close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2011.Векторный анализ в ортогональных криволинейных координатах

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
А. И. Григорьев
С. О. Ширяева
Векторный анализ
в ортогональных
криволинейных координатах
Учебное пособие
Ярославль 2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 530.1:51–72
ББК В151.5я73
Г 83
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2009/10 года
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. В. А. Коромыслов;
кафедра прикладной математики и вычислительной техники
Ярославского государственного технического университета
Г 83
Григорьев, А. И. Векторный анализ в ортогональных криволинейных координатах: учеб. пособие / А. И. Григорьев, С. О. Ширяева; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2010. –
132 с.
ISBN 978-5-8397-0760-3
Пособие предназначено для студентов физических специальностей университетов. Изложение ведется в евклидовом пространстве
таким образом, чтобы дать читателю с минимальной математической подготовкой представление о пространственной кривой, скалярном, векторном и тензорном полях, правилах употребления оператора «набла» при бескоординатной записи физических выражений, использовании координатной формы записи линейных и квадратичных дифференциальных выражений в ортогональных криволинейных координатах, основах тензорной алгебры, записи и
использовании дифференциальных векторных операций первого и
второго порядков в тензорной форме.
При написании учебного пособия
авторы пользовались поддержкой грантов Рособразования
№ РНП .2.1.1/3776, РФФИ № 09-01-00084-а и № 09-08-00148-а.
УДК 530.1:51–72
ББК В151.5я73
ISBN 978-5-8397-0760-3
 Ярославский государственный
университет им. П. Г. Демидова, 2010
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 1. Элементы дифференциальной геометрии §1. Дифференцирование векторных функций 
1. Вектор-функция. Переменный вектор A называется вектор-функцией скалярного аргумента t, если каждому значению
скаляра t из области
значений соответствует опре допустимых
 
деленное значение A , т. е. A  At  .

Если A есть функция от t, то функциями от того же аргумента будут его проекции на оси Ax  Ax t  ; Ay  Ay t  ; Az  Az t  .
Справедливо
и
обратное
утверждение,
т. е.



At   Ax t i  Ay t  j  Az t k .

Задание векторной функции At  равносильно заданию трех
скалярных функций: Ax t , Ay t , Az t  .

2. Годографом вектор-функции At  называется геометрическое место точек, которое описывает конец
этого вектора при

изменении аргумента t, когда начало A помещено в фиксированную точку пространства – в начало координат (рис. 1).
Годографом радиус-вектора движущейся точки будет сама
траектория этой точки. Годографом же скорости V будет уже
другая линия (рис. 2).

3. Пределом вектора Bt  в точке t  t0 называется постоян


ный вектор A , если модуль разности между Bt  и A по мере
приближения значения t к t0 становится и остается меньше произвольного положительного наперед заданного числа  :


Bt   A   ,


т. е. lim Bt   A .
t t0
4. Производной вектора по скалярному аргументу
t назы
вается предел отношения приращения вектора B к соответствующему приращению аргумента t при t  0 :
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


 

B
Bt   lim
, здесь B  Bt  t   Bt .
t 0 t
Рис. 1.
Рис. 2.
5. Производная вектора по скаляру есть вектор, направленный по касательной к годографу исходного вектора в рассматриваемой точке. Направлен вектор производной в ту сторону,
куда перемещается конец вектора по годографу, когда аргумент
растет.

6. Дифференциалом векторной функции B от скалярного
аргумента t называется произведение производной этого вектора
по его аргументу на дифференциал аргумента:
 
dB  Bt dt .
Дифференциал векторной функции – вектор, направленный
по касательной к годографу. Отсюда ясно, что


dB
Bt  
.
dt
7. Формула Тейлора для векторной функции.
 Как и в обычном математическом анализе, производная от Bt  даст вторую



производную от Bt . Производная от Bt  даст Bt  – третью
производную от вектор-функции по скалярному аргументу.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Тогда векторная функция Bt  (если существуют ее производные до n-го порядка включительно) может быть разложена в ряд
Тейлора:





Bin  n 
Bt 
Bt  2 Bt  3
Bt  t   Bt  
t 
t 
t   
t   t  ;
n!
1!
2!
3!


где lim  t   0 .
t  0
Это
легко
доказать,
если
расписать



Bt   Bx t i  B y t  j  Bz t k , разложить в ряд Тейлора скалярные

проекции вектора Bt , умножить разложения на орты и сложить.
§2. Дифференциальная геометрия линии в пространстве 1. Всякую линию в пространстве можно представить как
 
годограф некоторого радиус-вектора r  r t  , непрерывно
зависящего от скалярного аргумента t.
Уравнение зависимости радиус-вектора текущей линии от
 
аргумента t: r  r t  назовем векторным уравнением линии.
2. Касательной к линии в данной точке называется предельное положение секущей, проходящей через данную точку и
бесконечно к ней близкую точку.

Можно рассматривать радиус-вектор r текущей точки
 
кривой как функцию от ее дуги s: r  r s  , где дуга s берется
между данной фиксированной точкой кривой и текущей точкой
той же кривой. Каждому положению точки на кривой

соответствует определенное значение дуги s и радиус-вектора r .
Дуга считается положительной, если текущая точка смещается в
положительном направлении, и отрицательной в противном
случае.

3. Производная от радиус-вектора по дуге
dr
по модулю
ds
равна единице, а по направлению совпадает с касательной к дуге
в этой точке:
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


dr t 
r 
 lim
 ,
S 0 s
ds
где  – орт касательной.
4. Соприкасающейся плоскостью в данной точке M кривой
называется предельное положение плоскости, проходящей через
касательную в данной точке M и точку, бесконечно близкую к
точке M.
Следствие: Соприкасающаяся плоскость плоской кривой
совпадает с плоскостью, в которой лежит данная кривая.
Теорема: Первая и вторая производная от радиус-вектора

r t  текущей точки кривой располагаются в соответствующей
соприкасающейся плоскости.

Доказательство элементарно: разложив r t  в окрестности
данной точки в ряд Тейлора и ограничившись первыми двумя

членами, увидим, что r t  является линейной комбинацией



векторов r t  и r t  , а это значит, что r t  лежит в одной с ними
плоскости.


Следствие: Производные r t  и r t , взятые в одной точке,
определяют положение соприкасающейся плоскости в этой точке


(если r t  и r t  не коллинеарны).
5. Всякая прямая, проходящая через данную точку M
пространственной кривой и перпендикулярная касательной в
данной точке, называется нормалью. Нормаль, лежащая в
соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью.
Нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости,
называется бинормалью.
 

Бинормаль определится вектором: B  r t   r t  .
нормаль
определится
вектором:
 Главная



N  r t   r t   r t  .
6. Кривизной линии в данной точке назовем предел отношения угла поворота  касательной в данной точке при переходе в бесконечно близкую точку к величине дуги s , заключенной между точками:

.
S 0 s
K  lim
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Величина, обратная к кривизне, называется радиусом
кривизны: RK 
1
.
K

d
. Для
7. Найдем производную от орта касательной по дуге:
ds
этого рассмотрим на нашей кривой две точки: M s  и M s  s 
(рис. 1).
Рис. 1.

Проведем в них орты касательных и изменения  , соот
ветствующие приращению s . Пусть  повернется на  , тогда

модуль приращения  будет равен:
следовательно



d


,
  2 sin
2
2 sin(  2)
sin  2  2 2 
 lim


S  0
s
ds S 0 s S 0
 2
s
sin  2 

 lim
 lim
 K.
  0
S  0  s
 2

d
, продифференцируем по s раЧтобы найти направление
ds



d
 d
 d
 2
, т. е.
направвенство ( )  1; получим 2 
 0 , т. е.  
ds
ds
ds
 lim
 lim
лен по одной из нормалей к касательной.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»



 d d d 2
, а известно, что r (t ) и
С другой стороны,   ;

ds ds ds 2
r (t ) определяют положение соприкасающейся плоскости. Зна
d
чит,
лежит в этой плоскости и совпадает по направлению с
ds
главной нормалью.


d
Орт
обозначается  и называется ортом главной
нормали.
ds



 d
d
В итоге
.
 K  ; K   
ds
ds
Производная от орта касательной по дуге равна
произведению кривизны линии на направление главной нормали.



и

, получим орт бинормали:
8.
Перемножив
векторно
  
    .
9. Кручением T кривой в данной точке M называется предел
отношения угла поворота соприкасающейся плоскости при переходе из данной точки M в бесконечно близкую точку к длине
дуги s , заключенной между этими точками:

.
s 0 s
T  lim
Кручение положительно, если при движении вдоль кривой
бинормаль совершает правовинтовое движение, и отрицательно в
противном случае.

d
10. Найдем производную
. Рассуждения, аналогичные
ds

d
приведенным в пункте 7 этого параграфа, дадут нам
T.
ds

d
. Для этого продифференИсследуем направление вектора
ds
2
цируем равенство   1 и получим


 d
 d
т. е.  
.
2 
 0,
ds
ds
  
Продифференцируем тождество     по s. Получим
 
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»



d d   d

   
,
ds ds
ds





d


 d
d
d
 
, т. е.
но так как
 K  , то
  0 ; остается
ds
ds
ds
ds

 d
 
.
ds


d

перпендикулярен векторам  и  . СледоИтак, вектор
ds

вательно, он коллинеарен вектору  и отличается от него только
скалярным множителем, т.е.

d
 T .
ds
Знак минус в этой формуле получился потому, что направd

противоположно направлению  и при движении в
ление
ds


направлении  вектор  будет совершать правовинтовое движение, что соответствует T > 0.
В итоге:

 d
T   
.
ds
Величина, обратная к T, называется радиусом кручения:
RT 
1
.
T
11. Три основные формулы дифференциальной геометрии
линии в пространстве:




d

dr 
d
 T  .
2)
3)
1)
 ;
 K ;
ds
ds
ds
12. Пример: Винтовая линия. Винтовой линией называется
траектория какой-либо точки M твердого тела, которое вращается
вокруг неподвижной оси и скользит вдоль нее так, что
перемещение пропорционально углу поворота.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть расстояние от точки M 0 до оси равно a. Перемещение
тела вдоль оси z при его повороте на один радиан обозначим h.
Прямоугольную систему координат расположим так, чтобы
ось z совпадала с осью винтовой линии, а ось X проходила через
начальное положение M 0 точки M (рис. 2).
а). Пусть тело повернулось на угол t и, следовательно, сместилось вдоль
оси z на th. Выразив координаты текущей точки M через
параметр t, получим параметрическое уравнение винтовой линии:
x = a cos(t); y = a sin(t);
z = ht.
Умножив эти уравнения

i
на орты
осей
координат
,


j и k , получим векторное
уравнение винтовой линии:
Рис. 2




r (t )  i a cos(t )  j a sin(t )  k ht .
б). Дифференциал дуги будем вычислять по формуле:
 2
 2
2
 dr  2
 dr 
ds  dr     dt  dt   .
 dt 
 dt 
Это означает, что направление на кривой выбирается в
сторону возрастания параметра t.

 dr
с). Для того чтобы вычислить   , необходимо знать
ds





дифференциалы dr и ds : dr  (i a sin(t )  j a cos(t )  k h)dt ;

ds  dr 
тогда
a
2
 a
cos 2 (t )  a 2 sin 2 (t )  h 2 dt 
2




dr  i a sin(t )  j a cos(t )  k h
.
 

2
2
ds
a h

10

 h 2 dt ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
д). Вычислим теперь орты главной нормали и бинормали.
Для главной нормали имеем:




d
  i a cos(t )  j a sin(t )
 K  ; d 
dt ,
ds
a2  h2



i a cos(t )  j a sin(t )
.
тогда K   
a2  h2
Для кривизны K получим:

d

K
ds
a 2 cos 2 (t )  a 2 sin 2 (t )
a
;

(a 2  h 2 ) 2
a2  h2



1 d
a 2  h 2 i a cos(t )  j a sin(t )
;
или  


K ds
a
a2  h2



  i a cos(t )  j a sin(t ) .

Для орта бинормали можем записать:



i
j
k
  
1
     2
 a sin t  a cost  h ;
2
a h
 cost 
sin t  0





i h sin(t )  j h cos(t )  k a
a h
2
2
.


d
 T  ;
е). Теперь нужно найти кручение T:
ds 



 i h cos(t )  j h sin(t )
 i h cos(t )  j h sin(t )
,
d 
dt ;
T 
a2  h2
a2  h2

 d h cos 2 (t )  h sin 2 (t )
h

отсюда T   
.
 2
2
2
ds
a h
a  h2
ж). Из полученных формул видно, что:
1) кривизна и кручение винтовой линии постоянны:
K
h
;
a2  h2
T
11
h
;
a2  h2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2) касательная к винтовой линии образует постоянный угол с
осью z:
 
 
cos( k )  (  k ) 
h
a2  h2
;
3) орт главной нормали направлен по перпендикуляру к оси

вращения. В самом
деле,
векторная
проекция
r
на плоскость XOY



будет равна i a cos(t )  j a sin(t ) , а это совпадает с вектором:  a ,

т. е. вектор  имеет направление, противоположное векторной

проекции на плоскость XOY вектора r .
§ 3. Ортогональные криволинейные координаты 1. Ввести систему координат в некоторой области пространства – значит каким-либо способом установить взаимно однозначное соответствие между точками этой области и системами
значений трех переменных величин – U1, U2, U3, называемых
координатами точки.
Пусть в некоторой области введена система координат U1,
U2, U3. Поэтому каждой тройке координат в этой области

соответствует точка, а следовательно, и радиус-вектор r этой

точки. Это значит, что r является функцией координат U1, U2, U3:
 
r  r (U1;U 2 ;U 3 ) . Если зафиксировать одну координату U 3  U 30 , то
 
радиус-вектор будет зависеть только от U1 и U2: r  r (U1;U 2 ;U 30 ) .
Конец радиус-вектора в этом случае будет описывать
поверхность, которая является координатной поверхностью.
Если зафиксировать две координаты U 2  U 20 , U 3  U 30 , то
 
r  r (U1;U 02 ;U 30 ) будет функцией только одной переменной и его
конец опишет линию, которую назовем координатной линией.
Через произвольную точку проходит три координатные
поверхности и три координатные линии, по которым попарно
пересекаются координатные поверхности.
Если орты криволинейных осей взаимно перпендикулярны во
всех точках пространства, то соответствующие координаты
называются ортогональными. В системе ортогональных коорди12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нат наиболее просто выглядит скалярное произведение векторов:
  3
A B   Ai  Bi . А поскольку операция скалярного умножения векi 1
торов – одна из наиболее употребительных алгебраических векторных операций, то и наибольшее распространение в физических приложениях получили именно системы ортогональных
криволинейных координат.
Рис. 1
2. Простейшим примером ортогональных криволинейных
координат являются цилиндрические координаты , , z:
x =  cos(); y =  sin(); z = z.
(1)
Отличительной чертой всех криволинейных систем координат
является то, что ориентация некоторых их ортов (в нашем случае


n и n ) зависит от положения точки, в которой они определя
ются, и при перемещении от точки к точке ориентация ортов n и
  

n меняется (ориентация ортов nx , n y , nz декартовых осей не
меняется при перемещении в пространстве).
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнение радиус-вектора в цилиндрических координатах
имеет вид



r  n  znz .
(2)
Исходя из этого выражения легко найти вид координатной

линии. Зафиксируем  и z, тогда конец r опишет координатную
линию, соответствующую переменной  – окружность, плоскость
которой перпендикулярна к оси z.

Зафиксируем  и , тогда конец r опишет координатную

линию, соответствующую z, – прямую параллельную орту nz .

Наконец, зафиксируем z = z0 и  = 0, тогда конец r опишет

координатную линию, соответствующую r , – прямую линию,

перпендикулярную орту nz , проходящую через точку z = z0 оси
OZ, лежащую в плоскости  = 0 = const.

Находя производную от r по дуге окружности ds =  d,

получим орт n :




dr d (n  znz ) dn 

n 


 n .
ds
d
d

(3)


Исходя из рис. 1 легко найти связь между n , nx и n y :



n  nx cos()  n y sin( ) .
(4)
Тогда из (3) найдем:



n   sin()  nx  cos()  n y .
(5)


Орт nz цилиндрических координат совпадает с ортом nz
декартовых координат.

Наконец для орта n имеем:

dn
d

 n .
(6)


Из (4)–(5) видно, что ориентация ортов n и n зависит от
координаты . Поэтому при дифференцировании радиус-вектора
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


по некоему скалярному аргументу следует помнить, что n и n –
не
величины. Так, найдем скорость
 постоянные, а изменяющиеся

V и ускорение a материальной точки, положение которой
определяется радиус-вектором (2):
так как
 dr






  n  n  znz   n  n  znz ;
V
dt


dn dn d 

 n ;
dt
d dt
1 d 2 



a  (    )n 
(   )n  znz .
 dt
(7)
(8)
3. В качестве следующего примера рассмотрим сферическую
систему координат.
Координатными линиями будут прямые, проходящие через
начало координат – для r; окружности, плоскость которых
перпендикулярна оси z, – для ; полуокружности, начинающиеся
и заканчивающиеся на оси z, плоскость которых проходит через
ось z, – для  (рис. 2).
Уравнение радиус-вектора в сферических координатах имеет
вид:


r  rn r .
Легко видеть, что




nr  [ n x cos(  )  n y sin(  )] sin(  )  n z cos(  ) .
(9)
x = r cos() sin(); 0    ;
y = r sin() sin();
0    2;
z = r cos();
0  r < .
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2.

Определив производную от r по дуге ds = r d при фикси
рованных r и , найдем вектор n :


dr dnr




(10)
n 

 [nx cos()  n y sin()] cos()  nz sin() .
rd d

Вычислив производную от r по дуге r sin() d при фикси
рованных r и , найдем орт n :

n 


dr
dnr



 nx sin()  n y cos() .
r sin()d sin()d


(11)

4. Из (9)–(10) видно, что ориентация ортов nr , n , n зависит
от координат  и . Поэтому при дифференцировании векторфункции, записанной в сферических координатах, следует
помнить, что орты есть функции
 углов.
Например, для скорости V материальной точки:


 dr
d
n
d
n

r
V 
 rnr  r
 r r ;
dt
d
d




V  rnr  r n  r sin( ) n .
Используя (12), несложно
ускорения материальной точки
16
получить
(12)
выражение
для
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»




d
n
dnr
 d 2 r dV



 rnr  r
 r n  rn  r  
a 2 
dt
dt
dt
dt
(13)

dn



 sin()n  r sin()  .
 r sin()n  r  cos()n  r
dt


5. Получим выражения для производных от ортов n и n :

dn




 [nx cos()  n y sin()] sin()  nz cos()   nr ;
d

dn



 [ n x sin( )  n y cos( )] sin( )  n sin( ) ;
d

dn




  nx cos()  n y sin()  (nr sin()  n sin()) ;
d

dn
 0.
d
(14)
(15)
(16)
(17)
§ 4. Общее рассмотрение криволинейных координат 1. Квадратом линейного элемента ds2 или первой фундаментальной квадратичной формой пространства называется

скалярный квадрат dr 2 полного дифференциала радиус-вектора
текущей точки.
Геометрический
смысл
первой
фундаментальной
квадратичной формы пространства заключается в том, что она
определяет квадрат расстояния между двумя бесконечно
близкими точками пространства.
В декартовой системе координат:




 
 
r  i x  j y  k z; dr  i dx  j dy  k dz; ds 2  dx 2  dy 2  dz 2 .

2. Пусть выражение для радиус-вектора r в произвольных
криволинейных координатах имеет вид
 
r  r (U1;U 2 ;U 3 ) ,
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где зависимости от координат U1; U2; U3 могут быть весьма
сложными. Тогда зафиксируем U2, U3 и найдем приращение

радиус-вектора r вдоль координатной линии U1:

r


drU1 
dU 1  h1dU 1n1 .
U 1
(1)

r


drU 2 
dU 2  h2 dU 2 n2 ;
U 2
(2)
Аналогично

r


drU 3 
dU 3  h3dU 3n3 .
U 3
(3)
Полный дифференциал радиус-вектора будет описываться
выражением




dr  h1dU1n1  h2 dU 2 n2  h3 dU 3 n3 .
Коэффициенты h1, h2 и h3 называются коэффициентами
Ламе:

r
hi 
.
U i
(4)
Коэффициенты Ламе считаются размерными, а сами
криволинейные координаты – безразмерными.
3. Найдем выражение для первой квадратичной формы
пространства в произвольных криволинейных координатах:

2
ds2   dr (U1;U 2 ;U 3 )  






 ( h1dU1n1  h2 dU 2 n2  h3dU 3n3 )( h1dU1n1  h2 dU 2 n2  h3dU 3n3 ) 

3
 
3
(5)
 hi h j (hi h j )dU i dU j   gij dU i dU j .
i , j 1
i , j 1
 
gij  hi h j ( hi  h j ) .
(6)
Из девяти компонент gij только 6 являются независимыми. В
итоге
где
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»




ds2  dr (U1;U 2 ;U 3 )  h22 ( n1 ) 2 dU1dU 2  h22 ( n2 ) 2 dU 2 dU 2  h32 ( n3 ) 2 dU 3dU 3 
 
 
 
2 h1h2 ( n1  n2 ) dU1dU 2  2 h1h3( n1  n3 ) dU1dU 3  2 h2 h3 ( n1  n2 ) dU 2 dU 3 .
4. Геометрический смысл линейного элемента пространства
 
состоит в том, что для произвольно взятой линии r  r (t ) линей
ный элемент ds  dr 2 дает дифференциал дуги этой линии.
5. Элементом объема в криволинейных координатах U1; U2;
U3 называется объем параллелепипеда, построенного на частных



дифференциалах dU1 r ; dU 2 r ; dU 3 r радиус-вектора текущей точки
по ее криволинейным координатам:
 

dU i r  rU i dU i  hi ni dU i .
Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах,
равен по абсолютной величине их смешанному произведению:



  
dV (U1;U 2 ;U 3 )  U1 r (U 2 r  U 3 r )  n1(n2  n3 ) h1h2 h3 dU1dU 2 dU 3 .
6. Введем в пространстве декартову систему координат:
Вычислим производные радиус-вектора по
криволинейным координатам:


 
r  i x  j y  k z.
 
 z
r
x  y
;
i
 j
k
U1
U1
U1
U1

 z
 x
 y
r
i
 j
k
;
U 2
U 2
U 2
U 2
 
 z
 y
r
x
i
 j
k
,
U 3
U 3
U 3
U 3
2
2
2

 x   y   z 
r
 
 
 
  hi .
U i



U
U
U
 i  i  i
(7)
Представим теперь элемент объема dV криволинейного пространства, воспользовавшись формулой для смешанного произведения векторов:
 

dV (U1;U 2 ;U 3 )  rU1 (rU 2  rU 3 ) dU1dU 2 dU 3 ;
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dV (U1;U 2 ;U 3 )  mod
x
U1
y
U1
z
U1
x
U 2
y
U 2
z
dU1dU 2 dU 3 .
U 2
x
U 3
y
U 3
z
U 3
Таким образом, элемент объема в криволинейных координатах равен абсолютной величине определителя преобразования
(якобиана) декартовых координат в криволинейные, умноженной
на произведение дифференциалов криволинейных координат. В
краткой записи
dV (U1;U 2 ;U 3 ) 
 ( x, y , z )
dU1dU 2 dU 3 .
 (U1;U 2 ;U 3 )
7. Как несложно проверить простым вычислением, справедлива следующая формула для квадрата смешанного произведения
трех векторов:
     
a  a a b a  c


  
2
a  b  c   b a b b b c .


     
c  a c b c  c


Эту формулу легко вывести, если воспользоваться известным

 
 

и очевидным соотношением (a  b )2  (a b )2  (a )2  (b )2 и правилом
разложения двойного векторного произведения.
Если воспользоваться приведенной выше формулой, то
можно выразить элемент объема в криволинейных координатах
через коэффициенты фундаментальной квадратичной формы:
dV (U1;U 2 ;U 3 ) 
   
n1 n1 n1 n2
   
n2  n1 n2  n2
   
n3  n1 n3  n3
20
 
n1 n2
 
n2  n2 h1h2 h3 dU1dU 2 dU 3.
 
n n
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  
8. В общем случае орты n1 , n2 , n3 криволинейных координат
ориентированы относительно друг друга под произвольными
углами. И углы между ними можно найти следующим образом:
g12
 
 
 ( n1  n2 ) h1h2  cos( n1 , n2 ) h1h2  g11
 
cos( n1 , n2 ) 
g1 2
g11 g 2 2
g2 2 ;
.
Аналогично
 
cos( n1 , n3 ) 
g13
g11 g 3 3



; cos( n2 , n3 ) 
g23
g 2 2 g33
.
Если g12 = g23 = g13 = 0, то углы между ортами криволинейных координат прямые. В этом случае криволинейные координаты называются ортогональными. Условие ортогональности
можно представить в виде
 r r



U
 i U j
 x x
y y
z z


 0.
 

U

U

U

U

U

U
i
j
i
j
i
j

9. Для ортогональных координат в выражение для фундаментальной квадратичной формы входят только квадраты одноименных координат:
 2
ds2   dr   h12 dU12  h22 dU 22  h32 dU 32 .
Частными случаями криволинейных ортогональных координат являются сферические и цилиндрические координаты.
10. Задача 1. Найти коэффициенты Ламе в цилиндрических и
сферических координатах.
Задача 2. Найти элемент объема в цилиндрических и сферических координатах.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 2. Векторный анализ в ортогональных криволинейных
системах координат
§ 1. Градиент. Производная по направлению 1. Операцию градиента в произвольных ортогональных

криволинейных координатах (r ) введем так же, как это делается
в декартовых координатах.


Найдем скорости изменения скалярного поля (r ) в точке r0
вдоль осей U1, U2, U3. Для этого отметим, что дифференциал дуги
вдоль координатной линии Ui есть
dli = hi dUi.


Поэтому искомые скорости изменения (r ) вдоль (r )
будут:
1 
;
h1 U 1
1 
;
h2 U 2
1 
.
h3 U 3
(1)
Умножая выражения (1) на орты соответствующих осей и
складывая их, получим выражение для grad():
grad ( ) 
1  
1  
1  
n1 
n2 
n3   .
h1 U1
h2 U 2
h3 U 3
(2)

2. Для того чтобы определить положение вектора grad r  в
пространстве, найдем дифференциал от уравнения эквипотенциальной поверхности:


 r    0  const ; d (r )  U 1 dU1  U 2 dU 2  U 3 dU 3  0 .



То же самое можно записать как grad  r dr  0 , где dr – приращение радиус-вектора при смещении вдоль эквипотенциальной
поверхности. Значит,


grad r   dr
и
22
 
grad r  dr .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следовательно, скорость роста скалярного поля в данной
точке определяется градиентом поля в данной точке.


В некоторых книгах grad r  обозначается d n , где n
dn
единичный вектор нормали к эквипотенциальной поверхности:
d 

grad  r  
n;
dn
d

grad  r  
,
dn
тогда
d
имеет смысл производной по направлению нормали,
dn

d
, в отличие от grad r  , – скалярная величина, численно
т. е.
dn
где
равная скорости пространственного роста скалярного поля в
пространстве.
3. В криволинейных координатах дифференциал длины дуги

вдоль координатной линии есть dli  drui  hi dui , поэтому скорости роста скалярного поля вдоль осей u1, u2, u3 будут
1  1  1 
h1 u1 ; h2 u2 ; h3 u3
и выражение для градиента примет вид

1   1  
1  
grad r  
e1 
e2 
e3
h1 u1
h2 u 2
h3 u3
Рис. 1.
4. Если требуется определить скорость изменения век
торного поля в направлении s ,
составляющем угол  с направлением нормали в той же точке,
то это легко сделать исходя из
понятия градиента.

Пусть  r  изменится на

d при смещении вдоль n на
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


dn (рис. 1). Из этого рисунка видно, что такое же изменение  r 


вызовет и смещение на ds вдоль s . Причем ds  dn , тогда
cos 
d d

 
   

cos   grad r  cos n , s    grad r   s  
ds dn



 grad r    x cos    y cos    z cos ;
d 
 s  grad .
ds
где cos(α), cos(β) и cos(γ) – направляющие косинусы направления



s . Отсюда видно, что grad  r     r  определяет максимальное значение скорости изменения скалярного поля в
пространстве.

В самом деле, из выражения d  grad r  cos n , s  видно, что
ds

d
будет максимально тогда, когда cos n , s   1 .
ds




5. Оператор производной по направлению, задаваемому

единичным вектором s , определится выражением


s   ( s ) ,
(3)
где
 
 
 
( n1  s ) 
( n2  s ) 
( n3  s ) 

.
( s ) 


h1 U1
h2 U 2
h3 U 3
(4)
6. Легко показать, что  перпендикулярен поверхности
уровня  = const. В самом деле, дифференцируя уравнение поверхности уровня, найдем:
d 
1 
1 
1 

h1dU1 
h2 dU 2 
h3dU 3  dr ( )  0
h1 U1
h2 U 2
h3 U 3
.
Отсюда вытекает, что  перпендикулярен дифференциалу

радиус-вектора dr , направленному по касательной к поверхности
уровня  = const.
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

7. Пусть теперь dr направлен от одной поверхности уровня

 = C1 к другой  = C2. Тогда приращение поля d вдоль dr будет
равно:

d  ( dr  ) .

Для заданного d = C2 – C1 абсолютная величина | dr | мини
мальна, если dr направлен параллельно . И наоборот, при


заданном | dr | изменение скалярного поля (r ) максимально,

когда dr ||  . Это и определяет  как вектор, указывающий
направление максимальной скорости изменения скалярного поля

(r ) .
8. В цилиндрических координатах
 
 
 
1  
n 
nz 
n .
 

z
(5)
В сферических координатах
 
  1  
1
 
nr 
n 
n .
r 
r sin( ) 
r
(6)
9. Пример 1. Найти grad (r ) .
Поскольку функция  (r ) является центрально симметричной
и зависит только от модуля радиус-вектора, то решение следует
искать в сферической системе координат. В итоге
grad (r ) 
d (r ) 
nr .
dr

Пример 2. Найти grad (r ) .

Поскольку  (r ) есть функция общего вида, не обладающая
никакой симметрией, то ее градиент будет записываться в виде
(5) или (6) в зависимости от выбора системы координат, или в
прямоугольной декартовой системе:
   
 

grad  r  
nx 
ny 
nz .
x
y
z
Пример 3. Найти единичный вектор нормали к поверхности
скалярного поля U (r )  r 2 .
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поскольку функция цетрально симметирична, то расчеты
проведем в сферической системе координат.


gradU  dU dr   nr 2r  nr 



 nr .
n
2r
gradU
dU dr
Пример 4. Найти градиент расстояния:
r
 x  x0 2   y  y0 2  z  z0 2
между точками P0={x0, y0, z0} и P={x, y, z}.
Поместим начало координат в точку P0 , тогда задача сведется
к отысканию градиента скалярного поля U (r )  r.
В силу центральной симметрии поля в сферических координатах получим:
 
gradU  grad r   dr dr  nr  nr .
Пример 5. Найти производную по направлению радиус
вектора r от u=sin(r).
Поскольку функция sin(r) обладает центральной симметрией,
то расчеты естественно провести в сферической системе
координат:
du  sin  r 

nr  grad  u  

 cos r.
dr
r
Пример 6. Найти производную по направлению радиус
вектора r от
U (r )  r 2 .
Аналогично предыдущему примеру получим:
 
2
dU 
dU d r
 nr  gradU 

 2r.
dr
dr
dr
Пример 7. Найти производную функции u  1 r в направ
лении единичного вектора e . При каком условии эта производная
равна нулю?
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
u
 
u 
e  nr
1
 0.
 e  grad     2 ; если e  nr , то
r
e
r
r
Пример 8. Найти производную функции u  1 r в направлении ее градиента.
1
d 
 grad  u 
grad  u 
1
u
r 

 grad  u      nr  2 .
 grad  u   
grad  u 
dr
  grad  u  grad  u 
r
2
 

 p r 
Пример 9. Вычислить grad  3  , где p – постоянный вектор
 r 
в сферической системе координат.
В качестве выделенного направления, от которого будем
отсчитывать полярный угол  , выберем направление, заданное

p . Тогда получим:
 
 p r 
 p  cos
grad  3   grad 
 r 
 r2

   p  cos
 
 r  r 2
  1   p  cos
 nr 

r   r 2


 n 

2 p  cos 
p  sin  
nr 
n .
3
r
r3
§ 2. Циркуляция векторного поля по кривой 1. Векторное поле, являющееся градиентом скалярного поля

 r  , называется потенциальным векторным полем. Величина
скаляра  в конкретной точке называется потенциалом.
Потенциальные поля обладают особыми свойствами, связанными
с понятием циркуляции векторного поля по кривой.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  Пусть дано векторное поле
Ar  . Выберем в нем две произ

вольные точки M 1 r1  и M 2 r2 
и свяжем их произвольной кривой L (cм. рис. 1). Разобьем кривую L на N малых участков,

которые заменим хордами rk ,
и составим
скалярные произве 
дения Ak rk . Далее, возьмем
сумму всех таких произведений
вдоль кривой L
 
A
 k rk
N
Рис. 1.
k 1

и устремим ее к пределу, полагая N   (или max  r k  0 ):
 
N  


A
r
A
  k k    dr .
lim
N   k 1
 L



Полученный предел назовем циркуляцией векторного поля A по
кривой L (или криволинейным интегралом второго рода):

L
 
 
 
Adr   A dl   A cos A  dl   A dl ;
  
L
L
 
L



где  – единичный вектор касательной к кривой L;   dl  dr (cм.
рис.1); dl – элемент длины кривой.

2. Докажем теорему: циркуляция
grad r 
вдоль


произвольной кривой L, соединяющей точки M1 r1  и M 2 r2  ,

равна разности значений  r  в начальной и конечной точках:

 






 grad  r dr    U1 dU1  U 2 dU 2  U 3 dU 3    d    r2     r1 .
L
L
L

Следствие: Если  r  – однозначная функция, то значение ее
циркуляции по произвольному контуру не зависит от пути интег28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рирования, а зависит только от положения начальной и конечной

точек интегрирования. Циркуляция вектора grad r  по
замкнутому контуру равна нулю.
Справедлива и обратная теорема: если циркуляция вектора
 
 
Ar  вдоль замкнутого контура равна нулю, то вектор Ar 


является градиентом некоторого скаляра  r  , т. е. поле A
потенциально.
§ 3. Уравнение векторной линии Уравнение векторной линии в произвольных ортогональных
криволинейных координатах легко вывести, определив

векторное произведение орта касательной к векторной линии
 
dr
dl
на вектор поля A(r ) :
  dr   1  
 
(  A)    A  ( dr  A)  0 , поскольку  || A .
 dl
 dl

Это же в развернутом виде можно записать так:



( A3h2 dU 2  A2 h3dU3 )n1  ( A1h3dU3  A3h1dU1 )n2  ( A2 h1dU1  A1h2 dU 2 )n3  0.
Но сумма трех некомпланарных векторов равна нулю, только
если равны нулю модули всех векторов:
A3h2 dU 2  A2 h3dU 3  0;
A1h3dU 3  A3h1dU1  0; A2 h1dU1  A1h2 dU 2  0.
Отсюда сразу получаются искомые уравнения:
h1dU1 h2 dU 2 h3 dU 3 .


A1
A2
A3
Пример 1. Найти векторные линии векторного поля
 
 

Ar   C  r , где C – постоянный вектор.




Пусть C  C r er  C e  C e , тогда
 
 


Ar   C  r  C r e  C r e ,
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а уравнение векторных линий будет иметь вид

r sin  d rd dr

 ;  dr  0;  r  const .
C r
C r 0
Умножим теперь числитель и знаменатель последнего
выражения на Cr:
 
Cr dr
  ;  Cr dr  0;  Cr r  const  C r .
0
 
 
Линии векторного поля Ar  получаются в результате пересечения сфер r=const с центром в начале координат и плоскостей
 
C
 r   const .
§ 4. Поток векторного поля 1. Ведем понятие о векторе элементарной
площадки.

Вектором элементарной площадки dS назовем вектор,
направленный по нормали к площадке, численно равный
площади ее поверхности и связанный с направлением
положительного обхода контура в правовинтовую систему (см.
рис. 1). В произвольной ортогональной криволинейной системе
координат:





dS  dS  n  dS1  n1  dS2  n2  dS3  n3 



  h2 h3dU 2 dU 3   n1   h1h3dU1dU 3   n2   h1h2 dU1dU 2   n3 
2. Пусть имеется бесконечно
  малая площадка


dS  dS  n , такая что вектор A(r ) в пределах этой
площадки имеет постоянное
значение. Тогда по
током вектора A через площадку dS назовем
величину
Рис. 1.
 
 
  
dI  A dS  A n dS  A  dS cos  A , n   An  dS .


 
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если площадка имеет
 не бесконечно малые, а конечные размеры, то поток вектора A(r ) через нее определится интегралом
 
I   A dS   An dS .
S
S
Название величины I – поток – взято из гидродинамики, так
как простейший пример из физики есть поток жидкости через
поверхность S.
Вектор элементарной площадки мы ввели только затем,
чтобы можно было пользоваться бескоординатной (векторной)
записью, применимой независимо от конкретного выбора
координатных систем.
 

3. Пример 1 Вычислить поток векторного поля A  r (где r –
радиус-вектор) через прямой круговой цилиндр высотой h,
радиусом R и осью OZ.
Поток через полную поверхность S (рис. 2) равен сумме потоков через боковую поверхность
 1 и основания  2 и  3 .
На боковой поверхности  1
 
единичный вектор нормали n  n1
во всех точках параллелен плоскости OXY, поэтому на поверхности
σ1
   
  
A R  r  n1  r cos  r , n1   R ;


в итоге
Рис. 2.
 
2
(
A
 r1)dS  R  dS  R2 Rh  2 R h ;
1
на поверхности  2
в итоге
 
2
1
   
   
A n  r  n2  r cos  r , n2   h ;


 
An1 dS  h  dS  h R 2   R 2 h .

2
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


 
На поверхности σ3 вектор r  n3 и An  0 . Значит, полный
поток через всю поверхность будет I  2R 2 h  R 2 h  3R 2 h .
  3
Пример 2. Найти поток векторного поля A  r  r через
сферу радиуса R с центром в начале координат.
Поскольку нормаль к поверхности
сферы во всех точках

параллельна векторному полю A , то

    r   r r  r 2 1
A n   A  3     3  4  2 .
 r  r r
r
r



На самой сфере имеем r=R, следовательно,

 An   1/ R2 .
В
итоге
 
1
4 R 2



 4 .
(
A
n
)
dS
dS


2
R
R
S
S
§ 5. Дивергенция. Теорема Гаусса­Остроградского 1. Введем дивергенцию в произвольных криволинейных

координатах: U1, U2, U3. Пусть векторное поле A в этих
координатах имеет вид:




A  A1n1  A2 n2  A3 n3 .

Найдем поток A через поверхность элементарного криволинейного параллелепипеда вдоль оси U1 (рис. 1). Учтем, что
площадки OBCD и O'B'C'D' равны h2h3dU2dU3 и коэффициенты
Ламе hi являются функциями
координат. Тогда легко видеть, что

поток векторного поля A через площадку OBCD можно записать
как
dI OBCD  ( A1h2 h3 )U1 dU 2 dU 3 ,
где выражение, стоящее в скобках, мы определили в точке O,
координаты которой (U1; U2; U3).
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.
Это можно сделать, поскольку площадка бесконечно малая, и
определить её величину можно в любой её точке, в том числе и в
точке O, которую мы выбираем из соображений удобства. Знак
«минус» перед потоком появляется из-за того, что поток
вдоль


орта n1 определяется скалярным произведением A dS 1 , а еди
ничный вектор внешней нормали к площадке OBCD, т. е. nOBCD ,

направлен в сторону, противоположную орту n1 и,


следовательно, nOBCD   n1 :
 




AdS 1   A1  n1  h2 h3dU 2 dU 3  nOBCD    A1  n1   h2 h3dU 2 dU 3  n1  
   A1h2 h3   dU 2 dU 3    A1h2 h3 
U1
 dU 2 dU 3 .

При записи этого выражения учтено, что орт n1 ортогонален


ортам n2 и n3 и, следовательно,
 






A dS 1   A1  n1  A2  n2  A3  n3  dS 1n1   A1  n1 dS 1.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аналогично найдем поток через площадку O'B'C'D', для

которой единичный вектор внешней нормали nO BC D совпадает

по направлению с ортом n1 :
dI OBC D  ( A1h2 h3 )
U1  h1du1 dU 2 dU 3 ,
где выражение, стоящее в скобках, определяем в точке O' с
координатами (U1 + h1dU1; U2; U3).
В итоге полный поток через объем параллелепипеда вдоль

орта n1 определится суммой
dI (1)  dI O BC D  dI OBCD 
 ( A1h2 h3 )
U1  h1du1 dU 2 dU 3
 ( A1h2 h3 )

U1  h1du1 3
  A1h2 h3 
  A1h2 h3 
U1
dU 2 dU 3 
 dU dU .
U1 
 2 3
В полученном выражении в квадратных скобках стоит
разность значений одной и той же функции A1h2 h3 , взятых в двух
бесконечно близких точках, поэтому эту разность можно
заменить первым членом разложения функции A1h2 h3 в ряд
Тейлора в малой окрестности точки O:
( A h h )
 1 2 3
U1  h1du1 3   A1h2 h3 
 dU dU  d ( A1h2 h3 ) h dU dU dU .
1
1
2
3
U1 
 2 3
h1dU1
В итоге получим:
dI (1) 
 ( A1h2 h3 )
 ( A1h2 h3 )
dU 2 dU 3 h1dU1 
dU1dU 2 dU 3 .
h1U1
U1


2. Аналогично найдутся потоки вдоль ортов n2 и n3 :
dI (2) 


( A2 h1h3 ) dU1dU 3 h2 dU 2 
( A2 h1h3 ) dU1dU 2 dU 3 ;
h2 U 2
U 2
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dI (3) 


( A3 h1h23 ) dU1dU 2 h3dU 3 
( A3 h1h2 ) dU1dU 2 dU 3 .
h3U 3
U 3
Полный же поток через поверхность элементарного
параллелепипеда равен алгебраической сумме потоков вдоль всех
трёх ортов dI  dI (1)  dI (2)  dI (3) :
 



dI  
( A1h2 h3 ) 
( A2 h1h3 ) 
( A3h1h2 )  dU1dU 2 dU 3 
U 2
U 3
 U1





1  
( A1h2 h3 ) 
( A2 h1h3 ) 
( A3h1h2 )  h1h2 h3dU1dU 2 dU3 

U 2
U3
h1h2 h3  U1



1  


( A1h2 h3 ) 
( A2 h1h3 ) 
( A3 h1h2 )  dV .

h1h2 h3  U1
U 2
U 3

Любой замкнутый объем, ограниченный произвольной замкнутой несамопересекающейся поверхностью, можно разбить на
бесконечно малые криволинейные параллелепипеды и применить
полученное соотношение к каждому из них в отдельности. Если
потом просуммировать все потоки, то потоки через смежные
грани соседних параллелепипедов компенсируются, так как
поток, вытекающий из одного параллелепипеда и входящий в
общую сумму со сзнаком «плюс», втекает в другой и учитывается
еще раз со знаком «минус». Останутся только потоки через
внешнюю поверхность объема. В результате мы получим:
 
 


 1  
dI

A
dS

A
h
h

A
h
h

A
h
h

(
)
(
)
(
)

1
2
3
2
1
3
3
1
2

 dV .
  h1h2 h3  U1
 

U

U
2
3
 
S
S
V
(1)
Выражение, стоящее в (1) в фигурных скобках, назовем
 
дивергенцией или расходимостью векторного поля A(r ) :

divA 

1  


(
A
h
h
)
(
A
h
h
)
(
A
h
h
)



1 2 3
2 1 3
3 1 2 .
h1h2 h3  U1
U 2
U 3

35
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, мы доказали теорему Гаусса-Остроград
ского: поток векторного поля A(r ) через замкнутую поверхность S равен интегралу по объему, заключенному внутри

этой поверхности, от дивергенции векторного поля A(r ) :
 

 AdS   divA  dV .
S
V
3. Можно определить дивергенцию и независимо от какойлибо координатной системы. Если объем V достаточно мал для

того, чтобы div A можно было считать постоянной внутри него,
то

 
V  divA  
 AdS .


 
 
A dS
S
Отсюда найдём:

divA  lim
S
V 0
V

.

Дивергенция векторного поля A(r ) в данной точке поля равна
пределу отношения потока вектора через поверхность, окружающую точку, к объему, заключенному внутри поверхности,
при стремлении этого объема к нулю, т. е. при стягивании поверхности в точку.
4. В цилиндрических координатах

 1 
A 1 Az
(  A ) 

.
divA   A 
 
z
 
В сферических координатах

 1  ( Ar r 2 )
1  ( A sin( ))
1 A
.


divA   A  2
r

r sin( )
r sin( ) 
r
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 

5. Пример 1: Найти дивергенцию векторного поля A(r )  r .
В силу центральной симметри поля искать дивергенцию
будем в сферическиой системе координат:
1 (r 3 )

div  r   2
 3.
r r
Пример 2: Показать, что векторное поле
  2 p  cos 
p  sin  
A(r ) 
nr 
n ,
3
r
r3
где p  const , является соленоидальным.
Признаком соленоидальности поля является равенство нулю
её дивергенции. Воспользуемся  сферической системой

координат, в которой и записано поле A(r ) . Получим:
 2 p  cos 2 
r 

3
 1 
r
 1
divA  2
r sin 
r
r

 p  sin 
sin  

3
 r


 p  sin 2  
 2 p  cos 



 r3 
1 
1
r


   1 2 p  cos  1 2 p  sin  cos  0.
 2
r sin( )
r sin( )
r

r
r2
r2
r3

Задача 1. Вычислить div (r ) в цилиндрических координатах.

6. Операция divA
характеризует наличие либо отсутствие у

векторного поля A источников или стоков.
Если в некоторой

области пространства векторное поле A не имеет источников и
стоков, т. е. в этой части пространства divA  0 , то такое поле
называется соленоидальным в данной области пространства (т. е.
таким, как магнитное поле соленоида). Это название связано с
тем, что силовые линии магнитного поля соленоида либо замкнуты, либо приходят из бесконечности и уходят в бесконечность. И
в соленоидальной области силовые линии поля не могут начинаться и кончаться. Они либо замкнуты, либо начинаются и
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
заканчиваются на границе области, занятой полем (приходят изза границы и уходят за границу).

A
задает поле скоростей жидкости.
Представим, что вектор
Тогдаиз определения дивергениции видно, что дивергенция вектора A есть мера плотности источников жидкости – число источников в единице объема, каждый из которых
выдает единицу

массы жидкости в секунду. Если div A имеет отрицательный
знак, можно говоритьо плотности стоков.
7. Уравнение divA  0 в гидродинамике называется уравнени
ем неразрывности несжимаемой жидкости, так как из divA  0
вытекает VS=const, которое также называется уравнением
неразрывности.
Для соленоидального поля поток вектора через любое поперечное сечение векторной трубки (трубки, образованной векторными линиями, проходящими через каждую точку некоего
замкнутого контура, – рис. 12) имеет одну и ту же величину.
Для доказательства
этого положения рассмотрим объем, заключенный между двумя сечениями S1 и S2 векторной трубки (рис. 2).
Применим к выдеРис. 2.
ленному объему теорему
Гаусса-Остроградского:



  AdS    div  A dV ,
S
V

но так как поле соленоидальное,
то divA  0 , значит, равен нулю

и поток вектора A через поверхность выделенного объема. Поток
A через боковую поверхность S0 равен нулю по определению
векторной трубки. Остается








  AdS     AdS     AdS     AdS   0 .
S
S1  S2
S1
38
S2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если учесть, что внешняя по отношению к объему нормаль

сечения S1 направлена в сторону, противоположную потоку A , то
ясно, что
 An dS1   An dS 2 .
S1
S2
8. В заключение перечислим основные свойства соленоидального поля:
1) соленоидальное поле не имеет источников и стоков;
2) силовые линии поля замкнуты либо заканчиваются и начинаются на границе области, внутри области силовые линии обрываться не могут;
3) поток соленоидального поля через замкнутую поверхность
равен нулю;
4) поток соленоидального поля через любое сечение
векторной трубки – величина постоянная;

5) признак соленоидального поля: divAr   0 .

A
Для
произвольного
векторного
поля
, приравнивая нулю
 
divAr   0 , можно найти точки пространства, где поле будет
соленоидально,
т. е.
будут
разрывы
непрерывности
распределения стоков и источников.
Пример 3. При какой функции  r  будет div  r   r   2 r ?
Решение:

 
div   r   r     r   div  r   r  grad   r   2  r  ;
или
3  r   r
d  r 
dr
 2  r  
d  r 
dr

 r 
r
 ln   r    ln r  ln C .
Отсюда:   r   C r . , где C=const.
Пример 4. Найти функцию  r  для котрой
Решение:

div   r   r   0.

 
 d  r  
div   r   r     r   div  r   r  grad   r   3  r   r 
nr  0.
dr
d  r 
1 d  r 
3
C
0
   ln   r   3ln r  ln C    r   3 .
3  r   r
dr
r
  r  dr
r
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 6. Ротор. Теорема Стокса  
1. Покажем, что циркуляцию векторного поля A(r ) по замкнутому контуру L можно заменить интегралом по произвольной
поверхности, натянутой на этот контур.

Рассмотрим бесконечно малый криволинейый контур  L ,
составленный из четырех векторов бесконечно малой длины dl1 ,
 



dl2 , dl3 и dl4 . Будем искать циркуляцию векторного поля A( r ) по
этому контуру. Чтобы сделать это наиболее простым и наглядным способом, спроектируем этот контур на три координатные
поверхности: U1  const , U 2  const , U 3  const . Найдем циркуля 
ции векторного поля A(r ) по этим трем проекциям, а потом их
сложим. У нас есть возможность для
 таких
 действий,

 ибо мы мо
жем всегда разложить dli в виде dli  dli1  dli 2  dli 3 . Компонен 
 
 
 
ты циркуляции Adli будут равны Adli1  Adli 2  Adli 3 , а



 
 

циркуляция по полному контуру определится суммой

L
  3 4  
Adl   Adlij .
j 1 i 1


Рассмотрим проекцию бесконечно малого криволинейного
контура dL на плоскость U 3  const (рис.1).
Распишем более подробно выражение для циркуляции век
торного поля A(r ) вдоль контура OBCD (контур обходим против
часовой стрелки):

OBCD
 




( A dl )   A(U1;U 2 )  h1 n1  dU1   A(U1  h1dU1;U 2 )  h2  n2  dU 2 
O
D
OD
DC




  A(U1;U 2  h2 dU 2 )  h1( n1 )  dU1   A(U1;U 2 )  h2 ( n2 )  dU 2 
B
CB



 A(U1  h1dU1;U 2 )  A(U1;U 2 )  n2 h2 dU 2 



 A(U1;U 2 )  A(U1;U 2  h2 dU 2 )  n1h1dU1.




40
O
BO
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.
Раскладывая выражения в фигурных скобках в ряд Тейлора в
окрестности точки (U1; U2) и ограничиваясь первыми, линейными
по приращению аргумента членами
разложений, получим для
 
циркуляции векторного поля A(r ) по бесконечно малому контуру
ODCB:
   1 ( h2 A2 )

1  ( h1 A1)
A
dl

h
dU
dU

h
dU
dU
(
)


1
1
2
2
1
2.

h

U
h

U


1
1
2
2
OBCD
Первое слагаемое в фигурных скобках умножим и разделим
на h2 , а второе – на h1 :
   1  ( h2 A2 )  ( h1 A1)  
 1  ( h2 A2 )  ( h1 A1)  
(
A
dl
)


h
h
dU
dU





 1 2 1 2 

  dS3.

h
h

U

U
h
h

U

U



1
2 
1
2 
 1 2
 1 2

OBCD
(1)

Проецируя элементарный контур  L на оставшиеся две координатные поверхности U1  const и U 2  const , и повторяя приведенные рассуждения, найдем циркуляции векторного поля и
этим проекциям.
для циркуляции вектор  Полное же выражение

ного поля A(r ) по контуру  L в произвольных ортогональных
криволинейных координатах будет иметь вид
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
   1  ( h3 A3 ) ( h2 A2 ) 
1   ( h1 A1 )  ( h3 A3 ) 




A
dl
dS


1



 dS2 





h
h
U
U
h
h
U
U
 2 3 
2
3 
1 3
3
1 
L

1   ( h2 A2 ) ( h1 A1) 
  

dS

 3   BdS .
U 2 
h1h2  U1

(2)
 
Мы получили, что циркуляция векторного поля A(r ) по кон

туру  L равна потоку векторного поля B с проекциями на орты:
B1 
1
h2 h3
  ( h3 A3 )  ( h2 A2 ) 


;

U

U
2
3 

B3 
1
h1h2
B2 
1  ( h1 A1 ) ( h3 A3 ) 


;
h1h3  U 3
U1 
  ( h2 A2 )  ( h1 A1 ) 


,


U
U

1
2 
(3)

таким
через площадку, ограниченную контуром  L . Введенное
 
образом (с помощью (2)-(3)) векторное поле B(r ) , проекции
которого на орты выражаются как суперпозиция
(3) производных
 
по координатам векторного поля A(r ) , называется ротором век

торного поля A(r ) и обозначается как rot A .

1   ( h3 A3 ) ( h2 A2 )  
1  ( h1 A1 )  ( h3 A3 )  
rot A 

n



 1

 n2 
h2 h3  U 2
U 3 
h1h3  U 3
U1 

1   ( h2 A2 )  ( h1 A1 )  


 n3 .
U 2 
h1h2  U1
Операцию ротора векторного поля можно засписать с
помощью определителя:

h1n1

1

rot A 
h1h2 h3 U1

h2 n2

U 2

h3n3

.
U 3
h1 A1
h2 A2
h3 A3
Название введенной векторной дифференциальной операции – ротор, или вихрь, – возникло в связи с тем, что rot A опи42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

сывает вращение векторного поля в точке, в которой rot A
вычисляется.
В самом деле, пусть мы имеем твердое тело, вращающееся с


скорость движения некой
угловой скоростью
  . Тогда линейная

его точки есть V    r . Найдем rotV :

 


 



rotV      r      r       r  3    2 .


Если в некоторой области пространства rotA  0 , то говорят,
что в этой части пространства поле безвихревое, т. е. форма
векторных линий поля отлична от вихревой.
2. Для физически малого контура L мы можем записать:
 
 
(4)
A
dl

rotA

 S ,

L



где S – вектор площадки, ограниченной контуром L . Правая

часть этого равенства представляет собой поток вектора rot A


через площадку S . Из соотношения (4) можно определить rot A
бескоординатным способом:
 
 
 
rotA S  rotA n  S  
 Adl ,


L

где n – единичный вектор нормали к площадке.
 
A
 dl





n rotA  rotn A  lim L
,
S 0 S
(5)
т. е. нормальная составляющая ротора к любой площадке в
данной точке пространства есть предел отношения циркуляции по контуру площадки к площади ее поверхности, когда
контур, ограничивающий площадку, стягивается в точку.
Если в (5) определить значение rotS A для разных направлений




S , то rotA  max rotS A и совпадает с S по направлению.


43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

 
Итак, под rot A в данной точке поля Ar  понимается макси

мальное значение rotS A на направление S . То направление


S , в котором rotS A максимален, принимается за направление
ротора.

3. В цилиндрических координатах для rot A получим выражение:
  1 Az A  
 A Az  
1   ( A  ) A )  



rot A  
 n  
 n  
 nz .
z 
 
 
  
 z
  
В сферических координатах

rot A 
A  
1 
A sin( )    nr 

r sin( )  
 


1  1 Ar (rA )   1  ( A r ) Ar  
 


 n .
 n  
r  sin( ) 
r  r
r 
 
(6)

Пример 1. Найти rot  r  .
 
В силу центральной симметрии векторного поля A  r ротор
будем искать в сферической системе кординат. Поскольку радиус
вектор не имеет проекций на орты полярного и азимутального
 
углов и не зависит от них, то сразу получаем rot r   0 .
 
4. Если циркуляция векторного поля A(r ) вычисляется по конечному контуру L , то его можно разбить на бесконечно
малые
 
контуры, найти по всем им циркуляцию поля A(r ) , а потом
просуммировать. Циркуляции по смежным сторонам малых
контуров компенсируются (т. е. будут иметь противоположные
знаки в смежных контурах), и останется только циркуляция по
внешнему контуру:
 
 
A
dl

rotA

 dS .

L
(7)
S
Таким образом мы доказали теорему Стокса: Циркуляция
векторного поля по замкнутому контуру равна потоку ротора
этого векторного поля через произвольную поверхность, натя44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нутую на контур. Мы говорим о «произвольной поверхности»
потому, что при доказательстве теоремы на поверхность, ограниченную контуром, не накладывалось никаких ограничений.

Из теоремы Стокса следует, что поток rotA через любую
замкнутую поверхность равен нулю:


  rotAdS   0 .
S
 
5. Для того чтобы циркуляция   Adl  не обращалась в нуль,
L
 
векторные линии поля A(r ) должны быть замкнутыми или вихре 
выми, т. е. необходимо, чтобы знак  Adl  был постоянным во
всем контуре или, в случае контура сложной конфигурации,
 
чтобы сумма положительных вкладов   Ak lk  отличалась от
суммы отрицательных вкладов

k
тогда и
k
 
Ak lk . Но если

 
 
A dl  0 , то

L

rot
A
 0 , а так как S – произвольная поверхность, то и

S

rot A  0 .

Таким образом, по равенству или отличию значения rot A от
нуля можно судить о замкнутости или незамкнутости силовых
линий поля.
6. Покажем, что для случая потенциальных полей (векторные
 
линии которых не замкнуты)   Adl   0 .
L
 
Пусть имеется векторное потенциальное поле Ar  . Разобьем
произвольный контур на бесконечно малые элементарные площадки линиями уровня, перпендикулярными к векторным линиям, и векторными линиями (рис. 2). Тогда циркуляция по любому
внутреннему контуру, например ABCD, будет равна нулю.
В самом деле, циркуляция
на участках BC и DA равна нулю,

так как на них A  dl . А циркуляция на участке AB равна по
величине и противоположна по знаку циркуляции на участке CD.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Циркуляция по любому граничному контуру также равна
нулю, так

как на участке PK A  dl , а результаты интегрирования на участках KD'
и DP' равны по величине и
противоположны
по
знаку.
Действительно,
 
    
A  KD  A  KD  cos  A , KD  

 .
 
 
 A  PD   A  DP
Рис. 2.
К тому же результату можно
прийти из тех соображений, что
 

для потенциального поля Ar   grad r  и, значит, циркуляция
 
потенциального поля Ar  по любому замкнутому контуру равна
нулю.
Отсюда следует, что
 
L
 
 



A dl   rot A  r   dS   rot  grad   r    dS  0.



S
S
Поскольку это выражение не зависит от поверхности S, по
которой ведется интегрирование, значит

rot  grad r   0 .
Это можно проверить непосредственным вычислением
ротора от градиента.
Таким образом,
необходимое и достаточное условие того,
 
чтобы поле Ar  было потенциальным, запишется в виде
 
rot A  0 .
Потенциальные поля являются безвихревыми. Например,
гравитационное поле и электростатическое поле.
 
7. Так как для любой замкнутой поверхности  rotA dS  0 , то
S
из теоремы Гаусса-Остроградского получим:
 
div rot A  r   0 ,
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
т. е. векторное поле ротора (поле вихрей) не имеет источников и
стоков и является соленоидальным.
Справедливо  и обратное утверждение: всякий соленои
дальный вектор Br  может быть представлен как ротор некоего
 
 
 
другого вектора Ar  , т. е. если div B  r   0 , то можно найти Ar 

 
такое, что B  r   rot A .
Так можно обосновать введение
векторного
потенциала.
 
  

Если мы об-наружили, что rot B  r   0 , то, значит, B  r   grad   r  ,
b
причем
  
B
  r dl    b     a  или
  
B
  r dl  0 . Если же мы обна-
 
 
 
 L
ружили, что rot B  r   0 , но div B  r   0 , то, значит, B  r   rot B  r  и
a
 
можно ввести векторный потенциал поля Ar  .

Таким образом, равенство нулю или отличие от нуля div A и
 

rot A указывает на форму векторных линий Ar  и наличие источников и стоков.
Пример 2.
Показать,
что
векторное
поле
 
2 p  cos 
p  sin   является потенциальным, если p  const .
A(r )  
nr 
n
3
3
r
r
Признаком потенциальности поля является равенство нулю
его ротора. В соответствии с примером № 9 из первого параграфа
этой главы заданное поле является градиентом векторного поля
 

 p r 
 3  , где p – постоянный вектор. Следовательно,
 r 
 
p  sin   
 2 p  cos 
 p r 
rot  
nr 
n   rot grad  3   0.
r3
r3

 r 


Пример 3. Найти rot  (r )  r  .
Поскольку рассматриваемое векторное поле является центрально симметричным, то вычисления проведем в сферической
системе координат. Несложно видеть, что поле не имеет
проекций на орты угловых переменных и не зависит от них.

Поэтому из (2) получим: rot  (r )  r   0.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1. Показать,
 
2 p  cos 
p  sin  
A(r )  
nr 
n
3
r
r3
что
является
векторное
соленоидальным,
поле
если
p  const .
Подсказка. Напомним, что векторное поле является
соленоидальным, если его дивергенция равна нулю. Напомним
также, что div rot A  0 . В решаемой задаче необходимо показать,

  p  sin  
что векторное поле A(r )   2 p  cos
может быть
nr 
n
3
3
r
r
 
 pr 
получено как  rot  3  . Другими словами, следует показать, что
 r 
 
 
 pr 
 pr 
grad  3    rot  3  .
 r 
 r 
§ 7. Оператор Лапласа скалярного поля 
1. Оператор Лапласа скалярного поля  (r ) определен как



div grad  (r ) . Используя выражения для grad  (r ) и div A(r ) , легко
получить:

1    h2 h3  (r ) 



h1h2 h3  U1  h1 U1 


  h1h3  (r ) 
  h1h2  (r )  

.



U 2  h2 U 2  U 3  h3 U 3  


 (r )  div grad  (r ) 
2. В цилиндрических координатах оператор Лапласа от скалярного поля будет иметь вид



1    (r )   2 (r ) 1  2 (r )


.
 (r ) 

 2
2
2
    
 
z
В сферических координатах

1   2  (r ) 
1


 (r )  2  r
 2
r  r sin( ) 
r r 
48


 (r ) 
1
 2 (r )

.
 sin( )

  r 2 sin 2 ( )  2

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 8. Векторные дифференциальные операции второго порядка от векторных функций Векторных дифференциальных операций второго
порядка
от
 
 
векторных функций насчитывается пять: grad div A(r ) , rot rot A(r ) ,
 


A(r ) , div rot A(r ) и rot grad  (r ) . Как было показано выше, последние две операции тождественно равны нулю, поэтому сосредоточим внимание на первых трех.
 
1. Для того чтобы выписать grad div A(r ) в произвольных кри
волинейных координатах, достаточно рассмотреть div( A) как
некую скалярную функцию и применить к ней операцию grad:

 
n1   1   ( A1h2 h3 )  ( A2 h1h3 )  ( A3h1h2 )  
grad div A(r ) 




 
h1 U1  h1h2 h3  U1
U 2
U 3  

n2   1   ( A1h2 h3 )  ( A2 h1h3 )  ( A3 h1h2 )  





h2 U 2  h1h2 h3  U 1
U 2
U 3  

n3   1   ( A1h2 h3 )  ( A2 h1h3 )  ( A3 h1h2 )  




.
U 3  
h3 U 3  h1h2 h3  U1
U 2
 
2. Пример 1. Выписать grad div A(r ) в цилиндрических координатах:
     1   ( A  ) A
A  

  z  
grad div A(r )  n
 
    

z  

n   1  ( A  ) A
A      1   ( A  ) A
A  


  z    nz  

  z 
 
     

z  
z    

z  

2
1 A 1 A
 2 Az 
  1 A A  A
 n 
 2
 2



2
z 
















2
2
1  A 1  2 Az 
  1 A 1  A
 n  2

 2 2 
z 


















2
2
  1 A  A 1  A  2 Az
 nz 


 2




z
z
z





z

49

z .

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
Пример 2. Выписать grad div A(r ) в сферических координатах:
 
 ( Ar r 2 sin( ))  ( A r sin( ))  ( A r ) 
1
  
grad div A(r )  nr  2



r  r sin( )
r

 

  ( Ar r 2 sin( ))  ( A r )   A r sin    
n  
1






r   r 2 sin( ) 
r


 


  ( Ar r 2 sin(
n
 
1
 ))  ( A r sin( ))  ( A r )  




 


  
r
r sin( )   r 2 sin( ) 
  2 Ar 2 Ar  2 Ar 1 1 ( A sin( ))
 nr  2 
 2  2

r
r
sin(

)



r
r
r


1


r sin( ) 
2
A
A 
1
1  A 

sin( ) r   r 2 sin( )   r sin( ) r  

  2 Ar 1  2  A  1  2 Ar 1   1  ( A sin( ))  
 n  2
 2
 2


 


 r  r   sin( )  r r r   sin( )
 
2
1  2 Ar
1
Ar
  1 ( A sin( )) 
 
 n  2

 2




 r sin( )  r sin( ) r r sin( )   sin( )
 2 A 
 2 2
.
r sin ( )  2 

3. Для записи операции rot rot A в произвольных ортогоаль
ных криволинейных координатах достаточно рассмотреть rot A

как некоторую векторную функцию B (r ) и применить к ней
операцию rot :
1

rot rot A 

1      h3   ( h2 A2 )  ( h1 A1)  

h1n1 

 

h1h2 h3 
U 2  
 U 2  h1h2  U1
  h2   ( h1 A1)  ( h3 A3 )  
    h1   ( h3 A3 )  ( h2 A2 )  
h
n





  2 2 
 


U
h
h
U
U
U 3  h1h3  U 3
U1  




2
3 
 3  2 3 
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

  h3   ( h2 A2 )  (h1 A1 ) 
    h2   (h1 A1 )  (h3 A3 ) 

 





h
n

 3 3 

U1  h1h2  U1
U 2 

h
h

U

U
U
 1  1 3 

3
1


U 2
 h1   (h3 A3 )  (h2 A2 )  

 .


h
h
U
U


 
2
3
 2 3

4. Задача 1. Вычислить операцию rot rot A в цилиндрической
системе координат.

Задача 2. Вычислить операцию rot rot A в сферической
системе координат.
5. Как будет показано в следующей главе, операция взятия

оператора Лапласа от векторной функции A(r ) представляется
 
 
как линейная комбинация операций grad div A(r ) и rot rot A(r ) :
 
 

A( r )  grad div A( r )  rot rot A( r ) .

Задача 3. Выписать проекции A на оси цилиндрической и
сферической систем координат.
Глава 3. Бескоординатная форма записи операций векторного анализа § 1. Оператор Гамильтона – «набла». Дифференцирование по радиус­вектору 
1. Все рассмотренные векторные операции: grad  , div A,

rot A – представляют собой не что иное, как производные по
векторному аргументу или пространственные производные. Это
особенно хорошо видно на примере оператора grad  , который
можно записать иначе, введя символический оператор
Гамильтона или «наблу», например, в прямоугольной декартовой
системе координат:
grad   
     
i
j
k   .
x
y
z
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оператор Гамильтона  
     
i
j  k – формально буz
x
y
дем рассматривать как линейный дифференциальный оператор.
Векторный оператор можно применять к векторным
функциям векторно и скалярно.
 
2. Применим  скалярно к векторной функции Ar  . Сначала используем векторную операцию, а потом – дифференциальную:
 
 



 A  r  
Ax 
Ay  Az  div A  r  .
x
y
z
 
Векторное применение оператора Гамильтона к Ar  даст
 
rot Ar  :

i
 

  A r  
x
Ax

j

y
Ay

k


z
Az
 
 A Ay    Ax Az    Ay Ax  
j
k
rot
A
 z 




 r .
i  



z   z
x 
y 
 y
 x
3. Обозначения пространственных производных значком
«набла» весьма удобны в векторном анализе благодаря большой
наглядности и сжатости записей. При доказательстве любых
общих соотношений не нужно прибегать к разложению векторов
на составляющие, если пользоваться «наблой».
В отношении алгебраических операций «набла» во всем
подобна вектору. Умножением на оператор «набла» назовем ее
применение к данному выражению.
Так как «набла» – линейный оператор, то результат ее
применения к суммам функций равен сумме произведений
оператора
«набла»
на каждое слагаемое как для grad φ, так и
 
 
для rot A  r  и div A  r  .


4. На примере оператора grad r  видно, что grad r 
можно называть пространственной производной, так как этот
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

вектор вполне характеризует изменение скалярной функции r 
при смещении в соседнюю точку. Подобно этому и любые другие
 
выражения, включающие в себя «наблу», (например, rot A  r  и

grad r  ), также характеризуют связь между значениями векторных функций в соседних точках пространства. В итоге можно
считать, что знак  в векторном анализе подобен знаку производной в обычном анализе.
5. В некоторых книгах вместо оператора  пишется
производная по радиус-вектору:
d
     

i
j k;

z
dr x
y
смысл у такой операции такой же, как у . Однако следует различать производную по направлению и производную по вектору.
Отметим очевидные соотношения:

d  r 


  grad   r     r  .
dr
Уравнение Больцмана в таких обозначениях запишется в
виде
  d   d  
.
V    F  
dr
dV  t
t


Иногда div A называют скалярной производной вектора A

по радиус-вектору r :
 
 
d
div
A
r
A






r  ;

dr

rot A
называют векторной производной по радиус-вектору:
 
 
rot A  r     A  r  .
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 2. Применение оператора «набла» к произведениям скалярных и векторных функций 1. Приведем правила операций с оператором Гамильтона.
Следует помнить, что  по отношению к дифференцированию –
знак производной, а по отношению к правилам преобразования
координат – вектор.

Результат действия  на произведения    и   A равен сумме произведений каждого множителя на результат применения
оператора  ко второму сомножителю:








grad   r     r      r     r      r       r      r       r   ;
 
  
  
  

div   r   A  r      r  A  r      r   A  r     r   A  r 
 
 
  
  


rot   r   A  r       r   A  r  ;    r    A  r     r    A  r  .












В вышезаписанных соотношениях учтено, что оператор 
несет две функции – дифференциальную и векторную. И обе эти
функции должны быть использованы.
2. Применим теперь оператор  скалярно к векторному
произведению двух векторных функций:
 
 
 
 
div ( A  B)  ( A  B)   A ( A  B)   B ( A  B).
В крайнем правом выражении
индексом внизу оператора указано,


на какой из векторов A или B он действует, поскольку по
правилам работы с операторами считается, что они действуют на
все, что стоит справа от них. В обоих слагаемых произведем
циклические перестановки:
 








div ( A  B)  B( A  A)  A( B  B)  Brot A  Arot B .
 
 


Во втором слагаемом предварительно поменяеи местами A и B .
3. Теперь применим оператор  векторно к векторному
произведению двух векторных функций:
 
 
 
 
rot ( A  B )    ( A  B )   A  ( A  B )   B  ( A  B ) .
54
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Сначала определим оператор  a   . Далее воспользуемся
формулой разложения
двойного векторного произведения трех


векторов A, B и C по формуле «бац минус цап»:
  
  
  
A  ( B  C )  B  AC  C  A B .




(2)
Двойное векторное произведение трех векторов равно среднему из них, умноженному на скалярное произведение двух остальных, минус тот из крайних векторов, который стоит в
скобках, умноженный на скалярное произведение двух оставшихся.
Теперь применим это правило к правой части соотношения (1):
 
 
 
 
 
rot ( A  B)   A  B  A   A  A  B   B  B  A   B  A  B 
 
 


 

 B A  A  B   A  A 
 B  B  A  A B  B 
 



 

 B  A  B  div A  A  B  A  div B .







 
   
   





 
4. Найдем теперь градиент скалярного произведения двух
векторов:
 
 
 
 
grad A B   A B   A A B   B A B .








(3)
Воспользуемся правилом разложения двойного векторного
произведения (2):


 




A  (rot B )  A  (  B )   A B  A  B.

 

В итоге получим:
 


 B A B  A  (  B) 
 


 A A B  B  (;  A) 






 AB   B ;


 B A   A;
Эти соотношения используем в (3):
 
 



 

grad A B  B  A  A  B  ( A  A)  A B  B  A  ( B  B );

 


55

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и окончательно получим:
 
 



 

grad A B  B  A  B  rot A  A  B  A  rot B .

 
  


 
5. Пример 1а-е. Используя основные приемы разложений
произведений
векторных
полей,
докажем
тождества:

 
 

  
а) C  grad ( A B)  A(C ) B  B(C ) A .

Обыграем то обстоятельство, что оператор C  скалярный и
примем правило перестановочности векторов в скалярном
произведении:

 

 

 
 

  
C  grad ( A B )  C ( A B )  (C )( A B)  A(C ) B  B(C ) A.








б) (C )( A  B)  A  (C ) B  B  (C ) A .
Доказательство строится аналогично тому, как это было
сделано в предыдущем примере, но с учетом того, что при
перемене мест векторов в векторном произведении изменяется
знак:

 
 



  
 
(C )( A  B )  A  (C ) B B  (C ) A A  B  A  (C ) B  B  (C ) A .
 




в) ( A) B  ( A) B  B  divA.
Используем свойство перестановочности
скалярном произведении:
векторов
в
 
 
 




( A) B  ( A  A) B  ( B  A) B   B  divA  ( A) B.



 

 

г) ( A  B)rot C  B( A)C  A( B)C.
 

Рассматривая ( A  B) как один вектор D и совершая циклическую перестановку, получим серию преобразований:
 

 
  

 
D rot C  D    C   C  D   D  C   ( A  B )  C .








В последнем слагаемом распишем двойное векторное произведение по формуле «бац минус цап»
и, учитывая, что оператор

«набла» действует только на поле C , получим:
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

 


  
D  rot C    ( A  B )  C    B  ( AC ) 
 
 
  A B  C  B 








  
 


 
A  ( B C )   B   ( AC )  A  ( B C ) 


A C .












д) ( A  )  B  ( A) B  A     B   A    B  .
В выражении, стоящем слева, распишем двойное векторное
умножение:

 



( A  )  B   A B  A   B .





Учтем, что оператор «набла» действует только на поле B и,
 
расписывая градиент от скалярного произведения  A B  ,
получим:


 

 

( A  )  B  A    B  ( A) B  A   B .














е) (  A)  B  A    B   ( A) B  A     B   B     A .
В выражении, стоящем
слева, учтём, что оператор «набла»


действует и на поле A и на поле B и распишем двойные
векторные произведения:
 
 
 

 

(  A)  B  ( A  A)  B  ( B  A)  B  B  A A   A A B 





 
 
 
 





 A   B  B   B A B  B  A  A   B   A B  B  A  A   B 



 




 



 



 

 B   A  B  rot A  A  B  A  rot B 

  


 



 
 

 A  divB  B  rotA  A  B  A  rot B .



 


Пример 2. Доказать, что  A  A   A  rotA при A 2  const .
Используя разложение двойного векторного произведения,
докажем данное выражение:


 




A  ( rot B )  A  (  B )   A B  A B 


 




 A A   A A  A  (  A)   A  rot A,
 
где было учтено, что  A A  0 .






57

 

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


Пример 3. Найти  a   r .
Эту операцию проведем в прямолинейных декартовых
координатах



r
r 

  r




 a   r   a x  a y  az   a x  nx  a y  n y  az  nz  a.
y
z 
 x
При выводе учтено, что в прямолинейных декартовых
координатах:




r  x  n x  y  n y  z  nz .


Пример 4. Найти  a   (r )  r  .






 

 a   (r )  r   r   a   (r )   (r )   a   r  r  a  grad (r )    (r )  a 
  
    d (r ) 
 r   a r  d (r )

 r   a  nr 

  (r )  a.
   (r )  a 

dr 
Пример 5. Найти
r
dr


  
div ( a r )  b , где a и b – постоянные


вектора.
  
Используя формулу для div  (r )  A(r )  , получим:
 
  
 
 
div (a r )  b  (a r )  divb  b  grad (a r ).

Теперь
векторов:

распишем
градиент
скалярного
произведения

 
  
 
    
div ( a r )  b  b  grad (a r )  b   a   r  b a  a b .


 
При выводе учтено, что rot r  0 и  a   r  a.


  
Пример 6. Найти rot (a r )  b , где a и b – постоянные




вектора.
  
Используем формулу для rot  (r )  A(r )  . Получим:

   
  
 
rot (a r )  b  b  grad (a r )  b  a  a  b .


58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 3. Производные по направлению скалярной и векторной функций 1. В последних двух выражениях предыдущего параграфа ис
пользовались операторы типа  A  . Распишем этот оператор в
декартовой прямолинейной системе координат:

 A   Ax x  Ay y  Az z .
Выписанная операция скалярная, и ее можно вносить под
знак умножения
векторного и скалярного. Применим этот



оператор к B , получим вектор  A  B . Его первой компонентой
будет



 A  Bx  Ax Bxx  Ay Byx  Az Bzx  ABx   A grad  Bx .


Две другие компоненты  A  B определяются аналогичным
образом:




B y
B y
B y 
 Ay
 Az
 A B y  A grad B y ;
A B y  Ax
x
y
z



B
B
B
A Bz  Ax z  Ay z  Az z  A Bz   A grad  Bz  .
x
y
z



 


2. Из приведенного определения оператора  A  видно, что



такой оператор при постоянном A  s , где  s 2  1, будучи

примененным к скалярной функции r  , даст не что иное, как


производную от r  по направлению e . В самом деле,

  
   
    
 cos  s , j   cos  s , k   .

 .  y

 x
 z s
 s    cos  s , i 

Так, чтобы получить направляющие косинусы вектора s ,

можно применить оператор  s   к ортам осей: OX, OY и OZ.
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


Если | A | 1 и A представляет собой некое криволинейное

векторное поле, то оператор  A  , действуя на скалярную



функцию r  , даст нам производную от r  по направлению A ,

 
   
умноженную на | A | . В самом деле, вектор A  r   a  r   | A  r  | , где
 
a  r  – единичный вектор, касательный к векторной линии поля

A , но его направление изменяется от точки к точке. Тогда


 
A  | A |   a   

       
     
          
| A |  cos  a , i 
 cos  a , j 
 cos  a , k   | A  r  | a  r    .


 x
 y
 z 
 


3. Оператор  s   , где s – единичный вектор произвольного
постоянного
  направления, будучи применен к векторной
функции Br  , даст нам производную от этой функции по

направлению s :





     B
     B
     B
dB

  s    B  cos  s , i  
 cos  s , j  
 cos  s , k   .
ds
x
y







 z
Аналогично определяется и более общая операция «произ 


водная вектора Br  по вектору Ar  ». В этом случае вектор Ar 
не единичный, и его величина и ориентация в пространстве
изменяются от точки к точке:



  
  dB dB
A  B | A |   a    B | A |  
;
da dA




        B
     B
     B 
A  B | A |  cos  a , i  
 cos  a , j  
 cos  a , k    .
x
y






 z 
 




Проекции результирующего вектора на оси координат записаны в п.1 этого параграфа. Таким образом, для определения
в

данной точке производной вектора B по направлению A необходимо задать девять величин вида
Bi
, которые представляют соx j
бой компоненты тензора. Таким образом мы определили тензор60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ную величину, характеризующую скорость изменения векторного
поля в данной точке.
 
Производная от векторного поля A(r ) по направлению
радиус-вектора есть тензор-производная векторной функции
 A1

x
   1
 dA  r   A2
, A 
 
dr
 x1
 A3

 x1
 
A1
x2
A2
x2
A3
x2
A1 

x3 
A2 
.
x3 
A3 

x3 
(1)
Фактически
задание тензор-производной векторной функ
ции A аналогично заданию трех градиентов от скалярных
функций A1, A2, A3:
A1  A1  A1 
i
j
k;
x1
x2
x3
A  A  A 
grad A2  2 i  2 j  2 k ;
x3
x1
x2
A  A  A 
grad A3  3 i  3 j  3 k .
x1
x2
x3
grad A1 
(2)
При любых поворотах системы координат проекции на оси
grad A1, grad A2, grad A3 будут изменяться по законам преобразования проекций тензоров. Это и доказывает тот факт, что выражение (1) определяет тензор. Такой тензор полностью характеризует скорость пространственного изменения векторного поля в
окрестности точки, в которой он определен.
§ 4. Континуальная производная 1. Пусть мы имеем движение некой сплошной
среды поле
 
скоростей которой задается функцией V r , t . Рассмотрим

некоторую скалярную функцию r , t  , например концентрацию
примесей в среде. Будем интересоваться изменением функции


r  со временем. Но изменение со временем r , t  мы можем
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

измерить в одной точке при r  const . В этом случае изменение

r  со временем определится частной производной по времени

(эту производную еще можно назвать частной, или локальt
ной, учитывая, что она берется в данной точке пространства).
Можно измерить изменение φ(t) в некотором выделенном
малом объеме среды, который перемещается вместе со средой. В

этом случае изменение r , t  определится уже полной производной:

d  r , t 
dt

  x  y  z



;
t x t y t z t
x
y
z
 Vx ;
 Vy ;
 Vz ,
t
t
t
тогда

d  r , t 
dt




  

 Vx
 Vy
 Vz

 V  grad   r , t  ;
t
x
y
z
t


d  r , t   
 
   V     r  .
dt
 t




2. Если нас будет интересовать не скалярная функция r , t  ,
 
а некоторая векторная функция Br , t , то ее частная и полная
производная по времени определятся аналогично:
 
dB  r , t 
dt





 
B
B
B
B

 Vx
 Vy
 Vz
 V  B  r , t  .
t
x
y
z
3. Компоненты

полных
производных


V    r, t 
и

 
V  B  r , t  , входящие в различные уравнения механики сплош-


ных сред, называются конвективными членами, так как они
проявляются только при движении сплошной среды и связаны с
переносом вещества. Самый простой пример – уравнение Эйлера



V
p 
 V   V  
 g,

t


фактически представляющее собой уравнение движения физически
малого объема под действием поля сил тяжести и поля давлений.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В задачах механики сплошной среды встречаются ситуации,
когда необходимо найти субстанциональную производную
(именно так называют полную производную по времени) от интеграла по множеству (объему, площади, контуру), движущемуся
вместе со средой. Тогда и подынтегральная функция и форма
области интегрирования зависят от времени. Не останавливаясь
на строгом доказательстве, можно сформулировать правило вычисления таких производных. Полная производная по времени от
интеграла состоит из двух слагаемых: первое слагаемое вычисляется при условии неизменности области интегрирования и получается из исходного интеграла частным дифференцированием
по t под знаком интеграла; второе слагаемое вычисляется в
предположении неизменности во времени подынтегральной
функции и учитывает вклад в значение субстанциональной производной, вносимый изменением во времени формы множества
(объема, площади, контура), по которому осуществляется
интегрирование.
4. Пусть V – объем, движущийся
вместе со средой, для ко 

торой задано поле скоростей U (r ) , а ( r , t ) – скалярная функция
(например, концентрация примеси); t – время. Тогда для вычисления значения выражения
Dt I 
d
 dV
dt 
V
нужно воспользоваться сформулированным правилом. Поверхность S, ограничивающая
область V, за промежуток времени dt
 
опишет объем dtU  dS . Умножая это изменение объема на соответствующую величину подынтегральной функции  и суммируя
по всей поверхности S, получим изменение величины интеграла,
вызванное деформацией области V в процессе движения. Поэтому результатом применения правила субстанционального дифференцирования интегрального соотношения будет выражение
Dt I  
V
  
 
d 


dV   dt  U  dS   
dV   U  dS .
dt  S
t
 V t
S
К последнему слагаемому можно применить формулу Гаусса:
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
 
 div (U )  dV .
Dt I   
t

V 
Если воспользоваться ранее установленными формулами



div ( U )   divU  (U ) ;

d 

 (U ) ,
dt
t
то выражение для DtI легко преобразовать к следующему виду:
 
 d
  div (U )  dV .
Dt I   
dt

V 
5. Рассмотрим теперь полную
  производную по t от потока переменного векторного поля A(r , t ) через движущуюся вместе со

средой (как и прежде, с заданным полем скоростей U )
поверхность S:
Dt  
 
d
dS .
A
dt 
S
Вид первого слагаемого, связанного с изменением во
времени подынтегрального слагаемого, очевиден.
Определим второе слагаемое, связанное с движением самой

поверхности S. Пусть L – контурная граница S, а dl –
направленный элемент дуги контура L. За промежуток времени dt
поверхность S опишет объем V, ограниченный тремя
поверхностями: положением поверхности S в момент t,
положением S' поверхности в момент t + dt и поверхностью ,
описанной
контуром L за промежуток времени
dt (рис. 1).Пусть



dS ориентирована внутрь V, а dS  и d вне V. За
положительное направление обхода L  удобно принять такое,


чтобы ориентация тройки векторов ( dl ,U dt,  dS) совпадала
с
 

ориентацией координатных осей. Тогда Ad  A(dl  Udt ) , так что
по формуле Гаусса
 
 
  

  AdS   A  dS   dt  A( dl  U )   div ( A) dV .
S
S
L
(*)
V

Знак "–" перед интегралом по S указывает на то, что dS направлена внутрь V. Воспользовавшись правилами векторной ал64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
гебры и формулой Стокса, несложно установить справедливость
равенства
  
  
  


A
(
dl

U
)

dl
(
U

A
)

rot
(
U
 A) dS .



L
L
S
Если
разбить на элементарные объемы
объем V


dv  U dt  dS , где dS – ориентированный элемент площади
поверхности S, то

 

div
(
A
)
dV

dt
U
div
(
A
) dS .


V
S
С помощью последних двух соотношений выражение (*)
преобразуется к виду
 
 

 



.



A
dS
A
dS
dt
U
div
(
A
)
rot
(
A
U
)
dS







S

S

S
Теперь можно непосредственно воспользоваться правилом
субстанционального дифференцирования интегральных соотношений:

 

   
 A 
d
Dt    AdS     U div( A)  rot ( A  U ) dS .
t
dt S

S 
Если S замкнутая поверхность, то в выражении для производной будет отсутствовать член, содержащий rot ( A  U ) . К
аналогичному соотношению приведет применение формулы, выведенной в примере д), если сначала перейти в исходном выражении
для DtФ к интегралу по объему с помощью теоремы Гаусса.
Выведенная формула для DtФ играет фундаментальную роль
в гидродинамике несжимаемой жидкости. Если эта жидкость
невязкая, а внешние силы консервативны, то ее основное
динамическое уравнение
сводится к следующей связи между


полем скоростей U и вихрем этого вектора   rotU :
 

 rot (  U )  0 .
t
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поэтому, заменяя в фор
муле для DtФ вектор A на 
и замечая, что div[rotF ]  0

для любого вектора F , можно получить важный результат механики вихревого движеня идеальной жидкости:
 
d

n  dS  0 .

dt 
S
Это означает, что в несжимаемой невязкой жидкости, при консервативном характере внешних сил, вращательное движение не может
Рис. 1.
ни возникнуть, если оно отсутствовало, ни прекратиться, если оно когда-либо существовало.
6. Построим полную
производную от циркуляции

переменного вектора A по движущейся кривой:
Dt  
d  
A dl .
dt L
Не останавливаясь
на выражении для слагаемого, связанного

с изменением A во времени, определим добавку, связанную с
движением кривой L. За промежуток времени dt кривая L опишет
поверхность S, ограниченную четырьмя линиями: положением
кривой L в начальный момент времени t, ее положением L' в
близкий момент времени t + dt, а также линиями (11') и (22'),
которые опишут начало и конец исходной кривой за промежуток
времени dt (см. рис. 2).
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2.
Формула Стокса дает
 
A
 dl 
L

(22)
 
A dl2 

 
A dl 
L

(1 1)
 
 
A dl1   rot ( A) dS .
S
Ввиду малости dt, малы будут и дуги (11'), (22'), так что интегралы по ним можно заменить произведением величины
подынтегральной
функции на длину
 пути интегрирования:
 


dl1  U1dt , dl2  U 2 dt . За направление dS удобно выбрать такое,
 

чтоб тройка векторов ( dl , U dt, dS ) на L имела ту же
ориентацию,
что
и  координатные
оси.
Тогда
 
 

 
rot ( A) dS  rot ( A)( dl  U ) dt  (U  rotA) dl dt . В связи со сказанным,
выписанный выше результат применения формулы Стокса к V
можно переписать в виде:
 
   
 
 

A
dl

A
dl

A
U
dt

A
U
dt

dt
(
U

rotA
) dl ;




2 2
1 1



L
L
L









  


1
  Adl   Adl   A2 U 2  A1U1   (rotA  U ) dl .

dt  L
L
L

Теперь можно выписать выражение для DtГ:

 
   
 A
d    
Dt    Adl  A2 U 2  A1U1     (rotA  U ) dl .
t
dt L

L
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В случае замкнутой поверхности формула не будет содержать неинтегральных слагаемых и может быть просто получена
преобразованием первоначального интеграла по формуле Стокса
к поверхностному интегралу с последующим применением
формулы, выведенной в качестве предыдущего примера.

Рассмотрим циркуляцию поля скоростей U , например
жидкого потока, вдоль контура, перемещающегося вместе с
потоком:


 


d  
U
2
2






U
dl
U
U
rot
U
U
(
)
dl .
  t
2
1
dt L

L
Для преобразования подынтегрального выражения в правой
части можно воспользоваться определением полной производной
скорости по времени:
 




grad (U 2 )  (U U )  2(U )U  2U  rot (U ); 




 U

 1
U

U
1
 rot (U )  U 
 (U )U  grad (U 2 ) 
 grad (U 2 ).
t
t
2
t 2
Если воспользоваться свойством потенциальности поля
градиента

2
grad
(
U
)

dl
 U 22  U12 ,

L
то искомую производную по циркуляции можно записать в виде

d   U 22  U12
dU 
U  dl 

 dl .
dt L
dt
2
L
Очевидно, под интегралом справа стоит вектор ускорения
частицы в контуре. Получается, что для замкнутого контура

d  
dU 
U  dl  
 dl .
dt L
dt
L
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 5. Векторные дифференциальные операции второго порядка от векторных функций a) Всего в математической теории поля существует пять векторных дифференциальных операций второго порядка:
1. rot(grad(φ))  (  (  φ))  ( ) φ)  0.



2. div  rot ( A)    (  A)   (  ) A  0
3. div ( grad  )             ..




4. rot  rot  A      (  A)     A      A ,



или rot rot A  grad div A  A .
Последнее равенство обычно принимают за определение оператора Лапласа от векторного поля, так как в криволинейных
координатах ∆φ и A выражаются

 различно.
5. grad div A  rot rot A  A .
b) Введение понятия оператора Лапласа от векторной
функции



A  grad divA  rot rotA
(1)
сопряжено с известными трудностями, связанными с его громоздкостью по сравнению с оператором Лапласа от скалярной
функции
  div grad .
(2)
В этой связи представляется целесообразным определить оба
оператора, введенные соотношениями (1) и (2) с помощью одного
выражения на основе векторного оператора Гамильтона
(оператра "набла")  в виде:
        .
(3)
В этих выражениях значок "•" означает скалярное применение оператора Гамильтона , а значок "" – векторное. Примем
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в соответствии с классическими представлениями о свойствах
векторного дифференциального оператора Гамильтона , что при
его применении к произвольной скалярной функции значки
скалярного и векторного умножения просто опускаются и векторная функция оператора  сводится к производству из скалярного


поля (r ) поля векторного A( r ) через операцию градиента:



A(r )  grad  (r )   (r ) .
Тогда, применяя оператор , определнный в (3), к скаляр
ному полю (r ) , получим:





 (r )       (r )       (r )     (r )       (r ) 





    (r )      (r )   div grad  (r )  rot grad  (r )   (r );

поскольку rot ( grad  ( r ))  0 . При применении того же оператора к

векторному полю A( r ) найдем:





A(r )     A(r )        A(r )     A(r )        A(r )  


 grad ( div A(r ))  rot ( rot A(r )).
Таким образом оператор , веденный с помощью формулы
(3), является обобщением понятия оператора Лапласа и позволяет
ввести единообразно оператор Лапласа от векторной функции и
оператор Лапласа от скалярной функции.
§ 6. Интегрирование полей. Формулы Грина 1. Согласно теореме Гаусса- Остроградского

  a  dV    a dS .


(1)

 

Для любого a r  можно подобрать такие r  и r  , что
 


a r    r    r ;
тогда
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 

a                  2 .
(2)
С другой стороны,


 

a dS      dS      n   dS  
 dS .
n
(3)
Подставим (2) и (3) в (1) и получим 1-ю формулу Грина:

           dV    n dS .
V
(4)
S
Поменяем в (4) местами  и :

           dV    n  dS .
V
(4a)
S
Теперь вычтем (4a) из (4) и получим 2-ю формулу Грина:
 
 
        dV    n   n dS .
V
(5)
S


Формула Грина связывает значения функций r  и r 
внутри объема V с их значениями на границе S.
2. Пример 1. Найти I   
S

d ,
n
если S: x2  y2  z2  1;   x2  y2;   y2  z2.
Воспользуемся первой формулой Грина:




I             dV   4 x 2  y 2  4 x  i  y  j  y  j  z  k  dV ;


V

V
 


I  4   x 2  2 y 2  dV .


V
Задача сведена к вычислению тройного интеграла, который
легко вычисляется в сферических координатах:
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x  r cos()sin(); y  rsin()sin(); dV  r2d(cos())d dr;
I  4   cos 2    2sin 2    r 2 sin 2   r 2 d  cos    d dr ;


V
2
;

1
I  4   cos    2sin    d  sin   d  r 4 dr ;


2
2
0
4
I
5
2
0
2
0
1
16
2
2
 1  sin   d  1  cos   d  cos     5 .
2
1
0
 
S
 
Пример 2. Найти интеграл I       d ,
n
n

если S образуется пересечением поверхностей:
x2  y2  R2; z  0 и z  Hx;   (x2  x)  y2  z;
  x2  y2  2z  x.
По 2-й формуле Грина найдем:
I          dV  4 z dV .
V
V
Перейдем к цилиндрическим координатам:
x   cos();
y   sin();
z  z;
H
R
2
0
0
0
I  4  z dz   d 
dV   d d dz;
 d  2 R

2
H 2.
Пример 3. Найти интеграл I    d ,
S n
если S образуется пересечением поверхностей: x  y  z  1; x  0;
y  0; z  0, а функция   eхsin(y)  1.
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»




  e sin  y i  cos y  j ;
sin  y   cos  y   e ;   e sin y   e sin y   0 .
I         dV ;
2
V
 2  e 2 x
2
x
2x
2
1
x
1 x
1 x  y
0
0
I   e dV   e dx  dy
2x
V
0
2x
 dz 
x


1 2
5e  1 .
8
§ 7. Обобщенная формула Остроградского 
 
1. Пусть r  , Ar  – некоторые скалярные или векторные
поля, обладающие непрерывными производными по всем

координатам; пусть, далее, p произвольный вектор и

 

T  p   T  p, r , Ar ,... – некоторое выражение, имеющее смысл

числа или вектора при любом выборе вектора p и также
обладающее непрерывными производными по координатам.
Предположим далее, что T – линейная функция вектора p, иными
словами, для любых вещественных a1 и a2 имеет место равенство




T  a1 p1  a2 p2   a1T  p1   a1T  p1  .

Важнейшие выражения такого типа, содержащие, кроме p ,
 

еще только один аргумент – r  или Ar  , – следующие:
 
а) p r 
(численное произведение);



б)  p A  r  
(скалярное произведение);

 
в) p  Ar 
(векторное произведение).
Более сложные выражения
могут содержать несколько
 

аргументов вида r  и Ar  , например:
 
  
p A; p  ( A1  A2 ) и т. п.

Сопоставим с каждым выражением T  p  , удовлетворяющим
поставленным
условиям,
некоторое
дифференциальное
выражение.




Пусть p  a i  bj  ck ; тогда в силу линейности




T  p   aT i   bT  j   cT k .

Положим по определению, что
73
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
T   
 
 
 
T i   T  j   T k ,
z
x
y

(2)

заменяя в выражении (1) координаты вектора p на знаки дифференцирования по соответствующим переменным.
Так, для операций а) – б) мы имеем:


а) p  r   a i  b j  cr  , поэтому

 
i      j    
x
y
z




б) если , A  Ax i  Ay j  Az k , то
 



  A  Axx 


 

k    i x  j y  k z ;
(3)
 
p  A  aAx  bAy  cAz , поэтому

Ay
y

Az
;
z
(4)
 
в) если A  Ax i  Ay j  Az k , то

i
 
p A  a
Ax

i
 
 A 
x
Ax

j

y
Ay

j
b
Ay

k



c  i bAz  cAy   j cAx  aAz   k aAy  bAx 
Az

k
   Az Ay 

 i 

z
z 
 y
Az
  Ax Ax    Ay Ax 
 .(5)


j
  k 
x 
y 
 z
 x
В выражение T() явно входит дифференцирование по аргументам x, y и z, поэтому на первый взгляд может показаться, что
T() существенно зависит от выбора координатных осей. Но в
действительности величина T() не зависит от выбора
координатных осей. Докажем это утверждение, дав величине
T() новое определение, в котором оси Ox, Oy и Oz вообще не
будут участвовать.

Предположим вначале, что T  p  имеет числовые значения.
Составим вектор-функцию
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
 

 
Ar   T i i  T  j  j  T k k .

Применяя к этой функции формулу
Гаусса – Остроградского



и полагая Ax  T i , Ay  T  j , Az  T k , получим:



 T  i  T  j  T k 
 


dV
A




 dS 
  x
y
z



V
S

.



  T  i  cos   T  j  cos   T k cos  dS


 
 
S
Выписанное равенство имеет место для любой области V с

границей S. Далее используем линейность функции T  p  и
выражение
для  орта
нормали
к
поверхности:

 
n  i  cos   j  cos   k  cos  , (,  и  – углы, образуемые
вектором нормали с осями Ox, Oy и Oz соответственно). Это
позволяет записать равенство:







T i  cos   T  j  cos   T k cos   T i cos   j cos   k cos   T n  ,



откуда в силу определения T   (2)

 T    dV   T  n  dS
V
(6)
S
Формула (6) называется обобщенной формулой Остроградского. Она переходит в обычную формулу Остроградского, если

 
положить T  p    p A  .
Если разделим обе части равенства (6) на объем области, то
при стягивании объема к произвольной фиксированной точке P
левая часть будет иметь предел, равный значению величины T  
в точке P. Правая часть, равная левой, также будет иметь этот
предел; отсюда в точке P
1

T
n

 dS .
V P V
S
T     lim
75
(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Правая часть равенства (7), очевидно, не зависит от выбора
системы координат. Выражение T   , следовательно, также не
зависит от выбора системы координат, что и требовалось
доказать.

Теперь предположим, что T  p  имеет смысл вектора; будем
 
 
писать в этом случае T  p  . Разлагая T  p  по осям, получим,
например, следующее выражение:
 
 
 
 
T  p   T1  p i  T2  p  j  T3  p k .



Каждая из численных функций T1  p  , T2  p  , T3  p  , очевидно,
удовлетворяет поставленным условиям. Поэтому для каждой из
них имеет место обобщенная формула Остроградского (6):



 T1   dV   T1  n dS ;  T2   dV   T2  n dS ;  T2   dV   T2  n dS .(8)
V
S
V
S
V
S
  
Умножим каждую из формул (8) соответственно на i , j , k и
сложим результаты; мы получим обобщенную
формулу
 
Остроградского для векторного выражения T  p  :

 
T    dV  
T
  n  dS .
(9)
S
Отсюда так же, как и выше, делением на V и переходом к
пределу мы получаем:

1  
T     lim 
 T  n dS .
V P V
S
(10)
Таким образом, и в случае векторного выражения
T(p) соот 
ветствующее дифференциальное выражение T  p  не зависит от
выбора системы координат.

2. Пример 1. Интеграл по объему   grad  rot  Adv преобраV
зовать в интеграл по поверхности:
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»





(


(


A
)
dV


(


rot
(
A
))
dV


(
div
rot
(
A
)) dV .



V
V
V

Поскольку div (rot ( A))  0 , то второй интеграл равен нулю, а
первый преобразуем согласно обобщенной теореме Гаусса:





.


(


rot
(
A
))
dV

n

(


rot
(
A
))
dS

(


rot
(
A
))

dS



V
S
S
  
 r (a n) dS ,
Пример 2. Вычислить интеграл
где

a
–
S

постоянный вектор, n – вектор нормали к поверхности S.
Умножим искомый интеграл скалярно на постоянный

вектор c :
   
   
   
c 
 r (a n)dS   (c r )(a n)dS   (na )(c r )dS
S
S
S
и воспользуемся обобщенной теоремой Гаусса:
   
  

 
 
 (na )(c r )dS   (a )(c r ) dV   (a )(r c )dV   (a c )dV .
S
V
V
V
Окончательно получим:
   
 
 
c 
 r (a n )dS  (a c )V  c (a  V )
S

и поскольку c произвольный вектор, то для исходного интеграла
получим:
  

r
(
a
n
)
ds

a
V .


S
 

Пример 3. Вычислить интеграл  (a r ) dS .
S

Умножим этот интеграл на постоянный вектор c :

  
   
   
c 
(
a
r
)
dS

(
a
r
)(
n
c
)
dS

(
n





 c )(a r )dS .
S
S
Воспользуемся теоремой Гаусса:
77
S
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
   
  

 
 
(
n
c
)(
a
r
)
dS

(

c
)(
a
r
)
dV

(
c

)(
a
r
)
dV

(
c








 a )dV .

S
V
V
V
   
 
(
c
n
)(
a
r
)
dS

(
c


a )V .

S

Поскольку вектор c произволен, то искомый интеграл ведет себя

как вектор aV :
  

 (a r )ds  a V .
S
Пример 4. Интеграл по поверхности

  dS преобразовать в
S
интеграл по объему.
Здесь следует прямо применять обобщенную теорему Гаусса:


  dS   (n   ) dS   ( )dV   grad ( )dV .
S
S
V
V
Пример 5. Интеграл по поверхности
  
(
n
  A)dS преобразоS
вать в интеграл по объему.
Применим к этому интегралу обобщенную теорему Гаусса:


  
(
n

A
)
dS

(


A
)
dV

rot
(
A
) dV .



S
V
V
Пример 6. Интеграл по поверхности
   
(
n
  b ) A dS преобразо-
S

вать в интеграл по объему, если b – постоянный вектор.
Применим к интегралу обобщенную теорему Гаусса:
   


   
.
(
n
b
)
A
dS

(
b
n
)
A
dS

(
b

)
AdV








S
S
V
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 7. Вывести закон Архимеда путем суммирования сил
давления, приложенных к элементам
поверхности погруженного в жидкость тела.
Пусть на тело объемом V, погруженное в жидкость с плотностью  ,
действует со стороны окружающей

жидкости сила давления P (r ) (см.
рис. 1). Тогда полная сила, действуюРис. 1.
щая на тело, определится интегралом



  P dS    ( P  n )dS    (n  P )dS .
S
S
S
Знак "–" появляется из-за того, что направление действия
силы противоположно направлению внешней нормали к
поверхности. Применим к этому интегралу обобщенную теорему
Гаусса:



(
n

P
)
dS


(

P
)
dV


(
grad
P
)
dV

F



 dV .
S
V
V
V
Учтем, что давление P есть сумма постоянного внешнего давления P0 и гидростатического давления, определяющегося глубиной элемента поверхности тела z. Тогда в системе декартовых
координат с началом на свободной поверхности жидкости и


n ||  g получим:

P(r )  P0  gz .
Знак "–" появляется из-за того, что глубина z отрицательна.
Тогда



F  P(r )   g nz .
Подставим это выражение в интеграл для полной силы и
получим:




FdV
  gnz  dV  (  gV ) nz  Mgnz .

V
V
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


d
l
Пример 8. Интеграл по контуру 
преобразовать в
L
интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур.

Умножим этот интеграл скалярно на постоянный вектор a и
применим к получившемуся интегралу теорему Стокса:








a 

dl

(
a

)
dl

rot
(
a

)
dS




 S
L 
L



  ( grad ( )  a    rot ( a )) dS     a  grad ( )  n dS 
S
S
 


    grad ( )  n a dS  a    grad ( )  n  dS .
S
S

 
 
a    dl    grad ( )  n dS   0 .
L

S

Ввиду произвольности вектора a , выписанное тождество
Откуда
реализуется, только если


 dl   grad ( )  n dS .
L
S
Пример 9. Интеграл по контуру  d преобразовать в
L
интеграл по поверхности, опирающиеся на этот контур, где


  (r ) и   ( r ) – скалярные поля.
Преобразуем интеграл к интегралу типа циркуляции, чтобы
можно было воспользоваться формулой Стокса. Для этого
подынтегральную функцию умножим и разделим на
дифференциал длины дуги контура:
  d   
L
L

d


.

(



)

(




)


(




)



dl  
dl
dl
dl



dl
L
L
L
Воспользуемся теоремой Стокса:



;


(




)
dl

rot
(




)
dS








(




)
dS





L
S
S

  d      dS , поскольку rot[grad()]  0.
L
S
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 10. Доказать тождество:

V









Arot (rot[ B ])  B rot (rot[ A]) dV   B  rot ( A)  A  rot ( B )  dS .



S
Для доказательства преобразуем поверхностный интеграл,
пользуясь известным соотношением:
 




div (C  D)  Drot (C )  C rot ( D) ;










B

rot
(
A
)

A

rot
(
B
)

dS

n



  B  rot ( A)  A  rot ( B)  dS 
S
S








  div  B  rot ( A)  A  rot ( B )  dV   ( rot ( A)rot ( B )  B rot[rot ( A)] 
V
V




 rot ( B )rot ( A)  Arot[rot ( B )] dV .
Сокращая первое и третье слагаемое в этом выражении,
получим искомый интеграл.
§ 8. Инвариантность и ковариантность физических законов 1. Ясно, что физические величины и физические законы не
должны меняться при переходе от одной системы отсчета к другой.
Классическая механика, например, прямо исходит из того, что все
инерциальные системы равноправны. Или, другими словами, согласно принципу относительности Галилея все законы и уравнения
механики, установленные для замкнутой системы, не изменяются
при переходе внутри замкнутой системы к любой другой
инерциальной системе.
Принято говорить: Законы инвариантны по отношению к
некоторым преобразованиям (т. е. не меняются при таких преобразованиях), если:
а) после выполнения преобразований структура равенств,
выражающих эти законы, имеет совершенно такой же вид, как и
до преобразования;
б) все функции координат, скоростей, ускорений и полей (допустим, энергия, количество движения системы и т. п.), содержа-
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
щиеся в равенствах, выражающих законы, в результате преобразований не меняются, т. е. как функции новых переменных они
имеют совершенно такой же вид, какой имели до
преобразования, как функции старых переменных.
2. Если система не замкнута, т. е. если учитывается влияние
на систему других материальных объектов, не входящих в нее, то
при произвольных преобразованиях структура уравнений,
описывающих физические законы, может изменяться. Часто,
однако, удается придать этим уравнениям такой вид, что при
переходе от одной инерциальной системы к любой другой
структура уравнений не изменяется, хотя вид функций от
координат, скоростей, ускорений и полей может измениться. В
таких случаях говорят, что форма записи законов и уравнений
ковариантна по отношению к данному типу преобразований.
Пример 1: Рассмотрим движение системы, описываемое
уравнением:


 
 
M r
d 2r
F ( r )  m 2 , где F ( r )   2 .
r r
dt
Это уравнение инвариантно по отношению к сдвигу во вре

мени r *  r ; t*  t  a , так как время входит в него в дифференциальной форме. Но по отношению к сдвигу начала отсчета прост
 
ранственных координат r *  r  a ; t*  t это уравнение только ковариантно. При таком сдвиге получим:



 
M
d 2r *  
r * a *
 F * (r )*; F * (r )*   
m

 ,

(r * a ) 2 | r * a |
dt 2


т. е. первоначальная функция F от переменной r зависит совсем


не так, как функция F зависит от r * ;.
3. Скаляры и псевдоскаляры. Ясно, что скалярные
физические величины инвариантны относительно ортогональных
преобразований, т. е. например, масса, объем и плотность тела
будут одинаковы во всех системах, которые можно получить из
данной путем ортогональных преобразований. Однако отдельные
величины, которые иногда в общей физике ошибочно называют
скалярами, не являются таковыми. Речь идет о проекциях
различных векторных величин на координатные оси. Проекции,
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
например, вектора скорости зависят уже от выбора системы
координат и не являются истинными скалярами. Их называют
псевдоскалярами.
Поскольку в физике приходится оперировать с большим
количеством скалярных величин, желательно иметь правило, по
которому можно было бы отличить истинный скаляр от
псевдоскаляра. Такое правило устанавливается на основе понятия
операции инверсии координатной системы.
Если при инверсии знак скалярной величины не меняется, то
это будет истинный скаляр. Если же знак изменится, то объект
называется псевдоскаляром.
4. Векторы и псевдовекторы. С помощью инверсии
отличают также истинный вектор от псевдовектора. Только в
этом случае правило обратное. Если при инверсии знак вектора
некой физической величины изменится, то мы имеем истинный
(настоящий, или полярный вектор). Если же при инверсии знак
вектора не меняется, то такой вектор будет аксиальным, или
псевдовектором.
При вращении же координатной системы и истинные, и
аксиальные векторы ведут себя одинаково.
5. Примеры истинных (полярных) векторов:

а) радиус-вектор r ;
 dr
б) вектор скорости: V  ;
dt 

в) вектор импульса: p  mV ;
 dp
г) вектор силы: F  ;
dt
д) оператор "набла":  и результат его применения к
скалярной функции.
Ясно, что аксиальный вектор получается при векторном
умножении двух истинных векторов.
6. Примеры аксиальных векторов
(псевдовекторов):

 
а) вектор момента импульса M  ( r  p ) ;

 
б) вектор момента силы K  (r  F ) ;
в) результат векторного
 применения оператора "набла" к

истинному вектору H    A .
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Аксиальные и истинные векторы можно умножать между
собой и векторно и скалярно, но нельзя складывать и вычитать,
так как при инверсии такая комбинация изменит свою величину.
В физически культурном выражении не должно содержаться
суммы истинного и аксиального векторов.
8. Ясно, что псевдоскаляр можно получить при скалярном
умножении истинного вектора на псевдовектор. Псевдоскаляры
нельзя складывать
с истинными скалярами.



Если E – истинный вектор, а H  rot ( A) – псевдовектор, то их
 
скалярное произведение ( E  H ) – псевдоскаляр.
§ 9. Тензор­производная 
Вектор A можно определить, как некую физическую
величину, в каждой системе пространственных трехмерных
координат характеризующуюся набором трех псевдоскалярных
величин Ax, Ay, Az, которые при поворотах выбранной системы
координат преобразуются в Ax', Ay', Az' по закону:
 
 
 
Ax  Ax cos( x , x )  Ay cos( x , y )  Az cos( x , z );
 
 
 

Ay  Ax cos( y , x )  Ay cos( y , y )  Az cos( y , z );
(1)
 
 
 

Az  Ax cos( z , x )  Ay cos( z , y )  Az cos( z , z ).
Исторически понятие вектора было введено в связи с необходимостью описания скоростей изменения скалярных функций по
величине и направлению. Мы уже знаем, что если задано скаляр
ное поле (r ) , то скорость его изменения в любой точке описы
вается градиентом – grad ( r ) . Если в данном выше определении


иметь в виду под A именно grad (r ) , то несложно видеть, что
вектор определяется как характеристика скорости изменения
скалярного поля.
Если в том же контексте рассматривать скорость изменения

векторного поля B(r ) , то необходимо говорить о скорости



изменения каждой из трех его компонент Bx (r ) , B y (r ) и Bz (r ) . Но
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
скорость изменения скалярной величины описывается вектором,
который является градиентом этой величины. Поэтому скорость
изменения векторного поля определяется тремя векторами –



gradBx (r ) ,
и
gradBz (r ) .
Принято
объект,
gradB y (r )

характеризующий скорость изменения векторного поля B ,
описывать с помощью квадратной матрицы,
i-ю строку которой

образуют координаты градиента от Bi от i-й компоненты вектора

B ; (I = x, y, z). Построенный объект называют
"тензор 
производная" от векторной функции B(r ) , а элементы
сконструированной матрицы – компонентами соответствующего
тензора-производной в данном базисе:
 Bx

 x
  B y
B  
x
 1
 Bz
 x



Bx
y
B y
y2
Bz
y
Bx 

z 
B y 
.
z3 

Bz 
z 
(2)
Компонента тензора-производной – символ с двумя
индексами (номер строки и номер столбца). Форма записи
 (2)
удобна тем, что элементарное изменение dB вектора B при



переходе из точки r в точку r  dr можно записать на языке
алгебры матриц:
 Bx
 x
 dBx  
  B y

dB
 y    x
 dB   1
 z   B
z

 x
Bx
y
B y
y2
Bz
y
Bx 
z 
  dr 

 
B y   x 
dr
или
dB


B
dr .
 y
z3  
 dr 

Bz  z 

z 
 
Заметим, что строки матрицы (2) при ортогональных
преобразованиях системы координат изменяются по векторным
законам (1). Всякую физическую величину, обладающую
девятью компонентами, изменяющимися при ортогональных
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
преобразованиях трехмерного евклидова пространства по такому
же правилу, называют ортогональным тензором второго ранга.
Ранг тензора – число индексов у его компонент. Число
компонент тензора непосредственно связано с размерностью
пространства, на котором тензор определен. Вышеприведенные
рассуждения относились к случаю трехмерного евклидова
пространства. Аналогичные рассуждения можно провести, когда
размерность пространства равна двум. В этой ситуации тензор
второго ранга будет иметь лишь четыре компоненты.
Ортогональный тензор второго ранга – частный случай более
общего понятия тензора произвольного ранга на линейном пространстве произвольной размерности, с которым можно
познакомиться в специальной литературе. Мы ограничились
рассмотрением лишь ортогональных тензоров второго ранга
ввиду их особой важности для курса общей физики. Объектами
именно такого типа являются тензор инерции, тензор
деформации, тензор натяжений, тензор поляризации.
Глава 4. Тензорная алгебра § 1. Правила преобразования ортонормированного базиса 1.
Пусть
в
трехмерном
пространстве
задан
  
ортонормированный базис {l1 , l2 , l3} с началом в точке O. Зададим
  
в том же пространстве другой ортонормированный базис {l1, l2, l3}
с началом в той же точке O, произвольным образом
ориентированный относительно старого базиса.
Орты нового базиса могут быть разложены по старому
базису:




l1   11l1   12l2   13l3 ;




l2   21l1   22l2   23l3 ;




l3   31l1   32l2   33l3 ,
86
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

где ij (i, j = 1, 2, 3) имеет смысл проекций li на орты старого
 

 
базиса l j . Так как | li || l j | 1, то ясно, что  ij  cos(li , l j ) .
Три равенства (1) можно записать в виде:


li    ij l j
(2)
В (2) использовано правило суммирования Эйнштейна,
заключающееся в том, что по дважды повторяющимся индексам
подразумевается суммирование.
Числа ij можно записать в виде квадратной матрицы:
 11 12

   12  22

 31  32
13 

 23  .
 33 
(3)
Эту матрицу назовем матрицей перехода от старого базиса к
новому.
2. Аналогично орты старого базиса могут быть разложены по
новому базису:


li  ij l j .
 
(4)


Здесь ij  cos(li , l j) – проекция li на орт нового базиса l j .
Можно также определить матрицу перехода от нового базиса к
старому, т. е. матрицу, обратную к Г:
 12

 11

 22
 1   12
  
 31 32
 
13

23  .
33 
(5)
Несложно видеть, что  ij  ji , т. е. матрица Г–1 является
транспанированной по отношению к Г. А это означает, что
матрица Г ортогональная.
Таким образом, переход от одного ортонормированного
базиса к другому задается ортогональной матрицей.
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Задача 1.
Написать матрицу перехода от ортонормирован  
  
ного базиса {l1 , l2 , l3} к ортонормированному базису {l1, l2, l3} ,
если:      
а) l1  l2 ; l2  l1; l3  l3 ;
     
б) l1  l3 ; l2  l1; l3  l2 .
Задача 2. Как изменится матрица перехода от одного базиса
к другому, если:
а) поменять местами два вектора первого базиса;
б) поменять местами два вектора второго базиса;
в) записать векторы базисов в обратном порядке.
4. Элементы матрицы Г (и, естественно, элементы Г –1)
подчиняются условиям:
 ki  kj   ik  jk  ij ,
(6)
1 при i  j ,
ij  
0 при i  j.
где
В самом деле,
 ik  jk   i1  j1   i 2  j 2   i 3  j 3

 (li , l j )  ij .
Равенство (6) можно переписать в виде:
2
2
2
11
 12
 13
 1;
11  21  12  22  13  23  0;
(6a)
11 321  12  32  13  33  0;
и т. д.
Таким образом, сумма произведений элементов какой-нибудь
строки (столбца) на соответствующие элементы другой строки
(столбца) равна нулю, а сумма квадратов элементов любой
строки (столбца) равна единице.
5. Задача 3. Доказать, что следующие матрицы являются
ортогональными.
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»




б) 2  




2
1
 2
 

3
3
 3
2
1
2
;
а) 1  

 3
3 3 
 1 2
2 



3 
 3 3
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2

2
2
2 

2 
2
.

2 

0 

6. Рассмотрим определитель ортогональной матрицы :
 11 12

|  |  12  22

 31  32
Легко видеть
произведению ортов
из (1),
l1, l2, l3 :
что
13 

 23  .
 33 
|Г|
  
| Г | (l1, [l2, l3]) .
равен
смешанному
(7)
Модуль этого смешанного произведения равен единице, так
как он равен объему куба, построенного на этих ортах как на
сторонах. Значит, определитель любой ортогональной матрицы
равен единице. Причем знак плюс
или минус
будет в зависимости
  
  
от того, имеют ли базисы {l1 , l2 , l3} и {l1, l2, l3} одинаковую или
противоположную ориентацию. В первом случае новый базис
может быть совмещен со старым путем поворота, а во втором
случае для совмещения базисов придется прибегнуть к инверсии.
7. Пусть теперь в пространстве задан вектор X . Его можно
разложить по обоим базисам:


X  X i li ,


X  X j l j .
(8)
(8a)
Ясно, что должно выполняться равенство


X i li  X j l j ,
(9)
так как и (8) и (8a) определяют один и тот же вектор, который не
должен зависеть от выбора системы координат.
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Заменим в (9) li по (4):


X i ij l j  X j l j .

Или в силу линейной независимости ортов l j :
X j  X i ij .
(10)
Учитывая, что ij   ji , из (10) получим:
X j   ji X i .
(11)
Формула (11) дает выражение новых координат через старые.
Легко получить и выражение старых координат через новые:
X i  ij X j .
(12)

Для этого нужно в (9) заменить l j по формулам (1).
§ 2. Тензорное определение вектора и скаляра 1. На основании результатов предыдущего параграфа можно
сформулировать утверждение: трехмерным вектором называется
упорядоченная совокупность трех чисел, которые при поворотах
ортонормированного базиса преобразуются так же, как
координаты X1, X2, X3, т. е. по законам (1) или (12) из §1.
Величина, не изменяющаяся при поворотах базиса,
называется скаляром.
2. Пример
  1. Показать, что скалярное произведение двух векторов ( A, B )  Ai Bi не изменяется при поворотах системы
координат и, следовательно, является скаляром.
В повернутой системе координат
 
( A, B)  Ai Bi  (  ij A j )(  ik Bk )  (  ij  ik ) A j Bk .
Но в силу (6) § 1  ij  ik   jk , поэтому
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
AiBi   jk A j Bk  A j B j .
3. Пример 2. Пусть правило, задающее в каждой системе
координат некоторую тройку чисел (A1, A2, A3), существует. Если
это
 скаляр для всякого вектора
 правило таково, что AiBi есть
B  ( B1 , B2 , B3 ) , то величина A  ( A1 , A2 , A3 ) также является
вектором.
Доказательство. При поворотах базиса координаты вектора
преобразуются по закону:
Bi   ij B j .
Пусть при повороте базиса (A1, A2, A3)
(A1, A2, A3). Мы должны показать, что
переходят
в
Ai   ij A j .
Но, по предположению,
 
AiBi  A j B j .
Кроме того,
 


AiBi  Ai(  ij B j )  ( Ai ij ) B j .
В силу (1)

( Ai ij ) B j  A j B j .

Отсюда, поскольку B – произвольный вектор, следует:

A j  Ai ij .
Умножим это на kj и просуммируем по j:
 kj A j  Ai(  kj  ij )  Ai ki  Ak
или
Ak   kj A j .
91
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Значит, A  ( A1 , A2 , A3 ) – действительно вектор.
§ 3. Определение тензора 1. Многие величины, важные с физической точки зрения, не
являются ни скалярами, ни векторами. В качестве примера можно
привести величины Xi Xj, связанные с моментом инерции тела.
При вращениях базиса эти величины преобразуются по закону:
X i X j   ik jl X k X l
(1)
и являются компонентами тензора.
Будем говорить, что в трехмерном пространстве задан тензор
n-го ранга, если каждой декартовой системе координат
сопоставлена совокупность 3n чисел Ti1 i2 ... in (где i1, i2, ... in
пробегают значения 1, 2, 3), которая при переходе от одной
системы координат к другой преобразуется по закону:
Ti1i 2... in   i1 j1 i 2 j 2 ... in jnT j1 j 2... jn ,
(2)
где  ij – матрица перехода от старого базиса к новому.
2. Пример 1. Тензор нулевого ранга имеет одну (30 = 1)
компоненту, которая при переходе от одного базиса к другому не
меняется. Тензор нулевого ранга является скаляром.
Пример 2. Тензор первого ранга имеет три (31 = 3)
компоненты, которые при переходе от одного базиса к другому
меняются по закону (12) § 1. Тензор первого ранга является
вектором.
Пример 3. Тензор второго ранга имеет девять (32 = 9)
компонент, преобразующихся при переходе от одного базиса к
другому по закону (1).
Пример 4. В некоторой системе ортогональных координат
двухмерный тензор имеет вид:
 3
0 
.
Pmn  

 1 2 3
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вычислить его компоненты в новой системе координат,
повернутой относительно старой на 60.
Известно, что при поворотах базиса компоненты тензора
преобразуются по закону:
Pkl   km ln Pmn ,
т. е. компонента тензора Pkl в новом базисе выражается через
произведения косинусов между новыми и старыми осями и через
все компоненты тензора в старом базисе.
Матрица перехода от старого базиса к новому в данном
случае имеет вид:
 mn
 1

 2
3


 2
3

2 .
1 

2 
Поэтому
P11  1111P11  1112 P12  1211P21  1212 P22  2 3 ;
P12  11 21P11  11 22 P12  12 21P21  12 22 P22  0 ;
   2111P11   2112 P12   2211P21   2212 P22  1 ;
P21
   21 21P11   21 22 P12   22 21P21   22 22 P22  3 .
P22
В итоге в новом базисе получается тензор:
2 3
  
Pmn
 1
0 
.
3 
Задача 1. В некотором трехмерном ортонормированном
базисе задан тензор второго ранга, компоненты которого
представлены в виде матрицы:
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 4 0 0


Pmn   0 4 0  .
 0 0 4


Выяснить, какой вид будет иметь этот тензор в базисе,
повернутом на 45 вокруг оси OY.
Задача 2. В двухмерном ортонормированном базисе задан
тензор:
1 0
 .
ik  
0
1


Вычислить его компоненты в базисе, повернутом
относительно данного на 120.
Задача 3. Написать закон преобразования компонент тензора
пятого порядка.
Задача 4. Доказать, что если компоненты тензора произвольного ранга равны нулю в заданном базисе, то они равны
нулю и во всех остальных базисах.
Задача 5. Компоненты тензора aij равны соответствующим
компонентам тензора bij, то есть aij = bij в некотором заданном
базисе. Показать, что это равенство сохранится в любом базисе.
Задача 6. Показать на примере двухмерного тензора второго
ранга, что сумма диагональных элементов матрицы,
составленной из элементов тензора, не изменяется при переходе к
другому базису. Такая комбинация называется его следом
(шпуром).
3. Данное выше определение тензора можно перефразировать
в виде первого тензорного признака: для того чтобы
совокупность величин Ti1 i2 ... in , зависящая от выбора базиса, была
тензором, необходимо и достаточно, чтобы при переходе от
одного ортонормированного базиса к другому она изменялась по
закону (2).
Задача 7. В двухмерной декартовой системе координат некая
математическая величина характеризуется матрицей:
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 1 2
 ;

 4 0
в другой декартовой системе координат, повернутой
относительно данной на 45, эта же величина характеризуется
матрицей:
5

2
 3
2
1
 
2
7
 
2
Выяснить, является ли данная величина тензором.
Пример 5. Если (X1, X2, ..., Xn) – инвариантная функция
декартовых координат, то величины
 2

и
образуют
X i
X i X j
тензоры первого и второго ранга соответственно. Докажем это
утверждение.
а) в новом базисе:

 X i
.

X j X i X j
Но X i  ij X j , отсюда
X i
 ij .
X j
В итоге



.
 ij
  ji
X j
X i
X i
2. Аналогично поступаем и со второй производной:
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 2
   
 

  jk


X i X j X i  X j  X i 
X k

   
   jk

 



X
X

k 
i
   
 2
  il
   jk  il
  jk
.
X k  X l 
X k X l
Отсюда видно, что и первая и вторая производные от
инвариантной функции  при переходе от одного базиса к
другому преобразуются как тензоры по закону (2). Значит, в силу
первого тензорного признака они и являются тензорами.
Пример 6. Показать, что совокупность величин aijkl , которая
в любом ортонормированном базисе определяется равенствами
1 при i  k , j  l
aijkl  
;0 в остальных случаях,
образует тензор четвертого ранга.
Если aijkl – тензор, то его компоненты должны преобразовываться при переходе к другому базису по закону (2), т. е.
   im  jp  kr  ls amprs .
aijkl
Пусть теперь m = r и p = s, тогда
  (  im  km )(  jp  lp ) ampmp  ik  jl .
aijkl
 отлично от нуля только при i = k и
Отсюда видно, что aijkl
j = l и в этом случае равно единице.
Итак, мы показали, что существует тензор, ведущий себя при
переходе к другому базису так же, как величина, заданная в
условии задачи. Отсюда на основании первого тензорного
признака заключаем, что она является тензором четвертого ранга.
Задача 8. Проверить, являются ли тензорами следующие
величины:
 Y2
1. aij  
  XY
  XY
3. cij  
 Y
 XY 
;
2 
X 
X2
;
XY 
Y2
2. bij  
 XY
 XY
4. dij   2
X
96
XY 
;
2
X 
Y2 
.
 XY 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 9. Образуют ли тензор направляющие косинусы  ij ?
2. Тензор называют инвариантным (или изотропным), если
его компоненты не меняются при переходе от одного базиса к
другому.
Пример 7. На основе символа Кронекера в трехмерном
пространстве можно определить единичный тензор ik 2-го ранга:
1 0 0


ik   0 1 0  .
0 0 1


Показать, что такой тензор будет инвариантным.
Решение. Выпишем преобразование ik к новому базису:
 lp   li pk ik   lk pk   lp .
Задача 10. Показать, что инвариантного тензора первого
ранга не существует.
§ 4. Сложение тензоров. Умножение тензора на вещественное число. Тензорное произведение тензоров 1. Суммой тензоров aijk...m и bijk...m называется тензор cijk...m,
компоненты которого равны сумме соответствующих компонент
тензоров aijk...m и bijk...m:
cijk...m = aijk...m + bijk...m.
Складывать можно только тензоры одного ранга.
Пример 1. Сложить два тензора, заданные матрицами:
 Y2
aij  
  XY
 XY 
;
2 
X 
 ( X  Y )Y
cij  
  Y (1  X )
97
  XY
bij  
 Y
X (X  Y )
.
X ( X  Y ) 
X2
;
XY 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1. Сложить два тензора:
а) Ai = (1, 2, 4) и Bi = (–3, 0, 7);
 3
0 
2 3
0 
 и bij  
.
б) aij  
 1


1
2
3
3




Задача 2. Рассмотреть суммы aijk + bijk компонент тензоров
aijk и bijk в произвольном ортонормированном базисе и показать,
что они являются компонентами тензора.
2. Произведением тензора n-го ранга a i1i2 ...in на вещественное
число  назовем тензор bi1i2 ...in того же ранга, компоненты
которого равны компонентам a i1i2 ...in , умноженным на .
Пример 2. Умножить тензор Ai = (2, 4, 3) на  = 2.5.
В соответствии с правилом Bi = (5, 10, 7.5).
Пример 3. Умножить тензор
 Y2
aij  
  XY
 XY 
 на   2.
X 2 
Согласно правилу
 2Y 2
bij  2aij  
 2 XY

2 XY 
.
2 
2X 
3. Компоненты тензорного произведения двух тензоров представляют собой произведение каждой компоненты первого тензора
на каждую компоненту второго. Ранг тензора, получающегося в
результате такой операции, равен сумме рангов перемножаемых
тензоров.
Пример 4. Доказать, что если Si1i2 ...in – компоненты тензора
n-го ранга, а T j1 j2 ... jm – компоненты тензора m-го ранга, то
величины Si1i2 ...in T j1 j2 ... jm являются компонентами тензора ранга
m + n.
Докозательство. При повороте системы координат компоненты данных тензоров преобразуются по закону:
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Si1i2 ...in   i1k1 i2 k2 ... in kn Sk1k2 ...kn ;
T j1 j2 ... jm   j1l1 j2l2 ... jmlm Tl1l2 ...ln .
Поэтому величины Si1i2 ...in T j1 j2 ... jm преобразуются так же, как
и компоненты тензора ранга m + n, а именно
( Si1...in T j1... jm )   i1k1 ... in kn  j1l1 ... jmlm ( Sk1...kn Tl1...lm ) .
(1)
Задача 3. Показать, что суммы вида Bijkl Akl компонент
тензоров Bijkl и Akl в произвольном ортонормированном базисе
являются компонентами тензора.
Пример 5. В векторной алгебре были введены операции
скалярного и векторного произведения векторов. Теперь мы
можем ввести также тензорное произведение векторов, под
которым мы будем понимать операцию (1) для двух тензоров
первого ранга
(векторов).
То есть если Ai и Bi – компоненты


векторов A и B , то в результате их тензорного умножения
получим тензор второго ранга, называемый диадой:
Cij = AiBj.
Ясно, что диада содержит 9 компонент. В матричной форме
диаду можно представить в виде:
 A1B1

Cij   A2 B1
AB
 3 1
A1B2
A2 B2
A3 B2
A1B3 

A2 B3  .
A3 B3 
Задача 4. В каком случае диада имеет только один, отличный
от нуля элемент?
§ 5. Свертывание тензора Для любого тензора не ниже второго ранга определена операция свертки по выделенной паре индексов. Компоненты тензора,
получающегося в результате свертки, образуются суммированием
тех компонент исходного тензора, у которых индексы
выделенной пары имеют одинаковые значения. Остальные
индексы исходного тензора (если его ранг больше двух) при
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
такой операции считаются неизменными. При свертывании по
паре индексов ранг тензора понижается на две единицы. Если
ранг исходного тензора достаточно велик, то операцию свертки
можно провести по нескольким парам индексов.
1. Пример 1. Доказать, что если Ti1i2 ...in является тензором nго ранга, то величина H i3i4 ...in   i1i2 Ti1i2 ...in есть тензор (n – 2)
ранга.
Доказательство. Очевидно, что величина H i3i4 ...in имеет 3n–2
компонент. Выясним, как преобразуется каждая из компонент
H i3i4 ...in при переходе к новому базису:
H i3i 4...in   i1i 2Ti1 i 2...in   i1i 2 i1 j1 i 2 j 2 ... injnT j1 j 2... jn 
 ( i1 j1 i 2 j 2 ) i 3 j 3 ... injnT j1 j 2... jn   j1 j 2 i 3 j 3 ... injnT j1 j 2... jn 
 i 3 j 3 ... injn ( j1 j 2T j1 j 2... jn )   i 3 j 3 ... injn H j 3 j 4... jn .
Отсюда видно, что величина H j 3 j 4... jn преобразуется согласно (2) и,
следовательно, является тензором.
2. Операцию свертки можно определить и несколько иначе,
через умножение компонент исходного тензора на символ
Кронекера ij с последующим суммированием по i = j.
Пример 2. aijk ij  a11k  a22 k  a33k  bk .
Пример 3. При свертывании тензора второго ранга мы
получим тензор нулевого ранга, или скаляр, – величину,
инвариантную по отношению к переходу к другому базису. Этот
тензорный инвариант называют следом (шпуром) тензора aij и
обозначают так:
Sp aij = aij ij = a11 + a22 + a33 ,
т. е. видно, что след тензора есть просто сумма диагональных
элементов квадратной матрицы, которой принято изображать
тензоры второго ранга.
Sp – первые буквы от немецкого слова Spur – след. В
англоязычной физической литературе след тензора aij обозначают
так же, как
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
tr aij = a11 + a22 + a33,
где tr – первые две буквы от английского слова trace – след.
Поэтому иногда след тензора и на русском языке называют
шпуром, или трейсом.
3. Свертывание произведения тензоров состоит в их
умножении и свертывании полученного в результате умножения
тензора по индексам, принадлежащим разным сомножителям. В
результате свертывания по паре индексов произведение тензоров
ранга n и m будет тензором ранга n + m – 2.
Пример 4. Рассмотрим два тензора aijk и blm и образуем их
произведение aijk blm, а результат свернем по индексам l и k:
aijk blm lk = aij1b1m + aij2b2m + aij3b3m = cijm,
т. е. получаем тензор третьего ранга.
Пример 5. Особенно простой вид носит свертывание произвольного тензора с единичным: aijk kl = aijl.
4. Ясно, что свертывание тензоров можно производить по
любой паре индексов и по любому количеству таких пар. Причем
при свертывании данного тензора по различным парам индексов
мы получим различные результаты. Так,
aijklkl  aijklil.
В результате m-кратного свертывания тензора ранга n получится тензор ранга n – 2m. В пределе тензор четного ранга может
быть свернут к скаляру, а тензор нечетного ранга – к вектору.
Задача 1. Построить инвариант путем свертывания индексов
у тензора aij, который представлен матрицей:
1 0
 2


aij   3  5 6 
  7 0 4

.
Задача 2. Пусть даны тензоры aijk и blm. Получить из них
путем умножения и свертывания тензор 5-го ранга, все тензоры
третьего ранга и первого ранга. Сколько их будет?
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 3. Дан тензор aij. Доказать, что алгебраические
дополнения Aij определителя a, составленного из компонент
тензора aij, также составляют тензор второго ранга, который
удовлетворяет соотношению:
Aik akj = a ij.
Пример 6. Дан тензор второго ранга aij, матрица которого в
определенном базисе равна
 2 0 3


aij   5 1 2 
4 5 7

,
и тензор первого ранга: Xi = (2, 1, 4).
Найти: а) aij Xj; б) aij Xi.
Решение:
а) a1 j X j  2  2  0  1  3  4  16 ;
a2 j X j  5  2  1  1  2  4  19 ;
a3 j X j  4  2  5  1  7  4  41 ;
ci  aij X j  (16, 19, 41) .
б) ai1 X i  2  2  5  1  4  4  25 ;
ai 2 X i  0  2  1  1  5  4  21 ;
ai 3 X i  3  2  2  1  7  4  36 ;
d j  aij X i  ( 25, 21, 36) .
Задача 4. Для тензоров aij и Xi из «примера 6» и тензора
Yi = (3, 7, –1) найти:
а) aij Yj;
б) aij Yi;
в) aij X Yj;
г) aij Yi Xj;
д) aij ij;
ж) (aij – 2/5 dij all) Xi;
е) aij – 2/5 dij all;
з) (aij – 2/5 dij all) Xi Yj.
Задача 5. Пусть tij – компоненты тензора в
ортонормированном базисе li.
а) показать, что набор ij = tij (например, 12 = t21) является
компонентами некоторого тензора.
б) равны ли свертки: ij ui uj и tij ui uj, где ui и uj – компоненты
векторов?
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 7. Расписать перечисленные выражения, используя
числовые значения индексов. Указать равные между собой
выражения:
pijuj,
ujpij,
pijui,
uipij.
Решение: Первые два выражения равны и представляют при
i = 1, 2, 3 соответственно суммы
p11u1 + p12u2 + p13,
p21u1 + p22u2 + p23u3,
p31u1 + p32u2 + p33u3.
Третье и четвертое выражения равны и при j = 1, 2, 3 представляют соответственно суммы, вообще говоря, неравные предыдущим:
p11u1 + p21u2 + p31u3,
p12u1 + p22u2 + p23u3,
p31u1 + p32u2 + p33u3.
Задача 6. Найти равные выражения:
a) qijaibj, qijbjai, bjqijai, aiqijbj, aibjqij, bjaiqij, qijajbi;
б) aijbij, ajibji, aijbji, bijaji.
Пример 8. Вычислить суммы с единичными тензорами:
ii, ijji, ijjkki.
Решение: ii = 1 + 1 + 1 = 3; ijji = 1 + 1 + 1 = 3;
ijjkki = 1 + 1 + 1 = 3.
Задача 6. Пусть tij – компоненты тензора в ортонормированном базисе ei. Учитывая, что набор ij = tji, (например, 12 = t21)
также определяет некоторый тензор, выяснить равны ли свертки:
1) ijuiuj и tijuiuj;
2) ijuivj и tijuivj,
где ui и vj – компоненты векторов.
Ответ: 1) ijuiuj = tijuiuj; 2) свертки ijuivj и tijuivj, в общем
случае не равны.
Задача 7. Показать, что если в некотором ортонормированном базисе компоненты тензора удовлетворяют соотношениям
а) tij = tji;
б) tij = –tji,
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
то аналогичные соотношения будут выполнены для его компонент в любом ортонормированном базисе.
В первом случае тензор второго ранга называется симметричным, во втором – антисимметричным (кососимметричным).
5. Несложно видеть, что для произвольного вектора Ai и единичного тензора ik будет выполняться соотношение Aiik = Ak. В
этой связи единичный тензор часто используется для тождественных преобразований тензорных соотношений. Например:
SikPk – Pi  SikPk – ikPk  Pk(Sik – ik).
Используя единичный тензор ik, можно определить и тензор
Sik1 , обратный данному Sik на основе соотношения:
Sik1Smk   ik .
Задача 8. Показать, что при умножении тензора Sik на обратный ему не слева, а справа снова получится единичный тензор.
§ 6. Симметричные и антисимметричные тензоры 1. Тензор Tij называют симметричным тензором второго ранга, если Tij = Tji. Если же Tij = –Tji, то Tij называют антисимметричным тензором второго ранга.
Пример 1. Доказать инвариантность свойства симметрии
(антисимметрии) тензора 2-го ранга.
Доказательство. Пусть Tij   ik  jl Tkl ; T ji   jl  ik Tlk . Сложим
эти равенства для антисимметричных тензоров (или вычтем для
симметричных): Tij  T ji   ik  jl (Tkl  Tlk ) .
Ясно, что сумма слева тождественно равна нулю, а поскольку
в общем случае  ik  jl  0 , то в нуль должно обращаться выражение в скобках, т. е. свойство симметрии (антисимметрии) сохраняется в любом базисе.
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. В общем случае тензора ранга n можно определить свойство симметрии (антисимметрии) для пары индексов. Тензор
Ti1 i2 ... in , удовлетворяющий условию
Ti1 i2 i3 ... in = Ti3 i2 i1 ... in ,
назовем симметричным по индексам i1 и i3, если же
Ti1 i2 i3 ... in = –Ti3 i2 i1 ... in ,
то тензор назовем антисимметричным по индексам i1 и i3.
3. Тензор произвольного вида Tij может быть представлен в
виде суммы симметричного T(ij) и антисимметричного T[ij]
тензоров.
Причем
T(ij ) 
1
Tij  T ji ;
2

T[ij ] 

(1)
1
Tij  T ji .
2


(2)
Операция (1), с помощью которой выделяется симметричная
часть тензора, называется симметрированием тензора. А
операция (2) – выделение антисимметричной части тензора –
называется альтернированием тензора.
Задача 1. Показать, что любой тензор второго ранга представляется в виде суммы симметричного и антисимметричного
тензоров. Единственно ли такое представление?
4. Для произвольного тензора третьего ранга aijk операции
симметрирования и альтернирования имеют следующий вид:
a(ijk ) 
1
aijk  a jki  akij  a jik  aikj  akji ;
6

(3)
a[ijk ] 
1
aijk  a jki  akij  a jik  aikj  akji .
6
(4)



5. Доказать, что если aijk симметричен по индексам i и j и
антисимметричен по индексам j и k, то он равен нулю.
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство очевидно из
aijk = ajik = – ajki = – akji = akij = aikj = – aijk.
Задача 2. Показать, что если для тензора второго ранга при
любом векторе v выполнено tij vi vj = 0, то тензор tij
антисимметричен.
Пример 2. Показать, что полная свертка симметричного sij и
антисимметричного akl тензоров равна нулю: sijakl = 0.
Решение: Произведем переобозначение немых индексов в
свертке:
sijaij = sjiaji.
Отметим также, что по определению
sji = sij и aji = –aij,
тогда
sijaij = –sjiaji = 0.
Задача 3. Доказать, что если aijk симметричен
по первым

двум индексам (aijk = ajik) и для любого вектора X  X ili имеет
место соотношение aijkXiXjXk = 0, то aijk + ajki + akij = 0.
Указание. Привести подобные члены, приравнять коэффициенты при разных Xi Xj Xk к нулю и воспользоваться симметрией
по первым индексам.
Задача 4.
 Доказать, что если для тензора aij и для любого век
тора X  X i li выполняется aijXj = Xi (где  не зависит от X ), то
aij = aij.
Задача 5. Доказать, что если тензор aijk симметричен по
индексам i и j, то
a(ijk ) 
1
aijk  a jki  akij
3
.


Задача 6. Доказать, что если тензор aijk антисимметричен по
индексам i и j, то
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a[ijk ] 
1
aijk  a jki  akij
3
.


Задача 7. Разложить тензор aij, матрица из элементов
которого имеет вид:
2 
2 3


aij   5 7  2 
4  4 0 

,
на симметричный bij и антисимметричный cij тензоры.
Найти:
б) bijcij;
в) cijdij;
г) cijXi;
а) cijaij;
д) cijXiXj;
е) bijdij;
ж) bijXi;
з) bijXiXj,
где Xi = (2, 3, –4).
6. Антисимметричный тензор второго ранга обладает
следующими свойствами: T11 = T22 = T33 = 0; T12 = –T21; T13 = –T31;
T23 = –T32.
Отсюда ясно, что антисимметричный тензор второго ранга Tik
вполне определяется тремя независимыми величинами T12, T13,
T23. И с ним можно, естественно, связать вектор Cj, который
иногда называют «вектором, сопутствующим тензору Tik», и
определяют с помощью соотношений:
C1 = T23, C2 = T31, C3 = T12
(или Ci = ijkTjk, где ijk – тензор Леви-Чивита). Видно, что в
данном определении сопутствующего вектора значения индексов
в правых и левых частях соотношений подчиняются правилу
круговой перестановки 1231.
Название «сопутствующий» призвано подчеркнуть, что, хотя
компоненты вектора Cj и совпадают с тремя из девяти компонент
тензора Tik, о равенстве вектора и тензора речь не идет, поскольку
это объекты различающиеся рангом.
7. Шаровой составляющей t(s) и девиатором t(d)
симметричного тензора t второго ранга называются
соответственно тензоры с компонентами:
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1
tij( s)  tkk  ij и tij( d )  tij  tkk  ij .
3
3
Задача 8. Найти девиатор шаровой составляющей (t(s))(d) и
шаровую составляющую девиатора (t(d))(s).
§ 7. Псевдотензоры 1. До сих пор мы рассматривали преобразования координат,
сводящиеся к чистым вращениям. Введем теперь преобразование
инверсии (преобразование смены ориентации осей координат на
противоположные):
Yij = –dij.
(1)
При таком преобразовании
X i   X i .
(2)

Радиус-вектор r  ( X 1, X 2 , X 3 ) при преобразовании инверсии
трансформируется следующим образом:

r  ( X1, X 2 , X 3 )  ( X1,  X 2 ,  X 3 ) .
(3)
Все векторы, которые при инверсии ведут себя аналогичным
образом, называются полярными, или истинными, векторами.
2. Но существуют и векторы, которые при инверсии ведут
себя иначе. Возьмем,
произведение двух
 к примеру,
 
 векторное

полярных векторов A и B : C  [ A, B ] . Компоненты результирующего вектора определяются соотношениями: C1 = A2B3 – A3B2 и
т. д. Но при инверсии Ai  – Ai, Bj  – Bj, а Ck  Ck, то есть знак
Ck при инверсии не меняется. Векторы, ведущие себя при инверсии подобным образом, называются псевдовекторами, или аксиальными векторами.
3. Истинный вектор при инверсии не меняет своей ориентации в пространстве, т. е. является величиной инвариантной. Псевдовектор же при инверсии меняет свою ориентацию на противоположную.
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Пример 1. Псевдовекторы часто используются потому, что
возникают при описании процессов, связанных с вращением:

 
а) угловая скорость:   ( r  v ) ;

 
б) момент импульса: L  (r  p ) ;

 
в) момент вращения: M  (r  f ) ;


г) магнитное поле: B   (  E ) .
5. Псевдовекторы преобразуются при поворотах по закону:
Ci    ik Ck
,
(4)
где  – определитель, составленный из элементов таблицы для
коэффициентов ik. Появление множителя
|| связано с тем, что в

правой системе координат вектор C характеризует вращение, которое связывают с правилом правой руки. В левой же, инверсированной, системе координат направление вращения меняется на
противоположное.
6. В случае инверсии определитель || имеет вид:
1 0
  0 1
0
0
0
0  1 .
1
При инверсии одной лишь оси
1 0 0
  0 1 0  1 .
0 0 1
При инверсии двух осей:
1 0 0
  0  1 0  1.
0 0 1
Но, с другой стороны, легко видеть, что инверсия двух осей
эквивалентна повороту на 180 вокруг третьей оси.
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Определим по аналогии псевдотензор второго ранга как
совокупность 9 величин Aij, преобразующихся при поворотах по
закону:
Aij    ik  jl Akl .
(5)
Псевдотензоры при вращениях ведут себя как истинные
тензоры, но при инверсии меняют знак.
8. По аналогии с псевдотензорами первого и второго ранга
можно определить и псевдотензор нулевого ранга – псевдоскаляр,
который при инверсии меняет свой знак.
   Смешанное
произведение трех истинных векторов V  ([ A, B ], C ) ведет себя
как истинный скаляр при вращениях, однако при инверсии
координат знак смешанного произведения изменяется на
противоположный. Значит, V – псевдоскаляр.
9. Для дальнейшего удобно ввести единичный трехмерный
антисимметричный тензор Леви-Чивита ijk, равный 1, если
порядок ijk получен четным числом перестановок из
совокупности чисел (1, 2, 3) и – 1, если ijk получается из (1, 2, 3)
нечетным числом перестановок, т. е
123 = 231 = 312 = 1;
132 = 321 = 213 = –1.
(6)
Все остальные компоненты ijk = 0.
Пусть псевдотензор 3-го ранга ijk в некоторой системе
координат равен ijk. Тогда, по определению тензора
ijk = ||ipjqkrpqr.
Легко видеть, что
1p2q3rpqr  ||.
Тогда из (7) получим
2
  .
123
Аналогично легко показать, что
110
(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
312  231  
2
и что
2
  321    .
213  132
В итоге для вращений и инверсий:
ijk  ijk .
Таким образом, мы доказали теорему: величина ijk представляет
собой
инвариантный,
изотропный
псевдотензор,
компоненты которого не меняются при произвольных поворотах
декартовой системы координат. Этот тензор называют
единичным аксиальным тензором третьего ранга или тензором
Леви-Чивита.
§ 8. Свойства тензора Леви­Чивита 1. Пример 1. Пусть даны два вектора Ak и Bm. Зададимся
вопросом: какой смысл имеет сумма
ikmAkBm?
(1)
Здесь k и m – повторяющиеся индексы. Следовательно, для
каждого i это сумма девяти членов. Но если k = i или k = m или
m = i, то ikm = 0. В итоге от нуля будут отличны только два члена
с разными значениями k и m (при фиксированном i). Если,
например, i = 1, то или k = 2, m = 3 и ikm = 1, или k = 3, m = 2 и
ikm = –1. Значит,
1kmAkBm = A2B3 – A3B2.
А это выражение есть не что
 иное, как проекция на первую
ось векторного произведения A  B .
В общем случае
 
 ikm Ak Bm  A  B ,
(2)

111
i
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
т. е. (1), (2) дает короткую запись проекции векторного
произведения на ось i.
Задача 1. Доказать, что для любых Aj: ilkAlAk = 0.
Указание. Записанное соотношение есть не что иное, как аналитическая формулировка того факта, что векторное
произведение вектора на себя или произвольный параллельный
ему вектор равно нулю.
Задача 2. С помощью тензора Леви-Чивита, вводя векторный
оператор «набла»
 
 
 
  l1
 l2
 l3
,
X 3
X 1
X 2

записать выражение для проекции ротора вектора A(r ) на ось
i.
Пример 2. Показать, что любому антисимметричному
тензору второго ранга Cij можно сопоставить дуальный
псевдовектор Ci, определенный как
1
Ci  ijk C jk .
2
Антисимметричный тензор задан таблицей
 0

C jk    C12
 C
 31
C12
0
 C23
 C31 

C23  .
0 
Двойное свертывание псевдотензора пятого ранга ijk Cmn
показывает, что при вращениях базиса величина Ci должна вести
себя как вектор, но наличие псевдотензора ijk приводит к тому,
что в действительности
Ci является псевдовектором. Компоненты

псевдовектора C заданы как

C  (C1 , C2 , C3 )  (C23 , C31 , C12 ) .
Дуальность, зафиксированная в последнем выражении, означает, что векторное произведение в трехмерном пространстве
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
можно записать либо в виде псевдовектора, либо в виде
антисимметричного тензора второго ранга.
Пример 3. Выяснить смысл суммы ijkAiBjCk, где AiBjCk – три
произвольных вектора.
Легко видеть, что
A1 A2
ijk Ai B j Ck  B1 B2
C1 C2
A3
B3 ,
C3
т. е. исследуемое выражение представляет собой аналитическое
выражение для смешанного произведения трех векторов. Ясно,
что эта величина есть псевдоскаляр, равный по модулю объему
параллелепипеда, построенного на векторах AiBjCk как на
сторонах.
 
A
, B,
Замечание.
Если
с
помощью
трех
полярных
векторов

C определить тензор
Ai
Vijk  A j
Ak
Bi
Bj
Bk
Ci
Cj ,
Ck
  
то объем параллелепипеда, построенного на A , B , C как на
сторонах, определится дуальным псевдоскаляром:
V
1
ijk Ai B j Ck .
3!
Вопрос. В чем отличие определения объема V в замечании от
определения, данного в примере 3?
Задача 3. Доказать, что ijijk = 0.
Пример 4. Доказать, что
ikmpsm = ipks – iskp.
(3)
Доказательство. Одним из наиболее важных свойств чисел
ikm является то, что 81 число ikmpsm, представляющее тензор четвертого ранга, удовлетворяет некоторому тождеству. В этой
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
комбинации один – немой индекс и четыре – (i, k, p, s) –
говорящие. Поскольку каждый из четырех говорящих индексов
может принимать только три значения – 1, 2, 3, то в каждом
выражении хотя бы два из них имеют одинаковое значение.
Очевидно, что если i = k или p = s, то слагаемые равны нулю.
Если i  k, то ikm не обращается в нуль только при одном
значении m: m  i  k. Тогда чтобы psm отличалось от нуля, p и s
должны принимать те же значения, что i и k в любом порядке.
Причем если порядок одинаковый, то оба сомножителя слева ikm
и psm равны +1 или –1 и произведение равно +1. Если же порядок
различен, то произведение равно –1. Итак,
ikm psm
0
0

 1
 1

0
i  k;
p  s;
i  p , k  s;
i  s, k  p;
i  p, s или k  p, s.
Рассмотрим теперь набор чисел, стоящих в (3) справа:
ipks – iskp,
которые также образуют тензор четвертого ранга. Если i = k или
p = s, то слагаемые взаимно уничтожатся. Если i  p и s или k  p
и s (при этом имеем в виду, что i  k, p  s), то один из
сомножителей каждого слагаемого равен нулю. Следовательно,
ненулевыми будут выражения, у которых i, k равны p, s в любом
порядке и i  k, p  s.
Если i = p и k = s, то первое слагаемое равно 1, а второе –
нулю, а если i = s и k = s, то первое слагаемое равно нулю, а
второе –1. В итоге
ikmpsm = ipks – iskp.
Замечание. Поскольку psm = smp = mps при всех значениях
индексов, то выражения в левой части (3) не изменятся по
величине, если мы заменим ikm на kmi или mik. Можно,
следовательно, сформулировать общее правило знаков: положим,
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
что i и p – индексы, которые следуют за индексом суммирования
в соответствующем сомножителе  (если индекс суммирования
последний, полагаем соответственно i или p первым), тогда ip
появляется с положительным знаком и формулу можно дописать
до симметрии.
Пример 5. Используя соотношение (3), записать
аналитическое
    выражение для двойного векторного произведения
D  A  (B  C ) .

 
Обозначим K  ( B  C ) . Тогда i-я компонента векторного
произведения
 
Di  ( A  K )i   ikm Ak K m .
И уже в это выражение подставим аналитический вид
проекции
Km = mpsBpCs.
Получим:
Di = ikmAkmpsBpCs = ikmmpsAkBpCs = (ipks – iskp)AkBpCs =
= ksAkBiCs – kpAkBpCi = BiAkCk – CiAkBk.
А это то же самое, что
  
  
  
A  ( B  C )  B( A  C )  C ( A  B) .
Задача 4. Доказать, что ijkljk = 2il.
Задача 5. Доказать, что ijkijk = 6.
Задача 6. Пусть  обозначает определитель |aij|, доказать, что
ikm = jlnaijaklamn;
jln = ikmaijaklamn;
6 = ikmjlnaijaklamn.
Задача 7. Записать с помощью ikl условие компланарности
трех векторов Ai, Bi, Ci.
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 8. Задана антисимметричная таблица, элементы
которой C1, C2, C3 образуют псевдовектор:
 0

  C3
 C
 2
C12 C31 
C3  C2   0
 

0
C1     C12 0 C23  .
 C1
0    C31 C23 0 
Предполагая, что соотношение Ci = ½ ijkCjk выполняется во
всех системах координат, доказать, что Cjk – тензор.
2. Если работать не в трехмерном, а в четырехмерном пространстве, то можно ввести четырехмерный тензор Леви-Чивита по
аналогии
с
ijk.
Единичный
четырехмерный
тензор,
антисимметричный по отношению к любой паре своих индексов,
пробегающих значения 1, 2, 3, 4, будем обозначать ijkl, где ijkl
равен 1, если порядок ijkl получен четным числом перестановок
из совокупности чисел (1, 2, 3, 4) и –1, если ijkl получается из
(1, 2, 3, 4) нечетным числом перестановок.
Аналогично тому, как это было сделано для ijk, легко
показать, что ijkl – псевдотензор.
Введя тензор четвертого ранга
H ijkl
 Ai

A
 j
 Ak

 Al
Bi
Bj
Ci
Cj
Bk
Bl
Ck
Cl
Di 

Dj 
,
Dk 

Dl 
элементами которого служат компоненты
векторов, можно определить дуальную величину
H
1
ijkl H ijkl ,
4!
полярных
причем H, имеющее смысл объема параллелепипеда в четырехмерном пространстве, является псевдоскаляром.
Пример 6. Доказать, что элемент объема в пространстве
Минковского является инвариантом по отношению к любым
поворотам четырехмерного пространства (к преобразованиям
Лоренца).


Доказательство.
Пусть
A  ( dX 1 ,0,0,0) ;
B  (0, dX 2 ,0,0) ;


C  (0,0, dX 3 ,0) ; D  (0,0,0, dX 4 ) . Тогда элемент объема
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dX4 = H = dX1dX2dX3dX4
и является псевдоскаляром.
Задача 9. Проверить, будут ли изотропными три тензора четвертого ранга: 1. ikmp; 2. imkp + ipkm; 3. imkp – ipkm. Два
первых тензора встречаются при выводе уравнений движения
вязкой жидкости и упругой твердой среды. Напомним, что
изотропными называются тензоры, компоненты которых не
изменяются при произвольных поворотах.
§ 9. Тензорные поля. Тензорная запись дифференциальных векторных операций 1. Если тензор задан как функция точки пространства, то

говорят о тензорном поле. Тензорным полем n-го ранга Ti1i2 ...in (r )
в трехмерном пространстве называется совокупность 3n функций,
которые в любой точке пространства, определяемой радиус
вектором r , образуют тензор n-го ранга.

Пример 1. n = 0 – имеем скалярное поле:   (r ) .
Пример 2. n = 1 – имеем
поле:
  векторное



A(r )  A1 (r ), A2 (r ), A3 (r ).

Задача 1. Доказать, что если Ti1i2 ...in (r ) – тензорное поле n-го
ранга, то величина


Ti1i2 ...in (r )
X j
будет тензорным полем n + 1 ранга.


Пример 3. Доказать тождество (,[, A])  0 для любого A .
Доказательство. Имеем:
 2 Ak
 2 Ak
 2 Ak


.
 ijk
Ak   ijk
  jik
  jik
X i
X j
X i X j
X i X j
X j X i
С другой стороны, переобозначая в последнем выражении
индексы суммирования, получим:
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 jik
 2 Ak
 2 Ak
  ijk
,
X j X i
X i  X j
что и доказывает тождество, поскольку последнее выражение в
этом ряду тождественных преобразований равно самому себе с
обратным
знаком
(второму
выражению
в
цепочке
преобразований).
Пример 4. Доказать тождество (  ( ))  0 для любых .
Доказательство. Аналогично предыдущему
(  ( ))   ijk
  ikj

X
j

 2
  ijk

X k
X j X k
 2
 2
 2
  ijk
  ijk
 0.
X j X k
X k X j
X j X k



Задача 2. Доказать тождество (  (  A))  (  A)  A .
2. Гладким называется тензорное поле, каждая компонента
которого обладает непрерывными частными производными по
всем аргументам.
Теорема Гаусса-Остроградского. Пусть дано гладкое

тензорное поле Ti1i2 ...in (r ) . Тогда имеет место равенство:

  X
i1
i1

Ti1i2 ...in dr    Ti1i2 ...in dSi1 .
(1)
S i1
Пример 5. Случай n = 1:

 
divFdV

F

  dS .
Пример 6. Случай n = 2:
Tij
  X
i
i
dV    Tij dSi .
i
3. Во всех выражениях, имеющих физический смысл,
должны стоять суммы либо аксиальных, либо истинных
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тензоров. Сумма аксиального и истинного тензоров физического
смысла иметь не может.


A
B
и
и единичного аксиального
Образуем из векторов
тензора комбинацию
Ci = iklAkBl,
т. е. имеем свертку по k и l, которая в компонентах имеет вид:
Cx = AyBz – AzBy;
Cy = AzBx – AxBz;
Cz = AxBy – AyBx.
т. е. фиксируем i, тогда k и l могут принимать только по два
значения, неравных друг другу. Все остальные члены
обращаются в нуль. Таким образом, у нас получились

составляющие векторного произведения векторов A и B .

Аналогично можно записать операцию ротора от вектора A :
 ikl

  A A
Al
 (  A)i  roti A   l  k
X k
 X k X l

 li .

 Ax Ay Az Ai



.
divA 
X
Y
Z X
§ 10. Тензор производная. Деформация и ротация векторного поля 
Как отмечалось ранее, дифференциальная диада D  , a ,
определенная как результат тензорного произведения оператора

a,
с компонентами
Гамильтона и вектрного поля
a j
и таблицей
Dij  i a j 
xi
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 a1

 x1
 a
D 1
 x2
 a1
 x
 3
a2
x1
a2
x2
a2
x3
a3 

x1 
a3 

x2 
a3 

x3 

может служить мерой неоднородности векторного поля a .
Только равенство ее нулю во всех точках указывает на
однородность векторного поля.
Сопряженная диада D* с компонентами D*ij = Dji имеет
таблицу
 a1

 x1
 a
D*   2
 x1
 a3

 x1
a1
x2
a2
x2
a3
x2
a1 

x3 
a2 

x3 
a3 

x3 
Простым, но полезным для дальнейшего примером может
 
служить дифференциальная диада радиус-вектора r  r ( x1, x2 , x3 )

точек поля ,r  с таблицей
 x1

 x1
 x1

 x2
 x1
 x
 3
x2
x1
x2
x2
x2
x3
x3 

x1 
1 0 0
x3  

   0 1 0    ik .
x2  

0 0 1

x3

x3 
Тензору D, в столбцах которого располагаются элементы

градиента проекций вектора a , приписывают обозначение


D  , a  Grad a ,
где оператор «градиент вектора», в отличие от градиента
скалярной функции, отмечают заглавной буквой.
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выражение полного
представить равенствами
дифференциала
вектора
можно
a


(da )i  i dx j  D ji dx j  Dij* dx j  ( D*dr )i ,
x j
или в зависящей от координат форме


da  D*dr .


Введем операцию «производную
вектора a по вектору b » и

обозначим ее символом
da
 ; тогда будем иметь
db

da
D  .
dr
*
Меру неоднородности векторного поля общего вида – тензор
D – можно разложить на две составляющие: симметричную –
определяющую деформацию поля, и антисимметричную – определяющую ротацию (кручение) поля. Для этого воспользуемся
ранее установленным разложением тензора на симметричную и
антисимметричную части:

 


 

1
1
D  D*  D  D*  S  A;
2
2
1
1
D  D*  D  D*  D  S  A* ;
2
2
D
(8)
Симметричную часть S, равную

1
 da 

S   Grad a     def a ,
2
dr 
назовем мерой дефформации, или деформацией векторного
поля. Ее компоненты в декартовой системе координат будут
1  a a 

(dtf a )ij   i  j  ; (i, j  1, 2, 3).
2  x j xi 
Антисимметричная часть

1
 da 
A   Grad a    ,
2
dr 
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
с компонентами в прямоугольной декартовой системе
1  a a 
Aij   i  j  ,
2  x j xi 
имеющая в качестве «сопутствующего вектора»
1  a a  1

ck  Aij   i  j   rotk a; (k  1, 2, 3; i  j  k ...),
2  x j xi  2

ротор поля a
 1

c  rot a ,
2
называется ротацией векторного поля.
§ 11. Ковариантные и контравариантные компоненты тензоров. Ковариантное дифференцирование Приведенное выше изложение основ тензорной алгебры и записи операций векторного анализа в тензорной форме ориентировано на использование при математическом описании физических явлений, реализующихся в эвклидовом пространстве при
нерелятивистских скоростях движения. В ограниченной подобным образом части физического знания (которая, тем не менее,
включает подавляющее большинство разделов теоретической и
общей физики, изучаемых в высшей школе) можно выбрать (что
и было сделано выше) единую для всего пространства прямоугольную декартову систему координат, в которой введенный
выше тензорный аппарат наиболее прост и доступен для восприятия, но справедлив и применим без ограничений. И все-таки
за рамками приведенных определений и проведенных рассуждений остается существенная по своей значимости часть физической науки, связанной с релятивистскими движениями в эвклидовых пространствах и физикой неэвклидовых пространств. В этой
связи представляется целесообразным хотя бы кратко познако122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
миться с элементами тензорной алгебры в косоугольных и
произвольных криволинейных системах координат.
Использованное в последней главе ограничение прямоугольными декартовыми системами координат, принятое при определении тензоров, хотя и удобно с точки зрения простоты, но не
оправдано суживает проведенное рассмотрение аппарата тензорной алгебры. Требование независимости физического (геометрического) описания подразумевает более широкое определение
инвариантности по отношению к заменам произвольных криволинейных систем координат. Уже простейшее обобщение на
случай декартовых косоугольных (не ортогональных) систем
координат в покомпонентном описании приводит к появлению
особенностей в описании уже компонент тензора первого ранга
(вектора). Появляются две возможности описания вектора: в
основном (исходном) косоугольном координатном базисе с
помощью проекций, которые называются «ковариантными»:


r  x j nj;

r

nj  j ;
x
 
x j  r n j ,
и во «взаимном» базисе (базисные вектора которого не нормированы и перпендикулярны базисным векторам, также ненормированным, исходного базиса), в котором проекции вектора на базисные вектора имеют другую величину и называются «контравариантными»:


r  xj n j ;

 j r
;
n 
x j
 
x j  r n j .
  
Связь базисных векторов исходного n1 , n2 , n3 и взаимного
  
n1 , n 2 , n 3 базисов определяется соотношениями:

 

 

 
n 1  V 1[n2 , n3 ]; n 2  V 1[n3 , n1` ]; n 3  V 1[n1 , n2 ];
  
V  n1 [n2 , n3 ];
1,
 
ni n j   i j  
0,
123
i j
.
i j
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Очевидно, что ортогональным к «взаимному» базису (который также называется «дуальным» или «сопряженным») будет
снова исходный базис (это обстоятельство накладывает естественное ограничение на степень усложнения покомпонентного
описания векторов всего лишь двукратным усложнением). В
случае ортогональных декартовых координат не существует различия между разложением вектора по исходному и взаимному
базисам и, следовательно, между ковариантными и контравариантными проекциями вектора.
Отметим, что в системах криволинейных координат, определенных в эвклидовом пространстве, общие закономерности
разложения вектора по исходному и взаимному базисам локально
сводятся к рассматриваемым, за исключением зависимости ориентации базисных векторов криволинейных координат от положения точки пространства (см. сказанное ранее). Иными словами,
для векторов и тензоров второго ранга в случае криволинейных
координат будут выполняться соотношения:



A  A j  n j  Aj  n j ;
 
 
 
T ij  ni  n j  Tmk  n m  n k  T pl  nl  n p .
Локальная замена криволинейных координат и обратная к
ней
x ' i  x ' i ( x j ); x j  x j ( x ' i );
i , j  1,2,3
определяются на основе дифференциальных соотношений:
x ' i j
x i ' j
i
dx  j dx ; dx  ' j dx .
x
x
'i
А для исходных и взаимных базисных векторов будут
выполняться соотношения:


r
r x ' k x ' k  '

n j  j  'k
nk ;

x
x x j  x j
 ' x k 
nj 
nk .
x ' j
В итоге любую совокупность трех чисел Aj , отнесенных к
исходному координатному базису, преобразующихся по закону
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x ' k j
A  j A ,
x
'k

будем называть контравариантными компонентами вектора A .
Приставка «контра» в используемом термине связана с законом
преобразования, обратным закону преобразования ортов
исходной координатной системы. Инвариантность вектора



A  A j n j  A' k n k'
обусловлена взаимной обратностью законов преобразования его
компонент и базисных векторов:
x ' k x j
  kj .
'k
j
x x
Преобразование проекций вектора на базисные вектора при
замене криволинейных координат:
  '  r
 r x k x k
A  An j  A ' j  A k ' j  ' j Ak
x
x x
x
'
j
является основанием для введения ковариантных компонент вектора как величин, преобразующихся по закону
x k
A  ' j Ak .
x
'
j
Приставка «ко» указывает на одинаковость закона преобразования проекций вектора с преобразованием базисных векторов.
Простейшим примером ковариантного вектора является градиент
скалярного поля:
grad 

,
x j
проекции которого при замене координат изменяются по закону:
 x j 
,

x 'i x ' i x j
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
т. е. преобразуются так же, как базисные векторы, поскольку
величина скаляра  (в конкретной точке) при этом не меняется.
Дифференциалы координат dx j могут служить примерами
контравариантных компонент вектора.
Как следует уже из вышеизложенного, компоненты контравариантного вектора (тензора) обозначаются индексами, стоящими
сверху, а ковариантного – индексами, стоящими снизу.
Если компоненты тензора первого ранга или вектора могут
быть только ковариантными или контравариантными, то компоненты тензоров более высоких рангов могут быть и смешанными:
x ' i x ' j kp
A  k
A ;
x x p
' ij
x k x p
B  'i
Bkp ;
x x j
'
ij
x ' i x p k
x k x ' j p
'j
C j  k ' j C p ; Di  ' i p Dk .
x x
x x
'i
В приведенных соотношениях тензор Akp контравариантен по
обоим индексам, тензор Bkp ковариантен по обоим индексам,
тензор C kp контравариантен по верхнему индексу и ковариантен
по нижнему, а тензор Dk p – наоборот. Тензора C kp и Dk p смешанные. В прямоугольных декартовых координатах все четыре тензора совпадают. Примером смешанного тензора второго ранга в
криволинейных координатах является символ Кронекера  i j :  i j 
 
 
 i j  ni n j   ij  n i n j .
При умножении компонент ковариантного и контравариантного векторов получается смешанный тензор.
Внутри смешанных тензоров определяется операция свертывания: два индекса, ковариантный и контровариантный, полагаются равными друг другу и в соответствии с правилами суммирования по дважды повторяющемуся индексу проводится суммирование. В итоге ранг тензора понижается на две единицы.
Ковариантные и контровариантые индексы могут опускаться
и подниматься с помощью метрического тензора gki :
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
 
Ai  Ani'  Ak  nk ni  Ak g ki ;
 
 
 
 
g ij ni  n j  g kp n k  n p   pk nk  n p   kp n k  n p ;
 
r r
 
gij  ni n j  i  j  g ji ;
x x
 
g ij  n i n j  g ji .
С помощью компонент метрического тензора определяется
квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками:
   
ds 2  dr  dr  ni n j dx i dx j  gij dx i dx j ,
а также связь между исходными базисными векторами и
базисными векторами взаимного базиса:


n i  g ij n j ;


ni  g ij n j .
Дифференцирование тензора в произвольных криволинейных
координатах является более сложной операцией, чем в ортогональных. Как выше отмечалось, особенности дифференцирования тензоров в криволинейных координатах связаны с зависимостью от криволинейных координат базисных векторов. В
итоге будем иметь:


 A j

A

A j 
j
k nk
 i  A nj   i nj  A
  i  Ak ikj  n j ,
i
i
x x
x
x  x

где  ikj – символы Кристофеля второго рода, определенные
соотношением

nk
j 


ik n j ,
x i
обладающие симметрией по нижним индексам. Выписанные соотношения определяют ковариантную производную контравариантных компонент тензора первого ранга (обобщение на
случай тензора произвольного ранга очевидно):
 A j

i A   i  Ak  ikj  .
 x

j
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Символы Кристофеля первого рода ik , j получаются из символов Кристофеля второго рода  ikj опусканием верхнего индекса. В эвклидовом пространстве символы Кристофеля первого
рода выражаются через производные компонент метрического
тензора:
g
g
1  g
ik , j   jki  ijk  ikj
2  x
x
x

.

Подчеркнем, что в общем случае в произвольных
криволинейных координатах символы Кристофеля не являются
компонентами тензора, также как символ Леви-Чивита  ijk .
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рекомендованная литература 1. Смирнов, В. И. Курс высшей математики. Т. 2
/ В. И. Смирнов. – Л.; М.: Гостехтеориздат, 1933. – 521 с.
2. Ландау, Л. Механика / Л. Ландау, Л. Пятигорский. – М.; Л.:
Гостехтеориздат, 1940. – 200 с.
3. Шилов, Г. Е. Лекции по векторному анализу / Г.Е.
Шилов. – М: Гостехтеориздат, 1954. – 140 с.
4. Кочин, Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного
исчисления / Н. Е. Кочин. – М: Изд. АН СССР, 1961. – 426 с.
5. Акивис, М. А. Тензорное исчисление / М. А. Акивис,
В. В. Гольдберг. – М: Наука, 1969. – 351 с.
6. Батыгин, В. В. Сборник задач по электродинамике /
В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин. – М: Наука, 1970. – 503 с.
7. Погорелов, А. В. Дифференциальная геометрия / А. В. Погорелов. – М: Наука, 1974. – 176 с.
8. Лаптев, Г. Ф. Элементы векторного исчисления / Г. Ф. Лаптев. – М: Наука, 1975. – 335 с.
9. Мисюркеев, И. В. Сборник задач по методам
математической физики / И. В. Мисюркеев. – М: Просвещение,
1975. – 167 с.
10. Краснов, М. Л. Векторный анализ / М. Л. Краснов,
А. И. Киселев, Г. И. Макаренко. – М: Наука, 1978. – 160 с.
11. Ильин, В. А. Основы математического анализа. Ч. 2
/ В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. – М: Наука, 1980. – 448 с.
12. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. – М: Наука, 1987. – 840 с.
13. Позняк, Э. Г. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство / Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин. – М: Изд-во МГУ, 1990. –
384 с.
14. Виноградова, И. А. Математический анализ в задачах и
упражнениях / И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий. – М: Изд-во МГУ. 1991. – 352 с.
15. Механика сплошных сред в задачах. Т. 1: Теория и задачи
/ Под ред. М. Э. Эглит. – М: Московский лицей, 1996. – 395 с.
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16. Механика сплошных сред в задачах. Т. 2: Ответы и
решения / Под ред. М. Э. Эглит. – М.: Московский лицей, 1996. –
394 с.
17. Ветрова, И. Т. Сборник физических задач по общему
курсу высшей математики / И. Т. Ветрова. – Минск: Высшая
школа, 1997. – 202 с.
18. Ильин, В. А. Линейная алгебра / В. А. Ильин, Э. Г.
Позняк. – М: Физматлит, 1999. 294 с.
19. Гольдштейн, Р. В. Механика сплошных сред: Ч. 1.
Основы и классические модели жидкостей / Р. В. Гольдштейн,
В. А. Городцов. – М: Наука, 2000. – 256 с.
20. Бутузов, В. Ф. Математический анализ в примерах и
задачах / В. Ф. Бутузов, Н. Ч. Крутицкая, Г. Н. Медведев, А. А.
Шишкин. – М.: Физматлит, 2001. – 479 с.
21. Краснов, М. Л. Вся высшая математика. Т. 4 / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко, Е. В. Шикин, В. И. Заляпин,
С. К. Соболев. – М: Эдиториал УРСС, 2001. – 352 с.
22. Григорьев А.И. Введение в векторный анализ. / А.И.
Григорьев, С.О. Ширяева, Д.Ф. Белоножко. – Ярославль: Изд.
ЯрГУ, 1998. – 76 с.
23. Григорьев А.И. Тензорная алгебра в примерах и задачах
А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, А.Н. Жаров. – Ярославль: Изд.
ЯрГУ, 1999. – 50 с.
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
Глава 1. Элементы дифференциальной геометрии .................................................. 3
§1. Дифференцирование векторных функций.......................................... 3
§2. Дифференциальная геометрия линии в пространстве .................... 5
§ 3. Ортогональные криволинейные координаты................................. 12
§ 4. Общее рассмотрение криволинейных координат.......................... 17
Глава 2. Векторный анализ в ортогональных криволинейных
системах координат ................................................................................. 22
§ 1. Градиент. Производная по направлению ........................................ 22
§ 2. Циркуляция векторного поля по кривой .......................................... 27
§ 3. Уравнение векторной линии ............................................................. 29
§ 4. Поток векторного поля .................................................................... 30
§ 5. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского ............................. 32
§ 6. Ротор. Теорема Стокса ................................................................... 40
§ 7. Оператор Лапласа скалярного поля ................................................ 48
§ 8. Векторные дифференциальные операции
второго порядка от векторных функций ..................................... 49
Глава 3. Бескоординатная форма записи операций векторного анализа .............. 51
§ 1. Оператор Гамильтона – «набла».
Дифференцирование по радиус-вектору ....................................... 51
§ 2. Применение оператора «набла» к произведениям
скалярных и векторных функций ................................................... 54
§3. Производные по направлению скалярной
и векторной функций ....................................................................... 59
§ 4. Континуальная производная ............................................................ 61
§ 5. Векторные дифференциальные операции
второго порядка от векторных функций ..................................... 69
§ 6. Интегрирование полей. Формулы Грина ......................................... 70
§ 7. Обобщенная формула Остроградского .......................................... 73
§ 8. Инвариантность и ковариантность физических законов ........... 81
§ 9. Тензор-производная ........................................................................... 84
Глава 4. Тензорная алгебра ........................................................................................ 86
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1. Правила преобразования ортонормированного базиса................. 86
§ 2. Тензорное определение вектора и скаляра ..................................... 90
§ 3. Определение тензора ........................................................................ 92
§ 4. Сложение тензоров. Умножение тензора
на вещественное число. Тензорное
произведение тензоров .................................................................... 97
§ 5. Свертывание тензора....................................................................... 99
§ 6. Симметричные и антисимметричные тензоры ......................... 104
§ 7. Псевдотензоры ................................................................................ 108
§ 8. Свойства тензора Леви-Чивита ................................................... 111
§ 9. Тензорные поля. Тензорная запись
дифференциальных векторных операций ................................... 117
§ 10. Тензор производная. Деформация и ротация
векторного поля ............................................................................. 119
§ 11. Ковариантные и контравариантные компоненты тензоров.
Ковариантное дифференцирование............................................. 122
Рекомендованная литература................................................................................... 129
Учебное издание
Григорьев Александр Иванович
Ширяева Светлана Олеговна
Векторный анализ
в ортогональных криволинейных координатах
Редактор, корректор Л. Н. Селиванова
Верстка И. Н. Иванова
Подписано в печать 25.06.10. Формат 6084 1/16. Бум. офсетная.
Гарнитура "Times New Roman". Усл. печ. л. 7,67. Уч.-изд. л. 5,88.
Тираж 50 экз. Заказ
.
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе Ярославского
государственного университета им. П. Г. Демидова.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова.
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
Отпечатано на ризографе.
ООО «Ремдер» ЛР ИД № 06151 от 26.10.2001.
Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37
тел. (4852) 73-35-03, 58-03-48, факс 58-03-49.
132
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа