close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2570.Математика и информатика. Ч. 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО
УФИМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА
БИКМУХАМЕТОВ И.Х., КОЛГАНОВ Е.А.
МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
ЧАСТЬ 1
Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
Дифференциальное и интегральное исчисления
Учебное пособие
Рекомендовано учебно-методическим советом УГАЭС
УФА–2007
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 51:002
ББК 74.58
Б 60
Рецензенты:
Хасанов В.Х., канд. техн. наук, доцент Уфимского филиала
Российского государственного торгово-экономического университета;
Бакусова С.М., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры
«Экономическая теория и мировая экономика»
Уфимской государственной академии экономики и сервиса
Бикмухаметов И.Х., Колганов Е.А.
Математика и информатика: Учебное пособие. Ч. 1. Аналитическая
геометрия и линейная алгебра. Дифференциальное и интегральное исчисления/
И.Х. Бикмухаметов, Е.А. Колганов. – Уфа: Уфимск. гос. академия экономики и
сервиса, 2007. – 114 с.
ISBN 5-88469-326-5
Курс «Математика и информатика» включает в себя несколько
самостоятельных частей, в результате освоения которых студенты должны
овладеть основными методами, знание которых необходимо любому
грамотному специалисту в области сервиса.
В данном пособии изложены теоретические и практические материалы
по
аналитической
геометрии,
векторной
и
линейной
алгебре,
дифференциальному и интегральному исчислениям функции одной
переменной.
Учебное пособие предназначено для студентов, осваивающих учебную
дисциплину с использованием дистанционных образовательных технологий,
преподавателей, ведущих курсы в системе дистанционного обучения.
Пособие будет особенно полезным для организации самостоятельной
работы студентов при освоении профессиональных образовательных
программ с использованием дистанционных образовательных технологий.
ISBN 5-88469-326-5
© Бикмухаметов И.Х., Колганов Е.А., 2007
© Уфимская государственная академия
экономики и сервиса, 2007
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
Дисциплина «Математика и информатика» занимает одно из
центральных мест в учебных планах специальности «Социально-культурный
сервис и туризм», она входит в цикл общих математических и
естественнонаучных дисциплин. Основные требования к содержанию
дисциплины определены государственным образовательным стандартом
высшего профессионального образования. Для освоения дисциплины
достаточно знаний и умений в объеме элементарной математики и основ
информатики.
Математика и информатика играют важную роль в освоении
естественнонаучных, общепрофессиональных и экономических дисциплин, а
также дисциплин специальности и специализации. Математика является не
только орудием количественного расчета, но также методом точного
исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и
проблем. Математика и информатика являются не только мощным средством
решения прикладных задач, но также и элементом общей культуры.
Обусловлено это и тем, что современный этап социально-экономического
развития общества характеризуется широким использованием компьютерной
техники, новых информационных и инновационных технологий,
телекоммуникаций, новых видов документальной связи, математических
методов и моделей. Поэтому математическое и компьютерное образование
следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе
фундаментальной подготовки современного специалиста в области сервиса.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА
Линейная
и
векторная
алгебры,
аналитическая
геометрия,
дифференциальное и интегральное исчисления составляют основные разделы
общего курса математики в вузе. Целью данного учебного пособия является
реализация требований, установленных государственным образовательным
стандартом высшего профессионального образования, к подготовке
специалистов по вышеперечисленным разделам математики. Целью курса
является также повышение уровня фундаментальной математической
подготовки студентов с усилением ее прикладной направленности.
Задачи данного курса:
 Вооружить студентов теоретическими знаниями и навыками по
решению различных задач данного раздела.
 Привить навыки применения математического аппарата в различных
областях экономики и сервиса.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПЕРЕЧЕНЬ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ
В результате изучения курса студенты должны:
 иметь представление о месте и роли математики в современном мире;
 знать основные понятия и теоремы данного курса высшей математики;
 знать и уметь использовать математические методы при решении
прикладных задач;
 уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать
границы допустимого использования рассматриваемой математической
модели;
 на экзаменах показать отчетливое усвоение всех теоретических и
прикладных вопросов программы и умение применять полученные знания к
решению практических задач.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Матрица. Действия над матрицами. Определители II и III порядков.
Основные свойства определителей. Понятие определителя любого порядка.
Обратная матрица. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.
Способ вычисления ранга матрицы.
Система линейных уравнений. Основные понятия. Матричная форма
записи систем линейных уравнений. Решение систем n линейных уравнений с
n переменными. Матричный способ решения. Правило Крамера.
Системы m линейных уравнений с n неизвестными (общий случай).
Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.
Вектор. Коллинеарные и компланарные векторы. Проекция вектора на
ось. Прямоугольная декартова система координат. Разложение вектора по
координатным осям. Действия над векторами, заданными в координатной
форме.
Скалярное произведение и его свойства. Векторное произведение и его
свойства. Смешанное произведение и его свойства.
Уравнение линии на плоскости. Уравнения прямой с угловым
коэффициентом. Общее уравнение прямой линий на плоскости. Угол между
двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Расстояние от точки до прямой. Деление отрезка в данном отношении.
Кривые второго порядка. Эллипс и его каноническое уравнение.
Гипербола и ее каноническое уравнение. Парабола и ее каноническое
уравнение.
Общее уравнение плоскости. Угол между двумя плоскостями.
Расстояние от точки до плоскости. Условия перпендикулярности и
параллельности плоскостей. Уравнение плоскости, проходящей через три
данные точки.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Общие, канонические и параметрические уравнения прямой. Уравнение
прямой, проходящей через две данные точки. Угол между двумя прямыми.
Угол между прямой и плоскостью.
Бесконечно малая и бесконечно большая функции. Предел функции.
Понятие предела последовательности. Основные теоремы о пределах. Первый
и второй замечательные пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва
функции и их классификация.
Задачи, приводящие к понятию производной. Производная функции, её
механический, геометрический и экономический смыслы. Зависимость между
непрерывностью и дифференцируемостью функции. Основные правила
дифференцирования. Таблица основных производных. Производные высших
порядков.
Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Основные
теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа,
правило Лопиталя.
Признаки возрастания и убывания функции. Максимум и минимум
функции. Необходимые и достаточные условия экстремума функции.
Нахождение наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке.
Выпуклость вверх и вниз графика функции. Точки перегиба. Асимптоты
графика функции. Общий план исследования и построения графиков.
Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные свойства
неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.
Интегрирование методом замены переменной. Метод интегрирования по
частям. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых
иррациональных функций. Интегрирование некоторых тригонометрических
выражений.
Задачи,
приводящие
к
определенному
интегралу.
Понятие
определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства
определенного интеграла. Способы вычисления определенного интеграла.
Приложения определенного интеграла. Вычисление площади в
прямоугольных координатах. Вычисление объема тела вращения. Вычисление
длины дуги кривой. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов /
Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. – 439 с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика /
В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1972. – 368 с.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1979. –
400 с.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч.:
Учебное пособие для втузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.:
Высш. шк., 1997.
5. Карасев А.И. Курс высшей математики для экономических вузов.
Ч. 2. / А.И. Карасев, З.М. Аксютина, Т.И. Савельева. – М.: Высш. шк., 1982. –
320 с.
6. Красс М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учеб. / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М.: Дело, 2000. – 688 с.
7. Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики / В.А. Кудрявцев,
Б.П. Демидович. – М.: Наука, 1989. – 656 с.
8. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для
вузов / В.С. Шипачев. – 2-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 1998. – 304 с.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Сформулируйте правила сложения матриц и умножения матрицы на
число.
2. Что называется элементарными преобразованиями матрицы?
3. Что такое ранг матрицы и как его вычислить?
4. Когда система уравнений имеет единственное решение?
5. Что называется определителем 2-го и 3-го порядков?
6. Сформулируйте правило разложения определителя по строке
(столбцу).
7. Что называется минором и алгебраическим дополнением элемента?
8. Дайте определение обратной матрицы.
9. Проекция вектора на ось.
10.Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
11.Векторное произведение векторов.
12.Смешанное произведение векторов.
13.Общее уравнение прямой на плоскости.
14.Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
15.Общее уравнение плоскости.
16.Что называется пределом последовательности?
17.Что называется пределом функции в точке?
18.Какие замечательные пределы Вы знаете?
19.В каком случае говорят, что функция непрерывна в точке?
20.В чем заключается геометрический смысл производной?
21.Какие правила дифференцирования Вы знаете?
22.Какая существует связь между дифференцируемостью функции и ее
непрерывностью?
23.В чем заключается необходимое условие экстремума?
24.Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?
25.По какой схеме производят исследование функции, чтобы построить
ее график?
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26.Первообразная функция и неопределенный интеграл.
27.Свойства неопределенного интеграла.
28.Формула Ньютона-Лейбница.
29.Замена переменной в определенном интеграле.
30.Площадь плоской фигуры в декартовых координатах.
31.Объем тела вращения.
32.Длина дуги кривой.
33.Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
ТРЕНИНГ-ТЕСТЫ
Выбрать один правильный ответ:
1
2 3
1. Вычислить   2 - 3 1
3 -1 4
а) 0; б) 1; в) –1; г) –12.
2. Треугольник АВС задан своими вершинами А (1, 2, 1), B (3, 2, 1), C (1, 3, 4).
Тогда его площадь равна
а)
3
10 ;
2
б) 10 ;
в) 1/2 10 ; г) 2 10
3. Найти смешанное произведение векторов a = (2, -1, -1), b = (1, 3, -1), c =
(1, 1, 4).
а) 31;
б) 32; в) 33; г) 30 2
4. Найти предел lim sin 3x .
x0
а)  ;
б)
2
;
3
2x
в) 0;
3
5. Найти предел lim 1  
х
x
6
а) е ;
6. Найти предел lim
x 
г)
3
.
2
2х
.
2
б) е 3 ;
3
в) е 2 ;
г) .
x 1  x  2
x
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а)  ;
в) 1 ;
б) 0;
2
г) 2.
7. Вычислить производную функции y = xcos3x в точке x   .
а) y    1 ; б) y    0 ; в) y    1 ; г) y    3 .
8. Найти какую-нибудь первообразную к функции f ( x)  sin 3x .
а)
1
cos3x ;
3
9. Найти интеграл
1
3
б)  cos x ;
dx

x3
1
3
в) 3 cos3x ;
г)  cos3x .
.
а) 2 x  3  C ; б) x  3  C ; в) ln x  3  C ; г) 2 ln | x  3 | C .
10. Функция F (x) называется первообразной функции f (x) на множестве D ,
если:
а) F ( x)  f ( x) в некоторой точке x  D ;
б) F ( x)  f ( x) для всех x  D ;
в) f ( x)  F ( x) для всех x  D ;
г) f ( x)  F ( x) в некоторой точке x  D .
11.
Найти интеграл
 (cos2x  3sin 4x)dx .
1
3
sin 2 x  cos 4 x  C ;
2
4
1
3
в) sin 2 x  cos4 x  C ;
2
4
1
2
а)
3
4
б)  sin 2 x  cos 4 x  C
г) sin 2x  3 cos4x  C .
12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y  x 2  3 и y  5  x .
а) 8;
б) 6;
в)13/3;
г) 4,5.
2
 (2 x
13. Вычислить интеграл
3
 3x)dx .
1
а) 3;
б) 1;
14. Вычислить интеграл
3
в) 3,5;
г) 1,5.
x2
 x  3 dx .
2
5
6
6
5
5
6
2
3
а) 1  5 ln ; б) 1 - 5 ln ; в) 1  ln ; г) 1  arctg .
15. Найти значение несобственного интеграла

0
расходимость.
8
dx
4 x
2
или установить его
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а)

;
2
б)  ;
в)

;
4
г) расходится.
Правильные ответы на тренинг-тесты см. на стр. 112.
СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ
Асимптота
Бесконечно большая величина
Бесконечно малая величина
Вектор
Векторное произведение
Гипербола
Декартова прямоугольная система координат
Дифференциал функции
Дифференцируемая функция
Интегральная сумма
Интегрируемая функция
Матрица
Метод замены переменной
Метод интегрирования по частям
Неопределенный интеграл
Непрерывность функции
Несобственный интеграл
Определитель
Обратная матрица
Общее уравнение прямой на плоскости
Определенный интеграл
Парабола
Первообразная функция
Правильная рациональная дробь
Простейшие рациональные дроби
Площадь криволинейной трапеции
Предел функции при х  
Предел функции в точке
Предел числовой последовательности
Производная функции в точке
Ранг матрицы
Скалярное произведение
Смешанное произведение
Сходимость несобственного интеграла
Точка максимума
Точка минимума
Точка перегиба
9
84
57
56
32
37
47
33
73
74
92
93
11
90
91
87
58
111
14
18
42
99
48
87
91
92
106
58
57
59
68
19
36
38
111
80
80
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Точка разрыва первого рода
Точка разрыва второго рода
Точка устранимого разрыва
Уравнение прямой в пространстве
Формула Ньютона-Лейбница
Эллипс
65
66
66
52
101
45
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Математика – одна из самых древних наук. Она появилась из насущных
нужд человека, когда возникла потребность в количественном отображении
окружающего его мира.
Статус самостоятельной науки математика приобрела в Древней Греции
примерно в VI веке до н.э. Все философские школы того времени включали
математику в круг вопросов миросозерцания; строгий язык формальной
логики (именно он стал языком математики) формировал уровень и строй
мышления. В III веке до н.э. математика выделилась из философии, что
отражено в «Началах» – эпохальном труде, прославившем в веках имя Евклида
и заложившем фундамент классической геометрии. Более двух тысяч лет
математику изучали по этой книге.
Много веков после этого математика практически не эволюционировала,
XVII век стал эпохой ее бурного развития. Применение математики Галилеем
и Кеплером в исследовании движения небесных тел привело к поразительному
по тому времени открытиям – законам движения планет вокруг Солнца. Труды
Декарта, Ньютона и Лейбница ознаменовали новый этап развития
математики– появление математики переменных величин. Начинается период
дифференциации единой науки на ряд самостоятельных математических наук:
алгебру, математический анализ, аналитическую геометрию. В свою очередь
это инициировало интенсивное развитие физики и астрономии.
На первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем
такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения как ранее
понятие величины и числа. Изучение функции приводит к основным понятиям
математического анализа: пределу, производной, дифференциалу и интегралу.
Создание аналитической геометрии позволило существенно расширить
предмет изучения геометрии благодаря найденному универсальному способу
перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа – методу координат
Р. Декарта. С другой стороны открылась возможность геометрической
интерпретации алгебраических и аналитических фактов.
Дальнейшее развитие математики привело в начале XIX века к
постановке задач изучения возможных типов количественных отношений и
пространственных форм с достаточно общей точки зрения. Связь математики
и естествознания, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
все более сложные формы. Новые теории возникают не только в результате
запросов естествознания и техники, но также и внутренней потребности самой
математики. Замечательным примером такой теории является «воображаемая»
геометрия Н. Лобачевского. Развитие подобного рода исследований в
математике XIX-XX веков позволяет отнести ее к периоду современной
математики.
Потребности развития самой математики, «математизация» различных
областей науки, проникновение математических методов во многие сферы
практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к
появлению ряда новых математических дисциплин, например, исследование
операций, теория игр, математическая экономика и другие.
Современная
математика
характеризуется
интенсивным
проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит
благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Язык
математики оказался универсальным, и это есть объективное отражение
универсальности законов окружающего нас многообразного мира.
Экономика как наука об объективных причинах функционирования и
развития общества еще со времен Адама Смита пользуется разнообразными
количественными характеристиками, а потому вобрала в себя большое число
математических методов. Современная экономика использует специальные
методы
оптимизации,
составляющие
основу
математического
программирования, теории игр, сетевого планирования, теории массового
обслуживания и других прикладных наук.
Изучение математических дисциплин и их экономических приложений
позволит будущему специалисту не только приобрести необходимые базовые
навыки, используемые в экономике, но и сформировать компоненты своего
мышления: уровень, кругозор и культуру. Все это понадобится для успешной
работы и для ориентации в будущей профессиональной деятельности [1], [6].
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1.1. Матрицы и определители
Матрица. Основные понятия
Определение 1. Матрицей размера m  n называется прямоугольная
таблица, составленная из чисел и имеющая вид:
 a11

a
A   21
...

a
 m1
a12 ... a1n 

a 22 ... a 2 n 
... ... ... 

a m 2 ... a mn 
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сами числа будем называть элементами матрицы. Сокращенно матрица
обозначается (аij) или буквой A.
В матрице различают строки и столбцы. В обозначении аij первый
индекс указывает на номер строки, второй индекс на номер столбца, на
пересечении которых стоит данный элемент.
Пример 1. Матрица
1 2 4 


3 0 7
является матрицей размера 2 3 .
Определение 2. Если число строк матрицы равно числу столбцов m = n,
то матрица называется квадратной. Число n называется порядком квадратной
матрицы А.
 a11 a12 

 – матрица второго порядка
a
a
22 
 21
 a11 a12

 a 21 a 22
 ...
...

a
 n1 a n 2
... a1n 

... a 2 n 
– матрица n-го порядка
... ... 

... a nn 
В квадратной матрице А различают главную диагональ, состоящую из
элементов a11, a22, …, ann , и побочную диагональ – из элементов a1n, a2(n-1),
…,an1 .
Определение 3. Квадратная матрица, y которой все элементы главной
диагонали равны 1, а все остальные элементы нули, называется единичной
матрицей.
Определение 4. Если в квадратной матрице A сделать ее строки
столбцами с тем же самым номером, то полученную матрицу назовем
транспонированной к A.
 a11

a
T
A   12
...

a
 1n
a 21 ... a m1 

a 22 ... a m 2 
...
... ... 

a 2 n ... a mn 
Действия над матрицами
1.
При сложении двух матриц одинакового размера складываются
соответствующие элементы этих матриц.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 2 3   3 4 2   4 6 5 

  
  
.
 2 3 4  1 6 2   3 9 6 
Полученный результат называется суммой. Легко видеть, что A + B = B
+ A.
2.
Чтобы умножить матрицу на число, надо умножить на это число
каждый элемент матрицы.
1 2 3 
 2 4 6

  2  
.
 2 3 4
4 6 8
3.
Матрицу A размера m  n можно умножить на матрицу B размера n
 k (число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В). При этом
получится матрица C размера m  k, элементы которой определяются по
формулам:
cij  ai1  b1 j  ai 2  b2 j  ...  ain  bnj , i  1, 2, ..., m; j  1, 2, ..., k .
Таким образом, чтобы получить сij надо элементы i-й строки матрицы
А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В (элементы
i-й строки А подчеркнуты одной чертой, j-го столбца В - двумя чертами).
Иначе говоря, i-ю строку мысленно надо повернуть на 900 по часовой стрелке
и представить тем самым её в виде столбца (см. рисунок)
 b1 j 
 ai1 
 
 
 b2 j 
a
 i2 

 ,
 ... 
 ... 
 
a 
b 
 in 
 nj 
соответствующие элементы этих столбцов перемножить и полученные
произведения сложить.
Замечания.
 2
1. A = 1  2 3 , B =  0  . Произведение AB определено:
  1
 
AB = (1  2 + (-2)  0 + 3(-1)) = (-1).
Следовательно, получили матрицу первого порядка.
Произведение BA тоже определено:
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 2
2(2)
23 
 2 1
 


=
0(2)
03 =
 0  1  2 3
 0 1
  1
 (1)  1 (1)( 2) (1)  3 
 


Таким образом, AB  BA.
 2 4 6 


0
0 
0
  1 2  3


2. При умножении квадратных матриц n-го порядка вновь получится
квадратная матрица n-го порядка.
Пример 2. Пусть три завода выпускают 5 различных видов продукции,
тогда отчет о производстве за год может быть дан в виде матрицы:
 a11 a12 ... a15 


A   a 21 a 22 ... a 25 .


 a31 a32 ... a35 
Здесь aij – количество продукции j -го вида, выпущенное i - ым заводом в
течение года.
Если ассортимент выпускаемой продукции не изменится в течение
следующего года, то отчет о производстве за второй год тоже имеет вид
аналогичной матрицы. Но тогда выпуск продукции за 2 года выражается
матрицей A + B.
Если же в течение второго года производство каждого вида продукции
на каждом заводе увеличилось на 20 процентов, то B = 1,2A.
Определители второго и третьего порядков
Определение 5. Определителем второго порядка, соответствующим
матрице
a12 
a

A   11
 a 21 a 22 
называется число, определяемое равенством:
det A  A 
a11
a12
a 21
a 22
 a11  a 22  a12  a 21 .
Часто вместо слова определитель говорят детерминант, откуда и взялось
указанное обозначение.
Определение 6. Определителем третьего порядка, соответствующим
матрице
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 a11 a12 a13 


A   a 21 a 22 a 23 
a

 31 a32 a33 
называется число, определяемое равенством:
a11
a12
a13
  det A  a 21
a 22
a 23 
a31
a32
a33
(a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) – (a13a22a31 +a12a21a33 + a11a23a32).
Замечание. Введенные для матрицы понятия, а именно, элемент, строка,
столбец, главная диагональ, побочная диагональ переносятся и на
определители.
Определение 7. Содержащиеся в определении (6) произведения
а11а22а33,…
называются членами определителя.
Члены определителя представляют собой произведение элементов,
взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Для составления
шести членов определителя III порядка существует мнемоническое правило
(правило треугольников). В определитель det A входят 3 члена со знаком «+» и
3 члена со знаком «-», для их составления можно воспользоваться следующим
правилом:
(+)
(-)


















Первые 3 члена определителя получаются перемножением трех
элементов главной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух
соответствующих треугольников (см. левый рисунок со знаком (+)). Другие 3
члена определителя получаются аналогично перемножением 3 элементов
побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах двух других
треугольников (см. правый рисунок со знаком (-)).
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Основные свойства определителей
1. Величина определителя не меняется при замене его строк
соответствующими столбцами, т.е.
det A = det AT .
2. При перестановке двух строк (столбцов) определителя между собой
определитель меняет лишь знак:
a b
c
d

c d
a b
.
3 . Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен
нулю.
2 1 2
2 1 2  0.
3 0 4
4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя
содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя:
ka kb
c
d
k
a b
c d
.
Следствие. Если все элементы какой-либо строки (столбца)
определителя равны нулю, то определитель равен нулю. Для доказательства
надо положить k = 0.
5. Если элементы некоторой строки (столбца) определителя есть суммы
двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых
элементы упомянутой строки (столбца) заменены отдельными слагаемыми:
a p b
cl d

a b
c d

p b
l
d
.
6. Величина определителя не изменится, если к элементам любого его
ряда прибавить элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же
число:
a b
c d

a  k b b
c  k d
d
.
Прежде чем сформулировать свойство 7 введем понятия минора и
алгебраического дополнения.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 8. Минором Mij некоторого элемента aij определителя
называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -ой
строки и j - ого столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Определение 9. Алгебраическим дополнением элемента aij определителя
называется минор Mij, взятый со знаком (-1)i+j. Оно обозначается
Aij = (-1)i+ jMij.
Рассмотрим пример.
1 1
0 1
det А 
2 2
0 3
1
2
0
1
1
3
1
,
2
0
1
1 3
M23 = 2  2 2  12
0 3 0
0 1
1
M11 =  2 1 2  1, M33 = 0
3 1 0
1 3
1
1 3
0 3 0
A23 = (-1)2+ 3M23 = 12; A11 = (-1)1+ 1M11 = -1; A33 = (-1)3+ 3M33 = 3.
7. Величина определителя равна сумме произведений элементов любой
строки (столбца) определителя на соответствующие элементам этой строки
(столбца) алгебраические дополнения.
Например, разложение по элементам второй строки определителя равно:
a11
a12
a13
 = a 21 a 22 a 23 = a21A21 + a22A22 + a23A23.
a31
a32
(1)
a33
8. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя
на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки
(столбца) равно нулю.
Например, в случае строки:
a11A21 + a12A22 + … + a1nA2n = 0.
Понятие определителя любого порядка
Свойство (7) определителя, выраженное формулой (1), допускает
обобщение, которое может быть принято за определение определителя любого
порядка:
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a11
a12
... a14
a 21
a 22
... a 24
...
a 41
... ... ...
a 42 ... a 44
 a11  A11  a12  A12  a13  A13  a14  A14 .
Таким образом, определитель четвертого порядка выражен через
определители третьего порядка. В общем случае, определителем n-го порядка
называется сумма произведений элементов первой строки на соответствующие
им алгебраические дополнения.
Замечание. Определитель n-го порядка обладает всеми свойствами 1 – 8.
Пример 3. Если в определителе ∆ а12 = а13 = …= аnn = 0, то ∆ = а11A11, т.е.
вычисление этого определителя сводится к вычислению определителя (n - 1)го порядка.
Пример 4. Если все элементы ∆, стоящие выше (ниже) главной
диагонали равны нулю, то ∆ = а11а22 …аnn .
Обратная матрица
Определение 10. Обратной матрицей A-1 для данной квадратной
матрицы A называется такая матрица, что
A  A-1 = E
Определение 11. Квадратная матрица A называется невырожденной, если
ее определитель det A не равен нулю, в противном случае – вырожденной.
Теорема. Для вырожденной квадратной матрицы обратной матрицы не
существует. Для любой невырожденной квадратной матрицы существует
обратная и притом только одна:
 А11 А21 ... Ап1 


А
А
...
А

22
п2 
A-1 = 1  12
...
... ... ... 



А
А
...
А
2п
пп 
 1п
Замечание. При умножении матрицы A на
A-1
выполняется
-1
-1
коммутативный закон A  A = A  A = E.
Пример 5. Дана матрица
2
A = 
7

  1 3
Найти обратную матрицу A-1.
Решение. Легко вычислить, что det A = 13 ( 0)  обратная матрица A-1
существует.
Найдем алгебраические дополнения Aij, Aij = (-1)i+ j Mij:
A11 = 3; A12 = 1; A21 = -7; A22 = 2;  A-1 = 1  3  7 
13  1
18
2 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проверка:
3
2
7
  13
A  A = 
  1 3    1

 
 13
-1
7

13  =
2 

13 
7
14 14 
 6

   1 0

13 13  = 
 = E.
 13 13
0
1
3
3
7
6


  


 13 13 13 13 
Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы
Важной характеристикой матрицы является ее ранг.
Пусть дана матрица A размера m  n. Выделим в матрице А k
произвольных строк и k столбцов, k ≤ m, n. На пересечении этих строк и
столбцов находится квадратная матрица k-го порядка, определитель которой
называется минором k-го порядка данной матрицы А. Заметим, что строки и
столбцы минора должны быть расположены относительно друг друга в том же
порядке, что и в матрице А.
Рассмотрим пример.
 а11 а12

А   а21 а22
а
 31 а32
а13
а23
а33
а14 

а24 
а34 
Составим некоторые миноры k-го порядка:
k = 1: любой элемент матрицы А, например, a11 – минор I порядка
а23 а24 а22
,
а33 а34 а32
а24
а34
а12
а14 а12
а13
а14 а11
а13
а14
а23 , а21 а22
а24 , а22
а23
а24 , а21 а23
а24
а33 а31
а34 а32
а33
а34 а31 а33
а34
а
а
k = 2: 11 12 ,
а21 а22
а11
а12
k = 3: а21 а22
а31 а32
а11 а13
,
а21 а23
а13 а11
а32
(выписаны все миноры 3-го порядка)
Введем понятие ранга матрицы.
Определение 12. Рангом матрицы А называется наивысший порядок её
миноров, отличных от нуля.
Ранг матрицы обозначается rA или rank A.
Пример 6. Дана матрица
1 2 
 .
A  
 0 3
Требуется найти ранг rA.
Решение. Вычислим определитель:
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А
1 2
0 3
= 3 (≠ 0)  наивысший порядок её миноров, отличных
от нуля равен 2  rA = 2.
Пример 7. Для данной матрицы
1  2 3 


B  4 0 1 
5  2 2


найти ранг rB.
Решение. Миноры II порядка, отличные от нуля, имеются, например,
M 32 
1
3
4
1
= -1 – 12 = -13 ( 0)  rB  2.
Но единственный минор III порядка, который имеется у матрицы В
1 2
3
13  2
3
4
1 
0
1 
2
13  2
0
5 2
0
2
13  2
13  2
 0  наивысший
порядок миноров, отличных от нуля равен 2  rB = 2.
Пример 8. Дана матрица
1 0 0 2 


С   0 1 0  1  . Найти ранг rC.
0 0 1  7


Непосредственно можно установить, что rC = 3, так как матрица С имеет
минор III порядка, отличный от нуля:
1 0 0
Е 0 1 0
= 1( 0).
0 0 1
Далее, миноров IV порядка у нее нет  3 – наивысший порядок её
миноров, не равных нулю.
Введем теперь понятие элементарных преобразований матрицы.
Определение 13. Следующие преобразования матрицы называются
элементарными:
а) вычеркивание нулевой строки;
б) перестановка двух строк матрицы;
в) умножение строки на число, отличное от нуля;
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
г) прибавление к строке другой строки, умноженной на
произвольное число.
Теорема. При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не
меняется.
Способ вычисления ранга матрицы
Согласно определению ранг матрицы удовлетворяет условию 0 rA  min
(m, n). Существует несколько способов вычисления ранга rA. Здесь мы
рассмотрим наиболее простой из них, связанный с приведением матрицы к
ступенчатому виду.
Определение 14. Матрицу вида
 а11 а12 ... а1s

 0 а22 ... a2 s
А
...
... ... ...

0 ... ass
 0
... a1n 

... a2n 
... ... 

... asn 
называют ступенчатой, если a11  a22 … ass  0 , т.е. a11  0, a22  0, …, ass  0.
Непосредственно можно показать, что rA = s – числу ненулевых строк
матрицы А. Действительно, матрица А имеет минор s -го порядка, отличный от
нуля:
а11
а12
... а1s
0
...
0
а22 ... a2 s
= a11 a22 … ass  0.
... ... ...
0 ... a ss
Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно
привести к ступенчатому виду.
Пример 9. Найти ранг rA
2

0
А
2

0
0 2 0 2

1 0 1 0
1 0 2 1

1 0 1 0 
Приведем матрицу А к ступенчатому виду с помощью элементарных
преобразований.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2


1  0
А 
0

0
2 0
0 2
2


1 0  2   0

0
2  1


1 0
0
0 2
1 0
1 2
1 0
0 2
1 0
0 2
0 0
0 2

3
1 0  
1  1

0 0 
2

0 1 0
 0 0  2 1  1


3 
 0 1
2
0
(1) – первые 2 строки матрицы А оставили без изменения, из 3-й строки
вычли 1-ю (или к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на (-1));
(2) – первые 2 строки матрицы после преобразования (1) оставили без
изменения, а из 3-й и 4-й строк вычли 2-ю;
(3)
– вычеркнули нулевую строку.
В результате получили ступенчатую матрицу с ненулевыми строками  rA =3
(числу ненулевых строк).
Пример 10. Найти ранг rD матрицы
  1 3 2

 1
D =  4  2 2  
7
1 8 

1 3 2 

 2 
 0 10 10  
 0 22 22 


1 3 2 

 3
 0 10 10  
 0 0 0


3   1 3 2  ,


 0 10 10 
(1) – первую строку оставили без изменения, к 2-й и 3-й строке
прибавили 1-ю, умноженную соответственно на 4 и 7;
(2) – первые две строки преобразованной матрицы оставили без
изменения, из 3-й вычли 2-ю, умноженную на 2,2;
(3) – из последней матрицы удалили нулевую строку, получили
ступенчатую матрицу с двумя ненулевыми строками  rD = 2.
1.2. Системы линейных уравнений
Основные понятия
Определение 1. Уравнение называется линейным, если оно содержит
переменные только в первой степени и не содержит произведений
переменных.
Пример 1. 2x – 3y + 5 = 0 – линейное уравнение. Уравнение 3x + 4 x y - 5y
+ 2 = 0 не является линейным.
В общем виде система m линейных уравнений с n переменными
записывается так:
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...
...
...
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
,
(1)
где числа aij (i = 1, …, m, j = 1, …, n) называются коэффициентами при
переменных, bi (i = 1, …, m) – свободными членами.
Определение 2. Совокупность чисел ( х1, х2, … , хn) называется решением
системы (1), если при подстановке их вместо переменных во все уравнения
они обращаются в верные равенства.
Определение 3. Система (1) называется несовместной, если у нее нет ни
одного решения и совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Определение 4. Система (1) называется однородной, если все свободные
члены равны нулю, в противном случае система называется неоднородной.
Определение 5. Совместная система называется определенной, если она
имеет только одно решение.
Матричная форма записи системы линейных уравнений
Системе линейных уравнений (1) соответствует матрица
 а11 а12 ... а1п 


 а21 а22 ... а2п 
,
А
...
... ... ... 


а
а
...
а
тп 
 т1 т2
называемая матрицей системы.
Запишем систему (1) в матричной форме. Пусть
 х1 
 b1 
 
 
 х2 
b 
х   , b   2  – матрицы-столбцы переменных и свободных


 
 
 хп 
 bm 
членов.
Тогда легко показать, что система (1) может быть записана в следующей
матричной форме:
Ax  b
(2)
Действительно, произведение A x определено, т.к. число столбцов A
равно числу строк x :
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 а11 а12

а22
а
А x   21
...
...

 ат1 ат2
а1п   x1   a11x1  a12 x2  ...  a1n xn 
   

... а2п   x2   a21x1  a22 x2  ...  a2n xn 

=
... ...      ...
...
...
... 
   

... атп   xn   am1x1  am 2 x2  ...  amn xn 
...
Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы.
Поэтому, приравнивая соответствующие элементы A x и b , получим систему
(1). Итак, систему (1) можно записать в компактной матричной форме (2).
Перейдем теперь к рассмотрению способов решения систем линейных
уравнений.
Решение системы n линейных уравнений с n переменными
1. Матричный способ решения систем линейных уравнений
Рассматривается система линейных уравнений (1), когда число
уравнений равно числу неизвестных:
a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...
... ...
...
...
ап1х1  ап 2 х2  ...  апп хп  bп
Эту систему представим в матричной форме
Ax  b .
Пусть det A =   0. Тогда существует обратная матрица A-1. Умножим
обе
части матричного уравнения на A-1 слева. Получаем:
A-1(A  x ) = A-1 b ; (A-1A) x = A-1 b ; A-1A = E 
E x = A-1 b ; x = A-1 b , т.к. E x = x .
Таким образом, решение системы можно найти по формуле
x = A-1 b .
Пример 2. Решим систему линейных уравнений
2 х1  3 х 2  2 х3  9

 х1  2 х 2  3 х3  14
3 х  4 х  х  16
2
3
 1
матричным способом.
Запишем систему в матричной форме A х  b , где
 x1 
2 3 2 
 


A  1 2  3 
x   x2  ,
3 4 1 
x 


 3
24
9
 
b  14 
16 
 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение матричного уравнения имеет вид:
x = A-1 b .
Поскольку обратная матрица равна (убедиться самим):
5  13
14

1
A     10  4 8  ,
6

 2 1 1 
1
то имеем:
5  13   9 
 14
 126  70  208 
  12   2 
  

 

1
1
1
x     10  4
8   14      90  56  128      18    3 
6
6
6

 

1
1  16 
 2
  18  14  16 
 12    2 
 x1 = 2; x2 = 3; x3 = - 2.
 x1   2 
  

 x2    3 
 x    2
 3 

2. Правило Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений (1), когда число уравнений
равно числу неизвестных:
a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
(3)

...
...
...
...
...

ап1х1  ап 2 х2  ...  апп хп  bп
Систему (3) принято называть квадратной, ей соответствует матрица
системы:
 а11 а12

а
а
А   21 22
...
...

 ап1 ап 2
... а1п 

... а2п 
... ... 

... апп 
Теорема. Если определитель системы (3)   0 , то система уравнений
имеет единственное решение, вычисляемое по формулам Крамера
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
xi 
i
(i = 1, 2, …n),

где  i – определитель, получаемый из определителя  путем замены i - го
столбца столбцом свободных членов.
Доказательство. Пусть det A =   0. Воспользуемся матричным
способом решения систем линейных уравнений
x = A-1 b .
Последнее уравнение запишем в развернутом виде:
 х1   A11
  
 х2   
    ...
  =  A1i
 хi   
    ...
   A1n
x  
 n  
A21

...
A2i

...
A2n

An1 

 
... 
Ani 
 
... 
Ann 

 
...
...
...
...
...
 b1 
 
 b2 
  
  .
 bi 
  
 
b 
 n
Приравнивая i - ые элементы двух матриц-столбцов, получаем:
xi = 1 (A1i b1 + A2ib2 + … + Anibn)
(4)

Теперь разложим определитель  по i - му столбцу:
det A =  = a1iA1i + a2iA2i + … + aniAni
(5)
Очевидно, что выражение в скобках в правой части (4) получается из (5)
заменой i - го столбца в определителе  столбцом свободных членов. Таким
образом, A1i b1 + A2i b2 + … + Ani bn = i и, следовательно, (4) перепишется в
виде:
xi 
i
(i = 1, 2, …n).

Пример 3.
b1
1 
b2
...
bn
... a1n
a22 ... a2n
,
... ... ...
an 2 ... ann
a11
a12
2 
b1
a21 b2
... ...
an1 bn
a13 ... a1n
a23 ... a2n
... ... ...
an3 ... ann
и т.д.
Следствие 1. Если определитель однородной системы (3) не равен нулю,
то эта система имеет только тривиальное, т.е. нулевое решение.
Действительно, для однородной системы уравнений все  i = 0.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 4. Решить систему линейных уравнений
 х1  2 х 2  3х3  0

2 х1  х 2  3х3  1
3 х  х  2 х  3
2
3
 1
Легко убедиться, что определитель системы  = -10. Поэтому система
имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам
Крамера:



x1  1 , x 2  2 , x3  3 ,



где  i получается из определителя  заменой в нем i - го столбца столбцом
свободных членов.
1 =
0 2 3
1
1
3
0 2
= 1
1
3
2
=-
3
 4  11
0  4  11
3 1  2
1 0 3
1 0 3
2 = 2 1
3
3 3 2
1 2 0
3 = 2
3
1
3
= 0 1
9
0 3
7
1 0 0
=
2
3
4 11
= -10
= 1 9 = -20
3 7
5 1
= 10.
1 = 2 5 1 =
5 3
1 3
3 5 3
Предлагаем читателю самостоятельно разобраться, как вычислены эти
три определителя.
Остается привести решение системы уравнений:
x1 = 1 = 1; x2 =  2 = 2; x3 =  3 = -1.



3. Система m линейных уравнений с n неизвестными (общий случай)
3.
Рассмотрим теперь общий случай системы уравнений:
a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
,

...
...
...
...
...

ат1х1  ат 2 х2  ...  атп хп  bm
27
(6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Данной системе соответствует матрица
b1 
 а11 а12 ... а1п


b2 
 а21 а22 ... а2п
А
,
...
... ... ...
... 


а

а
...
а
b
т2
тп
m
 т1
называемая расширенной матрицей системы.
Матрица A вполне определяет систему (6): по ней полностью можно
воспроизвести систему (6) с точностью до обозначения неизвестных.
Приведем без доказательства критерий совместности систем линейных
уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений (6)
совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу её
расширенной матрицы, т.е. r (A) = r( А ).
Этот критерий позволяет установить совместность или несовместность
системы без предварительного её решения.
Без доказательства приведем одно очевидное утверждение.
Утверждение. Элементарным преобразованиям матрицы А системы (6)
соответствуют элементарные преобразования уравнений этой системы:
(а) вычеркивание уравнения с нулевыми коэффициентами;
(б) перестановка двух уравнений системы местами;
(в) умножение строки на число, неравное нулю;
(г) прибавление к строке другой строки, умноженной на
произвольное число.
Из элементарной математики нам известно, что при элементарных
преобразованиях системы получается новая система, эквивалентная данной.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса – это метод последовательного исключения переменных
из уравнений системы. Смысл метода заключается в том, что с помощью
элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной
системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних
переменных, определяются остальные неизвестные.
Метод Гаусса состоит из прямого и обратного хода. Если прямым ходом
заданная система приводится к ступенчатому виду, то решение системы
находится обратным ходом метода Гаусса.
Пример 5. Решить систему уравнений методом Гаусса
 х1  х2  х3  5 х4  0

3 х1  2 х2  2 х3  х4  1
 х  4 х  11х  0
2
4
 1
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Имеем
 х1 
 
1  1 1 5 
0


 х2 
 
А  3 2 2 1  , х    , b  1 ,
х
 1 4 0  11
0
 3 


 
 4
Далее, расширенную матрицу А с
преобразований приведем к ступенчатому виду:
1  1 1 5

A  3 2 2 1
 1 4 0  11

1  1 1 5

A  3 2 2 1
 1 4 0  11

помощью
0 1  1 1
5
 
1    0 5  1  16
0   0 5  1  16
5
1 1 1

  0 5  1  16
0 5
0
0

0

1 .
0 
элементарных
0

1
0 
0

1  =В
 1
Матрица В имеет ступенчатый вид и, следовательно, ранг расширенной
матрицы равен 3. Заметим, что и матрица системы (до вертикальной черты)
одновременно тоже приведена к ступенчатому виду, но она имеет ранг r = 2,
т.е. r(A)  r( А ). По теореме Кронекера-Капелли система не является
совместной. Выпишем соответствующую систему уравнений:
 х1  х2  х3  5 х4  0

5 х2  х3  16 х4  1

0 х  0 х  0 х  0 х  1
2
3
4
 1
Видно, что не существует таких числовых значений x1, x2, x3, x4, чтобы
последнее уравнение выполнялось, а значит, система несовместна. Всегда,
если в ступенчатом виде расширенной матрицы есть строка, в которой до
вертикальной черты стоят только нули, а за вертикальной чертой стоит
ненулевой элемент, можно сделать вывод о несовместности системы
уравнений.
Если же r(A) = r( А ), т.е. ранги расширенной матрицы и матрицы
системы совпадают, то ступенчатая форма матрицы В заканчивается нулевыми
строками. В этом случае исходная система совместна согласно теореме
Кронекера-Капелли.
Научимся теперь находить решения системы линейных уравнений в
случае ее совместности.
Пусть дана система уравнений:
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 х1  2 х2  х3  х4  1
 2 х  3х  х  х  2
 1
2
3
4

3 х1  х2  х113  х4  0

 3 х1  5 х2  2 х4  3
Выпишем расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду
(прямой ход метода Гаусса):
1
1  2 1

2  3 1 1
А
3  1  11  1

3  5 0
2

1
1
1 1  2
 
 3 1
2 0 1

0   0 5  14  4
 
 3 1
3   0 1
1
1  2 1

0 1  3 1
0 0
1
1

0 0
0
0

1 

0 

 3

0 
1 

0 
=B
 3

0 
Поскольку после элементарных преобразований расширенной матрицы и
матрицы системы остались 3 ступеньки, то r(A) = r( А ) и система совместна.
Равносильная ступенчатая система уравнений имеет вид:
 х1  2 х2  х3  х4  1

 х2  3 х3  х4  0

х3  х4  3

Мы отбросили последнее уравнение, которое выполняется тождественно
(при всех значениях х1, х2, х3, х4 имеем 0х1 + 0х2 + 0х3 + 0х4 = 0).
Обратный ход метода Гаусса начинается с того, что объявляем
переменные х1, х2, х3 («связанные» с угловыми элементами) главными, а
переменную х4 – свободной. Выражаем через эту свободную переменную х4
остальные переменные: из последнего уравнения находим х3, а затем,
подставляя выражение для х3 во второе уравнение, получаем выражение х2
через х4 и, поднимаясь ещё «выше», аналогично находим х1. Запишем общее
решение системы:
 х1  4 х4  14

 х2  2 х4  9
 х  х  3
4
 3
или
х = (- 4х4 – 14; - 2х4 – 9; - х4 -3; х4).
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Давая переменной х4 конкретные числовые значения и вычисляя х1, х2, х3,
мы будем получать все новые и новые решения системы.
Например, если х4 = 0, то х1 = -14, х2 = -9, х3 = -3 и вектор х = (-14, -9, -3,
0) будет частным решением системы уравнений.
Особо отметим ситуацию, когда система уравнений имеет единственное
решение. Это возможно тогда, когда угловых элементов в ступенчатой форме
расширенной матрицы ровно столько, сколько переменных в задаче.
Пример 6. Рассмотрим систему линейных уравнений
3 х1  2 х 2  х3  5

 х1  х 2  х3  0
4 х  х  5 х  3
2
3
 1
Воспользуемся методом Гаусса. Для этого выпишем расширенную
матрицу системы уравнений и приведем к ступенчатому виду:
1 1 1
5
 (1) 
0    3 2 1
 4 1 5
3 

3 2 1

1 1 1
 4 1 5

1 1 1

0 1 4
0  5 9

0
1 1 1
 (3) 
5  
 0 1 4

 0 0  11
3

0
 ( 2)
5  


3
0 

5 
 22 
(1) - переставили местами I и II строки;
(2) - к II и III строкам прибавили I-ю строку, умноженную соответственно на (-3) и (-4);
(3) - к III строке прибавили II-ю строку, умноженную на (-5).
Последней матрице соответствует матрица
 х1




 х2
 х3
0
 х2
 4 х3
5
 11х3
 22
Система приведена к треугольному виду, она имеет единственное
решение:
x3 = 2; x2 = 4x3 – 5 = 4  2 – 5 = 3; x1 = x3 – x2 = 2 – 3 = - 1.
Решением системы является вектор  = (-1; 3; 2), система совместная и
определенная.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
Основные понятия
Определение 1. Вектором будем называть направленный отрезок AB с
начальной точкой A и конечной точкой В.
Считается, что два направленных отрезка AB и A1 B1 , имеющие равные
длины и одно и то же направление, определяют один и тот же вектор a :
AB = A1 B1 .
Определение 2. Два вектора, лежащие на одной прямой или на
параллельных прямых, называются коллинеарными.
Определение 3. Три вектора называются компланарными, если они
лежат на одной плоскости или на параллельных плоскостях.
Из школьного курса математики читателю известно, как определяются
сумма и разность двух векторов, а также произведение вектора на число.
Проекция вектора на ось
Определение 4. Числовой осью называется прямая, на которой выбраны
положительное направление (любое из двух возможных), начало – точка O и
указан масштаб.
0
Определение 5. Проекцией точки A на числовую ось называется
основание А1 перпендикуляра АА1, опущенного из точки А на эту ось.
А
О
A1
L
Пусть AB – произвольный вектор, А1 и В1 – проекции его начала и конца
на ось L.
Определение 6. Проекцией вектора AB на ось L называется число:
пр AB   A1 B1 ,
равное длине вектора A1 B1 , взятое со знаком плюс, если направление оси L и
вектора A1 B1 совпадают, и со знаком минус, если направление оси L и вектора
A1 B1 противоположны.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
B
А
A1
B1
L
Свойства проекции вектора на ось
1.
Теорема. Проекция вектора a на ось L равна произведению длины
вектора на косинус угла φ между вектором и осью:
пре a  a  cos  .
Теорему докажем для случая π/2 < φ < π.
B
C

A
B1
A1
Используя рисунок, легко получаем:
пре a   A1 B1   AC   a  cos     a  cos  .
2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
3. Проекция суммы векторов равна сумме проекций этих векторов:
пре a  b  пре a  пр е b .
4. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же
число:
пр    a    пре a .
 
Прямоугольная декартова система координат.
Разложение вектора по координатным осям
Определение 7. Прямоугольной декартовой системой координат в
пространстве
называется
упорядоченная
система
трех
взаимно
перпендикулярных осей OX, OY, OZ с общим началом отсчета, т.е. с началом
координат, и общей единицей длины.
В этой упорядоченной системе ось OX называется осью абсцисс, OY –
осью ординат, а ось OZ – осью аппликат.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С произвольной точкой пространства M свяжем вектор OM , называемый
радиус-вектором точки M, и найдем проекции этого вектора на координатные
оси:
прх OM = x, прy OM = y, прz OM = z
Определение 8. Числа x, y, z называются координатами точки M,
соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой.
Символ M(x, y , z) означает, что точка M имеет координаты x, y и z.
Определение 9. Вектор единичной длины, направление которого
совпадает с направлением оси, называют единичным вектором оси или ортом.
i , j ,k
Обозначим через
соответственно единичные векторы
координатных осей OX, OY, OZ. По определению | i | = | j | = | k | = 1.
А теперь без доказательства приведем одну очень важную теорему.
Теорема. Любой вектор может быть разложен по единичным векторам
координатных осей, т.е.
a  xi  y j  z k .
Следствие. Длина вектора определяется по формуле:
a  x2  y2  z2 .
Для вектора a , имеющего проекции x, y и z, принято обозначение a = (x,
y, z). Числа x, y и z называются координатами вектора.
Замечание. На координатной плоскости XOY вектор имеет две
координаты: абсциссу и ординату, поэтому употребляется запись a = (x, y).
Действия над векторами, заданными в координатной форме
Сначала выразим координаты вектора AB через координаты начала A(x1,
y1, z1) и конца B(x2, y2, z2).
A
B
О
Имеем:


AB  OB  OA  x2 i  y2 j  z 2 k  x1 i  y1 j  z1 k  x2  x1   i   y2  y1   j  z 2  z1   k
Таким образом, AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).
Из свойств проекций векторов на ось и определения координат вектора
вытекают следующие правила:
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны
соответствующие координаты.
2. При сложении (вычитании) векторов, заданных в координатной
форме, их одноименные координаты складываются (вычитаются):

если a = (x1, y1, z1) и b = (x2, y2, z2), то
a  b = (x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2);
a  b = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2).
3. При умножении вектора на число координаты вектора
умножаются на это число:
если a = (x, y, z), то ka = (kx, ky, kz).
2.2 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
Скалярное произведение и его свойства
Пусть a и b два ненулевых вектора.
Определение 1. Скалярным произведением векторов a и b называется
число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
a  b  a  b  cos  .
Свойства скалярного произведения:
 a  b  b  a (переместительный закон);
 скалярное произведение равно произведению длины одного из
векторов на проекцию другого вектора:
a  b  a  прa b .
Доказательство. По определению a  b  a  b  cos  .
b

a
Из рисунка видно, что b  cos   прa b . Поэтому указанное свойство верное.
 вектора a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда их
скалярное произведение равно нулю:
a ┴ b <=> a  b  0 ;
 числовой множитель можно выносить за знак скалярного
произведения:
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
k a b  k a  b;
 
 a  b  c  a  c  b  c (распределительный закон);
 скалярный квадрат вектор равен квадрату его модуля:
2
aa  a .
Скалярное произведение в координатной форме
Теорема. Если векторы a и b заданы своими координатами: a = (x1, y1,
z1), b = (x2, y2, z2), то их скалярное произведение определяется формулой:
a  b = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Из теоремы вытекают два важных следствия:
1.
необходимым и достаточным условием перпендикулярности
векторов a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) является равенство:
x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0;
2.
угол между векторами a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) определяется
по формуле:
cos 
cos 
a b
ab
или
x1  x 2  y1  y 2  z1  z 2
x1  y1  z1  x 2  y 2  z 2
2
2
2
2
2
2
.
Пример 1. Пусть задан треугольник с вершинами в точках:
А(1, 2, 3), В(3, 2, 1), С(1, 0, 1).
Требуется найти угол при вершине В.
Решение. Найдем координаты векторов:
B
A
C
BA = (-2, 0, 2),
BC = (-2, -2, 0).
Из определения скалярного произведения получаем:
cosB 
BA  BC
BA  BC
Значит, B  60 .
36

400
8 8

1
.
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Векторное произведение и его свойства
Пусть заданы два ненулевых вектора a и b .
Определение 2. Векторным произведением вектора a на вектор b
называется вектор a  b , удовлетворяющий трем условиям:
 модуль вектора a  b равен произведению длин векторов a и b на
синус угла между ними:
| a  b | = a  b  sin  ;
 его направление перпендикулярно плоскости векторов a и b ;
 вектора a , b и a  b после приведения к общему началу образуют
правую тройку векторов, т.е. ориентированы по отношению друг к другу как
единичные вектора координатных осей i , j , k .
Свойства векторного произведения:
1.
Геометрический смысл векторного произведения. Модуль
векторного произведения
равен площади параллелограмма, построенного на


векторах a и b :
b
a
S = | a  b |.


2.
Вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их
векторное произведение a  b равно нулю.
3.
При перемене мест сомножителей векторное произведение меняет
лишь знак:
ab = - ba .
4.
Скалярный множитель можно выносить за знак векторного
произведения:
  a b    ab .
 
5.
 
a  b c  a  c  b  c (свойство распределительности).
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Векторное произведение в координатной форме
Теорема. Если векторы a и b заданы своими координатами a = (x1, y1,
z1), b = (x2, y2, z2), то векторное произведение вектора a на вектор b
определяется формулой:
i
j k
a  b = x1 y1 z1 .
x2 y 2 z 2
Доказательство.


ii  0

 
 
a  b  x1 i  y1 j  z1 k  x 2 i  y 2 j  z 2 k  j  j  0  x1 y 2 i  j  x1 z 2 i  k 
kk  0
 
 
 
 
y1 x 2 j  i  y1 z 2 j  k  z1 x 2 k  i  z1 y 2 k  j  ..... i y1 z 2  y 2 z1   j  x1 z 2  x 2 z1  
i
 k  x1 y 2  x 2 y1   x1
j
y1
k
z1
x2
y2
z2
Пример 2. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках
A(2;2;2), B(4;0;3) и C(0;1;0).
Решение. Находим векторы




 
AB  4  2  i  (0  2)  j  (3  2)  k  2i  2 j  k ,




 
АС  (0  2)  i  (1  2)  j  (0  2)  k  2i  j  2k
Находим векторное произведение AB  AC :
i
j
k
2 1
2
1
2 2
AB  AC  2  2 1  i
 j
k
= 5i  2 j  6k .
1  2
2 2
 2 1
 2 1  2
Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади
параллелограмма, построенного на этих векторах, то
S ABC 
65
1
1 2
2
AB  AC 
5  2 2   6 =
.
2
2
2
Смешанное произведение и его свойства
Пусть заданы три ненулевых вектора a , b и с .
Определение 3. Смешанным произведением abc называется скалярное
произведение векторного произведения a  b на вектор с :
a b c = ( a  b ) с (получается число).
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойства смешанного произведения:
1. Геометрический смысл. Смешанное произведение по модулю равно
объему параллелепипеда, построенного на векторах a , b и с :
h
c
b
a
Следствие. Объем параллелепипеда V и объем V1 соответствующей
пирамиды вычисляются по формулам:
1
1
V  abc , V1  V  abc .
6
6
2. Признак компланарности векторов. Векторы a , b и с компланарны
тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю:
a b c = 0.
3. Смешанное произведение не изменяется, если в нем поменять местами
знаки векторного (  ) и скалярного (.) произведений:
(ab )с = a bc .
 
В силу этого свойства смешанное произведение векторов a , b и с
обозначили abc .
4. Смешанное произведение не изменяется при циклической
перестановке его сомножителей:
abc  bc a  c ab
5. Смешанное произведение меняет знак при любой нециклической
перестановке сомножителей:
a b c  b a c .
Смешанное произведение в координатной форме
Теорема. Если векторы a , b и c заданы своими координатами:
a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2), c = (x3, y3, z3),
то смешанное произведение определяется формулой:
x1
y1
z1
abc  x 2
x3
y2
y3
z2 .
z3
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство:
i
abc  a  b c  x1
j
y1
k
z1  x 3 i  y 3 j  z 3 k 
x2
y2
z2
 



 y1

 y2

z1
x
i  1
z
x2
z1
x
 j 1
z2
x2
 y1

 y2
z1
x
x3  1
z2
x2
z1
x
y3  1
z2
x2

y1

 k   x3 i  y 3 j  z 3 k 
y2

x1 y1 z1
y1

z 3   x 2 y 2 z 2
y2

x3 y 3 z 3
Следствие (Критерий компланарности). Необходимым и достаточным
условием компланарности векторов a , b и с является равенство нулю
определителя, составленного из координат этих векторов:
x1
y1
z1
x2
y2
z 2 = 0.
x3
y3
z3
Пример 3. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках:
A(0; 0; 1); B(2; 3; 5); C(6; 2; 3); D(3; 7; 2).
Решение. Найдем векторы AB, AC и AD , совпадающие с ребрами
пирамиды и выходящие из точки A:
AB = (2, 3, 4), AC = (6, 2, 2), AD = (3, 7, 1).
Вычисляем смешанное произведение векторов:
2 3 4
AB AC AD  6 2 2  2
3 7 1
2 2
7 1
3
6 2
3 1
4
6 2
3 7
 24  3  0  4  36  120 .
Так как объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на
1
6
векторах AB, AC и AD , то V   120  20 .
ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Определение 1. Аналитическая геометрия – это раздел математики, в
котором изучаются геометрические образы с помощью средств линейной и
векторной алгебр на основе метода координат.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.1. Уравнение прямой на плоскости
Уравнение линии (кривой) на плоскости
Линия на плоскости обычно задается как множество точек, обладающих
определенными геометрическими свойствами, исключительно им присущими.
Пример 1. Окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости,
удаленных на расстояние R от некоторой точки плоскости О (центр
окружности).
Определение 2. Уравнением линии на плоскости XOY называется
уравнение, которому удовлетворяют координаты x и у каждой точки данной
линии и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной линии.
Когда точка М(x, y) передвигается по линии, то ее координаты,
изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты точки
М(x, y) называются текущими координатами (от слова «текут», меняются).
Из определения уравнения линии возникают две основные задачи
аналитической геометрии:
1) Дана линия, как геометрическое множество точек. Составить
уравнение этой линии.
2) Дано уравнение некоторой линии. Изучить по этому уравнению
геометрические свойства линии, например, ее форму и расположение на
плоскости.
Задача. Составить уравнение окружности радиуса R с центром в точке
O(x0, y0).
M (x; y)
O (x;y)
R
Возьмем на окружности точку с текущими координатами М(x, y) и
рассмотрим вектор OM = (x, y). Длина этого вектора равна радиусу
окружности, поэтому:
x2  y2  R  x2  y 2  R2 .
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Y
b

X
О
Из школьного курса математики известно, что:
  – угол наклона прямой к оси абсцисс;
 b – начальная ордината;
 k = tg – угловой коэффициент прямой;
 y = kx + b – уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.
Общее уравнение прямой линии на плоскости
Рассмотрим уравнение первой степени относительно переменных x и y:
Ax + By +C = 0,
(1)
где A, B и C – действительные числа, причем A и B одновременно не равны
нулю.
Теорема. Любое уравнение вида (1) определяет на плоскости прямую
линию.
Доказательство. Возможны два случая: B ≠ 0 и B = 0.
В первом случае получаем:
y
A
C
x .
B
B
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом k = - А/В и свободным
членом b = -С/B .
Во втором случае A ≠ 0, так как B = 0. Тогда из уравнения (1) получаем:
x = - С/A,
что является уравнением прямой, перпендикулярной к оси абсцисс.
Замечание. Аналогично показывается, что любая прямая на плоскости
определяется уравнением вида (1). В связи с этим в дальнейшем не будем
рассматривать уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Определение 3. Уравнение вида (1) называется общим уравнением
прямой на плоскости.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим две задачи.
Задача 1. Составить общее уравнение прямой, проходящей через данную
точку M0(x0, y0).
Решение. По условию координаты точки M0 удовлетворяют общему
уравнению
Ax0 + By0 + C = 0.
(2)
Вычитая из уравнения (1) уравнение (2) получаем:
A(x – x0) + B(y – y0) = 0.
Введем в рассмотрение вектор n = (A, B) и вектор a = (x – x0, y –y0),
лежащий на прямой.
Очевидно, что
n a = A(x – x0) + B(y –y0).
Отсюда следует, что n a = 0.
Вывод. Вектор n = (A, B) перпендикулярен вектору M 0 M , а, значит,
перпендикулярен данной прямой.
Определение 4. Вектор n = (A, B) называется нормальным вектором
прямой.
Задача 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две данные
точки M0(x0, y0) и M1(x1, y1).
Возможны три случая:
1.
У данных точек равные абсциссы. Тогда прямая параллельна оси
ординат и уравнение прямой имеет вид: x = x0.
2.
Данные точки имеют одинаковые ординаты. В этом случае прямая
параллельна оси абсцисс и y = y0 – уравнение прямой.
3.
Пусть x0 ≠ x1 и y0 ≠ y1. Прямая проходит через точку M0(x0, y0),
поэтому:
A(x – x0) + B(y – y0) = 0.
Поскольку прямая проходит и через точку M1(x1, y1), то получаем:
Далее, уравнение
делим на уравнение
При этом получаем:
A(x1 – x0) +B(y1 – y0) = 0.
A(x – x0) = - B(y – y0)
A(x1 – x0) = - B(y1 – y0).
x  x0
y  y0

.
x1  x0 y1  y 0
Угол между двумя прямыми
Пусть две прямые заданы общими уравнениями:
L1: A1x + B1y + C1 = 0
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
L2: A2x + B2y + C2 = 0.
Рассмотрим нормальные векторы этих прямых:
n1 = (A1, B1); n2 = (A2, B2).
Очевидно, что угол между прямыми L1 и L2 равен углу между
нормальными векторами. Следовательно, угол  можно определить по
формуле:
cos 
A1 A2  B1 B2
A1  B1  A2  B2
2
2
2
2
.
Следствие (условие перпендикулярности). Прямые L1 и L2
перпендикулярны
тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны.
Следовательно,
n1 n2  0  A1  A2  B1  B2  0
Следствие (условие параллельности прямых). Параллельность прямых
эквивалентна условию коллинеарности векторов n1 = (A1, B1) и n2 = (A2, B2),
т.е. выполняется условие:
A1 B1

.
A2 B2
Расстояние от точки до прямой
Рассмотрим прямую, заданную общим уравнением Ax+By+C=0, и
некоторую точку M0(x0, y0). Под расстоянием от точки M0 до прямой
понимается длина d = M0N перпендикуляра, опущенного из точки M0 на
прямую.
Y
M0
N
O
X
Теорема. Расстояние d от точки M0(x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0
вычисляется по формуле:
d
| Ax0  By0  C |
A B
2
2
.
Доказательство. Используя свойства проекции, получаем:
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
d  прn M 0 M  ab  a пр b 
a

 Ax0  By0  Ax  By
A2  B 2

| Ax  x0   B y  y 0  |
n
1
пр M 0 M 
n  M 0M 

2
2
n
n
A

B
n
n
 Ax0  By0  C

A2  B 2
Ax0  By0  C
A2  B 2
Деление отрезка в данном отношении
Пусть задан некоторый отрезок AB, A(x1, y1), B(x2, y2).
A
C (x, y)
B
Определение 5. Говорят, что точка C делит отрезок AB в отношении λ,
если
λ = AC /CB.
Задача. Найти координаты точки C(x, y). Определим координаты
векторов:
AC = (x – x1, y – y1),
CB = (x2 – x, y2 - y).
Они коллинеарны и одинаково направлены. Поэтому имеем:
AC   CB 
(x – x1, y – y1) = λ (x2 - x, y2 - y) =>
x – x1 = λ (x2 - x), y – y1 = λ (y2 - y)
=>
=>

 x 

y 

x1  x 2
;
1 
y1  y 2
1 
Следствие. Если точка C является серединой отрезка AB (λ = 1), то
x1  x 2

;
 x 
2
.

 y  y1  y 2

2
3. 2. Кривые второго порядка
Определение 1. Кривыми второго порядка называются линии, которые
определяются уравнениями второй степени относительно переменных
координат x и y.
К ним относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ранее мы показали, что уравнение окружности с центром в точке M0(x0,
y0) и радиуса R имеет вид:
(x - x0)2 + (y - y0)2 = R2.
Эллипс и его каноническое уравнение
Определение 2. Эллипсом называется геометрическое место точек
плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек F1 и F2,
называемых фокусами, есть величина постоянная (равная 2a).
Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.
Обозначим фокусы эллипса через F1 и F2, а расстояние между ними 2с.
Примем за ось абсцисс прямую, проходящую через фокусы, начало координат
возьмем в середине отрезка F1F2. Тогда координаты точек F1 и F2 равны
соответственно (-c, 0) и (c, 0).
y
B
A
F1
M (x;y)
F2
A1 x
B1
Так как MF1 + MF2 > F1F2, то по определению эллипса получаем a > c.
Обозначим b2 = a2 - c2.
Утверждение. Каноническое уравнение эллипса в выбранной системе
координат с введенными обозначениями имеет вид:
x2 y2

 1.
a2 b2
Исследуя уравнение эллипса, можно сделать заключение о
симметричности эллипса относительно координатных осей.
Определение 3. Точки пересечения эллипса с осями координат
называются вершинами эллипса. Эти вершины имеют координаты A(-a, 0),
B(0, b), A1(a, 0), B1(0, -b).
Определение 4. Отрезок АA1 – называется большой осью эллипса, а BB1
– малой осью.
Замечание. Величины a и b в каноническом уравнении имеют
следующий геометрический смысл: a есть длина большой полуоси, b – длина
малой полуоси.
Определение 5. Эксцентриситетом эллипса называется отношение
расстояния между фокусами к длине большой оси:
ε = c/a, 0 < ε < 1.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса (по вертикали),
т.е. отношение его малой полуоси b к большой полуоси a. Чем больше ε, тем
больше сжат эллипс или больше вытянут по горизонтали.
Гипербола и ее каноническое уравнение
Определение 6. Гиперболой называется геометрическое место точек
плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек F1 и F2,
называемых фокусами, есть величина постоянная (равная 2a).
Расстояние между фокусами обозначим через 2с. Систему координат
выберем так же, как и в случае эллипса.
Пусть М(x, y) – произвольная точка гиперболы. По определению
гиперболы MF1 - MF2 = 2a.
M(x, y)
F1
O
F2
X
Разность сторон любого треугольника меньше третьей стороны: 2a < 2c.
Поэтому a < c. Обозначим b2 = c2 – a2.
Утверждение. Каноническое уравнение гиперболы в выбранной системе
координат с введенными обозначениями имеет вид:
x2 y2

 1.
a2 b2
Исследуем формулу гиперболы по ее каноническому уравнению.
1) Гипербола имеет две оси симметрии и центр симметрии. При этом ось
OX пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются вершинами
гиперболы. Эта ось называется действительной осью гиперболы.
Ось OY не имеет общих точек с гиперболой и поэтому называется
мнимой осью, начало координат является центром гиперболы. Вершины
гиперболы имеют координаты (-a, 0), (a, 0).
Определение 7. Число а называется действительной полуосью
гиперболы, число b – мнимой полуосью.
2) Гипербола располагается вне прямоугольника |x| < a, |y| < b и состоит
из двух отдельных ветвей. Диагонали прямоугольника, определяющиеся
b
a
уравнениями y   x ,являются асимптотами гиперболы.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Y
b
b 0
9
b
a
Х
Определение 8. Отношение e = c/a называется эксцентриситетом
гиперболы.
Чем больше e, тем больше угол между асимптотами.
Парабола и ее каноническое уравнение
Определение 9. Параболой называется геометрическое место точек
плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом
параболы, и от данной прямой, называемой директрисой.
Выберем систему координат таким образом: за ось ОX примем прямую,
проходящую через фокус F перпендикулярно к директрисе, за положительное
направление примем направление от директрисы к фокусу. За начало
координат возьмем середину О отрезка от фокуса до директрисы, длину
которого обозначим p.
Пусть М(x, y) – произвольная точка, лежащая на параболе. Пусть N основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. По
определению МN = MF.
Утверждение. В выбранной системе координат y2 = 2px является
каноническим уравнением параболы.
y
N
A
M (x;y)
O
F (c;o)
x
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В заключение отметим, что начало координат является вершиной
параболы, вся парабола находится в правой полуплоскости и уравнением
директрисы будет вертикальная прямая x = - p/2.
3.3. Общее уравнение плоскости
Пусть в декартовой системе координат в пространстве дана точка M0(x0,
y0, z0). Зададим произвольный вектор N = (A, B, C). Запишем уравнение
плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно вектору N .
Пусть M(x, y, z) – любая точка этой плоскости. Тогда вектор
M 0 M = (x – x0, y – y0, z – z0)
перпендикулярен вектору N , следовательно, их скалярное произведение равно
нулю: N M 0 M = 0.
В координатной форме данное уравнение имеет вид:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
(1)
Определение 1. Вектор N = (A, B, C) называется нормальным вектором
плоскости.
Если в уравнении (1) раскрыть скобки и обозначить D = - (Ax0 + By0 +
Cz0), то получится уравнение первой степени
Ax + By + Cz + D = 0
(2)
Определение 2. Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости,
а уравнение (1) – общим уравнением плоскости, проходящим через данную
точку.
Подчеркнем, что нормальный вектор N перпендикулярен плоскостям (1)
и (2).
Пример 1. Частные случаи плоскостей:
 D = 0 => Ax + By + Cz = 0: плоскость проходит через начало
координат;
 A = 0 => By + Cz + D = 0: плоскость параллельна оси OX;
 A = 0 и D = 0 => By + Cz = 0: плоскость проходит через ось OX;
 A = 0 и B = 0 => Cz + D = 0: плоскость параллельна координатной
плоскости XOY;
 z = 0: координатная плоскость XOY.
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M0(1, 2, -3) перпендикулярно вектору N = (1, -2, 3).
Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через
данную точку и перпендикулярной данному вектору:
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1(x - 1) - 2(y - 2) + 3(z + 3) = 0, т.е.
x - 2y + 3z + 12 = 0.
Угол между двумя плоскостями
Пусть две плоскости заданы общими уравнениями:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Рассмотрим нормальные векторы этих плоскостей: N1 = (A1, B1, C1) и
N 2 = (A2, B2, C2).
Вопрос вычисления угла между данными плоскостями сводится к
определению угла между их нормальными векторами N1 и N 2 . Поэтому угол
между двумя плоскостями вычисляется по формуле:
cos 
A1 A2  B1 B2  C1C 2
A1  B1  C1  A2  B2  C 2
2
2
2
2
2
2
.
Пример 3. Найти угол между двумя плоскостями:
-3y + z + 2 = 0
2y + z – 5 = 0.
Решение. Определяя нормальные векторы плоскостей N1 = (0, -3, 1),
N 2 = (0, 2, 1), получаем:
cos  
N1 N 2
N1  N 2

 6 1
10  3

2
.
2
Поскольку под углом между двумя плоскостями понимается величина
одного из двугранных углов, то   45  ,135  .
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки M0(x0, y0, z0) до плоскости, определяемой общим
уравнением Ax + By + Cz + D = 0, вычисляется по формуле:
d 
Ax0  By0  Cz 0  D
A2  B 2  C 2
.
Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
o
Условие параллельности двух плоскостей эквивалентно
коллинеарности нормальных векторов N1 и N 2 , т.е. имеет вид:
A1/A2 = B1/B2 = C1/C2.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
o
Условие перпендикулярности двух плоскостей эквивалентно
условию перпендикулярности векторов N1 и N 2 , т.е. имеет вид:
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки,
не лежащие на одной прямой
Выведем уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(x1, y1, z1),
M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3).
Пусть точка М(х, у, z) с текущими координатами принадлежит данной
плоскости. Тогда векторы
M 1 M = (x - x1, y - y1, z - z1),
M 1 M 2 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1),
M 1 M 3 = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1)
являются компланарными и их смешанное произведение равно нулю.
Используя выражение смешанного произведения в координатах, получаем
уравнение плоскости, проходящей через три указанные точки M1, M2, M3:
x  x1
y  y1
z  z1
x 2  x1
y 2  y1
z 2  z1 = 0.
x3  x1
y 3  y1
z 3  z1
Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки
(1;1;1); (1;-1;0); (2;1;3).
Решение.
Пользуясь уравнением плоскости, проходящей через три заданные
точки, имеем:
x 1 y 1 z 1
0
2
1
0
1  0.
2
Раскрывая определитель, получаем:
-4x – y + 2z + 3 = 0.
3.4. Уравнение прямой линии в пространстве
Общие уравнения прямой
Прямую линию в пространстве можно задать как линию пересечения
двух плоскостей:
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
.

 A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предполагается, что плоскости не параллельны и не совпадают.
Канонические уравнения прямой
Положение прямой линии вполне определено, если заданы лежащая на
ней точка и направление. Направление может быть задано любым вектором,
коллинеарным данной прямой, и поэтому называется направляющим вектором
прямой.
Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку M0(x0, y0,
z0) и имеющей направляющий вектор q = (m, n, p). Произвольная точка М(x, y,
z) лежит на прямой <=> векторы M 0 M = (x – x0, y – y0, z – z0) и q = (m, n, p)
коллинеарны.
Следовательно,
их
соответствующие
координаты
пропорциональны:
x  x0
m

y  y0
n

z  z0
(1)
p
Уравнения (1) являются искомыми и они называются каноническими
уравнениями прямой.
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(1, 1,
1) и параллельно вектору a = (2, -3, 5).
Решение. В качестве направляющего вектора q прямой следует взять
заданный вектор a . Пользуясь каноническими уравнениями прямой, получаем:
x 1 y 1 x 1
.


2
3
5
Замечание. Числа m, n и p в уравнении (1) являются координатами
направляющего вектора и некоторые из них могут быть равны нулю.
Параметрические уравнения прямой
Обозначив через t каждое из равных отношений в канонических
уравнениях (1), получим:
x  x0 y  y 0 z  z 0


= t,
m
n
p
откуда
 x  x0  mt ,

 y  y 0  nt ,    t  .
 z  z  pt.
0

(2)
Равенства (2) называются параметрическими уравнениями прямой,
проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющей направляющий вектор
q = (m, n, p). Здесь t рассматривается как произвольный параметр.
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Прямая может быть задана двумя лежащими на ней точками M0(x0, y0,
z0) и M1(x1, y1, z1). Направляющим вектором может служить вектор:
M 0 M 1 = (x1 –x0, y1 – y0, z1 – z0).
Тогда канонические уравнения прямой (1) примут вид:
x  x0
y  y0
z  z0


x1  x0 y1  y 0 z1  z 0
Угол между двумя прямыми
Пусть две прямые в пространстве заданы своими каноническими
уравнениями:
x  x1 y  y1 z  z1


m1
n1
p1
x  x2
y  y2
z  z2


m2
n2
p2
Очевидно, что угол между этими прямыми вычисляется как угол между
их направляющими векторами q1 = (m1, n1, p1) и q 2 = (m2, n2, p2):
cos 
q1  q 2
q1  q 2

m1 m2  n1 n2  p1 p 2
m12  n12  p12  m22  n22  p 22
.
Если две прямые параллельны, то их направляющие векторы
коллинеарны. Отсюда получаем условие параллельности двух прямых:
m1 n1
p

 1
m2 n2
p2
Условие перпендикулярности двух прямых
перпендикулярности их направляющих векторов:
следует из условия
m1m2+n1n2 + p1 p2 = 0.
Угол между прямой и плоскостью
Угол между прямой
x  x0 y  y 0 z  z 0


m
n
p
и плоскостью
Ax + By + Cz + D = 0
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
определяется как дополнительный угол между направляющим вектором
прямой q = (m, n, p) и нормальным вектором плоскости N = (A, B, C):
sin  
Am  Bn  Cp
A2  B 2  C 2  m 2  n 2  p 2
Условие параллельности прямой и плоскости следует из
перпендикулярности векторов q и N : Am + Bn + Cp = 0.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости равносильно
коллинеарности векторов q и N :
A B C
  .
m n p
ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
4.1. Предел функции
Бесконечно малая функция
Рассмотрим функции y = x – a, y = (x – a)2 и y = sin (x - a) при значениях x
близких к a. Что можно сказать про значения этих функций (обозначим y =
α(x)), если значения аргумента x достаточно близки к a?
y
y=(x - a)2
y= (x - a)
y = sin (x - a)
x
x
a
x
Ответ прост: значения функции y = α(x) сколь угодно малы по
абсолютной величине, если соответствующие значения аргумента достаточно
близки к a. Такие функции в математике называются бесконечно малыми.
Пусть функция y = α(x) определена в некоторой окрестности точки a, за
исключением, быть может, самой точки a.
Определение 1. Функция α(x) называется бесконечно малой при
стремлении x к a, если для любого сколь угодно малого положительного числа
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ε найдется положительное число δ, что для всех x, удовлетворяющих условию
0 < |x – a| < δ, выполняется неравенство |α(x)| < ε.
Если α(x) – бесконечно малая функция (величина), то пишут:
lim  x   0 или α(x) → 0 при x→ a.
x a
Пример 1. Функция y = (x – a)2 является бесконечно малой функцией при
x→ a:
lim x  a   0 .
2
xa
Замечание. В точке a функция α(x) может быть не определена.
y
a
x
Свойства бесконечно малых функций

Сумма двух бесконечно малых функций есть величина бесконечно
малая, т.е. если α(x) и β(x) – бесконечно малые при x→ a функции, то α(x) +
β(x) –бесконечно малая функция.
Пример 2. Пусть
α(x) = (x – a)2 и β(x) = sin (x - a).
Тогда
(x – a)2 + sin (x - a) → 0 при x→ a.
Определение 2. Функция f(x) называется ограниченной на множестве X,
если существует число M > 0, что для всех x из множества X имеет место
неравенство:
| f(x) | < M.
Пример 3. Функция y = sin x ограничена на всей числовой оси, так как
|sin x| ≤ 1.

Произведение бесконечно малой при x→a функции α(x) на
ограниченную в окрестности точки a функцию f(x) есть бесконечно малая
функция:
lim ax   f x  = 0.
x a
Следствие. Если функция f(x) тождественно равна постоянной C, то
lim C   x   0 .
x a
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Произведение двух бесконечно малых функций есть величина
бесконечно малая, т.е. если α(x) и β(x) – бесконечно малые при x→ a функции,
то α(x) β(x) – бесконечно малая функция, т.е.
lim  x    x   0 .
x a
Бесконечно большая функция
Рассмотрим функцию
1
xa
y
в окрестности точки a, за исключением самой точки a.
y
а
x
Значения этой функции сколь угодно велики по абсолютной величине,
если соответствующие значения аргумента достаточно близки к a. Такая
функция называется бесконечно большой.
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за
исключением, быть может, самой точки a.
Определение 3. Функция f(x) называется бесконечно большой при
стремлении x к a, если для любого E > 0, как бы велико оно ни было, найдется
число δ > 0, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x – a| < δ,
выполняется неравенство | f(x)| > E.
Если f(x) – бесконечно большая функция (величина), то пишут:
lim f x    или f(x) →  при x→ a.
x a
В частности, если при этом f(x) положительна (отрицательна) в
некоторой окрестности точки a, то
lim f x    lim f x    .

x a
x a

Пример 4.
lim
x a
1
 .
xa
О связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями
Теорема 1. Величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно
малая.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 2. Если бесконечно малая величина не обращается в нуль, то
обратная ей величина есть бесконечно большая.
Пример 5. y = x – a – бесконечно малая величина
=> y =
1
–
xa
бесконечно большая при x→ a функция.
Предел функции
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за
исключением, быть может, самой точки a.
Определение 4. Пределом функции f(x) при стремлении x к точке a
называется число b, такое, что разность f(x) – b является бесконечно малой при
x→ a.
Если b – предел функции f(x) при x a, то пишут:
lim f x   b .
x a
Определение 5 (на «языке ε, δ»). Число b называется пределом функции
f(x) при x a, если для произвольного (сколь угодно малого) числа  >0
существует такое  >0, что при условии 0 < |x – a| < δ выполняется
неравенство:
|f(x) - b| < .
(1)
Важность введенного понятия бесконечно малой величины объясняется
следующим утверждением о связи бесконечно малой величины и предела.
Утверждение (о связи бесконечно малой величины и предела). Функция
y = f(x) имеет предел b при x a тогда и только тогда, когда ее можно
представить в виде f(x) = b + α(x), где α(x) – бесконечно малая при x a
функция.
Следствие. Функция не может иметь в одной точке двух различных
пределов.
Действительно, если f(x)  b и f(x)  c при x a, то f(x) = b + α(x) и f(x)
= c + β(x). Отсюда следует, что b + α(x) = c + β(x). Поэтому b – c = β(x) - α(x)
есть бесконечно малая величина. С другой стороны, b – c – величина
постоянная. Следовательно, она может быть равна только нулю: b – c = 0.
Таким образом, b = c.
Замечания.
1. Определения 4 и 5 эквивалентные.
2. В точке x = a функция y = f(x) может быть не определена.
Определение 6. Если неравенство (1) выполняется при условии 0 < x – a
< δ или a < x < a + δ, то число b называется пределом функции f(x) справа и
обозначается символом:
b  lim f x   f a  0 .
x a  0
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если неравенство (1) выполняется при условии a - δ < x < a, то число b
называется пределом функции слева и обозначается:
b  lim f x   f a  0 .
xa 0
Предел функции при x → ∞
Приведем определение предела функции при x  , предполагая при
этом, что область определения функции не ограничена ни справа, ни слева.
Определение 7. Число b называется пределом функции y = f(x) при x 
, если для любого  >0 существует число N = N(), такое, что при всех |х|
>N() выполняется неравенство:
|f(x) - b| < .
Обозначается это так:
lim f x   b .
x 
Замечание. Аналогично рассматриваются пределы, когда x  + или x 
- :
b  lim f ( x)
x
b  lim f ( x)
x 
Понятие предела последовательности
Пусть функция y = f(x) определена на множестве натуральных чисел.
При x = n получим общий член последовательности, который обозначим yn =
f(n).
Определение 8. Число b называется пределом последовательности {yn}
при стремлении n к бесконечности, если для любого  > 0  номер N(), что
для всех n > N() выполняется неравенство:
| yn - b| < ε.
При этом пишут:
b  lim y n .
n 
Замечание. Легко видеть, что данное определение согласуется с
определением предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Пример 6. Пусть дана последовательность с общим членом yn = 1 –
Приведем несколько первых членов этой последовательности:
y1 = 0,9; y2 = 0,99; y3 = 0,999 …
Докажем, что yn → 1 при n  . Возьмем  > 0. Тогда
| yn - 1| =
1
< ε,
10 n
если
n >[ lg 1/ε] = N.
58
1
.
10 n
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Согласно определению предела последовательности это означает, что
1 

lim 1  n   1 .
n
 10 
Основные теоремы о пределах
Практическое вычисление пределов основывается на трех теоремах,
называемых теоремами о пределе суммы, произведения и частного.
Пусть существуют конечные пределы функций f1(x) и f2(x) при x  a.
Теорема 1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих
функций, т.е.
lim  f1 x   f 2 x   lim f1 x   lim f 2 x 
x a
xa
xa
Доказательство. Пусть lim f1 ( x)  b1 , lim f 2 ( x)  b2 .
x a
x a
На основании утверждения о связи предела функции и бесконечно малой
величины:
f1(x) = b1 + α1(x), f2(x) = b2 + α2(x),
где α1(x) и α2(x) – бесконечно малые при x a функции. Имеем
f1(x) + f2(x) = (b1 + b2) + (α1(x) + α2(x)).
Поскольку сумма двух бесконечно малых величин является бесконечно
малой, то согласно тому же утверждению о связи предела функции и
бесконечно малой величины
lim  f1 x   f 2 x  b1 b2  lim f1 x   lim f 2 x  ,
xa
xa
x a
что требовалось доказать.
Теорема 2. Предел произведения двух функций равен произведению
пределов этих функций, т.е.
lim f1 x   f 2 x   lim f1 x   lim f 2 x  .
x a
Доказательство. Пусть
xa
xa
lim f1 x   b1 , lim f 2 x   b2 .
хa
х a
На основании утверждения о связи предела функции и бесконечно малой
величины
f1 x   b1  a1 x  , f 2 x   b2  a2 x  ,
где α1(x) и α2(x) – бесконечно малые при x a функции. Имеем:
f1(x) f2(x) = b1 b2 + (α1(x)b2 + α2(x)b1 + α1(x)α2(x)).
Так как выражение в скобках является бесконечно малой функцией, то
согласно утверждению о связи предела функции и бесконечно малой
величины:
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
lim f1 x   f 2 x  b1 b2  lim f1 x   lim f 2 x  .
x a
x a
x a
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim kf x   k lim f x 
x a
x a
Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих
функций, если предел знаменателя отличен от нуля:
lim
x a
f1 x 
f1 x  lim
 x a
, lim f 2 x   0 .
f 2 x  lim f 2 x  xa
x a
Доказательство. Пусть
lim f1 x   b1 , lim f 2 x   b2 .
x a
x a
Воспользуемся утверждением о связи предела функции и бесконечно
малой величины:
f1(x) = b1 + α1(x), f2(x) = b2 + α2(x),
где α1(x) и α2(x) – бесконечно малые при x a функции. Имеем
f1 x   b1  a1 x , f 2 x   b2  a 2 x 
f 1  x  b1 b1  a1  x  b1 b1 b2 a1  x   b1 a 2  x 





.
f 2  x  b2 b2  a 2  x  b2 b2
b2 b2  a 2  x 
Так как последняя дробь является бесконечно малой величиной, то
согласно утверждению о связи предела функции и бесконечно малой
величины
f1  x  b1

.
f 2  x  b2
lim
xa
Рассмотрим основные примеры вычисления пределов.
Пример 7. Вычислить предел
x2  3
.
x2 2 x 2  5 x  1
lim
Решение. Вычислим пределы числителя и знаменателя:
lim ( x 2  3) = lim x 2 + lim 3 = 4+3 = 7,
x 2
x2
x2
lim (2 x  5 x  1) =2 lim x +5 lim x - 1 = 8+10 – 1 = 17.
2
2
x 2
x2
x2
Оба предела конечны и предел знаменателя отличен от 0, поэтому
применима теорема о пределе частного:


lim x 2  3
x2  3
7
x 2
lim 2

 .
2
x 2 2 x  5 x  1
lim 2 x  5 x  1 17
x 2
60


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 8. Найти предел
2 x 2  3x  4
.
x  4 x 2  2 x  5
lim
Решение. Так как




lim 2 x 2  3x  4   и lim 4 x 2  2 x  5   ,
x 
x 
то мы получаем неопределенность вида

. Раскрывается она следующим

образом:
lim
x 
3

x
 lim
x 
2
4 
x
2
3

4
lim  2  
2
x 
x

x 
5
2

lim  4  
2
x 
x
x

2 x 2  3x  4 

=
4x2  2x  5 
4 
3
4
lim 2  lim  lim 2
2 
x  x
x  x
200 2 1
x  x 


  .
2
5
5 
400 4 2
 lim 2
 lim 4  lim
x  x
x  x
x 2  x 
Предел мы вычислили путем деления числителя и знаменателя дроби на
x и использования теорем о пределах.
2
Пример 9. Найти предел
x2  4
lim 2
.
x  2 x  3 x  10
Решение. Так как


lim ( x 2  4)  4  4  0, lim x 2  3x  10  4  6  10  0 ,
x 2
x 2
то исходный предел представляет неопределенность вида 0/0. Для того чтобы
раскрыть ее, необходимо выделить в числителе и знаменателе сомножители,
стремящиеся при x 2 к нулю:
lim
x2
x  2  x  2 = lim x  2 = 4 .
x2  4
0
  lim
2
x  3 x  10 0 x  2  x  2    x  5 x2 x  5 7
Первый и второй замечательные пределы
Приведем без доказательства два важных предела, играющих важную
роль во многих вопросах математических исследований.
sin x
1
x  0
(первый замечательный предел)
x
x
 1
lim 1    e  2,718281.... (второй замечательный предел).
x 
 x
lim
Здесь число e носит название экспоненты. Широко используются в
математике логарифмы по основанию e, называемые натуральными.
Натуральные логарифмы обозначаются символом ln: loge x =ln x.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если во втором пределе заменить 1/x = , то 0 при x. Тогда
lim 1     e
1
 0
С помощью этих формул вычисляются многие пределы:
Пример 10. Вычислить предел
1  cos3x
x0
x2
lim
Решение.
lim
x 0
1  cos3x
 lim
x 0
x2
3x
3x
3x 
3x
3x

sin 
sin
sin
 sin
2  lim  2 
2 
2   2 lim
2  lim
2  2 3  3  9 .
2
x

0
x

0
x

0
3x 2
3x 2
x
x 
2 2 2
x





2 3
2 3


2 sin 2
Пример 11. Вычислить предел
 2x  3 
lim 
 .
x  2 x  1


4x
Решение Имеем неопределенность вида [1∞], так как
lim
x 
2x  3
 1, lim 4 x   .
x 
2x  1
Выделим у дроби целую часть:
2 x  3 2 x  1  2
2
.

 1
2x  1
2x  1
2x  1
Обозначим
y
1
y
Тогда x   
2
.
2x  1
1
и при x   y   .
2
Теперь используя определение числа е, теорему о пределе произведения,
получим
 2x  3 
lim 

x  2 x  1


4x
 lim 1  y 

y 0
4
y
4
1
2


 lim 1  y   lim 1  y  y   1  e 4 .
y 0
y

0


4.2. Непрерывность функции
Понятие непрерывности функции, так же как понятие предела, является
одним из основных понятий математики.
Определение 1. Говорят, что функция y = f(x) непрерывна в точке x = x0,
если она удовлетворяет трем условиям:
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. определена в точке x0, т.е. существует f(x0);
2. существует предел f(x) при x x0;
3. этот предел равен значению функции в точке x0.
Определение 2. Если не выполняется хотя бы одно из условий (1), (2),
(3), то говорят, что функция y = f(x) имеет разрыв (разрывна) в этой точке, а
точка x0 является точкой разрыва функции.
Из школьного курса математики известно, что все элементарные
функции непрерывны в любой точке, где они определены. Например, функция
y = sin x непрерывна на всей числовой оси.
Определение 3 (на «языке ε, δ»). Функция y = f(x) непрерывна в точке x
= x0, если для произвольного (сколь угодно малого) числа  >0 существует
такое  >0, что при условии |x – x0| < δ выполняется неравенство:
|f(x) – f(x0)| < .
Здесь δ зависит не только от ε, но и от x0.
Определение 4. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой
окрестности точки x0.
Приращением аргумента при переходе от его значения x0 к значению x
называется разность x – x0. Обозначается Δx = x – x0.
Приращением функции y = f(x) при переходе от точки x0 к точке x
называется разность соответствующих значений функции:
Δy = f(x) - f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0).
Определение 5. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0,
если она определена в некоторой окрестности точки x0 и Δy → 0 при Δx→ 0.
Замечание. Определения 1, 3 и 5 являются эквивалентными.
Пример 1. Исследовать непрерывность в точке x = 0 заданных функций:
x2, при x≠0
x+1, при x≥0
а) y = 1/x; б) y =
г) y = x2
в) y =
x-1, при x<0
1, при x=0
y
y
1
0
x
0
-1
а)
б)
63
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y
y
1
0
x
0
в)
x
г)
Решение.
а) В точке x = 0 функция y = f(x) (см. рис. a)) не является непрерывной,
так как нарушено условие непрерывности – существование f(0).
б) В точке x = 0 функция y = f(x) (см. рис. в)) не является непрерывной:
 первое условие непрерывности выполнено, f(0) существует и
f(0)=1;
 нарушено второе условие – отсутствует lim f x  . Точнее говоря,
x 0
здесь существуют односторонние пределы функции слева lim f x   1 и справа
lim f x   1 , но общего предела при x→0 не существует.
x 0
x 0
в) В точке x = 0 функция y = f(x) (см. рис. б)) не является непрерывной:
 первые два условия непрерывности выполнены – существуют f(0)
(f(0) = 1) и конечный предел lim f x   0 ;
x 0

нарушено третье основное условие:
lim f x   f 0 .
x 0
г) В точке x = 0 функция y = f(x) (см.рис. г)) непрерывна, так как
выполнены все три условия непрерывности:
lim f x   f 0  0 .
x0
Теорема. Если две функции f(x) и g(x) определены и непрерывны в точке
x = x0, то в этой же точке будут непрерывны функции:
f(x) + g(x); f(x) - g(x); f(x)g(x); f(x)/g(x) (где g(x0)  0).
Эта теорема непосредственно вытекает из теоремы о пределе суммы,
произведения и частного двух функций.
Определение 4. Функция y = f(x) называется непрерывной в промежутке,
если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Отметим некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке:
1. Если y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает своего
наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке.
2. Если y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах его принимает
значения разных знаков, то на отрезке найдется хотя бы одна точка c, в
которой значение функции равно нулю: f(c) = 0.
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Точки разрыва функции и их классификация
Переформулируем определение непрерывности функции в точке x0.
Непрерывность функции y = f(x) в точке x0 означает, что:
1. она определена в точке x0;
2. существуют односторонние пределы:
f(x0 - 0), f(x0 + 0);
3. эти односторонние пределы равны значению функции в точке x0:
f x0  0  f x0   f x0  0 .
Определение 5. Точка x0 разрыва функции y = f(x) называется точкой
разрыва первого рода, если существуют конечные левый и правый пределы:
lim f x   a,
lim f x   b
x x0 0
xx0 0
и они не равны между собой. Величина a - b называется скачком функции в
точке x0.
Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию:
 x 2  1, x  0,
y
 x  2, x  0.
Рассмотрим точку x = 0 и найдем односторонние пределы:


lim f x   lim x 2  1  1,
x 0 
x 0 
lim f x   lim x  2  2 .
x 0 
x 0 
Поскольку они не равны, то точка x = 0 является точкой разрыва первого
рода.
Определение 6. Точка x0 называется устранимой точкой разрыва
функции y = f(x), если существуют конечные левый и правый пределы f(x) в
этой точке, они равны между собой, но не равны значению функции в этой
точке.
Пример 3. Классифицировать точку разрыва функции:
 x  1, x  0,

y   x 2  1, x  0,
1, x  0.

Рассмотрим точку x = 0 и вычислим односторонние пределы:
lim f x   lim x  1  1,
x 0
x 0
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


lim f x   lim x 2  1  1
x 0 
x 0 
Так как в самой точке x = 0 значение f(0) = 1, то рассматриваемая точка
является устранимой точкой разрыва функции.
Определение 7. Если точка x0 разрыва функции f(x) не является точкой
разрыва первого рода или устранимой, она называется точкой разрыва второго
рода.
Другими словами, точка x0 – точка разрыва второго рода, если хотя бы
один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Пример 4. Дана функция f(x) = 1/x. Рассмотрим точку x = 0. Эта точка не
входит в область определения функции. Найдем пределы слева и справа:
lim f ( x)  lim
x  0
x  0
1
 ,
x
lim f ( x)  lim
x  0
x  0
1
 
x
Точка x = 0 является точкой разрыва, оба предела равны ,
следовательно, она является точкой разрыва второго рода.
Пример 5. Исследовать на непрерывность функцию
y
1
x  1  x  2
на отрезке [3/2,10].
Решение. Данная функция является элементарной дробно-рациональной
функцией. Следовательно, она непрерывна во всех точках области
определения. Точки x = 1 и x = 2 не входят в область определения функции, но
точка x = 1 [3/2,10]. Рассмотрим точку x = 2:
lim
x 2 0
1
 ,
x  1  x  2
lim
x 2  0
1
  
x  1  x  2
=> точка x = 2 является точкой разрыва второго рода.
ГЛАВА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
5.1. Производная функции
Задачи, приводящие к понятию производной
1. Задача о скорости движущейся точки
Рассмотрим движущуюся прямолинейно точку по закону s = s(t) и два
момента времени t и t + Δt.
s t 
s(t+∆t)
s
M
N
t
t
t  t
Моменту времени t соответствует точка M и пройденный путь s(t).
Аналогично, моменту времени t + Δt соответствует точка N и пройденный
путь s(t + Δt). Поэтому за промежуток времени Δt точка проходит расстояние
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Δs = s(t + Δt) - s(t).
Средняя скорость движения на участке MN равна:
Vср =
s
.
t
По определению скоростью точки в данный момент времени называется
предел средней скорости при стремлении Δt к нулю:
s
.
t 0 t
V  lim
2. Задача о касательной
Пусть дана непрерывная кривая y = f(x) и требуется найти угловой
коэффициент касательной к кривой в точке M(x, y).
Дадим аргументу x приращение Δx и рассмотрим на кривой другую
точку M1(x + Δx, f(x + Δx )). Проведем секущую MM1.
y
M1
M
A
O
x
x
Определение 1. Касательной к кривой y = f(x) в точке M называется
предельное положение секущей MM1 при приближении точки M1 к точке M,
т.е. при Δx →0.
Имеем из треугольника MM1A:
tg α =
M 1 A f x0  x   f x0  y


.
MA
x
x
Тогда угловой коэффициент касательной равен:
y
.
x 0 x
k  lim
3. Задача о производительности труда
Пусть функция u = u(t) выражает количество произведенной продукции
u за время t и необходимо найти производительность труда в момент t0.
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Очевидно, за период времени от t0 до t0 + ∆t количество произведенной
продукции изменится от значения u0 = u(t0) до значения u0 + ∆u =u(t0 + ∆t).
Тогда средняя производительность труда за этот период времени равна:
z ср 
u
.
t
Очевидно, что производительность труда в момент t0 можно определить
как предельное значение средней производительности за период времени от t0
до t0 + ∆t при ∆t→0, т.е.
u
.
t 0 t
z  lim z ср  lim
t 0
Производная функции, ее механический, геометрический и
экономический смыслы
Одним из основных понятий математики является производная, которая
определяет скорость изменения функции.
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.
Рассмотрим точку x0 + Δx из этой окрестности и вычислим Δy = f(x0 + Δx) –
f(x0).
Определение 2. Производной функции y = f(x) в точке x0 называется
предел отношения приращения функции к приращению аргумента при
стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
y x0   lim
x 0
f x0  x   f x0 
y
 lim
.

x

0
x
x
Имеется еще несколько обозначений производной функции:
f x0  
dy
x0   df x0  .
dx
dx
Определение 3. Операция нахождения производной называется
дифференцированием.
Определение 4. Функция называется дифференцируемой в точке x0, если
она имеет конечную производную в этой точке. Функция, дифференцируемая
во всех точках некоторого промежутка, называется дифференцируемой на
этом промежутке.
Примеры.
1. Производная постоянной равна нулю, т.е.
c' = 0.
Это очевидно, так как любое приращение постоянной функции y = c
равно нулю.
2. Производная аргумента равна 1:
x' = 1.
Для функции y = x приращение функции равно приращению аргумента:
Δy = Δx. Следовательно, предел их отношения всегда равен 1.
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Производная функции y = sin x равна:
(sin x)' = cos x.
Из рассмотренных выше задач, приводящих к понятию производной,
вытекают следующие смыслы производной:
Механический смысл: производная пути по времени s' (t) есть скорость
точки в момент времени t.
Геометрический смысл: производная f  x  есть угловой коэффициент
касательной, проведенной к графику функции в точке x.
Экономический смысл: производная объема произведенной продукции
по времени u'(t0) есть производительность труда в момент t0.
Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл
производной.
Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества
выпускаемой продукции х. Пусть x – прирост продукции. Тогда
у  приращение издержек производства и у  среднее приращение издержек
х
производства на единицу продукции.
Производная,
равная
lim
x 0
y
,
x
выражает
предельные
издержки
производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на
производство единицы дополнительной продукции.
Предельные издержки зависят от уровня производства (количества
выпускаемой
продукции)
х
и
определяются
не
постоянными
производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и
т.п.). Аналогичным образом могут быть определены доход, предельная
выручка, предельный продукт, предельная полезность и другие предельные
величины. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная
или средняя величина), а процесс, изменения экономического объекта. Таким
образом, производная выступает как скорость изменения некоторого
экономического объекта (процесса) по времени или относительно
исследуемого фактора. Следует учесть, однако, что экономика не всегда
позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих
объектов экономических расчетов и прерывности (дискретности)
экономических показателей по времени (например, годовых, квартальных,
месячных и т.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от
дискретности показателей и эффективно использовать предельные величины.
Определение 5. Односторонними производными функции f(x) в точке x0
называются пределы слева и справа отношения приращения функции к
приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:
lim
x  x0  0
f x   f x0 
f x0  0
 lim
 f x0  0
x 0
x
x
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Теорема (о непрерывности дифференцируемой функции). Если функция
дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна.
Доказательство. Пусть f(x) дифференцируема в точке x0, т.е. существует
конечный предел
lim
x 0
y
 f x0  .
x
Тогда рассмотрим приращение функции Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) и
получим:
y 
y
 x  f  x0   0  0 .
x
Мы показали, что Δy→0 при Δx→0. Следовательно, функция y = f(x)
непрерывна в точке x0, что требовалось доказать.
Замечание. Обратная теорема, вообще говоря, неверна: существуют
непрерывные функции, которые не дифференцируемы в некоторых точках.
Пример 4. Функция y = |x| непрерывна в точке x = 0. Покажем, что она не
дифференцируема в этой точке.
y
y=|x|
x
Решение.
x  x  x
y
 lim
x 0 x
x 0
x
y   lim
Очевидно, что при x = 0 производная не существует, так как
0  x  0
x

x
x
и отношение равно 1 при x  0 и -1 при x  0 . Следовательно, предел не
существует при x  0 .
Основные правила дифференцирования
Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции.
1. Производная суммы дифференцируемых функций равна сумме
производных этих функций:
(u + v)' = u' + v'.
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 5. (x + sin x)' = x' + (sin x)' = 1 + cos x.
2.
Производная произведения двух дифференцируемых функций
определяется по правилу:
(uv)' = u'v + uv'.
Пример 6. (xsin x)' = x'sin x + x(sin x)' = sin x + xcos x.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак
производной:
(cu)' = cu'.
3. Производная частного двух дифференцируемых функций можно
найти по формуле:

u v  uv 
u
, v(x) ≠ 0.
  
v2
v
4. Производная сложной функции y = f(φ(x)), составленной из двух
дифференцируемых функций y = f(u) и u = φ(x), существует и равна
произведению производной внешней функции f(u) по промежуточному
аргументу u на производную этого аргумента (внутренней функции u = φ(x))
по независимой переменной x:
y'x = y'u u'x.
Пример 7. Пусть y = (sin x)2.
Согласно правилу нахождения производной сложной функции
умножаем производную внешней функции – степенной функции y = u2 – на
производную внутренней функции u = sin x:
y' = 2sin x (sin x)' = 2sin x cos x.
5. Производная обратной функции. Пусть y = f(x) – дифференцируемая
и строго монотонная функция на некотором промежутке X. Тогда существует
обратная функция x = φ(y) на соответствующем промежутке Y.
Производная обратной функции равна обратной величине производной
данной функции:
x y 
1
, y'x ≠ 0.
y x
Пример 8. Пусть y = arcsin x. На промежутке – π/2 < y < π/2 обратная
функция x = sin y дифференцируема и монотонна (возрастает). Согласно
правилу дифференцирования обратной функции:
y x 
1
1
1
1
.



2
xy cos y
1  sin y
1 x2
В итоге получаем табличную производную:
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
arcsin x  
1
1 x2
.
6. Пусть функция задана параметрически:
 x  xt 
,

 y  yt 
где α < t < β. Пусть функции x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы и x = x(t)
имеет обратную функцию t = t(x).
Тогда производная параметрически заданной функции вычисляется по
формуле:
y x 
y t
xt
Таблица основных производных
1.
2.
3.
4.
y=C
y= х 
y  =O;
y   х  1 ;
y= а х
y= е х
y= log а х
y   а х ln a ;
y= ln х
y  e x ;
1
;
x ln a
y 
5.
y= sin x
1
;
x
y   cos x ;
6.
y= cos x
y    sin x ;
7.
y= tgx
y 
8.
y= ctgx
y  
9.
y  arcsin x
10.
y 
y  arccosx
11.
y  arctgx
12.
y  arcctgx
72
y 
y  
1
;
cos2 x
1
;
sin 2 x
1
1 x2
1
;
1 x2
1
y 
;
1 x2
1
y  
.
1 x2
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 9.

2 
2
1
2
 1 3 2  1  3  1 2 3 1 2  3
x   x    x  x  3 .

15
15 x
5
 5  5 3
Пример 10. Найти производную функции y 


3x  5 x
y' 
3x 4
;
5x3  1
  12x 5x  1  3x
5x  1
5x  1
3x [45 x  1  15x ] 3x 5 x  4


.
5x  1
5x  1
4
3

3
3
2
3
3
3
3
2
4
 15x 2
2

3
3
2
y '  5 3 x ln 5  3x '  3  5 3 x ln 5 .
1
4
y  ln 4 x  3  y ' 
 4 x  3' 
.
4x  3
4x  3
Пример 11.
y  53 x
Пример 12.
Пример 13.
2

 1  3x 4 5 x 3  1
3
3
y  e sin x , y'  e sin
3
2
x

sin x  e
2
sin 2 x
[2 sin xsin x ' ]  2e sin x sin x cos x  e sin x sin 2 x.
2
2
Производные высших порядков
Производной второго порядка называется производная производной
первого порядка.

f x    f x 
Пример 14. Пусть f(x) = sin x. Тогда

f ( x)  cos x , f ( x)  cos x    sin x .


f "     sin  1 .
 2
2
Аналогично определяются производные третьего, четвертого и т.д.
порядков:

n
n 1
(n=1, 2, 3,...).
f   ( x)  f   ( x)


5.2. Дифференциал функции
Понятие дифференциала функции
Дифференциал функции столь же часто используемое понятие в
математике, как и производная функции.
Пусть функция y = f (x) дифференцируема в некотором интервале. Тогда
для каждой точки x этого интервала существует конечная производная:
lim
x 0
y
 f x  .
x
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На основании утверждения о связи предела функции и бесконечно
малой величины получаем:
y
= f '(x) + α (Δx),
x
где α (Δx) – величина бесконечно малая при Δx →0. Отсюда найдем
приращение функции:
Δy = f '(x)Δx + α (Δx)Δx.
Ясно, что приращение функции Δy состоит из двух частей: главной
части
f '(x)Δx, линейной относительно приращения аргумента Δx, и бесконечно
малой величины.
Определение 1. Дифференциалом функции называется главная линейная
относительно Δx часть приращения функции, равная произведению
производной функции на приращение аргумента:
dy = f '(x)Δx.
Пример 1. Рассмотрим функцию у = х3. Ее производная равна: y' = 3x2.
Поэтому дифференциал dy = 3x2Δx.
Пример 2. Найти дифференциал функции y = x.
Согласно определению дифференциала
dy = dx = x' Δx = Δx,
откуда
dx = Δx,
т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой
переменной.
В связи с этим дифференциал функции примет вид:
dy = f '(x)dx.
Следствие. Из нового вида дифференциала функции получаем:
f '(x) =
dy
dx
Таким образом, производную функции можно вычислить как отношение
дифференциала функции dy к дифференциалу аргумента dx, т.е. дробь dy/dx –
не просто символическое обозначение.
Геометрический смысл дифференциала
Пусть y = f(x) дифференцируемая функция. Рассмотрим график этой
функции и отметим на ней точки M и L, соответствующие значениям
аргумента x и x + Δx. Обозначим через MK касательную к кривой f (x) в точке
M, φ – угол между касательной и осью OX.
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y
L
K
 С
M

x
x  x
x
Имеем
MC = Δx, KC = Δxtgφ = f '(x)Δx = dy.
Вывод. Дифференциал функции равен приращению ординаты
касательной к графику функции.
Свойства дифференциала функции
Свойства дифференциала вытекают из свойств производной и в
основном аналогичны им:
1.
dc = 0;
2.
d(cu) = cdu;
3.
d(u + v) = du + dv;
4.
d(uv) = vdu + udv;
5.
 u  vdu  udv
d  
.
v2
v
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Ранее нами была получена формула, выражающая приращение функции
через дифференциал:
Δy = f '(x)Δx + α (Δx)Δx .
Отсюда при малых значениях Δx получаем приближенное равенство:
Δy ≈ dy
или
f(x + Δx) – f(x) ≈ f '(x)Δx.
Итак, основная формула в приближенных вычислениях имеет вид:
f(x + Δx) ≈ f(x) + f '(x)Δx.
(1)
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Чем меньше значение Δx, тем точнее эта формула.
Пример 1. Вычислить приближенно 15,9 .
f ( x)  x , f ( x) 
15,9  16  0,1 
1
2 x
x0  16, x  0,1
1
 4   (0,1)  3,9875.
8
1
f ( x0 )  16  4, f ( x0 ) 
8
Пример 2. Найти приближенное значение tg 46°.
Полагая f (x) = tg x, найдем производную f '(x) = 1/cos2 x. Согласно
формуле приближенных вычислений
tg(x + Δx) ≈ tg x + Δx /cos2x.
Учитывая, что
tg 46º = tg (45º + 1º) = tg (π/4 + π/180),
возьмем x = π/4 и Δx = π/180.
Тогда
tg (π/4 + π/180) ≈ tg π/4 + 1/ (cos2 π/4) π/180 = 1 + π/90 ≈ 1,035.
Используя формулу (1) приближенных вычислений, можно вывести
формулы, часто применяемые на практике:
 (1 ± α)n ≈ 1 ± nα;
 √ 1 ± α ≈ 1 ± α/n;
 eα ≈ 1 + α;
 ln (1 ± α) ≈ ±α;
 sin α ≈ α;
 cos α ≈ 1 – α2/2,
где α – достаточно малое число.
5.3.
Приложения производной
Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Ферма. Пусть функция y = f(x)
1. определена в интервале (a, b);
2. достигает в некоторой точке c интервала наибольшего или
наименьшего значения;
3. дифференцируема в точке c.
Тогда ее производная в этой точке равна нулю, т.е.
f '(c) = 0.
Доказательство. Пусть функция f(x) имеет в точке c наибольшее
значение.
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y
0
a
c
b
x
Это означает, что f(x) ≤ f(c) для некоторой окрестности точки c. Поэтому
приращение функции
Δy = f(x) - f(c) ≤ 0.
Рассмотрим два случая:
 x < c. Следовательно, Δx = x – c < 0. Поэтому
f c  0  lim
x c 0
f x   f c 
 0;
xc
 x > c. Значит, Δx = x – c > 0. Имеем:
f c  0  lim
x c  0
f x   f c 
 0.
xc
По условию функция y = f(x) дифференцируема в точке c, следовательно,
левосторонняя и правосторонняя производные в этой точке равны между
собой:
f '(c – 0) = f '(c + 0) = 0.
Отсюда следует, что
f '(c) = 0.
Геометрический смысл. В точке наибольшего или наименьшего
значения касательная к графику параллельна оси абсцисс.
Теорема Ролля. Пусть функция f(x)
1. непрерывна на замкнутом отрезке [a, b];
2. дифференцируема на интервале (a, b);
3. на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)= f(b).
Тогда существует хотя бы одна точка с  (a, b), в которой производная
функции равна нулю:
f '(c) = 0.
Доказательство. В главе 4 было отмечено, что функция, непрерывная на
отрезке, достигает на нем своего наибольшего p и наименьшего q значений.
Возможны два случая:
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
o
об эти значения достигаются на концах отрезка, т.е. p = q. Тогда
функция является постоянной на отрезке [a, b] и ее производная равна нулю в
любой точке интервала;
o
по крайней мере одно значение (наименьшее или наибольшее)
достигается внутри отрезка. Тогда по теореме Ферма производная в
соответствующей точке равна нулю.
Геометрический смысл. Существует, по крайней мере, одна точка, в
которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.
y
0
a
c
b
x
Теорема Лагранжа. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b]
и дифференцируема на интервале (a, b), то внутри отрезка найдется хотя бы
одна точка c, что
f(b) – f(a) = f '(c)(b – a).
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
g(x) = f(x) + λx.
Она удовлетворяет условиям (1) и (2) теоремы Ролля. Условие (3)
выполняется при специальном выборе λ:
f(a) + λa = f(b) + λb.
Отсюда находим λ:

f b   f a 
.
ba
(1)
Согласно теореме Ролля внутри отрезка найдется точка c, что
g'(c) = 0 => f '(c) + λ =0 => λ = - f '(c).
(2)
Из (1) и (2), приравнивая λ, получаем равенство:
f b   f a 
 f c  .
ba
Замечание. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа,
так как, если f(a) = f(b), то f '(c)(b – a) = 0 или f '(c) = 0.
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Геометрический смысл. На графике AB существует точка С, в которой
касательная к графику параллельна хорде AB.
B
y
A
0
a
c
b
x
Правило Лопиталя. Если функции y = f(x) и y = g(x) дифференцируемы
в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a,
причем в этой окрестности g'(x) ≠ 0, и если
lim f x   lim g x   0
x a
или
x a
lim f x   lim g x    ,
x a
x a
то
lim
x a
f x 
f x 
 lim
.
g x  xa g x 
Другими словами, предел отношения двух бесконечно малых или
бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если
этот предел существует.
Замечание. Правило Лопиталя верно, когда x → +∞ или x → - ∞.
Пример 1. Вычислить lim
x 0
tgx
x
Решение. Применяя правило Лопиталя, получим:
lim
x 0
tgx 0
(tgx)
1
  lim
 lim
 1.
x

0
x

0
x
0
( x)
cos 2 x
Замечание. Правило Лопиталя можно применять повторно, если вновь
приходим к неопределенности.
Пример 2. Вычислить
1  cos x
.
x 0
x2
lim
Решение. Дважды применяя правило Лопиталя, получим:
lim
x 0
1  cos x 0
sin x 0
cos x 1
  lim
  lim
 .
2
x

0
x

0
0
2x
0
2
2
x
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 3. Найти предел lim
x 
x
ex
Решение. Здесь имеем неопределенность вида

. Используя правило

Лопиталя, легко получаем:
x

x
1

 lim
 lim x  0 .
x
x  e
 x  e x  x  e
lim
 
Признаки возрастания и убывания функции
Теорема 1. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и
дифференцируема на интервале (a, b), причем
f '(x) > 0 (f '(x) < 0),
то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a, b).
Доказательство. Пусть x1 и x2 – любые две точки данного отрезка,
причем x1 < x2 . Применим теорему Лагранжа к функции f(x) на отрезке [x1, x2]:
f c  
f  x 2   f  x1 
, c  x1, x 2 
x 2  x1
(3)
Согласно условию
f '(c) > 0 (f '(c) < 0).
Поэтому из равенства (3) вытекает, что
f(x2) – f(x1) > 0 (f(x2) – f(x1) < 0).
Это означает, что функция y = f(x) возрастает (убывает).
Пример 4. Найти интервалы возрастания и убывания функции y = x2 – 6x
+ 4.
Решение. Производная функции равна y' = 2x – 6. Очевидно, что y' > 0,
если x > 3, и y' < 0 при x < 3. Таким образом, функция убывает на интервале (∞, 3) и возрастает на интервале (3, +∞). Точка x = 3 является абсциссой
вершины параболы.
Максимум и минимум функции
Пусть функция y = f(x) непрерывна на интервале (a, b) и x0 – точка этого
интервала.
Определение 1. Функция f(x) имеет в точке x0 максимум (минимум), если
в некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство:
f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)).
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 2. Если функция f(x) имеет в точке x0 максимум или
минимум, то говорят, что она имеет в этой точке экстремум y0 = f(x0). Сама
точка x0 называется точкой экстремума.
Замечание. Понятие экстремума носит локальный характер, т.е. функция
на одном промежутке может иметь несколько максимумов и несколько
минимумов, причем возможен случай, когда максимум меньше минимума.
y
0 a
b x
Необходимые и достаточные условия экстремума функции
Теорема 2. Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x0 и в этой
точке имеет экстремум, то производная f '(x) в точке x0 равна нулю, т.е.
f '(x0) = 0.
(4)
Данная теорема является другой формулировкой теоремы Ферма, а
условие (4) – необходимым условием экстремума функции.
Замечание. Функция f(x) может иметь в точке экстремум и не быть в этой
точке дифференцируемой. Примером является функция y = |x|, которая в точке
x = 0 непрерывна, но не дифференцируема.
Поэтому сформулируем необходимое условие экстремума в таком виде:
для того чтобы функция y = f(x) имела экстремум в точке x0, необходимо,
чтобы ее производная в этой точке была равна нулю, т.е. f '(x0) = 0 или не
существовала.
Определение 3. Те точки, в которых производная равняется нулю или не
существует, называются критическими точками.
Замечание. Если в какой-то точке функция имеет экстремум, то эта точка
критическая. Обратное утверждение неверно: критическая точка не всегда
является точкой экстремума.
В качестве примера рассмотрим функцию y = x3. Ее производная y' =3x2
= 0 при x = 0. Следовательно, x = 0 – критическая точка. Но в этой точке
функция не достигает экстремума:
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y
y=x3
x
Определение 4. Говорят, что производная меняет знак с «+» на «-» (с «-»
на «+») при переходе через точку х0, если в некоторой окрестности этой точки
выполняются неравенства:
f '(x) > 0 при x < х0, f '(x) < 0 при x > х0
(f '(x) < 0 при x < х0, f '(x) > 0 при x > х0).
Теорема 3. Пусть функция y = f(x) непрерывна и дифференцируема в
некоторой окрестности критической точки x0 (в самой точке x0 производная f
'
(x) может не существовать). Если при переходе через точку x0 производная f
'
(x) меняет знак с «+» на «-», то x0 – точка максимума функции. Если же при
переходе через критическую точку производная f '(x) меняет знак с «-» на «+»,
то x0 – точка минимума. В противном случае в точке x0 экстремума нет.
Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке
Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на
отрезке [a, b], необходимо:
 найти критические точки внутри отрезка;
 вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;
 выбрать из найденных значений наименьшее и наибольшее.
Пример 5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
f(x) = x3 - 3x + 5
на отрезке [-2; 2].
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Имеем
f  (x)  3x2  3  0  x1  1, x2  1.
Далее вычисляем значения функции:
f(-1) = 7, f(1) = 3; f(-2) = 3; f(2) = 7.
Итак,
f(-2) = f(1) = 3 – наименьшее,
f(-1) = f(2) = 7 – наибольшее значения.
Выпуклость вверх и выпуклость вниз графика функции. Точки перегиба
Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда
существует касательная в каждой точке графика функции.
Определение 5. График функции называется выпуклым вверх (вниз) на
интервале (a, b), если все ее точки лежат ниже (выше) любой ее касательной на
этом интервале.
Теорема 4. Пусть на интервале (a, b) функция y = f(x) имеет
производную второго порядка, которая сохраняет знак. Тогда кривая f(x) на
этом интервале:
 выпукла вниз, если f " (x) > 0;
 выпукла вверх, если f " (x) < 0.
Определение 6. Точка х0 называется точкой перегиба, если она разделяет
у непрерывной функции области выпуклости вверх и вниз.
У
B
В - точка перегиба.
X
Определение 7. Критическими точками мы будем называть такие точки,
в которых график функции может иметь перегиб.
Можно показать, что точка х0 является критической точкой
относительно перегиба, если выполняется одно из двух условий:
1. f  (х0 )  0 ;
2. f  (x0) не существует.
Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если производная второго
порядка f " (x) при переходе через критическую точку х0 меняет свой знак, то х0
– абсцисса точки перегиба графика функции.
Пример 6. Найти промежутки выпуклости вверх и вниз графика функции
y = x3 + 2x – 3.
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Имеем
y' = 3x2 + 2, y" = 6x.
Если x > 0, то y" > 0 и график функции является выпуклым вниз. Аналогично
получаем, что на интервале (- ∞, 0) график является выпуклым вверх. Точка
графика M(0, -3) есть точка перегиба.
Асимптоты графика функции
Пусть задана функция y = f(x).
Определение 8. Прямая A называется асимптотой кривой f(x), если
расстояние от графика до этой прямой (перпендикуляр, опущенный из
произвольной точки графика на прямую) стремится к нулю при
неограниченном удалении точки графика от начала координат.
y
y
y
0
0
a
x
0
x
x
вертикальная
асимптота
горизонтальная
асимптота
наклонная
асимптота
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и
наклонные.
Определение 9. Прямая x = x0 является вертикальной асимптотой кривой
y = f(x), если
lim f x   
x a 0
или
lim f x    .
xa  0
Определение 10. Прямая y = b – горизонтальная асимптота графика
функции y = f(x), если существует предел:
lim f x  b .
x
Определение 11. Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой
кривой y = f(x), если существуют пределы:
lim
x 
f x 
 k и lim  f x   kx  b .
x
x
Общий план исследования функций и построения графиков
При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется
применять следующий план:
 найти область определения функции;
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность и
непериодичность;
 найти точки пересечения графика функции с координатными осями;
 определить интервалы возрастания и убывания функции и ее
экстремумы;
 найти промежутки выпуклости вверх и вниз кривой и точки ее перегиба;
 найти асимптоты и выяснить расположение графика относительно
асимптот;
 построить график функции.
Пример 7. Построить график функции
 х  1 3
у
2.
( х  1)
Поэтапно находим:
 область определения функции:  ,  1  (1,  );
 функция не является ни четной, ни нечетной;
 пересечение оси OX в точке (1; 0), а оси OY – (0; -1); f ( x)  0 при x ≥ 1 и
f  x   0 при x  1 ;


 ( х  1) 3 
3( х  1) 2 ( х  1) 2  2( х  1)( х  1) 3 ( x  1)( x  1) 2 ( 3( x  1)  2( x  1))


у  


2 
( х  1) 4
( x  1) 4
 ( х  1) 
x  12 x  5 .
x  13
Отсюда получаем, что производная y   0 при x = 1 и x = -5. Исследуя знак
производной, получаем:
при x   ;5  y   0  y возрастает;
x  (5;1)  y  0  y убывает;
x  (1;1)  y  > 0  y
возрастает;
x  (1;)  y  > 0  y возрастает.
Из предыдущего  х = -5 – точка максимума,
f (5)  

27
 13,5 - max;
2

 ( x  1) 2 ( x  5)  (2( x  1)(x  5)  ( x  1) 2 )(x  1) 3  3( x  1) 2 ( x  1) 2 ( x  5)




y 

3
 
( x  1) 6
 ( x  1)

( x  1)(x  1) 2 2( x  5x  1  ( x  1)(x  1)  3( x  1)(x  5) 24( x  1)


;
( x  1) 6
( x  1) 4
y  = 0 при х = 1. Далее, имеем:
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x   ,1  y  0  кривая выпукла вверх;
кривая выпукла вверх;
x   1;1  y  0 
кривая выпукла вниз.
x  1;  y  0 
Таким образом, точка x = 1 есть абсцисса точки перегиба, у (1) = 0.

3

x  1
lim f x   lim
x 1 0
x 1 0  x  12
  ,
где x = -1 точка разрыва. Следовательно, х = -1 – вертикальная асимптота;
Находим наклонную асимптоту:


 x  13

x 3  3x 2  3x  1  x 3  2 x 2  x
 5x 2  2 x  1 
b  lim 

x

lim

lim


 x 
x   x  12
x 

x  12
x  12


 10 x  2
1  5x
 lim
 lim
 5.
x  2 x  1
x  x  1
y  x  5 – наклонная асимптота при х   и х  -.
x
y

86
27
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Основная задача дифференциального исчисления – нахождение
производной функции. Интегральное исчисление рассматривает и решает
обратную задачу: найти саму функцию по ее производной.
6.1. Неопределенный интеграл
Первообразная функция и неопределенный интеграл
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции
y = f(x) на отрезке [a, b], если в каждой точке этого отрезка F '(x) = f(x).
Пример 1. Если f(x) = x2, то F(x) =
x3
3
для всех х  (, ) .

 х3 
Действительно, F ( x)     х 2 для всех х  (, ) .
 3
Очевидно, что если F (x) является первообразной для функции f (x) на
отрезке [a, b], то функция F ( x)  С , где С - произвольная постоянная, также
является первообразной для
на этом отрезке, так как
f (x)
F ( x)  C   F ( x)  f ( x) .
Теорема 1. Пусть F1 ( x) и F2 ( x) – две первообразные для функции f (x) на
отрезке [a, b]. Тогда найдется такое число C, что F1 ( x)  F2 ( x)  C для всех x из
данного отрезка.
Следствие. Если F (x) является первообразной для функции f (x) на
отрезке [a, b], то выражение F (x) + C, где С – произвольная постоянная,
задает все первообразные для функции f(x).
Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f (x) на
отрезке [a, b] называется неопределенным интегралом от функции f (x) и
обозначается:
 f ( x)dx .
В этом обозначении знак  называется знаком интеграла, выражение
f ( x)dx – подынтегральным выражением, а функция f (x) – подынтегральной
функцией.
Если F (x) одна из первообразных для функции f (x) , то в силу следствия
из теоремы:
'
(1)
 f ( x)dx  F ( х)  С , F (x) = f(x),
где С – произвольная постоянная.
Пример 2.  sin xdx   cos х  С , х  (, ) .
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Замечание. Если F (x) – первообразная для функции f (x) на множестве
D , то в формуле (1) под знаком интеграла стоит дифференциал функции F (x) ,
действительно dF  F ( x)dx  f ( x)dx . Будем считать по определению, что
 f ( x)dx   F ( х)dx   dF ( x) .
Основные свойства неопределенного интеграла
Пусть F (x) - первообразная для функции f (x) на отрезке [a, b].
1.
Производная
от
неопределенного
интеграла
подынтегральной функции:
равна
 f xdx  f x .
Доказательство. На основании равенства (1) получаем:
 f xdx  F x  c  f x .
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению:
d  f ( x)d x  f ( x)dx .
Доказательство. По определению дифференциала и равенства (1) получаем:
d  f ( x)dx  d[ F ( x)  C ]  dF ( x)  F ( x)dx  f ( x)dx .
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции
равен этой функции плюс произвольная постоянная:
 dF ( x)  F ( x)  C или  F ( x)d x  F ( x)  C .
Утверждение это очевидное, особенно второе равенство.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx .
Свойство доказывается путем дифференцирования обеих частей равенства.
5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или
нескольких функций равен алгебраической сумме соответствующих
интегралов, например:
 [ f1 ( x)  f 2 ( x)]dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx .
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица основных неопределенных интегралов
1.
 dx  x  C ;
3.

x  1
 C , (  1) ;
 1
ax
C;
4.  a x dx 
ln a
6.  cos xdx  sin x  C ;
dx
 ln | x | C ;
x
5.  sin xdx   cos x  C ;
dx
7.
 cos
9.

2
x
dx
 tgx  C ;

 x dx 
8.
 sin
dx
10. 
 arcsin x  C ;
1 x
dx
11. 
 arctgx  C ;
1 x2
dx
 ln x  x 2  1  C ;
13.  2
x 1
dx
1 1 x
 ln
C ;
15. 
2
2 1 x
1 x
2
2.
2
x
dx
 ctgx  C ;
 arcsin
x
C;
a
a x
dx
1
x
12.  2 2  arctg  C ;
a
a
a x
dx
14.  2 2  ln x  x 2  a 2  C ;
x a
dx
1
ax
C ;
16.  2 2  ln
2a a  x
a x
2
2
Замечание. Доказательство всех указанных в таблице формул
проводится непосредственным дифференцированием правых частей и
проверкой совпадения результата дифференцирования с подынтегральными
функциями.
Пример 3. Найти интегралы:
1.

dx
2.
x
 9x
dx
 16
2
Решение. 1. Воспользуемся табличным интегралом (2) от степенной
функции:
1


1
2
x2
  x dx 
c  2 x C.
1
x
2
dx
Решение. 2. Так как 9x2 + 16 = 9(x2 + (4/3)2), то, используя табличный
интеграл (12) при a = 4/3, получаем:
 9x
dx
1
 
 16 9
2
dx
4
x2   
3
2

1 3
3x
1
3x
 arctg  c  arctg  C .
9 4
4
12
4
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Интегрирование методом замены переменной
Пусть требуется вычислить интеграл  f ( x)dx .
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с
помощью подстановок двух видов:
1. Предположим, что  f ( x)dx  F ( х)  С , где F '(x) = f(x). Пусть далее u =
u(x) – дифференцируемая функция. Тогда
 f uxdux = F(u(x)) + C.
Это преобразование называется подведением функции под знак
дифференциала.
1
1
(2  5 x) 7 d (2  5 x)  Пусть u  2  5 x    u 7 du 

5
5
8
1 8
(2  5 x)

u C  
C.
58
40
Пример 5.  sin 4 x  cos xdx   sin 4 x  d (sin x)  Пусть u  sin x   u 4 du 
Пример 4.  (2  5х) 7 dx  

u5
sin 5 x
C 
C.
5
5
2. Замена переменной x = φ(t), где φ(t) - монотонная, непрерывно
дифференцируемая функция.
Подставим x = φ(t), dx = φ'(t)dt в исходное подынтегральное выражение и
получим формулу замены переменной:
 f xdx   f  t  t dt .
При этом получают эквивалентный интеграл, выраженный через новую
переменную t и который может оказаться проще исходного. Для возвращения
к переменной x необходимо заменить t значением t = φ-1(x).
Пример 6.

е
Пусть x  u 2 ,
eu
dx 
   2udu  2 e u du  2e u  C  2e
u
dx  2udu
х
х
x
C .
Пример 7.

x  cos 2 x
x 2  sin 2 x
dx 
Пусть u  x 2  sin 2 x, du  (2 x  2 cos 2 x)dx,
( x  cos 2 x)dx 

1
du;
2

1 du 1
1
 ln | u | C  ln | x 2  sin 2 x | C .

2 u
2
2
Замечание. При удачной замене исходный интеграл приводится к более
простому интегралу и даже табличному.
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Метод интегрирования по частям
Формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле
называется формула:
(2)
 udv  u  v   vdu ,
где функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы.
Формула (2) позволяет свести вычисление интеграла  udv к вычислению
интеграла  vdu . Ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний
интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.
Вычисление интеграла  udv посредством применения формулы (2)
называется интегрированием по частям.
Пример 8.  x sin xdx 
Положим u  x, dv  sin xdx,
тогда du  dx, v   cos x
  x cos x   cos xdx 
 x cos x  sin x  C .
Положим u  arctgx, dv  dx,
xdx
 xarctgx  

dx
тогда du 
, vx
1 x2
2
1 x
1 d (1  x 2 )
1
 xarctgx  
 xarctgx  ln(1  x 2 )  C .
2
2 1 x
2
Пример 9.  arctgxdx 
Интегрирование рациональных дробей
Определение 3. Многочленом или полиномом n -ой степени называется
выражение вида:
Pn ( x)  a 0 x n  a1 x n 1  ...  a n 1 x  a n , где a0  0 ,
Определение 4. Рациональной дробью называется дробь вида
Pn ( x )
, где
Qm ( x)
Pn (x ) и Qm (x) – многочлены, причем дробь называется правильной, если n  m ,
и неправильной, если n  m .
Можно доказать, что любая неправильная рациональная дробь может
быть представлена в виде суммы целой части (многочлена) и правильной
рациональной дроби. Это представление будем называть выделением целой
части.
Пример 10. Выделить целую часть у неправильной дроби
3х 3  6 х 2  8 х  9
.
х 2  3х  1
Выделение целой части у рациональных дробей проводится делением
многочлена на многочлен. Такая операция аналогична делению одного числа
на другое «уголком». В нашем примере получаем:
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3х 3  6 х 2  8 х  9
14 х  12
 3х  3  2
.
2
х  3х  1
х  3х  1
Вывод. Нахождение неопределенного интеграла от неправильной дроби
сводится к интегрированиям многочлена (целой части) и правильной
рациональной дроби. Интегрирование многочлена выполняется путем
разбиения интеграла на слагаемые, в результате интегрирования получится
некоторый многочлен степени на единицу больше степени целой части.
В связи с этим перейдем к вопросу интегрирования правильных
рациональных дробей.
Интегрирование правильных рациональных дробей
Теорема 2. Любой многочлен ненулевой степени можно представить в
виде произведения линейных или квадратичных многочленов с
действительными коэффициентами, то есть в виде произведения множителей
вида
( х  а) k и ( x 2  px  q) l ,
где a, p, q – действительные числа, p 2  4q  0 , k и l – натуральные числа.
Среди всех правильных рациональных дробей можно выделить так
называемые простейшие дроби.
Определение 5. Простейшими дробями называются рациональные
дроби вида
А
( х  а) k
и
Bx  C
, где k и l
( x  px  q) l
2
– натуральные числа и
p 2  4q  0 .
Pn ( x )
можно
Qm ( x)
Теорема 3. Всякую правильную рациональную дробь
представить в виде конечной суммы простейших дробей. При этом, если
знаменатель Qm (x) разложен на множители вида ( х  а) k и ( x 2  px  q) l при
условии p 2  4q  0 , то в указанной сумме каждому множителю знаменателя
вида:
1) ( х  а) k соответствует сумма k слагаемых вида
k
As
 ( x  a)
s 1
s
,
2) ( x 2  px  q) l соответствует сумма l слагаемых вида
l
 (x
s 1
Bs x  C s
,
 px  q ) s
2
где As , Bs и C s – действительные числа.
В частном случае, когда все корни знаменателя Qm (x) действительны и
различны, формула разложения правильной рациональной дроби имеет вид
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Pn ( x)
Ат
А1
А2


 ... 
.
Qm ( x) х  х1 х  х 2
х  хт
Пример 11. Если Qm ( x)  ( х  1)( х  1) 3 ( х 2  2 х  3) , то формула разложения
правильной рациональной дроби на простейшие такова:
Pn ( x)
В3
В
В2
А
Сх  D

 1 

 2
.
2
3
Qm ( x) х  1 х  1 ( х  1)
( х  1)
х  2x  3
Сформулируем правило разложения правильной рациональной дроби на
простейшие. Для этого необходимо:
1)
разложить знаменатель Qm (x) на линейные или квадратичные
множители;
2)
составить согласно теореме 3 формулу разложения дроби на
простейшие с неопределенными коэффициентами As , Bs и C s ;
3)
привести обе части формулы разложения к общему знаменателю и
приравнять числители;
4)
в полученном тождестве приравнять коэффициенты при
одинаковых степенях х , получится система уравнений относительно
As , Bs и C s ;
5)
решить эту систему (система имеет единственное решение) и
подставить найденные коэффициенты в формулу разложения.
Замечание. Нахождение коэффициентов по этой схеме называется
методом неопределенных коэффициентов.
Пример 12. Разложить на простейшие дроби функцию
х2 1
.
х3  х
Разложим знаменатель данной дроби на множители:
х 3  х  х( х 2  1) .
Формула разложения данной дроби на простейшие имеет вид:
х2 1
х2 1
А Вх  С
.

  2
3
2
х  х х( х  1) х х  1
Отсюда следует тождество х 2  1  А( х 2  1)  ( Вх  С ) х . Путем сравнения
коэффициентов при одинаковых степенях х получим систему уравнений:
А  В  1
 А  1



В  2 .
С  0
С  0
 А  1


Поэтому окончательно имеем
х2 1
1
2х
  2
.
3
х х 1
х х
Таким образом, интегрирование произвольной рациональной функции
сводится к интегрированию простейших дробей:
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А
1.
 х  а dx  A ln | x  a | C
2.
 ( x  a)
3.
x
A
2
k
;
dx  A ( x  a)  k dx  A ( x  a)  k d ( x  a ) 
A
( x  a)1 k  C , k  2 .
1 k
Ax  B
dx , где p 2  4q  0 .
 px  q
Интегрирование простейшей дроби третьего типа рассмотрим на
конкретном примере.
Пример 13.
x
2
4 x  10
2(2 х  4)  2
2x  4
dx
dx   2
dx  2 2
dx  2 2

 4 x  13
х  4 х  13
x  4 x  13
x  4 x  13
d ( x 2  4 x  13)
dx
d ( x  2)
 2 2
 2
 2 ln | x 2  4 x  13 | 2

2
x  4 x  13
( x  2)  9
( x  2) 2  32
2
x2
 2 ln | x 2  4 x  13 |  arctg
C .
3
3
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Обозначим через R( x, y,...,z ) рациональную функцию нескольких
переменных, т.е. функцию, над аргументами которой выполняются только
операции сложения, вычитания, умножения и деления. Здесь мы рассмотрим
интегралы двух видов.
1. Интеграл вида
m
r


n
s 

R
x
,
x
,...,
x
 
dx ,


где m, n,… r, s – натуральные числа.
Пусть k – наименьший общий знаменатель дробей m/n,… , r/s. Сделаем
замену переменной x = tk . Тогда каждая дробная степень x выразится через
целую степень t. В итоге получим интеграл от рациональной дроби, который
мы «умеем брать».
Пример 14.

dx
x (1  3 x )

Положим x  t 6 ,
dx  6t 5 dt
6t 5 dt
t2
 3
 6
dt 
t (1  t 2 )
1 t2
Подставим
1 

 6  1 
dt

6
t

6
arctgt

C

 66 х  6arctg 6 x  C .

2
6
t x
 1 t 
2. Интеграл вида
m
r


  ax  b  n  ax  b  s 
 R x,  cx  d  ,....  cx  d  dx ,


94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где m, n,… r, s – натуральные числа.
Данный интеграл с помощью подстановки
ax  b
 tk ,
cx  d
где k – наименьший общий знаменатель дробей m/n,…, r/s, приводится к
интегралу от рациональной функции относительно t .
Пример 15.

Положим x  4  t 2 ,
x4
t
t2
dx 

2
tdt

2
 t2  4
 t 2  4 dt 
x
x  t 2  4, dx  2tdt
Подставим
4 
dt
t2

 2  1  2
 2t  2 ln
C 

dt  2t  8 2
t2
t 4
t  x4
 t 4
x4 2
 2 x  4  2 ln
x42
C .
Интегрирование некоторых тригонометрических функций
Рассмотрим интеграл вида
(3)
 R( sin x, cos x)dx,
где R(u, v) есть рациональная функция своих аргументов u  sin x и v  cos x .
x
2
1. Универсальная подстановка t  tg . С помощью такой подстановки
интеграл может быть сведен к интегралу от рациональной дроби относительно
t.
x
2
2t
2  1 t .
Действительно, sin x 
,

cos
x

x 1 t2
x 1 t2
1  tg 2
1  tg 2
2
2
x
2dt
Из подстановки t  tg следует, что x  2arctgt и dx 
.
2
1 t2
2tg
x
2
1  tg 2
Подставляя все эти значения в интеграл (3), нетрудно получить интеграл
от рациональной дроби.
2dt
2
dx
dt
x
  1  t    ln | t | C  ln | tg | C .
Пример 16. 
2t
sin x
t
2
2
1 t
2dt
dx
2dt
1 t2



Пример 17. 
2
3 sin x  5 cos x
2t
1 t
5  6t  5t 2
3
 5
1 t2
1 t2
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3

2
dt
2
dt
2
1
5
 
 
 
ln
5 2 6
5  3  2 34
5
34
3
t  t 1
2
t 
t   
5
25
5
25
 5
t
34
25
C 
34
25
x
 3  34
2

ln
C  
ln
C.
34 5t  3  34
34 5tg x  3  34
2
x
Замечание. Универсальная подстановка t  tg
иногда приводит к
2
1
5t  3  34
1
5tg
громоздким вычислениям. Поэтому в некоторых случаях рекомендуется
применять другие способы нахождения интеграла.
2. Методы замены переменной t = sin x, t = cos x и t = tg x:
 Если подынтегральная функция в (3) нечетна относительно cos x, то
подстановка t = sin x приводит к интегралу от рациональной дроби
относительно t .
Пример 18.  cos3 xdx   cos2 x cos xdx   (1  sin 2 x) cos xdx 

Положим t  sin x,
dt  cos xdx
  (1  t 2 )dt  t 
t3
sin 3 x
 C  sin x 
C .
3
3
 Если подынтегральная функция в (3) нечетна относительно sin x, то
подстановка t = cos x приводит к интегралу от рациональной функции
относительно t .
Пример 19.  sin 5 xdx   sin 4 x sin xdx   (1  cos2 x) 2 sin xdx 

Положим t  cos x,
dt   sin xdx
  (1  t 2 ) 2 dt   (1  2t 2  t 4 )dt  t 
2t 3 t 5
  C .
3
5
2 cos 3 x cos 5 x

C .
3
5
 Если подынтегральная функция R(sin x, cos x) четна относительно
совокупности переменных sin x , cos x , то подстановка t  tgx приводит к
интегралу от рациональной функции относительно t .
  cos x 
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 20.
Положим t  tgx, тогда sin x 
dx
 sin 2 x  2 sin x cos x  cos2 x 

t
2t
1
1



2
2
1 t
1 t 2 1 t 2 1 t
заключение
2 2
ln

t
1 t2
t 1 2
t 1 2
отметим,
C 
что
1

2
1
1  tg x
2
dt
cos x 

, x  arctgt, dx 
2
2
1 t2
1  tg x
1 t
dt
1 t 2

В
1
tgx
,

dt
d (t  1)


t  2t  1
(t  1) 2  ( 2 ) 2
1
2 2
2
ln
tgx  1  2
tgx  1  2
интегралы
C.
вида
 sin axsin bxdx ,  cosaxcosbxdx
 sin axcosbxdx ,
при любых а и b приводятся к алгебраической
сумме табличных интегралов путем представления произведения
тригонометрических функций соответствующей суммой по известным
формулам тригонометрии.
6.2. Определенный интеграл
Задачи, приводящие к определенному интегралу
1. Задача о площади криволинейной трапеции
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная и неотрицательная функция y
= f(x). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной
графиком функции y = f(x), осью абсцисс и отрезками прямых x = a, x = b.
B
Y
A
0
а
f (c k )
x1 … x k 1
xk . . .
x n 1
b
X
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разобьем отрезок [a, b] на п частичных отрезков
[a, x1 ] , [ x1 , x 2 ] , …, [ x n1 , b] ,
длины которых обозначим соответственно через х1 , х 2 , …, х п . В каждом из
частичных отрезков возьмем по произвольной точке c1, c2, …, cn и вычислим
f(c1), f(c2), …, f(cn).
Далее составим сумму
 n  f (c1 )x1  f (c 2 )x 2  ...  f (c n )x n .
Это площадь ступенчатой фигуры и она приближенно равна площади
криволинейной трапеции. Поэтому площадь криволинейной трапеции
определяется как предел суммы  n при  n  0:
S  lim
n 0
n
 f (c
k 1
k
) x k .
(1)
Здесь n – длина наибольшего частичного отрезка.
2. Задача об объеме произведенной продукции.
Пусть функция z  f (t ) описывает изменение производительности
некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции u,
произведенной за промежуток времени [0, T ] .
Отметим, что если производительность не изменяется с течением
времени, т.е. f (t ) – постоянная функция, то объем продукции u ,
произведенной за
некоторый промежуток времени [t , t  t ] , задается
формулой u  f (t )t . В общем случае справедливо приближенное равенство
u  f c   t , где c  [t , t  t ] , которое оказывается тем более точным, чем
меньше t .
Разобьем отрезок [0, T ] на промежутки времени точками:
0  t 0  t1  t 2  ...  t n  T .
Для величины объема продукции  u i , произведенной за промежуток
времени [t i 1 , t i ] , имеем
u i  f (ci )t i , где ci  [t i 1 , t i ] , t i  t i  t i 1 , i  1, 2, 3,...,n .
Тогда объем продукции u , произведенный за весь промежуток времени
[0, T ] , будет равен:
n
n
i 1
i 1
u   u i   f (ci )t i .
При
стремлении
max t i
i
к
нулю
каждое
из
использованных
приближенных равенств становится все более точным, поэтому объем
произведенной продукции равен:
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
u
n
 f (ci )ti .
lim
max ti 0 i 1
i
Понятие определенного интеграла
Пусть функция y = f(x) определена на замкнутом отрезке [a, b] . Разобьем
отрезок [a, b] на п частичных отрезков [a, x1 ] , [ x1 , x2 ] , …, [ x n1 , b] и аналогично
задаче о площади криволинейной трапеции составим сумму
n
 п   f ( c k ) x k .
k 1
Определение 1. Сумма  n называется интегральной суммой для
функции f (x) на отрезке [a, b] .
Определение 2. Пусть предел интегральной суммы  n при стремлении
длины наибольшего частичного отрезка  n  0 существует, конечен и не
зависит от способа выбора точек x1, x2, … и точек c1, c2, … Тогда этот предел
называется определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a, b] и
обозначается символом
b

a
f ( x)dx  lim
 n 0
n
 f (c
k 1
k
)xk .
(2)
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами
интегрирования, x – переменной интегрирования, f (x) – подынтегральной
функцией, f ( x)dx – подынтегральным выражением.
Определение 3. Функция f (x) называется интегрируемой на отрезке [a,
b], если для нее существует предел (2).
Теорема. Функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b] , если выполнено
любое из следующих условий:
1) f (x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b];
2) f (x) ограничена и кусочно-непрерывна на [a, b] , т.е. имеет на этом
отрезке лишь конечное число разрывов первого рода.
Геометрический и экономический смыслы определенного интеграла
1.
Геометрический смысл. Пусть функция y = f(x) непрерывна и
неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда определенный интеграл
b
 f x dx
a
численно равен площади криволинейной трапеции расположенной под кривой
на отрезке[a, b].
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y= f(x)
S
a
b
x
2. Экономический смысл. Определенный интеграл допускает также и
экономическое истолкование. Действительно, если f (t ) – производительность
труда в момент времени t , то определенный интеграл
T
u   f (t )dt
0
есть объем выпускаемой продукции за промежуток времени [0, T ] .
Приведем пример нахождения определенного интеграла на основании
определения.
Пример 1. Вычислить
1
x
2
dx .
0
Составим интегральную сумму для функции y = x2 на отрезке [0, 1],
предполагая, что все отрезки [ хi 1 , хi ] разбиения имеют одинаковую длину хi ,
равную
1
, где
n
n
– число отрезков разбиения. В качестве точки c i возьмем
i
n
правый конец частичного отрезка [ хi 1 , хi ] , т.е ci  xi  , где i  1, 2, 3,...,n . В
силу интегрируемости функции y  x 2 такой «специальный выбор» частичных
отрезков и точек c1 , c 2 , …, c n на этих отрезках не повлияет на искомый предел
интегральной суммы. Имеем
2
n
i 1 1
f
(
c
)

x

 3
 


i
i
n
i 1
i 1  n  n
n
n
i
2
.
i 1
Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна
n
i
i 1
2

n(n  1)( 2n  1)
.
6
Следовательно,
1
x
0
2
n(n  1)(2n  1) 1
1 1
 1 
 lim 1   2    .
3
n 
6 n n 
n 3
6n
dx  lim
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Формула Ньютона – Лейбница
Теорема. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и F(x) – ее
некоторая первообразная, то имеет место формула
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) , F (x) = f(x).
'
(3)
a
Формула (1) носит название формулы Ньютона-Лейбница и
формулируется следующим образом: определенный интеграл в пределах от a
до b равен приращению первообразной для подынтегральной функции f(x) при
переходе от a к b.
Доказательство. Разобьем отрезок [a, b] произвольным образом на n
частичных отрезков точками:
a < x1 < x2 < … < xn-1 < b.
На основании формулы Лагранжа имеем:
F(x1) – F(a) = F ' (c1)(x1 - a) = f(c1) Δx1
F(x2) – F(x1) = F ' (c2)(x2 – x1) = f(c2) Δx2
…………………………………………
F(b) – F(xn-1) = F ' (cn)(b – xn-1) = f(cn) Δxn.
Просуммируем все эти равенства и получим:
F(b)
–
F(a)
=
f(c1)
Δx1 +
f(c2)
Δx2
+
…
+
f(cn)
Δxn .
(4)
Это интегральная сумма для функции f(x) на отрезке [a, b] при
специальном выборе точек c1, c2, …., cn. По условию функция f(x)
интегрируема на отрезке [a, b], следовательно, предел интегральной суммы
при max Δxi → 0 существует и не зависит от выбора точек c1, c2, …., cn.
Переходя в равенстве (4) к пределу при max Δxi → 0, получим:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Значение формулы Ньютона-Лейбница состоит не только в том, что она
дает удобное правило вычисления определенного интеграла. Кроме того, она
устанавливает связь между определенным интегралом и неопределенным
интегралом (точнее, первообразной функцией).
Правило вычисления определенного интеграла по формуле НьютонаЛейбница заключается в выполнении следующих действий:
1) нахождение первообразной F (x) для подынтегральной функции f(x);
2) вычисление приращения F (x) при переходе от a к b , т.е. выполнение
так называемой двойной подстановки: F ( x) ba  F (b)  F (a) .
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В связи с этим формула Ньютона – Лейбница примет вид:
b
 f ( x)dx F ( x)
b
a
'
 F (b)  F (a) , F (x) = f(x).
a
Замечание. В формуле Ньютона-Лейбница можно взять любую из
первообразных для f (x) , потому что двойная подстановка дает результат, не
зависящий от С :
[ F ( x)  C ] ba  F (b)  C  F (a)  C  F (b)  F (a) .
b
b
Пример 2.  e x dx e x a  e b  e a .
a
b
Пример 3.  2 xdx x 2 ba  b 2  a 2 .
a
1
x3
Пример 4.  x dx 
3
0
1

2
0
1
.
3
Основные свойства определенного интеграла
1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования
равен нулю:
a
 f ( x)dx  0 .
a
2. При перемене пределов интегрирования определенный интеграл
меняет лишь знак:
b

a
a
f ( x)dx    f ( x)dx .
b
3. Величина определенного интеграла
(обозначения) переменной интегрирования:
b

a
не
зависит
от
названия
b
f ( x)dx   f (t )dt .
a
4. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного
интеграла:
b
b
а
а
 с f ( x ) dx  c  f ( x ) dx
5. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен
соответствующей сумме интегралов от слагаемых:
b
b
b
a
a
a
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx .
6. Если промежуток [a, b] разбит точкой с на части, то интеграл по
всему промежутку равен сумме интегралов по его частям:
b

a
с
b
a
с
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Если f (x) непрерывна и положительна на отрезке [a, b] , то и интеграл
от f (x) в пределах от a до b положителен:
b
 f ( x)dx  0 .
a
8. Если функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [a, b] и
удовлетворяют соотношению f (x) > g (x) , то
b
b
a
a
 f ( x)dx   g ( x)dx .
9. Теорема (о среднем значении в интегральном исчислении). Если
функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] , то найдется такая точка с [a, b],
что интеграл от f (x) в пределах от a до b равен произведению значения
подынтегральной функции в точке c на длину промежутка интегрирования:
b
 f ( x)dx  f (c)(b  a) .
a
Способы вычисления определенного интеграла
1. Способ замены переменной
Теорема. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] ,
а функция x   (t ) непрерывно-дифференцируема на отрезке [ ,  ] , причем
a   (t )  b и  ( )  a ,  (  )  b .
Тогда справедливо следующее равенство:

b
 f ( x)dx   f ( (t )) (t )dt .
(5)
a
Формула (5) называется формулой замены переменной в определенном
интеграле.
Замечание. В отличие от неопределенного интеграла здесь нет
необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования,
поскольку известны пределы интегрирования α и β по новой переменной t.
1
Пример 5.  x(2  x 2 ) 5 dx 
0
Положим t  2  x 2 , тогда dt  2 xdx;

если x  0, то t  2; если x  1, то t  1;
1
1
1
1 t6
 1
  t   dt    t 5 dt   
22
2 6
 2
2
1

5
Пример 6.
Положим x  2 sin t , тогда dx  2 costdt;
2

2
1
21
(1  2 6 )  .
12
4
4  х dx 
2
0
если x  0, то t  0; если x  2, то t 
 2
 
2
;
 2
 2
 1

 4  cos tdt  2  (1  cos 2t )dt  2 t  sin 2t    .
 2
0
0
0
2
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Способ интегрирования по частям.
Теорема. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные
производные на отрезке [a, b]. Тогда
b
b
 udv  (uv) a   vdu .
b
a
(6)
a
Формула (6) называется формулой интегрирования по частям в
определенном интеграле.
 2
Положим u  x, dv  cos xdx
 x cos xdx  тогда
Пример 7.
0
 2
du  dx, v  sin x
 2
 ( x sin x) 0   sin xdx 
0

2

 2
 (cos x) 0 
1
Положим u  ln(1  x), dv  dx
0
тогда du 
Пример 8.  ln(1  x)dx 
dx
, vx
1 x
1

2
1.

1
x
1 
1

 ( x ln(1  x)) 0  
dx  ln 2   1 
dx  ln 2  ( x  ln(1  x)) 0 
1 x
1 x 
0
0
1
 ln 2  (1  ln 2)  2 ln 2  1 .
3. Приближенное вычисление определенных интегралов
Формула Ньютона – Лейбница является основным средством
вычисления определенных интегралов. Если же подынтегральная функция
является достаточно сложной в интегрируемом смысле, то могут возникнуть
существенные трудности при нахождении первообразной функции. Поэтому
на практике часто используют так называемые численные методы,
позволяющие найти приближенное значение искомого определенного
интеграла с требуемой точностью.
Здесь мы рассмотрим только одну из приближенных формул вычисления
определенного интеграла, а именно формулу трапеций.
Пусть функция y = f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b].
Тогда согласно геометрическому смыслу определенный интеграл
b
 f x dx
a
численно равен площади криволинейной трапеции, расположенной под кривой
y = f(x) над отрезком [a, b].
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Очевидно, что эта площадь под кривой приближенно равна площади под
ломаной, если она расположена достаточно близко к исходной кривой.
Приступим к построению требуемой ломаной.
Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длиной h = (b - a)/n и на
каждом из частичных отрезков [xi-1, xi] (i = 1, 2, …, n) заменим участок кривой
y = f(x) соответствующей хордой, стягивающей концевые точки.
y=f(x)
f (x3)
f (x2)
f (x1)
f (x0)
s1
oS2
S3
0
a=x0 x1
x2
x3
x
Тогда
b
 f xdx  S
1
 S 2  .... S n ,
a
где S1, S2, … Sn – площади трапеций.
По формуле вычисления площади трапеции имеем:
b
 f xdx 
a
b  a  f  x0   f  x n 

 f x1   ...  f xn1 ,

n 
2

(7)
Замечание. Абсолютная погрешность Δ от применения формулы
трапеций не превышает величины
k(b - a)3/12n2,
где k – наибольшее значение |f "(x)| на отрезке [a, b].
Пример 9. Вычислить по формуле трапеций при n = 5 определенный
интеграл
1, 5
dx
x
1

Решение. Так как число n отрезков разбиения равно 5, то длина отрезков
разбиения равна
h = (b - a)/n = (1,5 – 1)/5 = 0,1.
Поэтому
x0 =1, x1 = 1,1, x2 = 1,2, x3 = 1,3, x4 = 1,4, x5 = 1,5.
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По формуле (7) для функции f(x) получаем:
1, 5

1
 1 1 1  1
dx
1
1
1 
  0,4059 .
 0,1     


x
 2  1 1,5  1,1 1,2 1,3 1,4 
6.3. Приложения определенного интеграла
Вычисление площади в прямоугольных координатах
Вспомним сначала геометрический смысл определенного интеграла.
Пусть функция y = f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a, b].
Тогда площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой f(x),
отрезком [a, b] и прямыми x = a, x = b равна определенному интегралу
b
S =  f  x dx .
a
А теперь приведем общую формулу, применение которой часто
упрощает решение задач на вычисление площадей плоских фигур.
Пусть на отрезке [a, b] заданы непрерывные функции y  f (x) и
y  g (x) такие, что f ( x)  g ( x) . Тогда площадь S фигуры, ограниченной кривыми
y  f (x) , y  g (x) и прямыми x = a и x = b, вычисляется по формуле:
b
S   [ f ( x)  g ( x)]dx .
(1)
a
Y
y  f (x)
S
y  g (x)
0 а
b
X
В частности, криволинейная трапеция, заданная равенствами y  0 ,
x  a , x  b и y  f (x) , при условии f ( x)  0 имеет площадь:
b
b
a
a
S    f ( x)dx   | f ( x) | dx .
Следовательно, площадь криволинейной трапеции в случае, когда f (x)
может принимать в [a, b] значения разных знаков, равна
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
b
S   | f ( x) | dx .
(2)
a
Замечание. Интеграл
b
 f ( x)dx
дает алгебраическую сумму площадей, в
a
которой каждая площадь, расположенная под осью Ох , входит со знаком
минус. Величина этого интеграла может быть отрицательной, в то время как
площадь фигуры всегда положительна. Для вычисления площади более
сложного вида надо разбить всю фигуру на части рассмотренного вида, найти
площади этих частей и результаты сложить.
Пример 1. Найти площадь области, ограниченной графиком функции y =
sinx и осью абсцисс при условии 0  x  2 .
Имеем y  0 при 0  x   ,
y  0 при   x  2 , и по формуле (2)
получим:
2

2
0
0


2
S   | sin x | dx   sin xdx   ( sin x)dx  ( cos x) 0  (cos x)   4 .
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y  sin x и
y
2х

Y
y
2x

y  sin x
0

2
X
Данные линии пересекаются в точках с абсциссами х1  0 и х 2 

2
. По
формуле (1) получим
 2
S

0
 2

2x 
x2 



  1  .
sin
x

dx


cos
x




 
 0
4


Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y  x 2  2 и
yх
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Y
-1
0
2
X
Найдем абсциссы точек пересечения параболы y  x 2  2 и прямой y = x,
решив систему этих уравнений:
у  х2  2

у  х
 х2  2  х

х2  х  2  0 ,
х1  1 ,
х2  2 .
На отрезке [-1, 2] х  х 2  2 , значит по формуле (1) получим
2
 x2 x3

8

 1 1

S   ( x  x  2)dx  

 2 x    2   4      2   4,5 .
3
3
 2 3

 2
 1 
1
2
2
Вычисление объема тела вращения
Пусть y = f(x) непрерывная и неотрицательная на отрезке [a, b] функция.
Рассмотрим тело, получающееся при вращении вокруг оси OX криволинейной
трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x), осью OX и прямыми x = a,
x = b.
Требуется найти объем V данного тела вращения.
S (x)
а
х
х k 1
хk
b
Х
Делим отрезок [a, b] на n частичных отрезков точками
a =x0 < x1 < … < xn = b
и через точки деления проводим плоскости, перпендикулярные оси OX. Эти
плоскости разобьют тело вращения на n частичных слоев.
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим k -ый слой, ограниченный плоскостями х  х k 1 и х  х k .
Объем этого слоя приближенно равен объему цилиндра с радиусом f (xk-1) и
высотой Δxk = xk – xk-1:
ΔVk ≈ πf 2(xk-1)Δxk.
.
Сумма объемов всех таких цилиндров равна:
n
Vn = π  f 2 x k 1   x k .
k 1
Объем тела определим как предел величины Vn при стремлении  n к
нулю, где  n – длина наибольшего частичного отрезка. Этот предел существует
в силу непрерывности функции f(x) и равен определенному интегралу
b
V    f 2 ( x)dx .
(3)
a
Пример 4. Вычислить объем шара радиуса R .
Решение. По формуле (3) при y  R 2  x 2 получаем:
R
 2
 3 R3 

x3 
R3  4 3
3
     R 
  R .
V    ( R  x )dx    R x      R 
3  R
3 
3  3



R
R
2
2
Вычисление длины дуги кривой
Пусть дуга AB задана уравнением y = f(x), где f(x) – непрерывно
дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. График f(x) в этом случае есть
так называемая гладкая кривая. Геометрически это означает, что кривая в
каждой точке имеет касательную.
Требуется найти длину этой дуги AB.
Разделим кривую AB на n частей точками М 1 , М 2 , …, М п1 с абсциссами
х1 , х 2 , …, х п 1 и ординатами у1 , у 2 , …, у п 1 .
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М3
М2
Y
В
M1
у1
у2
у3
х1
х2
х3
A
а
0
b
X
Обозначим а  х0 , b  x n , x k  x k  x k 1 , y k  y k  y k 1 и  n – наибольшую
из величин x1 , x 2 , …, x n . Рассмотрим ломаную AM 1 M 2 ... M n 1 B , вписанную в
дугу АВ . Длину каждого звена ломаной можно найти по теореме Пифагора.
Тогда периметр ломаной равен:
n
 n   (x k ) 2  (y k ) 2 .
k 1
Положив здесь согласно теореме Лагранжа y k  f (c k )x k , получим
n
 n   1   f (c k ) 2 x k .
k 1
Определение 1. Длиной дуги кривой называется предел периметра
вписанной в эту дугу ломаной при безграничном уменьшении длин всех ее
звеньев, если этот предел существует и не зависит от выбора ломаной.
Очевидно, что величина  n есть интегральная сумма функции
1   f ( х)  она
отрезке [a, b] . Поскольку последняя функция
непрерывной по условию, то предел существует и он равен:
2
b
l   1   f ( x)  dx .
2
является
(4)
a
Пример 5. Найти длину дуги полукубической параболы y = x3/2 от x = 0
до x = 5.
Решение. Кривая симметрична относительно оси OX. Найдем длину
верхней ветви кривой. Производная функции y = x3/2 равна y' = 3/2 x1/2. Тогда
по формуле (4) получаем:
5
5
L   1  y  2 x dx  
0
0
3 5
9x
8  9x  2
1  dx 
1  
4
27 
4 

0
110
335
.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.4. Несобственные интегралы
При рассмотрении определенного интеграла от функции y  f x  на
отрезке [a, b] мы предполагали этот промежуток конечным, а функцию –
ограниченной. При нарушении любого из этих условий нельзя построить
определенный интеграл, так как в случае бесконечного промежутка нельзя
разбить промежуток на n частей конечной длины. Во втором случае
соответствующая интегральная сумма не имеет предела. Однако на практике
встречаются интегралы по бесконечному промежутку и интегралы от
неограниченных функций.
Определение 1. Несобственными интегралами называются:
 Интегралы с бесконечными пределами.
 Интегралы от неограниченных функций.
Здесь мы рассмотрим только первый класс несобственных интегралов.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Определение 2. Пусть функция f (x) непрерывна при х  а .
Несобственным интегралом от функции f (x) от a до +∞ называется
следующий предел:


a
b
f ( x)dx  lim  f ( x)dx .
b 
(1)
a
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл (1)
называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

b
Пример 1.  e dx  lim  e  x dx  lim   e  x  0   lim 1  e b   1 .
b
b 
b 
x
0
b

0

Данный несобственный интеграл сходится. Его можно принять за
величину площади бесконечной фигуры, ограниченной линиями х  0 , у  0 и
у  ех .
y
y=e-x
0
Пример 2.

b
x


dx
dx
b
 lim ln x  1  lim ln b   .
1 x  blim
  x
b
b
1
Следовательно, данный интеграл расходится.
Определение 3. Пусть функция f (x) непрерывна при x ≤ b. Тогда по
аналогии с интегралом (1) несобственным интегралом от функции f (x) от - ∞
до b называется следующий предел:
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
b
b

f ( x)dx  lim
a 

 f ( x)dx ,
a
Определение 4. Пусть функция f (x) непрерывна на всей числовой оси.
Тогда несобственный интеграл от - ∞ до + ∞ определяется равенством:


c
f ( x)dx 




f ( x)dx   f ( x)dx .
(2)
c
Данный интеграл называется сходящимся, если сходится каждый
интеграл, входящий в правую часть равенства (2), и – расходящимся, если
расходится хотя бы один из этих интегралов.
Пример 3. Вычислить несобственный интеграл

e
x
dx .

Решение. В формуле (2) положим c = 0 и исследуем на сходимость
несобственные интегралы с одним бесконечным пределом интегрирования.
x
x
0
t
 e dx  lim  e dx  lim e  e   1.
0
0
t 

t 
t
Т.е. первый из интегралов сходится к 1. Но

 e dx  lim  e dx  lim e
e
x
0
x
t 
0
t 
t
 1   .
т.е. второй интеграл расходится. В итоге получим, что искомый интеграл
является расходящимся.
Правильные ответы к тренинг-тестам:
1 – а); 2 – б); 3 – в); 4 – г); 5 – а); 6 – б); 7 – в); 8 – г); 9 – 9.1, 9.2, 9.3 – а);
10 – б); 11 – в); 12 – г); 13 – а); 14 – б); 15 – в).
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Место дисциплины в учебном плане
Цели и задачи курса
Перечень знаний и умений
Тематическое содержание курса
Список литературы
Вопросы для самопроверки
Тренинг-тесты
Словарь терминов
3
3
4
4
5
6
7
9
Материалы для изучения
Введение
Глава 1. Линейная алгебра
1.1. Матрицы и определители
1.2. Системы линейных уравнений
Глава 2. Векторная алгебра
2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
2.2. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
Глава 3. Аналитическая геометрия
3.1.Общее уравнение прямой на плоскости
3.2. Кривые второго порядка
3.3. Общее уравнение плоскости
3.4. Уравнение прямой в пространстве
Глава 4. Предел и непрерывность
4.1. Предел функции
4.2. Непрерывность функции
Глава 5. Дифференциальное исчисление
5.1. Производная функции
5.2. Дифференциал функции
5.3. Приложения производной
Глава 6. Интегральное исчисление
6.1. Неопределенный интеграл
6.2. Определенный интеграл
6.3. Приложения определенного интеграла
6.4. Несобственные интегралы
10
11
11
22
32
32
35
40
41
45
49
51
54
54
64
68
68
76
79
89
89
97
106
111
Правильные ответы к тренинг-тестам
112
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Бикмухаметов Ильдар Хайдарович
Колганов Евгений Алексеевич
МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
ЧАСТЬ 1
Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
Дифференциальное и интегральное исчисления
Учебное пособие
Технический редактор: Р.С. Юмагулова
Подписано в печать 16.08.2007. Формат 60х84 1/16.
Бумага газетная. Гарнитура «Таймс».
Усл. печ. л. 6,63. Уч.-изд. л. 7,5. Тираж 100 экз.
Цена свободная. Заказ № 74.
Отпечатано с готовых авторских оригиналов
на ризографе в издательском отделе
Уфимской государственной академии экономики и сервиса
450078, г. Уфа, ул. Чернышевского, 145, к. 227; тел. (347) 278-69-85.
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
116
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа