close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2573.Механика

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО
УФИМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА
МЕХАНИКА.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Методические указания к выполнению лабораторного практикума по физике
с использованием пакета «Открытая физика 2.5»
Часть 1
Уфа 2008
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Составитель: О.А. Денисова
УДК 535.3;
М 55
Механика. Молекулярная физика и термодинамика: Методические указания к выполнению лабораторного практикума по физике с использованием пакета «Открытая физика 2.5». Часть 1 / Сост.: О.А. Денисова. – Уфа: Уфимск.
гос. акад. экон. и сервиса, 2008. – 102 с.
В методических указаниях приведена краткая теория изучаемого вопроса,
порядок выполнения и правила оформления лабораторных работ по физике
разделы «Механика. Молекулярная физика и термодинамика» с использованием пакета «Открытая физика 2.5».
Предназначены для студентов дневной и заочной формы обучения инженерных специальностей.
Рис.: 58; моделей: 25. Библиогр.: 6 назв.
Рецензент: профессор, д-р техн. наук С.В. Шапиро
© Денисова О.А., 2008
© Уфимская государственная академия
экономики и сервиса, 2008
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Лабораторная работа № 1. Основные понятия кинематики.
Относительность движения. Перемещение и скорость …………………. 6
Лабораторная работа № 2. Движение тел с ускорением.
Равноускоренное движение тела. Скорость и ускорение.
Свободное падение тела …………….…………………………………….. 17
Лабораторная работа № 3. Динамика материальной точки и
твердого тела. Движение брусков ………………………………………. 27
Лабораторная работа № 4. Законы сохранения в механике.
Упругие и неупругие соударения ………………………………………... 36
Лабораторная работа № 5. Механические колебания и волны.
Колебания груза на пружине. Математический маятник ……….……... 57
Лабораторная работа № 6. Уравнение состояния идеального газа.
Изопроцессы ………..……………………………………………..……… 71
Лабораторная работа № 7.
Основы специальной теории относительности.
Относительность промежутков времени .………………………………. 83
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Данные методические указания направлены на определение порядка выполнения и оформления компьютерных лабораторных работ по программе
«Открытая физика 2.5».
Данный пакет предназначен для изучений основных физических законов
и явлений с использованием компьютерных моделей студентами очной и заочной форм обучения. Проверка знаний студента проводится во время аудиторных занятий и с помощью контрольных работ, после чего следует тестирование
знаний студентов.
Интерфейс программы достаточно удобный и позволяет работать как с
теоретическими материалами, так и с моделями одновременно. Кроме этого в
пакете присутствует список основных физических констант, формул основных
физических законов, приведены биографии великих физиков. Все это позволяет
студентам всесторонне подойти к изучению необходимого материала. В пособии учтены особенности учебных планов разных специальностей. Для этого
приведены таблицы с указанием количества выполняемых работ для каждого
раздела лабораторного практикума.
Практические занятия по данной программе разделяются на:
1) лабораторный практикум;
2) контрольные (домашние) работы.
Лабораторный практикум состоит из 7 лабораторных работ.
Для выполнения домашних контрольных работ каждый студент обеспечивается копией данного пакета.
План проведения занятий
Таблица 1
Количество
занятий по
учебному
плану
5
4
Распределение занятий по разделам
4 – механика
1 – тестирование
1 – механические колебания и волны
1 – молекулярная физика
1 – основы специальной теории относительности
1 – тестирование
Контрольная работа
Все физические
модели и задачи
Все физические
модели и задачи
По первой части в лаборатории студент должен выполнить 4 лабораторные работы по механике и одну лабораторную работу по молекулярной физике,
одну лабораторную работу по механическим колебаниями волнам, 1 – по специальной теории относительности.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На каждом занятии студент может выполнить разное количество лабораторных работ по указанию преподавателя. В ходе компьютерного моделирования, должен решить задачи или ответить на вопросы к лабораторным работам.
По каждой работе составляется отчет, в который входят результаты моделирования (расчеты и графики) и ответы на вопросы и решение задач. Отчет представляется в распечатанном виде на принтере или письменной форме в тетради
(по указанию преподавателя) и сдается преподавателю на проверку.
Решение заданной задачи студент приводит в письменном виде с указанием примененных формул и математических расчетов!
Отчет по лабораторной работе сдается на проверку на следующем аудиторном занятии.
После того как студент выполнил лабораторные и контрольные работы,
он допускается к тестированию. По результатам тестирования студент получает
зачет или допускается к экзамену.
Требования к отчетам по лабораторным работам по физике
Отчеты по лабораторным работам должны содержать:
- наименование работы;
- цель работы;
- конспект основных законов, определений, понятий, формул;
- результаты компьютерного моделирования и расчетов (графики, рисунки, схемы);
- ответы на контрольные вопросы и подробное решение задач;
- выводы по результатам выполненной работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Трофимова Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова. – М.: Высшая школа,
2001.
2. Детлаф А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. – 4-е изд. –
М.: Академия, 2003.
3. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1 / И.В. Савельев. – М.: АСТ,
2003.
4. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1 / Д.В. Сивухин. – М.: Физматлит, 2002.
5. Грабовский Р.И. Курс физики / Р.И. Грабовский. – 6-е изд. – СПб.:
Лань, 2002.
6. Дмитриева В.Ф. Основы физики / В.Ф. Дмитриева, В.Л. Прокофьев. –
М.: Академия, 2003.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ.
Относительность движения. Перемещение и скорость
Цель работы: изучение основных понятий кинематики, относительности
движения, моделей.
1. Краткая теория
Кинематикой называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин этого движения.
Механическим движением тела называют изменение его положения в
пространстве относительно других тел с течением времени.
Механическое движение относительно. Движение одного и того же тела
относительно разных тел оказывается различным. Для описания движения тела
нужно указать, по отношению к какому телу рассматривается движение. Это
тело называют телом отсчета.
Система координат, связанная с телом отсчета, и часы для отсчета времени образуют систему отсчета, позволяющую определять положение движущегося тела в любой момент времени.
В Международной системе единиц (СИ) за единицу длины принят метр,
а за единицу времени – секунда.
Всякое тело имеет определенные размеры. Различные части тела находятся в разных местах пространства. Однако во многих задачах механики нет
необходимости указывать положения отдельных частей тела. Если размеры тела малы по сравнению с расстояниями до других тел, то данное тело можно
считать его материальной точкой. Так можно поступать, например, при изучении движения планет вокруг Солнца.
Если все части тела движутся одинаково, то такое движение называется
поступательным. Поступательно движутся, например, кабины в аттракционе
«Гигантское колесо», автомобиль на прямолинейном участке пути и т.д. При
поступательном движении тела его также можно рассматривать как материальную точку.
Тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь, называется материальной точкой.
Понятие материальной точки играет важную роль в механике.
Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело (материальная точка) описывает некоторую линию, которую называют траекторией
движения тела.
Положение материальной точки в пространстве в любой момент времени
(закон движения) можно определять либо с помощью зависимости координат
от времени x = x(t), y = y(t), z = z(t) (координатный способ), либо при помощи
 
зависимости от времени радиус-вектора r  r (t ) (векторный способ), проведенного из начала координат до данной точки (рис. 1.1).
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»




Перемещением тела s  r  r  ro
называют направленный отрезок прямой,
соединяющий начальное положение тела с
его последующим положением. Перемещение есть векторная величина.
Пройденный путь l равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t. Путь – скалярная величина.
Рис. 1.1. Координатный и векторЕсли движение тела рассматривать в
ный способы определения полотечение достаточно короткого промежутка
жения тела в пространстве
времени, то вектор перемещения окажется
направленным по касательной к траектории в данной точке, а его длина будет
равна пройденному пути.
В случае достаточно малого промежутка времени Δt пройденный телом

путь Δl почти совпадает с модулем вектора перемещения s . При движении тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше
пройденного пути (рис. 1.2).
Для характеристики движения вводится понятие средней скорости:


s r
.


t t

(1.1)
В физике наибольший интерес представляет
не средняя, а мгновенная скорость, которая определяется как предел, к которому стремится средняя
скорость за бесконечно малый промежуток времени
Δt:


s r dr 
  Lim 

r .
t 0 t
t dt

(1.2)
Рис. 1.2. Пройденный путь
В математике такой предел называют произl и вектор перемещения
при криволинейном дви- водной и обозначают dr или r . Таким образом,
dt
жении тела. a и b –
мгновенная скорость материальной точки (тела) –
начальная и конечная
это первая производная от перемещения по времеточки пути
ни.

Мгновенная скорость  тела в любой точке криволинейной траектории
направлена по касательной к траектории в этой точке. Различие между средней
и мгновенной скоростями показано на рис. 1.3.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.3. Направления средней и
мгновенной скорости,
перемещения
При движении тела по криволинейной

траектории его скорость  изменяется по
модулю и направлению. Изменение вектора

скорости  за некоторый малый промежуток времени Δt можно задать с помощью

вектора  (рис. 1.4).
  
Вектор изменения скорости    2  1
за малое время Δt можно разложить на две
составляющие: тангенциальную (касатель
ную) составляющую  , направленную

вдоль вектора  , и нормальную составляю
щую  n , направленную перпендикулярно

вектору  .
Мгновенным ускорением (или просто

ускорением) a тела называют предел отно
шения малого изменения скорости  к малому промежутку времени Δt, в течение которого происходило изменение скорости:
Рис. 1.4. Изменение вектора скорости по величине и направлению



   n


a  Lim
 Lim

t 0 t
t 0
t
 t
 d  
 
   r . (1.3)
 dt

Направление вектора ускорения a в
случае криволинейного движения не совпа

дает с направлением вектора скорости  . Составляющие вектора ускорения a


называют касательным (тангенциальным) a и нормальным a n ускорениями
(рис. 1.5).
Касательное ускорение указывает,
насколько быстро изменяется скорость тела
по модулю:


d
.
a 
dt
Рис. 1.5. Касательное и
нормальное ускорения
(1.4)

Вектор a направлен по касательной к
траектории. Нормальное ускорение указывает, насколько быстро скорость тела изменяется по направлению.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Криволинейное движение можно
представить как движение по дугам окружностей (рис. 1.6).
Нормальное ускорение зависит от модуля скорости υ и от радиуса R окружности,
по дуге которой тело движется в данный
Рис. 1.6. Движение по дугам
окружностей
момент:

 2
an 
.
R
(1.5)

Вектор a n всегда направлен к центру окружности.
Из рис. 1.5 видно, что модуль полного ускорения равен:
a  a2  an2 .
(1.6)
Таким образом, основными физическими величинами в кинематике мате

риальной точки являются пройденный путь l, перемещение s , скорость  и


ускорение a . Путь l является скалярной величиной. Перемещение s , скорость


 и ускорение a – величины векторные. Чтобы задать векторную величину,
нужно задать ее модуль и указать направление.
Векторные величины подчиняются определенным математическим правилам. Вектора можно проектировать на координатные оси, их можно складывать, вычитать и т.д. Изучите модели «Вектор и его проекции на координатные
оси», «Сложение и вычитание векторов».
Модель демонстрирует
разложение вектора на составляющие путем проектирования
вектора на координатные оси X
и Y. Изменяя на графике с помощью мыши модуль
и направ
ление вектора A , проследите за

изменением его проекций Ax и



Ay . Изменяя проекции Ax и Ay ,
проследите за модулем

направлением вектора A .
Модель. Вектор и его проекции
на координатные оси
9
и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель позволяет изменять модули
и направления


векторов A и B и строить

вектор C – результат их векторного сложения или вычитания. Можно также изменять


проекции векторов A и B и
убедиться, что проекции век
тора C на координатные оси
равны соответственно сумме
или разности проекций векто

ров A и B .
Модель. Сложение и вычитание векторов
Движение тел можно описывать в различных системах отсчета. С точки
зрения кинематики все системы отсчета равноправны. Однако кинематические
характеристики движения, такие как траектория, перемещение, скорость, в разных системах оказываются различными. Величины, зависящие от выбора системы отсчета, в которой производится их измерение, называют относительными.
Пусть имеются две системы отсчета. Система XOY условно считается неподвижной, а система X'O'Y' движется поступательно по отношению к системе

XOY со скоростью  o . Система XOY может быть, например, связана с Землей, а
система X'O'Y' – с движущейся по рельсам платформой (рис. 1.7).
Рис. 1.7. Сложение перемещений относительно разных систем отсчета
Пусть человек перешел по платформе за некоторое время из точки A в
точку B. Тогда его перемещение относительно платформы соответствует векто
ру s ' , а перемещение платформы относительно Земли соответствует вектору

s o . Из рис. 1.7 видно, что перемещение
человека относительно Земли будет со-



ответствовать вектору s , представляющему собой сумму векторов s o и s ' :
  
s  so  s ' .
(1.7)
В случае, когда одна из систем отсчета движется относительно другой

поступательно (как на рис. 1.7) с постоянной скоростью  o это выражение
принимает вид:
 

s   o t  s ' .
(1.8)
Если рассмотреть перемещение за малый промежуток времени Δt, то,
разделив обе части этого уравнения на Δt и затем перейдя к пределу при Δt→0
получим:
  
  o   ' ,
(1.9)
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


здесь  – скорость тела в «неподвижной» системе отсчета XOY,  ' – ско

рость тела в «движущейся» системе отсчета X'O'Y'. Скорости  и  ' иногда

условно называют абсолютной и относительной скоростями; скорость  o называют переносной скоростью.
Соотношение (1.9) выражает классический закон сложения скоростей:

абсолютная скорость тела  равна векторной сумме его относительной ско

рости  ' и переносной скорости  o подвижной системы отсчета.
Следует обратить внимание на вопрос об ускорениях тела в различных
системах отсчета. Из (1.9) следует, что при равномерном и прямолинейном
движении систем отсчета друг относительно друга ускорения тела в этих двух

 
системах одинаковы, т.е. a  a' . Действительно, если  o – вектор, модуль и
направление которого остаются неизменными во времени, то любое изменение


 ' относительной скорости тела будет совпадать с изменением  его абсолютной скорости. Следовательно,


  '
.

t
t
(1.10)
Изучите модель «Относительность движения».
Модель демонстрирует относительность
движения на примере лодки, пересекающей
реку. Изменяя модуль и направление скорости
лодки, скорость течения реки и точку старта
лодки, наблюдайте за траекторией переправы

лодки через реку. Скорость лодки  в системе
отсчета, связанной с Землей, равна векторной

сумме скорости лодки  ' относительно воды и

скорости течения реки  o .
Модель.
Относительность движения


Переходя к пределу (Δt→0), получим a  a' . В общем случае, при движениях систем отсчета с ускорением друг относительно друга, ускорения тела в
различных системах отсчета оказываются различными.

В случае, когда вектора относительной скорости  ' и переносной скоро
сти  o параллельны друг другу, закон сложения скоростей можно записать в
скалярной форме:
υ = υ0 + υ'.
(1.11)
В этом случае все движения происходят вдоль одной прямой линии
(например, оси OX). Скорости υ, υо и υ' нужно рассматривать как проекции абсолютной, переносной и относительной скоростей на ось OX. Они являются величинами алгебраическими и, следовательно, им нужно приписывать определенные знаки (плюс или минус) в зависимости от направления движения.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Простейшим видом механического движения является движение тела
вдоль прямой линии с постоянной по модулю и направлению скоростью. Такое
движение называется равномерным. При равномерном движении тело за любые равные промежутки времени проходит равные пути. Для кинематического
описания равномерного прямолинейного движения координатную ось OX
удобно расположить по линии движения. Положение тела при равномерном
движении определяется заданием одной координаты x. Вектор перемещения и
вектор скорости всегда направлены параллельно координатной оси OX. Поэтому перемещение и скорость при прямолинейном движении можно спроектировать на ось OX и рассматривать их проекции как алгебраические величины.
Если в некоторый момент времени t1 тело находилось в точке с координатой x1, а в более поздний момент t2 – в точке с координатой x2, то проекция перемещения Δs на ось OX за время Δt = t2 – t1 равна Δs = x2 – x1.
Эта величина может быть и положительной и отрицательной в зависимости от направления, в котором двигалось тело. При равномерном движении
вдоль прямой модуль перемещения совпадает с пройденным путем. Скоростью
равномерного прямолинейного движения называют отношение:

s x2  x1

 const .
t t 2  t1
(1.12)
Если υ > 0, то тело движется в сторону положительного направления оси
OX; при υ < 0 тело движется в противоположном направлении.
Зависимость координаты x от времени t (закон движения) выражается
при равномерном прямолинейном движении линейным математическим
уравнением:
x(t) = x0 + υt.
(1.13)
В этом уравнении υ=const – скорость движения тела, xо – координата точки, в которой тело находилось в момент времени t = 0. На графике закон движения x(t) изображается прямой линией. Примеры таких графиков представлены на рис. 1.8.
Рис. 1.8. Графики равномерного
прямолинейного движения

Для закона движения, изображенного на
графике I (рис. 1.8), при t = 0 тело находилось в точке с координатой x0 = –3. Между
моментами времени t1 = 4 с и t2 = 6 с тело
переместилось от точки x1 = 3 м до точки
x2 = 6 м. Таким образом, за Δt = t2–t1 = 2 с
тело переместилось на Δs = x2–x1 = 3 м.
Следовательно, скорость тела составляет:
s
 1,5 м / с .
t
Величина скорости оказалась положительной. Это означает, что тело двигалось в положительном направлении оси OX. Обратим внимание, что на гра-
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
фике движения скорость тела может быть геометрически определена как отношение сторон BC и AC треугольника ABC (рис. 1.9)  
x2  x1 BC
.

t 2  t1
AC
Чем больше угол α, который образует прямая с осью времени, т.е. чем
больше наклон графика (крутизна), тем больше скорость тела. Иногда говорят,
что скорость тела равна тангенсу угла α наклона прямой x(t). С точки зрения
математики это утверждение не вполне корректно, так как стороны BC и AC
треугольника ABC имеют разные размерности: сторона BC измеряется в метрах, а сторона AC – в секундах.
Аналогичным образом для движения, изображенного на рис. 1.9 прямой
II, найдем x0 = 4 м, υ = –1 м/с.
Рис. 1.9. Кусочно-линейный
закон движения
На рис. 1.9 закон движения x(t) тела изображен с помощью отрезков прямых линий. В
математике такие графики называются кусочнолинейными. Такое движение тела вдоль прямой
не является равномерным. На разных участках
этого графика тело движется с различными скоростями, которые также можно определить по
наклону соответствующего отрезка к оси времени. В точках излома графика тело мгновенно
изменяет свою скорость.
На графике (рис. 1.9) это происходит в момент времени t1 = –3 с, t2 = 4 с,
t3 = 7 с и t4 = 9 с. Нетрудно найти по графику движения, что на интервале (t2; t1)
тело двигалось со скоростью υ12 = 1 м/с, на интервале (t3; t2) – со скоростью
υ23 = –4/3 м/с и на интервале (t4; t3) – со скоростью υ34 = 4 м/с.
Следует отметить, что при кусочно-линейном законе прямолинейного
движения тела пройденный путь l не совпадает с перемещением s. Например,
для закона движения, изображенного на рис. 1.10, перемещение тела на интервале времени от 0 с до 7 с равно нулю (s = 0). За это время тело прошло путь
l = 8 м.
Изучите модель «Перемещение и скорость».
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель иллюстрирует понятия перемещения и скорости при равномерном движении тела вдоль оси X. График движения
x(t) составлен из участков прямых. График
можно изменять, перемещая с помощью
мыши выделенные точки на графике. При
движении тела на каждом участке графика
вычисляются его скорость υ и перемещение
s.
Модель. Перемещение и скорость
2. Порядок выполнения работы
Упражнение № 1.
Относительность движения
1) Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.5» часть 1.
2) Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Механика» на любую строку.
3) В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните
мышью раздел лабораторные работы (весы).
4) Перед Вами лабораторная работа № 1.1. На рисунке изображении река
и лодка около одного из берегов. Нажмите «Старт». Лодка начнет двигаться относительно берега реки к другому берегу. Под рисунком расположены пара

метры скорость лодки в стоячей воде  ' , скорость течения  o , угол, под которым двигается лодка  , начальная координата лодки хо, которые можно изменять.
5) Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6) Пронаблюдайте движение лодки.
7) Под рисунком приводятся значения координат х и y конечного поло
жения лодки, ее скорость движения  и время движения лодки.
8) Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9) Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10) Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11) Дома проработайте модели 1.1–1.3 из раздела «Модели».
Упражнение № 2.
Перемещение и скорость
1) В верхнем левом углу расположена стрелка. Нажмите на стрелку, перейдите к лабораторной работе № 1.2. Перед Вами график зависимости координаты от времени движения автомобиля, а так же автомобиль.
2) Нажмите «Старт». Автомобиль начинает двигаться. Под графиком
приведены значения перемещения и скорости на каждом участке движения автомобиля.
3) Вид графика может меняться. Подведите стрелку мыши к той точке
графика, которую Вы хотите передвинуть. Нажмите левую кнопку мыши и перенесите точку туда, куда необходимо. Отпустите кнопку. Нажмите «Старт»,
пронаблюдайте движения автомобиля.
4) Повторите моделирование необходимое количество раз (по указанию
преподавателя).
5) Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
6) Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
7) Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8) Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
9) Дома проработайте модель 1.4 из раздела «Модели».
10) Напишите вывод.
3. Контрольные вопросы
1. Перечислите и дайте определения основных разделов механики.
2. Модели в механике.
3. Что называется телом отсчета, системой отсчета?
4. Дайте определения траектории, длины пути, вектора перемещения.
5. Какое движение называется поступательным?
6. Дайте определение средней и мгновенной скоростей.
7. Ускорение и его (тангенциальная и нормальная) составляющие.
8. Относительные величины.
9. Закон сложения скоростей.
10. Какое движение называется равномерным?
11. Закон движения при равномерном прямолинейном движении.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ С УСКОРЕНИЕМ.
Равноускоренное движение. Скорость и ускорение.
Свободное падение тела
Цель работы: изучение равноускоренного движения, понятий скорость и
ускорение, свободного падения тел, моделей.
1. Краткая теория
В общем случае равноускоренным движением называют такое движе
ние, при котором вектор ускорения a остается неизменным по модулю и
направлению. Примером такого движения является движение камня, брошенного под некоторым углом к горизонту (без учета сопротивления воздуха). В
любой точке траектории ускорение камня равно ускорению свободного падения

g . Для кинематического описания движения камня систему координат удобно
выбрать так, чтобы одна из осей, например ось OY, была направлена параллельно вектору ускорения. Тогда криволинейное движение камня можно представить как сумму двух движений – прямолинейного равноускоренного движения вдоль оси OY и равномерного прямолинейного движения в перпендикулярном направлении, т.е. вдоль оси OX (рис. 1.1).
Таким образом, изучение равноускоренного движения сводится к изучению прямолинейного равноускоренного
движения. В случае прямолинейного

движения векторы скорости  и ускоре
ния a направлены вдоль прямой движения. Поэтому скорость υ и ускорение a
Рис. 1.1. Проекции векторов ско- можно рассматривать в проекциях на


рости  и ускорения a на коор- направление движения как алгебраичединатные оси. ax = 0, ay = –g
ские величины.
При равноускоренном прямолинейном движении скорость тела определяется формулой
υ = υ0 + at.
(1.1)
В этой формуле υ0 – скорость тела при t = 0 (начальная скорость), a =
const – ускорение. На графике скорости υ(t) эта зависимость изображается прямой линией (рис. 1.2).
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По наклону графика скорости может быть определено ускорение a тела.
Соответствующие построения выполнены
на рис. 1.2 для графика I. Ускорение численно равно отношению сторон треугольника АВС:
Рис. 1.2. Графики скорости равноускоренного движения
Чем больше угол β, который образует график скорости с осью времени,
т.е. чем больше наклон графика (крутизна), тем больше ускорение тела.
Для графика I: υ0 = –2 м/с, a = ½ м/с2.
Для графика II: υ0 = 3 м/с, a = –1/3 м/с2.
Изучите модель «Скорость и ускорение».
Модель демонстрирует графики движения тела с постоянным ускорением.
График υ состоит из отрезков прямых.
Его можно менять с помощью мыши. При
движении тела для каждого прямолинейного
участка вычисляется величина ускорения a и
перемещения s.
Модель. Скорость и ускорение
График скорости позволяет также определить проекцию перемещения s
тела за некоторое время t. Выделим на оси времени некоторый малый промежуток времени Δt. Если этот промежуток времени достаточно мал, то и изменение
скорости за этот промежуток невелико, т.е. движение в течение этого промежутка времени можно считать равномерным с некоторой средней скоростью,
которая равна мгновенной скорости υ тела в середине промежутка Δt. Следовательно, перемещение Δs за время Δt будет равно Δs = υΔt. Это перемещение
равно площади заштрихованной на рис. 1.2 полоски. Разбив промежуток времени от 0 до некоторого момента t на малые промежутки Δt, можно получить,
что перемещение s за заданное время t при равноускоренном прямолинейном
движении равно площади трапеции ODEF. Соответствующие построения выполнены на рис. 1.2 для графика II. Время t принято равным 5,5 с.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как υ – υ0 = at, окончательная формула для перемещения s тела при
равномерно ускоренном движении на промежутке времени от 0 до t запишется
в виде:
(1.2)
Для нахождения координаты y тела в любой момент времени t нужно к
начальной координате y0 прибавить перемещение за время t:
(1.3)
Это выражение называют законом равноускоренного движения.
Изучите модель «Графики равноускоренного движения».
Модель демонстрирует графики равноускоренного движения. График x(t), представляющий собой параболу, можно менять
с помощью мыши. После команды «Старт»
движущаяся точка на графике x(t) демонстрирует движение тела; при этом одновременно рисуются графики скорости υ(t) и
ускорения a(t).
Модель. Графики равноускоренного
движения
При анализе равноускоренного движения иногда возникает задача определения перемещения тела по заданным значениям начальной υ0 и конечной υ
скоростей и ускорения a. Эта задача может быть решена с помощью уравнений
(1.1) и (1.2) путем исключения из них времени t. Результат записывается в виде:
(1.4)
Из этой формулы можно получить выражение для определения конечной
скорости υ тела, если известны начальная скорость υ0, ускорение a и перемещение s:
(1.5)
Если начальная скорость υ0 равна нулю, эти формулы принимают вид:
(1.6)
Следует еще раз обратить внимание на то, что входящие в формулы равноускоренного прямолинейного движения величины υ0, υ, s, a, y0 являются величинами алгебраическими. В зависимости от конкретного вида движения каж19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дая из этих величин может принимать как положительные, так и отрицательные
значения.
В случае достаточно малого промежутка времени Δt пройденный телом

путь Δl почти совпадает с модулем вектора перемещения s При движении тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше
пройденного пути (рис. 1.2).
Изучите модель «Равноускоренное движение тела».
Модель демонстрирует равноускоренное движение бегуна. Выбрав величины начальной скорости и ускорения бегуна (это можно сделать как с помощью соответствующих окон ввода, так и непосредственно на графике с помощью мыши), наблюдайте за изменением во времени координаты x, пройденного пути l и
скорости υ.
Проследите за движением бегуна в
случае, когда начальная скорость и ускорение имеют разные знаки.
Модель. Равноускоренное движение
тела
Свободным падением тел называют падение тел на Землю в отсутствие
сопротивления воздуха (в пустоте). В конце XVI века знаменитый итальянский
ученый Г. Галилей опытным путем установил с доступной для того времени
точностью, что в отсутствие сопротивления воздуха все тела падают на Землю
равноускоренно, и что в данной точке Земли ускорение всех тел при падении
одно и то же. До этого в течение почти двух тысяч лет, начиная с Аристотеля,
в науке было принято считать, что тяжелые тела падают на Землю быстрее легких.
Ускорение, с которым падают на Землю тела, называется ускорением
свободного падения. Вектор ускорения свободного падения обозначается сим
волом g он направлен по вертикали вниз. В различных точках земного шара в
зависимости от географической широты и высоты над уровнем моря числовое
значение g оказывается неодинаковым, изменяясь примерно от 9,83 м/с2 на полюсах до 9,78 м/с2 на экваторе. На широте Москвы g = 9,81523 м/с2. Обычно,
если в расчетах не требуется высокая точность, то принимают числовое значение g у поверхности Земли равным 9,8 м/с2 или даже 10 м/с2.
Простым примером свободного падения является падение тела с некоторой высоты h без начальной скорости. Свободное падение является прямолинейным движением с постоянным ускорением. Если направить координатную
ось OY вертикально вверх, совместив начало координат с поверхностью Земли,
то для анализа свободного падения без начальной скорости можно использо20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вать формулу (1.3), положив υ0 = 0, y0 = h, a = –g. Обратим внимание на то, что
если тело при падении оказалось в точке с координатой y < h, то перемещение s
тела равно s = y – h < 0. Эта величина отрицательна, так как тело при падении
перемещалось навстречу выбранному положительному направлению оси OY. В
результате получим:
υ = –gt.
(1.7)
Скорость отрицательна, так как вектор скорости направлен вниз.
(1.8)
Время падения tn тела на Землю найдется из условия y = 0:
(1.9)
Скорость тела в любой точке составляет:
(1.10)
В частности, при y = 0 скорость υn падения тела на землю равна
(1.11)
Пользуясь этими формулами, можно вычислить время падения тела с
данной высоты, скорость падения тела в любой момент после начала падения и
в любой точке его траектории и т.д.
Аналогичным образом решается задача о движении тела, брошенного
вертикально вверх с некоторой начальной скоростью υ0. Если ось OY попрежнему направлена вертикально вверх, а ее начало совмещено с точкой бросания, то в формулах равноускоренного прямолинейного движения следует положить: y0 = 0, υ0 > 0, a = –g. Это дает:
υ = υ0 – gt.
(1.12)
Через время υ0 /g скорость тела υ обращается в нуль, т.е. тело достигает
высшей точки подъема. Зависимость координаты y от времени t выражается
формулой
(1.13)
Тело возвращается на землю (y = 0) через время 2υ0 / g, следовательно,
время подъема и время падения одинаковы. Во время падения на землю скорость тела равна –υ0, т.е. тело падает на землю с такой же по модулю скоростью, с какой оно было брошено вверх.
Максимальная высота подъема:
(1.14)
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 1.3 представлены графики
скоростей для трех случаев движения тела с
ускорением a = –g. График I соответствует
случаю свободного падения тела без
начальной скорости с некоторой высоты h.
Падение происходило в течение времени
tn = 1 с. Из формул для свободного падения
легко получить: h = 5 м (все цифры в этих
примерах округлены, ускорение свободного
падения принято равным g = 10 м/с2).
Рис. 1.3. Графики скоростей
График II – случай движения тела,
для различных режимов дви- брошенного вертикально вверх с начальной
жения тела с ускорением a = –g скоростью υ = 10 м/с.
0
Максимальная высота подъема h = 5 м. Тело возвращается на землю через
время 2 секунды.
График III – продолжение графика I. Свободно падающее тело при ударе
о землю отскакивает (мячик), и его скорость за очень короткое время меняет
знак на противоположный. Дальнейшее движение тела не отличается от случая
II.
Задача о свободном падении тел тесно связана с задачей о движении тела,
брошенного под некоторым углом к горизонту. Для кинематического описания
движения тела удобно одну из осей системы координат направить вертикально
вверх (ось OY), а другую (ось OX) – расположить горизонтально. Тогда движение тела по криволинейной траектории можно представить как сумму двух
движений, протекающих независимо друг от друга – движения с ускорением
свободного падения вдоль оси OY и равномерного прямолинейного движения

вдоль оси OX. На рис. 1.4 изображен вектор начальной скорости  o тела и его
проекции на координатные оси.
Таким образом, для движения
вдоль оси OX имеем следующие условия:
x0 = 0, υox = υ0 cos α, ax = 0,
а для движения вдоль оси OY:
y0 = 0, υoy = υ0 sin α, ay = –g.
Приведем здесь некоторые формулы, описывающие движение тела, броРис. 1.4. Движение тела, брошенно- шенного под углом α к горизонту.
го под углом  к горизонту. РазлоВремя полета:

жение вектора  o начальной скорости тела по координатным осям
(1.15)
Дальность полета:
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.16)
Максимальная высота подъема:
(1.17)
Изучите модель «Движение тела, брошенного под углом к горизонту».
Модель. Движение тела, брошенного
под углом к горизонту
Модель демонстрирует движение
тела, брошенного под углом к горизонту.
Можно изменять начальную высоту, а
также модуль и направление скорости тела. В режиме «Стробоскоп» на траектории
через равные промежутки времени показываются вектор скорости брошенного
тела и его проекции на горизонтальную и
вертикальную оси.
Определите в компьютерном эксперименте, при каком угле бросания при
начальной высоте y = 0 и при заданной
начальной скорости дальность полета
максимальна.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, происходит по параболической траектории. В реальных условиях такое движение может быть в
значительной степени искажено из-за сопротивления воздуха, которое может во
много раз уменьшить дальность полета тела.
2. Порядок выполнения работы
Упражнение № 1.
Равноускоренное движение
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.5» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Механика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните
мышью раздел лабораторные работы (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 1.3.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. На рисунке изображен бегущий человек. Нажмите «Старт». Человек
начнет двигаться. Непосредственно под рисунком изображены временные зависимости координаты, пройденного пути и скорости. Также под рисунком рас
положены параметры начальной скорости  o и ускорения человека, которые

можно изменять. Слева от начальных параметров расположены скорость  ,
время движения, пройденный путь l, координата х.
6. Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте движение человека.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модели 1.6, 1.7 из раздела «Модели».
Упражнение № 2.
Скорость и ускорение
1. В верхнем левом углу расположена стрелка. Нажмите на стрелку, перейдите к лабораторной работе № 1.4. Перед Вами график зависимости скорости от времени движения тела.
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Нажмите «Старт». Тело начинает двигаться. Под графиком приведены
значения перемещения и ускорения на каждом участке движения тела.
3. Вид графика может меняться. Подведите стрелку мыши к той точке
графика, которую Вы хотите передвинуть. Нажмите левую кнопку мыши и перенесите точку туда, куда необходимо. Отпустите кнопку. Нажмите «Старт»,
пронаблюдайте движения тела по новой траектории.
4. Повторите моделирование необходимое количество раз (по указанию
преподавателя).
5. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
6. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
7. Дома проработайте модель 1.5 из раздела «Модели».
Упражнение № 3.
Свободное падение тела
1. В верхнем левом углу расположена стрелка. Нажмите на стрелку, перейдите к лабораторной работе № 1.5. Перед Вами график зависимости координат y от x падения тела.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Нажмите «Старт». Тело начинает двигаться. Справа от графика приведены значения начальных и конечных значений координат х и у, проекций скорости  x и  y , скорости  , угла  , времени падения тела t.
3. Значения координаты у, скорости  и угла  падения можно менять.
4. Можно включить стробоскоп, тогда будут отображаться направления
скоростей в каждый момент времени.
5. Нажмите «Старт», пронаблюдайте движения тела с новыми параметрами.
6. Повторите моделирование необходимое количество раз (по указанию
преподавателя).
7. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
8. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
9. Дома проработайте модель 1.8 из раздела «Модели».
10. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
11. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
12. Напишите вывод.
3. Контрольные вопросы
1. Какое движение называется равноускоренным?
2. Закон равноускоренного движения.
3. Что называется скоростью и ускорением?
4. Что называется свободным падением?
5. Что такое ускорение свободного падения?
6. От чего зависит ускорение свободного падения?
7. Как меняется траектория движения тела в зависимости от начального
угла падения тела?
8. От чего зависит время и дальность полета тела?
9. От чего зависит максимальная высота подъема тела?
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Движение брусков
Цель работы: изучение динамики поступательного движения материальной точки, движения брусков, моделей.
1. Краткая теория

При движении тела по траектории его скорость  может изменяться по
модулю и направлению. Это означает, что тело двигается с некоторым ускоре
нием а . В кинематике не ставится вопрос о физической причине, вызвавшей
ускорение движения тела. Как показывает опыт, любое изменение скорости тела возникает под влиянием других тел. Динамика рассматривает действие одних тел на другие как причину, определяющую характер движения тел.
Взаимодействием тел принято называть взаимное влияние тел на движение каждого из них.
Раздел механики, изучающий законы взаимодействия тел, называется динамикой.
Законы динамики были открыты великим ученым И. Ньютоном (1687 г.).
Три закона динамики, сформулированные Ньютоном, лежат в основе так называемой классической механики. Законы Ньютона следует рассматривать как
обобщение опытных фактов. Выводы классической механики справедливы
только при движении тел с малыми скоростями, значительно меньшими скорости света c = 3∙108 м/с.
Самой простой механической системой является изолированное тело, на
которое не действуют никакие тела. Так как движение и покой относительны, в
различных системах отсчета движение изолированного тела будет разным. В
одной системе отсчета тело может находиться в покое или двигаться с постоянной скоростью, в другой системе это же тело может двигаться с ускорением.
Первый закон Ньютона (или закон инерции) из всего многообразия систем отсчета выделяет класс так называемых инерциальных систем.
Существуют такие системы отсчета, относительно которых изолированные поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость неизменной по модулю и направлению.
Свойство тел сохранять свою скорость при отсутствии действия на него
других тел называется инерцией. Поэтому первый закон Ньютона называют законом инерции.
Впервые закон инерции был сформулирован Г. Галилеем (1632 г.). Ньютон обобщил выводы Галилея и включил их в число основных законов движения.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В механике Ньютона законы взаимодействия тел формулируются для
класса инерциальных систем отсчета.
При описании движения тел вблизи поверхности Земли системы отсчета,
связанные с Землей, приближенно можно считать инерциальными. Однако, при
повышении точности экспериментов, обнаруживаются отклонения от закона
инерции, обусловленные вращением Земли вокруг своей оси.
Примером тонкого механического эксперимента, в котором проявляется
неинерциальность системы, связанной с Землей, служит поведение маятника
Фуко. Так называется массивный шар, подвешенный на достаточно длинной
нити и совершающий малые колебания около положения равновесия. Если бы
система, связанная с Землей, была инерциальной, плоскость качаний маятника
Фуко оставалась бы неизменной относительно Земли. На самом деле плоскость
качаний маятника вследствие вращения Земли поворачивается, и проекция траектории маятника на поверхность Земли имеет вид розетки (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Поворот
плоскости качаний
маятника Фуко
С высокой степенью точности инерциальной является гелиоцентрическая система отсчета (или система
Коперника), начало которой помещено в центр Солнца, а
оси направлены на далекие звезды. Эту систему использовал Ньютон при открытии закона всемирного тяготения (1682 г.).
Инерциальных систем существует бесконечное
множество. Система отсчета, связанная с поездом, идущим с постоянной скоростью по прямолинейному участку пути, – тоже инерциальная система (приближенно),
как и система, связанная с Землей.
Все инерциальные системы отсчета образуют класс систем, которые движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Ускорения какого-либо тела в разных инерциальных системах одинаковы.
Итак, причиной изменения скорости движения тела в инерциальной системе отсчета всегда является его взаимодействие с другими телами. Для количественного описания движения тела под воздействием других тел необходимо
ввести две новые физические величины – инертную массу тела и силу.
Масса – это свойство тела, характеризующее его инертность. При одинаковом воздействии со стороны окружающих тел одно тело может быстро изменять свою скорость, а другое в тех же условиях – значительно медленнее. Принято говорить, что второе из этих двух тел обладает большей инертностью, или,
другими словами, второе тело обладает большей массой.
Если два тела взаимодействуют друг с другом, то в результате изменяется
скорость обоих тел, т.е. в процессе взаимодействия оба тела приобретают ускорения. Отношение ускорений двух данных тел оказывается постоянным при
любых воздействиях. В физике принято, что массы взаимодействующих тел
обратно пропорциональны ускорениям:
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.1)
В этом соотношении величины а1 и а2 следует рассматривать как проек

ции векторов а1 и а 2 на ось OX (рис. 1.2). Знак «минус» в правой части формулы означает, что ускорения взаимодействующих тел направлены в противоположные стороны.
В Международной системе единиц (СИ) масса тела измеряется в килограммах (кг).
Масса любого тела может быть определена на опыте путем сравнения с
массой эталона (mэт = 1 кг). Пусть m1 = mэт = 1 кг. Тогда
(1.2)
Масса тела – скалярная величина. Опыт показывает, что если два тела с
массами m1 и m2 соединить в одно, то масса m составного тела оказывается равной сумме масс m1 и m2 этих тел:
m = m1 + m2.
(1.3)
Это свойство масс называют аддитивностью.
Сила – это количественная мера взаимодействия тел. Сила является причиной изменения скорости тела. В механике Ньютона силы могут
иметь различную физическую причину: сила трения, сила тяжести,
упругая сила и т.д. Сила является
векторной величиной.
Рис. 1.2. Сравнение масс двух тел
Векторная сумма всех сил, действующих на тело, называется равнодействующей силой. Для измерения сил необходимо установить эталон силы и
способ сравнения других тел с этим эталоном.
В качестве эталона силы можно взять пружину, растянутую до некоторой
заданной длины. Модуль силы F0, с которой эта пружина при фиксированном
растяжении действует на прикрепленное к ее концу тело, называют эталоном
силы. Способ сравнения других тел с эталоном состоит в следующем: если тело


под действием измеряемой силы F и эталонной силы Fo остается в покое (или
движется равномерно и прямолинейно), то силы равны по модулю F = F0
(рис. 1.3).
Если измеряемая сила F больше (по модулю) эталонной силы, то можно
соединить две эталонные пружины параллельно (рис. 1.4). В этом случае измеряемая сила равна 2F0. Аналогично могут быть измерены силы 3F0, 4F0 и т.д.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 1.3. Сравнение силы F с эталоном

Рис. 1.4. Сравнение силы F с эталоном.
F  2 Fo
F  Fo
Измерение сил, меньших 2F0, может быть выполнено по схеме, показанной на рис. 1.5.
Рис. 1.6. Измерение силы по растяжению пружины. При равновесии

Рис. 1.5. Сравнение силы F с эталоном.
F  2 Fo cos


F  Fупр
Эталонная сила в Международной системе единиц называется ньютон
(Н).
На практике нет необходимости все измеряемые силы сравнивать с эталоном силы. Для измерения сил используют пружины, откалиброванные описанным выше способом. Такие откалиброванные пружины называются динамометрами. Сила измеряется по растяжению динамометра (рис. 1.6).
Второй закон Ньютона – основной закон динамики. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.
Приступая к формулировке второго закона, следует вспомнить, что в динамике вводятся две новые физические величины – масса тела m и сила F , а
также способы их измерения. Первая из этих величин – масса m – является количественной характеристикой инертных свойств тела.
Она показывает, как те
ло реагирует на внешнее воздействие. Вторая – сила F – является количественной мерой действия одного тела на другое.
Второй закон Ньютона – это фундаментальный закон природы; он является обобщением опытных фактов, которые можно разделить на две категории:
Если на тела разной массы подействовать одинаковой силой, то ускорения, приобретаемые телами, оказываются обратно пропорциональны массам:
(1.4)
Если силами разной величины подействовать на одно и то же тело, то
ускорения тела оказываются прямо пропорциональными приложенным силам:
(1.5)
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обобщая подобные наблюдения, Ньютон сформулировал основной закон
динамики:
Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:
(1.6)
Это и есть второй закон Ньютона. Он позволяет вычислить
ускорение те
ла, если известна его масса m и действующая на тело сила F :
(1.7)
В Международной системе единиц (СИ) за единицу силы принимается
сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2. Эта единица называется ньютоном (Н). Ее принимают в СИ за эталон силы:
  
Если на тело одновременно действуют несколько сил (например, F1 , F2 , F3 ,

то под силой F в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно понимать равнодействующую всех сил:
(1.8)

Если равнодействующая сила F  0 ,
то тело будет оставаться в состоянии покоя
или равномерного прямолинейного движения. Таким образом, формально второй закон Ньютона включает как частный случай
первый закон Ньютона, однако первый за
кон Ньютона имеет более глубокое физичеРис. 1.7. Сила F – равнодействую
щая силы тяжести FТ и силы нор- ское содержание – он постулирует суще
ствование инерциальных систем отсчета.
мального давления FN действуюВыше понятие массы тела было ввещих на лыжницу на гладкой горе. дено на основе опытов по измерению уско
Сила F вызывает ускорение лыж- рений двух взаимодействующих тел:
ника
массы взаимодействующих тел обратно пропорциональны численным значениям ускорений:
Изучите модель «Движение тел на легком блоке».
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель позволяет изучать второй закон Ньютона на примере движения двух тел, связанных невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через
легкий блок. Можно изменять массы тел и массу
дополнительного груза Δm и наблюдать за ускоренным движением системы.
Модель. Движение тел на
легком блоке
В векторной форме это соотношение принимает вид
(1.9)
Знак «минус» выражает здесь тот опытный факт, что ускорения взаимодействующих тел всегда направлены в противоположные стороны.
Согласно




второму закону Ньютона, ускорения тел вызваны силами F1  m1a1 и F2  m2 a 2
возникающими при взаимодействии тел. Отсюда следует:
(1.10)
Это равенство называется третьим законом Ньютона.
Тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.
Силы, возникающие при взаимодействии тел, всегда имеют одинаковую
природу. Они приложены к разным телам и поэтому не могут уравновешивать
друг друга. Складывать по правилам векторного сложения можно только силы,
приложенные к одному телу.
Рис. 1.8 иллюстрирует третий закон Ньютона. Человек действует на груз
с такой же по модулю силой, с какой груз действует на человека. Эти силы
направлены в противоположные стороны. Они имеют одну и ту же физическую
природу – это упругие силы каната. Сообщаемые обоим телам ускорения обратно пропорциональны массам тел.
Силы, действующие между частями одного и того же тела, называются
внутренними. Если тело движется как целое, то его ускорение определяется
только внешней силой. Внутренние силы исключаются из второго закона Ньютона, так как их векторная сумма равна нулю.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В качестве примера рассмотрим
рис. 1.9, на котором изображены два
тела с массами m1 и m2, жестко связанные между собой невесомой нерастяжимой нитью и двигающиеся с

одинаковым ускорением а как единое целое
под действием внешней

силы F . Между телами действуют
Рис. 1.8. Третий закон Ньютона


внутренние силы, подчиняющиеся третьему закону Ньютона: F2   F1 . Движение каждого тела зависит от сил взаимодействия между ними. Второй закон
Ньютона, примененный к каждому телу в отдельности, дает:
(1.11)
Складывая левые и правые части этих уравнений и принимая во внима 

ние, что a1  a2  a и F2   F1 , получим:
(1.12)
Внутренние силы исключились из уравнения движения системы двух связанных тел.
Рис. 1.9. Исключение внутренних
сил
Изучите модель «Движение связанных брусков».
Модель. Движение связанных брусков
Модель иллюстрирует третий закон
Ньютона на примере движения связанных
брусков под действием силы тяжести одного из них. Блоки связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через легкий
блок. Изменяя массу брусков, можно
наблюдать движение системы с различными
ускорениями. Обратите внимание на силы,
приложенные к брускам. Убедитесь в том,
что упругие силы, действующие на бруски
со стороны нити, одинаковы по модулю и
направлены в противоположные стороны:
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Порядок выполнения работы
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.5» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Механика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните
мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 1.6 «Движение брусков».
5. На рисунке изображены три тела, соединенные между собой нитью,
перекинутой через блок. Два тела находятся на поверхности стола, третье – висит на нити. Нажмите «Старт». Тела начнут двигаться. Слева под рисунком
находятся параметры – массы тел, которые можно изменять. Справа под рисун
ком приведены значения ускорения а , силы натяжения нити Т, сил взаимодей

ствия между двумя телами, лежащими на столе F12   F21 .
6. Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте движение брусков.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модели 1.10, 1.11 из раздела «Модели».
12. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
13. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
14. Напишите вывод.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Контрольные вопросы
1. Что изучает динамика?
2. Что такое изолированная система?
3. Что изучает классическая, релятивистская, квантовая механика?
4. Какая система называется инерциальной? Сформулируйте первый закон Ньютона.
5. Что такое инерция?
6. В чем заключается физический смысл массы? Закон сохранения массы.
7. Сформулируйте физический смысл силы. Какая сила называется равнодействующей?
8. Сформулируйте второй закон Ньютона.
9. Сформулируйте третий закон Ньютона.
10. Какие силы называются внутренними?
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ.
Упругие и неупругие соударения
Цель работы: изучение законов сохранения в механике, упругих и неупругих соударений, моделей.
1. Краткая теория
Пусть на тело массой
m в течение некоторого малого промежутка време
ни Δt действовала сила F Под действием этой силы скорость тела изменилась
  
на    2  1 . Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением:
(1.1)
Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует:
(1.2)
Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его
движения, называется импульсом тела (или количеством движения). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является
килограмм-метр в секунду (кг·м/с).
Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия,
называется импульсом силы. Импульс силы также является векторной величиной.
Второй закон Ньютона (или закон изменения импульса) может быть
сформулирован следующим образом: изменение импульса тела (количества
движения) равно импульсу силы.

Обозначив импульс тела буквой p второй закон Ньютона можно записать
в виде:
(1.3)
Именно
в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон.

Сила F в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил,
приложенных к телу. Это векторное равенство может быть записано в проекциях на координатные оси:
FxΔt = Δpx; FyΔt = Δpy; FzΔt = Δpz.
(1.4)
Изучите модель «Импульс тела».
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель предназначена для иллюстрации
понятий импульса тела mυ и импульса силы FΔt.
Демонстрируется изменение импульса тела при
воздействии на него силы. Можно выбирать
начальную скорость υ0 бруска, его массу m, модуль и направление действующей силы F и время
Δt ее действия. После прекращения действия силы
брусок движется с другой скоростью. Количественно проверяется закон изменения импульса.
Модель. Импульс тела
Таким образом, изменение проекции импульса тела на любую из трех
взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось.
Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, т.е. движение тела по
одной из координатных осей (например, оси OY). Пусть тело свободно падает с
начальной скоростью υ0 под действием силы тяжести; время падения равно t.
Направим ось OY вертикально вниз. Импульс силы тяжести Fт = mg за время t
равен mgt. Этот импульс равен изменению импульса тела
Fтt = mgt = Δp = m(υ – υ0), откуда υ = υ0 + gt.
Этот простой результат совпадает с кинематической формулой для скорости равноускоренного движения. В этом примере сила оставалась неизменной по модулю на всем интервале времени t. Если сила изменяется по величине,
то в выражение для импульса силы нужно подставлять среднее значение силы
Fср на промежутке времени ее действия. Рис. 1.1 иллюстрирует метод определения импульса силы, зависящей от времени.
Выберем на оси времени малый интервал Δt, в течение которого сила F(t) практически остается неизменной. Импульс силы
F(t)Δt за время Δt будет равен площади заштрихованного столбика. Если всю ось времени на интервале от 0 до t разбить на малые
интервалы Δti, а затем просуммировать имРис. 1.1. Вычисление импульса пульсы силы на всех интервалах Δt , то сумi
силы по графику зависимости
марный импульс силы окажется равным
F(t)
площади, которую образует ступенчатая кривая с осью времени. В пределе (Δti → 0) эта площадь равна площади, ограниченной графиком F(t) и осью t. Этот метод определения импульса силы по графику F(t) является общим и применим для любых законов изменения силы со
временем. Математически задача сводится к интегрированию функции F(t) на
интервале [0; t].
Импульс силы, график которой представлен на рис. 1.1, на интервале от
t1 = 0 с до t2 = 10 с равен:
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
2
В этом простом примере Fср  Fmax  10H . В некоторых случаях среднюю
силу Fср можно определить, если известно время ее действия и сообщенный телу импульс. Например, сильный удар футболиста по мячу массой 0,415 кг может сообщить ему скорость υ=30 м/с. Время удара приблизительно равно 8·10–3
с.
Импульс p, приобретенный мячом в результате удара есть:
P = mυ = 12,5 кг·м/с.
Следовательно, средняя сила Fср, с которой нога футболиста действовала
на мяч во время удара, есть:
Это очень большая сила. Она приблизительно равна весу тела массой
160 кг.
Если движение тела во время действия силы происходило по некоторой


криволинейной траектории, то начальный p1 и конечный p 2 импульсы тела могут отличаться не только по модулю, но и по направлению. В этом случае для

определения изменения импульса p удобно использовать диаграмму импуль

 

сов, на которой изображаются вектора p1 и p 2 , а также вектор p  p2  p1 построенный по правилу параллелограмма. В качестве примера на рис. 1.2 изображена диаграмма импульсов для мяча, отскакивающего от шероховатой стен
ки. Мяч массой m налетел на стенку со скоростью  1 под углом α к нормали

(ось OX) и отскочил от нее со скоростью  2 под углом β. Во время контакта со

стеной на мяч действовала некоторая сила F направление которой совпадает с

направлением вектора p
Рис. 1.2. Отскок мяча от шероховатой стенки и диаграмма импульсов
При нормальном падении мяча
массой m на упругую стенку со скоро 
стью 1   после отскока мяч будет


иметь скорость 2   . Следовательно,
изменение импульса мяча за время от

скока равно p  2m . В проекциях на
ось OX этот результат можно записать в
скалярной форме Δpx = –2mυx.
Ось OX направлена от стенки (как на рис. 1.2), поэтому υx < 0 и Δpx > 0.
Следовательно, модуль Δp изменения импульса связан с модулем υ скорости
мяча соотношением Δp = 2mυ.
При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние
силы со стороны других тел, такая система называется замкнутой.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в
систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.
Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения
импульса. Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона.
Рассмотрим какие-либо два взаимодействующих тела, входящих в состав
замкнутой системы. Силы взаимодействия между этими телами обозначим че



рез F1 и F2 . По третьему закону Ньютона F2   F1 . Если эти тела взаимодействуют в течение времени t, то импульсы сил взаимодействия одинаковы по


модулю и направлены в противоположные стороны: F2 t   F1t . Применим к этим
телам второй закон Ньютона:




где m11 и m2 2 – импульсы тел в начальный момент времени, m11 ' и m2 2 '
– импульсы тел в конце взаимодействия. Из этих соотношений следует:
(1.5)
Это равенство означает, что в результате взаимодействия двух тел их
суммарный импульс не изменился. Рассматривая теперь всевозможные парные
взаимодействия тел, входящих в замкнутую систему, можно сделать вывод, что
внутренние силы замкнутой системы не могут изменить ее суммарный импульс, т.е. векторную сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему.
Рис. 1.3 иллюстрирует закон сохранения
импульса на примере нецентрального соударения двух шаров разных масс, один из которых
до соударения находился в состоянии покоя.
Изображенные на рис. 1.3 вектора импульсов шаров до и после соударения можно
спроектировать на координатные оси OX и OY.
Закон сохранения импульса выполняется и для
проекций векторов на каждую ось. В частности, из диаграммы импульсов (рис. 1.3) следу

ет, что проекции векторов p1 ' и p2 ' импульсов
обоих шаров после соударения на ось OY
Рис. 1.3. Нецентральное соударе- должны быть одинаковы по модулю и иметь
ние шаров разных масс: 1 – им- разные знаки, чтобы их сумма равнялась нулю.
пульсы до соударения; 2 – импульсы после соударения; 3 –
диаграмма импульсов
Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны. Примером может служить реактивное движение.
При стрельбе из орудия возникает отдача – снаряд движется вперед, а
орудие – откатывается назад. Снаряд и орудие – два взаимодействующих тела.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Скорость, которую приобретает орудие при отдаче, зависит только от скорости
снаряда и отношения
масс (рис. 1.4). Если скорости орудия и снаряда обозна

чить через V и  , а их массы через М и m, то на основании закона сохранения
импульса можно записать в проекциях на ось OX
Рис. 1.4. Отдача при выстреле из орудия
На принципе отдачи основано
реактивное движение. В ракете
при сгорании топлива газы, нагретые до высокой температуры, выбрасываются из сопла с большой

скоростью u относительно ракеты.
Обозначим массу выброшенных газов через m, а массу ракеты после
истечения газов через M.
Тогда для замкнутой системы «ракета + газы» можно записать на основании закона сохранения импульса (по аналогии с задачей о выстреле из орудия):
(1.6)
где V – скорость ракеты после истечения газов. Здесь предполагалось, что
начальная скорость ракеты равнялась нулю.
Полученная формула для скорости ракеты справедлива лишь при условии, что вся масса сгоревшего топлива выбрасывается из ракеты одновременно.
На самом деле истечение происходит постепенно в течение всего времени
ускоренного движения ракеты. Каждая последующая порция газа выбрасывается из ракеты, которая уже приобрела некоторую скорость.
Для получения точной формулы процесс истечения газа из сопла ракеты
нужно рассмотреть более детально. Пусть ракета в момент времени t имеет

массу M и движется со скоростью  (рис. 1.5 (1)). В течение малого промежутка времени Δt из ракеты будет выброшена некоторая порция газа с относитель


ной скоростью u . Ракета в момент t + Δt будет иметь скорость    , а ее масса
станет равной M + ΔM, где ΔM < 0 (рис. 1.5 (2)). Масса выброшенных газов будет, очевидно, равна –ΔM > 0. Скорость газов в инерциальной системе OX бу 
дет равна   u . Применим закон сохранения импульса. В момент времени t + Δt


импульс ракеты равен (M  M )(   ) , а импульс испущенных газов равен
 

(M )(  u ) . В момент времени t импульс всей системы был равен M . Предполагая систему «ракета + газы» замкнутой, можно записать:
(1.7)

Величиной M можно пренебречь, так как |ΔM| << M. Разделив обе части последнего соотношения на Δt и перейдя к пределу при Δt → 0, получим
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.8)
Величина  
M
(t  0) есть расt
ход топлива в единицу времени. Величи
на  u называется реактивной силой

тяги Fp . Реактивная сила тяги действует
на ракету со стороны истекающих газов,
она направлена в сторону, противопоРис. 1.5. Ракета, движущаяся в свободном пространстве (без гравита- ложную относительной скорости. Соотношение
ции).
1 – в момент времени t. Масса раке
ты М, ее скорость  . 2 – Ракета в
момент времени t + Δt. Масса ракеты M + ΔM, где ΔM < 0, ее скорость


   масса выброшенных газов –
ΔM > 0, относительная скорость га
зов u , скорость газов в инерциаль 
ной системе   u
выражает второй закон Ньютона для тела
переменной массы. Если газы выбрасываются из сопла ракеты строго назад (рис.
1.5), то в скалярной форме это соотношение принимает вид:
Ma = μu,
где u – модуль относительной скорости. С помощью математической операции интегрирования из этого соотношения можно получить формулу для конечной скорости υ ракеты:
(1.9)
где
Мо
– отношение начальной и конечной масс ракеты. Эта формула
М
называется формулой Циолковского. Из нее следует, что конечная скорость ракеты может превышать относительную скорость истечения газов. Следовательно, ракета может быть разогнана до больших скоростей, необходимых для космических полетов. Но это может быть достигнуто только путем расхода значительной массы топлива, составляющей большую долю первоначальной массы
ракеты. Например, для достижения первой космической скорости υ = υ1 =
7,9·103 м/с при u = 3·103 м/с (скорости истечения газов при сгорании топлива
бывают порядка 2–4 км/с) стартовая масса одноступенчатой ракеты должна
примерно в 14 раз превышать конечную массу. Для достижения конечной скорости υ = 4u отношение
Мо
должно быть равно 50.
М
Изучите модель «Реактивное движение».
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель предназначена для иллюстрации закона сохранения импульса на примере реактивного
движения. Демонстрируется движение ракеты в
свободном пространстве. Приводится график изменения скорости движения ракеты во времени.
Относительная скорость u истечения газов из ракеты предполагается заданной. Изменяя массу топлива Mт, заправленного в ракету, можно наблюдать
ускоренное движение ракеты до момента полного
выгорания топлива и ее последующее равномерное
движение. Попробуйте определить в компьютерном эксперименте, при каком минимальном отношении начальной и конечной масс
Mo
одностуM
пенчатой ракеты она может достичь первой космической скорости (при заданной скорости истечения
Модель. Реактивное движение газов). Проверьте результат с помощью формулы
Циолковского.
Значительное снижение стартовой массы ракеты может быть достигнуто
при использовании многоступенчатых ракет, когда ступени ракеты отделяются по мере выгорания топлива. Из процесса последующего разгона ракеты исключаются массы контейнеров, в которых находилось топливо, отработавшие
двигатели, системы управления и т.д. Именно по пути создания экономичных
многоступенчатых ракет развивается современное ракетостроение.
Энергетические характеристики движения вводятся на основе понятия
механической работы или работы силы.

Работой A, совершаемой постоянной силой F , называется физическая
величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному

на косинус угла α между векторами силы F и перемещения s (рис. 1.6):
A = Fs cos α..
(1.10)
Работа является скалярной величиной. Она может быть как положительна
(0° ≤ α < 90°), так и отрицательна (90° < α ≤ 180°). При α = 90° работа, совершаемая силой, равна нулю. В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж).
Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 Н на перемещении 1 м в
направлении действия силы.


Если проекция Fs силы
F на

направление перемещения s не остается
постоянной, работу следует вычислять для
малых перемещений Δsi и суммировать результаты:
.

Рис. 1.6. Работа силы F
Эта сумма в пределе (Δsi → 0) переходит в интеграл.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Графически работа определяется по
площади криволинейной фигуры под графиком Fs(x) (рис. 7).
Если к телу приложено несколько
сил, то общая работа всех сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых отдельными силами и равна работе равноРис. 1.7. Графическое определение действующей приложенных сил.
работы. ΔAi = FsiΔsi
Работа силы, совершаемая в единицу времени, называется мощностью.
Мощность N это физическая величина, равная отношению работы A к промежутку времени t, в течение которого совершена эта работа:
(1.11)
В Международной системе (СИ) единица мощности называется ватт (Вт).
Ватт равен мощности силы, совершающей работу в 1 Дж за время 1 с.
Изучите модель «Механическая работа».
В модели иллюстрируется понятие
механической работы на примере движения бруска на плоскости с трением под
действием внешней силы, направленной
под некоторым углом к горизонту. Изменяя параметры модели (массу бруска m,
коэффициент трения μ, модуль и направ
ление действующей силы F ), можно проследить за величиной работы, совершаемой при движении бруска, силой трения и
внешней силой. Убедитесь в компьютерном эксперименте, что сумма этих работ
равна кинетической энергии бруска. Обратите внимание, что работа силы трения
Aтр всегда отрицательна.
Модель. Механическая работа
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если тело некоторой массы m
двигалось под действием приложенных сил, и его скорость изменилась


от  1 до  2 , то силы совершили определенную работу A.
Работа всех приложенных сил
равна работе равнодействующей силы (рис. 1.8).
Рис. 1.8. Работа равнодействующей силы:
Между изменением скорости
A = F1s cos α1 + F2s cos α2 = F1ss + F2ss =
тела и работой, совершенной прило= Fрss = Fрs cos α
женными к телу силами, существует
связь.
Эту связь проще всего установить, рассматривая
движение тела вдоль

прямой линии под действием постоянной
силы F .



В этом случае векторы силы F , перемещения s , скорости  и ускорения

a направлены вдоль одной прямой, и тело совершает прямолинейное равноускоренное движение. Направив координатную ось вдоль прямой движения,
можно рассматривать F, s, υ и a как алгебраические величины (положительные
или отрицательные в зависимости от направления соответствующего вектора).
Тогда работу силы можно записать как A = Fs. При равноускоренном движении
перемещение s выражается формулой:
Отсюда следует, что:
Это выражение показывает, что работа, совершенная силой (или равнодействующей всех сил), связана с изменением квадрата скорости (а не самой
скорости).
Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела:
(1.12)
Работа приложенной к телу равнодействующей силы равна изменению
его кинетической энергии.
A = Ek2 – Еk1.
(1.13)
Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии. Теорема
о кинетической энергии справедлива и в общем случае, когда тело движется
под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с
направлением перемещения.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия те
ла массой m, движущегося со скоростью  , равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость:
(1.14)

Если тело движется со скоростью  , то для его полной остановки необходимо совершить работу:
(1.15)
Наряду с кинетической энергией или энергией движения в физике важную роль играет понятие потенциальной энергии или энергии взаимодействия тел.
Потенциальная энергия определяется взаимным положением тел (например, положением тела относительно поверхности Земли). Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от
траектории движения тела и определяется только начальным и конечным положениями. Такие силы называются консервативными.
Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю. Это
утверждение поясняет рис. 1.9.
Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила упругости.
Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии.
Если тело перемещается вблизи поверхности Земли, то на него
действует постоянная по величине и


направлению сила тяжести F  mg .
Работа этой силы зависит только от
вертикального перемещения тела.
На любом участке пути работу
силы тяжести можно записать в проРис. 1.9. Работа консервативной силы екциях вектора перемещения s на
A1a2 = A1b2. Работа на замкнутой траось OY, направленную вертикально
ектории A = A1a2 + A2b1 = A1a2 – A1b2 = 0
вверх:
ΔA = FтΔs cos α = –mgΔsy,
где Fт = Fтy = –mg – проекция силы тяжести, Δsy – проекция вектора перемещения. При подъеме тела вверх сила тяжести совершает отрицательную работу, так как Δsy > 0. Если тело переместилось из точки, расположенной на высоте h1, в точку, расположенную на высоте h2 от начала координатной оси OY
(рис. 1.10), то сила тяжести совершила работу:
A = –mg(h2 – h1) = –(mgh2 – mgh1).
(1.16)
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.10. Работа силы тяжести
Эта работа равна изменению некоторой физической величины mgh, взятому с противоположным знаком. Эту физическую величину называют потенциальной энергией тела в поле силы тяжести:
Ep = mgh.
Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на
нулевой уровень.
Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела,
взятому с противоположным знаком.
A = –(Ep2 – Ep1).
(1.17)
Потенциальная энергия Ep зависит от выбора нулевого уровня, т.е. от выбора начала координат оси OY. Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее изменение ΔEp = Ep2 – Ep1 при перемещении тела из одного положения в другое. Это изменение не зависит от выбора нулевого уровня.
Если рассматривать движение тел в поле тяготения Земли на значительных расстояниях от нее, то при определении потенциальной энергии необходимо принимать во внимание зависимость силы тяготения от расстояния до центра Земли (закон всемирного тяготения). Для сил всемирного тяготения потенциальную энергию удобно отсчитывать от бесконечно удаленной точки, т.е.
полагать потенциальную энергию тела в бесконечно удаленной точке равной
нулю. Формула, выражающая потенциальную энергию тела массой m на расстоянии r от центра Земли, имеет вид:
(1.18)
где M – масса Земли, G – гравитационная постоянная.
Изучите модель «Кинетическая и потенциальная энергии».
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В модели демонстрируется изменение кинетической Ek и потенциальной
Ep энергии мальчика, спускающегося на
санках без трения с горы сложного профиля. Показывается диаграмма и выводятся численные значения кинетической и потенциальной энергии. Можно
изменять массу мальчика m и профиль
горы. Обратите внимание, что сумма
потенциальной и кинетической энергии
в процессе движения мальчика постоянна и равна первоначальной потенциальной энергии до старта с вершины горы.
Модель. Кинетическая и потенциальная
энергия
Понятие потенциальной энергии можно ввести и для упругой силы. Эта
сила также обладает свойством консервативности. Растягивая (или сжимая)
пружину, мы можем делать это различными способами.
Можно просто удлинить пружину на величину x, или сначала удлинить ее
на 2x, а затем уменьшить удлинение до значения x и т.д. Во всех этих случаях
упругая сила совершает одну и ту же работу, которая зависит только от удлинения пружины x в конечном состоянии, если первоначально пружина была недеформирована. Эта работа равна работе внешней силы A, взятой с противоположным знаком:
(1.19)
где k – жесткость пружины. Растянутая (или сжатая) пружина способна
привести в движение, прикрепленное к ней тело, т.е. сообщить этому телу кинетическую энергию. Следовательно, такая пружина обладает запасом энергии.
Потенциальной энергией пружины (или любого упруго деформированного тела) называют величину
(1.20)
Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией.
Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее
удлинение было равно x1, тогда при переходе в новое состояние с удлинением
x2 сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.21)
Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой силами упругости.
Свойством консервативности обладают наряду с силой тяжести и силой
упругости некоторые другие виды сил, например, сила электростатического
взаимодействия между заряженными телами. Сила трения не обладает этим
свойством. Работа силы трения зависит от пройденного пути. Понятие потенциальной энергии для силы трения вводить нельзя.
Если тела, составляющие замкнутую механическую систему, взаимодействуют между собой только силами тяготения и упругости, то работа этих сил
равна изменению потенциальной энергии тел, взятому с противоположным
знаком:
A = –(Ep2 – Ep1).
(1.22)
По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии тел:
A = Ek2 – Ek1.
(1.23)
Следовательно
Ek2 – Ek1 = –(Ep2 – Ep1) или
Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2.
(1.24)
Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и силами упругости, остается неизменной.
Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических
процессах. Он является следствием законов Ньютона. Сумму E = Ek + Ep называют полной механической энергией. Закон сохранения механической энергии
выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют
между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно
ввести понятие потенциальной энергии.
Пример применения закона сохранения энергии – нахождение минимальной прочности легкой нерастяжимой нити, удерживающей тело массой m при
его вращении в вертикальной плоскости (задача Х. Гюйгенса). Рис. 1.20.1 поясняет решение этой задачи.
Закон сохранения энергии для тела в
верхней и нижней точках траектории записывается в виде:

Рис. 1.11. К задаче Христиана

Гюйгенса. F – сила натяжения
нити в нижней точке траектории
Обратим внимание на то, что сила F
натяжения нити всегда перпендикулярна
скорости тела; поэтому она не совершает
работы.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При минимальной скорости вращения натяжение нити в верхней точке
равно нулю и, следовательно, центростремительное ускорение телу в верхней
точке сообщается только силой тяжести:
Из этих соотношений следует:

Центростремительное ускорение в нижней точке создается силами F и

mg , направленными в противоположные стороны:
Отсюда следует, что при минимальной скорости тела в верхней точке
натяжение нити в нижней точке будет по модулю равно F = 6mg.
Прочность нити должна, очевидно, превышать это значение.
Очень важно отметить, что закон сохранения механической энергии позволил получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных
точках траектории без анализа закона движения тела во всех промежуточных
точках. Применение закона сохранения механической энергии может в значительной степени упростить решение многих задач.
В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с
силами тяготения, силами упругости и другими консервативными силами действуют силы трения или силы сопротивления среды.
Сила трения не является консервативной. Работа силы трения зависит от
длины пути.
Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы
трения, то механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание).
При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает. Она лишь превращается из одной формы в другую.
Этот экспериментально установленный факт выражает фундаментальный
закон природы – закон сохранения и превращения энергии.
Одним из следствий закона сохранения и превращения энергии является
утверждение о невозможности создания «вечного двигателя» (perpetuum
mobile) – машины, которая могла бы неопределенно долго совершать работу, не
расходуя при этом энергии (рис. 1.12).
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
История хранит немалое число проектов «вечного двигателя». В некоторых
из них ошибки «изобретателя» очевидны,
в других эти ошибки замаскированы
сложной конструкцией прибора, и бывает
очень непросто понять, почему эта машина не будет работать. Бесплодные попытРис. 1.12. Один из проектов «вечно- ки создания «вечного двигателя» продолго двигателя». Почему эта машина жаются и в наше время. Все эти попытки
не будет работать?
обречены на неудачу, так как закон сохранения и превращения энергии «запрещает» получение работы без затраты энергии.
Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса
позволяют находить решения механических задач в тех случаях, когда неизвестны действующие силы. Примером такого рода задач является ударное взаимодействие тел.
Ударом (или столкновением) принято называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости испытывают значительные
изменения. Во время столкновения тел между ними действуют кратковременные ударные силы, величина которых, как правило, неизвестна. Поэтому нельзя
рассматривать ударное взаимодействие непосредственно с помощью законов
Ньютона. Применение законов сохранения энергии и импульса во многих случаях позволяет исключить из рассмотрения сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновения, минуя все промежуточные значения этих величин.
С ударным взаимодействием тел нередко приходится иметь дело в обыденной жизни, в технике и в физике (особенно в физике атома и элементарных
частиц).
В механике часто используются две модели ударного взаимодействия –
абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.
Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие,
при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше
как одно тело.
При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется.
Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание).
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.13. Баллистический маятник
Примером абсолютно неупругого
удара может служить попадание пули (или
снаряда) в баллистический маятник. Маятник представляет собой ящик с песком массой M, подвешенный на веревках
(рис. 1.13). Пуля массой m, летящая гори
зонтально со скоростью  , попадает в ящик
и застревает в нем.
По отклонению маятника можно определить скорость пули.

Обозначим скорость ящика с застрявшей в нем пулей через u .Тогда по
закону сохранения импульса
При застревании пули в песке произошла потеря механической энергии:
Отношение M / (M + m) – доля кинетической энергии пули, перешедшая
во внутреннюю энергию системы:
Эта формула применима не только к баллистическому маятнику, но и к
любому неупругому соударению двух тел с разными массами.
E
 1 почти вся кинетическая энергия пули переходит во
Eo
E
1
 – во внутреннюю энергию переходит
внутреннюю энергию. При m = M
Eo
2
При m << M
половина первоначальной кинетической энергии. Наконец, при неупругом соударении движущегося тела большой массы с неподвижным телом малой массы (m >> М) отношение
E
0.
Eo
Дальнейшее движение маятника можно рассчитать с помощью закона сохранения механической энергии:
где h – максимальная высота подъема маятника. Из этих соотношений
следует:
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Измеряя на опыте высоту h подъема маятника, можно определить скорость пули υ.
Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.
Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц
подчиняются законам абсолютно упругого удара.
При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса
выполняется закон сохранения механической энергии.
Рис. 1.14. Абсолютно упругий
центральный удар шаров
Простым примером абсолютно упругого столкновения может быть центральный удар двух бильярдных шаров, один из
которых до столкновения находился в состоянии покоя (рис. 1.14).
Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии
центров.
В общем случае массы m1 и m2 соударяющихся шаров могут быть неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии:
Здесь υ1 – скорость первого шара до столкновения, скорость второго шара
υ2 = 0, u1 и u2 – скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости
движения первого шара до удара, записывается в виде:
m1υ1 = m1u1 + m2u2.
Мы получили систему из двух уравнений. Эту систему можно решить и
найти неизвестные скорости u1 и u2 шаров после столкновения:
В частном случае, когда оба шара имеют одинаковые массы (m1 = m2),
первый шар после соударения останавливается (u1 = 0), а второй движется со
скоростью u = υ1, т.е. шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами).
Если бы до соударения второй шар также имел ненулевую скорость
υ2 ≠ 0), то эту задачу можно было бы легко свести к предыдущей с помощью
перехода в новую систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью υ2 относительно «неподвижной» системы. В этой системе
второй шар до соударения покоится, а первый по закону сложения скоростей
имеет скорость υ1' = υ1 – υ2. Определив по приведенным выше формулам скорости u1 и u2 шаров после соударения в новой системе, нужно сделать обратный
переход к «неподвижной» системе.
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и
импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения.
Изучите модель «Упругие и неупругие соударения».
Модель. Упругие и неупругие
соударения
Модель предназначена для изучения
законов сохранения энергии и импульса на
примере упругих и неупругих соударений тележек. Изменяя начальные скорости и массы
тележек, а также тип соударения (упругое
или неупругое), можно проследить за движением тележек после столкновения и определить кинетические энергии и импульсы каждой тележки. Убедитесь, что при упругом соударении суммарная кинетическая энергия
тележек не изменяется, а при неупругом соударении она уменьшается. Рассчитайте, какая часть первоначальной кинетической
энергии при неупругом соударении движущейся и неподвижной тележек переходит в
тепло и проверьте результат в компьютерном
эксперименте.
Центральный (лобовой) удар очень редко реализуется на практике, особенно если речь идет о столкновениях атомов или молекул. При нецентральном
упругом соударении скорости частиц (шаров) до и после столкновения не
направлены по одной прямой.
Частным случаем нецентрального упругого удара может служить соударения двух бильярдных шаров одинаковой массы, один из которых до соударения был неподвижен, а скорость второго была направлена не по линии центров
шаров (рис. 1.15).
После нецентрального соударения шары
разлетаются под некоторым углом друг к дру

гу. Для определения скоростей u1 и u 2 после
удара нужно знать положение линии центров в
момент удара или прицельное расстояние d
(рис. 1.15), т.е. расстояние между двумя линишаров паРис. 1.15. Нецентральное упругое ями, проведенными через центры

раллельно вектору скорости  1 налетающего
соударение шаров одинаковой
массы. d – прицельное расстояние шара.


Если массы шаров одинаковы, то векторы скоростей u1 и u 2 шаров после
упругого соударения всегда направлены перпендикулярно друг к другу. Это
легко показать, применяя законы сохранения импульса и энергии. При
m1 = m2 = m эти законы принимают вид:
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»



Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей  1 , u1 и u 2 образуют треугольник (диаграмма импульсов), а второе – что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, т.е. он прямоугольный. Угол между катета

ми u1 и u 2 равен 90°.
Изучите модель «Соударения шаров».
Модель. Соударения упругих шаров
Модель предназначена для изучения законов сохранения энергии и импульса при упругом соударении двух шаров. Можно изменять начальную скорость
υ налетающего шара, прицельное расстояние d и массы m1 и m2 обоих шаров.
После соударения шаров на экран
выводится новая диаграмма импульсов
разлетевшихся шаров, а также значения
углов разлета шаров, их скоростей, кинетических энергий, проекций импульсов
шаров на координатные оси. Обратите
внимание, что сумма кинетических энергий шаров равна первоначальной кинетической энергии налетающего шара.
Сумма проекций импульсов шаров после удара на ось X равна первоначальному импульсу налетающего шара, а сумма проекций импульсов на ось Y
равна нулю.
Обратите внимание, что при упругом нецентральном соударении двух
шаров одинаковой массы они всегда разлетаются под прямым углом друг к
другу.
2. Порядок выполнения работы
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.5» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Механика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните
мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 1.7.
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. На рисунке изображены две тележки с грузами. Нажмите «Старт». Тележки начнут двигаться. Пронаблюдайте их движение. Нажмите «Стоп». Слева
под рисунком находятся параметры – массы и начальные скорости тележек, которые можно изменять. Справа под рисунком приведены значения конечных
импульсов и кинетических энергий тележек, а так же изменение кинетической
энергии. Можно изменять тип столкновения (упругое и неупругое).
6. Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте движение тележек.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модели 1.18-1.23 из раздела «Модели».
12. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
13. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
14. Напишите вывод.
3. Контрольные вопросы
1. Что называется импульсом тела, силы?
2. Сформулируйте закон изменения импульса.
3. Какая система называется замкнутой?
4. Сформулируйте закон сохранения импульса.
5. Что называется реактивной силой тяги?
6. Формула Циолковского.
7. Что называется работой силы, мощностью?
8. Что называется кинетической и потенциальной энергиями? Что они
характеризуют?
9. Какие силы называются консервативными, неконсервативными?
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. Что называется полной механической энергией?
11. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.
12. Сформулируйте закон сохранения и превращения энергии.
13. Что называется ударом? Абсолютно упругий, неупругий, центральный
удары.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5.
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.
Колебания груза на пружине. Математический маятник
Цель работы: изучение механических колебаний груза на пружине и математического маятника, моделей.
1. Краткая теория
В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются
через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи
и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать
колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.
Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике
значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f(t). Графическое изображение этой функции дает наглядное
представление о протекании колебательного процесса во времени.
Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 1).
Механические колебания, как и
колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть
свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под
действием внутренних сил системы,
после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными
колебаниями.
Рис. 1. Механические колебательные
системы
Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными. Простейшим видом колебательного
процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются
уравнением
x =xm cos (ωt + φ0).
(1.1)
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь x – смещение тела от положения равновесия, xm – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0
φ = φ0, поэтому φ0 называют начальной фазой. Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом
колебаний T. Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется
частотой колебаний:
(1.2)
Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с.
Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:
На рис. 1.2 изображены положения тела через одинаковые промежутки
времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают
векторы скорости тела в различные моменты времени.
Рис. 1.3 иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний xm, либо период T (или частота f), либо начальная фаза φ0.
Рис. 1.2. Стробоскопическое изображение гармонических колебаний.
Начальная фаза φ0 = 0. Интервал
времени между последовательными
положениями тела τ = T / 12
Рис. 1.3. Во всех трех случаях для синих
кривых φ0 = 0: а – красная кривая отличается от синей только большей амплитудой
(x'm > xm); b – красная кривая отличается от
синей только значением периода (T' = T / 2);
с – красная кривая отличается от синей
только значением начальной фазы
(  о '   / 2 рад)
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX) вектор
скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость υ = υx движения тела
определяется выражением
(1.3)
В математике процедура нахождения предела отношения
x
при Δt → 0
t
называется вычислением производной функции x(t) по времени t и обозначается
как
dx(t )
или как x'(t) или, наконец, как x (t ) . Для гармонического закона движеdt
ния x = xm cos (ωt + φ0). Вычисление производной приводит к следующему результату:
(1.4)
Появление слагаемого + π / 2 в аргументе косинуса означает изменение
начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости υ = ωxm достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = ax тела при гармонических колебаниях:
(1.5)
следовательно, ускорение a равно производной функции υ(t) по времени t,
или второй производной функции x(t). Вычисления дают:
(1.6)
Знак минус в этом выражении
означает, что ускорение a(t) всегда
имеет знак, противоположный знаку
смещения x(t), и, следовательно, по
второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия
(x = 0).
На рис. 1.4 приведены графики
координаты, скорости и ускорения
тела, совершающего гармонические
колебания.
Свободные колебания совершаются под действием внутренних
сил системы после того, как система
была выведена из положения равновесия.
Рис. 1.4. Графики координаты x(t),
скорости υ(t) и ускорения a(t)
колеблющегося тела
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Изучите модель «Гармонические колебания».
Модель. Гармонические колебания
Модель предназначена для изучения простого гармонического колебательного движения,
x = xm cos (ωt + φ0).
Можно изменять амплитуду xm, пе2
риод колебаний T 
и начальную фазу

φ0 гармонического колебания тела и
наблюдать за движением точки на графиках координаты x, скорости υ и ускорения
a во времени. По оси ординат удобно отa

кладывать значения величин x,
, 2,
 
которые имеют одинаковые единицы измерения. Обратите внимание на фазовые
сдвиги между координатой, скоростью и
ускорением тела.
Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому
закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение
равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и
направлена в сторону, противоположную смещению:
F(t) = ma(t) = –mω2x(t).
(1.7)
В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:
Fупр = –kx.
(1.8)
Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими.
Рис. 1.5. Колебания груза на пружине.
Трения нет
Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный
к пружине жесткости k, второй
конец которой закреплен неподвижно (рис. 1.5), составляют
систему, способную совершать в
отсутствие трения свободные
гармонические колебания. Груз
на пружине называют линейным
гармоническим осциллятором.
Круговая частота ω0 свободных колебаний груза на пружине находится из
второго закона Ньютона:
(1.9)
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
откуда
(1.10)
Частота ω0 называется собственной частотой колебательной системы.
Период T гармонических колебаний груза на пружине равен
(1.11)
При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести,
приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x0, равную
(1.12)
и колебания совершаются около этого нового положения равновесия.
Приведенные выше выражения для собственной частоты ω0 и периода колебаний T справедливы и в этом случае.
Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано,
если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и
координатой x: ускорение является второй производной координаты тела x
по времени t:
(1.13)
Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде
(1.14)
или
(1.15)
где о2 
k
.
m
Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (1.15), способны совершать свободные гармонические колебания, так как
решением этого уравнения являются гармонические функции вида:
x = xm cos (ωt + φ0).
(1.16)
Уравнение (1.15) называется уравнением свободных колебаний. Следует
обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы
определяют только собственную частоту колебаний ω0 или период T. Такие
параметры процесса колебаний, как амплитуда xm и начальная фаза φ0, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния
равновесия в начальный момент времени.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние
Δl и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то xm = Δl,
φ0 = 0.
Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость ± υ0, то xm 
m

o , o   .
k
2
Таким образом, амплитуда xm свободных колебаний и его начальная фаза
φ0 определяются начальными условиями.
Изучите модель «Колебания груза на пружине».
Модель демонстрирует свободные колебания груза на пружине. Можно изменять массу груза m, его начальное положение x0, коэффициент жесткости пружины k, коэффициент
вязкого трения b. Выводятся графики зависимости координаты и скорости от времени, диаграммы потенциальной и кинетической энергий при свободных гармонических колебаниях
груза на пружине, а также при затухающих колебаниях при наличии вязкого трения
Модель. Колебания груза на пружине
Существует много разновидностей механических колебательных систем,
в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 1.6 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил Mупр упругой деформации кручения:
Mупр = –χθ.
(1.17)
Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина χ аналогична жесткости пружины k. Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде:
(1.18)
где I = IC – момент инерции диска относительно оси, проходящий через
центр масс, ε – угловое ускорение.
По аналогии с грузом на пружине можно получить:
(1.19)
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.6. Крутильный
маятник
Крутильный маятник широко используется в
механических часах. Его называют балансиром. В
балансире момент упругих сил создается с помощью
спиралевидной пружинки.
Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести


mg уравновешивается силой натяжения нити Fупр .
При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ
появляется касательная составляющая силы тяжести Fτ = –mg sin φ (рис. 1.7).
Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.
Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге
окружности радиуса l, то его угловое смещение
будет равно φ = x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и
силы на направление касательной, дает:
Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную
Рис. 1.7. Математический
маятник. φ – угловое откло- нелинейную систему, так как сила, стремящаяся
нение маятника от положе- вернуть маятник в положение равновесия, прония равновесия, x = lφ –
смещение маятника по дуге
x
l
порциональна не смещению x, а sin .
Только в случае малых колебаний, когда приближенно sin
нить на
x
можно замеl
x
математический маятник является гармоническим осциллятором,
l
т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически
такое приближение справедливо для углов порядка 15–20°; при этом величина
x
x
sin отличается от не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших
l
l
амплитудах не являются гармоническими.
Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона
записывается в виде:
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.20)
Таким образом, тангенциальное ускорение aτ маятника пропорционально
его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для
всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из
положения равновесия равен квадрату круговой частоты:
(1.21)
Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника.
Следовательно,
(1.22)
Изучите модель «Математический маятник».
Модель демонстрирует свободные колебания математического маятника. Можно изменять
длину нити l, угол φ0 начального отклонения маятника, коэффициент вязкого трения b. Выводятся графики зависимости угловой координаты и
скорости от времени, диаграммы потенциальной
и кинетической энергий при свободных колебаниях, а также при затухающих колебаниях при
наличии вязкого трения. Обратите внимание, что
колебания математического маятника являются
гармоническими только при достаточно малых
амплитудах.
Модель. Математический
маятник
Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 1.8). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси
вращения О на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на
угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:
M = –(mg sin φ)d.
(1.23)
Здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C.
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.8. Физический маятник
Знак «минус» в этой формуле, как
обычно, означает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника, возвращающий момент
M пропорционален sin φ. Это означает, что
только при малых углах φ, когда sin φ ≈ φ,
физический маятник способен совершать
свободные гармонические колебания.
В случае малых колебаний
M = –mgdφ.
(1.24)
и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид
Iε = M = –mgdφ.
(1.25)
где ε – угловое ускорение маятника, I – момент инерции маятника относительно оси вращения O. Модуль коэффициента пропорциональности между
ускорением и смещением равен квадрату круговой частоты:
(1.26)
ника.
Здесь ω0 – собственная частота малых колебаний физического маятСледовательно,
(1.27)
Более строгий вывод формул для ω0 и Т можно сделать, если принять во
внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть вторая производная углового смещения φ по
времени:
(1.28)
Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического
маятника, можно записать в виде:
(1.29)
Это уравнение свободных гармонических колебаний. Коэффициент
mgd
I
в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.
По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера)
момент инерции I можно выразить через момент инерции IC относительно оси,
проходящей через центр масс C маятника и параллельной оси вращения:
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
I = IC + md2.
(1.30)
Окончательно для круговой частоты ω0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:
При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная
энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная
энергия – это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.
Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия,
его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по закону
инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении
начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической
энергии и т.д.
Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое
превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.
Изучите модель «Превращение энергии при колебаниях».
Модель. Превращения энергии при
колебаниях
Модель иллюстрирует превращения
энергии при гармонических колебаниях тела
под действием квазиупругой силы, потенциальная энергия которой пропорциональна
квадрату смещения тела из положения равновесия: Ep = Ax2, где A > 0 – коэффициент
пропорциональности. В случае колебаний
груза на пружине A = k / 2, где k – жесткость
пружины. Можно изменять массу m тела,
совершающего колебательные движения,
величину A и полную энергию системы E =
Ek + Ep .
Графически показано соотношение между потенциальной и кинетической
энергиями при колебаниях в любой момент времени. Обратите внимание, что в
отсутствие затухания полная энергия колебательной системы остается неизменной, потенциальная энергия достигает максимума при максимальном отклонении тела от положения равновесия, а кинетическая энергия принимает
максимальное значение при прохождении тела через положение равновесия.
Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.
Для груза на пружине:
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.31)
(1.32)
Для малых колебаний математического маятника:
(1.33)
(1.34)
Здесь hm – максимальная высота подъема маятника в поле тяготения Земли, xm и υm = ω0xm – максимальные значения отклонения маятника от положения
равновесия и его скорости.
Превращения энергии при свободных механических колебаниях в отсутствие трения можно проиллюстрировать графически. Рассмотрим в качестве примера колебания груза массой m на пружине жесткости k. Пусть смещение x(t) груза
из положения равновесия и его скорость υ(t) изменяются со временем по законам:
(1.35)
υ(t) = –ωxm sin (ω0t).
(1.36)
Следовательно,
(1.37)
(1.38)
На рис. 1.9 изображены графики функций Ep(t) и Ek(t). Потенциальная и
кинетическая энергии два раза за период колебаний T 
2
o
достигают макси-
мальных значений. Сумма E p (t )  Ek (t )  E  const остается неизменной.
Рис. 1.9. Превращения энергии при свободных колебаниях
Рис. 1.10. Затухающие колебания
В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул,
и колебания становятся затухающими (рис. 1.10).
Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения. Интервал
времени τ, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раз,
называется временем затухания.
Частота свободных колебаний зависит от скорости затухания колебаний.
При возрастании сил трения собственная частота уменьшается. Однако изменение собственной частоты становится заметным лишь при достаточно больших
силах трения, когда собственные колебания быстро затухают.
Важной характеристикой колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, является добротность Q. Этот параметр определяется как число N полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ, умноженное на π:
(1.39)
Чем медленнее происходит затухание свободных колебаний, тем выше
добротность Q колебательной системы. Добротность колебательной системы,
определенная по затуханию колебаний на рис. 1.10, приблизительно равна 15.
Добротности механических колебательных систем могут быть очень высокими – порядка нескольких сотен и даже тысяч.
Понятие добротности имеет глубокий энергетический смысл. Можно
определить добротность Q колебательной системы следующим энергетическим
соотношением:
(1.40)
Таким образом, добротность характеризует относительную убыль энергии колебательной системы из-за наличия трения на интервале времени, равном
одному периоду колебаний.
2. Порядок выполнения работы
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.5» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Механика. Колебания и волны» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните
мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 2.1.
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. На рисунке изображен пружинный маятник. Нажмите «Старт». Пронаблюдайте колебание груза. Нажмите «Стоп». Справа от рисунка находятся
параметры – массы и начальное смещение, коэффициент упругости, которые
можно изменять. Выше расположены конечные параметры: время колебания,
период, смещение, скорость. Под рисунком приведены графики зависимостей
смещения и скорости от времени.
6. Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте колебание маятника.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модели 2.1-2.9 из раздела «Модели».
12. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
13. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
14. Напишите вывод.
3. Контрольные вопросы
1. Какие процессы называются колебательными?
2. Какие колебания называются механическими?
3. Какие колебания называются свободными, вынужденными, гармоническими?
4. Параметры гармонических колебаний.
5. Скорость, ускорение гармонически колеблющейся системы.
6. Какие силы называются квазиупругими?
7. Что называется линейным гармоническим осциллятором?
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. Какая частота называется собственной? Собственная частота пружинного, математического, физического маятников.
9. Какой маятник называется пружинным, математическим, физическим?
10. Превращение энергии при колебании пружинного и математического
маятников.
11. Затухающие колебания. Что называют временем затухания?
12. Что называется добротностью?
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6.
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.
Изопроцессы
Цель работы: изучение уравнения состояния идеального газа, изотермического, изобарного, изохорного процессов, моделей.
1. Краткая теория
Соотношение:
P = nkT,
(1.1)
связывающее давление газа с его температурой и концентрацией молекул
для модели идеального газа, молекулы которого взаимодействуют между собой
и со стенками сосуда только во время упругих столкновений. Это соотношение
может быть записано в другой форме, устанавливающей связь между макроскопическими параметрами газа – объемом V, давлением p, температурой T и
количеством вещества ν. Для этого нужно использовать равенства
(1.2)
Здесь N – число молекул в сосуде, NA – постоянная Авогадро, m – масса
газа в сосуде, M – молярная масса газа. В итоге получим:
(1.3)
Произведение постоянной Авогадро NA на постоянную Больцмана k
называется универсальной газовой постоянной и обозначается буквой R. Ее
численное значение в СИ есть:
R = 8,31 Дж/моль·К.
Соотношение
(1.4)
называется уравнением состояния идеального газа.
Для одного моля любого газа это соотношение принимает вид:
pV=RT.
(1.5)
Если температура газа равна Tн = 273,15 К (0 °С), а давление pн = 1 атм =
1,013·105 Па, то говорят, что газ находится при нормальных условиях. Как следует из уравнения состояния идеального газа, один моль любого газа при нормальных условиях занимает один и тот же объем V0, равный
V0 = 0,0224 м3/моль = 22,4 дм3/моль.
Это утверждение называется законом Авогадро.
Для смеси невзаимодействующих газов уравнение состояния принимает
вид:
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
pV = (ν1 + ν2 + ν3 + ...)RT,
(1.6)
где ν1, ν2, ν3 и т.д. – количество вещества каждого из газов в смеси.
Уравнение, устанавливающее связь между давлением, объемом и температурой газа было получено в середине XIX века французским физиком Б. Клапейроном, в форме (1.4) оно было впервые записано Д.И. Менделеевым. Поэтому уравнение состояния газа называется уравнением Клапейрона–
Менделеева.
Следует отметить, что задолго до того, как уравнение состояния идеального газа было теоретически получено на основе молекулярно-кинетической
модели, закономерности поведения газов в различных условиях были хорошо
изучены экспериментально. Поэтому уравнение (1.4) можно рассматривать как
обобщение опытных фактов, которые находят объяснение в молекулярнокинетической теории.
Газ может участвовать в различных тепловых процессах, при которых
могут изменяться все параметры, описывающие его состояние (p, V и T). Если
процесс протекает достаточно медленно, то в любой момент система близка к
своему равновесному состоянию. Такие процессы называются квазистатическими. В привычном для нас масштабе времени эти процессы могут протекать
и не очень медленно. Например, разрежения и сжатия газа в звуковой волне,
происходящие сотни раз в секунду, можно рассматривать как квазистатический
процесс. Квазистатические процессы могут быть изображены на диаграмме состояний (например, в координатах p, V) в виде некоторой траектории, каждая
точка которой представляет равновесное состояние.
Интерес представляют процессы, в которых один из параметров (p, V или
T) остается неизменным. Такие процессы называются изопроцессами.
Изотермический процесс (T = const)
Изотермическим процессом называют квазистатический процесс, протекающий при постоянной температуре T. Из уравнения (1.4) состояния идеального газа следует, что при постоянной температуре T и неизменном количестве вещества ν в сосуде произведение давления p газа на его объем V должно
оставаться постоянным:
pV = const.
(1.7)
Изучите модель «Изотермический процесс».
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель. Изотермический процесс
Моделируется изотермический процесс
в газе, т.е. процесс квазистатического расширения или сжатия идеального газа, находящегося в контакте с тепловым резервуаром (T =
const). Температуру резервуара можно выбирать. Приводится график зависимости P(V) для
изотермического процесса, выводится энергетическая диаграмма, на которой указываются
количество теплоты Q, полученной газом,
произведенная газом работа A и изменение ΔU
его внутренней энергии.
Обратите внимание, что в процессе изотермического расширения или сжатия внутренняя энергия идеального газа не изменяется,
и полученное тепло полностью превращается в
работу.
На плоскости (p, V) изотермические процессы изображаются при различных значениях температуры T семейством гипербол p ~ 1 / V, которые называются изотермами.
Так как коэффициент пропорциональности в
этом соотношении увеличивается с ростом температуры, изотермы, соответствующие более высоким
значениям температуры, располагаются на графике
выше изотерм, соответствующих меньшим значениям температуры (рис. 1.1). Уравнение изотермического процесса было получено из эксперимента английским физиком Р. Бойлем (1662 г.) и независимо
Рис. 1.1. Семейство
изотерм на плоскости французским физиком Э. Мариоттом (1676 г.). Поэтому это уравнение называют законом Бойля–
(p, V). T3 > T2 > T1
Мариотта.
Изохорный процесс (V = const)
Изохорный процесс – это процесс квазистатического нагревания или
охлаждения газа при постоянном объеме V и при условии, что количество вещества ν в сосуде остается неизменным.
Как следует из уравнения (1.4) состояния идеального газа, при этих условиях давление газа p изменяется прямо пропорционально его абсолютной температуре: p ~ T или
(1.8)
Изучите модель «Изохорный процесс»
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель. Изохорный процесс
Моделируется изохорный процесс в газе,
т.е. процесс квазистатического нагревания или
охлаждения идеального газа при постоянном
объеме V. Объем газа можно выбирать. Приведен график зависимости p(T) для изохорного
процесса, выводится энергетическая диаграмма, на которой указываются количество теплоты Q, полученной газом, произведенная газом
работа A и изменение ΔU его внутренней энергии.
Обратите внимание, что при изохорном
процессе работа газа равна нулю, и все полученное тепло затрачивается на изменение
внутренней энергии газа.
На плоскости (p, T) изохорные процессы для заданного количества вещества ν при различных значениях объема V изображаются семейством прямых
линий, которые называются изохорами.
Большим значениям объема соответствуют
изохоры с меньшим наклоном по отношению к оси
температур (рис. 1.2).
Экспериментально зависимость давления газа от температуры исследовал французский физик
Ж. Шарль (1787 г.). Поэтому уравнение изохорного процесса называется законом Шарля.
Уравнение изохорного процесса может быть
Рис. 1.2. Семейство изохор записано в виде:
на плоскости (p, T).
V3 > V2 > V1
(1.9)
где p0 – давление газа при T = T0 = 273,15 К (т.е. при температуре 0 °С).
Коэффициент α, равный (1/273,15) К–1, называют температурным коэффициентом давления.
Изобарный процесс (p = const)
Изобарным процессом называют квазистатический процесс, протекающий при неизменным давлении p.
Уравнение изобарного процесса для некоторого неизменного количества
вещества ν имеет вид:
(1.10)
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где V0 – объем газа при температуре 0 °С. Коэффициент α равен (1/273,15)
К . Его называют температурным коэффициентом объемного расширения газов.
Изучите модель «Изобарный процесс».
–1
Модель. Изобарный процесс
Моделируется изобарный процесс, т.е.
процесс квазистатического расширения или
сжатия идеального газа при постоянном давлении P. Давление газа можно выбирать. Приводится график зависимости V(T) для изобарного
процесса, выводится энергетическая диаграмма,
на которой указываются количество теплоты Q,
полученной газом, произведенная работа A и
изменение ΔU его внутренней энергии.
Обратите внимание, что при изобарном
расширении температура газа растет, его внутренняя энергия увеличивается, и газ совершает
положительную работу. При изобарном сжатии
температура и внутренняя энергия уменьшаются, работа газа отрицательна. При расширении
газ поглощает тепло, а при сжатии – отдает
окружающим телам.
На плоскости (V, T) изобарные процессы при разных значениях давления
p изображаются семейством прямых линий (рис. 1.3), которые называются изобарами.
Зависимость объема газа от температуры
при неизменном давлении была экспериментально исследована французским физиком Ж. ГейЛюссаком (1862 г.). Поэтому уравнение изобарного процесса называют законом Гей-Люссака.
Экспериментально установленные законы
Бойля–Мариотта, Шарля и Гей-Люссака находят
объяснение в молекулярно-кинетической теории
Рис. 1.3. Семейство изобар газов. Они являются следствием уравнения сона плоскости
стояния идеального газа.
(V, T). p3 > p2 > p1
Рассмотрим термодинамическую систему, для которой механическая
энергия не изменяется, а изменяется лишь ее внутренняя энергия. Внутренняя
энергия системы может изменяться в результате: 1) совершения над системой
работы; 2) сообщения ей теплоты.
Энергия механического движения может превращаться в энергию теплового движения, и наоборот. При этих превращениях соблюдается закон сохранения энергии – первый закон термодинамики.
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Допустим, что некоторая система, (газ, заключенный в цилиндре под
поршнем) обладая внутренняя энергией U1, получила некоторое количество
теплоты Q, и, перейдя в новое состояние, характеризующееся внутренней энергией U2, совершила работу A под внешней средой, т.е. против внешних сил.
Количество теплоты считается положительным, когда оно подводится к
системе, а работа положительной, когда система совершает ее против внешних
сил.
При любом способе перехода системы из состояния 1 в состояние 2 изменение внутренней энергии: U  U 2  U 1 будет одинаковым и равным разности
между количеством теплоты Q, полученным системой, и работой A, совершаемой системой против внешних сил: U  Q  A или
(1.11)
Q  U  A
Уравнение (1.11) выражает I начало термодинамики: теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение работы против внешних сил.
Выражение (1.11) в дифференциальной форме:
Q  dU  A
(1.12)
dU – бесконечно малое изменение внутренней энергии; δА – элементарная работа; δQ – бесконечно малое количество теплоты.
Если система периодически возвращается в первоначальное состояние, то
изменение внутренней энергии ΔU=0, тогда по I закону термодинамики A=Q,
т.е. вечный двигатель 1 рода – периодически действующий двигатель, который совершал бы большую работу, чем сообщаемая ему извне энергия – невозможен.
Найдем в общем виде
работу, совершаемую газом
при изменении его V. Рассмотрим газ, находящийся
под поршнем в цилиндрическом сосуде. Если газ, расширяясь, передвигает поршень на бесконечно малое
расстояние dl, то производит
над ним элементарную работу:
A  Fd  pSd  pdV ,
(1.13)
S – площадь поперечного сечения поршня; Sd  dV  изменение объема
системы.
Полную работу A, совершаемую газом при изменении его объема от V1 до
V2, найдем, проинтегрировав формулу (1.13):
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
V2
A   pdV  p(V2  V1 ) ,
(1.14)
V1
δA – элементарная работа; А – полная работа.
Удельная теплоемкость вещества – величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1кг вещества на 1К:
Q
C   Дж .
C
;
(1.15)
mdT
кг  К
Молярная теплоемкость – величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моля вещества на 1К:
Q
C   Дж .
C 
;
(1.16)
dT
моль  К
Различают теплоемкость при P=const и V=const, если в процессе нагревания вещества его давление или объем поддерживаются постоянными:
M
M
CV 
iR
2
CP 
i2
R
2
(1.17)
Теплоемкости Cv и Cp связаны между собой выражением:
C P  CV  R - уравнение Майера.
(1.18)
Оно показывает, что Cp всегда больше Cv на величину универсальной газовой постоянной R.
При рассмотрении термодинамических процессов важно знать характерные для каждого газа отношение Cp к Cv:
 
Cp
Cv
i2
 уравнение Пуассона,
i

(1.19)
где  – константа Пуассона или константа адиабаты.
Применение первого начала термодинамики к изопроцессам
1) изохронный процесс (V = const). При изохронном процессе газ не совершает работы под внешними телами, т.е. A  pdV  0 .
Из I закона термодинамики: Q  dU  вся теплота, сообщаемая газу, идет
на увеличение внутренней энергии.
Внутренняя энергия: dU M  C v dT . Для произвольной массы:
Q  dU 
m

C v dT .
(1.20)
2) изобарный процесс (p = const). Работа газа при увеличении объема от
V1 до V2:
V
(1.21)
A   pdV  p(V2  V1 ).
V
2
1
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1Если использовать уравнение Клапейрона–Менделеева для двух состояний V2-V1: pV1 
m
A
m


RT1 и pV2 
m

RT2 , тогда (1.21) примет вид:
R(T2  T1 )
(1.22)
Количество теплоты:
Q 
m

C p dT
(1.23)
Внутренняя энергия:
dU 
m

C v dT .
(1.24)
3) изотермический процесс (T = const). Внутренняя энергия не изменяется: dU  0 . Из первого закона термодинамики следует:
Q  A,
(1.25)
т.е. все тепло, полученное системой, расходуется на совершение работы
против внешних сил. Работа газа при изотермическом расширении:
V2
V2
m
V1
V1

Q  A   pdV  
RT
V
p
dV m
m
 RT ln 2  RT ln 1 .
V

V1 
p2
(1.26)
4)
адиабатический процесс – проходит без теплообмена с
окружающей
средой
(δQ = 0). Из первого закона термодинамики:
Рис. 1.4. Адиабата и изотерма
pV  const ,
TV  const ,
T p  const
Работа при адиабатическом расширении:

p V  V 
A  1 1 1   1 
  1   V2 

 1
 1

1 
A  dU ,
(1.27)
т.е. внешняя работа совершается за
счет убыли внутренней
энергии.
Адиабатический
процесс
описывается
уравнением Пуассона:
(1.28)
 1

RT1 m   V1  
m
  p1V1  RT1 
 1    .

  1    V2  



2. Порядок выполнения работы
Упражнение № 1.
Изотермический процесс
78
(1.29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.5» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Молекулярная физика и термодинамика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните
мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 3.1.
5. На рисунке изображен газ, помещенный в цилиндр под поршень.
Нажмите «Старт». Пронаблюдайте поведение молекул газа. Нажмите «Стоп».
Справа от рисунка находятся параметр – температура, который можно изменять. Выше расположены параметры давление и объем. Под рисунком приведена диаграмма изменения теплоты, работы и внутренней энергии. Справа от
рисунка расположена изотерма. При изменении значения температуры, видно,
что изотерма меняет свое положение на координатной плоскости и изогнутость.
6. Нажмите кнопку «Сброс». Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте процесс расширения и сжатия газа.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модель 3.6 из раздела «Модели».
Упражнение № 2.
Изохорный процесс
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.5» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Молекулярная физика и термодинамика» на любую строку.
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните
мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 3.2.
5. На рисунке изображен газ, помещенный в цилиндр под поршень.
Нажмите «Старт». Пронаблюдайте поведение молекул газа. Нажмите «Стоп».
Справа от рисунка находятся параметр – объем, который можно изменять. Выше расположены параметры давление и температура. Под рисунком приведена
диаграмма изменения теплоты, работы и внутренней энергии. Справа от рисунка расположена изохора. При изменении значения температуры, видно, что
изотерма меняет свое положение на координатной плоскости.
6. Нажмите кнопку «Сброс». Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте процесс расширения и сжатия газа.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модель 3.7 из раздела «Модели».
Упражнение № 3.
Изобарный процесс
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.5» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Молекулярная физика и термодинамика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните
мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Перед Вами лабораторная работа № 3.3.
5. На рисунке изображен газ, помещенный в цилиндр под поршень.
Нажмите «Старт». Пронаблюдайте поведение молекул газа. Нажмите «Стоп».
Справа от рисунка находятся параметр – давление, который можно изменять.
Выше расположены параметры объем и температура. Под рисунком приведена
диаграмма изменения теплоты, работы и внутренней энергии. Справа от рисунка расположена изохора. При изменении значения температуры, видно, что
изотерма меняет свое положение на координатной плоскости.
6. Нажмите кнопку «Сброс». Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте процесс расширения и сжатия газа.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модель 3.8 из раздела «Модели».
12. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
13. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
14. Напишите вывод.
3. Контрольные вопросы
1. Дайте определение идеального газа.
2. Сформулируете законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Шарля, Авогадро, Дальтона.
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.
янная.
4.
лоты.
5.
6.
7.
8.
Уравнение состояния идеального газа. Универсальная газовая постоВнутренняя энергия системы как функция состояния. Количество тепПервое начало термодинамики.
Теплоемкость.
Уравнения Майера, Пуассона.
Применение первого начала термодинамики к изопроцессам.
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7.
ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.
Относительность промежутков времени
Цель работы: изучение специальной теории относительности, моделей.
1. Краткая теория
Специальная (или частная) теория относительности (СТО) представляет собой современную физическую теорию пространства и времени.
Наряду с квантовой механикой, СТО служит теоретической базой современной
физики и техники. СТО часто называют релятивистской теорией, а специфические явления, описываемые этой теорией, – релятивистскими эффектами.
Эти эффекты наиболее отчетливо проявляются при скоростях движения тел,
близких к скорости света в вакууме c ≈ 3·108 м/с. Специальная теория относительности была создана А. Эйнштейном (1905 г.). Предшественниками Эйнштейна, очень близко подошедшими к решению проблемы, были нидерландский физик Х. Лоренц и выдающийся французский физик А. Пуанкаре.
Классическая механика Ньютона прекрасно описывает движение макротел, движущихся с малыми скоростями (υ << c). В нерелятивистской физике
принималось как очевидный факт существование единого мирового времени t,
одинакового во всех системах отсчета. В основе классической механики лежит
механический принцип относительности (или принцип относительности
Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Этот принцип означает, что законы динамики инвариантны (т.е. неизменны) относительно преобразований Галилея, которые позволяют вычислить координаты движущегося тела в одной инерциальной системе (K), если заданы
координаты этого тела в другой инерциальной системе (K'). В частном случае,
когда система K' движется со скоростью υ вдоль положительного направления
оси x системы K (рис. 1.1), преобразования Галилея имеют вид:
x = x' + υt, y = y', z = z', t = t'.
(1.1)
Рис. 1.1. Две инерциальные системы отсчета K и K'
Предполагается, что в начальный момент оси
координат обеих систем совпадают.
Из преобразований Галилея следует классический закон преобразования скоростей при переходе
от одной системы отсчета к другой:
ux = u'x + υ, uy = u'y, uz = u'z.
(1.2)
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ускорения тела во всех инерциальных системах оказываются одинаковыми:
(1.3)
Следовательно,
уравнение движения классической механики (второй за 
кон Ньютона) ma  F не меняет своего вида при переходе от одной инерциальной системы к другой.
К концу XIX века начали накапливаться опытные факты, которые вступили в противоречие с законами классической механики. Большие затруднения
возникли при попытках применить механику Ньютона к объяснению распространения света. Предположение о том, что свет распространяется в особой
среде – эфире, было опровергнуто многочисленными экспериментами. А. Майкельсон в 1881 году, а затем в 1887 году совместно с Э. Морли (оба – американские физики) пытался обнаружить движение Земли относительно эфира
(«эфирный ветер») с помощью интерференционного опыта. Упрощенная схема
опыта Майкельсона–Морли представлена на рис.1.2.
В этом опыте одно из плеч интерферометра Майкельсона устанавливалось параллельно направлению орбитальной скорости Земли (υ = 30 км/с).
Затем прибор поворачивался на 90°, и
второе плечо оказывалось ориентированным по направлению орбитальной
скорости. Расчеты показывали, что если
бы неподвижный эфир существовал, то
при повороте прибора интерференционные полосы должны были сместиться на
Рис. 1.2. Упрощенная схема интер- расстояние, пропорциональное (υ / c)2.
ференционного опыта Майкельсо- Опыт Майкельсона–Морли, неоднократ
на–Морли.  – орбитальная ско- но повторенный впоследствии со все борость Земли
лее возрастающей точностью, дал отрицательный результат. Анализ результатов опыта Майкельсона–Морли и ряда
других экспериментов позволил сделать вывод о том, что представления об
эфире как среде, в которой распространяются световые волны, ошибочно. Следовательно, для света не существует избранной (абсолютной) системы отсчета.
Движение Земли по орбите не оказывает влияния на оптические явления на
Земле.
Исключительную роль в развитии представлений о пространстве и времени сыграла теория Максвелла. К началу XX века эта теория стала общепризнанной. Предсказанные теорией Максвелла электромагнитные волны, распространяющиеся с конечной скоростью, уже нашли практическое применение – в
1895 году было изобретено радио (А.С. Попов). Но из теории Максвелла следовало, что скорость распространения электромагнитных волн в любой инерциальной системе отсчета имеет одно и то же значение, равное скорости света в
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вакууме. Отсюда следует, что уравнения, описывающие распространение электромагнитных волн, не инвариантны относительно преобразований Галилея.
Если электромагнитная волна (в частности, свет) распространяется в системе
отсчета K' (рис. 1.1) в положительном направлении оси x', то в системе K свет
должен, согласно галилеевской кинематике распространяться со скоростью
c + υ, а не c.
Итак, на рубеже XIX и XX веков физика переживала глубокий кризис.
Выход был найден Эйнштейном ценой отказа от классических представлений о
пространстве и времени. Наиболее важным шагом на этом пути явился пересмотр используемого в классической физике понятия абсолютного времени.
Классические представления, кажущиеся наглядными и очевидными, в действительности оказались несостоятельными. Многие понятия и величины, которые в нерелятивистской физике считались абсолютными, т.е. не зависящими
от системы отсчета, в эйнштейновской теории относительности переведены в
разряд относительных.
Так как все физические явления происходят в пространстве и во времени,
новая концепция пространственно-временных закономерностей не могла не затронуть в итоге всю физику.
В основе специальной теории относительности лежат два принципа или
постулата, сформулированные Эйнштейном в 1905 г.
1. Принцип относительности: все законы природы инвариантны по
отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Это означает, что во всех инерциальных системах физические законы (не только механические) имеют одинаковую форму. Таким образом, принцип относительности классической механики обобщается на все процессы природы, в том
числе и на электромагнитные. Этот обобщенный принцип называют принципом относительности Эйнштейна.
2. Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме
не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Скорость света в СТО занимает особое положение. Это предельная скорость передачи взаимодействий и
сигналов из одной точки пространства в другую.
Эти принципы следует рассматривать как обобщение всей совокупности
опытных фактов. Следствия из теории, созданной на основе этих принципов,
подтверждались бесконечными опытными проверками. СТО позволила разрешить все проблемы «доэйнштейновской» физики и объяснить «противоречивые» результаты известных к тому времени экспериментов в области электродинамики и оптики. В последующее время СТО была подкреплена экспериментальными данными, полученными при изучении движения быстрых частиц в
ускорителях, атомных процессов, ядерных реакций и т. п.
Постулаты СТО находятся в явном противоречии с классическими представлениями. Рассмотрим такой мысленный эксперимент: в момент времени t =
0, когда координатные оси двух инерциальных систем K и K' совпадают, в общем начале координат произошла кратковременная вспышка света. За время t
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
системы сместятся относительно друг друга на расстояние υt, а сферический
волновой фронт в каждой системе будет иметь радиус ct (рис. 1.3), так как системы равноправны и в каждой из них скорость света равна c.
Рис. 1.3. Кажущееся противоречие постулатов СТО
С точки зрения наблюдателя в системе
K центр сферы находится в точке O, а с точки
зрения наблюдателя в системе K' он будет
находиться в точке O'. Следовательно, центр
сферического фронта одновременно находится в двух разных точках!
Причина возникающего недоразумения
лежит не в противоречии между двумя принципами СТО, а в допущении, что положение
фронтов сферических волн для обеих систем
относится к одному и тому же моменту времени.
Это допущение заключено в формулах преобразования Галилея, согласно
которым время в обеих системах течет одинаково: t = t'. Следовательно, постулаты Эйнштейна находятся в противоречии не друг с другом, а с формулами
преобразования Галилея. Поэтому на смену галилеевых преобразований СТО
предложила другие формулы преобразования при переходе из одной инерциальной системы в другую – так называемые преобразования Лоренца, которые
при скоростях движения, близких к скорости света, позволяют объяснить все
релятивисткие эффекты, а при малых скоростях (υ << c) переходят в формулы
преобразования Галилея. Таким образом, новая теория (СТО) не отвергла старую классическую механику Ньютона, а только уточнила пределы ее применимости. Такая взаимосвязь между старой и новой, более общей теорией, включающей старую теорию как предельный случай, носит название принципа соответствия.
При выполнении любых физических измерений исключительную роль
играют пространственно-временные соотношения между событиями. В СТО
событие определяется как физическое явление, происходящее в какой-либо
точке пространства в некоторый момент времени в избранной системе отсчета.
Таким образом, чтобы полностью охарактеризовать событие, требуется не
только выяснить его физическое содержание, но и определить его место и время. Для этого необходимо использовать процедуры измерения расстояний и
промежутков времени. Эйнштейн показал, что эти процедуры нуждаются в
строгом определении.
Для того чтобы в выбранной системе отсчета выполнять измерения промежутка времени между двумя событиями (например, началом и концом какого-либо процесса), происходящими в одной и той же точке пространства, достаточно иметь эталонные часы. Наибольшей точностью в настоящее время обладают часы, основанные на использовании собственных колебаний молекул
аммиака (молекулярные часы) или атомов цезия (атомные часы). Измерение
промежутка времени опирается на понятие одновременности: длительность
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
какого-либо процесса определяется путем сравнения с промежутком времени,
отделяющим показание часов, одновременное с концом процесса, от показания
тех же часов, одновременного с началом процесса. Если же оба события происходят в разных точках системы отсчета, то для измерения промежутков времени между ними в этих точках необходимо иметь синхронизованные часы.
Эйнштейновское определение процедуры синхронизации часов основано
на независимости скорости света в пустоте от направления распространения.
Пусть из точки A в момент времени t1 по часам A отправляется короткий световой импульс (рис. 1.4). Пусть время прихода импульса в B и отражения его
назад на часах B есть t'. Наконец, пусть отраженный сигнал возвращается в A в
момент t2 по часам A. Тогда по определению часы в A и B идут синхронно, если
t' = (t1 + t2) / 2.
Рис. 1.4. Синхронизация часов в СТО
Существование единого мирового времени, не зависящего от
системы отсчета, которое принималось как очевидный факт в классической физике, эквивалентно неявному допущению о возможности
синхронизации часов с помощью сигнала, распространяющегося с бесконечно
большой скоростью.
Итак, в разных точках выбранной системы отсчета можно расположить
синхронизованные часы. Теперь можно дать определение понятия одновременности событий, происходящих в пространственно-разобщенных точках: эти события одновременны, если синхронизованные часы показывают одинаковое
время.
Рассмотрим теперь вторую инерциальную систему K', которая движется с
некоторой скоростью υ в положительном направлении оси x системы K. В разных точках этой новой системы отсчета также можно расположить часы и синхронизировать их между собой, используя описанную выше процедуру. Теперь
интервал времени между двумя событиями можно измерять как по часам в системе K, так и по часам в системе K'. Будут ли эти интервалы одинаковы? Ответ
на этот вопрос должен находиться в согласии с постулатами СТО.
Пусть оба события в системе K' происходят в одной и той же точке и
промежуток времени между ними равен τ0 по часам системы K'. Этот промежуток времени называется собственным временем. Каким будет промежуток
времени между этими же событиями, если его измерить по часам системы K?
Для ответа на этот вопрос рассмотрим следующий мысленный эксперимент. На одном конце твердого стержня некоторой длины l расположена импульсная лампа B, а на другом конце – отражающее зеркало M. Стержень расположен, неподвижно в системе K' и ориентирован параллельно оси y'
(рис. 1.5). Событие 1 – вспышка лампы, событие 2 – возвращение короткого
светового импульса к лампе.
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В системе K' оба рассматриваемых события происходят в одной и той же
точке. В системе K' оба рассматриваемых события происходят в одной и той же
точке.
Промежуток времени между ними (собственное время) равен τ = 2l / c. С точки зрения
наблюдателя, находящегося в системе K, световой импульс движется между зеркалами зигзагообразно и проходит путь 2L, равный
где τ – промежуток времени
между отправлением светового
импульса и его возвращением,
измеренный по синхронизованРис. 1.5. Относительность промежутков
ным часам C1 и C2, расположенвремени. Моменты наступлений событий в ными в разных точках системы K.
системе K' фиксируются по одним и тем же Но согласно второму постулату
часам C, а в системе K – по двум синхрониСТО, световой импульс двигался
зованным пространственно-разнесенным
часам C1 и C2. Система K' движется со ско- в системе K с той же скоростью c,
что и в системе K'. Следовательростью υ в положительном направлении
но, τ = 2L / c.
оси x системы K
Из этих соотношений можно найти связь между τ и τ0:
(1.4)
где β = υ / c.
Таким образом, промежуток времени между двумя событиями зависит от
системы отсчета, т.е. является относительным. Собственное время τ0 всегда
меньше, чем промежуток времени между этими же событиями, измеренный в
любой другой системе отсчета. Этот эффект называют релятивистским замедлением времени. Замедление времени является следствием инвариантности
скорости света.
Эффект замедления времени является взаимным, в согласии с постулатом
о равноправии инерциальных систем K и K': для любого наблюдателя в K или
K' медленнее идут часы, связанные с движущейся по отношению к наблюдателю системой. Этот вывод СТО находит непосредственное опытное подтверждение. Например, при исследовании космических лучей в их составе обнаружены μ-мезоны – элементарные частицы с массой, примерно в 200 раз превышающей массу электрона. Эти частицы нестабильны, их среднее собственное
время жизни равно τ0 = 2,2·10–6 с. Но в космических лучах μ-мезоны движутся
со скоростью, близкой к скорости света. Без учета релятивистского эффекта за88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
медления времени они в среднем пролетали бы в атмосфере путь, равный
cτ0 ≈ 660 м. На самом деле, как показывает опыт, мезоны за время жизни успевают пролетать без распада гораздо большие расстояния. Согласно СТО, среднее время жизни мезонов по часам земного наблюдателя равно  
o
1 
2
  o ,
так как β = υ / c близко к единице. Поэтому средний путь υτ, проходимый мезоном в земной системе отсчета, оказывается значительно больше 660 м.
С релятивистским эффектом замедления времени связан так называемый
«парадокс близнецов». Предполагается, что один из близнецов остается на
Земле, а второй отправляется в длительное космическое путешествие с субсветовой скоростью. С точки зрения земного наблюдателя, время в космическом
корабле течет медленнее, и когда астронавт возвратится на Землю, он окажется
гораздо моложе своего брата-близнеца, оставшегося на Земле. Парадокс заключается в том, что подобное заключение может сделать и второй из близнецов,
отправляющийся в космическое путешествие. Для него медленнее течет время
на Земле, и он может ожидать, что по возвращению после длительного путешествия на Землю он обнаружит, что его брат-близнец, оставшийся на Земле, гораздо моложе его.
Чтобы разрешить «парадокс близнецов», следует принять во внимание
неравноправие систем отсчета, в которых находятся оба брата-близнеца. Первый из них, оставшийся на Земле, все время находится в инерциальной системе
отсчета, тогда как система отсчета, связанная с космическим кораблем, принципиально неинерциальная. Космический корабль испытывает ускорения при
разгоне во время старта, при изменении направления движения в дальней точке
траектории и при торможении перед посадкой на Землю. Поэтому заключение
брата-астронавта неверно. СТО предсказывает, что при возвращении на Землю
он действительно окажется моложе своего брата, оставшегося на Земле.
Эффекты замедления времени пренебрежимо малы, если скорость космического корабля гораздо меньше скорости света c. Тем не менее, удалось получить прямое подтверждение этого эффекта в экспериментах с макроскопическими часами. Наиболее точные часы – это атомные часы на пучке атомов цезия. Эти часы «тикают» 9192631770 раз в секунду. Американские физики в
1971 году провели сравнение двух таких часов, причем одни из них находились
в полете вокруг Земли на обычных реактивных лайнерах, а другие оставались
на Земле в военно-морской обсерватории США. В соответствии с предсказаниями СТО, путешествующие на лайнерах часы должны были отстать от находящихся на Земле часов на (184 ± 23)·10–9 с. Наблюдаемое отставание составило
(203 ± 10)·10–9 с, т.е. в пределах ошибок измерений. Через несколько лет эксперимент был повторен и дал результат, согласующийся со СТО с точностью 1 %.
В настоящее время уже необходимо принимать во внимание релятивистский эффект замедления хода часов при транспортировке атомных часов на
большие расстояния.
Изучите модель «Относительность промежутков времени».
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель. Относительность промежутков
времени
Относительность промежутков
времени – одно из важных следствий
специальной теории относительности
Эйнштейна.
Интервал времени между двумя
событиями может быть разным в разных системах отсчета.
Если два события происходят в
одной и той же точке пространства в
некоторой системе отсчета, и интервал
времени, измеренный по часам неподвижного наблюдателя, оказался равным τ0, то для наблюдателя в другой системе, которая движется относительно
первой с постоянной скоростью υ, интервал времени между двумя этими событиями будет равен τ:
Здесь c – скорость света, β = υ / c.Интервал τ всегда больше интервала τ0,
который называется собственным временем. Это означает, в частности, что ход
часов, движущихся относительно наблюдателя, замедляется. Этот вывод теории
относительности вытекает из постулата о постоянстве скорости света в различных системах отсчета.
Компьютерная модель позволяет познакомиться с одним из важных следствий специальной теории относительности Эйнштейна – относительностью
промежутков времени. На экране дисплея представлен эксперимент по измерению интервала времени между двумя событиями наблюдателями в различных
системах отсчета. Результаты измерения собственного времени и времени по
часам движущегося наблюдателя выводятся на экран дисплея.
В левой части экрана воспроизводится эксперимент по измерению времени распространения светового импульса туда и обратно на неподвижной базе
l = 1 км. Событие 1 – (световая вспышка) и событие 2 – (возвращение светового
импульса) происходят в одной точке системы отсчета. Поэтому часы измеряют
собственное время τ0 = 2l / c. В правой части этот эксперимент рассматривается с точки зрения наблюдателя, который движется с некоторой скоростью υ
перпендикулярно базе. События 1 и 2 в системе отсчета этого наблюдателя
происходят в пространственно разобщенных точках. Время τ = 2L / c, измеренное по синхронизованным часам этой системы, окажется больше собственного
времени τ0.
В компьютерной модели можно изменять величину γ, которая связана со
скоростью υ соотношением
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При нажатии кнопки «Сброс» на часах в обеих системах отсчета высвечивается время наступления событий 1и 2.
Пусть твердый стержень покоится в системе отсчета K', движущейся со
скоростью υ относительно системы отсчета K (рис. 1.6). Стержень ориентирован параллельно оси x'. Его длина, измеренная с помощью эталонной линейки в
системе K', равна l0. Ее называют собственной длиной. Какой будет длина этого стержня, измеренная наблюдателем в системе K? Для ответа на этот вопрос
необходимо дать определения процедуры измерения длины движущегося
стержня.
Под длиной l стержня в системе
K, относительно которой стержень
движется, понимают расстояние между координатами концов стержня, зафиксированными одновременно по
часам этой системы. Если известна
скорость системы K' относительно K,
то измерение длины движущегося
стержня можно свести к измерению
времени: длина l движущегося со скоростью υ стержня равна произведению
υτ0, где τ0 – интервал времени по часам
в системе K между прохождением
Рис. 1.6. Измерение длины движущего- начала стержня и его конца мимо какой-нибудь
неподвижной
точки
ся стержня
(например, точки A) в системе K (рис. 1.6). Поскольку в системе K оба события (прохождение начала и конца стержня мимо фиксированной точки A) происходят в
одной точке, то промежуток времени τ0 в системе K является собственным временем. Итак, длина l движущегося стержня равна l = υτ0.
Найдем теперь связь между l и l0. С точки зрения наблюдателя в системе
K', точка A, принадлежащая системе K, движется вдоль неподвижного стержня
налево со скоростью υ, поэтому можно записать
l0 = υτ,
(1.5)
где τ есть промежуток времени между моментами прохождения точки A
мимо концов стержня, измеренный по синхронизованным часам в K'. Используя связь между промежутками времени τ и τ0  
o
1  2
, найдем
(1.6)
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, длина стержня зависит от системы отсчета, в которой она
измеряется, т.е. является относительной величиной. Длина стержня оказывается
наибольшей в той системе отсчета, в которой стержень покоится. Движущиеся
относительно наблюдателя тела сокращаются в направлении своего движения.
Этот релятивистский эффект носит название лоренцева сокращения длины.
Расстояние не является абсолютной величиной, оно зависит от скорости
движения тела относительно данной системы отсчета. Сокращение длины не
связанно с какими-либо процессами, происходящими в самих телах. Лоренцево
сокращение характеризует изменение размера движущегося тела в направлении
его движения. Если стержень на рис. 1.6 расположить перпендикулярно оси x,
вдоль которой движется система K', то длина стержня оказывается одинаковой
для наблюдателей в обеих системах K и K'. Это утверждение находится в соответствии с постулатом о равноправии всех инерциальных систем. Для доказательства можно рассмотреть следующий мысленный эксперимент. Расположим
в системах K и K' вдоль осей y и y' два жестких стержня. Стержни имеют одинаковые собственные длины l, измеренные неподвижными по отношению к
каждому из стержней наблюдателями в K и K', и один из концов каждого
стержня совпадает с началом координат O или O'. В некоторый момент стержни оказываются рядом и представляется возможность сравнить их непосредственно: конец каждого стержня может сделать метку на другом стержне. Если
бы эти метки не совпали с концами стержней, то один из них оказался бы длиннее другого с точки зрения обеих систем отсчета. Это противоречило бы принципу относительности.
Следует обратить внимание, что при малых скоростях движения (υ << c)
формулы СТО переходят в классические соотношения: l ≈ l0 и τ ≈ τ0. Таким образом, классические представления, лежащие в основе механики Ньютона и
сформировавшиеся на основе многовекового опыта наблюдения над медленными движениями, в специальной теории относительности соответствуют предельному переходу при β = υ / c → 0. В этом проявляется принцип соответствия.
Изучите модель «Относительность длины».
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель. Относительность длины
Одним из важных следствий специальной теории относительности является вывод
об относительности расстояний.
Расстояние не является абсолютной величиной, а зависит от скорости движения тела относительно данной системы отсчета.
Пусть длина твердого стержня, измеренная в собственной системе отсчета, в которой стержень неподвижен, равна l0. Под
длиной l стержня в другой системе отсчета,
относительно которой стержень движется с
некоторой скоростью υ, понимают расстояние
между концами стержня, зафиксированными
одновременно по часам этой системы. Тогда
согласно теории относительности имеет место соотношение:
где
Таким образом, длина движущегося стержня оказывается всегда меньше
длины покоящегося стержня.
Относительность расстояний (длин) связана с постоянством скорости
света во всех инерциальных системах и с относительностью промежутков времени.
Компьютерная программа моделирует эксперимент по измерению длины
твердого стержня двумя наблюдателями, находящимися в различных инерциальных системах. Один из наблюдателей неподвижен по отношению к стержню, другой движется с некоторой скоростью υ вдоль стержня. Эксперимент состоит в измерении времени распространения светового импульса от одного
конца стержня до другого и обратно. Событие 1 – короткая световая вспышка
на одном конце стержня событие 2 – возвращение светового импульса к лампе!
В собственной системе отсчета интервал времени между этими событиями равен τ0 = 2l0 / c. В движущейся системе отсчета интервал времени между этими
событиями равен
Из этих соотношений следует:
В компьютерном эксперименте можно изменять относительную скорость
систем отсчета. В верхней части экрана воспроизводится эксперимент по измерению собственного времени τ0 между событиями в системе, в которой стер93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жень неподвижен. В нижней части экрана этот же эксперимент выполняет
наблюдатель в движущейся по отношению к стержню системе отсчета. Результаты измерений промежутков времени τ0 и τ высвечиваются на часах в обеих
системах отсчета.
Классические преобразования Галилея несовместимы с постулатами СТО
и, следовательно, должны быть заменены другими преобразованиями. Эти новые преобразования должны установить связь между координатами (x, y, z) и
моментом времени t события, наблюдаемого в системе отсчета K, и координатами (x', y', z') и моментом времени t' этого же события, наблюдаемого в системе отсчета K'.
Кинематические формулы преобразования координат и времени в СТО
называются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году
еще до появления СТО как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики. Для случая, когда система K' движется относительно K со скоростью υ вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид:
K' → K
K → K'
(1.7)
β = υ / c.
Из преобразований Лоренца вытекает целый ряд следствий. В частности,
из них следует релятивистский эффект замедления времени и лоренцево сокращение длины. Пусть, например, в некоторой точке x' системы K' происходит
процесс длительностью τ0 = t'2 – t'1 (собственное время), где t'1 и t'2 – показания
часов в K' в начале и конце процесса. Длительность τ этого процесса в системе
K будет равна
(
1.8)
Аналогичным образом, можно показать, что из преобразований Лоренца
вытекает релятивистское сокращение длины. Одним из важнейших следствий
из преобразований Лоренца является вывод об относительности одновременности. Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K' (x'1 ≠ x'2)
одновременно с точки зрения наблюдателя в K' (t'1 = t'2 = t') происходят два события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в системе K будет
иметь
(1.9)
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следовательно, в системе K эти события, оставаясь пространственно
разобщенными, оказываются неодновременными. Более того, знак разности t2 –
t1 определяется знаком выражения υ(x'2 – x'1), поэтому в одних системах отсчета
первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Этот вывод СТО
не относится к событиям, связанным причинно-следственными связями, когда
одно из событий является физическим следствием другого. Можно показать,
что в СТО не нарушается принцип причинности, и порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.
Относительность одновременности пространственно-разобщенных событий можно проиллюстрировать на следующем примере.
Пусть в системе отсчета K' вдоль оси
x' неподвижно расположен длинный жесткий стержень. В центре стержня находится
импульсная лампа B, а на его концах установлены двое синхронизованных часов
(рис. 1.7(a)), система K' движется вдоль оси
x системы K со скоростью υ. В некоторый
момент времени лампа посылает короткие
световые импульсы в направлении концов
стержня. В силу равноправия обоих направлений свет в системе K' дойдет до концов
стержня одновременно, и часы, закрепленные на концах стержня, покажут одно и то
же время t'. Относительно системы K концы
стержня движутся со скоростью υ так, что
Рис. 1.7. Относительность одно- один конец движется навстречу световому
временности. Световой импульс импульсу, а другой конец свету приходится
достигает концов твердого
догонять. Так как скорости распространения
стержня одновременно в системе световых импульсов в обоих направлениях
отсчета K' (a) и не одновременно
одинаковы и равны c, то, с точки зрения
в системе отсчета K (b)
наблюдателя в системе K, свет раньше дойдет до левого конца стержня, чем до
правого (рис. 1.7(b)).
Преобразования Лоренца выражают относительный характер промежутков времени и расстояний. Однако в СТО наряду с утверждением относительного характера пространства и времени важную роль играет установление инвариантных физических величин, которые не изменяются при переходе от одной системе отсчета к другой. Одной из таких величин является скорость света
c в вакууме, которая в СТО приобретает абсолютный характер. Другой важной
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
инвариантной величиной, отражающей абсолютный характер пространственновременных связей, является интервал между событиями.
Пространственно-временной интервал определяется в СТО следующим
соотношением:
(1.10)
где t12 – промежуток времени между событиями в некоторой системе отсчета, а l12 – расстояние между точками, в которых происходят рассматриваемые события, в той же системе отсчета. В частном случае, когда одно из событий происходит в начале координат (x1 = y1 = z1 = 0) системы отсчета в момент
времени t1 = 0, а второе – в точке с координатами x, y, z в момент времени t,
пространственно-временной интервал между этими событиями записывается в
виде:
(1.11)
С помощью преобразований Лоренца можно доказать, что пространственно-временной интервал между двумя событиями не изменяется при переходе из одной инерциальной системы в другую. Инвариантность интервала
означает, что, несмотря на относительность расстояний и промежутков времени, протекание физических процессов носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.
Если одно из событий представляет собой вспышку света в начале координат системы отсчета при t = 0, а второе – приход светового фронта в точку с
координатами x, y, z в момент времени t (рис. 1.3), то
x2 + y2 + z2 = c2t2,
(1.12)
и, следовательно, интервал для этой пары событий s = 0. В другой системе отсчета координаты и время второго события будут другими, но и в этой системе пространственно-временной интервал s' окажется равным нулю, так как
(1.13)
Для любых двух событий, связанных между собой световым сигналом,
интервал равен нулю.
Из преобразований Лоренца для координат и времени можно получить
релятивистский закон сложения скоростей. Пусть, например, в системе отсчета K' вдоль оси x' движется частица со скоростью u ' x 
dx'
. Составляющие
dt '
скорости частицы u'x и u'z равны нулю. Скорость этой частицы в системе K будет равна u x 
dx
.
dt
С помощью операции дифференцирования из формул преобразований
Лоренца можно найти:
(1.14)
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Эти соотношения выражают релятивистский закон сложения скоростей

для случая, когда частица движется параллельно относительной скорости  систем отсчета K и K'.
При υ << c релятивистские формулы переходят в формулы классической
механики:
ux = u'x + υ, uy = 0, uz = 0.
(1.15)
Если в системе K' вдоль оси x' распространяется со скоростью u'x = c световой импульс, то для скорости ux импульса в системе K получим:
(1.16)
Таким образом, в системе отсчета K световой импульс также распространяется вдоль оси x со скоростью c, что согласуется с постулатом об инвариантности скорости света.
2. Порядок выполнения работы
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.5» часть 2.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Основы специальной теории относительности» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните
мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 4.1.
5. На экране дисплея представлен эксперимент по измерению интервала
времени между двумя событиями наблюдателями в различных системах отсчета. Результаты измерения собственного времени и времени по часам движущегося наблюдателя выводятся на экран дисплея.
6. В левой части экрана воспроизводится эксперимент по измерению
времени распространения светового импульса туда и обратно на неподвижной
базе l = 1 км. Событие 1 – (световая вспышка) и событие 2 – (возвращение светового импульса) происходят в одной точке системы отсчета. Поэтому часы
измеряют собственное время τ0 = 2l / c.
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. В правой части этот эксперимент рассматривается с точки зрения
наблюдателя, который движется с некоторой скоростью υ перпендикулярно базе. События 1 и 2 в системе отсчета этого наблюдателя происходят в пространственно разобщенных точках. Время τ = 2L / c, измеренное по синхронизованным часам этой системы, окажется больше собственного времени τ0.
8. В компьютерной модели можно изменять величину γ, которая связана
со скоростью υ соотношением:
9. При нажатии кнопки «Сброс» на часах в обеих системах отсчета высвечивается время наступления событий 1и 2.
10. Нажмите кнопку «Сброс». Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
11. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
12. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
13. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
14. Дома проработайте модель 4.1, 4.2 из раздела «Модели».
15. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
16. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
17. Напишите вывод.
3. Контрольные вопросы
1. Элементы специальной теории относительности.
2. Преобразования Галилея.
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.
4.
5.
6.
Механический принцип относительности.
Постулаты специальной теории относительности.
Преобразования Лоренца.
Следствия из преобразований Лоренца.
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Форма титульного листа для лабораторных работ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО НАУКЕ И ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО
УФИМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ СЕРВИСА
Кафедра физики
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
Выполнил студент группы МД-11:
Ильясов И.
Проверил преподаватель:
Денисова О.А.
Уфа - 2008
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Форма титульного листа для оформления контрольных работ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО НАУКЕ И ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО
УФИМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ СЕРВИСА
Кафедра физики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
Выполнил студент группы МД-11:
Ильясов И.
Проверил преподаватель:
Денисова О.А.
Уфа – 2008
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Составитель: ДЕНИСОВА Ольга Аркадьевна
МЕХАНИКА.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Методические указания к выполнению лабораторного практикума по физике
с использованием пакета «Открытая физика 2.5»
Часть 1
Технический редактор: А.Ю. Кунафина
Подписано в печать 15.11.08. Формат 60×84 1/16.
Бумага газетная. Гарнитура «Таймс».
Усл. печ. л. 5,87. Уч.-изд. л. 6,75. Тираж 200 экз.
Цена свободная. Заказ № 03.
Отпечатано с готовых авторских оригиналов
на ризографе в издательском отделе
Уфимской государственной академии экономики и сервиса
450078, г. Уфа, ул. Чернышевского, 145; тел. (347) 241-69-85.
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
104
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
82
Размер файла
1 740 Кб
Теги
механика, 2573
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа