close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2643.Физика. Разделы «Механика. Молекулярная физика. Термодинамика» (проведение эксперимента и компьютерного моделирования). Ч

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО
УФИМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА
Кафедра «Физика»
ФИЗИКА.
Разделы «МЕХАНИКА.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА»
(проведение эксперимента и компьютерного моделирования)
Часть 1
Учебно-методическое пособие
Рекомендовано
учебно-методическим советом УГАЭС
Уфа 2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Составитель: О.А. Денисова
УДК 535.3;
ББК 22.3
Ф 50
Рецензенты:
Шапиро С.В., проф., д-р техн. наук, зав. кафедрой «Физика»
Уфимской государственной академии экономики и сервиса
Чувыров А.Н., проф., д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой «Инженерная физика»
Башкирского государственного университета
Денисова О.А.
Ф 50 Физика. Разделы «Механика. Молекулярная физика. Термодинамика» (проведение эксперимента и компьютерного моделирования). Часть 1:
Учебно-методическое пособие / О.А. Денисова. – Уфа: Уфимская государственная академия экономики и сервиса, 2010. – 140 с.
В учебно-методическом пособии приведена краткая теория вопросов,
изучаемых в лабораторных работах, порядок выполнения и правила оформления отчетов по лабораторным работам по общей физике (разделы «Механика.
Молекулярная физика и термодинамика», с использованием пакета «Открытая
физика 2.6» и экспериментальных установок).
Пособие предназначено для студентов дневной и заочной формы обучения инженерных специальностей.
Рис. 85, моделей 29. Библиогр.: 6 назв.
© Денисова О.А., 2010
© Уфимская государственная
академия экономики и сервиса, 2010
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………………………….3
Список литературы……………………………………………………………….5
Лабораторная работа № 1. Основные понятия кинематики.
Относительность движения. Перемещение и скорость…………………………..…6
Лабораторная работа № 2. Движение тел с ускорением.
Равноускоренное движение тела. Скорость и ускорение. Свободное
падение тела………………………………………………………………………...…16
Лабораторная работа № 3. Динамика материальной точки и твердого
тела. Движение брусков…………….……………………………………………….26
Лабораторная работа № 4. Динамика вращательного движения твердого
тела. Изучение закона вращательного движения твердого тела с помощью
маятника Обербека…………………………………………………………………...34
Лабораторная работа № 5. Механика твердого тела. Определение
моментов инерции тел. Проверка теоремы Штейнера методом крутильных
колебаний…………………..…………………………………..………………….......46
Лабораторная работа № 6. Законы сохранения в механике. Упругие и
неупругие соударения………………………………………………...........................51
Лабораторная работа № 7. Деформации твердого тела. Определение
упругой деформации кручения методом крутильных колебаний. Закон Гука.......72
Лабораторная работа № 8. Механические колебания и волны. Колебания
пружинного, математического, физического маятников……..................................79
Лабораторная работа № 9. Уравнение состояния идеального газа.
Изотермический, изобарный, изохорный процессы.……………………….…........98
Лабораторная работа № 10. Основы термодинамики. Адиабатный процесс.
Экспериментальное определение константы Пуассона газа методом
Клемана–Дезорма……………………………………………...…………………….106
Лабораторная работа № 11. Основы специальной теории
относительности. Относительность промежутков времени…………….……..122
Приложение 1………………………………………….…………........................138
Приложение 2.……………………………………………………........................139
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВВЕДЕНИЕ
Данные методические указания направлены на определение порядка выполнения и оформления экспериментальных и компьютерных лабораторных
работ по программе «Открытая физика 2.6».
Данный пакет предназначен для изучения основных физических законов
и явлений с использованием компьютерных моделей студентами очной и заочной форм обучения. Проверка знаний студента проводится во время аудиторных занятий и с помощью контрольных работ, после чего следует тестирование знаний студентов.
Интерфейс программы удобный и позволяет работать как с теоретическими материалами, так и с моделями одновременно. Кроме этого в пакете
присутствует список основных физических констант, формул основных физических законов, приведены биографии великих физиков. Все это позволяет
студентам всесторонне подойти к изучению необходимого материала. В пособии учтены особенности учебных планов разных специальностей.
Практические занятия по данной программе разделяются на:
1) лабораторный практикум;
2) контрольные (домашние) работы.
Лабораторный практикум состоит из 11 лабораторных работ.
Для выполнения домашних контрольных работ каждый студент обеспечивается копией данного пакета.
На каждом занятии студент может выполнить разное количество упражнений лабораторной работы по указанию преподавателя. В ходе компьютерного моделирования, студент должен решить задачи, ответить на вопросы к лабораторным работам, изучить модели. В экспериментальной части работы
провести физический эксперимент. По каждой работе составляется отчет, в
который входят результаты моделирования (расчеты и графики), ответы на вопросы, решение задач, результаты физического эксперимента, проведенного с
помощью лабораторной установки. Отчет представляется в распечатанной на
принтере или письменной форме в тетради (по указанию преподавателя) и
сдается преподавателю на проверку.
Решение заданной задачи студент приводит в письменном виде с
указанием примененных формул и математических расчетов!
Отчет по лабораторной работе сдается на проверку на следующем аудиторном занятии.
После того как студент выполнил лабораторные и контрольные работы,
он допускается к тестированию. По результатам тестирования студент получает зачет или допускается к экзамену.
Требования к отчету по лабораторной работе
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
- наименование работы;
- цель работы;
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- конспект основных законов, определений, понятий, формул;
- результаты компьютерного моделирования и расчетов (графики, рисунки, схемы);
- результаты выполнения работы с помощью экспериментальной установки;
- ответы на контрольные вопросы и подробное решение задач;
- выводы по результатам выполненной работы.
Список литературы
1. Трофимова Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова. – М.: Высшая школа,
2001.
2. Детлаф А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. – 4-е изд. –
М.: Академия, 2003.
3. Савельев И.В. Курс общей физики. – Т. 1 / И.В. Савельев. – М.: АСТ,
2003.
4. Сивухин Д.В. Общий курс физики. – Т. 1 / Д.В. Сивухин. – М: Физматлит, 2002.
5. Грабовский Р.И. Курс физики / Р.И. Грабовский. – 6-е изд. – СПб.:
Лань, 2002.
6. Дмитриева В.Ф. Основы физики / В.Ф. Дмитриева, В.Л. Прокофьев. –
М.: Академия, 2003.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа № 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ.
Относительность движения. Перемещение и скорость
Цель работы: изучение основных понятий кинематики, относительности
движения, моделей.
1. Краткая теория
Кинематикой называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин этого движения.
Механическим движением тела называют изменение его положения в
пространстве относительно других тел с течением времени.
Механическое движение относительно. Движение одного и того же тела
относительно разных тел оказывается различным. Для описания движения тела нужно указать, по отношению к какому телу рассматривается движение.
Это тело называют телом отсчета.
Система координат, связанная с телом отсчета, и часы для отсчета времени образуют систему отсчета, позволяющую определять положение движущегося тела в любой момент времени.
В Международной системе единиц (СИ) за единицу длины принят метр,
а за единицу времени – секунда.
Всякое тело имеет определенные размеры. Различные части тела находятся в разных местах пространства. Однако во многих задачах механики нет
необходимости указывать положения отдельных частей тела. Если размеры
тела малы по сравнению с расстояниями до других тел, то данное тело можно
считать его материальной точкой. Так можно поступать, например, при изучении движения планет вокруг Солнца.
Если все части тела движутся одинаково, то такое движение называется
поступательным. Поступательно движутся, например, кабины в аттракционе
«Гигантское колесо», автомобиль на прямолинейном участке пути и т.д. При
поступательном движении тела его также можно рассматривать как материальную точку.
Тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь, называется материальной точкой.
Понятие материальной точки играет важную роль в механике.
Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело (материальная точка) описывает некоторую линию, которую называют траекторией движения тела.
Положение материальной точки в пространстве в любой момент времени
(закон движения) можно определять либо с помощью зависимости координат
от времени x=x(t), y=y(t), z=z(t) (координатный способ), либо при помощи зави 
симости от времени радиус-вектора r  r (t ) (векторный способ), проведенного
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
из начала координат до данной точки (рис. 1.1).
Перемещением
тела
называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с
его последующим положением.
Перемещение есть векторная величина.
Пройденный путь l равен
длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t.
Путь – скалярная величина.
Если движение тела расРис. 1.1. Координатный и векторный
сматривать в течение достаточно
способы определения положения тела
короткого промежутка времени, то
в пространстве
вектор перемещения окажется
направленным по касательной к траектории в данной точке, а его длина будет
равна пройденному пути.
В случае достаточно малого промежутка времени Δt пройденный телом

путь Δl почти совпадает с модулем вектора перемещения s . При движении
тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути (рис. 1.2).

  
s  r  r  ro
Для характеристики движения вводится понятие средней скорости:


s r


.
t t

(1.1)
В физике наибольший интерес представляет не средняя, а мгновенная скорость, которая определяется как предел, к
которому стремится средняя скорость за
бесконечно малый промежуток времени Δt:


s r dr 
  lim


r .
t 0 t
t dt

(1.2)
В математике такой предел называют про
изводной и обозначают ddtr или r . Таким
образом, мгновенная скорость материаль-
Рис. 1.2. Пройденный путь l и
ной точки (тела) – это первая производная
вектор перемещения при кривоот перемещения по времени.
линейном движении тела. a и b –

Мгновенная скорость  тела в любой
начальная и конечная точки пути
точке криволинейной траектории
направлена по касательной к траектории в этой точке. Различие между средней
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и мгновенной скоростями показано на рис. 1.3.
При движении тела по
криволинейной траектории его

скорость  изменяется по модулю и направлению. Изменение

вектора скорости  за некоторый малый промежуток времени
Δt можно задать с помощью

вектора  (рис. 1.4).
Вектор изменения скоро  
сти    2  1 за малое время Δt
можно разложить на две составРис. 1.3. Направления средней и мгновенной
ляющие: тангенциальную (касаскорости, перемещения

тельную) составляющую  ,


направленную вдоль вектора  , и нормальную составляющую  n , направ
ленную перпендикулярно вектору  .
Мгновенным ускорением (или про
сто ускорением) a тела называют предел
отношения малого изменения скорости

 к малому промежутку времени Δt, в
течение которого происходило изменение
скорости:



   n  d  



 
a  lim
 lim 

   r (1.3)
t 0 t
t 0

t

t

 dt

Направление вектора ускорения a в
Рис. 1.4. Изменение вектора скоро- случае криволинейного движения не совпадает с направлением вектора скорости
сти по величине и направлению


 . Составляющие вектора ускорения a


называют касательным (тангенциальным) a и нормальным a n ускорениями
(рис. 1.5).
Касательное ускорение указывает,
насколько быстро изменяется скорость тела
по модулю:

Рис. 1.5. Касательное и
нормальное ускорения


d
a 
.
dt
(1.4)
Вектор a направлен по касательной к
траектории. Нормальное ускорение указывает, насколько быстро скорость тела изменяется по направлению.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Криволинейное движение можно представить как движение по дугам окружностей
(рис. 1.6).
Нормальное ускорение зависит от модуля скорости υ и от радиуса R окружности,
по дуге которой тело движется в данный момент:

 2
an 
.
R
Рис. 1.6. Движение
по дугам окружностей
(1.5)

Вектор a n всегда направлен к центру окружности. Из рис. 1.5 видно, что
модуль полного ускорения равен:
a  a2  an2 .
(1.6)
Таким образом, основными физическими величинами в кинематике ма

териальной точки являются пройденный путь l, перемещение s , скорость  и


ускорение a . Путь l является скалярной величиной. Перемещение s , ско

рость  и ускорение a – величины векторные. Чтобы задать векторную величину, нужно задать ее модуль и указать направление.
Векторные величины подчиняются определенным математическим правилам. Вектора можно проектировать на координатные оси, их можно складывать, вычитать и т.д. Изучите модели «Вектор и его проекции на координатные
оси» и «Сложение и вычитание векторов».
Модель. Вектор и его проекции
на координатные оси
Модель демонстрирует разложение вектора на
составляющие путем проектирования вектора на координатные оси X и Y. Изменяя
на графике с помощью мыши модуль
и направление

вектора A проследите за
изменением его проекций
Ax и A y . Изменяя проекции
Ax и A y , проследите за модулем и направлением вектора A .
Движение тел можно описывать в различных системах отсчета. С точки
зрения кинематики все системы отсчета равноправны. Однако кинематические
характеристики движения, такие как траектория, перемещение, скорость, в разных системах оказываются различными. Величины, зависящие от выбора системы отсчета, в которой производится их измерение, называют относительными.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель. Сложение и вычитание векторов
Модель позволяет изменять модули
и направления


векторов A и B и строить

вектор C – результат их векторного сложения или вычитания. Можно также изме
нять проекции векторов A и

B и убедиться, что проекции

вектора C на координатные
оси равны соответственно
сумме илиразности проекций

векторов A и B .
Пусть имеются две системы отсчета. Система XOY условно считается
неподвижной, а система X'O'Y' движется поступательно по отношению к си
стеме XOY со скоростью  o . Система XOY может быть, например, связана с
Землей, а система X'O'Y' – с движущейся по рельсам платформой (рис. 1.7).
Рис. 1.7. Сложение перемещений
относительно разных систем отсчета

Пусть человек перешел по
платформе за некоторое время
из точки A в точку B. Тогда его
перемещение
относительно
платформы соответствует век
тору s ' , а перемещение платформы относительно Земли со
ответствует вектору s o . Из рис.
1.7 видно, что перемещение человека относительно Земли будет соответствовать


вектору s , представляющему собой сумму векторов s o и s ' :
  
s  so  s ' .
(1.7)
В случае, когда одна из систем отсчета движется относительно другой

поступательно (как на рис. 1.7) с постоянной скоростью  o это выражение
принимает вид:
 

s   o t  s ' .
(1.8)
Если рассмотреть перемещение за малый промежуток времени Δt, то,
разделив обе части этого уравнения на Δt и затем перейдя к пределу при Δt→0
получим:
  
  o   ' ,
(1.9)


здесь  – скорость тела в «неподвижной» системе отсчета XOY,  ' – скорость


тела в «движущейся» системе отсчета X'O'Y'. Скорости  и  ' иногда условно
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

называют абсолютной и относительной скоростями; скорость  o называют переносной скоростью.
Соотношение (1.9) выражает классический закон сложения скоростей:

абсолютная скорость тела  равна векторной сумме его относительной ско

рости  ' и переносной скорости  o подвижной системы отсчета.
Следует обратить внимание на вопрос об ускорениях тела в различных
системах отсчета. Из (1.9) следует, что при равномерном и прямолинейном
движении систем отсчета друг относительно друга ускорения тела в этих двух

 
системах одинаковы, т.е. a  a' . Действительно, если  o – вектор, модуль и
направление которого остаются неизменными во времени, то любое изменение


 ' относительной скорости тела будет совпадать с изменением  его абсолютной скорости. Следовательно,


  '
.

t
t
(1.10)
Изучите модель «Относительность движения».
Модель. Относительность движения
Модель демонстрирует относительность движения на примере
лодки, пересекающей реку. Изменяя
модуль и направление скорости лодки, скорость течения реки и точку
старта лодки, наблюдайте за траекторией переправы лодки через реку.

Скорость лодки  в системе отсчета, связанной с Землей, равна век
торной сумме скорости лодки  ' относительно воды и скорости течения

реки  o .


Переходя к пределу (Δt→0), получим a  a' . В общем случае, при движениях систем отсчета с ускорением друг относительно друга, ускорения тела в
различных системах отсчета оказываются различными.

В случае, когда вектора относительной скорости  ' и переносной скоро
сти  o параллельны друг другу, закон сложения скоростей можно записать в
скалярной форме:
υ = υ0 + υ'.
(1.11)
В этом случае все движения происходят вдоль одной прямой линии
(например, оси OX). Скорости υ, υо и υ' нужно рассматривать как проекции абсолютной, переносной и относительной скоростей на ось OX. Они являются
величинами алгебраическими и, следовательно, им нужно приписывать определенные знаки (плюс или минус) в зависимости от направления движения.
Простейшим видом механического движения является движение тела
вдоль прямой линии с постоянной по модулю и направлению скоростью. Та11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кое движение называется равномерным. При равномерном движении тело за
любые равные промежутки времени проходит равные пути. Для кинематического описания равномерного прямолинейного движения координатную ось
OX удобно расположить по линии движения. Положение тела при равномерном движении определяется заданием одной координаты x. Вектор перемещения и вектор скорости всегда направлены параллельно координатной оси OX.
Поэтому перемещение и скорость при прямолинейном движении можно спроектировать на ось OX и рассматривать их проекции как алгебраические величины.
Если в некоторый момент времени t1 тело находилось в точке с координатой x1, а в более поздний момент t2 – в точке с координатой x2, то проекция
перемещения Δs на ось OX за время Δt = t2 – t1 равна Δs = x2 – x1.
Эта величина может быть и положительной и отрицательной в зависимости от направления, в котором двигалось тело. При равномерном движении
вдоль прямой модуль перемещения совпадает с пройденным путем. Скоростью равномерного прямолинейного движения называют отношение

s x2  x1

 const .
t t 2  t1
(1.12)
Если υ>0, то тело движется в сторону положительного направления оси
OX; при υ<0 тело движется в противоположном направлении.
Зависимость координаты x от времени t (закон движения) выражается при
равномерном прямолинейном движении линейным математическим уравнением:
x(t) = x0 + υt.
(1.13)
В этом уравнении υ=const – скорость движения тела, xо – координата
точки, в которой тело находилось в момент времени t=0. На графике закон
движения x(t) изображается прямой линией. Примеры таких графиков представлены на рис. 1.8.
Для закона движения,
изображенного на графике I
(рис. 1.8), при t=0 тело находилось в точке с координатой x0=–
3. Между моментами времени
t1=4 с и t2=6 с тело переместилось от точки x1=3 м до точки
x2=6 м. Таким образом, за Δt= t2–
t1 =2 с тело переместилось на
Δs=x2–x1 = 3 м.
Рис. 1.8. Графики равномерного
прямолинейного движения
Следовательно, скорость тела составляет  
s
 1,5 м / с .
t
Величина скорости оказалась положительной. Это означает, что тело
двигалось в положительном направлении оси OX. Обратим внимание, что на
графике движения скорость тела может быть геометрически определена как
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
отношение сторон BC и AC треугольника ABC (рис. 1.9)

x2  x1 BC
.

t 2  t1
AC
Чем больше угол α, который образует прямая с осью времени, т.е. чем
больше наклон графика (крутизна), тем больше скорость тела. Иногда говорят,
что скорость тела равна тангенсу угла α наклона прямой x(t). С точки зрения
математики это утверждение не вполне корректно, так как стороны BC и AC
треугольника ABC имеют разные размерности: сторона BC измеряется в метрах, а сторона AC – в секундах.
Аналогичным образом для движения, изображенного на рис. 1.9 прямой
II, найдем x0=4 м, υ = –1 м/с.
На рис. 1.9 закон движения
x(t) тела изображен с помощью отрезков прямых линий. В математике такие графики называются кусочно-линейными. Такое движение
тела вдоль прямой не является равномерным. На разных участках этого графика тело движется с различными скоростями, которые также
можно определить по наклону соответствующего отрезка к оси времени. В точках излома графика тело мгновенно изменяет свою скорость.
На графике (рис. 1.9) это
Рис. 1.9. Кусочно-линейный
закон движения
происходит в момент времени t1= –3 с, t2= 4 с, t3= 7 с и t4 = 9 с. Нетрудно найти
по графику движения, что на интервале (t2; t1) тело двигалось со скоростью
υ12=1 м/с, на интервале (t3; t2) – со скоростью υ23= –4/3 м/с и на интервале (t4; t3)
– со скоростью υ34 = 4 м/с.
Следует отметить, что при кусочно-линейном законе прямолинейного
движения тела пройденный путь l не совпадает с перемещением s. Например,
для закона движения, изображенного на рис. 1.10, перемещение тела на интервале времени от 0 с до 7 с равно нулю (s=0). За это время тело прошло путь
l= 8 м.
Изучите модель «Перемещение и скорость».
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель иллюстрирует понятия перемещения и скорости
при равномерном движении тела
вдоль оси X. График движения x(t)
составлен из участков прямых.
График можно изменять, перемещая с помощью мыши выделенные точки на графике. При движении тела на каждом участке
графика вычисляются его скорость υ и перемещение s.
Модель. Перемещение и скорость
2. Порядок выполнения работы
Упражнение № 1
Относительность движения
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Механика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел лабораторные работы (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 1.1. На рисунке изображении река
и лодка около одного из берегов. Нажмите «Старт». Лодка начнет двигаться
относительно правого берега реки к левому берегу. Под рисунком расположе

ны параметры скорость лодки в стоячей воде  ' , скорость течения  o , угол,
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
под которым двигается лодка  , начальная координата лодки хо, которые можно изменять.
5. Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
6. Пронаблюдайте движение лодки.
7. Под рисунком приводятся значения координат х и y конечного поло
жения лодки, ее скорость движения  и время движения лодки.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модели 1.1-1.3 из раздела «Модели».
Упражнение № 2
Перемещение и скорость
1. В верхнем левом углу экрана расположена стрелка. Нажмите на
стрелку, перейдите к лабораторной работе № 1.2. Перед Вами график зависимости координаты от времени движения автомобиля.
2. Нажмите «Старт». Автомобиль начинает двигаться. Под графиком
приведены значения перемещения и скорости на каждом участке движения автомобиля.
3. Вид графика может меняться. Подведите стрелку мыши к той точке
графика, которую Вы хотите передвинуть. Нажмите левую кнопку мыши и перенесите точку туда, куда необходимо. Отпустите кнопку. Нажмите «Старт»,
пронаблюдайте движения автомобиля.
4. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
5. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
7. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
8. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
9. Дома проработайте модель 1.4 из раздела «Модели».
10. Напишите вывод.
3. Контрольные вопросы
1. Перечислите и дайте определения основных разделов механики.
2. Какие модели в механике Вы знаете?
3. Что называется телом отсчета, системой отсчета?
4. Дайте определения траектории, длины пути, вектора перемещения.
5. Какое движение называется поступательным?
6. Дайте определение средней и мгновенной скоростей.
7. Дайте определение ускорения. Что характеризуют его (тангенциальная
и нормальная) составляющие?
8. Сформулируйте закон сложения скоростей.
9. Какое движение называется равномерным?
10. Напишите формулу закона движения при равномерном прямолинейном движении.
Лабораторная работа № 2
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ С УСКОРЕНИЕМ.
Равноускоренное движение. Скорость и ускорение.
Свободное падение тела
Цель работы: изучение равноускоренного движения, понятий скорости
и ускорения, свободного падения тел, моделей.
1. Краткая теория
В общем случае равноускоренным движением называют такое движе
ние, при котором вектор ускорения a остается неизменным по модулю и
направлению. Примером такого движения является движение камня, брошенного под некоторым углом к горизонту (без учета сопротивления воздуха). В
любой точке траектории ускорение камня равно ускорению свободного паде
ния g . Для кинематического описания движения камня систему координат
удобно выбрать так, чтобы одна из осей, например ось OY, была направлена
параллельно вектору ускорения. Тогда криволинейное движение камня можно
представить как сумму двух движений – прямолинейного равноускоренного
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
движения вдоль оси OY и равномерного прямолинейного движения в перпендикулярном направлении, т.е. вдоль оси OX (рис. 1.1).
Таким образом, изучение равноускоренного движения сводится к изучению прямолинейного равноускоренного движения.
В случае прямолинейного

движения векторы скорости  и

ускорения a направлены вдоль
прямой движения. Поэтому скорость υ и ускорение a можно рассматривать в проекциях на
направление движения как алгебраические величины. При
равноускоренном прямолинейном движении скорость тела
определяется формулой
Рис. 1.1. Проекции векторов скорости


 и ускорения a на координатные оси.
ax=0, ay=–g
υ=υ0+at.
(1.1)
В этой формуле υ0 – скорость тела при t=0 (начальная скорость), a=const
– ускорение. На графике скорости υ(t) эта зависимость изображается прямой
линией (рис. 1.2).
По наклону графика скорости
может быть определено ускорение
a тела. Соответствующие построения выполнены на рис. 1.2 для графика I. Ускорение численно равно
отношению сторон треугольника
АВС:
Рис. 1.2. Графики скорости
равноускоренного движения
Чем больше угол β, который образует график скорости с осью времени,
т.е. чем больше наклон графика (крутизна), тем больше ускорение тела.
Для графика I: υ0 = –2 м/с, a = 1/2 м/с2.
Для графика II: υ0 = 3 м/с, a = –1/3 м/с2.
График скорости позволяет также определить проекцию перемещения s
тела за некоторое время t. Выделим на оси времени некоторый малый промежуток времени Δt. Если этот промежуток времени достаточно мал, то и изменение скорости за этот промежуток невелико, т.е. движение в течение этого
промежутка времени можно считать равномерным с некоторой средней скоро17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стью, которая равна мгновенной скорости υ тела в середине промежутка Δt.
Следовательно, перемещение Δs за время Δt будет равно Δs = υΔt. Это перемещение равно площади заштрихованной на рис. 1.2 полоски. Разбив промежуток времени от 0 до некоторого момента t на малые промежутки Δt, можно
получить, что перемещение s за заданное время t при равноускоренном прямолинейном движении равно площади трапеции ODEF. Соответствующие построения выполнены на рис. 1.2 для графика II.
Изучите модель «Скорость и ускорение».
Модель демонстрирует
графики движения тела с постоянным ускорением.
График υ состоит из отрезков прямых. Его можно менять с помощью мыши. При
движении тела для каждого
прямолинейного участка вычисляется величина ускорения
a и перемещения s.
Модель. Скорость и ускорение
Время t принято равным 5,5 с.
Так как υ – υ0 = at, окончательная формула для перемещения s тела при
равномерно ускоренном движении на промежутке времени от 0 до t запишется
в виде:
(1.2)
Для нахождения координаты y тела в любой момент времени t нужно к
начальной координате y0 прибавить перемещение за время t:
(1.3)
Это выражение называют законом равноускоренного движения.
При анализе равноускоренного движения иногда возникает задача определения перемещения тела по заданным значениям начальной υ0 и конечной υ
скоростей и ускорения a. Эта задача может быть решена с помощью уравнений
(1.1) и (1.2) путем исключения из них времени t. Результат записывается в виде
(1.4)
Из этой формулы можно получить выражение для определения конечной
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
скорости υ тела, если известны начальная скорость υ0, ускорение a и перемещение s:
(1.5)
Изучите модель «Графики равноускоренного движения».
Модель демонстрирует графики равноускоренного движения.
График x(t), представляющий собой параболу, можно менять с помощью мыши. После команды
«Старт» движущаяся точка на графике x(t) демонстрирует движение
тела; при этом одновременно рисуются графики скорости υ(t) и
ускорения a(t).
Модель. Графики
равноускоренного движения
Если начальная скорость υ0 равна нулю, эти формулы принимают вид
(1.6)
Следует еще раз обратить внимание на то, что входящие в формулы равноускоренного прямолинейного движения величины υ0, υ, s, a, y0 являются величинами алгебраическими. В зависимости от конкретного вида движения
каждая из этих величин может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
В случае достаточно малого промежутка времени Δt пройденный телом

путь Δl почти совпадает с модулем вектора перемещения s . При движении
тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути (рис. 1.2).
Свободным падением тел называют падение тел на Землю в отсутствие
сопротивления воздуха (в пустоте). В конце XVI века знаменитый итальянский
ученый Г. Галилей опытным путем установил с доступной для того времени
точностью, что в отсутствие сопротивления воздуха все тела падают на Землю
равноускоренно, и что в данной точке Земли ускорение всех тел при падении
одно и то же. До этого в течение почти двух тысяч лет, начиная с Аристотеля,
в науке было принято считать, что тяжелые тела падают на Землю быстрее
легких.
Ускорение, с которым падают на Землю тела, называется ускорением
свободного падения. Вектор ускорения свободного падения обозначается сим19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

волом g он направлен по вертикали вниз. В различных точках земного шара в
зависимости от географической широты и высоты над уровнем моря числовое
значение g оказывается неодинаковым, изменяясь примерно от 9,83 м/с2 на полюсах до 9,78 м/с2 на экваторе. На широте Москвы g = 9,81523 м/с2. Обычно,
если в расчетах не требуется высокая точность, то принимают числовое значение g у поверхности Земли равным 9,8 м/с2 или даже 10 м/с2.
Изучите модель «Равноускоренное движение тела».
Модель демонстрирует равноускоренное движение бегуна. Выбрав величины начальной скорости и ускорения бегуна (это можно сделать как с помощью соответствующих окон ввода, так и непосредственно на графике с помощью мыши), наблюдайте за изменением во времени координаты x, пройденного пути l и
скорости υ.
Проследите за движением бегуна в
случае, когда начальная скорость и ускорение имеют разные знаки.
Модель. Равноускоренное
движение тела
Простым примером свободного падения является падение тела с некоторой высоты h без начальной скорости. Свободное падение является прямолинейным движением с постоянным ускорением. Если направить координатную
ось OY вертикально вверх, совместив начало координат с поверхностью Земли,
то для анализа свободного падения без начальной скорости можно использовать формулу (1.3), положив υ0 = 0, y0 = h, a = –g. Обратим внимание на то, что
если тело при падении оказалось в точке с координатой y < h, то перемещение
s тела равно s = y – h < 0. Эта величина отрицательна, так как тело при падении
перемещалось навстречу выбранному положительному направлению оси OY.
В результате получим:
υ = –gt.
(1.7)
Скорость отрицательна, так как вектор скорости направлен вниз.
(1.8)
Время падения tn тела на Землю найдется из условия y = 0:
(1.9)
Скорость тела в любой точке составляет:
(1.10)
В частности, при y = 0 скорость υn падения тела на землю равна
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.11)
Пользуясь этими формулами, можно вычислить время падения тела с
данной высоты, скорость падения тела в любой момент после начала падения
и в любой точке его траектории и т. д.
Аналогичным образом решается задача о движении тела, брошенного
вертикально вверх с некоторой начальной скоростью υ0. Если ось OY попрежнему направлена вертикально вверх, а ее начало совмещено с точкой бросания, то в формулах равноускоренного прямолинейного движения следует
положить: y0 = 0, υ0 > 0, a = –g. Это дает:
υ = υ0 – gt.
(1.12)
Через время υ0 /g скорость тела υ обращается в нуль, т.е. тело достигает
высшей точки подъема. Зависимость координаты y от времени t выражается
формулой
(1.13)
Тело возвращается на землю (y = 0) через время 2υ0 / g, следовательно,
время подъема и время падения одинаковы. Во время падения на землю скорость тела равна –υ0, т.е. тело падает на землю с такой же по модулю скоростью, с какой оно было брошено вверх.
Максимальная высота подъема
(1.14)
Рис. 1.3. Графики скоростей
для различных режимов
движения тела с ускорением a = –g
На рис. 1.3 представлены графики скоростей для трех случаев движения тела с ускорением a = –g. График I
соответствует случаю свободного падения тела без начальной скорости с
некоторой высоты h. Падение происходило в течение времени tn = 1 с. Из
формул для свободного падения легко
получить: h = 5 м (все цифры в этих
примерах округлены, ускорение свободного падения принято равным
g = 10 м/с2). График II – случай движения тела, брошенного вертикально
вверх
с
начальной
скоростью
υ0 = 10 м/с.
Максимальная высота подъема
h = 5 м. Тело возвращается на землю
через время 2 секунды.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
График III – продолжение графика I. Свободно падающее тело при ударе
о землю отскакивает (мячик), и его скорость за очень короткое время меняет
знак на противоположный. Дальнейшее движение тела не отличается от случая II.
Задача о свободном падении тел тесно связана с задачей о движении тела, брошенного под некоторым углом к горизонту. Для кинематического описания движения тела удобно одну из осей системы координат направить вертикально вверх (ось OY), а другую (ось OX) – расположить горизонтально. Тогда движение тела по криволинейной траектории можно представить как сумму двух движений, протекающих независимо друг от друга – движения с ускорением свободного падения вдоль оси OY и равномерного прямолинейного

движения вдоль оси OX. На рис. 1.4 изображен вектор начальной скорости  o
тела и его проекции на координатные оси.
Рис. 1.4. Движение тела, брошенного
под углом  к горизонту. Разложение

вектора  o начальной скорости тела
по координатным осям
Время полета:
Таким образом, для движения вдоль оси OX имеем
следующие условия:
x0 = 0,
υox = υ0 cos α, ax = 0,
а для движения вдоль оси OY
y0 = 0, υoy = υ0 sin α, ay = –g.
Приведем здесь некоторые формулы, описывающие
движение тела, брошенного
под углом α к горизонту.
(1.15)
Дальность полета:
(1.16)
Максимальная высота подъема:
(1.17)
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, происходит по параболической траектории. В реальных условиях такое движение может быть в
значительной степени искажено из-за сопротивления воздуха, которое может
во много раз уменьшить дальность полета тела.
Изучите модель «Движение тела, брошенного под углом к горизонту».
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель. Движение тела, брошенного
под углом к горизонту
Модель демонстрирует движение тела, брошенного под углом к горизонту. Можно изменять начальную
высоту, а также модуль и направление
скорости тела. В режиме «Стробоскоп» на траектории через равные
промежутки времени показываются
вектор скорости брошенного тела и
его проекции на горизонтальную и
вертикальную оси.
Определите в компьютерном
эксперименте, при каком угле бросания при начальной высоте y = 0 и при
заданной начальной скорости дальность полета максимальна.
2. Порядок выполнения работы
Упражнение № 1
Равноускоренное движение
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Механика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел лабораторные работы (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 1.3.
5. На рисунке изображен бегущий человек. Нажмите «Старт». Человек
начнет двигаться. Непосредственно под рисунком изображены временные зависимости координаты, пройденного пути и скорости. Также под рисунком

расположены параметры начальной скорости  o и ускорения человека, которые можно изменять. Слева от начальных параметров расположены скорость

 , время движения, пройденный путь l, координата х.
6. Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте движение человека.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модели 1.6, 1.7 из раздела «Модели».
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Упражнение № 2
Скорость и ускорение
1. В верхнем левом углу расположена стрелка. Нажмите на стрелку, перейдите к лабораторной работе № 1.4. Перед Вами график зависимости скорости от времени движения тела.
2. Нажмите «Старт». Тело начинает двигаться. Под графиком приведены
значения перемещения и ускорения на каждом участке движения тела.
3. Вид графика может меняться. Подведите стрелку мыши к той точке
графика, которую Вы хотите передвинуть. Нажмите левую кнопку мыши и перенесите точку туда, куда необходимо. Отпустите кнопку. Нажмите «Старт»,
пронаблюдайте движения тела по новой траектории.
4. Повторите моделирование необходимое количество раз (по указанию
преподавателя).
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
6. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
7. Дома проработайте модель 1.5 из раздела «Модели».
Упражнение № 3
Свободное падение тела
1. В верхнем левом углу расположена стрелка. Нажмите на стрелку, перейдите к лабораторной работе № 1.5. Перед Вами график зависимости координат y
от x падения тела.
2. Нажмите «Старт». Тело начинает двигаться. Справа от графика приведены значения начальных и конечных значений координат х и у, проекций скорости
 x и  y , скорости , угла  , времени падения тела t.
3. Значения координаты у, скорости  и угла  падения можно изменять.
4. Можно включить стробоскоп, тогда будут отображаться направления
скоростей в каждый момент времени.
5. Нажмите «Старт», пронаблюдайте движения тела с новыми параметрами.
6. Повторите моделирование необходимое количество раз (по указанию
преподавателя).
7. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
8. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
9. Дома проработайте модель 1.8 из раздела «Модели».
10. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
11. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
12. Напишите вывод.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Контрольные вопросы
1. Какое движение называется равноускоренным?
2. Напишите закон равноускоренного движения.
3. Что называется скоростью и ускорением?
4. Что называется свободным падением?
5. Что такое ускорение свободного падения?
6. От чего зависит ускорение свободного падения?
7. Как меняется траектория движения тела в зависимости от начального
угла падения тела?
8. От чего зависит время и дальность полета тела?
9. От чего зависит максимальная высота подъема тела?
Лабораторная работа № 3
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Движение брусков
Цель работы: изучение динамики поступательного движения материальной точки, движения брусков, моделей.
1. Краткая теория

При движении тела по траектории его скорость  может изменяться по
модулю и направлению. Это означает, что тело двигается с некоторым ускоре
нием а . В кинематике не ставится вопрос о физической причине, вызвавшей
ускорение движения тела. Как показывает опыт, любое изменение скорости
тела возникает под влиянием других тел. Динамика рассматривает действие
одних тел на другие как причину, определяющую характер движения тел.
Взаимодействием тел принято называть взаимное влияние тел на движение каждого из них.
Раздел механики, изучающий законы взаимодействия тел, называется
динамикой.
Законы динамики были открыты великим ученым И. Ньютоном
(1687 г.). Три закона динамики, сформулированные Ньютоном, лежат в основе
так называемой классической механики. Законы Ньютона следует рассматривать как обобщение опытных фактов. Выводы классической механики справедливы только при движении тел с малыми скоростями, значительно меньшими скорости света c=3∙108 м/с.
Самой простой механической системой является изолированное тело, на
которое не действуют никакие тела. Так как движение и покой относительны, в
различных системах отсчета движение изолированного тела будет разным. В одной системе отсчета тело может находиться в покое или двигаться с постоянной
скоростью, в другой системе это же тело может двигаться с ускорением.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Первый закон Ньютона (или закон инерции) из всего многообразия систем отсчета выделяет класс так называемых инерциальных систем.
Существуют такие системы отсчета, относительно которых изолированные поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость неизменной по модулю и направлению.
Свойство тел сохранять свою скорость при отсутствии действия на него
других тел называется инерцией. Поэтому первый закон Ньютона называют
законом инерции.
Впервые закон инерции был сформулирован Г. Галилеем (1632 г.). Ньютон
обобщил выводы Галилея и включил их в число основных законов движения.
В механике Ньютона законы взаимодействия тел формулируются для
класса инерциальных систем отсчета.
При описании движения тел вблизи поверхности Земли системы отсчета,
связанные с Землей, приближенно можно считать инерциальными. Однако,
при повышении точности экспериментов, обнаруживаются отклонения от закона инерции, обусловленные вращением Земли вокруг своей оси.
Примером тонкого механического эксперимента, в котором проявляется
неинерциальность системы, связанной с Землей, служит поведение маятника
Фуко. Так называется массивный шар, подвешенный на достаточно длинной
нити и совершающий малые колебания около положения равновесия. Если бы
система, связанная с Землей, была инерциальной, плоскость качаний маятника
Фуко оставалась бы неизменной относительно Земли. На самом деле плоскость качаний маятника вследствие вращения Земли поворачивается, и проекция траектории маятника на поверхность Земли имеет вид розетки (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Поворот
плоскости качаний
маятника Фуко
С высокой степенью точности инерциальной
является гелиоцентрическая система отсчета
(или система Коперника), начало которой помещено в центр Солнца, а оси направлены на далекие звезды. Эту систему использовал Ньютон при
открытии закона всемирного тяготения (1682 г.).
Инерциальных систем существует бесконечное множество. Система отсчета, связанная с
поездом, идущим с постоянной скоростью по прямолинейному участку пути, – тоже инерциальная
система (приближенно), как и система, связанная с
Землей.
Все инерциальные системы отсчета образуют класс систем, которые
движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Ускорения
какого-либо тела в разных инерциальных системах одинаковы.
Итак, причиной изменения скорости движения тела в инерциальной системе отсчета всегда является его взаимодействие с другими телами. Для ко27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
личественного описания движения тела под воздействием других тел необходимо ввести две новые физические величины – инертную массу тела и силу.
Масса – это свойство тела, характеризующее его инертность. При одинаковом воздействии со стороны окружающих тел одно тело может быстро
изменять свою скорость, а другое в тех же условиях – значительно медленнее.
Принято говорить, что второе из этих двух тел обладает большей инертностью, или, другими словами, второе тело обладает большей массой.
Если два тела взаимодействуют друг с другом, то в результате изменяется скорость обоих тел, т.е. в процессе взаимодействия оба тела приобретают
ускорения. Отношение ускорений двух данных тел оказывается постоянным
при любых воздействиях. В физике принято, что массы взаимодействующих
тел обратно пропорциональны ускорениям:
(1.1)
Рис. 1.2. Сравнение масс двух тел
В этом соотношении величины а1 и а2
следует рассматривать как проекции


векторов а1 и а 2 на ось OX (рис. 1.2).
Знак «минус» в правой части формулы означает, что ускорения взаимодействующих тел направлены в противоположные стороны. В Международной системе единиц (СИ) масса
тела измеряется в килограммах (кг).
Масса любого тела может быть определена на опыте путем сравнения с
массой эталона (mэт = 1 кг). Пусть m1 = mэт = 1 кг. Тогда
(1.2)
Масса тела – скалярная величина. Опыт показывает, что если два тела с
массами m1 и m2 соединить в одно, то масса m составного тела оказывается
равной сумме масс m1 и m2 этих тел:
m = m1 + m2.
(1.3)
Это свойство масс называют аддитивностью.
Сила – это количественная мера взаимодействия тел. Сила является причиной изменения скорости тела. В механике Ньютона силы могут иметь различную физическую причину: сила трения, сила тяжести, упругая сила и т.д.
Сила является векторной величиной.
Векторная сумма всех сил, действующих на тело, называется равнодействующей силой. Для измерения сил необходимо установить эталон силы и
способ сравнения других тел с этим эталоном.
В качестве эталона силы можно взять пружину, растянутую до некоторой заданной длины. Модуль силы F0, с которой эта пружина при фиксиро28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ванном растяжении действует на прикрепленное к ее концу тело, называют
эталоном силы. Способ сравнения других тел с эталоном состоит в следую

щем: если тело под действием измеряемой силы F и эталонной силы Fo остается в покое (или движется равномерно и прямолинейно), то силы равны по
модулю F=F0 (рис. 1.3).
Если измеряемая сила F больше (по модулю) эталонной силы, то можно
соединить две эталонные пружины параллельно (рис. 1.4). В этом случае измеряемая сила равна 2F0. Аналогично могут быть измерены силы 3F0, 4F0 и т.д.


Рис. 1.4. Сравнение силы F
с эталоном. F  2 Fo
Рис. 1.3. Сравнение силы F с эталоном
F  Fo
Измерение сил, меньших 2F0, может быть выполнено по схеме, показанной на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Сравнение силы F с эталоном.
F  2 Fo cos
Рис. 1.6. Измерение силы
по растяжению пружины.


При равновесии F  Fупр
Эталонная сила в Международной системе единиц называется ньютон (Н).
На практике нет необходимости все измеряемые силы сравнивать с эталоном силы. Для измерения сил используют пружины, откалиброванные описанным выше способом. Такие откалиброванные пружины называются динамометрами. Сила измеряется по растяжению динамометра (рис. 1.6).
Второй закон Ньютона – основной закон динамики. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.
Приступая к формулировке второго закона, следует вспомнить, что
в дина
мике вводятся две новые физические величины – масса тела m и сила F , а также
способы их измерения. Первая из этих величин – масса m – является количественной характеристикой инертных свойств тела.
Она показывает, как тело реа
гирует на внешнее воздействие. Вторая – сила F – является количественной мерой действия одного тела на другое.
Второй закон Ньютона – это фундаментальный закон природы; он является
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
обобщением опытных фактов, которые можно разделить на две категории:
Если на тела разной массы подействовать одинаковой силой, то ускорения,
приобретаемые телами, оказываются обратно пропорциональны массам:
(1.4)
Если силами разной величины подействовать на одно и то же тело, то ускорения тела оказываются прямо пропорциональными приложенным силам:
(1.5)
Обобщая подобные наблюдения, Ньютон сформулировал основной закон
динамики:
Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:
(1.6)
Это и есть второй закон Ньютона. Он позволяет вычислить
ускорение тела,

если известна его масса m и действующая на тело сила F :
(1.7)
В Международной системе единиц (СИ) за единицу силы принимается сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2. Эта единица называется
ньютоном (Н). Ее принимают в СИ за эталон силы:
  
Если на тело одновременно действуют несколько сил (например, F1 , F2 , F3 ,

то под силой F в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно понимать
равнодействующую всех сил:
(1.8)

Если равнодействующая сила F  0 ,
то тело будет оставаться в состоянии покоя
или равномерного прямолинейного движения. Таким образом, формально второй закон Ньютона включает как частный случай
первый закон Ньютона, однако первый закон Ньютона имеет более глубокое физическое содержание – он постулирует суще
ствование инерциальных систем отсчета.
Рис. 1.7. Сила F – равнодействую
Выше понятие массы тела было введено на
щая силы тяжести FТ и силы нор
основе опытов по измерению ускорений
мального давления FN действующих
двух взаимодействующих тел: массы взаина лыжницу на гладкой горе. Сила
модействующих тел обратно пропорцио
F вызывает ускорение лыжника
нальны численным значениям ускорений
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В векторной форме это соотношение принимает вид
(1.9)
Знак «минус» выражает здесь тот опытный факт, что ускорения взаимодействующих тел всегда направлены в противоположные стороны. Согласно




второму закону Ньютона, ускорения тел вызваны силами F1  m1a1 и F2  m2 a 2
возникающими при взаимодействии тел. Отсюда следует:
(1.10)
Это равенство называется третьим законом Ньютона.
Тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.
Силы, возникающие при взаимодействии тел, всегда имеют одинаковую
природу. Они приложены к разным телам и поэтому не могут уравновешивать
друг друга. Складывать по правилам векторного сложения можно только силы,
приложенные к одному телу.
Рис. 1.8 иллюстрирует третий закон Ньютона. Человек действует на груз
с такой же по модулю силой, с какой груз действует на человека. Эти силы
направлены в противоположные стороны. Они имеют одну и ту же физическую природу – это упругие силы каната. Сообщаемые обоим телам ускорения
обратно пропорциональны массам тел.
Изучите модель «Движение тел на
легком блоке».
Модель позволяет изучать второй закон Ньютона на примере движения двух тел,
связанных невесомой нерастяжимой нитью,
перекинутой через легкий блок. Можно изменять массы тел и массу дополнительного
груза Δm и наблюдать за ускоренным движением системы.
Модель. Движение тел
на легком блоке
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Силы, действующие между
частями одного и того же тела,
называются внутренними. Если
тело движется как целое, то его
ускорение определяется только
внешней силой. Внутренние силы
исключаются из второго закона
Ньютона, так как их векторная
сумма равна нулю.
Рис. 1.8. Третий закон Ньютона
Рис. 1.9. Исключение внутренних сил
В качестве примера рассмотрим рис. 1.9, на котором
изображены два тела с массами m1
и m2, жестко связанные между собой невесомой нерастяжимой нитью и двигающиеся с одинаковым

ускорением а как единое целое

под действием внешней силы F .
Между телами действуют внутренние силы, подчиняющиеся
тре

тьему закону Ньютона: F2   F1 .
Движение каждого тела зависит от
сил
взаимодействия между ними. Второй закон Ньютона, примененный к каждому
телу в отдельности, дает:
(1.11)
Складывая левые и правые части этих уравнений и принимая во внима 

ние, что a1  a2  a и F2   F1 , получим:
(1.12)
.
Внутренние силы исключились из уравнения движения системы двух
связанных тел.
Изучите модель «Движение связанных брусков».
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель иллюстрирует третий
закон Ньютона на примере движения
связанных брусков под действием силы тяжести одного из них. Блоки связаны невесомой нерастяжимой нитью,
перекинутой через легкий блок. Изменяя массу брусков, можно наблюдать движение системы с различными
ускорениями. Обратите внимание на
силы, приложенные к брускам. Убедитесь в том, что упругие силы, действующие на бруски со стороны нити,
одинаковы по модулю и направлены в
противоположные стороны:
Модель. Движение связанных брусков
2. Порядок выполнения работы
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Механика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 1.6 «Движение брусков».
5. На рисунке изображены три тела, соединенные между собой нитью,
перекинутой через блок. Два тела находятся на поверхности стола, третье –
висит на нити. Нажмите «Старт». Тела начнут двигаться. Слева под рисунком
находятся параметры – массы тел, которые можно изменять. Справа под ри
сунком приведены значения ускорения а , силы натяжения нити , сил взаимо

действия между двумя телами, лежащими на столе F12   F21 .
6. Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
Пронаблюдайте движение брусков.
7. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
8. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
9. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. Дома проработайте модели 1.10, 1.11 из раздела «Модели».
11. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
12. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
13. Напишите вывод.
3. Контрольные вопросы
1. Что изучает динамика?
2. Что такое изолированная система?
3. Что изучает классическая, релятивистская, квантовая механика?
4. Какая система называется инерциальной? Сформулируйте первый закон
Ньютона.
5. Что такое инерция?
6. В чем заключается физический смысл массы? Сформулируйте закон сохранения массы.
7. Сформулируйте физический смысл силы. Какая сила называется равнодействующей?
8. Сформулируйте второй закон Ньютона.
9. Сформулируйте третий закон Ньютона.
10. Какие силы называются внутренними?
Лабораторная работа № 4
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Изучение закона вращательного движения твердого тела
с помощью маятника Обербека
Приборы и принадлежности: маятник Обербека, секундомер, метровая
линейка, штангенциркуль.
Цель работы: проверка зависимости углового ускорения ε от момента
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
силы М при постоянном моменте инерции I, зависимости момента инерции I
грузов от расстояния до оси вращения, изучение моделей.
1. Краткая теория
Для кинематического описания вращения твердого тела удобно использовать угловые величины: углового перемещения (угла поворота) C:\Program
Files\Physicon\Open Physics 2.6. Part 1\content\chapter1\section\paragraph6\theory.html Δφ,
C:\Program
Files\Physicon\Open
1\content\chapter1\section\paragraph6\theory.html ω
Physics
2.6.
Part
(1.1)
и угловое ускорение ε
(1.2)
В этих формулах углы выражаются в радианах. При вращении твердого
тела относительно неподвижной оси все его точки движутся с одинаковыми
угловыми скоростями и одинаковыми угловыми ускорениями. За положительное направление вращения обычно принимают направление против часовой
стрелки.
При малых угловых перемещениях Δφ
модуль вектора Δs линейного перемещения некоторого элемента массы Δm
вращающегося твердого тела выражается соотношением:
Δs = rΔφ,
(1.3)
где r – модуль радиус-вектора
r (рис. 1.1). Отсюда следует связь
между модулями линейной и угловой скоростей:
υ = rω,
(1.4)
Рис. 1.1. Вращение диска относительно
оси, проходящей через его центр O
и между модулями линейного и углового ускорения:
a = aτ = rε.
(1.5)
Векторы υ и a = aτ направлены по касательной к окружности радиуса r.
Следует вспомнить, что при вращательном движении возникает также нормальное или центростремительное ускорение, модуль которого есть
(1.6)
Разобьем вращающееся тело на малые элементы Δmi. Расстояния до оси
вращения обозначим через ri, модули линейных скоростей – через υi. Тогда
кинетическую энергию вращающегося тела можно записать в виде:
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.7)
Физическая величина
  m r
i
i
2
зависит от распределения масс вращаю-
i
щегося тела относительно оси вращения. Она называется моментом инерции
I тела относительно данной оси
(1.8)
.
В пределе при Δm → 0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ – килограмм-метр в квадрате (кг∙м2). Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде
.
Эта формула очень похожа на выражение для кинетической энергии поступательно движущегося тела mv 2 / 2 только теперь вместо массы m в формулу
входит момент инерции I, а вместо линейной скорости υ – угловая скорость ω.
Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же
роль, что и масса тела в динамике поступательного движения. Но есть и принципиальная разница. Если масса – внутреннее свойство данного тела, не зависящее от его движения, то момент инерции тела зависит от того, вокруг какой
оси оно вращается. Для разных осей вращения моменты инерции одного и того
же тела различны.
Во многих задачах рассматривается случай, когда ось вращения твердого
тела проходит через его центр массы. Положение xC, yC центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m1 и m2, расположенными в
плоскости XY в точках с координатами x1, y1 и x2, y2 (рис. 1.2), определяется
выражениями:
.
Рис. 1.2. Центр масс C системы из двух частиц
В векторной форме это соотношение принимает вид:
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.10)

Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор rc центра масс
определяется выражением
(1.11)
Рис. 1.3. Определение положения центра
масс C тела сложной формы. A1, A2, A3
точки подвеса
Для сплошного тела суммы в
выражении для
заменяются интегралами. Легко видеть, что в однородном поле тяготения центр
масс совпадает с центром тяжести.
Если в однородном поле тяготения
твердое тело сложной формы подвесить за центр масс, то оно будет
находиться в безразличном состоянии равновесия. Поэтому положение центра масс тела сложной
формы можно практически определить путем последовательного
подвешивания его за несколько точек и отмечая по отвесу вертикальные линии
(рис. 1.3).Равнодействующая сил тяжести в однородном поле тяготения приложена к центру масс тела. Если тело подвешено за центр масс, то оно находится в состоянии безразличного равновесия.
Любое движение твердого тела можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс тела и вращения
относительно оси, проходящей через центр масс. Примером может служить
колесо, которое катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности
(рис. 1.4). При качении колеса все его точки движутся в плоскостях, параллельных плоскости рисунка. Такое движение называется плоским.
При плоском движении кинетическая энергия движущегося твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, проходящей через центр масс тела и
перпендикулярной плоскостям, в которых движутся все точки тела:
где m – полная масса тела, IC – момент инерции тела относительно оси,
проходящей через центр масс.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.4. Качение колеса как сумма поступательного движения со ско
ростью v c и вращения с угловой скоростью   v / R
относительно оси O, проходящей через центр масс
В механике доказывается теорема о движении
центра масс: под действием внешних сил центр
масс любого тела или системы взаимодействующих тел движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы. Иллюстрацией этого утверждения может служить
рис. 1.5, на котором изображено движение тела
под действием силы тяжести. Центр масс тела
движется по параболической траектории как материальная точка, в то время как все другие точки
движутся по более сложным траекториям.
Если твердое тело вращается относительно
Рис. 1.5. Движение твердого
тела под действием
некоторой неподвижной оси, то его момент
силы тяжести
инерции I можно выразить через момент
инерции IC этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и
параллельной первой.
Рис. 1.6. К доказательству теоремы
о параллельном переносе оси вращения
38
Рассмотрим сечение твердого
тела произвольной формы, изображенное на рис. 1.6. Выберем координатную систему XY с началом координат O в центре масс C тела. Пусть
одна из осей вращения проходит через центр масс C, а другая через произвольную точку P, расположенную
на расстоянии d от начала координат.
Обе оси перпендикулярны
плоскости чертежа.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть Δmi – некоторый малый
элемент массы твердого тела. По определению момента инерции:
Выражение для IP можно переписать в виде:
Поскольку начало координат совпадает с центром масс C, последние два
члена обращаются в нуль. Это следует из определения центра масс. Следовательно,
IP = IC + md2,
(1.12)
где m – полная масса тела. Этот результат называют теоремой Штейнера (теоремой о параллельном переносе оси вращения).
Рис. 1.7. Моменты инерции IC
некоторых однородных твердых тел
На рис. 1.7 изображены однородные твердые тела различной формы и
указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через
центр масс.
Модель служит для иллюстрации понятия момента инерции
твердого тела на примере системы,
состоящей из четырех шаров,
нанизанных на одну спицу. Можно изменять положение этих шаров на спице, а также выбирать
ось вращения, которая может проходить как через центр спицы, так
и через ее концы. Для каждого
расположения шаров компьютер
вычисляет
значение
момента
инерции. Модель позволяет проиллюстрировать теорему о парал-
Модель. Момент инерции
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лельном переносе оси вращения.
Второй закон Ньютона может быть обобщен на случай вращения твердого тела относительно неподвижной оси.
На рис. 1.8 изображено
некоторое твердое тело, вращающееся относительно оси,
перпендикулярной плоскости
рисунка и проходящей через
точку O. Выделим произвольный малый элемент массы Δmi. На него действуют
внешние и внутренние силы.
Равнодействующая всех сил
есть . Ее можно разложить
Рис. 1.8. Касательная
и радиальная
на две
составляющие силы действующей на элемент
Δmi твердого тела
составляющие: касательную составляющую
составляющая
. и радиальную
. Радиальная
создает центростремительное ускорение an. Касательная со-
ставляющая
вызывает тангенциальное ускорение
массы Δmi. Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает
Δmiaiτ = Fiτ = Fi sin θ или Δmiriε = Fi sin θ,
где  
a i
– угловое ускорение всех точек твердого тела.
ri
Если обе части написанного выше уравнения умножить на ri, то мы получим:
Здесь li – плечо силы Fi , Mi – момент силы.
Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов
массы Δmi вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:
Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и
суммы моментов всех внутренних сил.
Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
всех внешних сил, которые мы будем обозначать через M. В итоге:
Iε = M.
(1.13)
Это и есть уравнение динамики вращательного движения твердого
тела. Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими. Обычно за положительное направление вращения
принимают направление против часовой стрелки.
Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики
вращательного движения, при которой величины  ,  , M определяются как
векторы, направленные по оси вращения.
При изучении поступательного движения тел вводится понятие импульса тела p. Аналогично, при изучении вращательного движения вводится понятие момента импульса.
Моментом импульса вращающегося тела называют физическую величину, равную произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω
его вращения. Момент импульса обозначается буквой L:
L = Iω.
(1.14)
Поскольку  

, (t  0) уравнение вращательного движения можно
t
представить в виде:
Окончательно будем иметь:
(1.15)
Это уравнение, полученное здесь для случая, когда I = const, справедливо и
в общем случае, когда момент инерции тела изменяется в процессе движения.
Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен
нулю, то момент импульса L = Iω относительно данной оси сохраняется:
ΔL = 0, если M = 0.
Следовательно,
L = Iω = const.
(1.16)
Рис. 1.9. Неупругое вращательное столкновение
двух дисков. Закон сохранения момента
импульса: I1ω1 = (I1 + I2)ω
41
Это и есть закон сохранения момента импульса. Иллюстрацией этого закона может служить
неупругое
вращательное
столкновение двух дисков,
насажанных на общую ось
(рис. 1.9). Закон сохранения момента импульса
справедлив для любой замкнутой системы тел.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Он выполняется, например, при движении планет по эллиптическим орбитам вокруг Солнца.
Уравнение вращательного движения тела можно записывать не только относительно неподвижной или
равномерно движущейся оси, но и относительно оси, движущейся с ускорением.
Основное уравнение динамики
вращательного движения не изменяет
своего вида и в случае ускоренно движущихся осей при условии, что ось
Рис. 1.10. Качение симметричного тела
вращения проходит через центр массы
по наклонной плоскости
тела и что ее
направление в пространстве остается неизменным. Примером может служить
качение тела (обруч, цилиндр, шар) по наклонной плоскости с трением
(рис. 1.10).
Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести mg и силы реакции N относительно оси O равны нулю. Момент M создает
только сила трения: M = FтрR.
Уравнение вращательного движения:
где ε – угловое ускорение катящегося тела, a – линейное ускорение его
центра масс, IC – момент инерции относительно оси O, проходящей через
центр масс.
Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде:
ma = mg sin α – Fтр.
Исключая из этих уравнений Fтр, получим окончательно:
(1.17)
Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной
плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара
Ic 
2
1
mR 2 , а у сплошного однородного цилиндра шара I c  mR 2 . Следователь5
2
но, шар будет скатываться быстрее цилиндра.
2. Описание экспериментальной установки
Маятник Обербека (рис. 2.1) представляет собой крестовину из четырех
стержней с делениями, прикрепленных ко втулке с осью. На стержни надева42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ются одинаковые грузы К массой m’, которые могут быть закреплены на разных расстояниях r от оси вращения. Два легких шкива с различными радиусами R1 и R2 насажены на ось вращения маятника. На один шкив наматывается
нить, перекинутая через блок. На конце нити подвешивается груз массой m.
Под действием груза нить разматывается и приводит маятник в равноускоренное вращательное движение. Положение груза отмечается по шкале с делениями.
Момент силы М, под действием которого маятник приводится во вращательное движение, определяется по формуле:
М = Fн · r,
(2.1)
где Fн – сила натяжения нити, r – радиус шкива.
Для определения силы натяжения нити необходимо записать второй закон Ньютона в следующем виде:
Р – Fн = ma,
где Р = mg – сила тяжести.
Тогда Fн = mg – ma = m (g-a).
Отсюда можно записать выражение для момента силы:
M = Fн · r = m (g-a) · r.
Ускорение а, с которым падает груз, определяют по формуле:
2h
а 2 ,
t
где h – высота, с которой падает груз, t – время, в течении которого груз
падает с высоты.
Тогда выражение для момента силы примет вид:
М = Fн · r  m ( g 
2h
)r ,
t2
(2.2)
С таким же ускорением а движутся все точки на окружности шкива с радиусом r. Оно совпадает с тангенциальной составляющей ускорения, поэтому
угловое ускорение, с которым вращается шкив, равно:
a
2h
(2.3)
 r 
.
r
t 2r
Рис. 2.1. Экспериментальная установка
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Порядок выполнения работы
Упражнение № 1
Проверка зависимости углового ускорения ε от величины момента силы М
при постоянном моменте инерции маятника I
1. Снимают грузы К со стержней и наматывают на шкив ровным слоем
нить.
2. Подвешивают к концу нити груз m = 200 г.
3. Определяют высоту h, на которой находится груз.
4. Отсчитывают с помощью секундомера время падения груза с высоты h.
5. Вычисляют ускорение а, с которым падает груз с высоты h, по формуле:
a
2h
t
2
.
6. Определяют угловое ускорение для грузов m1=200 г, m2=300 г, m3=400
а
r
г по формуле:   .
7. Определяют момент силы М по формуле 2.2 для всех грузов.
8. Все опытные данные заносят в таблицу 2.1. и строят по ним график
зависимости: ε = f (M).
9. Вычисляют момент инерции маятника без грузов по формуле: I0 = M / ε.
и результаты заносят в таблицу 2.1.
Таблица 2.1
m
(кг)
m1
t
(c)
ri
a
ε
М
I0
2
-2
(м) (м/с ) (с ) (Н·м) (кг·м2)
1
2
3
Среднее
значение
m2
1
2
3
Среднее
значение
m3
1
2
3
Среднее
значение
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Упражнение № 2
Проверка зависимости моментов инерции I грузов
от расстояния до оси вращения
1. Надевают на стержни грузы К и укрепляют их на одинаковом расстоянии
от оси вращения так, чтобы маятник находился в безразличном равновесии.
2. Измеряют расстояние R от оси вращения до центра масс грузов.
3. Определяют, как и в упражнении 1, угловое ускорение ε и момент силы
М для одного груза m = 300 г.
4. Вычисляют момент инерции всего маятника с грузами:
I1 
M1
1
.
5. Определяют момент инерции грузов относительно оси вращения по
формуле: I  I 1  I 0 ,
где I0 – момент инерции маятника без грузов.
6. Не изменяя груза m = 300 г, изменяют расстояние R пять – шесть раз, передвигая грузы К каждый раз на 3 см.
7. Заносят в таблицу 2.2 данные и строят график зависимости:
I = f (R).
8. Вычисляют моменты инерции грузов К для пяти – шести значений расстояний R1, R2, R3, … по формуле Iтеор. = 4 т R n2 , n = 1,2,3, … .
Здесь т − масса одного груза, указывается на установке. Результаты заносятся в таблицу 2.2.
9. Строят графики, выражающие зависимость I от R для Iопыт. и Iтеор. сравнивают их и делают выводы.
10. Вычисляют абсолютную и относительную погрешности определения I.
11. Окончательный результат представляют в виде: I  (I ср.  I )кг  м 2 .
Таблица 2.2
№
п/п
M
(кг)
h
(м)
М
(Н·м)
ε
(с-2)
t0
(c)
a
м
( 2)
с
R
(м)
I
Iопыт. Iтеор.
2
2
(кг м ) (кг·м ) (кг·м )
2
Упражнение № 3
Равномерное движение по окружности
Изучите модель «Равномерное движение по окружности».
Модель предназначена для изучения равномерного движения по окружности. В любой момент времени скорость тела можно разложить на составляющие
по осям X и Y.
Координаты тела x, y и составляющие его скорости υx и υy изменяются во
времени по гармоническому закону с периодом
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где ω – круговая частота. Можно проследить влияние изменения радиуса
окружности R и величины скорости тела υ на частоту вращения.
4. Контрольные вопросы
1. Дайте определение угловой скорости и углового ускорения.
2. Как выражается связь между параметрами поступательного и вращательного движения?
3. Что такое момент инерции? Какой физический смысл момента инерции?
4. Сформулируйте теорему Штейнера.
5. Что такое момент силы?
6. По какому правилу определяется направление момента силы?
7. Как зависит момент инерции маятника Обербека от расстояния от оси
вращения до центра масс грузов?
8. Как определяется направление векторов угловой скорости и углового
ускорения?
9. Напишите уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
10. Что называется моментом импульса?
11. Сформулируйте закон сохранения момента импульса.
12. Напишите формулы кинетической энергии для поступательного и
вращательного движений.
13. Какое движение называется плоским? Приведите примеры.
Лабораторная работа № 5
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Определение моментов инерции тел.
Проверка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний
Приборы и принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, образцы
для измерения.
Цель работы: изучение закона вращательного движения твердого тела на
примере трифилярного подвеса, экспериментальное определение моментов инерции твердых тел, проверка теоремы Штейнера.
1. Краткая теория
Краткую теорию смотрите в лабораторной работе № 4.
2. Описание экспериментальной установки
Трифилярный подвес, показанный на рис. 2.1 состоит из подвижной
платформы, подвешенной к неподвижной платформе. Подвеска осуществлена
симметрично на трёх длинных нитях, растяжением которых можно прене-
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
бречь. Плоскости обеих платформ горизонтальные. Ниже приводится характеристика трифилярного подвеса, используемого в работе: масса подвижной
платформы т0 = (44,00 ± 0,01) г, масса дополнительных грузов т1 = (138,30 ±
0,01) г.
Угол α, образованный нитями подвеса с вертикалью мал и составляет
для данной установки приблизительно 40. Малость угла обеспечивает простую
зависимость периода крутильных колебаний от момента инерции платформы.
Рис. 2.1. Экспериментальная установка
3. Методика измерений
Тело, момент инерции которого требуется определить, устанавливается
на нижней платформе. Платформа выводится из состояния равновесия поворотом на малый угол β вокруг оси симметрии 00´.
После прекращения внешнего воздействия в системе начинаются крутильные колебания. Платформа стремится к положению равновесия под действием моментов сил натяжения нитей. Начинается вращение в горизонтальной плоскости. В системе накапливается кинетическая энергия. Через положение равновесия платформа проходит по инерции, продолжая движение в ту же
сторону. В результате платформа отклоняется от положения равновесия в сторону, противоположную первоначальному отклонению. Затем процесс периодически повторяется.
Движение платформы представляет собой вращение вокруг оси 00´, что
обеспечивается симметрией системы и начальными условиями центр масс, при
начальном повороте платформы Р не смещается. Уравнение движения платформы:
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


I   M i ,
(3.1)
Вращательный момент относительно оси 00 создается тангенциальными


составляющими Fr силы натяжения нитей подвеса F . Из рис. 2.1 видно, что
Fr = F1 · sinγ = F sinα ·sinγ.
Из прямоугольного треугольника Δ ВВ´А´ находим sin α = АВ L ,
´
где L – длина нитей подвеса.
По теореме синусов из треугольника ВВ´А´ определяем угол γ:
АВ
r
r

 sin  
 sin  .
sin  sin 
AB
Силу натяжения нитей определим из приближения плоского движения
платформы:
3FB  mg  F 
mg
.
3 cos
Таким образом, тангенциальная составляющая сил натяжения нитей равна:
F 
r
 mgtg  sin  ,
3 AB
или, с учетом малости углов α и β:
AB
(3.2)
,
L
mgr
(3.3)
sin     Fr 
 .
3L
Поскольку плечо силы F равно R, то уравнение (3.1) принимает вид:
mgrR
(3.4)
I  
 .
L
tg  sin  
Уравнение (3.4) представляет собой уравнение гармонических колебаний, общее решение которого имеет вид:
   0 cos(t   0 ).
(3.5)
Подставляя (3.5) в (3.4), получаем:
I 2  mg
Rr
.
L
(3.6)
Здесь ω – частота крутильных колебаний. Для периода колебаний Т 
2

из (3.6) нетрудно получить:
Т
4 2 LI
.
mgRr
(3.7)
Момент инерции нагруженной платформы I может быть выражен из
(3.7) через известные параметры установки m, L, R, r и период колебаний Т:
I
mgrR 2
T .
4 2 L
(3.8)
Формула (3.8) является расчетной для определения момента инерции по
данным эксперимента и в случае ненагруженной платформы (упр. 1). В случае
нагруженной платформы момент инерции грузов I1, как следует из (3.5), равен
разности измеренного момента инерции нагруженной платформы и момента
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
инерции платформы без грузов:
I1 = I – I 0 .
(3.9)
4. Порядок выполнения работы
Упражнение № 1
Определение момента инерции ненагруженной платформы
1. Выведя систему из состояния равновесия поворотом платформы вокруг оси симметрии 00´ на малый угол (β ≤ 60), измерить время 30 полных колебаний. Измерения повторить 3 раза.
2. Определить среднее время 30 полных колебаний и погрешность его
измерения.
3. Рассчитать период колебаний системы и его погрешность.
4. По формуле (3.8) рассчитать момент инерции платформы.
5. Вывести выражение для вычисления погрешности измерения момента
инерции по формуле (3.9). Рассчитать погрешность в определении момента
инерции.
6. Полученные результаты занести в графы 1-9 таблицы.
7. Используя выражение I  mR 2 / 2 , получить теоретическую оценку момента инерции платформы. Результат занести в графу 13 таблицы и сравнить
со значением, полученным из эксперимента.
Упражнение № 2
Определение момента инерции образца
1. Установить исследуемый образец в центре платформы.
2. Определить момент инерции нагруженной платформы по пунктам 1-6
упражнения 1.
3. Используя выражение (3.9), получить значение момента инерции груза
и занести его в графу 11 таблицы.
4. Рассчитать погрешность определения I1, результат занести в графу 12
таблицы.
5. Оценить момент инерции груза относительно оси 00 ´, используя выражение I  mR 2 / 2 , результат занести в графу 13 таблицы и сравнить со значением I1, полученным из эксперимента.
Упражнение № 3
Проверка теоремы Штейнера
1. Расположить два одинаковых груза симметрично относительно центра
платформы. Измерить расстояние между центрами масс грузов и осью симметрии системы 00´.
2. Пользуясь методикой упражнения 1, получить момент инерции
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нагруженной платформы.
3. Вычислить момент инерции одного груза, результат занести в графу
11 таблицы.
4. Вычислить погрешность определения момента инерции груза и занести ее значение в графу 12 таблицы.
5. Пользуясь теоремой Штейнера (1.12), рассчитать момент инерции груза относительно оси 00´. Момент инерции груза относительно его оси симметрии определен в упражнении 2. Расстояние от оси вращения системы 00´ до
оси симметрии груза измерено (пункт 1 упражнения 3) Результат занести в
графу 13 таблицы и сравнить его с полученными измерениями (пункт 3
упражнения 3).
Таблица 4.1
№
упр
.
1
1
2
3
№
опыта
t
(c)
r
(м)
R
(м)
L
(м)
2
1
2
3
Среднее
значение
1
2
3
Среднее
значение
1
2
3
Среднее
значение
3
4
5
6
Т ΔТ I0
(с) (с) (кг·
м2 )
7
8
9
I
(кг
м2)
10
I1
(кг·
м2 )
11
ΔI,
(кг·
м2 )
12
Iтеор.
(кг·
м2)
13
Радиусы r, R – измеряются по трем различным диаметрам в первом
упражнении, а затем используются их средние значения. Аналогично поступают при измерении L, причем среднее значение находится по длинам трех
нитей подвеса. В упражнении 1 в столбец 9 (строка «среднее значение») заносится расчетное значение момента инерции ненагруженной платформы I0 (рассчитывается по формуле 3.8 для пустой платформы), в столбец 12 – рассчи-
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
танная методом логарифмического дифференцирования погрешность определения I0 в первом упражнении и погрешность определения I для второго и третьего упражнения. В столбец 13 – теоретическое значение, подсчитанное по
формуле I  mR 2 / 2 . В упражнениях 2 и 3 в столбец 10 заносится момент инерции нагруженной платформы, рассчитывается погрешность его определения. В
столбец (11) заносится момент инерции груза I1. В упражнении 2 в столбец 13
заносится теоретическое значение I1 (груза на платформе), в столбец 12 – разность между экспериментальными и теоретическими значениями. В упражнении 3 в столбец 11 заносится значение I '1 , по вычисленное по теореме Штейнера экспериментально. В столбец 13 – то же теоретически. В столбец 12 разность между экспериментальными и теоретическими значениями.
5. Контрольные вопросы
1. Дайте определение момента инерции твердого тела относительно оси
вращения.
2. Дайте определение момента силы.
3. Дайте определение центра масс.
4. Напишите уравнение вращательного движения твердого тела.
5. Сформулируйте теорему Штейнера. Пользуясь определением центра
масс, выведите теорему Штейнера.
6. Выведите формулу для момента инерции стержня относительно оси,
проходящей через его середину.
7. Вывести расчетную формулу для периода колебаний трифилярного
подвеса.
Лабораторная работа № 6
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ.
Упругие и неупругие соударения
Цель работы: изучение законов сохранения в механике, упругих и неупругих соударений, моделей.
1. Краткая теория
Пусть на тело массой
m в течение некоторого малого промежутка време
ни Δt действовала сила F . Под действием этой силы скорость тела изменилась
  
на    2  1 . Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением
(1.1)
Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует:
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.2)
Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его
движения, называется импульсом тела (или количеством движения). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).
Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия,
называется импульсом силы. Импульс силы также является векторной величиной.
Второй закон Ньютона (или закон изменения импульса) может быть
сформулирован следующим образом: изменение импульса тела равно импульсу
силы.

Обозначив импульс тела буквой p второй закон Ньютона можно записать в виде
(1.3)
Именно
в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон.

Сила F в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил,
приложенных к телу. Это векторное равенство может быть записано в проекциях на координатные оси:
FxΔt = Δpx; FyΔt = Δpy; FzΔt = Δpz.
(1.4)
Изучите модель «Импульс тела».
Модель предназначена для иллюстрации понятий импульса тела mυ
и импульса силы FΔt. Демонстрируется
изменение импульса тела при воздействии на него силы. Можно выбирать
начальную скорость υ0 бруска, его массу m, модуль и направление действующей силы F и время Δt ее действия.
После прекращения действия силы
брусок движется с другой скоростью.
Количественно проверяется закон изменения импульса
Модель. Импульс тела
Таким образом, изменение проекции импульса тела на любую из трех
взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось.
Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, т. е. движение тела по
одной из координатных осей (например, оси OY). Пусть тело свободно падает
с начальной скоростью υ0 под действием силы тяжести; время падения равно t.
Направим ось OY вертикально вниз. Импульс силы тяжести Fт = mg за время t
равен mgt. Этот импульс равен изменению импульса тела
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Fтt = mgt = Δp = m(υ – υ0), откуда υ = υ0 + gt.
Этот простой результат совпадает с кинематической формулой для скорости равноускоренного движения. В этом примере сила оставалась неизменной по модулю на всем интервале времени t. Если сила изменяется по величине, то в выражение для импульса силы нужно подставлять среднее значение
силы Fср на промежутке времени ее действия. Рис. 1.1 иллюстрирует метод
определения импульса силы, зависящей от времени. Выберем на оси времени
малый интервал Δt, в течение которого сила F(t) практически остается неизменной.
Рис. 1.1. Вычисление импульса силы
по графику зависимости F(t)
Импульс силы F(t)Δt за время
Δt будет равен площади заштрихованного столбика. Если всю ось
времени на интервале от 0 до t разбить на малые интервалы Δti, а затем просуммировать импульсы силы на всех интервалах Δti, то суммарный импульс силы окажется
равным площади, которую образует
ступенчатая кривая с осью времени.
В пределе (Δti → 0) эта площадь
равна площади, ограниченной графиком F(t) и осью t. Этот метод
определения импульса силы по графику F(t) является общим и применим для
любых законов изменения силы со временем. Математически задача сводится
к интегрированию функции F(t) на интервале [0; t].
Импульс силы, график которой представлен на рис. 1.1, на интервале от
t1 = 0 с до t2 = 10 с равен:
1
2
В этом простом примере Fср  Fmax  10H . В некоторых случаях среднюю
силу Fср можно определить, если известно время ее действия и сообщенный
телу импульс. Например, сильный удар футболиста по мячу массой 0,415 кг
может сообщить ему скорость υ=30 м/с. Время удара приблизительно равно
8·10–3 с.
Импульс p, приобретенный мячом в результате удара есть:
p = mυ = 12,5 кг·м/с.
Следовательно, средняя сила Fср, с которой нога футболиста действовала
на мяч во время удара, есть:
Это очень большая сила. Она приблизительно равна весу тела массой
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
160 кг.
Если движение тела во время действия силы происходило по некоторой


криволинейной траектории, то начальный p1 и конечный p 2 импульсы тела
могут отличаться не только по модулю, но и по направлению. В этом случае

для определения изменения импульса p удобно использовать диаграмму им

 

пульсов, на которой изображаются вектора p1 и p 2 , а также вектор p  p2  p1
построенный по правилу параллелограмма. В качестве примера на рис. 1.2
изображена диаграмма импульсов для мяча, отскакивающего от шероховатой
стенки.
Мяч массой m налетел на

стенку со скоростью  1 под углом α
к нормали (ось OX) и отскочил от

нее со скоростью  2 под углом β.
Во время контакта со стеной на мяч

действовала некоторая сила F
направление которой совпадает с

направлением вектора p . При
нормальном падении мяча массой
m на упругую стенку со скоро 
стью 1   после отскока мяч будет


иметь скорость 2   . Следовательно, изменение
Рис. 1.2. Отскок мяча от шероховатой
стенки и диаграмма импульсов


импульса мяча за время отскока равно p  2m . В проекциях на ось OX этот
результат можно записать в скалярной форме Δpx = –2mυx.
Ось OX направлена от стенки (как на рис. 1.2), поэтому υx < 0 и Δpx > 0.
Следовательно, модуль Δp изменения импульса связан с модулем υ скорости
мяча соотношением Δp = 2mυ.
При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние
силы со стороны других тел, такая система называется замкнутой.
В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в
систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.
Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения
импульса. Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона.
Рассмотрим какие-либо два взаимодействующих тела, входящих в состав
замкнутой
системы. Силы взаимодействия между
этими телами обозначим че



рез F1 и F2 . По третьему закону Ньютона F2   F1 . Если эти тела взаимодействуют в течение времени t, то импульсы сил взаимодействия
одинаковы по


модулю и направлены в противоположные стороны: F2 t   F1t . Применим к
этим телам второй закон Ньютона:
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»



где m11 и m2 2 – импульсы тел в начальный момент времени, m11 ' и

m2 2 ' – импульсы тел в конце взаимодействия. Из этих соотношений следует:
(1.5)
Это равенство означает, что в результате взаимодействия двух тел их
суммарный импульс не изменился. Рассматривая теперь всевозможные парные
взаимодействия тел, входящих в замкнутую систему, можно сделать вывод,
что внутренние силы замкнутой системы не могут изменить ее суммарный
импульс, т. е. векторную сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему.
Рис. 1.3 иллюстрирует закон сохранения импульса на примере нецентрального соударения двух шаров разных масс, один из которых до соударения находился в состоянии покоя.
Изображенные на рис. 1.3 вектора импульсов шаров до и после соударения можно спроектировать на координатные оси OX и OY. Закон сохранения
импульса выполняется и для проекций векторов на каждую ось. В частности,


из диаграммы импульсов (рис. 1.3) следует, что проекции векторов p1 ' и p2 '
импульсов обоих шаров после соударения на ось OY должны быть одинаковы
по модулю и иметь разные знаки, чтобы их сумма равнялась нулю.
Закон сохранения импульса во многих
случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения
действующих сил неизвестны. Примером может служить реактивное движение. При
стрельбе из орудия возникает отдача – снаряд
движется вперед, а орудие – откатывается
назад. Снаряд и орудие – два взаимодействующих тела. Скорость, которую приобретает
орудие при отдаче, зависит только от скорости
снаряда и отношения масс (рис. 1.4). Если ско
рости орудия и снаряда обозначить через V и

 , а их массы через М и m, то на основании закона сохранения импульса можно записать в
проекциях на ось OX
Рис. 1.3. Нецентральное
соударение шаров разных масс:
1 – импульсы до соударения;
2 – импульсы после соударения;
3 – диаграмма импульсов
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.4. Отдача при выстреле из орудия
На принципе отдачи основано
реактивное движение. В ракете при
сгорании топлива газы, нагретые до
высокой температуры, выбрасываются из сопла с большой скоростью

u относительно ракеты. Обозначим
массу выброшенных газов через m, а
массу ракеты после истечения газов
через M.
Тогда для замкнутой системы
«ракета + газы» можно записать на
основании закона сохранения
импульса (по аналогии с задачей о выстреле из орудия):
(1.6)
где V – скорость ракеты после истечения газов. Здесь предполагалось,
что начальная скорость ракеты равнялась нулю.
Полученная формула для скорости ракеты справедлива лишь при условии, что вся масса сгоревшего топлива выбрасывается из ракеты одновременно. На самом деле истечение происходит постепенно в течение всего времени
ускоренного движения ракеты. Каждая последующая порция газа выбрасывается из ракеты, которая уже приобрела некоторую скорость.
Для получения точной формулы процесс истечения газа из сопла ракеты
нужно рассмотреть более детально. Пусть ракета в момент времени t имеет

массу M и движется со скоростью  (рис. 1.5 (1)). В течение малого промежутка времени Δt из ракеты будет выброшена некоторая порция газа с относи


тельной скоростью u . Ракета в момент t + Δt будет иметь скорость    , а ее
масса станет равной M + ΔM, где ΔM < 0 (рис. 1.5 (2)). Масса выброшенных
газов будет, очевидно, равна –ΔM > 0. Скорость газов в инерциальной системе
 
OX будет равна   u . Применим закон сохранения импульса. В момент време

ни t + Δt импульс ракеты равен (M  M )(   ) , а импульс испущенных газов
 

равен (M )(  u ) . В момент времени t импульс всей системы был равен M .
Предполагая систему «ракета + газы» замкнутой, можно записать:
(1.7)

Величиной M можно пренебречь, так как |ΔM| << M. Разделив обе
части последнего соотношения на Δt и перейдя к пределу при Δt → 0, получим
(1.8)
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Величина  
M
(t  0) есть расt
ход топлива в единицу времени. Вели
чина  u называется реактивной силой

тяги Fp . Реактивная сила тяги действует
на ракету со стороны истекающих газов,
она направлена в сторону, противоположную относительной скорости. Соотношение
Рис. 1.5. Ракета, движущаяся
в свободном пространстве (без
гравитации): 1 – в момент времени t.

Масса ракеты М, ее скорость  ;
2 – ракета в момент времени t + Δt.
Масса ракеты M + ΔM, где ΔM < 0, ее


скорость    масса выброшенных
газов –ΔM > 0, относительная скорость

газов u , скорость газов в инерциальной
 
системе   u
выражает второй закон Ньютона для тела переменной массы. Если газы выбрасываются из сопла ракеты строго назад
(рис. 1.5), то в скалярной форме это соотношение принимает вид:
Ma = μu,
где u – модуль относительной
скорости. С помощью математической
операции интегрирования из этого
соотношения можно получить формулу для конечной скорости υ ракеты:
(1.9)
где
Мо
– отношение начальной и конечной масс ракеты. Эта формула
М
называется формулой Циолковского. Из нее следует, что конечная скорость
ракеты может превышать относительную скорость истечения газов. Следовательно, ракета может быть разогнана до больших скоростей, необходимых для
космических полетов. Но это может быть достигнуто только путем расхода
значительной массы топлива, составляющей большую долю первоначальной
массы ракеты. Например, для достижения первой космической скорости
υ = υ1 = 7,9·103 м/с при u = 3·103 м/с (скорости истечения газов при сгорании
топлива бывают порядка 2–4 км/с) стартовая масса одноступенчатой ракеты
должна примерно в 14 раз превышать конечную массу. Для достижения конечной скорости υ = 4u отношение
Мо
должно быть равно 50.
М
Значительное снижение стартовой массы ракеты может быть достигнуто
при использовании многоступенчатых ракет, когда ступени ракеты отделяются по мере выгорания топлива. Из процесса последующего разгона ракеты
исключаются массы контейнеров, в которых находилось топливо, отработавшие двигатели, системы управления и т.д. Именно по пути создания экономичных многоступенчатых ракет развивается современное ракетостроение.
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Изучите модель «Реактивное движение».
Модель предназначена для иллюстрации
закона сохранения импульса на примере реактивного движения. Демонстрируется движение
ракеты в свободном пространстве. Приводится
график изменения скорости движения ракеты во
времени. Относительная скорость u истечения
газов из ракеты предполагается заданной. Изменяя массу топлива Mт, заправленного в ракету,
можно наблюдать ускоренное движение ракеты
до момента полного выгорания топлива и ее последующее равномерное движение. Попробуйте
определить в компьютерном эксперименте, при
каком минимальном отношении начальной и конечной масс
Модель. Реактивное движение
Mo
одноступенчатой ракеты она
M
может достичь первой космической скорости
(при заданной скорости истечения газов). Проверьте результат с помощью формулы Циолковского.
Энергетические характеристики движения вводятся на основе понятия
механической работы или работы силы.

Работой A, совершаемой постоянной силой F , называется физическая
величина, равная произведению модулей силы
и перемещения, умноженному


на косинус угла α между векторами силы F и перемещения s (рис. 1.6):
A = Fs cos α.
(1.10)
Работа является скалярной величиной. Она может быть как положительна (0° ≤ α < 90°), так и отрицательна (90° < α ≤ 180°). При α = 90° работа, совершаемая силой, равна нулю. В системе СИ работа измеряется в джоулях
(Дж).
Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 Н на перемещении 1 м в
направлении действия силы.


F на
Если проекция Fs силы

направление перемещения s не остается
постоянной, работу следует вычислять
для малых перемещений Δsi и суммировать результаты:

Рис. 1.6. Работа силы F
.
Эта сумма в пределе (Δsi → 0) переходит в интеграл.
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Графически работа определяется по площади криволинейной фигуры под графиком Fs(x) (рис. 1.7).
Если к телу приложено несколько сил, то общая работа всех сил
равна алгебраической сумме работ,
совершаемых отдельными силами и
равна работе равнодействующей
приложенных сил.
Работа силы, совершаемая в
единицу времени, называется
Рис. 1.7. Графическое определение
работы. ΔAi = FsiΔsi
мощностью. Мощность N это физическая величина, равная отношению работы A к промежутку времени t, в течение которого совершена эта работа:
(1.11)
В Международной системе (СИ) единица мощности называется ватт
(Вт). Ватт равен мощности силы, совершающей работу в 1 Дж за время 1 с.
Изучите модель «Механическая работа».
В модели иллюстрируется понятие механической работы на примере
движения бруска на плоскости с трением под действием внешней силы,
направленной под некоторым углом к
горизонту. Изменяя параметры модели
(массу бруска m, коэффициент трения
μ, модуль и направление действующей

силы F ), можно проследить за величиной работы, совершаемой при движении бруска, силой трения и внешней
силой. Убедитесь в компьютерном эксперименте, что сумма этих работ равна
кинетической энергии бруска. Обратите внимание, что работа силы трения
Aтр всегда отрицательна.
Модель. Механическая работа
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если тело некоторой массы m
двигалось под действием приложенных сил, и его скорость изменилась


от  1 до  2 , то силы совершили
определенную работу A.
Работа всех приложенных сил
равна работе равнодействующей
силы (рис. 1.8).
Между изменением скорости
тела и работой, совершенной приложенными к телу силами, существует связь.
Эту связь проще всего установить, рассматривая движение тела
Рис. 1.8. Работа равнодействующей
силы. A = F1s cos α1 + F2s cos α2 =
=F1ss + F2ss == Fрss = Fрs cos α

вдоль прямой линии под действием постоянной силы F .


В этом случае векторы силы F , перемещения s , скорости  и ускорения

a направлены вдоль одной прямой, и тело совершает прямолинейное равноускоренное движение. Направив координатную ось вдоль прямой движения,
можно рассматривать F, s, υ и a как алгебраические величины (положительные
или отрицательные в зависимости от направления соответствующего вектора).
Тогда работу силы можно записать как A = Fs. При равноускоренном движении перемещение s выражается формулой
Отсюда следует, что
Это выражение показывает, что работа, совершенная силой (или равнодействующей всех сил), связана с изменением квадрата скорости (а не самой
скорости).
Физическая величина, равная половине произведения массы тела на
квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела:
(1.12)
Работа приложенной к телу равнодействующей силы равна изменению
его кинетической энергии.
A = Ek2 – Еk1.
(1.13)
Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии. Теорема о кинетической энергии справедлива и в общем случае, когда тело движется под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с
направлением перемещения.
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия

тела массой m, движущегося со скоростью  , равна работе, которую должна
совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту
скорость:
(1.14)

Если тело движется со скоростью  , то для его полной остановки необходимо совершить работу
(1.15)
Наряду с кинетической энергией или энергией движения в физике важную роль играет понятие потенциальной энергии или энергии взаимодействия тел.
Потенциальная энергия определяется взаимным положением тел
(например, положением тела относительно поверхности Земли).
Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил,
работа которых не зависит от траектории движения тела и определяется
только начальным и конечным положениями. Такие силы называются
консервативными. Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю. Это утверждение
поясняет рис. 1.9.
Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила упругости.
Рис. 1.9. Работа консервативной силы Для этих сил можно ввести понятие
A1a2 = A1b2. Работа на замкнутой тра- потенциальной энергии.
ектории A = A1a2 + A2b1 = A1a2 – A1b2 = 0
Если тело перемещается
вблизи поверхности Земли, то на него действует постоянная по величине и

направлению сила тяжести F  mg . Работа этой силы зависит только от вертикального перемещения тела.
На любом участке пути работу силы тяжести можно записать в проекци
ях вектора перемещения s на ось OY, направленную вертикально вверх:
ΔA = FтΔs cos α = –mgΔsy,
где Fт = Fтy = –mg – проекция силы тяжести, Δsy – проекция вектора перемещения. При подъеме тела вверх сила тяжести совершает отрицательную
работу, так как Δsy > 0. Если тело переместилось из точки, расположенной на
высоте h1, в точку, расположенную на высоте h2 от начала координатной оси
OY (рис. 1.10), то сила тяжести совершила работу
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A = –mg(h2 – h1) = –(mgh2 – mgh1).
(1.16)
Эта работа равна изменению
некоторой физической величины
mgh, взятому с противоположным
знаком. Эту физическую величину
называют потенциальной энергией
тела в поле силы тяжести
Ep = mgh.
Она равна работе, которую совершает сила тяжести при
Рис. 1.10. Работа силы тяжести
опускании тела на нулевой уровень. Работа силы тяжести равна изменению
потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.
A = –(Ep2 – Ep1).
(1.17)
Потенциальная энергия Ep зависит от выбора нулевого уровня, т. е. от
выбора начала координат оси OY. Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее изменение ΔEp = Ep2 – Ep1 при перемещении тела из одного
положения в другое. Это изменение не зависит от выбора нулевого уровня.
Если рассматривать движение тел в поле тяготения Земли на значительных расстояниях от нее, то при определении потенциальной энергии необходимо принимать во внимание зависимость силы тяготения от расстояния до
центра Земли (закон всемирного тяготения). Для сил всемирного тяготения
потенциальную энергию удобно отсчитывать от бесконечно удаленной точки,
т. е. полагать потенциальную энергию тела в бесконечно удаленной точке равной нулю. Формула, выражающая потенциальную энергию тела массой m на
расстоянии r от центра Земли, имеет вид:
(1.18)
где M – масса Земли, G – гравитационная постоянная.
Понятие потенциальной энергии можно ввести и для упругой силы. Эта
сила также обладает свойством консервативности. Растягивая (или сжимая)
пружину, мы можем делать это различными способами.
Изучите модель «Кинетическая и потенциальная энергии».
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель. Кинетическая и потенциальная
энергия
В модели демонстрируется
изменение кинетической Ek и потенциальной Ep энергии мальчика, спускающегося на санках без трения с
горы сложного профиля. Показывается диаграмма и выводятся численные значения кинетической и потенциальной энергии. Можно изменять
массу мальчика m и профиль горы.
Обратите внимание, что сумма потенциальной и кинетической энергии
в процессе движения мальчика постоянна и равна первоначальной потенциальной энергии до старта с
вершины горы.
Можно просто удлинить пружину на величину x, или сначала удлинить
ее на 2x, а затем уменьшить удлинение до значения x и т. д. Во всех этих случаях упругая сила совершает одну и ту же работу, которая зависит только от
удлинения пружины x. В конечном состоянии, если первоначально пружина
была не деформирована. Эта работа равна работе внешней силы A, взятой с
противоположным знаком:
(1.19)
где k – жесткость пружины. Растянутая (или сжатая) пружина способна
привести в движение, прикрепленное к ней тело, т. е. сообщить этому телу кинетическую энергию. Следовательно, такая пружина обладает запасом энергии. Потенциальной энергией пружины (или любого упруго деформированного тела) называют величину
(1.20)
Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией.
Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее
удлинение было равно x1, тогда при переходе в новое состояние с удлинением
x2 сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:
(1.21)
Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой силами упругости.
Свойством консервативности обладают наряду с силой тяжести и силой
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
упругости некоторые другие виды сил, например, сила электростатического
взаимодействия между заряженными телами. Сила трения не обладает этим
свойством. Работа силы трения зависит от пройденного пути. Понятие потенциальной энергии для силы трения вводить нельзя.
Если тела, составляющие замкнутую механическую систему, взаимодействуют между собой только силами тяготения и упругости, то работа этих сил
равна изменению потенциальной энергии тел, взятому с противоположным
знаком:
A = –(Ep2 – Ep1).
(1.22)
По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии тел:
A = Ek2 – Ek1.
(1.23)
Следовательно
Ek2 – Ek1 = –(Ep2 – Ep1) или
Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2.
(1.24)
Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и
силами упругости, остается неизменной.
Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических
процессах. Он является следствием законов Ньютона. Сумму E = Ek + Ep называют полной механической энергией.
Рис. 1.11. К задаче Гюйгенса.

F – сила натяжения нити
в нижней точке траектории
Закон сохранения механической
энергии выполняется только тогда, когда
тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными
силами, то есть силами, для которых
можно ввести понятие потенциальной
энергии. Пример применения закона сохранения энергии – нахождение минимальной прочности удерживающей тело
массой m при его вращении в вертикальной плоскости легкой нерастяжимой нити, (задача Х. Гюйгенса). Рис. 1.11 поясняет
решение этой задачи. Закон сохранения энергии для тела в верхней и нижней
точках траектории записывается в виде:

Обратим внимание на то, что сила F натяжения нити всегда перпендикулярна скорости тела; поэтому она не совершает работы.
При минимальной скорости вращения натяжение нити в верхней точке
равно нулю и, следовательно, центростремительное ускорение телу в верхней
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
точке сообщается только силой тяжести:
Из этих соотношений следует:

Центростремительное ускорение в нижней точке создается силами F и

mg , направленными в противоположные стороны:
Отсюда следует, что при минимальной скорости тела в верхней точке
натяжение нити в нижней точке будет по модулю равно F = 6mg.
Прочность нити должна, очевидно, превышать это значение.
Очень важно отметить, что закон сохранения механической энергии позволил получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных
точках траектории без анализа закона движения тела во всех промежуточных
точках. Применение закона сохранения механической энергии может в значительной степени упростить решение многих задач.
В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с
силами тяготения, силами упругости и другими консервативными силами действуют силы трения или силы сопротивления среды.
Сила трения не является консервативной. Работа силы трения зависит от
длины пути.
Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание).
При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает. Она лишь превращается из одной формы в другую.
Этот экспериментально установленный факт выражает фундаментальный закон природы – закон сохранения и превращения энергии.
Одним из следствий закона сохранения и превращения энергии является
утверждение о невозможности создания «вечного двигателя» (perpetuum
mobile) – машины, которая могла бы неопределенно долго совершать работу,
не расходуя при этом энергии (рис. 1.12).
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.12. Один из проектов «вечного
двигателя». Почему эта машина
не будет работать?
История хранит немалое число
проектов «вечного двигателя». В
некоторых из них ошибки «изобретателя» очевидны, в других эти
ошибки замаскированы сложной
конструкцией прибора, и бывает
очень непросто понять, почему эта
машина не будет работать. Бесплодные попытки создания «вечного двигателя» продолжаются и в
наше время. Все эти попытки обречены на неудачу, так как закон сохранения и превращения энергии
«запрещает» получение работы без
затраты энергии.
Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса
позволяют находить решения механических задач в тех случаях, когда неизвестны действующие силы. Примером такого рода задач является ударное взаимодействие тел.
Ударом (или столкновением) принято называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости испытывают значительные
изменения. Во время столкновения тел между ними действуют кратковременные ударные силы, величина которых, как правило, неизвестна. Поэтому нельзя рассматривать ударное взаимодействие непосредственно с помощью законов Ньютона. Применение законов сохранения энергии и импульса во многих
случаях позволяет исключить из рассмотрения сам процесс столкновения и
получить связь между скоростями тел до и после столкновения, минуя все
промежуточные значения этих величин.
С ударным взаимодействием тел нередко приходится иметь дело в обыденной жизни, в технике и в физике (особенно в физике атома и элементарных
частиц).
В механике часто используются две модели ударного взаимодействия –
абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.
Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие,
при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше
как одно тело.
При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она
частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание).
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.13. Баллистический маятник
Примером абсолютно неупругого
удара может служить попадание пули
(или снаряда) в баллистический маятник. Маятник представляет собой ящик
с песком массой M, подвешенный на
веревках (рис. 1.13). Пуля массой m,
летящая горизонтально со скоростью

 , попадает в ящик и застревает в нем.
По отклонению маятника можно
определить скорость пули.

Обозначим скорость ящика с застрявшей в нем пулей через u .Тогда по
закону сохранения импульса
При застревании пули в песке произошла потеря механической энергии:
Отношение M / (M + m) – доля кинетической энергии пули, перешедшая
во внутреннюю энергию системы:
Эта формула применима не только к баллистическому маятнику, но и к
любому неупругому соударению двух тел с разными массами.
E
 1 почти вся кинетическая энергия пули переходит во
Eo
E
1
 – во внутреннюю энергию переховнутреннюю энергию. При m = M
Eo
2
При m << M
дит половина первоначальной кинетической энергии. Наконец, при неупругом
соударении движущегося тела большой массы с неподвижным телом малой
массы (m >> М) отношение
E
0.
Eo
Дальнейшее движение маятника можно рассчитать с помощью закона
сохранения механической энергии:
где h – максимальная высота подъема маятника. Из этих соотношений
следует:
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Измеряя на опыте высоту h подъема маятника, можно определить скорость пули υ.
Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.
Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара.
При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса
выполняется закон сохранения механической энергии.
Простым примером абсолютно упругого столкновения может
быть центральный удар двух бильярдных шаров, один из которых до
столкновения находился в состоянии покоя (рис. 1.14).
Центральным ударом шаров
называют соударение, при котором
скорости шаров до и после удара
направлены по линии центров.
В общем случае массы m1 и m2
соударяющихся шаров могут быть
Рис. 1.14. Абсолютно упругий
центральный удар шаров
неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии
Здесь υ1 – скорость первого шара до столкновения, скорость второго шара υ2 = 0, u1 и u2 – скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, записывается в виде:
m1υ1 = m1u1 + m2u2.
Мы получили систему из двух уравнений. Эту систему можно решить и
найти неизвестные скорости u1 и u2 шаров после столкновения:
В частном случае, когда оба шара имеют одинаковые массы (m1 = m2),
первый шар после соударения останавливается (u1 = 0), а второй движется со
скоростью u2 = υ1, т. е. шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами).
Изучите модель «Упругие и неупругие соударения».
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель. Упругие и неупругие
соударения
Модель предназначена для изучения законов сохранения энергии и импульса на примере упругих и неупругих
соударений тележек. Изменяя начальные
скорости и массы тележек, а также тип
соударения (упругое или неупругое),
можно проследить за движением тележек
после столкновения и определить кинетические энергии и импульсы каждой тележки. Убедитесь, что при упругом соударении суммарная кинетическая энергия тележек не изменяется, а при неупругом соударении она уменьшается. Рассчитайте, какая часть первоначальной кинетической энергии при неупругом соударении движущейся и неподвижной тележек переходит в тепло и проверьте результат в компьютерном эксперименте.
Если бы до соударения второй шар также имел ненулевую скорость
(υ2 ≠ 0), то эту задачу можно было бы легко свести к предыдущей с помощью
перехода в новую систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью υ2 относительно «неподвижной» системы. В этой системе
второй шар до соударения покоится, а первый по закону сложения скоростей
имеет скорость υ1' = υ1 – υ2. Определив по приведенным выше формулам скорости u1 и u2 шаров после соударения в новой системе, нужно сделать обратный переход к «неподвижной» системе.
Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и
импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения.
Центральный (лобовой) удар очень
редко реализуется на практике, особенно
если речь идет о столкновениях атомов
или молекул. При нецентральном упругом
соударении скорости частиц (шаров) до и
после столкновения не направлены по одной прямой.
Частным случаем нецентрального
упругого удара может служить соударения
двух бильярдных шаров одинаковой масРис. 1.15. Нецентральное упругое
сы, один из которых до соударения был
соударение шаров одинаковой массы. неподвижен, а скорость второго была
d – прицельное расстояние
направлена не по линии центров шаров
(рис. 1.15). После нецентрального
соударения шары разлетаются под некоторым углом друг к другу.
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Изучите модель «Соударения шаров».
Модель. Соударения упругих шаров
Модель предназначена для
изучения законов сохранения энергии и импульса при упругом соударении двух шаров. Можно изменять начальную скорость υ налетающего шара, прицельное расстояние d и массы m1 и m2 обоих шаров.
После соударения шаров на
экран выводится новая диаграмма
импульсов разлетевшихся шаров, а
также значения углов разлета шаров, их скоростей, кинетических
энергий, проекций импульсов шаров на координатные оси. Обратите
внимание, что сумма кинетических
энергий шаров равна первоначальной кинетической энергии налетающего шара.
Сумма проекций импульсов шаров после удара на ось X равна первоначальному импульсу налетающего шара, а сумма проекций импульсов на ось Y равна нулю.
Обратите внимание, что при упругом нецентральном соударении двух шаров
одинаковой массы они всегда разлетаются под прямым углом друг к другу.


Для определения скоростей u1 и u 2 после удара нужно знать положение
линии центров в момент удара или прицельное расстояние d (рис. 1.15), т. е.
расстояние между двумя линиями, проведенными через центры шаров парал
лельно вектору скорости  1 налетающего шара. Если массы шаров одинаковы,


то векторы скоростей u1 и u 2 шаров после упругого соударения всегда направлены перпендикулярно друг к другу. Это легко показать, применяя законы сохранения импульса и энергии. При m1 = m2 = m эти законы принимают вид:



Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей  1 , u1 и u 2 образуют треугольник (диаграмма импульсов), а второе – что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, т. е. он прямоугольный. Угол меж

ду катетами u1 и u 2 равен 90°.
2. Порядок выполнения работы
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Механика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Перед Вами лабораторная работа № 1.7.
5. На рисунке изображены две тележки с грузами. Нажмите «Старт». Тележки начнут двигаться. Пронаблюдайте их движение. Нажмите «Стоп». Слева под рисунком находятся параметры – массы и начальные скорости тележек,
которые можно изменять. Справа под рисунком приведены значения конечных
импульсов и кинетических энергий тележек, а так же изменение кинетической
энергии. Можно изменять тип столкновения (упругое и неупругое).
6. Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте движение тележек.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модели 1.18-1.23 из раздела «Модели».
12. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
13. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
14. Напишите вывод.
3. Контрольные вопросы
1. Что называется импульсом тела, силы?
2. Сформулируйте закон изменения импульса.
3. Какая система называется замкнутой?
4. Сформулируйте закон сохранения импульса.
5. Что называется реактивной силой тяги?
6. Напишите формулу Циолковского.
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Что называется работой силы, мощностью?
8. Что называется кинетической и потенциальной энергиями? Что они
характеризуют?
9. Какие силы называются консервативными, неконсервативными?
10. Что называется полной механической энергией?
11. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.
12. Сформулируйте закон сохранения и превращения энергии.
13. Что называется ударом? Что называется абсолютно упругим, неупругим, центральным ударом?
Лабораторная работа № 7
ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Определение упругой деформации кручения
методом крутильных колебаний. Закон Гука
Приборы и принадлежности: установка для наблюдения упругих крутильных колебаний, микрометр, штангенциркуль, измерительная линейка, секундомер.
Цель работы: изучение упругой деформации кручения, закона Гука,
изучение моделей.
1. Краткая теория
Деформацией называется процесс изменения формы и размеров твердого тела под действием приложенных к нему внешних сил. Деформация считается упругой, если форма и размеры тела полностью восстанавливаются после
прекращения действия сил. В противном случае деформация называется пластической. Деформация реальных тел занимает промежуточное положение
между этими предельными случаями и в зависимости от степени восстановления формы и размеров используется приближение упругой и пластической деформации. Для пластической деформации требуется, при прочих равных условиях, большая величина внешних сил, чем для упругой.
Упругая деформация используется в технике для накопления и превращения механической (пружины, рессоры и т.п.). Пластическая деформация возникает при механической обработке материалов (резка, ковка, штамповка и т.п.).
Для упругой деформации справедлив закон, установленный английским
физиком Р. Гуком:
F = -kx,
величина деформации пропорциональна действующей силе F, где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от вида деформации, формы, размеров
и материала деформируемого объекта, который называется коэффициентом
упругости.
Теоретический анализ упругих деформаций приводит к выводу, что
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
упругую деформацию любого тела можно свести к двум основным типам - деформации растяжения (сжатия) и деформации сдвига.
Деформация растяжения (сжатия) возникает под действием двух равных
по величине и противоположных по направлению сил, при условии, что они
направлены по линии, соединяющей точки их приложения (рис. 1.1). Если же
внешние силы имеют другое направление, то тело испытывает деформацию
сдвига. Такую деформацию можно создать, жестко закрепив образец на какойнибудь поверхности и приложив к образцу внешнюю силу в направлении, параллельном этой поверхности (рис. 1.2).
Рис. 1.1. Деформация растяжения
В
B
F2
ψ
F1
A
Рис. 1.2. Деформация сдвига
Как видно из рис. 1.2, при деформации сдвига соседние слои тела сдвигаются относительно друг друга, и каждая прямая АВ (т.е. линия, связанная с
частицами твердого тела) перпендикулярная к поверхности, вдоль которой
действует внешняя сила поворачивается на некоторый угол ψ.
Для расчетов реальных механизмов и конструкций, а также для сравнения упругих свойств различных материалов оказывается полезным преобразовать закон Гука таким образом, чтобы из его формулы были исключены абсолютные размеры деформируемых тел.
Рис. 1.3. Деформация сдвига
Опыт показывает, что величина деформации сдвига х пропорциональна
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
высоте образца z и обратно пропорциональна площади сечения S, в которой
приложена касательная сила F (рис. 1.3). Поэтому, чтобы исключить меняющиеся от образца к образцу величины z и S, деформацию сдвига удобнее списывать с помощью относительных (удельных) характеристик:
относительно сдвига 
х
(1.1)
   tg
z
и касательного тангенциального напряжения στ:
F
  
S
В этих обозначениях закон Гука принимает следующий вид:
  n   ,
(1.2)
(1.3)
где коэффициент n зависит уже только от свойств материала, из которого изготовлен образец, и не зависит от его размеров к формы.
Наряду с коэффициентом сдвига упругие свойства материала принято
характеризовать модулем сдвига
G
1
.
n
(1.4)
При малых величинах упругих деформаций, что характерно, в частности,
для металлических образцов, угол сдвига Ψ невелик. Это позволяет упростить
определение относительного сдвига:
(1.5)
  tg  .
Упругая деформация кручения также описывается законом Гука и может
быть сведена к деформации сдвига. Деформация кручения возникает в том
случае, когда деформируемый образец испытывает по своей длине воздействие равных по модулю и противоположных по направлению моментов сил.
Проще всего это можно осуществить, закрепив неподвижно один торец цилиндрического образца и приложив к другому крутящий момент внешних сил.
В этом случае второй момент сил будет создаваться за счет реакции неподвижной опоры (рис. 1.4).
Как видно из рис. 1.4, каждая образующая цилиндра (линия АВ) при деформации кручения превращается в винтовую линию (А1В).
Это обусловлено, очевидно, сдвигом относительно друг друга элементарных слоев, перпендикулярных оси цилиндра. При малых углах закручивания, что соответствует упругой деформации, линию А1В можно приближенно
считать прямой.
Упругая деформация кручения имеет большое практическое значение.
В качестве примера можно указать, что такие деформации возникают в
осях редукторов, в валах моторов и т.п.
Исследование упругой деформации кручения позволяет вычислить модуль сдвига материалов, из которых изготовлены испытуемые образцы. Для
этого необходимо установить зависимость между моментом внешних сил и
возникающими в образце деформациями.
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По рис. 1.4 можно определить относительную деформацию сдвига, которую испытывает поверхностный слой цилиндра:
l R
(1.6)
   
,
L
L
где l – длина дуги А1А, R – радиус цилиндра.
Из сопоставления выражений (1.3), (1.4) и (1.6) следует, что напряжение
στ в поверхностном слое равно:
R
(1.7)
  G  G
.
L
Рис. 1.4. Деформация кручения
Внутренние цилиндрические слои также испытывают напряжение сдвига, причем очевидно, что
r
  (r )  G .
(1.8)
L
Величина касательного напряжения возрастает прямо пропорционально
расстоянию r от оси образца, достигая максимума на его боковой поверхности:
r = R.
Определим полный момент упругих сил, действующий в сечении S. Рассмотрим простейший случай, когда ось кручения совпадает с осью цилиндрического образца. Определим упругую силу, − действующую на бесконечно узкое кольцо – заштриховано (на рис. 1.4):
dFτ (r) = στ (r) dS,
т.к. dS = 2πr · dr имеем, учитывая (1.8):
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r 2 dr
(1.9)
.
L
Элементарный момент упругих сил будет равен:

(1.10)
dM  rdF  2G r 3dr.
L
Полный момент получим интегрированием по всему сечению образца:
R
R
GR4
(1.11)
М упр.   dM  2G  r 3dr  
.
Lo
2L
o
Поскольку момент упругих сил численно равен моменту внешних сил,
приложенных в данном сечении к образцу, то модуль сдвига можно вычислить, измерив длину и радиус исследуемого образца, а также определив отношение момента упругих сил к углу закручивания:
2L M
(1.12)
G

R 4 
Изучите модель «Закон Гука». Модель иллюстрирует закон Гука для
пружины. Можно изменять массу m тела, подвешенного на пружине, и жесткость пружины k. Убедитесь в том, что при заданной жесткости удлинение x
пружины изменяется прямо пропорционально весу тела.
dF (r )  2G
2. Описание экспериментальной установки
Экспериментальная установка для определения модуля сдвига представляет из себя штатив, к которому на металлической проволоке подвешен груз,
выполненный в виде цилиндрического стержня. К торцам груза симметрично
прикреплены два диска (рис. 1.5).
Форма груза определяется необходимостью получения при заданной
массе повышенного значения момента инерции груза относительно оси, совпадающей с осью проволоки.
Увеличение момента инерции груза желательно с точки зрения точности
проведения измерений, т.к. это приводит к увеличению периода колебаний груза.
D
d
L
•
•
•
l
Рис. 1.5. Экспериментальная установка
Если закрутить проволоку на малый угол и затем предоставить систему
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
самой себе, то под действием момента упругих сил, возникающих в проволоке,
груз начинает совершать гармонические колебания, которые является крутильными и затухающими.
Однако, при измерениях, длящихся небольшое время, затуханием можно
пренебречь, т.е. считать колебания незатухающими. В этом случае, процесс
колебания описывается уравнением:
d 2
I
 M упр.
(1.13)
dt 2
Уравнение (1.13) является уравнением динамики вращательного движения: здесь I – момент инерции груза, Ψ – мгновенное значение угла закручиваd 2
GR4
ния проволоки,
− угловое ускорение, M

 − момент упруупр.
2
2
L
dt
гих сил, возникающих в сечении проволоки, проходящий через точку крепления груза.
Поскольку Mупр. пропорционален углу поворота Ψ, то уравнение (1.13),
является уравнением гармонических колебаний:
d 2
 02 ,
(1.14)
dt 2
M
где  
− угловая частота, зависящая только от параметров си0
I
стемы и не зависящая от угла Ψ.
Измерив период колебаний Т, и учитывая, что 0 
2
, получим:
Т
М
4 2
 02 
.
2
I
T
Отсюда, используя (1.12), получим формулу для модуля сдвига:
8LI
(1.15)
G
.
R 4T 2
Следовательно, для определения величины модуля сдвига G необходимо
измерить радиус и длину проволоки, а также определить момент инерции груза и период его колебаний.
3. Порядок выполнения работы
Начертить таблицу для записи результатов измерений и вычислений.
При этом следует помнить, что все полученные результаты должны быть
представлены в единицах измерения СИ.
Кроме того, размерность получаемых величин следует указывать только
в верхних клетках таблицы рядом с обозначением этих величин, т.е. в колонках таблицы должны стоять только безразмерные величины. Получаемые результаты следует заносить в таблицу только в нормализованной форме, облег-
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чающей оценку и расчет.
Например, при измерении радиуса проволоки запись очень неудобна в
R=0,0008 м обращении из-за своей громоздкости. Кроме того, здесь легко
ошибиться в количестве нулей.
Правильной будет запись: R = 8·10-4 м
Ниже приведена примерная форма таблицы:
Таблица 3.1
№№
l1
изм.
(м)
1
2
3
Среднее
значение
D, d, L,
I,
ΔI,
2
(м) (м) (м) (кг·м ) (кг·м2)
t,
(c)
T,
(c)
G,
ΔG,
2
(Н/м ) (Н/м2)
1. При помощи соответствующих измерительных инструментов провести измерения величин l, R, d, L не менее трех раз и вычислить среднее значение, занося все данные в таблицу.
2. Вычислить момент инерции груза, приближенно считая диски, прикрепленные к стержню, материальными точками.
В этой случае:
I = Iст + 2 Id,
(3.1)
где момент инерции стержня:
а момент инерции диска:
Icт =
I
d

(3.2)
m2 (l  d ) 2
4
.
(3.3)
Массы стержня и дисков известны: т1=0,606 кг; т2=0,782 кг; Δт=5·10-4 кг.
Момент инерции I и вычисленную погрешность ΔI занести в таблицу.
3. Закручивая проволоку, возбудить в установке крутильные колебания и
измерить время, необходимое для совершения n полных колебаний. Чтобы
обеспечить достаточную точность в определении периода, число колебаний n
не должно быть меньше 10. Измерение периода следует проводить не менее
трех раз.
4. По полученным данным, используя формулу 1.15, вычислить значения
G и ΔG и занести их в таблицу.
4. Контрольные вопросы
1. Что называется деформацией?
2. Сформулируйте закон Гука.
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. В чем различие между упругой и пластической деформациями?
4. При каких условиях возникает деформация сдвига и кручения?
5. Дайте определение модуля сдвига?
6. Какие колебания называются крутильными?
7. Каков физический смысл момента инерции?
8. Зависит ли характер колебаний груза от величины угла закручивания
проволоки?
9. Что изменится в условиях опыта, если колеблющийся груз поместить
в более плотную среду, например в воду?
10. Погрешность каких прямых измерений дает наибольший вклад в погрешность результата?
Лабораторная работа № 8
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.
Колебания пружинного, математического, физического маятников
Приборы и принадлежности: установка для изучения колебаний математического и физического маятников, линейка, секундомер.
Цель работы: изучение механических колебаний груза на пружине и математического маятника, моделей.
1. Краткая теория
В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются
через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми
уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.
Рис. 1.1. Механические колебательные
системы
79
Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того,
как система была выведена из состояния равновесия. Наряду с поступательными и вращательными
движениями тел в механике значительный интерес представляют
и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющи-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
еся точно (или приблизительно)
через одинаковые
промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f(t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании
колебательного процесса во времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник
(рис. 1.1).Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными. Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением
x = xm cos (ωt + φ0).
(1.1)
Здесь x – смещение тела от положения равновесия, xm – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ0 называется фазой гармонического процесса. При
t = 0 φ = φ0, поэтому φ0 называют начальной фазой. Минимальный интервал
времени, через который происходит повторение движения тела, называется
периодом колебаний T. Физическая величина, обратная периоду колебаний,
называется частотой колебаний:
(1.2)
Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с.
Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.2. Стробоскопическое
изображение гармонических колебаний. Начальная фаза φ0 = 0.
Интервал времени между
последовательными положениями
тела τ = T / 12
Рис. 1.3. Во всех трех случаях для синих
кривых φ0 = 0. а – темная кривая
отличается от светлой только большей
амплитудой (x'm > xm); b – темная кривая
отличается от светлой только значением
периода (T' = T / 2); с – темная кривая
отличается от светлой только значением
начальной фазы (  о '   / 2 рад)
На рис. 1.2 изображены положения тела через одинаковые промежутки
времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают
векторы скорости тела в различные моменты времени.
Рис. 1.3 иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний xm, либо
период T (или частота f), либо начальная фаза φ0.
При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX) вектор
скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость υ = υx движения тела
определяется выражением
(1.3)
В математике процедура нахождения предела отношения
x
при Δt → 0
t
называется вычислением производной функции x(t) по времени t и обозначается как
dx(t )
или как x'(t) или, наконец, как x (t ) . Для гармонического закона
dt
движения x = xm cos (ωt + φ0). Вычисление производной приводит к следующему результату:
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.4)
Появление слагаемого +π/2 в аргументе косинуса означает изменение
начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости υ=ωxm достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x=0). Аналогичным образом определяется ускорение a=ax тела при гармонических колебаниях:
(1.5)
следовательно, ускорение a равно производной функции υ(t) по времени
t, или второй производной функции x(t). Вычисления дают:
(1.6)
Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a(t) всегда имеет
знак, противоположный знаку смещения x(t), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания,
направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).
На рис. 1.4 приведены графики координаты, скорости и ускорения тела,
совершающего гармонические колебания.
Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.
Для того чтобы свободные колебания совершались по гармоническому
закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение
равновесия, была пропорциональна
смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению:
F(t) = ma(t) = –mω2x(t).
(1.7)
В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний.
Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона
Гука:
Fупр = –kx.
(1.8)
Рис. 1.4. Графики координаты x(t),
скорости υ(t) и ускорения a(t)
колеблющегося тела
Изучите модель «Гармонические колебания».
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель предназначена для изучения
простого гармонического колебательного
движения,
x = xm cos (ωt + φ0).
Можно изменять амплитуду xm, пери2
од колебаний T 
и начальную фазу φ0

гармонического колебания тела и наблюдать
за движением точки на графиках координаты x, скорости υ и ускорения a во времени.
По оси ординат удобно откладывать значе a
ния величин x, , 2 , которые имеют оди 
наковые единицы измерения. Обратите вниМодель. Гармонические колебания мание на фазовые сдвиги между координатой, скоростью и ускорением тела.
Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому
условию, называются квазиупругими.
Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине
жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 1.5), составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания.
Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором.
Круговая частота ω0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:
(1.9)
откуда
(1.10)
Частота ω0 называется собственной частотой колебательной системы.
Период T гармонических колебаний груза на пружине равен
(1.11)
Рис. 1.5. Колебания груза на пружине.
Трения нет
При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз
подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза.
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В положении равновесия пружина растянута на величину x0, равную
(1.12)
и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω0 и периода колебаний T
справедливы и в этом случае.
Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано,
если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и
координатой x: ускорение является второй производной координаты тела x
по времени t:
(1.13)
Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде
(1.14)
или
(1.15)
где
о2 
k
.
m
Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (1.15), способны совершать свободные гармонические колебания, так
как решением этого уравнения являются гармонические функции вида
x = xm cos(ωt + φ0).
(1.16)
Уравнение (1.15) называется уравнением свободных колебаний. Следует
обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы
определяют только собственную частоту колебаний ω0 или период T. Такие
параметры процесса колебаний, как амплитуда xm и начальная фаза φ0, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния
равновесия в начальный момент времени.
Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t=0 отпущен без начальной скорости, то
xm=Δl, φ0=0.
Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью
резкого толчка была сообщена начальная скорость ±υ0, то xm 
84
m

o , o   .
k
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.6. Крутильный
маятник
Таким образом, амплитуда xm свободных
колебаний и его начальная фаза φ0 определяются начальными условиями.
Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На
рис. 1.6 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте
диска на угол θ возникает момент сил Mупр
упругой деформации кручения:
Mупр = –χθ.
Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина χ аналогична
(1.17)
жесткости пружины k. Второй закон Ньютона для вращательного движения диска
записывается в виде
(1.18)
где I = IC – момент инерции диска относительно оси, проходящий через
центр масс, ε – угловое ускорение.
По аналогии с грузом на пружине можно получить:
(1.19)
Изучите модель «Колебания груза на пружине».
Модель демонстрирует свободные колебания груза на пружине. Можно изменять массу груза
m, его начальное положение x0, коэффициент жесткости пружины k,
коэффициент вязкого трения b. Выводятся графики зависимости координаты и скорости от времени, диаграммы потенциальной и кинетической энергий при свободных гармонических колебаниях груза на
пружине, а также при затухающих
колебаниях при наличии вязкого
трения.
Модель. Колебания груза на пружине
Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его
называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью
спиралевидной пружинки.
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по
сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отве

су, сила тяжести mg уравновешивается силой натяжения нити Fупр . При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести Fτ = –mg sin φ (рис. 1.7). Знак «минус» в
этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону,
противоположную отклонению маятника.
Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге
окружности радиуса l, то его угловое смещение
будет равно φ = x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и
силы на направление касательной, дает:
Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную
нелинейную систему, так как сила, стремящаяся
вернуть маятник в положение равновесия, про-
Рис. 1.7. Математический
маятник: φ – угловое откло- порциональна не смещению x, а sin x .
l
нение маятника от положения равновесия, x = lφ – смещение маятника по дуге
Только в случае малых колебаний, когда приближенно sin
нить на
x
можно замеl
x
математический маятник является гармоническим осциллятором,
l
т.е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически
такое приближение справедливо для углов порядка 15-20°; при этом величина
x
x
sin отличается от не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших
l
l
амплитудах не являются гармоническими. Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде
(1.20)
Таким образом, тангенциальное ускорение aτ маятника пропорционально
его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу
для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания,
модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением
из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.21)
Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника.
Следовательно,
(1.22)
Изучите модель «Математический маятник».
Модель. Математический маятник
Модель демонстрирует свободные колебания математического
маятника. Можно изменять длину
нити l, угол φ0 начального отклонения маятника, коэффициент вязкого трения b. Выводятся графики зависимости угловой координаты и
скорости от времени, диаграммы
потенциальной и кинетической
энергий при свободных колебаниях, а также при затухающих колебаниях при наличии вязкого трения. Обратите внимание, что колебания математического маятника
являются гармоническими только
при достаточно малых амплитудах.
Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 1.8). Он
отличается от математического маятника только распределением масс.
Рис. 1.8. Физический маятник
В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О
на вертикали, проходящей через ось.
При отклонении маятника на угол φ
возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:
(
M = –(mg sin φ)d.
1.23)
Здесь d – расстояние между осью
вращения и центром масс C. Знак «минус» в этой формуле, как обычно, озна-
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении,
противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае
математического маятника, возвращающий момент M пропорционален sin φ.
Это означает, что только при малых углах φ, когда sin φ ≈ φ, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания.
В случае малых колебаний
M = –mgdφ.
(1.24)
и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид
Iε = M = –mgdφ.
(1.25)
где ε – угловое ускорение маятника, I – момент инерции маятника относительно оси вращения O. Модуль коэффициента пропорциональности между
ускорением и смещением равен квадрату круговой частоты:
(1.26)
Здесь ω0 – собственная частота малых колебаний физического маятника.
Следовательно,
(1.27)
Более строгий вывод формул для ω0 и Т можно сделать, если принять во
внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть вторая производная углового смещения φ по
времени:
(1.28)
Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде
(1.29)
Это уравнение свободных гармонических колебаний. Коэффициент
mgd
I
в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.
По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера)
момент инерции I можно выразить через момент инерции IC относительно оси,
проходящей через центр масс C маятника и параллельной оси вращения:
I = IC + md2.
(1.30)
Окончательно для круговой частоты ω0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная
энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия
обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося
тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная
энергия – это энергия упругих деформаций пружины. Для математического
маятника – это энергия в поле тяготения Земли.
Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия,
его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по закону инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении
начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической
энергии и т.д.
Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.
Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.
Для груза на пружине:
(1.31)
(1.32)
Для малых колебаний математического маятника:
(1.33)
(1.34)
Здесь hm – максимальная высота подъема маятника в поле тяготения
Земли, xm и υm = ω0xm – максимальные значения отклонения маятника от положения равновесия и его скорости.
Изучите модель «Превращение энергии при колебаниях».
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель иллюстрирует превращения энергии при гармонических колебаниях тела под действием квазиупругой
силы, потенциальная энергия которой
пропорциональна квадрату смещения
тела из положения равновесия: Ep = Ax2,
где A > 0 – коэффициент пропорциональности. В случае колебаний груза на
пружине A = k / 2, где k – жесткость
пружины. Можно изменять массу m тела, совершающего колебательные движения, величину A и полную энергию
системы E = Ek + Ep. Графически показано соотношение между потенциальной
и кинетической энергиями при колебаниях в любой момент времени.
Модель. Превращения энергии
при колебаниях
Обратите внимание, что в отсутствие затухания полная энергия колебательной
системы остается неизменной, потенциальная энергия достигает максимума при
максимальном отклонении тела от положения равновесия, а кинетическая энергия
принимает максимальное значение при прохождении тела через положение равновесия.
Превращения энергии при свободных механических колебаниях в отсутствие трения можно проиллюстрировать графически. Рассмотрим в качестве
примера колебания груза массой m на пружине жесткости k. Пусть смещение
x(t) груза из положения равновесия и его скорость υ(t) изменяются со временем по законам:
(1.35)
υ(t) = –ωxm sin (ω0t).
(1.36)
Следовательно,
(1.37)
(1.38)
Рис. 1.9. Превращения энергии
при свободных колебаниях
Рис. 1.10. Затухающие колебания
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 1.9 изображены графики функций Ep(t) и Ek(t). Потенциальная и
кинетическая энергии два раза за период колебаний T 
2
o
достигают макси-
мальных значений. Сумма E p (t )  Ek (t )  E  const остается неизменной. В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил
трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается
во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания
становятся затухающими (рис. 1.10).
Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения. Интервал времени τ, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7
раз, называется временем затухания.
Частота свободных колебаний зависит от скорости затухания колебаний.
При возрастании сил трения собственная частота уменьшается. Однако, изменение собственной частоты становится заметным лишь при достаточно больших силах трения, когда собственные колебания быстро затухают.
Важной характеристикой колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, является добротность Q. Этот параметр определяется как число N полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ,
умноженное на π:
(1.39)
Чем медленнее происходит затухание свободных колебаний, тем выше
добротность Q колебательной системы. Добротность колебательной системы,
определенная по затуханию колебаний на рис. 1.10, приблизительно равна 15.
Добротности механических колебательных систем могут быть очень высокими – порядка нескольких сотен и даже тысяч.
Понятие добротности имеет глубокий энергетический смысл. Можно определить добротность Q колебательной системы следующим энергетическим соотношением:
(1.40)
Таким образом, добротность характеризует относительную убыль энергии колебательной системы из-за наличия трения на интервале времени, равном одному периоду колебаний.
2. Описание установки
Комплексная установка для определения моментов инерции физических
маятников различной конфигурации (рис. 2.1) состоит из основания 1, вертикальной стойки 2, элементов подвеса физического и математического маятников. На конце призмы 3 закреплен зажим 4 для подвеса и изменения длины математического маятника.
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2.1. Экспериментальная установка
Физический маятник сделан из стали в виде прямоугольной доски с вырезами в верхней и нижней части. Для подвеса физического маятника в верхней части стойки горизонтально закреплена стальная каленая призма 3. В основание впрессованы три уравнительных винта. Положение центра инерции
физического маятника отмечено на приборе «С».
Математический маятник представляет собой стальной грузик 5, подвешенный на нити 6, причем точка подвеса расположена на продолжении ребра
призмы 3. Длина нити математического маятника может меняться. Математический маятник используется также и в качестве отвеса, для чего в нижней части шарика запрессовано специальное острие, а на основании прибора закреплен острый индекс 8.
3. Порядок выполнения работы
Упражнение № 1
Колебания пружинного маятника
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Механика. Колебания и волны» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 2.1.
5. На рисунке изображен пружинный маятник. Нажмите «Старт». Пронаблюдайте колебание груза. Нажмите «Стоп». Справа от рисунка находятся
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
параметры – массы и начальное смещение, коэффициент упругости, которые
можно изменять. Выше расположены конечные параметры: время колебания,
период, смещение, скорость. Под рисунком приведены графики зависимостей
смещения и скорости от времени.
6. Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте колебание маятника.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модели 2.1-2.9 из раздела «Модели».
12. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
13. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
14. Напишите вывод.
Упражнение № 2
Определение моментов инерции
математического и физического маятников
1. С помощью регулировочных винтов устанавливают всю установку
строго горизонтально, для чего совмещают острие математического маятника
7 с индексом основания 8.
2. Подвешивают физический маятник на призму. Отклоняют маятник от
вертикали на малый угол 5-70 и отпускают. Измеряют время 30-ти полных колебаний и определяют период колебания Т. Измерения проводят не менее трех раз.
3. Подбирают длину математического маятника так, чтобы значения его
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
периода колебаний совпали с периодом колебаний физического маятника:
Тм=Тф. В этом случае длина математического маятника l  равна приведенной
длине физического маятника lпр.
4. Рассчитывают момент инерции математического маятника по формуле:
I m  ml  2 ,
где m – масса математического маятника, равная 52,5 10-3 кг, l  − длина
математического маятника, измеряемая линейкой.
5. Определяют ускорение силы тяжести по формуле: g 

4 2lср
T 2 ср
.
Если полученное значение отличается от известного значения ускорения
свободного падения более чем на 5 %, то следует переюстировать установку и
провести измерения более тщательно.
6. Результаты измерений заносят в таблицу 3.1.
Таблица 3.1
№
т
t Tм
g
Δgм
Iм
ΔIм
l
2
2
2
измерения (кг) (м) (c) (c) (м/с ) (м/с ) (кг·м ) (кг·м2)
1
2
3
Среднее
значение
7. Зная массу физического маятника mф = 1780,00 г и измеряя расстояние
l от точки подвеса до центра инерции, рассчитывают момент инерции физического маятника по формуле: I ф  g
mф lT 2
4 2
.
8. Переворачивают физический маятник и в том же порядке определяют
момент инерции I ' ф .
9. Все результаты заносят в таблицу 3.2.
Таблица 3.2
I 'ф
I ' ф
I"ф
I"ф
№
ni t1 T1 n2 t2 T2
измерения
(c) (c)
(c) (c) (кг·м2) (кг·м2) (кг·м2) (кг·м2)
1
2
3
Среднее
значение
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Упражнение № 3
Определение момента инерции физического маятника
в зависимости от распределения массы (при т ф = const)
1. Подвешивают физический маятник на призму. Укрепляют груз-диск
массой т1 = 147,5 г в крайнее нижнее положение (рис. 3.1а). Определяют не
менее трех раз период колебаний Т, измеряя время t 30-ти полных колебаний:
Т1 
а)
t1 t1
 .
n 30
в)
б)
Рис. 3.1
2. Помещают груз-диск во второе положение, а затем в третье, четвертое, пятое и, наконец, в самое крайнее положение и определяют период колебаний Т2, Т3, Т4, Т5.
3. Измеряет каждый раз расстояние di от центра инерции физического
маятника без грузика до центра грузика. По полученным значениям рассчитывают li – расстояние от точки подвеса до центра инерции системы.
По определению центра инерции:
lmф  li m1 lmф  (l  d i)m1
dm
li 

l i 1 .
mф  m1
mф  m1
mф  m1
Здесь li  l  d i − расстояние от точки подвеса до центра грузика; di – расстояние от центра инерции физического маятника без грузика до центра грузика.
4. Рассчитывают момент инерции физического маятника с грузом:
Ii  g
mфliТ i2
4 2
.
считают, что тф = тм + тгр.,
где тм – масса маятника без груза, равная 1780,0 г,
тгр – масса прикрепляемого груза, равная 147, 5 г.
5. Значения ускорения силы тяжести берут из измерений с математиче95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ским маятником.
6. Результаты опыта заносят в таблицу 3.3.
7. Рассчитывают относительные и абсолютные погрешности определения Ii.
8. Строят график зависимости момента инерции физического маятника
Iф от расстояние l – от точки подвеса до центра инерции.
9. Делают вывод о зависимости момента инерции физического маятника
от распределения массы в нем.
Таблица 3.3
Положение
груза
1
2
3
4
№
изм.
1
2
3
Среднее
значение
1
2
3
Среднее
значение
1
2
3
Среднее
значение
1
2
3
Среднее
значение
n
t
(c)
T
(c)
d
(м)
li
(м)
Iф
(кг·м2)
ΔIф
(кг·м2)
Упражнение № 4
Определение момента инерции физического маятника
в зависимости от массы (при l = const)
1. Подвешивают физический маятник на призму. Укрепляют одинаковые
грузы-диски в крайнее нижнее и крайнее верхнее положение (рис. 3.1б) и
определяют не менее трех раз период колебаний, измеряя время 30-ти полных
колебаний:
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
t
t
Т1  1  1 ,
n 30
2. Не снимая грузов, укрепляют дополнительно грузы-диски в положение 2 и 4 (рис. 3.1в). Определяют период колебания Т2.
3. Измеряют расстояние l от точки подвеса до центра инерции, которое
остается одинаковым во всех измерениях, что обеспечивается симметричным
относительно центра масс пластины расположением грузов.
4. Рассчитывают момент инерции физического маятника по формуле:
2
mфlTср
Iф  g
,
2
4
считают, что тф = тм + тгр · К,
где тм – масса физического маятника без груза, равная 1780,0 г,
тгр К – масса К прикрепляемых грузов.
5. Значения ускорения силы тяжести g берут из измерений с математическим маятником.
6. Результаты опыта заносят в таблицу 3.4.
7. Рассчитывают абсолютные и относительные погрешности измерения.
8. Делают вывод о зависимости момента инерции физического маятника
от массы.
Таблица 3.4
тф
(кг)
Грузы
в положении
1и4
Грузы
в положении
2и3
n
t
(c)
T
(c)
l
(м)
Iф
ΔIф
(кг·м (кг·м2)
2
)
1
2
3
Среднее
значение
1
2
3
Среднее
значение
4. Контрольные вопросы
1. Какие процессы называются колебательными?
2. Какие колебания называются механическими?
3. Какие колебания называются свободными, вынужденными, гармоническими?
4. Перечислите и дайте определение параметрам гармонических колебаний.
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Как определяется скорость, ускорение гармонически колеблющейся
системы?
6. Какие силы называются квазиупругими?
7. Что называется линейным гармоническим осциллятором? Напишите
уравнение гармонического осциллятора.
8. Какая частота называется собственной? Собственная частота пружинного, математического, физического маятников.
9. Какой маятник называется пружинным, математическим, физическим?
10. Как превращается энергия при колебании пружинного и математического маятников.
11. Какие колебания называются затухающими? Что называют временем
затухания?
12. Что называется добротностью?
Лабораторная работа № 9
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.
Изопроцессы
Цель работы: изучение уравнения состояния идеального газа, изотермического, изобарного, изохорного процессов, моделей.
1. Краткая теория
Соотношение
p = nkT,
(1.1)
связывающее давление газа с его температурой и концентрацией молекул для модели идеального газа, молекулы которого взаимодействуют между собой и со
стенками сосуда только во время упругих столкновений. Это соотношение может
быть записано в другой форме, устанавливающей связь между макроскопическими параметрами газа – объемом V, давлением p, температурой T и количеством
вещества ν. Для этого нужно использовать равенства
(1.2)
Здесь N – число молекул в сосуде, NA – постоянная Авогадро, m – масса газа в сосуде, M – молярная масса газа. В итоге получим:
(1.3)
Произведение постоянной Авогадро NA на постоянную Больцмана k называется универсальной газовой постоянной и обозначается буквой R. Ее численное
значение в СИ есть:
R = 8,31 Дж/моль·К.
Соотношение
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.4)
называется уравнением состояния идеального газа.
Для одного моля любого газа это соотношение принимает вид:
pV=RT.
(1.5)
Если температура газа равна Tн = 273,15 К (0°С), а давление
pн = 1 атм = 1,013·105 Па, то говорят, что газ находится при нормальных условиях.
Как следует из уравнения состояния идеального газа, один моль любого газа при
нормальных условиях занимает один и тот же объем V0, равный
V0 = 0,0224 м3/моль = 22,4 дм3/моль.
Это утверждение называется законом Авогадро.
Для смеси невзаимодействующих газов уравнение состояния принимает
вид
pV = (ν1 + ν2 + ν3 + ...)RT,
(1.6)
где ν1, ν2, ν3 и т. д. – количество вещества каждого из газов в смеси.
Уравнение, устанавливающее связь между давлением, объемом и температурой газа было получено в середине XIX века французским физиком
Б. Клапейроном, в форме (1.4) оно было впервые записано Д. И. Менделеевым.
Поэтому уравнение состояния газа называется уравнением Клапейрона–
Менделеева.
Следует отметить, что задолго до того, как уравнение состояния идеального газа было теоретически получено на основе молекулярно-кинетической модели, закономерности поведения газов в различных условиях были хорошо изучены
экспериментально. Поэтому уравнение (1.4) можно рассматривать как обобщение
опытных фактов, которые находят объяснение в молекулярно-кинетической теории.
Газ может участвовать в различных тепловых процессах, при которых могут изменяться все параметры, описывающие его состояние (p, V, T). Если процесс протекает достаточно медленно, то в любой момент система близка к своему
равновесному состоянию. Такие процессы называются квазистатическими. В
привычном для нас масштабе времени эти процессы могут протекать и не очень
медленно. Например, разрежения и сжатия газа в звуковой волне, происходящие
сотни раз в секунду, можно рассматривать как квазистатический процесс. Квазистатические процессы могут быть изображены на диаграмме состояний (например, в координатах p, V) в виде некоторой траектории, каждая точка которой
представляет равновесное состояние.
Интерес представляют процессы, в которых один из параметров (p, V или
T) остается неизменным. Такие процессы называются изопроцессами.
Изотермический процесс (T = const)
Изотермическим процессом называют квазистатический процесс, протекающий при постоянной температуре T. Из уравнения (1.4) состояния идеального
газа следует, что при постоянной температуре T и неизменном количестве вещества ν в сосуде произведение давления p газа на его объем V должно оставаться
постоянным:
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
pV = const.
(1.7)
Изучите модель «Изотермический процесс».
Моделируется
изотермический
процесс в газе, т. е. процесс квазистатического расширения или сжатия идеального
газа, находящегося в контакте с тепловым
резервуаром (T = const). Температуру резервуара можно выбирать. Приводится
график зависимости P(V) для изотермического процесса, выводится энергетическая диаграмма, на которой указываются
количество теплоты Q, полученной газом,
произведенная газом работа A и изменение ΔU его внутренней энергии.
Обратите внимание, что в процессе
изотермического расширения или сжатия
внутренняя энергия идеального газа не
изменяется, и полученное тепло полноМодель. Изотермический процесс
стью превращается в работу.
На плоскости (p, V) изотермические процессы изображаются при различных значениях температуры T семейством гипербол p ~ 1 / V, которые называются изотермами.
Так как коэффициент пропорциональности в этом соотношении увеличивается с ростом температуры, изотермы, соответствующие более высоким значениям температуры, располагаются на графике выше изотерм, соответствующих
меньшим значениям температуры (рис. 1.1). Уравнение изотермического процесса было получено из эксперимента английским физиком Р. Бойлем
(1662 г.) и независимо французским физиком Э. Мариоттом (1676 г.).
Поэтому это уравнение называют законом Бойля–Мариотта.
Рис. 1.1. Семейство изотерм
(T3 > T2 > T1)
Изохорный процесс (V = const)
Изохорный процесс – это процесс квазистатического нагревания или охлаждения газа при постоянном объеме V и при условии, что количество вещества ν
в сосуде остается неизменным.
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Как следует из уравнения (1.4) состояния идеального газа, при этих условиях давление газа p изменяется прямо пропорционально его абсолютной температуре: p ~ T или
(1.8)
Изучите модель «Изохорный процесс».
Моделируется изохорный процесс в газе, т. е. процесс квазистатического нагревания или охлаждения идеального газа при постоянном объеме
V. Объем газа можно выбирать. Приведен график зависимости p(T) для
изохорного процесса, выводится энергетическая диаграмма, на которой указываются количество теплоты Q, полученной газом, произведенная газом
работа A и изменение ΔU его внутренней энергии.
Обратите внимание, что при
изохорном процессе работа газа равна
нулю, и все полученное тепло затрачивается на изменение внутренней
энергии газа.
Модель. Изохорный процесс
На плоскости (p, T) изохорные процессы для заданного количества вещества ν при различных значениях объема V изображаются семейством прямых линий, которые называются изохорами.
Большим значениям объема соответствуют изохоры с меньшим наклоном по
отношению к оси температур (рис. 1.2).
Экспериментально зависимость давления газа от температуры исследовал
французский физик Ж. Шарль (1787 г.).
Поэтому уравнение изохорного процесса
называется законом Шарля.
Уравнение изохорного процесса может быть записано в виде:
Рис. 1.2. Семейство изохор
(V3 > V2 > V1)
(1.9)
где p0 – давление газа при T = T0 = 273,15 К (т. е. при температуре 0 °С).
Коэффициент α, равный (1/273,15) К–1, называют температурным коэффициентом давления.
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Изобарный процесс (p = const)
Изобарным процессом называют квазистатический процесс, протекающий при неизменным давлении p.
Уравнение изобарного процесса для некоторого неизменного количества
вещества ν имеет вид:
(1.10)
где V0 – объем газа при температуре 0 °С. Коэффициент α равен
(1/273,15) К–1. Его называют температурным коэффициентом объемного
расширения газов.
Рис. 1.3. Семейство изобар
(p3 > p2 > p1)
На плоскости (V, T) изобарные процессы
при разных значениях давления p изображаются семейством прямых линий (рис. 1.3), которые называются изобарами.
Зависимость объема газа от температуры при неизменном давлении была экспериментально исследована французским физиком
Ж. Гей-Люссаком (1862 г.). Поэтому уравнение изобарного процесса называют законом
Гей–Люссака.
Изучите модель «Изобарный процесс».
Модель. Изобарный процесс
Моделируется изобарный процесс, т.е.
процесс квазистатического расширения
или сжатия идеального газа при постоянном давлении P. Давление газа можно выбирать. Приводится график зависимости
V(T) для изобарного процесса, выводится
энергетическая диаграмма, на которой указываются количество теплоты Q, полученной газом, произведенная работа A и изменение ΔU его внутренней энергии.
Обратите внимание, что при изобарном расширении температура газа растет,
его внутренняя энергия увеличивается, и
газ совершает положительную работу. При
изобарном
сжатии температура и внутренняя энергия
уменьшаются, работа газа отрицательна.
При расширении газ поглощает тепло, а
при сжатии – отдает окружающим телам.
Экспериментально установленные законы Бойля–Мариотта, Шарля и ГейЛюссака находят объяснение в молекулярно-кинетической теории газов. Они яв102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ляются следствием уравнения состояния идеального газа.
2. Порядок выполнения работы
Упражнение № 1
Изотермический процесс
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Молекулярная физика и термодинамика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните
мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 3.1.
5. На рисунке изображен газ, помещенный в цилиндр под поршень.
Нажмите «Старт». Пронаблюдайте поведение молекул газа. Нажмите «Стоп».
Справа от рисунка находятся параметр – температура, который можно изменять.
Выше расположены параметры давление и объем. Под рисунком приведена диаграмма изменения теплоты, работы и внутренней энергии. Справа от рисунка
расположена изотерма. При изменении значения температуры, видно, что изотерма меняет свое положение на координатной плоскости и изогнутость.
6. Нажмите кнопку «Сброс». Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте процесс расширения и сжатия газа.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модель 3.6 из раздела «Модели».
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Упражнение № 2
Изохорный процесс
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Молекулярная физика и термодинамика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 3.2.
5. На рисунке изображен газ, помещенный в цилиндр под поршень.
Нажмите «Старт». Пронаблюдайте поведение молекул газа. Нажмите «Стоп».
Справа от рисунка находятся параметр – объем, который можно изменять.
Выше расположены параметры давление и температура. Под рисунком приведена диаграмма изменения теплоты, работы и внутренней энергии. Справа от
рисунка расположена изохора. При изменении значения температуры, видно,
что изотерма меняет свое положение на координатной плоскости.
6. Нажмите кнопку «Сброс». Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте процесс расширения и сжатия газа.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модель 3.7 из раздела «Модели».
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Упражнение № 3
Изобарный процесс
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Молекулярная физика и термодинамика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 3.3.
5. На рисунке изображен газ, помещенный в цилиндр под поршень.
Нажмите «Старт». Пронаблюдайте поведение молекул газа. Нажмите «Стоп».
Справа от рисунка находятся параметр – давление, который можно изменять.
Выше расположены параметры объем и температура. Под рисунком приведена
диаграмма изменения теплоты, работы и внутренней энергии. Справа от рисунка расположена изохора. При изменении значения температуры, видно, что
изотерма меняет свое положение на координатной плоскости.
6. Нажмите кнопку «Сброс». Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте процесс расширения и сжатия газа.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модель 3.8 из раздела «Модели».
12. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
13. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопро-
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
14. Напишите вывод.
3. Контрольные вопросы
1. Дайте определение идеального газа.
2. Сформулируете законы Бойля – Мариотта, Гей-Люссака, Шарля, Авогадро, Дальтона. Напишите формулы, нарисуйте графики процессов.
3. Напишите уравнение состояния идеального газа.
4. Внутренняя энергия системы как функция состояния. Количество теплоты. Работа.
5. Сформулируйте и напишите формулу первого начала термодинамики.
6. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам.
Лабораторная работа № 10
ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ.
Адиабатный процесс. Экспериментальное определение
константы Пуассона для газа методом Клемана–Дезорма
Приборы и принадлежности: стеклянный баллон большой емкости, воздушный насос, водяной манометр, соединительные трубки.
Цель работы: изучение адиабатного процесса, первого начала термодинамики, определение константы Пуассона, изучение моделей.
1. Краткая теория
Термодинамика – это наука о тепловых явлениях. В противоположность
молекулярно-кинетической теории, которая делает выводы на основе представлений о молекулярном строении вещества, термодинамика исходит из
наиболее общих закономерностей тепловых процессов и свойств макроскопических систем. Выводы термодинамики опираются на совокупность опытных
фактов и не зависят от наших знаний о внутреннем устройстве вещества, хотя
в целом ряде случаев термодинамика использует молекулярно-кинетические
модели для иллюстрации своих выводов.
Термодинамика рассматривает изолированные системы тел, находящиеся в состоянии термодинамического равновесия. Это означает, что в таких
системах прекратились все наблюдаемые макроскопические процессы. Важным свойством термодинамически равновесной системы является выравнивание температуры всех ее частей.
Если термодинамическая система была подвержена внешнему воздействию, то в конечном итоге она перейдет в другое равновесное состояние. Такой переход называется термодинамическим процессом. Если процесс протекает достаточно медленно (в пределе бесконечно медленно), то система в
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
каждый момент времени оказывается близкой к равновесному состоянию.
Процессы, состоящие из последовательности равновесных состояний, называются квазистатическими.
Одним из важнейших понятий термодинамики является внутренняя энергия тела. Все макроскопические тела обладают энергией, заключенной внутри
самих тел. С точки зрения молекулярно-кинетической теории внутренняя энергия
вещества складывается из кинетической энергии всех атомов и молекул и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом. В частности, внутренняя
энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий всех частиц газа,
находящихся в непрерывном и беспорядочном тепловом движении. Отсюда вытекает закон Джоуля, подтверждаемый многочисленными экспериментами.
Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры и
не зависит от объема
Молекулярно-кинетическая теория приводит к следующему выражению
для внутренней энергии одного моля идеального одноатомного газа (гелий, неон
и др.), молекулы которого совершают только поступательное движение:
(1.1)
Поскольку потенциальная энергия взаимодействия молекул зависит от расстояния между ними, в общем случае внутренняя энергия U тела зависит наряду с
температурой T также и от объема V:
U = U (T, V).
Таким образом, внутренняя энергия U тела однозначно определяется макроскопическими параметрами, характеризующими состояние тела. Она не зависит от того, каким путем было реализовано данное состояние. Принято говорить,
что внутренняя энергия является функцией состояния.
Рис.1.1. Работа газа при расширении
Внутренняя энергия тела может
изменяться, если действующие на него
внешние силы совершают работу (положительную
или
отрицательную).
Например, если газ подвергается сжатию
в цилиндре под поршнем, то внешние
силы совершают над газом некоторую
положительную работу A'. В то же время
силы давления, действующие со стороны
газа на поршень, совершают работу
A = –A'.
Если объем газа изменился на
малую величину ΔV, то газ совершает работу pSΔx = pΔV, где p – давление газа, S – площадь поршня, Δx – его перемещение (рис. 1.1). При расширении работа, совершаемая газом, положительна, при сжатии – отрицательна. В общем
случае при переходе из некоторого начального состояния (1) в конечное состояние (2) работа газа выражается формулой:
или в пределе при ΔVi → 0:
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.2)
Работа численно равна площади под графиком процесса на диаграмме
(p, V). Величина работы зависит от того, каким путем совершался переход из
начального состояния в конечное.
На рис. 1.2 изображены три различных процесса, переводящих газ из состояния (1) в состояние (2). Во всех трех случаях газ совершает различную работу.
Рис. 1.2. Три различных пути перехода из состояния (1)
в состояние (2). Во всех трех случаях газ совершает разную работу, равную площади под графиком процесса
Процессы, изображенные на рис. 1.2, можно провести и в обратном
направлении; тогда работа A просто изменит знак на противоположный. Процессы такого рода, которые можно проводить в обоих направлениях, называются обратимыми.
В отличие от газа, жидкости и твердые тела мало изменяют свой объем,
так что во многих случаях работой, совершаемой при расширении или сжатии,
можно пренебречь. Однако внутренняя энергия жидких и твердых тел также
может изменяться в результате совершения работы. При механической обработке деталей (например, при сверлении) они нагреваются. Это означает, что
изменяется их внутренняя энергия. Другим примером может служить опыт
C:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.6. Part 1\content\scientist\joule.html
(1843 г.) по определению механического эквивалента теплоты (рис. 1.3). При
вращении вертушки, погруженной в жидкость, внешние силы совершают положительную работу (A' > 0); при этом жидкость из-за наличия сил внутреннего трения нагревается, т. е. увеличивается ее внутренняя энергия. В этих двух
примерах процессы не могут быть проведены в противоположном направлении. Такие процессы называются необратимыми.
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.3. Упрощенная схема
опыта Джоуля по
определению механического
эквивалента теплоты
Внутренняя энергия тела может изменяться не только в результате совершаемой работы, но и вследствие теплообмена. При тепловом контакте тел внутренняя энергия одного
из них может увеличиваться, а другого –
уменьшаться. В этом случае говорят о тепловом потоке от одного тела к другому. Количеством теплоты Q, полученным телом, называют изменение внутренней энергии тела в результате теплообмена.
Передача энергии от одного тела другому в форме тепла может происходить только
при наличии разности температур между ними.
Тепловой поток всегда направлен от горячего тела к холодному.
Количество теплоты Q является энергетической величиной. В СИ количество теплоты измеряется в джоулях. На рис. 1.4 условно изображены энергетические потоки между выделенной термодинамической системой и окружающими
телами. Величина Q > 0, если тепловой поток направлен в сторону термодинамической системы. Величина A > 0, если система совершает положительную работу
над окружающими телами. Если система обменивается теплом с окружающими
телами и совершает работу (положительную или отрицательную), то изменяется
состояние системы, т. е. изменяются ее макроскопические параметры (температура, давление, объем). Так как внутренняя энергия U однозначно определяется
макроскопическими параметрами, характеризующими состояние системы, то отсюда следует, что процессы теплообмена и совершения работы сопровождаются
изменением ΔU внутренней энергии системы.
Первый закон термодинамики является обобщением закона сохранения и превращения энергии
для термодинамической системы. Он
формулируется следующим образом:
Рис. 1.4. Обмен энергией между
термодинамической системой и
окружающими телами в результате
теплообмена и совершаемой работы
изменение ΔU внутренней энергии неизолированной термодинамической системы равно разности между количеством теплоты Q, переданной системе, и
работой A, совершенной системой над внешними телами.
ΔU = Q – A.
(1.3)
Соотношение, выражающее первый закон термодинамики, часто запи-
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сывают в другой форме:
Q = ΔU + A.
(1.4)
Количество теплоты, полученное системой, идет на изменение ее
внутренней энергии и совершение работы над внешними телами.
Первый закон термодинамики является обобщением опытных фактов.
Согласно этому закону, энергия не может быть создана или уничтожена; она
передается от одной системы к другой и превращается из одной формы в другую. Важным следствием первого закона термодинамики является утверждение о невозможности создания машины, способной совершать полезную работу без потребления энергии извне и без каких-либо изменений внутри самой
машины. Такая гипотетическая машина получила название вечного двигателя
(perpetuum mobile) первого рода. Многочисленные попытки создать такую машину неизменно заканчивались провалом. Любая машина может совершать
положительную работу A над внешними телами только за счет получения некоторого количества теплоты Q от окружающих тел или уменьшения ΔU своей
внутренней энергии.
Применим первый закон термодинамики к изопроцессам в газах.
В изохорном процессе (V = const) газ работы не совершает, A = 0. Следовательно,
Q = ΔU = U (T2) – U (T1).
(1.5)
Здесь U (T1) и U (T2) – внутренние энергии газа в начальном и конечном
состояниях. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры (закон Джоуля). При изохорном нагревании тепло поглощается газом
(Q > 0), и его внутренняя энергия увеличивается. При охлаждении тепло отдается внешним телам (Q < 0).
Изучите модель «Работа газа».
Модель. Работа газа
Модель иллюстрирует понятие работы газа в различных процессах. Можно
выбирать форму зависимости p (V) (линейная зависимость, квадратичная или
экспоненциальная) и определять величину произведенной газом работы. Эта работа численно равна площади под кривой, описывающей процесс на диаграмме
(p, V). Выводится энергетическая диаграмма, на которой указываются количество полученной газом теплоты Q, совершенная работа A и изменение ΔU
внутренней энергии газа в данном процессе.
В изобарном процессе (p = const) работа, совершаемая газом, выражается соотношением
A = p (V2 – V1) = p ΔV.
(1.6)
Первый закон термодинамики для изобарного процесса дает:
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Q = U (T2) – U (T1) + p (V2 – V1) = ΔU + p ΔV.
(1.7)
При изобарном расширении Q > 0 – тепло поглощается газом, и газ совершает положительную работу. При изобарном сжатии Q < 0 – тепло отдается внешним телам. В этом случае A < 0. Температура газа при изобарном сжатии уменьшается, T2 < T1; внутренняя энергия убывает, ΔU < 0.
В изотермическом процессе температура газа не изменяется, следовательно, не изменяется и внутренняя энергия газа, ΔU = 0.
Первый закон термодинамики для изотермического процесса выражается соотношением
Q = A.
(1.8)
Количество теплоты Q, полученной газом в процессе изотермического
расширения, превращается в работу над внешними телами. При изотермическом
сжатии работа внешних сил, произведенная над газом, превращается в тепло, которое передается окружающим телам.
Наряду с изохорным, изобарным и изотермическим процессами в термодинамике часто рассматриваются процессы, протекающие в отсутствие теплообмена с окружающими телами. Сосуды с теплонепроницаемыми стенками называются адиабатическими оболочками, а процессы расширения или сжатия газа в таких
сосудах называются адиабатическими.
В адиабатическом процессе Q = 0; поэтому первый закон термодинамики
принимает вид
A = –ΔU,
(1.9)
т.е. газ совершает работу за счет убыли его внутренней энергии.
На плоскости (p, V) процесс
адиабатического расширения (или
сжатия) газа изображается кривой,
которая называется адиабатой. При
адиабатическом расширении газ совершает
положительную
работу
(A > 0); поэтому его внутренняя энергия уменьшается (ΔU < 0). Это приводит к понижению температуры газа.
Рис. 1.5. Семейства изотерм (светлые
Вследствие этого давление газа
кривые) и адиабат (темные кривые)
при адиабатическом расширении
идеального газа
убывает быстрее, чем при
изотермическом (рис. 1.5). В термодинамике выводится уравнение адиабатического процесса для идеального газа. В координатах (p, V) это уравнение имеет
вид
pVγ = const.
(1.10)
Это соотношение называют уравнением Пуассона. Здесь γ = Cp / CV – показатель адиабаты или константой Пуассона, Cp и CV – теплоемкости газа в процессах с постоянным давлением и с постоянным объемом. Для одноатомного газа
  5/3=1,67 для двухатомного  =7/5=1,4 для многоатомного  =1,33.
Работа газа в адиабатическом процессе просто выражается через темпера111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
туры T1 и T2 начального и конечного состояний:
A = CV (T2 – T1).
(1.11)
Адиабатический процесс также можно отнести к изопроцессам. В термодинамике важную роль играет физическая величина, которая называется энтропией. Изменение энтропии в каком-либо квазистатическом процессе равно приведенному теплу ΔQ / T, полученному системой. Поскольку на любом участке
адиабатического процесса ΔQ = 0, энтропия в этом процессе остается неизменной.
Адиабатический процесс (так же, как и другие изопроцессы) является процессом квазистатическим. Все промежуточные состояния газа в этом процессе
близки к состояниям термодинамического равновесия. Любая точка на адиабате
описывает равновесное состояние.
Не всякий процесс, проведенный в адиабатической оболочке, т. е. без теплообмена с окружающими телами, удовлетворяет этому условию. Примером неквазистатического процесса, в котором промежуточные состояния неравновесны,
может служить расширение газа в пустоту. На рис. 1.6 изображена жесткая адиабатическая оболочка, состоящая из двух сообщающихся сосудов, разделенных
вентилем K. В первоначальном состоянии газ заполняет один из сосудов, а в другом сосуде – вакуум. После открытия вентиля газ расширяется, заполняет оба сосуда, и устанавливается новое равновесное состояние. В этом процессе Q = 0, т.к.
нет теплообмена с окружающими телами, и A = 0, т.к. оболочка не деформируема.
Из первого закона термодинамики следует: ΔU = 0, т. е. внутренняя энергия газа
осталась неизменной. Так как внутренняя энергия идеального газа зависит только
от температуры, температура газа в начальном и конечном состояниях одинакова
– точки на плоскости (p, V), изображающие эти состояния, лежат на одной изотерме. Все промежуточные состояния газа неравновесны и их нельзя изобразить
на диаграмме.
Изучите модель «Адиабатический процесс».
Модель предназначена для изучения адиабатического процесса, т. е. процесса квазистатического расширения или
сжатия идеального газа, находящегося в
сосуде с теплонепроницаемыми стенками.
Можно изменять начальную температуру
T газа. Приводится график зависимости
p(V) для адиабатического процесса, выводится энергетическая диаграмма, на которой представлены производимая газом работа A и изменение ΔU его внутренней
энергии. Обратите внимание, что в адиабатическом процессе газ совершает работу
(положительную или отрицательную)
только за счет изменения его внутренней
энергии. Теплообмен с окружающими теМодель. Адиабатический процесс
лами отсутствует.
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Расширение газа в пустоту – пример необратимого процесса. Его нельзя
провести в противоположном направлении.
Если в результате теплообмена
телу передается некоторое количество
теплоты, то внутренняя энергия тела и
его температура изменяются. Количество теплоты Q, необходимое для
нагревания 1 кг вещества на 1 К называют удельной теплоемкостью вещества c.
Рис.1.6. Расширение газа в пустоту
c = Q / (mΔT).
(1.12)
Во многих случаях удобно использовать молярную теплоемкость C:
C = M · c,
(1.13)
где M – молярная масса вещества.
Определенная таким образом теплоемкость не является однозначной характеристикой вещества. Согласно первому закону термодинамики изменение
внутренней энергии тела зависит не только от полученного количества теплоты, но и от работы, совершенной телом. В зависимости от условий, при которых осуществлялся процесс теплопередачи, тело могло совершать различную работу. Поэтому одинаковое количество теплоты, переданное телу, могло вызвать
различные изменения его внутренней энергии и, следовательно, температуры.
Такая неоднозначность определения теплоемкости характерна только
для газообразного вещества. При нагревании жидких и твердых тел их объем
практически не изменяется, и работа расширения оказывается равной нулю.
Поэтому все количество теплоты, полученное телом, идет на изменение его
внутренней энергии. В отличие от жидкостей и твердых тел, газ в процессе
теплопередачи может сильно изменять свой объем и совершать работу. Поэтому теплоемкость газообразного вещества зависит от характера термодинамического процесса. Обычно рассматриваются два значения теплоемкости газов: CV – молярная теплоемкость в изохорном процессе (V = const) и Cp –
молярная теплоемкость в изобарном процессе (p = const).
В процессе при постоянном объеме газ работы не совершает: A = 0. Из
первого закона термодинамики для 1 моля газа следует
QV = CV ΔT = ΔU.
(1.14)
Изменение ΔU внутренней энергии газа прямо пропорционально изменению ΔT его температуры.
Для процесса при постоянном давлении первый закон термодинамики
дает: Qp = ΔU + p (V2 – V1) = CV ΔT + pΔV,
где ΔV – изменение объема 1 моля идеального газа при изменении его
температуры на ΔT. Отсюда следует:
(1.15)
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отношение ΔV / ΔT может быть найдено из уравнения состояния идеального газа, записанного для 1 моля:
p
V = RT,
где R – универсальная газовая постоянная. При p = const
или
Таким образом, соотношение, выражающее связь между молярными
теплоемкостями Cp и CV, имеет вид (формула Майера):
Cp = CV + R.
(1.16)
Молярная теплоемкость Cp газа в процессе с постоянным давлением всегда больше молярной теплоемкости CV в процессе с постоянным объемом (рис.
1.7). Отношение теплоемкостей в процессах с постоянным давлением и постоянным объемом играет важную роль в термодинамике.
Оно
буквой γ.
обозначается
греческой
(1.17)
В частности, это отношение
входит в формулу для адиабатического процесса. Между двумя изотермами с температурами T1 и T2 на
диаграмме (p, V) возможны различные пути перехода. Поскольку для
всех таких переходов изменение температуры ΔT = T2 – T1 одинаково,
следовательно, одинаково изменение
ΔU внутренней энергии.
Однако, совершенные при этом
работы A и полученные в
Рис. 1.7. Два возможных процесса
нагревания газа на ΔT = T2 – T1.
При p = const газ совершает работу
A = p1(V2 – V1). Поэтому Cp > CV
результате теплообмена количества теплоты Q окажутся различными для разных путей перехода. Отсюда следует, что у газа имеется бесчисленное количество теплоемкостей. Cp и CV – это лишь частные (и очень важные для теории
газов) значения теплоемкостей.
Термодинамические процессы, в которых теплоемкость газа остается
неизменной, называются политропическими. Все изопроцессы являются политропическими. В случае изотермического процесса ΔT = 0, поэтому CT = ∞.
В адиабатическом процессе ΔQ = 0, следовательно, Cад = 0.
Следует отметить, что «теплоемкость», как и «количество теплоты» –
крайне неудачные термины. Они достались современной науке в наследство от
теории теплорода, господствовавшей в XVIII веке. Эта теория рассматривала
теплоту как особое невесомое вещество, содержащееся в телах. Считалось, что
оно не может быть ни создано, ни уничтожено. Нагревание тел объяснялось
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
увеличением, а охлаждение – уменьшением содержащегося внутри них теплорода. Теория теплорода несостоятельна. Она не может объяснить, почему одно
и то же изменение внутренней энергии тела можно получить, передавая ему
разное количество теплоты в зависимости от работы, которую совершает тело.
Поэтому лишено физического смысла утверждение, что «в данном теле содержится такой-то запас теплоты».
В молекулярно-кинетической теории устанавливается следующее соотношение между средней кинетической энергией Е поступательного движения
молекул и абсолютной температурой T:
.
Внутренняя энергия 1 моля идеального газа равна произведению Е на
число Авогадро NА:
При изменении температуры на ΔT внутренняя энергия изменяется на
величину
(1.19)
Коэффициент пропорциональности между ΔU и ΔT равен теплоемкости
CV при постоянном давлении:
Изучите модель «Теплоемкости идеального газа».
Модель предназначена для иллюстрации понятий теплоемкостей газа CV
и Cp в процессах при постоянном объеме и при постоянном давлении. Приводится энергетическая диаграмма, на которой графически показаны температурные зависимости подводимого к газу
количества теплоты Q, совершенной работы A и изменения ΔU внутренней
энергии для процессов двух типов. Модель позволяет проследить в каждом
случае выполнимость первого закона
термодинамики. Обратите внимание,
что теплоемкость газа при постоянном
давлении всегда больше теплоемкости
этого газа при постоянном объеме. Количество вещества в модели принять
равным 1 молю. Компьютерный экспеМодель. Теплоемкости идеального газа римент позволяет проиллюстрировать
соотношение между молярными тепло115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
емкостями Cp и CV .
Это соотношение хорошо подтверждается в экспериментах с газами, состоящими из одноатомных молекул (гелий, неон, аргон). Однако, для двухатомных (водород, азот) и многоатомных (углекислый газ) газов это соотношение не согласуется с экспериментальными данными.
Причина такого расхождения состоит в том, что для двух- и многоатомных молекул средняя кинетическая энергия должна включать энергию не
только поступательного, но и вращательного движения молекул. На рис. 1.8
изображена модель двухатомной молекулы. Молекула может совершать пять
независимых движений: три поступательных движения вдоль осей X, Y, Z и
два вращения относительно осей X и Y. Опыт показывает, что вращение относительно оси Z, на которой лежат центры обоих атомов, может быть возбуждено только при очень высоких температурах. При обычных температурах
вращение около оси Z не происходит, так же как не вращается одноатомная
молекула. Каждое независимое движение называется степенью свободы. Таким образом, одноатомная молекула имеет 3 поступательные степени свободы,
«жесткая» двухатомная молекула имеет 5 степеней (3 поступательные и 2
вращательные), а многоатомная молекула – 6 степеней свободы (3 поступательные и 3 вращательные).
Рис. 1.8. Модель двухатомной молекулы.
Точка O совпадает с центром масс
молекулы
В классической статистической физике доказывается так
называемая теорема о равномерном распределении энергии по
степеням свободы:
если система молекул находится в тепловом равновесии при
температуре T, то средняя кинетическая энергия равномерно распределена между всеми степенями
свободы и для каждой степени
свободы молекулы она равна ½ kT.
Из этой теоремы следует, что
молярные теплоемкости газа Cp и
CV и их отношение γ могут быть записаны в виде
где i – число степеней свободы газа.
Для газа, состоящего из одноатомных молекул (i = 3)
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для газа, состоящего из двухатомных молекул (i = 5)
Для газа, состоящего из многоатомных молекул (i = 6)
Экспериментально измеренные теплоемкости многих газов при обычных
условиях достаточно хорошо согласуются с приведенными выражениями. Однако в целом классическая теория теплоемкости газов не может считаться
вполне удовлетворительной. Существует много примеров значительных расхождений между теорией и экспериментом. Это объясняется тем, что классическая теория не в состоянии полностью учесть энергию, связанную с внутренними движениями в молекуле.
Теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы
можно применить и к тепловому движению частиц в твердом теле. Атомы,
входящие в состав кристаллической решетки, совершают колебания около положений равновесия. Энергия этих колебаний и представляет собой внутреннюю энергию твердого тела. Каждый атом в кристаллической решетке может
колебаться в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Следовательно,
каждый атом имеет 3 колебательные степени свободы. При гармонических колебаниях средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной энергии. Поэтому в соответствии с теоремой о равномерном распределении на
каждую колебательную степень свободы приходится средняя энергия kT, а на
один атом – 3kT. Внутренняя энергия1 моля твердого вещества равна:
U = 3NАkT = 3RT.
Поэтому молярная теплоемкость вещества в твердом состоянии равна:
C = 3R = 25,12 Дж/моль·К.
Это соотношение называется законом Дюлонга–Пти. Для твердых тел
практически не существует различия между Cp и CV из-за ничтожно малой работы при расширении или сжатии.
Опыт показывает, что у многих твердых тел (химических элементов) молярная теплоемкость при обычных температурах действительно близка к 3R.
Однако при низких температурах наблюдаются значительные расхождения
между теорией и экспериментом. Это показывает, что гипотеза о равномерном
распределении энергии по степеням свободы является приближением. Наблюдаемая на опыте зависимость теплоемкости от температуры может быть объяснена только на основе квантовых представлений.
Экспериментальный метод определения отношения Ср к Сv основан на
том, что  - входит в уравнение адиабатического процесса, т.е. процесса при
котором отсутствует теплообмен с окружающей средой:
PV   const.
Полностью исключить теплообмен с окружающей средой не удается.
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Однако если процесс происходит достаточно быстро, то изменением внутренней энергии за счет теплообмена можно пренебречь, а процесс считать адиабатическим с хорошим приближением.
В методе Клемана–Дезорма определение  сводится к тому, что воздух в
баллоне последовательно проходит ряд состояний (рис. 1.9). Наличие водяного
манометра позволяет измерить давление в точках 1, 2 и 3.
В баллон большей емкости накачивается газ до давления Р0 > Рн (точка 0
на рис. 1.9). Через Рн, Тн обозначаются давление и температура в лаборатории.
Так как сжатие газа, если оно не осуществляется достаточно медленно, приводит к его нагреванию, то Т0 > Тн. После перекрывания крана 1 (рис. 2.1) в результате теплообмена с окружающей средой газ охлаждается до Т1=Тн. Об
окончании изохорного охлаждения 0→1 свидетельствует прекращение изменений показателей манометра. Давление принимает равновесное значение
Р1>Рн.
После достижения равновесного состояния 1, резко открывают кран, и
воздух начинает выходить из баллона. Происходит адиабатическое расширение газа при которых его давление и температура уменьшаются.
В момент, когда давление в сосуде сравнивается с атмосферным Р2 = Рн,
кран перекрывают (точка 2 рис 1.9). Очевидно, Т2<Тн.
Процесс 2→3 является изохорным нагреванием газа, проходящим в результате теплообмена с окружающей средой и заканчивающимся с выравниванием температур Т3 и Тн при давлении Р3 > Р2 = Рн.
Для определения  используем уравнение адиабаты для процесса 1 2.
P1V1  P2V2 .
(1.20)
Р2 = Рн и Р1 – измеряются манометром, V1 – объем баллона и может быть
измерен. Однако V2 измерению не поддается, так как это – объем газа оставшегося в баллоне и выпущенного из него.
Рис. 1.9. PV-диаграмма для воздуха
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим, что Т1 = Т3 = Тн и, следовательно из уравнения состояния газа:
Р1V1  P3V3 .
(2.21)
Из уравнений (2.20) и (2.21) имеем, учитывая, что Р2 = Рн, а V3 = V2:


P 
Р1  V2 
     1  .
Р2  V1 
 P3 
(2.22)
ln P1  ln P2
ln P1  ln P3
(1.23)
Значение  получим, логарифмируя обе части уравнения (1.22):

Измерение Р1, Р3 проводится водяным манометром, поэтому можно записать
P1 = Pн + ρвgh1,
(1.24)
P3 = Pн + ρвgh3,
(1.25)
Здесь h1 и h3 – разность уровней манометра в точках 1 и 3 (рис. 1.9). Поскольку дополнительное давление водяного столба много меньше атмосферного, то выражение (1.23) можно упростить:

h1
.
h1  h3
(1.26)
В (1.26) использовано разложение функции ln (Pн + ρвgh) в ряд Тейлора:
ln( Pн   в gh)  ln Pн 
 в gh
Pн
.
(1.27)
2. Описание экспериментальной установки
Рис. 2.1. Экспериментальная установка: 1 – водяной манометр; 2 – баллон;
3 – воздушный насос; 4 – кран между баллоном и насосом;
5 – кран между баллоном и атмосферой
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Порядок выполнения работы
Упражнение № 1
Определение константы Пуассона методом Клемана–Дезорма
1. Закройте кран 4 (рис. 2.1).
2. С помощью насоса 3 создайте в баллоне 2 избыточное давление Р0,
соответствующее разности уровней в трубках манометра h0 ≈ 10см водяного
столба. Будьте внимательны при слишком интенсивном накачивании воздуха
водяной столбик выкидывается из манометра. По окончании накачивания газа
перекрыть кран 4.
3. Подождите 4-5 минут для того, чтобы воздух в баллоне приобрел комнатную температуру. Конец процесса 0→1 определяется визуально по стабилизации показаний манометра.
Запишите показания манометра h, в таблицу 3.2.
4. Резко откройте кран 5 и выпустите из баллона избыток воздуха. При
выравнивании давления в баллоне с атмосферным кран 5 перекройте.
5. Подождите 4-5 минут для того, чтобы охладившийся в результате
адиабатического расширения воздух, нагрелся до комнатной температуры.
Стабилизация показаний манометра укажет на достижение равновесного состояния.
6. Запишите показания манометра h1.
7. Пункты 1-7 повторите не менее 5 раз, внося результаты измерений в
таблицу 3.2.
8. Завершите заполнения таблицы 3.1, используя первую строку как образец.
9. Посчитайте, используя расчетную формулу  
h1
, значение
h1  h3
 i для
каждого опыта.
10. Найдите  и случайную погрешность экспериментального значения
 ср .
11. Определите теоретическое отклонение  Т по формуле  
тывая, что воздух – это смесь двух атомных газов.
12. Определите отклонение    Т .
13. Запишите результат эксперимента, как    , где
  max ср ,    Т .
120
i2
, учиi
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 3.1
Процесс
0→1
Качественное описание процессов
Соотношение параметров воздуха в баллоне и в
Название
лаборатории (Рн, Тн)
процесса
начальные
конечные
Р
Т
Р
Т
изохорное охлаждение
Р0>Рн
Т0>Тн
Р1>Рн
Т1=Тн
1→2
2→3
Таблица 3.2
Результаты измерений
Т
№ опыта h1,см h3,см  
1
------2
------3
------Среднее ------- ------значение
4. Контрольные вопросы
  Т
-------------------
1. Что такое термодинамика?
2. Дайте определения внутренней энергии как функции состояния системы, количеству теплоты, работе.
3. Как связано число степеней свободы молекул газа и его теплоемкость?
Почему?
4. Сформулируйте и напишите формулу первого начала термодинамики.
5. Дать определения изопроцессов. Запишите их уравнения, нарисуйте
графики.
6. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам.
7. Какой процесс называется адиабатным?
8. Дайте определение теплоемкости.
9. Что такое молярная теплоемкость?
10. Объясните почему Ср больше Сv?
11. Каков физический смысл постоянной R?
12. Напишите уравнения Майера, Пуассона.
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа № 11
ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.
Относительность промежутков времени
Цель работы: изучение специальной теории относительности, моделей.
1. Краткая теория
Специальная (или частная) теория относительности (СТО) представляет собой современную физическую теорию пространства и времени.
Наряду с квантовой механикой, СТО служит теоретической базой современной физики и техники. СТО часто называют релятивистской теорией, а специфические явления, описываемые этой теорией, – релятивистскими эффектами. Эти эффекты наиболее отчетливо проявляются при скоростях движения тел, близких к скорости света в вакууме c ≈ 3·108 м/с. Специальная теория относительности была создана А. Эйнштейном (1905 г.). Предшественниками Эйнштейна, очень близко подошедшими к решению проблемы, были нидерландский физик Х. Лоренц и выдающийся французский физик
А. Пуанкаре.
Классическая механика Ньютона прекрасно описывает движение макротел, движущихся с малыми скоростями (υ << c). В нерелятивистской физике
принималось как очевидный факт существование единого мирового времени t,
одинакового во всех системах отсчета. В основе классической механики лежит
механический принцип относительности (или принцип относительности
Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Этот принцип означает, что законы динамики инвариантны (т. е.
неизменны) относительно преобразований Галилея, которые позволяют вычислить координаты движущегося тела в одной инерциальной системе (K), если заданы координаты этого тела в другой инерциальной системе (K'). В частном случае, когда система K' движется со скоростью υ вдоль положительного
направления оси x системы K (рис. 1.1), преобразования Галилея имеют вид:
x = x' + υt, y = y', z = z', t = t'.
(1.1)
Предполагается, что в начальный момент
оси координат обеих систем совпадают.
Из преобразований Галилея следует классический закон преобразования скоростей при
переходе от одной системы отсчета к другой:
ux = u'x + υ, uy = u'y, uz = u'z.
(1.2)
Ускорения тела во всех инерциальных системах оказываются одинаковыми:
Рис. 1.1. Две инерциальные
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
системы отсчета K и K'
(1.3)
Следовательно,
уравнение движения классической механики (второй за 
кон Ньютона) ma  F не меняет своего вида при переходе от одной инерциальной системы к другой.
Рис. 1.2. Упрощенная схема
интерференционного опыта

Майкельсона–Морли.  –
орбитальная скорость Земли
К концу XIX века начали накапливаться опытные факты, которые
вступили в противоречие с законами
классической механики. Большие затруднения возникли при попытках
применить механику Ньютона к объяснению распростра-нения света. Предположение о том, что свет распространяется в особой среде – эфире, было
опровергнуто много-численными экспериментами.
А. Май-кельсон
в
1881 году, а затем в 1887 году совместно с Э. Морли (оба – американские физики) пытался обнару-жить движение
Земли относительно эфира («эфирный
ветер») с помощью интерференционного опыта. Упрощенная схема опыта
Майкельсона–Морли представлена на
рис. 1.2.
В этом опыте одно из плеч интерферометра Майкельсона устанавливалось параллельно направлению орбитальной скорости Земли (υ = 30 км/с). Затем прибор поворачивался на 90°, и второе плечо оказывалось ориентированным по направлению орбитальной скорости. Расчеты показывали, что если бы
неподвижный эфир существовал, то при повороте прибора интерференционные полосы должны были сместиться на расстояние, пропорциональное
(υ / c)2. Опыт Майкельсона–Морли, неоднократно повторенный впоследствии
со все более возрастающей точностью, дал отрицательный результат. Анализ
результатов опыта Майкельсона–Морли и ряда других экспериментов позволил сделать вывод о том, что представления об эфире как среде, в которой
распространяются световые волны, ошибочно. Следовательно, для света не
существует избранной (абсолютной) системы отсчета. Движение Земли по орбите не оказывает влияния на оптические явления на Земле.
Исключительную роль в развитии представлений о пространстве и времени сыграла теория Максвелла. К началу XX века эта теория стала общепризнанной. Предсказанные теорией Максвелла электромагнитные волны, распространяющиеся с конечной скоростью, уже нашли практическое применение – в 1895 году было изобретено радио (А.С. Попов). Но из теории Максвел123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ла следовало, что скорость распространения электромагнитных волн в любой
инерциальной системе отсчета имеет одно и то же значение, равное скорости
света в вакууме. Отсюда следует, что уравнения, описывающие распространение электромагнитных волн, не инвариантны относительно преобразований
Галилея. Если электромагнитная волна (в частности, свет) распространяется в
системе отсчета K' (рис. 1.1) в положительном направлении оси x', то в системе
K свет должен, согласно галилеевской кинематике распространяться со скоростью c + υ, а не c.
Итак, на рубеже XIX и XX веков физика переживала глубокий кризис.
Выход был найден Эйнштейном ценой отказа от классических представлений
о пространстве и времени. Наиболее важным шагом на этом пути явился пересмотр используемого в классической физике понятия абсолютного времени.
Классические представления, кажущиеся наглядными и очевидными, в действительности оказались несостоятельными. Многие понятия и величины, которые в нерелятивистской физике считались абсолютными, т. е. не зависящими от системы отсчета, в эйнштейновской теории относительности переведены
в разряд относительных.
Так как все физические явления происходят в пространстве и во времени, новая концепция пространственно-временных закономерностей не могла
не затронуть в итоге всю физику.
В основе специальной теории относительности лежат два принципа или
постулата, сформулированные Эйнштейном в 1905 г.
1. Принцип относительности: все законы природы инвариантны по
отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Это означает, что во всех инерциальных системах физические законы (не
только механические) имеют одинаковую форму. Таким образом, принцип относительности классической механики обобщается на все процессы природы,
в том числе и на электромагнитные. Этот обобщенный принцип называют
принципом относительности Эйнштейна.
2. Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме
не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Скорость света в СТО занимает особое положение. Это предельная скорость передачи взаимодействий и
сигналов из одной точки пространства в другую.
Эти принципы следует рассматривать как обобщение всей совокупности
опытных фактов. Следствия из теории, созданной на основе этих принципов,
подтверждались бесконечными опытными проверками. СТО позволила разрешить все проблемы «доэйнштейновской» физики и объяснить «противоречивые» результаты известных к тому времени экспериментов в области электродинамики и оптики. В последующее время СТО была подкреплена экспериментальными данными, полученными при изучении движения быстрых частиц
в ускорителях, атомных процессов, ядерных реакций и т. п.
Постулаты СТО находятся в явном противоречии с классическими представлениями. Рассмотрим такой мысленный эксперимент: в момент времени
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
t = 0, когда координатные оси двух инерциальных систем K и K' совпадают, в
общем начале координат произошла кратковременная вспышка света. За время
t системы сместятся относительно друг друга на расстояние υt, а сферический
волновой фронт в каждой системе будет иметь радиус ct (рис. 1.3), так как системы равноправны и в каждой из них скорость света равна c.
С точки зрения наблюдателя в системе
K центр сферы находится в точке O, а с точки зрения наблюдателя в системе K' он будет
находиться в точке O'. Следовательно, центр
сферического фронта одновременно находится в двух разных точках!
Причина возникающего недоразумения лежит не в противоречии между двумя
принципами СТО, а в допущении, что положение фронтов сферических волн для обеих
систем относится к одному и тому же моРис. 1.3. Кажущееся
противоречие постулатов СТО менту времени.
Это допущение заключено в формулах преобразования Галилея, согласно которым время в обеих системах течет одинаково: t = t'. Следовательно, постулаты Эйнштейна находятся в противоречии не друг с другом, а с формулами преобразования Галилея. Поэтому на смену галилеевых преобразований
СТО предложила другие формулы преобразования при переходе из одной
инерциальной системы в другую – так называемые преобразования Лоренца,
которые при скоростях движения, близких к скорости света, позволяют объяснить все релятивисткие эффекты, а при малых скоростях (υ << c) переходят в
формулы преобразования Галилея. Таким образом, новая теория (СТО) не отвергла старую классическую механику Ньютона, а только уточнила пределы ее
применимости. Такая взаимосвязь между старой и новой, более общей теорией, включающей старую теорию как предельный случай, носит название
принципа соответствия.
При выполнении любых физических измерений исключительную роль
играют пространственно-временные соотношения между событиями. В СТО
событие определяется как физическое явление, происходящее в какой-либо
точке пространства в некоторый момент времени в избранной системе отсчета.
Таким образом, чтобы полностью охарактеризовать событие, требуется не
только выяснить его физическое содержание, но и определить его место и
время. Для этого необходимо использовать процедуры измерения расстояний
и промежутков времени. Эйнштейн показал, что эти процедуры нуждаются в
строгом определении.
Для того чтобы в выбранной системе отсчета выполнять измерения промежутка времени между двумя событиями (например, началом и концом какого-либо процесса), происходящими в одной и той же точке пространства, до-
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
статочно иметь эталонные часы. Наибольшей точностью в настоящее время
обладают часы, основанные на использовании собственных колебаний молекул аммиака (молекулярные часы) или атомов цезия (атомные часы). Измерение промежутка времени опирается на понятие одновременности: длительность какого-либо процесса определяется путем сравнения с промежутком
времени, отделяющим показание часов, одновременное с концом процесса, от
показания тех же часов, одновременного с началом процесса. Если же оба события происходят в разных точках системы отсчета, то для измерения промежутков времени между ними в этих точках необходимо иметь синхронизованные
часы.
Эйнштейновское определение процедуры синхронизации часов основано
на независимости скорости света в пустоте от направления распространения.
Пусть из точки A в момент времени t1 по часам A отправляется короткий световой импульс (рис. 1.4). Пусть время прихода импульса в B и отражения его
назад на часах B есть t'. Наконец, пусть отраженный сигнал возвращается в A в
момент t2 по часам A. Тогда по определению часы в A и B идут синхронно, если t' = (t1 + t2) / 2.
Рис. 1.4. Синхронизация часов в СТО
Существование единого
мирового времени, не зависящего от системы отсчета, которое принималось как очевидный факт в классической
физике, эквивалентно неявному допущению о возможности синхронизации часов с
помощью сигнала, распространяющегося с бесконечно большой скоростью.
Итак, в разных точках выбранной системы отсчета можно расположить
синхронизованные часы. Теперь можно дать определение понятия одновременности событий, происходящих в пространственно-разобщенных точках:
эти события одновременны, если синхронизованные часы показывают одинаковое время.
Рассмотрим теперь вторую инерциальную систему K', которая движется
с некоторой скоростью υ в положительном направлении оси x системы K. В
разных точках этой новой системы отсчета также можно расположить часы и
синхронизировать их между собой, используя описанную выше процедуру.
Теперь интервал времени между двумя событиями можно измерять как по часам в системе K, так и по часам в системе K'. Будут ли эти интервалы одинаковы? Ответ на этот вопрос должен находиться в согласии с постулатами СТО.
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.5. Относительность промежутков
времени. Моменты наступлений событий в системе K' фиксируются по одним и тем же
часам C, а в системе K – по двум синхронизованным пространственно-разнесенным часам
C1 и C2. Система K' движется со скоростью υ в
положительном направлении оси x системы K
Пусть оба события в
системе K' происходят в одной и той же точке и промежуток времени между ними
равен τ0 по часам системы K'.
Этот промежуток времени
называется
собственным
временем. Каким будет промежуток времени между этими же событиями, если его
измерить по часам системы
K?Для ответа на этот вопрос
рассмотрим следующий мысленный эксперимент. На одном конце твердого стержня
некоторой длины l расположена импульсная лампа B, а
на другом конце – отражающее зеркало M. Стержень
расположен, неподвижно в
системе K' и ориентирован
параллельно
оси y' (рис. 1.5). Событие 1 – вспышка лампы, событие 2 – возвращение короткого светового импульса к лампе.
В системе K' оба рассматриваемых события происходят в одной и той же
точке. В системе K' оба рассматриваемых события происходят в одной и той
же точке.
Промежуток времени между ними (собственное время) равен τ = 2l / c. С
точки зрения наблюдателя, находящегося в системе K, световой импульс движется между зеркалами зигзагообразно и проходит путь 2L, равный
,
где τ – промежуток времени между отправлением светового импульса и
его возвращением, измеренный по синхронизованным часам C1 и C2, расположенными в разных точках системы K. Но согласно второму постулату СТО,
световой импульс двигался в системе K с той же скоростью c, что и в системе
K'. Следовательно, τ = 2L / c.
Из этих соотношений можно найти связь между τ и τ0:
(1.4)
где β = υ / c.
Таким образом, промежуток времени между двумя событиями зависит
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
от системы отсчета, т. е. является относительным. Собственное время τ0 всегда меньше, чем промежуток времени между этими же событиями, измеренный в любой другой системе отсчета. Этот эффект называют релятивистским замедлением времени. Замедление времени является следствием инвариантности скорости света.
Эффект замедления времени является взаимным, в согласии с постулатом о равноправии инерциальных систем K и K': для любого наблюдателя в K
или K' медленнее идут часы, связанные с движущейся по отношению к наблюдателю системой. Этот вывод СТО находит непосредственное опытное подтверждение. Например, при исследовании космических лучей в их составе обнаружены μ-мезоны – элементарные частицы с массой, примерно в 200 раз
превышающей массу электрона. Эти частицы нестабильны, их среднее собственное время жизни равно τ0 = 2,2·10–6 с. Но в космических лучах μ-мезоны
движутся со скоростью, близкой к скорости света. Без учета релятивистского
эффекта замедления времени они в среднем пролетали бы в атмосфере путь,
равный cτ0 ≈ 660 м. На самом деле, как показывает опыт, мезоны за время
жизни успевают пролетать без распада гораздо большие расстояния. Согласно
СТО, среднее время жизни мезонов по часам земного наблюдателя равно

o
1  2
  o , так как β = υ / c близко к единице. Поэтому средний путь υτ,
проходимый мезоном в земной системе отсчета, оказывается значительно
больше 660 м.
С релятивистским эффектом замедления времени связан так называемый
«парадокс близнецов». Предполагается, что один из близнецов остается на Земле,
а второй отправляется в длительное космическое путешествие с субсветовой скоростью. С точки зрения земного наблюдателя, время в космическом корабле течет
медленнее, и когда астронавт возвратится на Землю, он окажется гораздо моложе
своего брата-близнеца, оставшегося на Земле. Парадокс заключается в том, что
подобное заключение может сделать и второй из близнецов, отправляющийся в
космическое путешествие. Для него медленнее течет время на Земле, и он может
ожидать, что по возвращению после длительного путешествия на Землю он обнаружит, что его брат-близнец, оставшийся на Земле, гораздо моложе его.
Чтобы разрешить «парадокс близнецов», следует принять во внимание
неравноправие систем отсчета, в которых находятся оба брата-близнеца. Первый
из них, оставшийся на Земле, все время находится в инерциальной системе отсчета, тогда как система отсчета, связанная с космическим кораблем, принципиально
неинерциальная. Космический корабль испытывает ускорения при разгоне во
время старта, при изменении направления движения в дальней точке траектории
и при торможении перед посадкой на Землю. Поэтому заключение братаастронавта неверно. СТО предсказывает, что при возвращении на Землю он действительно окажется моложе своего брата, оставшегося на Земле.
Изучите модель «Относительность промежутков времени».
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Относительность промежутков
времени – одно из важных следствий
специальной теории относительности
Эйнштейна.
Интервал времени между двумя
событиями может быть разным в разных системах отсчета. Если два события происходят в одной и той же точке
пространства в некоторой системе отсчета, и интервал времени, измеренный
по часам неподвижного наблюдателя,
оказался равным τ0, то для наблюдателя
в другой системе, которая движется относительно первой с постоянной скороМодель. Относительность промежутков
стью υ, интервал времени между двумя
времени
этими событиями будет равен τ:
Здесь c – скорость света, β = υ / c. Интервал τ всегда больше интервала τ0, который называется собственным временем. Это означает, в частности, что ход часов,
движущихся относительно наблюдателя, замедляется. Этот вывод теории относительности вытекает из постулата о постоянстве скорости света в различных системах
отсчета.
Компьютерная модель позволяет познакомиться с одним из важных следствий
специальной теории относительности Эйнштейна - относительностью промежутков
времени. На экране дисплея представлен эксперимент по измерению интервала времени между двумя событиями наблюдателями в различных системах отсчета. Результаты измерения собственного времени и времени по часам движущегося наблюдателя выводятся на экран дисплея.
В левой части экрана воспроизводится эксперимент по измерению времени
распространения светового импульса туда и обратно на неподвижной базе l = 1 км.
Событие 1 – (световая вспышка) и событие 2 – (возвращение светового импульса)
происходят в одной точке системы отсчета. Поэтому часы измеряют собственное
время τ0 = 2l / c. В правой части этот эксперимент рассматривается с точки зрения
наблюдателя, который движется с некоторой скоростью υ перпендикулярно базе.
События 1 и 2 в системе отсчета этого наблюдателя происходят в пространственно
разобщенных точках. Время τ = 2L / c, измеренное по синхронизованным часам этой
системы, окажется больше собственного времени τ0.
В компьютерной модели можно изменять величину γ, которая связана со ско 2 1
ростью υ соотношением   c
.

При нажатии кнопки «Сброс» на часах в обеих системах отсчета высвечивается время наступления событий 1и 2.
Эффекты замедления времени пренебрежимо малы, если скорость космического корабля гораздо меньше скорости света c. Тем не менее, удалось
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
получить прямое подтверждение этого эффекта в экспериментах с макроскопическими часами. Наиболее точные часы – это атомные часы на пучке атомов
цезия. Эти часы «тикают» 9192631770 раз в секунду. Американские физики в
1971 году провели сравнение двух таких часов, причем одни из них находились в полете вокруг Земли на обычных реактивных лайнерах, а другие оставались на Земле в военно-морской обсерватории США. В соответствии с предсказаниями СТО, путешествующие на лайнерах часы должны были отстать от
находящихся на Земле часов на (184 ± 23)·10–9 с. Наблюдаемое отставание составило (203 ± 10)·10–9 с, т. е. в пределах ошибок измерений. Через несколько
лет эксперимент был повторен и дал результат, согласующийся со СТО с точностью 1 %.
В настоящее время уже необходимо принимать во внимание релятивистский эффект замедления хода часов при транспортировке атомных часов на
большие расстояния.
Рис. 1.6. Измерение длины
движущегося стержня
Пусть твердый стержень покоится в системе отсчета K', движущейся со скоростью υ относительно системы отсчета K (рис. 1.6). Стержень
ориентирован параллельно оси x'. Его
длина, измеренная с помощью эталонной линейки в системе K', равна l0.
Ее называют собственной длиной.
Какой будет длина этого стержня, измеренная наблюдателем в системе K?
Для ответа на этот вопрос необходимо
дать определения процедуры измерения длины движущегося стержня. Под
длиной l стержня в системе K, относительно которой стержень движется,
понимают расстояние между
координатами концов стержня, зафиксированными одновременно по часам
этой системы. Если известна скорость системы K' относительно K, то измерение длины движущегося стержня можно свести к измерению времени: длина l
движущегося со скоростью υ стержня равна произведению υτ0, где τ0 – интервал времени по часам в системе K между прохождением начала стержня и его
конца мимо какой-нибудь неподвижной точки (например, точки A) в системе K
(рис. 1.6). Поскольку в системе K оба события (прохождение начала и конца
стержня мимо фиксированной точки A) происходят в одной точке, то промежуток времени τ0 в системе K является собственным временем. Итак, длина l
движущегося стержня равна l = υτ0.
Найдем теперь связь между l и l0. С точки зрения наблюдателя в системе
K', точка A, принадлежащая системе K, движется вдоль неподвижного стержня
налево со скоростью υ, поэтому можно записать
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
l0 = υτ,
(1.5)
где τ есть промежуток времени между моментами прохождения точки A
мимо концов стержня, измеренный по синхронизованным часам в K'. Используя связь между промежутками времени τ и τ0  
o
1  2
, найдем
(1.6)
Таким образом, длина стержня зависит от системы отсчета, в которой
она измеряется, т. е. является относительной величиной. Длина стержня оказывается наибольшей в той системе отсчета, в которой стержень покоится.
Движущиеся относительно наблюдателя тела сокращаются в направлении своего движения. Этот релятивистский эффект носит название лоренцева сокращения длины.
Расстояние не является абсолютной величиной, оно зависит от скорости
движения тела относительно данной системы отсчета. Сокращение длины не
связанно с какими-либо процессами, происходящими в самих телах. Лоренцево сокращение характеризует изменение размера движущегося тела в направлении его движения. Если стержень на рис. 1.6 расположить перпендикулярно
оси x, вдоль которой движется система K', то длина стержня оказывается одинаковой для наблюдателей в обеих системах K и K'. Это утверждение находится в соответствии с постулатом о равноправии всех инерциальных систем. Для
доказательства можно рассмотреть следующий мысленный эксперимент. Расположим в системах K и K' вдоль осей y и y' два жестких стержня. Стержни
имеют одинаковые собственные длины l, измеренные неподвижными по отношению к каждому из стержней наблюдателями в K и K', и один из концов
каждого стержня совпадает с началом координат O или O'. В некоторый момент стержни оказываются рядом и представляется возможность сравнить их
непосредственно: конец каждого стержня может сделать метку на другом
стержне. Если бы эти метки не совпали с концами стержней, то один из них
оказался бы длиннее другого с точки зрения обеих систем отсчета. Это противоречило бы принципу относительности.
Следует обратить внимание, что при малых скоростях движения (υ << c)
формулы СТО переходят в классические соотношения: l ≈ l0 и τ ≈ τ0. Таким образом, классические представления, лежащие в основе механики Ньютона и
сформировавшиеся на основе многовекового опыта наблюдения над медленными движениями, в специальной теории относительности соответствуют предельному переходу при β = υ / c → 0. В этом проявляется принцип соответствия.
Классические преобразования Галилея несовместимы с постулатами
СТО и, следовательно, должны быть заменены другими преобразованиями.
Эти новые преобразования должны установить связь между координатами
(x, y, z) и моментом времени t события, наблюдаемого в системе отсчета K, и
координатами (x', y', z') и моментом времени t' этого же события, наблюдаемого в системе отсчета K'.
Изучите модель «Относительность длины».
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель. Относительность длины
Одним из важных следствий специальной теории относительности является вывод об
относительности расстояний.
Расстояние не является
абсолютной величиной, а зависит от скорости движения тела
относительно данной системы
отсчета.
Пусть длина твердого
стержня, измеренная в собственной системе отсчета, в которой стержень неподвижен,
равна l0. Под длиной l стержня в
другой системе отсчета, относительно которой стержень движется с некоторой скоростью υ,
понимают расстояние между
концами стержня, зафиксированными одновременно по часам
этой системы. Тогда согласно
теории относительности имеет
место соотношение:
где
Таким образом, длина движущегося стержня оказывается всегда меньше длины покоящегося стержня.
Относительность расстояний (длин) связана с постоянством скорости света во
всех инерциальных системах и с относительностью промежутков времени.
Компьютерная программа моделирует эксперимент по измерению длины
твердого стержня двумя наблюдателями, находящимися в различных инерциальных
системах. Один из наблюдателей неподвижен по отношению к стержню, другой
движется с некоторой скоростью υ вдоль стержня. Эксперимент состоит в измерении
времени распространения светового импульса от одного конца стержня до другого и
обратно. Событие 1 – короткая световая вспышка на одном конце стержня событие 2
– возвращение светового импульса к лампе! В собственной системе отсчета интервал
времени между этими событиями равен τ0 = 2l0 / c. В движущейся системе отсчета
интервал времени между этими событиями равен
Из этих соотношений следует
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В компьютерном эксперименте можно изменять относительную скорость систем отсчета. В верхней части экрана воспроизводится эксперимент по измерению
собственного времени τ0 между событиями в системе, в которой стержень неподвижен. В нижней части экрана этот же эксперимент выполняет наблюдатель в движущейся по отношению к стержню системе отсчета. Результаты измерений промежутков времени τ0 и τ высвечиваются на часах в обеих системах отсчета.
Кинематические формулы преобразования координат и времени в СТО
называются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году
еще до появления СТО как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики. Для случая, когда система K' движется относительно K со скоростью υ вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид:
K' → K
K → K'
(1.7)
β = υ / c.
Из преобразований Лоренца вытекает целый ряд следствий. В частности,
из них следует релятивистский эффект замедления времени и лоренцево сокращение длины. Пусть, например, в некоторой точке x' системы K' происходит процесс длительностью τ0 = t'2 – t'1 (собственное время), где t'1 и t'2 – показания часов в K' в начале и конце процесса. Длительность τ этого процесса в
системе K будет равна
(1.8)
Аналогичным образом, можно показать, что из преобразований Лоренца
вытекает релятивистское сокращение длины. Одним из важнейших следствий
из преобразований Лоренца является вывод об относительности одновременности. Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K' (x'1 ≠ x'2) одновременно с точки зрения наблюдателя в K' (t'1 = t'2 = t') происходят два события.
Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в системе K будет иметь
(1.9)
Следовательно, в системе K эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются неодновременными. Более того, знак разности t2 – t1
определяется знаком выражения υ(x'2 – x'1), поэтому в одних системах отсчета
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах
отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Этот вывод СТО не
относится к событиям, связанным причинно-следственными связями, когда одно из событий является физическим следствием другого. Можно показать, что в
СТО не нарушается принцип причинности, и порядок следования причинноследственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.
Относительность одновременности
пространственно-разобщенных событий
можно проиллюстрировать на следующем примере.
Пусть в системе отсчета K' вдоль
оси x' неподвижно расположен длинный
жесткий стержень. В центре стержня
находится импульсная лампа B, а на его
концах установлены двое синхронизованных часов (рис. 1.7a), система K' движется вдоль оси x системы K со скоростью υ. В некоторый момент времени
лампа посылает короткие световые импульсы в направлении концов стержня. В
силу равноправия обоих направлений
свет в системе K' дойдет до концов
стержня одновременно, и часы, закрепРис. 1.7. Относительность одновре- ленные на концах стержня, покажут одно
менности. Световой импульс дости- и то же время t'. Относительно системы K
гает концов твердого стержня од- концы стержня движутся со скоростью υ
новременно в системе отсчета K' (a) так, что один конец движется навстречу
и не одновременно
световому импульсу, а другой конец свев системе отсчета K (b)
ту приходится догонять. Так как скорости
распространения световых импульсов в обоих направлениях одинаковы и равны c, то, с точки зрения наблюдателя в системе K, свет раньше дойдет до левого конца стержня, чем до правого (рис. 1.7b).
Преобразования Лоренца выражают относительный характер промежутков времени и расстояний. Однако в СТО наряду с утверждением относительного характера пространства и времени важную роль играет установление инвариантных физических величин, которые не изменяются при переходе от одной системе отсчета к другой. Одной из таких величин является скорость света
c в вакууме, которая в СТО приобретает абсолютный характер. Другой важной
инвариантной величиной, отражающей абсолютный характер пространственно-временных связей, является интервал между событиями.
Пространственно-временной интервал определяется в СТО следующим соотношением:
(1.10)
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где t12 – промежуток времени между событиями в некоторой системе отсчета, а l12 – расстояние между точками, в которых происходят рассматриваемые события, в той же системе отсчета. В частном случае, когда одно из событий происходит в начале координат (x1 = y1 = z1 = 0) системы отсчета в момент
времени t1 = 0, а второе – в точке с координатами x, y, z в момент времени t,
пространственно-временной интервал между этими событиями записывается в
виде
(1.11)
С помощью преобразований Лоренца можно доказать, что пространственно-временной интервал между двумя событиями не изменяется при переходе из одной инерциальной системы в другую. Инвариантность интервала
означает, что, несмотря на относительность расстояний, и промежутков времени, протекание физических процессов носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.
Если одно из событий представляет собой вспышку света в начале координат системы отсчета при t = 0, а второе – приход светового фронта в точку с
координатами x, y, z в момент времени t (рис. 1.3), то
x2 + y2 + z2 = c2t2,
(1.12)
и, следовательно, интервал для этой пары событий s = 0. В другой системе отсчета координаты и время второго события будут другими, но и в этой
системе пространственно-временной интервал s' окажется равным нулю, так
как
(1.13)
Для любых двух событий, связанных между собой световым сигналом,
интервал равен нулю.
Из преобразований Лоренца для координат и времени можно получить
релятивистский закон сложения скоростей. Пусть, например, в системе отсчета K' вдоль оси x' движется частица со скоростью u ' x 
dx'
. Составляющие
dt '
скорости частицы u'x и u'z равны нулю. Скорость этой частицы в системе K будет равна u x 
dx
.
dt
С помощью операции дифференцирования из формул преобразований
Лоренца можно найти:
(1.14)
Эти соотношения выражают релятивистский закон сложения скоростей

для случая, когда частица движется параллельно относительной скорости 
систем отсчета K и K'.
При υ << c релятивистские формулы переходят в формулы классической
механики:
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ux = u'x + υ, uy = 0, uz = 0.
(1.15)
Если в системе K' вдоль оси x' распространяется со скоростью u'x = c световой импульс, то для скорости ux импульса в системе K получим
(1.16)
Таким образом, в системе отсчета K световой импульс также распространяется вдоль оси x со скоростью c, что согласуется с постулатом об инвариантности скорости света.
2. Порядок выполнения работы
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 2.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Основы специальной теории относительности» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 4.1.
5. На экране дисплея представлен эксперимент по измерению интервала
времени между двумя событиями наблюдателями в различных системах отсчета. Результаты измерения собственного времени и времени по часам движущегося наблюдателя выводятся на экран дисплея.
6. В левой части экрана воспроизводится эксперимент по измерению
времени распространения светового импульса туда и обратно на неподвижной
базе l = 1 км. Событие 1 – (световая вспышка) и событие 2 – (возвращение светового импульса) происходят в одной точке системы отсчета. Поэтому часы
измеряют собственное время τ0 = 2l / c.
7. В правой части этот эксперимент рассматривается с точки зрения
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
наблюдателя, который движется с некоторой скоростью υ перпендикулярно
базе. События 1 и 2 в системе отсчета этого наблюдателя происходят в пространственно разобщенных точках. Время τ = 2L / c, измеренное по синхронизованным часам этой системы, окажется больше собственного времени τ0.
8. В компьютерной модели можно изменять величину γ, которая связана
 2 1
со скоростью υ соотношением   c
.

9. При нажатии кнопки «Сброс» на часах в обеих системах отсчета высвечивается время наступления событий 1и 2.
10. Нажмите кнопку «Сброс». Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
11. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
12. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
13. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
14. Дома проработайте модель 4.1, 4.2 из раздела «Модели».
15. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
16. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
17. Напишите вывод.
3. Контрольные вопросы
1. Сформулируйте принципы специальной теории относительности.
2. Преобразования Галилея.
3. Механический принцип относительности.
4. Постулаты специальной теории относительности.
5. Преобразования Лоренца.
6. Следствия из преобразований Лоренца.
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Форма титульного листа для лабораторных работ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО НАУКЕ И ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО
УФИМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ СЕРВИСА
Кафедра «Физика»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
Выполнил студент группы МД-11:
Ильясов И.
Проверил преподаватель:
Денисова О.А.
Уфа – 2010
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Форма титульного листа для оформления контрольных работ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО НАУКЕ И ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО
УФИМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ СЕРВИСА
Кафедра «Физика»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
«ОСНОВЫ МЕХАНИКИ. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И
ТЕРМОДИНАМИКА»
Выполнил студент группы МД-11:
Ильясов И.
Проверил преподаватель:
Саенко А.Г.
Уфа – 2010
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Составитель: ДЕНИСОВА Ольга Аркадьевна
ФИЗИКА.
Разделы «МЕХАНИКА.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА»
(проведение эксперимента и компьютерного моделирования)
Часть 1
Учебно-методическое пособие
Технический редактор: С.А. Юдина
Подписано в печать 11.01.2010. Формат 60×84 1/16.
Бумага писчая. Гарнитура «Таймс».
Усл. печ. л. 8,14. Уч.-изд. л. 8,75. Тираж 150 экз.
Цена свободная. Заказ № 3.
Отпечатано с готовых авторских оригиналов
на ризографе в издательском отделе
Уфимской государственной академии экономики и сервиса
450078, г. Уфа, ул. Чернышевского, 145; тел. (347) 241-69-85.
140
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа