close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1444.Фундаментальная и компьютерная алгебра. Часть II

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ"
Р.Х. Вахитов, Е.В. Вахитова
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ
АЛГЕБРА
Часть II
Линейная алгебра
Учебно-методическое пособие для вузов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2012
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Утверждено научно-методическим советом факультета компьютерных
наук 24 сентября 2012 г., протокол № 1
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент И.Ю. Покорная
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре цифровых технологий факультета компьютерных наук Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 1-го курса дневного отделения факультета
компьютерных наук.
Для направления 010200 – Математика и компьютерные науки
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Содержание данного учебно-методического пособия "Фундаментальная и компьютерная алгебра. Часть II. Линейная алгебра" составляет материал нескольких тем базовой учебной дисциплины профессионального цикла "Фундаментальная и компьютерная алгебра", изучение которой предусмотрено основной образовательной программой подготовки бакалавра по направлению
"Математика и компьютерные науки" для студентов факультета
компьютерных наук ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный университет". Целью учебной дисциплины является формирование представлений о фундаментальной алгебре: структуры
алгебры, линейная алгебра, алгебра многочленов – и о компьютерной алгебре. Основной задачей учебной дисциплины является овладение фундаментальными базовыми знаниями в области
фундаментальной и компьютерной алгебры, умением формулировать и доказывать теоремы, самостоятельно решать классические
задачи фундаментальной алгебры.
Цель учебно-методического пособия состоит в том, чтобы помочь студентам, изучающим учебную дисциплину "Фундаментальная и компьютерная алгебра", формировать представление о линейной алгебре, приобрести навыки и умения практического использования математических методов при решении задач. В результате изучения учебной дисциплины студент должен знать теоретический материал и уметь формулировать результат, строго
доказывать утверждение, грамотно пользоваться языком фундаментальной и компьютерной алгебры.
Книга состоит из пяти глав. В конце каждой главы приведены
вопросы для самоконтроля и упражнения для самостоятельной
работы. Определения, теоремы и их доказательства иллюстрируются численными примерами, цель которых – пояснить общую
теорию.
В каждой главе определения, формулы и теоремы имеют независимую нумерацию.
В первой главе рассмотрены системы линейных уравнений, по3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нятие следствия системы линейных уравнений, линейная комбинация линейных уравнений системы линейных уравнений, равносильные системы линейных уравнений, векторная форма записи системы уравнений, критерий совместности системы линейных
уравнений, решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных, фундаментальная система
решений однородной системы линейных уравнений.
Вo вторoй главe рассмотрены матрицы, их виды, свойства, операции над матрицами, способы вычисления обратной матрицы,
условия обратимости матрицы.
В третьей главе рассмотрены определители, их свойства, миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по
строке или столбцу, необходимое и достаточное условия равенства
нулю определителя, правило Крамера.
В четвертой главе рассмотрены следующие вопросы: арифметическое n-мерное векторное пространство, векторное пространство над полем, его простейшие свойства, линейная зависимость и
линейная независимость системы векторов, базис и ранг конечной
системы векторов, базис и размерность конечномерного векторного пространства, разложение вектора по базису, изоморфизм векторных пространств, векторное пространство со скалярным умножением.
В пятой главe рассмотрены линейные отображения векторных
пространств, линейный оператор, матрица линейного оператора,
теоремы о связях между координатными столбцами вектора и его
образа, между координатными столбцами вектора относительно
различных базисов, между матрицами линейного оператора относительно различных базисов, теорема о связи дефекта и ранга линейного оператора, евклидово векторное пространство, собственные векторы и собственные значения, характеристическое
уравнение, линейный оператор с простым спектром.
В конце учебно-методического пособия приведен список литературы.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 1
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Системы линейных уравнений
Определение 1. Системой линейных уравнений над полем F
с переменными x1 , x2 , ... , xn называется система вида:





α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = β1 ,
α21 x1 + α22 x2 + ... + α2n xn = β2 ,

. . .,



αm1 x1 + αm2 x2 + ... + αmn xn = βm ,
(1)
где αij , βi ∈ F, i = 1, ... , m, j = 1, ... , n.
Система линейных уравнений (1) может состоять и из одного
уравнения (при m = 1).
Определение 2. Решением системы линейных уравнений (1)
называется n-мерный вектор ϕ,
ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕn ),
если верны равенства:





α11 ϕ1 + α12 ϕ2 + ... + α1n ϕn = β1 ,
α21 ϕ1 + α22 ϕ2 + ... + α2n ϕn = β2 ,

... ,



αm1 ϕ1 + αm2 ϕ2 + ... + αmn ϕn = βm .
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 3. Система линейных уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система
линейных уравнений (1) называется несовместной, если она не
имеет решения, то есть множество всех ее решений является пустым множеством.
Пример. F = R, m = 2, n = 3,

 2x1 + 4x2 + x3 = 4,
 x1 + 2x2 +
1
x3 = 2,
2
µ = (0, 0, 4) – решение системы, так как верны оба следующих
равенства:

 2 · 0 + 4 · 0 + 4 = 4,
 0+2·0+
1
· 4 = 2,
2
следовательно, система совместна.
§ 2. Следствие системы линейных уравнений
Рассмотрим две системы линейных уравнений с коэффициентами из поля F :





α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = β1 ,
α21 x1 + α22 x2 + ... + α2n xn = β2 ,

... ,



αm1 x1 + αm2 x2 + ... + αmn xn = βm ,
(2)


α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = β1 ,


 α x + α x + ... + α x = β ,
21 1
22 2
2n n
2

...
,



(3)
αk1 x1 + αk2 x2 + ... + αkn xn = βk .
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 4. Система линейных уравнений (3) называется следствием системы линейных уравнений (2), если каждое
решение системы (2) является также решением системы (3).
Всякая система линейных уравнений над полем F с n переменными является следствием несовместной системы линейных
уравнений над полем F с теми же переменными.
Теорема 1. Система линейных уравнений (3) является следствием системы линейных уравнений (2) тогда и только тогда,
когда множество всех решений системы (2) является подмножеством множества всех решений системы (3).
Умножим почленно каждое уравнение системы (2) на λi из поля F, а затем сложим почленно все уравнения, тогда после выполнения преобразований получим следующее линейное уравнение:
(λ1 α11 + λ2 α21 + ... + λm αm1 )x1 +
+(λ1 α12 + λ2 α22 + ... + λm αm2 )x2 +
+ ... +
+(λ1 α1n + λ2 α2n + ... + λm αmn )xn =
= λ1 β1 + λ2 β2 + ... + λm βm .
(4)
Определение 5. Линейной комбинацией линейных уравнений
системы линейных уравнений (2) с коэффициентами
λ1 , ... , λm ∈ F называется линейное уравнение вида (4).
Теорема 2. Всякая линейная комбинация (4) линейных уравнений системы (2) является следствием системы (2).
Доказательство. Пусть ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕn )– произвольный
вектор из F n , являющийся решением системы (2), тогда при под-
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
становке его в систему (2) получим верные равенства:


α11 ϕ1 + α12 ϕ2 + ... + α1n ϕn = β1 ,


 α ϕ + α ϕ + ... + α ϕ = β ,
21 1
22 2
2n n
2

.
.
.
,



(5)
αn1 ϕ1 + αn2 ϕ2 + ... + αnn ϕn = βn .
Умножим почленно каждое равенство из (5) на λi из поля F, а
затем сложим почленно все уравнения, тогда после выполнения
преобразований получим следующее равенство:
(λ1 α11 + λ2 α21 + ... + λm αm1 )ϕ1 +
+(λ1 α12 + λ2 α22 + ... + λm αm2 )ϕ2 +
+ ... +
+(λ1 α1n + λ2 α2n + ... + λm αmn )ϕn =
= λ1 β1 + λ2 β2 + ... + λm βm .
(30 )
Следовательно,
ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕn )
является решением (4). А так как ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕn )– произвольное решение системы (2), тогда каждое решение системы (2)
является решением уравнения (4), поэтому линейная комбинация
(4) является следствием системы (2).
Теорема 2 доказана.
§ 3. Равносильные системы линейных уравнений
Определение 6. Две системы линейных уравнений над полем
F с переменными x1 , x2 , ... , xn называются равносильными, если
каждое решение любой из этих систем является решением другой
системы.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойство 1. Если две системы линейных уравнений равносильны, то каждая из этих систем является следствием другой
системы. Верно и обратное.
Свойство 2. Если две системы линейных уравнений равносильны, то множество всех решений одной системы совпадает с
множеством решений другой системы. Верно и обратное.
Пример.
(
2x + 3y = 17,
5x − 4y = −15,
(6)
множество решений (x, y) этой системы будет V1 = {(1, 5)},
(
x − y = −4,
x + y = 6,
(7)
множество решений (x, y) этой системы будет V2 = {(1, 5)},
(
x − y = −2,
x + y = 8,
(8)
множество решений (x, y) этой системы будет V3 = {(3, 5)}, следовательно, системы (6) и (8) не являются равносильными, системы
(7) и (8) не являются равносильными, а системы (6) и (7) являются равносильными.
§ 4. Элементарные преобразования системы линейных
уравнений
Определение 7. Элементарными преобразованиями системы
линейных уравнений называются следующие преобразования:
1) умножение обеих частей какого-нибудь уравнения системы
на λ ∈ F, λ 6= 0,
2) прибавление (вычитание) к обеим частям какого-либо уравнения системы соответствующих частей другого уравнения этой
системы, умноженного на λ ∈ F, λ 6= 0,
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) исключение из системы (присоединение) линейного уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом.
Преобразования 1) и 2) называются неособенными, преобразование 3) называется особенным, или особым.
Теорема 3. Если одна система линейных уравнений получена из другой системы линейных уравнений в результате цепочки
элементарных преобразований, то эти две системы равносильны.
Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений (9)
с коэффициентами из поля F :





α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = β1 ,
α21 x1 + α22 x2 + ... + α2n xn = β2 ,

... ,



αm1 x1 + αm2 x2 + ... + αmn xn = βm .
(9)
Умножим первое на λ ∈ F, λ 6= 0, получим систему


λα11 x1 + λα12 x2 + ... + λα1n xn = λβ1 ,



α21 x1 + α22 x2 + ... + α2n xn = β2 ,

... ,



(10)
αm1 x1 + αm2 x2 + ... + αmn xn = βm .
Каждое решение системы (9) является также решением системы (10). Обратно, если
ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕn ) −
произвольное решение системы (10), то верны следующие равенства:
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


λα11 ϕ1 + λα12 ϕ2 + ... + λα1n ϕn = λβ1 ,



α21 ϕ1 + α22 ϕ2 + ... + α2n ϕn = β2 ,

... ,



(11)
αm1 ϕ1 + αm2 ϕ2 + ... + αmn ϕn = βm .
Умножим первое равенство из (11) на λ−1 , получим верное
равенство:


α11 ϕ1 + α12 ϕ2 + ... + α1n ϕn = β1 ,


 α ϕ + α ϕ + ... + α ϕ = β ,
21 1
22 2
2n n
2

...
,



αn1 ϕ1 + αn2 ϕ2 + ... + αnn ϕn = βn ,
следовательно, вектор
ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕn )
является решением системы (9).
Таким образом, системы (9) и (10) равносильны.
Так как отношение равносильности транзитивно, то многократное выполнение элементарных преобразований приводит к
системе линейных уравнений, равносильной первоначальной системе линейных уравнений (9).
Теорема 3 доказана.
Следствие 1. Если к одному из уравнений системы линейных
уравнений прибавить линейную комбинацию других уравнений
этой системы, то получится система линейных уравнений, равносильная данной.
Следствие 2. Если исключить (присоединить) из системы линейных уравнений уравнение, являющееся линейной комбинацией
других уравнений этой системы, то получится система линейных
уравнений, равносильная данной.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 5. Векторная форма записи системы линейных
уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений с коэффициентами
из поля F :









α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = β1 ,
α21 x1 + α22 x2 + ... + α2n xn = β2 ,
...,
αm1 x1 + αm2 x2 + ... + αmn xn = βm .
(12)
Обозначим векторы-столбцы следующим образом:




a1 = 
α11
α21
...
αm1






 , a2 = 






... , am = 
α1n
α2n
...
α)mn

α12
α22
...
αm2



 , ... ,






, b = 



β1
β2
...
βm


,

составим равенство:
x1 a1 + x2 a2 + ... + xn an = b,
(13)
следовательно,




x1 
α11
α21
...
αm1






 + x2 


α12
α22
...
αm2






 + ... + xn 


12
α1n
α2n
...
αmn


 
 
=
 
β1
β2
...
βm



,

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»





α11 x1
α21 x1
...
αm1 xn







 
 
+
 
α12 x2
α22 x2
...
αm2 x2






 + ... + 


α1n xn
α2n xn
...
αmn xn
α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn
α21 x1 + α22 x2 + ... + α2n xn
...
αm1 x1 + αm2 x2 + ... + αmn xn



 
 
=
 

 
 
=
 
β1
β2
...
βm
β1
β2
...
βm



,




,






α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = β1 ,
α21 x1 + α22 x2 + ... + α2n xn = β2 ,

... ,



αm1 x1 + αm2 x2 + ... + αmn xn = βm ,
следовательно, (12) и (13) равносильны.
Определение 8. Векторной формой записи системы линейных уравнений (12) называется запись вида (13):
x1 a1 + x2 a2 + ... + xn an = b,
где




a1 = 
α11
α21
...
αm1






 , a2 = 


13
α12
α22
...
αm2



 , ... ,

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»




... , am = 
α1n
α2n
...
αmn






, b = 


β1
β2
...
βm



.

§ 6. Система однородных линейных уравнений,
условия существования нетривиальных решений
Под системой однородных линейных уравнений (однороднoй
системой линейных уравнений) будем понимать систему вида:


α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = 0,


 α x + α x + ... + α x = 0,
21 1
22 2
2n n

...
,



.
(14)
αm1 x1 + αm2 x2 + ... + αmn xn = 0
или в другой форме записи:
x1 a1 + x2 a2 + ... + xn an = 0,
(15)
где




a1 = 
α11
α21
...
αm1





 , a2 = 



... ,




am = 
α1n
α2n
...
αmn

α12
α22
...
αm2





, 0 = 


14



 , ... ,

0
0
...
0



.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Система (14) всегда совместна, так как вектор 0 является решением. Для системы (14) имеют место следующие утверждения.
Теорема 4 (о ненулевых решениях системы однородных линейных уравнений). Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда векторы-столбцы
a1 , a2 , ... , am линейно зависимы.
Доказательство. 1. Пусть
ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕn )
является ненулевым решением системы (14). Докажем, что система векторов-столбцов
a1 , a2 , ... , am
линейно зависима. Имеем:


α11 ϕ1 + α12 ϕ2 + ... + α1n ϕn = 0,


 α ϕ + α ϕ + ... + α ϕ = 0,
21 1
22 2
2n n

...
,



(16)
αn1 ϕ1 + αn2 ϕ2 + ... + αnn ϕn = 0,
где все равенства являются верными. В другом виде:
ϕ1 a1 + ϕ2 a2 + ... + ϕn an = 0.
(17)
А так как равенство (17) верно и решение ϕ ненулевое, то существуют ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕn , не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов a1 , a2 , ... , am равна нулевому вектору,
поэтому система векторов-столбцов a1 , a2 , ... , am линейно зависима.
2. Пусть система векторов-столбцов a1 , a2 , ... , am линейно зависима. Докажем, что существуют ненулевые решения. Так как
система векторов-столбцов a1 , a2 , ... , am линейно зависима, то существуют ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕn , не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов a1 , a2 , ... , am равна нулевому вектору.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
После замены векторов-столбцов получим верные следующие равенства:


α11 ϕ1 + α12 ϕ2 + ... + α1n ϕn = 0,


 α ϕ + α ϕ + ... + α ϕ = 0,
21 1
22 2
2n n

...
,



αn1 ϕ1 + αn2 ϕ2 + ... + αnn ϕn = 0,
следовательно, вектор ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕn ) является решением системы (14). Но вектор ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕn ) 6= 0, поэтому
существуют ненулевые решения.
Теорема 4 доказана.
Теорема 5. Однородная система линейных уравнений имеет
ненулевые решения, если число уравнений меньше числа переменных.
Теорема 6. Однородная система линейных уравнений имеет
ненулевые решения, если ранг системы векторов-столбцов меньше
n.
Теорема 7. Множество всех решений однородной системы линейных уравнений образует векторное пространство над полем F.
(Bсякая линейная комбинация решений является решением).
§ 7. Неоднородная система линейных уравнений,
линейное многообразие решений
Определение 9. Неоднородной системой линейных уравнений над полем F с переменными x1 , x2 , ... , xn называется система
вида:





α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = β1 ,
α21 x1 + α22 x2 + ... + α2n xn = β2 ,

... ,



αm1 x1 + αm2 x2 + ... + αmn xn = βm ,
16
(18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где все αij , βi ∈ F, i = 1, 2, ... , m, j = 1, 2, ... , n, причем,
(β1 , β2 , ... , βm ) 6= 0, то есть βi не все равны нулю.
Соответствующая ей однородная система имеет вид:


α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = 0,


 α x + α x + ... + α x = 0,
21 1
22 2
2n n

...
,



(19)
αm1 x1 + αm2 x2 + ... + αmn xn = 0.
Система (19) всегда совместна, так как нулевой n-мерный вектор является решением системы (19). Система (18) может быть
совместной или несовместной. Множество решений системы (19)
обозначим через V0 , а если система (18) совместна, то множество
всех ее решений обозначим через V.
Теорема 8. Если решение неоднородной системы (18) сложить с решением соответствующей однородной системы (19), то
получим решение неоднородной системы (18).
Доказательство. Пусть ϕ – решение совместной неоднородной
системы (18), ρ – решение соответствующей однородной системы
(19), тогда получим верные следующие равенства:


α11 ϕ1 + α12 ϕ2 + ... + α1n ϕn = β1 ,


 α ϕ + α ϕ + ... + α ϕ = β ,
21 1
22 2
2n n
2

... ,



(20)


α11 ρ1 + α12 ρ2 + ... + α1n ρn = 0,


 α ρ + α ρ + ... + α ρ = 0,
21 1
22 2
2n n

...
,



(21)
αn1 ϕ1 + αn2 ϕ2 + ... + αnn ϕn = βn ;
αm1 ρ1 + αm2 ρ2 + ... + αmn ρn = 0.
Из (20) и (21) получим, что будут верными и все следующие равенства:
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


α11 (ϕ1 + ρ1 ) + α12 (ϕ2 + ρ2 ) + ... + α1n (ϕn + ρn ) = β1 ,


 α (ϕ + ρ ) + α (ϕ + ρ ) + ... + α (ϕ + ρ ) = β ,
21 1
1
22 2
2
2n n
n
2

...
,



αn1 (ϕ1 + ρ1 ) + αn2 (ϕ2 + ρ2 ) + ... + αnn (ϕn + ρn ) = βn .
Поэтому вектор ϕ + ρ является решением неоднородной системы (18).
Теорема 8 доказана.
Теорема 9. Разность любых двух решений совместной неоднородной системы (18) является решением соответствующей однородной системы (19).
Доказательство. Пусть ϕ, µ – произвольные решения совместной неоднородной системы (18), тогда будут верными следующие равенства:


α11 ϕ1 + α12 ϕ2 + ... + α1n ϕn = β1 ,


 α ϕ + α ϕ + ... + α ϕ = β ,
21 1
22 2
2n n
2

... ,



(22)


α11 µ1 + α12 µ2 + ... + α1n µn = β1 ,


 α µ + α µ + ... + α µ = β ,
21 1
22 2
2n n
2

... ,



(23)
αn1 ϕ1 + αn2 ϕ2 + ... + αnn ϕn = βn ;
αn1 µ1 + αn2 µ2 + ... + αnn µn = βn .
Из (22) и (23) получим, что будут верными и все следующие равенства:


α11 (ϕ1 − µ1 ) + α12 (ϕ2 − µ2 ) + ... + α1n (ϕn − µn ) = 0,


 α (ϕ − µ ) + α (ϕ − µ ) + ... + α (ϕ − µ ) = 0,
21 1
1
22 2
2
2n n
n

... ,



αn1 (ϕ1 − µ1 ) + αn2 (ϕ2 − µ2 ) + ... + αnn (ϕn − µn ) = 0.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поэтому вектор ϕ − µ является решением системы (19).
Теорема 9 доказана.
Теорема 10. Пусть ϕ – решение совместной неоднородной системы (18), V0 – множество всех решений соответствующей однородной системы (19),
V 0 = {v | (∀ρ ∈ V0 ) (v = ϕ + ρ)}.
Тогда множество V 0 является множеством всех решений системы
(18).
Доказательство. Обозначим множество всех решений совместной неоднородной системы (18) через A и докажем, что V 0 = A.
1) Для произвольного вектора
v ∈ V 0 получим равенство v = ϕ + ρ, ρ ∈ V0 , cледовательно, по
теореме 8 получим, что вектор v является решением системы (18),
поэтому v ∈ A. Значит, V 0 является подмножеством множества A.
2) Для произвольного вектора a ∈ A получим, что a – решение
системы (18). Следовательно, по теореме 9 получим, что вектор
a − ϕ является решением системы (19), поэтому a − ϕ ∈ V0 . Тогда
a − ϕ = µ, µ ∈ V0 . Отсюда a = ϕ + µ, но тогда вектор a ∈ V 0 .
Значит, A является подмножеством множества V 0 .
Из 1) и 2), учитывая свойство антисимметричности отношения
включения множеств, получим, что V 0 = A.
Теорема 10 доказана.
Следствие 1. Совместная неоднородная система линейных
уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда соответствующая ей однородная система имеет единственное
решение.
Следствие 2. Если две неоднородные системы линейных уравнений над одним полем и с одинаковыми переменными совместны и равносильны, то и соответствующие им однородные системы
равносильны.
Линейное многообразие V с направлением V0 по определению
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
есть всякий класс эквивалентности по отношению сравнения по
V0 .
V и V0 – векторные пространства, V0 является подмножеством
множества V, V0 – непустое, является подпространством пространства V.
(∀a, b ∈ V ) (a − b ∈ V0 ),
следовательно, V – линейное многообразие с направлением V0 .
Таким образом, множество решений совместной неоднородной
системы линейных уравнений (18) является линейным многообразием с направлением множества решений соответствующей однородной системы линейных уравнений (19).
§ 8. Критерий совместности системы линейных
уравнений
Рангом матрицы размерности m × n над полем F называется
ранг системы столбцов, рассматриваемых как m-мерные векторы, то есть максимальное число линейно независимых столбцов
матрицы.
Теорема 11 (Кронекера – Капелли, критерий совместности
системы линейных уравнений). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.
Доказательство. 1) Пусть система линейных уравнений совместна. Докажем, что r(A) = r(B). Доказательство. Так как система совместна, то есть решение λ = (λ1 , λ2 , ... , λn ), следовательно, выполнено равенство:
λ1 a1 + λ2 a2 + ... + λn an = b.
Поэтому существуют
λ1 , λ2 , ... , λn ,
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
такие, что вектор b является линейной комбинацией векторов
a1 , a2 , ... , an с коэффициентами λ1 , λ2 , ... , λn .
Значит, столбцовые ранги матриц A и B равны. Но тогда получим, что и строчечные ранги этих матриц равны.
2) Пусть r(A) = r(B). Докажем, что система линейных уравнений совместна. Доказательство. Так как r(A) = r(B), то пусть
r – число векторов базиса, следовательно, столбцовые ранги равны, значит, базисы системы векторов-столбцов матриц A и B равны. Поэтому вектор b можно выразить через
a1 , a2 , ... , ar ,
а следовательно, можно выразить и через
a1 , a2 , ... , ar , ... , an .
Таким образом, существуют λ1 , λ2 , ... , λn , такие, что вектор b является линейной комбинацией векторов a1 , a2 , ... , an :
b = λ1 a1 + λ2 a2 + ... + λn an .
А так как это равенство верно, то, следовательно, вектор λ,
λ = (λ1 , λ2 , ... , λn ),
является решением системы (18), но тогда система (18) является
совместной.
Теорема 11 доказана.
Пример. Исследовать, является ли совместной система линейных уравнений:


−x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 5x5 = 2,


 −3x + 5x + 2x + 3x + 4x = 2,
1
2
3
4
5

−3x
+
x
−
5x
−
7x
=
−2,
1
2
3
5



−5x1 + 7x2 + x3 + 16x4 + x5 = 10.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Составим расширенную матрицу B, содержащую в себе и основную матрицу A, и приведем ее к ступенчатой матрице.




B=




∼
−1
−3
−3
−5
3
5
1
7
−1
3
0
−4
0
−8
0
−8




∼
−1
3
0 −4
0
0
0
0
3
2
−5
1
2
3
0
16
3
−7
− 14
− 14
2
−3
−6
6
3
−7
0
0
2
−3
0
0
5 |
2
4 |
2
−7 | −2
1 |
10
5
|
− 11 |
− 22 |
− 24 |



∼

2
−4
−8
0
5 |
2
− 11 | − 4
−2 |
8
0 |
0



∼




.

Получили ступенчатую матрицу. Число ненулевых строк в матрице A равно 3, число ненулевых строк в матрице B также равно
3, следовательно, r(A) = 3, r(B) = 3. Поэтому система линейных
уравнений совместна.
§ 9. Решение системы линейных уравнений методом
последовательного исключения переменных
Рассмотрим систему линейных уравнений с коэффициентами
из поля F :





α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = β1 ,
α21 x1 + α22 x2 + ... + α2n xn = β2 ,

... ,



αm1 x1 + αm2 x2 + ... + αmn xn = βm .
22
(24)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Основная матрица системы

α11
 α

21
A=
α12
α22
αm1
α1n
α2n 

...
αmn
...

αm2

...
...
,

расширенная матрица системы




B=
α11
α21
α12
α22
αm1
αm2
... α1n
... α2n
...
... αmn
|
|
β1
β2
|



.

βm
Исследование.
1. Если матрицы A и B – нулевые, то система имеет бесконечное множество решений.
2. Если матрица A – нулевая, а B – ненулевая, то система не
имеет решений.
3. Если матрица A – ненулевая, то и матрица B – ненулевая,
тогда надо сравнить ранги:
a) если r(A) 6= r(B), то система несовместна,
б) если r(A) = r(B), то система совместна. При этом при r = n
система имеет единственное решение. При r < n система имеет
бесконечное множество решений.
Решение системы линейных уравнений можно найти несколькими способами.
Рассмотрим метод последовательного исключения переменных
(то есть метод Гаусса, или Жордана – Гаусса).
Если α11 6= 0, то α11 является ведущим элементом строки.
(если α11 = 0, то переставим два уравнения, если же весь столбец
при первой переменной будет нулевым, то выберем коэффициент
α12 и повторим аналогичные исследования).
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть α11 6= 0. Исключим x1 из каждого уравнения системы,
начиная со второго. Тогда система (24) будет равносильна системе:


α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = β1 ,



α0 x + ... + α0 x = β 0 ,
22 2




2n n
2
... ,
0 x + ... + α0 x = β 0 .
αm2
2
mn n
m
(25)
Если α22 = 0, то проведем исследование аналогично коэффициенту α11 . Пусть α22 6= 0, исключим теперь переменную x2 из
каждого уравнения системы, начиная с третьего. Тогда система
(25), а следовательно, и система (24) будет равносильна системе:













α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = β1 ,
0 x + ... + α0 x = β 0 ,
α22
2
2n n
2
00 x + ... + α00 x = β 00 ,
α33
3
n
2
3n
... ,
00 x + ... + α00 x = β 00 .
αm3
3
mn n
m
(26)
И так далее. Пусть будет ненулевых s строк, то есть получим
систему:









α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = β1 ,
0 x + ... + α0 x = β 0 ,
α22
2
2n n
2
... ,
µss xs + ... + µsn xn = δs .
(27)
Если s = m, то нулевых строк нет.
Если s < m, то будет m − s нулевых строк.
При s = n получим систему треугольного вида. Будет единственное решение.
При s < n получим систему вида трапеции. Будет бесконечное множество решений. Для нахождения общего вида решения в
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
этом случае выберем любые n − s свободных переменных, например:
xs+1 , xs+2 , ... , xn ,
и переобозначим их:
a1 , a2 , ... , an−s ,
a1 , a2 , ... , an−s ∈ R,
а остальные s переменных будут главными:
x1 , x2 , ... , xs .
Выразим главные переменные через свободные, получим:
x1 = µ1 , x2 = µ2 , ... , xs = µs .
А затем запишем общий вид решения:
µ = (µ1 , µ2 , ... , µs , a1 , a2 , ... , an−s ),
a1 , a2 , ... , an−s ∈ R.
Таким образом, мы получим следующий вывод.
Теорема 12. Если система линейных уравнений (24) совместна, то при помощи элементарных преобразoваний ее можно привести к системе (27) с неравными нулю ведущими коэффициентами
α11 , α22 , ... , αss .
В противном случае в результате элементарных преобразований
получим уравнение вида
0 · x1 + 0 · x2 + ... + 0 · xn = βi , βi 6= 0,
то есть система (24) будет несовместной.
На практике при выполнении элементарных преобразований
можно работать с системой или же с расширенной матрицей системы.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример. Система


−x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 5x5 = 2,


 −3x + 5x + 2x + 3x + 4x = 2,
1
2
3
4
5

−3x
+
x
−
5x
−
7x
=
−2,
1
2
3
5



−5x1 + 7x2 + x3 + 16x4 + x5 = 10
имеет бесконечное множество решений, общий вид решения:
µ=
−9
79
−7
69
a3 − a4 + 14,
a3 − a4 , a3 , a4 , −6a4 − 4 ,
4
4
9
4
a3 , a4 ∈ R.
Пример.





x1 − x2 + 2x3 + 2x4 = 2,
−x2 − x3 + 2x4 = 7,

−x
+
2x2
− 2x4 = −7,
1



x1 + 2x2 − 2x3 − x4 = 1.
Расширенная матрица B строчечно эквивалентна следующей
матрице:




B∼
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
|
|
|
|
Система имеет единственное решение:
µ = (1, −1, −2, 2).
26
1
−1
−2
2



.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 10. Фундаментальная система решений системы
однородных линейных уравнений
Рассмотрим однородную систему линейных уравнений над полем F :


α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = 0,


 α x + α x + ... + α x = 0,
21 1
22 2
2n n

...
,



(28)
αm1 x1 + αm2 x2 + ... + αmn xn = 0.
Обозначим через V0 множество решений системы (28).
Определение 10. Непустая линейно независимая система решений системы однородных линейных уравнений (28), линейная
оболочка которой совпадает с множеством всех решений V0 , называется фундаментальной системой решений системы однородных
линейных уравнений (28).
Если V0 = {0}, то нет линейно независимой системы векторов,
являющихся решениями, поэтому нет фундаментальной системы
решений.
Теорема 13. Любые две фундаментальные системы решений
однородной системы линейных уравнений состоят из одинакового
числа решений.
Доказательство. Любые две фундаментальные системы решений однородной системы линейных уравнений (28) эквивалентны и линейно независимы, поэтому содержат одинаковое число
векторов, а следовательно, число решений одной фундаментальной системы решений равно числу решений другой фундаментальной системы решений. Иначе:
1) если основная матрица системы является нулевой, то ранг
ее равен нулю, система имеет бесконечное множество решений,
поэтому любая совокупность n линейно независимых векторов является фундаментальной системой решений;
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2) если основная матрица системы не является нулевой и ранг
ее r равен числу переменных n, то система имеет одно решение –
нулевое, поэтому нет фундаментальной системы решений;
3) если основная матрица системы не является нулевой и ранг
ее r меньше числа переменных n, то нетрудно показать, что и в
этом случае будет выполнено утверждение теоремы.
Теорема 13 доказана.
Теорема 14. Если ранг r основной матрицы однородной системы линейных уравнений (28) меньше числа переменных n, то
система (28) имеет фундаментальную систему решений, состоящую из n − r решений.
Доказательство. При r = 0 или r = n теорема верна. Пусть
0 < r < n. Так как r строк линейно независимые, то основная
матрица строчечно эквивалентна ступенчатой матрице с r ненулевыми строками.





α11 x1 + α12 x2 +
0 x +
α22
2
... + α1n xn = 0,
0 x = 0,
... + α2n
n
...,
µrr xr + ... + µrn xn = 0.




(29)
Найдем общий вид решения системы (например, методом Гаусса).
Затем выберем значения свободных переменных
xr+1 , xr+2 , ... , xn
следующим образом:
e = (xr+1 , xr+2 , ... , xn ),
e1 = (1, 0, 0, ... , 0),
e2 = (0, 1, 0, ... , 0),
e3 = (0, 0, 1, ... , 0),
...,
en−r = (0, 0, 0, ... , 1).
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для каждого из этих наборoв значений свободных переменных
вычислим главные переменные. Затем составим n − r векторов,
являющихся решениями системы:
a1 = (ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕr , 1, 0, 0, ... , 0),
a2 = (µ1 , µ2 , ... , µr , 0, 1, 0, ... , 0),
a3 = (β1 , β2 , ... , βr , 0, 0, 1, ... , 0),
...,
an−r = (ρ1 , ρ2 , ... , ρr , 0, 0, 0, ... , 1).
Векторы
a1 , a2 , ... , an−r
образуют фундаментальную систему решений, так как
1) система векторов является линейно независимой;
2) всякое решение однородной системы является
линейной комбинацией этих векторов. Докажем это.
I. От противного. Предположим, что система векторов
a1 , a2 , ... , an−r линейно зависима. Тогда и система векторов
e1 , e2 , ... , en−r является линейно зависимой. Но это невозможно,
так как это линейно независимая система векторов.
II. Пусть λ = (λ1 , λ2 , ... , λn ) – произвольное решение системы (28), составим вектор µ,
µ = λ − (λr+1 a1 + λr+2 a2 + ... + λn an+r ) =
= (δ1 , δ2 , ... , δr , 0, 0, 0, ... , 0).
Следовательно, свободные переменные равны нулю, а поэтому
вектор µ = 0, значит, λ – линейная комбинация. Поэтому всякое
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
решение является линейной комбинацией, получим линейную оболочку.
Теорема 14 доказана.
Следствие. Если c – решение совместной неоднородной системы линейных уравнений, a1 , a2 , ... , an−r – фундаментальная
система решений соответствующей однородной системы линейных
уравнений, то множество {c+λr+1 a1 +λr+2 a2 + ... +λn an+r } является множеством всех решений неоднородной системы линейных
уравнений.
Пример.





x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0,
3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0,

4x1 − 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0,



8x1 + 18x2 + 44x3 − 34x4 = 0.
Основная матрица A строчечно эквивалентна следующей матрице:



 4
A=

1
3
2
5
8
8
16
2 4
−3
 0
−1
−6 5

∼ 

0 0 0
0
0 0 0
0
1
−3
−4
− 12
− 24
4
6
16
32


 
 
∼
 



∼

1 2 4
0 1 6
0 0 0
0 0 0
−3
−5
0
0



.

Ранг матрицы равен 2, меньше числа переменных (4), поэтому
система имеет бесконечное множество решений. Выберем свободные переменные x3 , x4 , переобозначим их: x3 = c3 , x4 = c4 ,
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
c3 , c4 ∈ R, главными переменными будут x1 , x2 . Составим систему по последней ступенчатой матрице и выразим главные переменные через свободные, тогда получим, что x1 = 8c3 − 7c4 ,
x2 = −6c3 + 5c4 , следовательно, общее решение имеет вид
µ = (8c3 − 7c4 , −6c3 + 5c4 , c3 , c4 ),
c3 , c4 ∈ R.
(30)
Выберем теперь свободные переменные так:
c3
c4
1
0
0
1
и найдем значения переменных x1 , x2 , то есть получим:
x1
x2
c3
c4
8
−7
−6
5
1
0
0
1
Составим теперь векторы, являющиеся фундаментальной системой решений: a1 = (8, −6, 1, 0), a2 = (−7, 5, 0, 1).
Следовательно, любое решение можно представить в виде линейной комбинации этих векторов с коэффициентами из поля действительных чисел:
ν = λ1 a1 + λ2 a2 , λ1 , λ2 ∈ R.
(31)
Множества решений, полученные по формулам (30) и (31), совпадают.
Примечание. Приведем один из способов исследования, является ли система векторов фундаментальной системой решений:
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) проверить, являются ли векторы решениями системы линейных уравнений (непосредственной подстановкой их в каждое
уравнение системы),
2) проверить, является ли система векторов линейно независимой (для этого надо найти ранг rc системы векторов и сравнить
его с числом данных векторов),
3) проверить, совпадает ли число данных векторов с числом
векторов, которые должны составлять фундаментальную систему
решений (для этого найти ранг r основной матрицы системы, а
затем разность n−r и сравнить полученное число с числом данных
векторов).
Вопросы для самоконтроля
1. Система линейных уравнений.
2. Понятие следствия системы уравнений.
3. Линейная комбинация линейных уравнений системы линейных уравнений и теорема.
4. Равносильные системы уравнений.
5. Элементарные преобразования системы.
6. Векторная форма записи системы линейных уравнений.
7. Система однородных линейных уравнений.
8. Условия существования нетривиальных решений.
9. Пространство решений системы однородных линейных уравнений.
10. Неоднородная система линейных уравнений.
11. Линейное многообразие решений.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. Критерий совместности системы линейных уравнений.
13. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных.
14. Базис пространства решений системы однородных линейных
уравнений.
15. Понятие общего решения системы линейных уравнений.
Упражнения
Решить систему линейных уравнений:


x1 − x2 + 2x3 + 2x4 = 2,



−x2 − x3 + 2x4 = 7,
1.

−x
1 + 2x2 − 2x4 = −7,



x1 + 2x2 − 2x3 − x4 = 1.


2x1 + 3x2 = 1,


 5x + 3x = −2,
1
2
2.

2x
+
x
1
2 = −1,



3x1 + 2x2 = −1.
Исследовать систему линейных уравнений:
3.
4.


 3x1 + x2 = 2,
6x + 2x = 4,
1
2

 9x + 3x = 6.
1
2


 2x1 − 3x2 + x3 + 4x4 = 0,


3x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 2,
7x1 − 4x2 + 9x4 = 3.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Решить систему линейных уравнений:


 2x1 − x2 + 3x3 − 2x4 + 4x5 = 1,
4x − 2x + 5x + x + 7x = 2,
1
2
3
4
5

 2x − x + x + 8x + 2x = 1.
1
2
3
4
5
6. Решить систему линейных уравнений:


−x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 + 5x5 = 2,


 −3x + 5x + 2x + 3x + 4x = 2,
1
2
3
4
5

−3x
+
x
−
5x
−
7x
=
−2,
1
2
3
5



−5x1 + 7x2 + x3 + 16x4 + x5 = 10.
7. Исследовать, какие системы линейных уравнений являются
равносильными:
(
1)
2x + 3y = 17,
2)
5x − 4y = −15,
(
x − y = −4,
3)
x + y = 6,
(
x − y = −2,
x + y = 8.
Исследовать и решить системы линейных уравнений:
8.
9.


 x1 − 2x2 + x3 + x4 = 1,
x − 2x + x − x = −1,
1
2
3
4

 x − 2x + x + 5x = 5.
1
2
3
4


x1 + x2 − 3x3 = −1,


 2x + x − 2x = 1,
1




2
3
x1 + x2 + x3 = 3,
x1 + 2x2 − 3x3 = 1.
10.












x1 − x2 + 3x3 = 3,
3x1 + x2 − 5x3 = 0,
4x1 − x2 + x3 = 3,
x1 + 3x2 − 13x3 = −6.


2x1 − x2 − x3 = 4,
 x1 + x2 + 2x3 = −1,
11. 3x1 + 4x2 − 2x3 = 11, 12. 2x1 − x2 + 2x3 = −4,




3x1 − 2x2 + 4x3 = 11.
4x1 + x2 + 4x3 = −2.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13.


 3x1 + 2x2 + x3 = 5,


 x1 + 2x2 + 4x3 = 31,
1
2
3

 2x + x + 3x = 11.
1
2
3
1
2
3

 3x − x + x = 10.
1
2
3
2x + 3x + x = 1, 14.
5x + x + 2x = 29,


x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1,


 3x − x − x − 2x = −4,
1
2
3
4
15.

2x
+
3x
−
x
−
x
1
2
3
4 = −6,



x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = −4.


x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 6,


 2x − x − 2x − 3x = 8,
1
2
3
4
16.
 3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 4,



2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = −8.
17.

x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 1,





 3x1 + 2x2 + x3 − x4 = 1,
2x + 3x + x + x = 1,
1
2
3
4



2x
+
2x
+
2x
−
x
1
2
3
4 = 1,



5x1 + 5x2 + 2x3 = 2.
18. Система


 ay + bx = c,
cx + az = b,

 bz + cy = a
имеет единственное решение. Доказать, что abc 6= 0 и найти решение.
19. Подобрать λ так, чтобы система имела решение:



2x1 − x2 + x3 + x4 = 1,
x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2,

 x + 2x − 4x + 11x = λ.
1
2
3
4
Решить системы линейных уравнений:
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20.


 λx + y + z = 1,
x + λy + z = λ,
21.

 x + y + λz = λ2 .


 ax + y + z = 4,
x + by + z = 4,

 x + 2by + z = 4.


x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 5x5 = 0,


 −3x + 5x + 2x + 3x + 4x = 0,
1
2
3
4
5
22.

−3x
+
x
−
5x
−
7x
=
0,
1
2
3
5



−5x1 + 7x2 + x3 + 4x4 + x5 = 0.



2x1 + ax2 + x3 = 2,
ax1 − x2 + x3 = 1,
23.

 −2x + 5x + (a − 4)x = a − 3.
1
2
3
24.


 (a − 1)x1 − x2 + 7x3 = 2,
−3x − ax + 5x = −2,
1
2
3

 −3x − x + (a + 6)x = 0.
1
2
3
25. Исследовать и решить систему линейных уравнений:


 mx + y + z = 0,
x + my + z = 0,

 x + y + mz = 0.
Найти фундаментальную систему решений и записать на ее
основе все решения системы уравнений:





x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0,
3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0,
26.
 4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0,



3x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 = 0.


2x1 + 3x2 − 2x3 − 5x4 + x5 = 0,


 4x + 2x + x + 2x − 3x = 0,
1
2
3
4
5
27.

−4x
+
5x
+
12x
−
5x
2
3
4
5 = 0,



−6x1 − x2 − 4x3 − 9x4 + 7x5 = 0.
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследовать и решить системы линейных уравнений:
28.













x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 3,
x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 2,
2x1 + 9x2 + 8x3 + 3x4 = 7,
2x1 + 7x2 + 7x3 + 2x4 = 12,
5x1 + 7x2 + 9x3 + 2x4 = 20.


x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 0,


 2x + x − x + 2x − 3x = 0,
1
2
3
4
5
29.

3x1 − 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 0,



2x1 − 5x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 0.


x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7,


 3x + 2x + x + x − 3x = −2,
1
2
3
4
5
30.

x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23,



5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5 = 12.





x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0,
3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0,
31.

4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0,



3x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 = 0.


2x1 + x2 − x3 + x4 = 1,


 3x − 2x + 2x − 3x = 2,
1
2
3
4
32.

5x
+
x
−
x
+
2x
=
−1,
1
2
3
4



2x1 − x2 + x3 − 3x4 = 4.
(
33.
2x1 − mx2 = 3,
3x1 + 5x2 = m.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 2
МАТРИЦЫ
§ 1. Матрицы (определение, виды, операции,
элементарные преобразования)
Определение 1. Матрицей порядка m × n над полем F называется таблица вида:

α11
 α

21
A=
α12
α22
αm1
α1n
α2n 

...
αmn
...

αm2

...
...
,

где αij ∈ F, i = 1, 2, ... , m, j = 1, 2, ... , n.
Обозначение: A, B, ... , A1 , ...
Пример.

2

A= 4
2

−3

− 2 ,
−3
5
1
0
m = n = 3.
Определение 2. Транспонированной к матрице A называется
матрица, полученная из матрицы A в результате замены ее строк
соответствующими столбцами.
Обозначение: AT .

α11
 α

12
AT = 
α21
α22
α1m
αm1
αm2 

...
αmn
...

α2m
38

...
...
.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если в матрице все элементы нулевые, то матрицу называют нулевой.
Если m = n, то матрица квадратная.
Если на диагонали квадратной матрицы все единицы, а остальные элементы равны нулю, то матрицу называют единичной и
обозначают E.
Определение 3. Две матрицы одинаковой размерности над
одним полем называются равными, если все их соответствующие
элементы равны, то есть
∀i, j
aij = bij .
Определение 4. Суммой двух матриц A и B одинаковой размерности m × n над одним полем называется матрица C той же
размерности, в которой
∀i, j
cij = aij + bij .
Определение 5. Произведением матрицы A размерности
m × n над полем F на скаляр λ ∈ F называется матрица B той
же размерности, в которой
∀i, j
Матрицу −A,
матрицей.
bij = λ · aij .
−A = (−1)A
называют противоположной
A − B := A + (−B).
Определение 6. Произведением строки из n элементов на
столбец из n элементов называется элемент, равный сумме произ-
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ведений соответствующих элементов строки и столбца.

a1
a2



an · 
...

b1
b2
...
bn
 
 = a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn .

Умножение матриц A и B определено (существует), если матрицы
имеют размерности cоответственно m × n, n × p, тогда получится
матрица C размерности m × p.
m × n,
n × p → m × p.
Произведением матрицы A размерности m × n и матрицы B размерности n×p называется матрица C размерности m×p, в которой
для всех i, j элемент cij равен произведению i-й строки матрицы
A и j-го столбца матрицы B.
AB 6= BA.
Пример.
A=
AB =
4
−1
4
−1
9
3
9
3
!
!
,
B=
1
−2
−3
1
1
−2
!
=
−3
1
!
,
−14
−7
−3
6
!
7
−9
0
− 15
!
,
4 · 1 + 9 · (−2) = −14,
4 · (−3) + 9 · 1 = −3,
(−1) · 1 + 3 · (−2) = −7,
(−1) · (−3) + 3 · 1 = 6.
BA =
1
−2
−3
1
!
4
−1
40
9
3
!
=
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 7. Элементарными преобразованиями матрицы называются элементарные преобразования над системой ее
строк, рассматриваемых как n-мерные векторы.
Определение 8. Если одна матрица получена из другой при
помощи цепочки элементарных преобразований над строками, то
матрицы называются строчечно-эквивалентными.
Отношение строчечной эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно, то есть является отношением эквивалентности.
Теорема 1. Перестановка двух строк матрицы есть результат
цепочки элементарных преобразований над строками.
Доказательство. a1 = (α11 , α12 , ... , α1n ),
a2 = (α21 , α22 , ... , α2n ),
a1 − a2
a1
a2
a2
a1 − a2
a2 − a1
a2 + (a1 − a2 )
(a2 − a1 ) + a1
a1
a1
A ∼ B.
Теорема 1 доказана.
§ 2. Приведение матрицы к ступенчатому виду

α11
 α

21
A=

αm1
α12
α22
α1n
α2n 

...
αmn
...
αm2
41

...
...
.

a2
a1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 9. Первый (слева направо) ненулевой элемент
строки называется ведущим элементом строки.
Определение 10. Если столбец содержит ведущий элемент
какой-либо строки, то он называется основным.
Пример.
!
3 1 3 5
A=
,
0 2 1 4
3 – ведущий элемент первой строки, 2 – ведущий элемент второй
строки, первый столбец – основной, второй столбец – основной, а
третий и четвертый столбцы не являются основными.
Определение 11. Матрица называется ступенчатой, если выполнeны уcлoвия:
1) нулевые строки расположены под ненулевыми,
2) для ведущиx элементoв строк α1j1 , α2j2 , ... , αkjk выполнeны нepaвeнcтвa:
j1 < j2 < ... < jk .
Теорема 2. Любая матрица размерности m × n строчечноэквивалентна ступенчатой матрице размерности m × n.
Доказательство. Методом математической индукции по m (числу строк матрицы).
1) m = 1, одна строка в матрице, следовательно, матрица будет
ступенчатой;
2) предположим, что всякая матрица размерности
k × n(k ∈ N, k ≥ 1) строчечно-эквивалентна ступенчатой матрице
размерности k × n, и докажем, что тогда и матрица размерности
(k + 1) × n будет строчечно-эквивалентна ступенчатой матрице
размерности (k + 1) × n.
Рассмотрим случаи: а) α11 6= 0, б) α11 = 0.
а) α11 6= 0. В этом случае α11 является ведущим элементом.
Умножим первую строку на 1/α11 , тогда получим матрицу B с
ведущим элементом первой строки, равным 1: A ∼ B.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Получим теперь матрицу C, в которой под 1 все 0: B ∼ C.
Следовательно, A ∼ C.
Удалим теперь в матрице C первую строку, получим матрицу C ∗ размерности k × n. По предположению матрицу C ∗ такой
размерности можно привести к ступенчатой матрице D∗ размерности k × n. Поэтому C ∼ D, которая получится из матрицы D∗
добавлением удаленной строки и также будет являться ступенчатой матрицей;
б) α11 = 0. В этом случае поменяем местами две строки и выберем ведущий элемент (если первый столбец матрицы нулевой,
то надо исследовать на ведущий элемент α12 и так далее);
3) вывод: на основании принципа математической индукции
получим, что утверждение теоремы верно для любого натурального числа m.
Теорема 2 доказана.
§ 3. Вычисление строчечного ранга матрицы
Определение 12. Строчечным рангом матрицы A называется ранг системы ее строк, рассматриваемых как n-мерные векторы над полем F.
Теорема 3. Строчечный ранг ступенчатой матрицы равен
числу ее ненулевых строк.
Доказательство. Рассмотрим отдельно два случая:
1) A – нулевая матрица, 2) A – ненулевая матрица.
1) A – нулевая матрица. В этом случае матрица является ступенчатой, число ее ненулевых строк равно нулю и ранг матрицы
равен нулю как ранг системы нулевых векторов.
2) A – ненулевая матрица. Приведем эту матрицу к ступенчатой. Пусть в ступенчатой матрице будут первые s строк ненулевые:
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

α11 α12

 0 α22



A∼
 0
 0



0
... α1n
... α2n
...
0
... αsn
0
...
0
...
0
...
0






.





Матрица размерности m × n, в ней получили s ненулевых
строк и m − s нулевых строк. Если s = m, то нулевых строк нет.
Покажем, что s ненулевых строк являются линейно независимыми. Тогда будет
r(A) = s.
Cоставим линейную комбинацию векторов-строк:
λ1 (α11 , α12 , ... , α1n ) +
+ λ2 (0, α22 , ... , α2n ) +
+ ... +
+ λs (0, 0, ... , αsn ) = (0, 0, ... , 0).
После проведенных преобразований получим систему уравнений:

















λ1 α11 = 0,
λ1 α12 + λ2 α22 = 0,
... ,
λ1 α1s + ... + λs αss = 0,
... ,
λ1 α1n + ... + λs αsn = 0.
Так как ведущие элементы не равны нулю, то, следовательно,
получим из последней системы, что все коэффициенты нулевые:
λ1 = 0, λ2 = 0, ... , λs = 0.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следовательно, система векторов-строк в ступенчатой матрице является линейно независимой.
Теорема 3 доказана.
Из теорeмы получим первый способ вычисления ранга матрицы:
1) привести матрицу к ступенчатой при помощи строчечных
элементарных преобразований,
2) число ненулевых строк в ступенчатой матрице будет равно
рангу матрицы.
Пример.




A=

−1 3
3
−3 5
2
−3 1 − 5
−5 7
1
−1
3
3
0
−4
−7
0
−8
− 14
0
−8
− 14



∼




∼




∼
−1
3
3
0 −4 −7
0
0
0
0
0
0
−1
3
3
0 −4 −7
0
0
0
0
0
0
следовательно, r(A) = 3.
45
2
3
0
4
2
−3
−6
−6
5
4
−7
1



∼

5
− 11
− 22
− 24
2
5
− 3 − 11
0
0
0
−2
2
−3
0
0
5
− 11
−2
0



∼




∼




,

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 4. Равенство строчечного и столбцового рангов
матрицы
Определение 13. Столбцовым рангом матрицы A называется ранг системы ее столбцов, рассматриваемых как m-мерные
векторы.
Обозначение: ρ(A).
Назовем основной матрицей системы линейных уравнений матрицу, составленную из коэффициентов при переменных.


α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = 0,


 α x + α x + ... + α x = 0,
21 1
22 2
2n n

.
.
.
,



(1)


α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = 0,


 α x + α x + ... + α x = 0,
21 1
22 2
2n n

.
.
.
,



(2)
αm1 x1 + αm2 x2 + ... + αmn xn = 0;
αk1 x1 + αk2 x2 + ... + αkn xn = 0.
Теорема 4. Если однородная система линейных уравнений (1)
из m уравнений с n переменными равносильна системе, составленной из первых k уравнений системы (1), где k < m, то столбцовые
ранги основных матриц этих систем равны.
Доказательство. Пусть A – основная матрица системы (1), B
– основная матрица системы (2).
1) Если матрица B будет нулевой, то столбцовый ранг ее будет
равен нулю, следовательно, любой вектор ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕn ),
ϕ ∈ F n , является решением системы (2). Но системы (1) и (2) равносильны, поэтому вектор ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕn ) будет решением
и системы (1). А так как вектор выбран произвольно, то тогда
матрица A – нулевая, столбцовый ранг ее равен нулю. Поэтому в
этом случае ρ(A) = ρ(B).
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2) Пусть матрица B – ненулевая, базис системы векторовстолбцов состоит из r столбцов, то есть ρ(B) = r. А так как системы (1) и (2) равносильны, то в системе (1) система векторовстолбцов из r столбцов является линейно независимой.
Если r < s (≤ n), то система из r + 1 столбцов (к системе из
r столбцов добавили еще один с номером s) будет линейно зависимой, так как в противном случае тогда и в системе (2) будет
линейно независимой система из r + 1 векторов, но там r – наибольшее такое число. Поэтому базис в системе (1) состоит из r
столбцов. Следовательно, ρ(A) = r, значит
ρ(A) = ρ(B).
Теорема 4 доказана.


α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = 0,


 α x + α x + ... + α x = 0,
21 1
22 2
2n n

.
.
.
,



(3)


α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = 0,


 α x + α x + ... + α x = 0,
21 1
22 2
2n n

.
.
.
,



(4)
αm1 x1 + αm2 x2 + ... + αmn xn = 0;
αr1 x1 + αr2 x2 + ... + αrn xn = 0.
Теорема 5. Строчечный ранг матрицы A равен ее столбцовому рангу.
Доказательство. 1. Если матрица A – нулевая, то r(A) = 0,
ρ(A) = 0, следовательно, r(A) = ρ(A).
2. Если матрица A – ненулевая, базис состоит из первых r
строк (для удобства), поэтому r(A) = r. Рассмотрим однородную
систему линейных уравнений (3) с основной матрицей A и систему
(4) из первых r строк с матрицей A0 . Каждое уравнение системы
(3) является линейной комбинацией уравнений системы (4), так
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
как есть r линейно независимых строк, поэтому системы (3) и (4)
равносильны, следовательно, ρ(A) = ρ(A0 ). Тогда получим:
ρ(A) = ρ(A0 ) ≤ r = r(A),
ρ(A) ≤ r(A).
(5)
Рассуждая аналогично теперь для матрицы AT получим, что
r(A) ≤ ρ(A).
(6)
Из неравенств (5) и (6) получим: ρ(A) = r(A).
Теорема 5 доказана.
§ 5. Свойства матриц
Свойство 1. Множество матриц F m × n порядка m × n над
полем F относительно сложения образует абелеву группу.
Свойство 2.
∀A, B ∈ F
m×n
∀λ ∈ F
λ(A + B) = λA + λB .
Свойство 3.
m×n
∀A ∈ F
∀λ, δ ∈ F
(λ + δ)A = λA + δA .
Свойство 4.
∀A ∈ F m × n
∀λ, δ ∈ F
(λ · δ)A = λ(δA) .
Свойство 5.
∀A ∈ F m × n
1∈F
48
1·A=A .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойство 6. Умножение матриц ассоциативно:
∀A, B, C ∈ F m × n
(AB)C = (AB)C ,
если существуют BC и AB.
Свойство 7. Умножение матриц дистрибутивно относительно
сложения:
∀A, B, C ∈ F m × n
(A + B)C = A + BC ,
если существуют AC и BC,
∀A, B, C ∈ F
m×n
C(A + B) = CA + CB ,
если существуют CA и CA.
Свойство 8.
∀A, B ∈ F m × n
∀λ ∈ F
λ(AB) = (λA)B = A(δB) ,
если существует AB.
§ 6. Обратимая квадратная матрица, обратная матрица
Рассмотрим квадратные матрицы над полем F.
Пусть A – квадратная матрица n × n над полем F,
E – единичная матрица n × n над полем F,

α11
 α
 21
A=
α12
α22
αn1
α1n
α2n 

...
αnn
...

αn2

...
...

1
 0

, E = 


A · E = A,
0
E · A = A.
49
0 ...
1 ...
...
0 ...

0
0 

.

1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 14. Квадратная матрица A n × n над полем
F называется обратимой, если существует квадратная матрица B
n × n над полем F, удовлетворяющая условиям:
1) A · B = E,
2) B · A = E.
Определение 15. Квадратная матрица B n × n над полем F
называется обратной к квадратной матрице A, если
1) A · B = E,
2) B · A = E.
Матрицы A и B называются взаимно-обратными.
Пример. Проверить, будет ли матрица B обратной к A, если

−3
15
7 
 68
68
68 






2 5
−3

−3
2 


 4

− 2 , B = 
A= 4 1
.
 17

17
17


2 0
3


 1
−5
9 
34
34
34
Ответ. Да.
Если матрица A обратима, то обратную к ней матрицу в дальнейшем будем обозначать не через B, а через A−1 , то есть можно
сказать, что 1) A · A−1 = E, 2) A−1 · A = E.
Теорема 6 (о существовании единственной матрицы, обратной к обратимой матрице). Если матрица A над полем F обратима, то существует единственная матрица, обратная к A.
Доказательство. От противного. Предположим, что существуют две различные матрицы B и C, обратные к A, то есть B 6= C,
1) A · B = E,
2) B · A = E,
3) A · C = E,
4) C · A = E.
Тогда будем иметь:
B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C,
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
следовательно, B = C. Получили противорeчиe.
Теорема 6 доказана.
Обозначим множество обратимых матриц через Mo .
Отметим свойства обратимых матриц.
Свойство 1. Единичная матрица обратима.
Свойство 2. Если матрица A обратима, то обратная к ней
матрица A−1 является обратимой.
Свойство 3. Произведение обратимых матриц является обратимой матрицей.
Доказательство. A, B ∈ Mo , A · B = C, A−1 , B −1 ∈ Mo
D := B −1 A−1 ,
C · D = C(B −1 A−1 ) = (AB)(B −1 A−1 ) =
= A(BB −1 )A−1 = AEA−1 = AA−1 = E,
D · C = (B −1 A−1 )C = (B −1 A−1 )(AB) = (B −1 A−1 A)B =
= B −1 EB = B −1 B = E,
следовательно, матрица C является обратимой, а D – обратная к
ней матрица.
Свойство 3 доказанo.
Свойство 4. Множество обратимых матриц Mo образует группу относительно умножения матриц.
§ 7. Элементарные матрицы
Вспомним, что элементарные преобразования матрицы есть
элементарные преобразования над системой векторов-строк матрицы.
А элементарные преобразования конечной системы векторов
есть:
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) умножение любого вектора на скаляр λ 6= 0,
2) прибавление к любому вектору или вычитание из него другого вектора системы, умноженного на скаляр λ 6= 0,
3) исключение из системы нулевого вектора или добавление к
ней.
1) и 2) называются неособенными преобразованиями,
3) – особенное, или особое, преобразование.
Определение 16. Элементарной матрицей Eϕ , соответствующей преобразованию ϕ, называется квадратная матрица, полученная из единичной матрицы E в результате неособенного элементарного преобразования ϕ над строками.
Примеры.


1 0 0


E =  0 1 0 ,
0 0 1
ϕ1 – преобразование, соответствующеe умножению первой строки
единичной матрицы на λ 6= 0, ϕ2 – прибавление ко второй строке
единичной матрицы первой строки, умноженной на λ 6= 0,

Eϕ1
λ

= 0
0
0
1
0


0
1


0  , Eϕ2 =  λ
1
0
0
1
0

0

0 .
1
Отметим некоторые свойства элементарныx матриц.
Свойство 1. Элементарная матрица обратима.
Свойство 2. Матрица, обратная к элементарной матрице, является элементарной матрицей.
Свойство 3. Произведение элементарных матриц является
обратимой матрицей.
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 8. Теоремы о необратимости квадратной матрицы
Теорема 7 (о необратимости квадратной матрицы с нулевой
строкой). Квадратная матрица с нулевой строкой необратима.
Доказательство. Пусть A – квадратная матрица с нулевой
строкой. Выберем произвольную квадратную матрицу B над тем
же полем. Тогда A · B существует и получится матрица C той
же размерности. По правилу умножения в матрице C получится
также нулевая строка. Следовательно, матрица C не будет совпадать с единичной матрицей. А так как B – произвольная, то тогда
получим, что матрица A необратима.
Теорема 7 доказана.
Теорема 8 (о необратимости квадратной матрицы с линейно
зависимыми строками). Если строки квадратной матрицы линейно зависимы, то матрица необратима.
Доказательство. Пусть A – квадратная матрица с линейно
зависимыми строками, тогда ее можно привести к ступенчатой
матрице B, в которой есть хотя бы одна нулевая строка. Поэтому матрица B будет необратимой, а следовательно, матрица A
является необратимой.
Теорема 8 доказана.
§ 9. Условия обратимости матрицы
Теорема 9. Пусть A – произвольная квадратная матрица над
полем F. Тогда равносильны следующие утверждения:
1) матрица A обратима,
2) строки матрицы A линейно независимы,
3) матрицу A можно представить в виде произведения элементарных матриц.
Доказательство. Докажем, например, несколько пунктов.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
I. Докажем, что из 1) следует 2), то есть если матрица A обратима, то строки матрицы A линейно независимы.
От противного. Предположим, что строки матрицы A линейно
зависимы, тогда по теореме 8 получим, что матрица A необратима, а это противоречит условию. Таким образом, из 1) следует
2).
II. Докажем, что из 2) следует 3), то есть если строки матрицы
A линейно независимы, то матрицу A можно представить в виде
произведения элементарных матриц.
Пусть строки матрицы A линейно независимы, тогда ее можно перевести в E при помощи неособенных элементарных строчечных преобразований, поэтому матрицу A можно представить
в виде произведения элементарных матриц. Таким образом, из 2)
следует 3).
III. Докажем, что из 3) следует 1), то есть если матрицу A
можно представить в виде произведения элементарных матриц,
то матрица A обратима.
Пусть матрица A равна произведению элементарных матриц,
а произведение обратимых матриц является обратимой матрицей,
следовательно, матрица A – обратимая. Таким образом, из 3) следует 1).
Аналогично можно рассмотреть остальные пункты.
Теорема 9 доказана.
§ 10. Вычисление обратной матрицы
Теорема 10. Если квадратную матрицу A над полем F можно при помощи цепочки неособенных строчечных элементарных
преобразований перевести в единичную матрицу E, то матрица A
обратима и эта же цепочка преобразований переводит E в A−1 .
Доказательство. Пусть матрицу A можно перевести в E при
помощи цепочки неособенных строчечных элементарных преобра54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зований ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕk , тогда можно записать
Eϕk ... Eϕ2 Eϕ1 A = E
(по теореме: если матрица M получена из A при помощи цепочки
неособенных строчечных элементарных преобразований ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕk ,
то, обозначая через Eϕ элементарную матрицу, полученную после
выполнения преобразования ϕ над E, будем иметь M = Eϕk ... Eϕ2 Eϕ1 A).
Следовательно, существует матрица B, такая, что
BA = E. Но тогда и AB = E.
Действительно, пусть CB = E. Имеем:
AB = E(AB) = (CB)(AB) = C(BA)B =
= CEB = CB = E.
Поэтому матрица A является обратимой. Но если матрица обратима, то существует единственная матрица, обратная к ней (по
теореме 6).
Таким образом, существует матрица A−1 ,
B = A−1 = Eϕk ... Eϕ2 Eϕ1 E.
Теорема 10 доказана.
Из доказанной теоремы получим первый способ вычисления
обратной матрицы:
1) составить прямоугольную матрицу A|E,
2) привести при помощи неособенных строчечных элементарных преобразований матрицу A|E к виду E|A∗ ,
3) матрица A∗ является обратной к A, то есть A−1 = A∗ .
Пример.


2 2 3


A =  1 − 1 0 ,
−1 2 1
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

 2 2 3


A|E = 
 1 −1 0


−1
2
1

−1
 1


∼
 2


2
−1
0
3
2
−1
 1


∼
 0


0
4
0
3
1
1

−1
 1


∼
 0


0
1
4
0
1
3
−1
1
0
0
0
1
0
1
−1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
−2
0


0 
∼


1
0 


0 
∼
1


1
0 


0 
∼


1

0
0
56
0 

1
1
−2
1




∼



0
1
0

0
1
1
1


0 


1 
∼
0



0
0
1
1
1
−6
0
1
−4



∼



Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

 1


∼
 0


0
0
1
0
0
0

A−1 = 


1
1
1
−1
1 −4
1 −5
−1 6
−4
−3 


−3 
,


−5
6
4

−3

− 3 .
4
§ 11. Запись и решение системы n линейных уравнений
с n переменными в матричной форме
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n переменными
над полем F :


α11 x1 + ... + α1n xn = β1 ,


 α x + ... + α x = β ,
21 1
2n n
2

...



(7)
αn1 x1 + ... + αnn xn = βn .
Введем обозначения:

α11 α12
...
 α
α22
...

A =  21

...
αn1 αn2
...

α1n
α2n 




, X = 


αnn
x1
x2
...
xn






, B = 


β1
β2
...
βn



.

Тогда систему (7) можно записать в виде:
AX = B,
57
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
так как AX дает левую часть уравнений системы (7), а
B – правую. Уравнение (8) называется матричной формой записи
системы (7). (7) и (8) равносильны.
Теорема 11. Пусть система n линейных уравнений с n переменными в матричной форме записи (8) и строки матрицы A
линейно независимы. Тогда уравнение (8) имеет единственное решение, которым является вектор-столбец
X = A−1 B.
Доказательство. 1) По условию теоремы строки матрицы A
линейно независимы, поэтому матрица A обратима, следовательно, существует матрица A−1 , а тогда существует матрица A−1 B.
Подставим в уравнение (8), получим:
AX = A(A−1 B) = (AA−1 )B = EB = B.
Следовательно, X = A−1 B является решением уравнения.
2) Покажем единственность решения:
X = EX = (A−1 A)X = A−1 (AX) = A−1 B.
Поэтому X может иметь только вид A−1 B, но A−1 B определено
однозначно.
Теорема 11 доказана.
Пример. AX = B,

1

A= 1
1
1
2
3


1

3 ,
4
1

B= 0
0
1-й способ: X = A−1 B,
1) вычислить A−1 , 2) вычислить A−1 B.
2-й способ: A|B ∼ E|X.
58
0
2
1

2

3 .
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

 1


A|B = 
 1


1
1
1
2
3
3
4

 1
1


∼
 0


0
1
1
2
2
3
1



∼



1
0
1
1
0
2
−1
0
1
1
∼
 0
1
2
0
0
1





1



∼
 0


0
1
0
0
0
0

1
0
0
2
0
1
2 


3 
∼


0

0
−1
2
−1
1
2 


1 
∼


−2

1
−1
1
1
−1
−1

 1
1
1


0
2
1
1
−3
−4
0
2 
2
1 
∼
3
4
1
5





−4
3




−7 
,


1 5


X =  1 − 4 − 7 .
−1 3 4
59



∼




1
−1
1
2
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 12. Приведенные ступенчатые матрицы
Для ступенчатой матрицы A введем понятие "приведенная
ступенчатая матрица".
Определение 17. Если ступенчатая матрица B, составленная из всех основных столбцов матрицы A, является единичной
матрицей E, то матрица A называется приведенной ступенчатой
матрицей.
Приведенная ступенчатая матрица не имеет нулевых строк.
Все ведущие ее элементы равны 1.
Пример.




A=
−1 3 3
−3 5 2
−3 1
−5
−5 7 1
2 5
3 4
0
−7
4 1



.

Преобразуем матрицу:

5
4
−7
1

−1 3 3 2 5
 0 − 4 − 7 − 3 − 11

∼

0 0 0 0
−2
0 0 0 0 0




A=
−1 3 3
−3 5 2
−3 1 − 5
−5 7 1

60
2
3
0
4


∼



∼

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
−3
1




∼



0



∼



−3
1
−3
0
0
−2 0
0
1
7
4
3
4
0
0
0
0
0
1

7
4
1
0

−3
7
4
1
0
0
−5
3
4
11
4
0
1
9
4
1
4

 1






∼

 0





0
1
7
4
3
4



,
0 



0
0
0
0
1
1
−3


3
4






11 
0 =
,
B


4 



0
1
0




∼





1 −3 −3 −2 −5



B=
 0


−2
0
0
0 
−5
11
4
1
0




.



1
Матрица B 0 не является единичной, поэтому матрица B не является приведенной ступенчатой матрицей.

 1
0
9
4
1
4

0 



C=
 0



1
7
4
3
4



1

 , C0 = 
 0
0 

0


0
0
0
0
1
0
1
0

0

0  = E,
1
поэтому матрица C является приведенной ступенчатой матрицей.
Имеют место следующие теоремы.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 12. Всякая ненулевая матрица строчечно эквивалентна приведенной ступенчатой матрице.
Теорема 13. Всякая квадратная матрица с линейно независимыми строками строчечно эквивалентна единичной ступенчатой
матрице.
Вопросы для самоконтроля
1. Матрицы, их виды и действия над ними.
2. Приведение матрицы к ступенчатой матрице.
3. Вычисление строчечного ранга матрицы.
4. Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы.
5. Операции над матрицами, их свойства.
6. Обратимые матрицы.
7. Элементарные матрицы.
8. Теорема о необратимости квадратной матрицы с нулевой
строкой.
9. Теорема о необратимости квадратной матрицы с линейно зависимыми строками.
10. Условия обратимости матрицы.
11. Вычисление обратной матрицы.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Упражнения
Выполнить действия:
1.
−1 + 3 2
4 1 2 1
−1 2 .
2.
− 1 0 3 + 2 −1 2 2 1 − 2 1 1 6 11 .
3 1
3.
4
!
1 2 −1
2 1 1
+3
−1 3 1
2 1 2
!
!
−1
1
2 4 1
−1 3 2
−2
!
Умножить матрицы:
2
3
4.
3
6
5.

3

6.  2
1

1

7.  2
3

1

8.  0
3
2
1
1
1
2
5
−1
!

1
1
2
2
4
6
1
1
!
2 1
−3 2
.
!
.

1
2

2  2
3
1
1
−1

− 1 1 .
0
1

−2
−2
2
3
−1

6   −1
9
1


1
2 3 1
1


2   −1 1 0   0
1
1 2
−1
3
63

−4

− 4 .
3
2
1
1

1

2 .
1
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

a

9.  c
1




10. 

b
b
1
c
1

a  1
1
1

0 a b c
−a 0 d e
−b
−d 0 f
−c
−e
−f 0
a
b
c

c

b .
a
−f e
−d
f 0
−c b
−e c 0
−a
d
−b a 0
0




Вычислить:

13.
2
2

11.  3
0
1
1
1
3
−4
2
−2
15.
1

0  .
2
1
0
1
1
!5
.
cos ϕ
sin ϕ
2
3
16.
12.
2
1
3
0
17.

14.
2
1




31


 21  .
10
1
1
1
2
!
1


 2 .
3

2

19.
1
2
3
64
.
!n
, n ∈ N.
, n ∈ N.
!
2 

18.  1  1
3
!3
!n
− sin ϕ
cos ϕ
1
0
1
3
3

.
2


 4 .
1



.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20. Найти A · AT , если
3
4
A=
2
1
1
1
2
3
!
.
Найти обратную матрицу:
1
2
21.

23. 

1
2
0
0
2
5
!
.
22.


−3

1 2 .
0 1

1
 0

25. 

26. 
0
0

−5 7
2
−3
0 1 2
0 0 1
3
1
 1

 1
29. 
1




.


2 3


− 1 0 .
27.  1
−1 2 1


1 2 2


28.  2 1 − 2  .
2 −2 1
1
1 1
1
−1
−1
−1 1
−1
−1
−1 1



.

Решить матричные уравнения:
30.
2
1
5
3
.


2
!
−4 5

− 3 1 .
−5
−1
3
2

b
d
1 2
−3


24.  −1 − 1 2  .
2 4
−5
3
1

a
c
!
·X =
65
4
−6
2 1
!
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1

32.
2
3
·X ·
−3 2
5
−3
!
1
2

0
3
33. 


−1
1
 
1
0 = 4
−1 1
1
2

31. X ·  2
1
0



4
1
0
3
0


1 ·X = 2
2
0
1
2
1
0
1
2
4
1
2
3

1 ·X =
2

5

36.  1
2
.

5

34.  1
2
35.
!
−2 4
3
−1
=

3

2 .
5
2 4
0



0 ·X = 3
− 6 .
−1
−5 3
2
0
0
!


−1
3
−2
!
·X =

4

0 .
4
2
0
0
4
4
7
5
8
!
.

0
6
1
1
!
.
37. Найти AB и BA, если

A=
1
2
3
,

2


B =  3 .
5
Решить уравнение:

2

38. X ·  0
0

1

39. X ·  1
1

0
0

0
−3 =
−2 0
1
3
3
2
0
0
−6
−4 9
1
4
2
5

1

6 =
4
66
3
6
!
.
!
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1

40. X ·  1
1
1
3
2

1

6 =
4
1
3
2
4
!
.
Вычислить обратную матрицу:

1

41.  4
7
2
5
8


3

6 .
9
2

42.  4
5
1
2

−3

− 2 .
0 3
43. Найти A−1 · B, если:

1

A=  1
1
1
2
3


1

3 ,
4
1

B= 0
0
67
0
2
1

2

3 .
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глaвa 3
OПPEДEЛИTEЛИ
§ 1. Подстановки
Рассмотрим множество N первых натуральных чисел, начиная с 1: {1, 2, 3, ... , n}.
Обозначим это множество через M : M = {1, 2, 3, ... , n}.
Определение 1. Любое взаимно-однозначное отображение ϕ
множества M (первых n натуральных чисел, начиная с 1) на себя
называется подстановкой n-й степени.
Будем обозначать подстановку, то есть взаимно-однозначное
отображение ϕ множества M на себя, в виде таблицы:
ϕ=
1
ϕ(1)
2
3
...
ϕ(2) ϕ(3) ...
k
ϕ(k)
...
...
n
ϕ(n)
!
.
При записи таблицы порядок в первой строке может быть любой, но во второй строке обязательно под всяким числом k должно
быть записано ϕ(k).
Тождественную подстановку обозначим через e:
e=
1
1
2
2
3
3
∀k
...
...
n
n
e(k) = k .
68
!
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для подстановки ϕ новую подстановку ϕ−1 определим так:
−1
ϕ
ϕ(1)
=
ϕ(2)
1 2
1
=
2 ...
ϕ−1 (2)
ϕ−1 (1)
ϕϕ(n)
n
!
n
... ϕ−1 (n)
!
...
...
=
.
Например, M = {1, 2, 3},
1
2
ϕ=
2
1
!
3
3
ϕ−1
,
2
1
=
1
2
3
3
!
.
Определим произведение двух подстановок ϕ1 и ϕ2 как композицию отображений ϕ1 и ϕ2 : ϕ · ϕ2 = ϕ1 ◦ ϕ2 (6→),
то есть ϕ1 ϕ2 (k) = ϕ1 (ϕ2 (k)).
Но композиция любых двух взаимно-однозначных отображений множества на себя есть взаимно-однозначное отображение
множества на себя, следовательно, ϕ1 ϕ2 есть также подстановка,
иначе, произведение двух подстановок множества M есть подстановка множества M.
Пример. M = {1, 2, 3, 4, 5},
ϕ1 =
1
5
Имеем:
ϕ2 : 1 → 2,
ϕ2 : 2 → 1,
ϕ2 : 3 → 3,
ϕ2 : 4 → 4,
ϕ2 : 5 → 5,
следовательно,
ϕ1 ϕ2 =
2
2
3
3
ϕ1
ϕ1
ϕ1
ϕ1
ϕ1
: 2 → 2,
: 1 → 5,
: 3 → 3,
: 4 → 4,
: 5 → 1,
1
5
2
2
4
4
3
3
5
1
!
, ϕ2 =
ϕ1 ϕ2
ϕ1 ϕ2
ϕ1 ϕ2
ϕ1 ϕ2
ϕ1 ϕ2
4
4
1
2
5
1
3
3
4
4
5
5
!
.
: 1 → 2,
: 2 → 5,
: 3 → 3,
: 4 → 4,
: 5 → 1,
!
69
2
1
·
1
2
2
1
3
3
4
4
5
5
!
=
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
2
=
2
5
3
3
4
4
5
1
!
,
аналогично получим, что
ϕ2 ϕ1 =
1
2
2
1
=
3
3
4
4
1
5
5
5
2
1
!
1
5
·
3
3
4
4
2
2
5
2
3
3
4
4
5
1
!
=
!
.
Умножение двух подстановок одинаковой степени некоммутативно, то есть ϕ1 ϕ2 6= ϕ2 ϕ1 . Множество всех подстановок n-й
степени обозначим через Sn . Относительно умножения подстановок множество Sn образует группу, которую называют еще симметрической группой степени n.
Теорема 1. Множество Sn подстановок n-й степени относительно умножения подстановок образует группу.
Доказательство. Множество Sn подстановок n-й степени не
является пустым множеством, операция "умножение"замкнута на
множестве Sn , умножение ассоциативно (так как композиция
взаимно-однозначных отображений является ассоциативной), тождественная подстановка e является нейтральным элементом и подстановка ϕ−1 является обратной для подстановки ϕ.
Теорема 1 доказанa.
§ 2. Четные и нечетные подстановки
Пусть M = {1, 2, 3, ... , n},
ϕ=
ϕ(1)
1 2 3 ... k ...
ϕ(2) ϕ(3) ... ϕ(k)
n
...
!
ϕ(n)
(∀k, m ∈ M )(k − m > 0 или k − m < 0),
неупорядоченная пара {k, m} (k − m 6= 0, так как k 6= m)
70
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ϕ(k), ϕ(m), ϕ(k)−ϕ(m) – ? ϕ(k)−ϕ(m) > 0 или ϕ(k)−ϕ(m) < 0
(ϕ(k) − ϕ(m) 6= 0, так как ϕ(k) 6= ϕ(m)).
Знак (+) или (–) у разностей k − m, ϕ(k) − ϕ(m) может быть
одинаковый или разный. Если разности
k − m, ϕ(k) − ϕ(m)
имеют один и тот же знак, то неупорядоченная пара {k, m} называется правильной по отношению к подстановке ϕ.
Если разности
k − m, ϕ(k) − ϕ(m)
имеют разные знаки, то неупорядоченная пара {k, m} называется неправильной по отношению к подстановке ϕ или образует в
подстановке ϕ инверсию.
Пример. M = {1, 2, 3, 4},
e=
1
1
2
2
3
3
4
4
!
.
Так как ϕ(k) = k, ϕ(m) = m, то разности k − m и ϕ(k) − ϕ(m)
имеют один и тот же знак, поэтому всегда неупорядоченная пара
{k, m} будет правильной по отношению к подстановке ϕ, инверсий
нет.
!
1 2 3 4
ϕ=
.
2 1 3 4
1 − 2 < 0, 2 − 1 > 0, разные знаки, поэтому неупорядоченная
пара {1, 2} образует инверсию. Следовательно, в подстановке ϕ
есть одна инверсия.
Определение 2. Если подстановка содержит четное число
инверсий, то она называется четной. Если подстановка содержит
нечетное число инверсий, то она называется нечетной.
Пример. Подстановка e является четной подстановкой (0 инверсий), подстановка ϕ – нечетная (одна инверсия).
Определение 3. Подстановка, в которой
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) существует неупорядоченная пара {k, m}, такая, что
ϕ(k) = m, ϕ(m) = k,
2) для остальных элементов s: ϕ(s) = s,
называется транспозицией.
Пример. M = {1, 2, 3, 4}.
e=
1
1
2
2
3
3
4
4
!
.
Подстановка e не является транспозицией.
ϕ=
1
1
2
3
3
2
4
4
!
,
{2, 3}, ϕ(3) = 2, ϕ(2) = 3, 1, ϕ(1) = 1, 4, ϕ(4) = 4.
Подстановка ϕ является транспозицией.
Теорема 2. Любая транспозиция является нечетной подстановкой.
Замечание. Наряду с понятием "подстановка" существует еще
понятие "перестановка". Всякое расположение чисел 1, 2, ..., n в
некотором определенном порядке называется перестановкой из n
чисел.
Пример. Числа 1, 2, 3, 4 можно расположить так: 3, 1, 2, 4 или
2, 4, 1, 3 и так далее.
Число перестановок из n чисел равно n! (n! = 1 · 2 ... n).
§ 3. Знак подстановки
Рассмотрим множество подстановок n-й степени, обозначенное
через Sn , то есть
Sn = {ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕn }.
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подстановка ϕ может быть четной или нечетной, то есть содержать четное или нечетное число инверсий.
Определим функцию "знак подстановки"следующим образом:
(
sgn ϕ =
1,
−1,
ϕ − четная,
ϕ − нечетная.
(по аналогии со знаком всякого рационального числа a):
sign (a) =


 1, a > 0,
0, a = 0,

 −1, a < 0,
sign (ab) = sign (a) · sign (b).
Для вычисления знака подстановки ϕ надо перемножить все
знаки чисел вида
k−m
ϕ(k) − ϕ(m)
для всевозможных неупорядоченных пар {k, m} (k 6= m)
множества M = {1, 2, ..., n}.
sgn ϕ = Πk,m sign
k−m
.
ϕ(k) − ϕ(m)
Отметим свойства знака подстановки.
Свойство 1. Знак произведения двух подстановок равен произведению знаков этих подстановок:
sgn (ϕ1 ϕ2 ) = sgn ϕ1 sgn ϕ2 .
Свойство 2. Знак транспозиции равен (−1).
Свойство 3. Взаимно-обратные подстановки имеют один и
тот же знак.
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример. M = {1, 2, 3, 4, 5}.
1
2
ϕ=
2
1
3
3
4
5
5
4
!
.
1-й способ.Одна инверсия, нечетная подстановка, sgn ϕ = −1.
2-й способ. ϕ – это транспозиция, поэтому sgn ϕ = −1.
1
2
ϕ1 =
2
1
3
3
4
5
5
4
!
.
Две инверсии, четная подстановка, sgn ϕ = 1.
§ 4. Определители квадратных матриц второго
и третьего порядков
Рассмотрим квадратную матрицу A 2 × 2 над полем F. Для
удобства скаляры обозначим не через αij , а через aij :
A=
aij ∈ F, i = 1, 2,
a11
a21
a12
a22
!
,
j = 1, 2.
Определение 4. Определителем квадратной матрицы A второго порядка называется число, равное разности:
a11 a22 − a21 a12 .
Будем обозначать d или |A|, то есть
a
|A| = 11
a21
a12
a22
= a11 a22 − a21 a12
или
d = a11 a22 − a21 a12 .
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример.
A=
1
|A| = 3
2
4
1
3
2
4
!
,
= 1 · 4 − 3 · 2 = 4 − 6 = −2.
Если B – матрица первого порядка, то есть B = (b11 ), то определителем ее будем называть число b11 , то есть
|B| = |b11 | = b11 .
Рассмотрим квадратную матрицу
лем F :

c11 c12

C =  c21 c22
c31 c32
C третьего порядка над по
c13

c23  .
c33
Определим определитель матрицы C следующим образом.
Определение 5. Определителем квадратной матрицы C 3-го
порядка называется число, равное алгебраической сумме:
c11 c22 c33 + c12 c23 c31 + c21 c32 c13 − c31 c23 c13 − c32 c23 c11 − c21 c12 c33 .
Обозначение такое же, как и для 2-го порядка: |C|, d,
c11
c21
c31
c12
c22
c32
c13
c23
c33
.
Записанную алгебраическую сумму можно легко получить по
так называемому "правилу треугольника":
(+)
1∗
3∗
2∗
2∗
1∗
3∗
(−)
3∗
2∗
1∗
5∗
6∗
4∗
75
6∗
4∗
5∗
4∗
5∗
6∗
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
d = (1∗) (1∗) (1∗) + (2∗) (2∗) (2∗) + (3∗) (3∗) (3∗) −
− (4∗) (4∗) (4∗) − (5∗) (5∗) (5∗) − (6∗) (6∗) (6∗).
Пример.
2 1 2 d3 = −4 3 1 =
2 3 5 = 2 · 3 · 5 + 1 · 1 · 2 + (−4) · 3 · 2 − 2 · 3 · 2 − 3 · 1 · 2 − (−4) · 1 · 5 =
= 30 + 2 − 24 − 12 − 6 + 20 = 10.
§ 5. Определители квадратных матриц n-го порядка
Рассмотрим квадратную матрицу A
полем F :

a11 a12
...
 a
...
 21 a22
A=

...
an1 an2
...
n-го порядка над

a1n
a2n 

.

ann
Составим всевозможные произведения по n элементов этой
матрицы, расположенных в разных строках и разных столбцах,
то есть произведения вида:
a1ϕ(1) · a2ϕ(2) ... anϕ(n) ,
(1)
где индексы ϕ(1), ϕ(2), ... , ϕ(n) составляют некоторую перестановку чисел 1, 2, 3, ... , n.
Таких произведений будет столько, сколько будет перестановок (то есть n!). Число, равное алгебраической сумме этих произведений, назовем определителем квадратной матрицы n-го порядка.
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для определения знака каждого произведения в этой алгебраической сумме составим подстановку
ϕ=
1
ϕ(1)
2 ... n
ϕ(2) ... ϕ(n)
!
,
где k → ϕ(k), если в состав произведения (1) входит элемент,
стоящий в k-й строке и ϕ(k)-м столбце.
Например, для
a
d2 = 11
a21
a12
a22
= a11 a22 − a21 a12 ,
знаки будем определять так:
+a11 a22 ,
1
1
ϕ1 =
2
2
!
,
инверсий нет, подстановка четная, знак будет (+);
−a21 a12 ,
!
1 2
ϕ2 =
,
2 1
одна инверсия, подстановка нечетная, знак будет (−).
Для
a
11 a12 a13 d3 = a21 a22 a23 =
a31 a32 a33 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 −
− a31 a23 a13 − a32 a23 a11 − a21 a12 a33 .
знаки будем определять так:
+a11 a22 a33 ,
ϕ1 =
1
1
2
2
77
3
3
!
,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
инверсий нет, подстановка четная, знак будет (+);
+a12 a23 a31 ,
!
1 2 3
ϕ2 =
,
2 3 1
две инверсии, подстановка четная, знак будет (+);
+a21 a32 a13 ,
!
1 2 3
ϕ3 =
,
3 1 2
две инверсии, подстановка четная, знак будет (+);
−a31 a22 a13 ,
!
1 2 3
ϕ4 =
,
3 2 1
три инверсии, подстановка нечетная, знак будет (−);
−a32 a23 a11 ,
!
1 2 3
ϕ5 =
,
1 3 2
одна инверсия, подстановка нечетная, знак будет (−);
−a21 a12 a33 ,
!
1 2 3
ϕ6 =
,
2 1 3
одна инверсия, подстановка нечетная, знак будет (−).
Следовательно, для 2-го и 3-го порядков знак у слагаемого
будет (+), если подстановка четная, и будет (−), если подстановка
нечетная. Сохраним эту закономерность и для n-го порядка.
Определение 6. Определителем квадратной матрицы n-го
порядка называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, составленных следующим образом:
1) слагаемыми являются всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и каждом
столбце,
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
00
00
2) слагаемые берутся со знаком + ’, если индексы его эле00
00
ментов составляют четную подстановку, и со знаком − – если
нечетную подстановку.
dn = Σϕ∈Sn sgn ϕ · a1ϕ(1) · a2ϕ(2) ... anϕ(n) ,
Sn = {ϕi | i = 1, 2, ..., n!}.
§ 6. Основные свойства определителей
Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы.
Доказательство. A, d, члены вида
a1ϕ(1) a2ϕ(2) ... anϕ(n) , всевозможные,
AT , d1 , члены a1ϕ(1) a2ϕ(2) ... anϕ(n) такие останутся в разных
строках и столбцах, следовательно, они являются членами d1 .
Верно и обратное. Поэтому d и d1 состоят из одних членов. Знак
в d определяется четностью подстановки
1
ϕ(1)
2 ...
ϕ(2) ...
n
ϕ(n)
!
,
а знак в d1 определяется четностью подстановки
ϕ(1)
1
ϕ(2) ...
2 ...
ϕ(n)
n
!
.
Подстановки различные в общем случае, но имеют одинаковую
четность, следовательно, знаки у членов d и d1 совпадают. Поэтому d = d1 .
Свойство 1 доказано.
Замечание. Всякое утверждение для строк определителя верно и для столбцов определителя, то есть строки и столбцы в определителе равноправны (в отличие от матрицы). Поэтому остальные свойства будем формулировать только для строк (что будет
автоматически верно и для столбцов).
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойство 2. Если одна из строк определителя нулевая, то
определитель равен нулю.
Доказательство. Обозначим определитель через d, каждый
член из n элементов, в каждом есть один элемент из строки, которая является нулевой, следовательно, члены нулевые (они являются произведениями). Поэтому d = 0.
Свойство 2 доказано.
Свойство 3. От перестановки двух строк определитель лишь
меняет знак, то есть если один определитель получен из другого перестановкой двух строк, то все члены первого определителя
будут членами и во втором, но с противоположными знаками.
Доказательство. d, a1ϕ(1) a2ϕ(2) ... anϕ(n)
1
ϕ(1)
2
ϕ(2) ...
...
ϕ(k)
k
...
m
ϕ(m)
n
ϕ(n)
!
1
ϕ(1)
2
ϕ(2) ...
...
ϕ(k)
m
...
k
ϕ(m)
n
ϕ(n)
!
,
{k, m}
−
транспозиция, меняется четность, поэтому у каждого члена меняется знак. Следовательно, d и d1 отличаются только знаками.
Свойство 3 доказано.
Свойство 4. Если две строки в определителе равны между
собой, то определитель равен нулю.
Доказательство. d, k, m – одинаковые строки, переставим
их, будет определитель −d. А так как переставляются одинаковые строки, то определитель не меняется, следовательно, d = −d,
отсюда получим, что d = 0.
Свойство 4 доказано.
Свойство 5. Если элементы некоторой строки определителя
умножить на некоторое число λ 6= 0, то сам определитель умножится на λ.
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство. При записи суммы заметим, что всякий член
умножается на λ, поэтому получим: d · λ. Следовательно, общий
множитель всех элементов некоторой строки определителя можно
вынести за знак определителя.
Свойство 5 доказано.
Свойство 6. Если две строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Доказательство. k, m в λ раз, вынесем λ за знак определителя, определитель будет иметь две одинаковые строки, поэтому
d = 0.
Свойство 6 доказано.
Замечание. Свойство 2 и свойство 4 являются частными случаями свойства 6 и получаются при λ = 0 и λ = 1.
Свойство 7. Если все элементы k-й строки определителя представляют собой сумму двух слагаемых
akm = bkm + ckm ,
то определитель равен сумме определителей, у которых все элементы такие же, а k-я строка у одного из них bkm , а у другого –
ckm .
a11
b21 + c21
a31
a
11 a12
= b21 b22
a31 a32
a12
b22 + c22
a32
a13
b23
a33
a13
b23 + c23
a33
a
11
+ c21
a31
a12
c22
a32
=
a13
c23
a33
.
Свойство 8. Если одна из строк определителя есть линейная
комбинация его других строк, то определитель равен нулю.
Свойство 9. Определитель не меняется, если к элементам
одной из его строк прибавить соответственные элементы другой
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
строки, умноженные на λ 6= 0 (или прибавить любую линейную
комбинацию других строк).
Свойство 10. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов диагонали. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов диагонали.
§ 7. Миноры и алгебраические дополнения
Рассмотрим квадратную матрицу A размерности n × n над
полем F, вычеркнем i-ю строку и j-й столбец, получим матрицу
B размерности (n − 1) × (n − 1).
Определение 7. Определитель матрицы B, полученной из
квадратной матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца,
называется минором элемента aij .
Обозначение: Mij , то есть Mij = |B|.
Пример.

1

A= 4
0

2
5
1
3

6 ,
2
i = 1, j = 2,
B=
4
0
4
M12 = |B| = 0
6
2
6
2
!
,
= 4 · 2 − 0 · 6 = 8.
Аналогично получим, что
2
M31 = 5
5
M11 = 1
3
6
6
2
= 2 · 6 − 5 · 3 = −3,
= 5 · 2 − 1 · 6 = 4.
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 8. Произведение
(−1)i+j · Mij
называется алгебраическим дополнением элемента aij .
Обозначение: Aij , то есть
Aij = (−1)i+j · Mij .
Если число i + j – четное, то Aij = Mij , если число i + j –
нечетное, то Aij = −Mij .
Пример.
1+2
A12 = (−1)
4
M12 = −M12 = − 0
6
2
= −(8 − 0) = 8,
2 3 A31 = (−1)
M31 = M31 = = 12 − 15 = −3,
5 6 5 6 1+1
A11 = (−1)
M11 = M11 = = 10 − 6 = 4.
1 2 3+1
Отметим следующую теорему.
Теорема 3. Если какая-либо i-я строка (столбец) квадратной
матрицы A нулевая, за исключением, быть может, одного элемента aij , то определитель матрицы A равен произведению этого
элемента aij на его алгебраическое дополнение Aij , то есть
|A| = aij · Aij .
Пример.

1

A= 4
0
2
5
0
a33 = 2,
83

3

6 .
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
|A| = 4
0
= a33 · A33 = 2(−1)3 + 3 M33 =
1 2 = 2
= 2(5 − 8) = −6.
4 5 2
5
0
3
6
2

1

B= 0
4
2
3
5

3

0 ,
6
a22 = 3,
1
|B| = 0
4
2
3
5
1
= 3
4
3
0
6
= a22 · A22 = 3(−1)2+2 M22 =
3 = 3(6 − 12) = −18.
6 § 8. Разложение определителя по строке
или столбцу
Теорема 4. Определитель квадратной матрицы A размерности n × n над полем F равен сумме произведений элементов
какого-либо k-го столбца (i-й строки) на их алгебраические дополнения, то есть
по столбцу:
|A| = a1k A1k + a2k A2k + ... + ank Ank
или по строке:
|A| = ai1 Aik + ai2 Ai2 + ... + ain Ain .
(i, k ∈ {1, 2, ... , n}).
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство. Для столбца, аналогично для строки. Представим k-й столбец в виде суммы n столбцов:





a1k
a2k
...
ank


 
 
=
 
a1k
0
...
0


 
 
+
 
0
a2k
...
0






 + ... + 


0
0
...
ank



.

Тогда |A| будет представлен в виде определителя, у которого
k-й столбец есть сумма из n слагаемых, поэтому по свойству будет равен сумме n определителей, отличающихся только одним
столбцом. Применяя теорему 3, получим
|A| = a1k A1k + a2k A2k + ... + ank Ank .
Теорема 4 доказана.
Пример.

1

A= 0
1

2
5
6
3

− 4 .
2
i = 2,
|A| = a21 A2k + a22 A22 + a23 A23 = 0(−1)2+1 ×
2
× 6
3
2
1
+ 5(−1)2+2 1
3
2
1
+ (−4)(−1)2+3 1
2
6
=
= 5(2 − 3) + 4(6 − 2) = −5 + 16 = 11.
По правилу треугольника получим:
|A| = 10 − 8 + 0 − 15 + 24 − 0 = 2 + 9 = 11.
Заметим, что при n > 3 удобнее применять теорему, предварительно получив нули (кроме одного) в какой-нибудь строке или
столбце.
Для сравнения приведем пример.
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По теореме 4 получим:
d=
1
2
3
5
2
3
2
3
3
4
1
2
4
5
0
1
=
3 4 5 2 4 5 = 1 · 2 1 0 + 2(−1) · 3 1 0 +
3 2 1 5 2 1 2 3 5 2 3 4 +3 · 3 2 0 − 4 · 3 2 1 =
5 3 1 5 3 2 = (3 + 0 + 20 − 15 − 0 − 8) − 2(2 + 0 + 30 − 25 − 0 − 12) +
+ 3(4 + 0 + 45 − 50 − 0 − 9) − 4(8 + 15 + 36 − 40 − 6 − 18) =
= 0 − 2(−5) + 3(−10) − 4(−5) = 10 − 30 + 20 = 0.
По теореме 3 получим:
d=
1
2
3
5
2
3
2
3
3
4
1
2
4
5
0
1
=
1
2
3
4
0
−1
−2
−3
=
0
−4
−8
− 12
0
−7
− 13
− 19
−1
−2
1+1 −8
= a11 A11 = 1(−1)
· −4
−7
− 13
=
−3
− 12
− 19
= 0,
так как в последнем определителе первые две строки пропорциональны.
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подметив это свойство определителя, его можно записать так:
d=
1
2
3
5
2
3
2
3
3
4
1
2
4
5
0
1
1
2
3
0
−1
−2
=
0
−4
−8
0
−7
− 13
4
−3
− 12
− 19
= 0,
так как в последнем определителе вторая и третья строки пропорциональны.
Теорема 5. Сумма произведений элементов какого-либо k-го
столбца (i-й строки) квадратной матрицы A на алгебраические
дополнения соответствующих элементов другого m-го столбца
(j-й строки) равен нулю, то есть
для столбца: a1k A1m + a2k A2m + ... + ank Anm = 0
или для строки: ai1 Ajk + ai2 Aj2 + ... + ain Ajn = 0,
(i, j, k, m ∈ {1, 2, ... , n}, причем, k 6= m, i 6= j).
§ 9. Определитель произведения матриц
Отметим следующие утверждения.
Теорема 6. Если E1 , E2 , ... , Ek – элементарные матрицы то
го же порядка, что и квадратная матрица A, то
|E1 E2 ... Ek A| = |E1 | |E2 | ... |Ek | · |A|.
Теорема 7. Если E1 , E2 , ... , Ek – элементарные матрицы того
же порядка, то
|E1 E2 ... Ek | = |E1 | |E2 | ... |Ek |.
Теорема 8. Определитель произведения двух квадратных матриц A и B oдинaкoвoгo порядка равен произведению определителей этих матриц:
|AB| = |A| |B|.
(2)
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство. Рассмотрим отдельно два случая:
1) строки матрицы A линейно независимы,
2) строки матрицы A линейно зависимы.
1) строки матрицы A линейно независимы. В этом случае матрицу A можно представить в виде произведения элементарных
матриц:
A = E1 E2 ... Ek ,
|A| = |E1 E2 ... Ek | = |E1 ||E2 | ... |Ek |,
AB = (E1 E2 ... Ek )B,
|AB| = |E1 E2 ... Ek B| = |E1 ||E2 | ... |Ek ||B| = |A||B|.
|AB| = |A||B|.
2) строки матрицы A линейно зависимы. В этом случае
|A| = 0, поэтому
|A| |B| = 0.
(3)
При помощи цепочки неособенных элементарных строчечных
преобразований ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕk матрицу A можно привести к ступенчатой матрице C с нулевой строкой.
Eϕk Eϕk−1 ... Eϕ1 A = C. Умножим на B справа
Eϕk Eϕk−1 ... Eϕ1 AB = CB.
В матрице CB будет хотя бы одна строка нулевая, поэтому
|CB| = 0. Следовательно,
|Eϕk ||Eϕk−1 | ... |Eϕ1 ||AB| = |CB| = 0.
А так как
|Eϕk | =
6 0, |Eϕk−1 | =
6 0, ... , |Eϕ1 | =
6 0,
то тогда
|A B| = 0.
88
(4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Значит, и в этом случае из (3) и (4) получим: |AB| = |A| |B|.
Теорема 8 доказана.
Пример.

3

A= 0
5
2
1
4


5

B= 3
7
1

0 ,
3

2
4
5
1

0 .
0
|AB| = |A| |B| =
3
= 0
5
2
1
4
1
0
3
5
· 3
7
3
= 1(−1)2+2 5
1
3
3
· 1(−1)1+3 7
2
4
5
1
0
0
=
1
5
=
= (9 − 5)(15 − 28) = 4(−13) = −52.
Иначе, по правилу треугольника, получим
|A| = 9 + 0 + 0 − 5 − 0 − 0 = 4,
|B| = 0 + 0 + 15 − 28 − 0 − 0 = −13,
|A||B| = 4(−13) = −52.
§ 10. Необходимoе и достаточнoе условия равенства
нулю определителя
∀x(P (x) → Q(x)) −
P (x) – достаточное условие для Q(x), а
Q(x) – необходимое условие для P (x), если формула верна.
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 9. Для того чтобы определитель квадратной матрицы был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы строки
матрицы были линейно зависимы.
В другом виде.
Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только
тогда, когда строки матрицы линейно зависимы.
Схема: 1) Достаточность.
(строки линейно зависимы) → (d = 0).
2) Необходимость.
(d = 0) → (строки линейно зависимы).
Из 1) и 2) будет следовать, что (строки линейно зависимы)
является и необходимым, и достаточным условием для (d = 0).
Доказательство. 1) Достаточность. Если строки линейно зависимы, то d = 0. Так как строки линейно зависимы, то хотя бы
одна из строк является линейной комбинацией других, тогда по
свойству определителя получим, что d = 0.
2) Необходимость. Если d = 0, то строки линейно зависимы.
Доказательство. Oт противного. Предположим, что строки
линейно независимы. Тогда A = E1 ... Ek , |A| = |E1 | ... |Ek |,
поэтому |A| =
6 0. Получили противоречие.
Теорема 9 доказана.
Условия равенства нулю определителя можно также сформулировать в виде другой теоремы, условия в которой будут эквивалентны условиям доказанной теоремы.
Теорема 10. Пусть A – квадратная матрица размерности
n × n над полем F. Тогда равносильны следующие утверждения:
1) |A| =
6 0,
2) строки матрицы A линейно независимы,
3) матрица A обратима,
4) матрицу A можно представить в виде произведения элементарных матриц.
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 11. Теорема о ранге матрицы
Пусть A – ненулевая квадратная матрица размерности n ×
n над полем F (если матрица нулевая, то ранг ее равен нулю).
Каждому ее элементу aij соответствует минор Mij , который есть
определитель матрицы, полученной путем вычеркивания в A
i-й строки и j-го столбца.
Если вычеркнуть из A несколько строк и столбцов, например,
n − k, то получится новая матрица k × k, ее называют подматрицей k-го порядка матрицы A. Определитель такой подматрицы
k-го порядка матрицы A называется минором k-го порядка матрицы A.
Может оказаться так, что все миноры до m-го порядка (включительно) не равны нулю, то есть ненулевые, а минор (m + 1)-го
порядка будет нулевой. Оказывается, что наибольший из порядков ненулевого минора совпадаeт с рангом матрицы.
Теорема 11. Ранг ненулевой квадратной матрицы равен наибольшему из порядков ненулевых миноров матрицы (то есть миноров, отличных от нуля).
Доказательство. Так как A – ненулевая матрица, то ранг ее
r > 0. 1) Докажем, что матрица A имеет хотя бы один ненулевой минор порядка r (то есть подматрица состоит из r строк и r
столбцов). r 6= 0, есть r линейно независимых строк в A.
Составим подматрицу матрицы A из r линейно независимых
строк и обозначим подматрицу B размерности r × n, r(B) = r.
Составим из r строк и r столбцов подматрицу матрицы B и
обозначим ее через C, r(C) = r. Строки матрицы C линейно
независимы, поэтому |C| =
6 0, следовательно, этот определитель
есть ненулевой минор R-го порядка, полученный вычеркиванием
n − r строк и n − r столбцов матрицы A.
2) Покажем, что этот минор имеет наибольший порядок из
всех миноров (6= 0). Если минор будет порядка k, k > r, то так
как все строки матрицы k × n при k > r будут уже линейно
зависимы, то будут линейно зависимы и все строки подматрицы
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
k × k, а поэтому всякий минор k-го порядка равен нулю. Следовательно, наибольший порядок ненулевого минора равен r, то есть
совпадает с рангом матрицы.
Теорема 11 доказана.
Пример.


1 2 3 5
 4 0 1 4 


A=
.
 2 4 6 2 
5 2 4 9
Первый способ. Приведем матрицу к ступенчатой матрице при
помощи строчечных элементарных преобразований.




A=
1
4
2
5
2
0
4
2
3
1
6
4




∼
5
4
2
9


1
2
  0 −8
 
∼
  0
0
0
−8
1 2 3 5
0 − 8 − 11 − 16
0 0 0
−8
0 0 0 0
3
− 11
0
− 11
5
− 16
−8
− 16



 ∼




 = C,

r(A) = 3.
Второй способ. Применим теорему 11. Найдем ненулевой минор первого порядка. Например,
M1 = |1| = 1, 1 6= 0. Найдем ненулевой минор второго порядка.
1 2 M2 = = −8, −8 6= 0.
4 0 Найдем ненулевой минор третьего порядка.
1
M3 = 4
2
2
0
4
3
1
6
= 0 + 4 + 48 − 0 − 4 − 48 = 0,
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
0
M3 = 0
4
3
1
0
5
4
2
= 4 + 48 + 0 − 20 − 48 − 0 = −16, −16 6= 0.
Найдем ненулевой минор четвертого порядка.
M4 = |A| = |C| = 0,
так как в ступенчатой матрице есть нулевая строка. Поэтому нет
ненулевого минора четвертого порядка.
Таким образом, наибольший порядок ненулевого минора равен
3, а поэтому (по теореме 11) r(A) = 3.
§ 12. Обратная матрица
Рассмотрим квадратную матрицу A
полем F.

a11 a12
...
 a
...
 21 a22
A=

...
an1 an2
...
размерности n × n над

a1n
a2n 

.

ann
Составим матрицу из алгебраических дополнений элементов
матрицы A.

A11
 A
 21
Adop = 
A12
A22
An1
A1n
A2n 

...
Ann
...

An2

...
...
,

транспонируем ее, получим матрицу

A11
 A
 12
ATdop = 
A21
A22
A1n
An1
An2 

...
Ann
...

A2n
93

...
...
.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Образуем новую матрицу
1 T
A ,
|A| dop
это будет новая матрица, все члены которой получены из эле1
ментов матрицы ATdop умножением на |A|
. Можно доказать, что
1
T
матрицы A и |A| Adop являются взаимно-обратными матрицами,
то есть имеет место следующая теорема.
Теорема 12. Если определитель квадратной матрицы A не
равен нулю, то
1) матрица A обратима,
2)
1 T
A−1 =
A ,
|A| dop
где ATdop – матрица, транспонированная к матрице, составленной
из алгебраических дополнений.
Доказательство. 1)
AA−1 = A

a11
 a
 21
×
a12
a22
 
...
...
...

an1
1 T
1
1
Adop =
AATdop =
×
|A|
|A|
|A|
an2
a1n
A11

a2n 
  A12
·
A21
A22
...
ann
A2n
A1n

|A| 0 ... 0
1 
... 0
 0 |A|
=

...
|A| 
0 0 ... |A|
Аналогично получим, что
94
An1
An2 

...
Ann
...
 

...
...



 = E.

 =

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2)
A−1 A = E.
Теорема 12 доказана.
Из доказанной теоремы получим второй способ вычисления
обратной матрицы.
1) вычислить |A|,
2) вычислить все алгебраические дополнения Aij ,
3) составить матрицу из алгебраических дополнений, транспонировать, а затем вычислить матрицу по формуле
A−1 =
1 T
A .
|A| dop
Пример.

2

A= 3
1
1
1
2

1

1 .
1
|A| = 2 + 6 + 1 − 1 − 4 − 3 = 1,
1
A11 = (−1)1+1 2
= 1 − 2 = −1,
1 1+2 3
A12 = (−1)
= −2,
1 1 1
1
3
1
1+3 A13 = (−1)
1
A21 = − 2
2
A22 = 1
1
1
= 1,
1
1
1
2
= 5,
= −(−1) = 1,
2
A23 = − 1
95
1
2
= −3,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
A31 = 1
1
1
= 0,
2
A32 = − 3
2
A33 = 3

Adop
1
1


−1

×  −2
5
1
1
−3
= 1,
= −1.

−1 − 2 5
−1



T
− 3  , Adop =  −2
= 1 1
0 1
−1
5
A−1 =
1
1
1
1
−3

0

1 ,
−1
1 T
1
A = ×
|A| dop 1


0
−1
 
1  =  −2
−1
5
1
1
−3

0

1 .
−1
§ 13. Правило Крамера
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n переменными
над полем F.


a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = β1 ,









 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = β2 ,



... ,







 a x + a x + ... + a x = β ,
n1 1
n2 2
nn n
n
96
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

a11
 a
 21
a12
a22
A=
an1




X=
x1
x2
...
xn
a1n
a2n 

...
ann
...

an2

...
...

,




,




B=
β1
β2
...
βn



.

A X = B,

β1
 β
 2
A1 = 
a12
a22

a11
 a
 21
A2 = 
a1n
a2n 

an2
...
ann
β1
β2
...
...
a1n
a2n 

...
ann
...
...

an1

...
...

βn
(6)
βn
,


,

... ,

a11
 a
 21

...
...
β1
β2 

an2
...
βn
|A| = ∆, |A1 | = ∆1 ,
... ,
An = 
a12
a22
...

an1
.

|An | = ∆n .
Теорема 13. Пусть дана система (5) n линейных уравнений
с n переменными над полем F и определитель основной матрицы
A не равен нулю. Тогда система (5) имеет единственное решение,
которым является вектор-столбец:
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∆1
 ∆, 








 ∆2 


,
 ∆ 

.




 ... 






 ∆ 
n
∆
(7)
.
Доказательство. Система (5) равносильна уравнению (6) в
матричной форме записи. А уравнение (6) при |A| =
6 0 имеет единственное решение
X = A−1 B.
Но по теореме 12
1 T
A ,
|A| dop
A−1 =
где ATdop – матрица, транспонированная к матрице, составленной
из алгебраических дополнений.
Тогда получим:
X=
1 T
1
Adop B = ATdop B.
|A|
∆
Найдем
ATdop B.

A11
 A
 12
ATdop B = 
A21
A22
...

A1n
...
...
A2n
...
98
 

An1
β1


An2 
  β2 
·
 =
  ... 
Ann
βn
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»




=
A11 β1 + A21 β2 + ... + An1 βn
A12 β1 + A22 β2 + ... + An2 βn
...
A1n β1 + A2n β2 + ... + Ann βn




=
∆1
∆2
···
∆n



=




,

следовательно,
∆1
 ∆ 







X=
x1
x2
...
xn



1

=

∆




∆1
∆2
·
∆n



 
 
=
 













,


... 



∆ 
∆2
∆
n
∆

∆1


x1 =
,



∆







∆2


,
 x2 =
∆




... ,









∆

 xn = n .
∆
Теорема 13 доказана.
Из правила Крамера получим:
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


x1 · ∆ = ∆1 ,


 x ·∆=∆ ,
2
2

... ,



xn · ∆ = ∆n .
Следовательно,
а) если ∆ = 0, а хотя бы один из
∆1 , ∆2 , ... , ∆n
не равен нулю, то система не имеет решения.
б) если ∆ = 0, и все
∆1 , ∆2 , ... , ∆n
равны нулю, то система имеет бесконечное множество решений.
Пример. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:


2x1 − 5x2 + 3x3 + x4 = 5,


 3x − 7x + 3x − x = −1,
1
2
3
4

5x
−
9x
+
6x
+
2x
1
2
3
4 = 7,



4x1 − 6x2 + 3x3 + x4 = 8.
2
−5 3 1
3
−7 3
−1
∆=
5
−9 6 2
4
−6 3 1
2
−5 0 1
3
−7 6
−1
=
5
−9 0 2
4
−6 0 1
2
= 6(−1)2+3 5
4
−5
−9
−6
1
2
1
=
=
= −6(−18 − 40 − 30 + 36 + 24 + 25) = −6 · (−3) = 18,
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∆ = 18 6= 0, система имеет единственное решение.
5
−1
∆1 = 7
8
−5
−7
−9
−6
3
3
6
3
1
−1
2
1
5
= −6 7
8
5
−1
=
7
8
−5
−9
−6
1
2
1
−5
−7
−9
−6
3
6
0
0
1
−1
2
1
=
=
= −6(−45 − 80 − 42 + 72 + 60 + 35) = −6 · 0 = 0,
∆1 = 0.
2 5
3
−1
∆2 = 5 7
4 8
3
3
6
3
1
−1
2
1
2
= −6 5
4
2 5
3
−1
=
5 7
4 8
5
7
8
1
2
1
0
6
0
0
1
−1
2
1
=
=
= −6(14 + 40 + 40 − 28 − 32 − 25) = −6 · 9 = −54,
∆2 = −54.
2
−5 5
3
−7
−1
∆3 = 5
−9 7
4
−6 8
1
−1
2
1
0 0 0 1
5
− 12 4
−1
=
1 1
−3 2
2
−1 3 1
101
=
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5
= 1 · (−1)1 + 4 1
2
− 12 4
1
−3
−1 3
=
= −(15 + 12 − 4 − 8 − 15 + 96) = −96,
∆3 = −96.
2
−5 3 5
3
−7 3
−1
∆4 = 5
−9 6 7
4
−6 3 8
17
0
=
26
28
17
2+4 = −1(−1)
26
28
17
= −2 · 9 26
28
− 40 18 5 0 0
− 1 =
− 58 27 7 − 62 27 8 − 40
− 58
− 62
− 20
− 29
− 31
18
27
27
2
3
3
=
=
= −18(−17 · 29 · 3 − 60 · 28 − 52 · 31 + 56 · 29 + 51 · 31 + 60 · 29 =
= −18(29 · 5 − 60 · 2 − 31) = −18(145 − 151) = −18 · (−6) = 108,
∆4 = 108.
Таким образом,
x1 = 0, x2 = −3, x3 = −
102
16
, x4 = 6,
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
или, иначе, вектор столбец





0
−3
− 16
3
6



−

искомое решение.
§ 14. Условия, при которых система n однородных
линейных уравнений с n переменными имеет ненулевые
решения
Рассмотрим однородную систему n линейных уравнений с n
переменными:


a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0,









 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = 0,
(8)



... ,







 a x + a x + ... + a x = 0.
n1 1
n2 2
nn n
Теорема 14. Система n однородных линейных уравнений с
n переменными имеет ненулевые решения тогда и только тогда,
когда определитель основной матрицы системы равен нулю.
Доказательство. 1) Пусть система (8) имеет ненулевые решения. Докажем, что
|A| = 0.
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
От противного. Предположим, что
|A| =
6 0.
Тогда по правилу Крамера система имеет единственное решение.
А так как система однородная, то решение будет только нулевое,
что противоречит условию.
2) Пусть
|A| = 0.
Докажем, что система (8) имеет ненулевые решения.
Так как
|A| = 0,
то строки линейно зависимы, следовательно, столбцы линейно зависимы. Тогда система имеет ненулевые решения.
Теорема 14 доказана.
Запишем систему (8) в матричном виде:
AX = B,
где B – нулевой столбец. Поэтому уравнение




AX=
0
0
...
0





имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда
|A| = 0.
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вопросы для самоконтроля
1. Группа подстановок.
2. Четность и знак подстановки.
3. Определитель квадратной матрицы.
4. Основные свойства определителей.
5. Миноры и алгебраические дополнения.
6. Разложение определителя по строке или столбцу.
7. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
8. Oпределитель произведения матриц.
9. Теорема о ранге матрицы.
10. Обратная матрица.
11. 3апись и решение системы n линейных уравнений с n переменными в матричной форме.
12. Правило Крамера.
13. Условия, при которых однородная система n однородных линейных уравнений с n переменными имеет нетривиальные
решения.
Упражнения
Вычислить:
2 3 1. .
−1 2 2 1 2. .
−1 2 105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. 5. .
a + bi c + di1 .
−c + di a − bi a c + di1
4. c − di b
sin α cos α
6. sin β cos β
sin α cos α
−cos α sin α
cos α
7. sin β
1 + √2
√
9. 2+ 5
a+b
11. a+c
sin α
cos β
.
√
2 − √5
1− 2
b+d
c+d
tg α
−1
8. 1 tg α
.
cos ϕ + isin ϕ 1 10. .
1 cos ϕ − isin ϕ .
.
a+b
12. a−b
x−1 1
13. 3
x
x2 + x + 1
1 1 1
14. −1 0 1
−1
−1 0
.
.
.
a−b
oa + b
.
.
0
15. 1
1
1
0
1
1
1
0
.
16. Вычислить определитель матрицы A двумя способами, если

1

A= 4
7
2
6
8

3

1 .
9
Вычислить определитель матрицы, разложив по строке или
столбцу из букв:
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 0
−1
− 1 0
−1
− 1 1 17. .
a
b
c
d −1
−1 1 0 18. 2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
x
y
z
t
2
7
6
1
6
3
8
5
2
7
4
9
4
3
8
.
19. a
b
c
d
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
.
21. 1
3
7
2
2
4
5
2
1
5
6
3
2
6
4
3
.
Вычислить:
20. 1
6
7
2
5
5
8
3
4
9
.
1 3
−2
−2 1
0
−
2
2
1 0
−1 3
22. −1 2 1
1
−
1
3
0 1
2 2 3
−2 1
23. 0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
.
.
2 1 4 3 5 0
− 1 0 24. .
2
−1 6 3 1 5
−1 2 107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 0
−1 2 0
0 0
−
1 0
−2
2
−
1
0
1
2
25. 0 3 2 0
−1
1 0 2 2
−1
1 2 0 0
−2
1 1 .
−1 0 0 0
26. Найти определитель матрицы A, если дана матрица AT :




AT = 

2 3 5 4
−5 − 7 − 9 − 6 

.

1 1 2 1
2
−4 7 2
27. Найти f (A), если f (x) = x2 − 5x + 3,
A=
−1
3
2
−3
!
.
Решить по правилу Крамера системы линейных уравнений:






 3x1 + 2x2 + x3 = 5,


 x1 + 2x2 + 4x3 = 31,

2x1 − x2 − x3 = 4,
 x1 + x2 + 2x3 = −1,
3x1 + 4x2 − x3 = 11, 29. 2x1 − x2 + 2x3 = −4,
28.


 3x − 2x + 4x = 11.
 4x + x + 4x = −2.
1
2
3
1
2
3
30.
2x + 3x + x = 1,
1
2
3

 2x + x + 3x = 11.
1
2
3
31.
5x + x + 2x = 29,
1
2
3

 3x − x + x = 10.
1
2
3


x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1,


 3x − x − x − 2x = −4,
1
2
3
4
32.

2x
+
3x
−
x
−
x
1
2
3
4 = −6,



x1 + 2x2 + 2x3 − x4 = −4.
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 6,


 2x − x − 2x − 3x = 8,
1
2
3
4
33.

3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 4,



2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = −8.


x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5,


 2x + x + 2x + 3x = 1,
1
2
3
4
34.

3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 1,



4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = −5.


x2 − 3x3 + 4x4 = −5,


 x − 2x + 3x = −4,
1
3
4
35.
 3x1 + 2x2 − 5x4 = 12,



4x1 + 3x2 − 5x3 = 5.


2x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 4,


 3x + 3x + 3x + 2x = 6,
1
2
3
4
36.
 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = 6,



3x1 − x2 + 3x3 − x4 = 6.





x1 + x2 + x3 + x4 = 0,
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0,
37.
 x1 + 3x2 + 6x3 + 10x4 = 0,



x1 + 4x2 + 10x3 + 20x4 = 0.
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 4
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Арифметическое n-мерное векторное пространство
Пусть множество F образует поле, < α, β > – упорядоченная
пара, < α, β, γ > – упорядоченная тройка,
< α1 , α2 , ..., αn > или (α1 , α2 , ..., αn ) – кортеж из n элементов.
Обозначим кортеж (α1 , α2 , ..., αn ) через a и назовем a
n-мерным вектором над полем F, то есть
α1 , α2 , ..., αn ∈ F.
a := (α1 , α2 , ..., αn ),
Составим множество всех n-мерных векторов над полем F и
обозначим его через F n ,
F n := {a | a = (α1 , α2 , ..., αn ), α1 , α2 , ..., αn ∈ F }.
Определим бинарную алгебраическую операцию "сложение"(+)
на множестве F n :
a = (α1 , α2 , ..., αn ), b = (β1 , β2 , ..., βn ),
c = (α1 + β1 , α2 + β2 , ..., αn + βn ),
∀a, b ∈ F
n
a + b = c, c ∈ F
n
.
Вектор a можно записывать и в виде столбца




a=
α1
α2
...
αn
110



.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Два вектора a = (α1 , α2 , ..., αn ) и b = (β1 , β2 , ..., βn ) равны тогда и
только тогда, когда α1 = β1 , α2 = β2 , ..., αn = βn .
Определим (внешнюю) операцию – умножение (·) элемента из
множества F n на скаляр из F :
λ · a := (λα1 , λα2 , ..., λαn ),
∀a ∈ F
n
∀λ ∈ F
n
λ·a∈F
.
Нулевой вектор обозначим через 0 = (0, 0, ..., 0). Для вектора a
противоположный вектор обозначим через −a,
−a = (−1)a.
Определение 1. Арифметическим n-мерным векторным пространством над полем F называется множество всех n-мерных
векторов с заданными на нем 1) бинарной операцией (+) векторов, 2) операцией умножения вектора на скаляр из F.
< F n , +, · > – алгебра, F – поле, F не является пустым множеством, поэтому F n не является пустым множеством.
Пример. F = R, F n = Rn , n ∈ N, 0 = (0, 0, ..., 0),
a = (α1 , α2 , ..., αn ), α1 , α2 , ..., αn ∈ R,
−a = (−1) · a = (−α1 , −α2 , ..., −αn ), −1 ∈ R, −a ∈ Rn ,
λ · a = (λα1 , λα2 , ..., λαn ) = b, b ∈ Rn .
n
∀a, b ∈ R
n
∀a ∈ R
n
a + b = c, c ∈ R
∀λ ∈ R
,
n
λ · a = b1 , b1 ∈ R
.
Отметим свойства главных операций арифметического n-мерного
векторного пространства.
Свойство 1. Алгебра < F n , + > – абелева группа.
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойство 2. Умножение вектора на скаляры ассоциативно:
∀λ, β ∈ F
∀a ∈ F n
(λβ)a = λ(βa) .
Свойство 3. Умножение на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов:
∀λ ∈ F
∀a, b ∈ F
n
λ(a + b) = λa + λb .
Свойство 4. Умножение на вектор дистрибутивно относительно сложения скаляров:
∀λ, β ∈ F
∀a ∈ F
n
(λ + β)a = λa + βa) .
Свойство 5.
∀a ∈ F
n
1∈F
1· a=a .
§ 2. Векторное пространство над полем
Определение 2. Векторным (или линейным) пространством
над полем F называется непустое множество V с заданными бинарной операцией сложения элементов из V и операцией умножения скаляров из поля F на элементы множества V, если выполнены следующие аксиомы:
1) алгебра < V, + > – абелева группа,
2)
∀λ, β ∈ F
3)
∀a ∈ V
∀λ ∈ F
∀a, b ∈ V
112
(λβ)a = λ(βa) ,
λ(a + b) = λa + λb ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4)
∀λ, β ∈ F
∀a ∈ V
5)
(λ + β)a = λa + βa) ,
∀a ∈ V
1∈F
1·a=a .
Элементы из V называются векторами, алгебра < V, + > называется аддитивной группой векторного пространства, 0 – нулевой вектор, a, −a – взаимно противоположные векторы пространства V. Заметим, что здесь присутствуют четыре операции:
(+) в V, (·) элементов из F на элементы из V дает элемент
V и в F есть свои (+) и (·).
Примеры. 1. V = Rn – арифметическое n-мерное векторное
пространство над полем R,
a = (a1 , a2 , ..., an ), a1 , ..., an ∈ R.
2. V = F n , аналогично получим, что
a = (a1 , a2 , ..., an ), a1 , ..., an ∈ F,
частные случаи: a) F = R, б) F = C.
3. V – множество всех векторов плоскости, оно является векторным пространством над полем R относительно сложения векторов из V и умножения вектора на действительное число из
поля R.
§ 3. Простейшие свойства векторного пространства
над полем
Пусть V – векторное пространство над полем F.
Свойство 1.
∀a, b ∈ V
a+b=a → b=0 .
Доказательство.
∀a, b ∈ V
a + b = a, a + 0 = a ,
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
следовательно, a + b = a + 0, поэтому по левому правилу сокращения в группе < V, + >, получим отсюда, что b = 0.
Свойство 1 доказано.
Свойство 2.
∀a ∈ V
0∈F
0·a=0 .
Доказательство. Имеем:
∀λ, β ∈ F
∀a ∈ V
(λ + β)a = λa + βa .
При α = β = 0 получим, что (0 + 0)a = 0a + 0a, отсюда
0a = 0a + 0a, иначе, 0a + 0a = 0a. Применяя теперь левое правило
сокращения в аддитивной группе, получим, что 0a = 0.
Свойство 2 доказано.
Свойство 3.
∀α ∈ F
0∈V
α·0=0 .
Доказательство. Имеем:
∀α ∈ F
∀a, b ∈ V
α(a + b) = αa + αb .
При a = b = 0 получим α(0 + 0) = α0 + α0, следовательно,
α0 = α0 + α0, иначе α0 + α0 = α0, отсюда получим, что α0 = 0.
Свойство 3 доказано.
Свойство 4.
∀a, b ∈ V
a + b = 0 → b = −a .
Доказательство. Имеем:
∀a, b ∈ V
a + b = 0,
114
a + (−a) = 0 ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
следовательно,
a + b = a + (−a),
поэтому по левому правилу сокращения в группе < V, + > получим отсюда, что b = −a.
Свойство 4 доказано.
Свойство 5.
∀a, b ∈ V
∀α ∈ F, α 6= 0
αa = αb → a = b .
Доказательство. Имеем:
∀a, b ∈ V
∀α ∈ F, α 6= 0
αa = αb .
Умножим обе части последнего равенства на α−1 слева, получим:
α−1 (αa) = α−1 (αb).
Следовательно, (α−1 α)a = (α−1 α)b, отсюда получим, что a = b.
Свойство 5 доказано.
Свойство 6.
∀a ∈ V
∀α ∈ F
αa = 0 → α = 0
a=0 .
Доказательство. 1. Если α = 0, то αa = 0.
2. Если α 6= 0, по условию αa = 0, а по свойству 4 α0 = 0,
то, следовательно, αa = α0. Поэтому по свойству 5 получим, что
a = 0.
Свойство 6 доказано.
Свойство 7.
∀a ∈ V, a 6= 0
∀α, β ∈ F
115
αa = βa → α = β .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство. Имеем: αa = βa. Прибавим к обеим частям
последнего равенства (−β)a справа, получим
(α + (−β))a = (β + (−β))a,
следовательно,
(α + (−β))a = 0a.
А так как 0a = 0, a 6= 0, то из равенства (α+(−β))a = 0 получим,
что α + (−β) = 0, отсюда следует следующее равенство: α = β.
Свойство 7 доказано.
§ 4. Подпространство, линейная оболочка множества
векторов
Определение 3. Подпространством векторного пространства
V над полем F называется непустое подмножество V0 множества
V, которое само образует векторное пространство над полем F
относительно тех же операций, что и векторное пространство V.
Пример. V = R2 × 2 – векторное пространство квадратных
матриц второго порядка над полем R,
V0 – множество всех квадратных матриц второго порядка вида
a
−b
b
a
над полем R.
Так как V0 ⊂ V, V0 не является пустым множеством и само
образует векторное пространство над тем же полем относительно
тех же операций, что и V, то V0 будет подпространством этого
векторного пространства.
Определение 4. Для любых λ1 , ..., λn ∈ F сумма вида
λ1 a1 + ... + λn an
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
называется линейной комбинацией векторов a1 , ..., an ∈ V с коэффициентами λ1 , ..., λn .
Определение 5. Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты λ1 , ..., λn равны нулю.
Определение 6. Линейной оболочкой векторов
a1 , ..., an
называется множество всех линейных комбинаций векторов с коэффициентами из поля F.
Обозначение: L, L(a1 , ..., an ),
L(a1 , ..., an ) :=
:= {λ1 a1 + ... + λn an | a1 , ..., an ∈ V, λ1 , ..., λn ∈ F }.
Если множество всех векторов A пусто, то L = {0}, следовательно, линейная оболочка не бывает пустой.
Линейная оболочка является подпространством векторного пространства и называется подпространством, порожденным векторами
a1 , ... , an
(или подпространством, натянутым на векторы a1 , ..., an ).
Определение 7. Суммой подпространств V1 и V2 называется
подпространство V0 вида
V0 := {a | a = a1 + a2 , a1 ∈ V1 , a2 ∈ V2 },
V0 = V1 + V2 .
Определение 8. Прямой суммой подпространств называется
сумма подпространств, если всякий вектор можно единственным
образом представить в виде суммы
a = a1 + a2 , a1 ∈ V1 , a2 ∈ V2 .
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В этом случае знак "+" будем записывать "в кружочке".
Имеют место следующие утверждения:
1. Сумма подпространств будет прямой тогда и только тогда,
когда V1 ∩ V2 = {0}.
2. Сумма подпространств будет прямой, если из равенства a1 +
... + an = 0 следует, что a1 = 0, ..., an = 0.
Определение 9. Два вектора a и b векторного пространства
V называются сравнимыми по подпространству V0 , если вектор,
равный их разности, принадлежит V0 .
Определение 10. Линейным многообразием пространства V
с направлением V0 (где V0 – подпространство пространства V )
называется всякий класс эквивалентности отношения сравнения
по V0 .
Пример. V – множество всех решений совместной неоднородной системы линейных уравнений,
V0 – множество всех решений соответствующей однородной системы линейных уравнений.
Так как разность любых двух решений неоднородной системы
линейных уравнений есть решение соответствующей однородной
системы линейных уравнений, то получим только один класс эквивалентности по отношению сравнения по V0 , а именно, класс V.
Следовательно, V будет линейным многообразием с направлением V0 .
§ 5. Линейная зависимость и линейная независимость
системы векторов
Определение 11. Система векторов a1 , a2 , ..., an векторного
пространства V над полем F называется линейно зависимой, если
существуют λ1 , λ2 , ..., λn ∈ F, не все равные нулю, такие, что
λ1 a1 + λ2 a2 + ... + λn an = 0.
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 12. Система векторов a1 , a2 , ..., an векторного
пространства V над полем F называется линейно независимой,
если для любых λ1 , λ2 , ..., λn ∈ F из равенства
λ1 a1 + λ2 a2 + ... + λn an = 0
следует, что λ1 = 0, λ2 = 0, ..., λn = 0.
Отметим, что пустая система векторов считается линейно независимой.
Примеры. 1. В арифметическом n-мерном векторном пространстве F n над полем F система единичных векторов e1 , e2 , ..., en , где
e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), en = (0, 0, ..., 1),
является линейно независимой.
2. В векторном пространстве C над полем R система векторов
a1 , a2 , где
a1 = 1, a2 = i, i2 = −1,
является линейно независимой, а система векторов b1 , b2 , где
b1 = 2 + 5i, b2 = 4 + 10i, является линейно зависимой.
Отметим некоторые свойства линейной зависимости.
Свойство 1. Система векторов, содержащая нулевой вектор,
является линейно зависимой.
Доказательство. Пусть в системе векторов a1 , a2 , ..., an вектор
ak = 0. Тогда можно выбрать коэффициенты:
λ1 = 0, λ2 = 0, ..., λk 6= 0, λk+1 = 0, ..., λn = 0,
следовательно, существуют λ1 , ..., λn , не все равные нулю, такие,
что
λ1 a1 + ... + λn an = 0,
поэтому система векторов a1 , a2 , ..., an линейно зависима.
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойство 1 доказано.
Свойство 2. Если некоторая часть системы (ее подсистема)
линейно зависима, то и вся система векторов линейно зависима.
Доказательство. Пусть в системе векторов a1 , a2 , ..., an подсистема a1 , a2 , ..., am , 1 ≤ m ≤ n, будет линейно зависимой. Тогда существует вектор с ненулевым коэффициентом в линейной
комбинации из векторов подсистемы, следовательно, существуют
λ1 , ..., λn , не все равные нулю, такие, что
λ1 a1 + ... + λn an = 0,
поэтому система векторов a1 , a2 , ..., an линейно зависима.
Свойство 2 доказано.
Свойство 3. Система, состоящая из одного вектора, будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
Доказательство. 1) Если a1 = 0, то λ1 a1 = 0 при любом λ1 ,
следовательно, существует λ1 6= 0, при котором линейная комбинация дает нулевой вектор. Поэтому система, состоящая из одного
нулевого вектора, будет линейно зависимой.
2) Если система, состоящая из одного нулевого вектора, линейно зависима, то существует λ1 6= 0, при котором линейная комбинация дает нулевой вектор: λ1 a1 = 0. Отсюда получим, что вектор
a1 = 0.
Свойство 3 доказано.
Свойство 4. Система, состоящая более чем из одного вектора
(причем существует, например, a1 6= 0), линейно зависима тогда
и только тогда, когда какой-нибудь из этих векторов линейно выражается через остальные.
Доказательство. 1. Пусть система векторов a1 , a2 , ..., an линейно зависима, a1 6= 0, следовательно, существуют λ1 , ..., λn , не
все равные нулю, такие, что
λ1 a1 + ... + λn an = 0.
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть самый наибольший номер m ≥ 2, такой, что λm 6= 0,
λ1 a1 + ... + λm am = 0
(m ≥ 2, так как если m ≥ 1, то со второго все λ = 0, поэтому
λ1 a1 = 0, a1 6= 0, следовательно, λ1 = 0, а по условию не все
λi = 0, так как система векторов a1 , a2 , ..., an линейно зависима).
Так как λm 6= 0, то существует λ−1
m ∈ F. Умножим на него почленно равенство
λ1 a1 + ... + λm am = 0,
а затем найдем отсюда вектор am , тогда получим:
−1
am = (−λ−1
m λ1 )a1 + ... + (−λm λm−1 )am−1 .
Поэтому вектор am линейно выражается через остальные векторы.
2. Пусть вектор as , 1 < s < n линейно выражается через
остальные:
as = α1 a1 + ... + αs−1 as−1 .
Отсюда получим, что
λ1 a1 + ... + λs−1 as−1 + (−1)as = 0.
Поэтому существуют α1 , ..., αs−1 , αs , не все равные нулю, такие,
что
α1 a1 + ... + αs−1 as−1 + αs as = 0,
поэтому система векторов a1 , a2 , ..., as линейно зависима, а следовательно, и вся система векторов a1 , a2 , ..., an является линейно
зависимой.
Свойство 4 доказано.
Свойство 5. Если система векторов a1 , a2 , ..., an линейно независима, но при добавлении к ней некоторого вектора b становится линейно зависимой, то вектор b линейно выражается через все
остальные векторы.
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство. Так как система векторов a1 , a2 , ..., an , b линейно зависима, то существуют λ1 , ..., λn ∈ F, не все равные нулю,
такие, что
λ1 a1 + ... + λn an + λb = 0.
(1)
Но система векторов a1 , a2 , ..., an линейно независима, поэтому из
равенства
λ1 a1 + λ2 a2 + ... + λn an = 0
следует, что λ1 = 0, ..., λn = 0. Тогда получаем, что λ 6= 0. Поэтому существует λ−1 .
Таким образом, из (1) получим:
b = µ1 a1 + ... + µn an .
(2)
Единственность представления докажем методом от противного.
Пусть существует два различных представления:
b = µ1 a1 + ... + µn an ,
b = ν1 a1 + ... + νn an .
Отсюда почленным вычитанием получим равенство:
0 = (µ1 − ν1 )a1 + ... + (µn − νn )an .
А так как система векторов a1 , a2 , ..., an линейно независима, то
из последнего равенства получим следующие равенства для коэффициентов:
µ1 − ν1 = 0, ..., µn − νn = 0.
Следовательно, µ1 = ν1 , ..., µn = νn . Получили противоречие.
Свойство 5 доказано.
Отметим, что в арифметическом n-мерном векторном пространстве всякая система векторов
a1 , a2 , ..., ak
при k > n будет линейно зависимой.
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 6. Эквивалентные конечные системы векторов
Рассмотрим конечные системы векторов векторного пространства V над полем F :
a1 , a2 , ..., am ,
(3)
a1 , a2 , ..., ak .
(4)
Определение 13. Две конечные системы векторов (3) и (4)
называются эквивалентными, если каждый ненулевой вектор любой из этих систем можно представить в виде линейной комбинации векторов другой системы.
Определение 14. Элементарными преобразованиями конечной системы векторов называются следующие преобразования:
1) умножение любого вектора системы векторов на скаляр
λ ∈ F, λ 6= 0;
2) прибавление (вычитание) к любому вектору системы векторов другого вектора этой системы векторов, умноженного на
скаляр λ 6= 0;
3) исключение из системы векторов (или введение в систему
векторов) нулевого вектора.
Преобразования 1) и 2) называют неособенными преобразованиями, а 3) – особенным.
Отметим некоторые свойства эквивалентных систем векторов.
Свойство 1. Две конечные системы векторов эквивалентны
тогда и только тогда, когда равны их линейные оболочки.
Свойство 2. Если две системы векторов эквивалентны и каждая из них линейно независима, то они состоят из одинакового
числа векторов.
Свойство 3. Если одна система векторов получена из другой
системы векторов в результате цепочки элементарных преобразований, то эти две системы векторов эквивалентны.
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 7. Базис конечной системы векторов
Определение 15. Базисом конечной системы векторов называется непустая линейно независимая ее подсистема, эквивалентная всей системе векторов. Иначе, это непустая линейно независимая ее подсистема, через векторы которой линейно выражается
каждый вектор данной системы.
Отметим свойства базиса конечной системы векторов.
Свойство 1. Если конечная система векторов содержит хотя
бы один ненулевой вектор, то она имеет базис.
Свойство 2. Любые два базиса данной конечной системы векторов состоят из одинакового числа векторов.
§ 8. Ранг конечной системы векторов
Определение 16. Рангом конечной системы ненулевых векторов называется число векторов, входящих в какой-нибудь базис
этой системы векторов.
Ранг системы нулевых векторов считается равным нулю. Ранг
пустой системы векторов считается равным нулю.
Отметим некоторые свойства ранга.
Свойство 1. Если система векторов
a1 , a2 , ..., ak ∈ L(b1 , b2 , ..., bn ),
то ранг системы векторов a1 , a2 , ..., ak не превосходит ранга системы векторов b1 , b2 , ..., bn .
Свойство 2. Ранг любой подсистемы конечной системы векторов не превосходит ранга всей системы векторов.
Свойство 3. Если две конечные системы векторов эквивалентны, то они имеют один и тот же ранг.
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойство 4. Ранг любой конечной системы векторов арифметического n-мерного векторного пространства не превосходит
n.
Свойство 5. Если конечная система векторов имеет ранг r, то
любая ее подсистема из k векторов при k > r линейно зависима.
Свойство 6. Если ранг системы векторов a1 , a2 , ..., an равен
рангу системы векторов a1 , a2 , ..., an , b, то вектор b можно представить в виде линейной комбинации векторов a1 , a2 , ..., an .
§ 9. Базис и размерность конечномерного векторного
пространства
Определение 17. Векторное пространство V над полем F называется конечномерным, если оно порождается конечным множеством векторов, то есть если существует в V такая конечная
система векторов a1 , a2 , ..., an , что
V = L a1 , a2 , ..., an .
Определение 18. Базисом конечномерного векторного пространства V над полем F называется непустая конечная линейно
независимая система векторов, порождающая это векторное пространство.
Пример. V = Rn – арифметическое n-мерное векторное пространство над полем R,
e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en = (0, 0, ..., 1).
Cистема векторов e1 , e2 , ..., en , линейно независима
ипорождает
векторное пространство V, то есть V = L e1 , e2 , ..., en . Cледовательно, эта система векторов является базисом векторного пространства V над полем R.
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 19. Размерностью ненулевого конечномерного
векторного пространства V над полем F называется число векторов какого-нибудь базиса векторного пространства V над F. Обозначение: dim V.
Размерность нулевого векторного пространства считается равной нулю.
Пример. V = Rn , в базисе n векторов, dim V = n.
Отметим некоторые свойства размерности.
Свойство 1. Если V – конечномерное векторное пространство, dim V = n, то всякая система из k векторов при k > n будет
линейно зависимой.
Свойство 2. Если V0 – подпространство конечномерного векторного пространства V, то dim V0 ≤ dim V.
Свойство 3. Если конечномерное векторное пространство V
есть прямая сумма подпространств V1 и V2 , то есть V = V1 ⊕ V2 ,
то dim V = dim V1 + dim V2 .
§ 10. Координатная строка (столбец) вектора
относительно данного базиса
Определение 20. Разложением вектора a по базису b1 , b2 , ..., bn
называется представление a в виде линейной комбинации векторов b1 , b2 , ..., bn :
a = α1 b1 + ... + αn bn ,
где αi ∈ F, i = 1, 2, ..., n.
Заметим, что α1 , ..., αn ∈ F, (α1 , ..., αn ) ∈ F n .
В разложении вектора по базису
a = α1 b1 + ... + αn bn ,
коэффициенты α1 , ..., αn называются координатами вектора a в
базисе b1 , b2 , ..., bn .
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вектор (α1 , ..., αn ) называется координатной строкой вектора
a относительно базиса b1 , b2 , ..., bn .
Вектор


α1
 α 
 2 


 ... 
αn
называется координатным столбцом вектора a относительно базиса b1 , b2 , ..., bn .
Теорема 1 (о единственности разложения вектора по базису).
Пусть b1 , b2 , ..., bn – базис векторного пространства V над полем
F. Тогда для всякого вектора a ∈ V существует единственное
разложение вектора a по базису:
a = α1 b1 + ... + αn bn ,
где αi ∈ F, i = 1, 2, ..., n.
Доказательство. 1. Существование. Система векторов
b1 , b2 , ..., bn является базисом, следовательно, порождает векторное пространство V, поэтому всякий вектор a ∈ V можно представить в виде линейной комбинации векторов
b1 , b2 , ..., bn .
2. Единственность. От противного. Пусть есть еще одно представление, отличное от первого:
a = α1 b1 + ... + αn bn ,
a = β1 b1 + ... + βn bn ,
(α1 , ..., αn ) 6= (β1 , ..., βn ).
Отсюда получим следующее равенство:
0 = (α1 − β1 )b1 + ... + (αn − βn )bn .
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Но b1 , b2 , ... , bn − базис, следовательно, линейно независимая
система векторов, поэтому из последнего равенства получим, что
(α1 − β1 ) = 0, ..., (αn − βn ) = 0.
А значит,
(α1 , ..., αn ) = (β1 , ..., βn ).
Получили противоречие.
Теорема 1 доказана.
§ 11. Изоморфизм векторных пространств одинаковой
размерности
Определение 21. Векторные пространства V1 и V2 над полем
F называются изоморфными, если между ними можно установить взаимно-однозначное отображение f, сохраняющее обе главные операции:
∀a, b ∈ V1
f (a + b) = f (a) + f (b)
∀a ∈ V1
∀λ ∈ F
f (λ · a) = λ · f (a) .
Изоморфизм векторных пространств – это взаимно-однозначное
отображение, сохраняющее обе главные операции.
Отметим некоторые свойства изоморфизма f векторных пространств V1 и V2 .
Свойство 1. Нулевой вектор из V1 отображается в нулевой
вектор из V2 .
Свойство 2. Базис e1 , e2 , ..., en из V1 отображается в базис
f (e1 ), f (e2 ), ..., f (en ) из V2 .
Свойство 3. Размерность dim V1 = dim V2 .
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 2. Любые два конечномерные векторные пространства V1 и V2 над полем F одинаковой размерности n изоморфны.
Доказательство. I. n = 0. В этом случае векторные пространства будут нулевыми, следовательно, они изоморфны.
II. n > 0, n ∈ N.
1) Докажем, что векторное пространство V1 изоморфно арифметическому n-мерному векторному пространству F n .
Пусть e1 , e2 , ..., en – базис V1 . Рассмотрим следующее отображение f :
a ∈ V1 , a = α1 e1 + ... + αn en → α = (α1 , ..., αn ), α ∈ F n .
Это отображение является взаимно-однозначным (нетрудно проверить). Проверим сохранение обеих главных операций:
a)
∀a, b ∈ V1 , a = α1 e1 + ... + αn en , b = β1 e1 + ... + βn en
f (a + b) = f (α1 + β1 )e1 + ... + (αn + βn )en =
= (α1 + β1 ), ..., (αn + βn ) =
= α1 , ... , αn + β1 , ... , βn = f (a) + f (b);
b) f (λa) = f λα1 e1 + ... + λαn en = λα1 , ..., λαn =
= λ α1 , ..., αn = λf (a).
Следовательно, f – изоморфизм V1 на F n , то есть V1 изоморфно
F n.
2) Аналогично докажем, что V2 изоморфно F n .
3) Из пунктов 1) и 2) получим теперь по транзитивности, что
V1 изоморфно V2 .
Теорема 2 доказана.
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 12. Векторное пространство со скалярным умножением
Определение 22. Скалярным умножением векторов a и b
векторного пространства над полем F называется скаляр a · b ∈ F,
удовлетворяющий условиям:
∀a, b ∈ V
1)
2)
∀a, b, c ∈ V
a·b=b·a ,
∀α, β ∈ F
αa + βb · c = α a · c + β b · c .
Скалярное умножение есть отображение, ставящее ∀a, b ∈ V скаляр a · b, удовлетворяющий условиям 1) и 2).
Скалярное умножение называется невырожденным, если
∀a ∈ V, a 6= 0
a · a 6= 0 .
Скалярное умножение называется нулевым, если
∀a, b ∈ V
a·b=0 .
Если скалярное умножение a · b = 0, то векторы a и b называются ортогональными или взаимно ортогональными.
Определение 23. Система векторов a1 , ..., an векторного пространства V над полем F называется ортогональной, если любые
два вектора системы векторов взаимно ортогональны.
Система, состоящая из одного вектора a 6= 0, считается ортогональной.
Если система является базисом и она ортогональна, то она
называется ортогональным базисом.
Теорема 3. Если ортогональная система ненулевых векторов не является базисом, то ее можно дополнить до ортогонального базиса, то есть дополнить систему так, чтобы она
оставалась по-прежнему ортогональной и являлась бы базисом.
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если подпространство M ⊂ V и вектор a ∈ V ортогонален
всякому вектору b ∈ M, то a ∈ V ортогонален M.
Множество всех элементов a ∈ V, которые ортогональны M,
будем записывать:
M ⊥ := a ∈ V | a ⊥ M .
Это множество непустое, замкнуто относительно сложения векторов и умножения вектора на скаляр, образует векторное пространство, является подпространством векторного пространства
V, которое называется ортогональным к M, или ортогональным
дополнением к M в пространстве V.
Определение 24. Евклидовым векторным пространством называется векторное пространство V над полем R с положительно
определенным скалярным умножением:
∀a ∈ V, a 6= 0
a·a>0 .
Определение 25. Нормой вектора евклидова векторного пространства называется арифметический квадратный корень из скалярного квадрата вектора.
||a|| :=
q
a · a,
||a|| ≥ 0,
||a||2 = a · a.
Если ||a|| = 1, то вектор a называется нормированным.
Отметим свойства нормы.
Свойство 1. ||a|| = 0 тогда и только тогда, когда a = 0.
Свойство 2.
||λa|| = |λ| ||a||.
Свойство 3. Неравенство Коши – Буняковского:
|a · b| ≤ ||a|| · ||b||.
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойство 4. Неравенство треугольника:
||a + b|| ≤ ||a|| + ||b||.
Определение 26. Система векторов евклидова векторного
пространства называется ортонормированной, если:
1) она ортогональна, 2) каждый вектор нормирован.
Если система векторов ортонормирована и является базисом,
то она называется ортонормированным базисом.
Определение 27. Евклидовы векторные пространства V1 и V2
называются изоморфными, если между ними можно установить
взаимно-однозначное отображение f, при котором
1) сохраняются обе главные операции:
∀a, b ∈ V1
f (a + b) = f (a) + f (b) ,
∀a ∈ V1
λ∈R
2)
f (λa) = λf (a) ,
∀a, b ∈ V1
a · b = f (a) · f (b) .
Вопросы для самоконтроля
1. Арифметическое n-мерное векторное пространство, свойства.
2. Векторное пространство над полем, примеры.
3. Простейшие свойства векторного пространства.
4. Подпространство, линейная оболочка множества векторов.
5. Сумма и прямая сумма подпространств. Понятие линейного
многообразия.
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Линейная зависимость и линейная независимость системы
векторов, свойства.
7. Эквивалентные системы векторов.
8. Базис конечной системы векторов.
9. Ранг конечной системы векторов.
10. Координатная строка (столбец) вектора относительно данного базиса.
11. Теорема о разложении вектора по базису.
12. Размерность векторного пространства.
13. Изоморфизм векторных пространств.
14. Векторное пространство со скалярным умножением.
15. Ортогональная система векторов. Дополнение ортогональной системы векторов до ортогонального базиса.
16. Ортогональное дополнение к подпространству.
17. Евклидово векторное пространство.
Упражнения
1. Пусть R2 – множество всех двумерных векторов над полем
R, то есть
R2 := {a | a = (x, y), x, y ∈ R },
сложение в R обычное, а умножение вектора на скаляр (·) определено иначе:
λ(·)a = λ(·)(x, y) = (λx, y).
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследовать, образует ли R2 векторное пространство над полем
R oтносительно + и (·).
2. Даны векторы из пространства R4 :
a1 = (1, 0, 0, −1), a2 = (2, 1, 1, 0), a3 = (1, 1, 1, 1), b = (1, 2, 3, 4).
Записать общий вид элементов линейной оболочки L(a1 , a2 , a3 ) и
общий вид элементов линейного многообразия b + L.
3. Исследовать, образует ли множество Z векторное пространство над полем R.
4. Исследовать, образует ли множество R векторное пространство над полем C.
5. Исследовать, является ли линейно зависимой следующая
система векторов векторного пространства многочленов от одной
переменной степени ≤ 2 над полем R:
a1 = f1 (x) = 3 + x + 2x2 ,
a2 = f2 (x) = −2 + x − x2 .
6. Доказать, что при любых значениях α, β и γ система векторов a1 , a2 , a3 линейно зависима, если
a1 = (1, α, β),
a2 = (0, 1, γ), a3 = (0, 0, 1).
Исследовать, является ли множество R подпространством векторного пространства C над полем F , если:
7.
F = R.
8.
F = C.
9.
F = Q.
10. В вещественном пространстве многочленов степени ≤ 2
вектор f (x) = 1 + 4x − 7x2 линейно выражается через векторы
f1 (x) = 2 − x + x2 и f2 (x) = 1 − 2x + 3x2 . Представить f (x) в виде
линейной комбинации f1 (x) и f2 (x).
11. Подпространство V0 натянуто на систему векторов a1 , a2 , a3 ,
где
a1 = (1, 2, 1), a2 = (1, 1, −1), a3 = (1, 3, 3).
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найти базис и размерность V0 .
12. Подпространство V0 натянуто на систему векторов
b1 = (2, 3, −1), b2 = (1, 2, 2), b3 = (1, 1, −3).
Найти базис и размерность V0 .
13. Доказать, что система векторов a1 , a2 , a3 из R3 над R линейно зависима, если
a1 = (5, 4, 3), a2 = (3, 3, 2), a3 = (8, 1, 3).
14. Исследовать, является ли линейно независимой система
векторов e1 , e2 , e3 , если
e1 = (1, 2, 1), e2 = (2, 3, 3),
e3 = (3, 7, 1).
15. Доказать, что множество V всех квадратных матриц M
любого фиксированного порядка n с комплексными элементами
из C есть векторное пространство над полем R.
16. Доказать, что в вещественном пространстве квадратных
матриц второго порядка первый из трех векторов
a1 =
1
0
0
0
, a2 =
2
1
3
0
−2
2
−1
−1
−1
5
2
−2
1
−1
,
a3 =
не выражается линейно через остальные.
17. Решить векторное уравнение:
2a1 + 3a2 − a3 − 7x = a4 ,
где
a1 =
a3 =
−1
−3
2
4
2
−1
−5
3
, a2 =
, a4 =
135
,
.
3
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18. Вычислить ранг матрицы:





−1
−3
−3
−5
3
5
1
7
3
2
5
1
2
3
0
3
5
4
7
1



.

19. Вычислить ранг матрицы:







2
1
1
2
4
1
2
3
2
3
2
1
1
1
3
3
2
5
2
1




.


20. Будут ли строчечно эквивалентны матрицы A и B, если

1

A= 0
3
2
1
4


0

5 ,
0
1 2

B= 0 1
0 −2

0

5 ?
0
21. Найти базис и размерность векторного пространства V над
полем R, состоящего из всех матриц вида
a
c
b
d
где a, b, c, d ∈ R.
136
,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 5
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
И ЛИНЕЙНЫЕ ОПEPATOPЫ
§ 1. Линейные отображения векторных пространств,
линейные операторы
Определение 1. Линейным отображением (или гомоморфизмом) векторного пространства V1 на векторное пространство V2
над полем F называется отображение f, сохраняющее обе главные
операции сложения векторов и умножение вектора на скаляр:
∀a, b ∈ V1
1)
∀a ∈ V1
2)
f (a + b) = f (a) + f (b) ,
∀λ ∈ F
f (λa = λf (a) .
Условия 1) и 2) называются условиями линейности. Если отображение f – взаимно-однозначное, то оно называется изоморфизмом.
Множество всех линейных отображений обозначим через
Hom (V1 , V2 ).
Теорема 1. Пусть f – линейное отображение V1 на V2 над
полем F. Тогда
∀a1 , a2 , ..., an ∈ V1
∀λ1 , ..., λn ∈ F
f (λ1 a1 + λ2 a2 + ... + λn an ) = λ1 f (a1 ) + λ2 f (a2 ) + ... + λn f (an ) .
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство. Применим метод математической индукции.
1) При n = 1 утверждение теоремы верно, так как
∀a1 ∈ V1
∀λ1 ∈ F
f (λ1 a1 ) = λ1 f (a1 )
является верным равенством по второму условию определения линейного отображения.
2) Предположим, что утверждение теоремы верно при n = k
(k – натуральное число, k ≥ 1):
f λ1 a1 + λ2 a2 + ... + λk ak
= λ1 f (a1 ) + λ2 f (a2 ) + ... + λk f (ak ),
и докажем, что тогда утверждение теоремы будет верно и при
n = k + 1:
f (λ1 a1 +λ2 a2 +...+λk+1 ak+1 ) = λ1 f (a1 )+λ2 f (a2 )+...+λk+1 f (ak+1 ).
Доказательство. Применим последовательно условия 1) и 2)
из определения, получим, что
f λ1 a1 + λ2 a2 + ... + λk ak + λk+1 ak+1 =
= f λ1 a1 + λ2 a2 + ... + λk ak + f λk+1 ak+1 =
= λ1 f (a1 ) + λ2 f (a2 ) + ... + λk f (ak ) + λk+1 f (ak+1 ).
3) На основании принципа математической индукции получим, что утверждение теоремы будет верно при всех натуральных
n.
Теорема 1 доказана.
Определение 2. Линейным оператором векторного пространства V над полем F называется линейное отображение f векторного пространства V в себя.
Множество всех линейных операторов обозначим через
Hom (V, V ).
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Примеры. 1. f = e, ∀x ∈ V → x ∈ V, то есть e(x) = x, следовательно, e – линейный оператор, он называется тождественным
или единичным оператором векторного пространства.
2. C над R,
A над R, где A – множество точек (x, y) на
плоскости, x, y ∈ R.
f:
∀(x + yi) ∈ C → (x, y) ∈ A,
f – линейное отображение векторного пространства C на A над
полем R, где
C = {a + bi|a, b ∈ R, j 2 = −1}.
Теорема 2. Пусть V1 , V2 – векторные пространства над полем F, e1 , e2 , ..., en – базис векторного пространства V1 и u1 , u2 , ..., un
– произвольные векторы пространства V2 . Тогда существует единственное линейное отображение f векторного пространства V1
в V2 , удовлетворяющее условиям:
f (e1 ) = c1 , f (e2 ) = c2 , ..., f (en ) = cn .
§ 2. Ядро и образ линейного отображения, oперации
над линейными отображениями
Введем понятие ядра и образа для линейного оператора, то
есть когда V → V, а не V1 → V2 .
Определение 3. Ядром линейного оператора f векторного
пространства V над полем F называется множество всех векторов
пространства V, которое отображается в 0:
{x ∈ V | f (x) = 0}.
Обозначение: Ker f, следовательно, по определению,
Ker f = {x ∈ V | f (x) = 0}.
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Множество Ker f является подпространством векторного пространства V над полем F.
Определение 4. Дефектом линейного оператора f называется размерность ядра Ker f линейного оператора f :
(defect f ) = dim (Ker f ).
Определение 5. Образом линейного оператора f векторного
пространства V над полем F называется множество:
{f (x) | x ∈ V }.
Обозначение: Im f, следовательно, по определению,
Im f := {f (x) | x ∈ V }.
Множество Im f является подпространством векторного пространства V над полем F.
Определение 6. Рангом линейного оператора f векторного
пространства V над полем F называется размерность образа линейного оператора f :
(rank f ) = dim (Im f ).
В дальнейшем мы докажем, что если V – конечномерное векторное пространство над полем F, то сумма ранга f и дефекта f
равна размерности V :
(rank f ) + (defect f ) = dim V.
Определим операции над линейными отображениями f1 и f2
векторного пространства V1 на V2 над полем F.
Определение 7. Суммой линейных отображений f1 и f2 называется отображение (f1 + f2 ) векторного пространства V1 на V2 ,
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ставящее в соответствие элементу x ∈ V1 элемент
f1 (x) + f2 (x) ∈ V2 , то есть
(f1 + f2 )(x) = f1 (x) + f2 (x).
Определение 8. Произведением скаляра λ ∈ F и линейного
отображения f1 называется отображение (λf1 ) векторного пространства V1 на V2 , ставящее в соответствие элементу x ∈ V1 элемент λ f1 (x) ∈ V2 , то есть
(λ f1 )(x) := λ f1 (x).
Теорема 3. Пусть f1 , f2 – линейные отображения векторного пространства V1 на V2 над полем F и λ ∈ F. Тогда отображения f1 + f2 и λ f1 являются линейными отображениями.
Доказательство. 1. f1 + f2 .
Воспользуемся определением линейного отображения и проверим выполнимость условий линейности:
1)
∀a, b ∈ V1
2)
(f1 + f2 )(a + b) = (f1 + f2 )(a) + (f1 + f2 )(b) ,
∀a ∈ V1
∀β ∈ F
(f1 + f2 )(βa) = β(f1 + f2 )(a) .
Применим последовательно определение суммы линейных отображений и определение линейного отображения, тогда получим
(f1 + f2 )(a + b) = f1 (a + b) + f2 (a + b) =
= f1 (a) + f1 (b) + f2 (a) + f2 (b) = f1 (a) + f2 (a) + f1 (b) + f2 (b) =
= (f1 + f2 )(a) + (f1 + f2 )(b).
Следовательно, условие 1) выполнено.
Применим последовательно определение умножения линейного отображения на скаляр и определение линейного отображения,
получим
(f1 + f2 )(βa) = f1 (βa) + f2 (βa) = βf1 (a) + βf2 (a) =
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
= β f1 (a) + f2 (a) = β(f1 + f2 )(a).
Следовательно, условие 2) выполнено.
Таким образом, из 1) и 2) получим, что отображение f1 + f2
является линейным отображением.
2. λ f1 .
Воспользуемся определением линейного отображения и проверим выполнимость условий линейности:
1)
∀a, b ∈ V1
2)
(λf1 )(a + b) = (λf1 )(a) + (λf1 )(b) ,
∀a ∈ V1
∀β ∈ F
(λf1 )(βa) = β(λf1 )(a) .
Применим последовательно определение умножения линейного отображения на скаляр и определение линейного отображения, получим
(λf1 )(a + b) = λf1 (a + b) =
= λ f1 (a) + f1 (b) = λf1 (a) + λf1 (b) =
= (λf1 )(a) + (λf1 )(b).
Следовательно, условие 1) выполнено.
Применим определение умножения линейного отображения на
скаляр, получим
(λf1 )(βa) = λf1 (βa) = λ βf1 (a) =
= (λβ)f1 (a) = (βλ)f1 (a) = β λf1 (a) = β λf1 (a).
Следовательно, условие 2) выполнено.
Таким образом, из 1) и 2) получим, что отображение λf1 является линейным отображением.
Теорема 3 доказана.
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 3. Матрица линейного оператора
Рассмотрим конечномерное векторное пространство V над полем F. Пусть e1 , e2 , ..., en – базис этого векторного пространства, f
– линейный оператор, отображающий базис e1 , e2 , ..., en в векторы
f (e1 ), f (e2 ), ..., f (en ):
e1 , e2 , ..., en ∈ V
→ f (e1 ), f (e2 ), ..., f (en ).
Разложим эти образы по базису:
f (e1 ) = α11 e1 + α21 e2 + ... + αn1 en ,
f (e2 ) = α12 e1 + α22 e2 + ... + αn2 en ,
. . .
f (en ) = α1n e1 + α2n e2 + ... + αnn en ,
где αij ∈ F, i = 1, 2, ..., n, j
Координатные столбцы
вид:

 
α11
 α  
 21  

, 
 ...  
αn1
= 1, 2, ..., n.
векторов f (e1 ), f (e2 ), ..., f (en ) имеют
α12
α22
·
αn2




 , ... ,





α1n
α2n
...
αnn



.

Составим матрицу A, k-й столбец которой есть координатный
столбец вектора f (ek ):

α11 α12 ... α1n
 α
 21 α22 ... α2n
A=

...
αn1 αn2 ... αnn



.

Определение 9. Матрица A, k-й столбец которой есть координатный столбец вектора f (ek ), называется матрицей линейного
оператора f относительно базиса e1 , e2 , ..., en векторного пространства V над полем F.
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 4. Ранг линейного оператора f конечномерного векторного пространства V над полем F равен рангу матрицы этого линейного оператора.
Отсюда получим, что (rank f ) = dim Im f = r(A).
Ранг линейного оператора равен наибольшему порядку отличного от нуля минора матрицы этого линейного оператора.
§ 4. Связь между координатными столбцами векторов
x и f (x)
Рассмотрим векторное пространство V над полем F, e1 , e2 , ..., en
– фиксированный базис, f – линейный оператор,
x∈V
→ f (x) ∈ V,
x = β1 e1 + β2 e2 + ... + βn en ,
f (x) = γ1 e1 + γ2 e2 + ... + γn en ,
где
β1 , β2 , ... , βn , γ1 , γ2 , ... , γn ∈ F.
Введем еще следующие обозначения:




Mx = 
β1
β2
...
βn






 , Mf (x) = 


γ1
γ2
...
γn



.

Теорема 5. Пусть f – линейный оператор конечномерного
векторного пространства V над полем F, e1 , e2 , ..., en − базис
векторного пространства, A – матрица линейного оператора f
относительно базиса e1 , e2 , ..., en . Тогда
∀x ∈ V
Mf (x) = A · Mx .
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство. Запишем матрицу A подробнее.

α11 α12 ... α1n
 α
α
... α2n

A =  21 22

...
αn1 αn2 ... αnn



.

Имеем:
f (e1 ) = α11 e1 + α21 e2 + ... + αn1 en ,
f (e2 ) = α12 e1 + α22 e2 + ... + αn2 en ,
. . .,
f (en ) = α1n e1 + α2n e2 + ... + αnn en .
Кроме того,
∀x ∈ V
x = β1 e1 + β2 e2 + ... + βn en .
Найдем f (x).
f (x) = f (β1 e1 + β2 e2 + ... + βn en ) =
= β1 f (e1 ) + β2 f (e2 ) + ... + βn f (en ) =
= β1 α11 e1 + α21 e2 + ... + αn1 en +
+ β2 α12 e1 + α22 e2 + ... + αn2 en + ...
... + βn α1n e1 + α2n e2 + ... + αnn en =
= β1 α11 + β2 α12 + ... + βn α1n e1 +
+ β1 α21 + β2 α22 + ... + βn α2n e2 + ...
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
... + β1 αn1 + β2 αn2 + ... + βn αnn en .
Следовательно,




Mf (x) = 
β1 α11 + β2 α12 + ... + βn α1n
β1 α21 + β2 α22 + ... + βn α2n
...
β1 αn1 + β2 αn2 + ... + βn αnn

α11 α12 ... α1n
 α
α ... α2n

=  21 22

...
αn1 αn2 ... αnn
 
 
 
·
 
β1
β2
...
βn



=




 = A · Mx ,

поэтому
Mf (x) = A · Mx .
Теорема 5 доказана.
Теорема 6. Если выполнено условие
∀x ∈ V
Mf (x) = B · Mx ,
то B = A, где A – матрица линейного оператора f относительно
базиса
e1 , e2 , ..., en .
§ 5. Связь между координатными столбцами вектора
относительно различных базисов
Рассмотрим непустое n-мерное векторное пространство V над
полем F, e1 , e2 , ..., en и s1 , s2 , ..., sn – два базиса.
Выразим векторы s1 , s2 , ..., sn через e1 , e2 , ..., en .
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
s1 = t11 e1 + t21 e2 + ... + tn1 en ,
s2 = t12 e1 + t22 e2 + ... + tn2 en ,
... ,
sn = t1n e1 + t2n e2 + ... + tnn en .

t11 t12 ... t1n
 t
t ... t2n

T =  21 22

...
tn1 tn2 ... tnn



.

(1)
Пусть x ∈ V,
x = µ1 e1 + µ2 e2 + ... + µn en , x = ν1 s1 + ν2 s2 + ... + νn sn ,




Me = 
µ1
µ2
...
µn




,




Ms = 
ν1
ν2
...
νn



.

Определение 10. Матрицей перехода от базиса e1 , e2 , ..., en к
базису s1 , s2 , ..., sn называется матрица T вида (1), в которой
k-й столбец есть координатный столбец вектора sk относительно
первого базиса
e1 , e2 , ... , en .
Теорема 7. Пусть Me , Ms – координатные столбцы вектора x векторного пространства V над полем F соответственно
относительно базисов e1 , e2 , ..., en и s1 , s2 , ..., sn и T – матрица
перехода от первого базиса ко второму. Тогда имеют место следующие равенства:
Me = T · Ms ,
Ms = T −1 · Me .
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство. Разложим вектор x по второму базису s1 , s2 , ..., sn
и выполним некоторые преобразования полученного равенства.
x = ν1 s1 + ν2 s2 + ... + νn sn =
= ν1 t11 e1 + t21 e2 + ... + tn1 en +
+ ν2 t12 e1 + t22 e2 + ... + tn2 en + ...
... + νn t1n e1 + t2n e2 + ... + tnn en =
= ν1 t11 + ν2 t12 + ... + νn t1n e1 +
+ ν1 t21 + ν2 t22 + ... + νn t2n e2 + ...
... + ν1 tn1 + ν2 tn2 + ... + νn tnn en =
= µ1 e1 + µ2 e2 + ... + µn en .
Следовательно,


µ1 = ν1 t11 + ν2 t12 + ... + νn t1n ,


 µ = ν t + ν t + ... + ν t ,
2
1 21
2 22
n 2n

...



µn = ν1 tn1 + ν2 tn2 + ... + νn tnn .
Поэтому получим следующее равенство:





µ1
µ2
...
µn


t11 t12 ... t1n
  t
  21 t22 ... t2n
=
 
...
tn1 tn2 ... tnn
Таким образом, Me = T · Ms .
148
 
 
 
·
 
ν1
ν2
...
νn



.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А так как матрица T обратима, то существует T −1 . Обе части
равенства умножим слева на T −1 , тогда получим, что
T −1 Me = T −1 (T · Ms ).
Отсюда получим равенство:
Ms = T −1 · Me .
Теорема 7 доказана.
Теорема 8. Матрица T перехода от одного базиса к другому
базису векторного пространства V над полем F является обратимой матрицей.
§ 6. Связь между матрицами линейного оператора
относительно различных базисов
Теорема 9. Пусть f – линейный оператор векторного пространства V над полем F, Ae , As – матрицы линейного оператора f в базисах e1 , e2 , ..., en и s1 , s2 , ..., sn соответственно, T –
матрица перехода от первого базиса ко второму. Тогда
As = T −1 · Ae · T.
Доказательство. По теореме о связи координатных столбцов
Me , Ms для всякого x ∈ V имеем:
Me = T · Ms ,
Ms = T −1 · Me .
А так как f (x) ∈ V, то для его координатных столбцов Pe , Px выполнено равенство Ps = T −1 · Pe . Но по теореме о матрице линейного оператора выполнено равенство Pe = Ae ·Me . Следовательно,
Ps = T −1 · (Ae · Me ) = (T −1 · Ae ) · Me .
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заменим Me , получим, что
Ps = (T −1 · Ae ) · (T · Ms ) = (T −1 · Ae · T ) · Ms .
Но x – произвольное из V, поэтому T −1 · Ae · T = As .
Теорема 9 доказана.
Определение 11. Матрицы C и D из F n × n над полем F
называются подобными над полем F, если существует такая обратимая матрица T ∈ F n × n , что
C = T −1 · D · T.
Следовательно, матрицы Ae и As будут подобными, если 1) существует T (обратимая), 2) A = T −1 · A · T.
Имеют место следующие утверждения:
1. Матрицы линейного оператора f конечномерного ненулевого векторного пространства V над полем F относительно любых
двух базисов векторного пространства V подобны.
2. Отношение подобия матриц на множестве F n × n есть отношение эквивалентности, то есть оно рефлексивно, симметрично и
транзитивно.
Отношение подобия матриц над полем F определяет разбиение
множества F n × n на классы эквивалентности, эти классы называются классами подобных матриц.
Каждому линейному оператору f векторного пространства V
над полем F соответствует единственный класс подобных матриц.
§ 7. Обратимые линейные операторы
Определим операцию "умножение линейных операторов"f1 ·f2
как композицию отображений f1 ◦ f2 .
Определение 12. Линейный оператор f векторного пространства V над полем F называется обратимым, если существует такой линейный оператор ϕ векторного пространства V над полем
F, что
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) f ϕ = e, 2)ϕf = e,
где e – тождественный оператор этого векторного пространства.
Теорема 10. Если линейный оператор f обратимый, то линейный оператор ϕ, удовлетворяющий условиям
1) f ϕ = e, 2)ϕf = e,
единственный.
Доказательство. От противного. Предположим, что существует еще один линейный оператор h, удовлетворяющий условиям:
3) f h = e,
4) hf = e
и отличный от линейного оператора ϕ : h 6= ϕ.
Тогда получим:
h = he = h(f ϕ) = (hf )ϕ = eϕ = ϕ,
следовательно, h = ϕ, что противоречит предположению.
Таким образом, линейный оператор ϕ единственный.
Теорема 10 доказана.
Определение 13. Линейный оператор ϕ, удовлетворяющий
условиям 1) и 2), называется обратным к оператору f.
Обозначение: f −1 . Следовательно, ϕ = f −1 .
§ 8. Теорема о равносильности некоторых утверждений
о дефекте и ранге линейного оператора
Теорема 11. Пусть f – линейный оператор конечномерного
ненулевого векторного пространства V над полем F. Тогда равносильны следующие утверждения:
1) линейный оператор f обратим,
2) f есть взаимно-однозначное отображение V → V,
3) ядро линейного оператора f Ker f = {0},
4) (дефект f ) = 0,
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5) (ранг f ) = dim V,
6) матрица A линейного оператора f относительно любого
базисa векторного пространства V над полем F обратима.
Доказательство.
1. 3) → 4):
Ker f = {0}
→
(defect f ) = 0 .
Пусть Ker f = {0}, тогда
dim Ker f = 0.
Поэтому
(defect f ) = dim Ker f = 0.
Таким образом,
Ker f = {0}
→
(defect f ) = 0 .
2. 3) → 5):
Ker f = {0}
→
(rank f ) = dim V .
Пусть Ker f = {0}, тогда dim Ker f = 0. Поэтому
(defect f ) = 0. Но (defect f ) + (rank f ) = dim V.
Следовательно,
(rank f ) = dim V.
Таким образом,
Ker f = {0}
→
(rank f ) = dim V .
3. 4) → 5):
(defect f ) = 0
→
152
(rank f ) = dim V .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть (defect f ) = 0, тогда (rank f ) = dim V.
Таким образом,
→
(defect f ) = 0
(rank f ) = dim V .
4. 4) → 3):
(defect f ) = 0
→
Ker f = {0} .
Пусть (defect f ) = 0, тогда dim Ker f = 0. Поэтому Ker f = {0}.
Таким образом,
(defect f ) = 0
→
Ker f = {0} .
Остальные случаи доказываются аналогично.
Теорема 11 доказана.
§ 9. Теорема о связи дефекта и ранга
линейного оператора
Теорема 12. Пусть V – конечномерное векторное пространство над полем F и f – линейный оператор. Тогда сумма дефекта и ранга линейного оператора f равна размерности векторного
пространства V :
(defect f ) + (rank f ) = dim V.
Доказательство. Имеем:
(defect f ) := dim Ker f, (rank f ) = dim Im f.
Следовательно, надо доказать, что
dim Ker f + dim Im f = dim V.
153
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. По условию теоремы V – конечномерное векторное пространство, обозначим размерность через n:
dim V = n.
Так как Ker f – подпространство V, то
Ker f = L(e1 , e2 , ..., em ).
Базис состоит из n векторов. Дополним систему векторов до базиса, присоединив
em + 1 , em + 2 , ..., en ,
так, что e1 , e2 , ..., en является базисом векторного пространства V,
то есть
V = L(e1 , e2 , ..., en ).
Система векторов em + 1 , em + 2 , ..., en порождает подпространство
L(em + 1 , em + 2 , ..., en ). Обозначим его через Y, то есть
Y := L(em + 1 , em + 2 , ..., en ).
При этом выполнено равенство:
L(e1 , e2 , ..., em ) ⊕ L(em + 1 , em + 2 , ..., en ) = L(e1 , e2 , ..., en ),
то есть
Ker f ⊕ Y = V.
Поэтому
dim Ker f + dim Y = dim V.
(3)
Сравним (2) и (3), получим, что остается теперь доказать, что
dim Y = dim Im f,
иначе, что
f:
Y
→ Im f,
является взаимно-однозначным отображением.
154
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Покажем, что
f:
Y
→ Im f
является взаимно-однозначным отображением. Тогда отсюда будет следовать, что
dim Y = dim Im f.
Рассмотрим произвольное z из Im f и докажем, что уравнение
f (y) = z
имеет единственное решение y ∈ Y.
a) докажем, что существует y, удовлетворяющий уравнению.
Так как z ∈ Im f, то существует v ∈ V, такое, что f (v) = z.
Так как
V = Ker f ⊕ Y,
то существует единственное представление v = x + y, где
x ∈ Ker f, y ∈ V, такие, что v = x + y. Следовательно,
z = f (v) = f (x + y) == f (x) + f (y) = 0 + f (y) = f (y),
поэтому существует y ∈ Y.
б) докажем единственность. От противного.
Пусть существует y1 6= y, y1 ∈ Y. Тогда y − y1 ∈ Y,
z = f (y1 ), z = f (y), следовательно,
f (y − y1 ) = f (y) − f (y1 ) = 0,
поэтому
y − y1 ∈ Ker f.
Кроме того, y −y1 ∈ Y, значит, y −y1 ∈ Ker f ∩ Y . Но пересечение состоит только из нулевого вектора, следовательно, y − y1 = 0,
отсюда получим равенство: y1 = y.
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Получили противоречие. Таким образом, отображение
f:
Y
→ Im f
является взаимно-однозначным отображением, а следовательно,
dim Y = dim Im f,
поэтому
dim Ker f + dim Im f = dim V,
а значит,
(defect f ) + (rank f ) = dim V.
Теорема 12 доказана.
§ 10. Понятие линейной алгебры
Определение 14. Алгебра < V, +, ·, (·) > с бинарными операциями сложение и умножение элементов из V и операцией умножения элемента из V на скаляр из поля F называется линейной
алгеброй, если выполнены следующие условия:
1) алгебра < V, +, (·) > является векторным пространством
над полем F,
2) выполнены условия билинейности:
∀a, b, c ∈ V
(a + b)c = ac + bc, c(a + b) = ca + cb .
Определение 15. Рангом линейной алгебры < V, +, ·, (·) >
называется размерность векторного пространства V над полем F.
Пример.
V = C, F = R < C, +, ·, (·) > – линейная алгебра, так как
1) < C, +, (·) > – векторное пространство,
2) выполнены условия билинейности.
156
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А так как dim C = 2, то ранг линейной алгебры
< C, +, ·, (·) > равен 2, где
C = {a + bi|a, b ∈ R, i2 = −1}.
§ 11. Алгебра линейных операторов векторного
пространства
Пусть V – векторное пространство над полем F, f – линейный
оператор этого векторного пространства.
Множество всех линейных операторов < Hom (V, V ), +, · >
замкнуто относительно сложения линейных операторов и умножения линейного оператора на скаляр из F.
Отметим, что алгебра < Hom (V, V ), +, · > образует векторное
пространство (нетрудно проверить это по определению векторного пространства).
Определим операцию умножение линейных операторов как композицию отображений:
f1 · f2 = f1 ◦ f2 .
Теорема 13. Произведение любых двух линейных операторов
f1 , f2 векторного пространства V над полем F является линейным оператором этого векторного пространства.
Доказательство. Проверим выполнимость условий линейности.
1)
∀a, b ∈ V
2)
f1 f2
a + b) = f1 f2 (a) + f1 f2 (b),
∀a ∈ V
∀λ ∈ F
157
f1 f2
λa = λ f1 f2 (a).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выполним некоторые преобразования.
∀a, b ∈ V
1)
f1 f2 (a + b) = f1 f2 (a + b) =
= f1 f2 (a) + f2 (b) =
= f1 f2 (a) + f1 f2 (b) = f1 f2 (a) + f1 f2 (b),
f1 f2 (a + b) = f1 f2 (a) + f1 f2 (b),
следовательно, условие 1) выполнено.
2)
∀a ∈ V
∀λ ∈ F
f1 f2 (λa) =
= f1 ◦ f2 (λa) = λf1 f2 (a) = λ f1 f2 (a),
f1 f2 (λa) = λ f1 f2 (a),
поэтому условие 2) выполнено.
Теорема 13 доказана.
Рассмотрим теперь алгебру < Hom (V, V), +, ·, (·) >, где (·) –
бинарная операция умножения линейных операторов векторного
пространства.
Определение 16. Алгебра < Hom (V, V), +, ·, (·) > называется алгеброй линейных операторов векторного пространства V
над полем F.
Теорема 14. Алгебра линейных операторов векторного пространства V над полем F является линейной алгеброй.
158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 12. Изоморфизм алгебры линейных операторов
и полной матричной алгебры
Определение 17. Отображение ϕ линейной алгебры V1 на
линейную алгебру V2 называется изоморфизмом, если выполнены
cледующиe условия:
1) отображение ϕ является взаимно-однозначным отображением,
2) сохраняются главные операции +, ·, (·):
∀x, y ∈ V1
∀λ ∈ F
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y),
ϕ(λx) = λϕ(x),
ϕ(x · y) = ϕ(x) · ϕ(y) .
Определение 18. Линейные алгебры V1 и V2 называются изоморфными, если существует изоморфизм ϕ алгебры V1 на алгебру
V2 .
Пример.
V1 = C,
(
V2 =
a
b
< C, +, ·, (·) >,
−b
a
!
ϕ : a + bi →
)
| a, b ∈ R ,
a
b
−b
a
!
,
ϕ – изоморфизм алгебры V1 на алгебру V2 .
Обозначим полную матричную алгебру через
< F n × n , +, ·, (·) > .
Теорема 15. Пусть V – конечномерное векторное пространство над полем F, e1 , e2 , ..., en – фиксированный базис, f – линейный оператор, A – матрица линейного оператора f относительно базиса e1 , e2 , ..., en , отображение ϕ определено следующим
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
образом:
ϕ : f → A.
Тогда отображение ϕ является изоморфизмом алгебры линейных операторов < Hom (V, V), +, ·, (·) > на полную матричную
алгебру < F n × n , +, ·, (·) > .
§ 13. Евклидово векторное пространство
Определение 19. Скалярным умножением векторов векторного пространства V над полем F называется отображение, ставящее в соответствие каждой паре элементов a, b ∈ V скаляр из
F (обозначаемый через a · b) и удовлетворяющий условиям:
∀a, b ∈ V
1)
2)
∀a, b, c ∈ V
a·b=b·a ,
∀α, β ∈ F
(αa + βb) · c = α(a · c) + β(b · c) .
Скаляр a · b ∈ F называется скалярным умножением векторов
a и b.
Если F = R и скалярное умножение над полем R, то векторное пространство V над полем R называют действительным
векторным пространством.
Определение 20. Евклидовым векторным пространством называется векторное пространство V над R с положительно определенным скалярным умножением:
∀a ∈ V, a 6= 0
a·a>0 .
Теорема 16. Арифметическое n-мерное векторное пространство Rn над полем R со стандартным скалярным умножением
является евклидовым векторным пространством.
160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство. 1) Арифметическое n-мерное векторное пространство Rn над полем R является векторным пространством
(по определению векторного пространства),
2) скалярное умножение по условию есть стандартное скалярное
умножение:
a · b = α1 β1 + α2 β2 + ... + αn βn ,
где
a = (α1 , α2 , ..., αn ), b = (β1 , β2 , ..., βn ).
Следовательно,
a · a = α1 α1 + α2 α2 + ... + αn αn = α12 + α22 + ... + αn2 ,
поэтому если a 6= 0, то a · a > 0.
Таким образом, из 1) и 2) получим, что Rn над полем R со
стандартным скалярным умножением образует евклидово пространство.
Теорема 16 доказана.
Определение 21. Арифметическое n-мерное векторное пространство Rn над полем R со стандартным скалярным умножением называется n-мерным стандартным евклидовым пространством.
a · b = α1 β1 + α2 β2 + ... + αn βn .
§ 14. Норма вектора, oртонормированный базис
евклидова пространства
Определение 22. Нормой вектора евклидова векторного пространства называется арифметический квадратный корень из скалярного квадрата вектора.
Обозначение: ||a||, следовательно, по определению,
||a|| =
q
a · a, ||a|| ≥ 0, ||a||2 = a · a.
161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 23. Вектор ||a|| называется нормированным,
если ||a|| = 1.
Теорема 17. Пусть V – евклидово векторное пространство
над полем R. Тогда
1)
∀a ∈ V, a 6= 0
||a|| > 0 .
2) ∀a ∈ V
||a|| = 0 тогда и только тогда, когда a = 0.
3)
∀a ∈ V
∀λ ∈ R
||λa|| = |λ| ||a|| .
4) Неравенство Коши – Буняковского:
∀a, b ∈ V
|a · b| ≤ ||a|| · ||b|| .
5) Неравенство треугольника:
∀a, b ∈ V
||a + b|| ≤ ||a|| + ||b|| .
Определение 24. Система векторов евклидова векторного
пространства называется ортонормированной, если
1) она ортогональна, 2) каждый вектор нормирован.
Определение 25. Система векторов, которая является ортонормированной и образует базис, называется ортонормированным
базисом.
Теорема 18. Конечномерное ненулевое евклидово векторное
пространство V над полем R обладает ортонормированным базисом.
Отметим некоторые свойства ортонормированного базиса
n-мерного евклидова пространства.
Свойство 1. Всякая ортонормированная система из n векторов является ортонормированным базисом.
162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойство 2. Ортонормированная система векторов конечномерного ненулевого евклидова векторного пространства, не являющаяся базисом, может быть дополнена до ортонормированного
базиса.
Свойство 3. Если e1 , e2 , ..., en – ортонормированный базис и
a = α1 e1 + α2 e2 + ... + αn en ,
b = β1 e1 + β2 e2 + ... + βn en ,
то
a) a · b = α1 β1 + α2 β2 + ... + αn βn ,
b) ||a||2 = α12 + α22 + ... + αn2 .
§ 15. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой
размерности
Определение 26. Отображение f евклидова векторного пространства V1 над полем R на евклидово векторное пространство
V2 над полем R называется изоморфизмом, если оно является
взаимно-однозначным и удовлетворяет условиям:
1) сохраняются обе главные операции:
∀a, b ∈ V1
f (a + b) = f (a) + f (b) ,
∀a ∈ V1
λ∈R
2)
∀a, b ∈ V1
f (λa) = λf (a) ,
a · b) = f (a) · f (b) .
Определение 27. Евклидовы векторные пространства V1 и
V2 над полем R называются изоморфными, если существует изоморфизм евклидова векторного пространства V1 на V2 .
Отметим некоторые свойства изоморфизмов евклидовых пространств.
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойство 1. Отношение изоморфизма является отношением
эквивалентности.
Свойство 2. Если e1 , e2 , ..., en – ортонормированный базис
V1 , то
f (e1 ), f (e2 ), ... , f (en ) −
ортонормированный базис V2 .
Теорема 18. Всякое ненулевое евклидово векторное пространство над полем R размерности n изоморфно стандартному
n-мерному евклидову векторному пространству.
Теорема 19. Два конечномерные евклидовы векторные пространства над полем R одинаковой размерности изоморфны.
Для доказательства надо рассмотреть два случая: 1) размерность n = 0 и 2) n > 0.
§ 16. Собственные векторы и собственные значения
Определение 28. Вектор a ∈ V называется собственным вектором линейного оператора f векторного пространства V над полем F, если выполнены условия:
1) a
6= 0, 2)
∃λ ∈ F
f (a) = λ · a .
Определение 29. Скаляр λ ∈ F называется собственным значением линейного оператора f векторного пространства V над
полем F, если выполнено условие:
∃a ∈ V, a 6= 0,
f (a) = λ · a .
Теорема 20. Пусть собственный вектор линейного оператора f векторного пространства V над полем F. Тогда
∃!λ ∈ F
f (a) = λ · a .
164
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство. От противного. Предположим, что существует еще одно λ1 ∈ F, λ1 6= λ, такое, что f (a) = λ1 · a.
Тогда так как f (a) = λ · a, то λ · a = λ1 · a. А так как по
определению собственного вектора a 6= 0, то λ1 = λ. Получили
противоречие предположению. Следовательно, λ – единственный
вектор.
Теорема 20 доказана.
Замечание. Если f (a) = λ · a, то будем говорить, что вектор a
принадлежит собственному значению λ.
Пример. V 6= {0}, λ ∈ F – фиксированный скаляр,
f: V
→ V,
f (a) = λ · a.
Пусть
∀a ∈ V
a → λ·a .
Тогда f – линейный оператор, λ – собственное значение линейного
оператора f, так как (∃a ∈ V, a 6= 0, ) (f (a) = λ · a). Всякий ненулевой вектор a ∈ V является собственным вектором линейного
оператора f, принадлежащим собственному значению λ.
§ 17. Характеристическое уравнение
Пусть V = F n – арифметическое n-мерное векторное пространство над полем F.
Определение 30. Вектор-столбец X называется собственным
вектором матрицы A ∈ F n × n , если выполнены условия:
1)X 6= 0,
2) A · X можно представить в виде произведения λ · X, то есть
A · X = λ · X.
При этом скаляр λ называется собственным значением матрицы A.
165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следовательно, собственные векторы и собственные значения
линейного оператора f есть собственные векторы и собственные
значения матрицы A, если
∀X ∈ F
n
f : X → A·X .
Определение 31. Уравнение
λ · E − A = 0
с переменной λ ∈ F называется характеристическим уравнением
матрицы A ∈ F n × n .
Определение 32. Характеристическим уравнением линейного оператора f, принадлежащего матрице A ∈ F n × n , относительно базиса конечномерного ненулевого векторного пространства
называется уравнение
λ · E − A = 0.
Теорема 21. Пусть A ∈ F n × n и λ ∈ F. Тогда λ является
собственным значением матрицы A тогда и только тогда, когда
λ · E − A = 0.
(4)
Доказательство. По определению скаляр λ является собственным значением матрицы A, если существует
X1 6= 0, X1 ∈ F n , такой, что A · X1 = λ · X1 . Следовательно,
λ · E − A X1 = 0,
поэтому уравнение
λ · E − A X1 = 0
166
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
имеет ненулевое решение X1 6= 0.
Уравнение (5) можно рассматривать как матричную форму
записи
системы
n линейных уравнений с n переменными с матрицей λ · E − A . Но уравнение (5) имеет ненулевые решения тогда
и только тогда, когда определитель матрицы
λ·E−A
равен
нулю, а значит, получим условие (4):
λ · E − A = 0.
Теорема 21 доказана.
Пример. F = R,
1
2
A=
1
1
!
.
Характеристическое уравнение:
λ · E − A = 0.
λ
1
0
0
1
!
−
1
2
1
1
! =
λ−1
−1
= −2 λ − 1
λ
0
0
λ
!
−
1
2
1
1
!
=
= (λ − 1)2 − 2 = 0,
следовательно,
(λ − 1 −
√
поэтому
λ1 = 1 +
2)(λ − 1 +
√
√
2, λ2 = 1 −
2) = 0,
√
2) −
собственные значения матрицы A.
Теорема 22. Пусть V – векторное пространство над полем
F, f – линейный оператор, – тождественный оператор и λ –
167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
собственное значение линейного оператора f. Тогда множество
всех собственных векторов линейного оператора f , принадлежащих собственному значению λ, совпадает с множеством
Ker λ − f
\ {0}.
Доказательство. Введем обозначение:
g := λ − f.
Тогда будем иметь:
Ker g = {x ∈ V | g(x) = 0},
Ker λ − f
= x∈V |
λ − f (x) = 0 .
1) Пусть вектор a – произвольный из Ker λ − f . Докажем,
что a – собственный
вектор.
Имеем:
λ − f (a) = 0 и a 6= 0.
Преобразуем левую часть.
λ − f (a) = λ (a) − f (a) = λ · (a) − f (a) = λ · a − f (a),
следовательно,
λ − f (a) = λ · a − f (a) = 0,
отсюда получим, что
f (a) = λ · a
a 6= 0.
Таким образом, a – собственный вектор.
2) Пусть c 6= 0 – собственный вектор, принадлежащий λ, то
есть
f (c) = λ · c.
168
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Докажем, что выполнено условие:
c ∈ Ker λ − f , c 6= 0.
Имеем: λ · c − f (c) = 0,
следовательно, λ · (c) − f (c) = 0,
а значит,
λ (c) − f (c) = 0,
тогда
λ − f (c) = 0,
поэтому
c ∈ Ker λ − f , c 6= 0.
Теорема 22 доказана.
Теорема 23. Пусть V – векторное пространство над полем F, f – линейный оператор, e1 , e2 , ..., en – базис, A – матрица линейного оператора f относительно базиса e1 , e2 , ..., en , λ
– собственное значение линейного оператора f. Тогда вектор a ∈
V, a 6= 0, является собственным вектором линейного оператора f с собственным значением λ тогда и только тогда, когда a
является решением системы
λE − A · x = 0.
Доказательство. 1) Пусть a 6= 0 – решение системы
λE − A · x = 0.
Докажем, что a – собственный вектор. Имеем: a 6= 0 – решение
системы, поэтому
λ − f
:
169
a → 0,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
следовательно,
a ∈ Ker λ − f , a 6= 0.
Таким образом, a – собственный вектор.
2) Пусть a 6= 0 – собственный вектор. Докажем, что вектор a
является решением системы
λE − A · x = 0.
Так как a 6= 0 – собственный вектор, то
a ∈ Ker λ − f , a 6= 0.
Поэтому
λ − f
:
a → 0,
то есть (λE − A) · a = 0. Таким образом, вектор a является решением системы
λE − A · x = 0.
Теорема 23 доказана.
§ 18. Линейные операторы с простым спектром
Пусть V – конечномерное векторное пространство V над полем F, dim V = n, n > 0, f – линейный оператор векторного
пространства V над полем F и f имеет n различных собственных
значений.
Теорема 24. Если собственные векторы a1 , a2 , ..., ak линейного оператора f имеют различные собственные значения, то
система векторов a1 , a2 , ..., ak линейно независима.
170
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 33. Линейный оператор f n-мерного векторного пространства V над полем F, имеющий n различных собственных значений, называется линейным оператором с простым
спектром; набор всех собственных значений линейного оператора
называется спектром оператора.
Теорема 25. Пусть f – линейный оператор n-мерного векторного пространства V над полем F с простым спектром
{λ1 , λ2 , ..., λn },
n > 0, e1 , e2 , ..., en – собственные векторы линейного оператора f, принадлежащие соответственно λ1 , λ2 , ..., λn . Тогда система векторов e1 , e2 , ..., en является базисом векторного пространства V над полем F.
Теорема 26. Пусть f – линейный оператор n-мерного векторного пространства V над полем F с простым спектром
{λ1 , λ2 , ..., λn },
n > 0, e1 , e2 , ..., en – собственные векторы линейного оператора f,
принадлежащие соответственно λ1 , λ2 , ..., λn . Тогда диагональная матрица

λ1 0 ... 0
 0 λ
... 0

2


···
0 0 ... λn





является матрицей линейного оператора f относительно базиса
e1 , e2 , ..., en и (∀x ∈ V, x = x1 e1 + x2 e2 + ... + xn en )
f (x) = λ1 x1 e1 + λ2 x2 e2 + ... + λn xn en .
Теорема 27. Пусть A ∈ F n × n и она имеет n линейно независимых собственных векторов, T – матрица, столбцы которой есть линейно независимые собственные векторы матрицы
171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A. Тогда матрица B, B = T −1 AT, диагональна и элементы ее
главной диагонали являются собственными значениями матрицы A.
Замечание. Матрицы A и B подобны (по определению), следовательно, матрица A будет подобна диагональной матрице B.
Теорема 28. Пусть матрица A ∈ F n × n и подобна диагональной матрице. Тогда матрица A имеет n линейно независимых
собственных векторов.
Вопросы для самоконтроля
1. Линейные отображения векторных пространств, линейный
оператор, примеры.
2. Ядро и образ линейного отображения, oперации над линейными отображениями.
3. Матрица линейного оператора.
4. Связь между координатными столбцами векторов x и f (x).
5. Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов.
6. Связь между матрицами линейного оператора относительно
различных базисов, подобие матриц.
7. Обратимые линейные операторы.
8. Теорема о равносильности некоторых утверждений о дефекте и ранге линейного оператора.
9. Теорема о связи дефекта и ранга линейного оператора.
10. Понятие линейной алгебры. Примеры.
172
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. Алгебра линейных операторов векторного пространства.
12. Изоморфизм алгебры линейных операторов и полной матричной алгебры.
13. Евклидово векторное пространство.
14. Норма вектора, oртонормированный базис.
15. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности.
16. Собственные векторы и собственные значения.
17. Характеристическое уравнение.
18. Линейные операторы с простым спектром, условия, при которых матрица подобна диагональной матрице.
Упражнения
1. В двумерном евклидовом пространстве дан ортонормированный базис e1 , e2 и линейный оператор f, который вектор e1
растягивает вдвое и поворачивает на угол π, а вектор e2 поворачивает по часовой стрелке на угол π/2. Найти образ вектора
a = 2e1 + 3e2 под действием f.
2. В двумерном векторном пространстве с базисом e1 , e2 отображение f1 переводит
∀(x, y) → (3x − 2y, 2x + y),
отображение f2 переводит
∀(x, y) → (x + 2, y).
173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследовать, являются ли отображения f1 и f2 линейными операторами. Если да, то вычислить матрицу каждого линейного оператора в базисе e1 , e2 .
3. Линейный оператор f векторного пространства V над полем
R имеет матрицу A,




A=
1
0
1
1
1
1
2
0
0
1
1
1
2
3
1
5



,

в некотором базисе e1 , e2 , e3 , e4 . Найти ядро Ker f и дефект линейного оператора f.
4. Линейный оператор f переводит векторы a1 , a2 , a3 соответственно в векторы b1 , b2 , b3 . Вычислить матрицу этого оператора
в том же базисе e1 , e2 , e3 , в котором даны координаты всех векторов:
a1 = (2, 3, 5), a2 = (0, 1, 2), a3 = (1, 0, 0),
b1 = (1, 1, 1), b2 = (1, 1, −1), b3 = (2, 1, 2).
5. Линейный оператор f в базисе e1 , e2 , e3 , e4 задан матрицей




A=
1
2
4
3
3
1
7
1
5
3
13
1
1
1
9
1



.

Найти для вектора x, x = −e1 + 2e2 + 4e3 + e4 его образ f (x).
6. Линейный оператор f в базисе
a1 = (0, 0, 1), a2 = (0, 1, 1), a3 = (1, 1, 1)
имеет матрицу A,
174
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

A= 1
2
0
1
1

2

1 .
0
Найти матрицу B линейного оператора f в базисе
b1 = (2, 3, 5), b2 = (0, 1, 2), b3 = (1, 0, 0).
7. В трехмерном арифметическом пространстве в базисе a1 , a2 , a3
линейный оператор f задан матрицей A. Вычислить матрицу C
линейного оператора f в базисе c1 , c2 , c3 , если
a1 = (1, 2, 3), a2 = (1, 3, 4), a3 = (1, 3, 5),
c1 = (3, 2, 2), c2 = (1, 1, 1), c3 = (4, 3, 4),

3

A= 0
1
0
2
3

4

1 .
1
8. Дано: e1 , e2 , e3 – базис, система векторов u1 , u2 , u3 , где
u1 = 2e1 + e2 − e3 , u2 = 3e1 − e2 + e3 , u3 = e3 .
Доказать, что система векторов u1 , u2 , u3 образует базис, и найти
матрицу перехода от e1 , e2 , e3 к u1 , u2 , u3 .
175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
1. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями / А. Акритас. – М. : Мир, 1994. – 544 с.
2. Алгебра и теория чисел / под ред. Н. Я. Виленкина. – М. :
Просвещение, 1984. – 192 c.
3. Артамонов В. А. Общая алгебра : в 2 т. / В. А. Артамонов
[и др.] ; под ред. Л. А. Скорнякова. – М. : Наука, 1991. –
Т. 2. – 480 c. – (Справочная математическая библиотека).
4. Артамонов В. А. Сборник задач по алгебре / В. А. Артамонов [и др.] ; под ред. А. И. Кострикина. – М. : Наука, 1987.
– 351 c.
5. Артамонов В. А. Сборник задач по алгебре / В. А. Артамонов [и др.] ; под ред. А. И. Кострикина. – М. : Факториал,
1995. – 453 c.
6. Бухштаб А. А. Теория чисел / А. А. Бухштаб. – СПб. :
Лань, 2008. – 384 с.
7. Варден Б. Л. ван дер. Алгебра / Б. Л. ван дер Варден. –
М. : Наука, 1979. – 623 c.
8. Вaрпаховский Ф. Л. Алгебра / Ф. Л. Вaрпаховский, A. C.
Coлодовников. – М. : Просвещение, 1981. – 167 c.
9. Вахитова Е. В. Векторные пространства, линейные отображения и линейные операторы / Е. В. Вахитова. – Стерлитамак : СГПА, 2005. – 159 с.
10. Вахитова Е. В. Многочлены над кольцами и полями / Е. В.
Вахитова. – Стерлитамак : СГПА, 2005. – 166 с.
11. Вахитова Е. В. Системы линейных уравнений, матрицы и
определители / Е. В. Вахитова. – Стерлитамак : СГПА, 2005.
– 169 с.
176
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. Вахитова Е. В. Теория сравнений и ее приложения / Е. В.
Вахитова. – Стерлитамак : СГПА, 2000. – 414 с.
13. Винбeрг Э. Б. Алгебра многочленов / Э. Б. Винбeрг. – М. :
Просвещение, 1980. – 175 c.
14. Виноградов И. М. Основы теории чисел / И. М. Виноградов.
– СПб. : Лань, 2006. – 176 с.
15. Глухов М. М. Задачник-практикум по курсу высшей алгебры / М. М. Глухов, A. C. Coлодовников. – М. : Просвещение,
1965. – 207 c.
16. Гoдунов C. K. Coвременные аспекты линейной aлгебры /
C. K. Гoдунов. – Hoвосибирск : Haучная книга, 1997. –
388 c.
17. Дэвенпорт Дж. Компьютерная алгебра : символьные и алгебраические вычисления / Дж. Дэвенпорт, И. Сирэ, Э. Турнье. – М. : Мир, 1991. – 350 с.
18. Жевлаков К. А. Кольца, близкие к ассоциативным / К. А.
Жевлаков [и др.]. – М. : Наука, 1978. – 431 c.
19. Ильин B. A. Линейная алгебра / B. A. Ильин, Э. Г. Пoзняк.
– М. : Наука, 1978. – 302 c.
20. Каргаполов М. И. Основы теории групп / М. И. Каргаполов,
Ю. И. Мерзляков. – М. : Наука, 1996. – 287 c.
21. Кострикин А. И. Введение в алгебру / А. И. Кострикин. –
М. : Наука, 1977. – 495 c.
22. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Основы алгебры /
А. И. Кострикин. – М. : Наука, 1994. – 317 c.
23. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 1. Основы алгебры / А. И. Кострикин. – М. : Физматлит, 2004. – 271 с.
177
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 2. Линейная алгебра / А. И. Кострикин. – М. : Физматлит, 2004. – 367 с.
25. Кострикин А. И. Линейная алгебра и геометрия / А. И.
Кострикин, Ю. И. Манин. – М. : МГУ, 1980. – 319 c.
26. Кук Д. Компьютерная математика / Д. Кук, Г. Бейз. – М. :
Наука, 1990. – 384 с.
27. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел / Л. Я. Куликов. –
Минск : Вышэйшая школа, 1979. – 559 c.
28. Куликов Л. Я. Сборник задач по алгебре и теории
чисел / Л. Я. Куликов, A. И. Моcкaлeнкo, A. A. Фомин. –
M. : Просвещение, 1993. – 288 c.
29. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. – М. :
Наука, 1971. – 431 c.
30. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. – СПб. :
Лань, 2008. – 432 с.
31. Ламбек И. Кольца и модули / И. Ламбек. – М. : Мир, 1971.
– 279 c.
32. Лельчук М. П. Практические занятия по алгебре и теории
чисел / М. П. Лельчук [и др.]. – Минск : Вышэйшая школа,
1986. – 302 c.
33. Лeнг С. Aлгeбра / С. Лeнг. – М. : Мир, 1968. – 564 c.
34. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры / А. И. Мальцев.
– М. : Наука, 1975. – 400 c.
35. Матрос Д. Ш. Основы абстрактной и компьютерной алгебры / Д. Ш. Матрос, Г. Б. Поднебесова. – М. : Академия,
2004. – 240 с.
178
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
36. Мельников О. В. Общая алгебра : в 2 т. / О. В. Мельников
[и др.] ; под ред. Л. А. Скорнякова. – М. : Наука, 1990. –
Т. 1. – 592 c. – (Справочная математическая библиотека).
37. Heчаeв B. А. 3адачник-практикум по алгебрe / B. А. Heчаeв. – М. : Просвещение, 1983. – 120 c.
38. Панкратьев Е. В. Элементы компьютерной алгебры / Е. В.
Панкратьев. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. –
247 с.
39. Праcoлoв В. В. Зaдачи и тeoрeмы линейнoй алгебры / В. В.
Праcoлoв. – М. : Наука, 1984. – 304 c.
40. Прocкуряков И. В. Сборник задач по линейнoй алгебрe /
И. В. Прocкуряков. – М. : Наука, 1984. – 336 c.
41. Скорняков Л. А. Элемeнты алгебры / Л. А. Скорняков. –
М. : Наука, 1980. – 240 c.
42. Фаддеев Д. К. Задачи по высшей алгебре / Д. К. Фаддеев,
И. С. Соминский. – СПб. : Лань, 2005. – 287 с.
43. Фаддеев Д. К. Лeкции по алгебре / Д. К. Фаддеев. – М. :
Наука, 1984. – 416 c.
44. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре / Д. К. Фаддеев. – СПб. :
Лань, 2004. – 415 c.
45. Фаддеев Д. К. Сборник задач по высшей алгебре / Д. К.
Фаддеев, И. С. Соминский. – М. : Наука, 1977. – 288 c.
46. Херстейн И. Некоммутативные кольца / И. Херстейн. –
М. : Мир, 1972. – 191 c.
47. Числa и многочлены / сocт. A. A. Eгоров. – М. : Kвантум,
2000. – 127 c.
48. Шeвцов Г. C. Линейная алгебра / Г. C. Шeвцов. – М. : Гардарики, 1999. – 359 c.
179
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Глава 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . . . . . . 5
§ 1. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 5
§ 2. Следствие системы линейных уравнений . . . . . . 6
§ 3. Равносильные системы линейных
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§ 4. Элементарные преобразования системы
линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§ 5. Векторная форма записи системы линейных
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§ 6. Система однородных линейных уравнений,
условия существования нетривиальных
решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
§ 7. Неоднородная система линейных уравнений,
линейное многообразие решений . . . . . . . . . . . . 16
§ 8. Критерий совместности системы линейных
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§ 9. Решение системы линейных уравнений
методом последовательного исключения
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§ 10. Фундаментальная система решений
системы однородных линейных
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
180
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 2. MАТРИЦЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§ 1. Матрицы (oпределение, виды, oперaции,
элементарные преoбразования) . . . . . . . . . . . . . 38
§ 2. Приведение матрицы к ступенчатому виду . . . . 41
§ 3. Вычисление строчечного ранга матрицы . . . . . . 43
§ 4. Равенство строчечного и столбцового
рангов матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§ 5. Cвойства матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
§ 6. Обратимая квадратная матрица,
oбратная матрицa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§ 7. Элементарные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§ 8. Теоремы о необратимости квадратной
матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§ 9. Условия обратимости матрицы . . . . . . . . . . . . . 53
§ 10. Вычисление обратной матрицы . . . . . . . . . . . . 54
§ 11. Запись и решение системы n линейных
уравнений с n переменными в матричной
форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§ 12. Приведенныe ступенчатыe матрицы . . . . . . . . 60
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Глава 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
§ 1. Подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
§ 2. Четныe и нeчетныe подстановки . . . . . . . . . . . . 70
§ 3. 3нaк подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
§ 4. Определители квадратныx матриц
втoрoго и трeтьeго пoрядкoв . . . . . . . . . . . . . . . 74
181
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 5. Определители квадратныx матриц
n-го пoрядкa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
§ 6. Основные свойства определителей . . . . . . . . . . 79
§ 7. Миноры и алгебраические дополнения . . . . . . . 82
§ 8. Разложение определителя по строке
или столбцу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
§ 9. Определитель произведения матриц . . . . . . . . . 87
§ 10. Необходимое и достаточное условия
равенства нулю определителя . . . . . . . . . . . . . . 89
§ 11. Теорема о ранге матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . 91
§ 12. Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
§ 13. Правило Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
§ 14. Условия, при которых система
n однородных линейных уравнений
с n переменными имеет ненулeвые решения . . . 103
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Глава 4. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА . . . . . . . . . . . . 110
§ 1. Арифметическое n-мерное векторное
пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
§ 2. Векторное пространство над полем . . . . . . . . . 112
§ 3. Простейшие свойства векторного
пространства над полем . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
§ 4. Подпространство, линейная оболочка
множества векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
§ 5. Линейная зависимость и линейная
независимость системы векторов . . . . . . . . . . . 118
§ 6. Эквивалентные конечные системы векторов . . . 123
§ 7. Базис конечной системы векторов . . . . . . . . . . 124
182
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 8. Ранг конечной системы векторов . . . . . . . . . . . 124
§ 9. Базис и размерность конечномерного
векторного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
§ 10. Координатная строка (столбец) вектора
относительно данного базиса . . . . . . . . . . . . . . 126
§ 11. Изоморфизм векторных пространств
одинаковой размерности . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
§ 12. Векторное пространство со скалярным
умножением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Глава 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ
OПEРAТOРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
§ 1. Линейные отображения векторных
пространств, линейныe операторы . . . . . . . . . . 137
§ 2. Ядро и образ линейного отображения,
oперации над линейными отображениями . . . . 139
§ 3. Матрица линейного оператора . . . . . . . . . . . . . 143
§ 4. Связь между координатными столбцами
векторов x и f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
§ 5. Связь между координатными столбцами
вектора относительно различных базисов . . . . . 146
§ 6. Связь между матрицами линейного оператора
относительно различных базисов . . . . . . . . . . . 149
§ 7. Обратимые линейные операторы . . . . . . . . . . . 150
§ 8. Теорема о равносильности некоторых
утверждений о дефекте и ранге
линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 9. Теорема о связи дефекта и ранга
линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
§ 10. Понятие линейной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . 156
§ 11. Алгебра линейных операторов векторного
пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
§ 12. Изоморфизм алгебры линейных операторов
и полной матричной алгебры . . . . . . . . . . . . . . 159
§ 13. Евклидово векторное пространство . . . . . . . . 160
§ 14. Норма вектора, ортонормированный базис
евклидова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
§ 15. Изоморфизм евклидовых пространств
одинаковой размерности . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
§ 16. Собственные векторы и собственные
значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
§ 17. Характеристическое уравнение . . . . . . . . . . . . 165
§ 18. Линейные операторы с простым спектром . . . 170
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
184
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Вахитов Риф Хамзиевич,
Вахитова Екатерина Васильевна
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ
АЛГЕБРА
Часть II
Линейная алгебра
Учебно-методическое пособие для вузов
Редактор Л.В. Новикова
Подписано в печать 7.12.2012. Формат 60х84/16.
Усл. печ. л. 10,75. Тираж 100 экз. Заказ 906.
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс): +7 (473) 259-80-26
http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru
Отпечатано в типографии
Издательско-полиграфического центра
Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. +7 (473) 220-41-33
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа