close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1899.Руководство к решению задач по математическому анализу. Ч

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ставропольский государственный аграрный университет
А.Ф. Долгополова, Т.А. Колодяжная
Руководство к решению задач
по математическому анализу
Часть 1
Рекомендовано УМО РАЕ по классическому университетскому
и техническому образованию в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
Ставрополь
2012
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.1:517.2
ББК 22.161
Д64
Долгополова, А. Ф.
Д64
Руководство к решению задач по математическому анализу :
учебное пособие. В 2 ч. Ч. 1 / А. Ф. Долгополова, Т. А. Колодяжная. − Ставрополь : Сервисшкола, 2012. – 168 с.
Настоящее руководство является составной частью комплекса
учебных пособий по курсу математического анализа, направленных на
развитие и активизацию самостоятельной работы студентов. Пособие
написано в соответствии с учебной программой по высшей математике
для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 110.800.62
«Электрификация и автоматизация сельского хозяйства», 140.400.62
«Электроэнергетика и электротехника», 190.600.62 «Эксплуатация
транспортно-технологических машин и комплексов». Может быть
использовано как для работы под руководством преподавателя, так и для
самостоятельного изучения курса математического анализа.
УДК 517.1:517.2
ББК 22.161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предисловие
Предлагаемое пособие по решению задач охватывает первую часть
традиционного курса высшей математики технического ВУЗа. Книга написана
в полном соответствии с программой по математическому анализу для
студентов, обучающихся по инженерным специальностям, и подготовлена
преподавателями, имеющими многолетний опыт работы со студентами.
Опираясь на этот опыт, авторы попытались создать задачник, пригодный как
для самообразования, так и для активной работы с преподавателем на
практических занятиях. Этим объясняется структура книги.
Часть 1 включает четыре главы, список литературы и приложения.
Каждая глава руководства начинается с необходимого теоретического
минимума, включающего важнейшие определения, теоремы и формулы. Затем
идёт блок задач на эту тему, рассредоточенный следующим образом. Сначала
подробно разбираются несколько типовых задач с полным анализом решения,
после чего предлагается для самостоятельного решения блок аналогичных
задач и тест для закрепления приобретённого навыка.
Ещё одна особенность этой книги – наличие самостоятельных работ
по каждой теме курса в приведённых приложениях. Их могут использовать как
студенты при подготовке к контрольным работам или экзаменам, так и
преподаватели при проведении практических занятий.
Авторы уделили особое внимание стандартным задачам, достаточного
количества которых так не хватает как преподавателям, так и студентам для
успешного хода учебного процесса. Тем не менее, в пособии довольно много
более сложных заданий для наиболее успевающих студентов. К подавляющему
большинству задач руководства приведены ответы, а к наиболее трудным из
них – подробные указания. Такое построение книги предоставляет студенту
широкие возможности для активной самостоятельной работы и экономит его
время. Студент, пользующийся этим способом, должен перед каждым
практическим занятием выучить относящийся к нему раздел теории,
внимательно, с выполнением всех действий на бумаге, разобрать решённые
задачи, и только после этого приступить к решению задач, предложенных для
самостоятельного решения.
«Руководство к
решению задач по математическому анализу»
полностью
подготовлено
к
изданию
на
кафедре
«Математика»
Ставропольского государственного аграрного университета.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 1 Понятие функции и ее пределы.
Непрерывность функции
1.1 Функция и область ее определения
Переменной называется величина, принимающая различные числовые
значения.
Областью изменения переменной величины называется совокупность
всех принимаемых ею числовых значений.
Определение Переменная у называется функцией переменной х ,
если каждому значению х из области ее изменения по определенному правилу
или закону ставится в соответствие определенное единственное значение у .
Символически записывают y  f  x  .
Переменная х называется независимой переменной или аргументом.
Переменная у называется зависимой переменной или функцией.
Символ f  x  обозначает закон соответствия переменных х и у.
Областью определения функции называется совокупность всех тех
значений аргумента х, при которых переменная у имеет определенное
действительное значение.
Область определения функции y  f  x  обозначается D  f  или D  y  .
Область значений функции y  f  x  обозначается E  f  или E  y  .
Если нужно указать значение y0 , соответствующее значению x0 , то
записывают y0  f  x0  . f  x0  обозначает частное значение функции y  f  x 
при x  x0 .
Графиком функции y  f  x  называется совокупность точек вида
 x; f  x   на
плоскости x0 y , абсциссы «х» которых являются значениями
аргумента и принадлежат D  f  , а ординаты «у» равны соответствующим
значениям функции f  x  : y  f  x  , x  D  f  .
Функция y  f  x  называется четной, если для любого х   х  из
области определения функции D  f  выполняется условие f   x   f  x  .
Записывают f  x   f  x , x  D f  .
График четной функции симметричен относительно оси 0у.
Функция y  f  x  называется нечетной, если для любого х  x  из
области определения функции D  f  выполняется условие f   x    f  x  .
Записывают f  x    f x , x  D f  .
График нечетной функции симметричен относительно точки 0(0;0).
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функция y  f  x  называется периодической с периодом Т, если для
любого х из области определения функции D f  выполняется условие
f x  T   f x.
Наименьшее число Т, обладающее указанным свойством называется
основным периодом функции.
Пусть y  f  x  , x  D  f  , y  E  f  .
Определение Если каждому значению y  E  f  ставится в
соответствие единственное значение x  D  f  такое, что f  x   y , то
переменная х называется обратной функцией по отношению к функции
y  f  x  и обозначается x    y  или x  f 1  y  .
Если y является функцией от u , а u в свою очередь зависит от
переменной x , то y также зависит от х. Пусть y  f  u  и u    x  . Получаем
функцию y от х
y  f    x   ,
которая называется функцией от функции или сложной функцией.
Область определения сложной функции f    x   состоит из тех
значений переменной х, которые принадлежат области определения функции
  x  и для которых значения
  x  принадлежат области определения
функции f .
Функция может быть задана аналитическим способом, графическим
или табличным.
Задание функции при помощи формулы, указывающей, какие
действия и в какой последовательности надо произвести над аргументом х,
чтобы получить значение зависимой переменной у, называется аналитическим
заданием:
2 x 1
y
.
x2
Графический способ задания функции – это задание функции ее
графиком. Преимущество этого способа – его наглядность. Недостаток
заключается в ограниченной точности определяемых по значению аргумента х
значений функции у.
Табличный способ состоит в том, что значения независимой
переменной х и соответствующие значения функции, полученные в результате
наблюдений, располагаются в два параллельных ряда, то есть в виде таблицы.
Элементарные функции
Основными элементарными функциями являются:
1) степенная функция y  x a ;
2) показательная функция y  a x  a  0, a  1 ;
3) логарифмическая функция y  log a x  a  0, a  1 ;
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4) тригонометрические функции
y  sin x, y  cos x, y  tg x, y  ctg x, y  cosec x, y  sec x ;
5) обратные тригонометрические функции
y  arcsin x, y  arccos x, y  arctg x, y  arcctg x .
Функция y  f  x  называется элементарной, если правая часть
аналитического выражения y  f  x  составлена из основных элементарных
функций с помощью применения конечного числа четырех арифметических
действий и взятия функции от функции.
Все остальные функции называются неэлементарными.
Решение типовых задач и примеров
1.1 Найти область определения функции y  x 2  7 x  12 
2x  3
.
x 5
Решение
Область определения этой функции состоит из тех значений х, при
которых оба слагаемых принимают действительные значения. Поэтому
 x 2  7 x  12  0

 x  5  0.
Решая квадратное неравенство x2  7 x  12  0 , получим x  3 или
x  4.
Таким образом, область определения данной функции состоит из
совокупности трех промежутков: x  3 ; x  4 ; x  5 (рисунок 1.1).
3
4
Рисунок 1.1
5
x
Следовательно, D  y    ;3  4;5  5;  .
1.2 Установить четность или нечетность функции y  x 3 cos 2 x .
Решение
D  y    ;  ,
f  x   x3 cos 2 x,
f   x     x  cos 2   x    x3 cos 2 x .
Следовательно, f   x    f  x  , то есть данная функция нечетная.
3
1.3 Вычислить частные значения функции y  x 2  4 x  5 при x  3
и при x  a  2 .
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение
f  3   32  4  3  5  16  4;
f  a  2 
 a  2
2
f  3  4 .
 4  a  2   5  a 2  9;
f  a  2  a2  9 .
1.4 Найти область определения функций:
1
1. y  3 x 3  5 x 2  7 x  2 .
.
2. y 
7x  2
x 1
.
3. y  2
x  7 x  12
x2  5x  4
.
4. y  2
x  x 1
6. y 
1
.
3
8 x
7. y  4  x 2 .
8. y 
x 1
.
x 1
9. y  lq  x 3  3  .
10. y  sin  2 x  3  .
11. y  tg 2 x .
12. y  arc sin  5 x  8  .
5. y 
13. y 
5
.
x4
1
x  x  2
2
 lq  x  1 .
14. y  loq2  x  1  x 2 .
16. y  2 x 2  lq  x  1 
15. y  5  x  x  3 .
17. y 
sin x
.
lq  x 2  4 
x2  5x  6
.
18. y  lq 2
x  x 1
19. y 
1
 x2.
lq 1  x 
20. y  3  x  arcsin
21. y  arc sin
x3
 lq 4  x .
2
22. y  arccos
1
.
x3
3  2x
.
5
x4
.
x
1.5 Какие из указанных ниже функций чётны, какие нечётны, какие
не являются ни чётными, ни нечётными:
а) y  x 2  2 x 2 ;
б) y  x  x 2 ;
в) y  cos x ;
x2
x5
;
г) y  x  
6 120
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
е) y  2 x  x ;
д) y  sin x  cos x ;
ж) y 
x2
3x 2  2
з) y 
;
sin x
.
x
1.6 Построить график и указать интервалы возрастания и убывания
функции:
б) y  x 2  1 ;
а) y  x 2  1 ;
г) y  x 2  4 x  5 .
в) y  3 x 2  6 x  1 ;
1.7 По известному графику функции y  x 2 построить графики
следующих функций:
1
а) y  3 x 2 ;
б) y   x 2 ;
2
1
2
2
г) y   x  1 ;
в) y   x  1 ;
2
д) y  x 2  2 x  2 ;
е) y  4 x 2  8 x  12 .
1.8 Зная график функции y  x 3 , построить графики следующих
функций:
3
3
б) y  x 3  1 ;
в) y  2  x  1  2 .
а) y    x  2  ;
1.9 Построить графики следующих функций:
для
x0
для
x0
а) y  2  x ;
 2,
б) y  
 2,
 x,
в) y  
5,
  2 x  2,

г) y    1  x 2 ,
 2 x  2,

 x,

д) y  3,
 x2 ,

если
x2
если
x2
x  2
2 x2
;
 x 2  2 x  4,
е) y  
0,
;
x2
1.10 Построить графики функций:
а) y  3sin  2 x  4  ;
б) y  2cos3x .
8
;
x  1
1  x 1
x 1
x 1
x 1
;
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.2 Множества и операции над ними
Понятие множества является базисным первоначальным понятием
математики, которое не определяется формально – логически. Его можно лишь
описать с помощью синонимов.
Под множеством понимают совокупность объектов любой природы,
объединенных некоторым общим свойством.
Объекты множества называют элементами множества и обозначают
малыми буквами латинского алфавита: a,b,c,…,x,y,z. Множества обозначают
большими буквами: А,В,С,…,Х,У,Z.
Если элемент х принадлежит множеству Х, то записывают x  X .
Множество, содержащее конечное число элементов, называется
конечным, а множество, содержащее бесконечное число элементов называется
бесконечным.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым
и обозначается ø.
Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних
и тех же элементов.
Множество В называется подмножеством или частью множества А,
если каждый элемент множества В принадлежит и множеству А. Записывают
В  А.
Два множества А и В называются эквивалентными (А~В), если
между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, то
есть каждому элементу множества А можно поставить в соответствие один и
только один элемент множества В так, что каждый элемент из множества В при
этом окажется соответствующим одному и только одному элементу из
множества А.
Объединением множества А и В называется множество, состоящее из
элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В.
Обозначение: А  В . (Рисунок 1.2)
Пересечением двух множеств А и В называется множество,
содержащее те и только те элементы, которые принадлежат обоим множествам
А и В.
Обозначение: А  В . (Рисунок 1.3)
A
A
B
B
A B
A B
Рисунок 1.2
Рисунок 1.3
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разностью множеств А и В называется множество тех элементов
множества А, которые не принадлежат множеству В.
Обозначение: А \ В . (Рисунок 1.4)
Если В  А , то А \ В называется дополнением множества В в
множестве А.
A
A
B
B
A\ B
A\ B
Рисунок 1.4
Решение типовых примеров
1.11 Даны множества:
B  1; 2; 3; 5; 7
C  1; 2; 3; 4; 6
A  2;1;1; 3; 4; 6
D  1; 2; 5
Найти А  В ; А  В ; А  С ; А  С ; A  D ; A  D . Указать равные множества и
какие из них являются подмножествами.
Решение
А  В  2;1;1;3; 4;6  1; 2;3;5;7  2;1;1;3; 4;5;6;7 ;
А  В  1; 2;3 ; А  С  2;1;1;3; 4;6  1; 2;3; 4;6  2;1;1;3; 4;6 ;
А  С 1; 2;3; 4;6 ; A  2;1;1; 3; 4; 6 A  D  2;1;1; 3; 4; 6 1; 2; 5  2;1;1; 3; 4; 5; 6;
A  D  1; 2 ; A  C; D  B.
1.12 С помощью диаграмм показать справедливость следующих
утверждений:
б)  A  C  \ В   А \ В    С \ В 
а) X  Y  Z    X  Y    X  Z 
г)  A \ В  \ С   А \ С  \ В
в)  A \ В   С   А \ С  \ В
1.13 Задать перечислением всех элементов множества, определенные
с помощью следующих характеристических свойств:
а) А   х  N x  5
б) В   х  N x  0


в) C  х  Z x  2
1.14 Даны множества:
Найти А  В ; А  В ; А \ В ; В \ А .

x  3x 2  1  0 ; x  0
A  2; 3; 4; 5 , B  3; 4; 5; 6
г) D  x  Z
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.15 Пусть А  2 n ; В  2 n  1 .
Найти А  В ; А  В ; А \ В ; В \ А .
1.16 Определить множества А  В ; А  В ; А \ В ; В \ А , если:
а) А   х  R 0  x  2 , В   x  R 1  x  3 ;




б) А  х  R x 2  3 x  0 , В  x  R x 2  4 x  3  0 ;




в) А  х  R x  1  2 , В  x  R x  1  x  2  3 .
1.17 Найти А  В ; А  В ; А \ В ; В \ А ,
если A  x  R x 2  x  20  0 и В  x  R x 2  7 x  12  0 .




1.18 Даны множества А   1;2  , В  1;4  .
Найти А  В ; А  В ; А \ В ; В \ А .
1.19 Составить множество В всех подмножеств множества А  1; 2 .
1.20 Анкетирование, проведенное среди 57 студентов, показало, что в
шахматы могут играть 35 человек, в шашки – 40, причем в обе игры умеют
играть 21 человек. Сколько человек не умеют играть ни в шахматы, ни в
шашки.
1.3 Элементы математической логики
Математическая логика – разновидность формальной логики, то есть
науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального
строения.
Высказыванием называется предложение, к которому возможно
применить понятия истинно или ложно.
В математической логике не рассматривается сам смысл
высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято
обозначать соответственно И или Л.
Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют
соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно
составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами «и»,
«или».
Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с
помощью некоторого математического аппарата.
Вводятся
следующие
логические
операции
(связки)
над
высказываниями
1) Отрицание Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое
истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обозначается ¬Р или Р .
Соответствие между высказываниями определяется
истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:
Р
И
Л
таблицами
¬Р
Л
И
2) Конъюнкция Конъюнкцией двух высказываний Р и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.
Обозначается Р&Q или Р  Q.
Р
И
И
Л
Л
Q
И
Л
И
Л
Р&Q
И
Л
Л
Л
3) Дизъюнкция Дизъюнкцией двух высказываний Р и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Обозначается Р  Q.
Р
И
И
Л
Л
Q
И
Л
И
Л
РQ
И
И
И
Л
4) Импликация Импликацией двух высказываний Р и Q называется
высказывание, ложное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q
– ложно .
Обозначается Р  Q (или Р  Q ). Высказывание Р называется посылкой
импликации, а высказывание Q – следствием.
Р
И
И
Л
Л
Q
И
Л
И
Л
РQ
И
Л
И
И
5) Эквиваленция Эквиваленцией двух высказываний Р и Q называется
высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний
совпадают.
Обозначается Р~Q или Р  Q.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Р
И
И
Л
Л
Q
И
Л
И
Л
Р~Q
И
Л
Л
И
С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять
таблицы истинности сложных формул.
Решение типовых примеров
1.21 С помощью таблиц истинности проверить, являются ли
эквивалентными формулы  и ψ.
  p   p  r
  ppr
Составим таблицы истинности для каждой формулы:
р
И
И
Л
Л
p
И
И
Л
Л
r
И
Л
И
Л
r
И
Л
И
Л
p
Л
Л
И
И
p
 p  r
p   p  r
Л
Л
И
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
r
Л
И
Л
И
pr
ppr
Л
И
И
И
И
И
И
И
Данные формулы не являются эквивалентными.
1.22 Укажите, какие из следующих предложений
высказываниями и определите, истины они или ложны:
1. Москва – столица России.
2. Студент физико-математического факультета.
3. 3  2 7  28 .
4. Луна есть спутник Марса.
5. а  0 .
3
6. Всегда  x  y   x3  3x 2 y  3xy 2  y 3 .
7. «А.С. Пушкин родился в 1799 году».
13
являются
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.23 Даны два высказывания а: (Роберт О. Нир – математик)
и b: (Роберт О. Нир имеет собаку). Сформулируйте следующие выражения:
4. à  b .
3. à  b .
1. à  b .
2. à  b .
1.24 Среди следующих сложных высказываний выделите конъюнкции и дизъюнкции и определите, ложны они или истины:
2
1. 72  49 и  7   49 .
2. «Чтобы любые углы были смежными, достаточно, чтобы они имели общую
сторону».
9 27
3. Последовательность чисел 2, 3, ,
является арифметической или
2 4
геометрической прогрессией.
1.25 Пусть а – высказывание «Студент Иванов изучает английский
язык», b – высказывание «Студент Иванов успевает по математической
логике». Дать словесную формулировку высказываний:
2. à  b
1. à  b
3. b  b
1.26 Найдите логические значения х и у, при которых выполняются
равенства:
1. 1  х   у  0
2. х  у  х
1.27 С помощью таблиц истинности проверить являются ли
эквивалентными формулы φ и ψ
   р  q  r
   р  q  q  p  r
1.28 Составить таблицы истинности для составных высказываний
3. X  Y  Z
2.  p  Q   M  P
1. X  Y  X  Y


 


4. X  Y  Z  X






5. X  Y   Z  Y 
1.29 Пусть высказывания А, В, С
обозначают контакты
электрической цепи в смысле замкнутости их (и) или разомкнутости (л).
Записать формулу, соответствующую схеме:
B
а)
A
C
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A
B
A
C
б)
1.4 Предел функции
а) Числовая последовательность и ее предел
Определение Если каждому числу n из натурального ряда чисел
1, 2,3,..., n,... поставлено в соответствие действительное число un , то множество
действительных чисел u1 , u2 , u3 ,..., un ,... называется числовой последовательностью и обозначается u n  .
Числа u1 , u2 , u3 ,..., un ,... называются элементами последовательности.
un – общий член последовательности.
Последовательность считается заданной, если указан способ
получения ее общего члена.
Последовательность изображается на числовой прямой в виде
последовательности точек, координаты которых равны соответствующим
элементам.
Последовательность u n  называется ограниченной сверху (снизу),
если существует такое число М, что для любого ее элемента un выполняется
неравенство
un  M
un  M  .
Последовательность u n  называется ограниченной, если она
ограничена сверху и снизу.
Определение Число а называется пределом числовой последовательности u n  , если для любого положительного числа  существует такой номер
N, что для n  N выполняется неравенство
un  a   .
Символическая запись lim un  a .
n
Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся.
Неравенство u n  a   равносильно неравенству a    un  a   ,
которое означает, что все элементы последовательности u n  , номера которых
n  N , находятся в  – окрестности точки а .
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Последовательность u n  называется возрастающей, если un  un1 для
всех n; неубывающей, если un  un1 для всех n; убывающей, если un  un1
для всех n; невозрастающей, если un  un1 для всех n.
Теорема 1 Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Теорема 2 Сходящаяся последовательность ограничена.
Теорема 3 Алгебраическая сумма, произведение двух сходящихся
последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой
равен соответственно алгебраической сумме, произведению пределов этих
последовательностей:
lim  un  vn   lim un  lim vn ;
n 
n 
n 
lim un  vn  lim un  lim vn .
n
vn 
n
n
Теорема 4 Частное двух сходящихся последовательностей u n  и
при условии, что lim vn  0 , есть сходящаяся последовательность, предел
n
которой равен частному пределов этих последовательностей:
lim un
u
lim n  n .
n v
lim vn
n
n
Теорема 5 Монотонная ограниченная последовательность имеет
предел.
Решение типовых примеров
1.30 Доказать, что последовательность
n   имеет пределом число
n
1 2 3
, , ,...,
,... при
3 5 7
2n  1
1
.
2
Решение
Пусть  – произвольное положительное число. Требуется доказать,
что существует такое число N  N    , что при n  N выполняется неравенство
un 
1
.
2
Найдем
n
1
1
1
 

.
2n  1 2
2  2n  1 2  2n  1
Таким
образом,
неравенство
un 
1
1 1
  , откуда 2  2 n  1   1 или n   .
2  2n  1
4 2
16
1

2
выполняется,
если
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В качестве числа N можно взять целую часть числа
1 1
 .
4 2
1
1
1
1
, тогда n 
  19 .
1 2
40
2
4
40
Следовательно, начиная с номера n  20 , будет выполняться
n
1
1
n
1
1
 .
, что означает lim
неравенство un    , то есть,
 
n 2n  1
2
2
2n  1 2 40
Зададим  
1
1
1
1.31 Функция un принимает значения u1  1, u2  , u3  ,..., un  2 ,...
4
9
n
Найти lim un . Каково должно быть n для того, чтобы разность между un и ее
n
пределом была меньше заданного положительного числа   103 ?
n 1
стремится к единице при неограниченном
n 1
возрастании n. Начиная с какого n абсолютная величина разности между un и
единицей не превосходит 10-4 ?
1.32 Доказать, что un 
1
5
7
17
1.33 Общий член un последовательности u1  , u2  , u3  , u4  ,...
2
4
8
16
n
n
2 1
2 1
имеет вид
, если n – нечетное, и
, если n – четное число. Найти
n
2
2n
lim un . Каково должно быть n, для того чтобы разность между un и ее пределом
n
по абсолютной величине не превзошла 10-4 , данного положительного числа  ?
что
1.34 Пользуясь определением предела последовательности, доказать,
lim un  a .
Указать номер, начиная с которого, все члены
n
последовательности u n  находятся в  – окрестности точки а, если:
6n  7
, a  3,   0,001 ;
а) un 
11  2n
3n 2  2
3
б) un  2
, a  ,   10 4 .
5n  4
5
1.35 Найти lim un , если:
n
n
;
n 1
2  4  6  ...  2n
б) un 
;
n2
а) un 
2
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в) un 
 n  3 !
;
2  n  1!  n  2 !


г) un  n  3 n3  n 2 .
б) Предел функции
Пусть функция y  f  x  определена на некотором множестве Х и
пусть x0  X или x0  X . Возьмем из множества Х последовательность
x1 , x2 ,..., xn ,..., элементы которой отличны от x0  xn  x0  , сходящуюся к х0 .
Последовательность функции f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  ,... тоже образуют числовую
последовательность.
Определение 1 Число А называется пределом функции y  f  x  в
точке x  x0 (или при x  x0 ), если для любой
сходящейся к х0
последовательности  xn  значений аргумента х, отличных от х0,
соответствующая последовательность
числу А.
Записывают lim f  x   A .
 f  x 
n
значений функции сходится к
x  x0
Функция y  f  x  в точке х0 может иметь только один предел.
Определение 2 Число А называется пределом функции y  f  x 
при x  x0 (или в точке х0), если для любого числа   0 существует число
     0 такое, что при x  x0   выполняется неравенство f  x   A   .
Записывают
lim f  x   A .
x  x0
Если число А1 есть предел функции y  f  x  при х стремящемся к х0
так, что х принимает только значения, меньшие х0 , то число А1 называется
левым пределом функции f  x  в точке х0 .
Записывают
lim f  x   A1 или f  x0  0   A1 .
x  x0 0
Аналогично определяется правый предел функции y  f  x  при х
стремящемся к х0 , при x>х0 :
Записывают lim f  x   A2 или f  x0  0   A2 .
x  x0  0
Если левый и правый пределы функции y  f  x  существуют и
равны, то есть А1 = А2 = А, то число А есть предел этой функции в точке х0 , то
есть, если
lim f  x   lim f  x   A , то lim f  x   A .
x  x0 0
x  x0  0
x  x0
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 3 Число А называется пределом функции y  f  x  при
x   , если для любого   0 можно указать такое число M  0 , что для всех
значений х, удовлетворяющих неравенству x  M , выполняется неравенство
f  x  A   .
Основные теоремы о пределах
Теорема
1
Если
lim f  x   A
x  x0
 x 
lim   x   В ,
x  x0
 x 
то
функции
f  x
имеют в точке х0 пределы равные
 x
А
А В и
соответственно A  В;
 В  0 .
В
n


n
Теорема 2 lim  f  x     lim f  x   .
x  x0
x0
 xx

 x 



Теорема 3 lim C  C .
f  x    x ,
f  x   x
и
x  x0
 x 
Теорема 4
lim C f  x   C lim f  x  .
x  x0
 x 
x  x0
 x 
Теорема 5 Пусть функция f  x  – имеет предел в данной точке х0 .
Тогда она ограничена в некоторой окрестности точки х0.
Теорема 6 Если функции f  x  ,   x  и q  x  определены в некоторой
окрестности точки х0, за исключением может быть, самой точки х0, и для всех
x  x0 из этой окрестности выполняется неравенство f  x   q  x     x  . Пусть,
кроме того lim f  x   lim   x   A . Тогда lim q  x   A .
x  x0
 x 
x  x0
x  x0
 x 
 x 
1.5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 1 Функции f  x  называется бесконечно малой в точке
x  x0 (или при x  x0 ), если lim f  x   0.
x  x0
 x 
Определение 2 Функции f  x  называется бесконечно малой в точке
x  x0 , если для любого   0 существует такое число      0 , что для всех
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x  x0 , удовлетворяющих неравенству
x  x0   , выполняется неравенство
f  x   .
Теорема Алгебраическая сумма и произведение конечного числа
бесконечно малых функций при x  x0 , а также произведение бесконечно
малой функции на ограниченную функцию, являются бесконечно малыми
функциями при x  x0 .
Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой.
Для того, чтобы функция y  f  x  при x  x0 имела пределом число
А, необходимо и достаточно, чтобы функция   x   f  x   A была бесконечно
малой при x  x0 .
Деление одной бесконечно малой функции на другую может привести
к различным результатам.
Пусть lim   x   0, lim   x   0.
x  x0
x  x0
 x 
 x
 0,
x  x0   x 
 x 
1) Если lim
 x 
то   x  – бесконечно малая более высокого порядка,
чем   x  .
2) Если
порядка.
 x
 A  0,
x  x0   x 
 x  
lim
 x
 1,
x  x0   x 
 x  
3) Если lim
то   x  и   x  – бесконечно малые одного
то   x  и   x  – эквивалентные бесконечно малые:
 x ~  x .
Важнейшие эквивалентности
1) sin x ~ x ;
6) e x  1 ~ x ;
2) tg x ~ x ;
7) a x  1~ x ;
3) arcsin x ~ x ;
8) ln 1  x  ~ x ;
4) arctg x ~ x ;
9) log a 1  x  ~ x log a e ;
10) 1  x   1 ~ kx ;
k
5) 1  cos x ~
4) Если
2
x
;
2
 x
 A  0,
x  x0  n  x 
 x 
lim
x
(в частности 1  x  1 ~ ).
2
то
  x  – бесконечно малая n-го порядка
относительно   x  .
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение Функция y  f  x  называется бесконечно большой в
точке x  x0 (или при x  x0 ), если для любого   0 существует такое число
     0 , что для всех х, удовлетворяющих неравенству, x  x0   ,
выполняется неравенство f  x    . В этом случае записывают lim f  x    .
x  x0
Аналогично определяется бесконечно большая функция при x   .
Теорема о связи между бесконечно малой и бесконечно большой
функциями.
Функция, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой.
Функция обратная бесконечно большой, является бесконечно малой.
1.6 Замечательные пределы
Первый замечательный предел
sin x
x
lim
lim
 1;
 1.
x 0
x 0 sin x
x
Второй замечательный предел
x
n
1
1
 1


lim  1    e;
lim 1  x  x  e ;
lim  1    e .
n 
x 
x 0
x

 n
1.7
Вычисление пределов
При вычислении предела функции y  f  x  приходится сталкиваться
с двумя существенно различными типами примеров.
1. Функция f  x  является элементарной и предельное значение аргумента
функции принадлежит её области определения, тогда вычисление предела
функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента, так
как предел элементарной функции f  x  при x  x0 , где x0 входит в область её
определения, равен частному значению функции при x  x0 , то есть
lim f  x   f  x0  .
x  x0
2. Функция f  x  в точке x  x0 не определена, или же вычисляется предел
функции f  x  при x   .
Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального
подхода. В одних случаях вопрос сводится непосредственно к применению
теорем о пределах, свойствах бесконечно малых и бесконечно больших
функций и связи между ними.
Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда
при x   представляет собой
функция f  x  в точке x  x0 или
0


неопределённость типа « »; « »; « 0   »; «    »; « 1 »; « 00 »; «  0 ».
0

21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение типовых примеров
Вычислить пределы:
x2  x  2
1.36 lim
.
x2
x2  1
Решение
Так как lim  x 2  1  5  0 , то применим теорему о пределе частного
x 2
x  x2 422 4

 .
x2
x2  1
4 1
5
2
x  5x  3
lim
.
1.37
2
x 1 loq
x

1
2
2
lim


Решение
7
x  5 x  3  1  5   1  3
lim


 7
2
2
x 1 loq
2
loq



1
x
 loq2  1  1
2
2
2
2
 
 


lim sin   2 x   cos  2 x    .
6 
x 
6


4
Решение
 
 


 
 
 
 
lim sin   2 x   cos  2 x     sin     cos      sin     cos    
6 
x 
6


6 2
2 6
2 6
2 6
4
1.38
3
 
 1 3
.
  cos    sin   

6 
6 2 2
4
1.39
lim
x2
x2  5x  6
.
x 2  3x  2
Решение
x  5x  6
в точке x  2 не определена. Так как при x  2
x 2  3x  2
числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, то имеем неопределенность
0
вида « ». Преобразуем дробь так, чтобы ее можно было бы сократить на
0
x  2 . Для этого разложим числитель и знаменатель на множители:
2
x 2  5 x  6   x  2  x  3 , так как x  5x  6  0 при x1  2, x2  3 .
2
Функция
2
x 2  3 x  2   x  2  x  1 , так как x  3x  2  0 при x1  2, x2  1 .
Итак, имеем
 x  2  x  3  lim x  3  2  3  1 .
x2  5x  6
lim 2
 lim
x2 x  3 x  2
x  2  x  2  x  1
x2 x  1
2 1
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3 x  6
.
x3
x 3
1.40 lim
Решение
При x  3 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль,
0
следовательно, имеем неопределенность « ». Преобразуем дробь так, чтобы
0
ее можно было сократить на x  3 . Для этого числитель и знаменатель умножим
на выражение, сопряженное иррациональному выражению 3  x  6 , то есть
на выражение 3  x  6 , получим



3 x  6 3 x  6
3 x  6
 lim
 {перемножив сопряженные
x 3
x 3
x3
 x  3 3  x  6
lim


выражения, избавимся от иррациональности в числителе} =
9   x  6
3 x
 lim
 lim

x 3
x 3
 x  3 3  x  6
 x  3 3  x  6

  lim
x 3

x 3
 x  3  3 
x6
1.41 lim
x 2

lim
x 2
 lim
x 2
x6 2
x
2
 4





1
1
1

 .
33
6
3 3 6
x6 2
.
x2  4
Решение
x6 2
x6 2

  lim
x2
 x  2  x  2  
1.42

lim
x 1
x6 2
x 2


x
4
x64
2

 4

1
42
x6 2



 lim
x 2
x
2
 4
x2

x6 2
1
1
 .
4  2  2
16
x 1  2
.
x32
Решение
 x  1  2  x  1  2  x  3  2 
 x  3  2 x  3  2 x  1  2 
 x  1  2  x  3  2
 x  1  x  3  2 
x3 2
 lim
 lim
 lim

x

1

2
 x  3  4  x  1  2 
 x  1  x  1  2 
x 1  2
lim
 lim
x 1
x  3  2 x1
x 1

x 1
x 1
1 3  2
22
4
2



 2.
11  2
2 2 2 2
2
23


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 x3  1
1.43 lim 2
.
x  3 x  2 x  1
Решение
lim  2 x  1  ; lim  3 x 2  2 x  1  
3
x 
x 

». Разделим числитель

и знаменатель дроби почленно на старшую степень дроби, то есть на х3 ,
получим
1
2 3
3
2x  1
x
 lim
.
lim 2
x  3 x  2 x  1
x  3
2 1
 
x x 2 x3
Предел знаменателя равен нулю, следовательно, в знаменателе бесконечно
малая функция. Далее применили теорему о связи между бесконечно малой и
бесконечно большой величинами.
Следовательно, имеет место неопределенность вида «
1.44
lim
x 


x2  1  x2  1 .
Решение
В заданном примере имеем неопределенность вида «    ». Умножим
и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное ему
выражение, то есть на x 2  1  x 2  1 , получим
lim
x 

 lim
x 

x  1   lim
x 1 
2
2
x2  1  x2  1
x 

 lim
x 

x2  1  x2  1
x2  1  x2  1
x 
x 2  1   x 2  1
Так как lim
x2  1  x2  1
2
x2  1  x2  1

 0.

x 2  1  x 2  1   , значит в знаменателе бесконечно большая
функция. Далее применим теорему о связи между бесконечно большой и
бесконечно малой величинами.
2 
 1

1.45 lim 
.
x 3 3  x
9  x2 

Решение
Имеем неопределенность вида «    ». Приведем дроби, стоящие
под знаком предела, к общему знаменателю, получим:
2 
3 x 2
1 x
 1

 lim
 lim
 .
lim 

2
2
x 3 3  x
x 3 9  x 2
9  x  x3 9  x

24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
sin 5 x
.
x 0
x
1.46 lim
Решение
Для вычисления этого предела воспользуемся первым замечательным
пределом
sin х
1
х 0
х
sin 5 x
5sin 5 x
sin 5 x
lim
 lim
 5lim
 5 1  5 .
x 0
x 0
x 0 5 x
5x
x
lim
1  cos 4 x
.
x 0
x2
1.47 lim
Решение
1  cos 4 x
2sin 2 x
sin 2 x  sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
lim
 lim
 2lim
 2lim
 lim

2
2
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x
x
xx
x
x
2
2
2
2
sin 2 x 
2sin 2 x 
sin 2 x 



 2  lim
 2  lim
 8  lim


  8 1  8
x 0
x 0
x 0
x
2
x
2
x






2x
1.48
 3
lim  1   .
x 
x

Решение
В данном примере имеем неопределенность вида « 1 ». Для его
вычисления используем второй замечательный предел
x
 1
lim  1    e .
x 
x

2x
 3
 3
lim 1    lim 1  
x 
x 
x
x


x 3
 2 x
3 x
6
6
x
x

 

3
3
3
3




 lim 1      lim 1     e6 .
x  
x    x 
x 


 

sin 3 x
.
x  0 tg 4 x
1.49 lim
Решение
sin 3 x
sin 3 x  cos 4 x
sin 3 x
3x
3
3
lim
 lim
 lim
 lim cos 4 x  lim  cos 0   1  .
x  0 tg 4 x
x 0
x 0 sin 4 x x 0
x 0 4 x
sin 4 x
4
4
При вычислении этого предела воспользовались эквивалентностью бесконечно
малых sin x ~ x при x  0 . Следовательно, sin 3 x ~ 3 x и sin 4 x ~ 4 x при
x  0 . Затем бесконечно малые функции в числителе и в знаменателе
заменили эквивалентными им функциями.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1.50 lim 1  5 x  x .
2
x 0
Решение
Имеем неопределенность вида « 1 ». Для вычисления предела
используем второй замечательный предел
1
lim 1  x  x  e .
x 0
Итак,
lim 1  5 x 
x 0
1
2
x
1
 lim 1  5 x  x  1  5 x  
2
x 0
5
1
 

 lim 1  5 x 
 1   lim 1  5 x  5 x   e 5 .
x 0
 x 0

Вычислить односторонние пределы :
4
1.51 lim
.
3
x20
 x  2
Решение
3
Пусть x  2 , тогда при x  2  0 функции x  2 и  x  2  являются
4
– отрицательная
отрицательными бесконечно малыми, поэтому
3
x

2


бесконечно большая функция.
Следовательно,
4
lim
  .
3
x20
 x  2

1
 5 
5x
При x  2 функции x  2 и  x  2  – положительные бесконечно
4
– положительная бесконечно большая функция.
малые, поэтому
3
x

2


Следовательно,
4
lim
  .
3
x20
 x  2
1
1.52 lim
.
1
x 1 0
1  2 x1
3
Решение
При x  1  0 функция x  1 – отрицательная бесконечно малая,
1
следовательно
– отрицательная бесконечно большая функция.
x 1
Тогда 2
1
x1
– бесконечно малая функция.
Следовательно,
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
lim
x 10
1
1
x 1
 1.
1 2
При x  1  0 функция x  1 – положительная бесконечно малая,
1
следовательно,
– положительная бесконечно большая функция. Тогда
x 1
2
1
x1
– бесконечно большая положительная функция. Таким образом
1
lim
 0.
1
x 1 0
1  2 x1
Найти пределы:
x2  5
1.53 lim 3
.
x2 x  3
 x3  3x  1 
1.54 lim 
 1 .
x 0
4

x


x2  5x  6
.
1.55 lim 2
x2
x  2x
x2  2 x  1
1.56 lim
.
x 1
x3  x
x3  x 2  x  1
.
1.57 lim 3
x 1 x  x 2  x  1
x 2  7 x  10
1.58 lim 2
.
x  2 x  8 x  12
2 x2  5x  3
.
1.59 lim 2
x 3 3 x  8 x  3
8 x3  1
1.60 lim1 2
.
x 6 x  5 x  1
1  x2  1
.
1.61 lim
x 0
x2
1.62 lim
1 x 1
.
x2
1.64 lim
1.63 lim
x 0
x2  1  1
1.65 lim
x  16  4
x 0
2
2
x 1  2
.
x5
x5
x4
.
x 4 3  5  x
.
x2  x
1.66 lim
.
x 1
x 1
x
.
1 x  3 1 x
1  x2  1
1.67 lim
.
x 0
x2
1.68 lim 3
5 x 2
.
1.69 lim
x 3
x3
cos x  sin x
.
1.71 lim

cos 2 x
x
1  x  x2  7 x  2 x  x2
1.70 lim
.
x 2
x2  2x
3
3
4
x3  5 x  2
.
1.73 lim
x 
x  1010
x 0
2x2  x
1.72 lim 2
.
x  x  10
1.74 lim
x 
27
4
x 1
.
x 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2x  3
.
x  x  3 x
4
x3  2 x  1  2 x
1.75 lim
1.76 lim
2 x3  3x 2  5 x  6
.
1.77 lim
x  3 x 2  7 x  x 3  1
sin x
1.79 lim
.
x 0 sin  x
1  cos x
1.81 lim
.
x 0
x2
sin 2 x
.
x 0
x
tgkx
.
1.80 lim
x 0
x
1  cos3 x
1.82 lim
.
x 0 x sin 2 x
1.83 lim
x 0
x 
1  sin x  1  sin x
.
tgx
sin 3x
.
x  sin 2 x
1.85 lim
sin x  sin a
.
x a
xa
1.87 lim
arctg x
,
x 0
x
указание: Положить arctgx   .
1.89 lim
n
n 3
указание: Положить arcsin 1  2x    .
 1
1.96 lim 1  
x 
 x
x
 x 1 
1.98 lim 

x  x  2


 2x  3 
1.99 lim 

x  2 x  4


4 x2
 3x  4 
1.101 lim 

x  3 x  2


x 1
3
ctgx
x 1
x
mx
 x 1
1.97 lim 
 .
x  x  1


x 
2
x 0
x 

x4 2
.
x 0
sin 5 x
x
cos
2.
1.86 lim
x  x  


sin  x  
6
1.88 lim 
.

3
x
6
 cos x
2
arc sin 1  2 x 
1.90 lim1
,
4 x2  1
x
1.84 lim
1.94 lim 1  tgx 
.
2 x 1
.
x 2 1
.
.
 3x  2 
1.102 lim 

x  3 x  1



1.104 lim x
x
28

.
.
 x2  2 
1.100 lim  2

x  x  5


xa  x .
.
1.78 lim
1 

1.92 lim 1   .
n 
 3n 
1.95 lim 1  kx  .
1.103 lim
x6  3x  2
n
 5
1.91 lim  1   .
n 
 n
 4
1.93 lim 1  
n
 n
3
.
2 x 3
.

x2  1  x .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.105 lim
x 

3
 x  1
2
 3  x  1
2
.


1.106 lim x  x 2  a 2 .
x
2 
 1
 2 .
1.107 lim 
x 1 x  1
x 1

 1
2 
1.108 lim 

.
x 0 sin x
tgx


1.109 lim  x  ln  x  a   ln x   .
x 
 x3

1.110 lim  2
 x.
x  x  1


Применение бесконечно малых для вычисления пределов
Найти пределы:
3 x  sin 2 x
.
x 0 sin 2 x  x 3
sin 5 x
.
x 0 sin 2 x
1.112 lim
ln 1  3 x 
.
x 0
sin 4 x
1.114 lim
1.115 lim
1  cos mx
.
x 0
x2
1.116 lim
7
arctg x
1.117 lim 2 x 4 .
x0 e
1
1.118 lim
1.111 lim
1.113 lim
x 0
sin 3x
.
x4  x2  x
cos 4 x  cos 2 x
.
x 0
arcsin 2 3x
sin ax  x 2
.
x0
tgвx
1.119 Найти левый и правый пределы функций
1
а) f  x    
3
в) f  x   e
1
x 1
1
xa
при x  1 .
при x  a .
б) f  x  
x2
1
е) f  x  
1
x
ï ðè
õ  1.
1
x
1 x
1 2
1 e
1) ï ðè õ  0;
2)ï ðè õ  1;
3)ï ðè õ  1.
ж) f  x  
1
x 3
при x  3 .
1
1
г) f  x   ar ctg
x
1 x
1) ï ðè õ  0;
2)ï ðè
д) f  x  
1
ln 1  e x 
x
õ0.
29
1) ï ðè
õ  0;
2)ï ðè
õ  1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.8 Непрерывность функции
а) Определение непрерывности функции в точке
Определение 1 Функция f  x  называется непрерывной в точке х0 ,
если предел функции и ее значение в этой точке равны, то есть
lim f  x   f  x0 
 
x  x0
или lim f  x   f lim x , так как lim x  x0 .
x  x0
x  x0
x  x0
Таким образом, для непрерывной функции можно менять знак
функции и знак предела.
Из определения непрерывности функции f  x  в точке х0 следует
lim f  x   lim f  x   f  x0 
x  x0  0
x  x0  0
или
f  x0  0   f  x0  0   f  x0 
Определение 2
(на языке «    »). Функция f  x  называется
непрерывной в точке х0 , если для любого   0 существует   0 такое, что для
всех х, удовлетворяющих неравенству
x  x0  
выполняется неравенство f  x   f  x0    .
Разность x  x0 называется приращением аргумента х в точке х0 и
обозначается x  x  x0 .
Разность f  x   f  x0  называется приращением функции в точке х0 и
обозначается
f  x0   f  x   f  x0  или  y  f  x   f  x0  .
Определение 3 Функция f  x  называется непрерывной в точке х0 ,
если бесконечно малому приращению аргумента x соответствует бесконечно
малое приращение функции в этой точке, то есть lim y  0 .
x 0
Теорема 1 Все основные элементарные функции непрерывны в
каждой точке своей области определения.
Теорема 2 Если f  x  и   x  – непрерывные функции в точке х0 ,
f  x
также непрерывны в точке х0
то функции f  x     x  ; f  x     x  ;
 x 
(последняя при условии, что   x0   0 ).
Теорема 3 Если функция u    x  непрерывна в точке х0 , а функция
f  u  непрерывна в точке u0    x0  , то сложная функция
непрерывна в точке х0 .
30
y  f    x  
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функция f  x  называется непрерывной на
непрерывна в каждой его точке.
 a, b  ,
если она
б) Точки разрыва функции
Определение Точка х0 называется точкой разрыва функции f  x  ,
если эта функция не является непрерывной в точке х0 .
Определение Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого
рода функции f  x  , если в этой точке существуют односторонние пределы.
Разрывы первого рода делятся на два вида: скачки и устранимые разрывы.
Если односторонние пределы функции f  x  в точке х0 существуют,
но не равны, то в точке х0 функция имеет скачок
lim f  x   lim f  x 
x  x0 0
или
x  x0  0
f  x0  0   f  x0  0  .
Если односторонние пределы функции f  x  в точке х0 существуют и
равны между собой, но не равны значению функции в этой точке, то функция
f  x  в точке х0 имеет устранимый разрыв
lim f  x   lim f  x   f  x0 
x  x0  0
или
x  x0  0
f  x 0  0   f  x0  0   f  x0  .
1.120 Пользуясь определением непрерывности функции, доказать, что
функция f  x   5 x 2  6 x  2 непрерывна в произвольной точке х (то есть
lim y  0 ).
x 0
1.121 Доказать, что функция непрерывна для любого значения аргумента х:
а) y  sin x
б) y  tgx .
4
1.122 Показать, что функция y 
непрерывна в точке x0  1 . Найти
x2
значение функции в точке x0  1 .
x
1.123 Показать, что при x  7 функция y 
имеет разрыв.
x7
1
1.124 Показать, что при x  2 функция y  arctg
имеет разрыв.
x2
x 2  16
1.125 Показать, что при x  4 функция y 
имеет разрыв.
x4
1.126 Исследовать функцию на непрерывность и найти точки разрыва.
Построить схематично график этой функции в окрестностях точек
разрыва:
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а) y 
1
.
x3
в) y  e
1
x 1
б) y 
ж) y 
1
x
.
2 1
и) y 
.
2
x3  8
е) y 
.
x2
sin x
.
д) y 
x
2 1
 x  1
1
г) y  arctg .
x
.
1
x
2
x2
x 1.
x2
x 2  25
.
з) y 
x5
к) y 
1
 x  1 x  6 
1
.
л) y 
1  e1 x
1
x 3 .
м) y 
x  x  5
x 3  6 x 2  11x  6
н) y 
.
x 2  3x  2
0) y 
arctg
1
x3
32
1
3 x
.
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тест 1
1. Указать множество чисел по возрастанию количества элементов:
1: множество натуральных чисел;
2: множество целых чисел;
3: множество иррациональных чисел;
4: множество рациональных чисел;
5: множество действительных чисел.
2. Выяснить, какие из функций заданы неявно:
3
2: y  tg x  y   3 x ;
1: y  sin ln x ;
3. x  y  xy .
3. Выяснить, какие из функций являются ограниченными:
cos x
x2
 x2
1: y  e ;
2: y  e ;
3: y  2 ;
4: y  sin x  cos x .
x
4. Выяснить, какие из функций являются нечётными:
x
x  x  1
 sin x ;
1: y 
2: y 
;
3: y  x 3  tgx ;
4: y  x 3tgx .
cos x
sin x
5. Отметить правильный ответ
Функция y = f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (a;b)
называется:
1: непрерывной в точке;
2: непрерывной на концах интервала;
3: непрерывной на всем интервале.
6. Отметить правильный ответ
Функция y= f(x) непрерывна на отрезке [a;b], достигает на этом отрезке
1: наибольшего значения;
2: наибольшего и наименьшего значения;
3: наименьшего значения.
7. Установить соответствие между изображенным промежутком и его
названием.
1.бесконечный интервал
а) 3; 
2.интервал
б)
2;4
3.полуинтервал
в)  ; 
4.отрезок
г)
 4;0
8. Функция y  e x  1 отображает множество  ; 0 на множество…
1:  ; 2  ;
2: 1; 2  ;
3:  0;2  ;
4: 1; 2  .
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. Образом множества (отрезка) [-1;3] при отображении f(x)=x4+1 будет
множество (отрезок) …
1: [1;82] ;
2: [0;81];
3: [1;81];
4: [2;82] ;
5: [0;82].
10. Вопросы 7-8 основаны на следующей информации: G1, G2, G3 - линии,
заданные на плоскости XOY уравнениями
x y
  1 , для G2;
2 2
xy=4 , для G1;
x2+2=y , для G3.
Какие из этих линий пересекают ось OX?
1: только G1 и G2;
4: только G1 и G3;
2: только G3 ;
5: только G2.
3: только G1;
11. Где G1 пересекает G3?
1: в I четверти ;
4: в III четверти;
2: нет точек пересечения ;
5: в IV четверти.
3: во II четверти;
12. Выбрать функцию, наиболее точно соответствующую графику.
1: y=2sin(x-/3);
2: y=2sin(x+/3);
3: y=2cos(x+/3);
4: y=2sin(x+/6);
5: y=2sin(x-/6).
 x 2  1, x  1
13. Функция f  x   
непрерывна на всей числовой оси, если а
ax
x



2
,
1

равно
1: 2;
2: -2;
3: 3;
4: -3.
14. Выражение (AB)CABBC при B=1 равно…
1: 1;
2: С ;
4: АС ;
3: А ;
34
5: АС.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. Отметить номер предела, равного нулю.
7x 1
(2 x  3)(4 x  1)
3x  1
5 x3  3x  1
lim
lim
lim
1:
; 2: lim 2
;
3:
;
4:
.
x 5 x 2  x  3
x
x
x  x  2 x 2  2
x2  3
x2  x
16. Отметить номер предела, равного бесконечности.
7x 1
(2 x  3)(4 x  1)
3x  1
5 x3  3x  1
; 2: lim 2
; 3: lim 2
; 4: lim
.
1: lim
2
x 5 x  x  3
x
x
x  x  2 x  2
x2  3
x2  x
17. Отметить правильный ответ:
1: 5;
2: 6;
3: 0;
4: 2.
3: 2 ;
4: 1.
3: -1;
4: 1.
3: 7 ;
4: 0.
3: 0;
4: ∞.
18. Отметить правильный ответ:
1: -2;
2: ∞ ;
19. Отметить правильный ответ:
1: 0;
2: 2;
20. Отметить правильный ответ:
2 x3
Найти lim 2
x 7
x  49
1: 1 56 ;
2: 1 56 ;
21. Отметить правильный ответ:
6 
 1
Найти lim 
 2

x 3 x  3
x 9

1: 1 3 ;
2: 1 6 ;
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22. Отметить правильный ответ:
Мы говорим о точке разрыва I рода, если выполняются условия:
lim f x   a
1: f a   lim f x  ;
lim f x   
3: lim f x   0
x 0
x a 0
x 0
;
x a  0
f a  0  f a  0
lim f x   f a  0
2: lim f x   f a  0
x a 0
lim f x   f 0
4: lim f x   f a  .
lim f x   
x 0
;
x a  0
f a   f a  0  f a  0
x 0
xa  0
23. Переменная величина  n называется бесконечно малой, если её предел
равен
1: бесконечности;
4: единице.
2: постоянному числу;
3: нулю;
24. Отметить правильный ответ:
1:   x  и   x  эквивалентные бесконечно малые;
2:   x  и   x  равные бесконечно малые;
3:   x  и   x  бесконечно малые одного и того же порядка;
4: бесконечно малая   x  более высокого порядка по сравнению с   x  .
25. Отметить правильный ответ:
1: sin x ~
1
;
x2
3: ln 1  x  ~ 1 ;
2: tgx ~ x ;
36
4: cos x ~
1
.
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ответы к главе 1
7 7


2 Д  у    ;    ;  
1.4 1 Д  у    ;  
2 2


5 Д  у    4;  
3 Д  у    ;3    3; 4    4;   4 Д  у   R
6 Д  у     ;8    8;   7 Д  у    2; 2  8 Д  у     ; 1  1;  
9

 
Д  у   ;  3 
3; 

10 Д  у    ;  

7 9
 2n  1 , n  Z 12 Д  у    ; 
4
5 5
15 x   3;5
16 x  1;3    3;  
11 Д  у  : х 
14 x  1;  

 
 
 
17 x  ;  5   5; 2  2; 5 
5; 

13 Д  у   1; 2 
18 x   ; 2    3;  
19 x   2;0    0;1
20 x   1;3
21 x  1; 4 
22 x   2;  
1.5 а) четная б) общего вида в) четная г) нечетная д) общего вида
е) общего вида ж) четная з) нечетная
1.13 А  1, 2,3, 4,5 ; В  ø; C  2, 1,0,1, 2 ; Д  1,3
1.14 А  В  2,3, 4,5, 6 ; А  В  3, 4,5 ; А \ В  2 ; В \ А  6
1.15 А  В  1, 2,3, 4,... ; А  В  ø ; А \ В  2 n ; В \ А  2 n  1
1.16 а)
А  В   x : 0  x  3 ; А  В   x :1  x  2 ; А \ В   x : 0  x  1 ;
В \ А   x : 2  x  3
б)
А  В   x :    x   ;
В \ А   x   ;0   3;  
А  В   x : 0  x  1 ;
А \ В   x :1  x  3 ;
в) А  В   x :  1  x  3 ; А  В   x : 0  x  3 ; А \ В   x :  1  x  0 ; В \ А 
1.17 А  В  5,3, 4 ; А  В  4 ; А \ В  5 ; В \ А  3
1.18 А  В   1, 4  ; А  В  1, 2 ; А \ В   1,1 ; В \ А   2, 4 
ø
1.19 В  ;1 ;2 ;1, 2 1.20 3 1.27 не равносильны 1.29 а) А   В  С  ;
б)  А  В    А  С 
1.31 n  32
1.32 n  19999
1.33 n  14
1
9
1.53
1.34 а) n  20006 ; б) n  29 1.35 а) 0; б) -1; в)  ; г)
3
5
3
1
3
7
1.54
1.55  1.56 0
1.57 0
1.58
1.59
1.60 6
10
4
2
4
1
1
1
3
1.61
1.62
1.63 
1.64 -6
1.65 4
1.66 3 1.67
1.68
3
2
4
2
1
7
2
1.70
1.71
1.72 2 1.73  1.74 0 1.75 2 1.76 0 1.77 -2
1.69
10
4
2
1
3
3
1

1.78 2 1.79
1.80 k 1.81
1.82
1.83 1
1.84
1.85 
2
4
2
20

37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1.86 
2
1.87 cos  1.88 2 1.89 1
m
6
1

1
1.91 5 1.92 e 3
e
14
7
1.93 e4

2
3
1.97 e
1.98 e
1.99 e
1.100 e 1.101 e
1
1
1.102 e2 1.103 0 1.104
1.105 0 1.106 0 1.107
1.108 0
2
2
3
m2
1.109 a
1.110 0 1.111 2,5 1.112 1,5 1.113
1.114 3 1.115
4
2
2
7
a
1.117 
1.118
1.119 а) f 1  0    f 1  0   0
1.116 
3
8
в
1
f 3  0  0
б) f  3  0  
3
1.123 x  7  точка разрыва второго рода
1.124 x  2  точка разрыва первого рода
1.125 x  4  точка «устранимого» разрыва
1.126 а) x  3  точка разрыва второго рода б) x  1  точка разрыва
в) x  1  точка разрыва второго рода г) x  0  точка
второго рода
разрыва первого рода д) x  0  точка «устранимого» разрыва е) x  2 
точка «устранимого» разрыва
ж) x  0  точка разрыва первого рода
з) x  5  точка «устранимого» разрыва и) x  2  точка разрыва первого
рода к) x  1, x  6  точки разрыва второго рода л) x  1  точка разрыва
второго рода
м) x  3  точка разрыва первого рода, x  0  точка
«устранимого» разрыва,
x  5  точка разрыва второго рода,

x   n  n  Z   точка разрыва второго рода н) x  1, x  2  устранимого
2
разрыва о) x  3  точка разрыва первого рода
1.94 e
1.95 e
1
1.90 
2
1.96 1
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 2 Производная и дифференциал
2.1 Производная функции
Определение Производной функции f  x  в точке x называется
предел отношения приращения функции  f  x  в этой точке к приращению
аргумента  x , при условии, что  x  0 .
Обозначение производной функции y  f  x 
df  x 
dy
,
.
f   x  , y ,
dx
dx
По определению:
 f  x
f  x   x  f  x
f   x   lim
 lim
x0
x 0
x
x
или
y
y  lim
.
x 0  x
Механический смысл производной
Пусть S  f  t  описывает закон движения материальной точки
M  x , y  по прямой.
 S t 
f t   t   f t 
 lim
определяет мгновенную
 t 0
 t 0
t
t
скорость точки М в момент времени t .
Таким образом, производная от пути по времени есть мгновенная
скорость материальной точки в момент времени t
 S t 
vмгн  v  t   lim
.
t 0
t
Геометрический смысл производной
Производная функции y  f  x  в точке x есть угловой коэффициент
касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x (рисунок 2.1).
lim
Тогда
y
f
x
y
M

0
x
x
f   x   tg 
Уравнение касательной к графику
y  f  x  в точке x0 имеет вид
y  y0  f   x0  x  x0 
Уравнение
нормали
к
графику
функции y  f  x  в точке x0 имеет
1
вид y  y0  
 x  x0  .
f   x0 
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Операцию нахождения производной называют дифференцированием.
Основные правила и формулы дифференцирования
1.
 u  v  w   u  v  w .
2.
 uv   uv  vu .
3.
 cu   cu .
4.
5.
 u  uv  vu
.
  
v2
v
cv
 c 
   2 .
v
v
6.
Если y  f  u  , где u  u  x  , то yx  yu  ux или yx  f u  u   ux  x  .
7.
c  0, c  const .
8.
x  1 .
9.
 u   au
10.
 u   n uu
11.
 a   a
12.
 e   e
13.
 ln u  
14.
 log a u  
15.
 sin u   cos u  u;
a
a 1
n
n 1
n
u
u
u
u
 x   ax
 u;
a
u
;
u
.
 u   2uu ;
;
 a   a
 ln a  u;
 u;
a 1
x
x
 x   2 1 x .
 ln a .
 e   e .
x
x
 ln x  
1
.
x
u
log a e;
u
 log a x  
1
log a e .
x
 sin x   cos x .
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.
 cos u    sin u  u;
17.
 tg u  
18.
 ctg u   
19.
 arcsin u  
20.
 arccos u   
21.
 arc tg u  
22.
 arcctg u   
u
;
cos 2 u
 cos x    sin x .
 tg x  
u
;
sin 2 u
u
1  u2
1
.
cos 2 x
 ctg x   
 arcsin x  
;
u
1  u2
u
;
1  u2
1
.
sin 2 x
;
1  x2
 arccos x   
 arc tg x  
u
;
1  u2
1
.
1
1  x2
.
1
.
1  x2
 arcctg x   
1
.
1  x2
Решение типовых примеров
2.1 Найти производную функции y 
1
по определению.
x
Решение
1. Дадим аргументу x приращение x и вычислим значение
функции в этой точке
1
.
y   y  f  x   x 
xx
2. Найдём приращение функции в точке x :
1
1
 x
 y   f  x  f  x   x  f  x 
 
.
x   x x x x   x
3. Найдём отношение приращения функции  f  x  к приращению
аргумента  x в этой точке
 y  f  x
1
.


x
x
x x   x
4. Вычислим предел отношения приращения функции в точке x к
приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю


 f  x
1
1
y
lim
 lim
 lim  
 2.

x 0  x
x 0
x 0
x
x
 x x   x 
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
 1 
Таким образом,     2 .
x
x
2.2 Производные высших порядков
Производной второго порядка (второй производной) от функции
y  f  x  называется производная от её производной y  f   x  , то есть
y   f   x  
Производной п-го порядка от
производная от её  n  1 -ой производной
функции
y  f  x
называется

n
n 1
y     f    x   .
d2y
dny
n
Обозначения y ,
; y ;
dx 2
dx n
Механический смысл второй производной
Вторая производная функции S  f  t  есть скорость изменения
мгновенной скорости v  t   f   t  материальной точки в момент времени t , то
есть ускорение в этот момент времени
d 2S


a  t   S  f  t  или a  t   2 .
dt
Решение типовых примеров
2.2 Найти производную третьего порядка функции y  x ln 2 x .
Решение
Продифференцируем эту функцию трижды
2
y  ln 2 x  x 
 ln 2 x  1 ;
2x
2 1
 ;
y   ln 2 x  1 
2x x
1
 1 
y      2 .
x
x
1
Итак,  x ln 2 x    2 .
x
Найти y :
2.3
y  5 x3  2 x 2  3x  4 .
2.4
42
y  23 x 
3
.
x2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.5
y  x3 cos x .
2.6
y
arc tg x
.
x3
2.7
x3
y   2x2  4 x  5 .
3
2.8
y
8
6
.

4
x 3x
2.9
y  x ctg x .
2.10
x2
.
y 2
x 1
2.11
y
cos x
.
1  sin x
2.12
1
y  x3  x 2  2 x  4 .
5
2.13
y 5 x  5 3.
2.14
y
2.15
y  x3 log 2 x .
2.16
y   х 2  х  1 х 2  х  1 .
2.17
y  10arc tg x  7  e х .
2.18
y  х 4 х  3sin1 .
2.19
y  x 2  3x  1 .
2.20
y   х2  5х  7  .
2.21
y  ln( x 3  7 x  2) .
2.22
y  ln  arc tg х  .
2.23
y  earcsin x .
2.24
y  sin 3 x .
2.25
y  1  x 2 arcsin x .
2.26
y  sin6x .
2.27
x
x
y  sin  cos .
2
2
2.28
y  (1  5 x) 4 .
2.29
y  3 (4  3 x) 2 .
2.30
y
2.31
y  2 x  sin 2 x .
2.32
y  sin 3 x  cos3 x .
2
43
1
3
x2

2
 7 х.
х3
8
1
.
(1  x 2 )5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
sin 2 x
.
cos x
y  1  cos x .
2.34
y
2.35
y  ln( x 2  2 x) .
2.36
y  ln(1  cos x) .
2.37
a2  x2
.
y  ln 2
a  x2
2.38
y  ln
2.39
y
2.40
ex
.
y  ln 2
x 1
2.41
y  e 1 e
2.42
e2 x  1
.
y  arc tg e  ln 2 x
e 1
2.43
y  arccos 1  2 x  2 x  4 x 2 .
2.44
y  ( x  1)3  ( x  2) 2  ( x  3) .
2.45
y5
2.46
y  x 2e x sin 2 x .
2.47
y  x5 (1  3 x)3  (1  2 x) 2 .
2.48
y3
x( x  1)
.
x2
2.49
y
( x  2)  x  2
.
x2
2.50
y
1  arcsin x
.
1  arcsin x
2.51
yx
2.52
 х  1  х  2 .
y
2
3
 х  1
2.53
y  хх .
2.54
y  х ln х .
2.55
y   tg х 
2.56
1  х   cos
y
2.33
2
4
cos x
x
 ln tg .
2
sin x
2
x
2x
 arcsin e .
x
2x  3
.
x 1
1  2x
.
1  2x
2x
2
3
sin х
.
cos х
2
.
7
6
х
х5
Найти производную 2-го порядка от функции
x
a
2.57
y  sin 2 x .
2.58
y  e , a  const .
2.59
y
1
.
1  2x
2.60
y  eх .
44
2
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.61
x2  1
.
y
x 1
2.62
Найти производные n-го порядка от функции
2.63
2.64
S  t  e t .
y  x2  1 .
у  ах .
2.3 Производная неявно заданной функции
Функция y  f  x  задана неявно уравнением F  x, y   0 , если при
подстановке её в это уравнение, она обращает его в тождество
F  x, f  x    0 .
Если функция y  f  x  задана неявно уравнением F  x, y   0 , то для
нахождения производной y нужно продифференцировать по x обе части этого
уравнения, учитывая, что y есть функция от x , а затем разрешить полученное
уравнение относительно y .
Чтобы найти y неявно заданной функции, надо уравнение F  x, y   0
дважды продифференцировать по x и т.д.
Решение типовых примеров
Найти производную неявно заданной функции
2.65 xy 2  ctg y .
Решение
y
xy 2  2 xyy   2 ;
sin y
y
y 2  2 xyy   2 ;
sin y
y 2 sin 2 y   y  2 xy sin 2 y  1 ;
y  
y 2 sin 2 y
.
2 xy sin 2 y  1
2.66
x  y  2y  0.
2.67
x2 y 2

 1.
4
9
2.68
y  cos  x  y  .
2.69
x  arc tg  x  y  .
2.70
x3  y 3  x 2 y 2 .
2.71
ln y 
2.72
e x  e y  e x y .
2.73
x 2  xy  y 2  6 .
2
2
45
y
 0.
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.74
e y  e  x  xy  0 .
2.75
e x sin y  e  y cos x  0 .
2.76
e xy  x 2  y 2  0 Найти y  0  .
2.77
x3  y 2  5 xy  4  0 .
2.78
arctg y  y  x  0 .
2.79
x 2  y 2  xy  0 .
2.80
x3 у 2  5 xy  4  0 .
2.81
x3 у  3х 2 y 2  5 y 3  3 х  4  0 .
2.82
x 2 у  arc tg
у
 0.
х
2.83
x 3  y 3  sin  x  2 y  .
2.84
e xy  cos  x 2  y 2   0 .
2.85
x 2  у 2  ln
2.86
е у  е  ху .
у
 7.
х
2.4 Производная параметрически заданной функции
Если зависимость функции y от независимой переменной x задана с
помощью вспомогательной переменной (параметра) t :
 x  x  t 

t   ;  ,
 y  y  t  ,
yx t

yt
то
yx  ,
yx2 
xt
xt
y2 xt  ytxt2
yx2  t
или
.
x 2
Решение типовых примеров
Найти y и yx2 :
3
 x  a cos t
2.87 
3
 y  a sin t.
Найдём
Решение
xt   a cos 3 t    3a cos 2 t sin t ;
t
yt   a sin 3 t    3a sin 2 t cos t .
t
Тогда
yt 3a sin 2 t cos t
yx  
  tg t .
xt 3a cos 2 t sin t
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
yx   tg t.
Найдём
 yx t    tg t t  
1
.
cos 2 t
1


y
 x t
1
cos 2 t


Тогда yx2 
,
2
xt
3a cos t sin t 3a sin t cos 4 t
Найти y  :
yx2 
1
.
3a sin t cos 4 t
2.88
 x  ln t
.

 y  sin 2t
2.89
 x  t
.

3

y
t

2.90
1

x


t 1
.

t
y 

t 1
2.91
 x  a  sin t  t cos t 
.

y

a
cos
t

t
sin
t



2.92
 x  e cos t
.

t
 y  e sin t
2.93
x  t2


1 3 .

y
t t

3

2.94
 x  a  t  sin t 
.

y
a
1
cos
t





2.95
2t
 x  e
.

3t

y
e

2.96
 x  2cos t
.

y
t

sin

2.97
 х  a cos t
.

y
b
t

sin

2.98
х  t2

.

t3
y   t
3

2.99
2t
 х  e
.

3t
 y  e
2.100
 х  ln t
.

 y  sin 2t
2.102
 х  t  sin t
.

 y  1  cos t
2.104
 х  2t  1
.

2
y
t

1

4

t
2.101
2.103
47
 х  t 3  t
.

2
 y  t  t  1
 х  sin 2 t
.

2
 y  cos t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.5 Дифференциал функции
Если функция y  f  x  дифференцируема в точке x , т.е. имеет в этой
точке конечную производную y  f   x  , то
 y  f   x   x     x,
где lim   0 .
x 0
Главная часть f   x   x приращения функции  y , линейная
относительно приращения аргумента  x , называется дифференциалом
функции и обозначается
df  x   f   x   x или dy  y x .
Положив y  x , получим dx   x и поэтому dy  yd x или
dy
df  x   f   x  d x , отсюда y  .
dx
Из определения следует, что при достаточно малом приращении
аргумента  x  dx
 f  x   df  x  или  y  dy .
Так как
 f  x  f  x   x  f  x,
то
f  x   x   f  x    f  x   f  x   df  x  .
Итак,
f  x   x   f  x   f  x   x .
Последняя формула применяется в приближенных вычислениях для
вычисления значения функции, близкого к значению f  x  .
Дифференциал сложной функции y  f u  x   имеет вид
dy  df  u  du  df  u  u  x  dx.
Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от
дифференциала первого порядка, т.е.
d 2 y  d  dy   ydx 2
или
d 2 f  x   f   x  dx 2 ,
d2y
отсюда
y  2 .
dx
Дифференциал n – го порядка имеет вид
n
d n y  f    x  dx n
или
отсюда
d n y  y   dx n ,
n
y  
n
dny
.
dx n
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение типовых примеров
Найти дифференциал функции
3
2.105 y  1  tg x  .
Решение
dy  ydx
1
3 
2
2
.
y  1  tg x    3 1  tg x   1  tg x   3 1  tg x  


cos 2 x
Таким образом,
31  tg x  dx
dy 
.
cos 2 x
2
2.106 y  arc tg x при x  1 и  x  0,01.
Решение
1
1
y 
dy 
dy
 x;
2
1 x
1  x2
x 1
 x 0,01
1
  0,01  0,005.
2
Итак, dy  0,005.
2.107 Найти приращение  y и дифференциал dy функции
y  x  x  1 при x  3 ,  x  0,01. Какова абсолютная и относительная
погрешности, которые получаются при замене приращения функции её
дифференциалом.
Решение
2
 y  f  x   x   f  x    x   x    x   x   1  x2  x  1 
2

 x 2  2 x x   x 2  1  x   x  x 2  x  1  2 x x   x   x 2
y
x 3
 x 0,01
 2  3  0,01  0,01  0,0001  0,0501.
Вычислим dy этой функции при x  3 ,  x  0,01.
dy  f   x    x   x 2  x  1   x   2 x  1  x ;
dy
x 3
 x 0,01
  2  3  1  0,01  0,05.
Абсолютная погрешность
 y  dy  0,0501  0,05  0,0001.
Относительная погрешность
 y  dy 0,0001

 0,002  0, 2%.
y
0,0501
49

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.108 Найти приближенное значение 3 26,19 .
Решение
f  x   x   f  x   f  x   x .
В данном случае f  x   3 x ;
Найдём f   x  :
f  x  
x  27;
 x   3 1x
3
f   27  
Вычислим
 x  0,81.
1
3 3 27 2
.
3
2

1
.
27
Таким образом,
3
Итак,
3
26,19  3 27  f   27  0,81  3 
0,81
 2,97.
27
27  2,97.
2.109 Вычислить cos610 .
Решение
f  x   x   f  x   f  x   x .

f  x   cos x;
x  600  ;
 x  10  0,0174
Имеем
3
3
f   x    sin x;
f   600    sin 600  
2
1
3
 0,0174  0, 4849.
cos 610  cos 600  sin 600  0,0174  
2 2
Итак, cos 610  0,485.
2.110 Определить приращение и дифференциал функции y  x3 при переходе
значения х от х = 2 к значению х = 2,01.
2.111 Доказать, что если ∆х – бесконечно малая величина, то с точностью до
бесконечно малой высшего порядка имеет место приближенное
равенство sin  x   x . (∆х выражается в радианах).
2.112 При вытекании жидкости из малого отверстия в сосуде, скорость частиц
жидкости определяется по закону Торричелли V  2 gH , где Н высота поверхности жидкости над отверстием. На какую величину
изменится скорость, если Н изменится на dH.
2.113
l
Период колебания маятника T  2 
с, где l – длина маятника в
980
см. Как нужно изменить длину маятника
колебания уменьшился на 0,1 сек.
50
l =20 см, чтобы период
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.114
Вычислить приращение площади квадрата ∆S со стороной a = 10 см при
увеличении длины стороны квадрата на ∆ a = 0,01 см
а) точно
б) приближенно. Результаты сравнить.
Найти дифференциал функций:
2.115
у  1  х2 .
2.116
y  sin 2 t .
2.117
y  1  cos u .
2.118
у  1  х  х 2  .
2.119
y  tg 2 x .
2.120
 x
y  ln tg    .
2 4
2.121
у  arcsin x   arc tg x  .
2.122
y  x 2e x .
2.123
у  arc tg x .
2.124
y  ex .
2.125
y   x3  x  tg x .
2.126
y
2.127
y  x 3  ln x .
2
3
3
x2
.
x2  1
Вычислить приближенно с помощью дифференциала:
2.128
f  x  e
2.130
sin 310 .
2.131
2.132
tg 440 .
2.133
62 .
2.134
ln1,02 .
2.135
24 .
2.136
3
26 .
2.137
2.138
sin 290 .
2.139
1,02  .
4
 0,99  .
2.140
arctg1,05 .
0,1 x 1 x 
для х = 1,05.
 2,037 
2.129
51
3
28 .
5
2
3.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тест 2
1. Производной функции y=f(x) в точке х0 называется
y
 y ;
 x  x0 
y  y0
 y ;
3: lim
xx0
x
1: lim
x0
2: lim
xx0
y
 y ;
x
y
 y .
x
4: lim
x0
2. Дифференцированием функции называется процесс нахождения:
1: первообразной; 2: производной; 3: предела; 4: непрерывности.
3. С физический точки зрения первая производная - это:
1: сила; 2: энергия; 3: мощность; 4: скорость.
4. Дифференциал функции в данной точке это:
1: dy  cy dx ; 2: dy  f ( x)dx ; 3: dy  f ( x)dx ; 4: dy  dx .
5. Тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x) в точке с
абсциссой x0 равен
1: Пределу функции в точке x0 ; 2: первообразной функции f ( x) ;
3: производной функции f ( x) в точке x0 .
arctgx
, то y (x ) равно
1  x2
1  2 xarctgx
1  xarctgx
1  2 xarctgx
1:
;
2:
;
3:
;
2
2
1  x 2 
1  x 2 
1  x 2 
6. Если y ( x) 
4:
7. Если y ( x)  arcsin 3 x  , то y (x ) равно
1  arctgx
1  x 
2 2
.
2
1:
6 arcsin 3 x
1  9x
2
;
2:
3 arcsin 3 x
1  9x
2
;
3:
6arcsin x
1  x2
;
1
;
25
9. Если y ( x)  x 2  x  1x 2  x  1 , то y (1) равно
1: 6;
2: -6;
arcsin x
1  9x2
.
x2
пересекает ось абсцисс равен
x2  1
1
 1
 1
2: arctg    ; 3: arctg ;
4: arctg    .
24
 25 
 23 
8. Угол, под которым кривая y 
1: arctg
4:
3: 5;
4: -3.
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. . Если x  1  t 2 , y  t  t 3 , то yx равно
3t 2  1
t2 1
3t 2  1
1:
;
2:
;
3:
;
2t
t
t
11. Вторая производная функции y  sin 2 x равна
1: cos 2 x ;
3: 2sin 2 x ;
2: 2cos 2 x ;
3t 2  1
4:
.
t
4: sin 2 x .
12. Производная неявной функции xe y  x2  1 равна
1: y  
2x  e y
2  ey

;
2:
;

y
xe y
xe y
3: y  
2  ey
;
ey
4: y  
2
.
xe y
13. Дифференциал функции y  cos 4 x 2 равен
1: dy  8 x cos3 x 2 sin x 2 dx ; 2: dy  4sin 2 x 2 dx ; 3: dy  8 x cos3 x 2 dx
1
равен
x
dx 2
4:  2 .
x
14. Второй дифференциал функции y 
dx 2
1: 2 ;
x
2dx 2
2: 3 ;
x
3:
dx
;
x2
15. Угловой коэффициент касательной к кривой y  x3  3 в точке x0  1
равен
1: 2;
2: 0;
3:-2;
4: 3.
16. Угол, образованный касательной к графику функции y  x 2  x
в точках ее пересечения с осью Ox , равен :
1:

4
;
2:

6
;
3:

2
; 4: 0 .
17. Уравнение касательной к графику функции y 
1
 x в точке 1;2 
x
имеет вид
1: x  y  1  0 ; 2: x  y  1  0 ; 3: y  1  0 ; 4: y  2  0 .
18. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе
y  x 2 в начале координат?
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1: 1;
2: 0;
3: -1;
4: 0,5 .
19. Если S (t )  t  t  1 , то S (2) равно
1: 7;
2: 8 ;
3: 6 ;
3
2
4: 9.
20. Тело массой 3кг движется прямолинейно по закону s  1  t  t 2 ;
s выражено в сантиметрах, t – в секундах. Какова кинетическая
mv 2
энергия
тела через 5с после начала движения
2
1: 0,02915Дж; 2: 0,01815Дж; 3: 0,0195Дж; 4: 0,0815Дж.
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3 y '  15 x  4 x  3
2
Ответы к главе 2
2
6
 3
2.4 y ' 
3 3 x2 x
2.5 y '  3 x 2 cos x  x 3 sin x
x  3(1  x 2 )arc tg x
2 1
1 
2


y
'
2.6 y ' 
2.7
2.8
y
'

x

4
x

4
x  3 x 4 x 
x 4 (1  x 2 )
1
x2
2x

y
'
2.9 y '  2 x ctg x  2
2.10 y '  2
2.11
1  sin x
sin x
( x  1) 2
1
2
6
 4 7
2.12 y '  3 x 2  0,4 x  2 2.13 y ' 
2.14 y '  
5 5 х4
3х 3 х 2 х
10
1 

3
 7e х
2.15 y '  x 2  3log 2 х 
 2.16 y '  4 x  2 х 2.17 y '  
2
1 x
ln 2 

2x  3
2.18 y '  1, 25 4 х 2.19 y ' 
2.20 y '  8( x 2  5 x  7)7 (2 x  5)
2 x 2  3x  1
1
3x 2  7
1
2.21 y '  3
2.22 y 
2.23 y '  earcsin x 
2
x  7x  2
(1  x ) arc tg x
1  x2
x arcsin x
2.25 y '  1 
2.26 y  6cos 6 x
2.24 y '  3sin 2 x cos x
2
1 x
1
x
x
2
2.27 y  (cos  sin )
2.28 y  20  (1  5 x )3
2.29 y  3
2
2
2
4  3x
2sin 2 x
3

10 x

2.31 y 
2.32 y 
2.30 y 
sin 2 x  sin( x  )
2 6
4
(1  x )
2 x  sin 2 x
2
 sin 2 x
2  ( x  1)
2.33 y 
2.34 y  sin x  (1  sec 2 x )
2.35 y 
x  ( x  2)
4  4 (1  cos 2 x)3
x
2.36 y   tg
2
( x  1) 2
2.40 y  2
x 1
4  a2  x
2.37 y  4
a  x4
2
2ctg 2 x
2.38 y 
2.39 y  
1  4x2
sin x
2x
2
4e

y

4
2.41 y  2  e x  1  2 x 2.42 y 
2.43
x
1  e8 x
2x  3
1

2.46
2.44 y  2  (3 x 2  5 x  7)  ( x  1) 2  ( x  2) 2.45 y  5
x  1 (2 x  3)  ( x  1)
2
y  2 xe x sin 2 x (1  x 2  x ctg 2 x ) 2.47 y  5 x 4 (1  3 x) 2  (1  2 x  12 x 2 )  (1  2 x) 2.48
( x 2  4 x  2)  3 x( x  1)( x  2) 2
( x  4) x  2
2.49 y 
y 
2
3 x( x  1)( x  2)
( x  2) x  2
2.50 y 
1
(1  arcsin 2 x) 1  x 2
1  arcsin x
sin х 

2.51 хsin х  cos х  ln х 

1  arcsin x
х 

55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 х  1 х  2  3  1  2 
y 


2
1
2
2
3
1
х
х
х



3




1
х



 
3
2.52
2.55 y   tg х 
2.54 y  2 х ln х 1
2.56
2.59
2.62
2.66
х
y 
cos
2.53 y  х х 1  ln х 
 1


 sin х  ln tg х 
 sin х

 1  cos6 х  2 х
5 
1  ax

 6 tg х   2.57 y  sin 2 x 2.58 y ''  2 e
2
7 5

х
1
7х 
a

х
42
4
х2

2.60
y

2
е
1  2х2 
2.61 y '' 
y '' 

3
(1  2 x )
( x  1)3
1
n
n
y '' 
2 63 S ( n )  (1) n1 e  t (n  t )
2.64 y    a x  ln a 
( x 2  1) x 2  1
sin  x  y 
2
x
9x
2.67 y 
2.68 y  
2.69 y   x  y 
y 
1  sin  x  y 
4y
y 1
2
e x  y  e y  1
y2
2x  y

2.71 y  2
2.72 y 
2.73


y
x  xy
1  ex
x  2y
e x sin y  e y sin x
1
e x  y



y
0
2.75 y  x
2.76
2.74 y  y


e cos y  e y cos x
3
e x
3x 2 y 2  5 y
1  y2 1
2x  y
 2 1
2.78 y ' 
2.79 y ' 
2.77 y '   3
2
2 x y  5x
y
y
x  2y
2 2
2 2
2
3
2 x у  2 хy 3  у
3x у  5 y
3x у  6 хy  3
2.81 y '  3
2.82 y ' 
2.80 y '   3
2 x у  5х
x  6 х 2 у  15 у 2
x4  х2 у 2  х
3x 2  2 xy 2

y

2.70
2 x2 y  3 y 2
cos  x  2 y   3 х 2
2.83 y '  2
3 у  2cos  x  2 y 
 2 x  1 y
y' 
x 1  2 y 
2.86 y '  
2
1
2
2.85
2.89 yx 
2
36 t
1
yx2  
at sin 3 t
2.84 y '  
2 x sin  x 2  y 2   ye xy
2 у  sin  x 2  y 2   xe xy
у
2.88 yx  2t cos 2t , yx2  2t  cos 2t  2t sin t 
х  еу
2.91 yx  ctg t ,
2.90 yx  1, yx 2  0
18t 3 t 2
sin t  cos t
2
, yx2  t
2.92 yx 
3
cos t  sin t
e  cos t  sin t 
, yx 2  
t2 1
yx 
2t
t
1
2.94 yx  ctg , yx2  
t
2
4a sin 4
2
b
1
1
, yx   ctg t
2.97 y '   ctg t ,
2.96 yx2  
3
a
4sin t
2
56
t2 1
2.93 yx 2 
,
4t 3
3
3
2.95 yx2  et , yx  et
4
2
y  
b
a sin 3 t
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
t2 1
2.98 y ' 
2t
y 
2.112
2.115
2.118
2.121
3
2.99 y '  et ,
2
y 
3
4et
2t  1
sin t
y
'

2.102
3t 2  1
1  cos t
y '  1 2.104 y '  4t
2.110 у  0,120601 dy  0,12
gdH
14
dV 
2.113 dl  
2.114 a )  S  0, 2001 cм 2 , б ) dS  0, 2 cм 2

2 gH
xdx
2.116 dy  sin 2tdt
2.117 dy  sin udu
dy 
1  x2
2
2 tg x
dx
dx
dy


2.120
dy  3 1  x  x 2  1  2 x  dx 2.119 dy 
x
cos 2 x
2  sin
2

1
2arctg x 
dy  

 dx 2.122 dy   x  e x  x  2    dx 2.123
2 
2
1 x 
 2 arcsin x  1  x
y  2t  cos 2t  2t sin 2t  2.101 y ' 
2.100 y '  2t cos 2t
2.103
t2 1
4t 3
1
 2
x3  x 
2
x3
y
2.124 dy  3x  e  dx 2.125 dy   3 x  1  tg x 
dx
cos 2 x 
2 x 1  x 

2.126 dy 
 x2  4 x  1
x
2
 1
2
dx 2.127 dy  x 2  3ln x  1 dx 2.128 f 1,05   0,995
2.129 1,074 2.130 0,5147 2.131 3,037 2.132 0,966 2.133 7,875 2.134 0,02
2.135 4,9 2.136 2,96 2.137 1,1 2.138 0, 485 2.139 0,96 2.140 0,811 .
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 3
Аналитические приложения дифференциального
исчисления
3.1 Правило Лопиталя
Пусть функции f  x  и   x  дифференцируемы в некоторой
окрестности точки x0 (за исключением, быть может, её самой), причём
  x   0 . Тогда если
lim f  x   lim   x   0
x  x0
или
lim f  x   lim   x   ,
x  x0
то
x  x0
x  x0
f  x
f  x 
 lim
.
x  x0   x 
x  x0   x 
Это правило применимо и в том случае, когда x   .
lim

0
Правило Лопиталя раскрывает неопределённости вида « » и « ».
0

Неопределённости вида « 0   », «    », «1 », «  0 », « 00 » с
помощью алгебраических преобразований сводятся к неопределённостям вида

0
« » или « ».
0

Правило Лопиталя сводит вычисление предела отношения двух
функций к вычислению предела отношения их производных.
Если производные f   x  и   x  удовлетворяют тем же условиям,
что и функции f  x  и   x  , то
f  x
f  x
f   x 
lim
.
 lim
 lim
x  x0   x 
x  x0   x 
x  x0   x 
( x  )
( x  )
( x  )
Правило Лопиталя
односторонних пределов.
можно
применять
при
Решение типовых примеров
Вычислить пределы
3x 2  2 x  1
3.1 lim 2
.
x 1 x  x  2
Решение
58
вычислении
и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
данное отношение подставить x  1 , то получим
0
неопределённость « ». Применим правило Лопиталя, то есть заменим
0
отношение функций отношением их производных:
3x 2  2 x  1
6 x  2 4 4
 lim

 .
lim 2
x 1 x  x  2
x 1 2 x  1
3 3
3x 2  2 x  1 4
Таким образом, lim 2
 .
x 1 x  x  2
3
Если
3.2
в
ln x
.
x 0 ctg x
lim
Решение
В данном случае имеем неопределённость вида «
предел по правилу Лопиталя

». Вычислим

1
ln x
sin 2 x
x
lim
 lim
  lim
.
x 0 ctg x
x 0
x 0
1
x
 2
sin x
0
Получили неопределённость вида « », для её раскрытия опять
0
применяем правило Лопиталя
sin 2 x
2sin x cos x
lim
  lim
  lim sin 2 x  0.
x 0
x 0
x 0
x
1
ln x
 0.
Таким образом, lim
x 0 ctg x
3.3
lim
x 
x2
ex
2
.
Решение
В данном случае имеем неопределённость вида «
правило Лопиталя
lim
x 
Таким образом, lim
x 
3.4
x2
ex
2
x2
ex
2
 lim
x 
2x
2 xe x
2
 lim
 0.
lim x ctg 2 x .
x0
Решение
59
x 
1
ex
2
 0.

». Применяем

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Имеем
выражение
неопределённость
вида
x ctg 2 x 
« 0   ».
Преобразуем
данное
x
.
tg 2 x
0
Получим неопределённость вида « », которую раскроем по правилу
0
Лопиталя
x
1
cos 2 2 x 1
lim
 lim
 lim
 .
x0 tg 2 x
x0 2 cos 2 2 x
x0
2
2
1
Таким образом, lim x ctg 2 x  .
x0
2
3.5
1 
 6
lim 

.
x 3 9  x 2
x 3

Решение
Имеем неопределённость вида «    ». Приведём выражение
6
1

к общему знаменателю
2
9 x
x3
6  3  x
1 
3 x
1
1
 6


 lim
 lim
 .
lim 
lim

2
2
2
x3 9  x
x3 9  x
x3 3  x
x  3  x3 9  x
6

1  1
 6
Таким образом, lim 

 .
2
x 3 9  x
x 3 6

3.6 а) lim x
1
1 x
x1
.
Решение

Имеем неопределённость вида «1 ». Обозначим
прологарифмируем эту функцию
ln x
1
ln x
1 x
ln y 
ln x 
;
ye .
1 x
1 x
ln x  0 
1x
1
Вычислим limln y  lim
    lim
  lim  1.
x 1
x 1 1  x
x 1 x
 0  x1 1
Тогда lim y  lim e
x 1
ln x
1 x
x 1
Таким образом, lim x
x 1
б)
lim x
x 0
2
1ln x
 e 1.
1
1 x
 e 1.
.
60
yx
1
1 x
и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение
2
1ln x
Имеем неопределённость вида « 0 ». Обозначим y  x
Прологарифмировав, получим
2 ln x
2
2ln x
1ln x
ln y 
ln x 
;
ye
.
1  ln x
1  ln x
2 ln x   
1x
    2 lim
 2
Тогда lim ln y  lim
x 0
x 0 1  ln x
x 0 1 x
 
lim ln y  2.
0
.
x 0
Следовательно, lim y  e 2 .
x 0
Таким образом, lim x
2
1ln x
x 0
 e2 .
Вычислить пределы
3.7
x3  2 x 2  x  2
.
lim
x 1
x3  7 x  6
3.9
lim
3.11
3.13
x 1
1  x  ln x
1  2x  x2
.
x  x 1 
3.14
ln 2 1  x 
lim
.
x 0
x
3.16
x  ln 1  x 
lim
.
x 0
x
3.18
3.20
3.10
lim
3.12
2 x  x
.
x 1 ln  2  x 
1
sin
x
lim
.
x 
x  x 1
lim
Указание:
3.8
x3  5 x 2  2 x  8
.
lim
x 1 x 4  2 x 3  16 x 2  2 x  15
x 0
lim
x 16
1
x  x 1
sin x  cos x
.

x
4
x
4
ln 1  x   ln 2
.
lim
1
x 1
x
1  2x  3 2
lim
61
 lim
x 

x  sin x
.
x3
4
x 2
.
x 4

x  x  1  0.
3.15
e x  e x  2
.
lim
x 0
x2
3.17
e3 x  e 2 x  x
.
lim
x 0
x2
3.19
lim
3.21
lim
arc tg x
.
x 0
tg x
x0
sin  sin x 
1 x 1
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.22
x2
 .
lim
2
x   sin x
3.24
x cos x  sin x
lim
.
x 0
x3
3.25
3.26
lim
tg x  sin x
.
x 0 x  sin x
3.27
lim
3.28
ex  1
lim
.
x 0 sin 2 x
3.29
lim
3.30
e2 x  1
lim 2 .
x 0
x
ln
3.32
lim
3.34
3.36
lim
3.38
x 0
3.23
3.31
arcsin x
.
x 0
sin x
lim
1 x
.
x1
x
1  sin
2
lim
sin 3x
.
x 0
x
2 x  sin 2 x
.
x 0
x3
lim
x 0
x4
.
x 2  2cos x  2
3.33
e

x2
2
 cos x
.
x3 sin x
tg3 x
.
2 tg5 x
lim

x
lim
ex
.
x  x 3
3.35
ex
.
x  x 3
ln x
.
x  x
3.37
lim
3.39
ln ln( x 2  3)
lim
.
x 2 ln  x  2 
3.41

lim x .
x0
x
ctg
2
3.43
x2  1
lim
.
x
x2
lim
x 

x2
2

ln e x  1
.
ln x
.
x  3 x
3.40
lim
3.42
ln(sin mx)
lim
.
x 0 ln sin x
62
lim
4 x  3x
.
x 
x2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1  3 ln x
.
x 
x2
3.44
lim
23 x
.
x  x
3.45
lim
3.46
3x
lim 3 .
x x
3.47
lim
3.48
lim

3.49
1 
 1

lim 
.
x 1 ln x
x 1

3.50
1 
 2

lim  2
.
x 1 x  1
x 1

3.51
lim x ln x  1  x 2 .
3.52
1

lim  ctg x   .
x 0
x

3.53
1 
 1
 x
lim 
.
x1 x  1
e e

3.54


1
 ln 1  x   .
lim 
x 1 sin( x  1)


3.55
1 
 1
lim  2  2  .
x 0 sin x
x 

3.56
1 
 x

lim 
.
x 1 x  1
x
ln


3.57
5
 1

 2
lim 
.
x 3 x  3
x

x

6


3.58


1
1
.

lim 
3
x 1 
2 1 x
3 1 x 


3.59
 x
 

lim 
.
2cos x 
x   ctg x
2
3.60
7 
 5
 7 .
lim  5
x 1 x  1
x 1

3.61
1
 1

lim  2 
.
x 0 sin x
1  cos x 

3.62
lim x ln 2 x  1  x  x 2
x
tg x
.
tg x
25

x 
 



x 



Указание: lim x ln x  1  x  x
x 
x
.
x ln 1  x 
2
2
1  x  x2
Найти отдельно lim
.
x
x ln 2 x
63


1  x  x2
 lim x ln x 1 
x 

x ln 2 x

2

.


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
lim xe  x .
3.63
x 0
lim x ln x .
3.64
x 
3.65
lim 1  cos x  ctg x .
x 0
3.66
lim 1  x  tg
3.67
limarcsin x  ctg x .
3.68
lim x ne  x ,
3.69
a
lim x sin .
x 
x
3.70
a
lim x n sin ,
x 
x
3.71
limln x  ln  x  1 .
3.72
lim x ln 3 x .
3.73
1


lim x 1  e x  .
x 


3.74
lim  x  x ln ln x  .

x 1 
3.75
lim 3 x  ln x .
3.76
x 1
3.77
limcos
x  tg5 x .

3.78
lim ctg x  ln  x  e x  .
3.79
lim x x .
3.80
lim 1  mx  x .
x0
x 1
2
x 0
x
2
x 0
3.81
3.83
 x3
lim 

x 2 x  2


.
3
x2
lim sin  2 x  1 tg x .
2
x 0
1
x 0
3.87
lim x
3.88
3.89
lim 1  x 
cos
x
2
x1
 x 
lim  tg 
x 1
 4 
tg
.
x
2
.
64


1
x
lim sin x  x .
3
4 ln x
.

3.84
3.86
3.91

lim x  x .
lim  cos 2 x  .
x 0
n  0.
x 0
x 
2 x 2
.
n  0.
x 
3.82
3.85
x0
x1
tg x
1
lim  
x 0 x
 
x
.
2
x 0


1
x
lim x .
x 
lim xsin x .
x 0
1
2 x
3.90
lim 1  x
3.92
lim  ctg x  ln x .
x0

1
x0
.
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.93
lim  ctg x 
sin x
x0
.
3.94
lim x
3
x 2 1
x 1
.
1
x
3.95
lim  tg x 
.
3.96
lim  ln x  .
3.97
lim 1  x  .
3.98
lim
 tg x 

3.99
lim  cos 2 x  x2 .
sin x
x0
ln x
x0
3
3.101 lim x
x 0
x
x 0
tg 2 x
.
4

3.100 lim 1  x 2
x0
1
ln sin x
x 

1
e x  x 1
.
.
3.2 Формула Тейлора
Если функция f  x  имеет в точке x  a и некоторой её окрестности
производные порядка n  1 и x - любое значение аргумента из этой окрестности,
причем x  a , то между точками a и x найдется такая точка c , что будет
справедлива формула Тейлора
f  a 
f   a 
2
f  x  f a 
 x  a 
 x  a  
1!
2!
n
 n 1
f a
f
 c  x  a n1 ,
n

 x  a 


n!
 n  1!
где
c  a   x  a ,
0   1
f   c
n 1
Rn  x  
 x  a  - остаточный член в форме Лагранжа.
 n  1!
При a  0 имеем формулу Маклорена:
n
f   0
f   0 2
f    0 n
f  x   f  0 
x
x 
x  Rn  x  ,
n!
1!
2!
n 1
f    x  n1
x ,
где Rn  x  
 n  1!
где 0    1 .
Формула Тейлора позволяет представить приближенно функцию
f  x  в виде многочлена и оценить полученную при этом погрешность
n 1
f  a 
f   a 
f    a
n
2
f  x  f  a 
 x  a 
 x  a  
 x  a ,
n!
1!
2!
  Rn  x   абсолютная ошибка.
n
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x x 2 x3
xn
ex
e 1    
x n1 ,
n!  n  1!
1! 2! 3!
x
x3 x5 x7
x 2 n1
n 1
sin x  x        1
 R  x ,
3! 5! 7!
 2n  1! n
  x 2 n 1

,
Rn  x   sin  x   2n  1  

n
2
2
1
!




2
4
6
2n
x
x
x
n 1 x
cos x  1        1
 R  x ,
2! 4! 6!
 2 n ! n
Rn  x  
x 2 n2


cos  x   2n  2   ,
2
 2 n  2 ! 
    1 2
    1   n  1 n
x 
x  Rn  x  ,
2!
n!
 - действительное число.
Если   n - натуральное число, то
n  n  1 2
n
x    xn.
1  x   1  nx 
2!
Формула Тейлора применяется при вычислении пределов и значений
функций с заданной степенью точности.
1  x 

 1  x 
Решение типовых примеров
sin x  x
.
x 0
x
Решение
3
5



sin x  x
1
x
x
x2 x4
lim
 lim  x      Rn  x   x   lim  2       2  0  2.
x 0
x 0 x
x
3! 5!
3! 5!

 x 0 

0
3.103 Вычислить sin18 с точностью до 0,0001.
Решение
 
3
5
sin180  sin  

   Rn  x  ,
10 10 3!103 5!105
3.102 Вычислить lim
  x 2 n 1

,
Rn  x   sin  x   2n  1  
2   2n  1!

x 2 n1
  Rn  x  

 2n  1!
5
 0,0001 , следовательно,
При n  2 имеем
5!105
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3
3,14159  3,14159 
sin18  


 0,31159  0,00517  0,30899  0,3090,
10 3!103
10
6  1000
sin180  0,3090
  0,0001.
3
0
Используя формулу Тейлора, найти пределы функций
sin 3x
.
x 0
x
ex
.
x 0 x 3
3.104 lim
3.105 lim
1  cos x
.
3.106 lim
x 0
x2
3.107 lim cos x  e
x 0
x4
sin 2 x  2 tg x
.
3.108 lim
x 0
ln 1  x 3 
3.109
3.110
lim x
3
2
x 

lim e x
x 


x2
2
.

ex  1  ex  1 .
e x  e x  2
.
3.111 lim
x 0
2 x2

x 1  x 1  2 x .
1 
1

3.112 lim

.
x 0 x
sin x 

1
1
 ctg x  .
3.113 lim

x 0 x

x
sin sin x  x 3 1  x 2
.
x 0
x5
Вычислить по формуле Маклорена приближенные значения
3.114 lim
3.115 cos150 .
3.116
3.117
3.118 cos450 .
3
29 .
3.119 ln1,5 .
3.121
4
3.120
90 с точностью до 104 .
e.
3
9 с точностью до 103 .
3.122 sin10 с точностью до 108 .
3.123 ln1,1 с точностью до 103 .
3.124 e0,2 с точностью до 105 .
3.125 cos60 с точностью до 105 .
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.3 Исследование функции на экстремум
Функция y  f  x  называется возрастающей (убывающей) на
промежутке  a, b  , если большему значению аргумента соответствует большее
(меньшее) значение функции, т.е. для любых x1 и x2 из  a, b  неравенству
x1  x2 соответствует неравенство
f  x1   f  x2 
 f1  x   f 2  x   .
Если неравенству x1  x2 соответствует нестрогое неравенство
f  x1   f  x2 
 f  x1   f 2  x   ,
то функция f  x  называется неубывающей (невозрастающей) на  a, b  .
Необходимый признак возрастания (убывания) функции
Если дифференцируемая функция y  f  x  возрастает (убывает) на
промежутке  a, b  , то при всех значениях x   a, b  её производная
положительная (отрицательная), т.е. f   x   0
 f  x   0 .
Если дифференцируемая функция y  f  x  не убывает (не возрастает)
на промежутке  a, b  , то f   x   0
 f   x   0  при всех значениях x   a, b  .
На рисунке 3.1 изображена возрастающая функция, а на рисунке 3.2 –
убывающая.
y
f  x1
f  x1
0
x 
f  x2 
f
y
f
y
x
y
f  x2 
a x1
x2 b x
0
68
a
x1
x2 b x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Достаточный признак возрастания (убывания) функции
Если дифференцируемая на промежутке  a, b  функция y  f  x 
имеет при любом значении x   a, b  положительную (отрицательную)
производную, то эта функция возрастает (убывает) на данном промежутке.
Пример 3.126 Определить интервалы возрастания и убывания
функций
а) y  x 3  1,5 x 2  18 x  1.
1. D  y    ;   .
2. Найдём y :
Решение
y  3x 2  3x  18  3  x 2  x  6  .
3. Найдём корни производной
x2  x  6  0 ,
x1  3
x2  2 .
4. Найдём интервалы знакопостоянства производной
y  3  x  3  x  2  .
Итак, y  0 при x   ; 3 и при x   2;   , следовательно, на этих
промежутках функция y  x 3  1,5 x 2  18 x  1 возрастает; при x   3;2  y  0 ,
следовательно, на этом промежутке функция убывает.
б) y  3 x .
1. D  y    ;   .
1
y 
.
2. Найдём y :
3 3 x2
1
 0 при всех x  0 , то функция возрастает на  ;   .
3. Так как
3 2
x
Функция y  f  x  имеет максимум (рисунок 3.3) (минимум
(рисунок 3.4)) при x  x0 , если при всех значениях x  x0 и достаточно близких
к x0 выполняется неравенство:
f  x   f  x0 
69
 f  x  f  x 
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y
y
ymax  f  x0 
x
0
x0
x
x
0
ymin  f  x0 
x
x0
x
x
Максимум и минимум функции называются экстремумами, а точка x0 точкой экстремума.
Необходимое условие экстремума
Если непрерывная функция y  f  x  имеет в точке x0   a, b 
экстремум, то производная функции обращается в этой точке в нуль (рисунок
3.5) или не существует (рисунок 3.6, рисунок 3.7).
y
0
f   x1   0;
x
f   x2   0
x
x
y
f   x0   
0
x0
y f  x не существует
 0
x
0
x0
x
Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует,
называются критическими точками первого рода.
Функция y  f  x  может иметь экстремум только в критических
точках.
Достаточные признаки экстремума
Признак 1 Если функция y  f  x  непрерывна в интервале,
содержащем критическую точку x0 , и при переходе аргумента слева направо
через критическую точку производная f   x  меняет знак с плюса на минус, то
функция в этой точке имеет максимум (рисунок 3.8), если знак производной
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
меняется с минуса на плюс, то функция в критической точке имеет минимум
(рисунок 3.9).
y
 x
0
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
x0
0

f
0
0
x
f
x

0
 x
f
f
x
Правило 1 исследования функции на экстремум
Найти область определения функции.
Найти производную функции.
Найти критические точки.
Разбить область определения функции критическими точками на
интервалы.
Определить знак производной на каждом интервале.
Установить вид экстремума.
Вычислить значения функции в точках экстремума.
Решение типовых примеров
1.
2.
3.
4.
Исследовать функцию на экстремум
3.127
y  x3  6 x 2  9 x  1.
Решение
Найдём область определения функции
D  y    ;   .
Найдём производную
y  3 x 2  12 x  9 .
Найдём критические точки
x2  4 x  3  0
или
y  0
3 x 2  12 x  9  0
x1  x2  4  x1  1 

 - критические точки
x1  x2  3  x2  3
Разобьём область определения функции критическими точками на
интервалы
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x
3
1
5. Исследуем знак производной и установим вид экстремума с помощью
таблицы
y  3  x  1 x  3
x
 ;1
1
1;3
3
 3; 
y

0

0

y
max
min
5
1
6. Вычислим значения функции в точках экстремума
ymax  f 1  5;
ymin  f  3  1
7. Построим график функции в окрестности точек экстремума (рисунок
3.10)
y
5
1
0
3.128
1
2
x
3
y  1  3  x  2 .
1. D  y    ;   .
1
2. y   3
.
3 x2
3. y  0 ,
2
Решение
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y не существует, если
точка.
4.
3
x  2  0 , откуда x  2  0 и x  2 - критическая
5.
x
 ; 2 
-2
 2;  
y

Не существует

y
max
1
6. ymax  f  2   1 .
7. Построим график функции в окрестности точек экстремума (рисунок 3.11)
y
1
2
0
x
Признак 2 Если функция y  f  x  дифференцируема в критической
точке x0 , а вторая производная в этой точке существует и отлична от нуля, то
если f   x0   0 , то функция в критической точке имеет минимум, а если
f   x0   0 , то – максимум.
Правило 2 исследования на экстремум
1. Найти область определения функции
2. Найти производную
3. Найти критические точки
4. Найти вторую производную
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Определить знак второй производной в критических точках
6. Определить вид экстремума
7. Вычислить значения функции в точках экстремума.
Решение типовых примеров
1.
2.
3.
4.
Исследовать функцию на экстремум
3.129
y  x  2sin x,
x   0;2 .
Решение
D  y    0;2 .
y  1  2cos x .
1
y  0,
1  2cos x  0,
cos x  ,
2

5
x1  ;
x2  .
3
3
y  2sin x .

3

 3  0,
5. f     2sin  2
3
2
3

3
 5 
f     2  
   3  0.
2
 3 




6. Так как f     0 , то функция y  x  2sin x имеет в точке x 
3
3
5
5
минимум, так как f     0 , то функция в точке x  имеет максимум.
3
3
 
 
7. f     2sin   3  0,68 .
3 3
3 3
5 5
 5  5
f  
 2sin

 3  6,96.
3
3
 3  3
Ответ
 5  5
ymax  f   
 3  6,96 ,
3
3
 
 
ymin  f     3  0,68.
3 3
В тех случаях, когда в критической точке вторая производная
обращается в нуль или не существует, второе правило исследования функции
на экстремум не применимо.
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция y  f  x  непрерывна на отрезке  a, b  , тогда эта
функция достигает на этом отрезке своего наибольшего или наименьшего
значений либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или
наименьшее значения функция достигает внутри отрезка, то это значение
является максимумом или минимумом функции.
1.
2.
3.
4.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Найти производную функции
Найти все критические точки функции на  a, b 
Вычислить значения функции в критических точках и на концах
отрезка.
Из всех найденных значений функции выбрать наибольшее и
наименьшее.
Решение типовых примеров
3.130 Найти наибольшее и наименьшее значение функции
y  x3  3 x на  1,5; 2,5 .
Решение
2
1. y  3 x  3 .
2. y  0,
3 x 2  3  0,
x 2  1  0,
x1  1,
x2  1.
3. f  1   1  3 1  2 ,
3
f 1  13  3  1  2 ,
f  1,5   1,5  3 1,5  1,125 ,
3
f  2,5   2,53  3  2,5  8,125 .
4. yнаиб  f  2,5   8,125 ,
yнаим  f 1  2 .
Исследовать функции на экстремум
1 3
2
3.131 y  x  x  3x .
3
3.132
x4
y
 x3 .
4
3.133 y  3 x 2  1 .
3.134
y  x 2  x  12  .
75
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x2  2 x  2
.
y
x 1
4
3.136
y
3.137 y  2sin 2 x  sin 4 x .
3.138
y  x  ln 1  x  .
3.139 y  x ln x .
3.140
y  x 2e x .
3.142
y  x  arc tg x .
3.135
3.141
ex
y .
x
x2  8
.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
 1;4 .
3.143
y  x3  3x 2 ,
3.145
y
3.147
y  2x2 
3.149
y
3.151
 
y  2sin 2 x  3cos 2 x, 0;  .
 4
x
,
2  x3
0; 3 .
32
 17,
x
2x  1
,
2  x2
 1;4 .
 2; 0 .
0,1;1 .
3.144
y  x ln x,
3.146
y  x 3  9 x 2  15 x,
3.148
y
x 1
,
ex
3.150
y
2x
,
1  x4
 2;3 .
 1;1 .
 2; 0,5 .
Исследовать функцию на экстремум и определить её наименьшее и
наибольшее значения на отрезке
1
2
3
y  x 4  x3  x 2  2,  2; 4 .
3.152
4
3
2
 2; 5 .
3.153
y  x 3  3 x 2  3 x  2,
3.154
y  x 4  8 x 3  16 x 2 ,
3.155
Доказать, что из всех прямоугольников, имеющих данный периметр
2р, наибольшую площадь имеет квадрат.
 3;1 .
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.4 Исследование функций на выпуклость и вогнутость,
точки перегиба
График функции y  f  x  на  a, b  имеет выпуклость, направленную вниз
(рисунок 3.12) (вверх (рисунок 3.13)), если он расположен не ниже (не выше)
любой касательной к графику функции на  a, b  .
y
y
выпуклость вниз
выпуклость вверх
0
a
b
вогнутая кривая
x
0
a
b
выпуклая кривая
x
Необходимое условие выпуклости (вогнутости) графика функции
Если график дважды дифференцируемой функции выпуклая (вогнутая)
кривая на  a, b  , то вторая производная на этом интервале отрицательная
(положительная).
Достаточный признак выпуклости (вогнутости) графика функции
Если функция y  f  x  дважды дифференцируема на  a, b  и
f   x   0  f   x   0  во всех точках этого интервала, то график функции
y  f  x  на этом интервале выпуклая (вогнутая) кривая.
Точка M 0  x0 , f  x0   , отделяющая выпуклую часть графика функции
y  f  x  от вогнутой, называется точкой перегиба кривой y  f  x  .
В точке перегиба касательная пересекает график функции (рисунок
3.14), так как с одной стороны от этой точки график функции расположен над
касательной, а с другой стороны – под касательной.
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y
M0
0
a
x0
b
x
Необходимое условие точки перегиба
Если график функции y  f  x  имеет перегиб в точке M 0  x0 , f  x0   , то
вторая производная функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых вторая производная функции y  f  x  равна нулю или
не существует, называются возможными точками перегиба графика функции или
критическими точками второго рода.
Достаточный признак точки перегиба
Если при переходе через критическую точку второго рода слева направо
вторая производная функции меняет знак, то в этой точке график функции имеет
перегиб.
Правило исследования функции на выпуклость и вогнутость, точки
перегиба
1. Найти область определения функции
2. Найти первую и вторую производные
3. Найти критические точки 2-го рода
4. Разбить область определения функции найденными точками на
интервалы
5. Определить знак второй производной на каждом интервале и
определить направление выпуклости графика функции на каждом
интервале.
6. Вычислить значения функции в точках перегиба.
Решение типовых примеров
Исследовать график функции на выпуклость и вогнутость, точки
перегиба
3.156 y  x 4  10 x 3  36 x 2  31x  37 .
Решение
1. Найдём D  y 
D  y    ;   .
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Найдём y и y
y  4 x 3  30 x 2  72 x  31 ,
y  12 x 2  60 x  72  12  x 2  5 x  6  .
3. y  0  x 2  5 x  6  0  x1  2; x2  3 ,
y  12  x  2  x  3 ,
x1  2; x2  3 - критические точки.
4. Разобьём D  y  критическими точками на интервалы
5.
2
x
3
6. Исследуем знак y в каждом интервале с помощью таблицы
x
 ;2 
2
 2;3
3
 3; 
y

0

0

y
т.п.
т.п.
-19
5
7. yТ . П .  f  2   24  10  23  36  22  31  2  37  19 ,
yТ . П .  f  2   34  10  33  36  32  31  3  37  5 .
Изобразим график функции вблизи точек перегиба (рисунок 3.15)
y
5
1
0
1 2 3
19
79
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.157 y   x 2  7 x  3 x  5 x  8 .
Решение
1. D  y    ;   .
7 43 28 13
2. y  x 
x  5,
3
3
28 13 28  32 28 x  1

y 
x  x  
.
9
9
9 3 x2
3. Находим критические точки 2-го рода
x 1
28 x  1
y  0

0 
0 
3 2
9 3 x2
x
x  1  0, x  1,
y не существует, если 3 x 2  0  x  0 ,
x1  1, x2  0 - критические точки второго рода.
4.
1
5.
x
0
x
 ; 1
-1
 1;0 
0
 0;  
y

0

не
существует

y
нет т.п.
т.п.
3
2
6. yТ . П .  f  1   1  7  1  3 1  5   1  8  3 .


Изобразим график функции вблизи точек перегиба (рисунок 3.16)
y
3
1 0
1
x
Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба
графика функции
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.158
y  5 x 2  20 x  9 .
3.159
y  6 x 2  8 x  11 .
3.160
y  x 4  12 x3  48 x 2  50.
3.161
y  ln 1  x 2  .
3.162
y
x2
.
x2
3.163
y
3.164
y  3 x2  2x .
3.165
y  1  x  arc tg x .
3.166
y
3.167
y  3 1  x3 .
3.168
yxe
3.170
y
x
x 1
2
3

x2
2
.
.
ln x
.
x2
3.5
1 3 2
x  x  5 .
6
2
2 x
3.169
yx e .
3.171
y  x3 ln x  1.
Асимптоты графика функции
Прямая l называется асимптотой кривой y  f  x  , если расстояние от
переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки
по кривой в бесконечность.
Асимптоты делятся на три вида: наклонные (рисунок 3.16), вертикальные (рисунок 3.17), горизонтальные (рисунок 3.18).
Прямая x  a называется вертикальной асимптотой графика функции
y  f  x  , если хотя бы один из односторонних пределов в этой точке
бесконечный, то есть
lim f  x   , lim f  x    .
x a  0
y
x a 0
y
M
N
N

x

 x
M
N

0
l
f x
y
y f
y
M
f
y
l
x
x
0
l
81
0
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Прямая y  b называется горизонтальной асимптотой графика функции
y  f  x  , если
lim f  x   b .
x 
x 
Прямая y  kx  b
функции y  f  x  , если
 k  0
называется наклонной асимптотой графика
f  x
;
b  lim  f  x   kx  .
x 
x 
x
Если хотя бы один из пределов не существует, то кривая наклонных
асимптот не имеет.
Если область определения функции y  f  x  D  y   R , то следует
искать эти пределы отдельно при x    и x   .
k  lim
Решение типовых примеров
Найти асимптоты графика функции
x2  4
3.172 y 
.
x2
Решение
1. Найдём область определения функции
D  y    ;2    2;    ; x  2 - точка разрыва графика функции.
x2  4
x2  4
2. Вычислим lim
lim
  ,
 .
x 20 x  2
x 2 0 x  2
x2  4
Так как lim
  , то прямая x  2 - вертикальная асимптота (рисуx 2 x  2
нок 3.19).
3. Вычислим
4

1
2
2
f  x
x 4
x 4
x 2  1; k  1 ,
k  lim
 lim
 lim 2
 lim
x 
x  x  x  2 
x  x  2 x
x 
2
x
1
x
 x2  4

b  lim  f  x   kx   lim 
 x 
x 
x 
 x2

4
2
2
2
x  4  x  2x
2x  4
x  2; b  2 .
 lim
 lim
 lim
x 
x

x

2
x2
x2
1
x
Следовательно, прямая y  kx  b , то есть y  x  2 - наклонная
асимптота.
82
y
x
2
x2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Составить уравнения асимптот для графика функции заданной
уравнением:
3.173
3x2  2 x  1
.
y
x 1
3.174
x2  1
.
y
2x  3
3.175
y x
3.176
1
y  2x  .
x
3.177
y
3.178
y   x  1 e x .
3.179
1  x3
y
.
 2  x  1  3x 2 
3.180
2  xe x
.
y
3  ex
3.181
2x2  1  x
y
e .
x
3.182
1
1
y  sin .
x
x
4
.
x2
2x
.
1  x2
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.183
3.185
y  3 x3  x 2 .
y
arccos x
.

2
x 
4
1  cos x
.
x
3.184
y
3.186
ln 2 x
.
y
x
3.6 Полное исследование функции и построение графика
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Схема полного исследования функции
Найти область определения функции.
Исследовать функцию на четность и нечетность.
Исследовать функцию на непрерывность.
Найти асимптоты.
Найти критические точки 1-го рода.
Найти критические точки 2-го рода.
Разбить область определения функции найденными точками на
интервалы, составить таблицу и определить интервалы
возрастания, убывания, выпуклости, вогнутости, экстремумы и
точки перегиба графика функции.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
Учитывая проведенное исследование, построить график функции.
Решение типовых примеров
3.187 Исследовать функцию и построить её график
y
3 ln x
.
x
Решение
1. Найдём область определения функции D  y    0;    .
2. Функция не обладает свойствами четности или нечетности, т.к.
D  y    0;    .
3. Область непрерывности функции совпадает с её областью определения.
Точек разрыва нет.
4. Найдём асимптоты графика функции
а) вертикальные асимптоты
3ln x
1
 3 lim ln x lim
 3             .
x 0
x 0
x 0
x
x
lim f  x   lim
x 0
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следовательно, ось 0 y - вертикальная асимптота.
б) наклонные асимптоты
k  lim
x 
f  x
;
x
1
3 ln x
1
k  lim
 3 lim x 1  2 lim
 0,
x  x x
x  3
x  x x
x2
2
3 ln x
 3 lim
x  
x  
x
b  lim  f  x   kx  ; b  lim
x 
y  0 - горизонтальная асимптота.
5. Найдём критические точки 1-го рода
1
x
1
 6 lim
x  
k 0
1
 0; b  0
x
2 x
1
1
1
x
ln x
1

ln x

 3 ln x 
x
2
x
2
,
3
y  
3
 3
x
 x 
x2
1
y  0 , если 1  ln x  0 или x  e2 ,
2
y   при x  0 , но эта точка не может быть критической, так как она не
входит в область определения функции.
Итак, критическая точка 1-го рода x  e2 .
6. Найдём критические точки 2-го рода
3
1
1 1 2 3 2 1

1


  x  x 1  ln x 
1

ln
x


2 x
2  2
  3  8  3 ln x ;
2
y  3 
 3
3
5
3
x
4
 x2

x2


y  0 , если 8  3 ln x  0 или x  e
8
3
y   при x  0 , но x  0 не входит в область определения функции.
7. Разобьём область определения функции найденными точками на интервалы
Составим таблицу и определим интервалы возрастания, убывания, выпуклости,
вогнутости, экстремума и точки перегиба графика функции
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 2 83 
 e ;e 


8
3
e 3
 83

e
;





x
 0;e 
e
y

0



y



0

2
y
2
max
т.п.
6
e
8
3
e4
 8
6
8
yТ . П .  f  e 3  
3 4
e
e
 
8. Найдём точки пересечения графика с осями координат
а) с осью 0x
3 ln x
Положим y  0 , тогда
 0 или ln x  0 , т.е. x  1 .
x
б) с осью 0 y точек пересечения нет, ось 0 y - вертикальная асимптота.
9. Построим график функции (рисунок 3.20)
ymax  f  e 2  
6
e
8
3
e4
2
e
Исследовать функцию и построить её график
86
e
8
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.188
y
2x
.
1  x2
x3
3.190
y
3.192
y  3 1  x3 .
3.194
y
1
.
1  x2
3.196
y
2x
.
2  x3
3.198
y  x2  x  4 .
3.200
y
2  x  1
2
.
x
3
x 1
2
y
3.191
y   3 x  1 e
3.193
y   x  1 x  2  .
3.195
2
.
87
x 2
 .
2 x
3.189
2 x 1
.
2
1
x
y   x  2 e .
3.197
y  xe
3.199
y

x2
2
ln x
.
x
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тест 3
1  cos 3x
, вычисленное с помощью правила
x 0
2x 2
1. Значение предела lim
Лопиталя, равно:
1: -1/4; 2: 9/4; 3: 3/2; 4: 3/4; 5: 9/2.
2. Если y  kx  b - наклонная асимптота функции y 
k  b равна:
1: 0;
2: -1;
3  4x 3
, то сумма
x2 1
3: -8; 4: -4.
3. Значение предела lim
x
ln 2 2 x
, вычисленное с помощью правила Лопиталя,
x
равно:
1: 2; 2:  ; 3: 0; 4: 1; 5: 0,5.
4. Если m и M наименьшее и наибольшее значения функции y  x 2  2 x  2
на отрезке [2,3] , то значение выражения m+M равно:
1: 3;
2: 6; 3: 1;
4: 7; 5: 5.
5. Найти абсциссу точки перегиба функции y  2 x3  3x 2  12 x
1: 0,5;
2: -0,5;
3: 3;
4: 1.
6. Найти горизонтальную асимптоту функции y 
1: 4;
2: -1;
3: 1;
4x  1
x
4: 0.
7. Функция f определена на всей числовой прямой. Если для любых a и b ,
удовлетворяющих условию a  b , выполняется неравенство f (a)  f (b) ,то
функция ...
1: Возрастает;
2: убывает;
3: чётная;
4: нечётная.
8. Точка x0 называется точкой минимума функции y  f ( x) , если существует
окрестность точки x0 , для всех точек которой отличных от точки x0 ,
выполняется неравенство
1 : f ( x0 )  f ( x) ; 2: f ( x0 )  f ( x) ;
3: f ( x0 )  f ( x) ;
88
4: f ( x0 )  f ( x) .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. Точка x0 является точкой максимума функции y  f ( x) , если
1: При переходе через эту точку производная не меняет знак;
2: При переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-»;
3: При переходе через эту точку производная меняет знак с «-» на «+»;
4: f ( x0 )  0 .
10. Функция возрастает, если
1: y   0 ;
2: y  не существует;
3: y   0 ; 4: y   0 .
11. Достаточный признак точки перегиба:
f ( x0 )  0 ; 2: f ( x0 )  0 ;
1:
3: При переходе через эту точку вторая производная меняет знак;
12.
Значение предела lim
x 0
ln cos x
x2
вычисленное с помощью правила
Лопиталя, равно:
1: 0;
2: 0.5;
3: –0.5;
4: 1.
13. Указать вид графика функции, для которой на всем отрезке  a; b 
одновременно выполняются 3 условия: y  0;
1: только IV; 2: только I;
y  0;
y  0
3: только I и II; 4: только III.
1
y ( x)  x3  x
3
1: (0, 0); 2: (1, -1); 3: (1, 0); 4: (-1, -1).
14. Точка перегиба кривой
15. Минимума функция y  x 3  12 x 2  36 x  10 достигает в точке
1: (-1, 59);
2: (1, 15);
3: (2, 22);
4:(6, -10).
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ответы к главе 3
1
3
1
5
1
3.8
3.9 -1 3.10
3.11
3.12
3.13 0 3.14 0 3.15 1
3.7
8
6
2
2
4
3
3.21 2 3.22 -1 3.23
3.16  3.17 2,5 3.18 3 3.19 1 3.20
2  6 ln 3
1
1
1
4
1 3.24  3.25  3.26 3 3.27 3 3.28
3.29
3.30  3.31
3
3
2
12
5
3.32 12 3.33
3.34  3.35 0 3.36 0 3.37  3.38 1 3.39 1 3.40 0
3
2
3.41
3.42 1 3.43 0 3.44  3.45 0 3.46  3.47  3.48 0
2
1
1
1
1
3.49
3.50 - 3.51  3.52 0 3.53  3.54  3.55
3.56
2
2
2
3
1
1
3.58
3.59 1 3.60 1 3.61  3.62  3.63 0 3.64 0 3.65
3.57
5
12
2
0 3.66
3.67 1 3.68 0 3.69 a

3.70  для n  1; a для n  1; 0 для n  1 3.71 0 3.72 0
1
2
1
3.74 0 3.75 0 3.76 
3.77
3.78  3.79 1 3.80 em
3.73 
5

2
6
3.81 1 3.82 1 3.83 1 3.84 1 3.85 e
3.86 1 3.87 e3 3.88 1 3.89 1
1
1
1
3.90 1 3.91
3.92
3.93 1 3.94 e 2
3.95 1 3.96 1 3.97 1
e
e
2

1
1
3.99 e 3
3.100 e2 3.101 e 3.104 3 3.105  3.106
3.98
e
2
1
1
1
3.108 -2 3.109 1 3.110 
3.111
3.112 0 3.113 0
3.107 
12
4
2
19
3.114
3.115 0,9662 3.116 1,649 3.117 3,072 3.118 0,7071 3.119
90
0,4055 3.120 2,080 3.121 3,08 3.122 0,01745241 3.123 0,095 3.124
1,22140 3.125 0,99452
5
ymin  9, при x  3
3.131 ymax  , при x  1
3
27
3.132 ymin   , при x  3
4
3.133 ymin  1, при x  0
3.134 ymin  0, при x  0; ymin  0, при x  12; ymax  1296, при x  6
3.135 ymax  2, при x  0; ymin  2, при x  2
3.136 ymax  2, при
x0
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3 3
3 3
 1
 1
, при x   k  , ymax 
, при x   k  , где k  0, 1, 2...
2
2
 6
 6
1
1
3.138 ymin  0, при x  0 3.139 ymin   , при x 
e
e
4
3.140 ymin  0, при x  0; ymax  2 , при x  2
e
3.142 экстр. нет
3.141 ymin  e, при x  1
3.143 yнаим  4, при x  1 u x  2; yнаиб  16, при x  4
1
1
3.144 yнаим   , при x  ; yнаиб  0, при x  1
e
e
1
3.145 yнаим  0, при x  0; yнаиб  , при x  1
3
3.146 yнаим  74, при x  2; yнаиб  45, при x  3
3.147 yнаим  7, при x  2; yнаиб  23, при x  4
3.148 yнаим  0, при x  1; yнаиб  1, при x  0
1
3.149 yнаим  1, при x  1; yнаиб   , при x  0
2
4
27
1
16
1
, ï ðè x   4 ; yí àèá  , ï ðè x 
3.150 yí àèì  
2
3
17
2
2

3.151 yнаим  2, при x  ; yнаиб  13, при x  0,5arc tg
4
3
17
37
3.152 ymin  , при x  1; ymin   , при x  3; ymax  2, при x  0
22
4
16
37
yнаиб  , при x  2; yнаим   , при x  3
3
4
3.153 экстр. нет; yнаим  4, при x  2; yнаиб  67, при x  5
3.154 ymin  0, ï ðè x  4; ymin  0, ï ðè x  0; ymax  16, ï ðè x  2
yнаим  0, при x  0; yнаиб  25, при x  1
3.159 выпуклая при x   ;   
3.158 вогнута при x   ;   
3.160 вогнута при x   ;2  и x   4;    , выпуклая при x   2; 4  ,
 2;62 
- точка перегиба,  4;206  - точка перегиба
3.161 вогнута при x   1;1 , выпуклая при x   ;1 и x  1;    , точки
перегиба  1; ln 2  ; 1; ln 2 
3.162 вогнута при x   2;    , выпуклая при x   ;2  , точек перегиба нет
3.137 ymin 
3

 3
3.163 вогнутая при x   ;0  и x   ;    , выпуклая при x   0;  , точки
2

 2
 3 99 
перегиба  0; 0  ;  ;  
 2 64 
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.164 вогнутая при x   0;2  , выпуклая при x   ;0  и x   2;    , точки
перегиба  0; 0  ;  2;0 
 
3.165 вогнутая при x   ;1 , выпуклая при x  1;    , точка перегиба 1; 
 2
3.166 вогнутая при x   ;0  , выпуклая при x   0;    , точка перегиба
 0; 0 
3.167 вогнутая при x   ; 1 и x  1;    , выпуклая при x   1;1 , точки
перегиба  1; 2  ; 1; 0 
3.168 вогнутая при x   3;0  и x   0;3 , выпуклая при x   ; 3 и
3
3
  
 

x   3;    , точки перегиба  3;  3 3e 2  ;  3; 3 3e 2 

 

3.169 выпуклая при x   ;0  и x   0;    , точек перегиба нет
 72

 72 
3.170 вогнутая при x   e ;    , выпуклая при x   0; e  , точка перегиба




7
 2 7 
e ; 7 
2e 

  56

  56 
3.171 вогнутая при x   e ;    , выпуклая при x   0; e  , точка перегиба




5
5
 6 5 2 
 e ;  e  1
6


3
1
3
3.173 x  1, y  3x  1 3.174 x   , y  x 
3.175 x  2, y  x
2
2
4
1
3.176 x  0, y  2 x 3.177 x  1, y  0 3.178 y  0 3.179 x  2, y 
3
2
3.180 y  x, y 
3.181 x  0, y  0 3.182 y  0 3.183 нет 3.184 y  0
3

3.185 x  
3.186 x  0, y  0 .
2
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 4 Комплексные числа и многочлены
Элементы высшей алгебры
4.1 Комплексные числа
Комплексным числом z называется выражение
z  a  ib,
где a и b - действительные числа,
i - мнимая единица, определяемая равенством i  1 или i 2  1;
a называется действительной или вещественной частью, b - мнимой частью
числа z . Их обозначают так:
a  Re z ,
b  Jm z .
z  0  ib  ib - чисто мнимое число;
При a  0,
b  0,
z  a  i0  a - действительное число.
Числа z  a  ib и z  a  ib называются сопряжёнными. Два комплексных
числа z1  a1  ib1 и z2  a2  ib2 считаются равными z1  z2 , если a1  a2 , b1  b2 .
Комплексное число z равно нулю:
z  a  ib  0
тогда и только тогда, когда a  0, b  0 .
Всякое комплексное число z  a  ib можно изобразить на плоскости 0xy в
y
A(a, b) (рисунок 4.1) с
виде точки
z
A  a, b 
координатами a и b . Плоскость на
которой изображаются комплексные
r
плоскостью
числа,
называется
b
комплексного переменного
z (на
плоскости ставить символ z ). Ось 0 y

называют мнимой осью, а ось 0x
0
a
x
действительной осью.
Соединив точку A(a, b) с началом координат, получим вектор OA . В некоторых
случаях удобно считать геометрическим изображением комплексного числа
z  a  ib вектор OA .
Модулем комплексного числа z называется длина радиус-вектора,
соответствующего этому числу. Модуль обозначают буквой r .
r  z  a 2  b 2 (рисунок 4.1).
Аргументом комплексного числа называется величина угла между
положительным направлением действительной оси и вектором r , причем
величина угла считается положительной, если отсчет ведётся против часовой
стрелки, и отрицательной, если отсчет ведётся по часовой стрелке.
b
Обозначают:   Arg z ,   arctg (рисунок 4.1).
a
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аргумент, в отличие от модуля определяется неоднозначно, а с точностью до
слагаемого 2k , где k - любое целое число. Argz  argz  2 k , где arg z главное значение аргумента, заключённое в промежутке   ;  (иногда в
качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую
промежутку  0;2  )
Запись комплексного числа в виде
z  a  ib называется
алгебраической формой записи. Помимо алгебраической формы используются
и другие формы записи комплексного числа:
z  r  cos   i sin   - тригонометрическая форма записи комплексного числа;
z  rei - показательная форма записи комплексного числа
Основные действия над комплексными числами
z1  a1  ib1
z2  a2  ib2
z1  z2   a1  ib1    a2  ib2    a1  a2   i  b1  b2  ,
z1  z2   a1  ib1    a2  ib2    a1  a2   i  b1  b2  ,
z1  z2   a1  ib1  a2  ib2   a1a2  ia1b2  ib1a2  i 2b1b2  a1a2  ia1b2  ib1a2  b1b2 
  a1a2  b1b2   i  a1b2  a2b1  .
Замечание: при умножении комплексных чисел необходимо учитывать, что
i 2  1, i 3  i , i 4   i   i  i 2  1, i 5  i и так далее и вообще при любом
целом k
i 4 k  1, i 4 k 1  i, i 4 k  2  1, i 4 k 3  i.
z1 a1  ib1  a1  ib1  a2  ib2  a1a2  ia1b2  ia2b1  i 2b1b2




z2 a2  ib2  a2  ib2  a2  ib2 
a22  i 2b22

 a1a2  b1b2   i  a2b1  a1b2  ,
z2  a22  b22  0.
при
a b
Если комплексные числа даны в тригонометрической форме
z1  r1  cos 1  i sin 1  , z2  r2  cos 2  i sin 2  , то
2
2
2
2
z1 z2  r1r2  cos  1  2   i sin  1  2   ,
z1 r1
 cos  1  2   i sin  1  2   .
z2 r2 
z n   r  cos   i sin     r n  cos n  i sin n  , n  Z
n
Эта формула называется формулой Муавра.
  2k
  2k 

n n
z  n r  cos   i sin    n r  cos
 i sin
,
n
n 

где n  Z , k  0,1, 2,..., n  1.
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если комплексные числа даны в показательной форме z1  r1ei1 и
z2  r2ei2 , то
z1  z2  r1ei1  r2ei2  r1r2e 
i 1 2 
,
z1 r1ei1 r1 i 1 2 

 e
,
z2 r2ei2 r2
z n   rei   r n ein ,
n
n
i
z  re  re
n
n
i
 2 k 
n
 k  0,1, 2, ... , n  1 .
eiy  cos y  i sin y
- формула Эйлера
eiy  e  iy
,
cos y 
2
eiy  e  iy
.
sin y 
2i
Решение типовых примеров
4.1
z1  2  i
z2  3  2i
Найти: z1  z2 , z1  z2 (геометрически и алгебраически), z1  z2 ,
Решение
3
z1  z2
z2
1
1
1
z1
 z2
z1  z2   2  i    3  2i   1  3i ,
z1  z2   2  i    3  2i   5  i ,
z1  z
5
2
z1  z2   2  i  3  2i   6  4i  3i  2i 2  6  i  2  8  i ,
95
z1 2
, z1 .
z2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2  i  3  2i 

2i
4 7
z1
6  4i  3i  2i 2 4  7i




   i,
2
2
13
13 13
z2 3  2i  3  2i  3  2i 
 3   2 
z12   2  i   4  4i  i 2  4  4i  1  3  4i .
2
4.2 Решить уравнение x 2  2 x  9  0 .
Решение
2
D  b  4ac  4  36  32  32i 2 ,
b  D
x1,2 
,
2a
2  32i 2 2  4 2i
x1 

 1  2 2i ,
2
2
2  32i 2 2  4 2i
x2 

 1  2 2i .
2
2
Ответ: x1  1  2 2i , x2  1  2 2i .
4.3 z  1  i , найти z 8 и
3
z
Решение
Перейдём к тригонометрической форме. Для этого найдём модуль и
аргумент комплексного числа
r  z  a 2  b 2  12  12  2 ,
b
1

  Arg z  arctg  arctg  arctg1  ,
a
1
4



z  1  i  2  cos  i sin  , тогда по формуле Муавра
4
4

8
8
 

 


z   2  cos  i sin    2  cos8   i sin8   
4
4 
4
4

 
 24  cos 2  i sin 2   16 1  i  0   16 .
8
 





2

k

2

k





3
 i sin 4
z  3 2  cos  i sin   6 2  cos 4
.
4
4
3
3








6
2  cos  i sin  ,
при k  0
12
12 





 2k
 2k 

6
2  cos 4
 i sin 4
при k  1

3
3




96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
при k  2

3
3 
2
2
1
1

 6 2  cos  i sin   6 2  
i
 3 i 3 ,
4
4 
2 
2
2

 2




 4
 4 

17 
17  

6
6
2  cos 4
 i sin 4
 i sin
  2  cos
.
3
3
12
12






4.4 Изобразить на комплексной плоскости комплексные числа.
Найти их модуль и аргумент.
а) z = 2; б) z = 3+2 i ;
в) z = i;
г) z = -2 i;
д) z  3  2i .
4.5 Построить и вычислить сумму и разность чисел:
z1  2  3i, z2  5  4i.
4.6 Найти произведение чисел.
а) (5+i)(5-i);
б) (1+2i)(5-i);
в) (1-i)(1-i);
4.7 Найти частное:
5i 2
2i
;
;
б)
а)
1 i
1 i 2
в)
4.8 Вычислить
(1  i )(1  2i )
3  2i
а)
;
б) (1  2i )i 
;
3i
1 i
г) (2-i)2 .
1 i
.
i
6i  7
;
в) i 
1  7i
(1  2i )2  (1  i )3
.
г)
(3  2i )3  (2  i )2
4.9 Найти мнимую часть комплексного числа
2  3i 6
б) z 
i .
а) z   8  i 3   2  11i  ;
1  4i
4.10 Найти действительную часть комплексного числа
2i
;
а) z  i 4 
3i
2
 1  3i 
б) z  
 .
i
2


а)
4.11 Выразить числа в тригонометрической форме:
z  1;
б) z  1;
в)
z  1  i;
д)
z
1
3

i;
2 2
г)
z   3  i;
е)
z  i;
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
3
z 
i;
2 2
z  2i;
ж)
и)
з)
z  2  2i 3;
к)
z  5.
4.12 Решить уравнения и проверить подстановкой корней в
уравнение
б) x 2  2 x  5  0 ;
в) х 2  4 х  8  0 ;
г) 3 х 2  х  2  0.
а) x 2  25  0 ;
4.13 Выразить в показательной форме комплексные числа:
1
3
а) z  2;
б) z   3  i;
в) z   
i.
2 2
4.14 Найти произведение:






а) z1  2  cos  i sin  и z2  3  cos  i sin  ;
4
4
3
3








б) z1  5   cos  i sin  и z2  2  cos  i sin  ;
6
6
4
4





в) z1  2  cos  i sin  и z2  i.
3
3

4.15 Найти частное:
а)  cos750  i sin 750  и  cos300  i sin300  ;



б) z1  2  cos  i sin 
4
4

5
5 

в) z1  5  cos  i sin 
6
6 

i
г) z1  2e

4
и
z2  2e
и
5
5 

z2  2  cos  i sin  ;
3
3 

и
z2  5;
i
5
.
3
.
4.16 Вычислить, пользуясь формулой Муавра:
а)  2  cos120  i sin120   ;
5
б) 1  i  ;
30
12
 1
3
в)   
 ;
2
2




3
д) 1  i 3 ;



3 i 3 ;
5
г)  3  i ;
е)
ж)  2  2i  .
6
98

8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.17 Вычислить:
а) 4 1;
б)
3
i;
в) 3 8 ;
г) 3 1;
д)
3
27i ;
е)
5
2  2i ;
ж)
6
8 .
4.2 Разложение многочлена на множители
Определение Функция вида f  x   A0 x n  A1 x n1  ...  An называется
целой рациональной функцией от x .
Теорема Безу (Этьенн Безу (1730-1783) – французский математик)
При делении многочлена f ( x) на разность x  a получается остаток,
равный f (a) .
Следствие
Если a - корень многочлена, то есть f (a)  0 , то
многочлен f ( x) делится на  x  a  без остатка.
Определение Если уравнение имеет вид P  x   0 , где P  x  многочлен степени n  Z , то это уравнение называется алгебраическим
уравнением степени n .
Теорема (Основная теорема алгебры) Всякая целая рациональная
функция f ( x) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или
комплексный.
Теорема
Всякий многочлен n -ой, где n -целое число, степени
разлагается на n линейных множителей вида  x  a  и множитель, равный
коэффициенту при x n .
Теорема Если два многочлена тождественно равны друг другу, то
коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам
другого.
Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то
разложение на множители имеет вид:
k
k
k
f  x   A0  x  a1  1  x  a2  2 ... x  am  m ,
k1  k2  ...  km  n, n  Z
ki - кратность соответствующего корня.
Отсюда следует, что любой многочлен n -ой степени имеет ровно n
корней (действительных или комплексных).
Это свойство имеет большое значение для решения алгебраических
уравнений, дифференциальных уравнений и играет важную роль в анализе
функций.
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разложение правильной рациональной дроби
на элементарные дроби
Теорема Если
R x 
Q x
P x
- правильная рациональная дробь,
знаменатель P  x  которой представлен в виде произведения линейных и
квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными
коэффициентами может быть представлен в таком виде:
P x   x  a

 x  b

... x 2  px  q   x 2  rx  s  , то эта дробь может быть


разложена на элементарные по следующей схеме:
B
Q x
A1
A2
A
B1
B2



...




...




2
P  x   x  a   x  a 2
x

b


 x  a
 x  b
 x  b

M 1 x  N1
M 2 x  N2
M  x  N

 ... 


2
2
2
x  px  q  x 2  px  q 
 x  px  q 

R x  S
R1 x  S1
R2 x  S2



...
,

2
x 2  rx  s  x 2  rx  s 2


x
rx
s


где Ai , Bi , M i , Ni , Ri , Si - некоторые постоянные величины.
Для нахождения величин Ai , Bi , M i , Ni , Ri , Si
применяют так
называемый метод неопределённых коэффициентов, суть которого состоит в
том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо
и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях x .
Применение этого метода рассмотрим на конкретных примерах.
Решение типовых примеров
Разложить рациональную дробь на элементарные дроби
9 x3  30 x 2  28 x  88
4.18
 x2  6 x  8 x2  4
Так как
Решение
 x  6 x  8 x  4   x  2  x  4   x2  4 , то
2
2
9 x3  30 x 2  28 x  88
A
B
Cx  D


 2
.
2
 x  2  x  4   x  4  x  2 x  4 x  4
Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители,
получаем:
A  x  4   x 2  4   B  x  2   x 2  4    Cx  D   x 2  6 x  8   9 x3  30 x 2  28 x  88
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 A  B  C  x3   4 A  2 B  6C  D  x 2   4 A  4 B  8C  6 D  x   16 A  8B  8D  
 9 x3  30 x 2  28 x  88
A  B  C  9
4 A  2 B  6C  D  30


4 A  4 B  8C  6 D  28
16 A  8B  8D  88
C  9  A  B
 D  30  4 A  2 B  54  6 A  6 B


2 A  2 B  4C  3D  14
2 A  B  D  11
C  9  A  B
 D  24  2 A  4 B


2 A  2 B  36  4 A  4 B  72  6 A  12 B  14
2 A  B  24  2 A  4 B  11
C  9  A  B
 D  24  2 A  4 B


4 A  10 B  50
4 A  5B  35
C  9  A  B
 D  24  2 A  4 B


4 A  10 B  50
50  10 B  5B  35
A  5
B  3


C  1
 D  2
C  9  A  B
 D  24  2 A  4 B


4 A  10 B  50
 B  3
9 x3  30 x 2  28 x  88
5
3
x2


 2
.
Итого:
2
 x  2  x  4   x  4  x  2 x  4 x  4
6 x 5  8 x 4  25 x 3  20 x 2  76 x  7
4.19
3 x 3  4 x 2  17 x  6
Решение
Так как дробь неправильная, то предварительно следует выделить у
неё целую часть:
3
2
6 x5  8 x 4  25 x3  20 x 2  76 x  7 3 x  4 x  17 x  6
2 x2  3
6 x5  8 x 4  34 x3  12 x 2
9 x 3  8 x 2  76 x  7
9 x 3  12 x 2  51x  18
20 x 2  25 x  25
6 x 5  8 x 4  25 x 3  20 x 2  76 x  7
20 x 2  25 x  25
2
.



x
2
3
3 x 3  4 x 2  17 x  6
3 x3  4 x 2  17 x  6
Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при x  3
знаменатель превращается в ноль. Тогда:
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3 x3  4 x 2  17 x  6
x3
3x 2  5 x  2
3x3  9 x 2
5 x 2  17 x
5 x 2  15 x
2 x  6
2 x  6
0
Таким образом, 3x3  4 x 2  17 x  6   x  3  3 x 2  5 x  2    x  3 x  2  3 x  1 .
4x2  5x  5
A
B
C
Тогда:
,



 x  3 x  2  3x  1 x  3 x  2 3x  1
A  x  2  3 x  1  B  x  3 3 x  1  C  x  3 x  2   4 x 2  5 x  5 .
Для того, чтобы избежать при нахождении неопределённых
коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений,
(которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют
так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что
в полученное выше выражение подставляются поочерёдно несколько (по числу
неопределённых коэффициентов) произвольных значений x . Для упрощения
вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при
которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае 3,  2, 1 3 .
Получаем:
40 A  16
A  2 5


35 B  21
B  3 5
C  1
C  1


Окончательно получаем:
6 x 5  8 x 4  25 x3  20 x 2  76 x  7
2 1
3 1
1
 2 x2  3  
 


3
2
3 x  4 x  17 x  6
5 x  3 5 x  2 3x  1
1 2
3 
1
.
 2x2  3  


5  x  3 x  2  3x  1
4.20
3x 4  14 x 2  7 x  15
 x  3  x 2  2 
2

A
Bx  C
Dx  E

 2
2
x  3  x2  2
x 2
Решение
Найдём неопределённые коэффициенты:
A  x 2  2    Bx  C  x  3   Dx  E  x  3  x 2  2   3 x 4  14 x 2  7 x  15
2
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ax4  4 Ax2  4 A  Bx2  3Bx  Cx  3C  Dx4  2Dx2  3Dx3  6Dx  Ex3 
 2Ex  3Ex2  6E   D  A x4   3D  E  x3   A  B  2D  3E  4 A x2 
  3B  C  6D  2E  x   2 A  3C  6E  4 A .
D  A  3
3D  E  0

 B  2 D  3E  4 A  14
3B  C  6 D  2 E  7

3C  6 E  4 A  15
D  3  A
 E  9  3 A

 B  6  2 A  27  9 A  4 A  14
3B  C  18  6 A  18  6 A  7

3C  54  18 A  4 A  15
D  3  A
 E  9  3 A

 B  11A  35
3B  C  7

3C  22 A  69
Тогда
D  3  A
 E  9  3 A

11A  35  B
C  7  3B

 21  9 B  70  2 B  69
3 x 4  14 x 2  7 x  15
 x  3  x 2  2 
2

A  3
B  2

C  1
D  0

 E  0
3
2x  1
.

x  3  x 2  2 2
4.21 Разложить многочлены на множители
а) P  x   x 4  5 x 3  7 x 2  5 x  6 ;
б) P  x   x 4  3 x3  2 x 2  2 x  4 ;
в) P  x   x 4  15 x 2  10 x  24 .
4.22 Найти корни многочлена
а) P  x   2 x 4  3 x 2  7 x  6 ;
б) P  x   x3  7 x 2  16 x  2 .
Разложить дроби на сумму простейших
4.23
x3
.
3
x  3x 2  2 x
4.25
32 x
.
 2 x  1  4 x 2  16 x  15
4.27
4.24
3x3  5 x 2  25 x  1
 x  2  x  1
2
4.26
.
4.28
103
x2  1
.
x3  4 x
x2  2x  2
 x  2   x  3
2
x3  2 x 2  4
x  x  2
3
2
.
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.20
x
.
x3  1
4.31
x
4.30
1
 2   x  1
.
x2  2 x  7
 x  2   x 2  1
2x
2
.
.
4.32
1  x  1  x
4.33
31x  x 3  7 x 2  14
.
x 4  3x3  7 x 2
4.34
42 x3  135 x 2  160 x  37
.
 x  4  x  1  3x 2  10 x  1
4.35
x 4  6 x 3  x 2  33 x  39
.
x3  x 2  5 x  3
4.36
x6  2 x5  x3  2 x 2  1
.
x5  x 2
2
2
104

2 2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тест 4
1.Найти z , если z   3  i .
1: 3;
2: 4;
3: 2;
4:
3.
2. Найти (в градусах)   arg z , если z   3  i ,  180 0    180 0 .
1:
5
;
6
2:

6
;
5
;
6
3: 

4:  .
6
3. Найти z , если z  z1  z 2 , z1  13  5i , z 2  1  21i .
1: 400;
2: 12;
3: 20;
4: 20 .
4. Найти действительную часть Re(z), если z  z1  z 2 ,
z1  2cos 60 0  i sin 60 0 , z1  3cos1200  i sin1200  .
1:
1
;
2
1
2
2:  ;
3:
5 3
;
2
4: 
5. Найти z , если z  z1 z 2 , z1  8  15i , z 2  6  8i .
1: 28900;
2: 154;
3: 72;

6. Найти (в градусах)   arg z , если z  1  i 3
1:
2
;
3
2: 
2
;
3
3:
20
3

20
5 3
.
2
4: 170.
,  180 0    180 0 .
4:
7. Решить уравнение x 2  2 x  2  0 .
1: нет решений;
2: 1  i ;
3: 1  i ;

3
.
4: 2  2i .
8. Построить на плоскости множество точек z  3  5 .
9. Для комплексного числа (-1-i)3 найти ему сопряженное.
1: 22i;
2: 2+2i;
3: –2+2i;
4: –22i;
5: –44i.
10. Если i2=-1, то (1+i)3= ...
1: 2+2i;
2: 2i-2;
3:-2-2i;
4: 2-2i;
5: 2i.
11. Главное значение аргумента комплексного числа (-1+i)3 равно …
1: 2-2i;
2: –2+2i;
3: 2+2i;
105
4: –2-2i;
5: –4+4i.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. На рисунке представлена геометрическая иллюстрация комплексного числа
z  x  iy .
Тогда тригонометрическая форма записи этого числа имеет вид…


 i sin  ;
4
4



3: 2 cos  i sin  ;
4
4



 i sin  ;
4
4



4: 4 2  cos  i sin  .
4
4





1: 2 2  cos
2: 4 cos
13. Решить уравнение x 2  64  0 :
1:  8i ;
2: 8;
3: -8;
14. Рациональную дробь
дробей:
A
B
C
;


x 1 x  2 x  2
A
Bx
4:
;
 2
x 1 x  4
1:
(2 x  3)
( x  1)( x 2  4)
4: 8i .
можно разложить на сумму простейших
A
Bx  C
;
 2
x 1 x  4
A
Bx  Ñ
5:
.

x  1 ( x  2) 2
2:
15. Рациональную дробь
3:
A
B
;
 2
x 1 x  4
(2 x  3)
можно разложить на сумму простейших
( x  1)( x 2  1)
дробей
1:
A
B
C
;


x 1 x 1 x 1
2:
A
B
C
;


2
x 1 (x 1) x 1
4:
A
B
;

x 1 x 1
5:
A
B
.

x 1 (x 1) 2
3:
106
A Bx  C
;

x 1 x 2 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ответы к главе 4

2
в ) z  1, аrg z  ;
аrg z  arctg ;
3
2

2
г ) z  2, аrg z   ; ä) z  13, arg z  àrctg  . 4.5 z1+z2= 7+7i; z1- z2 = -3-i.
3
2
4.6 а) 26; б) 7+9i; в) - 2i; г) 3-4i.
4.7 а ) 1  2i 2; б )  1  i; в)1  i.
5 3
4 3
7 21
271
35
11

i. 4.9 а) 90; б )  .
4.8 а )  i; б )   i; в )   i; г )
17
5 5
10 10
2018 2018
2 2
4
1
4.10 а ) ; б ) . 4.11 а)1 cos00  sin 00  ;
б )  1 сosП  i sin П  ;
2
3


5
5 

 



в ) 2  cos  i sin  ; ã) 2  cos
 i sin
 i sin
 ; ä)  cos
;
4
4
3
3 
6
6 





2
2 
2
2 



å)  ños   sin  ; æ )  cos
 i sin
 i sin
 ; ç) 4  cos
;
2
2
3
3 
3
3 






и ) 2  cos  i sin  ;
4.12 а)  5 i; б )1  2i;
к ) 5   cos   i sin  
2
2

4.4 а ) z  2, аrg z  0;
б ) z  13,
5 
i
6
2 i
3
1  23i
в) e .
.
4.13 а) 2e ; á ) 2e ;
6
5
5 
5
5 
7
7 



б )10  cos  i sin  ; в) 2  cos  i sin .
4.14 a ) 6  cos
 i sin  ;
12
12 
6
6 
12
12 



1 
 17  
 17   
4.15 a) cos 450  i sin 450 ; б )
 cos  12   i sin  2   ;
2




i
в) 2  2i; г )
 17  
2 i  12 
 
 
в) cos     i sin    ; г )
. 4.16 a ) 16  16i 3;
e
2
 6
 6
б ) 215  0  i  1   215 i. в ) cos16  i sin16  1; г ) 16 3  16 i; д) 8i; е) 1296;
ж) 512i. 4.17 а) 4 1cos

 2k
 2k 
 i sin
 , гдеk  0,1,2,3;
4
4 
2k
2k 
  4k
  4k

 i sin
 i sin
, k  0,1,2 ; в) 2  cos
 , k  0,1,2 ;
6
6
3
3 

2k
2k 
4k  1
4k  1 


 i sin
,

0,1,2
)
3
cos


sin

г )  cos
k
д
i
;


 , k  0,1,2 ;
3
3 
6
6 


8k  3
8k  3 

е) 10 8  cos 
 i sin 
 , k  0,1,2,3,4 ;
20
20


2k  1
2k  1 

ж) 2  cos 
 i sin 
 , k  0,1,2,3,4,5 .
6
6 

б ) cos
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.21 a) P  x    x  2  x  3  x 2  1 ; б ) P  x    x  2  x  1  x 2  2 x  2  ;
4.22 a) x  2, x  1 ; б ) x  2, x  3 .
в ) P  x    x  3 x  4  x  2  x  1 .
3
4
5
1
3
3


4.23  
.
4.24  
.
2x x  1 2 x  2
4x 8 x  2 8 x  2
2
12
10
4
2
1
4.25
4.26
.


.


2
2x  1 2x  3 2x  5
5  x  2   x  2  5  x  3
4.27
5
3
6
.


x  2 x  1  x  12
4.28
1
1
1
1
1
.
 2


2
3
x
x
4 x 2  x  2 4  x  2
4.29
3  x  1 2  x  2 
3
x 1
1
.
4.30
.



5  x  2  5  x 2  1  x 2  12
3  x 2  x  1 3  x  1
4.31
x 1
1
.

2
3  x 2  2  3  x  1
4.32
1
x 1
x 1
.


2  x  1 1  x 2  2  x 2  1
2 5
4x  6
7
6
3x  5
  2
.
4.34

 2
.
2
x  4 x  1 3 x  10 x  1
x
x x  3x  7
3
5
6
x 1
1
1
4.35 x  7 
. 4.36 x  2  2 
.



2
2
x
3  x  1 3  x  x  1
 x  1 x  1 x  3
4.33
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Итоговый тест МА-1
1. Дополнить формулировку:
Множество, не содержащее ни одного элемента, называют ...
1: пустым;
2: ограниченным;
3: несчётным.
2. Дополнить формулировку:
Два множества называют ..., если они состоят из одних и тех же элементов
1: элементарными;
2: равными;
3: счётными.
3. Дополнить формулировку:
... действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и
противоположное число -х, если х отрицательно.
1: аргументом
2: модулем;
3. квадратом.
4. Функция y  x  x 2 отображает множество 0,1 на множество…
 1
 1 1
1: 0 ;
2:  ;
3:  0,  ; 4:   ,  .
 2
 2 2
4x  8
5. Вычислить предел lim 3
x 2 x  8
1: 0 ;
3: 1 3 ;
2: 3 ;
6. Вычислить предел lim
x 
1: 1 ;

4: 4.
2
x  2x  x

3:  ;
2: 2 ;
4: 0.
3
5x  4x  1
7. Вычислить предел lim
x  8 x  7 x 3  1
1: 1 2 ;
2: 5 7 ;
3: 1 ;
4: 5/8.
sin 6 x
x  0 tg 2 x
8. Вычислить предел lim
1: 6;
2:3;
3: 2;
 n  3
9. Вычислить предел lim 

n
 n 
32
1: e ;
12
2: e ;
4: 0.
n 2
3:
1
e e
;
109
4: ∞.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. Отметить номер предела, равного бесконечности
( 2 x  3)(4 x  1)
;
x 
x2  3
5 x 2  3x  1
7x 2  4x  1
;
3:
;
lim
x x3  2x 2  2
x  5 x 2  x  3
1: lim
5: xlim

2: lim
4: lim
3x  1
x
x2  x
;
x3  4
.
x2  x  8
11. Выбрать функцию, наиболее точно соответствующую графику.
1: y  2 2 cos( x   / 4 ) ;
2: y  2 2 cos( x   / 4 ) ;
3: y  2 2 sin( x   / 4 ) ;
4: y  2 2 sin( x   / 4 ) ;
5: y  2 2 sin( x  3 / 4 ) .
12. Выражение (A  B)  C  A  C  B  A при C=0 равно …
1: A;
3: A  B;
2: B;
4: A  B;
5: 0.
13. Отметить номер предела, равного нулю
3x 2  x  2
;
x 
7x2  9
1: lim
2: lim
2x 2  4x
x  3
x4  3
;
2x 3  2x  3
;
x  x 2  x  3
3: lim
5x 2  4
;
x  x 4  x 2  3
4: lim
(2 x  1)( x  3)
.
x  5 x 2  x  2
5: lim
 x 2  a, x  1
непрерывна на всей числовой оси, если a равно



x
x
3
1
,
1

14. Функция f ( x)  
1: 1; 2: 0; 3: -3; 4: -1; 5: 3;
15. Функция f определена на всей числовой прямой. Если для любых a и b,
удовлетворяющих условию a>b, выполняется неравенство f(b)-f(a)<0, то f
обязательно:
1: возрастает; 2: ограничена; 3: убывает; 4: не ограничена; 5: отрицательна.
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16. Функция f определена на всей числовой прямой. Если для любых a и b,
удовлетворяющих условию a<b, выполняется неравенство f(b)-f(a)>0, то f
обязательно:
1: монотонно возрастает; 2: строго возрастает; 3: монотонно убывает;
4: строго убывает; 5: положительная функция.
17. Максимума функция y  x 3  12 x 2  36 x  10 достигает в точке
1: (2, 22);
2: (-1, 59) ;
3: (1, 15);
4: (0, -10).
18. Если S (t )  3t 2  t , то S (5) равно
1: 29;
2: 30;
3: 31;
4: 28.
19. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе y  x 2
в начале координат
1: 1;
2: 0 ;
3: -1;
4: 0,5.
20. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе y  x 2 в
точке (3, 9)
1: 6;
2: 0;
3: -1;
4: -6 .
21. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе y  x 2 в
точке (-2, 4)
1: 1;
2: 0 ;
3: -4;
4: 4.
22. В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической
параболе y  x 3 равен 3?
1: (1, 1);
2: (-1, -1);
3: (1, 1);
4: (1, -1) .
23. Уравнение касательной, проведенной к кривой y  x 3 в точке с
абсциссой 2, имеет вид:
1: y  12 x ;
2: y  16  12 x ;
3: y  12 x  16 ;
111
4: y  12 x  16 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24. При каком значении независимой переменной касательные к кривым
y  x 2 и y  x 3 параллельны?
2
2
2
1: x  0, x   ;
2: x  0 ;
3: x  0, x  ; 4: x  .
3
3
3
25. В какой точке касательная к параболе y  x 2 параллельна прямой
y  4x  5 ?
1: (2, 4);
2: (-2,- 4);
3: (1, 4) ;
4: (2, 3).
26. Угол поворота шкива в зависимости от времени t задан функцией
  t 2  3t  5 , тогда угловая скорость при t=5с равна
1:   10 рад/с;
2:   11рад/с ; 3:   13 рад/с; 4:   6 рад/с.
27. Укажите вид графика функции, для которой на всем отрезке [a,b]
одновременно выполняются три условия: y>0, y   0 , y   0 .
1: только I;
4: только III;
2:только II; 3: только I и IV;
5: только II и IV.
28. Найти второй дифференциал функции y  ln x
dx
1: 2 ;
x
 2dx 2
2:
;
x3
3:
dx 2
;
x2
112
dx 2
4:  2 .
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
29. Угловой коэффициент касательной к кривой y  x 2  3 в точке
x0  1 равен:
1: 2;
2: 0;
3: 1;
4: -1.
30. Функция f определена на всей числовой прямой. Если для любых a и b ,
удовлетворяющих условию a  b , выполняется неравенство f (a)  f (b) ,то
функция ...
1: возрастает;
2: убывает;
3: чётная;
4: нечётная.
31. Функция убывает , если
1: y   0 ;
2: y  не существует;
3: y   0 ; 4: y   0 .
32. Точка x0 является точкой минимума функции y  f ( x) , если
1: При переходе через эту точку производная не меняет знак;
2: При переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-»;
3: При переходе через эту точку производная меняет знак с «-» на «+»;
4: f ( x0 )  0 .
33. Точка x0 называется точкой максимума функции y  f ( x) , если существует
окрестность точки x0 , для всех точек которой отличных от точки x0 ,
выполняется неравенство
1: f ( x0 )  f ( x) ; 2: f ( x0 )  f ( x) ;
34.
3: f ( x0 )  f ( x) ;
4: f ( x0 )  f ( x) .
Для комплексного числа (-1-i)3 найти ему сопряженное.
1: 22i;
2: 2+2i;
3: –2+2i;
4: –22i ;
5: –44i.
35. Главное значение аргумента комплексного числа (-1+i)3 равно …
1: 2-2i;
2: –2+2i;
3: 2+2i;
4: –2-2i;
5: –4+4i.
36. Дано комплексное число z =2+2i, тригонометрическая форма записи этого
числа имеет вид…






1) 2 2  cos  i sin 
2) 4 cos  i sin 
4
4
4
4








3) 2 cos  i sin 
4) 4 2  cos  i sin 
4
4
4
4


113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
37. Число, сопряженное комплексному числу (2-3i)2 равно…
1:  5  12i ;
38. Значение (3-2i)2 при
1: 4  8i ;
3: 2  3i ;
2:  5  2i ;
2:  3  12i ;
39. Рациональную дробь
4: 4  4i ;
5: 6  i .
i 2  1 , равно…
3: 5  12i ;
4: 6i ;
5: 5 .
( x  3)
можно разложить на сумму простейших
( x  1) 2 ( x 2  4)
дробей:
A
Bx  C
;
 2
2
( x  1)
x 4
A
Bx  Ñ
5:
.

x  1 ( x  2) 2
A
B
Cx  D
;

 2
2
x 1 x  4
( x  1)
A
Bx
4:
;
 2
x 1 x  4
1:
2:
40. Рациональную дробь
3:
A
B
;
 2
x 1 x  4
( x  3)
можно разложить на сумму простейших
( x  1)( x 2  4)
дробей
1:
A
B
C


;
x 1 x  2 x  2
2:
A
B
C


;
2
x 1 (x 1) x  2
4:
A
B

;
x 1 x  2
5:
A
B

.
x 1 (x  2) 2
114
3:
A Bx  C

;
x 1 x 2  4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИЛОЖЕНИЯ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Вариант № 1
Найти пределы:
3x3  5 x 2  2
;
x  2 x 3  5 x 2  x
1)
lim
3)
1  cos x

lim
; x0  , x0  0.
2
x  x0
5x
3
5)
lim
7)
3x 2  x
lim
;
x  x  3
9)
lim x ctg 2 x;
x 0
x 0
11) lim
x 0
13)
1 x  1 x
;
3x
tg5 x
;
ln 1  4 x 
arcsin  x  2 
;
x 2
x2  2 x
lim
5x  2 x
15) lim  x
;
x 0 e
1
17) lim
x 0
cos 4 x  cos 2 x
;
arc tg 2 3x
2)
2 x 2  3x  1
; x0  1, x0  2.
x  x0 2 x 2  5 x  3
4)
 x3
lim 
 ;
x  x  2


6)
lim
8)
x3  4 x 2  4 x
lim 3
;
x 2 x  12 x  16
lim
x
10)
3x  2
;
x  5 x  2 x 2  3
3
lim  2  x 
x 1
1
x3 1
;
3
12) lim x  tg ;
x 
x
sin 5 x
;
x  sin 6 x
14) lim
16) lim
sin  e x 1  1
ln x
x 1
18) lim
x 0
116
4
;
x  16  2
.
sin 5 x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Вариант № 2
Найти пределы:
3x3  1
;
x  2 x 3  4 x  2
1)
lim
3)
arcsin 2 x
1
lim
; x0  0, x0  .
x  x0
5x
2
5)
2 x 3
lim
;
x 7
x7
7)
3x 2  3x  1
lim 3
;
x  5 x  2 x  1
9)
lim 3 x ln x;
x 0
11) lim
x 0
13)
tg3 x
;
ln 1  2 x 
arc tg  x  2 
;
x 2
x2  2x
lim
2)
3x 2  14 x  5
; x0  5, x0  2.
x  x0 x 2  2 x  15
4)
 2x 1 
lim 
 ;
x  2 x  1


6)
2x2  5x  2
lim
;
x 
3x  5
8)
2 x2  9 x  4
lim
;
x 4
5 x  x 3
lim
x
10) lim  3  x 
x 2
5
x3 8
;
2
12) lim x  sin ;
x 
x
tg5 x  ctg6 x;
14) lim
x 
sin 2 x  2sin x
;
x 1
x ln cos5 x
e2 x  1
15) lim  x  x ;
x 0 5
3
16) lim
arcsin 2 x
;
17) lim
x 0 5 x  3  5 3
ex  e
.
18) lim
x 1 sin x 2  1
 
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Вариант № 3
Найти пределы:
1)
lim
3x5  x 2  8
;
x  6 x 3  x  2
2)
x2  x  2
; x0  1, x0  2.
x  x0 2 x 2  x  1
3)
6x
; x0  0, x0  1.
x  x0 arc tg x
4)
lim 1  2 x  x ;
5)
lim
6)
lim
7)
2 x2  5x  3
lim
;
x 
2 x2  3
8)
lim
9)
x 
 1
lim 

;
x 1 ln x
x 1

 2x  7 
10) lim 
 ;
x  2 x  3


lim
x 0
x
;
1  3x  1
11) lim
x 0
tg 2 x
;
ln 1  5 x 
13) lim1
arcsin 1  2 x 
;
4 x2  1
x
2
lim
1
x 0
3x
;
x  x  2 x  1
2
arc tg 2 x
;
x 0
5x
4x
12) lim 2 x  tg
x
14)
x
lim
x 
53 x  43 x
15) lim
;
x 0
x
16) lim
x 0 4
arc tg 2 2 x
17) lim
;
x 0 cos3 x  cos x
18) lim
x 1
118
2
1
;
2x
 3  sin 5 x
2
esin x  1
ln cos x
1 x 1
2
x3  1
.
sin  x  1
;
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Вариант № 4
Найти пределы:
1)
lim
3x2  5 x  1
;
x  2 x 3  4 x  5
2)
x 2  7 x  10
; x0  2, x0  1.
x  x0 2 x 2  9 x  10
3)
cos x  cos3 x

lim
; x0  0, x0  .
2
x  x0
6
x
4)
lim 1  2 x   ln  x  1  ln x  ;
5)
1  1  n2
lim
;
n 0
n2
6)
3x 4  2 x 2  3
lim
;
x  5 x 4  3 x 3  2 x
7)
3x 2  2 x  1
lim
;
x 
2x  2
8)
lim
9)
lim cos x  tg5 x;
x
2
7 x  7 2 x
11) lim
;
x 0
3x
13) lim1
x
2
arcsin 1  2 x 
;
1  4 x2
10)
lim
x 
2x  1  x  6
;
2 x 2  7 x  15
x 5
lim  3  2 x 
x 1
1
1 x 2
;
 1x 
x  e  1 ;
12) lim
x 


tg3x  ctg 4 x;
14) lim
x 
15) lim
x 0
arcsin 3 x
;
ln 1  8 x 
16) lim
17) lim
x 0
cos5 x  cos3 x
;
tg 2 2 x
18) lim
x2
x 1
119
sin  e x 2  1
tg  x  2 
sin 1  x 
7
x 1
.
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Вариант № 5
Найти пределы:
1)
lim
2x4  5x2  3
;
x  5 x 4  2 x 3  4 x
2)
2x2  7 x  3
; x0  3, x0  2.
x  x0 x 2  4 x  3
3)
arc tg 2 x
1
; x0  0, x0  .
x  x0
4x
2
4)
lim  3 x  2   ln  x  1  ln x  ;
5)
3x  2  2
lim
;
x 2
x2  4
6)
2 x3  5 x 2  3
lim
;
x 
x2
7)
lim
3x  2
;
x  3 x 3  2 x 2  3
8)
lim
9)
1
 1
lim 
 ;
x 0 sin x
x

lim
arcsin  x  2 
11) lim
;
x 2
x2  4
lim
x 
3  2x  x  4
;
3x 2  4 x  1
x 1
10) lim  5  2 x 
x 2
1
4 x 2
;
ctg 2 x
;
12) x


2 ctg 
 x
2

lim
sin 2 2 x
tg10 x
;
13) lim
x 0 ln 1  15 x 
14) lim
x 0
22 x  32 x
15) lim 2 x
;
x 0 e
1
16) lim
x 0
arc tg 2 2 x
17) lim
;
x 0 cos7 x  cos3 x
x2
18) lim
.
x 1 sin x
120
x

5

1 x 1
ln cos x
;
ln 1  x 2 
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Вариант № 6
Найти пределы:
1)
lim
3  x  5x4
;
x  x 4  12 x  3
2)
2x2  7 x  4
; x0  4, x0  0.
x  x0 x 2  3 x  4
3)
x 2 ctg3x

lim
; x0  0, x0  .
x  x0 sin 2 x
4
4)
lim  2 x  1  ln  x  3  ln x  ;
5)
1  3x  1  2 x
lim
;
x 0
x  x2
6)
3x 2  5 x  1
lim 3
;
x  6 x  2 x 2  3
7)
3x3  2 x 2  3
lim
;
x 
x
8)
x2  x  2
lim
;
x 1
x3  1
9)
 1 sin x 
lim  2  3  ;
x 0 x
x 

10)
arctg  x  2 
;
x 2
x3  8
12) lim 1  x   tg
arcsin 2 3 x
lim 2
;
x 0 ln 1  3 x 
14)
11) lim
13)
lim
x 
lim  3  x 
x 2
3
x2 4
x 1
x
;
2
lim tg 4 x  ctg 6 x;
x
2
5 x  53 x
15) lim 2 x
;
x 0 e
1
16) lim
tg 2 6 x
17) lim
;
x 0 1  cos3 x
18) lim
x 0
x 2
121
;
tg ln  3x  5 
e x 3  e x
2
1
;
sin 3x
.
x3 3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Вариант № 7
Найти пределы:
1)
lim
x  2 x2  5x4
;
x  2  2 x 2  x 4
2)
2 x 2  13x  20
; x0  4, x0  2.
x  x0
x2  6 x  8
3)
1  cos6 x

; x0  0, x0  .
x  x0 1  cos 2 x
6
4)
lim  x  1  ln  x  3  ln x  ;
5)
1  3x 2  1
lim
;
x 0
x 2  x3
6)
3x 2  2 x  1
lim 3
;
x  3 x  2 x  1
7)
5 x5  4 x 4  3x3
lim
;
x 
2 x2  3
8)
lim
9)
lim
lim
x
4
1  tg x
;
cos 2 x
10)
lim
x 
1 x  1 x
;
x
x 0
lim  7  3 x 
x 2
x
x 2 3 x  2
x3  2 x 2
11) lim
;
x 0 arcsin 2 x
 1x 
x  2  1 ;
12) lim
x 


tg 2 6 x
;
13) lim
x 0 ln 1  6 x 
14) lim
32 x  34 x
15) lim 3 x
;
x 0 e
1
16) lim
x 0
arc tg 4 x 2
17) lim
;
x 0 1  cos 2 x
ln 2 x
18) lim
.
x 1 1  cos x
x
122
2
;
1  sin 3 x
;
cos 2 x
ln 1  x  tg x 
5
1  x2  1
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Вариант № 8
Найти пределы:
2)
3x 2  14 x  5
; x0  5, x0  2.
x  x0 x 2  6 x  5
4)
lim  7  6 x  3 x3 ;
5)
2x  1  5
lim
;
x 3
x3
6)
3x 2  2 x  5
lim 4
;
x  4 x  3 x 3  2 x 2
7)
6 x3  3x  2
lim
;
x  3 x 3  2 x
8)
lim
9)
limsin x ln x ;
x 0
 5 x  8 ln  2 x  3  ln  2 x  5 ;
10) lim
x 
x3  3x 2
;
x 0 arcsin 2 x


12) lim   x  tg3x;
x  2

2
1)
3)
5 x 2  3x  1
;
x  x  5  3 x 3
lim
x
2 ; x  0, x  2.
0
0
3
tg 3
lim
x  x0
x
11) lim
13) lim
x 0
tg 2 3 x
;
ln 1  x 2 
lim
1
x 1
x 3
5x  1  4
;
x3
esin x  1
14) lim
;
x 1
x 1
e3 x  e  x
15) lim 4 x
;
x 0 3
1
ln  2 x  5 
.
16) lim 4
x 3 1  x  4 4
arcsin 2 2 x
17) lim
;
x 0 1  cos 4 x
18) lim
x 0
123
sin 6 x
.
x9 3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Вариант № 9
Найти пределы:
1)
lim
7 x 4  2 x3  2 x
;
x 
x 4  3x
2)
2 x3  3x  1
; x0  1, x0  2.
x  x0 x 2  2 x  3
3)
1  cos 4 x

; x0  0, x0  .
x  x0 2 x tg 2 x
4
4)
lim  3x  5  x2 ;
5)
1  3x  2 x  6
lim
;
x 5
x2  5x
6)
6 x3  2 x  3
lim
;
x 
3x 2  x
7)
3x3  2 x  1
lim 5
;
x  2 x  2 x  3
8)
x 2  7 x  10
lim
;
x 2 2 x 2  9 x  10
9)
1
 1
lim 
 2 ;
x 0 x sin x
x 

10)
11) lim
ln 1  sin 2 x 
;
x 0
tg5 x
12) lim
x 0
3x 2  5 x
13) lim
;
x 0 arcsin 3 x
x 2  2
14) lim
;
x  sin x
lim
lim
2
x 2
lim  5 x  3 ln  4  3 x   ln  5  3 x   ;
x 
1 x 1
.
sin    x  2  
tg  e 2 x  1
1  cos7 x 
;
15) lim
x 0  x sin 7 x 


16) lim
e x1  1
17) lim x 2
;
x 1 2
 23 x
3
18) lim x  sin .
x 
x
x 0
124
ln  e  x   1
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Вариант № 10
Найти пределы:
1)
lim
8 x5  3x 2  9
;
x  2 x 5  2 x 2  5
2)
2 x2  5x  3
; x0  1, x0  3.
x  x0 x 2  x  2
3)

lim 5 x  ctg 3 x; x0  0, x0  .
x  x0
4
4)
lim  3x  8  x3 ;
5)
x2
lim
;
x 2
2x  2
6)
3x 2  2
lim 3
;
x  x  x  1
7)
5x4  2x  3
lim
;
x 
3x 2  2
8)
5  22  x
;
x 3 1 
4 x
9)
 1 arc tg x 
lim  2 
;
x 0 x
x3 

10)
11) lim
x 0
ln 1  4 x 2 
1  x2  1
;
arcsin  x  5 
;
x 5 x 2  6 x  5
13) lim
lim
2
x 3
lim
lim  7  10 x  ln 1  2 x   ln  5  2 x   ;
x 
4
12) lim x  tg ;
x 
x
1  cos x  ctg 2 x;

14) lim
x 1
ln  9  2 x 2 
1  cos 2 x
15) lim
;
x 0 3 x  arcsin x
16) lim
e 4 x  1
lim
;
17) x0  
1 
tg  2  x   
2 
 
2 x  16
.
18) lim 5
x4
5  x 1
x 2
125
sin 2 x
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Вариант № 11
Найти пределы:
1  4x
;
x  5 x  2
2)
2 x 2  x  10
; x0  2, x0  2.
x  x0 x 2  5 x  6
4)
 x4
lim 
 ;
x  x  2


5)
1 x  1 x
lim
;
x 0
5x
6)
3x 2  2 x  3
lim 3
;
x  4 x  2 x 2  1
7)
4 x5  2 x3  x
lim
;
x 
3x3  2
8)
lim
9)
lim
1)
lim
3)
1  cos x
lim
;
x 0 13 x 2
x
arcctg 2 x
;
x 0
4x
lim
x 2
arcsin  x  2 
3
2 x  x 2
9
x 2
;
arctg  x  4 
;
x 4 x 2  3 x  4
15) lim
2
x1
x x
;
x2  x
10) lim  3 x  5 
ln 1  4 x   ctg    x  3  ;
11) lim
x 0
13)
lim
3x  1
17) lim
;
x 0 cos9 x  cos x
x
12) lim3  tg
x
14) lim
x
1
x2 2 x
2
;
3x
1  sin 2 x
   4x
4
16) lim
x 1 4
;
2
;
ln x
1 x  x 1
2
;
 3

cos   x   tg x
18)
 2

lim
.
x 0
arcsin 2 x 2
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Вариант № 12
Найти пределы:
12 x3  4
;
x  3 x 3  2 x  6
2)
2 x 2  13x  20
; x0  4, x0  1.
x  x0
x2  2 x  8
4)
 4x 1 
lim 
 ;
x  4 x  1


5)
2 x 2
lim
;
x 6
x6
6)
3x 2  5 x  1
lim 4
;
x  3 x  2 x  3
7)
 x5  3
lim 2
;
x  2 x  x  3
8)
lim
9)
lim 1  e 2 x  ctg x;
1)
lim
3)
arccos3x
3
lim
; x0  0, x0 
.
x  x0
6x
6
11)
3
x 0
arcsin 2 x
;
x 0

cos  x  3
2
lim
3x  37 x
13) lim
;
x 0 sin 3 x
2
e 4 x  1
15) lim 2
;
x2 x  5 x  6
17)
lim
x 0
tg 3 2 x
;
x  cos3 x  cos x 
lim
x
10)
x 7
2 x 3
;
x 2  49
lim  9  4 x 
x 2
1
x 3 8
;
1


x 1  2 x  ;
12) lim
x 


ln  x  2   ln 2
;
x 0
x
14) lim
2
2cos x  1
lim
;
16)
 ln sin x
x
2
18) lim
x 1 4
127
sin x
x  x 1 1
3
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Вариант № 13
Найти пределы:
4 x3  x 2  6
;
x 
4x  3
1)
lim
3)
1  cos3x

lim
; x0  0, x0  .
x  x0
3x
3
5)
x x
lim 2
;
x 1 2 x  2 x
7)
2 x 2  3x  5
lim
;
x 
4 x2  x
9)
lim
x
6
1  2sin x
;
cos3x
17) lim
x 0
2
e2 x  1
;
x 0 ln 1  2 x 
4
x 2 3 x  4
;
arc tg  x 2  2 x 
sin 3x
x 2
 1
tg 10 x
8)
lim
14) lim
cos 2 x  cos x
ln 1  x 2 
6)
2x2  2x  3
lim
;
x 
5 x  6 x3
2x


tg   x  tg 2 x;
12) lim
x 0
2

arctg 2 x
;
13) lim x
x 0 a  a  x
2x
4)
 2x  1 
lim 
 ;
x 
 2x 
x 4
arcsin 2 x
;
x 0 2 3 x  1
e
2x2  7 x  3
; x0  3, x0  2.
x  x0 x 2  4 x  21
lim
10) lim  2 x  7 
11) lim
15) lim
x 0
2)
2
;
16)
lim
x 
ln cos 2 x
 
1  
x

3
;
18) lim 4
x 1
128
x 1
.
x 1
2
;
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Вариант № 14
Найти пределы:
1)
lim
3x 6  2 x 4  x
;
x 
x  2 x6
2)
3)
14 x
1
; x0  0, x0  .
x  x0 arc tg 2 x
2
4)
lim 1  3 x  x ;
5)
lim
6)
2 x3  2 x  3
lim 5
;
x  4 x  5 x  2
7)
3x 2  2 x  3
lim
;
x 
x5
8)
4  4 x3
lim
;
x 1
ln x
lim x ctg5 x;
 2x2  3 
10) lim  2

x  2 x  x  1


9)
lim
x 7
4x
;
1  4x  1
x 0
11) lim
x 0
1  cos x
e
3x
 1
2
;
x arcsin 2 x
13) lim
;
x 0
sin 3 2 x
15) lim
x 0
17)
tg x  sin x
;
x 1  cos 2 x 
3x  9
;
x  2 arc tg  x  2 
lim
lim
x  x0
x 2  10 x  21
; x0  3, x0  2.
2 x2  5x  3
1
x 0
12) limsin
x 
14)
1
1
ctg ;
5x
3x
1  5x  1
;
x 0
   x  3 
cos 

2


lim
ln x  1
;
xe x  e
16) lim
18) lim
x 0 5
129
x 1
ln 1  x 4 
1  3x 4  1
.
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Вариант № 15
Найти пределы:
1)
lim
3x 4  2 x3  x
;
x  x  8 x 2  5 x 4
2)
2 x 2  x  10
; x0  2, x0  3.
x  x0 x 2  5 x  6
3)
cos x  cos3 x

lim
; x0  0, x0  .
2
x  x0
x
4
4)
lim 1  4 x   ln  x  1  ln x  ;
5)
1  1  x2
lim
;
x 0
x2
6)
3x 2  2 x  1
lim
;
x 
x3  5 x
7)
3x  2
lim 3
;
x  2 x  5 x  3
8)
ex  1
lim
;
x 0 sin 2 x
9)
x
lim    x  tg ;
x 
2
10)
lim
x 
lim 13  3 x 
x 4
x
x 2 16
;
arcsin 4 x 2
;
11) lim
x 0
tg 2 5 x
12) limsin
5ln 1  7 x 
;
13) lim
x 0 3arc tg 4 x
1  x4  x2  1
.
14) lim
x 0 arcsin x 3  4 x


15) lim
x 0
x5  5
sin 3x
e2 x  e x
17) lim
;
x 0 sin 2 x  sin x
x 
1
1
ctg 2 ;
x
8x
7
ln cos 2 x
;
x  ln cos 4 x
16) lim
2
35 x 3  32 x
18) lim
.
x 1
sin x
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Вариант 1
Найти y :
1. y  ln 3 1  x  x 2 .
arcsin x
2. y 
.
2
1 x
3. y  arcsin  ln 2 x  .
4. y  ecos x  sin x .
5. y  cos 2 x .
 x  ln t

6. 
1 .
y


1 t
 x  sin t
.
7. 
y
tgt


8. y  1  te y .
9. Записать уравнение касательной плоскости к у(х) в точке x0 :
y  tg 2 x, x0  0 .
10. Найти приближенное значение: ln1,02 .
11. Тело движется по закону S  ln 1  t 2  .
Найти V и а при t0  4 .
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Вариант 2
Найти y :
3 x
1  2x  x2 .
2
2. y  ln 6 x 2  x  1 .
3. y  ln arcsin 5 x .
1. y 
4. y  4


5 x  tg 5 x .
5. y  1  sin 2 x .
6.
7.
8.
9.
 x  t 4
.

2t
 y  e
 x  sin 2 t
.

3

y
cos
t

y  arc tgy  x .
Записать уравнение касательной плоскости к у(х) в точке x0 :
2
y  e1 x , x0  1 .
10. Найти приближенное значение: 4 17 .
11. Тело движется по закону S  1  t 3 
Найти V и а при t0  3 .
132
t4
.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Вариант 3
Найти y :
2
x 1 x 1
arc tg
 ln
.
3
2 6 x 1
2. y  ln 1  2sin x  .
1.
y
3. y  x 1  x 2  arcsin x .
x
2
4. y  xe .
5. y   x 2  1 cos3 2 x .
 x  sin t
6. 
.
 y  tgt
 x  t 2  3
.
7. 
5
 y  t  7
8. x 2  y 2  2 xy  2
9. Записать уравнение касательной плоскости к у(х) в точке x0 :
y  x,
x0  4 .
10. Найти приближенное значение: cos320 .
11. Тело движется по закону S  1  2t  5t 2 .
Найти V и а при t0  3 .
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Вариант 4
Найти y :
1. y  ln
1  sin x
.
1  sin x
2. y  3 ln 4 (2 x  sin 2 3x) .
3. y  arc tg  ln 3 x  .
arcsin x 2
.
2  3x
5. y  x 3 ln  x  1 .
4. y 
 x  sin 2t
.
6. 
 y  tg 2t
 x  sin 3 t
.
7. 
2
 y  1  cos t
8. e x 2  xy  3 y  2  0 .
9. Записать уравнение касательной плоскости к у(х) в точке x0 :
y  ln x, x0  1 .
10. Найти приближенное значение: tg 430 .
1
11. Точка движется по оси 0х по закону x   t 4  4t 3  2t 2  12t  .
4
В какой момент времени точка остановится?
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Вариант 5
Найти y :
1
1
2
1. y   arc tgx   ln 1  x 2  .
2
2
2. y  x ar tg x .
1
3. y  ln cos x  cos 2 x .
2
 x2
e
.
4. y 
2x
1
5. y  arccos 2 .
x
t
 x  e
.
6. 
3
 y  t
3 t

 x  1  t 3
7. 
.
2
3
t
 y 

1  t 3
2
3
8. х sin y  y cos x  3 x  0
9. Записать уравнение касательной плоскости к у(х) в точке x0 :
y  x 3  2 x 2  4 x  3, x0  2 .
10. Найти приближенное значение: y  3 8,04 .
1
11. Точка движется по закону x  t 4  4t 3  16t 2 .
4
Найти V и а при t0  2 .
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Вариант 6
Найти y :


1. y  2ln x  x 2  4 .
2. y  arc tg  sin x  .
3. y  cos 2  sin 3 x  .
arccos 2x
4. y 
.
x
5. y  x ln 1  x 2  .
t
 x  e cos t
.
6. 
t

y
e
sin
t

 x  5sin t
7. 
.
y
5cos
t


8. x 3  y 5  1 .
9. Записать уравнение касательной плоскости к у(х) в точке x0 :
y  x 2  5 x  4, x0  1 .
10. Найти приближенное значение: ln 0,9 .
1
11. Тело движется по закону S  3t 2  5t  2 .
t
Найти V и а при t0  2 .
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Найти y :
cos x
.
1. y 
cos 2 x  1
3 x2  1
2. y  ln 2
.
4 x 1
1
ln tgx .
3. y 
2sin 2 x
ln cos x
4. y  2
.
x 1
5. y  e x  2  2t  t 2  .
Вариант 7
 x  e t cos t
.
6. 
t

y
e
sin
t

 x  3t  2
7. 
3
y  t  t
.
8. x 2  y 2  4 x  10 y  4  0
9. Записать уравнение касательной плоскости к у(х) в точке x0 :
y  x 2  6 x  5, x0  1 .
10. Найти приближенное значение:  0,96  .
3
11. Тело движется по закону x  t 3  3t 2  ln t 3 .
Найти V и а при t0  2 .
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Вариант 8
Найти y :
1. y  ln  2  cos 2 x  .
2.
1  sin x 
y  ln
1  sin x
3. y  sin(cos 2 x) .
2
.
1
4. y  arcsin 2 x  ln .
x
2
5. y   arc tgx  .
 x  ln 1  t 2 
.
6. 
2
y

t

 x  et cos t
.
7. 
t
 y  e sin t
8. x 2  3 y 2  4 xy  0 .
9. Записать уравнение касательной плоскости к у(х) в точке x0 :
1
y  1  , x0  2 .
x
10. Найти приближенное значение: sin 290 .
11. Тело движется по закону S  x 2  sin 2 x .

Найти V и а при t0  .
4
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Вариант 9
Найти y :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1  4x 2
.
y  ln
x
2x  1
arcsin x .
y
2
y  ln arc tge x .
cos x
y  ln 2
.
x 4
x
y  ln tg .
4
 x  arc tgt
.

2
 y  ln(1  t )
 x  t 2  1
.
7. 
3
2
 y  2t  t
8. 3 x 2  4 y 2  5 xy  2 .
9. Записать уравнение касательной плоскости к у(х) в точке x0 :
x
y
, x0  1 .
1 x
10. Найти приближенное значение: e0,01 .
1
11. Тело движется по закону S  t 2  tgt  1 .
2

Найти V и а при t0  .
4
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Вариант 10
Найти y :
1
2
1. y   arc tg 2 x  .
2


2. y  3ln x  x 2  3 .
3. y  x sin  ln x  x  .


4. y  ln 1  x  2 tgx .
x3  1
.
x3  1
 x  ln t
6. 
.
3
y

t

5. y 

x  t
7. 
y 
t

1
1 .
t
1
8. y  x  ln y
9. Записать уравнение касательной плоскости к у(х) в точке x0 :
y  x 3  8 x  2, x0  1 .
10. Найти приближенное значение: y  3 27, 2 .
11. Тело движется по закону S  t 3  2t 2  4t .
В какой момент времени его ускорение будет равно нулю?
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Найти y :
Вариант 11
1. y  2 x arc tg 2 x .
3
2. y  x x 2  3 .
2
3. y  ln tg (sin 5 x) .
4. y  arcsin 2 x  ln 2 x .
5. y  1  x  arc tgx .
 x  sin t  cos t
.
6. 
y
cos
t
sin
t



2
 x  t  1
.
7. 
3
 y  t  5
8. 3 x 2  y 2  3 xy  2 .
9. Записать уравнение касательной плоскости к у(х) в точке x0 :
x 1
y  2 , x0  0 .
x 1
10. Найти приближенное значение: ctg 430 .
11. Найти V и а в момент t0  3 , если тело движется
по закону S  e 2t  t 2  5 .
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Найти y :
1. y 
Вариант 12
4 sin 3x
.
e2x
x 1
.
x2  1
x sin x
y  arc tg
.
cos x
1
y   tg 2 x  ln cos 2 2 x  .
2
1
y  arc tg .
x
 x  ln(4  t 2 )
.

3
 y  t
1 3

x  t  t
.
3

 y  ln t
2. y  ln 4
3.
4.
5.
6.
7.
8. x y  y x .
9. Записать уравнение касательной плоскости к у(х) в точке x0 :
y  e 2 x  x, x0  1 .
10. Найти приближенное значение: (1,02)3 .
11. Тело движется по закону S  t 3  2t  3 .
Найти V и а при t0  2 .
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Вариант 13
Найти y :
e 3 x 5  2
.
ln 2 x
sin 3 2 x
2. y 
.
cos 2 3x
1. y 


3. y  ln x  x  x 2  2 x .
x
4. y  sin8 x  ln .
8
5. y  1  arc tgx .
 x  arc tgt

6. 
1 2 .
y

t

2
t
 x  e
.
7. 
3t
 y  e
8. x 3  y 5  1 .
9. Записать уравнение касательной плоскости к у(х) в точке x0 :
y  x 3  2, x0  1 .
10. Найти приближенное значение: e0,03 .
11. Тело движется по закону S  t 2  2t  cos 2t .

Найти V и а в момент t0  .
2
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Найти y :
Вариант 14
1. y  e x arcsin x .
x3  1
.
x2  1
y  2arc tg ln x .
y  tg 2 ( x 2  1) .
y  xtg 2 x .
t

x


t2 1
.

2
t
y 
t 1

2
 x  2t
.

3
 y  3t
2. y  ln 3
3.
4.
5.
6.
7.
8. x 2  y 2  4 x  10 y  4  0 .
9. Записать уравнение касательной плоскости к у(х) в точке x0 :
ln x
y
, x0  1 .
x
10. Найти приближенное значение: 5 .
11. Тело движется по закону S  t 4  2t 3  6t  2 .
Найти V и а при t0  3 .
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Вариант 15
Найти y :
1.
2.
3.
4.
xe x
y
.
1  x2
y  2arc tg sin x .
x3
y  ln sin
.
x
y  sin 3  x 2  3x  1 .
5. y  x  x .
 x  t  e  t
6. 
.
t
 y  1  e
 x  arc tgt
7. 
.
2
 y  ln(1  t )
8. e x 2  yx  3 y  2  0 .
9. Записать уравнение касательной плоскости к у(х) в точке x0 :
y  x 2  5 x  1, x0  1 .
10. Найти приближенное значение: 4 15 .
11. Тело движется по закону S  t 3  3t 2  2ln t .
Найти V и а при t  2 .
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 3
Вариант № 1
1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
16
y  x 2   16, 1;4
x
2) Провести полное исследование функции
4x
x3  4
2 x 1
б) y 
в) y   2 x  3 e  
а) y 
2
2
4 x
x
и построить её график.
Вариант № 2
1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
4
y  4  x  2 , 1;4
x
2) Провести полное исследование функции
2
x2  1
2 x 1
а) y  2
б) y  2
в) y    2 x  1 e  
x  2x
x 1
и построить её график.
Вариант № 3
1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
y  2 x  x,  0;4
2) Провести полное исследование функции
12
2 x  2
а) y  ln 1  x 2 
б) y 
в) y   2 x  5 e  
2
9 x
и построить её график.
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 3
Вариант № 4
1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
y  x  4 x  5, 1;9
2) Провести полное исследование функции
2 x 1
e 
x3
x2  x  1
б) y 
в) y 
а) y 
2
2  x  1
x 1
2  x  1
и построить её график.
Вариант № 5
1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
10 x
y
,  0;3
1  x2
2) Провести полное исследование функции
1 x
4 x2
б) y 
в) y   x  2  e3 x
а) y  ln
2
1 x
3 x
и построить её график.
Вариант № 6
1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
108
y  2 x2 
 59,  2;4
x
2) Провести полное исследование функции
3x 2  1
x 2  3x  3
 x 3
y

б)
в) y   x  4  e  
а) y 
3
x
x 1
и построить её график.
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 3
Вариант № 7
1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
4
y 3 x 
,  1;2
2
x

2


2) Провести полное исследование функции
4  x3
e 2 x
2
б) y 
в) y 
а) y  ln  x  1
x2
2 x
и построить её график.
Вариант № 8
1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
y  x  4 x  2  8,  1;7
2) Провести полное исследование функции
x2  4 x  1
а) y  x ln x
б) y 
в) y   3  x  e x  2
x4
и построить её график.
Вариант № 9
1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
4x
,  4;2
y
4  x2
2) Провести полное исследование функции
 x2
ex
2 x3  1
e 
б) y 
в) y 
а) y 
x2
x
x2
и построить её график.
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 3
Вариант № 10
1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
x2 8
y     8,  4; 1
2 x
2) Провести полное исследование функции
2
3 x 1
x2

x  1
e 

2
а) y  xe
б) y 
в) y 
3  x  1
x2
и построить её график.
Вариант № 11
1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
y  x 2  5 x  6,  10;10 
2) Провести полное исследование функции
2x
2x  1
x3 5 x 2
 6x
б) y  
в) y  2 x1
а) y  arc tg
2
1 x
3
2
e
и построить её график.
Вариант № 12
1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
1 1 
y  x  ,  ;10 
x 2 
2) Провести полное исследование функции
1
4x
e3 x 1
а) y 
б) y  2
в) y 
ln x  1
x 4
3  x  1
и построить её график.
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 3
Вариант № 13
1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
y  5  4 x ,  1;1
2) Провести полное исследование функции
1
 2
x 2  x  1
x2
x
в) y  2 x1
а) y  e
б) y 
2
e
 x  1
и построить её график.
Вариант № 14
1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
y  x 3  3 x 2  6 x  2,  1;1
2) Провести полное исследование функции
1

1
2 x
б) y 
в) y   x  7  e  x 1
а) y  e
2
1 x
и построить её график.
Вариант № 15
1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
x 1
y
,  0;4
x 1
2) Провести полное исследование функции
4 x3  5
x2  4
3 x 1
а) y 
б) y 
в) y   2 x  5 e  
2
x
 x  1
и построить её график.
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4
Вариант № 1
1. Выполнить действия и результат записать в алгебраической форме
2
 3  4i  2  i  ;
б) 1  i   2i ;
в)
а) 1  i    3  2i    4  i  ;
3i


5
1  i   cos  i sin 
 i 4  
5
5 
3
3

;
д)  e    cos  i sin  .
г)


4
4 

  
2  cos  i sin 
4
4

2. Решить уравнение x 2  6 x  13  0 . Корни уравнения изобразить на
комплексной плоскости.
3. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z  x  iy ,
если
а) x  1 ,
б) z  z0  3, z0  2  3i ,
в) y  2 .
4. Даны комплексные числа z1  6 3  6i,
а) Изобразить числа z1 , z2 , z2 ,  z2 .
z2  4i .
z1
, z1  z2 .
z2
в) Представить z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах.
б) Найти геометрически z1  z2 , z1  z2 ,
5. Пользуясь формулой Муавра, вычислить 1 i  .
6
6. Найти все значения 3 8 и изобразить их на комплексной плоскости.
7. Из равенства 1  i  x   4  2i  y  1  2i найти x и y , если
а) x и y - действительные числа, б) x и y - чисто мнимые числа.
8. Вектор, изображающий z1 , сжали в два раза и повернули на угол
Найти комплексное число, соответствующее полученному вектору.
151

.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4
Вариант № 2
1. Выполнить действия и результат записать в алгебраической форме
 2  3i  1  i  ;
2
б)  4  i   3i ;
в)
а)  2  3i    4  2i    2  7i  ;
2 i


4
1  i   cos  i sin 
 i 3  


4
4

;
д)  e    cos  i sin  .
г)


2
2

  
4  cos  i sin 
2
2

2. Решить уравнение 5 x 2  2 x  2  0 . Корни уравнения изобразить на
комплексной плоскости.
3. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z  x  iy ,
если
б) 1  z  2  3 ,
в) y  1 .
а) x  2 ,
3
3
4. Даны комплексные числа z1   
i, z2  12i .
2 2
а) Изобразить числа z1 , z2 , z2 ,  z2 .
z
б) Найти геометрически z1  z2 , z1  z2 , 1 , z1  z2 .
z2
в) Представить z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах.
5. Пользуясь формулой Муавра, вычислить

3 i

50
.
6. Найти все значения 6 1 и изобразить их на комплексной плоскости.
7. Из равенства  2  3i  x  y  4  2i найти x и y , если
а) x и y - действительные числа, б) x и y - чисто мнимые числа.
8. Вектор, изображающий z1 , растянули в 1,5 раза и повернули на угол

. Найти комплексное число, соответствующее полученному вектору.
6
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4
Вариант № 3
1. Выполнить действия и результат записать в алгебраической форме
 2  2i  4  5i  ;
2
б) 1  2i   4i ;
в)
а)  3  4i    4  2i    3  i  ;
3  4i


 2  2i   cos  i sin 

 3
i
i 

12
12 

;
д) 2e 4   0,5e 12  .
г)






4  cos  i sin 
3
3


2. Решить уравнение x 2  2 x  5  0 . Корни уравнения изобразить на
комплексной плоскости.
3. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z  x  iy ,
если


 ,
б) 1  z  5,
в) 1  y  3 .
а) x  1 ,
6
2
1 1
 i,
2 2
z2 ,  z 2 .
4. Даны комплексные числа z1 
а) Изобразить числа z1 , z2 ,
z2   3  3i .
z1
, z1  z2 .
z2
в) Представить z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах.
б) Найти геометрически z1  z2 , z1  z2 ,


6
5. Пользуясь формулой Муавра, вычислить 1  3i .
6. Найти все значения
4
81 и изобразить их на комплексной плоскости.
7. Из равенства x   4  2i  y  18  i найти x и y , если
а) x и y - действительные числа, б) x и y - чисто мнимые числа.

8. Вектор, изображающий z1 , сжали в 3 раза и повернули на угол  .
4
Найти комплексное число, соответствующее полученному вектору.
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4
Вариант № 4
1. Выполнить действия и результат записать в алгебраической форме
2
 4  3i  2  i  ;
б) 3  i  4i ;
в)
а)  2  4i    2  i    4  i  ;
2 i


 2  2i   2   cos  i sin 

 2
i 
i 
6
6

;
д) 2e 6   0,3e 8  .
г)





4  cos  i sin 
12
12 



2. Решить уравнение x 2  6 x  13  0 . Корни уравнения изобразить на
комплексной плоскости.
3. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z  x  iy ,
если
б) z  z0  3, z0  2  3i ,
в) y  1 .
а) 4  x  7 ,
4. Даны комплексные числа z1   4 3  4i,
z2 
а) Изобразить числа z1 , z2 , z2 ,  z2 .
3 3 3
 i.
2
2
z1
, z1  z2 .
z2
в) Представить z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах.
б) Найти геометрически z1  z2 , z1  z2 ,
5. Пользуясь формулой Муавра, вычислить
6. Найти все значения
4

3i

15
.
1 и изобразить их на комплексной плоскости.
7. Из равенства  4  3i  x  iy  3  2i найти x и y , если
а) x и y - действительные числа, б) x и y - чисто мнимые числа.
8. Вектор, изображающий z1 , растянули в 2 раза и повернули на угол
Найти комплексное число, соответствующее полученному вектору.
154

.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4
Вариант № 5
1. Выполнить действия и результат записать в алгебраической форме
 2  3i 1  3i  ;
2
б) 1  4   i ;
в)
а)  3  i    4  i    2  2i  ;
2  3i

i



2e 3 3   cos  i sin 
 2

i
i

6
6

;
г)
д) 21e 4   0, 2e 8  .





2  cos  i sin 
3
3


2. Решить уравнение 2 x 2  8 x  12  0 . Корни уравнения изобразить на
комплексной плоскости.
3. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z  x  iy ,
если
а) x  2 ,
б) z  z0  3, z0  1  i ,
в) y  4 .
4. Даны комплексные числа z1  3  3i,
а) Изобразить числа z1 , z2 , z2 ,  z2 .
z2  3i .
z1
, z1  z2 .
z2
в) Представить z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах.
б) Найти геометрически z1  z2 , z1  z2 ,


5
5. Пользуясь формулой Муавра, вычислить 2  12i .
6. Найти все значения
6
2 и изобразить их на комплексной плоскости.
7. Из равенства  4  3i  x  2iy  i найти x и y , если
а) x и y - действительные числа, б) x и y - чисто мнимые числа.

8. Вектор, изображающий z1 , сжали в 1,5 раза и повернули на угол  .
6
Найти комплексное число, соответствующее полученному вектору.
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4
Вариант № 6
1. Выполнить действия и результат записать в алгебраической форме
 3  i  2  4i  ;
2
б)  2  3i   4 ;
в)
а)  7  i    2  i    4  i  ;
2i
 

 
г)  4  cos  i sin  
3
3 
 
2
2. Решить уравнение 3x 2  14 x 
4
 8 i 
д) e   2e  .



i
2
4
4 

  cos
 i sin  ;
3
3 

218
 0 . Корни уравнения изобразить на
3
комплексной плоскости.
3. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z  x  iy ,
если
3
б) 2  z  4, 0     ,
в) y  1 .
а) x  4 ,
4
4. Даны комплексные числа z1   3  i,
а) Изобразить числа z1 , z2 , z2 ,  z2 .
z2  3 3  3i .
z1
, z1  z2 .
z2
в) Представить z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах.
б) Найти геометрически z1  z2 , z1  z2 ,
5. Пользуясь формулой Муавра, вычислить  2  2i  .
5
6. Найти все значения
плоскости.
3
2  2i и изобразить их на комплексной
7. Из равенства 4ix  3 y  7  2i найти x и y , если
а) x и y - действительные числа, б) x и y - чисто мнимые числа.
8. Вектор, изображающий z1 , растянули в 2 раза и повернули на угол
Найти комплексное число, соответствующее полученному вектору.
156

.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4
Вариант № 7
1. Выполнить действия и результат записать в алгебраической форме
2
 2  3i  3  2i  ; г)
1 

б)  4  i   2i ;
в)
а)  3  4i    3  i    4  8i  ;
1 i
2 


3
1
2



3e  cos  i sin  ;
3
3

i






д) 2   cos  i sin   0,5   cos  i sin  .
12
12 
4
4


2. Решить уравнение x 2  6 x  6  0 . Корни уравнения изобразить на
комплексной плоскости.
3. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z  x  iy ,
если


б) 4  z  5,      ,
в) 1  y  2 .
а) x  1 ,
2
4
3
6

i, z2  12 .
2
2
а) Изобразить числа z1 , z2 , z2 ,  z2 .
z
б) Найти геометрически z1  z2 , z1  z2 , 1 , z1  z2 .
z2
в) Представить z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах.
4. Даны комплексные числа z1 


5
5. Пользуясь формулой Муавра, вычислить  3  i .
6. Найти все значения
4
i и изобразить их на комплексной плоскости.
7. Из равенства  7  i  x  2iy  3  2i найти x и y , если
а) x и y - действительные числа, б) x и y - чисто мнимые числа.

8. Вектор, изображающий z1 , сжали в 2,5 раза и повернули на угол  .
5
Найти комплексное число, соответствующее полученному вектору.
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4
Вариант № 8
1. Выполнить действия и результат записать в алгебраической форме
12  4i  2  3i  ;
2
б)  2i  3  4i ;
в)
а)  2  i    4  2i    4  3i  ;
2  3i
2   cos30  i sin 30     3  cos90  i sin 90  

г)


3


3  cos 2  i sin 2 
5
;
6
 3 i 
д) e   2e  .



i
2
2. Решить уравнение x 2  3 x  4  0 . Корни уравнения изобразить на
комплексной плоскости.
3. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z  x  iy ,
если
б) z  z0  5, z0  3  4i ,
в) 1  y  4 .
а) x  2 ,
4. Даны комплексные числа z1   6  2i, z2 
а) Изобразить числа z1 , z2 , z2 ,  z2 .
1
3

i.
2 2
z1
, z1  z2 .
z2
в) Представить z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах.
б) Найти геометрически z1  z2 , z1  z2 ,
5. Пользуясь формулой Муавра, вычислить  1  i  .
7
6. Найти все значения
плоскости.
5
1  i
и изобразить их на комплексной
7. Из равенства 7 x   5  3i  y  2  3i найти x и y , если
а) x и y - действительные числа, б) x и y - чисто мнимые числа.
8. Вектор, изображающий z1 , растянули в 2 раза и повернули на угол
Найти комплексное число, соответствующее полученному вектору.
158

.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4
Вариант № 9
1. Выполнить действия и результат записать в алгебраической форме
 3  2i  4  i  ;
2
б)  2  i   2i ;
в)
а)  2  i   12  3i    4  i  ;
3  7i
г) 2  cos15  i sin15
   cos 45
 3

3

i

12
д) e   0, 2e  .



i
2
 i sin 45  ;
2. Решить уравнение 5 x 2  2 x  2  0 . Корни уравнения изобразить на
комплексной плоскости.
3. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z  x  iy ,
если
б) z  z0  5, z0  3  4i ,
в) y  4 .
а) 1  x  3 ,
4. Даны комплексные числа z1   2  6i, z2  1  i .
а) Изобразить числа z1 , z2 , z2 ,  z2 .
z
б) Найти геометрически z1  z2 , z1  z2 , 1 , z1  z2 .
z2
в) Представить z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах.
5. Пользуясь формулой Муавра, вычислить 1 i  .
8
6. Найти все значения
плоскости.
4
2  2i
и изобразить их на комплексной
7. Из равенства 1  3i  x   4  2i  y  2  3i найти x и y , если
а) x и y - действительные числа, б) x и y - чисто мнимые числа.
8. Вектор, изображающий z1 , сжали в 2 раза и повернули на угол
Найти комплексное число, соответствующее полученному вектору.
159
4
.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4
Вариант № 10
1. Выполнить действия и результат записать в алгебраической форме
 3  2i  3  7i  ;
2
б)  1  i   2i ;
в)
а)  2  3i    4  2i    2  3i  ;
3  2i

г) 2 cos 45  i sin 45
2
 4 i  i
д)  2e   e .


    cos   i sin  ;
2
2. Решить уравнение 3x 2  6 x  15  0 . Корни уравнения изобразить на
комплексной плоскости.
3. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z  x  iy ,
если
б) z  z0  3, z0  4  i ,
в) 3  y  2 .
а) x  1 ,
4. Даны комплексные числа z1  2  6i,
а) Изобразить числа z1 , z2 , z2 ,  z2 .
z2  4  4i .
z1
, z1  z2 .
z2
в) Представить z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах.
б) Найти геометрически z1  z2 , z1  z2 ,


4
5. Пользуясь формулой Муавра, вычислить  2  2 .
6. Найти все значения
плоскости.
4
2  2i
и изобразить их на комплексной
7. Из равенства  3  i  x   4  2i  y  i найти x и y , если
а) x и y - действительные числа, б) x и y - чисто мнимые числа.
8. Вектор, изображающий z1 , растянули в 2 раза и повернули на угол
4
. Найти комплексное число, соответствующее полученному
3
вектору.
160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4
Вариант № 11
1. Выполнить действия и результат записать в алгебраической форме
 3  i  5  i  ;
2
б)  2  i   i ;
в)
а) 12  3i    4  2i    8  4i  ;
3  8i
3 cos 20  i sin 20 
г)


3
;
15  cos30  i sin 30 
д)
2e i 

i 

6
3
e





3
.
2. Решить уравнение 2 x 2  12 x  26  0 . Корни уравнения изобразить на
комплексной плоскости.
3. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z  x  iy ,
если
б) z  2  3 ,
в) y  2 .
а) 3  x  4 ,
4. Даны комплексные числа z1  2  i 6,
а) Изобразить числа z1 , z2 , z2 ,  z2 .
z2  8i .
z1
, z1  z2 .
z2
в) Представить z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах.
б) Найти геометрически z1  z2 , z1  z2 ,
5. Пользуясь формулой Муавра, вычислить 1  i  .
12
6. Найти все значения
4
i и изобразить их на комплексной плоскости.
7. Из равенства 12  i  x  y  i найти x и y , если
а) x и y - действительные числа, б) x и y - чисто мнимые числа.
8. Вектор, изображающий z1 , сжали в 1,5 раза и повернули на угол
Найти комплексное число, соответствующее полученному вектору.
161
5
.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4
Вариант № 12
1. Выполнить действия и результат записать в алгебраической форме
 2  4i  3  i  ;
2
б) 1  i   i ;
в)
а)  3  4i    2  i    4  2i  ;
12  4i
15 cos12  i sin12  
г)


5
225  cos30  i sin 30 
д)  e
;

i 2
2
 i 2 
e  .


2. Решить уравнение 10 x 2  4 x  4  0 . Корни уравнения изобразить на
комплексной плоскости.
3. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z  x  iy ,
если

3
б) z  4,
в) y  1.
а) x  4 ,
  ,
4
4
4. Даны комплексные числа z1  6  i 2,
а) Изобразить числа z1 , z2 , z2 ,  z2 .
z2  8i .
z1
, z1  z2 .
z2
в) Представить z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах.
б) Найти геометрически z1  z2 , z1  z2 ,
5. Пользуясь формулой Муавра, вычислить  2  2i  .
5
6. Найти все значения
3
8 и изобразить их на комплексной плоскости.
7. Из равенства x   7  3i  y  12  4i найти x и y , если
а) x и y - действительные числа, б) x и y - чисто мнимые числа.
8. Вектор, изображающий z1 , растянули в 2 раза и повернули на угол
4
. Найти комплексное число, соответствующее полученному
3
вектору.
162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4
Вариант № 13
1. Выполнить действия и результат записать в алгебраической форме
 2  4i  3  8i  ;
2
б)  2  5i   i ;
в)
а) 12  4i    8  2i    3  i  ;
4  3i
2  cos12  i sin12  

г)


cos30  i sin 30
5
;
д)  e

i 3
12
 i 4 
  2e  .


2. Решить уравнение x 2  4 x  6  0 . Корни уравнения изобразить на
комплексной плоскости.
3. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z  x  iy ,
если
3
а) x  4 ,
б) z  1, 0     ,
в) y  2 .
4
4. Даны комплексные числа z1  4 3  4i,
а) Изобразить числа z1 , z2 , z2 ,  z2 .
z2  4  4 3i .
z1
, z1  z2 .
z2
в) Представить z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах.
б) Найти геометрически z1  z2 , z1  z2 ,


8
5. Пользуясь формулой Муавра, вычислить  2  2i .
6. Найти все значения 4 16 и изобразить их на комплексной плоскости.
7. Из равенства  4  3i  x   3  4i  y  0 найти x и y , если
а) x и y - действительные числа, б) x и y - чисто мнимые числа.

8. Вектор, изображающий z1 , сжали в 1,5 раза и повернули на угол  .
9
Найти комплексное число, соответствующее полученному вектору.
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4
Вариант № 14
1. Выполнить действия и результат записать в алгебраической форме
1  3i  2  3i  ;
2
2
в)
а)  3  4i    0, 2  8i    3  2i  ; б)  2i    2  3i  ;
12  2i
г)
ei 1  i 
2  cos 45  i sin 45 
 cos15
д)

;
 i sin15   cos75  i sin 75 
3
 cos30

 i sin 30 
2. Решить уравнение x 2  6 x  16  0 . Корни уравнения изобразить на
комплексной плоскости.
3. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z  x  iy ,
если


б) z  2,      ,
в) 1  y  3 .
а) x  4 ,
2
4
4. Даны комплексные числа z1  3 3  3i,
а) Изобразить числа z1 , z2 , z2 ,  z2 .
z2  3  3 3i .
z1
, z1  z2 .
z2
в) Представить z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах.
б) Найти геометрически z1  z2 , z1  z2 ,
5. Пользуясь формулой Муавра, вычислить 1  i  .
7
6. Найти все значения
3
i и изобразить их на комплексной плоскости.
7. Из равенства 2 x   3  4i  y  i найти x и y , если
а) x и y - действительные числа, б) x и y - чисто мнимые числа.
8. Вектор, изображающий z1 , растянули в 2,5 раза и повернули на угол

 . Найти комплексное число, соответствующее полученному
6
вектору.
164
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4
Вариант № 15
1. Выполнить действия и результат записать в алгебраической форме
 3  4i  2  i  ;
2
б) 1  i   i 3 ;
в)
а)  2  4i    2  3i    3  8i  ;
1  4i
г) e
i

4
3
 i12 
e  ;


 cos75
д)

 i sin 75  cos70  i sin 70 
 cos35

2
 i sin 35 
2. Решить уравнение 36 x 2  36 x  13  0 . Корни уравнения изобразить на
комплексной плоскости.
3. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z  x  iy ,
если
б) z  z0  3, z0  1  i ,
в) y  2 .
а) x  3 ,
4. Даны комплексные числа z1  3  3i, z2  2  2 .
а) Изобразить числа z1 , z2 , z2 ,  z2 .
z
б) Найти геометрически z1  z2 , z1  z2 , 1 , z1  z2 .
z2
в) Представить z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах.

5. Пользуясь формулой Муавра, вычислить  3  i

12
.
6. Найти все значения 5 1 и изобразить их на комплексной плоскости.
7. Из равенства 4 x   3  i  y  4 найти x и y , если
а) x и y - действительные числа, б) x и y - чисто мнимые числа.
8. Вектор, изображающий z1 , сжали в 1,5 раза и повернули на угол
Найти комплексное число, соответствующее полученному вектору.
165

.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
1.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления том 2. – М.: Физмат литература, 1962.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления том
2.
2. - М.: Интеграл – Пресс, 2003.
Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник
3.
задач по высшей математике 2 курс под редакцией Федина С.Н. – М.: Айрис–
пресс, 2004.
Кручкович Г.И. Сборник задач по курсу высшей математики. - М.:
4.
Высшая школа, 1973.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
5.
упражнениях и задачах часть 2. – М.: ООО «Издательство Оникс», ООО
«Издательство «Мир и Образование»», 2006.
Поддубный Г.В., Романовский Р.К. Математический анализ для
6.
радиоинженеров. М., Воениздат, 1976.
Скобля Т.В. Высшая математика. Элементы векторного анализа. М.,
7.
Воениздат, 1978.
Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А.
8.
Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких
переменных. М., Высшая школа, 1988.
Морозова В.Д. Теория функций комплексного переменного. М.,
9.
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
166
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
Предисловие…………………………………………………………………………………….
Глава 1 Понятие функции и ее пределы…………………………………………………..
1.1 Функция и область ее определения………………………………………………………..
1.2 Множества и операции над ними………………………………………………………….
1.3 Элементы математической логики…………………………………………….…………..
1.4 Предел функции…………………………………………………………………………….
1.5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции……………………………………..
1.6 Замечательные пределы…………………………………………………………………….
1.7 Вычисление пределов………………………………………………………………………
1.8 Непрерывность функции………………………………………………………….………..
Тест 1…………………………………………………………………………………………….
Ответы к главе 1………………………………………………………………………….……..
Глава 2 Производная и дифференциал……………………………………………………
2.1 Производная функции………………………………………………………………………
2.2 Производные высших порядков……………………………………………………………
2.3 Производная неявно заданной функции…………………………………………………..
2.4 Производная параметрически заданной функции………………………………………..
2.5 Дифференциал функции……………………………………………………………………
Тест 2…………………………………………………………………………………………….
Ответы к главе 2………………………………………………………………………………...
Глава 3 Аналитические приложения дифференциального
исчисления……………...............................................................................................................
3.1 Правило Лопиталя…………………………………………………………………………..
3.2 Формула Тейлора…………………………………………………………………………...
3.3 Исследование функции на экстремум……………………………………………………..
3.4 Исследование функций на выпуклость и вогнутость, точки перегиба…...……...…….
3.5 Асимптоты графика функции……………………………………………………………...
3.6 Полное исследование функции и построение графика…………………………………..
Тест 3…………………………………………………………………………………………….
Ответы к главе 3………………………………………………………………….……………..
Глава 4 Комплексные числа и многочлены……………………………………………...
4.1 Комплексные числа…………………………………………………………………………
4.2 Разложение многочлена на множители……………………………………………………
Тест 4…………………………………………………………………………………………….
Ответы к главе 4…………………………………………………………………….…………..
Итоговый тест МА-1……………………………………………………………………………
Приложения…………………………………………………………………………………..
Приложение 1…………………………………………………………………………………
Приложение 2…………………………………………………………………………………
Приложение 3…………………………………………………………………………………
Приложение 4…………………………………………………………………………………
Литература……………………………………………………………………………………
3
4
4
9
11
15
19
21
21
30
33
37
39
39
42
45
46
48
52
55
58
58
65
68
77
81
84
88
90
93
93
99
105
107
109
115
116
131
146
151
166
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
А.Ф. Долгополова, Т.А. Колодяжная
Руководство к решению задач
по математическому анализу
Часть 1
Учебное пособие
Публикуется в авторской редакции.
Подписано в печать 15.10.2012. Бумага офсетная. Гарнитура «Times».
Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 9,8. Тираж 500 экз. Заказ №82.
Издательская лицензия ЛР № 065840 от 23.04.1998 г.
Издательство «Сервисшкола», 355011, г. Ставрополь, ул. 45-я Параллель, 36,
тел./факс: (8652) 57-47-27, 57-47-25, www.knigozona.ru, е-mail: s-school@mail.ru.
Отпечатано в типографии «Сервисшкола».
Документ
Категория
Математика
Просмотров
351
Размер файла
1 302 Кб
Теги
руководство, анализа, решение, 1899, математические, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа