close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1594.Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Омский государственный университет
УДК 621.396.6+517.442(075)
З-81
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом ОмГУ
Рецензент – доктор технических наук, профессор, действительный член
Академии транспорта РФ (завкафедрой прикладной математики
Омского государственного университета транспорта) В.К. Окишев
З-81
И.Д. Золотарев
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, УПРОЩАЮЩЕГО
ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДИНАМИКИ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
Рекомендовано Сибирским региональным отделением
учебно-методического объединения по образованию
в области энергетики и электротехники в качестве
учебного пособия для межвузовского использования
для студентов, обучающихся по направлениям
654200 «Радиотехника», 654400 «Телекоммуникации»,
645500 «Электротехника, электромеханика и электротехнология»
Золотарев И.Д.
Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем: Учебное пособие. – Омск: Омск. гос. ун-т,
2004. – 136 с.
ISBN 5-7779-0469-6
Излагается метод исследования переходных процессов в колебательных системах, позволяющий существенно упростить
наиболее трудоемкую операцию при нахождении решения дифференциального уравнения системы – обратное преобразование
Лапласа. Показано, что при этом комплексный сигнал обеспечивает корректное определение огибающей и фазы реального сигнала. Наглядность получаемых решений достигается привлечением спектрального метода. Приведены примеры расчета переходных процессов при проектировании радиоустройств.
Для студентов, обучающихся по направлениям 010802 «Фундаментальная радиофизика и физическая электроника», 210301 «Радиофизика и электроника», 010800 «Радиофизика», 654200 «Радиотехника», 654400 «Телекоммуникации», 645500 «Электротехника, электромеханика и электротехнология», аспирантов, инженеров и научных сотрудников радио- и электротехнических специальностей, а также специалистов в области измерительной техники и автоматики, исследующих динамику колебательных систем.
УДК 621.396.6+517.442(075)
Издание
ОмГУ
Омск
2004
© Золотарев И.Д., 2004
© Омский госуниверситет, 2004
ISBN 5-7779-0469-6
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВВЕДЕНИЕ
При разработке радиоэлектронных устройств различного
назначения перед инженером часто возникает задача необходимости исследования прохождения импульсных радиосигналов через
линейные цепи. Для решения задачи во временной области широко используется операционное исчисление на основе интегральных преобразований Лапласа. При рассмотрении задачи в частотной области применяют спектральный метод на основе интегральных преобразований Фурье. Оба эти пути исследования тесно связаны между собой и иногда их рассматривают как единый метод
(метод трансформации Фурье).
При нахождении реакции радиоэлектронного устройства
(РЭУ) на импульсное возбуждение применением операционного
исчисления наиболее трудоемкой операцией является выполнение
обратного преобразования Лапласа (ОПЛ) [1]. Трудоемкость ОПЛ
особенно возрастает для важных в радиотехнических приложениях случаев воздействия на РЭУ радиоимпульсных сигналов, а также при наличии в сигнальном тракте РЭУ избирательных фильтров (колебательных систем). Это обусловлено тем, что для радиоимпульсных сигналов и таких реализаций РЭУ изображающая
функция (ИФ) исследуемой реакции системы на входное возмущение имеет комплексно-сопряженные пары (КСП) полюсов. В
этих случаях даже для относительно простых ИФ существенно
увеличивается трудоемкость и громоздкость преобразований при
переходе из пространства изображений в пространство оригиналов по сравнению с нахождением решений для вещественных полюсов ИФ [2]. Между тем существующая тенденция предельного
увеличения скорости переработки информации в радиосистемах
приводит к необходимости построения РЭУ, работающих в динамическом режиме, когда преобразования сигнала, съем и обработка информативного параметра его происходят не после окончания
переходных процессов (ППР) на выходе информативного канала,
а в течение этих процессов. В общем случае из-за неизбежного
наличия ППР при возбуждении электронной системы импульсным
сигналом форма его искажается. Данные искажения приводят к
разрушению информативного параметра сигнала (к возникновению соответствующих динамических ошибок работы системы).
3
Исследование ППР в системе с целью минимизации ошибки, вносимой переходными процессами в информативный параметр сигнала, является одним из необходимых этапов проектирования современных РЭУ, функционирующих в динамическом режиме. Поэтому проблема разработки методов, упрощающих исследование
переходных процессов в радиоустройствах, всегда привлекала
серьезное внимание специалистов [l–6].
Наибольшее распространение при исследовании переходных процессов в радиосистемах нашел разработанный С.И. Евтяновым метод медленно меняющихся огибающих (ММО). В данном методе существенное снижение трудоемкости получения решения линейных дифференциальных уравнений (ДУ) при исследовании ППР в колебательных системах достигается применением
определенных упрощающих допущений (асимптотический метод
малого параметра). При этом исходные ДУ, связывающие отклик
линейной системы с возбуждающим ее радиосигналом, преобразуется к укороченным символическим уравнениям относительно
ММО [2]. Чем более узкополосные сигналы и системы исследуются, тем более точными будут искомые решения, найденные методом ММО. В качестве меры узкополосности радиосигналов и
систем
обычно рассматривают отношения µ = ∆ω с ω н и
ε = 2 ∆ω н ω р , где ∆ω с – ширина спектра радиосигнала, ω н –
частота его высокочастотного (ВЧ) заполнения, 2∆ω н – ширина
полосы пропускания колебательной системы, ω р – резонансная
частота ее. Для узкополосных сигналов и систем имеем малые параметры µ и ε ( µ <<1, ε <<1). Для широкополосных и сверхширокополосных систем эти параметры сравнимы с единицей.
Метод С.И. Евтянова, хотя и позволяет существенно упростить нахождение достаточно точного решения для огибающей
сигнала на выходе радиосистемы, не обеспечивает достоверного
описания тонкой (фазовой) структуры выходного радиосигнала.
Имея в виду богатейшие возможности и преимущества фазовых
информационных радиосистем, работающих в динамическом режиме [7], отметим, что указанный недостаток метода ММО является весьма существенным.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разработанный в [5–10] метод, упрощающий выполнение
обратного преобразования Лапласа, обеспечивает такое же уменьшение трудоемкости получения решения, как и метод ММО. Однако при использовании метода [5–10] получаем точное (с точностью до фазы) описание радиосигнала на выходе исследуемой
радиосистемы. При этом не требуется вводить упрощающие допущения, свойственные асимптотическим методам, в том числе и
методу ММО.
Помимо резкого упрощения нахождения решения методом
[5–10], его применение для важного случая исследования колебательных процессов позволяет получить описание реакции системы в форме комплексного сигнала (КС). Это облегчает проведение исследований динамических режимов радиосистем и обеспечивает большую наглядность при интерпретации полученных результатов.
Комплексный сигнал используют для определения огибающей и фазы радиосигнала. При этом модуль комплексной функции, описывающей радиосигнал, определяет огибающую, а аргумент ее – фазу радиосигнала. В качестве вещественной части КС
принимается исходный физический сигнал. Но в такой постановке
КС не определен, ибо можно найти бесчисленное число КС, удовлетворяющих одному и тому же вещественному сигналу. Для устранения неопределенности должен быть введен оператор, однозначно связывающий мнимую и вещественную часть КС. Огибающая и фаза, найденные из такого КС, должны соответствовать
физическому содержанию этих параметров в исходном радиосигнале.
Задача однозначного определения огибающей и фазы радиосигнала является одной из фундаментальных проблем современной радиоэлектроники (проблема «Амплитуда, фаза, частота»
– проблема АФЧ). В настоящее время популярным решением этой
проблемы в радиоэлектронике является комплексное представление радиосигнала в форме аналитического сигнала (АС). АС определяется из исходного вещественного радиосигнала через интегральные преобразования Гильберта [11–13]. Существенным недостатком АС является некоторая неадекватность получаемых
значений огибающей и фазы радиосигнала их физическому содер-
жанию. Поэтому наряду с АС рассматривались и другие формы
комплексного представления радиосигнала [14–16].
Рассмотренный в данном учебном пособии метод, упрощающий ОПЛ, позволяет получить огибающую и фазу радиосигнала, адекватную их физическому представлению и для сверхширокополосных сигналов [9, 10, 17, 18]. Это важно, так как в современной радиоэлектронике наблюдается стремление перехода широкополосным и сверхширокополосным сигналам в силу их более
высокой информативности [19, 20].
Приведенные примеры расчета переходных процессов в радиосистемах направлены на усвоение приложения операционного
исчисления для исследования прохождения импульсных сигналов
через сигнальный тракт РЭУ и, в частности, на приобретение навыка по применению метода, упрощающего ОПЛ. Общность спектрального метода и операционного исчисления обусловила целесообразность их совместного рассмотрения в данном учебном пособии.
5
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
1.1. Функция времени (сигнал)
Представим сигнал суммой моногармонических составляющих
f (t ) =
n
∑ Aν cos(ων t +ψν ) ,
(1.1)
ν =1
где ων – угловая частота ν -й составляющей, ψ ν – начальная фаза,
Aν – амплитуда ν -й компоненты сигнала. Если частота ων кратна
некоторой частоте ω1 , где ω1 – частота первой гармонической составляющей сигнала, то сигнал f (t ) является периодической
функцией времени с периодом T =
2π 1
= . В этом случае сумма
ω1 f1
(1.1) является рядом Фурье (р.Ф).
В более общем случае каждая компонента сигнала включается в какой-то момент времени tν . Тогда (1.1) перепишем в форме
n
f (t ) = ∑ Aν cos(ων t +ψν )1(t − tν ) ,
(1.2)
ν =1
где 1(t − tν ) – единичный скачок, включаемый при t = tν , т.е.
⎧0, t < tν
1(t − tν ) = ⎨
.
⎩1, t > tι
(1.3)
Это разрыв 1-го рода. Часто в точке разрыва tν функцию доопределяют как
f (tν ) =
f (tν − 0) + f (tν + 0)
,
2
где ±0 означает сколь угодно близко справа и слева от точки разрыва.
Следовательно, в данном случае для скачка в произвольной точке
t = tν
1(t − tν )t = tν =
1(t − tν − 0) t = tν + 1(t − tν + 0)t = tν
2
7
=
1
.
2
Здесь множитель 1(t − tν ) учитывает, что ν -я составляющая
включается в момент (t − tν ) , т.е. он отсекает часть ν -й синусоидальной компоненты при t < tν .
Часто вводят более общую форму записи сигнала, учитывающую экспоненциальную форму огибающих синусоидальных
компонент:
f (t ) =
n
∑ Aν e
ν =1
βν t
cos(ων t +ψν )1(t − tν )
.
(1.4)
Еще более общая форма записи сигнала
f (t ) =
n
∑ Aν t kν e βν t cos(ων t +ψν )1(t − tν ) .
(1.5)
ν =1
В дальнейшем запись ν = 1, n означает, что ν принимает целочисленные значения от 1 до n .
В формуле (1.5) считаем, что kν принимает целые значения,
при этом величина kν зависит от формы огибающей ν -й компоненты сигнала. Полагаем, что огибающая ν -й компоненты описывается в (1.5) множителем
Aν e βν t t kν 1(t − tν ) .
(1.6)
Очевидно формулу (1.4) получаем из (1.5), полагая в последней
kν =0 (независимо от номера ν ). Формула (1.2) получается из
(1.4), если в последней положить βν = 0, независимо от номера ν .
Таким образом, формула (1.5) записи сигнала является наиболее общей. Выражения (1.2) и (1.4) могут быть получены из
(1.5) как частные случаи.
Члены суммы (1.5) иногда называют секулярными функциями времени [9]. Заметим, что формула (1.5) представляет в
общем случае решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения (ДУ).
1.2. Постановка задачи при исследовании линейных систем
При исследовании и разработке электронных систем встречаются две основные задачи: задача синтеза и задача анализа. Постановку этих задач удобно рассматривать на основе рис. 1.1.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f вх (t )
линейная
система
f вых (t )
Рис. 1.1
При решении задачи анализа по заданной линейной системе
и входному воздействию требуется определить сигнал на выходе
системы. Математически система может быть задана некоторым
оператором L , в качестве которого может рассматриваться дифференциальное уравнение системы либо передаточная – К ( p) или
частотная − К ( jω ) характеристики ее, либо временные характеристики системы. К временным характеристикам системы относятся:
1) импульсная характеристика g(t), определяемая как реакция системы на сигнал вида δ -функции;
2) передаточная характеристика h(t), рассматриваемая как
реакция системы на возмущение вида единичного скачка 1(t).
Между ДУ данной системы и всеми этими характеристиками существует единственная связь [26]. Отклик системы через
временные характеристики находят применяя интеграл наложения
(интеграл Дюамеля), представляющий свертку входного сигнала с
одной из временных характеристик системы [3,11]. Если для решения задачи анализа берется конкретная физическая схема, то
оператор любого вида находят обычным путем, исходя из заданной схемной реализации (например, определяя по данной схеме
частотную характеристику K ( jω ) или ДУ ее).
Для сигналов на входе и выходе системы встречаются различные определения (синонимы). Для входного сигнала: возбуждение, возмущение, вход, входное воздействие; для выходного
сигнала: реакция системы (схемы), отклик, выход. Здесь используются любые из этих терминов.
При решении задачи синтеза системы по заданным входному возмущению и реакции системы требуется найти ее структуру.
Для случая математического моделирования системы синтез ее
предполагает нахождение оператора системы. При синтезе физической системы требуется определить конкретную структуру ее
9
(например, электронную схему), которая удовлетворяет данному
оператору. В отличие от задачи анализа задача синтеза неоднозначна, так как одному и тому же оператору могут соответствовать различные реализации системы (электронной схемы). Обычно задача синтеза рассматривается в контексте оптимизации системы по выбранному критерию. В целом задача синтеза системы
существенно сложнее задачи анализа и предполагает применение
методов анализа в поиске оптимальной реализации ее [27,28].
Сосредоточим внимание на задаче анализа системы, т.е. задаче, когда по данному входному воздействию и оператору преобразования ищется сигнал на выходе системы. В общем случае на
систему могут воздействовать несколько сигналов, приложенных
в одной или нескольких точках системы. Аналогично выходной
сигнал может сниматься с нескольких (или только с одной) точек
системы. Тогда можно говорить, что на входе действует вектор
x = [x1, x 2 ,... x m ] , где m – число входных воздействий (в другой записи x ≡ f вх = [ f вх1, f вх 2 ,... f вх m ] ). На выходе также имеем вектор
y = [ y1, y2 ,... yl ] , где l – число сигналов, снимаемых с выхода (выхо-
дов) системы. При многомерных воздействиях и выходном сигнале имеем многомерный оператор системы L, т.е. y (t ) = L{x (t )}
(рис 1.2).
х
y
L
Рис. 1.2
В этом случае оператор преобразования, например, может быть
представлен системой уравнений. Для упрощения дальнейшего
рассмотрения остановимся на системе с одним входом и одним
выходом. Подобным образом могут быть исследованы и системы с
несколькими входами и выходами.
Пусть оператор L задан в форме обыкновенного дифференциального уравнения. Тогда в общем виде связь между входом
x(t) и выходом y(t) запишем в следующем виде:
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.2. Прямое преобразование Лапласа
dny
d n−1 y
dy
+
a
+ ... + a1 + a0 y =
n
−
1
n −1
n
dt
dt
dt
d m−1 x
d mx
= bm m + bm−1 m−1 + ... + b0 x.
dt
dt
an
(1.7)
Прямое преобразование Лапласа имеет вид
f ( p) =
Или в компактном виде
n
∑ aµ
µ =0
dµy
dt
µ
=
m
∑ bλ
λ =0
dλx
dt
λ
n
∑ aµ
µ =0
.
dµy
m
dλx
b
=
∑
λ
dt µ λ = 0
dt λ
(1.8)
y (t )
Рис. 1.3
Схематически «взаимоотношения» вход→система→выход при
описании системы дифференциальным уравнением показаны на
рис. 1.3.
2. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
− pt
dt ,
(2.1)
где p = c + iω – комплексная переменная, c – абсцисса сходимости.
В результате выполнения интегрального преобразования (2.1) получаем функцию переменной p, которая зависит от вида подынтегральной функции f(t):
f ( p ) ÷ f (t ) .
Функцию f ( p ) называют изображением функции f (t ) , а f (t ) –
оригиналом; символом ÷ обозначаем соответствие изображения и
оригинала. Иногда применяют вместо (2.1) символическую запись
f ( p ) = L{ f (t )} , где оператор L символизирует прямое преобразование Лапласа. Между данным оригиналом и его изображением
существует единственная связь (теорема о единственности изображения), т.е. каждому оригиналу соответствует единственное
изображение. Более строго это положение формулируется «с точностью до меры нуль оригинала», когда f (t ) может иметь отдельные точки вне «гладкого» описания функции (например, M1 и
M2 на рис. 2.1).
2.1. Исходные положения
Операционное исчисление представляет мощный аппарат
для решения линейных дифференциальных уравнений. При этом
ищется образ дифференциального уравнения в пространстве изображений. Упрощение получения решения получаем за счет алгебраизации ДУ при переходе в пространство изображений. Это
достигается применением прямого преобразования Лапласа (ППЛ)
к правой и левой части дифференциального уравнения (1.7). Кроме того, операционное исчисление позволяет существенно снизить
трудоёмкость нахождения членов решения ДУ, определяемых начальными условиями (начальными запасами энергии в энергонакопительных элементах схемы) [1, 3, 29, 30].
11
∫ f ( t )e
0
Задача анализа сводится к решению дифференциального
уравнения (1.7).
x(t )
∞
При этом
ti + 0
∫ f (ξ )dξ = 0 ,
ti − 0
f(t)
M1
где ti – аргумент функции f (t ) , в которой она
претерпевает разрыв меры нуль (т.е. разрыв с
нулевой площадью) [29].
M2
Рис. 2.1
12
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3. Обратное преобразование Лапласа
δ (t ) =
Обратный переход от изображения к оригиналу осуществляется по формуле
d1(t )
,
dt
δ 2 (t ) =
d 21(t )
dt 2
Большое применение имеет дельта-функция δ (t ) (рис. 2.2).
c + j∞
f (t ) =
1
f ( p )e pt dp ,
2πj c −∫j∞
(2.2)
которую символически записывают как f (t ) = L−1{ f ( p )} , где L−1 –
оператор обратного интегрального преобразования Лапласа. Формулы (2.1) и (2.2) иногда называют формулами обращения Лапласа, а сами операции L1 и L−1 – обращениями оригинала или изображения соответственно. Иногда (особенно в старых руководствах по операционному исчислению) используют вместо прямого преобразования Лапласа преобразование Карсона, которое отличается от преобразования по Лапласу множителем p , т.е. изо-
δ (t )
1(t)
0
t
t
при t < 0,
⎧0
⎪
δ (t ) = ⎨∞
f k ( p ) = p ∫ f (t )e − pt dt = pL{ f (t )} .
при t = 0,
при t > 0.
⎪0
⎩
0
∫
(2.4)
+ε
+∞
Тогда переход от изображения по Карсону к оригиналу осуществляется применением обратного преобразования на основе интеграла Бромвича.
1
f k ( p ) pt
e dp .
2πj c −∫j∞ p
0
Функция
∞
f (t ) =
∞
Рис. 2.2
бражения по Карсону f k ( p ) определим как
c + j∞
и т.д.
∫
δ (ξ )dξ = δ (ξ )dξ = 1 .
(2.5)
−ε
−∞
Условие (2.5) – условие нормировки δ-функции.
В настоящее время преимущественно используется операционное
исчисление на основе преобразований Лапласа.
t
1(t ) =
∫ δ (ξ )dξ .
(2.6)
−∞
2.4. Изображения основных сингулярных функций
2.4.1. Изображение δ -функции
Иногда физический сигнал формально требуется представить разрывными (сингулярными) функциями более высокого порядка, чем 1(t),
13
Принимая во внимание (2.4) и (2.5), можем записать для любого τ ,
включая нуль:
∞
∫
−∞
f (t )δ (t − τ )dt =
τ +ε
τ +ε
τ −ε
τ −ε
∫
f (t )δ (t − τ )dt = f (τ ) ∫ δ (t − τ )dt = f (τ ) .
(2.7)
Выражение (2.7) определяет так называемое "фильтрующее" свойство δ -функции. Интеграл вида (2.7) дает значение подынтегральной функции, входящей множителем к δ -функции для зна14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чения аргумента, при котором δ -функция обращается в ∞ . Изображение δ -функции, учитывая (2.7), определяется как
3.1. Теорема запаздывания
ε
∞
Найдем
fδ ( p) = ∫ δ (t )e − pt dt = ∫ δ (t )dt = 1 .
0
изображение
fτ ( p )
0
Здесь будем считать, что нижний предел охватывает δ -функцию.
Таким образом,
fδ ( p ) = 1 .
(2.8)
fτ ( p ) =
0
0
f ск ( p) = ∫1(t )e − pt dt = ∫ e− pt dt .
τ
0
Заменим переменную интегрирования
⎧t = ∞
− pt = x, при ⎨
⎩t = 0
− pdt = dx,
f ск ( p ) = −
Тогда
Таким образом,
1
p
−∞
∫e
x
dx = −
0
∞
fτ ( p) =
− pt
dt . (3.1)
fτ ( p ) =
∞
∫ f ( t − τ )e
− pt
dt . (3.2)
τ
∫
f (t1 )e − p (t1 +τ ) dt1 = e − pτ
0
(2.9)
Теоремы операционного исчисления (для изображений и
оригиналов функций) помимо их непосредственного приложения,
соответствующего названию теоремы, позволяют получить изображения сигналов, описываемых более сложными функциями,
через изображения простых сигналов. Так, например, воспользовавшись изображением единичного скачка, можно получить изображение экспоненциального импульса или синусоидального сигнала.
∞
∫ f (t1)e
− pt1
dt1 = e − pτ f ( p ) .
0
Таким образом,
fτ ( p ) = e − pτ f ( p ) .
3. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ
ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
15
∫ f ( t − τ )e
Произведем замену переменной интегрирования t1 = t − τ , при
t = τ имеем t1 = 0 , при t = ∞, t1 = ∞, dt1 = dt ,
1 x −∞
1
e
= 0+ .
p 0
p
1
f ск ( p ) = .
p
t
Рис. 3.1
x = −∞,
x = 0.
∞
Но в интеграле (3.1) подынтегральная функция равна
нулю при t < τ , так как для
таких
t
имеем
fτ (t ) = f (t − τ ) = 0 . В силу
этого равенство (3.1) приводится к виду
Найдем изображение единичного скачка, применив к функции 1(t) прямое преобразование Лапласа
∞
функции
0
f (t )
2.4.2. Изображение единичного скачка
∞
запаздывающей
fτ (t ) = f (t −τ ), τ > 0 (рис. 3.1):
(3.3)
3.2. Теорема смещения в пространстве изображений
(теорема транспозиции)
Дано*: f (t ) → f ( p) .
Найдем изображение f Ω ( p ) для функции вида f Ω (t ) = f (t )e ± jΩ t .
Здесь и далее знак → означает соответствие, т.е. запись f (t ) → f ( p) означает, что для функции f (t) соответствует изображение f ( p) .
*
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Иными словами, нужно найти связь между изображением
исходной функции вещественной переменной и изображением
этой функции, умноженной на e ± jΩ t . Воспользуемся прямым
преобразованием Лапласа:
f Ω ( p) =
∞
∫
f Ω (t )e − pt dt =
0
∞
∫ f (t )e
−( p∓ jΩ )t
dt .
(3.4)
0
Сравнивая (3.4) с формулой (2.1) прямого преобразования
Лапласа, замечаем, что после выполнения операции интегрирования по t в (3.4) получаем изображение f ( p ∓ jΩ ) с такой же функциональной зависимостью от p ∓ jω , какая имела место относительно переменной p для изображения f ( p ) , получаемого в результате выполнения ППЛ над исходной функцией f (t ) . То есть
f Ω ( p ) = f ( p ∓ jΩ ) .
(3.5)
Таким образом, умножение функции времени на множитель
± jΩt
e
смещает начало координат независимой переменной p на
комплексной плоскости на величину ± jΩ вдоль мнимой оси.
Совершенно аналогично для
fα ( t ) = f ( t )e ±α t
имеем
fα ( p ) = f ( p ∓ α ) .
(3.6)
То есть в этом случае (при умножении функции в пространстве
±α t
оригиналов на e
) имеем смещение координат вдоль вещественной оси на величину ±α . Наконец, если исходную функцию
умножить на
±p t
e ν ,
т.е. f pν (t ) = f (t ) e
± pν t
, где pν – комплексная
величина, то имеем связь между изображениями
f p ( p ) = f ( p ∓ pν ) .
ν
(3.7)
3.3. Теоремы, вытекающие из линейных свойств
преобразования Лапласа
Из линейных свойств определенного интеграла, остающихся
справедливыми и для несобственных интегралов, в частности и
17
для интеграла Лапласа, немедленно вытекают следующие следствия в отношении преобразования Лапласа:
А. Теорема об изображении суммы функций вещественной
переменной.
Изображение суммы функций вещественной переменной
равно сумме изображений её составляющих. Пусть
f ( t ) = ∑ f k (t ) ,
(3.8)
где символ
∑
k
означает сумму по всем k составляющим сигнала.
k
Тогда, применяя прямое преобразование Лапласа к (3.8), получим:
f ( p) =
∞
∫
0
∞
∞
f (t )e − pt dt = ∫ [ ∑ f k (t )]e − pt dt = ∑ [ ∫ f k (t )e − pt dt ] = ∑ f k ( p ) ,
0 k
k
т.е. если f (t ) = ∑ f k (t ) , то и изображение
0
k
k
f ( p) = ∑ fk ( p) .
(3.9)
k
Здесь в силу линейности преобразования Лапласа (функция
f (t ) входит под знак интеграла в 1-й степени) использовано по-
ложение: интеграл суммы функций равен сумме интегралов от
этих функций.
Б. Теорема об умножении оригинала и изображения на постоянный множитель.
Если
f (t ) → f ( p) , то af (t ) → af ( p ) .
(3.10)
Здесь a – постоянная. Эта теорема не требует специальных
доказательств. Просто при выполнении прямого преобразования
Лапласа постоянный множитель выносится за знак интеграла.
3.4. Теорема об изображении производной функции времени
Пусть f (t ) → f ( p ) . Найдем изображение производной оригинала f1( p ) так, что
df (t )
→ f1( p ) .
dt
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Иными словами, найдем связь между изображением оригинала и
производной функции вещественной переменной t. Применив
прямое преобразование Лапласа (2.1)
∞
df (t ) − pt
e dt
0 dt
f1 ( p ) = ∫
Таким образом,
f1( p ) = pf ( p ) − f ( 0 ) .
(3.12)
Если рассматривать первую производную функции переменной t как исходную функцию, а вторую как производную первой
производной
и интегрируя по частям, получим:
f1 ( p ) = f (t )e − pt
∞
∞
∞
0
0
− ∫ f (t )de − pt = f (t )e − pt
0
f 2 (t ) =
∞
+ p ∫ f (t )e − pt dt .
(3.11)
0
Вещественная часть комплексной переменной p, равная
Re{ p} = c , называется абсциссой сходимости. Величина с выбира-
ется так, чтобы на комплексной плоскости прямая p = c + jω , где
c = const , параллельная мнимой оси, лежала правее полюсов изображающей функции f ( p )
(рис. 3.2).
p=c+jω
jω
Звездочкой обозначены пос
люса изображающей функции; 0 σ – ось вещественных значений комплексной
*
переменной p. Можно по*
казать, что указанное выше
*
*
0
σ условие обеспечивает схо*
димость прямого преобразования Лапласа. Обычно
(для устойчивых систем)
полюса
изображающей
функции f (p) лежат в леРис. 3.2
вой полуплоскости (это является признаком затухания колебаний, возникающих в системе).
В этом случае для абсциссы сходимости достаточно, чтобы выполнялось условие Re{p} = c > 0 , тогда первый член в (3.11) будет
иметь вид f (t )e − pt
∞
= 0 − f (0)
0
∞
∞
0
0
и, следовательно, f1( p ) = p ∫ f (t )e − pt dt − f ( 0 ) , но
19
∫ f (t)e
− pt
df 1 (t ) d 2 f (t )
,
=
dt
dt 2
то изображение второй производной через изображение первой
производной согласно формуле (3.12) запишется в виде
f 2 ( p ) = pf1( p ) − f ′( 0 ) ,
(3.13)
где
f ′( t ) =
df ( t )
dt
.
Аналогично получаем рекуррентную формулу для изображения n -й производной через изображение n − 1 производной
(3.14)
f n ( p ) = pf n −1 ( p ) − f ( n −1) (0) ,
n −1
f (t )
.
где f ( n − 1) = d
n −1
dt
Пользуясь формулой (3.13) или более общей рекуррентной
формулой (3.14), можно легко последовательно, принимая за основу (3.12), написать развёрнутые формулы для изображения n -й
производной:
f1 ( p ) = pf ( p ) − f (0),
f 2 ( p ) = p 2 f ( p ) − pf (0) − f ′(0) = f1 ( p ) − f ′(0),
f 3 ( p ) = pf 2 ( p ) − f ′′( 0 ) =
= p3 f ( p ) − p2 f ( 0 ) − pf ′( 0 ) − f ′′( 0 ),
(3.15)
Здесь f ( 0 ), f ′( 0 ), f ′′( 0 )... – величины функции f (t ) и ее производных при значении независимой переменной t = 0. Отсюда
одно из существенных достоинств операционного исчисления состоит в том, что при решении дифференциальных уравнений сразу
учитываются начальные условия. Упрощение записей получаем,
если считать начальные условия равными нулю (это также важ-
dt = f ( p) .
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ный для практики, но все же частный случай работы системы)*.
Тогда из (3.15) имеем для нулевых начальных условий простое
соотношение
fn ( p) = pn f ( p) .
(3.16)
3.5. Теорема об изображении интеграла функции
вещественной переменной
4. ИЗОБРАЖЕНИЯ СИГНАЛОВ ТИПОВЫХ ФОРМ
Воспользуемся приведёнными выше теоремами для нахождения изображений некоторых важных функций, определяющих
сигналы, часто встречающихся при исследовании радиоэлектронных схем. При этом будем исходить из полученного ранее изображения единичного скачка 1(t ) → f ск ( p ) = 1 / p .
4.1. Изображение экспоненциального импульса
Пусть f (t ) → f ( p ) .
Найдём изображение интеграла:
t
F (t ) = ∫ f (ξ )dξ .
(3.17)
0
Нужно определить: F ( p ) = L{F (t )} .
Дифференцируя первообразную функцию (3.17), имеем
dF(t)
= f (t) .
dt
(3.18)
Отсюда, в соответствии с теоремой об изображении производной,
можем записать:
f ( p ) = pF ( p ) − F ( 0) .
(3.19)
Но из (3.17) имеем F(0)=0, так как значение определённого интеграла с равными пределами равно нулю. Значит, f ( p ) = pF ( p ) .
Тогда
F ( p) =
f ( p)
.
p
(3.20)
Таким образом, изображение интеграла исходной функции
равно ее изображению, поделенному на p.
*
Наличие нулевых начальных условий, вообще говоря, не является принципиальным для последующего рассмотрения метода упрощающего ОПЛ. Они
влияют лишь на значения коэффициентов при целых степенях переменной p,
получаемых при их приведении для p одинаковых степеней и которые, таким
образом, зависят от начальных условий (см. формулы (3.15)).
21
Определим экспоненциальный импульс в форме
f e (t ) = Ae β t 1(t ) ,
(4.1)
где β – вещественная постоянная, которая может принимать как
положительные, так и отрицательные значения. При β = 0 приходим к рассмотренной ранее в п. 2.4.2 функции скачка, где для
f e (t ) → A
β =0
1
p
и, воспользовавшись теоремой смещения в про-
странстве изображений, запишем:
f e ( p) = A
1
.
p−β
(4.2)
4.2. Изображение функции включения
синусоидального сигнала
Пусть дан сигнал, определяемый функцией:
f (t ) = A cos(ω нt +ψ )1(t ) ,
(4.3)
т.е. сигнал задан синусоидой, усеченной за счет множителя 1(t)
для области t < 0 . Функцию (4.3), по аналогии с единичным скачком, будем называть функцией радиоскачка [5]. Воспользовавшись формулой Эйлера, перепишем (4.3) в виде
⎡ e j (ω н t +ψ ) e − j (ω н t +ψ ) ⎤
+
f (t ) = A ⎢
⎥1(t ) .
2
2
⎢⎣
⎥⎦
22
(4.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Применив теорему смещения в частотной области, получим
{
L A 1(t )e
± jω н t
{
}
1
,
=A
p ∓ jω н
}
L A 1(t )e ± j (ω н t +ψ ) = A
(4.5)
e ± jψ
.
p ∓ jω н
(4.6)
Воспользовавшись теоремой об изображении суммы, из (4.4) получим выражение
f ( p ) = L { f (t )} =
jψ
− jψ
⎤
A⎡ e
e
+
⎢
⎥.
2 ⎢⎣ p − jω н p + jω н ⎥⎦
(4.7)
Иногда удобно изображение усеченной синусоиды представить в ином, более компактном, виде. Для этого произведём тривиальные преобразования с выражением (4.7):
f ( p) =
A
2
⎡ ( p + jω н )(cos ψ + j sinψ ) + ( p − jω н )(cos ψ − j sinψ ) ⎤
⎢
⎥=
p 2 + ω н2
⎣⎢
⎦⎥
⎡ p cos ψ − ω н sinψ + j (ω н cos ψ + p sinψ ) + p cos ψ − ω н sinψ ⎤
−⎥
⎢
p 2 + ω н2
A⎢
⎥.
=
⎥
2 ⎢ j (ω н cos ψ + p sinψ )
⎢−
⎥
2
2
p + ωн
⎢⎣
⎥⎦
Окончательно получим
f ( p) = A
p cosψ − ω н sinψ
.
p 2 + ω н2
(4.8)
Аналогично найдем изображение для функции
f (t ) = A sin(ω нt +ψ ) ⋅ 1(t ) , f (t ) = A
f ( p ) = L{ f (t )} = A
e j (ω н t +ψ ) − e − j (ω н t +ψ )
1(t ) ,
2j
p sinψ + ω н cosψ
.
p 2 + ω н2
(4.9)
(4.10)
Подставляя вместо ψ в формулу (4.8) для изображения косинусоидальной функции значения ψ - π / 2 , получим изображение
синусоидальной функции в форме (4.10).
4.3. Изображение колебательного процесса
с экспоненциальной огибающей
Сигнал для этого случая представим в форме
f (t ) = Ae β t sin(ω нt + ψ )1(t ) .
(4.12)
Здесь формула (4.12) определяет затухающую или нарастающую (в зависимости от того, β < 0 или β > 0) синусоидальную
функцию, для которой огибающая – Ae β t 1(t ) . Формула (4.12),
описывающая данный сигнал, отличается от выражения (4.9)
множителем e β t .
Тогда, воспользовавшись теоремой смещения, получаем из
выражения (4.10) для изображения функции (4.12)
( p − β ) sinψ + ω н cosψ
f ( p ) = L{ f (t )} = A
.
(4.13)
( p − β )2 + ω н2
Для функции вида
f (t ) = Ae β t cos( ω нt + ψ )1(t ) ,
(4.14)
сопоставляя (4.14) с (4.3) из изображения (4.8) и применяя теорему смещения, аналогично получим
( p − β ) cosψ − ω н sinψ
f ( p) = A
.
(4.15)
( p − β ) 2 + ω н2
4.4. Изображение сигнала,
определяемого секулярной функцией
Формула (4.10), очевидно может быть получена из (4.8) (и
наоборот, формула (4.8) из (4.10), если учесть, что косинусоидальный и синусоидальный сигналы отличаются сдвигом по фазе на
π / 2 (сравни формулы (4.3) и (4.9)). Тогда, например,
π
A sin(ω нt + ψ )1(t ) = A cos(ω нt + ψ − )1(t ) .
(4.11)
Запишем сигнал в наиболее общей форме:
f (t ) = At k e β t cos( ω нt + ψ )1(t ) ,
(4.16)
где время входит вне знака косинуса (секулярная функция [19]),
k = 0, 1, 2,..., т.е. k – целое, положительное, включая нуль.
Прежде чем найти изображение сигнала (4.16) найдем изображение вспомогательных функций. Для этого напомним, что
23
24
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
изображение δ-функции (единичного импульса) fδ ( p ) = 1 (формула (2.8)). Изображение единичного скачка представим, как в
формуле (2.9):
f ( p ) = L{1(t )} =
1
.
p
Заметим, что можно осуществить переход от (2.8) к (2.9) на
основе теоремы об изображении интеграла функции времени,
учитывая интегральную связь между оригиналами в виде (2.5):
t
∫ δ (ξ )dξ .
1(t ) =
t
∫
−∞
f −3 ( t ) =
t
∫
∫ 1(ξ )dξ = ∫ dξ = t1(t ) ,
−∞
0
t
t
t
t
−∞
0
0
∫ ∫1(ξ )dξ = ∫ ∫ ξdξ = ∫
ξ2
2
dξ =
1(t ) →
t3
1(t )
,
2 ⋅3
t
tn
f − n (t ) = ∫ ∫ ... ∫ 1(ξ )dξ = 1(t ) .
n!
−∞
(4.17)
Следует иметь в виду, что решение интегралов в выражении
(4.17) будет справедливо для t > 0. Это следует из того, что в подынтегральной функции имеем 1(t) = 0 при t < 0. Таким образом,
всюду в решениях (4.17) нужно вводить множитель 1(t), чтобы
показать, что решения справедливы для t > 0.
Например,
f − 1 ( t ) = t ⋅ 1( t ) ,
f − 2 (t ) =
2
t
1(t ), ...,
2
f − n (t ) =
n
t
1(t ) .
n!
Соответственно нижний предел определенных интегралов в (4.17)
может быть взят равным нулю. Исходя из очевидности присутствия множителя 1(t), в соотношениях (4.17) его иногда опускают. В
25
(4.18)
Из (4.18) получаем изображение для функции целых степеней (t),
усеченных во времени
t
t2
f −1 (ξ )dξ = ∫ ∫ 1(ξ )dξ = ∫ ξdξ = 1(t ) ,
2
−∞
0
f −2 (ξ )dξ = ∫
t2
1
1( t ) → L{ f −2 ( t )} = f −2 ( p ) = 3 ,
2
p
t
1
1(t ) → L{ f − n (t )} = f − n ( p ) = n +1 .
n!
p
t
−∞
f − 2 (t ) =
1
,
p2
n
Найдем функции
t
t ⋅1( t ) → L{ f −2 ( t )} = f −1( p ) =
…
−∞
f −1 (t ) =
дальнейшем не будем оговаривать усечение функции на отрицательной полуоси времени, которое имеем, так как интеграл в прямом преобразовании Лапласа односторонний.
Изображения для функции в (4.17) запишем исходя из теоремы об изображении интеграла
1
,
p
t ⋅1( t ) →
1
,
p2
t 2 ⋅1( t ) →
2!
,
p3
t 3 ⋅1( t ) →
3!
,
p4
…
t n ⋅1( t ) →
n!
.
p n+1
(4.19)
Теперь воспользуемся соответствующими теоремами для
того, чтобы от (4.19) перейти к искомому изображению для оригинала (4.16). Для этого представим (4.16) в форме
f (t ) =
[
]
At k ( β + jω н )t + jψ
e
+ e( β − jω н )t − jψ 1(t ) .
2
26
(4.20)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исходя из теорем смещения и изображения суммы сигналов,
получаем из (4.19) и (4.20) искомое изображение секулярного сигнала (4.16):
f ( p) =
⎤
Ak ! ⎡
e jψ
e − jψ
+
⎥.
⎢
2 ⎣⎢ [ p − ( β + jω н )] k +1 [ p − ( β − jω н )] k +1 ⎦⎥
(4.21)
Приведем последнее соотношение к общему знаменателю.
При этом учтем, что
{[( p − β ) − jω н ][( p − β ) + jω н ]}k +1 = [( p − β ) 2 + ω н2 ]k +1 .
(4.22)
Тогда изображающая функция f ( p ) из (4.21) преобразуется к виду
f ( p) =
Ak! ⎧⎪[( p − β ) + jωн ]k +1e jψ + [( p − β ) − jωн ]k +1e− jψ ⎫⎪
⎬=
⎨
2 ⎪⎩
⎪⎭
[( p − β )2 + ωн2 ]k +1
Применим к правой и левой частям дифференциального
уравнения (1.7) прямое преобразование Лапласа.
⎧⎪ n
⎧⎪ m
d µ y ⎫⎪
d λ x ⎫⎪
L ⎨ ∑ a µ µ ⎬ = L ⎨ ∑ bλ λ ⎬ .
⎪⎩λ = 0
dt ⎪⎭
dt ⎪⎭
⎪⎩µ = 0
Ak! ⎡{[( p − β ) + jωн ]k +1 + [( p − β ) − jωн ]k +1}cosψ
=
+
⎢
2 ⎣⎢
[( p − β )2 + ωн2 ]k +1
(4.23)
При k = 0 выражение (4.23) принимает форму
( p − β ) cosψ − ω н sinψ
f ( p) = A
,
( p − β )2 + ω н2
т.е. при k = 0 приходим от (4.23) к формуле (4.15) изображения
для функции (4.14), которую получаем из оригинала (4.16), полагая в нем k = 0 .
(5.1)
Будем для упрощения рассуждений считать, что исследуемая система имеет нулевые начальные условия. При нулевых начальных условиях, свидетельствующих об отсутствии начальных
запасов энергии в исследуемой системе, выражения для изображений производных функций (3.15) переходят к более простому
виду (3.16), т.к. начальное значение функции и ее производных
вплоть
до
порядка
равны
нулю
т.е.
n −1
f (0) = 0, f ′(0) = 0, ..., f (
Ak! ⎧⎪[( p − β ) + jωн ]k +1(cosψ + j sinψ ) + [( p − β ) − jωн ]k +1(cosψ − j sinψ ) ⎫⎪
=
⎨
⎬=
2 ⎪⎩
⎪⎭
[( p − β )2 + ωн2 ]k +1
j{[( p − β ) + jωн ]k +1 − [( p − β ) − jωн ]k +1}sinψ ⎤
+
⎥.
[( p − β )2 + ωн2 ]k +1
⎦⎥
5. ИЗОБРАЖАЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ
n −1)
(0) = 0 .
Применяя теорему об изображении производной, а также
вспомогательные теоремы об изображении суммы и умножении
функции на постоянную величину, сразу получим
m
⎛ n
⎞
⎜ a p µ ⎟ ⋅ y ( p ) = ⎛⎜ b p λ ⎞⎟ ⋅ x ( p ),
∑
∑
µ
λ
⎟
⎜
⎜ µ =0
⎟
⎠
⎝ λ =0
⎝
⎠
(5.2)
где x ( p ) и y ( p ) – изображения входного сигнала и отклика системы.
Из выражения (5.2) изображение отклика системы найдем
как
y ( p) = K ( p) x ( p) ,
(5.3)
m
∑ bλ p λ
K ( p ) = λn= 0
∑ aµ p µ
,
(5.4)
µ =0
где дробно-рациональная функция K(p) называется передаточной
функцией системы (или системной функцией). Из сопоставления
(5.4) с исходным дифференциальным уравнением (формула (1.7))
следует, что передаточная функция целиком определяется коэф27
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
фициентами исходного дифференциального уравнения. Иными
словами, между K(p) и дифференциальным уравнением существует единственная связь. Откуда следует, что исследуемая физическая система может быть определена как через дифференциальное
уравнение, так и через передаточную функцию K(p). Схематически связь между входным сигналом x(t) и откликом системы y(t)
через переход в пространство изображений и обратно показана на
рис. 5.1.
x(t )
K ( p)
↑ L−1
x ( p)
y ( p)
29
F ( p) .
(5.7)
µ =0
Обозначим множитель при F ( p ) через K1( p )
1
K1 ( p ) = n
.
(5.8)
Тогда (5.7) примет вид:
y ( p) = K1( p )F ( p ) .
(5.5)
где F ( p ) – изображение вынуждающей функции. Изображающее
уравнение можно теперь переписать в форме
µ =0
∑ aµ p
µ
µ =0
Таким образом, применение преобразование Лапласа к правой и левой части исходного дифференциального уравнения переводит его в пространство изображений. Алгебраическое уравнение
(5.2) называется изображающим уравнением.
Полагая, что входной сигнал x(t) известен, правую часть
уравнения (1.7) можно представить как функцию F(t), которую
иногда называют вынуждающей функцией.
Тогда
n
1
∑ aµ p µ
Рис. 5.1
∑ (aµ p µ ) y ( p) = F ( p).
y ( p) = n
y (t )
L ↓
⎧⎪ n d µ y ⎫⎪
L⎨ ∑ µ ⎬ = F ( p) ,
⎪⎩µ = 0 dt ⎪⎭
Решая уравнение (5.1) относительно y ( p ) , имеем
(5.6)
(5.9)
В важном случае, если на входе системы действует только
один сигнал x(t), а не сумма сигнала и его производных с весовыми коэффициентами bλ , то, как следует из (1.7) и (5.2), полагаем
bλ = 0 для всех λ = 1, m . Не нарушая общности рассуждений, мо-
жем принять b0 = 1 , и тогда F (t ) = x(t ) . При этом передаточная
функция (характеристика системы K ( p ) = K1 ( p ) ) и определяется
только левой частью дифференциального уравнения (1.7), которой соответствует формула (5.8). Будем рассматривать этот случай. Такой подход несколько упрощает нахождение результата, не
требует изменения методики нахождения решения при переходе к
более сложному возмущению F (t ) , содержащему производные
x(t). Действительно наличие производных x(t) влияет на структуру
числителя передаточной характеристики K1( p ) и не отражается на
ее полюсах. Трудоемкость же нахождения решения y (t ) и характер
поведения ее определяется полюсами ее изображения и, следовательно, полюсами K(p) (а также полюсами x ( p ) , формула (5.3)).
Независимо от того, имеются ли начальные запасы энергии
или отсутствуют, применение прямого преобразования Лапласа к
правой и левой частям уравнения (1.7) позволяет алгебраизировать обыкновенное дифференциальное уравнение. При этом правая и левая части уравнения (1.7) представлены в пространстве
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
изображений полиномами целых степеней переменной p. Высшая
степень полинома в левой части равна порядку дифференциального уравнения. Наличие начальных условий лишь приведет к появлению дополнительных членов в правом полиноме, степень которых ниже порядка дифференциального уравнения. После приведения подобных членов получаем полиномы целых степеней в правой и левой части изображающего уравнения для исходного дифференциального уравнения вида (1.7). Таким образом, наличие начальных условий лишь изменит величину коэффициентов при целых степенях p.
Для большинства практических задач радиоэлектроники передаточная характеристика K(p) является дробно-рациональной
функцией (ДРФ), т.е. представляет отношение полиномов целых
степеней p (формула (5.4)). Будем рассматривать класс сигналов,
для которых изображение x ( p ) также ДРФ. Тогда и изображение
y ( p ) как произведение дробно-рациональных функций также будет ДРФ.
6. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ
Временные характеристики системы (радиоэлектронной схемы) – это отклик системы на типовые формы сигналов. Они однозначно связаны с ее передаточной характеристикой, а значит, и с
дифференциальным уравнением системы. Наиболее широко используются импульсная реакция и переходная характеристика
системы.
6.1. Импульсная реакция системы
Импульсная реакция системы – это отклик системы на возбуждающий сигнал вида δ-функции. Импульсная реакция имеет
ряд синонимов: импульсная реакция, импульсная характеристика,
память системы. В физике аналогом импульсной реакции является
функция Грина. Будем обозначать импульсную реакцию g(t). Тогда для дифференциального уравнения вида (1.7)
n
dµg
µ =0
dt µ
∑ aµ
= δ (t ) .
31
(6.1)
Применяя к (6.1) прямое преобразование Лапласа и учитывая, что
L{δ (t )} = 1 , получим
n
( ∑ aµ p µ ) g ( p ) = 1 ,
(6.2)
µ =0
где g ( p) – изображение импульсной характеристики системы.
Отсюда
g( p) =
1
n
∑ aµ p
µ
= K ( p) .
(6.3)
µ =0
Из (6.3) следует, что с точностью до размерности изображение импульсной реакции системы равно передаточной характеристике системы.
Для нахождения импульсной реакции применим к (6.3) обратное преобразование Лапласа. Тогда
g (t ) = L−1{g ( p )} = L−1{K ( p )} .
(6.4)
Из этого уравнения следует простая связь между импульсной реакцией и передаточной функцией системы, а именно: импульсная реакция системы с точностью до размерности определяется ОПЛ передаточной характеристики ее*.
Так как система задана передаточной характеристикой K(p)
(или дифференциальным уравнением, однозначно связанным с
K(p)), то и импульсная реакция однозначно определяет систему.
Иными словами, импульсная реакция является функцией времени,
определяющей систему во временной области, как и передаточная
характеристика в области комплексной переменной p или дифференциальное уравнение, связывающее вход и выход системы.
*
Из (6.1) и (6.2), учитывая вид ППЛ (формула (2.1)), следует, что размерность
единицы в правой части (6.2), как изображения δ-функции, равна [δ (t)]⋅c. Совершенно так же из (6.3) размерность импульсной реакции [g ( p )] = [δ (t )]⋅ c ⋅ [K ( p )] .
Здесь квадратные скобки означают размерность соответствующей величины
(функции).
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.2. Переходная характеристика системы
Переходная характеристика (переходная функция) системы
– это отклик системы на единичный скачок. Будем обозначать переходную характеристику через h(t ) . Обращаясь к дифференциальному уравнению (1.7), имеем
n
∑
µ =0
aµ
d µh
dt µ
= 1(t ) ,
⎧⎪ n
⎞
d µ h ⎫⎪ ⎛⎜ n
1
⇒ L ⎨ ∑ aµ
a p µ ⎟h ( p) = ,
=
µ ⎬ ⎜∑ µ
⎟
p
dt ⎪⎭ ⎝ µ =0
⎪⎩µ =0
⎠
так как L{1(t )} =
1
;
p
(6.6)
(6.7)
1 c + j∞ K ( p) pt
e dp ,
∫
2πj c − j∞ p
(6.8)
и, следовательно,
⎧ K ( p) ⎫
h(t ) = L−1 ⎨
⎬.
⎩ p ⎭
y (t )
7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ
7.1. Применение операционного исчисления
для интегрирования линейных дифференциальных уравнений
Применяя обратное преобразование Лапласа к уравнению
(5.4), находим искомый интеграл дифференциального уравнения
исследуемой системы:
µ =0
Таким образом, между изображением переходной характеристики h( p) и передаточной характеристики системы K ( p)
существует простая связь, определяемая соотношением (6.7). Перепишем (6.7) в виде
h(t ) = L−1{h ( p )} =
Система определяется:
или дифференциальным
уравнением или
K ( p ), h(t ), g (t )
Рис. 6.1
стики. Здесь и дальше символ ⇒ означает «откуда следует».
Из формулы (6.6) получаем:
1 K ( p)
h ( p) =
=
.
n
p
µ p
∑ aµ p
x(t )
(6.5)
h ( p ) – изображение переходной характери-
1
ным уравнением, или передаточной характеристикой, или импульсной реакцией или переходной характеристикой (рис 6.1). Все эти
определения однозначно связаны между собой.
(6.9)
y (t ) = L−1{ y ( p )} = L−1{K ( p ) x ( p )} ,
(7.1)
или
c + j∞
c + j∞
1
1
y(t ) =
y( p)e ptdp =
K ( p) x ( p)e ptdp .
∫
∫
2πj c − j∞
2πj c − j∞
(7.2)
Интеграл (7.2) равен сумме вычетов в полюсах подынтегральной функции:
y( t ) = ∑ res( pν ) ,
(7.3)
ν
Поскольку переходная характеристика системы однозначно
связана с ее передаточной характеристикой, то она определяет как
и импульсная реакция поведение системы физическую систему во
временной области. То есть система определена: дифференциаль-
ν = 1, r ; r – число всех полюсов изображающей функции; черта
означает целые значения на интервале 1…r.
33
34
где res ( pν ) – вычет в н -м полюсе подынтегральной функции;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Как следует из (5.3), K ( p) – дробно-рациональная функция
переменной p, т.е. отношение двух полиномов целых степеней p.
В достаточно общем случае представления сигнала суммой секулярных функций (см. формулу (4.16)) изображение сигнала также
представляется суммой ДРФ вида (4.21), что также дает результирующую ДРФ изображения сигнала. Общность секулярного сигнала понимается в том смысле, что все другие рассмотренные выше сигналы (кроме δ(t)-функции) могут быть получены из (4.16),
полагая равными нулю параметры k , β , ω н и ψ по отдельности
или совместно. То же касается их ИФ, которые также могут быть
получены из (4.21).
Тогда изображение отклика системы y ( p ) , являющееся согласно (5.3) произведением K ( p) и x ( p) , также будет ДРФ.
Для дробно-рациональной функции вычеты могут быть найдены применением формулы обращения, по которой осуществляется переход из пространства изображений в пространство оригиналов. Получим эту формулу.
(7.4)
F ( p) и Q( p ) – полиномы целых степеней переменных p.
Корни полинома знаменателя Q( p ) , определяемые из соотношения Q( p) = 0 , являются полюсами ДРФ y ( p ) . В соответствии с
оговоренным выше условием ради упрощения рассмотрения будем считать, что F(p) имеет полюсы 1-го порядка, т.е. простые
(некратные) полюсы. Тогда дробь y ( p ) может быть представлена
суммой простых дробей:
y( p) =
F(p )
∑ Q ′( p ) pν= p
ν
ν
35
⋅
1
,
p − pν
±p t
fν ( p) = f ( p ∓ pν ) ← f (t )e ν 1(t ) ,
имеем
fν ( p ) =
1
← e pν t 1( t ) .
p − pν
(7.5)
(7.6)
Формула разложения для y ( p ) содержит сумму дробей вида
1
p − pν
с постоянными коэффициентами F ( pν ) / Q ′( p ) p = pν . Тогда,
в соответствии с теоремой об умножении функции на постоянную
величину, получим:
r
F( p )
∑ Q ′( p) ν
ν =1
Будем рассматривать случаи ДРФ с простыми полюсами.
Запишем y ( p ) в таком виде:
F ( p)
.
Q( p )
ν = 1, r . Перейдем от (7.4) к оригиналу y (t ) . Для этого учтем, что
1 p есть изображение единичного скачка. Тогда, принимая во
внимание теорему смещения (формула (3.7))
y (t ) =
7.2. Формула обращения для изображения,
определяемого ДРФ
y ( p) =
где Q ′(p) – производная знаменателя по p ( (Q′( p ) = dQ / dp ) ; pν –
корни знаменателя Q( p ) . Будем считать, что имеем r корней, т.е.
p = pν
e pν t 1(t ) .
(7.7)
Эта формула, которую называют формулой обращения,
обеспечивает переход от изображения к оригиналу в важном случае простых полюсов изображающей функции K(p). Для ДРФ
y ( p ) , имеющей кратные полюсы, подход остается тем же, но
формулы получаются более сложными, а значит, и менее наглядными [3,5].
8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНОГО
ПРОЦЕССА ПО ФОРМУЛЕ ОБРАЩЕНИЯ
ДЛЯ ДРФ С ПРОСТЫМИ ПОЛЮСАМИ
Пример 1. Найти напряжение на параллельном контуре
uk (t ) при включении на него источника тока i (t ) = A01(t ) sin(ω нt + ψ )
(рис. 8.1). Примем нулевые начальные условия.
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Воспользовавшись законом Ома в операторной
форме, получим
(8.1)
u k ( p ) = K ui ( p )i ( p ) = z( p )i ( p ) ,
где K ui ( p ) – передаточная характеристика данной схемы. На входе
действует ток, на выходе получаем напряжение, что соответствует
размерности передаточной характеристики [ K ui ( p )] = [В]/[А]
= Ом, т.е. передаточная характеристика имеет размерность
L
i (t )
сопротивления: отсюда ввели
ui индекс для K ( p) . Таким
C
uk (t )
образом, K ui ( p ) = z( p ) , что в
R
данном случае видно из схемы
(рис. 8.1).
Найдем z ( p ) . Имеем в
контуре две параллельные ветРис. 8.1
ви: индуктивную с операторным сопротивлением zL ( p ) = pL + r и емкостную zc ( p ) = 1 / pC .
Отсюда
1
( pL + r )
z z
1
p + 2α
pC
,
z( p ) = L c =
=
z L + zc pL + r + 1
C p 2 + 2α p + ω2p
pC
(8.2)
где α – коэффициент затухания контура, α = r / 2 L ; ω p – резонансная частота колебаний, ω p = 1
LC . Нужно определить uk (t ) .
Найдем изображающую функцию для включения радиоскачка тока на колебательный контур:
i ( p ) = L{ A01(t ) sin(ω нt + ψ )} .
p sinψ + ω н cosψ
p 2 + ω н2
Q( p) = ( p 2 + ω н2 )( p 2 + 2αp + ω 2p ) = 0 .
(8.3)
2
гая
( p 2 + 2αp + ω 2p ) = 0 .
Тогда полюсами изображающей функции uk ( p ) будут комплексно-сопряженные пары
p1, 2 = ± jω н , p3, 4 = −α ± jω 0,
(8.6)
где ω 0 – частота собственных колебаний.
ω 0 = ω 2p − α 2 .
(8.7)
Производная знаменателя Q( p) выражения (8.4) по переменной p
даёт
Q′( p ) = 2 p( p 2 + 2αp + ω 2p ) + (2 p + 2α )( p 2 + ω н2 ) .
(8.8)
Подставляя в (8.8) корни знаменателя, получим:
Q′( p ) p = p1 = 2 jω н [( jω н ) 2 + 2αjω н + ω 2p ] = 2 jω н (ω 2p − ω н2 + 2αjω н ),
Q′( p) p = p2 = −2 jω н [(− jω н ) 2 − 2αjω н + ω 2p ] = −2 jω н (ω 2p − ω н2 − 2αjω н ),
Q′( p ) p = p = [2(−α + jω 0 ) + 2α ][(−α + jω 0 ) 2 + ω н2 ] =
3
= 2 jω 0 (α 2 − ω 0 − 2αjω 0 + ω н2 ).
2
Или, учитывая (8.7):
2
Q′( p ) p = p = 2 jω 0 [α 2 + α 2 − ω p − 2αjω 0 + ω н2 ] =
Аналогично для полюса p4 :
Q′( p ) p = p = −2 jω 0 [2α 2 + 2αjω 0 + (ω н2 − ω 2p )].
4
37
(8.5)
Отсюда p1,2 находим из условия ( p + ω н ) = 0 ; p3,4 находим, пола2
= 2 jω 0 [2α 2 − 2αjω 0 + (ω н2 − ω 2p )].
.
(8.4)
Полюсы функции uk ( p ) ищем как корни знаменателя Q( p ) ,
полагая Q( p ) = 0 .
3
В соответствии с (4.9) и (4.10)
i ( p ) = A0
Подставляя (8.2) и (8.3) в (8.1), получим
1 p sinψ + ω н cosψ
p + 2α
.
uk ( p) = A0
⋅ 2
2
2
C
p + ωн
p + 2αp + ω 2p
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Числитель F ( p) определим из (8.4) как
F ( p) =
A0
( p sinψ + ω н cosψ )( p + 2α ).
C
Решение для uk (t ) в соответствии с формулой обращения (7.7) будет иметь вид
4
uk (t ) =
F( p )
∑ Q′( p) pν= p
ν =1
e pν t 1(t ) ,
Пример 2. Включение постоянного напряжения на интегрирующую цепь (рис. 8.2).
ν
или, подставляя значения Q′( p) p = pν , получаем
R
⎡
F( p1)
F( p2 )
uk (t) = ⎢
e jωнt +
e− jωнt +
2
2
⎢ 2 jω (ω2 −ω 2 +2α jω )
−2 jωн (ωp −ωн −2α jωн )
н
⎣ н p н
F( p3 )
+
e(−α+ jω 0)t +
2
2
2 jω0 (ωн −ω0 −2α jω0 +α 2 )
+
⎤
F( p4 )
−2 jω0 (ωн −ω0 +2α jω0 +α )
2
2
2
e(−α− jω 0)t ⎥1(t).
uвх
В этом решении первые два члена определяют вынужденную составляющую переходного процесса (ВСПП) (это вычеты в
«вынужденных» полюсах p1,2 = ± jω н ); последние два члена определяют свободную составляющую переходного процесса (ССПП)
(это вычеты в «свободных» полюсах p3,4 = −α ± jω0 ). Найденный
в форме (8.9) результат в принципе даёт искомое решение. Однако
для того чтобы в явной форме записать вещественный сигнал
uk (t ) , требуется выполнить ряд громоздких трудоёмких операций
с комплексными функциями в (8.9).
Кроме того, в записи радиосигнала uk (t ) , полученной после
таких преобразований, затруднительно в явной форме выделить
фазу колебания uk (t ) . Поэтому такой подход затрудняет анализ
работы фазовых систем при исследовании прохождения сигналов
через избирательные цепи. С другой стороны, фазовая микроструктура радиосигнала во многих случаях позволяет получить
существенно большую информацию, чем ее можно снять в РЭУ,
работающих по огибающей радиосигнала. Это привело к широко-
uвых
С
Рис. 8.2
(8.9)
⎥⎦
39
му использованию фазовых методов и средств при реализации современных РЭУ.
Изложенный в учебном пособии метод, упрощающий ОПЛ,
позволяет резко снизить трудоёмкость получения результата при
исследовании колебательных процессов и относительно легко выделить в явной форме фазу исследуемого радиосигнала.
Решение. uвых ( p ) = A ⋅1(t ) , K ( p ) =
zc ( p )
,
zc ( p ) + R
1
1
1
=
,
1
pC R +
1 + pτ
pC
где постоянная времени τ = RC .
K ( p) =
uвх ( p ) = L{uвх (t )} = L{A ⋅1(t )} =
(8.10)
A
,
p
uвых ( p ) = uвх ( p ) ⋅ K ( p ) .
Таким образом,
uвых ( p ) =
A
1
⋅
.
p 1 + pτ
(8.11)
Полюсы изображающей функции uвых ( p) лежат в комплексной
p1 = 0 ,
p2 = − 1 τ ,
Q( p) = p (1 + pτ ) ,
плоскости в точках
Q′( p ) = (1 + pτ ) + pτ = 1 + 2 pτ , Q′( p ) p = p1 = 1 , Q′( p ) p = p2 = 1 − 2τ τ = −1 .
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Воспользовавшись формулой обращения, имеем
uвых (t ) =
2
A
⎡A
⎤
e pν t 1(t ) == ⎢ e0 t − e−t τ ⎥1(t ) = A(1 − e−t τ )1(t ) . (8.12)
1
⎣1
⎦
p = pν
F( p )
∑ Q′( p) ν
ν =1
Найденный в (8.12) сигнал как реакция интегрирующей цепи на включение функции, пропорциональной единичному скачку,
пропорционален переходной функции интегрирующей цепи. Коэффициент пропорциональности A.
Таким образом, uвых (t ) = A ⋅ h(t ) , где h(t) – переходная функция интегрирующей цепи. Заметим, что первый член в (8.12) – вычет в полюсе p1 = 0 , т.е. в полюсе, определяемом из ИФ возбуждающего сигнала («вынужденный» полюс). Этот член определяет
ВСПП. Второй член в (8.12) – вычет в полюсе p2 = − 1 τ характеризует ССПП. Здесь p2 – «свободный» полюс, определяемый из
передаточной характеристики (системной функции) K ( p) .
Заметим, что цепь, показанная на рис.8.2, не является идеальным интегратором. При достаточно большой постоянной времени τ , когда длительность процесса существенно меньше τ , наблюдается эффект интегрирования (накопления) за счет «памяти»
ёмкости С. В соответствии с теоремой об изображении интеграла
функции времени передаточная характеристика идеального интегратора имеет вид kинт.ид. ( p ) = 1 / p .
Пример 3. Определить импульсную реакцию (импульсную
характеристику) интегрирующей цепи.
Решение. Импульсная характеристика – это реакция цепи на
δ -импульс. Изображение δ -импульса fδ ( p) = 1 (формула (2.8.)).
Передаточная
характеристика
интегрирующей
цепи
−1
K ( p ) = (1 + pτ ) определена в (8.10). Тогда для импульсной реакции интегрирующей цепи имеем ИФ.
g ( p) = K ( p ) fδ ( p) = (1 + pτ ) −1 ,
(8.13)
полюс которой p1 = −1 τ . Как следует из (8.13), при нахождении
импульсной реакции имеем только «свободные» полюсы. Реакция
схемы, т.е. g (t ) представляет собой свободный процесс, опреде41
ляемый только схемой (системой). Для перевода (8.13) в пространство оригиналов воспользуемся формулой обращения (7.7).
Тогда из (8.13) Q( p) = 1 + pτ , Q′( p ) = τ , F ( p) = 1 и, следовательно,
g (t ) =
1
τ
e − t τ 1(t ) .
(8.14)
Пример 4. Определить реакцию интегрирующей цепи на
радиоскачок uвх (t ) = A sin(ω нt +ψ )1(t ) .
Решение. Изображающая функция для входного сигнала согласно (4.10) имеет вид
uвх ( p ) = A( p sinψ + ω н cosψ )( p 2 + ω н2 ) −1 .
Тогда, учитывая выражение (8.10) для передаточной характеристики интегрирующей цепи, имеем ИФ для выходного сигнала в
виде
1
A p sinψ + ω н cosψ
,
(8.15)
uвых ( p ) =
2
2
τ
p + 1 /τ
p + ωн
где «вынужденные» полюсы p1,2 = ± jω н , «свободный» полюс
p3 = −1 τ ,
F ( p) = А /τ ( p sinψ + ωн cosψ ), Q( p) = ( p2 + ωн2 )( p + 1/τ ),
Q′( p) = 2 p( p + 1/τ ) + ( p2 + ωн2 ) = 3 p2 + 2 p /τ + ωн2 ,
Q′( p) p = p = 2( jωн )2 + 2 jωн /τ = 2 jωн ( jωн + 1/τ ),
1
Q′( p) p = p = 2( − jωн )2 − 2 jωн /τ = −2 jωн ( − jωн + 1/τ ),
2
Q′( p) p = p = 3( −1/τ )2 − 2 /τ 2 + ωн2 = ωн2 + 1/τ 2 .
3
Тогда в соответствии с формулой обращения (7.7) получим выражение для искомой реакции интегрирующей цепи на радиоскачок:
− jω н sinψ + ω н cosψ
A ⎡ jω н sinψ + ω н cosψ
exp(− jω нt ) +
exp jω нt +
uвых (t ) = ⎢
− 2 jω н (− jω н + 1/ τ )
τ ⎣ 2 jω н ( jω н + 1/ τ )
⎤
(−1/ τ ) sinψ + ω н cosψ
+
exp(−t / τ ) ⎥1(t )
ω н2 + 1/ τ 2
⎦
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
или
1
A⎡
(t ) = ⎢
exp j (ω нt +ψ ) +
u
вых
τ ⎢⎣ 2 j ( jω н + 1/τ )
1
exp − j (ω нt +ψ ) +
+
− 2 j ( − jω н + 1 / τ )
[
+
(−1/τ ) sinψ + ω н cosψ
ω н + 1/τ
2
2
]
(8.16)
⎤
exp(−t /τ ) ⎥1(t )
⎦
Заметим, что в формуле (8.16) первые два члена (вычеты в
«вынужденных» полюсах p1, 2 = ± jω н ) определяют ВСПП, третий
член (вычет в «свободном» полюсе p3 = −1 τ ) определяет ССПП.
Выражение (8.16) можно также переписать в таком виде
⎧1
uвых (t ) = A⎨ K ( jω н ) exp j (ω нt +ψ ) −
⎩2 j
1
− K (− jω н ) exp[− j (ω нt +ψ )] +
2j
+
− sinψ + ω нτ cosψ
1 + ω нτ
2
2
⎫
exp(−t /τ ) ⎬1(t ),
⎭
(8.16а)
где, учтено, что из (8.10) следует
K (± jωн ) = K ( p) p=± jω = (1+ pτ )−p1=± jω .
н
н
Пример 5. Определить импульсную реакцию и переходную характеристику цепи (рис. 8.3).
С
+
uвх (t )
–
R
uвых (t )
Данная схема широко используется либо как разделительная по
постоянной составляющей (например, как «неискажающая» переходная цепь между каскадами), либо для квазидифференцирования (цепь укорочения сигнала).
При выполнении эквивалентных неравенств
1
1
<< R ,
<< τ ,
(8.17)
ω низш
ω низшC
где ω низш – самая низкочастотная составляющая спектра сигнала,
обеспечивается неискаженная передача сигнала. В этом случае
имеем цепь с большой постоянной времени в смысле выполнения
последнего из неравенств (8.17).
Условием дифференцирования для данной схемы являются
неравенства, обратные неравенствам (8.17).
1
1
>> R ,
>> τ .
(8.18)
ωв
ωвC
В этом смысле говорят, что дифференцирующая цепь – это
цепь с малой постоянной времени. Область дифференцирования
сосредоточена в окрестности низких частот ω < ωв; область неискаженной передачи – начиная от некоторой частоты ω низш с выходом в область высоких частот. При дифференцировании подчеркиваются высокочастотные составляющие спектра. Идеальный
дифференциатор
имеет
передаточную
характеристику
K диф.ид. ( p ) = Ap (теорема об изображении производной).
Поскольку в обоих случаях (дифференцирования и неискаженной передачи сигнала) схема рис. 8.3 остается той же, то она
описывается одной математической моделью (одним дифференциальным уравнением). А это значит, что передаточная характеристика K(p), определяемая схемой рис.8.3, не зависит от выполнения неравенств (8.24) и (8.25) и переходный процесс для обоих
случаев рассчитывается по одним и тем же формулам.
Решение. Найдем передаточную характеристику K(p) для
схемы рис. 8.3. Эта схема представляет потенциометрический делитель. Поэтому
R
R
pτ
p
K ( p) =
=
=
=
.
(8.19)
R + zc ( p ) R + 1/ pC 1 + pτ p + 1/τ
Рис. 8.3
43
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Изображающая функция для импульсной реакции
pτ
p
=
.
g ( p) = fδ ( p ) K ( p) = 1
1 + pτ p + 1/τ
(8.20)
Изображающая функция для переходной характеристики
1
1
.
h( p) = fск( p)K( p) = K( p) =
p
p+1/τ
(8.21)
В обоих случаях (формулы (8.20) и (8.21)) заменитель дробей один и тот же, т.е. Q( p) = p + 1/τ , корень его (полюс ИФ)
p1 = −1/τ , Q′( p) =1 . Так как полюс ИФ сигнала на выходе схемы
находится как полюс передаточной характеристики (т.е. «свободный» полюс), то и импульсная реакция у(t), и переходная характеристика h(t) в данном случае определяют свободный процесс
(ССПП). Для нахождения оригиналов для ИФ ((8.20) и (8.21)) воспользуемся формулой обращения (7.7), согласно которой сразу
получаем:
g (t ) = −1 τ e−t τ 1(t ) ,
h(t ) = e −t τ 1(t ) .
(8.22)
(8.23)
Заметим, что и импульсная реакция g(t), и переходная характеристика h(t) для схемы рис. 8.3 определяются одной и той же
экспоненциально-затухающей функцией, которая затухает тем
быстрее, чем меньше постоянная времени цепи. Но импульсная
реакция имеет обратный знак относительно знака воздействия и
величина ее в начальный момент времени тем больше, чем меньше постоянная времени. Физически это понятно. Так как от действия δ-сигнала (для математической модели длительность его бесконечно малая, амплитуда бесконечно большая, а из условия нормировки площадь равна единице, т.е. энергия его конечна) емкость зарядится до тем большего значения напряжения, чем
меньше постоянная времени цепи; знаки заряда на емкости при
этом показаны на рис. 8.3. После окончания δ-импульса емкость
разряжается на сопротивление R; при этом на выводе резистора,
45
подключенного к емкости, имеем минус относительно второго
вывода*.
Для переходной характеристики, представляющей реакцию
схемы на положительный единичный скачок, имеем режим заряда
емкости C при формировании выходного сигнала, снимаемого с
резистора R. При этом начальное значение выходного сигнала
равно "+1" (весь входной сигнал при t=0 приложен к резистору R,
т.к. полагаем, что uc(0) =0, и не зависит от постоянной времени цепи τ). Полярность выходного экспоненциального импульса h(t)
положительна и соответствует режиму заряда емкости C.
Пример 6. Найти реакцию переходной цепи рис. 8.3 на
включение радиоскачка uвх (t ) = A sin(ω нt + ψ )1(t ) .
Решение. Изображающая функция для входного сигнала из
(4.10) имеет вид
uвх ( p) = A
p sinψ + ωн cosψ
p2 + ωн2
.
Тогда, учитывая (8.19) для передаточной характеристики данной
схемы изображающая функция для сигнала на выходе цепи может
быть представлена в виде:
p sinψ + ω н cosψ
p
,
(8.24)
uвых ( p ) = A
p + 1/τ
p2 + ω 2
н
для которой вынужденные полюса p1,2 = ± jω н , «свободный» полюс p3 = −1 / τ .
*
В формуле (8.22), описывающей реакцию цепи на δ-импульс, определена
только регулярная составляющая сигнала. Здесь имеется в виду, что отклик цепи
на импульс, возмущение рассматриваем при подходе к нулю временной оси
справа, т.е. от момента t=0+. В этом случае считаем, что δ-импульс не охватывается, оставаясь у начала координат слева. При охвате δ-импульса в импульсную
реакцию вошел бы и δ-сигнал [11,30].
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
L
Знаменатель ИФ
Q( p ) = ( p 2 + ω н2 )( p + 1 / τ ) ,
F ( p ) = A( p sinψ + ω н сosψ ) p .
а числитель
Производная знаменателя
C
1
Q′( p) = 2 p( p + ) + ( p 2 + ω н2 ) = 3 p 2 + 2 p /τ + ω н2 .
i(t)
τ
Так как знаменатель Q( p) , а следовательно, и полюсы ИФ выходного сигнала совпадают с примером 4, то совпадают и значения
Q′( p ) , вычисленные для соответствующих полюсов, а именно:
Q′( p ) p = p = 2 jω н ( jω н + 1/τ ),
Q′( p ) p = p = −2 jω н (− jω н + 1/τ ),
1
e(t)
2
Q′( p ) p = p = ω н2 + (1/τ ) 2 .
3
Тогда, воспользовавшись формулой обращения (7.7), получаем аналогично решению примера 4 выражение для искомого
сигнала на выходе схемы рис. 8.3:
⎡
jω н
exp j (ω н t +ψ ) +
uвых (t ) = A⎢
⎢⎣ 2 j ( jω н + 1/τ )
+
− jω н
exp − j (ω н t +ψ ) +
− 2 j ( − jω н + 1 / τ )
+
sinψ − ω нτ
exp( −t /τ )
2
1+ ωн τ 2
[
]
(8.25)
⎤
⎥1(t ).
⎦
⎧1
1
uвых (t ) = A⎨ K ( jω н ) exp j (ω нt +ψ ) − K (− jω н ) exp[− j (ω нt +ψ )] +
j
j
2
2
⎩
sinψ − ω нτ cosψ
⎫
+
⋅ exp(−t /τ ) ⎬1(t ),
2 2
1 + ω нτ
⎭
Рис. 8.4
Решение. Импульсную реакцию и переходную характеристику тока в последовательном колебательном контуре ищем как
реакцию контура на включение источника э.д.с. в форме δ -импульса или единичного скачка. Исходя из закона Ома, в операторной форме запишем:
i ( p ) = e ( p ) / z k ( p ) = e ( p ) yk ( p ) ,
(8.27)
где
zk ( p ) = pL +
Тогда
Или, подобно получению соотношения (8.16 а), имеем:
(8.26)
r
1
+ r,
pC
yk ( p ) = 1 / z k ( p ) .
1
p
,
= e ( p)
2
1
L( p + 2αp + ω 2p )
pL +
+r
pC
затухания α = r / 2 L , резонансная
i ( p) = e ( p)
(8.28)
где коэффициент
частота
−1/ 2
ω p = (LC) . Изображениями возбуждающих сигналов при нахождении импульсной реакции и переходной характеристики соответственно будут eδ ( p) = 1 , eск( p) = 1/ p , подставляя которые в (8.28),
получим ИФ для импульсной реакции gi (t ) и переходной характеристики h i (t ) колебательного контура
где в соответствии с (8.18)
K (± jω н ) = K ( p ) p = ± jω =
± jω н
.
± jω н + 1 / τ
gi ( p) = p[L( p 2 + 2αp + ω 2p )] −1,
hi ( p) =[L( p2 + 2αp + ω 2p )] −1 .
(8.29)
Пример 7. Найти импульсную реакцию и переходную характеристику для тока в последовательном колебательном контуре
(рис. 8.4).
ственных колебаний ω 0 = (ω 2р − α 2 )1/ 2 . Тогда p1, 2 являются полюса-
47
48
Полюсами обоих ИФ будут p1, 2 = −α ± jω 0 , ω0 – частота соб-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ми системной функции yk ( p ) и поэтому определяют свободные
колебания системы.
Знаменатели Q( p) изображающих функций в (8.29) одинаковы:
Q( p) = L( p 2 + 2αp + ω 2р ) .
Производная Q′( p) = 2 L( p + α ) . Тогда
Q′( p) p= p1 = 2 L(−α + jω0 + α ) = 2 jω 0 L,
Q′( p) p= p 2 = −2 jω 0 L.
Подставляя найденные соотношения в формулу обращения (7.7) и
учитывая (8.29), получим искомые выражения для импульсной
реакции и переходной характеристики последовательного колебательного контура:
2 F( p )
i e pi t = −α + jω0 e(−α + jω0 )t + −α − jω0 e(−α − jω0 )t =
gi (t) = ∑
′
Q
(
p
)
2 jω0 L
− 2 jω0 L
i=1
i
=
[−α(e
2 jω L
e−α t
jω0t
− jω0t
−e
)+ jω (e
0
jω0t
− jω0t
+e
)]=
Умножение на p в пространстве изображений означает нахождение производной в пространстве оригиналов.
Пример 8. Найти импульсную реакцию и переходную характеристику для напряжения на параллельном контуре при его
возбуждении источником тока (рис. 8.1).
Решение. Импульсную реакцию и переходную характеристику для напряжения на параллельном колебательном контуре
ищем как реакцию на включение источника тока в форме δ -импульса или одиночного скачка соответственно.
Согласно закону Ома в операторной форме запишем
uк ( p ) = i ( p ) z к ( p ) ,
(8.32)
где операторное сопротивление контура z к ( p ) определяется соотношением (8.2); изображения сигналов iδ ( p) = 1 , iск ( p ) = 1/ p. .
Тогда в соответствии с (8.32) ИФ для импульсной реакции и
переходной характеристики параллельного колебательного контура запишем в следующем виде:
(8.30)
gи ( p) =
p + 2α
p + 2α
1
1
=
,
2
2
C p + 2αp + ω p C ( p + α ) 2 + ω 02
(8.33)
hи ( p) =
p + 2α
p + 2α
1
1
=
.
pC p2 + 2αp + ω 2p pC ( p +α )2 + ω02
(8.34)
0
=
−α t
e
ω0 L
(−α sinω0t +ω0 cosω0t )1(t),
hi (t ) =
1
2 jω 0 L
e( −α + jω 0 )t +
1
e −α t
e( −α − jω 0 )t =
sin ω 0t 1(t ).
− 2 jω 0 L
ω0 L
(8.31)
Из полученных соотношений (8.30) и (8.31) следует, что
g i (t ) =
dhi (t )
dt
, т.е. между импульсной реакцией и переходной ха-
рактеристикой имеем ту же связь, что и между возбуждающими
сигналами, так как δ (t) =
d1(t)
. Это находит свое отражение в изоdt
бражениях этих функций тем, что они отличаются множителем
L{δ (t )} = 1, L{1(t )} = 1 p ⇒ pL{1(t )} = L{δ (t )}.
Для ИФ g u ( p ) имеем полюсы p1, 2 = −α ± jω 0 , для ИФ hu ( p ) полюсы p1, 2 = −α ± jω 0 и p3 = 0 . Для ИФ, определяемых формулами
p + 2α
, в gu ( p ) знамена(8.33) и (8.34), примем функцию F ( p) =
C
тель
Qδ ( p ) = p 2 + 2αp + ω 2р ,
в
знаменатель
Q ск ( p ) = p ( p 2 + 2α p + ω 2p ) , которые совпадают с соответствующими
функциями предыдущего примера. Тогда
Q′δ ( p ) = 2( p + α ),
Q′ск ( p ) = 3 p 2 + 4αp + ω 2p ,
что дает Q′δ ( p ) p = p = 2 jω 0 ,
1
Q′δ ( p ) p = p = −2 jω 0 .
2
Аналогично
Q′ск ( p) p = p1 = 2 jω 0 (−α + jω 0 ), Q′ск ( p) p = p 2 = −2 jω 0 (−α − jω 0 ),
Q′ск ( p) p = p 3 = ω 2p .
49
hu ( p )
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Воспользовавшись формулой обращения (7.7) найдем искомые
импульсную и переходную характеристики параллельного колебательного контура:
⎡ − α + jω 0 + 2α ( −α + jω 0 )t − α − jω 0 + 2α ( −α − jω 0 )t
+
e
e
g и (t ) = ⎢
− 2 jω 0 C
2 jω 0 C
⎣
=
e −α t
ω 0C
h (t ) =
и
⎤
⎥1(t ) =
⎦
(8.35)
(α sin ω 0t + ω 0 cosω 0t )1(t ),
−α − jω0 + 2α (−α + jω0 )t 2α ⎤
1 ⎡ −α + jω0 + 2α (−α + jω0 )t
+
+ 2 ⎥1(t ) .
e
e
⎢
− 2 jω0 (−α − jω0 )
C ⎣ 2 jω0 (−α + jω0 )
ωp ⎦
Последнее соотношение может быть преобразовано к более удобному виду:
⎛ α 2 + ω 02
⎞⎤
1 ⎡
hи (t ) = 2 ⎢2α − e −α t ⎜⎜
sin ω 0t + 2α cosω 0t ⎟⎟⎥1(t ) . (8.36)
ω p C ⎢⎣
⎝ ω0
⎠⎥⎦
Из рассмотренных выше примеров следует вывод: поиск
оригиналов по заданной изображающей функции резко усложняется, если необходимо осуществлять переход для функции, содержащей комплексно-сопряженные полюсы, наличие которых свидетельствует о колебательности в реакции системы на возбуждающий сигнал.
9. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
ДЛЯ АНАЛИЗА ПРОХОЖДЕНИЯ СИГНАЛОВ
ЧЕРЕЗ ИССЛЕДУЕМЫЙ ТРАКТ
Важное значение спектрального метода в радиоэлектронике
обусловило широкое освещение его в научной, инженерной и
учебно-методической литературе. Основополагающей в этом направлении явилась работа А.А. Харкевича [26], в которой достаточно полно изложен материал по спектральному методу и его
приложениях в радиоэлектронике.
51
9.1. Ряд Фурье
Рассмотрим периодическую функцию
f (t ) = f (t + nT ) ,
(9.1)
где T – наименьший период, n – любое целое число, включая нуль.
Ряд Фурье в тригонометрической форме для такой функции имеет
вид
∞
2πk
2πk
+ bk sin
),
(9.2)
f (t ) = c0 + ∑ ( ak cos
T
T
k =1
где среднее значение за период (постоянная составляющая) равно
c0 =
T
2
1
f (t )dt ,
T ∫T
−
(9.3)
2
коэффициенты ak и bk определяются формулами
ak =
T
2
2
2πk
tdt ,
f (t ) cos
T
T ∫T
−
bk =
T
2
2
2πk
tdt ,
f (t ) sin
T
T ∫T
−
2
(9.4)
2
Заметим, что из (9.4): ak = a − k , bk = −b− k . Формула (9.2) для ряда
Фурье путем простых преобразований может быть приведена к
виду
∞
⎛ 2πk
⎞
f (t ) = c0 + ∑ ck cos⎜
t − ϕk ⎟ ,
(9.5)
k =1
ck = ak2 + bk2 ,
откуда следует, что
ck = c − k ,
⎝ T
ϕ k = arctg
⎠
bk
,
ak
(9.6)
ϕ k = −ϕ − k .
Формулы (9.5) и (9.6) получили, полагая в (9.2)
ak = ck cos ϕ k , bk = ck sin ϕ k ,
52
(9.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ряд Фурье (9.5) можно представить в более компактной показательной форме
∞
2π ⋅k
⋅t
T
Обозначим частоту
2π
= ω1 , где ω1 – частота первой гармоT
(9.8)
нической составляющей. Её период совпадает с периодом повто2π k
рения T исходной функции. Тогда частота kω1 =
= ωk , где ω k –
которая получена применением к ряду (9.5) представления косинусоидальной функции по формуле Эйлера, согласно которой каждый член суммы расписывается в виде
частота k-й гармонической составляющей сигнала. Запись сигнала
в одной из форм ряда Фурье иногда называют спектральным
представлением сигнала.
f (t ) =
∑
Ck e
j
,
k = −∞
⎞ c
⎛ 2πk
−ϕk ⎟ = k
ck cos⎜
⎠ 2
⎝ T
= Ck e
j
⎡ j ⎛⎜ 2πk −ϕ ⎞⎟ − j ⎛⎜ 2πk −ϕ ⎞⎟ ⎤
k⎟
k ⎟⎥
⎜
⎢ ⎜⎝ T
⎠
⎠
+e ⎝ T
⎢e
⎥=
⎢⎣
⎥⎦
2πk
t
T
+ C− k e
−j
2πk
⋅t
T ,
ak
(9.9)
где Ck и C− k – комплексные амплитуды колебаний
c
Ck = k e − jϕ k ,
2
c
C− k = k e jϕ k .
2
T
bk
с0
ω
ω1
0
2ω1 3ω1
Ck = C−* k ,
(9.11)
где знак (*) означает комплексно сопряженную величину.
Из (9.7) и (9.10)
c
a
b
Ck = k (cos ϕ k − j sin ϕ k ) = k − j k .
2
2
2
Рис. 9.1
ϕk
π
ck
с0
(9.12)
0
ω1
ω1
ω1
ω1
ω
0
Подставляя в (9.12) формулы (9.4), получим выражение для комплексной амплитуды Ck , определенной через исходный сигнал:
T
−j
1 2
Ck = ∫ f (t )e
T −T
2πk
⋅t
T
ω
2ω1
ω1
0
(9.10)
Отсюда следует
3ω1
ω1
ω1
ω
−π
T
dt ,
1 2
C k = 0 = c0 = ∫ f (t )dt .
T −T
(9.13)
Рис. 9.2
Комплексные амплитуды Ck единственным образом связаны с формой сигнала f (t ) . Иными словами, каждому сигналу
присущ свой спектр, т.е. каждая функция f (t ) может быть представлена только своим рядом Фурье (теорема о единственности
представления рядом Фурье).
Спектральное представление сигнала можно наглядно показать на графиках зависимости амплитуд ak , bk и c0 (рис. 9.1) для
ряда Фурье в форме (9.2) или зависимости амплитуд ck и начальных фаз составляющих (рис. 9.2) для ряда Фурье в форме (9.5).
Такой дискретный спектр, для которого расстояние между
смежными составляющими спектра равно частоте повторения
(частоте 1-й гармоники), называется гармоническим, а его составляющие гармоническими составляющими. Амплитуды отдельных
53
54
2
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
гармонических составляющих могут быть равны нулю. Разложение в ряд возможно, если могут быть найдены амплитуды ak , bk
и c0 (формулы (9.3) и (9.4)) или комплексные амплитуды Ck
(формула (9.13)). Для этого исходная функция должна удовлетворять условиям Дирихле: функция f (t ) ограничена, кусочнонепрерывная и имеет на периоде конечное число экстремальных
значений.
Физический смысл ряда Фурье хорошо просматривается и
имеет практическое приложение. Так можно физически собрать
периодический сигнал, если суммировать отдельные компоненты
спектра, складывая, например, сигналы с генераторов синусоидальных колебаний заданных частот (частоты 1ой и более высоких
гармонических составляющих). При этом для каждой гармонической составляющей ряда Фурье в виде (9.5) необходимо выставить, чтобы «собрать» заданное колебание, определенную амплитуду – ck и начальную фазу – ϕ k , соответствующую формулам
(9.6), где ck и ϕ k находятся через ak и bk , определяющие амплитуды косинусоидальных и синусоидальных составляющих ряда
Фурье в форме (9.2).
На практике удобнее для нахождения ck и ϕ k пользоваться
значениями комплексных амплитуд Ck , определяемых интегралом (9.13). Тогда из (9.10) имеем
ck k ≠ 0 = 2 Ck , ϕ k = − arg Ck ,
где заключение комплексной величины в черточки означает, что
берется модуль её, т.е. то же, что и отсутствие точки над комплексной величиной. В данном учебном пособии применяются
оба обозначения модуля, т.е. Ck = Ck .
Системы, в которых используется сумма «гармонических»
составляющих для получения сигнала требуемой формы, созданы
на практике. Здесь имеется в виду, что для каждой «гармонической» составляющей выставляется соответствующая амплитуда
ck и начальная фаза колебания ϕ k . Однако эти составляющие
срезаны во времени вне выбранного интервала времени, охватывающего время существования заданного сигнала. В основе реали55
зации таких схем используется следующий подход. Заданный сигнал периодически продолжают с выбранным периодом повторения на всей оси времени. Для такого периодизированного гипотетического сигнала находят ck и ϕ k , тем самым определяют его
гармонические составляющие. Тогда для получения заданного сигнала составляющие его суммируются на интервале существования
сигнала. Это достигается срезанием непрерывных составляющих,
представляющих ряд Фурье, справа и слева относительно выбранного временного интервала суммирования. При таком моделировании сигнала используется замечательное свойство ряда Фурье – быстрая сходимость к исходному сигналу, что позволяет ограничиваться минимальным числом членов суммы, необходимым для
обеспечения требуемой точности описания заданного сигнала.
9.2. Интегральные преобразования Фурье
Любой реальный физический процесс ограничен во времени, т.е. когда-то начавшись, он неизбежно, когда-то закончится.
Очевидно, рассматривая реальный электрический сигнал как некоторый физический процесс, можно утверждать, что на оси времени он всегда имеет начало и конец. Это значит, что рассмотренный выше периодический сигнал, который в частотной области
представлен рядом Фурье (т.е. дискретным спектром в форме
суммы гармонических составляющих), являлся полезной абстракцией, так как, строго говоря, физически периодического сигнала,
повторяющегося с периодом T на всей оси времени вплоть до
t → ±∞ , быть не может. То же касается гармонических составляющих спектра, которые с определённой амплитудой должны
продолжаться во времени в t → ±∞ и поэтому физически реализованы быть не могут. Отметим, что сигналы, существующие на некотором ограниченном интервале времени, на котором они определены, называют финитными сигналами.
Попробуем воспользоваться рядом Фурье и для случая непериодического, одноразового сигнала. Для этого перепишем ряд
(9.8), подставив в него формулу (9.13) для Ck . Получим:
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f (t ) =
T /2
⎞
1 ⎛⎜
f (t )e − jkω1t dt ⎟ e jkω1t .
∫
⎜
⎟
k = −∞ T ⎝ −T / 2
⎠
∞
∑
(9.14)
Применим не совсем строгое, но наглядное доказательство перехода от спектра периодического к спектру непериодического сигнала. Закрепив один из периодических сигналов на оси времени,
устремим период T к бесконечности ( T → ∞ ) (рис. 9.3а, б).
f(t)
f(t)
t
Т
Т
T →∞
а
t
(9.16)
dω .
(9.17)
Подставляя (9.16) в (9.15), запишем:
1
2π
∞
∫ S (ω )e
jω t
−∞
Функция S (ω ) называется спектральной плотностью (спектральной функцией). Иногда ради сокращения формулировок её
называют просто спектром.
Интеграл (9.16) называют прямым преобразованием Фурье
(ППФ). Символически ППФ обозначим оператором F .
∫ f (t )e
− jω t
dt .
(9.18)
Спектральная плотность S (ω ) существует, если имеется абсолютная сходимость интеграла
T →∞
между составляющими спектра при T → ∞ стремится к dω , т.е. к
бесконечно малой величине. Кроме того, kω1
→ ω . Таким обT →∞
разом, kω1 принимает уже не дискретные значения частоты, кратные частоте 1-й гармоники, а все значения ω на оси частот. Получаем сплошной, а не линейчатый спектр. Далее, множитель 1 T в
(9.14) умножим и разделим на 2π . Тогда
1 2π
1
dω .
=
=
T 2πT 2π
Следовательно, при T → ∞ (9.14) можем переписать в виде
1
( f (t )e − jω t dt )e jω t dω .
2π −∫∞ −∫∞
57
dt .
−∞
Тогда из периодической последовательности остается один
2π
импульс. При этом ω1 =
→ dω . Следовательно, расстояние
∞
− jω t
−∞
S (ω ) = F { f (t )} =
Рис. 9.3
∞
∫ f (t )e
S (ω ) =
∞
б
f (t ) =
∞
f (t ) =
T → −∞
T
Выражение (9.15) называется двойным интегралом Фурье. Внутренний интеграл зависит от текущего значения частоты ω . Обозначим его комплексной функцией частоты ω :
∞
∫
f (t ) dt , т.е. если этот интеграл
−∞
имеет конечное значение.
Интеграл (9.17) называют обратным преобразованием Фурье (ОПФ). Обозначают его оператором F −1 . Тогда
f (t ) = F −1{S (ω )} =
1
2π
∞
∫ S (ω )e
jω t
dω .
(9.19)
−∞
Интегралы (9.16) и (9.17) называют интегральными преобразованиями Фурье.
(9.15)
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.3. Сопоставление комплексной амплитуды
и спектральной плотности, а также ряда и интеграла Фурье
Сравним формулы (9.13) и (9.16) для комплексной амплитуды Ck и спектральной плотности S (ω ) . Для этого снова перепишем эти формулы:
Ck =
1
T
T /2
.
∫ f (t )e
− jkω1t
∞
S (ω ) = ∫ f (t )e − jωt dt .
dt ,
−∞
−T / 2
Заметим, что Ck рассчитывается для частоты ω k = kω1 , т.е.
можем записать Ck = C (ω k ) =
1
T
T /2
∫
f (t )e
− jω k t
dt . Далее, если вычис-
T /2
ляется C (ω k ) и S (ω k ) для сигнала одной и той же формы, то значение интеграла с пределами ±∞ для S (ω k ) и с пределами ±T / 2
для C (ω k ) будет одним и тем же, поскольку подынтегральные
функции одинаковы. Значит, можем писать из сопоставления
(9.13) и (9.16):
C (ω k ) =
1
S (ω k ) ,
T
(9.20)
или, если не привязываться к конкретной частоте:
C (ω ) =
1
S (ω ) .
T
(9.21)
Спектральная плотность S (ω ) зависит только от вида функции f(t), а комплексная амплитуда C (ω ) зависит и от периода повторения. С ростом периода Т величина C (ω ) уменьшается. В таблицах обычно приводится спектральная плотность S (ω ) . Для нахождения C (ω ) следует для данного периода повторения разде-
от частоты, но не зависит от периода повторения. С точностью до
размерности можно сказать, что C (ω ) = S (ω ) при Т = 1с.
Сравним теперь размерности. Если обратиться к (9.13), то
сразу видно, что C (ω ) имеет размерность исходной функции f(t),
т.е. [ C (ω ) ]=[f(t)]. Размерность
S (ω ) , как следует из формулы
(9.16), определяется соотношением [ S (ω ) ]=[f(t)]с=[ C (ω ) ]с, т.е.
равна размерности сигнала, умноженного на время.
Сравним теперь ряд и интеграл Фурье (обратное интегральное преобразование Фурье). Для этого перепишем ряд Фурье в
форме (9.8) и обратное преобразование Фурье (9.17)
f (t ) =
∞
jω t
∑ Ck e k ,
k = −∞
f (t ) =
Из сопоставления этих соотношений видно, что в интеграле
Фурье имеем, как и в ряде Фурье, суммирование составляющих.
Но в интеграле Фурье суммируются составляющие бесконечно
малой амплитуды: dC (ω ) =
1
S (ω )dω при бесконечном их числе.
2π
Спектр для непериодического процесса – сплошной, т.е. присутствуют все составляющие; расстояние между смежными составляющими равно dω , т.е. бесконечно малой величине.
Таким образом, интеграл Фурье (как и ряд Фурье для периодической функции) формирует непериодический процесс. Но в
отличие от ряда Фурье интеграл Фурье формирует этот процесс за
счет суммирования бесконечного числа составляющих (сплошной,
а не дискретный спектр) при бесконечно малой амплитуде каждой
составляющей. При этом, если непериодическая функция будет
иметь ту же форму, что и периодическая функция, то имеем соотношение (9.21) для связи между комплексной амплитудой C (ω ) и
спектральной плотностью S (ω ) .
лить S (ω ) на величину периода Т. Удобство функции S (ω ) в отличие от функции C (ω ) состоит в том, что первая зависит только
59
1 ∞
jω t
∫ S (ω )e k dω .
2π − ∞
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим теперь интеграл
10. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА
∞
S1 (ω ) = ∫ f1 (t )e − jω t dt ,
10.1. Связь между интегральными преобразованиями
Фурье и преобразованиями Лапласа
Между интегральными преобразованиями Фурье и преобразованиями Лапласа имеется теснейшая связь. Эти преобразования
настолько близки, что иногда их обобщают как одно преобразование (например, называя оба преобразования трансформациями
Фурье). Вместе с тем наглядность спектрального метода исследования сигналов и электронных цепей, базирующегося на интегральных преобразованиях Фурье, позволяет по аналогии дать физическое наглядное толкование и внешне формальным методам
операционного исчисления, опирающегося на интегральные преобразования Лапласа. Для сопоставления общих подходов напишем вначале интегральные соотношения (2.2) и (9.16) для прямых
преобразований Фурье и Лапласа:
∞
S (ω ) = ∫ f (t )e
− jω t
dt ,
−∞
∞
S ( p ) = ∫ f (t )e
− pt
если f (t ) = 0 при t < 0 , то и f1 (t ) = 0 при t < 0 . Тогда интеграл
(10.3) перепишем в форме одностороннего ППФ:
∞
S1 (ω ) = ∫ f1 (t )e − jω t dt ,
0
и с учетом (10.1)
∞
S1 (ω ) = ∫ f (t ) e − ( c + jω )t dt .
Сравнивая (10.4) с односторонним прямым преобразованием
Фурье (ППФ) (10.2) относительно функции f (t ) , замечаем, что в
результате преобразования получаем функцию S (c + jω ) , где
S ( jω ) – спектральная плотность функции f (t ) *. Таким образом,
(10.4) можно переписать в виде
∞
S1 ( jω ) = S (c + jω ) = ∫ f (t )e − (c + jω ) dt .
0
∞
∞
−∞
0
S (ω ) = ∫ f (t )e − jω t dt = ∫ f (t )e − jω t dt .
(10.2)
(10.4)
0
dt .
Введем новую (вспомогательную) функцию
f1 (t ) = f (t )e − ct ,
(10.1)
где c – абсцисса сходимости, c ≥ 0 .
Очевидно, что с ростом t при t > 0 имеем уменьшение
функции f1(t ) по отношению к f (t ) по экспоненциальному закону. При достаточно большом c для физических задач можно
обеспечить сходимость интеграла (9.16) для вспомогательной
функции f1(t ) (рис. 10.1а и б).
Начало отсчета времени можно всегда отнести к моменту
возникновения сигнала. Тогда
(10.3)
−∞
(10.5)
0
Вводя комплексную переменную p = c + jω , последнее соотношение перепишем в форме (2.2), т.е. в форме прямого преобразования Лапласа (ППЛ)*:
∞
S ( p ) = ∫ f (t )e − pt dt = L{ f (t )} .
(10.6)
0
Значит, отличие ППФ от ППЛ состоит в том, что в последнем сходимость интеграла обеспечивается за счет введения множителя e − ct (c > 0) в исходной функции f (t ) .
Покажем связь между обратным преобразованием Фурье и
обратным преобразованием Лапласа. Для этого запишем ОПФ вида (9.17) для функции f1(t ) :
f1 (t ) =
(Здесь учтено условие f (t ) = 0 при t < 0 .)
1 ∞
jω t
∫ S ( jω )e dω .
2π − ∞ 1
(10.7)
Здесь введен аргумент спектральной плотности с множителем jω. Это непринципиально, так как в преобразовании Фурье всегда есть множитель j при ω.
*
61
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учитывая (10.1) и (10.5), перепишем (10.7) в форме
f (t )e − ct =
1 ∞
jω t
∫ S (c + jω )e dω .
2π − ∞
Умножая числитель и знаменатель выражения (10.9) на j и учитывая, что c = const, djω = d (c + jω ) , перепишем (10.9) в форме
(10.8)
f (t ) =
1 ∞
( c + jω )t
d ( c + jω ) .
∫ S ( c + jω ) e
2πj − ∞
(10.10)
Введем новую переменную интегрирования p = c + jω . Тогда для
пределов интеграла при ω = ∞ , p = c + j∞ ; ω = −∞ , p = c − j∞ и
выражение (10.10) примет вид
f (t ) =
вспомогательная функция f1 (t )
б) сигнал f (t ) в форме радиоскачка и соответствующая ему
вспомогательная функция f1 (t )
Рис. 10.1
63
множителя e − ct ).
Переходя от (10.7) к (10.9) путем умножения правой и левой
части на ect , приходим к обратному преобразованию Фурье для
исходной функции f (t ) .
При этом амплитуды отдельных составляющих под знаком
интеграла будут равны:
dC (ω ) =
Умножим правую и левую часть (10.7) на ect . Это можно сделать,
так как множитель ect не зависит от переменной интегрирования
ω . Получим
1 ∞
( c + jω ) t
dω .
∫ S ( c + jω ) e
2π − ∞
(10.11)
Формула (10.11) совпадает с выражением (2.2), определяющим обратное преобразование Лапласа. Таким образом, от ОПФ для вспомогательной функции f1(t ) переходим к ОПЛ для функции f (t ) .
Остановимся на физическом толковании связи между обратным преобразованием Фурье и обратным преобразованием Лапласа.
Для этого обратимся к (10.7). Это соотношение представляет
ОПФ для вспомогательной функции f1(t ) , обладающей повышенной сходимостью относительно исходной функции f (t ) (за счет
a) Видеосигнал f (t ) и соответствующая ему
f (t ) =
1 c + jω
pt
∫ S ( p )e dp .
2πj c − jω
1
1
S (c + jω )ect dω =
S1 (ω )ect dω .
2π
2π
(10.12)
Таким образом, если при ППФ вводили вспомогательную
функцию f1(t ) , обладающую повышенной сходимостью, то теперь при ОПФ вводим расходимость для каждой элементарной
компоненты (рис. 10.2).
(10.9)
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
S (ω ) dω
2π
1
S (ω ) e ct dω
2π
Рис. 10.2
Переход же от (10.9) к (10.11), приводящий исходное соотношение к форме ОПЛ, осуществляется уже за счет замены вещественной переменной интегрирования ω на комплексную переменную p = c + jω . Но при этом формула (10.11) (т.е. ОПЛ) оказывается более сильной для решения физических задач, чем формула (9.19), определяющая ОПФ. Преимущества ОПЛ в форме
(10.11) обеспечивается возможностью привлечения мощных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений, базирующихся на теории функций комплексного переменного. Это
позволило построить специальный математический аппарат исследования переходных процессов в линейных системах – операционное исчисление.
Из проведенного рассмотрения следует теснейшая связь между интегральными преобразованиями Фурье и интегральными
преобразованиями Лапласа, которые, вообще говоря, можно рассматривать с единых позиций как обеспечивающие построение
единого метода решения линейных дифференциальных уравнений.
65
Отличие состоит в том, что интегральные преобразования
Фурье, используемые при спектральном методе исследования
электронных цепей и сигналов, позволяют достичь весьма наглядного представления процессов прохождения сигналов через
цепи в частотной области. Использование интегральных преобразований Лапласа, позволяющих, что очень важно, получать результаты непосредственно во временной области, носит несколько
формальный характер. Показанное здесь единство обоих этих методов в определенной степени позволяет устранить формальность
подхода при использовании операционного исчисления, базирующегося на преобразованиях Лапласа. Достигаемая при этом
физичность понимания приложения операционного исчисления
позволяет избежать возможных ошибок, обусловленных внешней
формальностью его процедур. Общность спектрального метода и
операционного исчисления позволяет построить единый аппарат
исследования процессов в электронных линейных цепях, как это,
например, сделано в работе М.И. Конторовича [1].
10.2. Общность и отличия операционного исчисления
и спектрального метода исследования
линейных электрических цепей
10.2.1. Общность изображающей функции
и спектральной плотности сигнала
Сравнивая ППФ и ППЛ (формулы (9.18) и (2.1)), замечаем:
если начало отсчета времени охватывает время существования
сигнала так, что при t < 0 имеем f (t ) = 0 , то при формальной замене переменной на jω получаем из изображения сигнала спектральную плотность. Очевидно, это же правило действует и в обратном направлении. Действительно, сопоставляя
S ( p) =
∞
∫ f (t )⋅ e
− pt
dt
0
S ( jω ) =
и
∞
∫ f (t )⋅ e
0
можем сразу записать:
S ( jω ) j ω = p = S ( p ) .
66
− jω t
dt ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, по изображению функции времени путем замены
p на jω может быть найден ее спектр, и наоборот, путем замены
jω на p может быть найдено изображение функции времени.
Обратимся теперь к записи (5.4) связи между изображениями входного и выходного сигнала через передаточную функцию
системы
y ( p) = K ( p) f ( p) .
Заменяя теперь формально p на jω , получим
.
S y ( jω ) = K ( jω ) S f ( jω ) .
(10.12)
Таким образом, путем замены в изображающем уравнении (5.4) p
на jω сразу получаем связь между спектрами входного и выходного сигналов через частотную характеристику системы.
10.2.2. Некоторые ограничения перехода изображение – спектральная плотность сигнала путем подстановки p ↔ jω
При рассмотрении сигналов, описываемых разрывными (сингулярными) функциями, операция перехода изображение – спектральная плотность заменой p ↔ jω требует определенной аккуратности. Сразу отметим, что физическое формирование таких
сигналов невозможно. Спектры таких сигналов простираются до
бесконечно больших частот и для получения таких сигналов потребовалось бы иметь систему, обладающую бесконечно широкой
полосой пропускания, что физически нереализуемо. Однако применение описания математических моделей реальных сигналов
через типовые разрывные функции оказывается очень удобным и
широко используется при выполнении исследований сигналов и
цепей.
Для иллюстрации сказанного обратимся вначале к определению спектральной плотности через операцию ППФ (9.16), которое перепишем в виде
∞
S (ω ) =
∫ f (t ) e
−∞
− jωt
∞
dt =
∫ f (t )[cos ωt − j sin ωt ]dt .
−∞
67
(10.13)
Здесь и ниже берутся главные, по Коши, значения интегралов, т.е. интегралы ищутся при равном (симметричном) стремлении к верхнему и нижнему пределам.
Любая вещественная функция может быть представлена
единственным образом суммой четных и нечетных составляющих*:
f (t) = fчет(t) + fнеч(t) ,
(10.14)
(10.15)
где fчет(t) = fчет(−t) , fнеч(t) = − fнеч(t)
– условия четности и нечетности составляющих.
Четные и нечетные составляющие исходной функции определены формулами
fчет (t ) =
f (t ) + f ( −t )
,
2
f неч (t ) =
f (t ) − f ( −t )
.
2
(10.16)
Подставляя (10.14) в (10.13), получаем
∞
S (ω ) =
∫
∞
f чет (t ) cos ω t dt − j
−∞
где M (ω ) =
∫ f неч (t ) sin ω t dt = M (ω ) − jN (ω ) ,
∞
∫ f чет cos ω t dt ,
N (ω ) =
∞
∫ f неч (t ) sin ω t dt .
(10.18)
−∞
−∞
щая
(10.17)
−∞
Из формулы (10.18) следует, что вещественная составляюопределяется только четной составляющей сигнала
M (ω )
fчет (t) ; мнимая составляющая спектра N (ω ) определяется только
нечетной составляющей сигнала fнеч(t) .
Из (10.18) также следует, что
M (ω ) = M ( −ω ) ,
− N (ω ) = N ( −ω ) ,
(10.19)
т.е. для вещественной функции времени f (t ) вещественная составляющая спектра ее M (ω ) является четной функцией частоты, а мнимая составляющая спектра N (ω ) – нечетной функцией частоты.
*
Здесь имеются в виду регулярные («гладкие») функции вплоть до сингулярности первого порядка (разрыв первого рода), которая описывается функцией
скачка. Сингулярности более высокого порядка (δ(t), dδ (t ) , d 2δ (t ) и т.д.) требу-
dt
dt 2
ют специального рассмотрения, выполняемого в рамках теории обобщенных
функций (теории распределений) [30].
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из (10.17) и (10.19) сразу следует важнейшее соотношение
Переход p → jω дает спектр
.
*
.
S (ω ) =
S (ω ) = S ( −ω ) ,
(10.20)
т.е. для вещественного сигнала спектральная плотность его при
изменении знака частоты описывается комплексно-сопряженной
функцией.
Запишем спектральную плотность сигнала f (t ) в форме
S (ω ) = S (ω )e jψ s (ω ) .
Тогда из (10.17)
S (ω ) = M 2 (ω ) + N 2 (ω ) ,
ψ s = −arctg
N (ω )
.
M (ω )
(10.21)
Так как в общем случае спектральную плотность можно представить как
S (ω ) = Re{S (ω)} + j Im{S (ω )} = S (ω) cosψ s (ω ) + jS(ω ) sinψ s (ω) ,
(10.22)
то, сопоставляя (10.22) с (10.17), имеем
Re{S (ω )} = M (ω ) Im{S (ω )} = −N (ω ) .
(10.23)
Перейдем к сигналу, имеющему наложенные на регулярную
составляющую разрывы первого рода типа скачка. Тогда можно
выделить отдельно регулярную и импульсную (сингулярную) составляющие сигнала [11, c.136]. Пусть имеем скачок сигнала при
t = 0 . Аналог сигнала с таким скачком получаем применяя ППЛ по
отношению к регулярному сигналу, начало которого лежит в области t < 0 .
В этом случае за счет нулевого значения нижнего предела
интеграла в ППЛ срезается регулярная составляющая f (t) при
t < 0 , т.е. учитывается лишь значение функции f (t ) при t > 0 . Тогда f (t ) = f синг (t ) + f рег (t ) =
f (0)1(t ) + f рег (t ) . Здесь очевидно
f рег (0) = 0 , а скачок функции f (t ) при t = 0 учитывается первым
сингулярным членом суммы.
Изображением сингулярной составляющей f синг (t ) = f (0)1(t )
будет функция
f синг ( p ) =
f (0)
.
p
69
f (0)
= − jN (ω ) .
jω
(10.25)
Здесь Re{S (ω )} = M (ω ) = 0 .
Спектральная плотность S (ω ) в (10.25) содержит только
мнимую составляющую. А это, согласно (10.18), должно во временной области соответствовать сигналу, описываемому только
нечетной функцией времени.
Но, с другой стороны, сингулярный сигнал вида функции
скачка f синг (t ) = f (0)1(t ) содержит как четную, так и нечетную составляющие.
Действительно, f синг (t ) можно представить в виде суммы
[32]:
f синг (t ) =
1
f (0)[1 + sgn t ] = f (0)1(t ) ,
2
(10.26)
где sgn – сигнум-функция (функция знака):
⎧1, t > 0;
⎪
sgn t = ⎨0, t = 0;
⎪−1, t < 0.
⎩
(10.27)
Выражение (10.26) определяет сингулярный сигнал вида
функции скачка как сумму нечетной составляющей (сигнумфункции
1
f (0) sgnt ) и «вырожденной» четной составляющей («вы2
рожденной» в том смысле, что четная составляющая здесь просто
представляет постоянную составляющую, равную
1
f (0) вдоль
2
всей оси времени) (рис. 10.3.).
Спектр вида (10.25) может формироваться только нечетной
составляющей сигнала (10.26), определяемой сигнум-функцией.
(10.24)
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
I2 =
f синг (t )
f ( 0)
t
0
=
∞
∞
sin ωt
sin ξ
sin ξ
∫ ωt dωt = ∫ ξ dξ =2 ∫ ξ dξ .
0
−∞
−∞
Правый интеграл получен из предыдущего с учетом четности подынтегральной функции.
Интегральный синус определен как
t
sin ξ
Si t = ∫
dξ , Si ∞ = π / 2, ⇒ I 2 = π при t > 0 .
ξ
0
Изменение знака t меняет знак I 2 на обратный, т.е. I 2 = −π при
t < 0 . Значит, при t = 0 имеем скачок I 2 от −π до π , т.е.
I 2 = π sgn t и, следовательно,
1
f ( 0)
2
0
∞
y (t ) =
t
f (0)
f ( 0)
π sgn t =
sgn t .
2π
2
Таким образом, нечетная составляющая сингулярного сигнала,
+
определяемая функцией
S (ω ) =
f (0)
0
t
Рис. 10.3
Проверим это, выполнив ОПФ по отношению к спектральf (0)
.
ной плотности S (ω) =
jω
Пример 1. Ищем y (t ) = F −1{ f (0) / jω } .
∞
∞
∞
1
e
f (0) ⎡ cosωt
sinωt ⎤ f (0)
=
+
y(t) =
f
(
0
)
d
d
j
dω⎥ =
[I1 + I2 ] .
ω
ω
⎢
∫
∫
∫
2π −∞
jω
2π ⎣⎢−∞ jω
jω
−∞
⎦⎥ 2π
I1 =
jω t
∞
cosω t
dω = 0 в силу нечетности подынтегральной функции
jω
−∞
∫
при симметричных пределах интегрирования.
71
f (0)
sgn t , имеет спектральную плотность
2
f ( 0)
, что и требовалось доказать.
jω
Для нахождения спектра результирующего сигнала (10.26)
нужно найти спектральную плотность постоянной составляющей
его (первый член в (10.26)). Для этого предварительно получим
некоторые вспомогательные соотношения.
Определим δ -функцию через ОПФ, учитывая, что спектр ее
Sδ (ω ) = 1 :
δ (t ) =
∞
∞
1
1
Sδ (ω )e jω t dω =
e jω t d ω .
∫
2π − ∞
2π −∫∞
(10.28)
Произведем формальную замену переменных t и ω . Тогда
δ (ω ) =
∞
1
e jω t dt ,
2π −∫∞
(10.29)
или, меняя знак у переменной ω , получим
δ ( −ω ) =
∞
1
e − jω t dt .
2π −∫∞
72
(10.30)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассматривая δ (x) как четную функцию своего аргумента,
когда имеем δ (x) = δ (− x) , умножим правую и левую части в
(10.30) на постоянную величину A0 .
A0 2πδ (ω ) =
Получим
∞
∫ A0e
− jω t
dt = F { A0 } .
(10.31)
−∞
В правой части выражения (10.31) имеем ППФ относительно постоянной величины A0 , т.е. спектральную плотность постоянной величины, которая определена через δ -функцию.
Иными словами,
S A (ω ) = A0 2πδ (ω ) .
(10.32)
0
Пример 2. Для контроля полученного соотношения (10.32)
найдем исходную величину A0 , применив к (10.32) ОПФ:
1
F {S A (ω )} = A0 2π
0
2π
−1
∞
∫ δ (ω )e
jω t
dω = A0 ,
(10.33)
−∞
что и следовало ожидать.
Таким образом, спектр постоянной величины определяется
через δ -функцию в частотной области. Следовательно, из (10.32)
1
f ( 0)
2
S f 0 (ω ) = π f (0)δ (ω ) .
(10.34)
Тогда искомый спектр сингулярного сигнала (функции
скачка величиной f(0)) (формула 10.26) определяется как сумма
спектров (10.25) и (10.34):
⎡ 1
⎤
(ω ) = f (0) ⎢
+ πδ (ω )⎥ .
синг
⎣ jω
⎦
(10.35)
Следовательно, при рассмотрении сигналов, описываемых функциями с разрывами первого рода, необходимо проявлять осторожность при переходе от изображающей функции сигнала к его
спектральной плотности путем замены p на jω , так как может
быть потеряна δ -сингулярная составляющая спектра. Об этом же
говорит Ю.В. Тронин в своей статье «Утеряна δ – функция» [33].
73
∞
∫
f ( t ) dt ≠ ±∞
−∞
(иногда это условие абсолютной интегрируемости ставится, как
необходимое для выполнения ППФ [26, с. 64]). Для того чтобы
обойти эту трудность, вводят множитель сходимости e −ct , c>0.
При этом сигнал считается определенным на положительной полуоси времени. Находят спектр такой функции:
S e (ω ) =
1
.
c + jω
Затем, устремляя c к нулю, приходим к спектру вида (10.25).
При таком подходе в определении спектра сигнала, описываемого
функцией скачка, как раз и теряется δ -сингулярность спектра
(10.35). Ошибка возникает из-за того, что сколь бы малое c не было, имеем экспоненту, которая при t → ∞ стремится к нулю и,
следовательно, имеет ограниченную площадь, а значит, постоянная составляющая равна нулю, отсюда равна нулю и соответствующая ей δ -сингулярная составляющая спектра.
−ct
Иное дело, когда речь идет о ППЛ, множитель e вводится
специально для обеспечения сходимости исходной функции f (t ) .
спектр постоянной величины
Sf
Необходимым условием отсутствия δ -сингулярности в спектре сигнала является конечное значение интеграла от абсолютного
значения функции, описывающей сигнал, т.е.
Тогда в выражении для спектра Se (ω ) применяем замену переменной p = c + jω и получаем строгое изображение функции скачка S ( p) = 1 / p .
Очевидно, что и обратный переход от спектра функции
скачка к ее изображению путем замены в (10.35) jω на p не может
быть выполнен, так как член с δ -сингулярностью не позволяет
сделать соответствующую подстановку. В литературе, однако, довольно часто встречается переход с использованием множителя
сходимости [26, 32 и др.]. Тогда получаем
Sf
= lim Se (ω ) = 1 / jω .
синг
c →0
Получаем тот же результат, что и при переходе от изображения
скачка S ( p ) = 1 / p к спектру его замены p на jω .
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В большинстве практических случаев такой подход является
удовлетворительным, поскольку постоянная составляющая, наличию которой при моделировании функции скачка и обязана δ -сингулярность спектра, информации не несет, не пропускается переходными RC-цепочками между каскадами и вообще по сигнальным цепям постоянная составляющая, как правило, не рассматривается.
10.2.3. Переход от изображающего уравнения системы
к уравнению для спектров входного и выходного сигналов
Передаточная характеристика системы K ( p) определяется в
соответствии с (5.4) и (5.8) из изображающего уравнения системы
(5.2), которое получаем отображением дифференциального уравнения системы в пространство изображений (формула (5.1)). Таким образом, существует однозначная связь между передаточной
характеристикой K ( p) и дифференциальным уравнением системы
(1.7) и (1.8).
Начальные условия могут быть учтены в правой части дифференциального уравнения. При этом они входят в правую часть
как эквивалентные источники [1, с. 8–9].
При таком подходе передаточная характеристика K ( p ) определяется только левой частью дифференциального уравнения
(собственно самим дифференциальным уравнением системы
(ДУС), формула (5.8) для K1 ( p) ).
Это позволяет, рассматривая связь между спектральным методом и операционным исчислением, считать, не снижая общности рассуждений, что исследуется «пустой» четырехполюсник, т.е.
схема имеет нулевые начальные запасы энергии в накопительных
элементах (ее емкостях и индуктивностях) системы. Принятие гипотезы «пустого» четырехполюсника позволяет упростить рассуждения, такой подход имеет и большое практическое значение,
так как многие задачи радиоэлектроники предполагают нулевые
исходные состояния системы. Кроме того, спектральный метод в
обычной постановке не учитывает начальные условия (модификация спектрального метода, в котором по аналогии с ППЛ учитываются начальные условия, предпринята в [1, с. 175]).
75
Обратимся к записи связи (5.3) между изображениями входного и выходного сигнала через передаточную функцию системы
y ( p) = K ( p) f ( p) .
Заменяя формально p на jω , получим
S y ( jω ) = K ( jω ) S f ( jω ) ,
(10.36)
где S y ( jω) и S f ( jω ) – спектральные плотности выходного и
входного сигналов соответственно.
Из изложенного выше следует, что
S y ( j ω ) p = j ω = y ( p ) и S f ( j ω ) p = jω = f ( p ) .
(10.37)
Комплексная функция частоты
K ( jω ) p = j ω = K ( p )
(10.38)
называется комплексной частотной характеристикой системы
(или просто частотной характеристикой системы).
Из (10.36) следует, что
S y ( jω ) = K ( jω ) S1 ( jω ) .
(10.39)
Формулу (10.39) можем также записать в эквивалентной форме*
S y (ω) = K(ω)S f (ω) .
(10.39а)
Здесь, как уже отмечалось, отсутствие точек над функциями
также означает, что берутся модули. Из (10.15) (или из (10.39а))
следует, что модуль комплексной частотной характеристики показывает связь между амплитудами соответствующих составляющих спектра входного и выходного сигналов. Эту характеристику
(т.е. K ( jω ) ) называют амплитудно-частотной характеристикой
системы (АЧХ).
*
Чтобы подчеркнуть, что в (10.39а) определена зависимость модулей комплексных функций (КФ) от частоты, множитель j при ω опущен. Это оправдано
тем, что при нахождении модуля КФ (который сам является вещественной функцией частоты) вещественная и мнимая части КФ складываются в квадратуре. При
этом в конечных выражениях модуля вещественная и мнимая части КФ уже не
разделены (множитель j при ω отсутствует). Такой же подход имеем при нахождении аргумента комплексной функции, который ищется как арктангенс отношения мнимой к вещественной части ее.
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Представим функции, входящие в (10.36), в форме
S y ( jω) = S y (ω)e
jΦ y (ω)
, S f ( jω ) = S f (ω )e
K ( jω ) = K (ω )e
jΦ k (ω )
jΦ f ( jω )
,
Функция
Φ k (ω ) = arg K ( jω ) ,
,
(10.40)
откуда можем записать:
Φ y (ω ) = arg S y ( jω ) , Φ f (ω ) = arg S f ( jω ) , Φ k (ω ) = arg K ( jω ) . (10.41)
Очевидно, уравнение (10.36) определяет связь не только между
амплитудами входных сигналов, но и между их аргументами.
Действительно, из (10.36) следует, что
arg S ( jω ) = arg K ( jω ) + arg S f ( jω ) ,
(10.42)
в другой записи
Φ y (ω ) = Φ f (ω ) + Φ k (ω ) .
(10.42а)
Поскольку из (9.20) комплексные амплитуды спектра периодического сигнала C y (ω ) и C f (ω ) определены через спектральные
плотности как
C y ( jω k ) =
1
S y ( jω k ) ,
T
C f ( jω k ) =
1
S f ( jω k ) ,
T
(10.43)
1
S f (ωk ) .
(10.44)
T
Аргументы комплексных амплитуд, определяющие начальные фазы гармонических составляющих, связаны для разложения
в ряд Фурье входного и выходного периодических сигналов той
же зависимостью, что и связь между аргументами соответствующих спектральных плотностей (формулы (10.42) и (10.42а)):
arg C y ( jω ) = arg S y ( jω ) = Φ y (ω ) ,
C y (ω ) =
1
S y (ω ) ,
T
C f (ωk ) =
arg C f ( jω ) = arg S f ( jω ) = Φ f (ω ) .
(10.45)
Значит, Ф y (ω ) и Ф f (ω ) можно трактовать как зависимость от
частоты начальных фаз соответствующих спектральных составляющих, амплитуды которых конечны для периодического сигнала (это функции C y (ω ) и C f (ω ) )), и бесконечно малы для непериодических сигналов (это функции
77
1
1
S y (ω )dω и
S f (ω )dω .
2π
2π
(10.46)
определяющая, согласно (10.42) или (10.42а), зависимость между
начальными фазами спектральных компонент входного и выходного сигналов, называется фазочастотной характеристикой системы (ФЧХ системы).
Следовательно, комплексная частотная характеристика системы K ( jω ) сразу задает две частотные характеристики: модуль
ее K (ω ) – АЧХ системы, аргумент arg K ( jω ) – ФЧХ системы.
Значит, комплексное уравнение (10.36) определяет сразу две
связи между спектрами входного и выходного сигналов: по модулям через АЧХ и начальным фазам через ФЧХ. Это находится в
соответствии с тем, что спектр любого сигнала определяется двумя характеристиками спектральной плотности – зависимостью от
частоты модуля и аргумента ее, соответствующих амплитуде и
начальной фазе каждой спектральной компоненты.
Отметим, что здесь речь идет о математическом представлении спектра, когда формально (использованием формулы Эйлера
для представления синусоиды) вводятся наряду с положительными и отрицательные частоты (см. переход от (9.5) к (9.8)). Физического смысла отрицательные частоты не имеют, так как частота
колебания – это число периодов в секунду, которое может быть
только положительным, но это очень удобная математическая абстракция, позволяющая многие соотношения в теории спектров
представлять в комплексной форме (ср., например, формулы ряда
Фурье (9.2), (9.3) с (9.8)).
Таким образом, при физическом представлении спектра присутствуют составляющие спектра только положительных (физических) частот (формулы (9.2) и (9.3)). При эквивалентном математическом представлении присутствуют как положительные, так и
отрицательные частоты. Достоинством математического представления, помимо компактности записей, улучшающих обозреваемость получаемых результатов, является возможность представления колебаний в форме комплексных функций, а также их наглядного представления на комплексной плоскости в виде векторов (где отображаются одновременно амплитуды и фазы соответствующих синусоидальных составляющих). Амплитуды состав78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.2.4. Таблицы сопоставления спектрального метода
и операционного исчисления при интегрировании
линейных дифференциальных уравнений
ляющих физического спектра в два раза больше амплитуд математического (кроме С0 ) (формула (9.14)), т.е.
ck = 2 Ck ≡ 2 C (ω k ) ,
где комплексные амплитуды ряда C (ω k ) определяется формулами
(9.13).
Покажем аналогичные соотношения для амплитуд физического и математического спектров непериодического вещественного сигнала.
Перепишем выражение для спектральной плотности (9.18) в
виде
∞
S ( jω ) =
∫
f (t )e
− jω t
∞
dt =
∫ f (t )(cos ω t − j sin ω t )dt ,
(10.46)
−∞
−∞
откуда сразу следует важное уравнение
S ( jω ) = S * ( − jω ) ,
(10.47)
что дает соотношения для модулей и аргументов спектральной
плотности:
S (ω ) = S (−ω ) , arg S ( jω ) = − arg S (− jω ) .
(10.48)
Тогда, учитывая (10.47), напишем ОПФ (формула (9.17)) в виде
Рассмотрим некоторые таблицы, иллюстрирующие связь между спектральным методом и применением операционного исчисления при исследовании прохождения сигнала через физическую
систему.
В табл. 10.1 иллюстрируется связь между спектральными
плотностями и изображениями сигналов на входе и выходе системы, а также связь между дифференциальным уравнением системы
и передаточной (системной) и частотной характеристиками системы. В гр. 3 показаны переходы от спектров к изображениям сигналов и наоборот. Здесь же показано, что при нулевых начальных
условиях такой же переход имеем между передаточной и частотной характеристиками.
Таблица 10.1
Исходная
функция
Оператор
1
2
L
1 ∞
1 ∞⎡
jω t
jω t
− jω t ⎤
dω =
+ S (−ω )e
∫ S (ω )e
∫ ⎢ S ( jω )e
⎥⎦ dω =
2π − ∞
2π 0 ⎣
(10.49)
1 ∞⎡
jω t
− jω t ⎤
*
=
+ S ( jω ) e
∫ S ( jω )e
⎥⎦ dω .
2π 0 ⎢⎣
f (t ) =
Записав спектральную плотность в форме S (ω ) = S (ω )e
и подставляя это выражение в (10.49), получим
f (t ) =
1
π
∫ S (ω ) cos (ω t + ψ s ) dω .
0
(10.50)
p = jω
Дифференциальное
уравнение
µ
d y
dt µ
y ( p)
p = jω
F
µ
S f ( jω )
F
L
y (t )
∑ aµ
79
f ( p)
f (t )
jψ s (ω )
∞
Функция
в частотной
области
3
L
= f (t )
F
Наименование
функции
4
Изображение
Спектральная
плотность
Изображение
Спектральная
плотность
При нулевых
Передаточная
начальных услови- характеристика
ях
K ( p)
Комплексная
частотная
p = jω
характеристика
K ( jω )
S y ( jω )
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В табл. 10.2 показана последовательность действий при анализе системы спектральным методом и при применении операционного исчисления. Из сопоставления этих двух путей анализа
следует их глубокое родство.
так и дифференциальное уравнение может быть получено по этим
характеристикам [1]. При этом, как уже отмечалось, между ДУС и
ее характеристиками K ( p) и K ( jω ) существует единственная
связь.
Таблица 10.3
Таблица 10.2
Анализ
Синтез
Дано: f (t ) ; дифференциальное уравнение или структура схемы.
Требуется найти: y (t )
Спектральный метод
Операционное
исчисление
1. Ищем спектральную плотность 1. Находим изображение
S f ( jω ) = F{ f (t )}
f ( p ) = L{ f (t )}
2.
Из дифференциального
2. Из дифференциального
уравнения
или схемы ищем
уравнения или схемы находим
K ( p)
K ( jω )
3.
Определяем изображение
3. Определяем спектр
y ( p) = K ( p) f ( p)
S y ( jω ) = K ( jω ) S f ( jω )
4. Ищем отклик системы y (t )
4. Ищем отклик системы y (t )
Дано: f (t ) , y (t ) . Следует найти дифференциальное уравнение,
{
} {
{
}
y(t ) = L−1{y( p)} = L−1 K( p) f ( p)
}
y(t) = f −1 S y ( jω) = f −1 K( jω)S f ( jω)
схемы или K ( p) , или K ( jω ) . В конечном счете требуется найти схему, реализующую переход f (t ) → y (t )
Спектральный метод
Операционное исчисление
1. Ищем спектры
1. Ищем изображения
S f ( jω ),
S y ( jω )
f ( p ),
y ( p)
f ( p ) = L{ f (t )},
S f ( jω ) = F{ f (t )},
y ( p ) = L{ y (t )}
S y ( jω ) = F{ y (t )}
2. Определяем частотную
характеристику
S y ( jω )
K ( jω ) =
S f ( jω )
2. Определяем передаточную
характеристику
K ( p) =
y ( p)
f ( p)
3. По найденному K ( p)
синтезируется схема
3. По найденному K ( jω )
синтезируется система
Задача синтеза в отличие от задачи анализа неоднозначна. Один и тот же оператор может быть реализован различным
построением схем.
В табл. 10.3 для сопоставления спектрального метода и операционного исчисления дана последовательность действий при
решении задачи синтеза системы. Из этой таблицы также видно
единство этих обоих методов. Поскольку задача синтеза неоднозначна, выбор конкретного построения синтезируемого радиоэлектронного устройства определяется существующей элементной
базой и технико-технологическим заделом.
Иногда для аналитических исследований считается достаточным, если результатом синтеза является нахождение дифференциального уравнения системы, решением которого будет заданный отклик системы y (t ) на определенное возмущение f (t ) .
Как передаточная (или частотная) характеристики могут быть
найдены из дифференциального уравнения системы (табл. 10.1),
При применении операционного исчисления для интегрирования линейных дифференциальных уравнений наиболее трудоемкой операцией обычно является выполнение обратного преобразования Лапласа. Особенно возрастает трудоемкость при иссле-
81
82
11. МЕТОД, УПРОЩАЮЩИЙ ВЫПОЛНЕНИЕ
ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
11.1. Постановка задачи
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
довании прохождения радиосигналов через электронные цепи,
содержащие колебательные звенья. В этом случае изображающая
функция (ИФ) реакции системы на возбуждающий радиосигнал
содержит пары комплексно-сопряженных полюсов. Это наглядно
видно из примеров применения формулы обращения в обычном
виде (7.7), рассмотренных в гл. 8. Даже в простейшем случае, когда ИФ имеет одну пару простых (т.е. первого порядка кратности)
КСП, доведение исследований до конечного результата оказывается весьма громоздким и трудоемким.
Указанное обстоятельство привело к многочисленным поискам методов и путей, облегчающих задачу анализа переходных
процессов в радиосистемах.
В настоящее время наиболее широко применяется метод
комплексных медленно меняющихся огибающих, позволяющий
упростить исследование колебательных переходных процессов в
радиосистемах применительно к задачам радиоэлектроники, разработанный С.И. Евтяновым в его монографии [2]. Сущность этого метода состоит в замене радиосистемы соответствующим низкочастотным аналогом. При этом получаем укороченные символические уравнения, что соответствует понижению порядка дифференциального уравнения системы в два раза. Близкий к этому
путь, позволяющий упростить нахождение решения, предложен
А.Д. Артымом [8].
Однако методы нахождения переходных процессов в колебательных системах, рассмотренные в [2,8], дают приближенные решения. Эти решения асимптотически приближаются к точному тем
быстрее, чем более узкополосные сигналы и фильтры исследуются.
От этого недостатка свободен предложенный и разработанный в [5–
7, 11, 12] метод, упрощающий ОПЛ в случае наличия колебательности исследуемого переходного процесса. Сущность его сводится
к тому, что ищутся вычеты для одного из каждой пары КСП изображающей функции, т.е. вычеты определяются в одной (верхней
или нижней) полуплоскости комплексного переменного p.
Получаемый при этом комплексный сигнал (КС) позволяет
определить огибающую и фазу сигнала на выходе исследуемой
схемы, соответствующие их физическому адеквату, независимо от
степени широкополосности сигнала [20–23]. Это весьма важно
при разработке современных радиоэлектронных систем, в кото-
рых с целью увеличения скорости переработки потока информации наблюдается тенденция перехода к широкополосным и сверхширокополосным сигналам [24, 25]. Предложенный подход [5–7]
позволил получить формулы, существенно упрощающие ОПЛ при
исследовании переходных процессов в радиосистемах.
Будем рассматривать упрощение ОПЛ для случая простых полюсов изображающей функции. При наличии кратных полюсов путь остается тем же, но формулы получаются более громоздкими [5,7].
83
84
11.2. Формула, упрощающая выполнение ОПЛ
(случай простых КСП изображающей функции)*
Для получения формулы, упрощающей выполнение обращения из пространства изображений в пространство оригиналов рассмотрим дробно-рациональную изображающую функцию (ДРФ):
y ( p) =
F ( p)
.
Q( p)
(11.1)
Представим полином Q( p ) в знаменателе выражения (11.1) в виде
m2
Q( p) =
∏
( p − pν )( p − pν* ) ⋅
ν =1
r
∏( p − pν ) ,
(11.2)
ν =m+1
где m / 2 – число пар комплексно-сопряженных корней полинома
Q( p) ; r – число всех корней; r – m – число вещественных корней.
Символ (*) означает комплексно-сопряженный корень. Комплексно-сопряженные корни функции Q( p ) имеют вид
pν ⎫⎪
= β ± jων ,
*⎬
pν ⎪⎭ ν
вещественные корни pν = βν .
Запишем формулу (11.2) в виде
Q( p) = ( p − pν )W( p) = ( p − pν )(p − pν* )V( p) ,
где
[
(11.3)
]
V ( p ) = Q( p ) / ( p − pν )( p − pν* ) ,
W ( p) = Q( p) /( p − pν ) ,
т.е. функция W ( p) – это остаток от деления полинома Q( p) на
член ( p− pν ) , V ( p ) – остаток от деления Q( p) на квадратный трехчлен ( p − pν )( p − pν* ) .
*
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из (11.3)
W ( p ) = ( p − pν )V ( p) .
(11.4)
*
Обратимся теперь к формуле обращения (7.7) :
r
y (t ) =
F( p )
∑ Q′( pνν ) e pν t 1(t ) .
ν
ν =1
Продифференцируем Q( p) , тогда из (11.3) имеем для вещественных полюсов ИФ
Q′( p ) = W ( p ) + ( p − pν )W ′( p ) ,
(11.5)
для комплексно-сопряженных полюсов ИФ
Q′( p ) = ( p − pν* )V ( p ) + ( p − pν )V ( p ) + ( p − pν )( p − pν* )V ′( p ) .
(11.6)
Подставляя в (11.5) и (11.6) значения полюса pν , получим соответственно для вещественного и КСП
Q′( pν ) = W ( pν ) ,
(11.7)
Q′( pν ) = 2 jων V ( pν ) .
(11.8)
Если учесть (11.4), то (11.7) перейдёт в (11.8). Будем пользоваться
для КСП представлением Q′( pν ) в форме (11.8), а для вещественных полюсов – в форме (11.7). Тогда формулу обращения представим в виде
m/ 2
y (t ) = ∑
F( p )
ν
ν =1 Q′( p p= p )
e
ν
pν t
F ( pν* )
m/ 2
+ ∑
ν =1 Q′( p
p= p*ν
)
e
pν* t
F ( pν )
r
+ ∑
ν =m+1 Q′( p p= p )
e
pν t
. (11.9)
ν
Очевидно, вторая сумма является комплексно-сопряженной с первой суммой. Это позволяет записать
m/2
y (t ) = 2 ∑
F ( pν )
ν =1 Q′( p p = p )
ν
e
pν t
r
+ ∑
F ( pν )
ν = m +1 Q′( p p = p )
e
pν t
.
(11.10)
ν
*
Как уже отмечалось, множитель 1(t) в формуле обращения (7.7) отражает
тот факт, что при использовании операционного исчисления в обычной форме
при выполнении ППЛ отсекаются значения f (t) при t<0. Соответственно в силу
принципа каузальности (причинности) отклик y(t) также должен быть равен нулю
при t < 0. В силу очевидности данного положения множитель 1(t) в формулах
обращения в дальнейшем будем, как правило, опускать.
85
Вещественный сигнал y (t ) ищем, выполняя символические
операции взятия вещественной или мнимой частей комплексного
сигнала y (t ) , т.е.
y (t ) = Re{y (t )} = Im{ jy (t )} .
(11.11)
Подставим теперь в (11.10) значения производных Q′( p p = p )
из (11.7) и (11.8). Получимν
y (t ) =
m/2
∑
F ( pν )
ν =1 jων Vν ( pν )
p t
e ν +
F ( pν ) pν t
e
.
ν = m +1 Wν ( pν )
r
∑
(11.12)
Это и есть расчетная формула, существенно упрощающая
выполнение ОПЛ для колебательных процессов. Согласно данной
формуле для комплексно-сопряженных полюсов вычеты берутся
для одного из каждой пары КСП (только одна сумма вместо двух
в формуле (11.9)). Вычеты в вещественных полюсах берутся
обычным образом.
Поскольку при выводе формулы (11.12) пользовались представлением знаменателя Q( p) изображающей ДРФ в форме
m/2
τ
ν =1
ν = m +1
Q( p) = ∏ ( p − pν )( p − pν* ) ∏ ( p − pν ) ,
для которого коэффициент при старшем члене p r , т.е. при члене
полинома Q( p ) с высшей степенью, равен единице. Необходимо
обеспечить выполнение этого условия во избежание ошибки при
определении знаменателя Q( p ) ИФ. Это всегда можно сделать,
вынеся коэффициент при старшем члене p r в качестве сомножителя перед полиномом Q( p) . Так, если в исходном представлении
ИФ в знаменателе ее имеем ap r , где a – коэффициент при старшем члене, то, переписав ИФ в форме a −1 ⋅ F ( p ) / Q( p) , обеспечиваем коэффициент при старшем члене знаменателя Q( p) равный
единице.
Продуктивность метода, упрощающего ОПЛ для колебательных переходных процессов, который приводит к формуле обращения (11.12), лучше всего проиллюстрировать на примерах.
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.3. Примеры применения формулы обращения,
упрощающей ОПЛ
Ниже приведены примеры решения задач на нахождение
имеющего колебательный характер переходного процесса в линейных электронных цепях для тех же условий, что и в гл. 8. Но в
гл. 8 для перехода от изображающей функции к оригиналу используется формула обращения в обычном виде (7.7). Здесь же
для определения реакции заданной цепи на импульсное возбуждение применена формула обращения в виде (11.12), что позволяет значительно упростить при исследовании ППР наиболее трудоемкую часть работы – обратное преобразование Лапласа. Сопоставление хода получения решения обоими путями показывает, что
даже для рассмотренных относительно простых ИФ существенно
сокращаются трудоемкость и громоздкость преобразований при
использовании формулы (11.12) по сравнению с обычной формулой обращения (7.7) (для рассмотренных в примерах простых ИФ
аналитические решения, требующие при применении формулы
обращения (7.7) громоздких преобразований, при небольшом навыке пользования формулой перехода (11.12) могут быть получены в уме).
Пример 1. Найти напряжение на параллельном колебательном контуре при включении на него источника тока в форме радиоскачка. Cчитать начальные условия нулевыми (нулевые начальные запасы энергии в контуре).
Решение. Эта задача была решена (пример 1, гл. 8) с применением формулы обращения (7.7). Найденная в гл. 8 изображающая функция для искомой реакции контура имеет вид (формула (7.6)):
1 p sinψ + ω н cosψ
p + 2α
= 2
,
u ( p )k = A0
2
2
C
p + ωн
p + 2αp + ω р2
полюсами которой являются p1, 2 = ± jω н ,
Для перехода к оригиналу теперь воспользуемся формулой
(11.12), упрощающей ОПЛ:
u (t )вых =
m/2
∑
F ( pν )
ν =1 jων Vν ( pν )
p t
e ν +
r
∑
F ( pν )
ν = m +1Wν ( pν )
p t
e ν ,
где первая сумма находится для одного из каждой пары КСП
(возьмем полюсы в верхней полуплоскости комплексного переменного p, число их равно m/2), вторая сумма берется для каждого
из вещественных полюсов, число которых равно r–m , r – общее
число полюсов изображающей функции. Функции Vν(p) и Wν(p)
определены формулами (11.4), согласно которым равны
Vν ( p) = Q( p) /( p − pν )( p − pν* ) , Wν ( p) = Q( p) /( p − pν ) .
Искомый вещественный сигнал находим взятием вещественной
или мнимой частей соотношения (11.12) в соответствии с символической записью (11.11) этой операции:
u k (t ) = Re {u k (t )}= Im{ju k (t )}.
ИФ в данном примере имеет две пары КСП. Следовательно, в формуле перехода из пространства изображений в пространство оригиналов (11.12) имеем два члена первой суммы для полюсов p1 и p3.
Функцию F ( p ) определим, как и ранее:
F ( p) =
A0
( p sinψ + ω н cosψ )( p + 2α ) .
C
Функция V(p) зависит от того, для какого из КСП ищем член
первой суммы формулы (11.12). А именно в соответствии с формулой (11.4) функция Vν(p) находится путем отбрасывания в знаменателе дробно-рациональной ИФ одного из сомножителей в
форме квадратного трехчлена ( p − pν ) p − pν* . При этом pν и pν*
(
)
– именно та пара КСП, вычет (член суммы в (11.12)) для одного из
которых ищется. Так как из (8.4) знаменатель Q( p) изображающей функции uk (p) определяется соотношением
Q( p ) = ( p 2 + ω н2 )( p 2 + 2αp + ω 2p ) ,
p3, 4 = −α ± jω 0 .
то при нахождении функции Vν(p) для полюсов p1 и p2= p1* от-
брасываем в Q( p) сомножитель p 2 + ω н2 = ( p − jω н )( p + jω н ) , т.е. в
этом случае
87
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( )
V1 ( p1 ) = jω н + 2α jω н + ω 2р .
2
(11.13)
При нахождении функции V(p) для полюсов p3 и p4 = p3* отQ( p )
сомножитель
брасываем
в
p 2 + 2αp + ω 2р = ( p + α − jω 0 )( p + α + jω 0 ) , где величина ω0 = ω 2р − α 2 –
частота собственных колебаний параллельного колебательного
контура. Тогда
V3 ( p3 ) = (− α + jω 0 )2 + ω н2 .
(11.14)
Отсюда для ИФ (8.4) получаем в соответствии с формулой обращения (11.12) решение в форме комплексного сигнала как реакции параллельного колебательного контура на радиоскачок
uk (t ) =
F ( p1 )
ω нV1 ( p1 )
e
p1t
+
F ( p3 )
ω 0V3 ( p3 )
e
p 3t
,
(11.15)
для которого вещественный сигнал ищем согласно (11.11) как
uk (t ) = Im{uk (t )} . В развернутой форме выражение напряжения на
параллельном колебательном контуре при воздействии на него
источника тока в форме радиоскачка примет вид
⎧
A0 ⎪ ( jω н sinψ + ω н cosψ )( jω н + 2α ) jω н t
uk = ⎨
e
+
C ⎪ ω ⎧⎨ jω ) 2 + 2α jω + ω 2 ⎫⎬
н
н
н
р
⎭
⎩
⎩
+
[(−α + jω ) sinψ + ω н cosψ ](−α + jω
0
ω 0 ⎧⎨(− α + jω 0 )2 + ω н2 ⎫⎬
⎩
⎭
= uвын (t ) + uсв (t ) = U m вын e
jω н t
0
⎫
+ 2α ) ( −α + jω 0 )t ⎪
e
⎬=
⎪
⎭
+ U m св e
( −α + jω 0 )t
,
(11.16)
где uвын и uсв – вынужденная и свободная составляющие переходного процесса, представленные в комплексной форме, которые
определены соответствующими членами в фигурной скобке выражения (11.16); U m вын и U m св – комплексные амплитуды (КА) вынужденной и свободной составляющих реакции параллельного
колебательного контура на радиоскачок тока.
Выполним тривиальные преобразования в формуле (11.16).
Для этого, обращаясь к выражению (8.3), замечаем, что сомножитель первой дроби в фигурной скобке формулы (11.16)
89
z ( jω н ) =
jω н + 2α
1
,
2
С ω р − ω н + 2α jω н
(11.17)
т.е. равен значению комплексного сопротивления параллельного
колебательного контура на частоте ВЧ заполнения возбуждающего сигнала i(t) , а сомножитель A0 ( jω н sinψ + ω н cosψ )/ ω н = A0 e jψ .
Тогда, имея в виду, что в комплексной форме ток, возбуждающий
(
)
контур, может быть записан как i (t ) = A0e j ω нt +ψ 1(t ) = A01(t )e jω нt , где
КА радиоскачка тока A0 = A0e jψ , а возбуждающий вещественный
сигнал определяется операцией i(t ) = Im{i (t )}, для комплексной амплитуды вынужденной составляющей ППР можем записать
(11.18)
U m вын = A0 z ( jω н ) = U m вын exp jβ ,
( )
откуда амплитуда ВСПП – U m вын = A0 z ω н , начальная фаза
ВСПП
β = argU m вын = arg A + arg z ( jω н ) = ψ + arg z ( jω н ) .
Выражение (11.18) представляет собой закон Ома в символической форме для КА напряжения на параллельном колебательном контуре, возбуждаемого моногармоническим источником тока с частотой ωн, КА которого равна A0 = A0e jψ , где A0 – амплитуда синусоидального тока, ψ – его начальная фаза. Таким образом,
для нахождения вынужденной составляющей напряжения на параллельном колебательном контуре при его возбуждении радиоскачком тока достаточно воспользоваться законом Ома в символической форме (11.18).
Заметим, что обобщением применения закона Ома (11.18)
при нахождении ВСПП является определение вынужденной составляющей реакции цепи при совпадающих размерностях сигналов на ее входе и выходе (напряжение – напряжение или ток –
ток). В этом случае связь между комплексными амплитудами
входного сигнала и ВСПП определяется через безразмерную комплексную частотную характеристику цепи K ( jω н ) , что вытекает
из того, что K ( jω н ) может быть найдена, например, двойным приложением закона Ома в символической форме. Так, если задано
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
напряжение на входе цепи и ищем напряжение на выходе, то, чтобы найти КА вынужденной составляющей реакции схемы, вначале находим по закону Ома КА тока, протекающего через элемент
схемы, с которого снимается сигнал, а затем, воспользовавшись
законом Ома в форме (11.17), находим КА ВСПП (такая задача
возникает в часто применяемом схемном построении вида потенциометрического делителя). Примеры решения задач на нахождение ППР, когда используется безразмерная частотная характеристика K ( jω н ) , приведены ниже.
Комплексная амплитуда свободной составляющей ППР в
соответствии с (11.16) определяется соотношением
A [(− α + jω 0 )sinψ + ω н cosψ ](α + jω 0 )
U m св = 0 ⋅
= U тсв e jγ . (11.19)
2
2
ω 0C
(−α + jω 0 ) + ω н
Сопоставлял полученное здесь для реакции параллельного
колебательного контура на радиоскачок выражение (11.16) с ранее
найденной формулой (8.9), замечаем, что первый член (11.16) совпадает с удвоенным значением первого члена (8.9) (это ВСПП);
второй член (11.16) совпадает с умноженным на два значением
третьего члена (8.12) (это ССПП). Очевидно, то же касается совпадения КА свободной составляющей переходного процесса (формула (11.19)) с умноженным на два значением дроби в третьем
члене формулы (8.9).
Умножение соответствующих членов формулы (8.9) на два
связано с тем, что в (8.9) вещественный сигнал находится суммированием первого и второго, третьего и четвертого комплексносопряженных членов. В случае же пользования формулой (11.15)
вещественный сигнал находим операцией взятия вещественной
части функции u k (t ) . Получение одного и того же результата в
обоих случаях достигается удвоением величины членов в формуле
обращения (11.10) и, как результат, в (11.16) относительно величины соответствующих (первого и третьего) членов (8.9).
Указанное совпадение соответствующих членов формул
(8.9) и (11.16) показывает, что и вещественный сигнал, найденный
обоими путями, совпадает, но во втором случае (при пользовании
формулой (11.12), упрощающей переход от ИФ к оригиналу) объем преобразований существенно меньше, а результат получается
91
более наглядным. Формула перехода (11.12) дает в общем случае
комплексные члены, которые на комплексной плоскости могут
быть представлены вращающимися векторами, проекции которых
на соответствующую ось проекций дают соответствующие вещественные сигналы – свободную и вынужденную составляющие
ППР. Здесь имеем аналог векторного представления на комплексной плоскости синусоидального сигнала, широко используемого
для обеспечения наглядности и удобства расчета цепей переменного тока символическим методом (методом комплексных амплитуд). Представление ППР для напряжения на параллельном колебательном контуре при включении на контур источника тока в
форме радиоскачка может иллюстрироваться на комплексной
плоскости в виде суммы двух векторов вынужденного и свободного составляющего ППР (формула (11.16)). Если оси проекций
вращаются с угловой скоростью ωн, то вектор ВСПП на комплексной плоскости стоит неподвижно, а затухающий вектор ССПП
вращается вокруг конца вектора ССПП с угловой скоростью
Ω = ω н − ω 0 , описывая логарифмическую спираль. Эта спираль
является годографом вектора результирующего сигнала, снимаемого с параллельного колебательного контура [5,11]. Очевидно, с
ростом времени сигнал, снимаемый с контура, стремится к ВСПП.
Обращаясь к выражению (11.16), определим вещественный
сигнал, снимаемый с параллельного колебательного контура в
форме
{ }
(
)
uk (t ) = Im uk (t ) = Um вын sin ωнt + β +U m свe−α t sin(ω0 + γ ) , (11.20)
где амплитуда колебаний, Um вын и Um св и их начальные фазы β
и γ находятся из соотношений (11.18) и (11.19).
Это искомый результат. Заметим, что получение выражения
для uk (t ) в форме (11.20) из ранее найденной формулы (8.9) потребовало бы дополнительных довольно громоздких преобразований. При этом следует иметь в виду, что получение решения в виде (8.15) оказалось существенно более трудным, чем комплексного сигнала в виде (11.16). Упрощение нахождения решения в форме (11.16) достигается применением формулы (11.12) модифицированного ОПЛ, предложенной в [5–7].
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Резкое снижение трудоёмкости ОПЛ при исследовании колебательных процессов получено за счет отбрасывания квадратного трёхчлена в знаменателе изображающей функции, вычет относительно одного из корней которого ищется, а также уменьшением числа вычетов, которые ищутся в комплексно-сопряженных
полюсах изображающей функции в два раза (вычет ищется относительно одного из каждой пары комплексно-сопряженных полюсов).
Получение решения в форме комплексного сигнала обеспечивает существенные преимущества при исследовании динамических режимов работы радиоэлектронных схем [5,11,12], которые в
известном смысле аналогичны применяемому для расчетов методу
комплексных амплитуд (символический метод) в теории переменных токов. Однако метод комплексных амплитуд используется для
узкого класса стационарных режимов работы схемы.
В радиоэлектронике при исследовании динамических режимов широко применяется представление реального сигнала в форме комплексного аналитического сигнала, что также дает преимущества, соответствующие приложению комплексного сигнала при
исследовании переходных процессов. Однако аналитический сигнал даёт определённую погрешность в определении амплитуды,
фазы, частоты радиосигнала, которая приводит к парадоксальным
результатам (например, к нарушению фундаментального принципа каузальности). Как показали выполненные исследования [12,
20–23, 34], решения, получаемые в результате применения модифицированного ОПЛ [5–7], помимо существенного снижения трудоёмкости нахождения, обеспечивают определение амплитуды,
фазы, частоты радиосигнала, соответствующее их физическому
адеквату. Это очень важно, так как именно эти параметры сигнала,
как правило, несут основную информативную нагрузку [5].
В данном примере весьма подробно разобраны процедуры
применения формулы обращения (11.12), упрощающие трудоемкую операцию ОПЛ для важного в радиоэлектронике случая (наличие колебательности исследуемого ППР). Получение решения
не потребовало трудоемких операций и при небольшом навыке
могло бы быть выполнено без промежуточных записей (при данном пути нахождения результата эта задача могла бы быть решена
в уме). Кроме того, при рассмотрении данного примера значи93
тельное внимание было уделено физической интерпретации получаемых результатов, ясность понимания которых позволит избежать ошибок при исследовании ППР. Поскольку при рассмотрении других случаев исследования ППР имеем аналогичную интерпретацию решений, отпадает необходимость столь подробного
рассмотрения приводимых ниже примеров. В них показано лишь
применение формулы обращения в виде (11.12) для нахождения
переходных процессов в электронных схемах, что позволяет закрепить навыки применения модифицированного ППЛ.
Пример 2. Найти импульсную реакцию и переходную характеристику для параллельного колебательного контура.
Решение. Импульсную реакцию gu (t ) и переходную характеристику hu (t ) напряжения на параллельном колебательном контуре ищем как реакцию на включение источника тока в форме δ импульса и единичного скачка.
С применением известной формулы обращения (7.7) эта задача уже решалась в п. 8 (пример 8). Решим ее здесь, воспользовавшись формулой перехода (11.12).
Закон Ома в операторной форме для напряжения на контуре
(8.32) дает
uk ( p ) = i ( p )z( p ) ,
изображениями сигналов для нахождения импульсной реакции и
переходной характеристики будут iδ ( p ) = 1 и iск ( p ) = 1 p .
Тогда имеем формулы (пример 8, гл. 8) для ИФ импульсной
реакции и переходной характеристики (8.33):
1
p + 2α
gu ( p ) = iδ ( p )z ( p ) =
.
C p 2 + 2αp + ω 2р
Полюсами ИФ являются p1, 2 = −α ± jω0 , знаменатель
Q( p ) = ( p − p1 )( p − p1* ) = p 2 + 2αp + ω 2р , отсюда V1 ( p ) = 1 ,
F ( p) =
1
( p + 2α ) . Тогда в соответствии с формулой перехода
C
(11.12)
gu (t ) =
−α + jω 0 + 2α ( −α + jω 0 ) t
e
1(t ) ,
jω 0 C
94
(11.21)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
откуда сразу получаем
g u (t ) = Re{ g u (t )} =
e
−α t
(ω 0 cos ω 0t + α sin ω 0t ) 1(t ) .
(11.22)
ω 0C
По определению импульсной реакции изображающая функция для
нее равна системной функции K ( p) (для данного примера
K ( p) = z ( p) ). Отсюда импульсная реакция равна вычетам в свободных полюсах подынтегральной функции K(p), т.е. является
ССПП.
ИФ переходной характеристики в соответствии с (8.34) имеет три полюса: p1,2 = −α ± jω0 и p3 = 0 . Воспользуемся формулой
перехода (11.12). Для этого учтем, что
F ( p) =
1
( p + 2α ), Q(p) = p(p - pv )(p - p*v ) = p(p 2 + 2αp + ω 2p ) .
C
Тогда из (8.34) получаем выражение комплексной переходной характеристики:
hu (t ) =
1 ⎛⎜ − α + jω 0 + 2α (α + jω 0 )t 2α ⎞⎟
+ 2 1(t ) .
e
ωp ⎟
C ⎜ jω 0 (−α + jω 0 )
⎝
⎠
Выражение (11.23) преобразуем к виду
2
1 ⎛ 2α j (α + jω 0 ) ( −α + jω 0 )t ⎞⎟
hu (t ) = ⎜ 2 +
e
1(t ) .
⎟
C ⎜ ω р ω 0 (ω 02 + α 2 )
⎝
(11.23)
(11.24)
⎠
Принимая
во
внимание,
что
ω 02 + α 2 = ω 2р , (α + jω 0 ) 2 = α 2 + 2α jω 0 − ω 02 , найдем вещественную переходную характеристику
hu (t ) = Re{hu (t )} =
⎤
1 ⎡
α 2 − ω 02
2α − e −α t (2α cosω 0t +
sin ω 0t ) ⎥1(t ) , (11.25)
⎢
ω0
ω 2p C ⎢⎣
⎥⎦
которая совпадает с выражением для переходной характеристики
(8.36), найденной в гл. 8 (пример 8). Но здесь формула (11.25) получена при значительно меньшей трудоемкости преобразований.
2α
2r
2rLC
Учитывая, что 2 = 2
=
= r , соотношение (11.25)
ω p C ω pC 2 L 2 LC
⎡
⎤
α 2 − ω02 1
⎥1(t ) .
hu (t ) = ⎢ r − e −α t ( r cosω0t +
sin
ω
t
)
0
⎢⎣
⎥⎦
ω 2p ω0C
Первый член квадратной скобки здесь определяет ВСПП, второй
член – ССПП.
Пример 3. Определить импульсную и переходную характеристики тока в последовательном колебательном контуре (рис.
8.4).
Решение. Данная задача уже решалась в примере 7, гл. 8 на
основе применения формулы обращения в форме (7.7). Решим эту
же задачу, применив формулу обращения в виде (11.12), упрощающую ОПЛ. Изображение импульсной и переходной характеристик тока в последовательном колебательном контуре определяется ранее найденными формулами (8.29):
gi ( p) = p[ L( p 2 + 2αp + ω 2p )]−1, hi ( p ) = [ L( p 2 + 2αp + ω 2p )]−1 .
p
1
, Fh ( p) = , знаменатель
L
L
Qg ( p ) = Q h (p) = Q(p) = p 2 + 2αp + ω 2p , что дает полюса для обеих ИФ:
Отсюда функции Fg ( p ) =
p 1, 2 = − α ± j ω 0 ,
ω0 =
ω 2p − α 2 .
Для перехода от ИФ к оригиналу по формуле (11.12) имеем
для обеих ИФ
V ( p ) = Q(p)[(p - p1 )(p - p2 )]−1 = 1 . Тогда для комплексных импульсной и переходной характеристик получаем выражения
−α + jω 0 ( −α + jω 0 ) t
gi (t ) =
e
1(t ) ,
(11.27)
jω 0 L
hi (t ) =
1 (−α + jω 0 )t
e
1(t ) ,
jω0 L
(11.28)
из которых вещественные импульсная и переходная характеристики определяются функциями
gi (t ) = Re{gi (t )} =
1
ω0 L
e −α t (ω 0 cos ω 0t − α sin ω 0t )1(t ) ,
перепишем еще в одной форме:
95
(11.26)
96
(11.29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
hi (t ) =
1
e −α t 1(t ) sin ω 0t .
(11.30)
ω0 L
Выражения (11.29) и (11.30) совпадают с формулами (8.30)
и (8.31) для импульсной и переходной характеристик, полученных
ранее применением формулы обращения в виде (7.7), но здесь решения получены сразу; для их нахождения фактически не потребовались промежуточные преобразования.
Пример 4. Определить реакцию интегрирующей цепи на
радиоскачок uвх (t ) = A sin(ω нt +ψ ) 1(t) .
Решение. Данная задача уже решалась в примере 4, гл. 8
приложением формулы обращения (7.7). Получим решение применением формулы перехода (11.12), упрощающей ОПЛ.
Изображающая функция для реакции цепи на радиоскачок
дана соотношением:
A p sin ψ + ω н cosψ
1
,
(8.20)
uвых ( p) =
2
2
τ
p
+
1τ
p + ωн
для которой «вынужденные» полюсы p1,2 = ± jω н , «свободный»
полюс p3 = −1 τ .Числитель ИФ F ( p) =
A
τ
( p sin ψ + ω н cosψ ) , знаме-
натель Q(p) = (p 2 + ω н2 )(p + 1/τ ) . Тогда в соответствии с формулой
перехода (11.12) имеем V1 ( p ) = p + 1 / τ , W3 ( p ) = p 2 + ω н2 .
Подставляя указанные функции в формулу перехода (11.12),
получим
uвых (t ) =
− 1 / τ sinψ + ω н cosψ −1/ τ ⎤
A ⎡ jω н sinψ + ω н cosψ jω н t
+j
e
e
⎢
⎥1(t )
τ ⎢⎣ ω н ( jω н + 1 / τ )
(−1 / τ ) 2 + ω н2
⎥⎦
или после тривиальных преобразований
⎡
1
− sinψ + ω нτ cosψ −1 / τ ⎤
(ω t +ψ )
uвых (t ) = A⎢
e н
+j
e
⎥1(t ) =
1 + (ω нτ ) 2
⎣⎢1 + jω нτ
⎦⎥
⎡
− sinψ + ω нτ cosψ −1 / τ ⎤
(ω t +ψ )
e
= ⎢ AK ( jω н )e н
+ jA
⎥1(t ) =
1 + (ω нτ ) 2
⎣⎢
⎦⎥
= uвын (t ) + uсв (t ),
(11.31)
97
где ВСПП uвых (t ) определена первым членом, а ССПП – uсв (t ) –
вторым членом в квадратной скобке полученной формулы. Вещественную реакцию интегрирующей цепи на радиоскачок определяем из (11.31) в соответствии с формулой перехода (11.12) как
⎡
− sinψ + ω нτ cosψ −1 / τ ⎤
uвых (t ) = Im{uвых (t )}= A⎢ K ( jω н ) sin(ω н + β ) +
e
⎥1(t ),
1 + ω н2τ 2
⎣⎢
⎦⎥
β = ψ + arg K ( jω н ) .
(11.31а)
11.4. Обоснование метода, упрощающего обратное
преобразование Лапласа при исследовании динамических
колебательных режимов электронных схем
Операционное исчисление является основным инструментом при исследовании динамических режимов радиоэлектронных
схем.
Однако, как уже отмечалось, существенным препятствием
при практическом использовании операционного метода для исследования переходных процессов является трудоемкость выполнения ОПЛ, особенно возрастающая при рассмотрении важного
для радиоэлектроники класса колебательных процессов и систем.
Одним из важных методов, упрощающих нахождение решения в этом случае, нашедшим широкое приложение при исследовании радиоэлектронных схем, является метод медленно меняющихся амплитуд, разработанный С.И. Евтяновым [2]. Серьезным
недостатком этого метода является приближенность получаемых
решений, ограничивающих возможность применения данного метода для исследования современных РЭУ, использующих микроструктуру радиосигнала.
Заслуживает внимания графический метод, позволяющий
упростить выполнение обратного преобразования Лапласа для
изображающей функции с простыми полюсами [35]. При этом коэффициенты F ( pi ) / Q′( pi ) формулы разложения (7.7) определяются
как отношение произведения разностных векторов между i-м полюсом и нулями изображающей функции f ( p ) к произведению
разностных векторов между i-м полюсом и другими полюсами
этой функции. Здесь предварительно на комплексной плоскости
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
изображений находят положение нулей и полюсов для g ( p) , после чего производят измерение модулей и углов разностных векторов между i-м полюсом и каждым из нулей и полюсов. В случае
комплексно-сопряженных полюсов разностные вектора ищут по
отклонению к одному из них, вводя дополнительный множитель
1 / jω i .
метода исследований переходных процессов в колебательных системах*.
Изображение для f (t ) :
Графическое построение на комплексной плоскости нулей и
полюсов функции f ( p ) позволяет наглядно оценить влияние их
взаимного расположения на поведение реакции цепи. Однако графические построения и измерения требуют кропотливой работы,
но не обеспечивают достаточно высокой точности.
В ряде случаев удается несколько сократить математические
преобразования, уменьшив число искомых вычетов на один, когда
по крайней мере одна пара полюсов лежит на мнимой оси комплексной плоскости изображений. К этому случаю относится, в
частности, включение гармонического сигнала на исследуемую
цепь.
Иногда удается упростить выполнение обратного преобразования Лапласа одновременным смещением всех полюсов изображающей функции f ( p ) . Однако оба эти случая позволяют получить заметный эффект лишь для весьма ограниченного числа
представлений f ( p ) [3].
Первый случай соответствует комплексной форме представления сигнала типа радиоскачка. Рассмотрим более общий случай
включения синусоидальных сигналов с экспоненциальными модулирующими функциями.
В комплексной форме возбуждающую функцию запишем как:
αµt
f (t ) = ∑ e
µ
(
)
αµt
cos ω µ t +ψ µ = ∑ e
µ
e
j ⎛⎜ ω µ t +ψ µ ⎞⎟
⎝
[ ]
= f1 (t ) + f1* (t ) = 2 Re f1 (t ) .
⎠
+e
2
(
⎝
⎠
=
− jψ µ
⎛ jψ
1 ⎜ e µ
e
+
∑
2 µ ⎜⎜ p − pµ p − p*µ
⎝
)
⎞
⎟
⎟.
⎟
⎠
[ (
(11.33)
)
(
)]
α t j ω t +ψ
α t
f (t ) = 2 f1 (t ) = ∑ e µ e µ µ = ∑ e µ cos ω µ t + ψ µ + j sin ω µ t + ψ µ ,
µ
µ
откуда:
{ }
f (t ) = f (t ) + jf€(t ),
f (t ) = Re f (t ) ,
(11.34)
€
где f (t ) – функция, сопряженная исходному сигналу f (t ) .
Соответственно изображение для комплексной возбуждающей
функции будет
jψ
e µ
€
f ( p ) = f ( p ) + jf ( p ) = ∑
.
µ p − pµ
(11.35)
Изображение реакции системы на вещественный сигнал определяется соотношением вида
g ( p) = f ( p) K ( p) ,
(11.36)
где K ( p) – системная функция (передаточная характеристика системы).
Найдем изображение реакции g f ( p) при возбуждении системы
комплексным сигналом f (t ) :
€
g f ( p) = K ( p ) f ( p ) = K ( p ) f ( p ) + jK ( p) f ( p).
− j ⎛⎜ ω µ t +ψ µ ⎞⎟
(11.32)
Ранее на основе формальных преобразований было получено выражение (11.12), существенно упрощающее переход из пространства изображений в пространство оригиналов при исследовании колебательных процессов и систем. В данном параграфе
дается наглядное обоснование и интерпретация предложенного
99
L{ f (t )} =
Тогда, учитывая (11.36), находим
{
}
g ( p) = Re g f ( p)
(11.37)
или, принимая во внимание свойство коммутативности преобразования Лапласа и символических операций Re или Im [3], получим
*
Здесь для упрощения рассмотрены изображающие функции с простыми полюсами. Однако в проводимых рассуждениях не вводятся ограничения, связанные с кратностью полюсов. Поэтому они приложимы и для изображающей
функции с кратными полюсами [5, 7, 11].
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
{ [
]}
[
]
g (t ) = L−1 Re g f ( p ) = Re g f (t ) .
(11.38)
Введем комплексную импульсную реакцию
⎧⎪ e jψ λ ⎫⎪
K (t ) = L−1 ⎨∑
⎬.
⎪⎩ λ p − pλ ⎪⎭
Таким образом, для g f (t ) = L−1{K ( p ) f ( p )} имеем
{
}
g (t ) = Re g f (t ) .
(11.39)
(11.41)
Как следует из сравнения (11.33) и (11.35), каждой паре сопряженных полюсов в изображении вещественной возбуждающей
функции f (t ) соответствует по одному полюсу в изображении для
Тогда изображение реакции фиктивной цепи f ( p) на комплексную
комплексного сигнала f (t ) . Это позволяет при нахождении вынужденной составляющей g вын (t ) упростить выполнение обратного
преобразования Лапласа. Однако нетрудно убедиться, что определение вычетов для свободной составляющей реакции g св (t ) здесь
не будет проще, а даже может существенно усложниться, в частности, из-за нарушения сопряженности вычетов в «свободных»
полюсах функции g f (t ) . Значит, при таком подходе не обеспечи-
Принимая во внимание (11.36), запишем g ( p) = Re{g k ( p)} , и следовательно, реакция системы g (t ) на возбуждающую функцию
вается в общем случае эффективное снижение трудоемкости перехода из пространства изображений в пространство оригиналов.
Между тем для отыскания оригинала по изображающей
функции с сопряженными парами полюсов, т.е. как раз для наиболее трудоемкого случая, к которому зачастую приводит анализ
переходных процессов в радиосистемах, существует возможность
значительного упрощения математических преобразований. Для
рассмотрения этой возможности вернемся к формуле (11.36), где,
учитывая равноправность f ( p) и K ( p) , условно положим, что
импульсная реакция K (t ) является возбуждающей функцией фиктивной цепи f ( p) , и проведем рассуждения, подобные проводимым выше при комплексном представлении возбуждающей функции f (t ) .
Изображение импульсной реакции для физически реализуемых систем в случае простых полюсов имеет вид
jψ
− jψ λ
e
1 ⎛ e λ
+
L{K (t )} = ∑ ⎜
2 λ ⎜ p − pλ p − pλ*
⎝
101
⎞
⎟.
⎟
⎠
(11.40)
возбуждающую функцию K (t ) будет таким:
g k ( p) = f ( p) K ( p) .
K (t ) определится соотношением
{ [
(11.42)
]}
g (t ) = Re L−1 g k ( p) .
(11.43)
Сопоставляя переход от изображения к оригиналу по формулам
(7.7) и (11.43), заметим, что в последнем случае вместо определения вычетов в каждом из «свободных» полюсов сопряженной пары ищем вычеты в одном из полюсов этих пар. Поэтому для комплексного представления K (t ) , в противоположность ранее рассмотренному комплексному представлению возбуждающей функции f (t ) , выполнение обратного преобразования Лапласа при определении свободной составляющей реакции цепи обычно упрощается, и при этом трудоемкость математических операций при
нахождении вынужденной составляющей ее остается прежней.
Из изложенного выше, учитывая, что реакция цепи является
суммой вынужденной и свободной составляющих, т.е.
g (t ) = g вын (t ) + g св (t ) , определим вынужденную составляющую при
возбуждении системы с передаточной функцией K ( p) комплексным сигналом f (t ) , а свободную составляющую – при возбуждении фиктивной цепи f ( p) комплексным представлением импульсной реакции системы K (t ) . Тогда из (11.40) и (11.43) получим
[
]
{ [
]}
g (t ) = Re g вын f ( p) + g св k ( p ) = Re L−1 g вын f ( p ) + g св k ( p) .
(11.44)
Определение реакции цепи при сопряженных парах полюсов
в изображении реакции обеспечивает упрощение математических
преобразований при нахождении как вынужденной, так и свобод102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ной составляющих. Этот путь позволяет развить инженерную методику расчета переходных процессов в радиосистемах, обеспечивающую существенное сокращение математических операций при
выполнении обратного преобразования Лапласа. В основу данного
метода положено то, что вместо нахождения вычетов в каждом из
пары сопряженных полюсов изображающей функции ищем вычет
относительно одного из этих полюсов.
Дробь g ( p) , представленную выражением вида (11.1), можно разложить на простые дроби, каждая из которых является изображением некоторой комплексной функции. Тогда для определения импульсной реакции в комплексной форме g (t ) как суммы
вычетов, определяемых в одном из каждой пары сопряженных полюсов, можно применить теорему транспозиции в комплексной
области, выполняя смещение полюса, вычет относительно которого определяется, к началу координат. Это обеспечивает дальнейшее упрощение нахождения реакции g (t ) .
В качестве иллюстрации изложенного рассмотрим пример
определения реакции последовательного колебательного контура
на включение синусоидального гармонического сигнала (радиоскачка)
f (t ) = 1(t ) sin ω н t.
Изображение реакции для этого случая будет пропорционально функции
g ( p) =
−
ωн
p
2
+ ω н2
p
p
2
+ 2αp + ω 2p
=
1 ⎡ 1
−
⎢
2 j ⎣ p − jω н
⎤ ⎡ − α + jω 0
⎤
− α − jω 0
1
1
1
+
⎥×⎢
⎥,
− 2 jω 0 p + α + jω 0 ⎦
p + jω н ⎦ ⎣ 2 jω 0 p + α − jω 0
Полюсами функции g ( p) будут p1,2 = ± jω н и p3,4 = −α ± jω0 .
Тогда вынужденную составляющую реакции цепи ищем после
смещения полюса и изображения:
p + jω н
1
− jω н t
=
L g вын f (t )e
,
2
p j ( p + jω ) + 2α ( p + jω )+ω 2
н
н
p
{
}
[
]
откуда, учитывая, что вычет в начале координат равен второму
сомножителю, в котором следует положить p = 0, получаем вынужденную составляющую
jω н
g
(t ) =
e jω н t .
вын f
(
j ⋅ ( j ω н ) + 2α j ω н + ω 2p
2
Аналогично свободную составляющую ищем из изображения
{
L g св k (t ) e
(α − jω 0 ) t
}= 1p ( p − α + ωjω ) + ω
н
2
0
откуда
g св k (t ) =
103
− α + jω 0
jω 0
н
2
,
ωн
− α + jω 0
e(−α + jω 0 )⋅t .
jω 0 (− α + jω 0 )2 + ω н2
Окончательно реакция последовательного колебательного контура
определится в соответствии с (11.44)
g (t ) = Re{g вын f (t ) + g св k (t )}.
Решение этой же задачи по формуле разложения потребовало бы
значительно более громоздких математических преобразований.
Показанный здесь путь позволяет получить в аналитической
форме точные выражения для переходных процессов при прохождении радиосигналов через резонансные системы, что представляет особый интерес для исследования современных радиоэлектронных систем, в которых тонкая фазовая структура сигнала используется как носитель информации.
где α – коэффициент затухания контура, ω p – его резонансная
частота, ω 0 – частота собственных колебаний
)
ω 2p − α 2 .
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. КОМПЛЕКСНЫЙ СИГНАЛ И ПРОБЛЕМА
«АМПЛИТУДА, ФАЗА, ЧАСТОТА»
ДЛЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
12.1. Постановка проблемы «амплитуда, фаза, частота»
в радиоэлектронике
В радиотехнической практике для передачи информации
широко используются колебательные процессы. Рассматривая
форму колебательного процесса (например, на экране осциллографа) обычно можно мысленно представить (или нарисовать) линии, «окантовывающие» колебательный процесс с двух сторон.
Эти линии называют огибающими колебательного процесса. Достаточно вспомнить огибающие при амплитудной модуляции (АМ)
сигнала. Огибающая в этом смысле определяет закон изменения
амплитуды радиосигнала. Чтобы получить огибающую как физический сигнал, используют различные виды амплитудных детекторов, на вход которых подается колебательный процесс с переменной во времени амплитудой колебаний. Сигнал, заполняющий
интервал между окантовывающими его верхней и нижней огибающими, т. е. сам исходный колебательный процесс, называют
высокочастотным заполнением радиосигнала.
При угловой модуляции (УМ) по закону модулирующего
сигнала модулируется частота (частотная модуляция (ЧМ)) или
фаза (фазовая модуляция (ФМ)) радиосигнала. Для чисто угловой
модуляции амплитуда сигнала остается неизменной. Демодуляция
при использовании сигналов с угловой модуляцией осуществляется с помощью частотного или фазового детекторов в зависимости
от вида УМ.
Для передачи информации, в принципе, могут использоваться независимо оба вида модуляции (амплитудная и угловая).
При этом по каналам с АМ и УМ информация либо подается независимо, либо информация, поступающая па одному из каналов,
используется для уточнения информации, поступающей по другому каналу (например, в навигационной системе «Лоран-С» информация по огибающей используется для уточнения информации о
фазе сигнала) [5]. Кроме того, на практике при необходимости
обеспечения максимально возможной информационной загрузки
105
канала передачи информации используют различные системы уплотнения линии связи, требующие применения специальных схем
модуляторов и демодуляторов.
В общем случае колебательный процесс может быть представлен функцией
f (t ) = A(t ) cos Ф(t ) ,
(12.1)
где в правой части первый сомножитель A(t ) определяет огибающую сигнала f (t ) , второй – cos Ф(t ) характеризует колебательность процесса (12.1). Аргумент Ф(t ) синусоидальной функции
cos Ф(t ) определяет фазу колебаний.
Запишем аргумент в форме
Ф(t ) = ω 0t +ψ (t ) +ψ 0 .
(12.2)
Частоту колебаний ω (t ) находим как производную фазы, т.е.
dФ(t )
dψ (t )
= ω0 +
= ω 0 + Ω(t ) ,
ω (t ) =
(12.3)
dt
где Ω(t ) =
dt
dψ (t )
.
dt
Соответственно для фазы имеем обратный (интегральный) закон
связи с частотой колебаний:
t
t
0
0
Ф(t ) = ∫ ω (ξ )dξ +ψ 0 = ∫ [ω 0 + Ω(ξ )]dξ +ψ 0 =
t
= ω 0t + ∫ Ω(ξ )dξ +ψ 0 = ω 0t +ψ (t ) +ψ 0 ,
(12.4)
0
t
ψ (t ) = ∫ Ω(ξ )dξ ⇒ ψ (0) = 0 ,
(12.5)
0
В выражениях (12.2) – (12.4) ω 0 – некоторая средняя частота
колебаний. Как правило, под ω 0 понимают несущую частоту ω н
исходного немодулированного по частоте или фазе колебания. Как
следует из (12.4), (12.5), начальная фаза колебания Ф(0) = ψ 0 . Из
(12.3) и (12.5) вытекает, что наличие фазовой модуляции ψ (t ) , т.е.
отклонение изменения фазы Ф(t ) от линейного закона (см. формулу (12.2)), свидетельствует о соответствующей частотной модуляции; аналогично наличие ЧМ обусловливает одновременное при106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сутствие и ФМ. Поэтому оба эти вида модуляции относят к угловой модуляции. Определить, фазовая или частотная модуляция
имеется у сигнала с заданной угловой модуляцией, нельзя. Какой
из видов модуляции – частотная или фазовая – применен при получении сигнала с УМ, можно исходя из того, какой из информативных параметров сигнала – фаза или частота – меняется по закону модулирующей функции.
Заметим, что огибающую колебательного процесса можно
определить как видеосигнал, используемый как модулирующий
при АМ (термин видеосигнал пришел из телевизионной техники).
Очевидно, радиосигнал f (t ) представляет значительно большие
возможности для передачи сообщений, так как в радиосигнале
информативную нагрузку может нести как огибающая, так и фаза
(частота) сигнала. Очевидно, что частным случаем соответствия
между радио- и видеосигналами являются радио- и видеоимпульсы. Разница между радио- и видеоимпульсами наглядно просматривается при рассмотрении спектров сигналов: спектры видеоимпульсов прижаты к частоте ω = 0 ; спектр радиоимпульсов формируется в окрестности частоты ВЧ заполнения радиоимпульсов.
При уменьшении длительности радиоимпульса ширина его спектра возрастает. При длительности радиоимпульса τ и ≅ (2 − 5)T0 , где
T0 = 2π / ω 0 – период ВЧ заполнения радиоимпульса, ширина его
спектра оказывается сравнимой с частотой несущей ω 0 . В этом
случае имеем широкополосные и сверхширокополосные сигналы
(СШПС). При дальнейшем укорочении длительности радиоимпульса до долей периода радиоимпульса как по форме спектра, так
и по форме во временной области он переходит в категорию видеоимпульсов. Таким образом, при переходе к СШПС стирается
заметная грань между радио- и видеоимпульсами [5, 24]. Отметим
также, что в некоторых случаях сама огибающая описывается весьма сложной функцией. Соответственно и спектр ее носит сложный
характер. Для радиосигнала с такой огибающей могут слабее проявляться отличия в спектре собственно радиосигнала и в спектре
огибающей (например, если сама огибающая радиоимпульса представляет собой отрезок синусоиды).
107
Богатые возможности, появившиеся с использованием современных систем связи и навигации, привели к быстрому возрастанию числа пользователей. Это обусловило требование оптимальной загрузки выделяемых полос частот при обеспечении высокой
надёжности и качества передаваемых сообщений, т.е. к необходимости решения проблемы электромагнитной совместимости при
высокой насыщенности диапазона радиоволн. В этой связи особую значимость приобретают задачи оптимального кодирования и
обработки сигналов, правильное решение которых невозможно
без достоверного описания информативных параметров сигнала –
его огибающей и фазы (проблема «Амплитуда, фаза, частота»
(АФЧ)).
Сущность проблемы состоит в том, что для реального колебательного процесса, представленного в форме произведения
f (t ) = A(t ) cos Ф(t ) , формально можно найти бесчисленное множество комбинаций пар сомножителей A(t ) и cos Ф(t ) , удовлетворяющих одному и тому же сигналу f (t ) . Существующая неопределенность аналитического представления информативных параметров радиосигнала – его АФЧ принципиально недопустима, так
как препятствует корректному рассмотрению процессов преобразования сигналов в радиоэлектронных системах.
Неопределённость АФЧ обычно устраняется введением
комплексного сигнала
∧
f (t ) = f (t ) + j f (t ) ,
(12.6)
∧
Мнимая часть комплексного сигнала f (t ) связана некоторым преобразованием с исходным вещественным сигналом [13–20]. Модуль
∧
A(t ) =
f 2 (t ) + f 2 (t )
(12.7)
такого КС определяет огибающую, а аргумент
∧
Ф(t ) = arctg
f (t )
f (t )
– фазу исходного физического сигнала.
108
(12.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Мгновенная частота комплексного сигнала определяется из (12.8)
как
∧
∧
∧
∧
dФ(t ) f ′(t ) f (t ) − f ′(t ) f (t ) f ′(t ) f (t ) − f ′(t ) f (t )
.
=
=
ω (t ) =
∧
dt
A2 (t )
2
2
f (t ) + f (t )
(12.9)
Проблема состоит в том, что необходимо ввести такую связь меж∧
.
ду исходным f (t ) и сопряженным ему сигналом f (t ) = Im{ f (t )} ,
чтобы определяемые согласно (12.7)–(12.9) информативные параметры – амплитуда, фаза, частота – соответствовали физическому
адеквату этих параметров в исходном радиосигнале f (t ) .
12.2. Аналитический сигнал
∧
f a (t ) = f ( t ) + j f н (t )
Амплитудная модуляция не должна нарушать фазу колебательного сомножителя (принцип инвариантности фазы). Тогда в
соответствии с принципом инвариантности амплитуды и фазы КС
следует определить как
∧
.
f y (t ) = A01(t ) exp j (ω 0t +ψ 0 ) = f y (t ) + j f y (t ) ,
(12.16)
для которого, согласно (12.7) и (12.8), для огибающей и фазы имеем соотношения
A(t ) = f y (t ) = A01(t ) и
Ф(t ) = ω 0t +ψ 0 .
(12.17)
Однако найденный для f y (t ) аналитический сигнал приводит к
Доминантное место в современной радиоэлектронике завоевал комплексный аналитический сигнал, введенный Д. Габором в
1946 г. [13]. Для аналитического сигнала
.
Возьмем часто встречающийся в приложениях усеченный радиосигнал (радиоскачок)
f y (t ) = A01(t ) cos(ω 0t +ψ 0 ) .
(12.15)
другим результатам. Действительно, применив к f y (t ) ПГ, получим [36]:
∧
f а у (t ) = A0 {sin(ω 0t +ψ 0 ) +
(12.10)
∧
−
1
1
π
si (ω 0t ) sin(ω 0t +ψ 0 ) −
ci(ω 0t ) cos(ω 0t +ψ 0 )},
(12.18)
функция f н ( t ) , сопряженная исходному сигналу, определена
преобразованием Гильберта (ПГ):
∞
∧
1
f (τ )
(12.11)
f н (t ) = H { f (t )} = − v. p. ∫
dτ ,
π
τ −t
−∞
где si (ω 0t ) и ci(ω 0t ) – интегральный синус и интегральный косинус.
где H – оператор Гильберта, v.p. – символ главного, по Коши, значения интеграла. В соответствии с (12.7) и (12.8) огибающая и фаза из АС определены
торого f а у (t ) = Im{ f ay (t )} . Из (12.18) находим
Aa (t ) =
⎤
⎡∧
f (t ) + f н (t ) , Фa (t ) = arctg ⎢ f н (t ) / f (t )⎥ .
⎦
⎣
∧
2
2
(12.12)
Тогда (12.10) можно переписать в форме
Введем комплексный сопряженный сигнал
.
.
.
⎡ 1 .
⎤
f а (t ) = A0 exp j (ω 0t +ψ 0 ) ⎢1 + r sici (ω 0t )⎥1(t ) = f у (t ) N Н у (ω 0t ) , (12.19)
⎣ π
⎦
где rsici (ω 0t ) – радиус-вектор, описывающий на комплексной
плоскости sici-спираль:
.
(12.13)
При этом исходный сигнал находим, выполняя к (12.10) операцию
f (t ) = Re{ f a (t )} .
109
∧
f ay (t ) , для ко-
∧
f a (t ) = Aa (t ) exp jФa (t ) .
.
π
(12.14)
.
r sici (ω 0t ) = si(ω 0t ) + jci (ω 0t ) ,
.
N Н у (ω 0t ) = 1 +
1.
r sici (ω0t ) = N Н у (ω0t ) exp jξ (ω0t ) .
π
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Мультипликативная функция N Н у (ω 0t ) определяет ошибку
сопряженного сигнала f€Н у (t ) при представлении радиоскачка аналитическим сигналом. График поведения функции N Н у (ω 0t ) дан
на рис. 12.1.
рактер отклонения f a (t ) = Re{f a (t )} от физического исходного сигнала не зависит от близости ω 0 к нулевой частоте, т.е. не зависит
от степени широкополосности сигнала. Данный неочевидный результат, однако, легче поддается интерпретации, если учесть, что
чем более узкополосный сигнал имеем, тем большей будет разность между частотами срезаемого при АС участка забегания
спектра в область отрицательных частот и частотой ω 0 . В свою
очередь это приводит к более высоким частотам биений вектора
АС и соответственно к меньшему интервалу установления огибающей и фазы сигнала в реальном масштабе времени. Энергия
забегающей области спектра (с ростом узкополосности сигнала)
становится меньше, но и интервал времени, на котором происхо.
дит установление f а у (t ) , также, соответственно, уменьшается.
Рис. 12.1
Из рис. 12.1 наглядно следует затухающий характер колебаний сопряженной функции
∧
f а у (t ) , что приводит к соответствую-
щему затухающему колебательному характеру представления
огибающей и фазы радиоскачка через АС. Очевидно, для радиоимпульса с прямоугольной огибающей такое же представление
(след) получим и после момента выключения сигнала. Для радиоскачка при t → ∞ имеем N H у (ω0t ) → 1 , ζ (ω 0t ) → 0 . В точке ω 0t = 0
модуль функции N Н у (ω 0t ) и соответственно модуль сигнала
∧
f ay (t ) , а значит, и огибающая АС А0 (t ) обращаются в бесконеч-
ность. Отметим, что комплексная функция ошибки N Н у (ω 0t ) зависит от безразмерного времени ω 0t , т.е. не является функцией
частоты. Иными словами, текущий дефект АС определяется относительным временем t T0 , T0 = 2π ω0 , отсчитываемым от момента
включения (выключения) радиоскачка. Отсюда сразу следует: ха111
Наблюдаем явление, похожее на явление Гиббса в теории спектров [36]. Однако поведение АС описывается более сложной
функциональной зависимостью, чем в случае явления Гиббса.
Здесь спектр сигнала, затекающий из положительной области частот, отсекается на левой полуоси частот и замещается комплексносопряженным участком спектра, «забегающего» из отрицательной
области частот.
Рассмотрим АС для усеченной синусоиды (12.16) на отрицательной полуоси времени. Если учесть, что при t < 0 f y (t ) ≡ 0 и,
кроме того, ci ( − | ω0t |) = ci | ω0t | , si ( − | ω 0t |) = −π − si | ω 0t | , то из
(12.12) и (12.18) находим:
∧
f а (t ) = 0 + j f а у (t ),
∧
(12.20)
A0
[cos(ω 0t +ψ 0t )ci(| ω 0t |) − sin(ω 0t +ψ 0t ) si(| ω 0t |)]1(−t ) . (12.21)
π
Отсюда для огибающей и фазы АС при t < 0 получим, согласно
определениям (12.12):
π
Aа (t ) = f€Ну (t ) 1( −t ), Фа (t ) = sgn f€Н (t ) ,
(12.22)
f а у (t ) =
2
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
⎧1 при t < 0,
⎪
где 1( −t ) = ⎨1 2 при t = 0,
⎪0 при t > 0,
⎩
⎧1 при x > 0,
⎪
сигнум-функция (функция знака) sgn x = ⎨0 при x = 0,
⎪− 1 при x < 0.
⎩
Если и для t < 0 по-прежнему исходить из представления
∧
сопряженной, по Гильберту, функции в комплексной форме f а (t ) ,
для которой вещественная функция
∧
⎧ ∧
⎫
f а у (t ) = Im⎨ f ау (t )⎬ , то мож⎩
⎭
t <0
но записать
f ау (t ) = −
t <0
A0
π
*
exp j (ω 0t +ψ 0 )rsici
| ω 0t |= − f (t )
1 *
rsici | ω 0t |,
t <0 π
(12.23)
*
где rsici
| ω 0t |= si | ω 0t | − jci | ω 0t | .
Сопоставляя соотношение (12.23) с выражением (12.19), замечаем, что при t < 0 мультипликативная функция N Ну (ω 0t ) , ха-
рактеризующая поведение сопряженной функции f Ну (t ) , принимает вид sici спирали, т.е. N Ну (ω 0t ) =
1 *
rsici | ω 0t | . В обоих случаях,
π
t <0
как до момента включения радиоскачка, так и после него, характер поведения сопряженной по Гильберту функции f Ну (t ) , а зна-
чит, в соответствии (12.12) и модели радиоскачка через АС опре*
деляется радиусом-вектором rsici
(ω 0t ) , имеющим разрыв при t = 0
и затухающий колебательный характер при удалении от t = 0 в
обе стороны.
Таким образом, имеем парадоксальный и с физической точки зрения абсурдный результат. Огибающая и фаза, получаемые
из АС, не соответствуют исходному физическому сигналу. У исходного физического сигнала (радиоскачка) вообще отсутствуют
колебательность огибающей и фазы и разрыв огибающей в беско113
нечность при t = 0 . Более того, при определении АФЧ через АС
нарушается один из фундаментальных законов физики – принцип
причинности (каузальности), так как АС дает колебательный предвестник, предшествующий включению радиоскачка [37, 40, 41].
Аналогичный результат получаем и после выключения радиоскачка, т. е. когда рассматриваем в качестве исходного сигнала
радиоимпульс с прямоугольной огибающей вида A0 [1(t ) − 1(t − τ )] .
В этом случае АС, помимо рассмотренных ранее колебательного
предшественника и затухающих колебаний огибающей и фазы
после момента включения радиоимпульса, дает нарастающую к
моменту выключения радиоимпульса колебательность огибающей
и фазы, а также колебательный след. Таким образом, АС не позволяет получить адекватное описание огибающей и фазы радиоимпульса с прямоугольной огибающей.
Исследования АС для такого радиоимпульса, по-видимому,
впервые выполнены А.К. Смолински [37]. В его работе был получен и предвестник, и след, а заодно отмечалось нарушение каузальности АС. Д.Е. Вакман и Л.А. Вайнштейн, являясь апологетами АС, не смогли подойти критически к концепции этого сигнала.
Недостаточно требовательное отношение к результатам, полученным А.К. Смолински, привело к тому, что вместе с их заимствованием из [37] в работы [15,16] перекочевали и заблуждения.
Нарушение принципа каузальности, инвариантности огибающей и фазы, свойственные АС, явились основой для широкой дискуссии и оспаривания применимости АС [18–23, 34, 36, 38, 39 и
др.]. Мода на АС привела к тому, что в ряде серьезных работ в попытках фундаментально обосновать АС он рассматривается как
универсальный и единственно верный. Другие описания сигнала,
отличные от АС, объявляются физически несостоятельными («наивные» представления, «старая» радиотехника). Корректными, объективными в физическом смысле предлагается считать результаты, вытекающие только из приложений АС, а другие определения
параметров сигнала считать допустимым, применять лишь постольку, поскольку они согласуются с АС [14–16]. В [15, 16] авторы предполагают даже энергетическую трактовку предвестника и
следа радиоимпульса (обнаружение их с помощью специальных
схем), хотя физически отсутствуют и предвестник, и след. Суще114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ствование предвестника из принципа каузальности должно быть
исключено вообще.
Чтобы избежать ошибки, следует вместо попыток неоправданного офизичивания АС просто принять, что этот сигнал дает
один из способов математического описания колебательного процесса в комплексной форме с определенной асимптотикой, как,
собственно, оно и есть в действительности [12, 20–23, 34, 36].
«Ахиллесовой пятой» АС являются два его свойства: 1) он
не локален, в то время как реальные физические сигналы финитны
во временной области; 2) усеченность спектра АС, рассматривая
которую легче выявить природу дефекта АФЧ.
Но главная трудность – это «нехорошие» интегральные ПГ,
которые прямо берутся для ограниченного вида функций, описывающих сигналы. Подобная трудность остается и при нахождении
АС применением одностороннего обратного преобразования Фурье. Необходимо отметить также, что АС ни во временной, ни в
частотной областях не увязывается прямо с характеристиками цепи при исследовании преобразований сигнала схемой.
Таким образом, следует сделать заключение о том, что аналитический сигнал дает лишь одну из возможных моделей радиосигнала. АС действительно позволяет исключить неопределенность параметров АФЧ радиосигнала. Однако получаемые из АС
значения АФЧ сигнала могут заметно отличаться от фактических
значений этих параметров для исходного физического сигнала.
Радиоимпульс с прямоугольной огибающей весьма часто встречается в радиоэлектронных приложениях. Достаточно подробное
исследование моделирования такого радиоимпульса аналитическим сигналом выполнено в [40].
12.3. Спектр аналитического сигнала. Сопоставление
спектров аналитического и комплексного сигналов
Достаточно наглядное представление причин ошибки АС в
определении параметров АФЧ сигнала можно получить сопоставлением спектров сигнала f (t ) и соответствующих ему аналитического f а (t ) и комплексного сигналов f (t ) , когда
Re f (t ) = Re f а (t ) = f (t ) ,
115
т.е. вещественные части функций, описывающих КС и АС, одинаковы и определены исходным физическим сигналом.
Прямое преобразование Фурье сопряженной по Гильберту
∧
функции f н (t ) (формула (12.11)) дает
S f€ (ω ) = F {H [ f (t )]} = − S f (ω ) sgn ω ,
где S f (ω ) – спектр исходного сигнала. Тогда из (12.10) для спектра АС получим
S а (ω ) = S f (ω ) + jS f€ (ω ) = 2S f (ω )1(ω ) .
(12.25)
Это необходимое и достаточное условие в спектральной области,
чтобы сигнал был аналитическим. Таким образом, АС имеет
спектр, усеченный на отрицательной полуоси частот относительно
спектра исходного сигнала.
Запишем колебательный процесс в форме
f (t ) = A(t ) cos Ф(t ) =
f 2 (t ) = f1* (t ),
A(t ) jФ (t ) A(t ) − jФ (t )
+
= f1 (t ) + f 2 (t ),
e
e
2
2
f1 (t ) = m(t ) + jn(t ),
f 2 (t ) = m(t ) − jn(t ),
(12.26)
где A(t ) и Ф(t ) – функции, описывающие закон амплитудной и
фазовой модуляции сигнала, вещественный сигнал f (t ) представлен по формуле Эйлера суммой двух комплексно-сопряженных
функций.
Тогда для комплексного представления сигнала f (t )
f (t ) = 2 f1 (t ) = 2 f 2* (t ) = А(t ) exp jФ(t ) ,
(12.27)
для которого условие (12.24) перепишем как
f (t ) = Re f (t ) = 2 Re f1 (t ) = 2 Re f 2* (t ) = 2m(t ) .
(12.28)
Операция (12.28), очевидно, эквивалентна операции
f (t ) = Im jf (t ) .
(12.29)
Если колебательный сомножитель сигнала записан синусоидальной функцией, т.е.
[
f s (t ) = A(t ) sin Ф(t ) =
]
A(t ) jФ (t ) A(t ) − jФ (t )
e
+
e
= f1S (t ) + f 2 S (t ) ,
2j
−2 j
(12.30)
то, сопоставляя формулы (12.26) и (12.30), находим
(12.24)
f1S (t ) = − jf1 (t ),
f 2 S (t ) = jf 2 (t ),
116
f1S (t ) = f 2*S (t ) .
(12.31)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из соотношений (12.30) и (12.31)
[
Из соотношения (12.39)
]
f S (t ) = − j f1 (t ) − f 2 (t ) = 2n(t ) .
(12.32)
Воспользовавшись выражением (12.30), введем аналогично (12.27)
комплексный сигнал
(12.33)
f S (t ) = 2 f1S (t ) = 2 f 2*S (t ) = − jA(t ) exp jФ(t ) ,
для которого условие (12.24) согласно (12.30) приводит к выражениям
f S (t ) = Re f S (t ) = 2 Re f1S (t ) = 2 Re f 2 S (t ) ,
(12.34)
или, учитывая (12.31), получим
[
[
]
]
*
f S (t ) = 2 Re − jf1 (t ) = 2 Re jf 2 (t ) .
[
]
[
]
(12.35)
]
[
(12.37)
Обычно для КС в формуле (12.27) символические операции
(12.28) и (12.36) пишутся сразу. Здесь выполнен последовательный подход для представлений колебательного процесса в форме
(12.26) и (12.30) исходя из удовлетворения основного исходного
условия (12.24) при решении проблемы АФЧ: вещественная часть
КС (в том числе и комплексного АС) описывает заданный физический колебательный процесс f (t ) или f S (t ) .
Спектр исходного сигнала f (t ) запишем исходя из (12.26),
воспользовавшись теоремой о спектре суммы:
S f (ω ) = S1 (ω ) + S 2 (ω ),
(12.38)
где
{ }
{
}
S 2 (ω ) = F f 2 (t ) =
1
2
∞
∫ A(t )e
−∞
∞
1
2
− j[ω t −Ф (t )]
∫ A(t )e
−∞
117
dt ,
− j[ω t +Ф (t )]
dt.
∞
∫ A(t )e
j[ω t +Ф (t )]
dt.
(12.41)
−∞
Сопоставляя (12.40) и (12.41), находим
S 2 (ω ) = S1* (−ω ).
(12.42)
Более наглядно последнее соотношение может быть получено из
(12.39) и (12.40) представлением спектров S1 (ω ) и S 2 (ω ) в форме
S1 (ω ) = M 1 (ω ) − jN1 (ω ); S 2 (ω ) = M 2 (ω ) − jN 2 (ω ),
(12.43)
∞
∞
∞
∞
M1 (ω ) =
1
1
A(t ) cos[ω t − Ф(t )]dt, N1 (ω ) = ∫ A(t ) sin[ω t − Ф(t )]dt , (12.44)
2 −∫∞
2 −∞
M 2 (ω ) =
1
1
A(t ) cos[ω t + Ф(t )]dt , N 2 (ω ) = ∫ A(t ) sin[ω t + Ф(t )]dt , (12.45)
∫
2 −∞
2 −∞
откуда получаем
]
f S (t ) = 2 Re − jf 2* (t ) = 2 Im j − jf 2* (t ) = 2 Im f 2* (t ) = 2n(t ) .
S1 (ω ) = F f1 (t ) =
1
2
где
Из сопоставления эквивалентных соотношений (12.28) и
(12.29) с учетом (12.27) по аналогии можем записать:
f S (t ) = 2 Re − jf1 (t ) = 2 Im j − jf1 (t ) = 2 Im[ f1 (t )] = Im[ f (t )] , (12.36)
[
S1 (−ω ) =
(12.39)
(12.40)
M 1 ( −ω ) = M 2 (ω ), − N1 ( −ω ) = N 2 (ω ).
(12.46)
Тогда из выражений (12.46), воспользовавшись формулами
(12.43), получим (12.42).
Заметим, что для спектра f (t ) , рассматривая его как частный случай комплексно-сопряженных сигналов 2 f1 (t ) или 2 f 2 (t ) ,
когда мнимая часть их n(t ) = 0 , соотношение (12.42) для спектров
этих сигналов переходит в известное соотношение
S f (ω ) = S *f (−ω ) .
(12.47)
Это широко используемое соотношение, внешне по форме
подобное выражению (12.42), является лишь частным случаем последнего при n = 0 . Соотношение (12.42) дает связь между спектрами существенно более широкого класса комплексных функций
*
f 2 (t ) = f1 (t ) , описывающих сигнал с произвольной амплитуднофазовой модуляцией (формула (12.26)). Единственным требованием к этим функциям времени является их взаимная комплексная
сопряженность.
Представление колебательных процессов суммой комплексно-сопряженных функций в форме (12.26) с формальным введени118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ем отрицательных частот является достаточно универсальным и
его можно осуществить и для колебательных сигналов, описываемых более сложными функциями, чем рассмотренные выше. При
этом еще более важным становится решение проблемы математического определения огибающей и фазы сигнала, адекватного их
физическому содержанию.
Из формулы (12.25), учитывая формулы (12.38) и (12.42),
получаем
S a (ω ) = 2 ⋅ S f (ω ) ⋅ 1(ω ) = 2 S1 (ω ) + S 2 (ω ) ⋅ 1(ω ) =
[
= 2 S1 (ω )
+ S 2*
(− ω )]⋅1(ω ).
[
]
(12.48)
Отсюда следует, что условие усеченности спектра АС приводит к замещению отсекаемой части спектра составляющей сигнала f1(t ) , которая «затекает» из области положительных частот в
область отрицательных комплексно сопряженной с ней частью
спектра сигнала f 2 (t ) , «затекающей» из отрицательной области
частот в область положительных частот. Это вызывает ошибки в
определении огибающей ∆A(t ) и фазы ∆Ф(t ) [20, 36, 41].
Найдем ошибку в определении спектра АС относительно спектра
КС для простого примера усеченной косинусоиды-«радиоскачка»
f y (t ) = A0 ⋅1(t ) ⋅ cos(ω 0t ) .
Спектр такого сигнала
⎡
⎤
1
1
S f (ω ) = F f g (t ) = A0 / 2⎢
+
⎥=
⎣ j (ω − ω 0 ) j (ω + ω 0 ) ⎦
{
}
= S1 (ω ) + S 2 (ω ) .
(12.49)
Здесь для упрощения записи опущены сингулярные составляющие спектра вида A0πδ (ω ∓ ω 0 ) , обусловленные стационарной
составляющей сигнала A0 / 2 ⋅ cos(ω 0t ) , для которой АС и КС дают
один и тот же спектр A0 2π (ω − ω0 ) , не влияющий на сопоставление
спектров этих сигналов, проводимое ниже. При строгом рассмотрении спектра радиоскачок должен быть представлен в виде
(10.2.2).
Спектр непрерывной составляющей сигнала часто опускают
[33]. Во многих случаях при рассмотрении сигналов это не отражается на конечном результате. Спектр АС в соответствии с соотношениями (12.25), (12.48) и (12.49) запишем в виде
S a (ω ) = 2S1 (ω )1(ω ) + 2S 2 (ω )1(ω ) =
⎡
⎤
1
1
= A0 ⎢
1(ω ) +
1(ω )⎥ .
j (ω + ω 0 )
⎣ j (ω − ω 0 )
⎦
(12.50)
Комплексный сигнал для радиоскачка, согласно выражениям (12.26) и (12.27), запишем в форме
f y (t ) = 2 f y1 (t ) = A01(t ) exp jω 0t ,
(12.51).
соответственно спектр КС –
S y (ω ) = F {f y (t )}= 2 F {f y1 (t )}= 2S1 (ω ) .
(12.52).
Тогда зависимость разности спектров АС и КС от частоты определяется соотношением
∆S (ω ) = S a (ω ) − S y (ω ) = A0
1
.
j (ω + ω 0 )
(12.53)
Таким образом, если исходить из сопоставления спектрального представления АС и КС, принимая КС за основу, видим: чем
меньше ω 0 (т. е. чем более широкополосный сигнал), тем меньше
точность определения параметров АФЧ колебательного процесса
на основе использования АС. Иными словами, АС может рассматриваться лишь как одна из асимптотических моделей представления реального физического колебательного процесса, обеспечивающих однозначное определение важных информационных параметров радиосигнала – амплитуды, фазы, частоты. Корректность
определения этих параметров зависит от степени взаимного заползания спектров сигналов f1(t ) и f 2 (t ) в смежные области, т.е. от
степени широкополосности исходного физического сигнала f (t ) ,
при этом f (t ) = f1 (t ) + f 2 (t ) . Здесь в качестве примера найдена ошиб-
A
A
f (t ) = A01(t )cos(ω 0t ) = 0 ⋅ (sgn t ) ⋅ cos(ω 0t ) + 0 cos(ω 0t ) .
2
2
ка ∆S (ω ) для спектра радиоскачка. Однако полученные выводы
относятся к любым колебательным процессам, так как, в принципе, взаимное «заползание» спектров комплексно-сопряженных составляющих этих процессов в смежные области существует для
119
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
любых радиосигналов. Чем более широкополосный процесс рассматривается, тем более существенной ошибки следует ожидать
при определении АФЧ радиосигнала через АС.
12.4. Новый подход в решении проблемы
«Амплитуда, фаза, частота»
Комплексный сигнал, применение которого позволяет снять
проблему АФЧ, базируется на эффективном для использования
колебательных процессов методе обратного преобразования Лапласа. Этот метод обоснован в работах [5–7, 12]. Применительно к
дробно-рациональной изображающей функции с простыми (некратными) полюсами он был рассмотрен в разделе 11.
В основе предлагаемой модели КС лежат следующие важные положения [22, 34]:
1) единственность соответствия изображающей функции
(ИФ) (спектра) своему радиосигналу, что и позволяет обеспечить
единственность определения его АФЧ;
2) удовлетворение закону причинности (каузальности), являющемуся фундаментальным законом физики;
3) форма огибающей не должна влиять на фазу колебаний,
если огибающая, по крайней мере, может быть описана суперпозицией функций вида As (t − τ s ) µ s eα s ( t −τ s ) 1(t − τ s ) , где s – номер члена
суммы составляющих сигнала; τs ≥ 0; µs – целое положительное
число, включая нуль; αs – любое вещественное число; As = const;
4) спектр вещественной огибающей А(t) исходного физического сигнала и при транспозиции спектра вверх или вниз по частоте должен сохранять свою комплексно-сопряженную симметрию относительно частоты смещения. Это исключает усечение
спектра сигнала, а тем более замещение отсеченной части спектра,
сопряженной ей, что, однако, имеем в спектре АС;
5) обеспечивается локальное определение АФЧ радиосигналов, что на практике отвечает показаниям соответствующих измерителей.
Положение 1-е удовлетворяет важному и основному требованию однозначного определения АФЧ колебательного процесса,
которые соответствуют физическому адеквату этих информатив121
ных параметров сигнала, единственным образом определяемых из
решения дифференциального уравнения системы. Действительно,
из математики известно, что если pi , pi∗ – пара i-ых комплексносопряженных корней любой кратности характеристического многочлена ДУС, то решение строится для одного из этих двух корней. При этом в решении коэффициенты при нахождении огибающей будут комплексными (что определит начальную фазу колебаний). Тогда, принимая оператор Re или Im к данному решению, полученному в комплексной форме, находим действительные вектор-решения, соответствующие данной паре комплексносопряженных корней характеристического уравнения. Отметим,
что ИФ, единственность соответствия которой своему сигналу
обеспечивает однозначное физическое определение АФЧ, относится либо к заданному колебательному процессу, либо к решению ДУС, получаемому в пространстве изображений.
Итак, отпадает необходимость поиска и обоснования какихлибо искусственных построений сопряженной функции f€(t ) , т.е.
нахождения иной модели КС вместо предлагаемой в [5–7, 12], вытекающей естественным образом из точного решения линейного
ДУС. Очевидно, решение ДУС не зависит от степени широкополосности радиосигнала. Следовательно, при таком подходе устраняется асимптотика, свойственная другим моделям КС, в том числе и для АС, которая приводит к дефекту определения АФЧ колебаний.
Положение 2-е в силу фундаментальности закона каузальности не может являться предметом дискуссии. Отметим лишь, что
решение ДУС всегда удовлетворяет свойству каузальности.
Третье положение соответствует характеристическому свойству инвариантности огибающей относительно фазы радиосигнала
(например, фаза усеченной синусоиды не должна зависеть от момента усечения; АС даёт другой результат). В этом смысле можно
говорить об огибающей семейства кривых (синусоид) при произвольной начальной фазе.
Четвертое положение следует из теоремы о транспозиции
спектра, согласно которой для функции f(t)=F(t)exp(jωot) спектр ее
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S f (ω ) = S А (ω − ω 0 ) , где ωo <> 0. Для АС смещение спектра может
производиться только в область положительных частот, т.е. ω>0.
Положение 5-е следует из того, что реальные сигналы финитны во времени, и поэтому определение АФЧ радиосигнала
должно обеспечиваться на локальном интервале времени. Локальность определения АФЧ обеспечивается решением ДУС.
Аналитический сигнал, строго говоря, не удовлетворяет ни
одному из этих положений.
При исследовании и разработке систем важно получить не
только верное описание АФЧ входного сигнала, но и верное решение дифференциального уравнения системы, что обеспечивает
оптимизацию динамического режима работы ее.
Рассмотрим предложеные в [5–7, 12] подход и метод, позволяющие решить данную проблему для общего случая радиоимпульсных сигналов произвольной формы, которые в аналитической записи часто можно представить линейной комбинацией секулярных функций. Отдельный секулярный сигнал запишем в
форме f s (t ) = As t µ s eα s t cos(ω s t + ψ s )1(t ) , µs – целое неотрицательное,
αs, ωs, ψs – любые величины, в том числе и нуль. Для секулярных
функций время входит вне знака косинусоидальной функции.
Важно, что колебательные решения линейных ДУС получаем также в форме секулярных функций. Здесь в соответствии с концепцией, принятой для КС (фаза сигнала не зависит от огибающей),
множитель Fs (t ) = As t µ s eα s t 1(t ) определяет огибающую, функция
ψs(t)= ωst + ψs – фазу сигнала. ИФ для данного сигнала
f s ( p ) = L{ f (t )} = As
⎤
e jψ s
e − jψ s
+
⎥,
⎢
µ
+
1
µ
+
1
*
2 ⎢⎣ ( p − ps ) s
( p − ps ) s ⎥⎦
µs! ⎡
где ps , p*s = αs ± jωs. В этом случае имеем кратные полюса ИФ.
При µs=0 переходим к ИФ с простыми полюсами. Спектр исходного сигнала получим заменой в ИФ p на jω. Тогда
e jψ s
e − jψ s
⎤
S f (ω ) = F { f (t )} = As
+
⎥.
⎢
2 ⎣⎢ [ j (ω − ω s ) − α s ]µ s +1 [ j (ω + ω s ) − α s ]µ s +1 ⎦⎥
µs! ⎡
123
Очевидно, что для секулярного сигнала имеем единственную ИФ данного вида и, соответственно, единственный математический спектр, состоящий из двух областей для положительных и
отрицательный частот. При ψs(t)=0 имеем fs(t)=Fs(t). В этом случае у ИФ один вещественный полюс ps=αs, и приведенные формулы для изображения и спектра сигнала вырождаются к виду
−m −1
f s ( p ) = As µ s !( p − ps ) − µ s −1 , S f (ω) = As ms!( − as + jω) s . Изображающая
функция и спектр КС могут быть получены из ИФ и спектра огибающей использованием теоремы смещения в пространстве изображений (теорема о транспозиции спектра). При этом в пространстве оригиналов огибающую F(t) умножаем на функцию exp[j(ωst
+ ψs)]. ИФ и спектр КС получаются также и из ИФ (спектра) исходного вещественного секулярного сигнала. Они имеют вид
f s ( p ) = L{ f s (t )} = As µ s !( p − ps ) − µ s −1 exp jψ s ,
S f (ω ) = As µ s ![−α s + j(ω − ω s )]− µ s −1 exp jψ s .
Отсюда строим КС в форме f s (t ) = As t µ s eα s t 1(t )exp j (ω s t + ψ s ) .
Оба сомножителя КС exp(jψs(t)) и Fs(t) инвариантны. Каждый из
параметров сигнала имеет ясную физическую трактовку: смещение полюса вдоль мнимой оси определяется частотой колебаний ωs, кратность полюса и смещение αs вдоль вещественной оси
– формой огибающей, множитель exp(jψs) – начальной фазой колебаний. При µs = 1 и αs = 0 приходим к радиоскачку. Здесь отсутствуют парадоксальные эффекты, связанные с асимптотикой АС.
Единственность соответствия ИФ данному колебательному сигналу исключает произвол в выборе огибающей и фазы, обеспечивая
адекватность физическому содержанию их.
Изображением секулярного вещественного сигнала является
дробно-рациональная функция, которую представим в форме
g(p)=
F(p)
=
Q(p) q/ 2
F(p)
[ )( )]
∏(
i=1
ni
p-pi p-p*i
∏ ( p-pi )
r
,
(12.54)
ni
i=q+1
где q/2 – число пар комплексно-сопряжённых полюсов (КСП), r–q
– число вещественных полюсов, r – общее число полюсов, ni –
кратность i-го полюса.
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда КС в пространстве оригиналов находим по формуле:
g (t ) = 2
q / 2 ni −1
r
ni −1
∑ ∑ Cist n − s −1e p t + ∑ ∑ Cist n − s −1e p t ,
i
i =1 s = 0
i
i
(12.55)
i
i = q +1 s = 0
где g (t ) = Re{g (t )} .
Здесь в первой двойной сумме (ДВС) внешнее суммирование осуществляется по одному из каждой пары КСП (для определённости берём полюса в верхней полуплоскости комплексного
переменного). Вторая ДВС соответствует r–q вещественным полюсам. Для вещественных коэффициентов Cis второй ДВС имеем
формулу Cis = [ s! ( ni − s − 1)! ]−1 D sp {( p − pi ) ni g ( p )} p = pi , Dp – символ
дифференцирования по p. Для первой ДВС формулу для комплексных коэффициентов Cis представим в виде
⎛ n + h − 1⎞
⎟⎟
(−1) h ⎜⎜ i
h
⎡ F ( p) ⎤
1
⎝
⎠
, (12.56)
Cis =
D s −h
ni + h p ⎢ V ( p ) ⎥
−
−
−
(
n
1
s
)!
(
s
h
)!
ω
(
2
j
)
⎣
⎦
i
p
=
p
i
h =0
s
∑
i
⎛ ni + h − 1⎞
⎜⎜
⎟⎟
h
⎝
⎠
–
биномиальные
коэффициенты,
V ( p) = Q( p)[(p − pi )( p − pi*)]−ni . Для часто встречающегося случая по-
люсов первой кратности (ni=1) формула обращения (12.55) переходит в простое соотношение (11.12), позволяющее выполнить
ОПЛ для колебательных процессов непосредственно зачастую без
громоздких преобразований.
В формуле (12.55) первая двойная сумма определяет колебательный процесс через КС. Это обеспечивает однозначное определение АФЧ колебательного процесса. Упрощение ОПЛ достигается прежде всего на основе того, что вместо нахождения вычетов
в каждом из пары КСП изображающей функции ищем вычет относительного одного из них. В пространстве оригиналов это соответствует замене каждой i-й действительной функции её комплексным представлением. Кроме того, к упрощению при переходе к оригиналу приводит отбрасывание в знаменателе ИФ квадратного трехчлена, обуславливающего наличие тех КСП её, вычет
относительно одного из которых ищется.
125
Таким образом, проблема корректного определения АФЧ
через КС увязывается с существенно упрощающим методом исследования динамики радиоэлектронных систем, которые работают с колебательными сигналами. Проблема АФЧ решается без
искусственного построения КС. Он определяется однозначно из
ИФ сигнала, которая, в частности, при исследовании систем является отображением ДУС в пространство изображений. Предложенный подход в решении проблемы АФЧ обеспечивает жесткую
привязку этих параметров к форме колебательного процесса.
12.5. Представление АС через КС для случая
произвольной амплитудно-фазовой модуляции
В известной литературе проводится сопоставление аналитического и комплексного сигналов для относительно простых видов амплитудной модуляции (функция скачка, прямоугольный
импульс). Однако на практике построения современных РЭУ могут иметь место сложные виды модуляции радиосигналов, когда
одновременно имеем как амплитудную, так и фазовую модуляцию. Исходя из материалов п. 2.3. можно наметить новый путь
задачи сопоставления комплексного и аналитического сигналов,
охватывающий и такой, на первый взгляд сложный случай сигналов с произвольной амплитудно-фазовой модуляцией. Для решения этой задачи вернемся к соотношениям (12.26) и (12.42), определяющих сигналы с амплитудно-фазовой модуляцией и связь
между спектрами комплексно-сопряженных составляющих их:
f (t ) = A(t ) cos Ф(t ) = f1 (t ) + f 2 (t ) ,
f1 (t ) = A(t ) exp jФ(t ), f 2 (t ) = f1* (t ) ,
и если
то имеем
{ }
S1 (ω ) = F f1 (t ) ,
{
S 2 (ω ) = S1* (−ω ) .
При этом
S f (ω ) = S1 (ω ) + S 2 (ω ) ,
126
}
S 2 (ω ) = F f 2 (t ) ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда для АС можно записать
f a (t ) =
1
∞
S f (ω )e
π∫
jω t
dω =
0
1
+
π
∞
∫ S2 (ω )e
jω t
1
∞
S1 (ω )e
π∫
Если учесть (12.42), то последнее соотношение может быть преобразовано к виду
jω t
dω +
∆f a (t ) = −
0
dω
(12.57)
0
Выражение (12.57) перепишем в форме
f a (t ) =
+
1
∞
1
0
jω t
jω t
∫ S1 (ω )e dω − π ∫ S1 (ω )e dω +
π −∞
−∞
1∞
2
π
0
j
∫ S1(ω ) sin[ωt + ψ1(ω )]dω .
−∞
Таким образом получено выражение для дефекта АС в случае произвольной амплитудно-фазовой модуляции сигнала. Как и
следовало ожидать, в определении мнимой составляющей АС
имеет место погрешность, поскольку вещественная составляющая
АС задана исходным вещественным сигналом.
(12.58)
jω t
∫ S 2 (ω )e dω .
π0
Но 1-й интеграл в (12.58) дает КС
f k (t ) =
1
π
∞
∫ S1(ω )e
jω t
dω ,
(12.59)
−∞
который однозначно определяется приложением формулы обращения (12.57 и 11.12) и позволяет определить параметры АФЧ радиосигнала, соответствующие их физическому адеквату. Таким
образом
f a (t ) = f k (t ) + ∆f a (t ) .
(12.60)
Дефект аналитического сигнала определяется в выражении
(12.60) через ∆f a (t ) . Этот член может быть найден путем тривиальных преобразований последних двух интегралов в соотношении (12.58). Тогда имеем
∆f a (t ) =
2
π
2j
π
∞
∫
0
S 2 (ω )e jω t − S 2* (ω )e − jω t
dω =
2j
∞
j S 2 (ω ) sin[ωt + ψ 2 (ω )]dω ,
∫
(12.61)
0
где ψ 2 (ω ) = arg S 2 (ω ) .
127
(12.62)
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заключение
Список принятых сокращений
Изложен и обоснован метод исследования динамических режимов колебательных цепей, существенно упрощающий обратное
преобразование Лапласа. Этот метод позволяет получить решения
дифференциального уравнения цепи без упрощающих допущений.
Это особенно важно при исследовании и разработке современных
РЭУ, использующих тонкую фазовую структуру радиосигнала.
Особенностью данного метода является получение решения в форме комплексного сигнала, однозначно определяющего информативные параметры – амплитуду, фазу, частоту сигнала. В этом
смысле такой комплексный сигнал конкурирует с нашедшим широкое распространение при исследовании цепей аналитическим
сигналом. Рассмотрена и дана физическая интерпретация погрешности определения АФЧ через АС, включая особый случай произвольной амплитудно-фазовой модуляции сигнала.
АМ – амплитудная модуляция
АС – аналитический сигнал
АФЧ – амплитуда, фаза, частота
АЧХ – амплитудно-частотная характеристика
ВСПП – вынужденная составляющая переходного процесса
ДВС – двойная сумма
ДРФ – дробно-рациональная функция
ДУ – дифференциальное уравнение
КА – комплексная амплитуда
ИФ – изображающая функция
КС – комплексный сигнал
КСП – комплексно-сопряженные полюсы
ММО – медленно меняющаяся огибающая
ОПЛ – обратное преобразование Лапласа
ОПФ – обратное преобразование Фурье
ПГ – преобразование Гимберга
ППЛ – прямое преобразование Лапласа
ППР – переходные процессы
ППФ – прямое преобразование Фурье
РЭУ – радиоэлектронные устройства
ССПП – свободная составляющая переходного процесса
УМ – угловая модуляция
ФЧХ – фазочастотная характеристика
129
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
1. Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в
электрических цепях: Учеб. пособие для вузов. 4-е изд., перераб. и
доп. М.: Сов. радио, 1975. 320 с.
2. Евтянов С.И. Переходные процессы в приемно-усилительных схемах. М.: Связьиздат, 1948. 210 с.
3. Гарднер М.Ф., Бэрнс Дж.Л. Переходные процессы в линейных схемах с сосредоточенными постоянными / Пер. с англ.;
Под ред. Г.И. Атабекова и Я.З. Ципкина: 2-е изд. М.: Физматгиз,
1961. 551 с.
4. Гоноровский И.С. Радиосигналы и переходные явления в
радиоцепях. М.: Связьиздат, 1954. 326 с.
5. Золотарев И.Д. Нестационарные процессы в резонансных
усилителях фазово-импульсных измерительных систем / Отв. ред.
К.Б. Карандеев. Новосибирск: Наука СО АН СССР, 1969. 176 с.
6. Золотарев И.Д. О некоторых формулах, упрощающих выполнение обратного преобразования Лапласа // Изв. СО АН СССР.
Сер. техн. наук. 1964. Вып. 3. № 10. С. 166–168.
7. Золотарев И.Д. О возможности упрощения выполнения обратного преобразования Лапласа (случай кратных полюсов) // Изв.
СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1964. Вып. 2. № 10. С. 162–166.
8. Артым А.Д. Электрические корректирующие цепи и усилители. Теория и проектирование. М.; Л.: Энергия, 1965. 419 с.
9. Боголюбов Н.И., Митропольский Ю.Л. Асимптотические
методы в теории нелинейных колебаний: 2-е изд., исправ. и доп.
М.: Физматгиз, 1958. 408 с.
10. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории
нестационарных колебаний. М.: Наука, 1964. 432 с.
11. Золотарев И.Д. Переходные процессы в избирательных
усилителях на транзисторах. М.: Связь, 1976. 160 с.
12. Золотарев И.Д. Методы исследования переходных процессов в фазово-импульсных системах. Омск: Изд-во ОмПИ, 1983.
150 с.
13. Gabor D. Theory of Communicatuion. J. of IEE. 1946. V. 93.
No. 26. P. 429–457.
14. Вакман Д.Е. «Старая» радиотехника и аналитический сигнал // Радиотехника. 1977. Т. 32. № 5. С. 20–26.
131
15. Вакман Д.Е., Вайнштейн Л.А. Амплитуда, фаза, частота –
основные понятия теории колебаний // УФН. 1977. Т. 123. Вып. 4.
С. 657–682.
16. Вайнштейн Л.А., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории
колебаний и волн. М.: Наука, 1983. 288 с.
17. Тихонов В.И. Один способ определения огибающей квазигар-монических флюктуаций // Радиотехника и электроника. 1957.
Т. 2. С. 502–505.
18. Варакин Л.Е., Гусель А.С. Сравнение аналитического и экспоненциального сигналов // Радиотехника. 1975. Т. 30. № 1. С. 17–20.
19. Финк Л.М. Сигналы, помехи, ошибки... Заметки о некоторых неожиданностях, парадоксах и заблуждениях в теории связи.
2-е изд., перераб. и доп. М.: Радио и связь, 1984. 256 с.
20. Комплексный сигнал и переходные процессы в линейных
колебательных системах: Метод. указ. к курс. и дипломн. проектир.
для спец. 0636 / Сост. И.Д. Золотарев. Омск: ОмПИ, 1983. 35 с.
21. Золотарев И.Д. Новый подход в решении проблемы «Амплитуда, фаза, частота» // Тр. II междунар. науч.-техн. конф. «Актуальные проблемы электронного приборостроения». Новосибирск,
1994. Т. 3. С. 17–19.
22. Zolotarev I.D. The new Approach in Determination of the
problem «Amplitude, Phase, Frequency» in the Theory of Sygnals anf
Systems // Abstracts of the XXV General Assembly URSI. France,
Lille. 1996. P. 148.
23. Zolotarev I.D. Solution of the «Amplitude, Phase, Frequency»
Problem in Electronics // Proceedings of International Symposium
«Acoustoelectronics, Frequency Control and Signal generation». Moscow, 1996. P. 277–281.
24. Хармут Х.Ф. Несинусоидальные волны в радиолокации и
связи: Пер. с англ. / Под ред. А.П. Мальцева. М.: Радио и связь,
1985. 376 с.
25. Астанин Л.Ю., Костылев А.А. Сверхширокополосные радиолокационные измерители: Учеб. пособие. М.: 1983. 221 с.
26. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М.: Физматгиз, 1962.
236 с.
27. Гуткин Л.С. Оптимизация радиоэлектронных устройств.
М.: Сов. радио, 1975. 368 с.
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28. Золотарев И.Д. Динамический синтез фазовых пеленгаторов в условиях повышенной скрытности источника сигналов //
Синтез, передача и прием сигналов управления и связи. Воронеж,
1996. С. 97–104.
29. Деч. Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразования: Пер. с нем. М.: Наука,
1971. 288 с.
30. Розенфельд А.С., Яхинсон Б.И. Переходные процессы и
обобщенные функции. М.: Наука, 1966. 440 с.
31. Деруссо П., Рой., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления (для инженеров): Пер. с англ. / Под ред. М.В. Меерова. М.: Наука, 1970. 620 с.
32. Алексеева В.Г. Расчет форм сигналов. М.: Энергия, 1968.
296 с.
33. Тронин Ю.В. Утеряна δ-функция! // Радиотехника и электроника. 1986. Т. 31. Вып. 2–6. С. 408–411.
34. Zolotarev I.D. Solution of the problem «Amplitude, Phase,
Frequency» in Electronics with the use of Laplase Transform // Proceeding of the Progress in Electromagnetics Research Sysposium.
PIRS-97. Cambridge, Massachusetts, USA, 1997. P. 282.
35. Лэнди Р., Дэвидс Д., Альбрехт А. Справочник радиоинженера. М.: Госэнергоиздат, 1961. 704 с.
36. Золотарев И.Д. О погрешности определения огибающей и
фазы Гильбертовым сигналом // Электрические и магнитные измерительные устройства: Межвуз. сб. ОмПИ. Омск, 1984. С. 117–122.
37. Smolinski A.K. On the Hilbert Envelope of a Hijh Frequency
Pulse // Bull. Acad. Pol. Sciences Techniques. 1971. V. 19. № 6.
Р. 473–484.
38. Zolotarev I.D. Analytical Signal for Time Truncated Functions // Proc. Of III International Conf. On Electronic Circuits. Praga,
1979. P. 216–317.
39. Вербин Ю.П. Об оценке и скорости распространения сигналов // Радиотехника и электроника. 1995. Т. 40. № 8. С. 1169–1176.
40. Золотарев И.Д. Моделирование аналитическим сигналом
радиоимпульса с прямоугольной огибающей // Омск. науч. вестн.
1997. Вып. 1. С. 52–55.
41. Золотарев И.Д. Проблема «Амплитуда, Фаза, Частота» и
ее решение в радиотехнике // Техника радиосвязи. 1997. Вып. 3.
С. 3–10.
ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................... 3
1. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ..................................................................... 7
1.1. Функция времени (сигнал) ................................................................. 7
1.2. Постановка задачи при исследовании линейных систем................ 8
2. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ............................................................................................... 11
2.1. Исходные положения ........................................................................ 11
2.2. Прямое преобразование Лапласа ..................................................... 12
2.3. Обратное преобразование Лапласа .................................................. 13
2.4. Изображения основных сингулярных функций.............................. 13
2.4.1. Изображение δ -функции ........................................................... 13
2.4.2. Изображение единичного скачка .............................................. 15
3. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ....... 15
3.1. Теорема запаздывания....................................................................... 16
3.2. Теорема смещения в пространстве изображений (теорема
транспозиции) ........................................................................................... 16
3.3. Теоремы, вытекающие из линейных свойств преобразования
Лапласа ...................................................................................................... 17
3.4. Теорема об изображении производной функции времени ............ 18
3.5. Теорема об изображении интеграла функции вещественной
переменной................................................................................................ 21
4. ИЗОБРАЖЕНИЯ СИГНАЛОВ ТИПОВЫХ ФОРМ .............................. 22
4.1. Изображение экспоненциального импульса ................................... 22
4.2. Изображение функции включения синусоидального сигнала ...... 22
4.3. Изображение колебательного процесса с экспоненциальной
огибающей ................................................................................................ 24
4.4. Изображение сигнала, определяемого секулярной функцией....... 24
5. ИЗОБРАЖАЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ........................................................ 28
6. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ................................ 31
6.1. Импульсная реакция системы .......................................................... 31
6.2. Переходная характеристика системы .............................................. 33
7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ....... 34
7.1. Применение операционного исчисления для интегрирования
линейных дифференциальных уравнений ............................................... 34
7.2. Формула обращения для изображения, определяемого ДРФ........ 35
133
134
ОГЛАВЛЕНИЕ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
ПО ФОРМУЛЕ ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ДРФ С ПРОСТЫМИ
ПОЛЮСАМИ ...............................................................................................36
9. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
ДЛЯ АНАЛИЗА ПРОХОЖДЕНИЯ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ
ИССЛЕДУЕМЫЙ ТРАКТ ............................................................................51
9.1. Ряд Фурье ............................................................................................52
9.2. Интегральные преобразования Фурье ..............................................56
9.3. Сопоставление комплексной амплитуды и спектральной
плотности, а также ряда и интеграла Фурье ...........................................59
10. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА .......61
10.1. Связь между интегральными преобразованиями Фурье
и преобразованиями Лапласа ...................................................................61
10.2. Общность и отличия операционного исчисления
и спектрального метода исследования линейных электрических
цепей...........................................................................................................66
10.2.1. Общность изображающей функции и спектральной
плотности сигнала .................................................................................66
10.2.2. Некоторые ограничения перехода изображение –
спектральная плотность сигнала путем подстановки p ↔ jω .........67
10.2.3. Переход от изображающего уравнения системы
к уравнению для спектров входного и выходного сигналов .............75
10.2.4. Таблицы сопоставления спектрального метода
и операционного исчисления при интегрировании линейных
дифференциальных уравнений ............................................................80
11. МЕТОД, УПРОЩАЮЩИЙ ВЫПОЛНЕНИЕ ОБРАТНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА................................................................82
11.1. Постановка задачи............................................................................82
11.2. Формула, упрощающая выполнение ОПЛ (случай простых
КСП изображающей функции) ................................................................84
11.3. Примеры применения формулы обращения,
упрощающей ОПЛ ....................................................................................87
11.4. Обоснование метода, упрощающего обратное преобразование
Лапласа при исследовании динамических колебательных режимов
электронных схем......................................................................................98
12. КОМПЛЕКСНЫЙ СИГНАЛ И ПРОБЛЕМА «АМПЛИТУДА,
ФАЗА, ЧАСТОТА» ДЛЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ ...............105
12.1. Постановка проблемы «амплитуда, фаза, частота»
в радиоэлектронике .................................................................................105
12.2. Аналитический сигнал ...................................................................109
12.3. Спектр аналитического сигнала. Сопоставление спектров
аналитического и комплексного сигналов ........................................... 115
12.4. Новый подход в решении проблемы «Амплитуда, фаза,
частота» ................................................................................................... 121
12.5. Представление АС через КС для случая произвольной
амплитудно-фазовой модуляции............................................................... 126
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .......................................................................................... 129
СПИСОК ПРИНЯТЫХ СОКРАЩЕНИЙ................................................. 130
ЛИТЕРАТУРА ............................................................................................ 131
135
136
* * *
Учебно-теоретическое издание
Илья Давыдович Золотарев
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, УПРОЩАЮЩЕГО
ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДИНАМИКИ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
Учебное пособие
Технический редактор Н.В. Москвичёва
Редактор Л.М. Кицина
Подписано в печать 20.07.04. Формат бумаги 60х84 1/16.
Печ. л. 8,5. Усл.-печ. л. 7,9. Уч.-изд. л. 7,75. Тираж 150 экз. Заказ 396.
Издательско-полиграфический отдел ОмГУ
644077, г. Омск-77, пр. Мира, 55а, госуниверситет
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа