close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1528.Теория вероятностей

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОСИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И.Вавилова»
В. Ю. Бось
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебное пособие
для студентов экономических и агрономических
специальностей заочной формы обучения
Саратов 2014
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 519.2
ББК 22.17
Б 85
Бось В.Ю.
Теория вероятностей: Учебное пособие /ФГБОУ ВПО «Саратовский
ГАУ». Саратов, 2014, 83с.
Учебное пособие предназначено для студентов экономических и
агрономических специальностей заочной формы обучения. Это пособие
может быть использовано студентами агрономических специальностей очной
формы обучения.
В учебном пособии по каждой теме приводятся краткие
теоретические сведения, формулы и рассматриваются наиболее характерные
примеры. В конце каждого параграфа даны задачи для самостоятельного
решения, подобранные в соответствии с учебной программой.
УДК 519.2
ББК 22.17
@ Бось В. Ю., 2014
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ.
§1. Классическое и статистическое определения
вероятности.
Событием называют всякое явление, которое может произойти или не
произойти, при осуществлении определенной совокупности условий.
События
обозначаются латинскими буквами А, В, С …. Каждое
осуществление данной совокупности условий называют испытанием (или
опытом).
События можно разделить на три группы: достоверные, невозможные
и случайные.
Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет,
при осуществлении определенного комплекса условий.
Невозможным называется событие, которое при заданном комплексе
условий никогда не произойдет.
Случайным называется событие, которое может произойти или не
произойти при заданном комплексе условий.
Виды случайных событий.
События А, В, С, … называются единственно возможными, если в
результате каждого испытания хотя бы одно из них наверное наступит.
События называются несовместными, если в результате опыта
появление одного из них исключает появление остальных событий.
События называются равновозможными, если при испытании, не
существует никаких объективных причин, вследствие которых одно из них
могло бы наступить чаще, чем другое.
Случаи,
способствующие
появлению
события,
называются
благоприятствующими этому событию.
События А, В, С, … образуют полную группу событий, если они
являются единственно возможными и несовместными исходами некоторого
испытания.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Два
события,
образующие
полную
группу,
называются
противоположными обозначается А и А .
Например:
- Выпадание определенного числа очков, при бросании игрального
кубика – событие случайное.
- Появление белого шара из урны, содержащей только белые шары, событие достоверное, а появление черного шара – невозможное.
- При бросании игрального кубика единственно возможные события,
состоящие в выпадении одного, двух, трех, четырех, пяти и шести
очков, образуют полную группу.
- Одновременное появление на верхней грани, при бросании
игрального кубика, одного и шести очков – событие невозможное.
- Появление орла или решки при бросании монеты – события
равновозможные,
причем
эти
события
являются
противоположными.
Геометрически случайные события изображаются множеством точек,
лежащих внутри квадрата (рис. 1.1а). Пусть совокупность обстоятельств
состоит в том, что внутри квадрата выбирается наудачу точка. На рисунке
1.1.а заштрихованный круг обозначает событие А – «выбранная точка лежит
внутри заштрихованного круга». На рис. 1.1б заштрихованная часть квадрата
будет соответствовать событию А , противоположном событию А (рис. 1.1а).
А
А
а)
Рис. 1.1.
б)
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рисунке 1.2 изображены несовместные события А и В (а),
совместные события (б), событие А благоприятствует событию В (в).
А
А
В
В
А
В
а)
б)
в)
Рис. 1.2.
Классической вероятностью Р(А) события А называется отношение
числа случаев m, благоприятствующих событию А, к общему числу случаев
n:
Р( A ) 
m
,
n
(1.1)
где m – число случаев, благоприятствующих событию А;
n – общее число случаев.
Классическое определение вероятности следует рассматривать не как
определение, а как метод вычисления вероятностей для испытаний,
сводящихся к схеме случаев.
Свойства вероятности.
- Вероятность достоверного события равна 1 (m = n).
- Вероятность невозможного события равна 0 (m = 0).
- Вероятность случайного события изменяется от 0 до 1.
Задача 1.1. На завод привезли партию из 1000 подшипников.
Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стандарту. Определить вероятность того, что взятый наудачу подшипник
окажется стандартным.
Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что наудачу
выбранный подшипник будет, стандартным буквой А. Будем считать, что
каждый подшипник имеет одинаковую возможность быть выбранным, тогда
число всех равновозможных исходов равно n = 1000. Число случаев,
благоприятствующих появлению события А равно m = 1000 – 30 = 970
(число стандартных подшипников). Получаем
Р( А) 
m 970

 0,97 .
n 1000
Ответ: Р(А)=0,97.
При
решении
ряда
задач
используются
некоторые формулы
комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.
Перестановками называют комбинации, состоящие n различных
элементов и отличающиеся только порядком их расположения.
Число всех возможных перестановок
Рn  n !
(1.2)
где n! = 1  2  3  …  n, причем 0! = 1
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных
элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов,
либо их порядком и вычисляются по формуле
Аnm  n (n  1) (n  2)  ...  (n  m  1)
(1.3)
Замечание. Число размещений с повторениями вычисляется по
формуле
Anm  n m .
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n элементов по
m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Число сочетаний вычисляется по формуле
С nm 
n!
m ! ( n  m) !
(1.4)
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
k
nk
Для числа сочетаний имеет место формула C n  C n .
Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством:
Anm  Pm  C nm
(1.5)
Задача 1.2. В группе 20 студентов, среди которых 8 девушек и 12
юношей. По списку наудачу отобраны 16 студентов. Найти вероятность того,
что среди отобранных студентов будет пять девушек.
Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что среди 16
отобранных студентов будет 5 девушек, буквой А.
Общее число возможных элементарных исходов n равно числу
16
способов, которыми можно из 20 человек отобрать 10, т.е. С 20
- числу
сочетаний из 20 элементов по 16.
16
n  C 20

20 !
 4845 .
16 ! 4 !
Число исходов, благоприятствующих событию А : 5 девушек из 8
5
можно отобрать С 8 способами; при этом остальные 11 студентов-юношей,
отобрать 11 юношей из 12 человек можно С1211 способами. Следовательно,
5
число благоприятствующих исходов равно С 8  С1211
11
m  C 85  C12

8!
12 !

 56  12  672
5 !  3 ! 11!  1!
Искомая вероятность равна: Р( А ) 
m 672

 0 ,14 .
n 4845
Ответ: Р(А)=0,14.
Одним из недостатков классического определения вероятности,
ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает
конечное число возможных исходов испытания. Иногда этот недостаток
можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности.
Геометрической вероятностью события А называется отношение
меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей
области.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Р( А ) 
SA
S
(1.6)
где S – мера всей области S, а SA – мера области благоприятствующей
событию А (рис. 1.3.)
S
SA
Рис. 1.3.
Задача 1.3. В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти
вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадает
также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в
круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.
Решение. Обозначим буквой А событие, состоящее в том, что точка
попадает в малый круг. Тогда S =  R2 – площадь большого круга, а SА =  r2
– площадь малого круга. По формуле 1.2. получаем
SA  r2
r2
Р( А ) 


.
S  R2 R2
r2
Ответ: . Р( А)  2
R
Пусть при достаточно большом числе n испытаний интересующее нас
событие А произошло m раз.
Отношение
W( A ) 
m
n
(1.7)
называется относительной частотой события А в данной серии
испытаний или просто частостью события А.
Задача 1.4. Отдел технического контроля из 200 взятых наугад деталей
обнаружил 5 бракованных. Определить относительную частоту бракованных
деталей.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что деталь
бракованная, буквой А. Проверено 200 деталей и, следовательно, число
проверенных испытаний n = 200. Бракованных деталей было выявлено 5
штук, следовательно, событие А произошло m = 5 раз. Согласно формуле
(1.7) относительная частота появления бракованных деталей равна
W( A ) 
m
5

 0 ,025 .
n 200
Ответ: W ( A)  0,025 .
Статистической вероятностью события А, называют число, около
которого группируются частости этого события, причем при неизменных
условиях и неограниченном возрастании числа независимых друг от друга
испытаний, частости становятся почти одинаковыми и их отклонение от
этого числа незначительны.
При достаточно большом числе испытаний n, имеет место формула
W ( A )  P( A )
(1.8)
Т.е. при большом числе независимых друг от друга испытаний в
данной серии относительная частота события W(А) может служить
приближенной оценкой вероятности этого события.
Заметим, что вероятность вычисляют до опыта, а относительную
частоту после опыта.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Партия содержит 200 деталей, из них четыре нестандартные, а
остальные стандартные. Какова вероятность того, что взятая наугад
деталь окажется стандартной.
2. В книге 205 страниц. Какова вероятность того, что порядковый
номер наугад открытой страницы будет оканчиваться цифрой 3.
3. В ящике 36 шаров, из них 9 черных. Определить вероятность того,
что извлеченный шар будет черным.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. В денежно- вещевой лотерее на каждые 1000 билетов разыгрывается
150 денежных и 120 вещевых выигрышей. Какова вероятность
выиграть человеку, имеющему один лотерейный билет?
5. Из колоды в 36 карт наугад вынимаются три карты. Найти
вероятность того, что среди них окажутся три туза.
6. Среди 50 деталей 20 первого сорта и 30 второго сорта. Найти
вероятность того, что из взятых наугад пяти деталей окажется две
первого сорта и три второго сорта.
7. Какова вероятность того, что номер наудачу взятого билета будет
кратным 3 или 5, если всего билетов 200 и на них расставлены
номера от 1 до 200?
8. Для озеленения пустыря завезли 150 деревьев. Среди них 45 тополей,
40 кленов, 30 елей и 35 сосен. Найти вероятность того, что первое
посаженое дерево будет хвойным.
9. В ящике находятся жетоны, на которых выбиты номера от 1 до100.
Определить вероятность того, что номер наудачу вынутого жетона
не будет содержать цифры 5 и 0.
10. В бригаде работают 6 мужчин и 4 женщины. Трех человек переводят
в другую бригаду. Какова вероятность, что это будут два мужчины и
одна женщина?
11. В поле работают 8 тракторов, причем 5 из них на гусеничном ходу.
Найти вероятность того, что среди пяти наудачу взятых тракторов
окажется три колесных трактора.
12. В группе 25 студентов, среди которых 8 отличников. По списку
наудачу отобраны 10 студентов. Найти вероятность того, что среди
отобранных студентов четыре отличника.
13. В коробке пять одинаковых изделий, причем три изделия окрашены.
Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди
двух извлеченных изделий два окрашенных.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. Среди 300 ампул, проверенных на герметичность, оказалось 6, в
которых имеются трещины. Определить относительную частоту
появления ампул, имеющих трещины.
15. Среди 1000 новорожденных оказалось 517 мальчиков. Найти
частость рождения мальчиков.
16. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель
равна 0, 8. Найти число попаданий, если было произведено 60
выстрелов.
17. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в
партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную
частоту появления бракованной книги.
18. По цели было произведено 30 выстрелов, причем зарегистрировано
18 попаданий. Найти относительную частоту попадания в цель.
19. В круг вписан квадрат; какова вероятность того, что точка,
брошенная наудачу внутрь круга, окажется и внутри квадрата?
20. На отрезке длины 20 см помещен меньший отрезок длины 10 см.
Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на
большой отрезок, попадет и на меньший отрезок. Предполагается,
что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине
отрезка и не зависит от его расположения.
§2. Теоремы о вероятностях.
Произведением двух событий А и В называется событие А В,
состоящее в совместном появлении этих событий.
Произведением нескольких событий А1, А2, …, Аn называется
событие
А1  А2  …  Аn, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Событие В называется независящим от события А, если вероятность
события В не зависит от того, произошло или не произошло событие А.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Событие В называется зависящим от события А, если вероятность
события В зависит от того, произошло или не произошло событие А.
Вероятность наступления события В при условии, что событие А уже
произошло, называется условной вероятностью и обозначается символом
РА(В).
Задача 2.1. Студент выучил 80 вопросов из 100 вопросов программы.
Какова вероятность того, что он ответит на второй вопрос билета.
Рассмотреть два случая: студент ответил на первый вопрос и не ответил на
первый вопрос билета.
Решение. Запишем краткое условие задачи:
A – событие, состоящее в том, что студент ответит на первый
вопрос билета;
B - событие, состоящее в том, что студент ответит на второй
вопрос билета;
PA B  
n = 100
PA B  
m = 80
m  1 79
≈ 0,80

n  1 99
m
80
≈ 0,81

n  1 99
__________________
PA(B)=?;
PĀ(B)=?
Ответ: РА(В)=0,80; PA B  =0,81.
Теоремы умножения.
Теорема. Вероятность совместного наступления двух независимых
событий А и В равна произведению вероятностей этих событий
Р(АВ) = Р(А)  Р(В)
(2.1)
События А1, А2, …, Аn называются независимыми в совокупности,
если вероятность наступления каждого из них не меняет своего значения
после того, как одно или несколько из остальных событий осуществились.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исходя из этого определения, в случае независимости событий А1, А2,
…, Аn между собой в совокупности имеем формулу для вычисления
вероятностей совместного наступления событий А1, А2, …, Аn.
Р(А1А2…Аn) = Р(А1) Р(А2) … Р(Аn)
(2.2)
Задача 2.2. Какова вероятность того, что при двукратном бросании
игральной кости, шестерка выпадет два раза.
Решение. Обозначим событие, состоящее в том что при первом
бросании кости выпадет 6 очков, буквой А. Событие, состоящее в том, что
при втором бросании игральной кости, выпадет 6 очков, обозначим буквой В.
Необходимо определить вероятность совместного наступления событий А и
В, то есть вероятность события АВ. Эти события независимые, поэтому
используем формулу (2.1).
У кубика шесть граней, следовательно, n =6, а
шесть очков есть
только на одной грани, следовательно, m=1.
Тогда
Р( А ) 
1
6
Р( В ) 
1
6
Р( АВ )  Р( А )  Р( В ) 
1 1
1
 
 0 ,03 .
6 6 36
________________
P(AB)= ?
Ответ: P(AB)=0,03.
Задача 2.3. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо
друг от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует
внимания рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго – 0,8, для
третьего – 0,7. Найти вероятность того, что в течение часа все три станка
будут работать.
Решение. Обозначим события, состоящие в том, что в течение часа
первый станок не потребует внимания рабочего - А1, второй станок не
потребует внимания рабочего - А2, третий станок не потребует внимания
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рабочего – А3. События А1, А2 и А3 – независимые в совокупности,
следовательно будем использовать формулу (2.2).
Р(А1)=0,9
Р(А2)=0,8
Р(А1А2А3) = Р(А1) Р(А2) Р(А3) = 0,9  0,8  0,7 = 0,504
Р(А3)=0,7
_____________
Р(А1А2А3) =?
Ответ: Р(А1А2А3) =0,504
,
Теорема. Вероятность совместного наступления двух зависимых
событий равна произведению вероятности одного из них на условную
вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже
произошло.
Р(АВ) = Р(А)  РА(В)
(2.3)
Теорема умножения легко обобщается на любое конечное число
событий. Вероятность совместного появления нескольких событий равна
произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех
остальных,
причем
вероятность
каждого
последующего
события
вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже
произошли.
Р( А1 А2 А3 ... An )  Р( А1 )Р А1 ( А2 )Р А1 А2 ( А3 )  Р А1 А2 ... Аn 1 ( Аn ) (2.4)
Задача 2.4. В саду высаживают 10 кустов красной и 20 кустов черной
смородины. Для посадки случайным образом отбирают два куста. Какова
вероятность того, что оба куста черной смородины?
Решение. Обозначим буквами А1 и А2 события, состоящие в том, что
первый и второй выбранные кусты будут кустами черной смородины.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Необходимо определить вероятность совместного наступления событий А1 и
А2, то есть вероятность события А1А2.
Эти события зависимые,
следовательно, для решения задачи будем использовать формулу (2.3).
m 20 2

 ;
n 30 3
n = 30
Р( А1 ) 
m = 20
Р А1 ( А2 ) 
m  1 19

;
n  1 29
Р( А1 А2 )  Р( А1 )РА1 ( А2 ) 
2 19 38


 0 ,44
3 29 87
__________
Ответ:
P(A1A2) = ?
Р( А1 А2 )  0,44
Задача 2.5. Студент выучил к экзамену 30 вопросов из 50 вопросов
учебной программы. Какова вероятность того, что он ответит на три вопроса
билета.
Решение. События, состоящие в том, что студент ответит на первый,
второй и третий вопросы билета обозначим буквами А1, А2 и А3
соответственно. События А1, А2 и А3 – зависимые события, поэтому для
нахождения
вероятности
совместного
наступления
этих
событий
воспользуемся формулой (2.4).
m 30 3

 ;
n 50 5
n = 50
Р( А1 ) 
m = 30
Р А1 А2 ( А3 ) 
Р А1 ( А2 ) 
m  1 29

;
n  1 49
m  2 28 7


n  2 48 12
P A1 A2 A3   P A1 PA1  A2 PA1 A2  A3  
3 29 7
609
 

 0.21
5 49 12 2940
_______________
Ответ: P(A1A2A3) ≈ 0,21.
P(A1A2A3) = ?
Теоремы сложения вероятностей.
Суммой двух событий А и В называется событие А+В, состоящее в
появлении хотя бы одного из событий А или В.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Суммой нескольких событий А1, А2, …, Аn называется событие
А1 + А2 + … + Аn , состоящее в появлении хотя бы одного из этих n
событий.
Теорема. Вероятность наступления одного из двух несовместных
событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В)
Теорема.
Вероятность
наступления
одного
(2.5)
из
n
попарно
несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А1+А2+…+Аn)= Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Аn)
(2.6)
Задач 2.6. На склад поступают помидоры, собранные тремя бригадами
овощеводов. 100 ящиков из первой бригады, 150 ящиков, собранных второй
бригадой и 250 ящиков из третьей бригады. Наугад выбирают для проверки
один ящик. Какова вероятность, что это помидоры собранные первой или
второй бригадой.
Решение. Обозначим события: А1 – ящик из первой бригады, А2 – ящик
из второй бригады. Требуется определить вероятность наступления одного из
этих событий т.е. вероятность события А1+А2. Так как А1 и А2 – события
несовместные, то воспользуемся формулой (2.5).
Итак:
n = 500
Р( А1 ) 
m1 100

 0 ,2
n 500
m1 = 100
Р( А1 ) 
m2 150

 0 ,3
n
500
m2 = 150
Р(А1+А2) = Р(А1) + Р(А2) = 0,2 + 0,3 = 0,5.
________________
Р(А1+А2) = ?
Ответ: Р(А1+А2) = 0,5.
Задача 2.7. В лотерее участвует 1000 билетов. Два билета, с размером
выигрыша по 200 рублей, девять билетов – по 100 рублей, 50 билетов по 25
рублей и 120 билетов – по 5 рублей. Некто приобрел билет. Найти
вероятность выигрыша суммы не менее 25 рублей.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Введем обозначения событий.
Пусть А1 – участник розыгрыша выиграет 200 рублей,
А2 – участник розыгрыша выиграет 100 рублей,
А3 – участник розыгрыша выиграет 25 рублей,
А4 – участник розыгрыша выиграет 5 рублей,
А5 – нет выигрыша.
Необходимо найти вероятность наступления либо события А1,
либо события А2, либо события А3 , то есть события А1 + А2 + А3. События
А1 , А2 и А3 попарно несовместные, поэтому вероятность наступления одного
из этих событий находим по формуле (2.6), предварительно вычислив
вероятности каждого из событий А1 , А2 и А3
P A1  
n=1000
2
 0,002
1000
m1=2
P A1  
9
 0,009
1000
m2=9
P A1  
50
 0,05
1000
m3=50
Р( А1  А2  А3 )  Р( А1 )  Р( А2 )  Р( А3 )  0,002  0,009  0,05  0,061
m4=120
m5=819 ( количество билетов без выигрыша)
_____________________________________
Ответ: P(A1+A2+A3) =0,061.
P(A1+A2+A3) = ?
Из теоремы сложения вытекают два следствия:
Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную
группу событий, равна 1.
На основании примера 2.7 легко увидеть, что события А1, А2, А3, А4 и А5
образуют полную группу событий. Р(А1) = 0,002, Р(А2) = 0,009, Р(А3) = 0,05,
Р(А4) = 0,12, Р(А5) = 0,819, тогда
Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) + Р(А4) + Р(А5) = 0,002 + 0,009 + 0,05 + 0,12 + 0,819 =
1
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна
1.
Р( А )  Р( А )  1
(2.7)
Р( А )  1  Р( А )
(2.8)
Отсюда
Часто Р(А) обозначают р, а вероятность противоположного события
Р( А ) через q и тогда формула (2.7) имеет вид:
р+q=1
(2.9)
Задача 2.8. Вероятность того, что день будет дождливый, равна 0,7.
Найти вероятность того, что день будет ясным.
Решение. Обозначим буквой А событие, состоящее в том, что день
будет дождливый, тогда А - событие, состоящее в том, что день ясный.
По условию Р(А) = 0,7. Согласно формуле (2.8) получаем
Р( А )  1  Р( А )  1  0 ,7  0 ,3
Ответ: Р( А )  0,3 .
Теорема. Вероятность наступления хотя бы одного из двух
совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без
вероятности их совместного наступления.
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)
(2.10)
Замечание. При использовании формулы (2.10) следует иметь ввиду,
что события А и В могут быть как зависимыми, так и независимыми.
Для независимых событий формула (2.10) имеет вид:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) Р(В);
для зависимых событий:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) А Р(В).
Задача 2.9. Два студента сдают экзамен по одному предмету.
Вероятность сдать экзамен на «отлично» для первого студента равна 0,9, а
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
для второго 0,7. Найти вероятность того, что хотя бы один из них получит на
экзамене «пятерку».
Решение. Введем обозначение событий:
А – первый студент сдаст экзамен на «отлично»
В – второй студент сдаст экзамен на «отлично».
Очевидно, что искомое событие представляет собой сумму двух
событий А+В. Т.к. события А и В совместные и независимые, то применяем
форму (2.10).
Р(А) = 0,9
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)
P(B) =0,7
Р(А+В) =0,9 + 0,7 – 0,9  0,7 = 0,97
___________________
P(A+B)=?
Ответ: P(A+B)=0,97.
Теорема. Вероятность наступления хотя бы одного из событий А1, А2,
…, Аn, независимых в совокупности находится по формуле
Р( А1  А2  ...  Аn )  1  Р( А1 )Р( А2 )    Р( Аn )
(2.11)
Задача 2.10. На поле работают три комбайна. Вероятность поломки для
первого комбайна равна 0,3, для второго – 0,1 и для третьего – 0,2. Какова
вероятность того, что в течение смены хотя бы один комбайн выйдет из
строя?
Решение. Введем обозначения событий:
А1 – событие состоящее в том, что первый комбайн сломается,
А2 – событие состоящее в том, что второй комбайн сломается,
А3 – событие состоящее в том, что третий комбайн сломается.
События А1, А2 и А3, независимые в совокупности, следовательно, для
нахождения вероятности наступления хотя бы одного из этих событий
воспользуемся формулой (2.11).
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Р(А1) = 0,3
Р( А1 )  1  Р( А1 )  1  0 ,3  0 ,7
Р(А2) = 0,1
Р( А2 )  1  Р( А2 )  1  0 ,1  0 ,9
Р(А3) = 0,2
Р( А3 )  1  Р( А3 )  1  0 ,2  0 ,8
Р( А1  А2  А3 )  1  Р( А1 ) Р( А2 ) Р( А3 )
Р( А1  А2  А3 )  1  0,7  0,9 ,08  0,496
_________________
Ответ: P(A1+A2+A3)=0,496.
P(A1+A2+A3)=?
Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь
при условии появления одного из попарно несовместных событий В 1, В2, …,
Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей
каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность
события А:
Р( А )  Р( В1 )Р В1 ( А )  Р( В2 )Р В2 ( А )    Р( Вn )РВn ( А ) (2.12)
n
или
Р( А )   Р( Вi )Р Вi ( А )
i 1
События В1, В2, …, Вn будем называть гипотезами.
Задача 2.12. На молочный комбинат молоко поступает с трех ферм: с
первой 60 фляг, со второй – 70 фляг и 120 фляг с третьей фермы.
Вероятность того, что молоко скиснет во время доставки: для первой фермы
равна 0,1, для второй – 0,15, а для третьей 0,2. Какова вероятность того, что
при проверке поступившего молока, в наудачу выбранной первой фляге
будет кислое молоко.
Решение. Введем обозначения событий:
А – в выбранной фляге прокисшее молоко,
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В1 – фляга с первой фермы,
В2 – фляга со второй фермы,
В3 – фляга с третьей фермы.
Так как событие А может наступить только вместе с событием или А1,
или А2, или А3, то вероятность его наступления вычисляем по формуле
полной вероятности (2.12).
n
=
250
Р ( А)  Р ( В1 ) РВ1 ( А)  Р( В2 ) РВ2 ( А)  Р ( В3 ) РВ3 ( А)
m1 = 60;
РВ1 ( А )  0 ,1
Р( В1 ) 
m1
60

 0 ,24
n
250
m2 = 70;
РВ2 ( А )  0 ,15
Р( В2 ) 
m2
70

 0 ,28
n 250
Р( В3 ) 
m3 120

 0 ,48
n
250
m3 = 120; РВ ( А )  0 ,2
3
Р( А)  0,24  0,1  0,28  0,15  0,48  0,2  0,162
_________________________
Р(А) = ?
Ответ: Р(А) =0,162.
Допустим, что произведено испытание, в результате которого
появилось событие А, тогда переоценку вероятностей гипотез В1, В2, …, Вn
производят по формуле:
Р А ( Вi ) 
Р( Вi )Р Вi ( A )
Р( А )
(2.13)
где Р(А) – полная вероятность вычисленная по формуле (2.12).
Формула (2.13) – формула Бейеса.
Задача 2.13. По данным задачи 2.12 определить вероятность того, что
выбранная наудачу фляга с кислым молоком, поступила со второй фермы.
Решение. В предыдущей задаче вычислили полную вероятность Р(А)
=0,162. Событие А уже наступило, т.е., в выбранной наугад фляге оказалось
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кислое молоко. Поэтому, вероятность того, что эта фляга поступила со
второй фермы PA(B2), вычислим по формуле Бейеса (2.13).
Р А ( В2 ) 
Р ( В2 ) РВ2 ( A)
Р ( А)

0,28  0,15
 0,26 .
0,162
Ответ: PA(B2)≈0,26.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель для
первого стрелка 0,7, для второго 0,6. Определить вероятность того, что
оба стрелка попадут в цель.
2. На садово-огородных участках, не имеющих централизованного
водоснабжения, работают два насоса «Кама» и «Агидель». Вероятность
бесперебойной работы в течение часа насоса «Кама» - 0,8, а насоса
«Агидель» - 0,9. Какова вероятность того, что в течение часа оба насоса
будут работать? Найти вероятность того, что оба насоса сломаются.
3. На поле работают три трактора. Вероятность поломки для каждого
трактора равна 0,3. Какова вероятность того, что в течение дня все
трактора будут работать?
4. Вероятность установления в Саратовской области устойчивого
снежного покрова с 10 ноября равна 0,2. Определить вероятность того,
что в ближайшие два года в области устойчивый снежный покров с 10
ноября не установиться ни разу.
5. На зернохранилище поступает зерно из двух хозяйств. В течение дня от
первого хозяйства поступает 10 машин с зерном, от второго – 12
машин. Какова вероятность того, что прибывшие подряд первые две
машины принадлежат первому хозяйству?
6. Партия семян, состоящая из 10 мешков, принимается, если при
проверки семян из выбранных наудачу 2 мешков они окажутся
удовлетворяющих стандарту. Найти вероятность приемки партии,
содержащей в 4 мешках нестандартные семена.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. В стаде из 24 животных одной породы 5 оказалось без прививки.
Наудачу выбирают 2 животных. Какова вероятность того, что они
окажутся не привитыми?
8. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее извлекается 2 шара. Найти
вероятность того, что оба шара белые, если шары обратно в урну не
возвращаются, и при первом извлечении появился белый шар.
9. Во время эпидемии в одном населенном пункте 60% жителей оказались
больными. Из каждых 100 больных 10 требуют срочной медицинской
помощи. Найти вероятность того, что любому взятому наудачу жителю
необходима срочная медицинская помощь.
10. Среди семян пшеницы, заготовленных для посева, содержится 5%
примесей. Всхожесть семян пшеницы составляет 85%. Какова
вероятность того, что из наудачу выбранного семени вырастет
растение?
11. Стадо состоит из 10 коров черной масти, 15 коров рыжей, 20 коров
черно-пестрой масти и 5 коров черно-рыжей масти. Найти вероятность
того, что взятая наугад для дойки корова будет либо черной, либо
черно-рыжей масти.
12. В магазин поступило 20 ящиков яблок, среди которых 5 ящиков сорта
«Антоновка», 6 ящиков сорта «Уэлси» и 9 ящиков сорта «Кортланд».
Определить вероятность того, что случайно взятый для продажи ящик
с яблоками сорта «Уэлси» или сорта «Кортланд».
13. В пакете лежат 20 луковиц тюльпанов разного сорта: 5 луковиц сорта
«Триумф», 7 луковиц сорта «Аляска» и 8 луковиц сорта «Гизелла».
Какова вероятность того, что первая наудачу взятая для посадки
луковица будет сорта «Аляска» или «Триумф».
14. В теплицу завезли три сорта удобрений: 15 пакетов аммиачной
селитры,
10 пакетов мочевины и 5 пакетов кальциевой селитры. Наугад берут
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
один пакет. Найти вероятность того, что это пакет аммиачной или
кальциевой селитры.
15. В клетке сидят кролики двух пород: 3 кролика породы «Белый
великан» и 5 кроликов породы «Венский голубой». Какова вероятность
того, что 2 кролика, вынутых из клетки, будут разной породы?
16. Для посадки заготовили 15 клубней георгинов: 10 клубней георгинов
шаровидной группы и 5 клубней кактусовой группы. Наудачу
выбирают 2 клубня. Какова вероятность того, что:
а) оба клубня шаровидной группы;
б) оба клубня кактусовой группы;
в) один клубень шаровидной группы, а другой
кактусовой.
17. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого
стрелка – 0,6, для второго – 0,7. Какова вероятность того, что мишень
будет поражена.
18. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа
первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7, второй – 0,4,
третий – 0,4, четвертый – 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы
один станок не потребует внимания рабочего в течение часа.
19. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность
попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,7, для
третьего – 0,8. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно
попадание, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.
20. Для посадки заготовили 70 саженцев яблони и 30 саженцев груши.
Стандартные саженцы среди яблонь составляют 80%, среди груш 85%.
Какова вероятность того, что наудачу взятый саженец стандартный?
21. Для посева заготовлены семена двух сортов пшеницы: первого сорта
70%, второго 30%. Всхожесть семян первого сорта 90%, а второго 80%.
Какова вероятность того, что наугад взятое зерно прорастет?
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22. Две машинистки напечатали рукопись, выполнив одинаковый объем
работы. Вероятность допустить ошибку для первой машинистки равна
0,2, а для второй – 0,1. Допущена ошибка. Какова вероятность того, что
ее допустила первая машинистка?
23. Электролампы изготавливают на двух заводах. Первый завод
производит 60% общего количества электроламп, второй – 40%.
Продукция первого завода содержит 30% брака, второго – 20% брака.
В магазин поступают продукция обоих заводов. Какова вероятность
того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?
24. Детали на сборку плуга поступают из двух цехов: 70% из первого цеха,
из второго 30%. Среди деталей первого цеха 10% брака, среди деталей
второго цеха 5% брака. Какова вероятность того, что выбранная годная
деталь изготовлена во втором цехе?
25. Для посадки заготовили семена двух сортов огурцов: 60% сорта
«Конкурент» и 40% сорта «Неженский». Всхожесть сорта «Конкурент»
составляет 80%, сорта «Неженский» - 85%. Посаженое семя проросло.
Какова вероятность того, что проросло семя сорта «Конкурент»?
26. Имеется 5 партий деталей: три партии по 8 штук, в каждой из которых
6 стандартных и 2 нестандартных, и две партии по 10 штук, из которых
7 стандартных и 3 нестандартных. Наудачу из этих 5 партий берется
одна партия, и из этой партии выбирается одна деталь. Определить
вероятность того, что взятая таким образом деталь будет стандартной.
27. В трех одинаковых коробках лежат товары: в первой – 2 изделия
первого сорта и одно второго сорта, во второй – 3 изделия первого
сорта и одно второго сорта, в третьей – 2 изделия первого сорта и 2
изделия второго сорта. Наугад берется коробка и из нее изделие.
Определить вероятность того, что это изделие первого сорта.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§3. Повторные независимые испытания.
Испытания называются независимыми, если в каждом из них событие
А наступает с одной и той же вероятностью Р(А) = р, не зависящей от того,
появилось или не появилось это событие в других испытаниях.
Формула Бернулли.
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании
постоянна, то вероятность Рn(k) того, что в n независимых испытаниях
событие А наступит k раз, равна
Рn ( k )  C nk p k q n  k
(3.1)
где q = 1 – р,
k
или заменив С n известным выражением (1.4), получим:
Рn ( k ) 
n!
p k q nk
k ! ( n  k )!
(3.2)
Задача 3.1. Доля плодов, зараженной болезнью в скрытой форме,
составляет 25 %. Случайным образом отбираются 6 плодов. Определить
вероятность того, что в выборке окажется ровно три зараженных плода.
Решение. Запишем кратко условие задачи и решим ее с помощью
формулы Бернулли.
n=6
k=3
Р6 ( 3 ) 
6!
 ( 0 ,25 )3 ( 0 ,75 )3  0 ,13
3 ! 3!
p = 0,25
q = 1–р = 0,75
___________________
Р6 (3)  ?
Ответ: Р6 (3)  0,13
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 3.2. Всхожесть семян равна 80 %. Для опыта отбирается 5
семян. Определить вероятность того, что будет не менее трех всходов.
Решение. Событие, состоящее в том, что среди отобранных пяти семян
будет не менее трех всходов, определяется как сумма трех несовместных
событий: среди пяти семян – три прорастут, среди пяти семян прорастут
ровно четыре и из пяти выбранных семян прорастут все пять. Согласно
теореме сложения для несовместных событий, искомая вероятность Р 5(k > 3)
определяется так:
Р5(k > 3) = Р5(3) + Р5(4) + Р 5(5)
Каждая из вероятностей, стоящих в правой части равенства,
вычисляется по формуле Бернулли (3.2).
n=5
Р5 (3) 
5!
 (0,8) 3  (0,2) 2  10  0,512  0,04  0,2048
3! 2!
k>3
Р5 ( 4) 
5!
 (0,8) 4  (0,2)1  5  0,4096  0,2  0,4096
4! 1!
p = 0,8
Р5 (5) 
5!
 (0,8)5  (0,2)0  0,32768
5! 0!
q = 0,2
Р 5(k > 3) = 0,2048 + 0,4096 + 0,32768 = 0,94208  0,94
_____________
Р5(k > 3) =?
Ответ: Р5(k > 3) = 0,94208  0,94
Число наступлений события А в n независимых испытаниях называется
наивероятнейшим, если вероятность осуществления события А это число
раз наибольшая.
Наивероятнейшее число наступления события А обозначается буквой k0
и удовлетворяет условию:
np – q < k0 < np + p
(3.3)
Задача 3.3. Среди пойманных рыб судак составляет 43 %. Найти
наивероятнейшее число пойманных судаков, среди 53 случайно отобранных
рыб.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение.
53  0,43 – 0,57 < k0 < 53  0,43 + 0,4
n = 53
p = 0,4
22,22 < k0 < 23,22
q = 0,57
k0 = 23.
_________________
Ответ: k0 = 23.
k0 =?
Локальная теорема Лапласа.
При больших значениях n и k
вычисления по формуле Бернулли
становятся громоздкими, поэтому применить другую формулу – формулу
Лапласа.
Теорема. Если вероятность наступления некоторого события А в n
независимых испытаниях постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p <
1), то вероятность Рn(k) того, что в n испытаниях событие А наступит
ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n):
Рn ( k ) 
1
где  ( х ) 
2


х2
2
;
х
1
npq
 ( х )
(3.4)
k  np
npq
Значения функции (х) находим по таблице в приложении 1.
Свойства функции  (х).
1. Функция (х) является четной, т.е. (-х)= (х)
2. Функция (х) – монотонно убывающая при положительных
( х )  0 .
значениях х, и lim
х 
3. Если х > 5, то можно считать (х)  0.
Задача 3.4. Приживаемость саженца каштана равна 0,8. Посадили сто
деревьев. Определите вероятность того, что приживется ровно 90 саженцев.
Решение. Запишем кратко условие задачи и решим ее по формуле
Лапласа :
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
х
n = 100
k  np
npq

90  100  0 ,8
100  0 ,8  0 ,2

10
 2 ,5
4
По таблице (пр.1): (2,5) = 0,0175
k = 90
p = 0,8
Р100 ( 90 ) 
q = 1 – р = 0,2
1
npq
( x ) 
1
 0 ,0175  0 ,004
4
________________
Ответ: Р100 (90 )  0,004 .
Р100 (90 )  ?
Теорема Пуассона.
Приближенная формула Лапласа дает возможность с небольшой
погрешностью найти вероятность Рn(k), даже тогда, когда р близко к 0 или 1
при условии, что число испытаний n достаточно велико, в противном случае
погрешность может оказаться значительной, а при р = 0 или при р = 1
формула Лапласа вовсе неприемлема. В случае редких событий, когда n
велико, а р – мало, меньшую погрешность дает асимптотическая формула
Пуассона.
Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом
испытании постоянна и мала, а число испытаний достаточно велико, то
вероятность того, что при n независимых испытаниях событие А
наступит k раз, находится по формуле
k 
Рn ( k )  
(3.5)
k!
где  = np – параметр Пуассона. Формула (3.5) – закон Пуассона или
закон редких событий. Эту формулу имеет смысл использовать при  < 10.
Значение вероятности можно вычислять непосредственно по формуле
(3.5),
однако
для
удобства расчетов
значения
функции Пуассона
k 
F(  , k ) 

табулированы в приложении 3.
k!
Задача 3.5. На опытном участке высадили помидорную рассаду.
Вероятность заражения рассады фитофторой равна 0,002. Какова вероятность
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
того, что среди высаженных 400 кустов рассады, фитофторой будет заражено
три куста.
Решение. Запишем кратко условие задачи:
 = np = 400  0,002 = 0,8
n = 400
р = 0,002
По таблице (пр.3): F(0,8; 3) = 0,1438
F(0,8; 3) = Р400(3)  0,1438
k=3
____________
Ответ: Р400(3) 0,1438
Р400(3)=?
Назовем потоком событий последовательность событий, которые
наступают одно за другим в случайные моменты времени.
Обозначим через а среднее число событий, приходящихся на единицу
времени. При фиксированном t, пологая что =at, вероятность того что в
промежутках времени событие А наступит, определяется по формуле
Пуассона.
Задача 3.6. На ткацких станках обслуживаемых ткачихой, в течение
часа происходит 90 обрывов нити. Какова вероятность того, что за 4 минуты
произойдет один обрыв.
Решение. По условию t=4 и среднее число обрывов за 1 минуту
а
90
 1,5 , откуда  =1,5  4=6. По таблице приложения 2 для k=1 и  =6
60
найдем функцию Пуассона
F(6; 1) = 0,0149, тогда р  0,0149.
Ответ: р  0,0149.
Аналогично решаются задачи, для расчета вероятности различного
числа событий в какой либо области S.
Задача 3.7. Семена люцерны в 1 кг содержат в среднем 4 зерна
сорняков. Для некоторых опытов отвешивают 250 г семян. Определить
вероятность того, что в 250 г не окажется ни одного зерна сорняков.
Решение. По условию задачи
а = 4 1/кг, S = 0,25 кг, тогда =4  0,25 = 1
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По
таблице
находим
функцию
Пуассона
F(1;
0)=0,3679,
следовательно,
р  0,3679.
Ответ:р  0,3679.
Интегральная теорема Лапласа.
Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом из n
независимых испытаний постоянна и отлична от 0 до 1, то вероятность
того. Что событие А наступит от k1 до k2 раз при достаточно большом
числе n испытаний, можно найти по формуле
Pn ( k 1 , k 2 )  Ф( x 2 )  Ф( х1 )
где Ф( х ) 
1
2
x1 
х
е

t2
2
(3.6)
dt интегрированная функция Лапласа
0
k1  np
npq
x2 
,
k 2  np
npq
Значения функции Ф(х) находят по таблице, приведенной в приложении
2.
Свойства функции Ф(х):
1. Функция Ф(х) нечетная, Ф(-х) = - Ф(х)
Ф( х )  0 ,5
2. Функция Ф(х) монотонно возрастающая и lim
х
3. Для всех значений х >5 можно считать, что Ф(х)  0,5.
Задача 3.8. Найти вероятность того, что из 1000 изделий продукции
завода число изделий высшего сорта заключено между 580 и 630, если
известно, что доля изделий высшего сорта составляет 60%.
Решение.
n = 1000
x1 
k1  np 580  1000  0 ,6 580  600


 1,29
15 ,49
npq
1000  0 ,6  0 ,4
k1 = 580
x2 
k 2  np 630  1000  0 ,6 630  600


 1,94
15 ,49
npq
1000  0 ,6  0 ,4
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По таблице (пр.2): Ф(х1)=Ф(-1,29)=-Ф(1,29)=-0,4015
k2 = 630
Ф(х2)= Ф(1,94)= 0,4738
p = 0,6
q = 1– р =0,4
Р1000(580;630 )≈ 0,4738 - (-0,4015)= 0,8753.
________________
Р1000(580; 630) =?
Ответ: Р1000(580,630)  0,8753.
Задачи для самостоятельного решения
1. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Какова
вероятность того, что из 6 посеянных семян взойдут: а) четыре; б) не
менее четырех?
2. Появление колонии микроорганизмов данного вида в определенных
условиях оценивается вероятностью 0,9. Какова вероятность того, что
из 5 случаев эта колония микроорганизмов появиться 3 раза?
3. Найти вероятность того, что в семье, имеющих 5 детей, будет: а) 2
девочки; б) не менее двух девочек; в) не более четырех девочек.
Считать, что вероятность рождения мальчика и девочки одинакова и
равна 0,5.
4. Вероятность осуществления сложного биологического опыта 0,25.
Найти вероятность того, что при 10 испытаниях этот опыт
осуществиться 2 раза.
5. Вероятность остановки комбайна в результате поломки равна 0,09.
Чему равно наивероятнейшее число комбайнов, работающих в поле,
если хозяйство имеет 30 комбайнов.
6. На инкубационную закладку поступила партия яиц, в количестве 1000
штук. Вероятность того, что в результате инкубации каждого яйца
вылупиться цыпленок равна 0,75. Найти наивероятнейшее число
вылупившихся цыплят.
7. Вероятность того, что покупатель, выписавший чек у продавца,
оплатит его в кассе, равна 0,9. Чеки выписали 40 человек. Определить
наивероятнейшее число чеков, которые будут оплачены.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,9. Определить
наивероятнейшее число попаданий в цель и вероятность такого исхода
стрельбы, если было сделано шесть выстрелов.
9. Вероятность поражения помидоров фитофторой равна 0,6. Определить
вероятность того, что из 100 проверяемых растений 55 будет поражены
этой болезнью.
10. Вероятность рождения бычка при отеле коровы равна 0,5. Какова
вероятность того, что от 55 коров родиться 20 бычков.
11. Всхожесть семян люцерны равна 0,8. Определить вероятность того, что
из 200 посеянных семян будет 160 всходов.
12. Посажено 600 яблонь. Вероятность того, что каждое дерево
приживется, равна 0,6. Какова вероятность того, что приживется 376
деревьев?
13. Отбирается 4000 изделий. Доля брака составляет 0,00025. Найти
вероятность того, что в выборке окажется ровно два бракованных
изделия.
14. Доля зараженности зерна вредителями в скрытой форме составляет
0,002. Определить вероятность того, что в выборке из 500 зерен
окажется ровно 3 зараженных зерна.
15. В средне на 1 кв.м площади посева встречается 0,25 стебля сорняков.
Определить вероятность того, что на 4 кв. м не окажется ни одного
сорняка.
16. Среднее число заявок, поступающих на склад в течение месяца, равно
2. Найти вероятность того, что в течение 0,5 месяца поступит не более
одной заявки.
17. При некотором производственном процессе получается в среднем 90%
годной продукции. Найти вероятность того, что среди 900 изделий
будет от 790 до 820 годных.
18. Вероятность неточной сборки прибора равна 0,2. Найти вероятность
того, что среди 500 приборов окажется от 410 до 430 точных.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
19. Всхожесть семян данного растения составляет 80%. Найти вероятность
того, что из 800 посеянных семян взойдет не менее 700.
20. Пусть вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41 размера,
равна 0,2. Найти вероятность того, что из 750 покупателей не более 120
человек потребуют обувь этого размера.
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА..
Величина называется случайной, если в результате испытания она
принимает из множества возможных своих значений одно и только одно
наперед неизвестное возможное значение, зависящее от случайных причин,
которые учесть невозможно.
Случайная величина, которая может принимать конечное или
бесконечное счетное множество значений на данном интервале, называется
дискретной.
К дискретным случайным величинам относятся количество студентов
на лекции, число выпадения шести очков при десяти бросаниях игральной
кости, число растений пораженных фитофторой на опытных делянках, и т.д.
Непрерывной случайной величиной называется такая величина,
возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал
числовой оси.
Непрерывными случайным величинами являются: продолжительность
жизни человека, температура воздуха в течение дня, масса яблока и т.д..
Обозначаются случайные величины заглавными буквами латинского
алфавита X, Y, Z,…, а возможные значения – соответственно х1, х2, …, хn; y1,
y2, …, yn; z1, z2, …, zn.
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§4. Дискретная случайная величина.
Законом распределения дискретной случайной величины называют
соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Таблица, в которой перечислены все значения дискретной случайной
величины
и
соответствующие
им
вероятности,
называется
рядом
распределения дискретной случайной величины.
Ряд распределения записывается в виде таблицы:
Таблица 4.1.
Х
х1
х2
…
хn
Р
р1
р2
…
рn
Сумма вероятностей возможных значений случайной величины равна
1.
р1 + р2 + … + р n = 1
Графическим изображением ряда распределения дискретной случайной
величины
является
многоугольник
распределения
(полигон).
Многоугольник распределения – это ломаная линия, соединяющая точки с
координатами (xi ; pi) (Рис.1).
pi
p3
p2
p4
p1
0
х1
х2
х3
х4
хi
Рис. 4.1
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 4.1. Составить закон распределения случайной величины Х –
стоимости возможного выигрыша, для владельца одного лотерейного билета,
если в беспроигрышной лотереи разыгрывается 100 билетов, из них 10
билетов по 50 рублей, 30 билетов по 10 рублей, 60 билетов по 1 рублю.
Решение. Случайная величина Х принимает следующие возможные
значения: х1=1, х2=10, х3=50. Вероятность этих возможных значений таковы
р1 
30
60
10
 0,6 , р 2 
 0 ,3 , р3 
 0,1 .
100
100
100
Получаем ряд распределения:
Х
1
10
50
Р
0,6
0,3
0,1
Построим многоугольник распределения (Рис. 4.2):
pi
0,6
0,3
0,1
1
10
50
xi
Рис. 4.2
Функцией распределения вероятностей случайной величины Х
называется вероятность того, что случайная величина Х примет значение
меньше чем х:
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
F (х) = Р (Х<х)
Функция
распределения
(4.1.)
иногда называется
F(x)
интегральной
функцией распределения.
Свойства функции распределения F(x).
1. Значение функции F(x) принадлежит отрезку [0;1], т.к. F(x) равна
вероятности, т.е. 0 < F(x) < 1.
2. F(-)=0, так как Х < - есть событие невозможное.
3. F(+)=1, так как Х < + есть достоверное событие.
4. F(x) – неубывающая функция своего аргумента.
Функция F(x) существует как для дискретных, так и для непрерывных
случайных величин. Для дискретной случайной величины F(x) вычисляется
по формуле:
F ( x )   P( X  xi )
xi  x
(4.2),
где суммирование ведется по всем значениям i, для которых xi < x.
Задача 4.2. Дан закон распределения случайной величины Х.
Х
-1
0
2
3
Р
0,3
0,2
0,4
0,1
Найти функцию распределения вероятностей F(x) и построить ее
график.
Решение. 1) если x < -1, то F(x)=Р(Х<х)=Р(- <X< x)=0, так как на
интервале (-;х) не содержится возможных значений Х;
2) если -1< x <0, то F(x)=Р(Х<х)=Р(- <X< x)=P(X=-1)=0,3;
3) если 0< x <2, то F(x)=Р(Х<х)=0,5, так как в этом случае Х может
принять значения –1 или 0, и по теореме сложения вероятностей для
несовместных событий имеем:
Р(Х<х)=(Х=-1 или Х=0)= Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,3+0,2=0,5;
4) если 2< x <3, то F(x)=Р(Х<х)=0,9, так как
F(x)=Р(Х<х)=Р(Х=-1)+Р(Х=0)+Р(Х=2)=0,3+0,2+0,4=0,9
5) если х>3, то F(x)=Р(Х<х)=Р(- <X<x)=1, т.е.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
событие Х<х - достоверное.
Итак:
0
 0 ,3

F ( x )   0 ,5
 0 ,9

 1
при
при
при
при
при
х  1
1 x  0
0x2
2x3
х  3.
График функции F(x) изображен на рис. 4.3.
F(x)
1
0,9
0,5
0,3
-1
0
1
2
xi
3
Рис. 4.3.
Операции над случайными величинами
Две случайные величины называются независимыми, если закон
распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения
приняла другая величина.
Суммой случайных величин Х и Y называется случайная величина
обозначаемая Х+Y, возможные значения которой равны всевозможным
суммам значений случайных величин Х и Y, а вероятности возможных
значений равны произведению вероятностей соответствующих значений
слагаемых
для
независимых
случайных
величин
и
произведению
вероятности одного на условную вероятность другого для зависимых.
Произведением независимых случайных величин Х и Y называется
случайная величина, обозначаемая ХY, возможные значения которой равны
произведениям значений случайных величин Х и Y, а вероятности возможных
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
значений
равны
произведениям
соответствующих
вероятностей
сомножителей.
Задача 4.3. Независимые случайные величины Х и Y имеют ряды
распределения:
Х
1
2
3
Y
-1
2
3
Р
0,3
0,5
0,2
Р
0,4
0,3
0,3
Построить ряд распределения случайной величины Х + Y.
Решение. Случайные величины Х + Y может принимать следующие
значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Найдем вероятности этих значений:
P(X+Y=0)=P(X=1)  P(Y=-1)= 0,3  0,4=0,12
P(X+Y=1)=P(X=2)  P(Y=-1)= 0,5  0,4=0,2
P(X+Y=2)=P(X=3)  P(Y=-1)= 0,2  0,4=0,08
P(X+Y=3)=P(X=1)  P(Y=2)= 0,3  0,3=0,09
P(X+Y=4)=P(X=1)  P(Y=3)+P(X=2)  P(Y=2)= 0,3  0,3+0,5  0,3=0,24
P(X+Y=5)=P(X=2)  P(Y=3)+P(X=3)  P(Y=2)= 0,5  0,3+0,2  0,3=0,21
P(X+Y=6)=P(X=3)  P(Y=3)= 0,2  0,3=0,06
Ряд распределения случайной величины X+Y имеет вид.
Х+Y
0
1
2
3
4
5
6
Р
0,12
0,2
0,08
0,09
0,24
0,21
0,06
Числовые характеристики дискретной случайной величины
Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины
называется сумма произведений всех ее возможных значений на их
вероятности.
n
М ( Х )  х1 р1  х2 р2  ...  хn pn   xi pi
i 1
(4.3)
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следует
отметить,
что
математическое
ожидание
дискретной
случайной величины приближенно равно среднему арифметическому всех ее
значений.
Математическое ожидание часто называют центром рассеивания
случайной величины.
Задача 4.4. По данным задачи 4.2. вычислить математическое
ожидание.
Решение. По формуле (4.3) имеем:
М(Х)= –1 0,3 + 0  0,2 + 2  0,4 + 3  0,1= 0,8
Ответ: М(Х)=0,8.
Свойства математического ожидания.
1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой
постоянной:
М(С)=С
(4.4)
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического
ожидания:
М(kX)=kМ(Х), где k=const
(4.5)
3. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин
равно сумме (разности) их математических ожиданий:
М(X+Y)=М(Х)+М(Y)
(4.6)
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных
величин равно произведению их математических ожиданий:
М(XY)=М(Х)  М(Y)
(4.7)
5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее
математического ожидания всегда равно нулю:
М[Х-М(Х)]=0
(4.8)
Задача 4.5. Пусть законы распределения случайных величин X и Y
заданы следующими рядами распределения:
Х
-0,1
0
0,1
0,4
Y
-10
0,5
10
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Р
0,3
0,15
0,3
Р
0,25
0,4
0,2
0,4
Вычислить М(X+Y).
Решение. Найдем математическое ожидание М(Х) и М(Y) по формуле
(2.1.3)
М(Х)= –1 0,3 + 0  0,15 + 0,1  0,3 + 0,4  0,25 = 0,1
М(Y)= –10  0,4 + 0,5  0,2 + 10  0,4 = 0,1
Согласно формулы (2.1.6) получим:
М(X+Y)=0,1+ 0,1 = 0,2.
Ответ: М(X+Y) = 0,2.
Дисперсией D(Х) случайной величины Х называется математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического
ожидания.
D(Х) = М [Х - М(Х)]2
Для
вычисления
(4.9)
дисперсии удобнее использовать следующую
формулу:
D(Х) = М(Х2) - [М(Х2)]
(4.10)
Для дискретной случайной величины формула (4.9) имеет вид:
n
D( Х )    xi  M ( X ) pi
2
i 1
(4.11)
где хi – возможные значения случайной величины Х, а pi = P(X = xi)
(i=1, 2,…, n).
Дисперсия служит оценкой рассеяния возможных значений случайной
величины вокруг его математического ожидания.
Задача 4.6. Вычислить дисперсию случайной величины Х, заданной
рядом распределения:
Х
-2
1
2
3
Р
0,1
0,2
0,4
0,3
Решение. Построим ряд распределения случайной величины Х2.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Х
4
1
4
9
Р
0,1
0,2
0,4
0,3
Вычислим М(Х) и М(Х2) по формуле (4.3)
М(Х)= –2  0,1 + 1  0,2 + 2  0,4 + 3  0,3 = 1,7
М(Х2)= 4·0,1+1 0,2 + 4  0,4 + 9  0,3 = 4,9
Согласно формулы (4.10) получаем:
D(Х)=4,9 – (1,7) 2=2,01
Дисперсию так же можно вычислить, используя формулу (4.11)
D(Х)=(-2 - 1,7) 2  0,1 + (1 - 1,7) 2  0,2 + (2 - 1,7) 2  0,4 + (3 - 1,7) 2  0,3
= =2,01.
Ответ:D(X)=2,01.
Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю.
D(С)=0
(4.12)
2. Постоянный множитель k можно выносить за знак дисперсии,
предварительно возведя его в квадрат.
D(kХ)=k2D(Х)
(4.13)
3. Если Х и Y – независимые случайные величины, то
D(X+Y)=D(Х)+D(Y)
(4.14)
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна
сумме их дисперсий:
D(Х-Y)=D(Х)+D(Y)
(4.15)
Задача 4.7. Для случайных величин Х и Y из примера 4.5. вычислить
D(Х+Y).
Решение. Вычислим дисперсии случайных величин Х и Y по формуле
(4.11)
D(Х)=(-0,1- 0,1)2 0,3+(0 - 0,1) 2 0,15+(0,1 - 0,1) 2 0,3+(0,4 - 0,1) 2 0,25 =
0,036
D(Y)=(-10 - 0,1) 2 0,4+(0,5 - 0,1) 2 0,2+(10 - 0,1) 2 0,4 = 80,04
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
D(X+Y) = 0,036 + 80,04 = 80,076
Ответ: D(X+Y) = 80,076.
Так как дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной
величины, то для оценки рассеяния возможных значений случайной
величины вокруг ее М(Х) вводят понятие среднее квадратическое
отклонение,
имеющего
размерность,
совпадающую с
размерностью
случайной величины.
Корень
квадратный
из
дисперсии
называется
средним
квадратическим отклонением
 ( Х )  D( Х )
(4.16)
Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно
независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы
квадратов средних квадратических отклонений этих величин:
 ( Х 1  Х 2  ...  Х n )   2 ( Х 1 )   2 ( Х 2 )  ...   2 ( Х n )
(4.17)
Пусть случайная величина Х – число наступления события А при n
независимых испытаниях, а вероятность наступления события А постоянна и
равна р, и область изменения Х состоит из всех целых чисел от 0 до n
включительно.
Определенная таким образом случайная величина Х называется
распределенной по биномиальному закону или имеющей биномиальное
распределение, если вероятность Р(Х=k) задается формулой Бернулли (3.1).
Для биномиального распределения математическое ожидание М(Х)
определяется по формуле:
М(Х)=np
(4.18)
D(Х)=npq,
(4.19)
Дисперсия равна:
где q=1-р.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 4.8. Появление колонии микроорганизмов данного вида в
определенных условиях оценивается вероятностью 0,7. Составить ряд
распределения появления колоний микроорганизмов в шести наудачу взятых
пробах.
Найти
математическое
ожидание,
дисперсию
и
среднее
квадратическое отклонение.
Решение. Случайная величина Х – число появления колоний
микроорганизмов в шести пробах, может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5 и
6.
Вероятность этих возможных значений найдем по формуле Бернулли,
учитывая, что р=0,7, q=0,3.
р6 ( 0 ) 
6!
 ( 0 ,7 )0  ( 0 ,3 )6  0 ,001
0! 6 !
р6 ( 1 ) 
6!
 ( 0 ,7 )1  ( 0 ,3 )5  0 ,010
1! 5!
р6 ( 2 ) 
6!
 ( 0 ,7 )2  ( 0 ,3 )4  0 ,060
2! 4!
р6 ( 3 ) 
6!
 ( 0 ,7 )3  ( 0 ,3 )3  0 ,185
3! 3!
р6 ( 4 ) 
6!
 ( 0 ,7 )4  ( 0 ,3 )2  0 ,324
4! 2!
р6 ( 5 ) 
6!
 ( 0 ,7 )5  ( 0 ,3 )1  0 ,302
5! 1!
р6 ( 6 ) 
6!
 ( 0 ,7 )6  ( 0 ,3 )1  0 ,118
6 ! 1!
Биномиальное распределение колонии микроорганизмов будет иметь
вид
Х
0
1
2
3
4
5
6
Р
0,001
0,010
0,060
0,185
0,324
0,302
0,118
Согласно формулам (4.18) и (4.19) получим:
М(Х)=6  0,7=4,2,
D(Х)=6  0,7  0,3=1,26,
(Х)=1,12.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ответ: М(Х)=4,2; D(Х)=1,26;(Х)=1,12.
Случайная величина Х, принимающая значения 0, 1, 2, …, n, называется
распределенной по закону Пуассона, или имеющей распределение
Пуассона с параметром , если вероятности значений случайной величины Х
можно определить по формуле Пуассона
рn ( k ) 
k
k!
е 
(4.20)
Числовые характеристики такой случайной величины: M(X) = D(X) = λ.
Задачи для самостоятельного решения
1. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет в цель до первого попадания
или пока не израсходует патроны. Вероятность попадания в цель при
каждом выстреле 0,25. Составить закон распределения случайной
величины Х – числа израсходованных патронов.
2. Монета брошена три раза. Случайная величина Х – число появления
герба. Написать закон распределения и построить многоугольник
распределения случайной величины Х.
3. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрываются две вещи
стоимостью по 15 рублей, и одна стоимостью 55 рублей. Составить
закон распределения суммы чистого выигрыша для студента, который
приобрел один билет за 2 рубля; всего продано 50 билетов.
4. Составить закон распределения попадания в цель при четырех
выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле 0,25.
5. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность
попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить
закон числа попаданий в мишень.
6. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга
свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек,
которые посетит студент, если в городе четыре библиотеки.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими
законами распределения:
Х
0
2
5
Y
1
2
4
5
р
0,15
0,25
0,6
p
0,1
0,35
0,15
0,4
Составить законы случайных величин Х + У, ХУ, 0,5У.
8. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими
законами распределения:
Х
0
2
4
6
Y
-1
1
3
5
р
0,1
0,2
0,3
0,4
р
0,2
0,3
0,3
0,2
Составить законы распределения случайных величин Х + У, ХУ, Х2.
9. Случайная величина Х задана законом распределения:
Х
2
3
4
р
0,3
0,5
0,2
Найти математическое ожидание М (Х) и дисперсию Д (Х).
10. Составить закон распределения случайной величины 4Х и вычислить
ее математическое ожидание и дисперсию, если закон распределения
случайной величины Х таков:
Х
-1
0
р
0,1
0,2
1
0,3
3
5
0,2
0,2
11. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и
У:
Х
р
-1
0,2
0
0,4
2
0,3
У
р
3
0,1
-1
0,6
2
0,4
Проверить следующие свойства математического ожидания и
дисперсии: М ( Х-У )= М (Х) – М (У) и Д (Х – У) = Д (Х) + Д (У).
12. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и
У:
Х
р
-4
0,2
0
0,5
4
0,3
У
р
2
0,3
3
0,7
Составить закон распределения случайной величины ХУ и найти ее
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х
р
3
0,2
5
0,1
7
0,4
10
0,3
Найти функцию распределения этой случайной величины и построить
ее график.
14. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х
р
1
0,1
2
0,2
3
0,1
4
0,2
5
0,4
Найти функцию распределения этой случайной величины.
§5. Непрерывная случайная величина.
В
предыдущей
теме
была
введена
функция
распределения
вероятностей F(x), которую так же называют интегральной функцией, и
теперь можно более точно дать определение непрерывной случайной
величины:
Случайную величину называют непрерывной, если ее функция
распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с
непрерывной производной.
Для характеристики непрерывной случайной величины кроме функции
распределения F(х) вводят функцию плотности распределения вероятностей
f(х),
которую
часто
называют
плотностью
вероятностей
или
дифференциальной функцией распределения вероятностей.
Плотность вероятностей случайной величины, или плотность
распределения,
по
определению
равна
производной
от
функции
распределения вероятностей непрерывной случайной величины:
F’(х)=f(х)
(5.1)
Кривая y=f(х) называется кривой распределения вероятностей данной
случайной величины.
Свойства функции f(х).
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

 f ( x )dx  1
1.
(5.2)

2. Плотность вероятностей – функция неотрицательная:
f(x)>0.
Задача 5.1. Случайная величина Х, задана функцией распределения

 0,
при
x0


F  x   sin x при 0  x 
2


 1
при
x

2
Найти функцию плотности распределения вероятностей f(х).
Решение. Согласно определению функции плотности вероятностей, по
формуле (5.1) получаем:

 0,
при
х0


f  x   F  x   cos x, при 0  x 
2


 0
при
x

2
Функция распределения вероятностей F(х) непрерывной случайной
величины Х выражается через функцию плотности вероятностей следующим
образом:
x
F( х ) 
 f ( x )dx
(5.3)

Задача 5.2. Зная, что плотность вероятностей f(х) случайной величины
Х определяется с помощью равенства:
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
при х  0
0
 3

f(х)
( 4 х  x 2 ) при 0  х  4 ,
 32
при х  4
 0
определить функцию распределения F(х).
Решение. По формуле (5.3) находим функцию распределения
вероятностей F(х) для заданной случайной величины.
Если
Если
0 < x < 4,
x


 f ( x )dx   0 dx  0 ,
F( х ) 
- < x < 4, то
на этом интервале
x
f(Х)=0.
то f ( х ) 
x
3
( 4x  x2 )
32
0
x
3
и, следовательно,
 f ( x )dx   f ( х ) dx   32 ( 4 x  x
F( х ) 


0
2
) dx 
0
x
3
6 x2  x3
2
  0 dx   ( 4 x  x ) dx 
32
32

0
Если х > 4, то
x
0
4
х
3
F ( х )   f ( x )dx   0 dx   ( 4 x  x 2 ) dx   0 dx  1
32


0
4
Итак
при х  0
0
 2
 6x  x 3
F ( х)  
при 0  х  4 .
32

при х  4
 1
Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет
какое-нибудь значение из интервала (а,b), равна определенному интегралу от
плотности вероятностей в пределах от а до b:
b
Р( а  X  b )   f ( x )dx  F ( b )  F ( a )
(5.4)
a
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Замечание. Можно доказать, что:
Р(а<X<b)= Р(а<X<b)= Р(а<X<b)= Р(а<X<b).
Задача 5.3. Плотность распределения вероятностей f(х) непрерывной
случайной величины Х определена с помощью равенств
 2ах при 0  х  3
f(х)
при х  3
0
Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1;2).
Решение. Найдем значение коэффициента а. Согласно формуле (5.2),
получаем:
3
 2ах dx  1 ,
0
2 ax 2
2
3
0
 1,
9а=1,
a
1
.
9
Тогда:
2
2
x2
P( 1  X  2 )   x dx 
9
9
1
2
1

4 1 3 1
   .
9 9 9 3
Следует отметить, что вероятность того, что случайная величина
примет значение, принадлежащее интервалу (х, х+х), приближенно равна (с
точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно х)
произведению плотности вероятностей в точке х на длину интервала х:
F(x+х)-F(x)  f(x) х
Формула
(5.5)
выражает
вероятностный
(5.5)
смысл
плотности
распределения вероятностей f(x).
Геометрически это можно истолковать так: вероятность того, что
случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х+х),
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
приближенно равна площади прямоугольника с основанием х и высотой f(х)
(рис. 5.1).
f(x)
В
А
С
х
0
х
f(x)
х
х+ х
Рис. 5.1.
Допущенная при этом погрешность равна площади треугольника АВС
(рис. 5.1).
Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х,
возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, называется
несобственный интеграл

М( Х ) 
 х f ( x )dx
(5.6)

Математическое ожидание существует, если несобственный интеграл
сходится.
Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a,b], то
b
М ( Х )   х f ( x )dx
(5.7)
a
Дисперсия непрерывной случайной величины, возможные значения
которой, принадлежат всей оси Ох, равна

D( Х ) 
 х  М ( Х )
2
f ( x )dx
(5.8)

52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если возможные значения принадлежат отрезку [a,b], то дисперсия:
b
D( Х )   х  М ( Х ) 2 f ( x )dx
(5.9)
a
Для вычисления дисперсии непрерывных случайных величин удобнее
пользоваться формулами:

f ( x ) dx  М ( Х ) 2 



b
2
2 
D( Х )   х f ( x ) dx  М ( Х )

a


D( Х ) 
х
2
(5.10)
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной
величины равно:
  D( Х )
Свойства
квадратического
математического
отклонения
для
ожидания,
(5.11)
дисперсии
дискретных
и
среднего
случайных
величин,
рассмотренные ранее сохраняются и для непрерывных случайных величин.
Модой Мо(Х) непрерывной случайной величины называется такое ее
значение, при котором плотность распределения вероятностей максимальна.
Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины называется такое
ее значение, для которого Р(Х<Ме(Х))= Р(Х>Ме(Х))=0,5.
Задача 5.4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратическое отклонение случайной величины Х, функция распределения
которой:
0

F ( х)   х 2
1

при
х0
при 0  х  1 .
при
х 1
Решение. Найдем функцию плотности:
0

f ( x )  F ' ( х )  2 х
0

при
х0
при 0  х  1
при
х 1
Согласно формуле (5.7), математическое ожидание равно:
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
2 x3
М ( Х )   х  2 x dx 
3
0
1
0

2
 0,67. .
3
Согласно формуле (5.10), получим:
2
x4
2
D  X    x 2 2 xdx    
2
 3
1
0

4 1 4 1
  
 0.06.
9 2 9 18
По формуле (2.2.11) найдем среднее квадратическое отклонение
 (Х )
1
 0 ,24 .
18
Ответ: M(X)=0,67; D(X)=0.06; σ(X)=0,24.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Случайная величина Х задана функцией распределения
при х  3
0
х

F ( х )    1 при  3  х  0
3
при х  0
 1
Найти вероятность того, что в результате испытания случайная
величина Х примет значение в интервале (-1,0).
2. Случайная величина Х задана функцией распределения
0

F( х )  x
1

х0
при
при 0  х  1
при
х 1
Определить вероятность того, что случайная величина Х в результате
испытания примет значение, больше 0,5, но менее 0,8.
3.
Случайная
величина
Х
задана
интегральной
функцией
распределения:
при х  1
0

F ( х )   x  1 при 1  х  2
1
при х  2

54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определить вероятность того, что случайная величина примет значение
в интервале: а) (1,3; 1,5); б) (1,2; 1,8).
В заданиях 4-6 случайная величина Х задана интегральной функцией
распределения F(х). Найти функцию плотности распределения вероятностей
f(х).
0
 2
х
4. F ( х )   16

 1
при
х0
при 0  х  4
при
х4
при х  2
0

5. F ( х )   x  2 при 2  х  3
1
при х  3

0
 3
х
F
(
х
)


6.
8
 1
7.
при
х0
при 0  х  2
при
Непрерывная
х2
случайная
величина
Х
задана
плотностью
распределения:

0
при х  0


3
f ( х )   sin 3 x при 0  х 
3
2


0
при
х


3
  
6 4
Найти вероятность того, что Х примет значение в интервале  ;  .
8. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:
при х  0
0

f ( х)   2 х
 (1  х 2 ) 2 при х  0

55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найти вероятность того, что значение случайной величины Х
содержится в интервале (1,3).
9. Плотность распределения вероятностей задана формулой:
f(x)
a
.
1  x2
Найти коэффициент а и функцию распределения вероятностей
случайной величины Х.
10. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией
распределения:


при х  
0
2




f ( х )  a cos x при   х 
2
2



при х 
0
2

Определить коэффициент а.
В
задачах
распределения
11-12
случайная
вероятностей
f(х).
величина
Найти
Х
задана
интегральную
плотностью
функцию
распределения F(х).
11.
12.
0
 2
х
f(х)
9
 0
при
х0
при 0  х  3
при
х3

0
при х  0



f ( х )  cos x при 0  х 
2



0
при
х


2
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В задачах 13-15 случайная величина Х задана дифференциальной
функцией распределения f(х). Вычислить математическое ожидание М(Х),
дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение.
13.
при х  4
0

f ( х )  2 х  8 при 4  х  5
0
при х  5

14.
0
 2
 3х
f ( х)  
 8
 0
15.
при
х0
при 0  х  2
при
х2
при х  0
0
 sin x
f ( х)  
при 0  х  
2

при х  
 0
§6. Законы распределения непрерывной случайной величины.
Закон равномерного распределения
Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной
случайной величины Х, если на интервале (а, b), которому принадлежат все
возможные значения Х, плотность сохраняет постоянное значение.
Плотность распределения вероятностей равномерного распределения
имеет вид:
0
 1
f ( х)  
b  a
 0
при
ха
при a  х  b
при
(6.1)
хb
Функция распределения вероятностей равномерного распределения
определяется формулой:
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0
x a

F ( х)  
b  a
 1
при
ха
при a  х  b
при
(6.2)
хb
Графики функций f(х) и F(х) изображены на рисунках (6.1) и (6.2).
f(x)
1
b-a
1
a
b
a
Рис. 6.1
b
Рис. 6.2
Математическое ожидание равномерно распределенной на интервале
(a,b) случайной величины равно:
M( X ) 
ab
2
(6.3)
Формула для вычисления дисперсии имеет вид:
( b  a )2
D( X ) 
12
(6.4)
Среднее квадратическое отклонение находится по формуле:
( X ) 
ba
2 3
(6.5)
Задача 6.1. Поезда метрополитена идут с интервалом в 2 минуты.
Пассажир выходит на платформу в какой-то момент. Тогда время, в течение
которого он будет ожидать поезда, представляет случайную величину,
имеющую
равномерное распределение.
Определить
интегральную и
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дифференциальную функцию распределения этой случайной величины, ее
математическое ожидание и дисперсию.
Решение. Рассмотрим интервал (a,b), и выберем за начало интервала
значение а=0, тогда согласно условию задачи b=2.
Согласно формулам (6.1) – (6.4) получим:
0
1

f(х)
2
 0
при
х0
при 0  х  2
при
х2
интегральная функция F(х) равна:
0
x

F( х )  
2
 1
при
х0
при 0  х  2
при
х2
Вычислим числовые характеристики:
3
02
( 2  0 )2 1
 , ( X ) 
M( X ) 
 1 , D( X ) 
.
3
12
3
2
Показательное распределение
Непрерывная
случайная
величина
имеет
показательное
распределение с параметром  >0, если плотность распределения случайной
величины равна
при х  0
 0,
f(х)
 x
 е , при х  0
(6.6)
Функция распределения случайной величины имеющей показательное
распределение имеет вид
при х  0
 0,
F( х )  
 x
1  е , при х  0
(6.7)
Графики этих функций приведены на рисунках (6.3) и (6.4).
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f(x)
F(x)


x
x
Рис. 6.3
Рис. 6.4
Математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(Х) этой случайной
величины определяются формулами:
M( X ) 
1
D( X ) 
(6.8)

1
2
(6.9)
Задача 6.2. Непрерывная случайная величина Х распределена по
показательному закону
при х  0
 0,
f ( х )   2 x
2 е , при х  0
Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в
интервал (0,3;1).
Решение. Согласно формуле 6.4.
1
1
0 ,3
0 ,3
Р( 0 ,3  X  1 ) 
 е 2 х
1
0 ,3

 f ( x )dx   2 е
2 х
1
dx 2  е 2 х dx 
0 ,3

  е 2  е 0 ,6  е 0 ,6  е 2  0 ,54881  0 ,13534  0 ,41
Ответ: Р(0,3≤ Х≤ 1)= 0,41.
Задача 6.3. Непрерывная случайная величина Х распределена по
показательному закону:
при х  0
 0,
f ( х )   5 x
5 е , при х  0
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение.
Решение. По условию  =5. Следовательно,
M( X ) 
1
 0 ,2 ;
5
D( X ) 
1

2

1
 0 ,04 ;
25
 ( X )  D( X )  0,02 .
Ответ: M(X)=0,2; D(X)=0.04;  ( X )  0,02 .
Показательное распределение широко применяется в приложениях, в
частности в теории надежности, в теории массового обслуживания.
Случайные величины, распределенные по показательному закону,
обладают интересным свойством если промежуток времени, распределенный
по показательному закону, уже длился некоторое время, то это никак не
влияет на закон распределения оставшейся части промежутка.
Закон нормального распределения
Если плотность распределения вероятностей случайной величины Х
выражается функцией
f(x)
1
е
 2

( x  a )2
2
2
,
(6.10)
где а и  - параметры, то говорят, что случайная величина Х распределена по
нормальному закону и ее называют нормальной случайной величиной.
Нормальной кривой называется график плотности вероятности
случайной величины, распределенной по нормальному закону. График
функции f(х) симметричен относительно прямой х=а, функция достигает
максимума при х=а, а ее график имеет точки перегиба при х1=а+ и х2=а-.
При х+ функция асимптотически приближается к оси Ох. (рис. 6.5).
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f(x)
1
 2
a -
0
a+
a
х
Рис. 6.5
Исходя из связи между плотностью распределения f(х) и функцией
распределения имеем :
F( x ) 
1
 2
x
е

( t  a )2
2
2
dx (6.11)

Математическое ожидание нормальной случайной величины
M( X )  а
(6.12)
Дисперсия нормальной случайной величины равна
D( X )   2 или   D(X )
(6.13)
Видно, что параметры а и  функции плотности распределения
вероятностей нормальной случайной величины, есть математическое
ожидание и среднее квадратическое отклонение.
Задача 6.4. Математическое ожидание нормально распределенной
случайной величины Х равно а=3 и среднее квадратическое отклонение =2.
Написать функцию распределения вероятностей.
Решение. Подставим значения а=3 и =2 в формулу (2.3.5)
определенную функцию f(х) получим

1
f(x)
е
2 2
( x  3 )2
8
.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 6.5. Доказать, что параметр а, входящий в формулу
выражающую функцию плотности распределения вероятностей случайной
величины, распределенной по нормальному закону, есть математическое
ожидание этой случайной величины.
Решение.
Согласно
формуле (2.2.6) математическое ожидание
непрерывной случайной величины Х равно

M( X ) 
 x f ( x )dx .

Для нормальной случайной величины
f(x)
1
е
 2

( x  a )2
2
2
.
Подставим функцию f(х) в формулу (2.2.6):
xa


1
M( X )   x
е

2



1
2

( х  а )2
2
2
1
dx 
 2
t2
2

( t  a ) е dt  2


t2
 2

е
2

Интеграл

е

t2
2
a

2

е

t2
2

t е

t2
2

dt 

a
2

 хе

2
2

a
dt 
2


( х  а )2

t
dx  x   t  a 
dx   dt
е

t2
2
dt 

2  a .
dt  2 и называется интегралом Пуассона.

Теорема.
Вероятность
того,
что
случайная
величина
Х,
распределенная по нормальному закону, примет какое-нибудь значение из
интервала (α; β) равна:
 a
  a 
Р(  X   )  Ф 
  Ф
 , (6.14)
  
  
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
х
t2

1
2
е
dt - интегральная функция Лапласа, значения
где Ф( х ) 

2 0
которой табулированы в приложении 3.
Задача 6.6. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с
параметрами: а=375 г, =252. Найти вероятность того, что вес одной
пойманной рыбы будет: а) от 300 до 425 г;
б) не более 450 г;
в) больше 300 г.
Решение. а) По формуле (6.14) при а=375,  =25, α=300, β=425
получим:
 425  375 
 300  375 
Р( 300  X  425 )  Ф 
 Ф
  Ф( 2 )  Ф( 3 ) 
25
25




 Ф( 2 )  Ф( 3 )  0 ,4772  0 ,4987  0 ,9759 .
б) В соответствии с формулой (6.14) при α=0, β=45 имеем:
 450  375 
 0  375 
Р( Х  450 )  Р( 0  X  450 )  Ф 
 Ф

25
25




 Ф( 3 )  Ф( 15 )  Ф( 3 )  Ф( 15 )  0 ,4987  0 ,5  0 ,9987 .
в) По формуле (6.14) для α =300 и β =+ получаем:
   375 
 300  375 
Р( Х  300 )  Р( 300  X   )  Ф 
 Ф

25
 25 


 Ф(  )  Ф( 3 )  Ф(  )  Ф( 3 )  0 ,5  0 ,4987  0 ,9987 .
Ответ:
P(300<Х<425)=0,9759;
P(X<450)=0,9987;
P(X>300)=0,9987.
Теорема.
Вероятность
того,
что
.
отклонение
нормально
распределенной случайной величины Х, от математического ожидания а, не
превзойдет по абсолютной величины  , определяется по формуле:
 
Р  Х  а     2Ф 
 
(6.15)
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 6.7. Средняя масса яблок – 120 г, 5 % яблок данной партии
отклоняется от нее более чем на 20 г. Считая, что распределение массы яблок
подчиняется нормальному закону, найти, какой процент яблок имеет массу в
пределах от 100 до 130 г.
Решение. Согласно условия задачи а=120, α=100, β=130 и
Р Х  120  20  0,05 .
Вероятность того, что отклонение массы яблок в данной партии от
средней массы в 120 г менее чем на 20г равна 0,95. Согласно формуле (6.15)
имеем:
 20 
Р Х  120  20   2Ф 
 
с другой стороны:
Р Х  120  20  0,95 .
Приравниваем правые части полученных соотношений:
 20 
2Ф   0 ,95 ,
 
В таблице приложения 3, находим значение аргумента интегральной
20
 20 
 1,96 .
функции по известному значению Ф   0 ,475 . Получаем:

 
Значение среднего квадратического отклонения равно:

20
 10 ,2 .
1,96
Затем по формуле (6.14) находим искомую вероятность:
 130  120 
 100  120 
Р( 100  X  130 )  Ф 
 Ф
  Ф( 0 ,98 )  Ф( 1,96 ) 
 10 ,2 
 10 ,2 
 Ф( 0 ,98 )  Ф( 1,96 )  0 ,3365  0 ,475  0 ,8115 .
Ответ: 81% яблок имеет массу от 100 до 130 грамм.
Правило трех сигм: если случайная величина Х имеет нормальный
закон распределения, то почти достоверно, что отклонение этой величины
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
от своего математического ожидания по абсолютной величине не
произойдет утроенного среднего квадратического отклонения.
Правило трех сигм используются в математической статистике.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Случайная величина Х равномерно распределена. Ее плотность
вероятности f(х)=А, если a < x < b и f(х)=0, если х<а и х>b. Определить
коэффициент А.
2. Случайная величина Х равномерно распределена. Плотность
вероятности ее f(х)=а при 1 < х < 10 и f (х)=0 при х<1 и х>10. Определить ее
математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.
3. Равномерно
распределенная
плотностью распределения f ( x ) 
случайная
величина
Х
задана
1
в интервале a  l ; а  l  , вне этого
2l
интервала f(х)=0. Найдем математическое ожидание и дисперсию величины
Х.
4. Найти
математическое
ожидание
дисперсию
квадратическое отклонение случайной величины
Х,
и
среднее
распределенной
равномерно в интервале (2; 8).
5. Случайная величина Х имеет показательное распределение с
параметром  =6. Написать плотность и функцию распределения этого
закона.
6. Найти параметр  показательного распределения: а) заданного
2 x
плотностью f(х)=0 при х<0, f ( х )  2 е
при х>0; б) заданного функцией
0 ,4 x
распределения F(х)=0 при х<0 и F ( х )  1  е
при х>0.
7. Непрерывная
случайная
величина
Х
распределена
по
3 x
показательному закону, заданному плотностью вероятностей f ( х )  3 е
при х>0; при х<0 f(х)=0. Найти вероятность того, что в результате испытания
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Х
попадем
в
интервал
(0,13; 0,7).
8. Непрерывная
случайная
величина
Х
распределена
по
0 ,6 x
показательному закону, заданному функцией распределения F ( х )  1  е
при х>0 и F(х)=0 при х<0. Найти вероятность того, что в результате
испытания Х попадем в интервал (2; 5).
9. Найти математическое ожидание и дисперсию показательного
5 x
распределения, заданного при х>0: а) плотностью f ( х )  5 е ; б) функцией
0 ,1 x
распределения F ( х )  1  е
.
10. Найти
математическое
ожидание,
квадратическое отклонение показательного
дисперсию
и
среднее
распределения, заданного
10 x
плотностью вероятности f ( х )  10 е
при х>0 и при х<0 f(х)=0.
11. Испытываются
два
независимо
работающих
элемента.
Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет
0 ,02 t
0 ,05 t
показательное распределение F1 ( t )  1  е
, второго F2 ( t )  1  е
.
Найти вероятность того, что за время длительностью t=6 ч: а) оба элемента
откажут; б) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.
12. Написать
плотность
вероятности
случайной
величины
Y,
распределенной по нормальному закону, зная что математическое ожидание
M(X)=5, а дисперсия D(X)=16.
13. Найти
математическое
ожидание
и
дисперсию
нормально
распределенной случайной величины Х заданной плотностью вероятности

1
f(x)
е
7 2
 x 8  2
98
.
14. Случайная величина Х распределена по нормальному закону.
Математическое
ожидание
и
дисперсия
этой случайной величины
соответственно равны 7 и 16. Найти вероятность того, что отклонение
величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине не
превзойдет двух.
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. Известно, что вес вылавливаемых в пруду карпов подчиняется
нормальному закону с математическим ожиданием, равным 500 г и средним
квадратическим отклонением 75 г. Определить вероятность того, что вес
наудачу взятого карпа будем: а) заключен в пределах от 425 до 550 г; б) не
менее 300 г; в) не более 700 г.
16. Детали по длине распределяются по нормальному закону со
средним значением 20 см и дисперсией, равной 0,2 см2. Определить
вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет заключена в
пределах от 19,7 см до 20,3 см, то есть отклонение в ту или иную сторону не
превзойдет 0,3 см.
17. Случайная величина подчинена нормальному закону распределения
со средним квадратическим отклонением 0,4. Определить вероятность того,
что значение случайной величины отклоняется от математического ожидания
на величину, меньшую 0,3.
18. Средняя высота дерева в некоторой роще равна 12 м. Определить,
исходя из предположения, что высота деревьев распределяется по
нормальному закону, какой процент деревьев имеет высоту, превышающую
15 м, если деревья, высота которых не достигает 10 м, составляет 15 %.
19. Всхожесть огурцов составляет 75%. Основываясь на нормальном
законе распределения, определить, какова вероятность того, что из 200 семян
взойдет не менее 150.
20. Случайная величина, распределенная по нормальному закону,
имеет математическое ожидание 5 м и дисперсию, равную 16 м2. Определить
вероятность того, что случайная величина примет значение не менее 6 м и не
более 8 м.
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§7. Закон больших чисел.
Нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений
примет случайная величина в итоге испытания, это зависит от многих
случайных причин, учесть которые невозможно. Но, при некоторых
сравнительно широких условиях, суммарное поведение достаточно большого
числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и
становится закономерным.
Очень важно знать условия, при выполнении которых совокупное
действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не
зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явления. Эти
условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших
чисел.
Лемма Чебышева. Если среди значений случайной величины Х нет
отрицательных, то вероятность того, что она примет какое-нибудь
значение, превосходящее положительное число А, не больше дроби,
числитель которой – математическое ожидание случайной величины, а
знаменатель – число А.
P  X  A 
Неравенство Чебышева.
М X 
A
(7.1)
Вероятность
того,
что отклонение
случайной величины от ее математического ожидания не превзойдет по
абсолютной величине положительного числа  , не меньше, чем разность
между единицей и частным делением от деления дисперсии случайной
величины на квадрат числа  :
P Х  М  Х      1 
D X 
2
(7.2)
Задача 7.1. Электростанция обслуживает сеть с 12000 ламп,
вероятность включения каждой из этих ламп в зимний вечер равна 0,9.
Какова вероятность того, что число ламп, включенных в сеть зимним
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вечером, отличается от своего математического ожидания по абсолютной
величине не более чем на 100.
Решение. Число включенных ламп есть случайная величина Х,
распределенная по биномиальному закону, и n=12000, р=0,9, q=1-р=0,1;
М(Х)= n p = 12000  0,9 = 10800, D(Х)= n p q = 12000  0,9  0,1 = 1080
Согласно формулы (6.2)
P Х  М  Х   100  1 
1080
 0 ,892
1002
Ответ: P Х  М  Х   100  0,892.
Теорема Чебышева. Если дисперсия независимых случайных величин
Х1, Х2, …, Х n ограничены одной и той же постоянной С, а число их
достаточно велико, то как угодно близка к единице вероятность того, что
отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней
арифметической их математических ожиданий не превзойдет по
абсолютной величине данного положительного числа  , как бы мало оно не
было.
 Х  Х 2  ... Х n M  X 1   M  X 2   ... M  X n 

lim P  1

    1
n
n
n


(7.3)
Для
практических
расчетов
оценки
вероятности
отклонения
применяется формула:
 Х  Х 2  ... Х n M  X 1   M  X 2   ... M  X n 

С
P  1

    1  2
n
n
n


(7.4)
Более компактно формулу (2.4.4) можно записать:
 1 n

1 n
C
P   X i   M  X i      1  2
n i 1
n
 n i 1

(7.5)
Эта теорема называется законом больших чисел в форме Чебышева.
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 7.2. Дисперсия каждой из 2000 независимых случайных
величин не превышает 4. Оценить снизу вероятность того, что абсолютная
величина отклонения среднего арифметического этих случайных величин от
среднего
арифметического
этих
случайных
величин
от
среднего
арифметического их математических ожиданий не превышает 0,3.
Решение. По условию n=2000, С=4,  =0,3. Воспользовавшись
формулой (6.4), получим
 Х  Х 2  ... Х 2000 M  X 1   M  X 2   ... M  X 2000 

4
P  1

 0 ,3   1 
 0 ,9778
2
2000
2000
2000  0 ,3


Ответ:
 Х  Х 2  ...  Х 2000 M  X 1   M  X 2   ...  M  X 2000 

P 1

 0,3  0,9778
2000
2000


Из теоремы Чебышева непосредственно вытекает справедливость закон
больших чисел для среднего арифметического независимых случайных
величин с конечной дисперсией, имеющих одинаковое распределение
вероятностей.
Теорема. Если Х1, Х2, …, Хn ,… - последовательность попарно
независимых
одинаково
распределенных
случайных
величин
с
математическим ожиданием а и дисперсией  2, то для любого  >0
 1 n

lim P   X i  a     1
n
 n i 1

(7.6)
Для практических расчетов удобно использовать следующую формулу:
 1 n

2


P  Xi  a     1 2
n
 n i 1

(7.7)
Закон больших чисел справедлив для независимых случайных величин
с одинаковым математическим ожиданием и ограниченной дисперсией.
Неравенство (6.4) принимает вид:
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 1 n

C
P   X i  a     1  2
n
 n i 1

(7.8)
Задача 7.3. Определить, сколько надо произвести замеров поперечного
сечения деревьев на большом участке, чтобы средний диаметр деревьев
отличался от истинного значения n не более чем на 2 см с вероятностью, не
меньшей 0,95. Предполагается известным, что среднеквадратическое
отклонение поперечного сечения деревьев не превышает 10 см и измерения
производятся без погрешности.
Решение. Будем считать выбор деревьев для замеров таким, что можно
считать результаты измерений независимыми случайными величинами.
Обозначим Хi результат измерения поперечного сечения i-го дерева. По
условию,  i  D X i   10 , и, следовательно, D(Хi)<100. Полагая в неравенстве
(2.4.8)  =2, С=100, получаем
 1 n

100
P   X i  a  2   1  2  0 ,95
n2
 n i 1

откуда получим:
1
100
 0 ,95 ,
4n
25
 0 ,05 , n  500 .
n
Итак, в данном случае достаточно выполнить 500 замеров диаметра
поперечного сечения деревьев.
Ответ: n  500
Теорема Бернулли
Если вероятность р наступления события А в каждом из n независимых
испытаний постоянна, а число испытаний достаточно велико, то сколь
угодно близка к 1 вероятность того, что частость события А будет как угодно
мало отличаться от его вероятности
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 m

lim P   р     1
n
 n

(7.9)
Для практических расчетов оценки вероятности применятся формула:
 m

pq
P   р     1  2
n
 n

(7.10)
Задача 7.4. Вероятность наступления события А в каждом отдельном
испытании равна 0,6. Оценить вероятность того, что в 10000 испытаний
отклонение частости наступления события А от его вероятности в каждом
отдельном испытании не превзойдет 0,02.
Решение. Согласно теореме Бернулли получим:
0,6  0,4
 m

P
 0,6  0,02   1 
 0,94
10000
10000

0
,
0004


 m

 0 ,6  0 ,02   0 ,94 .
Ответ: P 
 10000

В рассмотренных выше теоремах были выяснены условия сходимости
по вероятности случайных величин к постоянным величинам. Центральная
предельная теорема решает основную задачу теории вероятностей: найти и
изучить
поведение
закона
распределения
суммы
большого
числа
независимых случайных величин. Различают различные формы предельной
теоремы, отличающиеся условиями, накладываемыми на распределение
случайных величин, образующих сумму. Ниже приводится наиболее простая
форма предельной теоремы или теоремы Ляпунова.
Теорема Ляпунова
Если Х1, Х2, …, Хn - независимые случайные величины, каждая из
которых имеет один и тот же закон распределения с математическим
ожиданием а и дисперсией  2, то при неограниченном возрастании числа n
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
закон распределения суммы Х= Х1, Х2, …, Хn неограниченно приближается к
нормальному.
Условия сходимости распределения вероятностей суммы случайных
величин к нормальному закону на практике часто выполняются. Этим
объясняется частая встречаемость нормального распределения.
Замечания.
1. Если бы число n неограниченно возрастало, то биномиальный закон
распределения
вероятностей случайной величины
m неограниченно
приближался бы к нормальному. Таким образом, можно показать, что из
теоремы Ляпунова вытекает интегральная теорема Лапласа.
2. Центральная предельная теорема дает условия сходимости функций
распределения случайных величин Yn для независимых случайных величин
Х1, Х2, …, Хn , …, имеющих различные распределения.
Задачи для самостоятельного решения
1. Количество воды, необходимое в течение суток предприятию для
технических нужд, является случайной величиной, математическое
ожидание которой равно 125м3 . Оценить вероятность того, что в
ближайшие сутки расход воды на предприятии превысит 500м 3.
2. Средний суточный расход электроэнергии в населенном пункте для
личных нужд составляет 4000 кВт/ч. Оценить вероятность того, что в
ближайшие сутки расход электроэнергии в этом населенном пункте не
превзойдет 10000 кВт./ч.
3. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Используя
неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что при посеве 10
000 семян отклонение доли взошедших семян от вероятности того, что
взойдет каждое из них, не превзойдет по абсолютной величине 0,01.
4. Вероятность того, что покупатель произведет покупку в магазине,
равна 0,65. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
оценки вероятности того, что из 2000 покупателей, число сделавших
покупки будет находиться в границах от 1260 до 1360 включительно?
Решить задачу при соответствующем изменение левой границы.
5. Вероятность того, что покупателю понадобиться обувь 42 размера,
равна 0,25. Оценить вероятность того, что доля покупателей, которым
необходима обувь 42 размера, от вероятности 0,25 не превзойдет по
абсолютной величине 0,06, если ожидается 2500 покупателей.
6. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х
0,3
0,6
р
0,2
0,8
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что
| Х – M(X)|  0,2.
7. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х
р
0,1
0,2
0,4
0,3
0,6
0,5
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что
| Х – M(X) |  0,4.
8. Дисперсия каждой из 2500 независимых случайных величин не
превышает 5. Оценить вероятность того, что абсолютная величина
отклонения средней арифметической этих случайных величин от
средней арифметических их математических ожиданий не превысит
0,4.
9. Среднее квадратическое отклонение каждой из 2134 независимых
случайных величин не превосходит 4. Оценить вероятность того, что
абсолютная величина отклонения средней арифметической этих
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
случайных величин от средней арифметической их математических
ожиданий не превзойдет 0,5.
10. Для определения средней урожайности в хозяйстве на площади 10000
га взято на выборку по одному квадратному метру с каждого гектара.
Пользуясь теоремой Чебышева, оценить вероятность того, что средняя
выборочная урожайность отличается от общей средней урожайности на
всей площади не более чем на 0,1 ц, если предположить, что дисперсия
урожайности не превышает 30ц.
11. Партия деталей для оборудования предприятия должна быть
распределена по ящикам, имеющим одинаковый вес. Сколько
необходимо
заготовить ящиков для упаковки деталей, чтобы
отклонение среднего выборочного веса детали от общего среднего веса
ее по всей партии не превзошло бы 0,2кг? Результат необходимо
гарантировать с вероятностью 0,75. Известно, что дисперсия по
каждому ящику не превышает 2.
12. Вероятность попадания в цель при каждом отдельном выстреле равна
0,6. Применяя теорему Бернулли, оценить вероятность того, что при
2000 выстрелов абсолютная величина отклонения частости от
вероятности попадания при каждом отдельном выстреле будет меньше
0,04.
13. При штамповке деталей брак составляет в среднем 4%. Пользуясь
теоремой Бернулли, оценить вероятность того, что при просмотре
партии в 2000 деталей отклонение частости пригодных деталей от
вероятности, что деталь должна быть пригодной, не превысит по
абсолютной величине 0,02.
14. Всхожесть семян кукурузы в некоторых условиях равна 90%.
Пользуясь теоремой Бернулли, оценить вероятность того, что при
посеве 2000 семян абсолютная величина отклонения частости
взошедших семян от вероятности их всхожести будет меньше 0,05.
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. Вероятность того, что автомат по продаже газированной воды
сработает, равна 0,96. Пользуясь теоремой Бернулли, определить
верхний предел отклонения частости числа случаев, когда автомат не
сработает, от вероятности при 1000 опусканий монеты, если результат
необходимо гарантировать с вероятностью 0,99. Определить также
границы, в которых должно находиться число случаев неправильной
работа автомата при1000 бросаний монеты.
16. Производиться 200 подбрасываний монеты. Определить вероятность,
что
|
17.
k
 0,6 |  0,05, где k – частота выпадения орла.
200
Игральную кость выбрасывают 1200 раз. Определить вероятность того,
что событие «выпадение шести очков» наступит от 150 до 250 раз.
18. Сколько раз следует подбросить монету, чтобы с вероятностью,
превышающей 0,9, можно было ожидать, что абсолютная величина
отклонения частости выпадения орла от вероятности этого события,
есть меньше 0,2.
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Высшая математика для экономистов / Н.Ш. Кремер, [и др.]. - М. :
ЮНИТИ-ДАНА, 2006. – 532 с. ISBN 5-238-00030-8.
Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика /
В.Б. Гмурман.-М.:Высш.шк., 2007.-480с. ISBN 5-06-003464-X
Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике:Учеб. Пособие для
студентов вузов / В.Е. Гмурман.-М.:Высш. Шк.,2004. -404с. ISBN 506-004212-X
Ермаков,В.И. Теория вероятностей и математическая статистика /
В.И. Ермаков.-М. : ИНФРА-М, 2007.-287с.ISBN 5-16-001561-2/
Бось, В.Ю. Теория вероятностей и математическая статистика /
В.Ю.Бось Саратов:СГАУ,2003.-276с.
Справочник по математике для экономистов: Учебное пособие / В.И.
Ермаков [и др.]. – М. : ИНФРА-М, 2007. – 464 с.
Общий курс высшей математики для экономистов / В.И. Ермаков, [и
др.]. – М. : ИНФРА-М, 2005. – 656 с.
Красс, М.С. Математика в экономике. Основы математики/М.С.
Красс.- М.: Финансы и статистика, 2007.-470с..
Кремер, Н.Ш., Путко, Б.А., Тришин, И.М. Математика для
экономистов: от Арифметики до Эконометрики / учебно-справочное
пособие / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М.Тришин. - М. : Высшее
образование, 2009. – 646 с
Письменный, Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей,
математической статистике и случайным процессам Д.Т.
Письменный.- М.: Айрис-пресс, 2007.-287с.
Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и
практикум / Н.Ш. Кремер, [и др.]. – М. : Высшее образование, 2005.
– 589 с.
Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая
статистика/Н.Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ, 2006.-544с.
Красс, М.С., Чупрынов,
Б.П. Математика в экономике.
Математические методы и модели: учебник/ М.Н.Красс,
Б.П.Чупрынов.-М.:Финансы и статистика, 2007.-544с.
Кузнецов, Б.Т. Математика / Б.Т.Кузнецов. - М. : ЮНИТИ-ДАНА,
2004. - 719 с.
Дрейпер, Н., Смит, Г. Прикладной регрессионный анализ
Т.1./Н.Дрейпер, Г.Смит.- М.: Финансы и статистика, 1986.-366 с.
Мхитарян, В.С., Астафьева, Е.В., Миронкина, Ю.Н., Трошин,
Л.И.Теория вероятностей и математическая статистика:учебное
пособие/В.С. Мхитарян, Е.В. Астафьева, Ю.Н. Миронкина, Л.И.
Трошин-М.:Синергия,2013,-336с.ISBN: 978-5-4257-0106-0.
[Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17.
18.
19.
Колемаев, В.А., Калинина, В.Н. Теория вероятностей и
математическая статистика: учебник /В.А. Колемаев, В.Н. Калинина.М.:ЮНИТИ-ДАНА,2010,352с.ISBN: 978-5-238-00560-1.
[Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru
Большакова, Л.В. Теория вероятностей для экономистов/учебное
пособие/Л.В. Большакова.-М.: Финансы и статистика, 2013,- 208с.
ISBN 978-5-279-03356-0.[Электронный ресурс]. Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru.
Климов, Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика:
учебник / Г.П. Климов. - Московский государственный университет
имени М.В. Ломоносова,2011г., 368с.ISBN: 978-5-211-05846-0.
[Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Значения функции  x  
Целые и
десятые
доли х
1
2


x2
2
Сотые доли х
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
0,2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
0,0540
0,3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
0,2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
0,0529
0,3989
3961
3894
3790
3653
3485
3292
3079
2850
2613
0,2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
0,0519
0,3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
0,2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
0,0508
0,3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
0,2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
0,0498
0,3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
0,2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
0,0488
0,3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
0,2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
0,0478
0,3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
0,2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
0,0468
0,3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
0,2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
0,0459
0,3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
0,2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
0,0449
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,5
5,0
0440
0431
0355
0347
0283
0277
0224
0219
0175
0171
0136
0132
0104
0101
0079
0077
0060
0058
0,0044
0,0043
0033
0032
0024
0023
0017
0017
0012
0012
0009
0008
0006
0006
0004
0004
0003
0003
0002
0002
0,0001
0,0001
0,0001338
0,0000160
0,0000015
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0,0042
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0004
0003
0002
0,0001
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0,0041
0030
0022
0016
0011
0008
0005
0004
0003
0002
0,0001
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0,0039
0029
0021
0015
0011
0008
0005
0004
0003
0002
0,0001
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0,0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0002
0,0001
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0,0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
0,0001
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0,0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
0,0001
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0,0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0002
0001
0,0001
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
0,0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
0001
0,0001
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Значения функции Фх  
x
1
2



2
t
2
dt
0
Целые и
десятые
доли х
0
1
2
3
4
5
6
7
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
0,3413
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,0040
0,0438
0,0832
0,1217
0,1591
0,1950
0,2291
0,2611
0,2910
0,3186
0,3438
0,3665
0,3869
0,4049
0,4207
0,4345
0,4463
0,4564
0,4649
0,4719
0,0080
0,0478
0,0871
0,1255
0,1628
0,1985
0,2324
0,2642
0,2939
0,3212
0,3461
0,3686
0,3883
0,4066
0,4222
0,4357
0,4474
0,4573
0,4656
0,4726
0,0120
0,0517
0,0910
0,1293
0,1664
0,2019
0,2357
0,2673
0,2967
0,3238
0,3485
0,3708
0,3907
0,4082
0,4236
0,4370
0,4484
0,4582
0,4664
0,4732
0,0160
0,0577
0,0948
0,1331
0,1700
0,2054
0,2389
0,2703
0,2995
0,3264
0,3508
0,3729
0,3925
0,4099
0,4251
0,4382
0,4495
0,4591
0,4671
0,4738
0,0199
0,0596
0,0987
0,1368
0,1736
0,2088
0,2422
0,2734
0,3023
0,3289
0,3531
0,3749
0,3944
0,4115
0,4265
0,4394
0,4505
0,4599
0,4678
0,4744
0,0239
0,0636
0,1026
0,1406
0,1772
0,2123
0,2454
0,2764
0,3051
0,3315
0,3554
0,3770
0,3962
0,4131
0,4279
0,4406
0,4515
0,4608
0,4686
0,4750
0,0279
0,0675
0,1064
0,1443
0,1808
0,2157
0,2486
0,2794
0,3078
0,3340
0,3577
0,3790
0,3980
0,4147
0,4292
0,4418
0,4525
0,4616
0,4693
0,4756
Сотые доли х
8
9
0,0319
0,0359
0,0714
0,0753
0,1103
0,1141
0,1480
0,1517
0,1844
0,1879
0,2190
0,2224
0,2517
0,2549
0,2823
0,2852
0,3106
0,3133
0,3365
0,3389
0,3599
0,3621
0,3810
0,3830
0,3997
0,4015
0,4162
0,4177
0,4306
0,4319
0,4429
0,4441
0,4535
0,4545
0,4625
0,4633
0,4699
0,4706
0,4761
0,4767
Окончание прил. 2
Целые и
десятые
доли х
Сотые доли х
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,4987
0,4991
0,4993
0,4995
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4778
0,4826
0,4864
0,4896
0,4920
0,4940
0,4955
0,4966
0,4975
0,4982
0,4987
0,4991
0,4993
0,4996
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4788
0,4830
0,4868
0,4898
0,4922
0,4941
0,4956
0,4967
0,4976
0,4983
0,4987
0,991
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4793
0,4834
0,4871
0,4901
0,4924
0,4943
0,4957
0,4968
0,4977
0,4983
0,4988
0,4991
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4798
0,4838
0,4874
0,4904
0,4927
0,4945
0,4958
0,4969
0,4977
0,4984
0,4989
0,4991
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4803
0,4842
0,4878
0,4906
0,4929
0,4946
0,4960
0,4970
0,4978
0,4984
0,4989
0,4992
0,4994
0,4996
0,4997
0,49986
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4803
0,4846
0,4881
0,4909
0,4930
0,4948
0,4961
0,4971
0,4979
0,4985
0,4989
0,4992
0,4995
0,4996
0,4998
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4808
0,4850
0,4884
0,4911
0,4932
0,4949
0,4962
0,4972
0,4980
0,4985
0,4989
0,4992
0,4995
0,4996
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4812
0,4854
0,4887
0,4913
0,4934
0,4952
0,4963
0,4973
0,4980
0,4986
0,4900
0,4993
0,4995
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4817
0,4857
0,4890
0,4916
0,4936
0,4952
0,4964
0,4974
0,4981
0,4986
0,4990
0,4993
0,4995
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 3
Значения функции Пуассона

F m,   
k
k!
 
k
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,904837
0,818731
0,740818
0,670320
0,606531
0,548812
1
0,090484
0,163746
0,222245
0,268128
0,303265
0,329287
2
0,004524
0,016375
0,033337
0,053626
0,075816
0,098786
3
0,000151
0,001091
0,003334
0,007150
0,012636
0,019757
4
0,000004
0,000055
0,000250
0,000715
0,001580
0,002964
5
0,000000
0,000002
0,000015
0,000057
0,000158
0,000356
6
0,000000
0,000000
0,000001
0,000004
0,000013
0,000035
7
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000001
0,000003

k
0
0,7
0,8
0,9
1,0
2,0
3,0
0,496585
0,449329
0,406570
0,367879
0,135335
0,049787
1
0,347610
0,359463
0,365913
0,367879
0,270671
0,149361
2
0,121663
0,143785
0,164661
0,183940
0,270671
0,224042
3
0,028388
0,038343
0,049398
0,061313
0,180447
0,224042
4
0,004968
0,007669
0,011115
0,015328
0,090224
0,168031
5
0,000695
0,001227
0,002001
0,003066
0,036089
0,100819
6
0,000081
0,000164
0,000300
0,000511
0,012030
0,050409
7
0,000008
0,000019
0,000039
0,000073
0,003437
0,021604
8
0,000001
0,000002
0,000004
0,000009
0,000859
0,008102
9
0,000000
0,000000
0,000000
0,000001
0,000191
0,002701
10
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000038
0,000810
11
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000007
0,000221
12
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000001
0,000055
13
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000013
14
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000003
15
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000001
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 3

k
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
0
0,018316 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123 0,000045
1
0,073263 0,033690 0,014873 0,006383 0,002684 0,001111 0,000454
2
0,146525 0,084224 0,044618 0,022341 0,010735 0,004998 0,002270
3
0,195367 0,140374 0,089235 0,052129 0,028626 0,014994 0,007567
4
0,195367 0,175467 0,133853 0,091226 0,057252 0,033737 0,018917
5
0,156293 0,175467 0,160623 0,127717 0,091604 0,060727 0,037833
6
0,104194 0,146223 0,160623 0,149003 0,122138 0,091090 0,063055
7
0,059540 0,104445 0,137677 0,149003 0,139587 0,117116 0,090079
8
0,029770 0,065278 0,103258 0,130377 0,139587 0,131756 0,112600
9
0,013231 0,036266 0,068838 0,101405 0,124077 0,131756 0,125110
10 0,005292 0,018133 0,041303 0,070983 0,099662 0,118580 0,125110
11 0,001925 0,008242 0,022529 0,045171 0,072190 0,097020 0,113740
12 0,000642 0,003434 0,011262 0,026350 0,048127 0,072765 0,094780
13 0,000197 0,001321 0,005199 0,014188 0,029616 0,050376 0,072908
14 0,000056 0,000472 0,002228 0,007094 0,016924 0,032384 0,052077
15 0,000015 0,000157 0,000891 0,003311 0,009026 0,019431 0,034718
16 0,000004 0,000049 0,000334 0,001448 0,004513 0,010930 0,021699
17 0,000001 0,000014 0,000118 0,000596 0,002124 0,005786 0,012764
18 0,000000 0,000004 0,000039 0,000232 0,000944 0,002893 0,007091
19 0,000000 0,000001 0,000012 0,000085 0,000397 0,001370 0,003732
20 0,000000 0,000000 0,000004 0,000030 0,000159 0,000617 0,001866
21 0,000000 0,000000 0,000001 0,000010 0,000061 0,000264 0,000889
22 0,000000 0,000000 0,000000 0,000003 0,000022 0,000108 0,000404
23 0,000000 0,000000 0,000000 0,000001 0,000008 0,000042 0,000176
24 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000003 0,000016 0,000073
25 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000001 0,000006 0,000029
26 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000002 0,000011
27 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000001 0,000004
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Глава 1. Случайные события.
1. Классическое и статистическое определение вероятности…………….3
Задачи для самостоятельного решения………………………………….9
2. Теоремы о вероятностях…………………………………………………12
Задачи для самостоятельного решения…………………………………22
3. Повторные независимые испытания……………………………………26
Задачи для самостоятельного решения…………………………………32
Глава 2. Случайная величина.
4. Дискретная случайная величина………………………………………...34
Задачи для самостоятельного решения………………………………….45
5. Непрерывная случайная величина………………………………………47
Задачи для самостоятельного решения………………………………….53
6. Законы распределения непрерывной случайной величины………….. 56
Задачи для самостоятельного решения………………………………….65
7. Закон больших чисел……………………………………………………..68
Задачи для самостоятельного решения………………………………….73
Приложения…………………………………………………………………..78
Список литературы…………………………………………………………. 83
84
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
1 018
Размер файла
986 Кб
Теги
вероятности, 1528, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа