1249.Кручение стержня

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра сопротивления материалов
О.А. ФРОЛОВА, В.С. ГАРИПОВ
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОЙ РАБОТЫ
Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом
государственного образовательного учреждения высшего профессионального
образования «Оренбургский государственный университет»
Оренбург 2009
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 539.414 (07)
ББК 30.121 я7
Ф 91
Рецензент
доцент П.Н. Ельчанинов
Ф 91
Фролова О.А.
Кручение стержня: методические указания к выполнению
расчетно-проектировочной работы /О.А. Фролова, В.С. Гарипов.
- Оренбург: ГОУ ОГУ, 2009. -50 с.
В методических указаниях по сопротивлению материалов приведены
основные сведения из теории, варианты заданий к расчетнопроектировочной работе и примеры решения типовых задач с
пояснениями.
Методические указания предназначены для выполнения расчетнопроектировочной работы для студентов инженерных специальностей.
ББК 30.121 я 7
© Фролова О.А.,
Гарипов В.С., 2009
© ГОУ ОГУ, 2009
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
1. Основные сведения из теории……………..…………..….……….......
4
1.1 Основные понятия. Крутящий момент…………………….….…...... 4
1.2 Напряжения и деформации при кручении стержня круглого
поперечного сечения……………….…………..………………….……..
6
1.3 Виды расчетов на прочность и жесткость………………….………. 12
1.4 Анализ напряженного состояния и разрушения при кручении..….. 17
1.5 Кручение прямого стержня некруглого поперечного сечения.…… 18
2. Задания к расчетно-проектировочной работе……………….….……
2.1 Расчетно-проектировочная работа «Расчет на прочность и
жесткость стержня при кручении»…………………………....…….…...
2.1.1 Задача №1……………..……………………………………………..
2.1.2 Задача №2………………………..………………………………..…
21
21
21
26
3. Пример выполнения расчетно-проектировочной работы работа
«Расчет на прочность и жесткость стержня при кручении»..…….........
31
3.1 Задача №1……………………….…………..…………………..….…
3.2 Задача №2……………………………………….……………….….…
31
40
4. Литература, рекомендуемая для изучения темы ……………….…....
48
Приложение А Размеры поперечных сечений круглых стержней ...…
49
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Основные сведения из теории
1.1 Основные понятия. Крутящий момент
Кручение – это такой вид нагружения, при котором в поперечном
сечении бруса при приложении внешних крутящих моментов возникает только
один внутренний силовой фактор – крутящий момент Мz.
Для определения крутящего момента Мz, возникающего в поперечном
сечении стержня применяют метод сечений. Мысленно рассекаем стержень
плоскостью α, перпендикулярной к его оси, на две части и рассматриваем
равновесие одной из них (рисунок 1.1).
М
М
α
I
II
z
x
y
Мz
М
I
z
x
y
Рисунок 1.1
Крутящий момент Мz, Н·м, в произвольном поперечном сечении стержня
численно равен алгебраической сумме внешних крутящих моментов,
действующих на стержень по одну сторону от сечения:
Mz =
n
∑M
i =1
i
.
(1)
Знак крутящего момента физического смысла не имеет и общепринятого
правила знаков не существует. Однако иногда для удобства построения эпюры
крутящего момента внешние крутящие моменты подставляют в формулу (1) в
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
соответствии с правилом знаков: если наблюдатель смотрит на поперечное
сечение со стороны внешней нормали и видит внешний крутящий момент М
направленным против часовой стрелке, то его значение подставляют в формулу
со знаком «+»; если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны
внешней нормали и видит внешний крутящий момент М направленным по
часовой стрелке, то его значение подставляют в формулу со знаком «-»
(рисунок 1.2 а, б).
Мz
М
I
М
z
x
Мz
I
z
x
y
а
y
б
Рисунок 1.2
Изменение крутящих моментов по длине стержня изображается
графически путем построения эпюры крутящих моментов.
Деформации кручения подвергаются многие элементы различных
конструкций и деталей машин: валы различных приводных устройств,
трансмиссионные валы, пружины, болты, вертолетные лопасти, лопатки
вращающихся деталей. Однако на практике чаще всего встречается
одновременное действие кручения и изгиба. При относительно небольших
изгибающих моментах деформацию изгиба можно не учитывать и
рассчитывать стержень только на кручение.
Валы – детали, предназначенные для передачи крутящего момента вдоль
своей оси и поддержания вращающихся деталей машин: зубчатых колес,
шкивов, звездочек.
Известно, что крутящий момент М определяется по формуле:
М =
Р
ω
,
(2)
где Р – мощность вала;
ω – угловая скорость вращения вала.
Если вал делает в минуту n оборотов, то угол поворота вала за 1 с,
выраженный в радианах, равен
2πn πn
=
.
60 30
Тогда угловая скорость вала ω, рад/с:
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ω=
πn
30
(3)
,
где
n - частота вращения вала, об/мин;
При расчете валов часто бывают заданы передаваемая мощность Р и
угловая скорость вращения вала ω, рад/с: или число оборотов n, об/мин. При
этом крутящий момент М с учетом формул (46) и (47) будет определяться по
следующим формулам:
- если мощность задана в кВт, то учитывая, что 1 кВт = 974
Н⋅м
с
крутящий момент М, Н·м, равен:
М =
974 Р
ω
(4)
,
или
М=
30 ⋅ 974 Р
P
⋅ = 9740 ⋅ ,
n
n
π
(5)
- если мощность задана в лошадиных силах (л. с.), то учитывая, что
1 л. с. = 0,736 кВт = 716,86
Н⋅м
крутящий момент М, Н·м, равен:
с
М =
716,86 Р
ω
,
(6)
или
М =
30 ⋅ 716,86 Р
P
⋅ = 7168,6 ⋅ .
π
n
n
(7)
1.2 Напряжения и деформации при кручении стержня круглого
поперечного сечения
Напряжения и деформации при кручении зависят от формы поперечного
сечения стержня.
Рассмотрим кручение стержня круглого поперечного сечения (сплошного
или полого). Нанесем на поверхность стержня сетку, состоящую из линий,
параллельных оси бруса, и линий, представляющих собой параллельные круги.
Эксперименты показывают, что при кручении такого стержня происходит
следующее:
- продольные прямые линии сетки превратятся в винтовые линии, а линии
поперечных кругов сохранят прежний вид;
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- прямые углы первоначально нанесенной сетки за счет поворота одного
сечения относительного другого будут искажаться на определенный угол γ угол сдвига, в то время как расстояния между сечениями меняться не будут
(рисунок 1.3).
γ
τ
τ
Мк
Рисунок 1.3
Теория кручения круглых стержней основана на следующих
предположениях:
- продольная ось стержня после деформации остается прямой линией;
- расстояния между поперечными сечениями стержня остаются
неизменными;
- сечения плоские до деформации стержня, остаются плоскими после
деформации, поворачиваясь одно относительно другого на некоторый угол φ угол закручивания (гипотеза плоских сечений).
- радиусы поперечных сечений стержня после деформации остаются
прямыми.
У стержней, имеющих другую форму поперечного сечения, происходит
депланация сечения (искажение).
Рассмотрим стержень длиной l круглого поперечного сечения радиусом r,
жестко защемленный одним концом и нагруженный на свободном конце
внешним крутящим моментом М (рисунок 1.4).
М
dφ
I
b
a
b'
d
r
φ
О1
d'
z
О
dz
I
l
x
y
Рисунок 1.4
Выделим на цилиндрической поверхности стержня образующую ad,
параллельную оси стержня. В результате действия внешнего момента М
возникают деформации кручения, и образующая ad занимает положение ad'
(рисунок 1.4).
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проведем сечение I-I на расстоянии dz от неподвижного сечения
(сечения, находящегося в заделке). Точка b – точка пересечения образующей
ad с проведенным сечением. После деформации точка b переходит в точку b′.
При деформации круглого стержня поперечные сечения повернутся на
некоторые углы по отношению к своему первоначальному положению (по
отношению к неподвижному сечению): сечение I-I, находящееся на расстоянии
dz от неподвижного сечения, повернется на угол dφ;
Таким образом, деформацию кручения можно представить как результат
сдвигов, вызванных взаимным поворотом поперечных сечений стержня
относительно друг друга.
Рассмотрим деформацию элемента длиной dz (рисунок 1.5).
I
a
γ
dφ
∠bab I = ∠γ ;
∠bO1b I = dϕ ;
b
γ ≅ tgγ =
О1
b'
bb I rdϕ
.
=
ab I
dz
dz
I
Рисунок 1.5
Угол сдвига γ наружных слоев материала стержня будет равен:
γ =r
где
dϕ
= r ⋅θ ,
dz
(8)
dϕ
= θ - относительный угол закручивания;
dz
r – радиус поперечного сечения стержня.
Для слоя, расположенного на расстоянии ρ от центра сечения, с учетом
гипотезы плоских сечений угол сдвига определяется по формуле:
γ ρ = ρ ⋅θ .
(9)
Так как деформацию кручения можно рассматривать как деформацию
сдвига, то согласно закону Гука при сдвиге (τ = Gγ), касательное
напряжение τ, Па, в любой точке круглого поперечного сечения стержня
определяется по формуле:
τ ρ = G ⋅ ρ ⋅θ ,
(10)
где G – модуль сдвига при кручении (характеризует жесткость материала), Па.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проанализируем формулу (8):
при ρ = 0 τ = 0;
ρ = r τ =τmax= G·r·θ.
Таким образом, касательное напряжение изменяется по круглому
поперечному сечению стержня по линейному закону от нуля в центре сечения
до максимальных значений в точках поверхностных слоев (рисунок 1.6).
Рисунок 1.6 - Закон распределения касательных напряжений по поперечному
сечению круглого стержня
Так как волокна, лежащие ближе к центральной оси бруса, воспринимают
малые напряжения, то для облегчения конструкции иногда стержни делают
пустотелыми.
При кручении наблюдается действие напряжений сдвига. Рассмотрим
поперечное сечение круглого стержня. Выделим элементарную площадку
площадью dA на расстоянии ρ от центра сечения (рисунок 1.7).
r
ρ
τdA
Рисунок 1.7
На элементарной площадке dA будет действовать элементарная сила
dN = τdA. Момент этой силы относительно оси стержня равен dМ = dN·ρ=τdA·ρ.
Тогда крутящий момент Мz, возникающий в поперечном сечении
стержня, будет равен сумме элементарных моментов, взятой по всей площади
поперечного сечения, и определятся по формуле:
M z = ∫ ρτdA = ∫ ρGρθdA = Gθ ∫ ρ 2 dA = GθJ p ,
A
где
∫ ρ dA = J
2
p
A
(11)
A
- полярный момент инерции сечения, м4;
A
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
θ – относительный угол закручивания (угол закручивания на единицу
длины), рад/м;
G – модуль сдвига при кручении, Па.
Из формулы (9) относительный угол закручивания θ, рад/м, стержня
будет определяться по формуле:
θ=
dϕ
Mz
=
,
dz GJ p
(12)
где GJp- жесткость поперечного сечения стержня при кручении.
Подставим формулу (10) в формулу (8), получим формулу для расчета
касательных напряжений τ, Па, (1 МПа =106Па при кручении в точках слоя
поперечного сечения, расположенного на расстоянии ρ от центра сечения:
τ ρ = Gθρ = Gρ
Mк Mz
ρ,
=
GJ p J p
(13)
Mz – крутящий момент, возникающий в поперечном сечении, Н·м;
Jp - полярный момент инерции сечения, м4;
ρ расстояние от слоя точек сечения, в котором определяются
напряжения, до центра сечения, м.
где
Максимальные касательные напряжения возникают в точках
поверхностных слоев стержня, т.е. при ρ = r.
Отношение полярного момента инерции поперечного сечения стержня к
радиусу сечения называется полярным моментом сопротивления Wp, м3, см3
и определяется по формуле:
Wp =
Jp
ρ max
=
Jp
r
.
(14)
Подставим в формулу (11) полярный момент сопротивления, получим
формулу для определения максимальных касательных напряжений τmax, Па)
при кручении:
τ max =
Mz
Wp
.
(15)
Формулы для расчета полярного момента инерции и полярного момента
сопротивления для круглых (сплошного и кольцевого) сечений представлены в
таблице 1.1.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 1.1 – Полярный момент инерции и полярный момент сопротивления
для круглых сечений
Тип сечения
Jp
Wp
у
d
х
D
у
d
х
πd 4
32
πD 4
32
(16)
≅ 0,1d 4
⋅ (1 − α 4 ) ≅ 0,1D 4 ⋅ (1 − α 4 ),
d
где α =
D
πd 3
16
πD3
(17)
16
≅ 0,2d 3
⋅ (1−α4) ≅ 0,2D3 ⋅ (1−α4),
где α =
Определим полный угол закручивания стержня.
Из формулы (10) получаем абсолютный
элементарного участка длиной dz:
угол
(18)
d
D
(19)
закручивания
dϕ = θdz.
(20)
Тогда полный угол закручивания φ, рад участка стержня будет
определяться по формуле:
l
l
Mz
dz.
GJ p
0
ϕ = ∫ θdz = ∫
0
(21)
Если в пределах участка длиной l усилие Mz и жесткость поперечного
сечения GJp постоянны, то абсолютный угол закручивания участка стержня
φ, рад определяется по формуле:
ϕ=
Mz ⋅l
,
GJ p
(22)
или в градусах
ϕ0 =
где
M z ⋅ l 180 0
⋅
,
GJ p
π
(23)
Mz – крутящий момент, возникающий в поперечном сечении, Н·м;
Jp - полярный момент инерции сечения, м4;
l – длина участка стержня, м;
G – модуль сдвига при кручении, Па.
Для стержня, состоящего из нескольких участков абсолютный угол
закручивания φ, рад определяется по формуле:
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
ϕ=∑
i =1
Mz
∫ GJ
li
dz ,
(24)
p
где n – количество участков.
Относительный угол закручивания θ, рад/м участка стержня, на
котором усилие Mz и жесткость поперечного сечения GJp постоянны, будет
определяться по формуле:
Mz
,
GJ p
(25)
M z 180 o
,
⋅
GJ p π
(26)
θ=
или в градусах
θo =
где Mz – крутящий момент, возникающий в поперечном сечении, Н·м;
Jp - полярный момент инерции сечения, м4;
G – модуль сдвига при кручении, Па.
1.3 Виды расчетов на прочность и жесткость
Для обеспечения надежной работы и долговечности деталей машин,
конструкций и сооружений проводятся различные расчеты. Наиболее
распространенными являются расчеты на прочность и жесткость.
Расчет на прочность.
Условие прочности выражается неравенством:
τ max =
M z max
Wp
≤ τ adm .
(27)
τmax – наибольшее касательное напряжение при кручении;
τadm - допускаемое касательное напряжение при кручении.
В большинстве случаев допускаемые касательные напряжения на
кручение принимают в зависимости от допускаемых нормальных напряжений
на растяжение для того же материала:
где
- для стали τadm ≈ (0,55…0,6) σadm;
p
- для чугуна
τ adm ≈ (0,7...0,8) σ adm
.
Эти значения допускаемых касательных напряжений относятся к случаям
работы элементов конструкций на чистое кручение при статическом
нагружении.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Валы, рассчитываемые на кручение, кроме кручения, испытывают изгиб и
действие переменных во времени напряжений. Поэтому при расчете валов на
кручение статической нагрузкой необходимо принять пониженные значения
допускаемых напряжений. Для валов из конструкционной углеродистой стали
принимают τadm = 15 - 35 МПа.
Кроме того, допускаемое напряжение зависит от свойств материала
стержня и от принятого коэффициента запаса прочности:
- для пластичного материала допускаемое касательное напряжение
определяется по пределу текучести при кручении
τ adm =
τТ
n
(28)
,
где
τТ – предел текучести при кручении;
n - запас прочности;
- для хрупкого материала допускаемое
определяется по пределу прочности пи кручении
τ adm =
τВ
n
касательное
напряжение
(29)
,
где τВ – предел прочности при кручении;
n - запас прочности.
В зависимости от поставленной задачи различают следующие виды
расчета на прочность:
- проверочный расчет (проверка наибольшего расчетного напряжения в
стержне):
τ max =
M z max
Wp
≤ τ adm .
(30)
- проектный расчет (подбор размеров поперечного сечения стержня)
Wp ≥
M z max
τ adm
.
(31)
Размеры поперечных сечений круглых стержней (диаметр d, м для
стержня круглого сплошного поперечного сечения; диаметры D и d, м для
стержня круглого полого поперечного сечения) для участка стержня, в
пределах которого усилие Мz и жесткость поперечного сечения постоянны, из
условия прочности будут определяться по формулам:
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- для круглого сплошного
- для круглого полого сечения с
сечения с учетом того, что учетом
того,
что
Wp =
d ≥3
πd 3
≅ 0,2d 3
16
16Wp
π
≥3
Wp =
16⋅ M z max
πτadm
≅3
M z max
0,2 ⋅τ adm
D≥3
(32)
πD 3
16
⋅ (1 − α 4 ) ≅ 0,2 D 3 ⋅ (1 − α 4 ), где α =
16Wp
π
≥3
16 ⋅ M z max
π ⋅ (1 − α 4 ) ⋅τ adm
≅3
d
D
M z max
0,2 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅τ adm
(33)
При расчете валов часто бывают заданы передаваемая мощность Р и
угловая скорость вращения вала ω или число оборотов n. При этом размеры
поперечных сечений будут определяться по формулам:
- для круглого сплошного сечения
- для круглого полого сечения
Если задана мощность Р, кВт и угловая скорость вращения вала ω, рад/с или
d ≥
974 Р
,
0 , 2 ⋅ ω ⋅ τ adm
3
d ≥
3
9740 Р
,
0 , 2 ⋅ n ⋅ τ adm
(34)
(35)
974 Р
P
, Нм)
ω
n
974 Р
,
D≥3
0 , 2 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ ω ⋅ τ adm
число оборотов n, об/мин (с учетом того, что М z =
D≥3
= 9740
9740 P
,
0, 2 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ n ⋅ τ adm
(36)
(37)
Если задана мощность Р, л.с. и угловая скорость вращения вала ω, рад/с или
число оборотов n, об/мин (с учетом того, что М z =
d ≥
d ≥
3
3
716 ,86 Р
,
0 , 2 ⋅ ω ⋅ τ adm
7168 , 64 Р
,
0 , 2 ⋅ n ⋅ τ adm
(38)
(39)
716,86 Р
P
, Нм)
ω
n
716 ,86 Р
, (40)
D≥4
0,2 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ G ⋅ θ adm
D≥3
= 7168,64
7168,64 P
,
0,2 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ n ⋅ τ adm
(41)
- определение допускаемого значения крутящего момента
M z max ≤ Wp ⋅τ adm .
(42)
Расчет на жесткость.
Для нормальной работы некоторых конструкций необходимо, чтобы
деформации их элементов не превышали допускаемой величины. При
чрезмерно большой длине вал может получать большие углы закручивания.
При остановках это вызывает явление пружинения, которое выводит из строя
подшипники. Большие углы закручивания особенно опасны при передаче
переменного во времени момента, так как при этом возникают опасные для
прочности бруса крутильные колебания.
Условие жесткости стержня при кручении выражается неравенством:
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ϕ ≤ ϕadm ,
где
(43)
φ – абсолютный угол закручивания, рад, град;
φadm – допускаемый абсолютный угол закручивания, рад, град;
или
θ ≤ θ adm ,
где
θ=
ϕ
l
(44)
- относительный угол закручивания (угол закручивания на единицу
длины), рад/м, град/м;
θadm – допускаемый относительный угол закручивания, рад/м, град/м.
Значения допускаемых относительных углов закручивания θadm для
разных конструкций и разных видов нагрузки колеблются в широких пределах:
от 0,002 до 0,035 рад/м или от 0,15 до 2 град/м; наиболее распространены
значения от 0,00438 до 0,0175 рад/м или от 0,25 до 1 град/м.
В зависимости от поставленной задачи различают следующие виды
расчета на жесткость:
- проверочный расчет:
По абсолютному углу закручивания
M z max⋅ l
≤ ϕadm ,
GJ p
(45)
M z max⋅ l 180o
o
⋅
≤ ϕ adm
,
GJ p
π
(46)
ϕ=
ϕo =
По относительному углу закручивания
θ=
θo =
M z maz
≤ θ adm ,
(47)
M z maz 180 o
o
⋅
≤ θ adm
,
π
GJ p
(48)
GJ p
- проектный расчет:
По абсолютному углу закручивания
Jp ≥
Jp ≥
Mz ⋅l
G ⋅ ϕadm
,
M z ⋅ l 180 0
⋅
,
o
π
G ⋅ ϕ adm
По относительному углу закручивания
(49)
(50)
Jp ≥
Jp ≥
Mz
G ⋅ θ adm
Mz
o
G ⋅ θ adm
⋅
(51)
,
180o
π
.
(52)
Размеры поперечных сечений круглых стержней (диаметр d, м для
стержня круглого сплошного поперечного сечения; диаметры D и d, м для
стержня круглого полого поперечного сечения) для участка стержня, в
пределах которого усилие Мz и жесткость поперечного сечения постоянны, из
условия жесткости будут определяться по формулам:
- для круглого сплошного сечения с учетом того, что J p =
По абсолютному углу закручивания
πd 4
32
≅ 0,1d 4 :
По относительному углу
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
закручивания
- θadm, рад/м:
- φadm, рад:
32 J p
d≥4
π
≥4
32 ⋅ М z ⋅ l
π ⋅ G ⋅ ϕ adm
≅4
M z ⋅l
0,1 ⋅ G ⋅ ϕ adm
,
(53)
- φoadm, градус:
d ≥
≅
32 J
4
p
≥
π
4
32 ⋅ M z ⋅ l 180
⋅
o
π ⋅ G ⋅ ϕ adm
π
o
≅
,
( 54 )
4
32 J p
≥
π
4
Mz
32 ⋅ M z ⋅ l
π ⋅ (1 − α ) ⋅ G ⋅ ϕ adm
4
≅
4
32 J p
≅
4
≥
32 M
Mz
180 o
⋅
,
o
π
0 ,1 ⋅ G ⋅ θ adm
⋅l
0 ,1 ⋅ (1 − α ) ⋅ G ⋅ ϕ adm
4
,
≅
π
π D4
32
D ≥
≅
( 57 )
, (55)
4
o
π ⋅ G ⋅ θ adm
⋅
180 o
π
≅
( 56 )
⋅ (1 − α 4 ) ≅ 0,1d 4 ⋅ (1 − α 4 ),
32 J p
π
≥
4
4
32 J p
π
M
≥
32 ⋅ M
4
z
0 ,1 ⋅ G ⋅ θ adm
≅
z
π ⋅ G ⋅ θ adm
,
( 59 )
- θoadm, град/м:
- φoadm, градус:
4
0,1⋅ G⋅θadm
По относительному углу
закручивания
- θadm, рад/м:
- φadm, рад:
D≥
Mz
4
o
По абсолютному углу закручивания
4
π ⋅ G⋅θadm
≅4
d
.
D
где α =
≅
π
32Mz
≥4
d ≥
- для круглого полого сечения с учетом того, что:
D≥
32J p
o
, град/м:
- θ adm
M z ⋅l
180
⋅
o
π
0 ,1 ⋅ G ⋅ ϕ adm
4
d ≥4
4
32 ⋅ M z ⋅ l
o
π ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ G ⋅ ϕ adm
⋅l
Mz
o
0 ,1 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ G ⋅ ϕ adm
⋅
180 o
π
,
⋅
180 o
π
( 58 )
≅
D≥4
≅
4
32J p
π
≥4
32 ⋅ M z
o
π ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ G ⋅ θ adm
Mz
o
0,1⋅ (1 − α 4 ) ⋅ G ⋅ θ adm
⋅
180o
π
,
⋅
180o
π
≅
(60)
Если задана мощность Р, кВт или л.с., угловая скорость вращения вала ω,
рад/с или число оборотов n, об/мин, то размеры поперечных сечений из
условия жесткости будут определяться по формулам, приведенным в
приложении А.
- определение допускаемого значения крутящего момента:
По абсолютному углу закручивания
По относительному углу закручивания
ϕ adm ⋅ G ⋅ J p
M z max ≤ θ adm ⋅ G ⋅ J p
(63)
(61)
М z max ≤
l
М z max ≤
16
ϕ
o
adm
⋅G ⋅ J p
l
⋅
π
180
o
(62)
o
M z max ≤ θ adm
⋅G ⋅ J p ⋅
π
180 o
(64)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.4 Анализ напряженного состояния и разрушения при кручении.
В поперечном сечении стержня действуют касательные напряжения,
распределенные по линейному закону. В силу закона парности касательных
напряжений (τα = - τβ) в диаметральных сечениях также возникают касательные
напряжения (рисунок 1.8).
Рисунок 1.8
На гранях элемента, образованного двумя параллельными осевыми и
поперечными сечениями, в стержне будут возникать только касательные
напряжения – это состояние чистого сдвига (рисунок 1.9).
Рисунок 1.9
Согласно теории напряженного состояния в сечениях, наклоненных к оси,
будут действовать также и нормальные напряжения. По площадкам,
расположенным под углом 450 к сечению, действуют наибольшие нормальные
напряжения.
Таким образом, при кручении во всех площадках стержня имеет место
двухосное неоднородное напряженное состояние.
Характер разрушения (сдвиг или отрыв) бруса при кручении зависит от
способности материалов сопротивляться действию касательных и нормальных
напряжений:
- при кручении стальных стержней разрушение происходит по сечению
перпендикулярном к оси бруса под действием касательных напряжений,
действующих в этом сечении (рисунок 1.10);
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 1.10
- при кручении чугунных стержней разрушение происходит под
действием нормальных растягивающих напряжений, максимальные значения
которых имеет место в сечениях, идущих по винтовой линии и пересекающих
образующие под углом 450 (рисунок 1.11);
Рисунок 1.11
- при кручении деревянных стержней с продольным расположением
волокон вдоль оси кручения разрушение происходит от касательных
напряжений, действующих вдоль волокон (рисунок 1.12).
Рисунок 1.12
1.5 Кручение прямого стержня некруглого поперечного сечения
При кручении стержня некруглого поперечного сечения гипотеза плоских
сечений неприменима. В процессе деформации поперечные сечения
искривляются.
Кручение стержня прямоугольного сечения.
Искривления (депланации) достигают наибольшей величины посредине
грани стержня и сходят на нет у ребер (рисунок 1.13).
Рисунок 1.13
Исследования показывают, что наибольшие касательные напряжения τmax
при кручении стержня прямоугольного сечения возникают посредине длинной
стороны (рисунок 1.14).
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
= τ'
h
Рисунок 1.14
Наибольшее касательное напряжение
формуле:
τ max =
τmax,
Па, определяется по
Mz
,
Wк
(65)
где
Мz – крутящий момент, Н·м;
Wк – момент сопротивления при кручении, м3.
Наибольшее касательное напряжение τ', Па, у поверхности сечения
посредине коротких сторон определяется по формуле:
τ ′ = γτ max ,
где
γ
-
числовой
коэффициент,
зависящий
(66)
от
соотношения
сторон
h
прямоугольного сечения , (γ ≤ 1) ;
b
τmax - наибольшее касательное напряжение у поверхности сечения
посредине длинных сторон, Па.
Абсолютный угол закручивания φ, рад, участка стержня определяется
по формуле:
ϕ=
где
Mz ⋅l
,
GJ к
(67)
Мz – крутящий момент, Н·м;
l – длина участка стержня, м;
G – модуль сдвига, Па;
Jк – момент инерции при кручении, м4.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Относительный угол закручивания θ, рад/м, участка стержня
определяется по формуле:
θ=
Mz
,
GJ к
(68)
где
Мz – крутящий момент, Н·м;
G – модуль сдвига, Па;
Jк – момент инерции сечения, м4.
Формулы для расчета полярного момента инерции и полярного момента
сопротивления для прямоугольного сечения представлены в таблице 1. 2.
Таблица 1.2 - Полярный момент инерции и полярный момент сопротивления
для прямоугольного сечения
Jк
Wк
у
J к = αb 4
h
х
(69)
Wк = βb3
(70)
b
α, β и γ - числовые коэффициенты, зависящие от соотношения сторон
прямоугольного сечения
h
;
b
b – меньшая сторона прямоугольного сечения, м.
Значения числовых коэффициентов α, β и γ приведены в таблице 1.3.
Таблица 1.3 - Значения числовых коэффициентов α, β и γ
h
КоэфВеличина
b
ты
1
1,5
1,75
2,0
2,5
3,0
4,0
0,140 0,294 0,375 0,457 0,622 0,790 1,123
α
0,208 0,346 0,418 0,493 0,645 0,801 1,128
β
1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745
γ
20
6,0
8,0
10,0
1,789
1,789
0,743
2,456
2,456
0,742
3,123
3,123
0,742
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Задание к расчетно-проектировочной работе
Выбор варианта задания и требования к оформлению.
Необходимо выбрать из таблиц 2.1 - 2.5, прилагаемых к условию задания,
данные в соответствии со своим вариантом. Номер схемы нагружения
соответствует номеру варианта.
Расчетно-проектировочная работа выполняется на бумаге формата А4.
Расчетно-проектировочная работа должна содержать условие задания,
расчетно-графическую схему с указанием на ней в числах всех величин и
решения с кратким объяснением. Расчеты выполняются в единицах системы
СИ (для удобства допускается использование производных единиц).
2.1 Расчетно-проектировочная работа «Расчет на прочность и
жесткость стержня при кручении»
2.1.1 Задача № 1
Дан стальной стержень (модуль упругости G= 8·104 МПа), нагруженный
сосредоточенными моментами М1, М2, М3 . Стержень состоит из трех участков,
два из которых имеют одинаковый тип и размер поперечного сечения.
Требуется:
1. Построить эпюру крутящего момента Мz по длине бруса.
2. Определить из расчета на прочность (при τТ = 140 МПа; n = 2,5)
размеры поперечных сечений стержня: прямоугольное поперечное сечение
(h\b=2); круглое сплошное поперечное сечение или круглое полое ( α =
d
= 0,7 ).
D
Выполнить проверку условия прочности стержня по участкам.
3. Построить эпюру максимальных касательных напряжений τmax и
эпюры распределения касательных напряжений по поперечным сечениям.
4. Определить изменение угла закручивания стержня под действием
внешних крутящих моментов и построить эпюру абсолютных углов
закручивания поперечных сечений. Выполнить проверку условия жесткости
стержня, если φ0adm = 10.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 2.1 – Исходные данные
М2,
№
М1,
Н·м
Н·м
варианта
1
2
3
200
150
1
320
190
2
240
90
3
120
210
4
400
470
5
350
180
6
230
50
7
590
480
8
520
50
9
530
160
10
580
150
11
560
370
12
140
110
13
480
110
14
300
200
15
60
160
16
110
520
17
210
370
18
450
470
19
230
50
20
450
200
21
60
210
22
120
110
23
120
430
24
180
170
25
480
450
26
250
300
27
310
280
28
420
220
29
380
200
30
22
М3,
Н·м
4
100
330
400
180
320
130
420
250
170
110
250
230
160
240
420
410
300
260
300
410
480
190
280
180
120
280
200
340
360
340
l1,
м
5
0,15
0,23
0,25
0,31
0,25
0,18
0,21
0,32
0,26
0,16
0,22
0,21
0,20
0,26
0,23
0,21
0,22
0,26
0, 31
0, 24
0,30
0,23
0,19
0,20
0,17
0,33
0,21
0,16
0,31
0,24
l2,
м
6
0,20
0,19
0,18
0,15
0,31
0,23
0,30
0,27
0,17
0,21
0,15
0,32
0,30
0,17
0,31
0,28
0,32
0,15
0,26
0,32
0,25
0,16
0,27
0,31
0,22
0,28
0,31
0,32
0,14
0, 30
l3,
м
7
0,30
0,18
0,32
0,20
0,17
0,33
0,23
0,33
0,32
0,31
0, 30
0,19
0,21
0, 31
0,22
0,19
0,21
0,19
0,32
0,18
0,31
0,30
0,31
0,17
0,32
0,31
0,22
0,15
0,27
0,21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
b
М1
l1
М2
l2
d
h
d
h
Таблица 2.2 - Схемы нагружения бруса
№1
№2
b
М1
М3
l3
l1
l2
М3
l3
d
d
D
h
№4
h
№3
М2
b
b
М1
l1
М2
l2
М1
М3
l1
l3
l2
М3
l3
b
d
b
М1
l1
D
d
h
№6
h
№5
М2
М2
l2
М1
М3
l3
l1
l2
М3
l3
№8
b
b
М1
l1
l2
М2
d
d
h
h
№7
М2
М1
М3
l1
l3
l2
М3
l3
d
d
D
h
№10
h
№9
М2
b
b
М1
l1
l2
М2
l3
М1
М3
l1
l2
М2
М3
l3
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжение таблицы 2.2
№11
d
b
b
М1
l1
D
d
h
h
№12
М2
l2
М1
М3
l1
l3
l2
l3
№14
d
h
d
b
М1
l1
М2
l2
b
М1
М3
l3
l1
М2
l2
М3
l3
d
d
D
h
№16
h
№15
b
b
М1
l1
М2
l2
М3
М3
l3
l1
М2
l2
М1
l3
b
d
b
М1
l1
D
d
h
№18
h
№17
М2
l2
М1
М3
l3
l1
l2
М2
М3
l3
№20
b
b
М3
l1
l2
М2
l3
d
d
h
h
№19
24
М3
h
№13
М2
М1
М1
l1
l2
М2
l3
М3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжение таблицы 2.2
№21
b
b
М1
l1
М2
l2
d
d
h
h
№22
М1
М3
l1
l3
l2
М3
l3
d
d
D
h
№24
h
№23
М2
b
b
М1
l1
М2
l2
М1
М3
l1
l3
l2
М3
l3
b
d
b
М1
l1
D
d
h
№26
h
№25
М2
М2
l2
М1
М3
l3
l1
l2
М3
l3
№28
l1
l2
М2
d
b
b
М3
D
d
h
h
№27
М2
М1
М1
l1
l3
l2
М3
l3
b
b
М1
l1
d
d
D
h
№30
h
№29
М2
l2
М2
l3
М1
М3
l1
l2
М2
М3
l3
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.1.2 Задача № 2
От электродвигателя на вал I посредством ременной передачи (шкив
диаметром D и шкив 1 диаметром D1) передается мощность Р при частоте
вращения вала электродвигателя n об/мин. С вала I поступает на вал II
мощность Р2 (шкив 2 диаметром D2 и шкив диаметром D3). С валов I и II
поступают к рабочим машинам мощности Р3, Р4 , Р5, Р6 и Р7 в зависимости от
схемы нагружения. Сечения валов 1 и 2 считать по всей длине постоянными
(рисунок 3.3). Требуется: построить эпюры крутящих моментов для валов I и II
и определить диаметры валов dI и dII из условия прочности и жесткости.
Полученное по расчету значение диаметра (мм) округлить до ближайшего
числа, оканчивающегося на 0 или 5.
Таблица 2.3 – Исходные данные
№
Р,
D,
n,
Р1,
в кВт м об/мин кВт
1
2
3
4
5
20 200 800
13
1
21 210 850
16
2
22 220 900
15
3
23 230 920
17
4
24 250 970
19
5
25 200 900
16
6
26 210 950
18
7
27 220 820
15
8
28
230
980
18
9
16
10 29 250 940
16
11 30 200 950
14
12 29 210 860
16
13 28 220 970
17
14 27 230 980
16
15 26 250 890
15
16 25 200 900
18
17 24 210 910
15
18 23 220 920
19
19 22 230 930
15
20 21 250 940
16
21 20 200 980
17
22 21 210 960
15
23 22 220 970
15
24 23 230 980
17
25 24 250 900
19
26 25 200 950
18
27 26 210 960
28
29
26
27
28
220
230
970
980
16
19
Р2, Р3, Р4,
кВт кВт кВт
6
7
8
4
3
8
5
9
5
7
5
6
6
8
5
5
7
8
6
3
7
8
6
8
12
2
8
10
5
7
13
5
4
14
8
5
15
4
8
12
5
7
10
8
3
3
7
7
8
2
9
6
7
6
8
3
7
3
6
7
6
2
3
4
3
4
3
1
8
2
5
9
3
5
4
5
2
3
5
1
9
5
3
11
11
5
4
4
10
9
Р 5,
кВт
9
5
2
4
4
4
9
4
5
6
7
3
2
4
6
9
6
5
5
6
10
9
9
6
11
14
10
7
D1,
м
10
300
320
310
340
330
350
340
350
300
340
310
350
330
320
350
310
310
340
330
350
340
350
300
340
310
350
330
D2,
м
11
210
220
230
240
250
260
270
280
290
280
270
260
250
240
230
220
210
240
250
260
270
280
290
280
240
250
260
D3, τadm,
м МПа
12
13
400
15
410
16
420
17
430
18
440
19
450
20
460
21
470
22
480
23
490
24
400
23
410
22
420
21
430
20
440
19
450
18
460
17
470
16
480
15
490
16
400
17
410
18
420
19
430
20
440
21
450
22
460
23
2 320 270 470
10 350 280 480
24
23
Θadm,
рад/м
14
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0,011
0,012
0,013
0,014
0,015
0,016
0,017
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0,011
0,012
0,013
0,014
0,015
0,016
0,017
0,005
0,006
0,007
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17 7
5 11 6
30 29 250 990
Таблица 2.4 – Схемы нагружения бруса
№2
№1
340 290 490
Р2
P, n
1
Р
D1
P, n
Р3
1
Э
Р1
D2
D1
D2
D
Р1
Р2
Э
0,008
D
Р
22
Р1
D3
2
D3
2
Р3
Р1
Р5
Р4
Р5
Р4
№3
№4
Р
Р
P, n
Э
D
D
Э
Р1
P, n
Р2
Р2
Р1
Р1
2
D3
D3
2
1
D1
D2
D2
D1
1
Р3
Р5
Р4
Р3
№5
Р5
Р4
№6
Р
Р
P, n
Р3
1
D2
D1
Р1
D2
P, n
Р2
Р1
1
D1
Э
D
D
Э
Р2
2
2
Р3
D3
D3
Р1
Р5
Р4
№7
Р5
Р4
Р1
№8
Р
Р2
1
Р1
1
D2
Р
Р1
D3
D3
Р4
Р5
P, n
Р1
2
Р3
Э
Р3
Р4
Р2
D1
P, n
D2
D1
D
Э
D
Р
2
Р1
Р5
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжение таблицы 2.4
№9
№10
Р
Р
P, n
Р2
D1
D1
2
Р1
D3
D3
Р
2
Р1
1
Р1
D2
Р1
№11
№12
Р
Р
P, n
Р1
1
D2
D1
2
Р1
Р3
2
Р5
Р4
Р3
№13
Р
Р1
D3
Р
D3
Р2
P, n
Р2
D2
D1
Р1
Э
D
D
Э
1
Р5
Р4
№14
Р
Р2
Р3
Р4
P, n
1
D2
D1
D1
Р1
2
Р5
Р3
№15
Р4
Р
2
Р1
D3
D3
Р
Р1
Э
D
P, n
1
Р1
D2
Р
Э
D
Р2
Р5
№16
Р4
Р5
Р1
2
Р4
Э
P, n
Р1
D2
D2
D3
1
Р1
Р2
Р3
D1
P, n
D3
D
Э
Р3
D1
Р2
Р
D
Р
28
Р5
Р4
Р3
Р5
Р4
Р3
P, n
Р2
1
D2
Р
Э
D
D
Э
Р1
Р
Р5
2
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжение таблицы 2.4
№17
№18
Р
Р
1
D2
Р1
Р
2
Р5
Р3
№19
D
Э
P, n
1
Р
Р1
D3
D3
Р1
Р4
Р3
Р2
Р1
D1
Р2
D2
P, n
D1
D
Э
2
Р5
Р4
№20
Р
D2
1
D1
D2
Р1
Р2
Э
D
P, n
1
Р
2
Р1
Р5
Р4
Р1
D3
D3
Р
Р3
P, n
D1
Э
D
Р2
Р1
Р
Р3
№21
2
Р5
Р4
№22
Р
Р
Р1
Р
Р1
D3
D3
Р4
1
Р
2
Р1
Р3
P, n
Р3
Р1
D2
1
Э
D
Р2
D1
D2
Р2
P, n
D1
D
Э
Р4
Р5
№23
2
Р5
№24
Р
Э
Р
D2
2
D3
D3
Р4
Р1
Р5
P, n
Р3
D1
1
Р2
D
P, n
Р3
D1
D2
Э
D
Р2
Р1
Р
Р4
1
Р1
2
Р1
Р5
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжение таблицы 2.4
№25
№26
Р
Р
Р
Р3
Р
Р5
Р4
2
Р1
№28
Р
Р
P, n
Р3
Р1
D2
D2
Р
Р
2
Р2
1
2
Р1
D3
Р1
D3
P, n
1
D1
Р1
D1
Э
D
D
Э
Р2
Р5
Р4
Р4
Р3
№29
Р5
№30
Р
Р
Р5
Р1
Р1
Р4
Р5
Р1
P, n
Р3
Р
2
D3
Р4
1
Э
D1
Р1
Р2
D2
D2
P, n
D3
D
Э
Р3
D1
Р2
D
Р
30
1
Р5
Р4
№27
Р3
Р1
D3
D3
1
2
Р1
P, n
Р2
D2
D2
D1
Р1
Э
D
P, n
D1
D
Э
Р2
2
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Пример выполнения расчетно-проектировочной работы
«Расчет на прочность и жесткость стержня при кручении»
3.1 Задача № 1
Дан стальной стержень (модуль упругости G= 8·104 МПа), нагруженный
сосредоточенными моментами М1, М2, М3 . Стержень состоит из трех участков,
два из которых имеют одинаковый тип и размер поперечного сечения.
Требуется:
1. Построить эпюру крутящего момента Мz по длине бруса.
2. Определить из расчета на прочность (при τТ=140 МПа; n=2,5) размеры
поперечных сечений стержня: прямоугольное поперечное сечение (h\b=2);
круглое сплошное поперечное сечение или круглое полое ( α =
d
=0,7).
D
Выполнить проверку условия прочности стержня по участкам.
3. Построить эпюру максимальных касательных напряжений τmax и
эпюры распределения касательных напряжений по поперечным сечениям.
4. Определить изменение угла закручивания стержня под действием
внешних крутящих моментов и построить эпюру абсолютных углов
закручивания поперечных сечений. Выполнить проверку условия жесткости
стержня, если φ0adm = 10.
d
h
Дано:
b
М1
l1
l2
М2
l3
М3
М1=490 Н·м; М2=110 Н·м;
М3=260 Н·м;
l1=0,2 м; l2=0,15 м; l3=0,31м;
τТ=140 МПа; G= 8·104 МПа;
n=2,5; φ0adm =10.
Рисунок 3.1
1. Определим реакции опор.
Введем декартову систему координат. Ось z совместим с осью бруса; оси
x и y расположим в плоскости поперечного сечения (рисунок 3.2 а). За
положительное направление осей выберем направления, указанные на чертеже.
Под действием внешней нагрузки в жестко защемленной опоре возникает
реактивный момент МА (рисунок 3.2 а), который определяется из уравнения
равновесия статики. Направление реактивного момента МА
выбираем
произвольно. Условимся, что если момент направлен по ходу часовой стрелки,
то будем считать его отрицательным.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∑ М = 0;
− М A − М 1 + М 2 + М 3 = 0;
М A = − М 1 + М 2 + М 3 = −490 + 110 + 260 = −120 Н ⋅ м.
Реактивный момент МА имеет знак «-», Это означает, что реактивный
момент МА направлен в противоположную сторону по отношению к
выбранному направлению рисунок 3.2 а).
2. Определим крутящий момент Мz на каждом участке нагружения
стержня и построим эпюру.
Разбиваем данный ступенчатый стержень на участки. Границам участков
являются места приложения внешних крутящих моментов и изменения
размеров поперечного сечения. Обозначим границы участков буквами А, В, С и
D, начиная от жесткой заделки. Стержень состоит из трех участков нагружения:
участок АВ, участок ВС и участок СD (рисунок 3.2 а). Причем, участки АВ и
ВС имеют одинаковые тип и размеры поперечного сечения - круглое сплошное
сечение; участок СD – прямоугольное сечение круглое сплошное сечение.
Для определения крутящих моментов Мz используем метод сечений: на
каждом участке проведем сечение, перпендикулярное оси стержня; отбросим
одну часть стержня; рассмотрим равновесие оставшейся части. Рассмотрим
каждый участок в отдельности. Составим уравнения крутящих моментов на
каждом участке стержня.
Участок АВ (0 ≤ z1 ≤ 0,2 м)
Проведем сечение I-I, перпендикулярное оси стержня, на расстоянии z1 от
точки А. Отбросим правую от сечения часть стержня. Рассмотрим равновесие
оставшейся левой части. На левую часть стержня действует реактивный момент
МА, который направлен против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны
поперечного сечения, следовательно, по условному правилу знаков
подставляем его значение в формулу со знаком «+». Таким образом, в
поперечном сечении I-I возникает крутящий момент М Z :
1
n
М Z1 = ∑ М i = М A = 120 Н ⋅ м
- (уравнение константы).
i =1
Участок ВС, (0 ≤ z2 ≤ 0,15 м)
Проведем сечение II-II на расстоянии z2 от точки В. Отбросим правую от
сечения часть стержня. Рассмотрим всю левую часть. На левую часть
действуют реактивный момент МA и внешний крутящий момент М1. Если
смотреть со стороны поперечного сечения, то реактивный момент МА
направлен против хода часовой стрелки следовательно, подставляем его
значение в формулу со знаком «+»; крутящий момент М1 направлен по ходу
часовой стрелки, следовательно, подставляем его значение в формулу со
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
знаком «-». Таким образом, в поперечном сечении II-II возникает крутящий
момент М Z :
2
n
М Z 2 = ∑ М i = М A − М 1 = 120 − 490 = −370 Н ⋅ м - (уравнение константы).
i =1
Участок CD (0 ≤ z3 ≤ 0,31 м)
Проведем сечение III-III на расстоянии z3 от точки D. Отбросим правую
от сечения часть стержня. Рассмотрим всю левую часть. На левую часть
стержня действуют реактивный момент МA и внешние крутящие моменты М1 и
М2. Если смотреть со стороны поперечного сечения, то реактивный момент МА
направлен против хода часовой стрелки, следовательно, подставляем его
значение в формулу со знаком «+»; крутящий момент М1 направлен по ходу
часовой стрелки, следовательно, подставляем его значение в формулу со
знаком «-»; крутящий момент М2 направлен против хода часовой стрелки,
следовательно, подставляем его значение в формулу со знаком «+». Таким
образом, в поперечном сечении III-III возникает крутящий момент М Z :
3
n
М Z 3 = ∑ М i = М A − М 1 + М 2 = 120 − 490 + 110 = −260 Н ⋅ м - (уравнение константы).
i =1
По найденным значениям крутящих моментов для каждого участка
строим эпюру крутящих моментов Мz (рисунок 3.2 б).
3. Определим из расчета на прочность при τТ = 140 МПа; n=2,5
размеры поперечных сечений стержня. Выполним проверку условия
прочности. Построим эпюру максимальных касательных напряжений τmax
и эпюры распределения касательных напряжений по поперечным
сечениям.
Для определения размеров поперечных сечений используем формулу
проектного расчета. Определим сечения, в которых возникает максимальный
крутящий момент (опасные сечения), на каждом участке бруса. В пределах
каждого участка крутящий момент постоянен. Следовательно, на каждом
участке все сечения равноопасны.
По условию задачи участки АВ и ВС имеют одинаковые тип и размеры
поперечного сечения. На участке ВС крутящий момент по абсолютному
значению больше, чем на участке АВ. Поэтому расчет требуемой площади
поперечного сечения будем вести по участку ВС.
Участок ВС (0 ≤ z2 ≤ 0,15 м)
Участок ВС по условию задачи имеет круглое сплошное поперечное
сечение диаметром d.
Требуемый из условия прочности полярный момент сопротивления
определяется по формуле:
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
M Z2
W p2 ≥
τ adm
.
С учетом того, что полярный момент сопротивления для сплошного
круглого сечения определяется по формуле
Wp =
πd 3
16
≅ 0,2d 3 ,
диаметр круглого поперечного сечения определим по формуле:
d ≥3
16 ⋅ M Z 2
≅
πτ adm
3
M Z2
0, 2 ⋅ τ adm
≅
M Z2
3
0, 2 ⋅
τТ
n
≅
3
370
≅ 0,032275 м ≅ 32 , 275 мм
140
6
0, 2 ⋅
⋅ 10
2 ,5
Назначаем d =32,3 мм.
Определим максимальные касательные напряжения при назначенных
размерах поперечного сечения стержня на участке ВС, учитывая, что
Wp2 =
τ ВC =
πd 3
16
М Z2
W р2
≅ 0,2d 3 :
=
М Z2
0,2d
3
=−
370
= −0,05489 ⋅ 10 9 Па = −54,89 МПа - (уравнение
0,2 ⋅ (32,3 ⋅ 10 −3 ) 3
константы).
Так как все сечения в пределах участка равноопасны, то τВС = τmax .
Выполним проверку условия прочности:
τ max ≤ τ adm ;
54,89 МПа < 56 МПа.
Недогрузка стержня на участке ВС составляет:
54,89 − 56
τ max − τ adm
⋅ 100 % =
⋅ 100 % = 1,98 %.
56
τ adm
Недогрузка не превышает 5 %, следовательно, условие прочности на
участке ВС выполняется.
Участок АВ (0 ≤ z1 ≤ 0,2 м)
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определим максимальные касательные напряжения при назначенных
размерах поперечного сечения стержня на участке АВ, учитывая, что
W p1 =
πd 3
16
≅ 0,2d 3 :
τ АВ =
М Z1
W р1
=
M Z1
0,2d
3
=
120
= 0,01781 ⋅ 10 9 Па = 17,81 МПа - (уравнение
−3 3
0,2 ⋅ (32,3 ⋅ 10 )
константы).
Так как все сечения в пределах участка равноопасны, то τАВ = τmax.
Выполним проверку условия прочности:
τ max ≤ τ adm ;
17,81 МПа < 56 МПа.
Недогрузка стержня на участке АВ составляет:
17,81 − 56
τ max − τ adm
⋅ 100 % =
⋅ 100 % = 68,2 %.
56
τ adm
Участок СD (0 ≤ z3 ≤ 0,31 м)
Участок СD по условию задачи имеет прямоугольное поперечное
сечение со сторонами b и h, причем h\b=2.
Требуемый из условия прочности при кручении момент сопротивления
определяется по формуле:
Wк 3 ≥
M Z3
τ adm
.
Момент сопротивления при кручении для прямоугольного сечения
определяется по формуле:
Wк = β b 3 .
Значение коэффициента β выбираем из таблицы в зависимости от
соотношения сторон прямоугольника: при h\b=2 выбираем β=0,493.
Сторону прямоугольного поперечного сечения определим по формуле:
b=3
M Z3
β ⋅ τ adm
=3
М Z3
β⋅
τТ
=3
260
≅ 0,02112 м ≅ 21,12 мм.
0,493 ⋅ 56 ⋅ 10 6
n
Назначаем b = 21,2 мм.
Из заданного соотношения сторон прямоугольного сечения h к b,
находим:
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
h = 2b = 2 ⋅ 2,12 = 42,2 см.
Определим максимальные касательные напряжения при назначенных
размерах поперечного сечения стержня на участке CD, учитывая, что Wк 3 = βb 3 :
τ CD =
М Z3
Wк 3
=−
260
= −0,05535 ⋅ 10 9 Па = −55,35 МПа
0,493 ⋅ ( 21,2 ⋅ 10 −3 ) 3
- (уравнение
константы).
Так как все сечения в пределах участка СD равноопасны, то τCD = τmax.
Наибольшее касательное напряжение τ' у поверхности сечения посредине
коротких сторон определяется по формуле:
τ ′ = γτ max = −0,795 ⋅ 55,35 = −44 МПа.
Значение коэффициента γ выбираем из таблицы в зависимости от
соотношения сторон прямоугольника: при соотношении сторон h\b = 2,
γ = 0,795.
Выполним проверку условия прочности:
τ max ≤ τ adm ;
55,35 МПа < 56 МПа.
Недогрузка стержня на участке СD составляет:
55,35 − 56
τ max − τ adm
⋅ 100 % =
⋅ 100 % = 1,16 %.
56
τ adm
Недогрузка не превышает 5 %, следовательно, условие прочности на
участке ВС выполняется.
По найденным значениям максимальных касательных напряжений на
каждом участке строим эпюру τmax (рисунок 3.2 в).
Для опасных сечений строим эпюру распределения касательных
напряжений по сечению (рисунок 3.2 г). Участок ВС более нагружен, чем
участок АВ, следовательно, любое сечения на участке ВС более опаснее;
поэтому эпюра распределения касательных напряжений по поперечному
сечению строится для этого участка.
Из эпюры максимальных касательных напряжений
следует, что
наибольшие касательные напряжения возникают на участке СD:
σ CD = σ max = 55,35 МПа.
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Условие прочности стержня выполняется:
55,35 МПа <56 МПа.
4. Определим изменение угла закручивания стержня
под
действием внешних крутящих моментов и построим эпюру абсолютных
углов закручивания поперечных сечений. Выполнить проверку условия
жесткости стержня, если φ0adm = 10.
Полный угол закручивания φ участка стержня будет определяться по
формуле:
l
Mz
dz.
GJ
p
0
ϕ=∫
Составим уравнения изменения угла закручивания стержня для каждого
участка, учитывая, что полярный момент инерции для круглого сплошного
сечения определяется по формуле:
Jp =
πd 4
32
≅ 0,1d 4 ;
Момент инерции при кручении для прямоугольного поперечного сечения
определяется по формуле:
J к = αb 4 ;
(значение коэффициента α выбираем из таблицы в зависимости от соотношения
сторон прямоугольника: при h\b = 2 выбираем α = 0,457).
Участок АВ (0 ≤ z1 ≤ 0,2 м)
z1
ϕ1 = ∫
0
М Z1 ⋅ dz1
G ⋅ J p1
=
z1
∫
0
M A ⋅ dz1 M A ⋅ z1
M A ⋅ z1
=
=
G ⋅ J p1
G ⋅ J p1 G ⋅ 0,1 ⋅ d 4
(уравнение
наклонной
прямой).
Определим значение абсолютного угла закручивания в граничных
сечениях данного участка:
при z1 = 0 ϕ1 = 0;
при z1 = l1 = 0,2 м ϕ1 =
8 ⋅ 10
10
120⋅ 0,2
= 0,002756 рад.
⋅ 0,1⋅ (32,3⋅ 10 −3 ) 4
Участок ВС (0 ≤ z2 ≤ 0,15 м)
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ϕ2 =
z2
∫
M Z 2 ⋅ dz 2
0
G ⋅ J p2
=
z2
( M A − M 1 ) ⋅ dz 2 ( M А − M 1 ) ⋅ z 2 ( M A − M 1 ) ⋅ z 2
=
=
G ⋅ J p2
G ⋅ J p2
G ⋅ 0,1 ⋅ d 4
0
∫
-
(уравнение наклонной прямой).
Определим значение абсолютного угла закручивания в граничных
сечениях данного участка:
при z 2 = 0 ϕ 2 = 0;
при z 2 = l 2 = 0,15 м ϕ 2 =
(120 − 490)⋅ 0,15
= −0,006374 рад.
8 ⋅ 1010 ⋅ 0,1 ⋅ (32,3 ⋅ 10 −3 ) 4
Участок СD (0 ≤ z3 ≤ 0,31 м)
ϕ3 =
z3
∫
0
М Z 3 ⋅ dz 3
G ⋅ J к3
=
z3
( М A − М 1 + М 2 ) ⋅ dz 3 ( М A − М 1 + М 2 ) ⋅ z 3 ( М А − М 1 + М 2 ) ⋅ z 3
=
=
G ⋅ J к3
G ⋅ J к3
G ⋅α ⋅ b4
0
∫
(уравнение наклонной прямой).
Определим значение абсолютного угла закручивания в граничных
сечениях данного участка:
при z 3 = 0 ϕ 3 = 0;
при z 3 = l3 = 0,31 м ϕ 3 =
(120 − 490 + 110)⋅ 0,31
= − 0,010914 рад.
8 ⋅ 1010 ⋅ 0,457⋅ (21,2 ⋅ 10 −3 ) 4
Для определения изменения угла закручивания стержня вычислим углы
закручивания граничных сечений. Просуммируем полные абсолютные углы
закручивания участков стержня, начиная от заделки.
Тогда углы закручивания граничных сечений будут соответственно
равны:
- для сечения А: φА = 0 (т.к. точка А находится в заделке);
- для сечения В: φВ = φА+ φ1 =0+0,002756=0,002756 рад;
- для сечения С: φС = φВ + φ2 = 0,002756 - 0,006374 = -0,003618 рад;
- для сечения D: φD = φС + φ3 = =-0,003618 - 0,010914= -0,014532 рад.
Полный угол закручивания стержня составляет:
n
n
ϕ = ∑ ∫ ϕi = ∑ ∫
i =1 li
i =1 li
М Zi
G⋅Jp
l1
=∫
0
M Z1 ⋅ dz1
G ⋅ J p1
l2
+∫
0
M Z 2 ⋅ dz 2
G ⋅ J p2
l3
+∫
0
M Z 3 ⋅ dz 3
G ⋅ J к3
=
= ϕ1 + ϕ 2 + ϕ 3 = −0,014532 рад.
По вычисленным значениям перемещений граничных сечений строим
эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня (рисунок 3.2 д).
Выполним проверку условия жесткости:
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
o
ϕ o ≤ ϕ adm
,
0,014532 ⋅
180 o
π
o
≅ 0,830 <1 .
Условие жесткости стержня выполняется.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у
у
х
d
h
х
b
а)
MА
M1 = 490 Н·м
M2 = 110 Н·м
M3 = 260 Н·м
B
C
D
А
Z
z1
z2
l1 = 0,2 м
l3 = 0,31 м
l2 = 0,15 м
Эпюра Mz, Н·м
120
б)
z3
0
0
260
370
Эпюра τmax, МПа
17,81
0
0
- 54,89
y
- 55,35
y
Эп. τmax, МПа
Эп. τmax, МПа
x
d = 32,3 мм
h = 42,2 мм
54,89
Эпюра φ, 10-3 рад
55,35 x
44
b = 21,2 мм
2,756
0
0
3,618
14,532
Рисунок 3.2 - Эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов
закручивания поперечных сечений бруса
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.2 Задача №2
От электродвигателя на вал I посредством ременной передачи (шкив
диаметром D и шкив диаметром D1) передается мощность Р при частоте
вращения вала электродвигателя n. С вала I поступает на вал II мощность Р1
(шкив диаметром D2 и шкив диаметром D3). С валов I и II поступают к
рабочим машинам мощности Р2, Р3, Р4 и Р5 . Сечения валов и 2 считать по
всей длине постоянными (рисунок 3.3).
Требуется:
1. Построить эпюры крутящих моментов для валов I и II.
2. Определить диаметры валов dI и dII из условия прочности и
жесткости. Полученное по расчету значение диаметра (мм) округлить до
ближайшего числа, оканчивающегося на 0 или 5.
Дано:
Р
D
Э
P, n
Р2
I
D3
D1
D2
Р1
Р3
Р
II
Р1
Р4
Р=25 кВт; n=800 об/мин;
D=200 мм; D1=350 мм;
D2=250 мм; D3=480 мм;
Р1=15 кВт; Р2=5 кВт;
Р3=5кВт;
Р4=7 кВт; Р5=3 кВт;
τadm=24 МПа; adm =0,01 рад/м
Р5
Рисунок 3.3
1. Рассмотрим заданную схему.
На вал I насажены три шкива; на вал II насажены четыре шкива
(рисунок 3.4 а). Обозначим буквами А, В, С, D и E границы участков вала I и
буквами А, В, С, D , E и F границы участков вала II. Границами участков
являются сечения посадки шкивов и крепления валов (подшипники).
От электродвигателя на вал посредством ременной передачи (шкив
диаметром D=200 мм и шкив диаметром D1=350 мм) передается мощность
Р=25 кВт при частоте вращения вала электродвигателя n=800 об/мин. С
вала I посредством фрикционной передачи (шкив диаметром D2=250 мм и
шкив диаметром D3 =480 мм) поступает на вал II мощность Р1=15 кВт. С
вала I снимается мощность Р2= 5 кВт, а с вала II – мощности Р3=5 кВт,
Р4=7 кВт и Р5=3 кВт.
2. Определим усилия на вале I.
Вал I получает от электродвигателя мощность
Р = 25 кВт
посредством ременной передачи. Тогда на шкиве в сечении С будет
мощность равная Р = 25 кВт. Полученная мощность распределяется по
шкивам (рисунок 3.4 б), причем:
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Р = Р1 + Р2 ;
25 кВт = 15 кВт + 10 кВт.
2.1 Определим частоту вращения вала I.
Используем соотношение
n
nI
D1
.
D
=
Откуда находим частоту вращения nI вала I:
nI = n
D
D1
= 800
200
= 457,14 об / мин.
350
2.2 Определим угловую скорость вращения вала I:
ωI =
πn I
30
=
3,14 ⋅ 457,14
= 47,85 рад / с.
30
2.3 Определим внешние крутящие моменты:
- крутящий момент М на шкиве в сечении С:
М =
Р
ωI
=
974 ⋅ 25
= 508,88 Н ⋅ м;
47,85
- крутящий момент М1 на шкиве в сечении В:
М1 =
Р1
ωI
=
974 ⋅ 15
= 305,33 Н ⋅ м;
47,85
- крутящий момент М2 на шкиве в сечении D:
М2 =
Р2
ωI
=
974 ⋅ 10
= 203,55 Н ⋅ м.
47,85
3. Построим эпюру крутящих моментов Mz для вала I.
В сечениях А и Е подшипники заменим шарнирными опорами. Нанесем
на схему внешние крутящие моменты: М, М1 и М2 (рисунок 3.4 в).
Вал состоит из четырех участков нагружения: участок АВ, участок ВС,
участок СD и участок DЕ. Для определения крутящих моментов Мz
используем метод сечений: на каждом участке проведем сечение,
перпендикулярное оси вала; отбросим одну часть; рассмотрим равновесие
оставшейся части. Рассмотрим каждый участок в отдельности. Составим
уравнения крутящих моментов Мz на каждом участке вала. По условному
правилу знаков, если внешний крутящий момент направлен против хода
часовой стрелки, если смотреть со стороны поперечного сечения, то
подставляем его значение в формулу со знаком «+».
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Условно примем
внешний крутящий момент М в сечении С за
положительный (направлен против хода часовой стрелки); тогда по условию
равновесия крутящие моменты М1 в сечении В и М2 в сечении D отрицательные (направлены по часовой стрелки). Крутящий момент возникает
только на участках между шкивами.
Участок АВ: M Z = 0
1
n
Участок ВС: М Z = ∑ М i = − М 1 = −305,33 Н ⋅ м
2
- (уравнение константы)
i =1
n
Участок CD: М Z = ∑ М i = −М 1 + М = −305,33 + 508,88 = 203,55 Н ⋅ м
3
-
i =1
(уравнение константы)
n
Участок DE: М Z = ∑ М i = 0
4
i =1
По найденным значениям крутящих моментов для каждого участка
строим эпюру крутящих моментов Mz (рисунок 3.4 г).
4. Определим усилия на вале II.
Вал II получает от вала I мощность Р1 = 15 кВт посредством
фрикционной передачи. Тогда на шкиве в сечении С будет мощность равная
Р1 = 15 кВт. Полученная мощность распределяется по шкивам (рисунок 3.4 д),
причем
Р1 = Р3 + Р4 + Р5 ;
15 кВт = 5 кВт + 7 кВт + 3 кВт.
4.1 Определим частоту вращения вала II.
Используем соотношение
nI
D
= 2 .
n II D3
Откуда находим частоту вращения nII вала II:
n II = n I
D3
250
= 457,14
= 238,09 об / мин.
D2
480
4.2 Определим угловую скорость вращения вала II:
ω II =
πn II
30
=
3,14 ⋅ 238,09
= 24,92 рад / с.
30
4.3 Определим внешние крутящие моменты:
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- крутящий момент М3 на шкиве в сечении В:
М3 =
Р3
=
ω II
974 ⋅ 5
= 195,43 Н ⋅ м;
24,92
- крутящий момент М1 на шкиве в сечении С:
М1 =
Р1
=
ω II
974 ⋅ 15
= 586,28 Н ⋅ м;
24,92
- крутящий момент М4 на шкиве в сечении D:
М4 =
Р4
ω II
=
974 ⋅ 7
= 273,60 Н ⋅ м;
24,92
- крутящий момент М5 на шкиве в сечении E:
М5 =
Р5
ω II
=
974 ⋅ 3
= 117,25 Н ⋅ м.
24,92
5. Построим эпюру крутящих моментов Mz для вала II.
Подшипники в сечениях А и F заменим шарнирными опорами. Нанесем
на схему внешние крутящие моменты: М1, М3, М4 и М5 (рисунок 3.4 е).
Вал состоит из пяти участков нагружения: участок АВ, участок ВС,
участок СD, участок DЕ и участок ЕF. Для определения крутящих моментов
Мz используем метод сечений: на каждом участке проведем сечение,
перпендикулярное оси бруса; отбросим одну часть бруса; рассмотрим
равновесие оставшейся части. Рассмотрим каждый участок в отдельности.
Составим уравнения крутящих моментов Мz на каждом участке вала. По
условному правилу знаков, если внешний крутящий момент направлен против
хода часовой стрелки, если смотреть со стороны поперечного сечения, то
подставляем его значение в формулу со знаком «+».
Условно примем внешний крутящий момент М1 на шкиве в сечении С за
положительный (направлен против хода часовой стрелки); тогда по условию
равновесия крутящие моменты М3, М4 и М5 - отрицательные (направлены по
ходу часовой стрелки). Крутящий момент возникает только на участках между
шкивами.
Участок АВ:
Участок ВС:
M Z1 = 0
n
М Z 2 = ∑ М i = − М 3 = −195,43 Н ⋅ м
i =1
константы)
44
- (уравнение
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
Участок CD: М Z = ∑ М i = −М 3 + М = −195,33 + 586,28 = 390,85 Н ⋅ м
3
-
i =1
(уравнение константы)
Участок DE:
n
М Z 4 = ∑ М i = −М 3 + М − М 4 = −195,33 + 586,28 − 273,6 = 117,25 Н ⋅ м
- (уравнение
i =1
константы)
n
Участок EF: М Z = ∑ М i = 0
5
i =1
По найденным значениям крутящих моментов для каждого участка
строим эпюру крутящих моментов Mz (рисунок 3.4 ж).
6. Определим из условия прочности диаметр dI вала I.
Условие прочности при кручении:
τ max =
M z max
≤ τ adm .
Wp
Полярный момент сопротивления для сплошного круглого сечения
определяется по формуле:
Wp =
πd 3
16
≅ 0,2d 3 .
Максимальный крутящий момент по абсолютному значению на вале I
(рисунок 4.3 г) равен: М Z max = 305,33 Н ⋅ м.
Требуемый диаметр вала I из условия прочности будет определяться
по формуле:
dI ≥
3
16 W p
π
≥
3
16 M
z max
πτ adm
≅
3
M
z max
0 , 2 ⋅ τ adm
≅
3
305 ,33
≅
0 , 2 ⋅ 24 ⋅ 10 6
≅ 0 , 08651 м ≅ 86 ,51 мм .
Округляя величину диаметра, получаем:
dI = 90 мм.
7. Определим из условия жесткости диаметр dI вала I.
Условие жесткости при кручении:
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
θ=
M z maz
≤ θ adm ,
GJ p
Полярный момент инерции
определяется по формуле:
для
Jp =
πd 4
32
сплошного
круглого
сечения
≅ 0,1d 4 .
Максимальный крутящий момент по абсолютному значению на вале I
(рисунок 4.3 г) равен: М Z max = 305,33 Н ⋅ м.
Требуемый диаметр вала I из условия жесткости будет определяться
по формуле:
dI ≥
4
32 J p
π
≥
4
32 M
z
π ⋅ G ⋅ θ adm
≅4
M
z
0 ,1 ⋅ G ⋅ θ adm
≅
4
305 , 33
≅
0 ,1 ⋅ 8 ⋅ 10 10 ⋅ 0 , 01
≅ 0 , 0786 м ≅ 78 , 6 мм .
Округляя величину диаметра, получаем:
dI = 80 мм.
Из двух полученных значений выбираем наибольшее значение
диаметра вала. Окончательно назначаем диаметр вала:
dI = 90 мм.
8. Определим из условия прочности диаметр dII вала II.
Условия прочности при кручении:
τ max =
M z max
Wp
≤ τ adm .
Полярный момент сопротивления для сплошного круглого сечения
определяется по формуле:
Wp =
πd 3
16
≅ 0,2d 3 .
Максимальный крутящий момент по абсолютному значению на вале II
(рисунок 3.4 ж) равен: М Z max = 390,85 Н ⋅ м.
Требуемый диаметр вала II из условия прочности будет определяться
по формуле:
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
d II ≥
3
16 W p
π
≥
3
16 M
πτ
z max
≅
M
3
z max
0 , 2 ⋅ τ adm
adm
≅
3
390 ,85
≅
0 , 2 ⋅ 24 ⋅ 10 6
≅ 0 , 09393 м ≅ 93 , 93 мм .
Округляя величину диаметра, получаем:
dII = 95 мм.
9. Определим из условия жесткости диаметр dII вала II.
Условие жесткости при кручении:
θ=
M z maz
≤ θ adm .
GJ p
Полярный момент инерции
определяется по формуле:
для
Jp =
πd 4
32
сплошного
круглого
сечения
≅ 0,1d 4 .
Максимальный крутящий момент по абсолютному значению на вале II
(рисунок 3.4 ж) равен: М Z max = 390,85 Н ⋅ м.
Требуемый диаметр вала II из условия жесткости будет определяться
по формуле:
d II ≥
4
32 J p
π
≥
4
32 M
z
π ⋅ G ⋅ θ adm
≅4
M
z
0 ,1 ⋅ G ⋅ θ adm
≅
4
390 ,85
≅
0 ,1 ⋅ 8 ⋅ 10 10 ⋅ 0 , 01
≅ 0 , 0836 м ≅ 83 , 6 мм .
Округляя величину диаметра, получаем:
dII = 85 мм.
Из двух полученных значений выбираем наибольшее значение
диаметра вала. Окончательно назначаем диаметр вала II:
dII = 95 мм.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Р
D
Э
P, n
Р1
I
D2
Р2
Р
D1
а)
II
D3
Р1
Р3
Вал I
B
А
D
C
M =508,88 кН·м
C
B
M1=305,33 кН·м
I
Р2=10 кВт
D1
D2
в)
Р =25 кВт
Р1=15 кВт
б)
Р5
Р4
D
Е
M2=203,55 кН·м
Эпюра Mz, Н·м
203,55
г)
0
0
305,33
Вал II
Р3=5 кВт
Р4=7 кВт
D3
д)
А
Р1=15 кВт
B
M3=195,43 кН·м
е)
А
Е
D
C
M1=586,28 кН·м
C
B
Р5=3 кВт
F
M5=117,25 кН·м
Е
D
F
M4=273,6 кН·м
Эпюра Mz, Н·м
390,35
117,25
ж)
0
0
195,43
Рисунок 3.4
48
II
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Литература, рекомендуемая для изучения темы
1. Кочетов, В.Т. Сопротивление материалов / В.Т. Кочетов, А.Д.
Павленко, М.В. Кочетов. - М.: ФЕНИКС, 2001. - 368 с.
2. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев.- М.:
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 590 с.
3. Писаренко, Г.С. Сопротивление материалов / Г.С. Писаренко [и др.]. Киев: Вища школа, 1986. - 775 с.
4. Ицкович, Г.М. Сопротивление материалов / Г.М. Ицкович. - М.:
Высшая школа, 2001.-368 с.
5. Ромашов, Р.В. Сопротивление материалов: учебное пособие / Р.В.
Ромашов. - 2-е изд. - Оренбург: ИПК ГОУ ОГУ, 2007. – 284 с.
6. Костенко, Н.А. Сопротивление материалов / Н.А. Костенко. - М.:
Высшая школа, 2004. - 430 с.
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение А
(рекомендуемое)
Формулы для определения размеров поперечных сечений круглых
стержней
Размеры поперечных сечений круглых стержней (диаметр d, м для
стержня круглого сплошного поперечного сечения; диаметры D и d, м для
стержня круглого полого поперечного сечения) для участка стержня в
пределах которого усилие Мz и жесткость поперечного сечения постоянны из
условия жесткости будут определяться по формулам:
- для круглого сплошного сечения с учетом того, что J p =
πd 4
32
≅ 0,1d 4
Если задана мощность Р, кВт и угловая скорость вращения вала ω, рад/с или
974 Р
число оборотов n, об/мин (с учетом того, что М z =
- φadm, рад:
ω
= 9740
P
, Нм):
n
- θadm, рад/м:
d≥
4
d≥4
974 P ⋅ l
,
0 ,1 ⋅ ω ⋅ G ⋅ ϕ adm
d ≥
9740 P ⋅ l
;
0,1 ⋅ n ⋅ G ⋅ ϕ adm
d ≥
4
974 Р
,
0 ,1 ⋅ ω ⋅ G ⋅ θ adm
4
9740 Р
;
0 ,1 ⋅ n ⋅ G ⋅ θ adm
- θoadm,град/м:
- φoadm, градус:
d ≥
4
974 P ⋅ l
180 o
⋅
,
o
π
0 ,1 ⋅ ω ⋅ G ⋅ ϕ adm
d≥
d ≥
4
9740 P ⋅ l
180
⋅
o
0 ,1 ⋅ n ⋅ G ⋅ ϕ adm
π
d≥4
o
4
974 Р
180 o
⋅
,
o
π
0,1 ⋅ ω ⋅ G ⋅ θ adm
9740 Р
180 o
⋅
o
π
0,1 ⋅ n ⋅ G ⋅ θ adm
Если задана мощность Р, л.с. и угловая скорость вращения вала ω, рад/с или
число оборотов n, об/мин (с учетом того, что М z =
- φadm, рад:
ω
= 7168,6
P
):
n
- θadm, рад/м:
d ≥
4
716 ,86 P ⋅ l
,
0 ,1 ⋅ ω ⋅ G ⋅ ϕ adm
d ≥
4
7168 ,64 P ⋅ l
;
0 ,1 ⋅ n ⋅ G ⋅ ϕ adm
- φoadm, градус:
50
716,86 Р
d ≥
4
716 ,86 Р
,
0 ,1 ⋅ ω ⋅ G ⋅ θ adm
d≥4
7168,64 Р
;
0,1 ⋅ n ⋅ G ⋅ θ adm
- θoadm, град/м:
d≥4
716,86 P ⋅ l 180 o
⋅
,
o
0,1 ⋅ ω ⋅ G ⋅ ϕ adm
π
d≥4
716,86 Р
180 o
⋅
,
o
π
0,1 ⋅ ω ⋅ G ⋅ θ adm
d≥4
7168 ,64 P ⋅ l 180 o
⋅
o
0,1 ⋅ n ⋅ G ⋅ ϕ adm
π
d≥4
7168,64 Р 180 o
⋅
o
π
0,1 ⋅ n ⋅ G ⋅ θ adm
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- для круглого полого сечения с учетом того, что
πD
4
32
⋅ (1 − α 4 ) ≅ 0,1d 4 ⋅ (1 − α 4 ), где α =
d
D
Если задана мощность Р, кВт и угловая скорость вращения вала ω, рад/с или
974 Р
число оборотов n, об/мин (с учетом того, что М z =
4
974 P ⋅ l
,
0,1 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ ω ⋅ G ⋅ ϕ adm
D≥4
974 Р
,
0,1 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ ω ⋅ G ⋅ θ adm
9740 P ⋅ l
;
0,1 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ n ⋅ G ⋅ ϕ adm
D≥4
9740 Р
;
0,1 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ n ⋅ G ⋅ θ adm
D≥4
- θoadm,град/м:
- φoadm, градус:
D≥4
P
):
n
- θadm, рад/м:
- φadm, рад:
D≥
ω
= 9740
974P ⋅ l
180o
⋅
,
o
π
0,1⋅ (1 − α 4 ) ⋅ ω ⋅ G ⋅ϕadm
9740P ⋅ l
180o
D≥ 4
⋅
o
π
0,1⋅ (1−α 4 ) ⋅ n ⋅ G ⋅ϕadm
D≥4
D≥
974Р
180o
⋅
,
o
π
0,1⋅ (1 − α 4 ) ⋅ ω ⋅ G ⋅θ adm
9740 Р
180 o
⋅
o
π
0 ,1 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ n ⋅ G ⋅ θ adm
4
Если задана мощность Р, л.с. и угловая скорость вращения вала ω, рад/с или
716,86 Р
число оборотов n, об/мин (с учетом того, что М z =
- φadm, рад:
D ≥
4
716 ,86 P ⋅ l
,
0 ,1 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ ω ⋅ G ⋅ ϕ adm
D ≥
7168 , 64 P ⋅ l
;
0 ,1 ⋅ n ⋅ G ⋅ ϕ adm
D ≥
4
- φoadm, градус:
D≥
4
4
P
):
n
- θadm, рад/м:
D ≥
D≥
ω
= 7168,64
716 ,86 P ⋅ l
180 o
⋅
,
o
π
0,1 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ ω ⋅ G ⋅ ϕ adm
7168 ,64 P ⋅ l
180 o
⋅
o
π
0 ,1 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ n ⋅ G ⋅ ϕ adm
716 , 86 Р
,
0 ,1 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ ω ⋅ G ⋅ θ adm
4
4
7168 , 64 Р
;
0 ,1 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ n ⋅ G ⋅ θ adm
- θoadm, град/м:
D≥
D≥
716 ,86 Р
180 o
⋅
,
o
π
0,1 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ ω ⋅ G ⋅ θ adm
4
4
7168 ,64 Р
180 o
⋅
o
π
0,1 ⋅ (1 − α 4 ) ⋅ n ⋅ G ⋅ θ adm
51