close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2462.Математический анализ

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Саратовский государственный аграрный университет
имени Н. И. Вавилова»
В.Ю. БОСЬ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие
для студентов очной и заочной форм обучения
сельскохозяйственных высших учебных заведений
Саратов 2014
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.3
ББК 22.1
Б 85
Бось В.Ю.
Математический анализ. Учебное пособие для студентов очной и
заочной форм обучения / Сост.: В. Ю. Бось // ФГОУ ВПО «Саратовский
ГАУ». – Саратов, 2013. - 179с.
ISBN 978-5-9999-1700-3
Учебное
пособие
включает в себя следующие разделы:
дифференциальное
исчисление,
интегральное
исчисление,
дифференциальные уравнения.
Изложение теоретического материала иллюстрируют примеры. В конце
каждого параграфа даны задачи для самостоятельного решения.
УДК 517.3
ББК 22.1
© Бось .В.Ю.
2014
ISBN 978-5-9999-1700-3
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1.1. Предел числовой последовательности.
Числовой последовательностью
сопоставляющее
называется всякое соответствие,
каждому натуральному числу n (n = 1, 2, 3, …)
некоторые действительные числа an.
Числовая последовательность обозначается следующим образом:
а1, а2, а3, … , а n, … или
{ an } ;
Каждое из чисел а1, а2, а3, … называется элементом (членом) этой
последовательности, а число an - ее общим членом. Как правило, закон
образования последовательности задается формулой его общего члена.
Число а называется пределом последовательности {an}, если для
любого сколь угодно малого числа ε>0 существует такой номер nε , что
для всех номеров
n > nε выполняется неравенство /an – a / < ε.
В этом случае пишут:
lim a n  a ,
n
что означает an → a при n → ∞ .
Последовательность, у которой существует предел, называется
сходящейся. Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется
расходящейся.
Пример 1.1.1. Исходя из определения предела последовательности,
доказать, что последовательность
имеет пределом число
1 2 3
n
,
,
, … ,
, … при n → ∞
3 5 7
2n  1
1
.
2
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Пусть ε – произвольное положительное число. Требуется
доказать: существует такое
nε , что при всех n > nε выполняется
неравенство
1
2
| a n  | < ε . Найдем абсолютную величину разности
|
n
1
1
1
- |=|
|=
.
2n  1 2
2( 2n  1)
2( 2n  1)
1
2
Таким образом, неравенство | a n  | < ε выполняется , если
откуда n >
1
<ε,
2( 2n  1)
1 1
 . Поэтому в качестве n ε можно взять целую часть числа
4 2
1 1
 1 1
 ; т.е. n ε = Е    . Итак, для любого ε найдено такое n ε , что из
4 2
 4 2 
1
2
неравенства n > nε следует неравенство | a n  | < ε, а это и означает, что
lim
n
n
1
 .
2n  1 2
§ 1.2 Предел функции.
Если каждому числу x из множества D поставлено в соответствие
определенное число у из множества Е, то говорят, что на множестве D
задана функция.
Правило,
с
помощью которого
устанавливается
соответствие,
определяющее данную функцию, обозначается буквой : f, g, h, q, φ, ψ, …
Например,
y = f(x).
Переменная х – независимая переменная (аргумент), переменная у –
зависимая. Множество
D – область определения функции и
обозначается D(f), а множество Е – множество значений функции и
обозначается Е(f).
Функция может быть задана тремя способами: графическим,
табличным и аналитическим (формулой).
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функция y = f(x) называется четной, если для каждого х D
выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен
относительно оси ординат.
Функция y = f(x) называется нечетной, если для каждого х D
выполняется равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции
симметричен относительно начала координат.
Функция y = f(x) называется периодической с периодом Т , если при
всех х D, выполняется равенство f(x + Т) = f(x).
Функция y = f(x) называется возрастающей в некотором промежутке,
если для любых значений
х2 > х1, этого промежутка, выполняется
неравенство f(x2) > f(x1).
Функция y = f(x) называется убывающей в некотором промежутке,
если для любых значений
х2 > х1, этого промежутка, выполняется
неравенство f(x2) < f(x1).
Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.
Функция называется неявной, если она задается уравнением F(x,y)= 0,
не разрешенном относительно у.
Термин «неявная функция» отражает не характер функциональной
зависимости, а лишь способ ее задания. Например sinx + cosy= x – неявно
заданная функция.
Пусть у является функцией от переменной и, заданной аналитическим
выражением y = f(и), а, и, в свою очередь, - функция от переменной х,
заданная выражением
и = φ(х), то функция y = f [φ (x)] есть сложная
функция (или функция от функции).
Например: y = sin(x2+ 4);
y = etgx; y = ln cosx – сложные функции.
Пусть на множестве D задана монотонная функция
определяющая отображение
y = f(x),
f числового множества D на числовое
множество E . Обратное отображение f-1 определяет обратную функцию
х = f- -1(у).
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как переход от функции y = f(x) к обратной функции х = f- -1(у)
сводиться лишь к изменению ролей множеств D и E , то графики
функций y = f(x) и х = f- -1(у) совпадают. Как правило, для обратной
функции аргумент обозначается через х, а значение функции – через у ,
т.е. записывается в виде у = f- -1(х). Графики функций у = f(х) и у = f- -1(х)
симметричны относительно прямой у=х.
Функция y = f(x) называется ограниченной на некотором множестве D
значений аргумента х, если существует такое число С > 0, что для всех
х D выполняется неравенство | f(x) |≤ C.
Окрестностью
содержащий
эту
точки х0
точку.
называется
Интервал
произвольный интервал,
х0   , х0    называется δ –
окрестностью точки х0. Обычно х0 называется центром окрестности, а δ –
ее радиусом.
Число А называется пределом функции y = f(x) в точке х0 , если для
любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих
условию |х –х0| < δ, x ≠ x0 ,выполняется неравенство
При этом
|f(x) - A| < ε.
lim f(x) = A.
x x 0
Число А называется пределом функции y = f(x) при х → ∞ , если для
любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих
условию |х|˃ δ, выполняется неравенство
При этом
|f(x) - A| < ε.
lim f(x) = A.
x
Если число А1 есть предел функции y = f(x) при х , стремящемся к х0
так, что х принимает только значения, меньшие х0 , то число А1 называется
левым пределом функции y = f(x) в точке х0. При этом пишут
lim
x x0  0
f(x) = A1.
Если число А2 есть предел функции y = f(x) при х , стремящемся к х0
так, что х принимает только значения, большие х0 , то число А2
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
называется правым пределом функции y = f(x) в точке х0. При этом
пишут
lim
x x0  0
f(x) = A2.
Правый и левый пределы называются односторонними пределами.
Функция α(х) называется бесконечно малой при х, стремящемся к х0 ,
если lim α(x) = 0.
x x
0
Функция f (х) называется бесконечно большой при х, стремящемся к
х0 , если для любого N > 0 существует δ > 0 такое, что при всех х,
удовлетворяющих условию 0 < |х –х0| < δ выполняется неравенство |
f(x) | > N.
При этом пишут
lim f(x) = ∞.
x x 0
Следует заметить, что такая запись носит условный характер,
фактически она означает, что данная функция не имеет предела.
Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие
функции при х → ∞.
Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями
существует тесная связь, которая устанавливается в следующих теоремах.
Теорема. Если функция f(x) является бесконечно большой при х→х0,
то функция
1
- бесконечно малая при х→х0.
f ( x)
Теорема. Если функция f(x), является бесконечно малой при х→х0, то
функция
1
- бесконечно большая при х→х0.
f ( x)
Приведенные выше теоремы справедливы также и для х→ ∞.
Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами.
1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций
есть функция бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( в частности, на постоянную или бесконечно малую функцию) есть
функция бесконечно малая.
3. Частное от деления бесконечно малой на функцию, предел которой
отличен от нуля, является функцией бесконечно малой.
Бесконечно большие функции обладают следующими свойствами.
1. Сумма бесконечно большой функции и функции ограниченной есть
бесконечно большая функция того же знака.
2. Сумма конечного числа бесконечно больших функций одинакового
знака есть бесконечно большая функция того же знака.
3. Произведение бесконечно большой функции на функцию,
превосходящую по абсолютному значению некоторую положительную
постоянную(в частности на бесконечно большую функцию) есть
функция бесконечно большая.
Основные теоремы о пределах.
1. Предел постоянной величины равен этой величине:
lim С = С.
(1.1)
x x 0
2. Если функции f(x), φ(x), ψ(x) имеют предел, при х→х0, то
предел
алгебраической суммы конечного числа функций, равен алгебраической
сумме пределов этих функций:
lim [f(x) + φ(x) – ψ(x)]= lim f(x) + lim φ(x) - lim ψ(x). (1.2)
x x 0
x x 0
x x 0
x x 0
3. Если функции f(x), φ(x), ψ(x) имеют предел, при х→х0, то предел
произведения конечного числа функций, равен произведению пределов
этих функций, если последние существуют:
lim [f(x) · φ(x)· ψ(x)]= lim f(x) · lim φ(x) · lim ψ(x). (1.3)
x x 0
x x 0
x x 0
x x 0
4. Если функция f(x), имеет предел, при х→х0, то постоянный
множитель можно выносить за знак предела:
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
lim [kf(x)]= k lim f(x).
x x 0
(1.4)
x x 0
5. Если функция f(x), имеет предел, при х→х0, то предел степени
функции равен степени от предела этой функции:
n
n
lim [f(x)] = [ lim f(x)] .
x x 0
(1.5)
x x 0
6. Если функции f(x), φ(x) имеют предел, при х→х0, то предел частного
двух функций равен частному пределов этих функций, если
предел
знаменателя не равен нулю:
lim f ( x )
f ( x) x x
,

lim
x x 0  ( x )
lim  ( x )
lim φ(x) ≠ 0.
x  x0
Пример 1.2.1. Вычислить предел xlim
2
Решение.
Для
вычисления
(1.6)
x x 0
3х 2  5 х  3
.
6х 2  7х  2
этого
предела
будем
использовать
приведенные выше теоремы о пределах.
3x 2  lim 5x  lim 3 3 lim x 2  5 lim x  3
3x 2  5x  3 lim
3х 2  5х  3 lim
x 2
x 2
x 2
x 2
x 2


 x 2 2
lim
=
2
2
x2 6х 2  7 х  2
lim 6 x  7 x  2 lim 6 x  lim 7 x  lim 2 6 lim x  7 lim x  2
x 2
x 2
x 2
 
3 4  5 2  3 5 1
=


 .
6lim x   7 lim x  2 6  4  7  2  2 40 8
x 2
x 2
x 2
3 lim x  5 lim x  3
2
x 2
x 2
2
x 2
x 2
1
8
Ответ: .
Пример 1.2.2. Вычислить односторонние пределы xlim
 3 0
Решение. Пусть
х < 3. Тогда при
4
 x  32
.
х→ 3 – 0 функция (х – 3), а
следовательно, и (х – 3) 2 есть отрицательная бесконечно малая функция;
поэтому функция 4·
т.е. xlim
 3 0
4
x  32
1
 х  3 2
- отрицательная бесконечно большая функция,
  .
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При х→ 3 + 0 функция (х – 3), а следовательно, и (х – 3) 2 есть
положительная бесконечно малая функция; поэтому функция 4·
положительная бесконечно большая функция, т.е. xlim
 3 0
Ответ: xlim
 3 0
4
x  32
4
x  32
1
 х  3 2
-
  .
  .
§ 1.3. Раскрытие неопределенностей.
При вычислении ряда пределов, могут возникнуть неопределенности типа
0

или
. Для раскрытия этих видов неопределенностей необходимо
0

воспользоваться следующими правилами.
Правило 1. Для раскрытия неопределенности
0
0
у дробно--
рациональной функции, необходимо ее числитель и знаменатель дробной
функции разложить на множители и сократить дробь.
Пример 1.3.1. Вычислить предел lim
x 1
Решение. Функция f(x) =
x2 1
.
x 2  4x  5
x2 1
в точке х=1 не определена. Так как
x 2  4x  5
при х=1 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, то мы имеем
неопределенность
0
. Воспользуемся правилом и разложим числитель и
0
знаменатель на множители:
х 2  1  х  1х  1
x  1x  1  lim x  1  2  1
x2  1
lim 2
 2
lim
.
x 1 x  4 x  5
x

1
x  1x  5 x 1 x  5 6 3
х  4 х  5  х  1х  5
1
3
Ответ: .
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для раскрытия неопределенности 
Правило 2.

у дробно--
рациональной функции, необходимо числитель и знаменатель дробной
функции почленно разделить на х в старшей степени.
Пример 1.3.2. Вычислить предел
5x 3  4 x 2  7 x  3
.
lim
x   10 x 3  2 x 2  4 x  6
Решение. В данном примере имеем неопределенность типа

у дробно
рациональной функции, поэтому согласно правилу 2, разделим почленно
числитель и знаменатель на х3 :
4
7
3
1
1
1
 2  3
5  4 lim  7 lim 2  3 lim 3
x  x
x  x
x  x
5x  4 x  7 x  3
х
х
х 
lim
lim
=
=
3
2
x 
x   10 x  2 x  4 x  6
2 4
6
1
1
1
10   2  3 10  2 lim  4 lim 2  6 lim 3
x  x
x  x
x  x
х х
х
3
=
5
2
5  4  0  7  0  3 0
5 1


10  2  0  4  0  6  0 10 2
1
2
Ответ: .
Правило 3.
Если функция содержит радикал, то ее числитель и
знаменатель следует умножить на сопряженное выражение ( если корень
есть и в числителе и в знаменателе, то числитель и знаменатель умножают
на соответствующие сопряженные выражения).
Пример 1.3.3. Вычислить предел lim
x 3
Решение. Функция f(x) =
2x  3  3
3 x
2x  3  3
.
3 x
в точке х=3 не определена, так как
при х=3 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Мы имеем
неопределенность
0
.
0
Для
раскрытия
этой
неопределенности
воспользуемся правилом 3. Выражение сопряженное числителю будет –
( 2 х  3  3 ), умножим на него числитель и знаменатель дробной функции.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2x  3  3
( 2 x  3  3)  ( 2 x  3  3)
(2 x  3)  9
 lim
 lim

x 3
x 3
x 3 (3  x)( 2 x  3  3)
3 x
(3  x)  ( 2 x  3  3)
2x  6
2( x  3)
2
1
 lim
 lim
  lim
 .
x  3 (3  x )( 2 x  3  3)
x 3
x 3
3
( x  3)( 2 x  3  3)
2x  3  3
lim
1
3
Ответ: - .
Правило 4. Для раскрытия неопределенности ∞ - ∞, необходимо
преобразовать выражение, стоящее под знаком предела, таким образом,
чтобы получить неопределенность вида
правилом 2.

и раскрыть ее, пользуясь



x  x2  3 .
Пример 1.3.4. Вычислить предел lim
x 
Решение. Умножим и разделим выражение под знаком предела на
x  x  3, получим:
x 
lim x  x  3   lim
2
2
x 
x 

x2  3 x  x2  3
x  x 3
2
  lim x  x  3  lim
2
x 
2
x x 3
2
x 
3
x  x2  3
 0.
Ответ: 0.
§ 1.4. Первый замечательный предел
Для раскрытия неопределенности
выражений,
содержащих
0
, при вычислении пределов
0
тригонометрические
функции
часто
используется формула (1.7), носящая название первый замечательный
предел:
sin x
1
x 0
x
(1.7)
lim
Легко показать, что
x
1
x  0 sin x
(1.8)
lim
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
lim
x 0
tgx
1
x
(1.9)
x
1
x  0 tgx
(1.10)
lim
Пример 1.4.1. Вычислить предел lim
x 0
sin 6 x
5x
Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом, но сначала
преобразуем функцию.
lim
x 0
sin 6 x 1
sin(6 x)  6 6
sin 6 x 6
6
 lim
 lim
 1 
x

0
x

0
5x
5
(6 x )
5
6x
5
5
6
5
Ответ: .
Пример 1.4.2. Вычислить предел lim
x 0
sin 8 x
tg 4 x
.
Решение. Выражение, стоящее под знаком предела, преобразуем таким
образом, чтобы воспользоваться формулами (1.7) и (1.10).
lim
x 0
sin 8 x
sin 8 x 8 4 x 1 8
sin 8 x
4x
 lim
 
  lim
lim
 2 1 1  2
x

0
x

0
x

0
tg 4 x
8 x 1 tg 4 x 4 4
8x
tg 4 x
Ответ: 2.
Пример 1.4.3. Вычислить предел lim
x 0
arcsin9 x
.
3x
arcsin9 x  t
arcsin9 x sin(arcsin9 x)  sin t
t
t

 lim
 3 lim
 3.
Решение. lim
9
x

sin
t
x 0
x

0
x

0
sin t
3x
sin t
3

sin t
x
9
9
Следует отметить, что если х→0, то и t→0.
Ответ: 3.
§ 1.5. Второй замечательный предел.
Согласно теореме о пределе монотонной последовательности с общим
n
1
членом an  1   , имеем
 n
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
 1
lim 1    e
n 
 n
где
(1.11)
е = 2,718281828459045…- десятичная дробь, которое является
основанием натурального логарифма logex= ln x.
Функция у = ех называется экспонетной и играет значительную роль в
математическом анализе и других математических дисциплинах, в
частности в теории вероятностей и математической статистике, а так же
она присутствует во многих математических моделях различных
экономических процессов.
Справедлива следующая формула
lim 1  nn  e
1
(1.12)
n 0
Формулы (1.11) и (1.12) называются вторым замечательным
пределом. Они используются для раскрытия неопределенности 1∞.
Пример 1.5.1. Вычислить предел lim 1 
x 

6 

2x  1 
3 x 5
.
Решение. При вычислении предела будем использовать свойства
степеней: аn·am=an+m , (an) m= anm , а так же формулы (1.3) и (1.5).
6 

lim 1 

x 
 2x  1
3 x 5
6
1

6 t 1
2х  1 t
3
5
9t  6,5
1

 2
 1
 6t  62tx11  lim 1  
 lim 1  

t 
t 
t
t




x
2
t
9t
 1  1
 lim 1    1  
t 
 t  t
 6, 5
9t
 1
 1
 lim 1    lim 1  
t 
 t  t  t 
 6, 5
9
  1 t 
 lim 1     e9
t  t  
Ответ: е9.
При вычислении ряда пределов используется следующее правило: если
lim f ( x) , то
существует и положителен x
x
0
lim ln f ( x)  ln  lim f ( x)
 x  x0

x  x0
14
(1.13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 1.5.2. Вычислить предел lim
x 0
ln 1  5 x 
.
x
Решение. При вычислении предела будем использовать свойство
логарифмов k·ln a = ln ak , формулу (1.13) и второй замечательный предел.
1
1
ln 1  5 x 
1


 lim 5   ln 1  5 x   5 lim ln 1  5 x 5 x  5 ln lim 1  5 x 5 x   5  ln e  5 .
x 0
x

0
x

0
x

0
x
5x


lim
Ответ: 5.
§ 1.6. Непрерывность функции.
Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с
тем, что ее графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия.
f(x)
f(x0 )
х0
← х
х
Рисунок 1.1
На рисунке 1.1 изображен график такой функции. Видно, что близким
значениям аргумента соответствуют близкие значения функции; если
независимая переменная х приближается к точке х0, то значение функции
y = f(x) неограниченно приближается к значению функции в точке х0 .
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х 0 , если:
lim f(x) = f(x0).
x x 0
Точка х0 называется точкой непрерывности данной функции.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть функция y = f(x) определена в точке х0.
Если
lim f(x) = f(x0), то говорят, что функция y = f(x) непрерывна в
x  x0  0
точке х0 справа; если lim f(x) = f(x0) , то функция y = f(x) непрерывна в
x x 0
0
точке х0 слева.
Точка х0 называется точкой разрыва функции y = f(x) , если она
принадлежит области определения функции или ее границе и не является
точкой непрерывности.
При этом говорят, что в точке
х = х0 функция разрывна. Это
происходит в том случае, если не выполняется хотя бы одно из условий
определения непрерывности функции.
Точка разрыва х0 функции y = f(x) называется точкой разрыва Ι рода,
если существуют оба односторонних предела lim f(x) и lim f(x). Точка
x x 0
x x 0
0
0
разрыва, не являющаяся точкой разрыва Ι рода, называется точкой
разрыва ΙΙ рода.
Точка х0 разрыва Ι рода, в которой
lim f(x) = lim
x  x0  0
x  x0  0
f(x), называется
точкой устранимого разрыва. Скачком функции в точке х0 называется
разность
lim f(x) - lim
x  x0  0
x  x0  0
f(x).
Если непрерывная в точке х = х0 функция f(x) имеет в точке х = х0
положительное (отрицательное) значение, то она остается положительной
(отрицательной) во всех точках некоторой окрестности точки х0.
Сумма, разность, произведение и частное непрерывных функций
есть непрерывная функция.
Сложная функция y = f [φ(x)], образованная из двух непрерывных
функций f(и) и φ(x)есть непрерывная функция.
Элементарной функцией называется такая функция , которую можно
задать одним аналитическим выражением, составленным из основных
элементарных функций с помощью конечного числа арифметических
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
действий и конечного числа образований сложных функций. Всякая
элементарная функция непрерывна во всех точках, принадлежащих ее
области определения.
Функция y = f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она
непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на концах отрезка,
т.е. в точках a и b непрерывна соответственно слева и справа.
Справедливы следующие теоремы для непрерывных функций.
Теорема 1. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она
достигает на этом отрезке своего наименьшего и наибольшего значений.
Теорема 2. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она
ограничена на этом отрезке.
Теорема 3. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и на его
концах принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка
найдется по крайней мере одна точка, в которой функция равна нулю.
Теорема 4 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функция y =
f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого
числа C, заключенного между A и B , найдется внутри этого отрезка такая
точка c , что
f(c) = C.
Пример 1.6.1. Исследовать функцию у 
Решение. Функция у 
1
на непрерывность.
х5
1
определена при всех значениях х, кроме
х5
х = -5. Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в
каждой
точке своей области определения,
состоящей из
двух
промежутков (-∞; -5) и (-5;+∞). Следовательно, единственной точкой
разрыва является точка х=-5 ( в этой точке функция неопределенна). Для
исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы этой
функции:
1
 
x  5  0 x  5
lim
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
lim
x  5  0
1
 
x5
Следовательно, при х = -5 функция имеет бесконечный разрыв; х = -5
есть точка разрыва второго рода.
Пример 1.6.2 Функцию
 х 2  2 х при
х 1

у =  2  х при 1  х  2
 4  х 2 при
х2

исследовать на
непрерывность.
Решение. Область определения функции разбита на три промежутка
(-∞;1],(1;2), [2;+∞) в каждом из которых функция y = f(x)
задана
определенной элементарной функцией: φ1=x2-2x; φ2(х) = 2-х ; φ3(х) = 4-х2.
Внутри каждого из этих промежутков соответствующие элементарные
функции непрерывны. Необходимо исследовать функцию f(x) на
непрерывность только в точках х=1 и х=2.
lim ( х 2  2 х)  1
x 1 0
lim (2  х)  1
x 1 0
Односторонние пределы не равны, следовательно, х=1- точка разрыва
первого рода; в ней функция y = f(x) претерпевает скачок.
lim (2  х)  0
x20
lim (4  х 2 )  0
x20
Значение функции f(x) в точке х=2 равно f(2)=0. Следовательно, в этой
точке функция непрерывна, так как
lim f ( x)  lim f ( x)  f (2)  0
x20
x20
Таким образом, исследуемая функция непрерывна на всей числовой
оси за исключением точки х=1, в которой она претерпевает разрыв
первого рода.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.7. Эквивалентные бесконечно малые функции.
Вычисление
некоторых
воспользоваться
пределов
принципом замены
заметно
бесконечно
упрощается,
если
малых функций
эквивалентными.
Пусть α(х) и β(х) бесконечно малые функции, то, если lim
x x
0
 x 
c  0,
 x 
то α(х) есть бесконечно малая того же порядка, что и β(х). Причем, если
lim
x  x0
 x 
 1 , то α(х) и β(х)называются эквивалентными бесконечно малыми
 x 
функциями ( α ~ β ).
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций не
измениться, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей
бесконечно малой.
При
вычислении
пределов
принято
использовать
следующие
эквивалентности:
sin x ~ x
при x →0
ex - 1 ~ x
при x →0
tg x ~ x
при x →0
ax - 1 ~ x
при x →0
arcsin x ~ x
при x →0
ln(x+1) ~ x
при x →0
arctg x ~ x
при x →0
loga(1+x) ~ x·logae при x →0
1- cos x ~
х2
при x →0
2
(1+x) k -1 ~ kx, k>0
Пример 1.7.1. Вычислить предел lim
x 0
sin 8 x
tg 4 x
, применяя принцип замены
эквивалентными.
Решение. Так как sin 8x ~ 8x, а tg 4x ~ 4x при x →0, то
sin 8 x
8x 8
 lim
 2
x  0 tg 4 x
x 0 4 x
4
lim
Ответ: 2.
19
при x →0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 1.7.2. Вычислить предел lim
x  2
arctg ( x  2)
, применяя принцип
x2  4
замены эквивалентными.
Решение. Так как arctg(x+2) ~ (x+2), а при x →-2, то
x  2  lim 1   1
arctg ( x  2)
 lim
2
x  2
x  2  x  2  x  2 
x  2 x  2
x 4
4
lim
1
4
Ответ:  .
Задания для самостоятельного решения.
Вычислить пределы.
1
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
5 x 2  3x  4
x2 2 x 3  2 x  1
x2  9
lim 3
x  3 x  27
x
lim 3
x 0 2 x  2 x
x2  x  2
lim 2
x 2 x  x  6
2 x 2  3x  5
lim 2
x 1 3 x  2 x  1
x 2  7 x  18
lim 2
x  2 x  9 x  14
25 x 6  13 x 5  4 х 2  5
lim
x 
5х 6  2 x 3  2 x  1
2 x 4  3x 3  4 х 2  5 х  2
lim 4
x   х  25 x 3  2 x 2  7 х  1
lim
x 6  13 х 2  7 х
x  х 4  9 x 3  1
 2x 2  x  5
lim 3
x  5х  x 2  7 x  1
2x  x
lim
x 2
x2
x4 3
lim
x 5
x 5
x 2
4.
6.
8.
10.
12.
14.
16.
18.
lim
lim
2.
20.
22.
24.
4x  1  3
26.
х2 2
20
x 4  2x  4
x 1 3 x 3  x 2  12
x 3  125
lim 2
x 5 x  25
4 x 2  3x 2  4 х
lim
x 0
2x
2
x  3x  4
lim 2
x 4 x  5x  4
3x 2  7 x  6
lim 2
x 3 4 x  10 x  6
x 2  4x  5
lim 2
x  5 x  7 x  10
6 x 6  3x 5  4 х  11
lim
x   3 х 6  2 x 4  12 x  1
lim
x 5  6 x 4  3х 2  5 х
lim 5
x   4 х  12 x 3  9 x 2  х
2 x 3  3x 2  14 х
x 
5 х 2  2 x  1
7 x 5  13 x 4  4 х 2  х
lim
x  5 х 6  2 x 3  2 x  1
x2 2
lim
x 6
x6
x32
lim
x 1
x2 1
2 x6
lim
x  2
7 х 3
lim
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
27.
29.
31.
33.
35.
37.
39.
sin 7 x
sin 5 x
tg10 x
lim
x  0 tg 2 x
sin x
lim
x  0 tg 4 x
ctg 2 x
lim
x  0 ctg 6 x
arcsin6 x
lim
x 0
5x
2x
lim
x  0 arctg12 x
arcsin 3x
lim
x 0 arcsin15x
28.
lim
x 0
30.
32.
34.
36.
38.
40.
3

lim 1  
x 
x

x
41.
7

lim 1  
x 
x

2 x4
43.
45.
2 

lim 1 

x 
3x  4 

47.
 2x  4 
lim 

x  2 x  3


49.
 5x  5 
lim 

x  5 x  3


51.
2 
 1
lim 
 2

x 1 x  1
x  1

sin 6 x
sin 3x
tg 4 x
lim
x  0 tg12 x
tg 9 x
lim
x  0 sin 3 x
ctg12 x
lim
x  0 ctg 3 x
7x
lim
x 0 arcsin5 x
arctg 9 x
lim
x 0
6x
arctg12 x
lim
x  0 arctg 6 x
lim
x 0

lim 1 
x 

44.
5

lim 1  
x 
x

46.
5 

lim 1 

x 
2x  3 

48.
 7x  1 
lim 

x  7 x  2


50.
 3x  6 
lim 

x  3x  7


5 x 1
5 x 4
2 x  2
9

x
x
42.
3 x  2
4 x  3
 x4
4 x 5
2 
 1
lim 

2 
x3 9x 
52.
x  3
53.
1 
 3
lim  3


x 1 x  1
x  1

54.
12 
 1
lim 
 3

x2 x  2
x  8

55.
x  
lim ( x  5  x )
56.
x  
57.
x  
lim ( 4 x  1  х )
58.
x  
lim ( x 2  4  х )
60.
59.
x  
21
lim ( х  2 x  3 )
lim ( 2 x  1  x  2 )
lim ( х  х 2  3 )
x  
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
61.
lim
x 0
ln 1  6 x 
x
62.
lim
x 0
ln 1  5 x 
x
Вычислить односторонние пределы.
4
lim
63.
x 7  0
65.
lim
67.
69.
64.
х  7 
5
2 х
x40
66.
 х  4 2
lim tg 2 x
68.

x 0
4
 1x

lim  6  5 
x  0


70.
x3
x 1 0 x  1
1
lim
1
lim
x 1 0
1  3 х 1
x
lim ctg
x 3  0
3
ln( 2  x)
lim
x 2  0
2 x
Следующие функции исследовать на непрерывность.
71.
у
73.
у
4
х  7 
72.
2
2 1
74.
5
х
75.
х  1
 х  1 при

у 0
при  1  х  0
 х
при
х0

76.
77.
 x 2 при
у
 х  1 при
78.
х 1
х 1
22
3
x 1
1
у
9 х
у
2
 1
при
x0
 х



у  sin x при 0  х 
2


 0
при
х

2

x

у1

х
при
х0
при
х0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 2
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
§ 2.1. Определение производной функции.
Пусть задана функция y = f(x) ( рис. 2.1).
Приращением аргумента х в точке х0 называется разность х – х0 , и
обозначается символом Δх.
Приращением функции у=f(х) в точке х0 называется разность y – y0 =
f(х) –f( х0) , и обозначается символом Δy.
Таким образом Δх = х – х0
Δy = y – y0 = f(х) –f( х0)= f(х0+ Δх) –f( х0).
секущая
y
y=f(x)
f(x)
касательная
Δy=f(x)-f(x0)
β
f(x0 )
α
β
Δх=х-х0
х0
х
х
Рисунок 2.1
Введя понятия приращение аргумента и приращение функции, можно
дать новое определения непрерывности функции:
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функция у=f(х) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда
бесконечно малому приращению аргумента Δх соответствует бесконечно
малое приращение функции Δy.
Существует ряд задач из различных областей науки, которые приводят к
необходимости вычисления предела одного и того же вида – предела
отношения приращения функции к приращению аргумента. Поэтому
указанный предел получил определенной название – производная
функции.
Производной от функции
у = f(х) в точке х0 называется предел
отношения приращения функции Δy
в этой точке к вызвавшему его
приращению аргумента Δх при произвольном стремлении Δх к нулю.
Производная функции у=f(х) в точке х0 обозначается символом f '(х0), и,
согласно определению, равна
f '(х0)= lim
x0
f x0  x   f x0 
у
 lim
х x0
х
(2.1)
Для одной и той же функции производную можно вычислять в
различных точках х, поэтому употребляются следующие обозначения
производной: f '(х), у',
dy
.
dx
Функция y = f(x) , имеющая производную в точке х0, называется
дифференцируемой в этой точке.
Функция y = f(x) называется дифференцируемой в интервале (a, b),
если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.
Связь между непрерывностью и дифференцированием устанавливает
следующая теорема.
Теорема. Если функция у = f(х) дифференцируема в точке х0 , то она
непрерывна в этой точке.
Геометрический смысл. Из рисунка 2.1 видно, что тангенс угла
наклона секущей равен ее угловому коэффициенту kсек.= tgβ =
24
у
. Если
х
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
х→х0 , т.е.
Δх → 0, то секущая неограниченно приближается к
касательной, т.е. lim    или lim tg  tg . Поэтому угловой коэффициент
x0
x0
касательной kкас.  tg  lim tg = lim y  f ( x0 ) .
x0
x0
x
Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с
абсциссой х0 равен значению производной этой функции в точке х0:
k кас .  f ( x0 ) .
Пользуясь уравнением прямой, проходящей через данную точку в
заданном направлении
у – у0 =k(x – x0), можно получить уравнение
касательной, проведенной к графику функции у = f(х) в точке М(х0;у0):
у – у0 =f'(x0)·(x – x0)
(2.2)
Учитывая, что угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных
прямых, обратно пропорциональны, уравнение нормали к кривой (прямая,
перпендикулярная касательной) если f'(x0) ≠ 0 имеет вид:
y  y0  
1
  x  x0 
f ( x0 )
(2.3)
§ 2.2. Основные правила дифференцирования.
Сформулируем следующие теоремы.
Теорема 1. Если функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в данной
точке х , то в той же точке дифференцируема их сумма, причем
производная суммы равна сумме производных слагаемых:
(u + v)' = u' + v'
(2.4)
Теорема 2. Если функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в данной
точке х , то в той же точке дифференцируемо их произведение , причем
производная произведения находится по следующей формуле:
(u · v)' = u'·v +u· v' .
Следствие.
(2.5)
Постоянный множитель можно выносить за знак
производной
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(си)'=с·и'.
(2.6)
Теорема 3. Если функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в данной
точке х и v ≠ 0 , то в той же точке дифференцируемо их частное , причем

 u  u v  uv
  
v2
v
Пусть функция x=f(y)
(2.7)
монотонна и дифференцируема в некотором
интервале и имеет в точке y
этого интервала производную f '(y) , не
равную нулю, тогда обратная функция y = f
-1
(x)
имеет
в
соответствующей точке x производную [ f -1(x)]', причем
[ f -1(x)]'=
1
f ( y )
(2.8)
Если функция u = φ(x) имеет производную u'x в точке x, а функция
имеет производную y'u в соответствующей точке u , то сложная
y=f(u)
функция y = f[φ(x)] в данной точке x имеет производную y'x , которая
находиться по следующей формуле :
y'x = y'u·u'x
(2.9)
Для нахождения производных используют следующую таблицу.
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
1. C' = 0
11. sin U   cosU  U 
2. (CU) ' = CU'
12. cosU    sin U  U 
3. (U + V) ' = U' +V'
13. tgU  
U
cos2 U
U
14. ctgU    2
sin U
4. ( U·V) ' = U'V +UV'
 U  U V  UV 
  
V2
V 
/
5.
15. arcsin U  
U
1U 2
U
16. arccos U   
1U 2
6. X' = 1
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.
U   nU
n
8. ln U  
9.
a   a
U
n 1
U
1U 2
U
18. arcctgU   
1U 2

U
19. U 
2 U


20.  1    U 2
U
U 
17. arctgU  
U 
U
U
U
 
ln а  U 

10. eU   eU  U 
Пример
y  6 x5 
2.2.1.
Вычислить
3
16
 53 x 2 
4
5
x
x3
производную
функции
.
Решение. Для вычисления производной воспользуемся формулами (2,3 и
7) таблицы производных, но сначала преобразуем исходную функцию,
используя свойства степеней.
2
3
1
8

2 
3 
y  (6 x 5  3х  4  5 х 3  16 х 5 )  6  5 х 4  3  (4 х  5 )  5  ( х 3 )  16  ( х 5 ) 
3
5
1
8
10 
48 
12 10
48
 30х  12х  х 3  х 5  30х 4  5  3 
.
5
3
5
х 3 х 5 х8
5
4
Ответ: у   30 х 4 
12
10
48
 3 
.
5
х
3 х 55 х 8
Пример 2.2.2. Вычислить производную функции y 
cos x  ln x
.
x3
Решение. Для вычисления производной воспользуемся формулами
(3, 5, 8, 12) таблицы производных.
y 

cos x  ln x 

 
 x  cos x  ln x  x
x6
3
3
1 3

2
  sin x   x  3cos x  ln x x
x


x6
 x 3  sin x  x 2  3x 2  cos x  3x 2  ln x

x6
Ответ: y  
 x 3  sin x  x 2  3x 2  cos x  3x 2  ln x
.
x6
Пример 2.2.3. Вычислить производную функции y  tg5 x .
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Для вычисления производной воспользуемся формулой
(2.9) и формулами (9, 13. 19) таблицы производных.
y 
Ответ: y  

tg5 
x
5 
x
2 x
5 x ln 5
.
 cos 5 
2 tg 5 x 2 tg 5 x 2 cos2 5 x tg 5 x
5 x ln 5
2 cos2 5 x tg 5 x
.
Пример 2.2.4. Вычислить производную функции y 4  2 y  cos x  sin y.
Решение. Функция задана неявно, поэтому, чтобы вычислить ее
производную, дифференцируем обе части равенства, считая, что у есть
функция х, т.е y=f(x), а х независимая переменная. Используем формулы
(2, 3, 11 и 12) таблицы производных.
4 у 3  у   2 у   sin x  cos y  y 
Из полученного равенства выразим производную у':
(4 у 3  2  cos у ) y    sin x
y  
sin x
4 y  2  cos y .
3
sin x

Ответ: y   4 y 3  2  cos y .
§ 2.3. Логарифмическое дифференцирование.
При вычислении производной произведения нескольких функций и
производной степенно-показательной функции, необходимо сначала
прологарифмировать исходную функцию. Получится функция неявно
заданная, производную которой находят так, как описано в предыдущем
параграфе.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 2.3.1. Вычислить производную у' от функции y  x sin x .
Решение. Прологарифмируем функцию и применим свойства логарифмов.
ln y  ln x sin x
ln y  sin x ln x
Получили неявную функцию, продифференцируем ее
y


 sin x   ln x  sin x  ln x 
y
y
1
 cos x  ln x  sin x 
y
x
1
y   (cos x  ln x  sin x  )  y
x
y   (cos x  ln x 
Ответ: y   (cos x  ln x 
sin x
)  x sin x
x
sin x
)  x sin x .
x
5
4

3 x  2   6  x 2 
Пример 2.3.2. Вычислить производную у' от функции y 
.
7
2 x  32 7 x  23
Решение. Найдем логарифм данной функции:
5
4

3 x  2   6  x 2 
ln y  ln
7
2 x  32 7 x  23
Согласно свойствам логарифмов, получаем:


2
ln y  4 ln 3x  2  5 ln 6  x 2  ln 2 x  3  3 ln 7 x  2
7
Дифференцируя обе части этого равенства, получим
y
12
10 x
4
21




2
y 3x  2 6  x
72 x  3 7 x  2
Выразим искомую производную:
 12
10x
4
21 
  y
y   



2


3
x

2
7
2
x

3
7
x

2
6

x


 12
10 x
4
21  3 x  2   6  x 2 

y   



.
2
72 x  3 7 x  2  7 2 x  32 7 x  2 3
 3x  2 6  x
4
или
29
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3x  24  6  x 2 5

12
10 x
4
21
Ответ: y   
.
 



2
2
3
7


3
x

2
7
2
x

3
7
x

2
6

x

 2 x  3 7 x  2 
§ 2.4. Производная функции, заданной параметрически.
Для функции у от х заданной, параметрически уравнениями
 х  х(t )

 y  y(t )
Причем в некоторой области изменения параметра t функции х(t)
и у(t) дифференцируемы и х'(t)≠ 0, то
у х 
dy y t

dx xt
(2.10)
Пример 2.4.1. Найти производную функции у от х, заданной
 х  sin 2 t
параметрически уравнениями 
.
 y  sin 2t
Решение. Согласно формулы (2.10) получим

dy yt sin 2t 
2 cos 2t
2 cos 2t




 2ctg 2t .

dx xt
2 sin t cost
sin 2t
sin 2 t

Ответ:

dy
 2ctg 2t .
dx
§ 2.5. Производные высших порядков.
Предположим, что функция y = f(x) дифференцируема в некотором
интервале. Тогда ее производная f '(x) является функцией х. Пусть эта
функция
тоже имеет производную,
которая
называется
второй
производной, или производной второго порядка функции y = f(x), и
обозначается символом y'',
f ''(x).

f x    f x  .
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При этом f '(x) называется первой производной, или производной
первого порядка функции f (x).
Производная от второй производной функции y = f''(x) называется
третьей производной, или производной третьего порядка данной
функции и обозначается символом y''',
f '''(x):

f x    f x  .
В общем случае, производной n-го порядка функции y = f(x)
называется первая производная от производной (n-1)-го порядка данной
функции и обозначается символом y(n) или f (n)(x):


f n  x   f n1 x 
Производные порядка выше
(2.11).
первого называются производными
высшего порядка.
Пример 2.5.1. Найти производную третьего порядка функции y =sin3x.
Решение: Находим
последовательно
первую,
вторую и третью
производные:


y   sin 3x   3 cos3x , y   (3 cos3x)  9 sin 3x , y    9 sin 3x   27 cos3x .
Ответ. y    9 sin 3x   27 cos3x .
§ 2.6. Дифференциал функции.
Приращение Δу дифферинцируемой функции y = f(x) в точке х может
быть представлено в виде:
Δу = f'(x)Δх + α(Δх),
где Δх – приращение аргумента, вызывающее приращение функции Δу ;
α(Δх)- бесконечно малая функция высшего порядка малости по
сравнении с Δх, т.е.
lim
x 0
 (х)
х
0,
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
то
главная
часть
приращения
функции
Δу
,
называется
дифференциалом этой функции.
Дифференциал функции y = f(x) обозначается символом dy и согласно
определению
dy = f '(x) Δх. Дифференциалом аргумента считаем его
приращение dх = Δх. Тогда формула для вычисления дифференциала имеет
вид
dy = f '(x) dх
(2.12)
Из этой формулы следует, что производная функции равна отношению
ее дифференциала к дифференциалу независимой переменной
f ( x) 
dy
dx
(2.13)
Свойства дифференциала.
Пусть функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в точке х. Тогда
имеют место следующие формулы:
d(u+v) = du + dv
d(uv) = udv + vdu
 u  vdu  udv
d  
v2
v
(при условии v≠0).
Формула (2.12) сохраняется и в том случае, когда х является функцией,
т.е. х=φ(t), а у является сложной функцией аргумента t, y  f  t  .
Тогда
dy  y x  xt  dt  y x dx  f x dx
(2.14)
так как xtdt  dx .
Формула (2.14) выражает свойство дифференциала, называемое
инвариантностью формы дифференциала.
Дифференциал можно использовать для приближенных вычислений:
f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0 )  x
(2.15)
Пример 2.6.1. Вычислить дифференциал функции y  e tgx .
Решение. Вычислим производную данной функции:
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
e tgx

,
y   e tgx  tgx 
cos 2 x
Получаем
Ответ: dy 
dy 
e tgx
dx .
cos 2 x
e tgx
dx .
cos 2 x
Пример 2.6.2. Пользуясь формулой (2.15), найти приближенное значение
3
27,045 .
Решение.
Представим
подкоренное
выражение
в
виде
суммы
27,045=27+0,045 и положим х0=27, Δ=0,045.
Рассмотрим функцию у  3 х , производная которой равна у  
1
33 х 2
. В
нашем случае у  3 х0  х , тогда согласно формулы (2.15) получаем
3
х0  х  3 х0 
1
33 х02
 х
Подставим в полученную формулу х0 и Δх:
3
27 ,045  3 27  0,045  3 27 
1
1
 (0,045 )  3   0,045  3  0,005  3,005
9
3 27
3
Ответ: 3 27,045  3,005.
§ 2.7. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
В предыдущей главе были рассмотрены методы вычисления пределов
отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, т.е
приемы раскрытия неопределенностей вида
0

и . В этом параграфе
0

рассмотрим новое правило для раскрытия неопределенностей, носящее
название правило Лопиталя.
Теорема. Пусть функции f(x) и φ(x) дифференцируемы в некоторой
окрестности точки х0 (за исключением, может быть, самой точки х0),
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
причем φ'(x0)≠0, и пусть при х → х0 обе эти функции стремятся к нулю, или
обе стремятся к бесконечности, т.е.
lim f ( x)  lim  ( x)  0
x  x0
x  x0
или
lim f ( x)  lim  ( x)  
x  x0
x  x0
В таком случае, если отношение их производных имеет предел при
х → х0, то этот же предел имеет и отношение самих функций,
f ( x)
f ( x)
 lim
x  x0  ( x )
x  x0  ( x )
(2.15)
lim
Это правило справедливо и при х → ∞.
Если
отношение
неопределенность вида
производных
опять
представляет
собой
0

или , то можно снова применить правило
0

Лопиталя, т.е. перейти к отношению вторых производных и т.д.
Пример 2.7.1. Применяя правило Лопиталя вычислить предел
Решение. Данный предел представляет неопределенность
lim
x 0
1  cos 6 x
.
x2
0
, поэтому
0
1  cos 6 x   lim 6 sin 6 x  0  lim 6 sin 6 x  
1  cos 6 x 0


lim
x 0
x 0
0 x 0
2x
0 x0 2 x 
x2
( x 2 )
lim
36 cos 6 x 36

 18.
x 0
2
2
 lim
Ответ: 18.
Пример 2.7.2. Применяя правило Лопиталя вычислить предел
x2
x   e x
lim
Решение. Здесь числитель и знаменатель представляют собой бесконечно
большие функции при х → ∞. Применяя два раза правило Лопиталя
получаем:

2 x   lim 2  0 .
x2 
x2
2x
lim x 
 lim
 lim x  lim
x   e
x  
 x  e x
 x  e x  x  e
ex
 
 
 
Ответ: 0.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кроме рассмотренных случаев неопределенностей правило Лопиталя
используется так же для раскрытия неопределенностей вида: ∞ - ∞, 0·∞, 1 ∞,
00, ∞0.
Неопределенность вида ∞ - ∞.
Неопределенность
этого
вида
с
помощью
преобразований сводиться к неопределенностям вида
Пример 2.7.3. Вычислить предел lim  6
x  3
9 x
2

алгебраических
0

или .
0

1 
.
x  3
Решение. При вычислении этого предела, необходимо сложить две
рациональные функции, а затем найти предел, используя правило
Лопиталя.
3  x   lim 1  1 .
1 
6  3  x 
3 x
0
 6
lim 


lim

lim


lim

x 3 9  x 2
x 3 9  x 2
x  3  x3 9  x 2
0 x3 9  x 2  x3  2 x 6



1
6
Ответ: .
Неопределенность вида 0· ∞.
Эта неопределенность помощью алгебраических преобразований
сводиться к неопределенностям вида
0

или .
0

Пример 2.7.4. Вычислить предел lim
x  ctg5x.
x 0
Решение. В данном случае имеем неопределенность 0· ∞, чтобы получить
неопределенность вида
формуле ctgx 
0
заменим функцию котангенса на тангенс по
0
1
.
tgx
x   lim
x
0
  lim
x 0 tg 5 x
0 x0 tg 5 x  x0
lim x  ctg5 x  0    lim
x 0
1
cos2 5 x 1
 lim
 .
x 0
5
5
5
2
cos 5 x
1
5
Ответ: .
Неопределенности вида 1∞, 00, ∞0
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Под раскрытием неопределенности вида 1∞ понимают вычисление
предела lim  f x   x  , если lim f ( x)  1 , lim  ( x)  .
x x
x x
x x
0
0
0
Под раскрытием неопределенности вида 00 понимают вычисление
предела lim  f x   x  , если lim f ( x)  0 , lim  ( x)  0.
x x
x x
x x
0
0
0
Под раскрытием неопределенности вида ∞ 0 понимают вычисление
предела lim  f x   x  , если lim f ( x)   , lim  ( x)  0.
x x
x x
x x
0
0
0
Перечисленные выше неопределенности приводяться с помощью
логарифмирования к неопределенности вида 0·∞, а затем с помощью
алгебраических преобразований к неопределенности вида
0

или , к
0

которым применяется правило Лопиталя.
Пример 2.7.5. Применяя правило Лопиталя вычислить предел
lim (tgx) cos x .
x
Решение. Здесь имеет место неопределенность вида ∞ 0. Полагая

2
у  (tgx) cos x
и логарифмируем. Вычисляем предел lny.
lim ln y  lim ln(tgx) cos x
x

2
x

2
1
ln tgx 
tgx  cos 2 x
 lim cos x  ln tgx  0    lim

 lim



1
sin x
 x
x
x

2
2
2
cos x
cos 2 x
1
cos x
 lim
 lim
 0.
 tgx  sin x
 sin 2 x
x
x
2
2
ln y  ln lim y , тогда
Получили lim ln y  0 , по свойствам пределов xlim
x
x
0
2
ln lim y  0 ,
x x0
cos x
1
y  е 0  1 или lim (tgx)
Окончательно получаем xlim
x
x
0
2
Ответ: 1.
Задания для самостоятельного решения.
36
x  x0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вычислить производные:
1.
y = x5 - 5x4 + 3x2 - 16x + 2
2.
y = 5x-4 + 3x3 + 2x - 4
3.
y
2 3
5
6
 3  5  7
x x
x
7x
4.
y
5.
y  4 x 7 / 2  9 x 5 / 2  2 x 3 / 2
6.
y  6 x 1 / 3  3x 2 / 3  1
7.
y  63 x  25 x 4  x  3
8.
y  25 x  43 x 2  3 x  7
9.
y
10.
y
11.
5

4

4
x
x
3 cos x
y
2x  1
1
x
12.
6 13 7
4
 2  3  4
x x
x
5x
7

x x
2 ln x
y
tgx
2
4
x

3
14.
y  tgx  1 arcsin x
16.
y
18.
y  6 x arctgx
20.
y
y  sin2 x  1
22.
y  ln 4  7 x 
23.
y  cos x 3
24.
y  sin x 2
25.
y  cos 3 x
26.
y  tg 2 x
27.
y  x 2  11x  6
28.
y  x2  5 x 1
29.
y  8 ctgx
30.
y  14 arccosx
31.
y
32.
y
33.
y  ln arctgx  x 
34.
y  arccos x 2  2 x
35.
y  4 ln ln x  ln 4 x
36.
y  tg 3 x  ctgx 3
37.
y  e  x ln ctgx
38.
y  e 3 x sin 3x
39.
y  sin 6 x  ln
40.
y  7 cos x  sin 7 x
41.
arcsin x 2
y
2  7x
42.
e 1 2 x
y
ln tgx
13.
y  arccos x  x 2 arcsin x
15.
y
17.
y  x 2 3x
19.
y
21.
1  4 cos x
2  3 sin x
3 sin x  cos x
xtgx


4
1
2
ln x
x
6
37
3 x  cos x
2 sin x
tgx  lg x
5x


7
2
cos3x


6
5
x x3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
43.

y  1  x 2 arctgx  ln x  1  x 2

44.
y  ln x 2  2 x  4arctgx  1
45.
y  ln 2 ln 6 x
46.
y  sin 8 tgx
47.
y  arcsin ln 3 x
48.
y  cos(e 3x )
49.
y  cos ln 6 x  x 2
50.
y  ln 3 x 2  2 ln x 
51.
y  5 arctg 5 x
52.
ye
53.
y  artg ln
54.
y
55.
y  sin 6 x  cos 2 6 x
56.
y2
57.
x 2  y 2  2x  0
58.
x3  y3  9
59.
x3  y3  x2 y2
60.
xy  tgy
61.
x 3  y 3  sin  x  2 y 
62.
e xy  cosx 2  y 2   0
63.
x 2  y 2  ln
64.
x sin y  y sin x  0
65.
y  2 x  5 2  7 x  6 x  1
67.
y
69.

1
x2
73.
y  (cos 2 x )
75.
y  tg 3 x 
81.
2
tg
3
x
1
cos2 4 x
cos x
 ctgx
y  5 x  4  2 x  7   x  11
6
7
66.
6  x 2 2 x  45
5x  63 3  2 x 4
5
5x  63 2  16x 8
y
2
7  6 x 3 2 x  3
y  x sin 3 x
79.
y
7
x
3
71.
77.

68.
70.
sin x
sin 6 x
e x arcsin x
y
x2 1
 х  3t  2

3
y  t  t
y  ( x ) tg 2 x
74.
1
y 
 x
76.
y  (ln x ) ctg 5 x
80.
 х  e 3t

t
y  e
82.
38
2
2

7 x  2  3x 2  1
y
6
2 x  5 3x  2 
5
4
x  16 6 x  14 
y
4
9 x  13
72.
78.
8
y
arcsin x
ln 3 x
x  2 sin 2 x
х  3 t

4
t
y 
 х  6 sin t

 y  6 cost
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

82.
 х  ln 1  t 2

 y  arctgt
83.
 х  sin 2 t

2
 y  cos t

83.
 х  ln t

2
y  t
84.
 х  e 2t sin 2 t

2t
2
 y  e cos t
Вычислить дифференциалы функций:
85.
y  4 cos 5 x
86. y  tg 2 x  e 2 x
87.
y  arctg3x
88.
y  ln x 2  5
89.
y  x arcsin x
2
90.
x3
y
cos 2 5 x
91.
y  ln
7x  4
3x 2  6 x
92.
y
2
e 3 x 5
x2  4
Вычислить приближенные значения:
93.
3
8,01 .
94.
97. cos32  .
4
17
.
98. tg 46  .
101. 1,015 5 .
102. e 0, 2 .
95.
34
80,5 .
96.
3
26 ,97
.
99. tg 44  52  .
100. 0.96 3 .
103. arcsin0,48 .
104. ln 1,01 .
Вычислить следующие пределы, применяя правило Лопиталя.
105.
107.
109.
111.
113.
sin 7 x
x  0 tg 8 x
ln(1  x)
lim x
x 0 e  e  x
  2arctgx
lim
1
lim
106.
108.
110.
x  
e x 1
x  sin x
lim
x  0 x  tgx
tg 6 x
lim
 tg12 x
x
112.
114.
lim
x 0
x  sin x
x3
ln 1  x 
x
ln tgx
lim

x  0 tgx
lim
x 
2
2
115.
4x
x  4 x 3  64
3x 2
lim
x  0 1  cos 3 x
lim
12 
 1
lim 
 3

x2 x  2
x 8

116.
39
1 

lim  tgx 


cos x 
x 
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
117.
1
 1
lim  x
 
x 0 e  1
x

118.
1 
 x
lim 


x 1 x  1
ln x 

119.
lim x  e x
120.
lim (1  cos x)  ctgx
lim ln x  ln(1  x)
122.
lim ctgx  ln( x  e x )
124.
1
lim  
x 0 x
 
126.
lim (arctgx) ln x
1
x  0
121.
x 10
123.
lim (сosx) 2

125.
127.
129.
x
x

2
 7
lim 1  
x 
x

tgx
lim (1  e )
1
x 0
1
1
x
x  
x
x 0
x
x
lim (tgx)
x 0
128.
lim (cos 4 x)
130.
 1
lim  ln 
x 0
 x
tg 2 x

4
x2
x 0
x
ГЛАВА 3
ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ
ФУНКЦИЙ.
§ 3.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.
В этом параграфе приведены основные теоремы о дифференцируемых
функция и рассмотрены их геометрические толкования.
Теорема Ферма. Пусть функция f(x), определена в интервале (а;b),
принимает в некоторой точке х = с этого интервала наибольшее и
наименьшее значение. В таком случае, если в точке х = с существует
производная этой функции, то она равна нулю.
Геометрически теорему Ферма можно пояснить следующим образом:
так
как производная
равна тангенсу угла наклона касательной,
проведенной к графику функции в точке х = с, к оси абсцисс, то равенство
f'(x)=tgα=0 указывает на то, что в точке с абсциссой с, где функция имеет
наибольшее или наименьшее значение, касательная к графику функции
параллельна оси Ох (рис. 3.1).
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y
В
y
f(b)
f(a
)
А
a
Рисунок 3.1
c
b
x
Рисунок 3.2
Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b] ,
дифференцируема во всех его внутренних точках и на концах отрезка
обращается в нуль, т.е. f(a) = f(b) = 0, то ее производная f'(x) обращается в
нуль хотя бы в одной внутренней точке х = с этого отрезка.
Геометрически теорему Ролля можно пояснить следующим образом:
если график непрерывной на отрезке [а;b] и дифференцируемой внутри
него функции пересекает ось Ох в двух точках х= а и х=b, то между этими
точками найдется хотя бы одна точка с, а<с<b, для которой касательная к
графику параллельна оси абсцисс (рис. 3.1).
Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b], и
дифференцируема во всех внутренних его точках, то внутри этого отрезка
найдется хотя бы одна точка х = с такая, что имеет место равенство
f (b)  f (a)
 f (c)
ba
(3.1)
Теорему Лагранжа геометрически можно пояснить следующим образом.
Рассмотрим график функции у = f(x) , удовлетворяющий условиям
теоремы (рис.3.2). Отношение
f (b)  f (a)
представляет собой угловой
ba
коэффициент хорды АВ , соединяющий концы дуги. Так как f (c)  tg
есть угловой коэффициент касательной, то данная теорема утверждает, что
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к
графику функции параллельна хорде. Формулу (3.1) можно записать так:
f(b) – f(a) = (b – a)·f'(c)
(3.2)
Формула (3.2) называется формулой Лагранжа или формулой
конечных приращений.
Теорема Коши. Если функции f(x) и φ(x) непрерывны на отрезке [а;b] и
дифференцируемы во всех внутренних его точках, причем φ'(х) ≠ 0, то
внутри этого отрезка найдется такая точка с , что имеет место равенство
f (b)  f (a) f (c)

 (b)   (a)  (c)
(3.3)
Формула (3.3) называется формулой Коши.
§ 3.2. Необходимое и достаточное условия возрастания и
убывания функции.
Установим необходимые и достаточные условия возрастания и
убывания функции.
Теорема. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке
[а;b] и имеет конечную производную на интервале (а;b). Для того, чтобы
y=f(x)была монотонно возрастающей на отрезке [а;b], достаточно, чтобы
для любого х, принадлежащего интервалу [а;b] , f′′’(x)>0
Теорема. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке
[а;b] и имеет конечную производную на интервале (а;b). Для того, чтобы
y=f(x)была монотонно убывающей на отрезке [а;b], достаточно, чтобы для
любого х, принадлежащего интервалу [а;b] ,f′′’(x)<0.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у
y
f(x2 )
f(x1 )
f(x2 )
f(x1 )
х1
х2 х
х1
Рисунок 3.3
х2
х
Рисунок 3.4
Геометрическую интерпретацию приведенных выше теорем можно
сформулировать следующим образом. Для возрастающей функции
(рис. 3.3) любая касательная, проведенная к графику функции, образует с
положительным направлением оси абсцисс острый угол. Тангенс острого
угла положителен, а , следовательно, согласно геометрическому смыслу
производной f ( х)  tg , то и f ( х)  0 . Для убывающей функции
(рис. 3.4) любая касательная, проведенная к графику функции, образует с
положительным направлением оси абсцисс тупой угол. Тангенс тупого
угла отрицателен, а , следовательно, согласно геометрическому смыслу
производной f ( х)  tg , то и f ( х)  0 .
Пример 3.2.1. Найти промежутки монотонности функции у = х3-6х2+9х.
Решение. Данная функция определена и дифференцируема на всей
числовой оси. Вычислим производную: у'= 3х2-12х+9. Точек разрыва
производная не имеет, а в нуль обращается в точках х = 1 и х = 3. Этими
точками область определения разбивается на три интервала (-∞;1), (1;3) и
(3;+∞), в каждом из которых производная у' сохраняет постоянный знак.
Определим знак производной в каждом из трех интервалов, для этого в
выражение для производной подставим значения любых точек из каждого
интервала:
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
на интервале (-∞; 1)
имеем
f'(0)=9>0
на интервале (1;3)
имеем
f'(2)=-3<0
на интервале (3;+∞)
y'>0
1
имеем
y'<0
3
f'(4)=9>0
y'>0
x
Рисунок 3.5
Итак получили: функция возрастает для х принадлежащим интервалам
 ;1и3;  и убывает при
х  1;3 .
Ответ: если х принадлежит интервалам (-∞;1) и (3;∞) функция возрастет,
если х  1;3 функция убывает.
Итак, при изучении особенностей изменения функции нужно разбить
область задания функции на отдельные промежутки, внутри которых
производная либо не меняет знака, либо равна нулю. Каждый такой
участок соответствует монотонному изменению или постоянству функции.
На границе этих участков будут возникать так называемые графические
горбы или впадины местного максимума или минимума.
§3.3. Максимум и минимум функции.
Функция y=f(x) имеет максимум в точке х=х0,если существует такая
окрестность точки х0, что для всех точек х ≠ х0, принадлежащих этой
окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0) (рис.3.6).
Функция y=f(x) имеет минимум в точке х=х0,если существует такая
окрестность точки х0, что для всех точек х ≠ х0, принадлежащих этой
окрестности, выполняется неравенство f(x) > f(x0) (рис.3.7).
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у
у
х 0 -δ
х 0 х 0 +δ
х 0 -δ
х
Рисунок 3.6
х 0 х 0 +δ
х
Рисунок 3.7
Функция y=f(x) может иметь несколько максимумов и минимумов на
некотором интервале (a;b). Как видно из рисунка 3.8, в точках х1 и х3
функция имеет максимум, а в точках х2 и х4 , функция имеет минимум.
у
a
х1
х2
х3
х4
b
х
Рисунок 3.8
Точки
максимума
и минимума функции называются
точками
экстремума.
Для
отыскания
точек экстремума используем необходимый и
достаточный признаки существования экстремума.
Теорема (необходимый признак существования экстремума функции).
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если дифференцируемая в точке х=х0 функция у = f(x)имеет в этой
точке максимум или минимум, то ее производная в этой точке равна нулю
f '(x0)=0 или не существует.
Точки, в которых f '(x0)=0 или не существует
называются
критическими точками.
Теорема (достаточный признак существования экстремума).
Если непрерывная функция у = f(x) имеет производную f'(x) во всех
точках некоторого интервала, содержащего критическую точку х0 (за
исключением, может быть, самой этой точки), и если производная f'(x) при
переходе аргумента слева направо через критическую точку х0 меняет знак
с плюса на минус, то функция в этой точке имеет максимум, а при
перемене знака с минуса на плюс – минимум.
Пример 3.3.1. Исследовать на экстремум функцию f(x)= х4- 4х3+10.
Решение. Согласно необходимому признаку существования экстремума, в
точках минимума и максимума производная функции равна нулю. Найдем
производную данной функции и приравняем ее нулю.
y'=4х3 -12х2
4х3 – 12х2 = 0
Решим полученное уравнение:
4х2(х-3)=0, х1=0 и х2=3.
Согласно достаточному признаку, если в точках х1=0 и х2=3 у
рассматриваемой функции экстремум, то при переходе через эти точки в
положительном направлении первая производная должна менять знак.
Проверим знак производной, подставляя в нее значения х из каждого
интервала, на которые значения критических точек делят числовую ось:
на интервале (-∞;0) имеем f'(-1)=-16<0, функция убывает;
на интервале (0;3) имеем
f'(2)=-16<0, функция убывает;
на интервале (3;∞) имеем
f'(4)= 64>0, функция возрастает.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у'<0
0
у'<0
3
у'>0
х
Рисунок 3.9
При переходе через точку х =0 производная не меняет знак,
следовательно, в этой точке экстремума нет, и функция убывает при
х  (;3) . При
переходе через точку х = 3 производная меняет знак с « - »
на «+», в этой точке есть экстремум, причем минимум.
fmin(3) = 34-4·33+10=-17.
Ответ: fmin(3) = -17.
Пример 3.3.2. Исследовать на экстремум функцию у 
х 1
.
х3
Решение. Найдем критические точки, для этого вычислим производную
функции.
у 
( х  1)  х 3  ( х  1)  3х 2 х 3  3х 3  3х 2 3х 2  2 х 3 3  2 х
.



(х3 )2
х6
х6
х4
Производная обращается в нуль у' = 0 при х 
3
и не существует при
2
х=0. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала, проверим знак
производной в каждом из них.
на интервале (-∞;0) имеем f'(-1)=5>0, функция возрастает;
3
2
на интервале (0; ) имеем
3
2
на интервале ( ;∞) имеем
f'(1)=1>0, функция возрастает;
f'(2)=-1<0, функция убывает.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у'>0
0
у'>0
3/2
у'<0
х
Рисунок 3.10
3
1
1
4
3 2
3
 2  .
В точке х  у функции максимум f m ax  2  
3
27 27
  3
2
 
8
2
3
2
Ответ: f m ax  
4
.
27
Пример 3.3.3. Исследовать на экстремум функцию у 
х
.
х 4
2
Решение. Найдем критические точки, для этого вычислим производную
функции.
у 
Получили
у  
х( х 2  4)  х( х 2  4) х 2  4  2 х 2
х2  4



.
( х 2  4) 2
х 2  42
х 2  42
х2  4
х
2
4

2
<
0 на всей области определения,
следовательно, у данной функции экстремумов нет.
Ответ: экстремума нет.
Следует отметить, что иногда удобнее использовать, для нахождения
экстремума, следующую теорему.
Теорема. Пусть в точке х=х0 первая производная функции у = f(x) равна
нулю f'(x0)=0, а вторая производная существует и отлична от нуля
f''(x0)≠0. В таком случае, если f''(x0)<0, то в точке х=х0 функция имеет
максимум; если же f''(x0)>0 , то в точке х=х0 функция имеет минимум.
§ 3.4. Наибольшее и наименьшее значения функции.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим функцию у = f(x), непрерывную на отрезке [a;b]. Как
известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего
значений либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или
наименьшее значения функции достигается во внутренней точке отрезка
[a;b], то это значение является, либо максимумом, либо минимумом.
Поэтому, чтобы отыскать наибольшее или наименьшее значении функции
на отрезке, необходимо найти все критические точки, принадлежащие
данному отрезку, и вычислить в них значения функции. Затем вычислить
значения функции на концах отрезка в точках
х=a , х=b и из всех
значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 3.4.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
у=х3+3х2-9х-7 на отрезке [-4;3].
Решение. Определим критические точки , для этого вычислим
производную и приравняем ее к нулю.
у'=3х2+6х -9
у'=0; 3х2+6х -9 =0; х2+2х -3=0; х1=-3, х2=1.
Вычислим значения функции в критических точках и на концах
заданного интервала.
х=-4,
f(-4)=(-4) 3+3(-4) 2-9(-4)-7=13
х=-3,
f(-3)=(-3) 3+3(-3) 2-9(-3)-7=20
х= 1,
f(1)=13+3·12-9·1-7=-12
х= 3,
f(3)=33+3·32-9·3-7=20
Функция достигает наибольшего значения в точках х=-3 и х= 3, а
наименьшее в точке х=1.
Ответ: fнаиб.(-3)= fнаиб.(3)=20; fнаим.(1)=-12.
§3.5. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
График дифференцируемой функции у=f(x) называется выпуклым, на
интервале (а;b) , если он расположен ниже любой ее касательной на этом
интервале (Рис.3.11).
График дифференцируемой функции у=f(x) называется вогнутым, на
интервале (а,b), если он расположен выше любой ее касательной на этом
интервале (Рис.3.12).
Точка графика непрерывной функции у=f(x), в которой вогнутость
меняется на выпуклость, называется точкой перегиба.
у
у
х
х
Рисунок 3.11
Рисунок 3.12
Интервалы выпуклости и вогнутости находятся с помощью следующей
теоремы.
Теорема. Если функция у=f(x) во всех точках интервала (а;b) имеет
отрицательную вторую производную, т.е. f''(x)<0, то график функции в
этом интервале выпуклый. Если f''(x)>0, то график функции в этом
интервале вогнутый.
Для нахождения точек перегиба используется следующая теорема.
Теорема. Если вторая производная f''(x) при переходе через точку х0 , в
которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка с
абсциссой х0 есть точка перегиба.
Пример 3.5.1. Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба
график функции у=-х4-2х3+12х2+15х-6.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Область определения данной функции D(y)=R. Дважды
продифференцируем данную функцию.
у'=-4х3-6х2+24х+15; у''=-12х2-12х+24=-12(х+2)(х-1)
Вторая производная существует на всей числовой оси и обращается в
нуль при х=-2 и х=1. Этими точками область определения разбивается на
три промежутка (-∞;-2), (-2;1) и (1;+∞), внутри которых вторая
производная сохраняет знак.
у"<0
на интервале (-∞;-2) имеем
f''(-3)<0;
на интервале
(-2;1) имеем
f''(0)>0;
на интервале
(1;∞) имеем
f''(4) <0.
-2
у">0
1
у"<0
х
Рисунок 3.13
Таким образом, на интервалах (-∞;-2) и (1;∞) кривая выпукла, а на
интервале (-2;1)- вогнута. А точки х=-2 и х=1 являются абсциссами точек
перегиба, причем fпер.(-2)=12, fпер..(1)=18.
Ответ: fпер.(-2)=12, fпер..(1)=18.
§ 3.6. Асимптоты графика функции.
Асимптотой
графика функции y = f(x) называется прямая линия,
обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки на
графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой
точки по графику от начала координат.
Вертикальные асимптоты.
Если хотя бы один из пределов функции y = f(x) в точке х = а справа
или слева равен бесконечности, т.е.
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
lim
xа 0
f ( x )  
или
lim f ( x)   ,
x а  0
то прямая х =а является вертикальной асимптотой (рис. 3.14).
y
y
y=f(x)
y=f(x)
x
x
Рисунок 3.14
Рисунок 3.15
Горизонтальные асимптоты.
Если существует конечный предел функции y = f(x) при х → +∞ или х
→ -∞, т.е.
lim f ( x)  b
x  
или
lim f ( x)  c ,
x  
То прямая y = b (y = c) является горизонтальной асимптотой
(рис.3.15) ( при х → +∞ она называется правой , а при х → -∞ - левой).
Наклонные асимптоты.Если существуют пределы
lim
x  
f ( x)
 k1
x
и
lim  f ( x)  k1 x  b1 ,
x  
(3.4)
То прямая y = k1x +b1 служит наклонной (правой) асимптотой
(рис.3.16).
Аналогично, если существуют пределы
lim
x  
f ( x)
 k2
x
и
lim  f ( x)  k2 x  b2 ,
x  
(3.5)
То прямая y = k1x +b1 служит наклонной (левой) асимптотой.
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у
y=f(x)
х
Рисунок 3.16
Следует заметить, что горизонтальная асимптота является частным
случаем наклонной.
Пример 3.6.1. Найти асимптоты кривой у 
 х 2  5х
.
х2
Решение. Рассмотрим методику вычисления всех видов асимптот.
1) вертикальные асимптоты.
Область определения данной функции D(y): (-∞;2)  (2;+∞), в точке х=2
у функции разрыв, поэтому вычислим односторонние пределы при х → 2
 x 2  5x
lim y  lim
 
x 2 0
x 2 0
x2
и
 x 2  5x
lim y  lim
 
x 20
x 20
x2
Поскольку оба предела бесконечны, то прямая х=2 является
вертикальной асимптотой.
2) горизонтальные асимптоты.
Вычислим пределы при х → ±∞ :
используем
 x 2  5x
 2x  5
lim y  lim

 lim
  ,
x 
x 
правилоЛопиталя x
x2
1
аналогично
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
используем
 x 2  5x
 2x  5

 lim
 
x 
правилоЛопиталя x
x2
1
lim y  lim
x 
Так как при х → ±∞ функция не имеет конечного предела, то
горизонтальных асимптот у данной кривой нет.
3) наклонные асимптоты.
Уравнение наклонной асимптоты y = kx +b. Проверим наличие левой и
правой наклонных асимптот, вычислив коэффициенты данного уравнения
по формулам (3.3) и (3.4).
f ( x)
 x 2  5x
 x 2  5x дважды используем
k1  lim
 lim
 lim 2


x 
x  x( x  2)
x  x  2 x
правило Лопиталя
x
 2x  5
2
 lim
 1 .
x  2 х  2
x  2
 lim
  x 2  5x

 x 2  5x  x 2  2 x
3x
b1  lim  f ( x)  k1 x  lim 
 x   lim
 lim

x 
x 
x


x


x

2
x

2
x

2



используем
правилоЛопиталя
3
 3.
x  1
 lim
Если вычислять коэффициенты уравнения по формуле (3.5), то
получаться точно такие же значения k и b. Следовательно, кривая графика
функции имеет только одну наклонную асимптоту y = -x +3.
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у
0
х
1
х=3
у=-х+3
Рисунок 3.17
На рисунке 3.17 представлен график исследуемой функции и его
асимптоты.
Ответ: вертикальная асимптота х = 1,
горизонтальных асимптот нет,
наклонная асимптота y = -x +3.
§ 3.7. Общая схема исследования функции.
На основании всего изложенного выше, общее исследование функции и
построение ее графика рекомендуется выполнять по следующей схеме:
1. Найти область определения функции.
2. Проверить функцию на четность, нечетность и периодичность.
3. Найти асимптоты функции.
4. Определить промежутки монотонности функции.
5. Найти точки экстремума.
6. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Определить точки перегиба.
8. Найти координаты точек пересечения графика функции с
осями координат.
9. Построить график функции, используя полученные
результаты.
Пример 3.7.1. Исследовать функцию у 
х
и построить ее график.
х 4
2
Решение.
1. D(y): (-∞;-2)  (-2;2)  (2;+∞).
2. Исследуемая функция является нечетной, так как
х
x
 2
  f ( x) , график функции
2
( х)  4
x 4
f ( x) 
симметричен
относительно начала координат.
Функция не периодическая.
3. Асимптоты графика функции.
а) вертикальные:
x
 
x 2 0 x  4
lim y  lim
x 2  0
x 2  0
x
 
x 2  0 x  4
lim y  lim
x 2 0
x
 
x 2  0 x  4
lim y  lim
2
x
 
x 2  0 x  4
lim y  lim
2
2
x 2  0
2
График функции имеет две вертикальные асимптоты х=2 и х=-2.
б) горизонтальные:
x
1
 lim
0,
x  x  4
x  2 x
lim y  lim
x 
x
1
 lim
0.
x  x  4
x  2 x
lim y  lim
2
x 
2
График функции имеет горизонтальную асимптоту у = 0.
в) наклонные:
k1  lim
x  
f ( x)
x
1
x
 lim
 lim 2
 0 ( k 2  lim
 0 ).
2
2
x   x ( x  4)
x   x  4
x   x ( x  4)
x
Наклонных асимптот нет.
4. Определим промежутки монотонности, для этого найдем
производную заданной функции.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

х х 2  4  х х 2  4
х 2  4  2х 2
х2  4
<0
у 



2
2
( х 2  4) 2
х2  4
х2  4

 





Производная функции отрицательна на всей области определения,
следовательно для всех х  (-∞;-2)  (-2;2)  (2;+∞) функция убывает.
5. Так как производная не равна нулю ни в одной точке области
определения, то точек экстремума исследуемая функция не имеет.
6. Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем
вторую производную.



( х 2  4) х 2  4  ( х 2  4)  х 2  4
у   
( х 2  4) 4

2
2 х( х 2  4)  х 2  4 4 х
х
2
 4
3
Итак получили у  

2
2

2 х( х 2  12)
х
2 х( х 2  12)
х

4

3
2
 4
3



х
 
 4

2 х( х 2  4) 2  х 2  4  2 х 2  4  2 х
2 х( х 2  12)
х
2
 4
3
2
4
.
.
Видно, что у"=0, только в одной точке х=0. Определим интервалы
знакопостоянства второй производной на интервалах (-∞;-2), (-2;0),
(0;2) и (2;+∞).
у"<0
-2
у">0
0
у"<0
2
у">0
х
Рисунок 3.18
На интервалах (-∞;-2) и (0;2) имеем у"<0, кривая выпуклая;
На интервалах (-2;0) и (2;+∞) имеем у">0, кривая вогнутая.
7. Так как при переходе через точку х=0 вторая производная меняет
знак, а в самой точке равна нулю, то в это точка перегиба и yпер.=f(0)=0.
8. Найдем точки пересечения с осями координат.
При х = 0 получаем у = 0.
9. Строим график функции (рис.3.19)
57

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у
-2
2
Рисунок 3.19
Задания для самостоятельного решения.
Определить интервалы монотонности следующих функций.
x3
 2x 2  x
3
2.
y  3x 2  8 x 3
y  x4  х3  5
4.
y  x 2 ( x  3)
y
2х  3
х6
6.
y
1
( х  4) 2
7.
y
х
х  6 х  16
8.
y
х
9  х2
9.
y  x ln x
10.
11.
y  xe  x
12.
1.
y  x4 
3.
5.
2
Найти экстремумы функций.
58
y  ln( x  1)
y  xe 2 x
х
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13.
y  4x3  9х 2  6х  1
14.
y  x 4  8 х 3  432
15.
y  10  15 x  6 х 2  х 3
16.
y  x 3  3х 2  24 х  7
17.
y
х 1
х 2 8
18.
y
х2
х2
19.
y
3  х2
х2
20.
y
2х  3
3х  5
21.
y  x 2ex
22.
y  ( x 2  8)e x
23.
y
24.
y  x ln 2 x
х
ln x
Найти наибольшее и наименьшее значения функций на указанных
промежутках.
25.
y  2 x 3  3х 2  12 х  10 , х   4;3
26.
y  3 х 2  4 х  8, х  0;1
27.
y  x 3  х, х  0;4
28.
y  x 4  8 х 2  9, х   1;3
29.
у  25  х 2 , х   4;4
30.
у
31.
у
32.
у
х 2
 , х  1;6
8 х
4
х  16
2
, х   3;3
х 3
 , х   5;1
3 х
Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба следующие
функции.
33.
y  х 4  2 x 3  12 х 2  15 х  6
34.
y  х 4  10 x 3  36 х 2  31 х  37
35.
y  x 3  6 х 2  12 х  4
36.
y  x3  6х 2  х
37.
y  ex
38.
y  xe x
39.
y  x 2 ln x
40.
y  ln( x 2  16 )
41.
у
х
2
х 9
42.
у
2
Найти асимптоты заданных кривых.
59
х3  8
х
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2х  1
х3
3
( х  4) 2
44.
у
45.
х2 1
у
х
46.
х2
у 2
х 9
47.
у
х3
4  х2
48.
у
х2
х2  4
50.
у
1
1 ех
43.
у
1
х
49.
ye
51.
у  ln(1  x 2 )
52.
у  ln( x 2  9)
53.
у  1  х 2  2х
54.
у  1  х 2  2х
Исследовать заданные функции и построить их графики.
55.
y  3x 3  х  2
56.
y  x 4  8х 2  9
57.
у
2х  1
х5
58.
у
8
16  х 2
59.
у
х 2  5х
х 1
60.
у
х2  6
х2 1
61.
у
х3  4
х2
62.
у
х3
1 х2
63.
у  9х 2  1
64.
у  16  х 2
65.
у
х 1
х3
66.
у
х3
х4
67.
у
4х 2  2
х3
68.
у
х3 1
х
69.
3х 2  8
у
х3
70.
х2 1
у
( х  1) 2
71.
2х
у 2
х 1
72.
у
2х 2  3
х 2  2х  3
73.
у
74.
у
х
х  6 х  16
х 2  2х  1
х  1
2
60
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
75.
y  xe x
76.
y  xe  x
77.
y  ( x 2  1)e  x
78.
y  x 2ex
79.
y  ( x  1)e x
80.
y  ( x 2  х )e  x
81.
у
ех
х2
82.
у
1
хе х
83.
у
1
х
е 1
84.
у
ех
х
85.
y  x 2 ln x
86.
y  x ln x
87.
y
88.
y  x ln 2 x
89.
y
ln x
x
90.
y
x
ln x
91.
y
ln x
x2
92.
y
ln 2 x
x
93.
y
х
ln x
94.
y
х3
ln x
95.
y  ln 9  x 2

96.
y  ln 16  x 2
97.
y  sin x 
1
sin x
98.
y  cos x 
99.
y  arctg
100.
y  хarctgх
102.
y  ln(1  cos x)
101.
х ln x

1
x
y  ln sin 2 x


1
cos x
ГЛАВА 4
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 4.1. Непосредственное интегрирование
Первообразной функцией F (x) для данной функции f (x) называется
функция, производная которой равна f (x) или дифференциал которой
равен f (x) d x, т.е.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
F (x) = f (x) или dF (x) = f (x) dx
(4.1)
Если F (x) есть первообразная для функций f(x), то всякая другая
первообразная
F1 (x) для f (x) отличается от F(x) на постоянное слагаемое, т.е. может
быть представлена в виде F1(x=)F(x) + C, где С – постоянная.
Неопределенным интегралом от функции f (x) называется совокупность
всех первообразных для этой функции:
 f ( x) d x  F ( x)  C.
(4.2)
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции, а дифференциал от него равен подынтегральному выражению:
 f ( x) d x  f ( x); d f (x) d x  f (x) d x .
(4.3)
2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой
функции плюс произвольная постоянная:
 d f ( x)  f ( x)  C.
(4.4)
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного
интеграла:
 k f ( x) d x  k  f ( x) d x.
(4.5)
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен
алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых функций:
  f ( x)  f
1
2
( x)  f 3 ( x)d x   f1 ( x) d x   f 2 ( x) d x   f 3 ( x) d x.
Таблица основных интегралов
1.  d x  x  C.
9.  e x d x  e x  C.
62
(4.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.  x n d x 
dx
 ln | x |  C.
x
11.  cos x d x  sin x  C.
4. 
dx
1
x
 arctg  C.
2
a
a
x a
12. 
dx
 tg x  C.
cos2 x
5. 
dx
1
xa

ln
 C.
2
2
2a x  a
x a
13. 
dx
  ctg x  C.
sin 2 x

7. 
2
dx
2
x a
 ln x  x 2  a  C.
dx
a x
2
8.  a x d x 
из

10. sin x d x   cos x  С.
3. 
6.
Каждая
x n 1
 C.
n 1
2
 arcsin
x
 C.
a

14. tg x d x   ln | cos x |  C.

15. ctg x d x  ln | sin x |  C.
ax
 C.
ln a
формул
интегрирования
остается
инвариантной
(неизменной), если переменную интегрирования x заменить любой
дифференцируемой функцией.
При
непосредственном
интегрировании
используются
свойства
неопределенных интегралов, таблица основных интегралов, а также
формулы преобразования дифференциала:
dx 
1
d(ax  b)
a
(4.7)
Например: x d x  dx 2  ; sin d x   d(cos x) ; cos x d x  d(sin x) ;
1
2
Пример 4.1.1 Вычислить интеграл

2 x 4  5x 3 x  7 x
x x
dx
 d(ln x) .
x
d x.
Решение. Разделим почленно числитель на знаменатель; в результате
подынтегральная функция раскладывается на слагаемые, каждое из
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которых проинтегрируем, используя формулы (2,3) таблицы интегралов:

2 x 4  5x 3 x  7 x
x x
5
2
 2  x d x  5 x
7

1
6
d x  7
dx 

1
 5


 2 x 2  5x 6  7  d x 

x 

1
 1
6
5
1
2
dx
x
x
2
5
 7 ln x  C 
5
1
x
1
 1
2
6
5
4
4 7
 x 2  6 x 6  7 ln x  C 
x  6 6 x 5  7 ln x  C.
7
7
Ответ:

2 x 4  5x 3 x  7 x
x x
dx 
4 7
x  6 6 x 5  7 ln x  C.
7
Пример 4.1.2. Вычислить интеграл
x2
 x 2  9 d x.
Решение. В числителе к подынтегральной функции прибавим и вычтем
число 9, а затем разделим почленно числитель на знаменатель; получим под
интегралом
сумму
двух
функций,
каждую
из
которых
легко
проинтегрировать с помощью таблицы основных интегралов (формулы 1 и
5):


x2
x2  9  9
9 
dx

d
x

 x2  9
 x 2  9 d x   1  x 2  9  d x   d x  9 x 2  9 
 x
Ответ:
3 x3
ln
C .
2 x3
x2
3 x3
 x 2  9 d x  x  2 ln x  3  C
Пример 4.1.3. Вычислить интеграл
 1  6 
x 2
d x.
Решение. Возведя в квадрат и интегрируя по формулам 1 и 8, получим:
 1  6 
x 2


d x   1  2  6 x  36 x d x   d x  2 6 x d x   36 x d x 
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 x
Ответ:  1  6 x  d x  x 
2
2 x 36 x
6 
 C.
ln 6
2 ln 6
2 x 36 x
6 
 C.
ln 6
2 ln 6
Пример 4.1.4. Вычислить интеграл
 sin
2
dx
.
x cos2 x
Решение. Используя тригонометрическую формулу sin2x + cos 2x = 1, и
формулы 12, 13 таблицы основных интегралов, получим:
dx
(sin 2 x  cos 2 x)
1 
 1

 sin 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x d x    cos 2 x  sin 2 x  d x 

Ответ:
 sin
2
dx
dx

 tg x  ctg x  С .
2
cos x
sin 2 x
dx
.  tgx  ctgx  C.
x cos2 x
Пример 4.1.5. Вычислить интеграл
dx
 5x  6 .
1
a
Решение. Используя формулу (5.3) d x  d(ax  b) и инвариантность
формул интегрирования, имеем:
1
d(5 x  6)
dx
1 d(5 x  6) 1
5
 5x  6   5x  6  5  5x  6  5 ln | 5x  6 | C.
Ответ:
dx
1
 5x  6  5 ln 5x  6  C .
§ 4.2. Интегрирование методом замены переменной
(метод подстановки)
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Замена
переменной в неопределенном интеграле производится с
помощью подстановок двух видов:
1) х  (t), где t
– новая переменная, а (t) – непрерывно
дифференцируемая функция; тогда
 f ( x) d x   f  (t )(t ) d t
(4.8)
2) t   (x), где t – новая переменная; в этом случае:
 f  ( x) ( x) d x   f (t ) d t
Пример 4.2.1. Вычислить интеграл
x
dx
1 x2
(4.9)
.
Решение. Применим подстановку первого типа:
Подставляя полученные соотношения в подынтегральное выражение,
получим:
1
1
1
dt
dt
2
2
dx
dt
t
t
t
 
 
 
  ln | t  1  t 2  С.
 x 1 x2 
2
dt
1
1
1
1 t
dx   2
1 t2
1 2
2
t
t
t
t

x
1
t
Возвращаясь к старой переменной x  , находим:
x
Ответ:
x
dx
1  x2
dx
1 x
2
  ln
 ln
1
1
1  1  x2
x
 2  1  C   ln
 C  ln
 C.
x
x
x
1  1  x2
x
1 1 x
2
 C.
Пример 4.2.2. Вычислить интеграл

x 2  25
d x.
x
Решение. Применим подстановку первого вида:
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

25
5
 25
x  25
5 cos t
1  sin 2 t cos t
sin 2 t
sin
t
dx 
 
d
t


5
2
 sin 2 t d t 
5 cos t
5
x
sin
t
dx  
dt
sin 2 t
sin t

x
2
 5
cos 2 t
 sin
2
t
d t  5

1  sin 2 t
 1

d t  5  2  1 d t  5 ctg t  5t  C.
sin t
 sin t 

2
5
x
5
x
Возвращаясь к старой переменной .Учитывая, что sin t  , t  arcsin , а
cost  1  sin 2 t  1 
25
t 2  25
, тогда ctg t 

t
t2
x 2  25
.
5
Получим:

Ответ:

x 2  25
x 2  25
5
5
dx5
 5 arcsin  C  x 2  25  5 arcsin  C.
x
5
x
x
x 2  25
5
d x  x 2  25  5 arcsin  C.
x
x
Пример 4.2.3. Вычислить интеграл

ln x
d x.
x
Введем новую переменную t. = lnx, тогда
d t  (ln x) d x 
Эта подстановка приводит интеграл к такому виду:
t 
ln x
 x d x  dt 
dt 
ln x
2
ln x  dx   t d t  t  C
2
dx
x
Возвращаясь к старой переменной х, получаем:
ln x
ln 2 x
d
x

 C.
 x
2
Ответ:
ln x
ln 2 x
d
x

 C.
 x
2
67
dx
.
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 4.2.4. Вычислить интеграл 
cos x d x
.
4  sin 2 x
Решение. Введем новую переменную t ,
Используя подстановку второго типа и формулу (5.9), приходим к
табличному интегралу:
t 
cos x d x
 4  sin 2 x  dt 
dt 
Ответ:
sin x
sin x  dx   d t 2  1 arctg t  C  1 arctg sin x   C.
2
2
2
4t
 2 
cos xdx
cos x d x
1
 sin x 
 arctg 
  C.
2
x 2
 2 
 4  sin
§ 4.3. Интегрирование по частям
Пусть u  u(x) и v  v(x) – функции аргумента х, имеющие непрерывные
производные. Тогда возможно интегрирование по частям:
 u d v  uv   v d u,
(4.10)
где v находится по формуле v  dv.
Формула интегрирования по частям дает возможность свести
вычисление интеграла udv к вычислению более простых интегралов dv и
v du.
По
формуле
(4.10)
вычисляются
интегралы
вида:
 P ( x )e
x
dx ,
 P( x) sin xdx ,  P( x) cosxdx ,  P( x) ln xdx ,  P( x) arcsinxdx ,  P( x)arctgxdx и т.д.
Успех применения формулы интегрирования по частям зависит от
правильности выбора множителей u и dv в подынтегральном выражении
исходного интеграла. Существуют два полезных правила для такого
выбора:
1. В произведении показательной или тригонометрической функции на
многочлен Р(х) в качестве u следует выбрать Р(х).
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. В
произведении
логарифмической
или
обратной
тригонометрической функции на многочлен в качестве u следует выбрать
логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.
Пример 4.3.1. Вычислить интеграл  x cos5x d x.
Решение. Воспользуемся формулой (4.10).
 x cos5x d x 

x
 u du 
cos xdx  dv v 
dx
1
 cos5xdx  5 sin x

1
1
x sin 5 x cos 5 x
x sin 5 x   sin 5 x d x 

 C.
5
5
5
25
Ответ:  x cos 5x d x  x sin 5x  cos 5x  C.
5
25
Пример 4.3.2. Вычислить интеграл  x 2 e 4 x d x.
Решение. По формулам интегрирования по частям находим:
2 4x
x e dx 
x2
 u du 
e 4 x dx  dv v 
2 xdx
x 2 4x 1
1 4x 
e   x e 4 x d x.
e
dx

e
4
2

4
4x
Последний интеграл еще раз вычисляем методом интегрирования по
частям:
2 4x
x e dx 
x
 u du  dx
x 2 4x 1
1 4x 
e   x e4x d x  4x
e
e dx  dv v 
4
2
4
x 2 e4x 1  x e4x 1 4x  x 2 e4x x e4x e4x

 
  e d x  


 C.
4
2 4
4
4
8
32

x 2 e4x x e4x e4x


 C.
Ответ:  x e dx 
4
8
32
2 4x
ln x
d x.
x3
Пример 4.3.3. Вычислить интеграл

Решение.
в
В
этом
интеграле
качестве
логарифмическую функцию, тогда получаем:
69
u
следует
выбрать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dx
x
ln x  u du 
ln x
dx
d
x

 x3
 dv
v 
x3

dx
1
 x3   2x 2
Ответ:  ln 3x d x   ln x2  1 2
x
2x
4x
ln x 1 1 d x
ln x 1 d x
ln x
1

  2   3   2  2  C.
2 x
2x 2 2  x 2 x
2x
2x
4x
C
Пример 4.3.4. Вычислить интеграл
 x arctgx d x .
Решение. На основании формулы интегрирования по частям находим:
arctgx 
 x arctg x d x 
u du 
 dv v
xdx

arctgx dx 
dx
2
2
1  x 2  x arctg x  1 x d x 
x2
2
2  1 x2
xdx


2


x 2 arctgx 1 x 2  1  1
x 2 arctgx 1 
1 

 
dx 
  1  2
dx 
2
2
2
2
2 
x 1
x 1
x 2 arctgx 1
1
dx
x 2 arctg x 1
arctg x

  dx  

 x
 C.
2
2
2
2 1 x
2
2
2
Ответ:  xarctgxdx 
x 2 arctg x 1
arctg x
 x
 C.
2
2
2
Пример 4.3.5. Вычислить интеграл  e  x sin x d x.
Решение. Дважды интегрируя по частям, в правой части получим такой же
интеграл.
e  x  u du 
 e sin x d x  sin x  dv v 
x
ex
 u du 

cos xdx  dv v 
e  dx  e
x
x
dx
 e  x cos x   e  x cos xdx 
 sin xdx   cos x

 e  x dx
 e  x cos x  e  x sin x   e  x sin xdx
cos
xdx

sin
x

Итак получили:
e
x
sin x d x   e  x cos x  e  x sin x   e  x sin xdx .
70

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перенеся интеграл из правой части равенства в левую, находим:

Ответ:

e  x sin x d x  
e  x sin x d x  
e  x sin x  cos x 
 C.
2
e  x sin x  cos x 
 C.
2
§ 4.4. Интегрирование функций, содержащих
квадратный трехчлен
 ax
1. Интеграл
2
dx
 bx  С
находится путем выделения суммы полных
квадратов из квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе. В результате
получаются табличные интегралы вида
t
где
tx
2
dt
1
t
 arctg  С или
2
k
k
k
 С b2
b
; k 2    2
2a
 a 4a
t
2
dt
1
tk

ln
 С,
2
2k t  k
k

.


2. Для нахождения интеграла
 ax
Ax  B
dx
 bx  С
2
следует выделить в
числителе дроби производную знаменателя и разложить полученный
интеграл на сумму двух интегралов: первый из них подстановкой
ax 2  bx  С  t
сводится к виду

dt
 ln | t |  С ,
t
а второй – это интеграл,
рассмотренный в п. 1.
3. Интеграл

dx
ax  bx  С
2
находится с помощью выделения полного
квадрата из подкоренного выражения и сводится к табличным интегралам
вида

dt
t2  k
 ln t  t 2  k  С или
71

dt
k2  t2
 arcsin
t
 С.
k
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Для нахождения

Ax  B
ax 2  bx  С
d x следует выделить в числителе
производную подкоренного выражения и разложить полученный интеграл
на сумму двух интегралов: первый из них подстановкой ax 2  bx  С  t
сводится к виду

dt
t
 2 t  С , а второй – это интеграл, рассмотренный в
п. 3.
Пример 4.4.1. Вычислить интеграл
 4x
2
dx
.
 12 x  9
Решение. Рассмотрим знаменатель 4 x 2  12 x  9  2 x  32 .
Следовательно,
 4x
Ответ:
 4x
2
2
2
dx
dx
1
1

  (2 x  3) d(2 x  3)  
 C.
2
2
2(2 x  3)
 12 x  9
(2 x  3)
dx
1

 C.
2(2 x  3)
 12 x  9
Пример 4.4.2. Вычислить интеграл
x
2
dx
.
 10 x  34
Решение. Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат:
x 2  10 x  34  ( x 2  2 x  5  25 )  25  34  ( x  5) 2  9.
Отсюда находим:
 4x
Ответ:
 4x
2
2
dx
dx
d( x  5)
1
x5


 arctg
 C.
2
2
2
3
3
 12 x  9
( x  5)  9
( x  5)  3
dx
1
x5
 arctg
 C.
3
 12 x  9 3
Пример 4.4.3. Вычислить интеграл
dx
 5  8x  4 x
2
.
Решение. Выделяя из квадратного трехчлена полный квадрат, получим:
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


5
5


5  8 x  4 x 2  4 x 2  2 x    4 x 2  2 x  1  1    4( x  1) 2  9.
4
4


Таким образом,
dx
dx
 5  8x  4x   9  4( x  1)
2
2

1
4

dx
( x  1) 2 
9
4

1
4

d(x  1)
( x  1) 2 
9
4

3
x 1
1 1
2  С   1 ln 2 x  5  С  1 ln 2 x  1  С.

ln
3
4 3
12 2 x  1
12 2 x  5
2
x 1
2
2
Ответ:
dx
 5  8x  4 x
2

1
2x  1
ln
C.
12 2 x  5
Пример 4.4.4. Вычислить интеграл

dx
x 2  12 x  28
.
Решение. Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат:


x 2  12 x  28  x 2  12 x  36  36  28  ( x  6) 2  8.
Следовательно,

dx
2
x  12 x  28


dx
2
( x  6)  8


d( x  6)
( x  6) 2  8

 ln x  6  ( x  6) 2  8  С  ln x  6  x 2  12 x  28  С.
Ответ:

dx
x  12 x  28
2
 ln x  6  x 2  12 x  28  C.
Пример 4.4.5. Вычислить интеграл

dx
5  4x  x 2
.
Решение. Выделяя из квадратного трехчлена полный квадрат, получаем:

 


5  4 x  x 2   x 2  4 x  5   x 2  4 x  4  4  5  9  ( x  2) 2 ,
откуда
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

dx
5  4x  x
Ответ:
2

dx
9  ( x  2)
dx

5  4x  x 2
2

 arcsin
d( x  2)
9  ( x  2)
 arcsin
2
x2
 С.
3
x2
C.
3
Пример 4.4.6. Вычислить интеграл 
x2
d x.
2 x  5x  6
2
Решение. Выделим в числителе производную знаменателя:
x2
1
1
1
13
(4 x  8)  4 x  5  5  8  (4 x  5)  .
4
4
4
4
Следовательно,
1
13
(4 x  5) 
x2
1
4x  5
13
dx
4
4
 2 x 2  5x  6 d x   2 x 2  5x  6 d x  4  2 x 2  5x  6 d x  4  2 x 2  5x  6 

1 d(2 x 2  5 x  6) 13
dx
1
 
 ln 2 x 2  5 x  6 
2
2

4 2 x  5x  6
4
5
23 4

2 x   
4
8

13 1

arctg
8 23
16
Ответ:
 2x
2


5
4  С  1 ln 2 x 2  5 x  6  13 arctg 4 x  5  С.
4
23
2 23
23
16
x


x2
1
13
4x  5
dx  ln 2 x 2  5 x  6 
arctg
C.
4
 5x  6
2 23
23

Пример 4.4.7. Вычислить интеграл


 4x  3
4x 2  8x  9
d x.
Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения.
1
1
1
 4 x  3  (4 x  3)   (8x  6)   8x  8  8  6   (8x  8)  7.
2
2
2
Отсюда получаем:
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
 (8 x  8)  7
1
8x  8
dx 2
dx 
d x
2 4x 2  8x  9
4 x 2  8x  9
4x 2  8x  9
 4x  3

 7


1 d 4 x 2  8x  9 7
 
 
2
4 x 2  8x  9
4 x 2  8x  9 2
dx
dx
5
( x  1) 
4

2
1
7
5
  2 4 x2  8x  9  ln x  1  ( x  1)2   C 
2
2
4
  4 x 2  8x  9 
Ответ:

7 2 x  2  4x 2  8x  9
ln
 C.
2
2
 4x  3
7 2 x  2  4 x 2  8x  9
d x   4 x 2  8 x  9  ln
C.
2
2
4 x 2  8x  9
§ 4.5. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида
P( x)
,
Q( x)
где Р(х) и Q(x) –
многочлены.
Если степень многочлена Q(x) выше степени многочлена Р(х), то такая
рациональная дробь называется правильной; в противном случае дробь
называется неправильной.
Простейшими дробями I, II, III и IV типов называются рациональные
дроби следующего вида:
I.
A
.
xa
II.
III.
A
,
( x  a) m
где m – целое число, большее единицы.
Ax  B
,
x  px  q
2
где квадратный трехчлен x2 + px + q не имеет
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
действительных корней.
IV.
Ax  B
,
( x  px  q) n
2
где n – целое число, большее единицы, а
x2 + px + q не имеет действительных корней.
Интегрирование простейших дробей I и II типов производится
непосредственно по формулам 2 и 3 таблицы интегралов:
A
 x  a d x  A ln | x  a |  C,
A
 ( x  a)
m
dx
A
 C.
(1  m)( x  a) m 1
Простейшая рациональная дробь III типа интегрируется так, как это
было показано в § 4.4.
Для интегрирования рациональной дроби IV типа необходимо в
числителе дроби выделить производную квадратного трехчлена x 2  px  q
и разложить полученный интеграл на сумму двух интегралов. Первый
подстановкой
x 2  px  q  t
 (x
будет иметь вид
интеграл  n  
u
dx
.
 px  q ) n
2
du
2
 a2
приведется к виду

n
dt
t
n

1
 C,
(1  n)t n 1
а второй
P
,
2
получим
Применив подстановку
ux
, который с помощью интегрирования по частям
сведется к более простому интегралу
 n 1  
u
du
2
 a2

n 1
этом справедлива следующая рекуррентная формула:
n 
1
u
2
2a ( n  1) u  a 2
2


n 1

Повторяя этот процесс, получим интеграл
76
1 2n  3
 n 1 .
a 2 2n  2
того же типа. При
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1  
du
1
u
 arctg  C.
2
a
a
u a
2
Любая правильная рациональная дробь
P( x)
Q( x)
может быть единственным
образом представлена в виде суммы простейших рациональных дробей по
следующему правилу:
1. Необходимо знаменатель Q(x) разложить на линейные и квадратные
множители, не имеющие действительных корней.
2. Дробь
P( x)
Q( x)
надо разложить на сумму простейших дробей следующим
образом:
– каждому сомножителю (х – а)k разложения Q(x) отвечает в
разложении дроби
P( x)
Q( x)
разложение вида
Ak
A1
A2


,
2
x  a ( x  a)
( x  a) k
где а – корень многочлена Q(x), а k – кратность этого корня; A1, A2, …, Ak –
числа (неопределенные коэффициенты);
x
– каждому сомножителю
2
 px  q

l
разложения Q(x) – выражение
вида
B1 x  C1
2
x  px  q

x
B2 x  C 2
2
 px  q

2

x
Bl x  C l
2
 px  q

l
,
где l – кратность многочлена x 2  px  q в разложении Q(x); Bi и Ci (i  1,
2, …, l) – неопределенные коэффициенты.
3. Полученное равенство необходимо привести к общему знаменателю
и, получив равенство двух дробей с одинаковыми знаменателями,
приравнять числители.
4. Найти определенные коэффициенты можно двумя способами.
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Первый способ. Раскрыть скобки, привести подобные члены и
приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х.
Второй способ. Не раскрывая скобок, дать аргументу х столько различных
значений, сколько имеется неопределенных коэффициентов.
В
обоих
случаях
получаются
системы
линейных
уравнений
относительно неопределенных коэффициентов, решая которые получают
значения искомых неопределенных коэффициентов.
Замечание. Для нахождения интеграла от неправильной рациональной
дроби
P( x)
Q( x)
необходимо прежде всего выделить из нее целую часть, т.е.
представить в виде:
P( x)
R( x)
 M ( x) 
Q( x)
Q( x)
где M(x) – многочлен, а
R( x)
Q( x)
(4.11)
– правильная рациональная дробь.
Пример 4.5.1. Вычислить интеграл
x
2
3x  8
d x.
 3x  10
Решение. Знаменатель дроби имеет корни х   их  , и его можно
разложить на множители следующим образом:
x 2  3x  10  ( x  2)( x  5).
Представим подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей:
3x  8
A
В


.
x  3x  10 x  2 x  5
2
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:
3x  8
A( x  5)  В( x  2)

.
( x  2)( x  5)
x  3x  10
2
Приравнивая числители, получим:
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3x  8  А( x  5)  В( x  2).
Коэффициенты А и В можно найти двумя способами.
Первый способ. Раскроем скобки в правой части последнего равенства и
приведем подобные члены:
3x  8   A  В  x  5 A  2 В .
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
х1 3  А  В
х 0 8  5 А  2В
Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными
 А  В3
,

5 А  2 В  8
решая которую найдем А = 2, В = 1.
Следовательно,
3x  8
2
1


.
x  3x  10 x  2 x  5
2
Второй способ. Будем задавать определенные значения х:
3x  8  A( x  5)  В( x  2)
х  2 14

7А

А  2
х  5  7   7 В  В  1
Таким образом, искомый интеграл
x
2
3x  8
1 
dx
dx
 2
d x  


2 ln | x  2 |  ln | x  5 |  С 
 d x  2
x2
x5
 3x  10
 x  2 x  5


 ln ( x  2) 2 | x  5 |  С.
Ответ:
x
2
3x  8
2
d x  ln x  2 x  5  C .
 3x  10
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 4.5.2. Вычислить интеграл
x 2  2x  2
 ( x  2) 2 ( x  3) d x.
Решение. Представим подынтегральную дробь в виде суммы простейших
дробей. Линейному множителю (х  3) знаменателя этой дроби отвечает
дробь
A
2
, а множителю (х – 2) – сумма простейших дробей вида
x3
В
С

x  2 ( x  2) 2 .
Следовательно, разложение данной дроби на простейшие дроби имеет
вид:
x 2  2x  2
A
В
С



.
2
( x  2) ( x  3) x  3 x  2 ( x  2) 2
Складывая правую часть равенства, и приравнивая числители, получаем
x 2  2 x  2  A( x  2) 2  В( x  3)( x  2)  С ( x  3).
Для вычисления неопределенных коэффициентов будем комбинировать
оба изложенных выше способа.
х  2 10 
х  3 5 
х2 1 
5С
25 А
 С 
 А 
А В 
В 
2
5
4
5
Итак, находим искомый интеграл:

4
 1



x  2x  2
2
5
5

d x  1 d x  4 d x 
dx


2
2
 x  3 x  2 ( x  2) 
5 x3 5 x2
( x  2) ( x  3)




2

2
dx
 ( x  2)
2


1
4
2
 ln | x  3 |  ln | x  2 | 
С 
5
5
x2
 ln 5 ( x  3)(x  2) 4 
80
2
 С.
x2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ответ:
x 2  2x  2
2
4
 ( x  2) 2 ( x  3) d x  ln 5 x  3x  2  x  2  C .
Пример 4.5.3. Вычислить интеграл

x 2  6 x  18
d x.
( x  2)( x 2  2 x  5)
Решение. Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших
дробей. Линейному множителю знаменателя (х – 2) в разложении отвечает
дробь
А
,
х2
а квадратичному множителю
действительных корней, – дробь вида
( x 2  2 x  5), не
имеющему
Bx  C
. Поэтому разложение
x  2x  5
2
имеет вид
x 2  6 x  18
A
Bx  C

 2
.
2
( x  2)( x  2 x  5) x  2 x  2 x  5
Складываем дроби в правой части равенства и приравнивая числители,
получаем:
x 2  6 x  18  A( x 2  2 x  5)  ( Bx  C )( x  2).
Для нахождения коэффициентов А, В и С будем комбинировать оба
способа.
Полагая х  2, получаем –26  13А <=> А  –2.
Числа В и С найдем, приравнивая коэффициенты при х2 и свободные
члены. Для этого раскроем скобки и приведем подобные члены:
x 2  6 x  18  ( A  B) x 2  (2 A  C  2 B) x  (5 A  2C )
х2 1  А  В  В  3
х 0  18  5 А  2С  С  4
Следовательно,

x 2  6 x  18
3x  4 
dx
3x  4
 2
dx  
 2
 2
dx 
 d x  2
2
x  2 x  2x  5
( x  2)( x  2 x  5)
 x  2 x  2x  5 


81

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3
(2 x  2)  1
3
2x  2
dx
 2 ln | x  2 |   2 2
d x  2 ln | x  2 |   2
dx

2 x  2x  5
x  2x  5
( x  1) 2  4
3
1
x 1
 2 ln | x  2 |  ln(x 2  2 x  5)  arctg
С 
2
2
2
( x 2  2 x  3) 3
 ln
( x  2)
x 2  2x  2
d x  ln
Ответ: 
( x  2) 2 ( x  3)
x
2
2

 2 x  2
x  2
Пример 4.5.4. Вычислить интеграл
1
x 1
arctg
 С.
2
2
3

2
 x
1
x 1
arctg
C .
2
2
x3  x
2
 2x  2

2
d x.
Решение. Квадратный трехчлен x 2  2 x  2 не имеет действительных
корней, поэтому подынтегральная функция раскладывается на сумму
простейших дробей следующим образом:
x3  x
Ax  B
Cx  D
 2
 2
.
2
2
( x  2 x  2)
x  2 x  2 ( x  2 x  2) 2
Освобождаясь от знаменателей, имеем
x 3  x  ( Ax  B)( x 2  2 x  2)  Cx  D,
x 3  x  Ax 3  (2 A  B) x 2  (2 A  2 B  C ) x  (2 B  D).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим
систему уравнений для неопределенных коэффициентов:
x3 1  A
x2 0  2A  B
x1 1  2 A  2 B  C
x0 0 
2B  D
Получили систему четырех линейных уравнений, решая которую,
получим:
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A

2 A  B

2 A  2 B  C

2B
 D
 1

A
B
 0


 1
C
D
 0
1
 2


3
4
Следовательно,

( x 3  x)
dx 
( x 2  2 x  2) 2

2
x2
dx
 2x  2
 (x
1
3
2 x  2  3
2 x  2  1
1
2
2
d
x

dx
2
2
2
2
x  2x  2
( x  2 x  2)


dx
 ( x  1)
3

x
2
1

3
2
 (x
2
2x  2
dx
 2 x  2) 2
2
3x  4
dx 
 2 x  2) 2
x
 (x
2
2
2x  2
dx
 2x  2
dx

 2 x  2) 2
1
3
dx
ln ( x 2  2 x  2)  3 arctg( x  1) 

.
2
2
2
2( x  2 x  2)
( x  2 x  2) 2

Остается вычислить интеграл
 (x
2
dx
.
 2 x  2) 2
Воспользуемся подстановкой t  x  1, тогда d x  d t и получаем:
 x
dx
2
 2 x  2
2




t
t
tdt
2





t

2 t 1
2
методом интегрирования по частям.
u du 
 dv v
2

t2 dt
(t 2  1) 2

1

dt
t2 dt
t2 dt


arctg
t

.
t2 1
(t 2  1) 2
(t 2  1) 2
Вычислим интеграл
t2 dt
 (t 2  1) 2 
x 1  t
dt
(t 2  1)  t 2



dt 
2
dx  dt  (t 2  1) 2  (t 2  1) 2
( x  1) 2  1
dx


 t
dt
tdt
2

1
2


1 d t 2 1
2  t 2 1 2



 
1 dt
t
1

 arctgt  C
2
2

2
2 t 1
2
2 t 1

Таким образом,
83


1

2 t 1
2

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 (x
2
dx
t
1
 arctg t 
 arctg t  C 
2
2
 2 x  2)
2(t  1) 2

1
x 1
arctg( x  1) 
 C.
2
2
2( x  2 x  2)
Окончательно имеем:
 (x
x3  x
2
1
3
d x  ln ( x 2  2 x  2)  3 arctg( x  1) 

2
2
 2 x  2)
2( x  2 x  2)
2
1
x 1
5
 arctg( x  1) 
 C  ln x 2  2 x  2  arctg( x  1) 
2
2
2
2( x  2 x  2)

x2
 C.
2( x  2 x  2)
2
x2
x3  x
5
2
 C.
ln
x

2
x

2

arctg(
x

1
)

d
x

Ответ:  2
2( x 2  2 x  2)
2
( x  2 x  2) 2
§ 4.6. Интегрирование тригонометрических функций
I. Интегралы вида  R(sin x, cos x) d x , где R – рациональная функция,
вычисляются с помощью универсальной тригонометрической подстановки
tg
x
 t , при этом учитывается, что
2
x
2
2t
2  1 t ;
sin x 

;
cos
x

x 1 t2
x 1 t2
1  tg 2
1  tg 2
2
2
2 tg
x
2
1  tg 2
x  2 arctgt; d x 
2dt
,
1 t2
и, следовательно,
 2t 1  t 2  2 d t
R
(sin
x
,
cos
x
)
d
x

R

  1  t 2 ; 1  t 2  1  t 2   R(t ) d t.
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Целесообразно рассмотреть ряд частных случаев.
1. Если R(sin x, cos x) – нечетная функция относительно sin x, т. е. если
R( sin x, cos x)   R(sin x, cos x) , то
при вычислении используют подстановку
cos x  t.
2. Если R(sin x, cos x) – нечетная функция относительно cos x, т. е. если
R(sin x, cos x)   R(sin x, cos x) , то
уместна подстановка
sin x  t.
3. Если R(sin x, cos x) – четная функция относительно sin x и cos x, т.е. если
R( sin x, cos x)  R(sin x, cos x) , то удобна подстановка tg x  t.
Пример 4.6.1. Вычислить интеграл 
dx
.
3  5 cos x
Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической
подстановкой.
x
2
x
tg

t
2dt
 2arctgt
dx
dt
dt
1 t2
2
 3  5 cos x  cos x  1  t 2   1  t 2  2 8  2t 2   4  t 2 
35
1 t
1 t2
2dt
dx 
1 t2
1 t2
1
 ln
 С  ln
4 t2
4
x
2
2
 С.
x
tg  2
2
tg
x
2
1
dx
2
 С.
 ln
Ответ: 
3  5 cos x 4 tg x  2
2
tg
sin 3 x
d x.
Пример 4.6.2. Вычислить интеграл 
4  cos x
Решение. Подынтегральная функция нечетна относительно sin x, поэтому
уместна подстановка cos x  t, тогда : d t   sin x d x и, значит,
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
cos x 
t
sin 3 x
sin 2 x
1  cos2 x
d
x

sin
x
d
x

 4  cos x  4  cos x
 4  cos x sin x d x  dt   sin xdx 


1 t2
15 
t2

d t  t  4 
 4t  15 ln | t  4 |  C 
dt 
4t
4t
2



Ответ:
cos 2 x
 4 cos x  15 ln(cos x  4)  C.
2
cos 2 x
sin 3 x
d
x

 4 cos x  15 ln(cos x  4)  C.
 4  cos x
2
Пример 4.6.3. Вычислить интеграл 
dx
.
sin x  2 sin x cos x  3 cos 2 x
2
Решение. В данном случае подынтегральная функция является четной
относительно sin x и cos x; поэтому разделив числитель и знаменатель на
cos x следует воспользоваться подстановкой tg x  t.
dx
tgx 
dx
cos2 x


 sin 2 x  2 sin x cos x  3 cos2 x  tg 2 x  2 tg x  3 dt 

Ответ:
 sin
2
t
dt
dx   2

t  2t  3
2
cos x
dt
1
t 1
1
tg x  1

arctg
C 
arctg
 C.
2
(t  1)  2
2
2
2
2
dx
1
tgx  1

arctg
C .
2
x  2 sin x cos x  3 cos x
2
2
II. Интегралы вида  sin m x cosn x d x, где m и n – целые числа.
Рассмотрим следующие случаи.
1. Один из показателей m или n – нечетное положительное число. Если
m – нечетное число, то используем подстановку cos x  t, если n –
нечетное, то подстановку sin x  t.
2. Оба показателя m и n – четные неотрицательные числа. Тогда
необходимо использовать следующие тригонометрические формулы:
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1  cos 2 x
1  cos 2 x
sin x cos x  sin 2 x, sin 2 x 
, cos 2 x 
.
2
2
2
3. Показатели m и n – числа одинаковой четности, причем хотя бы один
из них отрицательный. Здесь следует применять подстановку tg x  t или
ctg x  t. Однако если один из них – нечетное положительное число, то
лучше использовать подстановку sin x  t или cos x  t, что приведет к
интегралу, рассмотренному в случае 1.
4. Показатели m и n – числа различной четности, причем нечетный
показатель отрицателен. Нахождение таких интегралов требует
специальных приемов, которые будут рассмотрены ниже на конкретных
примерах.
cos 3 x
Пример 4.6.4. Вычислить интеграл  6 d x.
sin x
Решение. В этом примере n – нечетное положительное число, поэтому
сделаем подстановку sin x  t, d t  cos x d x. Получаем
sin x 
t
cos3 x
cos2 x
1  sin 2 x
d
x

cos
x
d
x

 sin 6 x
 sin 6 x
 sin 6 x cos x d x  dt  cos xdx 

1 t2
dt
dt
1
1
1 1
dt   6  4 dt   6   4   5  3  С 
6
t
t 
t
t
5t
3t
t

Ответ:
1
1

 С.
5
5 sin x 3 sin 3 x
cos 3 x
1
1
 sin 6 x d x   5 sin 5 x  3 sin 3 x  С.
Пример 4.6.5. Вычислить интеграл  sin 2 x cos4 x d x.
Решение. Здесь m и n – четные положительные числа, поэтому
воспользуемся тригонометрическими формулами, позволяющими
понизить степень. Получаем
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
2
1
  1  cos 2 x 
2
4
2
 sin x cos x d x   sin x cos x cos x d x    2 sin(2x)   2  d x 



1
1
1
sin 2 (2 x)  sin 2 2 x cos 2 x d x   sin 2 (2 x) d x   sin 2 (2 x) cos 2 x d x 

8
8
8

1 1  cos 4 x
1
1
1
dx
sin 2 2 x d(sin 2 x) 
d x
cos 4 x d x 
8
2
16
16
16





1
1
1 1
1 sin 3 (2 x)
2
sin
(
2
x
)
d(sin
2
x
)

x


sin
4
x

С 
16 
16
16 4
16
3
x sin 4 x sin 3 (2 x)



 С.
16
64
48
Ответ:  sin 2 x cos4 x d x 
x sin 4 x sin 3 (2 x)


 С.
16
64
48
sin 2 x
Пример 4.6.6. Вычислить интеграл  6 d x.
cos x
Решение. В данном случае следует применять подстановку tg x  t и
использовать формулу tg 2 x  1 
1
.
cos 2 x
Тогда получаем:
tgx 
sin 2 x
sin 2 x 1
dx
dx
2
2
d
x


tg
x
1

tg
x

 cos6 x
 cos2 x cos2 x cos2 x 
cos2 x dt 


 t
2



1 t2 dt  t4 dt  t2 dt 
Пример 4.6.7. Вычислить интеграл 

t
dx 
cos2 x
tg 5 x tg 3 x
t5 t3

С 

 С.
5
3
5
3
dx
.
sin x cos x
3
Решение. В этом случае необходима подстановка ctg x  t. Учитывая, что
ctg2 x  1 
1
, получаем
sin 2 x
ctgx 
t
dx
1 sin x d x
dx
2
dx 



ctg
x

1
tg
x

 sin 3 x cos x  sin 2 x cos x sin 2 x 
dt  
sin 2 x
sin 2 x

88

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


ctg 2 x
1
dt
t2
  t 2 1 d t   t d t 
   ln | t |  С  
 ln | ctg x |  С.
t
t
2
2
Ответ:


dx
ctg 2 x


 ln | ctg x |  С.
 sin 3 x cos x
2
Пример 4.6.8. Вычислить интеграл 
dx
.
sin 3 x
Решение. Введем в числитель 1  sin 2 x  cos2 x и разделим почленно
числитель на знаменатель:

dx
sin 2 x  cos 2 x
dx
cos 2 x
x
cos 2 x

dx 

d x  ln tg 
d x.
sin x
2
sin 3 x
sin 3 x
sin 3 x
sin 3 x

Вычислим



cos 2 x
 sin 3 x d x методом интегрирования по частям.
cos x
cos2 x
cos
xdx
d
x

 sin 3 x
sin 2 x


u du 
 dv v
 sin xdx
cos xdx
 
sin 3 x

d sin x
3
x
 sin
 
1

2
2 sin x
cos x
1 sin x d x
cos x
1 dx
 

 

2
2
2
2 sin x 2 sin x
2 sin x 2 sin x

cos x
1
x
 ln tg
2
2
2 sin x 2
 С.
Окончательно
dx
 sin
Ответ:
dx
 sin
3
3
x
 ln tg
x
cos x
1
x
1
x cos x 

 ln tg  C   ln tg  2   С.
2
2 2 sin x 2
2
2
2 sin x 
1
x cos x 
  ln tg 
  C.
2 sin 2 x 
x 2
Пример 4.6.9. Вычислить интеграл 
dx
.
sin x cos4 x
3
Решение. В числителе вместо единицы введем


2
1  sin 2 x  cos2 x  sin 4 x  2 sin 2 x cos2 x  cos4 x
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и разделим его почленно на знаменатель:
dx
sin 4 x  2 sin 2 x cos 2 x  cos 4 x
sin x

dx  
dx
3
4
 sin 3 x cos 4 x 
sin x cos x
cos 4 x
2

d(cos x)
dx
dx
sin 2 x  cos 2 x
dx




2
d
x


sin x cos 2 x
sin 3 x
cos 4 x
sin x cos 2 x
sin 3 x



 sin
3


1
sin x d x
dx
1
x
cos x
 2
 2
 ln tg 

3
2
3 cos x
cos x
sin x 2
2 2 sin 2 x
1
d(cos x)
x 1
x
cos x
 2
 2 ln tg  ln tg 

3
2
2 2
2 2 sin 2 x
3 cos x
cos x

Ответ:

1
2
cos x
5
x


 ln tg  С.
3
2
2
3 cos x cos x 2 sin x 2
1
2
cos x
5
x
dx


 ln tg  С.

3
2
4
2
x cos x 3 cos x cos x 2 sin x 2
При вычислении значение интеграла
dx
 sin
3
x
, его значение было взято из
предыдущего примера.
III. Интегралы вида
 sin ax cos bx d x,  sin ax sin bx d x,  cos ax cos bx d x.
Для нахождения интегралов указанного вида применяются следующие
тригонометрические формулы:
sin  cos 
1
sin(  )  sin(  )
2
sin  sin  
1
cos(  )  cos(  )
2
cos  cos 
1
cos(  )  cos(  )
2
Пример 4.6.10. Вычислить интеграл  sin 2 x sin 4 x sin 5x d x.
Решение. Преобразуем произведение двух сомножителей в сумму:
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
 sin 2 x sin 4 x sin 5x d x  2  cos 2 x  cos6 x sin 5x d x 


1
2
1
 cos2x sin 5x d x  cos6x sin 5xd x  2  cos2x sin 5x d x 
1
1
1
cos 6 x sin 5 x d x   sin 7 x  sin 3x  d x   sin 11x  sin x  d x 

2
4
4

1
1
1
1
sin 7 x d x 
sin 3x d x 
sin11x d x 
sin x d x 
4
4
4
4





cos7 x cos3x cos11x cos x



 С.
28
12
44
4
Ответ:  sin 2 x sin 4 x sin 5x d x   cos7 x  cos3x  cos11x  cos x  С.
28
12
44
4
§ 4.7. Интегрирование простейших иррациональных функций
I. Интегралы вида

 Rx, x


, x  ,..., x  d x,
где R – рациональная функция,
m
m1
m
   2     k – дробные рациональные числа, сводятся к
n1
n2
nk
интегралам от рациональной функции с помощью подстановки х  t N где N
– общий знаменатель дробей    .
x 2
Пример 4.7.1. Вычислить интеграл
 x(
Решение. Применяем подстановку
x  t6,
 x(
x 2
3
x  1)
dx 
3
x  1)
d x.
x 
t6
t3  2
t3  2
t2 

5

6
t
d
t

6
d t  6 1  3
dt 
6
2
3


5
t (t  1)
t t
dx  6t dt
 t t 

 6 dt  6
t2
t2
d t  6t  6
d t.
2
 1)
t (t 2  1)
 t (t

91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для нахождения
последнего интеграла разложим подынтегральную
функцию на простейшие дроби и вычислим его, как это было показано в
параграфе 5.5:
t2
A Bt  C
  2
,
2
t
t t 1
t 1


откуда


t  2  A t 2  1  Bt  C  t.
Приравниваем коэффициенты:
t2 0 
A B
t 1 
A
t0 2 
A
1

B  B  2
Итак,
t2
dt
dt  2

2
t
 1)
 t (t


2t  1
2t d t
 2 ln | t |  2

2
t 1
t 1


t
dt

1
2

 2 ln | t |  ln t 2  1  arctg t  C.
Получаем окончательно:
 x(
x 2
3
 6t  6 ln
Ответ:
x  1)


t2
  arctgt  С  66 x  6 ln
2
t 1
x 2
 x(3 x  1) d x  66 x  6 ln
II. Интегралы вида



d x  6t  6 2 ln | t |  ln t 2  1  arctg t  С 
3
3
x
x 1
3
3
x
x 1
 arctg6 x  6.
 arctg6 x  6.

  ax  b   ax  b  
 ax  b  
R  x; 
 ;
 ; ... , 
 d x
 cx  d  
  cx  d   cx  d 
находятся с помощью подстановки
92
ax  b N
 t где N – общий
cx  d
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
знаменатель дробей    .
x  2 dx
.
x2 x
Пример 4.7.2. Вычислить интеграл 
Решение. Пусть


21 t2
8t
x2 2
, dx
 t , тогда x 
2
1 t
x2
1 t2


2
d t.
Осуществляя данную замену, получим:
x2 dx

x2 x

x2
x2

x

dx


 
t2


2 1 t2
1 t2
8t

t
2
2

1 t
2 1 t 1 t2
8tdt

Ответ:

  
 
dt
2
2
dt
 1 t
2

1
 1


2
1 t2
1  t
 2 ln

dt 

t 1
 2 arctg t  C 
t 1
x2
1
x2
x2  x2
x2
x2
 2 arctg
 C  2 ln
 2 arctg
 C.
x2
x2
x2
x2  x2
1
x2
x  2 dx
x2  x2
x2
 2 ln
 2 arctg
 C.
x2 x
x2
x2  x2
III. Интегралы вида
 R x;
2
2 2
  1 t
 2 ln

t2 dt

(1  t 2 ) (1  t 2 )
1  t 
1
1 t2  1 t2
4 2
dt  2
1 t2 1 t2
2 2

d t  4
 R x;
a 2  x 2  d x, R x; x 2  a 2  d x




x 2  a 2  d x можно свести к интегралам

и
от рациональной функции с
помощью соответствующих подстановок x  a sin t или x  a cost, x  a tg t
или x  a ctgt , x 
a
a
.
или x 
cost
sin x
Пример 4.7.3. Вычислить интеграл 
93
dx
4  x 
2 3
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Пусть x  2 sin t , тогда ,

dx

4  x 
2 3
x  2 sin t

dx  2 cos tdt 


Ответ:

dx
4  x 
2 3

2 cos t d t
4  4 sin t 
2
3

2 cos t d t
4 cos t 
2
3

1 cost d t 1 d t
1
 
 tg t  C 
3
2

4 cos t
4 cos t 4
1 sin t
1

С  
4 cost
4
x
4 4  x2
x
2
 x
1  
2
2
С 
x
4 4  x2
 С.
 C.
16  x 2
d x.
x
Пример 4.7.4. Вычислить интеграл 
Решение. Применим подстановку x  4 tg t , получим:
4
x 
16  x 2
dx 
dx 
x
4

4tgt
16  16t 2 4
1
4dt  4
d t  4
dt 
2
4 tg t
cos t
cost tg t cos2 t
2
cos t
dt
sin 2 t  cos 2 t
1 
 sin t d t

4
dt  4 

dt 
2
2
2
sin t cos t
sin t cos t
 cos t sin t 
 4



d(cost )
dt
4
t
4

 4 ln tg  C.
2
sin t cos t
2
cos t

Вернемся к исходной переменной, для этого выразим tg
x
4
Так как x  4 tg t , то tg t  , cost 
1
1  tg 2 t
Следовательно,
94

4
x 2  16
t
через х.
2
и sin t 
x
x 2  16
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
tg
t
sin t


2 1  cost
x

x  16 1 




x 2  16 
4
2

x
4  x 2  16
.
Окончательно получим:

Ответ:

x 2  16
4
t
x
dx
 4 ln tg  C  x 2  16  4 ln
 C.
x
cos t
2
4  x 2  16
x 2  16
x
d x  x 2  16  4 ln
 C.
x
4  x 2  16
Пример 4.7.5. Вычислить интеграл 
dx
x
3
x2  9
.
Решение. Здесь следует применить подстановку x 
3
3 sin t cos 3 t
dx
cos
t

 x 3 x 2 9 
3 sin tdt  cos 2 t 27
dx 
cos 2 t
x


3
. Получаем:
cos t ,
dt
9
9
cos 2 t
1 sin t cos 2 t
 
dt 
27 1  cos 2 t
1
1 1  cos 2t
1 1 1

cos 2 t d t 

  cos 2t  d t 
27
27
2
27  2 2





1
1
t
sin 2t
dt 
cos2t d t 

 C.
54
54
54
108


Вернемся к исходной переменной х.
Так как x 
тогда
3
9
3
, то cost  , sin t  1  cos2 t  1  2 
x
cost
x
sin 2t  2 sin t cos t 
6 x2  9
.
x2
х
3
Поэтому, учитывая, что t  arccos , получаем:
95
x2  9
,
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x
x
Ответ:
dx
3
x2  9
dx
t sin 2t


С 
x 2  9 54 108
3

arccos
54
х
3
arccos
54
х
3
x2  9
 C.
18 x 2
x2  9
 C.
18 x 2
Задания для самостоятельного решения.
Вычислить неопределенные интегралы:

7d x
.
x3
3.

6.
 3 x
9.

11.
1 6x  4x 2
 x 2 d x.
12.

4  3 x 
14.
5
d x.
15.
 6 6

1.
1. 6 x 4 d x.
2.

4.

5.
x
7.
dx
 x 2  7.
8.

10.
 x
13.
7
x5 d x
4

 4 x 3  2 x  5 d x.
x3  8
 x 2  2 x  4 d x.
dx
.
4
2
3dx
64  x 2
x 2
.
x5 d x
7
dx
.
2
dx
x2  9
.
2
x2
x
x

 4 d x.
16.
2x  3
 2x  1 d x
17.
dx
 3x 2  5 .
18.
19.
cos 2 x
 cos2 x d x.
20.
dx
 sin 2 x  cos 2 x.
21.

22.
cos9 x  cos7 x
 cos8x d x.
23.
sin 3x  sin 5 x
 cos4 x d x.
24.
3  x2
 1  x 2 d x.
25.
x2  7
 9  x 2 d x.
26.
 sin (7 x  4) d x.
27.
96
d x.
dx
7  5x 2
x2  9  6
dx
x2  9
dx
 11  3x.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dx
.
2 x 
4 cos  
2
29.

d x.
30.
 (5 x  1)
 tg(7 x  2) d x.
35.

28.
 4  2x
31.
6
34.
7
7 3 x
d x.
30
e
2 x 1
.
31.

8x  9 d x.
3  5 х dx
34.

dx
6
3
d x.
dx
32 x  6
.
Следующие интегралы вычислит методом замены переменной:
35.
xd x
 x2  6 .
36.
x
x  7 d x.
38.
2x  3
 4  3x  x 2 d x.
39.

6x  5
41.
dx
 x ln x .
44.
2 1 x
 x e d x.
47.
50.
53.
3
dx

6
2
ctg x sin x
.
dx
.
2
1  x arctg 3 x



cos x d x
sin 2 x  7
.
2
3x 2  5 x  4
6
37.
d x.

45.
6
 cos x sin x d x.
51.
54.

e arcsin x
x
1 x2
40.
e xd x
 ex  7 .
43.
ex
 x 2 d x.
.
46.
.
49.

d x.
52.
 2  cos
55.
x3 d x
 sin 2 x 4 .
2
x
dx
9  ln 2 x
97
1  x3
tg 4 x
 cos 2 x d x.
dx
 tg x sin
3
1
ln 5 x
d x.
x
42.
48.

x2 d x
.
arcsin x
d x.
1 x2
sin x d x
.
2
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

56.
59.

57.
 2 
cos  3 
x 
 x 4 d x.
58.
e
60.
ln 3 x
 x d x.
61.

1
4
e x
 x 5 d x.
arccos
x
2 d x.
4  x2
tg x
sec2 x d x.
tg(ln x)
d x.
x
Применяя указанные подстановки, найти интегралы:
62.
1
dx
64.

x
x 1
66.

9  x 2 d x, x  3 sin t.
68.
 4  x 
70.
, x  5  t 2.
 x  4 d x,
65.

xdx
67.

x2 d x
, x  2 tg t.
69.

e x  1 d x, e x  1  t 2 .
, x  2 sin t.
71.
x
d x, x  t 2 .
dx
3
x3 d x

2  x2
x
63.
x5
x  t 2.
, x  t 2  1.
x 1
1 x2
, x  sin t.
dx
2
1
, x .
t
4  x2
Следующие интегралы вычислить методом интегрирования по
частям:
72.
 х sin 3xdx
73.
 (2  x) cos2xdx
74.
 xe
75.
 x4
76.
x
77.
x
78.
 ln x d x.
79.
x
ln x d x.
80.

81.

x ln x d x.
82.
 arctg x d x.
83.
 arcsin x d x.
84.
 x arcsin x d x.
85.

86.
 cos
87.
 ln 1  x  d x.
88.
3
89.
e
3
5 x
d x.
2
2
cos3x d x.
4
arcsin x
d x.
x2
x
cos x d x.
98
3
7x
d x.
e 2 x d x.
ln x
x
d x.
xdx
2x
2
x
.
cos x d x.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
90.
x cos x
 sin 2 x d x.
93.
e
x
d x.
arcsin x
91.
 sin(ln x) d x.
92.
x
94.
ln 2 x
 x 2 d x.
95.

2
 x tg 2x d x.
98.
sin 2 x
 e x d x.
96.

d x.
97.
99.
 cos (ln x) d x.
100.
1 x
2
 x(arctgx)
2
d x.
101.
104.
106.
108.
dx
.
 2x  5
dx
 6 x  9 x 2  1.
dx
 x  2x 2 .
dx
 3x 2  x  1.
dx
x
110.

112.

114.

116.
118.
120.
122.
124.
126.
128.
103.
2
 arcsin
5  4x  x 2
dx
.
2
x  7x
dx
105.
107.
109.
.
.
50 x  25 x 2  9
dx
 2  3x  2 x 2 .
x4
 x 2  x  12 d x.
3  5x
 4 x 2  16x  9 d x.
xd x
 x 2  7 x  13.
x 2  2x
 x 2  8 x  25 d x.
3x  5
 x 2  6 x  20 d x.
6x  5
 2 x 2  12 x  15 d x.
111.
113.
115.
117.
119.
121.
123.
125.
127.
129.
99
dx
.
 8 x  25
dx
  x 2  4 x  21.
dx
 x 2  2x.
dx
 13  7 x  x 2 .
dx
x
2

.
x 2  10 x  28
dx
 5x  2x 2 .
dx
 3x 2  3x  8 .
dx
 x  x2 .
6x  1
 x 2  4 x  13 d x.
12x  11
 9 x 2  6 x  2 d x.
3x  2
 x 2  4 x  5 d x.
( x  1) 2
 x 2  2 x  15 d x.
7x
 3  2 x  x 2 d x.
8x  3

27  12 x  4 x 2
e  x d x.
2
ln(ln x)
d x.
x
Вычислить интегралы:
102.
3
d x.
2
x d x.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
130.
2x  8

1 x  x
2
d x.
131.
x

5x  2x  1
2
d x.
Вычислить неопределенные интегралы от рациональных дробей:
132.
x
5  4x
d x.
x2
133.
134.
5 x  10  x 2
 x 2  4 x  3 d x.
135.
136.
x 2  72
 x( x  4)( x  3) d x.
138.
2
dx
 ( x  1)( x  2)( x  3).
7 x  12
d x.
2
 2x  1
 3x
x 2  5x  9
 x 2  5 x  6 d x.
137.
2 x 2  41 x  91
 ( x  1)( x  3)( x  4) d x.
139.
2 x 2  10 x  18
 ( x  1)( x  2)( x  3) d x.
141.
x 4  16 x 2  5 x  8
 x 3  16 x d x.
140.
5x 3  2
 x 3  5x 2  4 x d x.
142.
dx
 x( x  1) 2 .
143.
x2  6
 x( x  3) 2 d x.
144.
3x  1
 ( x  3) 2 ( x  5) d x.
145.
3x 2  2 x  1
 ( x  1) 2 ( x  2) d x.
146.
5x 2  6 x  9
 ( x  3) 2 ( x  1) 2 d x.
147.
x 3  10 x  25
 x 2 ( x  5) 2 d x.
149.
x 2  5x  9
 ( x  2) 3 d x.
151.
x 4  3x 3  3x 2  5
 x 3  3x 2  3x  1 d x.
148.
150.
 x
2x  3
2
 3x  2

3
d x.
3x 3  7 x 2  6 x
 ( x  1) 2 (1  2x) d x.
152.
4 x 2  5x  9
 ( x 2  4x  13) ( x  1) d x.
154.
5x 4  x 3  4x 2  8
d x.

x3  8
156.
158.
x3  7x2  3
 x 2  4 x 2 d x.


4 x 3  3x 2  17 x
d x.
x 2  2x  2 x 2  9



153.
155.
x 2  7x  6
d x.
x 2  9 ( x  3)


x3  x  1
d x.
x x2  1
 

x 3  12x 2  3x
d x.
x 2  2x  2 x 2  1
157.

159.
x 2  5x  9
 ( x  1) 2 x 2  2 x  2 d x.
100




Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
160.
162.
x3  x  1
 x
2
2

2
d x.
x3  1
 x
 4x  5
2

2
d x.
Следующие интегралы
dx
161.
 1  x  .
163.
 x
вычислить,
2 2
3x  5
 2x  2
2
используя

2
d x.
тригонометрические
подстановки или тригонометрические преобразования.
164.
dx
 4  5 sin x .
166.
 cоо x  2 sin x  3 .
168.
 1  cos x d x.
170.
172.
dx
165.
 4 sin x  3 cos x  5.
167.
 sin x  cos x .
169.
 1  sin x d x.
 8  4 sin x  7 cos x .
171.
 4 cos x  3 sin x  5.
cos 3 x
 sin 2 x  sin x d x.
173.
 sin
dx
cos x
dx
174.
dx
sin x
dx
sin x d x
.
x  6 cos 2 x
2
175.
sin x d x
176.
 (1  cos x)
178.
 sin
180.
sin 2 x
177.
 1  sin
179.
 3 sin
 1  sin 2x  3 cos x.
181.
 sin
182.
 sin
183.
 cos
184.
5
3
 cos (2x) sin (2x) d x.
185.
sin 3 x
 cos 8 x d x.
186.
cos 5 x
 sin 3 x d x.
187.
 sin
188.
 sin
189.
 sin
190.
 cos
191.
 sin
3
.
dx
.
x  9 cos2 x
2
dx
2
5
x d x.
2
x cos2 x d x.
4
3x d x.
101
2
2
7
3
2
x
d x.
dx
.
x  5 cos2 x
dx
.
x  3 sin x cos x  cos2 x
x d x.
 x  5 x 
  cos   d x.
2
2
2
6
x cos 4 x d x.
x d x.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
192.
 sin
194.
cos 2 x d x
 sin 6 x .
196.
 sin
5
198.
 sin
4
200.
193.
 sin
195.
sin 3 x d x
 cos 7 x .
dx
.
x cos x
197.
 sin
dx
.
x cos3 x
199.
 sin
 sin 3x cos7 x d x.
201.
 sin 2x sin 9x d x.
202.
 cos7 x sin 2x d x.
203.
 cos4x cos8x d x.
204.
 cos 3 cos 2 d x.
205.
 sin 3 cos 3 d x.
206.
 cos3x cos5x cos8x d x.
207.
 sin 4x sin 5x sin 7 x d x.
6
x cos4 x d x.
x
x
2
x cos6 x d x.
dx
.
x cos4 x
2
dx
5
x
.
x
2x
Вычислить интегралы.
208.
210.
212.
214.
216.

25  x 2 d x.
209.

x2  4
d x.
x2
211.
x


dx
x
2
 1
3

220.

222.
 x
x
2
 16 
x
219.
x
221.

4х  5
dx
х 1
223.

x9
dx
x
5
х dx
х  5 x2
dx
3
x

217.
.
x2 d x
218.
x3 d x

3
x2 d x

d x.
2
.
102
.
x2  9
d x.
x
215.
x
x6
36  x 
2 3
213.
16  x 2

dx
.
2
9

x 2  25
.
16  x 2
d x.
x4
3
2
x 2  25 d x.
4  x 2 d x.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 5
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 5.1. Интегральная сумма и определенный интеграл
Пусть функция y  f (x) определена на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок
[a, b] на n частей точками a  x0  x1  x 2  ...  x n  b, выберем на каждом
элементарном отрезке [ x i 1 , x i ] произвольную точку  i и обозначим хi
длину каждого такого отрезка (рис. 5.1).
а=х0 ξ 1
х1 ξ 2 х2
хi-1 ξ i
xi
xn-1 ξ n
xn =b
x
Рисунок 5.1.
Интегральной суммой для функции f (x) на отрезке [a, b] называется
выражение вида
n
 n   f  i  Δ xi  f 1 Δ x1  f  2  Δ x2  ...  f  n  Δ xn
i 1
Определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a, b]
называется предел интегральной суммы n , при условии, что длина
наибольшего из элементарных отрезков [ x i 1 , x i ] стремится к нулю, а
число отрезков n   :
103
(5.1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
b

f ( x ) dx 
a
n
lim
 f (ξ
m axxi  0 i 1
n 
i
) Δxi
(5.2).
Свойства определенного интеграла
1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования
равен нулю:
a
 f ( x) dx  0
(5.3).
a
2. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл
меняет знак на противоположный:
b
a
a
b
 f ( x) dx   f ( x) dx
(5.4)
3. Отрезок интегрирования можно разбить на несколько частей:
b

a
c
b
f ( x) dx  f ( x) dx   f ( x) dx, где a  c  b
a
(5.5).
c
4. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа
функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от
слагаемых функций:
b
b
b
b
a
a
a
a
  f1 ( x)  f 2 ( x)  f 3 ( x) dx   f1 ( x) dx   f 2 ( x) dx   f 3 ( x) dx
(5.6)
5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного
интеграла:
b
b
a
a
 kf ( x) dx  k  f ( x) dx
(5.7).
Связь определенного и неопределенного интегралов задается формулой
Ньютона – Лейбница:
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
b

b
f ( x) dx  F ( x)  F (b)  F (a)
(5.8)
a
a
т. е. определенный интеграл от непрерывной функции f (x) равен
приращению первообразной функции F(x) на отрезке [a, b].
Формула Ньютона – Лейбница позволяет вычислять определенный
интеграл, используя методы вычисления неопределенного интеграла,
рассмотренные в предыдущей главе.
Пример 5.1.1. Вычислить интеграл
2
 6 x
2

 2 x  5 d x.
1
Решение. Используя свойства определенного интеграла и формулу
Ньютона – Лейбница, получим:
2
 6 x
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
 2 x  5d x  6  x 2 d x  2  x d x  5  d x  2 x 3  x 2  5 x 
 16  2  4  1  10  5  0.
Ответ: 0.
4
Пример 5.1.2. Вычислить интеграл 
1
dx
.
x  2 x  10
2
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:


x 2  2 x  10  x 2  2 x  1  9   x  1  9,
2
Тогда
4
x
1
dx
2
 2 x  10
4

dx
 x  1
1
2
9

Ответ:

1
 x 1 
arctg 

3
 3 
1

arctg 1  .
3
12

.
12
105
4
1

1
arctg1 - arctg0  
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2
Пример 5.1.3. Вычислить интеграл  cos3 x cos5 x d x.


2
Решение. Преобразуем произведение косинусов в сумму косинусов и
разложим интеграл на сумму двух интегралов:
π
2
π
2
1
 cos 3x cos 5x d x  2  cos 8x  cos 2 x d x 

π
2


1
 sin 8 x
16
1
2
π
2
π
2
1
π
2
 cos 8x d x   2  cos 2 x d x 

π
2
π
2
1
 sin 2 x
π 4

2

π
2

π
2

π
2
1
sin 4 π sin 4 π   1 sin π sin π   0.
16
4
Ответ: 0.
§ 5.2. Замена переменной в определенном интеграле
Метод замены переменной в определенном интеграле осуществляется с
помощью подстановок двух видов:
1. x  t  , тогда d x   t  d t , а новые пределы интегрирования  и 
находятся из соотношений а   и b  , где а и b – старые пределы
интегрирования. Таким образом,
b

a

 f ( x) d x   f  t t d t ,
(5.9)
где функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], а функция (t)
непрерывна на отрезке [].
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. t x, тогда находим at1 и  (b)  t2 и получаем:
b

t2
f   x     x  dx 
 f t d x.
a
(5.10)
t1
2

Пример 5.2.1. Вычислить интеграл
3
4  x2
d x.
x
Решение. Введем замену переменной интегрирования х по формуле
x  2 sin t , тогда d x  2 cost d t.
a 3
Пересчитаем пределы интегрирования: при
3
2
имеем 2 sin   3, откуда sin  
2 sin   2, получаем sin   1
2

3

3
и   ; при b  2 имеем

2
и   . Поэтому
x

dx

2 sin t

2
2 costdt
4 x
dx  a  3    
x
3

b2   
2
2

2

3
3


3

2
2 cos t  2 cost d t
cos2 t
2 
dt 
2 sin t
 sin t
3

2


1  sin 2 t
dt 2
t
 2
d t  2
  sin tdt  2ln tg  cost 
sin t
2



 sin t


2

3

 



 2ln tg  cos   2ln tg  cos  
4
2 
6
3

3
 ln 3  1.
Ответ: ln 3  1.

Пример 5.2.2. Вычислить интеграл
4


1  tg x
cos 2 x
d x.
4
Решение. Полагая t  tg x, и пересчитав пределы интегрирования получим:
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

4


1  tg x
cos2 x
dx 
4
tgx

dt

x
x

t
dx
cos2 x

 t1  1
4


4

1
1 t dt 
1
2
3
 1  t  2 d t  1  t 
1
1
3
1

1
t2  2

Ответ:
1
2
4 2
8
.
3
3
4 2
.
3
§ 5.3. Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям для вычисления определенного
интеграла имеет вид:
b
 u d v  uv
a
b
a
b
b
 v d u  u b  v b   u a  v a   v d u,


a
(5.11)
a
где u  ux  и v  vx  – две функции, непрерывные вместе со своими
производными на отрезке [a, b].

 x cos x dx.
Пример 5.3.1. Вычислить интеграл
0
Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, найдем:

 x cos x d x 
0
x

u du
cos xdx  dv v

dx
 sin x
Ответ: -2.
Пример 5.3.2. Вычислить интеграл 
1



0
0
0
0
 x sin x   sin x d x  x sin x  cos x
 cos  cos0  2.
e

ln x
x
d x.
Решение. Согласно формулы (6.11) получим:
108

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
e

1

ln x
d x  dx
x
x
ln x
u
 dv
du
v
dx
x  2 x ln x
 2 x

e
1
e
2 x

d x  2 x ln x
x
1
e
e
4 x
1

1
 2 e ln e 2 ln 1  4 e  4  4  2 e .
Ответ: 4  2 e .
§ 5.4. Несобственные интегралы
Несобственными интегралами называют интегралы с бесконечными
пределами интегрирования и интегралы от разрывных функций.
1. Пусть функция
y  f x
определена и непрерывна для всех a  x  .
Тогда несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом
определяется следующим образом:

b
 f x d x  lim  f x d x  lim F b  F a 
a
b
(5.12)
b 
a
где F(x) – первообразная для подынтегральной функции f (x).
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл
называется
сходящимся,
если
же
предела
не
существует,
–
расходящимся.
Аналогично определяется интеграл с бесконечным нижним пределом:
b
b
 f xd x  lim  f xd x  F b  lim
a 

a 
a
 F a 
(5.13).
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами
интегрирования:

c
b
 f x d x  lim  f x d x  lim  f x d x

a 
a
b 
где с – произвольное число.
109
c
(5.14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 5.4.1. Вычислить интеграл

dx
x
3
.
1
Решение.
Пользуясь
определением
несобственного
интеграла
бесконечным верхним пределом, получаем:


1
b
dx
d x3
1 


lim
 lim  
3
3
2 
b


b


x
x
 2x 
1

b
1
1
1 1

 lim   2    .
b 
2 2
2b
Следовательно, данный интеграл сходится.
1
2
Ответ: .
0
e
Пример 5.4.2. Вычислить интеграл
x
d x.

Решение. Согласно определению несобственного интеграла имеем:
0
e
0
0
x
d x  lim
a  

e
x
d x  lim e x
a


 lim e 0  e a  1.
a  
a  
a
т. е. интеграл сходится.
Ответ: 1.
Пример 5.4.3. Вычислить интеграл

x

dx
.
2
1
Решение. Выберем промежуточную точку с=0, тогда согласно
определению получим:

0
b
0
b
a
0
dx
dx
dx
 lim
 lim
 lim arctg x  lim arctg x 
2
2
b  
x  1 a  a x  1 b   0 x 2  1 a 




  
 lim arctg 0  arctg a   lim arctg b  arctg 0         .
a 
b 
 2 2
Ответ: π (интеграл сходится).
110
с
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y  f  x  непрерывна для
2. Пусть функция
всех значений х на
y  f  x  имеет
промежутке [a, b], кроме точки С, в которой
бесконечный
разрыв, тогда несобственный интеграл от разрывной функции
определяется так:
c ε
b
b
 f x  d x  lim  f x  d x  lim  f x  d x,
ε  0
a
η 0
a
(5.15)
cη
где  и  изменяются независимо друг от друга.
4
dx
Пример 5.4.4. Вычислить интеграл 
x x
0
.
Решение. В точке х=0 подынтегральная функция имеет разрыв,
следовательно,
4
4
dx
x
0
 lim
ε 0
x

0
 2 

 lim  
x x ε0
x
dx
4
ε

2 
  .
 lim   1 
ε 0
ε

Предела не существует, следовательно, интеграл расходится.
Ответ: интеграл расходится.
9
dx
Пример 5.4.5. Вычислить интеграл 
3
0
x  12
.
Решение. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке
х=1, лежащей внутри отрезка интегрирования; поэтому
9
 x  1
0
1 ε
dx
3
2

 lim
ε 0
 lim 3 3 x  1
η  0
 x  1
0

9
dx
3
9
1 η
2
 lim
 3 lim
η0

3
ε  0
dx
 x  1
1 η
3

2
ε  0
   3  1  3 lim
 3  6  9,
т.е. несобственный интеграл сходится.
Ответ: 9.
111

 lim 3 3 x  1
η  0

3


1 ε
0
8 3 η 

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 5.5. Геометрические приложения определенного интеграла.
Определенный
интеграл
применяется
для
точного
вычисления
площадей плоских фигур, площадей поверхностей и объемов тел
вращения, а так же для вычисления длины дуги кривой. Рассмотрим как
можно вычислять площади и объемы с помощью определенного интеграла.
1. Вычисление площади в декартовых координатах
Если функция y=f(x), непрерывна на [a, b] и положительна, то площадь
криволинейной трапеции, ограниченной функцией y=f(x), двумя прямыми
x=a и x=b и отрезком [a, b] оси абсцисс, вычисляется по формуле
b
S
 f  x  d x,
(5.16)
a
если f x   0 на отрезке [a, b], то,
b
S   f x  d x.

(5.17)
a
Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными функциями
y1  f 1 x  и y 2  f 2 x  и двумя прямыми x=a
и x=b, где
f 2 x   f1 x  на
отрезке [a, b], находится по формуле:
b
S
  f x  f x d x.
2
(5.18)
1
a
Пример 6.5.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
y=x2+1 прямыми x=-1, x=2 и осью абсцисс.
Решение. Построим криволинейную трапецию (рис. 5.2).
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у
1
2
3
х
Рисунок 5.2
Пределы интегрирования:
a  1, b  2.
Площадь вычисляем по формуле (5.16):
2
S
 x
1
2
 x3
 2 8
  1 
 1 d x  
 x     2      1  6 (кв.
  3 
 3
 1  3

ед.).
Ответ: S=6 кв.ед.
Пример 5.5.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
y   x 2  2 x  3,
осями координат и прямой x  2.
Решение. На рисунке. 5.3. изображена фигура, площадь которой надо
найти.
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у
-2
-1 0
2
1
х
Рисунок 5.3.
Функция у=-х2-2х+3 на отрезке [0;2] меняет знак. Следовательно,
промежуток интегрирования [0;2] необходимо разбить на два
промежутка: [0;1] и [1;2] . Получим:
1
S
  x
2

 2x  3 d x 
0
2
  x
1
2
 x3
1
 2 x  3 d x   
 x 2  3x  
 3
0

 x3
2  1
  8
  1

    x 2  3x      1  3     4  6      1  3  4 (кв.
  3
  3

 3
1  3
ед).
Ответ: S= 4 кв.ед.
Пример 5.5.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
y=x2+4x и прямой x–y+ 4=0 .
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Сделаем рисунок плоской фигуры, заключенной между
параболой и прямой (рис. 5.4).
у
1
-4
2
х
Рисунок 5.4.
Найдем пределы интегрирования, для этого решим систему уравнений
у

у

х

х
2
 х 

 4
у 
 
 х 
 4
 у 
 
4
0
1
5
Следовательно, пределы интегрирования: a=-4, b=1.
Вычислим площадь по формуле (5.18):
1
S
 x  4  x
4
2

 4x d x 
1
  x
4
2
 x 3 3x 2

 3x  4 d x    
 4 x 
2
 3


5
 1 3
  64
 125
     4  
 24  16  
 20
6
6
 3 2
  3

1

4
(кв. ед.).
5
6
Ответ: S= 20 6 кв.ед.
2. Вычисление объема тел вращения
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x), осью абсцисс и двумя
прямыми x=a и x=b , (x<b) находится по формуле
b
Vx  π
  f x
2
d x.
(5.19)
a
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной
трапеции, ограниченной непрерывной кривой x=φ(y), осью ординат и двумя
прямыми y=c и y=d находится по формуле
d
V y  π   y  d y.

2
(5.20)
c
Пример 5.5.4. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью
вращения параболы
y2  x
вокруг оси Ох и плоскостью x  2.
Решение. Найдем Vx согласно приведенной выше формуле (5.19):
2
2
x2
Vx  π y d x  π x d x  π
2
0
0

2

2
0
 2 π (куб. ед.).
Ответ: Vx  2 π куб.ед.
Пример 5.5.5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу
фигуры, ограниченной кривой y  x3 и отрезком 0  y  8 оси ординат.
Решение. Записав уравнение данной кривой в виде x  3 y ,и используя
формулу (6,20) вычисления объема, получим
8
Vy  π

3
0
y2 d y 
3 3 5
π y
5
8
0

96
1
 19
5
5
(куб. ед.).
1
5
Ответ: Vx  19 куб.ед.
3. Вычисление длины дуги кривой в прямоугольных координатах.
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если производная f'(x) функции y=f(x) является непрерывной функцией
на отрезке [a, b], то длина дуги кривой y=f(x), заключенная между точками
с абсциссами x=a и x=b, находится по формуле
b
L   1   y  d x.
2
(5.21).
a
Пример 6.5.6. Найти длину дуги цепной линии y 
x
2
e
e

x
2
между прямыми
x=0 и x=2.
Решение. Найдем производную функции y 
y 
x
2
e
e

x
2
:
x
x
 
1  2
2
e e 

2 

и вычислим длину дуги кривой:
2
L

0
2
x
x
2
2
1  2  2 
1
1
x
x
1 e  e
dx 
4e 2e dx 

4 
20
20



1
2
x
 x

e 2  e 2

0
2


x

 x

 d x  e 2  e 2








2
0
 e
2
 x x
e2  e 2  d x 




1
 1,45.
e
1
e
Ответ: L= e  1,45.
4. Вычисление площади поверхности тела вращения
Если производная f   x  функции y  f  x  является непрерывной
функцией, то кривая y  f  x  называется гладкой кривой. Площадь
поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги гладкой кривой
y  f  x  между точками с абсциссами x=a и x=b, вычисляется по формуле
b
S x  2 π y 1   y  d x.

2
а
117
(5.22)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 5.5.7. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси Ох дуги
1
2
кубической параболы y=x3 при 0  x  .
Решение. Используем приведенную выше формулу (2.22) для вычисления
площади:
1
2

S x  2 π x 3 1  9 x 4 d x.
0
Вычислим этот интеграл методом подстановки. Обозначим
t  1  9 x 4 , тогда d t  36 x 3 d x. Пересчитаем пределы интегрирования:
x  0 t1  1,
при
x
1
25
t2  .
2
16
Получаем
t
 1  9x 4
25
dt
 36 x 3 dx π 16
π 3
S x  2 π  x 3 1  9x 4 d x  x  0  t  1   t d t 
t
1
18 1
27
0
1
25
x
 t2 
2
16
1
2
Ответ: S x 
при
25
16

π  125  61
кв.ед.
 1 

27  64  1728
1
61
кв.ед.
1728
Задания для самостоятельного решения.
Вычислить определенные интегралы.
1
1
3
1.
x
3
2.
d x.
2

 4x  1
1  3 3 x 2

3
4.

 d x..


3.
2 x  5  7x
d x.
1
x
5.
8.

1
e
dx
.
x

e2
2
7.
e
3

dx
 2  x .
cos  
3
2
dx
1 x 3 .
6.
6
 sin 3x d x.
0


4


0 sin  4  x  d x.
2
118
2
9.
 sin 2 x sin 5 x d x.

2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
10.
6 3
dx
0 x 2  4 x  5.
11.

0

13.
 tg
4
2
xe
x
d x.
14.
4
16.
12.
64  x 2
3
dx
3 x 2  3x  2.
15.
dx

25  3x
0
3, 5
1
17.
dx

4
4
0
1 x
1 x 2 d x.
4 3
dx
.
2
x  36
x5 d x
 x2.
1
18..
x3  8
2 x 2  2 x  4 d x.
21.
.
.
dx

5  4x  x 2
2

4
4
19.
 tg x d x.


4
dx
 1  2 x 
2
.
1
4
2
22.
20
dx

16  3x 2
2 3
3

3
.
23.
3
dx
 tg 2 x .
24.

2 x  3dx.
2
6
Вычислить следующие определенные интегралы методом постановки.

4
25.

 sin
dx
2
x ctg x
e2
.

26.
e
ln x
d x.
x
6
0,5
27.
ln 3
3x d x
.

x
1

9
0,5
28.

ln 2
3
2
0,5
29.
e
sinπ x
cosπ x d x.
1
x3
0 x 8  1 d x.
32.
35.

27
dx
3
x 2
e 1
2x
.
π
 arcsin x
4
d x.
1 x2
x2 d x
x6  4
.
sin ln x 
d x.
x
1
e
dx
e x ln x .
125

0
e2
33.
3
2

1
31.

30.
0
exd x
34.

99
.
36.
 3
15
119
dx
x 1
.
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3
2

37.
38.
1  x d x.
3
x
1
x2  9
2
.

42.
3
dx
0 3  5 cos x .
x
0
1
47.
dx
8

x
d x.
6 x

0
.
46.
1 x2
d x.
x2
ln 5 x
.
2
2
xdx
3
x 1

2
2
 1  x 
1
49.
44.
1
1
45.
e x  1 d x.
ln 2
2
dx
.
2 ln 2
.
4

4
x x 2  16
4 2
0
43.
d x.
dx

40.
x2 d x
 x  1
41.
8
dx
3
2 3
0
0
39.
 4  x 
2
2
48.

e
0
3
.
50.
ex 1
d x.
ex  3
x
 x  1 d x.
1
Вычислить следующие интегралы по формуле интегрирования по частям.
5
51.
53.
1
x
 x e d x.
52.
0
0


2
 x cos x d x.
54.
0
56.
1
57.
6
 2  x sin 3x d x.

x ln x d x.
1

e
x
2
2
ln x d x.
58.
1
 x  1cos x d x.
0
1
59.
e 2 x d x.
e4
 ln x d x.
3
3
0
e
55.
x
0
 arctgx d x.
60.
 arccosx d x.
1
0
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


2
61.
xd x
 sin 2 x .
62.
   x sin x d x.
0
6
0
63.
65.
2
x
 2x  3 e d x.
64.
 1  xsin x d x.
1
2

2
x
 e sin x d x.
66.
4
x
sin x d x.
0
0
Вычислить несобственные интегралы.


67.
dx
 x 5 .
68.
70.
0
dx
 x 2  2 x  2 .
72.
1

dx
1 x 3  x 2 .
76.
78.
83.

0
dx
x
2 2
)
.
arctg x
d x.
2

1
0
x

x
80.
2


1
dx
 (1  x

dx
2 ( x 2  1) 2 .
dx
a x ln x
dx
.
x
3
1
dx
1 x .
81.
x
74.

79.
x

dx
1 x 2 .

77.
 x e d x.


75.
 sin x d x.


73.
d x.

dx
 x 2  9 .

71.
x2
0
0
69.
 xe

(a  0).
82.
e
 kx
0
2
.
84.
121
dx
.
x
1

dx
.
 4x  9
d x (k  0).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3
85.
1
dx
0 ( x  1) 2 .
87.

86.
0
1
2
1 x2
.
1
dx
0 x ln 2 x .
 ln x d x.
88.
0
1
2
1
89.
dx
dx
0 x 3  5x 2 .
dx
 x ln x .
90.
0
91. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми
y  4 x , x  3, x  1
и
осью Ох.
92. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y  x 2 и прямой
y  9.
93. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой y  e 2x , прямыми
x  0,5, x  1и
осью абсцисс.
94. Найти площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы
прямыми
x  1, x  5 и
95. Вычислить
прямыми
осью Ох.
площадь
x  1, x  3
2
y ,
x
фигуры,
ограниченной параболой
y  6x - x 2 ,
и осью абсцисс.
3
x
96. Найти площадь части гиперболы y  , отсекаемой от нее прямой
x  y  4  0.
97. Найти площадь фигуры, отсекаемой от параболы y  3x  x 2 прямой
5x  y  8  0.
98. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y 2  16 x и прямой
y  x.
99. Найти площадь фигуры, заключенной между параболами y  6x 2 и y  2 x 3 .
100. Найти площадь фигуры, заключенной между параболами y  8 x  x 2 и
y  x 2  18 x  12 .
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
101. Найти площадь, ограниченную кривой
y  xx  1 x  2
и осью Ох.
102. Вычислить площадь, заключенную между кривой y  tg x , осью Ох и
прямой
π
x .
3
103. Вычислить
y  x2 , y 
площадь
фигуры,
заключенной
между
параболами
x2
и прямой y  2x.
2
104. Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси Ох трапеции,
образованной прямыми
y
x
, x  4, x  6
2
и осью Ох.
105. Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси Оу трапеции,
образованной прямыми
y  3x , y  2, y  4
и осью ординат.
106. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной одной полуволной синусоиды y  sin x и отрезком [0, ] оси
абсцисс.
107. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
фигуры, ограниченной дугой кубической параболы
y  x 3  4x
и осью
абсцисс.
108. Найти объем тела, образованного вращением эллипса
4 x 2  9 y 2  36
вокруг его малой оси.
109. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной параболами
y  2x 2
и
y  x 3.
110. Фигура, образованная в результате пересечения параболы
прямой
y x ,
y 2  4x
и
вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.
111. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры,
ограниченной параболой
y 2  2x
и прямой
2x  2y  3  0.
112. Фигура, ограниченная кривыми y  tg x, y  ctg x, прямой
вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.
123
x
π
,
6
вращается
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
113. Вычислить длину дуги кривой
y2  x3
114. Вычислить длину дуги кривой
y  ln sin x
115. Найти длину дуги кривой
2y  x 2  3
от
x 0
от
до
x
π
3
x  5.
до
π
x .
2
между точками пересечения с осью
Ох.
116. Найти длину дуги кривой
y  ln x
от
x 3
до
x  2 2.
117. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох
дуги параболы
y 2  4ax
от
x 0
до
x  8.
118. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси
Ох прямой
y  3x
от
x 1
до
x  3.
119. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох
одной полуволны косинусоиды
y  cosx.
120. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси
Ох параболы
y2 3 x,
отсеченной прямой
x  3.
ГЛАВА 6.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
§ 6.1. Основные понятия и определения.
Будем рассматривать функцию двух переменных, т.к. все важнейшие
свойства функций нескольких переменных наблюдаются уже для функции
двух переменных и легко обобщаются для более общего случая. Кроме
того, для функции двух переменных можно наглядно дать геометрическую
интерпретацию.
Рассмотрим некоторое множество D точек плоскости хОу.
Если каждой паре чисел (x,у) из множества D по определенному
правилу поставлено в соответствие определенное число z из множества Е,
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
то говорят, что на множестве D задана функция двух переменных.
Обозначается
z = f(x,y).
Переменные
(х,у) – независимые переменные,
переменная z –
зависимая. Множество D – область определения функции и обозначается
D(f), а множество Е – множество значений функции и обозначается Е(f).
Функция
может быть
задана тремя способами: графическим,
табличным и аналитическим (формулой).
Область определения функции может представлять собой конечную
или бесконечную части плоскости, ограниченную одной или несколькими
непрерывными линиями, называемыми границами области.
Область называется замкнутой, если к ней относятся не только
внутренние точки, но и точки границы; в противном случае она
называется открытой.
График функции z = f(x,y) есть множество точек трехмерного
пространства и представляет собой некоторую поверхность.
Линией уровня функции двух переменных z = f(x,y) называется
множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение
функции одно и то же и равно С.
Пример 6.1.1. Найти область определения функции z  1  x 2  y 2 .
Решение.
Область определения функции состоит из всех точек
плоскости, для которых 1-х2 –у2≥ 0, т.е.
х2 +у2 ≤ 1. Таким образом,
искомая область представляет собой круг с центром в начале координат и
радиусом равным 1. Эта область является замкнутой (рис.4.1).
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у
1
1
-1
х
-1
Рисунок 6.1
§ 6.2. Предел и непрерывность функции.
Число А называется пределом функции z = f(x,y) в точке Р0(х0,у0) ,
если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех
точек Р(х,у), лежащих внутри круга с центром в точке Р0 и радиусом δ
выполняется неравенство
| f(x,y) - A| < ε.
При этом
lim f(x,y) = A или
x  x0
у  у0
lim f(Р) =А.
Р Р0
Для функции двух переменных справедливы теоремы о пределе суммы,
произведения и частного, аналогичные, как и для функции одного
аргумента.
sin( xy)
.
x
у 3
Пример 6.2.1. Вычислить предел функции lim
x 0
sin( xy)
y sin( xy)
sin( xy)
 lim
 lim y lim
 3 1  3 .
x 0
x
xy
xy
y 3 x 0
у 3
y 3
Решение. lim
x 0
Ответ: 3.
Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке Р 0(х0,у0) , если:
lim f(x,y) = f(x0,y0) или
x  x0
у  у0
126
lim f(Р) = f(Р0) .
Р Р0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Точка
Р0(х0,у0)
называется точкой непрерывности данной
функции.
Точка Р0(х0,у0) называется точкой разрыва функции z = f(x,y) , если
она принадлежит области определения функции или ее границе и не
является точкой непрерывности.
При этом говорят , что в точке Р0(х0,у0) функция разрывна. Это
происходит в том случае, если не выполняется хотя бы одно из условий
определения непрерывности функции.
§ 6.3. Частные производные.
Пусть задана функция z = f(x,y) . Зададим независимой переменной x
приращение Δх, сохраняя значение
у неизменным. Тогда z = f(x,y)
получит приращение , которое называется частным приращением
функции по х и обозначается
Δх z= f(x+Δх,y)- f(x,y)
Аналогично получаем по у
Δу z= f(x,y+Δу)- f(x,y).
Полное приращение функции определяется равенством
Δ z= f(x+Δх,y+Δу)- f(x,y)
(6.1)
Частной производной функции z = f(x,y) называется предел частного
приращения функции к вызвавшему его приращению соответствующего
аргумента, при стремлении последнего к нулю.
z x 
z y 
 z
z
f x  x, у   f x 
 lim x  lim

x

0

x

0
x
х
х
yz
f  x, у  y   f  y 
z
 lim
 lim

y

0

y

0
y
y
y
(6.2)
(6.3)
Таким образом, частные производные функции нескольких переменных
определяются как производные функции одной переменной при условии
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
постоянства остальных независимых переменных. Поэтому частные
производные находятся по формулам и правилам вычисления производных
функции одной переменной .
Частные производные
z x 
z
и
x
z
называются частными
y
z y 
производными первого порядка. Они в свою очередь так же являются
функциями двух переменных, поэтому их можно дифференцировать и их
производные называются частными производными второго порядка и
вычисляются следующим образом:
z xx 
 2 z   z 
  
x 2 x  x 
(6.4)
z xy 
2z
  z 
  
x y x  y 
(6.5)
z yx 
2z
  z 
  
yx y  x 
(6.6)
z yy 
 2 z   z 
  
y 2 y  y 
(6.7)
Вторые производные
z yx 
2z
  z 
  ,
yx y  x 
отличающиеся порядком
дифференцирования называются смешанными производными.
Имеет место следующая теорема о смешанных производных.
Теорема. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то
смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком
дифференцирования , равны между собой
2z
  z 
  .
yx y  x 
Аналогично обозначаются и вычисляются производные более высоких
порядков. Для функций с большим числом переменных частные
производные вычисляются аналогично.
Пример 6.3.1. Вычислить частные производные второго порядка функции
z = ylnx/
Решение. Найдем сначала частные производные первого порядка:
z у

x х
z
 ln x
y
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вычислим производные второго порядка:
2z   y 
y
   2
2
x  x 
x
x
2z

1
 ln x  
x
x y x
2z
  у 1
  
yx y  х  х
2z 
 ln x   0 .
y 2 y
Видно, что смешанные производные равны.
2z
y
2z
2z
1 2z
Ответ: 2   2 ;

 ;
 0.
yx xy х y 2
x
x
Пример 6.3.2 Вычислить частные производные второго порядка функции
z  ln sin( xy).
Решение. Вычислим частные производные первого порядка:
z x 
z y 
(sin( xy ))x cos(xy )

 ( xy )x  yctg ( xy ) ,
sin x
sin( xy )
(sin( xy ))y
sin x

cos(xy )
 ( xy )y  xctg ( xy ).
sin( xy )
Вычислим производные второго порядка:
( xy)
y2

,
z xx   yctg ( xy) x   y 2 x   2
sin ( xy)
sin ( xy)
( xy)y
x2

,
z yy   yctg ( xy) y   x 2
 2
sin ( xy)
sin ( xy)
( xy)y
xy

.
z yx  z xy  yctg ( xy) y  ctg ( xy)  y 2
 ctg ( xy) 
sin ( xy)
sin 2 ( xy)
Ответ: z xx  
xy
y2
x2


,
, z yx  z xy  ctg ( xy )  2
.
z


yy
2
2
sin ( xy )
sin ( xy)
sin ( xy)
§ 6.4. Полный дифференциал функции.
Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой окрестности точки
Р(х,у), тогда полное приращение функции в этой точке определяется так:
Δ z= f(x+Δх,y+Δу)- f(x,y) .
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функция z = f(x,y) называется дифференцируемой в точке Р(х,у), если
ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
Δz = A·Δ x + B·Δ y + α·Δ x + β·Δ y,
где α·= α(Δ x, Δ у) → 0 и β=β(Δ х,Δ у)→ 0
при Δ х→ 0 , Δ у → 0.
Сумма первых двух слагаемых этого равенства представляет собой
главную часть приращения функции.
Главная часть приращения функции, линейная относительно Δ х , Δ у ,
называется полным дифференциалом этой функции и обозначается:
dz = A·Δ x + B·Δ y.
Выражения A·Δ x и B·Δ y называются частными дифференциалами.
Так как, для независимых переменных Δ x = dx , ·Δ y = dy, то
dz = A· dx + B· dy.
Теорема. Если функция z = f(x,y)дифференцируема в точке Р(х,у), то
она непрерывна в этой точке, имеет частные производные , причем
z
 А,
x
z
 В.
у
Получаем формулу для вычисления полного дифференциала:
dz =
Где d x z 
z
z
dx + dy.
x
у
(6.8)
z
z
dx и d y z  dy - частные дифференциалы функции z =
x
у
f(x,y).
Пример 6.4.1. Найти полный дифференциал функции z  e xy .
3
Решение. Согласно формуле (6.1) для вычисления полного дифференциала
сначала необходимо вычислить частные производные:
3
z  xy3
 (e )  y 3 e xy ,
x x
Получаем
3
z
 xy3

(e )  3 xy 2 e xy .
y y
dz  y 3e xy dx  3xy 2 e xy dy .
3
3
Ответ: dz  y 3e xy dx  3xy 2 e xy dy .
3
3
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исходя из того, что дифференциал функции отличается от ее
приращения на бесконечно малую величину, то при достаточно малых Δх и
Δу получаем формулу для приближенного вычисления значения функции
z = f(x,y) в точке (х0+Δх; у0+Δу) по известным значениям f(x0,y0) и ее
частных производных
z z
и в данной точке (х0; у0).
x у
f  x0  x; у 0  у   f  x0 ; у 0   f x ( x 0 ; y 0 )x  f y ( x0 ; y 0 )y
(6.9)
Пример 6.4.2. Вычислить приближенно (1,04)2,05.
Решение. Рассмотрим функцию f ( х; у )  х у , ее частные производные
равны: f x ( x; y )  ух у 1 , f y ( x; y)  х у ln x .
Запишем формулу (4.9) для данной функции:
( х0  х) ( у0 у )  х0 0  у0  х0
у
у0 1
у
 х  х0 0 ln x0  y ,
где х0=1, у0=2, Δх=0,04, Δу=0,05.
Окончательно получаем (1,04) 2,05≈12 + 2·1 1·0,04 +1 2ln1·0.05=1,08.
Ответ: 1,08.
§ 6.5. Экстремум функции нескольких переменных.
Точка Р0(х0,у0) называется точкой максимума функции z = f(x,y), если
существует такая окрестность точки Р0(х0,у0), что для всех точек Р(х,у) из
этой окрестности, отличных от Р0(х0,у0, выполняется неравенство f(x,y)<
f(x0,y0).
Точка Р0(х0,у0) называется точкой минимума функции z = f(x,y), если
существует такая окрестность точки Р0(х0,у0), что для всех точек Р(х,у) из
этой окрестности, отличных от Р0(х0,у0, выполняется неравенство
f(x,y)>f(x0,y0).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а
значение функции в этих точках – экстремумом функции.
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е.
точки, принадлежащие области определения функции, в которых все ее
частные производные равны нулю или не существует хотя бы одна из них.
Для функции двух переменных z = f(x,y), дважды дифференцируемой в
критических точках, исследование на экстремум сводиться к определению
критических точек и выполнению условия следующей теоремы.
Теорема. Пусть в точке Р0(х0,у0) и некоторой ее окрестности функция z
= f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка
включительно.
Вычислим
в
точке
Р0(х0,у0)
значения
A  f xx ( x0 , y 0 ) , B  f xy ( x0 , y 0 ) , C  f yy ( x0 , y 0 ) .
Обозначим Δ = АС – В2.
Тогда:
- если Δ > 0 , то в точке Р0(х0,у0) экстремум, причем, если А< 0 максимум, если А >0 - минимум;
- если
Δ < 0 , то экстремума нет;
- если
Δ = 0, необходимы дополнительные исследования.
Пример 6.5.1. Найти экстремум функции z = x3 + y3 – 9xy.
Решение. Найдем частные производные:
z
 3х 2  9 у
x
z
 3у 2  9х .
y
Найдем критические точки, для этого приравняем частные производные
нулю, составим систему уравнений и решим ее.
 2
3х
 2
3 у

 2
 9у  0
х
 2
 9х  0
у


х2
 9у
 у


9 
 9х
4

 х  27 х  0
Получили две точки Р1(0,0) и Р2(0,0).
Вычислим вторые производные:
132
 х  0

  у  0.
 х  3

 у  3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2z 

3х 2  9 х  6 х ,
x 2 x

1.

2z


3 х 2  9 х  9 ,
yx y


2z 

3 у 2  9х  6 у 2 .
у 2 у


Вычислим Δ в точке Р1(0,0): А = 0, В = -9, С = 0,
Δ = - 81 <0, экстремума нет.
2.
Вычислим Δ в точке Р1(3,3): А =18, В = -9, С =18,
Δ =324 - 81>0, в точке Р1(3,3) есть экстремум,
причем, т.к. А > 0, то минимум.
Значение функции в этой точке zmin(3,3) =3 3+33-9·3·3=-27.
Ответ: zmin(3,3)=-27.
§6.6. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции z=f(x,y),
непрерывной в ограниченной замкнутой области, необходимо выполнить
следующие действия:
1) найти критические точки, лежащие внутри области, и
вычислить значения функции в этих точках;
2) найти критические точки на границе области и
вычислить значения функции в этих точках;
3) выбрать среди полученных значений наименьшее и
наибольшее.
Пример 6.6.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  x 2  4x  y 2
в замкнутой области x 2  y 2  4 .
Решение. 1).Определим критические точки внутри круга и вычислим
значения функции в этих точках. Для этого вычислим частные
производные z x  2 x  4 , z y  2 y и решим систему уравнений:
2 x  4  0
x  2


 2y  0

y  0
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Получили одну критическую точку Р(2;0), лежащую внутри замкнутой
области, вычислим значение функции в этой точке z (2;0)  2 2  4  2  0 2  4.
2). Для нахождения критических точек на границе заданной области, из
уравнения окружности выразим у через х; получим y 2  4  х 2 . Подставим
полученное значение у в уравнение z  x 2  4 x  y 2 , получим функцию
одной переменной: z  2 х 2  4 х  4. Пришли к задаче на отыскание
наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на
отрезке [-2;2]. Найдем критические точки внутри этого отрезка и
вычислим значения полученной функции в этих точках и на границах
отрезка [-2;2].
Имеем z  4х  4 , пусть z   0 → 4х  4  0 → х  1 ; z(1)  2  1  4  1  4  6 ,
а на границах отрезка: z (2)  2  2 2  4  2  4  4 , z (2)  2  (2) 2  4  (2)  4  12 .
Итак выбираем наименьшее и наибольшее значения функции среди
полученных: z(2;0)  4 ,
z (1; 3 )  6 ,
z (1; 3 )  6 ,
z(2;0)  4 ,
z (2;0)  12 .
Следовательно, наименьшее значение функции равно -6, а наибольшее ее
значение равно 12.
 z (1; 3)  z (1; 3 )  6 ; max z  z(2;0)  12 .
Ответ: min
D
D
§ 6.7. Производная по направлению. Градиент.
Производной по направлению вектора l называется предел
отношения приращения функции z=f(x,y), в данном направлении к
приращению аргументов Δх и Δу, приведших к изменению функции в
этом направлении. Производная по направлению вычисляется по
формуле:
z
z
z
 z   cos   cos 

x
y
134
(6.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

где α и β – углы между направлением вектора l и осями Ох и Оу.
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор
 z z 
; 
 x y 
grad z = 
(6.11)
z  z 
(6.12).
i
j
x
y

Производная по направлению l связана с градиентом функции
или
grad z =
следующим образом:
z
 пр grad

(6.13).
Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к
соответствующей линии уровня. Направление градиента функции в
данной точке является направлением наибольшей скорости возрастания
функции в этой точке, т.е. при l= grad z производная
2
 z   z 
     .
 x   y 
2
наибольшее значение, равное
z
принимает

Пример 6.7.1. Найти градиент функции z=x2y2 в точке Р(2;1).
Решение. Вычислим частные производные функции:
z
 2ху 2 ,
x
z
 2х 2 у ,
у
Вычислим значения производных в точке Р:
 z 
   8 ,
 y  P
 z 
  4
 x  P


следовательно, grad z = 4i  8 j .


Ответ: grad z = 4i  8 j .
Пример 6.7.2. Найти производную функции z=x2 –ху+2y2 в точке
Р(1;2) в направлении, составляющем с осью Ох угол в 60°.
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение.
Найдем
частные
производные
функции:
z
 2х  у ,
x
z
 х  4 у .
у
Вычислим значения производных в точке Р и значения
z
1
z
тригонометрических функций:    0 ,
 7 , cos α= cos 60°= ,
 x  P
sinα = sin 60°=
2
3
.
2
z
1
3 7 3
 0  7

.

2
2
2
Применяя формулу (4.9) получаем:
Ответ:
у
z 7 3

.

2
6.8. Двойной интеграл в прямоугольных координатах
Пусть непрерывная функция z  f x , y  задана в некоторой замкнутой
области D плоскости xOy. Двойным интегралом от функции z  f x , y  по
области D называется предел соответствующей двойной интегральной
суммы
 f x, y  d x d y 
D
lim
m axxi 0
m axy j 0
 f x , y Δ x y
i
i
j
i
j,
(6.14)
j
где xi  xi 1  xi , y j  y j 1  y j и сумма распространена на те
значения i и j, для которых точки xi ; y j  принадлежат области D.
Свойства двойного интеграла.
1. Двойной интеграл от алгебраической суммы функций равен
алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых функций:
  f x, y   f x, y   f x, y  dx dy   f x, y  dx dy 
1
2
3
1
D
D
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

 f x, y  d x d y   f x, y dx d y.
2
3
D
D
2. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:
 kf x, y dx dy  k  f x, y dx dy.
D
D
3. Область интегрирования двойного интеграла можно разбить на части,
т.е. если область D состоит из двух областей D1 и D2 , то
 f x, y  dx d y   f x, y  dx d y   f x, y  dx d y.
D
D1
D2
Рассмотрим два случая.
1. Область D на плоскости хОу является простой относительно оси Ох,
т. е. проектируется на отрезок [a, b] оси Ох так, что любая прямая
x  x1
a  x1  b пересекает границу области
y  1 x 
и
y   2 x 
в двух
точках (рис. 4.2 и 4.3).
Тогда двойной интеграл сводится к вычислению двукратного интеграла
по следующей формуле:
b
 2 x 
 f x, y  dx d y   dx  f x, y  d y.
D
Здесь
2 x 
f x, y  d y

  
1
a
1
(6.15)
x
вычисляется по у при фиксированном, но произвольном
x
на отрезке [a, b] значении х. В результате получается некоторая функция
от х, которая затем интегрируется в пределах от a до b.
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y
y
D
D
a
x1
b x
a
Рисунок 6.2
x1
b
x
Рисунок 6.3
Пример 6.8.1. Вычислить двойной интеграл  x 2  y  dx d y по области D,
D
ограниченной параболой y  x и прямыми x  0, y  4.
Решение. Область D, изображенная на рис. 6.4, является простой
относительно оси Ох. Пределами внутреннего интегрирования являются
функции y  x 2 и y  4, соответствующие уравнения верхней и нижней
границ области D, а пределами внешнего интеграла служат точки
a  0, b  2.
у
у=4
х у
0
х
2
Рисунок 6.4
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, имеем
 x
2
2

  x
D
2

y2
  x2 y 
2
0 
 
4
 y dx d y  d x
0
2

 y dy 
x2
2
 2

 4 x 4 
x 
  dx 
d
x

4
x

8





2
x2 




0
4


2


x4
1 5
128
4
2
  4 x 2 
 8  dx   x 3 
x  8x   
.
2
10
15
3
0

0

Ответ: 
128
.
15
2. Область D на плоскости хОу является простой относительно оси Ох,
т.е. проектируется на отрезок [c, d] оси Оу так, что любая прямая
y  y1
c  y1  d  пересекает границу области x  1  y  и
x   2 y
в двух
точках (рис. 6.5 и 6.6).
В этом случае двойной интеграл сводится к вычислению двукратного
интеграла по следующей формуле:
d
2  y 
c
1 y
 f x, y  dx d y   dy  f x, y  dx.
D
y
(6.16)
y
x=ψ1 (y)
d
x=ψ1 (y)
d
D
y1
y1
D
c
x=ψ2 (y)
c
x=ψ2 (y)
Рисунок 6.5
Рисунок 6.6
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь
2  y 
 f x, y  dx
вычисляется по х при фиксированном, но произвольном
1  y 
на отрезке [c, d] значении у.
Пример 6.8.2. Рассмотрим предыдущий пример 6.8.1.
Решение. Область D (рис. 6.4) является простой и относительно оси
Оу. При этом в качестве пределов внутреннего интегрирования берем
соответственно функции x  0 и x  y, а пределы внешнего интеграла
с0
и d  4. Следовательно,
 x
2
4

  x
 y dx d y  d y
D
4
y y

2
 
 y y  dy  
 3

3
0


Ответ: 
y
0
2
0
4

y y dy  
0
4  3
x
 y dx  
 xy
 3
0 



4
y5
15

4
0

y 
0
 d y 


128
.
15
128
.
15
Замечание. Если область D не удовлетворяет условиям рассмотренных
ранее случаев, то ее надо разбить на конечное число областей D1, D2, …,
Dn, каждая из которых удовлетворяет этим условиям.
§ 6.9. Приложение двойного интеграла для решения
геометрических задач.
1. Площадь S плоской области D вычисляется по формуле
S
 dx d y
(6.17).
D
Пример 6.9.1. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной
прямой
x y 2
и параболой
y
x2
 1.
4
Решение. Область изображена на рисунке 6.7.
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у
у
х2
1
4
D
x+y=2
М1
x
М2
Рисунок 6.7
Найдем точки пересечения заданных линий, для этого найдем
систему уравнений
x  y  2


x2
y

1

4

M 1  6, 8 , M 2 2; 0.
Получим:
Следовательно, х изменяется от –6 до 2. Тогда
S
2
 x2
6
x2
1
4
 dx d y   d x 
D
2

 x 2 
 x2



d y  2  x     1 d x   
 x  3  d x 
4
 4



6 
6
2


 x3 x2
 2  2
64
1

  

 3x      2  6   18  18  18 
 21
3
3

 12 2
 6  3
1
3
Ответ: 21 кв.ед.
141
(кв. ед).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Объем цилиндроида, т. е. вертикального цилиндрического тела,
z  f x, y ,
ограниченного сверху поверхностью
а снизу – областью D
плоскости хОу, находится по формуле
V   f x, y  dx d y
( 6.18).
D
Замечание. Вычисление объемов тел, не являющихся цилиндроидом,
сводится к вычислению алгебраической суммы объемов нескольких
цилиндрических тел.
Пример. 6.9.2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
y  x 2 , y  1, x  0, z  0, z  x 2  y 2 .
Решение. На рисунке 6.8 изображено данное тело, представляющее
собой вертикальный цилиндр, ограниченный сверху частью поверхности
эллиптического параболоида
z  x2  y2 ,
xОy, заключенной между параболой
а снизу – областью D плоскости
y  x 2 , осью Оу и
прямой
y  1.
Таким образом,
V
 x
D1
2

 y 2 dx d y 
1
1
  x
dx
0
x2
2
1

y3 

 y 2 d y   x 2 y 

3



0 


1

 x3 x x5 x7  1 1 1 1 1 44
1
x6 
  x2   x4   d x           
3
3
 3 3 5 21  0 3 3 3 21 105
0

142

d x 
x2 

1
(куб.ед.)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
z
1
y
x
Рисунок 6.8.
Ответ:
44
куб. ед.
105
Задания для самостоятельного решения.
Вычислить частные производные следующих функций.
1.
z  5 x 4 y 3  6 xy 6  2 xy  x 2
2.
z  x 2 y  12 x 4 y 6  7 x 2 y 2  y  1
3.
z  9 x 2 y 2  11 x 4  xy  3x 2
4.
z  y 3  y 6  12 x 3 y 3  6
5.
z  х 3 sin y
6.
z
у
х
7.
z
x
y2
8.
z
sin x
ln y
9.
z  xy
10.
z  e xy
11.
z  arctg
12.
z  ye  xy
13.
z  x2  y2
14.
z  ln x 4  y 4 
y
x
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x2
y
 2
y
x
15.
z
17.
z  ln x  ln y
19.
z  5 x 4 cos y 3  y ln 5 x

xy
x y
16.
z
18.
z  ey
20.
z  7 xtgy  y arcsin x
2
 xy
Вычислить полный дифференциал функций.
21.
z  x4  y6  8
22.
z  x2 y2  x2  y2
23.
z  sin x  y 2
24.
z  3 x  2y
25.
z  sin(xy)
26.
z
x2
y2
27.
z
28.
z
1
ln y  ln x
29.
z  xe y
30.
z  ex
cos x
tgy
2 3
y
Вычислить приближенные значения.
31.
34.
37.
1,02 4,05 .
(4,05) 2  (2,93) 2
sin 32 cos59
32.
1,98 3,03 .
33.
35.
3,08 2 1,95 2
36.
38.
ln 0.9 3  0.99 3


39.
Вычислить частные производные второго порядка.
40.
z  x 3  3х 2 y 3  8 у 6
41.
z  y2 x4  2y  8
42.
z  y ln x
43.
z  2 xy  y 2
144
8,04 2  6,032
1,96 3 0,97 2
2,032  5е 0,02
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
44.
z  x sin xy 
45.
z  y cosxy 
46.
z
x y
x y
47.
z  ln y  x 2  y 2
48.
z  arctg
y
x
49.
z  sin y ln x  e x ln y
50.
z  ytg (xy)
51.
z  ctg


x2
y
Исследовать на экстремум следующие функции.
52.
z  x 2  xy  y 2  9 x  6 y  20
53.
z  x 2  y 2  8x  2
54.
z  3x 2  y 2  4 y  5
55.
z  x 2  xy  2 y 2  x  y
56.
z   x 2  xy  y 2  3x  6 y
57.
z   x 2  4 y 2  5x  8 y  3
58.
z  x 2  2 y 2  2х  1
59.
z  x 2  ху  y 2  2 х  1
60.
z  x 2  ху  y 2  9 х  6 у  20
61.
z  2 ху  4 x  2 y
62.
z  x 3  xy 2  6 xy
63.
z  x 3  8 y 3  6 xy  1
64.
z  xy 2  xy  xy 3  x  0, y  0
65.
z  3x 2  x 3  3 y 2  4 y
66.
z  x 3  y 3  3ху
67.
z  2 x 3  хy 2  5 х 2  у 2
Найти производную функции z=f(x,y) в точке М(х0;у0):
68. z  x 2  ху  2 y 2 , М(1;2), в направлении, составляющем с осью Ох угол
α=60°.
69. z  ln x 2  y 2 , М(1;1), в направлении, составляющем с осью Ох угол
α=45°.
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
70. z  3tgx  х  2 sin y , M   ;   , в направлении вектора l  2 ; 2  .

4 3
71. z  x sin x  y   cos x   , M   ;   , в
6 6





направлении вектора l  i  3 j .



72. z  e x  y  xy  e, M 2;2 , в направлении вектора l  3i  4 j .
2
2

73. z  5 х у  х  2 xy 2  3, M 1;3 , в направлении вектора l   2i  2 j .
x
, M 1;1 , в направлении, идущем от точки М к точке N(-2;5).
3y  2x
76. z  х 3  2 х 2 у, ху 2  1 M 1;2  , в направлении, идущем от точки М к точке
75. z 
N(4;6).
Найти градиент функции z=f(x,y) в точке М(х0;у0):
77.
z  х 4  у 2  3 xy, M 2;1
78.
z  2  4 у  x 2 y 2  у 3 , M 1;2 
79.
z  х 2  у 2  3x  y, M 5;3
80.
z  ln x  2 y   x cos 2 y  2 y   , M 1;1
81.
z  ln x  2 y   x cos 2 y  2 y   , M 1;1
82.
  
z  2 cos(х  y )  х  2 y  4е 2 , M  ; 
6 6
83.
  
z  ctgx  3 y cos x  2 , M  ; 
4 4
84.
z
ln x  2 y 
 x 3 y  2 x, M 3;4
x
Вычислить двойные интегралы.
 d y  x
1
85.
0
2
0
2
y
2
 dx.
 dx x
2
86.
0
3
0
146
2
 2 xy  d y.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
87.
2
x2
1
x
 d x  2 x  y  d y.
y
1
 d y  x  2 y  dx.
89.
1
91.
88.
90.
0
3
x
1
1
x
 d x
x2
d y.
y2
91.
2
x 3
1
x
6
2x
4
x
4
ln y
3
0
 d x  xy d y.
y
 d x  x d y.
x
 d y  e d x.
Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными
линиями:
92.
dx d y
 x  y 
2
; x  3, x  4, y  1, y  2.
D
93.
 xy dx dy;
y  0, y  1  x 2 .
D
94.
 x  y  dx dy;
x  0, y  0, x  y  3.
D
95.
 x
y dx d y; y  1, y  x, y  3x.
D
96.
 x
2

 2 xy dx d y; y  0, y  1, y  x, y  x  1.
D
97.
 x dx dy;
98.
 x
99.
x  1, x  2, y  x  2, y  x 2 .
D
3
dx d y; x  0, y  x, y  2  x 2 .
D

D
x2
1
dx d y; x  2, y  x, y  .
2
x
y
100.
x3
D y dx dy;
101.
 y dx d y;
y  4, y  x 2 , y 
x2
.
4
x  0, y  0, y  9  x 2 .
D
102.
 dx
D
d y;
y  x, y 
x
, x  2 y  6.
4
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
103.
 y dx dy;
y  x , y   x, x  y  2.
D
104.
x
 y
2
d x d y;
y  x, y  9 x, y 
D
105. Найти
площадь
y  4, y  4, y 
1
.
x
области,
ограниченной
прямыми
y  0,
x 1
.
2
106. Вычислить с помощью двойного интеграла площадь плоской
области, ограниченной гиперболой
y
9
x
и прямыми y  x, x  6 .
2
107. Найти площадь, ограниченную параболой y  x и прямой x  y  6.
108. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной параболой
y 2   x и прямой x  4.
109. Найти площадь области, заключенной между параболами y  4 x  x 2
и y  3x 2 .
2
110. Найти площадь, ограниченную параболами y   x  4 и y 2  2 x  5.
111. Найти
площадь
фигуры,
образованной
пересечением
логарифмической кривой y  ln x и прямыми y  x  1, y  1.
112. Вычислить площадь плоской области, ограниченной кривыми
y  sin x, y  cos x и осью Оу.
113. Найти
объем
тела,
ограниченного
поверхностями
3x  2 y  z  6  0, x  0, y  0, z  0.
114. Вычислить
объем
тела,
ограниченного
поверхностями
y  x, y  2 x, x  z  4, z  0.
115. Найти
объем
тела,
ограниченного
поверхностями
z  x 2  y 2 , x  y  3, x  0, y  0, z  0.
116. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
148
x 2  y 2  1,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x  y  z  3, z  0.
117. Найти
объем
тела,
ограниченного
поверхностями
z  1  x 2  4 y 2 , z  0.
118. Вычислить объем тела, образованного поверхностями x 2  y 2  9 и
x 2  z 2  9.
ГЛАВА 7
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
§ 7.1. Основные понятия и определения.
Уравнения, связывающие независимую переменную, неизвестную
функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков,
называются дифференциальными уравнениями.
Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то
дифференциальное уравнение называется обыкновенным, в противном
случае дифференциальным уравнением в частных производных.
В дальнейшем будем рассматривать только обыкновенные
дифференциальные уравнения.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей
производной, входящей в данное уравнение.
В общем виде дифференциальное уравнение n – го порядка имеет вид:
F(x, y, y', y′', … ,y(n))=0
(7.1)
Решением дифференциального уравнения называется такая
дифференцируемая функция, которая, будучи подставлена в
дифференциальное уравнение, обращает его в тождество, т.е. равенство,
верное при всех допустимых значениях переменных.
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Процесс нахождения решения называется интегрированием
дифференциального уравнения, а график решения дифференциального
уравнения – интегральной кривой.
Пример 7.1.1. Показать, что функция y = sin2x служит решением
уравнения y''+4y =0.
Решение. Находим производные данной функции:
y' = 2cos2x,
y'' = -4sin2x,
и подставляем в уравнение:
y''+4y'=-4sin2x + 4sin2x ≡ 0.
Это доказывает, что функция y = sin2x действительно является
решением данного дифференциального уравнения.
Решение уравнения (7.1) зависящее от n произвольных постоянных С1,
С2, … , Сn, называется общим решением, и имеет вид:
y= f(x,C1, C2, … ,Cn)
(7.2)
Если решение уравнения получено в неявном виде (7.3), то оно
называется общим интегралом.
g(x, y, C1, C2, … , Cn) = 0
(7.3)
Задача Коши для уравнения (7.1): среди всех решений уравнения
требуется найти решение y=f(x), для которого функция f(x) вместе со
своими производными до (n-1)-го порядка включительно принимает
заданные значения y0, y0', y0'',…,y0(n-1) при заданном значении аргумента
х = х0, т.е.
y0 = f(x0)
y0'= f'(x0)
y0'' = f''(x0)
………………..
y0(n-1)=f(n-1)(x0)
где х0,у0, y0', y0'',…,y0(n-1) – заданные числа.
150
(7.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Условия (7.4) называются начальными условиями решения y=f(x), а
само это решение – частным решением уравнения (7.1),
удовлетворяющим начальным условиям (7.4).
§ 7.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение
вида
F(x, y, y',))=0
(7.5)
или
у' = φ(х;у)
(7.6)
Функция
y= f(x,C)
(7.7),
называется общим решением дифференциального уравнения первого
порядка, если при подстановке этой функции и ее производной в
дифференциальное уравнение, получается верное равенство.
Общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка
имеет вид
g(x, y, C) = 0
(7.8).
Для дифференциального уравнения первого порядка задача Коши
состоит в отыскании его решения, которое при х = х0 принимает значение
у0, т.е. решение, удовлетворяющее начальному условию
у(х0) = у0.
(7.9)
Геометрический смысл дифференциального уравнения первого
порядка, заключается в следующем: дифференциальное уравнение
у' = φ(х;у) в каждой точке (х,у ) координатной плоскости хОу сопоставляет
направление tg α = φ(x,y) касательной к интегральной кривой у = f(х),
проходящей через эту точку. Говорят, что уравнение задает поле
направлений в области Г.
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решить уравнение, значит найти семейство кривых, отвечающее
заданному полю направлений.
В следующих параграфах рассмотрим методы решения некоторых
дифференциальных уравнений первого и второго порядка.
§ 7.3. Дифференциальные уравнения первого порядка с
разделяющимися переменными.
В общем случае дифференциальные уравнения первого порядка с
разделяющимися переменными имеют вид:
P1(x)Q1(y)dу + P2(x)Q2(y)dх=0
(7.10)
Видно, что в этом уравнении множители перед dx и dy представляют
собой произведения двух функций. Одна из которых зависит только от х, а
другая - только от у. Следовательно, данное уравнение можно
проинтегрировать, предварительно разделив переменные: в одной части
уравнения оставить выражение, содержащее переменную х, а в другой – у,
для этого перенесем одно из слагаемых в правую часть и разделим обе
части полученного равенства на произведение функций Q2(y) P1(x).
Q1  y 
P ( x)
dy   2
dx
Q2  y 
P1  x 
Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Q1  y 
P ( x)
dy    2
dx  C
Q2  y 
P1  x 
Пример 7.3.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
xydx+(x+1)dy=0.
Решение. Разделим переменные в данном уравнении. Перенесем первое
слагаемое в правую часть, и умножим обе части уравнения на множитель
1
.
y ( x  1)
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x  1dy   xydx 
1
y( x  1)
dy
xdx

y
x 1
Проинтегрируем обе части полученного равенства:

dy
xdx
 
y
x 1
Отдельно вычислим интеграл, стоящий в правой части равенства:

x  1  1 dx  1  1 dx  dx  dx  x  ln x  1  C
xdx

  x  1    x  1
x 1
x 1
Получаем:
ln y   x  ln x  1  C
Найдем общее решение:
ye
x  ln x 1  C
.
x  ln x 1  C
Ответ: y  e
Пример 7.3.2. Найти частное решение дифференциального уравнения
(4+x2)lny·y' - y = 0 ,
при следующих начальных условиях y(2)=1.
Решение. Заменив y′ на
dx
y x2  4


dy
и умножив обе части уравнения на множитель
dx
получаем:
4  x ln y dy
 y
dx
2
dx
.
y ( x 2  4)
ln ydy
dx
 2
y
x 4
Интегрируем обе части уравнения:

ln ydy
dx
 2
y
x 4
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 ln yd (ln y)   x
dx
4
2
ln 2 y 1
x
 arctg  C
2
2
2
Получили общий интеграл дифференциального уравнения. Чтобы найти
частное решение, можно, сначала, найти частный интеграл. Для этого, в
общий интеграл подставим начальные условия x=2 и y=1 и найдем
значение постоянной С:
ln 2 1 1
 arctg1  C
2
2
0

8
C C  

8
Окончательно получаем частный интеграл и частное решение:
ln 2 y 1
x 
 arctg 
2
2
2 8
ln y  arctg
ye
Ответ: y  e
x 
arctg 
2 4
x 

2 4
x 
arctg 
2 4
.
.
§ 7.4. Однородные дифференциальные уравнения
первого порядка.
Уравнения вида
 y
y  f  
x
(7.11)
называется однородным дифференциальным уравнением первого
порядка.
154
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Однородное уравнение приводиться к уравнению (7.10) с
разделяющимися переменными подстановкой y = u·x, где u = u(x) - новая
искомая функция.
Заменим у и y'= u'x + u в уравнении (7.11) :
u'x + u = f(u)
Разделив переменные, получаем:
du
dx

f u   u x
Проинтегрировав, полученное уравнение найдем общее решение
(интеграл) и заменив u на
y
, получим общее решение (интеграл)
x
однородного уравнения (7.11).
Пример 7.4.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
y
.
x
y  7 
Решение. Введем новую функцию u 
y
, тогда y  ux и y   u x  u .
x
Заменяя в исходном уравнении функцию у и ее производную у' через
новую функцию получим уравнение с разделяющимися переменными:
ux  u  7  и
Решим это уравнение :
u x  7
du
x7
dx
du  7
dx
x
 du  7
dx
x
u  7 ln x  ln C
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В данном случае прибавили постоянную - lnC, для того, чтобы
упростить запись общего решения. Используя свойства логарифмов,
получаем:
u = lnCx7.
y
 ln Cx 7
x
Возвращаемся к старой функции
Окончательно получаем
y  x ln Cx 7 .
Ответ: y  x ln Cx 7
Пример 7.4.2. Найти частное решение дифференциального уравнения
 y
xy   y  x cos 2   ,
x
при следующих начальных условиях у(3)=0.
Решение. Чтобы определить тип уравнения приведем его к виду (7.11), для
этого разделим обе части на х и выразим производную у′:
 y y
y   cos 2    .
x x
y
Это однородное уравнение. Введем новую функцию u  , тогда y  ux
x
и y   u x  u . Заменяя в исходном уравнении функцию у и ее
производную у' получим уравнение с разделяющимися переменными и
решим его:
u x  u  cos2 u  u
u x  cos2 u
du
dx
x  cos2 u 
dx
x cos2 y
du
dx

2
x
cos u
du
 cos
2
Итак:
u

dx
x
tgu  ln x  ln C
156
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
tgu  ln Cx
 y
tg    ln Cx
x
- это общий интеграл, подставим в него начальные условия, и найдем
значение постоянной С.
tg 0  ln 3C  0  ln 3C  3C  1  C 
1
3
Тогда частный интеграл дифференциального уравнения имеет вид:
x
 y
tg    ln .
3
x
x
3
Легко найти частное решение: y  xarctg ln .
x
3
Ответ: y  xarctg ln .
§ 7.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно
относительно искомой функции и ее производной.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка в общем виде
записывается так:
y' + P(x)y = Q(x)
(7.12),
где P(x) и Q(x)- функции аргумента х.
Это уравнение сводиться к двум уравнениям с разделяющимися
переменными, если искомую функцию у заменить двумя функциями
u = u(x ) и v = v(x) следующим образом y = uv. Тогда y' = u'v + uv', и
данное уравнение примет вид:
u v  uv   Px uv  Q x  ,
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сгруппируем второе и третье слагаемые левой части уравнения и
вынесем общий множитель и за скобку:
u v  u v   Px v   Q x  .
(*)
В силу того, что одну из вспомогательных функций, например v, можно
выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы выражение в квадратных
скобках обратилось в нуль:
v   Px v  0 -
-это уравнение с разделяющимися переменными, решив которое
найдем функцию v=v(x). Вернемся к уравнению (*) и подставим в него
найденное значение функции v(x):
u'v(x) = Q(x)
- это уравнение с разделяющимися переменными, решая его, найдем
функцию и = и (х,С), тогда общее решение линейного дифференциального
уравнения (7.12) равно:
y = u(x,C)v(x).
Пример 7.5.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
y′cosx – ysinx = cos2x.
Решение. Преобразуем уравнение к виду (7.12), для этого разделим обе
части уравнения на cosх:
y′ – ytgx = cosx.
Полагаем y=uv, тогда y' = u'v + uv' и данное уравнение примет вид:
u'v + uv'-uvtgx=cosx ,
или
u'v + u[v'-vtgx]=cosx .
(*)
Приравниваем квадратную скобку к нулю и решаем полученное
уравнение:
v  vtgx  0
158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dv
dx
 vtgx 
dx
v
dv
 tgxdx
v

dv
 tgxdx
v 
ln v   ln cos x
v
Подставив v 
1
.
cos x
1
в уравнение (*), получим уравнение
cos x
u
 cos x
cos x
из которого находим u:
u   cos2 x
du
 cos2 x  dx
dx
du  cos2 xdx
 du   cos
2
 du  
u
Итак
x
2
1  cos 2 x
dx
2
x sin 2 x

C.
2
4
 x sin 2 x
 1
y 
 C
.
4
2
 cos x
Окончательно получаем: .

Ответ: y   
xdx
sin 2 x
 1
 C
.
4
 cos x
Пример 7.5.2. Найти частное решение дифференциального уравнения
xy   y  x 2 sin x ,
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
при следующих начальных условиях y      .
2
Решение. Преобразуем уравнение к виду (7.12), для этого разделим обе
части уравнения на х:
y 
y
 x sin x .
x
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решим
его, заменив функцию у на две произвольно выбранные функции u и v.
Полагаем y=uv, тогда y' = u'v + uv' и данное уравнение примет вид:
u v  uv  
uv
 x sin x
x
или

u v  u v  

v
 x sin x .
x 
(*)
Решим уравнение с разделяющимися переменными, для этого
приравняем квадратную скобку к нулю.
v 
v
0
x
dv v dx
 
dx x v
dv dx

v
x

dv
dx

v
x
ln v  ln x
vx
Вернемся к уравнению (*) и подставим в него найденную функцию v=x,
решим его.
uv  x sin x
ux  x sin x
160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
du
 sin x  dx
dx
du  sin xdx
 du   sin xdx
u   cos x  C
Итак, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y  xC  cos x  .
Подставим начальные условия y   при x 


2
в общее решение:


 C  cos 
2
2
С2
Искомое частное решение имеет вид: y  x2  cos x  .
Ответ: y  x 2  cos x 
Замечание. Для решения линейного дифференциального уравнения
первого порядка можно пользоваться окончательной формулой
 P ( x ) dx
P ( x ) dx
[∫Q(x) e 
y ( x)  e 
dx  C ]
(7.13)
Уравнение вида y' + P(x)y = Q(x)yn называется уравнением Бернулли.
Рассмотренный ранее метод применим и для его решения.
Пример 7.5.3. Решить уравнение у' + 2х = ех·у2.
Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли n=2. Решим
его ранее рассмотренным методом, введя две функции следующим
образом: y=uv,
y' = u'v + uv' .
u v  uv  2uv  e x u 2 v 2
u v  u (v   2v)  e x u 2 v 2
v  2v  0
dv
dx
  2v 
dx
v
161
(*)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dv
 2dx
v

dv
   2dx
v
ln v  2 x
v  e 2 x
Вернемся к уравнению (*):
u v  e x  u 2  v 2
u  e x  u 2  v
du
 e x  u 2  e 2 x
dx
du
dx
 u 2  e x  2
dx
u
du
 e  x dx
2
u

du
  e  x dx
2
u

1
 e  x  C
u
u
1
.
e C
x
Окончательно получаем
y
Ответ: y 
e 2 x
.
ex  C
e 2 x
.
ex  C
§ 7.6. Уравнение в полных дифференциалах.
Если левая часть дифференциального уравнения представляет собой
дифференциал некоторой функции Р(х,у), т.е.
М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0
162
(7.14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.
Уравнение (7.14) можно записать так:
dP(x,y) = 0.
Таким образом, общий интеграл данного уравнения равен
P(x,y) = С.
Для того, чтобы уравнение (7.14) было уравнением в полных
дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках
некоторой области D, в которой функции М(х,у)и N(x,y) определены и
непрерывны, а так же имеют непрерывные частные производные
и
M ( x, y )
y
N ( x, y )
выполнялось равенство
x
M ( x, y ) N ( x, y )

y
x
(7.15).
Если условие (7.15) выполняется, то общий интеграл уравнения (7.14)
имеет вид:
x
y
x0
y0
 M ( x, y)dx   N ( x , y)dy  C
0
(7.16)
или
y
x
 M ( x, y
x0
0
)dx   N ( x, y )dy  C
(7.17)
y0
Где (х0, у0) – произвольная фиксированная точка области D.
Пример 7.6.1. Найти общий интеграл уравнения
(2ху + 3у2)dx + (x2 + 6xy -3y2)dy = 0.
Решение. В этом уравнении M(x,y) = 2ху + 3у2 , N(x,y) = x2 + 6xy -3y2, так
что
N ( x, y)
M ( x, y )
 2х  6 у .
 2х  6 у и
x
y
Условие (7.15) выполняется, следовательно, данное уравнение является
уравнением в полных дифференциалах, и его общий интеграл находим по
формуле (7.16), взяв в качестве точки (х0,у0) точку (0,0):
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 2 xy  3 y dx   (3 y
y
x
2
0
2
)dy  C
0
(2 y
x2
y3
 3 y 2 x) 0x  3
2
3
y
0
C
x 2 y  3xy 2  y 3  C .
Ответ: x 2 y  3xy 2  y 3  C .
В ряде случаев, если условие (7.15) не выполняется, уравнение вида
(7.14) можно привести к уравнению в полных дифференциалах, умножив
на интегрирующий множитель μ(х,у). Интегрирующий множитель легко
определить, если он зависит либо только от х, либо только от у, т.е. μ=μ(х)
или μ=μ(у).
Если μ=μ(х), то
M N

y
x
  (x)
N
и интегрирующий множитель находиться
по формуле:
  e
Если μ=μ(у), то
M N

y
x
  ( y)
M
 ( x ) dx
.
(7.18)
и интегрирующий множитель находиться
по формуле:
  ( y ) dy
.
 e 
(7.19)
Пример 7.6.2. Решить уравнение ydx + x(lnx –y3)dy = 0.
Решение. M(x,y) = у , N(x,y) = x(lnx –y3), так что
M ( x, y )
1 и
y
N ( x, y )
 1  ln x  у 3 . Условия (7.15) не выполняются, следовательно, можно
x
попробовать его решить, введя интегрирующий множитель.
M N

y x 1  1  ln x  y 3
y 3  ln x
1


    ( x) .
3
3
N
x
x(ln x  y )
x(ln x  y )
Найдем интегрирующий множитель по формуле (7.18):
164
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  e
 ( x ) dx
e


dx
x
 e ln x  e
ln
1
x

1
.
x
Умножим обе части исходного уравнения на этот множитель:
y
dx  (ln x  y 3 )dy  0 .
x
Получили уравнение в полных дифференциалах, т.к.   y   1 , а
y  x 
x

1
ln x  y 3  .
x
x


Решим это уравнение, по формуле (7.16) , приняв в качестве точки (х0,у0)
точку (1,0):
x

1
y
dx    y 3 dy  C
x
0
y
y ln x 
x
1

y ln x 
Ответ: y ln x 
y4
4
y
0
C
y4
C.
4
y4
C.
4
§ 7.7. Дифференциальные уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка.
1.Уравнения вида
y′′ = f(x)
(7.20)
решается последовательным двукратным интегрированием. При
каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а
общее решение содержит две константы.
Пример 7.7.1 Найти общее решение дифференциального уравнения
y''=sin3x.
Решение. Последовательно интегрируя данное уравнение, получим
165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
y    sin 3xdx   cos3x  C1
3
1
1
 1

y     cos 3x  C1 dx    cos 3xdx  C1  dx   sin 3x  C1 x  C 2
3
9
 3

.
1
9
Ответ: y   sin 3x  C1 x  C 2 .
2. Уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции
F(x, y', y'') = 0
(7.21)
допускает понижение порядка введением новой функции, следующим
образом y'= p(x), тогда y''= p'(x).
Пример 7.7.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
xy   y  ln
y
.
x
Решение. Данное уравнение не содержит функции у, поэтому положим
y'= p(x), тогда y''= p'(x) и уравнение примет вид:
xp   p ln
p 
p
x
p p
ln
x x
Получили однородное уравнение первого порядка. Для его решения
воспользуемся подстановкой p=ux, тогда p'= u'x+u и, следовательно,
приходим к уравнению
ux  u  u ln u
u x  u ln u  1
du
dx

u ln u  1 x
du
 uln u  1  
166
dx
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ln ln u  1  ln x  ln C1
ln ln u  1  ln C1 x .
откуда
ln u  1  C1 x
u  e C1x 1
Возвращаясь к функции у, получаем общее решение
p
 e C1 x 1
x
y   xe C1 x 1 .
или
Это уравнение с разделяющимися переменными
dy
 xe C1x 1
dx
dy  xe C1x 1 dx
 dy   xe
C1 x 1
dx
Интеграл, стоящий в правой части уравнения интегрируем по частям:
 xe
C1 x 1
u du  1 dx
C1 x 1
dx  C1 x 1
e
dx  du u  C e
1
x

=

1
1
xe C1 x 1 
e C1 x 1 dx 

C1
C1
1
1
xe C1 x 1  2 e C1 x 1  C 2 .
С1
C1
Окончательно получаем:
y
Ответ: y 
1
1
xe C1 x 1  2 e C1 x 1  C 2 .
С1
C1
1
1
xe C1 x 1  2 e C1 x 1  C 2 .
С1
C1
3. Уравнения второго порядка, не содержащие независимой
переменной
F(y, y', y'') = 0
167
(7.22)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При помощи подстановки y'= p(y) уравнение сводиться к уравнению
первого порядка
F(y, p, p
dp
)=0 .
dy
Пример 7.7.3. Найти частное решение дифференциального уравнения
2yy'3+y''=0 ,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)=0, y'(0)=-3.
Решение. Это уравнение не содержит независимой переменной,
следовательно, будем его решать, полагая y'= p(y), и y   p
dp
. Используя
dy
данные подстановки, преобразуем уравнение к виду
2 yp 3  p
dp
0
dy
2 yp 3   p
dp
.
dy
dp
 2 ydy
p2
dp
p
2
 2  ydy .
Интегрируя, получим
1
 y 2  C1
p
p
1
y  C1
2
dy
1
 2
dx y  C1
Получили дифференциальное уравнение первого порядка
dy
1
 2
dx y  C1
,
(*)
Решая которое получим:
 y
2

 C1 dy   dx
168
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у3
 С1 у  x  C 2
3
Итак, общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид:
y3
 C1 y  x  C 2
3
Найдем частный интеграл, для этого в общий интеграл и в уравнение (*)
подставим начальные условия y(0)=0, y'(0)=-3. Получаем систему двух
уравнений для определения постоянных С1 и С2.
1


 3 
 С1

С1


С 2
 0  С 2
1
3.
0
 

Таким образом, искомое частное решение имеет вид y3 – y= 3x.
Ответ: y3 – y= 3x.
§ 7.8. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго
порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение
y'' + py' +qy = 0
(7.23)
где p и q – числа.
Для того, чтобы решить это уравнение надо составить
характеристическое уравнение, которое получается из уравнения (7.23),
если в нем заменить y"=k2, y'=k, a y=k0=1.
k2 + pk + q = 0
(7.24)
Общее решение уравнения (7.23) строиться в зависимости от характера
корней характеристического уравнения (7.24). Возможны три случая:
1) дискриминант квадратного уравнения (7.24) больше нуля D > 0 ,
уравнение имеет два действительный различных корня, k1 ≠ k2, и общее
решение уравнения (7.23) имеет вид:
169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y  C1 e k1 x  C 2 e k 2 x
(7.25)
2) дискриминант квадратного уравнения (7.24) равен нуля D= 0,
уравнение имеет два действительный кратных корня, k1= k2= k, и общее
решение уравнения (7.23) имеет вид:
y  C1 x  C 2 e kx
(7.26)
3) дискриминант квадратного уравнения (7.24) меньше нуля, D < 0,
уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней , k1,2= α ± βi, и
общее решение уравнения (7.23) имеет вид:
y  e x C1 cos x  C 2 sin x 
(7.27).
Пример 7.8.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
y"+7y'+6y=0.
Решение. Составим характеристическое уравнение
k2+7k+6=0.
Решим его: D=49-24=25, k1= -1, k2 = -6. Так как корни действительные и
разные, то, согласно формулы (7.25), получаем общее решение:
y = C1e-x + C2e-6x.
Ответ: y = C1e-x + C2e-6x.
Пример 7.8.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
y"-6y'+9y=0.
Решение. Составим характеристическое уравнение
k2 - 6k +9=0.
Решим это уравнение: D = 36 -36 = 0, k1 = k2 =3. Характеристическое
уравнение имеет два действительных кратных корня, следовательно, общее
решение находим по формуле (7.26):
y = (C1x + C2)e3x.
Ответ: y = (C1x + C2)e3x.
Пример 7.8.3. Найти общее решение дифференциального уравнения
y"-4y'+13y=0.
170
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Составим характеристическое уравнение
k2 – 4k +13 = 0.
Решим его. Дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, D=-36,
уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней , k1,2=
4  6i
 2  3i
2
(α=2, β=3) и общее решение уравнения, согласно формулы (7.27), имеет
вид:
y = e2x(C1cos3x + C2sin3x).
Ответ: y = e2x(C1cos3x + C2sin3x).
Пример 7.8.4. Найти частное решение дифференциального уравнения
y"-5y'+4y=0,
удовлетворяющее начальным условиям у'(0)=8, у(0)=5.
Решение. Сначала найдем общее решение, для этого составим
характеристическое уравнение
k2 – 5k +4 = 0.
Дискриминант этого уравнения D=1, следовательно, уравнение имеет
два действительный корня, k1 = 2, k2 = 3 и общее решение уравнения
имеет вид:
y = С1e2x +C2e3x.
Чтобы найти частное решение, сначала найдем у'=2С1e2x +3C2e3x , а
затем подставим в общее решение и в производную от функции-решения у
начальные условия и получим систему для определения постоянных С1 и
С2 .
 C1 e 0

0
2C1 e

C2 e 0
 3C 2 e
0
 5
C
 1
 8 2C1
 C2
 3C 2
 5
.
 8
Решив систему получили С1=7, С2 = -2.
Таким образом искомое частное решение имеет вид: y =7e2x – 2e3x.
Ответ: y =7e2x – 2e3x.
171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§7.9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
y'' + py' +qy = f(x)
(7.28)
Для нахождения общего решения уравнения (7.28) нужно найти общее
решение у однородного уравнения (7.23) и какое-либо частное решение у*
неоднородного уравнения (7.28). Их сумма будет общим решением
данного неоднородного уравнения:
у = у + у*.
(7.29)
Рассмотрим один из методов нахождения частного решения – метод
неопределенных коэффициентов.
Суть метода заключается в следующем: если правая часть уравнения
(7.28) имеет вид
f(x)=eαx[Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβх] ,
(7.30)
где α и β – действительные числа, а Pn(x) и Qm(x) – многочлены
соответственно n - й и m – й степени с действительными
коэффициентами, то частное решение у* уравнения (7.28) ищется в виде
y* = xl eαx[Ms(x)cosβx+Ns(x)sinβx],
(7.31)
где Ms(x) и Ns(x) – многочлены степени s = max(n,m) с
неопределенными буквенными коэффициентами, а l – кратность, с которой
α + βi входит в число корней характеристического уравнения (7.24).
Следует отметить, что в общем виде многочлены соответствующей
степени, имеют вид:
- многочлен 0-ой степени
- А
- многочлен 1-ой степени
- Ах+В
172
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- многочлен 2-ой степени
- Ах2+Вх+С
- многочлен 3-ей степени
- Ах3+Вх2+Сх+D и т.д.
А, В, С, D, … - неопределенные коэффициенты. Для того, чтобы их
найти, частное решение у* и его производные подставляют в левую часть
уравнения (7.28) и производят соответствующие упрощения; затем в
полученном тождестве приравнивают коэффициенты при подобных членах
в левой и правой частях, что дает систему уравнений относительно
искомых неопределенных коэффициентов, решив которую находят эти
коэффициенты.
Замечание. Если правая часть уравнения (7.28) есть сумма функций
вида
f(x)=f1(x)+f2(x)+ … +fn(x),
(7.32)
нужно предварительно найти частные решения y1*, y2*, …,yn*,
соответствующие функциям f1(x, f2(x), … ,fn(x). Тогда частное решение
уравнения (7.28) запишутся в виде
y*= y1*+ y2*+, …,+ yn* .
(7.33)
Более общим методом решения уравнений (7.28) является метод
вариации произвольных постоянных.
Пусть у1 и у2 – линейно независимые частные решения однородного
уравнения (7.23) . Тогда общее решение неоднородного уравнения (7.28)
следует искать в виде
у=С1(х)у1+С2(х)у2
(7.34)
где функции С1(х) и С2(х) определяются из системы уравнений
С1 x  y1

C1 x  y1
 C 2 x  y 2
 C 2 x  y 2


0
f x 
(7.35)
Решая эту систему, получим
С1 ( x ) 
 y 2 f ( x)
,
W  y1 , y 2 
С 2 ( x ) 
где
173
y1 f ( x )
W  y1 , y 2 
(7.36)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
W  y1 , y 2  
y1
y1
y2
y 2
(7.37)
- определитель Вронского.
Интегрируя (7.38) получаем:
С1 ( x )   
y 2 f ( x)
dx
W  y1 , y 2 
С 2 ( x)  
y1 f ( x )
dx
W  y1 , y 2 
(7.38),
откуда, подставляя найденные функции в соотношение (7.34), найдем
общее решение линейного неоднородного уравнения (7.28).
Пример 7.9.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
y"-4y'-5y=(27x-39)e-4x.
Решение. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего
решения
y однородного уравнения и
какого-либо частного решения у*
неоднородного уравнения:
у = у + у*.
Найдем общее решение однородного уравнения
y"-4y'-5y=0.
Составим характеристическое уравнение и решим его
k2 - 4k -5= 0,
k1=5 , k2=-1.
Согласно формуле (7.25), общее решение однородного уравнения имеет
вид
у
= С1e5х +C2e-х.
Перейдем к отысканию частного решения у* данного уравнения. Здесь
правая часть неоднородного уравнения f(x)=(27x-39)e-4x содержит
произведение многочлена первой степени и показательной функции,
следовательно, частное решение будем искать в виде
y*= (Ax+B)e-4x
Вычислим производные функции у*:
y*'= Ae-4x-4e-4x(Ax+B) = (-4Ax+A-4B)e-4x
174
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y*" = -4A e-4x-4e-4x(-4Ax+A - 4B)= (16Ax-8A +16B)e-4x.
Подставим найденные производные в неоднородное уравнение:
(16Ax-8A +16B)e-4x-4(-4Ax+A-4B)e-4x-5(Ax+B)e-4x = (27x-39)e-4x
(16Ax - 8A +16B +16Ax – 4A+ 16B – 5Ax -5B)e-4x= (27x-39)e-4x.
Приведем подобные члены и сократим равенство на е-4х
27Ax – 12A + 27B = 27x – 39.
Приравняем коэффициенты левой и правой части равенства, стоящие
перед х в одинаковой степени, получим систему уравнений, решив
которую найдем значения неопределенных коэффициентов А и В:
 27 
A  1
x 1 27 A


x 0  12 A  27B   39  B   1
Получили частное решение неоднородного уравнения
y*= (x – 1)e-4x
Теперь можно записать общее решение данного неоднородного
уравнения
y = С1e5х +C2e-х+(x – 1)e-4x.
Ответ: y = С1e5х +C2e-х+(x – 1)e-4x.
Пример 7.9.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
y"+4y'=-2xe-4х.
Решение. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего
решения y однородного уравнения и какого-либо частного решения у*
неоднородного уравнения:
у = у + у*.
Найдем общее решение однородного уравнения
y"+4y'=0.
Составим характеристическое уравнение и решим его
k2 + 4k = 0,
175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
k1=0 , k2=-4.
Согласно формуле (7.25), общее решение однородного уравнения имеет
вид
у = С1 +C2e-4х.
Перейдем к отысканию частного решения у* данного уравнения. Здесь
правая часть неоднородного уравнения f(x)=-2xe-4x содержит произведение
многочлена первой степени и показательной функции, а также
коэффициент в показателе степени совпадает с одни из корней
характеристического уравнения, следовательно, необходимо в частное
решение добавить множитель х и частное решение будет иметь вид
y*= x(Ax+B)e-4x=(Ax2+Bx)e-4x.
Вычислим производные функции у*:
y*'= 2Axe-4x-4e-4x(Ax2+Bx) = (-4Ax2+2Ax-4Bx+B)e-4x
y*" = (-8Ax+2A-4B) e-4x-4e-4x(-4Ax2+2Ax -4Bx+B)=
= (16Ax2-16Ax +16Bx+2A – 8B)e-4x.
Подставим найденные производные в неоднородное уравнение
(16Ax2-16Ax +16Bx+2A – 8B)e-4x+4(-4Ax2+2Ax-4Bx+B)e-4x=-2xe-4x
(16Ax2-16Ax +16Bx+2A – 8B+16Ax2+8Ax-16Bx+4B)e-4x=-2xe-4x.
Приведем подобные члены и сократим равенство на е-4х
-8Ax+2A -4B =-2x.
Приравняем коэффициенты левой и правой части равенства, стоящие
перед х в одинаковой степени, получим систему уравнений, решив
которую найдем значения неопределенных коэффициентов А и В:
A 
 2 
x  8A

0
x 2 A  4B  0  B 
1
1
4
1
8
Получили частное решение неоднородного уравнения
1
1
y*=  x 2  x e  4 x
4
176
8 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теперь можно записать общее решение данного неоднородного
уравнения
y = С1 +C2e-4х+  1 x 2  1 x e  4 x .
4
8 
Ответ: y = С1 +C2e-4х+  1 x 2  1 x e  4 x .
4
8 
Пример 7.9.3. Найти общее решение дифференциального уравнения
y"+4y=3xcosx.
Решение. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего
решения y однородного уравнения и какого-либо частного решения у*
неоднородного уравнения:
у = у + у*.
Найдем общее решение однородного уравнения
y"+4y=0.
Составим характеристическое уравнение и решим его
k2 + 4 = 0,
k1,2=±2i (α=0, β=2)
Согласно формуле (7.27), общее решение однородного уравнения имеет
вид
у = С1cos2x +C2 sin2x.
Перейдем к отысканию частного решения у* данного уравнения. Здесь
правая часть неоднородного уравнения f(x)=3xcosx содержит
произведение многочлена первой степени и тригонометрической функции
(α =0, β =1), коэффициенты в правой части неоднородного уравнения не
совпадают с корнями характеристического уравнения и частное решение
будет иметь вид
y*= (Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx,
где A,B,C,D – неопределенные коэффициенты.
Вычислим производные функции у*:
177
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y*'=Acosx - (Ax+B)sinx + Csinx + (Cx+D)cosx=
=(Cx + D + A)cosx + (-Ax +C - B)sinx
y*" =Ccosx - (Cx + D +A)sinx – Asinx+(-Ax+C-B)cosx=
=(-Ax + 2C – B)cosx + (-Cx – 2A – D)sinx
Подставим найденные производные в неоднородное уравнение
(-Ax + 2C – B)cosx + (-Cx – 2A – D)sinx + 4(Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx=3xcosx
Приведем подобные члены и сгруппируем члены при cosx и sinx
(3Ax + 3B + 2C)cosx + (3Cx + 3D - 2A)sinx = 3xcosx
3Axcosx + 3Cxsinx + (3B+2C)cosx + (3D-2A)sinx = 3xcosx
Приравняем коэффициенты левой и правой части равенства, стоящие
перед xcosx , xsinx , cosx и sinx получим систему уравнений, решив
которую найдем значения неопределенных коэффициентов A,B,C,D:
x cos x
x sin x
cos x
sin x



A
 3 
 0  C
 B
3B  2C  0 
3D  2 A  0  D
3A
3C

1
0
0
2
3
Таким образом, частное решение имеет вид
2
3
y*=xcosx+ sinx.
Окончательно получаем общее решение неоднородного
дифференциального уравнения
2
3
у = С1cos2x +C2 sin2x+ xcosx+ sinx.
2
3
Ответ: у = С1cos2x +C2 sin2x+ xcosx+ sinx.
Задания для самостоятельного решения.
Найти общее решение дифференциальных уравнений.
178
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3 y 
1 x2
y2
1.
y x 2  2 y
2.
3.
x
 1 dy  xydx  0
4.
ydx  x 2 dy  0
5.
xydx  ( x  1)dy  0
6.
ydx  x 2 dy  0
7.
xyy   1  x 2
8.
xy   y  y 3
10.
y 9  x 2 dy  x(4  y 2 )dx  0
2

y 2  1dx  xydy
9.
11.
( y  1) 3 dx  (1  x) 4 dy  0
12. cos x  cos ydx  sin x  sin ydy  0
13.
ln x  sin 3 ydx  x cos ydy  0
14.
xy
15.
sin 2 y  ctgxdx  cos 2 x  tgydy  0
16.
y   xe  y
17.
e
18.

19.
y  4 
20.
y  
21.
 y
y     0
x
 
22. xy   y  xtg  x 
23.
xy   4 y  x
24. ( x  y)dx  2 xdy  0
25.
( x 2  3xy  y 2 )dx  x 2 dy  0
26. (4 x 2  3xy  y 2 )dx  x 2 dy  0
27.
xy   y  2 yln y  ln x 
 y
28. xy   y sin    x
29.
xy   y  3x sin
31.
y 
33.
( x  y)  y   y  2 x
34. (3x  y)  y   y  3x
35.
xy  y   y 2  2x 2
36. (3x  y) y  2 y  x
29.
y 
y
 5x
x
30.
y  4
31.
x 2 y   2 xy  1  0
32.
y   3 y  8e 3 x
33.
y  cos x  y  sin x  cos 2 x
34. xy  ln x  5x  y
35.
y   yctgx 
x y



 e  y dx  e x  y  e x dy  0
y
x
3
2



 y 2 dx  x 2 y  x 2 dy  0

xy  2 x y  y  0
x y
x
y
 
x
y
x
30. xy   y ln
y
y
 sin
x
x
32. xy  ln
1
sin x
36.
179
y
0
x
y
y
 x  y ln
x
x
y
 x0
x
y   ytgx 
1
cos x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
37.
x
39.
5 xy  4 y   y 2
41.
y 
43.
xy   y  y 2  sin x
45.
3x 2  e y dx  x 3 e y  1 dy  0
47.
49.
51.
2

 1 y   xy  x 3  x
0
1
y  xy 2
x

40.
y  2xy  x ln x  e  x
42.
y  3x 2 y  x 3e  x
46.

2
3
 4 y 2 dx  (8 xy  e y )dy  0
2
y  2 y  3 dx  x 3  2 x  3 y 2 dy  0


1  y
2

sin 2 x dx  2 y cos 2 xdy  0
48. e  y dx  (2 y  xe  y )dy  0
2

y  cos x  y sin x  cos 2 x
44. xy   y  x 2  cos x

3x
3x
38.


y
dx  y 3  ln x dy  0
x
50. e  x dx  (2 y  xe  y )dy  0
52.
 1 3y 2 
2y
 2  4 dx  3 dy  0
x 
x
x
Найти частные решения дифференциальных уравнений,
удовлетворяющие указанным начальным условиям.
53. y′ctgx+y=2,
54. xy′+y=y2, y(1)=0,5
y(0)=-1
55. (x 2-1)y′+2xy2=0, y(0)=1
56. ydx-(4+x 2)lnydy=0, y(2)=1
57. sin2xcos2ydx-cos2xdy=0, y(0)=

4
58. y′e-x=x-1, y(1)=-e
59. y  2 y  4  0 , y(0)  5
60.
y   6 sin 3x , y (0)  4
  1
61. y   2 y  1ctgx , y  
62.
 
y  tgxdx  dy  0 , y    4
3
 y
63. xy   y  x cos 2   , y3  0

 y
64. xy   y  3x sin 2   , y 1 
4
2
x
65. xy   xctg  y , y 1 
y
x

3
67. 2xydy-(x 2+y2)dx=0, y(0)=4
69. xy′=y(3+lny-lnx), y(1)=
71. y  
y
 1  x  0,
1 x2
73. y′+4y=xe-4x,
y(0)=0
x
66.
y 
4
y
y

 sin , y 2 
x
x
2
68. (2x-3y)dx+xdy=0, y(1)= -1
y
1
e
70.
1
xy   y  xe x , y    0
e
y 0  0
72.
y 
2
y  2 x 3 , y 1  5
x
74. (1+x 2)y′-2xy=(1+x 2)2, y(3)=40
180
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
75. y  cos x  y  tgx , y0  1
76.
 
y  sin 2 x  y  ctgx , y   1
2
77. y   y  xy 2 , y 1  1
78.
1  x y   y  y
79. y    x 2 , y1  0
80.
 
y   yctgx  2 x sin x , y   0
2
82.
y   y cos x 
1
x
y
x
y
x
81. y   
2 ln x
, y 1  1
x
83. x y   y  2 y 2 ln x , y1 
1
2
2
2
arctgx , y 0  1
1
sin 2 x , y(0)  0
2
2
84. 3( xy   y)  y ln x , y1  3
85. y   4 x 3 y  41  x 3 e 4 x y 2 , y0  1 86. 3( y  xy )  1  x e  x y 2 , y0  2
87. 3xy   5 y  (4 x  5) y 4 , y 1  1
88.
y   xy  1  x e  x y 2 , y 0  1
Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений:
89.
y   sin x
90.
y   4 cos2 x
91.
y  
6
x3
92.
y  
93.
y   x ln x  y 
94.
y   ctgx  y   2
95.
2 x  y   y   ( y ) 2  1
96.
y   2 x( y ) 2
97.
y   y   e y
98.
2 x  y   y   ( y ) 2  4
99.
y   2 y( y )  0
100.
1
1 x2
y   tgy  2( y ) 2
101. (1  x 2 ) y   xy   2
102. 2 y  y   ( y ) 2
103. y" - y' -6y = 0
104. y" + 6y' + 8y = 0
105. y" - 3y'+ 2y = 0
106. y" + 3y' - 10y = 0
107. y" +2y' + y = 0
108. y" + 4y' + 4y = 0
109. y" - 8y' +16y = 0
110. y" - 10y' + 25y = 0
111. y" - 11y' = 0
112. y" - 7y' = 0
113. y" +5 y' = 0
114. y" +19y' = 0
115. y" + 4y = 0
116. y" + 9y = 0
117. y" +2 y' + 2y = 0
118. y" - 2y' + 5y = 0
119. y" -2y' + 10y = 0
120. y" - 4y' + 5y = 0
181
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным
начальным условиям.
121.
y   ( y ) 2  1, y0  0 y 0  0
122.
123.
y (1  y )  5( y ) 2 , y0  0 y 0  1
124.
y   x  sin x , y0  3
125. 2( y ) 2  ( y  1) y  , y0  2 y 0  2
126.
y   y  ( y ) 2  0 , y 0  1
127. y"+8y'+16y=0, y(0)=1, y'(0)=0
128. y"-7y'+6y=0, y(0)=2, y'(0)=0
129. y"-5y'+4y=0, y(0)=5, y'(0)=8
130. y"+3y'+2y=0, y(0)=1, y(0)=-1
131. y"+4y=0, y(0)=0, y(0)=2
132. y"+2y'=0,

2

2
1  x 2  y   1 , y0  2 y 0  3
y 0  2
y(0)=1, y(0)=0

2
133. y"+2y'+10y=0 y(  )=0, y'(  )=1
y 0  0

2
134. y"-4y'+17y=0 y( )=0, y'( )=1
Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений:
13
5.
13
7.
13
9.
14
1.
14
3.
y"+5y'-10y=10x2 +4x-5
y"-10y'+25y=e 5x (1-x2 )
y"+16y=(34x+13)e -x
y"+9y=6e 3x
y"+2y'+y=xe x
14
5.
y"+9y=e
13
6.
13
8.
14
0.
14
2.
14
4.
14
5x
6.
14
7.
14
y"-8y'=x3 - 2x
y"-4y'+3y=10e 3x
y"+4y'+4y=3xe -2x
y"+3y'+2y=e -x
y"+2y'+10y=xe x
y"+y=e 3x (x-2)
14
y"+y'=50cos5x
y"-2y'+3y=e -x cosx
y"+y'-2y=8sin2x
8.
15
182
y"-2y'+2y=e x sinx
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.
15
1.
15
3.
0.
15
y"-4y=e 2x sin2x
y"-4y'+5y=2cosx+6sinx
2.
15
y"-3y'=e 3x +12x-7
4.
y"-4y'=4x-5+10e x cosx
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным
начальным условиям.
155. y"+2y'-8y=(12x+20)e-2x, y(0)=0, y'(0)=1
156. y"+4y=(6x+5)e-2x, y(0)=0, y(0)=0,75
157. y"-2y'+10y=74sin3x, y(0)=6, y'(0)=3



158. y"+y'=-8sinx-6cosx, y     , y'    2
2
2
2
159. y"-4y'+13y=e2xcos3x, y(0)=1, y'(0)=-1
160. y"+4y'=sinx, y(0)=1, y'(0)=1.
183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЛИТЕРАТУРА
1. Самарин, Ю.П. Высшая математика: учебное пособие /
Ю.П.Самарин, Г.А.Сахабиева, В.А.Сабахиев. – М. Машиностроение,
2006.- 432с.
2. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие /
В.С. Щипачев. – М. : Высшая школа, 2008.- 304 с.
3. Щипачев, В.С. Высшая математика / В.С. Щипачев. – М. : Высшая
школа, 2007.- 479 с.
4. Ведина, О.И. Математический анализ для экономистов: учебник /
О.И.Ведина.-СПб.: Лань, 2004.-344с.
5. Высшая математика для экономистов / Н.Ш. Кремер, [и др.]. - М. :
ЮНИТИ-ДАНА, 2006. – 532 с.6. Бось, В.Ю. Математический анализ: учебное пособие / В.Ю.Бось.Саратов: «Буква», 2013.-186с.
7. Сборник задач по высшей математике / К.Н. Лунгу, [и др.] - М. :
Рольф, 2001. – 576 с.
8. Справочник по математике для экономистов: Учебное пособие / В.И.
Ермаков [и др.]. – М. : ИНФРА-М, 2007. – 464 с.
9. Сборник задач по высшей математики для экономистов: Учебное
пособие / В.И. Ермаков, [и др.]. - М. : ИНФРА-М, 2002. – 575 с.
10. Общий курс высшей математики для экономистов / В.И. Ермаков,
[и др.]. – М. : ИНФРА-М, 2005. – 656 с.
11. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.
Том 1. – М.: Интеграл-Пресс, 2007. – 416с.
12. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики /
учебно-справочное пособие / Н.Ш. Кремер, Б.А. [и др.] - М.: Высшее
образование, 2009. – 646
13. Боков, О.Г. Высшая математика: учебное пособие для студентов
нематематических специальностей.Ч.6.Ряды / О.Г.Боков. - Саратов:
Научная книга, 2008.-142с. (3)
14. Красс, М.С. Математика для экономистов: учебное пособие
/М.С.Красс, Б.П.Чупрынов. –СПб. – Питер, 2009-464с.(2)
15. Щипачев, В.С. Курс высшей математики / В.С. Щипачев. – М.:
ОНИКС, 2007.- 600с.(1)
184
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 1
§ 1.1.
§ 1.2.
§ 1.3
§ 1.4
§ 1.5
§ 1.6
§ 1.7
Глава 2
§ 2.1.
§ 2.2.
§ 2.3.
§ 2.4.
§ 2.5.
§ 2.6.
§ 2.7.
Глава 3
§ 3.1.
§ 3.2.
§ 3.3.
§ 3.4.
§ 3.5.
§ 3.6.
§ 3.7.
Глава 4
§ 4.1.
§ 4.2.
§ 4.3.
§ 4.4.
§ 4.5.
§ 4.6.
§ 4.7.
Теория пределов
Предел числовой последовательности.
Предел функции
Раскрытие неопределенности
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Непрерывность функции
Эквивалентные бесконечно малые функции
Задания для самостоятельного решения.
Производная и дифференциал.
Определение производной функции.
Основные правила дифференцирования.
Логарифмическое дифференцирование.
Производна функции, заданной параметрически.
Производные высших порядков.
Дифференциал функции.
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
Задания для самостоятельного решения.
Приложение производной к исследованию функции.
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.
Необходимое и достаточное условия возрастания и
убывания функции.
Максимум и минимум функции.
Наибольшее и наименьшее значении функции.
Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки
перегиба.
Асимптоты графика функции.
Общая схема исследования функции.
Задания для самостоятельного решения.
Неопределенный интеграл.
Непосредственное интегрирование.
Метод замены переменной (метод подстановки).
Интегрирование по частям.
Интегрирование функций, содержащих квадратный
трехчлен.
Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование тригонометрических функций.
Интегрирование простейших иррациональных функций.
Задания для самостоятельного решения.
185
3
4
10
12
14
15
19
20
24
26
29
31
31
32
34
38
42
44
46
50
51
53
56
59
63
67
69
72
76
86
93
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 5.
§ 5.1.
§ 5.2.
§ 5.3.
§ 5.4.
§ 5.5.
Определенный интеграл.
Интегральная сумма и определенный интеграл.
Замена переменной в определенном интеграле.
Интегрирование по частям.
Несобственные интегралы.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Задания для самостоятельного решения.
Дифференциальное исчисление функции нескольких
Глава 6
переменных.
§ 6.1.
Основные понятия и определения.
§ 6.2.
Предел и непрерывность функции.
§ 6.3.
Частные производные.
§ 6.4.
Полный дифференциал функции.
§ 6.5.
Экстремум функции нескольких переменных.
§ 6.6.
Наибольшее и наименьшее значения функции.
§ 6.7.
Производная по направлению. Градиент.
§ 6.8.
Двойной интеграл в прямоугольных координатах.
Приложение двойного интеграла для решения
§ 6.9.
геометрических задач.
Задания для самостоятельного решения.
Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
§ 7.1.
Основные понятия и определения.
§ 7.2.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
.Дифференциальные уравнения первого порядка с
§ 7.3.
разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения первого
§ 7.4.
порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого
§ 7.5.
порядка. Уравнение Бернулли.
§ 7.6.
Уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения второго порядка,
§ 7.7.
допускающие понижение порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения
§ 7.8.
второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
§ 7.9.
второго порядка с постоянными коэффициентами.
Задания для самостоятельного решения.
Литература
Содержание.
186
105
108
110
11
114
120
127
128
129
132
134
136
137
139
143
145
151
153
154
156
159
164
167
171
174
181
184
185
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Бось Виктория Юрьевна
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие
для студентов очной и заочной форм обучения
сельскохозяйственных высших учебных заведений
Издается в авторской редакции
187
Документ
Категория
Математика
Просмотров
305
Размер файла
2 326 Кб
Теги
анализа, математические, 2462
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа