close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1879.Электронно-стимулированные процессы в твердых телах

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Орский гуманитарно-технологический институт
(филиал) государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
В. В. Никитин
ЭЛЕКТРОННО-СТИМУЛИРОВАННЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
Рекомендовано УМО по специальностям педагогического образования
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по специальности 032200-Физика
Орск 2005
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 537, 533
ББК 22.37
Н 62
Научный редактор:
Земцова В. И., доктор педагогических наук, профессор
Рецензенты:
В. И. Петров
доктор физико-математических наук, профессор
кафедры «Физической электроники» МГУ
им. М. В. Ломоносова
Р. Х. Акчурин
зав. кафедрой «Технологии полупроводниковых
материалов» МГАТХТ им. М. В. Ломоносова,
член-корреспондент РАЕН, профессор, доктор
технических наук
Б. Ф. Костромин
кандидат физико-математических наук, доцент
кафедры «Теоретическая физика» ОГТИ
Никитин В. В.
Н 62
Электронно-стимулированные процессы в твердых телах:
Учебное пособие. – Орск: Издательство ОГТИ, 2005. – 62 с.
Учебное пособие нацелено на решение вопросов управления учебной деятельностью студентов-физиков при изучении раздела «Электронно-стимулированные процессы в
твердых телах» из блока дисциплин предметной подготовки как дополнение по регионально-национальному компоненту. В учебном пособии рассмотрен с единых позиций ряд
электронно-стимулированных процессов в твердых телах,
изложены экспериментальные закономерности протекания
подобных процессов и теоретические модели, описывающие
данные явления.
Пособие рассчитано на студентов специальности
032200.00 – Физика с дополнительными специальностями
«Математика» и «Информатика».
ISBN 5-8424-0240-8
©
©
Никитин В. В., 2005
Издательство ОГТИ, 2005
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ................................................................................................................................... 5
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЗИЧЕСКИХ МЕХАНИЗМОВ
ЭЛЕКТРОННО-СТИМУЛИРОВАННОЙ ДЕСОРБЦИИ.........................................
1.1. Процесс электронно-стимулированной десорбции
адсорбированных атомов и молекул с металлической поверхности 6
1.2. Механизм электронно-стимулированной деструкции
поверхностного слоя ионных кристаллов .......................................... 14
ГЛАВА II. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КВАНТОВОГО ВЫХОДА ЭЛЕКТРОННО
- СТИМУЛИРОВАННОЙ ДЕСОРБЦИИ, УЧИТЫВАЮЩИЕ ЭЛЕКТРОНИОННУЮ РЕЛАКСАЦИЮ, С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАЗЛИЧНЫХ
АППРОКСИМАЦИЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ................................................................................................................
2.1. Вычисление критических параметров электронно-стимулированной
десорбции в рамках кулоновского приближения ...............................................20
2.2. Вычисление критических параметров электронно-стимулированного
процесса с использованием потенциальной функции взаимодействия с
жесткой решеткой на основе потенциала Ми.............................................. 25
2.3. Время жизни двукратно ионизированного иона и оценка квантового
выхода электронно-стимулированной десорбции, учитывающая электронионную релаксацию .................................................................................. 29
ГЛАВА III. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПРОТЕКАНИЯ ЭЛЕКТРОННОСТИМУЛИРОВАННОГО ПРОЦЕССА НА СВОБОДНОЙ
ПОВЕРХНОСТИ ДИОКСИДА КРЕМНИЯ ....................................................................
3.1. Экспериментальные результаты изучения электронно-стимулированной
десорбции на свободной поверхности SiO2................................................. 34
3.2. Анализ экспериментальных результатов электронно-стимулированной
десорбции на свободной поверхности SiO2 ................................................ 39
ГЛАВА IV. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПРОТЕКАНИЯ ЭЛЕКТРОННОСТИМУЛИРОВАННЫХ ПРОЦЕССОВ В МЕТАЛЛИЗИРОВАННЫХ
ЩЕЛОЧНО-ГАЛОИДНЫХ КРИСТАЛЛАХ..................................................................
4.1. Электронно-стимулированные изменения катодолюминесцентных
свойств металлизированных щелочно-галоидных кристаллов. Эффект
катодолюминесцентной памяти ................................................................. 44
4.2. Теоретическая модель активации и гашения катодолюминесценции в
металлизированных щелочно-галоидных кристаллах ................................. 48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.3. Экспериментальное изучение электронно-стимулированной диффузии в
металлизированных щелочно-галоидных кристаллах ................................. 51
4.4. Формулировки обратной задачи электронно-стимулированной диффузии
в металлизированных щелочно-галоидных кристаллах ............................... 54
4.5. Решение обратной задачи диффузии методом последовательной
функциональной аппроксимации ............................................................... 55
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...........................................................................62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВВЕДЕНИЕ
Электронное облучение является одним из перспективных способов модификации физических и химических свойств поверхностного слоя твердого тела. Поэтому естественен незатухающий интерес к
сложной совокупности электронно-стимулированных процессов
(ЭСП) вызванных взаимодействием сфокусированного электронного
заряда с твердым телом. Практические аспекты данного интереса связаны, с одной стороны, с необходимостью выявления причин нежелательных изменений облучаемых веществ, а с другой стороны с поисками возможного практического использования подобных изменений
в технологических целях.
В последние десятилетия физика развиваются такими бурными
темпами, что развитие содержания вузовского курса физики не может
отследить все новое и начинает явно отставать. Отчасти данную проблему могут решать дополнения по национально-региональному
компоненту к курсу «Общей и экспериментальной физики» в педагогическом вузе, запланированные образовательной программой специальности 032200 – Физика.
Все выше сказанное и определило тематику дополнительного
курса «Электронно-стимулированные процессы в твердых телах», читаемого в рамках «Общей и экспериментальной физики» на физикоматематическом факультете Орского гуманитарно-технологического
института (филиала) государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет».
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЗИЧЕСКИХ
МЕХАНИЗМОВ ЭЛЕКТРОННО-СТИМУЛИРОВАННОЙ
ДЕСОРБЦИИ
1.1. Процесс электронно-стимулированной десорбции
адсорбированных атомов и молекул с металлической поверхности
В системах адсорбированных атомов и молекул на металлической поверхности наиболее полно были изучены закономерности
электронно-стимулированного процесса для кислорода, водорода,
моноокиси углерода, адсорбированных на вольфраме и молибдене.
Так в частности, было показано, что:
1) при облучении поверхности системы "металл + адсорбат"
(М+А) наблюдается десорбция нейтралов и положительных ионов,
причем последние обычно составляют несколько процентов от общего количества вылетающих частиц;
2) интегральное сечение десорбции имеет величину порядка 10 -19 – 10 -21 см2;
3) пороги десорбции лежат в области энергий порядка 5 – 100
эВ;
4) сечения электронно-стимулированной десорбции (ЭСД) для
различных адсорбированных атомов могут значительно отличаться.
Для качественного объяснения данных результатов Менцель,
Гомер, Редхед [1] предложили модель ЭСД, которую затем стали
называть МGR-моделью. Рассмотрим основные положения МGRмодели и кратко обсудим влияние на данные процессы электронионной релаксации.
Из элементарных соображений следует, что если энергия первичных электронов порядка 101 – 103 эВ, то прямое выбивание химически адсорбированных частиц будет энергетически невозможно. Таким образом, десорбция или структурная перестройка адсорбированного слоя может являться только результатом передачи энергии электронного возбуждения адсорбата или связи М+А поверхностным
атомам.
Для любого атома или иона, адсорбированного на поверхности металла, за ионизацией или возбуждением связи М+А следует нейтрализация электронами металла или десорбция. Поэтому процесс десорбции бу6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дет конкурировать с процессом нейтрализации и девозбуждения, следовательно, сечение ЭСД должно иметь следующий вид:
σ = σ ex P ,
(1.1)
где σ ex – сечение соответствующего электронного возбуждения, а Р –
квантовый выход ЭСД или вероятность выхода, которая учитывает
электрон-ионную релаксацию.
Рис 1.1. Схематическая диаграмма потенциальных кривых
для объяснения механизма десорбций нейтральных компонентов
по модели МGR
Потенциальные кривые соответствуют следующим состояниям
системы: М + А – основное состояние; М*+ А – возбужденное состояние металла, не влияющее на характер связи; (М + А)* – несвязывающее или разрыхляющее состояние. Индексы: сор – повторный захват; кр – критический; дес – десорбция после перехода. Для вертикального перехода при хо: х кр – критическое расстояние для повторного захвата; На – теплота адсорбции; Т – кинетическая энергия выходящего атома А после перехода; ψо – волновая функция основного
состояния.
Для детализации процесса десорбции в рамках модели MGR целесообразно рассмотреть его с помощью потенциальных диаграмм
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(рис. 1.1), которые изображают переход системы М+А в возбужденное состояние. Начальное возбуждение отмечено вертикальной прямой х0 (данное возбуждение подобно Франк-Кондоновскому), затем
следует переход адсорбата А на отталкивательную потенциальную
кривую (М+А)*. Последующий переход в основное состояние М+А
можно представить как переход на самую нижнюю из бесконечного
множества кривых (М*+А), которые отличаются от состояния М+А
возбуждением металла М, не влияющем на характер связи. Другими
словами, обратный переход с восстановлением связи из несвязывающего состояния должен происходить с сохранением энергии, и, следовательно, часть энергии может тратиться на элементарные возбуждения в металле. Поскольку существует бесконечное число кривых
(М*+А), переход может происходить в любой точке траектории, но не
все переходы будут приводить к перезахвату.
На рис. 1.1 показано, что имеется критическое расстояние хс,
выше которого переходы будут приводить к десорбции вдоль кривой,
подобной основному состоянию, т.к. А будет иметь достаточную кинетическую энергию. Следовательно, РН – вероятность десорбции
нейтрала – можно представить как
tK
xK
dt
dx
PН  exp(   )  exp(  
),
(1.2)

v( x) ( x)
0
xO
где  (x) – время жизни электронного возбуждения по отношению к
переходу в основное состояние, зависящее от расстояния и скорости
перемещения адсорбата А по отталкивательной ветви потенциальной
кривой (М+А)* на рисунке 1.1, где v(x) – скорость атома А в различных точках потенциальной кривой возбужденного состояния.
Зависимость v(x) может быть определена из простейших энергетических соображений в следующем виде
1
2
1
2
v( x)    U ( xO )  U ( x)2 .
(1.3)
 m
Используя формулы (1.2) и (1.3) получим выражение для квантового выхода десорбции нейтрала РН в следующем виде:
1


m 2 x
dx

 . (1.4)
PH  exp    
1
  2  x  ( x)U ( x )  U ( x)2 
O


K
0
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для проведения анализа (1.4) необходимо точное выражение для
потенциальной функции возбужденного состояния системы М-А. Для
получения разумных количественных оценок для РН целесообразно
предположить, что τ = const в диапазоне от х0 до хк. Таким образом,
tK
dt
t
PН  exp(   )  exp(  K ) ,
(1.5)


0
где tк – время, требуемое для набора необходимой кинетической
энергии. Проведем приближенную оценку критического времени (tк)
и квантового выхода нейтралов (РН). Для этого будем считать отталкивательный потенциал линейным
(S r  
dU 1
 const ) ,
dx
а основное состо-
яние системы М-А будем аппроксимировать треугольной потенциальной ямой, усеченной справа. В рамках данной модели нетрудно
показать, что
S
xкр .  x K  xO  a C ,
(1.6)
Sr
где S C  
dU 2
H
 A угловой коэффициент исходящей ветви модельdx
a
ного потенциала взаимодействия, НА – энергия связи или теплота адсорбции. В рамках сформулированных выше приближений не трудно
вычислить tк и РН
1

  2m H  2 
  m 12C  ,
0
A
(1.7 a)
PH  exp 

exp



0
2



  Sr   


1
2
где С   2H A  .
 S 2 
 r 
1
 2m0 xêð.  2
tê  


Sr
1
2
 2m H
  0 2 A  .

  S
r



(1.7 б)
Зависимость вероятности десорбции нейтрала от массы адсорбата m0 для многих случаев подтверждается экспериментально.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.2. Схема диаграмм потенциальных энергий для десорбций
иона А+
См. рис. 1.1: (М + А) – основное состояние системы; I – потенциал ионизации А; Ф – работа выхода М. На рисунке показано распределение десорбированных ионов по энергиям, не искаженное
нейтрализацией. Для простоты представления возбужденные кривые
(М* + А) на рисунке отсутствуют.
Рассмотрим возможный механизм десорбции положительного
иона А+ в рамках полуклассической MGR-модели: взаимодействие
системы состоящей из металлической подложки М и химически адсорбированного атома или молекулы А описывается потенциальной
кривой представленной на рисунке 1.2. Нижняя кривая описывает основное состояние М-А, а верхняя кривая соответствует возбужденному ионному состоянию М-А++е -. Процесс ионизации адсорбата А
первичными или вторичными электронами на потенциальной диаграмме изображается вертикальным переходом, в соответствии с
принципом Франк – Кондона, на отталкивательную часть потенциальной кривой ионного состояния М -А++е – или М *-А++е -. На рисунке 1.2 показано, что ионы А+, возникшие в результате стимулированной десорбции, будут иметь распределение по кинетическим
энергиям, область значений которых показана справа. На реальный
выход А+ и фактическое распределение по кинетическим энергиям
будет оказывать существенное влияние процесс нейтрализации иона.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Данная ситуация отличается от уже рассмотренной выше тем, что для
десорбции А+ необходимо отсутствие нейтрализации на всем участке
движения иона. Поэтому квантовый выход ЭСД для ионов Pu можно
вычислить следующим образом
  m
dx
dx
 exp(  
)  exp     
v( x) ( x)
  2   ( x)U ( x )  U ( x)

1
2

PИ


x0
x0
0
1
2

.


(1.8)
Из выражений (1.4) и (1.8) следует, что РН>>Рu , значит, для сечения десорбции нейтрала и иона А+ в рамках модели MGR имеет место соотношение:
 H   ex PH
1
.
(1.9)
 И  ex PИ
2
Если  ex   ex
1
2
и Рn  Рu , то минимальный вклад ионной
компоненты в процесс ЭСД обусловлен малым квантовым выходом
данного канала десорбции. Следует отметить, что возбуждение в отталкивательную часть ионного состояния системы М-А может распадаться по трем каналам:
1) если за время движения не произойдет нейтрализация, то
распад завершается десорбцией иона А+;
2) нейтрализация А+ произошла, но ион не достиг хк, поэтому
нейтральный атом будет повторно захвачен металлической подложкой;
3) если нейтрализация иона А+ произойдет после того как ион
прошел хк, то нейтральный атом будет обладать достаточной энергией для ухода с поверхности подложки, распад завершится десорбцией
нейтрала А.
Простая полуклассическая MGR-модель ЭСД для системы металл– адсорбат основанная на возбуждении в отталкивательное антисвязывающее или ионное состояние с учетом процессов релаксации
и нейтрализации, позволяет качественно и в некоторых случаях количественно верно объяснить большинство основных эксперементальных результатов по ЭСД. К таким результатам относятся следующие:
1) поток десорбируемых частиц обычно содержит две компоненты: нейтральную А и ионную А+ , причем последняя компонента
составляет 0,1% – 1%;
2) сечение десорбции нейтральных атомов обычно на несколько
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
порядков меньше сечений для аналогичных газофазовых процессов;
3) электроотрицательные адсорбаты с различным типом химической связи характеризуются различными сечениями ЭСД;
4) наличие изотонического эффекта для ЭСД нейтралов и
ионов адсорбата;
5) зависимость сечений ЭСД ионов от равновесного расстояния
адсорбированных частиц до поверхности металла;
6) широкое распределение вылетающих ионов по кинетическим
энергиям;
7) энергетические пороги ЭСД нейтралов и ионов.
Основной трудностью модели MGR является вопрос о физическом механизме выхода нейтралов: появляются ли они в результате
возбуждения системы в ионное состояние с последующей нейтрализацией, или же выбрасывается с поверхности металла после перехода
в антисвязывающее состояние.
Наиболее удачную полуклассическую модификацию модели
MGR предложил Антоневич [2], который подверг сомнению возможность десорбции из антисвязывающего состояния системы М-А, аргументируя данное соображение малым временем жизни таких возбуждений. Согласно данной модели ионное состояние имеет минимум расположенный ближе к поверхности, чем минимум основного
состояния (рис.1.3).
Рис.1.3. Схематическая диаграмма потенциальных кривых
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
для объяснения механизма десорбции нейтральной и ионной
компоненты по модели Антоневича
Где U0 – потенциальная кривая основного состояния системы
М-А; U1 – первое возбужденное ионное состояние; U2 – второе возбужденное ионное состояние; НА – теплота адсорбции; ТА – кинетическая
энергия нейтрала.
Подобное расположение потенциальных кривых объясняется,
во-первых, возникновением сил изображения на металлической поверхности после образования иона А+ , которые будут его притягивать к поверхности подложки, во-вторых, меньшим радиусом иона по
сравнению с нейтралом. Согласно данной модели десорбция нейтралов происходит вследствие перехода системы М-А в ионное состояние U1. При этом ион начинает двигаться к поверхности по пологой
ветви притяжения потенциальной кривой U1, нейтрализуется электроном подложки, переходит на крутую отталкивательную ветвь потенциальной кривой основного состояния U0 (рис.1.3) и в результате
может наблюдаться десорбция нейтрала, при условии, что сумма кинетической и потенциальной энергии в точке перехода превосходит
теплоту адсорбции
TA U 0 ( x)  H A .
(1.10)
Процесс возникновения десорбции ионной компоненты в рамках
данной модели является более сложным, так как десорбция А+ непосредственно из ионного состояния U1 не возможна по энергетическим
соображениям. После приведения системы М-А в возбужденное ионное состояние (М-А+*) ион А+* начинает двигаться к положению равновесия, нейтрализуется и переходит на кривую основного состояния
U0 . Для возникновения ионной десорбции нейтрал должен перейти
на отталкивательную часть потенциальной кривой основного состояния в области, где U0 расположена выше чем U1. В этом случае адсорбат А может быть вновь ионизирован. При этом он, не покидая
ближайшей окрестности подложки, перейдет на кривую U1 и может
десорбироваться как положительный ион. Таким образом, возникновение ионной компоненты требует двух туннелирований, что делает
этот процесс маловероятным. Поэтому вклад ионной компоненты в
поток десорбируемых частиц мал. В рамках модели Антоневича удается теоретически объяснить возможность возникновение десорбции
отрицательных ионов А- с поверхности металла.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.2. Механизм электронно-стимулированной деструкции
поверхностного слоя ионных кристаллов
Известно, что поверхность щелочно-галоидных кристаллов
(ЩГК) и высших окислов [3] может разлагаться под действием сфокусированного электронного луча допороговых энергий с последующей десорбцией в камеру прибора продуктов стимулированной диссоциации из приповерхностного слоя твердого тела. При этом десорбируются как нейтральные, так и положительно заряженные частицы,
которые являются в большинстве случаев анионной компонентой
твердого тела. Процессы подобного рода стали называть также ЭСД.
Высокие энергетические пороги ЭСД ионных кристаллов и значительное зарядовое изменение в ионной компоненте для высших
окислов О2- → О+ + 3е- не позволяют даже качественно объяснить
подобные процессы в рамках модели МGR.
Поэтому объяснение основных закономерностей стимулированных преобразований приповерхностного слоя ионных кристаллов было дано Кнотеком и Файбельманом (т. н. КF-модель) [3]. Согласно
этой модели ЭСД – следствие межатомных или внутриатомных Oжепереходов, в результате которых происходит многократная ионизация анионной компоненты твердого тела с последующим ее выбросом с поверхности (рис. 2.1).
Рис 1. 4. Схема энергетических уровней Т1О2,
демонстрирующая ЭДС в рамках модели КF:
а) для Оже-перехода LVV; б) для Оже-перехода KVV
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следует отметить, что в модели КF определяется тип электронного возбуждения, приводящего к стимулированным преобразованиям приповерхностного слоя твердого тела.
Рассмотрим детали данного механизма на примере ЭСД с ТiO2.
Пусть налетающий электрон создает вакансию на Зр остовном уровне
Тi. Возникшая дырка может быть заполнена только посредством
межатомного Oже-перехода, так как собственных электронов у титана, лежащих выше уровня Зр, нет, а вероятность радиационного перехода с испусканием рентгеновского кванта – мала. Поэтому происходит перекрестный или межатомный переход с уровня О2р на Тi Зр
(рис. 1.4 а). Освободившаяся при этом энергия идет на выбивание одного или двух Oже-электронов из валентной зоны. Таким образом, в
результате испускания L23VV Oже-электронов ион O2- теряет два или
три электрона и становится соответственно O0 или O+, что приводит к
неустойчивому положению таких анионов в приповерхностном слое с
последующей их десорбцией или удалением из регулярных позиций.
При ионизации 0 1s уровня, которая будет сопровождаться внутриатомными О КVV Oже-процессами, будет возникать аналогичная стимулированная перезарядка аниона O2- → O0 или O+ (рис. 1.4 б). Поэтому при облучении электронами с энергией порядка 103 эВ оба рассмотренных выше процесса могут давать вклад в стимулированную
десорбцию O0 и O+ с поверхности ряда высших окислов.
Недостаточная теоретическая разработка КF-модели стимулированного разложения ионных кристаллов не позволяет провести сравнение эффективности процессов, рассмотренных выше (L23VV и
КVV). Экспериментальные измерения порога десорбции, несомненно, ценны для выяснения эффективно действующих электронных
возбуждений. Так, в пионерских работах [3, 4] измерения, проведенные методами масс-спектрометрии, зафиксировали энергетические
пороги ЭСД, близкие к энергии ионизации подвалентных остовных
уровней катиона типа L23. Однако в работах [5, 6] отмечена высокая
эффективность стимулированных преобразований окислов ионного
типа с порогом вблизи 1s уровня иона кислорода O2-.
Десорбция за счет Oже-распада вакансий на остовных уровнях
катионов может происходить лишь в случае, если все валентные
электроны катионов находятся на анионах, т.е. для соединений с максимальной валентностью. В противном случае вакансии катионов будут распадаться с большей эффективностью посредством внутриатомных Oже-процессов. В модели КF предполагается, что ЭСД ста15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
новится возможной, если разность электроотрицательностей А удовлетворяет соотношению Δ > 1.7, т. е. степень ионности химической
связи в твердом теле более 50% [3].
Основная идея такого подхода была сформулирована еще в 1954
году в работе Варли [7], который предложил модель механизма радиационного дефектообразования в твердом теле, стимулированного
кулоновской неустойчивостью, возникающей в результате Oжераспада остовной дырки галлоида с образованием локального избыточного заряда (X1- → X1+ + 2е-). Привлекательная по своей физической простоте модель радиационно-стимулированного преобразования твердых тел стала предметом многочисленных теоретических и
экспериментальных исследований в области физики радиационных
повреждений [8].
Поэтому изучение подобных электронно-стимулированных преобразований приповерхностного слоя твердых тел целесообразно
рассматривать в рамках современной модели ионизационного механизма Варли, с одной стороны, не отличается по содержанию от механизма КF, а, с другой стороны, теоретически более изучен и детализирован. Согласно разработанным представлениям, схема ионизационно-стимулированного дефектообразования выглядит как цепочка
последовательных событий: радиация порождает электронное возбуждение – дырку в глубокой остовной оболочке (сечение σех), которая распадается с образованием избыточного заряда в результате
Oже-процесса с вероятностью α. Такая конфигурация обладает неустойчивостью и распадается с вероятностью Р путем смещения атома или группы атомов из регулярных позиций, т.к. процесс идет в
конкуренции с электронной релаксацией, стремящейся нейтрализовать избыточный заряд. Далее происходит смещение атома за пределы зоны неустойчивости [8] с вероятностью η. Таким образом, полное
сечение стимулированного образования дефекта определяется соотношением
σ = σex αРη .
(1.11)
Рассмотрим методы теоретических вычислений вероятностных
характеристик основных процессов, приводящих к созданию стабильных радиационных дефектов. При вычислении сечения ионизации остовных уровней в твердых телах σех вполне естественно использовать результаты, полученные для свободных атомов. Для проведения расчетов практически пригодны только простые и вместе с
тем достаточно универсальные методы расчета, т.к. возможности
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
экспериментального определения и последовательного теоретического вычисления из первых принципов крайне ограничены. Наиболее
приемлемой в наших условиях является формула Бете, которая получена
в рамках приближения Борна на квантовомеханической основе [9]
ln(Cnl U nl )
 nl En2l  6.51*10 14 Z nl Bnl
,
(1.12)
U
nl
где Еnl – энергия ионизации электрона на оболочке атома пl (в эВ), Unl
= Еnl /Е0; Е0 – энергия первичных электронов (в эВ); Znl – число электронов на оболочке атома пl; Вnl и Сnl – параметры Бете, значения которых для большого числа элементов и оболочек различных атомов
приведены в работе [9]; σnl – сечение ионизации пl уровня (в см2).
Существует несколько различных каналов распада остовной вакансии: радиационный распад с испусканием кванта электромагнитного излучения с вероятностью ω; безызлучательная релаксация через Oже-распад с вероятностью α или переход Костера – Кренига с
вероятностью f. Естественно, сумма вероятностей радиационного ω и
безрадиационных переходов α и f равна единице:
ωi + αi + fi = 1,
(1.13)
где i – индекс, определяющий тип электронной оболочки атома.
В работе [10] были получены и систематизированы значения
выхода флуоресценции, вероятности переходов Оже и КостераКронига, согласующиеся между собой и с имеющейся информацией о
выходе, вероятностях переходов и связанных с ними величинах. Указанные величины относятся к однократно ионизированным атомам,
но при проведении расчетов учитывались теоретические данные, полученные для свободного атома с одной дыркой, и экспериментальные результаты, которые обычно содержат вклады, связанные с твердотельным состоянием, химическим взаимодействием и эффектами
многократной ионизации. Следует отметить, что подобные вклады
редко рассматривались в предшествующих работах, поскольку, по
общему мнению, они оказывают слабое влияние на вероятности переходов. В таблицах и графиках приведены наилучшие значения вероятностей переходов из тех, которые в настоящее время могут быть
получены на основе большинства имеющихся данных. Поэтому для
вычисления вероятности соответствующего Oже-перехода целесообразно использовать таблицы работы [10].
При анализе процессов атомных перестроек возникает интересная проблема конкуренции ионно-электронных релаксаций, основное
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
содержание которой состоит в следующем: кинетическая энергия
иона массой M, совершающего гармонические колебания с частотой
ω0 под действием внешней силы F(t), зависящей от времени, может
быть записана как
1
E k 
2M

2

it
 F (t )e dt .
(1.14)
0
Для выталкивания иона из регулярных позиций необходимо выполнение условия: ΔЕk ≥ Еcв, где Еcв – энергия связи, т.е. достаточной
величины сила должна действовать в течении достаточного времени
τd. Другими словами, если τd > ω0-1, то стимулированное потенциальное смещение произойдет. Варли в работе [7], оценив изменение кинетической энергии ΔЕk в отталкивательной и поляризационной составляющих, заключил, что перезарядка аниона X1- → Х1+ + 2е- или
X1- → X2+ + Зе- в ЩГК является достаточной для образования дефекта,
при этом он предположил, что временное условие τd > ω0-1~ 10-13 с. выполнено. Вскоре Декстер подверг обоснованной критике выполнимость временного условия в ЩГК. Он предположил, что двукратно
заряженный ион галлоида в зонной схеме соответствует двум дыркам, локализованным на одном узле. Отталкиваясь друг от друга в результате кулоновского взаимодействия, эти дырки распадаются на
две валентные в течение времени τv ~ h/w ~ а3/(μe) ~ 10-15 c << ω0-1, где
w – ширина валентной зоны, а – постоянная решетки, е – заряд дырки, μ – ее подвижность. Подобные результаты привели Декстера к
выводу о принципиальной невозможности механизма Варли. Слабым
местом в рассуждениях Декстера является то, что он не учел изменения зон под действием локальных зарядов дырок и некорректно использовал подвижность μ для идеального кристалла.
В настоящее время данный парадокс удовлетворительно разрешен, при этом использовались следующие соображения [11]:
τ+P – время, необходимое для набора критического импульса
иону, кинетическая энергия которого удовлетворяет условию ΔЕk ≥
Еcв;
τ+R – время, необходимое для вылета иона за пределы первого
метастабильного состояния. Условие
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
ΔEk =
2M
2
τР
+

iω t
F
(
t
)
e
∫ 0 dt
(1.15)
0
определяет минимальное время, необходимое для набора критического импульса, достаточного для дефектообразования [11]. Ясно, что
если время жизни многократно перезаряженного иона будет удовлетворять условию τe < τ+P, то генерация дефектов не произойдет, однако часто имеет место соотношение τ+P < τ+R, т.е. ион успевает набрать
достаточный импульс, и в этом случае нейтрализация для части
ионов не мешает созданию дефекта.
Согласно современной модели дефектообразования, акт генерации стабильного нарушения будет завершен, если смещенный атом
выйдет за пределы зоны неустойчивости, радиус которой определяется из условия равенства силы притяжения нерегулярного атома к вакансии и силы барьера F = Q/Δ, где Q – энергия активации диффузии
межузельного атома, Δ – полуширина барьера. В случае кулоновского
взаимодействия комплементарных дефектов (I;V) радиус зоны неустойчивости можно определить как
R0  a
e2
4 0aQ
,
(1.16)
где е – заряд электрона; ε0 и ε – абсолютная и относительная диэлектрическая проницаемость соответственно; а – постоянная решетки; Q
– энергия активации диффузии I.
Определим возможность образования стабильной пары "вакансия – межузельный атом" (V-I) как вероятность того, что атом пройдет путь L > R0 прежде, чем остановиться [12]:
η = 1 exp
L
.
R0
(1.17)
Таким образом, приведенные выше вероятностные характеристики позволяют более детализированно и обоснованно изучать процесс деструкции. При этом их необходимо адаптировать к специфическим условиям поверхности твердого тела и его приповерхностного
слоя.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА II. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КВАНТОВОГО ВЫХОДА
ЭЛЕКТРОННО-СТИМУЛИРОВАННОЙ ДЕСОРБЦИИ,
УЧИТЫВАЮЩИЕ ЭЛЕКТРОН-ИОННУЮ РЕЛАКСАЦИЮ, С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАЗЛИЧНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ
ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
2.1. Вычисление критических параметров электронно-стимулированной
десорбции в рамках кулоновского приближения
В большинстве работ электронно-стимулированная деструкция
поверхности ионных окислов происходит в результате первичного
акта ионизации внутреннего или остовного уровня через Ожепроцесс, т. е. с выбрасыванием двух или трех дополнительных Ожеэлектронов, Это объясняется существованием отличной от нуля вероятности безызлучательной релаксации электронного возбуждения
(ЭВ). Данный механизм подпорогового радиационного преобразования твердых тел с ионной химической связью тел был впервые предложен Варли. В настоящее время данная идея активно используется
при формулировке физических моделей, объясняющих протекание
электронно-стимулированных процессов преобразования приповерхностного слоя твердых тел. При этом, в большинстве случаев рассматриваются Оже-процессы, в которые вовлекаются валентные
электроны, а именно, Оже-процессы следующих видов: КVV или
LVV. Многими авторами обсуждается энергетическая возможность
данных процессов. Иначе говоря, энергии ЭВ должно быть достаточно для образования стабильного дефекта в приповерхностной области. Однако как отмечалось в радиационной физике, энергетическая
возможность такого процесса не является достаточной, т. к. процессу
образования дефектов будут препятствовать ионно-электронная релаксация, т. е. процесс перезарядки ионов во время выхода из регулярных позиций.
В данном параграфе рассматривается качественная модель процесса перезарядки иона, позволяющая уяснить некоторые особенности влияния электрон-ионной релаксации на вероятность выхода иона
и образование стабильного дефекта. В рамках данного приближения
использовалась уточненная модель кинетического процесса удаления
ионов из приповерхностного слоя, в которой учитываются генерационный и рекомбинационный члены.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Будем считать, что процесс выхода перезаряженного иона и релаксация заряда на нем являются статистически независимыми. Тогда, данный процесс можно описать кинетическим уравнением в рамках приближения квазихимических реакций, т.е. рассматривается такой случай, когда соответствующие коэффициенты, характеризующие скорости основных процессов, являются стационарными величинами. Скорость изменения числа dN+ вылетевших и перезаряженных ионов кислорода, у которых не релаксировал заряд за время dt
можно записать в следующем виде:
dN 
N
   ,
(2.1)
dt

где α – скорость генерации соответствующих ионов, которая определяется условиями облучения и параметрами облучаемой мишени;
N

– рекомбинационный член, определяющий скорость перезарядки,
ионов кислорода. Произведем разделение переменных
dN 
dt
 .
(2.2)
N   

После интегрирования и потенциирования последнего выражения получим следующий результат:

t
N  (t )    Ce  .
(2.3)
Для нахождения постоянной интегрирования воспользуемся
начальным условием:
N (t  0)  0 .
(2.4)
Подставляя (2.4) в (2.2), определим С = ατ, при этом, решение
уравнения (1.3) после раскрытия модуля примет следующий вид:

t
N  (t )   (1  e ) .
(2.5)
Из выражения (2.5) следует, что ионно-электронная релаксация
является лимитирующим фактором в образовании стабильного дефекта в приповерхностном слое твердого тела. Из решения кинетического уравнения (2.5) следует, что с течением времени возникает ста
~
ционарный поток N + ионов кислорода, величина которого равна
~
N + = ατ .
(2.6)
Для определения величины квантового выхода ЭСД, обусловленной ионно-электронной релаксацией, введем понятие критическо21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
го времени жизни, как минимально необходимого времени для набора достаточной кинетической энергии, позволяющей после процесса
релаксации преодолеть кулоновское притяжение удаляющегося отрицательно заряженного иона и оставшейся положительно заряженной
вакансии. Тогда, если релаксация произойдет раньше критического
времени tk, вероятность образования стабильного радиационного дефекта будет незначительна. Поэтому воспользуемся решением кинетического уравнения электронно-ионной релаксации (2.1) в форме
(2.2) для определения относительной доли ионов, способных покинуть приповерхностный слой ионного окисла. Решение (2.1) будем
искать в следующем виде:
t
t
dN 
dt


 N   
 .
(2.7)
tk
tk
После интегрирования и элементарных преобразований получим
выражение:
N  (t )  N  (t )  N  (t k )  e

tk

(1  e

t

),
(2.8)
где Δtk = t - tk.
Выражение (2.8) показывает, что значение квантового выхода
ЭСД будет определяться:
t
N + (Δt )
Р = lim
=e τ .
~
(2.9)
Δt → ∞
N+
Данный результат хорошо согласуется с результатами, полученными в работе Агеева и его сотрудников [13], которые использовали
несколько иной подход к вычислению выхода процесса ЭСД. Для
вычисления конкретного значения Р сформулируем процедуру определения критического времени, основываясь на следующем приближении: в течение времени на ион действуют только кулоновские силы со стороны вакансии. Используя технику вычислений, предложенную в работе Агеева и его сотрудников, определим величину критического времени релаксации через критический радиус захвата. Величину критического радиуса захвата можно определить, используя
следующие энергетические рассуждения. После перезарядки иона в
результате Оже-процесса ион в регулярной позиции обладает избыточной потенциальной энергией U1(х0), где U1 – потенциальная функция взаимодействия с решеткой кристалла. В результате отталкивания ион перемещается до некоторого критического значения, при
k
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
этом полная механическая энергия будет равна E(xk)+U2(xk), где xk –
критический радиус захвата; E(xk)-кинетическая энергия иона перед
перезарядкой. В момент времени tk происходит перезарядка иона кислорода и потенциальное взаимодействие изменяет свой вид и описывается функцией U2(x). Запишем элементарное энергетическое соотношение для вылетающего иона кислорода:
U1 ( x0 )  U1 ( xk )  E ( xk )
(2.10)
E ( xk )  U1 ( xk )  U1 ( x0 )
(2.11)
E ( xk )  U 2 ( xk )  E ( x' )  U 2 ( x' )
(2.12)
E ( x' )  U1 ( x0 )  U1 ( xk )  U 2 ( xk )  U 2 ( x' ) ,
(2.13)
где x' – расстояние, большее критического радиуса захвата; Е(x') и
U2(x') соответственно кинетическая и потенциальная энергия перезаряженного иона.
Естественно, величину критического радиуса захвата определим
из условия, что кинетическая энергия иона кислорода при x' должна
быть неотрицательная. Поэтому, математическая формулировка критерия десорбции позволяет записать следующее выражение, из которого можно определить xk:
lim E ( x' )  0  U1 ( x 0 )  U1 ( x k )  U 2 ( x k )  0 . (2.14)
x ' 
Выражение (2.14) определяет общий способ нахождения критического радиуса захвата при любом виде потенциальной функции
взаимодействия иона с кристаллической решеткой. Воспользуемся
кулоновским приближением [13] и вычислим величину критического
радиуса захвата через эффективные заряды иона кислорода и иона
кремния после Оже-процесса (z1 и z2 соответственно) и после перезарядки (z1' и z2' соответственно).
1 1
E ( xk )  ke2 z1 z2    .
 x0 xk 
(2.15)
После перезарядки ион кислорода будет двигаться замедленно и
закон сохранения энергии примет следующий вид:
1 1
 1 1
E ( x' )  ke2 z1 z2     ke2 z1 ' z2 '    . (2.16)
 x0 xk 
 xk x' 
Воспользуемся сформулированным выше критерием десорбции
(2.14) и запишем определение xk:
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ke2 z1 z2 ke2 z1 z2 ke2 z1 ' z2 '
lim E ( x' ) 


,
x '
x0
xk
xk
 z z  z 'z '
xk  x0   1 2 1 2  .
z1 z2


(2.17)
(2.18)
Определив критический радиус захвата, найдем критическое
время из следующих соображений:
tk 
tk
 dt 
0
x0
dx
 v( x) ,
x0
(2.19)
где v(x) – скорость иона кислорода при условии, что 0 < х ≤ хk. Определим зависимость скорости иона от расстояния до покинутой регулярной позиции из выражения (2.15) следующим образом:
1
2
 2ke z1 z2   x  x0 
 .
  
v( x)  
(2.20)
m
xx

 
0

Подставляя (2.20) в (2.19), получаем интеграл следующего вида:
2
1
2
 mx0  k  x 
dx .
   
t k  
2
(2.21)
2
ke
z
z
x

x
1 2 
0 

x0 
После вычисления данного интеграла получили такой результат:
x
1
2
 x  ( xk  x0 ) 
 mx   xk
 . (2.22)
   ( xk  x0 )  ln  k
t k   2
ke
z
z
x
x
1 2 
0



 0
Подставляя (2.18) в (2.22) получим окончательный результат:
3
0
1
2
 mx   z1 ' z2 ' ( z1 z2  z1 ' z2 ' )
 z ' z '( z1 z2  z1 ' z2 ' ) 
  
 . (2.23)
t k   2
 ln  1 2
ke
z
z
z
z
z
z
1 2 
1 2
1 2




Выражение (2.23) определяет критическое время, которое, в
свою очередь, определяет выход процесса ЭСД.
Из выражения (2.23) произвели вычисление критического времени и критического радиуса захвата для различных представлений
об исходном и конечном зарядовых состояниях иона кислорода. Результаты вычислений занесены в таблицу 2.1.
3
0
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 2.1
Значения критических параметров,
полученных для SiO2 в кулоновском приближении
Nп/п
1
2
3
4
5
6
z1
1
1
1,06
1,06
2,063
2,063
z2
4
4
3,612
3,612
3,612
3,612
z1'
2
2
0,934
0,934
0,934
0,934
z 2'
4
3
3,612
2,612
3,612
2,612
x k, м
3,186·10-10
2,655·10-10
1,992·10-10
1,735·10-10
1,543·10-10
1,410·10-10
t k, с
1,057·10-14
0,873·10-14
0,628·10-14
0,518·10-14
0,310·10-14
0,252·10-14
В данном параграфе было рассмотрено вычисление критических
параметров процесса ЭСД в кулоновском приближении. Однако следует заметить, что потенциальная функция для ситуации, более приближенной к действительности, должна учитывать и другие виды
взаимодействий. Для уточнения потенциальной функции взаимодействия возбужденного иона с жесткой решеткой кристалла воспользуемся парным потенциалом взаимодействия Ми.
2.2. Вычисление критических параметров электронно-стимулированного
процесса с использованием потенциальной функции взаимодействия с
жесткой решеткой на основе потенциала Ми
В радиационной физике для интерпретации физических экспериментов и машинного моделирования используют модельные потенциалы парного взаимодействия различных видов, которые учитывают, как силы притяжения так и силы отталкивания. В нашем случае
нами использовался статический потенциал или потенциал для жесткой решетки, не учитывающий динамические эффекты, следующего
вида:
A kz1 z2e 2
ij  n 
rij
rij ,
(2.24)
где первый член определяет силы отталкивания между i и j – ионами,
которые по своей природе являются чисто квантово-механическими;
второй член является чисто кулоновским. Определим потенциальную
функцию взаимодействия i-иона с кристаллической решеткой как
сумму парных взаимодействий вида:
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


A kz1 z2 e 2 

U   ij    
(2.25)
 .
r
i j
i  j  rij
i
j


Для более удобной и компактной записи потенциальной функции (2.25) воспользуемся относительным расстоянием
Pij

rij
R,
(2.26)
где R-кратчайшее расстояние между ближайшими соседями. После
подстановки (2.26) в (2.25) потенциальная функция примет следующий вид:
А
kz1 z2e 2
AAn kz1 z2e 2
n
1
U  n  Pij 
 ( Pij )  R n  R ,(2.27)
R i j
R i j
где под Ап понимают сумму ряда, которую еще называют решеточной
суммой:
An   Pij n .
i j
Сумму знакопеременного ряда называют постоянной Маделунга:
   ( Pij ) .
i j
1
Существуют два способа определения постоянных Ап и α:
1) путем прямого вычисления соответствующих решеточных
сумм;
2) путем подгонки под эмпирически определенные константы
данного вещества.
Реализуем второй подход для вычисления данных постоянных, при
этом будем использовать энергию сублимации, приходящаяся на один
ион и модуль Юнга. Для построения процедуры вычисления подгоночных параметров в аппроксимирующей потенциальной функции взаимодействия воспользуемся равновесным значением постоянной решетки,
которая определяется из условия минимума функции:
nAAn kz1 z 2e 2
dU
  n 1 
 0.
dR
R0
R0
(2.28)
Из (2.28) получим:
kz1 z2e 2 n  2
Bn  AAn 
R0 .
n
26
(2.29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставляя (2.29) в (2.27), после несложных преобразований потенциальная функция примет вид:
n
1
R 
kz1 z2e 2  1  R 
       .
U ( R) 
(2.30)
R0  n  R0 
R0  



Воспользуемся выражением (2.30) и определим энергию сублимации, приходящуюся на один ион как энергию связи данного иона с
жесткой решеткой кристалла при равновесном значении R=R0:
kz1 z2e 2  1 
Есуб .  U ( R0 ) 
(2.31)
1  n  .
R0
Выражение (2.31) является первым уравнением, которое можно
использовать для вычисления подгоночных параметров (α, п). Для записи второго уравнения определим упругость одной недеформированной связи следующим образом:
 R
dU
kz1 z2e 2 
 

(n  1) 
dR
R0

 R0 

Запишем
упругость
одной
 R  R0 получим следующий результат:
 RR 
 R 
 2
 R  .
 0 

недеформированной
 ( n 2 )
kz1 z 2e 2 (n  1)
3
(2.32)
связи
.
(2.33)
3
R0
После несложных физических рассуждений получим модуль
Юнга для деформации одноостного растяжения предстает в таком
виде:
N A R0
N A kz1 z 2e 2 (n  1)
E

2
,
(2.34)

R0
где ρ – плотность вещества; μ – молярная масса; NА – постоянная
Авогадро; R0 – равновесный параметр кристаллической решетки. Выражение (2.34) является вторым уравнением сравнения с эмпирической постоянной.
Используя уравнения (2.34) и (2.31), а также эмпирические данные из таблицы [8], мы определили постоянные α и п в следующем
виде:
0
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
E
E0 N A
.
R0 E

N Akz1 z2e 2 (n  1)
n
(2.35)
Результаты вычислений занесены в таблицу 2.2.
Таблица 2.2
Значения подгоночных параметров
для потенциальной функции взаимодействия
Nп/п
1
z1
1
z2
4
n
3.6
α
0.122
Bn=AAn
3.59·1044
2
1.06
3.612
3.6
0.127
3.66·1044
3
1.063
3.612
3.6
0.06
3.68·1044
Воспользуемся потенциальной функцией, полученной на основе
парного потенциала Ми для определения критических параметров
аналогично проведенным вычислениям в предыдущем параграфе.
Bn kz1 z 2e 2
Bn kz1 z 2e 2

 E ( xk )  n 
.
(2.36)
x0
xk
x0n
xk
Выразим кинетическую энергию в месте перезарядки
 1
 1
1 
1 
E ( xk )  Bn  n  n   C    ,
(2.37)
 x0 x k 
 x0 x k 
где C  kz1 z 2e 2 . Определим кинетическую энергию удаляющегося
иона после инверсии заряда на ионе кислорода в достаточно удаленной точке. Для этого воспользуемся математической формулировкой
критерия десорбции в следующем виде:
lim E ( x' )  0 
x '
Bn C 2C


x0n x0
xk .
(2.38)
Из (2.38) получим:
xk 
2Cx0
Bn  Cx0n1 .
28
(2.39)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Критическое время определим по схеме рассмотренной в
предыдущем параграфе:
tk 
xk
dx
 v( x) ,
x0
(2.40)
 2  Bn C Bn C 
v
(
x
)

  n   n   .
где
x
 m  x0 x0 x
В результате преобразований интеграл (2.40) перепишется в
следующем виде:
x

x
 mx0  k 
tk  
  n
dx ,
n1
(2.41)
2

x


x



 x0 

где   Bn  Cx0 ;   Cx0 ;   ( Bn x0 ) n .
На основе полученных параметров потенциальной функции взаимодействия производились вычисления постоянных λ, β, γ, а интеграл (2.41) определялся численным методом Симпсона.
Так как значение квантового выхода ЭСД имеет принципиальное значение при определении общего сечения процесса, нами была
предпринята попытка вычисления подобных критических параметров
с использованием более совершенного потенциала взаимодействия
приповерхностного иона кислорода с жесткой решеткой. Кроме того,
принципиальное значение имеет вычисление времени жизни ионизированного атома кислорода.
2.3. Время жизни двукратно ионизированного иона и оценка квантового
выхода электронно-стимулированной десорбции, учитывающая электронионную релаксацию
В 1954 году Варли высказал идею о возможности образования
радиационного дефекта в результате Оже-распада остовной дырки
аниона ионного кристалла. Перезаряженный ион, приобретая кинетическую энергию в результате взаимодействия с ближайшим окружением, способен образовать элементарный дефект. С общей точки зрения, кинетическая энергия Ек, приобретаемая ионом массой m, совершающим гармонические колебания с частотой w0 под действием
внешней силы F(t), зависящей от времени, может быть записана в
следующем виде:
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
t
2
1 k
Ek 
F (t )e iwt dt .

2m 0
(2.42)
Для выхода иона из регулярной позиции необходимо сообщить
ему энергию, достаточную для образования дефекта Ed, т. е Ek ≥ Ed.
Таким образом, для набора необходимого импульса или кинетиче
ской энергии, необходимо чтобы сила F (t ) действовала достаточное
время (τ), Ек(τ) ≥ Еd.
Если принять, что τ состоит из двух аддитивных или независимых составляющих τ = τ1 + τ2, где τ1 – время, необходимое для создания многократно ионизованной внешней оболочки аниона; τ2 – время
жизни многозарядного перезаряженного иона. И так как, наиболее
вероятным будет процесс, связанный с однократной ионизацией атома т. е. создание данного иона представляет собой однократный процесс ионизации остовной оболочки, то τ1 ≈ 0 или, во всяком случае,
τ1 << τ2. Смолуховский с сотрудниками оценили время τ, предположив,
что время жизни многократно положительно заряженного аниона зависит от времени захвата электрона из зоны проводимости и составляет τ ≈105п-1, где п- концентрация электронов в зоне проводимости.
Если принять за п нереально высокое значение свободных носителей
(п = 1017 см-3 для изоляторов, находящихся в поле мощного электронного облучения), то получим τ ≥ 10-12с. В рамках данных представлений Смолуховским с сотрудниками было показано, что τ > τкр.
т. е. временное условие для изоляторов и многих полупроводников
выполняется с достаточной степенью точности.
Другой подход к оценке времени жизни был сформулирован
Декстлером, который предположил, что распад двух и более дырочных состояний обусловлен процессом взаимного расталкивания положительно заряженных дырок. В рамках такого приближения распад
двух и более дырочного состояния обусловлен взаимным отталкиванием данных дырок, т. е практически определяется временем распада
на две валентные дырки. В качестве оценки такого времени распада
Декстлер использовал следующее выражение, основанное на соотношении неопределенности:
h ,
(2.43)

E
где ΔЕ для большинства диэлектриков заключается в интервале 0,1
– 3 эВ, тогда τ имеет порядок 10-16 – 10-15 с. Это привело Декстлера к
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
выводу о том, что механизм Варли в предложенной форме должен
быть весьма неэффективным.
Данные результаты побудили Смолуховского и Вильямса к поиску ответа на вопрос, каким образом система из двух соседних однократно ионизованных анионов, возникшая в результате распада
двухкратно ионизованного аниона, могла бы релаксировать так, чтобы возникли дефекты. Работа в этом направлении показала, что возражения Декстлера неубедительны, т.к. для того чтобы передать двум
дыркам кинетическую энергию за счет энергии отталкивания U =
ke2/ra ≈ 10эВ, где ra – радиус аниона. При таком движении должно
выполняться неравенство ΔЕ >>Ed. Декстлер для проведения своих
оценок некорректно воспользовался подвижностью дырок в недеформированной валентной зоне; τ = а3/μе, где μ – подвижность; а3 –
характерный размер элементарной ячейки: е – заряд электрона.
Решение задачи о вычислении времени «жизни» с использованием квантово-механических методов анализа возбужденных состояний привело данных авторов к результату τ ≈ 10-13 – 10-14 с.
Файбельман [14], дополнительно, указал, что τ может быть на
порядок больше благодаря сжатию незаполненных орбиталей анионов. Это обусловлено уменьшением внутриионной экранировки, что
приводит к уменьшению перекрытия волновых функций соседних
ионов и возможность двудырочной миграции, в данном случае – к
увеличению времени жизни двудырочного состояния.
Таким образом, существующая ныне информация позволяет
сделать заключение о том что временное условие в большинстве случаев будет выполнено, более того, в случае, если τ < tk, предложенная
авторами [13] идея о статистическом характере процесса электронноионной релаксации позволяет разрешить существовавшую ранее
"проблему времени жизни" весьма простым способом. Среди всех
ионов или атомов, покидающих регулярные позиции в результате перезарядки определим ту часть ионов, релаксация которых происходит
позже критического времени. В данном случае, как это было показано
в параграфе 2.1. эта величина будет определяться вероятностным

tk
множителем следующего вида: е  . Для предельной оценки квантового выхода воспользуемся следующей оценкой времени жизни
двухдырочного состояния, предложенной в работе Вильямса
h .
(2.44)

E '
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где ΔЕ' – ширина зоны для миграции двух дырок, определяемая по
следующей приближенной формуле:
E2
E ' 
,
(2.45)
2 NU
где N – координационное число; Е – ширина валентной зоны
(10 -11,5 эВ).
kZe2
U
,
(2.46)
a
где Z = z1z2 (z1 и z2 – заряды на атоме кислорода и кремния, выраженные в относительных единицах; а – ионный радиус О+1).
В соответствии с формулами (2.44), (2.45) и (2.46) для различных зарядовых состояний удаляющегося иона произведем оценку
времени жизни двухдырочного состояния на ионе кислорода в Si0 2
(см. таблицу 2.3). По результатам оценки были выполнены вычисления квантового ЭСД в кулоновском приближении и с использованием
аппроксимирующего парного потенциала взаимодействия Ми или
модифицированного потенциала Ленарда – Джонса.
Таблица 2.3
Значения квантового выхода для различных
зарядовых состояний
Nп/п
z1
z2
1
1
4
2
1,07 3,61
3
2,06 3,61
tk1, с
1,1·10-14
6,3·10-15
3,1·10-15
tk2, с
7,1·10-15
6,9·10-15
6,9·10-15
τ
3,98·10-15
3,87·10-15
7,39·10-15
η1
0,061
0,095
0,657
η2
0,168
0,165
0,39
Результаты показывают, что первоначальное временное условие
tk > τ при статистическом подходе к описанию процесса электронноионной релаксации оказывается несостоятельным, т.к. соответствующие значения квантового выхода при условии t k> τ и tk < τ как видно из таблицы имеют один и тот же порядок (cтрока 1 и 3). Однако
при старой трактовке для третьего случая зарядового состояния десорбция была бы невозможной. Следует отметить, что возможность
десорбции будет существовать и при более значительном отличии tk и
τ, что приведет только к значительному влиянию данного множителя
на общее сечение десорбции.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В данной главе оценивался вероятностный множитель, характеризующий в суммарном сечении электронно-стимулированной десорбции электронно-ионную релаксацию. Вычисление этого множителя проводилось на основе решения уточненного кинетического
уравнения электронно-ионной релаксации. Решение данного уравнения можно использовать как функцию распределения ионов по временам релаксации избыточного заряда. Для вычисления этого множителя необходима оценка двух основных параметров: критического
времени, связанного с критическим радиусом захвата, и времени
жизни двухдырочного состояния на ионе кислорода. Вычисление
критических параметров (xk, tk) проводилось в стандартном кулоновском приближении и с использованием парного потенциала параметры которого определялись путем подгонки под эмпирические постоянные данного вещества. Оценка времени жизни возбужденного состояния иона кислорода проводилась в соответствии с оценочной
формулой, предложенной Вильямсом. Полученные параметры позволили оценить квантовый выход ЭСД, обусловленной электронноионной релаксацией. Данные вычисления проводились для различных зарядовых состояний и показали, что условия образования стабильного радиационного дефекта удовлетворительно решаются с помощью введенного вероятностного множителя, определяющего долю
ионов, релаксация избыточного заряда на которых происходит позже
критического времени.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА III. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПРОТЕКАНИЯ
ЭЛЕКТРОННО-СТИМУЛИРОВАННОГО ПРОЦЕССА НА
СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ДИОКСИДА КРЕМНИЯ
3.1. Экспериментальные результаты изучения электронностимулированной десорбции на свободной поверхности SiO2
Традиционно ЭСД в SiO2 изучали [3, 4], используя временные
или дозовые изменения пиковых интенсивностей выбранных Ожелиний SiO2, типичный вид которых представлен на рис. 3.1. Данный
способ изучения позволяет получать информацию о характере протекающих физико-химических процессов в приповерхностном слое
SiO2.
Рис. 3.1. Дозовые зависимости пиковых интенсивностей
Оже-линий основных компонент SiO2
Однако так как десорбция из SiO2 и окислов ему подобных, а
также из ЩГК, стимулированная электронами допороговых энергий,
является процессом радиационного преобразования приповерхностного слоя твердого тела, то данное явление целесообразно изучать по
кинетике накопления стабильных радиационных дефектов, например,
относительного числа кислородных вакансий nv/n0 (где n0 – концен34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
трация атомов кислорода в ненарушенном SiO2, nv – концентрация
кислородных вакансий).
Выбор данного параметра для изучения электронностимулированного процесса (ЭСП) в свободном приповерхностном
слое SiO2 обусловлен следующими причинами:
а) относительное число вакансий в приповерхностном слое совпадает с относительным числом десорбированных атомов кислорода, которое определяется числом атомов, оставшихся в образце:
n d n v ( D ) n 0  n( D ) I 0  I ( D )



.
(3.1)
n0
n0
n0
I0
где nd – концентрация десорбированных атомов кислорода, п(D) мгновенное значение атомной концентрации оставшихся атомов кислорода, I0 – начальная интенсивность O КVV Oже-линии, I(D) мгновенное значение интенсивности Oже-линии кислорода. Следовательно, данный параметр характеризует как процессы десорбции или
генерации радиационных дефектов, так и процессы реконструкции
или обратной десорбции;
б) во время облучения только Oже-линия О КVV не изменяет
своей формы в процессе ЭСД, поэтому пиковая интенсивность является мерой концентрации данного элемента в зоне анализа.
в) предполагая, что во время облучения сохраняется пропорциональность интенсивности Oже-линии мгновенной концентрации
анионов в SiO2 I(D) = k · п(D), то, используя традиционные зависимости (рис. 3.1), несложно построить новые:
I 0  I ( D)
 f ( D) .
I0
Кроме того, с практической точки зрения наибольший интерес
представляют конечные продукты взаимодействия радиации с веществом: стабильные радиационные дефекты и конечные продукты радиационно-химических реакций.
На рисунке 3.2 представлены экспериментальные дозовые завиI 0  I ( D)
f
(
D
)

j const
симости
для различных плотностей токов. ХаI0
рактерной особенностью данных зависимостей является то, что в области малых доз все зависимости совпадают в пределах точности
эксперимента, а в области больших доз достигают различных стационарных значений.
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Наличие насыщения на дозовых зависимостях f(D) говорит о
существовании конкурирующего с десорбцией механизма реконструкции приповерхностного слоя SiO2. Другими словами, стационарное состояние приповерхностного слоя при электронном облучении обусловлено динамическим равновесием двух противоположных
процессов, которое зависит от плотности электронного облучения.
Подобные изменения твердого тела характерны для радиационно-стимулированного накопления дефектов. В таких явлениях значительный интерес представляет вопрос о глубине и характере ЭСП в
аморфном диоксиде кремния.
Рис. 3.2. Экспериментальные зависимости относительного числа
кислородных вакансий в приповерхностном слое SiO2 при ЭСД
на свободной поверхности.
Графикам соответствуют плотности тока: (1) jp=5·10-3 А/см2 ,
(2) jp=8·10-3 А/см2 , (3) jp=10-2 А/см2 , (4) jp=3·10-2 А/см2
Авторы многих работ считают, что подобные нарушения возникают на поверхности твердого тела, и их число монотонно убывает по
толщине образца. Таким образом, в рамках таких представлений поверхностный слой твердого тела обладает более низкой радиационной стойкостью по сравнению с объемом. С другой стороны, большинство авторов признают, что электронные возбуждения являются
энергетическим источником подобных преобразований, но в этом
случае число радиационных нарушений должно коррелировать с чис36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лом определенных возбуждений электронной подсистемы, следовательно, характер распределения нарушений не может быть монотонным.
Распределение атомов Si0, Si4+ и O2- по глубине образца в области, предварительно облученной электронами с суммарной дозой
D=2 Кл/см2, изучалось методом электронной Оже-спектроскопии
(ЭОС) в сочетании с циклическим послойным ионным травлением в
максимально щадящем режиме.
Рис. 3.3. Экспериментальное распределение по глубине
основных компонент радиационно-нарушенного SiO2
На рисунке 3.3 представлены экспериментальные профили распределения основных компонент радиационно-нарушенного SiO2.
Характерной особенностью профилей распределения является их немонотонный вид, причем положение экстремумов всех кривых практически совпадают. Пространственное распределение элементов Si0,
Si4+ и O2- ассиметрично, с резким передним и медленно спадающим
задним фронтом. Следует отметить, что полученное распределение
не является результатом деструктивного действия ионного травления,
т.к. на необлученных участках такого распределения наблюдать не
удавалось при любых режимах ионного травления.
Немонотонный профиль распределения наведенных электронным облучением дефектов говорит о том, что поверхность и внутренние слои SiO2 обладают различной радиационной стойкостью. Эти
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
различия обусловлены двумя факторами: во-первых, различиями по
величине в поглощенной дозе; во-вторых, вероятность выживания
анионной вакансии на поверхности существенно ниже за счет более
высокой
эффективности
реконструкции
электронностимулированных (ЭС) нарушений. Наличие подобных процессов в
приповерхностном слое вытекает из фундаментального принципа
Лешателье-Брауна.
Рассмотренное выше не монотонное распределение стимулированных нарушений позволило экспериментально доказать существование динамического равновесия в условиях электронного облучения
на свободной поверхности SiO2. Для этого предварительно облученный участок образца подвергался ионному травлению в щадящем режиме так, чтобы на поверхности оказалась область максимальных радиационных нарушений. После этого ионный пучок выключался и
изучалась кинетика стимулированных изменений в приповерхностном слое.
Рис. 3.4. Зависимости пиковых интенсивностей О КVV Оже-линий
при электронно-стимулированном залечивании нарушенного
приповерхностного слоя SiO2
Здесь nv ∞/n0 стационарное относительное число вакансий в приповерхностном слое при ЭСД с плотностью тока (1) jp=5·10-3 А/см2,
(2) jp= 8 · 10-3 А/см2 , (3) jp=10-2 А/см2
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рисунке 3.4 представлены дозовые зависимости пиковых интенсивностей основных Оже-линий SiO2. Так как нарушения поверхности SiO2 стали больше стационарных значений, то динамическое
равновесие нарушено в сторону процессов аннигиляции, поэтому кинетика ЭС процесса имеет качественно иной характер, нежели на рисунке 3.1. На рисунке 3.4 представлена дозовая зависимость электронно-стимулированной реконструкции SiO2, что экспериментально
доказывает динамический характер стационарного состояния приповерхностного слоя во время электронного облучения.
3.2. Анализ экспериментальных результатов электронно-стимулированной
десорбции на свободной поверхности SiO2
Исследование эволюции дефектной структуры приповерхностного слоя твердого тела, наводимой электронным облучением, с помощью уравнений баланса целесообразно по двум причинам:
1. Составление кинетического уравнения потребует детализации
изучаемого процесса. Удовлетворительное решение основной задачи
кинетики накопление радиационных дефектов позволит обоснованно
производить экспериментальное определение основных постоянных,
характеризующих данный процесс накопления.
Теоретическое изучение кинетики ЭС накопления кислородных
вакансий в приповерхностном слое SiO2 целесообразно проводить,
используя уравнение баланса для накопления радиационных нарушений следующего вида:
dnv
 G  Dv nv  ni nv  ne nv  nk  knv ,
(3.2)
dt
где G – скорость генерации радиационных дефектов, μ – коэффициент рекомбинации, α – константа, определяющая скорость образования комплексов "вакансия + примесь", ne – концентрация примесей,
κ -константа, определяющая скорость распада комплексов, пk – концентрация комплексов, knv, – мощность прочих стоков для вакансий.
Для адекватного решения уравнения (3.2) его необходимо дополнить системой аналогичных уравнений для ni, ne, nv. Поскольку
полное аналитическое решение такой системы уравнений получить
практически невозможно, то приходится ограничиться исследованием усеченной системы уравнений, полученной в результате введения
значительного числа обоснованных упрощений, например, учета од39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ного или двух основных процессов, определяющих в основном рассматриваемое явление.
Применительно к рассматриваемому процессу целесообразно
рассмотреть уравнение баланса только для кислородных вакансий в
приповерхностном слое аморфного SiO2. Подобное упрощение уравнения баланса обосновано следующими соображениями:
1) высокая чистота и совершенство термического окисла кремния, полученного по промышленной технологии, позволяет пренебречь тремя членами в уравнении (3.2): αnenv ≈ κnk ≈ knv ≈ 0;
2) количественные оценки коэффициента диффузии вакансий,
успешно применяемые в объеме кристалла, в этом случае не применимы, поэтому из данного уравнения необходимо удалить диффузионный член Dv nv , что будет приемлемым, если стремиться получить качественное соотношение. Таким образом, кинетическое уравнение ЭС накопления кислородных вакансий в рамках модели квазихимических реакций можно записать в следующем виде:
dnv
 1 (n0  nv )   2 nv ,
(3.3)
dt
где 1 (n0  nv ) – скорость генерации кислородных вакансий;  2 nv мощность рекомбинации приповерхностной вакансии с адоатомом; α1
и α2 – константы соответствующих процессов.
Перепишем уравнение (3.3) в более удобном для сравнения с
экспериментом виде. Так, если считать
j
j
 1    и  2  4RDi ni , а dD  dt , то
e
e
dnv
   (n0  nv )    nv ,
(3.4)
dD
где j – плотность электронного тока, е – заряд электрона, σ+ -сечение
десорбции, R – радиус захвата адоатома кислорода вакансией, Di –
коэффициент поверхностной диффузии, ni – концентрация адоатомов
4RDi ni е
в приповерхностном слое,   
.
j
Решение данного уравнения имеет вид:
nv ( D)  n0


1  e (
 

40
   ) D
.
(3.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Используя основное свойство пиковой интенсивности неискаженной Оже-линии кислорода (I = kп) решение (3.5) можно записать
в следующем эквивалентном виде
I 0  I ( D) nv ( D)

(    ) D


 1 e
,
(3.6)
I0
n0
 
где nv – мгновенная концентрация кислородных вакансий в приповерхностном слое SiO2, n0 – концентрация О2- в ненарушенном твердом теле.
Полученное уравнение позволяет удовлетворительно объяснить
основные экспериментальные закономерности. Так, в области малых


доз, (     ) D  1 ,
nv ( D)  n0   D(t ) ,
(3.7)
т. е. начальный этап накопления определяется только сечением σ +,
что подтверждают экспериментальные кривые (рис. 3.1). В области
больших доз или стационарного состояния облучаемой поверхности
получим следующий результат:
n0
n0
 dnv 


  0 ,  nv   
. (3.8)
4RDi ni e
 dD 
1 
1

j 
Из выражения (3.8) получим следующий результат:
nv 
I I

 0 D    j ,
(3.9)
n0  nv 
ID




где
4RDi ni e .
После соответствующей обработки экспериментальных кривых
(рис. 3.2) нами была проведена проверка теоретического вывода (3.9).
Результаты проверки показали, что в диапазоне плотностей тока
10-3 ≤ j ≤ 10-2 А/см2 имеет место хорошее соответствие указанному
выше критерию. При j > 3·10-2 А/см2 соответствие лишь качественное.
Данное несоответствие можно объяснить влиянием стимулированного электронно-лучевого нагрева на параметры Di и ni, определяющие
скорость процесса рекомбинации первичных дефектов.
Полученное кинетическое уравнение (3.4) качественно верно
описывает процесс реконструкции поверхностного слоя. Так, если
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
nv>nv
∞
, то есть
nv  n0

dnv
 0 и соответствующая
,то
 
dt
теоретическая дозовая зависимость примет вид
D


      
nv ( D)  n0
 n  n0
e
,
      v1
     
где
(3.10)
nv – начальная концентрация вакансий.
1
Таким образом, решение кинетического уравнения удовлетворительно описывает две различные по характеру кинетики накопления
дефектов в приповерхностном слое SiO2. Кроме того, оно позволяет
обоснованно сформулировать критерий радиационной стойкости
приповерхностного слоя. Так, если   /    1 , то nv   n0  /   ,
т. е. стационарное количество кислородных вакансий составляет малую часть от регулярных атомов.
Используя полученные результаты можно объяснить высокую
радиационную стойкость поверхностного слоя оксида алюминия,
близкого по физико-химическим свойствам к SiO2. Для этого рассмотрим отношение двух критериев радиационной стойкости  1 /  2 в
рамках следующих предположений:
1)  1   2   ок KVV p ,где σок – сечение ионизации Коболочки О2-, которое имеет одинаковое значение как для А1203, так и
для SiO2 соответственно; αKVV – вероятность соответствующего Ожепроцесса. Из таблиц в работе [36] следует, что α1КVV = α2КVV. Нетрудно показать, что аналогичная ситуация имеет место и для вероятности
нейтрализации р, так как электрофизические свойства данных материалов близки: р1 ≈ р2 = exp(tk/ τ);
2) ni1 ≈ ni2. Равенство концентраций на поверхности адоатомов
кислорода, на наш взгляд, связано с близостью значений давлений
насыщенных паров и теплот сублимации.
 1 R1 D1

(3.11)
 2 R2 D2 ,
где Di; – коэффициенты поверхностной диффузии А1203 и SiO2 соотe2
ветственно, а Ri  ai 4 a Q – радиус зоны неустойчивости.
i i i
Поэтому (3.11) можно переписать в следующем виде:
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
2
 1 D1  Q2 2 



 2 D2  Q11  ,
(3.12)
где Qi – энергия активации поверхностной диффузии.
Для сравнения скоростей реконструкции в приповерхностном
слое А1203 и SiO2 можно воспользоваться экспериментальными результатами по определению параметров поверхностной диффузии в
этих материалах по кинетике залечивания одиночной царапины. Проведенные измерения показали, что преобладающим процессом в механизме залечивания макроскопического поверхностного дефекта является поверхностная диффузия. Результаты обработки кинетических
кривых по сглаживанию одиночной царапины при различных температурах, полученные методом наименьших квадратов, занесены в
таблицу 3.1.
Таблица 3.1
Экспериментальное значение параметров
поверхностной диффузии
Образец
Al2O3
SiO2
D0, м2/с
(178±28)·10-2
(241±36)·10-10
Q, эВ
(12±1,5)·10-4
(20,4±3,06)·10-4
Здесь D0 – предэкспоненциальный множитель, Q – энергия активации поверхностной диффузии.
Таким образом, если справедливо предположение о приблизительном равенстве сечений образования кислородных вакансий σ+ в
данных оксидах, то сеченния процесса реконструкции приповерхностного слоя σ- различаются существенно, поэтому радиационная
стойкость Аl203 превосходит стойкость приповерхностного слоя SiO2
к электронному облучению более, чем в 108. Другими словами, относительно высокая стойкость поверхности оксида алюминия к электронному облучению обусловлена разностью в скоростях процессов
восстановления нарушенного слоя по сравнению с SiO2. Полученный
результат объясняет принципиальную невозможность наблюдения
ЭСД с поверхности А1203, т.к. максимальное изменение значения измеренного параметра составит величину порядка ΔI∞ 2/I02≈10-9, что
значительно ниже предела чувствительности данной аналитической
методики.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА IV. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПРОТЕКАНИЯ
ЭЛЕКТРОННО-СТИМУЛИРОВАННЫХ ПРОЦЕССОВ В
МЕТАЛЛИЗИРОВАННЫХ ЩЕЛОЧНО-ГАЛОИДНЫХ
КРИСТАЛЛАХ
4.1. Электронно-стимулированные изменения катодолюминесцентных
свойств металлизированных щелочно-галоидных кристаллов.
Эффект катодолюминесцентной памяти
При электронном облучении металлизированных твердых тел
наблюдается явление необратимого изменения катодолюминесцентных (КЛ) свойств предварительно облученных областей твердого тела. В зависимости от величины поглощенной дозы данные изменения
проявляются либо в значительном необратимом повышении квантового выхода КЛ из предварительно облученных областей, либо в тушении КЛ-излучения на микро участках с большой поглощенной дозой (рис.4.1).
а
б
в
Рис. 4.1. Микрофотографии, демонстрирующие эффект катодолюминисцентной памяти в режиме активации (а и б), в режиме гашения (в)
Подобные, электронно-стимулированные изменения стали
называть КЛ-памятью [15] или радиационной самоактивацией и гашением КЛ [16].
На рисунке 4.2 представлены зависимости наведенной интенсивности КЛ от поглощенной дозы для металлизированных ЩГК КВr
и LiF. Данные зависимости имеют характерный немонотонный вид:
на первом участке происходит сравнительно быстрое и необратимое
увеличение квантового выхода и интенсивности КЛ-излучения; второй участок характеризует более медленный процесс гашения.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.2. Экспериментальные и теоретические кривые активации
и гашения катодолюминесценции для ЩГК KBr и LiF.
На графиках сплошная кривая – результат эксперимента,
штрихпунктирная – теоретический расчет
Для установления механизма КЛ-памяти необходимо выяснить
природу необратимых процессов, протекающих в ЩГК под действием электронного облучения и установить влияние этих процессов на
квантовый выход КЛ.
При наличии тонкой алюминиевой пленки не происходит электронно-стимулированного распыления или ЭСД ЩГК, однако на поверхности пленки достаточно быстро накапливаются атомы щелочного металла (К,Li, Na) в зависимости от типа кристалла. Следовательно наиболее вероятные изменения, происходящие в ЩГК при электронном облучении – это процессы генерации и стабилизации первичных допороговых дефектов, которые являются центрами рекомбинационного излучения (ЦРИ).
Эффект долговременной КЛ-памяти позволяет «увидеть» пространственное распределение наведенных ЦРИ. Авторами работы
[16] был реализован достаточно простой способ визуализации микрообъема кристалла, модифицированного электронным пучком в ЩГК.
Суть метода состоит в следующем: на поверхности кристалла «записывается» след при сканировании электронным зондом растрового
электронного микроскопа (РЭМ) достаточной интенсивности вдоль
линии, и локально облученные участки «помнят» предварительное
воздействие электронной бомбардировки. Далее кристалл раскалывается в плоскости ZY (рис.4.3.), перпендикулярной следу записи и
вновь исследуется в РЭМ, но уже в плоскости ZY.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.3. Схема визуализации области взаимодействия электронов
с твердым телом
Примеры визуализации области взаимодействия электронов
различной энергии приведены на рисунке 4.4.
Рис 4.4. Микрофотографии, демонстрирующие модифицированные
области ЩГК первичными электронами различных энергий
Как показывают микрофотографии, модифицированный объем
имеет квазисферическую форму; с увеличением энергии электронов
центр сферы смещается вглубь кристалла и область взаимодействия
принимает вытянутую форму вдоль направления облучения.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Практические измерения линейных размеров области взаимодействия электронов с кристаллом RZ , измеренные авторами [6], приведены в таблице 4.1.
Таблица 4.1
Линейные размеры области, активированной
электронным облучением
Кристалл
RZ, мкм
RT, мкм
Lэф.= RZ- RT, мкм
10
5,2
1,67
3,53
KCl
LiF
Ускоряющее напряжение, кВ
15
20
10
15
6,7
8,6
2,7
4,8
3,29
5,33
2,22
4,37
3,41
3,27
0,48
0,45
20
7,5
7,09
0,41
Полученные экспериментальные значения RZ превосходят теоретические результаты RT , вычисленные по формуле 4.1.
RT 
2.76  10 2 AE 1p.67
Z 0.88 
,
(4.1)
где RТ – теоретический пробег первичных электронов (мкм); Z –
средний атомный номер твердого тела; А – средняя относительная
атомная масса; Ер – кинетическая энергия первичных электронов
(кэВ); ρ – плотность образца (г/см3).
Увеличение размеров области взаимодействия обусловлено
диффузией неравновесных электронно-дырочных пар как при записи
следа, так и при его считывании в РЭМ. Кроме того, дополнительное
увеличение активированной области может быть обусловлено диффузией первичных радиационных дефектов. В результате взаимодействия с электронным зондом в ЩГК образуется радиационнонарушенная область, из которой происходит миграция первичных радиационных дефектов; поэтому RZ=RT+L, где L – диффузионный параметр, учитывающий диффузию неравновесных носителей заряда и
радиационных дефектов. Тогда величина RZ- RT не должна зависеть
от ускоряющего напряжения и будет определятся лишь свойствами
исследуемого твердого тела. Приведенные в таблице 4.1. результаты
измерения величины L показали, что с точностью не хуже 5% она
остается постоянной для данного образца.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.2. Теоретическая модель активации и гашения катодолюминесценции в
металлизированных щелочно-галоидных кристаллах
Причина необратимых изменений люминесцентных свойств связана с накоплением стабильных допороговых радиационных дефектов, возникающих под действием электронного зонда. Наблюдаемая
КЛ является примесной, ЦРИ которой собственные радиационные
дефекты. ЩГК являются широкозонные диэлектрики, а радиационные дефекты образуют локальные уровни в запрещенной зоне. Поэтому для интерпретации полученных зависимостей воспользуемся
простейшей двухуровневой моделью центра излучения, при этом интенсивность КЛ будет определяться произведением двух величин: n1
– заселенности возбужденного уровня; η – квантового выхода.
Поэтому интенсивность КЛ в рамках двухуровневой модели
определим по следующей формуле:
xm
I кл   P01n1Sdx ,
(4.2)
0
где Р01 – частота перехода ЦРИ из основного (0) состояния в возбужденное (1), определяется параметрами центра излучения и условиями
облучения; n1 – заселенность возбужденного уровня; η – квантовый
выход КЛ; S – площадь облучаемой поверхности образца; xm – максимальная глубина проникновения первичных электронов в образец.
Для построения элементарной теории будем считать, что условия облучения в исследуемом объеме однородны, поэтому координатной зависимостью в рамках данной модели величин Р01, n1 и η
можно пренебречь. Для определения заселенности возбужденного
энергетического уровня запишем следующее кинетическое уравнение, которое не учитывает вынужденных переходов:
dn1
1
 P01n0  n1
(4.3)
dt
 ,
где n0 – заселенность основного невозбужденного уровня; τ-1 – частота
спонтанных переходов из возбужденного состояния в основное.
Из выражения (4.3) исключим n0, т. к. для любого момента времени
n0 (t )  n1 (t )  N (t )
(4.4)
,
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где N(t) – мгновенное значение концентрации наведенных ЦРИ. В результате получим кинетическое уравнение, определяющее временную зависимость заселенности возбужденного уровня:
dn1
1
 P01N (t )  n1 (t )   n1 (t )
(4.5)
dt

.
Частота спонтанных переходов из возбужденных состояний в
основное может быть определена по формуле, предложенной в работе
Декстера:


S
3
 N (t ) ,
(4.6)
где τ0-1 определяет частоту излучательных переходов; βNS/3 частоту
безызлучательных переходов, которая характеризует концентрационное гашение.
Согласно теории Декстера концентрационное гашение возникает в результате взаимодействия ЦРИ друг с другом, приводящего к
резонансной передаче электронного возбуждения от одного центра к
другому и к последующей безызлучательной релаксации на стоках.
1
1
0
1
, где R – расстояние, a S – характеRS
ризует мультипольность взаимодействия. В случае диполь – дипольного взаимодействия S = 6. Следует отметить, что в данном кинетическом уравнении N(t) имеет смысл мгновенного значения концентрации наведенных радиационных дефектов, число которых меняется
значительно медленнее, нежели электронные процессы в самом кристалле. Поэтому для каждого значения концентрации радиационных
дефектов мы будем иметь практически равновесное значение заселенности верхнего и нижнего уровней. Следовательно, долговременная зависимость интенсивности КЛ обусловлена временной эволюцией дефектной структуры кристалла, стимулированной электронным
облучением. Используя стационарное выражение для n1 в уравнении
(4.5), подставим результат в выражение (4.2) и получим следующее:
Вероятность взаимодействия ~
I кл (t )  P012 S
1

xmax
N (t )
1

1
1
P01   N 2 (t )
 N 2 (t )
0
(4.7)
0
Полученный результат показывает, что мгновенное значение
интенсивности КЛ определяется мгновенным значением концентрации ЦРИ или радиационных дефектов. Значит, явный вид данной за49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
висимости может быть определен, если известна зависимость N(t) в
явном виде.
Проанализируем полученное выражение в двух предельных
случаях:
1. Скорость концентрационного гашения ничтожно мала:
N 2 
1
 0 . Из выражения (4.5) получаем:
I кл1  P012 Sxmax
N (t )
1 ,
P01 
т. e. I кл1 ~ N (t )
0
Если рассмотреть любое кинетическое уравнение для N(t), то
при малых t, N(t) ~ t; т.к. мощностью стоков на начальном этапе для
радиационных дефектов можно пренебречь. Следовательно, Iкл1. ~ t.
2. Рассмотрим данный процесс в области значительного концентрационного гашения, т. е.
N 2 
1
0
 P01 . Тогда из соотношения (4.5) получаем:
I кл 2  P012
1

Sxmax
1
2
N 3 (t )
.
В рассматриваемой ситуации возможны следующие результаты:
а) Если к указанному моменту времени процесс накопления радиационных дефектов стал стационарным, то Iкл2 от t не зависит.
б) Если процесс накопления ЦРИ не является стационарным, то
предельное значение зависимости интенсивности КЛ в режиме концентрационного гашения будет определяться кинетикой накопления
соответствующего дефекта.
На рисунке 4.2 представлены теоретические и экспериментальные результаты для кристаллов КВr, LiF при различных ускоряющих
напряжениях. Следует отметить, что для вычисления теоретической
временной зависимости интенсивности КЛ нами использовалось решение простейшего кинетического уравнения накопления радиационных дефектов, которое учитывает один сток, обусловленный рекомбинацией наведенных дефектов. Данное решение имеет вид:
N (t )  N0 1  е е , где β и N0 – параметры кинетического уравнения.


50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обращает на себя внимание хорошее соответствие временных
зависимостей интенсивности КЛ для всех энергий первичных электронов. Существующее количественное расхождение для более низких энергий находится в области концентрационного гашения, что, на
наш взгляд, можно объяснить влиянием поверхности.
Известно, что поверхность является универсальным и ненасыщающимся стоком радиационных дефектов всех видов [8]. Следовательно, в теоретической зависимости интенсивности КЛ нужно учитывать решение другого кинетического уравнения. Из общих соображений понятно, что стационарная концентрация радиационных дефектов будет тем меньше чем выше мощность стоков. В случае облучения электронами с относительно низкой энергией сток на поверхность центров люминесценции уменьшает время выхода на стационарное значение интенсивности КЛ и уменьшает ее абсолютную интенсивность. Все это указывает на качественное соответствие результатов эксперимента теоретической модели даже в случае облучения
электронами низкой энергии.
Проведенное сравнение полученных результатов в рамках указанной выше модели активации КЛ в широком диапазоне энергий на
начальном и конечном этапах показало хорошее качественное соответствие характера зависимостей, что позволяет надеяться на получение хорошей теоретической модели данного ЭСП.
4.3. Экспериментальное изучение электронно-стимулированной диффузии
в металлизированных щелочно-галоидных кристаллах
Электронное облучение металлизированной поверхности ЩГК в
камере Оже-спектрометра электронами допороговых энергий
(Ер=0,5-5 кэВ) приводила к эффективному накоплению катионной
компоненты кристалла на внешней границе тонкой алюминиевой
пленки. На рисунке 4.1. представлены временные зависимости пиковых интенсивностей Оже-линий основных компонент кристалла.
Тонкая металлическая пленка на поверхности ЩГК во время электронного облучения препятствует протеканию двух процессов:
1) десорбции продуктов радиационного разложения поверхностного слоя в вакуумную камеру прибора, реализуя, таким образом
только внутренний способ стабилизации первичных радиационных
дефектов;
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2) электростатической зарядке поверхности образца во время
электронного облучения.
Алюминиевая пленка будет создавать потенциал сил изображения, который будет притягивать любой нестабилизированный первичный радиационный дефект не зависимо от его знака. Результат такого взаимодействия можно представить как уменьшение потенциального барьера в направлении к металлизированной поверхности
кристалла
U 
 
x 2 ,
(4.8)
где φ – потенциал сил изображения, х – расстояние от первичного радиационного дефекта до металлической пленки, а – постоянная решетки.
Следовательно, вблизи поверхности кристалла создается зона
неустойчивости, попадая в которую междоузельный ион безактивационно достигает слоя металлизации. Оценка из элементарных соображений дает размер зоны неустойчивости H следующего вида
H 
e2

(4.9)
a 4  *Qa
,
где β ≈ 1 и определяется конкретным потенциалом взаимодействия
междоузельного иона и кристалла, ε* – диэлектрическая проницаемость, Q – энергия активации диффузии междоузельного иона. При
любых разумных соотношениях между константами формулы (4.9)
размер зоны неустойчивости превосходит постоянную решетки:
Н/а = 3 – 8. Быстрому накоплению катионной компоненты на металлизированной поверхности кристалла способствует малая толщина
пленки и наличие границ блоков, пронизывающих всю пленку: диффузия на границах протекает весьма эффективно.
Облучение электронным пучком свободной поверхности ЩГК
приводит к процессу, в котором наблюдается стимулированная десорбция в камеру прибора анионной компоненты образца. Традиционное протекание стимулированного процесса обусловлено внешней
стабилизацией первичных радиационных дефектов, которая приводит
к уменьшению пиковой интенсивности анионной компоненты и образованию относительно небольшого количества восстановленной фазы
катионной компоненты (рис. 4.5).
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.5. Зависимости основных компонент ЩГК
от времени облучения на металлизованной части кристалла КСl
Следует отметить, что облучение свободной не металлизированной поверхности ЩГК можно провести в условиях, при которых
коэффициент вторичной электронной эмиссии будет меньше единицы (т. к. σ = f(Up) [7]) и поверхность кристалла будет иметь отрицательный потенциал. Если в ЩГК эффективен прямой механизм создания катионных дефектов [12], то при таких условиях облучения (σ
< 1) должно наблюдаться стимулированное обогащение поверхности
образца щелочной компонентой кристалла. Проведенные авторами
работы [20] исследования зависимости эффективности накопления
катионной компоненты кристалла в условиях отрицательной зарядки
поверхности образца, облученного электронами допороговых энергий, не обнаружили существенного отклонения в процессе ЭСД на
свободной поверхности. С другой стороны, изменение способа стабилизации первичных радиационных дефектов в металлизированных
ЩГК приводит к нарушению катионной подрешетки, следовательно,
эффективность прямого механизма в ЩГК мала.
Таким образом, условия на поверхности твердого тела существенно влияют на вторичные процессы в образовании радиационных
дефектов в нарушенном слое твердого тела, которые, в свою очередь,
могут изменить характер протекания электронно-стимулированных
процессов.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.4. Формулировки обратной задачи электронно-стимулированной
диффузии в металлизированных щелочно-галоидных кристаллах
Взаимодействие электронов допороговых энергий с металлизированным поверхностным слоем ЩГК приводит к эффективной генерации радиационных дефектов, которые мигрируют к поверхности
твердого тела. Для построения количественной модели данного процесса необходима экспериментальная, количественная информация о
плотности диффузного потока j(t), не искаженная процессом диффузии через тонкую металлическую пленку. То есть, необходимо определить временную зависимость плотности диффузного потока j(0; t)
(рис. 4.6) катионной компоненты ЩГК на внутренней поверхности
металлической пленки (х = 0), по результатам измерения концентрации атомов диффузанта на внешней стороне С(L, t).
J(0, t)
Рис. 4.6. Схема электронно-стимулированной диффузии
на металлизованной поверхности ЩГК
В наиболее общем виде данная задача может быть сформулирована следующим образом: имеется неограниченная, однородная металлическая пластина толщиной L на внутренней поверхности которой х = 0 (рис. 4.6) имеется нестационарный диффузионный поток с
плотностью j(0,t), на внешней границе х = L производится измерение
мгновенного значения концентрации атомов диффузанта С(L; t), так
как пленка однородна, то коэффициент диффузии катионной компоненты есть величина постоянная D(x; t) = const, атомы диффузанта
накапливаются на внешней поверхности металлической пленки и не
 С 
  0 , по результатам изме х  x L
имеют каких либо стоков, то есть 
рения C(L; t) определить зависимость j(0; t).
Задачи, подобные сформулированной выше называют обратными и некорректными [19]. По Тихонову и Арсенину [19] некорректные задачи можно поделить на следующие классы: а) задачи оцени54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вания функции по известным входным данным; б) задачи проектирования систем автоматического управления; в) задачи аналитического
продолжения функции; г) решение вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений.
Обратная задача диффузии (ОЗД) относится к первому классу.
Вообще говоря, к этому классу задач относятся многие задачи математической обработки и интерпретации физических экспериментов
из различных областей физики.
Одна из трудностей решения некорректных задач состоит в
определении того, что понимается под «решением», поскольку решение таких задач не удовлетворяет общим условиям существования,
единственности и устойчивости. Обратную некорректную задачу
диффузии можно анализировать в виде задачи для дифференциального уравнения в частных производных, интегрального уравнения
Вольтера первого рода или системы линейных алгебраических уравнений, получаемой методом конечных разностей или конечных элементов.
Для решения таких задач разработаны специальные методы.
Один из способов решения ОЗД состоит в задании функциональной
зависимости плотности диффузионного потока на внутренней поверхности. Этот способ решения называется методом функциональной аппроксимации. Аппроксимирующая функция может задаваться
кусочно-постоянной, кусочно-линейной зависимостью или же в виде
парабол, кубических полиномов и т. д.
4.5. Решение обратной задачи диффузии
методом последовательной функциональной аппроксимации
Характерной особенностью метода функциональной аппроксимации является то, что функциональная форма плотности диффузного потока предлагается заранее. Функциональная форма содержит ряд
неизвестных параметров, которые определяются по методу наименьших квадратов. Классификация различных методов функциональной
аппроксимации осуществляется по виду аппроксимирующей функции и по используемому временному интервалу. Поэтому возможными вариантами данного метода являются: 1) метод одновременного
оценивания всех параметров для всего интервала времени; 2) метод
последовательного оценивания временной плотности диффузного по55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тока, который является более эффективным в вычислительном отношении, чем метод оценивания по все области.
а) Метод последовательной функциональной аппроксимации в
кусочно-постоянном приближении. Данная модификация метода
представляет собой простейшую последовательную процедуру, основанную на временном предположении, что несколько составляющих
плотности диффузионного потока в последующие моменты времени
остаются постоянными, как это показано на рисунке 4.7.
Рис. 4.7. Функциональная форма для кусочнопостоянной
аппроксимации плотности диффузионного потока
Составляющие плотности диффузного потока ˆj1 , ˆj 2 ,..., ˆj M 1
считаются известными, и задача заключается в том, чтобы оценить
составляющую ĵ M . Для придания алгоритму восстановления временной зависимости плотности диффузного потока устойчивости предполагается, что jM = jM+1 = ... = jM+r-1 , то есть r и «последующие» составляющие диффузного потока временно считаются равными между
собой. Для последовательного определения jM с использованием кусочно-постоянной аппроксимации необходимы модели для СМ , СМ+1 ,
… , СМ+r-1 . Выражение для вычисления этих концентраций в стандартной матричной форме имеет вид:
Ĉ = Xj + Ĉ | j=0 ,
56
(4.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где Х – нижняя треугольная матрица импульсных коэффициентов
чувствительности относительно j, Ĉ | j=0 – оценка вектора концентрации при j = 0.
Уравнение (4.10) представляет собой численную аппроксимацию теоремы Дюамеля. При выбранном виде функциональной аппроксимации модельные значении соответствующих концентраций
имеют вид:
СM  Ф1 jM  Cˆ M | j
M
СM 1  Ф2 jM  Cˆ M 1 | j
 jM 1
M

С
 Ф j  Cˆ
|
M  r 1
r
M
M  r 1
(4.11)
jM ... jM  r 1
где использовано соотношение:
j 1
Ф j   Фi
i 1
(4.12)
.
Для определения jM по результатам измерений концентрации
диффузанта ZM, ZM+1, ZM+i-1 необходимо минимизировать сумму квадратичных отклонений


S   Z M i1  CM i1    Z M i1  Ôi jM  CM i1 | j 0 , (4.13)
i 1
i 1
r
r
2
2
где за C М|J = 0 обозначается вычисленная концентрация для модели в
момент времени tM при оцененных значениях компонент плотности
диффузионного потока J 1i J 2j … J M-1 и при нулевом значении
Jм=0. Продифференцируем выражение (4.13) по Jм; прировняем к нулю и заменим Jм на оценку этой величины. В результате получим рекуррентную формулу для определения Jм методом последовательной
функциональной аппроксимации в кусочно-постоянном приближении
r
JМ=
 (Z
i 1
M  i 1
 C M i 1 | J
r
Ô
i 1
M  ...  0
)Ô1
.
(4.14)
2
i
Выражение (4.14) дает алгоритм, который используется последовательно, с увеличением М на единицу при каждом шаге по времени. Значение r называют рангом аппроксимации, который обычно
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
выбирают равным 3 или 4. использование нескольких последующих
концентраций (r›1) значительно повышает устойчивость метода решения некорректной задачи и существенно снижает чувствительность к погрешностям измерений. Кроме того, соотношение (4.14)
представляет собой линейную функцию измеренной концентрации,
которое иногда записывают в более универсальном виде:
r
JM =
 K (Z
i 1
i
M i 1
 CM i1 | j
M
 jM 1 ...0
)
(4.15)
где Кi – называют коэффициентом усиления и определяется по формуле:
K i 
Фi
r
Ф
i 1
(4.16)
2
i

Безразмерные коэффициенты усиления K i уменьшаются, если
возрастает устойчивость метода решения обратной задачи. Суще
ствует два различных способа уменьшения K i : увеличение безразмерных шагов по времени ∆t или увеличение ранга аппроксимации.
б) Метод последовательной функциональной аппроксимации
плотности диффузионного потока в кусочно-линейном приближении.
Другой модификацией метода последовательной функциональной
аппроксимации является использование кусочно-линейного приближения для функциональной формы. Данный метод решения некорректной задачи диффузии использует временное допущение о линейном изменении плотности диффузионного потока.
Рис. 4.8. Функциональная форма для кусочно-линейной аппроксимации
плотности теплового потока
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рисунке 4.8 показаны линейно-связанные обрезки, начиная с
известного значения Jˆ M 1 , при этом плотность диффузионного потока
на каждом временном шаге ∆ti как и ранее, считается постоянной.
Для показанных на рисунке 4.8 связанных линейных отрезков единственным неизвестным является JМ, поскольку J1; J2; … JM – 1 были
предварительно рассчитаны, а JM + 1, … JM + r – 1 можно выразить через
Jм. Для этих величин можно записать
JM + 1 = 2 JM – Jˆ M 1
JM + 2 = 3 JM – 2 Jˆ M 1
JM + 3 = 4 JM – 3 Jˆ M 1
–––––––––––
JM +j – 1 = j JM – (j-1) Jˆ M 1
При вычислении концентраций в моменты времени tM используют следующие выражения:
CM  Cˆ M |J
M
СM 1  Cˆ M 1 |J
M
 Сˆ M 1 |J
CM  2
 J M Фо  Сˆ M |J
0
M
 J M Ф1
0
 J M 1 0
 J M Ф1  J M 1Фо 
 J M 1 0
 J M 1Ф1  J M (Ф1  Ф2 )
M
 Cˆ M 2 |J
M
 J M 1  J M  2 0
 J M Ф2  J M 1Ф1  J M 2 ФО 
 Cˆ M 2 |J
M
 J M 1  J M  @ 0
 J M 1 (Ф1  Ф2 )  J M (Ф1  Ф2  Ф3 )
(4.17)
Общее выражение имеет вид:
CM  j
где
 Cˆ M  j |q
Cˆ M  j |J
M
...0
j 1
M
...0
 J M Ф ,
(4.18)
k
k 1
 CM  j | J
j
M
...0
 JˆM 1  Фk
k 1
(4.19)
Метод определения JM основан на минимизации суммы квадратичных отклонений следующего вида:
r
S   ( Z M i1  CM i1 |J
i 1
i
M
 J M Ôê )2
...0
k 1
После обычной процедуры дифференцирования S по JM получим
r
JM 
 (Z
i 1
M i 1
 CM i 1 |J
n
i
i 1
k 1
i
M
...0
 ( Ô k ) 2
59
) Ô ê
k 1
.
(4.20)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Используя метод наименьших квадратов получили рекурентную
формулу для определения JM методом последовательной функциональной аппроксимации в кусочно-линейном приближении. Выражение (4.20) можно представить в иной, более универсальной форме
следующего вида:
n
J M   K i ( Z M i1  CM i1 |J
i 1
M
...0
).
(4. 21)
Таким образом, используя дискретный или численный аналог
теоремы Дюамэля, а также явный вид решений прямых задач диффузии сформулированных ниже при постоянной и линейной плотности
потока диффузии, с помощью формул (4.14) или (4.21) удается решить обратную не корректную задачу диффузии. Математическое
моделирование процесса восстановления временной зависимости
плотности диффузионного потока показало, что метод функциональной апроксимации дает устойчивые результаты при максимальной
относительной случайной погрешности измерения в 10%.
Для реализации метода последовательной функциональной
апроксимации необходимо иметь решения двух базовых краевых задач следующего вида:
C ( x; t )
 2 C ( x; t )
 D
,
t
2x
0 < x < L; t > 0
C(x;0) = 0,
0<x<L
C ( x; t )
| x L  0 ,
x
D
C ( x; t )
| x 0  j ,
x
t>0
(4. 22)
j = const, t > 0
Перепишем формулировку краевой (4.22) в безразмерных комплексах в следующем виде:
C
 2C
 2
t
x
C ( x;0)  0 ,
C
| x 1  0
x
C

|x  0  1,
x
,
0 < x < 1,
t
>0
0< x <1
x
t
L2
С
~ L
где x  ; t  , а   ; С  , a C 
L

D
r
D
Решение данной задачи имеет вид
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1 2
2  1 n 2 2t
C ( x; t )  t   x  x  2  2 e
 cos nx
(4. 23)
3
2
 i 1 n
Формулировка краевой задачи в безразмерных комплексах для
не стационарной плотности теплового потока на внутренней поверхности математической пленки имеет вид:
C
 2C
 2
t
x
,
C ( x; 0)  0 ,
x < 1; t > 0
0< x <1
0<
C
| x 1  0
x

где j 
j
jN
C
| x 0  t
x
 t,
,
j(0;t) = kt ,
L2
С
~ jNL
j N  k ,  
; С  ,а С 
D

D
Решение данной краевой задачи для
C (1; t ) 
1 2 1
7
2
(t )  t 
 4
2
6
360 
x 1
имеет вид:
(1)
exp (   2 n 2 t ) .
4
n 1 n


n
(4.24)
Таким образом, используя дискретный аналог теоремы Дюамоля, а также явный вид решения прямых задач диффузии, можно получить решение обратной задачи ЭС диффузии для металлизированных
ЩГК методом последовательной функциональной аппроксимации в
кусочно-постоянном и кусочно-линейном приближениях.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Mеnzel D., Gomer R.// J. Chem. Phys. 1964. – V. 41. – P. 334 – 3329.
2. Antonewitch P. R.// Phys. Rev. B 1980. – V. 2. – № 9. – P. 3811 – 3815.
3. Knotek M. L., Feibelman P.// Surf. Sci. 1979. – V. 90. – № 1. – P. 78 – 90.
4. Knotek M. L., Feibelman P.// Phys. Rev. Lett, 1978. – V. 40. – № 14. – P.
964 – 967.
5. Никитин В. В., Комолова А. Ф., Разумовская И. В. // Изв. АНСССР.
Сер физ., 1984. – Т. 28. – № 12. – С. 2384 – 2388.
6. Klekamp A., Donnerberg H., Heiland W. // Surf. Sei, 1988. – V. 200. – №
3. – P. 465 – 469.
7. Varley I. H. O. // Phys. Chem. Sol, 1962. – V. 23. – P. 985 – 1005.
8. Вавилов В. С., Кив А. Е., Ниязова А. Р. Механизмы образования и миграции дефектов в полупроводниках. – М.: Наука, 1981. – 366 с.
9. Power C. J. // Rev. Mod. Phys, 1976. – V. 48. – № 1. – P. 33 – 47.
10. Krause M. A. // J. Phys. Chеm. Rev. Dat, 1979. – V. 8. – № 2. – P. 307 –
327.
11. Рахимова Г. Р., Оксенгендлер Б. Л. // Дан Уз. ССР, 1984. –
№ 1. – С. 22 – 24.
12. Лущик Ч. Б., Лущик А. Ч. Распад электронных возбуждений с образованием дефектов в твердых телах. – М.: Наука, 1989. – 263 с.
13. Агеев В. Н., Бурмистрова О. Н., Кузнецов Ю. А. // УФН. –
1989. – Т. 158. – Вып. 3. – С. 389 – 420.
14. Feibebman P. J. // Surf. Shi, 1981. – V. 102. – P. 151 – 163.
15. Санарин Г. В., Обыден С. К., Четверикова И. Ф., Чукичев М. В., Попов С. И. // Вестник МГУ. Сер.: Физика, Астрономия. – 1983. – № 3. – С. 54 –
57.
16. Никитин В. В., Комолова Л. Ф., Рау Э. И. // Оптика и спектроскопия.
– 1986. – Т. 80. – № 6. – С. 1186 – 1192.
17. Бронштейн И. М., Фрейман Б. С. Вторичная электронная эмиссия. –
М.: Наука. – 407 с.
18. Никитин В. В., Комолова Л. Ф. // Изв. АНСССР. Сер. физ. – 1987. –
Т. 51. – № 3. – С. 489 – 492.
19. Тихонов А. Н., Арсенин. В. П. Методы решения не корректных задач.
– М.: Наука, 1975. – С. 375.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Владимир Викторович Никитин
ЭЛЕКТРОННО-СТИМУЛИРОВАННЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
Учебное пособие
Редактор
Е. В. Кондаева
Технический редактор
Г. А. Чумак
Подписано в печать 15.11.2005 г.
Формат 60х84 1/16. Усл. печ. л. 4,0.
Тираж 50 экз. Заказ 136.
Издательство Орского гуманитарно-технологического института
(филиала) государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
462403, г. Орск Оренбургской обл., пр. Мира, 15 А
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа