит химическая реакция между материалом, из которого состоит окатыш, и веществами, входящими в состав восстановительного газа [2]
Fe 2O3 + {C;CO; H 2 ; CH 4 } ® Fe + ( CO; CO 2 ; H 2O ) .
(10.1)
· Фронт гетерогенной реакции продвигается с неизвестной переменной скоростью R& (t ) в виде сферической поверхности радиуса R(t ) к центру
частицы.
· В результате этого взаимодействия образуется чистое железо в
губчатой форме и газообразные продукты химической реакции, диффундирующие через образующуюся вокруг твердого ядра пористую оболочку с
движущейся внутренней границей в окружающее пространство восстановительного газа (рис. 12).
(а)
(б)
(в)
Рис. 12. Характерные состояния окатыша в процессе металлизации:
а – начальный окисленный окатыш; б – промежуточное состояние твердой частицы, внутри которой происходит реакция восстановления железа и образуется
сферическая оболочка губчатого железа; в– окончательный продукт реакции –
полностью металлизированный окатыш, состоящий из губчатого железа
· Процессы тепло- и массопереноса в трех фазах – твердое ядро частицы (окисленный окатыш), пористая оболочка вокруг него с движущейся
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
внутренней границей (металлизированный окатыш) и неограниченное газовое пространство взаимообусловлены. Поэтому краевая задача рассматривается в сопряженной постановке.
В основу математической модели положен закон изменения массы, записанный для твердой части гранулы при учете, что её изменение определяется потоком газообразных продуктов реакции восстановления железа (10.1)
dM
= - J (t ) S (t ),
dt
(10.2)
где M = M (t ) – часть твердой гранулы, переходящая в газообразные продукты химической реакции; t – время; J (t ) – плотность потока газообразных продуктов реакции (10.1) на поверхности сфер радиуса R(t ) , определяющую положение фронта гетерогенной реакции; S (t ) – площадь поверхности этой сферы. Уравнение (10.2) записано с учетом сферической симметрии задачи. После простейших подстановок из уравнения (2) получаем
уравнение, определяющее скорость движения фронта реакции восстановления железа
dR
= - J (t ) .
(10.3)
dt
Здесь через r0 и r1 обозначены плотность окисленного и металлизованного окатышей.
Поскольку начальный радиус частиц известен, то начальное условие
для уравнения (10.3) запишется в виде
( ρ0 - ρ1 )
t = 0 : R (0) = R0 .
(10.4)
В области твердого ядра W 0 температурные изменения будут описываться нелинейным уравнением теплопроводности
ρ 0 (T ) γ 0 (T )
¶T
= Ñ × ( λ 0 ( T ) ÑT ) ,
¶t
(10.5)
где r0 , g 0 , l 0 – плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности в области W 0 .
С учетом движения восстановительного газа в пористой оболочке
губчатого железа W1 распределение температуры и концентрации газообразных продуктов реакции восстановления железа будут описываться уравнениями теплопроводности и диффузии с конвективными членами
æ ¶T
ö
ρ1 (T1 )γ1 (T1 ) ç 1 + v1 × ÑT1 ÷ = Ñ × ( λ1 (T1 )ÑT1 ) ,
è ¶t
ø
60
(10.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
¶c1
+ v1 × Ñc1 = Ñ × (D1 (c1 , T1 )Ñc1 ) .
(10.7)
¶t
Здесь D1 = D1 (c1 , T1 ) – коэффициент диффузии газообразных продуктов в области W1 восстановительного газа, зависящий в общем случае от его
концентрации и температуры; v1 – скорость движения восстановительного
газа в пористой среде губчатого железа, которая в соответствии с законом
Дарси пропорциональна градиенту давления и должна удовлетворять уравнению неразрывности
k
Ñp1 , Ñ × v1 = 0 ,
(10.8)
μ1
где k – проницаемость пористой среды, μ1 – коэффициент вязкости газа в
пористой матрице губчатого железа, p1 – давление.
Кроме того, полагаем, что температура газообразных продуктов химической реакции и восстановительного газа в любой точке области
Wi (i = 1, 2) одинаковы.
В полубесконечном пространстве восстановительного газа W 2 вокруг частицы процессы тепло- и массообмена описываются соответствующими уравнениями конвективного переноса, аналогичными уравнениям (10.6) и (10.7)
v1 = -
æ ¶T
ö
ρ 2 (T2 )γ 2 (T2 ) ç 2 + v 2 × ÑT2 ÷ = Ñ × ( λ 2 (T2 )ÑT2 ) ,
è ¶t
ø
¶ c2
+ v 2 × Ñc2 = Ñ × (D2 (c2 , T2 )Ñc2 ) ,
¶t
(10.6)
(10.7)
однако вектор скорости v 2 удовлетворяет уравнениям динамики Навье–
Стокса для несжимаемой среды
é ¶v
ù
ρ 2 (T ) ê 2 + ( v 2 × Ñ ) v 2 ú = -Ñp2 + Ñ ( μ 2 (T)Ñv 2 ) + ρ 2 (T )f ,
ë ¶t
û
Ñ × v2 = 0 .
(10.8)
(10.9)
Система дифференциальных уравнений в частных производных относительно температуры во всех трех фазах и уравнения радиальной конвективной диффузии в двух фазах замыкаются уравнениями на подвижной поверхности химической реакции восстановления железа. На границах раздела фаз сформулированы соответствующие условия баланса, и получены
уравнения для температуры, концентрации газообразных продуктов реакции и скорости восстановительного газа, направленной по радиусу к центру
частицы
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
t > 0, r = R(t ) :
λ0
¶T0
¶T
- ξ R& (t ) = λ1 1 ,
¶r
¶r
¶c1
= ( A - k1c1 )R& (t ) ,
¶r
u1 ( R(t ), t ) = R& (t ) ,
- D1
(10.10)
(10.11)
(10.12)
а также условия непрерывности температуры, концентрации и их потоков,
скорости и давления на границах раздела фаз
t > 0, r = R(t ) :
T0 ( R(t ), t ) = T1 ( R(t ), t ) ;
(10.13)
t > 0, r = R0 :
T1 ( R0 , t ) = T2 ( R0 , t ),
(10.14)
l1
¶T1
¶T
= l2 2 ,
¶r
¶r
(10.15)
c1 ( R0 , t ) = c2 ( R0 , t ) ,
(10.16)
¶c1
¶c
= D2 2 ,
¶r
¶r
(10.17)
D1
u1 ( R0 , t ) = u2 ( R0 , t ) ,
(10.18)
p1 ( R0 , t ) = p2 ( R0 , t ) .
(10.19)
Здесь ξ – удельная теплота химического взаимодействия твердой фазы и газового компонента, k1 – скорость обратной реакции, A – произведение концентрации оксида железа в грануле на скорость реакции его восстановления.
Вдали от поверхности гранулы ставятся граничные условия типа пограничного слоя
t > 0, r ® ¥ : u2 (r , t ) ® 0, c2 (r , t ) ® 0,
T2 (r , t ) ® T¥ ,
p2 (r , t ) ® p¥ .
(10.20)
Замыкание краевой задачи осуществляется традиционными начальными условиями, определяющими мгновенное начало процесса из равновесного состояния
t = 0:
ui (r , 0) = ci (r , 0) = 0, (i = 1, 2) ,
pi (r , 0) = p ¥
(i = 1, 2) ,
T0 (r , 0) = Tp0 ,
(10.21)
Ti (r , 0) = Tg0 .
Затем обсуждается вопрос о выборе базовой и построении иерархии
математических моделей для указанной системы.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
1. Гиммельфарб А.И. Металлизация и электроплавка железо-рудного
сырья / А.И. Гиммельфарб, А.М. Неменов, Б.Е. Тарасов. – М. : Металлургия, 1981. – 151 с.
2. Кудрин В.А. Теория и технология производства стали / В.А. Кудрин. – М. : Мир, 2003. – 528 с.
3. Сургучев Г.Д. Математическое моделирование сталеплавильных
процессов / Г.Д. Сургучев. – М. : Металлургия, 1978. – 224 с.
4. Сурин В.А. Массо- и теплообмен, гидрогазодинамика металлургической ванны / В.А. Сурин, Ю.Н. Назаров. – М. : Металлургия, 1993. –
352 с.
5. Тулин Н.А. Развитие безкоксовой металлургии / Н.А. Тулин,
В.С. Кудрявцев, С.А. Пчёлкин и др. – М. : Металлургия, 1987. – 328 с.
6. Ho C.K. Gas Transport of Porous Media / C.K. Ho, W. Webb. (Eds.). –
Netherlands : Springer, 2006 . – 446 p.
7. Jackson R. Transport in porous catalysis / R. Jackson. – Amsterdam :
Elsevier, 1977. – 197 p.
8. Parisi D. R. Modeling of counter current moving bed gas-solid reactor
used in direct reduction of iron ore /D.R. Parisi, M A. Laborde. // Chem. Eng. J. –
2004. – V. 104, – P. 35–43
9. Szekely J. Gas-solid reactions / J. Szekely, J.W. Evans, H.Y. Sohn. –
New York : Academic Press, 1976. – 400 p.
10. Siegel R. Thermal Radiation Heat Transfer / R. Siegel, J.R. Howell. –
th
4 ed. – Washington, D.C. : Taylor and Francis, 2001.
11. Sparrow E.V. Radiation Heat Transfer / E.M. Sparrow, R.D. Сess. –
Washington : Hemisphere. 1978.
12. Valipour M.S. Numerical investigation of nonisothermal reduction of
hematite using Syngas: the shaft scale study / M.S. Valipour, Y. Saboohi. //
Modelning and Simulation in Material Science and Engineering. – 2007. –
V. 15. – P. 487–507
11. ПРОГРАММА СПЕЦКУРСА
«ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА»
Введение. Краткий обзор некоторых направлений развития физикохимической механики (ФХМ): исторический очерк. Предмет и методы ФХМ.
1. Основные понятия, представления, определения.
2. Уравнения балансов с учетом физико-химических взаимодействий.
3. Неизотермические процессы в механике сплошной среды. Основные виды теплообмена. Теплопроводность твердых тел. Законы Фурье.
Конвективные течения. Естественная, свободная, вынужденная и смешанная конвекция. Тепловая радиация. Закон Стефана–Больцмана.
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Взаимодействия с электромагнитными полями. Уравнения Максвелла. Пондермоторная сила. Сила Лоренса. Закон Кулона. Электрогидродинамика. Магнитная гидроднамика. Феррогидродинамика.
5. Механика многофазных систем. Динамика пузырька в покоящейся
жидкости. Динамика испаряющейся капли в высокотемпературном потоке газа.
6. Динамика процессов с фазовыми переходами. Задача Стефана. Теория «мягкого» слоя.
7. Потоки с гомогенными и гетерогенными химическими реакциями.
Горение газовых смесей в каналах.
8. Микромеханика и нанотехнологии. Эффекты внутреннего тепловыделения в микро- и наногидродинамике.
9. Мембранные процессы и системы. Баромембранные процессы: обратный осмос и ультрафильтрация. Электромембранные системы. Процессы электрофореза и электродиализа. Смешанные мембранные процессы.
10. Движение сред с особыми свойствами. Жидкие кристаллы. Пластические свойства жидкостей. Вязко-упругие среды.
11. Примеры применения методов физико-химической механики в
мембранных технологиях, ракетном двигателестроении, металлургии.
Литература
1. Седов Л.И. Механика сплошной среды : в 2 т. / Л.И. Седов. – М. :
Наука, 1994. – 1088 с.
2. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред : в 2 т. / Р.И. Нигматулин. – М.: Наука, 1987. – 804 c.
3. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика / В.Г. Левич. – М. :
Наука, 1959. – 700 с.
4. Probstein R.F. Physicochemical Hydrodynamics: An Introduction /
R.F. Probstein. – New York : Wiley, 1994.
5. Bird R.B. Transport Phenomena / R.B. Bird, W.E. Stewart,
E.N. Lightfoot. – 2nd ed. – New York : Wiley & Sons, 2002. – 912 p.
12. ТЕМЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
1. Течения микроструктурных жидкостей в капиллярных каналах.
2. Электрогидродинамические течения микро- и наножидкостей.
3. Эффекты внутреннего тепловыделения при электроосмотических
течениях в наносистемах.
4. Электродиффузионные процессы в электромембранных системах.
5. Процесс электродиализа в каналах с межмембранными вставками.
6. Конвективные течения в электромембранных системах.
7. Процессы переноса в системах с вращающимся мембранным диском.
8. Мембранные системы с учетом гомогенных и гетерогенных реакций.
9. Поведение электромембранных систем при запредельном токе.
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. Моделирование работы мембранных топливных ячеек.
11. Дробление струйки жидкости, впрыскиваемой в высокотемпературный поток газа.
12. Математическое моделирование распыла топливной смеси в камере сгорания жидкостного ракетного двигателя (ЖРД).
13. Течения продуктов сгорания в соплах ЖРД.
14. Моделирование систем охлаждение ЖРД:
1) c помощью «рубашки»;
2) «завесное» охлаждение.
15. Дозвуковые и сверхзвуковые течения в турбомашинах (ТНА).
16. Динамика и процессы переноса пористой сферической частицы в
газовом потоке.
17. Моделирование движущегося слоя ансамбля окатышей в шахтной печи.
18. Численное исследование неизотермического восстановления железа.
19. Математическое моделирование получения металлизованных окатышей.
20. Математическое моделирование процесса разливки металла.
21. Затвердевание металла с учетом «мягкого» слоя.
22. Свободно-конвективные течения в замкнутой полости с учетом
фазовых переходов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Заболоцкий В.И. Перенос ионов в мембранах / В.И. Заболоцкий,
В.В. Никоненко. – М. : Наука, 1996. – 392 с.
2. Кутепов А.М. Химическая гидродинамика : справочное пособие /
А.М. Кутепов, А.Д. Полянин, З.Д. Запрянов. – М. : Бюро Квантум, 2006. –
336 с.
3. Кухлинг Х. Справочник по физике / X. Кухлинг. – М. : Мир,
1985. – 520 с.
4. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика / В.Г. Левич. – М. :
Физматгиз, 1959. – 700 с.
5. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред : в 2 т. /
Р.И. Нигматулин. – М. : Наука, 1987. – Ч. 1. – 1987. – 464 c.; Ч. 2. – 1987. –
359 c.
6. Островский Г.М. Прикладная механика неоднородных сред /
Г.М. Островский. – СПб. : Наука, 2000. – 359 с.
7. Патанкар С.В. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах / С.В. Патанкар. – М. :
МЭИ, 2003. – 312 с.
8. Ребиндер П.А. Физико-химическая механика / П.А. Ребиндер. –
М. : Знание, 1958. – 64 с.
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической
кинетике / Д.А. Франк-Каменецкий. – М. : Наука, 1987. – 502 с.
10. Хаппель Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса /
Дж. Хаппель, Г. Бреннер. – М. : Мир, 1976. – 632 с.
11. Adamsom A.W. Physical Chemistry of Surfaces / A.W. Adamsom,
A.P. Gast. – 6th еd. – New York : Wiley, 1997. – 784 p.
12. Bird R.B. Transport Phenomena / R.B. Bird, W.E. Stewart,
E.N. Lightfoot. – 2nd ed. – New York : Wiley, 2002. – 912 p.
13. Happel J. Low Reynolds number hydrodynamics / J. Happel,
H. Brenner.– Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1965.
14. Helmig R. Multifield Problems in Solid and Fluid Mechanics /
R. Helmig, A. Mielke, B.I. Wohlmuth. – Berlin; Heidelberg : Springer, 2006. –
560 p.
15. Jäger W. Reactive Flows, Diffusion and Transport. From Experiments
via Mathematical Modeling to Numerical Simulation and Optimization /
W. Jäger, R. Rannacher, J. Warnatz. – Heidelberg : Springer, 2007. – 676 p.
16. Kolev N. Packed Bed Columns: for absorption, desorption, rectification
and direct heat transfer / N. Kolev. – New York : Elsevier, 2006. – 687 p.
17. Kuchling H. Physik / H. Kuchling. – Leipzig : VEB Fachbuch Verlag, 1980.
18. Looker J.R. Electrokinetics of porous colloidal particle.
D.Ph. Dissertation. / J.R. Looker. – Melburn : University of Melbourne, 2006. –
229 p.
19. Luyben W. Process modeling, simulation and control for chemical engineers / W. Luyben. – New York : McGraw-Hill, 1999. – 724 p.
20. Patankar S.V. Computation of conduction and duct flow heat transfer /
S.V. Patankar. – Maole Grove: Innovative Research, 2000.
21. Probstein R.F. Physicochemical Hydrodynamics: An introduction /
R.F. Probstein. – Boston : Wiley Interscience, 2003. – 406 p.
22. Ranade V.V. Computational flow modeling for chemical reactor engineering / V.V. Ranade. – San Diego : Academic Press, 2002. – 452 p.
23. Rice R.G. Applied mathematics and modeling for chemical engineers /
R.G. Rice, D.D. Do. – New York : Wiley, 1995. – 719 p.
24. Slattery J. Interfacial Transport Phenomena / J. Slattery, L. Sagis,
E.-S. Oh. – 2nd еd. – New York : Springer, 2007. – 827 p.
25. Tosun C. Modeling in Transport Phenomena. A Conceptual Approach /
C. Tosun. – Amsterdam : Elsevier, 2002. – 590 p.
26. Tropea C. Handbook of experimental fluid mechanics / C. Tropea,
A.L. Yarin, J.F. Foss. – New York : Springer, 2007. – 1564 p.
27. Truesdell C. The classical field theories / C. Truesdell, R.A. Toupin. //
Handbuch der Physik. – Berlin : Springer, 1960. – B. 3/1. – p. 226–793.
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИЛОЖЕНИЕ
Физико-химические величины
№
п/п
Наименование
Обозначение
Величина
Размерность
Источник
1.
Ускорение свободного
падения
g
9,80665
м/с2
[14]
2.
Газовая постоянная
R
8,31441
Дж/
(К×моль)
[14]
3.
Постоянная Авогадро
NA
6,022045×1023
моль-1
[14]
4.
Постоянная Больцмана
k
1,380662×10-23
Дж/К
[14]
5.
Постоянная излучения
s
5,67032×10-8
Вт/
(м2×К4)
[14]
6.
Электрическая постоянная
e0
8,854188×10-12
Ф/м
[14]
7.
Магнитная постоянная
μ0
1,256637×10-6
Гн/м
[14]
8.
Число Фарадея
F
9,648456×104
Кл/моль
[14]
9.
Элементарный электрический заряд
e
1,602189×10-19
Кл
[14]
10.
Масса покоя электрона
me
9,109534×10-31
кг
[14]
11.
Масса покоя протона
mp
1,672648×10-27
кг
[14]
12.
Масса покоя нейтрона
mn
1,674954×10-27
кг
[14]
13.
Атомная единица массы
а.е.м.
1,660565×10-27
кг
[14]
k1
2×10-5
c-1
[1]
k2
1,3×108
м3/моль*
с
[1]
14.
15.
Константа скорости реакции
диссоциации молекул воды
Константа скорости реакции
рекомбинации ионов водорода и гидроксила
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
1. Краткий обзор некоторых направлений развития
физико-химической механики: исторический очерк ............................3
2. Основные понятия, представления, определения и уравнения........6
3. Процессы теплообмена........................................................................18
3.1. Естественная конвекция в плоском вертикальном канале .......19
3.2. Радиационный нагрев металлического стержня .......................21
4. Диффузионные процессы и перенос массы .......................................26
5. Взаимодействия среды с электрическими или магнитными
полями .......................................................................................................26
6. Механика многофазных сред ..............................................................27
6.1. Динамика пузырьков газа ...........................................................28
6.2. Модель турбулентного двухфазного потока .............................31
7. Процессы в микро- и наносистемах ...................................................35
8. Ионообменные и мембранные системы .............................................39
8.1. Математическое моделирование электродиффузионного
процесса переноса около ионоселективной мембраны ...................39
8.2. Математическое моделирование электродиффузионного
процесса переноса около ионоселективной мембраны с учётом
объёмного электрического заряда ..........................................................43
9. Процессы горения ................................................................................52
10. Процессы окисления и восстановления веществ
(применительно к процессам металлургии) ..........................................57
11. Программа спецкурса «Физико-химическая механика» ................63
12. Темы индивидуальных заданий ........................................................64
Литература ...............................................................................................65
Приложение .............................................................................................67
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Коржов Евгений Николаевич
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Учебное пособие
Редактор Л.М. Носилова
Подписано в печать 19.03.09. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 4,09.
Тираж 50 экз. Заказ 204.
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. 208-298, 598-026 (факс)
http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru
Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра
Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. 204-133
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
88
Размер файла
799 Кб
Теги
физики, механика, 1234, химические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа