close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2277.Исследование линейных электрических цепей

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Н.Г. Семенова, Н.Ю. Ушакова, Л.А. Семенова
ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Рекомендовано Ученым советом федерального государственного бюджетного
образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет» в качестве учебного пособия к
лабораторному практикуму для студентов, обучающихся по программам высшего
профессионального образования по направлению подготовки 140400.62
Электроэнергетика и электротехника
Оренбург
2014
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 621.3.01(07)
ББК 31.21я7
С 93
Рецензент - кандидат технических наук, доцент В. М. Вакулюк
С 93
Семенова, Н. Г.
Исследование линейных электрических цепей : учебное пособие
к лабораторному практикуму / Н. Г. Семенова, Н. Ю. Ушакова,
Л. А. Семенова; Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2014.
– 136 с.
Учебное пособие предназначено для выполнения лабораторных работ
по следующим разделам дисциплины «Теоретические основы электротехники»: линейные электрические цепи постоянного тока, синусоидальные
однофазные и трехфазные цепи, а также несинусоидальные цепи.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению 140400.62 Электроэнергетика и электротехника и может быть
использовано студентами, обучающимися по другим направлениям подготовки всех форм обучения.
УДК 621.3.01(07)
ББК 31.21я7
© Семенова Н.Г.,
Ушакова Н.Ю.,
Семенова Л.А., 2014
© ОГУ, 2014
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Введение......................................................................................................................... 4
1 Лабораторная работа № 1. Изучение элементов электрической цепи постоянного
тока.................................................................................................................................. 6
2 Лабораторная работа № 2. Исследование законов Кирхгофа................................ 17
3 Лабораторная работа № 3. Исследование принципа наложения .......................... 28
4 Лабораторная работа № 4. Исследование неразветвленной электрической цепи
синусоидального тока ................................................................................................... 32
5 Лабораторная работа № 5. Исследование разветвленной электрической цепи
синусоидального тока ................................................................................................... 46
6 Лабораторная работа № 6. Исследование резонанса напряжений........................ 54
7 Лабораторная работа № 7. Исследование электрических цепей со взаимной
индуктивностью............................................................................................................. 64
8 Лабораторная работа № 8. Исследование воздушного трансформатора ............. 75
9 Лабораторная работа № 9. Исследование трехфазной цепи при соединении
приемников звездой ...................................................................................................... 82
10 Лабораторная работа № 10. Исследование трехфазной цепи при соединении
приемников треугольником.......................................................................................... 98
11 Лабораторная работа № 11. Гармонический анализ несинусоидального
напряжения …………………………………………………………………………. 106
Задачи для самостоятельного решения …………...……………………………… 120
Список использованных источников .......................................................................136
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Учебное пособие предназначено для выполнения лабораторных работ по
дисциплине «Теоретические основы электротехники» для бакалавров по направлению подготовки 140400.62 Электроэнергетика и электротехника, профили подготовки: Электроснабжение, Электрические станции, Электромеханика, Электропривод и автоматика.
Учебное пособие содержит описания лабораторных работ по установившимся режимам линейных электрических цепей и задания по их выполнению с учетом специфики комплектации стендов и возможностей реализации на
них цели каждой из лабораторных работ. В начале описания каждой лабораторной работы представлены краткие теоретические сведения по данной теме, а в
конце – вопросы и задания для самоконтроля.
Общие правила работы в электротехнической лаборатории
1. В лаборатории необходимо соблюдать тишину, чистоту и порядок.
2. Перед занятием в лаборатории студенты обязаны прослушать инструктаж, познакомиться с оборудованием и изучить правила техники безопасности.
3. Для выполнения работ студенты объединяются в постоянные бригады по
2-3 человека.
4. К предстоящей лабораторной работе студенты готовятся заранее, ознакомившись с описанием работы и рекомендованной литературой. Результаты
подготовки записываются в тетрадь протоколов, наличие которой обязательно для
каждого студента.
5. В тетрадь протоколов при подготовке необходимо внести цель работы,
основные соотношения, схемы, заготовки таблиц, ответы на контрольные вопросы.
6. По результатам выполненной работы каждым студентом аккуратно
оформляется отчёт. В отчёте приводятся: цель работы, электрическая схема, ос4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
новные соотношения, таблицы с результатами сьопытов и расчётов, примеры
расчётов, графики зависимостей, сопровождаемые пояснениями, анализ полученных результатов и выводы.
7. Преподаватель принимает отчёты по предыдущей работе и проверяет готовность студента к предстоящей работе. Неподготовленные студенты, у которых отсутствуют отчёты или тетрадь протоколов, к работе не допускаются.
8. Получив допуск к работе, студенты собирают цепь на закреплённом за
ними рабочем месте. Собранная цепь предъявляется на проверку преподавателю.
Н е д о п у с к а е т с я включение цепи без разрешения преподавателя.
9. После проверки цепи преподавателем студенты приступают к экспериментам, которые проводят с соблюдением правил техники безопасности. Результаты наблюдений и вычислений вносятся в таблицы протокола.
10. По окончании работы протокол предъявляется преподавателю.
11. Только после подписи протокола преподавателем, студенты разбирают цепь.
12. После выполнения работы электрическая цепь должна быть разобрана,
рабочее место убрано, дополнительные приборы сданы преподавателю.
13. На основании протоколов студенты производят обработку результатов
наблюдений и оформляют отчёты.
Меры безопасности
1. Сборка электрических цепей производится проводами с исправной
изоляцией при отключённом напряжении.
2. Включение собранных цепей в работу производится только с разрешения
преподавателя.
3. Касаться руками клемм, открытых токоведущих частей приборов и аппаратов при включённом напряжении запрещается .
4. Все переключения в электрических цепях и их разборку необходимо
производить только при отключенном напряжении.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 Лабораторная работа № 1. Изучение элементов
электрической цепи постоянного тока
1.1 Цель работы: Экспериментальное определение основных параметров
и характеристик источников и приемников электрической энергии постоянного тока.
1.2 Краткие теоретические и практические сведения
Электрическим током проводимости называется явление движения заряженных частиц под действием электрического поля в веществе, обладающем
электропроводностью. Если величина и направление тока неизменны во времени,
то такой ток называется постоянным.
Элементами цепи постоянного тока являются источники энергии, приемники (активные сопротивления) и соединительные провода, рисунок 1.1. Кроме этого электрическая цепь может содержать выключатели, предохранители, электрические измерительные приборы (амперметры, вольтметры, ваттметры и пр.) и
другие элементы.
Рисунок 1.1 – Схема простейшей электрической цепи
Приборы для измерения тока – амперметры, включаются в электрическую
цепь последовательно, внутреннее сопротивление амперметров равно нулю:
rвнА = 0 .
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приборы, измеряющие напряжение – вольтметры, включаются параллельно, внутреннее сопротивление вольтметров равно бесконечности:
rвнV = ∞ .
Для измерения мощности применяются ваттметры. Ваттметры имеют две
обмотки:
- неподвижную токовую обмотку, которая включается в цепь последовательно, подобно амперметру;
- подвижную обмотку напряжения, в цепь включается параллельно, подобно
вольтметру.
Зажимы токовой обмотки и обмотки напряжения, отмеченные звездочкой,
называются одноименными.
Источники электрической энергии, называемые активными элементами
цепи, преобразуют различные виды энергии (механическую, химическую, тепловую и др.) в электрическую. К числу источников электрической энергии относятся источники ЭДС (напряжения) и источники тока.
Источник ЭДС.
Источник ЭДС характеризуется величиной электродвижущей силы E и
внутренним сопротивлением r0, значения которых не зависят от величины тока
во внешней цепи, подключенной к этому источнику. Внутреннее сопротивление
источника r0 определяет потери энергии внутри источника. Как правило, внутреннее сопротивление источника ЭДС, по сравнению с сопротивлением внешней
цепи, очень мало (r0 << Rн). Поэтому часто внутренним сопротивлением источника пренебрегают, что приводит к понятию идеального источника ЭДС. Идеальный источник ЭДС имеет лишь один параметр – электродвижущую силу E,
рисунок 1.2,а. Реальный источник ЭДС имеет внутреннее сопротивление отличное от нуля, может быть представлен в виде последовательного соединения идеального источника ЭДС и внутреннего сопротивления r0 , рисунок 1.2,б.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 1.2 – Условные графические обозначения идеального (а) и реального (б) источников ЭДС
В зависимости от направления преобразования энергии источники могут
работать в режиме генератора или в режиме потребителя. Если различные виды
энергии в источнике преобразуются в электрическую, то данный источник работает в режиме генератора. Направления ЭДС и тока в источнике, работающем в
режиме генератора, совпадают. Если в источнике электрическая энергия преобразуется в другие виды энергии, то такой источник является потребителем электрической энергии (например, аккумулятор в режиме зарядки). Направление ЭДС
и тока в источнике, работающем в режиме потребителя, противоположны.
Источник электрической энергии характеризуется графической зависимостью напряжения на его зажимах от силы тока U = f (I) . Эта зависимость называется вольт-амперной или внешней характеристикой источника.
На рисунке 1.3 приведены две внешние характеристики: реального источника
(а) – источника напряжения; идеального источника (б) – источника ЭДС.
Рисунок 1.3 – Внешние характеристики источника напряжения (а) и источника ЭДС (б)
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Внешняя характеристика источника напряжения имеет падающий характер,
что следует из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для простейшей электрической цепи (см. рисунок 1.1).
U = E - r0 · I ,
(1.1)
где E и r0 – ЭДС и внутреннее сопротивление источника энергии;
U – напряжение на зажимах источника.
В соответствии с (1.1) уменьшение напряжения U на зажимах источника с
увеличением тока I связано с внутренними потерями напряжения (слагаемое
∆ U = r0 · I ).
Из уравнения (1.1) следует также вывод: значение напряжения U на зажимах источника при отсутствии тока (режим холостого хода) численно равно
значению ЭДС E :
Uхх = E ,
при
I = 0.
(1.2)
Соотношение (1.2) используется на практике. Если к зажимам источника в
разомкнутой цепи подключить вольтметр с большим внутренним сопротивлением, то вольтметр покажет значение ЭДС источника т.к. потребляемый вольтметром ток будет пренебрежительно мал, и слагаемым ∆ U = r0 · I можно пренебречь.
Внешняя характеристика идеального источника энергии (источника ЭДС)
имеет вид прямой, параллельной оси абсцисс (рисунок 1.3,б). Такой источник не
имеет внутренних потерь (r0 ≈ 0) и значения ЭДС и напряжения на нем совпадают.
Источник ЭДС отдает в цепь мощность, рассчитываемую как:
Pист = E ⋅ I .
Единица измерения мощности P – Вт (Ватт).
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Источник тока.
Под источником тока понимают такой активный элемент электрической
цепи, ток, на выходе которого не зависит от нагрузки. Различают идеальные источники тока и реальные. Графическое обозначение идеального источника тока
представлено на рисунке 1.4 а).
а)
б)
Рисунок 1.4 - Графические обозначения идеального (а) и реального (б) источников токов
Идеализированный источник тока
создает
ток J = I, не зависящий от
сопротивления нагрузки, к которой он подсоединен. Напряжение на зажимах идеального источника напряжения UJ и его внутренне сопротивление Rвн равны
бесконечности. Отношение двух бесконечных величин
UJ /Rвн равно конечной
величине – току J источника тока. Такой идеализированный источник способен отдавать во внешнюю цепь неограниченную мощность. Вольт-амперная характеристика идеального источника тока показана на рисунке 1.5 а).
а)
б)
Рисунок 1.5 – Внешние характеристики идеального (а) и реального (б) источников токов
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В реальном источнике тока присутствует внутренняя проводимость gвн, рисунок 1.4 б). С ростом напряжения на нагрузке растет ток, ответвляющийся во
внутреннюю проводимость, и уменьшается ток во внешней цепи. Вольт-амперная
характеристика реального источника тока показана на рисунке 1.5 б).
Пассивные элементы.
В цепях постоянного тока пассивными элементами цепи являются сопротивления проводов и приемников электрической энергии или нагрузки, в которых
происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую или другого вида энергию. При рассмотрении основных процессов, происходящих в электрических цепях постоянного тока, в качестве пассивных элементов цепи (нагрузки) используют, как правило, резисторы. Условное графическое
обозначение резисторов приведено на рисунке 1.4.
Рисунок 1.6 – Условное графическое обозначение нерегулируемого (а)
и регулируемого (б) резисторов
Электрическое сопротивление резистора равно отношению напряжения на
участке электрической цепи к току в нем, при отсутствии на этом участке ЭДС
R=
U
.
I
(1.3)
Определение величины электрического сопротивления резисторов по известным значениям напряжения и тока носит название метода амперметра и
вольтметра.
Величина обратная электрическому сопротивлению называется электрической проводимостью и может быть рассчитана следующим образом:
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
g=
1 I
= ,
R U
1/Ом = См (Сименс).
(1.4)
Резистором потребляется мощность Pпр, определяемая по формулам:
Pпр = R ⋅ I 2 ; Pпр = G ⋅ U 2 ; Pпр = U R I ,
где UR - напряжение на резисторе.
1.3 Описание лабораторной установки
Источниками электрической энергии являются реальные источники питания постоянного тока Б5-44А (источник ЭДС) и модель идеального источника тока (J= 10 мА, U = (0 -60) В). В качестве приемника электрической энергии используется переменный резистор R1. Для измерения токов применяется миллиамперметр М42300 с пределом измерения до 100 мА. Для измерения напряжений
используется цифровой мультиметр ВР-11А.
1.4 Рабочее задание
1.4.1 Исследование идеального и реального источника тока.
1.4.1.1 Собрать электрическую цепь в соответствии с рисунком 1.7, и после
проверки ее преподавателем, подключить к модели идеального источника тока:
J = 10 мА, U = (0 - 60) В.
Рисунок 1.7 – Электрическая схема для исследования идеального источника
тока
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.4.1.2 Изменяя значения сопротивления R1 снять 6-7 значений тока и напряжения на резисторе. Результаты измерений свести в таблицу 1.1.
Таблица 1.1 - Результаты измерений
I, А
U, В
R1, Ом
g1, См
1.4.1.3 Собрать электрическую цепь в соответствии с рисунком 1.8. Изменяя значения сопротивления R1 снять 6-7 значений тока и напряжения на резисторе. Результаты измерений свести в таблицу 1.2.
Рисунок 1.8 – Электрическая схема для исследования реального источника
тока
Таблица 1.2 - Исследование реального источника тока
Эксперимент
Расчет
I1
I2
I3
U
R1
R2
А
А
А
В
Ом
Ом
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.4.2 Исследование идеального и реального источника ЭДС.
1.4.2.1 Собрать электрическую цепь в соответствии с рисунком 1.9, и после
проверки ее преподавателем, подключить к источнику питания постоянного тока
напряжением 15 В.
1.4.2.2 Установить тумблер резистора R1 в положение при котором амперметр покажет номинальный ток. Измерить ток источника и напряжение на его зажимах в замкнутой электрической цепи. После этого перевести тумблер резистора R1 при котором амперметр покажет ноль. Измерить ЭДС источника. Результаты измерений занести в таблицу 1.3.
Таблица 1.3 – Определение параметров активного элемента цепи
Измерено
Е, В
UН, В
IН, А
P, Вт
Вычислено
r0, Ом
1.4.2.3 Собрать электрическую цепь в соответствии с рисунком 1.9, и после
проверки ее преподавателем, подключить к регулируемому источнику питания
постоянного тока.
*
*
W
R
A
+
=E
V
-
Рисунок 1.9 – Исследуемая электрическая схема
1.4.2.4 Плавно регулируя напряжение источника снять 6-7 значений тока,
напряжения на резисторе и мощность. Результаты измерений свести в таблицу 1.4.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 1.4 - Определение характеристики пассивного элемента цепи
Измерено
Вычислено
E
UR
I
P
R1
g1
Pист
Pпр
В
В
А
Вт
Ом
См
Вт
Вт
1.5 Обработка результатов опытов
1.5.1 По данным таблицы 1.1 рассчитать:
- сопротивление R1 ;
- проводимость g1;
1.5.2 По данным таблицы 1.1 построить вольт-амперную характеристику
модели идеального источника тока.
1.5.3 По данным таблицы 1.4 построить вольт-амперную характеристику
пассивного элемента (резистора).
1.5.4 По данным таблицы 1.4 рассчитать:
- сопротивление R1 ;
- проводимость g1;
- мощность, отдаваемую в цепь источником Pист, сравнить полученное
значение с показанием ваттметра;
- мощность, потребляемую резистором Pпр, сравнить полученное значение
с показанием ваттметра.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.6 Контрольные вопросы
1.6.1 Что называют активным элементом электрической цепи? Какими основными параметрами он характеризуется?
1.6.2 Что называется электрическим током, в каких единицах он измеряется?
1.6.3 Приведите уравнение и график ВАХ резистивного элемента.
1.6.4 Чему равно внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС?
1.6.5 Чему равно внутреннее сопротивление идеального источника тока?
1.6.6 Чем отличаются реальные источники от идеальных?
1.6.7 Назовите основные элементы простейшей электрической цепи и поясните их назначение.
1.6.8 Как включается в электрическую цепь амперметр? Какому основному
требованию он должен удовлетворять?
1.6.9 Что произойдет, если включить амперметр параллельно источнику
(нагрузке)?
1.6.10 Дайте определение резистивного элемента электрической цепи. Какие
процессы происходят в нем при протекании электрического тока?
1.6.11 Как включается в электрическую цепь вольтметр? Какому основному требованию он должен удовлетворять?
1.6.12 Приведите уравнения и графики внешних характеристик идеального
и реального источников ЭДС.
1.6.13 Что называют генераторным режимом работы источника и чем он характеризуется?
1.6.14 Что называют электрическим напряжением? Каким прибором, и в
каких единицах оно измеряется?
1.6.15 Дайте определение электрической проводимости. В каких единицах
она измеряется?
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 Лабораторная работа №2. Исследование законов Кирхгофа
2.1 Цель работы: экспериментально проверить справедливость законов
Кирхгофа, освоить методики измерения потенциалов точек цепи и построения
потенциальной диаграммы.
2.2 Основные теоретические положения
2.2.1 Основные топологические понятия и соотношения
Под топологией (геометрией) понимают способ соединения элементов:
последовательное, параллельное.
Схема электрической цепи – графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов и показывающее соединения
этих элементов.
В схеме выделяют ветви, узлы и контуры.
Ветвью называют участок электрической цепи в котором, ток имеет одно и
то же значение.
Узел – место соединения трех и более ветвей.
На схеме узел представляют в виде жирной точки.
Соединение (электрическое) – место соединения элементов электрической
цепи между собой.
Контур – последовательность ветвей электрической цепи, образующая
замкнутый путь, в которой один из узлов одновременно является началом и концом пути, а остальные встречаются только один раз.
Независимый контур – контур, отличающийся от других хотя бы одной
новой ветвью.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.1 – Электрическая схема
Для схемы, приведенной на рисунке 2.1, число узлов у = 4, число ветвей в
= 7, седьмая ветвь содержит источник тока. Узлы вида 1 и 3 называют разнесенными.
2.2.2 Законы Кирхгофа
Электрический процесс в любой сложной цепи может быть описан с помощью уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа относится к узлам, является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в узле заряд одного знака в любой момент
времени не может ни накапливаться, ни убывать. Первый закон Кирхгофа формулируется так:
Первая формулировка: Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.
n
∑ Ik = 0 .
k =1
При этом токи, направленные от узла принято записывать с одним знаком,
а направленные к узлу с противоположным знаком. Например, для узла электри-
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ческой цепи, представленного на рисунке 1.2, уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа, имеет вид:
Рисунок 2.2 – Узел электрической цепи.
I1 − I 2 − I 3 − J 2 + J1 + I 4 = 0 .
Если токи источников перенести в правую часть, то получим:
I1 − I 2 − I 3 + I 4 = J 2 − J1 .
Вторая формулировка: Сумма подтекающих к любому узлу токов равна
сумме утекающих от узла токов.
Для рисунка 2.2:
J1 + I1 + I 4 = J 2 + I 2 + I 3 .
Второй закон Кирхгофа относится к замкнутым контурам, формулируется следующим образом:
В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжений
на сопротивлениях равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур.
∑ Rk ⋅ I k = ∑ En .
k
n
С плюсом берут те слагаемые, которые совпадают с направлением обхода
контура, выбранным произвольно, а с минусом – против обхода.
Если сложная цепь имеет в - ветвей и у - узлов, то для ее расчета необходимо составить m независимых уравнений. По первому закону можно составить
(у – 1) - независимых уравнений для любых узлов. Остальные k = в – у + 1
уравнения, составляются по второму закону для независимых контуров.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Примечание: Если электрическая цепь содержит ветвь с идеальным источником тока, то количество уравнений в системе, составленной по законам Кирхгофа, будет на одно меньше, чем количество ветвей. Это объясняется тем, что количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных токов, а в ветви
с идеальным источником тока значение тока известно, оно равно значению источника тока.
2.2.3 Алгоритм расчета токов по законам Кирхгофа
1. Пронумеровать и обозначить узлы схемы.
2. Выбрать и обозначить на схеме направления неизвестных токов в ветвях.
3. Выбрать независимые контуры и обозначить на схеме направления их
обхода.
4. Составить систему уравнений по законам Кирхгофа, в которой:
- (у – 1) - уравнений составляются по первому закону Кирхгофа;
- (в – вит)-(у – 1) - по второму закону Кирхгофа.
5. Решить полученную систему уравнений любым методом и найти
неизвестные токи.
Пример:
Для схемы, представленной на рисунке 2.3 записать систему уравнений по
законам Кирхгофа.
Рисунок 2.3 – Схема электрической цепи.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Схема содержит пять узлов (а, b, c, d, m), следовательно, на основании первого закона Кирхгофа записываем четыре уравнения. В схеме девять ветвей, но две из них содержат источники тока Jk1 и Jk3 , поэтому неизвестных токов в цепи семь и на основании второго закона Кирхгофа составляем три уравнения:
2.2.4 Баланс мощности
Для проверки правильности расчета сложной цепи составляется баланс
мощности, который основывается на законе сохранения энергии. Сущность баланса мощности заключается в том, что мощность выделяемая источниками
должна полностью потребляться приемниками (нагрузкой):
Рист = Рприем
В общем виде баланс мощности можно записать в следующем виде:
n
n
n
∑ Es ⋅ I s + ∑ J k ⋅ U J k = ∑ Rm ⋅ I m2
s =1
k =1
(2.1)
m =1
где s – номер ветви;
n – число ветвей;
∑ Es ⋅ I s
- алгебраическая сумма мощностей источников ЭДС. Слагаемые
вида Es ⋅ I s берутся с плюсом, если направления Es совпадает с направлением Is, в
противном случае с минусом;
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∑ J k ⋅ U J k - алгебраическая сумма мощностей источников тока,
где UJ – напряжение на зажимах источника тока. Мощность источника тока
берется со знаком «плюс», если напряжение на зажимах источника тока противоположно по отношению к направлению источника тока, рисунок 2.4 а) в противном случае со знаком «минус», рисунок 2.4, б);
n
∑ Rm ⋅ I m2
- арифметическая сумма мощностей, которые выделяются на со-
m =1
противлениях цепи, включая внутренние сопротивления источников.
ϕ1
ϕ1
ϕ2
ϕ2
а)
б)
Рисунок 2.4 – Источник тока
2.2.5 Потенциальная диаграмма
Под потенциальной диаграммой понимают график распределения потенциала вдоль какого либо участка цепи или замкнутого контура.
По оси абсцисс откладывают последовательно
значения сопротивлений
вдоль контура, начиная с какой-либо произвольной точки, потенциал, которой
принимают равным нулю, а по оси ординат откладывают значения рассчитанных
потенциалов.
Каждой точке участка цепи соответствует своя точка на потенциальной диаграмме. По потенциальной диаграмме можно:
1. Определить напряжение (разность потенциалов) между двумя любыми
точками схемы.
2. Произвести графическую проверку по второму закону Кирхгофа.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При построении потенциальной диаграммы необходимо придерживаться
следующих правил:
1. Потенциальная диаграмма возрастает, если направление обхода электрической цепи совпадает с направлением ЭДС, так как ЭДС направлена в сторону
большего потенциала.
2. При прохождении сопротивления потенциальная диаграмма уменьшается, если направление обхода совпадает с направлением тока через это сопротивление, так как ток направлен от большего потенциала к меньшему.
Рассмотрим последовательность построения потенциальной диаграммы
на примере разветвленной электрической цепи.
Пример.
Задана разветвленная электрическая с цепь с параметрами: E1, E2, R1, R2,
R 3, R 4, I 1, I 2, I 3 .
Требуется построить потенциальную диаграмму для внутреннего контура,
состоящего из E1, E2, R1, R2.
e= a
I1
R2
E1
I3
I2
d
R1
R3
в
R4
E2
с
Рисунок 2.5 –Разветвленная электрическая цепь
Решение:
1. Произвольно задаемся направлением обхода, в нашем случае по часовой
стрелке.
2. Обозначаем места соединений: а, b, с, d, e.
3. Потенциал точки a принимаем за ноль
ϕa = 0,
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Рассчитываем значения потенциалов каждой точки в соответствии с
вышеприведенными правилами построения потенциальной диаграммы:
ϕb = ϕa − I 2 R2 ;
ϕc = ϕb + E2 ;
ϕ d = ϕc − I1R1;
ϕe = ϕd + E1 = 0.
5. Строим потенциальную диаграмму, рисунок 2.6:
с
с
a
E2
R2
e R
E1
d
в
R1
d
в
Рисунок 2.6 – Потенциальная диаграмма
При экспериментальном исследовании потенциалы точек цепи относительно какой-либо одной точки могут быть измерены с помощью вольтметра. Для
этого один зажим вольтметра присоединяется к выбранной произвольно точке
(опорная точка), а другой зажим - поочередно к исследуемым точкам цепи.
2.3 Рабочее задание
2.3.1 Соберите схему цепи по рисунку 2.7. Питание схемы проводить от источников питания постоянного тока Б5-44А. Предъявить схему для проверки преподавателю.
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
R1
A1
R2
A2
A3
+
= E1
+
= E2
-
R3
-
V
Рисунок 2.7 – Исследуемая электрическая цепь
2.3.2 Установите на источниках питания постоянного тока значения ЭДС
равные 15 и 9 В, соответственно.
2.3.3. Измерьте токи в ветвях и падения напряжения на резисторах.
Результаты эксперимента запишите в таблицу 2.1.
Таблица 2.1 - Результаты эксперимента
Эксперимент
Расчет
E1
E2
I1
I2
I3
U1
U2
U3
R1
R2
R3
В
В
А
А
А
В
В
В
Ом
Ом
Ом
2.3.4 Измените значения сопротивлений
и повторно снимите показания
приборов. Результаты эксперимента запишите в таблицу 2.1.
2.3.5 Полученные результаты покажите преподавателю.
2.3.6 В заданном преподавателем контуре измерить потенциалы точек
(опорная точка также задается преподавателем). Результаты измерений записать в
таблицу 2.2.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 2.2 - Экспериментальные данные для построения потенциальной диаграммы
Эксперимент
Расчет
φa
φb
φc
φd
φe
φa
φb
φc
φd
φe
В
В
В
В
В
В
В
В
В
В
2.4 Обработка результатов экспериментов
2.4.1 По результатам измерений п.2.2.3 рассчитайте значения сопротивлений и занести их в таблицу 2.1.
2.4.2 Для схемы, представленной на рисунке 2.7, составьте систему уравнений по законам Кирхгофа. Используя данные таблицы 2.1 (значения источников ЭДС и сопротивлений), рассчитайте полученную систему линейных алгебраических уравнений относительно токов ветвей. Пример расчета в системе
MathCad приведен на рисунке 2.8.
Рисунок 2.8 – Пример расчета системы уравнений, составленных по законам Кирхгофа, в MathCad
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.4.2 Сравните значения токов ветвей, полученных по результатам эксперимента и расчета.
2.4.3 По данным таблицы 2.1 составьте баланс мощности.
2.4.4 Используя данные таблицы 2.1 рассчитайте значения потенциалов φa,
φb, φc, φd, φe и занести их в таблицу 2.2. Сравните экспериментальные и расчетные
значения потенциалов.
2.4.5 По экспериментальным данным таблицы 2.2 построить потенциальную диаграмму.
2.5 Контрольные вопросы
2.5.1 Сформулируйте первый и второй законы Кирхгофа.
2.5.2 Изложите алгоритм составления системы уравнений по законам Кирхгофа.
2.5.3 Какие контуры называются независимыми? Сколько независимых
контуров в исследуемой цепи?
2.5.4 В чем сущность баланса мощности?
2.5.5 Как определить мощности постоянных источников ЭДС и тока?
2.5.6 Как определить мощность, потребляемую резистором?
2.5.7 С какой целью составляют баланс мощностей?
2.5.8 Что называют потенциальной диаграммой?
2.5.9 Для чего строят потенциальную диаграмму?
2.5.10 Сформулируйте правила построения потенциальной диаграммы.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3 Лабораторная работа № 3. Исследование принципа наложения
3.1 Цель работы: экспериментально проверить справедливость принципа
наложения.
3.2 Краткие теоретические сведения
Принцип наложения заключается в следующем: ток в любой ветви сложной линейной цепи может быть представлен в виде алгебраической суммы частичных токов, создаваемых в этой ветви каждым источником энергии в отдельности. Принцип наложения лежит в основе метода наложения. При расчете цепи
методом наложения сначала определяют частичные токи в ветвях от каждого источника в отдельности, затем составляют алгебраическую сумму частичных токов
в ветви. Часто частичные токи находятся не от каждого источника в отдельности,
а от групп, т.е. источники в заданной цепи разделяют на 2-3 группы, находят токи
от этих групп, а затем складывают с учетом направления.
При расчете методом наложения придерживаются следующих правил:
1. При исключении источника ЭДС это место закорачивается накоротко,
т.к. rвнЕ = 0;
2. При исключении источника тока - ветвь терпит разрыв, т.к. rвнJ = ∞.
Так как метод наложения может быть применен для расчетов токов и напряжений только линейной цепи, поэтому применять его для определения мощностей нельзя, так как зависимость мощности от тока или напряжения нелинейная (квадратичная).
Пример: Дано: E; J; R1; R3.
Определить: I3-?
E1
I3
R3
J
R1
Рисунок 3.1 – Заданная электрическая схема
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение:
1. Схема содержит два источника энергии, поэтому в третьей ветви будут
протекать два частичных тока.
I 3 = I 3′ + I 3′′ ,
(3.1)
′
где I 3 - частичный ток, создаваемый источником ЭДС;
I3″ - частичный ток, создаваемый источником тока.
2. Определяем частичный ток, создаваемый источником ЭДС.
I3
E1
R3
R1
Рисунок 3.2 - Электрическая схема для определения первого частичного тока
Первый частичный ток определяем по закону Ома:
I 3′ =
E1
.
R1 + R3
(3.2)
3. Определяем частичный ток, создаваемый источником тока.
I3
R1
R3
J
Рисунок 3.3 - Электрическая схема для определения второго частичного тока
Второй частичный ток определяем по правилу параллельных пассивных
ветвей:
I 3′′ = J ⋅
R1
.
R1 + R3
(3.3)
4. Подставляя уравнения (3.2) и (3.3) в уравнение (3.1), получим:
I3 =
1
( E1 + J ⋅ R1 ) .
R1 + R3
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.3 Рабочее задание
3.3.1 Соберите схему цепи по рисунку 3.4. Питание схемы проводить от источников постоянного тока Б5-44А. Предъявите схему для проверки преподавателю.
R1
A1
R
A2
A3
+
= E1
+
= E2
-
R3
-
V
Рисунок 3.4 – Исследуемая электрическая цепь
3.3.2 Измерьте токи в ветвях и падения напряжения на резисторах R1, R2,
R3 . Результаты измерений запишите в строку 1 таблицы 3.1.
Таблица 3.1 – Экспериментальные и расчетные данные
№
Е1
Е2
I1
I2
I3
U1
U2
U3
опыта
В
В
А
А
А
В
В
В
1
2
3
4
5
3.3.3 Измерьте напряжения и токи в исследуемой цепи при включении только одного источника ЭДС - Е1. Результаты измерений запишите в строку 2 таблицы 3.1.
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.3.4 Измерьте напряжения и токи в исследуемой цепи при включении только второго источника ЭДС - Е2. Результаты измерений запишите в строку 3 таблицы 3.1.
3.3.5 Покажите результаты экспериментов преподавателю.
3.4 Обработка результатов экспериментов.
3.4.1 По данным опытов п. 3.3.3 и 3.3.4 методом наложения найти алгебраические суммы частичных токов в ветвях и напряжений на сопротивлениях. Результаты расчетов занести в строку 4 таблицы 3.1. Полученные результаты сравнить с экспериментальными данными в строке 1.
3.4.2 Рассчитать значения сопротивлений R1, R2, R3.
3.4.3 Используя найденные значения R1, R2, R3 и данные значения источников ЭДС – Е1 , Е2 , аналитически рассчитать исследуемую схему методом наложения. Результаты расчета занести в строку 5 таблицы 3.1. Полученные результаты сравнить с экспериментальными данными в строке 1.
3.5 Контрольные вопросы
3.4.1 Как формулируется принцип наложения? Для каких электрических цепей он справедлив?
3.4.2 Какие величины в электрической цепи можно определить, используя
принцип наложения?
3.4.3 Изложите алгоритм определения токов в электрической цепи методом
наложения.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4 Лабораторная работа № 4. Исследование неразветвленной
электрической цепи синусоидального тока
4.1 Цель работы: ознакомиться с экспериментальными методами определения параметров пассивных элементов в цепях синусоидального тока.
4.2 Краткие теоретические и практические сведения
4.2.1 Цепь с активным сопротивлением
Если цепь переменного тока содержит только резистор
(лампа накалива-
ния, электронагревательный прибор и т.д.), и по нему проходит синусоидальный
ток (рисунок 4.1,а):
i = I m sin(ωt + ψ ) ,
(4.1)
то мгновенное значение напряжения на зажимах резистора будет определяться по
закону Ома:
u R = R ⋅ i = R ⋅ I m sin(ω t + ψ ) = U m sin(ω t + ψ )
где U m
= R ⋅ Im
(4.2)
- амплитудное значение напряжения.
В комплексных значениях закон Ома для резистора запишется в виде:
⋅
⋅
UR = R⋅I ,
где
I = I ⋅ e jψ
(4.3)
;
⋅
U R = U R ⋅ e jψ
Из выражений (4.1) и (4.2) следует, что в цепи с активным сопротивлением
ток и напряжение совпадают по фазе, рисунок 4.1,б).
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
i
+j
~uR
R
UR
I
+1
а)
б)
Рисунок 4.1 – Электрическая схема, векторная диаграмма цепи с активной
нагрузкой.
Рассмотрим энергетические процессы в цепи с активным элементом. Скорость преобразования электрической энергии в другие виды энергии характеризует мгновенную мощность:
(4.4)
В любой момент времени направления тока и напряжения совпадают, следовательно, мгновенная мощность положительна и колеблется с угловой частотой
2 ω в пределах от 0 до 2 U·I, т.е. активное сопротивление потребляет электрическую энергию от источника и необратимо преобразует ее в другие виды энергии. Кроме мгновенного значения мощности pR, различают еще среднюю мощность за период, которую называют активной мощностью и обозначают буквой P:
(4.5)
Активная мощность – среднеквадратичное значение мгновенной мощности
за период, она характеризует работу, совершаемую в электрической цепи за период, т.е. определяет электрическую энергию, необратимо преобразуемую в другие
виды энергии. Единицей измерения активной мощности является Ватт (Вт).
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.2.2 Цепь с индуктивностью
Пусть по идеальной катушке индуктивности (Rк = 0) , (рисунок 4.2,а),
протекает ток
i = I m sin(ωt )
При изменяющемся токе в катушке наводится ЭДС самоиндукции
Приложенное к зажимам цепи напряжение uL уравновешивает ЭДС
cамоиндукции
(4.6)
где
U Lm = ω ⋅ L ⋅ I m -
амплитудное значение напряжения катушки ин-
дуктивности.
Таким образом, в цепи с индуктивностью напряжение опережает ток на
угол
π
2
. Векторная диаграмма изображена на рисунке 2.2, б.
i
+j
L
~u L
UL
I
i
+1
а)
б)
Рисунок 4.2 – Схема, векторная диаграмма цепи с идеальным индуктивным
элементом
Запишем уравнение (4.6) в комплексном виде:
⋅
⋅
⋅
U L = jX L ⋅ I = Z L ⋅ I ,
(4.7)
где X L = ω L имеет размерность сопротивления и называется индуктивным сопротивлением;
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Z L = jX L
- комплексное значение сопротивления идеальной катушки
индуктивности.
Уравнение (4.7) - закон Ома для идеальной катушки индуктивности в комплексной форме.
4.2.3 Цепь с емкостью
Если цепь переменного тока содержит емкость С , к которой приложено синусоидальное напряжение u (рисунок 4.3,а)
u = U m sin ωt ,
(4.8)
то мгновенное значение тока в этой цепи определяется как:
(4.9)
Амплитудные значения тока и напряжения связаны соотношением
Из уравнения (4.9) следует, что ток в цепи с емкостью опережает прило-
π
женное напряжение на угол
2
. Векторная диаграмма представлена на рисунке
4.3, б.
i,u,p
+j
I
i
C
i
+1
~uC
UC
а)
б)
Рисунок 4.3 – Электрическая схема, векторная диаграмма цепи с идеальным
емкостным элементом
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Запишем уравнение (4.9) в комплексном виде:
⋅
⋅
⋅
U C = − jX C ⋅ I = Z C ⋅ I ,
где X C =
(4.10)
1
имеет размерность сопротивления и называется емкостным
ωC
сопротивлением;
Z C = − jX C - комплексное значение сопротивления идеального конденсатора.
Уравнение (4.10) - закон Ома для идеального конденсатора в комплексной
форме.
4.2.4 Цепь с активно-индуктивной нагрузкой
Практически любая реальная катушка обладает не только индуктивностью
L , но и активным сопротивлением R, рисунок 4.4.
Рисунок 4.4 – Схема замещения реальной катушки индуктивности
По второму закону Кирхгофа для мгновенных значений приложенное напряжение к зажимам цепи уравновешивается падением напряжения на активном
сопротивлении и падением напряжения на индуктивности:
u = uR + uL
.
(4.11)
Используя уравнения (4.3) и (4.7) запишем уравнение (4.11) в комплексном
виде:
U = I( R + jX L ) = Z ⋅ I ,
(4.12)
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где Z = R + jXL -
(4.13)
- комплексное сопротивление реальной катушки индуктивности, записан-
ное в алгебраической форме записи.
Уравнение (4.12) – закон Ома в комплексной форме для исследуемой цепи.
Комплексное сопротивление реальной катушки индуктивности в показательной форме записи имеет вид:
Z = Ze jϕ
.
(4.14)
Сопоставив уравнения (4.13) и (4.14) можно записать следующие соотношения:
Z = R2 + X L2
ϕ = arctg
XL
R
.
(4.15)
Из уравнений системы (4.15) очевидно, что геометрическая связь между
Z, R, XL - это не что иное как прямоугольный треугольник, рисунок 4.5.
+j
Z
XL
φ
R
+1
Рисунок 4.5 – Треугольник сопротивлений
Уравнения системы (4.15) представляют собой формулы перехода от показательной формы записи комплексного сопротивления Z к алгебраической.
Из рисунка 4.5 очевидно, что R и XL могут быть определены как:
 R = Z ⋅ cosϕ

 X L = Z ⋅ sinϕ
(4.16)
Система (4.16) – формулы перехода от алгебраической формы записи комплексного сопротивления к показательной.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Закон Ома в действующих значениях для рассматриваемой цепи запишется
в виде:
(4.17)
Построим векторную диаграмму токов и напряжений для исследуемой цепи.
В соответствии с материалом изложенным в параграфах 4.2.1 и 4.2.2 векторная
диаграмма имеет вид, рисунок 4.6.
+j
UL
U
I
+1
UR
Рисунок 4.6 – Векторная диаграмма напряжений реальной катушки индуктивности
4.2.4 Способы экспериментального определения параметров реальной
катушки индуктивности
4.2.4.1 Классический метод (по показаниям амперметра, вольтметра и
ваттметра)
Для определения параметров реальной катушки индуктивности с помощью
амперметра, вольтметра и ваттметра собирается схема, как показано на рисунке 4.7.
*
*
W
A
Rk
e
V
L
Рисунок 4.7 – Электрическая схема для определения параметров реальной
катушки индуктивности
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По измеренным величинам U, I, P и на основании формул (4.5), (4.15), (4.17)
могут быть рассчитаны значения RК, XL, Z.
4.2.4.2 Метод трех вольтметров (метод засечек)
Данный метод используют для определения параметров реальной катушки
индуктивности. С этой целью собирают схему, как показано на рисунке 4.8.
Рисунок 4.8 – Электрическая схема для экспериментального определения
параметров реальной катушки
В данном эксперименте измеряют три напряжения: входное напряжение U ,
напряжение на активном сопротивлении UR, напряжение на катушке индуктивности UК . Далее строят векторную диаграмму, рисунок 4.9. Порядок построения векторной диаграммы следующий:
1) По оси абсцисс откладывают вектор тока I.
2) Строят вектор напряжения на резисторе, который будет совпадать с век-
тором тока I.
3) Делая засечки циркулем из концов вектора UR радиусами, равными на-
пряжениям U и UК , определяют точку пересечения А, рисунок 4.9 а).
4) Найденную точку пересечения А соединяют с концами вектора UR , тем
самым определяя истинное положение векторов U и UК на комплексной плоскости.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5) Проекции вектора UК на оси абсцисс и ординат определяют значения на-
пряжений Uка и UL , рисунок 4.9 б).. Напряжение Uка - напряжение на активном
сопротивлении реальной катушки индуктивности, а
UL - напряжение на самой
индуктивности.
+j
+j
A
A
.
U
.
U
.
UK
.
I
.
UR
.
UL
.
UK
1
.
UR
+1
а)
.
.
Uka I
+1
б)
Рисунок 4.9 – Векторная диаграмма
6) Определяют R и XL по закону Ома:
Rк =
U ka
I
XL =
,
UL
,
I
где значения Uка и UL найденные из векторной диаграммы.
Значение индуктивности определяется по формуле:
Значения R
и XL могут быть определены из векторной диаграммы и по -
другому. Сначала определяют действующее значение комплексного сопротивления реальной катушки индуктивности:
ZL =
UK
.
I
Далее используя формулы системы (4.16) определяют значения R и XL:
R = Z ⋅ cos ϕ1 , X L = Z ⋅ sin ϕ1 ,
где φ1 – угол между векторами тока I и напряжения Uk , измеряемый транспортиром на векторной диаграмме, рисунок 4.9.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.2.4.3 Метод двух частот
Для определения параметров реальной катушки индуктивности методом
двух частот собирают схему, как показано на рисунке 4.10. Производят измерение
показаний амперметра I и вольтметра U при двух разных частотах f1 и f2, затем,
решая систему из двух уравнений (4.18) получают искомые значения R и XL.
Rk
~e
V
L
A
Рисунок 4.10 – Схема опыта по определению параметров катушек индуктивности методом двух частот
Z f1 =
U f1
I f1
Zf2 =
= R 2 + (2π f ⋅ L) 2
Uf2
If2
= R 2 + (2π f ⋅ L) 2
(4.18)
4.3 Описание лабораторной установки
В качестве источника питания в работе используется генератор низкочастотный Г3-123. На панели стенда имеется активное сопротивление R1, катушка
индуктивности с параметрами RL, L , магазин емкостей C . Для измерения токов
служит амперметр переменного тока М 42300, в качестве вольтметра используется мультиметр ВР-11А. Для измерения активной мощности используется переносной ваттметр.
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.4 Рабочее задание
4.4.1 Собрать электрическую цепь, рисунок 4.11. Установить частоту вы-
ходного напряжения 400 Гц, а выходное напряжение в пределах 10-25 В.
*
W
*
A
Rk
~e
V
R
C
L
Рисунок 4.11 – Электрическая схема исследуемой цепи
4.4.2 К зажимам 1-2 цепи подключить активное сопротивление R1. После
проверки схемы преподавателем включить генератор. Снять показания приборов
и записать их в таблицу 4.1.
Таблица 4.1 – Результаты измерений и вычислений параметров активного
сопротивления, конденсатора и реальной катушки индуктивности
Эксперимент
№
опыта
Активное
Расчет
f
I
P
U
Z
R
X
L
C
φ
Гц
А
Вт
В
Ом
Ом
Ом
Гн
Ф
град
-
-
-
1
сопротивление
Конденсатор
2
Реальная ка-
3
400
-
4
1000
-
-
-
тушка индуктивности
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.4.3 Отключив источник питания, заменить в электрической цепи схемы
рисунка 4.11 активное сопротивление R1 на конденсатор С. Установив на генераторе напряжение 10 – 25 В, снять показания приборов и занести в таблицу 4.1.
4.4.4 Отключив источник питания, заменить в электрической цепи схемы
рисунка 4.11 конденсатор С на реальную катушку индуктивности. Подключив
генератор в электрическую цепь, снять показания приборов при изначально выставленной частоте выходного напряжения f1 = 400 Гц. Данные приборов занести в таблицу 4.1.
4.4.5 Изменить частоту выходного напряжения, выставив значение f2 = 1000 Гц.
Измерить значения тока в цепи и напряжения на реальной катушке индуктивности. Данные приборов занести в таблицу 4.1.
4.4.6 Последовательно соединить резистор R1 и реальную катушку индук-
тивности, рисунок 4.12. Измерить входное напряжение, напряжения на резисторе
и катушке индуктивности. Данные занести в таблицу 4.2.
R
VR
~e
Rk
Vk
V
L
Рисунок 4.12 – Электрическая схема для определения параметров реальной
катушки по методу трех вольтметров
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 4.2 –Определение параметров реальной катушки по методу трех вольтметров
Эксперимент
Расчет
f
U
UR1
Uk
R1
Zk
Rk
XL
L
φk
Гц
В
В
В
Ом
Ом
Ом
Ом
Гн
град
4.5 Обработка результатов опытов
4.5.1 Рассчитать параметры активного сопротивления, конденсатора и ка-
тушки индуктивности используя результаты эксперимента п.п. 4.4.2, 4.4.3, 4.4.4 и
занести их в строки 1, 2, 3 таблицы 4.1, соответственно.
4.5.2 Рассчитать параметры реальной катушки индуктивности по методу
двух частот, используя результаты эксперимента в п.п. 4.4.4 и 4.4.5, и занести их в
строку 4 таблицы 4.1. Сравнить полученные результаты с результатами, записанными в строке 3.
4.5.3 Используя экспериментальные данные опыта п. 4.4.6 построить век-
торную диаграмму напряжений, по которой рассчитать параметры реальной катушки индуктивности по методу трех вольтметров. Полученные данные занести в
таблицу 4.2. Сравнить рассчитанные параметры реальной катушки индуктивности
с результатами, записанными в строке 3 таблицы 4.1.
4.5.4 Используя экспериментальные данные п.п. 4.4.2, 4.4.3, 4.4.4 постро-
ить векторные диаграммы напряжений на активном сопротивлении R1, конденсаторе С, реальной катушке индуктивности L.
4.5.5 Используя экспериментальные данные п. 4.4.6 построить треуголь-
ник сопротивлений и мощностей для исследуемой цепи.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.6 Контрольные вопросы
1. Расскажите о свойствах активного, индуктивного и емкостного элементов
в цепи синусоидального тока.
2. Объяснить построение векторных диаграмм напряжений по результатам
измерений.
3. Запишите закон Ома для цепи R, L и для цепи R , C для действую-
щих значений и в комплексной форме.
4. Что понимают под действующим значением тока?
5. Какими эквивалентными схемами замещения можно заменить реальную
катушку индуктивности?
6. Что такое коэффициент мощности?
7. Дайте определение векторной и топографической диаграммам.
8. Что понимают под треугольником сопротивлений.
9. Какую мощность измеряет ваттметр в цепи синусоидального тока?
10. По каким мощностям составляется баланс мощности?
11. Как определяется знак угла φ ?
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5 Лабораторная работа № 5.
Исследование разветвленной
электрической цепи синусоидального тока
5.1 Цель работы: исследовать цепь с параллельным соединением приемников при различном характере их сопротивлений.
5.2 Краткие теоретические и практические сведения
5.2.1 Параллельное соединение резистора, катушки индуктивности,
конденсатора
Разветвленная цепь, состоящая из параллельно соединенных резистора, катушки индуктивности, конденсатора, в соответствии с рисунком 5.1, характеризуется тем, что каждый элемент ее находится под одним и тем же напряжением,
мгновенное значение которого изменяется по синусоидальному закону
u = Um· sin (ωt+ψu).
i
iL
iR
R
L
iC
C
Рисунок 5.1 – Электрическая схема параллельного соединения R, L, C
Запишем комплексное значение приложенного напряжения в показательной
форме:
U = Ue jψ u ;
где
U=
Um
2
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определим по закону Ома токи в активном сопротивлении, катушке индуктивности, в ветви с конденсатором:
U 1
IR = = ⋅ U = gU ,
R R
где g =
1
- активная проводимость резистора.
R
U
1 IL =
=−j
⋅ U = − jbLU = YL ⋅ U ,
jX L
ωL
где bL =
1
- реактивная проводимость катушки индуктивности,
ωL
o
YL = − jbL = bL ⋅ e− j 90 – комплекс реактивной проводимости катушки индуктивности .
U
IС =
= jω ⋅ С ⋅ U = jbС ⋅ U = YC ⋅ U ,
− jX С
где bC = ωC - реактивная проводимость конденсатора;
0
YC = jbC = bC ⋅ e j 90 – комплекс реактивной проводимости конденсатора
По первому закону Кирхгофа определяем ток в неразветвленной части схемы:
⋅
I = IR + IL + IC = U ( g − jbL + jbС ) = U ( g − j (bL − bС )) = U ( g − jb) = U ⋅ Y
⋅
I = Y ⋅ U
,
(5.1)
где b = bL – bC - реактивная проводимость,
если b > 0 , то цепь носит индуктивный характер,
если b < 0, то цепь носит емкостной характер;
⋅
Y = g − jb = Y ⋅ e− jϕ - комплексное значение проводимости всей цепи.
Уравнение (5.1) – закон Ома в комплексной форме для цепи с параллельным
соединением.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.2.2 Треугольник проводимостей
+j
q
y
в
+1
Рисунок 5.2 – Треугольник проводимостей
Формулы перехода от алгебраической формы записи комплексного значения полной проводимости к показательной:
y = g 2 + b2
ϕ = arctg
b
g
.
Формулы обратного перехода:
 g = y ⋅ cos ϕ
.

b = y ⋅ sin ϕ
5.2.3 Векторная диаграмма
Построим векторную диаграмму для параллельного соединения R, L, C.
Диаграмму начинаем строить относительно вектора напряжения, так как при параллельном соединении напряжение на каждом элементе будет равным, а складывать будем вектора токов, на основании первого закона Кирхгофа, рисунок 5.3.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+j
U
IR
U
+1
I
IC
IL
Рисунок 5.3 - Векторная диаграмма
5.2.4 Параллельное соединение резистора и реальной катушки
индуктивности
Рисунок 5.4 - Электрическая схема параллельного соединения резистора и
реальной катушки индуктивности
Для экспериментального определения параметров катушки (RК , L ) в данной работе предлагается воспользоваться методом трех амперметров (методом засечек). При этом методе измеряют три тока: ток
в активном сопротивлении I1,
ток в катушке индуктивности I2 и общий ток I .
Зная эти три тока, можно построить векторную диаграмму, рисунок 5.5. По
оси абсцисс откладывается по направлению вектора напряжения U
вектор тока
через активное сопротивление I1 . Делая засечки циркулем из концов этого вектора (точки О и А ) радиусами, равными токам
I и I2 , соответственно, опре49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
деляют точку пересечения. Найденную точку пересечения соединяют с точками
⋅
О и А, тем самым определяя истинное положение векторов
I
⋅
и
I2
на ком-
плексной плоскости .
+j
О
I1
U
А
2
+1
I2
I
а)
Рисунок 5.5 – Векторная диаграмма
Измерив транспортиром угол φ2, определяют параметры реальной катушки
индуктивности:
– активное сопротивление катушки индуктивности:
– индуктивное сопротивление катушки индуктивности:
где ZК определяется по результатам эксперимента, а именно:
Значение индуктивности определяется по формуле:
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аналогично могут быть определены параметры конденсатора. Однако необходимо учесть то, что ток через конденсатор опережает напряжение, поэтому при
построении векторной диаграммы вектор тока I2 будет располагаться выше вектора напряжения U, рисунок 5.6.
+j
I
I2
I1
О
2
А
U
+1
Рисунок 5.6 – Векторная диаграмма при параллельном соединении резистора и конденсатора
5.3 Описание лабораторной установки
Источником синусоидального напряжения служит генератор сигналов Г3-123.
В качестве приемников энергии в работе используются резисторы R1 , R2 , батарея конденсаторов C и катушка индуктивности с параметрами RК , L.
Напряжение измеряется мультиметром ВР-11А, токи – стрелочными приборами М42300.
5.4 Рабочее задание
5.4.1 Собрать электрическую цепь в соответствии с рисунком 5.7 и после
проверки ее преподавателем включить генератор сигналов. Измерить напряжение
на входе цепи U, частоту f и токи I, I1 и I2 . Результаты измерений свести в
таблицу 5.1.
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A
Rk
R1
~e
L
A1
A2
Рисунок 5.7 – Схема опыта для определения параметров реальной катушки
Таблица 5.1 – Результаты измерений и вычислений методом трех амперметров
5.4.2 Собрать электрическую цепь в соответствии с рисунком 5.8 и после
проверки ее преподавателем включить генератор сигналов. Измерить напряжение
U на входе цепи, частоту f и токи I, I1 и I2 . Результаты измерений свести в
таблицу 5.1.
A
R2
R1
~e
C
A1
A2
Рисунок 5.8 – Схема опыта для определения параметров конденсатора
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.5 Обработка результатов опытов
5.5.1 По результатам измерений пункта 5.4.1 построить в масштабе век-
торную диаграмму токов и определить параметры R1, RК, XL, L и cos φ, используя вышеприведенные формулы.
5.5.2 По результатам измерений пункта 5.4.2 построить в масштабе век-
торную диаграмму токов и определить параметры R1, R2, XC, C и cos φ, используя построенную векторную диаграмму и формулы.
5.5.3 Для схем рисунков 5.7 и 5.8 построить треугольники проводимостей
и мощностей.
5.6 Контрольные вопросы и задания
1. Как определить экспериментально параметры катушки (RК, L) методом
трех амперметров?
2. Как определяются активные и реактивные проводимости?
3. Как определяются токи в цепи синусоидального тока с параллельным со-
единением резистора, индуктивности и емкости?
4. Запишите закон Ома в комплексной форме.
5. Что такое треугольник проводимостей? Как его построить?
6. Как определить cos φ через параметры электрической схемы?
7. Как определяется ток в неразветвленной части цепи при параллельном
соединении элементов?
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6 Лабораторная работа № 6. Исследование резонанса
напряжений
6.1 Цель работы. Изучение явления резонанса напряжений в цепи
синусоидального тока с последовательным соединением R , L и C, приобретение навыков по настройке цепи и по производству измерений, освоение методики
и практики вычислений и построений векторных диаграмм по данным измерений.
6.2 Краткие теоретические и практические сведения
6.2.1 Основные понятия и определения
Колебательный контур – электрическая цепь (часть электрической цепи),
содержащая катушку индуктивности и конденсатор.
Резонансом в электрической цепи называется такой режим работы, при котором входной ток колебательного контура i по фазе совпадает с приложенным
напряжением к колебательному контуру u (ϕ = 0 ). В этом случае реактивная
мощность Q = 0, так как Q = U ⋅ I sin ϕ = U ⋅ I sin 0 = 0 , а полная мощность будет равна активной ( S = P).
Иногда резонанс определяют следующим образом: собственная частота цепи равна частоте источника (ωист = ωпр).
. Различают два основных вида резонанса:
- резонанс напряжений;
- резонанс тока.
Рассмотрим кратко каждый из них.
6.2.2 Резонанс напряжений
Резонанс напряжений возникает в колебательном контуре, содержащим последовательное соединение катушки индуктивности и конденсатор, рисунок 6.1.
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 6.1 – Электрическая схема колебательного контура
Из определения резонанса следует, что при резонансе напряжений входное
реактивное сопротивление цепи должно быть равно нулю:
Хвх = 0 ,
(6.1)
следовательно, колебательный контур становится чисто активным сопротивлением, в этом случае говорят, что колебательный контур носит активный характер (Z
= R). Действительно, входное сопротивление колебательного контура, рисунок
6.1, c учетом уравнения (6.1) будет:
Z кк = R + j(XL – XC) = R + j Хвх = R,
где Хвх - входное реактивное сопротивление колебательного контура, определяемое как
Хвх = XL – XC = 0.
(6.2)
Из уравнения (6.2) следует, что для рассматриваемого колебательного контура необходимое условие резонанса выполняется при равенстве реактивных сопротивлений катушки индуктивности и конденсатора:
XL = XC,
или
1
ωL =
ωC
⇒
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ω2LC = 1
(6.3)
Выражение (6.3) - условие резонанса для рассматриваемого колебательного
контура. Из полученного соотношения следует, что резонанс может быть достигнут либо:
- изменением частоты (ω);
- изменением индуктивности (L);
- изменением емкости (С).
При этом резонансные частота, индуктивность, емкость определяются из
(6.3), как:
ω0 =
L0 =
C0 =
1
;
L⋅C
1
;
ω2 ⋅C
1
ω2 ⋅ L
(6.4)
.
В данной лабораторной работе резонансный режим получают изменением
частоты.
6.2.3 Векторная диаграмма
Рассматриваемый колебательный контур, рисунок 6.1, состоит их последовательно соединенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора. При последовательном соединении неизменным является ток, складываются, на основании второго закона Кирхгофа, напряжения, поэтому векторную диаграмму строим
относительно вектора тока, складываем вектора напряжений на каждом элементе
колебательного контура. В этом случае диаграмма имеет вид, рисунок 6.2.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
I0
U C 0
I
U
U R0
U
U L 0
Рисунок 6.2 – Векторная диаграмма режима резонанса напряжений
Из построенной векторной диаграммы можно сделать следующие выводы:
1. U L0 = U C0 - действующие значения напряжений на реактивных элемен-
тах равны по величине, но противоположны по фазе.
.
.
2. U R = U 0 - значения напряжений приложенного к колебательному конту-
ру и на активном сопротивлении равны по величине и по фазе.
Если в цепи выполняется условие
R << ω 0 ⋅ L =
1
,
ω0 ⋅ C
⇒
U L 0 = U C 0 >> U 0 ,
т.е. при малом активном сопротивлении цепи, напряжение на реактивных элементах могут во много раз превышать приложенное напряжение, поэтому такой
резонанс называется резонансом напряжений.
6.2.4 Вторичные параметры колебательного контура в режиме
резонанса напряжений
Колебательный контур в режиме резонанса напряжений характеризуется
следующими вторичными параметрами:
1.
ρ - характеристическое сопротивление.
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ρ = ω0 L =
1
т.к. ω0 =
ω0 ⋅ C
1
L
⇒ρ=
.
C
L ⋅C
(6.5)
Из (6.5) очевидно что ρ не зависит от частоты.
2.
Q – добротность (качество) контура
Q=
U L 0 U C 0 I 0ω0 L ρ
=
=
=
U
U
I0 R
R
Добротность контура Q определяет кратность превышений UL0 и UС0 над
приложенным напряжением U, т.е. во сколько раз больше UL0 по сравнению с
приложенным напряжением.
3. d – затухание колебательного контура
d=
1
Q
(6.6)
6.2.5 Частотные характеристики
Частотными характеристиками колебательного контура называются зависимости параметров контура от частоты. Выделяют три вида частотных характеристик:
1.
зависимость входного сопротивления от частоты - Z(ω);
2.
фазо-частотная характеристика (ФЧХ) – зависимость угла сдвига ме-
жду входным напряжением и током от частоты;
3.
амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – зависимость ампли-
тудных значений напряжений, токов колебательного контура от частоты.
На рисунке 6.3 представлены АЧХ колебательного контура, находящегося в
режиме резонанса напряжений.
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 6.3 – Амплитудно-частотные характеристики
Поясним построение представленных АЧХ:
- при
ω = 0 ток в колебательном контуре будет равен нулю I = 0, так как
конденсатор не пропускает постоянный ток и, соответственно, все приложенное
напряжение приходится на зажимы конденсатора, UС = U;
- при
ω = ω0 напряжение на конденсаторе равно напряжению на катушке
индуктивности, UL0 = UС0 . В силу того, что напряжение на катушке и на конденсаторе взаимно компенсируются (находятся в противофазе, см. рисунок 6.2),
то все напряжение приходится на участок с активным сопротивлением R: UR0 =
U;
- при
ω = ∞ ток в колебательном контуре будет равен нулю I = 0, так как
сопротивление катушки индуктивности становится равным бесконечности и, соответственно, все напряжение падает на зажимы катушки, UL = U.
Следует отметить, что максимум UС
наступает при частоте, меньшей
ω0, т.е. раньше максимума I , так как для получения величины UС необходимо
ток I умножить на убывающую величину
1
. Максимум же UL достигается
ωC
при частоте, превышающей ω0 ,. т.е. позже максимума I , так как для получения
величины UL необходимо умножить ток на возрастающую величину ωL.
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.3 Описание лабораторной установки
Источником синусоидального напряжения служит генератор сигналов Г3123. В качестве приемников энергии в работе используются резистор R1, батарея
конденсаторов C и катушка индуктивности с параметрами RК , L.
Напряжение измеряется мультиметром ВР-11А, токи – стрелочными приборами М42300.
6.4 Рабочее задание
6.4.1. Соберите цепь по схеме, рисунок 6.4, значение активного сопротивле-
ния выберите в пределах 100 – 200 Ом, значения индуктивности L и емкости C
задает преподаватель.
R
C
A
VR
~e
VC
Rk
V
VL
L
Рисунок 6.4 – Электрическая схема для исследования колебательного контура в режиме резонанса напряжений
6.4.2. Рассчитайте резонансные угловую частоту ω0 по формуле (6.4) и ли-
нейную частоту f0 :
f0 =
ω0
.
2π
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.4.3. Включите генератор, установив на его зажимах выходное напряжение
в пределах 10 – 25 В, при частоте, равной 0,25 f0 . Снимите показания приборов
и запишите их в таблицу 6.1.
Таблица 6.1 – Экспериментальные данные АЧХ
Частота
f
ω
Эксперимент
U
I
UR
UL
Расчет
UC
R
Rk
XL XC ULр
φ
знак
φ
Гц
рад
В
А
В
В
В
Ом
Ом
Ом
Ом
В
град
/сек
0,25 f0
0,5 f0
0,75 f0
f0
1,25 f0
1,5 f0
1,75 f0
6.4.4. Повторите эксперимент, описанный в п. 6.5.3 при следующих часто-
тах выходного напряжения генератора:
0,5 f0; 0,75 f0 ; f0 ; 1,25 f0 ; 1,5 f0 ; 1,75 f0.
Показания приборов при каждой частоте запишите в таблицу 6.1
6.4.5 Результаты эксперимента показать преподавателю.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.5 Обработка результатов эксперимента
6.5.1 Используя результаты эксперимента рассчитать:
- значение активного сопротивления R ;
- параметры катушки индуктивности: активного Rk и индуктивного сопро-
тивлений XL для каждого значения частоты ;
- значения емкостного сопротивления XC для каждого значения частоты;
- значения напряжения на индуктивном сопротивлении катушки:
U Lр = X L ⋅ I ;
- разность фаз входного напряжения и тока φ для каждого значения часто-
ты:
ϕ = arctg
R + Rk
;
X L − XC
- знак угла φ (знак φ определяется соотношением XL и XC :
при XL < XC
при XL > XC
φ < 0,
φ > 0 ).
6.5.2 На одном графике построить зависимости I , UR , UL , UC , φ от уг-
ловой частоты ω.
6.5.3 Рассчитать добротность исследуемого контура Q.
6.5.4 Для трех частот (0,5 f0 , f0 , 1,5 f0 ) построить в масштабе векторные
диаграммы токов и напряжений.
6.6 Контрольные вопросы
6.6.1 Дайте определение резонансному режиму.
6.6.2 Какие виды резонансов Вы знаете?
6.6.3 Запишите необходимые условия резонансов напряжения и токов.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.6.4 При каком соединении реактивных элементов возникает резонанс на-
пряжений?
6.6.5 Объясните, почему при резонансе напряжений ток в контуре достигает
максимального значения.
6.6.6 Объясните, почему при резонансе напряжений напряжение на актив-
ном сопротивлении контура равно входному напряжению.
6.6.7 Объясните, почему при резонансе напряжений напряжения на реак-
тивных сопротивлениях равны по модулю.
6.6.8 Объясните резонансные кривые контура, построенные по результатам
эксперимента.
6.6.9 Объясните порядок построения векторной диаграммы для цепи с по-
следовательным соединением элементов.
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7 Лабораторная работа № 7. Исследование электрических
цепей со взаимной индуктивностью
7.1 Цель работы. Определить экспериментально параметры двух индуктивно связанных катушек. Изучить влияние взаимной индуктивности на эквивалентные параметры цепи с последовательным соединением катушек при их согласном и встречном включении.
7.2 Краткие теоретические сведения
7.2.1 Основные понятия и определения
Два контура (катушки) называются индуктивно-связанными, если магнитное поле одного контура сцепляется с витками второго контура, а магнитное поле
второго контура – с первым.
Рассмотрим два контура, рисунок 7.1.
Ψ22
Ψ12
i1
i2
u2
u1
Ψ11
Ψ21
Рисунок 7.1 – Два индуктивно-связанных контура
Пусть к первому контуру подведено напряжение u1 и по нему протекает ток
i1, а ко второму – напряжение u2 и по нему протекает ток i2. Определим направления магнитных потоков, создаваемых токами i1 и i2 по правилу Буравчика.
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда потокосцепление первого контура будет определяться как:
Ψ1 = Ψ11 + Ψ12 ,
(7.1)
где Ψ11 – собственное потокосцепление, созданное магнитным потоком рассеяния
первого контура Ф1S (Ф1S – часть магнитного потока первого контура, который
сцепляется только с витками перового контура);
Собственное потокосцепление может быть определено как:
Ψ11 = Ф1S ⋅ W1
или
Ψ11 = L1 ⋅ i1 ;
(7.2)
Ψ12 = Ф2М ⋅ W1 – потокосцепление от тока i2, созданное магнитным потоком взаимоиндукции Ф2М (Ф2М – часть магнитного потока второго контура, который сцепляется с витками первого и второго контуров). Потокосцепление Ψ12
может быть определено как:
Ψ12 = М12 ⋅ i2 ;
(7.3)
М12 – взаимная индуктивность между первым и вторым контуром (коэффициент пропорциональности), единица измерения – Гн (Генри).
Аналогично:
Ψ2 = Ψ22 + Ψ21 ;
где
(7.4)
Ψ22 = L2 ⋅ i2 ;
Ψ21 = М21 ⋅ i1.
Из курса физики известно, что:
- Мкр = Мрк ;
(7.5)
- индуктивность L зависит от числа витков W катушки, ее геометрических
размеров и формы, магнитной проницаемости среды (µ).
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- взаимная индуктивность М зависит от тех же параметров, что и L, кроме
того, от взаимного расположения катушек. М не зависит ни от потокосцепления
Ψ, ни от тока i, хотя и определяется как M =
Ψ
.
i
Между взаимной индуктивностью М12 и индуктивностями катушек L1 и
L2 справедливо следующее соотношение:
M12 = kc ⋅ L1 ⋅ L2 ,
(7.6)
где kc – коэффициент связи, изменяется в пределах от 0 до 1. Коэффициент
связи может равняться единице лишь теоретически, когда весь поток одной катушки сцеплен с витками другой.
Перед потокосцеплениями Ψ12 и Ψ21 в уравнениях (7.1) и (7.4) стоит знак
плюс, так как магнитные потоки Ф1S и Ф2М, а также Ф2S и Ф1М совпадают по
направлению, см. рисунок 7.1, в этом случае говорят: направление магнитных потоков согласное (катушки включены согласно). Если же Ф1S и Ф2М (Ф2S и Ф1М)
направлены встречно, то перед потокосцеплениями Ψ12 и Ψ21 в уравнениях (7.1)
и (7.4) ставят знак минус и говорят о встречном включении катушек. Для того,
чтобы различать согласные и встречные включения катушек вводят понятие одноименных зажимов двух индуктивных катушек, которые обозначаются на схемах следующими символами: *, •, о, ∆ , .
Зажимы называются одноименными, если при одинаковом направлении токов в катушках относительно этих зажимов магнитные потоки само- и взаимоиндукции направлены согласно.
Определим напряжение на первой катушке:
u 1=
d Ψ1 d Ψ11 d Ψ12
di
di
=
+
= L1 1 + M 12 2
dt
dt
dt
dt
dt
.
(7.7)
Аналогично
u 2 = L2
di2
di
+ M 21 1 .
dt
dt
(7.8)
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В уравнениях (7.7) и (7.8) первые слагаемые
u
2 L = L2
u 1L = L1
di1
;
dt
di2
– называются напряжениями самоиндукции, а вторые слаdt
гаемые u 1M = M
di2
; u
dt
2M
=M
di1
– напряжениями взаимоиндукции.
dt
Запишем уравнения (7.7) и (7.8) в комплексной форме:
⋅
⋅
⋅
U 1 = jX L1 ⋅ I 1 + jX M ⋅ I 2 ;
⋅
⋅
(7.9)
⋅
U 2 = jX L 2 ⋅ I 2 + jX M ⋅ I 1 ,
(7.10)
где ХМ = ω М – сопротивление взаимоиндукции, размерность, Гн.
7.2.2 Последовательное соединение индуктивно связанных катушек
Предположим, что цепь в соответствии с рисунком 7.2, подключена к источнику синусоидального напряжения.
Рисунок 7.2 – Электрическая схема последовательного соединения двух индуктивно-связанных катушек
Запишем второй закон Кирхгофа для рассматриваемого контура
(7.9)
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В уравнении (7.9) первое и четвертое слагаемые – напряжения на активных
сопротивлениях первой и второй катушках; второе и пятое слагаемые – напряжения самоиндукции первой и второй катушек, соответственно. Третье и шестое
слагаемые – напряжения взаимоиндукции, обусловленные взаимоиндукивной связью двух катушек.
Верхние знаки уравнения (7.9) относятся к схеме согласного включения катушек, нижние – к схеме встречного включения.
Запишем уравнение (7.9) в комплексной форме:
На рисунке 7.3 представлены векторные диаграммы для случаев согласного
(а) и встречного (б) включения катушек.
Рисунок 7.3 – Векторные диаграммы тока и напряжений согласного (а) и
встречного (б) включения индуктивно связанных катушек
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.2.3 Определение коэффициента взаимоиндукции опытным путем
Первый способ:
Две индуктивно-связанные катушки подключают по схеме, представленной
на рисунке 7.4 и измеряют напряжение на зажимах второй катушки U2 и ток в цепи первой катушке I1. При большом внутреннем сопротивлении вольтметра V2
можно считать, что ток второй катушки I2 равен нулю (I2 = 0), следовательно,
напряжение самоиндукции второй катушки также будет равно нулю (UL2 =
XL2·I2), следовательно, на основании уравнения (7.10), вольтметр V2 покажет напряжение взаимоиндукции второй катушки, действующее значение которого определяется как
UM2 = U2 = ω · M · I1.
(7.10)
Тогда:
M=
U2
.
ω ⋅ I1
(7.11)
Рисунок 7.4 – Электрическая схема для определения коэффициента взаимоиндукции
Второй способ.
Более точно взаимную индуктивность двух индуктивно-связанных катушек
можно определить, включая их последовательно согласно и встречно. Для этого
собирается схема, как показано на рисунке 7.5.
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 7.5 – Электрическая схема для определения коэффициента взаимоиндукции
Наличие индуктивной связи изменяет величину эквивалентного реактивного сопротивления. Для последовательного соединения индуктивно связанных катушек:
Отсюда по данным опытов могут быть найдены сопротивление взаимной
индукции ХМ и взаимная индуктивность М:
(7.12)
согл
Сопротивления X э
и
X эвстр определяются по результатам двух экспе-
риментов: последовательного согласного соединения двух индуктивно-связанных
катушек и последовательного встречного соединения. В обоих экспериментах каждый раз измеряют напряжение U, ток I и мощность Р. Затем определяют параметры по следующим формулам:
R=
P
I2
; Z=
U
2
2
; Xэ = Z − R .
I
(7.13)
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сравнение величин эквивалентных сопротивлений схем приводит к способу
экспериментального определения одноименных зажимов: если при одинаковом
напряжении измерить токи при согласном и встречном включении катушек, то
ток при встречном включении окажется больше.
7.3 Описание лабораторной установки
Источником электрической энергии является генератор сигналов низкочастотный ГЗ-123. Исследуемые элементы – две индуктивно-связанные катушки L1
и L2 расположены на лицевой панели универсального стенда. Для измерения напряжений применяется цифровой мультиметр ВР-11А, токи определяют миллиамперметрами М42300, активную мощность – с помощью ваттметра.
7.4 Рабочее задание
7.4.1 Для определения параметров двух индуктивно-связанных катушек со-
берите схему, представленную на рисунке 7. 6
Рисунок 7.6 – Электрическая схема для определения параметров двух индуктивно связанных катушек
7.4.2 Включите генератор, установите на нем выходное напряжение в пре-
делах 10 – 25 В и частоту 1000 - 1500 Гц. Снимите показания приборов и запишите их в таблицу 7.1.
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 7.1 - Результаты определения параметров двух индуктивно связанных катушек
№
Эксперимент
Расчет
ка-
f
U1
U2
I
P
Z
R
XL
XM
L
M
туш-
Гц
В
В
А
Вт
Ом
Ом
Ом
Ом
Гн
Гн
ки
1
2
7.4.2 Отключив генератор, поменяйте местами катушки. При том же напря-
жении снимите показания приборов и запишите их во вторую строку таблицы 7.1.
7.4.3 Соберите схему с последовательным соединением катушек в соответ-
ствии с рисунком 7.7.
M
R к1
~e
V
L к1
R к2
L к2
i
A
Рисунок 7.7 – Электрическая схема последовательного соединения
двух индуктивно-связанных катушек
7.4.4 Включив генератор, установите напряжение 15-25 В. Значение частоты
оставьте таким же, каким оно было в опыте 7.4.2. Измерьте: напряжение на входе
U, напряжение на первой катушке U1 , напряжение на второй катушке U2, ток I,
активную мощность P. Запишите эти значения в таблицу 7.2.
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 7.2 – Экспериментальные и расчетные данные
Эксперимент
Включение
катушек
f = ….
U
В
U1 U2 I
В
В
А
Теоретический расчет
P
Вт
Zэ
Ом
Rэ
Ом
Xэ
Lэ
Ом
Гн
XM
Ом
M
Гн
Согласное
Встречное
7.4.5 Измените включение одной из катушек, поменяв местами провода на
ее зажимах, и снова проделайте те же измерения, что и в предыдущем пункте. Результаты измерения запишите в таблицу 7.2.
7.5 Обработка результатов экспериментов
7.5.1 По результатам таблицы 7.1 вычислите параметры первой и второй
катушек, используя формулы (4.5) , (4.15), (4.17), (7.11) и занесите их в таблицу.
Сравните полученные значения взаимной индуктивности М.
7.5.2 По результатам таблицы 7.2 определите эквивалентные параметры ис-
следуемой цепи при согласном и встречном включении катушек и занесите их в
таблицу.
7.5.3 Используя данные таблицы 7.2, постройте в масштабе векторные диа-
граммы токов и напряжений при согласном и встречном включении катушек.
Расчетные данные для построения диаграмм внести в табл. 7.3.
Указания:
a) величины R1, R2, X1, X2 брать из таблицы 7.1, а значения тока I и сопро-
тивления XM – из табл. 7.2;
b) построение диаграмм следует начинать с вектора тока I, принимая его
начальную фазу равной нулю;
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
d) показать на диаграмме напряжения на зажимах каждой из катушек U1,
U2 и входное напряжение U, определить их величины и внести эти значения (U,
U1, U2) в таблицу 7.3. Сравните напряжения U, U1, U2 с данными таблицы 7.2.
Таблица 7.3 - Расчетные данные при построении векторных диаграмм
Включение
Результаты вычислений
Результаты из диа-
катушек
грамм
R1·I
X1·I
XM·I
R2·I
X2·I
XM·I
U
U1
U2
В
В
В
В
В
В
В
В
В
Согласное
Встречное
7.5.4 Сделайте выводы по работе.
7.6 Контрольные вопросы
7.6.1 В чем сущность явления взаимоиндукции?
7.6.2 От чего зависят индуктивность и взаимоиндуктивность катушек ин-
дуктивности?
7.6.3 Какие бывают включения катушек индуктивности?
7.6.4 Как называются составляющие напряжения на катушках со взаимоин-
дуктивной связью? Как они определяются?
7.6.5 При каком соединении катушек со взаимоиндуктивной связью полное
(общее) сопротивление цепи будет уменьшено?
7.6.6 Как может быть определен коэффициент взаимоиндукции?
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8 Лабораторная работа № 8. Исследование воздушного
трансформатора
8.1 Цель работы. Научиться определять параметры двухобмоточного
трансформатора и строить его векторные диаграммы при различных нагрузках.
8.2 Краткие теоретические сведения.
Трансформатор предназначен для преобразования величин переменных токов и напряжений при неизменной частоте. В простейшем случае он представляет
собой две обмотки на замкнутом сердечнике. Обмотка трансформатора, к которой
подводится питание, называется первичной, другая обмотка, к которой присоединяется нагрузка, – вторичной. Передача энергии из одной цепи в другую происходит благодаря явлению взаимной индукции. Схема замещения такого линейного
трансформатора представлена на рисунке 8.1.
Рисунок 8.1 – Схема воздушного трансформатора
При выбранных положительных направлениях токов уравнения состояния
трансформатора в комплексной форме записи имеют вид:
⋅
⋅
⋅
⋅
R1 ⋅ I 1 + jX L1 ⋅ I 1 ± jX M ⋅ I 2 = U 1 ;
⋅
⋅
⋅
(8.1)
⋅
R2 ⋅ I 2 + jX L 2 ⋅ I 2 ± jX M ⋅ I 1 + U 2 = 0
(8.2)
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По уравнениям (8.1) и (8.2) можно построить векторную диаграмму токов и
напряжений воздушного трансформатора, которая для произвольной нагрузки с
углом между током и напряжением, приведена на рисунке 8.2.
Рисунок 8.2 – Векторная диаграмма токов и напряжений воздушного трансформатора
За исходный вектор принят ток I2. Под углом φн отложено напряжение U2,
считаем, что нагрузка носит активно-индуктивный характер. Затем откладываем
векторы напряжений R2 I2 и jωL2 I2. Соединяя конец вектора jωL2 I2, с началом
векторной даграммы, получим вектор jωM I1 . Вектор тока I1 отложим под углом
π/2 к вектору jωM I1 . Затем откладываем векторы напряжений R2 I2, jωL1 I1 и
jωM I2. Их сумма равна вектору напряжения U1.
В режиме холостого хода трансформатора (ZН → ∞, I2 = 0), уравнения
(8.2), (8.3), описывающие его работу упрощаются:
⋅
⋅
⋅
R1 ⋅ I 1 X + jX L1 ⋅ I 1 X = U 1
⋅
,
(8.3)
⋅
jX M ⋅ I 1 X + U 2 X = 0
.
(8.4)
Из уравнений (8.3) и (8.4) могут быть определены параметры первичной
обмотки трансформатора (предполагается, что величина R известна) и взаимная
индуктивность:
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
M=
U2X
ω I1X
.
(8.5)
Коэффициент трансформации nТ определяется как:
(8.6)
8.3 Описание лабораторной установки
Элементы исследуемых электрических цепей и измерительные приборы
расположены на лицевой панели универсального стенда. Источником электрической энергии является генератор сигналов низкочастотный ГЗ-123. Исследуемые
элементы – две индуктивно-связанные катушки L1 и L2. В качестве нагрузки используется переменный резистор R5. Для измерения напряжений применяется
цифровой мультиметр ВР-11А, токи определяют по миллиамперметрам М42300.
8.4 Рабочее задание
Опыт 1. Определение параметров первичной и вторичной обмоток
воздушного трансформатора
8.4.1 Омметром измерьте активные сопротивления R обмоток воздушного
трансформатора. Результаты измерений занесите в таблицу 8.1.
8.4.2 Соберите электрическую цепь, рисунок 8.3, включив в цепь первую
катушку индуктивности. На генераторе ГЗ-123 установите выходное напряжение
в пределах (10-20) В и частоту = 500 Гц. Миллиамперметр mA1 переключить на
диапазон × 3.
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Результаты измерений внести в таблицу 8.1.
Rк
L
mA1
V
~e
Рисунок 8.3 – Определение параметров обмоток воздушного трансформатора
Таблица 8.1 – Определение параметров обмоток трансформатора
№
катушки
Эксперимент
Расчет
f
U
I
R
ZX
XL
L
Гц
В
мА
Ом
Ом
Ом
Гн
Катушка 1
Катушка 2
8.4.3 Включите в электрическую цепь, рисунок 8.3, вторую катушку индук-
тивности взамен первой и повторите опыт по п.8.4.2. Данные измерений внести в
таблицу 8.1.
Опыт 2. Исследование воздушного трансформатора в различных режимах
8.4.4 Соберите схему для исследования воздушного трансформатора в ре-
жиме холостого хода, рисунок 8.3, а. В качестве источника питания используйте
генератор сигналов низкочастотный ГЗ-123.
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 8.4 – Электрическая схема исследования воздушного трансформатора
8.4.5 Включите генератор, установите на его зажимах выходное напряжение
в пределах (10-20) В и частоту – (1000-1500) Гц.
8.4.6 Выполните измерения в режимах короткого замыкания трансформато-
ра, при емкостной и активной нагрузках (схемы рисунка 8.3, б, в, г) и показания
приборов внесите в таблицу 8.2.
Таблица 8.2 – Результаты исследования воздушного трансформатора
Эксперимент
Характер нагрузки
Расчет
f
U1
U2
I1
I2
φН
Гц
В
В
мА
мА
град
М
пТ
Холостой ход
Короткое замыкание
Емкостная нагрузка С= …мкФ
Активная нагрузка RН =…Ом
8.5 Обработка результатов экспериментов
8.5.1 По результатам опыта в п.8.4.2 определите параметры первичной и
вторичной обмоток воздушного трансформатора по формулам (4.5), (4.15), (4.17).
Результаты расчета внести в таблицу 8.1.
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8.5.2 По результатам измерений в режиме холостого хода определите коэф-
фициент взаимоиндукции M, сопротивление взаимоиндукции XM, коэффициент
трансформации nT. При вычислении использовать уравнения (8.5), (8.6). Результаты расчета внести в таблицу 8.2.
8.5.3 Вычислите падения напряжения на элементах схемы замещения
трансформатора во всех исследуемых режимах работы (ХХ, КЗ, емкостная нагрузка, активная нагрузка). Результаты вычислений внести в таблицу 8.3. Значения токов брать из таблицы 8.2, а сопротивлений – из таблицы 8.1.
Таблица 8.3 – Результаты вычислений
Результаты вычислений
Характер нагрузки
теоретические
из диаграммы
R1 I1 XL1 I1 R2 I2 XL2 I2 XM I2
В
В
В
В
В
U2M
U1
В
В
ХХ
КЗ
С
RН
8.5.4 Постройте векторные диаграммы напряжений и токов для всех иссле-
дованных режимах работы воздушного трансформатора (ХХ, КЗ, емкостная нагрузка, активная нагрузка), используя данные таблиц 8.1–8.3.
Указания:
a) во всех режимах, кроме холостого хода, построение векторной диаграм-
мы следует начинать с тока I2 ;
b) значения входного напряжения U1 и напряжения взаимной индукции
U2M =XM I1, внесенные в таблицу 8.3, следует определить из диаграмм;
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
c) сравнить значения входного напряжения U1, полученные из опыта и из
векторных диаграмм для каждого случая.
8.5.5 Из векторной диаграммы для активной нагрузки определить угол
сдвига фаз φ1 между входными напряжением U1 и током I1. Вычислить к.п.д.
трансформатора в этом режиме по формуле:
8.5.6 Подсчитать отношение U1 / U2 при емкостной нагрузке и сравнить с
коэффициентом трансформации.
8.5.7 Сделать выводы по работе.
8.5 Контрольные вопросы
8.5.1 Что такое трансформатор?
8.5.2 Как найти коэффициент трансформации?
8.5.3 Напишите основные уравнения трансформатора.
8.5.4 Нарисуйте векторную диаграмму воздушного трансформатора при ак-
тивной нагрузке.
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9 Лабораторная работа № 9. Исследование трехфазной цепи
при соединении приемников звездой
9.1 Цель работы. Исследовать трехфазную цепь, соединенную звездой с
нулевым проводом и без него при симметричной и несимметричной нагрузках;
научиться строить векторные диаграммы для трехфазной цепи.
9.2 Краткие теоретические и практические сведения
9.2.1 Основные понятия и определения
Трехфазная цепь (ТФЦ) является частным случаем многофазных электрических систем, представляющих собой совокупность электрических цепей, в которых действуют ЭДС одинаковой частоты, сдвинутые по фазе относительно друг
друга на определенный угол.
Каждую электрическую цепь ТФЦ, характеризующуюся одинаковым током,
называют фазой.
Совокупность ЭДС (напряжений, токов) в трехфазных цепях называют
трёхфазной системой ЭДС (напряжений, токов).
Если все три ЭДС (напряжения, тока) трехфазной системы одинаковы по
амплитуде и сдвинуты по фазе относительно друг друга на одинаковый угол
(120°), то такие трехфазные системы называют симметричными.
Мгновенные значения симметричной системы трёхфазных ЭДС можно записать в следующем виде
eA = Em ⋅ sin(ω ⋅ t )

0
eB = Em ⋅ sin(ω ⋅ t − 120 )
e = E ⋅ sin(ω ⋅ t − 240) = E ⋅ sin(ω ⋅ t + 120).
m
m
C
(9.1)
График мгновенных значений eА, eВ, eС представлен на рисунке 9.1.
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
e, B
eA
π/2
eB
π
eC
3π/2
2π
ωt
Рисунок 9.1 – График мгновенных значений eА, eВ, eС
Комплексные действующие значения симметричной системы трёхфазных
ЭДС запишутся в виде:
E
E B = m ⋅ e − j ⋅120 ,
2
E
E A = m ⋅ e j⋅0 ,
2
E
E C = m ⋅ e j⋅120 .
2
(9.2)
Векторная диаграмма ЭДС представлена на рисунке 9.2.
+1
.
EA
120
120
+j
120
.
.
EB
EC
Рисунок 9.2 – Векторная диаграмма
Из построенных диаграмм, рисунки 9.1, 9.2, следует, что суммы мгновенных
и комплексных значений ЭДС равны нулю:
e A + eB + eC = 0
(9.3)
E A + E B + E C = 0
(9.4)
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнения (9.3) и (9.4) выражают главное свойство симметричных трехфазных систем: сумма ЭДС, напряжений или токов фаз в любой момент времени
равна нулю. Это свойство позволяет электрически связывать (соединять) между
собой три фазы генератора, нагрузки. Различают два вида соединения трехфазных
систем:
– звездой, использующее равенство нулю токов;
– треугольником, использующее равенство нулю напряжений.
9.2.2 Соединение ТФЦ звездой
При соединении звездой начала фазных обмоток источника соединяются в
одну нейтральную точку 0, а концы обмоток образуют три вывода. Аналогично
соединяются три нагрузки, образуя трехфазную нагрузку с нейтралью 0'. Соединяя концы источника А, В, С с концами нагрузки а, в, с получаем схему, представленную на рисунке 9.3.
Каждую обмотку генератора называют фазой генератора, а каждую нагрузку – фазой нагрузки. В ТФЦ различают линейные и нейтральный (нулевой)
провода. Линейные провода – провода, соединяющие источник и нагрузку: А – а,
В – b, С – с.
IA
ZЛ
A
UCA
EA
UA
C
Uаb
Uca
UАB
O UB
EC
a
ZN
Za
IN
Ua
Uc
Ub
O`
UC
EB
B
UBC Z
Л
ZЛ
Zb
Zc
c
IB
b
Ubc
IC
Рисунок 9.3 – Соединение ТФЦ звездой
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нейтральный (нулевой) провод – провод, соединяющий нейтраль генератора (точка 0) с нейтралью нагрузки (точка 0'): 0 – 0'.
В теории ТФЦ используют различные понятия эксплуатационных напряжений:
- фазные – это напряжения на фазах нагрузки или, напряжение между ли-
нейным проводом и нейтралью, обозначают – Uф.
⋅
⋅
⋅
U A , U B , U C – фазные напряжения источника;
U a , U b , U c – фазные напряжения нагрузки.
- линейные – напряжения между линейными проводами, обозначают – Uл.
U ab , U bc , U ca – линейные напряжения.
- напряжение смещения нейтрали – напряжение между нулевыми точками источника и нагрузки, обозначают U00' или UN .
Аналогично различают и токи:
- фазные токи – токи, текущие по фазным проводам - Iф;
- линейные токи – токи, проходящие по линейным проводам - Iл.;
- ток в нейтрали – ток, проходящий в нейтральном (нулевом) проводе – IN.
Очевидно, что при соединении звездой:
Iф = Iл
(9.5)
Уравнение (9.5) – одно из основных соотношений при соединении ТФЦ
звездой.
Ток в нейтрали, на основании 1-го закона Кирхгофа, определяется как:
IN = I A + IB + IC
(9.6)
Между собой линейные и фазные напряжения генератора связаны соотношениями
U AB = U A − U B ,
U BC = U B − U C ,
U CA = U C − U A .
(9.7)
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.2.3 Симметричный режим работы ТФЦ
Режим работы трехфазной цепи, при котором трехфазные системы напряжений генератора и токов нагрузки симметричны, называется симметричным
режимом.
Условия симметричного режима работы ТФЦ:
- трехфазная система ЭДС источника образуют симметричную систему:
E A = Eф ⋅ e j ⋅0
E B = Eф ⋅ e − j ⋅120
(9.8)
EC = Eф ⋅ e j ⋅120 ;
- Z A = Z B = Z C , – сопротивления фаз равны по величине и имеют одина-
ковый характер;
- в линейных проводах нет аварии.
В этом случае, линейные токи
IA , IB , IC
равны по величине и сдвинуты
по фазе относительно друг друга на 120° и также образуют симметричную систему.
При симметричной системе напряжений генератора действующие значения линейного и фазного напряжений отличаются друг от друга в 3 раз:
U л = 3 ⋅U ф .
(9.9)
Построим топографическую и векторную диаграмму токов, рисунок 9.4.
+j
UA
UAB
IA
UCA
+1
UC
IC
O
UBC
IB
UB
Рисунок 9.4 - Векторная диаграмма токов и напряжений
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из диаграммы следует:
1) Ток в нейтральном проводе равен нулю:
IN = IA + IB + IC = 0 ;
(9.10)
2) Линейные и фазные напряжения связаны между собой следующим обра-
зом:
U = 3U ⋅ е j 30 A
 AB

− j 90 .
U BC = 3U A ⋅ е

j150 U CA = 3U A ⋅ е

(9.11)
9.2.4 Мощности в ТФЦ
Активная мощность трёхфазной цепи равна сумме активных мощностей
фаз и активной мощности в сопротивлении, включенном в нулевой провод
P = PА + PВ + PС + P0 .
(9.12)
Реактивная мощность трёхфазной цепи представляет собой сумму реактивных мощностей фаз и реактивной мощности в сопротивлении, включенном в
нулевой провод
Q = Q А + QВ + QС + Q0 .
Полная мощность
S = P2 + Q2.
(9.13)
(9.14)
Активная и реактивная мощности любой из фаз (например, фазы А) определяются как
PА = U А I А cos ϕ А .
(9.15)
Q А = U А I А sin ϕ А .
(9.16)
Для симметричного режима работы
P0 = Q0 = 0
PA = PB = PC .
(9.17)
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следовательно
P = 3 ⋅ Pф = 3 ⋅ U ф ⋅ I ф ⋅ cos ϕ ф = 3 ⋅ U л ⋅ I л ⋅ cos ϕ ф .
(9.18)
Аналогично выражается и реактивная мощность
Q = 3 ⋅ Qф = 3 ⋅ U ф ⋅ I ф ⋅ sin ϕ ф = Q = 3 ⋅ U л ⋅ I л ⋅ sin ϕ ф .
(9.19)
Полная мощность при симметричном режиме работы
S = 3 ⋅U ф ⋅ I ф = 3 ⋅U л ⋅ I л .
(9.20)
9.2.4 Построение векторных диаграмм
В электротехнике распространен термин (понятие) «сеть». Под электрической сетью понимают элементы от генератора до потребителя, по которым передается энергия, сеть рассматривается как источник энергии, Поэтому очень часто
говорят о подключении потребителя (нагрузки) не к генератору, а к сети, подразумевая линию, идущую от генератора или трансформатора.
Построение векторных диаграмм представлено в таблице 9.1.
Из представленных векторных диаграмм можно сделать следующий вывод:
фазные напряжения в четырехпроводной системе не зависят от нагрузки и равны
по величине, а в трехпроводной при несимметричной нагрузке – различны. Различное напряжение фаз потребителя на практике не допускается, поэтому при несимметричной нагрузке всегда используется четырехпроводная система, обеспечивающая равенство фазных напряжений. Назначение нулевого провода и состоит в обеспечении равенства фазных напряжений.
При симметричной нагрузке нейтральный провод не нужен.
Остановимся поподробнее на построении векторной диаграммы токов и напряжений при несимметричной нагрузке трехпроводной системы.
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.2.4.1 Несимметричная нагрузка трехпроводной системы.
Несимметричная нагрузка может быть обусловлена либо различными значениями сопротивлений в фазах ТФЦ, либо различным характером сопротивлений (резистивная, индуктивная, емкостная).
Последовательность построения векторной диаграммы будет следующая:
1) Строят фазные напряжения (или ЭДС) генератора, учитывая, что на топо-
графической диаграмме вектора фазных ЭДС совпадают с соответствующими
фазными напряжениями. Это утверждение основывается на следующем [3, С. 99]:
- направления векторов ЭДС на топографической диаграмме относительно
точек топографической диаграммы
совпадают с направлениями ЭДС относи-
тельно соответствующих точек электрической схемы;
- направления векторов напряжений относительно точек топографической
диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек электрических схем.
В соответствии с этим будем считать, что на топографической диаграмме:
E А = U А ; E B = U B ; EC = U C .
2) Строят вектор смещения нейтрали U OO′ . Положение точки 0' может
быть найдено двумя способами:
U ⋅ Y + U B ⋅ Y B + U C ⋅ Y C
- аналитически, по формуле: U OO′ = A A
;
Y A +Y B +YC
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 9.1 – Построение векторных диаграмм
Вид ТФЦ
Симметричный режим работы ТФЦ
Трехпроводная
сеть
(звезда без нулевого провода)
Последовательность построения
диаграммы
1) Фазные напряжения (или ЭДС) генератора: U А ; U B ; U C ;
2) Фазные напряжения нагрузки U a ;U b ;U c .
При симметричном режиме:
U А = U a ; U B = U b ; U C = U c .
3) Фазные токи I А ; IB ; IC . При построении
векторов фазных токов необходимо учитывать характер нагрузки.
Несимметричный режим работы ТФЦ
Последовательность построения
диаграммы
1) Фазные напряжения (или ЭДС) генератора:U А ; U B ; U C ;
2) Смещение нейтрали U O `O . Положение точки 0' определяется методом засечек;
3) Фазные напряжения нагрузки U a ;U b ;U c , которые
строятся путем соединения точки 0' с концами векторов
U А ; U B ; U C , так как:
U = U − U
U = U − U
U = U − U
a
O `O
A
;
b
;
c
C
O `O
;
4) Фазные токи IА ; IB ; IC .
+1
+1
1
U A
U A
I A
IC
+j
+j
IB
U a
I A
IC
U C
O `O
B
U B
0
U o 'o
U C
U c
0`
IB
U b
U B
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжение таблицы 9.1
Вид ТФЦ
Четырехпроводная сеть
(звезда с нулевым проводом, ZN = 0)
Симметричный режим работы ТФЦ
Последовательность построения
диаграммы
1) Фазные напряжения (или ЭДС) генератора: U А ; U B ; U C ;
2) Фазные напряжения нагрузки U a ;U b ;U c .
При симметричном режиме:
U А = U a ; U B = U b ; U C = U c .
3) Фазные токи I А ; IB ; IC . При построении
векторов фазных токов необходимо учитывать характер нагрузки.
Несимметричный режим работы ТФЦ
Последовательность построения
диаграммы
1) Фазные напряжения (или ЭДС) генератора:
U A ,U B ,U C ;
2) Фазные токи IA , IB , IC ;
3) Ток нулевого провода определяется геометрическим
суммированием фазных токов в соответствии с первым законом Кирхгофа:
IN = IA + IB + IC .
+1
1
+1
1
U A
U A
I A
I A
IC
IC
+j
+j
IN
U C
IB
U B
U C
IB
U B
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- графически, методом засечек, считая известными действующие значения
фазных напряжений на нагрузке. Для этого из конца вектора E А проводят окружность радиусом фазного напряжения на нагрузке U a , далее из конца вектора
E B проводят окружность радиусом U b , аналогично из конца EC - окружность
радиусом U c . Пересечение окружностей и будет положением искомой точки 0'.
Соединив точки 0 и 0' получим вектор напряжения смещения нейтрали U OO′ .
3) Строят фазные напряжения нагрузки U a ;U b ;U c , путем соединения точки
0' с концами векторов U А ; U B ; U C , так как:
U a = U A − U O `O ; U b = U B − U O `O ; U c = U C − U O `O ;
5)
Строят фазные токи IА ; IB ; IC относительно соответствующих фаз-
ных напряжений в зависимости от характера нагрузки. Вектора фазных токов
строят из нулевой точки 0.
На резистивной нагрузке фазное напряжение совпадает по фазе с током, на
индуктивной – ток отстает на 900, на емкостной – ток опережает фазное напряжение на 900.
9.2.4.2 Аварийные режимы
Частными случаями несимметричных режимов являются:
- обрыв в какой-либо фазе нагрузки, когда сопротивление фазы равно бес-
конечности;
- короткое замыкание фазы, когда сопротивление равно нулю.
Обрыв в фазе нагрузки возникает при неисправности в приемниках энергии,
например при перегорании предохранителя. Этот аварийный режим исследуется в
данной лабораторной работе. Он характерен тем, что трехфазная четырехпроводная система превращается в двухфазную. Векторная диаграмма при обрыве в фазе
«а» представлена на рисунке 9.5. При построении диаграммы считали, что в фа-
зах «в» и «с» включена резистивная нагрузка.
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+1
A
UA
IC
O
IB
+j
UOO
/
B
C
O
UC
/
UB
Рисунок 9.5 - Векторная диаграмма при обрыве провода в фазе «а» нагрузки
ТФЦ
Если произойдет короткое замыкание фазы «а», то точка О' соединится с
'
'
точкой А. В таком случае напряжения U в и U с в фазах В и С возрастут в
раз, соответственно, фазные токи тоже возрастут в
3
3 . Векторная диаграмма при
коротком замыкании фазы «а» представлена на рисунке 9.6. В фазах «в» и «с»
включена резистивная нагрузка.
+1
IA
A ,а,О
UC
/
UB
O
+j
C
IB
IC
B
- IA
Рисунок 9.6 - Векторная диаграмма при коротком замыкании фазы «а»
9.3 Описание лабораторной установки
Элементы трехфазной электрической цепи и измерительные приборы, используемые в лабораторной работе, размещены на лицевой панели универсального стенда.
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В качестве источника энергии используется трехфазная сеть синусоидального тока, к которой подключены первичные обмотки трехфазного понижающего
трансформатора. На лицевую панель стенда выведены клеммы фаз «А», «В», «С»
и нейтральная точка «N» вторичных обмоток этого трансформатора. В качестве
приемников используются резисторы R1 , R2 , R3 . Для измерения токов предназначены миллиамперметры типа М 42300, а для измерения напряжений – цифровой мультиметр ВР-11А.
9.4 Рабочее задание
9.4.1 Соберите четырехпроводную трехфазную цепь в соответствии со схе-
мой рисунка
9.7. Установите движки резисторов
R1 , R2 , R3 в средние
положения.
Рисунок 9.7 – Электрическая схема исследования ТФЦ
9.4.2 Включите источник трехфазного напряжения и установите поочередно
следующие режимы работы трехфазной цепи:
- симметричный;
- несимметричный;
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- обрыв одной из фаз приемника (для каждой бригады фазу задает препода-
ватель).
Для каждого из режимов работы измерить фазные токи, ток в нейтральном
проводе, фазные и линейные напряжения. Результаты измерений занести в таблицу 9.2.
9.4.3 Отключите источник трехфазного напряжения. Замените в двух фазах
резистивные элементы на индуктивный и емкостной (для каждой бригады фазы,
в которых заменяются сопротивления, задает преподаватель).
9.4.4 Включите источник трехфазного напряжения и фазные токи, ток в
нейтральном проводе, фазные и линейные напряжения. Результаты измерений занести в строку 4 таблицы 9.2.
9.4.5 Отсоедините нейтральный провод и установите поочередно указанные
в п.п. 9.4.2, 9.4.3 режимы работы трехфазной цепи. Измерьте для каждого из режимов фазные токи, фазные и линейные напряжения и напряжение смещения
нейтрали. Результаты измерений занесите в таблицу 9.2.
9.5 Обработка результатов опытов
9.5.1 Вычислите значения активных сопротивлений и активные мощности
отдельных фаз, используя приведенные
выше формулы (9.15), (9.16), (9.19),
(9.20) для каждого проведенного опыта. Результаты вычислений занести в табли-
цу 9.2.
9.5.2 По результатам измерений п.п. 9.4.2 , 9.4.4, 9.4.5 постройте векторные
диаграммы напряжений и токов для каждого режима.
9.6 Контрольные вопросы
9.6.1 Что такое трёхфазная цепь и трёхфазные системы ЭДС, токов и на-
пряжений?
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.6.2 Какие режимы работы трёхфазных цепей называются симметричны-
ми?
9.6.3 Каковы соотношения между фазными и линейными токами и напря-
жениями в трёхфазной цепи при симметричном режиме и соединении приемника
в звезду?
9.6.4 Что такое напряжение смещения нейтрали?
9.6.5 Что такое линейное напряжение?
9.6.6 Что такое фазное напряжение?
9.6.7 В каких случаях, и с какой целью в трёхфазных цепях применяют ну-
левой провод?
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№
опыта
Линия
Таблица 9.2 – Результаты измерений и вычислений
2
3
4
четырехпроводная
1
6
7
8
трехпроводная
5
Эксперимент
Нагрузка
Расчет
UЛ UA UB UC Uа Ub Uc IA IB IC IN UN Ra Rb Rc Pa
В
В
В
В
В
В
В
А А А
А
В
Симметричная
–
Несимметричная
(резистивная)
–
Обрыв фазы
–
Несимметричная (R; L; C).
–
Симметричная
–
Несимметричная
(резистивная)
–
Обрыв фазы
–
Несимметричная (R; L; C).
–
Ом Ом Ом Вт
Pb
Pc
PΣ
Вт
Вт
Вт
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10 Лабораторная работа № 10. Исследование трехфазной
цепи при соединении приемников треугольником
10.1 Цель работы. Исследование трехфазной цепи при соединении приемников треугольником с различной нагрузкой отдельных фаз. Опытная проверка
соотношений между линейными и фазными напряжениями и токами, представление результатов экспериментов в виде векторных диаграмм напряжений и токов.
10.2 Краткие теоретические и практические сведения
10.2.1 Основные понятия и соотношения
При соединении приемников трехфазной системы треугольником фазные
сопротивления нагрузки соединяются последовательно таким образом, чтобы конец каждой предыдущей фазы приемника соединялся с началом последующей. К
вершинам образовавшегося таким образом треугольника подводятся линейные
провода, в соответствии с рисунком 10.1,а. В результате получается трехпроводная трехфазная система.
В трехфазных системах различают линейные напряжения между любой
парой линейных проводов и фазные напряжения на выводах фазных сопротивлений нагрузки. Очевидно, что при соединении треугольником фазные напряжения всегда равны линейным:
U л = U ф
(10.1)
Различают также линейные токи в линейных проводах и фазные токи в
фазах приемника. Чтобы вывести соотношения между этими токами, необходимо
задаться условными их направлениями и применить первый закон Кирхгофа для
каждого узла «а», «b», «с», рисунок 10.1, а:
Ia = Iab − Ica ;
Ib = Ibc − Iab ;
Ic = Ica − Ibc .
(10.2)
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.2.2 Некоторые свойства ТФЦ с различными схемами соединений
При симметричном режиме работы ТФЦ, соединение приемников треугольником, векторная диаграмма напряжений и токов имеет вид, рисунок 10.1, б.
В этом режиме между действующими значениями линейных и фазных токов
справедливо следующее соотношение:
I л = 3 ⋅ Iф
(10.3)
При несимметричной нагрузке ТФЦ симметрия токов в трехфазной системе
с соединением приемника треугольником будет нарушена, но это не отразится на
фазных напряжениях, так как здесь на фазы приемника подается непосредственно
линейное напряжение, определяемое источником энергии. Линейные токи в этом
случае определяются графически (рисунок 10.1,в), в соответствии с уравнениями
(10.2).
a
A
IA
IC
I ab
I ca
b
c
Iab
I bc
B
IB
IB
IC
IA
Uca
I bc R bc
C
- Ica
- I bc
R ab
R ca
Uab
Ica
a)
- Iab
Ubc
б)
IC
- I bc
Uab
Ica
- Ica
Uca
IA
Iab
I bc
IB
- Iab
Ubc
в)
Рисунок 10.1 – Схема трехфазной цепи при соединении приемника треугольником
(а) и векторные диаграммы при симметричной (б) и несимметричной (в) нагрузках
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кроме режимов симметричной и несимметричной нагрузки в предлагаемой
лабораторной работе исследуются аварийные режимы: обрыв одной из фаз приемника и обрыв линейного провода.
При обрыве одной из фаз, например фазы «ca», рисунок 10.2,а, режим работы двух других фаз не нарушается, так как на них по-прежнему подаются соответствующие линейные напряжения. Для построения векторной диаграммы рассматриваемого аварийного режима воспользуемся соотношениями (10.2), приняв
в них ток фазы, в которой произошел обрыв, равным нулю (Ica = 0). Векторная
диаграмма представлена на рисунке 10.2,б), нагрузка в фазах активная.
- I bc = I C
a
A
Uab
I ab
IA
R ab
I bc R bc
b
c
B
IB
C
IC
Iab = IA
Uca
a)
I bc
IB
- Iab
Ubc
б)
Рисунок 10.2 – Схема цепи (а) и векторная диаграмма (б) при обрыве фазы «ca»
При обрыве одного из линейных проводов, например провода А, рисунок
10.3,а), резисторы в фазах «ав» и «са» окажутся включенными последователь-
но на линейное напряжение Uвс. На каждый из этих резисторов приходится половина этого линейного напряжения, в связи, с чем на векторной диаграмме, рисунок 10.2,б), точка а располагается на середине вектора Uвс. Очевидно, что напряжение на резисторах в фазах «ав» и «са» по сравнению с симметричным
режимом уменьшаются в 2 раза. Во столько же раз уменьшаются токи в этих ветвях, причем Iab = Ica. Линейные токи IВ и IС находим по векторной диаграмме в
соответствии с формулами (10.2), рисунок 10.2, в).
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
I ав
Ica
B
+1
a
A
IB
C
A
Z ав
Z ca
Z вс
c
Iвс
Uав
Uca
в
+j C, с
a
В, в
Uвс
б)
a)
+1
O
+j
IC
Ica
I вс
IB
в)
Рисунок 10.3 – Схема цепи (а) и векторные диаграмм напряжений (б) и токов (в) при обрыве линейного провода А
10.2.3 Мощности в ТФЦ
Зная фазные напряжения и токи, а также углы сдвига фаз между ними,
можно определить активные, реактивные и полные мощности фаз приемника
(10.4), (10.5), (10.6):
Активные, реактивные и полные мощности трехфазного приемника, без
учета сопротивлений в линейных проводах, определяются по формулам:
,
(10.7)
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где в выражении для реактивной мощности знак «+» берется в случае индуктивной нагрузки, а знак «-» в случае емкостной нагрузки.
10.3 Описание лабораторной установки
Элементы трехфазной электрической цепи и измерительные приборы, используемые в лабораторной работе, размещены на лицевой панели универсального стенда.
В качестве источника электрической энергии используется трехфазная
сеть переменного тока, к которой подключены первичные обмотки трехфазного
понижающего трансформатора. На лицевую панель стенда выведены клеммы фаз
«А», «В», «С» вторичных обмоток этого трансформатора. В качестве приемни-
ков используются проволочные резисторы R1 , R2 , R3 .
Для измерения токов предназначены миллиамперметры типа М 42300, а
для измерения напряжений – цифровой мультиметр ВР-11А.
10.4 Рабочее задание
10.4.1 Собрать трехфазную цепь в соответствии со схемой рисунка 10.4. Ус-
тановить движки резисторов R1 , R2 , R3 в средние положения.
10.4.2 После проверки электрической цепи преподавателем подключить ее к
источнику трехфазного напряжения.
10.4.3 Установить симметричную нагрузку трехфазного приемника и изме-
рить фазные и линейные токи, и фазные напряжения. Результаты измерений свести в таблицу 10.1.
10.4.4 Установить несимметричную нагрузку трехфазного приемника и из-
мерить фазные и линейные токи, и фазные напряжения. Результаты измерений
свести в таблицу 10.1.
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 10.4 – Электрическая схема исследования ТФЦ
10.4.5 При отключенном питании произвести обрыв одной из фаз приемни-
ка и, после проверки схемы преподавателем, включить питание и измерить фазные и линейные токи, и фазные напряжения. Результаты измерений свести в таблицу 10.1.
10.4.6 При отключенном питании произвести обрыв одного из линейных
проводов и, после проверки схемы преподавателем, включить питание и измерить
фазные и линейные токи, и фазные напряжения. Результаты измерений свести в
таблицу 10.1.
10.5 Обработка результатов опытов
10.5.1 Вычислите активные мощности отдельных фаз и активную мощность
трехфазного приемника. Данные расчетов свести в таблицу 10.1.
10.5.2 Постройте векторные диаграммы токов и напряжений в масштабе
для всех исследуемых режимов работы трехфазной цепи.
10.6 Контрольные вопросы
10.6.1 Что такое трёхфазная цепь и трёхфазные системы ЭДС, токов и на-
пряжений?
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.6.2 Какие режимы работы трёхфазных цепей называются симметричны-
ми?
10.6.3 Каковы соотношения между фазными и линейными токами и напря-
жениями в трёхфазных цепях при симметричном режиме в случае соединения
приёмника треугольником?
10.6.4 Запишите систему мгновенных значений ЭДС для трёхфазного гене-
ратора обмотки, которого соединены треугольником.
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 10.1 – Результаты измерений и вычислений
№
опыта
1
2
3
4
Режим
работы
ТФЦ
Симметричная
нагрузка
Несимметричная
нагрузка
Эксперимент
Расчет
Uab
Ubc
Uca
Iab
Ibc
Ica
IA
IB
IC
РА
РВ
РС
РΣ
В
В
В
А
А
А
А
А
А
Вт
Вт
Вт
Вт
Обрыв
фазы
Обрыв
линейного
провода
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11 Лабораторная работа № 11 Гармонический анализ
несинусоидального напряжения
Цель работы: произвести экспериментально, аналитически и графически
спектральный анализ несинусоидального напряжения.
11.1 Краткие теоретические и практические сведения
11.1.1 Аналитическое разложение периодической несинусоидальной
функции в тригонометрический ряд
Несинусоидальными периодическими ЭДС, напряжениями и токами называют такие e, u, i - мгновенные значения которых изменяются во времени по не
гармоническому закону, повторяющиеся через равные промежутки времени, называемые периодом - Т, как это показано на рисунке 11.1.
e(ωt)
ωt
π
2π
Т/2
Т
Рисунок 11.1 – График мгновенной несинусоидальной ЭДС
Несинусоидальные ЭДС, напряжения и токи возникают в следующих случаях:
а) при включении в цепь переменного тока элемента с насыщенным стальным (ферромагнитным) сердечником;
б) при наличии нелинейных сопротивлений в цепи;
в) если источник энергии генерирует несинусоидальное напряжение или
ток.
Из курса высшей математики известно, что любая периодическая функция
f (t ) с периодом 2 ⋅ π , удовлетворяющая условиям Дирихле (то есть имеющая на
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
конечном интервале f (t ) конечное число максимумов, минимумов и разрывов
первого рода), может быть разложена в ряд Фурье. Практически все периодические функции, используемые в электротехнике, условиям Дирихле удовлетворяют.
Периодическая несинусоидальная ЭДС в общем случае может быть представлена тригонометрическим рядом Фурье:
(
)
(
)
(
)
e (ωt ) = E( 0) + E(1)m sin ωt + ψ (1) + E( 2 ) m sin 2ωt + ψ ( 2 ) + ... + E( k ) m sin kωt + ψ ( k ) =
∞
(
= E( 0) + ∑ E( k ) m sin kωt + ψ ( k )
k =1
(11.1)
)
где E(0 ) - постоянная составляющая;
E(1)m sin (ωt + ψ (1) ) - первая (основная) гармоническая составляющая,
имеющая частоту ω = 2 ⋅ π T ;
E (k )m sin (kωt + ψ (k ) ) - высшие гармонические составляющие (гармоники)
при k ≥ 2 ;
E ( k ) m - амплитуда k -й гармоники;
ψ (k )
- начальная фаза k -й гармоники;
k - номер гармоники.
Из уравнения (11.1) следует, что любой несинусоидальный источник ЭДС
можно представить в виде постоянного источника ЭДС и совокупности синусоидальных источников ЭДС, имеющих разные значения частоты, рисунок 11.2.
R
i(t)
E(0)
L
e(1)
e(k)
C
u(t)
Рисунок 11.2
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Совокупность постоянной составляющей, основной гармоники и высших
гармонических составляющих называют спектром несинусоидальной величины.
Тригонометрический ряд Фурье, как правило, быстро сходится, поэтому
для инженерных расчетов количество гармоник ограничивают, учитывая только
первые 3 – 5 гармоник ряда.
Второй вид ряда Фурье может быть получен из первого путём тригонометрических преобразований:
sin(α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos β ⋅ sin α .
В результате получаем:
∞
∞
e (ωt ) = E( 0) + ∑ B( k ) m sin ( kωt ) + ∑ C( k ) m cos ( kωt )
k =1
,
(11.2)
k =1
где B( k ) m = E( k ) m ⋅ cos(ψ ( k ) ) - синусная составляющая k-ой гармоники;
C ( k ) m = E ( k ) m ⋅ sin(ψ ( k ) ) - косинусная составляющая k-ой гармоники;
B( k ) m и C( k ) m - коэффициенты разложения.
Для определения постоянной составляющей и коэффициентов разложения используют следующие формулы:
1
E0 =
2π
B( k ) m =
C( k ) m =
1
π
1
π
2π
∫
f (ωt )dωt ,
(11.3)
0
2π
∫
f (ωt )sin(kωt )d (ωt ),
(11.4)
0
2π
∫
f (ωt )cos(kωt )d (ωt ).
(11.5)
0
Зная значения B( k ) m и C( k ) m , можно определить E ( k ) m и
ψ ( k ) (формулы
перехода от второго вида ряда Фурье (11.2) к первому (11.1):
2
E ( k ) m = B( k ) m + C ( k ) m
ψ ( k ) = arctg
C(k )m
2
.
(11.6)
B( k ) m
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение амплитуд и начальных фаз гармонических составляющих ряда
можно упростить, если воспользоваться комплексными изображениями синусоидальных величин. Так как комплексная амплитуда гармоники кратности «k» может быть представлена как:
i
E (k ) m = E( k ) me jψ k = B( k ) m + jC( k ) m ,
то ряд Фурье несинусоидальной ЭДС может быть записан в виде:
∞ i
e(ωt ) = E0 + Jm ∑ E ( k ) m e jkωt .
k =1
Комплексные амплитуды гармонических составляющих определяют по следующей формуле:
i
E (k )m =
j
π
2π
∫ e(ωt )e
− jkωt
d (ωt ).
(11.7)
0
11.1.2 Графическое разложение несинусоидальной функции в ряд
Фурье
Если кривая исследуемой несинусоидальной величины u (ωt ) не имеет аналитического выражения и задана графиком, например, рисунок 11.3, то разложение ее в ряд Фурье производится графически.
u
u4
u5
u3
u1
u2
u6
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
12 ω t
u12
6
u7
u8
u11
u9
u10
Рисунок 11.3
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Графический метод разложения несинусоидальных кривых в ряд Фурье основан на замене интегралов в выражениях (113), (11.4), (11.5), (11.7) приближенными суммами. В этом случае от бесконечно малых приращений угла d (ωt ) переходят к конечным ∆ωt =
2π
, то есть период несинусоидальной величины, деm
лят на m равных частей (рисунок 11.3) и составляют соответствующие выражения
с приближенными суммами. Для постоянной составляющей по выражению (11.3)
имеем
1 m
U0 = ∑ us ,
m s =1
(11.8)
а для комплексных амплитуд гармоник напряжения по выражению (11.7)
− jks
2j m
U (k )m = ∑us ⋅ e
m s =1
i
2π
m,
(11.9)
В этих выражениях s - номер деления, us - значение несинусоидальной величины напряжения, соответствующее делению с номером s. На рисунке 11.3 период несинусоидальной кривой u (ωt ) разделен на 12 частей. Точность расчета зависит
от
числа
делений.
При
практических
расчетах
обычно
берут
m=12 или 24. Точность расчета можно повысить, если значения несинусоидальной величины
u s брать не в конце интервалов, как показано на рисунке 11.3, а в
их середине (средние значения).
i
Для определения геометрической суммы U ( k ) m ,
выражение (11.9), при
практических расчетах можно рекомендовать следующий алгоритм:
1. На комплексной плоскости проводят окружность с центром в начале осей
координат, рисунок 11.4, и делят ее на m частей, начиная от оси мнимых величин
(в нашем случае m = 12). Угол между радиусами, проведенными к точкам делений
на окружности, при этом будет равен
2π
.
m
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+j
12
1
u+
10
9
7
1
u
11
+j
2
u8
u 2+
u3 +u 9 3
7
u 3,9
u 2,8
+1
+1
u 4,10
u 11
u 5+
8
u 1,7
4 u4 +u
10
5
(1)
6
Рисунок 11.4
u 5,11
Рисунок 11.5
2. Измеряют значения u1; u2;… us; …; um, по графику несинусоидальной
величины, рисунок 11.3, и откладывают их последовательно по радиусам (в направлении от центра), отстоящим от оси мнимых величин на угол ks
2π
, рисунок
m
11.4. При этом необходимо учитывать знак измеренных мгновенных значений
несинусоидальной величины. Положительные мгновенные значения откладываются по радиусам, соответствующим номеру интервала, а отрицательные – по
противоположным.
3. Находят геометрическую сумму отложенных векторов, то есть вектор
i
Mk:
i
∞
M ( k ) = j ∑ us e
− jk s
2π
m
,
s =1
положение которого относительно действительной оси определяет начальную фаi
зу «k» -й гармоники. На рисунке 11.5 показано определение вектора M 1 для вычисления амплитуды первой гармоники несинусоидальной кривой, представленной на рисунке 11.3 (масштаб уменьшен в 2 раза).
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Для определения амплитуды «k» -ой гармоники необходимо, в соответстi
вии с уравнением (11.9), модуль найденного вектора M k умножить на
A( k ) m =
2
:
m
2 i
M (k )
m
.
Примечание: если несинусоидальная функция симметрична относительно
оси абсцисс, то построение и расчет амплитудных значений «k»-х гармоник производится за положительную половину периода. В этом случае в формуле (11.9)
перед знаком суммы будет стоять множитель не
2
,а
m
4
.
m
11.1.3 Графоаналитический метод разложения несинусоидальной
функции в ряд Фурье
Графоаналитический метод разложения несинусоидальных функций в ряд
Фурье, аналогично, как и графический метод, основан на замене интегралов приближенными суммами. В этом случае выражения (11.4), (11.5) примут вид:
2π
2π 2 m
2π
B( k ) m = ∑ f (ωt ) sin k
= ∑ f (ωt ) sin k
,
π k =1
m
m m k =1
m
1
C( k ) m
m
2π
2π 2 m
2π
= ∑ f ( ωt )
cos k
= ∑ f (ωt ) cos k
,
m
m m k =1
m
π k =1
1
(11.10)
m
(11.11)
Алгоритм нахождения коэффициентов ряда Фурье следующий:
1) Полный период заданной периодической несинусоидальной функции
u(ωt), рисунок 11.3, делят на m интервалов.
2) Определяют для каждого интервала соответствующие ординаты несину-
соидальной функции u(ωt): u1; u2;… us; …; um .
3) В соответствии с формулами (11.8), (11.10) и (11.11) определяют постоян-
ную составляющую U0 и амплитудные значения синусных B(k)m и косинусных
C(k)m гармонических составляющих ряда Фурье.
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4) Используя формулы (11.6) определяют амплитудные значения «k» -х гар-
моник U(k)m и их фазы Ψ(k) заданной несинусоидальной функции напряжения
u(ωt).
5) Записывают ряд Фурье, подставляя найденные значения U0, U(k)m, Ψ(k) в
формулу (11.1).
11.1.4 Максимальное, действующее и среднее по модулю значения
несинусоидальной величины.
Периодическую несинусоидальную величину (например, ток) обычно характеризуют следующими значениями: максимальным (I max ) , действующим ( I ) ,
(
)
средним по модулю I ср. мод. и постоянной составляющей (I (0 ) ) .
Максимальное значение – это наибольшее мгновенное значение несинусоидальной величины. При этом различают положительный и отрицательный
максимумы.
Действующее значение несинусоидального тока определяется его среднеквадратическим (эффективным) значением за период:
T
1
2
I=
⋅ ∫ i ( ωt ) d ω t .
T 0
(11.12)
Если ряд Фурье для тока ограничить конечным числом членов
(
)
(
)
(
)
i (ω t ) = I ( 0 ) + I (1) m ⋅ sin ωt + ψ (1) + I ( 2 ) m ⋅ sin 2ω t + ψ ( 2 ) + ... + I ( k ) m ⋅ sin kωt + ψ ( k ) ,
то выражение (11.12) после интегрирования принимает вид:
I=
I (20 )
+
I (21)m
2
+
I (22 )m
2
+ ... +
I (2k )m
2
.
Так как действующее значение гармонической составляющей I = I m
I = I (20 ) + I (21) + I (22 ) + ... + I (2k ) ,
(11.13)
2 , то:
(11.14)
где I (0 ) - постоянная составляющая,
I (1) , I (2 ) , I (k ) - действующие значения гармоник тока.
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аналогичное выражение имеет действующее значение напряжения:
U = U (20 ) + U (21) + ... + U (2k ) .
(11.15)
Таким образом, действующее значение несинусоидальной величины равно
корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник. Оно не зависит от начальных фаз гармоник.
Наряду с действующим значением в электротехнике используют понятие
среднего по модулю значения функции. Оно, например, для тока, выражается интегралом вида:
I ср. мод. =
1 T
⋅ i(ωt ) dωt
T ∫0
.
Постоянная составляющая представляет собой среднее значение функции
за период:
I( 0) =
1 T
⋅ i (ωt ) dωt
T ∫0
.
Электроизмерительные приборы различных систем при измерении несинусоидальных токов и напряжений дают различные показания. Приборы электродинамической, электромагнитной и тепловой систем показывают действующее значение измеряемой величины, магнитоэлектрической системы - постоянную составляющую, магнитоэлектрической системы с выпрямителем – среднее по модулю значение, а амплитудные электронные приборы – максимальное значение.
11.1.5
Коэффициенты,
характеризующие
формы
кривых
несинусоидальных периодических величин
Кривые мгновенных значений несинусоидальных периодических токов и
напряжений часто характеризуются коэффициентами амплитуды, формы искажения и гармоник, по значениям которых можно судить о форме несинусоидальных кривых.
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Коэффициент амплитуды K a равен отношению максимального значения электрической величины (например, напряжения) к ее действующему значению:
Ka =
U max
.
U
Для синусоидальных величин K a = 2 ≈ 1.41 . Заметим, что чем острее несинусоидальная кривая, тем больше значение K a .
Коэффициенты формы K ф равен отношению действующего значения
электрической величины к ее среднему по модулю значению:
Kф =
Для синусоидальных величин K ф =
Коэффициент гармоник K г
U
U ср. мод.
π
2 2
.
≈ 1,11 .
равен отношению действующего значения
высших гармонических составляющих к действующему значению первой гармоники:
∑U
Kг =
2
k
k =2
.
U1
Коэффициент искажения Ки определяется отношением действующего
значения первой гармоники к действующему значению всей несинусоидальной
кривой:
Kи =
U ( 1)
U
.
Для синусоидальной функции Ки = 1.
Для количественной характеристики несинусоидальности напряжения в
энергетических цепях введено понятие степени несинусоидальности напряжения,
которое определяется как:
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
U 22 + U 32 + ...
U 2 − U12
ε =
⋅ 100% =
⋅ 100%,
U1
U1
%
где U 2 ; U 3 ; ... - действующие значения второй, третьей и т.д. гармоник напряжения.
Если ε ≤ 5% , то напряжение считается практически синусоидальным. Степень несинусоидальности в относительных единицах и коэффициент искажения
связаны следующим выражением:
ε=
1
.
K −1
2
u
11.2 Описание лабораторной установки
Источником синусоидального напряжения является генератор сигналов
Г3-123. Для искажения синусоидального напряжения источника в электрическую
схему включают диод. Для зарисовки несинусоидального напряжения на резисторе используют осциллограф С1-83. В качестве нагрузки в работе используются
резистор R. Максимальное, действующее значения и постоянная составляющая
несинусоидального напряжения измеряется мультиметром ВР-11А.
11.3 Рабочее задание
11.3.1 Собрать электрическую цепь по схеме, изображенную на рисунке
1.6. Частоту питающего напряжения установить равной 1000 Гц, активное сопро-
тивление выбрать в пределах 100 - 200 Ом.
Рисунок 11.6
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.3.2 Изменяя напряжение генератора от 0 до 20 В установить в цепи ток
не более 0,2 А.
11.3.3 Настроив осциллограф, получить на его экране четкое изображение
кривой несинусоидального напряжения на сопротивлении R. Записать установленные на осциллографе масштабы напряжения и времени. Зарисовать форму
кривой напряжения, приложив к экрану осциллографа лист кальки.
11.3.4 По осциллограмме определить максимальное значение напряжения и
записать его в таблицу 11.1.
Таблица 11.1 - Экспериментальные данные исследования несинусоидального напряжения
Схема
U max
В
U
U0
В
В
С выпрямителем
С нелинейной катушкой
11.3.5 Записать в таблицу 11.1 показания вольтметра для двух режимов его
работы:
- в режиме измерения переменного напряжения (вольтметр покажет дей-
ствующее значение
U
измеряемого напряжения);
- в режиме измерения постоянного напряжения (вольтметр покажет по-
стоянную составляющую U 0 измеряемого напряжения).
11.3.6 Заменить выпрямитель на катушку с ферромагнитным сердечником.
Повторить опыты, указанные в пунктах 11.3.2 - 11.3.5. Измеренные экспериментальные данные записать в таблицу 11.1.
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.4 Обработка результатов эксперимента
11.4.1 Разложить в ряд Фурье несинусоидальное напряжение, полученное с
помощью выпрямителя, аналитически с помощью программы Mathcad, графическим и графоаналитическим методами. Результаты вычислений записать в таблицу 11.2.
Таблица 11.2 - Разложение в ряд Фурье несинусоидального напряжения
(схема с выпрямителем)
Метод разложения
в ряд Фурье
U0
U 1m
ψ 1m
В
В
град
U 2m
В
ψ 2m
U 3m
ψ 3m
град
В
град
U
В
аналитический
графический
графоаналитический
11.4.2 Разложить в ряд Фурье несинусоидальное напряжение, полученное с
помощью нелинейной индуктивности, графическим и графоаналитическим методами. Результаты вычислений записать в таблицу 11.3.
11.4.3 Записать исследуемые несинусоидальные напряжения в виде рядов
Фурье.
Таблица 11.3 - Разложение в ряд Фурье несинусоидального напряжения
(схема с нелинейной катушкой)
Метод разложения
в ряд Фурье
U0
U 1m
ψ 1m
В
В
град
U 2m
В
ψ 2m
U 3m
ψ 3m
град
В
град
U
В
графически
графоаналитически
11.4.4 Вычислить действующие значения несинусоидального напряжения
для схем с выпрямителем и нелинейной катушкой по результатам, полученным
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
разными методами разложения. Результаты вычислений занести в таблицы 11.2 и
11.4, сравнить с экспериментальными данными.
11.4.5 По данным таблицы 11.2 на одном графике построить постоянную
составляющую и три гармонические составляющие исследуемого несинусоидального напряжения. Определить результирующую кривую несинусоидального напряжения, сравнить ее с кривой, зарисованной на кальку с экрана осциллографа в
п. 11.4.3. Определить по результирующей кривой напряжения его максимальное
значение. Сравнить полученное значение с экспериментальным Umax.
11.4.6 По данным таблиц 11.2 и 11.3 вычислить коэффициенты амплитуды,
формы, искажения и степень несинусоидальности напряжения.
11.5 Контрольные вопросы
1) Что такое спектр несинусоидальной величины и как определить его со-
ставляющие аналитически?
2) Какие существует виды симметрии кривых несинусоидальных величин и
каковы особенности их спектра при этих видах симметрии?
3) В каких случаях и как производится графическое определение состав-
ляющих спектра несинусоидальной величины?
4) Что такое максимальное, действующее и среднее по модулю значения не-
синусоидальной величины и как их определить аналитически?
5) Какие системы амперметров и вольтметров применяются для измерения
максимального, действующего и среднего по модулю значений и постоянной составляющей несинусоидальных напряжений и токов?
6) Какими коэффициентами характеризуются формы кривых мгновенных
значений несинусоидальных напряжений, токов и как вычислить эти коэффициенты?
7) Что такое степень несинусоидальности напряжения?
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12 Задачи для самостоятельного решения
12.1 Электрические цепи постоянного тока
12.1.1 Каково эквивалентное сопротивление цепи, если все резисторы в ней
имеют одинаковое сопротивление R .
R
R
Rэ = 2 R ;
R
Rэ = R ;
Rэ = 4 R ;
R
Rэ = .
2
R
12.1.2 Определите ток I , если ϕ 1 =70 В, ϕ 2 =50 В, R =10 Ом, E =10 В.
I
R
I = 1 A;
E
2
1
I = 3 A;
I = - 3 A;
12.1.3 Какое из приведенных уравнений не соответствует рисунку?
I1
I2
– I1 + I 2 = I 3 + I 4 ;
I3
– I1 + I 2 − I 3 − I 4 = 0 ;
– I 3 + I 4 − I1 − I 2 = 0 ;
I4
– I1 + I 2 + I 3 + I 4 = 0 .
12.1.4 Дано: E =34 В; R1 =10 Ом; R2 =14 Ом; R3 =20 Ом; R4 =9 Ом; 5
r =3 Ом. Определить показания вольтметра.
R1
R2
E
r
R4
R3
V
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.1.5 Дано: E1 =50 В; E 2 =70 В; R3 = R5 = R8 =15 Ом; R4 =12,5 Ом; R6 = R7 =10
Ом. Определить все токи рациональным методом. Составить баланс мощности.
R3
R4
R8
E2
E1
R7
R5
R6
12.1.6 Дано: U =200 В; R1 =20 Ом; R2 =10 Ом; R3 =50 Ом; R4 =30 Ом. Определить U ab и потребляемую мощность.
+
R4
R1
U
_
a
b
R2
R3
12.1.7 Дано: E1 =100 В; E 2 =50 В; R1 =5 Ом; R 2 =8 Ом. Определить показание
вольтметра.
R1
E1
R2
1
E2
V
2
12.1.8 Дано: U ab =20 В; R1 = R4 =10 Ом; R2 = R3 =20 Ом. Определить приложенное напряжение U .
R1
a
R2 Uab
R3
R4
b
U
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.1.9 Дано: E1 =20 В; J =1 А; R1 = R4 =5 Ом; R2 =20 Ом; R3 =5 Ом;
R5 =10 Ом. Преобразовать треугольник в звезду ( R3 , R4 , R5 ) и методом двух узлов
определить ток в R2 . Остальные токи определить по законам Кирхгофа. Составить баланс мощности.
R1
E1
R3
R2
R5
R4
J
12.1.10 Дано: P =120 Вт; P12 =20 Вт; I 3 =5 А; R3 =15 Ом; I 2 I1 = 4 1 . Определить R1 , R2 , R4 , токи ветвей, входное напряжение. Составить баланс мощности.
R3
R4
R1
R2
12.1.11 Дано: U ab =120 В; R1 =900 Ом; R2 = R3 =300 Ом; R4 =375 Ом. Определить все токи и падения напряжения. Составить баланс мощностей.
a
R1
R2
R3
b
R4
12.1.12 Дано: E =250 В; P =450 Вт; R1 =100 Ом; R2 =50 Ом; R3 =
= R4 =70 Ом. Определить R x .
Rx
E
R1
R2
R3
R4
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.1.13 Как изменятся напряжения на участках R1 и R2 при замыкании ключа K ( U = const )?
R1
U 2 - уменьшится, U 1 - уменьшится;
U
U 2 - увеличится, U 1 - уменьшится;
R2
R3
U 2 - увеличится, U 1 - увеличится;
U 2 - не изменится, U 1 - не изменится.
K
12.1.14 Как изменится показание амперметра при замыкании ключа?
E
А
– не изменится;
– увеличится;
– станет равным нулю;
– уменьшится.
R1
R2
К
12.1.15 В цепи R1 =15 Ом; R2 =25 Ом; E1 =120 В; E 2 =40 В. Определить
показания вольтметра.
R2
E2
V
E1
170 В;
80 В;
160 В;
90 В.
R1
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.2 Цепи синусоидального тока
12.2.1 Чему равен угол сдвига по фазе между напряжением и током на емкостном элементе?
– 0;
– плюс 900;
– минус 900.
12.2.2 Мгновенные значения тока и напряжения в нагрузке заданы следующими выражениями: i = 0 ,2 sin 376,8t + 80 0 А, u = 250 sin 376,8t + 170 0 В.
Определить тип нагрузки.
– активная;
– активно-индуктивная;
– активно-емкостная;
– индуктивная.
(
(
)
)
12.2.3 В каких единицах выражается реактивная мощность потребителей?
– Ватт;
– ВАр;
– Дж;
– В.
12.2.4 В какой цепи можно получить резонанс напряжений?
– с последовательным соединением резистора и катушки;
– с последовательным соединением резистора и емкостного элемента;
– с последовательным соединением катушки и емкостного элемента;
– с параллельным соединением катушки и емкостного элемента.
12.2.5 В цепи резонанс токов. Показания амперметров I1 =10 А; I 2 = 8 А.
Определить показание амперметра A3 .
R
L
A1
A3
C
A2
(
)
(
)
12.2.6 Дано: e = 100 2 sin ωt + 45 0 В; j = 10 2 sin ωt − 45 0 А; r =10 Ом;
ωL =10 Ом. Определить мгновенное значение тока i L методом наложения.
r
e(t)
L
j
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.2.7 Дано: U =100 В; U Z =130 В. Определить U C , если в цепи имеет место резонанс.
Z
C
U
VC
VZ
12.2.8 Показания вольтметров V =20 В; V1 =15 В; V2 =10 В;
r =80 Ом. Определить сопротивление Z и мощность, потребляемую этим сопротивлением P .
V
Z
r
V1
V2
12.2.9 Как изменится показание амперметра после замыкания рубильника
K , если R = X L = X C .
А
C
R
~u
L
K
12.2.10 Дано: U =100 В; R = X L = X C =10 Ом. Определить показание
амперметра.
XL
А
XC
U
R
R
XL
XC
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.2.11 В цепи переменного тока напряжение и ток изменяются по законам:
u = 141 sin 314t + 80 0 и i = 14 ,1 sin 314t + 20 0 . Определить активную мощность
цепи.
(
)
(
)
500 Вт
1000 Вт;
308 Вт;
1236 Вт.
12.2.12 Определить величину сопротивления X L , если U =100 В, ваттметр
показывает 400 Вт, амперметр – 5 Ампер.
W
20 Ом;
А
12 Ом;
L
U
30 Ом;
R
60 Ом.
12.2.13 Какой из треугольников мощностей или сопротивлений соответствует изображенной схеме?
R
R
S
P
U
L
Z
X
Q
Z
Q
X
P
S
R
12.2.14 Определите ток в неразветвленной части цепи.
I4=8 А
I
I1=5 А
U
R
I2=6 А
I3=10 А
С
L
1
L2
12 А;
29 А.
41 А;
29 А;
12.2.15 В цепи синусоидального тока все вольтметры имеют одинаковые
показания – 54 В. Определить выражение мгновенного значения общего напряжения, если начальная фаза напряжения на индуктивности u L , равна 380.
V
V
R
L
(
)
u = 54 2 sin ωt + 38 0 В;
V
С
u = 54 sin ωt В;
u = 54 2 sin ωt В;
(
)
u = 54 2 sin ωt − 52 0 В
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.3 Трехфазные цепи
12.3.1 Схема включения треугольником применяется _____ приёмников.
- только для равномерных с Z a = Z b = Z c
- для любых (симметричных и несимметричных)
- только для однородных Z ab = Z bc =Z ca
- только для симметричных с Z ab = Z bc =Z ca
12.3.2 В изображенной схеме с симметричной системой ЭДС Е А , Е В , Е С ,
соотношение U Л = 3U Ф выполняется ________нагрузке …
- при однородной ϕ a = ϕ b = ϕ c
- при любых
- только при симметричной Z a = Z b = Z c
- при равномерной Z a = Z b = Z c
12.3.3 В схеме соединения треугольником соотношение I Л = 3I ф выполняется _________ приемников.
- только для равномерных с Z ab = Z bc = Z ca
- только для симметричных с Z ab = Z bc = Z ca
- только для однородных ϕ ab = ϕ bc = ϕ ca
- для любых (симметричных и несимметричных)
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.3.4 В симметричной трехфазной цепи линейный ток равен 2,2 А. Чему
равен фазный ток, если нагрузка соединена треугольником?
- 2,2 А;
- 1,27 А ;
- 3,8 А.
12.3.5 Между какими точками надо включить вольтметр для измерения
фазного напряжения?
А
– АВ;
– ВС;
В
– АС;
О
– АО.
С
12.3.6 Может ли нулевой провод в четырехпроводной цепи обеспечивать
симметрию фазных напряжений при несимметричной нагрузке?
– может, если обладает пренебрежительно малым сопротивлением;
– может, если обладает достаточно большим сопротивлением;
– может, если нагрузка чисто активная;
– не может.
12.3.7 Линейное напряжение 220 В. Определить фазное напряжение, если
нагрузка соединена треугольником
– 220 В ;
– 127 В;
– 380 В;
12.3.8 Симметричная нагрузка соединена звездой. Линейное напряжение
380 В. Чему равно фазное напряжение?
1) 380 В;
2) 220 В
3)127 В;
4) 190 В.
12.3.9 В симметричной трехфазной цепи линейный ток равен 2,2 А. Чему
равен фазный ток, если нагрузка соединена треугольником?
1) 2,2 А;
2) 1,27 А;
3) 3,8 А.
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.3.10 Между какими точками надо включить вольтметр для измерения
фазного напряжения?
А
1) АВ;
3) АС;
В
2) ВС;
4) АО.
О
С
12.3.11 Линейное напряжение 220 В. Определить фазное напряжение, если
нагрузка соединена треугольником
1) 220 В;
2) 127 В;
3) 380 В;
12.3.12 Трехфазная сеть, питающая несимметричный потребитель, имеет
линейное напряжение U л . Что покажет вольтметр, после перегорания предохранителя в проводе C .
Zф
1) U = U л ;
A
2) U =
V
Zф
B
Zф
C
3)U =
Uл
3
;
Uл
;
3
4) U = 2U л ;
0
12.3.13 Определить показание амперметра, если известно, что, U л =220 В,
Z ф =22 Ом.
Zф
А
A
Zф
B
Zф
C
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.3.14 Трехфазный приемник симметричен, если его сопротивления, вы-
раженные в комплексной форме равны:
1)
Z a =5 Ом, Z b =3+j4 Ом, Z c =3-j4 Ом;
−j
2π
3
, Z c =5⋅ e
j
2π
3
2)
Z a =5 Ом, Z b = 5 ⋅ e
3)
Z a =5 Ом, Z b = –j5 Ом, Z c =j5 Ом;
4)
Z a =5-j2 Ом, Z b =5-j2 Ом, Z c =5-j2 Ом.
;
12.3.15 Как изменяться токи при размыкании ключа К1. Укажите непра-
вильный ответ.
1) I A - уменьшится;
2) I B - уменьшится;
3) I AB - не изменится;
4) I BC - станет равным нулю.
12.3.16 Включая вольтметр между различными точками схемы измерить
напряжения и определить, какое из них линейное, а какое – фазное? Укажите правильный ответ.
1) U AN - линейное, U BN - фазное;
2) U AB - линейное, U BC - фазное;
3) U CA - линейное, U CN - фазное;
4) U BC - линейное, U CA - фазное.
12.3.17 Трехфазный двигатель с напряжением 127 В включают в трехфаз-
ную сеть с линейным напряжением 380 В. Как следует соединить обмотки двигателя?
1) звездой;
2) треугольником;
3) звездой с нейтралью;
4) двигатель нельзя включать в эту сеть.
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.3.18 Каковы уравнения, связывающие векторы линейных и фазных то-
ков? Укажите правильный ответ.
1) I A = I AB − ICA ; IB = IBC − I AB ; IC = ICA − IBC ;
2) I A = ICA − I AB ; I AB = IBC ; IC = IBC − ICA ;
3) I A = ICA + I AB ; IB = I AB + IBC ; IC = IBC + ICA .
12.3.19 Чему равен линейный ток в случае симметричной нагрузки при со-
единении фаз треугольником?
1) I л = I ф ;
2) I л = 3I ф ;
3) I л =
Iф
3
;
4) I л =
Uл
3 ⋅ Zф
.
12.3.20 В какой из схем нагрузка является несимметричной, если
X L = XC = R?
12.3.21 Дано: U ф =220 В; r0 = r1 = ωL2 = ωL3 =100 Ом. Определить ток в нейтральном проводе.
r
А
L2
O’
B
L3
C
O
r0
A
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.3.22 Как следует выразить комплексы токов I A и I C , если комплекс то0
ка IB = I B ⋅ e − j120 ?
a
A
IA
IN
N
Ra
Xc
C
1) I A = I A ⋅ e j 0 ;
c
0
2) IC = I C ⋅ e − j120 ;
Rb
0
3) I A = I A ⋅ e j120 ;
IC
b
IB
0
4) IC = I C ⋅ e j 0 .
B
12.3.23 Дано: U л =380 В; R = X L = X C =100 Ом. Определить ток IC , определить ток Iab при обрыве линейного провода В.
A
a
R
XL
B
C
c
XL
XC
b
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.4 Цепи несинусоидального тока
12.4.1 R = 16Ом ; ωL = 6Ом ;
i
1 = 6Ом ; u = 160 sin ωt + 80 sin 3ωtB.
ωC
Найти i ( t ), I .
R
C
u
L
12.4.2 u = 44 ,8 sin ωt + 30 2 sin 2ωtB . Найти i ( t ), I .
R=10 Ом
i
u
L
ωL = 5Ом
12.4.3 u = 20 sin ωt + 14 ,1sin ωtB. Найти i ( t ), I .
R=10 Ом
i
C
u
1 = 20Ом
ωC
12.4.4 u = 20 sin ωt + 10 sin 2ωtB. Найти i ( t ), I .
i
u
R
L
R=10 Ом; ωL = 5Ом ;
12.4.5 Мгновенное значение напряжения на участке электрической цепи
равно u (t ) = 40 + 30 2 ⋅ sin(ωt + 30 0 ), B . Определить показание вольтметра электродинамической системы, подключенного к этому участку цепи.
2
1) 40 В
2) 70 В
3)
2
4) 50 В
5)
 40   30 

 +

 2  2
 40 

 + 30 2
 2
2
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.4.6 Найти активную мощность, выделяемую в цепи, если
u (t ) = 100 2 sin ωt + 20 2 sin 3ωt , B ; r = 10 Ом ;
R
1
= 30 Ом .
ωС
u(t)
C
1) 100 Вт
4) 140 Вт
2) 120 Вт
5) 80 2 Вт
3) 150 Вт
12.4.7 Определить действующее значение напряжения U, если
i = 5 + 5 2 sin ωt + 5 2 sin( 2ωt + 45 0 ), A
r = 10 Ом ; ωL = 10 Ом .
2) 100 В
1) 100 2 В
4)125 В
3) 120 В
5) 120 2 В
12.4.8 Найти показание амперметра электромагнитной системы если
u = 100 2 sin ωt + 100 2 sin (3ωt + 60 ) В;
A
1
ωL = 10 Ом;
= 30 Ом.
u
C
ωC
L
1) 5А
2) 10 А
5) 8 А
4) 5 2 А
1
12.4.9 u = 20 + 10 2 sin ωt , В ; R = 10 Ом; ωL =
= 5 Ом.
ω
C
R
A
Определить показания амперметра электродинамической системы.
u
L
1. 1 А
2. 0
3) 10 2 А
C
3.
5 А
4. 2 А
5. 3 А
12.4.10 Найти активную мощность, выделяемую в цепи, если
u = 100 2 sin ωt + 40 2 sin(2ωt ), В
R
r = 20 Ом ; ωL = 10 Ом .
u(t)
i(t)
1) 440 Вт
4) 500 Вт
L
2) 400 Вт
5) 420 Вт
3) 380 Вт
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.4.11
C
А1
Дано:
е = 100+50 2 sin ωt , В
1
= ωC = 0,1 См.
ωL
V1
Определить показания приборов электромагнитной системы.
C
е
A2
V2
L
12.4.12
L
I1 RL
IC
RC
u
C
R
IR
Напряжение, приложенное к цепи,
состоит из 1-ой и 5-ой гармоник.
Действующие значения тока 1-ой гармоники
IC(1)=2 A, а 5-ой IR(5)=10 A.
Определить действующие значения тока в неразветвлённой части цепи I1 и приложенного к
цепи напряжения, если RL=5,1 Ом;
XL(1)=RC=R=5 Ом; XC(1)=50 Ом
12.4.13
C
e
R
j(t)
iL
L
Дано:
e(ωt) = 100 + 100 2 sin (ωt + 450), B
j(t) = 5 + 3 2 sin 3ωt, A
ωL = R = 10 Ом.
1
= 5 Ом
ωC
Определить iL(t) методом наложения.
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список использованных источников
1 Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические
цепи : учеб. для бакалавров / Л. А. Бессонов.- 11-е изд., перераб. и доп. - М. :
Юрайт, 2012. - 702 с. - (Бакалавр. Углубленный курс).
2 Демирчян, К. С. Теоретические основы электротехники : учеб. для вузов /
К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин . - СПб. : Питер, 2009. - 432 с.
3 Зевеке, Г.В. Основы теории цепей : учеб. для вузов / Г. В. Зевеке [и
др.] .- 5-е изд., перераб. - М. : Энергоатомиздат, 1989. - 528 с.
4 Семенова, Н.Г. Теоретические основы электротехники: учебное пособие
к лабораторному практикуму. Часть 1. / Н.Г. Семенова, Н.Ю.Ушакова, Н.И.
Доброжанова; Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2013. – 106 с.
136
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
131
Размер файла
1 796 Кб
Теги
2277, электрический, линейный, исследование, цепей
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа