close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2312.Курс физики

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
″Оренбургский государственный университет″
Физический факультет
С.Н. Летута, А.А. Чакак
КУРС ФИЗИКИ
ОПТИКА
федерального
Рекомендовано
к
изданию
Ученым
советом
государственного бюджетного образовательного учреждения высшего
профессионального
образования
«Оренбургский
государственный
университет» в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по
программам высшего профессионального образования по инженернотехническим направлениям подготовки
Оренбург
2014
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 535 (075.8)
ББК 22.34я 73
Л 52
Рецензент − профессор, доктор физико-математических наук Н.А. Манаков
Л 52
Летута, С.Н.
Курс физики. Оптика: учебное пособие для студентов инженернотехнических направлений подготовки/ С.Н. Летута, А.А. Чакак;
Оренбургский гос. ун-т – Оренбург: ОГУ, 2014 – 364 с.
ISBN
В учебном пособии дается систематическое изложение основных
фундаментальных понятий и закономерностей по разделам курса физики
«Оптика.». В конце каждой главы даются контрольные вопросы, тестовые задания с ответами и упражнения для самоконтроля. В конце учебного пособия приведены контрольные задачи и экзаменационные тестовые задания. В приложении к пособию имеются справочные материалы
по математике и общей физике, которые могут оказаться хорошим подспорьем при выполнении практических заданий.
Учебное пособие предназначено для самостоятельного изучения
«Оптики» студентами очно-заочной формы обучения вузов, студентами
факультета дистанционных образовательных технологий. Пособие может оказаться полезным для студентов вузов и старшеклассников при
контроле ими знаний, полученных при изучении данного раздела курса
физики.
УДК 535 (075.8)
ББК 22.34я 73
 Летута С.Н.,
Чакак А.А., 2014
 ОГУ, 2014
ISBN
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Глава 1 Основные свойства света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
§ 1.1 Законы отражения и преломления света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
§ 1.2 Полное внутреннее отражение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
§ 1.3 Принцип Ферма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
§ 1.4 Скорость света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
§ 1.5 Волновая теория света. Принцип Гюйгенса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
§ 1.6 Интерференция света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
§ 1.7 Поляризация света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
§ 1.8 Электромагнитная природа света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
§ 1.9 Плотность потока энергии и импульса электромагнитных волн.
Давление света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Тесты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Упражнения для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
Глава 2. Интерференция и дифракция света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
§ 2.10 Методы наблюдения интерференции света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
§ 2.11 Интерференция при отражении от прозрачной пластины . . . . . . . .
81
§ 2.12 Применение явлений интерференции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
§ 2.13 Принцип Гюйгенса-Френеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
§ 2.14 Графическое сложение амплитуд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
§ 2.15 Дифракция от непрозрачных преград . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
§ 2.16 Дифракция в параллельных лучах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
§ 2.17 Дифракция на пространственной решётке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
§ 2.18 Голография . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
Тесты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
Упражнения для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 3 Поляризация света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
§ 3.19 Естественный и поляризованный свет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
§ 3.20 Поляризация при отражении и преломлении . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
§ 3.21 Поляризация при двойном лучепреломлении . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
§ 3.22 Интерференция поляризованных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
§ 3.23 Искусственное двойное лучепреломление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
§ 3.24 Вращение плоскости поляризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
Тесты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179
Упражнения для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
Глава 4 Взаимодействие света с веществом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
§ 4.25 Дисперсия света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
§ 4.26 Классическая теория дисперсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
190
§ 4.27 Групповая скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
§ 4.28 Поглощение света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
§ 4.29 Рассеяние света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
§ 4.30 Распространение света в оптически неоднородном веществе . . . . .
209
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
Тесты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
Упражнения для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217
Глава 5 Тепловое излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
§ 5.31 Тепловое излучение и люминесценция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
§ 5.32 Закон Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
§ 5.33 Закон Стефана-Больцмана и закон Вина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
§ 5.34 Формула Рэлея-Джинса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234
§ 5.35 Формула Планка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
§ 5.36 Оптическая пирометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
245
Тесты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246
Упражнения для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 6 Квантовые явления в оптике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250
§ 6.37 Фотоэффект и его виды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250
§ 6.38 Законы внешнего фотоэффекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
§ 6.39 Фотонная теория света. Масса, энергия и импульс фотона . . . . . . .
256
§ 6.40 Эффект Комптона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
§ 6.41 Тормозное рентгеновское излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
265
§ 6.42 Характеристическое рентгеновское излучение . . . . . . . . . . . . . . . .
268
§ 6.43 Давление света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270
§ 6.44 Двойственная природа света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278
Тесты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
279
Упражнения для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
7 Контрольная работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283
§ 7.45 Общие методические указания к решению задач и выполнению
контрольных работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283
§ 7.46 Контрольные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
286
8 Экзамены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
299
§ 8.47 Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
299
§ 8.48 Экзаменационные тестовые задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301
9 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
326
10 Литература, рекомендуемая для изучения физики . . . . . . . . . . . . . . . . .
346
Список использованных источников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
346
Приложение А Основные физические константы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
348
Приложение Б Соотношения между единицами некоторых физических
величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
349
Приложение В Некоторые сведения из математики . . . . . . . . . . . . . . . . . .
350
Приложение Г Основные формулы по физике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
352
Приложение Д Таблицы физических величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
362
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Оптикой, или учением о свете, называют учение о физических явлениях,
связанных с излучением, распространением и взаимодействием с веществом
электромагнитных волн, длина которых лежит в интервале 10-4 − 10-9 м. Внутри
этой области спектра электромагнитных волн располагается участок с длинами
волн 4⋅10-6 − 7⋅10-6 м, вызывающий у людей зрительные ощущения. В оптический диапазон длин волн λ включают широкую область от рентгеновских лучей
до микроволнового диапазона радиоизлучения. Такое ограничение условно и в
значительной степени определяется используемыми способами получения и регистрации электромагнитных волн. Оптическое излучение представляет собой
электромагнитные волны, и поэтому оптика – часть общего учения об электромагнитном поле. По традиции оптику принято подразделять на геометрическую, физическую и физиологическую.
Геометрическая оптика, не рассматривая вопрос о природе света, исходит из эмпирических законов его распространения в прозрачных средах. Уже в
первые периоды оптических исследований были на опыте установлены четыре
основных закона оптических явлений:
1. Закон прямолинейного распространения света: в оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно. Линия, вдоль которой переносится световая энергия, называется лучом. В однородной среде лучи представляют собой прямые линии.
2. Закон независимого распространения лучей: отдельные лучи не влияют друг на друга и распространяются независимо, т.е. эффект, производимый
отдельным лучом, не зависит от того, действуют ли одновременно другие лучи
или они устранены.
3. Закон отражения света устанавливает изменение направления луча в
результате встречи с отражающей (зеркальной) поверхностью.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Закон преломления света устанавливает изменение направления луча
при переходе из однородной среды в другую. Закон преломления открыт в 17 в.
В.Снеллиусом и Р.Декартом.
Дальнейшее изучение этих законов показало, что их применение ограничено, и они являются лишь приближёнными законами. Установление условий и
границ применимости основных оптических законов означало важный прогресс
в исследовании природы света.
Методы геометрической оптики позволяют изучать условия формирования оптических изображений объекта как совокупности изображений отдельных его точек и объяснить многие явления, связанные с прохождением оптического излучения в различных средах. Наибольшее значение геометрическая оптика (с частичным привлечением волновой оптики) имеет для расчёта и конструирования оптических приборов – от очковых линз до сложных объективов и
огромных астрономических инструментов.
Фотометрия посвящена главным образом измерению световых величин.
Фотометрия представляет собой методическую основу исследования процессов
испускания, распространения и поглощения излучения по результатам его действия на приёмники излучения. Ряд задач фотометрии решается с учётом закономерностей восприятия человеческим глазом света и его отдельных цветовых
составляющих. Изучением самих этих закономерностей занимается физиологическая оптика, смыкающаяся с биофизикой и психологией и исследующая
механизмы зрения.
Физическая оптика рассматривает проблемы, связанные с процессами
испускания света, природой света и световых явлений. Утверждение, что свет
есть поперечные электромагнитные волны, явилось результатом огромного
числа экспериментальных исследований дифракции света, интерференции света, поляризации света, распространения света в анизотропных средах (кристаллооптика, оптическая анизотропия). Совокупность явлений, в которых проявляется волновая природа света, изучается в волновой оптике. Ее математическим
основанием служат общие уравнения классической электродинамики – уравне7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ния Максвелла. Свойства среды при этом характеризуются значениями диэлектрической проницаемости ε и магнитной проницаемости µ, входящими в уравнения Максвелла в виде коэффициентов. Эти значения однозначно определяют
показатель преломления среды n =
εµ .
Феноменологическая волновая оптика, оставляющая в стороне вопрос о
связи величин ε и µ (определяемых экспериментально) со структурой вещества,
позволяет объяснить все эмпирические законы геометрической оптики и установить границы ее применимости. В отличие от геометрической, волновая оптика даёт возможность рассматривать процессы распространения света при любом соотношении между длиной волны излучения и размером систем, формирующих (или рассеивающих) световые пучки. Во многих случаях решение конкретных задач методами волновой оптики оказывается чрезвычайно сложным.
Поэтому получила развитие квазиоптика, в которой процессы распространения,
преломления и отражения волновых пучков с сечением >λ описываются геометрически, но учитываются дифракционные вклады и тем самым волновая
природа излучения. Формально такой геометрический и волновой подходы
также объединяются в геометрической теории дифракции, в которой дополнительно к падающим, отражённым и преломлённым лучам геометрической оптики постулируется существование дифрагирующих лучей.
Огромную роль в развитии волновой оптики сыграло установление связи
величин ε и µ с молекулярной и кристаллической структурой вещества. Оно позволило объяснить все процессы, сопровождающие распространение света в
рассеивающих и анизотропных средах и вблизи границ разделов сред с разными оптическими характеристиками, а также зависимость от λ оптических
свойств сред (дисперсию), влияние на световые явления в средах температуры,
давления, звука, электрических и магнитных полей и многих других.
В классической волновой оптике параметры среды считаются не зависящими ни от интенсивности света, ни от времени. Соответственно, оптические
процессы описываются линейными дифференциальными уравнениями с посто8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
янными коэффициентами. Однако во многих случаях, особенно при больших
интенсивностях световых потоков, это предположение несправедливо: показатель преломления зависит от напряжённости поля световой волны. В таких
случаях все явления рассматриваются нелинейной оптикой.
Хорошо описывая распространение света в материальных средах, волновая оптика не смогла удовлетворительно объяснить процессы его испускания и
поглощения. Исследование этих процессов (фотоэффекта, закономерностей оптических спектров и пр.) и общие термодинамические соображения о взаимодействии электромагнитного поля с веществом привели к выводу, что элементарная система (атом, молекула) может испускать или поглощать энергию электромагнитного поля лишь дискретными порциями (квантами), пропорциональными частоте излучения ν. Поэтому световому электромагнитному полю сопоставляется поток квантов света – фотонов, распространяющихся в вакууме со
скоростью света. В простейшем случае энергия, теряемая или приобретаемая
изолированной квантовой системой при взаимодействии с оптическим излучением, равна энергии фотона hν, а в более сложном – сумме или разности энергий нескольких фотонов (многофотонные процессы). Эффекты, в которых при
взаимодействии света и вещества проявляются квантовые свойства элементарных систем, рассматриваются квантовой оптикой методами, развитыми в квантовой механике и квантовой электродинамике.
Двойственность природы света – наличие у него одновременно характерных черт, присущих и волнам и частицам, − является частным случаем корпускулярно-волнового дуализма. Эта концепция была впервые сформулирована
именно для оптического излучения. Она утвердилась, как универсальная для
всех частиц микромира после обнаружения волновых свойств у материальных
частиц и лишь затем была экспериментально подтверждена для радиоизлучения
(квантовая электроника). Открытие квантовых явлений в радиодиапазоне во
многом стёрло резкую границу между радиофизикой и оптикой. Сначала в радиофизике, а затем в физической оптике сформировалось новое направление,
связанное с генерированием вынужденного излучения и созданием квантовых
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
усилителей и квантовых генераторов излучения (мазеров и лазеров). В отличие
от неупорядоченного светового поля обычных (тепловых и люминесцентных)
источников, излучение лазеров обладает большой временной и пространственной упорядоченностью (когерентностью), высокой монохроматичностью (∆ν/ν
достигает ∼10-14), предельно малой расходимостью пучка и при фокусировке
позволяет получать недостижимые ни для каких других источников напряжённости электрического поля, превышающие внутриатомные. С появлением лазеров оказалось возможным практически реализовать идеи голографии.
Практические применения. Все разделы оптики имели и имеют многочисленное практическое применение. Задачи рационального освещения решаются светотехникой на основе геометрической оптики и фотометрии с учётом
законов физиологической оптики. Оптика решает задачи получения в различных спектральных областях изображений, соответствующих оригиналам, как
по геометрической форме, так и по распределению яркости. Оптика указывает
на источники искажений изображения и их уровень в реальных оптических
системах. Возможности получения оптических образов без применения фокусирующих систем рассматривает голография. По виду спектров и их изменению со временем или под действием на вещество внешних факторов можно установить атомный или молекулярный состав, агрегатное состояние и внутреннюю структуру вещества, проследить за кинетикой и деталями протекающих в
нём физических и химических процессов. Большое практическое значение имеет дистанционное зондирование атмосферы с помощью лазерных устройств
(лидары) и определению присутствия в ней малых примесей различных веществ.
Уникальной чувствительностью обладают измерительные устройства, использующие интерференцию света. Интерферометры широко применяют для
измерений длин волн и изучения структуры спектральных линий, определения
показателей преломления прозрачных сред, измерений длин и угловых размеров звёзд и других космических объектов, для контроля качества и формы поверхностей.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Явление поляризации света лежит в основе ряда методов исследования
структуры вещества с помощью многочисленных поляризационных приборов.
Широко применяется поляризационно-оптический метод исследования напряжений, возникающих в твёрдых телах. Обширное распространение получили
дифракционные решётки как диспергирующие элементы в спектральных приборах.
Чрезвычайно широка сфера практических применений фотоэлектронных
приборов, основанных на квантовых оптических явлениях, − фотоэлементов и
фотоэлектронных умножителей, фотосопротивлений, электронно-оптических
преобразователей, фотодиодов, передающих телевизионных трубок и т.д. Фотоэлементы используются не только для регистрации излучения, но и как устройства, преобразующие лучистую энергию Солнца в электрическую энергию
(солнечные батареи). Фотохимическое действие света лежит в основе фотографии. В технике использование лазеров привело к появлению оптических методов обработки материалов.
Успехи оптики стимулировали развитие оптоэлектроники. В ее задачу
входит разработка оптических устройств для замены элементов и отдельных
блоков в вычислительных машинах, а также разработка новых подходов к решению задач вычислительной техники и обработки информации на основе
принципов голографии и когерентной оптики. Создание световодов с малым
затуханием повлекло за собой практические разработки систем кабельной оптической связи, имеющей ряд преимуществ по сравнению с электрической проводной связью.
Физиологическая оптика изучает строение и функционирование всего аппарата зрения, разрабатывается теория зрения, восприятия света и цвета. Результаты физиологической оптики используются в медицине, физиологии, технике при разработке разнообразных устройств – от осветительных приборов и
очков до цветного кино и телевидения.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 1 Основные свойства света
В качестве основного свойства света ещё учёными древней Греции было
отмечено его прямолинейное распространение в однородном веществе. Прямолинейность распространения света вытекает из того факта, что при малом источнике света непрозрачные предметы отбрасывают резкие тени. Форма тени
на экране соответствует форме геометрической проекции с помощью пучка
прямых, исходящих из центра проектирования, лежащего в месте расположения источника света. При этом геометрическая прямая может быть физически
воспроизведена с помощью туго натянутой нити. При больших расстояниях,
когда нити не могут быть использованы, применяется обратный ход рассуждений: прямая линия отождествляется с направлением распространения света в
однородном веществе. Таким образом, вопросы о физическом воспроизведении
геометрической прямой и о прямолинейном распространении света тесно связаны между собой.
Следующее свойство света, которое необходимо отметить, − это способность световых лучей не возмущать друг друга при пересечении. В обычных
условиях лучи, исходящие от различных объектов, многократно пересекаются.
Эти пересечения не мешают каждому из лучей распространяться независимо от
других.
Вплоть до начала XIX века развитие оптики в основном базировалось на
представлении о прямолинейно распространяющихся лучах. Однако, начиная
ещё с XVII века, были известны факты, указывающие, что в действительности
имеют место отступления от прямолинейного распространения света. Было замечено, что при прохождении света через очень узкие отверстия в непрозрачном экране за экраном наблюдается возникновение чередующихся светлых и
тёмных полос. Чередование светлых и тёмных полос можно также наблюдать
на границе тени, полученной с помощью малого источника света. В настоящее
время эти явления, получившее название явлений интерференции и дифракции
света, хорошо изучены.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Прямолинейность распространения света, естественно, наводила на
мысль, что свет представляет собой поток частиц, вылетающих из источника и
двигающихся в однородном веществе прямолинейно и равномерно. Однако эту
гипотезу было трудно согласовать не только с отмеченным нами фактом загибания света за преграды, но и со свойством световых лучей при пересечении не
возмущать друг друга. В конце XVII века Гюйгенс писал: ″Если принять во
внимание, что лучи света проходят один через другой, не мешая друг другу, то
станет совершенно понятным, что когда мы видим светящийся предмет, то это
не может происходить вследствие переноса материи, доходящей до нас от этого
предмета наподобие пули или стрелы, пересекающих воздух″. Отказываясь от
гипотезы о световых частицах, Гюйгенс считал, что свет представляет собой
распространение волн в эфире – упругой среде, заполняющей всё доступное
нашим наблюдениям пространство. Таким образом, к концу XVII века возникли
две теории света, одна из которых, получившая название теории истечения, или
корпускулярной, считала, что свет представляет собой поток прямолинейно летящих частиц, испускаемых источником света. Вторая теория рассматривала
свет как распространение волн в эфире – сплошной гипотетической среде.
Творцом и защитником корпускулярной теории принято считать Ньютона, хотя в своей знаменитой ″Оптике″, вышедшей в 1704 г., он пользовался как
корпускулярным, так и волновым представлением. Главным аргументом в
пользу корпускулярной теории Ньютон считал прямолинейное распространение света. Вместе с тем он видел трудности, которые встречает корпускулярная
теория при попытках объяснить образование чередующихся светлых и тёмных
полос на границе тени.
Противником корпускулярной теории был Гюйгенс. В своём ″Трактате о
свете″, вышедшем в 1690 г., он писал, что свет ″распространяется так же, как и
при звуке, сферическими поверхностями и волнами. Я называю эти поверхности волнами по сходству с волнами, наблюдаемыми на поверхности воды, в которую брошен камень″. Последовательным сторонником волновой теории света
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
был М.В. Ломоносов, который пытался связать световые колебательные движения с движением частиц вещества.
Несмотря на то, что теории Гюйгенса и Ломоносова правильно установили волновую природу света, они ещё не содержали в себе достаточно чётко основной характеристики волнового процесса – его двоякой, пространственной и
временной, периодичности и вытекающей отсюда возможности объяснить явления интерференции и дифракции света. Пространственно-временная периодичность светового процесса, характерная для распространяющихся колебаний,
была впервые в отчётливой форме высказана Л. Эйлером. Однако возможность
объяснить на основании волновых представлений явления интерференции и
дифракции света была установлена лишь в начале XIX века в результате работ
Юнга и Френеля. Было показано, что свет представляет собой волны весьма
малой длины: видимый свет, т.е. свет, воспринимаемый человеческим глазом,
зависит от индивидуальных особенностей глаза и имеет длины волн в пределах
от 0,76 мкм до 0,38 мкм. Благодаря такой малой длине волн загибание света за
преграды в обычных условиях весьма незначительно, что и обусловливает кажущееся прямолинейное распространение света.
Волновая теория света первой половины XIX века представляла световые
колебания в виде упругих механических колебаний сплошной среды – мирового эфира. После открытия электромагнитных волн удалось показать, что световые волны представляют собой электромагнитные волны малой длины. Таким
образом, возникла электромагнитная теория света, сыгравшая большую роль в
развитии всей физики конца XIX и начала XX века. Электромагнитная теория
света указала на единство световых и электромагнитных явлений.
Исследования, проведённые на рубеже XIX и XX веков, показали, что с
изменением длины волны возникают и качественные различия в свойствах света. Подробное изучение открытого А.Г. Столетовым фотоэффекта показало, что
излучение с малой длиной волны (лучи видимого света и ещё более – коротковолновые) проявляют свойства, не укладывающиеся в рамки классических волновых представлений. Ряд фактов показывает, что свет испускается и поглоща14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ется отдельными порциями, величина которых зависит от частоты световых колебаний. Это обстоятельство привело к представлению о световых частицах,
получивших название фотонов. Каждый фотон обладает определённой энергией и импульсом. Энергия фотона равна hν, где ν − частота света, h – постоянная
Планка. Отсюда видно, что энергия фотона тем больше, чем больше частота ν.
Для излучений малых частот (невидимые инфракрасные лучи) энергия фотонов
настолько мала, что прерывную структуру этих лучей обнаружить трудно;
практически они проявляют лишь волновые свойства. Для лучей с очень малой
длиной волны (рентгеновские лучи и лучи, испускаемые радиоактивными элементами) энергия фотонов относительно очень велика и их корпускулярные
свойства наблюдаются легко.
Свет одновременно обладает и корпускулярными и волновыми свойствами. Дальнейшее развитие физики показало, что эта двойственность – наличие и
корпускулярных и волновых свойств – присуща не только свету, но и потоку
любых других элементарных ″частиц″ – отдельных атомов, электронов и т.д.
§ 1.1 Законы отражения и преломления света
Первые законы оптических явлений были установлены на основе представлений о прямолинейных световых лучах. Они относились к изменениям
направления распространения света при отражении и при переходе света из одного прозрачного вещества в другое.
Простейший случай изменения направления света наблюдается при прохождении света через ровную и плоскую границу
двух прозрачных сред, например, воздуха и стекла
А
или стекла и воды и т.д. В этом случае падающий 1 среда
луч АВ (рисунок 1) разделяется на два новых луча, 2 среда
один из которых ВС отражается, а другой луч BD
проходит через границу раздела во вторую среду,
т.е. испытывает преломление.
15
α
В
Рисунок 1
α′
β
С
D
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Падающий и отражённый лучи подчиняются двум простым законам, известным ещё Евклиду (III век до н.э.):
- падающий луч, отражённый луч и нормаль, восстановленная из точки
падения, лежат в одной плоскости; при этом отражённый луч лежит по другую
сторону от нормали;
- угол падения α равен углу отражения α′ (α = α′).
Описанную картину наблюдаем при отражении луча от зеркала; соответственно, отражение от ровной и плоской границы называют зеркальным. Угол падения α − угол между нормалью и падающим лучом. Угол отражения α′ − это
угол между нормалью и отражённым лучом. Нормаль – это линия, проведённая
под прямым углом к границе раздела сред (зеркалу). Параллельный пучок света, отражаясь от гладкой поверхности (зеркала), остаётся параллельным пучком
– зеркальное отражение. При отражении света от неровной (шероховатой) поверхности наблюдаем рассеянное (диффузное) отражение. При диффузном отражении шероховатая поверхность кажется матовой.
Преломление света (рефракция) это – явление изменения направления луча при пересечении границы между двумя средами. Оно связано с различием
скорости света в разных средах. Законы преломления сформулированы в начале
XVII века:
- падающий (АВ) и преломлённый (BD) лучи лежат в одной плоскости с
перпендикуляром к границе раздела сред в точке падения луча (см. рисунок 1);
- отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления β есть величина постоянная:
sinα
= n21,
sinβ
(1.1)
где величину n21 называют относительным показателем преломления второй среды относительно первой.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Согласно опытам, если луч света проходит из второй среды в первую, падая под углом β, то он проходит в первой среде под углом α, связанным с углом
β соотношением (1.1):
sinβ
= n12,
sinα
(1.2)
где n12 будет относительным показателем преломления первой среды относительно второй.
Сравнивая формулы (1.1) и (1.2) определяем связь между показателями
преломления n21 и n12:
n21 =
1
.
n 12
(1.3)
Таким образом, относительный показатель преломления первой среды относительно второй и относительный показатель преломления второй среды относительно первой являются взаимообратными величинами.
Относительный показатель преломления какой-либо среды по отношению
к вакууму принято называть абсолютным показателем преломления данной
среды n. Слово ″абсолютный″ обычно опускают и просто говорят о показателе
преломления данной среды. Из сказанного ясно, что показатель преломления
вакуума n = 1.
Покажем, что при явлениях отражения и
преломления выполняется закон взаимности
или обратимости световых лучей. Пусть 1 среда
вакуум
отделена от вакуума тонкой плоскопараллель- 2 среда
ной пластинкой 2 среды (рисунок 2); n1, n2 и n12
– абсолютные и относительный показатели
преломления соответствующих сред. Из рисунка 2 понятно, что законы преломления на границах сред имеют вид:
17
α
α′
1 среда
Рисунок 2
n2
β′
β
n1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
sinα
= n2 ,
sinα′
sinβ′
= n12.
sinβ
(1.4)
Из (1.4) с учётом, что α′ = β′, получаем
sinα
= n2⋅n12.
sinβ
(1.5)
Формула (1.5) справедлива при любой толщине 2 среды.
Перейдём к предельному случаю, когда 2 среда становится очень тонкой,
т.е. к случаю непосредственного преломления луча из вакуума в 1 среду. Тогда
имеем:
sinα
= n1 .
sinβ
(1.6)
Сравнивая формулы (1.5) и (1.6), находим:
n12 = n1 / n2.
(1.7)
Повторяя те же рассуждения для случая, когда тонкий слой 1 среды отделяет 2
среду от вакуума, находим:
n21 = n2 / n1.
(1.8)
Сопоставляя выражения (1.7) и (1.8) опять приходим к уравнению (1.3):
n21 = 1 / n12. Отсюда непосредственно следует, что при преломлении на границе
двух сред лучи остаются взаимными, т.е. при изменении направления лучей на
обратное их взаимное расположение не меняется. Так, если на рисунке 1 на
границу двух сред луч падает в направлении DB, то после преломления луч
пойдёт в направлении ВА. В законе отражения этот принцип обратимости светового пути также действителен – так, если на рисунке 1 на границу двух сред
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
луч падает в направлении СB, то после отражения луч пойдёт в направлении
ВА. Принцип взаимности сохраняет свою силу при каком угодно числе преломлений и отражений, поскольку он соблюдается при каждом из них. Таким
образом, принцип взаимности справедлив для всех задач, связанных с построением изображений: если навстречу лучу, претерпевшему ряд отражений и преломлений, пустить другой луч, то он пойдёт по тому же пути, что и прямой луч,
но в обратном направлении.
Закон преломления (закон Снеллиуса-Декарта) при переходе из первой
среды во вторую теперь можем записать в форме (см. рисунок 1 и формулу
(1.1)):
sinα
n
= n21 = 2 .
sinβ
n1
(1.9)
Теперь определим значение угла падения α1 луча на границу раздела двух
прозрачных диэлектриков, когда отражённый луч будет перпендикулярен преломлённому лучу (относительный показатель преломления второй среды относительно первой равен n21). В этом случае должны быть выполнены два условия:
sinα1 = n21sinβ,
α′ + β = π / 2,
где α′ − угол отражения, равный углу α1.
Поэтому первое равенство запишем так:
sinα1 = n21sin(π / 2 − α1).
Отсюда следует, что
tgα1 = n21.
19
(1.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.2 Полное внутреннее отражение
Из закона преломления (формула (1.9)) видно, что если n1 > n2, т.е. если
свет переходит из оптически более плотной среды в менее плотную, то β > α.
Это приводит к тому, что с увеличением угла падения α при некотором αпр угол
преломления становится β =
π
π
(sin = 1). Тогда преломлённый луч скользит
2
2
по границе раздела сред, всё ещё оставаясь во второй среде. При углах падения
α > αпр свет не преломляется, а весь отражается внутрь первой среды, причём
интенсивности отражённого и падающего лучей одинаковы. Это явление называется полным внутренним отражением. Угол αпр называется предельным углом полного внутреннего отражения. Значение предельного угла αпр определяется требованием, чтобы β = π/2, откуда по закону преломления (формула (1.9))
имеем:
sinαпр =
n2
.
n1
(2.1)
С явлением полного внутреннего отражения мы часто сталкиваемся в
различных явлениях: миражах; радуге; распространении радиоволн в ионосфере…
Явление полного отражения используется в призмах полного отражения.
Показатель преломления стекла равен n = 1,5, поэтому предельный угол для
границы стекло − воздух αпр = arcsin(1/1,5) = 420. Поэтому при падении света на
границу стекло − воздух при α > 420 всегда будет иметь место полное отражение. Такие призмы применяются в оптических приборах (например, в биноклях,
перископах), а также в рефрактометрах, позволяющих определять показатели
преломления тел (по закону преломления, измеряя αпр, определяем относительный показатель преломления двух сред, а также абсолютный показатель преломления одной из сред, если показатель преломления второй среды известен).
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Явление полного отражения используется также в волоконных световодах
(светопроводах), представляющих собой тонкие, произвольным образом изогнутые нити (волокна) из оптически прозрачного материала. В волоконных деталях применяют стеклянное волокно, световедущая жила (сердцевина) которого окружается стеклом − оболочкой из другого стекла с меньшим показателем
преломления. Свет, падающий на торец световода под углами, большими предельного, претерпевает на поверхности раздела сердцевины и оболочки полное
отражение и распространяется только по световедущей жиле. Таким образом, с
помощью световодов можно как угодно искривлять путь светового пучка. Диаметр световедущих жил лежит в пределах от нескольких микрометров до нескольких миллиметров. Для передачи изображений, как правило, применяются
многожильные световоды. Вопросы передачи световых волн и изображений
изучаются в специальном разделе оптики − волоконной оптике, возникшей в
50-е годы XX столетия. Световоды используются в электронно-лучевых трубках, в электронно-счетных машинах, для кодирования информации, в медицине
(например, диагностика желудка), для целей интегральной оптики и т.д.
Свет при прохождении из вещества с меньшим коэффициентом преломления (оптически менее плотного) в вещество с большим коэффициентом преА
αпр
α′
ломления (оптически более плотное) приближается
С
1 среда
2 среда
В
Рисунок 3
β=π/2
D
к нормали. Наоборот, при прохождении из вещества
оптически более плотного, в вещество, оптически
менее плотное, луч отходит от нормали. Очевидно, в
этом случае существует такой угол падения αпр,
меньший π/2, при котором угол преломления β = π/2, т.е. преломлённый луч
становится скользящим вдоль границы раздела сред (см. рисунок 3). Опыт показывает, что при углах падения α > αпр преломлённого луча не существует;
весь падающий свет целиком отражается. Это явление носит название полного
внутреннего отражения. Угол αпр называется предельным углом. Значение предельного угла αпр определяется требованием, чтобы β = π/2, откуда по закону
преломления (формула (1.9)) имеем:
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
sinαпр =
n2
.
n1
(2.1)
Это уравнение может выполняться при вещественном значении угла αпр
лишь при условии, что n2 ≤ n1, откуда следует, что полное внутреннее отражение возможно лишь при прохождении света из вещества, оптически более
плотного, в вещество, оптически менее плотное. Полное внутреннее отражение
невозможно при прохождении света из вещества, оптически менее плотного, в
вещество, оптически более плотное. Например, полное внутреннее отражение
возможно при прохождении света из воды в воздух и невозможно при его прохождении из воздуха в воду.
По мере приближения угла падения к предельному, интенсивность преломлённого луча падает, а интенсивность отражённого луча возрастает. При
угле падения, весьма близком к предельному, почти скользящий преломлённый
луч очень слаб, интенсивность же отражённого луча близка к интенсивности
падающего. При углах падения, больших предельного угла αпр, преломлённый
луч отсутствует, происходит полное внутреннее отражение, свет весь отражается.
§ 1.3 Принцип Ферма
Принцип Ферма – основной принцип геометрической оптики, утверждающий в простейшей форме, что луч света всегда распространяется в пространстве между двумя точками по тому пути, вдоль которого время его прохождения меньше, чем вдоль любого из других путей, соединяющих эти точки.
Время прохождения светом расстояния ℓ в среде с показателем преломления n
пропорционально оптической длине пути S. Для однородной среды под оптической длиной пути S подразумевается произведение геометрической длины пути
ℓ на показатель преломления среды n:
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S = nℓ.
(3.1)
В случае неоднородной среды нужно разбить геометрическую длину ℓ на
столь малые отрезки dℓ, чтобы на протяжении каждого из них показатель преломления n можно было считать постоянным. Тогда элементом оптической
длины пути будет величина dS = n⋅dℓ, а вся оптическая длина пути окажется
равной сумме всех элементарных оптических путей dS, т.е. выразится интегралом:
S = ∫ n ⋅ dl ,
(3.2)
l
где интеграл берётся вдоль кривой ℓ, по которой распространяется свет.
Таким образом, в этой форме принцип Ферма есть принцип наименьшей
оптической длины пути S. В первоначальной формулировке, данной Ферма
(около 1660 г.), принцип имел смысл наиболее общего закона распространения
света, из которого следовали все (к тому времени уже известные) законы геометрической оптики. Для однородной среды принцип Ферма приводит к закону
прямолинейности светового луча (в соответствии с положением о том, что прямая есть линия, вдоль которой расстояние между двумя точками наименьшее).
А для случая падения луча света на границу раздела между средами с разными
показателями преломления из принципа Ферма можно получить законы зеркального отражения света и преломления света. Принцип Ферма остаётся в силе и при распространении света в среде, состоящей из отдельных, граничащих
между собой однородных участков.
§ 1.4 Скорость света
Скорость света в вакууме с, одна из фундаментальных физических постоянных, имеет огромное значение не только для физической и прикладной оптики, но и для физики в целом, астрономии и астрофизики. Поэтому задача опре23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
деления скорости света привлекала внимание астрономов, физиков и инженеров на протяжении более трёхсот лет. За это время точность измерений величины с возросла от значения ∆с/с = 0,3, полученного из астрономических наблюдений, выполненных ещё в XVII в., до ∆с/с ≈ 3⋅10-9, реализованного в лазерных
экспериментах последнего времени. Данные абсолютных измерений скорости
света, выполненных в XIX в. Физо, пожалуй, впервые убедительным образом
подтвердили электромагнитную теорию света.
Тщательные измерения зависимости скорости света от направления распространения в земной системе отсчёта позволили решить стоявшую перед физикой почти в течении двух столетий проблему эфира – гипотетической среды,
″проводящей″ световые волны. Опыт, накопленный физикой при изучении волн
различной природы (распространение звука, волн на воде), прямо показывал,
что для возникновения волнового движения необходима соответствующая среда. Поэтому, начиная с Гюйгенса, все сторонники волновой природы света считали очевидным существование специальной среды, эфира1, в которой и распространяются световые волны.
Однако физические свойства эфира оставались загадкой не только для
Гюйгенса, Юнга и Френеля, но и для учёных второй половины XIX в., когда
стала очевидной электромагнитная природа света. Установленные к этому времени закономерности оптических явлений заставляли предполагать, что эфир
заполняет всё пространство, имеет пренебрежимо малую плотность, практически не взаимодействует с веществом – т.е. приписать эфиру совершенно необычные свойства.
Гипотеза эфира делала естественным выделение преимущественной системы отсчёта, в которой он покоится. Во всех же остальных координатных системах, в частности, в координатной системе, связанной с Землёй, тогда должно
наблюдаться движение эфира или, как принято было говорить, ″эфирный ветер″. Непосредственным следствием эфирного ветра, как нетрудно убедиться,
1
Греческое слово ″эфир″ значит ″воздух″, ″небо″. Значение, которое придавали древние понятию ″эфир″, иллюстрирует цитата из Аристотеля: ″Земля окружена водой, вода воздухом, воздух эфиром. Дальше нет ничего″
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
должна стать неодинаковость (анизотропия) скорости света вдоль и поперёк
направления движения Земли.
Прямой опыт, поставленный для измерения скорости эфирного ветра, был
выполнен в 1881 г. Майкельсоном и дал чёткий отрицательный результат − величина скорости света не зависит от направления распространения. ″Гипотеза
неподвижного эфира ошибочна″ − заключил Майкельсон в своей статье, опубликованной в 1881 г. Последующие эксперименты, выполненные Майкельсоном и Морли, многочисленные опыты других исследователей с высокой степенью точности подтвердили этот результат. Его значение вышло далеко за пределы собственно оптики. Опыт Майкельсона-Морли заложил экспериментальные основы специальной теории относительности. Эти и последующие эксперименты, в том числе многочисленные эксперименты, выполненные самыми
разными методами уже в последние десятилетия, с полной достоверностью показали, что нет никаких оснований сомневаться в постоянстве и универсальности скорости света в вакууме. Сейчас усилия физиков и инженеров направлены
на повышение точности абсолютных измерений величины с.
Надо сказать, что и здесь лазерная физика и техника открыли совершенно
новые возможности. Наиболее точное определение с, выполненное в недавних
лазерных экспериментах, дало значение с = 299 792 456,2 м/с. Далее расскажем
о некоторых оптических методах и результатах абсолютных измерений скорости света.
Астрономические наблюдения. По-видимому, идея о том, что свет распространяется с конечной скоростью, возникла впервые по аналогии с распространением волн на поверхности воды или звука.
Первые измерения скорости света на основе астрономических наблюдений затмений спутников Юпитера были выполнены датским астрономом Рёмером в 1675 г. Схему рассуждений Рёмера можно рассмотреть на рисунке 4.
Период обращения ближайшего к Юпитеру спутника равен приблизительно
42,5 ч. Поэтому спутник должен был заслоняться Юпитером каждые 42,5 ч. Но
в течение полугода, когда Земля удаляется от Юпитера, затмения наблюдались
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
каждый раз с всё большим запаздыванием по сравнению с предсказанными
сроками. Рёмер пришёл к выводу, что свет распространяется не мгновенно, а
имеет конечную скорость, поэтому ему требуется всё больше времени для достижения Земли, по мере того как она, двигаясь по орбите вокруг Солнца, удаляется от Юпитера. Он регистрировал моменты вхождения одного из спутников
Юпитера в тень планеты и обнаружил, что, когда Земля находится на максимальном удалении от Юпитера, время наступления затмения запаздывает по
сравнению с предсказанным. Рёмер предположил, что разность времён запаздывания, соответствующих минимальному и максимальному расстояниям между Землёй и Юпитером, и есть то время, за которое свет проходит расстояние,
равное диаметру земной орбиты. Им было получено значение скорости света
с = 214 000 км/с, ее отличие от современных данных объясняется неточным
знанием диаметра земной орбиты.
Орбита
Юпитера
Спутник
Орбита Земли (диаметр – 300 000 000 км)
Солнце
Спутник
Рисунок 4
Последующие измерения были выполнены английским астрономом
Брадлеем в 1726 г. на основе наблюдения звёздных аберраций. Поясним идею
метода рисунком 5, на котором изображена звезда S, находящаяся в плоскости
эклиптики, и два положения Земли на орбите. В первом из них направление
скорости движения Земли v совпадает с направлением на звезду, а во втором –
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
перпендикулярно к нему. Пусть в точке 1 орбиты наблюдатель видит звезду в
зените, тогда в точке 2 кажущееся направление на звезду будет отличаться от
истинного на угол α, называемый углом аберрации. Поскольку v << c (практически v/c ≈ 10-4), угол аберрации удовлетворяет соотношению tgα = v/c. Брадлей получил результат с = 301 000 км/с. Особое значение методов Рёмера и
Брадлея заключается в том, что они позволяют определить скорость света при
распространении в одном направлении, в то время как в лабораторных методах
обычно измеряется средняя скорость на двойном проходе туда и обратно.
v
S
S
у
v
2
S
c
у
α
v
α
1
Рисунок 5
1
х
2
х
Измерение скорости света в земных условиях. Первая попытка определения скорости света была предпринята Галилеем в 1607 г. Наиболее естественным методом измерения скорости света на поверхности Земли представляется прямая регистрация времени, затрачиваемого светом на прохождение известного расстояния. Галилей разместил двух наблюдателей с фонарями на
двух холмах, расположенных на расстоянии ℓ друг от друга. Фонари были
снабжены заслонками. В некоторый момент времени один из наблюдателей открывал заслонку, создавая, таким образом, световой импульс. Второй наблюдатель делал то же самое, заметив свет первого фонаря. Тогда скорость света с =
2ℓ/τ, где τ − регистрируемое первым наблюдателем время, прошедшее между
открытием заслонки его фонаря и моментом, когда он замечал свет другого фо-
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
наря. Совершенно правильный, в принципе, опыт Галилея был обречён, однако,
на неудачу.
Причина этого заключена в огромной величине скорости света. Передний
фронт светового импульса, формируемого галилеевским наблюдателем, вряд ли
мог быть короче τф ≈ 0,1 с; за это время свет пробегает расстояние в 30 000 км.
Очень инерционен и приёмник света в обсуждаемом опыте – человеческий глаз
– он имеет постоянную времени τпр ≈ 0,1 с. Таким образом и длительность
фронта светового импульса τф и постоянная времени приёмника τпр намного
превышают время прохождения τ, подлежащее измерению, поскольку в земных
условиях расстояние ℓ не может превышать 1 – 10 км. Поэтому наблюдатели
Галилея пришли к выводу, что если скорость света конечна, то она весьма велика.
Надо сказать, что с современными экспериментальными средствами опыт
Галилея может быть осуществлён даже в лаборатории. Сейчас мы располагаем
лазерами, генерирующими импульсы длительностью τи ≈ 10-12 с (его продольный размер в направлении распространения − ″длина″ в пространстве ℓи = сτи ≈
3⋅10-2 см) и приборами, регистрирующими короткие временные интервалы,
достигающие 10-12 с. В этих условиях поставить опыт Галилея и получить точность в определении ∆с/с ≈ 10-5 можно, проводя измерения на дистанции всего
лишь несколько метров. Такие эксперименты широко вошли сейчас в практику
– они лежат, в частности, в основе оптической дальнометрии.
Важно подчеркнуть, однако, что
впервые успешные опыты подобного
рода были осуществлены более ста лет Г
назад Физо и Фуко, разумеется, с го-
S
ℓ
К
P
0
0′
ω
раздо более скромными экспериментальными средствами. Надо сказать,
что эти опыты представляют не только
исторический интерес. Разработанные
28
З
К
ω
Рисунок 6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физо и Фуко методы управления световыми пучками использовали уже в наше
время создатели лазеров.
Скорость света в земных условиях была впервые измерена Физо в 1849 г.
с помощью метода зубчатого колеса. На рисунке 6 изображена схема опыта
Физо. Свет, испускаемый источником S, отражается полупосеребрённой пластинкой Р в направлении к зеркалу З. На пути луча располагается быстро вращающееся зубчатое колесо К, ось которого 00′ параллельна лучу. Свет проходит через промежутки между зубьями колеса, отражается зеркалом З и направляется обратно через зубчатое колесо и пластинку Р к глазу Г наблюдателя.
Если привести зубчатое колесо во вращение, то за время ∆t, в течение которого свет идёт до зеркала З и обратно, зубчатое колесо успеет повернуться на
некоторый угол. Если при этом просвет между зубцами сменится ближайшим
зубцом, то отражённый свет будет задержан, и наблюдатель не увидит его. Если же колесо повернётся на такой угол, что свет, отражённый обратно от зеркала З, пройдёт через соседний промежуток между зубцами, то наблюдатель снова его увидит. При ещё более быстром вращении колеса свет вновь пропадёт.
Время ∆t может быть непосредственно измерено, если найти ту частоту ν
вращения колеса, при которой происходит, например, первое пропадание возвращающегося от зеркала З света. Пусть число зубцов колеса равно z, тогда
∆t =
1
.
2νz
(4.1)
С другой стороны это время равно времени, необходимому свету для того, чтобы пробежать базис ℓ туда и обратно, т.е. оно равно
∆t =
2l
.
с
Сравнивая выражения (4.1) и (4.2), получим
29
(4.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
с = 4ℓzν.
(4.3)
В опытах Физо расстояние 2ℓ было равно 14 км. Вычисленное при этих
условиях значение скорости света с составляло 315 000 км/с. Впоследствии измерения по методу зубчатого колеса повторялись более тщательно, с большим
базисом. При 2ℓ = 46 км было получено с = (299 870 ± 50) км/с.
S
ℓ
Зеркало
ω
Зеркальная
призма
Зеркало
Рисунок 7
Г
В 1850 г. Фуко для прерывания светового луча использовал вращающееся
зеркало. Метод вращающегося зеркала существенно усовершенствовал Майкельсон, который в период с 1870 по 1931 г. провёл несколько серий измерений. В опыте 1927 г. Майкельсон использовал дистанцию длиной ℓ = 35,426 км
между вершинами гор Маунт-Вильсон и Сан-Антонио в Калифорнии. Для прерывания света применялась восьмигранная зеркальная призма из никелированной стали (схема установки Майкельсона представлена на рисунке 7). Частота
вращения призмы измерялась с помощью камертона и достигала 500 оборотов в
секунду. В качестве источника света в этом опыте использовался мощный дуговой прожектор, разработанный для военных целей. Призма, источник света S
и наблюдатель Г находились на вершине горы Маунт-Вильсон. Отразившись от
зеркальной грани призмы, свет проходил расстояние ℓ до вершины горы СанАнтонио, где были установлены отражающие зеркала, и, возвратившись назад,
падал на другую грань зеркальной призмы, отразившись от которой попадал
через зрительную трубу в глаз Г наблюдателя. С помощью мотора зеркальная
призма вращалась, причём минимальная угловая скорость вращения подбира30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лась такой, чтобы наблюдатель всё время видел изображение источника света.
Это происходило только в том случае, если за время поворота призмы на 1/8
своего полного оборота свет проходил туда и обратно между вершинами гор.
Зная частоту ν вращения призмы и пройденный светом путь 2ℓ, Майкельсон
получил значение скорости света в воздухе с = (299 796 ± 4) км/с.
Современные методы измерения скорости света основаны на одновременном измерении частоты ν и длины волны λ света, связанных соотношением
с = λν. В 1972 г. Ивенсон и сотрудники, определив длину волны и частоту гелий-неонового лазера, получили значение с = (299 792, 4562 ± 0,0011) км/с, повысив точность по сравнению с лучшими предыдущими результатами на два
порядка.
Решением Генеральной ассамблеи Международного комитета по численным данным для науки и техники, обобщившим все известные экспериментальные данные, скорость света в вакууме принято считать равной
с = (299 792 458 ± 1,2) м/с.
Чрезвычайно высокая точность, с которой известна эта фундаментальная физическая постоянная, послужила основой для пересмотра определения единицы
длины. В 1983 г. международным соглашением установлено, что 1 метр – это
расстояние, проходимое светом в вакууме за 1/299 792 458 долю секунды.
Все описанные методы измеряли скорость света в воздухе, и переход к
скорости света в вакууме производился расчётом по известному значению коэффициента преломления воздуха (см. § 1.1). Скорость света в веществе всегда
меньше скорости света в вакууме.
§ 1.5 Волновая теория света. Принцип Гюйгенса
Современник Ньютона Гюйгенс (его "Трактат о свете" написан в 1678 г.,
издан в 1690 г.) исходил из аналогии между акустическими и оптическими яв31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лениями и полагал, что свет представляет собою волны, распространяющиеся в
сплошной упругой среде – эфире, заполняющем всё «пустое» пространство и
пронизывающем все тела. При этом световые волны представлялись в виде
распространяющихся в эфире упругих механических колебаний. Из идей Гюйгенса наибольшую ценность представляет общий принцип, выдвинутый им как
приём для отыскания направления распространения световых волн.
Гюйгенс рассматривал главным образом вопрос о распространении волнового фронта и установил принцип, позволяющий по данному положению
волнового фронта найти его положение в последующие моменты времени. Этот
принцип носит название принципа Гюйгенса (1678 г.): "Каждая точка, до которой доходит световое колебание, является в свою очередь источником вторичных волн; поверхность, огибающая в некоторый момент времени эти вторичные волны, указывает положение фронта действительно распространяющейся
волны к этому моменту времени". Волновым фронтом называется геометрическое место точек, до которых доходят колебания к данному моменту времени.
Принцип Гюйгенса позволяет анализировать распространение света и вывести
законы отражения и преломления света.
А1
N
А
D
В
α α′
1 среда
n1
С
А
n2
2 среда
E
В
Рисунок 8
В1
Рисунок 9
β
Гюйгенс дал свой принцип без строгого доказательства. Правильность
принципа Гюйгенса вытекала только из сравнения результатов построений с
опытом. Значительно позднее правильность метода Гюйгенса была доказана на
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
основании общей теории упругости. Предположим, что в некоторый момент
времени известен фронт волны АВ (рисунок 8), пришедший в направлении,
указанном стрелками. Для построения нового фронта, относящегося к моменту
на промежуток времени t более позднему, следует каждую точку старого фронта принять за самостоятельный центр распространяющихся вперёд со скоростью v колебаний. Построим из каждой точки элементарную волновую поверхность, которая будет полусферической поверхностью радиуса r = vt. Огибающая А1В1 всех элементарных волновых поверхностей даст новый фронт волны.
Лучи являются семейством прямых, нормальных к волновому фронту.
Волновым фронтом называют геометрическое место точек, до которых доходят
колебания к данному моменту времени.
Принцип Гюйгенса позволяет объяснить с волновой точки зрения законы
отражения и преломления света. Пусть на границу раздела двух сред с коэффициентами преломления n1 и n2 падает плоский волновой фронт АВ (рисунок 9).
Ему соответствует пучок параллельных лучей, составляющих с нормалью AN
угол α. Все точки границы раздела, до которых доходит волновой фронт, становятся по принципу Гюйгенса источниками новых сферических волн.
Фронт волны, прежде всего, достигает на границе раздела точки А. Пока
второй край фронта В дойдёт до границы раздела в точке С, около точки А образуется распространяющийся обратно в первое вещество полусферический
фронт радиуса AD = BC. Около промежуточных точек границы раздела возникнут полусферические волны меньшего радиуса. Касательная к элементарным полусферическим волнам плоскость DC определит направление отражённых волн. Пусть лучи, соответствующие этому фронту волн, составляют с нормалью AN угол α′. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и ADC;
они имеют общую гипотенузу АС и равные катеты AD = BC. Следовательно,
∆ АВС = ∆ ADC, откуда
∠ ВАС = ∠ DCA.
33
(5.1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Но ∠ ВАС равен углу падения α, а ∠ DCA − углу отражения α′, откуда
α = α′,
(5.2)
т.е. выполняется закон отражения.
Для доказательства закона преломления введём в рассмотрение скорости
распространения света в обеих средах. Пусть в первой среде свет распространяется со скоростью v1, а во второй – со скоростью v2. Пусть за то время, пока в
первой среде край фронта В распространялся от точки В до точки С, во второй
среде около точки А возникла элементарная полусферическая волна радиуса
АЕ. Тогда касательная плоскость ЕС определит положение фронта преломлённых волн.
Радиус АЕ полусферической волны, возникшей около точки А во второй
среде, должен относиться к радиусу AD волны, возникшей около той же точки
в первой среде, как относятся скорости света в этих двух средах:
v
AD
= 1.
AE
v2
(5.3)
Из прямоугольного треугольника АЕС имеем:
sin ∠ ACE =
AЕ
.
AС
(5.4)
Из прямоугольного треугольника АDС имеем:
sin ∠ ACD =
AD
.
AС
Делим почленно соотношение (5.5) на (5.4), и с учётом (5.2), получим:
34
(5.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
v
sin ∠ ACD AD
= 1.
=
AE
sin ∠ ACE
v2
(5.6)
Но угол ACD равен углу падения α, а угол АСЕ равен углу преломления β, откуда
v
sinα
= 1.
sinβ
v2
(5.6)
Отношение скоростей света v1 / v2 есть для данной пары сред величина постоянная, отсюда соотношение (5.6) выражает собою закон преломления.
Сравнивая соотношение (5.6) с обычным видом закона преломления (1.9)
sinα n 2
=
.
sinβ
n1
получаем
v
n2
= 1.
n1
v2
(5.7)
Таким образом, волновая теория не только позволяет объяснить закон
преломления, но и устанавливает соотношение между показателями преломления и скоростями распространения света.
По формуле (5.7): показатели преломления двух сред обратно пропорциональны скоростям распространения в них света. В среде, оптически более плотной, свет распространяется медленнее, чем в среде, оптически менее плотной.
Для вакуума показатель преломления равен единице. Откуда скорость
распространения света v в какой-либо среде связана со скоростью с света в вакууме соотношением:
v=
c
,
n
35
(5.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где n – показатель преломления данной среды.
Для прозрачных тел n > 1, и скорость распространения света в них меньше, чем
в вакууме.
Принцип Гюйгенса позволяет решать лишь задачи о направлении распространения светового фронта и не затрагивает по существу вопроса об интенсивности волн, идущих по разным направлениям.
§ 1.6 Интерференция света
Интерференция волн – взаимное усиление или ослабление двух (или
большего числа) волн при их наложении друг на друга при одновременном распространении в пространстве. Обычно под интерференционным эффектом понимается отличие результирующей интенсивности волн от суммы интенсивностей исходных волн. Интерференция волн – одно из основных свойств волн
любой природы (упругих, электромагнитных, в том числе световых, и др.), и
такие характерные волновые явления, как излучение, распространение и дифракция, тоже связаны с интерференцией.
Если две различные системы волн, исходящих из разных источников, перекрываются в некоторой области, а затем снова расходятся, то дальше каждая
из них распространяется так, как если бы она не встречала на своём пути другую. Этот принцип независимости распространения волн известен под названием принципа суперпозиции. В области перекрытия волн колебания налагаются
друг на друга, происходит сложение (интерференция) волн, в результате чего
колебания в одних местах получаются более сильные, а в других – более слабые. В каждой точке среды результирующее колебание будет суммой всех колебаний, дошедших до данной точки.
Особый интерес представляет случай, когда источники колебаний колеблются с одинаковой частотой, имеют одинаковые направления колебаний и
одинаковые фазы или постоянную разность фаз. Такие источники называются
когерентными. В этом случае результирующее колебание в каждой точке среды
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
имеет постоянную во времени амплитуду, зависящую от расстояний точки среды от источников колебаний. Такого рода сложение колебаний называется интерференцией от когерентных источников. При описании интерференционных
явлений также пользуются понятием монохроматическое излучение – это электромагнитное излучение одной определённой и строго постоянной частоты.
Понять физическую причину немонохроматичности, а, следовательно, и
некогерентности волн, испускаемых двумя независимыми источниками света,
можно исходя из самого механизма испускания света атомами. В двух самостоятельных источниках света атомы излучают независимо друг от друга. В
каждом из таких атомов процесс излучения конечен и длится очень короткое
время (τ ≈ 10-8 с). За это время возбужденный атом возвращается в нормальное
состояние и излучение им света прекращается. Возбудившись вновь, атом снова начинает испускать световые волны, но уже с новой начальной фазой. Так
как разность фаз между излучением двух таких независимых атомов изменяется при каждом новом акте испускания, то волны, спонтанно излучаемые атомами любого источника света, некогерентны. Таким образом, волны, испускаемые
атомами, лишь в течение интервала времени ≈ 10-8 с имеют приблизительно постоянные амплитуду и фазу колебаний. Тогда как за больший промежуток времени и амплитуда, и фаза изменяются. Прерывистое излучение света атомами в
виде отдельных коротких импульсов называется волновым цугом.
Описанная модель испускания света справедлива и для любого макроскопического источника, так как атомы светящегося тела излучают свет также независимо друг от друга. Это означает, что начальные фазы соответствующих им
волновых цугов не связаны между собой. Помимо этого, даже для одного и того же атома начальные фазы разных цугов отличаются для двух последующих
актов излучения. Следовательно, свет, испускаемый макроскопическим источником, некогерентен.
Как можно создать условия, необходимые для возникновения интерференции световых волн? Для получения когерентных световых волн применяют
метод разделения волны, излучаемой одним источником, на две части, которые
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
после прохождения разных оптических путей накладываются друг на друга и
наблюдается интерференционная картина.
Когерентные источники (света) можно, например, осуществить следующим образом: возьмём точечный источник S (рисунок 10), от которого распространяется сферическая волна. На пути волны постав-
В
лена преграда ВВ1 с двумя точечными отверстиями S1
и S2, расположенными симметрично по отношению к
источнику S. Отверстия S1 и S2 становятся согласно
S
S1
S2
принципу Гюйгенса самостоятельными источниками
колебаний, притом колеблющимися с одинаковой амплитудой и в одинаковых фазах, так как их расстоя-
Р
В1
Рисунок 10
ния от источника S одинаковы. Справа от преграды ВВ1 будут распространяться две сферические волны, и в каждой точке среды колебание возникнет в результате сложения этих двух волн. Рассмотрим результат сложения в некоторой
точке Р, которая отстоит от источников S1 и S2 соответственно на расстоянии
S1P = r1 и S2P = r2. Колебания доходят до точки Р с некоторой разностью фаз,
которая зависит от разности расстояний r2 и r1.
Колебания источников S1 и S2, имеющие одинаковые фазы, можно представить в виде:
x1 = Acosωt,
x2 = Acosωt.
(6.1)
Тогда колебания, дошедшие до точки Р соответственно от источников S1
и S2, выразятся
x1 = A1cos(ωt − kr1),
x2 = A2cos(ωt − kr2),
(6.2)
где k = 2π/λ − волновое число, λ − длина волны колебаний;
ω − циклическая частота колебаний.
Будем считать, что выполняется условие ∆r = r2 − r1 << r1, тогда приближённо можно считать А1 ≈ А2.
Разность фаз слагаемых колебаний в точке Р будет равна:
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∆α = (ωt − kr1) − (ωt − kr2) = 2π
r2 − r1
.
λ
(6.3)
Как известно, амплитуда результирующего колебания зависит от разности
фаз слагаемых колебаний, причём, если разность фаз равна нулю или кратна 2π,
то амплитуда имеет максимальное значение, равное сумме амплитуд слагаемых
колебаний. Если разность фаз равна нечётному числу π, то амплитуда имеет
минимальное значение, равное разности слагаемых амплитуд. Следовательно, в
точке Р получится максимум или минимум колебаний в зависимости от того, с
какой разностью фаз ∆α подходит к точке Р оба колебания. Условие максимума
амплитуды в точке Р, по сказанному, имеет вид:
∆α = 2π
r2 − r1
= ± 2mπ,
λ
(6.4)
где m = 0, 1, 2, 3,..., откуда максимум колебаний имеет место при
r2 − r1 = mλ,
(6.5)
т.е. максимум амплитуды наблюдается в точках, для которых разность хода лучей равна нулю или целому числу длин волн.
Условие минимума амплитуды в точке Р сводится к требованию:
λ
r2 − r1 = (2m + 1) ,
2
(6.6)
т.е. минимум амплитуды наблюдается в точках, для которых разность хода лучей равна нечётному числу полуволн.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При разности фаз, имеющих промежуточные значения между ± 2mπ и
± (2m + 1)π, где m – целое число, имеет место некоторый средний эффект усиления или ослабления колебаний.
Таким образом, в результате наложения двух волн в среде возникают колебания, амплитуда которых различна в разных точках среды. При этом в каждой точке среды наблюдается или максимум амплитуды, или минимум амплитуды, или ее промежуточное значение – в зависимости от значения разности
расстояний точки до когерентных источников (S1 и S2).
Схему, приведённую на рисунке 10, можно использовать для наблюдения
интерференционной картины для волн любой природы – механических, акустических, электромагнитных (световых) и др. Для
световых волн реальный точечный источник света S
невозможно подобрать. В своём классическом опыте
(1802 г.) Юнг это затруднение решил следующим об-
S
S1
S2
разом. Источником света служила узкая ярко осве-
Р
щённая щель S, которая, согласно принципу Гюйгенса, становится новым источником полусферических
Рисунок 11
волн (рисунок 11). Эти волны падают на две узкие параллельные щели S1 и S2,
которые, в свою очередь, становятся источниками волн, перекрывающих в области Р. Так как щели S1 и S2 освещаются различными участками одного и того
же волнового фронта, то колебания в них совершаются в одинаковой фазе и с
одинаковыми амплитудами. Волны, исходящие из щелей S1 и S2, сходятся в каждой точке области Р, в которой наблюдается интерференционная картина (чередование светлых и тёмных полос).
Опыт Юнга явился первым убедительным доказательством того, что наложение света может образовать темноту. Наблюдение интерференции в опыте
Юнга послужило экспериментальным доказательством волновой природы света.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть точечные источники волн S1 и S2 расположены друг от друга на
расстоянии d (рисунок 12). Колебания в точках S1 и S2 совершаются в одной
фазе. Пусть результат интерференции волн наблюдается на экране DD′, расположенном от точек S1 и S2 на расстоя-
D
Р
нии L, большом по сравнению с d. ОпS1
ределим разность хода ∆, с которой
приходят волны в точку экрана Р, отстоящую от его середины С на рас-
ℓ
α
d
L
S2 ∆
стоянии ℓ. При условии, что d и ℓ мно-
Рисунок 12
го меньше L, приближённо получим:
∆
l
= ,
L
d
С
откуда
∆=
D′
l
d.
L
По условию (6.5) в точке Р будет светлая полоса, если
∆=
l
d = ± mλ,
L
(6.7)
и по условию (6.6) в точке Р будет тёмная полоса, если
∆=
l
λ
d = ± (2m + 1) .
L
2
(6.8)
Отсюда, светлые полосы располагаются на расстояниях, считая от середины экрана С, равных
λ
ℓ = ± m L,
d
(6.9)
где m = 0, 1, 2, 3,... Тёмные полосы расположены между светлыми. Расстояние между соседними светлыми или соседними тёмными полосами (ширина интерференционной полосы) ∆ℓ равно
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∆ℓ =
λ
L.
d
Положение светлых полос можно определить также углом α =
(6.10)
l
(рисуL
нок 12) по формуле (6.7):
λ
α=m .
d
(6.11)
Угловое расстояние между соседними светлыми (или тёмными) полосами
равно:
∆α =
λ
.
d
(6.12)
Из равенства (6.12) видно, что угловое расстояние между полосами определяется отношением λ/d, т.е. отношением длины волны λ к расстоянию между
источниками d. Это отношение λ/d не должно быть мало, так как в противном
случае интерференционные полосы расположатся на слишком малых угловых
расстояниях друг от друга. Опыт показывает, что надо брать весьма близкие источники S1 и S2, чтобы полосы отстояли друг от друга на заметных угловых
расстояниях. Так, ∆α = 10-3 (это соответствует расстоянию между полосами в
1 мм при L = 1 м), если отверстия S1 и S2 отстоят друг от друга на расстоянии
d = 1 мм. Так из формулы (6.12)
λ = ∆α⋅d,
(6.13)
то отсюда находим, что длина световых волн – величина очень малая, порядка
5⋅10-7 м.
При наблюдении в белом свете все полосы, кроме центральной, которой
соответствует m = 0, окрашены, причём число наблюдаемых полос невелико.
При наблюдении в свете какого-либо определённого цвета полосы имеют тот
же цвет и могут быть насчитаны в значительно большем числе. При наблюде42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нии в красном свете полосы располагаются на больших угловых расстояниях
∆α друг от друга, а при наблюдении в синем свете – на меньших. Отсюда следует, что свет различного цвета отличается друг от друга длиной волны: красные лучи имеют большую, а синие меньшую длину волны. Белый свет представляет собою смесь волн различных длин, т.е. лучей различных цветов. Измерения дают, что лучам различных цветов соответствуют приблизительно
приведённые в таблице 1 интервалы длин волн, выраженные в нанометрах.
Таблица 1
Цвет света
Приблизительный интервал длин волн λ в нм
Красный
760 – 630
Оранжевый
630 – 600
Жёлтый
600 – 570
Зелёный
570 – 500
Сине-зелёный
500 – 450
Синий
450 – 430
Фиолетовый
430 – 400
Лучи с длинами волн больше 760 нм и меньше 400 нм человеческий глаз
не воспринимает. Первые из них называются инфракрасными, вторые – ультрафиолетовыми. Свет какой-либо одной определённой длины волны называется
монохроматическим.
При белом свете полосы различных цветов при больших m перекрываются и дают равномерное освещение. Этим объясняется, что в белом свете наблюдаемых интерференционных полос ограничено.
Важно отметить, что в опыте Юнга отверстия S1, S2 и S должны быть малы. Только при малых размерах отверстия S за ним возникает правильный волновой фронт, представляющий собою часть сферы, что обеспечивает одинаковость фаз колебаний в отверстиях S1 и S2 и, следовательно, определённую разность хода между волнами, сходящимися в любой точке экрана Р. При отсутствии постоянной разности фаз усиления волн не происходили бы всё время в од43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
них и тех же местах и полосы размылись бы. При освещении экрана двумя независимыми источниками света в точках экрана не получится постоянных разностей хода, и интерференционные полосы не смогут возникнуть. Источники,
колеблющиеся в одинаковых фазах или с постоянной разностью фаз, называются когерентными. Только когерентные источники дают определённым образом
расположенные интерференционные полосы.
Два независимых источника света, например, две различные свечи или
электрические лампочки, не когерентны. Каждый из них состоит из огромного
числа атомов или молекул, являющихся независимыми элементарными излучателями. Между фазами, с которыми колеблются атомы обоих источников, нет
никаких постоянных соотношений. Поэтому колебания, исходящие от всех
атомов обоих источников, накладываясь друг на друга, дают в среднем равномерную освещённость. Тем не менее, можно осуществить различные схемы
опытов, в которых искусственно создаются когерентные источники света от
одного источника путём разделения света от одного источника на два пучка.
Одну из таких схем – метод Юнга мы уже рассмотрели.
§ 1.7 Поляризация света
Описанные выше явления интерференции в одинаковой степени могут
быть объяснены как допущением, что световые волны поперечны, так и допущением, что они продольны. Однако существуют
В
а
а)
А
а′
А
поперечными и продольными волнами. В поперечной волне, распространяющейся в направлении аа′
(рисунок 13а), все точки вещества совершают коле-
В
а
б)
процессы, в которых проявляется различие между
бания в определённой плоскости АВ. Следовательно,
а′
поперечная волна по отношению к различным плос-
костям, проведённым через направление ее распроРисунок 13
странения, обладает различными свойствами. В продольной волне колебания
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
совершаются вдоль направления распространения волны аа′, и ее свойства по
отношению к любой плоскости АВ (рисунок 13б), проведённой через направление ее распространения, одинаковы.
Свет, испускаемый большинством источников света, например, раскалёнными твёрдыми телами, непосредственно не обнаруживает таких свойств, которые выявляли бы поперечный характер его колебаний. Поперечность световых колебаний удаётся обнаружить лишь
А
после того, как свет испытает некоторые
n
изменения, например отражение от грани-
S
цы прозрачной среды. Пусть луч АВ (ри- 0 B
сунок 14) отражается в точке В от плоской
стеклянной поверхности S под углом α, а
α
n′
n
α
0′
а)
D
А
другой плоской стеклянной поверхности S′ S
поверхности S′ около оси 00′, совпадаю-
C
α
затем вторично отражается в точке С от
под тем же углом α. При поворачивании
S′
S′
С
B
Рисунок 14
б)
щей по направлению с падающим лучом ВС, угол падения α остаётся неизменным, а меняется лишь положение плоскости падения света на поверхность S′ по
отношению к плоскости падения на поверхность S. Опыт показывает, что интенсивность луча CD зависит от относительного положения обеих плоскостей
падения: луч CD имеет максимальную интенсивность, когда плоскости падения
параллельны друг другу (рисунок 14а), и минимальную интенсивность, когда
они взаимно перпендикулярны (рисунок 14б).
Таким образом, после первого отражения свет стал обнаруживать зависимость интенсивности отражённых лучей от ориентации плоскости падения.
Свет, обладающий таким свойством, носит название поляризованного света.
При определённом значении угла α луч вовсе не отражается от второй
пластинки, если плоскости падения на обе пластинки взаимно перпендикулярны. В этом случае свет называется полностью поляризованным. По закону, от45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
крытому Брюстером, свет полностью поляризуется при угле падения α, удовлетворяющему условию:
tgα = n,
(7.1)
где n − показатель преломления вещества, от поверхности которого происходит отражение.
Условлено считать свет, отражённый от прозрачной поверхности под углом,
удовлетворяющим закону Брюстера, поляризованным в плоскости падения.
Введя такое понятие о плоскости поляризации, можно сказать: поляризованные
лучи отражаются, когда плоскость поляризации перпендикулярна к плоскости
падения.
Указанные факты легко истолковываются, если допустить поперечность
световых волн. В световых волнах, испускаемых большинством источников
света, колебания не упорядочены – они совершаются в различных плоскостях.
Свет, представляющий собою такие колебания, называется естественным. В
частично поляризованном свете колебания совершаются преимущественно в
одной плоскости. В полностью поляризованном свете колебания совершаются
только в одной определённой плоскости, как это изображено на рисунке 13а.
Интенсивность, с которой отражаются волны от границы прозрачного вещества, зависит от того, какой угол составляет плоскость колебаний с плоскостью
падения.
Поскольку само по себе неясно, при каком уг-
А
ле между плоскостями колебания и падения волны
n1
отражаются с максимальной интенсивностью, по-
n2
стольку неясно, совпадает ли плоскость колебаний с
условно введённой выше плоскостью поляризации
n
α α
В
Рисунок 15
β
С
π/2
D
или нет. Этот вопрос может быть решён лишь на основании электромагнитной
теории света, на что нами будет указано в § 1.8.
Формулируя закон Брюстера, мы считали, что свет падает на границу
прозрачного вещества, граничащего с вакуумом, причём принимали во внима46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ние лишь отражённый луч. Рассмотрим теперь более подробно случай прохождения света через границу раздела двух веществ с показателями преломления n1
и n2. При падении луча АВ (рисунок 15) на границу раздела обоих веществ под
углом α возникают два луча: отражённый луч ВС и преломлённый BD. Последний образует с нормалью угол β, удовлетворяющий закону преломления:
n2
sinβ.
n1
sinα =
(7.2)
Пусть падающий луч АВ является естественным, т.е. в нём присутствуют
колебания любых направлений. Если угол падения удовлетворяет закону Брюстера, который теперь имеет вид:
tgα =
n2
,
n1
(7.3)
то преломлённый луч BD при этом частично поляризован в плоскости, перпендикулярной к плоскости падения. При естественном падающем луче преломлённый луч никогда не бывает полностью поляризован. Степень его поляризации максимальна при угле падения α, равном углу Брюстера.
При выполнении закона Брюстера из формулы (7.3) имеем
sinα =
n2
cosα.
n1
(7.4)
Подставляя это значение sinα в формулу преломления (7.2), получим
cosα = sinβ.
Так как углы α и β оба острые, то из последнего равенства следует:
47
(7.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
α+β=
π
,
2
(7.6)
откуда, в свою очередь, вытекает, что при падении света на границу двух прозрачных веществ под углом Брюстера отражённый и преломлённый лучи взаимно перпендикулярны.
§ 1.8 Электромагнитная природа света
Вопрос о природе света представляет собою одну из центральных проблем физической оптики. Исследования в этом направлении всегда лежали на
магистральном пути развития науки. Многие крупные открытия в области физики, так или иначе, связаны с попытками глубже понять, что такое свет.
К концу XIX в. физика располагала набором фактов, свидетельствующих
в пользу электромагнитной природы света. К их числу относятся опыты Фарадея, в которых наблюдалось влияние магнитного поля на распространение света в веществе, опыты Лебедева, в которых было измерено световое давление,
опыты Герца, в которых было доказано существование электромагнитных волн,
эксперименты по взаимодействию света с веществом.
Одним из первых аргументов в пользу электромагнитной природы света
было совпадение скорости электромагнитных волн, вычисленной Максвеллом,
со скоростью света. В 1849 г. Физо измерил скорость света и получил значение
315 000 км/с. В 1857 г. Вебер и Кольрауш измерили электродинамическую постоянную с, равную отношению электромагнитной и электростатической единиц заряда, и получили значение с = 310 800 км/с. В 1861 г. Максвелл вывел
систему уравнений для электромкагнитного поля, из которой вытекала возможность существования электромагнитных волн, причём скорость распространения волны определялась значением электродинамической постоянной. Максвелл обратил внимание на то, что найденное Вебером и Кольраушем значение
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
с весьма близко к скорости света, измеренной Физо. Это позволило ему заключить, что свет представляет собой электромагнитную волну.
Опыты Герца. Предсказанное Максвеллом существование электромагнитных волн нуждалось в экспериментальной проверке. Эту задачу решил
Герц, сумевший осуществить генерацию и приём электромагнитных волн и исследовавший их свойства.
В экспериментах с искровым разрядом мощной индукционной катушки
Герцу удалось получить сверхбыстрые колебания электрического тока (период
колебаний около 10-8 с). Продолжая опыты, Герц установил, что ток высокой
частоты в прямолинейном отрезке проводника способен вызвать аналогичный
ток в другом проводнике, удалённом от первого на некоторое расстояние. Так
были открыты электромагнитные волны.
В одном из опытов Герц использовал собственные электрические колебания вибратора, состоящего из двух одинаковых металлических стержней, разделённых искровым промежутком (рисунок 16). С помощью
К
индукционной катушки К обе
половины вибратора заряжались
Р
до высокого напряжения. Когда
М
разность потенциалов достигала
пробойного значения, в разряд-
Излучающий
вибратор
Рисунок 16
Приёмный
вибратор
нике Р проскакивала искра, замыкавшая обе половины вибратора, и в нём возникали затухающие электрические колебания высокой частоты. При этом вибратор испускал в пространство
электромагнитную волну. Появление волны регистрировалось по возникновению искры в микрометре М приёмного вибратора.
Чтобы доказать единую сущность световых и электромагнитных волн,
Герц попытался продемонстрировать отражение, преломление и поляризацию
электромагнитных волн. Используя параболические зеркала из цинковой жести,
Герц сумел сформировать пучок электромагнитных волн, подобный оптиче49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
скому. При помощи изготовленной из твёрдой смолы призмы высотой 1,5 м и
весом 1,2 т он добился отклонения пучка электромагнитных волн, соответствующего преломлению световых лучей в стеклянной призме. Наконец, он смог
убедиться и в поляризации электромагнитных волн при помощи проволочной
сетки. Подводя итог своим исследованиям, выполненным в 1886-1889 годах,
Герц написал: ″…мне представляется весьма вероятным, что описанные опыты
доказывают идентичность света, тепловых лучей и электродинамического волнового движения″.
Таким образом, единая сущность света и электричества была подтверждена экспериментально. Оптика могла быть теперь включена в электродинамику так же, как акустика давно уже вошла в механику.
Шкала электромагнитных волн. Рисунок 17 показывает место оптического диапазона на шкале электромагнитных волн. Этот диапазон простирается
от 0,4 до 0,7 мкм по длине волны и от 4⋅1014 до 7,5⋅1014 Гц по частоте.
Электромагнитные волны, возникающие около электрических вибраторов, и световые волны различаются лишь по длине. Электромагнитные волны
имеют длину порядка метров, световые волны – порядка 5⋅10-5 см. Электромагнитные волны большой длины волны возникают при колебаниях электрических
зарядов в макроскопических телах, световые волны – при колебаниях электронов внутри атомов и молекул.
Рентгеновские лучи испускаются твёрдыми телами при ударе о них потока быстрых электронов. Наиболее распространённым источником рентгеновского излучения является рентгеновская трубка, в которой сильно ускоренные
электрическим полем электроны бомбардируют анод (металлическая мишень
из тяжелых металлов, например, вольфрама или платины), испытывая на нём
резкое торможение. При этом возникает рентгеновское излучение, представляющее собой электромагнитные волны с длиной волны примерно 10-10−10-6 см.
При процессах, происходящих внутри атомных ядер, а также при торможении очень быстрых электронов испускаются так называемые γ-лучи с длинами волн от 10-9 см и ниже.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнения
Частота в
герцах
Рентгеновские лучи 1018
17
10
Длина волны
в сантиметрах
1015
Видимый
свет
1014
1013
1012
1011
10
10
Система уравнений для электромагнитного поля была выведена
10-8
Максвеллом (см., например, Чакак
10-7
А.А., Курс физики. Электричество
10-6
1016
Максвелла.
10-5
10-3
10
-2
10
-1
Фиолетовый
Синий
Голубой
Зелёный
Жёлтый
Оранжевый
Красный
и магнетизм, Оренбург: ГОУ ОГУ,
2009. – 317 с., § 8.42) в середине
XIX в. путём обобщения данных,
полученных в опытах с электрическими зарядами, токами и магнитами. Дальнейшие исследования
показали, что уравнения Максвел-
100
ла имеют очень глубокое физиче-
101
ское содержание, далеко выходя-
Радио- 109
102
волны
108
Рисунок 17
щее за рамки тех фактов и представлений, на основе которых были получены уравнения. Оказа-
лось, что эти уравнения удовлетворяют условию релятивистской инвариантности, хорошо описывают быстропеременное электромагнитное поле, включая
световые волны, могут быть положены в основу теории излучения электромагнитных волн движущимися зарядами и теории взаимодействия света и вещества.
Электромагнитная волна характеризуется колебанием двух векторов: вектора напряжённости электрического поля Е и вектора магнитной индукции В.
Оба вектора в плоской волне изменяются во взаимно перпендикулярных плоскостях в одинаковой фазе, т.е. одновременно достигают максимальных и нулевых значений. Скорость распространения волны v перпендикулярна к направлениям обоих векторов Е и В.
На рисунке 18 колебания вектора Е, изображённые сплошной линией,
происходят в плоскости x0z, колебания вектора В, изображённые пунктирной
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
линией, происходят в плоскости y0z, волна распространяется в направлении
положительной оси 0z.
Электромагнитная теория света показывает, что при отражении лучей под
углом Брюстера в отражённом луче вектор напряжённости электрического поля
Е колеблется в плоскости, перпендикулярной плоскости падения; вектор магнитной индукции В колеблется в плоскости падения. В § 1.7 было указано, что
луч, отражённый под углом Брюстера, условно считается поляризованным в
плоскости падения. Таким образом, оказывается, что в поляризованной волне
вектор напряжённости элекx
трического поля Е колеб-
Е
лется в плоскости, перпендикулярной к плоскости поляризации; вектор магнит- y
ной индукции В колеблется
z
0
v
В
Рисунок 18
в плоскости поляризации.
Из опытов было установлено, что фотохимическое действие света в фотографическом слое вызывается колебаниями вектор напряжённости электрического поля Е; то же относится и к другим действиям света – люминесценции,
фотоэффекту и физиологическим действиям. По этой причине вектор Е часто
называют «световым вектором».
Вектор напряжённости электрического поля Е и вектор магнитной индукции В на границе раздела двух веществ подчиняются различным пограничным
условиям. Это ведёт к тому, что при образовании стоячих волн в результате отражения от металлического зеркала пучности вектора напряжённости электрического поля совпадают с узлами вектора магнитной индукции и наоборот. На
поверхности зеркала вектор Е имеет узел (это означает, что при отражении света от зеркала фаза волны Е изменяется на π), а вектор В – пучность.
Опыты со стоячими волнами, получаемыми в поляризованном свете, позволяют непосредственно проверить, что вектор Е в световой волне колеблется
перпендикулярно к плоскости поляризации. Эти опыты заключаются в сле52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дующем: свет, поляризованный в плоскости падения, отражается под углом 450
от металлической зеркальной поверхности. Так как вектор Е в данном случае
колеблется в плоскости, перпендикулярной к плоскости падения, то в падающей и отражённой волнах колебания вектора напряжённости электрического
поля Е происходят параллельно друг другу. Поэтому они интерферируют и образуют стоячие волны, которые в действительности и наблюдаются. Если бы
вектор Е колебался в плоскости поляризации, то направления колебаний в падающей и отражённой волнах в данном случае были бы взаимно перпендикулярны и интерференция не имела бы места, − стоячие волны не возникли бы.
Длины волн, испускаемых атомами и молекулами, не ограничиваются интервалом от 0,7 мкм до 0,4 мкм, в пределах которого волны способны действовать на наш глаз и вызывать субъективное зрительное ощущение. Раскалённые
тела, газы, светящиеся под влиянием электрического разряда, и другие источники света одновременно испускают волны длин и больших чем 0,7 мкм и
меньших чем 0,4 мкм. Также современные методы возбуждения (генерирования) электромагнитных волн с помощью макроскопических вибраторов позволяют получить волны с длинами, лежащими в весьма большом диапазоне. Наконец, существуют методы возбуждения электромагнитных волн, значительно
более коротких, чем световые.
§ 1.9 Плотность потока энергии и импульса электромагнитных волн.
Давление света
Световые волны переносят энергию, которую они берут от источника света, и отдают тому телу, которое их поглощает. Потоком световой энергии через
какую-либо площадку называется количество энергии, переносимое светом через эту площадку за единицу времени. Таким образом, поток энергии имеет
размерность мощности и может измеряться в джоулях в секунду, в ваттах и т.д.
Измерение потока световой энергии в абсолютной мере схематически может
быть проведено следующим образом. Световая энергия через отверстие S (ри53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сунок 19) попадает внутрь почти замкнутого сосуда А с поглощающими стенками. При малых размерах отверстия S свет поглощается внутри сосуда А
практически весь, независимо от длины волны, так как обратно из отверстия S
выйдет лишь ничтожная его часть. В результате поглощения световой энергии
стенки сосуда начнут нагреваться. При постоянных условиях теплоотдачи, в
конце концов, установится термическое равновесие. Этому равновесию будет
соответствовать определённая температура Т, которая измеряется термометром
а. После того как температура Т измерена, доступ световой энергии в сосуд А
прекращается и при тех же условиях теплоотдачи сосуд подогревается электрическим током, протекающим по спирали С. Сила тока подбирается такая, чтобы
температура Т осталась прежней. Очевидно, это
произойдёт при условии, что мощность, разви-
a
ваемая в спирали электрическим током, равна
мощности светового потока. Так как мощность
электрического тока может быть измерена в аб-
S
C
солютной мере по силе тока и сопротивлению
проводника, то и поток световой энергии, таким
образом, окажется измеренным в абсолютной
Рисунок 19
A
мере.
Человеческий глаз способен воспринимать чрезвычайно малые мощности.
При условии максимальной чувствительности глаза достаточно падения на
площадь зрачка потока мощностью 2⋅10-16 Вт, чтобы возникло зрительное
ощущение. Описанный способ измерения мощности света по нагреву гораздо
менее чувствителен и позволяет измерять лишь значительно более мощные потоки. Существуют другие более чувствительные методы объективной регистрации и измерения светового потока, но преимущество описанного теплового
метода заключается в возможности абсолютных измерений и в его одинаковой
пригодности для света любой длины волны.
Электромагнитная теория света показывает, что свет оказывает давление
на поверхность, которая его отражает или поглощает. К этому же выводу мож54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
но прийти, учитывая, что световой поток обладает не только энергией, но и импульсом.
Плотность потока энергии − физическая величина, численно равная
потоку энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению
потока. Часто вводят также вектор плотности потока энергии (так называемый
вектор Умова), величина которого равна плотности потока энергии, а направление совпадает с направлением потока. В электродинамике вектор плотности
потока энергии электромагнитного поля носит название вектора Пойнтинга:
S = Е×Н,
(9.1)
модуль которого в случае плоской волны может быть представлен в виде
S = S = Е×Н = Е⋅Н= ЕВ/µ0 = (1/µ0с)Е2,
(9.2)
где Е – напряжённость электрического поля,
Н – напряжённость магнитного поля,
В – магнитная индукция,
µ0 – магнитная постоянная,
с – скорость света в вакууме.
В (9.2) учтено следующее соотношение между напряжённостью электрического
поля и магнитной индукцией плоской волны в вакууме
Е = сВ.
(9.3)
Принимая во внимание, что 1/µ0 = ε0с2, запишем соотношение (9.2) в форме
S = сε0Е2,
где ε0 − электрическая постоянная.
55
(9.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В (9.1) − (9.4) входят мгновенные значения величин. Однако векторы
электромагнитной волны светового диапазона колеблются с частотами порядка
1015 Гц, поэтому нельзя следить за изменением величин по времени. Можно наблюдать и измерять лишь средние значения величин по очень большому числу
периодов колебаний. Поэтому от мгновенных величин необходимо перейти к
средним.
Учитывая, что E = E0cosωt, где Е0 − амплитуда напряжённости электрического поля волны, находим среднюю по времени плотность потока энергии:
S = сε0Е02 cos 2 ωt =
1
сε0Е02.
2
(9.5)
Распределение плотности потока по сечению пучка. Обычно в эксперименте используют пучки света конечного поперечного сечения, по которому
плотность потока распределена неравномерно. Мощность потока энергии в
пучке по определению равна:
Р=
∫
S ⋅ dσ ,
(9.6)
σ
где σ − площадь поперечного сечения пучка, перпендикулярного направлению распространения света.
Поскольку поперечные размеры пучка бывают обычно порядка 1 мм − 1 см, т.е.
r0 ≈ 103 − 104 мкм, а длина волны λ имеет порядок 1 мкм, заключаем, что λ/r0 ≈
10-3 − 10-4. Следовательно, дифракционные эффекты (см. § 2.16) в пучках малы
и для расчёта плотности энергии можно использовать формулы для плоских
электромагнитных волн.
Гауссов пучок. Чаще всего пучок имеет круговое сечение, распределение
плотности энергии по которому аксиально-симметричное и гауссово. Такой пучок называется гауссовым. Амплитуды плоских электромагнитных волн, составляющих пучок, распределены по закону
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
E0(r) = A0exp(-r2/(2r02)),
(9.7)
где А0 − постоянная, равная амплитуде волн в центре пучка (r = 0);
r – расстояние от центра.
Средняя плотность потока энергии равна:
S=
1
ε0А02exp(-r2/r02) = S0exp(-r2/r02),
2
(9.8)
где S0 = ε0А02/2 – средняя плотность энергии в центре пучка.
Для упрощения написания черты над величинами здесь не выписываются.
Мощность потока энергии в пучке в соответствии с (9.6) равна:
∞
P = S0 ∫ e −r
2
/ r0 2
2πrdr = S0πr02.
(9.9)
0
Фактически плотность энергии в гауссовом пучке распределена по экспоненциальному закону (9.8). На расстоянии r0 она убывает в е = 2,7 раза. По
обычной договорённости об обращении с экспоненциально убывающими величинами можно сказать, что радиус пучка равен r0. В соответствии с (9.9) для
оценочных расчётов полагают, что вся энергия пучка сосредоточена в пределах
кругового сечения радиусом r0, а плотность по сечению постоянна и равна
плотности в центре пучка. Гауссово распределение плотности потока и эффективное распределение показаны на рисунке 20 соответственно сплошной и
штрихованной линией. Такой подход обычно обобщается и на другие, не гауссовы пучки. Мощность потока энергии пучка представляется в виде
P = Sэфπrэф2,
где Sэф – эффективная плотность потока энергии в пучке,
57
(9.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
rэф – его эффективный радиус.
Если импульс света имеет энергию W, то его эффективная длительность τэф
связана с мощностью потока энергии в импульсе соотношением
W = Pτэф.
(9.11)
S
S0
В настоящее время с помощью лазеров получены громадные плотности потока энергии, порядка S ∼ 1020 Вт/м2. Это означает (см. (9.4)), что
напряжённости электрического поля в волне имеют порядок Е ≈ 109 В/м, т.е. достигают значений,
0
r0
Рисунок 20
r
характерных для внутриатомных полей. Длительность импульса τ = 10-12 с и менее.
Плотность импульса электромагнитной волны. Электромагнитная
волна обладает не только энергией, но и импульсом. Плотность импульса G
электромагнитной волны связана с плотностью потока энергии S в ней соотношением:
G = S/c2.
(9.12)
Давление света. При поглощении или отражении света телом последнему по закону сохранения сообщается некоторый импульс, равный разности импульсов пучка света до и после поглощения или отражения. В результате на тело действует соответствующая сила и возникает световое давление. Идея о существовании давления света была высказана ещё Кеплером для объяснения отклонения хвостов комет от Солнца. Однако эта идея вызывала много споров,
поскольку доказать существование светового давления долго не удавалось.
Сторонники волновой теории долго считали, что световое давление не существует, а отсутствие экспериментального доказательства наличия светового давления выдвигали в качестве аргумента против корпускулярной теории, согласно которой световое давление, безусловно, должно существовать. Однако элек58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тромагнитная теория света предсказывает существование светового давления.
Если электромагнитная волна падает нормально на плоскую поверхность твёрдого тела и полностью поглощается им, то в 1 с на 1 м2 поверхности тела в соответствии с (9.12) передаётся импульс G и, следовательно, световое давление
равно:
P = cG = S/c.
(9.13)
При полном отражении поверхности тела передаётся импульс, в два раза
больший, и, следовательно, в два раза больше давление. Можно подсчитать
давление при частичном поглощении потока энергии. Если плотность потока
поглощаемой энергии равна Sпог = αS, то по закону сохранения энергии плотность потока отражаемой энергии Sотр = (1 − α)S и, следовательно, давление
может быть представлено в виде P = αS/c + 2(1 − α)S/с = (2 − α)S/с. При падении потока энергии под углом к нормали необходимо принять во внимание
лишь нормальную составляющую плотности потока энергии. Световое давление в обычных условиях очень мало. Например, на земной орбите плотность
потока солнечного излучения составляет примерно S = 1400 Вт/м2, поэтому Р =
1400/(3⋅108) Па = 0,5⋅10-5 Па. Учитывая, что атмосферное давление составляет
около 105 Па, находим, что световое давление Земли примерно 1010 раз меньше
атмосферного. Поэтому обнаружить его было очень трудно. Первый шаг в правильном направлении сделал У. Крукс (1832-1919). Он использовал крутильные
весы, лепестки которых облучались светом. По закручиванию нити можно было
судить о действующей на лепестки силе. Однако из-за так называемого радиометрического эффекта, вызываемого нагреванием остатков газа у поверхности
лепестков, ему не удалось измерить световое давление. Это впервые удалось
сделать П.Н. Лебедеву (1886-1912) в 1900 г. Радиометрические силы были им
уменьшены в результате создания глубокого вакуума в сосуде, в котором находились крутильные весы. Благодаря этому сила светового давления стала играть доминирующую роль в закручивании нити крутильных весов и была измерена.
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экспериментальная проверка достоверности исключения радиометрических сил состоит в следующем. Если поверхность, на которую направляется
луч, отражающая, то давление света на нее в два раза больше, чем, если бы она
была полностью поглощающей, а радиометрическое действие меньше. Если же
поверхность полностью поглощает излучение, то световое давление на нее в
два раза меньше, чем давление на полностью отражающую поверхность, а радиометрические силы – больше. П.Н. Лебедев действительно наблюдал этот
эффект увеличения в два раза светового давления при освещении отражающего
крылышка крутильных весов по сравнению с освещением поглощающего (чёрного) крылышка, что и доказывает исключение радиометрического действия.
Световое давление является проявлением объёмной плотности импульса у
волны и закона сохранения импульса при взаимодействии волны с веществом.
Действие светового давления на малые частицы. Световое давление
пропорционально площади, т.е. квадрату линейных размеров частицы, а масса
частицы пропорциональна объёму, т.е. кубу линейных размеров. Это означает,
что при фиксированной плотности сила, возникающая за счёт светового давления и приходящаяся на единицу массы, изменяется обратно пропорционально
линейным размерам частицы, т.е. растёт с уменьшением ее размеров. Пусть,
например, у шарообразной частицы ρ = 103 кг/м3, r = 10-5 м. Масса частицы m =
4 3
πr ρ = 4⋅10-12 кг. При потоке S = 1400 Вт/м2 солнечного излучения на орбите
3
Земли световое давления Р= S/c = 0,5 мкПа и поэтому сила, действующая на
полностью поглощающую излучение частицу, F = Pπr2 = 1,5⋅10-15 Н. Она сообщает частице ускорение a = F/m = 0,4⋅10-3 м/с2. Это большое ускорение. Ускорение, сообщаемое Солнцем частице на орбите Земли, равно аС = v2/R =
[(30⋅103)2/(15⋅1010)] м/с2 = 0,6⋅10-2 м/с2, т.е. примерно в (аС/а) ≈ 15 раз больше ускорения вследствие светового давления. Для частицы с меньшими в 15 раз линейными размерами сила, обусловленная световым давлением, примерно уравновесит силу притяжения Солнца. Поскольку как плотность потока излучения,
так и сила тяжести убывают с расстоянием по одному и тому же закону (обрат60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
но пропорционально квадрату расстояния от Солнца), сила притяжения Солнца
и сила за счёт светового давления равны друг другу по абсолютному значению
для всех расстояний, и поэтому такая частица в поле тяготения Солнца движется так, как будто это поле отсутствует. Наиболее наглядным проявлением светового давления является ориентировка хвостов комет при их прохождении
вблизи Солнца («вблизи» − в астрономическом масштабе расстояний).
Лазерный термояд. Этим термином обозначается идея осуществления
управляемого термоядерного синтеза с помощью лазерного излучения. Для этого необходимо добиться сближения лёгких ядер (дейтерия, трития) на столь
малое расстояние, чтобы между ними произошла ядерная реакция слияния. Но
для сближения необходимо преодолеть кулоновскую силу отталкивания положительно заряженных ядер. Для этого им необходимо сообщить достаточно
большую кинетическую энергию (нагреть вещество).
Идея лазерного термояда состоит в следующем. Предположим, что на небольшой шарик, содержащий ядерное горючее (ядра дейтерия, трития), одновременно со всех сторон направляются мощные короткие импульсы лазерного излучения (рисунок 21, зигзагообразные стрелки).
Энергия и импульс этого излучения передаются веществу в поверхностном слое шарика, он нагревается и приобретает направленное движение к центру. Энергия и им-
Рисунок 21
пульс этого вещества передаются внутренней части шарика, которая сильно
сжимается и нагревается. Частицы верхних слоёв шарика приобретают скорость от центра шарика (как бы «испаряются» с поверхности). Таким образом,
вещество внутренней области шарика очень сильно сжимается, что сопровождается огромным повышением температуры, а вещество внешних слоёв шарика
разлетается с очень большими скоростями (рисунок 21, прямые стрелки). Если
плотность и температура сжатого вещества шарика достигнут необходимых для
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
осуществления ядерной реакции значений, то произойдёт небольшой термоядерный взрыв, вроде взрыва маленькой водородной бомбы. Выделенная при
этом энергия превращается в основном в кинетическую энергию продуктов
ядерной реакции слияния, которая, в принципе, может быть преобразована в
другие формы энергии и целесообразно использована.
Для осуществления термоядерной реакции вещество шарика необходимо
сжать в несколько сотен раз, а температуру поднять на много десятков миллионов градусов. Это можно сделать лишь с помощью очень мощных лазерных
импульсов излучения.
Однако схема осуществления ядерного термояда проста лишь в принципе.
Ее техническое осуществление чрезвычайно сложно и требует глубоких научных исследований. Оказалось, что процесс сжатия и нагревания вещества шариков очень сложен и зависит от многих факторов. Далее задача усложняется
тем, что осуществление миниатюрного термоядерного взрыва шариков ещё не
означает овладения управляемой термоядерной реакцией. Необходимо, чтобы
общий энергетический баланс работы установки был положителен, т.е. чтобы
получаемая в результате работы установки энергия в форме, пригодной для использования, была больше энергии, необходимой для функционирования установки.
Контрольные вопросы
1 Каковы основные положения и выводы корпускулярной и волновой
теорий света? Почему возникло представление о двойственной корпускулярноволновой природе света?
2 Назовите основные свойства света и охарактеризуйте их.
3 В чём заключается физический смысл абсолютного показателя преломления среды? Что такое относительный показатель преломления?
4 В чём заключается принцип обратимости (взаимности) световых лучей?
5 При каком условии наблюдается полное отражение?
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6 В чём заключается принцип работы световодов?
7 Что такое оптическая длина пути?
8 В чём заключается принцип Ферма?
9 Опишите первые опыты по измерению скорости света.
10 Используя принцип Гюйгенса, установите соотношение между показателями преломления и скоростями распространения света в различных средах.
11 Что такое когерентные и некогерентные электромагнитные волны?
Приведите примеры.
12 Объясните, почему в опыте Юнга чёткость интерференционных полос
не ухудшается, если заменить точечные отверстия длинными узкими параллельными щелями.
13 Почему интерференцию можно наблюдать от двух лазеров и нельзя от
двух электроламп?
14 Два когерентных световых пучка с оптической разностью хода ∆ =
3
λ
2
интерферируют в некоторой точке. Максимум или минимум наблюдается в
этой точке? Почему?
15 Как изменится интерференционная картина в опыте Юнга (см. рисунок
11), если эту систему поместить в воду?
16 Будут ли отличаться интерференционные картины от двух узких близлежащих параллельных щелей при освещении их монохроматическим и белым
светом? Почему?
17 Что называется естественным светом? плоскополяризованным светом?
19 Чем замечателен угол Брюстера? Покажите, что при выполнении закона Брюстера отражённый и преломлённый лучи взаимно перпендикулярны.
Тесты
1. Два полупрозрачных зеркала расположены параллельно друг другу. На
них (перпендикулярно плоскостям этих зеркал) падает световая волна длиной
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
600 нм. Чему должно быть равно минимальное расстояние между зеркалами,
чтобы наблюдался первый минимум при интерференции отраженных световых
волн?
А) 600 нм
В) 300 нм
С) 150 нм
Д) 900 нм
Е) 1 200 нм
2. Высота Солнца над горизонтом составляет 460. Чтобы отраженные от
плоского зеркала солнечные лучи пошли вертикально вниз, угол падения световых лучей на зеркало должен быть равен …
А) 220
В) 440
С) 460
Д) 680
Е) 230
3. Чему равна разность фаз двух интерферирующих световых волн с длиной волны λ = 5⋅10−7 м, если разность хода между ними равна 3,75⋅10−7 м?
А) 1500
В) 1800
С) 2100
Д) 2400
Е) 2700
4. Два взаимно перпендикулярных луча падают из воздуха на поверхность
жидкости. Если при этом один луч преломляется под углом α = 360, а другой
под углом β = 200, то показатель преломления жидкости равен
А) 1,6
В) 1,4
С) 1,3
Д) 1,7
Е) 1,5
5. Человек ростом h = 1,75 м находится от столба высотой Н = 7 м на расстоянии L = 6 м. На каком расстоянии ℓ от себя человек должен положить горизонтально на землю зеркало, чтобы увидеть в нем верхушку столба?
А) 1,75 м
В) 1,5 м
С) 1,4 м
64
Д) 1,2 м
Е) 1,0 м
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Определите угол отклонения луча стеклянной призмой, преломляющий
угол которой 20, если угол падения луча на переднюю грань призмы равен нулю. Показатель преломления стекла 1,5.
А) 40
В) 30
С) 20
Д) 10
Е) 0,670
7. Точечный источник света находится на дне сосуда с жидкостью, показатель преломления которой n = 1,5. Во сколько раз максимальное время, затрачиваемое светом для похождения слоя жидкости с последующим выходом в
воздух, больше минимального времени?
А) 1,23
В) 1,34
С) 1,5
Д) 1,65
Е) 1,8
8. Луч света падает на границу раздела двух сред под углом 300. Показатель преломления первой среды n1 = 2,4. Определите показатель преломления
n2 второй среды, если известно, что отраженный и преломленный лучи перпендикулярны друг другу.
А) 1,2
В) 1,3
С) 1,4
Д) 1,5
Е) 1,6
9. Зеркальный гальванометр расположен на расстоянии R = 2 м от шкалы.
На какой угол повернулось зеркальце, если ″зайчик″ сместился от центра шкалы на 50 см?
А) 280
В) 14,50
С) 140
Д) 210
Е) 70
10. На поверхности озера находится круглый плот, радиус которого равен
8 м. Глубина озера 2 м. Определите радиус полной тени от плота на дне озера
при освещении воды рассеянным светом. Показатель преломления воды 4/3.
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А) 5,53 м
В) 5,73 м
С) 5,93 м
Д) 6,13 м
Е) 6,33 м
11. Скорость распространения света в одной среде 2,25⋅105 км/с, во второй
2⋅105 км/с. Луч света падает на поверхность раздела этих сред под углом 300 и
переходит во вторую среду. Определите угол преломления.
А) 280
В) 260
С) 240
Д) 320
Е) 340
12. На плоскопараллельную стеклянную пластинку падает луч света под
углом 600. Показатель преломления стекла 1,73. Часть света отражается, а
часть, преломляясь, проходит в стекло, отражается от нижней поверхности пластинки и, преломляясь вторично, выходит обратно в воздух параллельно первому отраженному лучу. Расстояние между этими лучами 5,8 мм. Определите
толщину пластинки.
А) 0,6 см
В) 0,8 см
С) 1 см
Д) 1,7 см
Е) 1,4 см
13. Интерференцией волн называется явление
А) происходящее при суперпозиции когерентных волн и состоящее в перераспределении энергии колебаний по волновому фронту, в результате чего в
пространстве образуется устойчивая картина чередования областей усиленных
и ослабленных колебаний
В) отклонения волн от первоначального направления распространения и
огибания волнами препятствий, размеры которых соизмеримы с длиной волны
С) ориентации колебаний в поперечной волне в определенных направлениях
Д) нет верного ответа
14. Дифракцией волн называется явление
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А) происходящее при суперпозиции когерентных волн и состоящее в перераспределении энергии колебаний по волновому фронту, в результате чего в
пространстве образуется устойчивая картина чередования областей усиленных
и ослабленных колебаний
В) отклонения волн от первоначального направления распространения и
огибания волнами препятствий, размеры которых соизмеримы с длиной волны
С) ориентации колебаний в поперечной волне в определенных направлениях
Д) нет верного ответа
15. Длина волны фиолетовых лучей света в воздухе 400 нм. Какова длина
волны этих лучей в воде?
А) λ = 201 нм
В) λ = 301 нм
С) λ = 401 нм
Д) λ = 501 нм
Е) λ = 601 нм
16. При переходе желтого света из вакуума (λ0 = 0,589 мкм) в жидкость
длина его волны уменьшается на 0,147 мкм. Определить абсолютный показатель преломления жидкости.
А) n = 1,1
В) n = 1,3
С) n = 1,6
Д) n = 1,5
17. Солнечный свет, освещая капли росы на листьях, заставляет их переливаться всеми цветами радуги. Какое физическое явление при этом наблюдается?
А) фотоэффект
С) дисперсия
В) поляризация
Д) дифракция
Е) интерференция
18. Нормальное падение лучей монохроматического света означает:
А) угол падения 900, свет одноцветный
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В) угол падения 00, свет белый,
С) угол падения 00, свет одноцветный, λ = const
Д) угол падения 900, свет белый;
Е) угол падения 300, свет белый.
19. Поляризацией волн называется явление
А) происходящее при суперпозиции когерентных волн и состоящее в перераспределении энергии колебаний по волновому фронту, в результате чего в
пространстве образуется устойчивая картина чередования областей усиленных
и ослабленных колебаний
В) отклонения волн от первоначального направления распространения и
огибания волнами препятствий, размеры которых соизмеримы с длиной волны
С) ориентации колебаний в поперечной волне в определенных направлениях
Д) нет верного ответа
20. Если на пути одного из двух интерферирующих лучей поставить синюю тонкую пластинку, а на пути второго – красную, то…
А) Интерференционная картина будет представлять чередование красных
и синих полос
В) Интерференционная картина будет представлять чередование фиолетовых полос
С) Интерференционная картина будет представлять чередование красных,
черных, синих полос
Д) Интерференционной картины не будет
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Упражнения для самоконтроля
1.1. На плоскопараллельную стеклянную пластинку (n = 1,5) толщиной
6 см падает под углом 350 луч света. Определить боковое смещение луча,
прошедшего сквозь эту пластинку. [1,41 см]
1.2. Определить, какую длину пути S1 пройдет фронт волны монохроматического света в вакууме за то же время, за которое он проходит путь S2 =
1,5 мм в стекле с показателем преломления n2 = 1,5. [2,25 мм]
1.3. В опыте Юнга щели, расположенные на расстоянии 0,3 мм, освещались монохроматическим светом с длиной волны 0,6 мкм. Определить расстояние от щелей до экрана, если ширина интерференционных полос равна 1 мм.
[0,5 мм]
1.4. Предельный угол полного отражения для пучка света на границе кристалла каменной соли с воздухом равен 40,50. Определить угол Брюстера при
падении света из воздуха на поверхность этого кристалла. [570]
1.5. При каком значении угла падения α луч, отражённый от поверхности
прозрачного диэлектрика, будет перпендикулярен преломлённому лучу, если
показатель преломления диэлектрика равен n? [tgα = n]
1.6. Показать, что при преломлении в призме с малым преломляющим
углом α луч отклоняется от своего первоначального направления на угол α =
(n - 1)α независимо от угла падения, если он также мал. Показатель преломления призмы равен n.
1.7. На плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной d = 1 см
падает луч света под углом α = 600. Показатель преломления стекла n = 1,73.
Часть света отражается, а часть, преломляясь, проходит в стекло, отражается от
нижней поверхности пластинки и, преломляясь вторично, выходит обратно в
воздух параллельно первому отражённому лучу. Найдите расстояние ℓ между
лучами. [0,58 см]
1.8. В опыте Физо по определению скорости света расстояние между колесом, имеющим N = 720 зубцов, и зеркалом было ℓ = 8 633 м. Свет исчез в
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
первый раз при частоте вращения зубчатого колеса ν = 12,67 с-1. Какое значение
скорости света получил Физо? [315 000 км/с]
1.9. Вертикальный шест высотой 1 м, поставленный недалеко от уличного
фонаря, отбрасывает тень длиной 80 см. Если расстояние между фонарным
столбом и шестом увеличить на 1,5 м. то длина тени возрастает до 1,3 м. На какой высоте h находится фонарь? [4 м]
Глава 2 Интерференция и дифракция света
В этой главе рассказано о физических явлениях, обусловленных волновой
природой света.
Два световых пучка, складываясь, могут образовать темноту! Это удивительное явление, открытое Юнгом в 1801 году, получило название интерференции света. Объяснить интерференцию удаётся только на основе представления
о свете как о волне. Так, задолго до открытия электромагнитной природы света
было установлено, что свет представляет собой волну.
Условием наблюдения дифракционной картины является когерентность
волн, т.е. равенство их частот (длин волн) и сохранение неизменной разности
фаз за время, достаточное для наблюдения. В частности, монохроматические
волны, т.е. волны, порождаемые гармоническими колебаниями, когерентны. С
точки зрения структуры света, когерентность – это близость света к идеальной
гармонической волне.
Дифракция света – в узком, но наиболее употребительном смысле - огибание лучами света границы непрозрачных тел (экранов), проникновение света
в область геометрической тени. Одно из проявлений дифракции – так называемое ″пятно Пуассона″ − светлая точка в центре области геометрической тени,
наблюдаемая при освещении непрозрачного диска когерентной световой волной. Другой пример, − дифракция лазерного луча на дифракционной решётке
(системе щелей в непрозрачном экране), когда прошедший свет образует яркий
″веер″ лучей, распространяющихся в различных направлениях.
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дифракция света как волновое явление, исчезающее в пределе λ→0, зависит от длины волны λ. Красный свет сильнее дифрагирует (сильнее отклоняется
границами тел), чем фиолетовый, т.е. разложение белого света в спектр, вызванный дифракцией, имеет обратную последовательность цветов по сравнению с последовательностью, получающейся при разложении света в призме.
Условием наблюдения дифракционной картины является когерентность
волн, т.е. равенство их частот (длин волн) и сохранение неизменной разности
фаз за время, достаточное для наблюдения. В частности, монохроматические
волны, т.е. волны, порождаемые гармоническими колебаниями, когерентны.
Интерференция и дифракция, физические явления, заключающиеся в перераспределении световой энергии в результате суперпозиции (наложения)
волн. Различие между ними связано с историческими причинами: интерференция возникает в результате суперпозиции конечного числа дискретных когерентных волн, в результате чего в одних местах пространства возникают максимумы, а в других − минимумы интенсивности, а дифракция − в результате
суперпозиции (бесконечного числа) волн, возбуждаемых источниками, расположенными непрерывно.
Интерференция, дифракция, когерентность света чрезвычайно важны в
таких процессах как передача оптической энергии на расстояние, концентрация
светового поля в пространстве, формирование оптического изображения. На
основе интерференции работают оптические приборы, позволяющие анализировать спектральный состав света – дифракционные решётки и многолучевые
интерферометры. Эти же приборы позволяют очень точно измерить длину световой волны. Дифракция рентгеновских лучей позволяет исследовать структуру
кристаллов и сложных молекул.
Ясное понимание физики интерференции и дифракции света позволило
реализовать новый способ записи световых полей – голографию. Принципиальное отличие этого способа от фотографической регистрации состоит в том,
что записывается не само световое поле, отражённое объектом, а картина интерференции этого поля с когерентной опорной световой волной. При этом
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
удаётся сохранить информацию не только о пространственном распределении
интенсивности света, но и о распределении фазы колебаний в световом поле.
Практическая голография стала возможной после создания источника когерентного оптического излучения – лазера.
§ 2.10 Методы наблюдения интерференции света
В предыдущей главе было указано, что световые волны представляют собой электромагнитные колебания. Однако для объяснения основных явлений
интерференции и дифракции света достаточно лишь представления о волновом
характере распространения света без учёта электромагнитной природы этого
процесса. Поэтому далее мы будем рассматривать световые волны, характеризуя их лишь амплитудой, фазой, длиной волны и скоростью их распространения, не принимая во внимание, что для точного описания световых волн необходимо учитывать наличие двух векторов – вектора напряжённости электрического поля Е и вектора магнитной индукции В.
В § 1.6 было указано, что два независимых источника света, например,
две электрические лампочки, не когерентны и поэтому не пригодны для наблюдения явления интерференции. Разберём теперь ряд опытов, в которых искусственно создаются когерентные источники. Эти опыты основаны на описанном в
§ 1.6 принципе получения когерентных лучей разделением волны на две части,
проходящие различные пути, и могут быть практически осуществлены различными способами – с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел.
Метод Юнга (с. 38; рисунок 11) был описан ранее.
Зеркала Френеля. Френель предложил в качестве двух когерентных источников воспользоваться двумя изображениями одного и того же действительного источника света в двух плоских зеркалах. Схема опыта Френеля представлена на рисунке 22, где А10 и А20 – два плоских зеркала, расположенных
под углом ϕ; S – источник света, находящийся на расстоянии r от места соприкосновения зеркал в точке 0. Для построения изображений источника S в обоих
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зеркалах воспользуемся тем, что мнимое изображение, даваемое плоским зеркалом, лежит за зеркалом на таком же расстоянии, на каком объект лежит перед
зеркалом (см. § 1.1). Проведём из точки 0 окружность радиусом r = 0S и опустим из точки S перпендикуляр на продолжение прямой 0А1; точка пересечения
продолжения этого перпендикуляра с окружностью В1 даст изображение источника S в первом зеркале 0А1. Так же построим изображение В2, даваемое во
втором зеркале 0А2. С другой стороны, изображение В2 лежит в той точке, куда
переместилось бы изображение В1 при повороте первого зеркала 0А1 на угол ϕ.
Поэтому ∠В10В2 = 2ϕ (см. § 1.1), и линейное расстояние d между В1 и В2 приближённо равно 2ϕr:
d ≈ 2ϕr.
(10.1)
S
D
Е
А1
С
r
В1
L0
d
2ϕ
0
D′
ϕ
А2
В2
Рисунок 22
Свет от обоих изображений В1 и В2 падает на экран DD′, отстоящий от зеркал
на расстоянии L0. Заслонка Е не даёт попадать на экран DD′ прямому свету от
источника S. Так как оба изображения В1 и В2 воспроизводят колебания одного
и того же действительного источника, то они когерентны, и на экране DD′ наблюдаются интерференционные полосы. По формуле (6.10) §1.6 расстояние
между полосами ∆ℓ равно
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∆ℓ =
λ
L,
d
где L – расстояние от источников до места наблюдения полос.
Подставляя сюда вместо d его значение по (10.1) и замечая, что L = L0 + r, получим
∆ℓ =
L0 + r
λ,
2ϕr
или отсюда
λ=
2⋅ϕ⋅r
⋅∆ℓ.
L0 + r
(10.2)
Так как в формуле (10.2) все величины, стоящие в правой части, доступны измерению, то из нее видно, что опыт с зеркалами Френеля позволяет измерить
длину световых волн λ.
Зеркала в опыте Френеля приходится располагать под весьма малым углом ϕ друг к другу, так как иначе полосы получаются слишком узкими. Источник Света берётся в виде узкой щели, параллельной ребру 0, образованному
зеркалами. При этом интерференционные максимумы имеют вид прямых параллельных полос. При наблюдении в белом свете центральная полоса получается белая (m = 0, усиливаются лучи всех длин волн λ), остальные окрашенные.
Бипризма Френеля. Этот опыт представляет собою простой вариант
предыдущего. Свет от источника S пре-
A
S′
ломляется в двух призмах с малыми пре-
S
D ломляющими углами А и А′ (рисунок 23),
S′′
сложенных основаниями. Призмы отклоA′
Рисунок 23
няют лучи в противоположных направлениях и, таким образом, возникают два
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мнимых когерентных источника света S′ и S′′. Лучи от этих источников, перекрываясь в области D, дают интерференционные полосы.
Зеркало Ллойда. В опыте, предложенном Ллойдом, интерферируют лучи, исходящие непосредственно от источника S (рисунок 24) и отражённые от
поверхности зеркала АВ. Лучи, отражённые от зеркала АВ, как бы исходят от
мнимого источника S′, когерентного с S. Для того чтобы расстояние d между S
и S′ было достаточно мало, лучи должны отражаться от зеркала под углом,
близким к 900. Источником света служит щель, параллельная плоскости зеркала.
S
D
d
S′
А
В
Рисунок 24
Особенность интерференционной картины, наблюдаемой с помощью зеркала Ллойда, заключается в том, что центральная полоса получается не светлой,
а тёмной. Это указывает на то, что лучи, проходящие одинаковые геометрические пути, всё же сходятся в опыте Ллойда с разностью хода λ/2. Такая ″потеря″ полуволны (или другими словами изменение фазы на π) происходит при отражении света от поверхности стекла, показатель преломления которого больше, чем воздуха. В дальнейшем мы увидим, в каких случаях при отражении
света от прозрачной среды происходит потеря полуволны.
Интерференционную картину можно наблюдать при наложении световых
волн от двух лазеров или от одного лазера при разделении луча на 2 пучка.
Интерферометр Майкельсона. В конце XIX века американский физик
Альберт Майкельсон выполнил серию важных оптических экспериментов.
Наиболее известны его опыты по измерению скорости света, а также опыты по
интерференции света, проведённые на специально созданном приборе, получившем позднее его имя. На интерферометре Майкельсона был проведён знаменитый опыт, показавший, что скорость света относительно поверхности земли одинакова в направлении движения Земли по ее орбите и в перпендикуляр75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ном направлении. Убедительность и высокая точность экспериментальных результатов Майкельсона позволили установить важный физический принцип –
принцип постоянства скорости света, согласно которому скорость света одинакова во всех направлениях и не зависит от движения источника. На основании
этого принципа Альберт Эйнштейн создал теорию относительности.
Схема интерферометра Майкельсона показана на рисунке 25. Интерферометр работает следующим образом. Пучок света от монохроматического источника направляется на светоделительную
Зеркало
пластину, где делится на два пучка –
прошедший и отражённый – примерно
одинаковой интенсивности. Пройдя не-
Светоделительная пластина
Экран
которые расстояния, эти пучки попадают
на зеркала, отражаются ими в обратных
направлениях и вновь падают на делительную пластину. Пластина снова час-
Зеркало
Монохроматический
источник света
тично отражает и частично пропускает Рисунок 25
свет, в результате чего образуется пучок света, представляющий собой смесь
пучков, прошедших через разные плечи интерферометра. Этот пучок света наблюдается на экране. Двигая одно из зеркал интерферометра в направлении падающего на него светового пучка, можно изменять оптическую разность хода
лучей и наблюдать изменение интерференционной картины.
Светоделительная пластина представляет собой плоскопараллельную
стеклянную пластину, покрытую с тыльной стороны тонкой плёнкой серебра.
Плёнка серебра настолько тонка, что она частично отражает и частично пропускает свет. Таким образом, пластина играет роль полупрозрачного зеркала.
Интерферометр Майкельсона можно использовать для абсолютного измерения длин световых волн. Для этого нужно подсчитать число N максимумов,
возникающих на экране наблюдения при смещении подвижного зеркала интерферометра на известное расстояние ∆ℓ. Тогда длина волны
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
λ = 2∆ℓ/N.
(10.3)
Эта техника использовалась для очень точных измерений длин волн излучения
лазеров.
Интерференционная картина, наблюдаемая с помощью интерферометра
Майкельсона, весьма чувствительна к различным малым возмущениям, таким
как механическое смещение зеркал, изменение состава, температуры и плотности среды, через которую проходят световые лучи. Поэтому интерферометр
можно использовать для различных точных измерений. Например, с помощью
интерферометра можно измерить механическое смещение порядка длины световой волны, т.е. около 10-6 м. При необходимости точность измерения может
быть повышена ещё на несколько порядков. Такие точные измерения используют, например, в сейсмологии для регистрации движений земной коры.
Опыт В.П. Линника. Во всех описанных выше опытах по интерференции два когерентных источника расположены на прямой, перпендикулярной к
среднему направлению распространения света. Опыт, в котором когерентные
источники S и S′ расположены на самой прямой, вдоль которой распространяется свет, был впервые предложен в 1935 г.
А
советским физиком В.П. Линником. Схема
опыта Линника такова: Свет от точечного источника S (рисунок 26) даёт сферическую
волну АВ. На пути волны АВ расположена
плоскопараллельная
полупрозрачная
А′
S
D
S′
плаВ′
стинка, которая несколько ослабляет волну
АВ, не искажая ее поверхности. В пластинке
делается малое отверстие S′. По принципу
Рисунок 26
В
Гюйгенса оно служит источником новой сферической волны А′В′ с центром в
S′. Волны АВ и А′В′ когерентны и дают на экране D интерференционные полосы в виде колец.
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Источник S может быть также взят в виде узкой полоски (освещённая в
непрозрачном экране щель) и отверстие S′ − в виде параллельной ему щели. Тогда интерференционные полосы на экране D имеют вид прямых линий.
Оценка допустимых размеров источников. Во всех предыдущих рассуждениях мы считали источники света точечными. Только в этом случае интерференционные полосы получаются вполне резкими. Конечные размеры источников ведут к размытию или даже полному пропаданию интерференционных полос. Для того чтобы выяснить допустимые размеры источников, рассмотрим простейшую схему интерференционного опыта, соответствующую рисунку 12. Только теперь будем считать, что когерентные источники S1S1′ и S2S2′
(рисунок 27) имеют конечную протяжённость τ. Разобьём каждый из источников на две равные половины
S1′
ℓ
S1
протяжённостью τ/2 и будем считать
эти половины за точечные источники
D
Р
d
S2
света. Каждая пара таких точечных
источников даст свою систему интер- S2′
L
ϕ
γ
Рисунок 27
С
D′
ференционных полос.
Обе системы будут сдвинуты друг относительно друга на величину, равную расстоянию между половинами каждого из источников S1S1′ и S2S2′, т.е. на
величину
δℓ =
τ
.
2
(10.4)
Светлые полосы в каждой из систем отстоят друг от друга по формуле
(6.10) § 1.6 на
∆ℓ =
λ
L,
d
где d – расстояние между источниками;
78
(10.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
L – расстояние от источников до экрана;
λ − длина волны интерферирующего света.
Если сдвиг δℓ обеих интерференционных картин друг относительно друга
равен
1
∆ℓ, то светлые полосы одной системы попадут на тёмные другой, и ин2
терференционная картина полностью размоется. Обычно считается, что полосы
будут ещё достаточно резкими, если сдвиг одной интерференционной картины
относительно другой равен
1
∆ℓ. Отсюда по (10.4) и (10.5) получим следующее
4
условие, при выполнении которого интерференционные полосы ещё можно наблюдать:
τ≤
1 λ
L.
2 d
(10.6)
Для оценки допустимых размеров источников положим d = 5 мм и L =
1 м. Тогда для λ = 5⋅10-7 м по (10.6) имеем:
1 5 ⋅ 10 −7
τ≤
⋅ 1 = 0,5⋅10-4 м = 0,05 мм.
−3
2 5 ⋅ 10
Далее преобразуем формулу (10.6), введя угол ϕ, под которым видно расстояние между источниками d из центра экрана С (рисунок 27). Тогда
tg
ϕ d/2
=
.
2
L
Считая угол ϕ малым, приближённо получим ϕ = d/L, что позволит переписать формулу (10.6) в виде:
τ≤
79
1 λ
.
2 ϕ
(10.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из формулы (10.7) следует, что чем больше угол ϕ, тем меньше должны
быть размеры источников, при которых интерференционная картина ещё может
наблюдаться.
Теория интерференции должна, с одной стороны, дать детальное объяснение результатов опыта Юнга и других интерференционных опытов, а с другой стороны, объяснить, почему при наложении пучков света от независимых
источников интерференция не наблюдается, а имеет место закон сложения интенсивностей. Последнее связано со сложной, случайной структурой светового
поля, создаваемого обычными (нелазерными) источниками света. Свет таких
источников образуется в результате наложения огромного числа элементарных
сферических волн, испускаемых независимыми осцилляторами (атомами) и
вследствие этого сильно отличается по своей структуре от идеальной гармонической волны. В теории интерференции света важно понятие когерентности
света.
Исторически понятие когерентности света возникло в связи с интерференционными опытами. Было выяснено, что появление интерференционной
картины в опыте Юнга зависит от того, какой свет падает на экран с двумя точечными отверстиями. Если это свет точечного источника, то интерференция
есть. Если же это свет от протяжённого источника или свет, рассеянный матовой пластинкой, то интерференции нет. Когерентностью и была названа способность света давать интерференционную картину.
Ясно, что когерентность связана со структурой света. Когерентный свет –
это свет, структура которого близка к плоской или сферической гармонической
волне. Иначе говоря, это свет с высоко упорядоченной структурой. В противоположность этому некогерентный свет, т.е. свет, не способный давать интерференцию и подчиняющийся закону сложения интенсивностей, имеет структуру
хаотически модулированной волны.
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 2.11 Интерференция при отражении от прозрачной пластины
Весьма распространённым случаем интерференции является интерференция пучков, отражённых от двух поверхностей прозрачной пластины. Рассмотрим по отдельности два случая: интерференцию параллельных пучков, возникающих при отражениях от поверхностей плоскопараллельной пластины, и интерференцию пучков, возникающих при отражениях от поверхностей пластины, толщина которой меняется от места к месту. В первом случае возникают
так называемые интерференционные полосы равного наклона, во втором − интерференционные полосы равной толщины.
1. Интерференционные полосы равного наклона. Рассмотрим прозрачную однородную пластину толщиной d (рисунок 28), плоские поверхности которой АА′ и ВВ′ параллельны друг другу. Пусть от точечного источника S с
помощью линзы L1 получается
S
параллельный пучок лучей аа1.
Этот пучок частично пройдёт
сквозь
прозрачную
L1
P
а1
пластину,
частично от нее отразится. Ввиду
того, что он отразится от обеих
поверхностей АА′ и ВВ′, возник-
А
В
а
S′
L2
P′
а′
а1′
b
b1
А′
В′
d
Рисунок 28
нут два отражённых пучка а′а1′ и
bb1 с определённой разностью хода. Эти пучки соберутся в точке S′ главной
фокальной плоскости линзы L2. Рассмотрим результат их интерференции в этой
точке. В зависимости от значения разности хода, колебания обоих пучков более
или менее усилят или ослабят друг друга.
Для подсчёта разности хода выделим из пучка отдельный луч а (рисунок
29), падающий на первую поверхность в точке А под углом падения α. Этот луч
частично отразится, образовав луч а′, частично преломится и упадёт на вторую
поверхность пластины в точке В. Здесь он снова частично преломится и частично отразится. То же произойдёт и в точке С, где возникнет преломлённый
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
луч b, параллельный лучу а′. Опустим из
точки С перпендикуляр СЕ на направление
N
а
луча а′. Тогда, считая показатель прелом-
α
α
А
ления пластины равным n, а показатель
преломления среды вне пластины (воздуха)
β
равным единице, получим для разности хо-
β
В
да ∆ между лучами а′ и b:
∆ = (АВ +ВС)⋅n − (АЕ +
а′
E
1
λ),
2
b
C
d
Рисунок 29
(11.1)
где λ − длина волны рассматриваемого света.
Величина λ/2 представляет собою добавочную разность хода, возникающую
при отражении луча а на границе между воздухом и пластиной (ср. со сказанным в § 2.10): если бы среда вне пластины имела показатель преломления
больше, чем показатель преломления пластины, то потеря полуволны имела бы
место при отражении в точке В.
Из рисунка 29 имеем
АВ = ВС =
d
,
cosβ
(11.2)
где d – толщина пластины,
β − угол преломления.
Также из рисунка следует, что
АЕ = АС⋅sinα = 2d⋅tgβ⋅sinα.
Воспользовавшись законом преломления: sinα = n⋅sinβ, перепишем выражение для АЕ в виде:
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
АЕ = 2dn
sin 2β
.
cosβ
(11.3)
Подставив в выражение для разности хода (11.1) вместо АВ, ВС и АЕ их значения по (11.2) и (11.3), найдём
∆ = 2dn
1 - sin 2β 1
− λ
cosβ
2
или
∆ = 2dncosβ −
1
λ.
2
(11.4)
Это выражение можно несколько преобразовать, введя в него вместо угла
преломления β угол падения α. Воспользовавшись законом преломления, найдём
cosβ = 1 − sin 2β = 1 −
1
sin 2 α ,
2
n
после чего выражение (11.4) примет вид:
∆ = 2d n 2 − sin 2 α −
1
λ.
2
(11.5)
Так как линза не вносит никакой добавочной разности хода (см. § 1.3), то
∆ представляет ту разность хода, с которой лучи сходятся в точке S′. Если ∆ =
mλ, где m = 0,1,2,…, то в точке S′ получится максимум, если ∆ = (2m + 1)⋅λ/2,
то в точке S′ получится минимум. Таким образом, в результате интерференции
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лучей, отражённых от поверхностей АА′ и ВВ′, изображение точки получится
более или менее яркое в зависимости от разности хода2.
Предположим теперь, что в качестве источника света (рисунок 28) берётся не отдельная точка S, а участок светящейся поверхности Р. При отсутствии
интерференции (например, если бы пластина АА′ВВ′ была заменена плоским
металлическим зеркалом) в главной фокальной плоскости линзы L2 получилось
бы изображение поверхности Р в виде поверхности Р′. Благодаря интерференции пучков, отражённых от пластины, ярN
а′
а
ко отобразятся только те совокупности
b′
точек светящейся поверхности Р, для ко-
b
P
P′
α
α
А
Рисунок 30
торых ∆ = mλ, где ∆ даётся формулой
(11.5). Целое число m называется порядком интерференции. При данном m = m0
такая совокупность точек по (11.5) должна удовлетворять условию α = const; эта
совокупность точек лежит на кривой аа′,
образуемой пересечением поверхности Р (рисунок 30) с конусом, осью которого является нормаль AN, а угол раствора которого равен 2α. Этой кривой соответствует светлая полоса bb′ в плоскости Р′. При других значениях m, не равных m0, возникнут другие светлые полосы. Между ними расположатся более
тёмные полосы. Таким образом, в главной фокальной плоскости линзы L2 возникнет система интерференционных полос. Каждая полоса соответствует постоянному значению угла α, т.е. равному наклону лучей по отношению к нормали AN. Отсюда и вытекает название рассматриваемых интерференционных
полос – полосы равного наклона. Как следует из сказанного, полосы равного
наклона возникают в главной фокальной плоскости линзы L2 и для их наблюдения требуется широкий источник света (в виде участка светящейся поверхности Р).
При ∆ = (2m + 1)⋅λ/2 интенсивность изображения S′ не будет равна нулю, так как амплитуды интерферирующих волн, возникших в результате отражений от поверхностей АА′ и ВВ′, не вполне равны друг другу.
2
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Интерференция возникает и в лучах, проходящих сквозь пластину, однако
там картина менее резка, так как интенсивность пучка, прошедшего прямо
сквозь пластину, много больше интенсивности луча, претерпевшего двукратное
отражение у поверхностей ВВ′ и АА′ (на явлении интерференции многих пучков основано действие многих спектральных приборов высокой разрешающей
силы).
Рассмотренная интерференционная картина возникает в монохроматическом свете определённой длины волны λ. Если свет не монохроматичен, а относится к некоторому интервалу длин волн, то при данном угле падения α возникнут максимумы для всех длин волн λ1, λ2, λ3, …, удовлетворяющих условию:
∆ = mλ1 = (m + 1)λ2 = (m + 2)λ3 = …
(11.6)
В результате произойдёт наложение полос разных длин волн. Чем больше
толщина пластины d, тем больше значение целого числа m и тем, следовательно, меньше по (11.6), разность между длинами волн λ1, λ2, λ3, …, для которых
полосы перекрываются. Кроме того, для одной и той же длины волны λ полосы
разных порядков располагаются тем теснее друг к другу, чем толще пластина.
Поэтому, резюмируя, мы можем сказать: чем толще пластина, тем теснее расположены полосы и тем сильнее выражено наложение полос разной длины
волны. В результате такого наложения полос при освещении толстой пластины
белым светом в фокальной плоскости линзы L2 возникает более или менее равномерное освещение, и полосы не будут видны. Таким образом, от толстой пластины интерференционные полосы равного наклона можно наблюдать лишь в
достаточной степени монохроматическом свете. Кроме того, общие размеры
толстой пластины велики, что ведёт к трудностям достижения плоскопараллельности поверхностей пластины и ее однородности (постоянства показателя
преломления). Значительно проще наблюдать возникновение интерференционных полос при отражениях от поверхностей тонкой пластины. Для очень тон85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кой пластины порядок интерференции невелик и полосы видны даже при освещении белым светом; в этом случае они окрашены.
В интерференционных явлениях, вызванных наличием двух источников
света малых размеров (зеркала Френеля и т.д.), во всей области, где волны, исходящие от обоих источников, перекрывают друг друга, наблюдаются места
максимумов и минимумов колебаний. Это позволяет наблюдать интерференционные полосы непосредственно на экране, без помощи каких-либо линз. Для
наблюдения полос равного наклона, как мы видели, необходимо пользоваться
широким источником света. В результате, в области, где перекрываются световые пучки, отразившиеся от обеих поверхностей плоскопараллельной пластины, в каждой точке сходятся волны от различных точек источника света, и непосредственно интерференционные полосы не наблюдаются. Интерференционные полосы, как мы видели, наблюдаются лишь в главной фокальной плоскости
линзы L2. Иными словами, линза L2 должна быть ″сфокусирована на бесконечность″. Поэтому говорят, что полосы равного наклона расположены в бесконечности.
Для демонстрации интерференци-
S
онных полос равного наклона можно P
воспользоваться тонким листком хоро-
P′
L1
L2
шей однородной слюды. Поверхности
такого слюдяного листка являются в
достаточной степени плоскими и взаим-
Рисунок 31
С
но параллельными. Общая схема установки дана на рисунке 31. В качестве источника света берётся ртутная лампа S. Свет такой лампы даёт спектр, который
состоит из небольшого числа спектральных линий определённых длин волн,
способных давать резкие интерференционные полосы. Матовое стекло Р, освещённое ртутной лампой, является широким источником света. Линза L1 создаёт
параллельные пучки света, падающие на слюдяной листок С. Поместив в главную фокальную плоскость линзы L2 экран Р′, можно видеть на нём полосы равного наклона. Для того, чтобы интерференционные полосы были резко видны
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
на экране, он, как сказано, должен располагаться в главной фокальной плоскости линзы L2.
Линзу L2 и экран можно заменить непосредственно глазом. В этом случае
роль линзы L2 играет преломляющая система глаза (хрусталик, роговица). Если
глаз не аккомодирован, т.е. находится в таком состоянии, что в фокусе получаются бесконечно удалённые предметы, то полосы равного наклона возникают
на сетчатке и видны без помощи какой-либо линзы.
2. Интерференционные полосы равной толщины. Рассмотрим теперь
прозрачную пластину, поверхности которой не параллельны друг другу. В этом
случае также возникнут лучи, отражённые
C′ от обеих поверхностей АА′ и ВВ′. пусть
луч а от точечного источника S (рисунок
S
b
а′
a
B
d
сти ВВ′ и двукратного преломления у по-
b′
С
A
32) в результате отражения от поверхно-
L
n
A′
верхности АА′ приводит к образованию
B′
луча а′, проходящего через точку С и по-
Рисунок 32
падающего на линзу L. Так как от источ-
ника S лучи идут в различных направлениях, то среди них найдётся такой луч
b, который упадёт на точку С поверхности АА′. Здесь он частично отразится (и
частично преломится, что сейчас нас не интересует) и приводит к образованию
луча b′, составляющего с лучом а′ некоторый угол. Лучи а′ и b′, пройдя через
линзу L, вновь пересекутся в точке С′, которая является изображением точки С.
Так как оба луча а′ и b′ возникают из одного и того же точечного источника S,
то они когерентны и будут интерферировать. В зависимости от того, будет ли
разность хода ∆ между лучами а′ и b′ равна чётному или нечётному числу полуволн, в точке С′ возникнет максимум или минимум.
Если угол, составляемый поверхностями АА′ и ВВ′, мал и источник света
S расположен далеко от пластины, то разность хода ∆ приближённо выражается
формулой (11.5). При источнике света, находящемся далеко от пластины, лучи
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
падают на пластину приблизительно под одинаковым углом и тогда разность
хода ∆ меняется лишь с толщиной пластины d. Если точке С соответствует максимум в точке С′, лежащей в фокальной плоскости линзы L, сопряжённой с поверхностью пластины АА′, то максимум будет соответствовать и всей совокупности точек Сi, лежащих на поверхности пластины АА′ в местах одинаковой
толщины пластины. Таким образом, интерференционные полосы, возникающие
в фокальной плоскости линзы L, соответствуют местам одинаковой толщины
пластины, откуда и происходит их название полосы равной толщины. Очевидно, что если пластина представляет собой клин, то интерференционные полосы
равной толщины имеют вид прямых, параллельных ребру клина.
Как сказано, полосы равной толщины наблюдаются в фокальной плоскости линзы L, сопряжённой с поверхностью пластины АА′. Другими словами,
чтобы наблюдать на экране появление резких интерференционных полос, линза
L должна быть сфокусирована на поверхность пластины АА′.
Интерференционные полосы равной толщины локализованы на поверхности отражающей пластины.
Полосы равной толщины можно наблюдать и непосредственно глазом без
помощи линзы L. В этом случае роль линзы играет преломляющая система глаза. Глаз при этом должен быть сфокусирован на поверхность пластины.
По расстоянию между интерференционными полосами равной толщины
можно найти угол клина в тех случаях, когда эти углы очень малы.
В случае немонохроматического света полосы, соответствующие разным
длинам волн, перекрываются так же, как это имеет место для полос равного наклона. Поэтому в случае толстых пластин не одинаковой толщины интерференционные полосы могут наблюдаться лишь в монохроматическом свете. отступления от параллельности поверхностей пластины должны быть невелики, так
как иначе полосы равной толщины расположатся слишком близко друг к другу.
В очень тонких пластинах полосы могут наблюдаться и в белом свете. При
этом возникают цветные полосы. Пусть в некотором месте толщина пластины
такова, что разность хода ∆ для точки С1 (рисунок 33) равна λ для красных лу88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чей с длиной волны, например, 0,70 мкм, и, следовательно, этим лучам соответствует интерференционный максимум. Тогда разность хода для той же точки С1
равна 2λ для ультрафиолетовых лучей с длиной волны 0,35 мкм, и эти лучи
также дадут максимум. Все же видимые лучи с длинами волн, отличными от
0,70 мкм, более или менее ослабят друг друга. Таким образом,
C1′
S
C2′
от данного места пластины возникнет максимум, окрашенный
С1
в красный цвет. Аналогично от
других точек пластины, которые
дадут другую разность хода,
d1
С2
L
d2
Рисунок 33
возникнут максимумы другого
цвета (например, от точки С2).
Предположим, что некоторая тонкая плёнка имеет на одном участке постоянную толщину d1, а на другом участке – также постоянную толщину d2 (рисунок 33). Тогда на всём первом участке (при постоянном угле падения α)
плёнка будет давать разность хода ∆1, а на всём втором – разность хода ∆2. В
соответствии со сказанным выше, при освещении плёнки белым светом обе ее
части дадут максимум для лучей разных длин волн и будут казаться по-разному
окрашенными. Такая окрашенность, вызванная интерференцией отражённых
лучей, носит название цветов тонких пластин. Очевидно, с изменением угла падения света α меняется разность хода, а, следовательно, меняется и цвет пластины.
Цвета тонких пластин легко наблюдаются при рассматривании мыльных
плёнок, тонких плёнок масла на поверхности воды, тонких воздушных прослоек между двумя прозрачными пластинами и т.д.
Кольца Ньютона. Интерференционную картину типа ″полосы равной
толщины″ можно наблюдать с помощью плоской стеклянной пластинки и
плосковыпуклой линзы. Между линзой и плоскостью образуется воздушная
прослойка. Если плотно прижать выпуклую поверхность линзы к пластинке и
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
направить на эту систему параллельный пучок света нормально к плоскости
пластинки, то лучи, отражённые от поА
верхностей, ограничивающих воздушную прослойку, будут интерферировать,
В
С
Рисунок 34
образуя
систему
интерференционных
линий в виде концентрических тёмных и
светлых колец (″кольца Ньютона″). Ин-
терференционная картина получается вследствие отражения луча в точке В на
поверхности линзы, от среды менее плотной и в точке С от стеклянной пластинки, среды оптически более плотной (рисунок 34). Распределение света и
темноты зависит от толщины ВС воздушной прослойки.
Места равной толщины воздушной прослойки представляют собою окружности радиуса r с центром в точке касания линзы с поверхностью пластинки
(рисунок 35). Радиус кривизны выпуклой
R
R
поверхности линзы R. При r << R и нормальном падении света разность хода ∆
приближённо
выражается
d
формулой
(11.5). Считая показатель преломления
Рисунок 35
r
воздуха n = 1, получим
∆ = 2d + λ/2.
Перед λ/2 берётся знак плюс, так как потеря полуволны происходит при
отражении на границе воздушной прослойки со стеклянной пластинкой. Условием образования светлых интерференционных полос будет соотношение:
∆ = 2d + λ/2 = mλ,
где m – целое число.
90
(11.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вычислим радиусы интерференционных колец. Из рисунка 35 видно, что
R−
d=
R 2 − r 2 , где R – радиус кривизны поверхности линзы, r – расстоя-
ние от точки касания линзы и пластинки до светового луча. Полагая r << R, поr2
лучим приближённое выражение d =
. Подставляя это значение d в (11.7),
2R
найдём
r2
1
= (m − )λ,
2R
2
Откуда получаем выражение для радиусов r светлых колец в отражённом свете
rm =
1

 m − Rλ .
2

(11.8)
Соответственно, радиусы тёмных колец в отражённом свете выражаются формулой:
rm =
mRλ .
(11.9)
Таким образом, интерференционные полосы равной толщины в данном
случае имеют вид концентрических колец, радиусы которых даются формулами
(11.8) и (11.9). В месте соприкосновения линзы с плоскостью остаётся очень
тонкая воздушная прослойка с толщиной много меньше длины волны. Поэтому
разность хода между лучами, возникающими в этой точке, определяется лишь
потерей полуволны при отражении от поверхности стеклянной пластины. В результате разность хода ∆ оказывается равным λ/2, и в центре интерференционной картины наблюдается тёмное пятно.
При освещении белым светом интерференционные кольца окрашены и
число наблюдаемых колец невелико, так как при больших m происходит наложение колец разных длин волн, и они расплываются.
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Указанные полосы равной толщины впервые наблюдал и описал Ньютон
и носят название колец Ньютона. Поскольку Ньютон ещё не знал интерференции волн, он не мог дать точного объяснения наблюдаемого им явления.
Если поместить между пластинкой и линзой какую-нибудь жидкость, то
положение колец изменится (rm станет меньше). Из отношения обоих значений
λ при наличии и отсутствии жидкости для одного цвета (одинаковая частота)
можно определить скорость света в жидкости.
Соотношение (11.9) позволяет с хорошей точностью определять λ по измерениям rm. Если λ известна, кольца Ньютона можно использовать для измерения радиусов поверхностей линз и контроля правильности формы сферических и плоских поверхностей. При освещении немонохроматическим (например, белым) светом кольца Ньютона становятся цветными. Наиболее отчётливо
кольца Ньютона наблюдаются при малой толщине зазора (т.е. при использовании сферических поверхностей больших радиусов).
Кольца Ньютона можно также наблюдать и в проходящем свете.
§ 2.12 Применение явлений интерференции
В предыдущем параграфе было указано на возможность измерения с помощью интерференции света малых углов, образованных двумя плоскостями.
Майкельсон применил интерферометрическое наблюдение для оценки малых
угловых расстояний между двойными звёздами, а также для оценки углового
диаметра звёзд. Наряду с этим, явления интерференции могут быть применены
и для ряда других точных измерений; область их использования в физическом
эксперименте и на производстве быстро расширяется. В этом параграфе рассмотрим некоторые простейшие применения интерференции.
1. Явление интерференции обусловлено волновой природой света. Его
количественные закономерности зависят от длины волны λ. Поэтому это явление применяется для подтверждения волновой природы света и для измерения
длин волн (интерференционная спектроскопия). Так, например, интерферометр
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Майкельсона можно использовать для абсолютного измерения длин световых
волн. Для этого нужно подсчитать число N максимумов, возникающих на экране наблюдения при смещении подвижного зеркала интерферометра на известное расстояние ∆ℓ. Тогда длина волны равна
λ = 2∆ℓ/N.
(12.1)
Эта техника использовалась для очень точных измерений длин волн излучения
лазеров.
2. Исследование качества поверхностей. Для оптических приборов требуется большая точность при изготовлении поверхностей. Плоские поверхности
зеркал и призм или сферические поверхности линз не должны отступать от соответствующих идеальных геометрических поверхностей более чем на десятые,
и даже сотые доли длины световой волны. Контроль такого высокого качества
поверхностей достигается интерферометрическим путём.
Рассмотрим простейшую задачу испытания степени приближения поверхности стеклянной пластинки к идеальной плоскости. Такое испытание производится с помощью образцового ″эталонного стекла″ высокого качества, одна
F
С
из поверхностей которого отступает от идеальной
геометрической плоскости обычно не более чем на
1/20 длины световой волны. Испытуемая поверх-
S
C′
ность прижимается к ″эталонному стеклу″ так, что
между ними образуется тонкая воздушная прослойка. При пропускании света через эту воздушную
L
прослойку образуются интерференционные полосы
B′ равной толщины. Для их наблюдения пользуются
B простым приспособлением, изображённым на ри-
A′
A
Рисунок 36
сунке 36, где S – источник света, СС′ − полупро-
зрачное зеркало, L – линза, дающая параллельный пучок лучей, которым освещается испытуемая пластинка, наложенная на ″эталонное стекло″. Лучи, отра93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жённые от поверхности АВ ″эталонного стекла″ и от испытуемой поверхности
А′В′, проходят сквозь полупрозрачное зеркало СС′ и образуют в фокальной
плоскости F линзы L полосы равной толщины. Наиболее простой вид этих полос возникает, если воздушная прослойка между поверхностями АВ и А′В′
имеет вид клина малого угла. Этого можно добиться, если, тщательно очистив
от пыли пластинки, их немного сжать с одной стороны при накладывании друг
на друга. Если обе поверхности являются идеально плоскими, то между ними
образуется тонкий воздушный слой в виде клина, и полосы равной толщины
имеют вид прямых, параллельных ребру клина. Всякое отступление от плоскости ведёт к искривлению интерференционных полос.
Для получения резких интерференционных полос необходимо пользоваться монохроматическим светом. Для этого обычно в качестве источника света S (рисунок 36) берётся лазер, дающий монохроматическое излучение.
3. Измерение малых изменений длин. Рассмотренные полосы равной
толщины используются также для измерения весьма малого изменения толщины какого-либо слоя. Если две какие-либо поверхности образуют собою клин,
то в отражённом свете возникают полосы равной толщины в виде параллельных друг другу прямых. Разность хода в месте образования светлой полосы
равна:
∆1 = 2d1n −
1
λ = mλ.
2
Если поверхности отодвигаются друг от друга с сохранением угла α, который они образуют между собой, то толщина d1 в данном месте клина начинает увеличиваться и разность хода ∆1 перестаёт быть равной mλ. Очевидно, разность хода ∆1 будет равна mλ в точке, лежащей ближе к ребру клина, в результате чего полоса сместится в сторону ребра клина. Когда толщина d достигнет
такого значения d2, что разность хода ∆ будет равна (m + 1)λ, то в рассматриваемом месте снова расположится светлая полоса. При этом окажется выполненным равенство:
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∆2 = 2d2n −
1
λ = (m + 1)λ.
2
Из двух последних равенств следует, что при смещении интерференционной картины на одну полосу толщина клина в данном месте изменилась на величину:
d2 − d1 =
λ
.
2n
При смещении интерференционной картины на χ полос изменение толщины окажется равным:
dχ+1 − d1 = χ
λ
.
2n
Так как длина волны λ есть величина порядка 5⋅10-7 м, то по смещению
интерференционных полос можно измерять изменения толщины порядка 10-7 м.
Указанный метод используется, например, для точного измерения коэффициента теплового расширения твёрдых тел, представляющих собой небольшие по размерам образцы. Для этого используется прибор, носящий название
интерференционного дилатометра, изображённый на рисунке 37. Прибор состоит из кольца СС′, изготовляемого обычно из плавленого кварца, имеющего
весьма малый и хорошо измеренный коэффициент теплового расширения. На
кольце лежит стеклянная пластинка с плоскими
поверхностями. Внутрь кольца помещается исследуемое тело D, нижняя и верхняя поверхности
B
A
С
D
C′
которого хорошо отполированы. Тело D располагается так, чтобы между его верхней поверхностью и поверхностью АВ стеклянной пластинки
Рисунок 37
образовался тонкий клинообразный слой воздуха. При освещении прибора
сверху наблюдаются полосы равной толщины. При нагревании прибора, вследствие различия в коэффициентах теплового расширения тела D и кольца СС′,
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
толщина воздушного слоя меняется, и интерференционные полосы смещаются.
По смещению полос можно измерить изменение размеров тела и, следовательно, вычислить коэффициент его теплового расширения.
Интерференционный метод используется также для измерения малых изменений длин, вызванных различными другими причинами: механическими
растяжениями, изгибами и т.д. С помощью интерферометра можно измерить
глубину царапин, выбоин и других дефектов на полированных поверхностях.
4. Явление интерференции применяется также для улучшения качества
оптических приборов (просветление оптики) и получения высокопрозрачных
покрытий и селективных оптических фильтров. Прохождение света через каждую преломляющую поверхность линзы, например, через границу стекловоздух, сопровождается отражением ∼4 % падающего потока. Так как современные объективы содержат большое количество линз, то число отражений в
них велико, а поэтому велики и потери светового потока. Таким образом, интенсивность прошедшего света ослабляется, и светосила оптического прибора
уменьшается. Кроме того, отражения от поверхностей линз приводят к возникновению бликов.
Для устранения указанных недостатков осуществляют так называемое
просветление оптики. Для этого на свободные поверхности линз наносят тонкие пленки с показателем преломления, меньшим, чем у материала линзы. При
отражении света от границ раздела воздух–плёнка и плёнка–стекло возникает
интерференция когерентных лучей. Толщину пленки d и показатели преломления стекла и пленки можно подобрать так, чтобы волны, отраженные от обеих
поверхностей пленки, гасили друг друга. Если оптическая толщина пленки равна λ / 4, то в результате интерференции наблюдается гашение отражённых лучей. Taк как добиться одновременного гашения для всех длин воли невозможно, то это обычно делается для наиболее восприимчивой глазом длины волны
λ ∼ 0,55 мкм. Поэтому объективы с просветлённой оптикой имеют синеватый
оттенок.
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Гашение света светом не означает превращение световой энергии в другие формы. Как и при интерференции механических волн, гашение волн друг
другом в данном участке пространства означает, что световая энергия сюда
просто не поступает. Гашение отражённых волн у объективов с просветлённой
оптикой означает, что весь свет проходит сквозь объектив.
5. Интерферометр (Жамена) можно использовать для измерения показателей преломления веществ с погрешностью ∆n ∼ 10-6. Ввиду высокой чувствительности интерферометра его используют для измерения показателей преломления газов, мало отличающихся от единицы. Для этой же цели служат интерференционные рефрактометры, имеющие технический характер и приспособленные для измерения небольших вариаций показателя преломления газов и
жидкостей, вызванных примесями (например, технический интерферометр для
определения состава газов в шахтах или анализа ничтожных количеств солей,
растворённых в воде). Интерференционная рефрактометрия находит применение и в клинических лабораториях для исследования изменений в составе крови, связанных с заболеваниями.
§ 2.13 Принцип Гюйгенса-Френеля
Характерным для распространения любых волн является их способность
загибать за преграды (давать дифракцию). Однако масштаб загибания зависит
от отношения размеров преграды к длине волны. Например, крупные волны,
распространяющиеся по поверхности воды, полностью огибают сваю, мелкая
же рябь образует за сваей хорошо выраженную область ″тени″.
Принцип Гюйгенса (см. § 1.5) позволяет построить новое положение волнового фронта, проводя огибающую к элементарным волнам, возникшим около
каждой точки положения фронта в предыдущий момент. Пусть, на плоскую
преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны (рисунок 38). По
Гюйгенсу каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта
служит источником вторичных волн, которые в однородной и изотропной среде
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
будут сферическими. Построив огибающую вторичных волн, можно убедиться,
что за отверстием волна, огибая края преграды, проникает в область геометрической тени (на рисунке 38 границы этой области показаны пунктиром). Принцип Гюйгенса позволяет решать лишь задачи о направлении распространения
светового фронта и не затрагивает по существу вопроса об интенсивности волн,
идущих по разным направлениям. Френель (1815 г.) дополнил принцип Гюйгенса, введя представления о когерентности и интерференции вторичных волн.
Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет найти амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точке пространства. Модифицированный таким образом принцип Гюйгенса-Френеля позволяет исследовать
вопросы, относящиеся к распределению интенсивности результирующей
волны в различных направлениях, т.е.
решать задачи о дифракции света, прямолинейного распространении света,
Р
r
r
dS
dS
ϕ
n
Рисунок 38
отражения, преломления и т.д.
Формулировка Френеля не устраняет трудность, характерную для принципа Гюйгенса и состоящую в том, что из него следует наличие двух волн: одной, идущей вперёд, от источника света, другой, построенной так же, но направленной обратно, к источнику. В своей формулировке Френель отрицал наличие обратной волны. В соответствии с этим допущением на рисунке 38 огибающая вторичных волн, направленных обратно, вообще не отмечена.
Принцип Гюйгенса-Френеля можно сформулировать следующим образом: Окружим имеющиеся источники света произвольной замкнутой поверхностью S. Каждую точку такой поверхности можно рассматривать как источник
вторичных волн, распространяющихся во всех направлениях. Световое поле,
возникающее в результате их интерференции в пространстве вне поверхности
S, совпадает с полем реальных источников света.
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для отыскания амплитуды колебаний вектора напряженности электрического поля (интенсивности, пропорциональной квадрату амплитуды) результирующей волны, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, можно поступить следующим образом. Поверхность S огибающей вторичных волн будем рассматривать как светящуюся поверхность, излучение отдельных элементов которой,
приходя в любую точку Р, определяет своей совокупностью результирующее
колебание в этой точке (рисунок 38). Излучение каждого элемента dS поверхности S надо представлять себе как сферическую волну (вторичная волна), которая приносит в точку Р колебание:
dA =
a
cos(ωt − kr + α ) .
r
(13.1)
В соотношении (13.1) амплитуда а пропорциональна площади dS и зависит от
угла ϕ между нормалью n к dS и радиус-вектором r от dS к точке Р, т.е.
а = В(ϕ)⋅a0⋅dS,
где В(ϕ) − некоторый коэффициент, зависящий от ϕ,
a0 − амплитуда колебаний на единичном расстоянии от элемента dS.
Результирующее колебание в точке Р представляет собой суперпозицию
колебаний (13.1), взятых для всей поверхности S:
A = ∫ B(ϕ)
S
a0
cos(ωt − kr + α )dS ,
r
где k − волновой вектор, k = k =
(13.2)
2π
− модуль волнового вектора (волноλ
вое число),
(ωt+α) − фаза колебаний в месте расположения элемента поверхности
dS.
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Каждый элемент dS рассматривается как некоторый вспомогательный источник. Так как фазы всех вспомогательных источников определяются колебанием, идущим из первичного источника света, то они строго согласованы между собой, и, следовательно, вспомогательные источники когерентны. В случае
если вспомогательная поверхность S совпадает с фронтом волны, идущей из
первичного источника света, то все вспомогательные источники будут иметь
одинаковую фазу. Если же выбор S сделан иначе, то фазы вспомогательных источников не одинаковы, но источники, конечно, остаются когерентными.
В общем случае расчет интерференции вторичных волн является задачей
интегрального исчисления и, вообще говоря, может быть довольно сложным и
громоздким. Однако, для некоторых случаев нахождение амплитуды результирующего колебания осуществляется алгебраическим или графическим суммированием.
Рассмотрим случай прохождения света через круглое отверстие. Пусть, S
(рисунок 39) − точечный источник света, СС′ − круглое отверстие в непрозрачном экране, лежащее от S на расстоянии R. Это отверстие пропустит лишь
часть сферической волны, исходящей из S. Определим действие этой волны в
точке Р, лежащей на прямой АА′, проходящей через центр отверстия СС′, на
расстоянии r0 от отверстия. Для этого мысленно разделим волновую поверхность W на кольцевые зоны (зоны Френеля), построенные таким образом, чтобы расстояния от краёв соседних зон до точки Р отличались на половину длины
волны:
В1Р − В0Р = В2Р − В1Р = В3Р − В2Р = . . . =
λ
.
2
(13.3)
Тогда колебания, приходящие в точку Р от соответствующих частей соседних зон, будут иметь разность хода λ/2, т.е. придут в точку Р в противоположных фазах.
Амплитуда колебаний, приходящих от отдельной зоны, зависит от площади зоны, от расстояния r от зоны до точки Р и от угла наклона между r и
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нормалью к поверхности зоны. Покажем, прежде всего, что площади зон примерно одинаковы.
W
C
B3
B2
r
B1
S
R
P
B0
S′
r0
Рисунок 39
C′
Обозначим через ρm радиус m – ой зоны. Из рисунка 40 имеем
ρm2 = R2 − (R− h)2 = rm2 − (r0 + h)2,
(13.4)
r − r0
.
h= m
2(R + r0 )
(13.5)
Откуда
2
2
Но по (13.3) расстояние до m-ой зоны rm на m
λ
rm = r0 + m ,
2
отсюда
rm2
λ
больше расстояния r0:
2
2 λ 
2
− r0 = mr0λ + m   .
2
2
Считая, что λ << r0, приближённо получим
rm2 − r02 = mr0λ,
101
(13.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
после чего равенство (13.5) примет вид:
h = m⋅
W
r0
λ
⋅ .
R + r0 2
Bm
R
rm
ρm
S
(13.7)
R
B0
r0
α
P
C h
Рисунок 40
Площадь поверхности сферического сегмента радиуса ρm равна
∆Sm =2πRh.
Подставляя сюда вместо h его значение (13.7), получим
∆Sm = m⋅
2πRr0 λ
⋅ .
R + r0 2
В пределах этого сегмента умещается m кольцевых зон, откуда площадь
одной зоны ∆S может быть представлена как разность площади этого сегмента
и сегмента, охватывающего (m−1) зону:
∆S = ∆Sm − ∆Sm-1 = m⋅
2πRr0 λ
2πRr0 λ
⋅ − (m−1)⋅
⋅ ,
R + r0 2
R + r0 2
откуда
∆S =
πRr0
⋅λ.
R + r0
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, площадь зоны в указанном приближении не зависит от ее
номера m, т.е. площади ∆S всех зон приблизительно одинаковы. Следовательно, амплитуды колебаний, доходящих от отдельных зон до точки Р, зависят
лишь от расстояния rm и от угла, который направление rm составляет с нормалью к поверхности зоны. С увеличением номера зоны m расстояние rm возрастает и возрастает угол наклона, поэтому амплитуды аm колебаний, доходящих
до точки Р от отдельных зон, должны монотонно убывать с увеличением номера зоны m:
а1 > а2 > а3 > а4 > . . . > am > am+1 > . . .
Так как фазы колебаний, приходящих в точку Р от двух соседних зон,
противоположны, то амплитуда Аm суммарного колебания, вызванного действием m зон, равна
Аm = а1 − а2 + а3 − а4 + a5 − . . . ± am,
(13.8)
где знак последнего члена положителен при нечётном m и отрицателен при
чётном m. Очевидно, при чётном числе зон их действия попарно ослабляют
друг друга и амплитуда суммарного колебания Аm в точке Р незначительна; при
нечётном числе зон действие одной из зон остаётся не ослабленным и амплитуда Аm больше, чем при чётном числе зон.
Более точно значение амплитуды Аm суммарного колебания мы получим,
разбив в сумме (13.8) все нечётные слагаемые на два слагаемых: а1 =
а3 =
а1
а
+ 1,
2
2
а3
а
+ 3 и т.д. Тогда при нечётном m получим:
2
2
Аm =
а1  а1
а  а
а 
+  − а2 + 3  +  3 − а4 + 5  + . . . +
2
2  2
2
2
а  а
а
+  m − 2 − а m −1 + m  + m .
2 
2
 2
103
(13.9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При чётном m получим:
Аm =
а1  а1
а  а
а 
+  − а2 + 3  +  3 − а4 + 5  + . . . +
2
2  2
2
2
а  а
а
+  m −3 − а m −2 + m −1  + m−1 − am.
2
2 
 2
(13.10)
Так как, как было сказано, амплитуды am монотонно убывают с возрастанием m, то приближённо можно положить амплитуду колебаний, вызванных
какой-либо m-ой зоной, равной полусумме амплитуд колебаний, вызванных
(m − 1)-ой и (m + 1)-ой зонами:
a m −1 + a m +1
,
2
am =
откуда все слагаемые в рядах (13.9) и (13.10), выделенные скобками, равны нулю и, следовательно, при нечётном m:
Аm =
а1
а
+ m,
2
2
(13.11)
а при чётном m:
Аm =
а1
а
+ m−1 − am,
2
2
(13.12)
Если число зон m достаточно велико, то амплитуды колебаний, вызванных (m − 1)-ой и m-ой зонами, мало отличаются друг от друга, откуда приближённо
а
а m−1
− am = − m . Таким образом, равенства (13.11) и (13.12) принимают
2
2
вид:
Аm =
а1
а
± m,
2
2
104
(13.13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где знак плюс соответствует нечётному числу зон, а знак минус – чётному числу зон.
Число зон, которое уложится на части волнового фронта, не закрытой экраном, зависит от отношения размеров отверстия к длине волны λ и от места
его положения. По формуле (13.4) радиус m-ой зоны ρm определяется равенством:
ρm2 = rm2 − (r0 + h)2 = rm2 − r02 − 2r0h − h2.
Полагая h << r0, пренебрежём членом h2, тогда
ρm2 = rm2 − r02 − 2r0h.
Подставляя сюда вместо h его значение по (13.7), получим:
2
ρm2
=
rm2
r
− r0 − m⋅ 0 ⋅λ,
R + r0
2
наконец, заменяя по (13.6) rm2 − r02 через mr0λ, найдём
ρm2 = m⋅
r0 R
⋅λ,
R + r0
откуда
ρm =
m⋅
r0 R
⋅λ .
R + r0
(13.13)
Очевидно, что ρm одновременно есть радиус рассматриваемого отверстия
в экране. Отсюда получаем, что отверстие радиуса ρ открывает часть волнового
фронта, на котором умещается число зон
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
m=
ρ ρ(R + r0 )
⋅
.
λ
r0 R
(13.14)
Для плоского фронта волны, падающего на экран (R = ∞), формула (13.14)
принимает вид:
m=
ρ ρ
⋅
λ r0
m=
ρ
⋅α,
λ
или
где α =
(13.15)
ρ
− угол, под которым видно отверстие в экране из точки Р.
r0
Амплитуда результирующего колебания в точке Р зависит от числа открытых зон m. Для данных длины волны, места положения экрана и размеров
отверстия в нём (даны λ, R и ρ) число открытых зон m определится положением точки Р; для разных точек Р это число m будет различным. В тех точках Р,
для которых m нечётно, амплитуда результирующего колебания Аm больше, а в
тех точках Р, для которых m чётно, она меньше. Квадрат амплитуды определит
энергию колебаний. В свою очередь энергия световых колебаний определяет
освещённость. Таким образом, при продвижении вдоль прямой В0А′ (рисунок
39) мы будем встречать то большие, то меньшие освещённости.
При данных же R и r0, т.е. при данном расположении источника света, экрана с отверстием и точки наблюдения Р, освещённость в точке Р будет зависеть от размеров отверстия ρ и его отношения к длине волны λ.
Таким образом, мы приходим к выводу: свет не распространяется прямолинейно, освещённость в точке Р определяется размером и положением отверстия СС′, она определяется действием всех точек, лежащих на открытой части
волнового фронта.
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если размеры отверстия СС′ увеличивать до бесконечности, т.е. оставить
незакрытой всю поверхность волнового фронта W, то действие последней зоны
am станет бесконечно малым и по (13.13) амплитуда результирующего колебания А∞ в точке Р окажется равной:
А∞ =
а1
.
2
Если размеры отверстия СС′ такие, что по отношению к данной точке Р
на площади отверстия укладывается нечётное число зон, то амплитуда колебаний в точке Р равна
Аm =
а1
а
+ m,
2
2
т.е. она больше, чем при полностью открытом фронте. Максимальное значение
Аm имеет в такой точке Р, для которой на площади отверстия укладывается одна первая зона, тогда А1 = а1, т.е. вдвое больше, чем А∞.
При большом числе открытых зон
аm
мало, и амплитуда результирующе2
го колебания Аm мало отличается от амплитуды А∞, соответствующей полностью открытому фронту. Отсюда размеры отверстия СС′ перестают сказываться
на освещённости в точке Р, если число открытых зон велико. Если бы свет распространялся прямолинейно, то размеры отверстия вообще не должны были бы
сказываться на освещённости в точке Р. Отсюда мы приходим к следствию, что
выводы из волновых представлений и представлений о прямолинейном распространении света начинают совпадать, когда число открытых зон велико. Пользуясь выведенными выражениями для числа m, легко подсчитать, при каких условиях число зон, укладывающихся на площади отверстия, велико. Например,
для случая плоского фронта (R = ∞) для точки Р, расположенной на расстоянии
r0 = 50 см от отверстия радиусом ρ = 0,5 см и при длине волны света λ =
5⋅10-5 см, по (13.15)
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
m=
ρ ρ
0,5
0,5
= 100.
⋅ =
⋅
−5
λ r0
5 ⋅ 10
50
Таким образом, при этих условиях на площади отверстия укладывается
значительное число зон, дальнейшее увеличение размеров отверстия практически не будет влиять на освещённость в точке Р – результат такой, как если бы
свет распространялся прямолинейно. Для точки же Р, отстоящей от того же отверстия радиусом ρ = 0,5 см на расстояние 50 м, на площади отверстия уложится лишь одна зона, и волновой характер распространения света будет явно сказываться.
§ 2.14 Графическое сложение амплитуд
Рассмотрение вопроса о действии световой волны в точке Р (см. рисунок
39), чрезвычайно удобно производить, пользуясь графическим методом сложения колебаний, обладающих некоторой разностью фаз. Для того чтобы графически изобразить действие целой зоны, следует разбить ее на весьма узкие равные кольцевые участки, столь малые, чтобы фаза колебаний, вызываемых в
точке Р различными воображаемыми источниками такого участка, практически
могла считаться постоянной. Тогда действие всего участка можно выразить
вектором, длина которого даёт суммарную амплитуду, а направление определяет фазу, обусловливаемую этим участком. Действие соседнего участка можно
выразить вторым вектором, несколько повёрнутым относительно первого, так
как фаза, определяемая совокупностью источников второго участка, будет немного отличаться от фазы, задаваемой первым участком. По длине же этот вектор практически не будет отличаться от первого, так как амплитуда колебания,
вызываемого равновеликими участками фронта волны, отличается только
вследствие изменения наклона фронта волны к линии, проведённой к точке Р, а
для двух соседних участков это изменение ничтожно мало. Даже при переходе
от одной зоны к следующей действие изменения наклона весьма незначитель108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
но. Таким образом, векторная диаграмма, определяющая действие ряда участков, составляющих целую зону, изобразится ломаной, представленной на рисунке 41.
Здесь для определённости мы предполагали, что зо-
В
на разбита на 6 элементарных участков. Если разбить зону на бесконечно большое число бесконечно малых участков, то ломаная линия обратится в дугу, которая лишь
очень мало будет отличаться от полуокружности. При
этом вектор, касательный к дуге в точке В, будет иметь
направление, прямо противоположное направлению соот- 0
ветствующего вектора вблизи точки 0, так как фаза колебания в Р, обусловленного действием последнего участка
Рисунок 41
зоны, очевидно, противоположна фазе колебаний, излучаемых начальным участком зоны. Таким образом, векторную диаграмму действия центральной зоны
можно представить рисунком 42, и результирующую, характеризующую колебание в Р, вызванное действием одной центральной (1-й) зоны, − вектором 0В1.
Здесь амплитуда колебаний от узкого кольца, прилегающего к границе 1-й зоны
Френеля, отстаёт по фазе на π от амплитуды колебаний, приходящих в точку Р
от центра 1-й зоны, поэтому соответствующие этим амплитудам векторы взаимно противоположны по направлению.
В1
В1
В2
0
Рисунок 43
0
Рисунок 42
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для того, чтобы учесть действие второй зоны, надо продолжить нашу
векторную диаграмму. Тогда мы получим рисунок 43, где результирующая амплитуда 0В2 определяет действие первых двух зон Френеля, причём хорда В1В2
несколько меньше, чем у дуги 0В1, вследствие возрастающего наклона зоны.
Цепочка по мере увеличения кольцевых зон будет «закручиваться» в спираль и результирующая амплитуда, характеризующая действие всего волнового
фронта, выражается вектором 0N = s (рисунок 44). Эту спираль называют спиралью Френеля. Из рисунка 44 легко видеть, что вектор s равен примерно половине вектора 0В1 = s1, представляющего действие центральной зоны, и совпадает с ним по направлению. Другими словами, колеба-
В1
ние в точке Р, обусловленное всем волновым фронтом, совпадает по фазе с колебанием, которое могло
бы создать центральная зона, а по амплитуде состав-
N
К
ляет примерно половину этого колебания. Приведённые рассуждения показывают, что действие (амплитуда), вызванное всем волновым фронтом, примерно
равно половине действия центральной зоны, а не
0
Рисунок 44
действию половины центральной зоны, как нередко утверждают. В самом деле,
действие половины центральной зоны выразилось бы вектором 0К, отличающимся от правильно найденного вектора 0N.
Таким образом, амплитуда колебаний и интенсивность в точке Р (см. рисунок 39) по мере увеличения радиуса отверстия в экране изменяется не монотонно. Пока открывается 1-ая зона Френеля, амплитуда в точке Р увеличивается
и достигает максимума при полностью открытой зоне (см. рисунок 42). Но по
мере открывания 2-й зоны Френеля амплитуда колебаний в точке Р убывает, и
при полностью открытых двух первых зонах уменьшается почти до нуля (см.
рисунок 43), хотя световой поток через отверстие оказывается вдвое больше.
Затем амплитуда попеременно увеличивается и уменьшается (рисунок 44).
Рассмотрим теперь случай плоского волнового фронта, падающего на непрозрачный экран с круглым отверстием. Тогда по формуле (13.15) § 2.13 каж110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дой точке спирали, например точке К рисунка 44, соответствует определённое
значение отношения
ρ
⋅α, где ρ − радиус отверстия, а α − угол, под которым
λ
это отверстие видно из точки Р (рисунок 40). Длина вектора а, соединяющего
точку 0 с точкой К, даст амплитуду колебаний, вызванных в точке Р всей частью волнового фронта, открытого рассматриваемым круглым отверстием.
Предположим, например, что при заданном радиусе отверстия ρ точка Р перемещается вдоль оси SS′ (рисунок 39), следовательно, меняется угол α. Этому
будет соответствовать непрерывное перемещение точки К по спирали. При
этом длина вектора 0К = а будет периодически то удлиняться, то укорачиваться, что указывает на периодическое изменение освещённостей при перемещении вдоль оси SS′ (рисунок 39). К такому же результату мы пришли в § 2.14 путём алгебраического суммирования, только там построение зон Френеля позволяло найти амплитуды колебаний лишь для тех точек Р, для которых число открытых зон равнялось целому числу. Теперь, благодаря построению бесконечно узких зон, мы можем найти амплитуду колебаний в любой точке Р.
Эти результаты, предсказанные на основе принципа Гюйгенса-Френеля,
на первый взгляд выглядят парадоксальными. Однако они хорошо подтверждаются опытом. В то же время согласно геометрической оптике интенсивность света в точке Р не должна зависеть от радиуса отверстия и от расстояния
точки наблюдения Р до отверстия.
Итак, амплитуда колебаний в точке Р от полностью открытой волновой
поверхности, согласно представлениям Френеля, равна s = s1/2, т.е. интенсивность, пропорциональная квадрату амплитуды, в четыре раза меньше, чем при
наличии экрана с круглым отверстием, открывающем только 1-ую зону Френеля. Особенно неожиданным в методе Френеля представляется тот удивительный вывод, что при отверстии в экране, открывающем для точки Р две зоны
Френеля, интенсивность в этой точке практически падает до нуля, хотя световой поток через отверстие оказывается вдвое больше.
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В дальнейшем, при рассмотрении различных случаев дифракции, мы будем пользоваться графическим методом сложения колебаний.
При этом нужно отметить, что в методе расчёта Френеля имеются принципиальные неясности. При расчётах ″задняя″ часть волнового фронта во внимание не принимается. Второй недостаток метода Френеля заключается в том,
что он даёт неправильное значение начальной фазы колебания в точке Р. Значение фазы результирующего колебания в точке Р, найденное путём графического сложения колебаний, приходящих от отдельных зон полностью открытого фронта, отличается на π/2 от действительного.
Тем не менее, метод Френеля полезен, так как он приводит к правильным
значениям амплитуды колебаний, а, следовательно, и освещённости. В большинстве же задач важно знать именно освещённость. Точный расчёт дифракции может быть получен лишь на основании электромагнитной теории света.
§ 2.15 Дифракция от непрозрачных преград
Когда волновые фронты светового пучка ограничиваются, например,
диафрагмой или краем непрозрачного экрана, волны частично проникают в область геометрической тени. Поэтому тень оказывается не резкой, как должно
было бы быть при прямолинейном распространении света, а размытой. Такое
огибание светом препятствий является общим для всех волн свойством и называется дифракцией. Различают два вида дифракции. Если источник света и точка наблюдения расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие и идущие в точку наблюдения, образуют практически
параллельные пучки, то имеет место дифракция Фраунгофера или дифракция в
параллельных лучах. В противном случае будет наблюдаться дифракция Френеля. С практической точки зрения особенно важен случай дифракции Фраунгофера, т.к. математический разбор многих важных примеров дифракции Фраунгофера не труден и он находит применение при рассмотрении многих вопросов, касающихся оптических приборов (дифракционной решетки, оптических
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
инструментов и т.д.). Условия, близкие к условиям Фраунгофера, можно осуществить, поместив малый источник света в фокусе линзы и собрав свет при
помощи второй линзы в некоторой точке экрана, расположенного в ее фокальной плоскости. Эта точка служит изображением источника. Помещая между
линзами различные препятствия, мы наблюдаем на экране различные дифракционные картины. Решить задачу дифракции - значит найти распределение интенсивности света на экране в зависимости от размеров и формы препятствий,
вызывающих дифракцию света.
Рассмотрим сначала некоторые частные случаи дифракции Френеля.
1. Дифракция от круглого отверстия. Пусть S – точечный источник света (рисунок 45), В − непрозрачный экран с круглым отверстием D с центром в
точке С и Е – экран, на котором наблюдается освещённость. В случае прямолинейного распространения света мы
B
ρ
S
R
E
P′
C′
C
D
r0
Р
получили бы на экране Е освещённый
круг с резкими краями. В действительности получится более сложная
картина. Результат действия волнового фронта, проходящего через отвер-
Рисунок 45
стие D, в точке Р, лежащей на оси SC,
мы уже определили. Освещённость в точке Р больше или меньше освещённости
от незакрытого фронта в зависимости от того, уложится ли при данных условиях опыта на площади отверстия D нечётное или чётное число зон Френеля. Для
определения освещённости в какой-либо точке Р′, не лежащей на оси SC, мы
можем рассуждать следующим образом. Если бы экрана В
не существовало вовсе, то мы определили бы действие
волнового фронта в точке Р′, построив кольцевые зоны
Френеля, центром для которых служила бы точка С′. при
наличии экрана В отверстие D расположится не концентрически по отношению к этим зонам. Открытая часть зон
Рисунок 46
будет выглядеть, как это изображено на рисунке 46, где для ясности нечётные
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зоны заштрихованы. Действие этих зон в точке Р′ определится не только их
числом, но и тем, какая часть каждой из зон открыта. Точный подсчёт амплитуды суммарного колебания в точке Р′ сложен, но ясно, что при удалении от точки Р мы периодически встретим места с большей или меньшей освещённостью.
Так как вся картина должна обладать круговой симметрией, то около точки Р
возникнут чередующиеся более светлые и менее светлые кольца. Число наблюдаемых светлых и тёмных колец и их положение зависят от числа зон,
умещающихся на площади отверстия D при данных условиях наблюдения. По
формуле (13.14) § 2.13 на отверстии радиуса ρ уложится число зон m, определяемое равенством
m=
ρ ρ(R + r0 )
⋅
.
λ
r0 R
(15.1)
Как видно, это число m зависит от отношения радиуса отверстия ρ к длине волны λ и от расстояний R от источника до экрана и r0 − от экрана до места наблюдения. При бесконечном увеличении расстояния R формула (15.1) переходит в
формулу (13.15) § 2.13. Число зон m может быть мало и при значительных размерах отверстия D, если только расстояния R и r0 достаточно велики. Если на
площади отверстия укладывается лишь одна центральная зона Френеля или
часть ее, то на экране Е получается размытое пятно, не окружённое светлыми и
тёмными кольцами. Если на площади отверстия укладывается большое число
зон Френеля, то освещённость вблизи точки Р получается практически равномерной и лишь у краёв геометрической тени наблюдается чередование весьма
узких светлых и тёмных полос.
Все рассуждения проведены в предположении, что источник света S − точечный. Всякий же реальный источник протяжён. В этом случае мы должны
его мысленно разбить на точечные источники, каждый из которых даст дифракционную картину. Эти дифракционные картины будут несколько смещены
друг относительно друга. Размеры источника должны быть настолько малы,
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чтобы тёмные и светлые полосы, даваемые отдельными точками источника, не
перекрылись, что повело бы к полному размыванию картины.
2. Дифракция от круглого непрозрачного экрана. Пусть S – точечный
источник света, D – непрозрачный круглый диск с центром в точке С (рисунок
47). Определим прежде всего действие волнового фронта в точке Р, ле-
E
жащей на оси SC. Пусть экран D закроет m первых зон. Тогда в точку Р
S
придут колебания от всех остальных
Р
C
D
зон, начиная от (m + 1)-ой. Суммируя
Рисунок 47
действие всех этих зон, точно так же,
как это было сделано в § 2.13, придём к выводу, что амплитуда колебаний АР в
точке Р будет равна половине амплитуды колебаний, приходящих от (m + 1)-ой
зоны:
АР =
а m +1
.
2
Для точек, лежащих не на оси SC, диск окажется расположенным не концентрически по отношению к зонам. Суммарная амплитуда будет больше или
меньше в зависимости от того, какая часть зон закрыта. Таким образом, мы
приходим к выводу, что центральную светлую точку окружает система чередующихся светлых и тёмных колец. Если диск закрывает лишь малую часть
центральной зоны, то волны полностью обогнут его, и диск вовсе не даст тени.
Если диск перекрывает лишь несколько зон Френеля, то суммарная амплитуда
в центре геометрической тени почти такая же, как при отсутствии диска. Это
непосредственно следует из спирали Френеля (рисунок 44).
Светлое пятно в центре геометрической тени называют пятном Пуассона.
Рассматривая в своё время метод Френеля суммирования колебаний от отдельных зон волнового фронта, Пуассон пришёл к выводу, что в центре тени от
диска должно быть светлое пятно. Но он посчитал этот вывод столь абсурдным,
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
что выдвинул его как убедительное возражение против волновой теории, развиваемой Френелем. Однако это «абсурдное» предсказание было экспериментально подтверждено Арагоном. Волновая теория Френеля восторжествовала.
Зонная пластинка. Если в экране открыть только нечётные зоны Френеля (1-ую, 3-ю,…), то векторы-амплитуды от этих зон будут сонаправлены и в
сумме дадут вектор, во много раз превосходящий по модулю векторы А∞ и А1.
Такой экран называют зонной пластинкой. Аналогично можно изготовить зонную пластинку, где открыты только чётные зоны Френеля. Зонная пластинка,
содержащая n открытых зон, создаёт в точке Р интенсивность приблизительно в
n2 раз большую, чем отверстие в первую зону Френеля. Усиление интенсивности света зонной пластинкой эквивалентно фокусирующему действию линзы.
Метод зон Френеля позволяет сравнительно просто найти интенсивность
света только в точке Р, лежащей на оси кругового отверстия в экране. Расчёт же
распределения интенсивности для всей дифракционной картины значительно
сложнее. Вся картина обладает круговой симметрией и представляет собой чередующиеся светлые и тёмные кольца, плавно преходящие друг в друга.
§ 2.16 Дифракция в параллельных лучах
Рассмотренные нами случаи дифракции (дифракции Френеля) наблюдаются без помощи каких-либо оптических приборов: на пути фронта световой
волны располагается лишь непрозрачный экран, частично загораживающий
фронт. Иной способ наблюдения дифракционных наблюдений дифракционных
явлений дал Фраунгофер. Он наблюдал картину, возникшую в главной фокальной плоскости линзы, собирающей плоские световые волны, загороженные тем
или иным непрозрачным экраном. Схема наблюдения дифракции Фраунгофера
изображена на рисунке 48. Точечный источник света S расположен в главной
фокальной плоскости линзы L1. Из линзы L1 выходит параллельный пучок лучей, на пути которого расположен непрозрачный экран с отверстием ab. Экран
частично загораживает пучок лучей, который затем падает на вторую линзу L2.
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В случае прямолинейного распространения света лучи распространялись бы и
за экраном параллельным пучком и были бы собраны второй линзой L2 в точку
в ее главной фокальной плоскости (обе линзы считаем идеальными). На самом
деле в фокальной плоскости F2 линзы L2 наблюдается дифракционная картина,
вид которой зависит от формы и размеров отверстия в экране и длины падающей волны.
Явления
фраунгоферовой
a
дифракции могут быть также ра-
F2
зобраны методом графического S
суммирования колебаний, при-
b
L2
ходящих от отдельных зон вол-
L1
Рисунок 48
нового фронта. Рассмотрим частные случаи дифракции Фраунгофера.
1. Дифракция Фраунгофера от одной щели. Точное вычисление интеграла (13.2) возможно только в простейших случаях. Обычно его вычисляют с
помощью приближённых методов. В частности, точный расчет интеграла (13.2)
возможен для дифракции Фраунгофера от щели. Пусть, на щель шириной b падает плоская монохроматическая световая волна (рисунок 49). Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости линзы - экран. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу.
Наша цель - найти распределение интенсивности света в плоскости экрана. При этом мы используем примечательное свойство собирающей линзы − все
параллельные пучки света 00', NN', FF' собираются в одной и той же точке Р
фокальной плоскости линзы, в которой расположен экран. Для аналитического
расчёта интенсивности света, распространяющегося по разным направлениям
за щелью, напишем выражение для волны, посылаемой каждым элементом
волнового фронта, и просуммируем действие всех элементов. Амплитуда волны, обусловленной одним таким элементом, пропорциональна его ширине dх,
т.е. равна C⋅dx. Множитель С определяется из условия, что по направлению ϕ =
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0 амплитуда волны, посылаемой всей щелью, равна A0, т.е. C⋅b = A0, или С =
A0
.
b
b
х
0
х
О
N
F
∆=xsinϕ
ϕ
Q
О′
F′
N′
Собирающая линза
экран
Р
Рисунок 49
Таким образом, световое колебание на соответствующем участке dx щели
выразится соотношением:
dA =
A0
⋅ dx ⋅ cos(ω ⋅ t )
b
(16.1)
Для отыскания действия всей щели в направлении, определяемом углом ϕ
с первоначальным направлением, необходимо учесть разность фаз, характеризующую волны, доходящие от различных элементов волнового фронта до точки
наблюдения Р.
Из рисунка 49 видно, что разность хода между волнами, идущими от элементарной зоны при точке О (левый край щели) и от какой – либо точки N (лежащей на расстоянии х от края щели), есть NQ = ∆ = x⋅sinϕ. Световое колебание, идущее от элемента dх в точке N, в точку Р экрана запишем следующим
образом:
dA =
A0
cos(ωt − kx ⋅ sinϕ )dx
b
118
(16.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Результирующее колебание в точке Р определится как сумма этих выражений, т.е. выразится интегралом по всей ширине щели:
1

sin  bk ⋅ sin ϕ 
A
2
 ⋅ cos ω ⋅ t − 1 bk ⋅ sin ϕ  (16.3)
A = ∫ 0 ⋅ cos(ω ⋅ t − kx ⋅ sin ϕ)dx = A 0 


1
2
b


0
bk ⋅ sin ϕ
2
b
Таким образом, результирующая волна, идущая в направлении ϕ, имеет
амплитуду:
1

 πb ⋅ sin ϕ 
sin bk ⋅ sin ϕ 
sin

2
λ



,
Aϕ = A0
= A0
1
πb ⋅ sin ϕ
bk ⋅ sin ϕ
2
λ
так как k =
(16.4)
2π
.
λ
Для точки, лежащей против центра линзы, ϕ = 0 и Аϕϕ=0 = А0. При ϕ = 0
колебания от всех элементарных зон приходят в точку Р в одинаковой фазе.
Поэтому амплитуда результирующего колебания равна алгебраической сумме
амплитуд складываемых колебаний.
При значениях ϕ, удовлетворяющих условию
πb ⋅ sinϕ
=±nπ,
λ
(16.5)
т.е. в случае, если b⋅sinϕ = ± nλ, (n = 1,2,3,..), амплитуда Аϕ обращается в нуль.
Условию (16.5) можно дать простое объяснение. Допустим, что n = 1. Тогда разность хода между лучами, идущими от краёв щели, составляет λ, или
разность фаз между этими лучами равна 2π. Тогда для любого луча, проходящего через щель, можно найти другой луч, колебания вектора напряжённости
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
электрического поля в котором происходят в противофазе с первым лучом
(разность фаз составляет π). Эти два луча в точке Р, в которой собираются лучи
идущие в направлении ϕ, взаимно компенсируют друг друга. Очевидно, эти
рассуждения можно повторить для любого целого n. Таким образом, если на
разности хода между лучами, идущими от краёв щели в направлении ϕ, укладывается целое число длин волн, то в точке Р экрана Аϕ = 0.
Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, в соответствии с (16.4):
 πb ⋅ sinϕ 
sin 2 

λ

,
Iϕ = I0
2
 πb ⋅ sinϕ 


λ


(16.6)
где I0 − интенсивность света в середине дифракционной картины (против
центра линзы),
Iϕ − интенсивность в точке, положение которой определяется значением ϕ.
Выражения (16.5) и (16.6) показывают, что вдоль экрана (с изменением
угла ϕ) интенсивность меняется, проходя через максимумы и минимумы, в частности, краям центрального максимума соответствуют значения угла ϕ, получающиеся из условия b⋅sinϕ = ±λ. Эти значения угла ϕ равны ±arccos(λ/b). Следовательно, угловая ширина центрального максимума равна δϕ = 2arccos(λ/b).
Таким образом, центральная светлая полоса тем шире, чем меньше ширина щели b. На рисунке 50 показана кривая распределения интенсивности Iϕ в зависимости от sinϕ.
Как видно из рисунка 50 величина вторичных максимумов быстро убывает. Так, расчёт по формуле (16.6) даёт, что численные значения интенсивностей
центрального и следующих максимумов относятся как 1: 0,045: 0,016: 0,008 и
т.д.
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из приведённых выше формул ясно, что положение минимумов и максимумов зависит от длины волны λ. Поэтому дифракционная картина имеет описанный вид лишь для монохроматического света. В случае белого света мы
имеем совокупность соответствующих картин для разных цветов (сдвинутых
одна относительно другой в соответствии с различием в λ).
Iϕ
I0
−2
λ
b
−
λ
b
0
λ
b
2
λ
b
3
λ
b
sinϕ
Рисунок 50
Центральный максимум (ϕ = 0) будет, конечно, общим для всех длин
волн, так что центр дифракционной картины представится в виде белой полоски, переходящей в цветную каёмку. Вторичные максимумы для разных длин
волн уже не совпадают между собой; ближе к центру располагаются максимумы, соответствующие более коротким волнам. Длинноволновые максимумы
отстоят друг от друга дальше, чем коротковолновые. Однако максимумы эти
настолько расплывчаты, что никакого сколько-нибудь отчётливого разделения
различных длин волн (спектрального разложения) при помощи дифракции на
одной щели получить нельзя. Для получения более яркой дифракционной картины используются дифракционные решетки.
2. Дифракционная решётка. Дифракционные решётки бывают различных типов – прозрачные, отражательные, пространственные, амплитудные, фазовые. Особенно наглядным является анализ прозрачной дифракционной ре121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
шётки. В дальнейшем тексте используется термин ″дифракционная решётка″,
хотя имеется в виду прозрачная дифракционная решётка.
Дифракционная решётка представляет собой совокупность большого числа одинаковых отстоящих друг от друга на равных расстояниях параллельных
щелей, разделённых непрозрачными промежутками, нанесёнными тем или
иным способом на плоскую или вогнутую оптическую поверхность. Дифракционная решётка используется в спектральных приборах в качестве диспергирующей системы для пространственного разложения электромагнитного излучения (в т.ч. света) в спектр. Фронт световой волны, падающей на дифракционную решётку, разбивается ее непрозрачными участками (штрихами) на отдельные когерентные пучки, которые, претерпев дифракцию на штрихах, интерферируют, образуя результирующее пространственное распределение света –
спектр излучения.
Плоская дифракционная решётка представляет собой периодическую
структуру с постоянным расстоянием d между штрихами, которое называется
периодом дифракционной решётки (рисунок 51), причем d = a + b, где а − ширина непрозрачной части (штриха), b − ширина щели. На рисунке 51 ϕ − угол
дифракции, ∆ − разность хода между лучами, проходящими через соседние щели при падении нормально на решётку плоской монохроматической световой
волны.
Выясним характер дифракционной картины на экране. Каждая из щелей
дает на экране картину, описываемую кривой, изображенной на рисунке 50.
При одинаковых углах дифракции ϕ колебания от всех щелей придутся на одно
и то же место экрана. Независимо от положения щели, центральный максимум
лежит против центра линзы. При смещении щелей параллельно экрану, дифракционная картина на экране остается неподвижной. Смещение линзы параллельно экрану при неподвижной решетке приводит к такому же смещению
дифракционной картины на экране. Если бы колебания, приходящие в точку Р
от различных щелей были некогерентными, результирующая картина от N щелей отличалась бы от картины, создаваемой одной щелью тем, что все интен122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сивности возросли бы в N раз. В случае когерентности колебаний от различных
щелей результирующая интенсивность будет отлична от N⋅Iϕ.
b
d
a
ϕ
ϕ
∆=d⋅sinϕ
ϕ
Собирающая линза
экран
Р
Рисунок 51
В дальнейшем будем считать, что колебания от всех щелей когерентны. В
этом случае результирующее колебание в точке Р представляет собой сумму N
колебаний с одинаковой амплитудой Аϕ, сдвинутых друг относительно друга
по фазе на одну и ту же величину δ. Из рисунка 51 видно, что разность хода от
соседних целей равна ∆ = d⋅sinϕ. Следовательно, разность фаз между ними равна:
δ = 2π
Δ 2π
= d ⋅ sinϕ = kd ⋅ sinϕ ,
λ λ
(16.7)
где λ − длина волны в данной среде,
k=
2π
− волновое число.
λ
Результирующая интенсивность в точке Р получается в результате интерференции N световых лучей от N щелей. Результирующую амплитуду колебании А в точке Р найдем методом графического сложения амплитуд от N источников. Обозначим амплитуду колебаний, создаваемую щелью Si в точке Р через
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S2
S1
SN
Si
ϕ
ϕ
Ai (i = 1, 2, 3,.., N), причём все амплитуды Ai равны между собой по
модулю (рисунок 52).
Из векторной диаграммы, полученной в результате сложения N
колебаний (рисунок 53) видно, что:
Р
Рисунок 52
A
 Nδ 
= R ⋅ sin 
,
2
 2 
(16.8)
где R − радиус окружности с центром в точке 0, из которой результируюN
щий вектор А = ∑ А i виден под углом Nδ.
i =1
R
0
Nδ
2
Nδ
2
AN
А
2
δ
R
δ
А
2
A3
δ
A2
A1
δ
Рисунок 53
Опустим перпендикуляр из точки 0 на вектор А1 (рисунок 54). Из полученного прямоугольного треугольника находим амплитуду А1 колебаний, создаваемую одной щелью:
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А1
δ
= R ⋅ sin   .
2
2
Поделив равенство (16.8) на равенство (16.9), полу-
0
R
δ
2
А1
2
(16.9)
чим соотношение
А1
 Nδ 
sin

A
2 

=
,
A1
δ
sin 
 2
Рисунок 54
(16.10)
возведя которое в квадрат, имеем:

I реш

sin 2  Nδ 
 2 
= Iϕ
,
δ
2


sin  
2
(16.11)
где Iреш = A2 результирующая интенсивность, создаваемая решёткой, в
точке Р;
Iϕ = A12 − интенсивность от одной щели в точке Р при угле дифракции ϕ.
Nδ
δ
 Nδ 
δ
При δ → 0, sin 
, а sin  → , и
→
2
2
 2 
2
I реш = I ϕ
 Nδ  2


 2 


 δ 2
 
 2
 
= N 2I ϕ .
125
(16.12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, интенсивность волн, создаваемая N когерентными источниками, оказывается в N2 раз больше интенсивности, создаваемой отдельным
источником.
Подставив в (16.11) выражение (16.6) для Iϕ и (16.7) для δ получим:
I реш
 Nπd ⋅sin ϕ 
 πb ⋅ sin ϕ 

sin 2 
 sin 2 

λ
λ




= I0 ⋅
⋅
,
 πd ⋅sin ϕ 
2
2


sin 
 πb ⋅ sin ϕ 
λ 



λ


(16.13)
где I0 − интенсивность, создаваемая одной щелью против центра линзы
(т.е. при ϕ = 0).
Первый множитель в (16.13) обращается в нуль в точках, для которых:
b⋅sinϕ = ± nλ, где n = 1,2,3…
(16.14)
В этих точках интенсивность, создаваемая каждой из щелей в отдельности, значит, и в целом всей решёткой, равна нулю (см. (16.5)).
Второй множитель в (16.13) принимает значение N2 (см. соотношение
(16.12)) в точках, удовлетворяющих условию:
d⋅sinϕ = ± mλ, где m = 0,1,2,3…
(16.15)
Направления, определяемые этим условием, указывают положения максимумов интенсивности, называемых главными. Число m дает порядок главного максимума.
В справедливости условия (16.15) можно убедиться из простых рассуждений. Действительно, если на разности хода ∆ между лучами, идущими в на126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
правлении ϕ от соседних щелей, укладывается целое число длин волн, то эти
параллельные лучи, собираясь в фокальной плоскости собирающей линзы, взаимно усиливают друг друга, так как фазы колебаний этих лучей одинаковы.
Кроме минимумов, определяемых условием (16.14) в промежутках между
соседними главными максимумами имеется по (N-1) − му добавочному минимуму. Эти минимумы возникают в тех направлениях, для которых колебания от
отдельных щелей взаимно погашают друг друга. Направления добавочных минимумов определяются условием:
d⋅sinϕ = ±
n′
λ, где n′ = 1,2,…,N-1, N+1,…,2N-1, 2N+1,…
N
(16.16)
В (16.16) n' принимает все целочисленные значения кроме 0, N, 2N…, т.е.
кроме тех, при которых (16.16) переходит в (16.15).
Дифракционная картина, т.е. график функции (16.13), при N = 4 и
d
=3
b
имеет следующий вид (см. рисунок 55).
Как видно из рисунка 55, расплывчатые максимумы от одной щели (пунктирная огибающая повторяет распределение интенсивности от одной щели,
причём интенсивность в N2 раз больше, чем от одной щели) в случае дифракционной решётки (большого числа щелей) превращаются в резкие узкие максимумы, разделённые практически тёмными промежутками, ибо вторичные максимумы очень слабы. Резкость максимумов обеспечивает возможность надёжно
отличать близкие длины волн, для которых главные максимумы не будут перекрывать друг друга. Положение максимумов, определяемое формулой d⋅sinϕ =
mλ, зависит от длины волны λ. Другими словами, дифракционная решётка
представляет собой спектральный прибор.
Чем меньше длина волны λ, тем меньшему значению угла ϕ соответствует положение максимума. Таким образом, белый свет растягивается в спектр
так, что внутренний край его окрашен в фиолетовый цвет, а наружный − в
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
красный. Значение m = 0 определяет максимум по направлению ϕ = 0 для всех
значений λ. Следовательно, нулевой спектр представляет собой белое изображение источника. В зависимости от спектральной однородности анализируемого света, т.е. различия крайних длин волн, его составляющих, спектры высших
порядков начинают накладываться друг на друга. Так, для видимого светового
излучения спектры второго и третьего порядков частично перекрывают друг
друга. Применяя решётки с малым периодом и пользуясь спектрами высших
порядков, можно получить значительные углы дифракции и, таким образом,
очень точно измерить длины волн.
Iреш
N2I0
sinϕ
−6
λ
λ
−5
d
d
λ

− 2 
b

−4
λ
λ
λ
−3 −2
d
d
d
 λ
− 
 b
−
λ
d
λ
d
0
Рисунок 55
2
λ
d
3
λ
d
λ
 
b
4
λ
d
5
λ
d
λ
d
 λ
2 
 b
6
3. Характеристики спектральных приборов. Спектральные приборы
позволяют определить с очень большой точностью длины волн или разницу в
длинах волн двух близких спектральных линий. Для сравнения спектральных
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
приборов и их выбора для решения конкретной физической задачи используют
такие характеристики как их дисперсия и разрешающая способность.
Угловой дисперсией называют величину D ϕ =
δϕ
, где δϕ − угловое расδλ
стояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на
δλ. Угловую дисперсию дифракционной решетки можно найти, продифференцировав условие главного максимума d⋅sinϕ = mλ, откуда d⋅cosϕ⋅δϕ = m⋅δλ, т.е.
Dϕ =
m
δϕ
=
.
d ⋅ cosϕ
δλ
Линейной дисперсией называют ве-
линза
личину DL =
f
ϕ
δL
, где δL − линейное расδλ
стояние на экране между спектральными
δϕ
экран
линиями, отличающимися на δλ. Из рисунка 56 видно, что при небольших значениях
δL
L
Рисунок 56
угла ϕ можно положить δL ≈ f⋅δϕ, где f −
фокусное расстояние линзы, собирающей
дифрагированные пучки света на экране. Следовательно, линейная дисперсия
DL связана с угловой дисперсией Dϕ соотношением: DL = f⋅Dϕ.
Разрешающей способностью называют безразмерную величину R =
λ
,
δλ
где δλ − минимальная разность длин волн спектральных линий, при которой
эти линии воспринимаются раздельно. Для дифракционной решётки
R=
λ
= m⋅N,
δλ
129
(16.17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где m − порядок спектра,
N − число щелей, на которые падает свет.
Формула (16.17) даёт верхний предел разрешающей способности дифракционной решётки. Она справедлива, если интенсивность обоих максимумов одинакова.
Наличие значительной дисперсии ещё не обеспечивает возможность раздельного наблюдения двух близких спектральных линий, если ширина максимума дифракционного спектра велика. На рисунке 57 показана результирующая
интенсивность (сплошные кривые), наблюдаемая при наложении двух близких
максимумов (пунктирные кривые). В случае (а) оба максимума воспринимаются как один. В случае (б) между максимумами лежит минимум.
(а)
Рисунок 57
(б)
Согласно предложению Рэлея условно принято считать разрешение полным, когда максимум первого горба совпадает с минимумом другого. Обычно
критерию Рэлея придают несколько иной вид. Если две соседние спектральные
линии имеют одинаковую интенсивность и форму, то критерий Рэлея означает,
что минимум между линиями составляет около 80 % от соседних максимумов
(см. случай (б) на рисунке 57). Такой контраст устанавливается вполне уверенно как при визуальных, так и при объективных (фотографических и электрических) методах регистрации. Несмотря на условность, критерий Рэлея оказывается весьма полезным для сравнения разрешающей способности различных
приборов.
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В зависимости от области спектра дифракционные решетки имеют
различное число штрихов на 1 мм: от нескольких штрихов, начиная с инфракрасной области, до 3 600 – для ультрафиолетовой. В видимой области спектра
600 – 1 200 штрихов на 1 мм. Технология изготовления дифракционных решеток в настоящее время доведена до высокой степени совершенства. Современные полностью автоматизированные делительные машины позволяют с помощью алмазного резца изготовлять решётки с почти эквидистантным расположением штрихов. Размеры уникальных решеток достигают 40 × 40 см. Такие
решетки используют в основном в астрофизике.
Большая разрешающая способность дифракционной решетки достигается
за счет огромных значений N при незначительном m (2 или 3), см. соотношение
(16.17).
4. Область дисперсии ∆λ − это ширина спектрального интервала, при которой ещё нет перекрытия спектров соседних порядков. Если спектры соседних
порядков перекрываются, то спектральный аппарат становится непригодным
для исследования соответствующего участка спектра. Длинноволновый конец
спектра m-го порядка совпадает с коротковолновым концом спектра (m+1)-го
порядка, если m(λ + ∆λ) = (m + 1)λ, откуда следует, что область дисперсии
∆λ = λ/m.
(16.18)
Значит, область дисперсии ∆λ обратно пропорциональна порядку спектра m.
При работе со спектрами низких порядков (обычно второго или третьего) дифракционная решетка пригодна для исследования излучения, занимающего
достаточно широкий спектральный интервал. В этом главное преимущество
дифракционных решеток перед интерференционными спектральными приборами, у которых обычно высокие порядки m..
5. Применение явления дифракции. Путём исследования дифракционной картины можно определить спектральный состав излучения и измерить
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
длины волн спектральных линий. Для определения тонкой структуры узких
спектральных интервалов используют интерферометры.
Используя метод скользящего падения излучения на оптическую дифракционную решётку можно точно измерить длину волны монохроматического
рентгеновского излучения. Изучая далее дифракцию этого излучения на естественном кристалле, можно измерить в абсолютных единицах постоянную решётки этого кристалла (рентгеноструктурный анализ). После этого такой кристалл может быть использован в рентгеновском спектрографе для измерения
длин волн рентгеновского излучения и анализа рентгеновского излучения
(рентгеновская спектроскопия).
6. Одномерная решетка вибраторов. Аналогично дифракционной решётке ведёт себя в радиодиапазоне система из N параллельных друг другу вибраторов-антенн. Если они действуют синфазно, то нулевой (основной) максимум излучения направлен нормально к решетке в ее экваториальной плоскости.
И здесь возникает интересная в практическом отношении возможность. Если
создать режим, при котором колебания каждой следующей антенны будут, например, отставать на оду и ту же величину ϕ, то нулевой максимум не будет
совпадать с нормалью к решётке. Изменяя же ϕ во времени по определённому
закону, мы получаем систему, у которой направление главного максимума будет изменяться в пространстве. Таким образом, мы приходим к возможности
радиолокационного обзора местности с помощью неподвижной системы антенн.
§ 2.17 Дифракция на пространственной решётке
Пример пространственной дифракционной решётки – это кристаллическая решётка твёрдого тела. Частицы, образующие эту решётку, играют роль
упорядоченно расположенных центров, когерентно рассеивающих падающую
на них волну.
Рассмотрение дифракции на упорядоченных структурах проще всего начать с дифракции монохроматического излучения на прямолинейной цепочке,
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
состоящей из одинаковых равноотстоящих частиц (например, атомов). Пусть
расстояние между соседними частицами (период структуры) равно d и параллельный пучок излучения с длиной волны λ
падает на такую цепочку
под углом скольжения α0
(рисунок 58). Разность
хода между лучами 1 и 2,
1
2
С
В
α0
d
α
А
Рисунок 58
D
рассеянными соседними частицами под углом α, равна, как видно из этого рисунка, ∆ = AD − CB = d(cosα − cosα0). Углы α = αm, под которыми образуются
фраунгоферовы максимумы m-го порядка, определяются условием, при котором эта разность хода равна целому числу длин волн:
d(cosαm − cosα0) = ± mλ, m = 0, 1, 2, …
Условия Лауэ. Рассмотрим для простоты прямоугольную решётку, периоды которой вдоль осей координат x, y, z, параллельных трём рёбрам решётки, равны d1, d2, d3. Тогда при фраунгоферовой дифракции главные максимумы
должны одновременно удовлетворять трём соотношениям, аналогичным только
что приведённым для дифракционных максимумов при наклонном падении излучения на прямолинейную цепочку. Эти соотношения – условия Лауэ – имеют
вид:
d1(cosα − cosα0) = ± m1λ,
d2(cosβ − cosβ0) = ± m2λ,
(17.1)
d3(cosγ − cosγ0) = ± m3λ,
где α0, β0, γ0 и α, β, γ − углы между осями координат x, y, z и направлениями распространения падающего и дифрагированного пучков; m1, m2, m3 –
целые числа, определяющие порядок максимума (0, 1, 2, …).
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Углы α, β, γ не являются независимыми. В случае прямоугольной системы координат они связаны соотношением
cos2α + cos2β + cos2γ = 1.
(17.2)
При одновременном выполнении этих четырёх уравнений (а это оказывается возможным лишь для некоторых, вполне определённых длин волн λ) каждому такому значению λ соответствует свой максимум (и направления α, β, γ на
него).
И ещё одно важное обстоятельство. Если длина волны λ больше максимальной разности хода колебаний от соседних узлов решётки (λ > 2d), то должны отсутствовать все дифракционные максимумы, кроме нулевого. Излучение с
такими длинами волн распространяется в среде, не испытывая дифракции (рассеяния).
Постоянные кристаллических решёток значительно меньше длины волны
видимого света (d ∼ 0,5 нм, λ ∼ 500 нм), поэтому для видимого света кристаллы
являются оптически однородными средами (не рассеивающими). Для рентгеновского же излучения, наоборот, кристаллы представляют естественные дифракционные решётки.
В некоторой степени условия, подобные тем, которые имеют место в правильной пространственной решётке, осуществляются в тумане. Туман состоит
из отдельных мелких капелек. Хотя капельки расположены беспорядочно, всё
же расстояния между ними в большинстве не сильно различаются между собой.
Благодаря этому при прохождении света от Солнца или Луны через не очень
густой туман около светила появляются дифракционные круги. Внешний край
круга окрашен в красноватый цвет, а внутренний – в фиолетовый, что соответствует меньшим углам дифракции для более коротких длин волн.
Формула Брэгга-Вульфа. Условия Лауэ (17.1) выражают физическую
сущность явления дифракции на пространственной структуре. Но мы не будем
более подробно останавливаться на анализе результатов, которые можно полу134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чить с помощью этих условий, поскольку существует более простой метод расчёта дифракции рентгеновского излучения в кристалле. Этот метод был предложен Брэггом и Вульфом: дифракцию рентгеновского излучения в кристалле
можно
d
α
α
А α
С
рассматривать
как результат зеркального отражения от системы
параллельных
В
кристал-
лических плоскостей, т.е.
плоскостей, в которых
Рисунок 59
лежат узлы кристалличе-
ской решётки. Вторичные волны, отразившись от разных атомных плоскостей,
когерентны и будут интерферировать между собой. Показатель преломления
всех веществ для рентгеновских лучей близок к единице, поэтому разность хода двух волн, отразившихся зеркально от соседних кристаллических плоскостей, равна, как видно из рисунка 59, АВС = 2dsinα, где d − межплоскостное
расстояние, α − угол скольжения. При этом направления, в которых возникают
фраунгоферовы дифракционные максимумы, определяются формулой БрэггаВульфа:
2dsinα = ± mλ, m = 1, 2, …
(17.3)
В кристалле можно провести множество систем атомных плоскостей в
различных направлениях (рисунок 60). Каждая система плоскостей может дать
дифракционный максимум, если для нее будет
выполнено условие (17.3). Однако эффективными являются только такие плоскости, в которых атомы расположены наиболее плотно.
Заметим, что формула (17.3) может быть
получена как следствие условий Лауэ (17.1).
Применения дифракции рентгеновских
Рисунок 60
лучей. Дифракция рентгеновских лучей от кристаллов получила развитие в
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
двух направлениях: рентгеновская спектроскопия (исследование спектрального
состава этого излучения) и рентгеноструктурный анализ (изучение структуры
кристаллов).
Спектральный состав излучения, т.е. измерение его длин волн, можно определить с помощью формулы (17.3), найдя направления на максимумы при
дифракции на кристалле с известной структурой.
В рентгеноструктурном анализе разработаны два метода:
1. Метод Лауэ, в котором узкий пучок рентгеновского излучения направляется на исследуемый монокристалл. Для каждой системы кристаллических
плоскостей в излучении находится длина волны, при которой выполняется условие (17.3). В результате на помещённой за кристаллом фотопластинке получается система пятен-максимумов, так называемая лауэграмма. Взаимное расположение пятен отражает симметрию кристалла. А по расстояниям между
максимумами и их интенсивности можно расшифровать структуру данного
кристалла.
2. Метод Дебая-Шерера, в котором используется узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения и образец в виде поликристалла. Исследуемый кристалл предварительно измельчают в порошок (очень мелкие кристаллики), и из него прессуется образец в виде стерженька. В большом количестве беспорядочно ориентированных кристалликов найдётся множество таких,
для которых условие (17.3) окажется выполненным, и дифрагированный пучок
будет образовывать конус направлений – свой для каждой системы межплоскостных расстояний d и порядка дифракции m. Рентгенограмма образца, по этому
методу – дебайграмма – имеет вид системы концентрических колец. Ее расшифровка также позволяет определить структуру кристалла.
§ 2.18 Голография
Голографией называют способ записи и последующего восстановления
структуры световых волн, основанный на явлениях дифракции и интерферен136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ции когерентных световых пучков. В отличие от обычной фотографии, голография – это принципиально новый метод получения объёмных изображений
предметов.
В этом методе регистрируется не оптическое изображение предмета, а интерференционная картина, возникающая при наложении световой волны, рассеянной предметом, и когерентной с ней опорной волны. Эта интерференционная
картина фиксирует информацию о распределении не только амплитуд, но и фаз
в предметной волне. Таким способом можно получить и зарегистрировать на
фотопластинке значительно более полную информацию об объекте, чем путём
обычного фотографирования.
Идеи, лежащие в основе голографии, были высказаны на опыте Габором в
1947-48 годах. Для практической реализации голографии необходимы источники света высокой степенью временной и пространственной когерентности. Поэтому широкое распространение она получила после создания лазеров.
а)
б)
2
2
Обзор
2
З
1
2
З
Ф
Г
А
А′
А′′
Рисунок 61
Суть этого метода (голографии) можно пояснить с помощью рисунка 61,а.
Фотопластинка Ф регистрирует интерференционную картину, возникающую
при наложении отражённой предметной волны 1, рассеянной объектом А, и когерентной с ней опорной волны 2. Волна 2 испускается тем же источником света, который освещает объект А, и после отражения от зеркала З падает непосредственно на фотопластинку Ф. Интерференционную картину, зафиксированную, на фотопластинке после ее проявления, называют голограммой. В от137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
личие от обычной фотографии, голограмма представляет собой мелкий и замысловатый узор из чередующихся областей различного почернения фотоэмульсии.
Голограмма в закодированной форме содержит полную информацию об
амплитудах и фазах рассеянной предметной волны.
Восстановление (декодирование) изображения предмета показано на рисунке 61,б. Голограмму Г просвечивают как диапозитив той же опорной волной
2, которая использовалась для ее получения, причём при той же ориентации голограммы по отношению к опорной волне. Эта световая волна дифрагирует на
голограмме, в результате чего наблюдаются два объёмных изображения объекта. Мнимое изображение А′ находится в том месте, где был объект А при съёмке. Оно видно сквозь голограмму как через окно. Действительное изображение
А′′ расположено по другую сторону голограммы. Оно как бы висит в воздухе
перед голограммой и является зеркальным изображением объекта.
Обычно пользуются мнимым изображением А′, которое по зрительному
восприятию практически тождественно самому объекту.
Чтобы понять принцип голографии, рассмотрим один из простейших объектов – светящуюся прямую нить А, которая испускает цилиндрическую волну.
На рисунке 62,а (для наглядности он сильно деформирован) показана стадия
записи голограммы. Нить А перпендикулярна плоскости рисунка.
Пусть плоская опорная волна 2 падает нормально на фотопластинку.
Предметная же волна 1, когерентная с опорной, падает на пластинку так, что ее
лучи наклонны (см. рисунок 62,а). Колебания опорной волны достигают пластинки все в одной фазе. Колебания же предметной волны – с разными фазами.
Ясно, что вследствие интерференции в тех местах, куда колебания придут в
одной и той же фазе с колебаниями опорной волны, возникнут максимумы интенсивности, а значит и максимумы почернения. После химической обработки
полученная голограмма будет иметь вид чередующихся светлых и тёмных прямых полос, представляющих по существу зонную пластинку Френеля, только с
другой формой зон.
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А
А′
а)
2
2
б)
1
λ
λ
λ
λ
А′′
Рисунок 62
Обзор
На стадии восстановления изображения голограмму освещают только той
же опорной волной 2 (см. рисунок 62,б). Голограмма для этой волны играет
роль зонной пластинки: в результате дифракции максимально усиливать друг
друга будут только те лучи (колебания), разность хода между которыми от соседних зон равна длине волны λ. А здесь есть две возможности выполнения
этого условия: или в направлении продолжения лучей падавшей предметной
волны, или симметрично относительно нормали. В первом случае мы будем наблюдать мнимое изображение А′, во втором – действительное А′′. Наибольший
интерес для голографии играет волна, дающая мнимое изображение предмета.
Отличительной особенностью этой зонной пластинки является то, что ее
пропускательная способность изменяется в направлении, перпендикулярном
интерференционным полосам (зонам) не скачком, а практически по синусоидальному закону (между соседними максимумами). Это приводит к тому, что
возникающие интерференционные максимумы соответствуют разности хода
между колебаниями от соседних полос (зон) только в одну длину волны λ. Интенсивность максимумов более высокого порядка практически равна нулю.
Нетрудно заметить, что изменение положения нити А приводит к изменению не только интенсивности интерференционных максимумов, но и к расстоянию между ними. Расстояние же максимумами характеризует определённую разность хода, или разность фаз.
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поэтому и говорят, что голограмма содержит информацию об амплитуде
волны и ее фазе. Этого достаточно, чтобы восстановить предметную волну в
том виде, в каком она была в действительности в месте расположения голограммы. Зафиксированная волна «оживает» с помощью голограммы и создаёт
полную иллюзию реальности наблюдаемых предметов. Изменяя положение
глаза, можно видеть предмет в разных ракурсах и даже заглядывать за него.
Интерференционная картина в каждой точке голограммы определяется
светом, рассеянным всеми точками объекта. Поэтому каждый участок голограммы содержит информацию обо всём объекте. Если голограмма случайно
разбилась, то с помощью даже небольшого ее осколка можно восстановить
изображение всего объекта. Отличие будет лишь в том, что уменьшается ее
разрешающая способность – менее чётко и ярко будет восстанавливаться изображение. С точки зрения надёжности хранения информации голограмма значительно превосходит обычный фотонегатив.
Наконец, на одной фотопластинке можно последовательно записать несколько голограмм от разных объектов, причём изображение каждого объекта
можно восстановить без помех со стороны других изображений. Это можно
сделать, изменяя каждый раз, например, угол падения опорной волны.
В настоящее время голография представляет самостоятельный быстро
развивающийся раздел науки и техники. Трудно даже перечислить области, где
она нашла эффективное использование (включая и акустические голограммы).
Контрольные вопросы
1 Какие волны являются монохроматическими? когерентными?
2 Опишите метод наблюдения интерференционной картины с помощью
зеркал Френеля, бипризмы Френеля, зеркала Ллойда.
3 Поясните ход лучей в интерферометре Майкельсона и объясните, каким
образом в нём можно изменять разность хода интерферирующих волн.
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4 Объясните, почему в интерферометре Майкельсона интерференционная
картина смещается на одну полосу при перемещении одного из зеркал на расстояние, равное половине длины волны.
5 Каким образом интерферометр Майкельсона используют для точных
измерений длины?
6 Как можно оценить допустимые размеры источников для наблюдения
резких интерференционных полос?
7 Что такое полосы равной толщины и равного наклона? Где они локализованы?
8 Освещая тонкую плёнку из прозрачного материала монохроматическим
светом, падающим нормально к поверхности плёнки, на ней наблюдают параллельные чередующиеся равноудалённые тёмные и светлые полосы. Одинакова
ли толщина отдельных участков плёнки?
9 В чём заключаются цвета тонких пластин – окрашенность, вызванная
интерференцией отражённых лучей?
10 Когда и почему слой (слои) с оптической толщиной в четверть длины
волны служит (служат) для полного гашения отражённых лучей и для получения высокоотражающих покрытий?
11 Между двумя пластинками имеется воздушный клин, освещая который
монохроматическим светом наблюдают интерференционные полосы. Как изменится расстояние между полосами, если пространство заполнить прозрачной
жидкостью?
12 Сформулируйте принцип Гюйгенса-Френеля.
13 Как из наблюдения колец Ньютона можно измерить длину световых
волн или радиус поверхности линзы?
14 Объясните сущность явления дифракции света и механизм ее возникновения.
15 Как строят кольцевые зоны (зоны Френеля)? К каким выводам можно
прийти из таких построений?
16 Что представляет собой спираль Френеля?
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17 Объясните особенности дифракции от круглого отверстия.
18 Объясните особенности дифракции от круглого непрозрачного экрана.
Объясните возникновение пятна Пуассона.
19 В каких случаях можно наблюдать дифракцию Френеля (дифракцию
Фраунгофера)?
20 Физические основы дифракции Фраунгофера на щели.
21 Назначение дифракционной решетки. Условие главных максимумов.
Характер распределения интенсивности света на экране.
22 Характеристики спектральных приборов (дисперсия, разрешающая
способность).
23 Особенности дифракции на пространственной решётке.
24 Где находит применение дифракция рентгеновских лучей?
25 Разъясните суть метода голографии.
26 Как оценить расстояние от препятствия (экрана или отверстия в нём)
до точки наблюдения, при котором становятся заметными дифракционные явления?
27 Сформулируйте критерий Рэлея.
28 Где находят применение явления интерференции и дифракции?
Тесты
1. Для определения длины световой волны использовали дифракционную
решетку с периодом d. На экране максимум первого порядка отстоит от центрального на расстоянии l. Экран отстоит от решетки на расстоянии L. Определите длину световой волны λ.
А) d
l
L
В) d
L
L2 + l 2
L2 + l 2
С) d
L
142
Д) d
l
L2 + l 2
L2 + l 2
Е) d
l
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. При дифракции монохроматического света с длиной волны λ на дифракционной решетке с периодом d = 5λ максимум третьего порядка наблюдается под углом:
А) arcsin0,3
В) arcsin0,6
С) arcsin0,5
Д) arcsin0,4
Е) arcsin0,2
3. Чему равна длина волны для линии в дифракционном спектре третьего
порядка, совпадающая с линией спектра четвертого порядка для длины волны
510 нм?
А) 340 нм
В) 420 нм
С) 510 нм
Д) 640 нм
Е) 680 нм
4. Определите число штрихов на 1 мм дифракционной решетки, если углу
ϕ = 300 соответствует максимум m = 4 порядка для монохроматического света с
длиной волны λ = 0,5 мкм.
А) 500 мм−1
В) 100 мм−1
С) 1000 мм−1
Д) 250 мм−1
Е) 125 мм−1
5. При помощи дифракционной решетки с периодом 0,02 мм получено
первое дифракционное изображение на расстоянии 3,6 см от центрального и на
расстоянии 1,8 м от решетки. Найдите длину световой волны.
А) 0,6 мкм
В) 0,55 мкм
С) 0,5 мкм
Д) 0,45 мкм
Е) 0,4 мкм
6. Условие усиление света (дифракционные максимумы) при дифракции
на узкой щели:
А) ∆L = m λ
(m = 0, 1, 2, 3…)
В) ∆L = (2 m − 1) λ / 2
(m = 0, 1, 2, 3…)
С) b sin φ = (2m + 1) λ / 2
(m = 0, 1, 2, 3…)
Д) b sin φ = m λ
(m = 0, 1, 2, 3…)
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е) d sin φ = m λ
(m = 0, 1, 2, 3…)
7. На плоскую щель шириною 0,01000 мм перпендикулярно к щели падает пучок лучей монохроматического света, длина волны которого 5,89·10-7м.
Найти угол, под которым на экране будет располагаться второй дифракционный минимум.
А) φ = 30 22/
В) φ = 60 46/
С) φ =100 10/
Д) φ =90 28/
8. При каких значениях радиуса r диска происходит дифракция света длины волны λ в область его геометрической тени?
А) r <
λ
2
B) r > λ
C) r ≈λ
Д) r < 2λ
E) При любых значениях r
9. Для определения длины световой волны использовали дифракционную
решетку с периодом d. На экране максимум первого порядка отстоит от центрального на расстоянии l. Экран отстоит от решетки на расстоянии L. Определите длину световой волны λ.
l
А) d
L
L
В) d
L2 + l 2
Д) d
L2 + l 2
С) d
L
L2 + l 2
Е) d
l
l
L2 + l 2
10. Солнечный свет, освещая капли росы на листьях, заставляет их переливаться всеми цветами радуги. Какое физическое явление при этом наблюдается?
А) фотоэффект
С) дисперсия
В) поляризация
Д) дифракция
144
Е) интерференция
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. При интерференции когерентных лучей с длиной волны 500 нм максимум первого порядка возникает при разности хода …..
А) 750 нм
В) 500 нм
С) 250 нм
Д) 125 нм
12. Основная формула, позволяющая рассчитать положение главных максимумов при дифракции света на дифракционной решетке, имеет вид:
А) dsinϕ = mλ
В) dtgϕ = mλ
С) dsinϕ = (2m + 1)λ/2
Д) λsinϕ = md
13. Для точки А оптическая разность хода лучей от двух когерентных источников S1 и S2 равна
1,2 мкм. Если длина волны в вакууме 600 нм, то в
точке А будет наблюдаться...
А
S1
S2
А) Минимум интерференции, так как разность хода равна чётному числу
полуволн.
В) Максимум интерференции, так как разность хода равна чётному числу
полуволн.
С) Максимум интерференции, так как разность хода равна нечётному
числу полуволн.
Д) Минимум интерференции, так как разность хода равна нечётному числу полуволн.
14. Какое из перечисленных явлений не характерно для дифракции света?
А) Отклонение от законов геометрической оптики.
В) Разложение белого света в спектр при прохождении через дифракционную решетку.
С) Картина максимумов и минимумов.
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Д) Изменение длины монохроматической волны при прохождении ее
вблизи препятствий.
15. Посередине между двумя плоскими зеркалами, параллельными друг
другу помещен точечный источник света. С какими одинаковыми скоростями
должны двигаться оба зеркала, оставаясь параллельными друг другу, чтобы
первые мнимые изображения источника в зеркалах сближались со скоростями
4 м/с?
А) 1 м/с
В) 2 м/с
С) 4 м/с
Д) 8 м/с
Е) 16 м/с
16. Дифракционная решётка с периодом 2d освещается нормально падающим световым пучком с длиной волны λ. Какое из приведённых ниже выражений определяет угол φ, под которым наблюдается главный максимум?
А) sinϕ = 0
В) sinϕ =
d
2λ
С) cosϕ =
2λ
d
Д) sinϕ =
λ
d
17. Чему равна длина волны для линии в дифракционном спектре третьего порядка, совпадающая с линией спектра четвертого порядка для длины волны 510 нм?
А) 340 нм
В) 420 нм
С) 510 нм
Д) 640 нм
Е) 680 нм
18. Если открыть все m зон Френеля, то интенсивность света от первой
зоны Френеля …..
А) уменьшится в 2 раза
В) уменьшится в 4 раза
С) увеличится в 2 раза
Д) увеличится в m раз
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
19. Дифракционная решётка с периодом d освещается нормально падающим световым пучком с длиной волны λ. Какое из приведённых ниже выражений определяет угол φ, под которым наблюдается второй главный максимум?
А) sinϕ =
d
2λ
В) sinϕ =
2λ
d
С) cosϕ =
2λ
d
Д) sinϕ =
λ
d
20. Дифракция света наблюдается, если:
А) Размер преграды намного больше длины волны.
В) Размер преграды соизмерим с длиной волны.
С) Длина волны не имеет значения.
Д) Размер преграды не имеет значение.
21. Если на пути одного из двух интерферирующих лучей поставить синюю тонкую пластинку, а на пути второго – красную, то…
А) Интерференционная картина будет представлять чередование красных
и синих полос
В) Интерференционная картина будет представлять чередование фиолетовых полос
С) Интерференционная картина будет представлять чередование красных,
черных, синих полос
Д) Интерференционной картины не будет
22. С помощью какого из оптических приборов можно разложить белый
свет на спектр?
А) поляризатор
В) дифракционная решетка
С) фотоэлемент
Д) микроскоп
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
23. Если закрыть все m зон Френеля, то интенсивность света от первой
зоны Френеля …..
А) уменьшится в 2 раза
В) уменьшится в 4 раза
С) увеличится в 2 раза
Д) увеличится в m раз
24. На дифракционную решётку с периодом 3 мкм падает монохроматический свет с длиной волны 650 нм. Чему равен наибольший порядок дифракционного максимума?
А) 1
В) 2
С) 3
Д) 4
Е) 5
25. Дифракционная решётка освещается зелёным светом. При освещении
решётки красным светом картина дифракционного спектра…
А) сузится
В) расширится
Д) не изменится
С) исчезнет
Е) справа сузится
Упражнения для самоконтроля
2.1. На стеклянный клин (n = 1,5) нормально падает монохроматический
свет (λ = 698 нм). Определить угол между поверхностями клина, если расстояние между двумя соседними интерференционными минимумами в отражённом
свете равно 2 мм. [4']
2.2. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим нормально. При заполнении пространства между
линзой и стеклянной пластинкой прозрачной жидкостью радиусы тёмных колец
в отражённом свете уменьшились в 1,21 раза. Определить показатель преломления жидкости. [1,46]
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3. На линзу с показателем преломления 1,55 нормально падает монохроматический свет с длиной волны 0,55 мкм. Для устранения потерь отражённого света на линзу наносится тонкая плёнка. Определить: 1) оптимальный показатель преломления плёнки; 2) толщину плёнки. [1) 1,24; 2) 0,11 мкм]
2.4. В опыте с интерферометром Майкельсона для смещения интерференционной картины на 450 полос зеркало пришлось переместить на расстояние
0,135 мм. Определить длину волны падающего света. [0,6 мкм]
2.5. На пути одного из лучей интерференционного рефрактометра поместили откачанную трубку длиной 10 см. При заполнении трубки хлором интерференционная картина сместилась на 131 полосу. Определить показатель преломления хлора, если наблюдение производится с монохроматическим светом с
длиной волны 0,59 мкм. [1,000773]
2.6. Плоская световая волна с длиной волны 0,6 мкм падает нормально на
диафрагму с круглым отверстием диаметром 1 см. Определить расстояние от
точки наблюдения до отверстия, если отверстие открывает: 1) две зоны Френеля; 2) три зоны Френеля. [1) 20,8 м;
2) 13,9 м]
2.7. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии 1 м от точечного
источника монохроматического света (λ = 0,5 мкм). Посередине между источником света и экраном находится диафрагма с круглым отверстием. Определить радиус отверстия, при котором центр дифракционной картины на экране
будет наиболее тёмным. [0,55 мм]
2.8. На щель шириной 0,2 мм падает нормально монохроматический свет
с длиной волны 0,5 мкм. Экран, на котором наблюдается дифракционная картина, расположен параллельно щели на расстоянии 1 м. Определить расстояние
между первыми дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны центрального фраунгоферова максимума.
[5 см]
2.9. Определить число штрихов на 1 мм дифракционной решетки, если
углу π/2 соответствует максимум пятого порядка для монохроматического света с длиной волны 0,5 мкм. [400 мм-1]
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.10. Узкий параллельный пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на грань кристалла с расстоянием 0,28 нм между его атомными
плоскостями. Определить длину волны рентгеновского излучения, если под углом 300 к плоскости грани наблюдается дифракционный максимум второго порядка. [140 пм]
2.11. Определить постоянную дифракционной решётки, если она в первом
порядке разрешает две спектральные линии калия (λ1 = 578 нм и λ2 = 580 нм).
Длина решётки 1 см. [34,6 мкм]
Глава 3 Поляризация света
§ 3.19 Естественный и поляризованный свет
Как известно, свет представляет собою электромагнитные волны малой
длины. Следовательно, световые явления должны описываться теми же уравнениями Максвелла, которые описывают возникновение и распространение электромагнитных волн. Электромагнитные волны, как мы знаем, поперечны. Вместе с тем световые волны обычно не обнаруживают
Луч
асимметрии относительно направления распространения (луча). Это обусловлено тем, что в естественном свете имеются колебания вектора Е, совершающиеся в самых различных направлениях, пер-
Рисунок 63
пендикулярных к лучу, быстро и беспорядочно сменяя друг друга (рисунок 63).
В § 1.6 было указано, что световая волна слагается из множества цугов волн,
испускаемых отдельными атомами. Плоскость колебаний для каждого цуга
ориентирована случайным образом. Поэтому в результирующей волне колебания различных направлений представлены с равной вероятностью.
В естественном свете колебания различных направлений быстро и беспорядочно сменяют друг друга. Свет, в котором направления колебаний упорядочены каким-либо образом, называется поляризованным. Если колебания свето150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вого вектора происходят только в одной плоскости (рисунок 64), свет называют
плоско-поляризованным (линейно-поляризованным). Плоскость, в которой колеблется световой вектор (т.е. вектор напряжённости электрического поля Е),
называют плоскостью колебаний. По историческим причинам плоскостью поляризации была названа не плоскость, в которой колеблется вектор Е, а перпендикулярная к ней плоскость. Определённая таким образом плоскость поляризации обладает меньшей наглядностью, чем плоскость колебаний. Поэтому в
дальнейшем мы термином «плоскость поляризации» пользоваться не будем.
Плоскость
колебаний
Плоскость
поляризатора
Луч
АII
Плоскость
поляризации
Рисунок 64
А
ϕ
А⊥
Рисунок 65
Из естественного света можно получить плоско-поляризованный свет с
помощью приборов, называемых поляризаторами. Эти приборы свободно пропускают колебания светового вектора, параллельные плоскости, которую называют плоскостью поляризатора. Колебания же, перпендикулярные к этой плоскости, задерживаются полностью или частично. В первом случае поляризатор
является идеальным. В дальнейшем будем иметь в виду именно такие идеальные поляризаторы, если не будет каких-либо оговорок.
Колебание амплитуды А, совершающееся в плоскости, образующей угол
ϕ с плоскостью поляризатора, можно разложить на два колебания с амплитудами А⊥ = Аcosϕ и АII = Аsinϕ (рисунок 65; луч перпендикулярен к плоскости рисунка). Первое колебание пройдёт через прибор, второе будет задержано. Интенсивность прошедшей волны пропорциональна А⊥2 = А2cos2ϕ, т.е. равна
Icos2ϕ, где I – интенсивность колебания с амплитудой А. Следовательно, колебание, параллельное плоскости поляризатора, несёт с собой долю интенсивно151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сти, равную cos2ϕ. В естественном свете все значения ϕ равновероятны. Поэтому доля света, прошедшего через поляризатор, будет равна среднему значению
cos2ϕ, т.е. ½. При вращении поляризатора вокруг направления луча естественного света интенсивность прошедшего света остаётся одной и той же, изменяется лишь ориентация плоскости колебаний света, выходящего из прибора.
Пусть на поляризатор падает плос-
Плоскость
поляризатора
ко-поляризованный свет амплитуды А0 и
I
А0 ϕ A
интенсивности I0 (рисунок 66). Сквозь
прибор пройдёт составляющая колебания
с амплитудой А = А0cosϕ, где ϕ − угол
между плоскостью колебаний падающего
I0
света и между плоскостью поляризатора.
Рисунок 66
Следовательно, интенсивность прошед-
шего света I определяется выражением:
I = I0cos2ϕ.
(19.1)
Соотношение (19.1) носит название закона Малюса.
Поставим на пути естественного луча два поляризатора, плоскости которых образуют угол ϕ. Из первого поляризатора выйдет плоско-поляризованный
свет, интенсивность которого I0 составит половину интенсивности естественного света Iест. Согласно закону Малюса из второго поляризатора выйдет свет интенсивности I0cos2ϕ. Таким образом, интенсивность света, прошедшего через
два поляризатора, равна:
I=
1
Iест⋅ cos2ϕ.
2
(19.2)
Максимальная интенсивность, равная ½⋅Iест, получается при ϕ = 0 (поляризаторы параллельны). При ϕ = π/2 интенсивность равна нулю – скрещенные
поляризаторы свет не пропускают.
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свет, в котором колебания одного направления преобладают над колебаниями других направлений, называется частично поляризованным. Такой свет
можно рассматривать как смесь естественного и плоско-поляризованного. Если
пропустить частично поляризованный свет через поляризатор, то при вращении
прибора вокруг направления луча интенсивность прошедшего света будет изменяться в пределах от Imax до Imin. Причём переход от одного из этих значений
к другому будет совершаться при повороте на угол ϕ = π/2 (за один полный поворот два раза будет достигаться максимальное и два раза минимальное значение интенсивности). Степенью поляризации называют выражение:
Р=
I max − I min
.
I max + I min
(19.3)
Для плоско-поляризованного света Imin = 0 и Р = 1; для естественного света Imax = Imin и Р = 0. Это два крайних случая.
О деполяризации. Иногда возникает обратная задача: поляризованный
свет превратить в естественный, т.е. неполяризованный. Это можно достигнуть
следующим образом: приготовить слой из мелкотолченого стекла (порошка).
Поляризованный свет, проходящий через такой слой, претерпевает многократные отражения, в результате чего его поляризация будет разрушена. Такую же
роль играет, например, калька (полупрозрачная восковая бумага). Достаточно
поместить ее за поляризатором, чтобы путём вращения второго поляризатора
(анализатора) убедиться, что калька почти полностью деполяризует свет, поляризованный первым поляризатором: интенсивность проходящего через второй
поляризатор света практически не зависит от его угла поворота.
§ 3.20 Поляризация при отражении и преломлении
Если угол падения естественного света на границу раздела двух прозрачных диэлектриков отличен от нуля, то отражённый и преломлённый пучки ока153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зываются частично-поляризованными. В отражённом свете преобладают колебания вектора Е, перпендикулярные к плоскости падения (на рисунке 67 эти
колебания обозначены точками), а в преломлённом свете – параллельные плоскости падения (на рисунке 67 они изображены двусторонними стрелками). Степень поляризации обеих волн (отражённой и преломлённой) зависит от угла
падения.
При некотором значении угла падения отражённый свет становится полностью поляризованным, и его плоскость поляризации (плоскость колебаний
вектора Е) оказывается перпендикулярной к плоскости падения. Этот угол ϑБр
удовлетворяет следующему условию:
tgϑБр = n2 / n1.
(20.1)
Данное соотношение называют законом Брюстера, а угол ϑБр – углом
Брюстера или углом полной поляризации. Здесь n2 / n1 – отношение показателей
преломления второй среды и первой (рисунок 67). Точками и чёрточками на
отражённом и преломлённом лучах этого рисунка показаны направления колебаний вектора Е.
При падении света под углом Брюстера отра-
n1
жённый и преломлённый лучи взаимно перпендику-
n2
ϑБр
лярны (см. соотношение (1.10)).
При падении естественного света под углом
Брюстера на границу раздела двух прозрачных ди-
Рисунок 67
электриков преломлённая волна становится частично-поляризованной, причём
степень ее поляризации оказывается максимальной. Можно повысить степень
поляризации преломлённого света путём ряда последовательных отражений и
преломлений. Это осуществляют с помощью стопы, состоящей из нескольких
одинаковых и параллельных друг другу пластинок, установленных под углом
Брюстера к падающему свету. При достаточно большом числе пластинок проходящий через эту систему свет будет практически полностью линейно154
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
поляризованным. И интенсивность прошедшего через такую стопу света (в отсутствие поглощения) будет равна половине интенсивности падающего на стопу естественного света.
ϑБр
ϑБр
Рисунок 68
Эта идея нашла высокоэффективное использование в газовых лазерах, где
торцы газоразрядной трубки представляют собой плоскопараллельные стеклянные пластинки, расположенные под углом Брюстера к оси трубки (рисунок
68). Поэтому излучение, распространяющееся вдоль оси трубки между зеркалами и поляризованное в плоскости падения на пластинки, многократно проходит сквозь них беспрепятственно, не испытывая отражения. В результате из лазера выходит луч, поляризованный в этой плоскости, как и показано на рисунке. Другая составляющая излучения, плоскость поляризации которой перпендикулярна плоскости падения, почти полностью удаляется из пучка благодаря
отражениям.
Физическая суть явлений, приводящих к поляризации отражённого и преломлённого лучей, заключается в следующем. Предположим для простоты, что
отражение и преломление происходит на границе диэлектрика с вакуумом. Падающая световая волна, проникнув в диэлектрик, заставляет входящие в состав
атомов электрические заряды совершат вынужденные колебания. Колеблющиеся заряды излучают электромагнитные волны, которые называют вторичными.
Вне диэлектрика вторичные волны, налагаясь друг на друга, дают отражённую
волну. Внутри диэлектрика вторичные волны складываются с падающей (первичной) волной. Результирующая первичной и вторичной волн даёт прелом155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лённую волну. Вынужденные колебания зарядов совершаются в направлении
вектора Е этой результирующей волны.
В естественном падающем луче интенсивность колебаний различных направлений одинакова. Энергия этих колебаний распределяется между отражённой и преломлённой волной. Поэтому, если в отражённом луче будет больше
интенсивность колебаний одного направления, то в силу закона сохранения
энергии в преломлённом луче должна быть больше интенсивность колебаний
другого направления. Отсюда следует, что преломлённый луч будет частично
поляризован.
Поляризация происходит также при рассеянии света на частицах, значительно меньших длины световой волны.
§ 3.21 Поляризация при двойном лучепреломлении
Почти все прозрачные кристаллические диэлектрики оптически анизотропны, т.е. оптические свойства света при прохождении через них зависят от
направления. Вследствие этого возникают явления, называемые двойным лучепреломлением. Оно заключается в том, что падающий на кристалл пучок света
разделяется внутри кристалла на два пучка, распространяющиеся, вообще говоря, в различных направлениях и с разными скоростями.
Существуют кристаллы одноосные и двуосные. У одноосных кристаллов
один из преломленных пучков подчиняется обычному закону преломления
n1sinα = n2sinβ, см. соотношение (1.9). Его называют обыкновенным и обозначают буквой или индексом о. Другой пучок необыкновенный (е), он не подчиняется обычному закону преломления, и даже при нормальном падении светового пучка на поверхность кристалла необыкновенный пучок может отклоняться от нормали (рисунок 69). И, как правило, необыкновенный луч не лежит в
плоскости падения.
Наиболее сильно двойное лучепреломление выражено у таких одноосных
кристаллов как кварц (кристаллический), исландский шпат и турмалин. В дву156
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
осных кристаллах (например, в слюде, гипсе) имеются два направления, в которых свет не разделяется на два луча. В таких кристаллах оба луча необыкновенные – показатели преломления для них зависят от направления в кристалле.
Далее мы ограничимся рассмотрением только одноосных кристаллов. У
одноосных кристаллов имеется направление 00′, вдоль которого обыкновенная
и необыкновенная волны распространяются, не разделяясь пространственно и с
одинаковой скоростью3. Оптическая ось 00′ кристалла не является какой-то
особой прямой линией. Она характеризует лишь определённое направление в
кристалле и может быть проведена через произвольную точку кристалла. Любая прямая, параллельная данному направлению, является оптической осью
кристалла.
Любую плоскость, проходящую через оптическую ось, называют главным
сечением или главной плоскостью кристалла. Обычно пользуются главным сечением (плоскостью), проходящим через световой луч в кристалле.
Обыкновенная и необыкновенная волны (и лу-
0′
чи) линейно поляризованы. Колебания вектора Е в
е
обыкновенной волне совершаются в направлении,
о
перпендикулярном главному сечению кристалла для
обыкновенного луча. Колебания же вектора Е в необыкновенной волне – в главном сечении кристалла
для необыкновенного луча. Направления колебаний
0
Рисунок 69
вектора Е (т.е. их плоскости поляризации) в обоих пучках показаны на рисунке
69, где предполагается, что оба пучка и пересекающая их оптическая ось 00′
лежат в плоскости рисунка. Видно, что в данном случае плоскости поляризации
обеих волн (о и е) взаимно ортогональны. Отметим, что это наблюдается практически при любой ориентации оптической оси, поскольку угол между обыкновенным и необыкновенным лучами достаточно мал. При выходе из кристалла
оба луча отличаются друг от друга только тем, что оба луча поляризованы во
3
У двуосных кристаллов, например, слюды, имеются два таких направления.
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
взаимно перпендикулярных направлениях, так что названия «обыкновенный» и
«необыкновенный» лучи имеют смысл только внутри кристалла.
Оба луча, вышедшие из кристалла, отличаются друг от друга только направлением поляризации, так что названия «обыкновенный»» (о) и необыкновенный» (е) имеют смысл только внутри кристалла.
Для получения из естественного света плоско-поляризованного света
можно воспользоваться либо поляризацией при отражении под углом Брюстера, либо двойным лучепреломлением в каком-нибудь кристалле. Однако оба
эти способа, использованные непосредственно, мало удобны. При отражении
под углом Брюстера отражается лишь небольшая доля падающего света, в результате чего полученный плоско-поляризованный свет мало интенсивен. При
двойном лучепреломлении, если только толщина кристалла не очень велика,
расхождение обоих лучей незначительно. Для увеличения расхождения лучей
используют более сложные системы из кристаллов, наиболее распространённые
из которых – поляроиды, призма Волластона, призма Николя.
Существуют кристаллы, в которых один из лучей (о или е) поглощается
сильнее другого. Это явление называют дихроизмом. Очень сильным дихроизмом в видимых лучах обладает кристалл турмалина (минерал сложного состава). В нём обыкновенный луч практически полностью поглощается на длине
около 1 мм. Явление дихроизма используют для изготовления поляризаторов в
виде светофильтров, их называют поляроидами. Они представляют собой тонкую (∼ 0,1 мм) целлулоидную плёнку, в которую введено большое количество
одинаково ориентированных кристалликов сульфата хинина. Поляроид линейно поляризует проходящий через него свет.
Было предложено несколько способов получения довольно больших поверхностей, покрытых мелкими одинаково ориентированными кристалликами
герапатита и представляющих, таким образом, поляризационное приспособление с большой площадью. Листы целлулоида, обработанные по такому методу,
называют поляроидами. В настоящее время существует несколько разновидностей дихроичных пластин, изготовленных по типу поляроидов, с использовани158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ем как герапатита, так и других соединений, а также в виде больших (с линейными размерами до 60 мм) кристаллических пластинок герапатита и т.д. Недостатком дихроичных пластин является меньшая по сравнению с призмами из исландского шпата прозрачность и некоторая ее селективность, т.е. зависимость
поглощения от длины волны, так что современные поляроиды пропускают
фиолетовую, а также красную области спектра поляризованными лишь частично. Эти недостатки, однако, для многих практических целей искупаются возможностью пользоваться в качестве поляроида дешёвым поляризационным
приспособлением с апертурой, близкой к 1800, и с очень большой поверхностью (в несколько квадратных дециметров). Одно из применений поляроиды
нашли в автодорожном деле для защиты шофёра от слепящего действия фар
встречных машин.
Призма Волластона (рисунок 70) состоит из двух прямоугольных призм
из исландского шпата. Призмы склеены по гипотенузам. В призме АВС оптическая ось параллельна ребру С, перпендикулярному к плоскости рисунка. Естественный луч падает нормально на грань АВ; Оба возникающих в призме АВС
луча, обыкновенный и необыкновенный, идут по одному направлению, перпендикулярно к оптической оси, соответственно со скоростями vo и vе. Во второй
призме ACD они также пойдут в направлении, перпендикулярном к оптической
оси. Так как оптические оси в обеих призмах взаимно перпендикулярны, то
обыкновенный луч в первой призме превратится в необыкновенный луч во второй призме, и наоборот. Таким образом, луч, бывший обыкновенным в первой
призме, преломится на границе обеих призм с относительным коэффициентом
преломления ne / no, а луч, бывший в первой призме необыкновенным, преломится с относительным коэффициентом преломления no / ne. Для исландского
шпата no > ne, следовательно, ne / no < 1, а no / ne > 1, и первый луч преломится в
сторону ребра С призмы ACD, а второй – в сторону ее основания AD. Этим будет
достигнуто
значительное
расхождение
лучей.
Оба
луча
плоско-
поляризованы: в первом луче (необыкновенный во второй призме) вектор Е колеблется параллельно оптической оси второй призмы, во втором луче (обыкно159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
венный во второй призме) вектор Е колеблется перпендикулярно оптической
оси второй призмы.
А
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
В
D
е
2-ой луч
е
1-ый луч
о
С
Рисунок 71
Рисунок 70
о
Призма Николя (или сокращённо просто николь) представляет собой
призму из исландского шпата (рисунок 71), разрезанную по диагонали и склеенную канадским бальзамом4. Показатель преломления n канадского бальзама
лежит между показателями преломления no и ne обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле (no > n > ne). Угол падения оказывается таким, что
обыкновенный луч претерпевает на прослойке бальзама полное внутреннее отражение и отклоняется в сторону, а необыкновенный луч свободно проходит
через эту прослойку и выходит из призмы. Недостатком призмы Николя является непрозрачность канадского бальзама для ультрафиолетовых лучей, так что
призма пригодна лишь для получения плоско-поляризованного света в видимых лучах.
Поляризационные приборы употребляются как для превращения света из
естественного в поляризованный, так и для анализа характера поляризации. Если наблюдаемый свет, например, полностью тушится при некотором положении николя, то он полностью поляризован. Направление колебаний вектора Е в
свете, проходящем через призму Николя, параллельно короткой диагонали ее
сечения. Поэтому плоскость поляризации света даётся направлением короткой
диагонали призмы, при том ее положении, при котором свет полностью гасится.
4
Канадский бальзам – смола, добываемая из канадской пихты. Показатель преломления этого вещества близок
к показателю преломления стекла, поэтому канадский бальзам применяется для склеивания стеклянных частей
в оптических приборах.
160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О показателях преломления no и ne. Анизотропия кристалла поразному отражается на скорости распространения обыкновенной и необыкновенной волн. В то время как скорость vo обыкновенного луча не зависит от направления в кристалле, скорость ve необыкновенного луча по мере отклонения
его от направления оптической оси (вдоль которой скорости обоих лучей одинаковы) будет всё больше отличаться, достигая максимального различия в направлении, перпендикулярном оптической оси.
Зависимость скорости необыкновенного луча от направления связано с
анизотропией кристалла, приводящей к тому, что диэлектрическая постоянная
ε, а значит и показатель преломления (n =
ε ) оказываются разными для обык-
новенного и необыкновенного лучей и существенно зависят от направления луча относительно оптической оси кристалла.
Одноосные кристаллы характеризуют показателем преломления обыкновенного луча no = с / vo и показателем преломления необыкновенного луча,
перпендикулярного оптической оси, ne = с / vе. В таблицах приводят именно эти
значения no и ne. Для света с длиной волны λ = 0,55 мкм эти значения таковы:
no
ne
no − ne
Исландский шпат
1,66
1,49
0,17
Кварц
1,545
1,554
0,009
Кристалл
Заметим, что значения no и ne несколько зависят от λ.
Поверхности лучевых скоростей. Тот факт, что скорость распространения обыкновенного луча в одноосном кристалле одинакова во всех направлениях, а скорость распространения необыкновенного луча зависит от направления,
можно наглядно представить с помощью поверхностей лучевых скоростей (их
называют ещё и волновыми поверхностями). Для их построения из произвольной точки S проводят во всевозможных направлениях лучи и откладывают на
них отрезки, пропорциональные значениям лучевой скорости в этих направлениях. Множество концов отложенных отрезков образует замкнутую поверх161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ность, которая для обыкновенной волны представляет собой сферу радиусом vo,
а для необыкновенной волны – эллипсоид вращения с полуосями vo и vе.
В зависимости от того, какая из скоростей vo или vе больше, одноосные
кристаллы подразделяют на положительные и отрицательные (рисунок 72, где
00′ − оптическая ось). У положительных кристаллов vo > vе (и значит, no < ne), а
у отрицательных кристаллов vo < vе (т.е. no > ne). Из этого рисунка видно, что
при распространении света вдоль оптической оси обе волны имеют одинаковую
скорость, равную скорости обыкновенной волны.
0′
0′
о
е
е
о
0
Положительный
0
Отрицательный
Рисунок 72
Нас в дальнейшем будут интересовать только два практически важных
частных случая, когда свет распространяется перпендикулярно и параллельно
оптической оси.
§ 3.22 Интерференция поляризованных волн
Когерентность поляризованных волн. Если на кристаллическую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси, нормально направить пучок
естественного света, то из пластинки выйдут две волны с взаимно ортогональными плоскостями поляризации. Естественный свет – результат излучения различных независимых атомов источника света, испускающих отдельные некоррелированные друг с другом цуги волн. Эти цуги участвуют в образовании
обыкновенной и необыкновенной волн в кристалле. Однако вклад каждого от162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дельного цуга в эти две волны, вообще говоря, не одинаков. Этот вклад больше
в ту волну, плоскость поляризации которой составляет меньший угол с плоскостью поляризации данного цуга.
Другими словами, обыкновенная и необыкновенная волны в основном
порождаются разными цугами, входящими в состав естественного света. Поэтому обыкновенная и необыкновенная волны, распространяющиеся в одноосном кристалле и выходящие из него (при падении естественного света), некогерентны.
Однако обе волны можно сделать когерентными, если на пути естественного света установить поляризатор перед кристаллической пластинкой, причём
так, чтобы плоскость его пропускания составляла некоторый угол ϕ ≠ 0 с оптической осью кристалла (обычно угол ϕ делают равным 450). В этом случае колебания каждого цуга разделяются между обыкновенной о и необыкновенной е
волнами. Именно поэтому волны о и е оказываются когерентными − необходимое условие для их интерференции.
Интерференция поляризованных волн. Сказанного ещё недостаточно,
если мы задались целью наблюдать интерференцию этих волн. Дело в том, что
интерференция никогда не наблюдается, если складываемые волны поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях.
0′
Выход простой: поставить на пути вышедшего из
Р
К
два взаимно ортогональных когерентных колеба-
Обзор
пластинки света ещё один поляризатор. Он сведёт
Р′
S
ния к одной плоскости. Интерференция будет
обеспечена. Ее результат окажется в зависимости
от оптической разности хода складываемых волн.
0
Рисунок 73
Итак, схема наблюдения интерференции поляризованных волн должна
быть такой, как показано на рисунке 73. Здесь S − обычный источник света, Р –
поляризатор, К – кристаллическая одноосная пластинка, Р′ − второй поляризатор. Заметим, что если источник – лазер (он испускает уже плоскополяризованный свет), то необходимость в поляризаторе Р отпадает.
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Далее рассмотрим вопрос об интенсивности I′ света, прошедшего через
эту систему в двух наиболее простых и практически важных случаях, связанных с взаимной ориентацией плоскостей пропускания поляризаторов Р, Р′ и оптической оси 00′. Но предварительно напомним, что картина интерференции
бывает наиболее отчётливой, когда амплитуды складываемых волн одинаковы.
В нашем случае это означает, что угол ϕ между плоскостью пропускания поляризатора Р и оптической осью 00′ должен быть равным 450 (о чём уже говорилось). В дальнейшем, если не будет специальных оговорок, будет предполагаться именно это значение угла ϕ, ϕ = 450.
Теперь рассмотрим два частных случая, когда плоскости пропускания
обоих поляризаторов параллельны друг другу (Р′ Р) и взаимно перпендикулярны (Р′ ⊥ Р). В последнем случае говорят, что поляризаторы скрещены. Оба
случая показаны на рисунке 74, где свет распространяется перпендикулярно
плоскости рисунков.
Р
0′
Ее
Р′
Р
0′
Е
Е
Ее
Е′е
Е′е
Е′о
а)
Ео
б)
0
Ео
0
Е′о
Р′
Рисунок 74
1. Случай Р′ Р (рисунок 74, а). Здесь плоско-поляризованная волна с амплитудой Е (после поляризатора Р) разделяется пластинкой на обыкновенную и
необыкновенную взаимно ортогональные волны с одинаковыми амплитудами
Ео и Ее. Затем колебания этих волн приводятся поляризатором Р′ к одной плоскости с одинаковыми амплитудами Е′о и Е′е:
164
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е′о = Е′е = Е / 2.
(22.1)
Результат интерференции этих волн будет зависеть от разности фаз δ, которую
они приобретут в пластинке. С этой целью изобразим фазовую (векторную)
диаграмму, показанную на рисунке 75. Здесь предположено, что в кристаллической пластинке обыкновенная волна отстаёт по фазе на δ (это не существенно,
могло быть и наоборот). Нас интересуЕ′
ет Е′2, поскольку именно эта величина
определяет интенсивность волны, про-
Е′е
δ
шедшей через поляризатор Р′. Из ри-
Е′о
сунка 75 согласно теореме косинусов с
Рисунок 75
учётом (22.1) следует, что
2
2
1 + cosδ
δ
Е
Е
= Е2cos2 2 .
Е′ = 2   + 2   cosδ = Е2 2
2
2
2
(22.2)
Таким образом, при Р′ Р интенсивность прошедшего света
δ
I′  = Icos 2 .
2
(22.3)
2. Случай Р′ ⊥ Р (рисунок 74, б). Здесь следует отметить, что Е′о = Е′е при
любых значениях угла ϕ, но при ϕ = 450 обе амплитуды будут максимальны (в
этом легко убедиться с помощью этого же рисунка), и, значит, результат интерференции будет выглядеть наиболее отчётливым. Так что и в этом случае
оптимальным является ϕ = 450.
Рисунок 74, б достаточно ясно показывает, что происходит с проходящим
светом в этом случае. Но здесь надо обратить внимание на тот факт, что векторы Е′о и Е′е направлены взаимно противоположно (даже при δ → 0). Это наво165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дит на мысль, что кроме разности фаз δ, вносимой пластинкой, надо добавить
ещё π, которая обусловлена скрещенным расположением поляризаторов (это
можно строго доказать и математически).
Тогда в формуле (22.3) вместо δ надо написать δ + π, и мы получим вместо косинуса синус. В результате
δ
I′⊥ = Isin 2 .
2
(22.4)
Из формул (22.3) и (22.4) следует, что интенсивности I′ и I′⊥ оказываются «дополнительными»: в сумме они дают интенсивность I света, прошедшего через
поляризатор Р.
Если свет монохроматический и толщина кристаллической пластинки
всюду одинакова, на выходе мы получим равномерную освещённость без характерных для интерференционной картины чередующихся светлых и тёмных
полос. Здесь интерференция проявляет себя в перераспределении световой
энергии между взаимно ортогональными плоскостями. Действительно, если например при параллельных плоскостях пропускания поляризаторов мы получаем
максимум освещённости, то достаточно повернуть поляризатор Р′ на 900, и мы
получим «дополнительную» освещённость: поле окажется тёмным. То же будет
и наоборот.
Интенсивность выходящего из поляризатора Р′ света можно изменять,
изменяя разность фаз δ. Поскольку δ определяется как
δ = 2π
h n о − ne
,
λ
(22.5)
то изменения δ можно достигнуть либо меняя λ, − это приводит к эффектному
изменению окраски (т.е. максимумы пропускания будут соответствовать раз-
166
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
личным длинам волн), либо меняя толщину h пластинки. Последнее можно
сделать, поставив вместо пластинки компенсатор.
Простейший компенсатор состоит из двух кварцевых
клиньев (рисунок 76). Вместе они образуют кристаллическую пластинку, оптическая ось которой параллельна ее
грани (это показано штриховкой на рисунке). Один из
клиньев можно перемещать относительно другого с помощью микрометрического винта, изменяя таким образом
Рисунок 76
толщину компенсатора-пластинки, а значит и вносимую этой системой разность фаз между обыкновенной необыкновенной волнами.
Приведём сводную таблицу, где указаны условия, при которых интенсивности I′  и I′⊥ достигают максимальных и минимальных значений:
Таблица
Разность хода, ∆
mλ
m′λ/2
Разность фаз, δ
δ
I′  = Icos2 2
2πm
m′π
макс
мин
мин
макс
δ
I′⊥ = Isin 2
2
Здесь m = 1, 2, 3, … , а m′ = 1, 3, 5, …, т.е. нечётные.
В этой таблице достаточно запомнить результаты для I′ , а они сразу
следуют из фазовой диаграммы (см. рисунок 75). Результаты для I′⊥ "дополнительные», т.е. противоположные.
Отметим, что во втором случае, когда поляризаторы скрещены (Р′ ⊥ Р),
установка весьма чувствительна к обнаружению анизотропии (двойного лучепреломления). Через два скрещенных поляризатора свет не проходит, и поле
зрения оказывается тёмным. Если же между ними ввести какой-либо анизотропный кристалл, то даже при наличии слабой анизотропии система пропускает свет, и поле зрения просветляется. При этом надо проявлять осмотритель167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ность: если случайно окажется, что оптическая ось кристалла будет параллельна или перпендикулярна плоскости пропускания поляризатора Р, поле зрения
останется тёмным. Поэтому ориентацию кристалла между скрещенными поляризаторами Р и Р′, вообще говоря, надо менять во избежание этой случайности.
До сих пор мы рассматривали интерференцию в плоскопараллельной пластинке, где интерференция проявляла себя в изменении интенсивности равномерно освещённого поля зрения (после поляризатора Р′). Для наблюдения интерференции в привычном виде чередующихся светлых и тёмных полос поместим между двумя скрещенными поляризаторами кварцевый клин, оптическая
ось которого параллельна его ребру и составляет
0
угол 45 с плоскостями пропускания поляризато-
Р
К
Р′
Обзор
ров. Выясним, что мы будем наблюдать при прохождении монохроматического света через эту систему. По мере увеличения толщины клина мы будем наблюдать переход от одной светлой полосы к
другой, т.е. систему чередующихся светлых и тём-
Рисунок 77
ных полос, параллельных ребру клина (рисунок 77). Каждая светлая полоса соответствует полуволновой пластинке, значит в этих местах происходит поворот
плоскости поляризации на 900, и свет проходит через поляризатор Р′ (по условию Р′ ⊥ Р). Переход к каждому следующему максимуму соответствует изменению оптической разности хода ∆ = ∆h(no −ne) на одну длину волны λ. Это позволяет легко найти, например, угол между гранями клина. Заметим, что в белом свете картина будет весьма красочной? Она будет состоять из разных оттенков, периодически повторяющихся в пространстве вдоль клина.
§ 3.23 Искусственное двойное лучепреломление
Двойное лучепреломление может возникать в прозрачных изотропных телах, а также в кристаллах кубической системы под влиянием различных воздействий. В частности, это происходит при механических деформациях тел.
168
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Мерой возникающей оптической анизотропии может служить разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей. Опыт показывает, что эта разность пропорциональна напряжению σ в данной точке тела (т.е.
силе, приходящейся на единицу площади):
no − ne = kσ,
(23.1)
где k − коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств вещества.
Поместим стеклянную пластинку К между скрещенными поляризаторами
Р и Р′, плоскости пропускания которых составляют угол 450 с направлением
деформации (рисунок 78). Пока стекло не деформировано, такая система свет
не пропускает. Если же стекло подвергнуть деформации (например, одностороннему растяжению или сжатию), свет через систему начинает проходить, причём наблюдаемая в про-
Р
К
Р′
шедших лучах картина будет испещрена цветными
полосами. Каждая такая полоса соответствует одинаково деформированным местам пластинки. Следовательно, по характеру расположения полос можно судить о распределении напряжений внутри пластинки.
Рисунок 78
На искусственном двойном лучепреломлении основывается оптический
метод исследования напряжений. Изготовленная из прозрачного изотропного
материала (например, из целлулоида или плексигласа) модель какой-либо детали или конструкции помещается между скрещенными поляризаторами. Модель
подвергается действию нагрузок, аналогичных тем, какие будет испытывать
само изделие. Если тело имеет вид пластинки или кубика, то при увеличении
напряжения наблюдают усиление и ослабление прошедшего света. Если же тело имеет вид клина или другой более сложной формы, то в проходящем свете
наблюдается картина в виде системы так или иначе расположенных полос с
максимумами освещённости. При изменении напряжения картина меняется.
169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Этим пользуются при следовании распределения напряжений в сложных телах
(конструкциях): изготавливают геометрически подобную модель из подходящего прозрачного материала, подвергают ее нагрузке и по наблюдаемой между
скрещенными поляризаторами картине судят о распределении и величине
внутренних напряжений. Этот метод, называемый методом фотоупругости,
значительно упрощает весьма трудоёмкую работу по расчёту напряжений в новых конструкциях.
Остаточные напряжения также приводят к искусственной оптической
анизотропии. Поэтому оптический метод применяется для проверки стеклянных изделий на отсутствие в них вредных напряжений. Такой метод отбраковки
является очень чувствительным.
Заметим, что целлофановая плёнка обладает двойным лучепреломлением.
А у полиэтиленовых плёнок свойство двойного лучепреломления появляется
только при растяжении. Это можно легко проверить на опыте.
В 1875 г. Керр обнаружил, что в жидкостях (и в аморфных телах) под
воздействием электрического поля возникает двойное лучепреломление. Это
явление получило название эффекта Керра. В 1930 г. эффект Керра наблюдали
и в газах.
На рисунке 79 изображена схема ус-
Р
Р′
+
Обзор
тановки для наблюдения эффекта Керра в
жидкостях. Установка состоит из ячейки
Керра, помещённой между скрещенными
поляризаторами Р и Р′. Ячейка Керра представляет собой герметичную кювету с жид-
−
Рисунок 79
костью, в которую введены пластины конденсатора. При подаче на пластины
напряжения между ними возникает практически однородное электрическое поле. Под его действием жидкость приобретает свойства одноосного кристалла с
оптической осью, ориентированной вдоль поля. Разность показателей преломления no и ne пропорциональна квадрату напряжённости поля Е:
170
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
no − ne = kE2.
(23.2)
На пути ℓ между обыкновенным и необыкновенным лучами возникает
разность хода
∆ = (no − ne)ℓ = kℓЕ2
или разность фаз
δ=
∆
k
2π = 2π ℓЕ2.
λ0
λ0
Последнее выражение принято записывать следующим образом:
δ = 2πВℓЕ2,
(23.3)
где В – характерная для вещества величина, называемая постоянной Керра.
Постоянная Керра зависит от температуры вещества и от длины волны света λ0.
В выражения (23.2) и (23.3) входит квадрат напряжённости поля. Поэтому
знак разности (no − ne), а также разности фаз δ не изменяется при изменении направления поля.
Из известных жидкостей наибольшей постоянной Керра обладает нитробензол (С6Н5NО2). Для него В = 2,2⋅10-10 см/В2. При ℓ = 10 см и Е = 104 В/см по
формуле (23.3) для нитробензола получается δ = 0,44 π ≈ π/2. Для большинства
веществ постоянная Керра В > 0, т.е. ne > nо, что соответствует положительному
кристаллу. Есть вещества, у которых В < 0, т.е. ne < nо (спирт, этиловый эфир).
Эффект Керра объясняется оптической анизотропией молекул жидкости,
т.е. различной поляризуемостью молекул по разным направлениям. В отсутствие поля молекулы ориентированы хаотическим образом, поэтому жидкость в
целом не обнаруживает анизотропии. Под действием поля молекулы поворачи171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ваются так, чтобы в направлении поля были ориентированы либо их дипольные
электрические моменты (у полярных молекул), либо направления наибольшей
поляризуемости (у неполярных молекул). В результате жидкость становится
анизотропной. Ориентирующему действию поля противится тепловое движение молекул. Этим обусловливается наблюдающееся на опыте уменьшение постоянной Керра В с повышением температуры.
Время, в течение которого устанавливается (при включении поля) или
исчезает (при выключении поля) преимущественная ориентация молекул, составляет около 10-12 с. Таким образом, ячейка Керра, помещённая между скрещенными поляризаторами (см. рисунок 79), может служить практически безынерционным световым затвором. В отсутствие напряжения на пластинах конденсатора затвор будет закрыт. При включении напряжения затвор пропускает
значительную часть света, падающего на первый поляризатор.
Такие затворы были использованы для измерения скорости света в лабораторных условиях в 1928 г. Эффект Керра используют для управления режимом работы лазеров с целью получения сверхкоротких импульсов огромной
мощности и во многих других весьма тонких физических экспериментах.
Искусственное двойное лучепреломление возникает также в некоторых
жидкостях под влиянием магнитного поля. Возникающая под влиянием магнитного поля разность коэффициентов преломления no − ne пропорциональна
квадрату напряжённости магнитного поля, величина разности no − ne в достижимых магнитных полях весьма мала.
Изменение оптических свойств кристалла под действием внешнего электрического поля называют электрооптическим эффектом Поккельса. В отличие
от эффекта Керра, квадратичного по напряжённости поля Е, Эффект Поккельса
зависит линейно от Е. Практически безынерционность и данного эффекта позволяет использовать его для создания быстродействующих оптических затворов и высокочастотных модуляторов света, с помощью так называемых пластинок кристалла KDP (дигидрофосфата калия, формула КН2РО4).
172
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 3.24 Вращение плоскости поляризации
Естественное вращение. В направлении оптической оси свет распространяется в кристалле так же, как и в однородной среде, не давая двойного лучепреломления. Однако было замечено, что в кристаллах кварца распространение света вдоль оптической оси всё же отличается от его распространения в
изотропной среде. Оказалось, что плоско-поляризованный свет, распространяясь в кристалле кварца вдоль оптической оси, поворачивает плоскость поляризации. Впоследствии это явление было обнаружено в ряде других кристаллов
(кварц, киноварь), в водных растворах скипидара, никотина, камфары, кокаина,
виннокаменной кислоты, сахара и получило название вращения плоскости поляризации. Вещества, вращающие плоскость поляризации, называются оптически активными.
Если на оптически активное вещество падает плоско-поляризованный
свет, то прошедший через него свет оказывается тоже плоско-поляризованным:
поворотом анализатора его можно полностью погасить и установить при этом
угол ϕ поворота плоскости поляризации. Полностью погасить свет, поворачивая анализатор, можно лишь в случае монохроматического света. Если пользоваться белым светом, то при расположении кварцевой пластинки между скрещенными поляризаторами получается окрашенное поле; при повороте одного
из поляризаторов окраска поля меняется. Это указывает на зависимость вращательной способности от длины волны (дисперсия вращательной способности).
К
В качестве примера возьмём кварцевую пла-
Р′
Обзор
Р
Рисунок 80
стинку К, вырезанную перпендикулярно оптической оси, и поместим ее между двумя скрещенными поляризаторами Р и Р′ (рисунок 80). Система
будет пропускать свет (чего не было бы в отсутствие пластинки К). Повернув анализатор Р′ на неко-
173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
торый угол ϕ, обнаруживаем, что система перестала пропускать свет. Это означает, что в кристалле вектор Е повернулся на тот же угол и оказался перпендикулярным плоскости пропускания анализатора Р′.
Опыт показывает, что все оптически активные вещества поворачивают
плоскость поляризации падающего на них света на угол
ϕ = αℓ,
(24.1)
где ℓ − толщина оптически активного слоя;
α − постоянная вращения.
Постоянная вращения имеет различное значение для разных веществ и, кроме
того, сильно зависит от длины волны света. Так для кварцевой пластинки толщиной в 1 мм углы поворота жёлтого и фиолетового света равны соответственно 200 и 500. В ультрафиолете ещё больше: при λ = 215 нм угол ϕ = 2360. Таким
образом, поворот плоскости поляризации света кварцем – это сильный эффект,
и его можно легко обнаружить.
В растворах угол поворота плоскости поляризации пропорционален пути
ℓ луча в растворе и концентрации с активного вещества:
ϕ = αсℓ.
(24.2)
Величина α зависит от рода вещества; она носит название удельной постоянной вращения. Все вещества, активные в аморфном состоянии (расплавленные или в виде растворов), активны и в виде кристаллов, хотя постоянная
вращения α в обоих этих состояниях может быть разной. Наоборот, ряд веществ, неактивных в аморфном состоянии, вращает в кристаллическом состоянии. Так, кварц, сильно вращающий в кристаллическом состоянии, перестаёт
вращать в аморфном состоянии (плавленый кварц). Отсюда следует, что спо-
174
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
собность вращать плоскость поляризации может определяться как строением
молекул, так и расположением молекул в кристаллической решётке.
В зависимости от направления вращения плоскости поляризации оптически активные вещества подразделяют на право- и левовращающие, т.е. вращающие по или против часовой стрелки, если смотреть навстречу световому
пучку. Заметим, что все оптически активные вещества существуют в двух разновидностях − право- и левовращающие.
Вращательная способность кварца связана с его кристаллической структурой, так как плавленый кварц не обладает оптической активностью. Для оптически же активных жидкостей и аморфных тел эффект вращения обусловлен
асимметрическим строением самих молекул.
Опыт показывает, что при изменении
направления распространения
света на
противоположное поворот плоскости поляризации происходит в обратную сторону
(рисунок 81). Другими словами, направле-
Рисунок 81
ние вращения (правое или левое) «привязано» к направлению луча. Поэтому
при прохождении света сквозь активную среду, отражении его от зеркала и
вторичного прохождения через ту же среду назад направление линейной поляризации восстанавливается.
Измерение угла поворота плоскости поляризации лежит в основе методов
определения концентрации оптически активных веществ. Этим пользуются, в
частности, для определения концентрации сахара в производственных растворах и биологических объектах (кровь, моча).
Магнитное вращение плоскости поляризации. Способность поворачивать плоскость поляризации приобретают даже оптически неактивные вещества, если их поместить в продольное магнитное поле (эффект Фарадея). Схема
установки для наблюдения этого эффекта состоит из соленоида с исследуемым
веществом, который помещён между двумя скрещенными поляризаторами Р и
Р′. Создание магнитного поля приводит к просветлению поля зрения. поворо175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
том плоскости пропускания анализатора Р′ добиваются затемнения, и таким образом находят угол поворота плоскости поляризации:
ϕ = VℓB,
(24.3)
где V – постоянная Верде (или магнитная вращательная способность);
ℓ − длина пути света в веществе;
В – магнитная индукция.
Постоянная Верде зависит от рода вещества, его физического состояния и длины волны света. Приведём значения этой постоянной для двух веществ при
разных длинах волн:
V, угл. град / (м⋅мТл)
Вещество
656 нм
589 нм
486 нм
Вода
0,17
0,22
0,33
Сероуглерод
0,53
0,69
1,11
Направление вращения связано только с направлением индукции магнитного поля В. От направления луча направление вращения не зависит. Поэтому
при отражении луча зеркалом и возвращении его в исходную точку поворот
плоскости поляризации удваивается (в отличие от естественного вращения).
Это свойство позволяет увеличить угол поворота удлинением пути света в образце за счёт многократных отражений от
посеребренных поверхностей образца. Между полюсами
электромагнита помещается исследуемое тело в виде параллелепипеда, противоположные грани которого посеребрены,
кроме узких полосок у противоположных краёв (рисунок 82;
Рисунок 82
посеребренные места отмечены штриховкой). Луч света, отражаясь у посеребренных поверхностей, проходит через тело несколько раз взад и вперёд, при
этом, в соответствии со сказанным, угол поворота плоскости поляризации ϕ
возрастет пропорционально общей длине пути луча в теле.
176
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Знак вращения условно считают, если смотреть вдоль магнитного поля
(вдоль вектора В). Для подавляющего большинства веществ вращение происходит вправо (т.е. правый винт относительно вектора В). Такие вещества называют положительными. Встречаются, однако, и отрицательные вещества, вращающие влево (т.е. левый винт относительно вектора В).
Тот факт, что направление вращения в магнитном поле связано только с
направлением вектора В, позволяет осуществить так называемый оптический
вентиль, который способен пропускать свет толь-
Р
ко в одном направлении. Сказанное поясняет рисунок 83. Свет, прошедший поляризатор Р, магнитное поле поворачивает плоскость поляризации
В
Р′
ϕ
ϕ
⊗
на ϕ = 450 и проходит через поляризатор Р′. А обратно, пройдя Р′ и повернувшись в ту же сторону
на ϕ, оказывается задержанным поляризатором Р.
Рисунок 83
Малая инерционность эффекта Фарадея (∼ 10-9 с) позволяет использовать
его для модуляции света, для создания оптического затвора.
Оптически активные вещества под действием магнитного поля приобретают дополнительную способность вращать плоскость поляризации, которая
складывается с их естественной способностью.
Контрольные вопросы
1 Что называется естественным светом? плоско-поляризованным светом?
частично поляризованным светом? эллиптически поляризованным светом?
2 Как практически можно отличить плоско-поляризованный свет от естественного?
3 Интенсивность естественного света, пропущенного через два поляризатора, уменьшилась вдвое. Как ориентированы поляризаторы?
4 Чем замечателен угол Брюстера?
5 Покажите, что при выполнении закона Брюстера отражённый и прелом177
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лённый лучи взаимно перпендикулярны.
6 Что называется оптической осью кристалла? Чем отличаются двуосные
кристаллы от одноосных?
7 Чем обусловлено двойное лучепреломление в оптически анизотропном
одноосном кристалле?
8 Чем отличаются отрицательные кристаллы от положительных? Приведите построение волновых поверхностей для обыкновенного и необыкновенного лучей.
9 Какие поляризационные приборы вы знаете? В чём заключается принцип их действия?
10 Что называется пластинкой в четверть волны? в полволны?
11 Можно ли с помощью только поляризатора отличить эллиптически поляризованный свет от частично поляризованного? Почему?
12 На поляризатор падает плоско-поляризованный свет, интенсивность
которого равна I0.
13 Какова интенсивность света за поляризатором?
14 Сформулируйте закон Малюса.
15 Почему электромагнитную волну называют поперечной?
16 В чём заключается явление дихроизма?
17 Какие вещества называются оптически активными?
18 В чём отличие оптической активности от двойного лучепреломления?
19 Как, используя пластинку в четверть волны и поляризатор, отличить
плоско-поляризованный свет от естественного?
20 Каково будет действие пластинки в полволны на естественный свет? на
плоско-поляризованный свет, плоскость поляризации которого составляет угол
450 с оптической осью пластинки?
21 Что такое эффект Керра? Какова физическая причина его возникновения?
22 В чём заключается явление дихроизма?
178
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тесты
1. Свет, отражённый от поверхности воды, является частично поляризованным. Как убедиться в этом, имея поляроид?
А) Положить поляроид на поверхность воды
В) Вращать поляроид перпендикулярно поверхности воды
С) Вращать поляроид параллельно поверхности воды
Д) Погрузить поляроид в воду
Е) Расположить под любым углом к поверхности воды
2. На пути пучка белого света поставлены два поляризатора, оси поляризаторов ориентированы взаимно перпендикулярно. Как ориентированы векторы
Ε и В в пучке света, выходящем из второго поляризатора?
А) Взаимно перпендикулярно и перпендикулярно направлению распространения света
В) Параллельно друг другу и по направлению распространения света
С) Параллельно друг другу и перпендикулярно направлению распространения света.
Д) Модули векторов Ε и В равны 0
Е) Векторы Ε и В имеют всевозможные направления в плоскости, перпендикулярной направлению распространения света
3. Какое из перечисленных ниже оптических явлений обусловлено поперечностью световых волн?
А) интерференция света
С) поляризация света
В) дифракция света
Д) дисперсия света
179
Е) фотоэффект
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Определить показатель преломления вещества, если на его поверхность
из вакуума падает луч света, под углом Брюстера, равным 60˚.
А)
3
В) 3
С)
2
Д) 2
5. На пути естественного света помещены две пластинки турмалина. После прохождения пластинки 1 свет полностью поляризован. Если I1 и I2 – интенсивности света, прошедшего пластинки 1 и 2, соответственно, и I2 = I1 / 2,
тогда угол между оптическими осями поляризаторов…
А) 600
В) 900
С) 450
Д) 300
6. На пути пучка белого света поставлены два поляризатора, оси поляризаторов ориентированы параллельно. Как ориентированы векторы Е и В в пучке света, выходящем из второго поляризатора?
А) Взаимно перпендикулярно и перпендикулярно направлению распространения света
В) Параллельно друг другу и по направлению распространения света
С) Параллельно друг другу и перпендикулярно направлению распространения света
Д) Модули векторов Ε и В равны 0
Е) Векторы Ε и В имеют всевозможные направления в плоскости, перпендикулярной направлению распространения света
7. Степень поляризации частично поляризованного света составляет 0,75.
Определите отношение максимальной интенсивности света пропускаемого анализатором, к минимальной.
180
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А) 5
В) 6
С) 7
Д) 8
8. Предельный угол полного внутреннего отражения для некоторого вещества равен 300. Чему равен для этого вещества угол полной поляризации?
А) 600
В) 610
С) 620
Д) 630
9. Волна естественного света падает под углом Брюстера на границу вакуум-диэлектрик. Под каким углом распространяется отраженная волна?
А) равному углу Брюстера
В) меньше угла Брюстера
С) больше ушла Брюстера
Д) разности между прямым углом и углом Брюстера
10. Поляризацией волн называется явление
А) происходящее при суперпозиции когерентных волн и состоящее в перераспределении энергии колебаний по волновому фронту, в результате чего в
пространстве образуется устойчивая картина чередования областей усиленных
и ослабленных колебаний
В) отклонения волн от первоначального направления распространения и
огибания волнами препятствий, размеры которых соизмеримы с длиной волны
С) ориентации колебаний в поперечной волне в определённых направлениях
Д) нет верного ответа
11. Волна естественного света падает под углом Брюстера на границу вакуум-диэлектрик. Как поляризована прошедшая волна?
А) в плоскости падения
181
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В) в плоскости, перпендикулярной к плоскости падения
С) в плоскости, расположенной под углом 450 к плоскости падения
Д) в плоскости, расположенной под углом 600
12. На идеальный поляризатор падает свет интенсивности Iест от обычного
источника. При вращении поляризатора вокруг направления распространения
луча интенсивность света за поляризатором
1) меняется от Iест до Imax
2) не меняется и равна Iест
3) не меняется и равна
1
Iест
2
4) меняется от Imin до Imax
13. Солнечный свет, освещая капли росы на листьях, заставляет их переливаться всеми цветами радуги. Какое физическое явление при этом наблюдается?
А) фотоэффект
С) дисперсия
В) поляризация
Д) дифракция
Е) интерференция
14. Волна естественного света падает под углом Брюстера на границу вакуум-диэлектрик. Как поляризована отраженная волна?
А) линейно
В) по кругу (по часовой стрелке)
С) по эллипсу
Д) по кругу (против часовой стрелке)
15. Кто из учёных впервые выдвинул гипотезу о поперечности световых
волн?
А) Ньютон и Гюйгенс
С) Максвелл и Герц
В) Юнг и Френель
Д) Столетов и Лебедев
182
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16. Какие эксперименты легли в основу гипотезы о поперечности световой волны?
А) Опыты Герца
В) Опыты Физо и Фуко
С) Опыты Фарадея
Д) Открытие двойного лучепреломления и опыты Малюса
17. Луч света, падая на поверхность раствора, частично отражается, частично преломляется. Определите показатель преломления раствора, если отражённый луч полностью поляризуется при угле преломления 350.
А) 1,13
В) 1,23
С) 1,33
Д) 1,43
18. Во сколько раз ослабевает естественный свет, проходя через два николя, главные плоскости которых составляют 630, если в каждом из николей теряется 10 % падающего света?
А) В 5 раз
В) В 12 раз
С) В 10 раз
Д) В 6 раз
Упражнения для самоконтроля
3.1. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность естественного
света, прошедшего через два поляризатора, расположенных так, что угол между
их главными плоскостями равен 450, а в каждом из поляризаторов теряется 5 %
интенсивности падающего на него света. [В 4,43 раза]
3.2. Предельный угол полного отражения для пучка света на границе кристалла каменной соли с воздухом равен 40,50. Определить угол Брюстера при
падении света из воздуха на поверхность этого кристалла. [570]
3.3. Плоско-поляризованный свет, длина волны которого в вакууме λ =
600 нм, падает на пластинку исландского шпата перпендикулярно его оптической оси. Принимая показатели преломления для исландского шпата для обык183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
новенного и необыкновенного лучей равными, соответственно, nо = 1,66 и ne =
1,49, определить длины волн этих лучей в кристалле. [λо = 361 нм, λе = 403 нм]
3.4. Определить наименьшую толщину кристаллической пластинки в полволны для λ = 589 нм, если разность показателей преломления обыкновенного
и необыкновенного лучей для данной длины волны nо − ne = 0,17. [1,73 мкм]
3.5. Естественный монохроматический свет падает на систему из двух
скрещенных поляризаторов, между которыми находится кварцевая пластинка
толщиной 4 мм, вырезанная перпендикулярно оптической оси. Во сколько раз
уменьшится интенсивность света, прошедшего через эту систему, если постоянная вращения кварца равна 15 угл. град/мм? [В 2,67 раза]
3.6. Свет с круговой поляризацией проходит последовательно через два
идеальных поляроида, плоскости поляризации которых составляют друг с другом угол α = 600. Найдите отношение интенсивностей света I / I0 на выходе и на
входе системы поляроидов. [0,25]
3.7. Частично поляризованный свет можно рассматривать как смесь линейно-поляризованного и неполяризованного света. Пусть такой свет анализируется с помощью идеального поляроида, который ориентирован перпендикулярно световому пучку и может поворачиваться относительно оси пучка на
угол 3600. При этом установлено, что интенсивность проходящего света изменяется при повороте поляроида в 4 раза. Какая часть интенсивности Iпол / I0
приходится на долю линейно-поляризованного света? [0,6]
3.8. Вертикально поляризованный свет с интенсивностью I0 проходит девять идеальных поляроидов. Ось первого поляроида составляет 100 с вертикалью, ось второго повёрнута ещё на 100 и т.д.; ось девятого поляроида повёрнута
на 900. Чему равна результирующая интенсивность? [I = 0,759 I0]
3.9. Концентрация раствора сахара, налитого в стеклянную трубку, равна
0,3 г/см3. Этот раствор вращает плоскость поляризации монохроматического
света на 250. Определить концентрацию раствора в другой такой же трубке, если он вращает плоскость поляризации на 200. [375 кг/м3].
184
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.10. На пути плоско-поляризованного луча поместили пластинку кварца,
вырезанную параллельно оптической оси кристалла. Какой толщины должна
быть пластинка, чтобы образующаяся разность хода между обыкновенным и
необыкновенным лучами составила 1/4 длины волны жёлтого света (λ =
589 нм)? Максимальный показатель преломления необыкновенного луча данной длины волны 1,553, а обыкновенного – 1,543. [d = 14,7 мкм]
Глава 4 Взаимодействие света с веществом
Свет представляет собою электромагнитные волны малой длины. Следовательно, световые явления должны описываться теми же уравнениями Максвелла, которые описывают возникновение и распространение электромагнитных волн, с учётом взаимодействия этих волн с веществом. Оптические свойства веществ или физические процессы, протекающие в веществе при взаимодействии с электромагнитными волнами достаточно разнообразны: пропускание,
отражение, рассеяние света, вращение плоскости поляризации, дисперсия, фотолюминесценция, нагревание, генерация экситонов, генерация свободных
электронов в веществе или эмиссия их из вещества, генерация пары носителей
электрон-дырка.
По первоначальной теории Максвелла для учёта влияния вещества на
электромагнитные процессы необходимо было принимать во внимание три характеристики вещества: диэлектрическую проницаемость ε, магнитную проницаемость µ и проводимость σ. Диэлектрическая и магнитная проницаемости
определяют скорость распространения электромагнитных волн v в данной среде; по Максвеллу:
v=
с
.
εµ
Проводимость определяет поглощение волн.
185
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Скорость распространения света v в веществе связана с его показателем
преломления n соотношением:
v=
с
.
n
Сравнивая эту формулу с (1), получим
n=
εµ .
(2)
Таким образом, показатель преломления n должен определяться значениями
диэлектрической проницаемости ε и магнитной проницаемости µ вещества. Это
соотношение хорошо оправдывается для длинных электромагнитных волн, если для ε и µ брать значения, полученные на основании обычных электростатических и магнитных измерений. Однако для света те же значения ε и µ дают
неправильные значения показателя преломления n.
Так, для воды ε = 81 и µ практически равно единице, откуда по (2) для n
получаем
n = 81 = 9.
На самом деле для видимого света показатель преломления воды равен
всего 1,3. Также не оправдывается и связь между поглощением света и проводимостью среды. Например, путём соответственной окраски стекло может быть
сделано весьма сильно поглощающим свет, без заметного повышения его электрической проводимости.
Это кажущееся противоречие разрешается тем, что значения ε, µ и σ при
больших частотах внешнего электромагнитного поля, в данном случае поля
световой волны, сильно зависят от частоты и поэтому не равны значениям ε, µ
и σ, полученным на основании электростатических и магнитостатических измерений.
186
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Такую зависимость можно понять, если учесть, что величины ε и µ описывают результат взаимодействия внешнего поля с атомами и молекулами, усреднённый по большому числу атомов. Для коротких световых волн, период
колебаний которых сравним с периодом внутриатомных и внутримолекулярных движений, взаимодействие электромагнитного поля с атомами и молекулами будет иное, чем при более медленных процессах, и результат усреднения
будет иной. Оптические свойства веществ детально могут быть разобраны
лишь в результате учёта характера взаимодействия световой электромагнитной
волны с той сложной электрической системой, какой является каждый атом или
молекула. Так как в состав атомов и молекул входят электроны и, таким образом, разбор оптических свойств веществ возможен лишь на основе электронной
теории. Лоренц показал, что для качественного понимания многих явлений
достаточно ограничиться гипотезой о существовании внутри атомов и молекул
электронов, связанных квазиупруго, т.е. электронов, способных совершать колебания около своих положений равновесия под действием силы, пропорциональной смещению.
Впоследствии выяснилось, что такая гипотеза далеко не достаточна и что
должен быть принят во внимание более сложный характер строения атомов.
§ 4.25 Дисперсия света
Под дисперсией света подразумеваются явления, обусловленные зависимостью показателя преломления n вещества от длины световой волны λ (или
частоты ν). Свет разных длин волн – разного цвета – преломляется не одинаково на границе раздела двух прозрачных веществ. Первые экспериментальные
исследования света, принадлежащие Ньютону (1672 г.), были выполнены по
способу преломления в призме, представляющему и поныне хороший метод
для демонстраций и исследований. Разложение солнечного света в спектр в естественных условиях происходит в радуге, известной, конечно, с незапамятных
времён.
187
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для определённости будем рассматривать преломление на границе вакуум – данное вещество, т.е. говорить о зависимости абсолютного значения показателя преломления от длины волны. В таком случае можно записать, что для
каждого данного вещества показатель преломления n является определённой
функцией от длины волны λ:
n = f(λ),
(25.1)
где λ − длина волны света в вакууме.
Производную dn/dλ называют дисперсией вещества.
Для прозрачных бесцветных веществ график зависимости n(λ) в видимой
части спектра имеет вид, показанный на рисунке 84. Интервал длин волн, в котором dn/dλ < 0 (как на рисунке), соответствует нормальной дисперсии. Это соответствует известному факту, что в прозрачных веществах фиолетовые лучи
преломляются сильнее зелёных, а зелёные – сильнее красных. Показатель преломления n особенно сильно возрастает с уменьшением длины в области коротких длин волн. Отсюда следует, что дисперсия (dn/dλ) таких веществ возрастает по численному значению с уменьшением длины волны. Различная преломляемость лучей разного цвета позволяет разложить сложный свет на его
монохроматические составляющие. Такой опыт был впервые проделан в 1672 г.
Ньютоном.
n
n
ϰ
λ
λ
Рисунок 84
Рисунок 85
188
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Интервалы длин волн, где дисперсия вещества dn/dλ > 0, соответствует
аномальной дисперсии. На рисунке 85 показан график зависимости n(λ) с участками нормальной и аномальной дисперсии. Заметим, что область аномальной
дисперсии совпадает с полосой поглощения ϰ(λ).
Все вещества в той или иной степени являются диспергирующими. Вакуум, как показали тщательные исследования, дисперсией не обладает.
Аналитический вид зависимости n(λ) в области нормальной дисперсии
для не слишком больших интервалов длин волн может быть представлен приближённой формулой Коши (1829-1835 гг.):
n=a+
b
c
+
+...,
λ2
λ2
(25.2)
где a, b, с, . . . − положительные постоянные, значения которых для каждого вещества определяются из опыта;
λ − длина волны в вакууме.
В большинстве случаев можно ограничиться двумя первыми членами формулы.
На рисунке 84 и 85 изображены графики зависимости показателя преломления вещества от длины волны n(λ). Изобразим соответствующие графики зависимостей n(ω), где ω − циклическая частота света.
n
n
ϰ
ω
ω
Рисунок 86
Рисунок 87
189
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поскольку ω ∼ 1/λ, легко проверить, что графики n(ω), соответствующие
указанным рисункам, таковы, как показано на рисунках 86 и 87. Причём, в случае графика, приведённого на рисунке 86, закон дисперсии в соответствии с
формулой (25.2) принимает вид:
n = a + b′ω2,
где постоянная b′ = b/(2πc)2.
§ 4.26 Классическая теория дисперсия
Дисперсию света можно объяснить на основе электромагнитной теории и
электронной теории вещества. Строго говоря, поведение электронов в атоме
подчиняется законам квантовой физики. Однако для качественного понимания
дисперсии света достаточно ограничиться классическими представлениями, которые, как это и не удивительно, приводят к тем же результатам, что и квантовая теория.
Итак, поставим перед собой задачу объяснить ход зависимости n(ω). Мы
знаем, что в изотропной немагнитной среде n =
ε . В свою очередь ε можно
найти из соотношения ε = 1 + χ, где χ – диэлектрическая восприимчивость, которая является коэффициентом в соотношении Р = χε0Е, Р – поляризованность,
т.е. дипольный момент единицы объёма. Таким образом,
ε=1+
Px (t)
,
ε 0 E x (t)
(26.1)
где Рх – проекция вектора Р на ось 0х, вдоль которой совершаются колебания вектора Е.
Известно, что Рх = n0рх, где n0 − концентрация диполей, рх − проекция дипольного момента отдельного диполя. В дальнейшем будем рассматривать про190
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стейшую модель вещества, состоящего из не взаимодействующих друг с другом атомов. Каждый атом представляет собой ядро, окружённое быстро движущимися электронами, которые в совокупности как бы «размазаны» по симметричной сферической области вокруг ядра. Поэтому принято говорить, что
ядро с зарядом q окружено «электронным облаком» с зарядом −q.
В отсутствие внешнего поля Е центр электронного облака совпадает с
ядром, и дипольный момент атома равен нулю. При наличии же внешнего поля
Е электронное облако смещается относительно практически неподвижного ядра, и возникает дипольный момент p = qℓ, где q > 0, а ℓ − вектор, проведённый
из центра «облака» к ядру. Проекция вектора р на ось 0х равна
рх = qℓх = q(−x) = − qx,
(26.2)
здесь х – смещение центра «облака» из положения равновесия, т.е. относительно ядра. Заметим, что центр «облака» ведёт себя как точечный заряд − q.
С учётом (26.2) выражение (26.1) можно представить так:
ε=1+
n 0 (− qx )
.
ε0E x
(26.3)
Как видно, задача сводится к определению х(t) под действием Ех(t). Для
этого запишем уравнение движения электронного облака как
mx′′ = − kx − rx′ + qE0cosωt,
(26.4)
где m − масса электронного облака.
В правой части уравнения (26.4) записаны проекции на ось 0х квазиупругой силы, удерживающей оптический электрон около положения равновесия; силы
«сопротивления», обусловленной чем-то вроде «трения» облака о ядро; и вынуждающей силы со стороны гармонической электромагнитной волны частоты
191
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ω. Магнитной составляющей этой силы мы пренебрегаем, поскольку в нерелятивистском случае она ничтожно мала.
Разделив уравнение (26.4) на m, приведём его к виду
x′′ + 2βx′ + ω02x = f0cosωt,
(26.5)
где ω02 = k/m, 2β = r/m, f0 = qE0/m.
Для теории дисперсии имеет значение не общее, а только частное (установившееся) решение уравнения (26.5):
x = acos(ωt − ϕ),
(26.6)
где а – амплитуда колебаний;
ϕ − разность фаз между смещением х и «силой» f0cosωt.
Подстановка этого решения в уравнение (26.5) позволяет с помощью векторной
диаграммы найти значение амплитуды а и разности фаз ϕ, а именно
а=
(ω
f0
2
0
−ω
2
)
2
+ 4β ω
2
,
tgϕ =
2
2βω
2
ω0 − ω 2
(26.7)
(решение уравнения (26.5) подробно рассматривается в теории колебаний).
Ограничимся простейшим случаем, когда 2βω << (ω02 − ω2), т.е. когда вынуждающая частота (поля) не очень близка к собственной частоте ω0 колебаний
электронного облака и коэффициент β, характеризующий затухание, достаточно мал. В этом случае, если ω < ω0, то
x(t) =
f0
cos(ωt).
ω0 − ω 2
2
Такой же результат будет и при ω > ω0, когда ϕ = π.
192
(26.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Остаётся подставить (26.8) в (26.3) и учесть, что вынуждающая сила в
(26.4) qE0cosωt = − qЕх. В результате получим:
ε=1+
b
,
2
ω0 − ω2
(26.9)
где b = n0q2/ε0m = N0e2/ε0me,
N0 − концентрация электронов.
В (26.9) учтено, что q = Ze, m = Zme и N0 = Zn0, Z − число электронов в атоме.
Разрыв функции ε(ω) при ω = ω0 и обращение ее в ± ∞ не имеют физического смысла, это получилось вследствие игнорирования затухания (β → 0).
Если же его учесть, то ход кривой будет иным (рисунок 88) и достаточно хорошо подтверждается экспериментально (сравните с рисунком 87). Зависимость
ϰ(ω) характеризует полосу поглощения. Как раз с ней совпадает область аномальной дисперсии (dn/dω < 0).
Заметим, что собственных частот ω0i может быть несколько в атоме, соответственно будет и несколько областей аномальной дисперсии. Кроме того как
видно из рисунка 88 при ω > ω0 показатель преломления (n =
ε ) будет меньше
единицы, а это значит, что фазовая скорость электромагнитной волны v = c/n
оказывается больше с! Подобное имеет место в плазме, где ω0 = 0 (электроны
свободные), и для рентгеновского излучеn
ния (ω >> ω0). Никакого противоречия с
n
теорией относительности здесь нет. По1
следняя утверждает, что скорость сигнала
(импульса) не может превышать с. Поня-
ϰ
0
ω0
Рисунок 88
ω
тие же показателя преломления применимо к монохроматическим электромагнитным волнам, бесконечным в пространстве
193
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и во времени. Такие волны не могут служить для передачи сигнала, а кроме того, их в принципе невозможно осуществить.
Из выражения (26.9) вытекает и ещё одно неожиданное следствие для
случая, когда ω0 = 0 (например, в той же плазме). При этом условии, когда частота электромагнитной волны ω ≤
b , оказывается, что диэлектрическая про-
ницаемость ε(ω) ≤ 0, а, следовательно, показатель преломления для таких частот (n =
ε ) становится мнимым, и его можно представить n = iϰ. Выясним, что
это означает.
Запишем уравнение электромагнитной волны в комплексной форме:
Ê = Е0еi(kx-ωt) = exp(i(kx-ωt)),
где k = 2πλ,
λ − длина волны в среде.
Если длина волны в вакууме λ0, то λ = λ0/n, и
k=
2π
n = ik0x,
λ
где k0 = 2πλ0.
Подставив это выражение для k в исходное уравнение волны Е(x, t), получим:
Ê = Е0⋅еxp(−ϰk0x)⋅exp(−iωt),
или для действительной части
Е = Е0⋅еxp(−ϰk0x)⋅cosωt.
Видно, что в рассматриваемом случае мы имеем стоячую волну, амплитуда которой экспоненциально затухает5. Фактически это означает, что излучение
5
В общем случае вводят комплексный показатель преломления ň = n + iϰ, где n определяет фазовую скорость
волны v = c/n, а мнимую часть ϰ называют показателем затухания. Он характеризует затухание волны по мере
ее распространения. Затухание не обязательно связано с поглощением электромагнитной волны, примером тому служит разобранный пример.
194
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
при ε < 0 не может пройти через плазму, и происходит полное отражение его в
пограничном слое. На этом, кстати, основан метод определения концентрации
электронов в плазме.
§ 4.27 Групповая скорость
Волновой пакет. Строго монохроматическая волна – это идеализация.
Таких волн в природе нет. Любая реальная волна, согласно теореме Фурье, может быть представлена как суперпозиция монохроматических волн с различными амплитудами и частотами ω в некотором интервале ∆ω. Суперпозицию
волн, мало отличающихся друг от друга по частотам (∆ω << ω), называют волновым пакетом или группой волн. Вид волнового пакета в некоторый момент
времени показан на рисунке 89. В его пределах монохроматические составляющие усиливают друг друга, вне пакета практически гасят друг друга.
Отметим, что сложные волновые процессы описываются с использованием двух скоростей распространения.
В вакууме все монохроматические волны, образующие пакет,
Ех
распространяются с одинаковой
х
0
фазовой
ляющей
скоростью,
скорость
представ-
перемещения
поверхности одинаковых фаз:
Рисунок 89
v = ω/k,
(27.1)
где ω − частота волны;
k − волновое число.
С такой же скоростью распространяется в вакууме и сам волновой пакет, не изменяя своей формы.
195
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Групповая скорость. В диспергирующей же среде волновой пакет расплывается, поскольку скорости его монохроматических составляющих отличаются друг от друга, и понятие скорости такой волны требует уточнения.
Если дисперсия достаточно мала, расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. В этом случае волновому пакету можно приписать
скорость u, с которой перемещается его «центр тяжести». Это так называемая
групповая скорость. Соответствующий расчёт даёт, что групповая скорость
волны, состоящей из гармонических волн разных частот, определяется как
u=
dω
.
dk
(27.2)
Подставляя в (27.2) ω, найденное из (27.1), и принимая во внимание, что k =
2π/λ, получаем
u=
dω
d
=
(vk ) = v + k dv = v + k dv dλ = v − 2π dv
k dλ
dk
dk
dk
dλ dk
или
u=v −λ
dv
.
dλ
(27.3)
Выражение (27.3) было получено английским физиком Рэлеем (1842-1919) и
называется формулой Рэлея. Из него видно, что в зависимости от знака dv/dλ
групповая скорость волны может быть как меньше, так и больше ее фазовой
скорости.
В большинстве сред фазовая скорость с ростом длины волны возрастает
(dv/dλ > 0). Такая дисперсия называется нормальной. В случае нормальной
дисперсии групповая скорость u оказывается меньше фазовой скорости v: u < v.
В отсутствие дисперсии dv/dλ = 0, и групповая скорость совпадает с фазовой
196
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
скоростью (об этом уже говорилось). В некоторых случаях имеет место аномальная дисперсия, когда dv/dλ < 0 и u > v.
Поясним формулу (27.2) на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и несколько отличными друг от друга длинами волн (и частотами). На рисунке 90,а показано их относительное расположение в некоторый
момент времени, а на рисунке 90,б – результат их суперпозиции. Нас будет интересовать скорость, с которой перемещается место с максимальной амплитудой – это и будет скорость волнового пакета – групповая скорость. Определим
ее величину.
Пусть уравнения этих двух монохроматических волн имеют вид:
Е1 = А⋅cos(ωt − kx),
Е2 = А⋅cos[(ω + dω)t − (k + dk)x].
В результате их наложения образуется суммарная волна
Е = Е1 + Е2 = 2А⋅cos
tdω − xdk
⋅cos (ωt − kx).
2
а)
х
б)
у
Рисунок 90
197
(27.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выражение (27.4) можно рассматривать как уравнение монохроматической волны, амплитуда которой меняется по закону
A 0 = 2Acos
tdω − xdk
.
2
Отсюда следует, что точки, соответствующие, например, максимуму амплитуды, движутся по закону
tdω − xdk = 0,
откуда x = (dω/dk)t. Величина в скобках и есть групповая скорость (27.2).
Выражение для групповой скорости можно представить в ином виде. Заменив ω через vk согласно (27.1), получим:
u=
d
(vk ) = v + k dv .
dk
dk
(27.5)
Так как k = 2π/λ и dk = − (2π/λ)2dλ, то выражение (27.5) можно переписать
так:
u=v−λ
dv
.
dλ
(27.6)
Опять получили формулу Рэлея (27.3).
v
Существует простой графический способ наА
хождения групповой скорости по кривой v(λ). Он
v
показан на рисунке 91. В случае группы волн роль
u
играет только малый участок кривой v(λ) в узком
диапазоне ∆λ (∆λ << λ). Отрезок, который отсекает
∆λ
0
λ
Рисунок 91
λ
на оси ординат касательная к кривой v(λ), проведённая через точку А, равен v − λ(dv/dλ), т.е. групповой
198
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
скорости u при данной длине волны λ.
Для примера найдём выражение для групповой скорости в среде с известной зависимостью показателя преломления от частоты электромагнитной волны, n(ω). Будем исходить из определения групповой скорости – формулы (27.2).
Принимая во внимание, что фазовая скорость v = ω/k = c/n, получим
k = ωn/c.
Теперь возьмём производную dk/dω:
dk
d  ωn  1 
dn 
=

 = n + ω  .
dω dω  c  c 
dω 
Подстановка обратного значения этой величины, т.е. dω/dk, в (27.2) приводит к
искомому результату:
u=
dω
c
=
.
dk n + ω(dn / dω)
(27.7)
В некоторых случаях групповая скорость, вычисленная по приведённым
выше формулам, оказывается больше с – скорости света в вакууме. Так будет,
например, в области аномальной дисперсии. Это не противоречит теории относительности, так как групповая скорость выражает скорость сигнала лишь тогда, когда волновой импульс в процессе распространения практически не изменяет своей формы. В области же аномальной дисперсии импульс сильно деформируется, и групповая скорость в таких случаях утрачивает определённое
физическое содержание.
Групповая скорость и перенос энергии. Рассмотрим вопрос о скорости
распространения энергии, переносимой электромагнитной волной. Прежде всего, заметим, что фазовая скорость монохроматической волны не имеет ничего
общего со скоростью переноса энергии. Фазовая скорость устанавливает только
связь между фазами колебаний в различных точках пространства.
199
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Строго монохроматическая волна не может служить для передачи сигнала, поскольку она не имеет ни начала, ни конца во времени и пространстве. Поэтому распространение сигнала связано с перемещением изменений амплитуды. И в тех случаях, когда групповая скорость имеет смысл (т.е. электромагнитный импульс распространяется, не расплываясь), она совпадает со скоростью переноса энергии.
Итак, в области, далёкой от области сильного поглощения, скорость переноса энергии в группе волн совпадает с групповой скоростью.
Прямые измерения скорости света сводятся к измерению расстояния,
проходимого световым сигналом (импульсом) за определённый промежуток
времени. Этот метод практически даёт групповую скорость. То же самое, как
показывает подробный анализ, относится ко всем известным косвенным методам измерения скорости света. Фазовую же скорость (точнее, отношение фазовых скоростей в двух различных средах) можно определить по отношению показателей преломления, или воспользовавшись законом преломления.
§ 4.28 Поглощение света
Явление уменьшения энергии световой волны при ее распространении в
веществе, происходящее в результате преобразования энергии электромагнитной волны во внутреннюю энергию вещества или энергию вторичного (фотолюминесцентного) излучения, имеющего иной спектральный состав и иные направления распространения, называется поглощением света. Свет, проходя через любое вещество, в той или иной мере в нём поглощается. Обычно поглощение носит селективный характер, т.е. свет различных длин волн поглощается
различно. Так как длина волны определяет цвет света, то, следовательно, лучи
различных цветов, вообще говоря, поглощаются в данном веществе по-разному.
Прозрачными неокрашенными телами являются тела, дающие малое поглощение света всех длин волн, относящихся к интервалу видимых лучей. Так,
стекло поглощает в слое толщиной в 1 см лишь около 1 % проходящих через
200
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
него видимых лучей. То же стекло сильно поглощает ультрафиолетовые и далёкие инфракрасные лучи.
Цветными прозрачными телами являются тела, обнаруживающие селективность поглощения в пределах видимых лучей. Например, ″красным″ является стекло, слабо поглощающее красные и оранжевые лучи и сильно поглощающее зелёные, синие и фиолетовые. Если на такое стекло падает белый свет,
представляющий собой смесь волн различных длин, то через него пройдут
лишь более длинные волны, вызывающие ощущение красного цвета, более же
короткие волны будут поглощены. При освещении того же стекла зелёным или
синим светом оно покажется ″чёрным″, так как стекло поглощает эти лучи.
С точки зрения теории упруго связанных электронов поглощение света
вызвано тем, что проходящая световая волна возбуждает вынужденные колебания электронов. На поддержание колебаний электронов идёт энергия, которая
затем переходит в энергию других видов. Если в результате столкновений между атомами энергия колебаний электронов переходит в энергию беспорядочного молекулярного движения, то тело нагревается.
Закон Бугера. Поглощение света можно в общих чертах описать с энергетической точки зрения, не входя в детали механизма взаимодействия световых волн с атомами и молекулами поглощающего вещества.
Пусть через однородное вещество распространяется параллельный световой пучок. Выделим мысленно в этом веществе бесконечно тон-
dℓ
I0
кий плоский слой толщины dℓ (рисунок 92). При
прохождении этого слоя интенсивность света
уменьшится так, что ее убыль можно представить как − dI. Ясно, что эта величина будет про-
ℓ
порциональна интенсивности в данном поглоРисунок 92
щающем слое и его толщине dℓ, т.е.
− dI = ϰIdℓ,
201
(28.1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где ϰ − коэффициент поглощения, который характеризует поглощающие
свойства вещества (постоянство коэффициента поглощения указывает на то,
что в каждом слое поглощается одна и та же доля интенсивности, дошедшей до
слоя).
Разделив переменные, получим − dI/I = ϰdℓ. После интегрирования в пределах
от I0 до I и от 0 до ℓ найдём: ln(I/I0) = −ϰℓ, откуда
I = I0e-ϰℓ.
(28.2)
где I0 − интенсивность волны, вступающей в вещество толщиной ℓ;
ϰ − коэффициент поглощения, зависящий, вообще говоря, от длины
волны;
е – основание натуральных логарифмов.
Это и есть закон Бугера. Таким образом, интенсивность света при прохождении
однородного вещества уменьшается по экспоненциальному закону. Физический
смысл этого закона состоит в том, что коэффициент поглощения не зависит от
интенсивности света, а, следовательно, и от толщины поглощающего слоя.
С.И.Вавилов установил, что закон Бугера выполняется в крайне широких пределах изменения интенсивности света (примерно 1020 раз).
Однако следует принять во внимание, что при поглощении света молекула переходит в новое, возбуждённое состояние, запасая поглощённую энергию.
Пока она находится в таком состоянии, ее способность поглощать свет изменена. То обстоятельство, что в опытах Вавилова закон Бугера соблюдался при самых больших интенсивностях, доказывает, что число таких возбуждённых молекул в каждый момент остаётся незначительным, т.е. они очень короткое время находятся в возбуждённом состоянии. Действительно, для веществ, с которыми были выполнены указанные опыты, его длительность не превышает
10-8 с. К этому типу относится огромное большинство веществ, для которых,
следовательно, справедлив закон Бугера. Выбрав специально вещества со значительно большим временем возбуждённого состояния, Вавилов мог наблю202
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дать, что при достаточно большой интенсивности света коэффициент поглощения уменьшается, так как заметная часть молекул пребывает в возбуждённом
состоянии. Эти отступления от закона Бугера представляют особый интерес,
так как они являются исторически первыми указаниями о существовании нелинейных оптических явлений, т.е. явлений, для которых несправедлив принцип
суперпозиции. Таким образом, закон Бугера имеет ограниченную область применимости. Однако в огромном числе случаев, когда интенсивность света не
слишком велика и продолжительность пребывания атомов и молекул в возбуждённом состоянии достаточно мала, закон Бугера выполняется с высокой степенью точности.
Для нахождения коэффициента поглощения ϰ надо измерять интенсивности света I1 и I2, прошедшего соответственно сквозь слои толщиной ℓ1 и ℓ2.
Вычисляя коэффициент поглощения из соотношения I1 / I2 = ехр[ϰ(ℓ2 − ℓ1)],
можно найти значение ϰ. Числовое значение ϰ показывает толщину слоя ℓ, равную 1 / ϰ, после прохождения которого интенсивность плоской волны падает в
е = 2,72 раза.
Заметим, что в случае точечного источника света, находящегося в однородной поглощающей среде, предыдущие рассуждения следует повторить, но
только не для интенсивности I, а для светового потока Ф. И в качестве исходного бесконечно тонкого слоя теперь следует выбрать сферический слой с радиусами от r до r + dr. В результате приходим к аналогичному (28.2) закону:
Ф = Ф0e-ϰr,
(28.3)
где Ф0 – световая мощность источника (или его световой поток при r→0).
О коэффициентах поглощения. Для всех веществ поглощение имеет селективный характер, т.е. коэффициент поглощения ϰ зависит от длины волны
света (в вакууме). Для жидких и твёрдых веществ зависимость ϰ(λ) имеет вид,
подобный изображённому на рисунке 93. Т.е. сильное поглощение обнаруживается в достаточно широком интервале длин волн.
203
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ϰ
ϰ
500
700
λ,нм
Рисунок 93
Рисунок 94
λ
Совсем иначе ведёт себя коэффициент ϰ(λ) в случае газов или паров металлов при невысоком давлении. Здесь для всех длин волн коэффициент ϰ ≈ 0,
и лишь для очень узких спектральных интервалов ∆λ (порядка нескольких тысячных нм) обнаруживает резкие максимумы (так называемый линейчатый
спектр поглощения). Эти максимумы (рисунок 94) соответствуют резонансным
частотам колебаний электронов внутри атомов, которые практически не взаимодействуют друг с другом. Спектр поглощения молекул, определяемый колебаниями атомов в молекулах, характеризуется полосами поглощения (примерно
10-10 − 10-7 м).
При повышении же давления максимумы поглощения всё больше расширяются, и при высоких давлениях спектр ϰ(λ) приближается к спектрам поглощения жидкостей. Это связано с ростом взаимодействия между атомами.
Коэффициент поглощения для диэлектриков невелик (примерно 10-3 −
10-5 см-1), однако у них наблюдается селективное поглощение света в определенных интервалах длин волн, когда ϰ резко возрастает, и наблюдаются сравнительно широкие полосы поглощения, т.е. диэлектрики имеют сплошной
спектр поглощения. Это связано с тем, что в диэлектриках нет свободных электронов и поглощение света обусловлено явлением резонанса при вынужденных
колебаниях электронов в атомах и атомов в молекулах диэлектрика.
Коэффициент поглощения для металлов имеет большие значения (примерно 103—105 см-1) и поэтому металлы являются непрозрачными для света. В
металлах из-за наличия свободных электронов, движущихся под действием
204
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
электрического поля световой волны, возникают быстропеременные токи, сопровождающиеся выделением джоулевой теплоты. Поэтому энергия световой
волны быстро уменьшается, превращаясь во внутреннюю энергию металла.
Чем выше проводимость металла, тем сильнее в нем поглощение света.
Опыт показывает, что при поглощении света веществами, растворёнными
в прозрачном растворителе, поглощение пропорционально числу поглощающих
молекул на единицу длины пути светового луча в растворе. Так как число молекул, приходящихся на единицу длины пропорционально концентрации раствора С, то коэффициент поглощения ϰ пропорционален С, откуда можно положить ϰ = κС, где κ − новый постоянный коэффициент, не зависящий от концентрации раствора, а определяемый лишь свойствами молекул поглощающего
вещества. Подставляя это значение ϰ в формулу (28.2), получим
I = I0e-κCℓ.
(28.4)
Утверждение, что коэффициент κ не зависит от концентрации раствора,
носит название закона Бера. Этот закон выполняется при условии, что наличие
соседних молекул не меняет свойств каждой данной молекулы. При значительных концентрациях раствора взаимное влияние молекул сказывается, и тогда
закон Бера перестаёт выполняться. В тех случаях, когда он имеет место, соотношение (28.4) позволяет определять концентрацию раствора по степени поглощения света в растворе. Точно также нередко можно обнаружить зависимость ϰ для растворённых веществ от природы растворителя, что также указывает на влияние окружающих молекул на поглощательную способность изучаемой молекулы.
В тех случаях, когда ϰ можно считать не зависящим от концентрации, закон Бугера оказывается очень полезным для определения концентрации поглощающего вещества путём измерения поглощения, которое может быть выполнено очень точно при помощи фотометра. Этим приёмом нередко пользуются в
205
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лабораторной и промышленной практике для быстрого определения концентрации веществ, химический анализ которых оказывается очень сложным.
В заключение отметим, что можно создать такое состояние атомов вещества, при котором коэффициент ϰ становится отрицательным, и прохождение
света через вещество в таком (инверсионном, как говорят) состоянии сопровождается усилением его интенсивности. Именно это и осуществляется в лазерах.
§ 4.29 Рассеяние света
Механизм рассеяния света. С классической точки зрения рассеяние света состоит в том, что световая волна, проходящая через вещество, вызывает колебания электронов в атомах (молекулах). Эти электроны возбуждают вторичные волны, распространяющиеся по всем направлениям. При этом вторичные
волны оказываются когерентными между собой и поэтому интерферируют.
Теоретический расчёт приводит к следующему выводу: в случае однородной среды вторичные волны полностью гасят друг друга во всех направлениях, кроме направления распространения первичной волны. В силу этого перераспределения света по направлениям, т.е. рассеяния света в однородной
среде, не происходит.
Иначе обстоит дело при распространении света в неоднородной среде. В
этом случае световые волны, дифрагируя на мелких неоднородностях среды,
дают дифракционную картину в виде довольно равномерного распределения
интенсивности по всем направлениям. Это явление и называют рассеянием света.
Примерами таких сред с явно выраженной оптической неоднородностью
могут служить так называемые мутные среды. К их числу относятся аэрозоли
(дым, туман), коллоидные растворы, матовые стёкла и др., содержащие мелкие
частицы, показатель преломления которых отличается от показателя преломления окружающей среды.
206
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Закон Рэлея. Рассеяние света в мутных средах на неоднородностях, размеры которых малы по сравнению с длиной волны λ, можно наблюдать, например, при прохождении яркого светового пучка через слой воздуха с мелким
частичками дыма или через сосуд с водой, в которую добавлено немного молока. Если мутную воду освещать пучком белого света, то при наблюдении сбоку,
в рассеянном свете, − среда кажется голубой, т.е. обнаруживается преобладание
коротковолновой части спектра. В свете же, прошедшем сквозь достаточно толстый слой мутной среды, обнаруживается преобладание длинноволновой части
спектра, и среда кажется красноватой.
Причина такого явления состоит в том, что электроны, совершающие вынужденные колебания в атомах электрически изотропной частицы малого размера (не более ∼ 0,1 λ), эквивалентны одному колеблющемуся диполю. Этот
диполь колеблется с частотой падающей на него световой волны, и интенсивность излучаемого им света сильно зависит от частоты
I ∼ ω4 ∼
1
.
λ4
(29.1)
Эту зависимость называют законом Рэлея. Из него следует, что коротковолновая часть спектра рассеивается значительно более интенсивно, нежели длинноволновая. Голубой свет, частота которого примерно в 1,5 раза больше частоты
красного света, рассеивается почти в 5 раз интенсивнее, чем красный. Это и
объясняет голубой цвет рассеянного света и красноватый – прошедшего.
Поляризация рассеянного света. При рассеянии естественного света в
мутной среде зависимость интенсивности рассеянного света от угла рассеяния
ϑ имеет вид
I = I9(1 + cos2ϑ),
(29.2)
где I0 − интенсивность света, рассеянного под прямым углом (ϑ = π/2) к
направлению первичного светового пучка.
207
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если молекулы рассеивающих частичек электрически изотропны (неполярные
молекулы), то рассеиваемый свет оказывается частично-поляризованным и под
углом ϑ = π/2 − полностью поляризованным. В этом случае его плоскость поляризации (плоскость колебаний вектора Е) перпендикулярна направлению первичного светового пучка.
Если размеры неоднородностей сравнимы с длиной волны света, то электроны в различных местах неоднородности колеблются уже не синфазно. Это
усложняет явление рассеяния и приводит к другим закономерностям: закон Рэлея нарушается (интенсивность рассеянного света становится пропорциональной всего лишь квадрату частоты, I ∼ ω2 ∼ 1/λ2), и свет, рассеянный под углом
ϑ = π/2, оказывается поляризованным лишь частично.
Если же размеры неоднородностей значительно больше длины световой
волны, то спектральный состав рассеянного света практически совпадает со
спектральным составом первичного пучка. Этим объясняется, например, белый
цвет облаков.
Молекулярное рассеяние. Даже тщательно очищенные от посторонних
примесей и загрязнений жидкости и газы в некоторой степени рассеивают свет.
М.Смолуховский (1908 г.) выяснил, что причиной оптических неоднородностей
в этом случае являются флуктуации плотности. Имеются в виду отклонения в
пределах малых объёмов плотности от ее среднего значения, возникающие в
процессе хаотического теплового движения молекул среды. Рассеяние света,
обусловленное этими флуктуациями плотности, называют молекулярным рассеянием.
Молекулярным рассеянием объясняется голубой цвет неба. Непрерывно
возникающие в атмосфере флуктуации плотности в малых объёмах приводят
согласно закону Рэлея к тому, что синие и голубые составляющие солнечного
света рассеиваются сильнее, чем жёлтые и красные. При восходе и заходе
Солнца прямой солнечный свет проходит через большую толщу атмосферы, и
при этом большая доля коротковолновой части спектра теряется на рассеяние.
Из прямого света до поверхности Земли доходит преимущественно красная со208
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ставляющая спектра. Вот почему при восходе и заходе Солнце кажется красным. Аналогично объясняется и красный цвет зари.
Эффект, связанный с молекулярным рассеянием света, зависит от температуры: с ее ростом он увеличивается, и это подтверждает эксперимент.
Ослабление узкого светового пучка при прохождении через мутное
вещество. При прохождении пучка световых лучей через мутное вещество (туман, жидкость, содержащую взвешенные частицы, коллоидный раствор и т.д.)
часть света рассеивается в стороны; благодаря этому пучок становится видимым сбоку.
В результате рассеяния интенсивность узкого светового пучка убывает в
направлении распространения быстрее, чем в случае одного лишь поглощения.
Поэтому для мутной среды в выражении (28.2) вместо коэффициента поглощения ϰ должен стоять коэффициент ослабления
µ = ϰ + ϰ′,
(29.3)
где ϰ′ − коэффициент экстинкции, связанный с рассеивающими свойствами среды;
ϰ − коэффициент экстинкции, связанный с поглощающими свойствами среды.
Тогда интенсивность пучка будет изменяться с проходимым расстоянием х как
I = I0e-µx.
(29.4)
Ещё раз отметим, что эта зависимость относится к узкому световому пучку.
§ 4.30 Распространение света в оптически неоднородном веществе
Под оптически неоднородным веществом подразумевается вещество, показатель преломления n которого непрерывно меняется от точки к точке. В та209
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ком веществе разные части волнового фронта распространяются с разными
скоростями, в результате чего поверхность фронта непрерывно деформируется.
Лучи, которые являются линиями, ортогональными к поверхности одинаковых
фаз, в этом случае оказываются кривыми. Рассмотрим вещество (рисунок 95),
показатель преломления которого непрерывно меняется от значения n до значения n′, причём положим n < n′. Пусть в некоторый момент времени волновой
фронт представляет собой плоскость аа′, перпендикулярную к плоскости рисунка. При дальнейшем распространении волны фронт аа′ будет быстрее перемещаться там, где n меньше, и медленнее там, где n больше. Поэтому его положения в последующие моменты времени изобразятся кривыми поверхностями
а1а1′, а2а2′ и т.д. Лучи, пересекающие нормально каждое из положений волнового фронта, загнутся на рисунке 95 книзу.
a1′
a′
a
a1
a2′
a2
a3′
S′
Атмосфера
n
∆ϕ
S
Земля
n′
a3
Рисунок 96
Рисунок 95
Примером неоднородного вещества может служить земная атмосфера,
рассматриваемая в достаточно больших толщах. Изменение давления атмосферы с высотой ведёт и к изменению с высотой показателя преломления. Показатель преломления на больших высотах имеет меньшие значения, а у поверхности Земли – большие. В результате этого луч, идущий к Земле от какой-либо
звезды, преломляясь в атмосфере, изгибается (рисунок 96). Видимое положение звезды S′ смещено относительно ее истинного положения S. Это явление
носит название астрономической рефракции, а угловое смещение ∆ϕ – угла
рефракции. Угол астрономической рефракции ∆ϕ равен нулю для звёзд, распо210
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ложенных в зените, и максимален для звёзд, находящихся у горизонта; здесь он
достигает 35′.
Благодаря астрономической рефракции, Солнце у горизонта кажется приплюснутым, и видимое его положение приподнято над истинным; это ведёт к
некоторому увеличению продолжительности дня. С преломлением лучей в атмосфере приходится считаться также при геодезических измерениях на больших расстояниях. Местные случайные неоднородности атмосферы вызывают
мерцание звёзд. Неоднородности температуры атмосферы по высоте, имеющие
место над поверхностью разогретой земли или над морем, вызывают изменения
показателя преломления, чем объясняются явления миража. Можно искусственно воспроизвести мираж, заставляя лучи распространяться над разогретой
поверхностью.
L
S
S′
a
Э
Г
Рисунок 97
На преломлении света в областях с непрерывно меняющимся показателем
преломления основан метод обнаружения небольших местных неоднородностей в прозрачных веществах (стекле, воздухе и т.д.). Схема этого метода изображена на рисунке 97. Длиннофокусная линза L даёт в точке S′ действительное изображение малого источника света S (например, искры или кратера вольтовой дуги). Если за изображением S′ в точке Г поместить глаз так, чтобы свет
от изображения падал на него, и сфокусировать глаз на поверхность линзы L, то
вся поверхность линзы представится равномерно освещённой. При закрывании
части изображения S′ непрозрачным экраном Э поверхность линзы попрежнему будет казаться вся освещённой, так как каждая точка изображения S′
211
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
образуется лучами, прошедшими через все места линзы L. Освещённость линзы
станет, однако, слабее, так как экран загородит часть лучей. Если между линзой
L и экраном Э имеется какая-либо неоднородность а, иначе преломляющая
свет, чем окружающее вещество, то проходящие через нее лучи отклонятся.
Благодаря этому мимо экрана Э пройдёт больше или меньше света (в зависимости от того, в каком направлении неоднородность отклонит лучи), чем при отсутствии неоднородности. В результате область неоднородности покажется ярче или темнее, чем поверхность линзы. Таким способом могут быть обнаружены неоднородности, весьма мало отличающиеся по показателю преломления от
соседних участков вещества.
Для уточнения метода наблюдение можно вести через зрительную трубу
или заменить глаз фотокамерой, сфокусированной на поверхность линзы L.
Указанный метод используется при контроле качества оптического стекла, присутствие неоднородностей в котором (так называемых свилей) делает
его непригодным для изготовления точных оптических систем. Этот метод позволяет также фотографировать мгновенное положение меняющихся со временем неоднородностей, если воспользоваться вспышкой (весьма
кратковременным освещением). Таким образом, фотографируются места сгущений и разрежений в звуковых волнах, во
взрывных волнах и волнах, вызываемых в воздухе быстро движущимися предметами, например летящей пулей (рисунок 98).
Рисунок 98
Контрольные вопросы
1 Как зависит скорость распространения электромагнитных волн от диэлектрической и магнитной проницаемости; показателя преломления среды?
2 Что такое дисперсия света?
3 Что показывает дисперсия света?
4 Чем отличается нормальная дисперсия от аномальной?
212
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5 В чём заключаются основные положения и выводы электронной теории
дисперсии света?
6 Что называют волновым пакетом?
7 Что понимают под фазовой и групповой скоростями? как их можно рассчитать?
8 Как связаны групповая скорость и скорость переноса энергии?
9 Как изменяется интенсивность света при прохождении однородного вещества?
10 Чем объясняется сплошной спектр поглощения диэлектриков?
11 Почему металлы сильно поглощают свет?
12 Как зависит коэффициент поглощения от концентрации раствора?
13 В чём состоит явление рассеяния света? Запишите закон Рэлея.
14 Объясните характер распространения света в оптически неоднородном
веществе.
Тесты
1. Определить дисперсию вещества, если известно, что показатель преломления прозрачных веществ для небольших интервалов длин волн зависит от
длины волны следующим образом: n = A +
А)
В
λ2
В) −
2В
λ3
С) −
В
λ2
В
.
λ2
Д)
2В
λ3
Е)
3В
λ3
2. Показатель преломления воды при λ1 = 441 нм равен n1 = 1,341, а при
λ2 = 589 нм равен n2 = 1,334. Определить среднее значение фазовой скорости v
света в воде для средней области спектра (средней между λ1 и λ2).
А) 2,30⋅108 м/с В) 2,28⋅108 м/с С) 2,26⋅108 м/с Д) 2,24⋅108 м/с Е) 2,22⋅108 м/с
213
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Определить групповую скорость u света в сероуглероде. Показтель преломления сероуглерода для длины волны λ = 0,527 мкм составляет n = 1,64, а
дисперсия
dn
= − 0,218 мкм-1.
dλ
А) 1,5⋅108 м/с
В) 1,6⋅108 м/с
С) 1,7⋅108 м/с
Д) 1,8⋅108 м/с
Е) 1,9⋅108 м/с
4. Толщина стекла в теплице d = 2 мм. коэффициент поглощения стекла
для инфракрасной области спектра ϰ = 0,62 см-1. Какая доля энергии достигает
растений?
А) 0,6
В) 0,65
С) 0,7
Д) 0,75
Е) 0,8
5. Коэффициент поглощения воды для излучения с длиной волны λ =
0,77 мкм равен ϰ = 0,0024 мм-1. На какой глубине мнохроматический пучок лучей будет ослаблен в 2,7 раза?
А) 42 см
В) 47 см
С) 37 см
Д) 52 см
Е) 27 см
6. При прохождении через пластинку свет длиной волны λ1 ослабляется в
результате поглощения в N1 раз, а свет длиной волны λ2 − в N2 раз. Определить
коэффициент поглощения для света с длиной волны λ2, если коэффициент поглощения для λ1 равен ϰ1.
А) ϰ2 = ϰ1 N 1
N2
В) ϰ2 = ϰ1 N 2
N1
С) ϰ2 = ϰ1
Д) ϰ2=ϰ1 lgN 2
lgN 1
Е) ϰ2=ϰ1 lgN 1
lgN 2
7. Какова концентрация исследуемого раствора, если одинаковая освещённость фотометрических полей была получена у эталонного 3 %-ного раствора при толщине 8 мм, а у исследуемого при толщине 24 мм?
214
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А) 2 %
В) 1 %
С) 3 %
Д) 0,5 %
Е) 4 %
8. При прохождении монохроматического света через слой вещества толщиной ℓ = 15 см его интенсивность убывает в 4 раза. Определить коэффициент
рассеяния ϰ′, если коэффициент поглощения ϰ = 0, 025 см-1.
А)ϰ′=0,04 см-1 В) ϰ′=0,05 см-1 С) ϰ′=0,06 см-1 Д) ϰ′=0,07 см-1 Е) ϰ′=0,08 см-1
9. Пластинка толщиной d1 = 3,8 мм пропускает η1 = 0,84 падающего на нее
светового потока. Вторая пластинка из того же вещества толщиной d2 = 9,0 мм
пропускает η2 = 0,70 того же светового потока. Найти коэффициент поглощения
ϰ этого вещества. Свет падает нормально.
А) 0,35 см-1
В) 0,45 см-1
С) 0,40 см-1
Д) 0,30 см-1
Е) 0,25 см-1
10. Определить фазовую скорость v, если известно, что показатель преломления прозрачных веществ для небольших интервалов длин волн зависит от
длины волны следующим образом: n = A +
А)
сλ 2
В - Аλ 2
В)
сλ
Аλ 2 + В
С)
В
.
λ2
с
Аλ 2 + В
Д)
сλ 2
Аλ 2 + В
Е)
сλ 2
Аλ 2 − В
11. В 4 %-ном растворе вещества в прозрачном растворителе интенсивность света на глубине ℓ1 = 20 мм ослабляется в 2 раза. Во сколько раз ослабляется интенсивность света на глубине е ℓ2 = 30 мм в 8 %-ном растворе того же
вещества?
А) n = 4
В) n = 16
С) n = 10
215
Д) n = 12
Е) n = 8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. Во сколько раз интенсивность молекулярного рассеяния синего света
(λ1 = 460 нм) превосходит интенсивность рассеяния красного света (λ2 =
650 нм)?
А) в 1,41 раза
В) в 2 раза
С) в 4 раза
Д) в 6 раз
Е) в 8 раз
13. Коэффициент поглощения воды для излучения с длиной волны λ =
0,77 мкм равен ϰ = 0,0024 мм-1. На сколько надо увеличить яркость падающего
пучка, если нужно изменить толщину слоя воды с 1 до 5 см, без уменьшения
яркости излучения, выходящего из водяного фильтра?
А) на 5 %
В) на 10 %
С) на 15 %
Д) на 20 %
Е) на 25 %
14. Прозрачная пластинка пропускает половину падающего на нее светового потока. Определить коэффициент поглощения ϰ, если толщина пластинки
d = 4,2 см. Рассеянием пренебречь. Считать, что 10 % падающего потока отражается от поверхности пластинки.
А) 0,20 см-1
В) 0,18 см-1
С) 0,16 см-1
Д) 0,14 см-1
Е) 0,12 см-1
15. Показатель преломления воды при λ1 = 441 нм равен n1 = 1,341, а при
λ2 = 589 нм равен n2 = 1,334. Определить среднее значение групповой скорости
u света в воде для средней области спектра (средней между λ1 и λ2).
А) 2,20⋅108 м/с В) 2,22⋅108 м/с С) 2,24⋅108 м/с Д) 2,26⋅108 м/с Е) 2,28⋅108 м/с
16. Определить групповую скорость u, если известно, что показатель преломления прозрачных веществ для небольших интервалов длин волн зависит от
длины волны следующим образом: n = A +
216
В
.
λ2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А)
сλ 2 (Аλ 2 + В)
(Аλ 2 − В)
Д)
В)
сλ (Аλ 2 − В)
(Аλ
2
сλ 2 (Аλ 2 + В)
(Аλ
2
+ В)
2
Е)
− В)
2
С)
сλ 2 (Аλ 2 − В)
(Аλ 2 + В)
сλ 2 (Аλ 2 − В)
(Аλ
2
+ В)
2
Упражнения для самоконтроля
4.1. Электромагнитная волна распространяется в разрежённой плазме,
концентрация свободных электронов которой равна N0. Пренебрегая взаимодействием волны с ионами плазмы, найти зависимость фазовой скорости волны
от ее частоты ω. [v = c/ ε , где ε = 1 − b/ω2, b = N0e2/ε0me]
4.2. Найти концентрацию свободных электронов ионосферы, если для радиоволн с частотой ν = 100 МГц ее показатель преломления n = 0,90.
[N0 = 4π2ν2ε0me(1 − n2)/e2 ≈ 2,4⋅107 см-3]
4.3. Имея в виду, что для достаточно жёстких рентгеновских лучей электроны вещества можно считать свободными, определить, насколько отличается
от единицы показатель преломления графита для рентгеновского излучения с
длиной волны λ = 50 пм (в вакууме).
[n − 1 = − b/2ω2 = − 5,4⋅10-7, b = N0e2/ε0me, ω = 2πс/λ]
4.4. Найти зависимость между групповой u и фазовой v скоростями для
следующих законов дисперсии: а) v ∼ k; б) v ∼ 1/ω2. Здесь k и ω − волновое число и циклическая частота. [а) u = 2v; б) u = v/3]
4.5. В некоторой среде связь между групповой u и фазовой v скоростями
электромагнитной волны имеет вид uv = c2, где с – скорость света в вакууме.
Найти зависимость диэлектрической проницаемости этой среды от частоты
волны, ε(ω). [ε = 1 − А/ω2, А – произвольная постоянная]
4.6. Измерение показателя преломления оптического стекла дало n1 =
1,528 для λ1 = 0,434 мкм и n2 = 1,523 для λ2 = 0,486 мкм. Вычислите отношение
групповой скорости к фазовой скорости для света с длиной волны 0,434 мкм.
217
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
[u1 / v1 = 0,973]
4.7. Из некоторого прозрачного вещества изготовили две пластинки: одну
толщиной h1, другую толщиной h2. Введя поочерёдно эти пластинки перпендикулярно в пучок монохроматического света, обнаружили, что первая пластинка
пропускает τ1 светового потока, а вторая − τ2. Пренебрегая вторичными отражениями, найти коэффициент поглощения ϰ этого вещества. [ ϰ =
ln (τ1 /τ 2 )
]
h 2 − h1
4.8. Монохроматический пучок света падает нормально на поверхность
плоскопараллельной пластинки толщиной h. Коэффициент поглощения вещества пластинки линейно изменяется вдоль нормали к ней от значения ϰ1 до ϰ2.
Коэффициент отражения от каждой поверхности считать одинаковым и равным
ρ. Пренебрегая вторичными отражениями, найти коэффициент пропускания τ
h
для данной пластинки. [ τ = (1 − ρ)2ехр{− (ϰ1 + ϰ2)} ]
2
4.9. Точечный монохроматический источник, испускающий световой поток Ф0, находится в центре сферического слоя однородного вещества, внутренний радиус которого равен а, а наружный − b. Коэффициент поглощения вещества слоя равен ϰ, коэффициент отражения каждой поверхности − ρ. Пренебрегая вторичными отражениями, найти интенсивность света на выходе из этого
Ф (1 − ρ )
[ I= 0
exp{−ϰ(b-a)} ]
4πb 2
2
слоя.
4.10. Пучок естественного монохроматического света интенсивности I0
падает на систему из двух скрещенных поляризаторов, между которыми находится трубка с некоторой оптически неактивной жидкостью в продольном магнитном поле с индукцией В. Длина трубки ℓ, коэффициент поглощения жидкости ϰ и постоянная Верде V. Пренебрегая отражениями на торцах трубки, найти
интенсивность света, прошедшего через эту систему.
[ I = (I0/2) exp{−ϰℓ}sin(VℓB) ]
218
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 5 Тепловое излучение
Тепловое излучение (температурное излучение) − это излучение электромагнитных волн нагретыми телами, возникающее за счёт их внутренней энергии (в отличие, например, от люминесценции, которая возбуждается внешними
источниками энергии). Электромагнитное излучение обусловливается колебаниями электрических зарядов, входящих в состав вещества, то есть электронов
и ионов. Колебания ионов, составляющих вещество, соответствуют излучению
низкой частоты (инфракрасному), вследствие значительной массы колеблющихся зарядов. Излучение, возникающее в результате движения электронов,
может иметь высокую частоту (видимое и ультрафиолетовое излучение), если
электроны входят в состав атомов или молекул и, следовательно, удерживаются
около своего положения равновесия значительными силами. В металлах, где
много свободных электронов, излучение последних соответствует иному типу
движения; в таком случае свободные электроны, приведённые в движение, испытывают нерегулярное торможение, и их излучение приобретает характер импульсов и характеризуется спектром различных длин волн, среди которых могут быть и волны низкой частоты. По этим причинам тепловое излучение имеет
сплошной спектр.
Тепловое излучение воспринимается человеком как тепло или свет.
Тепловое излучение имеет сплошной спектр, положение максимума которого зависит от температуры вещества. С ее повышением возрастает общая
энергия испускаемого теплового излучения, а максимум перемещается в область малых длин волн. Тепловое излучение испускает, например, поверхность
накалённого металла, земная атмосфера и т.д.
Люминесценция − излучение, представляющее собой избыток над тепловым излучением тела и продолжающееся в течение времени, значительно превышающего период световых колебаний.
Понятия теплового излучения и люминесценции применимы только к совокупности атомов (молекул), находящихся в состоянии, близком к равновес219
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ному состоянию. В видимой области спектра тепловое излучение становится
заметным только при температуре ∼103 – 104 К, люминесцировать же в этой области тело может при любой температуре. Поэтому люминесценцию часто называют холодным свечением.
Область спектра электромагнитных волн, соответствующую тепловому
излучению разделяют на спектральные диапазоны: ультрафиолетовый (0,2 −
0,4 мкм), видимый (0,4 − 0,76 мкм) и инфракрасные − ближний (0,76 − 2,5 мкм),
средний (2,5 − 25 мкм) и дальний (25 − 1 000 мкм).
Излучение в ультрафиолетовом, видимом и ближнем инфракрасном диапазоне обусловлено квантовыми переходами внешних электронов атомов. Излучение в среднем и дальнем инфракрасном диапазонах обусловлено вращательными и колебательными квантовыми переходами в молекулах, в кристаллической решётке твёрдых тел и другими видами квантовых переходов. При
этом вращательные переходы могут происходить одновременно с колебательными, в результате в спектре появляются колебательно-вращательные полосы.
Характер теплового излучения зависит не только от типа квантовых переходов, но и от агрегатного состояния вещества. Если спектр излучения нагретых газов является дискретным, то есть состоящим из отдельных линий, то
твёрдые тела имеют сплошной спектр. Такое резкое различие объясняется
принципиальным различием характера взаимодействия атомов и молекул в газе
и твёрдом теле. Усиление этого взаимодействия в твёрдом теле приводит к
уширению спектральных линий и их взаимному перекрытию. В результате
спектр излучения твёрдых тел становится сплошным.
Излучение тела сопровождается потерей энергии. Для возможности длительного излучения энергии необходимо пополнять ее убыль, в противном случае излучение будет сопровождаться изменениями внутри тела, и состояние излучающей системы будет непрерывно меняться. Так как источником теплового
излучения является внутренняя энергия тела, то ее постоянство, то есть постоянство температуры нагретого тела, можно поддерживать двумя способами:
1.1 за счёт поглощения излучающим телом теплового излучения из окру220
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жающего пространства;
1.2 в результате непосредственной передачи энергии телу при механическом контакте с более нагретыми телами.
Для теплового излучения справедлив первый способ поддержания постоянства температуры излучающего тела. В этом случае тело находится в состоянии термодинамического равновесия с окружающей средой. Таким образом,
тепловое излучение является равновесным излучением. Такое равновесие между излучением и веществом может иметь место для любого тела (твёрдого,
жидкого, газообразного).
§ 5.31 Тепловое излучение и люминесценция
Всякое излучение тела сопровождается потерей энергии. Поэтому излучение может происходить либо за счёт убыли энергии самого тела, либо за счёт
того, что тело получает энергию извне.
Тепловое излучение – электромагнитное излучение, испускаемое веществом, возникающее за счет его внутренней энергии. Тепловое излучение испускает нагретое до определённой температуры тело. Все другие виды свечения
(излучения света), возбуждаемые за счёт любого другого вида энергии, кроме
теплового, называются люминесценцией.
Процессы излучения, сопровождающие химические превращения внутри
тела, называют хемилюминесценцией. В этом случае испускание лучистой
энергии идёт параллельно с изменением химического состава вещества и
уменьшением запаса его внутренней энергии. Окисляющийся в воздухе фосфор, гнилушки, светлячки – светятся за счет энергии химической реакции окисления кислородом воздуха. Энергия излучения в этом случае возникает за счёт
энергии, освобождающейся при химическом процессе.
Свечение разрежённого газа или паров при прохождении через них электрического разряда (электролюминесценция) может иметь разнообразные формы: тлеющий разряд, лампы «дневного света», электрическая дуга, искра. Энер221
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
гия, которую газ отдаёт на излучение, пополняется энергией, передаваемой
атомам или молекулам газа электронами при ударе. Бомбардировка электронами может вызвать также свечение твёрдых тел, например, минералов (катодолюминесценция).
При фотолюминесценции тело, предварительно поглотившее свет, затем
само светится. При поглощении света в теле произошли изменения, в результате чего оно приобрело некоторую энергию, называемую энергией возбуждения
(или активации). Последующее излучение происходит за счёт этой энергии возбуждения. Светящееся вещество называется люминофором.
Если тело получает от окружающих тел, путём поглощения излучения
или поглощения тепла, количество энергии, как раз компенсирующее убыль его
энергии за счёт его собственного излучения, то процесс излучения происходит
равновесно. При этом состояние излучающего тела может быть охарактеризовано определённой температурой Т. Вспомним, что понятие температуры применимо лишь в том случае, когда имеется статистическое равновесие. Поэтому
указанное равновесное излучение и называется температурным излучением.
В случае, когда получаемого телом извне количества тепла, или энергии,
недостаточно для полной компенсации энергии излучения, энергия излучения
отчасти берётся за счёт запаса внутренней энергии тела. Вообще говоря, при
этом нарушится равновесное распределение частиц, и излучение перестанет
быть равновесным. Но если излучение происходит настолько медленно, что
распределение внутренней энергии в теле успевает выравниваться и продолжает оставаться равновесным, то излучение будет также носить равновесный характер. В этом случае температура тела будет падать, но в каждый данный момент состояние тела можно рассматривать как равновесное и приписывать ему
определённую температуру.
Тепловое излучение бывает при любой температуре, человек только не
ощущает его при меньшей температуре, чем температура тела, а при λ > 0,8
мкм мы его не видим. Опыт показывает, что единственным видом излучения,
222
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которое может находиться в равновесии с излучающими телами, является тепловое излучение.
Равновесное излучение устанавливается в адиабатически замкнутой системе. Допустим, что равновесие нарушено, и тело излучает больше, чем поглощает. Тогда внутренняя энергия будет убывать, это уменьшит температуру тела, что противоречит адиабатичности системы. Следовательно, и излучение не
будет равновесным.
Все виды люминесценции оказываются неравновесными. Например, электролюминесценция будет продолжаться до тех пор, пока есть рекомбинирующие частицы, т.е. происходит процесс ионизации. Обычные температуры практически не влияют на этот процесс, т.е. неважно, сколько энергии поглощает
тело от окружающей среды. А хемилюминесценция будет продолжаться до тех
пор, пока может идти химическая реакция, и, следовательно, система всё больше и больше удаляется от первоначального состояния. Равновесие установится
только тогда, когда закончится химический процесс, а с ним и хемилюминесценция, и характер установившегося излучения будет определяться температурой тела, т.е. равновесное состояние будет соответствовать только тепловому
излучению.
Итак, равновесным может быть только тепловое излучение. Только к нему могут быть применены законы термодинамики.
§ 5.32 Закон Кирхгофа
Введём некоторые характеристики теплового излучения.
Поток энергии (любых частот), испускаемый единицей поверхности излучающего тела в единицу времени во всех направлениях (в пределах телесного
угла 4π), называется энергетической светимостью тела R, [R] = Вт/м2.
Излучение состоит из волн различной частоты ν. Обозначим поток энергии, испускаемой единицей поверхности тела в интервале частот от ν до ν + dν,
через dRν. Тогда при данной температуре
223
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dRν,Т = rν,Тdν,
где rν,Т − спектральная плотность энергетической светимости, или лучеиспускательная способность тела.
Опыт показывает, что лучеиспускательная способность тела rν,Т зависит
от температуры тела (для каждой температуры максимум излучения лежит в
своей области частот). Размерность [rν,Т] = Дж/м2.
Зная лучеиспускательную способность, можно вычислить энергетическую
светимость:
∞
∞
0
0
R = ∫ dR ν ,T = ∫ rν ,T dν .
(32.1)
Пусть на элементарную площадку поверхности тела падает поток лучистой энергии dФν, обусловленный электромагнитными волнами, частоты которых заключены в интервале dν. Часть этого потока dФ′ν будет поглощаться телом. Безразмерная величина
аν,Т =
dФ ′ ν
dФ ν
(32.2)
называется поглощательной способностью тела. Она также сильно зависит от
температуры.
По определению аν,Т не может быть больше единицы. Для тела, полностью поглощающего излучения всех частот, аν,Т = 1. Такое тело называется абсолютно черным (это идеализация).
Тело, для которого аТ = const и меньше единицы для всех частот, называется серым телом (это тоже идеализация).
Между излучательной и поглощательной способностью тела существует
определённая связь. Мысленно проведём следующий эксперимент. Пусть внутри замкнутой оболочки, стенки которой полностью отражают падающее на них
излучение, находятся несколько тел, нагретых до разных температур. Пусть
224
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
внутри оболочки вакуум, так что тела могут обмениваться энергией с оболочкой и между собой только за счёт излучаемой и поглощаемой энергии. Опыт
показывает, что такая система через некоторое время придёт в состояние теплового равновесия, т.е. все тела и оболочка будут иметь одну и ту же температуру. За любой промежуток времени испускаемая телами энергия становится
равной поглощаемой энергии, и плотность энергии излучения в пространстве
между телами достигает определённой величины, соответствующей установившейся температуре. Такое состояние излучения в полости остаётся неизменным во времени. Оно находится в термодинамическом равновесии с телами,
имеющими определённую температуру, и поэтому его называют равновесным
или чёрным излучением.
В таком состоянии тело, обладающее большей лучеиспускательной способностью, теряет в единицу времени и больше энергии, но Т = const, следовательно, это тело должно обладать и большей поглощающей способностью:
 rν ,T 
r  r 

 =  ν ,T  =  ν ,T  = … const
a 

 

 ν ,T 1  a ν ,T  2  a ν ,T  3
Так как между нагретым телом и излучением устанавливается тепловое
равновесие, то для каждого тела должно соблюдаться равенство между количеством испускаемой и поглощаемой им в единицу времени энергии. Для различных тел это равенство устанавливается на различном уровне. Если два тела поглощают разные количества энергии, то и их излучение должно быть различно
(правило Прево, 1809 г.). Если правило Прево, устанавливающее связь между
способностью тела поглощать и излучать тепло, имело качественный характер,
то Кирхгоф (1859 г.) придал ему вид строгого количественного закона.
Густав Кирхгоф в 1856 году сформулировал закон и предложил модель
абсолютно чёрного тела.
225
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отношение лучеиспускательной к поглощательной способности не зависит от природы тела, оно является для всех тел одной и той же (универсальной)
функцией частоты и температуры:
rν ,T
a ν ,T
= f(ν,T),
(32.3)
где f(ν, T) – универсальная функция Кирхгофа.
Эта функция имеет универсальный, или абсолютный, характер.
Сами величины rν,Т и аν,Т, взятые отдельно, могут изменяться чрезвычайно сильно при переходе от одного тела к другому, но их отношение постоянно
для всех тел (при данной частоте и температуре).
Для абсолютно черного тела аν,Т ≡ 1, следовательно, для него rν,Т = f(ν,T),
т.е. универсальная функция Кирхгофа есть не что иное, как лучеиспускательная
способность абсолютно чёрного тела.
В природе не существует тел, совпадающих по своим свойствам с абсолютно чёрным телом. Сажа или платиновая чернь имеют поглощающую способность аν,Т ≈ 1, но только в ограниченном интервале частот. Однако замкнутая полость с малым отверстием и непроницаемыми
стенками очень близка по своим свойствам к абсолютно чёрному телу (рисунок 99). Всякий луч, попавший
внутрь сосуда через отверстие, выйдет из него обратно, лишь испытав многочисленные отражения. Повторные поглощения на стенках приводят к тому, что
практически весь свет любой частоты поглощается такой полостью. Пусть при одном падении луча на внутреннюю поверхность сосуда отражается k–я доля по-
Рисунок 99
тока световой энергии. При n падениях отразится доля, выражаемая величиной
kn. Так как k всегда меньше единицы, то при достаточно большом n величина kn
станет весьма малой. Таким образом, лишь ничтожно малая доля лучей, упав226
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ших на отверстие, выйдет обратно, и поглощательная способность отверстия
окажется для лучей любой частоты близка к единице.
Лучеиспускательная способность такой полости очень близка к f(ν,T). Таким образом, если стенки полости поддерживаются при температуре Т, то из
отверстия выходит излучение весьма близкое к излучению абсолютно чёрного
тела при той же температуре.
Простым примером к указанному выводу могут служить раскрытые окна
домов, рассматриваемые с улицы. Так как размеры окон обычно малы по сравнению с размерами комнаты, то даже при хорошем отражении света от стен
комнаты обратно из окон на улицу выходит лишь небольшая часть падающего
на них светового потока. Поэтому окна кажутся чёрными, независимо от того,
какого цвета стены внутри. Также в результате ослабления лучей при повторных отражениях шероховатая поверхность какого-либо тела кажется более
тёмной, чем полированная поверхность того же тела. Луч, падающий на шероховатую поверхность, в большинстве случаев должен отразиться несколько раз,
прежде чем он выйдет обратно из толщи материала. Таким образом, чернота
сажи особенно повышается благодаря ее пористости. Этим же объясняется насыщенный цвет бархата или вообще тканей с длинным ворсом, в противоположность белесоватому тону гладких тканей, отражающих разные длины волн.
По закону Кирхгофа светимость поверхности, для которой аν,Т близко к
единице, близка к светимости абсолютно чёрного тела. Таким образом, если
стенки сосуда (рисунок 99) находятся при некоторой температуре Т, то из отверстия выходит излучение, весьма близкое к излучению абсолютно чёрного
тела при той же температуре Т.
Практически указанная модель абсолютно чёрного тела обычно исполняется в виде длинной и узкой трубки из тугоплавкого материала. Внутри трубки,
для избежания однократных отражений при косых падениях света, делается ряд
перегородок с отверстиями. Трубка вставляется внутрь электрической печки, с
помощью которой ее стенки могут нагреваться до желательной температуры Т.
Излучение, выходящее из конца трубки, по своим свойствам сходно с излуче227
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нием абсолютно чёрного тела. С помощью такой модели абсолютно чёрного
тела можно изучать светимость до температур 3 000 К.
rν,T = f(ν,T)
T3
T2
T1
νm1 νm2 νm3
ν
Рисунок 100
Разлагая испускаемое из отверстия полости (рисунок 99) излучение в
спектр, можно найти экспериментальный вид функции f(ν,T) (рисунок 100), при
разных температурах Т3 > Т2 > Т1. Как видно, лучеиспускательная способность
абсолютно чёрного тела rν,T быстро возрастает с температурой. Каждая кривая
имеет один максимум, который при возрастании температуры смещается в сторону больших частот (коротких длин волн) и становится более острым. Вид
этих кривых объясняет хорошо известный факт, что светимость, а, следовательно, и яркость тел быстро возрастают с повышением температуры и что одновременно с этим меняется и цвет испускаемого света. При низкой температуре максимум лучеиспускательной способности лежит в области малых частот
(больших длин волн) и тело испускает преимущественно инфракрасные лучи.
Доля мощности, приходящейся на видимые лучи, при этом так мала, что глаз не
воспримет света. Таков состав излучения при температурах порядка несколько
сот градусов. При температуре около 600 0С мощность, приходящаяся на длинноволновой край видимого спектра, окажется достаточной, чтобы вызвать зрительное ощущение, и тело представится светящимся тёмно-красным цветом.
При дальнейшем возрастании температуры максимум всё больше смещается в
228
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сторону коротких длин волн. Доля мощности, приходящейся на видимые лучи,
возрастает, и свечение тела представляется всё более и более белым.
Площадь, охватываемая кривой (см. рисунок 100), даёт энергетическую
светимость абсолютно чёрного тела при соответствующей температуре.
Эти кривые rν,T одинаковы для всех тел. Причём можно представить лучеиспускательную способность не в функции частоты ν, а в функции длины волны λ, т.е. построить график не rν,T, а rλ,T. Так как λν = с (с- скорость света), то
dλ
c
λ2
=− 2 =−
,
dν
c
ν
причём знак минус не имеет существенного значения, так как он показывает
только, что с возрастанием ν убывает λ. Итак, rν,T = rλ,T⋅λ2/с, при этом положение максимумов на кривых rν,T и rλ,T соответствует разным частотам (длинам
волн). Поэтому всегда следует указывать, какая из кривых имеется в виду. В
теоретических расчётах чаще встречается кривая rν,T, в результатах экспериментальных измерений – чаще rλ,T.
Опыт показывает, что rν,T и rλ,T в сильной степени зависят от температуры
испускающего тела. Тот факт, что rν,T зависит от температуры излучающего тела и не зависит от температуры окружающих тел, есть физическое выражение
идеи Прево о динамическом равновесии между телами, обменивающимися лучистой энергией. Нагретое до температуры Т тело излучает в единицу времени
одинаковое количество энергии, независимо от того, окружено ли оно нагретыми или холодными телами, но тепловое равновесие установится на уровне, обусловленном балансом энергии между всеми этими излучателями.
Кривые похожи на функцию распределения молекул по скоростям. Но
там площади, охватываемые кривыми, постоянны, а здесь с увеличением температуры площадь существенно увеличивается. Это говорит о том, что энергетическая светимость сильно зависит от температуры. Максимум излучения (из-
229
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лучательной способности) с увеличением температуры смещается в сторону
больших частот (малых длин волн).
Заметим ещё раз, что закон Кирхгофа относится только к температурному
излучению, и в случае, когда свечение обусловлено другими причинами, он не
имеет силы. Так, например, при фото- или хемилюминесценции интенсивность
свечения в целом ряде спектральных областей гораздо выше, чем у температурного излучения чёрного тела при температуре люминесцирующего тела. Закон Кирхгофа настолько характерен для температурного излучения, что может
служить самым надёжным критерием для распознавания природы свечения:
свечение, не подчиняющееся закону Кирхгофа, заведомо не является температурным излучением.
§ 5.33 Закон Стефана-Больцмана и закон Вина
Закон Кирхгофа rν,Т / аν,Т = f(ν,T) ставит в центр внимания теории теплового излучения функцию rν,Т = f(ν,T), представляющую собой излучательную способность чёрного тела. Определение вида этой функции явилось основной задачей учения о температурном излучении. Решение задачи было получено не
сразу. Сначала был установлен теоретически и экспериментально закон, определяющий суммарное излучение чёрного тела (закон Стефана-Больцмана). Затем были определены некоторые основные черты искомой функции (закон Вина), найден весьма точный экспериментальный ход ее зависимости от ν для
разных Т и, наконец, после ряда неудачных попыток, имевших, однако, огромное значение для понимания вопроса (В.А. Михельсон, Рэлей-Джинс, Вин, Лоренц), Планку (1900 г.) удалось найти окончательное решение задачи. Необходимо упомянуть, что оно было найдено только путём решительного принципиального изменения основных положений физики, путём создания теории квантов, заложившей принципиально новую базу физической науки.
Первым этапом, как сказано, явилось нахождение закона, устанавливающего зависимость суммарного или интегрального излучения (т.е. общего излу230
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чения всех длин волн) от температуры. Австрийский физик И.Стефан в 1879
году, анализируя экспериментальные данные, пришёл к выводу, что энергетическая светимость (энергия, испускаемая единицей поверхности нагретого тела
за единицу времени) любого тела пропорциональна абсолютной температуре в
четвёртой степени. В 1884 году Л.Больцман, применив термодинамический метод к исследованию чёрного излучения, теоретически показал, что это справедливо только для абсолютно чёрного тела.
Площадь под кривой rν,T = f(ν,T) (рисунок 100) равна энергетической светимости абсолютно чёрного тела:
R = σT4,
(33.1)
где σ = 5,67⋅10-8 Вт⋅м-2⋅К-4 − постоянная Стефана-Больцмана.
Формула (33.1) выражает закон Стефана-Больцмана.
По отношению к нечёрным телам закон Стефана сохранить нельзя. Были
попытки придать ему более общую форму R = BTn, где коэффициент теплового
излучения (степень черноты) В и показатель n должны быть определены экспериментально для каждого тела. Так, вблизи Т = 1 000 К для платины удовлетворительные результаты получаются из формулы
RPt = 3,56⋅10-15T4,77,
а для вольфрама
RW = 5,9⋅10-17T5,35.
Однако наблюдения при разных температурах показывают, что ни коэффициент теплового излучения В ни показатель n не остаются постоянными.
Так, для вольфрама около Т = 2 000 К имеем уже новые значения: В = 2,4⋅10-15 и
n = 4,85.
Таким образом, закон Стефана-Больцмана имеет силу только для абсолютно чёрного тела.
231
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Закон Стефана-Больцмана касается лишь интенсивности интегрального
излучения чёрного тела и ничего не говорит относительно спектрального распределения энергии. Первым исследователем, пытавшимся теоретически определить вид функции rν,T, был В.А. Михельсон (Москва, 1887 г.). Хотя формула
Михельсона не вполне удовлетворяла опытным данным, тем не менее, ее установление сыграло известную роль в истории этого вопроса.
В1893 году немецкий ученый Вильгельм Вин рассмотрел задачу об адиабатическом сжатии излучения в цилиндрическом сосуде с зеркальными стенками и подвижным зеркальным поршнем. При движении поршня энергия излучения единицы объема (плотность энергии) будет возрастать по двум причинам:
- за счёт уменьшения объёма (общая величина энергии постоянна);
- за счёт работы, совершаемой поршнем против давления излучения.
Экспериментальная
зависимость
rν,T
По Вину
ν
Рисунок 101
Однако, в силу эффекта Доплера (увеличение частоты излучения, отражённого от движущегося поршня) движение поршня приводит к изменению
частоты излучения. Окончательно Вин получил:
rν,T = С1ν
3
С 2ν
е Т
,
где С1 и С2 – постоянные, которые Вин не расшифровал.
232
(33.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Эта формула даёт хорошее согласие с опытом в коротковолновой части
спектра и не годится для длинноволновой (рисунок 101).
Выражение (33.2) имеет сейчас лишь историческую ценность. Но Вин
нашёл зависимость νmax = f(T) (νmax − частота, соответствующая максимальному
значению rν,T абсолютно чёрного тела). Найдём максимум функции (33.2). Для
этого найдём производную по ν и приравняем к нулю:
∂rν ,T
∂ν
= С13ν
2
max е
−
С 2ν max
Т
+ С1ν
3
max е
−
С 2ν max
Т
 С2 
−
 = 0,
 Т 
тогда
ν max
3
= const.
=
T
C2
ν max
= const.
T
(33.3)
Это и есть закон смещения Вина. Смещение частоты в зависимости от
температуры хорошо иллюстрируется экспериментальными кривыми, изображёнными на рисунке 100.
Чаще закон смещения Вина записывают в виде
λmax = b/T,
(33.4)
где постоянная Вина b = 2,886⋅10-3 м⋅К.
Длина волны λmax, на которую приходится максимум спектральной плотности излучательной способности абсолютно чёрного тела, обратно пропорциональна абсолютной температуре. За работу по тепловому излучению Вин в
1910 г. получил Нобелевскую премию.
Чем выше температура абсолютно чёрного тела, тем на более короткую
длину волны λ приходится максимум излучательной способности. Из соотно233
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
шения (33.4) видно, что при практически достижимых температурах длина волны, на которую приходится максимум излучательной способности абсолютно
чёрного тела, лежит в инфракрасной области. При температуре в 3 000 К максимум излучательной способности лежит ещё за пределами видимого спектра,
вблизи λ = 0,96 мкм. Только при температуре в 5 000 К максимум попадает в
жёлто-зелёную область спектра (λmax = 0,577 мкм). При температурах выше
7 200 К максимум попадает в ультрафиолетовую область.
Таблица 1
Температура Т, К
λmax, мкм
Энергетическая светимость R, Вт/см2
1 200
2,405
11,84
1 600
1,804
37,41
2 000
1,443
9134
3 000
0,962
462,4
4 000
0,721
1 461
5 000
0,577
3 568
6 000
0,481
7 399
8 000
0,361
23 384
10 000
0,289
57 090
Как видно из таблицы 1, энергетическая светимость абсолютно чёрного
тела чрезвычайно быстро возрастает с температурой и при высоких температурах достигает очень больших значений. При температуре в 6 000 К с каждого
квадратного сантиметра абсолютно чёрного тела излучается поток мощностью
7 399 Вт, т.е. в 10 ″лошадиных сил″ с лишним.
§ 5.34 Формула Рэлея-Джинса
Формула В.А. Михельсона, попытавшегося найти аналитический вид
функции rν,T = f(ν,T), не удовлетворяла термодинамическим законам Вина и
234
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Стефана-Больцмана. В 1900 г. Рэлей подошёл к изучению спектральных закономерностей излучения чёрного тела с позиции статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по
степеням свободы.
Он рассмотрел равновесное излучение в замкнутой полости с зеркальными стенками как совокупность стоячих электромагнитных волн (осцилляторов).
К стоячим волнам, образующимся в промежутке между двумя стенками,
Рэлей применил один из основных законов статистической физики – закон о
равномерном распределении энергии между степенями свободы системы, находящейся в равновесии. Каждой стоячей волне со своей собственной частотой
соответствует своя колебательная степень свободы (на одну колебательную
степень свободы приходится энергия E = kT, т.е. сумма потенциальной kT/2 и
кинетической тоже kT/2 (в среднем)), где k – постоянная Больцмана. Т.е. каждый осциллятор в среднем имеет энергию, равную kT: Eср = kT.
rν,T
По Рэлею-Джинсу
Экспериментальная
зависимость
По Вину
Рисунок 102
ν
В 1905 г. Джинс уточнил расчёты Рэлея и окончательно получил:
2πν 2
kT.
rν,T =
с2
235
(34.1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Это и есть формула Рэлея-Джинса. Из формулы (34.1) видно, что rν,T монотонно возрастает с ростом ν2 в отличие от экспериментальной кривой, которая имеет максимум (рисунок 102).
Формула (34.1) справедлива только в области малых частот и не согласуется с законом Вина. Попытка получить из формулы Рэлея-Джинса закон Стефана-Больцмана (R ∼ T4) приводит к абсурду:
2πkT ∞ 2
R = ∫ rν ,T dν =
∫ ν dν = ∞.
c2 0
0
∞
Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы», так
как с точки зрения классической физики вывод Рэлея-Джинса был сделан безупречно. Поэтому расхождение формулы Рэлея-Джинса с опытом указывало на
существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями
классической статистической физики и электродинамики.
Итак, были получены две формулы, описывающие излучение абсолютно
чёрного тела: одна для коротковолновой части спектра (формула Вина), другая
– для длинноволновой (формула Рэлея-Джинса). Задача состояла в том, чтобы
получить выражение, описывающее тепловое излучение во всём диапазоне частот.
§ 5.35 Формула Планка
Многочисленные попытки теоретически установить закон чёрного излучения, приведшие, как мы видели, к установлению важных частных законов
(Больцман, Вин), не могли дать общего решения задачи и приводили к заключениям, согласующимся с опытом, только в ограниченном интервале температур Т и частот ν. Причина неудач оказалась лежащей чрезвычайно глубоко. Законы классической электродинамики, при помощи которых проводились все
эти исследования, оказались лишь приближённо правильными и давали невер236
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ный результат при рассмотрении элементарных процессов, обусловливающих
тепловое излучение.
Если осуществить теоретическое чёрное тело при помощи бесконечной
совокупности гармонических осцилляторов, каждый из которых даёт отдельную монохроматическую линию, а все вместе – сплошное чёрное излучение, то,
пользуясь законами, управляющими поведением этих осцилляторов, можно
прийти к закону чёрного излучения такой системы. Общие же соображения,
лежащие в основе закона Кирхгофа, показывают, что закон излучения, найденный для одного чёрного тела, справедлив и для любого другого чёрного тела,
т.е. все они дают один и тот же тип излучения – чёрное излучение.
Идя по этому пути, Планк не получил, однако, закона, согласного с опытом, и, анализируя положение, пришёл к выводу, что причина неудачи лежит в
неприменимости законов классической физики к таким атомным осцилляторам.
По классическим законам осциллятор частоты ν может заключать в себе
любое количество энергии, поскольку энергия осциллятора пропорциональна
квадрату амплитуды. В соответствии с этим и излучающий осциллятор может
испустить за единицу времени любое количество энергии. Эти простые законы
согласно заключению Планка не имеют места. Гармонический осциллятор частоты ν может обладать только таким количеством энергии, в котором содержится целое число элементарных порций величиной hν каждая, где h − универсальная постоянная, равная 6,626⋅10-34 Дж⋅с. Итак, энергия осциллятора должна
быть целым кратным некоторой единице энергии, пропорциональной его частоте ν:
En = nhν,
где n = 1, 2, 3…
Минимальная порция энергии E = hν = ħω, ħ = h/2π и ω = 2πν. То, что E = hν −
это гениальная догадка Макса Планка.
Эти новые квантовые законы не стоят в противоречии с классическими в
той области низких частот (например, радиочастот), для которой, собственно
237
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
говоря, и были установлены классические законы на основе электромагнитной
теории Максвелла.
Действительно, если ν не очень велико, то порция hν настолько мала, что
в наших опытах мы не можем установить, содержит ли осциллятор целое или
дробное число этих порций. Так, например, для λ = 3 мм величина hν составляет 6,626⋅10-23 Дж, и ни в одном опыте со сравнительными грубыми осцилляторами, настроенными на эту длину волны, мы не в состоянии оценить, является
ли энергия осциллятора кратной этой величине6. Наоборот, для атомных осцилляторов частота, а значит, и элементарные порции энергии соответственно
больше, а точность измерений атомных процессов такова, что расхождение между классическими и квантовыми представлениями становится весьма различимым. Выводы приближённых классических представлений оказываются в
резком противоречии с опытом, тогда как рассуждения, учитывающие квантовую теорию, приводят к превосходному согласию с ним.
Так, при расчёте совокупности гармонических осцилляторов, подчиняющихся классическим законам, Планк нашёл для функции Кирхгофа выражение
rν,T =
2πν 2
kT,
с2
(35.1)
известное и ранее (формула Рэлея-Джинса). Учитывая же новые квантовые законы, управляющие осциллятором, он получил выражение для универсальной
функции Кирхгофа
2πν 2
hν
rν,T =
,
2
hν / kT
с e
−1
(35.2)
2πhc 2
1
rλ,T =
,
hc / kTλ
5
e
−1
λ
(35.3)
или
В современной квантовой теории выяснилось, что осциллятор частоты ν обладает энергией hν/2 + nhν, где n −
целое число, но это не меняет дела.
6
238
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где k – постоянная Больцмана,
с – скорость света.
Формула (35.2), полученная Планком, даёт превосходное согласие с результатами самых тщательных экспериментальных исследований зависимости
излучательной способности чёрного тела от ν и Т и является, таким образом,
полным решением основной задачи, поставленной Кирхгофом.
Из формулы Планка можно получить и формулу Рэлея-Джинса, и формулу Вина, и закон Стефана-Больцмана.
1) В области малых частот, т.е. при hν << kT,
e hν / kT = 1 +
hν
+ …, поэтому
kT
e hν / kT − 1 ≈
hν
,
kT
отсюда получается формула Рэлея-Джинса:
2πν 2
kT.
rν,T =
с2
Это совпадение показывает в согласии с основными допущениями теории
квантов, что в области низких частот ее выводы не отличаются от выводов
классической теории. Классическая теория оказывается лишь приближением к
действительности, приближением, вполне удовлетворительным для того круга
явлений, с которыми имеет дело макроскопическая электродинамика, т.е. электродинамика систем, состоящая из многих атомов и молекул. По-видимому,
даже движения ионов, т.е. элементарных зарядов с большой массой (по сравнению с электроном), ещё довольно удовлетворительно описываются классическими электродинамикой и механикой, хотя точность современных измерений
и здесь позволяет установить отступления (опыты по дифракции молекулярных
пучков). Но поведение электронов внутри атомов и молекул должно описываться при помощи квантовых законов механики и электродинамики. Примене239
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ние же к ним законов, имеющих силу для макромира, приводит к резким противоречиям с опытом.
2) В области больших частот, т.е. при hν >> kT, единицей в знаменателе
можно пренебречь, и получается формула Вина:
rν,T =
2πhν 3 − hν / kT
e
.
с2
3) Из (35.2) можно получить закон Стефана-Больцмана:
∞
∞
2πhν 3
1
R = ∫ rν ,T dν = ∫ 2
dν.
hν / kT
c
e
−
1
0
0
Введём безразмерную переменную х =
(35.4)
hν
, тогда
kT
 kT 
 kT 
ν =   х, dν =   dх.
 h 
 h 
Подставив в (35.4) эти величины и проинтегрировав, получим:
2πk 4 4 ∞ x 3dx
R= 2 3 T ∫ x
= σT4.
с h
0 e −1
Т.е. получили закон Стефана-Больцмана: R = σT4.
Таким образом, формула Планка полностью объясняла законы излучения
абсолютно чёрного тела. Следовательно, гипотеза о квантах энергии была подтверждена экспериментально, хотя сам Планк не слишком благосклонно относился к гипотезе о квантовании энергии. Тогда было совершенно не ясно, почему волны должны излучаться порциями.
240
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Итак, для универсальной функции Кирхгофа Планк вывел формулу (35.2),
которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения чёрного тела во всём интервале частот и
температур (рисунок 100). Теоретически вывод этой формулы М.Планк представил 14 декабря 1900 г. на заседании немецкого физического общества. Этот
день стал датой рождения квантовой физики.
Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, k и с, можно вычислить постоянные Стефана-Больцмана σ и Вина b. С другой стороны, зная
экспериментальные значения σ и b, можно вычислить h и k (именно так было
впервые найдено числовое значение постоянной Планка h).
Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной
задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка. Теоретическое объяснение излучения абсолютно чёрного тела имело огромное значение в истории физики – оно привело к понятию квантования энергии.
Энергетическая светимость реальных тел R′ всегда меньше энергетической светимости абсолютно чёрного тела R при этой же температуре. Отношение R′/R называется коэффициентом излучения тела или степенью черноты.
Он зависит от вида материала, обработки его поверхности и может изменяться
с изменением длины волны излучения и температуры.
§ 5.36 Оптическая пирометрия
Для сильно нагретых тел (выше 2 000 0С) измерения температуры при помощи термоэлементов, болометров и т.п. не особенно достоверны. Если испускающее тело является чёрным (или достаточно к нему приближается), то для
определения его температуры можно воспользоваться законами чёрного излучения. Эти способы проверены не только сопоставлением с данными других
241
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
термометрических методов в той области, где последние надёжны, но и путём
изучения относительного распределения энергии по спектру, что позволяет
найти температуру излучателя путём сопоставления экспериментальных данных с теоретическими формулами.
Л
Ω
Пр
G
S
Рисунок 103
Измерение температуры по зависимости энергетической светимости Rv,T
или RT от температуры называется оптической пирометрией. В зависимости от
применяемого закона теплового излучения различают радиационную, цветовую
и яркостную температуры.
Устройство так называемых радиационных пирометров (рисунок 103)
сводится к возможности проецировать изображение источника S на приёмник
Пр аппарата так, чтобы приемник всегда был полностью покрыт изображением
источника и излучение входило в прибор под постоянным телесным углом Ω,
определяемым размерами прибора. Энергия, получаемая пирометром, будет
пропорциональна яркости источника независимо от расстояния между ними.
Показания пирометра будут зависеть от яркости, а, следовательно, и от температуры наблюдаемого черного тела. Проградуировав предварительно пирометр
по чёрному телу с известной температурой, можно использовать его показания
для измерения исследуемой температуры. В качестве приёмника в радиационных пирометрах чаще всего используют термопару, но существуют также
пирометры с биметаллической спиралью, изгибающейся при нагревании, и т.д.
Если исследуется не чёрное тело, то показания радиационного пирометра дают
не истинную температуру его, а так называемую радиационную температуру
242
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Tр, под которой понимают температуру такого чёрного тела, суммарная энергетическая светимость которого равна энергетической светимости изучаемого
(серого) тела.
Радиационную температуру Tр определяют исходя из закона Стефана–
Больцмана (RАЧТ = σTр4), выражающего энергетическую светимость RАЧТ абсолютно чёрного тела от температуры Т:
Тр =
4
R АЧТ / σ .
(36.1)
Так как свойства реальных тел более соответствуют модели серого тела (далее
индекс «С»), то с учётом равенства выражений RАЧТ = σTр4 и RС = аТσT4 можно
получить Тр =
4
а Т Т. Так как для реальных тел поглощательная способность
тела аν,Т < 1, то, следовательно, радиационная температура серых тел меньше
истинной температуры: Tp < T.
Цветовую температуру Тц определяют исходя из закона смещения Вина
(λmax = b/Tц) по измеряемой длине волны, соответствующей максимуму энергии
в спектре равновесного излучения абсолютно чёрного тела:
Тц = b / λmax.
(36.2)
Так, для Солнца найдено λmax = 470 нм, что соответствует температуре 6 150 К,
если считать Солнце чёрным телом. Если распределение энергии с спектре излучения серого тела такое же, как и в спектре абсолютно чёрного тела, имеющего ту же температуру, то возможно применение формулы Вина. А определённую таким образом температуру Тц называют цветовой. Для тел, характер
излучения которых сильно отличается от излучения чёрного тела, понятие цветовой температуры не имеет смысла. Для тел с избирательным поглощением
эта методика также не работает (если в спектре тела есть множество полос по-
243
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
глощения, то нельзя определить необходимую единственную длину волны для
максимума, так как их много).
Отсюда ясно, что для тел, характер излучения которых сильно отличается
от излучения чёрного тела, понятие цветовой температуры не имеет смысла,
поскольку цвет таких тел можно только очень грубо воспроизвести при помощи чёрного тела. В тех случаях, когда определение цветовой температуры возможно (так называемые «серые тела», например, уголь, окислы, некоторые металлы), для ее отыскания необходимо произвести исследование распределения
энергии в спектре при помощи соответствующих спектральных приборов.
Яркостную температуру Тя определяют на основе модели абсолютно чёрного тела и закона Кирхгофа (rν,Т / аν,Т = f(ν,T)). На фоне исследуемого тела помещают модель абсолютно чёрного тела и подбирают ее температуру Тя так,
чтобы тела стали неразличимы на фоне друг друга. При этом выполняется равенство RАЧТ = RС.
Наиболее распространённый способ оптического определения яркостной
температуры основывается на сравнении излучения нагретого тела в одном определённом спектральном участке λ с излучением чёрного тела с той же длиной
волны. Сравнение это можно производить при помощи пирометра с исчезающей нитью. Схема яркостного пирометра с исчезающей нитью показана на рисунке 104. Имеющая форму полуокружности нить лампочки Л лежит в плоскости, перпендикулярной к оси прибора. Объектив Об создаёт в этой же плоскости изображение поверхности исследуемого излучателя. Светофильтр Ф пропускает к окуляру Ок лишь красные лучи с длиной волны вблизи 0,66 мкм. Наблюдая через окуляр, подбирают с помощью реостата R такой накал нити лампы, чтобы ее яркость совпала с яркостью изображения излучателя. В этом
случае нить «исчезает», т.е. становится неразличимой на фоне изображения.
Предварительно прибор градуируют по абсолютно чёрному телу, нанося
против делений шкалы гальванометра G соответствующие значения температуры.
244
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Яркостная температура меньше истинной Tя < T, так как для реальных тел
Об
Ф
Ок
аν,Т < 1. Переход к истинной температуре
Л
возможен для определённых длин волн λ
при знании дополнительного экспериментального параметра, зависящего от рода
вещества. Значения этого дополнительного
G
R
параметра для многих технически важных
материалов при разных температурах све-
Рисунок 104
дены в таблицы.
Кроме пирометров с исчезающей нитью существует ряд других приборов
для определения яркостной температуры, а через ее посредство – и истинной
температуры раскалённых тел.
Таким образом, в зависимости от метода наблюдения мы определяем оптически одну из трёх условных температур: радиационную Тр, цветовую Тц или
яркостную Тя. Переход к истинной температуре возможен лишь при знании некоторых дополнительных параметров излучающего тела.
Контрольные вопросы
1 В чём отличие теплового излучения от люминесценции?
2 Какие из видов излучения являются равновесными?
3 Что такое энергетическая светимость тела?
4 Дайте определение лучеиспускательной способности тела.
5 Чем отличается серое тело от чёрного?
6 В чём заключается физический смысл универсальной функции Кирхгофа?
7 Как и во сколько раз изменится энергетическая светимость чёрного тела, если его термодинамическая температура уменьшится вдвое?
245
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8 Как сместится максимум спектральной плотности энергетической светимости rν,T чёрного тела с повышением температуры?
9 Солнечный спектр близок к спектру абсолютно чёрного тела, максимум
спектральной плотности которого приходится на длину волны 0,50 мкм. Найдите температуру на поверхности Солнца, мощность его теплового излучения и
энергетическую светимость.
10 Нарисуйте и сопоставьте кривые rν,T и rλ,T.
11 Какова связь энергетической светимости тела и температуры?
12 Чему равна постоянная Стефана-Больцмана?
13 Напишите формулу Вина. В какой части спектра эта формула согласуется с экспериментальными данными?
14 В чём смысл закона смещения Вина?
15 Приведите формулу Рэлея-Джинса. В какой части спектра эта формула
согласуется с экспериментальными данными?
16 В чём смысл ультрафиолетовой катастрофы?
17 В чём физический смысл гипотезы о квантах?
18 Приведите формулу Планка.
19 Как, используя формулу Планка, найти постоянную СтефанаБольцмана?
20 При каких условиях из формулы Планка получаются закон смещения
Вина и формула Рэлея-Джинса?
21 Какой вид имеет формула Планка для универсальной функции Кирхгофа?
Тесты
1. Найдите температуру Т печи, если известно, что излучение из отверстия в ней площадью S = 6,1 см2 имеет мощность N = 34,6 Вт. Излучение считайте близким к излучению чёрного тела. Постоянная Стефана-Больцмана σ =
5,67⋅10-8 Вт/(м2⋅К-4).
246
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А) 1 200 К
В) 950 К
С) 900 К
Д) 1 000 К
Е) 1 100 К
2. Какую мощность N излучения имеет Солнце? Излучение Солнца считайте близким к излучению абсолютно чёрного тела. Температура поверхности
Солнца Т = 5 800 К, радиус Солнца RC = 6,96⋅108 м.
А) 1,9⋅1026 Вт В) 2,9⋅1026 Вт
С) 3,9⋅1026 Вт
Д) 4,9⋅1026 Вт
Е) 5,9⋅1026 Вт
3. Определите температуру Т, при которой энергетическая светимость R
абсолютно чёрного тела равна 10 кВт/м2. Постоянная Стефана-Больцмана σ =
5,67⋅10-8 Вт/(м2⋅К-4).
А) 583 К
В) 648 К
С)
687 К
Д) 725 К
Е) 772 К
4. С поверхности сажи площадью S = 2 см2 при температуре Т = 400 К за
время t = 5 мин излучается энергия Е = 83 Дж. Определите коэффициент теплового излучения (степень черноты) В сажи.
А) 0,953
В) 0,923
С) 0,908
Д) 0,895
Е) 0,872
5. Можно условно принять, что Земля излучает как серое тело, находящееся при температуре Т = 280 К. Определите коэффициент теплового излучения (степень черноты) В Земли, если энергетическая светимость R ее поверхности равна 325 кДж/(м2⋅час).
А) 0,23
В) 0,26
С) 0,28
Д) 0,34
Е) 0,41
6. На какую длину волны λmax приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости (rλ,T)max абсолютно чёрного тела при температуре t = 0 0C? Постоянная Вина b = 2,90⋅10-3 м⋅К.
247
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А) 8,6 мкм
В) 9,6 мкм
С) 10,6 мкм
Д) 11,6 мкм
Е) 12,6 мкм
7. Максимальная спектральная плотность энергетической светимости
(rλ,T)max абсолютно чёрного тела равна 4,16⋅1011 Вт/м2. На какую длину волны
λmax она приходится?
А) 1,40 мкм
В) 1,45 мкм
С) 1,50 мкм
Д) 1,55 мкм
Е) 1,60 мкм
8. Муфельная печь потребляет мощность 0,5 кВт. Температура ее внутренней поверхности при открытом отверстии диаметром 5 см равна 700 0С. Какая часть потребляемой мощности рассеивается стенками?
А) 80 %
В) 75 %
С) 70%
Д) 65 %
Е) 60 %
9. Мощность излучения абсолютно чёрного тела Р = 105 Вт. Чему равна
площадь излучающей поверхности тела, если длина волны, на которую приходится максимум излучения λmax = 0,7 мкм?
А) 4⋅10-3 м2
В) 5⋅10-3 м2
С) 6⋅10-3 м2
Д) 7⋅10-3 м2
Е) 8⋅10-3 м2
10. Вычислите спектральную энергетическую светимость rλ,T чёрного тела, нагретого до температуры Т = 3 000 К для длины волны λ = 500 нм.
А) 1,03⋅108 Вт⋅м-2
В) 1,03⋅109 Вт⋅м-2
Д) 1,03⋅1011 Вт⋅м-2
С) 1,03⋅1010 Вт⋅м-2
Е) 1,03⋅1012 Вт⋅м-2
248
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Упражнения для самоконтроля
5.1. Чёрное тело нагрели от температуры T1 = 500 К до T2 = 2 000 К. Определить: 1) во сколько раз увеличилась его энергетическая светимость; 2) как
изменилась длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости. [1) B 256 раз; 2) уменьшилась на 4,35 мкм]
5.2. Чёрное тело находится при температуре T1 = 2 900 К. При его остывании длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности
энергетической светимости, изменилась на ∆λ = 9 мкм. Определить температуру T2, до которой тело охладилось. [290 К]
5.3. Определите температуру Т, при которой энергетическая светимость R
чёрного тела равна 10 кВт/м2. [648 К]
5.4. Температура Т верхних слоёв звезды Сириус равна 10 000 К. Определите поток энергии, излучаемый с поверхности площадью S = 1 км2 этой звезды. [56,7 ГВт]
5.5. Во сколько раз надо увеличить термодинамическую температуру чёрного тела, чтобы его энергетическая светимость R возросла в два раза?
[В 1,19 раза]
5.6. Поток энергии, излучаемый из смотрового окошка плавильной печи,
равен 34 Вт. Определите температуру печи, если площадь отверстия S = 6 см2.
[1 000 К]
5.7. Определите энергию, излучаемую за время t = 1 мин из смотрового
окошка площадью S = 8 см2 плавильной печи, если ее температура Т = 1 200 К.
[5,65 кДж]
5.8. Определите относительное увеличение ∆R/R энергетической светимости чёрного тела при увеличении его температуры на 1 %. [4 %]
5.9. На какую длину волны λmax приходится максимум спектральной
плотности энергетической светимости (rλ,T)max чёрного тела при температуре t =
0 0C? Постоянная Вина b = 2,886⋅10-3 м⋅К. [10,6 мкм]
249
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.10. При увеличении термодинамической температуры Т чёрного тела в
два раза длина волны λmax, на которую приходится максимум спектральной
плотности энергетической светимости (rλ,T)max, уменьшилась на ∆λ = 400 нм.
Определите начальную и конечную температуры Т1 и Т2.
[3 620 К; 7 240 К]
Глава 6 Квантовые явления в оптике
§ 6.37 Фотоэффект и его виды
Гипотеза Планка, блестяще решившая задачу теплового излучения чёрного тела, получила подтверждение и дальнейшее развитие при объяснении фотоэффекта − явления, открытие и исследование которого сыграло важную роль в
становлении квантовой теории. В 1887 году Г.Герц обнаружил, что при освещении отрицательного электрода ультрафиолетовыми лучами разряд между
электродами происходит при меньшем напряжении. Это явление, как показали
опыты В.Гальвакса (1888 г.) и А.Г.Столетова (1888 – 1890 гг.), обусловлено выбиванием под действием света отрицательных зарядов из электрода. Электрон
ещё не был открыт. Лишь в 1899 году Дж.Дж.Томпсон и Ф.Леонард, измерив
удельный заряд испускаемых телом частиц, установили, что это электроны.
Различают внешний, внутренний, вентильный и многофотонный фотоэффекты.
Внешним фотоэффектом называется испускание электронов веществом
под действием электромагнитного излучения. Внешний фотоэффект наблюдается в твёрдых телах (металлах, полупроводниках, диэлектриках), а также в газах на отдельных атомах и молекулах (фотоионизация).
Внутренний фотоэффект – это вызванные электромагнитным излучением
переходы электронов внутри полупроводника или диэлектрика из связанных
состояний в свободные без вылета наружу. В результате концентрация носителей тока внутри тела увеличивается, что приводит к возникновению фотопро-
250
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
водимости (повышению электропроводности полупроводника или диэлектрика
при его освещении) или к возникновению электродвижущей силы (ЭДС).
Вентильный фотоэффект является разновидностью внутреннего фотоэффекта, − это возникновение ЭДС (фото ЭДС) при освещении контакта двух разных полупроводников или полупроводника и металла (при отсутствии внешнего электрического поля). Вентильный фотоэффект открывает пути для прямого
преобразования солнечной энергии в электрическую.
Многофотонный фотоэффект возможен, если
Свет
K
A
интенсивность света очень большая (например, при
использовании лазерных пучков). При этом электрон,
G
испускаемый металлом, может одновременно полуV
чить энергию не от одного, а от нескольких фотонов.
Первые фундаментальные исследования фотоэффекта
выполнены
русским
учёным
А.Г.Столетовым. Принципиальная схема для исследования закономерностей фотоэффекта приведена на
R
− +
Рисунок 105
рисунке 105. Электроды анод А и катод К находятся в вакуумном баллоне. В
качестве анода Столетов применял металлическую сетку. Монохроматический
свет (свет строго определённой длины волны λ), проникающий через кварцевое
окошко (кварцевое стекло в отличие от обычного пропускает ультрафиолетовое
излучение), освещает катод, изготовленный из исследуемого материала. Электроны, испущенные вследствие фотоэффекта (фотоэлектроны), перемещаются
под действием электрического поля к аноду А. В результате в цепи возникает
фототок I, регистрируемый гальванометром G (гальванометр − амперметр для
измерения очень слабых токов). Напряжение U между анодом и катодом, измеряемое вольтметром V, можно изменять с помощью потенциометра R.
Полученный на таком приборе график зависимости фототока от приложенного напряжения – вольтамперная характеристика I(U) изображена на рисунке 106. Естественно, что вольтамперная характеристика снимается при неизменном потоке света. Из этой кривой видно, что при некотором не очень
251
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
большом напряжении фототок достигает насыщения Iнас – все электроны, испущенные катодом, попадают на анод.
I
Пологий ход кривой указывает на то,
Iнас
что электроны вылетают из катода с различными скоростями. Доля электронов, отвечающая силе тока при U = 0, обладает скоростями, достаточными для того, чтобы доле-
Uз
теть до анода без помощи ускоряющего по-
0
U
Рисунок 106
ля. Для обращения силы тока в нуль нужно приложить задерживающее напряжение Uз. При таком напряжении ни одному из электронов, даже обладающему
при вылете из катода наибольшим значением скорости vmax, не удается преодолеть задерживающее поле и достигнуть анода. Поэтому можно написать, что
Emax =
1
mvmax2 = eUз,
2
(37.1)
где Emax − максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов,
m – масса электрона.
Таким образом, замерив задерживающее напряжение Uз, можно определить
максимальные значения скорости и кинетической энергии фотоэлектронов.
Уже первые исследователи обнаружили, что явление в высокой степени
зависит от чистоты освещаемой поверхности. Поэтому точные опыты производятся со свежими поверхностями, тщательно очищенными механическим путём
или, ещё лучше, образованными путём напыления металла в вакууме. Высокий
вакуум поддерживается между электродами А и К во время измерения, так как
присутствие газов может сильно изменить свойства поверхности и, кроме того,
осложняет условия выхода и переноса зарядов.
При изучении вольтамперной характеристики разнообразных материалов
при разных частотах падающего на катод излучения и разных энергетических
252
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
освещённостях катода и обобщения полученных данных были установлены три
закона внешнего фотоэффекта.
§ 6.38 Законы внешнего фотоэффекта
А.Г.Столетов установил три закона фотоэффекта, не утратившие своего
значения и в настоящее время. В современном виде законы внешнего фотоэффекта формулируются следующим образом:
1) Тщательно выполненные измерения показывают, что сила тока насыщения строго пропорциональна световому потоку, поглощённому металлом.
Так как интенсивность поглощённого в металлах света пропорциональна интенсивности падающего, то основной закон фотоэффекта можно сформулировать так: при фиксированной частоте падающего света фототок насыщения Iнас,
определяемый количеством электронов, испускаемых катодом в единицу времени под действием света, пропорционален интенсивности падающего света.
Этот закон проверен в очень широком интервале интенсивностей света и
выполняется крайне строго. Благодаря нему фотоэлементы можно использовать
в качестве превосходных объективных фотометров.
Данный закон выполняется с полной строгостью в том случае, когда измеряемый ток насыщения образован лишь электронами, освобождёнными светом. Это имеет место, если чувствительная поверхность помещена в вакуум. В
приборах, наполненных газом и обычно гораздо более чувствительных, так как
в них к току электронной эмиссии прибавляется ток ионизации; тогда могут
возникать отступления от простой пропорциональности между силой тока насыщения и интенсивностью света.
2) Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов Emax линейно зависит от частоты ν (рисунок 107). Максимальное значение кинетической
энергии фотоэлектронов определяется по задерживающей разности потенциалов Uз. Кинетическая энергия электронов изменяется от 0 до Emax.
253
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) Для каждого металла существует максимальная длина волны света λгр
(минимальная частота − красная граница фотоэф-
Emax
фекта νгр), при которой еще происходит вырывание
электронов. При λ > λгр (т.е. при ν < νгр) фототок отсутствует даже при большой интенсивности света
(исключение − многофотонное поглощение света
электроном сфокусированного лазерного излучения).
0
νгр
ν
-А
Рисунок 107
4) Фотоэффект практически безынерционен: фототок возникает мгновенно после начала освещения катода при условии, что частота света ν > νгр.
Законы фотоэффекта были установлены для сравнительно небольших интенсивностей света. Интерпретация фотоэффекта, основанная на квантовых
представлениях, связывает освобождение электрона с передачей ему энергии
одного фотона падающего света. В случае мощного света оптический электрон
атомов и молекул может приобрести энергию нескольких фотонов (многофотонное поглощение и ионизация). Если при освещении поверхности металла
электрон способен приобрести энергию N фотонов (т.е. энергию Nhν), то следует ожидать, очевидно, уменьшения граничной частоты в N раз (смещения
красной границы фотоэффекта в сторону длинных волн). Наблюдению фотоэффекта за красной границей, требующему огромной интенсивности света,
длительное время препятствовало сильное нагревание металла, приводящее к
термоэлектронной эмиссии, для которой красная граница, разумеется, не существует. Маскирующее влияние термоэмиссии было почти полностью устранено
применением сверхкоротких импульсов лазерного излучения длительностью
10-11 − 10-12 с и скользящим освещением фотокатода (угол падения около 850). И
тот и другой приём приводят к уменьшению нагревания и к подавлению термоэлектронной эмиссии. В этих условиях фотоэлектроны были надёжно зарегистрированы далеко за красной границей (вплоть до пятикратного уменьшения
254
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
частоты света в сравнении с граничной частотой, определяемой работой выхода).
Качественное объяснение фотоэффекта с волновой точки зрения на первый взгляд не должно было бы представлять трудностей. Действительно, под
действием поля световой волны в металле возникают колебания электронов,
амплитуда которых (например, при резонансе) может быть достаточной для того, чтобы электроны покинули металл, − тогда и наблюдается фотоэффект. Кинетическая энергия вырываемого из металла электрона должна была бы зависеть от интенсивности падающего света, так как с увеличением интенсивности
электрону передавалась бы большая энергия. Однако этот вывод противоречит
второму закону фотоэффекта. Так как по волновой теории энергия, передаваемая электрону, пропорциональна интенсивности света, то свет любой частоты
но достаточно большой интенсивности должен был бы вырывать электроны из
металла. Иными словами, красной границы фотоэффекта не должно быть, что
противоречит третьему закону фотоэффекта. Кроме того, волновая теория фотоэффекта не смогла объяснить безынерционность фотоэффекта, установленную опытами. Таким образом, фотоэффект необъясним с точки зрения волновой теории.
При переходе фотоэлектронов в другую среду, например, в вакуум, наблюдаем внешний фотоэффект. При внутреннем фотоэффекте оптически возбужденные электроны остаются внутри освещенного тела, не нарушая нейтральности последнего. При этом в веществе изменяется концентрация носителей тока или их подвижность, что приводит к изменению электрических
свойств вещества под действием падающего света. Внутренний фотоэффект
присущ только полупроводникам и диэлектрикам. Его можно обнаружить, в частности, по изменению проводимости однородных полупроводников при их освещении. На основе этого явления – фотопроводимости создана и постоянно
совершенствуется большая группа приёмников света – фоторезисторов.
В неоднородных полупроводниках наряду с изменением проводимости
наблюдается также образование разности потенциалов (фото-ЭДС), т.е. проис255
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ходит прямое преобразование световой энергии в электрическую. По этой причине фотогальванические приемники света используются не только для регистрации световых сигналов, но и в качестве источников электрической энергии
(солнечные элементы).
В настоящее время на основе внешнего и внутреннего фотоэффекта строится бесчисленное множество приёмников излучения, преобразующих световой
сигнал в электрический и объединённых общим названием – фотоэлементы.
Фотоэлементы, работающие на основе внутреннего фотоэффекта в силу их малых габаритов, низких напряжений питания и ряда конструктивных достоинств,
повсеместно применяются для автоматических систем, систем управления,
преобразования солнечной энергии, контроля производства, в системах связи и
космической технике.
§ 6.39 Фотонная теория света. Масса, энергия и импульс фотона
В современной трактовке гипотеза квантов утверждает, что энергия Е колебаний атома или молекулы может быть равна hν, 2hν, 3hν и т.д., но не существует колебаний с энергией в промежутке между двумя последовательными
целыми, кратными hν. Это означает, что энергия не непрерывна, как полагали
на протяжении столетий, а квантуется, т.е. существует лишь в строго определённых дискретных порциях. Наименьшая порция hν называется квантом энергии. Гипотезу квантов можно сформулировать и как утверждение о том, что на
атомно-молекулярном уровне колебания происходят не с любыми амплитудами. Допустимые значения амплитуды связаны с частотой колебания ν.
В 1905 г. Эйнштейн выдвинул смелую идею, обобщавшую гипотезу квантов, и положил ее в основу новой теории света (квантовой теории фотоэффекта). Согласно теории Эйнштейна, свет с частотой ν не только испускается, как
это предполагал Планк, но и распространяется и поглощается веществом отдельными порциями (квантами), энергия которых Е0 = hν. Таким образом, распространение света нужно рассматривать не как непрерывный волновой про256
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
цесс, а как поток локализованных в пространстве дискретных световых квантов, движущихся со скоростью распространения света в вакууме (с). Квант
электромагнитного излучения получил название фотон.
Как мы уже говорили, испускание электронов с поверхности металла под
действием падающего на него излучения соответствует представлению о свете
как об электромагнитной волне, так как электрическое поле электромагнитной
волны воздействует на электроны в металле и вырывает некоторые из них. Но
Эйнштейн обратил внимание на то, что предсказываемые волновой теорией и
фотонной (квантовой корпускулярной) теорией света детали фотоэффекта существенно расходятся.
Итак, мы можем измерить энергию вылетевшего электрона, исходя из
волновой и фотонной теории. Чтобы ответить на вопрос, какая теория предпочтительней, рассмотрим некоторые детали фотоэффекта.
Начнём с волновой теории, и предположим, что пластина освещается монохроматическим светом. Световая волна характеризуется параметрами: интенсивностью и частотой (или длиной волны). Волновая теория предсказывает, что
при изменении этих характеристик происходят следующие изменения:
- при увеличении интенсивности света число выбитых электронов и их
максимальная энергия должны возрастать, так как более высокая интенсивность света означает большую амплитуду электрического поля, а более сильное
электрическое поле вырывает электроны с большей энергией;
- частота света не должна влиять на кинетическую энергию выбитых
электронов. Кинетическая энергия зависит только от интенсивности падающего
света.
Совершенно иное предсказывает фотонная (корпускулярная) теория.
Прежде всего, отметим, что в монохроматическом пучке все фотоны имеют
одинаковую энергию Е = hν. Увеличение интенсивности светового пучка означает увеличение числа фотонов в пучке, но не сказывается на их энергии, так
как частота ν остаётся неизменной. Согласно теории Эйнштейна при столкновении фотона с электроном в металле, фотон может поглотиться, а вся его энер257
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
гия передаётся электрону. Для удаления поверхностного электрона из металла
нужно затратить энергию А, равную энергии связи электрона с приповерхностными частицами. Тогда, поглотив фотон с энергией hν и вылетев с поверхности, электрон будет иметь кинетическую энергию hν − А = Emax. Данное соотношение согласуется с экспериментальной кривой Emax(ν), рисунок 107. Наклон
кривой равен h (на этом основан один из методов определения постоянной
Планка h). Величина А – называется работой выхода и зависит от свойств данного металла. Если частота ν падающего света мала, то энергия hν < А и энергии фотона недостаточно для того, чтобы выбить электрон с поверхности металла. Если же hν > А, то электроны вылетают с поверхности металла, причём
энергия в таком процессе сохраняется, т.е. энергия фотона hν равна кинетической энергии вылетевшего электрона плюс работе выхода по выбиванию электрона из металла:
hν = Emax + А =
1
mvmax2 + А = eUз + eU0,
2
(39.1)
где U0 = А/е − потенциал выхода.
Полученное уравнение (39.1) называется уравнением Эйнштейна для фотоэффекта. Из этого уравнения можно выразить граничную частоту для фотоэффекта:
Emax = hνгр − А = 0
→
νгр =
A
h
и
λгр =
с
.
ν гр
(39.2)
Итак, мы видим, что предсказания корпускулярной (фотонной) теории
сильно отличаются от предсказаний волновой теории, но очень хорошо совпадают с тремя экспериментально установленными законами фотоэффекта.
По мысли Эйнштейна вся энергия, полученная электроном, доставляется
ему светом в виде определённой порции hν, величина которой зависит от частоты света (световой квант), и «усваивается» им целиком. Таким образом, элек-
258
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
трон не заимствует энергию от атомов вещества катода, благодаря чему природа вещества не играет никакой роли в определении энергии кванта.
Энергия кванта очень велика по сравнению с тепловой энергией электронов, и поэтому изменение температуры должно лишь очень слабо сказываться
на скорости вылетающих электронов (действительно, такое малое влияние было обнаружено в работах последнего времени).
Уравнение Эйнштейна было подтверждено опытами Милликена, выполненными в 1913-1914 гг. Основное отличие от опыта Столетова в том, что поверхность металла подвергалась очистке в вакууме. Исследовалась зависимость
максимальной кинетической энергии от частоты и определялась постоянная
Планка h. Из измерений Милликена можно было, пользуясь формулой Эйнштейна, определять граничную частоту (красную границу фотоэффекта) и работу выхода. Граничная частота лежит в области тем более длинных волн, чем
электроположительнее металл, т.е. чем легче отдаёт он свои электроны. Так,
например, для щелочных металлов граница лежит в области видимого света,
тогда как для большинства других металлов она находится в ультрафиолете.
Необходимо отметить также, что присутствие примесей, например, газов, растворённых в металле, нередко сильно облегчает выход электронов, перемещая
границу в область длинных волн. Ниже в таблице 2 приведены значения «красной границы» для нескольких по возможности чистых металлов.
Таблица 2
Металл
K
Na
Li
Hg
Fe
Ag
Au
Ta
λгр, нм
550,0
540,0
500,0
273,5
262,0
261,0
265,0
305,0
Уравнение Эйнштейна (39.1) можно также записать в виде:
1
mvmax2 = h(ν − νгр) = eUз.
2
259
(39.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнение Эйнштейна подвергалось и в дальнейшем разнообразным экспериментальным проверкам. В частности, частота падающего света варьировалась в очень широких пределах – от видимого света до рентгеновских лучей, и
во всём интервале опыт оказался в превосходном согласии с теорией. В опытах
с рентгеновскими лучами проверка упрощается благодаря тому, что ν очень велико по сравнению с νгр. Поэтому соотношение Эйнштейна принимает вид
hν = eU и позволяет определить ν, если измерено U. Таким приёмом пользуются даже для определения длины волны очень жёстких γ-лучей, для которых метод дифракции на кристаллах невозможно осуществить с достаточной точностью из-за малости соответствующей длины волны.
В 1926 году российские физики П.И.Лукирский и С.С.Прилежаев для исследования фотоэффекта применили метод вакуумного сферического конденсатора. Анодом служили посеребрённые стенки стеклянного сферического баллона, а катодом − шарик радиусом R ≈ 1,5 см из исследуемого металла, помещённого в центр сферы. Такая форма электродов позволяла увеличить наклон
вольтамперной характеристики и тем самым более точно определить задерживающее напряжение Uз (а, следовательно, и h). Значение постоянной Планка h,
полученное из этих опытов, согласуется со значениями, найденными другими
методами (по излучению чёрного тела и по коротковолновой границе сплошного рентгеновского спектра). Всё это является доказательством правильности
уравнения Эйнштейна, а вместе с тем и его квантовой теорией фотоэффекта.
Фотоэлектрические опыты с рентгеновским лучами дают возможность
исследовать, распространяется ли световая энергия равномерно во все стороны,
как следует из обычных волновых представлений, или она «летит» то по одному, то по другому направлению в виде дискретных квантов. Кванты видимого
света обладают малым запасом энергии (так, например, для жёлтого излучения
ν = 5⋅1014 с-1, hν = 3,31⋅10-19 Дж); поэтому для их регистрации в большинстве
опытов приходится иметь дело с большим числом квантов в единицу времени.
В соответствии с этим действие, производимое случайным распределением летящих по всем направлениям световых квантов, трудно отличить от действия
260
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
волны, равномерно распространяющейся во все стороны. Чем больше величина
кванта, тем легче наблюдать действие отдельного кванта и легче, следовательно, осуществить опыт наблюдения распространения световой энергии не во все
стороны равномерно, а вспышками, то по одному, то по другому направлению.
Рентгеновские кванты удовлетворяют этому условию. Кроме того, с рентгеновскими лучами легче осуществить условия, необходимые для возбуждения небольшого числа актов испускания в секунду. Для получения рентгеновских лучей нужно бомбардировать электронами анод; всякая остановка (или торможение) электрона сопровождается испусканием рентгеновского импульса.
Наиболее
непосредственное
подтверhν
ждение гипотезы Эйнштейна о поглощении
света квантами дал опыт Боте, в котором использовался метод совпадения (рисунок 108).
Тонкая металлическая фольга Ф помещалась
Сч
Ф
Сч
между двумя газоразрядными счётчиками Сч.
Фольга освещалась слабым пучком рентгеновских лучей, под действием которых она
сама становилась источником рентгеновских
лучей (это явление называется рентгеновской
флуоресценцией). Вследствие малой интенсивности первичного пучка количество квантов, испускаемых фольгой, было невелико.
Рисунок 108
При попадании квантов на счётчик механизм срабатывал, и на движущейся бумажной ленте делалась отметка. Если бы излучаемая энергия распространялась
равномерно во все стороны, как это следует из волновых представлений, оба
счётчика должны были срабатывать одновременно и отметки на ленте приходились бы одна против другой. В действительности же наблюдалось совершенно беспорядочное расположение отметок. Это можно объяснить лишь тем, что
в отдельных актах испускания возникают световые частицы, летящие то в од-
261
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ном, то в другом направлении. Так было экспериментально доказано существование особых световых частиц – фотонов.
Фотон обладает энергией Е = hν = h(с/λ). Так, например, для видимого
света с длиной волны λ = 0,5 мкм энергия Е = 2,2 эВ.
Фотон обладает инертной массой, которую можно найти из соотношения
Е = mс2:
mф = Е/с2 = h(с/λ) / с2 = h/(сλ) = hν/с2.
(39.4)
Фотон движется со скоростью света с = 3⋅108 м/с. Подставим это значение
скорости в выражение для релятивистской массы:
m=
m0
v2
1− 2
c
=
m0
m
= 0 → ∞.
0
1 −1
Но масса фотона конечна, т.е. получено абсурдное заключение.
Фотон – частица, не обладающая массой покоя. Она может существовать,
только двигаясь со скоростью света с.
Найдём связь между энергией и импульсом фотона.
Мы знаем релятивистское выражение для импульса
р=
m0 v
(39.5)
v2
1− 2
c
и для энергии
Е=
m0с2
1−
262
2
v
c2
.
(39.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решая систему из уравнений (39.5) и (39.6), получим связь между энергией и импульсом:
Е = с р2 + m0 c2 .
2
(39.7)
Но так как масса покоя фотона m0 = 0, то m02с2 = 0. Окончательно получим:
Е = с⋅р,
или р =
Е
= mc.
с
(39.8)
Так как Е = hν, то можно записать:
р=
Обозначим k =
hν hω
=
.
с
с
(39.9)
ω
, k – волновое число. Теперь выразим импульс через волновой
с
вектор k:
p = ћk.
(39.10)
§ 6.40 Эффект Комптона
Корпускулярные свойства света хорошо проявляются при рассеянии фотона на свободном электроне, так называемом эффекте Комптона (1923 г.).
Комптон, исследуя рассеяние рентгеновских лучей различными веществами,
обнаружил, что в рассеянных лучах наряду с излучением первоначальной длины волны λ содержатся также лучи большей длины волны λ′. Увеличение длины волны (уменьшение частоты) указывало на потерю энергии. Разность ∆λ =
λ′ − λ оказалась зависящей только от угла ϑ, образуемого направлением рассеянного излучения с направлением первичного пучка. От длины волны λ и от
природы рассеивающего вещества ∆λ не зависит. Комптон показал, что обна263
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
руженный им эффект можно объяснить на основе фотонной теории света, т.е.
соударением налетающих фотонов с электронами вещества. Комптон установил, что энергии рассеянных фотонов, предсказываемые фотонной теорией,
полностью согласуются с экспериментальными данными.
Комптон
исследовал
рассеяние
жесткого
рентгеновского излучения на образцах, состоящих
р′
из легких атомов, таких как парафин, графит и др.
ϑ
ϕ
В легких атомах энергия связи электрона с атомом
мала по сравнению с энергией рентгеновского
р
р2′
кванта при столкновении, т.е. такой электрон мож-
Рисунок 109
но принять за свободный. При столкновении фотона с электроном должны соблюдаться законы сохранения энергии и импульса (см. рисунок 109):
(р2′)2 = р2 + (р′)2 – 2рр′cosϑ,
(40.1)
где р − импульс падающего фотона,
р′ − импульс рассеянного фотона,
р2′ − импульс электрона отдачи,
ϑ − угол рассеяния, ϕ − угол отдачи;
hc
hc
+ m0c2 =
+ mc2,
λ
λ′
(40.2)
где λ − длина волны падающего излучения,
λ′ − длина волны рассеянного излучения,
m0 − масса покоя электрона,
m − релятивистская масса электрона отдачи.
Уравнение, выражающее связь между энергией и импульсом:
(mc2)2 = (m0c2)2 + (р2′)2c2.
264
(40.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решая систему уравнений (40.1) − (40.3), придём к формуле:
∆λ = λ′ − λ =
h
ϑ
(1 − cosϑ) = ΛC(1 − cosϑ) = 2ΛCsin2 ,
2
m0c
(40.4)
где ΛC = 2,426 пм = 0,02426 Å, ΛC − комптоновская длина волны (в данном случае для электрона), 1 Å = 10-10 м = 100 пм.
При рассеянии фотонов на электронах, связь которых с атомом велика,
обмен энергией и импульсом происходит с атомом как целым. Поскольку масса
атома намного превосходит массу электрона, комптоновское смещение в этом
случае ничтожно и λ′ практически совпадает с λ.
§ 6.41 Тормозное рентгеновское излучение
Для объяснения свойств теплового излучения пришлось ввести представление об испускании электромагнитного излучения порциями (квантами).
Квантовая природа излучения подтверждается также существованием коротковолновой границы тормозного рентгеновского спектра.
Рентгеновское излучение представляет собой коротковолновое электромагнитное излучение с длиной вол-
−
К
А
+
ны 0,1 −100 Å. Рентгеновское излучение
возникает
при
бомбардировке
твёрдых мишеней быстрыми электронами (схема рентгеновской трубки
hν
Рисунок 110
приведена на рисунке 110). Здесь анод A выполнен из W, Mo, Cu, Pt − тяжёлых
тугоплавких или с высоким коэффициентом теплопроводности металлов. Для
того чтобы сконцентрировать пучок электронов в одно место, катод делается
вогнутым и в его полость помещается нагреваемая проволочная спираль. Таким
265
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
образом, осуществляется фокусировка пучка электронов. Между катодом и
анодом прикладывается напряжение в несколько десятков киловольт.
Так как большая часть энергии ударяющихся об анод электронов превращается в тепло и лишь малая ее доля (около 0,1 %) излучается в виде рентгеновских лучей или сохраняется в виде энергии отразившихся электронных пучков, то анод в мощных трубках сильно нагревается и может расплавиться. Поэтому аноды охлаждают водой. Косой срез анода обеспечивает излучение рентгеновских лучей в сторону через стенку стеклянного баллона трубки.
Попав в вещество анода, электроны испытывают сильное торможение и
становятся источником электромагнитных волн (рентгеновских лучей). Скорость v электрона перед его попаданием на анод определяется по формуле:
v =
2еU
,
m0
где U − ускоряющее напряжение.
I
50 кВ
40 кВ
30 кВ
0
λmin
λ
Рисунок 111
Заметное излучение наблюдается лишь при резком торможении быстрых
электронов, начиная с U ∼ 50 кВ, при этом v ≈ 0.4 c, где с – скорость света. В
266
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
индукционных ускорителях электронов − бетатронах, электроны приобретают
энергию до 50 МэВ, v = 0,99995 с (в этом случае нужно учитывать зависимость
релятивистской массы электрона от скорости). Направив такие электроны на
твёрдую мишень, получим рентгеновское излучение с малой длиной волны. Это
излучение обладает большой проникающей способностью. Самой замечательной особенностью рентгеновского излучения является его способность проникать через непрозрачные для обычного света вещества.
Согласно классической электродинамике при торможении электронов
должны возникать излучения всех длин волн от нуля до бесконечности. Длина
волны, на которую приходится максимум мощности излучения, должна уменьшаться по мере увеличения скорости электронов, что в основном подтверждается на опыте (рисунок 111).
Однако есть принципиальное отличие от классической теории: нулевые
распределения мощности не идут к началу координат, а обрываются при конечных значениях λmin − это и есть коротковолновая граница рентгеновского спектра.
Экспериментально установлено, что λmin(Å) =
12390 const
=
.
U (B)
U(B)
Существование коротковолновой границы непосредственно вытекает из
квантовой природы излучения. Действительно, если излучение возникает за
счёт энергии, теряемой электроном при торможении, то энергия кванта hν не
может превысить энергию электрона eU, т.е. hν ≤ eU, отсюда νmax =
λmin =
с
ν max
=
eU
или
h
сh
. По измерениям зависимости λmin от ускоряющего напряжеeU
ния U с высокой точностью определяют значение постоянной Планка h. Из всех
методов определения постоянной Планка метод, основанный на измерении коротковолновой границы тормозного рентгеновского спектра, является самым
точным.
267
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Можно назвать некоторые области применения рентгеновского излучения:
- исследуя дифракционное рассеяние рентгеновского излучения с известной длиной волны в твёрдых телах, можно определять межатомные расстояния,
поскольку длина волны рентгеновского излучения сравнима с межатомными
расстояниями;
- в медицине – для рентгенодиагностики и рентгенотерапии;
- дефектоскопия металлических изделий и сварных швов;
- рентгеновская микроскопия;
- определение внутренних механических напряжений.
§ 6.42 Характеристическое рентгеновское излучение
Когда энергия бомбардирующих анод электронов становится достаточной
для вырывания электронов из внутренних оболочек атома, на фоне сплошного
спектра тормозного излучения появляется линейчатый спектр, зависящий от
природы вещества анода. Каждый химический элемент обладает своим, характерным для него линейчатым спектром, поэтому такие спектры называют характеристическим.
Особенности характеристических спектров:
- для разных элементов они имеют сходный характер;
- они не зависят от химического соединения данного элемента с другими.
Это можно объяснить тем, что характеристические спектры возникают при переходах электронов во внутренних частях атомов;
- характеристические спектры состоят из нескольких серий K, L, M, N…
Каждая серия состоит из небольшого числа линий Kα, Kβ, Kγ… Lα, Lβ… в порядке убывания длины волны.
Возбуждение атома возникает при удалении одного из внутренних электронов (под действием электронов или фотонов достаточно большой энергии).
268
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уровень свободного электрона
(n→∞)
(n=5)
Mα Mβ
M
(n=3)
M-серия
Lα
L
Lβ Lγ
(n=2)
L-серия
K
Kα
Kβ Kγ
Возбуждение всех серий
(n=4)
N
(n=1)
K-серия
Рисунок 112
Состояние атома с вакансией во внутренней оболочке неустойчиво. Электрон одной из внешних оболочек может заполнить эту вакансию, и атом при
этом испускает избыток энергии в виде фотона характеристического излучения:
ν=
Е1 − Е 2
.
h
Все переходы на на K-оболочку образуют K-серию, соответственно, на Lи M-оболочки − L- и M-серии (рисунок 112).
Английский физик Генри Мозли в 1913 году установил закон, названный
его именем, связывающий частоты линий рентгеновского спектра ν с атомным
номером Z испускающего их элемента:
1 
 1
−
ν = R(Z − σ)  k 2 n 2  , где k = 3, 4, 5…; n = k + 1, k + 2, k + 3…
2
269
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь R = 3,29⋅1015 с-1, постоянная Ридберга; σ − постоянная, учитывающая экранирующую роль окружающих ядро электронов. Чем дальше электрон
от ядра, тем σ больше.
Закон Мозли позволил по измерению длин волн λ рентгеновских лучей
точно установить атомный номер Z элемента. Он сыграл большую роль при
размещении элементов в таблице Менделеева.
§ 6.43 Давление света
Среди различных действий света на вещество давление света играет весьма видную роль. Оно имело большое значение в развитии электромагнитной
теории света. Идея, согласно которой свет должен давить на освещаемые им
тела, была высказана ещё Кеплером, который видел в ней объяснение формы
кометных хвостов. Идея о световом давлении подсказывалась ньютоновой теорией истечения: световые частицы, ударяясь об отражающие или поглощающие
их тела, должны были бы передавать им часть своего импульса, т.е. производить давление. Теория и эксперимент в этом вопросе пережили длинную историю.
Основной постулат корпускулярной теории электромагнитного излучения
звучит так: электромагнитное излучение (и в частности свет) – это поток частиц, называемых фотонами. Фотоны распространяются в вакууме со скоростью,
равной предельной скорости распространения взаимодействия, с = 3⋅108 м/с,
масса и энергия покоя любого фотона равны нулю, энергия Е фотона связана с
частотой электромагнитного излучения ν и длиной волны λ формулой:
Е = hν =
hc
.
λ
(43.1)
Обратите внимание: формула (43.1) связывает корпускулярную характеристику электромагнитного излучения, энергию фотона, с волновыми характе270
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ристиками – частотой и длиной волны. Она представляет собой мостик между
корпускулярной и волновой теориями. Существование этого мостика неизбежно, так как и фотон, и электромагнитная волна – это всего-навсего две модели
одного и того же реально существующего объекта – электромагнитного излучения.
Всякая движущаяся частица (корпускула) обладает импульсом, причём
согласно теории относительности энергия частицы Е и ее импульс р связаны
формулой (ср. с формулой (40.3)):
Е2 = Е02 + (рс)2,
(43.2)
где Е0 − энергия покоя частицы.
Так как энергия покоя фотона равна нулю, то из (43.1) и (43.2) следуют две
очень важные формулы:
Е = ср,
(43.3)
h
.
λ
(43.4)
р=
Обратимся теперь к явлению светового явления.
Давление
света
открыто
русским
учёным зеркальная
П.Н.Лебедевым в 1901 году. В своих опытах он уста-
чёрная
новил, что давление света зависит от интенсивности
света и от отражающей способности тела. В опытах
была использована вертушка, имеющая чёрные и зер-
hν
Рисунок 113
кальные лепестки, помещённая в вакуумированную колбу (рисунок 113).
Измерения Лебедева дали величину, согласующуюся с теорией Максвелла (с точностью 20 %). Много лет спустя (1923 г.) Герлах повторил опыты Лебедева, пользуясь современными более совершенными методами получения вакуума. Благодаря этому не только значительно облегчилось выполнение опы271
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тов, но и удалось получить лучшее (до 2 %) совпадение с теоретическими величинами. Лебедев экспериментально решил также и другую несравненно более
трудную задачу, обнаружив и измерив давление света на газы (1909 г.).
Вычислим величину светового давления.
Пусть на тело площадью S падает световой поток с энергией Е = Nhν, где
N − число квантов. Если ρ − коэффициент отражения, то ρN квантов отразится
от поверхности; (1 − ρ)N квантов поглотится. Каждый поглощённый фотон передаст телу импульс:
рпогл =
hν
.
c
(43.5)
А каждый отражённый фотон передаст телу импульс:
ротр = 2
так как
hν
,
c
(43.6)
hν  hν 
hν
− −  = 2 .
c
c
 c 
В единицу времени все N квантов сообщают телу импульс р:
р = (1 − ρ)N
hν
hν
+ 2ρN .
c
c
(43.7)
Так как фотон обладает импульсом, то импульс, переданный телу за одну
секунду, есть сила давления – сила, отнесённая к единице площади поверхности. Тогда давление Р = F/S, или
Р=
(1 − ρ) N
hν
hν
+ 2ρN
c = hνN (1 + ρ) = I (1 + ρ) ,
c
S
cS
c
272
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где I – интенсивность излучения.
Т.е. давление света можно рассчитать по формуле:
Р=I
(1 + ρ)
,
c
- если тело зеркально отражает, то ρ = 1 и Р =
(43.8)
2I
;
c
- если тело полностью поглощает (абсолютно чёрное тело), то ρ = 0 и
Р=
I
, т.е. световое давление на абсолютно чёрное тело в два раза меньше, чем
c
на зеркальное.
Следующее из корпускулярной теории заключение, что световое излучение оказывает давление, на материальные предметы, причём величина давления
пропорциональна интенсивности излучения, прекрасно подтверждается в экспериментах.
Световое давление позволило объяснить ряд явлений, происходящих во
Вселенной.
Образование кометных хвостов, развивающихся по мере приближения
кометы к Солнцу и располагающихся в направлении от Солнца, заставило ещё
Кеплера высказать предположение, что кометные хвосты представляют собой
поток частиц, отбрасываемых действием давления света прочь от Солнца, когда
комета подходит к нему достаточно близко. Расчёты и особенно экспериментальные исследования Лебедева подкрепили такое предположение. По этим
данным можно оценить, что частицы достаточно малых размеров будут испытывать более сильное отталкивание вследствие излучения Солнца, чем притяжение массой Солнца, так как с уменьшением радиуса частицы притяжение
уменьшается пропорционально кубу радиуса (массе). А отталкивание падает
как квадрат радиуса (поверхность). Для частиц подходящего размера преобладание отталкивания над притяжением (или наоборот) будет иметь место на лю273
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
бом расстоянии от Солнца, так как и плотность излучения, и гравитационное
действие одинаково изменяются с расстоянием (1/r2). То обстоятельство, что
кометные хвосты начинают развиваться только вблизи Солнца, можно было бы
объяснить тем, что лишь вблизи Солнца образуются в результате испарения
частицы достаточно малых размеров. Впрочем, в последнее время выяснилось,
что образование кометных хвостов представляет весьма сложный процесс, и
световое давление, по-видимому, не объясняет всего разнообразия явлений.
Было показано, что световое давление играет важную роль в вопросе о
предельном размере звёзд. Из астрономических данных известно, что звёзды,
массы которых превосходят известный максимум, не наблюдаются. Эддингтон
обратил внимание на то, что увеличению размеров звезды должно препятствовать следующее обстоятельство. С увеличением массы звезды и ростом тяготения ее наружных слоёв к центру повышается работа сжатия внутренних слоёв
звезды и растёт соответственно температура этих слоёв, достигая миллионов
градусов. Однако повышение температуры означает повышение плотности лучистой энергии внутри звезды, а, следовательно, и величины светового давления. Согласно вычислениям равновесие между силой притяжения, с одной стороны, и силами отталкивания, обусловленными световым давлением, − с другой, приводит к некоторому предельному значению для массы звезды: звёзды
большей массы неустойчивы и должны были бы распасться. Действительно,
верхний предел массы звёзд, вычисленный на основе этих соображений, согласуется, по-видимому, с результатами астрофизических наблюдений.
§ 6.44 Двойственная природа света
Впервые проблема корпускулярно-волнового дуализма проявила себя при
исследовании природы света. В XVII веке Исаак Ньютон предложил считать
свет потоком мельчайших корпускул. Это позволяло просто объяснить ряд наиболее характерных свойств света – например, прямолинейность световых лучей
и закон отражения света, согласно которому угол отражения равен углу паде274
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ния. Вообще, вся геометрическая оптика прекрасно согласуется с корпускулярной теорией света. Но явления интерференции и дифракции света никак в эту
теорию не вписывались. Объяснить их учёным удалось лишь XIX веке создателям волновой теории света. А теория электромагнитного поля и знаменитые
уравнения Максвелла, казалось бы, вообще поставили точку в этой проблеме.
Оказалось, что свет – это просто частный случай электромагнитных волн, т.е.
процесса распространения в пространстве электромагнитного поля. Мало того,
волновая оптика объяснила не только те явления, которые не объяснялись с помощью корпускулярной теории, но и вообще все известные к XIX веку световые эффекты. И все законы геометрической оптики тоже оказалось возможным
доказать в рамках волновой оптики.
Однако уже в самом начале XX века опять возродилась корпускулярная
теория света, так как были обнаружены явления, которые с помощью волновой
теории объяснить не удавалось. Это – давление света, фотоэффект, эффект
Комптона и законы теплового излучения. В рамках корпускулярной теории эти
явления прекрасно объяснялись, и корпускулы (частицы) света даже получили
специальное название. Макс Планк назвал их световыми квантами (по-русски –
порциями), а Альберт Эйнштейн – фотонами. Оба этих названия прижились и
употребляются до сих пор.
В итоге сложилась удивительная ситуация – сосуществование двух серьёзных научных теорий, каждая из которых объясняла одни свойства света, но
не могла объяснить другие. Вместе же эти теории полностью дополняли друг
друга. Только что мы рассмотрели ряд явлений, где свет ведёт себя как поток
частиц. Но явления интерференции и дифракции могут быть объяснены только
с позиции волновой теории. Что же такое свет?
Свет обладает одновременно свойствами, характерными как для волн, так
и для частиц. Например, фотоэффект и эффект Комптона служат доказательством квантовых (корпускулярных) представлений о свете как о потоке фотонов.
С другой стороны, такие явления, как интерференция, дифракция и поляризация света, подтверждают волновую (электромагнитную) природу света. Нако275
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нец, давление и преломление света объясняются как волновой, так и квантовой
теориями. Таким образом, электромагнитное излучение обнаруживает единство
взаимоисключающих свойств – непрерывных (волны) и дискретных (фотоны),
которые взаимно дополняют друг друга.
При уменьшении длины волны всё явственнее проявляются корпускулярные свойства. Волновые свойства коротковолнового излучения проявляются
слабо (например, рентгеновское излучение). Наоборот, у длинноволнового (инфракрасного) излучения квантовые свойства проявляются слабо.
Взаимосвязь между корпускулярными и волновыми свойствами света находит простое толкование при статистическом подходе к распространению света.
Взаимодействие фотонов с веществом (например, при прохождении света
через дифракционную решётку) приводит к перераспределению фотонов в пространстве и возникновению дифракционной картины на экране. Очевидно, что
освещённость в различных точках экрана прямо пропорциональна вероятности
попадания фотонов в эти точки экрана. Но, с другой стороны, из волновых
представлений видно, что освещённость пропорциональна интенсивности света
I, а та, в свою очередь, пропорциональна квадрату амплитуды. Отсюда вывод:
квадрат амплитуды световой волны в какой-либо точке есть мера вероятности
попадания фотонов в эту точку.
Луи де-Бройль в 1923 г. высказал гипотезу, что дуализм не является особенностью только оптических явлений, а имеет универсальный характер. Частицы вещества также обладают волновыми свойствами. Де-Бройль перенёс на
случай частиц вещества те же правила перехода от одной картины к другой, какие справедливы в случае света. Гипотеза Луи де-Бройля была революционной,
даже для того революционного в науке времени. Однако она вскоре была подтверждена многими экспериментами.
Если фотон обладает энергией Е = hν и импульсом р = h/λ, то и частица
(например, электрон), движущаяся с некоторой скоростью, обладает волновыми
свойствами, т.е. движение частицы можно рассматривать как движение волны.
276
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда, материальная частица с массой m и импульсом р = h/λ, должна обладать и волновыми свойствами λ =
h
, где р – импульс частицы, h – постоянp
ная Планка, λ − длина волны. Приведённое выражение называют соотношением
де-Бройля. (было для света: р =
h
).
λ
Де-Бройль предположил, что пучок электронов, падающих на двойную
щель, должен за ним интерферировать. Такой опыт был проведен: когда на
интенсивности на экране Э было таким же, когда на двойную
щель монохроматический пучок света с длиной волны, определяемой соотношением де-Бройля (рисунок 114). Как открывание щели 2 может повлиять на электроны, проходящие
через щель 1? Единственный способ объяснения этих парадоксальных результатов состоит в создании математического
формализма, совместимого с полученными результатами и
Электроны (свет)
двойную щель падал моноэнергетический пучок электронов, то распределение
Э
Рисунок 114
всегда правильно предсказывающего наблюдаемые интерференционные явления. В соответствии с математическим формализмом каждой частице ставят в
соответствие некоторую комплексную пси-функцию Ψ(x, y, z, t). Формально
функция Ψ обладает свойствами классических волн, и поэтому ее называют
часто волновой функцией: 1) вероятность обнаружить частицу в произвольный
момент времени в любой точке x, y, z пропорциональна Ψ2; 2) если событие
может произойти несколькими взаимоисключающими способами (как скажем,
при прохождении света через одну из щелей 1 и 2), то вероятность этого события равна сумме вероятностей каждого из способов, т.е. Ψ = Ψ1 + Ψ2. На экране
обе волновые функции Ψ1 и Ψ2 перекрываются и дают классическую интерференционную картину от 2-х щелей, причем направление на n-й максимум определяется выражением sinϑn =
nλ
, где d − расстояние между щелями. Этот форd
мализм составляет основу квантовой механики.
277
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Волновая функция Ψ не является непосредственно наблюдаемой величиной, и в этом смысле ничто не совершает колебательные движения. Проблемы
квантовой механики решаются с математической точки зрения аналогично задаче о волнах в классической механике. В квантовой механике волновая функция является основным носителем информации о корпускулярных и волновых
свойствах микрочастиц. Классические волны и волны, отвечающие частицам
подчиняются математическим уравнениям одного и того же типа. Но в классическом случае волна непосредственно наблюдается, а Ψ-функция нет.
Контрольные вопросы
1 Какое физическое явление называют внешним фотоэффектом?
2 Что такое задерживающее напряжение?
3 какие законы фотоэффекта противоречат представлениям классической
физики?
4 Что такое красная граница фотоэффекта? От чего она зависит?
5 Чем отличаются понятия кванта (фотона) в представлениях Планка и
Эйнштейна?
6 Почему фотоэлектрические измерения весьма чувствительны к природе
и состоянию поверхности фотокатода?
7 Как при заданной частоте света изменится фототок насыщения с
уменьшением освещённости катода?
8 Как из опытов по фотоэффекту определяется постоянная Планка?
9 При замене одного металла другим длина волны, соответствующая
красной границе, уменьшается. Что можно сказать о работе выхода этих металлов?
10 Может ли золотая пластинка служить фотосопротивлением?
11 Как с помощью уравнения Эйнштейна объяснить I и II законы фотоэффекта?
278
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12 Нарисуйте и объясните вольтамперные характеристики, соответствующие двум различным освещённостям катода при заданной частоте света и
двум различным частотам при заданной освещённости.
13 Чему равно отношение давлений света на зеркальную и зачернённую
поверхности?
14 В чём отличие характера взаимодействия фотона и электрона при фотоэффекте и эффекте Комптона?
15 Как объяснить происхождение коротковолновой границы спектра тормозного рентгеновского излучения?
16 Почему тормозное рентгеновское излучение имеет сплошной спектр, а
характеристическое – линейчатый?
17 В чём заключается единство корпускулярных и волновых свойств
электромагнитного излучения?
Тесты
1. Длина волны света, соответствующая красной границе фотоэффекта,
для некоторого металла λ0 = 275 нм. Найти минимальную энергию фотона, вызывающего фотоэффект.
А) Е = 7,2·10-19 Дж В) Е = 9,3·10-17 Дж С) Е = 9,5·10-19 Дж Д) Е = 6,4·10-19 Дж
2. Найти напряжение, при котором должна работать рентгеновская трубка, чтобы минимальная волна излучения была равна 1 нм.
А) U = 1,24 кВ
В) U = 2,24 кВ
С) U = 3,24 кВ
Д) U = 4,34 кВ
3. Во сколько раз импульс фотона с частотой 1⋅1016 Гц больше импульса
фотона с длиной волны 8,1⋅10−5 см? скорость света 3⋅105 км/с.
279
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А) 9
В) 27
С) 81
Д) 160
Е) 243
4. При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом
частотой ν1 = 8,69⋅1014 Гц и ν2 = 5,56⋅1014 Гц было обнаружено, что соответствующие максимальные энергии фотоэлектронов отличаются друг от друга в 2
раза. Найдите работу выхода этого металла. Постоянная Планка равна h =
6,62⋅10−34 Дж⋅с. Элементарный заряд е = 1,6⋅10−19 Кл.
А) 0,9 эВ
В) 1 эВ
С) 1,1 эВ
Д) 1,2 эВ
Е) 1,3 эВ
5. Фотокатод облучают светом, у которого длина волны λ = 300 нм. Красная граница фотоэффекта для вещества фотокатода λгр = 450 нм. Какое напряжение U нужно приложить между анодом и катодом, чтобы фототок прекратился? Постоянная Планка h = 6,62⋅10−34 Дж⋅с, скорость света с = 3⋅108 м/с, элементарный заряд е = 1,6⋅10−19 Кл.
А) 1,18 В
В) 1,28 В
С) 1,38 В
Д) 1,48 В
Е) 1,58 В
6. Фотон с энергией 0,3 МэВ рассеялся под углом ϑ = 1800 на свободном
электроне. Определите долю энергии фотона, приходящуюся на рассеянный
фотон. Энергия покоя электрона равна 0,51 МэВ.
А) 0,43
В) 0,44
С) 0,45
Д) 0,46
7. Фотона с энергией 0,51 МэВ рассеялся под углом ϑ = 1800 на первоначально покоившемся электроне. Определите кинетическую энергию электрона
отдачи.
А) 0,17 МэВ
В) 0,34 МэВ
С) 0,51 МэВ
280
Д) 0,68 МэВ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. На поверхность площадью 100 см2 ежеминутно падает 63 Дж световой
энергии. Найти величину светового давления в случае, когда поверхность полностью поглощает все лучи.
А) 3,5⋅10-7 Па
В) 7⋅10-7 Па
С) 10,5⋅10-7 Па
Д) 14⋅10-7 Па
9. На идеально отражающую поверхность площадью 5 см2 за t = 3 мин
нормально падает монохроматический свет энергией 9 Дж. Определить световое давление, оказываемое на поверхность.
А) 667 нПа
В) 668 нПа
С) 669 нПа
Д) 670 нПа
10. На абсолютно чёрную поверхность площадью 5 см2 за t = 3 мин нормально падает монохроматический свет энергией 9 Дж. Определить световое
давление, оказываемое на поверхность.
А) 330 нПа
В) 331 нПа
С) 332 нПа
Д) 333 нПа
11. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном
был рассеян на угол ϑ = 900. Энергия рассеянного фотона 0,4 МэВ. Определить
энергию фотона до рассеяния. Энергия покоя электрона 0,51 МэВ.
А) 1,85 МэВ
В) 1,66 МэВ
С) 1,87 МэВ
Д) 1,88 МэВ
12. Какая доля энергии фотона при эффекте Комптона приходиться на
электрон отдачи, если рассеяние фотона происходит на угол 1800. Энергия фотона до рассеяния 0,17 МэВ. Энергия покоя электрона 0,51 МэВ.
А) 0,3
В) 0,4
С) 0,5
281
Д) 0,6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. Если частицы имеют одинаковую длину волны де Бройля, то наименьшей скоростью обладает …
А) α-частица
В) протон
С) электрон
Д) нейтрон
14. Если протон и нейтрон двигаются с одинаковыми скоростями, то отношения их длин волн де Бройля λp / λn равно …
А) 2
В) 4
С) 0,5
Д) 1
Упражнения для самоконтроля
6.1. Определить работу выхода А электронов из вольфрама, если красная
граница фотоэффекта для него λгр = 275 нм. [4,52 эВ]
6.2. Определить постоянную Планка, если известно, что для прекращения
фотоэффекта, вызванного облучением некоторого металла светом с частотой
ν1 = 2,2⋅1015 с-1, необходимо приложить задерживающее напряжение Uз1 = 6,6 В,
а светом с частотой ν2 = 4,6⋅1015 с-1 − задерживающее напряжение Uз2 = 16,5 В.
[6,6⋅10-34 Дж⋅с]
6.3. Определить энергию фотона, при которой его масса равна массе покоя электрона. [0,51 МэВ]
6.4. Давление монохроматического света с длиной волны 600 нм на зачернённую поверхность, расположенную перпендикулярно падающим лучам,
равно 0,1 мкПа. Определить число фотонов, падающих на поверхность площадью 10 см2 за 1 с. [9⋅1016]
6.5. Фотон с длиной волны 100 пм рассеялся под углом 1800 на свободном
электроне. Определить кинетическую энергию электрона отдачи. [580 эВ]
6.6. Угол рассеяния ϑ фотона равен 900. Угол отдачи ϕ электрона равен
300. Определите энергию Е падающего фотона. [0,37 МэВ]
282
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.7. Рентгеновская трубка работает под напряжением U = 1 МВ. Определите наименьшую длину волны λmin рентгеновского излучения. [1,24 пм]
6.8. Определите длину волны λ ультрафиолетового излучения, падающего
на поверхность некоторого металла, при максимальной скорости фотоэлектронов, равной 107 м/с. Работой выхода электронов из металла пренебрегайте.
[4,36 нм]
6.9. Определите поверхностную плотность I потока энергии излучения,
падающего на зеркальную поверхность, если световое давление Р при перпендикулярном падении лучей равно 10 мкПа. [1,5 кВт/м2]
6.10. Поток энергии Ф, излучаемый электрической лампой, равен 600 Вт.
На расстоянии ℓ = 1 м от лампы перпендикулярно падающим лучам расположено плоское зеркальце диаметром d = 2 см. Принимая, что излучение лампы
одинаково во всех направлениях и что зеркальце полностью отражает падающий на него свет, определите силу F светового давления на зеркальце. [0,1 нН]
7 Контрольная работа
§ 7.45 Общие методические указания к решению задач и выполнению
контрольных работ
1. За время изучения курса физики студент должен представить контрольные работы после изучения каждого раздела дисциплины (всего 6 разделов).
2. Номера задач, которые студент должен включить в свою контрольную
работу, определяются по таблицам вариантов. Номер варианта определяется по
последней цифре номера зачетной книжки. Критерии оценки контрольной работы следующие:
“отлично”
- 9-10 правильных ответов;
“хорошо”
- 8-9 правильных ответов;
“удовлетворительно”
- 6-7 правильных ответа;
“неудовлетворительно” - менее 6 правильных ответов.
283
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При получении положительной оценки контрольная работа считается засчитанной.
Таблица вариантов
Вариант Номера задач
1
401
411
421
431
441
451
461
471
481
491
2
402
412
422
432
442
452
462
472
482
492
3
403
413
423
433
443
453
463
473
483
493
4
404
414
424
434
444
454
464
474
484
494
5
405
415
425
435
445
455
465
475
485
495
6
406
416
426
436
446
456
466
476
486
496
7
407
417
427
437
447
457
467
477
487
497
8
408
418
428
438
448
458
468
478
488
498
9
409
419
429
439
449
459
469
479
489
499
0
410
420
430
440
450
460
470
480
490
500
3. Контрольные работы нужно выполнять письменно на листах формата
А4, либо в электронном виде (высылается на факультет дистанционных образовательных технологий). Титульный лист включает в себя следующие пункты,
расположенные по высоте страницы в следующей последовательности (сверху
вниз):
- Министерство образования и науки Российской Федерации;
- Оренбургский государственный университет;
- Контрольная работа по дисциплине «Физика»;
- Фамилию и инициалы студента, группа, номер зачетной книжки;
- Номер варианта.
4. Условия задач в контрольной работе надо переписать полностью без сокращений. Для замечаний преподавателя на страницах оставлять поля. В конце
контрольной работы необходимо оставить 1-2 чистые страницы, предназначенные для замечаний рецензента.
284
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. В конце контрольной работы указать, каким учебником или учебным
пособием студент пользовался при изучении физики (название учебника, автор,
год издания). Это делается для того, чтобы рецензент в случае необходимости
мог указать, что следует студенту изучить для завершения контрольной работы.
При выполнении контрольных заданий студентам можно рекомендовать
данное пособие, литературу, указанную в конце пособия, справочные материалы из приложений к данному пособию.
6. Если контрольная работа при рецензировании не зачтена, студент обязан
представить ее на повторную рецензию, включив в нее те задачи, решения которых оказались неверными. Повторную работу необходимо представить вместе с не зачтенной.
7. Решения задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими
пояснениями; в тех случаях, когда это возможно, дать чертеж, выполненный с
помощью чертежных принадлежностей.
8. Решать задачу надо в общем виде, т.е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи. При таком способе
решения не производятся вычисления промежуточных величин.
9. После получения расчетной формулы для проверки правильности ее
следует подставить в правую часть формулы вместо символов величин обозначения единиц этих величин, произвести с ними необходимые действия и убедиться в том, что полученная при этом единица соответствует искомой величине. Если такого соответствия нет, то это означает, что задача решена неверно.
10. Числовые значения величин при подстановке их в расчетную формулу
следует выражать только в единицах СИ. В виде исключения допускается выражать в любых, но одинаковых единицах числовые значения однородных величин, стоящих в числителе и знаменателе дроби и имеющих одинаковые степени.
11. При подстановке в расчетную формулу, а также при записи ответа числовые значения величин следует записывать как произведение десятичной
дроби с одной значащей цифрой перед запятой на соответствующую степень
285
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
десяти (т.е. в нормированном виде). Например, вместо 3520 надо записать
3,52⋅103, вместо 0,00129 записать 1,29⋅10-3 и т. п.
12. Вычисления по расчетной формуле надо проводить с соблюдением
правил приближенных вычислений. Как правило, окончательный ответ следует
записывать с тремя значащими цифрами. Это относится и к случаю, когда результат получен с применением калькулятора.
1. За время изучения курса физики студент должен представить контрольную работу
после изучения дисциплины.
§ 7.46 Контрольные задачи
401. На высоте h над поверхностью воды расположен точечный источник
света. Где будет находиться изображение этого источника, даваемое плоским
зеркальным дном сосуда, если глубина сосуда с водой d?
402. На дне сосуда, наполненного водой до высоты h, находится точечный
источник света. На поверхности воды плавает круглый диск так, что его центр
находится над источником. При каком минимальном радиусе диска лучи от источника не будут выходить из воды?
403. На стеклянный клин с преломляющим углом α = 20 перпендикулярно
к грани клина падает луч белого света. На какой угол β разойдутся после выхода из клина красный и фиолетовый лучи вследствие дисперсии? Показатель
преломления стекла для красных лучей равен nкр = 1,74, а для фиолетовых лучей nф = 1,80. Считайте для малых углов sinγ = γ.
404. Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную пластину толщиной d = 6 см. Угол падения α = 600. Найти величину х бокового смещения
луча, прошедшего через эту пластину. Показатель преломления стекла n = 1,5.
405. Два плоских зеркала образуют двугранный угол. На одно из зеркал
под некоторым углом падает световой луч, лежащий в плоскости, перпендикулярной к ребру двугранного угла. После однократного отражения от каждого из
286
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зеркал этот луч пересекает падающий луч под углом α. Определите величину
двугранного угла.
406. На плоскопараллельную стеклянную пластинку падает луч света под
углом 600. Показатель преломления стекла 1,73. Часть света отражается, а
часть, преломляясь, проходит в стекло, отражается от нижней поверхности пластинки и, преломляясь вторично, выходит обратно в воздух параллельно первому отраженному лучу. Расстояние между этими лучами 5,8 мм. Определите
толщину пластинки.
407. На шар радиусом R, изготовленный из материала с показателем преломления n2, меньшим, чем показатель преломления окружающей среды n1, падает пучок параллельных лучей. Определите радиус светового пучка, который
может проникнуть в шар.
408. Показатель преломления призмы равен 1,414, каждый
а
300
угол при основании 300 (см. рисунок). Два луча а и в входят в
призму перпендикулярно к ее основанию. Каков угол между лучами, когда они выходят из призмы?
300
в
409. Луч света падает на боковую поверхность равнобедренной призмы, и после преломления идет параллельно основанию призмы,
причем при выходе из нее он отклоняется на угол δ от первоначального направления. Вычислите показатель преломления призмы, если угол при ее вершине равен α.
410. Луч света входит в стеклянную призму под углом 2α и выходит под
углом β = α. Преломляющий угол призмы равен α/2. Определите угол отклонения луча от его первоначального направления.
411. На равнобедренную стеклянную призму с преломляющим углом α =
600 падает луч света так, что внутри призмы он идет параллельно ее основанию.
В результате прохождения призмы луч света отклоняется на угол β = 600. Чему
равен показатель преломления стекла, из которого изготовлена призма?
287
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
412. На преломляющую грань трёхгранной призмы с показателем преломления 1,6 падает луч света под углом 500. Преломляющий угол призмы равен 600. Под каким углом преломления луч выйдет из призмы?
413. Луч света падает на границу раздела двух сред. Показатель преломления первой среды n1 = 1,33, второй среды n2 = 2. Определите угол падения,
если отраженный и преломленный лучи составляют угол γ = 1200.
414. Для наблюдения за морскими животными в днище «Наутилуса» был
сделан плоский иллюминатор, диаметр которого d = 1 м много больше толщины стекла. Определите площадь S обзора дна из этого иллюминатора, если расстояние от него до дна Н = 5 м.
415. На дне сосуда, заполненного водой, лежит плоское зеркало. Человек,
наклонившийся над сосудом, видит изображение своего лица в зеркале на расстоянии 25 см, если расстояние от лица до поверхности воды равно 5 см. Найти
глубину сосуда. Показатель преломления воды 4/3.
416. Луч света распространяется в среде с показателем преломления п1 на
расстоянии L от оси проходящей через центр прозрачного шара радиусом R.
Шар изготовлен из вещества с показателем преломления п2 < п1. Определите
угол отклонения луча от первоначального направления.
417. При каком значении угла падения светового луча на границу раздела
двух сред (с показателями преломления n1 и n2) отражённый и преломлённый
лучи образуют угол π/2?
418. Точечный источник света движется прямолинейно и равномерно со
скоростью |v|=20 м/с. Определите величину скорости движения изображения
источника в плоском зеркале относительно самого источника, если угол между
вектором v и нормалью к зеркалу α = 600.
419. На какой глубине под водой находится водолаз, если он видит отражёнными от поверхности воды те части горизонтального дна, которые расположены от него на расстоянии 15 м и больше? Рост водолаза 1,5 м. Показатель
преломления воды 1,33.
288
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
420. Свет, имеющий в воздухе длину волны 665 нм, в воде имеет длину
волны 500 нм. Означает ли это, что цветовое восприятие глазом этого света в
воздухе и в воде будет разным?
421. На дифракционную решетку, имеющую период 1,2⋅10-3 см, нормально падает монохроматический свет. Оценить длину волны, если угол между
максимумами второго и третьего порядка 20 30′.
422. Дифракционная решетка содержит 200 штрихов на 1 мм. На решетку
падает нормально монохроматический свет с длиной волны 575 нм. Определить
наибольший порядок спектра и общее число главных максимумов в дифракционной картине.
423. На дифракционную решетку падает нормально пучок белого света.
Спектры второго и третьего порядка частично накладываются друг на друга. На
какую длину волны в спектре третьего порядка накладывается середина желтой
части спектра второго порядка, соответствующая длине волны 0,575 мкм? Какова постоянная дифракционной решетки, если угол описываемого «наложения» равен 300?
424. Для измерения длины волны применена дифракционная решетка,
имеющая 100 штрихов на 1 мм. Первое дифракционное изображение на экране
получено на расстоянии 12 см от центрального максимума. Расстояние от дифракционной решетки до экрана 2 м. Определить длину световой волны. Определить угол между двумя спектрами первого порядка.
425. Определить длину волны монохроматического света, падающего
нормально на дифракционную решетку с периодом 2,2 мкм, если угол между
направлениями на первый и второй максимумы равен 150.
426. Постоянная дифракционной решетки в 3 раза больше длины световой
волны монохроматического света, нормально падающего на ее поверхность.
Определить угол между двумя вторыми симметричными дифракционными
максимумами.
427. Если тонкую мыльную пленку расположить вертикально, то интерференционные цветные горизонтальные полосы будут с течением времени пе289
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ремещаться вниз, одновременно несколько изменяя свою ширину. Через некоторое время в верхней части пленки возникнет быстро увеличивающееся черное пятно, и вскоре после этого пленка разорвется. Указать причины, вызывающие движение полос, и объяснить происхождение черного пятна.
428. В опыте Юнга расстояние между щелями 0,06 мм, а расстояние от
двойной щели до экрана 2 м. Определить длину волны падающего света, если
расстояние между двумя светлыми интерференционными полосами на экране
оказалось равным 15 мм.
429. В оптических приборах для уменьшения потерь света на отражение
от поверхностей линз широко применяется метод «просветления оптики». В
основе этого метода лежит следующее явление: если поверхность стекла покрыть тонкой прозрачной плёнкой, показатель преломления которой будет
меньше показателя преломления стекла и толщина которой будет равна четверти длины волны падающего света, то интенсивность света, отражённого от такой пластинки, будет равна нулю, и весь свет будет проходить сквозь пластинку.
Рассмотреть взаимодействие световых пучков, отражённых от верхней и
нижней поверхностей такой плёнки, и объяснить, почему при нанесении плёнки
поверхность стекла перестаёт отражать свет. Почему толщина плёнки должна
быть равна четверти длины волны падающего света? Почему показатель преломления плёнки должен быть меньше показателя преломления стекла?
430. Объясните причины появления радужных полос на тонких пленках
нефти на поверхности воды.
431. Расстояние от щелей до экрана в опыте Юнга равно L = 1 м. Определить расстояние между щелями, если на отрезке длиной ℓ = 1 см укладывается
N = 10 темных интерференционных полос. Длина волны λ = 0,7 мкм.
432. На стеклянную пластину нанесён тонкий слой прозрачного вещества
с показателем преломления n = 1,3. Пластинка освещена параллельным пучком
монохроматического света с длиной волны λ = 640 нм, падающим на пластинку
290
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нормально. Какую минимально толщину dmin должен иметь слой, чтобы отражённый пучок имел наименьшую яркость?
433. На мыльную пленку с показателем преломления n = 1,33 падает по
нормали монохроматический свет с длиной волны λ = 0,6 мкм. Отражённый
свет в результате интерференции имеет наибольшую яркость. Какова наименьшая возможная толщина dmin пленки?
434. От двух когерентных источников S1 и S2 (λ = 0,8 мкм) лучи попадают
на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути
одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (n = 1,33),
интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьше толщине dmin плёнки это возможно?
435. Половина дифракционной решётки перекрывается с одного края непрозрачной преградой, в результате чего число штрихов уменьшается в два
раза. Как изменятся при этом:
а) положения дифракционных максимумов,
б) высота центрального максимума,
в) ширина максимумов,
г) суммарная площадь максимумов?
436. На грань кристалла каменной соли падает параллельный пучок рентгеновского излучения. Расстояние между атомными плоскостями равно d =
280 пм. Под углом ϑ = 650 к атомной плоскости наблюдается дифракционный
максимум первого порядка. Определить длину волны λ рентгеновского излучения.
437. На дифракционную решётку падает нормально монохроматический
свет (λ = 410 нм). Угол между направлениями на максимумы первого и второго
порядков равен Δϕ = 2021′. Определить число n штрихов на 1 мм дифракционной решётки.
438. На дифракционную решётку, содержащую n = 600 штрихов на миллиметр, падает нормально белый свет. Спектр проецируется помещённой вблизи решётки линзой на экран. Определить длину ℓ спектра первого порядка на
291
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
экране, если расстояние от линзы до экрана L = l,2 м. Границы видимого спектра: λкр с= 780 нм, λф = 400 нм.
439. Какое наименьшее число Nmin штрихов должна содержать дифракционная решётка, чтобы в спектре второго порядка можно было видеть раздельно
две жёлтые линии натрия с длинами волн λ1 = 589,0 нм и λ2 = 589,6 нм? Какова
длина ℓ такой решетки, если постоянная решетки d = 5 мкм?
440. На тонкую глицериновую плёнку толщиной d = 1,5 мкм нормально к
ее поверхности падает белый свет. Определить длины волн λ лучей видимого
участка спектра (0,4 мкм ≤ λ ≤ 0,8 мкм), которые будут ослаблены в результате
интерференции.
441. Пластинку кварца толщиной d = 2 мм поместили между параллельными николями, в результате чего плоскость поляризации монохроматического
света повернулась на угол ϕ = 530. Какой наименьшей толщины dmin следует
взять пластинку, чтобы поле зрения поляриметра стало совершенно тёмным?
Постоянная вращения кварца равна α = 27 град/мм.
442. Кварцевую пластинку поместили между скрещенными николями.
При какой наименьшей толщине dmin кварцевой пластины поле зрения между
николями будет максимально просветлено? Постоянная вращения кварца равна
α = 27 град/мм.
443. Угол падения луча на поверхность стекла равен α = 600. При этом отражённый пучок света оказался максимально поляризованным. Определить
угол β преломления луча.
444. Пучок света падает на плоскопараллельную стеклянную пластину,
нижняя поверхность которой находится в воде. При каком угле падения α свет,
отражённый от границы стекло − вода, будет максимально поляризован? Показатели преломления стекла nст = 2, воды − nв = 4/3.
445. Угол преломления луча в жидкости β = 350. Определить показатель
преломления n жидкости, если известно, что отражённый пучок света максимально поляризован.
292
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
446. Пучок естественного света падает на полированную поверхность
стеклянной пластины, погружённой в жидкость. Отражённый от пластины пучок света образует угол ϕ = 970 с падающим пучком. Определить показатель
преломления n1 жидкости, если отражённый свет максимально поляризован.
Показатель преломления стекла n2 = 2.
447. Луч естественного света падает на грань кристалла. Угол преломления луча 330, отражённый луч максимально поляризован. Определить скорость
распространения света в кристалле.
448. Параллельный пучок света переходит из глицерина в стекло так, что
пучок, отражённый от границы раздела этих сред, оказывается максимально
поляризованным. Определить угол γ между падающим и преломлённым пучками. Показатели преломления стекла nст = 2, глицерина − nг = 1,47.
449. При прохождении света через трубку длиной ℓ1 = 20 см, содержащую
раствор сахара концентрацией С1 = 10 %, плоскость поляризации света повернулась на угол ϕ1 = 13,30. В другом растворе сахара, налитом в трубку длиной
ℓ2 = 15 см, плоскость поляризации повернулась на угол ϕ2 = 5,20. Определить
концентрацию С2 второго раствора.
450. Пучок света, идущий в стеклянном сосуде с глицерином, отражается
от дна сосуда. При каком угле α падения отражённый пучок света максимально
поляризован? Показатели преломления стекла nст = 2, глицерина − nг = 1,47.
451. Пучок света переходит из жидкости в стекло. Угол падения пучка равен α = 600, угол преломления β = 500. При каком угле падения α0 пучок света,
отражённый от границы раздела этих сред, будет максимально поляризован?
452. Угол между плоскостями пропускания поляроидов равен ϕ = 500. Естественный свет, проходя через такую систему, ослабляется в n = 8 раз. Пренебрегая потерей света при отражении, определить коэффициент поглощения ρ
света в поляроидах.
453. Пучок света последовательно проходит через два николя, плоскости
пропускания которых образуют между собой угол ϕ = 400. Принимая, что ко293
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
эффициент поглощения каждого николя равен ρ = 0,15, найти, во сколько раз
пучок света, выходящий из второго николя, ослаблен по сравнению с пучком,
падающим на первый николь.
454. Два николя N1 и N2 расположены так, что угол между их плоскостями пропускания составляет α = 600. Определить, во сколько раз уменьшится
интенсивность I0 естественного света: 1) при прохождении через один николь
N1; 2) при прохождении через оба николя. Коэффициент поглощения света в
николе ρ = 0,05. Потери на отражение света не учитывать.
455. Плоскополяризованный монохроматический пучок света падает на
поляроид и полностью им гасится. Когда на пути пучка поместили кварцевую
пластину, интенсивность I пучка света после поляроида стала равна половине
интенсивности пучка, падающего на поляроид. Определить минимальную толщину кварцевой пластины. Поглощением и отражением света поляроидом пренебречь, постоянную вращения кварца принять равной α = 48,9 град/мм.
456. Определите дисперсию вещества, если известно, что показатель преломления прозрачных веществ для небольших интервалов длин волн зависит от
длины волны следующим образом: n =A+
В
.
λ2
457. Определите групповую скорость света в сероуглероде. Показатель
преломления сероуглерода для длины волны λ = 0,527 мкм составляет n = 1,64,
и
dn
= − 0,218 мкм-1.
dλ
458. Показатель преломления воды при λ1 = 441 нм равен n1 = 1,341, а при
λ2 = 589 нм равен n2 = 1,334. Определите средние значения фазовой и групповой скоростей света в воде для синей области спектра (средней между λ1 и λ2).
459. Прозрачная пластинка пропускает половину падающего на нее светового потока. Определите коэффициент поглощения, если толщина пластинки
ℓ = 4,2 см. Рассеянием пренебречь. Считайте, что 10 % падающего потока отражается от поверхности пластинки.
294
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
460. Толщина стекла в теплице 2 мм. Коэффициент поглощения стекла
для инфракрасной области спектра 0,62 см-1. Какая доля энергии достигает растений?
461. Пластинка толщиной ℓ1 = 3,8 мм пропускает η1 = 0,84 падающего на
нее светового потока. Вторая пластинка из того же вещества толщиной ℓ2 =
9,0 мм пропускает η2 = 0,70 того же светового потока. Найдите коэффициент
поглощения этого вещества. Свет падает нормально.
462. Коэффициент поглощения воды для излучения с длиной волны
0,77 мкм равен 0,0024 мм-1. На какой глубине монохроматический пучок лучей
будет ослаблен в 2,7 раза?
463. При прохождении света через слой раствора поглощается 1/3 первоначальной световой энергии. Определите коэффициент пропускания.
464. Во сколько раз интенсивность молекулярного рассеяния синего света
(λ1 = 460 нм) превосходит интенсивность рассеяния красного света (λ2 =
650 нм)?
465. Определите фазовую и групповую скорости, если известно, что показатель преломления прозрачных веществ для небольших интервалов длин волн
зависит от длины волны следующим образом: n =A+
В
.
λ2
466. При нагревании абсолютно черного тела, длина волны, на которую
приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, изменилась от 0,68 мкм до 0,5 мкм. Во сколько раз увеличилась энергетическая
светимость тела?
467. Вычислить энергию, излучаемую за время t = 1 мин с площади S =
1 см2 абсолютно черного тела, температура которого Т=1 000 К.
468. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре
излучения черного тела, λmax = 0,58 мкм. Определить энергетическую светимость R поверхности тела.
469. Длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения
абсолютно черного тела, λmax = 0,6 мкм. Определить температуру Т тела.
295
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
470. Вычислить истинную температуру Т вольфрамовой раскаленной ленты, если радиационный пирометр показывает температуру Трад = 2 500 К. Принять, что поглощательная способность для вольфрама не зависит от частоты
излучения и равна аТ = 0,35.
471. Чёрное тело имеет температуру Т1 = 500 К. Какова будет температура
Т2 тела, если в результате нагревания поток излучения увеличится в n = 5 раз?
472. Температура абсолютно чёрного тела Т = 2 000 К. Определить длину
волны λmax, на которую приходится максимум энергии излучения, и спектральную плотность энергетической светимости (rλ,T)max для этой длины волны.
473. Определить температуру Т и энергетическую светимость R абсолютно чёрного тела, если максимум энергии излучения приходится на длину волны
λmax = 600 нм.
474. Из смотрового окошечка печи излучается поток Ф = 4 кДж/мин. Определить температуру Т печи, если площадь окошечка S = 8 см2.
475. Поток излучения абсолютно черного тела Ф = 10 кВт. Максимум
энергии излучения приходится на длину волны λmax = 0,8 мкм. Определить площадь S излучающей поверхности.
476. Как и во сколько раз изменится поток излучения абсолютно черного
тела, если максимум энергии излучения переместится с красной границы видимого спектра (λm1= 780 нм) на фиолетовую (λm2= 390 нм)?
477. Определить поглощательную способность аТ серого тела, для которого температура, измеренная радиационным пирометром, Tрад = 1 400 К, тогда
как истинная температура тела равна Т = 3 200 К.
478. Муфельная печь, потребляющая мощность Р = 1 кВт, имеет отверстие площадью S = 100 см2. Определить долю η мощности, рассеиваемой стенками печи, если температура ее внутренней поверхности равна 1 000 К.
479. Средняя энергетическая светимость поверхности Земли равна R =
0,54 Дж/(см2∙мин). Какова должна быть температура Т поверхности Земли, если
условно считать, что она излучает как серое тело с коэффициентом черноты
аТ = 0,25?
296
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
480. Определить максимальную спектральную плотность (rλ.T)max энергетической светимости, рассчитанную на 1 нм в спектре излучения абсолютно
чёрного тела. Температура тела Т = 1 К.
481. В явлении фотоэффекта электроны, вырываемые с поверхности металла излучением частотой 2⋅1015 Гц, полностью задерживаются тормозящим
полем при разности потенциалов 7 В, а при частоте 4⋅1015 Гц – при разности потенциалов 15 В. По этим данным вычислите постоянную Планка.
482. Красная граница фотоэффекта для калия соответствует длине волны
0,577 мкм. При какой разности потенциалов между электродами прекратится
эмиссия электронов с поверхности калия, если катод освещать излучением с
длиной волны 0,4 мкм?
483. Определите красную границу фотоэффекта для цезия, если при освещении его излучением с длиной волны 0,35 мкм задерживающий потенциал
равен 1,47 В.
484. Какая часть энергии фотона, вызывающего фотоэффект, расходуется
на работу выхода, если наибольшая скорость электронов, вырванных с поверхности цинка, составляет 106 м/с? Красная граница фотоэффекта для цинка соответствует длине волны 290 нм.
485. Масса фотона 1,5⋅10-32 г. Определить период колебаний электромагнитной волны, соответствующей данному излучению и ее длину волны в воде.
486. Для измерения постоянной Планка катод вакуумного фотоэлемента
освещается монохроматическим светом. При длине волны излучения λ = 620
нм ток фотоэлектронов прекращается, если в цепь между катодом и анодом
включить задерживающий потенциал Uз, превышающий определенное значение. При увеличении длины волны на 25 % задерживающий потенциал оказывается на 0,4 В меньше. Определите по этим данным постоянную Планка.
487. Катод фотоэлемента освещается монохроматическим светом с длиной волны λ. При отрицательном потенциале на аноде U1 = -1,6 В ток в цепи
прекращается. При изменении длины волны света в 1,5 раза для прекращения
297
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тока требуется подать на анод отрицательный потенциал U2 = -1,8 В. Определите работу выхода материала катода.
488. Плоский алюминиевый электрод освещается ультрафиолетовым светом с длиной волны λ = 83 нм. На какое максимальное расстояние L от поверхности электрода может удалиться фотоэлектрон, если вне электрода имеется
задерживающее электрическое поле напряженности Е = 7,5 В/см? Красная граница фотоэффекта для алюминия соответствует длине волны λ0 = 332 нм.
489. Красный луч лазера, работающего на длине волны λ = 630 нм, имеет
вид конуса с углом при вершине α = 10-4 рад (угол расходимости пучка). Оптическая мощность излучения Р0 = 3 мВт. На каком максимальном расстоянии ℓ
наблюдатель сможет увидеть свет лазера, если глаз надежно регистрирует n =
100 фотонов в секунду? Диаметр зрачка dзр = 0,5 см. Поглощение света не учитывать.
490. Давление света, производимое на зеркальную поверхность, Р =
5 мПа. Определить концентрацию n фотонов вблизи поверхности, если длина
волны света, падающего на поверхность, λ = 0,5 мкм.
491. Электрон, ускоренный электрическим полем, приобрел скорость, при
которой его масса стала равной удвоенной массе покоя. Чему равна разность
потенциалов, пройденная электроном?
492. Протон начинает двигаться в электрическом поле из состояния покоя
и приобретает скорость v = 2,8⋅108 м/с. Найти ускоряющую разность потенциалов, учитывая зависимость массы от скорости.
493. Определить угол ϑ рассеяния фотона, испытавшего соударение со
свободным электроном, если изменение длины волны при рассеянии Δλ =
3,63 пм.
494. Фотон с энергией Е1, равной энергии покоя электрона (mос2), рассеялся на свободном электроне на угол ϑ = 1200. Определить энергию Е2 рассеянного фотона и кинетическую энергию Т электрона отдачи (в единицах mос2).
298
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
495. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном
был рассеян на угол ϑ = 900. Энергия рассеянного фотона Е2 = 0,4 МэВ. Определить энергию фотона Е1 до рассеяния.
496. Рентгеновское излучение (λ = 1 нм) рассеивается электронами, которые можно считать практически свободными. Определить максимальную длину
волны λmax рентгеновского излучения в рассеянном пучке.
497. Определить максимальное изменение длины волны (Δλ)max при комптоновском рассеянии света на свободных электронах и свободных протонах.
498. Фотон с длиной волны λ1 = 15 пм рассеялся на свободном электроне.
Длина волны рассеянного фотона λ2 = 16 пм. Определить угол ϑ рассеяния.
499. Фотон с энергией Е1 = 0,51 МэВ был рассеян при эффекте Комптона
на свободном электроне на угол ϑ = 1800. Определить кинетическую энергию
электрона отдачи.
500. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов U = 40 кВ,
падает на заземленную металлическую пластинку нормально к ее поверхности.
Сила тока пучка I = 100 мА. Определите силу, с которой пучок действует на
пластинку, если все электроны поглощаются. Отношение заряда к массе электрона е/m = 1,76⋅1011 Кл/кг.
8 Экзамены
§ 8.47 Общие положения
За время изучения курса физики студент должен представить экзаменационные тестовые задания после изучения каждого раздела дисциплины (всего
5 разделов).
Номера тестовых заданий, которые студент должен включить в свою экзаменационную работу, определяются по таблицам вариантов. Номер варианта
определяется по последней цифре номера зачетной книжки. Каждый вариант
299
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
включает в себя 20 (двадцать) тестовых заданий, номера которых определяются
номером варианта.
Таблица вариантов
Вариант
1
401, 411,
405
415
2
402, 412,
406
415
3
403, 413,
407
416
4
404, 414,
408
417
5
405, 415,
409
418
6
406, 416,
410
419
7
407, 417,
411
420
8
408, 418,
412
421
9
409, 419,
413
422
0
410, 420,
414
423
421,
425
422,
424
423,
425
424,
426
425,
427
426,
428
427,
429
428,
430
428,
401
430,
402
431,
437
432,
438
433,
439
434,
440
435,
441
436,
442
437,
443
438,
444
439,
445
440,
446
Номера задач
441, 451,
447
457
442, 452,
448
458
443, 453,
449
459
444, 454,
450
460
445, 455,
451
431
446, 456,
452
432
447, 457,
453
433
448, 458,
454
434
449, 459,
455
435
450, 460,
456
436
461,
469
462,
470
463,
461
464,
462
465,
463
466,
464
467,
465
468,
466
469,
467
470,
468
471,
483
472,
484
473,
485
474,
486
475,
487
476,
488
477,
489
478,
490
479,
491
480,
492
481,
493
482,
494
483,
495
484,
496
485,
497
486,
498
487,
499
488,
500
489,
471
490,
472
491,
473
492,
474
493,
475
494,
476
495,
477
496,
478
497,
479
498,
480
499,
481
500,
482
Оформление экзаменационного теста производится либо в электронном
виде, либо письменно. При оформлении записываются номера тестовых заданий
и отмечаются правильные ответы (Если, например, по мнению студента в 437
тестовом задании верный ответ С, то правильный ответ следует отмечать следующим образом: 437-С). Как и в контрольных работах, непременно необходимо оформлять титульный лист.
Критерии экзаменационной оценки следующие:
“отлично”
- более 18 правильных ответов;
“хорошо”
- 16-18 правильных ответов;
“удовлетворительно”
- 12-15 правильных ответа;
“неудовлетворительно” - менее 12 правильных ответов.
300
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 8.48 Экзаменационные тестовые задания
401. Высота Солнца над горизонтом составляет 460. Чтобы отраженные от
плоского зеркала солнечные лучи пошли вертикально вниз, угол падения световых лучей на зеркало должен быть равен …
А) 220
В) 440
С) 460
Д) 680
Е) 230
402. Синус предельного угла полного внутреннего отражения на границе
стекло-воздух равен 8/13. Какова скорость света в стекле?
А) 2,25⋅108 м/с
В) 2,15⋅108 м/с
Д) 1,95⋅108 м/с
С) 2,05⋅108 м/с
Е) 1,85⋅108 м/с
403. Показатели преломления относительно воздуха для воды, стекла и
алмаза соответственно равны 1,33; 1,5; 2,42. В каком из этих веществ предельный угол полного отражения при выходе в воздух имеет максимальное значение?
А) В воде
В) В стекле
С) В алмазе
Д) Во всех трёх веществах угол одинаков
404. Луч света, падающий из воздуха на толстую стеклянную пластинку,
отражается от нее под углом 600 и преломляется в пластинке под углом 300.
Определите скорость света в этой пластинке.
А) 1,63⋅108 м/с
В) 1,73⋅108 м/с
Д) 1,93⋅108 м/с
С) 1,83⋅108 м/с
Е) 2,03⋅108 м/с
301
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
405. Непрозрачный экран освещается точечным источником света и отбрасывает круглую тень на экран. Определите диаметр тени, если диаметр круга 0,1 м. Расстояние от источника света до круга в 3 раза меньше, чем расстояние до экрана.
А) 0,6 м
В) 0,03 м
С) 0,3 м
Д) 0,1 м
Е) 3 м
406. Луч света идёт из среды с оптическим показателем преломления n =
β
3 в среду с оптическим показа-
телем преломления n2 = 2,1 (см. рисунок). Определите
n2=2,1
300
n1= 3
значение синуса угла β (sinβ).
А) 0,51
В) 0,61
С) 0,71
Д) 0,81
Е) 0,91
407. На основании равносторонней стеклянной призмы находится пылинка. Каково максимально допустимое значение показателя преломления n, при
котором пылинку ещё можно увидеть через боковые грани призмы с помощью
лучей, не претерпевших ни одного отражения на границе стекло-воздух?
А)
В)
3 /2
3
С) 4/3
Д) 2
Е) 3/2
408. Вертикальный шест отбрасывает тень длиной 6 м, когда Солнце находится на высоте 300 над горизонтом. Какова высота шеста?
А) 2 3 м
В)
3 м
С) 3 3 м
Д) 3 м
Е) 2 м
409. Посередине между двумя плоскими зеркалами, параллельными друг
другу помещён точечный источник света. С какими одинаковыми скоростями
должны двигаться оба зеркала, оставаясь параллельными друг другу, чтобы
302
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
первые мнимые изображения источника в зеркалах сближались со скоростью
5 м/с?
А) 20 м/с
В) 10 м/с
С) 5 м/с
Д) 2,5 м/с
Е) 1,25 м/с
410. Почему небольшие пузырьки воздуха в воде серебристые?
А) из-за прямолинейного распространения света
В) из-за огибания светом препятствий сферической формы
С) из-за поглощения света на границе раздела вода − воздух
Д) из-за полного внутреннего отражения солнечных лучей от пузырей
411. Размер тени на экране от предмета, освещённого точечным источником света, в 3 раза больше размера предмета. Расстояние от источника света до
предмета равно 1 м. Определите расстояние от предмета до экрана.
А) 0,33 м
В) 3 м
С) 2 м
Д) 4 м
Е) 9 м
412. Как изменится угол между падающим на плоское зеркало и отражённым лучами при увеличении угла падения на 100?
А) Не изменится
В) Увеличится на 50
Д) Увеличится на 200
С) Увеличится на 100
Е) Уменьшится на 100
413. Маленькая лампочка освещает экран через непрозрачную перегородку с круглым отверстием радиуса 0,2 м. Расстояние от лампочки до экрана в 4
раза больше расстояния от лампочки до перегородки. Каков радиус освещённого пятна на экране?
А) 0,05 м
В) 0,2 м
С) 0,8 м
303
Д) 0,4 м
Е) 1,6 м
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
414. В опыте, разработанном в 1849 году французским физиком Физо по
определению скорости света с вращающимся зубчатым колесом, расстояние
между зубчатыми колёсами, имеющими N = 720 зубцов, и зеркалом было ℓ =
8633 м. Свет от зеркала исчез в первый раз при частоте вращения зубчатого колеса ν = 12,67 оборотов в секунду. Какое значение скорости света «с» получил
Физо?
А) 315 015 км/с
В) 305 015 км/с
Д) 295 015 км/с
С) 300 015 км/с
Е) 290 015 км/с
415. При каких условиях наблюдается явление полного внутреннего отражения света?
1. При переходе света из среды с большим показателем преломления в
среду с меньшим показателем преломления.
2. При переходе света из среды с меньшим показателем преломления в
среду с большим показателем преломления.
3. При угле падения α > arcsin(n2/n1).
4. При угле падения α< arcsin(n2/n1).
А) Только 1
В) 1 и 4
С) 2 и 3
Д) 1 и 3
416. При прохождении через границу раздела двух сред измерены два угла падения α1 и α2 и два соответствующих им угла преломления β1 и β2. О соотношении этих углов можно утверждать, что:
А)
α1
β
= 1
α2
β2
В)
Д)
α1
α
= 2
β1
β2
sin α1
sin α 2
=
sin β1
sin β 2
С)
Е)
304
sin α 2
sin β1
=
sin α1
sin β 2
tgα 2
tgβ1
=
tgα1
tgβ 2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
417. Водолаз рассматривает снизу вверх из воды лампу, подвешенную на
высоте 1 м над поверхностью воды. Кажущаяся высота лампы:
А) 1 м
В) больше 1 м
С) 2 м
Д) от 0,5 м до 1 м
Е) 0,5 м
418. Свет идёт из среды, имеющей абсолютный показатель преломления
n1 и скорость света v1, в среду с абсолютным показателем преломления n2 и
скоростью света v2. Найдите отношение синуса угла падения к синусу угла преломления.
А)
n1
n2
В)
v2
v1
С)
v1
v2
Д) верный ответ не указан
419. Предельный угол полного внутреннего отражения для воздуха и
стекла равен αпр. Чему равна скорость света в этом сорте стекла?
А) с
В) сsinαпр
С)
с
sin α пр
Д) ccosαпр
Е)
с
cos α пр
420. Как изменится угол между падающим на плоское зеркало и отражённым лучами при увеличении угла падения на 100?
А) не изменится
В) увеличится на 50
Д) увеличится на 200
С) увеличится на 100
Е) уменьшится на 100
421. Интерференцией волн называется явление
А) происходящее при суперпозиции когерентных волн и состоящее в перераспределении энергии колебаний по волновому фронту, в результате чего в
305
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пространстве образуется устойчивая картина чередования областей усиленных
и ослабленных колебаний
В) отклонения волн от первоначального направления распространения и
огибания волнами препятствий, размеры которых соизмеримы с длиной волны
С) ориентации колебаний в поперечной волне в определенных направлениях
Д) нет верного ответа
422. Дифракцией волн называется явление
А) происходящее при суперпозиции когерентных волн и состоящее в перераспределении энергии колебаний по волновому фронту, в результате чего в
пространстве образуется устойчивая картина чередования областей усиленных
и ослабленных колебаний
В) отклонения волн от первоначального направления распространения и
огибания волнами препятствий, размеры которых соизмеримы с длиной волны
С) ориентации колебаний в поперечной волне в определенных направлениях
Д) нет верного ответа
423. Условие усиления волн (интерференционные максимумы):
А) ∆L = m λ
(m = 0, 1, 2, 3…)
В) ∆L = (2 m - 1) λ / 2
С) bsinφ = (2m + 1) λ / 2
Д) bsinφ = m λ
Е) dsinφ = n λ
(m = 0, 1, 2, 3…)
(m = 0, 1, 2, 3…)
(m = 0, 1, 2, 3…)
(m = 0, 1, 2, 3…)
424. Условие ослабления волн (интерференционные минимумы):
306
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А) ∆L = m λ
(m = 0, 1, 2, 3…)
В) ∆L = (2 m - 1) λ / 2
С) bsinφ = (2m + 1) λ / 2
Д) bsinφ = m λ
Е) dsinφ = n λ
(m = 0, 1, 2, 3…)
(m = 0, 1, 2, 3…)
(m = 0, 1, 2, 3…)
(m = 0, 1, 2, 3…)
425. При дифракции монохроматического света с длиной волны λ на дифракционной решетке с периодом d = 5λ максимум третьего порядка наблюдается под углом:
А) arcsin0,3
В) arcsin0,6
С) arcsin0,5
Д) arcsin0,4
Е) arcsin0,2
426. Луч лазера направляется перпендикулярно плоскости дифракционной решётки. Расстояние между нулевым и первым дифракционными максимумами на удалённом (расстояние до экрана ℓ >> 10 см) экране равно 10 см.
Расстояние между нулевым и вторым дифракционными максимумами примерно равно
А) 5 см
В) 10 см
С) 20 см
Д) 30 см
Е) 40 см
427.В вакууме скорость света с, а длина волны λ. При попадании этого
света в прозрачную среду с показателем преломления n эти параметры становятся равными:
А) nc и nλ
В)
c
и nλ
n
С)
c λ
и
n n
Д) cn и
λ
n
Е) c и
λ
n
428. В трёх опытах на пути светового пучка ставились экраны с малым
отверстием, экраны с широким отверстием и с тонкой нитью, пересекающей
центр широкого отверстия. Явление дифракции происходит:
307
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А) только в опыте с малым отверстием в экране
В) только в опыте с тонкой нитью
С) только в опыте с широким отверстием в экране
Д) во всех трёх опытах
429. На дифракционную решётку с периодом 0,004 мм падает по нормали
плоская монохроматическая волна. Количество дифракционных максимумов,
наблюдаемых с помощью этой решётки равно 19. Какова длина волны света?
А) 560 нм
В) 520 нм
С) 410 нм
Д) 440 нм
Е) 470 нм
430. Найдите длину волны света, падающего на установку в опыте Юнга,
если при помещении на пути одного из интерферирующих лучей стеклянной
пластинки (n = 1,52) толщиной 3 мкм картина интерференции на экране смещается на 3 светлые полосы.
А) 0,48 мкм
В) 0,52 мкм
С) 0,56 мкм
Д) 0,60 мкм
Е) 0,64 мкм
431. Постоянная дифракционной решётки 2,5 мкм. Определите наибольший порядок спектра при нормальном падении монохроматического света с
длиной волны 0,62 мкм.
А) 4
В) 5
С) 3
Д) 7
Е) 6
432. Дифракционная решётка освещена нормально падающим монохроматическим светом. В дифракционной картине максимум второго порядка наблюдается под углом ϕ2 = 140. На какой угол ϕ3 отклонён максимум третьего
порядка?
А) 27,280
В) 25,280
С) 23,280
308
Д) 21,280
Е) 19,280
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
433. Расстояние между двумя когерентными источниками d = 0,9 мм. Источники посылают монохроматический свет с длиной волны 640 нм на экран,
расположенный от них на расстоянии 3,5 м. Определите число световых полос
на единицу длины.
А) 8 см-1
В) 7 см-1
С) 6 см-1
Д) 5 см-1
Е) 4 см-1
434. Постоянная дифракционной решётки 2,5 мкм. Определите общее
число главных дифракционных максимумов в дифракционной картине при
нормальном падении монохроматического света с длиной волны 0,62 мкм.
А) 15
В) 7
С) 9
Д) 13
Е) 11
435. Какую разность длин волн ∆λ может разрешить дифракционная решётка с периодом 2,5 мкм шириной 1,5 см в спектре 3-го порядка для зелёных
лучей (λ = 0,5 мкм)?
А) 5,8⋅10-11 м
В) 2,8⋅10-11 м
Д) 1,8⋅10-11 м
С) 2,8⋅10-10 м
Е) 1,8⋅10-10 м
436. Постоянная дифракционной решётки 2,5 мкм. Определите угол дифракции в спектре 2-го порядка при нормальном падении монохроматического
света с длиной волны 0,62 мкм.
А) 300
В) 450
С) 600
Д) 750
Е) 150
437. Расстояние между двумя когерентными источниками в опыте Юнга
равно 0,55 мкм. Источники испускают свет длиной волны 550 нм. Каково расстояние от щелей до экрана, если расстояние между соседними тёмными полосами на нём 1 мм?
309
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А) 2,5 м
В) 1,5 м
С) 0,5 м
Д) 1 м
Е) 2 м
438. Просветление объективов оптических систем основано на явлении:
А) интерференции света
В) дисперсии света
С) поляризации света
Д) дифракции света
Е) фотоэффекта
439. Как инфракрасное излучение воздействует на живой организм:
А) Вызывает фотоэффект
В) Охлаждает облучаемую поверхность
С) Нагревает облучаемую поверхность
Д) Способствует загару
440. На дифракционную решётку, имеющую период 2⋅10-5 м, падает нормально параллельный пучок белого света. Спектр наблюдается на экране на
расстоянии 2 м от решётки. Каково расстояние между красным и фиолетовым
участками спектра первого порядка, если длины волн красного и фиолетового
света соответственно равны 8⋅10-7 м и 4⋅10-7 м? Cчитайте, что sinϕ ≈ tgϕ ≈ ϕ.
А) 5 см
В) 4 см
С) 3 см
441. Поляризацией волн называется явление
310
Д) 2 см
Е) 1 см
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А) происходящее при суперпозиции когерентных волн и состоящее в перераспределении энергии колебаний по волновому фронту, в результате чего в
пространстве образуется устойчивая картина чередования областей усиленных
и ослабленных колебаний
В) отклонения волн от первоначального направления распространения и
огибания волнами препятствий, размеры которых соизмеримы с длиной волны
С) ориентации колебаний в поперечной волне в определенных направлениях
Д) нет верного ответа
442. Явлением, доказывающим, что в электромагнитной волне вектор напряженности электрического поля колеблется в направлении, перпендикулярном направлению распространения электромагнитной волны, является:
А) интерференция
В) дифракция
Д) преломление
С) отражение
Е) поляризация
443. На пути пучка белого света поставлены два поляризатора, оси поляризаторов ориентированы взаимно перпендикулярно. Как ориентированы векторы Ε и В в пучке света, выходящем из второго поляризатора?
А) Взаимно перпендикулярно и перпендикулярно направлению распространения света
В) Параллельно друг другу и по направлению распространения света
С) Параллельно друг другу и перпендикулярно направлению распространения света.
Д) Модули векторов Ε и В равны 0
Е) Векторы Ε и В имеют всевозможные направления в плоскости, перпендикулярной направлению распространения света
311
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
444. На пути пучка белого света поставлены два поляризатора, оси поляризаторов ориентированы параллельно. Как ориентированы векторы Ε и В в
пучке света, выходящем из второго поляризатора?
А) Взаимно перпендикулярно и перпендикулярно направлению распространения света
В) Параллельно друг другу и по направлению распространения света
С) Параллельно друг другу и перпендикулярно направлению распространения света.
Д) Модули векторов Ε и В равны 0
Е) Векторы Ε и В имеют всевозможные направления в плоскости, перпендикулярной направлению распространения света
445. Интенсивность естественного света, прошедшего через два николя,
уменьшилась в 8 раз. Пренебрегая поглощением света, определите угол между
главными плоскостями николей.
А) 300
В) 450
С) 600
Д) 900
Е) 00
446. Волна естественного света падает под углом Брюстера на границу
вакуум-диэлектрик. Под каким углом распространяется отражённая волна.
А) равному углу Брюстера
В) меньше угла Брюстера
С) больше ушла Брюстера
Д) разности между прямым углом и углом Брюстера
447. Волна естественного света падает под углом Брюстера на границу
вакуум-диэлектрик. Под каким углом распространяется преломлённая волна.
312
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А) равному углу Брюстера
В) меньше угла Брюстера
С) больше ушла Брюстера
Д) разности между прямым углом и углом Брюстера
448. Раствор сахара с концентрацией 0,25 г/см3 толщиной 20 см поворачивает плоскость поляризации монохроматического света на 30,30. Другой раствор толщиной 15 см поворачивает плоскость поляризации на 200. Определите
концентрацию сахара во втором растворе.
А) 0,18 г/см3
В) 0,22 г/см3
Д) 0,29 г/см3
С) 0,15 г/см3
Е) 0,26 г/см3
449. Во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света при
прохождении его через два николя, плоскости поляризации которых составляют 600?
А) 2
В) 3
С) 9
Д) 8
Е) 4
450. Определите показатель преломления стекла, если при отражении света от этого стекла отражённый свет будет полностью поляризован при угле
преломления 300.
А) 1,73
В) 1,5
С) 1,33
Д) 1,41
Е) 1,62
451. Луч света, проходя слой льда (nл = 1,31), падает на алмазную (nа =
2,42) пластинку, частично отражается, частично преломляется. Определите, каким должен быть угол падения, чтобы отражённый луч был максимально поляризован.
313
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А) 61,5 0
В) 28,50
С) 47,20
Д) 22,50
Е) 67,50
452. Угол между плоскостями поляризации двух поляроидов 700. Как изменится интенсивность прошедшего через них света, если этот угол уменьшить
в 5 раз?
А) 4
В) 8
С) 9
Д) 25
Е) 5
453. Под каким углом к горизонту должно находиться Солнце, чтобы
свет, отражённый от поверхности воды (n = 1.33), был максимально поляризован?
А) 300
В) 600
С) 410
Д) 530
Е) 370
454. Естественный свет падает на кристалл алмаза (n = 2,42) под углом
полной поляризации. Найдите угол преломления света.
А) 300
В) 67,50
С) 22,50
Д) 27,50
Е) 62,50
455. Длина волны де-Бройля для электрона больше, чем для α-частицы.
При этом
А) импульс электрона больше импульса α-частицы
В) импульс α-частицы больше импульса электрона
С) импульсы частиц одинаковы
Д) величина импульса не связана с длиной волны
456. Как изменится частота красной границы фотоэффекта, если освещаемому шарику сообщить электрический заряд?
314
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А) не изменится
В) увеличится
С) уменьшится
Д) ответ зависит от знака заряда
457. Если за непрозрачным диском, освещённым ярким источником света
небольшого размера, поставить фотоплёнку, исключив попадание на нее отражённых от стен комнаты лучей, то при проявлении ее после большой выдержки
в центре тени можно обнаружить светлое пятно. Какое физическое явление при
этом наблюдается?
А) дифракция
В) преломление
Д) поляризация
С) дисперсия
Е) отражение
458. Чему равна работа выхода для материала шарика, если при непрерывном облучении шарика фотонами с энергией, превышающей в 4 раза работу
выхода, на шарике устанавливается потенциал ϕ = 1,5 В?
А) 1 эВ
В) 0,375 эВ
С) 6 эВ
Д) 0,3 эВ
Е) 0,5 эВ
459. Чему равен синус угла полного внутреннего отражения при переходе
света из вещества, где скорость света 0,7с, в вещество, где скорость света 0,5с?
(с – скорость света в вакууме).
А) 1,4
В) 0,5
С) 0,714
Д) 0,67
Е) полное отражение не возникает
460. Кинетическая энергия фотоэлектронов при внешнем фотоэффекте
увеличивается, если:
А) увеличивается работа выхода электрона из металла
В) уменьшается работа выхода электрона из металла
315
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С) уменьшается энергия кванта падающего света
Д) увеличивается интенсивность светового потока
Е) уменьшается интенсивность светового потока
461. Как изменится максимальная кинетическая энергия электронов, вырываемых с поверхности катода при поглощении им излучения, при увеличении частоты излучения в 2 раза?
А) Не изменится.
В) Увеличится в 2 раза.
С) Увеличится более чем в 2 раза.
Д) Увеличится менее чем в 2 раза.
462. Под каким напряжением работает рентгеновская трубка, если при токе 1 мА и КПД = 0,08 % она излучает N = 2⋅1013 фотонов в секунду? Частота излучения ν = 3⋅1018 Гц.
А) 65 кВ
В) 60 кВ
С) 55 кВ
Д) 50 кВ
Е) 45 кВ
463. На переднюю грань прозрачной стеклянной призмы падают параллельные друг другу зелёный и красный «лучи» лазеров (см. рисунок). После
прохождения призмы
Зел.
А) они останутся параллельными
В) ответ зависит от сорта стекла
С) они пересекутся
Д) они разойдутся так, что не будут пересекаться
Е) верный ответ не указан
464. В чём состоит явление дисперсии света?
316
Кр.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А) В изменении плоскости поляризации (плоскости, в которой лежит изменяющийся вектор Е и вектор скорости волны с) при прохождении волны через систему поляризатор − анализатор.
В) В огибании волной препятствий.
С) В наложении когерентных волн.
Д) В разложении света в спектр при преломлении.
465. Луч света выходит из стекла в воздух. Угол полного внутреннего отражения для стекла равен α. Чему равна скорость света в стекле? Скорость света в воздухе v.
А)
v
sin α
В) vsinα
С)
v
tgα
Д) vcosα
Е)
v
cos α
466. Абсолютно чёрное тело было нагрето от температуры 100 0С до
300 0С. Найдите, во сколько раз возросла мощность суммарного излучения при
этом.
А) 3
В) 4,9
С) 81
Д) 4,2
Е) 5,6
467. Максимум энергии излучения абсолютно чёрного тела приходится на
длину волны λmax = 450 нм. Определите температуру Т тела. Постоянная Вина
b = 2,9⋅10-3 м⋅К.
А) 6 420 К
В) 6 210 К
С) 5 980 К
Д) 5 880 К
Е) 5 760 К
468. Какую мощность надо подводить к зачернённому металлическому
шарику радиусом 2 см, чтобы поддерживать его температуру на 27 К выше
температуры окружающей среды? Температура окружающей среды 20 0С. счи-
317
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тайте, что тепло теряется только вследствие излучения. Постоянная СтефанаБольцмана σ = 5,67⋅10-8 Вт/(м2⋅К-4).
А) 3,67 Вт
В) 3,43 Вт
С) 3,16 Вт
Д) 2,98 Вт
Е) 2,82 Вт
469. Температура вольфрамовой спирали в 25-ваттной электрической
лампочке Т = 2 450 К. Коэффициент теплового излучения (степень черноты)
вольфрамовой спирали при данной температуре В = 0,3. Найдите площадь S излучающей поверхности спирали.
А) 0,4 см2
В) 0,5 см2
С) 0,6 см2
Д) 0,7 см2
Е) 0,8 см2
470. Найдите солнечную постоянную K, т.е. количество лучистой энергии, посылаемой Солнцем в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к солнечным лучам и находящуюся на таком же расстоянии от
него, как и Земля. Температура поверхности Солнца Т = 5 800 К. Излучение
Солнца считайте близким к излучению абсолютно чёрного тела. Среднее расстояние от Солнца до Земли rЗ = 1,496⋅1011 м. Радиус Солнца rС = 6,96⋅108 м.
Постоянная Стефана-Больцмана σ = 5,67⋅10-8 Вт/(м2⋅К-4).
А) 1,18 кВт/м2
В) 1,28 кВт/м2
Д) 1,48 кВт/м2
С) 1,38 кВт/м2
Е) 1,58 кВт/м2
471. Во сколько раз увеличится мощность излучения абсолютно чёрного
тела, если максимум энергии излучения сместится от красной границы видимого спектра (λкр = 0,76 мкм) к его фиолетовой границе (λф = 0,38 мкм)?
А) 2
В) 2 2
С) 4
318
Д) 8
Е) 16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
472. Зная значение солнечной постоянной для Земли (KЗ = 1,38 кВт/м2),
найдите значение солнечной постоянной KМ для Марса. Среднее расстояние от
Солнца до Марса rМ = 2,279⋅1011 м. Среднее расстояние от Солнца до Земли rЗ =
1,496⋅1011 м.
А) 0,49 кВт/м2
В) 0,59 кВт/м2
Д) 0,79 кВт/м2
С) 0,69 кВт/м2
Е) 0,89 кВт/м2
473. Какую энергетическую светимость R имеет абсолютно чёрное тело,
если максимум спектральной плотности его энергетической светимости приходится на длину волны λmax = 484 нм? Постоянная Вина b = 2,9⋅10-3 м⋅К. Постоянная Стефана-Больцмана σ = 5,67⋅10-8 Вт/(м2⋅К-4).
А) 73,1 МВт/м2
В) 71,1 МВт/м2
Д) 67,1 МВт/м2
С) 69,1 МВт/м2
Е) 65,1 МВт/м2
474. Мощность излучения абсолютно чёрного тела N = 10 кВт. Найдите
площадь S излучающей поверхности тела, если максимум спектральной плотности его энергетической светимости приходится на длину волны λmax = 700 нм.
Постоянная Стефана-Больцмана σ = 5,67⋅10-8 Вт/(м2⋅К-4). Постоянная Вина b =
2,9⋅10-3 м⋅К.
А) 5 см2
В) 6 см2
С) 7 см2
Д) 8 см2
Е) 9 см2
475. Температура абсолютно чёрного тела понизилась с 1 000 К до 850 К.
Определите, на сколько при этом изменилась длина волны ∆λmax, отвечающая
максимуму распределения энергии. Постоянная Вина b = 2, 9⋅10-3 м⋅К.
А) 0,63 мкм
В) 0,59 мкм
С) 0,55 мкм
319
Д) 0,51 мкм
Е) 0,47 мкм
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
476. Определите длину волны λmax, соответствующую максимуму спектральной плотности энергетической светимости, если источником света служит
спираль электрической лампочки (Т = 3 000 К). Постоянная Вина равна b =
2,9⋅10-3 м⋅К.
А) 1,43 мкм
В) 1,33 мкм
С) 1,23 мкм
Д) 1,13 мкм
Е) 1,03 мкм
477. Определите длину волны λmax, соответствующую максимуму спектральной плотности энергетической светимости, если источником света служит
поверхность Солнца (Т = 6 000 К). Постоянная Вина b = 2, 9⋅10-3 м⋅К.
А) 463 нм
В) 473 нм
С) 483 нм
Д) 493 нм
Е) 503 нм
478. На какую длину волны λmax приходится максимум спектральной
плотности энергетической светимости абсолютно чёрного тела, имеющего температуру, равную температуре t = 37 0C человеческого тела? Постоянная Вина
равна b = 2, 9⋅10-3 м⋅К.
А) 9,3 мкм
В) 9,6 мкм
С) 9,9 мкм
Д) 10,2 мкм
Е) 10,5 мкм
479. Определите длину волны λmax, соответствующую максимуму спектральной плотности энергетической светимости, если источником света служит
атомная бомба, в которой в момент взрыва развивается температура Т ≈ 107 К.
Постоянная Вина b = 2, 9⋅10-3 м⋅К.
А) 260 пм
В) 270 пм
С) 280 пм
320
Д) 290 пм
Е) 300 пм
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
480. Максимум энергии излучения абсолютно чёрного тела приходится на
длину волны λmax = 450 нм. Определите энергетическую светимость R тела. Постоянная Вина b = 2,89⋅10-3 м⋅К.
А) 5,6⋅107 Вт/м2
В) 6,6⋅107 Вт/м2
Д) 8,6⋅107 Вт/м2
С) 7,6⋅107 Вт/м2
Е) 9,6⋅107 Вт/м2
481. При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом частотой ν1 = 8,69⋅1014 Гц и ν2 = 5,56⋅1014 Гц было обнаружено, что соответствующие максимальные энергии фотоэлектронов отличаются друг от
друга в 2 раза. Найдите работу выхода этого металла. Постоянная Планка h =
6,62⋅10−34 Дж⋅с. Элементарный заряд е = 1,6⋅10−19 Кл.
А) 0,9 эВ
В) 1 эВ
С) 1,1 эВ
Д) 1,2 эВ
Е) 1,3 эВ
482. До какого максимального заряда q можно зарядить покрытый селеном шар радиусом R=10 см, облучая его светом длиной волны λ = 110 нм, если
работа выхода из селена равна А = 9⋅10−19 Дж? Скорость света вакууме равна с
= 3⋅108 м/с. Постоянная Планка h = 6,62⋅10−34 Дж⋅с. Электрическая постоянная ε0 = 8,85⋅10−12 Ф/м. Элементарный заряд е = 1,6⋅10−19 Кл.
А) 6,3⋅10-11 Кл В) 6,3⋅10-10 Кл С) 6,3⋅10-9 Кл
Д) 6,3⋅10-8 Кл
Е) 6,3⋅10-7 Кл
483. Во сколько раз импульс фотона с частотой 1⋅1016 Гц больше импульса фотона с длиной волны 8,1⋅10−5 см? скорость света 3⋅105 км/с.
А) 9
В) 27
С) 81
Д) 160
Е) 243
484. При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом частотой ν1 = 8,57⋅1014 Гц и ν2 = 5,56⋅1014 Гц было обнаружено, что соответ321
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ствующие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в
2 раза. Найдите работу выхода этого металла. Постоянная Планка равна h =
6,62⋅10−34 Дж⋅с. Элементарный заряд равен е = 1,6⋅10−19 Кл.
А) 1,5 эВ
В) 1,7 эВ
С) 1,9 эВ
Д) 2,1 эВ
Е) 2,3 эВ
485. Одним из фактов, подтверждающих квантовую природу света, является внешний фотоэффект. Фотоэффектом называется…
А) возникновение тока в замкнутом контуре или разности потенциалов на
концах разомкнутого контура при изменении магнитного потока, пронизывающего контур
В) увеличение сопротивления проводника при повышении его температуры
С) выбивание электронов с поверхности металлов под действием света
Д) взаимное проникновение соприкасающихся веществ вследствие беспорядочного движения составляющих их частиц
Е) выбивание протонов с поверхности металла
486. Капля воды массой m = 2⋅10−4 г нагревается светом с длиной волны λ
= 7,5⋅10−7 м, поглощая за 1 с N = 1013 фотонов. За какое время капля нагреется
на ∆Т = 1 К? Удельная теплоемкость воды с = 4 200 Дж/(кг⋅К). Постоянная
Планка h = 6,62⋅10−34 Дж⋅с. Скорость света в вакууме с = 3⋅108 м/с.
А) 632 с
В) 520 с
С) 425 с
Д) 317 с
Е) верный ответ не указан
487. Лазер мощностью 1 мВт генерирует монохроматическое излучение с
длиной волны 0,6 мкм. За какое время лазер испускает фотоны, суммарная мас-
322
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
са которых равна массе покоя протона? Масса покоя протона 1,672⋅10−27 кг.
Скорость света в вакууме 3⋅108 м/с.
А) 1,5⋅10−4 с
В) 1,5⋅10−5 с
С) 1,5⋅10−6 с
Д) 1,5⋅10−7 с
Е) 1,5⋅10−8 с
488. Энергия фотона, поглощаемого фотокатодом, равна 5 эВ. Работа выхода электрона из фотокатода равна 2 эВ. Чему равна величина задерживающего потенциала, при котором прекратится фототок?
А) 7 В
В) 3,5 В
С) 2,5 В
Д) 5 В
Е) 3 В
489. Фотоэффект у данного металла начинается при частоте излучения
6⋅1014 Гц. Найдите частоту падающего света, если вылетающие с поверхности
металла фотоэлектроны полностью задерживаются сеткой, потенциал которой
относительно металла составляет 3 В. Постоянная Планка h = 6,63⋅10−34 Дж⋅с,
элементарный заряд е = 1,6⋅10−19 Кл.
А)1,32⋅1015Гц
В)1,47⋅1015 Гц
Д)1,73⋅1015Гц
С)1,61⋅1015Гц
Е) 1,86⋅1015Гц
490. При облучении металла светом с длиной волны 245 нм наблюдается
фотоэффект. Работа выхода металла равна 2,4 эВ. Рассчитайте величину задерживающего напряжения, которое нужно приложить к металлу, чтобы уменьшить максимальную скорость вылетающих фотоэлектронов в 2 раза. Постоянная Планка равна 6,62⋅10−34 Дж⋅с. Скорость света 3⋅108 м/с. Элементарный заряд
равен 1,6⋅10−19 Кл.
А) 1,6 В
В) 1,8 В
С) 2,0 В
323
Д) 2,2 В
Е) 2,4 В
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
491. Протон летит со скоростью 4,6·104 м /с. Какая длина волны соответствует этому протону?
А) λ = 8,6·10-12 м
В) λ = 8,6·10-13 м
С) λ = 8,6·10-14 м
Д) λ = 5,6·10-14 м
492. Найти массу фотона, если соответствующая ему длина волны λ =
1,6 пм.
А) 1,38·10-30 кг
В) 6,83·10-37 кг
С) 4,45·10-38 кг
Д) 3,62·10-38 кг
493. С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его кинетическая энергия была равна энергии фотона с длиной волны λ = 520 нм?
А) 9,2·104 м /с
В) 9,2·105 м /с
С) 9,2·106 м /с
Д) 9,2·107 м /с
494. На поверхность площадью 100 см2 ежеминутно падает 63 Дж световой энергии. Найти величину светового давления в случае, когда поверхность
полностью отражает все лучи.
А) 3,5⋅10-7 Па
В) 7⋅10-7 Па
С) 10,5⋅10-7 Па
Д) 14⋅10-7 Па
495. При комптоновском рассеянии фотона на свободном электроне длина
волны рассеянного излучения…
А) больше длины волны падающего излучения
В) меньше длины волны падающего излучения
С) равна длине волны падающего излучения
Д) равна разности длин волн падающего и рассеянного излучения
324
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
496. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном
был рассеян на угол ϑ = 900. Энергия рассеянного фотона 0,1 МэВ. Определить
энергию фотона до рассеяния. Энергия покоя электрона 0,51 МэВ.
А) 0,11 МэВ
В) 0,12 МэВ
С) 0,13 МэВ
Д) 0,14 МэВ
497. Определить максимальное изменение длины волны при комптоновском рассеянии на свободных электронах. Комптоновская длина волны равна
2,43 пм.
А) 2,43 пм
В) 4,86 пм
С) 7,29 пм
Д) 9,72 пм
498. Давление света зависит от …
А) степени поляризованности света
В) показателя преломления вещества, на которое падает свет
С) энергии фотона
Д) скорости света в среде
499. Какая доля энергии фотона при эффекте Комптона приходиться на
электрон отдачи, если рассеяние фотона происходит на угол 1800. Энергия фотона до рассеяния 0,255 МэВ. Энергия покоя электрона 0,51 МэВ.
А) 0,4
В) 0,5
С) 0,6
Д) 0,7
500. Какая доля энергии фотона при эффекте Комптона приходиться на
электрон отдачи, если рассеяние фотона происходит на угол 1800. Энергия фотона до рассеяния 1,02 МэВ. Энергия покоя электрона 0,51 МэВ.
А) 0,6
В) 0,7
С) 0,8
325
Д) 0,9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9 Примеры решения задач
1. Два взаимно перпендикулярных
900−ϕ
луча падают из воздуха на поверхность
ϕ
жидкости. При этом один луч преломляется под углом α =360, а другой преломляется под углом β = 200 (см. рисунок). Определите показатель преломления жидкости.
α
β
Дано: α =360; β = 200.
n −?
Решение. Если нет специальных указаний, полагают, что абсолютный показатель преломления воздуха, как и у вакуума, равен 1.
Из того, что лучи, падающие на поверхность жидкости, взаимно перпендикулярны, следует, что если угол падения первого луча равен ϕ, то угол падения второго луча будет равен (900 − ϕ). Запишем законы преломления первого и
второго лучей на границе воздух-жидкость:
sin ϕ
= n,
sin α
(
)
sin 90 0 − ϕ
cos ϕ
=
= n.
sin β
sin β
Поделив почленно первое уравнение на второе, имеем:
sin α
tgϕ =
sin β
и
 sin 36 0 
 sin α 
 = 600.
ϕ = arctg 
 = arctg 
0

 sin β 
 sin 20 
Из закона преломления первого луча находим:
326
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
sin ϕ sin 60 0
=
= 1,5.
n=
sin α
sin 36 0
2. На дне сосуда, наполненного водой до высоты h = 0,5 м, находится точечный источник света. На поверхности воды плавает круглый диск так, что
центр диска находится над источником света. При каком минимальном радиусе
r диска ни один луч не выйдет через поверхность воды? Показатели преломления равны: для воды n1 =1,33 и для воздуха n2 = 1.
Дано: h = 0,5 м; n1 =1,33; n2 = 1.
r −?
Решение. Лучи, исходящие от источника S и попадающие на диск А0В,
поглощаются диском и не выходят через поверхность воды в воздух (см. рисунок). Если углы падения
A
лучей SA и SB, падающих
r
r
на край диска, предельному углу полного отражения α, то эти лучи также
B
0
n1
h
α
n2
α
α
не выходят через поверхность воды в воздух. Лучи,
S
падающие на поверхность воды за пределами диска, имеют углы падения
больше предельного угла α и также не выходят через поверхность воды. Таким
образом, для лучей SA и SB должно выполняться условие: sinα = n2/n1 = 1/n1. Из
рисунка определяем:
tgα =
С другой стороны,
327
r
.
h
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
tgα =
sin α
=
cos α
(1 / n 1 )
2
1 − (1 / n 1 )
1
=
n1 − 1
2
.
Приравнивая выражения для тангенсов, получаем:
1
n1 − 1
2
=
r
h
⇒
r=
h
n1 − 1
2
=
0,5
1,33 − 1
2
= 0,57 м.
3. Два плоских зеркала образуют двугранный угол α = 600. На одно из
зеркал падает луч, расположенный в плоскости,
перпендикулярной
линии пересечения
зеркал.
ε
Найти угол отклонения этого луча от первона-
В
чального направления после отражения от обоих
А
М
зеркал (см. рисунок).
Дано: α.
α
ε −?
0
С
Решение. 0В и 0С − плоские зеркала; АВ − падающий на зеркало 0В луч;
ВМ ⊥ 0В; ВС − падающий на зеркало 0С луч; СМ ⊥0С; СА − отражённый от
двух зеркал луч; ε − искомый угол отклонения луча после двух отражений от
зеркал. Введём краткие обозначения углов:
∠АВМ = ∠СВМ = х;
∠ВСМ = ∠АСМ = у;
∠ВМС = γ;
∠ВАС = ϕ.
В четырёхугольнике 0ВМС: ∠ВМС + ∠В0С = 1800 ⇒
⇒ γ + α = 1800 ⇒ γ = 1800 − α.
В треугольнике ∆ВМС: ∠СВМ + ∠ВСМ = 1800 − ∠ВМС ⇒
328
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
⇒ х + у = 1800 − γ = 1800 − (1800 − α) = α.
В треугольнике ∆АВС: 1800 = 2х + 2у + ϕ ⇒ 1800 − ϕ = 2(х + у). Искомый
угол отклонения ε является внешним по отношению ∠ВАС = ϕ, поэтому:
ε = 1800 − ϕ = 2(х + у) = 2α = 2⋅600 = 1200.
4. На рисунке представлена схема
получения интерференции света с по-
S
мощью плоского зеркала. Центральный h
интерференционный максимум наблю-
1
L
2
А
h
0
дается в точке 0 экрана. Расстояние от
источника S до зеркала равно h, длина волны источника λ = 600 нм. Луч 1 идет
параллельно зеркалу и попадает в точку А экрана, где наблюдается второй интерференционный минимум. Чему равно расстояние h в этом опыте, если расстояние от источника до экрана L = 20 м?
Дано: L = SA = 20 м; m = 2; λ = 600⋅10−9 м.
h −?
Решение. Интерференционный минимум наблюдается, если на разности
хода ∆L лучей 1 и 2 укладывается нечётное число полуволн:
λ
∆L = (2m – 1)⋅ ,
2
где m – порядок интерференционного минимума.
Из приведённого рисунка найдем разность хода лучей 1 и 2:
329
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
2


 1  2h  2  2h 2
 2h 
L
2


∆L= 2⋅   + h −L= L⋅ 1 +   − 1 ≈ L⋅ 1 + ⋅   − 1 =
.


 2  L

L
 L
2




В этих преобразованиях воспользовались следующим математическим приёмом:
(1+х)n ≈ 1 + nx, при х << 1.
В нашем случае 2h << L, и этот приём уместен.
Далее приравняем правые части записанных выражений для разности хода ∆L и найдем искомую величину h:
λ 2h 2
⇒ h=
(2m–1)⋅ =
2 L
(2m − 1)λL
2
=
(2 ⋅ 2 − 1) ⋅ 600 ⋅ 10 − 9 ⋅ 20
2
=0,003 м=3 мм.
5. Определите длину волны λ монохроматического света, если в установке Юнга расстояние между щелями равно d = 0,6 мм, расстояние от щелей до
экрана L = 4,6 м и расстояние от главного до первого максимума ∆х =
3,8 мм. Экран и плоскость, в которой лежат щели, параллельны друг другу.
Дано: ∆х = 3,8⋅10−3 м; d = 0,6⋅10−3 м; L = 4,6 м.
λ −?
Решение. Воспользуемся известным выражением для ширины интерференционной полосы ∆х в схеме Юнга:
∆х =
330
λ⋅L
,
d
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где ∆х – ширина интерференционной полосы (расстояние между соседними интерференционными максимумами или минимумами на экране);
d − расстояние между источниками или щелями, как в нашем случае.
Из приведённого соотношения выразим искомую длину волны λ:
λ=
∆х ⋅ d 3,8 ⋅ 10 −3 ⋅ 0,6 ⋅ 10 −3
=
= 0,5⋅10−6 м = 0,5 мкм.
L
4,6
6. На дифракционную решётку нормально падает монохроматический
свет. Определите угол дифракции ϕ2 для линии λ2 = 0,55 мкм в m2 = 4 порядке,
если угол дифракции для линии λ1 = 0,6 мкм в m1 = 3 порядке составляет ϕ1 =
300.
Дано: λ2 = 0,55 мкм; m2 = 4; λ1 = 0,6 мкм; ϕ1 = 300.
ϕ2 −?
Решение. Запишем условия главных дифракционных максимумов для
обоих случаев:
d⋅sinϕ1 = m1⋅λ1,
d⋅sinϕ2 = m2⋅λ2.
Поделим оба уравнения почленно друг на друга и выразим искомый угол ϕ2:
sinϕ2 =
⇒ ϕ2 = arcsin(
m 2λ 2
⋅sinϕ1 ⇒
m1λ1
m 2λ 2
4 ⋅ 0,55
⋅sinϕ1) = arcsin(
⋅sin300) = 380.
3 ⋅ 0,6
m1λ1
7. От двух когерентных источников (λ = 0,8 мкм) лучи попадают на экран.
На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из
лучей перпендикулярно ему поместили мыльную плёнку (n = 1,33), интерфе331
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ренционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей
толщине dmin плёнки это возможно?
Дано: λ = 0,8 мкм; n = 1,33.
dmin −?
Решение. Изменение интерференционной картины на противоположную
означает, что на тех участках экрана, где наблюдались интерференционные минимумы, стали наблюдаться максимумы. Такой сдвиг интерференционной картины возможен при изменении оптической разности хода пучков световых волн
на нечётное число полуволн, т.е.
∆2 − ∆1 = (2m + 1)λ/2,
где ∆1 − оптическая разность хода пучков световых волн до внесения
плёнки;
∆2 − оптическая разность хода тех же пучков после внесения плёнки;
m = 0, ±1, ±2,…
Наименьшей толщине dmin плёнки соответствует m = 0. При этом выражение для изменения оптической разности хода примет вид
∆2 − ∆1 = λ/2.
Выразим оптические разности хода ∆2 и ∆1:
∆1 = ℓ1 − ℓ2,
∆2 = [(ℓ1 − dmin) + ndmin] − ℓ2 = (ℓ1 − ℓ2) + dmin(n − 1).
332
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставим выражения ∆2 и ∆1 в выражение для изменения оптической
разности хода:
∆2 − ∆1 = (ℓ1 − ℓ2) + dmin(n − 1) − (ℓ1 − ℓ2) = λ/2,
или
dmin(n − 1) = λ/2.
Отсюда находим
dmin =
0,8 мкм
λ
=
= 1,21 мкм.
2(n − 1) 2(1,33 − 1)
8. На дифракционную решётку в направлении нормали к ее поверхности
падает монохроматический свет. Период решётки d = 2 мкм. Определите наибольший порядок дифракционного максимума, который даёт эта решётка в
случае фиолетового (λ = 0,41 мкм) света.
Дано: λ = 0,41 мкм; d = 2 мкм.
mmax −?
Решение. Из формулы, определяющей положение главных максимумов
дифракционной решётки, находим порядок m дифракционного максимума:
m = (dsinϕ)/λ,
где d − период решётки;
ϕ − угол дифракции;
λ − длина волны монохроматического света.
333
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как sinϕ не может быть больше 1, то порядок дифракционного максимума
m не может быть больше d/λ, т.е.
m ≤ d/λ.
Подставив в эту формулу значения величин d и λ, получим.
m ≤ 2 мкм / 0,41 мкм = 4,88.
Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, то для
фиолетового света mmax = 4.
9. Пучок естественного света падает на поверхность стеклянной (показателем преломления стекла n2 = 1,5) пластины, погружённой в жидкость. Отражённый от пластины пучок света образует угол ϕ = 970 с падающим пучком.
Определите показатель преломления n1 жидкости, если отражённый свет максимально поляризован.
ϕ
Дано: n2 = 1,5; ϕ = 970.
n1
n1 −?
α
β
n2
Решение. Согласно закону Брюстера пучок света, отражённый от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения α (см.
рисунок) численно равен относительному показателю преломления:
tgα = n21 = n2/n1,
где n21 − относительный показатель преломления второй среды (стекла)
относительно первой (жидкости) равен отношению абсолютных показателей
преломления;
n1 − абсолютный показатель преломления жидкости;
334
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n2 − абсолютный показатель преломления стекла.
Так как угол падения α равен углу отражения β, то α = ϕ/2 и, следовательно
tgα = tg(ϕ/2) = n2/n1,
откуда находим:
n1 =
n2
1,5
= 1,33.
=
tg (ϕ / 2)
tg (97 0 / 2)
10. Два поляризатора N1 и N2 расположены так, что угол между их плоскостями пропускания составляет α = 600. Определите, во сколько раз уменьшится интенсивность I0 естественного света: 1) при прохождении через один
поляризатор N1; 2) при прохождении через оба поляризатора N1 и N2. Коэффициент поглощения света в поляризаторе ρ = 0,05. Потери при отражении света
не учитывайте.
Дано: α = 600; ρ = 0,05.
I0 / I1 − ? I0 / I2 −?
Решение. 1) Интенсивность естественного света, прошедшего через идеальный поляризатор уменьшается в 2 раза, т.е. составляет половину интенсивности естественного света − I0/2. С учётом поглощения света в поляризаторе
интенсивность прошедшего через один поляризатор света будет равна:
I1 =
1
I0(1 − ρ).
2
Относительное уменьшение интенсивности света при прохождении через
один поляризатор получим, разделив интенсивность I0 естественного света, падающего на первый поляризатор, на интенсивность I1 поляризованного света:
335
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2I 0
I0
2
2
=
= 2,1.
=
=
I 0 (1 − ρ) 1 − ρ 1 − 0,05
I1
Таким образом, интенсивность уменьшается в 2,1 раза.
2) Плоскополяризованный пучок света интенсивности I1 проходит второй
поляризатор. Интенсивность I2 пучка, вышедшего из второго идеального поляризатора, определяется законом Малюса:
I2 = I1cos2α,
где α − угол между плоскостью колебаний в поляризованном пучке и
плоскостью пропускания поляризатора.
С учётом поглощения света во втором поляризаторе интенсивность прошедшего через оба поляризатора света будет равна:
I2 = I1(1 − ρ)cos2α.
Искомое уменьшение интенсивности при прохождении через оба поляризатора найдём, разделив интенсивность I0 естественного света на интенсивность
I2 света, прошедшего систему из двух поляризаторов:
I0
I0
2
2
=
=
=
= 8,86.
2
2
2
I2
I1 (1 − ρ) cos α (1 − ρ) cos α (1 − 0,05)2 cos 2 60 0
Таким образом, после прохождения естественного света через два поляризатора интенсивность его уменьшается в 8,86 раза.
11. Плоскополяризованный монохроматический пучок света падает на
поляроид и полностью им гасится. Когда на пути пучка поместили кварцевую
пластинку, интенсивность I пучка света после поляроида стала равна половине
336
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
интенсивности пучка, падающего на поляроид. Определите минимальную толщину кварцевой пластинки. Поглощением и отражением света поляроидом
пренебрегайте. Постоянная вращения кварца равна α = 48,9 угл. град/мм.
Дано: α = 48,9 угл. град/мм; I / I0 = 1/2.
ℓ −?
Решение. Полное гашение света поляроидом означает, что угол ϕ1 между
плоскостью пропускания поляроида и плоскостью колебаний плоскополяризованного света составляет 900, т.е. ϕ1 = 900. Введение кварцевой пластинки приводит к повороту плоскости колебаний света на угол
ϕ0 = αℓ,
где ℓ − толщина пластинки.
Угол ϕ между плоскостью пропускания поляроида и плоскостью колебаний
плоскополяризованного света станет равным ϕ = ϕ1 + ϕ0 = ϕ1 + αℓ.
Согласно закону Малюса
I = I0cos2ϕ = I0cos2(ϕ1 + αℓ) = I0cos2(900 + αℓ) = I0sin2(αℓ),
откуда находим
0,785
I
1
 1 
1
=
мм =
мм = 16⋅10-3 мм = 16 мкм.
ℓ =   arcsin
 arcsin
I0
48,9
2
α
 48,9 
12. Электрическая печь потребляет мощность N = 500 Вт. Температура
ее внутренней поверхности при открытом небольшом отверстии диаметром d =
337
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5 см равна 700 0С. Какая часть потребляемой мощности рассеивается стенками?
Постоянная Стефана-Больцмана σ = 5,67⋅10-8 Вт/(м2⋅К-4).
Дано: N = 500 Вт; d = 0,05 м; Т = 973 К; σ = 5,67⋅10-8 Вт/(м2⋅К-4).
η −?
Решение. При установившемся тепловом режиме печи вся мощность N
излучается наружу отверстием и стенками, т.е.
N = Ф1 + Ф2,
где Ф1 и Ф2 − потоки излучения, испускаемые отверстием и стенками, соответственно.
Согласно условию задачи нам нужно найти отношение
η=
Ф2
, т.е.
N
η=
N − Ф1
Ф
=1− 1.
N
N
Рассматривая излучение печи через небольшое отверстие в ней как излучение абсолютно чёрного тела:
Ф1 = RS,
где R = σT4 − энергетическая светимость чёрного тела, определяемая по
закону Стефана-Больцмана;
S = πd2/4 − площадь отверстия.
Подстановка всех выражений в расчётную формулу даёт:
Ф1
RS
πd 2 σT 4
3,14 ⋅ 0.05 2 5,67 ⋅ 10 −8 ⋅ 9734
=1−
=1−
=1−
⋅
= 0,8.
η=1−
4 N
4
N
N
500
338
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно чёрного тела λmax = 0,58 мкм. Определите энергетическую
светимость R поверхности тела. Постоянная Вина b = 2,90⋅10-3 м⋅К. Постоянная
Стефана-Больцмана σ = 5,67⋅10-8 Вт/(м2⋅К-4).
Дано: λmax = 5,8⋅10-7 м; b = 2,90⋅10-3 м⋅К; σ = 5,67⋅10-8 Вт/(м2⋅К-4).
R −?
Решение. Энергетическая светимость R абсолютно чёрного тела в соответствии с законом Стефана-Больцмана пропорциональна четвёртой степени
абсолютной температуры Т и выражается формулой:
R = σT4,
где σ − постоянная Стефана-Больцмана;
Т − абсолютная температура.
Температуру можно выразить из закона смещения Вина:
λmax = b/T,
где b − постоянная Вина.
Используя записанные формулы, получаем:
 b
R = σ 
 λ max
4
4
−3


-8  2,90 ⋅ 10

 Вт/м2 = 35,4 МВт/м2.
 = 5,67⋅10 
−7 

 5,8 ⋅ 10 
14. Отрицательно заряженная цинковая пластинка освещается монохроматическим светом длиной волны λ = 300 нм. Красная граница фотоэффекта
для цинка составляет λкр = 332 нм. Какой максимальный потенциал приобретёт
339
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
цинковая пластинка? Постоянная Планка h = 6,62⋅10−34 Дж⋅с. Скорость света в
вакууме с = 3⋅108 м/с. Элементарный заряд е = 1,6⋅10−19 Кл.
Дано: h=6,62⋅10−34 Дж⋅с; с=3⋅108 м/с; λкр=332⋅10−9 м; λ=3⋅10−7 м; е=1,6⋅10−19 Кл.
U −?
Решение. Так как λ < λкр, то внешний фотоэффект с цинковой пластинки
возможен. Поскольку при фотоэффекте цинковую пластинку покидают отрицательно заряженные фотоэлектроны, то пластинка приобретёт положительный
потенциал. Таким образом, первоначально отрицательно заряженная цинковая
пластинка перезарядится.
Согласно закону Эйнштейна для фотоэффекта максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов εк равна разности энергии фотона (hc/λ) и работы
выхода (hc/λкр):
hc(λ кр − λ )
m ⋅ v 2max
с
с
= h⋅ − h⋅
=
.
εк =
λλ кр
2
λ кр
λ
Потенциал точек, находящихся на бесконечности, полагают равным нулю.
Поэтому разность потенциалов U между точками на пластинке и удалёнными
точками равна потенциалу пластинки. В стационарном режиме освещения пластинки, когда пластинка приобретёт максимальный положительный потенциал,
на отрицательные фотоэлектроны действует тормозящее электрическое поле.
При этом электроны, вылетая из пластинки с максимальной скоростью vmax, на
бесконечности имеют нулевую скорость. Вследствие этого в стационарном режиме максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов εк равна произведению элементарного заряда на тормозящую разность потенциалов U:
εк = еU,
или
340
hc(λ кр − λ )
λλ кр
= еU,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
откуда находим
U=
hc(λ кр − λ )
еλλ кр
=
6,62 ⋅ 10 −34 ⋅ 3 ⋅ 108 ⋅ (332 − 300) ⋅ 10 −9
1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 300 ⋅ 10 − 9 ⋅ 332 ⋅ 10 − 9
= 0,4 В.
15. Фотокатод, покрытый кальцием (работа выхода А = 4,42⋅10-19 Дж), освещается светом, у которого длина волны λ = 300 нм. Вылетевшие из катода
электроны попадают в однородное магнитное поле индукцией В = 8,3⋅10-4 Тл
перпендикулярно линиям индукции этого поля. Чему равен максимальный радиус окружности R, по которой движутся электроны? Постоянная Планка h =
6,62⋅10-34 Дж⋅с; скорость света с = 3⋅108 м/с, элементарный заряд е = 1,6⋅10-19 Кл,
масса электрона m = 9,1⋅10-31 кг.
Дано: е = 1,6⋅10-19 Кл; m = 9,1⋅10-31 кг; h = 6,62⋅10-34 Дж⋅с; с = 3⋅108 м/с;
В = 8,3⋅10-4 Тл; λ = 300⋅10-9 м; А = 4,42⋅10-19 Дж.
R −?
Решение. Фотоэлектроны, влетевшие со скоростью v в однородное магнитное поле с индукцией В перпендикулярно линиям индукции, движутся по
окружности. Радиус окружности находим из уравнения движения электрона,
приравняв магнитную составляющую силы Лоренца центростремительной силе
(произведению массы электрона на центростремительное ускорение):
v2
evB = m ,
R
откуда находим радиус окружности
R=
341
m
⋅v.
eB
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Получили, что радиус окружности пропорционален скорости, т.е. фотоэлектроны с максимальной скоростью будут двигаться по окружности максимального
радиуса. Эту скорость найдем из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:
mv 2
hc
,
=А+
2
λ
где v – максимальная скорость фотоэлектронов.
Выразим эту скорость v и подставим в выражение для радиуса окружности:
R=
=
2  hc
m
m
1

⋅v =
⋅
 − A =
eB
eB m  λ
 eB
1
1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 8,3 ⋅ 10 − 4
⋅ 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10
 hc

2m − A  =
λ

− 31 
 6,62 ⋅ 10
− 34
⋅ 3 ⋅ 108
−19 
 =
−
4
,
42
⋅
10
−9

300 ⋅ 10



= 4,8⋅10−3 м = 4,8 мм.
16. Пучок ультрафиолетовых лучей с длиной волны λ = 10−7 м передаёт
металлической поверхности мощность Р = 10−6 Вт. Определите силу возникающего фототока, если фотоэффект вызывает η = 1 % падающих фотонов. Постоянная Планка h = 6,62⋅10−34 Дж⋅с. Скорость света в вакууме с = 3⋅108 м/с. Элементарный заряд е = 1,6⋅10−19 Кл.
Дано: λ = 10−7 м; Р = 10−6 Вт; η = 0,01; h = 6,62⋅10−34 Дж⋅с;
с = 3⋅108 м/с; е = 1,6⋅10−19 Кл.
I=?
Решение. Энергия, передаваемая металлической поверхности за время t,
равна произведению мощности на время, т.е. равна Pt. С другой стороны эта
342
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
энергия равна произведению числа фотонов N на энергию одного фотона, т.е.
равна N⋅hc/λ. Приравняем выражения для этих энергий:
Pt = N⋅
hc
,
λ
откуда найдем число фотонов, падающих на металлическую поверхность за
время t:
N=
Ptλ
.
hc
Определим число n фотонов, вызывающих фотоэффект, как долю η от общего
их числа N:
n = η⋅N = η⋅
Ptλ
.
hc
Число фотоэлектронов равно n, переносимый ими заряд Q равен произведению числа фотоэлектронов n на элементарный заряд е:
Q = ne = η⋅
Ptλ
⋅е.
hc
Сила тока по определению равна заряду, уносимому с поверхности металлической поверхности в единицу времени:
Q
Pλ
10 −6 ⋅ 10 −7
= η⋅
⋅е = 0,01⋅
I=
⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 = 8⋅10−10 А.
−
34
8
t
hc
6,62 ⋅ 10 ⋅ 3 ⋅ 10
17. Рентгеновское (тормозное) излучение возникает при бомбардировке
быстрыми электронами металлического антикатода рентгеновской трубки. Оп343
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ределите длину волны коротковолновой границы спектра тормозного излучения, если скорость электронов составляет η = 40 % от скорости света в вакууме.
Скорость света в вакууме с = 3⋅108 м/с. Масса покоя электрона m0 = 9,1⋅10−31 кг.
Постоянная Планка h = 6,62⋅10−34 Дж⋅с.
Дано: η = 0,4; с = 3⋅108 м/с; m0 = 9,1⋅10−31 кг; h = 6,62⋅10−34 Дж⋅с.
λ −?
Решение. При внешнем фотоэффекте энергия фотона преобразуется в
энергию фотоэлектрона, причём часть энергии фотона идёт на совершение работы выхода из металла. В рентгеновской трубке ускоренные сильным электрическим полем электроны попадают на металлический анод, и энергия электрона преобразуется в энергию фотона (в этом случае если бы нужно было вести речь о работе выхода, то из-за малости работы выхода по сравнению с энергией быстрых электронов ею можно было пренебречь). При этом энергию (кинетическую энергию) электрона приравнивают максимальной энергии фотона.
Такой фотон имеет максимально возможную частоту и минимально возможную
(короткую) длину волны. Для нахождения длины волны рентгеновского излучения кинетическую энергию электрона приравняем энергии фотона.
Скорость электронов v сравнима со скоростью света с в вакууме (v = ηc),
поэтому воспользуемся релятивистским выражением для кинетической энергии
εк электрона:
εк= mc − m0c =
2
2
m 0c 2
 v
1−  
c
− m0c =
2
2
m0c2
 ηc 
1−  
 c 
 1


− m0c = m0c ⋅
− 1 .
 1 − η2



2
2
2
Теперь приравняем энергию фотона кинетической энергии электрона εк:
344
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 1

с
2 
− 1 ,
h = εк = m0c ⋅
2


λ
 1− η

откуда находим искомую длину волны рентгеновского излучения
λ=
6,62 ⋅ 10 −34
= 2,7⋅10−11 м.
=



1
1
− 1
− 1 9,1 ⋅ 10 − 31 ⋅ 3 ⋅ 108 
 1 − 0,4 2


1 − η2



h

m 0 c


18. Определите минимальную длину волны в сплошном спектре рентгеновских лучей, если рентгеновская трубка работает под напряжением U =
30 кВ. Скорость света с = 3⋅108 м/с. Постоянная Планка h = 6,62⋅10-34 Дж⋅с.
Элементарный заряд е = 1,6⋅10-19 Кл.
Дано: U = 3⋅104 В; с = 3⋅108 м/с; h = 6,62⋅10-34 Дж⋅с; е = 1,6⋅10-19 Кл.
λmin −?
Решение. Подлетая к аноду, электрон имеет энергию Е, равную работе
сил электрического поля:
Е = eU,
где е − элементарный заряд (заряд электрона).
При ударе об анод энергия электрона частично или полностью превращается в квант энергии hν = hc/λ. Наибольшей частоте (наименьшей длине волны)
соответствует случай, когда вся энергия Е превращается в квант. Тогда
Е = eU = hνmax = hc/λmin,
откуда находим
345
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
hc
6,62 ⋅ 10 −34 ⋅ 3 ⋅ 108
λmin =
=
= 41⋅10-12 м = 41 пм.
−19
4
eU
1,6 ⋅ 10 ⋅ 3 ⋅ 10
10 Литература, рекомендуемая для изучения физики
Зисман, Г.А. Курс общей физики в 3-х т. Т.3. Оптика. Физика атомов и
молекул. Физика атомного ядра и микрочастиц / Г.А. Зисман, О.М. Тодес. −
Лань, 2007. − 512 с. − Режим доступа: http://e.lanbook.com/view/book/508/
Савельев, И.В. Курс общей физики в 3-х т., Т.2. Электричество. Колебания и волны. Волновая оптика / И.В. Савельев.−М.: Лань.-2008. – 468 с. − Режим доступа: http://e.lanbook.com/view/book/347/
Савельев, И.В. Курс общей физики в 3-х т., Т.3. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твёрдого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. / И.В. Савельев.−М.: Лань.-2008. – 303 с. − Режим доступа:
http://e.lanbook.com/view/book/349/
Савельев, И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике / И.В. Савельев.−М.: Наука, 1988.−288 с.
Трофимова, Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова.−М.: Высшая школа,
2004.−544 с., 2005, 2006, 2007.
Трофимова, Т.И. Сборник задач по курсу физики с решениями / Т.И.
Трофимова, З.Г. Павлова.−М.: Высшая школа, 2003.−591 с.
Список использованных источников
Ахманов, С.А. Физическая оптика / С.А. Ахманов, С.Ю. Никитин. −М.:
Наука. 2004.− 656 с.
Волькенштейн, В.С. Сборник задач по общему курсу физики. / В.С.
Волькенштейн. − СПб.: Спец. лит., 2002. –327 с.
346
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Иродов, И.Е. Физика макросистем. Основные законы / И.Е. Иродов.−М.:
Лаборатория Базовых знаний, 2001.−208 с.
Иродов, И.Е. Задачи по общей физике / И.Е. Иродов.−М.: Лаборатория
Базовых знаний, 2001.−432 с.
Калашников, Н.П. Физика. Интернет-тестирование базовых знаний. /
Н.П Калашников, Н.М. Кожевников. − М.: Лань.-2009. – 150 с. − Режим доступа: http://e.lanbook.com/view/book/172/
Ландсберг, Г.С. Оптика / Г.С. Ландсберг. − М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. −
848 с.
Матвеев, А. Н. Оптика / А. Н. Матвеев.−М.: Высш. Шк., 1985.−351 с.
Савельев, И.В. Курс общей физики в 3-х т., Т.2. Электричество. Колебания и волны. Волновая оптика / И.В. Савельев.−М.: Лань.-2008. – 468 с. − Режим доступа: http://e.lanbook.com/view/book/347/
Савельев, И.В. Курс общей физики в 3-х т., Т.3. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твёрдого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. / И.В. Савельев.−М.: Лань.-2008. – 303 с. − Режим доступа:
http://e.lanbook.com/view/book/349/ 3
Сивухин, Д.В. Общий курс физики: учебное пособие для вузов в 5 т. /
Д.В. Сивухин.−М.: ФИЗМАТЛИТ МФТИ, 2003.
Т.4: Оптика.−752 с.
Савельев, И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. / И.В. Савельев.−М.: Лань.-2007. − 288 с. − Режим доступа:
http://e.lanbook.com/view/book/352/
Трофимова, Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова.−М.: Высшая школа,
2004.−544 с., 2005, 2006, 2007.
347
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение А
(справочное)
Основные физические константы
Скорость света в вакууме
с = 2,99792458⋅108 м/с
Гравитационная постоянная
G = 6,6720⋅10-11 Н⋅м2/кг2
Число Авогадро
NA = 6,0220943 . 1023 моль-1
k = 1,380662 . 10-23 Дж/К =
Постоянная Больцмана
= 8,625 . 10-5 эВ/К
е = 1,6021892 . 10-19 Кл
Элементарный заряд
ε0 = 8,85 . 10-12 Ф/м
Электрическая постоянная
k = (4 . π . ε0)-1 = 9 . 109 м/Ф
Магнитная постоянная
µ0 = 4 . π . 10-7 Гн/м = 12,56. 10-7 Гн/м
Постоянная Стефана-Больцмана
σ = 5,67032⋅10-8 Вт/(м2⋅К-4)
Постоянная закона смещения Вина
b = 0,2898 см⋅К
h=6,626176 . 10-34 Дж . с =
= 4,136 . 10-15 эВ . с
Постоянная Планка
ћ = h/2π=1,0545887 . 10-34 Дж . с
Комптоновская длина волны электрона
ΛC = 2,4263089⋅10-12 м
Комптоновская длина волны протона
ΛC,p = 1,3214099⋅10-15 м
Комптоновская длина волны нейтрона
ΛC,n = 1,3195909⋅10-15 м
Постоянная Ридберга
R = 3,29 . 1015 c-1
R′ = 1,097373143 . 107 м-1
Масса покоя электрона
me = 9,109534 . 10-31 кг
Атомная единица массы
1 а.е.м. = 1,6605655 . 10-27 кг
Первый Боровский радиус
r1 = 0,52917706 . 10-10 м
348
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение Б
(справочное)
Соотношения между единицами некоторых физических величин
Длина
1 Å (Ангстрем) = 1.10-10 м
1 пк (парсек) ≈ 3,1⋅1016 м
1 св. год (световой год) ≈ 0,95⋅1016 м
1 а.е. (астрономическая единица) ≈
≈ 1,456⋅1011 м
1 ферми = 10-15 м
Площадь
1 б (барн) = 1⋅10-28 м2
Масса
1 а.е.м. = 1,6605655.10-27 кг = 931 МэВ
Время
1 сутки = 86 400 с
1 мин = 60 с
1 час = 60 мин
1 сутки = 24 часа
1 год ≈ 3,1557.107 с
Возраст Вселенной ∼1017 с
Давление
1 бар = 1.105 Па
1 атм = 760 мм рт. ст. =1,01325.105 Па
1 ат = 1 кгс/см2 = 0,98.105 Па
1 торр = 1 мм рт. ст. = 133,3 Па
1 пз (пьеза) = 1 кПа
Энергия
1 эВ = 1,6021892.10-19 Дж
1 кал = 4,1868 Дж
Масса электрона
0,5110034 МэВ
Масса протона
938,2796 МэВ
Масса нейтрона
939,5731 МэВ
349
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение В
(справочное)
Некоторые сведения из математики
1 Алгебра
a
a:b = ;
b
a m a ⋅n ± b⋅m
± =
;
b n
b⋅n
m
n
m
a
=
⇔ a ⋅n = b⋅m ⇔
;
=
b
n
b
a
a ⋅a
n
m
n+m
=a
;
a m
a⋅n
: =
;
b n
b⋅m
b a ⋅c
a: =
;
c
b
a
a
:c =
;
b
b⋅c
an
= a n−m ;
m
a
(a )
n m
= a n ⋅m ;
a+b
≥
2
(a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2 ;
a2 - b2 = (a - b)(a + b);
(а ± b)3 = а3 ± 3а2b + 3аb2 ± b3;
a ⋅ b при a > 0, b > 0.
a+b
= a ⋅ b при a = b.
2
а3 ± b3 = (а ± b)(а2 m аb + b2);
− b ± b 2 − 4ac
;
ax + bx + c = 0; x1,2 =
2a
2
(a ≠ 0); x1 + x2 = - b ; x1 ⋅x2 = c ;
a
a
sinx ≈ x, cosx ≈ 1 − 1 x2, (x << 1);
2
(1 ± x)n ≈ 1 ± nx, ( x << 1; n ≠ 0; );
2 Тригонометрия
В
с
a
b
c
=
=
;
sinA sinB sinC
а
А
А
С
b
а
с
sinα = ; cosα= b ; tgα=
с
а
c2 = a2 + b2 – 2abcosC;
α
c
a2 + b2 = c2;
b
350
1 b
sinα a
= ;ctgα=
= ;
tgα a
cosα b
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
tgα =
x
±α
π
±α
2
sinx
±sinα
cosα
m sinα
-cosα
cosx
cosα
m sinα
-cosα
±sinα
tgx
±tgα
m ctgα
±tgα
m ctgα
0
π 

6
0
π 

4
0
3
π ±α
2
π ±α
π 

3
0
π 

2
0
1800 (π )
α
0 (0)
sinα
0
1
2
2
2
3
2
1
0
cosα
1
3
2
2
2
1
2
0
−1
tgα
0
3
3
1
3
∞
0
30
45
60
90
sin α
cos α
; ctgα =
; tgα⋅ctgα = 1; sin2α + cos2α = 1; sin2α = 2sinα⋅cosα;
cos α
sin α
tg2α + 1=
1
cos 2 α
; ctg2α + 1=
1
sin 2 α
sin(α ± β) = sinα⋅cosβ ± cosα⋅sinβ;
sin2α =
cos(α ± β) = cosα⋅cosβ m sinα⋅sinβ;
1
1
(1 - cos2α); cos2α = (1+cos2α);
2
2
cosα - cosβ = 2sin
sinα⋅sinβ =
cosα⋅cosβ =
α+β β−α
sin
;
2
2
sinα⋅cosβ =
1
[cos(α + β) + cos(α - β)];
2
x0 ⋅ π
180
sinα ± sinβ = 2sin
cosα + cosβ = 2cos
1
[cos(α - β) - cos(α + β)];
2
sinx ≈ tgx ≈ x, (x << 1); x =
1
sin 2 α = cos 2 α = .
2
; cos2α = cos2α - sin2α;
0
α+β
α −β
cos
;
2
2
1
[sin(α + β) + sin(α - β)];
2
tg(α ± β) =
tgα ± tgβ
1 m tgα ⋅ tgβ
, [x] = рад, [x0] = град;
351
α±β
αmβ
cos
;
2
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение Г
(справочное)
Основные формулы по физике
1
ε0 ⋅ µ0
с=
с − скорость света в вакууме (электродинамическая постоянная),
ε0 − электрическая постоянная, µ0 − магнитная постоянная.
v − скорость распространения света (электромаг-
v=
1
1
с
⋅
=
ε0 ⋅ μ0
ε ⋅μ
ε ⋅μ
α = α′
нитной волны) в среде: ε и µ − диэлектрическая и
магнитная проницаемости среды.
закон отражения света: угол падения α равен углу отражения α′.
закон преломления света (закон Снеллиуса-Декарта): отношение си-
sin α
=n21 нуса угла падения α к синусу угла преломления βесть величина поsin β
стоянная для данных сред.
n21 − относительный показатель преломления второй среды относиn21 =
.
n2
n1
L=n ℓ
тельно первой равен отношению их абсолютных показателей преломления.
L − оптическая длина пути: ℓ − геометрическая длина пути световой
волны в однородной среде с показателем преломления n.
принцип Ферма: это принцип наименьшей оптической длины пути
L, n – показатель преломления, ℓ - кривая, по которой распростра-
L = ∫ n ⋅ dl
l
няется свет. Луч света всегда распространяется в пространстве между двумя точками по тому пути, вдоль которого время его прохождения меньше, чем вдоль любого из других путей, соединяющих эти точки.
352
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
показатели преломления двух сред обратно пропорциональны ско-
v
n2
= 1
n1
v2
ростям распространения в них света.
соотношение между длинами волн света (электромагнитной вол-
λ0
с
=n; n=
λ
v
ны) в вакууме − λ0 и в среде − λ; n − абсолютный показатель преломления среды (n > 1); с и v − скорости света в вакууме и среде.
формула, связывающая показатель преломления n с диэлектрической
n= ε
проницаемостью ε.
n2
n1
sinαпр= n21=
αпр − предельный угол полного внутреннего отражения, угол
преломления β=900 (sin β = 1), n2<n1.
формула сферического зеркала: d и f − расстояния от (полюса)
1 2 1 1
= = +
F R d f
зеркала до предмета и изображения, соответственно; F − фокусное расстояние зеркала; R − радиус кривизны зеркала.
Г − линейное увеличение, даваемое сферическим зеркалом; у′ и у
у′ f
Г= =
у d
− линейные размеры изображения и предмета
формула двояковыпуклой линзы: n21 − относительный показатель преломления линзы по отношению
 1
1
1  к окружающей среде, R и R − радиусы кривизны

1
2
D= =(n21 − 1) 
+
F
R
R
 1
2
поверхностей линзы, D − оптическая сила и F − фокусное расстояние линзы.
1 1 1
D= = +
F d f
у′ f
Г= =
у d
формула тонкой линзы: d и f − расстояния от линзы до предмета
и изображения, соответственно.
Г − увеличение, даваемое линзой: y ′ и у − размеры изображения и
предмета, d и f − расстояния от линзы до предмета и изображения.
353
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
d
Г= 0
F
Г − увеличение лупы: d0=25 см − расстояние наилучшего зрения для
нормального глаза, F − фокусное расстояние лупы.
условие интерференционных максимумов: (ℓ2 − ℓ1) − разность
k(ℓ2 − ℓ1) =2πm; хода двух когерентных волн, возбуждающих колебания в дан2π
ной точке; λ −длина волны; k −волновое число; m=0, ±1, ±2,...
;
k=
λ
Максимум амплитуды наблюдается в точках, для которых разℓ2 − ℓ1= mλ
ность хода лучей равна нулю или целому числу длин волн.
условие интерференционных минимумов: k - волновое
1

k(ℓ2 − ℓ1) = 2π  m +  ;
2

1 λ

ℓ2 − ℓ1=  m + 
2 2

число; m=0, ±1, ±2, ... Минимум амплитуды результирующего колебания наблюдается в точках, для которых разность хода лучей равна нечётному числу полуволн.
опыт (метод) Юнга: ∆х − ширина интерференционной полосы − расстояние между соседними светлыми или соседними тёмными полоλ
∆х = L; сами; d − расстояние между двумя когерентными источниками, наd
λ ходящимися на расстоянии L от экрана, параллельного линии, со∆α =
d единяющей источники; L>>d. ∆α − угловое расстояние между соседними светлыми (или тёмными) полосами.
rm − радиусы тёмных колец Ньютона в отражённом свете (или
rm= mλR
светлых − в проходящем свете); m=1,2,3... − номера колец, R − радиус кривизны линзы, λ − длина волны света.
1

rm=  m − λR
2

rm − радиусы светлых колец Ньютона в отражённом свете
(или тёмных − в проходящем свете), m = 1,2,3....
354
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
просветление оптики (условия гашения интерферирующих лучей в отраженном свете): d − толщина плёнки, при которой в ре-
λ
n d=
4
.
зультате интерференции наблюдается гашение отражённых лу-
1

n.d=  m + λ
4

чей; n − показатель преломления пленки; λ − длина волны света,
для которой выполняется условие гашения; nс − показатель преломления стекла (материала линзы); m=0, 1, 2,...
условие дифракционных минимумов от одной щели: m = 0, ±1,
bsinϕ=mλ
±2,... − порядок минимума; b − ширина щели; λ − длина волны света; ϕ − угол дифракции.
условие главных максимумов дифракционной решётки: m = 0, ±1,
dsinϕ=mλ
±2,... − порядок максимума; d − период решетки; λ − длина волны
света; ϕ − угол дифракции.
1
d=
N
d − период дифракционной решетки: N − число щелей (штрихов), приходящихся на единицу длины решетки (длиной l).
mmax − максимальный порядок дифракционных максимумов ди-
m max =
d
λ
фракционной решетки (берется целая часть от полученного значения).
nmax=2mmax+1
nmax − общее число максимумов, даваемых дифракционной решеткой.
δϕ
Dϕ=
δλ
Dϕ − угловая дисперсия: δϕ − угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на δλ.
355
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
δL
DL=
δλ
DL − линейная дисперсия: δL − линейное расстояние на экране между
спектральными линиями, отличающимися на δλ.
R − разрешающая способность: δλ − минимальная разность длин волн
R=
λ
δλ
спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно.
R − верхний предел разрешающей способности дифракционной ре-
R = mN
шётки: m − порядок спектра; N − число щелей, на которые падает
свет.
rm − радиус внешней границы m-й зоны Френеля для сферической волны: m – номер зоны Френеля; λ – длина волны; a и b –
rm =
ab
mλ
a+b
соответственно, расстояния диафрагмы с круглым отверстием
от точечного источника и от экрана, на котором дифракционная
картина наблюдается.
формула Брэгга-Вульфа: d − межплоскостное расстояние в кри2dsinα=mλ
сталле; α − угол скольжения; d − период решетки; λ − длина волны
рентгеновского излучения; m = 0, ±1, ±2,... − порядок максимума.
закон Малюса: I0 − интенсивность поляризованного света, падающего на второй поляризатор (анализатор) и I −интенсивность света,
I=I0cos2α
вышедшего из второго поляризатора; α − угол между главными
плоскостями двух скрещенных поляризаторов (поляризатора и анализатора).
I − интенсивность естественного света, прошедшего через два
1
2
I = Iест⋅ cos α
поляризатора. I = ½⋅Iест при α = 0.
2
356
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
закон Брюстера: тангенс угла (Брюстера) падения равен относительному показателю преломления n21 второй среды относительно
первой; при этом отражённый луч является плоскополяризованным
tgϑБр=n21
(линейнополяризованным), а отражённый и преломлённый лучи будут взаимно перпендикулярными. ϑБр − угол Брюстера или угол
полной поляризации.
Р=
Р – степень поляризции: Imax и Imin − пределы изменения интен-
I max − I min
I max + I min
сивности частично поляризованного света.
δ − разность фаз между обыкновенным и необыкновенным лучами
δ = 2πВℓЕ2 на пути ℓ в ячейке Керра; В – постоянная Керра; Е − напряжённость поля.
ϕ − угол поворота плоскости поляризации оптически активными вещеϕ = αℓ ствами: ℓ − толщина оптически активного слоя; α − постоянная вращения.
ϕ − угол поворота плоскости поляризации в растворах: ℓ − толщина
ϕ = αсℓ оптически активного слоя; α − удельная постоянная вращения; с –
концентрация раствора.
ϕ − угол поворота плоскости поляризации в продольном магнитном
ϕ = VℓB
поле (эффект Фарадея): V – постоянная Верде (или магнитная вращательная способность); ℓ − длина пути света в веществе; В – магнитная индукция.
v = ω/k
u=
dω
dk
v − фазовая скорость: ω − частота волны; k − волновое число.
u − групповая скорость.
357
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
формула Рэлея: u − групповая скорость: v − фазовая скорость.
u=v −λ
dv
dλ
dv/dλ > 0 − нормальная дисперсия: dv/dλ < 0 − аномальная дисперсия; u = v при dv/dλ = 0 − дисперсия отсутствует.
закон Бугера: I − интенсивность света, прошедшего через однородI = I0e
-ϰℓ
ное вещество; I0 − интенсивность волны, вступающей в вещество
толщиной ℓ; ϰ − коэффициент поглощения, зависящий от длины
волны.
закон Бугера для растворов: I − интенсивность света, прошедшего
I = I0e
-κCℓ
через раствор; I0 − интенсивность волны, вступающей в раствор
толщиной ℓ; κ − коэффициент, определяемый свойствами вещества,
растворённого в растворителе; С – концентрация раствора.
изменение интенсивности света при распространении в мутной среде; µ = ϰ + ϰ′; ϰ′ − коэффициент экстинкции, связанный с рассеи-
I = I0e
-µℓ
вающими свойствами среды; ϰ − коэффициент экстинкции, связанный с поглощающими свойствами среды.
1
I∼ω ∼ 4
λ
4
закон Рэлея: зависимость интенсивности I рассеянного света от
частоты ω или длины волны λ.
зависимость интенсивности рассеянного света от угла рас-
I = I0(1 + cos2ϑ)
сеяния ϑ; I0 − интенсивность света, рассеянного под прямым
углом (ϑ = π/2) к направлению первичного светового пучка.
358
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
закон Кирхгофа: отношение лучеиспускательной к поглощательной способности не зависит от природы тела, оно является
для всех тел одной и той же (универсальной) функцией частоты
rν ,T
a ν ,T
= f(ν,T)
и температуры; f(ν, T) – универсальная функция Кирхгофа; rν,Т −
спектральная плотность энергетической светимости, или лучеиспускательная способность тела; аν,Т − поглощательная способность тела.
закон Стефана-Больцмана: энергетическая светимость (энергия, исR = σT
пускаемая единицей поверхности нагретого тела за единицу времени)
4
любого тела пропорциональна абсолютной температуре в четвёртой
степени; σ − постоянная Стефана-Больцмана.
закон смещения Вина: Длина волны λmax, на которую приходится
λmax = b/T
максимум спектральной плотности излучательной способности абсолютно чёрного тела, обратно пропорциональна абсолютной температуре; b − постоянная Вина.
формула Рэлея-Джинса: лучеиспускательная способность тела
2πν 2
kT
rν,T =
монотонно возрастает с ростом ν2.
с2
2πν 2
hν
с 2 e hν / kT − 1
2πhc 2
1
rλ,T =
hc / kTλ
5
e
−1
λ
rν,T =
ε=hν=h
р=
c
λ0
hν h
=
c λ0
формула Планка выражает универсальную функцию
Кирхгофа f(ν,T) − лучеиспускательную способность
абсолютно чёрного тела.
ε − энергия фотона: ν − частота и λ0 − длина световой волны в вакууме, h − постоянная Планка, с − скорость света в вакууме.
р − импульс фотона.
359
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
m=
ε
hν
=
с2
с2
ε = р⋅c
m − масса фотона, с − скорость света в вакууме.
соотношение между энергией ε и импульсом р фотона.
1
hν=A+ mvmax2
2
уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта: hν − энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы выхода А из металла и на сообщение ему кинети-
eUЗ=h (ν − ν0)
A= hν0 = h
λ0 =
с
λ0
ческой энергии
1
1
mvmax2, m − масса электрона, mvmax2 = eUЗ,
2
2
UЗ − задерживающее напряжение, e − элементарный заряд,
λ0 − граничная длина волны (красная граница фотоэффекта),
с
ν0
h − постоянная Планка.
Р − давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность: I = Nhν интенсивность излучения
I
Р= (1+ρ)=ω(1+ρ)
c
(энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени); ρ − коэффициент отражения; ω −
объемная плотность энергии излучения.
2h
ϑ
sin 2
∆λ=
m 0c
2
h
ΛC =
m 0c
ΛC =2,426 пм
eU
h
с
сh
λmin =
=
ν max
eU
νmax =
эффект Комптона − изменение длины волны электромагнитного излучения при рассеянии фотонов на свободных электронах с массой покоя m0: ϑ − угол рассеяния фотона, ∆λ −
изменение длины волны рассеянного фотона, ΛC − комптоновская длина волны; с − скорость света в вакууме, h − постоянная Планка.
λmin − коротковолновая граница рентгеновского спектра:
U − ускоряющее напряжение.
360
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
закон Мозли связывает частоты линий рентге1 
 1
2
−

2
ν = R(Z − σ)  k
n2 
новского спектра с атомным номером Z: R −
постоянная Ридберга; σ − постоянная, учитывающая
экранирующую роль окружающих ядро электронов;
k = 3, 4, 5…; n = k + 1, k + 2, k + 3…
λ=
соотношение де-Бройля: λ − дебройлевская длина волны частицы им-
h
р
пульсом р, h − постоянная Планка.
соотношение де-Бройля для нерелятивистской частицы
h
h
или λ=
λ=
mv
2mT
h
v2
1− 2
λ=
mv
c
λ=
hc
T(T + 2mc 2 )
(v<<c): m – масса частицы; v – скорость частицы; T –
кинетическая энергия частицы.
соотношение де-Бройля для релятивистской частицы (v ≈ c):
m – масса частицы; v – скорость частицы; с − скорость света; T – кинетическая энергия частицы.
v − фазовая скорость волны де-Бройля: ω − циклическая частота;
v = ω/k =
k = 2π/λ − волновое число; Е = ħω − энергия частицы; р = kħ − им-
2
Е/р = с /v
u=
пульс частицы; ħ =
dω dE
=
dk
dP
h
.
2π
u − групповая скорость волны де-Бройля.
361
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение Д
(справочное)
Таблицы физических величин
Таблица Д.1 - Работа выхода электрона из металлов (эВ)
Алюминий
Барий
Висмут
Вольфрам
Германий
Железо
Золото
Калий
Кальций
Кобальт
Литий
Магний
Медь
3,74
2,29
4,62
4,5
4,8
4,74
4,68
2,0
2,8
4,25
2,4
3,46
4,47
Молибден
Натрий
Никель
Оксид бария
Платина
Ртуть
Рубидий
Серебро
Тантал
Титан
Торий
Цезий
Цинк
4,2
2,3
4,84
0,99
5,29
4,52
2,13
4,74
4,07
3,92
3,4
1,97
4,0
Таблица Д.2 - Интервалы длин волн, соответствующие различным цветам спектра
Цвет спектра
Фиолетовый
Синий
Сине-зелёный
Зелёный
Интервал длин
волн, нм
400 – 430
430 – 450
450 – 500
500 – 570
Цвет спектра
Жёлтый
Оранжевый
Красный
Интервал длин
волн, нм
570 – 600
600 – 630
630 – 760
Таблица Д.3 - Показатели преломления (средние для видимых лучей)
Азот
Алмаз
Бензол
Вода (20 0С)
Воздух
Глицерин
Каменная соль
Кварц
Кислород
1,00030
2,42
1,50
1,33
1,00029
1,47
1,54
1,54
1,00027
Лёд (− 4 0С)
Масло кедровое
Плексиглас
Скипидар
Стекло
Сероуглерод
Скипидар (20 0С)
Спирт этиловый
362
1,31
1,52
1,50
1,47
1,5
1,630
1,47
1,36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Д.4 - Показатели преломления для кристаллов с двойным лучепреломлением
Длина волны
Исландский шпат
Цвет
λ, нм
Кварц
ne
n0
ne
n0
687
Красный
1,484
1,653
1,550
1,541
656
Оранжевый
1,485
1,655
1,551
1,542
589
Жёлтый
1,486
1,658
1,553
1,544
527
Зелёный
1,489
1,664
1,556
1,547
486
Голубой
1,491
1,668
1,559
1,550
431
Синефиолетовый
1,495
1,676
1,564
1,554
400
Фиолетовый
1,498
1,683
1,568
1,558
Таблица Д.5 – Вращение плоскости поляризации в кварце
Длина волны λ, нм
275
344
373
405
436
490
Постоянная враще-
120,0
70,6
58,8
48,9
41,5
31,1 21,8 17,4 16,6
590
656
670
ния α, град/мм
Таблица Д.6 – Магнитное вращение плоскости поляризации (λ = 589 нм, при
комнатной температуре)
Жидкость
Постоянная Верде
Бензол
2,59
Вода
0,016
V, угл. мин/Å
363
Сероуглерод
0,053
Спирт этиловый
1,072
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Д.7 – Массовые коэффициенты ослабления (рентгеновское излучение,
узкий пучок)
λ, пм
Массовый коэффициент ослабления µ/ρ, см2/г
Воздух
Вода
Алюминий
Медь
Свинец
10
0,16
0,16
0,36
3,8
20
0,18
0,28
1,5
4,9
30
0,29
0,47
4,3
14
40
0,44
1,0
9,8
31
50
0,48
0,66
2,0
19
54
60
0,75
1,0
3,4
32
90
70
1,3
1,5
5,1
48
139
80
1,6
2,1
7,4
70
90
2,0
2,8
11
98
100
2,6
3,8
15
131
150
8,7
12
46
149
200
21
28
102
168
250
39
51
194
198
Таблица Д.8 - Греческий алфавит
Α, α - альфа
Β, β - бета
Γ, γ - гамма
∆, δ - дельта
Ε, ε - эпсилон
Ζ, ς - дзета
Η, η - эта
Θ, θ, ϑ - тэта
Ι, ι - йота
Κ, κ, æ - каппа
Λ, λ - лямбда
Μ, µ - мю
Ν, ν - ню
Ξ, ξ - кси
Ο, ο - омикрон
Π, π - пи
364
Ρ, ρ - ро
Σ, σ - сигма
Τ, τ - тау
Υ, υ - ипсилон
Φ, ϕ - фи
Χ, χ - хи
Ψ, ψ - пси
Ω, ω - омега
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
746
Размер файла
1 899 Кб
Теги
физики, 2312, курс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа