close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1917.Специальный курс электрических машин

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
А.М. КУТАРЁВ
СПЕЦИАЛЬНЫЙ КУРС
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Соответствует типу издания
Председатель РИС ОГУ______________А.Д. Проскурин
Рекомендовано Учёным советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования - «Оренбургский государственный университет» в качестве учебного пособия по программе
высшего профессионального образования по специальности 140601 «Электромеханика» направления подготовки дипломированных специалистов
«Электротехника, электромеханика и электротехнологии»
Оренбург 2008
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБЮРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
А.М. КУТАРЁВ
СПЕЦИАЛЬНЫЙ КУРС
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Рекомендовано Учёным советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования - «Оренбургский государственный университет» в качестве учебного пособия по программе
высшего профессионального образования по специальности 140601 «Электромеханика» направления подготовки дипломированных специалистов
«Электротехника, электромеханика и электротехнологии»
Оренбург 2008
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 621.313(075.8)
ББК 31.261я73
К 95
Рецензент
доктор технических наук, профессор Н.Г. Никиян
Кутарев А.М.
Специальный курс электрических машин: учебное
собие/А.М. Кутарёв – Оренбург : ГОУ ОГУ, 2008.– 128 с.
К-95
по-
ISBN -
В пособии рассмотрены методы математического описания и исследования электрических машин. Приведены дифференциальные уравнения для трансформаторов, машин постоянного тока, синхронных и
асинхронных машин.
Пособие предназначено для студентов очной и заочной форм обучения специальности 140601 – Электромеханика и может быть полезно
для аспирантов, занимающихся исследованием режимов работы электрических машин.
К
2202070100
ISBN
ББК 31.261 я 7
© Кутарев А.М., 2008
© ГОУ ОГУ, 2008
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
1
1.1
1.2
1.3
2
2.1
2.2
2.3
3
3.1
3.2
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Введение…………………………………………………………………… 5
Общие вопросы………………………………………………………….... 6
Основные допущения, принимаемые при исследовании переходных
процессов………………………………………………………………….. 6
Системы координатных осей…………………………………………….. 7
Системы относительных единиц………………………………………… 10
Приведение обмоток электрических машин……………………………. 14
Определение коэффициента приведения тока обмотки ротора, исходя
из условия равенства основных гармонических МДС в воздушном зазоре машины, созданных реальной и приведённой обмотками……….. 14
Определение коэффициента приведения тока обмотки ротора, исходя из условия равенства основных гармонических индукции в воздушном зазоре машины…………………………………………………... 16
Определение коэффициентов приведения напряжений и сопротивлений роторных контуров к обмотке статора……………………………... 20
Замена короткозамкнутой обмотки ротора машины переменного тока
эквивалентной двухфазной обмоткой…….……………………………... 22
Определение числа витков эквивалентных двухфазных обмоток ротора………………………………………………………………………… 23
Параметры эквивалентных роторных контуров………………………... 27
Математические модели и исследование электрических машин с
взаимно неподвижными осями обмоток и полюсов……………………. 30
Дифференциальные уравнения машины постоянного тока…………… 30
Самовозбуждение генератора постоянного тока параллельного возбуждения………………………………………………………………..…. 32
Безреостатный пуск двигателя постоянного тока параллельного возбуждения………………………………………………………...……..….. 40
Дифференциальные уравнения двухобмоточного трансформатора…... 45
Расчёт токов короткого замыкания двухобмоточного трансформатора…………………………………………………………………………… 45
Расчёт тока включения трансформатора графоаналитическим методом…………………………………………………………………………. 55
Математические модели и исследование электрических машин с
взаимно перемещающимися осями обмоток и полюсов…….…………. 61
Уравнения синхронной машины в системе координат а, в, с
статора и d , q ротора…………………………………………………….. 61
Анализ коэффициентов самоиндукции и взаимной индукции обмоток
статора и ротора……………………………………………………........... 63
Уравнение равенства моментов в относительных единицах…………... 68
Расчёт токов короткого замыкания однофазного синхронного генератора………………………………………………………………………… 69
Метод преобразования координат………………………………………. 73
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнения синхронной машины с приведённой обмоткой ротора…… 79
Операторные уравнения и сопротивления синхронной машины……... 80
Преобразование операторных индуктивных сопротивлений синхронной машины………………………………..……………………………… 83
5.9 Выражение электромагнитного момента в системе координат
d − q − 0 ……...……………………………………………………………. 86
5.10 Комплексные дифференциальные уравнения синхронной машины….. 87
5.11 Система координатных осей α и β………………………………………. 88
6
Обобщенная электрическая машина…………………………………….. 90
6.1 Схема обобщенной электрической машины……………………………. 90
6.2 Переход от трёхфазной системы координат к двухфазной…………… 92
6.3 Уравнения обобщенной электрической машины………………………. 94
7
Устойчивость синхронных машин...…………………………………….. 95
7.1 Общая характеристика устойчивости синхронных машин……………. 95
7.2 Типы нарушений статической устойчивости…………………………… 96
7.3 Линеаризация основных уравнений машины…………………………... 96
7.4 Методы исследования статической устойчивости на основе малых
гармонических колебаний..……………………………………………… 99
7.5 Влияние параметров синхронной машины на устойчивость при
сползании и самораскачивании ………………………………………... 102
7.6 Самовозбуждение синхронной машины при наличии ёмкости в цепи
обмотки статора………………………..………………………………... 104
7.7 Динамическая устойчивость синхронной машины…………………… 108
7.8 Анализ динамической устойчивости методом площадей……………. 111
8
Частотный метод исследования машин переменного тока…………... 114
8.1 Общие вопросы………………………………………………………….. 114
8.2 Частотные характеристики и параметры машины……………………. 115
8.3 Построение частотной характеристики машины переменного тока
по осциллограмме затухания постоянного тока в обмотке статора
при неподвижном роторе и замкнутой обмотке возбуждения……….. 118
8.4 Графический метод построения частотной характеристики…………. 123
8.5 Определение параметров машин и переходных токов при помощи
частотных характеристик……………………………………………….. 124
Список использованных источников…………………………………... 128
5.6
5.7
5.8
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
При изменении напряжений, параметров и моментов во время работы
электрической машины возникают переходные процессы. Электромеханические переходные процессы возникают при пуске, реверсе, торможении и регулировании. Электромагнитные переходные процессы возникают при включении трансформаторов и при самовозбуждении электрических машин. Переходные процессы сопровождают аварийные режимы.
Длительность переходных процессов обычно невелика и находится в
пределах от 0.1 с до 0.3 с. Например, безреостатный пуск двигателя постоянного тока длится 0.2 – 0.5 с.
Несмотря на ограниченность во времени, переходные процессы оказывают заметное влияние на работу электрической машины и энергосистемы в
целом. Так, например, от поведения синхронных генераторов в аварийных режимах зависит работа энергетической системы. Ударный ток в обмотках генераторов при внезапных коротких замыканиях в 10-15 раз превышает номинальный ток, и узлы машины в аварийных режимах испытывают значительные динамические усилия. Например, на лобовые части синхронных генераторов при
коротких замыканиях действуют силы до 10 тонн. При выпадении из синхронизма ток превышает номинальный в несколько раз. Выпадение из синхронизма опасно вследствие возрастания потерь мощности. Кратность пускового тока
асинхронного двигателя достигает 5-7.
Мощность современных тепловых электростанций составляет 30004000 мВт, а гидравлических станций – до 6000 мВт. Возрастает единичная
мощность турбогенераторов. В эксплуатации находятся турбогенераторы мощностью 1200 мВт. В проекте единичная мощность турбогенераторов возрастёт
до 2000 мВт. Мощность гидрогенератора при полном водяном охлаждении составит 1000 мВА. Всё это указывает на острую необходимость изучения нестационарных режимов работы электромеханических преобразователей энергии.
Электрические и механические процессы сопровождают друг друга.
Общность заключается в том, что они основаны на законе электромагнитной
индукции. Любая электрическая машина может быть представлена совокупностью контуров, связанных взаимной индукцией. Переходные процессы в электрических машинах описываются системой дифференциальных уравнений, которая в общем случае является нелинейной. В исходном виде эта система уравнений настолько сложна, что аналитическое исследование не может быть проведено без упрощений.
Для исследования переходных процессов применяют аналитические методы, например классический или операторный, численные методы, реализуемые на цифровых вычислительных машинах. Для решения некоторых переходных процессов используют графоаналитический метод. Широко используются
экспериментальные исследования переходных процессов и исследования на
аналоговых вычислительных машинах. Последнее время широко используется
частотный метод исследования машин переменного тока.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 Общие вопросы
1.1 Основные допущения,
переходных процессов
принимаемые
при
исследовании
Явления, происходящие в электрических машинах при переходных процессах, сложны и их математическое описание и исследование в общем виде
без упрощений невозможно. Сложность исследования обусловлена тем, что
электрические машины представляют нелинейную систему. Например, магнитная индукция является нелинейной функцией напряженности магнитного поля;
параметры машины зависят от токов в обмотках; намагничивающая сила распространена в пространстве несинусоидально. Учет всех взаимодействующих
связей приводит к громоздкой системе нелинейных уравнений. Задача решается
с некоторым приближением, благодаря выявлению главных факторов и пренебрежению второстепенными факторами.
В настоящее время при теоретических исследованиях электрическую
машину идеализируют и делают ряд допущений, которые считаются общепринятыми. Идеализированная машина характеризуется:
а) отсутствием насыщения;
б) отсутствием потерь мощности на вихревые токи и гистерезис, отсутствием гистерезиса и вытеснения тока в обмотках;
в) синусоидальным распределением в пространстве намагничивающей
силы и магнитной индукции;
г) независимостью индуктивностей рассеяния от положения ротора;
д) полной симметрией статора машин переменного тока и якорей машин
постоянного тока.
Пренебрежение насыщением и потерями мощности на гистерезис и вихревые токи позволяет пользоваться линейной зависимостью между магнитным
потоком и намагничивающей силой. Результирующий магнитный поток находится по суммарной МДС, а также как сумма магнитных потоков отдельных
контуров. При отсутствии потерь в стали, магнитный поток совпадает по фазе с
намагничивающей силой и током. Пренебрежение высшими гармоническими
составляющими магнитного потока сводит систему множества уравнений к одному уравнению для первой гармоники.
Если необходимо учесть какой-либо фактор в уравнении для идеализированной машины вводят поправочные коэффициенты. Например, влияние насыщения на параметры машины учитываются выбором параметров, соответствующих насыщенному состоянию магнитной цепи. Влияние высших гармоник
магнитного поля, индуктирующих в обмотках ЭДС основной частоты, учитывают изменением индуктивности рассеяния обмоток.
Указанные допущения не всегда могут быть приняты. Например, насыщение учитывается при исследовании самовозбуждения электрической машины, при исследовании форсированного возбуждения, при рассмотрении влияния реакции якоря на основное поле машины и т.д.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отличием идеализированной машины от реальной является тот факт,
что каждая обмотка или часть заменяется в идеализированной машине одной
катушкой. Например, трехфазная обмотка статора заменена тремя катушками,
расположенными под углом 120 градусов. Успокоительная обмотка ротора
синхронной машины заменяется двумя контурами. В машине постоянного тока
якорь заменяют одной неподвижной катушкой.
Указанные замены и допущения позволяют сохранить действительную
картину процессов, протекающих в реальной машине. В большинстве случаев,
кроме допущений, характерных для идеализированной машины, могут быть
применены следующие допущения:
а) сеть постоянного и переменного тока является сетью бесконечной
мощности;
б) приложенное к обмотке напряжение является синусоидальным, а постоянное напряжение лишено пульсаций.
В тех случаях, когда эти допущения неприемлемы, приложенное напряжение представляется в виде суммы составляющих напряжения и проводят исследование для каждой составляющей в отдельности, применяя принцип наложения;
г) в случае, если индуктивные сопротивления обмоток машины значительно больше их активных сопротивлений применяют принцип постоянства
потокосцепления.
1.2 Системы координатных осей
При математическом описании процессов, происходящих в электрической машине, записывают уравнения напряжений, потокосцеплений обмоток и
уравнение равновесия моментов на валу машины. Выбранная форма записи
должна обеспечивать наибольшую простоту решения системы уравнений. Во
многом это определяется выбором системы координатных осей и системных
величин.
За положительное направление тока в обмотке принимается направление тока от конца обмотки к началу. За положительное направление оси обмоток принимается направление МДС катушек при протекании по ним токов в
положительном направлении. Например, при питании симметричной трехфазной обмотки статора симметричным трехфазным напряжением вектора МДС
образуют трехлучевую звезду (рисунок 1.1). На рисунке 1.1 yd и yq – индексы
успокоительной обмотки, а индекс f - индекс обмотки возбуждения.
Для статорной обмотки выбор трехлучевой звезды (система координатных осей a − b − c − 0 ) не является обязательным. Для синхронных машин широко используется ортогональная система координатных осей d − q − 0 , неподвижных относительно ротора.
Ось ротора d (продольная ось ротора) совпадает с осью обмотки возбуждения. Поперечная ось q опережает продольную ось на 90 электрических градусов. При наличии на роторе успокоительной обмотки, если не ставится зада7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ча определения токов в стержнях обмотки, она заменяется двумя эквивалентными катушками. При протекании тока по эквивалентной успокоительной обмотке по продольной оси в положительном направлении ось обмотки совпадает
с продольной осью ротора. При протекании тока по эквивалентной успокоительной обмотке по поперечной оси в положительном направлении ось обмотки совпадает с поперечной осью ротора.
а
γ
C
Y
d
yq
f
yd
А
Х
yq
yd
c
b
q
Z
B
Рисунок 1.1 – Координатные оси a − b − c − 0
За положительное направление вращения ротора принимается направление вращения против часовой стрелки. За положительное направление отсчёта
угла γ принимается направление, совпадающее с положительным направлением вращения ротора. Угол γ определяется как угол между осью а фазы статора
и продольной осью d ротора.
Для анализа переходных процессов в асинхронных машинах может быть
рекомендована ортогональная система синхронно вращающихся осей u − v − 0 ,
не связанная ни с ротором, ни со статором, или ортогональная система координатных осей α − β − 0 , неподвижная относительно статора. Ось α совпадает с
осью а фазы обмотки статора. Кроме названных систем координатных осей находит применение ортогональная система координатных осей x − y − 0 , вращающихся с произвольной скоростью.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а
ω
Ī
ia
ic
ib
c
b
Рисунок 1.2 – Пространственная диаграмма токов
Ток, напряжение, потокосцепление и ЭДС удобно представлять в системе координатных осей а − в − с − 0 с помощью изображающих векторов. Мгновенное значение величины получают проектированием изображающего вектора, например вектора тока I , на ось фазы (рисунок 1.2).
iа = I ⋅ cos(ω ⋅ t + γ )
(
= I ⋅ cos(ω ⋅ t + 120
)
+γ)
iв = I ⋅ cos ω ⋅ t − 120о + γ
iс
о
(1.1)
Для трёхфазной системы токов мгновенное значение тока в фазе определяется как проекция вектора тока на ось времени (рисунок 1.3).
Iа
iс
iа
iв
t
Iс
Iв
Рисунок 1.3 – Временная диаграмма фазных токов
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Расположение изображающих векторов тока, напряжения, потокосцепления в пространстве относительно системы координатных осей совпадает с результирующими векторами тока, напряжения, потокосцепления, но их амплитуда меньше. Например, между результирующим вектором тока трёхфазной
−
−
системы токов I 31 и изображающим вектором тока I 1 имеется связь
−
−
I 31 = 1.5 ⋅ I 1 .
(1.2)
1.3 Системы относительных единиц
При анализе различных переходных процессов в электрических машинах приходится пользоваться относительными единицами. Если в системе физических единиц все величины выражаются в именованных единицах, чем облегчается раскрытие физического смысла, то в системе относительных единиц
все величины безразмерные.
Преимущество применения системы относительных единиц:
а) система уравнений принимает простой вид;
б) расчет ведется с числами, близкими к единице (важно при расчетах на
ЭВМ);
в) облегчается контроль правильности расчетов. Отклонение какой-либо
величины от нормы легко обнаружить;
г) облегчается сравнение различных по мощности электрических машин
в различных режимах работы;
д) при применении системы относительных единиц многие величины
выражаются одним числом. Например, потокосцепление, магнитный поток,
магнитная индукция, ЭДС в относительных единицах выражаются одним числом; МДС обмотки и ток обмотки в относительных единицах – одно и тоже
число; индуктивность (взаимная индуктивность) и индуктивное сопротивление
– одно число; и т.д.
В системе относительных единиц d dt является одновременно и d dτ .
1.3.1 Базисные единицы для статорных величин
При применении системы относительных единиц для трансформаторов
и электрических машин в качестве базисных для первичной обмотки трансформатора и для обмотки статора машины переменного тока применяются следующие величины:
а) за базисное напряжение принимается амплитуда номинального фазного напряжения
U б = U mнф ;
(1.3)
б) за базисный ток принимается амплитуда номинального фазного тока
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
I б = I mнф ;
(1.4)
в) за базисную мощность принимается номинальная мощность
P = m ⋅ I н ⋅ U н = 0.5 ⋅ m ⋅ I mн ⋅ U тн = 0.5 ⋅ m ⋅ I б ⋅ U б ;
(1.5)
г) за базисную частоту принимается номинальная частота
fб = fн ;
(1.6)
д) за базисную угловую частоту принимается
ωб = ωc = 2 ⋅π ⋅ f н ;
(1.7)
е) за базисную частоту вращения ротора (базисная угловая скорость)
принимается
Ω б = ωб / p ;
(1.8)
ж) за базисный момент принимается момент, создающий базисную
мощность при базисной частоте вращения
M б = Pб / Ω б = р ⋅ Pб / ωб ;
(1.9)
и) за базисную единицу времени принимается время, за которое синхронно вращающийся ротор повернётся на один электрический радиан
tб = 1 / ω б ;
(1.10)
к) за базисную энергию принимается энергия, вырабатываемая при базисной мощности и базисной угловой частоте в течение времени, равного времени поворота ротора на один радиан
Wб = Pб ⋅ p ⋅ t б = р ⋅ Pб / ωб ;
(1.11)
л) за базисное сопротивление принимается
Z б = U б / I б = U тн / I тн = U н / I н ;
(1.12)
м) за базисную индуктивность принимается
Lб = Z б / ω б ;
11
(1.13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
н) за базисное потокосцепление принимается потокосцепление, индуктирующее в обмотке статора базисное напряжение при базисной угловой частоте
Ψб = U б / ωб .
(1.14)
Базисные единицы для статорных величин в разных системах принимаются одни и те же. Поэтому различие между системами относительных единиц
обусловлено разницей базисных единиц, относящихся к ротору.
1.3.2 Практическая система единиц Парка
Наиболее широко используется так называемая практическая система
единиц Парка. В этой системе за базисную единицу тока любой роторной цепи
принимается такой ток, который при отсутствии токов в других роторных цепях создает при холостом ходе на зажимах обмотки статора базисное напряжение U б . При этом характеристика холостого хода - прямолинейная, а частота
вращения - базисная.
Таким образом, базисный ток любого роторного контура “к” равен
I кб = E б / X ак = U б / X ак .
(1.15)
По базисному току контура определяются базисные напряжения, потокосцепления и магнитные потоки:
U кб = I кб ⋅ rк ;
Ψкб = I кб ⋅ X к ;
Фкб = Ψкб / wкб ,
(1.16)
где wкб − число витков.
В системе единиц Парка, например, уравнение для потокосцепления Ψd
в относительных единицах будет выглядеть следующим образом
n
Ψd = X d ⋅ id + i f + ∑ ikd .
(1.17)
i =1
За базисную мощность k-ой обмотки принимается базисная мощность
статора, так как в этом случае можно будет складывать в относительных единицах мощности статора и ротора.
За базисное сопротивление Х кб принимается приведенное сопротивление Х б .
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Важно отметить, что вид, например, уравнения для потокосцепления
Ψd - проще и не требуется знание Х кб . В то же время, в установившемся режиме
U f = rf ⋅ I f .
(1.18)
С учетом U f = I fб ⋅ r f в О.Е. получим
*
*
Uf =If ,
(1.19)
что затрудняет понимание физического смысла.
1.3.3 Система с равными взаимными индуктивностями
Система с равными взаимными индуктивностями предложена Ренкиным А. В этой системе сопротивления взаимной индукции между статорными и
роторными обмотками принимаются равными друг другу. При этом между базисными величинами для k-ой обмотки ротора имеют место следующие соотношения:
I кб = U кб / X кб ;
Ψкб = I кб ⋅ X кб ;
(1.20)
Ψб = U б = X акб ⋅ I кб .
За базисный ток роторной цепи принимают такой ток, который создает в
k-ой обмотке МДС, пространственная амплитуда первой гармоники которой
равна базисной МДС статора Fб , т.е.
0.5 ⋅ m к ⋅ k к ⋅ Wк ⋅ I кб = 0.5 ⋅ m ⋅ k ⋅ W ⋅ I б .
(1.21)
Отсюда находят базисный ток к-го контура.
Данная система иногда называется системой X ad (системой с равными
взаимными индуктивностями). В этой системе, как и при статорной системе
единиц, физическая сущность отдельных членов уравнений сохраняется, что
является важным преимуществом этой системы.
Используемые на практике системы относительных единиц, в частности
Х ad , органически включают в себя понятие приведенных величин, устраняя,
таким образом, необходимость приведения обмоток, если задача решается в относительных единицах (О.Е.).
При выборе системы О.Е. для роторных цепей необходимо стремиться к
тому, чтобы соотношения между базисными величинами, математические вы13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ражения и вычисления были, по возможности, более простыми и не терялся физический смысл уравнений машины.
Наиболее полно этим требованиям удовлетворяет применение для обмоток ротора той же системы относительных единиц, что и для статора. Для этого
роторные обмотки должны быть приведены к обмотке статора.
2 Приведение обмоток электрических машин
Приведение обмоток электрических машин рационально во многих случаях. Целесообразность приведения определяется:
- возможностью применения одной системы О.Е. для статора и ротора;
- возможностью построения схем замещения, векторных и круговых
диаграмм.
Для практических расчетов более удобно приводить обмотки ротора к
статорной обмотке. Приведение обмоток заключается в том, что роторные обмотки пересчитываются на число фаз и число витков статорной обмотки. При
этом электрические соотношения в машине должны оставаться без изменения.
Для того чтобы привести роторную обмотку к статорной обмотке, нужно определить коэффициенты приведения токов mi , напряжений mu и сопротивлений
mz .
В настоящее время получили распространение два способа определения
коэффициента приведения токов обмоток ротора к обмотке статора:
- в основу первого способа положено условие равенства основных гармоник МДС в воздушном зазоре, создаваемых реальной и приведенной
обмотками;
- в основу второго способа положено условие равенства основных гармонических индукций в воздушном зазоре, создаваемых реальной и
приведенной обмотками ротора.
Первый способ проще, так как отпадает необходимость в расчете магнитного поля. Этот способ используется, например, при приведении роторных
обмоток асинхронных машин, успокоительных обмоток синхронных машин.
2.1 Определение коэффициента приведения тока обмотки ротора,
исходя из условия равенства основных гармонических МДС в воздушном
зазоре машины, созданных реальной и приведённой обмотками
Для многофазной обмотки статора амплитуда первой гармоники МДС
Fm1 =
m1 4 w1k об1
I m1 ,
2 π 2p
где m1 – число фаз обмотки статора;
w1 - число витков на фазу обмотки статора;
14
(2.1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
k об1 − обмоточный коэффициент для первой гармоники;
I m1 − амплитудное значение номинального фазного тока обмотки
статора;
2 p − число полюсов.
В случае многофазного ротора имеем:
Fm 2 =
m2 4 w2 k об 2
I m2 .
2 π 2p
(2.2)
Поскольку процесс приведения состоит в замене реальной обмотки на
эквивалентную обмотку с числом фаз m1 и эффективным числом витков w1k об1 ,
то для приведённой обмотки ротора будем иметь
Fm′ 2 =
m1 4 w1k об1
I m′ 2 ,
2 π 2p
(2.3)
где I m′ 2 - амплитуда приведенного тока.
Приведенный ток обмотки ротора I m′ 2 , протекая по приведенной обмотке, должен создавать МДС Fm′ 2 , равную МДС реальной обмотки ротора Fm 2 .
Следовательно, должно выполняться условие Fm′ 2 = Fm 2 . Исходя из этого равенства, будем определять коэффициент приведения тока обмотки ротора к обмотке статора mi как отношение приведённого тока обмотки ротора к току реальной обмотки:
mi =
I m′ 2
I m2
m2 4
2 π
=
m1 4
2 π
w2
k об 2
m ⋅w ⋅k
2p
= 2 2 об 2 .
w1
m1 ⋅ w1 ⋅ k об1
k об1
2p
(2.4)
Для однофазных и двухфазных обмоток ротора (m ≤ 2 ) , число фаз принимают равным двум (m = 2 ) :
mi =
2 w2 ⋅ k об 2
.
m1 w1 ⋅ k об1
(2.5)
Если обмотка ротора сосредоточенная, то
mi =
w2
2
.
m1 w1 ⋅ k об1
15
(2.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.2 Определение коэффициента приведения тока обмотки ротора,
исходя из условия равенства основных гармонических магнитной
индукции в воздушном зазоре машины, созданных реальной и
приведённой обмотками
Предполагаем, что обмотка статора многофазная и распределена по окружности внутренней поверхности статора. Амплитуда первой гармонической
МДС этой обмотки
Fm1 =
m1 4 w1
k об1 ⋅ I m1 .
2 π 2p
(2.7)
Ротор машины явнополюсный, обмотка ротора однофазная сосредоточенная. Максимальное значение МДС такой обмотки
Fmf = w f ⋅ I f ,
(2.8)
где w f - число витков обмотки возбуждения на полюс.
Проводимость воздушного зазора по оси полюса (ось d)
(2.9)
q
Вadm1
d
вр
τ
Рисунок 2.1
16
Fm1
q
1
.
δ ⋅ kδ
Bad
λδ =
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Максимальные значения индукции в воздушном зазоре, созданных МДС
обмоток статора B adm (рисунок 2.1) и возбуждения B fm (рисунок 2.2):
B adm = µ o ⋅ λδ ⋅ Fm1 ;
B fm = µ o ⋅ λδ ⋅ Fmf .
(2.10)
В результате разложения в ряд Фурье кривых распределения индукции в
зазоре (магнитных полей статора и ротора) могут быть выделены основные
гармонические индукции Badm1 и B fm1 .
Bfm
Вfm1
q
d
Ffm
q
вр
τ
Рисунок 2.2
Коэффициент формы поля возбуждения
kf =
B fm1
B fm
.
(2.11)
Коэффициент формы поля якоря по продольной оси
kd =
Badm1
.
Badm
(2.12)
Следовательно,
Badm1 = k d ⋅ Badm ;
17
B fm1 = k f ⋅ B fm ;
(2.13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
или с учётом (2.10)
Badm1 = λδ ⋅ µ 0 ⋅ Fm1 ⋅ kd ;
B fm 1 = λδ ⋅ µ 0⋅ Fm f ⋅ k f ;
(2.14)
Выражение для нахождения основной гармонической индукции магнитного поля в воздушном зазоре машины, создаваемого приведенной обмоткой
ротора, имеет вид
B′fm1 = λδ ⋅ µ 0
m1 4 w1
k об1 ⋅ I ′f ⋅ k d .
2 π 2p
(2.15)
Коэффициент приведения тока обмотки ротора к обмотке статора определяется из условия B fm1 = B ′fm1 . Определяя коэффициент приведения тока как
отношение
I 'f
If
, получим
mi =
I ′f
If
=
wf ⋅ k f
.
m1 4 w1
k об1 ⋅ k d
2 π 2p
(2.16)
Коэффициент реакции якоря по продольной оси
kad =
kd
.
kf
(2.17)
Коэффициент приведения тока обмотки ротора к обмотке статора
mi =
I ′f
If
=
wf
1
.
m1 4 w1
k ad
k об1
2 π 2p
(2.18)
где w f - число витков обмотки возбуждения на один полюс.
Можно показать, что для ненасыщенной магнитной цепи полученное
решение (2.18) совпадает с ранее полученным выражением для коэффициента
приведения тока ротора.
Для явнополюсной машины коэффициент формы поля возбуждения
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
kf =
где αδ = b p / τ .
(
Величина sin αδ ⋅ π
 π
sin α δ ,
π  2
4
(2.19)
)
является коэффициентом укорочения для обмотки
2
возбуждения явнополюсной синхронной машины ( αδ - расчетный коэффициент полюсной дуги).
(
На основании этого можно записать k об f = k yf = sin α δ π
k f = 4 k об f .
2
).
(2.20)
π
Для неявнополюсной машины k d = 1 , т.к. воздушный зазор равномерный. Коэффициент формы поля обмотки возбуждения равен
 π
sin  γ 
4
 2= 4k = 4k ,
kf =
pf
обf
π
γ
π
π
π
(2.21)
2
где k pf − коэффициент распределения.
С учетом последнего выражения для неявнополюсной синхронной машины коэффициент приведения по току примет вид
mi =
m f 2 pw f k обf
m1
w1k об1
,
где m f = 2 − число фаз обмотки возбуждения;
2 pw f − полное число витков обмотки возбуждения.
19
(2.22)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3 Определение коэффициентов приведения
сопротивлений роторных контуров к обмотке статора
напряжений
и
Коэффициент приведения напряжений находится из условия, что полная
мощность реальной и приведенной обмоток равны.
Полная мощность реальной обмотки ротора
S 2 = m2 ⋅ U 2 ⋅ I 2 .
(2.23)
Полная мощность приведённой обмотки ротора
S 2' = m1 ⋅ U 2' ⋅ I 2' .
(2.24)
По условию определения коэффициента приведения напряжений имеем
S 2 = S 2'
(2.25)
m2 ⋅ U 2 ⋅ I 2 = m1 ⋅ U 2' ⋅ I 2' .
(2.26)
или
Приняв коэффициент приведения напряжений равным отношению приведённого напряжения к напряжению реальной обмотки, получим
mu =
U 2′ m2 I 2 m2 1
=
=
.
U 2 m1 I 2′ m1 mi
(2.27)
Коэффициент приведения активных сопротивлений определяют из условия равенства потерь мощности в реальной и приведенной обмотках.
Потери мощности в реальной обмотке ротора
Рэл 2 = m2 ⋅ I 22 ⋅ r2 .
(2.28)
Потери мощности в приведённой обмотке ротора
'
2
Рэл
2 = m1 ⋅ I 2′ ⋅ r2′ .
(2.29)
По условию определения коэффициента приведения активных сопротивлений имеем
'
Рэл 2 = Рэл
2
20
(2.30)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
или
m2 I 22 r2 = m1I 2′ 2 r2′ .
(2.31)
Приняв коэффициент приведения активных сопротивлений равным отношению приведённого сопротивления к сопротивлению реальной обмотки,
получим
r2' m2  I 2 
mz = =
r2 m1  I 2' 
2
(2.32)
или
mz =
m
m2 1
= u.
2
m1 mi
mi
(2.33)
Приведение индуктивных сопротивлений рассеяния обмоток ротора
производится исходя из условия сохранения фазовых соотношений, т.е.
tgϕ 2 =
x2 x2′
=
= const .
r2 r2′
(2.34)
Как следует из этого равенства, коэффициенты приведения активных
сопротивлений
r2
и
индуктивных
сопротивлений
х2 − совпадают
 х2' r2'

 = = mz  .
х

 2 r2

Для нахождения приведённых значений индуктивности взаимной индукции (индуктивных сопротивлений взаимной индукции) рассмотрим систему
уравнений двух магнитосвязанных контуров, замкнутых на периодически изменяющиеся напряжения
U&1 = (r1 + jω ⋅ L11 )I&1 + jω ⋅ L12 I&2
&
U 2 = ( jω ⋅ L21I&1 ) + (r2 + jω ⋅ L22 )I&2
(2.35)
В уравнениях системы электрические величины и параметры вторичного
контура заменим приведёнными значениями. При этом равенства не изменятся.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В первом уравнении системы в правой части равенства второе слагаемое
умножим и разделим на коэффициент приведения тока вторичного контура к
первичному контуру:
m
U& 1 = (r1 + jω ⋅ L11 )I&1 + jω ⋅ L12 I&2 i .
mi
(2.36)
Анализируя второе слагаемое в правой части полученного равенства, и
учитывая, что произведение тока вторичного контура на коэффициент приведения тока есть приведённый ток вторичного контура I 2 mi = I 2' , можно прийти к
L
выводу, что отношение 12 является индуктивностью взаимной индукции втоmi
L
'
ричного контура с первичным, приведённой к первичному контуру L12
= 12 .
mi
Второе уравнение системы умножим на коэффициент приведения напряжения вторичного контура к первичному контуру. Учитывая, что
mu = mi ⋅ m z , получим
(
)
U& 2 ⋅ mu = jω ⋅ L21 ⋅ mu ⋅ I&1 + (r2 ⋅ m z + jω ⋅ L22 ⋅ m z ) ⋅ I&2 ⋅ mi
(2.37)
или
(
)
U& 2' = jω ⋅ L'21 ⋅ I&1 + r2' + jω ⋅ L'22 ⋅ I&2' ,
(2.38)
где L'21 = L21 ⋅ mu - взаимная индуктивность первичной обмотки с вторичной обмоткой, приведённая к первичной обмотке.
3 Замена короткозамкнутой обмотки ротора машины
переменного тока эквивалентной двухфазной обмоткой
В тех случаях, когда не ставится задача определения токов в стержнях,
короткозамкнутые обмотки роторов машин переменного тока заменяются двумя эквивалентами короткозамкнутыми обмотками, оси которых смещены на 900
(например, оси d-q).
Короткозамкнутые обмотки могут выполняться на роторе, как в асинхронных машинах, так и синхронных машинах. Учитывая различие конструкции роторов синхронных и асинхронных машин, приведение роторных обмоток
этих машин к эквивалентным обмоткам рассмотрим отдельно.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.1 Определение числа витков эквивалентных двухфазных обмоток
ротора
Строим развернутые схемы распределения токов в стержнях успокоительной обмотки явнополюсной синхронной машины по продольной «d» и поперечной оси «q».
q
i3d i3d+i2d i3d+i2d+i1d
3’ 2’ 1’ 1
2
q
d
q
3
i1d i2d
i3d
τ
τ
1
2
i1q i2q
3
3” 2” 1”
i3q
i1q i1q+i2q i1q+i2q+i3q
Рисунок 3.1 – Схема демпферной обмотки
На рисунке 3.1 приняты следующие обозначения: ikd, ikq – продольная и
поперечная составляющие токов в k–ом стержне успокоительной обмотки. Успокоительная обмотка по продольной оси представлена совокупностью электрически связанных контуров 1 – 1', 2 – 2', 3 - 3', а по перечной оси - 1 – 1'', 2 –
2'', 3 - 3''.
Замену реальных успокоительных обмоток на эквивалентные производят исходя из условия равенства основных гармонических МДС, созданных реальной и эквивалентной обмотками. Для определения МДС успокоительной
обмотки необходимо знать распределение токов по её стержням. Решение этой
задачи производим с использованием теории двух реакций. Основную (первую)
гармоническую МДС реакции якоря раскладываем на две составляющие: продольную Fd и поперечную Fq.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
q
q
d
q
d
Fd
Fq
τ1d
τ 2d
τ
bp
Рисунок 3.2 – Составляющие МДС обмотки якоря
Составляющие токов в стержнях успокоительной обмотки по продольной оси возникают под влиянием поля реакции якоря, созданного Fd (более
точно под влиянием изменяющегося поля по продольной оси, созданного МДС
Fd). Максимальное значение токов будет в стержнях, смещенных от оси d на
половину полюсного деления τ/2. В первом приближении можно принять, что
при синусоидальном распределении МДС Fd (или Fq) распределение токов по
стержням будет синусоидальным. Причем, ток в k-ом стержне, смещенном от
π τ 
оси полюса на τk/2, будет пропорционален sin ⋅ k  . Следовательно
τ 2 
π τ 
I mkd = I myd ⋅ sin ⋅ k  ,
(3.1)
τ 2 
где I myd - ток в стержнях, удаленных от оси полюса на
τ
2
.
π τ 
Величину sin ⋅ k  можно рассматривать как коэффициент укорочеτ 2 
ния
τ π 
 π
k у = sin k ⋅  = sin  β ⋅  ,
 2
 τ 2
где β =
τk
- относительный шаг обмотки.
τ
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ток I mkd , протекая в k-ом контуре успокоительной обмотки, создаёт
МДС, которая распределена в пространстве по квазипрямоугольному закону.
Первая гармоническая такой МДС определяется следующим образом:
π τ 
⋅ I mkd ⋅ sin ⋅ k 
π
τ 2 
(3.2)
π τ 
⋅ I myd ⋅ sin 2  ⋅ k  .
π
τ 2 
(3.3)
Fm1kd =
4
или
4
Fm1kd =
Амплитуда первой гармонической МДС успокоительной обмотки по
продольной оси определится как сумма первых гармоник МДС всех контуров
по оси полюса:
Fm1 уd =
4
⋅ I myd
π
nc 2
π τk 
⋅ ,
2
∑ sin 2  τ
k =1
(3.4)
где nc - количество стержней успокоительной обмотки на один полюс.
В синхронных машинах стержни успокоительной обмотки, как правило,
распределяются равномерно. Обозначим угол между соседними стержнями α c .
Тогда можно выполнить следующие преобразования:
nc 2
π τ 
 π τ1 
π τ 
π τ 
⋅  + sin 2  ⋅ 2  + sin 2  ⋅ 1  + ... +
2
τ 2 
τ 2 
∑ sin 2  τ ⋅ 2k  = sin 2  τ
k =1
π τn 2  n
sin (ncα c )
+ sin 2  ⋅ c  = c −
.
2
4
4
⋅
sin
(
α
)
τ
c


(3.5)
Уравнение МДС Fm1 yd примет следующий вид:
Fm1 yd =
n
sin (ncα c ) 
 .
I myd  c −
π
4
4
⋅
sin
(
α
)

c 
4
(3.6)
Подобные преобразования не зависят от числа стержней на один полюс.
Если принять число витков эквивалентной успокоительной обмотки по
продольной оси wэd , то первая гармоническая МДС, создаваемая такой обмоткой, определяется следующим образом:
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Fm1эd =
4
π
I myd ⋅ wэd .
(3.7)
Приравнивая МДС Fm1 yd и Fm1эd , получим:
wэd =
nc
4

sin (ncα c ) 
1 −
.
n
⋅
sin
(
α
)
c
c 

(3.8)
Аналогичные преобразования можно выполнить и для успокоительной
обмотки по поперечной оси:
Fm1kq =
π τ 
⋅ I mkq ⋅ cos ⋅ k  ,
π
τ 2 
4
(3.9)
π τ 
где I mkq = I myq ⋅ cos ⋅ k  ,
τ 2 
Амплитуда первой гармоники МДС контура k по оси ротора q
Fm1kq =
π τ 
⋅ I myq ⋅ cos 2  ⋅ k  .
π
τ 2 
4
(3.10)
Амплитуда первой гармонической МДС успокоительной обмотки по поперечной оси:
Fm1 уq =
4
π
⋅ I myq
nc 2
π τk 
⋅ .
2
∑ cos 2  τ
k =1
(3.11)
Произведём следующую замену:
nc 2
π τk
⋅
2
∑ cos 2  τ
k =1

2π τ 
2π τ 
2π τ 
 = cos  ⋅ 1  + cos  ⋅ 2  + cos  ⋅ 1  + ... +
τ 2 
τ 2 
τ 2 

π τn 2  n
sin (ncα c )
+ cos 2  ⋅ c  = c +
,
2
4
4
⋅
sin
(
α
)
τ
c


где nc - любое целое число.
Уравнение МДС Fm1 yq примет следующий вид:
26
(3.12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Fm1 yq =
n
sin (ncα c ) 
 .
I myq  c +
π
4
4
⋅
sin
(
α
)

c 
4
(3.13)
Если принять число витков эквивалентной успокоительной обмотки по
продольной оси wэq , то первая гармоническая МДС, создаваемая такой обмоткой, определяется следующим образом:
Fm1эq =
4
π
I myq ⋅ wэq .
(3.14)
Приравнивая МДС Fm1 yq и Fm1эq , получим:
wэq =
nc
4

sin (ncα c ) 
1 +
.
n
⋅
sin
(
α
)

c
c 
(3.15)
Реальная распределённая короткозамкнутая обмотка заменяется двумя
короткозамкнутыми эквивалентными обмотками по продольной и поперечной
осям с числом витков wэd и wэq . Эквивалентные обмотки имеют диаметральный шаг.
В асинхронных машинах, с целью замены реальной обмотки ротора эквивалентной двухфазной, можно воспользоваться теми же формулами. Полагая
в них nc = z 2 2 p и α c = π nc , получим:
wэd = wэq =
nc z 2
=
.
4 8p
(3.16)
3.2 Параметры эквивалентных роторных контуров
Чтобы при математических исследованиях воспользоваться уравнениями эквивалентных роторных обмоток, необходимо найти активные эквивалентные сопротивления и индуктивности рассеяния.
Определим параметры эквивалентных роторных контуров явнополюсных синхронных машин.
Активные сопротивления определяются исходя из условия равенства потерь в реальной и эквивалентной обмотках.
2
Pэd = 0.5 ⋅ I myd
⋅ R yd ,
(3.17)
2
Pэq = 0.5 ⋅ I myq ⋅ R yq .
Потери в элементе реальной обмотки
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
Pkd = 0.5 ⋅ I mkd
⋅ Rkd ,
(3.18)
где Rkd - сопротивление стержня и соответствующего числа короткозамыкающих колец.
Полные потери в успокоительной обмотке от токов по продольной оси
{
Pyd = 2 p ⋅ R1d ⋅ sin 2 [(π τ )(τ 1 2 )] + R2 d ⋅ sin 2 [(π τ )(τ 2 2 )] + ... +
2
+ Rkd ⋅ sin 2 [(π τ )(τ k 2 )] + .. . } ⋅ I myd
.
(3.19)
2
Pkq = 0.5 ⋅ I mkq
⋅ Rkq,
(3.20)
{
Pyq = 2 p ⋅ R1q ⋅ cos 2 [(π τ )(τ 1 2 )] + R2 q ⋅ cos 2 [(π τ )(τ 2 2 )] + ... +
2
+ Rkq ⋅ cos 2 [(π τ )(τ k 2 )] + ...}⋅ I myq
.
(3.21)
Приравнивая правые части соответствующих равенств, получим
[
]
R yd = 4 p ⋅ R1d ⋅ sin 2 (π τ )(τ 1 2 ) + R2 d ⋅ sin 2 (π τ )(τ 2 2 ) + ... ,
[
]
R yq = 4 p ⋅ R1q ⋅ cos (π τ )(τ 1 2 ) + R2 q ⋅ cos (π τ )(τ 2 2 ) + ... .
2
2
(3.22)
В этих выражениях Rkd ( q ) = rkc + (nk 2 ) ⋅ rkk ,
где nk - число элементов колец, входящих в k–ый контур;
rkc и rkk − сопротивления k − го стержня и элемента кольца.
Коэффициенты приведения эквивалентной успокоительной обмотки
можно определить исходя из условия равенства первых гармонических МДС.
Это исключает необходимость выполнять расчеты поля. Учитывая, что
w2 = 2 p ⋅ wэd или w2 = 2 p ⋅ wэq и kоб = 1, получим
mid =
miq =
′
I myd
I myd
′
I myq
I myq
=
=
2 2 p ⋅ wэd
,
m1 w1 ⋅ k об1
2 2 p ⋅ wэq
m1 w1 ⋅ k об1
(3.23)
Коэффициенты приведения по напряжению и сопротивлению определяются аналогично полученным ранее коэффициентам.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приведённые значения активных сопротивлений эквивалентных обмоток ротора
ryd = R yd ⋅
mud
,
mid
ryq = R yq ⋅ m zq ,
(3.24)
Индуктивные сопротивления рассеяния определяются исходя из условия
сохранения энергии магнитного поля рассеяния реальной и эквивалентной обмотки.
Энергия магнитного поля рассеяния эквивалентной обмотки
2
,
Wэd = 0.5 ⋅ Lσуd ⋅ I myd
(3.25)
2
Wэq = 0.5 ⋅ Lσуq ⋅ I myq
.
Энергия магнитного поля рассеяния реальной обмотки
{
W yd = 2 p ⋅ Lσ 1d ⋅ sin 2 [(π τ )(τ 1 2 )] + Lσ 2d ⋅ sin 2 [(π τ )(τ 2 2 )] + ... +
2
+ Lσkd ⋅ sin 2 [(π τ )(τ k 2 )] + ...}⋅ I myd
.
(3.26)
{
W yq = 2 p ⋅ Lσ 1q ⋅ cos 2 [(π τ )(τ 1 2 )] + Lσ 2 q ⋅ cos 2 [(π τ )(τ 2 2 )] + ... +
2
+ Lσkq ⋅ cos 2 [(π τ )(τ k 2 )] + ...}⋅ I myq
.
(3.27)
Индуктивность рассеяния стержня
Lσkd (q ) = µ0 ⋅ l2 ⋅ λkd (q ),
(3.28)
nk
⋅ λkk .
2
Если пазы имеют одинаковую геометрию, то λkd = λkq .
Индуктивность рассеяния эквивалентной обмотки по продольной оси
где λkd (q ) = λnd (q ) + λ g +
{
Lσyd = 4 p ⋅ Lσ 1d ⋅ sin 2 [(π τ )(τ 1 2 )] + Lσ 2 d ⋅ sin 2 [(π τ )(τ 2 2)] + ... +
+ Lσkd ⋅ sin 2 [(π τ )(τ k 2 )] + ...},
29
(3.29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Индуктивность рассеяния эквивалентной обмотки по поперечной оси
{
Lσyq = 4 p ⋅ Lσ 1q ⋅ cos 2 [(π τ )(τ 1 2 )] + Lσ 2 q ⋅ cos 2 [(π τ )(τ 2 2 )] + ... +
+ Lσkq ⋅ cos 2 [(π τ )(τ k 2 )] + ...}.
(3.30)
Индуктивные сопротивления рассеяния короткозамкнутых эквивалентных обмоток ротора по продольной и поперечной осям
X σyd = 2π ⋅ f1 ⋅ Lσyd ⋅ m zd ,
(3.31)
X σyq = 2π ⋅ f1 ⋅ Lσyq ⋅ m zq .
В асинхронных машинах с короткозамкнутым ротором активное и индуктивное сопротивление эквивалентных обмоток могут быть рассчитаны по
тем же формулам, но в асинхронных машинах эквивалентные параметры обмотки ротора по продольной и поперечной осям равны между собой.
4 Математические модели и исследование электрических
машин
с
взаимно
неподвижными
осями обмоток и
полюсов
4.1 Дифференциальные уравнения машины постоянного тока
Рассматриваем машину с двумя контурами: контур обмотки возбуждения и контур якоря, состоящий из обмотки якоря, компенсационной обмотки и
обмотки добавочных полюсов. Щетки установлены на геометрической нейтрали. В идеализированной машине постоянного тока обмотка якоря представлена
псевдонеподвижной обмоткой, ось которой направлена по линии щеток. Во
время работы машины в этой обмотке индуктируется ЭДС вращения
e = − Ψdoω . Появление ЭДС вращения доказывается преобразованием координат.
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
U b = dΨш dt + rb ⋅ i
U = dΨ dt + Ψdo ⋅ ω + r ⋅ ia
Ψш = Lш ⋅ ib
Ψdo = M ab ⋅ ib
Ψ = (La + Lk + Lд ) ⋅ ia + 2 ⋅ (M kд − М аk
M = M ст + J ⋅
где J1 = J
p
dΩ
dω
= M ст + J1 ⋅
dt
dt







− M aд ) ⋅ ia 



(4.1)
- приведённый момент инерции;
M = p ⋅ Ψdo × ia = p ⋅ Ψdo ⋅ ia - электромагнитный момент (р – число
пар полюсов);
M ст - статический момент;
Lш , Lа , Lk , Lд − индуктивность обмотки возбуждения, обмоток якоря,
компенсационной обмотки и добавочных полюсов соответственно;
М аb − индуктивность взаимной индукции между обмоткой возбуждения и обмоткой якоря. Обмотка якоря представлена псевдонеподвижной катушкой (обмоткой). Псевдонеподвижная обмотка, это обмотка неподвижная в пространстве, но при работе машины в этой обмотке индуктируется ЭДС вращения. Ось
обмотки якоря совпадает с поперечной осью машины;
М kд − индуктивность взаимной индукции между обмоткой добавочных полюсов и компенсационной обмоткой;
М аk − индуктивность взаимной индукции между компенсационной
обмоткой и обмоткой якоря;
М ад − индуктивность взаимной индукции между обмоткой добавочных полюсов и обмоткой якоря.
В уравнении потокосцеплений якорной цепи знак перед коэффициентами взаимной индукции M kд , М аk и M aд определяется взаимным направлением
осей обмоток. Так, например, компенсационная обмотка предназначена для
компенсации поперечного поля якоря в зоне полюсной дуги. Следовательно,
оси обмотки якоря и компенсационной обмотки направлены встречно и коэффициент взаимной индукции между этими обмотками М ak является отрицательным. Ось обмотки добавочных полюсов направлена встречно, по отношению к оси обмотки якоря и взаимная индуктивность между этими обмотками
М ад является отрицательной. Таким образом, обмотка добавочных полюсов и
компенсационная обмотка включены встречно по отношению к обмотке якоря.
Следовательно, между собой эти обмотки включены согласно. Коэффициент
взаимной индукции между обмотками М kд является положительным.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Коэффициент перед вторым слагаемым в уравнении потокосцепления
якорной цепи объясняется взаимным влиянием обмоток якорной цепи. Так, например, обмотка якоря воздействует на обмотку добавочных полюсов, а обмотка добавочных полюсов воздействует на обмотку якоря.
Данная система уравнений в общем случае является нелинейной. Это
объясняется следующими причинами:
- индуктивности и взаимные индуктивности обмоток машины являются нелинейной функцией токов;
- ЭДС вращения (e = −Ψdo ⋅ ω ) определяется произведением неизвестных величин и является нелинейной функцией тока;
- статический момент является нелинейной функцией скорости вращения.
4.2 Самовозбуждение генератора постоянного тока параллельного
возбуждения
Самовозбуждение генератора постоянного тока параллельного возбуждения является эксплуатационным переходным процессом. Пуск в работу ГПТ
производится в следующей последовательности. Вначале якорь генератора
приводят во вращение с помощью приводного механизма и при достижении
номинальной частоты вращения обмотку возбуждения замыкают на якорную
цепь. Таким образом, переходный процесс протекает при постоянной частоте
вращения и относится к группе электромагнитных переходных процессов.
Процесс самовозбуждения ГПТ параллельного возбуждения описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений. Нелинейность системы обусловлена нелинейной зависимостью магнитного потока главных полюсов от тока возбуждения, что связано с насыщением магнитной цепи. Насыщение магнитной цепи является и основной причиной, из-за которой процесс самовозбуждения ограничен во времени.
Исследование самовозбуждения ГПТ можно выполнить различными методами: графоаналитическим методом, численными методами и экспериментально. Процесс может быть смоделирован на АВМ.
Аналитическое решение задачи о самовозбуждении можно получить,
если описать характеристику холостого хода аналитическим выражением или
принять допущение о постоянстве индуктивностей обмоток возбуждения и
якорной цепи. Такое допущение линеаризует решаемую систему уравнений.
Оно соответствует замене реальной характеристики холостого хода прямой линией, проходящей через точку eост i f = 0 . Но если считать магнитную цепь
(
)
ненасыщенной ( µ = ∞ ), то характеристика холостого хода будет представлена
касательной к действительной характеристике. В этом случае решения в области положительных значений тока возбуждения мы не получим, т.к. процесс самовозбуждения будет неограниченным во времени, рисунок 4.1.
Если принять, что насыщение магнитной цепи остается неизменным и
соответствует максимальному току возбуждения, то аналитическое решение
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
может быть получено в области положительных значений тока возбуждения.
Однако точность такого решения будет невысокая, что объясняется большой
погрешностью аппроксимации характеристики холостого хода. В этом случае
характеристика холостого хода пройдёт через точку, соответствующей еост и
точку, которая соответствует установившемуся режиму работы генератора, рисунок 4.1.
Графоаналитический метод решения основан на использовании действительной характеристики холостого хода и позволяет с большей точностью исследовать процесс.
х.х.х.
µ=∞
в.а.х
Е
µ=const
еост
iвн
iв
Рисунок 4.1
Процесс самовозбуждения генератора постоянного тока, как электромагнитный переходной процесс, описывается следующей системой уравнений:
dΨа

e − u = dt + rа ⋅ iа

dΨ f

u
=
+ rf ⋅ i f ,
 f
dt

Ψа = Lа ⋅ iа
Ψ = L ⋅ i
f
f
 f
(4.2)
где Lа и rа − соответственно индуктивность и активное сопротивление
якорной цепи, состоящей из обмотки якоря, обмотки добавочных полюсов и,
например, стабилизирующей обмотки;
L f и r f − индуктивность обмотки возбуждения и активное сопротивление цепи обмотки возбуждения (в общем случае включает активное сопротивление регулировочного реостата).
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Самовозбуждение генератора происходит при установившейся частоте
вращения замыканием цепи обмотки возбуждения на якорную цепь u f = u .
Рассматриваем самовозбуждение без нагрузки генератора. Следовательно, ток
обмотки якоря будет равен току возбуждения iа = i f .
Для решения системы к первому уравнению прибавляем второе уравнение. Потокосцепления обмоток заменяем их выражениями
(
(
e−u +uf =
(
)
)
d
d
L f ⋅ i f + (Lа ⋅ iа ) + r f ⋅ i f + rа ⋅ iа .
dt
dt
(
)
)
(4.3)
(
)
Учитывая равенство напряжений u f = u и токов в обмотках iа = i f ,
получим
e=
(
)
(
)
d
L f + Lа ⋅ i f + r f + rа ⋅ i f .
dt
(4.4)
Известно, что индуктивность обмотки возбуждения во много раз больше
индуктивности якорной цепи L f > Lа , а активное сопротивление цепи обмот-
(
)
(
)
ки возбуждения много больше активного сопротивления якорной цепи r f > rа .
Поэтому, пренебрегаем параметрами якорной цепи по сравнению с соответствующими параметрами цепи обмотки возбуждения. Данное допущение следует
считать корректным. Действительно, обмотка возбуждения, по сравнению с
обмоткой якоря, имеет большее число витков и большее поперечное сечение
эффективного проводника и, как правило, меньшее число параллельных ветвей.
Магнитное сопротивление пути основного магнитного потока меньше, чем
магнитное сопротивление пути поперечного поля якоря.
С учётом принятого допущения уравнение (4.4) примет вид:
e=
(
)
(
)
d
L f ⋅ i f + rf ⋅ i f .
dt
(4.5)
Слагаемое r f ⋅ i f из правой части равенства перенесём в левую часть, а
(
)
потокосцепление обмотки возбуждения L f ⋅ i f = ψ f выразим через магнитный
поток:
ψ f = wf ⋅Ф ,
где w f − число витков обмотки возбуждения;
Ф − магнитный поток обмотки возбуждения, Вб .
Получим
34
(4.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
е − rf ⋅ i f = w f
dФ
dt
(4.7)
или
∆е = w f
dФ
,
dt
(4.8)
где ∆е = е − r f ⋅ i f − разностная ЭДС (электродвижущая сила).
Известно, что ЭДС обмотки якоря связана с магнитным потоком и частотой вращения якоря выражением
е = Се ⋅ Ф ⋅ n .
(4.9)
Выражение (4.9) справедливо для произвольного режима работы. Для
установившегося режима работы можем записать
е уст = Се ⋅ Ф уст ⋅ n уст .
(4.10)
Возьмём отношение левых и правых частей равенств (4.9) и (4.10), а
также учтём, что самовозбуждение генератора происходит при постоянной частоте вращения, равной установившемуся значению n = n уст . Получим
е
е уст
=
Се ⋅ Ф ⋅ n уст
Се ⋅ Ф уст ⋅ n уст
.
(4.11)
После несложных преобразований, получим
Ф=
Ф уст
е уст
⋅е.
(4.12)
Полученное выражение магнитного потока подставим в уравнение (4.8)
∆е =
w f ⋅ Ф уст dе
⋅ .
е уст
dt
(4.13)
Числитель коэффициента перед производной в правой части равенства
(4.13) является выражением потокосцепления обмотки возбуждения в установившемся режиме и может быть заменён произведением индуктивности обмотки возбуждения на ток обмотки в установившемся режиме:
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
w f ⋅ Ф уст = ψ уст = L f ⋅ i f
уст .
(4.14)
После окончания самовозбуждения генератора падение напряжения на
активном сопротивлении цепи обмотки возбуждения равняется ЭДС обмотки
якоря:
е уст = r f ⋅ i f
уст .
(4.15)
В уравнении (4.13) произведём соответствующие замены и, после не
сложных преобразований, получим
∆е = Т f ⋅
где Т f =
dе
,
dt
(4.16)
Lf
− постоянная времени обмотки возбуждения.
rr
В выражении (4.16) произведём разделение переменных:
1
1
dt =
de .
Тf
∆е
(4.17)
Проинтегрируем левую и правую части равенства (4.17).
t
t
1
1
dt
=
∫Т f
∫ ∆е de
0
0
или
t
t
1
= ∫ de .
Т f 0 ∆е
(4.18)
Произведём замену пределов интегрирования в правой части равенства
(4.18). В момент времени t = 0 ЭДС в обмотке якоря равняется остаточной ЭДС
(еост ) . В произвольный момент времени t ЭДС в обмотке якоря равняется текущему значению Е . Следовательно,
Е
t
1
= ∫
de .
Т f е ∆е
ост
Полученный интеграл находят графическим методом.
36
(4.19)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е
Е
Е
Е
Еуст
Еуст
е1
е1
∆е
37
∆е
rf · i f
S2
S1
еост
0
if
if уст 0
∆е
0
1
∆е
 t
Рисунок 4.2 – Графическое определение функции Е = f 
Tf

37
0




t
Tf
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
if
Е
Е
Еуст
if уст
Еуст
е1
38
е1
if1
еост
0
if1
if
0
t1
Tf
t
Tf
 t
Рисунок 4.3 – Графическое определение функции i f = f 
Tf

38
t1
Tf
0




t
Tf
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 1 
Зависимости Е = f (∆е ) и Е = f   получают графическим методом с
 ∆е 
помощью характеристики холостого хода ( ХХХ ) и вольтамперной характеристики цепи обмотки возбуждения (ВАХ ) . Необходимые построения показаны
на рисунке 4.2.
Для нахождения графическим методом относительного времени самовозбуждения для фиксированного значения ЭДС можно воспользоваться формулой для вычисления площади трапеции и свойством определённого интеграла.
Интеграл в правой части уравнения (4.19) представляют как сумму интегралов:
Е
∫
е ост
е
е
Е
1
2
1
1
1
1
dе = ∫
dе + ∫ dе + ... + ∫ dе .
∆е
∆е
∆е
∆е
е
е
е
ост
1
(4.20)
n
Расстояние по оси ординат между верхним и нижним пределами интегрирования для каждого интеграла в правой части равенства (4.20) подбирают
таким образом, чтобы интегрируемая функция на данном отрезке, по возможности, точнее аппроксимировалась отрезком прямой линии (сторона трапеции).
 t

= 0  имеем е = еост . ПредполоДля начального момента времени 
Т f



жим, что для первого интервала интегрирования относительное время самовозбуждения определено и составляет
е
1
t1
1
= ∫
de = S1 .
Т f е ∆е
(4.21)
ост
е2
Для второго интервала интегрирования
1
∫ ∆еde = S 2 , а относительное
е
1
время самовозбуждения генератора от напряжения еост до напряжения е2 составит
е
е
е
2
1
2
t2
1
1
1
= ∫
dt = ∫
de + ∫ de = S1 + S 2
Т f е ∆е
∆е
∆е
е
е
ост
ост
1
и т.д.
39
(4.22)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 t 
 изменения тока возбуждения при самовозбуждеФункция i f = f 
Т f 


нии может быть получена графическим методом с помощью характеристики
 t 
 . Решение показано на рисунке 4.3.
холостого хода и функции Е = f 
Т f 


t
В момент времени
= 0 Э.Д.С. в обмотке якоря равняется остаточной
Тf
(
)
ЭДС, а ток возбуждения, соответственно, равен нулю i f = 0 .
Для произвольного момента времени, например,
t1
по графику функТf
 t 
 находят соответствующее значение Э.Д.С. (е1 ) . По найденному
ции Е = f 
Т f 


значению Э.Д.С. по характеристике холостого хода находят соответствующее
значение тока возбуждения i f 1 , которое откладывают на графике функции
( )
 t
if = f 
Т f


 для момента времени t1 . И т.д.

Тf

4.3 Безреостатный пуск двигателя постоянного тока параллельного
возбуждения
При мощности двигателя постоянного тока параллельного возбуждения
до 30 кВт используют прямое включение двигателя на номинальное напряжение сети (безреостатный пуск). Рассматриваемый переходной процесс является
эксплуатационным, электромеханическим переходным процессом и описывается системой уравнений (4.1).
Пуск двигателя производится в следующей последовательности. Вначале напряжение подаётся на цепь обмотки возбуждения. По окончании переходного процесса в цепи обмотки возбуждения напряжение подаётся на якорную
цепь. Следовательно, к моменту пуска двигателя переходной процесс в цепи
обмотки возбуждения закончился. При пуске двигателя изменяется ток в якорной цепи и частота вращения ротора (якоря).
Рассмотрим решение задачи аналитическим методом. Им можно воспользоваться, если решаемая система уравнений является линейной.
С целью упрощения и линеаризации решаемой системы уравнений принимаем следующие допущения:
- источник питания (сеть) имеет бесконечную мощность;
- постоянное напряжение не содержит пульсаций;
- пуск двигателя производится без нагрузки на валу, а потерями холостого хода пренебрегаем (М ст = 0 ) ;
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- пуск двигателя производится в определённой последовательности, поэтому, со стороны обмотки возбуждения на состояние магнитной цепи во время
пуска ни что не влияет;
- продольная составляющая поля якоря не возникает, так как щётки установлены на геометрической нейтрали (двигатель постоянного тока реверсивный);
- действием поперечного поля якоря на поле главных полюсов пренебрегаем, так как это действие мало или оно компенсируется стабилизирующей обмоткой;
- добавочные полюсы сводят коммутацию к линейной и коммутационная
реакция якоря не возникает;
- изменяющийся при пуске двигателя магнитный поток добавочных полюсов не значительно влияет на изменение насыщения ярма якоря и станины,
так как он значительно меньше магнитного потока главных полюсов.
Последние пять допущений позволяют принять, при рассмотрении пуска
двигателя, насыщение магнитной цепи неизменным, а, следовательно, индуктивности обмоток и взаимные индуктивности – постоянными величинами.
С учётом принятых допущений решаемая система уравнений примет
вид:
diа

+ r ⋅ iа + Ψdo ⋅ ω 

dt
,
dω

p ⋅ Ψdo ⋅ ia = J1 ⋅

dt
U = L⋅
(4.23)
где L − индуктивность якорной цепи.
Решим задачу операторным методом. Используем преобразование Карсона-Хевисайда. Для перехода от дифференциальной формы записи уравнений
d
производную
заменяют оператором р . Функции времени становятся функdt
цией оператора р . Чтобы не путать оператор р с числом пар полюсов р во
втором уравнении системы (4.23), предварительно, разделим левую и правую
части этого уравнения на число пар полюсов и обозначим
J1
= J2 .
р
Выражение в левой части равенства перенесём в правую часть. Запишем
решаемую систему уравнений в операторной форме:
U = L ⋅ p ⋅ iа ( p ) + r ⋅ iа ( р ) + Ψdo ⋅ ω ( р )

0 = −Ψdo ⋅ iа ( р ) + J 2 ⋅ р ⋅ ω ( р )

41
(4.24)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Запишем систему уравнений (4.24) в матричной форме:
(L ⋅ p + r )
U
=
0
− Ψdo
Ψdo
J2 ⋅ р
⋅
iа ( р )
(4.25)
ω ( р)
Из системы уравнений (4.25) получим выражения для операторного тока
и операторной частоты вращения якоря:
Ψdo
U
iа ( р ) =
0
J2 ⋅ р
(L ⋅ p + r )
Ψdo
− Ψdo
J2 ⋅ р
(L ⋅ p + r )
ω ( р) =
=
− Ψdo
(L ⋅ p + r )
U
0
Ψdo
− Ψdo
J2 ⋅ р
=
U ⋅ J2 ⋅ р
;
(4.26)
U ⋅ Ψdo
.
(4.27)
(L ⋅ p + r ) ⋅ J 2 ⋅ р + Ψdo2
(L ⋅ p + r ) ⋅ J 2 ⋅ р + Ψdo2
Выполним преобразование выражений в знаменателе полученных равенств:
iа ( р ) =
ω ( р) =
U ⋅ J2 ⋅ р
2 
 2
Ψdo
r


L ⋅ J2 ⋅  р + 2 ⋅
⋅р+
2⋅ L
L ⋅ J 2 

;
U ⋅ Ψdo
2 
 2
Ψdo
r


L ⋅ J2 ⋅  р + 2 ⋅
⋅р+
2⋅L
L ⋅ J 2 

(4.28)
.
(4.29)
Введём следующие обозначения:
δ=
r
2⋅L
(4.30)
и
ω о=
2
Ψdo
.
L ⋅ J2
Коэффициент δ называют коэффициентом затухания.
42
(4.31)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выражения для операторного тока и частоты вращения ротора, с учётом
принятых обозначений, будут иметь вид:
iа ( р ) =
ω ( р) =
р
U
⋅ 2
L р + 2 ⋅δ ⋅ р + ω
(
2
о
);
U ⋅ Ψdo
1
⋅ 2
L ⋅ J2
р + 2⋅δ ⋅ р + ω
2
о
(
(4.32)
).
(4.33)
Перейти от изображения к оригиналу можно, используя теорему разложения. Если изображение представляет собой отношение двух полиномов
F1 ( р ) ао ⋅ р m + а1 ⋅ р m −1 + ... + аm
F ( р) =
=
,
F2 ( р ) во ⋅ р n + в1 ⋅ р n −1 + ... + вn
(4.34)
то оригинал функции
F1 (0 ) n F1 ( рк ) ⋅ exp( рк ⋅ t )
f (t ) =
+∑
,
F2 (0 ) к =1
рк ⋅ F2' ( рк )
(4.35)
где р к − корни полинома знаменателя (F2 ( р ) = 0 ) ;
F2' ( р ) − производная полинома знаменателя;
m, n − степень полинома числителя и знаменателя (m < n ) , соответственно.
Выражения для операторного тока якорной цепи и для операторной частоты вращения представляют отношения полиномов. В качестве примера рассмотрим переход от изображения к оригиналу только для тока якорной цепи.
Получим производную полинома знаменателя:
F2' ( р ) = 2 ⋅ р + 2 ⋅ δ .
(4.36)
Определим корни уравнения:
р 2 + 2 ⋅ δ ⋅ р + ωо2 = 0 ,
р1, 2 = −δ m δ 2 − ω
2
о
.
Выполним переход от изображения к оригиналу:
43
(4.37)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
iа (t ) =
U ⋅0
L ⋅ ωо2
+
iа (t ) =
iа (t ) =
iа (t ) =
2
о
 exp( р1 ⋅ t ) ⋅ exp( р2 ⋅ t )
⋅
+
;
(
)
(
)
р
2
⋅
+
δ
2
⋅
р
+
δ


1
2
 exp − δ 2 − ω
⋅
−2

(
U
L⋅ δ 2 −ω
U
L
(
U
L⋅ δ 2 −ω
U р1 ⋅ exp( р1 ⋅ t ) U р2 ⋅ exp( р2 ⋅ t )
⋅
+ ⋅
;
L р1 ⋅ 2 ⋅ ( р1 + δ ) L р2 ⋅ 2 ⋅ ( р2 + δ )
2
о
iа (t ) =
 exp δ 2 − ω
⋅

U
L⋅ δ −ω
2
2
о
2
о
2
о
⋅t
) + ⋅ exp( δ
)
2
−ω
2
(
⋅ t − exp − δ 2 − ω
2
(
⋅ sh δ 2 − ω
2
о
2
о
)
2
о
)
⋅t 
 ⋅ exp(− δ ⋅ t ) ;

)
⋅t 
 ⋅ exp(− δ ⋅ t ) ;

⋅ t ⋅ exp(− δ ⋅ t ) .
(4.38)
Если соотношение параметров таковы, что под корнем квадратным выражение будет отрицательным, то в правой части равенства (4.38) можно выполнить преобразования.
Введём обозначение β 2 = ωо2 − δ 2 . Учитывая, что − j ⋅ sh( jβ ) = sin (β )
получим
iа (t ) =
U
⋅ sin (β ⋅ t ) ⋅ exp(− δ ⋅ t ) .
L⋅β
(4.39)
Из полученного решения (4.38) и (4.39) следует, что в установившемся
режиме (t ⇒ ∞ ) ток якоря равен нулю. Действительно, выполняя решение, мы
приняли, что пуск производится без нагрузки на валу, а потерями холостого хода пренебрегаем. При таких условиях в установившемся режиме момент электромагнитный равен нулю и, следовательно, ток якоря равен нулю.
Для выполнения численных расчётов по формулам (4.38) и (4.39) необходимо знать значение потокосцепления Ψdo . Оно может быть найдено из первого уравнения системы (4.23), если его записать для установившегося режима
работы двигателя. При принятых допущениях в установившемся режиме рабоdi
ты ток якоря равен нулю (iа = 0 ) и выполняется условие а = 0 . Следовательdt
но,
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ψdo =
где ω
уст = 2 ⋅ π
U
ω
,
(4.40)
уст
⋅ р ⋅ n уст − угловая частота в установившемся режиме ра-
боты.
4.4
Дифференциальные
трансформатора
уравнения
двухобмоточного
Дифференциальные уравнения двухобмоточного трансформатора содержат уравнения напряжений обмоток и уравнения потокосцеплений
u1 = dΨ11 dt + r1 ⋅ i1

u 2 = dΨ22 dt + r2 ⋅ i2 
,
Ψ11 = L11 ⋅ i1 + M 12 ⋅ i2 
Ψ22 = L22 ⋅ i2 + M 21 ⋅ i1 
(4.41)
где L11 и L22 - полные индуктивности обмоток трансформатора;
M 12 = M 21 - индуктивности взаимной индукции.
L11 = Lσ 1 + M 12 ;
L22 = Lσ 2 + M 21,
(4.42)
где Lσ 1 и Lσ 2 - индуктивности рассеяния обмоток трансформатора.
В общем случае система уравнений трансформатора нелинейная, так как
индуктивности обмоток являются нелинейной функцией токов.
В идеальном трансформаторе коэффициенты индуктивности постоянные
величины и система уравнений (4.41) линейная (что возможно при коротком
замыкании трансформатора).
4.5 Расчёт
трансформатора
токов
короткого
замыкания
двухобмоточного
Выполним решение задачи о внезапном коротком замыкании двухобмоточного трансформатора операторным методом. При коротком замыкании магнитная цепь трансформатора не насыщена, поэтому изменением индуктивности
его обмоток можно пренебречь.
При коротком замыкании напряжение на вторичной обмотке равняется
нулю (u 2 = 0) . Решение задачи получим при условии, что сеть имеет бесконечную мощность, а напряжение сети изменяется по синусоидальному закону.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В системе уравнений (4.41), в уравнениях напряжений обмоток трансформатора, вместо потокосцеплений подставим их выражения и запишем систему уравнений напряжения трансформатора в матричной форме:
u1 ( p )
0
=
(r1 + pX 11 )
pX 12
pX 12
(r2 + pX 22 )
×
i1 ( p )
i2 ( p )
.
(4.43)
В уравнениях напряжения вместо коэффициентов индуктивности записаны индуктивные сопротивления, следовательно, система уравнений записана
в относительных единицах (параметры трансформатора, токи и напряжения
выражены в относительных единицах).
Решение системы имеет вид
i1 ( p ) =
i2 ( p ) =
u1 ( p ) ⋅ (r2 + pX 22 )
(r1 + pX 11 ) ⋅ (r2 + pX 22 ) − p 2 X 122
− u1 ( p ) ⋅ pX 12
(r1 + pX 11 ) ⋅ (r2 + pX 22 ) − p 2 X 122
=
u1 ( p )
,
Z1 ( p )
= −G1 ( p ) ⋅ u1 ( p ),
(4.44)
(4.45)
где Z1 ( p ) - полное операторное сопротивление первичной обмотки;
G1 ( p ) - операторная проводимость вторичной обмотки.
2
p 2 X 12
Z1 ( p ) = r1 + pX 11 −
= r1 + pX 11 ( p ).
r2 + pX 22
(4.46)
Здесь X 11 ( p ) - операторное индуктивное сопротивление первичной обмотки.
2
pX 12
X 11 ( p ) = X 11 −
.
r2 + pX 22
(4.47)
При p → ∞, что соответствует начальному моменту переходного процесса, а также при r2 = 0 операторное сопротивление принимает вид
2
 1
X 12
1 
′ = Xσ1 + 
X 11 ( p ) = X 11 −
= X 11
+

X 22
 X 12 X σ 2 
−1
(4.48)
и называется переходным сопротивлением трансформатора. На основании этого сопротивление X 11 ( p ) называют операторным переходным сопротивлением
трансформатора.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Операторная проводимость
G1 ( p ) =
pX 12
,
(r1 + pX11 )(r2 + pX 22 ) − p 2 X 122
G1 ( p ) =
pX 12 (r2 + pX 22 )
=
2
(r2 + pX 22 )
r1 + pX 11 − p 2 X 12
pX 12
.
(r2 + pX 22 )(r1 + pX 11 ( p ))
=
(4.49)
Пусть
приложенное
напряжение
изменяется
u1 (t ) = U1m ⋅ sin (t + ψ ) (записано в относительных единицах).
Изображение функции напряжения
u1 ( p ) = U1m
p ⋅ cos(ψ ) + p 2 ⋅ sin (ψ )
p2 + 1
по
.
закону
(4.50)
Выражения для изображения токов
i1 ( p ) = U1m
i2 ( p ) = −U1m
p ⋅ cos(ψ ) + p 2 ⋅ sin (ψ )
.
p 2 + 1 (r1 + p ⋅ X 11 ( p ))
(
)
(p ⋅ cos(ψ ) + p ⋅ sin(ψ ))⋅ p ⋅ X
(p + 1)(r + p ⋅ X ( p ))(r + pX
(4.51)
2
2
1
11
2
12
22 )
.
(4.52)
Для нахождения решения необходимо перейти от изображения к оригиналу. Поскольку решения идентичны, определим его только для тока первичной обмотки трансформатора.
Принимаем активные сопротивления обмоток трансформатора равными
нулю (r1 = r2 = 0 ) , т.е. пренебрегаем потерями мощности в обмотках, а, следовательно, и процессом затухания токов при коротком замыкании. Полученное
решение будет справедливо только для первых периодов тока.
С учётом принятого допущения изображение тока короткого замыкания
первичной обмотки примет вид
i1 ( p ) = U1m
p ⋅ cos(ψ ) + p 2 ⋅ sin (ψ ) U1m cos(ψ ) + p ⋅ sin (ψ )
=
.
′
X 11
′
p ⋅ p 2 + 1 ⋅ X 11
p2 + 1
(
)
(
47
)
(4.53)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как операторное выражение тока представляет отношение полиноF ( p)
мов i1 ( p ) = 1
и порядок полинома в числителе ниже порядка полинома
F2 ( p )
в знаменателе, то переход от изображения тока к его оригиналу можно выполнить по следующей формуле:
F1 ( p )
F1 (0 ) n F1 ( pk )
⇒
+∑
⋅e p k t .
F2 ( p ) F2 (0 ) k =1 p k ⋅ F2′ ( p k )
(4.54)
Определяем корни полинома в знаменателе дроби
F2 ( p ) = p 2 + 1 = 0 .
(4.55)
p1,2 = ± j .
(4.56)
Производная полинома знаменателя
F2′ ( p ) = 2 ⋅ p .
(4.57)
Решение для тока первичной обмотки трансформатора получим в результате следующих преобразований:
i1 (t ) =
U1m
′
X 11

cos(ψ ) + j ⋅ sin (ψ ) jt cos(ψ ) − j ⋅ sin (ψ ) − jt 
e +
e ;
cos(ψ ) +
⋅
⋅
j
2
j
j
2
j


U1m 
e jt + e − jt
e jt − e − jt 
i1 (t ) =
+ sin (ψ )
cos(ψ ) − cos(ψ )
;
′ 
X 11
2
2j 
i1 (t ) =
U1m
{cos(ψ ) − cos(ψ ) ⋅ cos(t ) + sin (t ) ⋅ sin(t )};
′
X 11
i1 (t ) =
U1m
{cos(ψ ) − cos(t + ψ )}.
′
X 11
(4.58)
Изменение тока в первичной обмотке трансформатора при коротком замыкании представлено на рисунке 4.4.
Из полученного решения следует, что кривая тока короткого замыкания
трансформатора может быть представлена в виде суммы двух составляющих:
периодической и апериодической. Апериодическая составляющая тока короткого замыкания по величине зависит от момента короткого замыкания, который
определяется углом ψ . При ψ = 0 начальное напряжение равняется нулю, а по48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
токосцепление обмоток трансформатора – максимальное. Постоянное потокосцепление (свойство сверхпроводящих контуров) могут поддерживаться неизменными только постоянными токами.
Амплитуда тока короткого замыкания в первичной обмотке трансформатора составит
i1 max = 2 ⋅
U1m
.
′
X 11
(4.59)
Решение задачи с учётом конечного значения активных сопротивлений
обмоток трансформатора можно получить по изложенной методике, но решение получается громоздким. Оно значительно упрощается, если пренебречь током холостого хода трансформатора.
В этом случае выполняется условие
i1 ( p ) = −i2 ( p ) .
(4.60)
Суммируя уравнения напряжений, получим
u1 ( p ) = [r1 + p ⋅ X 11 ( p )] ⋅ i1 ( p ) + [r 2 + p ⋅ X 22 ( p )] ⋅ i1 ( p ) − 2 ⋅ p ⋅ X 12 ⋅ i1 ( p ) . (4.61)
Для операторного тока первичной обмотки будем иметь
i1 ( p ) =
u1 ( p )
.
(r1 + r2 ) + p( X σ 1 + X σ 2 )
u1 ( p )
.
rk + p ⋅ X k
i1 ( p ) =
(4.62)
С учётом операторного изображения напряжения
i1 ( p ) = U1m
p ⋅ cos(ψ ) + p 2 ⋅ sin (ψ )
.
p 2 + 1 (rk + p ⋅ X k )
(
)
(4.63)
Решая характеристическое уравнение
(p + 1)(r
2
k
+ p⋅ Xk )= 0
получаем его корни
49
(4.64)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
p1,2 = ± j , p3 = −
rk
1
=− .
Xk
Tk
(4.65)
Определяем производную полинома знаменателя изображения тока короткого замыкания
(
)
F2′ ( p ) = 2 p ⋅ (rk + p ⋅ X k ) + X k ⋅ p 2 + 1 = 3 p 2 ⋅ X k + 2 p ⋅ rk + X k .
(4.66)
Находим оригинал функции i1 ( p )
(
)
)
U1m ⋅ pk ⋅ cos(ψ ) + pk2 ⋅ sin (ψ ) pk t
i1 (t ) = ∑
e ,
2
p
3
⋅
p
⋅
X
+
2
⋅
p
⋅
r
+
X
k =1 k
k
k
k k
k
3
(
U1m ⋅ (cos(ψ ) + pk ⋅ sin (ψ )) pk t
e .
2
k =1 3 ⋅ pk ⋅ X k + 2 ⋅ pk ⋅ rk + X k
3
i1 (t ) = ∑
(4.67)
Подставим в полученное решение корни характеристического уравнения
 cos(ψ ) + j sin (ψ ) jt
cos(ψ ) − j sin (ψ ) − jt
i1 (t ) = 
e +
e +
−
3
⋅
X
+
2
jr
+
X
−
3
⋅
X
−
2
jr
+
X
k
k
k
k
k
k



1
cos(ψ ) − T ⋅ sin (ψ )  −
 e
k
+ 
 3

2
 2 X k − ⋅ rk + X k 
Tk
 Tk

t

Tk  
.


(4.68)
В знаменателе первого и второго слагаемых приводим подобные члены,
а в знаменателе третьего слагаемого постоянную времени Т k заменяем её выражением
 cos(ψ ) + j sin (ψ ) jt cos(ψ ) − j sin (ψ ) − jt
i1 (t ) = U1m ⋅ 
e +
e +
− 2( X k + jrk )
 − 2( X k − jrk )


rk
sin (ψ )
cos(ψ ) −
Xk
 e−
+ 2
rk
rk2
3
−2
+ Xk
Xk
Xk
50
t
Tk

.

(4.69)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Числитель и знаменатель первого и второго слагаемых умножаем на выражения, комплексно сопряжённые выражениям их знаменателей. В знаменателе третьего слагаемого решения (4.69) выполняем преобразования:
rk2
rk2
rk2
rk2 + X k2
3
−2
+ Xk =
+ Xk =
.
Xk
Xk
Xk
Xk
(4.70)
Учитывая, что ( X k − jrk ) ⋅ ( X k + jrk ) = X k2 + rk2 = Z k2 , получим
 (− 1)
[(cos(ψ ) + j sin(ψ ))( X k + jrk )e jt +
i1 (t ) = U1m 
2
2 ⋅ Zk
]
+ (cos(ψ ) − j sin (ψ ))( X k − jrk )e − jt +
+
Xk
rk2 + X k2

 −
r
⋅  cos(ψ ) − k sin (ψ )e
Xk


t
Tk

.

(4.71)
В полученном выражении в квадратных скобках объединим слагаемые с
общим сомножителем X k и jrk соответственно. В третьем слагаемом вынесем
r
за круглые скобки коэффициент k :
Хk
 (− 1)
i1 (t ) = U1m 
X k cos(ψ ) ⋅ e jt + cos(ψ ) ⋅ e − jt + j sin (ψ ) ⋅ e jt −
2
2 ⋅ Zk
[ (
)
− j sin (ψ ) ⋅ e − jt +
(
+ jrk ⋅ cos(ψ ) ⋅ e jt − cos(ψ ) ⋅ e − jt + j sin (ψ ) ⋅ e jt + j sin (ψ ) ⋅ e − jt
+
 −
rk  X k

 ⋅ e
(
)
(
)
cos
ψ
−
sin
ψ
Z k2  rk

t
Tk

.

) ]+
(4.72)
Учитывая, что
е jt + е − jt
= ch( jt ) = cos(t ) ,
2
51
(4.73)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
е jt − е − jt
j
= jsh( jt ) = − sin (t ) ,
2
(4.74)
получим
 (− 1)
i1 (t ) = U1m  2 [ X k (cos(ψ ) ⋅ cos(t ) − sin (ψ ) ⋅ sin (t )) +
 Zk
+ rk ⋅ (− cos(ψ )sin (t ) − sin (ψ ) cos(t )) ] +
X
 −
+ 2 ⋅  k cos(ψ ) − sin (ψ ) ⋅ e
Z k  rk

t
rk
или
Tk



(4.75)
 (− 1)
i1 (t ) = U1m  2 [ X k ⋅ cos(ψ + t ) − rk ⋅ sin (ψ + t )] −
 Zk
−
rk
Z k2

 −
X
⋅ sin (ψ ) − k cos(ψ ) ⋅ e
rk


t
Tk

.

(4.76)
Коэффициент rk перед функцией sin (ψ + t ) вынесем за квадратные
скобки:
 (− r )  X

i1 (t ) = U1m ⋅  2k  k ⋅ cos(ψ + t ) − sin (ψ + t ) −

 Z k  rk
r
− k2
Zk
Учитывая, что
i1 (t ) =
U1m
Zk
−

 −
X
⋅ sin (ψ ) − k cos(ψ ) ⋅ e
rk


t
Tk

.

(4.77)
rk
X
= cos(ϕ k ) и k = tg (ϕ k ) = sin (ϕ k ) cos(ϕ k ) получим,
Zk
Zk


sin (ϕ k )
−
cos
(
)
⋅
⋅
cos
(
ψ
+
t
)
+
cos
(
ϕ
)
⋅
sin
(
ψ
+
t
)
ϕ
k
k

−
cos(ϕ k )


−
U1m
[cos(ϕk ) ⋅ sin(ψ ) − sin(ϕk ) ⋅ cos(ψ )]⋅ e
Zk
52
t
Tk
.
(4.78)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выполнив преобразования тригонометрических функций в квадратных
скобках, окончательно будем иметь
i1 (t ) =
U1m
Zk
−

⋅ sin (t + ψ − ϕ k ) − sin (ψ − ϕ k ) ⋅ e

t
Tk

.

(4.79)
Так как ϕ k ≈ π 2 (индуктивное сопротивление рассеяния больше активного сопротивления обмотки), то
i1 (t ) =
−

(
)
cos
ψ
⋅
e

rk2 + X k2 
t
U1m
Tk

− cos(t + ψ ) .

(4.80)
Различие в полученных результатах объясняется затуханием тока, что
вызвано конечным значением активных сопротивлений обмоток трансформатора (r ≠ 0) и допущением о бесконечно малом значении тока холостого хода по
сравнению с током короткого замыкания.
Графически полученные решения (4.58) и (4.80) могут быть представлены следующим образом:
1 – й случай, активные сопротивления обмоток равны нулю.
i1 (t ) =
U1m
⋅ [cos(ψ ) − cos(t + ψ )].
′
X 11
i(t)
i
in(t)
iа(t)
ψ
0
π 2
π
3π 2
2π
t
Рисунок 4.4 – Изменение тока короткого замыкания в первичной обмотке
трансформатора при r = 0
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 – й случай, ток холостого хода равен нулю. Изменение тока в первичной обмотке трансформатора при коротком замыкании представлено на рисунке 4.5.
− t

U 
i1 (t ) = 1m cos(ψ ) ⋅ e Tk − cos(t + ψ ) .
Zk 

i(t)
i
iа(t)
ψ
π 2
0
π
3π 2
2π
t
in(t)
Рисунок 4.5 – Изменение тока короткого замыкания в первичной обмотке
трансформатора при r ≠ 0
Покажем, что сопротивление короткого замыкания Z k = rk2 + X k2 стре-
( )
'
мится к значению переходного сопротивления Х 11
, если r1 = r2 = 0 , а сопротивление взаимной индукции стремится к бесконечности ( X 12 ⇒ ∞ ) .
′ = X 11 −
X 11
2
2
X 12
X 12
X ⋅X
= X σ 1 + X 12 −
= X σ 1 + 12 σ 2 .
X 22
X 22
X 22
 1
1 
′ = Xσ1 + 
X 11
+

 X 12 X σ 2 
−1
≅ X σ 1 + X σ 2 = X k если X 12 ⇒ ∞ .
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В трансформаторах большой мощности апериодическая составляющая
тока короткого замыкания затухает почти до нуля за пять – шесть периодов тока и по обмоткам протекает периодический (установившийся) ток короткого
замыкания, который в десять – пятнадцать раз больше номинального. В трансформаторах малой мощности переходной процесс затухает за один – два периода напряжения.
4.6 Расчёт тока включения трансформатора графоаналитическим
методом
Если система дифференциальных уравнений является нелинейной, что
может быть вызвано, например, необходимостью учёта насыщения магнитной
цепи, то в некоторых случаях решение может быть получено графоаналитическим методом.
Переходной процесс при включении в сеть ненагруженного трансформатора, т.е. при разомкнутой вторичной обмотке, описывается дифференциальным уравнением
u1 =
dψ 11
+ r1 ⋅ i1 ,
dt
(4.81)
где u1 = U1m ⋅ sin (ω ⋅ t + ψ );
ψ - фазный угол, определяющий напряжение сети в момент включения трансформатора;
ψ 11 = L11 ⋅ i1 - собственное потокосцепление обмотки;
L11 - индуктивность первичной обмотки трансформатора;
r1 - активное сопротивление первичной обмотки трансформатора.
Индуктивность первичной обмотки трансформатора является нелинейной функцией тока включения трансформатора. Поэтому, дифференциальное
уравнение является нелинейным и решения в общем виде не имеет.
Ток включения трансформатора можно было бы определить графически
по характеристике холостого хода трансформатора и известному закону изменения магнитного потока во времени при включении трансформатора.
Выразим потокосцепление первичной обмотки трансформатора через
магнитный поток и витки обмотки
ψ 11 = Φ11 ⋅ w1 = L11 ⋅ i1 → i1 =
ψ 11
L11
=
w1
Φ11.
L11
Дифференциальное уравнение первичной обмотки трансформатора примет вид
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
u1 = w1
dΦ11 r1
+
⋅ w1 ⋅ Φ11.
dt
L11
(4.82)
При решении задачи об определении тока включения трансформатора,
как правило, интересуются амплитудным значением, а не формой кривой тока.
Знание амплитудного значения тока при включении трансформатора необходимо, например, при отладке релейной защиты. Такое решение задачи может
быть получено при постоянной индуктивности первичной обмотки L11 , равной
своему насыщенному значению L11н , которое можно определить из условия
L11н ψ 11 max i10
=
⋅
.
L11
i1 max ψ 110
(4.83)
L11н
= T1 величиной постоянной, получаем неодr1
нородное линейное дифференциальное уравнение со специальной правой частью
Принимая отношение
U
dΦ11 1
+ ⋅ Φ = 1m ⋅ sin (ωt + ψ ) .
dt
T1
w1
(4.84)
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения
Pn (D ) y = F ( x ) со специальной правой частью может быть получено простыми
алгебраическими приёмами ( D - оператор дифференцирования). Если
A ⋅ e kx
kx
F ( x ) = A ⋅ e и Pn (k ) ≠ 0 , то частным решением является y =
. Если
Pn (k )
F ( x ) = A ⋅ e kx ⋅ sin (ω ⋅ t ) или F ( х ) A ⋅ e kx ⋅ cos(ω ⋅ t ) , то частное решение может
быть получено при помощи теоремы разложения.
Теорема. Если уравнение (L ) имеет действительные коэффициенты и
F& = F1 + jF2 , где F1 и F2 также действительны, то решение его будет комплексным y& = y1 + jy2 , причём y1 и y2 будут частными решениями (L ) с правой
частью F1 и F2 соответственно.
Следовательно, частное решение исходного дифференциального уравU
нения с правой частью 1m ⋅ sin (ωt + ψ ) может быть получено как мнимая часть
w1
уравнения с правой частью
U1m
[cos(ω ⋅ t + ψ ) + j sin(ω ⋅ t + ψ )] = U1m ⋅ exp( j (ω ⋅ t + ψ )) =
w1
w1
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
=
U1m jψ jω ⋅t
⋅e ⋅e ,
w1
причём k = jω .
Частное решение исходного уравнения
(
U1m w1 ) ⋅ e jψ ⋅ e jω ⋅t
&
Φn =
,
Pn ( jω )
где Pn ( jω ) = p +
(4.85)
1
1
⇒ jω + .
T1
T1
Pn ( jω ) =
jX 11 + r1
.
L11
(4.86)
& n = U1m ⋅ L11 ⋅ exp[ j (ω ⋅ t + ψ )] = U1m ⋅ L11 ⋅ r1 − jX 11 ⋅ exp[ j (ω ⋅ t + ψ )] .
Φ
2
w1
jX 11 + r1
w1
X 11
+ r12
X 11
& n = U1m ⋅
Φ
w1 ⋅ ω X 2 + r 2
11
1

r1
⋅
−
 X 2 + r2
11
1


⋅
2
2 
X 11 + r1 
jX 11
⋅ [cos(ω ⋅ t + ψ ) + j sin (ω ⋅ t + ψ )] .
Учитывая, что
(4.87)
X 11
r
= sin (ϕ 0 ) , а 1 = cos(ϕ0 ) , получим
Z1
Z1
& n = U1m ⋅ sin (ϕ 0 ) ⋅ [cos(ϕ 0 ) − j sin (ϕ 0 )] ⋅ [cos(ω ⋅ t + ψ ) + j sin (ω ⋅ t + ψ )]. (4.88)
Φ
w1ω
&n
Решение найдём как мнимую часть от выражения Φ
& n ),
Φ n = Im(Φ
Φn =
U1m
⋅ [sin (ω ⋅ t + ψ ) ⋅ cos(ϕ 0 ) − cos(ω ⋅ t + ψ ) ⋅ sin (ϕ0 )] ,
w1 ⋅ ω
Φn =
U1m
⋅ sin (ϕ 0 ) ⋅ sin (ω ⋅ t + ψ − ϕ0 ) .
w1 ⋅ ω
57
(4.89)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Общее решение соответствующего однородного дифференциального
уравнения
dΦ 1
+ Φ=0
dt T1
(4.90)
Φ a = A ⋅ exp − t  .
T1 

(4.91)
имеет вид
Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид
U
Φ = A ⋅ exp − t  + 1m ⋅ sin (ϕ 0 ) ⋅ sin (ω ⋅ t + ψ − ϕ0 ) .
T1  w ⋅ ω

1
(4.92)
Постоянную интегрирования A определим из начальных условий. В
момент времени t = 0 магнитный поток в стержне трансформатора равнялся остаточному магнитному потоку (Φ = Φ ост ) .
Φ ост = A +
U1m
sin (ϕ 0 ) ⋅ sin (ψ − ϕ 0 ) .
w1 ⋅ ω
A = Φ ост −
U1m
sin (ϕ 0 ) ⋅ sin (ψ − ϕ 0 ) .
w1 ⋅ ω
(4.93)
Если учесть, что
U1m ⋅ sin (ϕ0 ) =
U1m
E
ψ
⋅ X 11 = E1 ⇒ 1 = ψ 1 = Φ ⋅ w1 ⇒ 1 = Φ ,
Z1
w1
ω
то окончательно получим
Φ = Φ ост ⋅ exp(− t T1 ) + Φ m ⋅ [sin (ω ⋅ t + ψ − ϕ 0 ) − sin (ψ − ϕ 0 ) ⋅ exp(− t T1 )]. (4.94)
Полученный результат представлен графически на рисунке 4.6 для случая, когда ψ − ϕ 0 = − π :
2
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Φ = Φ ост ⋅ exp − t  − Φ m ⋅ cos(ω ⋅ t ) − exp − t  .
T1 
T1 



(4.95)
Зная закон изменения магнитного потока во времени при включении
трансформатора в сеть и имея кривую намагничивания Φ(t ) , причём
Φ(0 ) = Φ ост , можем графически определить ток включения трансформатора.
u
Ф
Ф1
Фn
Фа(t)
u1
Фостe-t/T1
Фост
0
π 2
π
3π 2
2π
t
Рисунок 4.6 – Изменение напряжения и магнитного потока
трансформатора во времени
Необходимые построения представлены на рисунке 4.7.
Из выполненных построений видно, что амплитуда тока включения во
много раз превосходит величину тока холостого хода в установившемся режиме.
Известно, что при индукциях в магнитопроводе трансформатора порядка
1,4 Тл, отношение амплитуды тока включения к установившемуся току холостого хода составляет 50 – 80, а при больших индукциях доходит до 100 – 120.
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ф
t 2π 3π 2 π
π 2 0
i
60
π
2π t
Рисунок 4.7 – Определение тока включения трансформатора
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ток холостого хода трансформатора составляет 5 – 7% от номинального
тока, следовательно, амплитуда тока включения может в 7 – 10 раз превосходить номинальный ток трансформатора.
Наиболее благоприятные условия включения имеют место в момент, когда напряжение сети достигает максимума. В этом случае в первичной обмотке
трансформатора сразу возникнет установившийся ток холостого хода, а апериодические токи, в кривой тока включения трансформатора, отсутствуют.
5 Математические модели и исследование электрических
машин с взаимно перемещающимися осями обмоток и полюсов
5.1 Уравнения синхронной машины в системе координат а, в, с
статора и d , q ротора
Наиболее общей среди электрических машин с взаимно перемещающимися осями обмоток и полюсов является синхронная явнополюсная машина.
Такая машина имеет на статоре симметричную трёхфазную обмотку. На роторе
имеются обмотка возбуждения и короткозамкнутая обмотка. В синхронных генераторах эту обмотку принято называть демпферной (успокоительной) обмоткой, а в синхронных двигателях короткозамкнутую обмотку ротора называют
пусковой, так как она используется для асинхронного пуска синхронного двигателя.
а
γ
C
Y
d
yq
f
yd
А
Х
yq
yd
c
b
q
Z
B
Рисунок 5.1
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Система координатных осей реальных обмоток синхронной машины показана на рисунке 5.1. Обмотка статора представлена тремя сосредоточенными
катушками: А-Х, В-Y и С-Z. Обмотка возбуждения представлена одной сосредоточенной катушкой: f . Успокоительная обмотка представлена двумя эквивалентными сосредоточенными катушками по оси d ротора (катушка yd ) и по
оси q ротора (катушка yq ).
Задавшись направлением осей (рисунок 5.1), составляем уравнения равновесия напряжений:
dΨa
+ ra ⋅ ia
dt
dΨв
uв =
+ rв ⋅ iв
dt
dΨс
uс =
+ rс ⋅ iс
dt
dΨ f
uf =
+ rf ⋅ i f
dt
dΨyd
0=
+ ryd ⋅ i yd
dt
dΨyq
0=
+ ryq ⋅ i yq
dt
ua =
(5.1)
Уравнения напряжений дополняем уравнениями потокосцеплений
Ψa = la ⋅ ia + mав ⋅i в + mac ⋅ ic + maf ⋅ i f + mayd ⋅ i yd + mayq ⋅ i yq
Ψв = mав ⋅ iа + lв ⋅ iв + mвс ⋅ iс + mвf ⋅ i f + mвyd ⋅ i yd + mвyq ⋅ i yq
Ψc = mаc ⋅ iа + mвс ⋅ iв + lc ⋅ ic + mcf ⋅ i f + mcyd ⋅ i yd + mcyq ⋅ i yq
Ψ f = mаf ⋅ iа + mвf ⋅ iв + mcf ⋅ ic + l f ⋅ i f + M fyd ⋅ i yd + M fyq ⋅ i yq
Ψyd = mаyd ⋅ iа + mвyd ⋅ iв + mcyd ⋅ ic + M fyd ⋅ i f + L yd ⋅ i yd + M ydyq ⋅ i yq
Ψyq = mаyq ⋅ iа + mвyq ⋅ iв + mcyq ⋅ ic + M fyq ⋅ i f + M ydyq ⋅ i yd + L yq ⋅ i yq
и уравнением движения
M эм = M c + J ⋅
dΩ
.
dt
(5.2)
(5.3)
Если считать, что магнитная цепь машины не насыщена, то M fyq = 0 и
M ydyq = 0 .
Малыми буквами l и m обозначены параметры, зависящие от углового
положения ротора. Большими буквами M и L обозначены параметры, не зависящие от углового положения ротора.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.2 Анализ коэффициентов самоиндукции и взаимной индукции
обмоток статора и ротора
5.2.1 Анализ коэффициентов самоиндукции фаз обмотки статора
Индуктивности обмоток фаз статора изменяются по периодическому закону при изменении угла γ , т.е. угла между осью фазы а статора и продольной осью ротора d.
Рассмотрим, как изменяется индуктивность фазы а (рисунок 5.2). При
значении угла γ = 0 магнитное сопротивление пути потока Фа будет минимальным. При повороте ротора магнитное сопротивление пути потока Фа будет
возрастать и при γ = π 2 достигнет своего наибольшего значения, так как на
пути магнитного потока фазы а будет расположен большой воздушный зазор
межполюсного пространства.
При дальнейшем повороте ротора магнитное сопротивление пути потока
вновь начнёт снижаться и достигнет своего наименьшего значения при γ = π .
Предположим, что по фазе а в обоих случаях протекает один и тот же
ток ia = const . Магнитный поток, создаваемый фазой а , при γ = 0 будет больше, чем при γ = π 2 . В момент времени, соответствующий γ = π , магнитный
поток фазы а статора вновь будет максимальным.
d
γ
а
А
Х
q
Фа
Рисунок 5.2
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, в моменты времени, когда оси фаз совпадают с продольной осью ротора, магнитные потоки фаз обмотки статора максимальные.
Соответственно максимальными будут и потокосцепления фаз. Следовательно,
индуктивности самоиндукции обмоток фаз статора l а , lв и lс будут в эти моменты времени максимальными (lmax ) .
Если оси фаз совпадают с поперечной осью ротора, то магнитные потоки фаз статора, потокосцепления и индуктивности самоиндукции будут минимальными (lmin ) .
Получается, что коэффициент индуктивности самоиндукции фаз статора
является периодической функцией и его можно разложить в ряд Фурье:
la = l0 + l2 ⋅ cos(2 ⋅ γ ) + l4 ⋅ cos(4 ⋅ γ ) + ... .
(5.4)
На практике высшими гармониками пренебрегают и учитывают только
одну переменную составляющую и l0 :
la = l0 + l2 ⋅ cos(2 ⋅ γ ) ,
(5.5)
для фаз b и с , соответственно, будем иметь
[ (
)]
⋅ cos[2 ⋅ (γ + 120 )],
lв = l0 + l2 ⋅ cos 2 ⋅ γ − 120 o ,
lc = l 0 + l 2
o
(5.6)
(5.7)
где l0 = 0,5 ⋅ (Lmax + Lmin ) ;
l 2 = 0,5 ⋅ (Lmax − Lmin ) .
Если ввести обозначения Lmax = Ld и Lmin = Lq , то выражения l0 и l 2
можно преобразовать:
(
)
l0 = Ld + Lq 2 ,
(
)
l 2 = Ld − Lq 2 .
(5.8)
5.2.2 Анализ коэффициентов взаимной индукции обмоток фаз статора
Предположим, что ось ротора совпадает с осью симметрии фаз статора.
Отсчёт углов ведём от оси симметрии фаз (рисунок 5.3).
Так как коэффициент взаимной индукции maв является отрицательным
(направление оси b и магнитного потока, созданного током фазы а – встречное), то, разложив в ряд Фурье функцию maв , получим
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
maв = −m0 + m2 ⋅ cos(2 ⋅ γ aв ) + m4 ⋅ cos(4 ⋅ γ aв ) + ... ,
(5.9)
где m2 = l2 .
a
Y
Фа
Х
А
γab
q
b
B
d
Рисунок 5.3
На практике высшими гармониками пренебрегают.
maв = − m0 + m2 ⋅ cos(2 ⋅ γ aв ) .
(5.10)
Отсчёт углов вёлся от оси симметрии фаз а и в . Выразим угол γ ав через
угол γ .
γ = γ aв +
π
3
⇒ γ aв = γ −
π
3
.
(5.11)
С учётом этого получим
π 
 
maв = −m0 + m2 ⋅ cos 2 ⋅  γ −  ,
3 
 
(5.12)
π 
 
mac = −m0 + m2 ⋅ cos 2 ⋅  γ +  ,
3 
 
(5.13)
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
mвc = − m0 + m2 ⋅ cos[2 ⋅ γ ].
(5.14)
5.2.3 Определение коэффициента взаимной индукции между фазами обмотки статора и обмотками ротора
Если ось d ротора совпадает с осью фазы a статора, то сопротивление
магнитной цепи для потока фазы a будет минимальным и коэффициент взаимной индукции между обмоткой статора и обмоткой возбуждения будет максимальным. При повороте ротора на угол девяносто градусов оси контуров смещаются на тот же угол. Взаимной индуктивной связи между контурами не будет (рисунок 5.4). При повороте ротора на угол сто восемьдесят градусов оси
фазы a статора и обмотки возбуждения будут направлены встречно, а коэффициент взаимной индукции будет отрицательным и равным по абсолютной величине своему значению при положении ротора, соответствующем γ = 0 .
d
а
γ
f
yd
А
Х
yq
q
Фа
Рисунок 5.4
Следовательно, учитывая только первые гармоники разложения функции mаf в ряд Фурье, для коэффициента взаимной индуктивности между обмоткой фазы a и обмоткой возбуждения получим
maf = M af ⋅ cos(γ ) ,
(5.15)
Для коэффициента взаимной индуктивности между фазами b , с и обмоткой возбуждения получим
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
(5.16)
(
)
(5.17)
mвf = M вf ⋅ cos γ − 120o ,
mcf = M cf ⋅ cos γ + 120o .
Для успокоительной обмотки по продольной оси взаимная индуктивная
связь с фазами обмотки статора будет изменяться, при изменении углового положения ротора, аналогично:
mayd = M ayd ⋅ cos(γ ) ,
(
)
⋅ cos(γ + 120 ).
mвyd = M вyd ⋅ cos γ − 120o ,
mcyd = M cyd
(5.18)
o
Ось эквивалентной успокоительной обмотки по поперечной оси опережает продольную ось ротора на 90 электрических градуса (рисунок 5.4). Следовательно, в момент времени, соответствующий γ = 0 , взаимная индуктивность
между фазой а статора и успокоительной обмоткой по поперечной оси равна
нулю. После поворота ротора на 90 о ось успокоительной обмотки по поперечной оси и ось фазы а будут иметь встречное направление. Взаимная индуктивность между обмотками будет отрицательной и максимальной по абсолютной
величине. При дальнейшем повороте ротора взаимная индуктивность mayq возрастает и при γ = π принимает значение ноль. Для успокоительной обмотки по
поперечной оси будем иметь:
mayq = − M ayq ⋅ sin (γ ) ,
(
)
⋅ sin (γ + 120 ).
mвyq = − M вyq ⋅ sin γ − 120o ,
mcyq = − M cyq
(5.19)
o
Для обмоток ротора, оси которых совпадают с продольной осью ротора,
взаимная индуктивность не зависит от положения ротора Lafd = const , так как
при изменении углового положения ротора магнитное сопротивление остаётся
неизменным. Взаимная индуктивность между успокоительной обмоткой по поперечной оси и обмотками по продольной оси отсутствует, так как магнитные
оси обмоток сдвинуты на девяносто электрических градусов.
С учётом полученных зависимостей коэффициентов взаимной индуктивности от углового положения ротора выражение для потокосцепления, например фазы a статора, примет вид:
(
67
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
[
(
)]
Ψa = [l0 + l2 ⋅ cos(2 ⋅ γ )] ⋅ ia + − m0 + m2 ⋅ cos 2 ⋅ γ − 2 ⋅ 120 o ⋅ iв +
+ M af
[
(
)]
+ − m0 + m2 ⋅ cos 2 ⋅ γ + 2 ⋅ 120 o ⋅ ic +
⋅ cos(γ ) ⋅ i f + M ayd ⋅ cos(γ ) ⋅ i yd − M ayq ⋅ sin (γ ) ⋅ i yq .
(5.20)
5.3 Уравнение равновесия моментов в относительных единицах
Уравнение равенства моментов (или уравнение движения) входит в систему уравнений, описывающую электромеханический переходной процесс, и
имеет вид:
M эм = M c + M д .
(5.21)
Разделим правую и левую части равенства на базисный момент
M эм M c M д
=
+
.
Mб
Mб Mб
(5.22)
В системе относительных единиц сохраним принятые обозначения для
электромагнитного и статического момента. Преобразуем выражение для динамического момента:
M д* =
J
dω
⋅
.
p ⋅ M б dt
(5.23)
Правую часть равенства умножим и разделим на ωб2 . Величины под знаком дифференциала выразим в относительных единицах:
ω 


d
2
2
ω
J
⋅
J ⋅ ωб
ω
ω
J
d
dω
ω
б
M д* =
⋅ б2 ⋅
=
⋅  б =
⋅ ωб ⋅
,
p ⋅ M б ωб dt p ⋅ M б d (ωб ⋅ t ) p ⋅ M б
dt
(5.24)
где под знаком дифференциала записаны величины в относительных
единицах.
Введём следующие обозначения:
J ⋅ ωб
= Tм − механическая постоянная времени;
p ⋅ Mб
Tм ⋅ ωб = H − механическая постоянная вращающейся части машины
(ротора).
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Базисный момент
Mб =
Рб
р ⋅ Рб
=
.
Ωб
ωб
(5.25)
Следовательно, для механической постоянной вращающихся частей машины можно записать
J ⋅ ωб2
H= 2
.
p ⋅ Pб
(5.26)
Уравнение моментов примет вид:
M = Mc + H ⋅
dω
.
dt
(5.27)
На практике система уравнений (5.1) – (5.3) с периодическими коэффициентами решается численными методами на цифровых вычислительных машинах или на аналоговых вычислительных машинах (АВМ).
5.4 Расчёт токов короткого замыкания однофазного синхронного
генератора
В качестве примера решения системы дифференциальных уравнений с
периодическими коэффициентами рассмотрим внезапное короткое замыкание
однофазного неявнополюсного синхронного генератора. На роторе синхронного генератора имеется только обмотка возбуждения. Магнитопровод ротора полагаем шихтованным.
Короткое замыкание синхронного генератора является аварийным режимом работы. Для ряда машин специального назначения этот режим работы
является нормальным рабочим режимом. Например, режим короткого замыкания является обычным режимом для генераторов, предназначенных для испытания коммутационной аппаратуры на отключающую способность. Находят
применение синхронные генераторы в качестве источников импульсного питания, например, для питания ускорителей элементарных частиц, для исследования свойств материалов в сильных магнитных полях, в сейсморазведке, в импульсной штамповке, для зарядки индуктивных накопителей электрической
энергии и т.д.
Режим короткого замыкания синхронного генератора является электромеханическим переходным процессом. Если ограничиться рассмотрением токов в обмотках генератора на нескольких первых периодах ЭДС, то с достаточной степенью точности можно пренебречь изменением частоты вращения ротора и рассматривать процесс короткого замыкания как электромагнитный. Пред69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
положим, что короткое замыкание произошло на выводах генератора и в месте
короткого замыкания сопротивление равно нулю. В этом случае переходной
процесс описывается следующей системой уравнений
dψ a

0
=
+ ra ⋅ ia

dt

dψ f

u
=
+ rf ⋅ i f
 f
dt

ψ a = La ⋅ ia + M afd ⋅ cos(γ ) ⋅ i f
ψ = L ⋅ i + M ⋅ cos(γ ) ⋅ i
f
f
afd
a
 f
(5.28)
Решение данной системы уравнений может быть получено одним из
численных методов, например, методом Эйлера, или методом Рунге-Кутта, или
методом последовательных интервалов и т.д. Рассмотрим решение задачи методом последовательных интервалов.
Метод последовательных интервалов, применительно к электрическим
машинам, разработал В.Т. Касьянов. По сравнению с другими численными методами этот метод при одинаковой точности результатов вычислений требует
меньшего количества вычислительных операций. Метод позволяет перейти от
системы дифференциальных уравнений к алгебраическим уравнениям относительно малых приращений неизвестных (в данном случае токов) и времени. Для
этого в системе уравнений производят следующие замены. Производные функций по времени заменяют отношением приращения функции ∆i к приращению
времени ∆t , а значение функции на интервале (∆t ) заменяют её значением в
середине интервала:
di
∆i
=>
dt
∆t
i => i ' +
∆i
,
2
(5.29)
где i ' - значение функции тока вначале интервала.
Обозначим значения токов статора и ротора в начале интервала времени
'
через iа и i 'f соответственно. Тогда средние значения токов на интервале определятся следующим образом
iа ср => iа' +
i f ср => iа' +
70
∆iа
,
2
∆i f
2
(5.30)
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тригонометрические функции, входящие в систему уравнений, вычисляют в середине рассматриваемого интервала τ = t ' + ∆t 2 :
(
)
cos(τ ) = cos t ' + ∆t 2 ;
(
)
sin (τ ) = sin t + ∆t 2 .
'
(5.31)
Подставим выражения для потокосцеплений обмоток в уравнения напряжений. В системе относительных единиц решаемая система уравнений примет вид
di f

dia
(
)
γ
0
=
L
+
M
⋅
cos
⋅
− M afd ⋅ sin (γ ) ⋅ i f + ra ⋅ ia
a
afd

dt
dt
.

di
di
f
u = L
+ M afd ⋅ cos(γ ) ⋅ a − M afd ⋅ sin (γ ) ⋅ ia + r f ⋅ i f
f
 f
dt
dt
(5.32)
Заменим в решаемой системе уравнений функции на интервале и их производные конечно-разностными выражениями
∆i f
∆i f 


∆i
La
 + ra ⋅  ia' + a 
⋅ ∆ia + M afd ⋅ cos(τ ) ⋅
− M afd ⋅ sin (τ ) ⋅  i 'f +
0 =
∆t
∆t
2 
2 




u = L f ⋅ ∆i + M ⋅ cos(τ ) ⋅ ∆ia − M ⋅ sin (τ ) ⋅  i ' + ∆ia  + r ⋅  i ' + ∆i f
a
 f  f
f
afd
afd
 f ∆t
∆
2
2
t







(5.33)
Преобразуем решаемую систему уравнений. В левой части уравнений
системы записываем произведения приращений токов обмоток статора и ротора
на соответствующие коэффициенты, а в правой части уравнений записываем
известные величины:
 La ra 
 cos(τ ) sin (τ ) 
'
'
 ∆t + 2  ⋅ ∆ia + M afd ⋅  ∆t − 2  ⋅ ∆i f = M afd ⋅ sin (τ ) ⋅ i f − ra ⋅ ia





M ⋅  cos(τ ) − sin (τ )  ⋅ ∆i +  L f + r f  ⋅ ∆i = u + M ⋅ sin (τ ) ⋅ i ' − r ⋅ i
a
f
f
afd
а
f
f
 ∆t
 afd  ∆t
2 
2 

(5.34)
Запишем решаемую систему уравнений в матричной форме
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
La ra
+
∆t 2
 cos(τ ) sin (τ ) 
M afd 
−

2 
 ∆t
 cos(τ ) sin (τ )  ∆ia
M afd ⋅ 
−

2 
 ∆t
×
=
L f rf
+
∆i f
∆t
2
M afd ⋅ sin (τ ) ⋅ i 'f − ra ⋅ ia'
=
(5.35)
u f + M afd ⋅ sin (τ ) ⋅ iа' − r f ⋅ i f
Решим систему уравнений относительно приращений токов на интервале:
[
]
 L f r f 
∆ia = 
+  ⋅ M afd ⋅ sin (τ ) ⋅ i 'f − ra ⋅ ia' −
2
 ∆t
[u
f
 cos(τ ) sin (τ ) 
+ M afd ⋅ ia' ⋅ sin (τ ) − r f ⋅ i 'f ⋅ M afd ⋅ 
−

2  
 ∆t
]
 La ra  L f r f 
2
+ 
+  − M afd

2
 ∆t 2  ∆t
 cos(τ ) sin (τ )
⋅
−
2 
 ∆t
(5.36)
2



[
]
r 
 L
∆i f =  a + a  ⋅ u f + M afd ⋅ sin (τ ) ⋅ ia' − r f ⋅ i 'f −
 ∆t 2 
[M
afd
 cos(τ ) sin (τ ) 
⋅ i 'f ⋅ sin t ' − ra ⋅ ia' ⋅ M afd ⋅ 
−

2  
 ∆t
()
]
 La ra  L f r f 
2
+ 
+  − M afd

2
 ∆t 2  ∆t
 cos(τ ) sin (τ )
⋅
−
2 
 ∆t
(5.37)
2



Для получения численного решения переходного процесса задаются интервалом времени ∆t . После вычисления приращений токов в обмотках статора
и ротора на очередном интервале, вычисляют значения токов и время в конце
интервала времени:
iа" = iа' + ∆iа ;
i "f = i 'f + ∆i f ;
t " = t ' + ∆t .
72
(5.38)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полученные значения токов и время в конце данного интервала являются начальными для следующего интервала времени. Это позволяет найти приращения токов на очередном интервале и определить токи в конце интервала и
т.д. Метод последовательных интервалов позволяет учитывать влияние насыщения магнитной цепи на токи короткого замыкания.
5.5 Метод преобразования координат
Сущность метода преобразования координат заключается в следующем.
От неизвестных параметров в системе координатных осей а − в − с , имеющих
периодический характер коэффициентов, переходят к новым параметрам в некоторой условной системе координатных осей (например, d и q ). Оси выбирают таким образом, чтобы индуктивности обмоток L и взаимные индуктивности M стали постоянными и не зависели от положения ротора в пространстве.
Такой системой координат может быть система координат жёстко связанная с осями ротора. Задача заключается в том, чтобы привести параметры
обмотки статора к ротору.
Выразим токи фаз обмотки статора через амплитуду изображающего
вектора тока I s (рисунок 5.5):
ia = I s ⋅ cos(α ) ;
(5.39)
iв = I s ⋅ cos α − 120 o ;
(
)
(5.40)
(
)
(5.41)
ic = I s ⋅ cos α + 120 o .
а
Is
d
ia
α
γ
ic
ib
в
с
q
Рисунок 5.5
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проектируя вектор тока I s на оси d и q , получим:
id = I s ⋅ cos(γ − α ) ;
(5.42)
iq = − I s ⋅ sin (γ − α ) .
(5.43)
Выполним преобразование функций cos(γ − α ) и sin (γ − α ) . Известно:
cos(γ − α ) =
sin (γ − α ) =
(
) (
) (
)]
)
(
) (
)]
)
2
[cos(α ) ⋅ cos(γ ) + cos α − 120o ⋅ cos γ − 120o +
3
+ cos α + 120o ⋅ cos γ + 120o ;
(
2
[cos(α ) ⋅ sin(γ ) + cos α − 120o ⋅ sin γ − 120o +
3
+ cos α + 120o ⋅ sin γ + 120o ;
(
) (
(5.44)
(5.45)
В выражение для тока id (5.42) подставим значение cos(γ − α )
id =
(
) (
)]
)
2
[I s ⋅ cos(α ) ⋅ cos(γ ) + I s ⋅ cos α − 120o ⋅ cos γ − 120o +
3
+ I s ⋅ cos α + 120 o ⋅ cos γ + 120 o .
(
) (
(5.46)
Получим
id =
[
(
)
(
)]
(5.47)
(
)]
(5.48)
2
ia ⋅ cos(γ ) + iв ⋅ cos γ − 120o + ic ⋅ cos γ + 120o .
3
Аналогично для тока iq
iq = −
[
(
)
2
ia ⋅ sin (γ ) + iв ⋅ sin γ − 120o + ic ⋅ sin γ + 120o .
3
Обратный переход от неизвестных в системе координат d и q к неизвестным в системе координатных осей а − в − с осуществляется следующим образом:
ia = id ⋅ cos(γ ) − iq ⋅ sin (γ ) ;
(
)
⋅ cos(γ + 120 ) − i
(
)
⋅ sin (γ + 120 ).
iв = id ⋅ cos γ − 120o − iq ⋅ sin γ − 120o ;
ic = id
o
74
o
q
(5.49)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если имеем соединение обмоток «звезда» с нулевым проводом или
«треугольник», то при несимметричной нагрузке появляется ток нулевой последовательности:
1
(5.50)
io = (ia + iв + ic ) .
3
Если в цепи имеется ток нулевой последовательности, то он добавляется
к токам id и iq . Этот ток не связан ни с одной осью и имеет свои уравнения, которые решаются независимо от уравнений в осях d и q . При переходе к системе координатных осей a − в − с ток io добавляется к фазным токам ia , iв и ic .
ia = id ⋅ cos(γ ) − iq ⋅ sin (γ ) + io ;
(
)
⋅ cos(γ + 120 ) − i
(
)
⋅ sin (γ + 120 ) + i
iв = id ⋅ cos γ − 120o − iq ⋅ sin γ − 120o + io ;
ic = id
o
o
q
o
(5.51)
.
Ток io совпадает с током нулевой последовательности симметричных
составляющих только в установившемся режиме. В переходных режимах он
изменяется по сложным зависимостям от времени.
По аналогичным зависимостям осуществляется переход от системы координатных осей а − в − с к системе координатных осей d и q . Например, для
напряжений в осях d − q будем иметь
ud =
[
(
)
(
)]
(
)
(
)]
2
u a ⋅ cos(γ ) + uв ⋅ cos γ − 120o + uc ⋅ cos γ + 120o + uo .
3
uq = −
[
2
u a ⋅ sin (γ ) + uв ⋅ sin γ − 120o + uc ⋅ sin γ + 120o + uo .
3
uo =
(5.52)
1
(ua + uв + uc ) .
3
Переход к системе осей d и q означает, что трёхфазная обмотка статора
заменяется двухфазной (два контура – по оси d и оси q ). Особенностью этой
замены является тот факт, что число витков в каждом контуре равняется числу
витков в одной фазе.
Установим связь между электрическими величинами в осях d и q , т.е.
между напряжениями u d , uq и потокосцеплениями Ψd , Ψq , и токами id , iq .
Для напряжения по оси d имеем
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ud =
[
(
)
)]
(
2
u a ⋅ cos(γ ) + uв ⋅ cos γ − 120o + uc ⋅ cos γ + 120o .
3
(5.53)
Вместо напряжений фаз ua , uв и uc подставим их выражения
ud =
(
)
2  dΨa

 dΨв

+
r
⋅
i
⋅
cos
(
γ
)
+
+ rв ⋅ iв  ⋅ cos γ − 120o +



a
a

3  dt

 dt

(
 dΨ

+  c + rc ⋅ ic  + ⋅ cos γ + 120o
 dt

) .
(5.54)

В правой части полученного равенства раскрываем скобки и выполняем
преобразования:
ud =
[
(
)
)]
(
2
ra ⋅ ia ⋅ cos(γ ) + rв ⋅ iв ⋅ cos γ − 120o + rc ⋅ ic ⋅ cos γ + 120o +
3
(
)
)]
(
2  dΨ
dΨв
dΨc
⋅ cos γ + 120o .
+  a ⋅ cos(γ ) +
⋅ cos γ − 120o +
3  dt
dt
dt
(5.55)
Найдём производную от потокосцепления Ψd .
[
(
)
(
)]
(
) −
dΨd d  2

=  Ψa ⋅ cos(γ ) + Ψв ⋅ cos γ − 120o + Ψc ⋅ cos γ + 120o  .
dt
dt  3

Учитывая, что
(5.56)
dγ
= ω , получим
dt
(
)
dΨd 2  dΨa
dΨв
dΨc
= 
⋅ cos(γ ) +
⋅ cos γ − 120o +
⋅ cos γ + 120o
dt
3  dt
dt
dt
2
− Ψa ⋅ sin (γ ) + Ψв ⋅ sin γ − 120o + Ψc ⋅ sin γ + 120o ⋅ ω .
3
[
(
)
(
)]
(
)
(
dΨd 2  dΨa
dΨв
dΨc
= 
⋅ cos(γ ) +
⋅ cos γ − 120o +
⋅ cos γ + 120o
dt
3  dt
dt
dt
+ Ψq ⋅ ω .
(5.57)
) +
(5.58)
Подставив полученное решение в уравнение напряжения u d , получим
ud =
dΨd
− Ψq ⋅ ω + r ⋅ id .
dt
76
(5.59)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аналогично получают уравнение напряжения u q
uq =
dΨq
dt
+ Ψd ⋅ ω + r ⋅ iq .
(5.60)
Система уравнений напряжений в осях d − q
dΨd

− Ψq ⋅ ω + r ⋅ id 
dt

dΨq
uq =
+ Ψd ⋅ ω + r ⋅ iq 
dt

dΨ f

uf =
+ rf ⋅ i f

dt

dΨyd

0=
+ ryd ⋅ i yd

dt

dΨyq

0=
+ ryq ⋅ i yq

dt

ud =
(5.61)
Выразим Ψd и Ψq через токи id , iq и параметры машины.
Ψd =
=
[
(
)
)]
(
2
Ψa ⋅ cos(γ ) + Ψв ⋅ cos γ − 120 o + Ψc ⋅ cos γ + 120o =
3
(
(
))
2
{ [(l0 + l2 ⋅ cos(2 ⋅ γ )) ⋅ ia + − m0 + m2 ⋅ cos 2 ⋅ γ − 120o ⋅ iв +
3
(
(
))
+ − m0 + m2 ⋅ cos 2 ⋅ γ + 120 o ⋅ ic + M afd ⋅ cos(γ ) ⋅ i f +
]
+ M ayd ⋅ cos(γ ) ⋅ i yd − M ayq ⋅ sin (γ ) ⋅ i yq ⋅ cos(γ ) +
[(
(
))
(
(
))
+ − m0 + m2 ⋅ cos 2 ⋅ γ − 120 o ⋅ ia + l0 + l2 ⋅ cos 2 ⋅ γ − 120 o ⋅ iв +
(
)
+ (− m0 + m2 ⋅ cos(2 ⋅ γ )) ⋅ ic + M вfd ⋅ cos γ − 120o ⋅ i f +
(
)
(
) ] (
)
+ M вyd ⋅ cos γ − 1200 ⋅ i yd − M вyq ⋅ sin γ − 120o ⋅ i yq ⋅ cos γ − 120o +
[(
(
))
+ − m0 + m2 ⋅ cos 2 ⋅ γ + 120 o ⋅ ia +(− m0 + m2 ⋅ cos(2 ⋅ γ )) ⋅ iв +
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
(
))
(
)
+ − l0 + l2 ⋅ cos 2 ⋅ γ + 120o ⋅ ic + M сfd ⋅ cos γ + 120o ⋅ i f +
(
)
(
) ] (
)}
+ M сyd ⋅ cos γ + 1200 ⋅ i yd − M сyq ⋅ sin γ + 120o ⋅ i yq ⋅ cos γ + 120o . (5.62)
Преобразуем правую часть выражения Ψd :
Ψd =
+
[
(
)
)]
(
2
⋅ l0 ⋅ ia ⋅ cos(γ ) + iв ⋅ cos γ − 120o + ic ⋅ cos γ + 120 o +
3
[
(
) (
)
2
⋅ l2 ⋅ ia ⋅ cos(2 ⋅ γ ) ⋅ cos(γ ) + iв ⋅ cos 2 ⋅ γ + 120o ⋅ cos γ − 120 o +
3
(
)]
) (
+ ic ⋅ cos 2 ⋅ γ − 120o ⋅ cos γ + 120 o −
[
(
)
2
− ⋅ m0 ⋅ (iв + ic ) ⋅ cos(γ ) + (ia + ic ) ⋅ cos γ − 120o +
3
)]
(
+ (ia + iв ) ⋅ cos γ + 120 o +
{[ (
)
(
)
2
+ ⋅ m2 ⋅ cos 2 ⋅ γ − 120o ⋅ iв + cos 2 ⋅ γ + 120o ⋅ ic ] ⋅ cos(γ ) +
3
[ ((
)
+ [cos (2 ⋅ γ + 120 )⋅ i
)] (
)
] (
)}+
+ cos 2 ⋅ γ − 120 o ⋅ ia + cos(2 ⋅ γ ) ⋅ ic ⋅ cos γ − 120 o +
o
a
+ cos(2 ⋅ γ ) ⋅ iв ⋅ cos γ + 120 o
[
(
)
(
)]
[
(
)
(
)]
) (
)
2
+ ⋅ M afd ⋅ i f ⋅ cos 2 (γ ) + cos 2 γ − 120o + cos 2 γ + 120o +
3
2
+ ⋅ M ayd ⋅ i yd ⋅ cos 2 (γ ) + cos 2 γ − 120o + cos 2 γ + 120o −
3
(
2
− ⋅ M ayq ⋅ i yq ⋅ [sin (γ ) ⋅ cos(γ ) + sin γ − 120o ⋅ cos γ − 120o +
3
(
) (
)]
sin γ + 120o ⋅ cos γ + 120o .
78
(5.63)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
После преобразований, получим
Ψd = Ld ⋅ id + M afd ⋅ i f + M ayd ⋅ i yd
ψ q = Lq ⋅ iq + M ayq ⋅ i yq
3
2
ψ f = L f ⋅ i f + ⋅ M afd ⋅ id + M fyd ⋅ i yd ,
(5.64)
3
2
3
= L yq ⋅ i yq + ⋅ M ayq ⋅ iq
2
ψ yd = L yd ⋅ i yd + ⋅ M ayd ⋅ id + M fyd ⋅ i f
ψ yq
3
⋅ m2 ;
2
3
Lq = l0 + m0 − ⋅ m2 .
2
Ld и Lq - синхронные индуктивные сопротивления по продольной и поперечной осям. Физический смысл индуктивностей заключается в следующем.
Если по обмоткам статора протекает симметричный ток прямой последовательности, а ротор вращается с синхронной скоростью и ось поля статора совпадает
с осью d (или q ) ротора, то индуктивность обмотки статора равна Ld (или Lq ).
где Ld = l0 + m0 +
5.6 Уравнения синхронной машины с приведённой обмоткой ротора
На практике применяют систему уравнений для приведённых обмоток
ротора. Приведение роторных контуров производят к фазной обмотке статора.
Например,
U 2' = U 2 ⋅ mu ; I 2' = I 2 ⋅ mi ; Z 2' = Z 2 ⋅ m z .
mif =
miyd =
miyq =
π p ⋅ wf ⋅k f
m1 w1 ⋅ kоб ⋅ kd
;
π p ⋅ wэуd ⋅ k уd
m1 w1 ⋅ kоб ⋅ kd
π p ⋅ w yq ⋅ k yq
m1 w1 ⋅ k об ⋅ k d
mu =
2 1
.
m1 mi
79
;
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Чтобы не путать параметры, записанные в системе относительных единиц и записанные в физических единицах, будем вместо индуктивностей (и
взаимных индуктивностей) записывать индуктивные сопротивления. Токи, потокосцепления, магнитные потоки и напряжения будем обозначать теми же буквами.
ψ d = xd ⋅ id + xafd ⋅ i f + xayd ⋅ i yd ,
ψ q = xq ⋅ iq + xayq ⋅ i yq ,
ψ f = x f ⋅ i f + xafd ⋅ id + x fyd ⋅ i yd ,
ψ f = x f ⋅ i f + xafd ⋅ id + x fyd ⋅ i yd ,
ψ yd = x yd ⋅ i yd + xayd ⋅ id + x fyd ⋅ i f ,
ψ yq = x yq ⋅ i yq + xayq ⋅ iq .
(5.65)
Так как осуществлено приведение обмоток ротора к статору, то приведённые взаимные индуктивные сопротивления становятся равными сопротивлениям реакции якоря, т.е. можем записать
xafd = xayd = x fyd = xad ,
xayq = xaq .
(5.66)
5.7 Операторные уравнения и сопротивления синхронной машины
Для перехода от дифференциальной формы записи системы уравнений к
операторной необходимо оператор дифференцирования замерить оператором
р . Функции времени (u (t ), i (t ), ψ (t )) необходимо рассматривать как функции
оператора р . В этом случае система уравнений примет вид
u d ( p ) = pψ d ( p ) − ψ q ( p ) ⋅ ω + r ⋅ id

u q ( p ) = pψ q ( p ) + ψ d ( p ) ⋅ ω + r ⋅ iq
u ( p ) = pψ ( p ) + r ⋅ i
f
f
f
 f
0 = pψ yd ( p ) + ryd ⋅ i yd

0 = pψ yq ( p ) + ryq ⋅ i yq
,

(
)
(
)
(
)
(
)
p
=
x
⋅
i
p
+
x
⋅
i
p
+
x
⋅
i
p
ψ
d d
ad
f
ad
yd
 d
ψ ( p ) = x ⋅ i ( p ) + x ⋅ i ( p )
q q
aq yq
 q
ψ f ( p ) = x f ⋅ i f ( p ) + xad ⋅ id ( p ) + xad ⋅ i f ( p )

ψ yd ( p ) = x yd ⋅ i yd ( p ) + xad ⋅ id ( p ) + xad ⋅ i f ( p )

ψ yq ( p ) = x yq ⋅ i yq ( p ) + xaq ⋅ iq ( p )
80
(5.67)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где xd = xad + xs1 ;
xq = xaq + xs1 ;
x f = xad + xsf ;
x yd = xad + xsyd ;
x yq = xaq + xsyq .
Когда необходимо знать только изменение тока в обмотке статора систему уравнений синхронной машины можно существенно упростить, исключив
из этой системы токи контуров ротора. По продольной оси машины можно составить следующую систему уравнений
ψ d ( p)
id ( p )
U f ( p) =
xd
xad
xad
pxad
r f + px f
pxad
0
pxad
pxad
ryd + px yd
×
i f ( p)
(5.68)
i yd ( p )
Находим из системы (5.68) операторный ток
id ( p ) =
[(
ψ d ( p ) ⋅ M 11 + U f ⋅ M 12
,
Д ( р)
)(
)
(5.69)
]
2
где Д ( р ) = xd ⋅ r f + px f ⋅ ryd + px yd − p 2 xad
−
[ (
]
)
[
(
)]
2
2
− pxad xad ⋅ ryd + px yd − pxad
+ pxad pxad
− xad r f + px f ;
(
)(
)
2
M 11 ( p ) = r f + px f ⋅ ryd + px yd − p 2 xad
;
[(
]
)
2
M 12 ( p ) = − ryd + px yd ⋅ xad − pxad
.
Из выражения для операторного тока id ( p ) получим выражение операторного потокосцепления:
id ( p ) ⋅ Д ( р ) M 12 ( p )
−
⋅U f
M 11 ( p )
M 11 ( p )
(5.70)
ψ d ( p ) = id ( p ) ⋅ X d ( p ) + G ( p ) ⋅ U f ,
(5.71)
ψ d ( p) =
или
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где Х d ( p ) = xd −
−
{pxad ⋅ [(ryd
][
)
]
(
)
(r f + px f ) ⋅ (ryd + px yd ) − p 2 xad2
2
2
+ px yd ⋅ xad − pxad
+ xad ⋅ r f + px f − pxad
⋅ pxad
2
(
ryd + px yd )⋅ xad − pxad
.
G( p ) =
(r f + px f )⋅ (ryd + px yd ) − p 2 xad2
}; (5.72)
(5.73)
Если демпферная обмотка отсутствует, то выражения X d ( p ) и G ( p ) упрощаются:
2
pxad
Х d ( p ) = xd −
,
r f + px f
G( p ) =
(5.74)
xad
.
r f + px f
(5.75)
По поперечной оси машины записываем следующую систему уравнений
ψ q ( p)
xq
0
pxaq
iq ( p )
xaq
i yq ( p )
ryq + px yq
.
(5.76)
Решаем систему уравнений (5.72) и находим операторный ток iq ( p )
iq ( p ) =
ψ q ( p ) ⋅ (ryq + px yq )
Д
,
(5.77)
Из решения (5.77) находим выражение для операторного потокосцепления ψ q ( p )
ψ q ( p) =
где X q ( p ) = xq −
iq ( p ) ⋅ Д
ryq + px yq
2
pxaq
ryq + px yq
.
82
= X q ( p ) ⋅ iq ( p ) ,
(5.78)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С учётом сделанных преобразований, система уравнений (5.67) примет
вид:
u d ( p ) = pψ d ( p ) − ψ q ( p ) ⋅ ω + r ⋅ id ( p )

u q ( p ) = pψ q ( p ) + ψ d ( p ) ⋅ ω + r ⋅ iq ( p )

ψ d ( p ) = X d ( p ) ⋅ id ( p ) + G ( p ) ⋅ U f
ψ ( p ) = X ( p ) ⋅ i ( p )
q
q
 q
(5.79)
Функции X d ( p ) , X q ( p ) и G ( p ) - операторные индуктивные сопротивления (по продольной и поперечной осями машины) и операторная проводимость соответственно.
Система уравнений синхронной машины в осях d − q известна как система уравнений Парка-Горева.
5.8 Преобразование
синхронной машины
операторных
индуктивных
сопротивлений
5.8.1 Операторные индуктивные сопротивления синхронной машины с
одним контуром на роторе
В выражении операторного индуктивного сопротивления (5.74) индуктивные сопротивления заменяем их выражениями (стр. 81):
2
2
pxad
pxad
X d ( p ) = xd −
= xs1 + xad −
.
r f + px f
r f + p xad + xsf
(
)
Индуктивное сопротивление взаимной индукции приводим к общему
знаменателю:
X d ( p ) = xs1 +
(
)
2
2
xad ⋅ r f + pxsf + pxad
− pxad
r f + pxsf + pxad
.
Выражение в знаменателе делим на числитель
X d ( p ) = x s1 +
1
p
1
+
xad r f + px f
83
 1
p
= xs1 + 
+
 xad r f + px f
−1

 .

(5.80)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.8.2 Операторные индуктивные сопротивления синхронной машины с
демпферной обмоткой на роторе
−1
 1

1
1
X d ( p ) = xs1 + 
+
+
 ;
x
r
p
+
x
r
p
+
x
 ad
f
sf
yd
syd 

(5.81)
−1
 1

1
X q ( p ) = xs1 + 
+
 .
x
r
p
+
x

yq
syq 
 aq
(5.82)
Схемы замещения, соответствующие операторным индуктивным сопротивлениям X d ( p ) и X q ( p ) , представлены на рисунках 5.6 и 5.7.
Xσ1
rf/p
ryd/p
Xσf
Xσyd
Xad
Рисунок 5.6 – Схема замещения синхронной машины по продольной
оси, соответствующая операторному синхронному сопротивлению X d ( p )
Xσ1
ryq/p
Xaq
Xσyq
Рисунок 5.7 – Схема замещения синхронной машины по поперечной
оси, соответствующая операторному синхронному сопротивлению X q ( p )
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.8.3 Операторные индуктивные сопротивления, выраженные через постоянные времени
а) успокоительная обмотка на роторе отсутствует
2
2
xd ⋅ r f + px f ⋅ xd − pxad
pxad
X d ( p ) = xd −
=
;
r f + px f
r f + px f
X d ( p ) = xd
(
2
r f + p x f − xad
xd
r f + px f
)= x
r f + px 'f
d
r f + px f
= xd
1 + pTd'
,
X d ( p ) = xd
1 + Tdo
где Tdo =
1 + px 'f r f
1 + p x f rf
;
(5.83)
xf
− постоянная времени обмотки возбуждения при разомкнуrf
той обмотке статора;
x 'f
'
Td =
− постоянная времени обмотки возбуждения при замкнутой
rf
обмотке статора и разомкнутой демпферной обмотке.
б) на роторе полная демпферная система
X d ( p ) = xd
(1 + pT )⋅ (1 + pT ) ,
(1 + pT ) ⋅ (1 + pT )
'
d
"
d
'
do
do
где
Td"
=
x"yd
ryd
(5.84)
− постоянная времени демпферной обмотки при замкнутой
накоротко обмотке возбуждения и обмотке статора;
'
Tdo
=
x 'yd
ryd
− постоянная времени демпферной обмотки при разомк-
нутой обмотке статора и замкнутой обмотке возбуждения;
X q ( p ) = xq
85
1 + pTq'
1 + pTqo
,
(5.85)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где
Tq'
=
x"yq
ryq
− постоянная времени демпферной обмотки при коротко-
замкнутой обмотке статора;
Tqo =
x yq
ryq
− постоянная времени демпферной обмотки при разомк-
нутой обмотке статора.
Переход к системе координатных осей d − q − 0 осуществляется, когда
машина симметричная и когда нагрузка симметричная.
В общем случае система уравнений напряжений и потокосцеплений дополняется уравнением равновесия моментов. Для двигателя
M = Mc + J
dω
.
dt
Момент статический и момент динамический не зависят от системы координат.
5.9 Выражение электромагнитного момента в системе координат
d −q−0
Полная мощность определится как суммарная мощность двух фаз:
S = u d ⋅ id + u q ⋅ iq .
(5.86)
Подставим выражения напряжений u d и u q :
 dψ q

 dψ d

S =
− ψ q ⋅ ω + r ⋅ id  ⋅ id + 
+ ψ d ⋅ ω + r ⋅ iq  ⋅ iq .
 dt

 dt

(5.87)
Сгруппируем слагаемые в правой части равенства по физическому
смыслу:
dψ q 
 dψ d
 + ψ d ⋅ iq − ψ q ⋅ id ⋅ ω + r ⋅ id2 + iq2 .
S = 
⋅ id +
dt 
 dt
(
)
(
)
(5.88)
Первое слагаемое в правой части равенства (5.88) представляет мощность, которая идёт на изменение запасов электромагнитной энергии машины.
Второе слагаемое представляет мощность электромагнитную. Третье слагаемое
определяет мощность электрических потерь.
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известно, что M =
Pэм
. Следовательно,
Ω
(
)
М = ψ d ⋅ iq − ψ q ⋅ id ⋅ p .
5.10 Комплексные
машины
дифференциальные
(5.89)
уравнения
синхронной
При исследованиях процессов в синхронных машинах часто пользуются
комплексной формой записи уравнений.
В системе координатных осей d и q имеем
ud =
uq =
dΨd
− Ψq ⋅ ω + r1 ⋅ id ,
dt
dΨq
dt
(5.90)
− Ψd ⋅ ω + r1 ⋅ iq .
Комплексные дифференциальные уравнения получают путем умножения второго уравнения на j и сложения с первым
u d + ju q =
(
)
(
)


d
1
Ψd + jΨq + j  Ψd − Ψq  ⋅ ω + r1 ⋅ id + jiq .
dt
j


(5.91)
Под комплексным напряжением, комплексным током и потокосцеплением понимают выражения
u s = u d + ju q ,
is = id + jiq ,
(5.92)
Ψ s = Ψd + jΨq .
С учётом (5.92) уравнение напряжения в комплексной форме записи
примет вид
us =
dΨs
+ j Ψ s ⋅ ω + r1 ⋅ i s .
dt
87
(5.93)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
d
заменяют знаком ”D” или ”р” (но ”D” или
dt
”p” не оператор, а знак дифференцирования)
Знак дифференцирования
u s = D Ψ s + jω ⋅ Ψ s + r1 ⋅ i s .
(5.94)
Из (5.94) следует, что форма записи уравнений упростилась, так как число уравнений сократилось вдвое. Но это преимущество ощутимо лишь для машин, имеющих симметричные обмотки и равномерный воздушный зазор.
5.11 Система координатных осей α и β
Когда машина не симметрична или несимметричный режим работы,
преобразование к осям d и q делать нельзя, нужно выводить уравнения заново.
При этом периодические коэффициенты не исчезают. На практике пользуются
системами α и β неподвижными относительно статора. При переходе от неизвестных в системе координат “а-в-с” к новым неизвестным в системе координат
α – β могут быть использованы уравнения для перехода к осям d - q .
Например,
[
(
)
(
)
(
)]
id = 2 3 ia ⋅ cos(γ ) + ib ⋅ cos γ − 120 0 + ic ⋅ cos γ + 120 0 ,
[
(
iq = − 2 3 ia ⋅ sin (γ ) + ib ⋅ sin γ − 120 + ic ⋅ sin γ + 120
0
0
)].
(5.95)
Примем γ = 0 . Тогда iα = id , а iα = iq .
[
(
)
(
)]
iα = 2 3 ia + ib ⋅ cos 1200 + ic ⋅ cos 120 0 .
iα = 2 3 (ia − 0.5 ⋅ ib − 0.5 ⋅ ic ) ,
(5.96)
2
3
3  1
iβ = −  −
ib +
ic  =
(ib − ic ).
3 2
2 
3
Аналогичные зависимости можно записать для потокосцеплений и напряжений:
Ψα =
2
1

Ψa − (Ψb + Ψc ).

3
2

(5.97)
Ψβ =
1
(Ψb − Ψc ).
3
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
1

uα = u a − (ub + uc ),
3
2

(5.98)
uβ =
1
(ub − uc ).
3
Переход к системе координатных осей “а-в-с” (рисунок 5.8) можно произвести по зависимостям
ia = iα ,
1
3
ib = − iα +
iβ ,
2
2
(5.99)
1
3
ic = − iα −
iβ .
2
2
Is
α
a
iα=ia
ic
iв
β
c
в
Рисунок 5.8
Так как мы рассматриваем несимметричные режимы, то, следовательно,
к токам iα и iβ необходимо добавить ток нулевой последовательности i0
i0 =
1
(ia + ib + ic ).
3
(5.100)
Преимущества системы координатных осей α и β перед системой “ав-с” состоит в том, что оси α и β смещены на угол 900 , т.е. для ненасыщенной
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
магнитной цепи можно процессы по осям α и β рассматривать отдельно. Это
позволяет снизить порядок решаемой системы дифференциальных уравнений.
6 Обобщенная электрическая машина
6.1 Схема обобщенной электрической машины
Электрические машины принято подразделять на пять типов: машины
постоянного тока, трансформаторы, машины переменного тока (асинхронные,
синхронные, коллекторные машины). Деление электрических машин по роду
питающего напряжения и по относительной частоте вращения поля и ротора
условно. При определенных условиях синхронная машина может работать как
асинхронная. Коллекторная машина переменного тока может подключиться к
источнику постоянного тока, заторможенная асинхронная машина с фазным
ротором может работать как трансформатор. Одноякорный преобразователь
частоты переменное напряжение преобразует в постоянное напряжение или,
наоборот, постоянное в переменное.
αс
uαc
αр
γ
uβp
βс
uβc
uβp
βр
Рисунок 6.1 – Схема обобщённой электрической машины
В качестве модели обобщенной электрической машины используют различные физические объекты:
- машину постоянного тока с двумя взаимно перпендикулярными щеточными системами, расположенными по осям d и q , и, соответственно, с
двумя парами обмоток на станине (Грузов Л.Н.);
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- многообмоточный трансформатор, у которого в эквивалентных схемах
первичная обмотка представляет собой обмотку статора, а вторичные обмотки
– обмотку ротора (Казовский Е.Я);
- двухфазную двухполюсную машину, имеющую по паре обмоток на роторе и на статоре.
Принимаем в качестве обобщенной электрической машины (рисунок
6.1) симметричную двухфазную идеализированную машину, имеющую по две
взаимно перпендикулярные обмотки на роторе и на статоре (трехфазные машины принято преобразовывать к двухфазным).
Обобщенная машина имеет гладкий воздушный зазор, пазы на роторе и
на статоре отсутствуют. Обмотки в обобщенной машине представляют в виде
токовых слоев, имеющих синусоидальное распределение МДС. Так как зазор в
машине равномерный и магнитная цепь машины не насыщена, то при питании
обмоток синусоидальным напряжением распределение поля в воздушном зазоре будет синусоидальным. Обобщённая машина – это математическая модель,
позволяющая перейти к анализу процессов, протекающих в реальной машине.
Рассмотрим, как из обобщённой электрической машины получают расчётные
схемы основных типов машин.
а) Расчётная схема синхронной машины. Расчётную схему синхронной
машины можно получить из модели обобщённой электрической машины при
питании обмоток статора напряжениями uαc , u βc с частотой f1 , а обмоток ротора – напряжением uαp и u βp с частотой f 2 = 0 (постоянным напряжением).
На статоре и на роторе по осям α и β можно добавить любое число обмоток.
б) Расчётная схема асинхронной машины. Если к обмоткам статора подвести переменное напряжение uαc и u βc , а обмотки ротора замкнуть накоротко,
то получим модель асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором. Если
обмотки ротора не замыкать накоротко, а подвести к ним напряжения uαp и
u βp , то получим модель асинхронного двигателя двойного питания.
в) Расчётная схема трансформатора. Расчётную схему трансформатора
можно получить, если затормозить ротор, а на обмотку статора подать переменное напряжение.
г) Расчётная схема машины постоянного тока. В режиме работы двигателя постоянное напряжение, подаваемое через щётки машины на коллектор,
являющийся механическим преобразователем частоты, преобразуется в переменное напряжение секций якоря, и, наоборот, в режиме генератора переменное напряжение обмотки якоря преобразуется в постоянное напряжение, снимаемое со щёток. В соответствии с этим, в схеме машины постоянного тока обмотки ротора включены на преобразователь частоты. На обмотку статора по
оси α , представляющую обмотку возбуждения, подаётся постоянное напряжение. Обмотка статора по оси β представляет собой обмотку добавочных полюсов. Если в машине есть компенсационная обмотка или стабилизирующая обмотка, то в схему машины вводятся дополнительные обмотки (по оси α или по
оси β ).
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.2 Переход от трёхфазной системы координат к двухфазной
В подразделе 5.11 рассмотрен переход от трёхфазной системы координат а − b − с к системе координат α − β . Аналогичный результат может быть
получен при использовании следующих преобразований.
Предположим, что в момент времени t = 0 изображающий вектор тока
I , совпадает с осью фазы «а» статора, причём с этой же осью совпадает ось α c
ортогональной системы координат (рисунок 6.2). Значения фазных токов определяем, проектируя изображающий вектор на оси фаз.
αc
βc
A
ia = iαc
ic
ib
C
B
Рисунок 6.2
ia = I1m ;
ib = I1m ⋅ cos(− 2π 3);
ic = I1m ⋅ cos( 2π 3) .
(6.1)
С учётом
(
I s = (2 3) ⋅ ia + a ⋅ ib + a 2 ⋅ ic
)
I1m = (2 3) ⋅ (ia + ib ⋅ cos(− 2π 3) + ic ⋅ cos(2π 3))
Значения токов в ортогональной системе координат:
iαc = I1m ; iβc = 0.
Или через токи фаз:
iαc = (2 3) ⋅ (ia − 0.5 ⋅ (ib + ic )).
Совмещая изображающий вектор тока с осью β статора, получим
92
(6-2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ia = 0;
ib = I1m ⋅ cos(π 6 );
ic = I1m ⋅ cos(5π 6 ).
(6.3)
В случае определения модуля изображающего вектора тока
I1m = (2 3) ⋅ (ib ⋅ cos(π 6 ) + ic ⋅ cos(5π 6 )).
В ортогональной системе координат
iαc = 0; iβc = I1m .
Или через токи фаз
iβc = (2 3) ⋅
(
)
3 2 ⋅ (ib − ic ) = (ib − ic )
3.
(6-4).
В общем случае, когда не выполняется равенство ia + ib + ic = 0, к токам iαc и iβc добавляют ток нулевой последовательности.
io = (1 3) ⋅ (ia + ib + ic ).
(6-5)
С помощью выражений, аналогичных (6-1) – (6-3), осуществляется переход от значений напряжений и потокосцеплений в осях а − в − с к их значениям в осях α c и β c .
При переходе от токов iαc , iβc , i0 к токам в трехфазной системе координат имеем
ia = iαc + i0 ;
ib = −0.5 ⋅ iαc +
ic = −0.5 ⋅ iαc −
(
(
)
3 2 ⋅ iβc + i0 ;
(6.6)
)
3 2 ⋅ iβc + i0 .
Таким образом, полученные зависимости позволяют провести замену
трехфазной машины эквивалентной двухфазной.
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.3 Уравнения обобщенной электрической машины
Уравнения обобщенной электрической машины представляют собой
систему дифференциальных уравнений, состоящую из уравнений напряжений
обмоток ротора и статора, уравнений потокосцеплений и уравнения движения
ротора. Считаем, что обмотки ротора приведены к обмотке статора (знаки приведения опускаем). Тогда уравнения обобщенной электрической машины имеют вид:
uαc = rαc ⋅ iαc + dΨαc dt

u βc = rβc ⋅ iβc + dΨβc dt
u = r ⋅ i + dΨ dt
αp
 αp α p αp
u βp = rβp ⋅ iβp + dΨβp dt

Ψαc = Lαc ⋅ iαc + lαcαp ⋅ iαp + lαcβp ⋅ iβp

Ψβc = Lβc ⋅ iβc + l βcαp ⋅ iαp + l βcβp ⋅ iβp
Ψ = L ⋅ i + l
αp αp
αpαc ⋅ iαc + lαpβc ⋅ iβc
 αp
Ψβp = Lβp ⋅ iβp + l βpαc ⋅ iαc + l βpβc ⋅ iβc

M = M c + J ⋅ (dΩ dt ) = (Ψαc ⋅ iβc − Ψβc ⋅ iαc ) p
(6.7)
Симметрия машины по осям α и β и синусоидальное распределение
МДС обмоток позволяет записать равенства
lαcαp = lαpαc = lβcβp = lβpβc = Lm ⋅ cos(γ );
(6.8)
lαcβp = lβpαc = − Lm ⋅ sin (γ );
(6.9)
lβcαp = lαpβc = Lm ⋅ sin (γ ).
(6.10)
Эти уравнения полностью определяют динамические и статические процессы в обобщенной электрической машине. Их решение сводится к нахождению токов в обмотках и частоты вращения ротора при заданных напряжениях.
Проецируя вектор напряжения
u s = U1m ⋅ exp[ j (ω1t + α 0 )] = U1m ⋅ [cos(ω1t + α 0 ) + j sin (ω1t + α 0 )]
(6.11)
u р = U 2 m ⋅ exp[ j (ω 2t + α 2 )] = U 2 m ⋅ [cos(ω 2t + α 2 ) + j sin (ω 2t + α 2 )]
(6.12)
на соответствующие оси, получим
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
uαc = Re u s = U1m ⋅ cos(ω1t + α 0 );
u βc = Im u s = U1m ⋅ sin (ω1t + α 0 ) ;
uαp = Re u p = U 2m ⋅ cos(ω 2t + α 2 );
(6.13)
u βp = Im u p = U 2m ⋅ sin (ω 21t + α 2 ),
где ω1 - угловая частота напряжения сети;
ω2 - угловая частота вращения вектора U p относительно осей ротора;
t = 0;
α 0 - фазный угол вектора напряжения относительно оси α c в момент
α 2 - фазный угол вектора напряжения U p относительно оси α p в
момент t = 0.
При питании обмоток ротора постоянным напряжением ω2 = 0.
Однако данная система уравнений решения в общем виде не имеет, так
как коэффициенты при токах в выражениях потокосцеплений являются периодическими функциями.
7 Устойчивость синхронных машин
7.1 Общая характеристика устойчивости синхронных машин
Одним из основных свойств синхронной машины является строгое соответствие скорости вращения ротора частоте напряжения сети, в которую включена машина. Однако при работе синхронной машины могут возникать возмущения нормального режима работы вследствие изменения параметров синхронной машины, напряжения сети или момента на валу. Переходной процесс,
сопровождающий возмущение, может развиваться двояко. Либо он заканчивается установлением нового нормального режима, либо нормальный режим оказывается невозможным. В соответствии с этим все нормальные режимы синхронной машины можно разделить на две категории:
- если в результате возмущения возникает новый установившийся
нормальный режим, то исходный режим называется устойчивым;
- если после возмущения нормальный режим работы не возможен, то
исходный режим называется неустойчивым.
Возможны два вида возмущений:
- возмущения малы;
- величина возмущений конечна.
Устойчивость при наличии возмущений первого вида называется устойчивостью в малом или статической устойчивостью.
Устойчивость при конечных возмущениях называется устойчивостью в
большом или динамической устойчивостью.
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как статическая устойчивость синхронной машины связана с достаточно малыми возмущениями, то она однозначно определяется параметрами
исходного режима. Рассмотрение статической устойчивости позволяет определить, осуществим ли заданный режим работы машины. Аналитические исследования статической устойчивости основаны на анализе линеаризованных
уравнений машины.
Динамическая устойчивость зависит от величины и характера возмущения. При исследовании динамической устойчивости скорость вращения ротора
является величиной переменной. Поэтому, строгое рассмотрение динамической
устойчивости связано с решением системы нелинейных дифференциальных
уравнений. Следовательно, методы исследования статической и динамической
устойчивости – различны.
7.2 Типы нарушений статической устойчивости
Нарушения статической устойчивости синхронной машины, работающей от сети с постоянной частотой и неизменным напряжением, могут быть
разделены на три вида:
а) при определённом соотношении параметров синхронной машины и
нагрузки возможно апериодическое нарушение устойчивости или сползание,
которое характеризует собой предел статической устойчивости перегруженной
синхронной машины;
б) в некоторых случаях работы возможно самовозбуждение периодических колебаний частоты вращения ротора синхронной машины. Такое нарушение устойчивости известно под названием «самораскачивание». Суть явления
заключается в следующем. Машина получает случайное возмущение извне и в
дальнейшем ротор вращается с колебанием скорости;
в) при работе синхронной машины с ёмкостным сопротивлением в цепи
статора могут возникать электромагнитные явления типа «самовозбуждения».
Самовозбуждение характеризуется самопроизвольным ростом тока и напряжения, что приводит к недопустимому возрастанию электромагнитных нагрузок
машины (тока статора).
Нарушение статической устойчивости синхронной машины при сползании и самораскачивании связано с изменением скорости вращения ротора, поэтому переходной процесс представляет электромеханический переходной
процесс и описывается полной системой уравнений Парка-Горева. При переменной частоте вращения эта система является нелинейной. Ляпунов доказал,
что исследование статической устойчивости можно производить с помощью
линеаризованной системы уравнений.
7.3 Линеаризация основных уравнений машины
Если возмущения бесконечно малы, то отклонения электромагнитных
величин и угла нагрузки Θ от исходных значений также бесконечно малы, т.е.
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
можем принять, что Θ = Θ o + ∆Θ . Предполагаем, что возмущение ∆Θ происходит в виде гармонических колебаний
∆Θ = ∆Θ m ⋅ cos(h ⋅ t ) ,
(7.1)
где h - частота гармонических колебаний.
dΘ
В этом случае ω = ω 1 −
, или в системе относительных единиц
dt
ω = 1 − s , где s - скольжение, а ω1 - синхронная скорость.
s=−
dΘ
= h ⋅ ∆Θ m ⋅ sin (h ⋅ t )
dt
(7.2)
Изменение угла нагрузки Θ на величину ∆Θ вызывает соответствующее изменение электромагнитных величин, например,
u d = u d 0 + ∆u d ,
u q = u q 0 + ∆u q ,
u f = u f 0 + ∆u f , id = id 0 + ∆id и т.д.
(7.3)
Составляющие с индексом «0» соответствуют исходному установившемуся режиму работы, а с индексом ∆ - бесконечно малому возмущению.
Уравнения синхронной машины в осях d − q можно записать следующим образом
(
)
u d 0 + ∆u d = D(ψ d 0 + ∆ψ d ) − ψ q 0 + ∆ψ q ⋅ (1 − s ) + r ⋅ (id 0 + ∆id )
(
)
(
)
u f 0 + ∆u f = D (ψ f 0 + ∆ψ f ) + r f ⋅ (i f 0 + ∆i f )
0 = D(ψ yd 0 + ∆ψ yd ) + ryd ⋅ (i yd 0 + ∆i yd )
0 = D(ψ yq 0 + ∆ψ yq ) + ryq ⋅ (i yq 0 + ∆i yq )
(ψ d 0 + ∆ψ d ) ⋅ (iq 0 + ∆iq ) − (ψ q 0 + ∆ψ q )(id 0 + ∆id ) = M ct + H ⋅ D(1 − s )
u q 0 + ∆u q = D ψ q 0 + ∆ψ q + (ψ d 0 + ∆ψ d ) ⋅ (1 − s ) + r ⋅ iq 0 + ∆iq
(7.4)
M ct = const.
Ляпунов доказал, что можно разделить представленную систему уравнений на две системы. В одной системе сгруппировать все параметры и производные параметров, относящиеся к установившемуся режиму работы. Во второй – все параметры и их производные, вызванные бесконечно малым изменением угла нагрузки Θ . Причём с достаточной точностью можно пренебречь
произведением бесконечно малых величин.
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из системы уравнений для установившегося режима работы определяются исходные значения напряжений, токов и потокосцеплений и считают эти
величины известными. Тогда уравнения для малых приращений запишутся следующим образом:
∆u d = D∆ψ d + ψ q 0 ⋅ s − ∆ψ q + r ⋅ ∆id
∆u d = D∆ψ d + ψ q 0 ⋅ D∆Θ − ∆ψ q + r ⋅ ∆id
∆u q = D∆ψ q − ψ d 0 ⋅ D∆Θ + ∆ψ d + r ⋅ ∆iq
(7.5)
∆u f = D∆ψ f + r f ⋅ ∆i f
0 = D∆ψ yd + ryd ⋅ ∆i yd
0 = D∆ψ yq + ryq ⋅ ∆i yq
ψ d 0 ⋅ ∆iq + ∆ψ d ⋅ iq 0 − ψ q 0 ⋅ ∆id − ∆ψ q ⋅ id 0 = − H ⋅ D 2 ∆Θ
Для решения этой системы уравнений необходимо определить величины
∆u d и ∆u q . Рассматриваем двигательный режим работы. Машина недовозбуждена.
d
•
ψf
•
•
q
•
r1 ⋅ I q jx d ⋅ I d
•
jxq ⋅ I q
•
r1 ⋅ I d
•
Um
•
− Ео
•
Id
Iq
•
Ео
Θо
Рисунок 7.1
Из векторной диаграммы (рисунок 7.1) имеем:
u d = −U m ⋅ sin (Θ );
u q = U m ⋅ cos(Θ ) .
98
(7.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В исходном установившемся режиме работы имеем:
u d 0 = −U m ⋅ sin (Θ 0 );
u q 0 = U m ⋅ cos(Θ 0 ) .
(7.7)
В результате возмущения системы будем иметь:
u d 0 + ∆u d = −U m ⋅ sin (Θ 0 + ∆Θ ) =
= −U m ⋅ sin (Θ 0 ) ⋅ cos(∆Θ ) − U m ⋅ cos(Θ 0 ) ⋅ sin (∆Θ ) .
(7.8)
u q 0 + ∆u q = U m ⋅ cos(Θ 0 + ∆Θ ) =
= U m ⋅ cos(Θ o + ∆Θ ) ⋅ cos(∆Θ ) − U m ⋅ sin (Θ 0 ) ⋅ sin (∆Θ ) .
(7.9)
Величина ∆Θ мала. Следовательно, cos(∆Θ ) ≈ 1 и sin (∆Θ ) ≈ ∆Θ . Произведя соответствующие замены, получим
u d 0 + ∆u d = −U m ⋅ sin (Θ 0 ) − U m ⋅ cos(Θ 0 ) ⋅ ∆Θ .
∆u d = −U q 0 ⋅ ∆Θ;
∆u q = U d 0 ⋅ ∆Θ.
(7.10)
Система уравнений (7.5) содержит дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и является линеаризованной. Она может быть использована для исследования сползания и самораскачивания.
7.4 Методы исследования статической устойчивости на основе
малых гармонических колебаний
Решение системы уравнений (7.6) относительно ∆Θ в общем виде можно записать следующим образом:
∆Θ = A1 ⋅ exp( p1t ) + A2 ⋅ exp( p2t ) + A3 ⋅ exp( p3t ) + ... ,
(7.11)
где А1 , А2 ,... − постоянные интегрирования;
р1 , р2, ... − корни характеристического уравнения.
Система устойчива, если ∆Θ → 0 , т.е. вещественные корни характеристического уравнения, а также действительная часть комплексных корней являются отрицательными.
На практике систему уравнений (7.6) не решают, а пользуются анализом
корней характеристического уравнения системы:
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a0 ⋅ p 7 + a1 ⋅ p 6 + a2 ⋅ p 5 + a3 ⋅ p 4 + a4 ⋅ p 3 + a5 ⋅ p 2 + a6 ⋅ p + a7 = 0.
(7.12)
Если успокоительной обмотки нет, то порядок уравнения снижается на
два.
Анализируя корни характеристического уравнения можно определить,
что границе области устойчивости соответствуют два случая:
- первый случай. Один из корней характеристического уравнения равен
нулю. Это имеет место, когда коэффициент a7 равняется нулю. В этом случае
при выходе синхронной машины из области устойчивости появляется один положительный корень и наступает апериодическая неустойчивость (сползание).
- второй случай. Пара корней характеристического уравнения является
чисто мнимой. В этом случае при переходе синхронной машины через границу
области устойчивости возникает колебательная неустойчивость.
Анализ уравнений синхронной машины показывает, что коэффициент
a7 характеристического уравнения зависит от параметров установившегося режима работы (см. книгу А.И. Важнова «Переходные процессы синхронных машин»).
Установлено, что коэффициент a7 пропорционален синхронизирующему моменту. Следовательно, a7 = 0 , когда синхронизирующий момент равен
нулю. Это говорит о том, что граница сползания характеризует предел статической перегружаемости синхронной машины.
Исследования самораскачивания показывают, что это явление в значительной мере зависит от величины активного сопротивления обмотки статора.
Анализ корней уравнения седьмой степени представляет значительные
трудности, т.к. решения уравнения в общем виде не существует. Поэтому на
практике пользуются различными критериями устойчивости, которые позволяют сделать заключение об устойчивом или неустойчивом режиме работы без
решения системы и анализа корней.
Наибольшее распространение имеют критерии Гурвица и Рауса. Эти
критерии основаны на том, что при определённых соотношениях между коэффициентами характеристического уравнения все вещественные корни отрицательны, а комплексные корни имеют отрицательную вещественную часть.
В соответствии с критерием Гурвица для обеспечения устойчивости необходимо и достаточно, чтобы определители, составленные из коэффициентов
характеристического уравнения, были положительными. Для анализа Гурвиц
предлагает найти определитель следующим образом:
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a1 a0 0 0 0 0
a3 a2 a1 a0 0 0
a5 a4 a3 a2 a1 a0
∆ 7 = a7 a6 a5 a4 a3 a2
0
0
0
a1 , ∆ 6 , ∆ 5 , ∆ 4 и т.д.
(7.13)
0 0 a7 a6 a5 a4 a3
0 0 0 0 a7 a6 a5
0 0 0 0 0 0 a7
Понижение степени определителя производится вычёркиванием последней строки и последнего столбца.
Согласно критерию Гурвица система будет работать устойчиво, если все
определители ∆ и коэффициент a7 являются положительными величинами,
т.е.
∆ 7 > 0 , ∆ 6 > 0 , ∆ 5 > 0 , ∆ 4 > 0 , ∆ 3 > 0 , ∆ 2 > 0 и т.д.
∆ 7 = a7 ⋅ ∆ 6 .
(7.14)
Критерий Рауса. По сущности критерий Рауса аналогичен критерию
Гурвица.
Для оценки устойчивости работы синхронной машины составляется
таблица Рауса. Таблица имеет восемь строк и четыре столбца.
ао
а1
ао ⋅ а3
а1
а ⋅с
= а3 + 1 23
с13
с ⋅с
= с23 + 13 24
с14
с ⋅с
= с24 + 14 25
с15
с ⋅а
= с25 + 15 7
с16
с13 = а2 +
с14
с15
с16
с17
а7
а2
а3
а4
а5
с23 = а4 +
с33 = а6 +
ао ⋅ а5
а1
а ⋅с
с24 = а5 + 1 33
с13
с ⋅а
с25 = с33 + 13 7
с14
а о ⋅ а7
а1
а6
а7
-
а7
-
-
-
а7
-
-
-
-
-
-
-
-
101
(7.15)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все
коэффициенты первого столбца были положительными.
Равенство нулю коэффициента a7 соответствует явлению сползания.
Равенство нулю коэффициента c17 соответствует границе устойчивости;
при дальнейшем уменьшении коэффициента c17 ( c17 <0) наступает самораскачивание.
Если становятся равными нулю или отрицательными коэффициенты
c16 , c15 и т.д., а коэффициенты c17 и a7 положительные, это говорит о том, что
шаг изменения параметров выбран неудачно и необходимо приращения параметров уменьшить. Например, анализировалась зависимость ∆Θ = f (r1 ) . Задавались значения ∆Θ = 0., 0.1, 0.2,... (при r1 = const ). Коэффициенты c16 , c15 ,... стали отрицательными, а коэффициенты c17 и a7 - положительные. Для продолжения исследования надо принимать ∆Θ = 0., 0.05, 0.1, 0.15, 0.2 и т.д.
7.5 Влияние параметров синхронной машины на устойчивость при
сползании и самораскачивании
Чтобы спроектировать синхронную машину, работающую устойчиво в
заданном режиме, необходимо знать влияние параметров, нагрузки, возбуждения и т.д. на область устойчивой работы. Исследования показали, что влияние
параметров на устойчивость работы проявляется в следующем:
- перегрузочная способность (сползание) зависит только от параметров
установившегося режима работы. С увеличением потока возбуждения, или с
увеличением зазора при сохранении потока возбуждения перегрузочная способность синхронной машины возрастает.
- увеличение активного сопротивления в цепи обмотки статора приводит
к уменьшению перегрузочной способности.
Величина области самораскачивания определяется как параметрами установившегося режима работы, так и переходного.
Рассмотрим синхронную машину без успокоительной обмотки. Области
устойчивости такой машины строятся в координатах Θ, r1 (рисунок 7.2).
Например, синхронная машина работает в режиме двигателя. Задаются
значением угла Θ (Θ = Θ1 ) и изменяют сопротивление r1 . Например, сопротивление r13 = 0 соответствует границе устойчивости. Берут Θ 2 и снова изменяют
сопротивление r1 . С увеличением сопротивления область неустойчивого режима работы возрастает.
На область неустойчивости влияет момент инерции маховых масс. В
случае, когда имеется мощная демпферная система или ротор массивный области самораскачивания перемещаются в сторону больших активных сопротивлений и больших ЭДС. При полной успокоительной обмотке область неустойчивости проявляется незначительно. Устранение самораскачивания возможно
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
не только при помощи успокоительной обмотки, но и путём автоматического
регулирования возбуждения синхронной машины.
Θо
град
Сползание
60
Устойчивая
работа
40
20
Самораскачивание
0
r1∗
0,1
0,2
0,3
0,4
-20
-40
Устойчивая
работа
-60
-80
Сползание
Рисунок 7.2 – Области устойчивой работы синхронной машины
Исследования влияния электромагнитных параметров показали, что
применение быстродействующих систем возбуждения с регулятором сильного
действия полностью снимает вопрос устойчивости. Например, снятие ограничений по величине X d и X q позволяет снизить затраты на 186 тыс. руб. (в ценах 1974 года).
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.6 Самовозбуждение синхронной машины при наличии ёмкости в
цепи обмотки статора
Работа синхронной машины при наличии ёмкости в цепи статора может
сопровождаться возникновением самовозбуждения. При работе синхронной
машины на ёмкостную нагрузку периодически изменяющаяся индуктивность
фаз обмотки и ёмкость образуют колебательную систему. В этой колебательной
системе при определённом соотношении параметров возникают самопроизвольные колебания с возрастающей амплитудой. Для возникновения самовозбуждения не требуется возбуждения со стороны ротора, а достаточно наличие
остаточного магнитного потока. Т.е. явление самовозбуждения возникает в
случае работы синхронной машины в асинхронном режиме.
Также как и при анализе сползания можем не решать систему уравнений, а ограничиться анализом корней характеристического уравнения.
Предположим, что демпферная обмотка отсутствует. Уравнение равновесия напряжения в фазовой системе координат будет содержать интеграл от
произведения X c ⋅ ia ,
ua =
dψ a
+ r1 ⋅ ia ∫ X c ⋅ ia dt .
dt
(7.16)
Прежде чем перейти к системе координатных осей «d-q» дифференцируем уравнения.
 du d
 dψ q

d  dψ d

−Uq ⋅ω = 
− ψ qω + r1 ⋅ id  − ω 
+ ψ d ω + r1 ⋅ iq  + X c ⋅ id

dt  dt

 dt

 dt
 du

d  dψ q
 q
 dψ d


ω
+
U
⋅
=
+ ψ d ω + r1 ⋅ iq  − ω 
− ψ qω + r1 ⋅ id  + X c ⋅ iq (7.17)

d
dt  dt
 dt


 dt

dψ f
u f =
+ rf ⋅ i f
dt

Принимаем, что сеть имеет бесконечную мощность, тогда
du q
dt
du d
=0 и
dt
= 0 . Полагаем, что ω = 1 .
Подставляя вместо потокосцеплений их выражения, получим систему и
запишем определитель
a0 ⋅ p 5 + a1 ⋅ p 4 + a2 ⋅ p 3 + a3 ⋅ p 2 + a4 ⋅ p + a5 = 0 .
104
(7.18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Анализ устойчивости работы синхронной машины можно производить с
помощью критерия Гурвица.
Самовозбуждение возникает, если коэффициент a5 < 0.
a1 a0 0 0
∆4 =
a3 a2 a1 a0
a4 < 0 и т.д..
a5 a4 a3 a2
(7.19)
0 0 a5 a4
Коэффициенты (7.20) определяются через параметры:
ао = хq ⋅ хd' ⋅ Т do

а1 = r1 хq + хd' ⋅ Т do + хd ⋅ хq

а2 = 2 хq хd' + хс хd' + хс хq ⋅ Т do + r12Т do + r1 хd + хq

'
2
а3 = r1 2 хс + хq + хd ⋅ Т do + хс хd + хс хq + 2 хd ⋅ хq + r1

'
2
а4 = хс − хq хс − хd ⋅ Т do + r1 Т do + r1 2 хс + хq + хd

2
a5 = ( хс − хd ) хс − хq + r1
(
(
(
(
)
)(
(
)
)
)
(
)
(
)
(7.20)
)
Исследования, проведённые за границей и у нас, показывают, что анализ
самовозбуждения можно проводить, исследуя только ∆ 4 и a5 . Самовозбуждение возможно при наличии корней (7.19) с положительной вещественной частью. Согласно критерию Гурвица это возможно, если а5 < 0 и ∆ 4 < 0 .
Границу зоны самовозбуждения получают, решая уравнение
(
)
a5 = ( хс − х d ) хс − хq + r12 = 0 .
(7.21)
После преобразования получаем:
2
2
Xd + Xq 

 Xd − Xq 
2
X
−
+
r
=
1
 c


 .
2
2




(7.22)
Уравнение (7.22) – это уравнение окружности с центром на оси ординат
в точке Х с = 0,5 ⋅ Х d + Х q и с радиусом R = 0,5 ⋅ Х d − Х q (рисунок 7.3). Гра-
(
)
(
)
ницы зоны самовозбуждения не зависят от постоянной времени Т do . Следовательно, самовозбуждение возникает, когда обмотка возбуждения либо замкнута, либо разомкнута.
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ХС
Хd
Зона синхронного самовозбуждения
Хd+Хq
2
Xq
Xd-Xq
2
0
r1
Рисунок 7.3
При работе машины с параметрами, входящими в эту область, поле статора вращается синхронно с ротором. Эту зону называют зоной синхронного
возбуждения.
Приравнивая ∆ 4 = 0 , получаем следующую зону.
В первом приближении зону асинхронного самовозбуждения можно получить, полагая a4 = 0 . Эта зона представляет часть эллипса. При больших значениях постоянной времени Tdo зона превращается в окружность. Центр окружности
X q + X d'
(рисунок 7.4).
2
Для асинхронного самовозбуждения необходимо, чтобы обмотка возбуждения была замкнута накоротко.
При наличии демпферной обмотки зона синхронного самовозбуждения
остаётся прежней. Вторая зона, ограниченная окружностью, остаётся постоянной, а третья – расширяется.
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ХС
Хd
Зона синхронного
возбуждения
Xd+Xq
2
I
Xq
Зона асинхронного
возбуждения
’
Xq+X d
2
II
’
Xd
III
’
Xq-X d
2
Xd-Xq
2
r1
Рисунок 7.4 – Зоны самовозбуждения явнополюсной синхронной машины без успокоительной обмотки
Самовозбуждение синхронной машины в ряде случаев используют как
положительный эффект (существуют автономные генераторы с ёмкостным самовозбуждением).
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.7 Динамическая устойчивость синхронной машины
Динамической устойчивостью называется устойчивость при конечных
возмущениях. При конечных возмущениях синхронная машина может испытывать значительные колебания, которые заканчиваются установлением нового
режима работы, либо нарушением синхронизма. При колебаниях ротор синхронной машины вращается неравномерно, и его частота вращения колеблется
с некоторой частотой около средней частоты вращения.
Одновременно с колебанием скорости происходит колебание угла нагрузки Θ. Колебания синхронной машины бывают вынужденными и свободными. Вынужденные – возникают в случае, когда механический момент на валу
машины Ммех не остается постоянным и содержит пульсирующую составляющую. Такое положение возможно при работе синхронной машины с поршневым двигателем. Вынужденные колебания становятся опасными, если их частота близка к частоте свободных колебаний. Возникающий при этом резонанс колебаний может привести машину к выпадению из синхронизма. Для уменьшения вынужденных колебаний синхронную машину снабжают маховиком или
ротор машины выполняют с повышенным маховым моментом. Снижение амплитуды вынужденных колебаний достигается выполнением на роторе демпферной обмотки. Свободные колебания ротора обусловлены самой природой
синхронной машины, т.к. при параллельной работе синхронной машины с сетью она представляет колебательную систему. При n=const электромагнитный
момент синхронной машины уравновешивает статический момент сопротивления. Если по тем или иным причинам моменты не уравновешены, то в уравнении моментов появляется динамический момент.
Двигатель работал с нагрузкой, соответствующей М1. В момент времени
t0 произошло возмущение. Момент М1 возрос до значения М2. Как будет изменяться угол нагрузки во времени?
В силу наличия момента инерции ротор не может занять положение, соответствующее углу Θ2 (рисунок 7.5). Под действием ∆М ротор начнет тормозиться. Скорость падает, угол нагрузки Θ растет (рисунок 7.6). При Θ=Θ2, т.е.
Мвр=Мнагр, момент электромагнитный соответствует моменту на валу (∆М=0) и
уменьшение скорости прекращается. Т.к. ω < ωc , то ротор продолжает отставать от оси поля статора. Это приводит к тому, что угол Θ станет больше Θ2,
момент вращения Мвр станет больше момента нагрузки Мнагр.
При t2 ω = ωс , но ротор отстал от поля на угол Θ3. Ротор разгоняется
до скорости больше синхронной. Угол нагрузки Θ начинает уменьшаться и в
момент времени t3 Θ=Θ2. Но ω > ωс , и ротор пытается догнать поле статора.
Как только угол нагрузки Θ станет меньше угла Θ2, появится тормозной момент.
При t=t4 ω = ωc , но Θ1 < Θ < Θ2 . Если бы отсутствовали силы сопротивления, то в момент времени t4 угол нагрузки Θ равнялся бы углу Θ1 и в
дальнейшем колебательный процесс повторялся бы.
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М
D”
М3
A
М2
C
D
’
∆М
D
М1
B
s
0
Θ1
Θ2
Θ3
Θкр
Θ
Рисунок 7.5
Наличие сил торможения приводит к тому, что Θ1 < Θ < Θ2. Эти силы
сопротивления обусловлены силами трения (в подшипниках, бочки ротора о
воздух и т.д.). Кроме этого, на роторе выполняют демпферную обмотку, создающую асинхронный тормозной момент. Если частота вращения ротора ниже
синхронной, то асинхронный момент стремится затормозить уменьшение частоты вращения ротора, т.е. является подкручивающим моментом. Если частота
вращения ротора выше синхронной, то асинхронный момент является генераторным и тормозит ротор.
Таким образом, после времени t4 картина повторяется с учетом того, что
амплитуда колебаний уменьшается, частота вращения стремится к синхронной,
а угол нагрузки Θ стремится к Θ2.
Простейшее возмущение – это внезапное изменение какого-либо параметра, остающееся в дальнейшем неизменным.
Кроме простейших возмущений возможны возмущения в виде импульса, а также изменение нагрузки сложным способом.
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Θ, ω
ω1
Θ3
Θ2
Θ1
0
t0
t1
t2
t3
t
t4
1 цикл
2 цикл
Рисунок 7.6
Исследование динамической устойчивости синхронной машины состоит
в проверке сохранения машиной синхронизма для заданного динамического
нарушения режима работы, а также в определении пределов допустимых возмущений, соответствующих границе динамической устойчивости.
При исследованиях динамической устойчивости синхронных машин
частота вращения ротора является неизвестной и переменной. Поведение синхронной машины в этих режимах описывается полной системой дифференциальных уравнений. При переменной частоте вращения эта система является нелинейной и решения в общем виде не имеет. Аналитические методы исследования являются сложными и даже при значительных упрощениях не находят
применения.
Исследование динамической устойчивости может проводиться с помощью АВМ. Достоинством АВМ является высокая наглядность решения, т.к. все
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
интересующие электромагнитные величины получаются в виде осциллограмм.
Точность решения является удовлетворительной для инженерных расчетов.
Кроме исследования на АВМ применяют графоаналитический метод
расчета (метод площадей). Метод позволяет в первом приближении определить
границу динамической устойчивости.
7.8 Анализ динамической устойчивости методом площадей
Метод основан на анализе статической угловой характеристики.
M=
E0 ⋅ U m
sin (Θ ) .
xd
(7.23)
Предположим, что машина работала устойчиво в точке А. Выйдет ли
машина из синхронизма при увеличении нагрузки со значения М 1 до значения
М 2 (бросок нагрузки ∆M ). Для ответа на поставленный вопрос необходимо
определить энергию, расходуемую ротором при торможении:
Аторм =
Θ2
∫ ∆МdΘ .
(7.24)
Θ1
Интегралу (7.24) на рисунке 7.7 соответствует площадь фигуры АВС.
Энергия, запасаемая ротором при ускорении
Аускор =
Θ3
∫ ∆МdΘ .
(7.25)
Θ2
Интегралу (7.25), в предельном случае, соответствует площадь фигуры
BEDF.
Практически, для ответа на поставленный вопрос определяется площадь
треугольника АВС и площадь фигуры BEDF выше прямой M 1 + ∆M (рисунок
7.7). Если эта площадь треугольника АВС меньше площади фигуры BEDF, то
работа машины будет устойчивой. Из-за наличия потерь мощности на трение
колебания ротора будут затухать во времени, а скольжение s будет изменяться
по спирали (рисунок 7.7).
Если эту операцию произвести нельзя, то машина работать устойчиво
не будет. Площадь треугольника АВС больше площади фигуры BEDF.
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М
Е
А
М2
С
D
∆М
F
М1
В
s
0,5π
0
Θ1
Θ2
Θm
Θ
Рисунок 7.7
После приложения возмущения ∆M момент вращения M вр стал меньше момента нагрузки M нагр . Как только момент станет равным моменту нагрузки, торможение двигателя прекратится, но ротор будет вращаться тише поля. Следовательно, появится положительный момент. Ротор разгоняется и восполняет потерю кинетической энергии. Если площадь СEDF меньше площади
АВС, то двигатель не может восстановить начальной величины кинетической
энергии (рисунок 7.8) и в точке D скольжение не равно нулю (s ≠ 0). Так как ротор вращается медленнее поля статора, происходит дальнейшее увеличение угла нагрузки Θ и момент вращения становится меньше момента нагрузки. Двигатель тормозится.
Если рассматривать процесс в статике, то при Θ=0.5π максимальное
E ⋅U
значение электромагнитного момента составит M =
. Если машина рабоXd
тает при недовозбуждении, то можно предположить, что E=U=1 и Xd=1. Момент электромагнитный М=1.
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М
А
С
D
∆М
М2
М1
В
s
0
Θ1
Θкр
Θ2
Θ
Рисунок 7.8
Если рассматривать процесс в динамике (для машины без успокоительE′ ⋅ U
ной обмотки), то M = d
= 3 − 5, т.к. E d′ = E = U = 1 и X d′ = 0.2 − 0.3 . СледоX d′
вательно, синхронная машина имеет запас устойчивости по сравнению с расчётами по статической характеристике.
Динамическую устойчивость можно исследовать по полной системе
уравнений методом численного интегрирования с использованием вычислительной техники.
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8 Частотный метод исследования машин переменного тока
8.1 Общие вопросы
Ток внезапного короткого замыкания математически может быть представлен в виде суммы апериодических и периодических составляющих. При
решении задачи о внезапном коротком замыкании методом преобразования координат, например при наличии на роторе обмотки возбуждения и успокоительной обмотки, выражение для тока статора содержит апериодическую составляющую и периодическую, которая в свою очередь рассматривается как
сумма затухающих свободных составляющих и установившейся составляющей.
При этом выделяются сверхпереходная и переходная составляющие, затухающие во времени. В действительности кривые затухающего тока имеют большее
число затухающих периодических составляющих. Об этом, в частности, свидетельствуют результаты экспериментальных исследований внезапного короткого
замыкания. Если построить огибающую периодического тока в полулогарифмической системе координат, то оказывается, что она аппроксимируется не
двумя или тремя прямыми, а значительно большим числом прямых. Это свидетельствует о том, что дифференциальные уравнения Парка-Горева, которые
учитывают только обмотку возбуждения и успокоительную обмотку на роторе,
дают приближённое решение переходного процесса.
В последнее время требования к точности расчёта переходных процессов всё более возрастают. Это относится как к синхронным, так и асинхронным
машинам.
Более точные расчёты переходных процессов могут быть получены на
основе так называемого частотного метода. Метод основан на свойствах интеграла Фурье и преобразований Карсона-Хевисайда.
Операторное изображение функции по Карсону-Хевисайду
∞
F ( p ) = p ∫ e − pt ⋅ f (t )dt .
(8.1)
0
Если f (t ) функция тока i (t ) , характеризующая переходной процесс при
единичном постоянном напряжении ( j ) , то
∞
1
F ( p) =
= p ∫ e − pt ⋅ i (t ) dt x( p )
0
- операторная проводимость системы.
Обратное преобразование имеет вид
114
(8.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
i (t ) =
1
j∞
2π j − ∫j∞
e pt
dt .
p( x( p ))
(8.3)
Аналогичную зависимость между током в системе, при включении её на
постоянное единичное напряжение, и её индуктивным сопротивлением можно
установить с помощью интеграла Фурье
1
i (t ) =
2π
∞
∫
−∞
e jst
ds ,
jsx( js )
(8.4)
где x( js ) - комплексное индуктивное сопротивление;
s - относительная частота питающего напряжения неизменной единичной амплитуды.
1
Отношение
определяет зависимость амплитуды тока от частоты и
x( js )
называется частотной характеристикой системы.
Обратная зависимость имеет вид
∞
1
= js ∫ i (t ) ⋅ e − jst dt .
x( js )
0
(8.5)
1
и i (t ) , приходим к выводу, что переход от
x
операторных параметров и функций может быть осуществлён заменой оператора p на js .
Сравнивая выражения для
8.2 Частотные характеристики и параметры машины
При исследовании частотных характеристик используются операторные
параметры машины с заменой оператора p на js . Например,
−1


 1

1
1

 ,
xd ( js ) = xσ 1 +
+
+
ryd
 xad r f

+
x
+
x
σ
f
σ
yd


js
js


115
(8.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
−1


 1

1

 .
+
xq ( js ) = xσ 1 +
r
x
 aq

yq
+ xσyq 

js


(8.7)
Очевидно, что при s = 0 комплексные индуктивные сопротивления
x d ( js ) = xσ 1 + x ad = x d ,
(8.8)
x q ( js ) = xσ 1 + xaq = x q .
При s = ∞
x d ( js ) = x d" ,
x q ( js ) =
(8.9)
x q" .
При промежуточных значениях скольжения (от s = ∞ , до s = 0 ) пара"
метры принимают значения от x до синхронных индуктивных сопротивлений.
Для расчёта частотных параметров более удобна иная форма записи индуктивных сопротивлений:
xd ( p ) = xd
(1 + T )(1 + T ) ,
(1 + pT )(1 + pT )
'
d
"
d
'
d0
d0
(8.10)
xq ( p ) = xq
1+
pTq'
1 + Tq 0
.
Комплексные индуктивные сопротивления принимают вид
x d ( js ) =
x d"
( js + α )( js + α ) ,
'
d1
'
d2
( js + α d1 )( js + α d 2 )
(8.11)
xq ( js ) =
xq"
1 + α q' 1
1 + α q1
.
В этих выражениях величины α d' 1 , α d' 2 , α d1 , α d 2 , α q' 1 , α q1 , называемые
коэффициентами затухания, рассчитываются следующим образом:
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
α d' 1 =
1
Td'
, α d' 2 =
1
, α d1 =
"
1
1
, αd2 = ' ,
Td 0
Td 0
(8.12)
1
1
,
Tq 0
(8.13)
Td
α q' 1 =
Tq'
, α q1 =
где T - постоянные времени, выражены в относительных единицах.
В общем случае
xd (q ) ( js ) =
xd" (q )
( js + α )( js + α )...( js + α ) ,
'
1
'
2
'
n
( js + α 1 )( js + α 2 )...( js + α n )
(8.14)
где α n' и α n - коэффициенты затухания для контуров по осям d (q ) . Для
явнополюсных машин переменного тока частотные характеристики строят по
осям d и q . Выражение для частотной характеристики имеет вид:
1
xd (q ) ( js )
=
( js + α 1 )( js + α 2 )...( js + α n ) .
1
( js + α )( js + α )...( js + α )
xd" (q )
'
1
'
2
'
n
(8.15)
Для асинхронных двигателей с короткозамкнутым ротором
1
x11 ( js )
=
1
⋅
js + α1
'
x11
js + α1'
,
(8.16)
'
где x11 - переходное индуктивное сопротивление обмотки статора.
α1 =
r
1
= 2 ,
T2 x22
(8.17)
α1' =
r
1
= '2 .
'
T2 x22
(8.18)
Частотной характеристике асинхронной машины соответствует токовая
диаграмма (круговая диаграмма), представляющая собой окружность (рисунок
1
1
8.1), построенную на диаметре, равном ' −
.
x11 x11
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S=0
U=j
S=1
S=Sk
S
is
S=∞
1/X11
1/X’11
Рисунок 8.1- Частотная характеристика асинхронного двигателя
Если постоянная времени T2' выражена в электрических радианах, то коэффициент затухания α1' равен критическому скольжению, при котором активная составляющая тока статора максимальная.
α1' =
1
T2'
= sк .
По положению на шкале скольжения точек s = 0 и s = s к определяется
масштаб и градуируется шкала скольжения.
8.3 Построение частотной характеристики машины переменного
тока по осциллограмме затухания постоянного тока в обмотке статора при
неподвижном роторе и замкнутой обмотке возбуждения
Непосредственное снятие частотной характеристики имеет следующие
недостатки:
а) искажение результатов измерений напряжением, имеющим частоту
(1 − s ) , т.к. испытательное напряжение существенно ниже номинального;
б) затруднено разделение параметров по осям d и q ;
в) затруднено поддержание s = const .
Получил распространение метод построения частотной характеристики
машин переменного тока по осциллограмме затухания постоянного тока в обмотке статора при неподвижном роторе и замкнутой накоротко обмотке возбуждения.
Схема питания фаз обмотки статора показана на рисунке 8.2. В исходном состоянии контакт k1 разомкнут. В схему подают пониженное постоянное
напряжение. В обмотке статора устанавливается постоянный ток iо . При замыкании контакта k1 происходит замыкание обмотки статора. По обмотке статора
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
протекает затухающий во времени ток. Так как сопротивление цепи закоротки
имеет конечное значение, ток в обмотке статора затухает не до нуля. Установившуюся составляющую тока статора вычитают из кривой затухающего тока
статора (рисунок 8.3).
io
a
+
k1
в
с
U
-
ОВ
Рисунок 8.2 – Схема питания фаз статора постоянным током
i
A
t
Рисунок 8.3 –Осциллограмма затухающего тока в обмотке статора
При питании обмотки статора единичным напряжением начальное значение тока в цепи обмотки статора ( k1 разомкнут)
1
ic = .
r
119
(8.19)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Замыкание k1 математически соответствует подаче напряжения − 1 .
Появляется добавочный ток, операторное выражение которого
1
.
r + px( p )
iд = −
(8.20)
Результирующий ток
i ( p ) = i0 + iд =
1
1
−
.
r r + px( p )
(8.21)
Затухающий ток аппроксимируется суммой экспонент:
∞
i(t ) = ∑ in ⋅ e −α nt
'
(8.22)
n =1
или в операторной форме записи
i ( p ) = i1
p
где i1 + i2 + ... + in = i0 .
p
+ α1'
+ i2
p
p
+ α 2'
+ ... + in
p
p + α n'
,
(8.23)
Первая производная по времени от переходного тока
'
'
'
di(t )
= −i1 ⋅ α 1' ⋅ e −α1t − i2 ⋅ α 2' ⋅ e −α 2t − ... − in ⋅ α n' ⋅ e −α nt
dt
(8.24)
или в операторной форме
pi( p ) = −
p
p
p
p
'
'
= −i1α 1'
−
i
−
...
−
i
α
α
. (8.25)
2
2
n
n
r + px( p )
p + α 1'
p + α 2'
p + α n'
Опуская знак минус, получим:
p
p
p
p
'
'
α
α
= i1α 1'
+
i
+
...
+
i
.
2
2
n
n
r + px( p )
p + α1'
p + α 2'
p + α n'
Переходим к комплексной форме записи:
120
(8.26)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
js
js
js
js
'
'
α
α
= i1α1'
+
i
+
...
+
i
.
2
2
n
n
r + jsx( js )
js + α 1'
js + α 2'
js + α n'
i ss =
j
r
+ jx( js )
s
где a = s

2
js
= i1α 1'
i1α 1'
( )
 α'
 1
js
2
+s
2
( )
( )
+ α 1'
+
+ i2α 2'
i2α 2'
( )
2
α 2'
+s
2
js
js
+ α 2'
+ ... +
+ ... + i nα n'
js
js
+ α n'
(8.27)
= a + jb ,(8.28)

;
2
+s 
inα n'
(α )
' 2
n
( )
( )
( )
( )
' 2 
' 2
 i α' 2
α
i
i
α
.
b = s 1 2 1
+ 2 22
+ ... + n 2 n
'
2
'
2
'
2
α +s
α2 + s
αn + s 
 1
Из последнего уравнения находим x( js ) :
x( js ) =
r
(a + jb) j − r iss
s
s
=
j (a + jb )
jiss
j−
(8.29)
и получаем уравнение частотной характеристики
is0 =
1
=
x( js )
ji ss
j (a + jb )
.
=
r
r
j − (a + jb ) j − i ss
s
s
(8.30)
Значения составляющих токов и коэффициентов затухания определяют
из кривой затухания тока, построенной в полулогарифмической системе координат.
По оси ординат откладывают натуральный логарифм тока (ln[i (t )]) , а по
оси абсцисс – время. Из конца полученной кривой проводят касательную. Точка пересечения этой касательной с осью ординат определяет натуральный логарифм первой составляющей тока (ln (I1 )) . Через точку на оси ординат, соответствующую логарифму числа e , проводят прямую, параллельную проведённой
касательной. Точка пересечения этой прямой с осью абсцисс определит постоянную времени затухания первой выделенной экспоненты Т1 . Получают первую составляющую затухающего тока (рисунок 8.4):
I1 ⋅ e
−
121
t
T1
.
(8.31)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ln(i)
ln[i (t )]
ln(I1)
ln(e)
t
t1
Рисунок 8.4-Определение амплитуд токов и коэффициентов затухания
Определяют разность токов:
i (t ) − I1 ⋅ e
−
t
Т1
.
(8.32)
Эту разность токов вновь строят в полулогарифмических координатах и
выделяют, по описанной методике, очередную экспоненту. Описанные действия выполняют до тех пор, пока функция i (t ) не будет аппроксимирована суммой экспонент:
n
i (t ) = ∑ I k ⋅ e
−
t
Тk
.
(8.33)
k =1
Для получения частотной характеристики определяют постоянные времени и коэффициенты затухания в относительных единицах:
Tk' =
Тk
;
tб
α k' =
1
Tk'
.
(8.34)
(8.35)
Определив амплитуды токов i1 , i2 ,..., in и коэффициенты затухания
α 1' , α 2' ,..., α n' , рассчитывают ток iss и строят частотную характеристику i s 0 .
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8.4 Графический метод построения частотной характеристики
Рассмотрим технологию построения частотной характеристики (например, по оси d ). Известны амплитуды токов i1 , i2 ,..., in и коэффициенты затухания α 1' , α 2' ,..., α n' . Из предварительно выбранного положения начала координат
откладывают отрезки численно равные i1 ⋅ α 1' , i2 ⋅ α 2' и т.д., и как на диаметрах
строят окружности (рисунок 8.5). Для каждой окружности строят шкалу скольжения и по значению критического скольжения s ki = α i' производят градуировку шкалы. Для произвольно выбранного скольжения по окружностям определяют векторы токов, которые складывают геометрически. Конец результирующего вектора определяет положение точки на частотной характеристике при
выбранном скольжении. Вновь задаются скольжением и повторяют построения.
Соединяя полученные точки, строят частотную характеристику. Точку частотной характеристики при скольжении s = ∞ получают суммированием диаметров всех окружностей. Начало координат переносят на величину установивше 1 
гося тока короткого замыкания   .
 xd 
U
sk2
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
sk1
0
0,1
0,2
0,3
0,2
idss
φ
s=∞
1/xd
I1α1
I2α2
Рисунок 8.5 – Построение частотной характеристики
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
_
1
Комплекс idss =
, выраженный вектором ОА , характеризует
r
xd ( js ) +
js
величину и фазу установившегося тока при заданном скольжении ротора и питании обмотки статора номинальным напряжением номинальной частоты.
8.5 Определение параметров машин и переходных токов при
помощи частотных характеристик
8.5.1 Определение токов и индуктивных сопротивлений в сверхпереходном режиме
В синхронных машинах кривую затухания постоянного тока в обмотке
статора снимают при совпадении оси поля статора или с осью d ротора, или с
осью q . Получают
id 1 , id 2 ,... α d' 1 , α d' 2 ...
и
iq1 , iq 2 ,... α q' 1 , α q' 2 ... .
Действительная частотная характеристика синхронной машины описывается выражением
idss =
j
r
+ jx d ( js )
s
= id 1α d' 1
js
js
+ α d' 1
+ id 2α d' 2
js
js + α d' 2
Подставив s = ∞ , получим неопределённость вида
дел отношений в правой части равенства при s ⇒ ∞ .
+ ... .
∞
. Определим пре∞
idss = id 1 ⋅ α d1 + id 2 ⋅ α d 2 + ... .
lim
s⇒∞
'
(8.36)
'
(8.37)
Ток обмотки статора в сверхпереходном режиме по оси d :
id'' = id1 ⋅ α d' 1 + id 2 ⋅ α d' 2 + ... +
124
1
.
xd
(8.38)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сопротивление обмотки статора по оси d в сверхпереходном режиме:
x d'' =
1
id1 ⋅ α d' 1
+ id 2 ⋅ α d' 2
.
1
+ ... +
xd
(8.39)
Аналогично для тока и сопротивления обмотки статора по оси q :
iq'' = iq1 ⋅ α q' 1 + iq 2 ⋅ α q' 2 + ... +
xq'' =
1
;
xq
(8.40)
.
(8.41)
1
iq1 ⋅ α q' 1
+ iq 2 ⋅ α q' 2
1
+ ... +
xq
8.5.2 Определение токов и синхронных индуктивных сопротивлений в
установившемся режиме
При протекании постоянного тока i0 потокосцепление обмотки статора
Ψs 0 =
3
xd ⋅ i0 ,
2
(8.42)
1
- сила тока в фазе a статора схемы проведения эксперимента;
r
3
r = r1 - активное сопротивление схемы;
2
r1 - сопротивление фазы обмотки статора.
Следовательно,
где i0 =
Ψs 0 =
x
3
2
xd ⋅
= d .
2
3 ⋅ r1 r1
(8.43)
Из уравнения равновесия напряжения имеем
0=
dΨ s
+i⋅r .
dt
− dΨs = i ⋅ rdt .
125
(8.44)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проинтегрируем правую и левую части равенства
∞
∞
∞
3
− ∫ dΨs = r ∫ idt = r1 ∫ idt .
2 0
0
0
∞
− ∫ dΨs = − Ψs
∞
0
= −(0 − Ψs 0 ) = Ψs 0 .
0
∞
3
r1 idt = Ψs 0 .
2 ∫0
(8.45)
Заменив в правой части равенства потокосцепление Ψs 0 на его выражение, получим
∞
3
xd = r12 ∫ idt .
2 0
(8.46)
Затухающий ток обмотки статора может быть представлен в виде
i = i1e −α1t + i2 e −α 2t + ... .
'
'
(8.47)
Следовательно, подставляя (8.47) в правую часть равенства (8.46) и определяя интеграл для сопротивления xd , получим
xd =

i
i
3 2  id 1
r1  ' + d' 2 + d' 3 + ... .
2 α d 1 α d 2 α d 3

(8.48)
Для синхронного индуктивного сопротивления по поперечной оси будем
иметь
xq =

iq 2
iq3
3 2  iq1
r1  ' + ' + ' + ... .
2 α q1 α q 2 α q 3


(8.49)
Установившиеся токи короткого замыкания определяются при s = 0 :
id =
1
1
; iq =
.
xd
xq
126
(8.50)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Используя эквивалентность частотной характеристики
1
и переходx( js )
1
, можно определить экспоненциальные составх( р )
ляющие тока статора при переходных процессах и построить огибающую периодической составляющей тока статора.
ной операторной функции
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список использованных источников
Важнов, А.И. Переходные процессы в машинах переменного тока/
А.И. Важнов. - Л.:Энергия. Ленингр. отд-ние, 1980. - 256 с., ил.
2 Вольдек, А.И. Электрические машины./ А.И. Вольдек - Л.: 1978. - 832
с., ил.
3 Горев, А.А. Переходные процессы синхронной машины/ А.А. ГоревЛ.: Наука, 1985.-502 с.
4 Иванов-Смоленский, А.В. Электрические машины: учебник для
вузов/ А.В. Иванов-Смоленский.- М.:Энергия, 1980. –928 с., ил.
5 Ковач, К.П. Переходные процессы в машинах переменного тока/ К.П.
Ковач, И. Рац – М.-Л., Госэнергоиздат, 1963, 744 стр. с рис.
6 Копылов, И.П. Математическое моделирование электрических
машин: учебник для вузов, изд. 2-е, перераб. и доп./ И.П. Копылов М.: Высшая школа, 1994. – 320 с.
7 Постников, И.М. Обобщённая теория и переходные процессы
электрических машин: учебник для вузов, изд. 2-е, перераб. и доп./
И.М. Постников- М.: Высшая школа, 1975.
8 Сипайлов, Г.А. Электрические машины (специальный курс)/ Г.А.
Сипайлов, Е.В. Кононенко, К.А. Хорьков –М.:Высш.шк., 1987.-287 с.:
ил.
9 Сипайлов, Г.А. Математическое моделирование электрических
машин/ Г.А. Сипайлов, А.В. Лоос - М.: Высшая школа, 1980. – 176 с.
10 Трещев, И.И. Методы исследования электромагнитных процессов в
машинах переменного тока/ И.И. Трещев – Л.: Энергия. Ленингр. отдние, 1969. – 236 с., ил.
11 Трещев, И.И. Электромеханические процессы в машинах переменного
тока/ И.И. Трещев - Л.: Энергия. Ленингр. отд-ние, 1980. - 344 с., ил.
1
128
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
201
Размер файла
1 316 Кб
Теги
1917, электрический, специальный, курс, машина
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа