close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2314.Математика

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Настоящее пособие предназначено для того, чтобы облегчить студентам и слушателям усвоение учебного материала и подготовку к зачету и экзамену по дисциплине "Математика".
Авто-составитель: кандидат физико-матических наук
К.Н. Рождественский.
Допущено к использованию в учебном процессе
учебно-методическим советом ИЗУ ВПА.
Председатель
УМС ИЗУ ВПА
к.пед.н. А.Ю. Соловьев
Подготовлено к изданию редакционно-издательским отделом ИЗУ ВПА.
Продаже и передаче в другие учебные
заведения не подлежит.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
РАЗДЕЛ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Понятие производной
2. Основные теоремы дифференциального исчисления
3. Общая схема исследования функций и построение их графиков
4. Экономический смысл производной
РАЗДЕЛ 2. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Понятие о функции двух переменных
2. Предел функции в точке
3. Непрерывность и дифференцируемость функции двух переменных
4.Производная по направлению и градиент
5. Экстремумы функций двух переменных
6.Теория функций многих переменных и основные зависимости,
используемые в экономике
РАЗДЕЛ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Неопределенный интеграл и его свойства
2. Замена переменной в неопределенном интеграле (метод подстановки)
3. Интегрирование по частям
4. Интегрирование элементарных дробей
5. Интегрирование рациональных дробей
6. Интегрирование тригонометрических функций
7. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
РАЗДЕЛ 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Задача нахождения площади криволинейной трапеции
2. Определение определенного интеграла
3. Интеграл с переменным верхним пределом
4. Формула Ньютона-Лейбница
5. Замена переменной в определенном интеграле
6. Интегрирование по частям
7. Несобственные интегралы
РАЗДЕЛ 3. ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
1. Площадь плоской фигуры
2. Объем тела вращения
Задания контрольно-курсовой работы
Примеры решения задач
ЛИТЕРАТУРА
4
4
5
14
22
23
29
30
31
36
38
45
55
57
57
58
59
61
61
63
63
66
67
67
68
68
71
71
76
82
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
В настоящем пособии представлены материалы курса «Математика»,
содержание которых составляют два важнейших раздела высшей матем атики «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление
функции одной переменной».
После изучения теоретических разделов необходимо ответить на вопросы для самопроверки, а затем приступить к выполнению контрольно курсовой работы (ККР). В пособии приведены образцы оформления и
выполнения заданий ККР.
Учебным планом предусмотрено, что дисциплина завершается зач етом. К итоговому зачету допускаются студенты, полностью выполнившие
учебный план. Студент считается полностью выполнившим учебный
план, если у него имеется зачтенная ККР.
Пособие содержит задания по выполнению ККР, а также решения некоторых задач, тщательный разбор которых поможет студенту -заочнику
выполнить данную контрольную работу. ККР должна быть выполнена в
отдельной тетради, на обложке тетради должны быть указаны фами лия
студента, его инициалы, полный учебный шифр (№ зачетной книжки),
номер варианта ККР, название дисциплины. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании по варианту. Контрольные работы,
содержащие не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не
зачитываются.
Задачи ККР следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. Перед решением каждой задачи надо по лностью переписать ее условие.
Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объ ясняя и
мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
Чертежи и графики должны быть выполнены с указанием единиц масштаба, координатных осей и других элементов чертежа. Объяснения к задачам должны соответствовать тем обозначениям, которые даны на чертеже.
Для замечаний преподавателя необходимо на каждой странице
оставлять поля шириной 2–3 см.
В случае получения отрицательной рецензии на ККР студент должен
исправить отмеченные ошибки и недочеты и выполнить рекомендации
рецензента. Поэтому желательно оставлять в конце тетради несколько
чистых листов для дополнений и исправлений в соответствии с указани ями рецензента. Вносить исправления в текст работы после ее рецензир ования запрещается.
Студент выполняет вариант ККР, совпадающий с последней цифрой
его учебного шифра. Требуется представить решение одиннадцати заданий.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 1. Дифференциальное исчисление
Раздел 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1. Понятие производ ной
Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть
функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t.
Найдем производительность труда в момент t0 . За период от t 0 до t0 +t
количество продукции изменится от u(t0 ) до u0 +u = u(t0 +t). Тогда средняя производительность труда за этот период z = u/t, поэтому производительность труда в момент t0
z = limt0 u/t.
Определение. Производной функции y = f(x) в фиксированной точке
x называется предел
limx0 y/x
при условии существования этого предела.
Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'.
Пример 1. Вычислить производную функции y = sin x. Найдем приращение функции:
y = sin(x+x) - sin x = 2sin(x/2) cos (x+x/2).
По определению производной
(sin x)’ = limx0 y/x = limx0 (cos (x+x/2)(sin x/2)/(x/2)) = cos x,
так как
limx0 cos (x+x/2) = cos x.
Таким образом,(sin x)' = cos x.
Необходимым и достаточным условием существования производной
является равенство f' (x+0) = f' (x-0).
Пример 2. Доказать, что f(x) = 3|x|+1 не имеет производной в точке
x=0.
Составим
y = 3(0+x)+1-1=3x при x>0. При x<0 y = -3(0+x)+1-1=-3x,
значит,
limx0-0 y/x =-3, limx0+0 y/x =3.
Поэтому данная функция не имеет производной в точке x=0.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Геометрический смысл производной
Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной
на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение x 0, причем x+x  (a,b). Пусть точки M,P - точки на графике f(x),
абсциссы которых равны x, x+x (рис.1). Координаты точек M и P имеют
вид M(x,f(x)), P(x+x, f(x+x)). Прямую, проходящую через точки M,P
графика функции f(x) будем называть секущей. Обозначим угол наклона
секущей MP к оси ОX через  (x).
Определение. Если существует предельное положение секущей MP
при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при x0), то
это предельное положение называется касательной к графику функции
f(x) в данной точке M этого графика.
Из данного определения следует, что для существования касательной
к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел
limx0 (x) = 0 , который равен углу, образованному касательной с
положительным направлением оси OX.
Справедливо утверждение:
Предложение 1. Если f(x) имеет в данной точке x производную, то
существует касательная к графику функции f(x) в точке M(x,f(x)) , причем угловой коэффициент этой касательной равен производной f'(x).
Из этого утверждения вытекает геометрический смысл производной.
Производная f'(x0 ) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке x0 , который в свою очередь равен tg угла
наклона касательной к графику функции.
Тогда уравнение касательной к кривой f(x) в точке x0 имеет вид
y = f(x0 )+f'(x0 )(x-x0 ).
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 3. Составить уравнение касательной к кривой y = 2x2 -x+5
при x = -0,5.
Решение. Найдем производную в точке x = -0,5.
y' = 4x-1, y'(-0,5) = -3.
Уравнение касательной имеет вид:
y = 6-3(x+0,5) или y = -3x+4,5.
Дифференцируемость функции
Пусть функция определена на интервале (a,b).
Определение. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x,
если приращение y этой функции в точке x представимо в виде
y =Ax +(x) x,
(1)
где A - некоторое число, не зависящее от x, а limx0 (x ) = 0.
Равенство 1 можно переписать иначе, так как функции (x), x бесконечно малые и их произведение тоже бесконечно малая функция,
поэтому
y =Ax +o(x).
(2)
Справедлива теорема
Теорема 1. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке
x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную
производную.
Пример 4. Доказать, что функция |x| не дифференцируема в точке
x=0.
Решение. Найдем приращение функции в точке x=0: y = |x|.
Поэтому limx0- y/x = -1, limx0+ y/x =1,
следовательно, функция |x| в точке x=0 не дифференцируема.
Следующая теорема выражает связь между непрерывностью и
дифференцируемостью.
Теорема 2 (дифференцируемость и непрерывность). Если функция
дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.
Заметим, что из непрерывности в данной точке не следует
дифференцируемость в этой точке. Это видно из рассмотренного примера
4.
Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна.
Если функция имеет непрерывную производную на некотором множестве
X, то функция называется гладкой на этом множестве. Если производная
допускает конечное число точек разрыва (причем первого рода), то такая
функция называется кусочно гладкой.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Правила дифференцирования
Приведем основные правила для нахождения производной:
1. Производная постоянной равна нулю, то есть
c' = 0.
2. Производная
алгебраической
суммы
конечного
числа
дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих
функций, то есть
(u(x) v(x))' = u' (x) v' (x).
3. Производная произведения двух дифференцируемых функций
равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс
произведение первого сомножителя на производную второго, то есть
(u(x) v(x))' = u' (x) v(x)+u(x) v' (x).
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак
производной:
(c u(x))' = c u' (x).
4. Производная частного двух дифференцируемых функций может
быть найдена по формуле
(u(x)/v(x))' = (u' (x)v(x)-u(x)v' (x))/v2 (x)
при условии, что v(x) 0.
Дифференцирование сложной и обратной функций
Приведем правило по которому можно найти производную сложной
функции
y = f((t)).
Теорема (дифференцирование сложной функции). Пусть функция
x = (t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема
в соответствующей точке x = (t). Тогда сложная функция y = f((t))
дифференцируема в точке t, причем справедлива формула
(f ((t)))' = f'(x) '(t).
(3)
Пример 5. Найти y', если y = 5cos x.
y' = 5cos x(-sin x) ln 5=-5cos x sin x ln 5.
Для нахождения производной обратной функции существует
следующее правило, а именно справедлива теорема
Теорема (производная обратной функции). Пусть функция y = f(x)
возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки
x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x)0.
Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x)
определена обратная функция x = f-1 (y), причем обратная функция
дифференцируема в точке x = f -1 (y) и для ее производной справедлива
формула
(f -1 (y))' = 1/f'(x).
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть M – точка графика функции f(x), (рис.2), производная f'(x) равна тангенсу угла наклона
 касательной, проходящей через M, к оси OX, а производная обратной
функции (f-1 (y))' в соответствующей точке y = f(x) равна тангенсу угла
наклона  той же самой касательной к оси OY. Так как углы наклона
/2, то формула нахождения производной обратной функции выр ажает очевидный факт: tg  = 1/tg .
Пример 6. Найти x'y, если y = 2x3 +3x5 +x . Имеем y' = 6x2 +15x4 +1,
тогда x'y = 1/y'x = 1/(6x2 +15x4 +1).
Таблица производных простейших элементарных функций
Легко получить следующую таблицу производных основных
элементарных функций, используя определение производной.
1. (u(x))' =  u-1 (x) u'(x),
в частности,
(1/u(x))' = -u' (x) / u2 (x),
( u(x) )' = u' (x)/(2 u(x) );
2. (log a u(x))' = (u'(x)log a e)/u(x) при 0<a  1, u(x)>0,
в частности,
(ln u(x))' = u'(x)/u(x);
u
u
3. (a (x))' = a (x) ln a u'(x) при 0<a  1,
в частности,
u
u
(e (x))' = u'(x) e (x);
4. (sin u(x))' = cos u(x) u'(x);
5. (cos u(x))' = - sin u(x) u'(x);
6. (tg u(x))' = u'(x) / cos 2 u(x), x/2+ n, n=0,1,...;
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. (ctg u(x))' = - u'(x) / sin 2 u(x), x n, n=0, 1,...;
8. (arcsin u(x))' = u'(x) / 1  u 2 ( x) , -1<u(x)<1;
9. (arccos u(x))' = -u'(x) / 1  u 2 ( x) , -1<u(x)<1;
10. (arctg u(x))' = u'(x) / (1+u2 (x));
11. (arcctg u(x))' = -u'(x) / (1+u2 (x)).
Пример 7. Найти y', если
1. y(x) = x3 arcsin x =>
2. y(x) = ln sin (x2 +1) =>
y  3x 2 arcsin x  x 3 / 1  x 2
y' = (2x cos(x2 +1))/sin(x2 +1) =
= 2x ctg(x2 +1).
Замечание. Производная любой элементарной функции является
элементарной функцией, то есть операция дифференцирования не
выводит из класса элементарных функций.
Производ ная степенно-показательной функции
Пусть функция f(x) положительна и дифференцируема в точке x.
Вычислим производную функции y = ln f(x). Используя правило
дифференцирования сложной функции, получим
y' = f' (x)/f (x).
Это выражение называется логарифмической производной f(x). Пусть
задана функция y = f(x)g(x), f(x)>0, причем f(x), g(x) - дифференцируемые
функции в данной точке. Вычислим производную этой функции.
При этих ограничениях функция z(x) = ln y(x) = g(x)ln f(x) будет
дифференцируемой в силу теоремы о дифференцируемости сложной
функции. Используя правило дифференцируемости произведения, найдем
(ln y(x))' = g'(x)ln f(x)+(g(x)f'(x))/f(x).
Или
y'(x)/y(x) = g'(x)ln f(x)+(g(x)f'(x))/f(x).
Отсюда
y'(x) = (f(x))g(x)(g'(x)ln f(x)+(g(x)f'(x))/f(x)).
Пример 8. Найти y', если y = (sin x)x. Найдем
ln y = x ln sin x,
тогда дифференцируя обе части равенства, получим
y'/y = ln sin x +(x cos x)/sin x.
Тогда
y' = (sin x)x(ln sin x +(x cos x)/sin x).
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала.
Инвариантность формы первого дифференциала
Рассмотрим функцию y = f(x), дифференцируемую в данной точке x.
Приращение y ее представимо в виде
y = f'(x)x +(x) x,
где первое слагаемое линейно относительно x, а второе является в точке
x=0 бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем x. Если
f'(x) 0, то первое слагаемое представляет собой главную часть
приращения y. Эта главная часть приращения является линейной
функцией аргумента x и называется дифференциалом функции y = f(x).
Если f'(x)=0, то дифференциал функции по определению считается
равным нулю.
Определение (дифференциал). Дифференциалом функции y=f(x)
называется главная линейная относительно x часть приращения y,
равная произведению производной на приращение независимой
переменной
dy = f' (x) x.
Заметим, что дифференциал независимой переменной равен
приращению этой переменной dx = x. Поэтому формулу для
дифференциала принято записывать в следующем виде:
dy = f' (x)dx.
(4)
Выясним, каков геометрический смысл дифференциала. Возьмем на
графике функции y = f(x) произвольную точку M(x,y) (рис 2.). Проведем
касательную к кривой y = f(x) в точке M, которая образует угол  с
положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tg . Из
прямоугольного треугольника MKN
KN = MN tgx tg  = f'(x) x,
то есть dy = KN.
Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты
касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке,
когда x получает приращение x.
Отметим основные свойства дифференциала, которые аналогичны
свойствам производной.
1. d c = 0;
2. d(c u(x)) = c du(x);
3. d(u(x)  v(x)) = du(x)  dv(x);
4. d(u(x) v(x)) = v(x) du(x) + u(x) dv(x);
5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) du(x) - u(x) dv(x)) / v2 (x).
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Укажем еще на одно свойство, которым обладает дифференциал, но
не обладает производная. Рассмотрим функцию y = f(u), где u =  (x), то
есть рассмотрим сложную функцию y = f((x)). Если каждая из функций f
и  являются дифференцируемыми, то производная сложной функции
согласно теореме (3) равна y' = f'(u)· u'. Тогда дифференциал функции
dy = f' (x)dx = f' (u) u' dx = f' (u) du,
так как u' dx = du. То есть
dy = f' (u)du.
(5)
Последнее равенство означает, что формула дифференциала не
изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от
переменной u. Это свойство дифференциала получило название
инвариантности формы первого дифференциала.
Замечание. Отметим, что в формуле (4) dx = x, а в формуле (5) du
является лишь линейной частью приращения функции u.
Производ ные и дифференциалы высших порядков
Предположим, что функция f'(x) является дифференцируемой в
некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке
производную. Тогда данную производную называют второй производной
и обозначают f(2)(x), f''(x) или y(2), y''(x). Аналогично можно ввести понятие
второй, третьей и т. д. производных. По индукции можно ввести понятие
n-ой производной:
y(n) = (y(n-1))'.
(6)
Функцию, имеющую на некотором множестве конечную
производную порядка n, называют n раз дифференцируемой на этом
множестве. Методика нахождения производных высших порядков
предполагает умение находить производные первого порядка, о чем
говорит формула (6).
Если u(x), v(x) две дифференцируемые функции, то для нахождения
производной их произведения справедлива формула Лейбница
(u(x)v(x))(n) = u(n)v + n u(n-1)v' + (n(n-1)/2) u(n-2)v'' +...+ uv(n) =
n
=

Cn k u(n-k) v(k),
к 0
где
Cn k = (n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/k!, u(0) = u, v(0) = v, k!=1·2·3·…·k.
Данная формула Лейбница особенно эффективна в случае, когда одна
из перемножаемых функций имеет конечное число отличных от нуля
производных и легко вычислить производные другой функции.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 9. Пусть y = ex(x2 -1). Найти y(10). Положим u(x) = ex,
v(x) = (x2 -1). Согласно формуле Лейбница
y(10) = (ex)(10)(x2 -1)+10(ex)(9)(x2 -1)'+(10· 9/2) (ex)(8)(x2 -1)'',
так как следующие слагаемые равны нулю. Поэтому
y(10) = ex (x2 -1)+10ex 2x+(10· 9/2)ex . 2 = ex(x2 +20x+89).
Рассмотрим выражение для первого дифференциала dy = f' (x)dx.
Пусть функция, стоящая в правой части, является дифференцируемой
функцией в данной точке x. Для этого достаточно, чтобы y = f(x), была
дифференцируема два раза в данной точке x, а аргумент либо является
независимой
переменной,
либо
представляет
собой
дважды
дифференцируемую функцию.
Определение (дифференциал второго порядка). Значение (dy)
дифференциала от первого дифференциала (4) при x = dx, называется
вторым дифференциалом функции y = f(x) и обозначается d 2 y.
Таким образом,
d 2 y =  (dy) .
n
Дифференциал d y можно ввести по индукции.
Определение. Значение (d n-1 y) дифференциала от (n-1)-го
дифференциала при  x = dx, называется n-м дифференциалом функции y
= f(x) и обозначается d n y.
Найдем выражение для d 2 y . При этом рассмотрим два случая, когда x
- независимая переменная и когда x = (t), то есть является функцией
переменной t.
1. Пусть x = (t), тогда d 2 =  (dy) =  (f'(x)dx) =
=  (f'(x)) dx+f'(x) (dx) = f''(x)(dx)2 +f'(x)d 2 x.
Итак,
d 2 y = f''(x)(dx)2 +f'(x)d 2 x.
(7)
2. Пусть x - независимая переменная, тогда d 2 y = f''(x)(dx)2 ,
так как в этом случае (dx) = (dx)' x = 0.
Аналогично, по индукции легко получить следующую формулу, если
x - независимая переменная:
d n y = f(n)(x)(dx)n .
Из этой формулы следует, что f(n) = d n y/(dx)n .
В заключение отметим, что дифференциалы второго и более высоких
порядков не обладают свойством инвариантности, что сразу видно из
формулы для дифференциала второго порядка (7).
Производ ная параметрически и неявно заданных функций
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть x =  (t),y =  (t), t  [a,b] - достаточно гладкие функции. Тогда
говорят, что функция задана параметрически. Примером параметрически
заданной функции является уравнение окружности:
x = a cos t, y = a sin t, t [0,2].
Рассмотрим вопрос о нахождении производных y = y(x) по
переменной x.
В силу свойства инвариантности формы первого дифференциала
следует, что y' = dy/dx, dy = '(t)dt, dx = '(t)dt. Поэтому y'(x) = '(t)/'(t).
Используя формулу для второго дифференциала, получим
y(2)(x) = d(y'(x)) / dx = (' (t)/' (t))' dt/' (t)dt =
= (''(t) ' (t) - '' (t) ' (t)) / (' (t))3 .
Чтобы вычислить третью производную, запишем y'''(x) в следующем
виде
y'''(x) = d(y''(x))/dx.
Пример 10. Функция задана параметрически
x = a(t - sin t), y = a(1-cos t).
Найти y''(x).
y't = a sin t, x't = a(1-cos t).
Отсюда
y'(x) = (a sin t)/(a(1-cos t)) = ctg (t/2), t  2 k.
y''(x) = d(ctg (t/2))/(a(1-cos t)) = -1/4sin 4 t/2.
Пусть функция задана неявно уравнением F(x,y)=0. Для нахождения
производной функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе
части уравнения, считая y = y(x) функцией от x, а затем из полученного
уравнения найти производную y'. Чтобы найти производные высших
порядков, нужно дифференцировать необходимое число раз уравнение
F(x,y)=0, и затем выразить нужную производную.
Пример 11. Найти y''(x), если x+y = ex-y.
Дифференцируем данное уравнение по x, считая y функцией от x.
1+y'x(x) = ex-y(1-y'x(x)), откуда y'x = (ex-y-1)/(1+ex-y).
Дифференцируя уравнение еще раз, получим
y''x(x) = ex-y(1-y'x(x))2 -ex-yy''x(x),
следовательно,
y''x(x) = (1-y'x)2 ex-y/(1+ex-y) = 4ex-y/(1+ex-y)3 .
2. Основные теоремы дифференциального исчисления
Рассмотрим ряд важных теорем, которые полезны при исследовании
функции. Справедлива
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема (Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и
дифференцируема на (a,b) , f(a) = f(b). Тогда внутри отрезка существует
по крайней мере одна точка ξ, такая, что f (ξ) = 0.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Геометрический смысл этой теоремы хорошо иллюстрируется на
следующем рисунке (рис.3): по теореме Ролля существует хотя бы одна
точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси
абсцисс, в этой точке производная равна нулю.
Отметим, что все условия теоремы существенны, при невыполнении
хотя бы одного из них утверждение теоремы неверно.
Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.
Теорема (Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и
дифференцируема на (a,b). Тогда внутри отрезка существует по крайней
мере одна точка ξ, такая, что
f'(ξ) = (f(b)-f(a))/(b-a).
(8)
Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на
рис.4. Заметим, что (f(b)-f(a))/(b-a) является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки A(a,f(a)),B(b,f(b)) кривой y = f(x), а f'(ξ)
есть угловой коэффициент касательной к той же кривой, проходящий ч ерез точку C(ξ,f(ξ)). Из теоремы Лагранжа следует, что на кривой y = f(x)
между точками A и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна секущей AB.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следствие. Если производная функции f(x) равна нулю на некотором
множестве, то функция тождественно постоянна на этом множестве.
Данное следствие автоматически следует из формулы (8).
Правило Лопиталя
Будем говорить, что отношение функций f(x)/g(x) представляет собой
неопределенность вида 0/0 при xa, если
limxa f(x) = limxa g(x) = 0.
Раскрыть неопределенность - это значит вычислить предел
limxa f(x)/g(x),
если он существует. Аналогично можно ввести понятие неопределенности
при xa-0 , (xa+0), x.
Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности
вида 0/0.
Теорема (правило Лопиталя). Пусть множество Ůδ (a) проколотая  - окрестность точки a, функции f(x), g(x) определены и
дифференцируемы на Ůδ , g'(x) 0,
limxa f(x) = limxa g(x) = 0.
Тогда если существует limxa f'(x)/g'(x), то существует и предел
limxa f(x)/g(x), причем справедливо соотношение
limxa f(x)/g(x) = limxa f'(x)/g'(x).
Данная теорема без изменений переносится на случай
неопределенности вида /.
Замечание. Сформулированная теорема представляет собой лишь
достаточное условие. То есть предел отношения функций может
существовать и в случае, когда предел отношения производных не
существует.
Например, пусть f(x)=x+sin x, g(x)=x-sin x, x. Попробуем
применить правило Лопиталя
limx(x+sin x)/(x-sin x) = (/) =
= limx(x+sin x)'/(x-sin x)' = limx (1+cos x)/(1-cos x),
но предел последнего выражения не существует, однако, если поделить
числитель и знаменатель на x, то легко получим конечное значения
предела:
limx(x+sin x)/(x-sin x) = limx (1+sin x/x)/(1-sin x/x) = 1.
Замечание. Если производные f'(x), g'(x) удовлетворяют тем же
требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применить
повторно, т.е. предел отношения первых производных можно заменить
пределом отношения вторых производных и т.д.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кроме рассмотренных выше видов неопределенностей вида 0/0 и /
часто встречаются неопределенности видов: 0· , 1, 0, 0 . Все эти
неопределенности сводятся к двум вида 0/0 и / путем алгебраических
преобразований. Продемонстрируем это на примере неопределенностей
вида 1, 0, 0 . Каждая из этих неопределенностей имеет вид
y = f(x)g(x) ,
(9)
где limx a f(x) = 1; 0; , limxa g(x) = ; 0. Прологарифмировав выражение
(9), получим (при f(x)>0 )
ln y = g(x) ln f(x).
Последнее
выражение
представляет
собой
при
x a
неопределенность вида 0·. Покажем, как свести неопределенность вида
0·  к неопределенности вида 0/0 или /.
Пусть y = f(x)g(x), где limxa f(x) = 0, а limx a g(x) = . Но y можно
записать иначе, а именно y = f(x)/(1/g(x)), а данное выражение
представляет собой при x a неопределенность вида 0/0.
Проиллюстрируем на примерах применение правила Лопиталя.
Пример 12. Применяя правило Лопиталя, вычислить пределы:
limx0 (eax-e-2ax)/ln (1+x) =( 0/0)= limx0 (aeax+2ae-2ax)/(1/(1+x)) = 3a.
2
2
limx( e1/ x -1)/(2arctg x2 -) = (0/0)= limx(-2x-3 e1/ x )/(4x/(1+x4 )) =
2
= limx - e1/ x (1+x4 )/2x4 = -½.
3.
limx1 (1/ln x - 1/(x-1)) = () = limx1 (x-1-ln x)/((x-1)ln x) =
=limx1 (1-1/x)/(ln x+1-1/x) = limx1 (x-1)/(xln x+x-1) = limx1 1/(ln x+2) = ½.
4.
limx+0 (1/x)sin x. Пусть y = (1/x)sin x, тогда ln y = sin x ln (1/x),
limx+0 ln y = limx+0 sin x ln (1/x).
limx+0 ln y = limx+0 (-ln x)/(1/sin x) = limx+0 (-1/x)/(-cos x/sin 2 x) =
=limx+0 sin 2 x/(x cos x) = 0.
Следовательно, limx0 y = e0 = 1.
1.
2.
Формула Тейлора
Теорема (теорема Тейлора). Пусть функция f(x) имеет в точке x=x0
и некоторой ее окрестности производные порядка n+ 1. Тогда между
точками x0 и x x0 найдется такая точка c, что справедлива следующая
формула:
f  x   f  x0  
n
f   x0 
f   x0 
f    x0 
2
n
 x  x0  
 x  x0   ... 
 x  x0   rn  x0 ; x 
1!
2!
n!
(10)
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Формула (10) называется формулой Тейлора, а выражение
rn  x0 ; x  
 c  x  x n1
 0
 n  1!
f
n 1
представляет остаточный член в форме Лагранжа. Заметим, что если
функция f(n+1)(x) ограничена в окрестности точки a, тогда остаточный член
является бесконечно малой при x x0 более высокого порядка, чем (x-x0 )n .
Таким образом, остаточный член можно записать в виде
Rn+1 (x) = o((x- x0 )n ) при x x0 .
Данная форма записи остаточного члена называется формой Пеано.
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при x0 = 0:
f  x   f  0 
n
f   0
f   0  2
f   0 n
x
x  ... 
x  rn  x 
1!
2!
n!
(11)
Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид

rn  x0 ; x   o  x  x0 
n
 при x 0.
Приведем разложения некоторых элементарных функций по формуле
Маклорена
x2
xn
e x  1  x   ...   o  x n  ;
2!
n!
 1 x 2n1  o x 2n2 ;
x3 x5 x 7
   ... 
 
3! 5! 7!
 2n  1!
n
sin x  x 
 1 x 2n  o x 2n1 ,
x2 x4 x6
cos x  1     ... 
 
2! 4! 6!
 2n !
2
ln 1  x   x 
 1 xn  o xn ;
x 2 x3 x 4
   ... 
 
2 3 4
n
n 1
n
1
  xk  o  xn  ,
1  x k 0
Выпуклость функции. Точки перегиба
Определение. Множество точек на плоскости называется выпуклым ,
если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком
содержится в этом множестве.
Примерами выпуклых множеств являются : треугольник, отрезок,
полуплоскость, вся плоскость.
Определение. Функция y=f(x) называется выпуклой вниз (вверх) на
множестве X, если для всех x1 ,x2  X выполняется неравенство
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f(1 x 1 +2 x 2 )1 f(x 1 )+ 2 f(x 2 ),
(f(1 x1 +2 x2 )1 f(x1 )+ 2 f(x2 )),
где 1  0,2  0, 1 +2 = 1.
Графики функций, выпуклых вниз и вверх, изображены на рис. 5.
Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на множестве X тогда и
только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке
монотонно возрастает (убывает).
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если f'(x)
возрастает (убывает) на множестве X, то возрастает (убывает) угол
наклона касательных к графику (рис.6). Это и означает выпуклость
функции вниз (вверх).
Приведем достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх).
Теорема (достаточное условие выпуклости). Если вторая
производная дважды дифференцируемой функции положительна
(отрицательна) на множестве X, то функция выпукла вниз (вверх) на
этом множестве.
Необходимое условие выпуклости слабее: если функция выпукла вниз
(вверх) на множестве X, то f''(x) 0, x X (или f''(x) 0 ) x X. Например,
функция y = x4 выпукла вниз на всей числовой прямой, но y'' = 12x2
обращается в ноль при x = 0.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение (точка перегиба). Точкой перегиба графика
непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в
которых функция имеет разные направления выпуклости.
Нетрудно заметить, что точки перегиба - это точки экстремума
первой производной. Отсюда следуют утверждения.
Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная f''(x)
дважды непрерывно дифференцируемой функции в точке перегиба x 0
равна нулю, т.е. f''(x0 ) = 0.
Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная
дважды дифференцируемой функции при переходе через точку x 0 , в
которой f''(x0 ) = 0 меняет свой знак, то x 0 есть точка перегиба ее
графика.
Заметим, что если в окрестности точки x1 функция выпукла вниз, то
график функции находится выше касательной, а если в окрестности точки
x2 функция выпукла вверх, то график функции находится ниже
касательной. В точке перегиба x0 касательная разделяет график - он лежит
по разные стороны касательной (рис. 7).
Рассмотрим пример, иллюстрирующий исследование функции на
выпуклость и точки перегиба.
Пример 13. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции
y=x4 +x3 -18x2 +24x -12.
Решение. Находим производные
y' = 4x3 +3x2 -36x+24,
y'' = 12x2 +6x-36.
Отсюда y'' = 0 при x1 = -2, x2 = 3/2. Следовательно, y''>0 на
интервалах (-,-2), (3/2,) и функция выпукла вниз; y''<0 на интервале
(-2, 3/2) и функция выпукла вверх на этом интервале. Так как при
переходе через точки x1 = -2 и x2 = 3/2 вторая производная меняет знак, то
точки (-2,-124) и (3/2,-129/16) являются точками перегиба.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Асимптоты графика функции
Определение (вертикальная асимптота). Прямая x=a называется
вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из
пределов limxa+0 f(x) или limxa-0 f(x) равен + или -.
Пример 14. График функции y = 1/(x-2) имеет вертикальную
асимптоту x = 2, так как limx2+0 1/(x-2) = +, limx2-0 1/(x-2) = - (рис.8).
Определение (наклонная асимптота). Говорят, что прямая y=kx+b
является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при x, если
f(x) имеет вид
f(x) = kx+b+  (x),
где limx (x) = 0.
Теорема (существование асимптот). Для того чтобы график
функции y=f(x) имел при x асимптоту y=kx+b, необходимо и
достаточно, чтобы существовали два предела
limx f(x)/x = k, limx (f(x) - kx) = b.
Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и
доказывается теорема при x.
Замечание. Если k=0 в определении наклонной асимптоты, то
наклонная асимптота является горизонтальной.
Пример 15. Найти асимптоты кривой:
y = 5x/(x-3).
Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3, так как
limx30 5x/(x-3) = .
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найдем наклонную асимптоту:
k = limx y/x = limx 5x/x(x-3) = 0,
b = limx (y-kx) =limx 5x/(x-3) = 5.
Итак, данная кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3 и
горизонтальную асимптоту y = 5.
3.
Общая схема исследования функций и построение их графиков
Для построения графика функции нужно провести следующие
исследования:
1. Найти область определения функции.
2. Найти область значения функции.
3. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или
периодической.
4. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и
выяснить характер разрывов.
5. Найти асимптоты графика функции.
6. Найти точки экстремума функции, установить интервалы
монотонности функции.
7. Найти точки перегиба графика функции, определить интервалы
выпуклости.
8. Найти точки пересечения с осями координат.
По полученным данным можно построить эскиз графика данной
функции.
Для примера построим график функции
y = 2x3 /(x2 -4).
1.
Функция определена и непрерывна при всех x R, кроме
точек x =  2.
2.
Область значения функции -  y R. (-квантор
всеобщности. Означает –
все y, принадлежащие множеству
действительных чисел).
3.
Функция нечетна, т.к. y(-x) = -y(x), график функции
симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно
провести исследование в интервале [0,).
4.
Прямая x = 2 является вертикальной асимптотой, т.к.
limx2 0 2x3 /(x2 -4) = .
Найдем наклонную асимптоту:
k = limx y/x = limx 2x2 /(x2 -4) = 2,
b = limx (y-2x) = limx 8x/(x2 -4) = 0,
то есть данная кривая имеет наклонную асимптоту y = 2x.
5.
Для нахождения промежутков возрастания и убывания
найдем первую производную
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y' = (6x2 (x2 -4)-4x4 )/(x2 -4)2 = 2x2 (x2 -12)/(x2 -4)2 .
В промежутке [0,) y обращается в нуль в точках x = 0, x = 2 3 и
обращается в бесконечность в точке x = 2. Отметим, что в интервале [0,2)
и (2,2 3 ) y' меньше нуля и функция убывает, а в интервале (2 3 ,)
больше нуля и следовательно, функция возрастает. Очевидно, что точка x
= 2 3 является точкой минимума.
6.
Для нахождения промежутков выпуклости и точек
перегиба, найдем вторую производную
y'' = 16x(x2 +12)/(x2 -4)3 .
Вторая производная y'' обращается в нуль в точке x=0 и в
бесконечность в точке x=2. Ясно, что в интервале (0,2) y'' меньше нуля и
поэтому функция выпукла вверх, а в интервале (2,2 3 ) и (2 3 ,) y''>0 и
функция выпукла вниз. Кроме того, точка x=0 является точкой перегиба,
т.к. вторая производная меняет знак при переходе через эту точку.
7.
y(2 3 ) = 6 3 , y(0) = 0.
Используя результаты исследования и учитывая нечетность функции,
получим график (рис.9).
4. Экономический смысл производ ной
Нетрудно показать, что производительность труда есть производная
объема продукции по времени. Рассмотрим еще некоторые понятия,
иллюстрирующие экономический смысл производной.
Пусть y(x) - функция, характеризующая, например, издержки
производства, где x - количество выпускаемой продукции. Тогда
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
отношение y(x)/x описывает средние издержки, приходящиеся на одно
изделие. Средняя величина обозначается Ay или Af (от английского
"average".) Среднее приращение, средний прирост, средняя скорость
изменения определяется отношением y/x. Производная
limx0 y/x
выражает предельные (маргинальные от английского "marginal")
издержки производства. Величину Mf(x) = y' называют мгновенным
приростом или мгновенной скоростью изменения y. Аналогично можно
определить предельную выручку, предельный доход, предельную
полезность и другие предельные величины.
y
Определение. Отношение
называется темпом прироста
x  y
функции y. Отношение
y ' ( x)
называется мгновенным темпом прироста.
y ( x)
Обычно степень влияния одной переменной на другую, зависимую от
нее, измеряют производной данной функции. Однако часто экономистов
интересуют относительные изменения величин. Например, если
маленькое яблоко подорожало на 2,5 рубля, то при этом большое, скажем,
на 5. В тоже время, если яблоки подорожали в 1,5 раза, то в 1,5 раза
дороже стало и маленькое, и большое яблоко, и килограмм, и вагон яблок.
Поэтому для анализа относительных изменений вместе с понятием
производной используют понятие эластичности.
Определение. Эластичностью функции Ex(y) называется величина
Ex(y) = limx 0 (y/y:x/x) = x/y limx 0 y/x =(x/y) · y'.
Определение. Будем говорить, что y(x) эластична в точке x, если
|Ex(y)|>1, y(x) неэластична, если |Ex(y)| <1, и нейтральна, если |Ex(y)| = 1.
Рассмотрим некоторые свойства эластичности.
1. Эластичность - безразмерная величина, ее значение не зависит от
того, в каких единицах измерены аргумент и функция. Если
u = Ax, v = By, то Eu(v) = (dv/du)· u/v=(B/A)· (dy/dx)· (Ax/By) = Ex(y);
2. Эластичности взаимно обратных функций - взаимно обратные
величины
Ey(x) = (dx/dy)·(y/x) = 1/Ex(y).
3. Эластичность функции равна произведению независимой
переменной x на темп изменения функции Ty = (ln y)' = y'/y, то есть
Ex(y) = xTy.
4. Эластичность произведения (частного) двух функций равна
сумме (разности) эластичностей этих функций:
Ex(uv) = Ex(u)+Ex(v), Ex(u/v) = Ex(u)-Ex(v).
5. Из последнего свойства следуют формулы
Ex(xy) = Ex(x)+Ex(y) = 1+Ex(y).
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отсюда, если Ex(y)>-1, то xy монотонно возрастает; если Ex(y)< -1, то
xy монотонно убывает. Аналогично,
Ex(y/x) = Ex(y)-Ex(x) = Ex(y) -1.
Пример 16. Как связаны предельные и средние полные затраты
предприятия, если эластичность полных затрат равна 1?
Решение. Пусть затраты выражены функцией y(x), где x - объем
выпускаемой продукции. Тогда средние затраты равны y/x. Найдем
эластичность отношения
Ex(y/x) = Ex(y)-Ex(x) = Ex(y) -1.
Но по условию Ex(y) = 1, поэтому Ex(y/x) = 0. Это означает, что с
изменением объема продукции x средние затраты на единицу продукции
не меняются, т.е. y/x = c, y = cx. Предельные издержки равны y' = c.
Следовательно, предельные издержки совпадают со средними.
В анализе ценовой политики используется понятие эластичности
спроса. Пусть d=d(p) функция спроса от цены товара p. Тогда
эластичность определяется по формуле
d ' ( p)
E p (d )  p
d ( p)
Для функции предложения s(p) понятие эластичности вводится
аналогично.
Отметим, что с увеличением цены объем спроса уменьшается.
Поэтому функция спроса d(p) убывает, а функция предложения s(p)
возрастает с ростом p. Следовательно, d'(p)<0, Ep (d)<0 и Ep (s)>0.
Отметим три вида спроса:
1) если Ep (d)<-1, то спрос считается эластичным;
2) если Ep (d)>-1, то спрос неэластичен;
3) если Ep (d) = -1, то спрос нейтрален.
Пример 17. Пусть известны функции спроса d=7-p и функция
предложения s=p+1, где p - цена. Нужно найти равновесную цену и
эластичности спроса и предложения.
Решение. Равновесная цена определяется из условия d=s, поэтому
7-p=p+1, откуда p=3. Найдем эластичность спроса и предложения
Ep (d) = p/(p-7), Ep (s) = p/(p+1).
Для равновесной цены p=3 получим Ep (d) = -0,75, Ep (s) = 0,75. Для
значения p = 3 спрос является неэластичным, также как и функция
предложения.
Максимизация прибыли
Пусть q – количество реализованного товара, R(q) - функция дохода,
C(q) - функция затрат на производство товара. Прибыль от реализации
товара равна
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
P(q) = R(q)-C(q).
(12)
Из микроэкономики известно, что для того, чтобы прибыль была
максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные
издержки были равны, т.е. MR(q) = MC(q). Действительно, из
необходимого условия экстремума для функции (12) следует, что P'(q) =
0, откуда и следует указанное равенство. Точка q 0 , удовлетворяющая
равенству P'(q) = 0 является подозрительной на экстремум. Согласно
второму достаточному условию существования экстремума, если
P''(q 0 )<0, то q 0 – точка максимума функции P(q). Данное условие
выполнится, если, например, R''(q)<0, а C''(q)>0, что согласуется с
экономической теорией.
Пример 18. Пусть R(q) = 100q-q 2 , C(q) = q 3 -37q 2 +169q+4000.
Тогда прибыль определяется формулой P(q) = -q 3 +36q 2 -69q-4000.
P'(q) = -3q 2 +72q-69=0, или q 2 -24q+23=0.
Корни уравнения q 1 = 1, q 2 = 23.
P''(q) = -6q+72, P''(1) = 66, P''(23) = -66<0,
следовательно, при q = 23, Pmax = 1290.
Оптимизация налогообложения предприятий
Пусть t– налог с единицы выпускаемой продукции. Тогда общий
налог с q единиц продукции составит T=tq. В этом случае функция
прибыли будет иметь вид
P(q) = R(q)-C(q)-tq.
Исследуем вопрос о том, каким должен быть налог t, чтобы величина
суммарного налога T была наибольшей? Рассмотрим следующий пример.
Пример 19. Пусть R(q) = 16q-q 2 , C(q) = q 2 +1, тогда P(q) = 16q-2q 2 -tq1. Найдем значение q, максимизирующее функцию P(q). P'(q) = 16-4q-t.
Отсюда, q = 4-t/4. Заметим, что P''<0  0<q<16. Определим при каких t
суммарный налог T будет максимальным.
T=qt=t(4-t/4), T' = 4-t/2=0, t = 8, T'' = -1/2<0,
следовательно, при t=8, q=2, P(2)=7, Tmax=16. Отметим, что при t=0 q=4,
Pmax=31. Следовательно, уменьшение налога стимулирует рост выпуска
продукции и ведет к увеличению прибыли.
Вопросы для самопроверки
Упражнение 1. Найти производные функций.
а) y  tgx  ln cos x  e 5 x ;
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
x  arcsin x
б) y  e
;
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
в) x 3 y 3  2 xy  3  0 .
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Упражнение 2. Провести исследование функции и построить график:
1. y = x6 -3x4 +3x2 -5;
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Упражнение 3. Пусть функции спроса d=(p+8)/(p+2), и предложения
s=p+0,5, где p -цена товара. Найти равновесную цену и эластичность
спроса и предложения для этой цены.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Упражнение 4. Общие затраты на производство q единиц товара
определяются равенством C(q) = aq+ q 3 , a<p, >0, p - цена за единицу
товара. Найти оптимальный для производителя объем выпуска продукции
и соответствующую ему прибыль.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Раздел 2. Функции нескольких переменных
Понятие о функции двух переменных
1.
Пусть D ─ некоторое множество точек M x, y  плоскости. Правило
f , ставящее в соответствие точке ( x, y)  D (упорядоченной паре
действительных чисел)
единственное
число
z из множества
действительных чисел называется функцией двух переменных и
обозначается z  f ( x, y) . Множество D при этом называется областью
определения функции.
Функцию двух переменных можно изобразить графически. Для этого
в каждой точке x, y  D вычисляется значение функции z  f x, y  .
Тогда тройка чисел x, y, z,  x, y, f x, y  определяет в системе
декартовых координат в пространстве некоторую точку Р с координатами
x, y, z  . Совокупность точек Px, y, f x, y  образует график функции
z  f x, y  , который является некоторой поверхностью в трехмерном
пространстве (рис.1).
Z
z2
z1
O
z  f  x, y 
 P2
 P1
y1
Y
 M2( x2, y2)
x2
x1
y2
 M1 (x1 , y1)
X
Рис. 1
В некоторых случаях наглядное представление о функции двух или
трёх переменных может дать картина её линий уровня.
Линией уровня функции z  f x, y  называется множество точек
М x, y  плоскости Оху, удовлетворяющих равенству, f x, y   c, где с –
константа.
Другими словами, линия уровня есть кривая, во всех то чках которой
функция f принимает
одно и то же
постоянное значение с.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Геометрически линии уровня получаются как проекции на плоскость Oxy
линии пересечения графика функции и горизонтальной плоскости z=c.
Z
z  x2  y2
z=c
c
c
Y
O
x2  y2 c
X
Рис. 2
Пример. Линиями уровня функции z  x 2  y 2 являются окружности
x 2  y 2  c, c  0 , то есть линии пересечения поверхности
плоскостями z  c (рис. 2).
z  x2  y2 с
Линии уровня используются в картографии. Так, например, на
топографических картах рисуют линии равной высоты над уровнем моря,
на метеорологических картах изображают линии одинакового давления –
изобары.
По линиям уровня, построенным для некоторой рассматриваемой
функции
с
одинаковыми
промежутками
между
значениями
c1 , c2 , c3 ,... , c n , ... , можно получить представление о графике функции (то
есть о форме поверхности). В тех местах, где линии располагаются
«гуще», функция при переходе от одного значения с к другому меняется
быстрее, чем там, где линии распределены реже.
2.
Предел функции в точке
Число А называется пределом функции f в точке M 0 (по Гейне),
если для любой последовательности
M n n ,
M n  M 0 ), соответствующая последовательность
 f (M n )n сходятся к A, то есть
lim
 x , y  x0 , y0 
сходящейся к
M0 (
значений функции
f  x, y   A  M n , lim M n  M 0 , lim f ( M n )  A .
n 
n 
Проколотой окрестностью точки M 0 называется её окрестность, из
0
которой сама точка
32
M 0 исключена и обозначается M 0  . Пусть
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
функция z  f x, y  определена в некоторой
проколотой окрестности
точки M 0 x0 , y 0  D . Число А называется пределом функции f в точке
M 0 (по Коши), если для любого   0 можно указать   0 такое, что
для всех точек M x, y  из проколотой   окрестности точки M 0
выполняется неравенство
f  x, y   A  
или
lim
0
f x, y   A    0   0 M  UM 0 ,  f x, y   A  .
 x, y  x0 , y0 
Геометрически определение предела функции в точке по Коши
означает, что функция
f отображает точки М, принадлежащие
  окрестности точки M0 в точки f M  , принадлежащие  -окрестности
точки А.
Замечание. Все положения теории пределов функции одной
переменной легко
и без существенных изменений переносятся на
функцию нескольких переменных.
Свойства предела.
1. Если функция f имеет в точке M 0 предел, то существует
окрестность этой точки, в которой функция f ограничена.
2. Если
lim
 x, y  x0 , y0 
f x, y   A,
lim
 x, y  x0 , y0 
g x, y   B , то
lim
( f x, y   g x, y )  A  B,
lim
( f x, y   g x, y )  A  B,
 x , y  x0 , y0 
 x , y  x0 , y0 
lim
f  x, y 
 x , y  x0 , y0  g  x, y 

A
B  0.
B
3.
Непрерывность и дифференцируемость функции двух
переменных
z  f x, y  определена в точке M0 (x0 ,y0 ) и в
некоторой её окрестности; если lim f x, y   f x0 , y 0  , то функция
Пусть функция
x  x0
y  y0
называется непрерывной в точке M0 (x0 ,y0 ).
Другими словами, достаточно малые изменения независимых
переменных х и у обеспечивают сколь угодно малые изменения значений
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
функции. Геометрически это означает, что достаточно малые сдвиги
точек на плоскости ОХУ ведут к сколь угодно малым изменениям
аппликаты точек поверхности, являющейся графиком функции
z  f x, y  .
Арифметические действия над непрерывными функциями и
построение сложных функций из непрерывных функций приводят к
непрерывным же функциям (при условии, что деление производится на
функцию, не обращающуюся в нуль). Это утверждение доказывается
аналогично случаю функции одной переменной.
Функция, непрерывная в каждой точке области, называется
непрерывной в этой области. Точка, в которой функция не определена или
определена, но не является непрерывной в ней, называется точкой
разрыва функции.
1
Пример. Для функции z 
точки разрыва образуют
2
9x  4 y 2
множество
точек
плоскости
ОХУ,
определяемое
равенством
2
2
3x
,
то
есть
это
две
прямые
9x  4 y  0
y .
2
Полным приращением этой функции в точке M0 (x0 ,y0 ) называется
выражение
 z  f x0  x, y 0  y   f x0 , y 0  .
Непрерывность функции f x, y  по переменной х в точке M0 (x0 ,y0 )
означает, что lim  x z  0 , а по переменной у – что lim  y z  0 .
y 0
x0
Замечание. Из непрерывности функции z  f x, y  в точке M0 (x0 ,y0 )
следует её непрерывность по каждой из переменных х и у в этой точке.
Обратное утверждение неверно.
Частные производные
Рассмотрим функцию двух переменных z  f x, y  в области D и
внутреннюю точку M0 (x0 ,y0 ) этой области. Придадим переменной х
приращение x . Значение у зафиксируем, приняв y  y 0 . В результате
получим функцию одной переменной х. Если эта функция при x  x 0
дифференцируема, то есть существует конечный предел
lim
x 0
34
f x0  x, y 0   f x0 , y 0 
 z
 lim x ,

x

0
x
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
то этот предел называется частной производной функции z  f x, y  по
переменной х в точке M0 (x0 ,y0 ) и обозначается символом:
f x x0 , y 0  .
Аналогично
z
x0 , y 0  или
x
yz
f  x 0 , y 0  y   f  x 0 , y 0 
z
.
x0 , y 0   lim
 lim
y 0
y 0 x
y
y
Это частная производная переменной у и обозначается символом:
z
x , y  или f y x0 , y 0  .
y
0
0
Из определения следует, что частная производная функции двух
переменных равна обычной производной функции одной переменной,
полученной при условии, что вторая переменная сохраняет постоянное
значение.
С физической точки зрения частные производные определяют
скорость изменения функции по одной переменной при фиксированной
другой.
Геометрический смысл частных производ ных.
Рассмотрим
поверхность,
являющуюся
графиком
функции
z  f x, y  , и возьмём на этой поверхности точку P x0 , y0 , z0  . Проведём
через эту точку сечение поверхности плоскостью, параллельной
координатной плоскости OXZ . Уравнение этой плоскости y  y 0 .
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнение кривой, по которой плоскость пересечет поверхность
получится, если в уравнении поверхности положить y  y 0 . То есть
получится
функция z  f ( x, y 0 ).
вычисленная при
Производная
этой
функции,
y  y0 совпадает с частной производной по x от
функции двух переменных z  f x, y  в точке  x0 , y 0  и, как производная
всякой функции одной переменной, совпадает с угловым коэффициентом
касательной к кривой в точке P  x0 , y0 , z0  . Таким образом
f
x0 , y0   tg .
x
Производя
сечение
поверхности
плоскостью,
параллельной
координатной плоскости OYZ , и проводя аналогичные рассуждения,
получим, что частная производная по y функции z  f x, y  ,
вычисленная в точке  x0 , y 0  , равна угловому коэффициенту касательной
в точке P  x0 , y0 , z0  к плоской кривой, получающейся в пересечении
поверхности с плоскостью
x  x0  .
Можно ввести понятие частной производной порядка выше первого.
Так как  z и  z сами являются, вообще говоря, функциями двух
x
y
переменных, то от них можно опять брать производные по х и у. Результат
дифференцирования называется частной производной второго порядка:
2 z
   z  2 z
   z  2 z
 z

 

 

 
;
;
.
2
2
x   x   x
 y y  y
x y x  y
Частные производные высших порядков от функции z по различным
переменным называются смешанными.
Теорема. Если функция z  f x, y  имеет в точке M0 (x0 ,y0 )
непрерывные смешанные производные второго порядка, то они равны.
Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке M0 (x0 ,y0 ),
если в некоторой окрестности этой точки полное приращение этой
функции можно представить в виде
(1)
z  Ax  By   x, y x   x, y y ,
где А и В – некоторые константы, а  x, y  и  x, y  ─
бесконечно малые функции при x  0 и y  0 .
Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости). Если
функция z  f x, y  дифференцируема в точке M0 (x0 ,y0 ), то она
непрерывна в этой точке.
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости). Если
функция z  f x, y  дифференцируема в точке M0 (x0 ,y0 ), то в этой
точке существуют частные производные, причём
f
x 0 , y 0   A,  f x 0 , y 0   B.
x
y
Замечание. Оба необходимых условия не являются достаточными.
Например, функция z  x ( y  1) непрерывна в точке M0 (0;0). Однако
z не существует в этой точке. Следовательно, функция
x
z( x; y) не
дифференцируема в точке M0 (0;0).
Теорема
(достаточное
условие
дифференцируемости). Если
функция z  f x, y  в окрестности точки M0 (x0 ,y0 ) имеет непрерывные
частные производные z и z , то она дифференцируема в точке
x
y
M0 (x0 ,y0 ).
Дифференциал функции
Если функция z  f x, y  дифференцируема в точке M0 (x0 ,y0 ), то
полное приращение этой функции можно представить в виде (1).
Согласно необходимому условию дифференцируемости,
f
x 0 , y 0   A,  f x 0 , y 0   B.
x
y
f
f
( x0 , y0 )x  ( x0 , y0 )y , являющееся линейной
x
y
функцией приращений x и y , называется полным дифференциалом,
или первым дифференциалом функции f в точке M0 и обозначается
df M 0 . Другими словами, дифференциал функции в точке, если он
отличен от нуля, является главной линейной частью полного приращения
функции в этой точке.
Так как при z  x, dz  dx  1x , а при z  y, dz  dy  1y ,
дифференциалами независимых переменных х и у назовём приращения
этих переменных: dx  x и dy  y . Тогда дифференциал функции
можно записать в виде
f
f
(2)
dz 
dx  dy .
x
y
Выражение
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разность между полным приращением и дифференциалом функции в
точке есть величина бесконечно малая при x  0 и y  0 более
высокого порядка.
При достаточно малых x и y для дифференцируемой функции
имеет место приближенное равенство z  dz или
f
f
f ( x0  x; y 0  y )  f ( x0 ; y 0 )  ( x0 ; y 0 )x  ( x0 ; y 0 )y .
x
y
Это равенство называется линеаризацией функции z  f x, y  в
окрестности точки M0 (x0 ,y0 ) и применяется при приближенных
вычислениях: дифференцируемую функцию можно заменить линейной
функцией в окрестности рассматриваемой точки.
Пример. Вычислить 1,07 3,97 .
Число 1,07 3,97 есть значение функции
x0  1, y0  4, f (1;4)  1 ,
y  3,97 . Пусть
f  x, y   x y при x  1,07 и
тогда
x  x  x0  0,07 ,
а
y  y  y 0  0,003 .
f
f
f
f
Применим
 yx y 1 ,
 x y ln x, (1,4)  4, (1,4)  0 .
x
y
x
y
формулу линеаризации: 1,07 3,97  1  4  0,07  0  (0,03)  1  0,28  1,28 .
Имеем:
Теорема
(о производной сложной функции). Если
дифференцируема в точке
M(x,y), а
функция
функции
z  f  x, y 
x  x(t ), y  y(t ) - дифференцируемые функции независимой переменной
t , то производная сложной функции z (t )  f x(t ), y(t )  вычисляется по
формуле
dz z dx z dy


.
dt x dt y dt
Теорема (Инвариантность формы полного дифференциала).
Полный дифференциал функции z  f x, y  сохраняет один и тот же
вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми
переменными или функцией переменной t
4.
Производная по направлению и градиент
Рассмотрим на плоскости точку M0 (x0 ,y0 ) и исходящий из неё луч l.
Пусть M ─ переменная точка на луче l. Рассмотрим также функцию
f M   f M 0  при
f  x, y  . Если существует конечный предел
lim
M M 0
38
M 0M
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
условии, что точка М стремиться к M 0 по лучу l, то он называется
производной функции f x, y  по направлению l в точке M 0 и
обозначается f / l . Так как производная показывает скорость изменения
функции,
то можно сказать, что f / l характеризует быстроту
изменения функции f x, y  по направлению l в точке M 0 . Если
направление l совпадает с положительным направлением оси Ох, то
f / l есть частная производная функции f x, y  по х в точке M 0 .
Если l совпадает с положительным направлением оси Оу, то f / l есть
частная производная функции f x, y  по у в точке M 0 .
Y
l
y 0  y
M
l
y

y0

O
M0
x0

x
x0  x
X
Рис.6
Теорема. Если функция f x, y  имеет в точке M0 (x0 ,y0 ) непрерывные
частные производные, то в точке M 0 существует производная по
любому направлению l, исходящему из M 0 и имеет место формула
f f
x0 , y0  cos   f x0 , y0  cos  ,

l x
y
где cos  , cos  ─ направляющие косинусы направления l.
(3)
Градиентом функции z  f x, y  в точке M0 (x0 ,y0 ) называется вектор,
координаты которого равны соответствующим частным производным
и
z
 z z 
, обозначается grad z   ,  .
y
 x y 
z
x
Если рассмотреть единичный вектор e=( cos  , cos  ), то согласно
формуле (3) производная по направлению есть скалярное произведение
градиента и единичного вектора, задающего направление l . Известно, что
скалярное произведение двух векторов максимально, если они одинаково
направлены. Следовательно, градиент функции в данной точке
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
характеризует направление и величину максимального роста функции в
этой точке.
Теорема. Если функция f x, y  дифференцируема и в точке М 0
величина градиента отлична от нуля, то градиент перпендикулярен
линии уровня, проходящей через данную точку и направлен в сторону
возрастания функции при этом
2

 z 
 z   z 
max    gradz       .
 x 
 x   y 
2
l 
Вывод:
1) Производная функции z  f x, y  в точке M 0 по направлению,
определяемому градиентом этой функции в указанной точке, имеет
максимальное значение по сравнению с производной в этой точке по
любому другому направлению.
2) Значение производной функции z  f x, y  по направлению,
которое определяет градиент этой функции в данной точке, равно gradz .
3) Зная градиент функции в каждой точке, можно с некоторой
погрешностью строить линии уровня. Начнем с точки М0 . Построим
градиент в этой точке. Зададим направление, перпендикулярное
градиенту. Построим малую часть линии уровня. Рассмотрим близкую
точку М1 , построим градиент в ней и так далее.
5. Экстремумы функции двух переменных
Пусть функция z  f x, y  определена в некоторой окрестности
точки M0 (x0 ,y0 ).
Говорят, что функция z  f x, y  имеет в точке M 0 локальный
максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M 0 , в
которой для любой точки M x, y  выполняется неравенство:
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f x, y   f x0 , y0 
 f x, y   f x0 , y0  .
Z
f M 0 
f M 1 
f M 2 
z  f  x, y 
y0
O
 M0
x0
x1
x2
y1
 M1
D
y2
M
Y
2
X
Рис.7
Точки локального максимума и локального минимума называются
точками локального экстремума. Так на рисунке 7 функция, определённая
в области D , имеет две точки локального максимума M 0 и M 2 и одну
точку локального минимума M 1 .
Теорема (необходимое условие локального экстремума). Если
дифференцируемая функция f x, y  имеет в точке M0 (x0 ,y0 ) локальный
экстремум, то обе частные производные функции в этой точке равны
нулю.
Замечание. Необходимое условие
не является достаточным.
Например, частные производные функции z  x 2  y 2 равны нулю в
точке 0, 0 , однако эта функция не имеет экстремума в указанной точке.
Значение самой функции z в точке M 0 0, 0 равно нулю, но в сколь
M 0 0, 0 функция принимает как
положительные, так и отрицательные значения: если x  0 , то z  0 , а
если y  0 , то z  0 .
угодно малой окрестности точки
2
2
zx y
Графиком
функции
является гиперболический
параболоид (рис.8.а). Точка M0 (x0 ,y0 ) в этом случае называется седловой.
Z
Z
1
O
O
1
Y
Y
1
X
Рис. 8.б
X
Рис. 8.а
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Замечание. Точки, в которых выполнено необходимое условие
экстремума, будем называть стационарными. Стационарные точки и
точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует,
называются
критическими
точками.
Например,
функция
2
2 имеет максимум в точке
,
но
не
имеет
в
этой
точке
M 0 0,0
z  1 x  y
частных производных (рис.8.б).
Теорема (достаточное условие локального экстремума). Пусть в
стационарной точке M0 (x0 ,y0 )и некоторой её окрестности функция
f x, y  имеет непрерывные частные производные второго порядка.
2
2
2
Положим A   f M 0 ;  f M 0   B,  f M 0   C , а   AC  B 2 .
x y
 x2
 y2
Тогда
а) если   0 , то в точке M 0 функция имеет экстремум, причём
при A  0, C  0 ─ локальный максимум, а при A  0, C  0 –
локальный минимум;
б) если   0, то в точке M 0 экстремума нет;
в) если   0 , то нужны дополнительные исследования (экстремум
может быть, а может отсутствовать)
Ограничимся лишь формулировкой достаточного условия.
Приведём примеры, иллюстрирующие пункт в).
z  x4  y4;
z
z
 4x 3 ,
 4 y 3 , M 0 0,0 ─ точка возможного
x
y
2z
2z
2z
 12 x 2 ,
 0,
 12 y 2 , следовательно, в точке
2
2

x

y
x
y
  0 , однако в этой точке функция имеет минимум, т.к.
экстремума;
M 0 0,0
z0,0  0, но z x, y   0 для всех точек из области определения.
z
z
z  x3  y 3 ;
 3x 2 ,
 3 y 2 , M 0 0,0 ─ точка возможного
x
y
экстремума;
2z
2z
2z
 6 x,
 0,
 6 y,
2
xy
x
y 2
следовательно,
в
точке
M 0 0,0   0 , однако в точке M 0 0,0 в этом случае экстремума нет.
3
Так как z 0,0  0 , а z x,0  x . Значит
z x, y   0 при x  0 и
z x, y   0 при x  0 . Получили, что в любой окрестности точки M 0
функция принимает значения разных знаков.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Наибольшее и наименьшее значения функции
двух переменных в области
Точкой глобального максимума (минимума) функции z  f x, y  на
множестве D  R2 называется точка M0 (x0 ,y0 ), в которой функция
достигает своего наибольшего или наименьшего значения.
Теорема. Пусть в ограниченной и замкнутой области D задана
дифференцируемая функция z  f x, y  . Тогда эта функция достигает в
области D своего
наибольшего и
наименьшего значения (так
называемый глобальный экстремум).
Эти значения могут достигаться либо в критич еских точках внутри
области, либо на ее границе. Поэтому внутри области D нужно найти все
точки, в которых возможен экстремум. Затем, не выясняя, имеет ли
функция z  f x, y  в этих точках экстремум, вычислить значения
функции во всех найденных точках. Однако функция может принимать
наибольшее и наименьшее значения и на границе области. Поэтому
нужно отдельно найти наибольшее и наименьшее значения функции на
границе области. При этом надо использовать уравнения границы, что
позволяет уменьшить число независимых переменных у функции и свести
задачу к исследованию функции одной переменной. Сравнивая все
полученные таким образом значения функции, выбираем из них
наибольшее и наименьшее.
Условный экстремум функции двух переменных
Пример. Найти экстремум функции z  ax  by при условии, что х и
2
2
2
у связаны соотношением: x  y  R . Геометрически задача означает
L , полученном при пересечении цилиндра
x  y  R плоскостью z  ax  by , требуется найти максимальное
или минимальное значение аппликаты z (рис.9).
2
2
2
Эту задачу можно решать так: из уравнения x  y  R находим
следующее: на эллипсе
2
2
2
y   R 2  x 2 , x  R . Подставляя найденное значение у в уравнение
плоскости, получаем функцию одной переменной х:
z  ax  b R 2  x 2 , x  R.
Тем самым задача о нахождении экстремума функции z  ax  by
2
2
2
при условии, что x  y  R , свелась к задаче нахождения экстремума
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
функции
 R, R.
одной
переменной
z  ax  b R 2  x 2 , x  R , на отрезке
Z
z  ax  by
max z
O
Y
min z
X
Геометрически
полученном
при
Рис.9
задача
означает
следующее:
2
2
на
x  y R
пересечении цилиндра
эллипсе
2
L,
плоскостью
z  ax  by , требуется найти максимальное или минимальное значение
z (рис.9). Эту задачу можно решать так: из уравнения
аппликаты
x 2  y 2  R 2 находим y   R 2  x 2 , x  R . Подставляя найденное
значение у в уравнение плоскости, получаем функцию одной переменной
х: z  ax  b R 2  x 2 , x  R.
Тем самым задача о нахождении экстремума функции z  ax  by
2
2
2
при условии, что x  y  R , свелась к задаче нахождения экстремума
2
2
функции одной переменной z  ax  b R  x , x  R , на отрезке
 R, R.
Итак, задача отыскания условного экстремума – это задача о
нахождении экстремума целевой функции z  f x, y  , при условии, что
переменные х и у подчиняются ограничению g x, y   0 , называемому
уравнением связи.
Будем говорить, что точка M0 (x0 ,y0 ), удовлетворяющая уравнению
связи, является точкой локального условного максимума (минимума ),
если существует окрестность
 M 0  такая, что для любых точек
M  M 0  , координаты которых удовлетворяют уравнению связи,
выполнено неравенство f M   f M 0   f M   f M 0  .
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если из уравнения связи можно найти выражение для у, то,
подставляя это выражение в исходную функцию, превращаем последнюю
в сложную функцию одной переменной х.
Общим методом решения задачи на условный экстремум является
метод множителей Лагранжа. Составим вспомогательную функцию,
Lx, y,    f x, y   g x, y , где  ─ некоторое число. Это функция
называется функцией Лагранжа, а  ─ множителем Лагранжа. Таким
образом, задача нахождения условного экстремума свелась к нахождению
точек локального экстремума для функции Лагранжа. Для нахождения
точек возможного экстремума надо решить систему из 3-х уравнений с
тремя неизвестными х, у и  .
 L f
g
 x  x   x  0,

g
 L f


 0,


y

y
y

 L
 g  x , y   0.

 
Затем следует воспользоваться следующим достаточным условием
экстремума.
Теорема. Пусть точка x 0 , y 0 , 0  является точкой возможного
экстремума для функции Лагранжа. Предположим, что в окрестнос ти
точки x 0 , y 0  существуют непрерывные частные производные второго
порядка функций f и g . Обозначим
A
2L
2L
2L




x0 , y0 , 0 ,   AC  B 2 .
x
,
y
,

,
B

x
,
y
,

,
C

0
0
0
0
0
0
x 2
x y
y 2
Тогда, если   0 , то x 0 , y 0  ─ точка условного экстремума функ-
ции f x, y  при уравнении связи g x, y   0, при этом, если A  0 , то
x0 , y 0  ─ точка условного минимума, если A  0 , то x0 , y 0  ─ точка
условного максимума.
Понятие о выпуклых множествах и выпуклых функциях
Множество называется выпуклым, если вместе с любыми своими
точками a и b оно целиком содержит отрезок a, b . На рис. 11
изображены множества, не обладающие свойством выпуклости, а на
рис.10 изображены выпуклые множества.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис .10
Рис.11
Функция, заданная на выпуклом множестве, будет выпуклой вниз,
если все точки поверхности, заданной этой функцией, соответствующие
отрезку a, b множества В, лежат не выше хорды, соединяющей точки
Aa, f a , Bb, f b  (рис. 12). Аналогично можно дать геометрическое
толкование выпуклой вверх функции двух переменных.
Z
f a  
 f b 
O
Y
B
X
a
b
Рис. 12
Очевидно, выпуклая функция не может иметь седловых точек. Это
значит, что для выпуклой функции равенство нулю частных производных
является не только необходимым условием экстремума, но и
достаточным.
Более того, экстремум выпуклой функции является глобальным, то
есть наименьшим значением во всей области определения в случае
функции, выпуклой вниз, и наибольшим в случае функции, выпуклой
вверх.
Теорема. Если функция z  z ( x; y ) выпукла (вогнута) во всей
области определения D, тогда она имеет не более одной точки
глобального минимума (максимума) в области D.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Теория функций многих переменных и основные
зависимости, используемые в экономике
Производственная функция
Функция, выражающая зависимость объёма производства от
величины затраченных ресурсов, называется производственной функцией
(ПФ). Если y  f x  , то ПФ называется одноресурсной. В ряде случаев
ПФ может быть сведена к зависимости производительности труда у (то
есть выпуска продукта в расчёте на одного работника) от
капиталовооруженности труда х (то есть величины капитала в расчёте на
одного работника), где капиталовооруженность – x  K / L (здесь К –
величина капитала, L ─ численность занятых).
Возникновение теории производственных функций относится к 1928
году. Тогда появилась статья американских учёных Д. Кобба и П.
Дугласа, в которой впервые была введена функция, выражающая
зависимость между объёмом основных фондов К, затратами труда L и
объёмом
выпускаемой
F K , L   aK  L1 ,
продукции
где
a  0, 0    1 .
График ПФКД
поверхность (рис.13).
в
трёхмерном
пространстве
есть
коническая
F
L
C1  C 2  C 3
L
C3
C2
C1
K
О
Рис. 14
Рис.13
К
Для производственной функции двух переменных Y  F K , L 
линией уровня, соответствующей
плоскости с неотрицательными
c  0 , является множество точек
координатами,
удовлетворяющих
 1
условию F K , L   C . Для функции Кобба-Дугласа Y  aK L
линии
 1
уровня, соответствующие c  0 , задаются уравнением aK L  C или
1

 C  1 
l    K 1 . Линии уровня функции
 A
значений C изображены на рис. 14.
F K , L  для различных
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Точки K, L  , лежащие на одной линии уровня, соответствуют
различным наборам затрат, обеспечивающим один и тот же выпуск
продукции.
Линии уровня ПФ называются изоквантами. Отметим, что изокванта,
соответствующая C 3 , расположена «северо-восточнее» изокванты,
соответствующей C 2 .
Далее выясним, какую экономическую интерпретацию можно дать
частным производным ПФ. Отношение
F K 0  K , L0   F K 0 , L0 
K
показывает, какой дополнительный выпуск приходится на 1 единицу
изменения основных фондов K 0 при постоянных затратах труда L0 .
Если существует конечный предел указанного выше отношения при
K  0 , то это есть частная производная функции F K , L  по
переменной К.
F K 0  K , L0   F K 0 , L0 
F
.
K0 , L0   lim
K

0
K
K
Частная производная
F
K
называется предельной
фондоотдачей.
Частная производная F называется предельной производительностью
L
труда и определяется аналогично.
Найдем в явном виде частные производные ПФ




F

L

aK  L1  a   
K K
K
1 
,

F

K

aK  L1  a  (1  )  .
L L
L
Эластичностью функции z  f x, y  в точке x0 , y 0 
  z x 
по переменной x называется предел E zx x0 , y 0   lim  x :
,
x 0 z
x 
 z

по переменной y – предел E zy x0 , y0   lim  y : y  .

y0 z
y 
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Значит
Ezx  x0 , y0  
x z
y z
 , Ezy  x0 , y0    .
z x
z y
Эластичность приближённо показывает на сколько процентов
изменится выпуск, если затраты какого-либо одного ресурса увеличатся
на 1 % при неизменных объёмах другого ресурса.
1


K0
F
K 0 , L0   K 01 a    L0 
E FK K 0 , L0  
F K 0 , L0  K
aK 0 L0
 K0 
 ,



L0
F
K 0 , L0   L0 1 a  (1   ) K 0   1   ,
E FL K 0 , L0  
F K 0 , L0  L
aK 0 L0
 L0 
Экономический смысл параметра  .Эластичность выпуска по
основным фондам равна  . Значит, относительное изменение основных
фондов K на 1 % вызывает относительное изменение выпуска на  %
(приблизительно), если считать изменение K на 1% достаточно малым.
Пусть выпуск Y является постоянным, (то есть все наборы
затрачиваемых ресурсов расположены на одной изокванте), тогда полный
дифференциал ПФ dY тождественно равен нулю
dY 
F
F
dK 
dL , здесь
K
L
переменных K и L . dY  0 , значит,
Отношение
F
dL K


dK F
L
dK
и
dL
─
дифференциалы
F
F
dK 
dL  0 .
L
L
является предельной нормой замены
основного капитала трудом.
Упражнение. Самостоятельно
проверить выполнение закона
2
2
убывающей эффективности, то есть, что  F  0,  F  0.
K 2
L2
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функция полезности. Задача потребительского выбора (ЗПР)
В основе модели поведения потребителей лежит гипотеза, что
каждый из них, осуществляя выбор наборов благ при заданных ценах и
имеющемся доходе, стремиться максимизировать уровень удовлетворения
своих потребностей.
Пусть на рынке потребителю предлагается n различных наборов благ
( x1 , x 2 , x3 ,..., x n ), где x i - количество i-го блага в натуральных единицах.
Блага приобретаются по рыночным ценам p1 , p 2 ,..., p n соответственно.
Стоимость
набора
благ
n
р1 x1  p 2 x 2  ...  p n x n   pi xi .
-
В
i 1
распоряжении потребителя имеется ограниченное число денег R (доход).
n
Ясно, что существует бюджетное ограничение
px
i 1
i
i
 R.
Полезность блага – это способность удовлетворять ту или иную
потребность. Потребитель выбирает наиболее предпочтительный набор
среди всех доступных. В XIX веке была введена функция полезности для
предпочтения одного набора другому. Основное ее свойство в том, что
потребитель предпочитает набор X, а не Y, если u(X)>u(Y), то есть она
упорядочивает наборы по предпочтению.
Y
C1  C 2  C3
C3
C2
y1
C1
y2
О
x1
x2
X
Рис.15.
Рассмотрим пространство двух благ (товаров). Функция полезности
u=u(x,y) – это субъективная числовая оценка полезности u набора товаров
(x,y). Линии уровня функции полезности называют кривыми безразличия.
Так как если u ( x1 , y1 )  u ( x2 , y 2 ), то потребителю безразлично, каким
набором обладать, так как они имеют одинаковую полезность.
Чем «северо-восточнее» расположена кривая безразличия, тем
большему уровню она соответствует (рис. 15). Кривые безразличия
являются убывающими.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В теории потребительского выбора большую роль играют
предельные
полезности,
которые
выражают
дополнительное
удовлетворение от потребления одной дополнительной единицы блага.
Математически этот факт описывается частными производными функции
полезности:
u
u ( x  x, y )  u ( x, y ) u
u ( x, y  y )  u ( x, y )
 lim
,
 lim
.
x x0
x
y y 0
y
Предельные полезности положительны, так как с увеличением
потребления блага его полезность возрастает. Вектор, координаты
которого есть предельные полезности, называется вектором предельных
полезностей. Таким образом gradu  ( u ; u ) .
x y
Закон убывающей полезности гласит, что с увеличением потребления
 2u
 2u
блага его предельная полезность убывает, то есть
 0, 2  0.
2
x
y
Рассмотрим вопрос о взаимозаменяемости благ. Пусть объемы
потребляемых благ изменились на малые величины x и y . Тогда
полным приращением полезности является величина
du 
u  du , где
u
u
dx 
dy. Если двигаться вдоль линии уровня, то u  0 и,
x
y
следовательно, можно считать равной нулю и главную линейную часть
полного приращения, то есть

du  0. Тогда
u
u
dx 
dy  0 или
x
y
dy u u Это есть предельная норма замены первого блага вторым.

/
dx x y
Она показывает, сколько надо единиц второго товара, чтобы заменить
выбывшую малую единицу первого.
Если потребитель обладает доходом R, то множество всех наборов
товаров стоимостью не более R называется бюджетным множеством.
Граница бюджетного множества - это множество наборов, которые стоят
ровно R.
ЗПВ (задача рационального поведения потребителя на рынке)
заключается в выборе такого набора, который максимизирует функцию
полезности при заданном
бюджетном
ограничении, то есть
u ( x, y)  max, p1 x  p 2 y  R, x  0, y  0. Таким образом, на бюджетном
множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с
максимальным уровнем полезности. Графически поиск означает
последовательный переход на линии все более высокого уровня
полезности до тех пор, пока линии еще имеют общие точки с бюджетным
множеством. Следовательно, искомая точка лежит на границе
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
бюджетного множества. В ней кривая безразличия касается линии
бюджетного ограничения. Следовательно, ЗПВ можно заменить задачей
на условный экстремум:
u ( x, y )  max, R  ( p1 x  p 2 y)  0.
Так как функция полезности является выпуклой, то на бюджетном
множестве существует единственная точка максимума функции
полезности.
Y
C1  C 2  C3
C3
C2
(x,0y0)
C1
p1x+p2y=R
Рис.16 .
Значит, у потребителя даже нет выбора в том, как с наибольшей
пользой потратить свои деньги, так как существует единственный набор
( x 0 , y 0 ) , максимизирующий полезность. Эта точка называется точкой
спроса (рис.16).
Для решения задачи на условный экстремум построим функцию
Лагранжа L( x, y,  )  u ( x, y)   ( R  p1 x  p 2 y) . Согласно необходимому
условию локального экстремума имеем
 L u
 u
 x  x   (  p )  0,
 x  p1 ,


 L u
 u



(

p
)

0
,
 p2 ,



y

y

 y
 L
 p x  p2 y  R.
 R  ( p1 x  p2 y )  0.  1


 
p
 u u
:
 1,


x

y
p

2
 p x  p y  R.
2
 1
Вывод: точка спроса лежит на границе бюджетного множества. В
ней вектор предельных полезностей пропорционален вектору цен.
Координаты и точки спроса есть функции параметров p 1 , p 2 и R:
x0  x0 ( p1 , p 2 , R), y 0  y 0 ( p1 , p 2 , R) .
Полученные функции называются функциями спроса на первый и
второй продукты соответственно. Важным свойством является их
однородность нулевой степени относительно цен и дохода, то есть
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пропорциональное изменение цен и дохода не влечет изменение спроса на
продукт (первый или второй – безразлично).
Вопросы и задания для самоконтроля
В качестве закрепления прочитанного материала следует дать
краткие определения нижеприведенных понятий.
1.
Область определения функции. Линии уровня.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
2.
Предел функции двух переменных.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
3.
Непрерывность функции двух переменных.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
4.
Частное и полное приращение функции.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
5.
Частные производные функции 2-х переменных.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
6.
Дифференцируемость и полный дифференциал функции
2-х переменных.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
7.
Частные производные высших порядков.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
8.
Производная по направлению.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
9.
Градиент функции.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
10.
Производная сложной функции.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
_______________________________________________________________
11.
Дифференцирование неявной функции.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
______________________________________________________ _________
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
13.
Экстремум функции 2-х переменных.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
14.
Условный экстремум функции 2-х переменных.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
_______________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 2. ИНТЕГРАЛЬ НОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Раздел 1. Неопределенный интеграл
1.
Неопределенный интеграл и его свойства
Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции
ƒ(x) на некотором отрезке [a,b], если для всех из этого отрезка
выполняется равенство:
F'(x) = ƒ(x).
Пример: F(x)=cos(x)+C; ƒ(x)=sin(x);
Теорема. Если F1 (x) и F2 (x) какие-либо первообразные для функции
ƒ(x) на отрезке [a,b], то выполняется соотношение:
F1 (x) – F2 (x) = C;
Замечание: из теоремы следует, что, если F(x) первообразная для
ƒ(x), то (F(x)+С ) тоже первообразная.
Определение. Совокупность первообразных, т.е. (F(x)+С), для ƒ(x) на
[a,b] называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается:
∫ƒ(x) dx = F(x) + C,
причем F'(x) = ƒ(x),
ƒ(x) – называется подынтегральной функцией;
ƒ(x)dx – называется подынтегральным выражением;
Свойства неопределенного интеграла
1. (∫ƒ(x)dx)' = ƒ(x);
2. d ∫ƒ(x)dx = ƒ(x)dx;
3. ∫d F(x) = F(x) + C;
4. ∫(ƒ1 (x)+ ƒ2 (x))dx = ∫ƒ1 (x)dx + ∫ƒ2 (x)dx.
5. ∫k·ƒ(x)dx = k·∫ƒ(x)dx, где k – постоянный множитель.
6. Формулы интегрирования не меняет свой вид при подстановке
вместо независимой переменной x некоторой функции u(x), т.е. если
∫ƒ(x)dx = F(x) + C, то ∫ƒ(u)du = F(u) + C.
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица основных интегралов
1. ∫ xαdx = xα+1 / (α+1) + C
α ≠-1
10.
dx = ln |x| + C
x
11.
2.


dx
=ln | x + x2  a | + C
x a
2
dx = 1 arctg( x )+C
a
a
 x2
dx
1
x

a
12.
 x 2  a 2 = 2a ln | x  a | + C
3. ∫ ex= ex + C
a
2
dx = 1 ln | x  a | + C
xa
 x2
2a
dx = ln |tg( x )| + C
sin x
2
4. ∫ a x dx = a x/lna + C
13.
5. ∫ sin(x)dx = - cos(x) + C
14.
6. ∫ cos(x)dx = sin(x) + C
15.
 cos x = ln |tg( 2  4 )| + C
16.
∫ tg(x) dx = – ln |cos(x)| + C
17.
∫ ctg(x) dx = ln |sin(x)| + C
dx = tg(x) + C
2
x
dx = -ctg(x) + C
 sin 2 x
 cos
7.
8.
9.

dx
a x
2
= arcsin (
2
a

2
dx
x

x
)+ C
a
Пример. Найти интегралы.
∫ 5 (8  3x) 6 dx = ∫ (8-3x)6/5 dx = | d(8-3x) = – 3dx | =
1.
=–
2.
1
1
∫ (8-3x)6/5 (– 3dx) = – ∫(8 –3x)6/5 d(8-3x) = – 5 (8-3x)11/5 + C.
3
3
3
∫ x √4 + x² dx = ∫(4 + x²)1/2 x dx = | d(4+x²) = 2x dx| = ½∫ (4+x²)1/2 2x dx=
1
= 1 · ∫(4 + x²)1/2 d(4 + x²) = 1 (4  x 2 ) 2
2
3
2
3.
∫
4.

58
1
=
(4  x 2 ) 3 + C;
3
2
3
2/3
√ sin²(x) · cos(x)dx = ∫ (sin(x))
x2
1  x6
dx=

x2
1  (x3 )2
dx =|

d(sin(x)) = 5/3 (sin(x))5/3 + C
du
a2  u2
|= 1
d (x3 )
3  1  (x3 )2
=
1
arc (x3 )+C.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Замена переменной в неопределенном интеграле
(метод подстановки)
Определение. Если функция ƒ(x) непрерывна на отрезке [a,b], то
существует неопределенный интеграл ∫ ƒ(x)dx, а функция ƒ(x) в этом
случае называется интегрируемой.
Теорема. Пусть функция x = φ(t) – строго монотонная и непрерывно
дифференцируемая на некотором интервале функции φ(t). Если функция
ƒ(x) интегрируема на соответствующем интервале изменений x, то
имеет место равенство:
∫ ƒ(x)dx = ∫ ƒ(φ(t))·φ'(t)dt
Пример.

dx
e 1
dx =
= | ex +1 = t2 ;
x
2t dt | =
t 1
2
 (t
2
e x  1 = t ; ex = t2 – 1 ; x = ln(t2 –1 ) ;
2t
dt = 2
 1)t
 (t
2dt = 2 1 ln t  1 =
ln
2
2 t 1
 1)
e x  1  1 +C.
ex 1 1
3. Интегрирование по частям
Пусть U(x) и V(x) дифференцируемые функции на некотором
интервале. Известно, что d(UV) = U · dV + V · dU.
Проинтегрируем это равенство:
∫d(UV) = ∫U · dV + ∫V · dU ; UV = ∫U · dV + ∫V · dU.;
∫U ∙ dV = UV - ∫V ∙ dU – формула интегрирования по частям.
Пример. Вычислить ∫ x · sin(x) dx .
I способ.
∫ x sin (x) dx = | U=x; dU = dx; dV = sin (x) dx; ∫dV = ∫ sin (x) dx;
V = -cos(x) | = -x · cos (x) - ∫(- cos (x)) dx = - x · cos (x) + sin (x) + C;
II способ.
2
∫ x sin(x) dx = | U = sin(x); dU=cos(x) dx; dV=x dx; V=∫ x dx = x ; | =
2
2
2
= x · sin(x) - ∫ x cos(x) dx.
2
2
Замечание: классы функций интегрируем по частям.
I класс – это интегралы вида:
∫ Pn (x) · eax dx;
∫ Pn (x) · sin(a·x) dx;
∫ Pn (x) · cos(a·x)dx , где Pn (x) – это многочлен первой степени, в этом
случае U = Pn (x);
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
II класс – это интегралы вида:
1. ∫ Pn (x) · ln(a·x) dx;
2. ∫ Pn (x) · arcsin(x) dx;
3. ∫ Pn (x) · arctg(x) dx , где в качестве
1.U = ln(a·x); 2.U = arcsin(x); 3.U = arctg(x).
Пример. Вычислить интеграл ∫ x2 · ln(1+x) dx.
3
∫ x2 · ln(1+x) dx = | U= ln(1+x); dU= dx ; dV = x2 dx; V= x ; | =
3
1 x
3
3
1
x
x
=ln(1+x) ·
–
·∫
dx = | выделим целую часть:
3
1 x
3
x3
|x+1
¯ x3 +x2
x2 -x+1
2
-x
¯- x2 –x
x
¯ x+1
-1
значит, _ x3 _ = x2 – x +1 + -1_ ; | =
x+1
x+1
3
= x ·ln(1+x) – 1
3
3
+ 1 · d ( x  1) =
3  x 1
 (x
2
 x 1
1 dx = x 3 ·ln(1+x) – 1 · x 3 + x 2 – x +
)
3
6
3
x 1
3 3
3
x3
x2 x 1
·ln(1+x) – 1 · x +
–
+ ·ln(x+1) +C.
3
6 3 3
3 3
Пример. Вычислить интеграл ∫ ex · sin(x) dx.
∫ e · sin(x) dx = | U = ex; dU= exdx; dV= sin(x) dx; V=∫sin(x) dx = –cos(x); |
= – ex · cos(x) + + ex · sin(x) – ∫ ex · sin(x) dx;
∫ ex · sin(x) dx = – ex · cos(x) + ex · sin(x) – ∫ ex · sin(x) dx - получили
уравнение относительно неизвестного интеграла.
2 ∫ ex · sin(x) dx = ex · (sin(x) – cos(x) );
x
∫ ex · sin(x) dx =
1 x
· e · (sin(x) – cos(x) ) + C.
2
4. Интегрирование элементарных дробей
Определение. Дроби вида:
I. A
; II. A
; III. Mx +N
ax+b
(ax+b)n
(ax2 +bx + c)
60
; IV. Mx + N
,
(ax2 +bx + c)m
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где m,n- натуральные, причем m,n ≥ 2, и квадратный трехчлен ax2 +bx+c не
имеют действительных корней, т.е. b 2 – 4ac < 0 (D<0) – называются
элементарными.
Разберем дроби.
I. ∫ A dx = A ∫ a dx = | d(ax+b) = a dx; | = A ∫ d(ax+b) = A ln |ax+b| +C.
ax+b
a(ax+b)
a ax+b
a
II. ∫ A dx = A·∫ (ax+b)-n d(ax+b) = A · (ax+b)-n+1 =
A
+ C;
(ax+b)n a
a
(1-n )
a·(1-n) ·(ax+b)n-1
III. ∫
Mx + N
dx=
ax2 +bx + c
= M ∙ln|ax2 +bx + c| +
2a
b 

1
(N – bM )
arctg  x  2a  + C.
2a
ak




k




Пример.
∫ 7x – 2 dx = ∫ (6x-5)∙7/6 – 2 + 35/6 dx = 7/6 ∫ (6x – 5) dx + ∫ 35/6 – 2 dx =
3x2 _ 5x+4
3x2 _ 5x+4
3x2 _ 5x+4
3x2 _ 5x+4
=7/6∫d(3x2 –5x+4) +23/18 ∫ dx
=7/6 ln|3x2 –5x+4| +23/18 ∙∫ d (x – 5/6)=
2_
2
3x 5x+4
x –5/3∙x+4/3
(x–5/6)2+23/36
=7/6ln|3x2 – 5x+4|+23/18 · 6/ 23 arctg(x–5/6) + C = 7/6 ln|3x2 – 5x+4|+
23 /6
+ 23 /3 arctg (6x – 5) + C.
23
5. Интегрирование рациональных дробей
Дробь вида: Pn (x) = A0 xn + A1 xn-1 + … + An-1 x + An
Qm (x)
B0 xn + B1 xn-1 + … + Bn-1 x + Bn
называется рациональной дробью или дробно-рациональной функцией.
Если степень числителя меньше степени знаменателя (n<m), то дробь
называется правильной, в противном случае (n≥m) называется
неправильной.
В случае неправильной дроби, ее можно представить в виде суммы
некоторого многочлена и правильной рациональной дроби.
Pn (x) =
Qm (x)
Mk(x) + Tk(x)
Qm (x)
Целая
часть
правильная дробь
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример. Представить дробь в указанном выше виде:
x5 + 4x .
2
x + 2x +3
_ x5 + 4x
|x2 + 2x +3
5
4
3
x +2x +3x
|x3 -2x2 +x+4
4
2
3
_ -2x +4x-3x -3x
-2x4 +4x3 -6x2
_ x3 +6x2 +4x
x3 +2x2 +3x
_4x2 +x
4x2 +8x+12
-7x-12
x5 + 4x = ( x3 -2x2 +x+4) + -7x-12
.
x + 2x +3
x2 + 2x +3
Пример. Разложить на элементарные дроби следующую дробь:
x2 + x –1 = A + B + C
,
x(x+1)2
x x+1 (x+1) 2
2
x2 + x –1 = A(x+1) 2 + Bx(x+1) + C x .
I способ.
x = -1
-1 = –C; C=1; 1 = -4 + 2B + 1 ;
x= 0
A = -1 ;
x= 1
1 = 4A + 2B + C; B=2;
x2 + x –1 = -1 + 2 + 1
.
x(x+1)2
x
x+1 (x+1) 2
II способ.
x2 + x –1 = A(x+1) 2 + Bx(x+1) + C x ;
x2 + x –1 = x2 (A+B) + x(2A+B+C) + A ;
A+B = 1
2A+b+c = 1
A = -1
B=2
C=1
Правило интегрирования рациональных дробей:
1. Если дробь неправильная, то надо выделить целую часть, то есть
представить дробь в виде: P(x) = N(x) + T(x)
Q(x)
Q(x)
целая
часть
62
правильная дробь.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Знаменатель дроби разложить на множители, то есть представить
в виде двучленов первой степени и квадратных трехчленов, не имеющих
действительных корней. И разложить правильную дробь
на
элементарные дроби по указанной выше схеме.
3. Интеграл от рациональной дроби взять как сумму интегралов от
целой части и от элементарных дробей.
6. Интегрирование тригонометрических функций
I. Интеграл вида
 R(sin(x);cos(x))dx
, где
R(sin(x), cos(x)) – это
рациональная функция относительно sin(x) и cos(x) подстановкой tg
x=t
2
сводится к интегралу от рациональной функции относительно t.
x
Найдем =arctg(t); x=2arctg(t); dx = 2dt ; sin(x)= 2t ;
2
1 t 2
1 t2
cos(х) = 1  t .
2
1 t2
1 t2
)dt = ∫ r(t) dt,
1 t2
где r(t) – рациональная функция относительно t.

Тогда R(sin(x); cos(x))dx =
2t
 R(1  t
2
;
Пример. Вычислить интеграл.
2dt
=
1 t2
 2t
1 t2
4
5
4
1 t2
1 t2
dt
dt
d (t  4)
2dt
=2
= -2
2

 t 2  8t  9 = -2  (t  4) 2  25 =
2
 t  8t  9
8t  t  9
x
dx
 4 sin( x)  5 cos(x)  4 = | tg 2 = t | =
=

(1  t 2 )(
1 t 2
)
=  1 ln t  9  C .
5 t 1
Такая подстановка называется универсальной, т.е. она пригодна для
вычислений интеграла от sin(x) и cos(x).
7. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
1.
 Rx,

Pn ( x) dx , где Pn (x) – многочлен n-ой степени - не берется,
если n выше второй степени; при n = 2,3,4.. – интеграл эллиптического
типа.
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 e dx - интеграл Пуассона.
3. sin( x )dx ; cos(x )dx - интегралы Френеля.


2.
 x2
2
2
ex
dx
и
сводящийся
к
нему
 x dx - интегральный логарифм.
 ln x
sin( x)
cos(x)
5. 
dx ; 
dx ; - интегральный синус, интегральный
x
x
4.
косинус.
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Раздел 2. Определенный интеграл
1. Задача нахождения площади криволинейной трапеции
Дано: y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b]
Фигура, ограниченная кривой y=ƒ(x) прямыми x=a и y=b и осью Ox
называется криволинейной трапецией.
Найдем площадь:
1) разобьем отрезок [a,b] на n частей точками a = x0 < x1 < x2 <…<
<xi-1 < xi <..< xn = b;
2) через точки деления проведем прямые параллельные оси Оу. В
каждом частичном отрезке [x0 , x1 ] , [ x1 ,x2 ] , … [ xi-1 , xi ] … [ xn-1 , xn ]
выберем произвольные точки ζ1 , ζ2 , ζi , ζn .
Найдем значения функции в этих точках ƒ(ζ1 ), ƒ(ζ2 ), ƒ(ζi ), ƒ(ζn ), и
найдем сумму площадей прямоугольников с основанием Δхi = хi – хi-1 ,
i=1,n .
Сумма площадей прямоугольников равна
n
S n   f ( i )xi ; за
i 1
площадь криволинейной трапеции принимается предел, к которому
стремится эта сумма:
n
S  lim S n  lim  f ( i )xi .
n
n   i 1
2. Определение определенного интеграла
1. Разобьем отрезок [a,b] на n частей точками
a = x0 < x1 < x2 <…< xi-1 < xi <..< xn = b.
2. В каждом частичном отрезке [xi-1 , xi ] длиной Δхi
произвольные точки ƒ(ζi) (i=1,n ).
выберем
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Найдем значение функции в этих точках ƒ(ζi ).
4. Найдем сумму
n
 f (
i 1
i
)xi - интегральную сумму.
Каждая сумма зависит от выбора точки и от способа разбиения
отрезка на части. Разбивая произвольные образом отрезок на части и
выбирая различные точки, получаем последовательность интегральных
сумм.
Определение.
Если
существует
предел
последовательности
интегральных сумм, не зависящей от выбора точки и от способа
разбиения отрезка на части, то он называется определенным интегралом
от функции ƒ(х) на отрезке [a,b] и обозначается
b
 f ( x)dx .
a
Итак, по определению:
b
n
 f ( x)dx  lim  f ( )x
n   i 1
a
i
i
.
Тогда площадь криволинейной трапеции:
b
S кр.тр.=
 f ( x)dx .
a
Определение. Функция называется интегрируемой на отрезке [a,b],
если существует определенный интеграл от этой функции на этом
отрезке.
Условие существования определенного интеграла
Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на
этом отрезке.
Свойства определенного интеграла.
b
1.
 dx  b  a .
y
a
1
a
2.
66
b
a
a
b
 f ( x)dx =   f ( x)dx .
b
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Постоянная выносится за знак интеграла.
b
b
 kf ( x)dx = k  f ( x)dx .
a
4.
a
b
b
b
a
a
a
  f1 ( x)  f 2 ( x)dx =  f1 ( x)dx +  f 2 ( x)dx .
5. Если [a,b] точкой c делится на два отрезка [a,c] и [c,b], то
b
c
a
a
b
 f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx .
c
b
6. Если на отрезке [a,b] ƒ(x)≥0 , то
 f ( x)dx ≥0.
a
b
7. Если на отрезке [a,b] ƒ1 (х)≥ ƒ2 (х), то
b
 f ( x)dx ≥  f
1
a
( x)dx .
b
b
8.
2
a
 f ( x)dx ≤ 
f ( x) dx ;
a
a
9. Если функция y = ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,b], то
b
m(b-a) ≤
 f ( x)dx ≤ M(b-a)
a
Оценка интеграла
Геометрический смысл свойства 9:
S=M(b-a)
M
m
S=m(b-a)
a
b
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема о среднем
Если функция непрерывна на [a,b], то внутри отрезка найдется по
крайней мере одна точка ζ, в которой имеет место равенство:
b
b
1
f ( x)dx = ƒ(ζ) или
b  a a
 f ( x)dx = (b – a) ƒ(ζ);
a
Геометрический смысл:
ζ
a
ƒ(х)
b
Площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с
основанием b-a и высотой, равной значению функции в некоторой
«средней» точке ζ.
3. Интеграл с переменным верхним пределом
Пусть функция y = ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,b], х  [a, b].
b
Рассмотрим интеграл
 f (t )dt
- интеграл зависит от х, т.е. является
a
функцией от х. Обозначим интеграл Φ(х). Переменную интегрируемую
обозначаем через t, чтобы не спутать с верхним пределом х.
Теорема. Производная от интеграла с переменным верхним
пределом от непрерывной
функции по верхнему пределу равна
подынтегральной функции, с заменой переменной интегрировения на
верхней предел, т.е.
b

  f (t )dt 


a


x
= ƒ(х).
Замечание 1. Функция Φ(х) является первообразной для функции
ƒ(х).
Замечание 2. Если функция непрерывна на [a,b] , то на этом отрезке
существует первообразная функции.
Интеграл с переменным верхним пределом и неопределенный
интеграл связаны, следующим соотношением:
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
b
x
a
a
 f ( x)dx  ( x)  C   f (t )dt  C .
4. Формула Ньютона-Лейбница
b
b
 f ( x)dx  F(b) – F(a) = F(x) | a
- формула Ньютона-Лейбница.
a
Пример.
1
dx
1 x
2
1
 arctg(x) | 1 =arctg1–arctg(-1) = 2arctg1 =2π/4 = π/2.
1
Пример.
Дано:
ex , 0≤x≤1,
ƒ(х) =
3-x, 1<x≤3.
Построим график функции:
y
2.7
1
1
3
1
 f ( x)dx   e
0
0
x
х
3
3
3
dx   (3  x)dx  e x  (3x  x 2 / 2) = e –1 + 2 = e+1.
1
0
1
1
5. Замена переменной в определенном интеграле
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,b], а значит существует
b
 f ( x)dx  F(b) – F(a),
a
где F(x) первообразная для функции ƒ(х) и пусть х = φ(t), где t  [α,β].
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема. Если: 1) φ(α) = а, φ(β) = b, 2) функции φ(t) и φ'(t)
непрерывны на отрезке [α,β], 3) функция ƒ(φ(t)) непрерывна на отрезке
[α,β], то
b

a

 f ( x)dx   f ( (t ))   (t )dt .
Пример. Вычислить интеграл:
1

2
1  x 2 dx = | x = sin(t), 1  x = cos(t), dx = cos(t)dt, при х=0, t=0;
0


при х=1, t = π/2 | =
2
 cos
2
tdt =
0
1  cos 2t =  t sin 2t 
dt  

2
4 
2
0
2


2
0
=  +0–0 =  .
4
4
6. Интегрирование по частям
b

b
U dV = UV
a
a
b

–
V dU
- формула интегрирования по частям
a
в определенном интеграле.

2
Пример:
 x sin xdx 
| U=x; dU=dx; dV = sin x dx; V= -cos x | =
0
= –x cos(x)

2
0

2
+ + cos(x)dx  sin x


2
0
=1.
0
7. Несобственные интегралы
Несобственными интегралами называют:
1) интегралы с бесконечно верхними или нижними пределами
интегрирования;
2) интегралы от неограниченных функций на отрезке [a,b] или
интегралы от разрывных функций на отрезке [a,b].
Рассмотрим 1). Пусть функция ƒ(х) непрерывна на [a, +∞). Если
b
существует lim
b 
 f ( x)dx ,
то он называется несобственным интегралом
a

с бесконечным верхним пределом и обозначается
 f ( x)dx .
a
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Итак, по определению:

y =ƒ(х)
y
b
 f ( x)dx
lim
=
b  
a
0
a
 f ( x)dx ,
a
если этот предел существует, то
интеграл называется
сходящимся, в противном случае расходящимся.
x
Аналогично
b

b
f ( x)dx = lim
a  

 f ( x)dx , если этот предел существует, то интеграл
a
называется сходящимся, в противном случае расходящимся.

 f ( x)dx = |по свойству 5 определенного интеграла| =
Интеграл вида:


c
=

f ( x)dx +


b
c
f ( x)dx = lim
a  
c

f ( x)dx + lim
b
a
 f ( x)dx - интеграл
c
сходится.
Пример: Вычислить

dx .
1 x

1
Тогда, ƒ(х) =
;
1 x2
y
2

=
dx
1 x
2

0
dx
a 2
a   1  x
lim

0
dx
dx
1 x +  1 x =

1
0
b
+ lim dx 2 =

b  
lim arctg ( x)
a  
2
2
0
0
a
1 x
+ lim arctg ( x)
b  
b
=
0
lim (0 – arctg(a)) + lim (arctg(b) – 0)
a 
b  

 
= -(- ) +  =
+ =π
x
2
2 2
2
0
1
Рассмотрим 2): несобственные интегралы от разрывных функций.
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,c).
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
c 
Если существует lim
 0
 f ( x)dx ,
то он называется несобственным
a
интегралом от неограниченной функции в точке с
и обозначается
c
 f ( x)dx .
a
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке (c,b].
b
b
 f ( x)dx = lim  f ( x)dx .
0
a
c
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,b], кроме точки c,
a<c<b, тогда
b

f ( x)dx =
a
c

f ( x)dx +
a
b

c
y
f ( x)dx = lim
 0
c 

f ( x)dx + lim
 0
a
b
 f ( x)dx .
c 
y
a
c
b
x
a
c-ε c
x
Если оба эти предела существуют, то несобственный интеграл
называется сходящимся, а если один из пределов не существует, то
расходящимся.
1
dx
x
Пример.
2
,
х = 0 - точка разрыва,
ƒ(х) =
1
1
dx
1 x 2 =
+ lim ( 
 0
0

dx
dx
1
dx
+ lim  2 = lim ( )
0 x 2 = lim
2

 0 x
 0
 0
x
x

1
1
1
= lim (  1) + lim (1  ) = ∞ + ∞ = ∞,
 0
 0


dx
1 x 2 +
1
)
x
1

1
значит интеграл расходится.
72
1
.
x2
1

1
+
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Раздел 3. Приложение определенного интеграла
Площадь плоской фигуры
1.
Ранее было установлено, что площадь криволинейной трапеции есть
b
S =
 f ( x)dx . Из свойства определенного
a
интеграла видно, что
если ƒ(х) ≥ 0, то
b
 f ( x)dx ≥ 0, т.е. S ≥ 0,
s1
a
s2
b
а если ƒ(х) ≤ 0 , то
s3
 f ( x)dx ≤ 0.
a
b
Таким образом S = │
 f ( x)dx │.
a
В случае, указанном на рисунке, получим S = S1 + |S2 | + S3 .
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и кривой

y=cos(x), где x  [0,  ] .
2
S1 =
1

2
0
= 1;
0

2
S1
0
π
S2

S2 =
 cos(x)dx  sin( x)

x
2
S = S 1 + | S 2 | = 1 + 1 = 2.


= –1;
2
Объем тела вращения
2.
y=ƒ(x)
a
 cos(x)dx  sin( x)
x
b
Дана криволинейная трапеция,
ограниченная прямыми x = a, x = b,
осью Ох и кривой y=ƒ(x). Эта
трапеция вращается вокруг оси Ох. В
результате получили тело. Сечение
этого тела в каждой точке есть круг с
радиусом ƒ(x). Значит площадь такого
сечения Q(x) = πy2 =πƒ2 (x).
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Объем этого тела равен:
Vox =
b

b
πy2 dx = π
a

y2 dx.
a
Аналогично находится объем тела вращения вокруг оси Оу.
b
Фигура ограничена линиями c и d, осью Оу и Voy = π

x2 dy.
a
Пример. Найти объем тела, полученного вращением эллипса вокруг
оси Ox.
a

2
x
x2 y2
- уравнение эллипса; y2 = b 2 (1 - 2 ); V = 2
πy2 dx ;


1
2
2
0
a
a
b
a
y
V = 2π

0
b
=2π b 2 x
-a
b 2 (1–
a
x
a
0
–
x2
) dx=
a2
x3
3a 2
a
0
)=
2
= 2π b 2 (a – a ) = 4b a .
3
3
-b
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Что называется первообразной от данной функции? Привести
примеры.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
_______________________________________________________________
2. Что называется неопределенным интегралом от данной
функции?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
________________________________________________________________
________________________________________________________________
3. Сформулировать свойства неопределенного интеграла. Привести
примеры.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
4. В чем состоят методы интегрирования по частям и замены
переменной в неопределенном интеграле? Привести примеры.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
_____________________________________________________________
5. Какая рациональная дробь называется правильной, неправильной.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
6. Какие дроби называются простейшими?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
_____________________________________________________________
7. Как производится разложение правильной рациональной дроби на
простейшие?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
________________________________________________________________
_____________________________________________________________ __
8. Указать общий метод вычисления интеграла от функции,
рациональной
относительно
тригонометрических
функц ий.
Универсальная подстановка.
____________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
9. Когда говорят, что функция не интегрируется в элементарных
функциях (в конечном виде)?
____________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
10. Какая фигура называется криволинейной трапецией?
____________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
11. Что называется определенным интегралом от функции на
заданном интервале?
____________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
12. Сформулировать простейшие свойства определенного
интеграла.
____________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
________________________________________________________________
________________________________________________________________
13. Каков геометрический смысл определенного интеграла?
____________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
14. Сформулировать и геометрически иллюстрировать теорему о
среднем в интегральном исчислении.
____________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
15. Сформулировать теорему Ньютона-Лейбница.
____________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
16. Что называется несобственным интегралом первого рода? Дать
геометрическую иллюстрацию и привести примеры сходящихся и
расходящихся интегралов.
____________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
17. Что называется несобственным интегралом второго рода?
Дать геометрическую иллюстрацию и привести примеры сходящихся и
расходящихся интегралов.
____________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задания контрольно-курсовой работы
Задание 1.
В задачах 1–10 найти производные функций.
1. а) y  tgx  ln cos x  e 5 x ; б) y  e xarcsin x ; в) x 3 y 3  2 xy  3  0 .
2
2. а) y  ln x  3x3 x ;
x 1
б)
y  2arctgx x
3. а) y  x2  x arcsin x  1  x2 ; б)
4. а) y  ln
y2
( x  1) 2
 33 x 2 ; б) y  2
x2
2
5. а) y  ln x  4 x 4 x ; б)
x 1
4
sin x

2
; в) x 2 y 2  cos x  0 .
arcsin
1
x
; в) cosxy   2  0 .
; в) x  xy  2  0 .
y

 3 ; в) x y
3
y  esin x  3x ; в) 5 x 2 y 2  7 y  4  0 .

4
tg 2 x
3 3
6. а) y  x3 (3 ln x  1)  x  1 ; б) y  5
 2 xy  1  0 .
x
e
2
arcsin x 2
7. а) y  ln ( x  1)  3 x3 x ;б) y  5
; в) x 2  xy  y 2  3 .
x3
8. а) y  e5 x (5 x  1)  2 ln x  1 ; б)
x2
9. а) y  ln ( x  1)  44 x 3 ; б)
x2
2
y4
y2
10. а) y  x(ln x  1)  e 3 x (3x  1) ; б)
arctg
sin 2
1
x
3
x
; в) x 2  y 2  xy  0 .
; в) x 3  y 3  3 xy  0 .
y  3cos
2
4x
; в)
x4  y4  x2 y2 .
Задание 2.
В задачах 1-10
исследовать данные функции методами
дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование
функции рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) найти область
определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; 3)
определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти
интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума; 5)
найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки
перегиба; 6) найти асимптоты графика функции.
1) у 
2 . 2)
4 х . 3)
2 х . 4)
9 х . 5)
( х  2) 2 .
у 2
у 2
у 2
у 2
2
1 х
х  16
х 4
х 9
х 4
6) у 
78
6 . 7)
3  х 2 . 8)
( х  3) 2 . 9)
х 2 . 10)
х2 1 .
у

у

у

у 2
2
2
2
2
х 3
х 3
х 9
х 5
х 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задание 3.
Найти указанные неопределенные интегралы
интегрирования проверить дифференцированием.
1. а)
е
2. а)

3. а)

x 2 3
б)
xdx ;
x 2 dx
;
4 x
sin 2 xdx
3
;
1  sin x
2
x 3 dx
4. а) 
; б)
1  x8
dx
x
2
x
2
x
dx ; в)
4
б)
x
2
б)
x
2
x
;
x 1
dx ;
 2x  3
в)
 ln xdx .
x2
dx ;
 4x  5
в)
 xe
e 2 x dx
 4  e2x ;
3x
dx .
x 3
dx ; в)  arcsin xdx .
 6x  7
б)
x
2
x4
dx ;
 5x  6
x2
2
dx ;
10. а)  sin x cos xdx ; б)  2
x  2x  4
9. а)
результаты
 x sin 2xdx .
x4
dx ;
 4x  4
ln x  3
x2
3
6. а)  sin x cos xdx ; б)  2
dx ;
x  3x  2
x 2dx
x
7. а) 
;
б)  2
dx ;
6
x  x 1
1 x
sec2 xdx
x 1
8. а)  2
;
б)  2
dx ;
x  7 x  10
tg x  9
5. а)
и
б)
x
2
в)
x
в)
 arccos2xdx .
в)
 x cos3xdx .
в)
 xe
в)
 arcsin2xdx .
в)
x
2
3
ln xdx .
4 x
dx .
ln xdx .
Задание 4.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.
Сделать чертеж.
1.
2.
3.
y  x3; y  x .
5
y  ; y  6 x.
x
1
y  x2; y  4  x .
2
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.
y  x 2  2;
y  4  x2 .
5.
y   x 2  1;
y  x 1 .
9.
y  x  4 x  4; y  x .
1
y  x2 ; y 2  4x .
4
6
y  ; y 7x.
x
y  3x 2  1; y  3x  7 .
10.
y  2x  x2 ;
2
6.
7.
8.
y  x .
Задание 5.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
у 2  х; y  х 2 .
2. xy  4; x  1; x  4; y  0 .
3. y  sin x (одна полуволна); y  0 .
1.
4.
y  x 2  1;
2
5.
y  3x  1 .
2
x
y

 1.
16 9
В задачах 6–10 вычислить объем тела, образованного вращением
вокруг оси Оу фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать
чертеж.
6.
у 2  4  х;
x  0.
x2 у2

 1.
9
4
8. x  y  2  0; x  0; y  0
9. xy  2; x  0; y  1; y  4 .
7.
10.
y   x 2  4;
x  0;
y  0;
Задание 6.
Найти область определения
геометрическое истолкование).
80
y  3.
функции
двух переменных (дать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.
x2
.
x y
x3
4. z  ln
.
y 5
2
2
6. z  log y ( x  y  9) .
z  ln( x  y) .
cos x
.
y
5. z  ln( y  sin x) .
3.
z  ln
7.
z
9.
z
1
x y
.
arcsin
x
y
ln( x 2 y )
yx
.
2.
z  ln
8.
z  ln xy .
10.
Задание 7.
Найти частные производные
z  ln  x  y  .
z z
,
от функции z  z ( x, y ) .
x y
1.
z  ln( x  x 2  y 2 ) .
2. z  ln( x  y ) .
3.
z  ln(1  x)  ln(1  y 3 ) .
5.
2
4.
z
z  xy 2  ln( x 2  y ) .
1 x
ln .
2 y
5
6. z  ln( x  ln y ) .
7.
z  (1  log y x) 3 .
8.
z  ln(sin x  cos y) .
9.
z  ln 3 y  sin x .


10.
y 

z  ln  x y 
.
2x 

Задание 8.
В задачах 1–5 исследовать на экстремум функцию
1.
z  3x  3 y  x  xy  y  6 .
2.
z  7 x  8 y  x 2  xy  y 2  10 .
3.
z  8 x  4 y  x 2  xy  y 2  15 .
4.
z  x 2  y 2  6 x  8 y  12 .
2
5. z  2 x  8 y  x  y  9 .
В задачах 6–10 найти наименьшее и наибольшее значения функции
 f ( x, y) в заданной замкнутой области.
2
z
z  f ( x, y) .
2
2
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
z  x 2  xy  6 x  2 y  2 в прямоугольнике
1  x  3, 1  y  4 .
6.
z  x 2  4 xy  y 2  5 в треугольнике, ограниченном осями Ох и
Оу и прямой y  2  x .
7.
z  x 2  y 2  10 x  2 y  15 в прямоугольнике
2  x  6, 0  y  5 .
8.
z  x 2  2 xy  4 x  4 y  7 в области, ограниченной параболой
9.
y   x 2  4 x и осью Ох.
z  x 2  2 y 2  4 xy  2 x  4 y  2 в квадрате
0  x  2, 0  y  2 .
10.
Задание 9.
Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала.
1. (1,001 ) 2  1 .
2. 0,97 2, 02 .
0,98


3. ln 0,01  (0,01)2  (1,02)2 .
4. 1,002  2,003 2 .
5. 3,004 3  0,001 .
6. sin 29  tg 46 .
7.
9.
3
0,97  4 (1,05 )3 .
8.
(1,02)3  (1,97)3 .
10. (3,001)2  3 1,002 .
(6,03)2  (8,04)2 .
Задание 10.
Производственная функция фирмы представляет собой функцию


Кобба-Дугласа Y  AK L ,
где K — объем основных фондов (руб.);
L — объем трудовых ресурсов (чел.);
Y — объем выпуска продукции в (руб.);
A, α, β>0 — постоянные величины, причем α+ β≤1.
Известно также, что увеличения выпуска продукции на a% можно
достичь или увеличением основных фондов на b% или увеличением
численности работников на c%. В настоящее время один работник
производит за месяц продукции на M руб., а объем основных фондов
оценивается в К руб. Период амортизации основных фондов N месяцев, а
месячная зарплата a руб. в месяц.
Найдите:
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) явный вид производственной функции этой фирмы;
2) оптимальный размер фирмы, т.е. численные значения K и L,
обеспечивающие максимальную прибыль.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
a=1,
a=1,
a=1,
a=1,
a=2,
a=2,
a=3,
a=2,
a=1,
a=2,
b=2, c=3, M=103 , L=103 , K=105 , N=5, s=1000.
b=3, c=2, M=104 , L=53 , K=106 , N=5, s=100.
b=3, c=3, M=104 , L=103 , K=106 , N=3, s=10.
b=2, c=4, M=104 , L=53 , K=105 , N=2, s=1000.
b=5, c=5, M=104 , L=25 , K=107 , N=2, s=100.
b=5, c=4, M=103 , L=104 , K=107 , N=4, s=10.
b=6, c=9, M=103 , L=103 , K=109 , N=12, s=1000.
b=4, c=6, M=104 , L=103 , K=1011 , N=18, s=10000.
b=2, c=3, M=103 , L=103 , K=107 , N=6, s=1000.
b=4, c=6, M=103 , L=103 , K=103 , N=12, s=1000.
Задание 11.
Инвестор вложил в производство R0 тыс. руб. и в течение n лет
планирует непрерывно увеличивать объем инвестиций на a тыс. руб.
ежегодно. Ожидаемая доходность инвестиций составляет i% годовых.
Определите:
1)
современную стоимость такого проекта по формуле
n
A   R0  at e it dt .
0
наращенную сумму такого потока платежей по формуле
2)
S  Aein .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
R0 =11;
R0 =12;
R0 =13;
R0 =14;
R0 =15;
R0 =16;
R0 =17;
R0 =18;
R0 =19;
R0 =20;
a=1;
a=2;
a=3;
a=4;
a=5;
a=6;
a=7;
a=8;
a=9;
a=10;
n=4;
n=3;
n=2;
n=3;
n=4;
n=5;
n=6;
n=7;
n=6;
n=4;
i=1%.
i=2%.
i=3%.
i=4%.
i=5%.
i=6%.
i=7%.
i=8%.
i=9%.
i=10%.
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Примеры решения задач
Задание 1.
Найдите производные функций:


 
а) y  ln( 2  sin 3x) ; б) y  3arctg x  1 ; в) cos xy 2  3 y 2  4 x  0 .
Решение.
а)
Последовательно
применяя
правило
дифференцирования
сложной
функции,
правила
и
формулы
дифференцирования, имеем:
1
1



y  ln( 2  sin 3 x) 
 2  sin 3 x  
  2  sin 3 x   

2  sin 3 x
2  sin 3 x 
1
 3 cos 3 x

 cos 3 x  3 x  

2  sin 3 x
2  sin 3 x
б)
4 
3

y  3arctg x  1  4 3arctg x  1  3arctg x  1 

3
 4 3arctg x  1  3arctg x  ln 3  arctg x 

3
3
1
1
 12 
 4 3arctg x  1  3arctg x  ln 3 

x

 3arctg x  3arctg x  1 .


2
1  x   (1  x) x







4
 




 

в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном
виде. Для нахождения производной y  нужно продифференцировать по
переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а
затем полученное уравнение разрешить относительно у  :

 sin xy 2 xy 2  6 yy  4  0,
  
 sin xy  y  2 xyy  6 yy  4  0,
 y sin xy   2 xyy sin xy   6 yy  4  0.
2
2
2
2
2
Из последнего уравнения находим

  
y :
 
2 yy х sin xy 2  3  4  y 2 sin xy 2 , т.е. у 
 
  
4  y 2 sin xy 2
.
2 y х sin xy 2  3

Задание 2.
Исследовать функцию у  2 х  1 и построить ее график.
2
х  1
Решение. Исследование функции проведем по следующей схеме:
1. Найдем область определения функции.
2. Исследуем функцию на непрерывность.
3. Установим, является ли функция четной, нечетной.
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и
точки экстремума.
5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и
точки ее перегиба.
6. Найдем асимптоты кривой.
Реализуем указанную схему:
1. Функция определена при всех значениях аргумента х,
кроме х  1 .
2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна
на своей области определения, т.е. на интервалах
 ;1
и
1;  . В
точке х  1 функция терпит разрыв второго рода.
3. Для установления четности или нечетности функции проверим
выполнимость равенств f ( x)  f ( x) (тогда f (x) – четная функция)
или f ( x)   f ( x) (для нечетной функции) для любых х и –х из
области определения функции:
 2х  1
2х  1 .
f ( x) 
,  f ( x)  
 х  12
х  12
Следовательно, f ( x)  f ( x) и f ( x)   f ( x) , то есть данная
функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую
производную:
2 х  12  (2 х  1)  2( x  1)   x .
у 
х  14
х  13
y  0
при
x0
и
y
– не существует при
x 1.
Тем самым
имеем две критические точки: x1  0, x2  1 . Но точка x2  1 не
принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не
может. Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 1):  ;0 , 0;1 ,

1;  .
 
В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна,
следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале –
положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку
x  0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в
этой точке функция имеет минимум:
ymin  y(0)  1 .
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Значит,
A(0;1) – точка минимума.
-
разрыв
+
min
0
-
1
Рис.1.
На рис. 5 знаками +, – указаны интервалы знакопостоянства
производной у', а стрелками – возрастание и убывание исследуемой
функции.
5. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов
выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:
х  13  х  3( x  1) 2  2 х  1 .
у  
х  16
х  14
1
и y  – не существует при x  1 . Разобьем
2
числовую ось на три интервала (рис. 2):   ; 1 ,   1 ;1 , 1;  . На
y  0 при x  

первом
интервале
вторая
производная
y 
2  2 
отрицательна
исследуемой кривой выпукла; на втором и третьем интервалах
тем самым график является вогнутым. При переходе через точку
y 
меняет свой знак, поэтому
x
и
дуга
y  0 ,
1
x
2
1
– абсцисса точки перегиба.
2
Следовательно, В  1 ; 8  – точка перегиба графика функции.
 2 9
-
Перегиб
+
Разрыв
-1/2
+
1
Рис.2.
6.
прямая
86
х  1 – точка разрыва функции, причем lim 2 х  12   . Поэтому
x 1
х  1
х  1 является
вертикальной асимптотой графика.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для определения уравнения наклонной асимптоты
воспользуемся формулами:
k  lim
x 
Тогда
y  kx  b
f ( х)
, b  lim [ f ( x)  kx] .
x 
x
1
2
2x 1
x  0,
k  lim
 lim
x  ( x  1) 2 x
x  ( x  1) 2
2x 1
2
b  lim
 lim
 0.
x  ( x  1) 2
x  2( x  1)
При вычислении последнего предела использовалось правило
Лопиталя. Значит прямая y  0 есть горизонтальная асимптота графика
исследуемой функции, представленного на рис. 3.
2
1,5
1
0,5
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-0,5
В
-1
А
-1,5
Рис.3.
Задание 3.
а1) Найти
xdx
.
2
1
x
Решение. Применяя подстановку
интеграл к табличному
dt  2 xdx, xdx 
интегралу
t  x2 1,
2. Положим
приведем данный
t  x2 1,
тогда
dt
.
2
xdx
1 dt 1
1
   ln t  C  ln x 2  1  C .
2
2
2
1 2 t
x
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а2) Найти
dx
 x(1  ln
2
.
x)
Применяя подстановку
формуле 10.
Положим
t  ln x , тогда
dx
t  ln x ,
dt 
приведем данный интеграл к
dx .
x
dt
 arctgt  C  arctg ln x  C .
1 t2
3x  1
б) Найти интеграл
 x 2  4 x  8 dx .
Преобразуем знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла,
следующим образом:
x 2  4 x  8  x 2  4 x  4  4  ( x  2) 2  2 2 .
 x(1  ln
2
x)

Тогда после подстановки t  x  2 получаем
3x  1
3x  1
3(t  2)  1
3t  5
 x 2  4 x  8 dx   ( x  2)2  22 dx   t 2  22 dt  t 2  22 dt =

3t
5
3
5
t
dt   2
dt  ln(t 2  4)  arctg  C =
t 2  22
t  22
2
2
2
3
5
x2
3
5
x2
 ln(( x  2) 2  4)  arctg
 C  ln( x 2  4 x  8)  arctg
 C.
2
2
2
2
2
2
При этом при вычислении интеграла
заменой переменной
t
2
t
2
3t
dt мы воспользовались
4
z  t 2  4 . Тогда dz  2tdt , откуда
3t
3 2tdt 3 dz 3
3
dt   2
   ln z  C  ln(t 2  4)  C.
4
2 t 4 2 z 2
2
в1) Найти
 x sin xdx .
u  x и dv  sin xdx ;
v   sin xdx   cos x , следовательно
Принимаем
тогда
du  dx
 x sin xdx  x( cos x)   ( cos x)dx   x cos x  sin x  C
в2) Найти  (2 x  5)e dx .
3 x
88
и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
u  2x  5
Принимаем
и
dv  e 3 x dx ;
тогда
du  2dx
и
1
v   e3 x dx   e3 x . Применяя формулу интегрирования по частям,
3
будем иметь:
 (2 x  5)e
3 x
5  2 x 3 x 2 3 x
 1
  2

dx  (2 x  5)  e 3 x      e 3 x dx 
e  e C 
3
3
3
9

 

13  6 x 3 x
e  C.
9
в3) Найти 2 x arctgx dx .


Принимаем
u  arctgx
и
dv  2 xdx ; тогда
du 
dx
1 x2
и
v   2 xdx  x 2 , следовательно,
2
2
 2 x arctgx dx  arctgx  x   x
 x 2 arctgx   dx  
dx
x2 11
2

x
arctgx

 1  x 2 dx 
1 x2
dx
( x 2  1)arctgx  x  C.
1 x2
Задание 4.
1)
Вычислить
площадь
фигуры,
ограниченной линиями y  x 2  4 x , y  x  4
(рис. 4).
Решение.
Площадь
фигуры,
S
ограниченной сверху и снизу непрерывными
y  f (x)
y   (x) ,
линиями
и
пересекающимися в точках с абсциссами
x  a и x  b , определяется по формуле
b
S    f ( x)   ( x)dx .
(1)
a
Рис. 4
Для нахождения точек пересечения данных линий решаем систему
уравнений
 y  x 2  4 x,

 у  х  4,
x 2  4 x  х  4,
откуда
x 2  3 x  4  0,
х1  4, х2  1 . Применяя формулу (1), получим:
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1
1

3х 2 х3 
S   ( х  4  х 2  4 х)dx   (4  3х  х 2 )dx 4 х 
  
2
3 4

4
4
3 1
48 64
5
 4    16  
 20 .
2 3
2
3
6
Задание 5.
1) Найти объем тела, образованного
вращением
вокруг
оси
Ох
фигуры,
расположенной
в
первом
квадранте
и
2
ограниченной параболой
y  8x , прямой
и
осью
Ох.
y  6 x  14
Решение.
Найдем
абсциссу
точки
пересечения параболы и прямой в первом
квадранте.
Для
этого
решим
уравнение
8x 2  6 х  14 или 4 x 2  3х  7  0 . Легко убедиться, что х1   7 , х2  1 .
4
Первому квадранту соответствует корень х2  1 .
Найдем теперь абсциссу точки пересечения прямой с осью Ох, решив
уравнение  6х  14  0 , откуда x=7/3. Таким образом, можно считать,
что тело вращения ограничено при 0  х  1 поверхностью, образованной
y  8x 2 вокруг оси Ох, а при 1  х  7 / 3 –
вращением параболы
вращением прямой y  6 x  14 . Искомый объем ищем по формуле
1
7/3
0
1
V    (8 x 2 ) 2 dx   (6 x  14) 2 dx .
Для
вычисления
второго
интеграла
используем
подстановку
t  6 x  14 . Тогда dt  6dx, dx   1 dt и
6

1
 t3
2
2
1 (6 x  14) dx   8 t   6 dt   6  3
7/3
0
0

8
256

9
Отсюда
1
V  64  x 4 dx 
0
90
1
256
256
64
256
1856
 x5 
  64   




9
9
5
9
45
 5 0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y2 
16
,
x2
a  1, b  6, y 2 
16
x2
2) Найти объем тела, образованного вращением фигуры
x  1, x  6
вокруг оси Ох.
Решение. По формуле (1), учитывая, что
получим
6
16
40
 1
Vx    2 dx  16  x  2dx  16      (куб. ед.).
x
 x 1 3
1
1
6
6
3) Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу
фигуры,
ограниченной
y  1, y  4, x  0
параболой
x2  4 y
и
прямыми
(рис. 5).
Решение. По формуле (2), учитывая, что c  1, d  4 ,
получим
x2  4 y ,
4
 y2 
Vy    4 ydy  4    2 (16  1)  30 (куб. ед.).
 2 1
1
4
4) Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу
у  x 2 , 2 х  у  0 (рис. 6).
Решение. Искомый объем определяется разностью V y  V2  V1 , где
фигуры, заключенной между линиями
V1 есть объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу
треугольника АОВ, а V 2 – объем тела, образованного вращением вокруг
оси Оу криволинейной трапеции ОтАВ. Чтобы найти пределы
интегрирования, найдем ординаты точек пересечения данных линий.
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 у  x2 ,

2 х  у  0,
у 2  4 у  0,
у ( у  4)  0,
у1  0,
у2  4,
с  0, d  4.
4
4
0
0
V y    ydy   
4
 y 2 y3 
y2
2
 16 
dy         8    2  (куб. ед.).
4
2
12
3
3



0
Задание 6.
1) Исследовать на экстремум функцию z  2 x 3  xy 2  5 x 2  y 2  1 .
Решение. Находим стационарные точки.
z
 6 x 2  y 2  10 x;
x
z
 2 xy  2 y;
y
6 x 2  y 2  10 x  0, 6 x 2  y 2  10 x  0,


2 xy  2 y  0,
2 y ( x  1)  0.
Решение последней системы дает 4 стационарные точки:
 5 
.
P1 (0;0), P2   ;0 , P3 (1;2), P4 (1;2)
 3 
Находим частные производные второго порядка:
2 z
2 z
2 z
 12 x  10;
 2 y;
 2 x  2.
2
x
xy
y 2
Исследуем каждую стационарную точку.
1) В точке Р1 (0;0) : А  10; В  0; С  2;   20 . Так как   0 и
A  0 , то в этой точке функция имеет минимум z m in  z (0;0)  1.
2) В точке P   5 ;0  : А  10; В  0; С   4 ;   40 .
2
3
3
 3 
Так как   0 и A  0 , то в этой точке функция имеет максимум
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17
 5 
zmax  z  ;0   5 .
27
 3 
3) В точке Р3 (1;2) : А  2; В  4; С  0;   16 . Так как
  0,
то в этой точке нет экстремума.
4) В точке Р4 (1;2) : А  2; В  4; С  0;   16 .
Так как   0 , то в этой точке нет
экстремума.
2) Найти наибольшее и наименьшее
значение функции z  x 2  2 y 2  2x  8 y  5 в
замкнутом
треугольнике
АОВ,
ограниченном осями координат и прямой
x  y  4  0 (рис. 7).
Решение. Найдем стационарные точки.
z
z
 2 x  2;
 4 y  8.
x
y
Решая систему
Рис. 7
2 x  2  0,

4 y  8  0,
находим стационарную точку
Р0 (1,2) . Эта точка лежит внутри
области. Вычислим значение функции в этой точке.
z ( P0 )  z (1,2)  1  8  2  16  5  4.
Граница заданной области состоит из отрезка ОА оси Ох, отрезка ОВ
оси Оу и отрезка АВ. Определим наибольшее и наименьшее значение
функции z на каждом из этих трех участков. На отрезке ОА y  0, а
0  x  4 . При y  0 функция z  x 2  2 x  5 есть функция одной
независимой переменной х. Находим наибольшее и наименьшее значение
этой функции на отрезке 0;4 .
dz
P1 (1,0)
–
стационарная
точка.
 2 x  2; 2 x  2  0; x  1 ;
dx
z ( P1 )  z (1,0)  4 .
Вычислим значения функции на концах отрезка ОА, то есть в точках
О и А. z (O)  z (0,0)  5; z ( A)  z (4,0)  13 .
На отрезке ОВ x=0 и 0  y  4 . При x=0 имеем z  2 y 2  8 y  5 .
Находим наибольшее и наименьшее значение этой функции z от
переменной у на отрезке 0;4 .
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dz
 4 y  8; 4 y  8  0; y  2 ; P2 (0,2)
dy
z ( P2 )  z (0,2)  3 .
–
стационарная
точка.
Вычислим значения функции z на концах отрезка ОВ, то есть в
точках О и
В. z(O)  z(0,0)  5; z( B)  z(0,4)  5 . Исследуем теперь
отрезок АВ. Уравнение прямой АВ: y  4  x . Подставив это выражение
для у в заданную функцию
z , получим
z  x 2  2(4  x) 2  2 x  8(4  x)  5 или
z  3x  10 x  5 . Определим наибольшее и наименьшее значение этой
функции на отрезке 0;4.
dz
5
 6 x  10; 6 x  10  0; x  ; P3  5 , 7  – стац. точка. z ( P3 )  z 5 , 7    10 .
dx
3
3
3 3
3 3
Значения функции в точках А и В найдены ранее. Сравнивая
полученные результаты, заключаем, что наибольшее значение заданная
функция z в заданной замкнутой области достигает в точке A(4,0) , а
наименьшее значение – в стационарной точке Р0 (1,2) . Таким образом,
2
zнаиб  z (4,0)  13 и z наим  z (1,2)  4 .
Задание 7.
Производственная функция фирмы представляет собой функцию
Кобба-Дугласа z  Ax y  ,
где
x — объем основных фондов в (руб.);
y — объем трудовых ресурсов (чел.) ;
z — объем выпуска продукции в (руб.);
A, α, β>0 — постоянные величины, причем α+ β≤1.
Известно также, что увеличения выпуска продукции на a% можно
достичь или увеличением основных фондов на b% или увеличением
численности работников на c%. В настоящее время один работник
производит за месяц продукции на M руб., а численность работников L.
Основные фонды оцениваются в K руб. Период амортизации основных
фондов N месяцев, а месячная зарплата S руб. в месяц.
Найдите:
1)
явный вид производственной функции этой фирмы;
2)
оптимальный размер фирмы, т.е. численные значения x и
y, обеспечивающие максимальную прибыль.
a=3, b=6, c=9, M=104 , L=103 , K=108 , N=12, S=1000.
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение.
Прежде всего установим экономический смысл параметров α и β. Для
этого найдем частные эластичности выпуска по основным фондам и
трудовым ресурсам.
Находим z и z :
x y
z

 
Ax  y  z

Ax  y   Ay 
x  Ax  1 y  

x x
x
x
x
 
z


A

x
y
z

Ax  y   Ax 
y   A x y  1 

y y
x
y
y


 


 
Находим частные эластичности выпуска продукции по основным
фондам и трудовым ресурсам:
x z x z
E x z   
 
  ; E y z   y  z  y  z  
z x z x
z y z y
Таким образом, параметр α показывает, на сколько процентов
изменяется выпуск продукции при увеличении объема основных фондов
на 1%. Аналогично, параметр β показывает, на сколько процентов
изменяется выпуск продукции при увеличении объема трудовых ресурсов
предприятия на 1%.
После этих вводных замечаний приступаем к решению задачи:
1. Определим явный вид производственной функции.
1.1. Учитывая экономический смысл параметров α и β, получаем:
a 3 1
a 3 1
   ,    .
c 9 3
b 6 2
Производственная функция принимает вид:
1
1
z  Ax 2 y 3
(1).
1.2. Определяем параметр A. Для этого подставляем в выражение (1)
известные величины M=104 , L=103 , K=108 и учитывая, что в настоящее
время выпуск продукции равен z  ML  104 103  107 , получаем
   
1
1
следующее уравнение для определения A: 10 4  10 3  A  10 8 2  10 3 3 ,
откуда A=100.
Таким образом, производственная функция данной фирмы имеет вид:
1
1
z  100 x 2 y 3
(2)
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Определим оптимальный размер фирмы. В качестве критерия
оптимизации выбираем прибыль, т.е. оптимальным будем считать такой
размер фирмы, при котором ее прибыль максимальна.
Выражение для прибыли имеет вид:
1
1
f ( x, y )  100 x 2 y 3 -  p1 x  p2 y  ,
(3)
где:
p 1 - себестоимость одной единицы основных фондов,
p 2 - себестоимость одной единицы трудовых ресурсов.
По условию задачи p  1  1 ; p  s  103 .
1
2
N 12
Таким образом, задача свелась к нахождению максимума функции
двух переменных:
1 1
1 1
1
1

(4)
f ( x, y)  100x 2 y 3 -  x  103 y   100x 2 y 3  x  103 y ,
12
 12

который находится по общим правилам дифференциального
исчисления.
2.1. Находим все частные производные функции (4) первого и
второго порядка:
1
1 1
1

f
 
1
  2 1 

3
100x 2 y 3  x  103 y   100 y 3
x 

  12 x x   x 10 y 

x x 
12

x
 



1
1
3
1
1 
1 50 y 3 1
 100 y   x 2 
 1 
2
12
12
x2
1 1
1

 1
f
 
1
3
2 3
  100x 2   y 3   1   x   103    y  

100
x
y

x

10
y

y y 
12
y   12 y
y

1
1
2
2
1 
100x 2
 100x  y 3  103 
 1000
2
3
3y 3
1
1
1
1
1
1
3


2 f
  f   
1
  2 
1
25 y 3
 x   50   y 3 x 2   3

50 y 3 x 2    50 y 3
 
2



x
x  x  x 
12 
x 
2

x2
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1
1


5
 100 x 2    23 
2 f
  f    100 x 2
2 100 x 2  3
y  
  

 1000  

y


2
2

y
y  y  y 
3 y 
3
3


3
 3y

1
200  x 2  3

y
9
5
1
1
2
1
1
1


2 f
  f   
1
  3 
1  
50

50 y 3 x 2    50 x 2
y   50  x 2 y 3  1 2
 


xy y  x  y 
12 
x  
3
3x 2 y 3
2.2. Находим критические точки функции, приравнивая первые
частные производные к нулю и решая получившуюся систему уравнений:
 f

 x
 f


 y
1
1


3
3
 50 y  1  0
 50 y  1
1
1
1
1



0
12
12
 x2
 x2
600 y 3  x 2


 1
1
1
2
0
100 x 2
100x 2
 x 2  30 y 3


1000

0

1000


2
2
 3y 3
 3y 3


x1 / 2 из первого уравнения и подставляем во второе.
Выражаем
Получаем:
1
2
1
2
1
1
1


600 y 3  30 y 3  20 y 3  y 3  0  y 3  20  y 3   0  y 3  20 .


3
3
Отсюда y  20  8  10 .
Поставляя найденное значение y в первое уравнение, находим x:
1

x 2  600  8 103



1
3
 6  3 8 10 2 10  12 103
2
x  12 103  144 10 6  1,44 108
Итак, точка x0  1,44 10 8 ; y 0  8 10 3 является критической точкой
функции прибыли данной задачи.
Однако равенство нулю частных производных первого порядка
является необходимым, но совсем не достаточным условием экстремума
функции двух переменных. Для ответа на этот вопрос следует
воспользоваться достаточным признаком экстремума, что и будет сделано
в следующем пункте.
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3. Вычисляем значения вторых производных в критической точке:

1
a
b
1

2 f
x0 , y0   50
1
xy
3x 2 y
0
0
2
3

3  1,44  10
2
2 f
x0 , y0    200  x0 y0
9
y 2


50

1
c


3 3
3
2 f
x0 , y0    25 y30   25  8 10 3   25  20
2
x
x0 2
1,44  10 8 2
144  10 6

5
3

2
3 3

200  1,44  108
9

5  10 2
12 

3
2 2
 10
 
 10
9
50

  8 10 
1
8 2

3
2
3  1,2  10  2
4
  8 10 
1
2
5
3 3

2
3 3

2
5
 10 7  0
12 3
50
0
14 ,4  10 6
2  10 2  1,2  10 4
9  3 85  10 5

2  1,2  10
 0,08333  0
9  32
Вычисляем определитель:
2
D
a b
5
 50

 ac  b 2   3  10 7   0,08333  
 10 6   2,411 10 11  12,06  10 12  0
b c
12
 14,4

Поскольку a<0, D>0, то на основании достаточного признака
экстремума функции двух переменных делаем вывод о том, что точка
точкой
максимума
x0  1,44  10 8 руб.; y0  8  10 3 чел. является
функции прибыли. Следовательно, это и есть оптимальный размер
фирмы.
2.4. Вычислим оптимальный объем выпуска продукции
оптимальную прибыль f 0 ( x0 , y 0 ) :
1
1

z 0  100 x0 2 y0 3  100  1,44 10 8
  8 10 
1
2
1
3 3
z0 и
 1,2  2 10 2 41  2,4 10 7 руб.
1
1
1
1

f 0 ( x0 , y 0 )  100x0 2 y 0 3 -  x0  103 y 0   z 0  x0  103 y 0 
12
 12

8
1
,
44

10
144
106
 2,4 107 
 8 103 103  2,4 107 
 8 106 
12
12
 24 106  12 106  8 106  4 106 руб.
Ответ: оптимальными для данной фирмы являются: объем основных
фондов 144 млн. руб., численность работников 8000 чел.
При этом прибыль будет максимальна и составит 4 млн. руб. при
объеме выпуска продукции, равном 24 млн. руб.
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ
Дифференциальное исчисление функций одного переменного
1.
Что называется производной функции одного переменного?
Каков ее геометрический, физический и экономический смыслы?
2.
Что называется дифференциалом функции, каковы его
основные свойства?
3.
Какая функция называется возрастающей (убывающей)? Каковы
необходимый, достаточный признаки возрастания (убывания) функции?
4.
Каковы необходимый, достаточные признаки существования
экстремума функции?
5.
Какая кривая называется выпуклой (вогнутой)? Как найти
интервалы выпуклости и вогнутости кривой?
6.
Каковы необходимый, достаточный признаки существования
точки перегиба?
7.
Что называется асимптотой кривой? Как найти вертикальные и
наклонные асимптоты?
8.
В каком случае и как применяется правило Лопиталя при
вычислении пределов?
Функции двух переменных
1.
Понятие функции двух переменных. Геометрическое
истолкование. Область определения. Линии уровня, их графическая
интерпретация и применение.
2.
Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
3.
Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой
области.
4.
Определение и геометрический смысл частных производных.
5.
Частные производные высших порядков. Теорема о
независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.
6.
Касательная
плоскость
и
нормаль
к
поверхности,
определяемой графиком функции двух переменных.
7.
Производная по направлению. Определение, связь с частными
производными. Градиент функции, его связь с производной по
направлению.
8.
Определение
и
геометрический
смысл
полного
дифференциала функции.
9.
Дифференцируемость функции нескольких переменных.
Свойства дифференцируемой функции: непрерывность, существование
частных производных.
10.
Достаточные условия дифференцируемости функции двух
переменных.
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.
Применение полного дифференциала к приближенным
вычислениям.
12.
Определение точек экстремума функции z  f ( x, y ).
Необходимые и достаточные условия экстремума.
13.
Выпуклые множества и выпуклые функции. Глобальный
экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в
области.
14.
Условный экстремум. Функция Лагранжа.
15.
Общая теория функции двух переменных на примере ПФ
Кобба-Дугласа. Функция полезности. Задача потребительского выбора.
Интегральное исчисление
1. Понятие первообразной функции.
2. Неопределённый интеграл, его свойства.
3. Основные правила и формулы интегрирования.
4. Метод замена переменной (подстановки).
5. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.
6. Разложение рациональной функции на пр остейшие дроби.
7. Интегрирование простейших дробей.
8. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические
функции.
9. Понятие определённого интеграла, его геометрический смысл.
10. Основные свойства определённого интеграла.
11. Теорема об оценке интеграла. Теорема о среднем.
12. Теорема Ньютона-Лейбница.
13. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом
интеграле.
14. Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения.
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
1.
Высшая математика для экономистов: Учебн. пособие для
вузов/ Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. Под. ред.
проф. Н.Ш.Кремера. — М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.—439с.
2.
Замков
О.О.,
Толстопятенко
А.В., Черемных Ю.Н.
Математические методы в экономике: Учебник.— М.: МГУ им. М.В.
Ломоносова, Издательство «ДИС», 1998. — 368 с.
3.
Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей
математики для экономических вузов. Ч. 1 и 2.- М.: Высшая школа, 1982.
4.
Кудрявцев В.А., Демидович Б.П.
математики. М.: Наука, 1989.
Краткий курс высшей
5.
Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики:
Учебно-практическое пособие.— М.: Изд-во УРАО, 1998.—160с.
6.
Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории
вероятностей и математической статистики. - М.: Высшая школа, 1972.
7.
Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов.
— М.: «Дело Лтд», 1995. — 320с.
8.
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического
анализа. М., Наука, 1985.
9.
Бугров Я.С., Никольский С.М.
интегральное исчисление. М.: Наука, 1988.
Дифференциальное
и
10.
Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1980.
11.
Пискунов
Н.С.
исчисления. М.: Наука, 1976.
Дифференциальное
и
интегральное
12.
Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 1.
Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. А.В.
Ефимова, Б.П. Демидовича. М., Наука, 1993.
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отпечатано с готового оригинал-макета
в типографии «Папирус».
300041, г. Тула, ул. Ленина, д.12.
Тел. (4872) 38-40-09
Заказ №_______. Тираж _______ экз.
102
Документ
Категория
Информатика и программирование
Просмотров
111
Размер файла
1 907 Кб
Теги
2314, математика
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа