close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1798. Рабочая программа курса «Высшая математика», контрольные задания и методические указания по их выполнению

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рязанская Государственная Сельскохозяйственная
Академия имени проф. П.А. Костычева
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Рабочая программа курса «Высшая математика»,
контрольные задания и методические указания по их выполнению
для студентов-заочников специальности
«электрификация и автоматизация с/х»
сельскохозяйственных высших учебных заведений.
Рязань 2004
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517(076)
Утверждено методической комиссией инженерного факультета Рязанской
Государственной Сельскохозяйственной Академии
Протокол №
от
2004г.
Автор: к.ф.-м.н., доцент Троицкий Е.И.
Высшая математика: контрольные задания и методические указания для
студентов-заочников электротехнических специальностей сельскохозяйственного ВУЗа. Авт. Е.И. Троицкий. Рязань, 2004.
Рецензенты: И.И. Гришин, д.т.н., профессор,
зав. кафедрой электрификации и автоматизации с/х;
А.Ф. Владимиров, к.ф.-м.н., доцент, доцент
кафедры В/математики
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Общие методические указания.
Пособие рассчитано на студентов любой формы обучения. При этом считается, что наиболее эффективным способом изучения курса высшей математики
является самостоятельная работа студента: чтение учебников, решение задач,
выполнение контрольных заданий.
Если в процессе изучения материала или при решении задач у студента
возникнут трудности, то он может обратиться за консультацией к преподавателю кафедры высшей математики.
С целью упорядочения изучения курса и для систематической и своевременной проверки (и самопроверки) качества усвоения материала студент обязан выполнить 4 контрольные работы. При традиционном для сельскохозяйственных вузов плане изучения курса высшей математики контрольные работы
№1 и №2 соответствуют программе 1 курса, контрольные работы №3 и №4 соответствуют программе 2 курса.
Выполненные контрольные работы присылаются (или доставляются лично) на кафедру высшей математики. После рецензирования студент может забрать свои работы для изучения замечаний и подготовки к экзамену.
Перед решением каждой задачи следует записать её условие.
Решение задач следует излагать достаточно подробно, делая соответствующие ссылки на теорию с указанием необходимых теорем и формул.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Номера задач для контрольных работ
Работа №1
Работа №2
1,11,21,31,41,51,61,71
81,91,101,111,121,131,141,151,
161,171,181,191,201,211
2,12,22,32,42,52,62,72
82,92,102,112,122,132,142,152,
162,172,182,192,202,212
3,13,23,43,53,63,73
83,93,103,113,123,133,143,153,
163,173,183,193,203,213
4,14,24,34,44,54,64,74
84,94,104,114,124,134,144,154,
164,174,184,194,204,214
5,15,25,35,45,55,65,75
85,95,105,115,125,135,145,155,
165,175,185,195,205,215
6,16,26,36,46,56,66,76
86,96,106,116,126,136,146,156,
166,176,186,196,206,216
7,17,27,37,47,57,67,77
87,97,107,117,127,137,147,157,
167,177,187,197,207,217
8,18,28,38,48,58,68,78
88,98,108,118,128,138,148,158,
168,178,188,198,208,218
9,19,29,39,49,59,69,79
89,99,109,119,129,139,149,159,
169,179,189,199,209,219
10,20,30,40,50,60,70,80
120,130,140,150,160,170,180,190,
200,210,220
Работа №3
Задачи курсовой работы
221,231,241,251,261,281,291,301,311, 331,341, 351,361,371,381,391,401
321
222,232,242,252,262,282,292,302,312, 332,342,352,362,372,382,392,402
322
223,233,243,253,263,283,293,303,313, 333,343,353,363,373,383,393,403
323
224,234,244,254,264,284,294,304,314, 334,344,354,364,374,384,394,404
324
225,235,245,255,265,285,295,305,315, 335,345,355,365,375,385,395,405
325
226,236,246,256,266,286,296,306,316, 336,346,356,366,376,386,396,406
326
227,237,247,257,267,287,297,307,317, 337,347,357,367,377,387,397,407
327
228,238,248,258,268,288,298,308,318, 338,348,358,368,378,388,398,408
328
229,239,249,259,269,289,299,309,319, 339,349,359,369,379,389,399,409
329
230,240,250,260,270,290,300,310,
340,350,360,370,380,390,400,410
320,330
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рабочая программа курса высшей математики.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями Государственного образовательного Стандарта (ГОС) и на основании действующих типовых программ, утвержденных министерством образования Российской Федерации 7 июля 2000г.
Рабочая программа разбита на темы, которые в свою очередь разбиты на
отдельные вопросы. Эти вопросы являются теоретическим вопросами экзаменационных билетов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Содержание программы.
Тема №1. Определители.
Определение определителя произвольного прядка. Миноры, алгебраические дополнения.
Свойства определителей, их применение к практическому вычислению определителей.
Тема №2. Линейная и векторная алгебра.
Определение вектора, длина вектора, нуль-вектор. Линейные операции над
векторами. Коллинеарность двух векторов.
Линейная зависимость и независимость векторов. Иллюстрация этих понятий на примере векторов на плоскости и в пространстве.
Скалярное произведение векторов и его свойства. Скалярное произведение
векторов в координатной форме.
Векторное произведение векторов и его свойства. Векторное произведение
в координатной форме.
Смешанное произведение векторов и его свойства. Смешанное произведение векторов в координатной форме.
Тема №3 Аналитическая геометрия.
Различные уравнения плоскости в пространстве: с опорной точкой и вектором нормали, через три точки, общее и его частные случаи, в отрезках на
осях.
Расстояние от точки до плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей: угол между двумя плоскостями,
условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
Различные уравнения прямой линии в пространстве: с опорной точкой и
направляющим вектором, параметрические, канонические, через две точки.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве: угол между двумя
прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в
пространстве.
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве: угол между
прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости, нахождение точки пересечения прямой и плоскости.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. Различные уравнения прямой линии на плоскости (изложение рекомендуется проводить с использованием результатов выводов уравнений прямой в
пространстве и плоскости в пространстве): с опорной точкой и направляющим вектором, через две точки, с угловым коэффициентом, с опорной
точкой и вектором нормали, общее уравнение и его частные случаи, в отрезках на осях. Расстояние от точки до прямой.
15. Взаимное расположение двух прямых на плоскости: угол между двумя прямыми (вычисление различными способами), условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых.
16. Кривые второго порядка. Канонические уравнения эллипса. Эксцентриситет, директрисы.
17. Каноническое уравнение гиперболы. Эксцентриситет, директрисы, асимптоты.
18. Каноническое уравнение параболы.
19. Полярные координаты на плоскости, связь декартовых и полярных координат точки.
20. Цилиндрические и сферические координаты; связь с декартовыми.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Тема №4. Матрицы и их применение к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Определение матрицы, действия с матрицами: сложение, умножение на
число, умножение двух матриц, вычисление обратной матрицы.
Матричная запись СЛАУ. Матричный метод и метод Крамера решения
СЛАУ.
Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Ступенчатые матрицы.
Метод Гаусса решения СЛАУ, различные случаи (на примерах). Теорема
Кронекера-Капелли. Исследование однородных систем.
Тема №5. Введение в математический анализ.
Основные элементарные функции, их свойства и графики – повторение
школьного материала (самостоятельно).
Понятие предела в функции в точке. Бесконечно малая функции, теорема о
замене б. малой функции, ей эквивалентной. Свойства пределов.
Раскрытие неопределенностей от алгебраических функций.
Первый замечательный предел (вывод), следствия из него (цепочка эквивалентностей).
Второй замечательный предел и следствия из него. Натуральные
логарифмы. Экспонента.
Непрерывность функции в точке, различные определения. Односторонние
пределы.
Классификация точек разрыва. Вертикальные асимптоты.
Тема №6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
32. Определение производной функции. Физический, геометрический и экономический смысл производной. Эластичность функций.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
33. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
34. Дифференциал функции, геометрический смысл, применение к приближенным вычислениям.
35. Производная суммы, произведения, частного. Производная сложной и обратной функций.
36. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лягранжа.
37. Формула Тейлора (Маклорена) с остаточным членом в форме Лагранжа.
Формула Маклорена для функций е х, Sinx, Cosx, (1+х) α.
38. Исследование функций с помощью первой производной – условия постоянства, монотонности.
39. Экстремум функций. Необходимые условия экстремума. Два достаточных
условия экстремума.
40. Исследование функции с помощью второй производной – выпуклость, вогнутость, перегиб.
41. Наклонные асимптоты графика функции.
Тема №7. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (ФНП).
42. Определение ФНП. Геометрическое изображение функций двух переменных. Линия уровня. Примеры. Частные и полные приращения ФНП. Частные производные, полный дифференциал ФНП. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
43. Экстремум ФНП – определение, необходимые условия, достаточные условия экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутом множестве.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
Тема №8. Интегральное исчисление функций одной переменной.
Расширение понятия о числе. Комплексные числа, действия с ними в алгебраической форме.
Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного
числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.
Многочлены, теорема Безу, основная теорема алгебры. Каноническое разложение многочлена в области действительных чисел. Разложение рациональных дробей на простейшие.
Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства.
Интегрирование заменой переменной.
Интегрирование по частям.
Классы интегрируемых функций. Интегрирование простейших дробей.
Интегрирование простейших иррациональностей.
Интегрирование тригонометрических функций. Тригонометрические подстановки.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
53. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла и
его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла.
54. Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
55. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
56. Несобственные интегралы I рода – определение, вычисление, признаки
сходимости.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
Тема №9. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ).
Основные понятия ДУ: частное и общее решения, геометрический смысл
решения ДУ I порядка, метод изоклин.
ДУ с разделяющимися переменными.
Однородные ДУ I порядка.
Линейные ДУ (ЛДУ) I порядка – два метода решения. ДУ Бернулли.
ДУ в полных дифференциалах.
ЛДУ высших порядков, основные свойства. Линейная зависимость и независимость решений ЛОДУ, определитель Вронского, общее решение ЛОДУ.
ЛОДУ с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение.
Структура общего решения ЛОДУ в различных случаях корней характеристического уравнения.
Линейные неоднородные ДУ (ЛНДУ), структура общего решения, теорема
о наложении решений. Подбор решений ЛНДУ по виду правой части.
Тема №10. Числовые и степенные ряды.
65. Числовой ряд – определение, частичные суммы, сумма ряда. Простейшие
свойства сходящихся числовых рядов.
66. Необходимый признак сходимости ряда.
67. Признак Даламбера.
∑( )
α
1
68. Интегральный признак сходимости рядов. Эталонный ряд
.
n
69. Предельный признак сравнения рядов.
70. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимости. Теорема Лейбница, её применение к оценке остатка ряда.
71. Функциональный ряд, область сходимости. Степенной ряд. Теорема Абеля.
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
72. Единственность разложения функций в степенной ряд. Ряды Тейлора (Маклорена). Разложение в ряд Маклорена функций е х, Sinx,Cosx, (1 + х) α .
73. Применение рядов к приближенным вычислениям значений функций, определенных интегралов, решению ДУ.
Тема №11. Кратные интегралы.
74. Задача о вычислении объема тела, приводящая к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла, его геометрический смысл.
75. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
76. Замена переменных в двойном интеграле, якобиан. Двойной интеграл в полярных координатах.
77. Задача о вычислении массы тела, приводящая к понятию тройного интеграла. Определение тройного интеграла. Свойства тройного интеграла.
78. Вычисление тройного интеграла.
79. Замена переменных в тройном интеграле, якобиан. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
80. Приложения кратных интегралов.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
Тема №12. Поверхностные и криволинейные интегралы.
Определение поверхностных интегралов I, II рода.
Вычисление поверхностных интегралов I, II рода.
Теорема Остроградского-Гаусса.
Задача о работе силового поля. Определение криволинейного интеграла (I,
II рода).
Вычисление криволинейного интеграла сведением к определенному.
Интеграл по замкнутому контуру. Формула Грина.
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Тема №13. Математическая теория поля.
Скалярное поле, поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его свойства.
Векторное поле, векторные линии. Поток векторного поля.
Дивергенция векторного поля. Физический смысл дивергенции. Теорема
Остроградского-Гаусса.
Линейный интеграл. Циркуляция вектора. Ротор векторного поля. Теорема
Стокса.
Потенциальное поле и его свойства.
Соленоидальное поле и его свойства.
Тема №14. Ряды Фурье.
94. Ортогональные свойства тригонометрических функций. Тригонометрические ряды. Сходимость тригонометрических рядов.
95. Ряд Фурье для функции с периодом 2π.
96. Ряд Фурье для функций с любым периодом. Ряды Фурье четных и нечетных функций.
Тема №15. Операционное исчисление.
97. Преобразование Лапласа, его простейшие свойства.
98. Теоремы о дифференцировании и интегрирование оригинала.
99. Теоремы о дифференцировании и интегрировании изображений.
100. Таблица изображений.
101. Теоремы разложения.
102. Применение операционного исчисления к решению ДУ и систем ДУ.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема №16. Теория вероятностей.
103. Основные понятия теории вероятностей: случайное событие, пространство
элементарных событий. Алгебра событий. Диаграммы Эйлера-Венна.
104. Вероятность случайного события. Аксиомы вероятностей, следствия из
них, теорема сложения.
105. Примеры вероятных пространств – геометрические вероятности и классическое определение вероятности. Формулы комбинаторики.
106. Теорема умножения вероятностей.
107. Формула полной вероятности и формула Байеса.
108. Повторные испытания, формула Бернулли. Асимптотические формулы для
формулы Бернулли: локальная теорема Муавра-Лапласа, интегральная теорема Лапласа, формула Пуассона.
109. Случайные величины (СВ), основные понятия. Ряд распределения и функция распределения дискретных СВ (ДСВ).
110. Функция распределения непрерывных СВ (НСВ). Общие свойства функции
распределения.
111. Плотность вероятности и ее свойства.
112. Математическое ожидание СВ и его свойства.
113. Дисперсия СВ и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
114. Примеры законов распределения; биноминальный закон, его свойства; закон Пуассона и его свойства; простейший поток событий.
115. Равномерное распределение и его свойства. Нормальное распределение и
его свойства.
116. Предельные теоремы теории вероятностей. Лемма Маркова. Неравенство и
теорема Чебышева. Неравенство и теорема Бернулли.
117. Понятие о центральной предельной теореме.
Тема №17. Математическая статистика.
118. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд и его геометрическое изображение – полигон и гистограмма.
119. Точечные оценки параметров распределения. Гипотетическая интерпретация выборочных данных (ГИВД). Требования к точечным оценкам.
120. Выборочная средняя арифметическая и ее свойства.
121. Выборочная дисперсия и ее свойства, исправленная выборочная дисперсия.
122. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал, доверительная вероятность. Построение доверительного интервала для
неизвестного мат ожидания при известной дисперсии.
123. Распределение хи-квадрат Пирсона и его простейшие свойства. Построение доверительного интервала для неизвестной дисперсии.
124. Распределение Стьюдента и его простейшие свойства. Построение доверительного интервала для неизвестного мат ожидания при неизвестной дисперсии.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
125. Критерии согласия. Критерий согласия хи-квадрат Пирсона.
126. Распределение Фишера-Снедекора и его простейшие свойства. Понятие о
дисперсионном анализе. Схема применения однофакторного дисперсионного анализа.
127. Элементы корреляционного анализа. Метод наименьших квадратов для определения параметров прямых регрессии y на x и x на y. Коэффициент корреляции и его свойства, шкала Чеддока.
Задания контрольных работ.
Контрольная работа №1.
Тема №1. Определители.
В задачах 1-10 вычислить определитель четвертого порядка.
3 −2 3
4 1 3
5 −2 3
8 −3 9
1
2
1.
3
2
2
4
4.
6
8
3
6
9
9
1
3
5
7
3
5
7
9
1
3
5.
7
2
1
3
2.
1
2
4
2
2
6
2 7
4
5
4 4
8
5
8.
1 −9 −3 −5
3 5
7
5
2
1
1
4
3
5
7
2
3
2
0
2
6
3
9.
6
9
−2
−4
−4
−3
1
3
1
3
3
2
3.
1
4
3 2
1 3
6.
9 −1
0 7
2
1
3
3
3
2
6
3
3 9
2 3
5 3
4 18
5
4
8
7
2 5
3
3 6
5
6 − 9 − 11
1 4
2
1
2
7.
3
4
2
3
4
5
3 5
7
6 7
5
10.
3 − 1 − 11
6 1 − 13
3
4
5
6
4
5
6
7
2
4
2
6
Тема №2. Линейная и векторная алгебра.
11. Дано: а = 3, в = 4 , угол ϕ между векторами а и в равен ϕ = 2π 3 . Вы-
числить (3а − 2в )⋅ (а + 2в ) ; (3а + в )х (в − 2а ).
12.
Дано:
а = 1, в = 3,
(2а − в)⋅ (3а + 2в); (а + в)х (2в + 3а ) .
угол
между
ними
ϕ=π .
3
Вычислить
13. Дано: а = 2, в = 3, угол между ними ϕ = π 4 . Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а − 2в и 3а + 2в .
14. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат
векторы е1 + 2е 2 и 3е1 + 4е 2 , где е1 , е 2 - единичные векторы, угол ϕ между которыми равен π 3 .
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. Векторы а и в образуют угол ϕ = π 3 . Зная, что : а = 5, в = 4, найти длину вектора 5а + 2в .
16. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а + 2в и
2а + в , если а и в - единичные векторы, угол между которыми π .
3
17. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах 5а + 2в и а − 3в , если а = 2 2 , в = 3, угол между ними π 4 .
18. Зная, что а = 2, в = 5, угол между ними 2π 3 , определить, при каком значении коэффициента α векторы αа + 15в и а − в будут перпендикулярны.
19. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а + 2в
и а − 3в , если а = 5, в = 3, угол между ними π 6 .
20. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а + 2в и а + 3в , если а = 5, в = 3, угол между ними ϕ = 2π 3 .
В задачах 21-30 даны координаты вершин пирамиды АВСД. Найти: 1) косинус угла между ребрами АВ и АД, 2) площадь грани АВС, 3) объем пирамиды АВСД, 4) длину высоты пирамиды, проведенной из точки Д.
21. А(-2,1,2), В(4,0,0), С(3,2,7), Д(1,3,2)
22. А(1,-1,6), В(1,-2,1), С(-2,1,0), Д(2,2,5)
23. А(1,-1,6), В(4,5,-2), С(-1,3,0), Д(6,1,5)
24. А(-5,-1,8), В(2,3,1), С(4,1,-2), Д(6,3,7)
25. А(5,1,-4), В(1,2,-1), С(3,3,-4), Д(2,2,2)
26. А(1,1,1), В(2,3,4), С(4,3,2), Д(3,2,4)
27. А(1,1,2), В(2,3,-1), С(2,-2,4), Д(-1,1,3)
28. А(2,-3,5), В(0,2,1), С(-2,-2,3), Д(3,2,4)
29. А(2,1,-2), В(3,3,3), С(1,1,2), Д(-1,-2,-3)
30. А(2,3,1), В(4,1,-2), С(6,3,7), Д(-5,-4,8).
31. Вектор х , перпендикулярный к векторам а =(4,-2,-3) и в =(0,1,3), образует с осью ОХ тупой угол. Зная, что х =26, найти его координаты.
32. Найти вектор х , коллинеарный вектору a = i − 2 j − 2k , образующий с ортом j острый угол и имеющий длину х =15.
33. Найти координаты вектора х , коллинеарного вектору а =(2,1,-1) и удовлетворяющего условию (а ⋅ х ) = 3 .
34. Вектор х перпендикулярен векторам а1 = (2,3,-1) и а 2 = (1,-2,3) и удовлетворяет условию х ⋅ (2i − j + k ) = 8 . Найти координаты вектора х .
35. Найти координаты вектора х , если известно, что он перпендикулярен
векторам а1 = (4,-2,-3) и а 2 = (0,1,3), образует с ортом j острый угол и х =26.
36. Найти координаты вектора х , если он перпендикулярен векторам а1 =
(2,-3,1) и а 2 = (1,-2,3), а также удовлетворяет условию х ⋅ (i + 2 j − 7k ) = 10 .
37. Найти координаты вектора х , коллинеарного вектору а =(2,1,-1) и удовлетворяет условию (а ⋅ х ) = 3 .
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
38. Найти вектор х , образующий со всеми тремя базисными ортами равные
острые углы, если х = 2 3 .
39. Найти вектор х , образующий с ортом j угол 60 0, с ортом к - угол 120 0,
если х = 5 2 .
40. Найти вектор х , направленный по биссектрисе угла между векторами
7i − 4 j − 4к и − 2i − j + 2к , если х = 5 6 .
В задачах 41-50 требуется решить СЛАУ (систему линейных алгебраических уравнений) тремя способами: матричным, по формулам Крамера и методом Гаусса.
⎧2 х1 − 3х 2 − 5х 3 = 1
41. ⎪⎨3х1 + х 2 − 2х 3 = −4
⎪х − 2 х + х = 5
2
3
⎩ 1
⎧ х 1 − 3х 2 + х 3 = 2
42. ⎪⎨2х1 + х 2 + 3х 3 = 3
⎪2 х − х − 2 х = 8
2
3
⎩ 1
⎧ 2 х 1 + 3х 2 − х 3 = 2
43. ⎪⎨х1 − х 2 + 3х 3 = −4
⎪3х + 5х + х = 4
2
3
⎩ 1
⎧4 х1 + 3х 2 − 2 х 3 = −1
44. ⎪⎨3х1 + х 2 + х 3 = 3
⎪ х − 2 х − 3х = 8
2
3
⎩ 1
⎧5х1 − 2 х 2 + х 3 = −1
45. ⎪⎨2 х1 + х 2 + 2х 3 = 6
⎪х − 3х − х = −5
2
3
⎩ 1
⎧3х1 + 3х 2 + 2 х 3 = −1
46. ⎪⎨2х1 + х 2 − х 3 = 3
⎪ х − 2 х − 3х = 4
2
3
⎩ 1
⎧ 2 х 1 − х 2 + 3х 3 = 1
47. ⎪⎨х1 + 2х 2 + х 3 = 8
⎪4 х − 3х − 2 х = −1
2
3
⎩ 1
⎧ х1 − 2 х 2 + х 3 = 4
48. ⎪⎨2х1 + х 2 + 3х 3 = 5
⎪3х + 4 х + х = −2
2
3
⎩ 1
⎧ 2 х 1 − х 2 + 3х 3 = 3
49. ⎪⎨х1 + 2х 2 + х 3 = 2
⎪х − 3х + 4 х = −1
2
3
⎩ 1
⎧3х1 + х 2 − 2 х 3 = 1
50. ⎪⎨х1 − 2х 2 + 3х 3 = 5
⎪2 х + 3х − х = −4
2
3
⎩ 1
Тема №3. Аналитическая геометрия.
В задачах 51-60 даны координаты точек M,N,P,Q. Требуется: 1) составить
уравнение прямой MN; 2) составить уравнение плоскости MNP; 3) составить
уравнение прямой, проходящей через точку Q, перпендикулярно плоскости
MNP; 4) найти точки пересечения этой прямой с плоскостью MNP; 5) найти
расстояние от точки Q до плоскости MNP (двумя способами).
51. М (-3,-2,-4); N (-4,2,-7); Р (5,0,3); Q (-1,3,0).
52. М (2,-2,1); N (-3,0,-5); Р (0,-2,-1); Q (-3,4,7).
53. М (5,4,1); N (-1,-2,-2); Р (3,-2,2); Q (-5,5,4).
54. М (3,6,-2); N (0,2,-3); Р (1,-2,0); Q (-7,6,6).
55. М (1,-4,1); N (4,4,0); Р (-1,2,-4); Q (-9,7,8).
56. М (4,6,-1); N (7,2,4); Р (-2,0,-4); Q (3,1,-4).
57. М (0,6,-5); N (8,2,5); Р (2,6,-3); Q (5,0,-6).
58. М (-2,4,-6); N (0,-6,1); Р (4,2,1); Q (7,-1,-8).
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
59. М (-4,-2,-5); N (1,8,-5); Р (0,4,-4); Q (9,-2,-1).0
60. М (3,4,-1); N (2,-4,2); Р (5,6,0); Q (11,-3,-12).
61. Проверить, лежат ли прямые
⎧х = 7z − 17
⎧− 4z + 11 = 0
, ⎨
⎨
⎩ y = 3z − 1
⎩ y + 10z − 25 = 0
в одной плоскости.
62. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(1,2,3), пересекающей ось ОZ и перпендикулярной к прямой x=y=z.
63. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
⎧x + y = 0
⎨
⎩x − y + z − 2 = 0
параллельно прямой x = y= z.
⎧2 x + y − 9 = 0
и плоскости
⎩9x − z − 43 = 0
64. Найти точку пересечения прямой ⎨
3x-4y+7z-33=0
⎧3x − y − 1 = 0
и плоскостью 2x+y+z-4=0.
⎩3x + 2 − 2 = 0
65. Найти угол между прямой ⎨
66. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(1,-5,3) и
образует с осями координат углы, соответственно равные 60 0, 45 0, 120 0.
⎧x + 2 y − z − 2 = 0
,
⎩ x + 3y + z − 1 = 0
67. Проверить, лежат ли прямые ⎨
⎧2x − y + 3z − 4 = 0
,
⎨
⎩3x + y − z − 3 = 0
в од-
ной плоскости.
68. Установить, лежат ли три точки М1(1,2,3), М2(10,8,4), М3(3,0,2) на одной прямой.
69. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(0,-5,4) парал⎧x + 2 y + 6 = 0
.
⎩Z = 5
лельно прямой ⎨
70. Проверить, что прямые
x − 3 y +1 Z − 2
,
=
=
5
Z
4
x − 8 y −1 Z − 6
пересека=
=
3
1
−2
ются и написать уравнение плоскости через них проходящей.
В задачах 71-80 даны вершины треугольника МNР. Требуется найти: 1)
длину стороны МN; 2) уравнение сторон МN и NР и их угловые коэффициенты;
3) угол N; 4) уравнение высоты РQ и её длину; 5) уравнение медианы МS и координаты точки К-пересечения этой медианы с высотой РQ; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне МN. Сделать чертеж.
71. М (-5,9); N (7,0); Р (5,14).
72. М (8,0); N (-4,-5); Р (-8,-2).
73. М (0,5); N (12,0); Р (18,8).
74. М (-1,7); N (11,2); Р (17,10).
75. М (5,8); N (-2,9); Р (-4,5).
76. М (6,1); N (-6,-4); Р (-10,-1).
77. М (-1,5); N (11,0); Р (17,8).
78. М (6,5); N (-6,0); Р (-10,3).
79. М (1,5); N (13,0); Р (13,8).
80. М (7,1); N (-5,-4); Р (-9,-1).
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контрольная работа №2.
Тема №5. Введение в математический анализ.
В задачах 81-90 найти указанные пределы функций.
x +1 − x
lim
81.
2x − x
3
x →∞
x 2 + 2x + 1
,
x → −1
x3 + 1
,
lim
x
⎛ 3x 2 + x ⎞
⎟ ,
lim⎜⎜ 2
x →∞ 3 x − 1 ⎟
⎝
⎠
1 − Cosx
lim
,
x →0
tgx 2
3 − 2x 2
,
x →∞ x 2 + x + 1
lim
82.
lim
x →1
x→2
2− x
x+2 −2
,
1
⎛ x2 + x + 1⎞ x
⎟⎟ .
lim⎜⎜
x →0
⎝ x +1 ⎠
x3 + x2 + x − 3
,
2x 2 + x − 3
π ⎞
⎛
lim ⎜ 2 x ⋅ tgx −
⎟,
π
x→ ⎝
Cosx ⎠
2
x +3 x
lim
3x + 10 + x
,
x → −1
x +1
lim
x
x
⎛ 4x + 2 ⎞
lim⎜
⎟ ,
x →∞ 4 x − 3
⎝
⎠
⎛ 2 x + 7 ⎞ x−2
lim⎜
⎟ .
x→2 3x + 5
⎝
⎠
2x 2 + 2x − 4
x − 2x − 1
, lim
,
x →∞
x → −2
x →1
x+2
x2 −1
2x + 1
π⎞
⎛
83.
x
Sin⎜ x − ⎟
x
2
x
1
−
⎛
⎞
3
5
2
3
4
+
+
+
x
x
x
6
⎛
⎞
⎝
⎠ , lim⎜
⎟⎟ , lim⎜
lim
.
⎟
2
⎜
π
x →∞
x →1 4 x + 4
x→
3 − Cosx
⎝
⎠
6
⎝ 2x − 3 ⎠
2
lim
,
lim
7 x 2 + 3x − 4
3x 2 − 2 x − 8
1 + 3x − 7
,
lim
, lim
,
3
x →∞ 7 + 6 x − 13 x 2
x→2
x
→
2
x−2
x −8
84.
x
Sin x − π
3 , lim⎛ x + 3 ⎞ , lim ( x + 3) x +1 2 .
lim
⎜
⎟
x →∞ x − 5
x → −2
x →π
⎝
⎠
3 1 − 2Cosx
lim
(
)
x 3 + 3x − 4
x+2 −2
3x 2 − 5x 5
,
lim
, lim
,
x →∞ x 4 + 7 x 5 + x + 1
x →1 x 2 + 3 x − 4
x→2
x−2
xπ
x
85.
x
1 − Sin
2
x −1
⎞
⎛
x
x
10
3
+
+
⎞
⎛
2 , lim⎜
⎟ .
⎜
lim
⎟ , lim
x →1
x →∞
x →1 ⎜ 2 x + 2 ⎟
πx
x −1 ⎠
⎝
⎠
⎝
Ctg
2
lim
5
lim
86.
x →∞
lim
x→2
x − 2 πx
lim Sin
⋅ tg ,
x→2
2
4
lim
87.
x5 − x −1
,
x2 +1
x →∞
1 + x + x3 + 3
,
x 3 − 3x 2 + 4
,
x 2 − 7 x + 10
2x + 3 − 1
x → −1
x
⎛ 3x 2 + x − 1 ⎞
⎟⎟ ,
lim⎜⎜
2
x →∞
3
5
x
+
⎝
⎠
lim
x2 −1
lim
x −1
⎛ 3 x − 4 ⎞ x +1
lim ⎜ 2
⎟ .
x → −1 x − 8
⎝
⎠
x 3 − 3x 2 + 2 x − 6
,
2 x 3 − 10 x − 24
x →3
x + x2 +1
tgx − ctgx
2Sinx − 3
lim
, lim
,
π
π
x→
x→
ctg 2 x
4
3 1 + Cos 3 x
,
lim
x→2
⎛
x2
⎜
lim⎜
x →∞ 1 + x + x 2
⎝
5x + 6 − 4
,
Sin(x − 2)
x
⎞
⎟⎟ .
⎠
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3x 2 − 4 x − 7
7x + 1
,
lim
,
x →∞ x 2 + x − 3
x → −1
2x + 2
x
Cosx − Cos 2 x
⎛ x + 2⎞
lim
, lim⎜
⎟ ,
x →0
x →∞ x − 4
1 − Cosx
⎝
⎠
lim
88.
3x + 7 − 4
,
x →3
x−3
1
lim(5 x − 4 )
.
x →1
x −1
lim
3 + 8x − 7 x 2
1 + 3x − 2
x 2 − 3x + 2
,
lim
, lim
,
2
x →∞ 81 − 4 x + 12 x
x→2
x →1 Sin ( x − 1)
x−2
x
1
89.
1 − Cos 2 x
⎛ 3x − 1 ⎞
lim
, lim⎜
⎟ , lim(4 x − 7 ) x − 2 .
x →0
x →∞ 3 x + 5
x→2
⎞
⎛π
⎝
⎠
Cos⎜ − x ⎟
⎠
⎝2
lim
x 2 − x − 20
7 − 2 x + x 2 − 3x 3
2x + 9 − 3
,
lim
,
,
lim
x →∞ 5 + x + 2 x 2 + 2 x 3
x →0 1 − Cos 7 x
x →5 2 x 2 − 5 x − 25
1
90.
2 x
Sin x − π
x −2
⎛
⎞
+
x
x
+
4
2
2
3
⎛
⎞
3 , lim⎜
⎟ , lim⎜
lim
⎟ .
x →∞⎜ 1 + 2 x 2 ⎟
x→2
x →π
−
Cosx
1
2
⎝ x+5 ⎠
3
⎝
⎠
lim
(
)
В задачах 91-100 провести исследование на непрерывность (выяснить характер разрыва), указанных функций и схематично построить их графики.
91. y =
⎧ x при x > 2
y = ⎨ x −1
при x ≤ 2 .
⎩2
x+2
,
x
93. y = (x + 1) (x − 10 ),
95. y = 2 x ,
1
1
⎧
⎪log 12 x при x > 2
y=⎨
.
1
⎪2 x + 1 при x ≤
2
⎩
1
94. y = 5 x ,
⎧0,3 x при x ≤ 0
y=⎨
. 96. y = (x + 3)
,
(
x + 4)
log
0
x
при
x
>
0
,
5
⎩
1
97. y = 5
1
92. y = 1 + 2 x ,
(x+2)
1
,
99. y = 2 − 3 x ,
⎧ x 3 + 1 при x ≤ 1
y=⎨
. 98. y = ( x + 2)
(x − 1),
⎩− 2 x при x > 1
⎧2 x при x ≥ 1
.
y=⎨
⎩2 Sinx при x < 1
100. y = x (x − 2),
⎧ x при x > 1
.
y=⎨ 2
≤
1
x
при
x
⎩
⎧ x 2 − 1 при x ≤ 1
.
y=⎨
⎩ln x при x > 1
π
⎧
⎪2 Sin 2 x при x ≤ 4
y=⎨
.
π
⎪2 при x >
4
⎩
⎧⎪( x − 1) при x < 2
y=⎨
.
⎪⎩log 0,5 x при x ≥ 2
2
⎧Sinx при x ≤ 0
y=⎨
.
⎩Cosx при x > 0
Тема №6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
В задачах 101-110 найти производные указанных функций, пользуясь определением производной.
101. у=2х2+3х-1;
102. у=7х3+3х+1;
103. у=5х2+7х-2;
104. у=2х3+3х+5;
105. у=3х2+7х+5;
106. у=8х2+2х+7;
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
107. у=х3-4х+1;
110. у=3х2+5х+7.
108. у=3х2+2х+1;
109. у=х3-7;
2
dy
и d y 2 указанной функции.
dx
dx
2
112. y = (Sin ln x ) .
113. y = arc Sin x .
В задачах 111-120 найти
111. y = ctg (1 − ln x ).
114. y = Cos 2 x .
115. y = ctgx .
117. y = arc tg 2 (4 x + 1). 118. y = 5 arc ctgx .
120. у = (1 − Cos 3 x) −2 .
116. y = Sin(x + ln x ).
119. y = (1 + Sin 2 x ) .
−1
В задачах 121-130 провести полное исследование функции и построить её
график.
(x − 1) .
x
122. y = 2
.
2
x +1
x +1
x
126. y = 3 x 2 − x .
125. y = 2 .
x −1
2
x3 + 1
⎛ x+ 2⎞
129. y = ⎜
.
⎟ . 130. y =
x2
⎝ x−2⎠
121. y =
2
123. y = x +
1
.
x −1
127. y = 2 x − 3 ⋅ 3 x 2 .
124. y =
1
.
x + 2x
2
128. y = 33 x 2 − 2 x .
Средствами дифференциального исчисления решить задачи 131-140 (задачи на экстремум).
131. Через точку А(3,5) провести прямую с отрицательным угловым коэффициентом так, чтобы площадь треугольника, образованного ею с осями координат была наименьшей.
132. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС=а и углом
при основании α . На стороне ВС найти точку Е так, чтобы параллелограмм
АДЕF, у которого точки Д и F лежат соответственно на стороне АВ и АС имел
наибольшую площадь.
133. Нужно построить здание с площадью основания 96м2. Известно, что
метр стены по фасаду будет стоить в два раза дороже метра других стен. Каковы должны быть размеры здания, чтобы стоимость возведения стен была наименьшей?
134. Два самолета летят в одной плоскости и прямолинейно под углом 120 0
с одинаковой скоростью V км/час. В некоторый момент один самолет пришел в
точку пересечения линий движения, а второй не дошел до неё а км. Через
сколько времени расстояние между самолетами будет наименьшим и чему равно это расстояние?
135. Завод Д нужно соединить шоссейной дорогой с прямолинейной железной дорогой, на которой расположен город А. Расстояние ДВ до железной
дороги равно а, расстояние АВ по железной дороге равно ℓ. Стоимость перевозок по шоссе в m раз дороже (m>1) стоимости перевозок по железной дороге.
Как провести шоссе ДР к железной дороге, чтобы стоимость перевозок от завода к городу была наименьшей?
136. Для выполнения сельскохозяйственных работ трактору необходимо
переехать с поля А на другое В, предварительно пополнив запасы горючего на
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
шоссе. Расстояние АМ от поля до шоссе равно 2 км. Расстояние ВN от поля В
до шоссе равно 1,5 км. Шоссе прямолинейное, МN=3,5км. В каком месте шоссе
должен ожидать бензовоз, чтобы путь трактора от поля А до поля В был наименьшим?
137. Испытания двигателя привели к n различным значениям х1, х2,….,хn
исследуемой величины А. Обычно в качестве значения неизвестной величины
А принимают такое значение х, при котором сумма квадратов его отклонений
от х1, х2,….,хn имеет наименьшее значение. Найти х, удовлетворяющее этому
требованию.
138. Известно, что прочность балки с прямоугольным поперечным сечением прямо пропорциональна ширине и квадрату толщины. Найти ширину бруска
наибольшей прочности, который можно вырезать из бревна диаметром 16 см.
139. Цена бриллианта пропорциональна квадрату его веса. Исследовать,
как изменится стоимость бриллианта, если его разрезать на две части. Сделать
обобщающий вывод для n частей.
140. От канала шириной 4м под прямым углом к нему отходит другой канал шириной 2м. Какой может быть длина бревна, чтобы его можно было сплавить по этим каналам из одного в другой (толщину бревна не учитывать).
Тема №6. Дифференциальное исчисление ФНП.
В задачах 141-150 число А вычислить приближенно с помощью дифференциала функции двух переменных.
141. A = 5 (2,97 )3 + (2,02)2 + 1 .
142. A = (0,9)2 + (2,1)2 − 1 .
143. A = (0,98) + 1,04 .
2
145. A =
2,01
.
(2,99) + (2,01)4
2
147. A = ln (3 1,02 + 3,99 − 2).
2
(
1,04)
144. A = arctg
.
0,98
4,98
146. A =
.
3
(4,98) − (5,03)2
148. A = ln ((0,1)2 + 1,2 ).
150. A = (5,01)2 + (3,98)2 + 8 .
149. A = (1,02)3 + (1,97 )3 .
В задачах 151-160 найти наибольшее и наименьшее значения функции двух
переменных в замкнутой области Д, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
151. z=x3+y3-3xy,
D: x=0, x=4, y=0, y=4.
3
2
2
152. z=2x +4x +y -2xy,
D: y=x2, y=4, x ≥ 0.
153. z=x2+2xy-y2-2x+2y+3,
D: y=0, x=2, y=x+2.
2
154. z=x -2xy+3,
D: y=0, y=4-x2.
155. z=x2-2y2+4xy-6x+5,
D: x=0, y=0, x+y=3.
2
2
156. z=x +4xy-y -6x-2y,
D: x=0, y=0, x+y=4.
2
2
157. z=x -2y +4xy-6x-1,
D: x=0, y=0, x+y=5.
2
2
158. z=4x+2y+4x +y +1,
D: x=0, y=0, x+y=-2.
2
2
159. z=x +2xy-y -2x+2y,
D: y=x+2, y=0, x=2.
2
2
160. z=x +2xy-y -4x,
D: y=x+1, y=0, x=3.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема №7. Комплексные числа.
В задачах 161-170 требуется выполнить действия над комплексными числами. Результаты записать в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Изобразить геометрически.
60
⎛ −1+ j 3 ⎞
⎜
⎟ ;
⎜
⎟
2
⎝
⎠
1+ j 3
;
161.
2+2j
4
1.
162. (− 1 + j 3 )⋅ (2 + 2 j ) ⋅ (− 1 + j );
163.
π
;
(
30
(− 3 + 4 j )3 ;
)
⎝
1
166. ;
j
4⎠ ⎝
(1 + j )
;
4
5
− 1.
(2 + j 3 ) ;
3
4 ⎠
1− j
;
167.
1+ j
− 1.
(1 + j )5 ;
(1 − j )3
2
168.
;
1− 3 j
170.
4
4
3
2+2j.
3π
3π
π
π
165. ⎛⎜ Cos + jSin ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ Cos + jSin ⎞⎟ ;
4
3− 4 j.
;
⎛1+ j 3 ⎞
⎛1− j 3 ⎞
⎜
⎟ +⎜
⎟
⎜ 2 ⎟
⎜ 2 ⎟ ;
⎝
⎠
⎝
⎠
+ jSin
3
3
0
Cos 45 + jSin 45 0
164.
;
2 Cos15 0 + jSin15 0
Cos
100
60
Cosπ + jSinπ
π
⎛1+ j ⎞
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
169.
2+2j.
4
j.
6
6
⎛ 3 +1⎞ ⎛ j − 3 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ ;
⎝
⎠ ⎝
⎠
− 2+ j 6
−1+ j 3
(1 + j 3 ) ;
3
;
4
3
−8.
1+ j .
2
5− j 2
⎛ j5 + 2 ⎞
⎟⎟ ;
⎜⎜ 19
j
1
+
⎠
⎝
;
1+ j 2
3
1− j .
В задачах 171-180 определить множество точек плоскости (множество комплексных чисел), удовлетворяющих указанным соотношениям. Изобразить геометрически.
1
2
171. Re z 2 = 0 .
172. Im Z > .
π
175. arg Z = .
Z −1
≤ 1.
Z +1
173.
176. log 1 z − 2 > log 1 z .
3
2
178. j − 1 − 2 z ≥ 9 .
174. 1 ≤ Z + 2 − 3 j < 2 .
177.
2
179. Z − 1 = Z − j .
π
3
< arg Z <
180. Z <
π
2
.
Z
< +1.
2
Тема №8. Интегральное исчисление функций одной переменной.
В задачах 181-190 требуется найти неопределенные интегралы. Результат
первого интегрирования проверить дифференцированием.
181.
182.
In xdx
∫ x 1 − In 2 x ,
(
∫
Cos x
) ∫
dx ,
x Inx ,
∫ xSin3x ,
x
Intgx
183. ∫
dx ,
Sinx ⋅ Cosx
∫ xe
1− 2 x
∫ 1+
3
∫1+
dx ,
x+2
3
x+2
2x + 5
3
dx ,
dx ,
2x + 5
x+2
∫1+
3
x+2
4 − x2
dx .
x2
∫
∫
dx ,
4 − x 2 dx .
∫x
2
9 + x 2 dx .
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
184. ∫ e x Sin(1 − e x )dx ,
185.
dx
∫ xInx , ∫ x e
2
x
dx ,
186. ∫ Cos 3 x ⋅ Sinxdx ,
187.
∫
x 3 dx
3
x4 +1
,
x +1
∫
dx ,
x +1
2x + 3
3
1− x2
∫ Inxdx , ∫ x + 1 + (x + 1)
3
189.
∫x
190.
∫ Cos x(2 + 5tgx ) , ∫ x
2
,
2x + 5
dx ,
+ 5 x + 10
∫ xInxdx ,
∫ In(x
2
Inx
2
∫
+ 1)dx ,
dx ,
4
∫
,
x2 +1
dx ,
x3
dx
∫1+
∫
dx ,
∫x
,
)
x2 −1
2
dx
3
x
∫x
.
.
2 − x2
x +1
3 x − 6 x +1
∫ x x + 1 dx ,
(
dx
x 2 dx
∫ (1 +
3
4 + x 2 dx .
dx .
1+ x
dx ,
1− x
∫ arctg 2 xdx , ∫ x
∫ (1 + 2Cos 2 x )
dx
3
4
x + 1dx
Sin 2 xdx
2
x
∫
188.
2
x
∫ arcSin3xdx , ∫
)
2
∫x
x
.
4 − x 2 dx .
dx
x2 −1
.
В задачах 191-200 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными
линиями. Сделать чертеж.
192. у=х2, у=х2/2, у=3х.
191. у=4-х2, у=х2-2х.
193. у=6х-х2, у=0.
194. у2=2х+1, х-у-1=0.
196. у2+8х=16, у2-24х=48.
195. у=х2, у= х .
197. у=х2, у=х3/3.
198. у=(1+х2)-1, у=1/2х2.
199. у=х3, у=8, х=0
200. у=ех, у=е-х, х=1.
Тема №9. Обыкновенные ДУ.
В задачах 201-210 найти общие решения указанных дифференциальных
уравнений (ДУ). Последнее ДУ решить двумя способами – методом вариации
произвольных постоянных и методом неопределенных коэффициентов (по виду
правой части). Для первого ДУ найти интегральную кривую, проходящую через
точку (1;1).
y
x
=
; y ′′ + y = 4e x .
x +1 x +1
′
203. y + xy = − x 3 ; y ′′ + y ′ − 2 y = 6 x 2 .
205. y ′ + e x y = e 2 x ; y ′′ − y ′ + y = 8e x .
201. y ′ +
202. xy ′ + 2 y = 3x ;
y ′′ − 4 y ′ = x 2 + 2 x + 3.
204. y ′ − 4 xy = −4 x 3 ; y ′′ − 4 y ′ = 8 x 3 .
206. xy ′ − y = −2 Inx ; y ′′ + 2 y ′ + 5 y = 4e − x .
207. 2 xy ′ + y = 2 x 3 ; y ′′ + 6 y ′ + 9 y = 10Sinx . 208. xy ′ + y = x + 1; y ′′ + 9 y = Cos3x .
209. x 3 y ′ + 3x 2 y = 2 ; y ′′ − 3 y ′ + 2 y = e x .
210. xy ′ − y = x 3 ; y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 13Sin3x .
Задачи 211-220 решить составлением и решением дифференциальных
уравнений, используя физический или геометрический смысл производной.
211. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 10км/час.
На полном ходу её мотор был выключен, и через t=20с. скорость лодки умень20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
шилась до V1=6км/час. Считая, что сила сопротивления воды движению лодки
пропорциональна ее скорости, найти скорость лодки через 2 мин. После остановки мотора.
212. Тело единичной массы движется по оси ОХ под действием постоянной
силы F, направленной по оси, при сопротивлении движению, численно равной
скорости движения. Найти закон движения, если при t=0, х=0 и скорость V=0.
213. Найти кривую, проходящую через точку (1,1/3), если угловой коэффицие6нт касательной к ней в любой точке кривой втрое больше углового коэффициента радиус-вектора точки касания.
214. Найти линию, проходящую через точку (2,3) и обладающую тем свойством, что отрезок любой её касательной, заключенный между координатными
осями, делится пополам в точке касания.
215. Определить кривую, длина радиус-вектора любой точки которой равна
длине отрезка нормали между кривой и осью ОХ.
216. Найти все линии, у которых отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью координат.
217. Найти линии, у которой любая касательная пересекается с осью ординат в точке, одинаково удаленной от точки касания и от начала координат.
218. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с
осью абсцисс имеет абсциссу, равную 2/3 абсциссы точки касания. Выделить из
этих кривых линию, проходящую через точку (1,1).
219. Найти линию, проходящую через точку (2,0) и обладающую тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью ординат имеет
постоянную длину, равную двум.
220. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды,
пропорциональному скорости лодки. Начальная скорость лодки V(0)=1,5м/с.
Через 4 сек. скорость лодки V(4)=1м/с. Когда скорость лодки станет равной
0,5м/с?
Контрольная работа №3.
Тема №10. Числовые и степенные ряды.
В задачах 221-230 найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на границах интервала.
n
n
n
n
2n
n
∞ (x + 6)
∞
∞
∞ 3 x
∞
(
(
(
2x)
x − 5)
x + 3)
221. ∑ n
222. ∑
. 223. ∑
. 224. ∑
. 225. ∑
n −1
n
n =1 5 ⋅
n =1 (n + 1) ⋅ 2
n =1 n(n + 1)
n =1
n =1 (2n − 1)6
4 n +1
n
∞
226. ∑
n =1
(x − 6)
n
5n − 3
∞
(x − 2)
n =1
n ⋅ 5n
. 227. ∑
n
∞
. 228. ∑
n =1
( x − 3)
3n
n −1
∞
. 229. ∑
n =1
( x + 2)
n
n
∞
( x − 5)
n =1
n ⋅ 3n
. 230. ∑
n
.
В задачах 231-240 вычислить с точностью до 0,001 определенный интеграл
разложением подынтегральной функции в ряд Маклорена.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1/ 4
231. ∫ x x sin x dx.
232.
0
1/ 4
234.
∫
0
1/ 2
237.
∫
0
e
x2
∫ x ln(1 +
1/ 2
)
x dx.
0
1/ 2
xdx
1 + x3
1/ 3
235. ∫ cos x dx.
dx.
0
1/ 2
.
233.
238.
∫
0
xdx
4
1 + x4
∫
236.
0
1/ 2
.
239.
∫
0
∫
(
dx
)
2
0 3 1 + x3
.
x 2 arctg xdx.
1/ 2
dx
1 + x4
.
240.
∫
1 + x 3 dx.
0
Тема №11. Ряды Фурье.
В задачах 241-250 разложить в ряд Фурье указанные периодические функции. Сделать чертеж.
⎧ Sinx
241. f (x ) = ⎪⎨ Sinx
⎪⎩1 при
при
⎧− 1 при − 1 < x < 0,
⎩1 при 0 < x < 1, f ( x + 2) ≡ f ( x ).
x ≠ kπ ,
242. f (x ) = ⎨
x = kπ .
⎧0, если − π < x < 0,
⎩1, если 0 < x < π , f ( x + 2π ) ≡ f ( x ).
243. f (x ) = ⎨
⎧ x при 0 < x < 1,
⎩2 − x при 1 < x < 2,
244. f (x ) = ⎨
245.
f ( x ) = 2 x, если 0 < x < 1,
f ( x + 1) ≡ f ( x ).
f ( x + 2) ≡ f ( x ).
⎧− π − x, если − π < x < 0,
⎩π − x, если 0 < x < π , f (x + 2π ) ≡ f ( x ).
246. f (x ) = ⎨
⎧− 1, если 1 < x < 0,
⎩1, если 0 < x < 2, f ( x + 3) ≡ f ( x ).
247. f (x ) = ⎨
⎧1, если 0 < x < 1,
⎩− x + 2, если 1 < x < 2,
249. f ( x) = ⎨
250.
x
248. f (x ) = 2 , если 0 < x < 2,
f ( x + 2) ≡ f ( x ) .
f ( x + 2) ≡ f ( x) .
f ( x) = 1 − x , если − 1 < x < 1,
f ( x + 2) ≡ f ( x) .
Тема №12. Операционное исчисление.
В задачах 251-260 требуется найти изображение F(р) для указанного оригинала F(t).
251. f(t)=e5tCos3t.
252. f(t)=e-2tSin4tSin3t.
253. f(t)=tshat.
-(t-τ)
254. f(t)=t chat.
255. f(t)=e Cos(t-τ).
256. f(t)=et-τSin(t-τ).
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
⎧0 при t < a,
257. f (t ) = ⎪⎨2 при a ≤ t ≤ 3a,
⎪4 при t > 3a .
⎩
⎧1 если 0 < t < a,
258. f (t ) = ⎪⎨0 если a < t < 2a, 3a < t < 4a, ,
⎪− 1 если 2a < t < 3a .
⎩
f (t + 4a ) ≡ f (t ) .
⎧0 если 0 < t < a, 2a < t < 3a
259. f (t ) = ⎪⎨1 если a < t < 2a
, f (t + 4a ) ≡ f (t ) .
⎪− 1 если 3a < t < 4a
⎩
⎧1 если 0 < t < t 0
, f (t + T ) ≡ f (t ) .
⎩0 если t 0 < t < T
260. f (t ) = ⎨
В задачах 261-270 требуется по заданному изображению F(р) найти оригинал f(t).
p +1
1
1
261. F ( p ) =
.262. F ( p ) = 2
.263. F ( p ) =
.
2
2
( p − 1) ( p − 2) 3
p ( p + 1)
p ( p − 1)( p + 2)
p2 +1
1
264. F ( p ) = 2
.265.F ( p ) = 2
.
2
( p + 6 p + 13)( p 2 + 6 p + 10)
p ( p − 1)
p−4
266. F ( p ) = 2
.
p + 4p + 8
3p + 5
3p2 + 3p + 2
1
267. F ( p) = 2
.268. F ( p ) = 3
.269. F ( p ) =
.
( p − 2)( p 2 + 4 p + 8)
p − 4 p + 13
p −8
270. F ( p ) =
1
.
p ( p + 1)( p + 2)
2
В задачах 271-280 требуется средствами операционного исчисления решить задачу Коши.
272. х′′ − 9х = 2 − t , x (0) = 0, x′(0) = 1.
271. x′′ − x′ − 6x = 2, x (0) = 1, x′(0) = 0.
274. x′′ + 4x = 2Cos 2t , x (0) = 0, x′(0) = 4.
273. x′′ − 4x = 4t , x (0) = 1, x′(0) = 0.
276. x′′ + 2x′ + 5x = Cost , x (0) = 0, x′(0) = 0.
275. x′′ + x′ − 2x = e′, x (0) = −1, x (0) = 0.
277. x′′ − 4x = t − 1, x (0) = 0, x′(0) = 0.
278. x′′ + x′ = t 2 + 2t , x (0) = 4, x′(0) = −2.
279. x′′ + 3x′ + 2x = 1 + t + t 2 , x (0) = 0, x′(0) = 1. 280. x′′ − 3x′ + 2x = e5 t , x (0) = 1, x′(0) = 2.
Тема №13. Кратные интегралы.
В задачах 281-290 требуется построить область интегрирования, изменить
порядок интегрирования и вычислить интегралы в обоих случаях.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
x2
3
1
( x − 3)
2
0
0
1
0
1
x2
281. ∫ dx ∫ dy + ∫ dx
2
284. ∫ dx ∫ dy + ∫ dx
0
0
1
1
x
2
0
0
287. ∫ dx ∫ dy + ∫ dx
−1
290. ∫ dy
−2
1
0
∫
− 2− y
e
1
1
Iny
282. ∫ dy ∫ dx + ∫ dy ∫ dx.
∫ dy.
0
2− x 2
0
1
x
4
y
3
5
0
0
3
25 − y 2
283. ∫ dy ∫ dx + ∫ dy
2− x
2
3
1
y
2
∫ dx.
285. ∫ dx ∫ dy + ∫ dx ∫ dy. 286. ∫ dy ∫ dx + ∫ dy
∫ dy.
0
0
2− x 2
0
1
288. ∫ dx
∫ dy.
0
0
0
y
1
0
∫
− x
1
0
2
dy + ∫ dx
1
2− y 2
∫ dx.
0
0
0
1
x2
2
1
2− x
0
− 2− x
0
0
1
0
∫ dy. 289. ∫ dx ∫ dy + ∫ dx ∫ dy.
0
dx + ∫ dy ∫ dx.
−1
3
y
В задачах 291-300 требуется вычислить двойные интегралы по области D,
ограниченной указанными линиями, переходя к полярным координатам.
291. ∫∫ R 2 − x 2 − y 2 dxdy, D : x 2 + y 2 = R 2 , y = 3 x.
D
292.
∫∫ Sin
x 2 + y 2 dxdy, D : x 2 + y 2 = π 2 , x 2 + y 2 = 4π 2 .
D
293.
∫∫ ( x
2
+ y 2 )dxdy, D : x 2 + y 2 = x, x 2 + y 2 = 2 x.
∫∫ ( x
2
+ y 2 )dxdy, D : x 2 + y 2 = 2ay.
D
294.
D
295.
∫∫ dxdy,
D : y = 0, y = x, x 2 + y 2 = 2 x.
D
296.
∫∫
x 2 + y 2 dxdy, D : x 2 + y 2 = R 2 .
D
297.
∫∫ dxdy,
D : (x 2 + y 2 ) = 4 x 2 y 2 .
∫∫ dxdy,
D : (x 2 + y 2 ) = x 4 + y 4 .
∫∫ dxdy,
D : x2 + y2
∫∫ dxdy,
D : (x 2 + y 2 ) = 2ax 3 , a > 0.
D
298.
D
299.
D
300.
3
3
(
)
2
(
)
= 2a 2 x 2 − y 2 .
2
D
Тема №14. Математическая теория поля.
В задачах 301-306 требуется найти производную скалярного поля и (х,у,z) в
точке М по направлению вектора а и градиент поля в этой точке.
301. и = x + In( y 2 + z 2 ), a = (−2,2,−1), M (2,1,1).
302. и = y ⋅ In(1 + x 2 ) − arctgz, a = (2,−3,−2), M (0,1,1).
303. и =
x
yz
−
, a = (2,0,1), M (4,1,−2).
y
x+ y
304. и = x 3 + y 2 + z 2 , a = (0,1,−1), M (1,1,0).
305. и = xy + 9 − z 2 , a = (− 2,2,−1), M (9,1,0).
306. и = 2 x + y + yarctgz, a = (4,0,−3), M (3,−2,1).
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
307. Найти производную поля
и = x 3 y 2 z в направлении градиента поля
v = x 2 − 4 xy + 5 y − 6 z 2 в точке М(3,1,1/3).
В задачах 308-310 найти производную скалярного поля и (x, y, z ) в точке М
по направлению нормали к поверхности (S), если нормаль образует с осью OZ
острый угол.
308. и = x y − yz 2 , M (2,1,−1), (S ) : x + y 2 = 4 z .
309. и = xz 2 − x 3 y , M (2,2,4), (S ) : x 2 − y 2 − 3z + 12 = 0 .
y
x
310. и = arctg + xz , M (2,2,−1), (S ) : x 2 + y 2 − 2 z = 10 .
В задачах 311-320 требуется вычислить поток векторного поля a ( x, y, z )
через внешнюю сторону поверхности (S) двумя способами: 1) сведением к поверхностному интегралу I рода (проектированием на одну координатную плоскость) или сведением к поверхностному интегралу II рода (проектированием на
три координатные плоскости); 2) по формуле Остроградского-Гаусса. Сделать
чертеж.
311. а = (xy2,yz2,x2z), (S): часть сферы x2+y2+z2=R2 в первом октанте и координатные плоскости.
312. а = (4y-z),3x+5y,4x-z), (S): пирамида, состоящая из координатных плоскостей и части плоскости x+y+z=8 в I октанте.
313. а = (x,y,z), (S): пирамида, состоящая из координатных плоскостей и части
плоскости x+y+z=1 в I октанте.
314. а = (xy,yz,xz), (S): координатные плоскости и часть сферы x2+y2+z2=1 в I
октанте.
315. а = (y,0,3z), (S): пирамида, состоящая из координатных плоскостей и части
плоскости х+у/2+Z=1 в I октанте.
316. а = (x2+y2,y2+z2,z2+x2), (S): цилиндр x2+y2=1, z=0, z=1.
317. а = (2x,3y,z), (S): пирамида, состоящая из частей координатных плоскостей
и плоскости 2х+3у+z=1 в I октанте.
318. а = (x,y,z), (S): пирамида, состоящая из частей координатных плоскостей и
плоскости х+3у+2z=1 в I октанте.
319. а = (yz, xz, xy), (S): пирамида с вершинами в точках О(0,0,0); А(2,0,0);
В(0,1,0); С(0,0,2).
320. а = (x2,y2,z), (S): x2+y2=4-4z, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
В задачах 321-330 требуется вычислить циркуляцию Ц (а ) векторного поля
а вдоль линии L двумя способами – непосредственно и по формуле Стокса.
⎧x 2 + y 2 = 4,
321. a = (y, x 2 ,−z ), L : ⎨
⎩ z = 3.
⎧x 2 + y 2 = 4,
323. a = (z, x , y ), L : ⎨
⎩ z = 0.
⎧z = x 2 + y 2 ,
322. a = (x, y, z ), L : ⎨
⎩ z = 1.
⎧z = x 2 + y 2 ,
324. a = (y,− x, x + y ), L : ⎨
⎩ z = 1.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
⎧x 2 + y 2 = 1,
325. a = (xz + y, yz − x,− x 2 − y 2 ), L : ⎨
⎧x = y 2 + z 2 ,
326. a = (zy 2 , xz 2 , x 2 y ), L : ⎨
⎩ z = 5.
⎩ x = 9.
2
⎧x + y + z = 4,
⎧x + y 2 + z 2 = 16,
2
327. a = (y,− x, z ), L : ⎨ 2 2 2
328. a = z ,0,0 , L : ⎨
⎩x + y = z .
⎩x = 0, y = 0, z = 0.
329. a = (x + y, y + z, x + z ), L : ломаная ОМ1М2, О(0,0,0), М1(1,2,3), М2(5,4,7).
2
2
2
(
)
330. a = (x, y, z ), L : ломаная ОМ1М2, О(0,0,0), М1(1,4,0), М2(4,9,1).
Задачи курсовой работы
Тема №15. Теория вероятностей.
331. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели
первым стрелком равна 0,7; для второго и третьего стрелков эти вероятности
соответственно равны 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что:1) только один из
стрелков поразит цель; 2) только два стрелка поразят цель; 3) все три стрелка
поразят цель.
332. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель
при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудия
эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что: 1)
только один снаряд поразит цель; 2) только два снаряда поразят цель; 3) все три
снаряда поразят цель.
333. Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность
поражения мишени каждым из стрелков равна 0,9. Найти вероятность того, что:
1) оба стрелка поразят мишень; 2) оба стрелка промахнутся; 3) только один
стрелок поразит мишень; 4) хотя бы один из стрелков поразит мишень.
334. От аэровокзала отправились 2 автобуса – экспресса к трапам самолетов. Вероятность своевременного прибытия каждого автобуса в аэропорт равна
0,95. Найти вероятность того, что: 1) оба автобуса придут вовремя; 2) оба автобуса опоздают; 3) только один автобус прибудет вовремя; 4) хотя бы один автобус прибудет вовремя.
335. На участке две бригады. Вероятность выполнения плана первой бригадой равна 0,8; а вероятность выполнения плана второй 0,9. Требуется найти:
1) вероятность выполнения плана участком; 2) вероятность выполнения плана
только одной бригадой участка; 3) вероятность выполнения плана хотя бы одной бригадой участка.
336. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что
студент даст правильный ответ на первый вопрос равна 0,9; вероятность правильного ответа на второй вопрос равна 0,8; на третий вопрос равна 0,7. Найти
вероятность того, что студент ответит: 1) на все три вопроса правильно; 2) хотя
бы на два вопроса.
337. Передающее устройство, канал связи и принимающее устройство могут быть повреждены. Вероятности повреждения соответственно равны 0,5; 0,4;
0,6. Найти вероятность того, что: 1) будет повреждено хотя бы одно; 2) хотя бы
одно не будет повреждено; 3) система будет работать.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
338. Коэффициенты использования рабочего времени у двух комбайнов
соответственно равны 0,8 и 0,6. Считая, что остановки в работе каждого комбайна возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время: 1) совместной работы комбайнов; 2) работы только одного комбайна; 3) простоя обоих комбайнов.
339. Рабочий обслуживает три станка. Известно, что вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки равна для первого
станка 0,9; для второго станка 0,8 и для третьего станка 0,7. Найти вероятность
того, что за этот час: 1) лишь один станок откажет в работе и потребует вмешательства рабочего; 2) два станка потребуют вмешательства рабочего; 3) ни один
станок не потребует вмешательства рабочего.
340. На ферме две бригады. Вероятность выполнения плана первой бригадой 0,7; второй 0,8. Найти вероятность: 1) выполнения плана фермой; 2) выполнение плана только одной бригадой; 3) выполнения плана хотя бы одной
бригадой?
341. В группе 6 отличников, 10 хорошистов и 9 троечников. На экзамене
отличники могут получить оценку «4» с вероятностью 0,3; хорошисты с вероятностью 0,8; троечники – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что студент, вызванный первым, получит оценку «4».
342. При проверке качества зерен пшеницы было установлено, что все зерна могут быть разделены на 4 группы. К зернам 1-й группы принадлежит 96%,
ко второй 2%, к 3-й 1%, к 4-й 1% всех зерен. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен для 1-й группы равна 0,5; 2-й
группы 0,2; 3-й группы 0,18; 4-й группы 0,02. Найти вероятность того, что из
взятого наугад зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен.
343. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 5%, причем
среди забракованной продукции по признаку А в 10% случае встречается дефект В, а в продукции свободной от дефекта А, дефект В встречается в 1% случаев. Найти вероятность того, что дефект В не встретится во всей продукции.
344. Изделие проверяется на стандарт одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу равно 0,55; а ко второму
0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет принято первым товароведом равно 0,9; а вторым 0,98. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие будет признано стандартным.
345. На сборку поступают детали с 2-х автоматов. Первый дает в среднем
0,2% брака, второй 0,1%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной
детали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго – 3000.
346. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено 2 шара в
урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Найти вероятность вынуть после
этого из второй урны белый шар.
347. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит
бензоколонка, относится к числу легковых автомашин, проезжающих по тому
же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина
равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке
подъезжает машина. Найти вероятность того, что машина будет заправляться.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
348. В вычислительной лаборатории имеются 6 новых и 4 старых машин.
Вероятность того, что за выполнение некоторого расчета новая машина не выдаст ошибку равна 0,95; для старой машины эта вероятность равна 0,8. Студент
проводит расчет на удачу выбранной машине. Найти вероятность того, что машина не выдаст ошибку.
349. Исследование больного вызвало предположение о возможности одного из 3-х заболеваний А1 А2 А3 с вероятностями: Р(А1)=5/12; Р(А2)=1/3;
Р(А3)=1/4. Для уточнения диагноза был произведен некоторый анализ, который
при первом заболевании дает положительный ответ с вероятностью 0,8; при
втором – с вероятностью 3/8; при третьем – с вероятностью 1/6. Какова вероятность точного ответа.
350. В партии 600 лампочек: 200 штук изготовлены на 1-м заводе, 250 – на
2-м; 150 – на 3-м. Вероятность того, что лампочка окажется стандартной для 1го завода, равна 0,97; для второго 0,91; для третьего 0,93. Какова вероятность
того, что наудачу взятая лампочка окажется стандартной.
351. Устройство состоит из 3-х независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить ряд и
функцию распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Найти
математическое ожидание и дисперсию. Вычислить вероятность того, что откажут не менее двух элементов. Проиллюстрировать геометрически.
352. В партии из шести деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны
3 детали. Составить ряд и функцию распределения числа стандартных деталей
среди отобранных. Найти числовые характеристики. Вычислить вероятность
того, что число стандартных деталей не меньше двух.
353. Выпущено 1000 билетов лотереи, причем разыгрываются: один выигрыш в 50 руб., 5 выигрышей по 25 руб., 10 выигрышей по 10 руб., 25 выигрышей по 5 руб. Составить ряд и функцию распределения стоимости выигрыша
для владельца одного билета. Найти «справедливую» цену одного билета.
354. На поле 5 тракторов. Надежность (т.е. вероятность безотказной работы) каждого равна 0,8. Составить ряд и функцию распределения числа тракторов, работающих одновременно. Найти среднее число исправных тракторов.
Вычислить вероятность того, что исправных тракторов больше 3. Показать графически.
355. В связке имеется 5 различных ключей, из которых только одним можно открыть дверь. Наудачу выбирается ключ и делается попытка открыть им
дверь. Ключ, оказавшийся неподходящим больше не используется. Построить
ряд и функцию распределения числа использованных ключей. Найти вероятность того, что: а) дверь будет открыта вторым ключом; б) будет использовано
не меньше двух ключей. Показать графически.
356. Вероятность того, что из яйца выведется петушок, равна 0,6. В инкубатор заложили 6 яиц. Найти ряд и функцию распределения числа петушков,
которые выведутся из этих 6 яиц. Вычислить вероятность того, что число петушков не меньше 5.
357. Имеется 5 семян редкого растения со всхожестью 60%. Семена высеян
по очереди (каждое следующее высевается только в том случае, если предыдущее не взошло). Составить ряд и функцию распределения числа использован28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ных семян. Найти вероятность того, что число использованных семян больше 1
и меньше 3. Проиллюстрировать графически. Найти среднее число использованных семян.
358. Производится последовательное испытание 5 приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается в том случае, если предыдущий оказался надежным. Построить ряд и функцию распределения случайного
числа испытанных приборов, если вероятность выдержки испытания для каждого из них равна 0,9. Найти вероятность того, что придется испытывать не менее 2 и не более 4 приборов.
359. При бросании трех игральных костей игрок выигрывает: 18 руб., если
на всех костях выпадает по 6 очков; 1 руб. 40 коп., если на двух костях выпадает по 6 очков и по 20 коп., если на одной кости выпадает 6 очков. Какова должна быть ставка за участие в игре, чтобы игра была безобидной. Построить ряд и
функцию распределения выигрыша.
360. Выпущено 10000 билетов денежной лотереи. Разыгрывается 2 выигрыша по 5000 рублей, 8 по 1000, 170 по 100 рублей, 350 по 50 рублей и 750 по
10 рублей. Составить ряд и функцию распределения стоимости выигрыша для
владельца одного лотерейного билета. Вычислить «справедливую» цену одного
билета.
361. В системе координат ξ1 0ξ 2 наудачу брошена точа в квадрат
0 ≤ ξ1 ≤ 1, 0 ≤ ξ 2 ≤ 1. Вводится случайная величина ξ = min (ξ1 , ξ 2 ) . Найти функцию
распределения и плотность вероятности случайной величины её числовые характеристики, вероятность того, что минимальная координата точки больше
1/3. Показать на графиках F(х) и f(х).
362. В системе координат ξ1 0ξ 2 наудачу брошена точа в квадрат
{0 ≤ ξ1 ≤ 1, 0 ≤ ξ 2 ≤ 1}. Для случайной величины ξ = max(ξ1 , ξ 2 ) найти функцию распределения и плотность вероятности, числовые характеристики. Вычислить вероятность того, что максимальная координата точки не превышает 1/3. Показать на графиках F(х) и f(х).
363. На отрезке [0, ] независимо друг от друга берутся две случайные точки. Найти функцию распределения, плотность вероятности и числовые характеристики расстояния между точками. Найти вероятность того, что расстояние
будет не меньше /2. Показать на графиках F(х) и f(х).
364. На координатной плоскости ξ1 0ξ 2 в квадрат 0 ≤ ξ1 ≤ 1, i = 1,2 наудачу
брошена точа. Пусть (ξ1 , ξ 2 ) - её координаты. Для случайной величины ξ = ξ1 + ξ 2
найти функцию распределения, плотность вероятности, числовые характеристики. Вычислить вероятность того, что сумма координат точки находится в
промежутке [1/2;3/2]. Показать на графиках F(х) и f(х).
365. На отрезке [0,1] наудачу брошена точа. Пусть ξ - её координата. Найти функцию распределения и плотность вероятности случайной величины ξ , её
числовые характеристики. Вычислить вероятность того, что точка окажется на
отрезке [1/3;2/3]. Показать на графиках F(х) и f(х).
366. Точка брошена на удачу внутрь круга радиуса R. Вероятность попадания точки в любую область, расположенную внутри круга пропорциональна
площади области. Найти функцию распределения, плотность вероятности, чи29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
словые характеристики расстояния точки до центра круга. Вычислить вероятность того, что точка окажется внутри кольца, ограниченного окружностями
радиуса 1/3 R и 2/3 R. Показать на графиках F(x) и f(x).
367. В системе координат ξ1 0ξ 2 наудачу брошена точка в квадрат
0 ≤ ξ1 ≤ 1, i = 1,2 . Найти функцию распределения и плотность вероятности произведения координат точки, её числовые характеристики. Вычислить вероятность
того, что произведение координат точки находится в пределах от 0 до 1/4. Показать на графиках F(x) и f(x).
368. В куб {0 ≤ ξ1 ≤ 1, i = 1,2,3} наудачу брошена точка с координатами
(ξ1, ξ2 , ξ3 ) . Для случайной величины ξ = ξ1 + ξ2 + ξ3 , найти функцию распределения, плотность вероятности, числовые характеристики, вероятность того, что
сумма координат точки заключена в интервале (1,2). Показать на графиках F(x)
и f(x).
369. На координатной плоскости ξ1 0ξ 2 в квадрат | ξ1 | ≤ 1, i = 1,2 наудачу брошена точка M(ξ1 , ξ 2 ) . Для случайной величины ξ = 2ξ1 + 3ξ 2 , найти F(x), f(x), числовые характеристики. Вычислить Р(1< ξ <4). Показать на графиках F(x) и f(x).
370. На координатной плоскости ξ1 0ξ 2 в квадрат | ξ1 | ≤ 1, i = 1,2 наудачу брошена точка. Для случайной величины ξ = ξ1 + ξ 2 найти F(x), f(x), числовые характеристики. Вычислить вероятность того, что сумма координат точки находится в интервале (1/2,3/2). Показать на графиках F(x) и f(x).
В задачах 371-380 заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины ξ . Найти: 1) вероятность того, что ξ примет значение, принадлежащее интервалу
( α , β ); 2) вероятность того, что абсолютна величина отклонения ξ - а окажется
меньше δ .
431.
432.
433.
434.
435.
436.
437.
438.
439.
440.
а=15
а=14
а=13
а=12
а=11
а=10
а=9
а=8
а=7
а=6
σ =2
σ =4
σ =4
σ =5
σ =4
σ =8
σ =3
σ =4
σ =2
σ =2
α =9
α =10
α =11
α =12
α =13
α =14
α =9
α =8
α =6
α =4
β =19
β =20
β =21
β =22
β =23
β =18
β =18
β =12
β =10
β =12
δ =3
δ =4
δ =8
δ =10
δ =6
δ =2
δ =6
δ =8
δ =4
δ =4
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема №16. Математическая статистика.
В задачах 381-390 предполагается, что проведен некоторый эксперимент, в
результате которого получен набор данных.
Требуется:
1. Построить вариационный ряд частот или относительных частот;
2. Изобразить геометрически вариационный ряд, построив гистограмму частот;
3. Вычислить точечные оценки параметров распределения;
4. Высказать гипотезу о виде закона распределения признака и применить
критерий согласия хи-квадрат Пирсона на 5%-м уровне значимости;
5. Считая полученный набор данных генеральной совокупностью, сделать из
этой совокупности выборку объема 10, для которой:
а) вычислить точечные оценки параметров распределения – выборочную
среднюю арифметическую Х (10) и исправленную выборочную дисперсию
S 2 (10) , сравнить полученные значения с соответствующими характеристиками генеральной совокупности;
б) найти доверительный интервал для генеральной средней на уровне значимости α =0,05 при неизвестной и известной дисперсии;
в) найти доверительный интервал для генеральной дисперсии.
381. Техническая
таблицей:
90,1
109,9 99,1
76,2
82,2
80,0
79,9
81,4
84,0
45,5
59,1
60,1
72,4
68,5
80,7
70,7
67,0
100,4
79,1
78,0
83,9
77,0
76,1
88,1
92,1
91,5
76,7
89,4
85,4
93,1
длина стебля (см) у ста растений льна характеризуется
100,1
68,4
108,2
63,3
81,2
103,4
92,2
89,7
79,0
90,0
115,3
69,4
83,3
78,2
84,4
69,0
93,2
94,1
73,5
79,0
68,0
74,4
81,7
87,0
77,0
72,4
81,3
82,0
84,4
83,0
70,4
72,2
99,4
94,7
79,8
74,4
82,0
80,1
79,7
91,0
382. Выработка продукции предприятиями
тилеткой дается таблицей (в %):
136 146 123 144 138 127 152 140
140 124 141 134 143 138 150 126
138 114 142 152 146 139 135 132
134 150 161 142 132 135 140 157
138 158 126 137 128 139 132 120
133 145 131 145 139
72,3
69,4
98,0
91,5
81,6
66,1
86,4
81,0
84,0
87,2
73,0
80,0
102,2
88,2
84,3
67,3
89,1
77,0
79,6
80,3
70,1
59,2
101,7
90,1
50,2
52,0
93,5
80,0
84,1
54,7
в сравнении с предыдущей пя126
143
118
131
143
166
137
130
140
134
159
155
154
136
145
148
142
138
128
133
146
141
137
158
141
383. Количество деталей, выработанных каждым из 100 рабочих в течение
месяца:
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
245
236
222
228
217
269
232
207
287
253
225
248
259
257
265
269
263
255
249
268
245
271
262
242
252
273
248
253
268
238
255
269
234
251
216
246
243
265
266
294
259
282
292
226
279
245
249
279
213
246
213
285
268
236
261
242
274
232
254
252
277
263
254
235
266
295
252
278
255
263
266
239
202
265
251
266
243
268
249
292
243
253
238
265
241
279
269
279
255
248
257
274
231
246
254
255
249
231
282
275
384. 100 сверл были подвергнуты испытанию на твердость. При этом фиксировалась твердость лапки. Результаты испытания представлены в таблице:
36,1
37,2
31,2
38,6
34,1
37,2
35,1
36,9
30,6
37,2
34,3
35,2
30,9
35,3
36,1
39,3
32,7
34,6
36,8
39,2
28,4
30,1
35,1
36,7
38,2
40,7
36,8
39,3
32,7
37,1
29,3
28,3
40,3
34,6
37,3
32,1
41,3
33,3
40,4
34,8
37,1
41,2
39,4
35,4
36,8
35,4
34,7
34,7
43,3
41,2
35,4
40,8
37,0
39,1
33,2
39,2
37,3
41,2
45,0
33,4
34,7
39,3
36,9
32,8
34,8
36,8
38,4
37,0
40,6
42,1
38,1
36,7
33,4
38,6
36,9
32,7
31,2
32,4
41,3
30,3
39,3
37,3
32,5
34,4
39,3
33,1
33,4
38,3
43,4
35,4
36,8
32,0
39,4
36,3
35,4
37,3
34,7
32,4
36,7
39,0
385. В институте 80 групп студентов (по 30 человек в каждой). Во всех
группах проведена контрольная работа по математике. Сумма баллов, полученных каждой группой, дается в таблице:
128
83
122
104
115
109
130
110
75
77
112
131
142
122
101
132
149
47
113
82
100
131
100
106
129
135
86
126
78
119
96
56
122
136
143
91
86
130
139
132
119
129
130
108
130
125
50
134
77
85
114
132
115
70
86
43
123
138
145
109
100
123
138
131
141
106
58
136
129
108
127
140
125
105
135
123
117
104
118
92
97
118
118
138
139
107
125
61
386. Выход валовой продукции на 1 га с.х. угодий в (руб.) дается следующей таблицей (для нескольких хозяйств):
535
278
312
368
327
482
318
531
554
898
1030 390
334
423
393
1081 493
698
312
605
372
454
379
294
343
365
341
459
278
449
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
435
273
296
596
410
364
294
250
871
303
312
335
1031
414
443
390
301
279
457
396
313
447
582
1070
351
710
315
549
375
469
473
373
423
479
289
271
448
713
389
428
284
686
727
274
666
333
503
333
325
387. Исследователь, изучающий выработку на
дыдущему году, получил данные:
111 85
85
91
101 109 86
102
98
112 113 87
109 109 115 92
99
107 89
104 113 96
103 145
97
115 109 108 107 97
106 107
117 108 109 116 117 103 127 119
117 106 101 107 105 119 107 119
106 104 106 123 108 93
105 106
107 99
108 108 119 98
108 101
127 118 122 116 124 125 114 126
334
495
357
260
399
344
662
327
357
625
386
359
610
501
546
588
1081
320
381
одного рабочего в % к пре111
105
104
96
118
111
139
109
131
98
111
105
109
125
112
108
109
141
105
94
88
116
105
129
109
128
149
85
107
103
109
116
113
93
128
98
388. Имеются данные о дневном сборе клубники 50 колхозников (кг):
16,1
17,3
18,4
19,1
16,8
18,7
21,3
16,4
15,3
16,4
18,0
17,4
18,0
17,0
18,4
20,2
17,3
18,9
18,6
20,9
20,3
18,0
17,4
15,6
19,1
21,9
15,7
17,6
16,1
17,5
18,3
19,0
17,2
19,9
17,5
19,2
19,7
16,6
18,3
19,3
17,4
18,0
19,8
15,6
22,0
20,9
17,4
20,7
18,7
17,2
389. Контрольные обмеры диаметра валиков дали следующие результаты –
приведены два десятичных знака после запятой, целая часть равна 7мм:
39 43 54 64 40 55 26 42 50 32 31 28 52 46
63 38 44 52 53 37 33 24 13 53 53 39 57 51
34 39 47 51 48 62 58 57 33 51 40 30 48 40
57 51 40 52 56 40 34 23 37 48 48 62 35 36
40 45 29 48 58 44 56 28 59 47 62 54 20 38
43 35 56 51 47 40 29 20 46
390. Контрольные обмеры диаметров шариков дали следующие результаты
(указаны знаки после запятой) целая часть равна 5мм:
61 55 69 55 67 59 67 55 66 57 80 68 72 53
74 42 62 42 72 64 60 69 43 60 65 68 39 50
66 63 62 46 70 82 68 65 61 54 48 58 62 59
58 45 63 57 74 50 62 57 66 59 76 60 52 41
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В задачах 391-400 по данным задачи надо реализовать схему однофакторного дисперсионного анализа.
391. Имеются результаты конкурсного сортоиспытания озимой пшеницы
(урожайность в ц/га). Изучить влияние сорта на урожайность. Уровень значимости α =0,05.
Повторности
Сорт
1
2
3
4
Гибрид
32,2
32,7
30,7
33,3
Новоукраинка 84
35,2
35,2
32,2
33,8
Безостая 4
45,7
44,2
43,7
44,0
Скороспелка 3
42,5
54,5
35,7
53,7
Приазовская
36,8
37,0
38,0
37,8
392. На уровне значимости α =0,05 исследовать влияние предшественника
на урожайность озимой пшеницы Новоукраинка 84.
Повторности
Предшественник
1
2
3
4
Черный пар
35,2
35,2
32,2
33,8
Подсолнечник
42,4
37,4
40,7
38,2
Пласт трав
32,4
33,3
34,8
34,6
393. На уровне значимости α =0,05 исследовать влияние
рооборот за полгода (млн. руб., товары одного вида).
Месяц
Магазин
1
2
3
4
1
19
23
26
18
2
20
20
32
27
3
16
15
18
26
магазина на това5
20
40
19
6
20
24
17
394. На уровне значимости α =0,05 исследовать влияние возраста на содержание иммуноглобулина в сыворотке крови (в мг %).
Повторности
Возрастная группа
1
2
3
4
1
84
85
85
86
2
86
87
87
87
3
89
90
90
91
395. На химическом заводе разработаны два новых варианта технологического процесса. Чтобы оценить, как изменится дневная производительность
труда, завод в течение 5 дней работает по каждому варианту, включая существующий. Методом дисперсионного анализа на уровне значимости 0,01 исследовать влияние технологического процесса на дневную производительность завода (в условных единицах).
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Технологическая
схема
Существующая
Вариант 1
Вариант 2
1
46
74
52
2
48
82
63
День работы
3
73
64
72
4
52
72
64
5
72
84
48
396. На заводе разработаны три варианта технологического процесса и в
течение 5 дней завод работает по каждому процессу. На уровне значимости
α =0,01 исследовать влияние технологии на дневную производительность завода (в условных единицах).
Технологический
День работы
процесс
1
2
3
4
5
Вариант 1
44
66
46
60
48
Вариант 2
68
76
88
70
60
Вариант 3
70
78
68
70
54
397. Из группы полевых транзисторов взяты три выборки: в начале месяца,
в середине и в конце. Выяснить на уровне значимости α =0,01 влияние срока
изготовления на результаты измерения емкости (в пикафар.).
Срок изготовлеПовторности
ния
1
2
3
4
5
Начало месяца
2,8
3,2
2,9
3,5
3,3
Середина месяца
3,1
3,2
3,3
3,4
3,7
Конец месяца
3,6
2,8
3,0
3,2
3,0
398. На уровне значимости α =0,1 выяснить существенность влияния содержания катализатора на время химической реакции.
Содержание катаНомер эксперимента
лизатора
1
2
3
4
5
5%
5,9
6,0
7,0
6,5
5,5
10%
4,0
5,1
6,2
5,3
4,5
15%
8,2
6,8
8,0
7,5
7,0
399. Однотипные втулки обрабатывают на трех станках. Методом дисперсионного анализа исследовать зависимость диаметра этих втулок от типа станка. Уровень значимости α =0,05.
Повторности
Тип станка
1
2
3
4
5
1
2,066
2,063
2,068
2,060
2,067
2
2,063
2,060
2,057
2,056
2,059
3
2,063
2,059
2,062
2,062
2,060
400. В таблице приведен вес (кг) поросят, родившихся в различных опоросах. Методом дисперсионного анализа исследовать зависимость веса от номера
опороса. Уровень значимости α =0,1.
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Номер опороса
1
2
3
4
1
0,8
1,4
1,32
1,28
Повторности
2
3
1,12
1,32
1,12
1,28
1,44
1,04
1,32
1,28
4
1,28
1,4
1,24
1,16
В задачах 401-410 методом линейного корреляционного анализа исследовать зависимость результирующего признака Y от факторного признака X.
401. Исследовать зависимость между количеством осадков в мае – августе
Х (мм) и прибавкой урожая картофеля Y (ц/га)
Х
280
210
120
150
150
200
290
140
160
130
Y
154
140
43
64
68
200
180
85
100
51
402. Исследовать зависимость между длиной колоса озимой пшеницы Х
(см) и числом зерен Y в колосе.
Х
8
8,5
7,5
8,5
8
6
9
7
8
9
Y
33
29
26
31
29
24
26
25
28
34
403. Исследовать зависимость между успехами в чтении и арифметики по
данным таблицы, в которой представлены ряды оценок по тестам чтения и
арифметики.
Чтение Х
43
58
45
53
37
58
55
61
46
Арифметика 32
25
28
30
22
25
22
20
20
Y
404. Исследовать зависимость выхода продукта Y (кг/час) от температуры
реакции Х ( 0С) на некотором химическом производстве.
Х
51
32
80
73
64
45
83
44
93
Y
52,7
15,2
89,5
94,8
76
39,3
114,8 36,5
137,4
405. Исследовать зависимость издержек обращения Y (тыс. руб.) от величины розничного товарооборота магазинов Х (млн. руб.).
Х
0,48 0,51 0,53 0,54 0,57 0,59 0,62 0,64 0,65 0,66
Y
26
25
31
28
29
32
36
37
37
38
406. Исследовать зависимость выпуска продукции Y (тыс. руб.) от стоимости основных фондов Х (тыс. руб.).
Х
1295
1821
2109
2836
3454
4213
5192
5578
Y
1773
2614
2932
3310
4539
5931
6105
7243
407. Исследовать зависимость урожайности картофеля Y (ц/га) от уровня
внесения органических удобрений Х (т/га).
Х
37
35
37
29
40
36
32
30
32
39
Y
205
194
192
190
188
185
182
180
175
175
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
408. Методом корреляционного анализа исследовать связь между средним
доходом Х на семью (тыс. долларов) и разводов Y на 1000 жителей. Данные
взяты в 9 штатах США.
Х
4,9
6,3
6,4
6,2
5,8
4,2
4,9
6,7
6,0
Y
1,2
1,1
0,4
2,4
2,7
1,2
1,5
3,1
1,9
409. Исследовать зависимость между производством Х (тыс. тонн) и ценой
Y (дол.) вишни с 1960 по 1969г. (данные министерства сельского хозяйства
США).
Х
185
266
276
150
344
248
200
198
228
278
Y
227
217
163
345
154
165
299
325
294
188
410. В таблице указаны уровни добычи угля в Англии (млн. тонн). Методом корреляционного анализа для первых 10 лет построить прямую регрессии.
Последние три года использовать для сравнения прогноза с фактическим уровнем добычи.
Год Х
1958 59 60 61 52 63 64 65 66 67 68 69 70
Уровень 219 209 197 193 200 199 197 191 177 175 167 153 144
добычи
Y
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение типовых примеров.
Пример №1.(для задач 1-10). Вычислить определитель
2
1
3
∆ = − 1 2 2 . Напомним, что общий вид определителя третьего порядка сле3 −3 1
дующий:
а11
а12
а13
∆ = а 21
а 22
а 23 . Числа аij, i=1, 2, 3; j=1, 2, 3, называются элементами опреде-
а 31
а32
а33
лителя. Как видим, у всех элементов два индекса- первый индекс показывает
номер строки, второй - номер столбца, на пересечении которых находится элемент. Обратим внимание на первую строку и в ней элемент а12 , который равен
единице. С помощью соответствующего свойства определителей все элементы
второго столбца (кроме а12=1) обратим в нули.
Для этого сначала первую строку (все ее элементы!) умножим на (-2) и прибавим ко второй. Затем вновь первую строку умножим на (3) и прибавим к
третьей. По свойству определителей от прибавления кратной строки определитель не меняется. Указанные преобразования обозначим следующим образом:
2
1
3 (−2) (3)
∆ = −1 2 2
3 −3 1
2
1
3
−5 −4
= − 5 0 − 4 = (−1)1+ 2 ⋅
= −(−50 + 36) = 14.
9 10
9 0 10
Полученный определитель, у которого во втором столбце лишь один ненулевой элемент, разложили по второму столбцу.
Первая строка, которую мы умножали на числа и прибавили к другим (т.е. с которой мы работали), называется рабочей строкой, а элемент а12=1, с помощью
которого мы получали нули во втором столбце, называется разрешающим элементом.
Заметим, что это преобразование удобно для вычисления определителей высоких порядков.
Например, вычислим определитель четвертого порядка:
3
0
∆=
1
3
2 1 −1
3 1
2
(−3)(−3) =
3 −2 0
3 2
4
0 − 7 7 −1
− 7 7 −1
0 3
1
2
3+1
3 1 2
= (−1)
1 3 −2 0
−6 8 4
0 −6 8
4
Далее вычисляем определитель третьего порядка:
− 7 7 −1
∆= 3 1 2
−6 8 4
(2) (4)
− 7 7 −1
− 11 15
= − 11 15 0 = (−1)1+3 ⋅ (−1) ⋅
=
− 34 36
− 34 36 0
= −(−11 ⋅ 36 − 15(−34)) = −114.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример
2
(для
задач
11-20).
Векторы
а
и
в
образуют
угол
π
ϕ = ; а = 2, в = 5 . Вычислить : 1) площадь параллелограмма, построенного на
3
векторах 3 а +2 в и а -2 в ; 2) угол между этими векторами; 3) длины диагоналей
этого параллелограмма.
Решение. 1) По определению векторного произведения двух векторов, длина
(модуль) векторного произведения численно равна площади параллелограмма,
построенного на этих векторах. Обозначим площадь параллелограмма буквой
S. Тогда
S = 3а + 2в × а − 2в
(1)
(
) (
)
Пользуясь свойствами векторного произведения, преобразуем векторное
произведение, стоящее под знаком модуля:
(3 а +2 в ) × ( а -2 в )=3 а × а -6 а × в +2 в × а -4 в × в . Поскольку а × в =- в × а ,
а × а =0, в × в =0, то (3 а +2 в ) × ( а -2 в )=8 в × а , следовательно,
π
3
S = 3а + 2в × а − 2в = 8в × а = 8 в × а = 8 ⋅ а ⋅ в ⋅ Sin = 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅
= 40 3.
3
2
2) Угол между векторами (косинус угла) определяется с помощью скалярного
произведения. Обозначим буквой α угол между векторами (3 а +2 в ) и ( а -2 в ).
Тогда, поскольку
3а + 2в ⋅ а − 2в = 3а + 2в ⋅ а − 2в ⋅ Cosα , то
(
) (
(
)(
)
)
Cosα =
(3а + 2в )⋅ (а − 2в )
(2)
3а + 2в ⋅ а − 2в
Вычислим числитель и знаменатель этой дроби отдельно.
(3а + 2в )⋅ (а − 2в ) = 3а ⋅ а − 6а ⋅ в + 2в ⋅ а − 4в ⋅ в = 3а ⋅ а − 4а ⋅ в − 4в ⋅ в =
2
= 3 а − 4 а ⋅ в ⋅ Соs
π
3
2
− 4в = 3⋅ 4 − 4 ⋅ 2 ⋅5⋅
1
− 4 ⋅ 25 = −108 .
2
Длина вектора равна корню квадратному из скалярного произведения этого
вектора самого на себя, поэтому
3а + 2в =
(3а + 2в )⋅ (3а + 2в ) =
2
9а ⋅ а + 12а ⋅ в + 4в ⋅ в = 9 ⋅ а + 12 а в ⋅ Соs
π
3
2
+ 4в =
1
= 9 ⋅ 4 + 12 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ + 4 ⋅ 25 = 36 + 60 + 100 = 196 = 14
2
Аналогично
а − 2в =
(а − 2в )(а − 2в ) =
1
а ⋅ а − 4а ⋅ в + 4в ⋅ в = 4 − 4 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ + 4 ⋅ 25 = 84 = 2 21 Теперь
2
108
27
=−
, следовательно,
14 ⋅ 2 21
7 21
27 ⎞
27
⎛
α = arcCos⎜ −
.
⎟ = π − arcCos
7 21
⎝ 7 21 ⎠
По таблицам находим α ≈ π − arcCos0,84 ≈ 147 0 .
Соsα = −
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3)Если известны два вектора, служащие двумя сторонами параллелограмма,
то одна диагональ равна сумме этих векторов, а вторая разности. В нашей задаче это
с1 = (3а + 2в ) + (а − 2в ) = 4а, с2 = (3а + 2в ) − (а − 2в ) = 2а + 4в. Их длины определяем с помощью скалярного произведения так же, как в предыдущем пункте:
с1 = 4а = 4 ⋅ а = 8;
с 2 = 2 а + 4в =
(2а + 4в )(2а + 4в ) =
= 4а ⋅ а + 16а ⋅ вCosϕ + 16в ⋅ в = 4 ⋅ 4 + 16 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅
1
+ 16 ⋅ 25 = 16 + 80 + 400 = 496.
2
Пример 3 (к задачам 21-30 и 31-40). Даны координаты пирамиды АВСД; А(1,4,0), В(5,0,-2), С(3,7,-10), Д(1,-2,1).
Найти: 1) косинус угла между ребрами АВ и АД; 2) площадь грани АВС;
3) объем пирамиды АВСД; 4) длину высоты пирамиды, проведенной из точки
Д.
Решение. 1) Найдем координаты векторов АВ и АД , вычитая из координат
конца вектора координаты начала. Получим: АВ = (4,4,−2) , АД = (0,2,1) . Тогда,
обозначив угол между ними через α , по формулам (2) имеем
Cosα =
АВ ⋅ АД
АВ ⋅ АД
1
4 ⋅ 0 + 4 ⋅ 2 − 2 ⋅1
6
1
=
=
. Итак, Cosα = .
16 + 16 + 4 ⋅ 0 + 4 + 1
36 ⋅ 5
5
5
=
2) Обозначим площадь грани, т.е. треугольника АВС, через S. Из определения
векторного произведения получаем АВ × АС = 2S , т.к. длина векторного произведения равна площади параллелограмма, т.е. удвоенной площади треугольника.
Найдем координаты вектора АС = (2,11,−10) . По формуле для векторного произведения в координатной форме находим:
i j
k
4 −2
4 −2
4 4
−j
АВ × АС = 4 4 − 2 = i
+k
=
11 − 10
2 − 10
2 11
2 11 − 10
= −18i + 36 j + 36k = (− 18,36,36 ) = 18 ⋅ (− 1,2,2)
Итак, АВ × АС = 18 ⋅ (− 1,2,2) , тогда АВ × АС = 18 ⋅ 1 + 4 + 4 = 18 ⋅ 3 = 54 , следовательно,
S=27.
3) Для нахождения объема V пирамиды сначала заметим, что V=1/6V1, где
V1 – объем параллелепипеда, построенного на векторах АВ , АД и АС , а для
вычисления V1 используется смешанное произведение этих векторов:
4
(АВ, АД , АС ) = 0
4
−2
2
1
4 −2
2
1 =4
+2
= −108 .
11 − 10
2 1
2 11 − 10
Определитель разложили по первому столбцу (т.к. там имеется нуль). Смешанное произведение оказалось отрицательным, поэтому V1 = − 108 = 108 , а
V=1/6 ⋅108 = 18 . Итак, V=18.
1
3
4) Теперь легко определить высоту Н пирамиды, т.к. V = SH , откуда
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
H=
3V 3 ⋅18
=
= 2 . Итак, Н=2.
27
S
Пример 4 (для задач 41-50). Найти матрицу А-1, обратную для матрицы
⎛ 1 −1 3⎞
⎜
⎟
А = ⎜ 3 1 1⎟
⎜ 2 − 2 0⎟
⎝
⎠
Решение. Во-первых, проверим существует ли А-1. для этого надо вычислить
∆( А) (разлагаем по третьему столбцу):
1
∆ ( А) = 3
−1 2
1
1 =2
2 −2 0
3
1
2 −2
−
1
−1
2 −2
= 2 ⋅ (−8) − 0 = −16. ∆ ( А) ≠ 0 ,
следовательно,
А-1
существует. Как известно,
⎛ А11
1 ⎜
−1
А =
⎜ А21
∆( А) ⎜
⎝ А31
А12
А22
А32
Т
А13 ⎞
⎛ А11
⎟
1 ⎜
А23 ⎟ =
⎜ А12
∆( А) ⎜
⎟
А33 ⎠
⎝ А13
А21
А22
А23
А31 ⎞
⎟
А32 ⎟ ,
А33 ⎟⎠
(1)
где Аij - алгебраические дополнения для соответствующих элементов аij матрицы А; Т – знак транспонирования.
Находим алгебраические дополнения:
1 1
3 1
3 1
= 2, А12 = −
= 2, А13 =
= −8,
−2 0
2 0
2 −2
−1 2
1 2
1 −1
А21 = −
= −4, А22 =
= −4, А23 = −
= 0,
−2 0
2 0
2 −2
−1 2
1 2
1 −1
А31 =
= −3, А32 = −
= 5, А33 =
= 4.
1 1
3 1
3 1
А11 =
2
−8 ⎞
⎛ 2
⎛ 2 − 4 − 3⎞
⎟
⎟
1 ⎜
1⎜
Теперь А =
⎜ − 4 − 4 0 − 4 ⎟ = − ⎜ 2 − 4 5 ⎟.
16 ⎜
− 16 ⎜
⎟
4 ⎟⎠
⎝−3 5
⎠
⎝−8 0
−1
Читателю предлагается самостоятельно убедиться, что А ⋅ А −1 = А −1 А = Е.
Пример 5 (к задачам 41-50). Матричным способом, по формулам Крамера и
методом Гаусса решить СЛАУ
⎧ х1 + 3 х2 − х3 = 5
⎪
⎨ 2 х1 + х2 + х3 = −1
⎪3 х − 2 х − 3 х = 4
2
3
⎩ 1
⎛ 1 3 − 1⎞
⎜
⎟
Решение. Данной системе соответствует матрица системы А = ⎜ 2 1 1 ⎟ .
⎜ 3 − 2 − 3⎟
⎝
⎠
Находим определитель (главный) системы разложением по первой строке):
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
−1
3
2 1
1
1
2 1
1 =
−3
+ (−1)
= 33.
∆ ( А) = 2 1
−2 −3
3 −3
3 −2
3 −2 −3
∆А ≠ 0 , следовательно, можно использовать все три способа решения. Используем сначала
матричный метод.
⎛ ›1 ⎞
⎛5⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
X = A B,‹ЉЉХ = ⎜ ›2 ⎟, е = ⎜ − 1⎟ .
⎜› ⎟
⎜4⎟
⎝ 3⎠
⎝ ⎠
−1
(1)
Для получения обратной матрицы находим алгебраические дополнения.
1
1
2 1
2
= −1, A12 = −
= 9, A13 =
−2 −2
3 −3
3
3 −1
1 −1
1
A21 = −
= 11, A22 =
= 0, A23 = −
−2 −3
3 −3
3
3 −1
1 −1
1 3
A31 =
= 4, A32 = −
= −3, A33 =
1 1
2 1
2 1
A11 =
1
= −7.
−2
3
= 11,
−2
= −5.
T
⎛ − 1 11 4 ⎞
⎛−1 9 − 7⎞
⎟
⎟
1 ⎜
1 ⎜
−1
A = ⎜ 11 0 11 ⎟ = ⎜ 9 0 − 3 ⎟.
33 ⎜
33 ⎜
⎟
⎟
⎝ − 7 11 − 5 ⎠
⎝ 4 − 3 − 5⎠
Теперь по формуле (1) получаем:
⎛ x1 ⎞
⎛ − 1 11 4 ⎞ ⎛ 5 ⎞
⎛ − 5 − 11 + 16 ⎞
⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜
⎟ 1 ⎜
1 ⎜
−1
X = ⎜ x 2 ⎟ = A B = ⎜ 9 0 − 3 ⎟ ⋅ ⎜ − 1⎟ = ⎜ 45 − 12
⎟ = ⎜ 33 ⎟ = ⎜ 1 ⎟.
33 ⎜
⎟ ⎜ ⎟ 33 ⎜ − 35 − 11 − 20 ⎟ 33 ⎜ − 66 ⎟ ⎜ − 2 ⎟
⎜x ⎟
⎝ 3⎠
⎝ − 7 11 − 5 ⎠ ⎝ 4 ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
т.е. ⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 1 ⎟ или х1=0, х2=1, х3=-2.
⎜ x ⎟ ⎜ − 2⎟
⎝ 3⎠ ⎝ ⎠
Воспользуемся теперь формулами Крамера. Сначала вычисляем вспомогательные определители:
5
3
−1
1
1
−1 1
−1 1
∆1 = − 1 1
1 =5
−3
−
= 5(−1) − 3(−1) − (−2) = 0.
−2 −3
4 −3 4 −2
4 −2 −3
1
5
−1
1
3
5
∆3 = 2
1
−1 =
−1 1
2 1
2 −1
∆2 = 2 −1 1 =
−5
−
= −1 − 5(−9) − (11) = 33,
4 −3
3 −3 3 4
3 4 −3
3 −2
4
1
−1
−2
4
−3
2 −1
3
4
+5
2
1
3 −2
= 2 − 3(11) + 5(−7) = −66.
Определитель ∆ i (i = 1,2,3) получен из ∆ заменой i-го столбца столбцом
свободных членов.
Итак, ∆ =33, ∆ 1=0, ∆ 2=33, ∆ 3=-66, следовательно, по формулам Крамера
x1 =
∆1
∆
∆
33
− 66
= 0; x 2 = 2 =
= 1; x 3 = 3 =
= −2.
33
∆
∆
33
∆
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ответ: х1=0, х2=1, х3=-2.
Решаем теперь методом Гаусса - расширенную матрицу А* приводим к
ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований, каковыми являются:
1. Перемена местами любых двух строк (обозначаем знаком
);
2. Умножение любой строки на любое число α , отличное от нуля (обозначим ( α ));
3. Прибавление кратной строки.
В результате получаем матрицу, эквивалентную (равносильную) данной;
~ - знак равносильности.
⎛ 1 3 − 1 5 ⎞ (−2)(−3) ⎛ 1 3 − 1 5 ⎞
⎛1 3 −1 5 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A* = ⎜ 2 1
1 − 1⎟
~ ⎜ 0 − 5 3 − 11⎟
~ ⎜ 0 − 5 3 − 11⎟ ~
⎜3 − 2 − 3 4 ⎟
⎜ 0 − 11 0 − 11⎟ (−1 / 11) ⎜ 0 1
0 1 ⎟⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎛1 3 −1 5 ⎞
⎛1 3 −1 5 ⎞
⎛1 3 −1 5 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
~ ⎜0 1
~ ⎜0 1 0 1 ⎟
0 1 ⎟ (5) ~ ⎜ 0 1 0 1 ⎟
⎜ 0 − 5 3 − 11⎟
⎜ 0 0 3 − 6 ⎟ (1 / 3) ⎜ 0 0 1 − 2 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Во-первых, обратим внимание на три числа: ранги матриц А и А* R(A),
R(A*) и число неизвестных n. В нашем примере все преобразования, проводимые с матрицей А*, затрагивали одновременно и матрицу А - она отделена вертикальной чертой. Поэтому вместе с рангом матрицы А* видим и ранг матрицы
А, подсчитав число ненулевых строк ступенчатой матрицы, которая отделена
вертикальной чертой.
Основополагающей теоретической базой является теорема Кронекера-Капелли, которую схематично можно записать так:
R(A)=R(A*)=n ⇔ система имеет единственное решение;
R(A)=R(A*)<n ⇔ система имеет бесчисленное множество решений;
R(A)<R(A*) ⇔ система решений не имеет (несовместна).
Итак, в нашем примере R(A)=R(A*)=n=3, следовательно, по теореме Кронекера-Капелли система имеет единственное решение. Для решения сопоставим ступенчатой матрице систему:
⎧ x1 + 3 x 2 − x 3 = 5
⎪
x2
= 1 Как видим, система решается просто, «снизу вверх»:
⎨
⎪
x 3 = −2
⎩
х3=-2 и х2=1. Подставляем в первое уравнение и получаем х1=5+х3-3х2=5-2-3=0.
Итак, система имеет единственное решение х1=0, х2=1, х3=-2 - единственный вектор - решение x 0 = (0,1,−2).
Пример 6 (к задачам 51-70). Даны координаты четырех точек M(-1,1,-5),
N(3,5,-7), P(1,12,-15), Q(-1,3,-4).
Требуется: 1) составить уравнение прямой MN; 2) составить уравнение плоскости MNP; 3) составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярную плоскости MNP; 4) найти точку пересечения этой прямой
с плоскостью MNP; 5) найти расстояние от точки Q до плоскости MNP
(двумя способами).
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. 1) Уравнение прямой МN напишем как уравнение прямой, проходях − х1
y − y1
z − z1
=
=
⇒
х2 − х1 y2 − y1 z2 − z1
x +1 y −1 z + 5
x − (−1) y − 1
z − (−5)
x +1 y −1 z + 5
=
=
⇒
=
=
или MN:
=
.
=
3 − (−1) 5 − 1 − 7 − (−5)
4
4
−2
2
2
−1
щей через две точки
2) Уравнение плоскости MNP запишем как уравнение плоскости, проходящей
х − (−1)
у −1
z − (−5)
через три точки: 3 − (−1)
5 − 1 − 7 − (−5) = 0 ⇒
1 − (−1) 12 − 1 − 15 − (−5)
x +1 y −1 z + 5
4
4
2
11
4 −2
4 −2
− 2 = 0 ⇒ ( x + 1)
− ( y − 1)
+
11 − 10
2 − 10
− 10
4 4
= 0 ⇒ ( x + 1)(− 40 + 22 ) − ( y − 1)(− 40 + 4) +
2 11
+ ( z + 5)(44 − 8) = 0 ⇒ −18( x + 1) + 36( y − 1) + 36( z + 5) = 0 ⇒
x + 1 − 2( y − 1) − 2( x + 5) = 0 ⇒ MNP : x − 2 y − 2 z − 7 = 0.
+ ( z + 5)
3) Для написания уравнения прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно
плоскости
MNP,
воспользуемся
уравнением
прямой
x − x0 y − y 0 z − z 0
с опорной точкой (x0, y0, z0) и направляющим векто=
=
e
m
n
ром
S =(
, m, n ), взяв точку Q в качестве опорной точки, а в качестве на-
правляющего вектора
MNP:
S
искомой прямой вектор нормали плоскости
N =(1,-2,-2). Тогда получим:
х − (−1) у − 3 z − (−4)
=
=
или
−2
−2
1
x +1 y − 3 z + 4
=
=
1
−2
−2
-уравнение искомой прямой.
4) Обозначим точку пересечения полученной прямой с плоскостью MNP буквой R. Уравнение прямой QR запишем в параметрическом виде:
⎧x = λ + 1
х −1 у − 3 z + 4
⎪
= λ ⇒ ⎨ y = −2λ + 3
=
=
1
−2
−2
⎪ z = − 2λ − 4
⎩
Подставим эти уравнения в уравнение плоскости MNP:
( λ +1)-2(-2 λ +3)- 2 ⋅ (2λ − 4) − 7 = 0 ⇒ 9 λ =-4, λ =-4/9.
Итак, х=-4/9+1=5/9; у=8/9+3=35/9; z=8/9-4=-28/9, т.е. получили координаты
точки R(5/9;35/9;-28/9).
5)Найдем теперь расстояние от точки Q до плоскости MNP двумя способами.
Во-первых, это расстояние равно длине вектора
2
2
2
2
QR :
2
2
324 81
⎛ 5 ⎞ ⎛ 35
⎞ ⎛ 28
⎞
⎛ 14 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 8 ⎞
QR = ⎜ + 1⎟ + ⎜ − 3 ⎟ + ⎜ −
+ 4⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =
=
= 2.
81
9
⎠
⎝9 ⎠ ⎝ 9
⎠ ⎝ 9
⎝ 9 ⎠ ⎝9⎠ ⎝9⎠
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Во-вторых, воспользуемся формулой расстояния Н от точки М0(x0, y0, z0) до
плоскости Ах+Ву+Сz+Д=0: H =
Ax0 + By0 + Cz0 + Д
. Получим:
А2 + В 2 + С 2
(−1) − 2(−3) − 2(−4) − 7 1 − 6 + 8 − 7 − 6 6
Н = QR =
=
=
= = 2 Видим, что оба способа
3
3
3
1+ 4 + 4
дают одинаковый результат.
Пример 7 (к задачам 81-90). Даны вершины треугольника MNP: М(-8,-3), N(4,12), P(8,10). Требуется найти: 1) длину стороны MN; 2) уравнение сторон MN и
NP и угловые коэффициенты; 3) угол N; 4) уравнение высоты РQ и её длину; 5)
уравнение медианы МS.
Решение. Сначала сделаем чертеж.
Y
P
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
0
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
6
7
8
9
10
S
-2
M
-3
-4
-5
-6
Q
-7
-8
-9
-10
N
1) Длину стороны МN находим как длину вектора
MN =(4-(-8);-12-(-3))=(12;9):
MN = 12 + (−9) = 15.
2
2
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2) Уравнения сторон МN и NP находим как уравнения прямых, проходящих чех − х1
у − у1
.
=
х2 − х1 у2 − у1
х − (−8)
у − (−3)
х +8 у +3
х +8 у +3
=
⇒
=
⇒
=
.
МN:
−9
4 − (−8) − 12 − (−3)
12
4
−3
х − 4 у − (−12)
х − 4 у + 12
х − 4 у + 12
NP:
=
⇒
=
⇒
=
.
8 − 4 10 − (−12)
4
22
2
11
рез две точки:
Уравнение МN запишем в виде у+3=-3/4(х+8), откуда находим её угловой коэффициент: КMN=-3/4. Аналогично для прямой NP:
у + 12 =
11
11
( х − 4) ⇒ К NP = .
2
2
3) угол N треугольника находим с помощью скалярного произведения векторов
NM = (−12,9) и NP = (2,11) :
CosN =
NM ⋅ NP
NM ⋅ NP
(−12) ⋅ 2 + 9 ⋅ 11
=
(−12) 2 + 9 2 ⋅ 2 2 + 112
=
− 24 + 99
75
1
=
=
,
15 ⋅ 5 5
75 ⋅ 5
5
1
итак, N = arcCos
≈ 630
5
Можно угол N находить с помощью угловых коэффициентов прямых NМ и NP,
т.е. по формуле
25
3 11
−
−
k −k
4 = 2, m.e. N = arctg 2 ≈ 630.
4 2 =
tgN = 2 1 =
33
1 + k1k 2
⎛ 3 ⎞ 11 1 −
1+ ⎜ − ⎟ ⋅
8
⎝ 4⎠ 2
−
4) уравнение высоты РQ напишем по формуле у-у0=к(х-х0), воспользовавшись
условием перпендикулярности прямых РQ и МN: K PQ ⋅ K MN = −1 ,
K PQ =
4
4
⇒ PQ : y − 10 = ( x − 8) ⇒ 4 x − 3 y − 2 = 0.
3
3
Для нахождения длины вектора РQ воспользуемся формулой расстояния от точки Р до прямой МN:
РQ=
3х р + 4 у р + 36
32 + 4 2
=
3 ⋅ 8 + 4 ⋅10 + 36 100
=
= 20
5
5
Разумеется, к этому же результату можно придти по другому: можно найти координаты точки Q – пересечения МN и РQ, решив совместно их уравнения:
⎧3х + 4 у = −36
⎨
⎩4 х − 3 у = 2
Применим формулы Крамера:
∆=
3
4
4
= −9 − 16 = −25,
−3
∆х =
− 36
2
4
= 108 − 8 = 100 ,
−3
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∆у =
3 − 36
∆
= 6 + 144 = 150 ⇒ х = х = −4,
4
2
∆
Итак, Q(-4,-6), тогда
у=
∆у
= −6.
∆
PQ =(-12,-16),
PQ = (−12) 2 + (−16) 2 = 400 = 20.
5) Точка S – середина отрезка PN, её координаты находим по формуле:
xs =
xP + x N
;
2
ys =
yP + y N
⇒ xs = 6, ys = −1, ⇒ S (6,−1).
2
Теперь через две точки напишем уравнение МS:
х−6
у +1
х − 6 у +1
х − 6 у +1
=
⇒
=
⇒
=
.
− 8 − 6 − 3 +1
− 14
−2
7
1
x 2 − 3x + 2
.
x → 2 3 x 2 + x 2 − 4 x − 20
Пример 8 (к задачам 81-90). Вычислить lim
Решение. Подставив х=2 получим неопределенность типа 0/0. Это означает, что
многочлены х2-3х+2 и 3х3+х2-4х-20 обращаются в нуль при х=2, т.е. х=2 является корнем обоих многочленов и оба многочлена делятся без остатка на (х-2).
Проще всего деление осуществлять уголком:
x2-3x+2 ⎣_x-2_
3x3+x2-4x-20 ⎣x-2
⎪ x-1
⎪ 3x2+7x+10
x2-2x
3x3-6x2
-x+2
7x2-4x-20
-x+2
7x2-14x
0
10x-20
10x-20
0
Результатами делений являются равенства: х2-3х+2=(х-2)(х-1);
3х2+х2-4х-20=(х-2)(3х2+7х+10).
(x − 2)(x − 1) =
x 2 − 3x + 2
= lim
3
2
x → 2 3 x + x − 4 x − 20
x → 2 ( x − 2 ) 3 x 2 + 7 x + 10
x −1
2 −1
1
= lim 2
=
= .
x → 2 3 x + 7 x + 10
3 ⋅ 4 + 7 ⋅ 2 + 10 36
Теперь, lim
(
)
Пример 9 (к задачам 81-90). Вычислить lim
x →5
5x − x
.
x −5
Решение. Вновь имеем определитель типа 0/0, но в данном случае усложнение
обусловлено наличием радикала: аргумент х «спрятан» под радикалом. Поскольку х → 5, то х − 5 → 0 и простейшим источником неопределенности является (х-5). Этот множитель уже имеется в знаменателе, а в числителе его нужно
получить. Для этого применяются искусственные приемы. В данном случае
домножим числитель и знаменатель на выражение ( 5 х + х ), сопряженное чис47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лителю с тем, чтобы для избавления от иррациональности в числителе использовать формулу разности квадратов: (а-в)(а+в)=а2-в2. Получим:
lim
x →5
= lim
x →5
5x − x
= lim
x →5
x−5
x(5 − x )
(x − 5)(
(
) ( 5x + x ) = lim 5x − x =
( x − 5) ⋅ ( 5 x + x )
(x − 5)( 5 x + x )
5x + x
5x − x ⋅
2
x →5
)
= lim
x →5
− x( x − 5)
(x − 5)(
5x + x
)
= − lim
x →5
Рассмотрим теперь случаи, когда x → ∞ .
(
x
5x + x
)
=
1
−5
=− .
10
2
7x2 − x + 3
.
x →∞ 3 x 2 + 2 x + 7
Пример 10 (к задачам 81-90). Вычислить lim
∞
и поскольку сам аргумент x → ∞ ,
∞
то основным источником неопределенности является аргумент х в наивысшей
степени, в нашем случае х2. Его и надо выделить в числителе и знаменателе.
Поступают двояко (что в принципе одинаково). Можно числитель и знаменатель поделить на х2:
Решение. Имеем неопределенность типа
7x2 − x + 3
1
7− +
2
2
7x − x + 3
x
lim 2
= lim 2 x
= lim
x →∞ 3 x + 2 x + 7
x →∞ 3 x + 2 x + 7
x →∞
2
3+ +
x
x2
1
3
Мы учли, что lim = 0, lim 2 = 0 т.д.
x →∞ x
x →∞ x
3
x2 = 7
7
3
2
x
Можно поступить по другому: вынести в числителе и знаменателе за скобки х2
(чтобы потом сократить):
1 3 ⎞
⎛
1 3
x2 ⎜7 − + 2 ⎟
7− + 2
7x − x + 3
x
x
⎠ = lim
x x =7.
lim 2
= lim ⎝
x →∞ 3 x + 2 x + 7
x →∞
2 7
2 7 ⎞ x →∞
⎛
3+ + 2 3
x2 ⎜3 + + 2 ⎟
x x
x x ⎠
⎝
1 − cos 3x
Пример 11 (к задачам 81-90). Вычислить lim
.
x→0
x2
2
Решение. При подстановке предельного значения аргумента х=0 получаем неопределенность типа 0/0 и поскольку участвуют тригонометрические функции,
sin x
= 1 . На практике чаще
x →0
x
следует применять 1-й замечательный предел: lim
всего первый замечательный предел применяется в более общей формулировке:
sin α ( x)
= 1 . Теперь пере0
α ( x)
пусть х → х0 и при этом функция α( х) → 0 , тогда xlim
→x
ходим
к
вычислению
указанного
предела.
Воспользуемся
формулой
3x
.
1 − cos 3 x = 2 sin 2
2
Тогда
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3x
3x
3x
2 sin 2
2 sin ⋅ sin
1 − cos 3 x
2 = lim
2
2 =
= lim
lim
x →0
x →0
x →0
x2
x2
x2
3x
3x
3x
3x
sin ⋅ sin
sin
sin
9
2 =9.
2
2 = lim
2 ⋅ lim
= 2 lim
x →0
x →0
3x 3x 4
3x
2 x→0 3x
2
⋅ ⋅
2 2 9
2
2
Пример 12 (к задачам 81-90). Вычислить lim sin
x→2
x−2
πx
⋅ tg .
2
4
Решение. Подстановка предельного значения аргумента дает неопределенность
типа 0. ∞ . Кроме того, аргумент стремится к двум ( х → 2 ), а не к нулю. В таких
случаях удобно провести замену переменной у=2-х и если х → 2 , то у → 0 .
Оформим это следующим образом:
lim sin
x →2
у = 2− х⇒ х = 2− у
x−2
πx
⋅ tg
= (0 ⋅ ∞ ) =
=
у → 0 при х → 2
2
4
π (2 − y )
⎛− y⎞
⎛ − y ⎞ ⎛ π πy ⎞
= lim sin ⎜
= lim sin ⎜
⎟ ⋅ tg⎜ − ⎟ =
⎟ ⋅ tg
y →0
y
→
0
4
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝2 4 ⎠
y
⎛− y⎞
sin ⎜
⎟ = − sin
y
πy
2
⎝ 2 ⎠
=
= lim sin ⋅ ctg
=
y
→
0
π
π
π
y
y
⎛
⎞
2
4
tg⎜ − ⎟ = ctg
4
⎝2 4 ⎠
y
πy
cos
sin
y
4 = − lim
2 ⋅ cos πy =
= − lim sin ⋅
y →0
y
→
0
y
y
π
π
2 sin
4
sin
4
4
y
y
π
⎡
⎤
⎢ sin 2
⎥ 2
πy
2
2
− lim ⎢
⋅ 4 ⎥ ⋅ ⋅ cos
= − ⋅ cos 0 = −
y →0
y
πy
4
π
π
⎢
sin ⎥ π
4 ⎦
⎣ 2
Заметим, что мы искусственно в скобках «подогнали» под формулу первого за⎛2⎞
мечательного предела, в связи с чем нам пришлось домножить на ⎜ ⎟ .
⎝π⎠
x
2x + 1 ⎞
⎟ .
⎝ 2x + 3 ⎠
⎛
Пример 13 (к задачам 81-90). Вычислить lim
⎜
x→∞
Решение. Вспомним правило (см. пример 13), что при х → 0 предел отношения
двух многочленов одинаковой степени равен отношению их старших коэффи-
циентов, и получим в данном примере неопределенность типа 1∞ . Поскольку
фигурирует показательная функция, то раскрывать эту неопределенность слеx
дует
с
lim(1 + x )
x →0
помощью
1
x
второго
замечательного
предела
⎛ 1⎞
lim⎜1 + ⎟ = e ,
x→∞
x⎠
⎝
или
= e , где e ≈ 2,7 . Второй замечательный предел применяется в более
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
общей формулировке: пусть х → х0 (в частности х → ∞ ) и при этом функция
α ( х) → 0 , тогда lim (1 + α ( x) )
1
α ( x)
x→ x0
=e.
Теперь обратимся к заданному пределу. Общая формула второго замечательного предела означает, что под знаком предела стоит сумма единицы и некоторой
бесконечно малой функции α ( х) (α ( х) → 0) , а в показателе степени находится
1
. Вот и «подгоним» заданный предел под форму второго замечательного
α( х)
предела (добавив и отняв единицу):
x
x
x
−2 ⎞
⎛ 2x + 1 ⎞
⎛ 2x + 1 ⎞
⎛
⎛ 2x + 1 − 2x − 3 ⎞
∞
lim⎜
− 1⎟ = lim⎜1 +
= lim⎜1 +
⎟ = (1 ) = lim⎜1 +
⎟
⎟
x →∞
x →∞
x →∞ 2 x + 3
x →∞
2x + 3
⎝ 2x + 3 ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝ 2x + 3 ⎠
x
Продолжаем «подгонять» под общую формулу второго замечательного предела. Получили в нашем случае α ( х) =
−2
, следовательно
2х + 3
x
−2 ⎞
−2 ⎞
⎛
⎛
Поэтому lim
⎜1 +
⎟ = lim
⎜1 +
⎟
x→∞
x
→∞
⎝ 2x + 3 ⎠
⎝ 2x + 3 ⎠
2 x +3
−2
⋅ x⋅
2 x +3
−2
1
2х + 3
α ( х) =
−2
.
=
−2 x
2 x +3 2 x +3
⎡
⎤
−2 x
−2
−
2
⎛
⎞
2 x+3
⎢
⎥
= lim ⎜1 +
= lim e
= e −1 .
⎟
x→∞ ⎢
x →∞
⎥
x
+
2
3
⎝
⎠
⎣
⎦
Мы воспользовались тем, что
−2 ⎞
⎛
lim⎜1 +
⎟
x →∞
⎝ 2x + 3 ⎠
2 x +3
−2
=e и
− 2x
= −1 .
x →∞ 2 x + 3
lim
Пример 14 (к задачам 91-100). Провести исследование на непрерывность указанных функций и схематично построить их графики.
а) у = 2
1
( х −1)
⎧ х + 1, если х ≥ 1
, б) у = ⎨
2
⎩ х − 1, если х < 1
.
Решение. Наиболее удобным для практики определением непрерывности функции у=f(х) в точке х0 являются равенства
lim f ( x) = lim f ( x) = f ( x0 )
(1)
x → x −0
x→ x + 0
0
0
или в словесной формулировке:
если предел функции при х → х0 слева равен пределу функции при х → х0
справа и равен значению функции в точке х0, то функция называется непрерывной в этой точке.
Если же хотя бы одно равенство в формуле (1) нарушается или не существует
хотя бы один предел в этой формуле, то функция называется разрывной в этой
точке.
Доказано, что все элементарные функции непрерывны во всех точках, в которых они определены. Другими словами, элементарные функции могут быть
разрывными лишь в тех точках, в которых они не определены. Именно эти точки и следует исследовать на непрерывность или определять характер разрыва.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
а) Функция f ( x) = 2 ( x−1) определена везде, кроме точки х=1. Находим предел
функции при х → 1 − 0 , т.е. левосторонний предел. Это значит, что аргумент
стремится к единице, оставаясь всё время меньшим единицы и, следовательно,
разность (х-1) будет стремиться к нулю, оставаясь всё время отрицательным
числом. Тогда показатель степени 1/(х-1) будет стремиться к
(- ∞ ), а сама
функция к нулю. Коротко оформляем это следующим образом:
lim 21 /( x−1) = 21 /(1−0−1) = 21 /( −0 ) = 2 −∞ = 0
x→1−0
Аналогично
lim 21 /( x−1) = 21 /(1+0−1) = 21 /( +0) = 2 +∞ = ∞ .
x→1+0
Итак, по крайней мере один из односторонних пределов бесконечный, следовательно, в точке х=1 функция терпит разрыв II рода с бесконечным скачком, а
прямая х=1 является вертикальной асимптотой.
Надо заметить, что понятие непрерывности функции в точке является локальным понятием, т.е. описывает поведение функции в малой окрестности этой
точки и не доставляет ни какой информации о том, как ведет себя функция при
удалении от этой точки. В дальнейшем мы познакомимся с методами полного
исследования функций и точного построения графика. Пока же ограничимся
схематичным построением графика, для чего используем умение находить пределы функций при х → ±∞ :
lim 21/( x−1) = 21/ ∞ = 2 0 = 1, т.е. y → 1 при х → ±∞ . Это означает, что прямая у=1 является
x→±∞
горизонтальной асимптотой графика функции. Объединяя все рассуждения
строим график.
Стрелкой на левой ветви графика обозначен тот факт, что функция при
х → 1 − 0 стремится к нулю, но никогда его не достигает (она в точке х=1 не определена!).
⎧ х + 1, если х ≥ 1
задана несколькими аналитическими вы2
⎩ х − 1, если х < 1
б) Функция у = f ( x) = ⎨
ражениями. Её график как бы «склеен» из нескольких частей (ветвей): когда 1<х<1, т.е. х <1 функция равна (х2 - 1), а на остальной части области определения она равна (х +1). Поскольку части графика являются известными из школьной программы функциями, то легко сразу построить график и всей функции.
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Конечно, при этом особенно тщательно надо следить за теми точками, в которых происходит «склеивание» различных частей графика.
y
2
1
-1
1
0
x
-1
Те части линий (х+1) и (х2-1), которые «выбрасываются», т.е. не принадлежат
заданной функции показаны штриховыми линиями.
Поскольку, как уже упоминалось, все элементарные функции непрерывны в
своей области определения, то возможными точками разрыва могут быть лишь
«места склеивания» частей графика или, как говорят, те точки, в которых функция меняет свое аналитическое выражение. В нашем примере таких точек две: х
= -1 и х = 1. Проверяем для них равенства (1):
lim f ( x) = lim ( x + 1) = −1 + 1 = 0 ,
x→−1=0
x → −1
lim f ( x) = lim ( x 2 − 1) = 0 ,
x→−1+0
x→−1
f (−1) = ( x + 1) x =−1 = 0 ,
и делаем вывод, что функция непрерывна в точке х=-1. Заметим, что при вычислении односторонних пределов выбиралось то аналитическое выражение,
которое соответствует заданию функции. То же можно сказать и при вычислении значения функции в точке х=1. График другого аналитического выражения
снабжен стрелкой (см. чертеж).
То же проделаем для точки х=+1:
lim f ( x) = lim( x 2 − 1) = 0 ,
x→1−0
x→1
lim f ( x) = lim( x + 1) = 2 .
x→1+ 0
x→1
Далее можно не продолжать проверять равенства (1) – уже ясно, что функция в
точке х=1 терпит разрыв I-го рода – разрыв с конечным скачком. Скачек функции в точке х=1 равен разности lim f ( x) − lim f ( x) = 2 . Отметим, что все вычисx→1+ 0
x→1−0
ления хорошо согласуются с графиком функции.
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример
15
(к
задачам
101-110).
Найти
производную
функции
y = f ( x) = 11x 2 + 2 x − 1 .
Решение. Эти задачи призваны привлечь читателя к процессу «появления» производной функции на основании определения производной. Именно так появляется таблица производных.
По определению имеем для заданной функции:
f ( x + ∆x) − f ( x)
∆y
=
= lim
∆
x
→
0
∆x
∆x
11 x 2 + 2 x ⋅ ∆x + (∆x) 2 + 2 x + 2∆x − 1 − 11x 2 − 2 x + 1
= lim
=
∆x→0
∆x
22 x ⋅ ∆x + 11(∆x) 2 + 2∆x
= lim
= lim (22 x + 2 + 11 ⋅ ∆x) = 22 x + 2 .
∆x →0
∆x →0
∆x
y ′ = lim
∆x →0
(
)
′
Итак, получим: (11х 2 + 2 x − 1) = 22 х + 2 .
(к задачам 111-120). Найти производную функции
у = arcCos (5 − ln x) .
Решение. Заметим сначала, что научиться находить производные функции (т.е.
дифференцировать) можно только на достаточно большом числе примеров. Вопервых, надо очень хорошо (как таблицу умножения) помнить таблицу производных; и, в-третьих, уметь применять формулу производной сложной функции.
Пусть имеется функция у = f (u ) , где аргумент u не является независимым,
а также является некоторой функцией u = g (x) независимого аргумента x . Тогда
можно записать y = f (u ) = f ( g ( x)) , т.е. y = fg (x)). Иначе говоря, переменная y является результатом воздействия на аргумент x последовательно двух функций,
т.е. y есть функция (f) от функции (g) аргумента x . В таких случаях говорят,
что y является суперпозицией двух функций или сложной функцией аргумента
x.
Например, функция y = Sinx - простая функция, (она включена в таблицу
производных), а функция y = Sin(5 x + 3) уже сложная, т.к. y = Sinu, где u = 5 x + 3.
Формула производной сложной функции имеет следующий вид: пусть
y = f (u ) , где u = g ( x) и, следовательно, y = f ( g ( x)). Тогда y ′x = y u′ ⋅ u ′ . В этой формуле производные снабжены индексами. Они обозначают независимые аргументы, по которым производится дифференцирование. Таким образом, для того, чтобы продифференцировать сложную функцию, надо знать, в сущности,
лишь таблицу производных, - дифференцирование сложной функции сводится
к перемножению табличных производных (по соответствующим аргументам).
Например, чтобы найти y ′x = ( Sin(5 x + 3))′ , представим y = Sin(5 x + 3) как
сложную: y = Sinu , где u = 5 x + 3 . Тогда по формуле производной сложной функции получаем:
y u′ = ( Sinu )′u = Cosu; u ′x = (5 x + 3)′x = 5 и в итоге:
Пример
16
3
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y ′x = ( Sin(5.x + 3))′x = y u′ ⋅ y ′x = Cosu ⋅ 5 = Cos (5 x + 3) ⋅ 5
На практике стараются избегать излишней громоздкости и явно не вводят
промежуточный аргумент u , тем более, что потом все равно нужно заменять
его через независимый аргумент. Поэтому запись дифференцирования оформляется следующим образом:
y ′ = ( Sin(5 x + 3))′x = Cos (5 x + 3) ⋅ (5 x + 3)′ = Cos (5 x + 3) ⋅ 5.
Теперь обратимся к заданной функции:
y ′x = (arcCos 3 (5 − ln x))′x = ((arcCos (5 − ln x)) 3 )′ = 3(arcCos (5 − ln x)) 2 ⋅
−1
⋅ (arcCos (5 − ln x))′ = 3arcCos 2 (5 − ln x) ⋅
⋅ (5 − ln x)′ =
1
3arcCos (5 − ln x)
.
⋅ (0 − ) =
x
1 − (5 − ln x)
x ⋅ 1 − (5 − ln x) 2
dy
Итак, мы нашли y ′ или
. Еще раз продифференцировав полученную
dx
d2y
функцию по тем же правилам получим y ′′ = 2 и т.д.
dx
=−
3arcCos (5 − ln x)
1 − (5 − ln x)
2
2
2
2
Пример 17 (к задачам 121-130). Провести полное исследование функции
y=
x +1
и построить ее график.
x
2
Решение. Исследование предлагается провести в несколько этапов, которые соответствующим образом озаглавим.
1.Исследование на непрерывность, построение асимптот.
Начинаем с области определения функции: функция определена (следовательно, непрерывна) везде, кроме точки х=0. Исследуем характер разрыва в
точке х=0.
x2 +1
=
lim
x → −0
x
x2 +1
=
lim
x → +0
x
0 +1
1
=
= −∞,
−0 −0
0 +1
= +∞
+0
Таким образом, в точке х=0 функция терпит разрыв II рода с бесконечным скачком, а прямых х=0 (т.е. ось OY) является вертикальной асимптотой
графика функции.
Найдем наклонные (в частном случае горизонтальные) асимптоты. Изy
x
вестно, что уравнение наклонных асимптот имеет вид y = kx + в, где k = xlim
,а
→ ±∞
после нахождения углового коэффициента k находим в = lim ( y − kx). В нашем
x → ±∞
случае получаем:
y
x2 +1
x2 +1
= lim
= lim
= 1, k = 1;
x → ±∞ x
x → ±∞ x ⋅ x
x → ±∞
x2
⎛ x2 +1
⎞
x2 + 2 − x2
x2 +1− x2
1 1
в = lim ( y − kx) = lim ⎜⎜
− x ⎟⎟ = lim
= lim
= lim = = 0.
x → ±∞
x→∓ ∞
x
→
∞
x
→
∞
x
→
∞
x
x
x ∞
⎝ x
⎠
k = lim
Следовательно, y = x - наклонная асимптота.
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.Иссследование с помощью первой производной (возрастание, убывание,
экстремум).
Находим производную функции по формуле производной дроби:
′
⎛ x2 + 1⎞
( x 2 + 1)′ ⋅ x − ( x 2 + 1) ⋅ x ′ 2 x ⋅ x − ( x 2 + 1) x 2 − 1
′
⎜
⎟
.
y =⎜
=
=
⎟ =
x2
x2
x2
⎝ x ⎠
x 2 − 1 ( x − 1)( x + 1)
.
Итак, y ′ = 2 =
x
x2
Находим критические точки, т.е. точки, «подозрительные» на экстремум.
Имеются два источника появления критических точек: точки, в которых производная равна нулю, или не существует.
y ′ = 0 ⇒ ( x − 1)( x + 1) = 0 ⇒ x1 = 1, x 2 = −1;
y ′ не существует ⇒ x 2 = 0 ⇒ x3 = 0
Итак, получили три критические точки, которыми числовая прямая разбивается на интервалы, в каждом из которых производная имеет определенный
знак. Удобно изобразить исследование с помощью первой производной на числовой прямой следующим образом:
Берем в каждом интервале любую точку и выясняем знак производной
(ставим соответственно + или -).
На правилах (−∞,−1) и (1, ∞) производная y ′ > 0 , следовательно функция
y возрастает (стрелки направлены вверх); соответственно, на интервалах
(1,0) и (0,1) y ′ < 0 , следовательно функция убывает.
Этот схематический рисунок удобен тем, что стрелки как бы намечают
траекторию графика функции (см. график в конце примера). Кроме этого, он
наглядно иллюстрирует достаточный признак экстремума функции в точке: если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то в этой
точке экстремум есть, причем, если знак меняется с ⊕ на «-», то имеется максимум, если с «-» на ⊕ , то минимум. Глядя на рисунок, это легко понять: при
х=-1 функция имеет максимум, при х=1 – минимум. Найдем
f (−1) =
1+1
= −2;
−1
f (+1) =
1+1
= 2. Итак, точки А1(-1,-2) и А2(1,2) – точки макси1
мума и минимума графика функции.
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Замечание: Разумеется, точка х=0 никак не может быть точкой экстремума, поскольку в этой точке функция терпит разрыв. Однако, для нахождения
интервалов возрастания и убывания она необходима и потому её тоже считаем
критической. То же замечание относится и к исследованию с помощью y ′′ .
3. Исследование функции с помощью второй производной (выпуклость,
вогнутость, перегиб).
Исследование функции на выпуклость, вогнутость и перегиб с помощью
второй производной проводится по той же схеме, по которой с помощью первой производной проводится исследование функции на убывание, возрастание
и экстремум.
′
′
⎛ x2 −1⎞ ⎛
1 ⎞
2
2
y ′′ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = ⎜1 − 2 ⎟ = (1 − x − 2 )′ = 0 − (−2) ⋅ x −3 = 3 , y ′′ = 3 .
x
x
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠
Имеются
два
источника
точек,
«подозрительных»
на
перегиб:
y ′′ = 0 или y ′′ не существует. В нашем примере y ′′ ≠ 0; y ′′ не существует при х=0.
Вновь строим аналогичный чертеж:
На интервале (−∞,0) у ′′ < 0 , следовательно функция y - выпуклая; на интервале (0, ∞) y ′′ > 0 , следовательно функция вогнутая. Несмотря на то, что в
точке х=0 выпуклость сменяется вогнутостью, эта точка не является точкой перегиба, поскольку в точке х=0 функция разрывна.
Теперь строим график функции на основании проведенного исследования.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример №18. (для задач 131-140).
На странице книги печатный текст должен быть занимать Sсм2 . Верхнее и
нижнее поля должны быть асм, а правое и левое – в см. Какими должны быть
наиболее экономные размеры страницы?
Решение. Сделаем схематичный чертеж страницы и размеры текста на ней
(внутренний прямоугольник).
а
S см2
в
х
в
а
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обозначим ширину текста за x. Тогда, поскольку площадь текста равна S,
высота текста равна y=S/x. Из чертежа ясно, что ширина m страницы будет равна m=x+2в, высота h страницы равна h=S/x+2а, а площадь страницы
F(x)=mh=(x+2в)(S/x+2а)=S+2аx+2вS/x+4ав.
Итак, получили задачу на экстремум (минимум) функции
F(x)=2ax+2вS/x+4ав+S.
Сначала находим критические точки (точки, «подозрительные» на экстремум). Таковыми могут быть лишь те, в которых производная F/ (x) равна нулю
или не существует. Находим F/ (x):
F/ (x)=2а-2вS/x2
/
2
2
Если F (x)=0, то 2а=2вS/x ; x =Sв/а,
Sв
, x2 =
а
x1 = −
Sв
.
а
F/ (x) не существует, еслиx=0. Таким образом, получаем три критические
точки. Эти точки отмечаем на числовой прямой и определяем знак производной
F/ (x) на каждом из получившихся интервалов, представив F/ (x) в виде:
⎛ 2 bS
⎜x −
⎛ ax − bS ⎞
/
a
⎜
⎟
= 2 a⎜
F (x)= 2⎜
2
2
⎟
⎜ x
⎝ x
⎠
⎜
⎝
2
+
-
⎛
Sb ⎞ ⎛
Sb ⎞
⎞
⎜x −
⎟⋅⎜x +
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
a
a
⎠ ⎝
⎠.
⎟ = 2a ⎝
2
⎟
x
⎟
⎠
0
Sв
−
а
+
х
Sв
а
Из физических соображений ясно, что величина x, ширина текста, должна
быть положительным числом. Поэтому из трех критических точек нас интереSв
/
. Производная F (x) при переходе через эту точку слева
а
сует лишь точка x =
направо меняет знак с минуса на плюс, т.е. в этой точке убывание сменяется
возрастанием функции, следовательно, функция F(x) в этой точке имеет минимум.
Итак, страница будет экономной (т.е. ее площадь будет наименьшей), если
ширина текста x =
Sв
. а его высота y =
а
Sa
.
b
Соответственно этому, ширина самой страницы
m = x + 2b =
Sb
+ 2b =
a
а ее высота h = y + 2a =
b
a
(
)
S + 2 ab ,
Sa
+ 2a =
b
a
b
(
)
S + 2 ав .
Эти формулы не очень наглядны. Для наглядности найдем отношение высоты к
ширине страницы:
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
h
=
m
a ( S + 2 ab ) ⋅ a
b ⋅ b ( S + 2 ab )
=
a
b
Итак, получаем ответ в более наглядной форме: размеры самой экономной
страницы должны быть такими, чтобы отношение ее высоты к ширине равнялось отношению верхнего или нижнего поля к правому или левому.
Пример 19 ( к задачам 141-150). Вычислить число А =
5,03
(4,98) − (5,03) 2
3
приближенно с помощью дифференциала функции двух переменных.
Решение. Сначала отметим, что замена приращения функции её дифференциалом представляет собой самый «грубый» метод приближенных вычислений. Вместе с тем велико его теоретическое значение и практическая простота – почти все вычисления проводятся без привлечения вычислительных
средств.
Сущность метода заключается в следующем: пусть требуется вычислить
число А – значение функции f ( x, y) в некоторой точке ( x1 , y1 ) : A = f ( x1 , y1 ) . Точка
( x1 , y1 ) - «плохая», т.е. устно, без вычислительных средств (например, калькулятора) подсчитать f ( x1 y1 ) трудно. Тогда находят близкую, «хорошую» точку
( x 0 , y 0 ) вычисления в которой выполняются легко.
Далее применяют формулу приближенный вычислений с помощью дифференциала:
А = f ( x1 , y1 ) ≈ f ( x0 , y 0 ) + f x′ ( x 0 , y 0 ) ⋅ ∆x + f y′ ( x 0 , y 0 ) ⋅ ∆y,
(1)
где ∆x ≈ x1 − x0 , ∆y = y1 − y 0 - приращения аргументов, f x′ ( x0 , y 0 ), f y′ ( x0 , y 0 ) значения частных производных функции в «хорошей» точке (х0,у0).
Обратимся теперь к нашему примеру. Видим, что в выражение для числа
А входят два «плохих» числа х1=5,03 и у1=4,98 и, таким образом, можно записать, что число А является значением функции f ( x, y ) =
x
в точке (х1,у1),
y − x2
3
где х1=5,03 и у1=4,98. Тогда выбираем близкие два числа х0=5; у0=5, т.е. «хорошую» точку (5;5) и проводим вычисления по формуле (1) в этой точке. Получаем:
∆х = х1 − х 0 = 5,03 − 5 = 0,03; ∆у = у1 − у 0 = 4,98 − 5 = −0,02, f ( x0 , y 0 ) =
5
= 0,05.
5 − 52
3
Находим частные производные:
f x′ ( x, y ) =
x2 + y3
1 ⋅ ( y 3 − x 2 ) − x ⋅ (−2 x)
=
,
( y3 − x2 )2
( y3 − x2 )2
f y′ ( x, y ) = −
x ⋅ 3y 2
3xy 2
=
−
,
( y3 − x2 )2
( y3 − x2 )2
И вычисляем значения этих частных производных в точке (5,5):
f x′ ( x0 , y 0 ) = f x′ (5,5) =
5 2 + 53
150
=
= 0,015,
3
2 2
(5 − 5 )
100 2
f y′ ( x 0 , y 0 ) = f y′ (5,5) = −
3 ⋅ 5 ⋅ 52
375
=−
= −0,0375.
3
2 2
(5 − 5 )
100 2
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставляя полученные значения в формулу (1) получаем окончательный
результат:
5,03
≈ 0,05 + 0,015 ⋅ 0,03 + (−0,375) ⋅ (−0,02) =
(4,98) − (5,03) 2
= 0,05 + 0,00045 + 0,00075 = 0,0512.
A=
3
Пример 20 ( к задачам 151-160).Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x 2 − y 2 + 2 xy − 3x + y + 5 в замкнутой области Д, ограниченной линиями х=0, у=х, х+у=2.
Решение. Сделаем чертеж.
Область Д представляет собой ОАВ.
y
Следует обратить внимание на
замкнутость области Д
(т.е. граница принадлежит области),
2 A
поскольку в замкнутой области
функция обязательно достигает своих
C
B
наименьшего и наибольшего значений,
1
при этом они достигаются либо в точD
ках экстремума, либо на границе области.
1/2
E
x
0
1/2
1
2
Поэтому сначала найдем стационарные точки – точки «подозрительные»
на экстремум. Для этого находим частные производные и приравниваем их к
нулю – получим систему линейных уравнений:
⎧ z ′x = 2 x + 2 y − 3 = 0
⎧2 x + 2 y = 3
1
⇒ x = , y = 1.
⇒⎨
⎨ ′
2
⎩ z y = −2 y + 2 x + 1 = 0 ⎩2 x − 2 y = −1
Тогда С(1/2,1) – критическая и принадлежит области Д. Можно, конечно,
использовать достаточный признак экстремума и выяснить имеется ли в действительности в точке С максимум или минимум. Мы, однако, предпочтем более
простой путь – вычислим значение функции в точке С, а затем сравним с исследованием на границе:
z (c) = (0,5) 2 − 1 + 2 ⋅ 0,5 ⋅ 1 − 3 ⋅ 0,5 + 1 + 5 = 6,25.
Приступаем к исследованию функции на экстремум на границе области
Д. Граница состоит из трех отрезков линий. Рассмотрим их по порядку.
1) ОА: х=0, 0 ≤ у ≤ 2 .
На этой границе функция z = − y 2 + y + 5. Исследуем её на экстремум:
z ′ = 2 y + 1 = 0 ⇒ y = 1 . Получили точку Д(0;1/2). Она принадлежит отрезку ОА.
2
Вычисляем z(Д)= − (0,5) 2 + 0,5 + 5 = 5,25 . На отрезке ОА функция z= − y 2 + y = 5
может достигать наибольшего и наименьшего значений либо в точках экстремума, либо на границе, т.е.в точках 0(0,0) или А(0,2). Вычисляем z(0)=5; z(А)=4+2+5=3.
2) АВ: у = 2 − х, 0 ≤ х ≤ 1.
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставляем снова из уравнения границы у=2-х в заданную функцию и
получим z = x 2 − (2 − x) 2 + 2 x(2 − x) − 3x + 2 − x + 5 ⇒ z = −2 x 3 + 4 x + 3.
z ′ = −4 x + 4 = 0 ⇒ x = 1, т.е. получили В(1,1).
Эта точка является граничной точкой отрезка АВ. Вычисляем
z ( В) = −2 ⋅ 1 + 4 ⋅ 1 + 3 = 5.
2) ОВ: у=х, 0 ≤ х ≤ 1.
3) Поступая аналогично, получаем:
z = x 2 − x 2 + 2 x 2 − 3x + x + 5 ⇒ z = 2 x 2 − 2 x + 5,
z′ = 4x − 2 = 0 ⇒ x = 1 .
2
Получили
критическую
точку
Е(1/2,1/2),
вычисляем
z ( E ) = 2 ⋅ (0,5) − 2 ⋅ 0,5 + 5 = 4,5.
2
Значения функции в граничных точках О и В мы вычисляли ранее.
Итак, окончательно имеем: z(C)=6,25; z(Д)=5,25; z(A)=3; z(В)=5; z(E)=4,5.
Сравнивая эти значения заключаем, что наименьшее значение z(A)=3 достигается в граничной точке А; наибольшее значение z(C)=6,5 достигается в точке экстремума (максимума) – точке С.
Пример 21 (к задачам 161-170). Выполнить действия над комплексными
числами. Результаты записать в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Изобразить графически:
60
⎛1− j 3 ⎞
2+3j
⎟ ; в)4 − 1
а)
; b)⎜⎜
⎟
1+ j
⎝ 2 ⎠
Решение. Число j, удовлетворяющее условию j2=-1, называется мнимой
единицей. Заметим, что мнимую единицу чаще обозначают буквойi. Однако, в
электротехнике буквой I всегда обозначают ток, а для обозначения мнимой
единицы используется j.
Число z = a + вj , где a и в - действительные числа, называется комплексным числом. Такая запись называется алгебраической формой комплексных чисел.
Геометрически комплексное число
y
z = a + вj на плоскости изображается
радиус-вектором ОZ = (a, в ).
Число z = a − вj называется сопряженным
числу z = a + вj . Действия над комплексными
Z
числами в алгебраической форме
B
производится по тем же законам,
как и над действительными числами.
Действительные числа, таким образом, являϕ
X ются частным случаем комплексных чисел,
когда в=0, - они изображаются радиус0
A
векторами, лежащими на оси абсцисс (т.е.
точками оси абсцисс).
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В частности z ⋅ z = (a + вj ) = a 2 − (вj ) 2 = a 2 + в 2 . Нам известно из векторной алгебры, что а 2 + в 2 есть длина вектора OZ , - она называется модулем комплексного числа и обозначается z : z = a 2 + в 2 = z ⋅ z.
а) Выполнить действия:
2 + 3 j (2 + 3 j )(1 − j ) 2 − 2 j + 3 j − 3 j 2 2 + j + 3 5 1
=
=
=
= + j.
1+ j
(1 + j )(1 − j )
1+1
2
2 2
Итак, заданное комплексное выражение представлено в алгебраической
форме, - для этого нам пришлось числитель и знаменатель домножить на число,
сопряженное знаменателю.
С комплексными числами в алгебраической форме удобно проводить операции сложения и вычитания. Остальные операции, как показывает уже весьма
простой пример а), в алгебраической форме проводить громоздко. Для этого
рассматриваются другие формы. Обратимся к последнему рисунку и заметим,
что а = z ⋅ Cosϕ , в = z Sinϕ , где ϕ - угол, который образует радиус-вектор OZ с
положительным направлением оси ОХ; угол ϕ отсчитывается от оси ОХ против
часовой стрелки. Тогда получим:
z = a + вj = z Cosϕ + z Sinϕ ⋅ j = z ⋅ (Cosϕ + jSinϕ ), т.е. z = z ⋅ (Cosϕ + jSinϕ ) -это
тригонометрическая форма записи комплексного числа, причем угол ϕ пробегает один оборот, т.е. 0 ≤ ϕ ≤ 2π или − π ≤ ϕ < π . Из этих двух общепринятых диапазонов изменения угла ϕ выберем для дальнейшего какое-нибудь одно, например 0 ≤ ϕ ≤ 2π . Итак, z = a + вj = z (Cosϕ + jSinϕ ) , где 0 ≤ ϕ ≤ 2π . Угол ϕ называется аргументом комплексного числа.
С тригонометрической формой записи комплексных чисел связана другая
форма – показательная, благодаря формуле Эйлера:
е iϕ Cosϕ + jSinϕ .
Рассуждая нестрого, формулу Эйлера можно получить, разлагая в ряд
Маклорена функцию е iϕ :
( jϕ ) 2 ( jϕ ) 3 ( jϕ ) 4
ϕ2 ϕ3 ϕ4
e = 1 + ( jϕ ) +
+
+
...... = 1 + jϕ −
−
+
− ..... =
2!
3!
4!
2! 3! 4!
⎛ ϕ2 ϕ4
⎞ ⎛
⎞
ϕ3 ϕ5
⎜⎜1 −
+
− ....⎟⎟ + j ⎜⎜ ϕ −
+
− ......⎟⎟ = Cosϕ + jSinϕ
2! 4!
3! 5!
⎝
⎠ ⎝
⎠
iϕ
Учитывая формулу Эйлера, получим три формы записи комплексных
числе: z = a + вj = z (Cosϕ + jSinϕ ) = z ⋅ e jϕ , где
z = a 2 + в 2 , Cosϕ =
a
, 0 ≤ ϕ < 2π
z
Пусть имеем два комплексных числа в тригонометрической (или показательной) форме
z1 = z1 (Cosϕ1 + jSinϕ1 ) = z1 e jϕ1 ; z 2 = z 2 (Cosϕ 2 + jSinϕ 2 ) = z 2 ⋅ e jϕ 2 .
Тогда
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 (Cos (ϕ1 + ϕ 2 ) + jSin(ϕ1 + ϕ 2 )) = z1 ⋅ z 2 ⋅ e j (ϕ1 +ϕ 2 )
n
n
z1n = z1 (Cosnϕ1 + jSinnϕ1 ) = z1 ⋅ e jnϕ ,
z
z2
z2
(Cos(ϕ 2 − ϕ1 ) + jSin(ϕ 2 − ϕ1 ) ) = 2 e j (ϕ2 −ϕ1 )
=
z1
z1
z1
Другими словами, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении – модули делятся, аргументы вычитаются.
Наконец, удобно вычислять корни из комплексных чисел в тригонометрической форме. Действительно, обозначим n z , где z = z (Cosϕ + jSinϕ ) , через
W = W (Cosp + jSinp ) .
n
По условию W n = z ⇒ W (Cosp + jSinp) = z (Cosϕ + jSinϕ ). Отсюда следует,
n
во-первых, равенство модулей: W = z ⇒ W = n z , причем здесь под знаком n z
подразумевается арифметическое значение (т.е. единственное положительное)
корня. Кроме этого, справедливо одновременно
⎧Cosnp = Cosϕ
⇒ np = ϕ + 2kπ ,
⎨
⎩Sinnp = Sinϕ
( z)
n
k
p=
ϕ + 2kπ
n
, k = 0,1,...., n − 1 Итак,
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ ⎞
⎛
= n z ⎜ Cos
+ jSin
⎟, k = 0,1,....., n − 1 .
n
n
⎝
⎠
Таким образом, корень степени n из комплексного числа (в том числе и
действительного) имеет ровно n различных значений. Разумеется, последнюю
формулу можно записать также в показательной форме:
( z)
n
k
=
n
ze
j
ϕ + 2 kπ
n
, k = 0,1,..., (n − 1) .
Обратимся теперь к заданным примерам.
60
⎛1− j 3 ⎞
1− j 3 1
3
⎟ . Сначала запишем число z =
б) Вычислим ⎜⎜
= −
jв
⎟
2
2 2
⎝ 2 ⎠
тригонометрической форме. Удобно изобразить геометрически.
2
2
3
a 1
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎟
1
,
,
z = ⎜ ⎟ + ⎜⎜
=
Cos
ϕ
=
=
Sin
ϕ
=
−
1 2
2
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠
Y
1/2
X
5π
радиан,
3
5π
5π ⎞ 60
5π
5π
⎛
⎞
60 ⎛
+ jSin
⋅ 60 + jSin
⋅ 60 ⎟ =
z = 1⎜ Cos
⎟, z = 1 ⋅ ⎜ Cos
3
3 ⎠
3
3
⎝
⎝
⎠
= Cos100π + jSin100π = Cos 2π ⋅ 50 + jSin 2π ⋅ 50 = 1.
0
Следовательно ϕ = 300 0 или
-√3/2
в) Найдем все значения
форме:
z = −1 = Cosπ + jSinπ ,
4
− 1 . Представим z=-1 в тригонометрической
π + 2kπ
π + 2kπ ⎞
⎛
4
− 1 k = 4 − 1 ⎜ Cos
+ jSin
тогда
⎟,
4
4
⎝
⎠
( )
k=0,1,2,3.
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отсюда получаем 4 значения корня четвертой степени из (-1):
( − 1)
4
0
= СOs
( )
4
4
+ jSin
π
4
=e
j
π
4
=
2
2
+ j
;
2
2
3π
j
3π
3π
2
2
− 1 1 = СOs
+ jSin
=e 4 =−
+ j
;
4
4
2
2
( − 1)
4
π
5π
j
5π
5π
2
2
+ jSin
=e 4 =−
−j
;
2
4
4
2
2
7π
j
7π
7π
2
2
− 1 3 = СOs
+ jSin
=e 4 =
−j
.
4
4
2
2
= СOs
( )
4
Пример 22 (к задачам 171-180). Определить множество точек плоскости
(множество комплексных чисел), удовлетворяющих неравенству 2 ≤ 2 z + j < 3.
Решение. Комплексное число представим в алгебраической форме:
z = x + jy .
Тогда
неравенство
будет
иметь
вид
2 ≤ 2 x + j 2 y + j < 3 ⇒ 2 ≤ 2 x + j (2 y + 1) < 3. Поскольку по правилу вычисления мо-
дуля комплексных чисел 2 x + j (2 y + 1) = 4 x 2 + (2 y + 1) 2 , то неравенство преобразуем следующим образом: 2 ≤ 4 х 2 + (2 у + 1) 2 < 3 ⇒ 4 ≤ 4 x 2 + (2 y + 1) 2 < 9 . Поделим
2
2
1
3
все части неравенства на 4: 1 ≤ x 2 + ⎛⎜ y + ⎞⎟ < ⎛⎜ ⎞⎟ - получили множество точек
⎝
2⎠
⎝2⎠
плоскости, расположенных между двух окружностей (кольцо) радиусов 1 и 3/2.
Центры окружностей находятся в точке (0, -1/2). Меньшая окружность принадлежит множеству, большая – не принадлежит.
Пример 23 (к задачам 181-190). Найти неопределенные интегралы:
а) ∫
dx
ln x
2x + 3
dx; в ) ∫
; b) ∫
dx; г ) ∫ 9 + х 2 dx.
2
3
x(1 − ln x)
x
1 + 2x + 3
Решение. Существуют два общих метода интегрирования: метод замены
переменной (иначе он называется методом подстановки) и метод интегрирования по частям.
Метод замены переменной схематично можно записать в виде следующей
формулы:
(1)
∫ f ( x)dx = x = g (t ) ⇒ dx = g ′(t )dt = ∫ f ( g (t )) ⋅ g ′(t )dt.
Метод интегрирования по частям определяется формулой:
(2)
∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du,
где u = u ( x), v = v( x) - некоторые функции.
Когда и как применять каждую из формул рассмотрим на примерах.
а) Обратим внимание на формулу (1). Во-первых, отметим, что эту формулу можно применять как слева направо, так и справа налево. Если иметь в
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
виду применение формулы (1) справа налево, т.е. в виде (используя в первоначальном задании привычную переменную х):
(3)
∫ f ( g ( x)) ⋅ g ′( x)dx = g ( x) = t ⇒ g ′( x)dx = dt = ∫ f (t )dt ,
То можно заметить, что формулу (3) следует применять всякий раз, когда
в заданном интеграле мы увидим некоторую функцию g(x) и её производную
g ′( x) , - тогда применяем подстановку g(x)=t.
Обратимся к первому интегралу а) и заметим, что под знаком интеграла
1
x
dx
dx
dt
1 t +1
1 ln x + 1
∫ x(1 − ln 2 x) = ln x = t ⇒ x = dt = ∫ 1 − t 2 = 2 ln t − 1 + c = 2 ln ln x − 1 + c.
присутствует функция g(x)=lnx и её производная g ′( x) = . Поэтому:
б) Второй интеграл вычисляется по формуле интегрирования по частям.
Почему? Дело в том, что, как уже было сказано, замена переменной уместна,
если под знаком интеграла мы заметили некоторую функцию и её производную
В нашем примере б) под знаком интеграла присутствуют две функции разной
природы: ln x и х . Нет ни одной табличной формулы, связывающей функции разной природы. Поэтому естественно возникает необходимость разъединить эти функции. Такую роль и исполняет формула интегрирования по частям:
∫
ln x
x
u = ln x ⇒ du =
dx =
dv =
dx
x
dx
x
dx
⇒v=∫
x
=2 x
= ln x ⋅ 2 x − ∫ 2 x ⋅
dx
dx
= 2 x ln x − 2 ∫
=
x
x
= 2 x ⋅ ln x − 4 x + c.
Просматривая приведенную запись решения увидим, во-первых, что формула (2) сводит вычисление исходного интеграла к вычислению двух, но более
простых интегралов: один – при нахождении функции v, а второй – в результате применения самой формулы. Во-вторых, формула действительно разъединила две функции ln x и х .
Следующие два примера реализуют применение формулы замены переменной слева направо.
в) В третьем интеграле обратим внимание на присутствие иррациональностей, т.е. радикалов, причем под знаком радикалов различной степени стоит
линейная функция (2х+3). Такие иррациональности, когда под знаком радикалов различной степени стоят дробно-линейные (в частном случае– линейные)
функции, называются простейшими иррациональностями.
Такие иррациональности потому и называются простейшими, что очевидная подстановка приводит к цели, а именно, полагаем 2х+3=t6 c тем, чтобы
одновременно избавиться от обоих радикалов. Проведем теперь все преобразования:
∫1+
∫1+
2х + 3
3
2х + 3
t6
3
t6
dx =
2 x + 3 = t 6 ⇒ d (2 x + 3) = d (t 6 ),
т.е.2dx = 6t 5 dt ⇒ dx = 3t 5 dt
⋅ 3t 5 dt = 3∫
=
t 3 ⋅ t 5 dt
t 8 dt
=
3
∫ t 2 + 1.
1+ t2
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, пока сделан один шаг вперед – интеграл от иррациональной функции сведен к интегралу от дробно-рациональной функции (ДРФ), т.е. к
отношению двух многочленов – к более простой задаче.
Займемся теперь полученным интегралом. Под знаком интеграла стоит
ДРФ, причем неправильная, т.к. степень числителя больше степени знаменателя. Как известно, всякая неправильная ДРФ может быть представлена в виде
суммы некоторого многочлена и правильной ДРФ (у которой степень числителя строго меньше степени знаменателя). Это представление осуществляется делением уголком (см. пример 11):
t8
-
⎪t2+1
⎪ t6-t4+t2-1
t8+t6
-t6
-t6-t4
-t4
-t4+t2
-t2
-t2-1
1
t8
1
6
4
2
⇒ ⎯⎯⎯ = t – t + t – 1 + ⎯⎯⎯
t2 + 1
t2 + 1
Итак,
t 8 dt
1 ⎞
dt
⎛ 6 4
6
4
2
∫ t 2 + 1 = ∫ ⎜⎝ t − t − 1 + t 2 + 1 ⎟⎠dt = ∫ t dt − ∫ t dt + ∫ t dt − ∫ dt + ∫ t 2 + 1 =
t7 t5 t3
− + − t + arctdt + c = возвращаемся к старой переменной : t = 6 2 x + 3 =
7 5 3
1
1
1
= 6 (2 x + 3) 7 − 6 (2 x + 3) 5 + 6 (2 x + 3) 3 − 6 2 x + 3 + arctg 6 2 x + 3 + c.
7
5
3
=
г) Следующий пример показывает ещё один прием избавления от иррациональности, на сей раз от квадратической. При этом следует помнить, что
для интегрирования квадратических иррациональностей имеются так называемые подстановки Эйлера. Они имеются в любых учебниках. Вместе с тем, иногда удобны тригонометрические подстановки. Обратим внимание на заданный
интеграл. В принципе, задача любой подстановки заключается в избавлении от
иррациональности. Для этого используются известные формулы тригонометрии:
Sin 2 x + Cos 2 x = 1 ⇒ Cos 2 x = 1 − Sin 2 x, Sin 2 x = 1 − Cos 2 x$
1
1
1 + tg 2 x =
⇒
− 1 = tg 2 x.
2
2
Cos x
Cos x
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вернемся к нашему примеру. На основании приведенных формул будут
ясна логика нижеприведенных преобразований:
3dt
3dt
dt
= ∫ 9 + 9tg 2 t ⋅
= ∫ 3 1 + tg 2 t ⋅
=
2
2
Cos t
Cos t
Cos 2 t
1
dt
Costdt
Costdt
= 9∫
⋅
= 9∫
= 9∫
= S int = y ⇒ Costdt = dy =
2
4
Cost Cos t
(1 − Sin 2 t ) 2
Cos t
dy
dy
dy
= 9∫
= 9∫
= 9∫
.
2 2
2
2
(1 − y )
(1 − y ) (1 + y )
( y − 1) 2 ( y + 1) 2
∫
9 + x 2 dx = x = 3tgt ⇒ dx = 3
Вычислим теперь интеграл I = ∫
dt
.
( y − 1) ( y + 1) 2
2
В соответствии с теорией – это интеграл от правильной ДРФ, знаменатель
которой представлен в каноническом виде и которую представляем в виде суммы простейших дробей:
А
В
С
Д
1
=
+
+
+
.
2
2
2
( у − 1) ( у + 1)
у +1
( у − 1) ( у + 1)
( у − 1)
2
Для нахождения коэффициентов А,В,С,Д приводим дроби к общему знаменателю:
А( у + 1) 2 + В( у − 1)( у + 1) 2 + С ( у − 1) 2 + Д ( у + 1)( у − 1) 2
1
=
( у − 1) 2 ( у + 1) 2
( у − 1) 2 ( у + 1) 2
Дроби равны, знаменатели равны, следовательно, равны и числители:
1=А(у+1)2+В(у-1)(у+1)2+С(у-1)2+Д(У+1)(у-1)2
(4)
Равенство (4) , которое на самом деле – тождество, является исходным
для определения коэффициентов А,В,С,Д. В связи с этим, имеется два способа
определения коэффициентов А,В,С,Д.
1 способ: Раскрываем скобки в тождество (4):
1 = А( у 2 + 2 у + 1) + В ( у 3 + у 2 − у − 1) + С ( у 2 − 2 у + 1) + Д ( у 3 − у 2 − у + 1) ⇒
1 = ( В + Д ) у 3 + ( А + В + С _ Д ) у 2 + (" А _ В _" С _ Д ) у + ( А − В + С + Д ).
Многочлены равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при
⎧В + Д = 0
⎪А + В + С − Д = 0
одинаковых степенях аргумента, поэтому ⎪⎨
⎪" А − В −" С − Д = 0
⎪⎩ А − В + с + Д = 1,
Т.е. получаем СЛАУ относительно неизвестных А,В,С,Д. Эту систему
решаем методом Гаусса:
0
1 0⎞
⎛0 1
⎜
⎟
−
1
1
1
1
0
⎜
⎟
А* = ⎜
2 −1 − 2 −1 0⎟
⎜
⎟
⎜1 −1 1
⎟
1
1
⎝
⎠
⎛1 1
1 −1
⎜
0 1
⎜0 1
~⎜
2 −1 − 2−1
⎜
⎜1 −1 1 1
⎝
(−2) (−1)
0⎞
⎟
0⎟
~
0⎟
⎟
1 ⎟⎠
~
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
⎛1 1
1 −1
⎜
0 1
⎜0 1
~⎜
0 −3 −4 1
⎜
⎜0 − 2 0 2
⎝
0⎞
⎟
0 ⎟ (3) (2)
0⎟
⎟
1 ⎟⎠
⎛1
⎜
⎜0
~⎜
0
⎜
⎜0
⎝
1 − 1⎞0 ⎞
⎟ ⎟
1 0 1 ⎟0 ⎟
0 − 4 4 ⎟0 ⎟ (1 / 4)
⎟ ⎟
0 0 4 ⎟⎠1 ⎟⎠
1
~
1 1 − 1⎞0 ⎞
⎟ ⎟
1 0 1 ⎟0 ⎟
0 − 1 1 ⎟0 ⎟
⎟ ⎟
0 0 4 ⎟⎠1 ⎟⎠
R(A)=R(A*)=4 ⇒ система имеет единственное решение. Для нахождения
⎛1
⎜
0
~ ⎜⎜
0
⎜
⎜0
⎝
его составим систему, соответствующую ступенчатой матрице:
⎧А + В + С − Д = 0
⎪
В+ Д =0
⎪
⎨
⎪ −С + Д = 0
⎪⎩
; Д = 1 ⇒ Д = 1 / 4 ⇒ С = 1 / 4,
В=-Д=-1/4 ⇒ А=-В-С+Д=1/4-1/4+1/4=1/4 ⇒ а=1/4, В=-1/4, С=1/4, Д=1/4.
2 способ. Возвращаемся к тождеству (4) и поскольку оно тождество, то
справедливо при всех значениях неизвестного х. Нам необходимо вычислить
значения четырех неизвестных, поэтому возьмем четыре значения х. Разумеется, желательно эти значения выбирать с выгодой. «Выгодными» значениями
являются у=-1, у=+1. Остальные два значения возьмем любыми: у=0 и у=2. Получаем:
⎧ у = −1 ⇒ 1 = С (−1 − 1) 2 ⇒ 1 = 4С , С = 1 / 4,
⎪
⎪ у = +1 ⇒ 1 = А ⋅ (1 + 1) 2 ⇒ 1 = 4 А, А = 1 / 4,
⎨
⎪ у = 0 ⇒ 1 = А ⋅ 1 + в (−1)(1) + С + Д
⎪у = 2 ⇒ 1 = А⋅9 + В ⋅9 + С + Д ⋅3
⎩
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
⎧ В − Д = −1 / 2
⎧1 = 1 / 4 − В + 1 / 4 + Д
⇒
⇒⎨
⎨
⎩9 В + 3 Д = −3 / 2
⎩1 = 9 / 4 + 9 В + 1 / 4 + 3 Д
1 −1
− 1/ 2 − 1
3 3
= − − = −3,
∆=
= 3 + 9 = 12, ∆ 1 =
9 3
− 3/ 2 3
2 2
∆2 =
− 1/ 2
∆
3 9 6
−3
1
= − + = =3⇒ В = 1 =
=− ,
9 − 3/ 2
2 2 2
∆ 12
4
1
∆2
3
1
1
1
1
1
=
= ⇒ А= ,В=− ,С = , Д =− .
∆
+ 12 4
4
4
4
4
Д=
Итак,
dy
1
dy
1 dy
1
dy
1 dy
= ∫
− ∫
+ ∫
+ ∫
=
2
2
2
2
4 ( y − 1)
4 y − 1 4 ( y + 1)
4 y +1
( y + 1)
1 1
1
1 1
1
=− ⋅
− ln y − 1 − ⋅
+ ln y + 1 + C.
4 y −1 4
4 y +1 4
∫ (Y − 1)
Процесс интегрирования закончен - надо вернуться к старой переменной
– это оставляем читателю, - хотя бы для того, чтобы посмотреть, каким громоздким может быть окончательный результат.
Пример 24 (к задачам 191-200). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х3-1, у=1-х2, х=0.
Решение.
y
y=1-x2
1
y=x3-1
0
1
X
-1
1
[
]
Фигура (см. чертеж) ограничена:
сверху- графиком функции у=1-х2,
снизу – графиком функции у=х3-1,
слева – прямой х=0, справа прямой
х=1 (которая выродась в точку).
поэтому, на основании геометрического
смысла определенного интеграла
площадь фигуры
1
1
0
0
S = ∫ (1 − x 2 ) − ( x 3 − 1) dx = ∫ (1 − x 2 − x 3 + 1)dx = ∫ (2 − x 2 − x 3 )dx =
0
⎛
1 1 17
x
x ⎞
= ⎜⎜ 2 x −
− ⎟⎟ = 2 − − = .
3
4 ⎠
3 4 12
⎝
3
4
Пример 25 (к задачам 201-210) Решить задачу Коши: y=xy’-(2+y’); y(2)=2
Решение: Решить задачу Коши означает найти такое частное решение ДУ, которое удовлетворяет заданным начальным условиям.
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для ДУ первого порядка начальные условия имеют вид y(xo)= yo, т.е. требуется
найти такое частное решение ДУ y(x), которое удовлетворяет условию: y= yo,
при х=хо. Это означает, что требуется найти такую функцию y(x), график которой (он называется интегральной кривой) проходит через точку с координатами
(xo, yo).
Обратимся теперь к заданному ДУ. При решении ДУ в первую очередь
следует определить к какому типу ДУ относится заданное ДУ и в соответствии
с этим избрать метод решения. Несколько преобразуем наше ДУ:
y=xy’-2-y’ ⇒ y’(х-1)-у-2=0 ⇒ y’(х-1)-у=2 ⇒
у’-
1
2
*у =
õ −1
õ −1
Теперь ясно, что это линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 1 порядка.
Действительно, общий вид ЛДУ 1 порядка следующий: у’+p(x)y=q(x), так что в
нашем примере
р(х) = -
1
2
, q(x) =
õ −1
õ −1
Для нахождения общего решения ЛДУ 1 порядка обычно применяют один из
двух методов: метод вариации произвольного постоянного (иначе его называют
методом Лагранжа) и метод двух функций (иначе его называют методом Бернулли). Мы решим заданное ДУ обеими способами и читатель увидит, что в
практическом плане оба метода не сильно отличаются, однако, «идеология» у
них разная.
1) Метод двух функций (Метод Бернулли).
Идея метода не нова – свести решение задачи к двум задачам, но более простым. Такой прием уже применялся, например, при интегрировании по частям.
Итак, решение ДУ будем искать в виде произведения двух функций:
у=u*v ⇒ y’=u’v+uv’. Подставляем эти выражения в заданное ДУ:
u’v+uv’-
1
õ −1
* uv=
2
⇒ u’v+ u
õ −1
v’-
1
*v
õ −1
=
2
õ −1
(1)
Приравняем скобку нулю:
v’ -
1
õ −1
*v = 0
Легко заметить, что мы получили линейное однородное ДУ (ЛОДУ), соответствующее заданному неоднородному ДУ (ЛНДУ). Всякое ЛОДУ 1 порядка является ДУ с разделяющими переменными. Разделяя переменные и интегрируя,
получим какое-нибудь частное решение:
1
dv
v
dv
dx
v’ *v = 0 ⇒
=
⇒ ∫ =∫
⇒
х-1
dx x - 1
v
x–1
In|v|=In|x-1| ⇒ v=x-1.
Теперь подставим полученное выражение для функции v в ДУ (1):
2
2
2dx
2
⇒ u'=
⇒ u= ∫
=+ C.
u'*(x-1)=
2
2
x-1
(x – 1)
(x – 1)
x–1
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Итак, окончательно,
2
y=u*v= c * (x-1) ⇒ y=c(x-1)-2 – общее решение заданного ЛНДУ.
x–1
2) Метод вариации производной постоянной (Метод Лагранжа).
Лагранж предложил общее решение ЛНДУ искать в виде общего решения соответствующего ЛОДУ, только вместо произвольного постоянного С взять
функцию С(х), которую и следует найти.
Итак, сначала решаем ЛОДУ, соответствующее заданному ЛНДУ:
1
dy
y
dy
dx
y'*y=0 ⇒
=
⇒∫
=∫
⇒ In|y|=In|x-1|+Inc ⇒
y=c(x-1).
x–1
dx
x–1
y
x-1
Итак, y=c(x-1) – общее решение ЛОДУ.
В соответствии с предложением Лагранжа общее решение ЛНДУ ищем в виде
у=с(х)*(х-1), где функцию с(х) требуется найти. Для этого подставляем у=
с(х)*(х-1) в исходное ЛНДУ:
1
2
(с(х)*(х-1))’*C(x)(x-1) =
x–1
x–1
2
2
2
c’(x)(x-1)+c(x)-c(x)=
⇒ c’(x)=
⇒ c(x) =
+ c.
2
x–1
(x - 1)
x–1
следовательно,
2
y=c(x)*(x-1)= c(x-1)=c(x-1)-2 – общее решение ЛНДУ.
x–1
Итак, оба метода дали одинаковые результаты. Приступаем теперь к нахождению частного решения, удовлетворяющего заданному начальному условию
у(2)=2. Для этого надо в общее решение подставить х=2 и у=2 и затем найти
с*2=с(2-1)-2 2=с-2 ⇒ с=4.
Итак, у=4(х-1)-2, т.е. у=4х-6 –решение задачи Коши.
Пример 26 (к задачам 201-210). Найти общее решение ДУ у”+4y=Sinx.
Решение: Известно, что у – общее решение ЛНДУ представляется в виде суммы
у – общего решения ЛОДУ и ỹ - какого-нибудь частного решения ЛНДУ. Частное решение ỹ можно находить двумя способами:
1-й метод (метод вариации произвольных постоянных). Сначала решаем соответствующее ЛОДУ: у”+4y=0. Составляем характеристическое уравнение
λ2+4=0 ⇒ λ1=2i, λ2=-2i ⇒
у =с1Cos2x+c2Sin2x – общее решение ЛОДУ.
Частное решение ЛНДУ имеем в виде: ỹ = с1 (х)Cos2x+c2 (х)Sin2x. Для нахождения функций с1 (х) и c2 (х) подставим ỹ в исходное ДУ. Предварительно найдем
ỹ'=c’1(x) Cos2x - с1 (х)2 Sin2x + с’2 (х) Sin2x + c2 (х)2 Cos2x =
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
=(c’1(x) Cos2x + с’2 (х) Sin2x) - 2 с1 (х) Sin2x + 2 c2 (х) Cos2x.
Полагаем скобку равной нулю
(1)
c’1(x) Cos2x + с’2 (х) Sin2x=0
и в этом предположении находим
ỹ”= -2 c’1(x) Sin2x - 2 с1 (х)2 Cos2x + 2 с’2(х) Cos2x - 2 c2 (х)2 Sin2x. Подставляем
теперь полученные выражения в исходное ДУ:
-2 c’1(x) Sin2x - 2 с1 (х)2 Cos2x + 2 с’2(х) Cos2x - 4c2 (х) Sin2x + 4 c1(x) Cos2x + 4c2
(х) Sin2x= =Sinx
Слагаемые, содержащие с1 (х) и c2 (х) уничтожаются. Тогда последнее уравнение вместе с уравнением (1) образуют систему уравнений для нахождения c’1(x)
и с’2(х):
c’1(x) Cos2x + с’2 (х) Sin2x=0
(2)
- 2 c’1(x) Sin2x+ 2 с’2(х) Cos2x= Sinx
Определитель этой системы (он называется определителем Вронского или
вронскианом) отличен от нуля:
Cos2x
Sin2x
∆= W(x)=
= 2 Cos2 2x + 2 Sin2 2x=2
- 2 Sin2x 2 Cos2x
Находим вспомогательные определители:
0
Sin2x
∆1=
= -Sinx* Sin2x
Sinx 2 Cos2x
Cos2x
∆2=
0
= Sinx* Cos2x
-2 Sin2 Sinx
Следовательно, по формулам Крамера имеем:
∆1
∆2
c’1(x)=
= - 1/2 Sinx* Sin2x; c’2(x)=
=1/2 Sinx* Cos2x.
∆
∆
Остается найти интегралы:
c1(x)=- ∫1/2 Sinx* Sin2xdx=-1/2Sinx*2Sinx*Cosxdx= - ∫ Sin2x* Cosxdx=|Sinx=t⇒
dt=Cosxdx|= =- ∫t2 dt=-t3/3= -1/3 Sin3x.
Произвольную постоянную в неопределенном интеграле взяли равной нулю,
т.к. требуется какое-нибудь одно частное решение.
c2(x)=1/2∫ Sinx* Cosxdx=/Cos2x=Cos2 x- Sin2 x= 2Cos2 x-1/=1/2∫Sinx(2 Cos2x – 1)
dx=∫ Cos2 x *Sinxdx - 1/2∫ Sinxdx=∫ Cos2 x *Sinxdx + 1/2Cosx=/ Cosx=t ⇒ dt= Sinxdx/=-∫ t2 dt + 1/2Cosx =- t3/3 + 1/2 Cosx = -1/3 Cos3х + 1/2 Cosx.
Итак,
ỹ = с1 (х)Cos2x+c2 (х)Sin2x= (-1/3 Sin3х) Cos2x + (1/2 Cosx - 1/3 Cos3х)* Sin2x=
=Sinx(-1/3 Sin2х* Cos2x + 2 Cosx(-1/2 Cosx - 1/3 Cos3х))=
= Sinx(-1/3 Sin2х(1 - 2Sin2х) + 2 Cos2x(1/2 – 1/3 Cos2x))=
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
= Sinx(-1/3 Sin2х + 2/3 Sin4х + 2(1 - Sin2х)(1/2 – 1/3(1 - Sin2х))=
= Sinx(-1/3 Sin2х + 2/3 Sin4х + 2(1 - Sin2х)(1/6 + 1/3 Sin2х))=
= Sinx(-1/3 Sin2х + 2/3 Sin4х +1/3 + 2/3 Sin2х - 1/3 Sin2х - 2/3 Sin4х)=1/3 Sinx.
Итак, ỹ(х)= 1/3 Sinx, а общее решение ЛНДУ у= с1Cos2x+c2Sin2x+1/3 Sinx.
2-ой метод (метод неопределенных коэффициентов). Иначе этот метод называется подбором ỹ по виду правой части. Заметим, что первый метод является
универсальным, какова бы ни была правая часть ЛНДУ. Второй метод имеет
ограниченное применение: если только правая часть ЛНДУ f (х) имеет вид:
f(х)=еах(Рт(х) Cosβx + Рп(х)Sinβx),
(3)
где - Рт(х), Рп(х) – многочлены степени т и п соответственно. В этом случае ỹ
ищем в виде:
ỹ =еах(Qs(х) Cosβx + Rs(х)Sinβx)*xr,
(4)
где – S=max(m,n), Qs(х), Rs(х) – многочлены степени S с неопределенными коэффициентами (которые и требуется найти), r – кратность числа α+βi в качестве
корня характеристического уравнения.
Этот, на первый взгляд громоздкий алгоритм, на практике таковым не является.
Действительно, обратимся к заданному уравнению у”+4y=Sinx. Корни характеристического уравнения мы нашли ранее: К1=2i и К2=-2i.
Правая часть f(х)= Sin,x является частным случаем формулы (3) при α=0, β=1,
следовательно α+βi=i и это число не является корнем характеристического
уравнения. Это означает, что кратность r=0. Коэффициент при синусе равен 1,
т.е. является многочленом нулевой степени, поэтому и в формуле (4) коэффициенты при косинусе и синусе будут многочленами нулевой степени (т.е. некоторыми числами А и В). Итак, в нашем случае ỹ=А Cosx + В Sinx.
Остается найти А и В. Для этого подставим ỹ в ЛНДУ; найдя предварительно ỹ’
и ỹ”:
ỹ’=-А Sinx+В Cosx
ỹ’’= - А Cosx - В Sinx, следовательно, - А Cosx - В Sinx + 4(А Cosx + В Sinx)=
Sinx. Приводим подобные члены:
3А=0
3 А Cosx + 3 В Sinx = Sinx, следовательно
⇒ А=0, В=1/3 ⇒ ỹ’=1/3
Sinx, а
3В=1
общее решение ЛНДУ имеет вид: у= у + ỹ = с1Cos2x+c2Sin2x+1/3 Sinx.
Результаты, естественно, совпали; однако трудоемкость методов существенно
разнится.
Пример 27 (к задачам 221-230). Найти интервал сходимости степенного ряда
и исследовать сходимость на концах интервала
( õ − 3) ï −1
.
∑
3ï
ï =1
∞
Решение. Для нахождения интервала сходимости степенного ряда воспользуемся признаком Даламбера:
l= lim
n →∞
U n +1 ( x)
( õ − 3) ï 3 ï
õ−3
1
= lim ï +1
= lim
= |x-3|.
ï
−
1
n→∞ 3
n→∞
U n ( x)
3
3
( õ − 3)
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если l<1, то ряд сходится, если l >1, - ряд расходится, если l=1 – признак ответа не дает. Находим интервал сходимости: l<1 ⇒
1
|x-3|<1⇒ |x-3|<3
3
⇒ -3<x-
3<3⇒ 0<x<6.
Итак на интервале (0;6) ряд сходится, вне этого интервала – расходится, а в точках х=0 и х=6 требуется дополнительное исследование.
а) Пусть х=0, тогда степенной ряд становится числовым:
(0 − 3) ï −1 ∞ (−1) ï −1 * 3ï −1 ∞ (−1) ï −1 1 1 1
=∑
=∑
= - + -….
∑
3
3ï
3 3 3
3ï
ï =1
ï =1
ï =1
1
Это знакочередующийся ряд, причем lim ап= ≠ 0, следовательно, по признаку
n →∞
3
∞
Лейбница ряд расходится.
б) Пусть х=6, тогда получим ряд
3 ï −1 ∞ 1 1 1
= ∑ = + +….
∑
ï
3 3
ï =1 3
ï =1 3
1 1
lim ап= lim = ≠ 0, следовательно, по необходимому признаку ряд расходится.
n →∞
n →∞ 3
3
∞
Пример 28 (к задачам 231-240). С точностью до 0,001 вычислить определенный интеграл разложением подынтегральной функции в ряд Маклорена:
1/ 3
∫ õSin
x dx .
0
Решение. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции Sinx:
x3 x5 x7
+ + +…. и заменим х на
3!
5!
7!
3
( x)
( x )5 ( x )7
+
+
+….
Sin õ = õ 3!
5!
7!
Sinx=х-
õ:
Как известно, степенной ряд можно почленно интегрировать, при этом радиус
сходимости не меняется. Поэтому
1/ 3
1/ 3
0
0
∫ õSin x dx = ∫ õ
1/ 3
∫
0
õ-
( x )3 ( x )5 ( x )7
+
+
+… dx =
3!
5!
7!
⎛ 3/ 2 1 5/ 2 1 7 / 2 1 9/ 2
⎜⎜ õ − õ + õ + õ + ...
3!
5!
7!
⎝
1
2
= * ⎛⎜ ⎞⎟
5 ⎝3⎠
5/ 2
1 2
- *
3! 7
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝3⎠
7/2
1 2
+ *
5! 9
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝3⎠
⎞
⎟⎟dx =
⎠
⎛ x5/ 2 1 x7 / 2 1 x9/ 2
⎞1/ 3
⎜⎜
−
+
− ... ⎟⎟
=
⎝ 5 / 2 3! 7 / 2 5! 9 / 2
⎠0
9/ 2
-…=
2
5 * 35
-
2
3!*7 * 3 7
+
2
5!*9 * 39
-… .
Получили знакочередующийся ряд. Теорема Лейбница утверждает, что если
для приближенного вычисления суммы ряда ограничиться несколькими первыми членами, то совершаемая при этом ошибка не превосходит (по абсолютной
величине) первого из отброшенных членов. Вопрос теперь лишь в том, сколькими членами ряда достаточно ограничиться, чтобы обеспечить заданную точность.
Рассуждаем методом перебора.
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если ограничиться лишь первым членом ряда, то ошибка не превзойдет числа
2
3!*7 * 3
7
=
2
6 * 7 * 27 * 3 7
1/ 3
∫ õSin
x dx ≈
0
2
5 * 35
=
, которое меньше 0,001. Итак, с точностью до 0,001
2
5*9* 3
≈ 0,026.
Пример 29 (к задачам 241-250). Разложить в ряд Фурье функцию
1, если –1<x<0
f(x)=
2, если 0<x<1, f(x+2) ≡ f(x)
Решение. Несмотря на широкое применение степенных рядов, они имеют один
существенный недостаток – сумма ряда есть функция непрерывная и сколько
угодно раз дифференцируемая. Следовательно, для разложения функций,
имеющих разрывы («скачки») и не дифференцируемые в некоторых точках
(имеющие «изломы») степенные ряды не могут быть использованы. Вместе с
тем в теории и практике автоматического регулирования часто встречаются
функции (сигналы) именно такого характера и, кроме этого, эти сигналы бывают часто периодическими. В таких случаях оказались удобными ряды Фурье –
ряды тригонометрических функций.
Ряд
∞
àî
+ ∑ (àï Cosnω x + β ï Sinnω x) ,
2 ï =1
2π
Где Т=
ω
- период функций,
ао=
2
2
2
2π
f ( x)dx , ап=
f ( x)Ñosnωxdx =
f ( x)Ñosn
xdx ,
∫
∫
∫
Ò −Ò / 2
Ò −Ò / 2
Ò −Ò / 2
T
вп=
2
2
2π
f ( x) Sinnωxdx =
f ( x) Sinï
xdx , п=1,2….
∫
∫
Ò −Ò / 2
T
Ò −Ò / 2
Ò/ 2
Ò/ 2
Ò/ 2
(1)
Ò/ 2
Ò/ 2
называется рядом Фурье для f(x)
Имеет место теорема Дирихле: пусть f(x) – периодическая функция с периодом
Т и на интервале (-Т/2;Т/2) удовлетворяет условиям (они называются условиями Дирихле):
1) f(x)- кусочно-непрерывная функция,
2) f(x)- кусочно-монотонная функция, т.е. имеет конечное число точек экстремума.
Тогда ее ряд Фурье сходится на всей числовой прямой и сумма ряда равна в
каждой точке
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
Если f(x)- четная функция, то все вп=0, а оставшиеся коэффициенты удобно находить по формулам ао=
4
4
2π
f ( x)dx , ап=
f ( x)Ñosn
xdx , п=1,2,….
∫
∫
Ò −Ò / 2
Ò −Ò / 2
T
Ò/ 2
Ò/ 2
(2)
Аналогично, для нечетных функций f(x) ап=0, п=0,1,2,…, а вп удобно находить
4
2π
по формулам вп=
f ( x) Sinï
xdx , п=1,2….
∫
Ò −Ò / 2
T
Ò/ 2
(3)
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приступим теперь к решению примера.
1, если –1<x<0
f(x)=
2, если 0<x<1, f(x+2) ≡ f(x)
График этой периодической с периодом Т=2 функции имеет вид:
f(x)
2
1
х
-2
-1
0
1
2
3
Функция не является ни четной ни нечетной, поэтому используем формулы (1):
1
0
1
0
1
2
ао= ∫ f ( x)dx = ∫ 1 * dx + ∫ 2 * dx =х + 2 õ =(0-(-1))+2*1-2*0=3, ао=3.
−1
0
2 −1
−1
0
ап=
=
1
ïπ
2
2π
f ( x)Ñosn
xdx = ∫ 1 * Ñosnπxdx + ∫ 2 * Ñosnπxdx =
∫
2 −1
T
−1
0
1
0
Sinnπx
1
0
1
1
2
2
+
Sinnπx =
(0 − Sin(−nπ )) +
( Sinnπ − 0) =0,
−1 ï π
0 ïπ
ïπ
1
0
1
0
1
2
1
2
Cosnπx =
вп= ∫ f ( x) Sinnπxdx = ∫ 1 * Sinnπxdx + ∫ 2 * Sinnπxdx = − Cosnπx −
−1 ï π
0
2 −1
ïπ
−1
0
=−
1
(Cos 0 − Ñosnπ ) -
2
(Cosnπ − Cos 0) =|Cosnπ=(-1) |=
ïπ
ïπ
1
= − (1 − (−1) ï )
ïπ
1
3
−
(3 − 3(−1) ï ) = −
(1 − (−1) ï ) .
ïπ
ïπ
n
2
ïπ
((−1) ï − 1) = −
1
ïπ
n
(1 − (−1) ï +2-2(-1) )=
Отсюда следует, что если п=2т – четное число, то (-1)п=(-1)2т=+1 и вп=вт=0.
Если п=2т+1 – нечетное число, то (-1)2т+1=-1 и в2т+1=-
6
.
(2ò + 1)π
Окончательно получим следующее разложение заданной функции в ряд Фурье:
3
2
∞
6
Sin(2m + 1)πx .
ò = 0 ( 2ò + 1)π
f(x)= − ∑
Пример 30 (к задачам 251-280).
Задачи 251-280 предназначены для изучения темы «Операционное исчисление». Прежде чем приводить образцы решения задач, напомним основные сведения из теории. Операционное исчисление нашло широкое применение в теории автоматического регулирования при анализе переходных и установившихся
процессов в автоматических системах.
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В основе операционного исчисления лежит преобразование Лапласа, которое
представляет собой линейное преобразование некоторой действительной функции f(t) действительного переменного в другую функцию F(р) комплексного
переменного р=σ+iω. Это преобразование задается соотношением
∞
F(р)= ∫ å− ðt f (t )dt
(1)
0
Функция f(t) называется оригиналом, а F(р) – изображением этого оригинала.
Формулу (1) будем записывать в виде L{f(t)}=F(p) или f(t) ← F(p). При этом
функция f(t) должна удовлетворять следующим требованиям.
1. f(t) – кусочно-непрерывная функция, т.е. она непрерывна для всех значений аргумента кроме, может быть отдельных точек разрыва с конечным
скачком, причем число этих точек должно быть конечным на любом конечном интервале.
2. f(t)=0 для всех t<0.
3. Функция f(t) имеет ограниченный порядок возрастания – она должна расти не быстрее некоторой показательной функции, т.е. можно указать такие постоянные числа М>0, a≥0, при которых выполняется неравенство |
f(t) |<M*eat. Число а называется показателем роста функции f(t).
Рассмотрим так называемую единичную ступенчатую функцию Хевисайда
1, при t≥0
1
f(t)
1(t)=
0, при t<0
o
t
По формуле (1) найдем ее изображение:
∞
∞
0
0
1
ð
L{f(t)}= ∫ å− ðt 1(t )dt = ∫ å− ðt dt = − å− ðt
∞ 1
=
0
p
Итак, получим важное соотношение:
L{1(t)}=
1
1
или 1(t) ←
p
p
(2)
Нетрудно увидеть, что если умножить функцию f(t) на 1(t), то такое умножение
«гасит» функцию f(t) при t<0 и оставляет ее без изменения при t≥0. Таким образом, если f(t) не удовлетворяет условию 2) функций – оригиналов, то функция f(t)* 1(t) этому условию удовлетворяет. Для простоты записи сомножитель
1(t) опускают, имея в виду, что f(t)=0 при t<0.
Преобразование Лапласа обладает следующими свойствами.
Свойство 1 (линейность).
L{с1 f1(t)+ с2 f2(t)}= с1 L{ f1(t) }+ с2 L{ f2(t) } или: если f1(t) ← F(p), f2(t) ← F2
(p), то
с1 f1(t) + с2 f2(t) ← с1 F1(p)+ с2 F2(p).
Свойство 2 (теорема смещения).
Если f(t) ← F(p), и α =сопst то е α t f(t) ← F(p- α ). Отсюда, в частности, следует
формула
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
е α t 1(t) ←
1
1
или е α t ←
p −α
p −α
(3)
Свойство 3. (теорема подобия).
Если f(t) ← F(p), то для любого a>0: f(аt) ←
ð
1
F .
à
à
1
1
à
1
. Тогда Sinаt ←
= 2 2,
2
à ( ð / à) + 1 p − à
p +1
à
.
а, используя теорему смещения, получим е α t Sinаt ←
( p − à) 2 + à 2
Например, можно показать, что sint ←
2
Свойство 4 (дифференцирование оригинала)
Если f(t) ← F(p), то f ‘(t) ← рF(p)- f(0). В частности, если f(0)=0, то f ‘(t) ←
рF(p).
Другими словами, операции дифференцирования в пространстве оригиналов
соответствует простая алгебраическая операция в пространстве изображений –
умножение на переменную р.
Повторное дифференцирование дает следующий результат:
L{f”(t)}=p(p F(p)- f(0))- f’(0)=p2 F(p)-p f(0)- f’(0), т.е.
f”(t) ← p2 F(p)-p f(0)- f’(0) и вообще
L{f(п)(t)} ← pп F(p)-pп-1 f(0)- рп-2 f’(0)-…- f(п-1)(0).
(4)
Свойство 5 (интегрирование оригинала).
t
Если f(t) ← F(p), то. ∫ f ( z )dz ←
0
F ( p)
p
Таким образом, интегрирование оригинала преобразование Лапласа заменяет
делением изображения на переменную р.
Свойство 6. (дифференцирование изображения).
Если f(t)
←
F(p), то
d n F ( p)
= F’(p) → tf(t) или tf(t) ← F’(p).
dp n
Таким образом, умножению оригинала на переменную t соответствует (со знаком минус) дифференцирование изображения. Повторное применение этого
свойства дает следующий результат
d ï F ( p)
t f(t) ← (-1)
=(-1)п F(p))(п)
ï
dp
п
п
(5)
Свойство 7 (интегрирование изображений).
Если f(t) ← F(p), то
∞
f (t )
← ∫ F ( p)dp ,
t
ρ
-
(6)
делению оригинала на аргумент t соответствует интегрирование изображения
по формуле (6).
Свойство 8 (теорема запаздывания).
Если f(t) ← F(p), то для любого τ >0 имеет место соотношение
f(t- τ ) ← е-р τ F(p)
(7)
Свойство 9. (изображение ступенчатой функции с конечным числом ступенек).
Рассмотрим ступенчатую функцию с конечным числом ступенек (и ее график)
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0
при t <0
A2 у
A1
при 0 < t < t1
A3
f(t)= A2
при t1< t < t2
A1
A3
при t > t2
0
t1
t2
х
Функцию f(t) можно представить в виде
f(t)= A1*1(t)+( A2- A1)* 1(t- t1)+ ( A3- A2)* 1(t- t2), откуда руководствуясь свойствами линейности и теоремой запаздывания, получим
f(t)
←
A1
1
1
1 1
+( A2- A1)*е − ðt1 +( A3- A2)* е − ðt2 = ( A1+( A2- A1)*е − ðt1 +( A3- A2)*
ð
ð
ð ð
е − ðt ).
Свойство 10 (изображение периодической функции).
Функция называется финитной, если на некотором отрезке [t1 ,t2] она совпадает
с некоторой функцией ϕ (t), а при других значениях аргумента равна нулю.
Пусть f(t)- периодическая функция периода Т, т.е. f(t+Т) ≡ f(t)и f(t)= ϕ (t) при
2
Ô ( p) ,
где Ф(р)=
0 ≤ t ≤ Т. Тогда f(t) ←
1 − å− ðt
∞
∫å
− ðt
ϕ (t )dt
(8)
0
Свойство 11 (теорема свертывания).
Если f(t) ← F(p), ϕ (t) ← Ф(р), то
t
t
0
0
∫ f ( z)ϕ (t − z)dz = ∫ ϕ ( z) f (t − z)dz ← F(p) *Ф(р)
(9)
Интегралы в левой части формулы (9) называются сверткой функций f(t) и ϕ (t).
Таким образом, свертке двух оригиналов соответствует умножение их изображений.
Использование указанных формул и свойств дает возможность составить
следующую таблицу оригиналов и их изображений.
№ f(t)
№ f(t)
F(p)
F(p)
αt
п
1
ï!
12 е t
1 1(t)
2
tп
3
е αt
4
Sinat
5
Cosat
6
7
8
e at − e − at
2
at
e − e − at
Chat=
2
Shat=
е αt Sinat
p
ï!
p ï +1
1
p −α
13 t Sinat
( p − à ) ï +1
2 ðà
` 2
( p + α 2 )2
14 t Cosat
ð2 − à2
( p2 + α 2 )2
à
2
p +α 2
ð
2
p +α 2
à
2
p −α 2
ð
2
p −α 2
15 е αt f(t)
F(p-a)
16 f(at)
1 ⎛ ð⎞
F⎜ ⎟
à ⎝à⎠
17 f'(t)
p F(p)- f(0)
18 fn(t)
pn F(p)- pn-1
f(0)- pn-2 f’(0)…- fn-1(0)
à
( p − à) 2 + à 2
19
F ( p)
p
t
∫
0
f ( z )dz
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
е αt Cosat
9
10 е αt Shat
11 е
αt
Chat
ð−à
( p − à) 2 + à 2
20 tп f(t)
à
( p − à) 2 + à 2
21
ð−à
( p − à) 2 − à 2
22 f(t- τ )
(-1)n
f (t )
t
d n F ( p)
dp n
∞
∫ F ( p)dp
p
е − pτ F(p)
Переходим теперь к конкретным примерам.
Пример (к задачам 251-260).
Найти изображения для указанных оригиналов.
а) f(t)= е −3t Cos4t Cos2t
b) 1
f(t)
0
a
2a
3a
4a 5a
6a
t
−3t
−3t
Решение: а) f(t)= е Cos4t Cos2t. Наличие сомножителя е означает использование теоремы смещения. Поэтому сначало найдем изображение функции
Cos4t Cos2t. Для этого воспользуемся формулой тригонометрии
Cos α Cos β =
1
1
(Cos( α + β )+Cos( α - β )), поэтому Cos4t Cos2t= (Cos6 t+Cos2
2
2
t). Воспользовавшись свойством линейности и формулой 5 таблицы, получим:
Cos4t Cos2t=
=
ð ð 2 + 4 + ð 2 + 36
1
1
1
ð
ð
(Cos6 t+Cos2 t) ←
+
=
*
=
2
2 p 2 + 36 2 p 2 + 4 2 ( p 2 + 36)( ð 2 + 4)
ð( ð 2 + 20)
( ð + 3)(( ð + 3) 2 + 20)
−3t
⇒
е
Cos4t
Cos2t
.
←
( p 2 + 36)( ð 2 + 4)
(( p + 3) 2 + 36)(( ð + 3) 2 + 4)
б) Функция f(t)задана графически. Она является периодической с периодом
Т=4а , т.е.
t
, если 0<t<a1,
a
t
f(t+4а)≡ f(t), f(t)= ϕ (t) при 0<t<4a, ϕ (t)=
- +2, если а<t<2a,
a
0, если 2а<t<4a
Воспользуемся формулой (8). Сначала найдем
2à
2à
2à
à
à
t
t
1
1
Ф(р)= ∫ å− ðt * dt + ∫ å− ðt * ⎛⎜ 2 − ⎞⎟dt = ∫ å− ðt tdt + 2 ∫ å− ðt dt - ∫ å− ðt tdt .
0
a
a
⎝
a⎠
-рt
a0
a
a
a
Первообразную для функции е *t найдем интегрирование по частям:
u=t ⇒ du=dt,
∫ tå
− ðt
=- t*
dv= е-рtdt ⇒ v= ∫ å− ðt dt = −
dt
1 -рt
е =
ð
1 -рt
1
1
1
е + ∫ å− ðt dt = − t е-рt − 2 е-рt.
ð
ð
ð
ð
Теперь
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a
2a 1
2a 1
1
⎛ 1
1 ⎞ -рt − 2 *
1 ⎞ -рt
-рt
− ⎛ 1
= ⎛ a 1 ⎞ -рt
⎜⎜ − t − 2 ⎟⎟ е 0
p е a
a ⎜⎜ − t − 2 ⎟⎟ е a
a ⎜⎜ − − 2 ⎟⎟ е p ⎠
p ⎠
⎝ ð
⎝ ð
⎝ ð p ⎠
1⎛ 1 ⎞ 2
1 ⎛ 2a 1 ⎞
1 ⎛a 1 ⎞
- ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ - ( е-р2а-е-ра)+ ⎜⎜ + 2 ⎟⎟ е-р2а- ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ е-ра=
a⎝ p ⎠ p
a⎝ ð p ⎠
a⎝ð p ⎠
⎛ 1
⎛2
1
2 1
1 ⎞
1
2⎞
1
1
2
1
= е-ра ⎜⎜ − − 2 + + + 2 ⎟⎟ + е-2ра ⎜⎜ + 2 − ⎟⎟ + 2 = 2 + е-ра+ 2 е-2ра.
p
p p ap ⎠
p ⎠ ap
ap
ap
⎝ ð ap
⎝ p ap
1
Ф(р)=
a
Применяя формулу (8), получим окончательный результата, подставляя полученное выражение для Ф(р) в формулу F(p)=
Ô ( ð)
.
1 − å−4 ðà
Пример 31 (к задачам 261-270)
Найти оригинал по заданному изображению F(p)
а) F(p)=
ð2 +1
ð ( ð + 1)( ð + 2)( ð + 3)
б) F(p)=
1
( ð + 1) 2 ( ð + 3)
в)F(p)=
5ð +3
( ð − 1)( ð 2 + 2 ð + 5)
ð2 +1
Решение: а) F(p)=
ð ( ð + 1)( ð + 2)( ð + 3)
Как видно из таблицы изображение представляет собой всегда правильную
дробно-рациональную функцию (ДРФ). Как известно, всякая правильная ДРФ
разлагается на сумму простейших дробей. Это разложение, как известно, зависит от канонического разложения знаменателя. Рассмотрим различные случаи.
1-й случай – знаменатель имеет действительные различные корни (как в рассматриваемом примере). Имеет место разложение
À
Â
Ñ
Ä
ð2 +1
= +
+
+
, р1=0, р2=1, р3=-2,р4=-3. – корF(p)=
ð ( ð + 1)( ð + 2)( ð + 3) p p + 1
p+2 p+3
ни знаменателя. Тогда F(p) → f(t) = А* е0t+В* е-t+С* е-2t+Д* е -3t – искомый ори-
гинал в котором предстоит еще определить коэффициенты А,В,С,Д. Два метода
нахождения неопределенных коэффициентов мы уже рассмотрели (см. решение
примера 26). В данном случае более удобным оказывается метод «выгодных»
значений.
Приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:
р2+1=А(р+1)(р+2)(р+3)+Вр(р+2)(р+3)+Ср(р+1)(р+3)+Др(р+1)(р+2)
В последнем тождестве полагаем:
р=0 ⇒ 1=6А ⇒ А=1/6
р=-1 ⇒ 2=-2В ⇒ В=-1
р=-2 ⇒ 5=2С ⇒ С=5/2
р=-3 ⇒ 10=-6Д ⇒ Д=-5/3
1
6
Итак, f(t) = - е-t+
5 -2t 5 -3t
е - е .
2
3
Можно применять другой способ, составляющий содержание так называемой
второй теоремы Хевисайда (или теоремы Ващенко-Захарченко):
A
A
R( p)
= 1 +…+ k ,
Q' ( p) p − p1
p − pk
R( p )
(1)
тогда А1= ' i , i=1,2,…,к.
Q ( pi )
Пусть F(p)=
В нашем примере R(p)= р2+1, Q(p)= р(р+1)(р+2)(р+3)=p4+6p3+11p2+6p,
Q’(p)= 4p3+18p2+22p+6. Тогда
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А1=
⎞
R(0) ⎛
ð2 +1
1
⎜
⎟⎟
=
= ;
'
3
2
⎜
Q (0) ⎝ 4 ð + 18 ð + 22 ð + 6 ⎠ ð = 0 6
⎛
⎞
2
ð2 +1
⎟⎟
= −1
=
3
2
⎝ 4 ð + 18 ð + 22 ð + 6 ⎠ ð = −1 − 4 + 18 − 22 + 6
А2= ⎜⎜
⎛
⎞
5
5
ð2 +1
⎟⎟
=
=
3
2
⎝ 4 ð + 18 ð + 22 ð + 6 ⎠ ð = −2 − 32 + 72 − 44 + 6 2
А3= ⎜⎜
⎛
⎞
10
5
ð2 +1
⎟⎟
=
=− .
3
2
3
⎝ 4 ð + 18 ð + 22 ð + 6 ⎠ ð = −3 − 108 + 162 − 66 + 6
А4= ⎜⎜
б) F(p)=
1
В этом примере реализуется
( ð + 1) 2 ( ð + 3)
Второй случай – знаменатель имеет действительные кратные корни. В соответствии с теорией имеем:
F(p)=
À3
À2
À
Â
1
= 1 +
+
+
2
2
3
( ð + 1) ( ð + 3) p + 1 ( p + 1)
( p + 1) p + 3
Действуя как ранее, приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:
1= А1(р+1)2 (р+3)+ А2(р+1)(р+3)+ А3(р+3)+В(р+1)3
(2)
В равенстве (2) сначала возьмем два выгодных значения:
р=-1 ⇒ 1=2 А3 ⇒ А3=1/2;
р=-3 ⇒ 1=-8В ⇒ В=-1/8.
«Выгодные» значения исчерпаны, поэтому два других возьмем любыми:
р=0 ⇒ 1= А1*3+ А2*3+1/2*3-1/8*1 ⇒ 3 А1+3 А2=-3/8,
р=1 ⇒ 1= А1*16+ А2*8+1/2*4-1/8*8 ⇒ 16 А1+8 А2=0,
т.е. для нахождения А1, А2 осталось решить систему
3 А1+3 А2=-3/8
2 А1+ А2=0 ⇒ А2=-2 А1, и подставим в первое уравнение системы ⇒ 3 А1 -6
А1=-318, А1=1/8, А2=-1/4. Итак F(p)=
1 1
1
1
1 1
1
1
+
2
3
8 p + 1 4 ( p + 1)
2 ( p + 1) 8 p + 3
Находим оригинал каждому слагаемому отдельно, обращая внимание на формулы 1-3, 12 таблицы. Получаем F(p)=
1 1
1
1
1 1
1 1!
2!
+
→ е
2
3
8 p + 1 4 ( p + 1)
4 ( p + 1) 8 p + 3
8
1 -t
1
1
е *t+ е-t*t2 - е-3t.
4
4
8
5ð +3
в) F(p)=
Здесь имеет место третий случай – знаменатель имеет
( ð − 1)( ð 2 + 2 ð + 5)
t
-
простые комплексные корни. Разлагаем на простейшие дроби:
F(p)=
Âð + Ñ
À
5ð +3
=
+ 2
2
( ð − 1)( ð + 2 ð + 5) p − 1 p + 2 ð + 5
Приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:
5р+3=А(р2+2р+5)+(Вр+С)(р-1). Для нахождения трех коэффициентов А,В,С
даем аргументу р три разных значения:
р=1 ⇒ 8=8А ⇒ А=1
р=0 ⇒ 3=1*5+С(-1) ⇒ С=2
р=-1 ⇒ -2=4+(-В+2)(-2) ⇒ В=-1
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Итак, F(p)=
ð−2
− ð+2
1
1
+ 2
=
- 2
;
p +1 p + 2 ð + 5 p +1 p + 2 ð + 5
1
t
→ е , а у второго слаp +1
гаемого в знаменателе выделим полный квадрат:
ð−2
ð−2
=
p + 2 ð + 5 ( p + 1)2 + 2 2
2
Теперь обращаемся вновь к таблице оригиналов и их изображений, формулы 8
и 9, и «подгоняем» дробь к этим формулам:
( ð + 1) − 3 = ( ð + 1) ð−2
ð +1
3
3
2
=
=
*
→
2
2
2
2
2
( p + 1) + 2 2 ( p + 1) + 2 2 ( p + 1) + 2 2 ( p + 1) + 2 2 ( p + 1) + 2 2 2 ( p + 1)2 + 2 2
3 -t
-t
→ е *Cos2t- е Sin2t.
2
3 -t
5ð +3
t
-t
→ е + е *Cos2t- е Sin2t.
Окончательно, F(p)=
2
( ð − 1)( ð + 2 ð + 5)
2
Пример 32. (к задачам 271-280).
Средствами операционного исчисления решить задачу Коши, т.е. найти частное
решение ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами х”+x’-2x= е-t,
удовлетворяющее начальным условиям: х(0)=0, x’(0)=1.
Решение: Переводим ДУ в пространство изображений, т.е. находим изображения обеих частей ДУ, обозначая– изображение х(t). Итак, х(t) ← χ (р), тогда по
формулам 8 таблицы изображений имеем:
x’(t) ← р χ (р)- х(0)= р χ (р), х”(t) ← р2 χ (р)-р х(0)- x’(0)= р2 χ (р)-1. Учитывая,
что
е-t ←
1
1
,получаем изображение заданного ДУ: р2 χ (р)-1+ р χ (р)-2 χ (р)=
,
p +1
p +1
откуда выражаем χ (р):
ð+2
ð+2
1
1
+1 ⇒ χ (р)=
=
=
.
2
p +1
( ð + 1)( ð + ð − 2) ( ð + 1)( ð − 1)( ð + 2) ( ð + 1)( ð − 1)
(р2-р-2) χ (р)=
Поступая как в предыдущих примерах или по формуле (6) таблицы изображений, имеем:
åt − e − t
1
1
χ (р)=
=
→ х(t)=sht=
.
( ð + 1)( ð − 1) p 2 − 1
2
Пример 33. (к задачам 281-290).
В указанном двойном интеграле построить область интегрирования, изменить
порядок интегрирования и вычислить интеграл в обоих случаях:
1
y
e
1
0
0
1
Iny
I= ∫ dy ∫ dx + ∫ dy ∫ dx .
Решение: Сначала построим область интегрирования D, которая разбита на две
части D1 и D2. Область D1 ограничена линиями (см. первое слагаемое): у=0, у=1,
х=0 и х=у. Область D2 ограничена линиями (см. второе слагаемое) у=1, у=е,
х=Inу (т.е. у=ех) и х=1. Таким образом область D, построена и заданный повторный интеграл равен двойному I= ∫∫ dxdy , который представляет собой плоD
щадь области D.
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у=ех
У
е
D2
1
у=х
D1
0
1
х
Поменяем порядок интегрирования, т.е. область D проектируем на ось ОХ – она
проектируется в отрезок [0,1] оси ОХ. Тем самым получены нижний и верхний
пределы интегрирования по переменной х. Теперь заметим, что в рамках полосы между прямыми х=0 и х=1 область D ограничена снизу прямой х=у или
(у=х), а сверху кривой х=Inу (или у=ех) Таким образом, получаем
1
ex
1
y
e
1
0
x
0
0
1
Iny
I= ∫∫ dxdy = ∫ dx ∫ dy = ∫ dy ∫ dx + ∫ dy ∫ dx .
D
Теперь вычислим интеграл в обоих случаях.
1
ex
0
x
1
⎛ ex ⎞
⎟dx = (e x − x)dx =
∫0
x ⎟⎠
0⎝
1
I= ∫ dx ∫ dy = ∫ ⎜⎜ y
⎛ x x 2 ⎞1
1
3
0
⎜⎜ e − ⎟⎟ =е- - е =е- .
2 ⎠0
2
2
⎝
Второй случай оказывается для вычисления более громоздким:
e
1
e
⎛ y⎞
⎛ 1 ⎞
e e
y2 1
⎜
⎟
⎜
⎟
I= ∫ dy ∫ dx + ∫ dy ∫ dx = ∫ ⎜ x ⎟dy + ∫ ⎜ x ⎟dy = ∫ ydy + ∫ (1 − Iny )dy =
+ y − ∫ Inydy =
1 1
Iny ⎠
0⎠
2 0
Iny
0
0
1
1⎝
1
0⎝
0
y
1
e
1
1
ïî
÷àñòÿì :
e
1
2
= +е-1- ∫ Inydy = è = Iny ⇒ du =
1
dv = dy ⇒ v = y
e
1
1
2
1
2
e
e e dy ⎞
1 ⎛
1
dy
=е- - ⎜⎜ ó * Iny − ∫ y ⎟⎟ = е- - e * Ine + 1In1 + ∫ dy =
1 1 y ⎠
2 ⎝
2
y
1
3
2
= е- -е+ y =- +е-1=е- .
Пример 34 (к задачам 291-300).
Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам:
2
2 2
∫∫ dxdy ,
D
3
D:(x +y ) =x .
Решение: Связь между декартовыми (х,у) и полярными ( ϕ , р) координатами
имеет вид
х=рCos ϕ , y=pSin ϕ , 0 ≤ ϕ <2 π (или - π ≤ ϕ < π ). При этом изменяется подынтегральное выражение и область интегрирования по формуле:
x = pCosϕ
∫∫ f ( x, y)dxdy = y = pSinϕ
D
= ∫∫ f ( pCosϕ , pSinϕ ) | I | dϕdp , где якобиан I вычисляется
Ã
следующим образом:
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
I=
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂x
∂p
∂y
∂p
=
− pSinϕ Cosϕ
=-рSin2 ϕ -pCos2 ϕ =-p,
pCosϕ Sinϕ
Следовательно / I /= p. В нашем примере f(x,y)=1 поэтому
∫∫ dxdy = ∫∫ pdϕdp
D
Ã
Остается выяснить как выглядит область Г с тем, чтобы знать как расставить
пределы интегрирования. Можно поступать двояко.
Для данного примера область D ограничена линией (x2+y2)2=x3. Как видим, в
декартовых координатах это громоздкое выражение. Для построения этой линии перейдем к полярным координатам (подставим в уравнение линии):
(р2 Cos2 ϕ + р2Sin2 ϕ )2=р3 Cos3 ϕ ⇒ р4=р 3 Cos3 ϕ ⇒ р= Cos3 ϕ - так выглядит
уравнение границы области D в полярных координатах. Обычно строят границу
по точкам, помня геометрический смысл полярных координат: р- длина радиусвектора точки, ϕ -угол, который образует этот радиус-вектор с положительным
направлением оси ОХ. Поскольку всегда р ≥ 0, то в нашем примере угол ϕ принимает значение в промежутке [- π / 2, π / 2 ] . При этом в силу четности косинуса
составим табличку для построения кривой лишь для отрезка [ 0, π / 2 ] , а для отрезка [- π / 2,0 ] используем симметрию(см. чертеж).
ϕ
π /3
0
π /6
π /4
π /2
1
1
1
р
3 3
≈ 0,125
≈ 0,35
( 3 / 2 )3=
≈ 0,65
8
8
2 2
y
х
0
1
р
Таким образом, граница области D получилась в форме овала. Теперь из чертежа легко видеть, что угол ϕ изменяется (по часовой стрелке) от (- π / 2 ) до ( π / 2 ).
Далее возьмем в области произвольный радиус-вектор и заметим, что минимальное значение длины радиуса-вектора равно нулю (начало координат), а
максимальное находится как расстояние от начала координат до границы области D, т.е. р= Cos3 ϕ .
Итак, I= ∫∫ dxdy = ∫∫ pdϕdp =
D
Ã
π /2
Cos 3ϕ
− /2
0
∫π dϕ ∫ pdp .
Второй способ состоит в том, что область Г строим в декартовой системе
координат ( ϕ ,р): (см. рисунок) и вновь приходим к тому же результату. Вычислим интеграл:
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
р
р= Cos3 ϕ .
1
-
π
π
0
2
ϕ
2
π /2
Cos 3ϕ
π /2
Cos 3ϕ
π /2
− /2
0
0
0
0
∫∫ dxdy = π∫ dϕ ∫ pdp =2 ∫ dϕ ∫ pdp =2 ∫
D
1
8
π /2
∫ (1 + 3Cos 2ϕ + 3Cos
2ϕ + Cos 3 2ϕ )dϕ =
0
1
8
= ϕ
π /2 3 1
0
π / 2 3 π / 2 1 + Cos 4ϕ
+ * Sin 2ϕ
0
8 2
1π 3 π /2 3
+ ϕ
+
=
8 2 16 0
16
=
2
π
16
π /2
∫
0
+
8
∫
0
1
Cos 4ϕdϕ +
8
2
dϕ +
π /2
∫ (1 − Sin
2
π /2
1
Cos 2 2ϕ * Cos 2ϕdϕ =
8 ∫0
2ϕ )Cos 2ϕdϕ =
0
π /2 1
3π 3 1
1
+ * Sin 4ϕ
+ ∫ Cos 2ϕ −
0
32 16 4
8 0
8
π /2
+
π /2 1
5π 1 1
= + Sin2ϕ
−
0
32 8 2
8
=
3
π /2
π /2
⎛ ð 2 Cos 3ϕ ⎞
⎜
⎟dϕ = Cos 6ϕdϕ = ⎛⎜ 1 + Cos 2ϕ ⎞⎟ dϕ ==
∫0
∫0 ⎝ 2 ⎠
⎜ 2 0
⎟
⎝
⎠
π /2
∫ Sin
2
2ϕCos 2ϕdϕ =
0
π /2
5π 1
∫0 Sin 2ϕCos 2ϕdϕ = 32 − 16
2
π /2
∫ Sin
2
2ϕd ( Sin 2ϕ ) =
0
5π 1 Sin 3 2ϕ π / 2 5π
− *
=
.
32 16
3 0
32
Пример 35 (к задачам 301-310).
Найти производную скалярного поля и=In(x+ y 2 + z 2 ) в точке М (1,-3,4) в направлении вектора a =(-2,-1,1) и градиент поля в этой точке.
Решение. Производная скалярного поля и(x.y.z) в направлении вектора a =(а1,
а2, а3) вычисляется по формуле:
∂u ∂u
∂u
∂u
= *Cos α + * Cos β +
Cos γ , где Cos α , Cos β , Cos γ - направляющие
∂y
∂a ∂x
∂z
du
1
косинусы вектора a , т.е. координаты единичного вектора a 0= * a . Иначе
à
da
можно записать в виде скалярного произведения
=(
du
=(qrad u* a 0), где qrad
da
∂u ∂u
∂u
,
,
).Вектор qrad u и по величине и по направлению характеризует
∂x ∂y
∂z
наибольшее возрастание поля u. В нашем примере
1
∂u
=
,
∂x õ + ó 2 + z 2
1
∂u
=
*
∂y õ + ó 2 + z 2
y
ó2 + z 2
,
∂u
∂z
=
1
z
õ + ó2 + z 2
ó2 + z 2
, следова-
тельно, градиент в любой точке имеет следующие координаты:
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
qrad u=
1
õ+ ó + z
2
2
;
(õ +
y
ó +z
2
2
)( ( y
2
+z )
2
) (õ +
;
z
ó +z
2
2
)( ( y
2
+ z2)
)
Подставив сюда координаты точки М, получим значение вектора градиента в
точке М
1 1 2
1
1
1
4
1
, ), | qrad u(М) |=
=
=
+
+
≈ 0,236 .
6 10 15
36 100 225
18 3 2
Найдем теперь направляющие косинусы вектора a =(-2,-1,1). Поскольку
2
1 1
| a |= 4 + 1 + 1 = 6 , то a 0=( − , − ,
), следовательно, произвольная поля u
6
6 6
(x,y,z) по направлению вектора a в произвольной точке имеет вид
y
z
2
∂u
1
=
+
=
∂a
6 õ + ó2 + z 2 õ + ó2 + z 2 ( y 2 + z 2 )
õ + ó2 + z 2 ( y 2 + z 2 )
qrad u(М)= ( ,
)(
(
=
− 2 ó2 + z 2 − y + z
(
6 x + ó2 + z 2
а в точке М
)
y2 +z2
) (
)(
)
,
− 2*5 + 3 + 4
−3
∂u
1
=
=
=−
≈ -0,04.
∂a Ì
6 *6*5
6 6 *5
10 6
Пример 36 (к задачам 311-320)
Вычислить поток векторного поля a = r =(x,y,z)- поток радиуса-вектора r , через
внешнюю сторону поверхности (S), образованную параболоидом z=x2+y2 и
плоскостями х=0, у=0, z=1 двумя способами:
1) сведением к повторному интегралу 1рода (проектированием на одну
координатную плоскость); или сведением к повторному интегралу II
рода (проектированием на три координатные плоскости);
2) с помощью теоремы Остроградского-Гаусса.
Решение: Потоком векторного поля а(x,y,z) через выбранную сторону поверхности (S) называется поверхностный интеграл первого рода по поверхности (S)
от скалярного произведения вектора a на единичный вектор нормали ï 0 к выбранной стороне поверхности (S):
(1)
П= ∫∫ (a * n 0 )ds
S
Если а(x,y,z) представляет собой скорость течения жидкости, то поток определяет количество жидкости, протекающей через поверхность (S) в единицу времени.
Поток вектора напряженности Å электрического поля определяет количество
электричества, протекающего через поверхность в единицу времени и т.д.
Пусть векторное поле имеет координаты a =(а1, а2, а3), а ï 0 =( Cos α , Cos β ,
Cos γ ), тогда формула (1) примет вид
(2)
П= ∫∫ ( а1 Cos α + а2 Cos β + а3 Cos γ ) ds
S
Заметим, что в формуле (2) координаты вектора поля и направляющие косинусы рассматриваются в произвольной точке поля, следовательно, в общем случае, являются функциями трех переменных.
Воспользовавшись связью между поверхностными интегралами I и II рода
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Cos α dS=dydz , Cos β ds=dxdz, Cos γ ds= dxdу,
(3)
получим формулу для вычисления потока векторного поля с помощью поверхностного интеграла II рода
П= ∫∫ а1 dydz+ а2 dxdz+ а3 dxdу
(4)
S
Если же поверхность (S) замкнутая, то имеет место формула ОстроградскогоГаусса
(5)
П= ∫∫ (a * n 0 )ds = ∫∫ а1 dydz+ а2 dxdz+ а3 dxdу= ∫∫∫ diva * dv ,
S
S
V
Где в поверхностном интеграле выбирается внешняя сторона поверхности (S), а
дивергенция поля a вычисляется по формуле
div a =
∂a1 ∂a2 ∂a3
+
+
.
∂y
∂x
∂z
Переходим к решению заданного примера. Используем вначале формулы (1),
(2). Сделаем чертеж поверхности (S). Она состоит из частей координатных
плоскостей х=0 (ОВС), у=0 (ОАВ), части плоскости z=1(АВС) и части поверхности параболоида (ОАС), отсекаемой указанными плоскостями.
z
В
ï1
ï2
С
ï3
А
ï4
0
Е
1
у
1
х
D
При этом векторы нормали проводятся к внешней стороне получившейся замкнутой поверхности.
Как видим, поверхность (S) состоит из четырех различных частей, поэтому
П= ∫∫ (a * n 0 )ds = ∫∫ (a * n 01 )ds + ∫∫ (a * n 0 2 )ds + ∫∫ (a * n 0 3 )ds + ∫∫ (a * n 0 4 )ds
(6)
S
( ÀÂÑ )
( ÎÂÑ )
( ÎÀÂ )
( ÎÀÑ )
Рассмотрим каждый интеграл в отдельности.
Вектор ï 1 0 перпендикулярен плоскости z=1 и направлен вверх (напоминаем, что
выбирается внешняя сторона поверхности (S)), т.е. ï 1 0= κ =(0,01). Тогда скалярное произведение ( a * ï 1 0)=( a * κ )- z и П1= ∫∫ (a * κ )ds = ∫∫ zds . Переходя к двой( ÀÂÑ )
( ÀÂÑ )
ному интегралу, поверхность (АВС), т.е. плоскость z=1, проектируем (оно
пройдет без искажения) на координатную плоскость (ХОУ) (круг ОДЕ:
x2+y2=1) и получим П1= ∫∫ dxdy . Удобно при вычислении этого двойного инте( ÎÄÅ )
грала перейти к полярным координатам. Однако проще всего учесть, что двойной интеграл ∫∫ dxdy означает площадь области D, следовательно, П1 равен
(D)
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
площади четверти круга x2+y2=1, т.е. П1= π / 4 . Аналогично, ï 2 0=- i =(-1,0,0),
следовательно, П2= ∫∫ (a * n 0 2 )ds =- ∫∫ (a * i )ds =- ∫∫ õds . Переходя к двойному ин( ÎÂÑ )
( ÎÂÑ )
( ÎÂÑ )
тегралу, заметим, что ds=dydz, уравнение плоскости ОВС: х=0, т.е. П2=0.
П3= ∫∫ (a * n 0 3 )ds =- ∫∫ (a * j )ds =- ∫∫ yds =0, т.к. уравнение плоскости ОАВ: у=0.
( ÀÎÂ )
Вектор
( ÀÎÂ )
нормали
формуле ï 0= ±
( ÀÎÂ )
ï
0
qradF
qradF
к
поверхности
(7),
F(x,y,z)=0
следовательно,
определяется
по
⎛ F 'x F ' y F 'z
0
ï = ± ⎜⎜
,
,
n
n
⎝ n
⎞
⎟⎟ ,
⎠
(F ' x )2 + (F ' y )2 + (F ' z )2 , а знак выбирается в зависимости от того, через какую
ï =
сторону поверхности вычисляется поток.
В нашем примере вектор ï 0 образует с осью ОZ (т.е. с вектором κ ) тупой
угол. Уравнение поверхности параболоида запишем в виде x2+y2-z=0. Тогда
ï = ± (2x,2y,-1),
=
2õ
,
4õ + 4 ó +1
∫∫ (a * n )ds = ∫∫
2 õ2 + 2 ó 2 − z
следовательно, ï
0
4
2ó
2
4 õ2 + 4 ó + 1
,
−1
4 õ2 + 4 ó + 1
Теперь вычисляем
П4=
0
4
( ÎÀÑ )
( ÎÀÑ )
4 õ2 + 4 ó 2 + 1
ds .
Сводим этот поверхностный интеграл I рода к двойному, проектируя поверхность ОАС, задаваемое уравнением z= x2+y2 на плоскость ХОУ в круг ОДЕ, в
результате чего
ds= 1 + (z ' x )2 + (z ' y )2 dxdy= 1 + 4 x 2 + 4 y 2 dxdy и заменяя в подынтегральном выражении z=x2+y2:
П4=
∫∫
2 õ2 + 2 ó 2 − õ2 − ó 2
( ÎÄÅ )
4õ + 4 ó +1
2
2
* 1 + 4 x 2 + 4 y 2 dxdy=
2
)
+ ó 2 dxdy=
( ÎÄÅ )
õ = ðCosϕ
π /2
= y = pSinϕ = ∫∫ ð 2 * ðdϕdp = ∫ df
0 ≤ϕ ≤π /2
∫∫ (õ
1
π
1
π
0
∫ p dp = 2 * 4 = 8
π
π
4
8
(Ã)
3
0
Итак, П= П1+ П2 +П3 +П4= + =
3π
.
8
Посмотрим, как ту же задачу решать с помощью поверхностного интеграла II
рода, т.е. по формуле (4), которая в нашем случае имеет вид
(8)
П= ∫∫ xdydz + ydxdz + zdxdy ,
(S )
т.е. представляет собой сумму трех поверхностей интегралов II рода:
I1= ∫∫ xdydz , I2= ∫∫ ydxdz , I3= ∫∫ zdxdy .
(S )
(S )
(S )
Каждый из этих интегралов разобьется на четыре, т.к. поверхность S состоит
из четырех частей.
I1= ∫∫ xdydz + ∫∫ xdydz + ∫∫ xdydz + ∫∫ xdydz .
( ÀÂÑ )
(ÎÂÑ )
(ÎÀÂ )
(ÎÀÑ )
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∫∫ xdydz =0, т.к. на плоскости АВС z=1, dz=0.
Интеграл
( ÀÂÑ )
∫∫ xdydz =0 т.к. уравнение плоскости
ОВС: х=0.
(ÎÂÑ )
∫∫ xdydz =0, т.к. на плоскости ОАВ: y=0 и dу=0.
(ÎÀÂ )
Рассмотрим, наконец,
∫∫ xdydz . На поверхности ОАС вектор нормали
ï
0
4
обра-
(ÎÀÑ )
зует с осью ОХ острый угол, следовательно при переходе к двойному интегралу
знак не меняется. Из уравнения поверхности ОАС z= x2+y2 выразим х= z − y 2 и
подставим в поверхностный интеграл.
В результате получаем двойной интеграл
∫∫ xdydz = ∫∫
( ÎÀÑ )
( ÎÀÑ )
1
z − y dydz = ∫ dy
2
0
2
( z − y 2 )3 / 2 1
=∫
dó =
2
3
3/ 2
y
0
1
2
=
3
π /2
1
6
π /2
=
∫
0
1
0
ó2
z − y dz = ∫ dy ∫ ( z − y 2 )1 / 2 dz =
∫
ó2
∫ (1 − y ) dó = ó = S
2 3
ïåðåìåííîé
int ⇒ dy = cos tdt
y = 0 ⇒ t = 0; ó = 1 ⇒ t = π / 2
0
2
1
2
çàìåíà
1
1
⎛ 1 + Cos 2t ⎞
⎜
⎟ dt =
6
2
⎝
⎠
⎛3
1
π /2
1
∫0 (1 + 2Cos 2t + Cos 2t )dt = 6
π /2
2
⎞
1
1
π /2
⎛3
⎛
∫ ⎜⎝1 + 2Cos 2t +
0
1
⎞π / 2
∫ ⎜⎝ 2 + 2Cos 2t + 2 Cos 4t ⎟⎠dt = 6 ∫ ⎜⎝ 2 t + Sin 2t + 8 Sin 4t ⎟⎠ 0
0
0
Итак, I1=
2
=
3
=
π /2
∫ Cos tdt =
4
0
1 + Cos 4t ⎞
⎟dt =
2
⎠
π
8
π
8
Дальнейшее вычисление проводим аналогично.
Вычисление интеграла I2 полностью повторяет вычисление I1 :I2=
π
I3=
π
8
∫∫ zdxdy + ∫∫ zdxdy + ∫∫ zdxdy + ∫∫ zdxdy . ∫∫ zdxdy = ∫∫1dxdy = 4
( ÀÂÑ )
( ÎÂÑ )
( ÎÀÂ )
( ÎÀÑ )
( ÀÂÑ )
( ÎÄÅ )
∫∫ zdxdy =0 т.к. dx=0 ∫∫ zdxdy =0, т.к. dy=0.
( ÎÂÑ )
( ÎÀÂ )
Осталось вычислить
∫∫ zdxdy .
Вектор нормали ï
0
4
образует с осью ОZ тупой
( ÎÀÑ )
угол, поэтому при переходе двойному интегралу приобретается знак минус.
Подставляя в поверхностный интеграл из уравнения поверхности параболоида
π /2
õ = pCosϕ
3
z= x +y получаем ∫∫ zdxdy = ∫∫ õ + ó dxdy =
=- ∫∫ ð dϕdð =- ∫ dϕ
y = pSinϕ
( ÎÀÑ )
( ÎÀÑ )
Ã
0
2
2
(
2
2
)
1
∫ ð dð =3
0
π 1
=
2 4
π
π π π
3π
=- . Итак, I3= - = , а П= I1 +I2 +I3 +I4=
8
4 8 8
8
Читатель может сравнить трудоемкость обоих способов. В заключение используем формулу Остроградского-Гаусса (5). В нашем примере
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
div a =
∂a1 ∂a2 ∂a3
+
+
=3, тогда П=3 ∫∫∫ dxdydz
∂y
∂x
∂z
v
Удобнее в тройном интеграле перейти к цилиндрическим координатам по формуле
x = pCosϕ , y = pSinϕ
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = z = z,| I |= p
v
= ∫∫∫ f ( pCosϕ , pSinϕ , z ) pdϕdpdz .
Ã
Для нашего примера имеем
∫∫∫ dxdydz = ∫∫∫ pdϕdpdz .
v
Для расстановки пределов
Ã
интегрирования заметим, что область V ограничена снизу параболоидом (его
уравнение в цилиндрических координатах z=p2) , сверху плоскостью z=1. ОбластьV проектируется на плоскость ХОУ в четверть круга x2+y2=1, следовательно
0 ≤ ϕ ≤ π / 2 0 ≤ ð ≤ 1 , поэтому
π /2
1
1
П=3 ∫∫∫ pdϕdpdz =3 ∫ dϕ ∫ ðdð ∫ dz =3
Ã
=
0
0
ð3
π
2
π /2
∫
0
⎛ 1 ⎞
3π
ð⎜ z 2 ⎟dp =
⎜ p ⎟
2
⎝
⎠
3π
∫0 ð(1 − p )dð = 2
1
2
⎛ p 2 p 4 ⎞1
⎜⎜
⎟⎟
−
2
4
⎝
⎠0
3π ⎛ 1 1 ⎞ 3π
3π
* ⎜ − ⎟ = , т.е. П= .
2 ⎝2 4⎠ 8
8
Пример 37 (к задачам 321-330).
Вычислить циркуляцию Ц ( a ) векторного поля a вдоль линии L двумя способами – непосредственно и с использованием формулы Стокса:
⎧ õ2 + ó 2 = 1
а) a =(xy,yz,xz), L: ⎨
⎩õ + ó + z = 1
б) a = (2у,3z,х), L : ломаная, соединяющая точки О(0,0,0,), М1(1,1,2) М2(2,-3,4).
Решение. Пусть задано непрерывное векторное поле a (x,y,z) и кусочно-гладкая
кривая, на которой выбрано положительное направление, т.е. указана начальная
и конечная точки кривой (ориентированная кривая). Линейным интегралом А
от вектора a (x,y,z) вдоль ориентированной кривой L называется криволинейный интеграл I рода (интеграл по длине дуги кривой) от скалярного произведения ( a , τ 0 ):
(1)
А= ∫ (a ,τ 0 )ds ,
L
где τ 0 - единичный вектор касательной к кривой в каждой точке, со направленный с ориентировочной кривой L; ds – дифференциал дуги кривой L.
Если кривая L задана в параметрическом виде L: х=х(t), y=y(t), z=z(t), то радиус-вектор r(t) точек кривой имеет вид r(t)=( х(t), y(t), z(t)), а
τ 0 *ds=dr(t)=(dx(t),dy(t),dz(t)) есть вектор касательной к кривой.
a
τ0
dr(t)
r(t)
0
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда для вектора поля a =(а1 ,а2 ,а3,) формула (1) примет вид
А= ∫ (a , dr ) = ∫ a1dx + a2 dy + a3 dz (2)
L
L
Напомним, что а1 ,а2 ,а3, - непрерывные функции переменных x,y,z , а формула
(2) представляет собой выражение линейного интеграла через криволинейный
интеграл II рода по кривой L. Если векторное поле a является силовым полем,
то линейный интеграл А дает величину работы этого силового поля вдоль линии L.
В теории поля особенно большой интерес представляет линейный интеграл для случая замкнутой кривой L, т.е. когда начало и конец кривой L совпадают. Сам линейный интеграл в этом случае называется циркуляцией Ц ( a )
вектора поля вдоль замкнутого контура L и обозначается Ц
(3)
( a )= ∫ (a, dr ) = ∫ a1dx + a2 dy + a3 dz
L
L
Если контур L замкнутый, то на нем можно построить некоторую поверхность,
или, как говорят, на контур можно натянуть некоторую поверхность. В таком
случае имеет место теорема и формула Стокса: циркуляция Ц2( a ) вектора a по
замкнутому контуру S, натянутую на контур L равна потоку реторта rota этого
вектора a через любую поверхность S, натянутую на контур L:
0
Ц2( a )=Пs( rota ), т.е. ∫ (a, dr ) = ∫ ∫ rota * n ds .
(4)
(
L
)
S
При этом, поскольку и знак циркуляции зависит от направления обхода L и
знак потока зависит от выбора стороны поверхности S, формула (4) справедлива при условии согласования ориентации кривой L и поверхности S, а именно:
0
если представить вектор нормали ï к выбранной стороне поверхности идущим
от ног к голове, то обход контура L должен происходить против часовой стрелки, а поверхность оставаться слева.
Ротор поля a представляет собой вектор, координаты которого вычисляются с помощью следующего символического (для запоминания) определителя:
i
rota =
j
k
∂ ∂ ∂ ⎛ ∂a3 ∂a2 ∂a1 ∂a3 ∂a2 ∂a1 ⎞
⎟
−
−
−
=⎜
;
;
dz ∂z dx ∂x ∂y ⎟⎠
∂x ∂y ∂z ⎜⎝ dy
à1 à 2 à3
(5)
Теперь переходим к решению конкретного примера 40. а) Нетрудно предста⎧ õ2 + ó 2 = 1
вить себе линию L: ⎨
. Она представляет собой линию пересечения ци⎩õ + ó + z = 1
линдра x2+y2=1 (его образующая параллельна оси OZ, а направляющая - окружность x2+y2=1 с центром в начале координат и радиуса равным единице) и
плоскости x+y+z=1 (эта плоскость отсекает на всех осях координат отрезки,
равные единице). В пересечении цилиндра и плоскости получается эллипс.
Найдем параметрические уравнения этого эллипса. На плоскость ХОУ эллипс
проектируется в окружность x2+y2=1, а параметрические уравнения этой окружности х=1*Cost,y=1*Sint, 0 ≤ t ≤ 2π . Поскольку z=1-х-у, получаем z=1- CostSint, следовательно, параметрические уравнения эллипса следующие
х=Cost,y=Sint ,z=1- Cost- Sint, 0 ≤ t ≤ 2π .
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теперь для вычисления циркуляции применяем формулу (2) – получаем
криволинейный интеграл II рода
Ц2( a )= ∫ xydx + yzdy + xzdz . Для перехода к определенному интегралу осталось
L
подставить вместо x,y,z и их дифференциалов их выражения в параметрическом
виде:
2π
Ц2( a )= ∫ (Ñost * S int(− S int) + S int(1 − Cost − S int)Cost + Cost (1 − Cost − S int)( S int − Cost ))dt =
0
2π
= ∫ (− Sin 2tCost + S int* Cost − S int Cos 2t − Sin 2 Cost + Cost * S int − Cos 2t − CostSin 2t + Cos 3t )dt ==
0
2π
∫ (−3Sin tCost + 2S int* Cost − S int Cos t − Cos t + Cos t )dt =
2
2
2
3
0
2π
= ∫ (−3Sin 2tCost + Sin 2t − Cos 2tS int −
0
1 + Cos 2t
+ 1 − Sin 2 t Cost )dt =
2
(
)
⎛ Sin 3t 1
1
Cos 3t 1 1
Sin 3t ⎞ 2π
⎟⎟
= ⎜⎜ − 3
− Cos 2t +
− t − Sin 2t + S int −
= - * 2π = −π
3
2
3
2 4
3 ⎠0
2
⎝
Итак, непосредственное вычисление циркуляции дает результата Ц( a )= − π .
Применяем теперь формулу Стокса (4). Сначала по формуле (5) вычисляем координаты ротора:
i
rota =
j
k
∂ ∂ ∂
=(-у,-z,-x)
∂x ∂y ∂z
xy xy xz
В качестве поверхности S, натянутой на контур L возьмем секущую плоскость
x+y+z=1, причем ее верхнюю сторону, поскольку, находясь именно на этой
стороне плоскости, контур L будем обходить против часовой стрелки, а сама
поверхность будет оставаться слева. Вектор нормали к этой стороне плоскости
образует одинаковые острые углы со всеми осями координат, т.е. и без применения формулы (39.7) ясно, что
0
ï =( 1 , 1 , 1 ). Тогда по формуле (4)
3
(
3
3
0
)
⎛
П( rota )= ∫ ∫ rota * n ds = ∫∫ ⎜ − y
S
S
⎝
1
1
1 ⎞
−z
−x
⎟ds =- 1
3
3
3
3⎠
∫∫ ( y + z + x )ds
S
Сводим этот поверхностный интеграл I рода к двойному проектированием
плоскости S на координатную плоскость ХОУ (проекцией D будет круг
x2+y2=1) При этом z=1- x-y, а ds=
П( rota )=- 1
3
∫∫ ( y + 1 − x − ó + õ)
D
dxdy dxdy
=
= 3 dxdy. Получаем:
1
Cosγ
3
3dxdy =- ∫∫ dxdy . Поскольку
D
∫∫ dxdy
равен площади
D
D, т.е. в нашем случае площади круга радиуса R=1, окончательно имеем
Ц( a )=П( rota )= − π .
б) a = (2у,3z,х), L: ломаная ОМ1М2, где О(0,0,0), М1(1,1,2) М2(2,-3,4).
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Z
4
M2
2
M1
1
-3
0
+1
Y
M1
2
M2
X
Выберем обход ломаной от точки О к точке М1, от М1 к М2 и от М2 к О, т.е. путь
ОМ1М2О. Тогда Ц( a )= ∫ (a * dr ) = ∫ 2 ódx + 3zdy + xdz .
ÎÌ
1Ì 2 Î
ÎÌ
1Ì 2 Î
Поскольку ломаная L состоит из трех частей, циркуляция будет состоять из
трех
криволинейных
интегралов
II
рода:
Ц( a )= ∫ (à * dr ) = ∫ (à * dr ) + ∫ (à * dr )+ ∫ (à * dr ).
ÎÌ
1Ì 2 Î
ÎÌ
1
Ì 1Ì
Ì 2Î
2
Вычисляем каждый интеграл отдельно. Для вычисления первого интеграла напишем параметрические уравнения прямой ОМ1 как уравнение прямой
проходящей через две точки:
О М1:
õ−0 ó−0 z −0
=
=
=t
1− 0 1− 0 1− 0
⇒
х= t, у= t, z= 2t – уравнение прямой ОМ1. Легко ви-
деть, что при t=0 получаем координаты точки О(0,0,0), а при t=1 - точки
М1(1,1,2), следовательно для отрезка ОМ1 имеем
О М1= х= t, у= t, z= 2t, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ dx=dt, dу=dt, dz=2dt. В итоге получаем:
ÎÌ
(∫ à * dr )= ∫ 2 ydx + 3zdy + xdz = ∫ (2tdt + 3 * 2t * dt + t * 2dt ) =10 ∫ tdt =5t2 10 =5, т.е.
1
ÎÌ
1
1
1
0
0
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ÎÌ
∫ (à * dr )=5
1
Аналогично вычисляем остальные два интеграла.
õ −1
ó −1 z − 2
=
=
=t
2 −1 − 3 −1 4 − 2
М1М2:
⇒
х= t+1, у=-4t+1, z= 2t+2,
0 ≤ t ≤1 ⇒
dx=dt, dу=-4dt,
dz=2dt.
Следовательно
∫ (à * dr )= ∫ 2 ydx + 3zdy + xdz = ∫ (2(−4t + 1)dt + 3(2t + 2)(−4)dt + (t + 1)2dt ) =
1
Ì
1Ì 2
Ì
1Ì 2
0
1
1
0
0
2
∫ (−8t + 2 − 24t − 24 + 2t + 2)dt = ∫ (−30t − 20)dt =(-15 t -20t)
Ì
∫ (à * dr )=-35
1
=-35, т.е.
0
1Ì 2
М2О:
õ−2 ó+3 z −4
=
=
=t ⇒ х=-2t+2, у= 3t-3, z=-4t+4, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ dx=-2dt, dу=3dt,
0−2 0+3 0−4
dz=-4dt Следовательно
∫ (à * dr ) = ∫ 2 ydx + 3zdy + xdz = ∫ (2(3t − 3)(−2)dt + 3(−4t + 4)3dt + (−2t + 2)(−4)dt ) =
1
Ì
2Î
Ì
2Î
0
1
1
= ∫ (−12t + 12 − 36t + 36 + 8t − 8)dt = ∫ (−40t + 40)dt =(-20 t2-40t)
0
0
1
=20, т.е.
0
Ì
∫ (à * dr ) =20.
2Î
Поэтому Ц( )=5-35+20=-10.Вычислим теперь Ц( a ) с помощью теоремы Стокса.
В качестве поверхности, натянутой на контур L, естественно взять плоскость
ОМ1М2 проходящую через эти три точки. Ее уравнение имеет вид
a
х−0
у−0
z−0
х
1 − 0 1 − 0 2 − 0 =0
⇒
2−0 −3−0 4−0
у
z
1 1 2 =0
⇒
10х-5z=0 ⇒ 2x-z=0
2 −3 4
По теореме Стокса
0
Ц2( a )=Пs( rota )= ∫ ⎛⎜ rota * n ⎞⎟ds ,
S
причем
0
ï =±
=±
⎝
⎠
для
поверхности
F(х,у,
z)=0
вектор
нормали
F ' i + F ' y j + F 'z k
qradF
=± x
=
| qradF |
| qradF |
2i − k
5
= ±
2
5
,0, −
1
5
.
Пример №38 (к задачам 331-340)
В результате опыта могут произойти три независимых события А1,А2, и
А3 с вероятностями Р(А1)=0,9, Р(А2)=0,8, Р(А3)=0,1. Найти вероятности того,
что в результате опыта: 1) произойдут все три события; 2) произойдет хотя бы
одно событие; 3) произойдет ровно одно событие; 4) произойдет только первое
событие.
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. 1) Обозначим событие В+(в результате опыта произойдут все
три события). Иначе говоря, в результате опыта произойдет А1 и А2 и А3. Можно себя контролировать: если произносили союз «и», то речь идет о произведении событий: В=А1•А2•А3. Поскольку события независимые, то по теореме умножения вероятностей Р(В)=Р(А1•А2•А3)=Р(А1)•Р(А2)•Р(А3)=0,9•0,8•0,1=0,072;
Р(В)=0,072.
2) Обозначим событие С+(в результате опыта произойдет хотя бы одно из
событий А1,А2, А3). Другими словами событие с означает, что в результате опыта произойдет или А1 или А2 или А3. Поскольку произносится союз или, то это
указывает на то, что события складываются: С=А1+А2+А3. При этом необходимо учитывать, что здесь союз или произносится не совсем в обыденном употреблении, когда иногда применение союза или к А и В предполагает исключение одного из другого. В теории вероятностей сумма двух событий А+В означает: или А или В или оба. Поэтому теорема сложения вероятностей имеет вид:
Р(А+В)+Р(А)+Р(В)-Р(А•В), а для трех событий
Р(А1+А2+А3)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)Р(А1•А2)-Р(А1•А3)Р(А2•А3)+Р(А1•А2•А3). Для нашего примера
Р(С)=Р(А1+А2+А3)=0,9+0,8+0,1-0,9•0,8-0,9•0,1-0,8•0,1+0,9•0,8•0,1=0,982.
Как видим, формула получилась громоздкой. В таких случаях следует
всегда иметь в виду нахождение противоположного события и его вероятности.
Противоположным событием с для С является: с =(в результате опыта не произойдет ни одно из событий А1,А2, А3), т.е. с = А1 ⋅ А2 ⋅ А3 . Поскольку
Р( с )=(1-0,9)•(1-0,8)•(1-0,1)=0,1•0,2•0,9=0,018,
то
Р(С)=1-Р( с )=10,018=0,982 и видим, что тот же результат получен несколько проще.
3) Обозначим: Д+(в результате опыта произойдет ровно одно событие),
т.е. Д= А1 ⋅ А2 ⋅ А3 + А1 ⋅ А2 ⋅ А3 + А1 А2 А3 . В этой сумме все слагаемые попарно несовместные, за счет присутствия в каждом слагаемом противоположных собыР( Д ) = Р( А1 А2 А3 ) + Р( А1 А2 А3 ) + Р( А1 А2 А3 ) = 0,9 ⋅ 0,2 ⋅ 0,9 +
тий. Поэтому
+ 0,1 ⋅ 0,8 ⋅ 0,9 + 0,1 ⋅ 0,2 ⋅ 0,1 = 0,162 + 0,072 + 0,002 = 0,236
4) Обозначим: Е= (в результате опыта произойдет только событие А1), т.е.
Е= А1 А2 А3 , следовательно, Р(Е)=Р( А1 А2 А3 )= 0,9 ⋅ 0,2 ⋅ 0,9 = 0,162
Пример №39 (к задачам 341-350)
В коробке лежат неотличимые по внешнему виду два игральных кубика:
один правильный, а второй – неправильный, у которого шестерка выпадает с
вероятностью 1/3, пятерка- с вероятностью 1/6, а остальные- с одинаковыми вероятностями. Из коробки наудачу берут и подбрасывают кубик. Какова вероятность того, что выпадет шестерка.
Решение. Это пример на применение формулы полной вероятности, когда
исследуемое событие А происходит с одним из событий (гипотез) Н1,Н2…, Ни,
т.е. опыт как разбивается на два этапа: сначала происходит одна из гипотез, а
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
затем событие А. В нашем случае надо выбрать кубик, а затем подбросить его и
ждать появится или нет шестерка. Поэтому обозначим гипотезы:
Н1=(из коробки выбирается правильный кубик),
Н2=(из коробки выбирается неправильный кубик).
Поскольку кубики неотличимы по внешнему виду, то Р=(Н1)=Р(Н2)=1/2
Р(А)=Р(Н1) ⋅ Р( А / Н 1 ) + Р( Н 2 ) ⋅ Р( А / Н 2 ).
Условные вероятности даны в задаче:
Р(А/Н1)- вероятность события А при условии, что событие (гипотеза) Н1
произошло, т.е. вероятность появиться шестерке, если выбран правильный кубик, равна 1 6 . Р(А/Н1)=1 6 .
Аналогично, Р(А/Н2)=1 3. Поэтому
1 1 1 1 1
Р( А) = ⋅ + ⋅ = . Видим, что полная вероятность Р(А)=1/4 находит2 6 2 3 4
ся между условными вероятностями Р(А/Н1)=1/6 и Р(А/Н2)=1/3.
Пример 40 (к задачам 351-360).
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Составить
ряд и функцию распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того,
что при четырех выстрелах будет не менее двух попаданий. Показать графически.
Решение. Во-первых, обозначим случайную величину ξ =(число попаданий в
цель при четырех выстрелах). Очевидно, СВ ξ может принимать следующие
значения: 0,1,2,3,4. При вычислении соответствующих вероятностей ясно, что
имеет место повторение опыта (один и тот же стрелок производит выстрел 4
раза), следовательно, должна применяться формула Бернулли Рп(т)=Сптртqп-т,
где Рп(т)- вероятность того, что в результате опытов событие (в нашей задаче –
попадание в цель) появится равно т раз, р- вероятность события в одном опыте
(в нашей задаче р=0,8), q – вероятность противоположного события;
Спт=
ï!
, 0!=1.
ò !(ï − ò )!
Проводим вычисления
Р4(0)=q4=0,24=0,0016; Р4(1)=4*0,8*0,23=0,0256;
Р4(2)=
4*3
*0,82*0,22=0,1536; Р4(3)= 4*0,83*0,2=0,4096; Р4(4)= 0,84=0,4096.
2!
Составим ряд распределения случайной величины (дискретной ) ξ :
0
1
2
3
4
ξ =хi
0,0016
0,0256
0,1536
0,4096
0,4096
р=рi
Проверяем правильность вычисления
∑ ði =0,016+0,0256+0,1536+0,4096+0,4096=1
Функцией распределения F(х) случайной величины ξ называется вероятность
Р( ξ <х), т.е. вероятность того, что СВ ξ примет значения, меньше х: F(х)=
Р( ξ <х). Для дискретных СВ функция распределения является дискретной (т.е.
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
разрывной) разрывы функция терпит в точках хi. Действительно проводим вычисления для нашей задачи: если х ≤ 0, то событие ( ξ <х) – невозможное ∅ и,
следовательно, F(х)= Р( ξ <х)=Р(∅)=0.
Далее, пусть 0<х ≤ 1. Тогда F(х)= Р( ξ <х)=Р( ξ =0)=0,0016. Аналогично: пусть
1<х ≤ 2,
тогда
F(х)=
Р( ξ <х)=Р( ξ =0
или
ξ =1)=
Р( ξ =0)+
Р( ξ =1)=0,0016+0,0256=0,0272;
пусть 2<х ≤ 3, тогда F (х)= Р( ξ =0)+ Р( ξ =1)+ Р( ξ =2)=0,1808;
пусть 3<х ≤ 4, тогда F (х)=0,4904 и, наконец, пусть х>4, тогда F (х)= Р( ξ =0)+
Р( ξ =1)+ Р( ξ =2)+ Р( ξ =3)+ Р( ξ =4)=1.
Построим график функции F (х):
F (х):
1
0,4904
0,1808
0,0016
о 1
2
3
4
х
Стрелки на графике означают, что функция в точках разрыва указанного
стрелкой значения не достигает. Например, Р(3)=0,1808 (но не 0,4904), а
0,4904= F (3+0).
Вычислим числовые характеристики (математическое ожидание т и дисперсию σ 2): т= ∑ õi ði =0*0,0016+1*0,025+2*0,1536+3*0,4096+4*0,4096=3,2016.
Дисперсию σ 2 можно вычислить по определению σ 2= ∑ (õi − ò )2 ði , или по формуле σ 2=М[ ξ 2]- М2[ ξ ]= ∑ õ2 ði − ò 2 . По последней формуле имеем
2
2
σ =1*0,0256+4*0,1536+9*0,4096+16*0,4096-(3,2016) =0,6298.
Среднее квадратное отклонение σ =0,7936.
Итак, мы имеем два вида закона распределения дискретной случайной величины (ДСВ) – ряд распределения и функцию распределения. Пользуясь этими законами, найдем вероятность Р( ξ ≥ 2).
Во-первых, эту вероятность можно расписать следующим образом:
Р( ξ ≥ 2)= Р( ξ =2)+ Р( ξ =3)+ Р( ξ =4) и, глядя на ряд распределения, получаем, что
Р( ξ ≥ 2)=0,1536+0,4096+0,4096=0,9728. Этот же результат можно получить, используя функцию распределения по формулам: Р( ξ =а)= F(а+0)- F(а); р(а
≤ ξ < β )= F( β )-F(а);
р(а ≤ ξ ≤ β )= F( β +0)- F(а);
р(а< ξ < β )= F( β )-F(а+0);
Р(а < ξ ≤ β )= F( β +0)- F(а+0);
Теперь, выбирая нужную формулу и глядя на функцию распределения, получим Р( ξ ≥ 2)=Р (2 ≤ ξ ≤ 4)= F(4+0)- F(2)=1-0,0272=0,9728.
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 41 (к задачам 361-370).
На координатной плоскости ξ 10 ξ 2 в квадрат 0 ≤ ξ i ≤ 1, i=1,2, наудачу брошена
точка. Пусть( ξ 1, ξ 2) – ее координаты. Для СВ ξ = ξ 2 - ξ 1 найти функцию распределения, плотность вероятности, числовые характеристики (т; σ 2). Вычислить
вероятность того, что разность координат точки находится на интервале (1/3;1/2). Показать на графиках F(х) и f(х).
Решение. Начинаем с определения функции распределения СВ ξ :
F(х)=Р( ξ <х)=Р( ξ 2 - ξ 1<х)
Для вычисления указанной вероятности, т.е. вероятности события ( ξ 2 - ξ 1<х)
обратимся к чертежу.
ξ2
1
0
ξ1
1
Рассмотрим сначала равенство ξ 2 - ξ 1=х или
ξ2
õ
+
ξ1
−õ
=1 – это прямая, которая
отсекает на осях ξ 2 и ξ 1 соответственно отрезки х и (-х). Неравенству ξ 2 - ξ 1<х
удовлетворяют те точки квадрата, которые расположены ниже указанной прямой (заштрихованная область). Тогда вероятность Р( ξ <х)=S1/ S, где S – площадь всего квадрата, S1 – площадь заштрихованной области. S =1, а вот площадь S1 зависит от значения х. На следующем рисунке показаны все случаи.
Прямая (1) соответствует случаю, когда х<-1, прямая (2) – случаю, когда х=-1:
прямая (3) случаю -1<х<0; для прямой (4) х=0; для прямой (5) 0<х<1 для прямой (6) х=1; для прямой (7) х>1.
ξ
2
1
М
К
Е
D
В
(7)
А
0
С
1
ξ1
(6) (5) (4) (3)
(2) (1)
Легко видеть, что части квадрата, расположенные ниже этих прямых, имеют
разную конфигурацию и следовательно, площади будут вычисляться по разному. Поэтому рассматриваем различные случаи.
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если х ≤ -1 (прямые (1) и (2)), то ниже соответствующих прямых точек квадрата
нет, т.е. в этом случае событие ( ξ <х)= ∅ - невозможное,
Р( ξ <х)= Р(∅) ⇒ F(х)=0
Если -1<х ≤ 0 (прямые (3)и (4)), то событие ( ξ <х) означает попадание точки в
треугольник АВС (ОА=-х).
Тогда F(х)= Р( ξ <х)=S ∆ÀÂÑ =1/2АС2 =1/2 (1+х)2=1/2+х+х2/2.
Если 0<х ≤ 1 (прямые (5) и (6)), то ОД=х, F(х)= Р( ξ <х)=S ÎÄÅÊÑ =1- S ∆ÄÌÅ =
=1-1/2(МД)2=1-1/2(1-х)2=1/2+х-х2/2.
Если х>1 (прямая (7)), то все точки квадрата расположены ниже этой прямой и,
таким образом, событие ( ξ <х)= Ω , т.е. достоверное , откуда F(х)= Р( Ω )=1.
В итоге получили выражение для функции распределения непрерывной СВ
ξ = ξ 2 - ξ 1:
⎧0, åñëè õ ≤ −1,
⎪
2
⎪1 / 2 + õ + õ / 2, åñëè − 1 < x ≤ 0,
F(х)= ⎨
2
⎪1 / 2 + x − x / 2, åñëè 0 < x ≤ 1,
⎪1, åñëè õ > 1,
⎩
и ее график
F(х)
1
В
1/2
А
-1
-1/3
0
1 /2
1
х
Плотность вероятности f(x)= F’ (х)=, т.е.
⎧0, åñëè õ ≤ −1, õ ≥ 1,
f(x)= ⎪⎨ õ + 1, åñëè − 1 < x ≤ 0,
⎪1 − x, åñëè 0 < x < 1
⎩
Построим ее график:
f(x)
1
-1 -1/3 0 1 /2 1
х
Проверим наши построения: площадь области, расположенной между осью ОХ
и графиком f(x) равна 1.
Находим числовые характеристики:
∞
ò =
⎛ x3 x 2 ⎞ 0 ⎛ x 2 x3 ⎞1
2
⎜⎜ + ⎟⎟ + ⎜⎜ − ⎟⎟
=
+
+
−
=
+
+
−
=
xf
(
x
)
dx
x
(
x
1
)
dx
x
(
1
x
)
dx
(
x
x
)
dx
(
x
x
)
dx
∫
∫
∫0
∫
∫0
2 ⎠ −1 ⎝ 2
3 ⎠0
⎝ 3
−∞
−1
−1
0
1
0
1
2
==0, т=0
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∞
∞
0
0
−∞
−1
1
σ 2 = ∫ ( x − m) 2 f ( x)dx = ∫ x 2 f ( x)dx = ∫ x 2 ( x + 1)dx + ∫ x 2 (1 − x)dx =
−∞
⎛ x 4 x3 ⎞ 0 ⎛ x3 x 4 ⎞1 1
1
3
2
2
3
σ= .
= ∫ ( x + x )dx + ∫ ( x − x )dx = ⎜⎜ + ⎟⎟ + ⎜⎜ − ⎟⎟ =
3 ⎠ −1 ⎝ 3
4 ⎠0 6
6
⎝ 4
−1
0
0
1
Вероятность попадания случайной величины на интервал (а, β ) определяется по любой
из формул:
β
Р( а< ξ < β )=F( β )-F(а) или Р( а< ξ < β )= ∫ f ( x)dx
α
Воспользуемся первой формулой
x ⎞
x ⎞
⎛1
⎛1
47
1
1
1
1
Р( − < ξ < )=F( )-F( − ) = ⎜ + x − ⎟
−⎜ + x+ ⎟
= ≈ 0.66
1
1
72
3
2
2
3
2 ⎠х=
2 ⎠х=−
⎝2
⎝2
2
2
3
2
Вычисленную вероятность можно показать на графиках: F(х) (это длина отрезка
АВ) и f(х) (это площадь заштрихованной области).
Пример 42 (к задачам 381-390). Имеются данные о выходе валовой продукции
(в руб.) на 1 га сельскохозяйственных угодий для 50 хозяйств;
535
278
312
368
327
482
318
531
554 898
1030 390
334
343
334
423
365
327
393
341
501
1081
459
273
493
278
871
698
449
390
312 603
433 250
582 469
372 454
443 447
448 274
379 294
375 271 727
495 357 546
Требуется:
1. Построить вариационный ряд частот или относительных частот;
2. Изобразить геометрически вариационный ряд, построив гистограмму частот;
3. Вычислить точечные оценки параметров распределения;
4. Высказать гипотезу о виде закона распределения признака и применить критерий
согласия хи-квадрат Пирсона на 5%-м уровне значимости;
5. Считая полученный набор данных генеральной совокупностью, сделать из этой
совокупности выборку объема 10, для которой:
а) вычислить точечные оценки параметров распределения - выборочную среднюю
арифметическую Õ (10) и исправленную выборочную дисперсию S (10), сравнить
полученные значения с соответствующими характеристиками генеральной совокупности;
б) найти доверительный интервал для генеральной средней на уровне значимости
а=0,05 при неизвестной и известной дисперсии;
в)
найти
доверительный
интервал
для
генеральной
дисперсии.
Решение.
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) Изучается непрерывный признак X - выход валовой продукции (в руб.) на 1
га сельскохозяйственных угодий. Для непрерывного признака по результатам
выборки составляется интервальный вариационный ряд. Для этого весь диапазон изменения признака X — размах вариации R = хmax –хmin, ,разобьем на несколько интервалов длины h. Обычно рекомендуется разбивать на 5-10 интервалов одинаковой длины. Вообще, для выбора такой длины h интервала, чтобы
ряд распределения не был слишком громоздким и в то же время отражал характерные черты распределения, рекомендуется использовать формулу Стэрджеса:
h=R/(1+3,3221gn). При этом за правый конец первого интервала следует взять
(хmin +h/2), а за левый конец последнего — (хmax- h/2)
В нашей задаче R=1081-250=831 и по формуле Стэрджеса получаем
h=831/(1+3,322-lg50)=125,07.Обычно значение h, вычисленное по формуле
Стэрджеса, округляют до удобного для вычислений значения. Возьмем h=150,
а за правый конец первого интервала- (хmin+h/2)=250+75=325. Итак, получаем
интервальный ряд частот и относительных частот.
Интервальный ряд частот и относительных частот валовой продукции (руб.) на 1
га с/х угодий.
Выход вало- Менее
вой продукции Х
325
(руб.)
-250-
пi
Wi
10
0,2
Свыше
325-475
475-625
625-775
775-925
925
-400-
-550-
-700-
-850-
-1000-
24
0,48
10
0,2
2
0,04
2
0,04
2
0,04
2) Графическим изображением вариационного ряда служит гистограмма частот
или относительных частот. Построим гистограмму частот. Для этого на оси
абсцисс откладываем отрезки, изображающие длины h интервалов изменения
признака X. На этих отрезках как на основаниях строим прямоугольники с высотами, равными пi
3)
пi
24
10
2
0
325 475 625 775 925
x
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4) Для вычисления среднего арифметического и дисперсии признака его интервальный вариационный ряд преобразуют в дискретный, заменяя каждый интервал его срединным значением. В таблице соответствующие срединные значения
каждого интервала записаны в первой строке таблицы. Теперь можно заняться вычислением числовых характеристик. Они вычисляются так же, как для дискрет• 0,04+ 850 • 0,04 +
ных рядов: õ (50) = 250 • 0,2 + 400 • 0,48 + 550 • 0,2 + 700 •
ò
1000 • 0,04 = 454;S2(50) = ∑ õi 2Wi -( õ )2 = 2502 • 0,2 + 4002 • 0,48 +
1
2
+550 • 0,2+ 700 • 0,04 +8502 • 0.04+10002• 0,04-(454)2=32184.
S(50)= 32184 ≈ 179,4 ; V = S(50) õ = 179,4/454 = 0,395.
Итак, получены выборочные числовые характеристики вариационного ряда: выборочная средняя арифметическая õ (50) = 454, выборочная дисперсия
S2(50)=32184; выборочное среднее квадратическое отклонение S(50)=179,4; коэффициент вариации V=0,395(39,5%). Каждое из полученных значений числовых
характеристик задаются одним числом (т.е. одной точкой на числовой прямой),
поэтому они называются точечными оценками неизвестных параметров всей генеральной совокупности.
Всякое высказывание о генеральной совокупности, проверяемое по выборке,
называется статистической гипотезой. Статистические гипотезы классифицируют
на гипотезы о законах распределения и гипотезы о параметрах распределения.
Критерии проверки статистических гипотез о законе распределения называются
критериями согласия. Критерий согласия хи-квадрат Пирсона — самый старый и
самый распространенный .
4) Пусть в результате п наблюдений признака X получен вариационный ряд.
Анализ выборки (например, по виду гистограммы частот - если в нашем примере
через верхние основания прямоугольников гистограммы провести плавную линию, то она будет иметь колоколообразную форму, т.е. похожа на график плотности вероятности нормального распределения) приводит нас к предположению о некотором (например, нормальном) законе распределения признака X. Параметры
этого распределения, если заранее не известны, оцениваются по выборочным данным и, таким образом, нам становится известным предполагаемый теоретический
закон распределения. По этому закону легко определить вероятности Рi того, что
признак примет значение, принадлежащее i-му интервалу. Отсюда для выборки
объема n получаем теоретические частоты пi0=п*рi и сравниваем их с фактическими пi . В качестве меры расхождения теоретического и эмпирического ряда частот
берется случайная величина χ 2 (читается как хи-квадрат):
ò
χ =∑
2
i =1
2
(ni − np i )2 =
np i
(n − n )
∑
ò
i =1
0 2
i
i
ni
0
,
которая оказывается распределенной по закону хи-квадрат.
Как уже говорилось, есть основание предполагать, что признак X в нашем
примере распределен по нормальному закону. Итак, мы высказываем гипотезу
о том, что признак X распределен по нормальному закону с математическим
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ожиданием
а= õ(50) =454
и
средним
квадратическим
2
2
σ =S(50)=179,4 (или дисперсией σ =S (50)=32184).
отклонением
Теоретические частоты пi0 находятся по формуле пi0 = п*pi где п - объем
выборки, pi-вероятность попадания значений признака X в соответствующий
интервал. Поскольку признак распределен по нормальному закону с математическим ожиданием õ (п) дисперсией S2(n), то вероятность pi определяется с помощью функции Лапласа
õ
1 −t2 / 2
Ô(õ) =
∫å dt
2π 0
⎛ õi +1 − x ⎞
⎛ x −x⎞
⎟ −Ô⎜ i
⎟
⎟
⎜ S ⎟
S
⎝
⎠
⎝
⎠
По формуле pi=Ф ⎜⎜
Отметим, что для вычисления вероятностей по этой формуле левый конец первого интервала следует брать равным - ∞ , а правый конец последнего интервала равным
+ ∞ . Значения функции Лапласа берем из таблицы. В условиях
нашей задачи получаем:
⎛ 325 − 454 ⎞
⎛ − ∞ − 454 ⎞
⎟ -Ф ⎜
⎟ =Ф(-0,72)-Ф(- ∞ )=-Ф(0,72)+ Ф( ∞ )=
⎝ 179,4 ⎠
⎝ 179,4 ⎠
P1=Ф ⎜
= Ф( ∞ )-Ф(0,72)=0,5-0,2642=0,2358; п10=50*0,2358=11,79.
⎛ 475 − 454 ⎞
⎛ 325 − 454 ⎞
⎟ -Ф ⎜
⎟ =Ф(-0,12)-Ф(-0,72)=Ф(0,12)+ Ф(0,72)=
⎝ 179,4 ⎠
⎝ 179,4 ⎠
P2=Ф ⎜
= 0,0478+0,2642=0,312; п20=15,6.
Продолжая аналогичные вычисления для остальных интервалов, найдем вероятности и соответствующие им теоретические частоты. Результаты вычислений
приведены в следующей таблице.
Интервальный вариационный ряд фактических и теоретических частот и относительных частот выхода валовой продукции (руб.) на 1 га сельскохозяйственных
угодий
Х(руб.) Менее
325
10
пi
Wi
0,2
0
11,79
пi
0,2358
рi
325475
24
0,48
15,6
0,312
475-625 625-775 775-925 Свышеше
10
2
2
2
0,2
0,04
0,04
0,04
14,05 6,72
1,62
0,22
0,2809 0,134 0,0323 0,005
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теперь вновь построим гистограмму частот и на этом рисунке по результатам
проведенных вычислений построим график теоретического нормального распределения, т.е. наряду с фактическими частотами построим и теоретические.
пi
24
10
2
0 325 625
925
х
На рисунке получившаяся ступенчатая фигура заштрихована. Отчетливо
видны расхождения между эмпирическим (выборочным) и теоретическим распределениями. Остается выяснить существенно ли на заданном уровне значимости а = 0,05 это расхождение. Ответ на этот вопрос и дает случайная величина χ 2 . Число к степеней свободы этой случайной величины определяется соотношением к =т-3, где т-число различных интервалов в вариационном ряду.
Необходимо учесть следующее замечание: малочисленные частоты (пi <5) следует объединить. В этом случае ответствующие им теоретические частоты также надо сложить, а при определении числа степеней свободы по формуле к = т
- 3 в качестве т принять число групп выборки, оставшихся после объединения
частот.
В нашем примере объединим последние три интервала. В результате получим 4
интервала (т=4):
пi
10
24
10
6
пi0
11,79
5,6
14,05
8,56
Применяем формулу критерия хи-квадрат, учитывая, что число к степеней свободы критерия χ 2 равно к =4-3=1:
χ 2 (1)= ∑
0
(ï i − ni ) 2 (10 − 11.79) 2 (24 − 15.6) 2 (10 − 14.05) 2 (6 − 8.56) 2
=
+
+
+
= 6.73
0
11.79
15.6
14.05
8.56
ni
Таким образом, получили фактическое значение критерия χ 2 факт= 6,73 . По
табл. распределения χ 2 для числа степеней свободы к=1 при уровне значимости а=0,05 -находим критическое значение критерия: χ 2 кр= 3,8 . Итак, получаем, что фактическое значение критерия превысило критическое (6,73>3,8),
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
поэтому на уровне значимости а = 0,05 гипотезу о том, что признак X распределен по нормальному закону, следует отвергнуть.
Следует заметить, что если бы критерий хи-квадрат Пирсона (или какой-нибудь другой) дал положительный результат ( χ 2 факт< χ 2 кр), т.е. гипотезу о нормальном распределении следовало бы принять, то это не означало
бы, что признак в действительности распределен по нормальному закону.
Это означает лишь то, что выборочные данные на заданном уровне значимости (т.е. на заданном уровне надежности - в нашем примере с надежностью р
= 1 — а = 0,95 - 95%) не противоречат высказанной гипотезе. Более высокие
требование к надежности выводов могут привести к отклонению гипотезы и
принудят искать другие, более подходящие гипотезы.
5) В этом пункте, собственно, демонстрируется выборочный метод. При
изучении признака, характеризующего некоторую совокупность однородных объектов, не всегда имеется возможность обследовать каждый объект
изучаемой совокупности. Например, для выяснения среднего срока службы
электрических лампочек, изготовляемых некоторым заводом, абсурдно проверять продолжительность горения каждой лампочки. Для выяснения некоторых качественных показателей всей совокупности (она называется генеральной совокупностью) исследованию подвергают лишь небольшую часть
её, отобранную случайно. Эта часть называется выборочной совокупностью
(или просто выборкой). Задача математической статистики состоит в изучении методов, позволяющих делать научно обоснованные выводы о характеристиках признака X генеральной совокупности по исследованию выборки
из неё. Основным условием, которое предъявляется к выборке, для того,
чтобы она наиболее достоверно отражала все существенные особенности генеральной совокупности, является случайность отбора. В зависимости от
способа отбора различают выборки следующих типов: собственно случайные повторные, собственно случайные бесповторные, механические, типические, серийные и т.д.
Обозначим математическое ожидание и дисперсию признака X соответственно через а и σ 2. Значения признака х1, хг,...,хп, естественно, будут меняться от выборки к выборке. Таким образом, каждое значение хi. считается
не числом, а случайной величиной Хi , имеющей те же числовые характеристики а и σ 2, что и признак X. В этом заключается так называемая гипотетическая интерпретация выборочных данных (ГИВД). Всякую однозначно определенную функцию θ =f(Х[,Х2,....,Хп) результатов наблюдения, с помощью которой судят о значении параметра θ называется оценкой
(или статистикой) параметра θ . Так, например, состоятельной, несмещенной
и, в случае нормального распределения признака X, эффективной оценкой
генеральной средней является выборочная средняя. При больших значениях
п (п>30) в качестве оценки генеральной дисперсии σ 2 признака можно взять
выборочную дисперсию
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
S 2 (n) =
1 m
∑ ( x i − x ) * ni
n 1
Каждая из оценок х(п) и S2(п) определяется одним числом, т.е. точкой на
числовой прямой, и потому называются точечными оценками. Необходимо,
однако, всегда помнить, что нахождение точечной оценки некоторого параметра - это лишь первый этап. Далее обязательно надо найти точность этой
оценки или, как говорят, доверительный интервал. Интервал ( θ 1 , θ 2 ) называется доверительным интервалом для параметра θ , если с заранее заданной вероятностью р = 1 - α можно утверждать, что он содержит неизвестное значение
параметра θ , т.е.
P( θ 1 < θ < θ 2 )= р = 1 - α
Вероятность р - 1 - α называется доверительной вероятностью или надежностью оценки и задается близкой к единице, обычно 0,9; 0.95 или 0,99. Число
α называется уровнем значимости. Границы доверительного интервала находятся с помощью статистик, которые являются случайными величинами. Следовательно, случайны и границы интервала. Поэтому, говорят, что доверительный интервал накроет неизвестный параметр θ с доверительной вероятностью
р.
В нашей задаче требуется найти доверительный интервал для неизвестного
значения генеральной средней с надежностью 0,95. Как уже говорилось, оценкой генеральной средней является выборочная средняя
Õ=
1 ò
∑ X i , которая, в соответствии с ГИВД, рассматривается как сумма неï i =1
зависимых и одинаково распределенных случайных величин Хi. Если признак
X распределен нормально с математическим ожиданием а и дисперсией σ 2 , то
доказано, что случайная величина X распределена тоже по нормальному закону - c тем же математическим ожиданием а и дисперсией σ 2 /п. Тогда случайная величина ( X -а) n / σ 2 распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной единице, следовательно, вероятность
того, что значения этой случайной величины по абсолютной величине не
превзойдут числа ZР, вычисляется по формуле
⎛ Õ−à
⎞
Ð⎜
ï < Z p ⎟ = 2Ô ( Z p )
⎜ σ
⎟
⎝
⎠
Значения функции Лапласа Ф(х) =
1
х
−t / 2
∫е dtнаходятся из таблиц. По усло2
2π 0
вию задачи задана вероятность р=0,95, следовательно, число находится из
условия 2Ф(Zр)=0,95, Ф(Zр)=0,475, значение ZР =1,96 находим по таблицам.
Итак, с вероятностью р=0,95можно утверждать, что выполняется неравенство
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
⎞
⎛ Х −а
⎜
п < Z p ⎟ Преобразуем неравенство:
⎟
⎜ σ
⎠
⎝
-Zр<
Õ −α
σ
ï < Zp ⇒ Õ +
σ
Zp < a < Õ −
ï
рительный интервал ( Õ−
σ
ï
σ
ï
Zp о т к у д а п о л у ч а е м д о в е -
Zp ; Õ +
σ
ï
Zp ) д л я н е и з в е с т ного па-
раметра а , следовательно, исходное условие можно переписать в виде:
Р( Õ −
σ
ï
Zp < a < Õ +
σ
ï
Zp ) = 2 Ф ( Zр) = р
Отметим, что в эти формулы входит σ , следовательно, ими можно пользоваться лишь в случае, когда генеральная дисперсия известна (что на практике бывает не всегда). Предположим сначала, что генеральная дисперсия
нам известна и равна
2
σ 2 =S (50)=32184, а σ =179,4
а) Выборка объема 10 включает следующие значения признака X:
535, 278,312, 368, 327, 482, 318, 531, 554,898.
Для этой малой выборки найдем выборочные числовые характеристики.
X
(10) =
1
(535 + 278 + 312 + 368 + 327 + 482 + 3 18 + 53 1 + 554 + 898) = 460,3
10
S 2(10) = õ2 (10) -( õ(10) )2;
õ2 (10) =
1
(5352 +2782 +3122 +3682 +3272 +
10
+ 4822 +3182 +5312 +5542 +8982) = 243193,5 =>
S 2(10) = 243193,5-211876,1 = 31317,4,
S 2 (10) =
10 2
S (10) = 34797,1; S (10) = 186,5
9
Итак, выборочная средняя арифметическая õ(10) = 460,3, исправленная выборочная дисперсия S 2 (10) = 34797,1 исправленное выборочное среднее
квадратическое отклонение S (10) = 186,5. Сравнив их с соответствующими показателями генеральной совокупности, отметим, что они отличаются в сторону увеличения: а = 454, σ 2 =32184, σ = 179,4.
б) Итак, найдем по выше приведенным формулам доверительный интервал для
неизвестного матожидания а при известной дисперсии σ 2 =32184;
X
(10) -
460,3-
σ
10
*z0.95<a< õ(10) +
σ
10
* z0.95,
179,4
179,4
*1,96<a<460,3+
*1,96, т.е. 349,1<a<571,5
10
10
Итак, доверительный интервал (349,1; 571,5) с надежностью 95% накроет неизвестное математическое ожидание а. Заметим, что истинное математическое
ожидание а =454 — оно оказалось внутри доверительного интервала.
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В действительности на практике чаще всего генеральная дисперсия σ 2 не известна и, следовательно, вышеприведенными формулами пользоваться нельзя,
т.е. нельзя пользоваться статистикой ( X - а) ï / σ .
В этом случае воспользуемся следующей теоремой: пусть Х1,Х2,...,Хп - независимые случайные величины, распределенные одинаково по нормальному закону с математическим ожиданием а и дисперсией σ 2 . Тогда случайная
величина t (п -1) = ( X (п) - а) ï / S (ï ) имеет распределение Стьюдента с п-1
степенями свободы.
Доверительный интервал с помощью этой теоремы строится следующим
образом. Пусть признак X распределен нормально с математическим ожиданием (генеральной средней) а и дисперсией (генеральной дисперсией) σ 2 .
В нашем распоряжении имеется малая выборка объема п=10. Результаты наблюдений х1;...,хп в соответствии с ГИВД будем понимать как независимые
случайные величины Х1,Х2,…Хп, одинаково распределенные по нормальному
закону с математическим
ожиданием а и дисперсией σ 2 .
Тогда
случайная величина
t (п -1) = ( X (п) - а) ï / S (ï ) распределена по закону Стьюдента с п-1 степенями свободы. Если задана доверительная вероятность р = 1 — α, то можно по таблицам t -распределения Стьюдента с п-1 степенями свободы найти
границы
± t п-1,р интервала, для которого выполняется следующее условие:
Р(- t п-1,р < t (п -1) < t п-1,р )= р= 1 - а
Расписав это условие подробнее, получим формулу для определения искомого доверительного интервала:
õ (1 ) − à
n < t п-1,р )= р,
Р(- t п-1,р <
S (n)
Р( X (n) −
S ( n)
S ( n)
t п-1,р<а< X (n) +
t п-1,р)=р
n
n
Таким образом, с вероятностью р можно утверждать, что доверительный интервал ( x (п)- - S (ï ) t п-1,р / n ; x (п)+ S (ï ) t п-1,р / n ) накроет неизвестную
генеральную
среднюю а.
Подставим в окончательную формулу данные нашедшего примера: õ(10) =
460,3; S (10) = 186,5; п = 10;р = 1-а = 0,95;t9;095 =2,262 (найдено по таблицам
распределения Стьюдента). Получим 460,3 -
186,5
186,5
• 2,262 < а < 460,3 +
10
10
• 2,262, т.е. 326,9 < а < 593,7 .
Итак, теперь мы утверждаем более слабое предложение: с надежностью 95%
(или с
вероятностью 0,95) интервал (326,9; 593,7) накроет неизвестное математическое
ожидание а (генеральную среднюю).
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Утверждение это действительно более слабое, т.к. доверительный интервал
оказался
шире, т.е. оценка оказалась грубее. Это естественная плата за потерю информации о
генеральной дисперсии.
в) Для нахождения доверительного интервала для неизвестной дисперсии σ 2
проводят аналогичные рассуждения, используя ГИВД - гипотетическую интерпретацию выборочных данных. В результате для выборки объема п=10 доверительный интервал имеет вид (
(ï − 1) S (10) (ï − 1) S (10)
χ2
;
2
χ1
2
),где χ 2 1 и χ 2 2 нахо-
дят по таблицам распределения χ 2 (к) из условий Р( χ 2 (к) > χ 2 1 ) =10,975 ; (Р( χ 2 (к) > χ 2 2 ) =
à
=
2
à
= 0,025 .Учитывая, что число степеней свободы
2
к = п-1 = 9, находим по указанным таблицам χ 2 1 =2,7; χ 2 2 =19,023 и получаем доверительный интервал для неизвестной генеральной дисперсии
⎛ 9 * 34797,1 9 * 34797,1 ⎞
;
⎟ =(16462,9;115990,3).
⎜
2,7
⎠
⎝ 19,023
Заметим, что истинное значение генеральной дисперсии σ 2 =32184 оказалось
внутри доверительного интервала.
Пример 43 (к задачам 391-400). В таблице приведены данные опыта по
изучению действия соотношения N:Р2O5:К2О при питании рассады томатов
на урожай плодов (ц/га). Каждое соотношение испытывалось на четырех
участках. Методом дисперсионного анализа изучить влияние соотношения
на урожайность плодов. Установить существенность влияния фактора при
уровне значимости 0,05.
Урожайность плодов томатов в зависимости от соотношения
N:Р2O5:К2О при питании рассады.
Соотношение Повторности
N:Р2О5:К2О 1
2
(уровни фактора F)
1:1:1 (F1)
454
470
3
4
Средние
430
500
463,5
1:2:1 (F2)
502
550
490
507
512,25
1:2:2 (F3)
601
670
550
607
607
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2:1:1 (F4)
407
412
475
402
424
2:2:1 (F5)
418
470
460
412
440
Решение. Задачей дисперсионного анализа является изучение влияния одного или нескольких факторов на рассматриваемый признак. Факторами обычно называют внешние условия, влияющие на эксперимент. Если изучают
влияние одного фактора F на результирующий признак X, то имеет место
однофакторный анализ, которым нам необходимо научиться пользоваться. В
условиях эксперимента фактор F может принимать различные значения, изменяться, или, как говорят, может варьировать на разных уровнях F1,F2,.... ,
FР. Например, если требуется выяснить влияние удобрений на урожайность,
то здесь результирующий признак X - урожайность, фактор F - удобрение, а
уровни F1,F2,.... , FР фактора - виды удобрений. Для большей достоверности
на практике проводятся несколько испытаний, т.е. как говорят, осуществляют повторности. Будем предполагать, что число наблюдений для каждого
уровня одинаково и равно п. Тогда результаты наблюдений можно свести в
таблицу.
Исходные данные дисперсионного анализа.
Уров- Повторности
……. п
1
2
3
ни
……. х1п
F1
х11
х12
х13
F2
……. х2п
х21
х22
х23
…….
……. ……. ……. ……. …….
Fр
……. хрп
хр1
хр2
хр3
Введем обозначения:
õi =
1
n
n
∑ xik , i =1,2,…,р; õ =
k =1
1
nð
ð
∑
i =1
n
∑ xik =
k =1
1
ð
Средõ1
õ2
…….
õð
ð
∑x ,
i =1
i
т.е. õi - средняя арифметическая на п - м уровне фактора, õ - общая
средняя арифметическая всех р* п наблюдений.
Мы уже видели, что мерой вариации признака является сумма квадратов
отклонений значений признака от средней. Можно доказать следующий результат:
ð
∑
i =1
n
2
ð
∑ ( xik − x) =п* ∑ ( xi − x) +
2
k =1
i =1
Q
Q1
ð
n
∑ ∑ (x
i =1
k =1
ik
− x) 2 , т.е. Q=Q1+ Q2.
Q2
Сумма Q называется полной суммой квадратов отклонений .отдельных наблюдений от общей средней. Слагаемое Q1 называется рассеиванием по факторам,
оно характеризует отклонение средних для факторных уровней от общей
средней. Слагаемое Q2 называется остаточным рассеиванием и характеризует
расхождение между наблюдениями i-ro уровня, т.е. за счет неучтенных факторов. Таким образом, формула показывает, что общее рассеивание значений
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
признака X, измеряемое суммой Q , складывается из двух компонент Q1 и Q2,
характеризующих рассеивание под влиянием фактора F (Q1) и остаточное рассеивание (Q2) под влиянием неучтенных факторов.
С помощью Q, Q1, Q2 производится оценка общей, межгрупповой
и внутригрупповой дисперсией:
1
Q,
pn − 1
S2 =
S 21 =
1
1
Q1 , S 2 2 =
Q2 ,
p −1
p(n − 1)
Сравнивая дисперсию по факторам S 21 с остаточной дисперсией S 2 2 , по величине их отношения судят, насколько рельефно проявляется влияние фактора
- в этом сравнении и заключается основная идея дисперсионного анализа.
Сравнение осуществляется с помощью отношения F(k1,k2) = S 21 / S 2 2 =
1
Q1 /
p −1
1
Q2 , которое является случайной величиной, имеющей F - распределеp(n − 1)
ние Фишера с k1 = р - 1, k2 = р(n-1) степенями свободы. Критическое значение критерия на заданном уровне значимости находят по таблицам.
Теперь обратимся к нашему примеру.
В нашей задаче р=5, п=4, рп=20. Вычисляем среднюю арифметическую по каждому уровню фактора F.
õ1 =
1
1
(454 + 470 + 430 + 500) = 463,5; õ2 = (502 + 550 + 490 + 507) =
4
4
512,25; 4
õ3 = 607; õ4 =424; õ5 = 440.
Общую среднюю õ вычислим по формуле
1
ð
õ =
ð
∑x
i =1
i
=
1
(463,5 + 512,25 + 607 + 424 + 440) = 489,35.
5
При вычислении факторной
S 21 = Q1 /(p - 1) и
остаточной S 2 2 =
Q2 /p( п- 1) дисперсий рекомендуется пользоваться формулами, упрощающими вычисления:
ð
ð
i =1
i =1
Q1=п* ∑ xi 2 -пр( õ )2 Q2= ∑
n
ð
k =1
i =1
∑ x 2 ik -п ∑ xi
2
Подставляя данные задачи в формулы, получим:
ð
n
∑ ∑x
i =1
2
ik
= 4542 + 4702 + 4302 + 5002 + 5022 + 5502 + 4902 + 5072 + 6012 +
k =1
2
670 +
+ 5502 + 6072 + 4072 + 4122 + 4752 + 4022 + 41 82 + 4702 + 4602 + 4122 =
4894209;
ð
п* ∑ xi 2 = 4(463,52 + 5 1 2,252 + 6072 + 4242 + 4402 ) = 4876229,2;
i =1
пр( õ )2 = 4 • 5 • 489,352 = 4789268,4;
S 21 = 21740,2;
S 2 2 = 1198,65.
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теперь находим фактическое значение Fфакт критерия F по формуле для
F(k1,k2).
Fфакт =21740,2/1 198,65=18,4. По таблицам F - распределения Фишера
для к1=р-1 = 5-1 = 4; к2= р(-1) = 5*3 = 15 степеней свободы при уровне
значимости α = 0,05 находим критическое значение критерия: Fкp=3,08. Оказалось Fфакт > Fкp , следовательно, факторная и остаточная дисперсии отличаются значимо на уровне значимости α = 0,05. Иначе говоря, фактор F соотношение N:Р2O5:К2О существенно влияет на урожайность плодов. В
частности, из таблицы видно, что наибольшую урожайность дает соотношение 1:2:2 (третий уровень фактора F).
В заключение приведем некоторые извлечения из таблиц распределения
Фишера-Снедекора, которые потребуются при выполнении контрольных работ.
5
3
3
3
4
р
4
4
6
5
4
п
4
2
2
2
3
k1
15
9
15
12
12
k2
3,08
4,9
3,7
3,9
3,5
Fкp
Пример 44 (к задачам 401-410). Имеются статистические данные по группе предприятий о зависимости годовой производительности труда Y в расчете на одного рабочего (тыс. руб.) от энерговооруженности X (квт.ч. на
одного рабочего) на 10 предприятиях одной отрасли:
X 3,4 3,9 4,0 4,8 4,9 5,2 5,4 5,5 6,2 7,0
Y 8,4 8,8 9,1 9,8 10,6 10, 11,1 11,8 12,1 12,4
7
Методом корреляционного анализа исследовать зависимость между этими
признаками. Рассчитать коэффициенты регрессии и корреляции. Построить
график корреляционной зависимости.
Решение. Построим диаграмму рассеивания. Для этого на оси абсцисс откладываем значения хi, факторного признака X, а на оси ординат - соответствующие значения yi результирующего признака Y. Получающиеся таким
образом точки с координатами (хi;yi) образуют диаграмму рассеивания (см.
рисунок).Визуальные наблюдения позволяют высказать предположение о нали113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чии линейном корреляционной зависимости, поскольку точки диаграммы рассеивания (иначе она называется корреляционным полем) как бы выстраиваются
вдоль некоторой прямой линии. Итак, предполагаем, что между энерговооруженностью X (квт.ч. на 1 рабочего) и годовой производительностью труда
Y (тыс. руб. на 1 рабочего) существует линейная корреляционная зависимость. Соответствующее уравнение прямой линии называется уравнением
прямой регрессии Y на X и имеет вид: у - ó =р(х- õ ), где коэффициент регрессии р = r*( σ ó / σ õ ),
1
1
1
1
õi , ó = ∑ ói ; õ2 = ∑ õ2 i ; õ2 = ∑ ó 2 i
∑
ï
ï
ï
ï
õó − õ * ó
выборочный коэффициент корреляции г определяется по формуле: r=
σ õ *σ ó
σ õ = õ2 − ( õ) 2 ; σ ó = ó 2 − ( ó) 2 ; õ =
в которой õó=
1
∑ õi ói . Для качественной оценки тесноты корреляционной
ï
связи
между X и Y с помощью коэффициента корреляции г можно использовать таблицу Чеддока:
Диапазон |r|
0,1-0,3
0,3-0,5
0,5-0,7
0,7-0,9
0,9-0,99
Характерист ика Слабая
тесноты связи
умеренная заметная высокая
Весьма
высокая
Удобно все вычисления свести в таблицу
Итоговая таблица для нахождения уравнения регрессии.
хi
уi
хi2
уi2
хi уi
3,4
8,4
11,56
70,56
28,56
3,9
8,8
15,21
77,44
34,32
4,0
9,1
16,0
82,81
36,40
4,8
9,8
23,04
96,04
37,04
4,9
10,6
24,01
112,36
51,94
5,2
1037
27,04
1 14,49
55,64
5,4
11,1
29,16
123,21
59,94
5,5
11,8
30,25
139,24
64,90.
6,2
12,1
38,44
146,41
75,02
7,0
12,4
49,0
153,76
86,80
n
∑
1
1
ï
n
∑
1
50,3
104,8
263,71
õ =5,03
ó =10,48
õ2 =26,37 ó 2 =111,6 õó =54,056
1
1116,32
540,56
32
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, õ =5,03, ó =10,48, õ2 =26,371, ó 2 =111,632, õó =54,056 , откуда по
приведенным формулам находим:
σ õ =1,034; σ ó =1,342; r= 0,967; р = 1,255.
Значение коэффициента корреляции r=0,967, близкое к единице,
свидетельствует о наличии весьма высокой корреляционной связи исследуемых признаков (см. таблицу Чеддока).
Выборочное уравнение линейной регрессии у на х имеет вид у-10,48 =
1,255(х-5,03), или у = 1,255х + 4,167. Построим эту прямую на
диаграмме рассеивания (см. рис.).
Из уравнения ясно, что прямая проходит через точку с координатами
( õ ; ó ); на рис. эта точка обозначена звездочкой. Вторую точку получим,
подставляя, например, х = 7 в уравнение регрессии. Получим у = 12,9. Через полученные две точки проводим прямую регрессии.
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рекомендуемая литература.
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисления.-М.:Наука, 1988.
3. Бугров
Я.С.,
Никольский
С.М.
Дифференциальные
уравнения.
Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. -М.: Наука,
1967.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. -М.: Наука, 1984.
5. Булдык Г.М. Теория вероятностей и математическая статистика. Минск, Высшая школа, 1989.
6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей, Физматгиз, 1962.
7. Воеводин В.В. Численные методы алгебры.
8. Воробьев Н.Н. Теория рядов.
9. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике.
10.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:
Высшая школа, 1972.
11.Данко П.В., Попов А.Г., Кожевникова Т.Н. Высшая математика в упражнениях и задачах: в2ч. - М.: Высшая школа, 1986.
12.Доспехов Б.А. Методика полевого опыта (с основами статистической отработки результатов исследований) - М.: Агропромиздат, 1985.
13.Ефимов А.В., Золотарев А.В., Терпигорева В.М. Математический
анализ (специальные разделы), часть II. М.: Высшая школа, 1980.
14.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. - М.: Наука, 1975.
15.3айцев И.А. Высшая математика. - Высшая школа, 1991.
16.Кальницкий Л.А., Добротин О.А., Жевержеев В.Ф. Специальный курс высшей математики, «Высшая школа», 1976.
17.Квальвассер В.И., Фридман М.И. Теория поля. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1967.
18.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ. - М.:
Наука, 1978.
19.Лачуга Ю.Ф., Самсонов В.А., Дидманидзе О.Н. Прикладная математика. Нелинейное программирование в инженерных задачах. — М.: Колос, 2001.
20.Матвеев Н.М. 'Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Высшая школа, 1967.
21.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. - М.: Наука, 1977.
22.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М. :
Наука, 1978, т. 1,2.
23.Поллард Дж. Справочник по вычислительным методам статистики / Пер. с
англ.-М.: Финансы и статистика, 1982.
24.Пономарев К.К. Специальный курс высшей математики.
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
25.Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. - М.: Наука, 1973.
26.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа.
27.Шипачев В.С. Высшая математика. М. «Высшая школа», 1985.
Литература, подготовленная преподавателями кафедры.
1. Высшая математика: Методические указания для самостоятельной работы
студентов заочного факультета РСХИ /сост. Т.С. Белоусова, Н.И. Потлова,
В.И.
Сусойкин, Е.И. Троицкий, О.В. Балашова, С.Н. Панкрашкина /- Рязань:
РСХИ,
1989. Часть I.
2. Высшая математика: Методические указания для самостоятельной работы
студентов заочного факультета РСХИ /сост. Е.И. Троицкий, Т.С. Белоусова,
С.Н.
Панкрашкина/ - Рязань: РСХИ, \ 992, часть II.
3. Владимиров А.Ф., Кравцов П.А. Теория вероятностей. Текст лекций
для
самостоятельной работы студентов. Рязань : РСХИ, 1990.
117
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа