close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2106.Производная и её приложения

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВ ЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬ НОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШ ЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
В. А. Семиряжко
Производная и ее приложения
Учебное пособие
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2011
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВ ЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬ НОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШ ЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
В. А. Семиряжко
Производная и ее приложения
Учебное пособие
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2011
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 512 (07)
С 306
Рецензенты:
Т. П. Фомина, канд. физико-матем. наук, доц. ЛГПУ, кафедра
прикладной математики и информационных технологий
Е.В. Фролова, канд. физико-матем. наук, доц. ЛГПУ, кафедра
математического анализа, алгебры и геометрии
Семиряжко, В.А.
С 306 Производная и её приложения [Текст]: учеб. пособие / В. А. Семиряжко
– Липецк: Из-во ЛГТУ, 2011. – 88 с.
ISBN 978-5-88247-525-2
Учебно-методическое пособие написано в соответствии с Федеральным
государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования.
Пособие предваряется кратким теоретическим материалом по теме «Функция» с
целью повторения. Содержит необходимый теоретический материал по теме «Производная»,
раскрывается её применение.
Пособие включает многочисленные примеры с решениями, указания, геометрические
модели для решения задач по теме «Производная», а также сопутствующих ей тем.
Адресовано студентам всех специальностей при изучении темы «Производная»: при
выполнении типовых расчётов, подготовке к контрольным работам, экзамену по высшей
математике.
Пособие представляет интерес для преподавателей вузов при проведении ими
индивидуальной и дифференцированной работы со студентами по теме «Производная и её
приложения».
Ил. 44. Библиогр.: 14 назв.
УДК 512 (07)
ISBN 978-5-88247-525-2
© Семиряжко В.А., 2011
© ФГБОУ ВПО Липецкий государственный
технический университет, 2011.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
2.
2.1.
2.1.1.
2.1.2.
2.1.3.
2.1.4.
2.1.5.
2.1.6.
2.1.7.
2.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
2.2.4.
2.2.5.
Функция. Предел. Непрерывность………………………………
Функция. Основные определения и обозначения………………
Предел последовательности. Предел функции…………………
Непрерывность функции…………………………………………
Использование непрерывности функций для вычисления
пределов…………………………………………………………...
Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимптоты…......
Производная.
Исследование
функций
с
помощью
производной…………………………………………………........
Производная и ее вычисление …………………………………..
Понятие производной функции. Скорость изменения функции
Формулы дифференцирования…………………………………..
Дифференциал……………………………………………….........
Геометрический смысл производной……………………………
Вторая производная. Механический смысл второй
производной……………………………………………………….
Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование
неявной и параметрически заданных функций…………………
Некоторые особые случаи в нахождении производных……….
Приложения производной. Исследование функции с
помощью производной……………………………………….......
Производная и экстремумы. Необходимое условие
существования экстремума.……………………………………...
Исследование функции на возрастание и убывание.
Достаточное условие существования экстремума.……………..
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке…….
Исследование на выпуклость…………………………………….
Исследование функций и построение графиков функций.....
Библиографический список…………………………………..
4
4
4
15
28
35
38
42
42
42
46
50
53
56
58
62
64
64
66
71
76
79
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Функция. Предел. Непрерывность
1.1. Функция. Основные определения и обозначения
Определение 1. Правило, сопоставляющее каждому числу x из числового
множества Х некоторое число y , называют числовой функцией  , заданной на
Х . Записывают это так: y  f (x) , x  X .
Переменную, пробегающую множество
Х,
называют аргументом
функции или независимой переменной. Переменная величина y есть функция
аргумента
x,
т. е.
y  f (x) ,
если каждому возможному значению
x
соответствует одно определенное значение y .
Определение 2. Множество Х , на котором определена функция f ,
называют областью определения функции (или областью задания) и
обозначается D  f  .
Если не дано дополнительных ограничений, то под D  f  понимают
множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.
Определение 3. Множество Y   f ( x) | x  X  всех значений функции
называют областью значений (или множеством значений) функции f и
обозначается E  f  .
Задать функцию f x  , значит указать ее область определения Х и
правило, по которому каждому x  X сопоставляется число y  f (x) . Например,
по формуле f x  1  x 2 для каждого x из отрезка  1;1 можно указать
соответствующее значение f x  . Таким образом, считается, что эта формула
задает функцию, область определения которой − отрезок  1;1 , а область
значений − отрезок 0;1 .

Более простое, но такое же по смыслу определение функции впервые было дано русским математиком Н. И.
Лобачевским. Термин «функция» введен Г. В. Лейбницем. Символическая запись y  f (x) впервые была
введена Л. Эйлером.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 4. Графиком функции y  f (x) называют множество всех
точек плоскости с координатами  x; y  , где x  X и y  f (x) .
Теорема 1. Для того чтобы линия Г была графиком некоторой функции,
необходимо и достаточно, чтобы всякая прямая, параллельная оси ординат,
либо не пересекалась с этой линией, либо пересекала ее в одной точке.
y  sinx 
y2  x
Рис. 1
Рис. 2
Например, на рис. 1, рис. 2 и рис. 3 изображены множества точек,
удовлетворяющие уравнениям y  sinx  , y 2  x и y 2  x 2  1 соответственно.
Очевидно, что только множество точек, изображенное на рис. 1 − график
функции.
Функциональная
устанавливающая
переменными
x
зависимость,
соответствие
и
между
y2  x2  1
y , может быть задана
различными способами. Функция может быть
задана аналитическим способом, т. е. задание
функции при помощи формулы или нескольких
формул, содержащих указание на операции или
Рис. 3
действия, которые необходимо произвести над
величинами, входящими в состав формулы. Аналитический способ задания
функции является удобным средством исследования. Примером такого задания
является кусочное задание функции, когда функция задается разными
выражениями на разных промежутках :

Составитель придерживается принятых в [15] и [16] обозначений, однако возможно использование
традиционной записи кусочно-заданной функции – через знак системы.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 x 2 , если x  3,
f x   
 x, если x  3.
Говоря об аналитическом способе задания, нельзя не упомянуть о двух
функциях, представляющих собой более сложные структуры:
− функция Дирихле, определяющаяся как
1, если x рационально,
D x   
0, если x иррационально.
− функция, рассмотренная Кронекером и названная им «сигнум x » :
1, если x  0,

sgn x  0, если x  0,
 1, если x  0.

y  sgn x
График функции представлен на рис. 4.
Функциональная зависимость может
быть задана с помощью графика функции
y  f (x) ,
в
этом
случае
говорят
Рис. 4
о
графическом способе задания. Графическое изображение функции имеет
важное значение для ее изучения. На графике функции непосредственно видны
ее особенности, наличие которых может быть установлено лишь путем
длительных вычислений или исследований.
Табличный способ характеризуется рядом отдельных значений аргумента
x1 , x2 ,..., xk
и соответствующим ему рядом отдельных значений функции
y1 , y2 ,..., yk .
Следует указать, что как самостоятельный способ используется
редко, чаще всего к нему прибегают при построении графика функции по
точкам (когда свойства функции не изучены). Берут из промежутка X
некоторые значения переменной
и вычисляют по формуле y  f (x)
x
соответствующие значения y .Пример словесного (описательного) способа
задания функции: y равен наибольшему целому числу, не превосходящему x ;
эту функцию принято обозначать y  x (целая часть числа).

В переводе с лат. «signum» означает знак.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
График функции х  изображен на рис. 5.
При аналитическом способе задания функции (если нет каких-либо
дополнительных ограничений) под областью определения функции y  f (x)
понимают
множество
всех
тех
значений переменной x , при которых
y  [x]
формула, задающая функцию, имеет
смысл. Такую область определения
называют естественной. Например,
для
функции
y  8 x
область
определения состоит из значений,
удовлетворяющих неравенству x  8 .
Дополнительные
условия
Рис. 5
могут
изменять естественную область определения функции. Если в приведенном
выше примере в качестве независимой переменной выступает, скажем,
геометрическая величина, то очевидно, что по практическим соображениям
x  0 . Таким образом, аргумент будет меняться уже в пределах 0  x  8 .
Для нахождения естественной области определения функции необходимо
знать, что ограничивает область существования функции. Рассмотрим эти
ограничения.
1.
Обращение в нуль знаменателя некой дроби. Значения, при которых
знаменатель обращается в нуль, не входят в область определения функции (в
этом случае аналитическое выражение функции теряет смысл).
2.
Извлечение корня четной степени имеет смысл только при
неотрицательных значениях подкоренного выражения (так как значения y
должны быть действительными).
3.
которых
Выражения, содержащие логарифм. Значения переменной x , при
выражение,
стоящее
под
знаком
логарифма,
становится
отрицательными или обращается в нуль, не входят в область определения
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
функции. Также, значения переменной x , при которых основание логарифма
становится отрицательным, равным нулю или 1 , также не входят в область
определения функции.
4.
Выражения, содержащие арксинус или арккосинус, имеют смысл
только при x  1, где х - аргумент указанных функций.
Таким образом, область определения функции представляет собой
совокупность тех значений x , при которых все выражения, входящие в
формулу, имеют смысл.
Важно отметить, что при исследовании области определения необходимо
исходить из первоначально заданного выражения для функции; различные
преобразования, которые на первый взгляд кажутся вполне законными, могут
привести
к
появлению
ошибок.
Например,
воспринимаются как одинаковые: действительно
функции
y 1
и
y
x
x
x
 1 . Но области определения
x
этих функций различны: у первой – все числа из множества R , а вторая
функция не существует в точке x  0 .
Пример 1. Найдите область определения функции
 3x  2 
2
y  lg  x  1  arcsin 
  x  4x  3 .
 8 
Решение. Областью определения функции y  f (x) является множество
решений системы
 x  2,
lg  x  1  0,
 x  1  1,
 x  1,
 x  1  0,
 x  1,






3
x

2

 8  3 x  2  8, 
3
x

2


1


1
,
 8  1,
 x  3,

8



 x 2  4 x  3  0;
 x  1;
( x  3)( x  1)  0;
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 x  2,
 x  2,
 x  1,
10

 x  1,

2

x

,


3

10
1

3 x 3 .
  6  3 x  10,   2  x  ,  
x  3,
3
3
 x  3,



 x  1;

 x  3,
 x  1;

 x  1;
Решением системы, а значит областью определения данной функции
является отрезок 3;3 1  .

3
Ответ: D( y )  3;3 1  .

3
На практике нередки случаи, когда независимых переменных в
исследуемой функции несколько, и для определения значения функции
необходимо сначала определить возможные совместно принимаемые этими
независимыми переменными значения. Ограничимся уточнением понятия
функции для случая двух независимых переменных.
Говоря о функциональной зависимости одной переменной, например z (с
областью изменения  ), от двух независимых переменных x и y , необходимо
указывать, какие пары значений  x, y  эти переменные могут совместно
(одновременно) принимать. Множество всех таких значений M и есть область
изменения переменных x и y .
Определение 5. Переменная z (с областью изменения  ) называется
функцией независимых переменных x и y в множестве M , если каждой паре
x, y  их значений из
M
по некоторому закону или правилу ставится в
соответствие одно определенное значение z (из множества  ).
Функциональную зависимость между z и x , y обозначают аналогично
случаю одной независимой переменной z  f ( x, y) , x, y  M . Множество
M задает область определения функции z  f ( x, y) .
В случае функции одной независимой переменной область изменения
аргумента (множество X ) определялась промежутком; для функции двух
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
независимых переменных уже имеет место большое разнообразие возможных
областей изменения аргументов. Рассмотрение этих областей значительно
облегчается их геометрической интерпретацией: для характеристики всех
возможных пар  x, y  , для которых определена функция z  f ( x, y) , указывают
фигуру на плоскости xOy , состоящую из всех таких точек с ординатами x и
абсциссами y .
Пример 2. Найдите область определения функции и изобразите ее
графически
z ( x; y) 
x  y 1  1  x 2  y 2 .
Вычислите площадь полученной
фигуры.
Решение. Величины, являющиеся подкоренными выражениями обоих
радикалов, должны быть неотрицательными, т. е. справедлива система
неравенств

 x  y  1,
 x  y  1  0,


 2
2
2

 x  y 2  1.
1  x  y  0;
Первому неравенству удовлетворяют координаты точек, лежащих вне
ромба с центром в точке 0;0 и диагоналями, равными двум единичным
отрезкам, второму неравенству этой системы удовлетворяют координаты точек,
лежащих внутри единичного круга с тем же центром. Причем в обоих случаях,
точки, лежащие на границах фигур, удовлетворяют соответствующим
неравенствам.
Таким
образом,
решением
системы
x2  y2  1
неравенств

 x  y  1,
 2
2

 x  y  1,
x  y 1
а значит и областью определения функции
z( x; y) ,
является
множество
точек,
заштрихованных на рис. 6.
Рис. 6
Найдем площадь полученной фигуры. Это
можно сделать двумя способами.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Способ 1. Площадь искомой фигуры можно найти, если заметить, что
изображенный ромб – квадрат со стороной
2 . Тогда, полагая R  1 , a2  2 ,
получим
Sфиг.  R 2  a 2    2 .
Способ 2. Площадь может быть найдена как сумма четырех сегментов.
Так как эти сегменты равны между собой, то достаточно найти площадь одного
из них.
S сегм. 
R 2
360

 S ABC 
  90 
360


1  1
  .
2 4 2
Тогда
 1 
S фиг.  4      2 .
 4 2
Ответ:   2 .
Для дальнейшего изучения функций введем понятие обратной функции и
композиции функций, также дадим некоторую классификацию функций.
Пусть задана функция x   (t ) , t   ;  , множеством значений которой
является отрезок a  x  b . Пусть, затем, на отрезке a; b определена функция
y  f (x) .
Определение 6. Функция y  f  (t ) ,   t   , называется композицией
функций x   (t ) и y  f (x) .
Например, если y  x 2 и x  2  3sin t , то можно образовать композицию
этих функций: она имеет вид y  2  3 sin t 2  .
Функции делятся на явные и неявные.
Определение 7. Функция называется явной, если уравнение, задающее
функцию, разрешимо относительно переменной y .
Например, в уравнении y  x 2  3x  2 функция y есть явная функция.

В дальнейшем мы перейдем от использования термина «композиция функций» к термину «сложная функция»,
в силу употребления в школьном курсе математического анализа последнего.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 8. Функция называется неявной, если задающее ее
уравнение не разрешимо относительно переменной y .
Например, в уравнении x 2  y 2  9 функция y задается в неявном виде.
Однако функцию, заданную последним уравнением, возможно представить и в
явном виде; решив это уравнение относительно y , получим y  9  x 2 и
y   9  x 2 . Но в случае более сложных (в смысле громоздких) функций часто
бывает невозможно сделать такие преобразования.
Явные
функции
делятся
на
два
класса:
алгебраические
и
трансцендентные функции.
Определение 9. Алгебраической называется функция, над аргументом
которой производится
конечное количество
алгебраических операций
(сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в рациональную
степень).
Например,
y  2x  x 1,
3
2x 4 1
y
x5
являются
алгебраическими
функциями.
Определение 10. Трансцендентной называется всякая неалгебраическая
функция.
Например, y  a x , y  log a x , y  arcsinx  − трансцендентные функции.
Если x и y заданы в виде функции от параметра t : x   x  , y   t  , то
говорят, что зависимость y от x задана параметрически. При этом t называют
параметром и задают его область изменения.
Определение 11. Функция y  f (x) , x  X , называется ограниченной на
множестве Х , если для любого x  X выполняется неравенство f ( x)  k , где
k −некоторое положительное число.
В противном случае функция называется неограниченной на этом
множестве. Например, функция y  x 2 ограничена на отрезке  1;2 , так как
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x2  4 ,
если x   1;2 (рис. 7); функция y  1 , x  0;1 не ограничена на этом
x
интервале (рис. 8).
Рис. 7
Рис. 8
Определение 12. Множество чисел M  x называется симметричным
относительно нуля, если одновременно с числом
x
оно содержит
противоположное ему числу  x . Например, множество M таких значений x ,
для которых справедливо неравенство x  2 симметрично относительно нуля,
так как оно содержит число 2 , противоположное ему число  2 и остальные
числа промежутка.
Определение 13. Если область определения X функции f x  есть
симметричное множество и для любого x  X выполняется равенство
f (  x)  f ( x) ,
(1)
то функция называется четной.
Определение 14. Если область определения X функции f x  есть
симметричное множество и для любого x  X выполняется равенство
f (  x)   f ( x) ,
то функция называется нечетной.

Множество, симметричное относительно нуля, обычно просто называют симметричным.
14
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 15. Функция y  f (x) , x  X , называется возрастающей,
если для любых двух точек
x1 ,
x2
множества
X , удовлетворяющих
соотношению x1  x 2 , выполняется неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) .
Определение 16. Функция y  f (x) , x  X , называется убывающей, если
для любых двух точек x1 , x 2 множества X , удовлетворяющих соотношению
x1  x 2 , выполняется неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) .
Промежутки
возрастания
и
убывания
функции
называются
промежутками монотонности (строгой монотонности) функции.
Примечание. Если в условиях двух предыдущих определений некоторые
значения функции совпадают, то функцию называют неубывающей (нестрогое
возрастание) в первом случае, невозрастающей (нестрогое убывание) − во
втором случае.
Для того чтобы сформулировать определение обратной функции, введем
понятие обратимой функции.
Определение 17. Функцию f x  называют обратимой на множестве X ,
если для любых x1 , x 2 множества X из x1  x2 следует, что f x1   f x2  .
Вообще говоря, если функция f монотонна (строго монотонна) на X , то
она обратима. Действительно, из того, что x1  x2 следует, что или x1  x2 , или
x1  x2 . Если, например, функция f x  возрастает на множестве X , это означает,
что или справедливо
x1  x2 , или
f x1   f x2  в случае
f x1   f x2  в случае x1  x2 . В
любом случае, f x1   f x2  .
y f
1
M x; f x 
x 
N  f x ; x 
Определение 18. Пусть функция y  f x 
обратима на X . Функция x   ( y) называется
y  f x 
обратной для функции y  f (x) , если каждому
y  f  X  ставится в соответствие x X , такое,
что f  ( y )  y .
15
Рис. 9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Например, функция x  y , y  0;   является обратной для функции
y  x 2 , x  0;    ,
так как для каждого числа y  0;   f  ( y)   y   y .
2
Обратную функцию обозначают также f 1 .
Из определения 18 вытекает, что соотношения y  f x  , x X и x  f 1  y  ,
y  f  X  равносильны. Из них получаем следующие тождества:
x  f 1  f  x  , x X ,

,
y  f f 1  y 
y  f X  .
(3)
(4)
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой
y  x . На рис. 9 изображены графики функции y  f  x  и y  f 1  x  , точки
N  f x ; x  и M x; f x  симметричны относительно прямой y  x .
Теорема 2. Если функция f возрастает (соответственно убывает) и
непрерывна на отрезке a; b , то существует функция f 1 , обратная функции f и
определенная на отрезке  f a ; f b (соответственно на отрезке  f b; f a  ).
Определение 19. Функция y  f (x) , x  X , называется периодической с
периодом T T  0 , если для любого числа x  X выполняется равенство
f ( x  T )  f ( x)  f ( x  T ) .
(5)
Числа а= x  T должны принадлежать множеству X .
Примечание. Если число T - период функции, то числа  nT , где
n −натуральное число, также являются периодами этой функции.
Определение 20. Основным периодом этой функции называется
наименьший положительный период этой функции.
1.2. Предел последовательности. Предел функции.
Определение 21. Числовой последовательностью называют числовую
функцию, заданную на множестве  .
Для обозначения числовых последовательностей вместо f n  обычно
пишут  x n  , а числа
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x1 , x 2 , …, x n ,…
(6)
называются членами последовательности.
Определение 22. Число а называется пределом последовательности (6),
если для любого положительного числа  можно найти такое натуральное
число N , что для всех значений n , удовлетворяющих неравенству n  N , будет
выполняться неравенство xn  a   . Обозначение: a  lim xn .
n 
Последовательность может иметь только один предел.
Определение 23. Последовательность, имеющая пределом число а,
называется сходящейся к числу а.
Определение 24. Последовательность, не имеющая предела, называется
расходящейся.
Определение 25. Последовательность (6) называется ограниченной, если
для всех значений n выполняется неравенство xn  k , где k - некоторое
положительное число.
В противном случае последовательность (6) называется неограниченной.
Определение 26. Последовательность (6) называется ограниченной сверху
(снизу), если для всех значений n выполняется неравенство xn  a ( xn  b ), где a
( b ) − некоторые числа.
Теорема 3. Если последовательность имеет предел (сходится), то она
ограничена.
Теорема
4.
Возрастающая
(убывающая)
последовательность,
ограниченная сверху (снизу), имеет предел, т. е. сходится.
Теорема 5. Если последовательности x n  и y n  имеют пределы,
соответственно равные a и b , то последовательности xn  y n  и xn  yn  имеют
пределы, соответственно равные a  b и a  b , т.е.
lim xn  yn   lim xn  lim yn и lim xn  yn   lim xn  lim yn .
n
n
n
17
n
n
n
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 6. Если последовательности x n  и y n  имеют пределы,
соответственно равные a и b , причем b  0 и значения y n отличны от нуля, то
 xn 
a
 имеет предел, равный , т. е.
b
 yn 
последовательность 
lim
n 
xn
xn lim
 n  .
y n lim y n
n 
Теорема 7. Если для последовательностей x n , y n  и z n  справедливо
неравенство xn  z n  y n и lim
xn  a , lim yn  a , то lim zn  a .
n
n
n
Сформулируем теоремы о пределах, допускающие предельный переход в
равенстве и неравенстве. Очевидно, что при использовании знаков равенства и
неравенства в соотношении между двумя последовательностями x n  и y n  , мы
подразумеваем соотношение между соответствующими их значениями, т. е.
значениями с одним и тем же номером.
Теорема 8. Если две последовательности x n  и y n  при всех их
значениях равны, т. е. xn  y n , причем каждая из них имеет конечный предел
lim xn  a и lim yn  b , то равны и эти пределы: a  b .
n
n
Этой теоремой целесообразно пользоваться, если из равенства xn  y n
xn  lim yn .
необходимо заключить lim
n
n
Теорема 9. Если для двух последовательностей x n  и y n  всегда
выполняется неравенство xn  y n , причем каждая из них имеет конечный предел
lim xn  a и lim yn  b , то и a  b .
n
n
Эта теорема устанавливает допустимость предельного перехода в
xn  lim yn .
неравенстве (нестрогом): из xn  y n заключают, что и lim
n
n
Для дальнейшего использования введем понятие бесконечной малой
функции.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 27. Функцию  x 
называют бесконечно малой при x   ,
если для любого   0 найдется луч
M ;  ,
на
котором
выполняется
неравенство  x   .
Поясним определение 27. Выберем
Рис. 10
положительное  и выделим на плоскости xOy бесконечный коридор,
ограниченный прямыми y   и y   (см. рис. 10). Приближаясь к оси Ox при
x   , график функции  x  рано или поздно попадет в указанный выше
коридор и останется в нём. Значит,     x    , что равносильно  x   при
любом   0 .
Пример 3. Докажите, что функция
1
бесконечно мала при x   .
x
1
Решение. Пусть задано число   0 . Положим M  . Тогда при всех

положительных x  M имеем:
функция
1 1
1
, т. е.   , и поэтому,

x M
x
1

x
. Значит
1
бесконечно мала при x   .
x
Теорема 10. Если функция  постоянна и бесконечно мала при x   ,
то она равна нулю при всех значениях x .
Определение 28. Число b называется пределом функции f (x) при x   ,
если f ( x)  b   ( x) , где функция  бесконечно мала при x   .
Если b - предел функции f (x) при x   , то символически это
записывается следующим образом:
lim f x   b .
x
(7)
Определение 29. Число b называется пределом функции f (x) при x   ,
f ( x)  b . В этом случае пишут
если xlim

lim f x   b .
x
19
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если и lim f x  b , и lim f x  b , то число b называется пределом
x
x
функции f (x) при x   и пишут:
lim f x   b .
(9)
x
Теорема 11. Пусть существуют пределы lim f x  b и lim g x   с . Тогда:
x
x
а) предел суммы функций f x  и g x  при x   равен сумме их
пределов:
lim  f x   g ( x)  lim f x   lim g ( x)  b  c ;
x
x
б) предел произведения функций
x
f x 
(10)
и g x  при x   равен
произведению их пределов:
lim  f x  g ( x)  lim f x  lim g ( x)  bc ;
x
x
x
(11)
в) если g x   0 и с  0 , то предел частного функций f x  и g x  при
x   равен частному их пределов:
lim
x  
f x  b
f  x  xlim
 
 .
g  x  lim g ( x) c
(12)
x  
Легко убедиться в справедливости аналогов (10) − (12) при x   и при
x.
Часто в задачах определения предела последовательности или функции
возникают случаи когда, например, числитель и знаменатель стремятся к нулю
или пределы числителя и знаменателя бесконечны. В этом случае выражения,
предел которых определяется, представляют собой неопределенности; выделим
четыре вида неопределенностей:
*
0 
  ,   , 0    ,     .
0 
В этих случаях приходится исследовать интересующие нас выражения;
подобное исследование получило название раскрытие неопределенностей.
Рассмотрим несколько примеров раскрытия неопределенности.
*
Очевидно, что эти символы лишены всякого числового смысла. Они лишь являются краткой условной
записью для выражений одного их четырех типов неопределенности.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 4. Вычислите предел xlim

4 x 3  3x  1
.
5x 3  6x 2  7
Решение. При безграничном возрастании x и числитель 4 x3  3x  1 , и
знаменатель
тоже
5x3  6 x 2  7
безгранично
возрастают.
Имеем
неопределенность вида    . Разделим числитель и знаменатель дроби на

выражение x 3 , при этом значение дроби не изменится. Итак,
4 x 3 3x 1
3
1
 3 3
4 2  3
3
4 x  3x  1   
x
x .
lim
    lim x 3 x 2 x  lim
x  5 x 3  6 x 2  7
x


x


6
7
5x
6x
7

5  3
 3  3
3
x x
x
x
x
3
Выражения 
3 1
6 7
в знаменателе – бесконечно
 2 в числителе и

2
x
x
x x3
малые при x   , и поэтому
6 7 
3
1 


lim  4  2  3   4 , lim  5   3   5 .
x  
x  
x x 
x
x 


Значит, xlim

4 x 3  3x  1 4
  0,8 .
5x 3  6 x 2  7 5
Ответ: 0,8 .
Пример 5. Вычислите предел xlim
 
2 x3  6 x  7
.
3x 4  x 2  1
Решение. Как и в предыдущем примере, разделим числитель и
знаменатель на наибольшую из имеющихся степеней x , получим:
2x3 6x 7
2 6
7
 4 4
 3 4
3
4
2x  6x  7   
x .
lim
    lim x 4 x 2 x  lim x x
x  3 x 4  x 2  1
x
1 x 3  1  1
   x 3x


x2 x4
x4 x4 x4
Так как функция
2 6
7
 2 4
x x
x
1
1
7 
2 6
lim   2  4   0 . Функция 2  4
x 
x
x
x x
x  
бесконечно
мала при
x   ,
то
также бесконечно мала при x   , значит,
1
2 
1 

 1
lim  3  2  4   lim 3  lim  2  4   3 .
x  
x   x
x
x  x
x 


Так предел числителя равен 0 , а предел
знаменателя 3 , то
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2x3  6x  7 0
  0.
x   3 x 4  x 2  1
3
lim
Ответ: 0 .
Рассуждая так же, как и в случае двух предыдущих примеров,
убеждаемся в справедливости следующей теоремы.
Теорема 12. Если функция f x  является частным двух многочленов
одинаковой степени, то ее предел при x   равен частному коэффициентов
при старших степенях x :
a0 x n  a1 x n1  ... an a0
 , a0  0 , b0  0 .
x b x n  b x n1  ... b
b0
0
1
n
lim
(13)
Если же степень числителя меньше степени знаменателя, то предел
функции при x   равен нулю:
a0 x n  a1 x n1  ... an
 0 , m  n , a0  0 , b0  0 .
x b x m  b x n 1  ... b
0
1
n
lim
(14)
Определение 30. Функцию f называют бесконечно большой при x   ,
если функция
1
бесконечно мала при x   . В этом случае пишут
f
lim f x    .
x
(15)
Теорема 13. Если функция f является частным двух многочленов разной
степени, причем степень числителя больше степени знаменателя, то
a0 x n  a1 x n1  ... an
  , m  n , a0  0 , b0  0 .
x b x m  b x n1  ... b
0
1
n
lim
(16)
Легко убедиться в справедливости аналогов (14) − (16) при x   и при
x.
В некоторых случаях не требуется вычисления предела, а нужно лишь
знать, существует он или нет. Следующая теорема дает необходимый и
достаточный признак существования предела при x   для монотонных
функций.
Теорема 14. Пусть функция f возрастает (соответственно убывает) на
луче a;  . Для существования предела этой функции при x   необходимо
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и достаточно, чтобы нашлось такое число M , что на луче a;  справедливо
f x   M (соответственно f x   M ).
Иными словами, возрастающая (убывающая) функция имеет предел в том
и только в том случае, когда ее возрастание (убывание) не является
безграничным.
Определение 31. Окрестностью точки a называют интервал a  h; a  h  ,
число h называют радиусом этой окрестности (рис. 11).
Определение 32. Проколотой окрестностью точки a называют ее
окрестность, из которой удалена сама точка a (рис. 12).
a-h
a
a+h
a-h
Рис. 11
a
a+h
Рис. 12
Определение 33. Функцию  называется бесконечно малой при x  a ,
если для любого   0 существует окрестность точки a , в которой выполняется
неравенство  x   .
Определение 34. Число b называется пределом функции f (x) при x  a ,
если эта функция является суммой числа b и функции  х  , бесконечно малой
при x  a , т. е. f x   b   х .
Таким образом, если b − предел функции
f (x)
при x  a , то
символически это записывается следующим образом:
lim f x   b .
xa
(17)
x 2  9 или x 2  9 при x  3 .
Например: lim
x3
Определение 35. Предел функции, если он существует, называется
пределом функции f (x) при стремлении x к a справа или, короче, пределом (в
точке a ) справа и обозначается
lim f x  .
xa 0
Такой предел также называют правосторонним пределом.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 36. Предел функции, если он существует, называется
пределом функции f (x) при стремлении x к a слева или, короче, пределом (в
точке a ) слева и обозначается
lim f x  .
xa 0
Такой предел также называют левосторонним пределом.
Теорема 15. Для существования предела (17) необходимо и достаточно
существование xlim
f x  и lim f x  , причем
a 0
xa 0
lim f x   lim f x   b .
xa 0
(18)
xa 0
Замечание. В точке x  a функция f (x) может быть не определена.
Покажем это на примере.
Пусть y 
x
. Эта функция определена везде, за исключением точки x  0 ,
x
причем y  1 , если x  0 и y  1 , в случае x  0 .
Рассмотрим поведение функции вблизи точки x  0 . Если приближать x к
нулю слева, то y принимает только одно значение, равное 1 , если приближать
x
к нулю справа, то значение
равно только 1 . Таким образом,
y
lim f x   lim f x  . В этом случае функция при x  0 предела не имеет.
xa 0
xa 0
Теорема 16. Если функции f x  и g x  имеют предел при x  a , то
а) предел суммы функций f x  и g x  при x  a равен сумме их пределов:
lim  f x   g x   lim f x   lim g x  ;
xa
xa
б) предел произведения функций
xa
f x 
и g x  при x  a
(19)
равен
произведению их пределов:
lim  f x  g x   lim f x  lim g x  ;
(20)
lim сf x   с lim f x  ,
(21)
xa
xa
xa
в частности,
xa
xa
где c - константа.
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в) если функции f x  и g x  имеют пределы при x  a , причем предел
функции g x  отличен от нуля ( g x   0 ), то имеет место равенство
lim
x a
f x 
f  x  lim
 x a
.
g x  lim g  x 
(22)
x a
Часто на практике полезна следующая теорема.
Теорема 17. Предел многочлена Px  при x  a равен значению этого
многочлена при x  a , т. е. lim
Px   Pa  .
xa
Теорема 18. Если Px  и Qx  - многочлены, причем Qa   0 , то предел
дроби
Px 
при x  a равен ее значению при x  a , т. е.
Qx 
Px  Pa 
, если Qa   0 .

x a Q  x 
Qa 
lim
Пример 6. Вычислите предел функции lim
x 2
Решение.
(23)
x 2  3x
.
2x 1
Прежде чем применить теорему о пределе частного,
необходимо выяснить, не будет ли предел знаменателя равен нулю при x  2 .
Воспользуемся теоремой 17 и найдем:
lim 2 x  1  5 .
x2
Предел знаменателя при x  2 нулю не равен, значит, может быть
применена теорема 18. Имеем
lim
x 2
x 2  3x 4  6

2.
2x 1
5
Ответ: 2 .
Пример 7. Вычислите предел функции xlim
2
x2  x  6
.
x 2  3x  2
0
Решение. Применение теорем о пределах дает неопределенность   .
0
Однако это не означает, что данная функция не имеет предела. Для его
нахождения преобразуем выражения, стоящие в числителе и знаменателе, а
именно, разложим квадратные трехчлены на множители, получим:
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x2  x  6  0 
( x  2)( x  3)
.
    lim
2
x  2 x  3 x  2
 0  x2 ( x  2)( x  1)
lim
Разделим числитель и знаменатель дроби на ( x  2) , что допустимо, так как до
перехода к предельному равенству x  2  0 . Тогда по теореме 18 получим
x 3 5

 5.
x 2 x  1
1
lim
Ответ: 5 .
6 x  6
x2  x
Пример 8. Вычислите предел функции lim
x0
.
Решение. Как и в предыдущем примере, имеем неопределенность  0  .
0
Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к
 6  x  x   0 , получим:
 6  x  6  6  x  6  .
6
 lim
x  x 6  x  6 
выражению 6  x  x , т. е. на сумму
lim
x0
6 x 
x2  x
x0
2
Применяя формулу сокращенного умножения в числителе и разложение
на множители выражения x 2  x в знаменателе, получим:
lim
x 0
6 x6
x
 lim

x

0
xx  1 6  x  6
xx  1 6  x  6

 lim
x0

x 1

1
6 x  6

( т.18)


1
6
.

 2 6 12
Ответ:
6
12
.
Установим для дальнейшего изложения следующий факт и докажем его.
Теорема 19. Имеет место равенство
sin x
 1.
x 0
x
lim
(24)
x  0 , то для нахождения предела отношения
Так как в данном случае lim
x0
sin x
при x  0 нельзя применить теорему 16; нет никакой возможности для
x
преобразования выражения
sin x
для вычисления предела данного отношения.
x
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для
доказательства
(24)
воспользуемся
некоторыми геометрическими
соображениями.
Доказательство. Возьмем окружность радиуса R и центральный угол x ,
выраженный в радианной мере (рис. 13). Проведем хорду AM и касательную
AN , пересекающую продолжения радиуса OM в точке N .
Из рис. 13 очевидно:
N
M
S AOM  S сект. AOM  S AON .
Выражая площади треугольников и сектора
формулами, известными из курса планиметрии,
О
х
А
получим
1
1
1
 OM  OA  sin x   OA  OM  x   NA  OA .
2
2
2
Учитывая,
что
и
OA  OM
NA  OA  tgx ,
сокращая последнее двойное неравенство на
Рис. 13
1
1
OA2  R 2 , получим:
2
2
sin x  x  tgx .
Предполагая, что 0  x 

2
(25)
, разделим на sin x (величину положительную)
каждый из членов неравенства (25), получим:
1
x
1
sin x
или 1 

 cos x .
sin x cos x
x
Используя предельный переход в неравенстве при x  0 , получим:
sin x
 lim cos x .
x0
x0
x
lim 1  lim
x0
По теореме 7 получим, что lim
x 0
sin x
 1 . Теорема доказана.
x
Пример 9. Вычислите предел lim
x0
sin 5 x
.
3x
Решение. Из равенства (24) следует, что lim
x0
sin 5 x
 1 . Поэтому
5x
sin 5 x
sin 5 x
5x
5 5
 sin 5 x 5 x 
 lim 
   lim
 lim
 1  lim  .
x 0
x 0
x 0 3
3x
3
 5 x 3 x  x 0 5 x x 0 3 x
lim
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ответ: 5 .
3
Очевидно, что справедливо равенство
sin nx
1 .
x0
nx
lim
(26)
Пример 10. Вычислите предел lim sin 7 x .
x 0
sin 2 x
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на x :
sin 7 x
sin 7 x
7
sin 7 x
7x .
 x 
sin
2
x
sin
2x
sin 2 x
2
x
2x
Так как lim
x0
sin 7 x
sin 2 x
 1 и lim
 1 по формуле (26), то
x0
7x
2x
sin 7 x
lim
 lim
x 0 sin 2 x
x0
sin 7 x
sin 7 x
7  lim
x

0
7x 
7 x  7  3,5 .
sin 2 x
sin 2 x 2
2
2  lim
x 0
2x
2x
7
Ответ: 3,5 .
Определение 37. Эквивалентными называются бесконечно малые
величины, предел отношения которых равен единице.
Например, sin x и x - эквивалентные величины, так как предел их
отношения равен единице. Можно указать и другие эквивалентные бесконечно
малые величины, например, arcsinx и x , arctgx и x , tgx и x . Действительно,
sin x
tgx
sin x
 sin x 1 
lim
 lim cos x  lim
 lim 

  1 1  1 .
x 0 x
x 0
x 0 x  cos x
x 0
x
 x cos x 
Итак
lim
x 0
tgx
 1.
x
(27)
Указание. При отыскании предела отношения двух бесконечно малых
величин каждую их них можно заменить ей эквивалентной.
Пример 11. Вычислите предел lim
x0
28
sin ax
.
sin bx
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. При x  0 также ax  0 и bx  0 ; поэтому sin ax и sin bx −
бесконечно
малые величины.
Заменяя
и
sin ax
sin bx
соответственно
эквивалентными бесконечно малыми величинами ax и bx , получим:
lim
x 0
sin ax
ax a
 lim
 .
x

0
sin bx
bx b
Ответ:
a
.
b
Из приведенного примера очевидно, что справедлива формула
sin nx n
 .
x 0 sin mx
m
(28)
lim
Пример 12. Вычислите предел lim
xctg 2 x .
x0
Решение. Используя то, что ctg 2 x 
lim xctg 2 x  0     lim
x0
x0
cos 2 x
, получим:
sin 2 x
x  cos2 x
2 x  cos2 x
cos2 x 1
 lim
 lim
 .
x

0
x

0
sin 2 x
2 sin 2 x
2
2
1
2
Ответ: .
Пример 13. Вычислите предел lim
x0
1  cos x
.
1  cos x
Решение.









 


sin x  1  cos x 
1  cos x  1  cos x  1  cos x   lim

 lim
1  cos x  1  cos x sin x
sin x  1  cos x  1  cos x 
1  cos x  1  cos x 
1  cos x  0 
1  cos x  1  cos x  1  cos x
    lim
 lim
x0 1  cos x
x0 1  cos x  1  cos2
x
 0  x0 1  cos x  1  cos x  1  cos x
lim
2
x0
x0
2
2
 x2



1  cos x
1  cos x
2
lim 

  lim  x 
 0
0.

2
x0
22
1  cos x  1  cos x  x0  1  cos x  1  cos x 
 x
  



Ответ: 0 .
1.3. Непрерывность функции
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть точка a
принадлежит области определения функции
f x  ;
определена также функция f x  в окрестности a  h; a  h  .
Определение 38. Функция f x  называется непрерывной в точке a , если
предел функции в точке a существует и равен значению функции в этой точке,
т. е. если
lim f ( x)  f (a) .
xa
(29)
Таким образом, если функция непрерывна в точке a , то:
1. функция определена в точке a ;
2. существует предел функции в точке a ;
3. этот предел совпадает со значением функции в точке a .
Теорема 20. Рациональная функция непрерывна при всех значениях, для
которых она имеет числовое значение.
Например, функция
3 , а функция
x 1
непрерывна при всех значениях x , кроме  3 и
x2  9
x2  5
непрерывна при всех действительных значениях x .
2x4 1
Теорема 21. Если функции f x  и g x  непрерывны в точке a , то их
сумма f x   g x  и произведение f x   g x  есть функции, непрерывные в этой
точке.
Теорема 22. Если функции f x  и g x  непрерывны в точке a и g a   0 , то
функция  ( x) 
f x 
непрерывна в этой точке.
g x 
Указание. Если функция f x  непрерывна в точке a и отлична от нуля в
этой точке, то вблизи a знак этой функции совпадает с ее знаком в точке a .
При вычислении предела (29) возможно приближение x к a и справа, и
слева. Поэтому необходимо установить понятие односторонней непрерывности
или одностороннего разрыва функции в данной точке.
Говорят, что функция f x  непрерывна в точке a справа (слева), если
выполняется предельное соотношение
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f a  0  lim f x   f a  ( f a  0  lim f x   f a  ).
xa 0
xa 0
(30)
Если первое или второе из этих соотношений не выполняется, то функция f x 
имеет в точке a разрыв, соответственно справа или слева.
Очевидно, что если речь идет о точке a как о внутренней точке
промежутка X , то для выполнения равенства (29) необходимо и достаточно,
чтобы имели место оба равенства (30). Иными словами, непрерывность
функции в точке a равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно
справа и слева.
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются ее
точками разрыва.
Чаще всего разрыв возникает по следующим причинам:
а) Функция задана различным выражениями на разных участках, и при
приближении к «точке стыка» с разных сторон эти выражения имеют разные
пределы.
Пусть, например, f ( x)  x  3 , если x  2 и f ( x)  x 2 , если x  2 . Здесь,
x2  4 ,
x  3  1 , а f  2  0  xlim
точка x  2 - точка стыка. Так как f  2  0  xlim
2
2
то при переходе через точку  2 функция делает «скачок» вверх на 3 единицы и
ее график разрывается. Такие точки называются точками разрыва первого
рода.
б) Функция f (x) задана выражением, знаменатель которого в точке a
обращается в нуль, а числитель отличен от нуля в этой точке. В этом случае
lim f ( x)   . Поэтому не может выполняться равенство lim f ( x)  f (a) и функция
xa
xa
имеет разрыв в точке a . Такая точка называется точкой разрыва второго рода.
Замечание. Если в точке x  a функция
f (x)
не определена, то
восстановить непрерывность функции в этой точке возможно в случае, когда
существует оба конечных предела f a  0 , f a  0 , и они равны между собой.
Если какой-либо их этих пределов бесконечен или вовсе не существует, то
говорят о наличии разрыва второго рода с соответствующей стороны.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 14. Исследуйте функцию на непрерывность, укажите точки
разрыва, характер разрыва и постройте эскиз графика функции
 x 2 , если x  0,

 x, если 0  x  1,
f x   2, если1  x  2,

 1 , если x  2.
 x  2
Решение. Функции
y  x2 ,
y  x,
y2
и
y
1
x2
непрерывны на
соответствующих промежутках x  0 , 0  x  1 , 1  x  2 и x  2 . Значит и функция
f (x)
непрерывна на промежутках x  0 , 0  x  1 , 1  x  2 и x  2 . Исследуем
точки стыка x  0 , x  1 и x  2 .
Рассмотрим точку x  0 .
lim f ( x)  lim x 2  0 , lim f ( x)  lim x  0 .
x00
x0
x00
x0
Так как f 0  0  f 0  0  0  f 0 , значит в точке x  0 функция f (x) непрерывна.
Пусть x  1.
lim f ( x)  lim x  1 , lim f ( x)  lim 2  2 .
x10
x1
x10
x1
Так как f 1  0  f 1  0 , значит в точке x  1 функция f (x) имеет разрыв первого
рода.
Пусть теперь x  2 .
lim f ( x)  lim 2  2 , lim f ( x)  lim
x20
x2
x20
x2
1
 .
x2
Получаем, что в точке x  2 функция f (x) имеет разрыв второго рода.
График функции f x  изображен на рис. 14.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 x 2 , если x  0,

 x, если 0  x  1,
f x   2, если1  x  2,

 1 , если x  2.
 x  2
Рис. 14
Пример 15. Даны функции
2 x  5, если x  5,
g x   
3x, если x  5
3x  7, если x  1,
f x    2
 x , если x  1
Исследовать на непрерывность функцию f g x  .
Решение. Найдем, при каких значениях переменной выполняются
неравенства 2x  5  1, 2x  5  1 и 3x  1 . Так как 2x  5  1 верно при x  3 , 2x  5  1
верно при 3  x  5 , а 3x  1 при x  5 , то
32 x  5  7, если x  3,

2
f g x   2 x  5 , если 3  x  5,

2
3x  , если x  5.
6 x  8, если x  3,

f  g  x   4 x 2  20 x  25, если 3  x  5,
9 x 2 , если x  5.

т.е.
Рассмотрим точку x  3 .


lim f g x   lim 6 x  8  10 , lim f g x   lim 4 x 2  20x  25  1 .
x30
x30
x3
x3
Так как f 3  0  f 3  0, то в точке x  3 функция f g x  имеет разрыв (первого
рода).
Пусть теперь x  5 , тогда


lim f g x   lim 4 x 2  20x  25  25 , lim f g x   lim 9 x 2  225 .
x50
x5
x50
x5
Так как f 5  0  f 5  0 , точка x  5 − точка разрыва функции, f g x  имеет
разрыв (первого рода).
Пример 16. При каких значениях a и b функция
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ax  1, если x  2,

f  x   3, если x  2,
 x 2  b, если x  2

будет непрерывной в точке x  2 ?
Решение. Согласно (30) функция непрерывна в точке x  2 , если
выполняется равенство
lim f x   lim f x   f 2  3 .
x20
x20
Имеем
2a  1  3, a  1,


4  b  3;
b  1.
Ответ: a  1 , b  1 .
Назовем функцию непрерывной на промежутке, если она непрерывна в
каждой точке этого промежутка (в случае, когда концы принадлежат
промежутку речь идет об односторонней непрерывности).
Теорема 23. Пусть функция f непрерывна на отрезке a; b и принимает
на его концах значения различных знаков. Тогда она обращается в нуль хотя бы
в одной точке c этого отрезка. При этом если функция f монотонна на a; b , то
она принимает значение 0 лишь один раз.
Поясним это: так по условию теоремы значения функции f на концах
отрезка a; b имеют различные знаки (см. рис. 15), тогда точки Aa; f a  и
Bb; f b 
расположены по разные стороны от оси абсцисс. В силу
непрерывности функции f на отрезке a; b ее график изображается на этом
промежутке сплошной линией и должен в какой-нибудь точке пересечь ось
абсцисс.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следствие 1. Если функция f непрерывна на отрезке a; b , то она
принимает на этом отрезке любое значение  , заключенное между f a  и f b  .
Например, функция
x
непрерывна на отрезке 1;9 и принимает на нем
любые значения, заключенные между
1 1 и
9  3.
1;3 - множество значений функции,
когда
Bb; f b 
Таким образом, отрезок
переменная
x
f a 
принадлежит
отрезку 1;9 .
Следствие 2. Если функция f
непрерывна на отрезке a; b и не
обращается
в
нуль
внутри этого
Aa; f a 
Рис. 15
отрезка, т. е. на интервале a; b , то она
имеет один и тот же знак во всех его внутренних точках.
Теорема 23 и ее следствия применяются при решении уравнений и
неравенств.
Пример 17. Докажем, что уравнение x 3  4 x  3  0 имеет корень на отрезке
 1;0 . Найдем этот корень с точностью до 0,1.
Решение. Рассмотрим функцию f x   x 3  4 x  3 , непрерывную при всех
действительных значениях переменной x , причем f  1  2 и f 0  3 . Тогда,
согласно теореме 23 функция f x  обращается в ноль хотя бы в одной точке
отрезка  1;0 .
Докажем, что функция f x  возрастает на отрезке  1;0 . Пусть x1  x2 ,
причем x1 , x2   1;0. Найдем и оценим выражение f x1   f x2  :

 4  0 ,

f x1   f x2   x13  4 x1  3  x23  4 x2  3  x1  x2  x12  x1 x2  x22  4x1  x2  

 x1  x2  x12  x22  x1 x2
т.к. очевидно x1 x2  0 . Значит f x1   f x2  , из чего следует по определению 15,
что функция f x  монотонно возрастает на отрезке  1;0 и потому ее график
пересекает ось абсцисс на этом отрезке лишь в одной точке.
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Чтобы найти корень уравнения x 3  4 x  3  0 с заданной точностью,
разделим отрезок  1;0 пополам и найдем f  0,5  1,125 . Из двух получившихся
отрезков  1;0,5 и  0,5;0 выбираем тот, у которого на концах отрезка функция
f x  принимает значения разных знаков. Так как f  1  0 , f  0,5  0 , то делим
 1;0,5
отрезок
пополам.
На
отрезке
 0,75;0,5
получаем,
что
f  0,75   0,422  0 и f  0,5  0 и делим его пополам. Деление продолжаем до
тех пор, пока длина отрезка не станет меньше чем 0,1. Для отрезка  0,75;0,5
значение в его середине
f  0,6875   0,075  0 .
0,0625  0,1, тогда его
f  0,625   0,256  0 ; для отрезка
Для отрезка
 0,75;0,625  −
 0,6875 ;0,625  его длина составляет
середина будет значением корня с нужной точностью; это
значение равно  0,66 .
1.4. Использование непрерывности функций для вычисления пределов
Непрерывность функций может быть использована при вычислении
пределов функций. Укажем также некоторые пределы, связанные с числом е.
Напомним, что число е есть число иррациональное и е=2,718281828459045….
В подробных курсах математического анализа доказывается, что предел
n
выражения 1  1  при n   существует, его значение меньше 3 и выражается
 n
иррациональным числом. Для пояснения сказанного составим следующую
n
1
таблицу значений выражения 1   при возрастающих значениях n .

1
n
 1
1  
 n
2
3
n
4
5
10
100
1000 10000
n
2,250 2,370 2,441 2,448 2,488 2,594 2,705 2,717 2,718
Из таблицы видно, что по мере возрастания n значения выражения
 1
1  
 n
n
n
1
растет и приближается к 2,718 . Предел 1   при n   принято

обозначать буквой е (число Эйлера).
36
n
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Итак,
n
 1
lim 1    e .
n
 n
(31)
Также имеют место равенства
lim
t 0
log a 1  t 
 log a e ,
t
(32)
ln 1  t 
 1,
t
(33)
at 1
lim
 ln a ,
t 0
t
(34)
lim
t 0
et  1
 1,
t
(35)
lim 1  t t  e .
(36)
lim
t 0
1
t 0
Напомним, что функция y  f x  называется непрерывной на промежутке
X , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементарные
функции непрерывны в области их определения. В том числе, показательная
функция a x непрерывна на всей числовой прямой, а степенная функция x 
непрерывна на луче 0;  .
Рассмотрим теперь степенно-показательное выражение u v , где u и v
являются функциями от одной переменной x , с областью изменения X , т. е.
рассмотрим выражение вида u  x v  x  . Степенно-показательная функция, являясь
композицией степенной и показательной функций, непрерывность которых
установлена, является также непрерывной функцией. Основанием для этого
утверждения является следующая теорема.
Теорема 24. Пусть функция f  y  определена на промежутке Y , а функция
y   x  − на промежутке X , причем значения последней функции не выходят за
пределы Y , когда переменная x изменяется в X . Если  x  непрерывна в точке
x0
из X , а функция f  y  непрерывна в соответствующей точке y0   x0  , то
сложная функция f  x  непрерывна в точке x 0 .
Сформулированная выше теорема может быть записана в виде
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
lim f  x   f  lim  x  .
 xx0

(37)
x x0
т. е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.
При определении предела степенно-показательной функции могут
возникнуть неопределенности вида 1  , 0 0 ,  0  . Для решения вопроса о
значении предела выражения вида u v недостаточно знать лишь пределы
функций u и v , а необходимо знать закономерности, по которым эти функции
n
стремятся к своим пределам. Например, выражение 1  1  при n   , имеющее
 n
пределом число e , дает пример неопределенности вида 1  , а выражение n n
при n   также является неопределенным – вида
  .
рассмотрением примеров с использованием числа
e
неопределенностей вида
1  .

0
Ограничимся
при раскрытии
Под неопределенностью указанного вида
понимается функция, основание степени которой стремится к 1 (но
тождественно ей не равно), а показатель степени стремится к бесконечности.
Однако, обратим внимание на то, что при вычислении, например, предела
 x2 
не возникает неопределенности, т. к. lim  x  2   lim  1   0 .
lim 

x 2 x  3
x 2 x  3



 x 2 
x
x
 8x2  7 


Пример 18. Вычислите предел lim
x 8 x 2  5 


x
x 2 1
.
Решение. Имеем неопределенность вида 1  . Преобразуем выражение,
стоящие в скобках, а именно, выделим целую часть:


8 x 2  7 8 x 2  5  5  7 
  12 

 1  2
.
2
2
8x  5
8x  5
 8x  5 
Очевидно, что для применения (31) в показателе функции необходимо
иметь выражение
8x 2  5
8 x 2  5  12

. Тогда, умножив выражение x 2  1 на 1 
 12 8 x 2  12
 12
и используя непрерывность степенно-показательной функции, получим
 8x  7 

lim  2
x  8 x  5 


2
x 2 1
12 

 lim 1  2

x 
 8x  5 
x 2 1
 12 
 lim 1  2

x
 8x  5 
38


8 x 2 5 12

 x 2 1 ( 37 )
12 8 x 2 5
e
lim
x 
12 x 2 12
8 x 2 5
e
12

8

3
2
e .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3
Ответ: e 2 .
Пример 19. Вычислите предел lim  3  2 
x0
 cos x 
cosec2 x
.
Решение. Как и в предыдущем случае, имеем неопределенность вида 1  ,
так
2 

lim  3 
 1,
x 0
cos x 

как
1
 .
x0 sin 2 x
lim cosec2 x  lim
x0
Используя
формулы
тригонометрии, получим:
2 

lim  3 

x0
 cos x 
cosec2 x
2 

 lim  3 

x0
 cos x 
1
sin 2 x
 
2 
 lim 1  2 
 
x0
  cos x  

1
2 x 
 4 sin 
  2cos x  1  sin 2 x
2
 lim 1 
 lim 1  


x 0 
x0
cos
x
cos
x


 





 lim 1  x
x 0
2

1
2
sin x

 lim 1  x
x 0
2

x2
2

1
2
x sin x

 lim 1  x
x 0
2

x2
1

sin 2 x x 2
1
sin 2 x
1
sin 2 x

x
 4
4
 lim 1 
x 0 
1


2

 lim 1  x 2
x 0

1 ( 31)
x2







1
sin 2 x

lim  1
 e x 0
 e 1 
1
e
1
e
Ответ: .
1.5. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимптоты
Говорят, что прямая является горизонтальной асимптотой графика
f ( x)  b .
функции f x  при x   , если xlim

Если
lim f ( x)  b , то прямая
x
y b
также является горизонтальной
f ( x)  b , то в этом
асимптотой для графика функции f при x   . Если lim
x
случае говорят, что прямая y  b - горизонтальная асимптота графика функции
f
при x   .
Определение
39.
Прямая
y  kx  b ,
k  0,
называется
наклонной
асимптотой графика функции f x  при x   , если разность f x   kx  b 
бесконечно мала при x   .
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Например, функция бесконечно велика при x   . Ее можно представить
в виде
x 3  3x 2  3x  1
2x  4
,
 x 3 2
2
x 1
x 1
т. е. в виде суммы линейной функции x  3 и функции
2x  4
, бесконечно малой
x2 1
при x   . Отсюда следует, что при больших значениях x график функции
x 3  3x 2  3x  1
почти сливается с наклонной прямой y  x  3 (см. рис.16). В этом
x2 1
случае говорят, что прямая y  x  3 является наклонной асимптотой для
графика функции f x  
x 3  3x 2  3x  1
.
x2 1
x 3  3x 2  3x  1
y
x2 1
y  x3
Рис. 16
Замечание. Приведенный выше пример примечателен тем, что график
функции f x  
x 3  3x 2  3x  1
пересекает асимптоту − график функции y  x  3 ,
x2 1
при этом «сливаясь» с ней на бесконечности.
Теорема 25. Для того чтобы график функции f x  имел при x  
наклонную асимптоту y  kx  b , необходимо и достаточно существование
пределов
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
k  lim
x 
f ( x)
и b  lim  f ( x)  kx .
x
x
(38)
Аналогично определяются наклонные асимптоты при x   .
Если функция f задана на a; b и lim f x    , то по мере приближения
xb 0
x к точке b слева значения функции f становятся и остаются больше любого
заранее заданного числа. Поэтому при движении точки по графику функции ее
расстояние до вертикальной прямой x  b стремится к нулю (см. рис. 17). Эту
прямую называют вертикальной асимптотой для графика этой функции.
Рис. 17
Аналогично, эта прямая является вертикальной асимптотой для графика
f x    или lim f x    или lim f x    .
функции f , если xlim
b0
xb0
xb0
Теорема 26. Если существует отличный от нуля предел
lim f x   b , а lim g x   0 ,
x a
xa
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
причем функция g x  отлична от нуля вблизи точки a , то lim f x    .
x a
g x 
Пример 20. Докажите, что lim
x 4
x2  4
.
x 2  6x  8
x 2  4  20 и lim
x 2  6x  8  0 . Поскольку условия
Решение. Имеем: lim
x4
x4
теоремы 26 выполнены, то lim
x 4
Пример
y
21.
x2  4
.
x 2  6x  8
Найдите асимптоты и постройте график функции
x2  2x  2
.
x3
Решение. Область определения функции  ;3   3;  . Исследуем
поведение
функции
x 2  2x  2
  и
x 30
x3
lim
вблизи
точки
x  3
на
 ;3
и на
 3;  :
x 2  2x  2
  (в точности говоря, одного из этих
x 3 0
x3
lim
пределов достаточно). Значит прямая x  3 является вертикальной асимптотой
для графика функции y 
Выясним,
x2  2x  2
.
x3
существует
ли
x  3
наклонная асимптота к графику
данной функции. Найдем
k  lim
x 
y
f ( x)
x2  2x  2
 lim
1,
x 
x
x 2  3x
 x 2  2x  2

b  lim  f ( x)  kx  lim 
 x  
x
x
 x3

  5x  2 
 lim 
  5 .
x 
 x3 
Значит
прямая
y  x 5
y  x 5
-
наклонная асимптота для графика
функции
x2  2x  2
y
.
x3
Рис. 18
График
42
x2  2x  2
x3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
функции y 
y  x 5
x2  2x  2
, вертикальная асимптота x  3 и наклонная асимптота
x3
изображены на рис. 18.
2. Производная. Исследование функций с помощью производной
2.1. Производная и ее вычисление
2.1.1. Понятие производной функции. Скорость изменения функции
Определение 40. Разность x1  x называют приращением аргумента при
переходе от x к x1 , а разность f x1   f x  − приращением функции f (x) при
этом переходе.
В дальнейшем будем обозначать приращение аргумента x , т. е полагаем
x1  x  x , откуда x1  x  x . Приращение функции будем обозначать y . Если
функция задана в явном виде y  f x  , то ее приращение можно найти по
формуле
y  f x  x   f x  .
(39)
Приращение переменной может быть как положительным, так и
отрицательным числом. Если, например, значение x изменяется от 5 до 5,2 , то
x  5,2  5  0,2 ,
а если оно изменяется от 10 до 9,7 , то x  0,3 .
Определение 41. Функция f x  называется дифференцируемой в точке x ,
если ее приращение при переходе от x к x  x можно представить в виде
f x  x   f x   k   x ,
(40)
 0.
где k −число, а функция  бесконечно мала при x  0 , т.е. lim
x0
Пример 22. Докажите, что функция y  x 3 дифференцируема при любом
значении x .
Решение. Найдем приращение функции f x   x 3 при переходе от x к
x  x :
y  f  x  x   f  x    x  x   x 3  x 3  3 x 2 x  3 xx   x   x 3 
3
2


 3 x 2 x  3 xx   x   3 x 2  3 xx  x  x .
43
2
3
2
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3xx  x2   0 , убеждаемся в
Полагая 3x 2  k , 3 xx  x 2   , причем lim
x 0
дифференцируемости данной функции при любом значении x .
Теорема 27. Функция f x  дифференцируема в точке x 0 , в том и только в
том случае, когда существует предел
lim
x 0
f x0  x   f x0 
.
x
(41)
Теорема 28. Если функция f x  дифференцируема в точке x 0 , то она
непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение не всегда бывает верно, так как существуют
функции,
всюду непрерывные,
но
при некоторых значениях
не
x
дифференцируемые.
Определение 42. Производной функции y  f (x) в точке x 0 называется
предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента,
когда приращение аргумента стремится к нулю (если этот предел существует).
Таким образом
f x0  x   f x0 
y
.
 lim
x0 x
x0
x
f x0   lim
(42)
Для того чтобы найти значение производной функции f x  в точке x 0 ,
надо:
1) найти выражение для приращения функции f x0  x   f x0  ;
2) разделить это выражение на приращение аргумента x ;
3) найти предел полученного отношения
f x0  x   f x0 
при x  0 .
x
Пример 23. Вычислите производную функции в точке x  x0 , используя
определение производной y ( x0 ) , если y  3 x  7 2 и x0  1 .
Решение. По определению производной, значение y ( x0 ) есть предел
отношения приращения функции y к приращению аргумента x при x  0 .
Найдем приращение функции y в точке x0  1 при приращении
аргумента x :
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y  y( x0  x)  y( x0 )  31  x  7   3  7  4  3  x  42 
2
2
2
 16  24  x  9  x   16  24  x  9  x 
2
2
.
Тогда
y
 24  x  9  x 
 lim
 lim  24  9  x   24 .
x 0 x
x 0
x 0
x
2
y (1)  lim
Таким образом, y(1)  24 .
Ответ:  24 .
Рассмотрим простое физическое явление − прямолинейное равномерное
движение, связанное с понятием скорости движения.
Пусть тело совершает прямолинейное движение; пусть известно
расстояние S , проходимое телом за данное время t . В этом случае можно
сказать, что расстояние S задано как функция от времени t :
S  f t  .
Например, в момент времени t  t 0 тело находится в точке с координатой f t 0  , а
в момент времени t  t 0  h − в точке с координатой f t 0  h  . Таким образом, за
промежуток t 0 ; t 0  h  ее перемещение равно f t 0  h   f t 0  . Разделив его на
величину h , получим число, называемое средней скоростью движения тела за
промежуток времени t 0 ; t 0  h :
vср. 
f t 0  h   f t 0 
.
h
Предел средней скорости при h  0 называют мгновенной скоростью
движения в момент времени t 0 :
v мгн. t 0   lim
h0
f t 0  h   f t 0 
.
h
Предел, записанный справа, является значением производной функции f t  в
точке t 0 , т.е. по (42) равен f t 0  . Таким образом, мгновенная скорость в момент
времени t 0 прямолинейного движения, совершаемого по закону S  f t  , равна
значению производной функции при t  t 0 :
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
v мнг t 0   f t 0  .
(43)
Вообще говоря, если какая-то величина изменяется по некоторому закону
y  f t  , то мгновенная скорость изменения этой величины, равная производной
f t 0 
в момент времени t  t 0 , есть мгновенная скорость изменения функции.
Понятие производной применяют и при изучении величин, меняющихся не с
течением времени, а в зависимости от изменения иных величин.
Пример 24. При нагревании тела его
температура T изменяется в
зависимости от времени нагревания t по закону T  0,4t 2 . С какой скоростью
тело нагревается в момент времени t  10 сек ?
Решение.
Функция
T  f t 
выражает
неравномерное
нагревание.
Поступим также, как делали для определения скорости тела, движущегося по
закону f t  . В момент времени t  10 температура тела T1  0,4 10 2  40 , а в
момент времени t 10  h температура тела равна T2  0,4  10  h 2 . Найдем
величину
T  T1  T2  0,410  h   40  8h  0,4h 2 ,
2
тогда отношение
T
− есть скорость нагревания тела за время 10;10  h . Чтобы
h
определить эту скорость в момент времени t  10 сек , найдем
T
8h  0,4h 2
 lim
8.
h 0 h
h 0
h
lim
Таким образом, в момент времени t  10 сек , тело нагревается на 8 в единицу
времени.
Ответ: 8 .
Замечание. Если в условиях предыдущего примера, начиная с момента
времени t  10 сек , тело нагревалось равномерно, то в каждую единицу времени
температура его увеличивалась бы на 8 .
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.1.2. Формулы дифференцирования
Процесс отыскания производной называется дифференцированием
(подробнее об этом в пункте 2.1.3). Непосредственное дифференцирование
согласно формуле (42) представляет собой громоздкое и трудное действие (см.
пример 23). Однако, если знать производные всех основных элементарных
функций и правила, по которым следует дифференцировать сложные функции,
то возможно нахождение производной любой функции, не выполняя при этом
указанного предельного перехода.
Теорема 29. В тех точках, где функции f x  и g x  дифференцируемы, их
сумма тоже дифференцируема, причем
 f x  g x  f x  g x .
(44)
Примечание. Очевидно, что теорема 29 справедлива и для случая суммы
конечного числа дифференцируемых функций.
Теорема 30. В тех точках, где дифференцируема функция f x  , функция
cf  x , где c − число, тоже дифференцируема, причем
cf x  cf x .
(45)
Теорема 31. Если функции f x  и g x  имеют производные, то их
произведение также имеет производную, вычисляемую по формуле
 f x g x  f x g x  f x g x .
(46)
Теорема 32. В точках, где функция f x  дифференцируема, ее степень
f n  x  , n N ,
тоже дифференцируема, причем
 f x  nf x f x .
n
Теорема 33. Функция h x  
n 1
(47)
1
дифференцируема в точках, где функция
f x 
f x  дифференцируема и отлична от нуля. В этих точках

 1 
f  x 

   2 .
f x 
 f x  
47
(48)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 34. Если функции f x  и g x  имеют производные и g x   0 , то
их частное f  x  также имеет производную, которая определяется по формуле
g x 

 f x  
f  x   g  x   f  x   g  x 

 
.
g 2 x 
 g x  
(49)
Теорема 35. Если функция y  f g x  имеет производную по g x  , а g x 
имеет производную по x , то сложная функция y  f g x  имеет производную по
аргументу x , которая равна произведению производной функции f g x  по
промежуточному аргументу g x  , на производную функции g x  по основному
аргументу x , т. е.
y x  f g g  x  g x  .
(50)
Коротко можно сказать, что производная сложной функции равна
произведению производных от функций, её составляющих.
 1  1  x 2 2 
 .
Пример 25. Найдите производную сложной функции y  
 1  1  x 2 2 


3
Решение. Выделим промежуточные аргументы данной функции:
y  u3 ,
u
1 v
,
1 v
v  t2 ,
t  1 x2 .
Находим, согласно (50)


 1 v  2 
2 
y   u 3 u vt   y   u 3 
 t 1 x 
1 v 
 
 3u 2
 
 

2
xt
2t  2 x   24 u 2
2
1  v 
1  v 2
.
Подставляя вместо u , v , t их выражения через независимую переменную x ,
получаем:


1 1 x2

y  24
1 1 x2



2





x 1 x2

2 
2
 1 1 x2
2

2
.


 1 1 x2
Ответ: 24
2
1 1 x
48


2





x 1 x2

2 
2
 1 1 x2
2

2
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Замечание. С накоплением опыта в дифференцировании отпадет
необходимость вводить специальные обозначения для промежуточных
аргументов. Обычно производят дифференцирование сложных функций,
выделяя в уме простейшие звенья, ведущие от y к x .
Производная обратной функции. Пусть y  f x  и x    y  − взаимно
обратные функции, имеющие производные, причем f x   0 . Тогда   y   1 .
f x 
Например, пусть y  x 2 , x  0 , тогда обратная ей функция при x  0 будет
x  y . Тогда xy 
1
1
1


, т. е.
y x 2 x 2 y
 y 
y

1
2 y
, где y  0 .
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
1.
yc
y  0
3.
y
1
x
y  
5.
2.
y  xn
y   nx n1
1
x2
4.
y x
y 
y  sin x
y  cos x
6.
y  cos x
y   sin x
7.
y  tgx
y 
1
cos2 x
8.
y  ctgx
y  
9.
y  arcsin x
y 
1
10.
y  arccosx
y  
11.
y  arctgx
y 
1
1 x2
12.
y  arcctgx
y  
13.
y  ln x
y 
1
x
14.
y  log a x
y 
15.
y  ax
y   a x ln a
16.
y  ex
y  e x
17.
y  shx
y  chx
18.
y  сhx
y  shx
19.
y  thx
y 
20.
y  cthx
y  
Замечание. shx 
1 x2
1
ch 2 x
e x  ex
e x  ex
shx
chx
, chx 
, thx 
, ctgx 
.
2
2
chx
shx
49
1
2 x
1
sin 2 x
1
1 x2
1
1 x2
1
x  ln a
1
sh 2 x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 26. Найдите производную функции y  3
sin 2
1
x
.
Решение. Последовательно применяя теорему о производной сложной
функции получим:
sin 2
y  3
sin 2
3
1
x
1
x


1
sin 2
1  1
 2 1
x
 ln 3   sin   3
 ln 3  2 sin   sin  
x
x 
x


1
1
sin 2
1
1 1
2  1 
ln 3
2 sin 2
 ln 3  2 sin  cos     3 x  ln 3  sin    2    2  sin  3 x .
x
x  x
x  x 
x
x
Ответ: 
Пример 27. Найдите производную функции
Решение. Представим функцию в виде
6x
6 x
1
3
2

5
1
3
2

5
1
ln 3
2 sin 2 x
.
 sin  3
x
x2
.

 6x3  2

5
, тогда

2



1

  6 x 3  2 5  5  6 x 3  2 6 18x 2   90 x
.
6
 6x3  2 5 
6x3  2











Ответ: 
90 x 2
6 x
3
2

6
.
Пример 28. Найдите производную функции y  1 arctg x 32 .
1 x
3
Решение.
Используя
правила
дифференцирования
и
таблицу
производных, находим
y 
1
1
3 (1  x 2 )  x 3 (2 x)
1  x 2   3 1  x 2  2 x 2  
1





2
2
2
2
3  x 3 
3 3x 2  1  x 2 
1 x2

1 x2 


1 x2  1


1 x2
1 x2
 2

.
3x  1  2 x 2  x 4 1  x 2  x 4
2


Ответ: y  
Пример 29. Найдите производную функции y  ln
50
1
x  x2 1
.
1 x2
.
1 x2  x4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1
Решение. y 
x  x2 1

 x2 1  x 


1


 1 
 2 x 
2

2
x  1 
2 x 1
2




 x  x 1 

2
2
x  x2 1
x  x2 1
x 2 1  x

x 2 1  x  x 2 1






1
x 2 1


.
Ответ: y   
1
x 2 1
.
В ряде случаев, преобразования дифференцируемой функции могут
существенно упростить процесс нахождения производной. Покажем это на
примере.
Пример 30. Найдите производную функции y 
Решение. y 
sin 2 x cos2 x
sin 2 x
cos2 x
sin 2 x
cos2 x






sin x  cos x cos x  sin x
1  ctgx 1  tgx 1  cos x 1  sin x
sin x
cos x
sin x
cos x


sin 2 x cos 2 x

.
1  ctgx 1  tgx
sin 3 x
cos3 x
sin 3 x  cos3 x



sin x  cos x cos x  sin x
sin x  cos x
sin x  cos x sin 2 x  sin x  cos x  cos 2 x   sin 2 x  sin x  cos x  cos2 x  1  1 sin 2 x .
sin x  cos x
2
А теперь найдем производную функции y :

1
1


y   1  sin 2 x     2 cos2 x   cos2 x .
2
 2

Ответ: y   cos2 x .
2.1.3. Дифференциал
Выражение
f  x0 x
называют дифференциалом функции
f x 
и
обозначают df x0  или dy . В первом случае, в скобках указывается исходное
значение переменной x .
Таким образом,
dy  y x  x .
51
(51)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как для функции x производная равна 1 , то ее дифференциал равен
x , т. е. dx  x . Формула дифференциала функции имеет вид
df x0   f x0 dx ,
(52)
что равносильно
dy  ydx
или dy  f x dx .
(53)
Из формулы (53) очевидно, что, зная производную функции, легко найти
ее дифференциал, и обратно.
Понятие дифференциала и сам термин «дифференциал» (от лат. cлова
differentia, означающего «разность») принадлежат Лейбницу, который не дал,
однако, точного определения этого понятия. Наряду с дифференциалом,
Лейбниц рассматривал и «дифференциальные частные», т. е. частные двух
дифференциалов, что равносильно нашим производным; однако именно
дифференциал был для Лейбница первоначальным понятием.
Вычисление
дифференциалов
функций
носит
название
дифференцирования . Так как дифференциал dy отличается, по сути, лишь
множителем dx от производной
y ,
то по таблице производных для
элементарных функций легко составить таблицу дифференциалов. Правила
дифференцирования легко получаются из соответствующих правил для
производных. Покажем, например, как дифференциал произведения двух
функций f и g получается из формулы (46):
d  f  g    f  g dx   f   g  f  g dx  g   f   dx  f  g   dx  g  df  f  dg .
Использование дифференциала позволяет заменить выражение для
y  f x0  x   f x0 
более простым f x0 dx , в отыскании которого и состоит
дифференцирование.
Дифференциалом
второго
порядка
функции
y  f x 
называется
дифференциал от дифференциала первого порядка:

Тем же термином обычно обозначают и вычисление производных, для которого на русском языке нет особого
термина. В большинстве иностранных языков для обозначения этих операций существуют два различных
термина; например, по-французски различают «derivation» и «differentiation».
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2
d 2 y  d dyx   d  yx  dx  dx  dyx  dx   yx   dx  yx  dx .
Аналогично определяется дифференциал n -го порядка:


d n  y  x   d d n1 y  x   y n   x   dx  .
n
Приближенное значение функции вблизи точки x 0 равно сумме ее
значения в этой точке и дифференциала в той же точке:
f x0  x   f x0   f x0 x .
(54)
Пример 31. Используя понятие дифференциала, вычислите приближенно
16,02 .
Решение.
Для
приближенного
вычисления
значения
выражения
воспользуемся формулой (54).
Пусть x0  16 , тогда x  16,02  16  0,02 . В качестве функции f (x) в данном
примере выступает функция y  x . Найдем f ( x0 ) .
f ( x0 )  16  4 .
Для нахождения значения f ( x0 ) , вычислим производную функции f (x) :
f ( x) 
1
2 x
.
Значит, значение производной функции в точке x 0 равно:
f ( x0 ) 
1
8
Тогда f ( x0  x)   0,02  4 
1
1
 .
2 16 8
1
 4  4,0025 .
400
Ответ: 16,02  4,0025 .
Пример 32. Вычислить приближено значение sin 31 .


6
180
Решение. Положим x  30  , x  1 
sin 31   sin

6
 cos



6 1800

. Тогда по формуле (54) имеем
1
3

 0,01745  0,5302
2 2
.
Ответ: sin 32  0,5151 .
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.1.4. Геометрический смысл производной и дифференциала
Производная
от функции
y  f x 
имеет простую и наглядную
интерпретацию, связанную с понятием касательной прямой к линии.
Определение 43. Касательной прямой к кривой Г в точке А называют
предельное положение секущей АМ , когда точка М приближается по кривой к
точке А (см. рис. 19). Луч АТ называют касательным лучом к дуге АВ в точке
А.
Если
существует
невертикальная
касательная к кривой Г в точке А , то ее
угловой коэффициент является пределом
углового коэффициента секущей, когда
точка пересечения М приближается к точке
Рис. 19
А:
k кас  lim kсек .
MA0
(55)
Теорема 36. Если в точке Аx0 ; f x0  графика функции f x  можно
провести невертикальную касательную, то функция f x  дифференцируема при
x  x0
и угловой коэффициент касательной в точке А равен значению
производной функции f x  в точке x 0 , т. е
k кас  f x0  .
(56)
Справедливо и обратное утверждение.
Теорема 37. Если функция f x  дифференцируема в точке x 0 , то к ее
графику можно провести касательную в точке Аx0 ; f x0  , причем угловой
коэффициент этой касательной равен f ( x0 ) .
Сформулированные выше теоремы 36 и 37 и определяют геометрический
смысл производной: угловой коэффициент касательной, проведенной к графику
функции в некоторой точке есть значение производной в этой точке.
Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты
касательной к графику функции в точке M x0 ; y0  .
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнение касательной к графику функции f x  в точке с абсциссой x 0
имеет вид:
y  f x0   f x0 x  x0  .
(57)
Пример 33. Составьте уравнение касательной к графику функции
y  x3  x 2  7 x  6
Решение.
в точке с абсциссой 2 .
Значение
функции
при
x2
равно
23  2 2  14  6  4 .
Производная функции y  f x  равна y   3x 2  2 x  7 ; при x  2 производная равна
3  22  2  2  7  1 .
Имеем x0  2 , f x0   4 , f x0   1 , тогда уравнение касательной
имеем вид:
y  4  1x  2 , y  x  6 .
Ответ: y  x  6 .
Замечание. Касательная к графику функции может иметь с ним
несколько или даже бесконечно много общих точек.
При помощи производных аналитическим путем решаются различные
геометрические задачи, относящиеся к касательной и к некоторым другим
связанным с ней понятиям, из которых рассмотрим следующие: направление
линии, угол между линиями и нормаль к линии.
Определение 44. Направлением линии в ее точке M 0 называется
направление касательной, проведенной к линии в точке M 0 .
Определение 45. Углом между двумя пересекающимися линиями
называется угол между касательными, проведенными к линиям в точке их
пересечения.
Если известны угловые коэффициенты касательных, образующих
искомый угол, то его можно вычислить по формуле
tg 
k 2  k1
.
1  k1k 2
(58)
Определение 46. Нормалью к линии в ее точке M 0 называется прямая,
проходящая через точку M 0 и перпендикулярная к касательной в той же точке.
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как нормаль перпендикулярна к касательной, то, приняв k  
1
,
f  x0 
получим уравнение нормали.
y  f x 0  
1
x  x 0  .
f  x 0 
(59)
При решении задач необходимо иметь в виду следующее двойное
равенство
k  tg  f x0  .
(60)
Пример 34. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к гиперболе
6
f x    , проведенной в точке с абсциссой x0  6 ?
x
Решение. Находим производную f x  
 
6
. Воспользуемся формулой (60):
x2
tg  f  6  1 ,  

4
.
Ответ:

.
4
Пример 35. Найдите угол между касательными к графику функции
f x   x 3  7 x 2  14 x  7 ,
Решение.
проведенными в точках с абсциссами 1 и 2 .
Находим
производную
f  x   3 x 2  14 x  14 .
Угловые
коэффициенты касательных равны: k1  f 1  3 , k 2  f 2  2 . Искомый угол
вычислим по формуле (58). Имеем:
tg 

23
1,  
1 6
4
.
Ответ:
Пример 36. В какой точке касательная к графику функции f x   x 2 :
а) параллельна прямой y  2 x  5 ?
б) перпендикулярна этой же прямой?
Решение.
56

.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а) Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, т. е. k1  k 2 .
Пусть x 0 − абсцисса точки касания. Так как k1  2 , k 2  f x0  , то из уравнения
2 x0  2
находим x0  1 . Значит, касательная должна быть проведена в точке
M 1;1 .
б) Если прямые y  k1 x  b1 и y  k 2 x  b2 перпендикулярны, то справедливо
1
2
соотношение k1  k 2  1 . Так как k1  2 , поэтому k 2   , и из уравнения 2 x0  
1
2
1
4
находим x0   . Значит, касательная в этом случае должна быть проведена в
точке N   1 ; 1  .
 4 16 
2.1.5. Вторая производная. Механический смысл второй производной
Пусть функция y  f x  имеет конечную производную в промежутке X ,
причем сама производная определяет новую функцию от переменной x .
Определение 47.
Если функция
f  x 
дифференцируема,
то ее
производная называется производной второго порядка или второй производной
и обозначается так:
f  x  или y  .
Если функция
y  f x 
(61)
имеет конечную вторую производную в
промежутке X , то ее производная (конечная или нет), в какой-либо точке
x0  X
называется производной третьего порядка или третьей производной
функции y  f x и обозначается так:
f  x  или y  .
(62)
Ограничимся в настоящем пособии введением производной до третьего
порядка, однако в подробных курсах математического анализа вводится
понятие производной n -го порядка или n -й производной от функции y  f x  .
Для ее обозначения применяются следующие символы: f n   x  или y  n  .
Для производных n -го порядка имеют место формулы:
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сy n   cy n  .
(63)
u  v n   u n   v n  .
(64)
uvn  Cn0  u n  v  Cn1  u n1  v  Cn2  u n2  v  ... Cnn1  u  vn1  Cnn  u  vn .
(65)
Формула (65) носит название формулы Лейбница, где
С nk 
n!
.
k!n  k !
Пример 37. Найдите вторые производные функций:
а) f t   e sin t ;
б) f x  x 2 1 .
2
Решение.
а) f t   e sin t  cos t , f t   e sin t  cos2 t  e sin t  sin t .
б) f x   2x 2  12 x  4 x 3  4 x , f x   12 x 2  4 .
Производные второго порядка оказываются существенно необходимыми
для определения важных понятий математики, механики, физики и для более
полного тонкого исследования функций, чем то, которое можно провести,
применяя лишь первую производную (см. 2.2.4).
Возьмем для примера один фундаментальный вопрос механики,
связанный
с
прямолинейного
основными
движения.
законами
Ньютона.
Обозначим
через
Ограничимся
S
путь,
случаем
пройденный
прямолинейно движущимся телом к моменту времени t . Тогда S  будет
скорость движения в этот момент. Величина S  , измеряющая скорость
изменения величины S  , называется ускорением прямолинейного движения в
момент времени t . Таким образом, механический смысл производной второго
порядка заключается в следующем: в условиях прямолинейного движения
ускорение равно производной второго порядка от пройденного пути S по
времени t :
a  S t .
(66)
В задачах часто определяют скорость или ускорение в данный момент
времени.
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 38. Точка движется прямолинейно по закону S (t )  2t 2  3t  5 .
Найдите скорость и ускорение точки в момент времени t  5 .
Решение. Для определения скорости нужно найти первую производную
данной функции при заданном t :
v  S   4t  3 и vt 5  17 .
Ускорение a равно второй производной функции при t  5 , т. е.
a  S 5  4 . Величина ускорения оказалась постоянной для любого значения t ,
следовательно, движение точки по заданному S t  закону происходит с
постоянным ускорением.
Ответ: 17;5 .
2.1.6.
Логарифмическое
дифференцирование.
Дифференцирование
неявных и параметрически заданных функций
Ранее отмечалось, что с помощью правил дифференцирования и таблицы
производных основных элементарных функций можно находить производные
от любых сложных функций, за исключением функций, заданных неявно.
Уравнение F x; y   0 задает неявную функцию и её производную можно найти
двумя способами:
1 способ. Продифференцировать уравнение F x; y   0 как сложную
функцию, считая при этом у функцией от х . В результате получаем уравнение
с переменными x , y , y  , из которого выражают y  через x и y .
2 способ. Использовать формулу
y  x   
Fx x; y  x 
Fx x; y 
или y   
.
Fy  x; y  x 
Fy  x; y 
Пусть, например, требуется найти производную неявной функции f x; y   0 , где
y  yx  ,
заданной
уравнением
y 2  8 xy  0 .
Применяя
дифференцирования алгебраической суммы, получим:
2 yy   8 y  xy   0 , 2 yy  8 y  8xy  0 , y 2 y  x   8 y ,
59
правило
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
откуда
y 
8y
.
2y  x
Пример 39. Найти производные функций: а)
x2 y2
 2  1 ; б) xy  e x  y .
2
a
b
Решение.
а) Дифференцируем по переменной x , помня о том, что y  yx  :
b2 x
2x 2 y


,
откуда
.
y



y

0
a2 y
a2 b2
б) Действуя аналогично примеру а), получим:


y  x  y   e x  y 1  y  , x  y   e x y  y   e x y  y , y  e x  y  x  e x  y  y ,
откуда
y 
e x y  y
.
e x y  x
Ответ: а) y   
e x y  y
b2 x

; б) y  x y
.
e x
a2 y
Укажем основной способ - дифференцирование степенно-показательных
функций  , т. е. функций вида y  f  x g  x  .
Рассмотрим функцию
ln f x , при f x   0,
y  ln f x   
ln  f x , при f x   0.

Так как ln f x  
f x 
  f x  f x 

и ln  f x  
, то тогда имеем.
 f x 
f x 
f x 
ln f x    f x  .
f x 
(67)
Операция, состоящая в последовательном применении к функции f x 
сначала логарифмирования (по основанию e ), а затем дифференцирования,

Напомним, что степенно-показательные функции характеризуются наличием переменной как в основании
степени, так и в ее показателе.
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
называется
логарифмическим
дифференцированием.
называют
логарифмической
производной
f  x 
f x 
Отношение
функции
f x  .
Способ
логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения
производных сложных функций, а также степенно-показательных функций.
Рассмотрим сложную функцию
y  uv ,
где
u  f x 
и
v  g x 
-
дифференцируемые функции, f x   0 . Найдем производную функцию y  u v .
Логарифмируя левую и правую часть функции y  u v , получим
  , т. е. ln y  v ln u .
ln y  ln u v
Затем находим производные левой и правой части последнего равенства,
получаем
y
u
u 

 v ln u  v , откуда y   y v  ln u  v  .
u
y
u

Следовательно,
u 

y   u v  v ln u  v  .
u

(68)
Формула (68) может быть переписана в виде
y   u v  v ln u  vu   u v 1 .
(69)
Таким образом, основной прием логарифмического дифференцирования
состоит в том, что сначала находится логарифмическая производная функции, а
затем производная самой функции по формуле

f x   ln f x    f x  .
Пример
40.
Вычислите
производную
(70)
функцию,
используя
логарифмическое дифференцирование

y  1  x3

1 x
.
Решение. Применять правила дифференцирования невозможно, т. к. мы
имеем дело со степенно-показательной функцией.
Применим логарифмическое дифференцирование, для этого найдем
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ln y  ln 1  x 3

1 x
, ln y  1  x ln 1  x 3  .
Продифференцируем обе части последнего равенства, не забывая о том, что
y  y (x) .
y
1
3x 2
3
2
3
,
 ln(1  x )  1  x  
 3 x  ln(1  x ) 
y
1 x3
1 x  x2
тогда

3x 2 
.
y  y ln(1  x 3 ) 
1  x  x 2 

Таким образом,

3x 2 
.
y  (1  x3 )1 x  ln(1  x3 ) 
2 
1

x

x




3x 2 
.
1  x  x 2 
функции,
используя
Ответ: (1  x 3 )1 x  ln(1  x 3 ) 
Пример
41.
Вычислите
производную
логарифмическое дифференцирование
y
x
ex
2
3

7
 1  2 x 5
 2 13
 x2  x 1
.
Решение. В данном примере нет никаких ограничений для использования
правил дифференцирования, однако их применение может привести к
громоздким вычислениям и последующим преобразованиям. Применим
логарифмическое дифференцирование, для этого найдем
 x 3  17  2 x 5 
 , ln y  7 ln x 3  1  x  5ln 2  x 2  2  1 ln x 2  x  1 .
ln y  ln  2
 e x  2  13 x 3  x  1 
13








Дифференцируем обе части последнего равенства, помня о том, что y  y(x) .
y  21 x 2
2x 1
271 x 2  26 x 4  27 x  1
 3
 ln 2  2 x 

 ln 2 .
y x 1
13 x 2  x  1
13 x 3  1


Тогда
62


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y 
x

 271x 2  26 x 4  27 x  1


 ln 2  .
2
3
13 x  1
e x 2  13 x 2  x  1 

3
7
 1  2 x 5

Ответ:
x


 271x 2  26 x 4  27 x  1


 ln 2  .
2
3
13 x  1
e x 2  13 x 2  x  1 

3
7
 1  2 x 5


2.1.7. Некоторые особые случаи в нахождении производных
Установим понятие односторонней производной. Если рассматриваемое
значение x является одним из концов того промежутка X , на котором
определена функция y  f x  , то при вычислении предела отношения
y
x
ограничиваются приближением x к нулю лишь справа (когда речь идет о
левом конце промежутка) или слева (для правого конца промежутка). В этом
случае говорят об односторонней производной, справа или слева. В
соответствующих точках график функции имеет одностороннюю касательную.
Однако на практике встречаются случаи, когда и для внутренних точек
промежутка X существуют лишь односторонние производные. Для графика
функции в соответствующей точке будут существовать лишь односторонние
касательные, составляющие между собой некоторый угол. Точка в таком случае
называется угловой. Для пояснения этого момента разберем следующий
пример.
Пример 42. Рассмотрим функцию f x  x . Найдем приращение функции
в точке x  0 . По формуле (39) имеем
y  f 0  x  f 0  f x  x .
Так как область определения функции f x  - все действительные числа,
то рассмотрим два случая знаков приращения аргумента.
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если x  0 , то y  x и тогда lim y  1 , т. е. правосторонняя производная
x 0
x
равна 1. В случае, x  0 имеем: y  x и тогда lim y  1 (левосторонняя
x 0
x
производная).
Односторонние производные разных знаков, а это означает, что в точке
x  0 функция не имеет «обычной», двусторонней производной, а значит не
дифференцируема в этой точке. Для графика же функции
f x  x начало
координат является угловой точкой.
x0
Рис. 20
x0
Рис. 21
x0
Рис. 22
Аналогично с понятием односторонней производной устанавливается
понятие об односторонней бесконечной производной. Задача о проведении
касательной к графику функции в точке x 0 рассматривается и в этом случае,
однако все касательные параллельны оси ординат (см. рис. 20-22). На рис. 20
производная равна   , в этом случае односторонние производные одинаковых
знаков, а на рис. 21 и рис. 22 односторонние производные разных знаков.
Поясним сказанное на примере двух функций.
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
2

Пример 43. Пусть, например, f x   x 3 ; тогда при x  0 f x   1 x 3  1 2 .
3
3x 3
Однако найти производную в точке x  0 невозможно. Вычислим производную
в этой точке, пользуясь определением производной. Составим отношение
y f 0  x   f 0 x 3
1
,



2
x
x
x
x 3
1
а затем найдем значение предела
lim
x 0
y
1
 lim
  .
2

x

0
x
x 3
2
В случае же функции g x   x 3 , рассуждая аналогично, получим:
2 
2
y f 0  x   f 0 x 3
1
.
f x   x 3  1 ;



1
3

x

x

x
x 3
3x 3
2
1
Тогда в точке x  0 производная слева равна   , а справа   .
2.2. Приложения производной. Исследование функции с помощью
производной
2.2.1. Производная и экстремумы. Необходимое условие существования
экстремума
Теорема 38. Если в точке x 0 производная функции f положительна, т.е.
f ( x0 )  0 ,
то вблизи этой точки знаки приращения аргумента и приращения
функции f x   f x0  совпадают. Если же f ( x0 )  0 , то вблизи точки x 0 знаки
приращения аргумента и приращения функции противоположны.
Определение 48. Функция f x  имеет в точке x  x0 максимум, если в
некоторой окрестности точки
f  x0   f  x  ,
x0
при
x  x0
выполняется неравенство
т. е. если значение функции в этой точке x 0 больше всех значений
функции в этой окрестности и справа, и слева от точки x 0 .
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 49. Функция f x  имеет в точке x  x0 минимум, если в
некоторой окрестности точки
x0
при
x  x0
выполняется неравенство
f  x0   f  x  .
Точки максимума и минимума называются точками экстремума
функции *. Максимум и минимум функции характеризуют поведение функции
только в некоторой (достаточно малой) окрестности точки x 0 , т.е. в самой точке
и вблизи нее. Такие свойства функции называют локальными в отличие от
глобальных свойств, определяемых значениями функции на целом промежутке.
Функция может иметь несколько максимумов и минимумов, причем некоторый
минимум может оказаться больше некоторого максимума. Примером функции
с бесконечным количеством максимумов и минимумов является функция
y  sin x .
Теорема 39. В точке экстремума производная функции f x  либо равна
нулю, либо не существует.
Замечание. Равенство нулю производной в случае дифференцируемой
функции является только необходимым условием существования экстремума.
Поясним это на примере: производная функции y  x 3 , равная y   3x 2 , при
x  0 обращается в нуль, но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни
минимума.
Определение 50. Точка, в которой производная обращается в нуль,
называется стационарной  .
Таким образом, если функция имеет производную, то экстремумы
функции надо искать в стационарных точках.
Наряду со стационарными точками рассматривают также критические
точки – внутренние точки области определения, в которых производная равна
нулю или не существует.
*
От латинского слова «extremum» − крайнее (значение).
Следует указать, что рассматриваемая точка – внутренняя точка области определения.

66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.2.2. Исследование функции на возрастание и убывание. Достаточное
условие существования экстремума
Для того чтобы сформулировать достаточные условия существования
экстремума перейдем к изучению свойств функции на промежутке. Для этого
приведем несколько вспомогательных теорем.
Теорема 40 (теорема Ролля). Пусть
B
функция f непрерывна на отрезке a; b и
C
дифференцируема во внутренних точках этого
отрезка. Тогда существует внутренняя точка
A
f(a)
C этого отрезка, такая, что касательная к
f(b)
графику функции, проведенная в точке с
абсциссой
с,
параллельна
хорде
AB ,
a
где Aa; f a  и Bb; f b (рис. 23).
c
b
Рис. 23
Иными словами: на гладкой дуге AB , всегда есть точка C , в которой
касательная параллельна хорде, соединяющей концы дуги.
Теорема 41 (теорема Лагранжа). Пусть функция f x  непрерывна на
отрезке a; b и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Тогда
существует внутренняя точка с этого отрезка, такая, что
f b   f a 
 f c  .
ba
Следствие 1. Если функция
f
(71)
непрерывна на отрезке a; b , а ее
производная равна нулю внутри этого отрезка, то функция f постоянна на
a; b .
Следствие 2. Если функции  и  непрерывны на отрезке a; b и имеют
одинаковые производные внутри этого отрезка, то они отличаются лишь
постоянным слагаемым.
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 42. Если функция
непрерывна на промежутке I и ее
f
производная положительна во внутренних точках этого промежутка, то
функция f возрастает на I .
Теорема 43. Если функция
непрерывна на промежутке I и ее
f
производная отрицательна во внутренних точках этого промежутка, то функция
f
убывает на I .
Например, функция y  x 3  3x на интервалах  ;1 и 1;  возрастает, а
на интервале  1;1 убывает, так как ее производная y  3x 2  1  3x  1x  1 на
первых двух интервалах положительна, а на интервале  1;1 принимает
отрицательные значения.
Теорема 44. Если функция
непрерывна на промежутке I , а ее
f
производная неотрицательна (соответственно неположительна) внутри I и
равна нулю лишь в конечном множестве точек, то функция f возрастает
(соответственно убывает) на I .
Напомним, что если точка x 0 является критической точкой для функции
f x  , то точка x 0 представляется «подозрительной» на экстремум и подлежит
дальнейшему исследованию. Исследование состоит в проверке достаточных
условий для существования экстремума; укажем их.
Теорема 45. Если функция f x  непрерывна в точке x 0 , причем вблизи
этой точки слева от x 0 производная функции f x  положительна, а справа от
точки x 0 производная отрицательна, то x 0 − точка максимума функции f x  .
Теорема 46. Если функция f x  непрерывна в точке x 0 , причем вблизи
этой точки слева от x 0 производная функции f x  отрицательна, а справа от
точки x 0 производная положительна, то x 0 − точка минимума функции f x  .
Замечание. Если в некоторой окрестности стационарной точки
производная положительна (отрицательна) и справа и слева от точки x 0 , то в
этой точке функция экстремума не имеет.
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 44. Исследуйте на максимум и минимум (экстремумы) функцию
y  x 3  3x .
Решение. Область определения функции − все действительные числа.
Значит функция всюду имеет производную, равную y  3x 2  3 . Найдем
стационарные точки. Для этого надо найти нули производной, т. е. решить
уравнение 3x 2  3  0 , откуда x1  1 , x2  1.
Рассмотрим теперь знак производной в окрестности точки x  1 ,
например, в интервале  2;0 (рис. 24). Слева от x  1 производная
положительна, а справа − отрицательна. Поэтому по теореме 45 в точке x  1
функция
y  x 3  3x
имеет максимум, равный y 1  2 . Легко убедиться
аналогичными рассуждениями, что в точке x  1 рассматриваемая функция
имеет минимум, равный y1  2 .
y
y
−
+
-1
+
1
х
Рис. 24
Ответ: y m ax  1  2 , ym in 1  2 .
Пример 45. Найдите экстремумы функции f x   sin 3 x  cos3 x .
Решение. Производная функции существует везде:
f x   3 sin 2 x cos x  3 cos 2 x sin x  3 sin x  cos x  sin x  cos x  .
Функция имеет основной период равный 2 , поэтому достаточно указать
те стационарные точки, которые содержатся в промежутке 0;2  . Найдем их,
решив уравнение 3sin x cos xsin x  cos x   0 :
0,
5 3
 
, , ,
,
, 2 .
4
2
4 2
Известно, что при переходе через x  0 (рис. 25) функция y  sin x меняет
свой знак с плюса на минус, значит, множитель sin x также меняет свой знак с
минуса на плюс, а вся производная меняет знак с плюса на минус, так как два
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
последних множителя сохраняют вблизи x  0 знак минус. По теореме (45),
точка 0 − точка максимума.
-
-
+
5
4


2

4
0
-
+
х
+
2
3
2
Рис. 25

Множитель sin x  cos x  2 sin  x    , обращающийся в ноль при x  , при

4
4
переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс. То же будет и с
производной функции, так как первые два множителя положительны. По
теореме 46, точка

− точка минимума. Аналогично исследуются оставшиеся
4
стационарные точки
5 3

,,
,
и 2 ; все они поочередно являются точками
2
4
2
максимума и минимума. Подставляя их в аналитическое выражение для
функции f x  , получим сами максимумы и минимумы функции на промежутке
0;2 :

5
2
максимумы: f 0  f 2   1, f    1 , f     ,
2
 4 
2
3

2
минимумы: f    , f    1 , f    1 .
4
2
 2 
График функции y  sin 3 x  cos3 x изображен на рис. 26.
y  sin 3 x  cos3 x
Рис. 26
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ответ: f max 2n   f max 2  2n   1 , f m ax   2n   1 ,
2

2
 5

, f m in    2n   2 ,
f max
 2n   
2
 4

4
 2
 3

f min   2n   1 , f m in 
 2n   1 , n Z .
2


При определении экстремумов исследование знака производной вблизи
испытуемой точки можно заменить исследованием знака второй производной в
самой этой точке.
Теорема 47. Если функция f x  имеет производную в окрестности точки
x0
и вторую производную в самой точке x 0 и f x0   0 , то функция f x  имеет в
точке x 0 минимум, если же f x0   0 , то в точке x 0 − максимум.
Пример 46. Найдите экстремумы функции f x  
Решение. Производная функции f x   5
x 2  2x 1
x
2
 1
2
x 2  5x  6
.
x2 1
всюду существует (как и
сама функция) и обращается в нуль в точках x  1  2  0,41 и x  1  2  2,41 .
Дифференцируем производную функции, получим:
f x  
10x  1 20 xx 2  2 x  1
.

x 2  12
x 2  13
Второе слагаемое этого выражения обращается в ноль при x  1 2 и
x  1 2 ,
а
f  x 
Следовательно,


f 1 2 
положительна при
значение


f 1 2 
x 1
и отрицательна при
43 2
 7,04
42 2
есть
максимум,
x 1.
а
43 2
 0,03 − минимум.
42 2
График функции f x  
x 2  5x  6
x2 1
изображен на рис. 27. На рис. 28
представлено увеличение фрагмента графика функции f x  на промежутке, на
котором расположена точка минимума.
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f x  
x 2  5x  6
x2 1
Рис. 27
Рис. 28
Ответ: f max 1  2   4  3 2 , f m in 1  2   4  3 2 .
42 2
42 2
2.2.3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Теорема 48. Если функция
непрерывна на
f
отрезке a; b , то среди ее значений на этом отрезке есть
наибольшее и наименьшее.
Из теоремы 48 и следствия 1 теоремы 23 следует,
что множество значений, принимаемых непрерывной
функцией f на отрезке a; b , является отрезком m; M  ,
где m − наименьшее, а M − наибольшее из значений
функции f на отрезке a; b (рис. 29).
Сформулируем
Рис. 29
алгоритмическое
предписание*
для
нахождения
наименьшего и наибольшего значения непрерывной функции f x  на отрезке
a; b :
1) найти значения функции f x  на концах этого отрезка, т. е. числа f a  и
f b  ;
*
Алгоритмическое предписание мы определяем как определенного вида предписания (указания) о выполнении
некой системы операций или действий.
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2) найти значения функции f x  в точках, где производная функции f x 
равна нулю;
3) найти ее значения в точках, где функция f x  не имеет производной;
4) из всех найденных значений в пунктах 1)−3) выбрать наибольшее и
наименьшее значения функции f на отрезке a; b .
Обозначаются наибольшее и наименьшее значения функции f x  на
отрезке a; b соответственно max f x  и min f x  .
a;b 
a;b 
Пример 47. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
y
x2 1
на отрезке  2;1 .
x2 1
Решение. Данная функция непрерывна на отрезке  2;1 , значит среди ее
значений на этом промежутке найдутся наибольшее и наименьшее значения.
Производная данной функции равна
x
4x
2

1
2
и определена при всех значениях
x . Найдем значение функции на концах отрезка и в точке, где производная
равна нулю, т. е. в точке 0 :
3
f  2  , f 1  0 , f 0  1 .
5
Из найденных значений выбираем наименьшее и наибольшее значение
x2 1
3
функции y  2
на отрезке  2;1 : 1 и соответственно.
x 1
5
f  2  , min f 0  1 .
Ответ: max
2;1
 2;1
3
5
Отыскание наибольших и наименьших значений функции применяется
при решении многих задач, например, с геометрическим, экономическим или
физическим содержанием.
Замечание. В прикладных задачах чаще всего встречается простой
случай, когда между концами отрезка
a; b оказывается лишь одна
«подозрительная» точка x 0 . В таких случаях часто достаточно провести
исследование точки на экстремум, чем вычислять и затем сравнивать значения.
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если в точке x 0 функция имеет максимум (минимум), то без сравнения с
граничными значениями ясно, что это и будет наибольшее (наименьшее)
значение функции на заданном промежутке. Важно отметить, что сказанное
справедливо как для открытого промежутка a; b , так и для бесконечного
промежутка.
Пример 48. Дан прямоугольный лист жести (длина 80 см , ширина 50 см ).
Необходимо вырезать из всех углов одинаковые квадратики (рис. 30), так,
чтобы после загибания оставшихся кромок получилась открытая коробка
максимальной вместимости. Найдите объем такой коробки.
Решение. Обозначив через x длину стороны вырезаемого квадратика,
причем очевидно, что 0  x  25 , составим
выражение для объема получаемой коробки:
V ( x)  x(80  2 x)(50  2 x) .
Найдем производную функции V (x) ,
предварительно раскрыв скобки:
V ( x)  (4 x 3  260 x 2  4000 x)  12 x 2  520 x  4000
Рис. 30
.
Приравнивая V (x) к нулю, находим стационарные точки:
x1  10 , x2 
100
.
3
Тогда
V  x 
V x 
х
Рис. 31
Внутри интервала всевозможных значений x находится только x  10 . Эта
точка максимума функции (рис. 31). Отсюда следует, что функция V (x)
достигает наибольшего значения при x  10 :
Vmax  10 (80  20 )(50  20 )  18 000 .
Ответ: 18 000 (см 3 ) .
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 49. По прямой AB проходит железная дорога (рис. 32). В стороне
от нее на расстоянии l находится пункт C СD  l  . Требуется из C перевезти
груз в пункт, находящийся на железной дороге в направлении A на расстояние
R от D ( R достаточно велико). В какую точку M железной дороги выгоднее
привезти груз из пункта C , чтобы затем его отправить по железной дороге, если
стоимость перевозок на 1 км автотранспортом в m m  1 раз дороже, чем по
железной дороге?
Решение. Обозначив через x расстояние DM , получим:
CM  l 2  x 2 ,
где CM - путь, который проделает груз до железной дороги. Тогда по железной
дороге останется проехать расстояние R  x
(очевидно, что величина R  x неотрицательна).
Общая
стоимость
перевозок
будет
пропорциональна сумме
R  x  m l 2  x2 .
Обозначим эту сумму через S (x) и
найдем, при каком x 0  x  R  она достигает
Рис. 32
своего наименьшего значения. Производная функции S (x) равна
S ( x)  1  m 
1
2 l x
2
2
 2 x  1 
mx
l  x2
2
.
Приравнивая производную S (x) к нулю, получим:
mx
l x
2


x 2 m2 1  l 2 , x 
2
 1 , l 2  x 2  m 2 x 2 (очевидно, что mx  0 ),
l
m 1
2
l
(x 
m2 1
не удовлетворяет условию x  0 ).
Можно заметить, что
S ( x)  0 ,

l


l

если x   0; 2  и S ( x)  0 , если x   2 ; R  .
m 1 

 m 1 
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поэтому x 
l
m2 1
- точка минимума (единственная точка экстремума)
функции S ( x)  R  x  m l 2  x 2 на промежутке 0; R  . В этой же точке функция
S (x)
достигает своего наименьшего значения.
Ответ: Точка M , расположенна на расстоянии
l
от точки D .
m2 1
Пример 50. Дано деревянное бревно с круглым сечением диаметра d .
Требуется обтесать его так, чтобы получилась балка с прямоугольным сечением
наибольшей прочности.
Указание.
Прочность
прямоугольной
балки
пропорциональна
произведению основания прямоугольника в сечении балки на квадрат его
высоты.
Решение. Введем обозначения: b −основание прямоугольника в сечении
балки, h − высота прямоугольника. Из рис. 33 видно, что диаметр бревна d ,
основание b и высота h прямоугольника связаны соотношением: h 2  b 2  d 2 ,
откуда h 2  d 2  b 2 .

p  bh 2  b d 2  b 2
.
Обозначим функцию прочности через
p , причем
Таким образом p  pb  , где b −независимая переменная с
промежутком изменения 0; d  .
Исследуем
промежутке
функцию

pb   b d 2  b 2
0; d  . Производная

на
наибольшее
p  d 2  3b 2
обращается в нуль один раз внутри
С
этого
d
промежутка в точке b  . Вторая производная
3
p  6b  0
значение на
для всех b  0; b . По теореме 47 в А
h
b
d
В
D
d
точке b 
достигается максимум, а значит и
3
наибольшее значение.
С точки зрения алгебраического аппарата
Рис. 33
решение задачи себя исчерпало. Однако ответ
на поставленный вопрос не получен. Прибегнем к некоторым геометрическим
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
соображениям. Если b  d , то h  d , а значит h : b  d : d 2  2 :1 . На рис. 33
3
3
3
3
для прямоугольного треугольника ABC справедливо соотношение
т.е.
AC 2 AD
,

BC 2 BD
b
b2 1
1
b 2 bd
.
Но
 , значит d  . Если учесть что bd  hd  d , то становится

2
2
hd 2
2
h
hd
h
ясно, как построить требуемый прямоугольник: диаметр делится на три равные
части, в точках деления восстанавливаются перпендикуляры. В строительной
практике
обычно
предписывают
отношение
h : b  7 : 5;
это
и
есть
приблизительно значение 2  1,4142 ... .
Ответ: h : b  7 : 5 .
2.2.4. Исследование функций на выпуклость
На рис. 34 изображен график функции f x  , заданной на отрезке a; b .
Этот график расположен выше любой проведенной к нему касательной и имеет
с ней лишь одну общую точку. А график на рис. 35 лежит ниже любой
проведенной к нему касательной. В первом случае говорят, что график
функции обращен на заданном отрезке a; b выпуклостью вниз, а во втором –
обращен выпуклостью вверх.
Важно указать, что направление выпуклости определяется по отношению
к любой касательной, проведенной к
графику функции
f x  , заданной на
отрезке a; b (см. рис. 34 и 35).
Поэтому,
функции
говоря,
что график
f x  обращен на заданном
отрезке a; b выпуклостью вниз, будем
Рис. 34
Рис. 35
одновременно считать, что сама функция f x  является вогнутой на этом
отрезке, а, говоря, что график функции f x  обращен на заданном отрезке a; b
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
выпуклостью вверх, будем одновременно считать, что сама функция f x 
является выпуклой на этом отрезке.
Теорема 49. Пусть на отрезке a; b функция f x  непрерывна и внутри
этого отрезка f x   0 . Тогда график функции f x  обращен на этом отрезке
выпуклостью вниз, а функция f x  на отрезке a; b вогнута.
Теорема 50. Пусть на отрезке a; b функция f x  непрерывна и внутри
этого отрезка f x   0 . Тогда график функции f x  обращен на этом отрезке
выпуклостью вверх, а функция f x  на отрезке a; b выпукла.
Например, из курса алгебры старшей школы известно, что график
функции
y  ln x
обращен
выпуклость
вверх
на
промежутке
0;  .

1
1
Действительно, y  ln       2  0 для всех x  0;  . Тогда по теореме 50
 x
x
функция y  ln x выпукла на промежутке 0;  .
Ранее мы указали на взаимное расположение графика функции f x  на
отрезке a; b и касательной. Взаимное расположение выпуклого вверх и вниз
графика функции f x  на отрезке a; b и хорды устанавливает следующая
теорема.
Теорема 51. Если график функции f x  обращен на отрезке a; b
выпуклостью вниз (соответственно вверх), то внутри отрезка a; b этот график
расположен под (соответственно над) хордой АВ , где Aa; f a  , Bb; f b (рис.
36 и рис. 37 соответственно).
Определение 51. Точка M кривой Г называется точкой перегиба, если в
этой точке кривая переходит с одной стороны касательной (проведенной к
кривой Г в точке M ) на ее другую сторону.
Теорема 52. Если в точке с вторая производная функции f непрерывна и
отлична от нуля, то M c; f c  не является точкой перегиба для графика функции
f
.
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 36
Рис. 37
Из теоремы 52 следует необходимое условие того, чтобы в точке M
график функции имел перегиб.
Следствие. Для того чтобы график функции f имел перегиб в точке
M c; f c  ,
необходимо, чтобы либо вторая производная этой функции
обращалась в нуль c , либо чтобы c была для f  точкой разрыва, либо, наконец,
чтобы f  не существовала в точке c .
Сформулируем достаточное условие для существования точки перегиба.
Теорема 53. Пусть функция f имеет вторую производную в проколотой
окрестности точки c и дифференцируема в этой точке. Если при переходе через
точку c вторая производная функции f меняет знак, то M c; f c  является
точкой перегиба для графика функции f .
Пример 51. Исследовать направление выпуклости графика функции
y  x 3  6 x 2  12 x  4
и найти точки перегиба.
Решение. Найдем первую и вторую производные данной функции,
существующей
всюду:

y  x 3  6 x 2  12 x  4  3x 2  12 x  12


и
y   6 x  12 .
Неравенство y  0 справедливо на луче 2;  , а неравенство y  0 - на луче
 ;2 (рис. 38). Тогда по теоремам 49 и 50
график функции
y  x  6 x  12 x  4
3
2
на
луче  ;2 обращен выпуклостью вверх, а
на луче 2;  - выпуклостью вниз.
79
y 
y
_
_
2
Рис. 38
+
х
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вблизи точки x  2 слева y  0 , а вблизи справа − y  0 , а сама функция
дифференцируема в этой точке. Значит, вторая производная меняет знак при
переходе через точку x  2 , а, значит, по теореме 53 M 2;12  - точка перегиба.
Замечание. Точки перегиба обычно отделяют друг от друга участки, где
график функции обращен выпуклостью вверх, от точек, где он обращен
выпуклостью вниз.
2.2.5. Исследование функций и построение графиков функций
Обратимся к вопросу о построении графиков функций. Если необходимо
построить график непрерывной в конечном промежутке a; b функции y  f x  ,
то возможно использование так называемого способа построения «по точкам».
Однако его применение непригодно по двум причинам: во-первых, для
построения необходимо вычисление большего числа координат, что неудобно с
практической точки зрения; во-вторых, ввиду случайности выбираемых
абсцисс из указанного отрезка, неизвестные нам наперед особенности графика
функции f x  могут быть не выявлены. А при построении графика некоторой
функции нас, прежде всего, интересует максимально возможная точная
характеристика хода изменения самой функции. Если же известно, что функция
y  f  x  имеет на отрезке
a; b разрыв, то указанный способ непригоден
принципиально.
Таким образом, прежде чем строить график функции f x  , необходимо
исследовать поведение функции, выявив тем самым, особенности ее графика.
Методы дифференциального исчисления дают возможность
установить
некоторое число «опорных» точек, характерных только для данной функции. К
ним следует отнести экстремальные значения функции, точки, где касательная
к графику функции горизонтальна или вертикальна. С помощью найденных и
нанесенных на чертеж точек возможно построение графика, достаточно полно
отражающего ход изменения функции. Дальнейшее уточнение графика может
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
быть достигнуто, если учесть направления его выпуклости на отдельных
участках и положение точек перегиба.
Примерный план исследования функции таков:
1. Находят область определения функции f x  .
2. Определяют промежутки знакопостоянства.
3. Исследуют функцию на четность или нечетность.
4. Исследуют функцию на периодичность и если она такова, определяют ее
основной период.
5. Вычисляют точки пересечения графика функции с осями координат.
6. Находят точки разрыва. Исследуют поведение функции около точек
разрыва и на бесконечности; находят ее асимптоты.
7. Исследуют функцию на возрастание и убывание; находят точки
экстремумов функции.
8. Исследуют график на направление выпуклости и находят точки перегиба.
9. Находят множество допустимых значений функции.
10. Учитывая проведенное исследование, строят график функции.
Пример 52. Проведите полное исследование и постройте график функции
y
x2  4
.
x2  9
Решение.
1. Находим область определения. Функция определена на всей числовой
прямой, кроме тех значений x , при которых знаменатель x 2  9 обращается в
нуль, т. е. кроме точек x  3 и x  3 . Поэтому областью определения этой
функции
является
объединение
трех
открытых
интервалов,
т.
е.
D( y)   ;3   3;3  3;  .
2. Определяем промежутки знакопостоянства и знаки функции в этих
интервалах. Для этого решим, например, неравенство y  0 :
x2  4
 0  x  2x  2x  3x  3  0 .
x2  9
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Получаем, что функция положительна на совокупности интервалов
(;3)  (2;2)  (3;)
и отрицательна на (3;2)  (2;3) .
3. Функция является четной, так как при всех допустимых значениях x
область определения – симметричное множество и выполняется равенство
f (  x)  f ( x) .
Действительно
f  x  
 x 2  4  x 2  4  f x  .
 x 2  9 x 2  9
Следовательно, график данной функции симметричен относительно оси
ординат.
4. Данная функция не является периодической. Это вытекает хотя бы из
того, что интервалы области существования не повторяются периодически.
5. Нули данной функции получаем, решая уравнение y  0 , т. е. x  2 и
x  2 . Они являются абсциссами точками пересечения графика с осью Ox . Для
определения точки пересечения с осью ординат найдем значение функции в
4
9
точке x  0 : y   0,5 . Таким образом, график данной функции пересекает
4
9
координатные оси в точках A(2;0) , B(2;0) и C (0; ) .
6. Исследуем поведение функции в точках разрыва ( x  3 и x  3 ) для
нахождения вертикальных и наклонной асимптот. Так как график функции
симметричен, то исследование проведем только в точке с абсциссой x  3 .
x2  4 5
x2  4 5



lim
   .
,
x30 x 2  9
x3 0 x 2  9
0
0
lim
Для определения знаков бесконечностей мы воспользовались данными п. 2.
настоящего исследования: на интервале 2;3 функция отрицательна, а на
интервале 3;  - положительна, значит, при x  3 0 y   , а при x  3 0
y   . Значит x  3 - вертикальная асимптота (в силу четности функции и
прямая x  3 также вертикальная асимптота).
Исследуем поведение функции при x   .
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x2 4x2
4
 2
1 2
2
x 4
x 1,
lim
 lim x 2 x  lim
x   x 2  9
x   x
x


9
9
1


x2
x2 x2
2
x2 4x2
4
 2
1 2
2
x 4
x 1.
lim
 lim x 2 x  lim
x   x 2  9
x   x
x


9
9
1


x2
x2 x2
2
Таким образом, искомая кривая имеет горизонтальную асимптоту y  1 .
7. Для нахождения экстремальных значений и интервалов монотонности
функции вычислим производную данной функции:
y 
Очевидно,



2x x2  9  2x x2  4
x
что
2
9

2
y  0
  2xx
при
2
 9  x2  4
x
2
9

2

x
10x
2
9

2
.
x  0.
Производная может изменить свой знак,
либо в стационарных точках, либо в точках
y
-3
0
3
x
y
разрыва, т. е. в точках x  3 , x  3 (рис.
Рис. 39
39).
Таким образом, функция возрастает на интервале  ;3 и на интервале
 3;0 , убывает на интервале 0;3 и на 3;  . Точка
4
C (0; ) , являющаяся точкой
9
4
9
пересечения с осью ординат, - точка максимума, т. е. ymax(0)  .
8. Вычислим y для нахождения точек перегиба и интервалов выпуклости
вверх и вниз:
y  10
x 9  x  2  x
2
2
2
( x 2  9) 4

 9  2x
x
 10
2

x
 9 x2  9  4x2
83
2
9

4
  10  3x  9  30x  1 .
x  9 x  9
2
2
2
3
2
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким
образом,
на интервалах
 ;3 и 3;  - график функции
обращен
интервале
выпуклостью
вниз,
а
на
y 
+
-3
−
3
+
x
y
 3;3 - выпуклостью вверх.
Рис. 40
Точек перегиба нет (рис. 40).
9. Множество значений функции есть совокупность промежутков

4
  ;   1; .
9

10. Учитывая проведенное исследование, строим график функции
y
x2  4
(рис. 41).
x2  9
x2  4
y 2
x 9
y 1
С
В
А
x  3
x3
Рис. 41
Пример 53. Проведите полное исследование и постройте график функции
1
y  ex .
Решение.
1. Областью определения функции является любое число, кроме x  0 , т.е.
D( y)   ;0  0;  .
2. При всех допустимых значениях x функция положительна.
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
y ( x)  e

1
x
 f ( x),

 f ( x).
4. Функция не является периодической, хотя бы потому, что точка
разрыва x  0 не повторяется периодически.
5. Нулей у функции нет, как и точек пересечения с координатными осями.
6. Исследуем поведение функции в точке разрыва x  0 . Имеем
1
lim e x  0 , так как в этом случае
x00
1
x
1
  ,
x
1
  .
x
lim e   , так как
x00
Вертикальных асимптот нет.
Исследуем поведение функции при x   .
1
x
1
x
lim e  1 , lim e  1 ,
x
так как в обоих случаях
x
1
 0 , тогда y  e0  1 . Значит y  1 - горизонтальная
x
асимптота.
7. Для нахождения точек экстремума и интервалов монотонности
функции вычислим y  :
1
x
y  e  ( 
1
x
1
e
) 2 .
2
x
x
Очевидно, что при всех допустимых значениях x производная отрицательна и,
следовательно, функция убывает на интервале  ;0 и на интервале 0;   .
Экстремальных значений функция не имеет.
8. Вычислим y :
 1

y    e x  x 2 



y 
1
1
 1x

 e
2e x  e x 1  2 x 
.
    4  3  
4
x
x
x




− -0,5
+
0
y
Рис. 42
Легко видеть, что знак второй производной меняется в точке x  0,5 .
85
+
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, на интервале  ;0,5 график функции обращен
выпуклостью вверх, а на интервале  0,5;0 и на интервале 0;   - выпуклостью
вниз (рис. 42). Точка перегиба A 0,5; e 2 . Для построения этой точки
приблизительно оценим e2  0,14 .
10. График функции y  e
1
x
изображен на рис. 43. На рис. 44, где
представлено увеличение фрагмента графика, отчетливо видно изменение
направления выпуклости.
ye
1
x
y 1
Рис. 43
Рис. 44
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Библиографический список
1. Виноградова, И. А. Задачи и упражнения по математическому анализу в 2-х
кн. кн. 1: дифференциальное и интегральное исчисление функций одной
переменной [Текст]: учеб. пособие для ун-тов, пед. вузов. И. А.
Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий. – 2-е изд., перераб. – М.:
Высш. шк., 2000. – 350 с.
2. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа [Текст]:
учеб. пособ. для вузов / Г.Н. Берман. – 16-е изд. – М.: Наука, 1969. – 440 с.
3. Бугров, Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Я.С. Бугров,
С.М.Никольский. - М.: Наука, 1980. – 320 с.
4. Бугров, Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды.
ФКП. [Текст] / Я.С. Бугров, С.М. Никольский – М.: Наука, 1981. – 345 с.
5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]. В 2-х т.
Т. 1 / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. - М: Высшая школа,
2003. - 304с.
6. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]. В 2-х т.
Т. 2 / П.Е.Данко, А.Г. Попов, - М: Высшая школа, 2003. - 415с.
7. Егармина, Н.Н. Математический анализ [Текст]: учеб. пособие для
студентов-заочников
физико-математических
факультетов
высших
педагогических учебных заведений. / Н. Н.Егармина, А. С. Калитвин. –
Липецк: 1995. − 117 с.
8. Кальницкий, Л.А. Специальный курс высшей математики для втузов [Текст]
/ Л.А. Кальницкий, Д.А.Добротин, В.Ф. Жевержеев. - М.: Высш. шк., 1976.390 с.
9. Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)
[Текст] / Л.А.Кузнецов [и др.]. - М.: Высш. ш. , 1994.- 206 с.
10. Кустов, Ю.А.Основы математического анализа: теория, примеры, задачи
[Текст] / Ю.А.Кустов, М.Г. Юмагулов, М.:Рольф. - Айрис-пресс, 1998.-272
с.
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов
[Текст] / Н.С.Пискунов. - М.: Наука, 1985. – 314 с.
12. Рябушко, А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике
[Текст] В 2-х т. Т.1 / А.П. Рябушко [и др.]. - Минск.: Вышейшая школа,
1990.- 272 с.
13. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления
[Текст]. В 3 т. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц – СПб.: Лань, 1997. – 672 с.
14. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа [Текст]: учебник для
вузов / Г. М. Фихтенгольц. Часть 1. 9-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2008. –
448 с.
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Семиряжко Вера Александровна
Производная и её приложения
Учебное пособие
Редактор Г. В. Казьмина
Подписано в печать
Формат 60 x84 1/16. Бумага офсетная.
Ризография. Объём 5,6 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ №
Издательство Липецкого государственного технического университета.
Полиграфическое подразделение Издательства ЛГТУ.
398600 Липецк, ул. Московская, 30.
89
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
215
Размер файла
1 514 Кб
Теги
2106, производной, приложение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа