close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1239.Трехфазные цепи

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра теоретической и общей электротехники
Н.И. ДОБРОЖАНОВА
ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Рекомендовано к изданию Редакционно – издательским советом
государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Оренбург 2008
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 621.3.04(07)
ББК 31.211я7
Д 56
Рецензент
кандидат технических наук, доцент В.И. Кувайцев
Д 56
Доброжанова Н.И.
Трехфазные цепи: практикум по теоретическим основам
электротехники. /Н.И. Доброжанова: ГОУ ОГУ, 2008. – 44 с.
Практикум предназначен для самостоятельной подготовки студентов
по разделу «Трехфазные цепи». Содержит примеры решения задач, а также
задачи для самостоятельного решения.
ББК 31.211я7
© Доброжанова Н.И. 2008
© ГОУ ОГУ, 2008
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Введение.........................................................................................................5
1 Трехфазные цепи........................................................................................6
1.1Примеры решения.................................................................................6
1.2 Задачи для самостоятельного решения...........................................35
Список использованных источников...........................................................44
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
История электротехники определяется двумя столетиями развития. Открытие в 1800 г. Вольтой источника электромеханической энергии в виде вольтова
столба создавало предпосылки применения нового вида энергии – электрической. С этого времени началось изучение свойств электрического тока. Были
установлены основные законы электрических цепей, созданы разнообразные
конструкции электрических машин и приборов. Электрические и магнитные явления стали использоваться для практических целей. Однако до 70-х годов XIX
в. широкое применение электрической энергии было невозможно из-за отсутствия надежных и экономичных генераторов.
Развитие промышленного производства, рост городов, вызывали необходимость создания более совершенных источников света. Электрическое освещение было первым массовым применением электрической энергии, они
способствовало интенсификации развития электротехнической промышленности. В 70-80-х годах XIX в. электротехника превращается в самостоятельную
область науки и техники, начинается становление электроэнергетики. Но дальнейшее расширение практических применений электрической энергии требовало изыскания более экономичных и эффективных способов производства и распределения электроэнергии, а также создания простых и надежных электродвигателей, удовлетворяющих требованиям промышленного электропривода.
Комплексное решение указанных научно-технических проблем оказалось
возможным лишь на базе многофазных электрических систем, где особое место
занимают трехфазные системы. Разработанные в самом начале 90-х годов XIX
в., они положили начало становления электрификации – современного этапа
развития электротехники, без которой невозможен дальнейший научно-технический прогресс.
Трехфазной называют цепь, в ветвях которой действуют три равных по амплитуде и сдвинутых по фазе на угол 1200 источника ЭДС. Каждую из частей
трехфазной системы, характеризующуюся одинаковым током, принято называть фазой. Понятие фаза в электротехнике имеет два значения: первое – аргумент синусоидально изменяющийся величины, второе – часть многофазной
цепи.
Трехфазные цепи – основная модель, используемая в современной электроэнергетике. Это объясняется рядом их преимуществ по сравнению с однофазными цепями: экономностью передачи энергии, возможностью получения
вращающего магнитного поля, а также двух эксплутационных напряжений в
одной установке – фазного и линейного.
В данной работе разобраны примеры решения задач по трехфазным цепям,
а также задачи для самостоятельного решения. Проработка данного материала
значительно облегчат выполнение РГЗ и защиту лабораторных работ студентам, изучающим курсы: «Теоретические основы электротехники», «Электротехника и электроника».
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 Трехфазные цепи
1.1 Примеры решения
Задача 1.1.1 Трехфазный двигатель, обмотки которого соединены в треугольник, с эквивалентными активным и индуктивным сопротивлениями фаз
r=21 Ом и х=12 Ом, питается от трехфазной сети с линейным напряжением
Uл=380 В (трехфазная система напряжений сети симметрична). Активное и индуктивное сопротивления линии, соединяющей двигатель с сетью rл=1 Ом и
хл=2 Ом. Определить линейные и фазные токи двигателя, линейные напряжения
на зажимах двигателя, а также активную, реактивную и полную мощности двигателя. Построить топографическую диаграмму напряжений совместно с векторной диаграммой токов.
Решение:
Составим схему включения двигателя, (рисунок 1,а). Режим работы исследуемой цепи симметричный. Для составления расчетной схемы на одну фазу
соединение треугольником преобразуем в эквивалентное соединение звездой,
(рисунок 1,в).
rл
jхл
A
rл
jх
j хл
.
IВ
B
rл
r
.
Iса
r
jхл
х
jх
.
Iав
r
в
.
Iвс
с
.
IС
C
а A
а
.
IА
с
. .
IА Iав
.
.
Iса
IВ
. .
IС Iвс
B
C
а)
rл
A
rл
B
rл
C
О
j хл а
.
IА
в
.
IВ
с
.
IС
r1
jх1
r1
jх1
r1
j х1
rл
A
.
UА
О1
б)
r1
j хл а
.
IА
г)
в)
j х1
О1
О
Рисунок 1
6
в
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сопротивления r1 и х1 определяются по формуле преобразования симметричного треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду:
r1 + jx1 =
( r + jx ) 2
3( r + jx )
=
r + jx 21 + j12
=
= ( 7 + j 4 ) Ом .
3
3
В схеме (рисунок 1,в) добавляем нулевой провод, что не изменяет режима работы цепи, и цепь распадается на три независимых контура. Составляем
расчетную схему на одну фазу (рисунок 1,г).
При расчете принимаем U A = U A =
IA =
380
= 220
3
В и, следовательно:
U A
220
220
=
=
= 22e −
( rл + r1 ) + j ( x л + х1 ) 8 + j 6 10e j 36,87 0
IB = a 2 I A = e −
j120 0
⋅ 22e −
0
IC = aI A = e j120 ⋅ 22e −
j 36 0 53′
j 36,87 0
j156,53 0
= 22e −
= 22e j 83,87
0
j 36,87 0
A;
A;
A.
Фазные токи в исходной схеме:
0
0
0
I
22e − j 36,87
Iав = A e j 30 =
e j 30 = 12,7e −
3
3
Iвc = a 2 Iaв = е −
Iac = aIaв = е
j120 0
j120 0
12,7e −
12,7e
j 6,87 0
− j 6,87 0
= 12,7e −
= 12,7e
j 6,87 0
j126,87 0
j113,13 0
A;
A;
A.
Линейное напряжение на зажимах двигателя
r 2 + x2 ⋅ Iф =
U лдв = U фдв = I ф ⋅ zф =
где
212 + 12 2 ⋅ 12,7 = 24,2 ⋅ 12,7 = 307
В,
I ф = I ав = I вс = I са .
Активная мощность двигателя
3U лдв I л cosϕ , где cosϕ =
Рдв =
Откуда
Pдв =
3 ⋅ 307 ⋅ 22 ⋅ 0,87 = 10,2
r
=
z
21
2
21 + 12 2
= 0,87
кВт.
Реактивная мощность двигателя
Qдв =
Откуда
Qдв =
3U лдв I л sin ϕ , где sin ϕ =
3 ⋅ 307 ⋅ 22 ⋅ 0,5 = 5,85
x
=
z
12
2
21 + 12 2
= 0,5.
квар.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полная мощность двигателя
S дв =
3U лдв ⋅ I л =
3 ⋅ 307 ⋅ 22 = 11,7
кВА.
Топографическая диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов
изображена на рисунке 1,б.
Задача 1.1.2 Сопротивления трехфазной цепи со статистической нагрузкой соединены в звезду без нулевого провода. Цепь подключена к трехфазной
сети с симметричной системой линейных напряжений (рисунок 2,а).
Известно: r1=r2=x1=x2=10 Ом и Uл=380 B. Определить линейные токи в
цепи, активную, реактивную и полную мощности. Построить топографическую
диаграмму напряжений совместно с векторной диаграммой токов.
r1
A
В
С
+1
IА
A 450
О1
UA
х1
IА
х2
IВ
О1
r2
IС
UВ
+j
0
UС
IС
О
а)
90
IВ
0
U010
B
C
б)
Рисунок 2
Решение:
Режим работы цепи несимметричный. При отсутствии нулевого провода
возникает напряжение смещения нейтрали (О1) нагрузки относительно нейтрали (0) источника. Напряжение смещения нейтрали по методу двух узлов:
U Y + U BYB + U C YC
U 010 = A A
YA + YB + YC
.
Здесь, фазные напряжения источника:
380
U A =
= 220 B; U B = a 2U A = 220e −
3
U C = aU A = 220e j120
Комплексы проводимостей фаз:
8
0
j1200
= ( − 110 − j190 )
= ( − 110 + j190 ) B .
В;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
YA =
1
1
=
= 0,05 ⋅
r1 + jx1 10 + j10
YB =
2e −
j 450
= ( 0,05 − j 0,05 ) Cм;
0
1
1
=
= 0,1e j 90 = j 0,1 См;
− jx 2 − j10
YC =
1
1
=
= 0,1 См.
r2 10
После подстановки, напряжение смещения нейтрали
220( 0,05 − j 0,05) + ( − 110 − j190 ) j 0,1 + ( − 110 + j190 )0,1
U 010 =
=
0,05 − j 0,05 + j 0,1 + 0,1
=
19,2e −
0,155e
j 8,97 0
18, 420
= 124e −
j 27,390
= (110 − j 57 ) B.
Далее по закону Ома для активной обобщенной ветви находим линейные токи:
(
)
I B = (U B − U 010 )Y B = ( − 110 −
IC = (U C − U 010 )YC = ( − 110 +
0
I A = U A − U 010 Y A = ( 220 − 110 + j 57 ) ⋅ 123,89e j 27,39 ⋅ 0,05 ⋅
2e −
j 450
= 8,7e − 17,61 A;
0
j 58,830
0
0
j190 − 110 + j 57 ) ⋅ 123,89e j 27,39 0,1e j 90 = 25,7e −
0
j190 − 110 + j 57 ) ⋅ 123,89e j 27,39 ⋅ 0,1 = − 33e −
j 48,310
A;
A.
Активная, реактивная и полная мощности цепи:
P = r1 I A2 + r2 I C2 = 10 ⋅ 8,78 2 + 10 ⋅ 332 = 11679 Вт;
Q = x1 I A2 − x2 I B2 = 10 ⋅ 8,78 2 − 10 ⋅ 25,7 2 = − 5831 вар;
S=
P2 + Q2 =
11679 2 + 5831 = 13060 ВА.
Топографическая диаграмма напряжений и векторная диаграмма
токов изображена на рисунке 2,б.
Задача 1.1.3 Сопротивления нагрузки трехфазной цепи соединены в
звезду с нулевым проводом. Цепь подключена к трехфазной сети с симметричной системой фазных напряжений (рисунок 3,а). Известно: r1=r2=x1=x2=10 Ом
и Uф=127 В. Определить линейные токи в цепи, активную, реактивную и полную мощности. Построить топографическую диаграмму напряжений совместно
с векторной диаграммой токов.
Решение:
Режим работы цепи несимметричный. При отсутствии сопротивления
нулевого провода смещение нейтрали не возникает, и каждая фаза цепи работает независимо. Линейные токи цепи:
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
U
127
I A = A =
= 12,7 A;
r1
10
IB =
U B
=
r2 − jx 2
127e −
j1200
2 ⋅ 10e
− j 450
= 9e −
j 750
= ( 2,33 − j8,7 ) A;
0
0
U C 127e j120

IC =
=
= 12,7e j 30 = (11 + j 6,36 ) A.
0
jx
10ej90
Ток в нулевом проводе
I0 = I A + IB + IC = 12,7 + 2,33 − j8,7 + 11 + j 6,36 = 26,03 − j 2,34 = 26,1e −
j 5,14 0
A.
Активная, реактивная и полная мощности:
P = r1 I A2 + r2 I B2 = 10 ⋅ 12,7 2 + 10,9 2 = 2423 Вт;
Q = x1 I C2 − x 2 I B2 = 10 ⋅ 12,7 2 − 10 ⋅ 9 2 = 803 вар;
S=
P2 + Q2 =
2423 2 + 803 2 = 2552 ВА.
Топографическая диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов
изображена на рисунке 3,б.
r1
A
В
UА
UВ
C
UС
О
IА
r2
IВ
A
х2
IС
О1
IС
х1
90
IА
0
IВ
IВ
0,01
I0
IС
I0
C
а)
б)
450
В
Рисунок 3
Задача 1.1.4 Сопротивления нагрузки трехфазной цепи соединены в треугольник. Цепь подключена к трехфазной сети с симметричной системой линейных напряжений (рисунок 4,а). Известно: r1=r2=x1=x2=10 Ом и Uл=220 В.
Определить линейные и фазные токи, а также активную, реактивную и полную
мощности. Построить векторную диаграмму токов совместно с топографической диаграммой напряжений.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A,а
A
В
C
а
I са
IА
r2
r1
Iвс
Iав
IВ
Iвс
-j х2
с
IС
Iав
IА
IС
jx1
+1
IВ
+j
0
в
C,с
I са
В,в
а)
б)
Рисунок 4
Решение:
Так как сопротивления линейных проводов не учитываются, то сначала
определяются фазные токи:
0
U AB
220
Iав =
=
= 15,7е − 45 А;
0
r1 + jx1 10 2e j 45
U BC
220e − j120
Iвс =
=
0
− jx2
10e − j 90
0
= 22e −
j 30 0
A;
0
0
U
220e j120
Ica = CA =
= 22e j120 A;
r1
10

I ав = (11 − j11) A;
I = (19 − j11) A;
ав
Ica = ( − 11 + j19 ) A.
Линейные токи:
I A = Iав − Ica = 11 − j11 + 11 − j19 = 22 − j 30 = 37,2e −
IB = Iвс − Ica = 19 − j11 − 11 + j11 = 8 A;
j 53, 75 0
IC = Ica − Iвс = − 11 + j19 − 19 + j11 = − 30 + j 30 = − 30 2e −
A;
j 450
A.
Активная, реактивная и полная мощности:
2
2
P = r1 I ав
+ r2 I ca
= 10 ⋅ 15,7 2 + 10 ⋅ 22 2 = 2463 + 4840 = 7303 Вт;
2
2
Q = x1 I ав
− x 2 I вс
= 10 ⋅ 15,7 2 − 10 ⋅ 22 2 = − 2377 вар;
S=
P2 + Q2 =
7303 2 + 2377 2 = 7670 ВА.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1.1.5 Три одинаковых активных сопротивления соединены в
звезду и подключены к трехфазной сети с симметричными линейными напряжениями. Токи в сопротивлениях равны по 1 А (рисунок 5,а).
X
A
IА
X
В
C
r
а
IВ
A,а
в
r
О1
IА
r
с
0;0 1
I0
IС
C,с
О
а)
IС
IВ
В,в
б)
Рисунок 5
Требуется:
а) при наличии нулевого провода определить все токи в случае обрыва
фазы А и в случае обрыва фаз А и В;
б) при отсутствии нулевого провода определить все токи в случае обрыва фазы А и в случае короткого замыкания фазы А.
в) Построить для всех случаев топографические диаграммы напряжений
и векторные диаграммы токов.
Решение:
Задачу целесообразно решать с помощью векторных диаграмм. На рисунке 5,б представлена топографическая диаграмма напряжений и векторная
диаграмма токов для исходного (симметричного) режима.
При наличии нулевого провода для случаев обрыва фазы А и фаз А и В
(обозначено крестиками на схеме рисунок 5,а) векторные диаграммы изображены соответственно на рисунке 6,а,б.
Из диаграмм следует, что а обоих случаях ток нулевого провода
равен 1А.
При отсутствии нулевого провода для случаев обрыва фазы А и короткого замыкания фазы А (соединение а – 01 на рисунке 5,а) топографические диаграммы токов изображены на рисунке 7,а,б.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A,а
A,а
0;01
IС
60
0
C,с
60
IВ
IС
0
В,в
I0
0;01
= I0
В,в
C,с
а)
б)
Рисунок 6
При обрыве фазы А напряжения на сопротивлениях нагрузки фаз В и С
уменьшились и стали равными по величине
U B = UC =
3
Uф ,
2
где Uф – фазное
напряжение предшествующего симметричного режима. Пропорционально изменяются и токи:
I = IC =
3
⋅ 1 = 0,865
2
А.
A
A,а,01
UAO
U010
Uс01
IВ
U010
0
IС
C,с
IС
1
IВ
01;а
Uв01
В,в
C,с
-IА
В,в
б)
а)
Рисунок 7
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При коротком замыкании фазы А напряжения на сопротивлениях фаз В
и С увеличились в 3 по сравнению с исходным режимом. Следовательно, во
столько же раз увеличатся и токи: I B = I C = 3 ⋅ 1 = 3 А. Ток фазы А, как следует
из диаграммы (рисунок 7,б), определяется из соотношения IA + IB + IC = 0 . Откуда I A = IB + IC = 3 А.
Задача 1.1.6 Три одинаковых сопротивления соединены треугольником
и подключены к трехфазной сети с симметричными линейными напряжениями
(рисунок 8,а). Определить линейные и фазные токи при обрыве фазы «ав» и при
обрыве линейного провода. Построить топографические диаграммы напряжений и векторные диаграммы токов.
Решение:
Задачу целесообразно решать с помощью векторных диаграмм. На рисунке 8,б представлена топографическая диаграмма напряжений и векторная
диаграмма токов для исходного симметричного режима.
При обрыве фазы «ав» ток I ав = 0 и векторная диаграмма токов измениться, как показано на рисунке 9,а. Из этой диаграммы следует:
I A = I B = 1 A; I C = 3 A . Топографическая диаграмма напряжений и векторная
диаграмма токов, соответствующие обрыву линейного провода А, изображены
на рисунке 9,б. Фазные напряжения Uав и Uса уменьшаются в два раза и, следовательно уменьшаются в два раза токи этих фаз: Iав=Ica=0,5 А. Линейные токи,
как это следует из векторной диаграммы токов: I A = 0, a I B = I C = 1,5 A .
A,а
A
В
C
а
I са
IА
IВ
r
r I
ав
IВ
Uса
Iвс
с
IС
r
Iса
в
С,с
а)
Uвс
б)
Рисунок 8
14
IА
Iав
0
Iвс
Uав
IС
В, в
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A,а
A
0 IВ= Iвс
IА = Iс
а
Iвс
I са
C,с
IС
а
Uса
В,в
C,с
IА = 0
Uaв
В,в
0
Iaв
I са
а)
IВ
Iвс
IС
б)
Рисунок 9
Задача 1.1.7 Сопротивления трехфазного генератора для токов прямой,
обратной и нулевой последовательности равны: Zг1=j8 Ом; Zг2=j2 Ом;
Zг0=j4 Ом. Нулевая точка генератора заземлена через сопротивление ZN=j2 Ом.
Фазная ЭДС генератора Еф=1000 В. Определить токи и фазные напряжения при
коротких замыканиях на зажимах генератора: а) однофазном, б) двухфазном на
землю, в) двухфазном без соединения с землей. Построить векторные диаграммы.
Решение:
а) Однофазное короткое замыкание (рисунок 10).
Расчетные схемы для токов прямой, обратной и нулевой последовательности на основную фазу представлены на рисунке 11.
В этих схемах I1 ; I2 ; I0 и U 1 ; U 2 ; U 0 основные комплексы симметричных составляющих токов и напряжений короткого замыкания. На основании 2
закона Кирхгофа по расчетным схемам можно составить следующие три уравнения:
E ф − U 1 = Zг 1 I1
− U 2 = Zг 2 ⋅ I2
− U 0 = ( Zг 0 + 3Z N ) ⋅ I0
(1)
(2)
(3)
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Eф ; Zг1; Zг2; Zг0
A
В
О
ZN
.
IА
.
IN
.
IВ
.
IС
C
.
.
UВ UС
.
UА
Рисунок 10
Z г1
.
Eф
Zг2
Zг0
.
I1
.
I2
.
I0
.
.
U1 = E1
.
.
E2 = U2
3ZN
.
.
E 0 = U0
Рисунок 11
Дополнительные уравнения:
U a = 0 или U 1 + U 2 + U 0 = 0 ;
IB = 0 или a 2 I1 + aI2 + I0 = 0 ;
IC = 0 или aI1 + a 2 I2 + I0 = 0 .
(4)
(5)
(6)
На основании уравнения (5) и (6) можно написать:
a 2 I1 + aI2 = aI1 + a 2 I2
или (a 2 − a ) I1 = ( a 2 − a ) I2 ,
На основании уравнения (5), учитывая, что I2 = I1 , имеем
(a + a )I1 = − I0 . Так как а2+а=-1, то будем иметь I1 = I0 и, следовательно,
I1 = I2 = I0 .
Если уравнения (1), (2), (3) сложить почленно и учесть уравнения (4) и
(7), то получим:
откуда
I1 = I2 .
(7)
2
E ф = ( Zг 1 + Zг 2 + Zг 0 + 3Z N ) I1 .
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Откуда
1000
I1 = I2 = I0 =
= − j 50 A .
j 20
Комплексы симметричных составляющих фазных напряжений находятся из уравнений (1), (2), (3).
U 1 = E ф − Zг1 I1 = 1000 − j8( − j 50) = 600 B;
U 2 = − Zг 2 I2 = − j 2( − j 50) = − 100 B;
U 0 = − ( Zг 0 + 3Z N ) I0 = − ( j 4 + 3 j 2 )( − j 50 ) = − 500 B.
Токи в месте короткого замыкания:
IA = I1 + I2 + I0 = − j150 A;
IN = 3I0 = IA = − j150 A;
IB = a 2 I1 + aI2 + I0 = 0;
IC = aI1 + a 2 I2 + I0 = 0.
Фазные напряжения в месте короткого замыкания:
U A = U 1 + U 2 + U 0 = 600 − 100 − 500 = 0; U в = a 2U 1 + aU 2 + U 0 =

3
 ⋅ 600 +
=  − 0,5 − j
2 

= 964,4e −
j141, 050

3
 − 0,5 + j
 ⋅ ( − 100) + ( − 500) = − 750 − j 350 3 =

2 

B;

3
 ⋅ 600 +
U C = aU 1 + a 2U 2 + U 0 =  − 0,5 + j
2 

+ ( − 500) = − 750 + j 350 3 = 964,4e j141, 05
0

3
 − 0,5 − j
 ⋅ ( − 100) +

2 

B.
Векторные диаграммы токов и напряжений представлены на рисунке 12.
+1
+1
IС = 0
U1= U1А
I1С = I2В
I2С
+j
I2В
IOС
I1А = I2А = IOА
IOВ
IOВ= I1С = IOА
IА = IN
IВ = 0 I 1В = I2С
U2С
+j
U0В
U2В
U1В
U1С
U2С
U2В
U 2 = U 2А
UС
U0
U0 = U0 А
= U 0В = U0С
U0В
UВ
Рисунок 12
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
б) Двухфазное короткое замыкание на землю (рисунок 13).
Расчетные схемы для токов прямой, обратной и нулевой последовательностей на основную фазу при двухфазном коротком замыкании на землю совпадают с расчетными схемами для однофазного короткого замыкания
(рисунок 11).
Уравнения, составленные по расчетным схемам:
E ф − U 1 = Zг1 I1 ;
(1)
(2)
(3)
− U 2 = Zг 2 ⋅ I2 ;
− U 0 = ( Zг 0 + 3Z N ) ⋅ I0 .
Дополнительные уравнения:
I A = 0 или I1 + I2 + I0 = 0 ;
U B = 0 или a 2U 1 + aU 2 + U 0 = 0 ;
U C = 0 или aU 1 + a 2U 2 + U 0 = 0 .
(4)
(5)
(6)
На основании уравнения (5) и (6) можно написать:
a 2U 1 + aU 2 = aU 1 + a 2U 2
или (a 2 − a )U1 = (a 2 − a )U 2 ,
учитывая, что U 2 = U1 . На основании уравнения (5) имеем
(a 2 + a )U1 = − U 0 . Так как а2+а=-1, то будем иметь U1 = U 0 . Следовательно,
U̇ 1 =U̇ 2 =U̇ 0 .
откуда
U 1 = U 2
Eф ; Zг1; Zг2; Zг0
A
В
О
.
IА
ZN
IN
.
.
IВ IС
. .
.
UА UВ UС
C
Рисунок 13
На основании уравнений (1), (2), (3) с учетом (7) имеем:
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
İ 1=
Ė ф−U̇ 1
U̇
U̇ 1
; İ 2 =− 1 и İ 0 =−
.
Zг 1
Zг 2
Zг 0 3Z N
Подставляя полученные выражения для основных комплексов симметричных составляющих токов в уравнение (4) получим:
Ė ф
1
1
1
− U̇ 1


=0 или
Zг 1
Zг1 Zг 2 Zг 0 3Z N




1000
1
1
1
=U̇ 1
 
.
j8
j8 j2 j 10
Откуда U̇ 1 =U̇ 2 =U̇ 0 =172 B .
Основные комплексы симметричных составляющих токов находятся из
уравнений (1), (2), (3):
Ė ф−U̇ 1 1000−172
=
=− j 103 A ;
Zг 1
j8
U̇
172
İ 2 =− 2 =−
= j 86 A ;
Zг 2
j2
U̇ 0
172
İ 0 =−
=−
= j17 ,2 A.
Zг 03Z N
j 10
İ 1=
Ток в месте короткого замыкания:
İ A= İ 1  İ 2 İ 0 =− j 103 j 86 j 17,2≃0 ;

İ B =a 2 İ 1a İ 2  İ 0 = −0,5− j 
2
3


⋅− j 103  −0,5 j 
2
3

⋅ j 86
0
 j 17,2=−94 ,5  3 j 25,7=166 e j171 , 08 A.
3
3
İ C =a İ 1 a2 ˙ I 2 İ 0 = −0,5 j  ⋅− j 103 −0,5− j  ⋅j 86
2
2




0
 j 17,2=94 ,5  3 j 25,7=166 e j8 , 92 A .
Ток нейтрали генератора
İ N =3 İ 0 = İ A İ B  İ C =3j17 ,2≃ j 52 A.
Фазные напряжения в месте короткого замыкания  U̇ 1 =U̇ 2 =U̇ 0  :
U̇ A =U̇ 1 U̇ 2 U̇ 0=3⋅172=516 B ;
U̇ B =a 2 U̇ 1 a U̇ 2 U̇ 0 = a 2a1 U̇ 0 =0 ;
U̇ C =a U̇ 1 a 2 U̇ 2 U̇ 0 = aa 2 1  U̇ 0 =0 .
Векторные диаграммы токов и напряжений представлены на рисунке 14.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в) Двухфазные короткие замыкания без соединения с землей
(рисунок 15).
Так как в месте короткого замыкания соединения с землей нет, то в схеме токов нулевой последовательности не будет. Расчетные схемы необходимо
составить только для токов прямой и обратной последовательностей
(рисунок 16).
Уравнения, составленные по расчетным схемам:
Ė ф−U̇ 1 =Zг 1 İ 1 ;
−U̇ 2=Zг 2⋅İ 2 .
(1)
(2)
Дополнительные уравнения:
U̇ B=U̇ C
İ A=0 или İ 1  İ 2 =0 ;
2
или a U̇ 1a U̇ 2 =a U̇ 1 a 2 U̇ 2 .
(3)
(4)
IOС
IС
+1
I2С +1
I1С
UА
I2С
U1А = U 2А = UOА
UOВ = UOС = UOА
I0= IOА = IOВ = IOС
+j
I2
I1 = I1А
+j
U1С = U2В
U2 С
I2В
I 1В
IOВ
Рисунок 14
20
U2В
UС = 0 UВ = 0
I2В
IВ
U1В = U2С
U0 С U0В
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Eф ; Zг1; Zг2; Zг0
A
В
О
C
IА
ZN
TN
UА
IВ
IС
UВ UС
Рисунок 15
На основании уравнения (3) можно написать İ 2 =− İ 1 .
На основании уравнения (4)  a 2 −a  U̇ 1 = a 2 −a  U̇ 2 . Откуда U̇ 1 =U̇ 2
Z г1
Eф
Zг2
I1
I2
U1 = E1
E2 = U2
Рисунок 16
Учитывая (5) и (6) после вычитания уравнения (2) из уравнения (1), получим
Ė ф = Zг 1 Zг 2  İ 1 , откуда
Ė ф
1000
İ 1 =
=
=− j 100 A.
Zг 1 Zг 2 j8  j2
(7)
Следовательно,
İ 2 =− İ 1 = j 100 А.
(8)
Основные комплексы симметричных составляющих напряжений находятся из уравнений (1) и (2):
U 1 = E − Zг1 I1 = 1000 − j8( − j100 ) = 200 B;
U 2 = − Zг 2 I2 = − j 2 ⋅ j100 = 200 B (U 1 = U 2 ).
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Векторные диаграммы токов и напряжений представлены на рисунке 17.
Токи в месте короткого замыкания:
IA = I1 + I2 = 0;

3
 ( − j100 ) +
IB = a 2 I1 + aI2 =  − 0,5 − j
2 


3
 − 0,5 + j
 j100 = − 173 A;
2 


3
 ( − j100) +
IC = aI1 + a 2 I2 =  − 0,5 + j
2 


3
 0,5 − j
 j100 = 173 A.
2 

+1
+1 UА
IС
I2С
I1С
IА = 0
+j
I1 = I1А
I2 = I2 А
I 1В
+j
U1С = U2В
UС
U2С
U1В = U2С
UВ
U2В
I2В
IВ
Рисунок 17
Фазные напряжения в месте короткого замыкания:
U A = U 1 + U 2 = 200 + 200 = 400 B;


3
3
 ( − j100) +  − 0,5 + j
 200 = − 200 B;
U B = a 2U 1 + aU 2 =  − 0,5 − j


2 
2 



3
 200 +
U C = aU 1 + a 2U 2 =  − 0,5 + j
2 

22

3
 − 0,5 − j
 200 = − 200 B.

2 

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1.1.8 Симметричный 3–х фазный приемник, соединенный в звезду (рисунок 18,а), с фазными сопротивлениями Zф=j100 Ом (статическая нагрузка), подключен к зажимам генератора, фазные ЭДС которого представлены
на векторной диаграмме (рисунок 18,б). Определить показания приборов, если
фазные сопротивления генератора для токов различной последовательности:
Zг1=j20 Ом ; Zг2=j5 Ом ; Zг0=j10 Ом.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А
А
а
220 В
Zф
.
EА
.
EС
.
EА
О
О1
V
Zф
.
EВ
С
.
EВ
220 В
Zф
В
220 В
0
в
c
а)
.
EС
б)
Рисунок 18
Решение:
Выбираем положительное направление вещественной оси комплексной
плоскости, совпадающей с направлением E A . Тогда:
U A = E A = 220 B; U B = E B = 220e −
j 900
B; U C = E C = − 220 B.
Находим основные комплексы симметричных составляющих фазных
ЭДС генератора.
(
)
(
)
1 
1
E 1 =
E A + aE B + a 2 E C = ( 220 + j110 + 190 + 110 + j190 ) =
3
3
0
1
= ( 520 + j 300 ) = 173,3 + j100 = 200e j 30 B;
3
1 
1
E 2 =
E A + a 2 E B + aE C = ( 220 + j110 − 190 + 110 − j190 ) =
3
3
0
1
= (140 + j80 ) = 46,7 − j 26,7 = 53,7e − j 29,76 B;
3
0
1
1
E 0 = ( E A + E B + aE C ) = ( 220 − j 220 − 220 ) = − j 73,3 = 73,3e − j 90 B.
3
3
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вычисляем основные комплексы симметричных составляющих токов по
схемам составленным на основную фазу (рисунок 19,а,б).
Zг1
Z г2
.
I1
.
E1
.
I2
.
E2
Zф
Zф
б)
а)
Рисунок 19
Тока нулевой последовательности нет, т.к. нет нулевого провода.
I1 =
I2 =
0
0
E 1
200e j 30
200e j 30
=
=
= 1,67e −
Zг 1 + Z ф
j 20 + j100 120e j 900
0
0
E 2
53,7e − j 29,76
53,7e − j 29,76
=
=
= 0,51e −
Zг 2 + Z ф
j 5 + j100
j 900
105e
j119,760
j 600
= ( 0,835 − j1,45) A;
= ( − 0,255 − j 0,44 ) A.
Ток фазы А:
I A = I1 + I2 = 0,835 − j1,45 − 0,225 − j 0,44 = 0,61 − j1,89 = 1,98e −
j 72,10
A.
Показания амперметра 1,98 А. Вольтметр измеряет напряжения смещения нейтрали, равное составляющей нулевой последовательности фазных ЭДС
генератора; то есть
U 010 = 73,3 В.
Задача 1.1.9 Несимметричный трехфазный приемник, соединенный в
звезду без нулевого провода, с фазным сопротивлениями: ra = 5 Ом; rв = 10 Ом;
rс = 20 Ом, питается от трехфазной сети с симметричными линейными напряжениями, величина которых равна 380 В. Определить симметричные составляющие фазных напряжений приемника.
Решение:
Так как несимметричный приемник подключен к сети с симметричными
линейными напряжениями, то его фазные напряжения имеют составляющие
прямой и нулевой последовательности. Составляющих обратной последовательности нет. Составляющая прямой последовательности равна фазному
напряжению симметричного приемника питающегося от этой же сети, а составляющая нулевой последовательности равна смещению нейтрали заданного несимметричного приемника с обратным знаком. Имеем:
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
380
U 1 = U =
= 220 В;
3
1
1
1
220 ⋅ + a 2 220
+ a 220 ⋅
 AY A + U B Y B + U C YC
U
5
10
20 =
U 0 = −
= −
1
1
1
Y A + Y B + YC
+
+
5 10 20
44 − 11 − j19 − 5,5 + j 9,5
27,5 − j 9,5
29,1e − j19, 05
=
= −
= −
0,35
0,35
0,35
= 83,2e j160,95
0
0
= − 83,2e −
j19 , 050
=
B.
A
В
C
rа
01
rс
rв
Рисунок 20
Задача 1.1.10 Симметричные составляющие тока в фазе АВ генератора
(рисунок 21), I1 = 20 A; I2 = − j10 A; I0 = 4,33 + j 2,5 A /
Определить показания амперметров.
Решение:
Ток фазы СА генератора


3
3
 20 +  − 0,5 − j
 (− j10) +
ICA = aI1 + a 2 I2 + I0 =  − 0,5 + j


2 
2 


+ 4,33 + j 2,5 = − 10 + j17,3 + j 5 − 8,65 + 4,33 + j 2,5 = − 14,32 + j 24,8 =
= 28,6e j120
0
A.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
IА
A
A2
I СА
A1
нагрузка
IАВ
IВС
IВ
В
С
IС
Рисунок 21
Первый амперметр показывает 28,6 А. В линейном проводе «А» составляющие нулевой последовательности отсутствует, а составляющие прямой и
обратной последовательностей в 3 раз больше и сдвинуты по фазе на –300 и
+300 соответственно. Имеем:
I A =
=
3I1e −
j 30 0
+
0
3I2 e j 30 =
 3

3 ⋅ 20
− j 0,5  +
 2

3 ⋅ 20e −
j 30 0
+
3 ⋅ 10e −
j 90 0
0
e j 30 =

3
 = 30 − j17,3 + 8,65 − j15 =
3 ⋅ 10 0,5 − j
2 

= 30 − j17,3 + 8,65 − j15 = 38,65 − j 32,3 = 50,3e −
j 39,89 0
А.
Второй амперметр показывает 50,3 А.
Задача 1.1.11 Симметричные составляющие ЭДС в фазе «АВ» генератора (рисунок 22):
E 1 = 250 B; E 2 = − j100 B; E 0 = 50e j 30
0
B.
Определить показание вольтметра при разомкнутом и замкнутом рубильнике.
Решение:
При разомкнутом рубильнике комплекс напряжения на вольтметре
U BC = a 2 E 1 + aE 2 + E 0 = 43,3 + j 25 − j 216 − 125 + j 50 + 86,7 =
= 5 − j141 = 141e −
j 87 ,97 0
B.
Показание вольтметра 141 В.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A
ЕСА
ЕАВ
ЕВС
В
С
V
Рисунок 22
При замкнутом рубильнике в контуре треугольника под действием Е0

3E
возникает ток нулевой последовательности: I0 = 3Z 0 , который создает падение
ФГ
напряжения на сопротивлениях фазных обмоток генератора равные составляющим ЭДС нулевой последовательности и, следовательно, последние полностью
компенсируется. Напряжение фазы «ВС»
U BC = a 2 E1 + aE 2 = − 125 − j 216 + j 50 + 86,7 =
= − 38,3 − j166 = 170e −
j103 0
B.
Показание вольтметра 170 В.
Задача 1.1.12 Симметричные составляющие ЭДС в фазе «А» генератора
0
(рисунок 23): E1 = 250 B; E 2 = − j 200 B; E 0 = 50e j 45 В.
Определить показания вольтметров.
Решение:
Комплекс напряжения фазы «В»:
1 + aE
2 + E
 0 =  − 0,5 − j 3  250 +
U B = a 2 E

2 

+ 50e j 45
= 116e
0

3
 − 0,5 + j
 ( j 200) +
2 

= − 125 − j 216 + j100 + 173 + 35,3 + j 35,3 = 83,3 − j80,7 =
− j 44 , 09 0
B.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A
EА
V2
0
EС
V1
С
EВ
В
Рисунок 23
Показание вольтметра V1 равно 116 В. Линейные напряжения не содержит составляющей нулевой последовательности, а составляющие прямой и
обратной последовательности в 3 раз больше и сдвинуты по фазе соответственно на 300 и –300. Имеем
U AB =
=
0
3E 1e j 30 +
3E 2 e −
 3

3 ⋅ 250 ⋅ 
+ j 0,5  +
 2

= 202 − j84 = 219e −
j 22,580
j 300
=
0
3 ⋅ 250e j 30 +
3 ⋅ 200e −
j1200
=

3
 = 375 + j 216 − 173 − j 300 =
3 ⋅ 200 − 0,5 − j
2 

B.
Показания вольтметра V2 равно 219 В.
Задача 1.1.13 Симметричные составляющие тока в фазе «А» генератора
(рисунок 24): I1 = j10 A; I2 = 20e j 30 A; I0 = 5e j 60 .
Определить показания амперметров.
Решение:
Комплекс тока
IB = a 2 I1 + aI2 + I0 = e −
j120
⋅ j10 + e j120 ⋅ 20e j 30 + 5e j 60 =
0
0
0
 3



3
= 10e − 30 + 20e j150 + 5e j 60 = 10
− j 0,5  + 20 −
+ j 0,5  +
2
 2





3
 = 8,65 − j 5 − 17,3 + j10 + 2,5 + j 4,33 =
+ 5 0,5 + j

2


= − 6,15 + j 9,33 = − 11,17e −
28
j 56 , 610
= 11,17e
j123,39 0
A.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A
.
IА
.
IС
Z
О
01
A2
Z
.
IВ
С
Z
В
A1
Рисунок 24
Показание амперметра А1, составляет 11,17А. По нулевому проводу протекают составляющие нулевой последовательности линейных токов. Поэтому
0
IN = 3I0 = 15e j 60 А.
Показание амперметра А2 составляет 15 А.
Задача 1.1.14 Симметричные составляющие ЭДС в фазе «А» генератора
0
0
0
(рисунок 25), E1 = 222e j 30 B; E 2 = 160e j150 B; E 0 = 80e j 90 B. Определить показания
амперметра при замкнутом и разомкнутом рубильнике, если Z = (5 + j 5) Ом –
статическая нагрузка, а сопротивлением обмоток генератора можно пренебречь.
Решение:
Сначала вычисляем основные комплексы симметричных составляющих
линейных токов при замкнутом рубильнике. Имеем следующие схемы для токов прямой, обратной и нулевой последовательностей (рисунок 26).
Из этих схем находим:
0
0
E
222e j 30
222e j 30
I1 = 1 =
=
= 31,5e −
j 450
j 450
Z
7,05e
7,05e
j150
= (30,4 − j8,5) A;
0
0
E
160e j150
I2 = 2 =
= 22,7e j105 = ( − 5,88 + j 21,9) A;
0
Z
7,05e j 45
0
0
E
80e j 90
I3 = 3 =
= 11,35e j 45 = (8,03 + j8,03) A.
0
Z
7,05e j 45
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А
.
IА
.
E
Z
О
.
EС
О1
Z
.
EВ
С
Z
В
.
IВ
.
IС
A
Рисунок 25
.
I1
.
I2
Z
.
E2
Z
.
E1
.
I0
.
E0
Z
Рисунок 26
Комплекс тока при замкнутом рубильнике
IC = aI1 + a 2 I2 + I0 = e
+ 11,35e
j 450
= 31,5e
j105
j1200
⋅ 31,5e −
+ 22,7e −
j15
j150
+ e−
+ 11,35e
j1200
j 450
⋅ 22,7e
j1050
+
= − 8,15 + j 30,43 +
+ 21,93 − j 5,88 + 8,03 + j8,03 = 21,81 + j 32,58 = 39,21e
j 56, 2 0
A.
Показания амперметра при замкнутом рубильнике 39,21 А.
При разомкнутом рубильнике составляющие нулевой последовательности в линейных токах отсутствуют, поэтому комплекс тока
IC = aI1 + a 2 I2 = 13,78 + j 24,55 = 28,15e j 50,69
0
A.
Показание амперметра при разомкнутом рубильнике 28,15 А.
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1.1.15 От сети с несимметричными линейными напряжениями
питаются два приемника: первый симметричный, а второй несимметричный с
сопротивлениями фаз: Za=5 Ом; Zв=100 Ом; Zc=j20 Ом (рисунок 27). Определить показания вольтметров V1 и V2, если симметричные составляющие напряжения фазы «А» первого приемника U 1 = 180 B и U 2 = j100 B .
Решение:
Фазные напряжения симметричного приемника:
0
U A = U 1 + U 2 = 180 + j100 = 206e j 29 B;

3
180 +
U B = a 2U 1 + aU 2 =  − 0,5 − j
2



3
 − 0,5 + j
 ⋅ j100 =
2


= − 90 + j155,8 − j 50 − 86,5 = − 176,5 − j 205,8 = − 271e 49
= 271e −
j130, 62 0
0 23′
=
B.

3
180 +
U C = aU 1 + a 2U 2 =  − 0,5 + j

2



3
 − 0,5 − j
 ⋅ j100 =


2


0
= − 90 + j155,8 − j 50 + 86,5 = − 3,5 + j105,8 = 105,8e j 91,89 B.
A
В
C
Z
Z
Za
Z
О1
V1
Zв
Zс
V2
О2
Рисунок 27
Фазные напряжения источника питающего заданную сеть с несимметричными линейными напряжениями можно принять равным фазным напряжениям симметричного приемника. Тогда, пользуясь методом двух узлов, находим комплекс напряжения
U 010 2
= −
(180 +
1
1
1
U A
+ U B
+ U C
Za
Zв
Zc
= −
=
1
1
1
+
+
Za
Zв
Zc
j100 ) 0,2 + ( − 176,5 − j 205,8) 0,1 + ( − 3,5 + j105,8)( − j 0,05)
=
0,2 + 0,1 − j 0,05
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
= −
36 + j 20 − 17,65 − j 20,58 + j 0,175 + 5,29
23,64 − j 0,405
= −
=
0,3 − j 0,05
0,3 − j 0,05
= −
23,64e −
0,304e
j 0,980
− j 9, 460
= − 77,7e j 8, 48
0
= 77,7e −
j171,52
B.
Показание вольтметра V1 составляет 77,7 В.
Симметричные составляющие фазных напряжений несимметричного
приемника прямой и обратной последовательности равно составляющим симметричного приемника, а составляющие нулевой последовательности равным
напряжению U 010 2 . Таким образом, комплекс напряжения фазы С несимметричного приемника

3
180 +
U CH = aU 1 + a 2U 2 + U 010 2 =  − 0,5 + j

2


+ 77,7e j188, 48
0

3
 − 0,5 − j
 ⋅ j100 −


2


= − 90 + j155,8 − j 50 + 86,5 − 76,8 − j11,48 =
0
= − 80,3 + j 94,32 = 124e j130, 41 B.
Показание вольтметра V2 составляет 124 В.
Задача 1.1.16 К 3–х фазному генератору переменного тока с линейными
напряжениями, представленными на топографической диаграмме
рисунока 28, подключен двигатель, соединенный в звезду, с сопротивлениями
фаз для токов прямой и обратной последовательности Z1=j40 Ом; Z2=j2 Ом.
Сопротивление фаз генератора равны нулю. Нулевой провод отсутствует. Определить фазные токи двигателя.
Решение:
Для того, чтобы выразить фазные напряжения источника комплексами,
необходимо знать положение нулевой точки на топографической диаграмме
(рисунок 28). Положение нулевой точки можно выбрать произвольно. Совместим ее с точкой «В», а вектор U AB направим по вещественной оси , тогда будем иметь:
U A = U AB = 100 B; U B = 0; U C = − U BC = j100 B.
14
1B
A
В (0)
C
100 B
Рисунок 28
32
100 B
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Находим основные комплексы симметричных составляющих фазных напряжений источника:
(
)
0
0
1
1
U 1 = U A + aU B + a 2U C =  100 + 0 ⋅ e j120 + 100e j 90 e −
3
3
=
1
−
 100 + 100e
3
j 300
j1200
=


 = 1  100 + 100 3 − j 100  = 186,5 − j 50 =

2
3
 3 
2 
0
= 62,2 − j17 = 64,3e − j15 B;
0
0
0
1
1
U 2 = U A + a 2U B + aU C =  100 + 0 ⋅ e j120 + 100e j 90 e j120  =
3
3

0
1
1
100 3
100  13,5 − j 50
=
=  100 + 100e j 210  =  100 −
− j
=
3
2
2 
3
 3
(
)
= 4,5 − j17 = 17,59e −
j 75,17 0
B.
Составляющая нулевой последовательности не вычисляется, так как нулевого провода нет и токи нулевой последовательности в схеме отсутствуют.
Схемы замещения для симметричных составляющих приведены на рисунке 29. Вычисляем основные комплексы симметричных составляющих
фазных (линейных) токов приемника:
0
U
64,3e − j15
I1 = 1 =
= 16,1e −
Z1
j 90 0
4e
j1050
= − 16,1e j 75
0
= (− 4,17 − j15,55) A;
0
U̇ 17 ,59 e− j 75 , 17
0
İ 2 = 2 =
=8,8 e− j 165, 17 =−8,5− j2 , 25 A .
0
Z2
2 e j 90
I1
I2
Z1
E 1 = V1
E 2 = V2
Z2
Рисунок 29
Фазные токи приемника:
İ A = İ 1  İ 2 =−4,17− j 15 ,55−8,5− j2 , 25=
0
¿−12 , 67− j 17 ,8=21 , 85 e− j 125 , 44 A ;
0
0
İ B =a 2 ˙ I 1a İ 2 =−16 ,1e j 75 e−120 8,8 e− j 165 ,17 ¿ e j 120 =
0
0
¿−16,1 e − j 458,8 e− j 45 , 17 ¿−7,5 e− j 45 A;
0
0
İ C =a İ 1 a 2 ˙ I 2 =16,1 e− j 105 e j 120 8,8 e− j 165 ,17 e− j 120 =
j 15
− j 285 ,17
j 15
j 74 ,83
¿ 16 ,1 e 8, 63 e
=16 ,1e 8, 63 e
=
0
j 34 ,96
¿ j4 , 1715 ,562, 26 j8 , 33=17 ,88 j 12 ,5=21,8 e
A.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.2 Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.2.1 Что показывает вольтметр (рисунок 30) электродинамической системы, включенный в разрыв обмотки трехфазного генератора, соединенного треугольником? В фазах генерируется симметричная система синусоидальных ЭДС.
.
EC
.
EA
V
.
EB
Рисунок 30
Задача 1.2.2 Симметричный трехфазный потребитель, соединенный в
треугольник, подключен к трехфазной сети напряжением 220 В. Определить
линейный ток, если сопротивление фазы потребителя равно 11 Ом.
Задача 1.2.3 Симметричный трехфазный потребитель, соединенный в
звезду, питается от трехфазной сети с линейным напряжением U. Определить
линейный ток, если сопротивление фазы потребителя равно Z, Ом.
Задача 1.2.4 Симметричный трехфазный потребитель, соединенный в
звезду, подключен к четырехпроводной трехфазной сети напряжением 380 В.
Определить ток нулевого провода, если сопротивление фазы приемника равно
9,5 Ом.
Задача 1.2.5 Линейный ток симметричного трехфазного потребителя равен I А. Линейное напряжение питающей сети U В. Определить полное сопротивление Z фазы потребителя, если он соединен в треугольник.
Задача 1.2.6 Во сколько раз изменится линейный ток, если симметричную нагрузку, соединенную звездой без нейтрали, пересоединить в треугольник
при неизменном линейном напряжении? Нагрузка питается симметричной системой напряжений.
Задача 1.2.7 Во сколько раз изменится величина активной мощности,
если симметричную нагрузку, соединенную звездой без нейтрали, пересоединить в треугольник при неизменном линейном напряжении?
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1.2.8 К трехфазной цепи, изображенной на рисунке 31, приложена симметричная система линейных напряжений UAB=UBC=UCA=220 В, хL=10 Ом;
хC=60 Ом – идеальные реактивные сопротивления хL.Определить показание амперметра тепловой системы.
jХL
A
A
B
jХL
C
jХL
-jХC
-j Х C
-jХ C
Рисунок 31
Задача 1.2.9 Амперметр А1, (рисунок 32) включенный в цепь симметричного потребителя, показывает 34,6 A. Что покажет амперметр А2?
A
A1
Z
B
Z
A2
C
Z
Рисунок 32
Задача 1.2.10 Система синусоидальных линейных напряжений, питающая цепь (рисунок 33), симметрична. Определить показание электромагнитного
амперметра, если известно, что Uл=100 В; zф=10 Ом.
A
A
Zф
B
Zф
Zф
C
Рисунок 33
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1.2.11 К трехфазной цепи приложена симметричная система линейных напряжений UAB=UBC=UCA=380 В. Активными сопротивлениями проводов можно пренебречь. Величина идеальных индуктивных сопротивлений,
включенных в цепь, указана на рисунке 34 в омах. Определить показание амперметра электромагнитной системы.
j10
A
A
j10
C
j10
j10
j10
B
j10
Рисунок 34
Задача 1.2.12 Для симметричного трехфазного потребителя заданы линейное напряжение и ток (U=220 B; I=3 A), а также активная мощность
Р=571 Вт. Определить угол сдвига фаз между фазным током и напряжением.
Задача 1.2.13 Что покажет вольтметр, включенный в цепь симметричного трехфазного потребителя (рисунок 35), если линейное напряжение питающей сети равно U?
Z
A
B
V
Z
Z
C
Рисунок 35
Задача 1.2.14 Задано линейное напряжение U трехфазной сети и сопротивление Z симметричного трехфазного потребителя (рисунок 36). Выразить
через заданные величины ток в проводе А при перегорании предохранителя в
фазе С.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A
IA
Z
B
IB
Z
C
IC
Z
Рисунок 36
Задача 1.2.15 Фазные токи симметричного трехфазного потребителя,
(рисунок 37) равны 12 А. Каким будет ток IBC после перегорания предохранителя в фазе А?
A
IAB
B
IBC
C
IAC
Рисунок 37
Задача 1.2.16 Трехфазная сеть, питающая симметричный потребитель
(рисунок 38), имеет линейное напряжение U. Что покажет вольтметр, подключенный к фазе АС после сгорания предохранителя в проводе С?
A
UAB
B
C
UAC
UBC
Рисунок 38
38
V
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1.2.17 Фазные токи симметричного трехфазного потребителя
(рисунок 39) равны 15 А. Каким станет ток IАС после перегорания предохранителя в проводе А.
A
IAB
B
IBC
IAC
C
Рисунок 39
Задача 1.2.18 Как изменятся фазные токи в симметричном приемнике
(рисунок 40), соединенном звездой с нейтралью при обрыве фазы А? Система
питается симметричной системой синусоидальных напряжений. Падением
напряжения в нейтральном проводе пренебрегаем.
IA = I
A
Z
B
IB
C
IC
Z
Z
O
Рисунок 40
Задача 1.2.19 К трехфазному приемнику приложена симметричная система напряжений обратной последовательности, причем комплексное значе0
ние амплитуды напряжения фазы С составляет U̇ C =141⋅e− j 50 В. Симметричная
составляющая обратной последовательности системы фазных токов (действую0
щее значение) İ 2 =14,1⋅e j 40 А. Чему равен комплекс сопротивления цепи для
токов обратной последовательности?
Задача 1.2.20 Что покажет вольтметр, включенный в цепь симметричного трехфазного потребителя (рисунок 41), если линейное напряжение питающей сети равно U, а средний линейный провод оборван?
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
V
A
Z
B
Z
C
Z
Рисунок 41
Задача 1.2.21 Фазные токи симметричного трехфазного потребителя
(рисунок 42) равны 18 А. Каким станет ток IBC после перегорания предохранителя в фазе В?
A
IAB
B
IBC
C
IAC
Рисунок 42
Задача 1.2.21 Составляющая прямой последовательности несимметричной системы линейных напряжений равна 100 В, а составляющая обратной последовательности – 40 В. Чему равен коэффициент несимметрии линейных
напряжений?
Задача 1.2.22 Как изменятся линейные токи симметричной звезды без
нейтрали (рисунок 43), если фазу А закоротить? I – линейный ток при симметричной нагрузке.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A
IA
Z
B
Z
Z
IB
C
IC
Рисунок 43
Задача 1.2.23 Задана несимметричная система линейных напряжений
(рисунок 44): UAB=100 B; UBC=100 B; UCA=141 B. Чему равна составляющая нулевой последовательности этой системы?
A
B
C
Рисунок 44
Задача 1.2.24 В цепи (рисунок 45) действует симметричная система
ЭДС: ЕА, ЕВ и ЕС. Чему равна симметричная составляющая тока прямой последовательности в фазе А?
EA
EB
EC
A
Z
B
Z
C
Z
O
Рисунок 45
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1.2.25 Несимметричная система векторов (А,В,С) разложена на
симметричные составляющие: А1=10j; A2=10j; A0=10j (за основной вектор принят вектор А).Определить комплекс вектора В.
Задача 1.2.26 Несимметричная система напряжений ( U̇ А, U̇ В, U̇ С) разложена на симметричные составляющие: U̇ 0=j100 В, U̇ 1=-j120 В, U̇ 2=
0
20⋅e j 210 В (за основной вектор принят вектор U̇ А). Определить комплекс
напряжений U̇ В .
Задача 1.2.27 В цепи (см. рисунок 46) действует симметричная система
ЭДС ЕА, ЕВ и ЕС. Чему равна симметричная составляющая тока обратной последовательности в фазе А?
EA
EB
EC
A
Z
B
Z
C
Z
O
Рисунок 46
Задача 1.2.28 В цепи (рисунок 47) действует симметричная система
ЭДС. Определить ток нулевой последовательности в фазе А?
EA
EB
EC
A
Z
B
Z
C
Z
Рисунок 47
Задача 1.2.29 К трехфазному потребителю приложена симметричная си0
стема фазных напряжений с U̇ A=220⋅e j 45 В. Симметричные составляющие си0
0
0
стемы фазных токов равны: İ 1=10⋅e j 105 A; İ 2 =2⋅e− j 75 A ; İ 0 =3⋅e j 105 A . Чему
равна активная мощность Р?
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1.2.30 К симметричному трехфазному потребителю, соединенному звездой без нулевого провода, приложена система фазных напряжений, сим0
0
0
метричные составляющие которой: U̇ 1 =70⋅e j 10 В; U̇ 2 =10⋅e j190 В; U̇ 0 =10⋅e j30
В. Комплексы сопротивления фаз цепи для токов прямой и обратной последо0
вательностей составляют: Z 1 =Z 2 =10⋅e− j 30 Ом. Чему равна реактивная мощность Q, потребляемая трехфазной нагрузкой.
Задача 1.2.31 К симметричной цепи (рисунок 48) приложена симметричная система напряжений. Заданы сопротивления прямой (Z1), обратной (Z2)
и нулевой (Z0) последовательностей. Определить ток нулевой последовательности.
A
Z1, Z 2 , Z 0
B
Z1, Z 2 , Z 0
C
Z1, Z 2 , Z 0
ZN
O
Рисунок 48
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список использованных источников
1.
Горбунов А.Н. Теоретические основы электротехники. /А.Н. Горбунов.,
И.Д. Кабанов – М.: УМЦ., Триада, 2003.
2. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи:
учебник для вузов. /Л. А Бессонов –М.: Высш. шк., 2000. - 638 с.
3. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное
поле: учебник для вузов. /Л. А Бессонов –М.: Высш. шк., 1986. - 316 с.
4. Зевеке Г. В. Основы теории цепей: учебник для вузов./ Г. В. Зевеке, П. А.
Ионкин, А. В.Нетушил, С. В. Страхов. – М.: Энергоатомиздат, 1989. - 528 с.
5. Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники: учебник для электроэнергет. и электротехн. вузов /Поливанов К.М. – М.: Энергия, 1975. –
208с.
6. Бессонов Л.А. Сборник задач по теоретическим основам электротехники:
учебное пособие для энерг. и приборостр. спец. вузов./ Л. А Бессонов – М.:
Высшая школа, 1989. – 528 с.
7. Матханов П.Н. Сборник задач по теории электрических цепей: учеб. пособие
для вузов./Под ред. П.Н. Матханова, Л.В. Данилова .- М.: Высш. школа,
1980.- 224с.
8. Татур Т.А. Установившиеся и переходные процессы в электрических цепях:
учебное пособие для вузов./ Т.А.Татур, В.Е.Татур – М.: Высшая школа,
2001.- 407 с.
9. Огорелков Б.И. Расчет трехфазных цепей со статистической и динамической
нагрузкой: методические указания /Б.И.Огорелков, А.Н.Ушаков, Н.Ю.Ушакова. – Оренбург: ОрПИ, 1988.- 45с.
10. Пискунова Ж.Г. Трехфазные цепи: учебное пособие./Ж.Г. Пискунова –
Оренбург: ОГУ, 2000 – 56с.
44
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
454
Размер файла
803 Кб
Теги
трехфазные, 1239, цепи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа