close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2959.Начертательная геометрия

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Л.В.ГОРЕЛЬСКАЯ, А.В.КОСТРЮКОВ, С.И.ПАВЛОВ
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
учебное пособие
Издание четвертое, стереотипное
Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного
пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям и
специальностям в области техники и технологии.
(№14-55-701 гр/28 от 09.02.2001г.)
Оренбург 2011
ИПК ГОУ ОГУ
2011
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ББК 22.151.3я73
УДК 514.18
Г-68
Рецензенты
доктор технических наук, профессор Иванов Г.С.
доктор технических наук, профессор Фролов С.А.
Г-68
Горельская Л.В.
Начертательная геометрия. Учебное пособие по курсу
«Начертательная геометрия». 4-изд., перераб. и доп. - Оренбург. ИПК ОГУ,
2011. – 122с., с ил.
ISBN 978-5-7410-1132-4
Учебное пособие предназначено для студентов заочного отделения
не конструкторских специальностей ВУЗов (кроме архитектурных и
строительных), а также может быть использовано аспирантами, инженерами и школьниками старших классов. 1-изд.-2001 г.
УДК 514.18
ББК 22.151.3я73
ISBN 978-5-7410-1132-4
 Горельская Л.В., 2011
Кострюков А.В., 2011
Павлов С.И., 2011
 ГОУ ОГУ, 2011
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Предисловие………………………………………………………………...
Введение…………………………………………………………………….
1
Конструктивное отображение пространства……………………..
1.1
Проецирование……………………………………………………...
1.2
Моделирование трехмерного пространства………………………
1.3
Комплексный чертеж (Эпюр Монжа)……………………………..
2
Чертежи точки, отрезка прямой…………………………………...
2.1
Комплексные чертежи точки………………………………………
2.2
Комплексные чертежи прямых…………………………………….
2.3
Следы прямой……………………………………………………….
2.4
Взаимное расположение прямых………………………………….
3
Чертежи плоскости…………………………………………………
4
Позиционные задачи……………………………………………….
4.1
Принадлежность точки и прямой………………………………….
4.2
Пересечение плоскостей…………………………………………...
4.3
Пересечение прямой и плоскости…………………………………
4.4
Параллельность……………………………………………………..
5
Метрические задачи………………………………………………...
5.1
Определение длины отрезка……………………………………….
5.2
Определение площади треугольника……………………………...
5.3
Проецирование прямого угла……………………………………...
5.4
Перпендикулярность прямых и плоскостей………………………
5.4.1 Перпендикулярность прямой и плоскости………………………..
5.4.2 Расстояние от точки до плоскости………………...........................
5.4.3 Перпендикулярность плоскостей…………………………………
6
Преобразование чертежа…………………………………………...
6.1
Перемена плоскостей проекций…………………………………...
6.2
Преобразование прямой……………………………………………
6.3
Преобразование плоскости………………………………………...
6.4
Вращение вокруг следа плоскости………………………………...
6.5
Применение преобразования плоскости………………………….
6.5.1 Расстояние от точки до плоскости………………...........................
6.5.2 Пересечение прямой и плоскости…………………………………
7
Кривые линии……………………………………………………….
7.1
Дифференциальные характеристики кривой……………………..
7.2
Особые точки кривой………………………………………………
7.3
Алгебраические кривые……………………………………………
7.4
Конические сечения………………………………………………...
7.5
Плоские обводы…………………………………………………….
3
5
7
10
10
12
13
16
16
17
19
20
23
28
28
31
33
34
37
37
38
38
39
39
40
41
43
43
44
45
47
48
48
49
49
51
51
52
53
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.7
Пространственные кривые…………………………………………
8
Поверхности………………………………………………………...
8.1
Задание поверхности на чертеже………………………………….
8.2
Точка и линия на поверхности ……………………………………
8.3
Конструирование поверхностей…………………………………...
8.3.1 Конструирование поверхностей вращения……………………….
8.3.2 Конструирование поверхностей плоскопараллельного переноса
8.3.3 Конструирование линейчатых поверхностей…………………….
8.3.4 Многогранники……………………………………………………..
8.3.5 Циклические и непрерывно-топографические поверхности…….
8.4
Поверхности и позиционные задачи………………………………
8.4.1 Сечение поверхности плоскостью………………………………...
8.4.2 Способ секущих плоскостей……………………………………….
8.4.3 Способ секущих сфер………………………………………………
8.4.4 Пересечение многогранников……………………………………...
8.5
Пересечение линии и поверхности………………………………..
9
Аксонометрические проекции……………………………………..
9.1
Прямоугольная аксонометрия……………………………………..
9.2
Практические аксонометрии……………………………………….
10
Развертки поверхностей……………………………………………
10.1 Развертки гранных поверхностей………………………………….
10.2 Приближенное построение разверток…………………………….
10.3 Условные развертки поверхностей………………………………..
11
Решение задач в Начертательной геометрии……………………..
11.1 Точки и прямые……………………………………………………..
11.2 Плоскости…………………………………………………………...
11.3 Поверхности………………………………………………………...
11.4 Аксонометрические проекции……………………………………
Список использованных источников……………………………………..
Приложение А Задачи для самостоятельного решения………………….
Приложение Б Таблица координат точек…………………………………
4
56
60
61
63
64
64
66
67
69
70
73
73
76
76
78
79
81
82
83
87
87
89
91
93
93
95
104
110
112
113
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предисловие
Учебное пособие предназначено для студентов заочного отделения не
конструкторских специальностей ВУЗов (кроме архитектурных и строительных)
и соответствует программе курса НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
Все более широкое внедрение в современную жизнь средств вычислительной техники потребовало корректировки содержания общеинженерных
дисциплин, а также методики их преподавания. Начертательная геометрия (теория чертежа) должна способствовать глубокому усвоению обучаемыми ее сущности, методов геометрического моделирования многомерных пространств и
структур, на базе которых и формируются математические модели, что является
одним из важнейших этапов автоматизации проектирования и конструирования
в современной технике, оптимизации технологических процессов, организации
в управлении производством.
Отход от узкого понимания предмета и цели изучения начертательной
геометрии, как теоретической базы курса черчения, приводит к пересмотру
структуры предмета с целью систематизации изучаемого материала, разработки
способов конструирования и изображения геометрических объектов, решения
абстрактных и прикладных задач. Учебное пособие призвано способствовать
самостоятельному изучению предмета, являясь средством организации учебного процесса, подчеркивая единство и взаимосвязь методов начертательной и
аналитической геометрии как базы для автоматизации решения задач прикладной геометрии.
Учебное пособие отражает современное представление о преподавании
начертательной геометрии как учебной дисциплины, изучающей теорию методов отображения пространства на плоскость и графического решения задач на
чертеже. Структура и содержание учебного пособия определились в результате
анализа истории начертательной геометрии, существующих учебных программ
и опыта преподавания предмета в различных вузах страны.
Современные
требования,
предъявляемые
к учебному курсу
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, соответствуют идеям Г.Монжа. Формулируя предмет начертательной геометрии, он, Г. Монж, выделяет две цели:
1) "...дать методы для изображения на листе чертежа, ...любых тел природы...",
2) "...дать способ на основании точного изображения определять формы
тел и выводить все закономерности, вытекающие из их формы и их взаимного
расположения".
Особенность изложения материала состоит в параллельном изучении спо5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
собов задания геометрических фигур на комплексном и аксонометрическом
чертежах, а также большом числе решенных задач.
Структура пособия рассчитана на развитие творческих способностей обучаемых за счет активизации самостоятельной работы. Подробно изложен материал о получении непрерывных моделей поверхностей, конструировании кривых и поверхностей. Изложение материала отражает принципиальные стороны
вопроса, оставляя для самостоятельного изучения конкретные задачи.
Авторы приносят искреннюю благодарность методистам отдела ПО и
СППМ Кулаковой Е.В. и Шестаковой А.С. за помощь в подготовке к изданию
настоящего учебного пособия.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Начертательная геометрия представляет собой раздел геометрии, занимающийся изучением форм предметов реального мира и абстрактных закономерностей с использованием ”плоских эквивалентов многомерного пространства”— чертежей.
В этой связи содержание начертательной геометрии можно свести к следующим двум основным вопросам:
а) разработке способов построения изображений (чертежей) пространственных фигур на двумерной плоскости;
б) изучению способов решения и исследования пространственных задач
при помощи ”плоских эквивалентов” (чертежей).
Потребность в построении изображений проявлялась уже на ранних стадиях развития человеческого общества. Об этом свидетельствуют многочисленные изображения на камнях и скалах, на предметах и орудиях первобытного человека, сохранившиеся до нашего времени. В дальнейшем развитие производственной деятельности человека поставило перед ним задачу более точного
изображения пространственных предметов на плоскости. Строительство крепостных укреплений и других сооружений требовало предварительного составления их изображений или чертежей. Чертежи были необходимы и для производства механизмов и во многих других проявлениях производственной деятельности. Создалась ситуация, когда изготовление любого предмета начинается с составления его чертежей, позволяющих не только определить форму и размеры
всех частей предмета, но и получать наглядное представление о нем. Ужесточающиеся требования, предъявлявшиеся к чертежам, привели к необходимости
разработать «теорию изображений», которая и составляет основу начертательной геометрии.
В начертательной геометрии чертеж является инструментом, осуществляющим непосредственное изучение геометрических форм предметов и позволяющим решать пространственные задачи. Это обуславливает ряд требований,
предъявленных к чертежам, наиболее существенные следующие:
а) чертеж должен быть наглядным, т.е. он должен давать пространственное представление изображаемого предмета;
б) он должен быть обратимым, т.е. таким, чтобы по нему можно было бы
точно воспроизвести форму и размеры изображаемого предмета;
в) чертеж должен быть достаточно простым с точки зрения его выполнения. Графические операции, выполняемые на чертеже, должны давать достаточно точные решения.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для всех видов технических чертежей «обратимость» является особенно
важным требованием. Чертеж - это производственный документ, по которому
выполняется то или другое изделие. Поэтому необходимо, чтобы по чертежу
можно было точно установить форму и размеры будущего изделия, а также некоторые другие данные о нем. Кроме того, чертеж дает наглядное представление об изделии, что в свою очередь облегчает его выполнение. Никакие описания предмета не могут заменить чертежа. Последний является «языком техника», как говорил один из создателей начертательной геометрии французский
ученый и инженер Гаспар Монж (1746—1818).
Очевидно, что не всякое изображение предмета на плоскости позволяет
точно определить его форму и положение в пространстве. Необходимо, чтобы
чертеж объекта был построен по определенным правилам, позволяющим от
плоских и, следовательно, искаженных форм на чертеже переходить к натуральным пространственным формам реального объекта.
Такое геометрически закономерное изображение пространственного объекта на плоскости достигается на основе метода проецирования, который является основным в начертательной геометрии. Чертежи, построенные по методу
проецирования, получили название проекционных.
Следует иметь в виду, что переход от пространственных объектов, непосредственно наблюдаемых человеком, к их изображениям на плоскости (проекционным чертежам), а затем умение пользоваться такими изображениями взамен самих предметов нередко вызывают на первых порах большие трудности.
Начертательная геометрия является той научной дисциплиной, которая
формализует процесс построения и реконструкции чертежей, что значительно
облегчает интерпретацию изображений не только в технике, но и вообще в
практической жизни человека.
Одним из направлений при изучении начертательной геометрии является
моделирование соответствующих геометрических форм. Другое направление
глубокая формализация методов построения и реконструкции чертежей.
На первом этапе допустимо использование первого подхода, в дальнейшем желательно базироваться на втором.
В методическом пособии приняты следующие условности и обозначения.
Рассматривается расширенное Евклидово пространство Е3+. Основным
элементом пространства является точка.
Все объекты такого пространства рассматриваются как множества точек.
В качестве характеристики множества выступает его размерность. Точка представляется нульмерным множеством, линия — одномерным множеством точек,
а поверхность - двумерным множеством точек (при рассмотрении каркасов по8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
верхность представляется одномерным множеством линий).
Пособие построено на базе синтетической начертательной геометрии, в
которой все элементы пространства моделируются симплексами. Симплексы
объектов большей размерности конструируются на базе симплексов меньшей
размерности.
В целях уменьшения объема пособия в тексте применяются широко используемые в математике обозначения операций такие, как  — пересечение
множеств,  — объединение множеств,  — принадлежность элемента множеству,  — перпендикулярность и т.д.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 Конструктивное отображение пространства
Начертательная геометрия, являясь одним из разделов математики, изучает
методы отображения пространства на плоскость и способы графических решений
стереометрических задач на чертеже.
Известны три основных способа отображения пространства: конструктивный, аналитический и аксиоматический.
Начертательная геометрия базируется на конструктивном способе отображения. Это и определяет основной метод начертательной геометрии — метод проецирования.
1.1 Проецирование
В математике под проецированием понимают процесс установления однозначного соответствия между точками пространства и точками подпространств
меньшей размерности.
Применительно к задачам реального мира, в конкретизированном понимании этого процесса, проецирование —
это установление однозначного соответствия между точками трехмерного пространства и точками плоскости.
Один из вариантов установления
такого соответствия - это проведение
прямых. Аппарат проецирования, в
этом случае, представляет из себя
плоскость проекции или картинную
плоскость П и центр проецирования S
(точка, не лежащая в этой плоскости).
Рисунок 1 - Проецирование
Соответствие устанавливается с помощью прямых L (рисунок 1), которые
получили название проецирующих прямых или проецирующих лучей. В том случае, когда точка S - действительная точка пространства, говорят о центральном
проецировании. Модель такого проецирования приведена на рисунке 2. В этой модели точке А, расположенной в пространстве, соответствует в картинной плоскости точка А1. Эта точка А1 получила название проекции точки А. Проекция А1 получается в результате пересечения проецирующей прямой AS с плоскостью проекции П.
Для этой модели характерно следующее:
а) точке в пространстве соответствует единственная проекция (т.к. через две
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
точки А и S можно провести одну единственную проецирующую прямую),
б) проекции точек, лежащих на линиях, лежат на проекциях этих линий,
в) для точек, расположенных в плоскости , параллельной плоскости П и
проходящей через точку S, нет возможности получить проекции. Также не определена проекция точки S,
г) проекцией прямой в этой модели является прямая (АС А1С1),
д) проекция отрезка прямой, лежащей на проецирующей линии, вырожденная. Концы проекций отрезка совпадают (АВ А1В1).
Рисунок 2 - Схема центрального
проецирования
Рисунок 3 - Схема проецирования линии
Проекцию линии можно получить, проецируя из центра S ряд точек, принадлежащих этой кривой. Полученная проекция будет единственной для данной
линии при заданном положении центра S и Р. В этом случае проекция может рассматриваться как результат пересечения конической поверхности Q с картинной
плоскостью П.
Следует отметить, что проекция линии и центр проекций не определяют положения линии в пространстве: на конической поверхности можно разместить
множество линий, дающих в одну и ту же проекцию.
Центральное проецирование иначе называют коническим, т.к. проецирующими поверхностями является различного рода конусы.
Перенос центра проецирования S в бесконечность позволяет несколько
улучшить модель проецирования. Вопрос о невозможности получать проекции
реальных объектов отпадает.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проецирующие прямые переходят в параллельные (такие прямые пересекаются в несобственной точке). Исходная модель переходит в модель параллельного
проецирования.
Все свойства при этом сохраняются.
Вместе с этим, для этой
модели, нужно отметить следующее: отрезок прямой СК,
параллельной плоскости проекций П, проецируется на эту
плоскость в натуральную величину (как противоположные
стороны параллелограмма).
Здесь сохраняется простое отношение трех точек
(СЕ/ВЕ= С1Е1/В1Е1).
Рисунок 4 - Схема параллельного проецирования
Если в модели параллельного проецирования проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекций, то говорят о прямоугольном (ортогональном)
проецировании, остальные случаи представляют собой косоугольное проецирование.
Для обеих рассмотренных выше моделей очевидно, что полученные с их помощью чертежи (проекции) не позволяют реконструировать форму и положение
объекта в пространстве.
Такие однокартинные чертежи получили название необратимых. Рассмотрим возможность построения чертежей, допускающих реконструкцию пространственных объектов.
1.2 Моделирование трехмерного пространства
Известно несколько способов, позволяющих получать обратимые чертежи.
Наиболее распространенные из них базируются на схеме метода двух изображений.
Аппарат классического метода двух изображений состоит из основного центра проецирования S, плоскости изображения П, двух вспомогательных плоскостей проекций П2, П1 и двух вспомогательных центров проецирования S1, S2 (рисунок 5).
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 5 - Схема метода двух изображений
Центры проецирования S1, S2 и S принадлежат одной прямой t, которая пересекает главную картинную плоскость П в исключенной точке F1. Произвольная
точка А пространства изображается на чертеже двумя проекциями (А1,А2), лежащими на одной прямой с точкой F1.
Первоначально точка А проецируется из вспомогательных центров S1 и S2 на
вспомогательные плоскости проекций П1 и П2 соответственно в точки Ā1 и Ā2,
которые затем из основного центра проецирования S проецируются в точки А1 и
А2 на главную картинную плоскость П.
Полученный по этой схеме чертеж является обратимым, так как по известным проекциям А1 и А2 можно реконструировать положение оригинала А в пространстве.
Большинство обратимых чертежей, применяемых в практике (аксонометрия,
перспектива, эпюр Монжа), получаются по схеме рассмотренного выше метода
двух изображений.
1.3 Комплексный чертеж (Эпюр Монжа)
Эпюр Монжа, он же комплексный чертеж, получается из общей схемы при
следующих условиях
Главная картинная плоскость П совмещается с фронтальной плоскостью
проекций П2, горизонтальная плоскость проекций П1 выбирается перпендикуляр13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ной П2=П (в соответствии с рисунком 6). Центры проецирования S1, S2 и S являются несобственными. При этом точка S1 находится в направлении, перпендикулярном плоскости П1, а S2 - плоскости П2.
Рисунок 6 - Схема построения
Рисунок 7 - Комплексный чертеж точки
комплексного чертежа
Главный центр проецирования S является несобственной точкой прямой,
перпендикулярной оси Ох=П2П1 и составляющей с главной картинной плоскостью П=П2 угол в 45. Ось чертежа здесь совпадает с линией Ох.
Изображение, получаемое на главной картинной плоскости П (рисунок 7), и
получило название комплексного чертежа или эпюра Монжа.
Точка А на этом чертеже задается парой проекций (А1 и А2)лежащих на линии связи перпендикулярной оси чертежа Ох.
Традиционно плоскость П1 принято называть горизонтальной плоскостью
проекции, а плоскость П2 -фронтальной плоскостью проекции.
Сами же проекции называют по именам плоскостей проекции: А1 - горизонтальной проекцией точки А и А2, соответственно, фронтальной проекцией этой
же точки.
Еще Г. Монж мечтал о том, чтобы была возможность дополнять чертежи
различных геометрических объектов их точным математическим описанием. Это
требует установления связи между конструктивным способом отображения и аналитическим.
При аналитическом способе отображения пространства (моделирования)
точкам ставятся в соответствие их координаты, поверхностям и линиям — уравнения и системы уравнений.
Установление связи между чертежом и аналитическим описанием объектов,
на нем изображенных, возможно на основе Декартовой системы координат.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ось чертежа можно принять за ось Ох декартовой системы координат. Координатную плоскость xOz - за фронтальную плоскость проекции П2, а плоскость
xOу - за горизонтальную плоскость
проекции П1.
Тогда появляется возможность
любую точку пространства, задаваемую
на чертеже парой проекций, определять
с помощью тройки чисел А(Ха,Уа,Zа)
— Декартовых координат этой точки.
Сам же процесс проецирования будет
сводиться к построению по координатам точек А1(Ха,Уа) и А2(Ха,Zа) (в соответствии с рисунком 8).
Рисунок 8 - Арифметизированный эпюр Монжа
Комплексный чертеж, ось которого совпадает с осью Ох Декартовой системы координат и на котором нанесены координатные оси Оу, Оz и зафиксировано
начало Декартовых координат, получил название арифметизированного эпюра
Монжа.
Такой чертеж позволяет при необходимости по аналитическому описанию
объекта получать его изображение и решать обратную задачу — по чертежу получать аналитическое описание.
Контрольные вопросы к главе 1
1.Что называется проецированием?
2.Какие существуют модели проецирования?
3.Какой чертеж является обратимым?
4.Приведите схему метода двух изображений.
5.Что называется комплексным чертежом или эпюром Монжа?
6. Как называются плоскости проекций, проекции точки, линии?
7. В чем состоит арифметизация эпюра Монжа?
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 Чертежи точки, отрезка прямой
Эпюр Монжа, построенный по схеме рассмотренной выше, позволяет однозначно судить как о форме и положении объектов в пространстве, так и о
расположении их по отношению к плоскостям проекции.
2.1 Комплексные чертежи точки
Рисунок 2.1 - Чертеж точки в пространстве
А(xа,yа,zа) — произвольная точка пространства (ни одна из ее координат
не равна нулю). На комплексном чертеже можно увидеть (на соответствующих плоскостях П1 и П2) две ее проекции А1 и А2.
Рисунок 2.2 - Точка в плоскости
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На этом чертеже присутствуют две ее проекции: горизонтальная - А1 и,
соответствующая ей, фронтальная - А2, объединенные линией связи А1А2, ортогональной оси чертежа Ох.
Чертеж точек, лежащих в плоскостях проекций, представлен на рисунке 2.2.
Точка А(xа,yа) лежит в горизонтальной плоскости проекции П1, а вторая точка
В(xв,zв) - во фронтальной плоскости проекции П2.
Отличием этого чертежа от предыдущего является то, что одна из проекций этих точек оказывается на оси чертежа Ох.
Точки, лежащие на координатных осях, изображены на рисунке 2.3. Точка А(xа,0,0) лежит на оси Ох, точка С(0,ус,0) - на оси Оу, а точка В(0,0,zв) на оси Оz. Для чертежей этих точек характерно следующее.
Обе проекции точки А, лежащей на оси чертежа , совпадают А1=А2.
У точки С, лежащей на оси Оy, фронтальная проекция совпадает с точкой начала координат С2=О.
Аналогичная ситуация и с точкой В, лежащей на оси Оz, ее горизонтальная проекция совпадает с точкой начала координат В1=О.
Рисунок 2.3 - Точки на координатных осях
2.2 Комплексные чертежи прямых
Будем прямую на чертеже задавать ее симплексом (отрезком). Для этого
достаточно на чертеже задать две произвольные точки (в случае их совпадения
длина отрезка будет нулевой). Чертеж отрезка прямой АВ приведен на рисунке
2.4.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.4 - Чертеж отрезка прямой линии
Все прямые могут быть классифицированы в зависимости от их расположения по отношению к плоскостям проекций.
Прямая, не параллельная ни одной плоскости проекции, получила название
прямой общего положения. Чертеж такой прямой приведен выше на рисунке
2.4.
Характерной особенностью чертежа такой прямой является непараллельность ее проекций ни одной из координатных осей.
Прямые, параллельные плоскостям проекций, получили название линий
уровня.
Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется
горизонтальной линией уровня.
Фронтальная проекция А2В2 такой прямой параллельна оси чертежа, а
горизонтальная проекция А1В1 проецируется в отрезок, равный по длине самому отрезку АВ (рисунок 2.5).
Рисунок 2.5 - Горизонтальная
линия уровня
Рисунок 2.6 - Фронтальная
линия уровня
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется
фронтальной линией уровня.
Горизонтальная проекция А1В1, такой прямой параллельна оси чертежа, а
фронтальная проекция А2В2 проецируется в отрезок, равный по длине отрезку
АВ (рисунок 2.6).
Характерным для чертежей линий уровня является то, что одна из их проекций параллельна оси чертежа.
Линии, перпендикулярные плоскостям проекций, получили название проецирующих прямых.
Прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекции П2, называется фронтально - проецирующей прямой. Такая прямая параллельная координатной оси Оу. На чертеже такой прямой (рисунок 2.8) фронтальная проекция А2В2 вырождается в точку, а горизонтальная проекция А1В1 перпендикулярна оси чертежа (совпадает по направлению с линиями связи).
Прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекции П1, называется горизонтально - проецирующей прямой. Такая прямая параллельна координатной оси Оz.
Рисунок 2.7 – Горизонтальнопроецирующая прямая
Рисунок 2.8 – Фронтальнопроецирующая прямая
На чертеже прямой (рисунок 2.7) горизонтальная проекция А1В1 вырождается в точку, а фронтальная А2В2 перпендикулярна оси чертежа (совпадает
по направлению с линиями связи).
Характерной
особенностью чертежей проецирующих прямых является то, что одна из проекций у них вырожденная, а вторая - параллельна одной
из координатных осей (рисунок 2.7, 2.8).
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Линии уровня и проецирующие прямые объединяют в одну группу - линий частного положения.
2.3 Следы прямой
Очевидно, что прямая и плоскость пересекаются в точке. Точки пересечения прямой с плоскостями проекции получили название следов прямой. Точка
пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций П2 называется
фронтальным следом, а с горизонтальной плоскостью проекций П1 - горизонтальным следом.
Следы прямой, заданной на чертеже отрезком АВ, можно найти исходя из
определения данного выше.
След - это одна из точек прямой, лежащая в плоскости проекции. Следовательно, одна из координат этой точки должна быть равна нулю (в соответствии с рисунком 2.1).
При определении положения фронтального следа N прямой необходимо
продлить горизонтальную проекцию А1В1 до пересечения с осью чертежа (рисунок 2.9). Эта точка пересечения N1 может быть принята за горизонтальную
проекцию искомого следа. Фронтальная проекция N2 следа найдется по соответствию на фронтальной проекции прямой А2В2 (см. рисунок 2.9). Очевидно,
что точка N лежит на прямой АВ (ее проекции лежат на соответствующих проекциях этой прямой).
Вместе с этим у нее координата Y равна нулю (горизонтальная проекция
N 1 лежит на оси чертежа). Следовательно, можно утверждать, что точка N- это
фронтальный след прямой.
Рисунок 2.9 - Следы прямой
Аналогично может быть построен и горизонтальный след М. Для этого
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
следует продлить фронтальную проекцию отрезка А2В2 до пересечения с осью
чертежа и принять точку пересечения за фронтальную проекцию искомого следа М2. Горизонтальная проекция следа М1 найдется по соответствию на горизонтальной проекции прямой А1В1.
2.4 Взаимное расположение прямых
Прямые могут быть классифицированы и по такому признаку, как взаимное расположение в пространстве.
Рисунок 2.10 - Пересекающиеся прямые
Рассмотрим вариант пересекающихся прямых, лежащих в произвольной
плоскости. По определению две прямые пересекаются, если имеют одну общую
точку.
На рисунке 2.10 изображен чертеж пересекающихся прямых АВ и CD.
Точка пересечения К одновременно принадлежит двум этим прямым.
Это является следствием того, что на комплексном чертеже соответствующие проекции этой точки одновременно принадлежат соответствующим
проекциям прямых (фронтальные проекции - фронтальным, а горизонтальные горизонтальным).
Частным случаем пересечения прямых являются параллельность. Параллельные прямые пересекаются в несобственной точке.
Характерной особенностью чертежа параллельных прямых является параллельность одноименных проекций. В соответствие с рисунком 2.11
А1В1С1D1, А2В2С2D2.
Прямые в пространстве, не имеющие общих точек, называются скрещивающимися (рисунок 2.12).
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Точки пересечения их горизонтальных (K1,L1) и фронтальных (M2,N2)
являются совпадающими проекциями различных точек. Такие точки, принадлежащие разным прямым, называют конкурирующими.
Конкурирующие точки используются для анализа видимости и глубины
сцены в системах машинной графики.
Рисунок 2.11 - Параллельные
прямые
Рисунок 2.12 - Скрещивающиеся
прямые
Контрольные вопросы к главе 2
1.Как образуется комплексный чертеж точки?
2.Приведите пример комплексного чертежа точки, лежащей в плоскости
проекций, на координатной оси.
3.Как на комплексном чертеже задается прямая линия?
4.Приведите классификацию прямых в зависимости от их положения в
пространстве относительно плоскостей проекций.
5.Что называется следами прямой? Как они строятся на эпюре?
6.Назовите варианты взаимного расположения прямых в пространстве.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3 Чертежи плоскости
Симплексом, моделирующим плоскость, являются три точки, не лежащие
на одной прямой, образующие треугольник. Для формирования этого объекта
достаточно к симплексу прямой (отрезку) добавить точку, не лежащую на этой
прямой. Таким образом, на чертеже плоскость может быть представлена проекциями трех точек (тремя парами соответственных точек). Эти точки могут объединиться в различные конфигурации: три отдельные точки, прямую и точку
(взятую вне этой прямой), две пересекающиеся или параллельные прямые (рисунок 3.1).
Рисунок 3.1 - Чертежи плоскости
До некоторой степени особняком стоит способ представления плоскости
на чертеже с помощью следов. Следами (Р1 и Р2) принято называть линии пересечения произвольной плоскости Р с плоскостями проекции П1 и П2 (рисунок
3.2). Линию Р1 называют горизонтальным следом плоскости, а Р2 - фронтальным следом плоскости.
Рисунок 3.2 - Плоскость (следы)
Задание плоскости следами - это частный случай представления плоскости тремя точками, когда одна точка А лежит на оси Ох, вторая B - в плоскости
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
проекции П1, а третья С - в плоскости проекции П2 (в соответствии с рисунком
3.3).
Следовательно, задание плоскости следами можно рассматривать как задание пересекающимися прямыми АС и АВ.
Фронтальный след Р2 в этом случае ничто иное, как фронтальная проекция А2С2 - одной прямой, а горизонтальный след Р1 - горизонтальная проекция
А1В1 - другой прямой, как показано на рисунке 3.3
Рисунок 3.3 - Следы плоскости
Все плоскости трехмерного Евклидова пространства (по аналогии с прямой) можно классифицировать по их расположению по отношению к плоскостям проекции.
Плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной плоскости
проекций (также, как и прямая), называется плоскостью общего положения
(рисунок 3.4)
Характерным для чертежей такой плоскости является то, что ее оба следа
являются линиями общего положения Р1 и Р2. При задании плоскости симплексом обе проекции треугольника А1В1С1 и А2В2С2 невырожденные.
Рисунок 3.4 - Плоскость общего положения.
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекции (также, как
и прямая), называется проецирующей плоскостью (рисунки 3.5, 3.6).
Рисунок 3.5 -Горизонтально-проецирующая плоскость
Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П1,
называется горизонтально - проецирующей плоскостью (рисунок 3.5). Горизонтальная проекция симплекса А1В1С1 у нее вырождается в прямую линию.
При задании следами фронтальный след занимает положение фронтально проецирующей прямой Р2 (перпендикулярен оси чертежа).
Рисунок 3.6 –Фронтально-проецирующая плоскость
Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П2, называется фронтально - проецирующей плоскостью (рисунок 3.6). Фронтальная проекция симплекса А2В2С2 у нее вырождается в прямую линию. При задании следами горизонтальный след занимает положение фронтально проецирующей прямой Р1 (перпендикулярен оси чертежа).
На чертеже, характерным признаком проецирующей плоскости является
вырождение симплекса в прямую линию (при задании плоскости симплексом)
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
или же перпендикулярность одного из следов оси чертежа (при задании следами).
Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекции (также, как и
прямая ), называется плоскостью уровня (рисунки 3.7, 3.8).
Рисунок 3.7 - Фронтальная плоскость уровня
Плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций П2, называется фронтальной плоскостью уровня (рисунок 3.7). Горизонтальная проекция симплекса А1В1С1 у нее вырождается в прямую линию, параллельную оси
чертежа, фронтальная проекция А2В2С2 представляется в неискаженном виде.
При задании следами горизонтальный след Р1 занимает положение параллельное оси чертежа. Фронтальный след Р2 в силу того, что Р || П2, становится несобственной прямой.
Рисунок 3.8 - Горизонтальная плоскость уровня
Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций П1, называется горизонтальной плоскостью уровня (рисунок 3.8). Фронтальная проекция симплекса А2В2С2 у нее вырождается в прямую линию, параллельную
оси чертежа, горизонтальная проекция А1В1С1 представляется в неискаженном
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
виде. При задании следами фронтальный след Р2 занимает положение параллельное оси чертежа. Горизонтальный след Р1 в силу того, что Р || П1, становится несобственной прямой.
Характерным признаком плоскости уровня (на чертеже) является вырождение симплекса в прямую линию, параллельную оси чертежа (при задании
плоскости симплексом) или же параллельность одного из следов оси чертежа
(при задании следами).
Вопрос о взаимном расположении плоскостей в пространстве решается
однозначно - плоскости пересекаются по прямой линии. В частном случае параллельные плоскости пересекаются по несобственной прямой.
Контрольные вопросы к главе 3
1.Как задается плоскость на чертеже?
2.Что такое след плоскости?
3.Докажите, что задание плоскости следами – частный случай задания
пересекающимися прямыми.
4. Приведите классификацию плоскостей в зависимости от их положения
в пространстве относительно плоскостей проекций.
5.Постройте проекции точки, лежащей в горизонтально-проецирующей
плоскости, во фронтально-проецирующей плоскости.
6.Постройте проекции отрезка, лежащего в горизонтальной плоскости
уровня, во фронтальной плоскости уровня.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4 Позиционные задачи
Задачи, связанные с определением взаимного расположения геометрических объектов в пространстве, традиционно называют позиционными.
Поскольку Начертательная геометрия изучает объекты расширенного
Евклидова пространства Е+n, то к изучению позиционных задач логично привлечь некоторые выводы линейной алгебры, которая также занимается изучени+
ем объектов Е n.
В линейной алгебре утверждается, что для всех объектов пространства
справедливо выражение (в соответствии с рисунком 4.1)
N = m1 + m2 - p,
где N — размерность рассматриваемого пространства,
m1 и m2 — размерность объектов этого пространства,
p — размерность пересечения этих объектов.
Очевидно, все позиционные задачи, с точки зрения линейной алгебры,
можно свести к определению вида и размерности пересечения.
Полагая, что рассматриваемое
пространство трехмерно, при вычислении размерности пересечения исходное
выражение примет вид
p = m1 + m2 - 3.
Заметим, что этот подход позволяет определить только и только размерность
объекта.
Рисунок 4.1 – Пересечение множеств
Рассмотрим вопрос о принадлежности точки прямой, точки и прямой плоскости. Особенность решения этих вопросов заключается в том, что прямая
и точка на чертеже задаются проекциями, а плоскость - соответствием трех пар
точек.
4.1 Принадлежность точки и прямой
Вопрос о принадлежности точки прямой решается на основе свойств
(особенностей) метода проецирования. Точка С лежит на прямой АВ, если ее
проекции, в соответствии с рисунком 4.2, лежат на одноименных проекциях
прямой С1А1В1, С2А2В2.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 4.2 - Принадлежность точки прямой
В геометрии принято считать, что прямая принадлежит плоскости, если
две ее точки (действительные или несобственные) принадлежат этой плоскости
(рисунки 4.3, 11.8)
В соответствии с рисунком 4.3 прямая АВ лежит в плоскости Р. Это обуславливается тем, что точка А лежит на следе Р2, а точка В - на следе Р1.
Рисунок 4.3 - Прямая в плоскости (см. также рисунок 11.8)
При условии, что одна из точек плоскости, через которые проходит прямая, лежит на следе и является несобственной (в соответствии с рисунками 4.4
и 4.5), прямая общего положения переходит в прямую частного положения (линию уровня).
В плоскости различают горизонтальную линию уровня h (рисунки 4.4,
11.9) и фронтальную линию уровня f (рисунки 4.5, 11.9).
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В силу специального расположения следов (Р1 и Р2) плоскости они (следы) являются линиями уровня. След Р1 является горизонталью, а Р2 – фронталью этой плоскости.
Фронтали и горизонтали плоскости получили название главных линий
плоскости.
Рисунок 4.4 - Горизонтальная линия уровня (см.также рисунки11.9, 11.10)
Рисунок 4.5 - Фронтальная линия уровня (см. также рисунки 11.9, 11.10)
Вопрос о принадлежности точки плоскости можно свести к предыдущей
задаче. Достаточно добиться того, чтобы точка лежала на одной из прямых
плоскости (рисунки 4.6, 11.8)
Точка С лежит на прямой АВ (ее проекции, в соответствии с рисунком
4.2, лежат на одноименных проекциях прямой С1 А1В1, С2 А2В2). Прямая
АВ Р, т.к. две ее точки принадлежат плоскости M Р, N Р. Последнее ут-
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
верждение очевидно вследствие того, что эти точки лежат на следах плоскости.
Следовательно, можно утверждать что С Р (рисунок 4.6).
Рисунок 4.6 - Точка в плоскости (см. также рисунок 11.8)
4.2 Пересечение плоскостей
В соответствии с формулой p=2+2-3=1 пересечение двух плоскостей
должно привести к появлению одномерного объекта, т.е. прямой линии. Для
построения линии пересечения двух плоскостей общего положения (P и Q)
достаточно найти две точки, одновременно принадлежащие этим плоскостям. В
случае задания плоскостей следами (в соответствие с рисунком 4.7) решение
очевидно.
Рисунок 4.7 - Пересечение плоскостей
Пересечение горизонтальных следов P1 и Q1 дает возможность определить положение одной общей точки М, а пересечение фронтальных следов P2 и
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Q2 - другой общей точки N. Линия NМ по определению лежит одновременно в
двух плоскостях и, следовательно, она является линией пересечения.
Если одна из плоскостей проецирующая (например, горизонтальнопроецирующая, в соответствии с рисунком 4.8, 4.12), то линия пересечения
(МN) может быть найдена из тех же самых соображений. Характерным здесь
является то, что одна из проекций линии пересечения попадает на след проецирующей плоскости. Если обе плоскости - проецирующие, то и линия их пересечения – проецирующая (рисунок 4.8).
Рисунок 4.8 – Пересечение плоскостей (см. также рисунок 11.16)
При пересечении плоскости общего положения плоскостью уровня в сечении получается соответствующая линия уровня (рисунок 4.9).
Рисунок 4.9 – Пересечение плоскостей (см. также рисунок 11.17)
Определение линии пересечения двух плоскостей для других случаев, например, при задании плоскостей треугольником (симплексом) и параллельными
прямыми, базируется на следующей идее. Три плоскости всегда пересекаются в
одной точке. Следовательно, введение дополнительной плоскости к двум, уже
имеющимся, позволит определить точку, одновременно принадлежащую заданным плоскостям. Проиллюстрируем это на рисунке 4.10.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Две плоскости, заданные параллельными и пересекающимися прямыми,
пересекаются по прямой ЕК, найденной с помощью секущих плоскостей уровня S и Т. Плоскость S пересекает (АВВС) по прямой 12, а плоскость (m//n) по
прямой 34. На пересечении прямых 12 и 34 отмечается точка К. Аналогично
строится точка Е, полученная с помощью секущей плоскости Т.
Рисунок 4.10 – Пересечение плоскостей общего положения
4.3 Пересечение прямой и плоскости
Пересечением прямой и плоскости в пространстве является точка, что
подтверждается и вычислением по формуле p=1+2-3=0.
Рисунок 4.11 - Пересечение прямой с плоскостью
Прямая L в пространстве (в соответствии с рисунком 4.11) может рассматриваться как результат пересечения проецирующих плоскостей Q и Р. При
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
этом проекции прямой нужно рассматривать как соответствующие следы этих
плоскостей Q и Р.
Восстановление одной из проецирующих плоскостей, например Q, в соответствии с рисунком 4.11 приведет к тому, что линия МN будет линией пересечения Q и Р. В силу этой особенности линия МN оказывается в одной плоскости с линией L. В пересечении этих прямых и будет лежать искомая точка К.
Ее (точки К) проекции лежат на проекциях линии L и, следовательно, она лежит
на этой линии. С другой стороны, эта точка лежит на линии МN, принадлежащей плоскости Р , следовательно, искомая точка пересечения - К.
Аналогичное решение этой задачи и в случае задания плоскости Р треугольником (симплексом). Восстановление одной из проецирующих плоскостей
(например, Q, в соответствии с рисунком 4.12) приведет к тому, что линия МN
будет линией пересечения Q и Р. В силу вышесказанного, в пересечении прямых МN и t будет лежать искомая точка К. Она одновременно принадлежит и
плоскости АВС и t и, следовательно, К - искомая точка пересечения.
Рисунок 4.12 - Точка встречи прямой с плоскостью
4.4 Параллельность
Частным случаем пересечения прямых и плоскостей является взаимная
параллельность. В трехмерном пространстве отсутствует полная параллельность. Понятие параллельности вводится с помощью признаков (условий).
При параллельности пересечением является несобственный элемент.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Признак параллельности прямых следует непосредственно из определения пересечения прямых (раздел 2.1). В соответствии с рисунком 4.13 одноименные проекции параллельных прямых попарно параллельны (параллельные
прямые пересекаются в несобственной точке).
Рисунок 4.13 - Параллельность прямых
Признаком параллельности плоскостей является то, что две пересекающиеся прямые одной плоскости должны быть параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рисунок 4.14).
Рисунок 4.14 - Параллельность плоскостей
Такими прямыми могут быть следы. В этом случае одноименные следы
должны быть параллельны между собой Q1//P1 , а Q2//P2.
В любом другом случае (в соответствии с рисунком 4.14) должна соблюдаться параллельность пересекающихся прямых, образующих плоскости,
t1//r1(t2//r2) и n1//m1(n2//m2).
Параллельность прямой и плоскости должны отвечать следующему условию: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых
этой плоскости. В соответствии с вышесказанным и рисунком 4.15 проекции
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пространственной прямой должны быть параллельны соответствующим проекциям прямой, лежащей в плоскости.
Рисунок 4.15 - Параллельность прямой и плоскости
Прямая n параллельна прямой m, лежащей в плоскости (mt). Прямая
АВ параллельна прямой МN, лежащей в плоскости Р, заданной следами.
Контрольные вопросы к главе 4
1.Какие задачи называются позиционными?
2.Назовите условия принадлежности точки – прямой, прямой – плоскости,
точки – плоскости.
3.Какие главные линии плоскости вы знаете?
4.Приведите примеры построения линии пересечения плоскостей, когда
обе плоскости общего положения, частного, общего и частного.
5.Как строится точка встречи прямой и плоскости?
6.Как по чертежу определить параллельность плоскостей, прямой и плоскости?
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5 Метрические задачи
Традиционно задачи, связанные с измерением длин, углов, площадей и
объемов относят к метрическим. В основе решения этих задач лежит определение длины отрезка и, как производной от этого, площади плоской фигуры.
5.1 Определение длины отрезка
Одним из наиболее распространенных методов (рисунок 5.1) является метод прямоугольного треугольника (так его называют в начертательной геометрии) или метод ортогональных дополнений (название, принятое в линейной алгебре).
Рисунок 5.1 - Определение длины отрезка прямой
Идея метода базируется на следующем. Истинная величина отрезка АВ
является гипотенузой прямоугольного треугольника, один из катетов которого,
является проекцией отрезка АВ на плоскость проекции (А1В1), а второй катет разница координат dZ (ВВ1 - АА1) концов отрезка для оси, отсутствующей в рассматриваемой плоскости проекции (ортогональное дополнение). Угол между
проекцией и гипотенузой этого треугольника () определяет наклон прямой к
соответствующей плоскости проекции.
На комплексном чертеже возможно решение как на плоскости П1, так и
на плоскости П2. При правильных построениях АОВ1= АОВ2 . Углы  и  углы наклона отрезка прямой АВ к плоскости П1 и П2 соответственно.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.2 Определение площади треугольника
Определение площади треугольника и величины плоского угла можно
свести к известной задаче построения треугольника по трем сторонам.
Для этого достаточно, используя рассмотренный выше способ прямоугольного треугольника, найти по порядку истинные величины сторон АВС (в
соответствии с рисунком 5.2), а затем на свободном месте построить треугольник по трем сторонам.
Рисунок 5.2 - Натуральная величина треугольника
Величина плоского угла между двумя любыми сторонами этой фигуры
может быть измерена на истинной величине треугольника.
5.3 Проецирование прямого угла
Решение многих задач Начертательной геометрии связано с необходимостью построения на чертеже взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей.
Базой для этого служит умение строить прямые углы на комплексном чертеже.
Рисунок 5.3 - Проецирование прямого угла
Известная в теории чертежа теорема (приведем ее без доказательства) утверждает, что прямой угол (в соответствии с рисунком 5.3) проецируется на
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
соответствующую плоскость проекций без искажения, если одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций, а вторая - ей не перпендикулярна.
5.4 Перпендикулярность прямых и плоскостей
Выше уже отмечалось, что в трехмерном Евклидовом пространстве отсутствует полная параллельность, то же самое можно сказать и о перпендикулярности. Понятие перпендикулярности так же, как и параллельности, вводится через определение.
5.4.1 Перпендикулярность прямой и плоскости
Считают, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся (любым) прямым этой плоскости.
При решении задачи возможны два варианта: проведение перпендикулярной
прямой к плоскости из внешней точки и из точки, лежащей в плоскости.
Рассмотрим возможность проведения перпендикуляра из точки К, лежащей в плоскости общего положения Р, заданной следами (рисунок 5.4).
Рисунок 5.4 - Перпендикулярность прямой и плоскости
В плоскости Р (через точку К) проводятся горизонталь h и фронталь f.
Прямые, перпендикулярные
соответствующим проекциям линий уровня
(t1h1, t2h2), в соответствии с теоремой о проецировании прямого угла и
данным выше определением, могут быть приняты за проекции прямой t  Р.
В том случае, когда точка К не лежит в плоскости Р, решение задачи
аналогично (рисунок 5.5).
Поскольку положение точки пересечения искомого перпендикуляра не
определено, решение соответствует следующей схеме:
а) в плоскости проводятся горизонталь h (через точку В) и фронталь f (через точку А), в случае задания плоскости следами за фронталь и горизонталь
принимаются соответствующие следы плоскости Р2 и Р1;
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 5.5 – Перпендикуляр к плоскости
б) из внешней точки К к соответствующим проекциям линий уровня
(следам) проводятся перпендикулярные прямые (t1h1, t2h2). Линия t принимается за перпендикуляр, опущенный из точки К к плоскости Р;
в) определяется точка S пересечения этого перпендикуляра t и плоскости.
5.4.2 Расстояние от точки до плоскости
Рисунок 5.6 – Расстояние от точки до плоскости
Задачу на определение расстояние от точки до плоскости (рисунок 5.6)
можно свести к решению уже известных задач на построение перпендикуляра к
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
плоскости (рисунок 5.5) и определения натуральной величины отрезка прямой
(рисунок 5.1)
5.4.3 Перпендикулярность плоскостей
Считают, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них
проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости.
Задача может ставиться, как проведение плоскости, перпендикулярной
заданной, проходящей через точку или прямую.
При проведении искомой плоскости через точку, как и в предыдущем
случае, возможны два варианта проведения плоскости перпендикулярной заданной: через точку, лежащую в плоскости и через точку вне ее (рисунок 5.7).
Точно такой же вариант возникает и при проведении перпендикулярной
плоскости через прямую (лежащую в исходной плоскости или не лежащую).
Рассмотрим вариант построения плоскости, проходящей через точку.
Пусть точка А лежит в плоскости Р. Линии (t1, t2), перпендикулярные соответствующим проекциям линий уровня (следам), определят перпендикуляр t к
плоскости Р.
Рисунок 5.7 - Перпендикулярность плоскостей
Проведение через точку А произвольной прямой s позволяет определить
плоскость Q, которая будет перпендикулярна плоскости Р.
Если точка А лежит вне плоскости Р, то решение аналогично. Проведение через точку А перпендикуляра t и произвольной прямой s определит плоскость Q, которая также, по определению, будет перпендикулярна плоскости Р.
Решение задачи на проведение плоскости через прямую аналогично решению задачи по проведению плоскости через точку. Достаточно вместо произвольной прямой s использовать заданную прямую АВ. И тогда, в соответствии
с рисунком 5.8, задача сведется к проведению перпендикуляра t к плоскости Р
(из точки, лежащей в плоскости или лежащей вне ее).
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 5.8 - Перпендикулярность плоскостей
Контрольные вопросы к главе 5
1.Что такое «метрические» задачи?
2.Какой существует метод для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения? В чем он заключается?
3.Назовите условие проецирования прямого угла.
4.Назовите условия перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве и на комплексном чертеже.
5.Перечислите основные этапы решения задачи на определение расстояния от точки до плоскости.
6.Назовите условия перпендикулярности плоскостей в пространстве и на
комплексном чертеже.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6 Преобразование чертежа
Даже беглый обзор предыдущих глав позволяет придти к выводу, что
многие задачи проще решаются, если геометрические объекты занимают частное положение по отношению к плоскостям проекций. Перевести объекты в такое положение можно преобразованием чертежа. Все рассматриваемые в курсе
Начертательной геометрии способы преобразования чертежа в конечном счете
сводятся к последовательной перемене плоскостей проекций. Именно это и определило рассмотрение способа «перемены плоскостей проекции» в этой главе.
6.1 Перемена плоскостей проекции
Способ перемены плоскостей проекций заключается в замене одной из
плоскостей проекций П1 или П2 новой плоскостью П’ при сохранении ортогональности плоскостей проекции (в соответствии с рисунком 6.1).
Изменение положения плоскостей проекции не приводит к изменению
формы и положения объектов в пространстве.
Рисунок 6.1 – Замена фронтальной плоскости проекций
Новая система выбирается так, чтобы получить расположение геометрических объектов наиболее удобное для решения поставленной задачи.
На комплексном чертеже сохраняется перпендикулярность линии связи
новой (выбранной при перемене плоскостей проекции) оси чертежа. Сохраняется и расстояние от объекта до оси чертежа на заменяемой плоскости
(АхА2=А’хА’2).
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В частном случае, когда вновь вводимая плоскость перпендикулярна одновременно плоскостям П1 и П2, получается чертеж, который традиционно интерпретируют как комплексный чертеж с проецированием на три плоскости
проекций (рисунок 6.2).
Рисунок 6.2 – Проецирование на три плоскости проекций
Вновь вводимую, в соответствии с рисунком 6.2, плоскость П3 называют
профильной, проекцию А3 - профильной проекцией точки. Такой чертеж, в силу того, что он является комбинацией двух комплексных чертежей П1П2 и
П3П2, имеет две ”самостоятельные оси” чертежа, соответственно Ох и Оz.
6.2 Преобразование прямой
Отрезок прямой общего положения может быть преобразован в положение прямой уровня и проецирующей прямой.
Преобразование к положению линии уровня можно свести к одной перемене плоскостей проекций. Одно из возможных решений - замена плоскости П1
на П’1, перпендикулярную к плоскости П2. Новая ось чертежа Х1 располагается
параллельно проекции А2В2 (рисунок 6.3). Расстояние до новой оси чертежа Х1
от А2В2. берется произвольно. Новые линии связи перпендикулярны Х1. Сохраняются расстояния AX’А1’=AXA1 и ВX’В1’=ВXВ1. В новой системе линия АВ
занимает положение линии уровня.
Аналогично задача может быть решена и заменой плоскости П2 на П’2
(рисунок 6.4).
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 6.3 – Преобразование
прямой общего положения в горизонтальную линию уровня
Рисунок 6.4 - Преобразование
прямой общего положения во фронтальную линию уровня
Проецирующие прямые в геометрии, иначе, называют еще линиями дважды
уровня. Именно это и определяет последовательность получения положения проецирующей прямой.
На первом этапе решения задачи прямая АВ переводится в положение линии уровня (смотри предыдущую задачу).
На втором этапе линия уровня
переводится в положение проецирующей прямой. Плоскость П2 заменяется на П’2, перпендикулярную
к плоскости П’1. Ось чертежа Х2
располагается
перпендикулярно
А’1В’1 (рисунок 6.5). Расстояние до
новой оси чертежа Х2 от А’1В’1. берется произвольно.
Рисунок 6.5 - Преобразование прямой общего положения во фронтальнопроецирующую прямую
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.3 Преобразование плоскости
Отсек плоскости общего положения может быть преобразован в положение либо плоскости уровня, либо проецирующей плоскости.
Проецирующая плоскость характеризуется тем, что несет на себе семейство проецирующих линий. В силу параллельности этих прямых достаточно одну из них перевести в положение проецирующей прямой, что автоматически поставит плоскость в положение проецирующей.
На первом этапе решения в плоскости выделяется
прямая,
например
фронталь f (в соответствии с
рисунком 6.6). Затем плоскость П1 заменяется на
плоскость на П’1, перпендикулярную П2.
Рисунок 6.6 - Преобразование плоскости общего положения в горизонтально-проецирующую плоскость
В новой системе проецирующих плоскостей П2П’1 отсек
плоскости АВС занимает положение проецирующей плоскости.
Плоскости уровня, с точки
зрения аналитической геометрии,
называют еще дважды проецирующими плоскостями.
Преобразование отсека плоскости общего положения к положению плоскости уровня выполняется в два этапа. На первом этапе
плоскость переводится в положение проецирующей. На втором этапе (в соответствии с рисунком 6.7)
плоскость переводится в положение плоскости уровня заменой
плоскости П2 на плоскость на П’2,
перпендикулярную П’1.
Рисунок 6.7 – Истинная величина треугольника (см. также рисунок 11.22)
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В новой системе проецирующих плоскостей П’1П’2 отсек плоскости
АВС занимает положение плоскости уровня. Преобразование отрезков прямых и отсеков плоскостей к положению уровня позволяет эффективно решать
задачи по нахождению длин отрезков и площадей фигур. Истинная величина
объекта, лежащего в плоскости, если плоскость задана следами, может быть
определена и вращением этой плоскости вокруг одного из следов.
6.4 Вращение вокруг следа плоскости
Способ совмещения - частный случай способа вращения, когда плоскость
вращается вокруг одного из ее следов до полного совпадения (совмещения) с
плоскостью проекций, в которой лежит этот след.
Отрезки линий и фигуры, лежащие в плоскости, изобразятся на соответствующей плоскости проекций без искажения.
Плоскость общего положения Р может быть совмещена с главной картинной плоскостью П путем вращения около одного из своих следов.
Основой для построения нового изображения служат следующие предпосылки: все точки плоскости перемещаются по окружностям, перпендикулярным
оси вращения (соответствующему следу), длины отрезков, лежащих на перемещаемом следе, не изменяются после совмещения плоскостей Р и П1.
Новое положение вращаемого следа определится из условия того, что сохраняется точка пересечения следов Рх и след проходит через фиксированную
точку N (в соответствии с рисунком 6.8 ).
Рисунок 6.8 - Наглядное изображение вращения плоскости вокруг
горизонтального следа
Рисунок 6.9 – Совмещение
плоскости с горизонтальной плоскостью проекций
Совмещенное положение точки N2’ определяется из условия сохранения
величин отрезков на вращаемом следе РхN= РхN2’. Применительно к ком47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
плексному чертежу (рисунок 6.9) при вращении плоскости общего положения Р
вокруг горизонтального следа Р1 все это выглядит следующим образом.
На фронтальном следе P2 фиксируется произвольная точка N. Ее горизонтальная проекция N1 при вращении плоскости не изменит своего положения.
Полагая, что ось преобразованного чертежа совпадет со следом Р1 новая
фронтальная проекция этой точки N’2 найдется на линии связи перпендикулярной Р1. При этом выполняется условие РхN2= РхN’2.
6.5 Применение преобразования плоскости
О задачах, связанных с определением взаимного расположения геометрических объектов относительно друг друга, измерением длины отрезка и величины плоской фигуры, говорилось выше, в процессе рассмотрения аппарата преобразования чертежа. Рассмотрим еще несколько других задач.
6.5.1 Расстояние от точки до плоскости
Задача комплексная и предусматривает следующее: проведение из внешней точки к плоскости перпендикулярной прямой, фиксирование точки пересечения этого перпендикуляра с плоскостью и затем определение его длины. Использование перемены плоскостей проекции позволяет упростить процесс решения (рисунок 6.10 ).
Рисунок 6.10 – Расстояние от точки D до плоскости АВС
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проведение фронтали f и введение новой оси чертежа Х1 f 2 позволяет
преобразовать плоскость АВС в положение проецирующей (смотри рисунок
6.6). В новой системе плоскостей проекции П2П’1 расстояние от точки D до
плоскости АВС определится длиной отрезка D’1S’1.
6.5.2 Пересечение прямой и плоскости
Аналогичным же образом решается здесь и вопрос о пересечении прямой
общего положения АВ и плоскости Р.
Для определенности
положим, что плоскость Р
- общего положения (рисунок 6.11).
Фиксирование
на
фронтальном следе Р2
произвольной точки N и
введение новой оси чертежа Х1, перпендикулярной
следу Р1, позволяет построить новое положение
следа Р’2, заменив плоскость проекции П2 на П’2.
Плоскость Р становится
проецирующей.
Рисунок 6.11 – Пересечение прямой АВ и плоскости Р
Пересечение следа Р’2 с проекцией А’2В’2 позволяют получить проекцию
S’2 - точки пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Проекции точки пересечения S1 и S2 найдутся соответственно по принадлежности этой точки прямой
АВ.
Контрольные вопросы к главе 6
1. Назовите основные методы преобразования чертежа. Для чего они
применяются?
2.В чем сущность метода перемены плоскостей проекций?
3.Что меняется, а что остается неизменным при перемене плоскостей
проекций?
4.Как из прямой общего положения сделать проецирующую прямую?
5.Как из плоскости общего положения сделать плоскость уровня?
6.В чем заключается метод совмещения?
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7 Кривые линии
Проектирование обводов сложных технических форм напрямую связано с
вопросом конструирования кривых по наперед заданным условиям. Последнее
в большой степени обусловлено способом задания и формирования кривых.
Принято рассматривать кривые по отношению их к трехмерному пространству. Если кривые полностью принадлежат гиперпространству (дву+
мерной плоскости) расширенного Евклидова пространства Е 3 ,то такие кривые называет плоскими. Все остальные относят к пространственным кривым.
В общем случае кривые рассматриваются как результат пересечения поверхностей. В этом смысле плоские кривые являются результатом пересечения
поверхности с плоскостью.
Все кривые на чертеже задаются проекциями, которые являются плоскими кривыми, поэтому большая честь раздела и посвящена конструированию
плоских кривых.
В практической работе проектировщику приходится иметь дело с двумя
большими классами кривых, представляющих дуги простых кривых (графиков
функций) и составных (сложных). Составные кривые, получившие в технике
название обводов, конструируются из ряда дуг простых с соблюдением заданных условий на стыках.
7.1 Дифференциальные характеристики кривой
Форма и характер поведения плоской кривой в окрестности любой точки
определяется ее дифференциальными характеристиками.

Рисунок 7.1 – Характеристики кривой линии F(x,y)=0
К основным характеристикам плоской кривой относят касательную t,
нормаль n и кривизну  (рисунок 7.1).
Касательная (в точке P) — предельное положение секущей 12 при бесконечном приближении точек 1 и 2 к точке P(xр,yр).
Уравнение касательной имеет вид:
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y = yр + f'(xр)(x-xр) ,
где f'(xр) — первая производная в точке x = xр.
Нормаль — линия, перпендикулярная касательной в фиксированной точке кривой.
Кривизна — величина, обратная значению радиуса круга кривизны кривой =1/R в фиксированной точке Р, определится уравнением:
 = y"/ (1+y'2)3/2
где штрихи означают дифференцирование по x .
Круг кривизны — предельное положение соприкасающейся окружности
1P2 при бесконечном приближении точек 1 и 2 к точке P(xр,yр).
Приведенные уравнения показывают, что касательная и кривизна не являются полными аналогами первой и второй производной (такая аналогия принята в вычислительной математике), хотя и связаны с ними.
7.2 Особые точки кривых
”Поведение кривой” можно оценить и по типу точек, которые она несет
на себе (рисунок 7.2).
Рисунок 7.2 — Точки кривой
Точка кривой, в которой определена единственная касательная, называется обыкновенной (регулярной). Если в обыкновенной точке (A, B, C, D)
кривизна достигает экстремального значения (например, ноль), то такая точка
называется специальной. К специальным точкам относятся точки перегиба M,
точки экстремума (вершины кривой B, D) и несобственные точки S и Q (рисунок 7.2). В точке перегиба ветви кривой расположены по разные стороны от
касательной, кривизна в ней равна нулю (радиус кривизны стремится к бесконечности). Несобственная точка — это точка пересечения кривой с несобственной прямой плоскости. Такие точки на чертеже задаются асимптотами.
Точка кривой, в которой не определено положение касательной, получила название особой. К таким точкам относят (рисунок 7.3) узловые точки
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А, точки возврата C и D , излома K , прекращения L, точки изолированные B,
асимптотические М и точки самоприкосновения E.
Рисунок 7.3 - Особые точки кривых
При проектировании технических форм следует избегать работы с дугами, несущими на себе особые точки.
7.3 Алгебраические кривые
Кривые могут быть классифицированы по виду их уравнения. Кривые,
определяемые уравнениями в виде полиномов типа:
 A i j X i Y j =0 (i,j=0,...,n)
или отношения полиномов, получили название алгебраических. Все прочие
кривые называют трансцендентными.
Для алгебраических кривых существует специальная характеристика порядок кривой. Она совпадает по значению с максимальной степенью полинома. Геометрически порядок определяется числом точек пересечения алгебраической кривой с произвольной прямой линией. Эти точки могут быть: действительными (А и В), или мнимыми (D) (в соответствии с рисунком 7.4). Еще одна существенная характеристика - жанр (род) кривой.
Рисунок 7.4 – Точки пересечения кривой линии с прямой
Жанр (род) кривой определяется как разность между возможными для
данного порядка и существующими количествами двойных (совпавших) точек.
Кривые нулевого жанра называют рациональными. Эти кривые нашли широкое
применение для описания гидро - и аэродинамических профилей.
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.4 Конические сечения
Кривые, получающиеся при пересечении прямого кругового конуса плоскостью, называются кониками или коническими сечениями (рисунок 7.5).
Рисунок 7.5 - Коники
Если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения, то в сечении (в
общем случае) получается окружность. При прохождении такой плоскости через вершину конуса окружность вырождается в точку.
Плоскость, пересекающая конус одновременно по всем образующим, позволяет получить эллипс.
Плоскость, параллельная образующей, отсекает параболу. В частном случае, когда секущая плоскость касается образующей, парабола вырождается в
две совпавшие прямые.
Плоскость, параллельная оси вращения, отсекает гиперболу. В частном
случае, при прохождении плоскости через саму ось, получаются две пересекающиеся прямые.
Наиболее употребительные графические способы построения дуг кривых
второго порядка основаны на методах проективной геометрии. В соответствии
с рисунком 7.6 дуга кривой второго порядка может быть определена тремя точками и касательными в двух точках. Например, точки А, В, С и касательные tА
и t В.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 7.6 – Построение коник
Порядок построения точек дуги коники следующий: строится треугольник АТВ, где tАtВ, а затем внутри этого треугольника - точки Mi кривой второго порядка.
Для построения текущей точки дуги объединяются точки А, В и C. Проводится произвольная прямая l, которая в пересечении с прямой ВC определит
положение точки N. Точки N и Т (пересечение касательных) соединяются прямой. Пересечение прямых NТ и АC позволяет получить точку Р. Положение
текущей точки дуги коники Mi найдется в пересечении прямых ВР и АN.
Меняя положение точки N, можно получить множество точек дуги кривой второго порядка.
Изменение положения точки С приведет получению другой формы коники. Такая возможность управления формой кривой широко используется в
инженерной практике, для чего введено понятие инженерного дискриминанта.
В этом случае точка С задается на медиане DT АТВ. Инженерный дискриминант f определяется из отношения f = CD/TD. Он характеризует тип коники:
при f<0.5 — это дуга эллипса, при f=0.5 — дуга параболы, при f>0.5 — дуга
гиперболы.
В отдельных случаях, если
известен тип коники, построение
кривой может быть значительно
упрощено.
Например, парабола
может быть построена, как пропорциональная кривая (рисунок
7.7).
Исходная информация для
построения дуги параболы: граничные точки А, В и точка пересечения касательных Т.
Рисунок 7.7 - Парабола
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отрезки АТ и ВТ делятся точками 1 и 2 пополам. Прямая 12 также делится пополам. Точка М — точка параболы.
Затем процесс повторяется (в обе стороны): граничные точки А, М и точка пересечения касательных 1 и т.д.
Эллипс удобнее стоить по его
полуосям (большой ОВ и малой ОА).
Для построения эллипса проводятся две соосные окружности радиусами ОВ и ОА (рисунок 7.8). Проведение произвольной прямой ОС и
дальнейшее построение ”ключа” (треугольника СDМ со сторонами параллельными осям эллипса) позволяет
определить положение текущей точки
эллипса М.
Рисунок 7.8 - Эллипс
7.5 Плоские обводы
Решение практических задач по формированию сложных технических
контуров наталкивается на такую проблему, как невозможность представления
всего контура единственной кривой. Это и породило необходимость конструирования составных кривых (кривых, сформированных из дуг простых).
В технике такие кривые получили название обводов, в математике они
более известны как сплайны (spline). Основной характеристикой обвода является гладкость. Под гладкостью понимают число совпавших производных
(уравнений стыкующихся кривых) в точках стыка.
Наиболее простой вариант построения составной кривой - из дуг окружностей.
Окружности могут сопрягаться таким образом, что в точках стыка будут располагаться общие касательные. Такой стык соответствует первому порядку гладкости (совпадают только первые производные).
Для построения этого обвода используется идея радиусо - графического
сопряжения дуг окружностей. Исходной информацией является точечный ряд
(1,2,3,...,n) и касательная на одном из концов этого ряда (например, ti).
Вследствие того, что окружность трехпараметрическая кривая, для её построения кроме точки i нужно определить еще одну, например (i+1) или
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(i-1). Не нарушая общности рассуждений, рассмотрим вариант с (i+1)-ой
точкой (рисунок 7.9).
Рисунок 7.9 – Дуга окружности
с заданными параметрами
Рисунок 7.10 - Обвод первого
порядка гладкости
Графическое решение выглядит следующим образом: через точку i проводится нормаль n . Конечные точки i и (i+1) соединяются хордой. В средней точке хорды строится перпендикуляр h . Пересечение нормали n и перпендикуляра h и определит положение центра искомой окружности. Радиус окружности совпадает с отрезками [o-i] и [o-(i+1)]. Касательная к построенной окружности будет перпендикулярна радиусу, проведенному в (i+1)-ю точку.
Центры соприкасающихся окружностей лежат на одной прямой, проходящей через точку касания. Таким образом, определение центра окружности
сопрягающейся с i-той найдется на пересечении линии Оi(i+1) с перпендикуляром к середине хорды (i+1)(i+2) (рисунок 7.10).
7.7 Пространственные кривые
В отличие от плоских кривых, пространственные кривые (линии двоякой
кривизны) не лежат всеми своими точками в одной плоскости.
Общие свойства пространственной кривой, ее проекции связаны со свойствами проецирования и справедливы для проекций плоских кривых:
а) несобственная точка кривой проецируется в несобственную точку ее
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
проекции;
б) касательная к кривой проецируется в касательную к ее проекции;
в) порядок проекции алгебраической кривой равен порядку самой кривой.
В частных случаях проекция может распадаться и иметь меньший, чем у
кривой, порядок. Например, кривая второго порядка, лежащая в проецирующей
плоскости, проецируется в «двойную» прямую.
Исследование свойств кривой в окрестности ее точки, так называемых дифференциальных (локальных) свойств, производится путем построения проекций
кривой на гранях сопровождающего трехгранника (рисунок 7.11).
Сопровождающий
трехгранник
(трехгранник Френе) состоит из
трех ребер — касательной t, нормали n и бинормали b и из трех
граней — соприкасающейся ,
нормальной Г, спрямляющей 
плоскостей.
Рисунок 7.11 – Оснащение пространственной кривой
Рассмотрим наиболее часто встречающуюся на практике пространственную кривую — цилиндрическую винтовую линию (рисунок 7.12.)
Цилиндрическая винтовая линия представляет собой траекторию точки,
совершающей равномерное движение вдоль некоторой прямой, которая в свою
очередь равномерно вращается вокруг параллельной ей оси.
Расстояние h, на которое точка М перемещается вдоль образующей за
один ее оборот, называется шагом винтовой линии. Описываемая при этом точкой М дуга называется витком.
Число р = h/2 называется параметром винтовой линии и определяет
перемещение z точки М вдоль прямой m за время поворота последней на угол
, равный одному радиану.
Радиус r цилиндрической поверхности, описываемой прямой m вращением вокруг оси i параллельной m, называется радиусом винтовой линии, а ось i
— осью винтовой линии.
Очевидно, что винтовая линия однозначно определяется своей осью i,
шагом h и радиусом r. Поэтому для построения проекций винтовой линии l1 и
l2 на чертеже задается цилиндрическая поверхность вращения с осью i, радиусом r. На оси i откладывается отрезок, равный шагу h.
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


Рисунок 7.12 – Цилиндрическая винтовая линия
Вырожденная проекция цилиндрической поверхности есть горизонтальная проекция l1 данной винтовой линии. Для построения фронтальной проекций линии l2 окружность делится на равное число частей (в соответствии с рисунком 7.12). Фронтальные проекции точек винтовой линии находятся как
точки пересечения одноименных горизонтальных и вертикальных прямых,
проведенных через точки деления.
Винтовая линия может быть правой или левой в зависимости от направ58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ления закручивания. Угол  между касательной к винтовой линии и плоскостью Гi, постоянен для любой ее точки и называется углом подъема винтовой
линии.
Нетрудно показать, что на поверхности цилиндра некоторая кратчайшая
линия, соединяющая две точки поверхности, будет винтовой линией.
В технике также встречаются винтовые линии, принадлежащие коническим поверхностям и некоторым поверхностям вращения.
Контрольные вопросы к главе 7
1.Приведите классификацию кривых линий по отношению к трехмерному
пространству, степени сложности.
2.Назовите основные характеристики плоских кривых линий, особые точки.
3.Что такое «алгебраические» кривые?
5.Дайте определение порядка и жанра кривой.
6.Назовите все виды «коник».
7.Как графически можно построить кривую, заданную тремя точками и
двумя касательными в двух точках?
8.Что такое инженерный дискриминант? Для чего он применяется?
9.Что такое плоский обвод первого порядка гладкости?
10.В чем сущность радиусо-графического сопряжения дуг окружностей?
11.Назовите основные характеристики пространственных кривых.
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8 Поверхности
Поверхности в геометрии рассматриваются либо как двумерные множества точек, либо как одномерные множества линий. Второе определение наиболее
соответствует конструированию поверхностей с использованием кинематического метода.
Этот подход (в соответствии с рисунком 8.1) предполагает формирование
поверхности в результате перемещения одной кривой U (образующей) по другой кривой V (направляющей).
В общем случае понятия направляющей и образующей чисто условные.
Перемещение кривой V по кривой U сформирует ту же самую поверхность.
Наложение условий на форму
кривых и условия перемещения позволяет
формировать практически
любые поверхности.
Рисунок 8.1- Образование поверхности
Традиционно рассматривают поверхности простые, описываемые единым
уравнением, и составные, состоящие из отсеков простых.
Изучение многообразия поверхностей, образуемых кинематическим способом, требует их систематизации. Это особенно важно в автоматизированном
проектировании при создании информационных систем или так называемых
банков данных.
Очевидно, что невозможно разработать единую, приемлемую для всех,
систематизацию (классификацию) поверхностей. Сложность состоит в том, что
трудно выделить единый признак классификации. Например, вполне естественно в основу систематизации положить вид образующей и закон ее перемещения.
По виду образующей различают линейчатые (образующая — прямая),
циклические (образующая — окружность) и другие поверхности.
Возможна классификация и по закону перемещения образующей — поверхности вращения, параллельного переноса, винтовые и т.д. Очевидно, что
при этом некоторые поверхности могут быть отнесены одновременно к различным классам. Например, цилиндрическая поверхность вращения является линейчатой и поверхностью вращения.
Все это и определило отказ от традиционного рассмотрения в пособии
различного рода классификаций поверхностей.
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8.1 Задание поверхности на чертеже
Для изображения поверхности на чертеже необходимо выяснить проекции каких элементов поверхности необходимо задать для того, чтобы получить
обратимый чертеж.
Поверхность считается заданной, если относительно любой точки (на чертеже), можно дать однозначный ответ на вопрос: «Принадлежит ли эта точка
рассматриваемой поверхности?». Другими словами, если по одной проекции
точки, принадлежащей поверхности, можно построить ее вторую проекцию.
Поверхности на чертеже моделируются соответствиями, также как и
плоскость, которая моделируется взаимнооднозначным соответствием — родством (раздел 3).
Возможны два способа задания таких соответствий: аналитический и графический.
При аналитическом задании, в общем случае, поверхность может быть
определена уравнением в неявном виде F(x,y,z) = 0, в явном виде z =f(x,y),
или параметрической форме x = X(u,v), y= Y(u,v), z = Z(u,v). Параметры u
и v получили название криволинейных координат (рисунок 8.1).
Графическое задание также
предусматривает несколько вариантов. Один из них непосредственно
вытекает из аналитического способа.
Табулирование уравнений, задающих поверхность, позволяет получить либо двухпараметрическое
множество точек, либо два однопараметрических семейства линий. Эти
семейства определяют, так называемый каркас поверхности (точечный
или линейчатый). Изображение этих
каркасов на чертеже позволяет говорить о каркасном задании поверхности (рисунок 8.2).
Рисунок 8.2 – Линейчатый каркас
Еще один, самый распространенный, графический способ — задание поверхности (отсека) очерками.
При проецировании произвольной поверхности на плоскость проекций
некоторые из проецирующих прямых будут касаться этой поверхности и образовывать некоторую проецирующую (цилиндрическую для параллельного про61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ецирования поверхность .
Линия касания этих поверхностей называется контурной линией, а ее
проекция на соответствующую плоскость - очерком.
В соответствии с рисунком 8.3 поверхность прямого кругового конуса на
комплексном чертеже задана своими очерками (горизонтальным очерком 1 и,
соответственно, фронтальным 2). Очерки дают более наглядное представление об изображаемом объекте.
Рисунок 8.3 – Прямой круговой конус
Рисунок 8.4 - Сфера
Пользуются при задании кинематических поверхностей и понятием определителя. Под определителем кинематической поверхности понимают совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту поверхность.
Условиями могут быть: задание образующей поверхности, закон ее изменения
(в случае переменной образующей), закон движения образующей и др. Некоторые из них могут быть выражены графически. Например, сфера Ф может быть
представлена как поверхность вращения: Ф[i,l] (рисунок 8.4).
Условиями, включенными в определитель поверхности и определяющими
ее форму, могут быть также параметры формы.
Одна и та же поверхность может быть образована несколькими способами. Поэтому она может иметь разные определители.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Все рассмотренные способы задания поверхности связаны между собой и
при решении многих задач приходится переходить от одного способа задания к
другому.
8.2 Точка и линия на поверхности
Обобщение определений на принадлежность точки и линии плоскости
позволяет утверждать следующее:
точка лежит на поверхности, если она лежит на линии, лежащей на
поверхности;
линия лежит на поверхности в том случае, если все ее точки лежат на
поверхности.
Рисунок 8.5 - Точка на конусе
Рисунок 8.6 – Винтовая коническая линия
В соответствии с рисунком 8.5 и данным выше определением точка А
лежит на поверхности конуса, заданного очерками Ф2 и Ф2. Точка А лежит на
окружности l, полученной пересечением конической поверхности с горизонтальной плоскостью уровня . Здесь одной фронтальной проекции точки А2 соответствуют две горизонтальные А1 и А’1.
Рисунок 8.6 иллюстрирует винтовую линию l на поверхности конуса Ф,
построенную по точкам.
При построении точек, лежащих на поверхностях, выбираются такие ли63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нии, лежащие на них, которые легко могут быть построены (прямые, окружности).
8.3 Конструирование поверхностей
Как уже отмечалось выше, поверхности должны отвечать определенной
совокупности независимых условий (виду образующей, закону ее изменения и
движения и т.д.). Все это и определяет подход к выполнению чертежей поверхностей.
8.3.1 Конструирование поверхностей вращения
Поверхности вращения - одни из самых распространенных, что обусловлено простотой изображения на чертеже и воспроизведения в материале.
Поверхность вращения - это поверхность, образованная вращением линии
(образующей) l вокруг прямой, называемой осью поверхности i (в соответствии с рисунком 8.7).
Рисунок 8.7 - Поверхность вращения
Обычно при изображении поверхности на чертеже ось вращения выбирается перпендикулярной одной из плоскостей проекции. Окружности, по которым перемещаются все точки образующей l, называют параллелями поверхности.
Кривые, полученные в сечении поверхности плоскостями, проходящими
через ось вращения, называются меридианами. Меридиан лежащий в плоскости параллельной плоскости проекции называется главным меридианом.
Параллели и меридианы поверхности вращения образуют ее непрерывный каркас, так что через любую точку поверхности проходят единственные
параллель и меридиан.
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Параллель с минимальным радиусом называется горловиной или горлом,
а с максимальным радиусом - экватором.
Некоторые поверхности вращения традиционно носят свои собственные
названия.
Поверхности, образованные вращением прямой линии, параллельной оси
вращения, называют прямыми круговыми цилиндрами (рисунок 8.8).
Рисунок 8.8 - Прямой круговой цилиндр, конус вращения, параболоид
вращения
Поверхности, образованные вращением прямой линии пересекающей ось
вращения в точке S (вершине конуса), называют конусами вращения (рисунок
8.8).
Рисунок 8.9 – Сфера и тор
Другие поверхности вращения, если образующая имеет собственное название, называют по ее имени при условии, что ось вращения совпадает с осью
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
симметрии кривой. Например, параболоид вращения (рисунок 8.8).
Особняком здесь стоит окружность. Если ось вращения совпадает с осью
симметрии окружности, то такую поверхность называют сферой, если же
нет, то - тором (рисунок 8.9).
8.3.2 Конструирование поверхностей плоскопараллельного переноса
Еще один тип поверхностей, часто используемых в практике, - это поверхности плоскопараллельного переноса. В некоторых векторных графических
пакетах (AutoCAD, CorelDraw и др.) эти поверхности называют поверхностями
сдвига, что не совсем верно.
Поверхность ”заметается” плоской образующей l, которая перемещается в пространстве по плоской направляющей m, оставаясь параллельной самой себе
(рисунок 8.10).
Рисунок 8.10 - Поверхность плоскопараллельного переноса
По этой схеме могут быть получены такие поверхности, как цилиндр общего вида (рисунок 8.10), плоскость (образующая и направляющая прямые линии), параболический параболоид (рисунок 8.11) и другие.
Рисунок 8.11 – Плоскость и параболический параболоид
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8.3.3 Конструирование линейчатых поверхностей
Линейчатые поверхности образуются при движении прямой линии (образующей) по заданному закону. Закон движения обычно задается направляющими. В качестве направляющих обычно рассматривают линии. Хотя направляющими могут быть и поверхности (образующая перемещается, касаясь этой
поверхности), и другие геометрические элементы.
Например, коническая поверхность образуется при движении прямолинейной образующей, проходящей через фиксированную точку (вершину) и пересекающей направляющую кривую. Коническая поверхность с несобственной
вершиной называют цилиндрической поверхностью.
Из определения линейчатой поверхности следует, что ее образующая в
каждый момент времени должна занимать строго определенное положение. Такое возможно только при наличии трех направляющих. Поэтому линейчатые
поверхности называются еще поверхностями с тремя направляющими.
Действительно, взяв на направляющей a произвольную точку А, мы можем
провести через нее, по крайней мере, одну образующую l, пересекающую другие две направляющие b, с. Точка
А и направляющая b определяют
коническую поверхность  (рисунок 8.12), которую направляющая
с пересекает в нескольких точках
Сi. Очевидно, что прямые AСi, пересекают направляющую b. Таким
образом, при перемещении точки
А по кривой а прямые AСi опишут
линейчатую поверхность.
Рисунок 8.12
Эти направляющие - а, b, с - и входят в определитель линейчатой поверхности с тремя направляющими, что символически записывается так: Ф(а, b,с).
Среди линейчатых поверхностей выделяют поверхности с плоскостью параллелизма. Их также называют поверхностями Каталана. Образующие l этих
поверхностей пересекают направляющие кривые а, b и параллельны плоскости
параллелизма Г — собственному представителю несобственной направляющей
прямой с.
В зависимости от вида направляющих а, b поверхность с плоскостью параллелизма называется цилиндроидом, коноидом или косой плоскостью.
Цилиндроидом называется линейчатая поверхность с плоскостью па67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
раллелизма, у которой направляющие — кривые линии.
Каркас образующих цилиндроида на комплексном чертеже строится
весьма просто, если в качестве плоскости параллелизма принята одна из плоскостей проекций или проецирующая плоскость. На рисунке 8.13 построен каркас образующих цилиндроида с направляющими а, b и параллельными плоскости параллелизма П1 . Образующие являются горизонталями.
Рисунок 8.13 - Цилиндроид
Рисунок 8.14 - Коноид
Коноидом называется линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма, имеющая одну криволинейную и вторую прямолинейную направляющие.
На чертеже коноид задается аналогично цилиндроиду. Построение каркаса образующих не отличается от цилиндроида.
На рисунке 8.14 приведен чертеж коноида, получившего в инженерной
практике название «прямой клин». Направляющими коноида являются эллипс а
и прямая b, плоскость параллелизма zOy. Эта поверхность несет на себе каркас
эллипсов в плоскостях параллельных П1.
Косой плоскостью называется линейчатая поверхность с плоскостью
параллелизма и прямолинейными направляющими (рисунок 8.15).
Она больше известна под названием гиперболического параболоида, так
как несет на себе каркас не только прямых, но и гипербол и парабол. Из аналитической геометрии известно, что гиперболический параболоид содержит два
семейства прямолинейных образующих, параллельных двум плоскостям параллелизма.
Линейчатая поверхность, образованная множеством касательных к
пространственной кривой, получила называние торсовой или поверхностью с
ребром возврата (рисунок 8.15). Направляющая кривая t поверхности называ68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ется ребром возврата. Примером торсовой поверхности может служить хорошо
известная коническая поверхность, у которой ребро возврата выродилось в точку (вершину конуса).
Рисунок 8.15 – Косая плоскость и поверхность с ребром возврата
8.3.4 Многогранники
Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Поверхность, ограничивающая многогранник, — составная. Элементами этой поверхности являются вершины, ребра и грани; совокупность всех
ребер многогранника называют его сеткой. Многогранник называется выпуклым, если весь он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда
грани его — тоже выпуклые многоугольники.
Построение ограничивающей поверхности многогранника сводится к построению проекций ее сетки.
Среди всего многообразия многогранников наибольший практический
интерес представляют призмы, пирамиды, а также правильные выпуклые многогранники.
Чертеж призмы приведен на рисунке 8.16. Гранями призмы служат четырехугольные отсеки плоскостей. Все ребра призмы параллельны между собой.
Вопрос о принадлежности точки и линии поверхности сводится к определению
принадлежности этих элементов плоским граням.
Пирамида (рисунок 8.17) ограничена составной поверхностью, у которой
грани представлены треугольниками.
Все ребра пирамиды пересекаются в одной точке S, которую называют
вершиной пирамиды.
Поверхность призмы можно рассматривать, как поверхность пирамиды, у
которой вершина — несобственная точка S.
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 8.16 - Призма
Рисунок 8.17 - Пирамида
8.3.5 Циклические и непрерывно-топографические поверхности
Циклической поверхностью называется поверхность, образованная непрерывным каркасом круговых сечений (рисунок 8.18). Циклическая поверхность несет на себе, по крайней мере, одно семейство круговых образующих.
Циклическая поверхность является частным видом поверхностей подобных сечений.
Рисунок 8.18 - Поверхность подобных сечений
Для однозначного определения поверхности подобных сечений должны
быть заданы три линии а, t и b, где, а — линия определяющая параметрическое
семейство плоскостей, перпендикулярных этой линии; t — линия центров ок70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ружностей; b - линия, определяющая величины радиусов окружностей.
Примером таких поверхностей, имеющих круговые сечения, т. е. представляющим собой разновидность циклических поверхностей, могут служить
эллиптический цилиндр, конус вращения, эллипсоид, однополостной и двуполостной гиперболоиды и др.
Кинематические поверхности сложной формы традиционно называют
поверхностями зависимых линий. Типичным представителем поверхностей
зависимых линий являются топографические поверхности.
Топографическими называют поверхности, заданные дискретным множеством линий уровня (рисунок 8.19). Такое представление поверхностей широко распространено в топографии, строительстве, военном деле и др. На ранних этапах развития авиации, автомобилестроения и судостроения сложные поверхности самолетов, автомобилей и судов задавались также в виде дискретного множества линий уровня. Получали сетчатый каркас поверхности, состоящий
из трех семейств линий уровня: батоксов (вертикальных линий), горизонталей и
поперечных сечений (шпангоутов).
Рисунок 8.19 — Топографическая поверхность
Вопросы о принадлежности точки пространства для таких поверхностей
решаются однозначно только на линиях каркаса поверхности.
В геометрии выделяют непрерывно топографические поверхности, образованные непрерывным множеством линий уровня. Эти поверхности широко
применяют в авиации, судостроении, автомобилестроении, архитектуре и др.
Определитель, такой поверхности, состоит из проекций однопараметрического семейства линий уровня в какой-либо одной плоскости проекций и закона распределения линий семейства в пространстве (рисунок 8.20).
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 8.20 – Непрерывно топографическая поверхность
Порядок конструирования такой поверхности следующий:
в одной из плоскостей проекций задается однопараметрическое семейство
линий q.
Затем в пространстве выбирается распределяющая линия m.
И последнее: устанавливается взаимно однозначное соответствие между
точками «распределяющей» линии m и каждой линией семейства qi.
Контрольные вопросы к разделам 8.1 – 8.3
1.Приведите общую классификацию поверхностей.
2.Назовите способы задания поверхностей на чертеже.
3.Когда точка лежит на поверхности? Когда линия лежит на поверхности?
4.Какие поверхности вращения вы знаете?
5.Назовите характерные линии поверхности вращения.
6.Что такое поверхности плоско-параллельного переноса? Как они образуются?
7.Как образуются линейчатые поверхности? Назовите наиболее распространенные линейчатые поверхности.
8.Что называется многогранником? Приведите примеры многогранников?
9.Как образуется циклическая поверхность? Поверхность подобных сечений? Топографическая?
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8.4 Поверхности и позиционные задачи
Вопрос о принадлежности точки и линии поверхности был рассмотрен
выше. Остановимся на задачах по определению линии пересечения поверхностей и точек пересечения линии с поверхностью.
8.4.1 Сечение поверхности плоскостью
Начнем с рассмотрения пересечения многогранника плоскостью.
Для построения сечения существуют два подхода: фиксируются точки
пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью или определяются
линии пересечения граней с секущей плоскостью.
Рисунок 8.21 – Сечение призмы
плоскостью
Рисунок 8.22 –Сечение пирамиды плоскостью
В сечении четырехгранной призмы плоскостью получается четырехугольник (рисунок 8.21). Вершины этого четырехугольника можно рассматривать, как точки пересечения ребер призмы с плоскостью Р.
В силу того, что призма занимает положение проецирующей поверхности,
все ее ребра суть проецирующие прямые (в соответствии с рисунком 8.21 - горизонтально - проецирующие). И задача сводится к отысканию точек пересечения (1, 2, 3 и 4) проецирующих прямых (ребер) с плоскостью Р. Объединение
соответствующих проекций позволяет получить проекции плоского сечения.
Аналогично может быть получено сечение пирамиды плоскостью. Например, пирамиды АВСS плоскостью общего положения Р (рисунок 8.22).
В силу того, что ребра пирамиды являются линиями общего (ВS и СS) и
частного (АS) положения, задача сводится к отысканию точек пересечения
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
прямых с плоскостью Р.
Объединение соответствующих проекций позволяет получить проекции
плоского сечения 123.
Представление поверхностей вращения, как многогранников с бесчисленным числом сторон, приводит к мысли о том, что сечение поверхности вращения плоскостью может быть получено аналогичным же образом.
Сечением такого цилиндра плоскостью будет эллипс, в случае прохождения плоскости через ось вращения вырожденный (две параллельные прямые).
Рисунок 8.23 - Сечение цилиндра плоскостью общего положения
Рассмотрим возможность построения сечения проецирующего цилиндра
плоскостью общего положения Р (рисунок 8.23). В силу начальных условий,
одна проекция сечения уже определена (11,…, 121). В этом случае задача сводится к отысканию точек сечения, лежащих на поверхности цилиндра.
Большая ось эллипса лежит в горизонтально проецирующей плоскости Q
(Q1P1), проходящей через ось вращения.
Варианты вида линий пересечения конуса плоскостью рассмотрены выше
(в разделе 7.4). Здесь (рисунок 8.24) рассматривается механизм построения линии на поверхности конуса. Пусть конус вращения пересекается плоскостью
общего положения Р. В соответствии с рисунком 7.5, в сечении должна получиться замкнутая кривая — эллипс.
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Крайние точки кривой (3,4), лежат на очерковых образующих, и могут
быть найдены, как точки их (образующих) пересечения с плоскостью Р.
Большая ось эллипса (1,2) определится аналогично предыдущей задаче.
Она лежит в горизонтально-проецирующей плоскости Q (Q1P1), проходящей
через ось вращения конуса, на линии пересечения Q и P – линии MN.
Рисунок 8.24 – Сечение конуса плоскостью общего положения
Промежуточные точки определятся во вспомогательных плоскостях (Ri)
перпендикулярных оси вращения.
Сопряженная ”малая” ось эллипса 56 может быть получена в плоскости
R, проходящей через точку О, середину отрезка 12 (большая ось эллипса).
В общем случае промежуточные точки могут быть найдены и другим
способом.
Подводя итог рассмотренным решениям, можно отметить, что линии пересечения строятся по точкам, которые на поверхности можно зафиксировать,
введя дополнительные плоскости. Этот подход и определяет общую методику
построения линии пересечения поверхностей.
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8.4.2 Способ секущих плоскостей
Этот способ применяют для построения линии пересечения поверхностей,
позволяющих получать (одновременно) во вводимых секущих плоскостях, графически простые линии (прямые или окружности). Это утверждение может
быть проиллюстрировано на примере пересечения цилиндра  и конуса Ф рисунок 8.25.
Рисунок 8.25 – Метод секущих плоскостей
Здесь в качестве вспомогательных секущих плоскостей выступают горизонтальные плоскости уровня Si. На поверхности конуса (в силу того, что они
перпендикулярны оси вращения) эти плоскости выделяют окружности, а на поверхности цилиндра - параллельные прямые (образующие).
Характерные точки А, В линии пересечения определяют в пересечении
фронтальных очерков. Текущие точки линии пересечения определятся как результат пересечения соответствующих окружностей и прямых в секущих плоскостях Si.
8.4.3 Способ секущих сфер
Этот способ базируется на том, что две соосные поверхности вращения
пересекаются по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной общей
оси вращения.
Сфера будет соосна с любой поверхностью вращения, если ее центр ле76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жит на оси вращения этой поверхности (рисунок 8.26). Это и определяет возможность использовать сферу в качестве вспомогательной секущей поверхности.
Условиями применения сферы в этом качестве следующие: рассматриваются поверхности вращения, их оси должны пересекаться в одной точке - центре секущих сфер.
При этом желательно, чтобы плоскость, образованная пересечением осей,
была бы параллельна одной из плоскостей проекции.
Рисунок 8.26 – Пересечение соосных поверхностей
Линия пересечения двух цилиндров Ф и  (RФ>R) может быть найдена с помощью метода секущих сфер.
Это определяется тем, что выполняются все поставленные выше условия.
Линия пересечения распадается
на две ветви, нижнюю и верхнюю, построение которых аналогично (рисунок
8.27).
Фронтальные проекции характерных точек линии пересечения 12 и
22 определятся в результате пересечения фронтальных очерков Ф2 и 2 ,а
горизонтальные определятся по принадлежности этих точек цилиндру Ф.
Низшая точка линии пересечения
(3) определяется введением сферы RФ,
которая пересечет цилиндр Ф по окружности l (фронтальная проекция
этой окружности совпадет с фронтальной проекцией оси вращения цилиндра
).
Рисунок 8.27 – Метод секущих сфер
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С цилиндром  эта же сфера пересечется по окружности m. Точка 3 и
есть результат пересечения окружностей l и m. Промежуточные точки определятся аналогично, как пересечение окружностей, получающихся в пересечении произвольных сфер RФ<Ri<О212 с цилиндрами Ф и . Фронтальные проекции точек линии пересечения определяются как пересечения отрезков прямых, в которые вырождаются окружности, перпендикулярные оси вращения, а
горизонтальные проекции находятся по принадлежности одной из поверхностей. В данном случае - поверхности Ф.
8.4.4 Пересечение многогранников
Построение линии пересечения многогранников можно свести к двум вариантам: определению точек пересечения ребер одного из многогранников с
гранями другого и определению линий пересечения граней обоих многогранников.
Рассмотрим построение линии пересечения двух призм: прямой призмы
Ф и наклонной призмы  (рисунок 8.28).
Рисунок 8.28 – Пересечение гранных поверхностей
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Грани прямой призмы Ф представляют собой проецирующие плоскости,
что позволяет однозначно определить горизонтальную проекцию линии пересечения, точки 11, 21, 31 и 51 ,61, 71 ,81, 41. Фронтальные проекции 12, 22, 32 и
42, 52, 62, 72, 82 этих точек находятся на сответствующих фронтальных проекциях ребер наклонной призмы.
Точки 7 и 8 определятся введением через точку Е дополнительной секущей плоскости Г параллельной ребрам наклонной призмы .
8.5 Пересечение линии и поверхности
Задача формулируется так: построить точки пересечения Аi кривой t с
поверхностью Ф.
Решение для частного случая рассматривалось выше в (разделе 4.3), как
задача по определению точки пересечения прямой и плоскости.
В общем случае выполняется следующее:
а) кривая t относится к вспомогательной проецирующей цилиндрической
поверхности Г;
б) строится линия пересечения m данной и вспомогательной проецирующей поверхности;
в) фиксируются точки Аi пересечения линий t и m, которые и являются
искомыми точками пересечения.
Рисунок 8.29 – Пересечение
прямой с конической поверхностью
Рисунок 8.30 – Пересечение
пространственной кривой с цилиндроидом
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проиллюстрируем все это на примере построения точек пересечения
прямой t с конической поверхностью Ф (рисунок 8.29).
Прямую t целесообразно отнести к плоскости общего положения Г
(tSN), проходящей через вершину S конической поверхности Ф. Тогда Г пересечёт Ф по образующей m, что значительно упрощает решение.
На первом этапе строится линия 12 пересечения плоскости Г с плоскостью основания конической поверхности. Затем определяется положение линии m.
Пересечение образующей m и линии t и определит решение – точку К.
Для общего случая решение задачи на пересечение цилиндроида с пространственной кривой выглядит следующим образом (рисунок 8.30).
Кривая t заключается во фронтально проецирующую цилиндрическую
поверхность Г, которая пересекает цилиндроид Ф по кривой m. Так как m  Г,
то ее фронтальная проекция m2 совпадает с вырожденной проекцией Г2 вспомогательной поверхности Г.
Горизонтальная проекция m1 линии пересечения m строится по точкам из
условия принадлежности цилиндроиду Ф. Линии t и m, принадлежащие поверхности Г, пересекаются в искомых точках L и L'.
Приведенное решение является типовым. В ряде случаев для более точного построения линии пересечения данной и вспомогательной поверхностей или
для упрощения построений целесообразно использовать другие виды вспомогательных поверхностей.
Контрольные вопросы к разделам 8.4 и 8.5
1.Назовите основные методы построения линии пересечения поверхности
и плоскости, двух поверхностей
2.В чем заключается метод секущих плоскостей? Секущих сфер?
3.Когда можно применять метод секущих сфер?
4.Сформулируйте теорему Монжа.
5.Назовите основные этапы построения точки пересечения линии и поверхности.
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9 Аксонометрические проекции
Аксонометрические чертежи применяют, в основном, для усиления наглядности изображаемого на комплексном чертеже объекта.
Для построения аксонометрического чертежа в пространстве выбирается
некоторая ортогональная система Охуz (натуральная система) и объект Ф, жестко с ней связанный. На каждой из осей координат откладывается единичный
отрезок: ех, еу и ez (рисунок 9.1).
Рисунок 9.1 – Аксонометрическая проекция объекта
Расстояния каждой точки объекта до координатных плоскостей, измеренные единичным отрезком е, дают три числа (натуральные координаты точки),
которые определяют ее положение относительно данной системы координат.
Объект вместе с системой отнесения проецируется параллельно на плоскость П' — аксонометрическую (картинную) плоскость проекций.
Проекции всех геометрических элементов на плоскость П' получили название аксонометрических.
В зависимости от способа проецирования (центрального, параллельного
или прямоугольного) получают различные виды аксонометрических проекций:
центральную, параллельную косоугольную или прямоугольную аксонометрии.
Аксонометрические проекции геометрических элементов на координат-
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ные плоскости называют вторичными проекциями.
Аксонометрическую координатную ломаную можно построить, если даны
аксонометрическая проекция точки и одна из ее вторичных проекций.
В процессе построения аксонометрических чертежей возникает на вопрос:
«Каким образом следует задавать на картинной плоскости аксонометрические
оси и аксонометрические масштабные единицы? »
Ответ на него дает основная теорема параллельной аксонометрии (теорема Польке), которая утверждает следующее.
В косоугольной аксонометрии аксонометрические оси на плоскости чертежа и единичные отрезки на них могут быть выбраны совершенно произвольно.
Это означает, что, задав на картинной плоскости три проходящие через
одну точку несовпадающие прямые 0’х’, О’у’, О’z’ и отложив на них три отрезка произвольной длины (отличной от нуля), можно утверждать, что данная
фигура может рассматриваться как параллельная проекция трех взаимноперпендикулярных осей координат Охуz с отложенными на них соответственно
равными единичными отрезками ОЕx = ОЕу = ОЕz = е.
Из теоремы следует, что аксонометрическая система в общем случае определяется пятью независимыми параметрами: тремя аксонометрическими единичными отрезками и двумя углами между аксонометрическими осями.
В зависимости от соотношений между аксонометрическими единичными
отрезками параллельные аксонометрические проекции классифицируют как
триметрические (ex’ ey’ez’) диметрические (ex’= ey’ez’) и изометрические
проекции(ex’= ey’= ez’).
Для большего удобства построений в аксонометрии вводится понятие показателей искажения. Показатель искажения для отрезка данного направления
определяют как отношение величины аксонометрической проекции отрезка к
его натуральной величине.
Для построения аксонометрической проекции фигуры достаточно знать
три показателя искажения вдоль координатных осей. Показатели искажения по
осям обозначают буквами u, v и w. Их определяют также, u= ex’/ex, v= ey’/ey,
u= ez’/ez.
9.1 Прямоугольная аксонометрия
Аксонометрическая проекция, полученная при прямоугольном проецировании, называется прямоугольной или ортогональной аксонометрией. В прямоугольной аксонометрии теорема Польке не имеет места.
Для прямоугольной аксонометрии характерно следующее (рисунок 9.2):
а) в прямоугольной аксонометрии высоты треугольника следов лежат на
аксонометрических осях ;
б) треугольник следов всегда остроугольный;
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в) три выходящие из одной точки (на плоскости) вектора могут быть приняты за оси прямоугольной аксонометрии только в том случае, если они образуют между собой тупые углы;
г) сумма квадратов показателей ис2
2
2
кажения равна двум: u +v +w =2.
В прямоугольной аксонометрии
аксонометрические оси являются
биссектрисами углов треугольника,
стороны которого пропорциональны квадратам показателей искажения.
Прямоугольная аксонометрия определяется двумя параметрами: двумя
показателями искажения или двумя
углами между аксонометрическими
осями.
Рисунок 9.2 – Свойства прямоугольной аксонометрии
9.2 Практические аксонометрии
При практическом построении аксонометрических чертежей возникает
необходимость в определении длины аксонометрических координатных отрезков по их натуральным координатам.
С целью сокращения вычислительной работы путем подбора некоторого множителя m
можно один из показателей привести к единице и пересчитать
остальные два. В отличие от точных показателей искажения новые показатели называют приведенными, а подобранный множитель — коэффициентом приведения.
Обозначают приведенные
показатели искажения прописными буквами U, V и W, причем
U=u*m, V=v*m, а W=w*m.
Рисунок 9.3 - Прямоугольная изометрия
Изображение при этом изменяется подобно в масштабе m:1. Такая аксо83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нометрическая проекция называется практической или приведенной.
Для практических аксонометрических систем углы между осями и показатели искажения зафиксированы в общесоюзных государственных стандартах
(приложение к ГОСТ 2.317- 69) и эти виды проекций называют стандартными.
Прямоугольная изометрическая проекция. Из равенства углов наклона
координатных осей к картинной плоскости следует, что u=v=w, аксонометри2
2
2
ческие оси образуют между собой углы, равные 120°. Из u +v +w =2 следует, что u=v=w0,82.
Для упрощения построений пользуются практической (приведенной) изометрией. Приведенные показатели искажения u=v=w = 1. В этом случае на
аксонометрических осях откладывают натуральные координатные отрезки. Коэффициент приведения m = 1/0,82 = 1,22. Следовательно, в приведенной прямоугольной изометрии изображение увеличено в 1,22 раза.
В отличие от косоугольных изометрий, прямоугольная изометрия только
одна.
В силу свойства прямоугольной изометрии все эллипсы, служащие проекциями окружностей, расположенных в плоскостях, параллельных координатным плоскостям, имеют одинаковую форму. В точной изометрии (для всех эллипсов) большая ось равна диаметру, малая  0,58 диаметра. Для приведенной
изометрии соответственно 1,22 и 0,71 диаметра. Малая ось параллельна проекции нормали к соответствующей плоскости. На рисунке 9.3 изображены проекции трех окружностей.
В прямоугольной диметрии две координатные оси (обычно Оz и Оу) наклонены под одинаковыми углами к картинной плоскости, а третья ось направлена так, что показатель искажения вдоль нее вдвое меньше. Например, v=w и
u=v/2.
Косоугольных диметрических систем с заданным соотношением показателей искажения существует бесчисленное множество; прямоугольная диметрия — только одна.
Наибольшее распространение получила приведенная диметрия (рисунок
9.4), у нее коэффициенты искажения соответственно равны v=w 0,94 и
u=0,47.
Для получения практической (стандартной) диметрии показатели искажения v и w приравниваются к единице, полагая (m=1/0,94=1,06) V=W=1 и
U=0,5. Масштаб практической диметрии М1,06:1.
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0
0
0
0
0
Рисунок 9.4 – Прямоугольная диметрия
Величина малой оси эллипсов, расположенных в плоскостях Оху и Охz,
равна 1/3 от диаметра окружности, величина большой оси - диаметр. В стандартной диметрии соответственно 0,35 и 1,06 диаметра (рисунок 9.4).
Для эллипса, расположенного в плоскости Оуz, малая ось
равна 0,94 диаметра.
Иногда,
при
решении
практических задач, возникает
необходимость построения аксонометрического чертежа, в котором одна из координатных плоскостей была бы параллельна
картинной плоскости. Это возможно только в случае использования косоугольного проецирования.
Рисунок 9.5 - Косоугольная диметрия
Наиболее распространена косоугольная фронтальная диметрия, в которой
плоскость xOz параллельна картинной плоскости. На такой проекции аксоно85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
метрические оси O’x’ и O’z’ взаимно перпендикулярны и показатели искажения по ним равны единице и u=w=1. Направление оси O’y’ и показатель искажения v могут быть выбраны произвольно
ГОСТ рекомендует направление оси O’y’ выбирать по биссектрисе угла
xOz, принимая v = 0,5. Этот вид проекции называют еще кабинетной проекцией (рисунок 9.5).
В различных отраслях практической деятельности применяются и другие
виды косоугольных проекций, например, кавальерная (косоугольная изометрическая фронтальная проекция), военная перспектива (горизонтальная изометрическая проекция рисунок 9.6) и др.
Рисунок 9.6 – Горизонтальная изометрическая проекция
Контрольные вопросы к главе 9
1.Что называется аксонометрической проекцией?
2.Приведите классификацию аксонометрических проекций.
3.Назовите основные свойства прямоугольной аксонометрии.
4.Какие практические аксонометрии вы знаете?
5.Как расположены оси эллипсов в прямоугольной изометрии, прямоугольной диметрии, косоугольной диметрии?
6.Какие значения приобретают большие и малые оси эллипсов в этих видах аксонометрий?
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10 Развертки поверхностей
Фигура, получающаяся при совмещении всех точек поверхности с плоскостью (без складок и разрывов), получила название развертки. Поверхности же,
допускающие такую операцию, называют развертывающимися.
Построение разверток является важной практической задачей, что связано с изготовлением множества изделий из листового материала (резервуары и
трубы, изделия швейной и кожевенной промышленности и т.п.).
Из физической модели процесса развертывания поверхности на плоскость
следует, что площадь отсека поверхности должна быть равна площади отсека
плоскости на развертке.
Свойство сохранения площади влечет за собой справедливость следующих двух утверждений: длины соответственных линий поверхности и ее развертки равны, углы, образованные линиями поверхности, равны углам, составленным их образами на развертке. Углом между двумя линиями поверхности в
их точке пересечения называют угол, составленный касательными, проведенными к кривым в точке.
Это в свою очередь приводит к следующему: прямая поверхности отображается на прямую развертки; параллельные прямые поверхности, отображаются на параллельные прямые развертки.
На этих свойствах и базируются графические и машинные алгоритмы построения разверток.
Из дифференциальной геометрии известно, что к развертывающимся поверхностям относятся только поверхности нулевой кривизны (состоящие только
из параболических точек). У этих (линейчатых) поверхностей касательные
плоскости, проведенные во всех точках одной образующей, совпадают.
Изо всего множества линейчатых поверхностей развернуты на плоскость
могут быть только цилиндрические, конические и торсовые. Развертки для них
строятся приближенно. В процессе построения развертки эти поверхности аппроксимируются (заменяются) многогранными поверхностями. Последнее вызвано тем, что спрямление кривых линий базируется на замене их ломаными.
Точные развертки аппроксимирующих многогранных поверхностей принимают
за приближенные развертки развертываемых поверхностей.
10.1 Развертки гранных поверхностей
Процесс получения развертки гранной поверхности сводится к совмещению с плоскостью ее граней. Для гранной поверхности всегда можно построить
развертку.
К наиболее распространенным многогранным поверхностям следует отнести призмы и пирамиды.
Развертка
поверхности
призмы
строится
в основном
двумя способами, с помощью треугольников (триангуляции) и нормальных сечений.
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 10.1 – Метод триангуляции
В первом способе каждая грань призмы разбивается на два треугольника,
для которых определяются натуральные длины сторон. Затем на плоскости последовательно строят треугольники в натуральную величину. Способ основан
на свойстве «жесткости» треугольника — три отрезка определяют единственный треугольник.
Рисунок 10.2 – Метод нормальных сечений
По способу нормальных сечений призма пересекается плоскостью ,
перпендикулярной ее боковым ребрам. Затем определяются длины сторон ломаной линии (сечения), и она (ломаная) развертывается в отрезок прямой.
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Через точки, соответствующие положению вершин, проводятся прямые,
перпендикулярные к развертке ломаной. На построенных перпендикулярах откладываются натуральные длины соответствующих отрезков ребер. Концы ребер последовательно соединяются отрезками прямых.
При необходимости к построенной развертке боковой поверхности призмы пристраиваются натуральные фигуры оснований призмы.
Способ нормальных сечений эффективен, если ребра призмы являются
линиями уровня. Если же при этом основания призмы расположены в плоскостях уровня, то реализуется частный случай этого способа — способ раскатки
(рисунок 10.4).
Построение развертки поверхности пирамиды сводится к отысканию истинных величин граней этой пирамиды и последующему совмещению их с
плоскостью. Для нахождения истинных величин граней необходимо (какимлибо способом) найти натуральные длины всех ребер пирамиды (рисунок
11.33).
10.2 Приближенное построение разверток
Выше было отмечено, что для всех поверхностей строятся приближенные
развертки. Однако для таких поверхностей, как цилиндрическая и коническая
поверхности вращения, могут быть вычислены все параметры необходимые для
точной развертки.
Отсек цилиндра вращения радиуса R и высоты h развертывается в прямоугольник hl (l=2R). Развертка усеченного цилиндра представлена на рисунке 11.31.
Отсек конуса вращения с высотой h и радиусом основания R развертывается в круговой сектор, радиус которого равен длине образующей отсека конической поверхности ( l  h 2  R 2 ),а его центральный угол =2R/l.
Построение разверток поверхностей начинается с аппроксимации их многогранными поверхностями, базирующейся на линейной аппроксимации направляющих. Как правило, кривая заменяется вписанной ломаной. Проиллюстрируем все выше сказанное примерами.
Развертка боковой поверхности усеченного конуса вращения представлена на рисунке 10.3.
Развертывание боковой поверхности усеченного конуса, в общем случае,
производится по схеме развертывания поверхности пирамиды.
Коническая поверхность заменяется вписанной в нее поверхностью пирамиды. Построение развертки будет тем точнее, чем больше граней имеет пирамида, заменяющая коническую поверхность.
Истинные величины отрезков образующих (А1,…,K7), определятся на
очерковой образующей конуса.
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 10.3 - Развертка конуса
Развертка
боковой
поверхности
наклонного
кругового цилиндра показана на рисунке 10.4.
На первом этапе в
цилиндрическую
поверхность вписывается призма,
основанием которой служит
многоугольник с n сторонами. Достаточная точность
аппроксимации может быть
получена при длине стороны равной четверти радиуса
окружности. В силу того,
что рассматриваемая поверхность симметрична относительно
фронтальной
плоскости уровня, достаточно построить развертку
лишь одной ее половинки.
Рисунок 10.4 – Развертка боковой поверхности методом раскатки
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Развертка вписанной призмы выполняется по способу раскатки. Некоторая фронтальная плоскость совмещается с ребром АА’. Затем с ней совмещаются боковые грани призмы последовательным вращением их вокруг соответствующих ребер.
Вращением вокруг ребра АА’ грань АВВ’А’ совмещается с плоскостью.
Построение совмещенного положения ребра ВВ’ базируется на том, что точки
В и В’ вращаются в плоскостях перпендикулярных ребру АА’, и равно отстоят
от точек А, А’. Для построения точек В и В’ на развертке через их фронтальные
проекции В2 и В2’ проводятся следы фронтально-проецирующих плоскостей 
и ’АА’, на которых фиксируется положение точек В. Далее, аналогичным
образом строится грань ВСС’В’ и т. д.
10.3 Условные развертки поверхностей
Для неразвертывающихся поверхностей строят условные развертки. Для
этого, исходя из требуемой точности развертки, исходную поверхность разрезают на несколько равных частей. Затем полученные отсеки аппроксимируются
отсеками развертывающихся поверхностей, для которых (по рассмотренной
выше методике) и выполняют развертки. Последние и принимают за условную
развертку исходной поверхности.
Рассмотрим построение разверток поверхностей вращения по описанной
выше методике на примерах, приведенных на рисунках 10.5 и 10.6.
Условные развертки поверхностей вращения выполняют в основном двумя способами: способом цилиндров и способом конусов.
Рисунок 10.5 – Способ цилиндров
При построении условной развертки способом цилиндров исходная по91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
верхность разрезается плоскостями, проходящими через ее ось вращения (рисунок 10.5).
Каждый выделенный отсек заменяется отсеком цилиндрической поверхности, которая касается исходной поверхности по ее среднему меридиану. Образующие отсека цилиндра ограничены плоскостями меридианов, ограничивающих отсек исходной поверхности.
При этом дуги параллелей исходной поверхности аппроксимируются отрезками образующих соответствующих цилиндров.
Для построения развертки поверхности вращения способом конусов исходная поверхность разрезается плоскостями перпендикулярными ее оси вращения, на несколько частей — «поясов». Каждый из поясов аппроксимируется
отсеком конуса вращения.
Рисунок 10.6 – Способ конусов
Таким образом, задача сводится к построению разверток отсеков аппроксимирующих конусов.
Выбор способа построения условной развертки поверхности вращения, в
реальном проектировании, во многом зависит от конкретных размеров поверхности и технологии изготовления изделия.
Контрольные вопросы к главе 10
1.Что называется разверткой поверхности?
2.Назовите основные способы построения разверток поверхностей.
3.В чем заключается метод раскатки? Нормальных сечений?
4.Для каких поверхностей можно вычислить параметры, необходимые для
построения развертки?
5.Как строятся условные развертки?
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11 Решение задач в Начертательной геометрии
Выше были рассмотрены общие ”геометрические” подходы к решению
инженерных и научных задач. Решение реальных задач требует конкретизации
этих подходов.
11.1 Точки и прямые
Декартова система координат, к которой ”привязаны” плоскости проекций, предусматривает возможность задания не только положительных, но и отрицательных координат точек.
Рассмотрим возможность построения чертежей точек, имеющих и отрицательные координаты.
Формально процесс построения чертежа сохраняется. Для точек с отрицательной координатой Y (точки B и D рисунок 11.1) положительное направление оси Оz принимается за отрицательное направление ОY.
Рисунок 11.1 –Точки с отрицательными координатами
Рисунок 11.2 - Профильная линия уровня
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определенный интерес при выполнении машиностроительных чертежей
представляет линия, параллельная плоскости zОy, ее обычно называют профильной линией уровня (рисунок 11.2).
Ее горизонтальная А1В1 и фронтальная проекции А2В2 перпендикулярны
оси чертежа Ох.
Еще одна, часто встречающаяся в черчении прямая, - это прямая, перпендикулярная плоскости zОy. Такая прямая называется профильно - проецирующей (рисунок 11.3).
Обе ее проекции, горизонтальная А1В1 и фронтальная А2В2, параллельны
оси чертежа Ох
Рисунок 11.3 - Профильно - проецирующая прямая
Вопрос о взаимном положении прямых не всегда решается по двум данным проекциям. Как показано на рисунке 11.4, приходится строить профильную
проекцию.
Рисунок 11.4 - Скрещивающиеся и параллельные профильные прямые
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Деление в заданном отношении отрезка базируется на свойстве параллельных проекций. Отношение отрезков на прямой равно отношению отрезков
на проекциях. Задача решается путем деления в данном отношении одной из
проекций этого отрезка (рисунок 11.5). Пусть АВ делится точкой К в отношении 3:2. На горизонтальной проекции (в точке А1) проведена вспомогательная
прямая t. На ней отложено пять одинаковых отрезков произвольной длины.
Точка К0 делит отрезок А1В0 в
заданном отношении 3:2.
Точка К1 (прямая К1К0 параллельная В1В0), в соответствии
с теоремой Фалеса, делит отрезок А1В1 в том же отношении. Фронтальная проекция К2
точки найдется по соответствию на А2В2.
Рисунок 11.5 – Деление отрезка в заданном отношении
11.2 Плоскости
Многие задачи, связанные с чертежами плоскостей, удобнее решать, когда плоскости заданы следами, что бывает не всегда. Проиллюстрируем возможность перехода от задания плоскости пересекающимися прямыми к заданию следами.
Рисунок 11.6 - Следы прямой.
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Этот переход базируется на определении следов прямых (рисунок11.6).
Точки пересечения прямой с плоскостями проекций получили называние
следов. Очевидно, что следы прямой, лежащей в плоскости, должны лежать на
соответствующих следах этой плоскости (рисунок 11.7).
Следы плоскости Q, заданной пересекающимися прямыми АВ и АС, могут быть найдены следующим образом.
След Q1 определяется
двумя точками (М и М ), горизонтальными следами прямых
CA и AB, соответственно. След
Q2 определяется двумя точками
(N и N ), фронтальными следами прямых CA и AB.
Правильность построения
проверяется по точке пересечения следов (Qх).
Рисунок 11.7 - Следы прямых и плоскости
Построение прямых общего положения и точек, расположенных в плоскостях, заданных не следами, рассмотрены на рисунке 11.8
Рисунок 11.8 – Точки и прямые в плоскости
Построение линий уровня в плоскостях, заданных треугольником и пересекающимися прямыми, представлено на рисунке 11.9
Иногда вызывает затруднение построение главных линий плоскости, если
следы заданы как на рисунке 11.10.
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 11.9 – Главные линии плоскости (горизонталь h и фронталь f)
Рисунок 11.10 – Главные линии плоскости (горизонталь h и фронталь f)
Рисунок 11.11 – Линии наибольшего наклона (ската)
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Традиционно к главным линиям плоскости относят и линии наибольшего
наклона (ската) — прямые перпендикулярные к линиям уровня этой плоскости
(следам).
Эти прямые определяют углы наклона произвольной плоскости к плоскостям проекции. Для этого достаточно найти истинные величины отрезков линий
ската. Например (рисунок 11.11),  - угол наклона плоскости Р к плоскости
проекции П1.
Рисунок 11.12 - Точки и линии в проецирующей плоскости
Прямые и точки, расположенные в проецирующих плоскостях, рассмотрены на рисунке 11.12. В качестве проецирующей плоскости взята горизонтально - проецирующая плоскость.
Горизонтальная проекция объекта, лежащего в этой плоскости, будет
совпадать с горизонтальным следом этой плоскости (рисунок 11.12).
Горизонтальная проекция объекта, лежащего в горизонтально - проецирующей плоскости, не определяет положение его в пространстве. Фронтальная
же проекция объекта, однозначно определяет положение его в пространстве.
Аналогичное заключение может быть сделано и для фронтально - проецирующей плоскости.
Рисунок 11.13 - Точки и линии в плоскости уровня
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поскольку плоскости уровня тоже являются проецирующими, то вышеприведенные рассуждения могут быть применены и к ним (рисунок 11.13).
Построение точки и отрезка прямой в профильно - проецирующей плоскости, заданной следами, показано на рисунке 11.14. Принадлежность прямой
АВ такой Р плоскости может быть определена по принадлежности следов (М и
N) прямой следам Р1 и Р2 этой плоскости.
Рисунок 11.14
Задача на принадлежность точки D плоскости и здесь сведется к определению ее принадлежности прямой этой плоскости (например, АВ, в соответствии с рисунком 11.14).
Пример построения точки, лежащей в осевой плоскости, показан на рисунке 11.15.
Плоскость, проходящая через координатную ось, называется осевой. Если эта плоскость делит двугранный угол, образованный плоскостями проекций,
пополам, то такая осевая плоскость называется биссекторной.
Рисунок 11.15 - Точка в осевой плоскости
Плоскость задана следами и точкой С. Решение сводится к построению
прямой t, пересекающей ось Х в точке М и проходящей через точку С.
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Умение строить линию пересечения плоскостей частного и общего положения необходимо для решения как метрических, так и позиционных задач.
Рисунок 11.16 – Пересечение плоскостей частного и общего положения
На рисунке 11.16 найдена линия пересечения (3-4) горизонтальной плоскости уровня Q и плоскости общего положения, заданной треугольником АВС.
Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальным следом и
является горизонталью.
На том же рисунке построена линия пересечения (3-4) горизонтальнопроецирующей плоскости Р и плоскости общего положения, заданной параллельными прямыми (t//n). Линия пересечения - прямая общего положения, её
горизонтальная проекция совпадает с горизонтальным следом плоскости Р.
Рисунок 11.17 – Метод секущих плоскостей
К характерным задачам нужно отнести и построение линии пересечения
плоскостей, когда точка пересечения одноименных следов не может быть получена в пределах чертежа.
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известно, что три плоскости всегда пересекаются в точке. Это и служит
отправным моментом для отыскания точек линии пересечения двух плоскостей
Q и Р. Проводится вспомогательная плоскость S, параллельная плоскости проекции (например, П1), которая пересекает Q и Р по горизонталям (рисунок
11.17).
В силу того, что эти горизонтали лежат в одной плоскости S то они, пересекаясь, дают точку N общую для Q, Р и S. И, следовательно, ее можно принять за точку линии пересечения плоскостей Q и Р. Вторая точка линии пересечения MN может быть найдена аналогично или как точка пересечения соответствующих следов.
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рисунок 11.18 - Условие задачи на пересечение плоскостей
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рисунок 11.19 - Нахождение общей точки М
101
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поэтапное решение задачи на построение линии пересечения двух плоскостей общего положения, заданных треугольниками, показано на рисунках
11.18-11.21
Для нахождения линии пересечения дважды решается задача на построение точки встречи прямой с плоскостью.
На рисунке 11.19 показано построение точки встречи прямой DK с плоскостью треугольника АВС.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рисунок 11.20 - Нахождение общей точки N
Прямая DK заключается в горизонтально-проецирующую плоскость S.
Находится линия пересечения плоскости S и треугольника АВС (линия 11-21,
12-22). На пересечении линии 12-22 с прямой А2-В2 отмечается точка М2 - фронтальная проекция точки встречи. Затем строится ее горизонтальная проекция.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рисунок 11.21 - Определение видимости треугольников
Аналогично находится вторая общая точка N - точка встречи прямой АВ с
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
плоскостью треугольника DKE (как показано на рисунке 11.20). Затем стоится
линия пересечения плоскостей - линия МN.
На рисунке 11.21 определяется видимость треугольников методом конкурирующих точек. Точки 1 и 5 позволяют определить видимость сторон треугольников на горизонтальном поле проекций (Z5>Z1), точки 6 и 7 - на фронтальном (Y7>Y6).
Весьма распространены и задачи на отыскание истинных величин плоских фигур. Решение здесь может быть, в отдельных случаях, получено вращением фигуры вокруг оси, параллельной плоскости проекций до положения параллельного плоскости П1 или П2.
Проиллюстрируем это вращением АВС вокруг его горизонтали АD до
параллельности плоскости П1 (рисунок 11.22).
В АВС вершина А располагается на оси АD, поэтому в процессе вращения остается на месте. Вершины В и С в процессе вращения движутся по дугам окружностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных оси вращения АD.
В силу выше сказанного и теоремы о проецировании прямого угла, перпендикуляры, опущенные из горизонтальных проекций точек В1 и С1 на горизонтальную проекцию оси вращения А1D1, могут быть
приняты за проекции радиусов вращения точек В
и С.
Истинная величина
радиуса вращения ОВ
может быть определена
по методу прямоугольного треугольника (О1В’1 —
истинная величина радиуса вращения точки В).
В момент, когда АВС
располагается параллельно плоскости П1 радиус
вращения ОВ занимает
положение линии уровня.
Рисунок 11.22 – Нахождение натуральной величины отсека
Новое положение вершины С можно найти в пересечении двух прямых,
из которых одна является перпендикуляром СD, а другая проходит через найденную точку В0 и точку D1. Объединение точек А1, В0 и С0 позволяет построить
АВС в истинную величину.
Определённый интерес представляет решение задачи по нахождению угла
между прямой и плоскостью общего положения (рисунок 11.23).
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известно, что угол между прямой и плоскостью измеряется величиной
плоского угла между рассматриваемой прямой и её ортогональной проекцией
на эту плоскость.





Рисунок 11.23 – Определение угла наклона прямой к плоскости
Решение проводим в следующей последовательности:
а) через точку А на прямой t проводим перпендикуляр s к плоскости Р;
б) ограничиваем отсек плоскости фронталью СВ;
в) методом перемены плоскостей определяем натуральную величину треугольника АВС;
г) графически или аналитически определяем искомый угол .
11.3 Поверхности
Рисунок 11.24 – Сечение цилиндра плоскостью
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сечение наклонного эллиптического (в нормальном сечении – эллипс)
цилиндра горизонтальной плоскостью уровня и фронтально-проецирующей
плоскостью рассмотрено на рисунке 11.24. Результатом пересечения будет, соответственно, окружность и эллипс.
Для построения проекций фигуры сечения цилиндра  необходимо определить точки пересечения образующих цилиндра с плоскостью Р.
Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальным
следом плоскости. Следовательно, задачу можно свести к построению точек,
лежащих в плоскости Р по их фронтальным проекциям.
Для этого достаточно зафиксировать положение нескольких образующих
цилиндра  (ti), построить их горизонтальные проекции и проекции точек
эллипса по их принадлежности образующим.
Наряду с поверхностями вращения часто приходится иметь дело с гранными поверхностями. Рассмотрим сечение прямой трёхгранной призмы плоскостью общего положения Р (рисунок 11.25), когда нижнее основание призмы
также пересекается плоскостью.
Рисунок 11.25 – Пересечение горизонтально-проецирующей
призмы и плоскости
Рисунок 11.26 – Пересечение наклонной призмы и плоскости
Все грани призмы являются отсеками горизонтально - проецирующих
плоскостей. Следовательно, одна проекция сечения уже определена, она ограничена горизонтальным очерком призмы и горизонтальным следом секущей
плоскости.
Причем, нужно отметить, что сечение нижнего основания плоскостью Р
совпадает со следом Р1 этой плоскости.
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, в сечении трехгранной призмы плоскостью общего положения оказывается четырехугольник 1234.
Фронтальная проекция этого четырехугольника 12223242 (рисунок 11.25)
может быть найдена как линия пересечения граней призмы с секущей плоскостью.
На рисунке 11.26 рассмотрена задача на построение линии пересечения
плоскости общего положения Р и трёхгранной наклонной призмы, ребра которой – фронтальные линии уровня. Плоскость рассекает только боковую поверхность, в сечении получается треугольник. Задача сводится к нахождению точек
встречи рёбер призмы с плоскостью. В качестве вспомогательных плоскостей
берутся фронтальные плоскости уровня (Тi), дающие в пересечении с плоскость Р фронтальные линии уровня (fi). Горизонтальные проекции линии пересечения находятся по принадлежности рёбрам призмы.
На умении находить линию пересечения поверхности и плоскости базируется решение задачи на построение точек пересечения линий и поверхностей.
В пересечении поверхности с прямой линией получаются точки, называемые точками входа и выхода. Проиллюстрируем нахождение этих точек на
примере прямой и трехгранной пирамиды (рисунок 11.27).
Рисунок 11.27 – Точки пересечения прямой с пирамидой
Рисунок 11.28 – Точки пересечения прямой с конусом
Известно, что точки пересечения прямой и поверхности лежат в плоском
сечении этой поверхности, образованным плоскостью, проходящей через эту
прямую (раздел 8.5).
Таким образом, задача сводится к отысканию плоского сечения.
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение фронтально - проецирующей плоскости Q позволяет определить
положение линии 123 - искомого плоского сечения. Точки K и N и будут искомыми точками пересечения прямой с поверхностью трехгранной пирамиды.
Аналогично решается задача на пересечение прямой с конусом (рисунок
11.28)
В качестве секущей плоскости здесь используется плоскость общего положения Р, образованная исходной прямой (АВ) и горизонталью h, проходящей
через вершину конуса.
В этом случае конус пересечется с плоскостью по двум прямолинейным
образующим S1 и S2, на которых и располагаются искомые точки пересечения
прямой и конуса.
Положение образующих S1 и S2 определится пересечением горизонтального следа плоскости P1 с основанием конуса.
Все рассмотренное выше может быть использовано для решения задач на
пересечение поверхностей.
Например, пусть требуется построить линию пересечения четырехгранной пирамиды  с прямым круговым цилиндром .
Рисунок 11.29 – Пересечение
пирамиды и цилиндра
Рисунок 11.30 – Расстояние
между точками на поверхности конуса
Верхняя граница (точка 1) линии пересечения может быть найдена в результате пересечения цилиндра с ребрами пирамиды.
Нижняя граница (точка 2)— результат пересечения очерковой образую-
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
щей цилиндра с боковой гранью пирамиды.
Промежуточные точки (4,5)искомой линии найдутся в сечениях поверхностей плоскостями, перпендикулярными оси вращения цилиндра.
Иногда возникает необходимость решить метрическую задачу на поверхности, например: определение площади отсека поверхности или длину линии,
принадлежащей поверхности.
Наиболее простой способ решения задачи - с помощью построения развертки поверхности - приведен на рисунке 11.30.
Для определения расстояния между точками А и В, лежащими на поверхности конуса, необходимо построить развертку боковой поверхности конуса,
найти положение точек на развертке и измерить длину отрезка ВА2.
На рисунке 11.31 приведено развертывание цилиндрической поверхности.
Развертка производится по схеме аппроксимации поверхности 12-гранной
призмой. Натуральная величина сечения находится методом совмещения секущей плоскости с горизонтальной плоскостью проекций.
Развертка усеченной части строится на развертке исходного цилиндра.
Присоединение к развертке боковой поверхности цилиндра и его сечения даст
возможность сделать модель рассеченного цилиндра.
Рисунок 11.31- Развертка усеченного цилиндра
При построении развертки усеченной четырехгранной призмы (рисунок
11.32) сначала строятся грани боковой поверхности призмы, а затем пристраиваются оба основания (нижнее и сечение). Натуральная величина сечения мо-
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жет быть найдена, например, совмещением плоскости Р с плоскостью П1. В соответствии с рисунком 11.32 Р '2- совмещенное (новое) положение следа Р2.
Рисунок 11.32 – Развертка усеченной призмы
Развертка боковой поверхности пирамиды получена следующим образом
(рисунок 11.33).
S
S
S
Рисунок 11.33 – Развертка боковой поверхности пирамиды
Определены методом прямоугольного треугольника длины ребер и сторон основания пирамиды.
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Затем последовательно в плоскости чертежа построены треугольники (по
трем сторонам) — грани пирамиды. К полученному чертежу пристроено основание пирамиды. Точки, определяющие на развертке положение отсеченной
части, найдены пропорциональным делением
11.4 Аксонометрические проекции
В разделе 9 были представлены виды аксонометрических проекций, правила их построения. Построение конкретных геометрических объектов требует
более подробного рассмотрения.
Построение аксонометрических проекций многогранников сводится к построению аксонометрических проекций их вершин и ребер. При этом для симметричных многогранников оси координат обычно совмещают с их осями симметрии.
Рисунок 11.34 - Наглядное изображение призмы
На рисунке 11.34 приведен комплексный чертеж и наглядное изображение правильной шестигранной призмы, выполненное в стандартной изометрической проекции.
Поскольку вторичные проекции вершин призмы совпадают с аксонометрическими проекциями вершин ее нижнего основания, их обозначения не даны.
На рисунке 11.35 приведено построение координатных отрезков для точ110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ки, заданной на поверхности цилиндра и конуса вращения в аксонометрической
проекции. Во всех случаях начало координат взято в центре основания (точка
О),
Рисунок 11.35 - Точки на поверхности
Через заданную на цилиндре точку А' проведена прямая параллельно оси
Z, и из вторичной проекции А1' проведена прямая параллельно оси Y до пересечения с осью X. Отрезки 0'11', 11'A1' и A'A1' позволяют определить координаты
точки А в данной системе осей координат.
Через заданную на конусе точку А' проведена образующая и построена
вторичная проекция (O'B1') этой образующей. Проводя из точки А' перпендикуляр до пересечения c O'B1', получаем вторичную проекцию точки А1'. Координаты точки А определяются так же, как и для точки, принадлежащей цилиндру.
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список использованных источников
1. Гущин, Л. Я.
Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика [Текст] : учебно-методическое пособие / Л. Я. Гущин, Е. А. Ваншина . - Оренбург : ОГУ, 2007. - 292 с. - Библиогр.: с. 213-215. - Прил.: с. 216291. - ISBN 978-5-7410-0742-6.
2. Капкаев, Х. А.
Начертательная геометрия [Электронный ресурс] :
учеб. пособие / Х. А. Капкаев, Т. Г. Конопля, Е. А. Костенецкая; М-во образования и науки РФ, Гос. образов. учреждение высш. проф. образования "ОГУ". Оренбург : ГОУ ОГУ. – 2007
3. Королев, Ю. И.
Начертательная геометрия [Текст] : учебник / Ю. И.
Королев. - CПб. : Питер, 2006. - 252 с. : ил. - (Учебник для вузов). - Библиогр.: с.
242-243. - Алф. указ.: с. 244-251. - ISBN 5-469-00349-3
4. Нартова, Л. Г. Начертательная геометрия [Текст] : учебник для вузов /
Л. Г. Нартова, В. И. Якунин .- 3-е изд., стер. - М. : Дрофа, 2008. - 206 с. : ил. (Высшее образование). - Прил.: с. 168-203. - Библиогр.: с. 204. - ISBN 978-5-35804161-5.
5. Павлова, А. А.
Начертательная геометрия [Текст] : учебник для вузов / А. А. Павлова.- 2-е изд. перераб. и доп. - М. : Владос, 2005. - 301 с. : ил. (Учебник для вузов). - Библиогр.: с. 301. - ISBN 5-691-00386-0.
6. Начертательная геометрия [Текст] : учебник для вузов / под ред. Н. Н.
Крылова .- 10-е изд., стер. - М. : Высш. шк., 2007. - 224 с. - Библиогр.: с. 222. ISBN 978-5-06-004319-8.
7. Тарасов, Б. Ф.Начертательная геометрия [Текст] / Б. Ф. Тарасов, Л. А.
Дудкина, С. О. Немолотов.- 5-е изд., стер. - CПб. : Лань, 2005. - 256 с. : ил. (Учебники для вузов. Специальная литература). - Прил.: с. 166-168. - Библиогр.:
с. 246. - ISBN 5-8114-0312-7.
8. Фролов, С. А. Начертательная геометрия [Текст] : учебник / С. А. Фролов.- 3-е изд., перераб. и доп. - М. : ИНФРА-М, 2007. - 287 с. : ил. - (Высшее образование). - Библиогр.: с. 281. - ISBN 5-16-001849-2.
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение А
(обязательное)
Задачи для самостоятельного решения
Координаты точек A,B,C,D,E,K для решения задач с 1 по 54 брать из таблицы в зависимости от номера варианта.
Задание 1 (ТОЧКА)
1. Построить комплексный чертеж точек А,В,С и D и выполнить наглядное изображение (изометрию). Задачу решить в масштабе 1:1.
2. Построить комплексный чертеж точки М, равноудаленной от двух
плоскостей проекций, и точки N равноудаленной от трех плоскостей проекций.
Записать координаты точек.
3. Построить комплексный чертеж точки, удаленной от фронтальной
плоскости на расстояние вдвое большее, чем от горизонтальной. Записать
координаты точки.
4. Построить комплексный чертеж точек, лежащих на осях ОХ,OY,OZ.
Записать их координаты.
5. Через точку В провести фронтально-проецирующую прямую, а через
точку А горизонтально-проецирующую прямую.
Задание 2 (ПРЯМАЯ)
6. Точки F, L и Т лежат на прямой АВ. Определить их координаты при
условии, что координата ХF = 30 , YL= 30, а ZТ = 10.
7. Определить, лежат ли точки Р, S и Q на прямой CD. Известно, что
фронтальные проекции точек принадлежат фронтальной проекции прямой, а
горизонтальные определяются координатами
Р1(30,40), S1(10,50), Q1(20,35).
8. Отрезок прямой АВ разделить в отношении 1:2:3. Записать координаты точек, делящих отрезок.
9. Прямую AD пересечь горизонтальной линией уровня в точке L
(ZL = 40).
10. Прямую ВС пересечь фронтальной линией уровня в точке Q
(YQ = 30).
11. Через точку D провести прямую k, параллельную отрезку прямой АК.
12. Через точку Е провести прямую, которая бы скрещивалась с прямой
АВ и пересекала прямую CD.
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. Через точку А провести две горизонтальные линии уровня с углами
наклона к фронтальной плоскости проекций в 30 и 60. Отложить на них
отрезки по 50 мм.
14. Через точку К провести горизонтальную линию уровня, пересекающую ось OZ.
15. Через точку В провести две фронтальные линии уровня. Отложить на
них отрезки, отношение длин которых равно 3:2.
16. Через точку А провести фронтальную линию уровня с углом наклона
к горизонтальной плоскости проекций в 60. Отложить на ней отрезок в 30 мм.
17. Прямые AЕ и CD пересечь прямой, отстоящей от горизонтальной
плоскости проекций на расстояние в 40 мм.
Задание 3 (ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ)
18. Построить точку М, лежащую в плоскости АВС, М1 (30,40).
19. В плоскости прямых АВ и АС выделить треугольник так, чтобы одна
из его сторон оказалась линией уровня.
20. Через точку К провести плоскость общего положения Р (плоскость
задать следами) и в ней выделить четырехугольник.
21. Как расположены точки А, Е и К по отношению к плоскости ВСD?
22. Построить чертеж точки М, лежащей в плоскости, заданной параллельными прямыми, если М2(30,40).
23.Построить чертеж точки Т, лежащей в плоскости пересекающихся
прямых АВ и ВС, Т1(20,50).
24. Провести плоскости через точки:
В - горизонтальную уровня (пересекающиеся прямые);
АСDЕ-
фронтальную уровня (параллельные прямые);
горизонтально-проецирующую (треугольник);
фронтально-проецирующую (точка и прямая);
общего положения (задать следами).
25. Прямая LT лежит в плоскости  ( - общего положения задана
следами). Построить L1T1 и L2T2, если известно, L2(30,20) а T2(60,20).
26. Через точку А провести прямую, параллельную плоскости общего
положения  , проходящую через прямую ВК и содержащую точку D (
задать следами).
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задание 4 (ПЛОСКОСТЬ)
27. Построить линию пересечения плоскостей общего положения Р и Q,
заданных следами. Следы взять произвольно, считая, что точка А лежит в
плоскости Р, а точка D в плоскости Q.
28. Построить линию пересечения плоскостей АВС и DEK. (Задачу
решить на комплексном и аксонометрическом чертежах, масштаб 1:1)
Задание 5 (ЗАДАЧИ ПОЗИЦИОННЫЕ)
29. Найти точку пересечения прямой общего положения RS с плоскостью
пересекающихся прямых АС и ВС. Прямую RS взять произвольно.
30. Найти точку пересечения прямой ST с плоскостью, которая определяется прямой АК и точкой Е. Прямую общего положения ST, взять
произвольно.
31. Найти пересечение горизонтально-проецирующей прямой с плоскостью АВС. Прямая проходит через точку М (50,40,25).
32. Найти точку пересечения прямой ЕК и плоскости общего положения.
Плоскость задать следами (следы взять произвольно).
Задание 6 (ЗАДАЧИ МЕТРИЧЕСКИЕ)
(решать без методов преобразования)
33. На прямой АВ найти точку, равноудаленную от концов отрезка СD.
34.Найти геометрическое место точек, равноудаленных от точек А, В и С.
Решить в масштабе 1:1.
35. Из точки D к прямой АВ провести перпендикуляр.
36. Через точку S, которая делит отрезок AD в отношении 1:3, провести
перпендикуляр к этой прямой.
37. Определить угол наклона прямой АВ к фронтальной плоскости
проекций.
38. Определить
расстояние от
точки А до горизонтали,
содержащей точку В.
39. Определить расстояние от точки К до плоскости АВЕ.
40. Определить угол наклона плоскости АВС к горизонтальной
плоскости проекций.
41. Определить длины отрезков АВ, ЕК и ВК.
42. Найти расстояние от точки А до плоскости ВКЕ.
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
43. Определить расстояние от точки К до плоскости общего положения,
проходящей через прямую АВ. Плоскость задать следами.
44. Через точку С провести плоскость, перпендикулярную плоскости
АКЕ.
45. Через прямую АВ провести плоскость, перпендикулярную плоскости
DКЕ .
Задание 7 (ЗАДАЧИ МЕТРИЧЕСКИЕ)
(решать с преобразованием чертежа)
46. Определить расстояние между прямыми АЕ и DK.
47. Из точки К к прямой АВ провести перпендикуляр.
48. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от плоскостей
АВС и DEK.
49. Определить угол наклона плоскости АВE к фронтальной плоскости
проекций.
50. Через точку А провести плоскость, параллельную плоскости общего
положения, проходящей через прямую ВК и содержащую точку Е. Плоскость
задать следами.
Задание 8 (ЗАДАЧИ МЕТРИЧЕСКИЕ)
51. Определить угол между прямой АВ и плоскостью DEK.
52. Определить угол между плоскостями АEС и ВDK.
53. Определить площадь отсека плоскости АВС.
54. Определить положение точки М, лежащей внутри тетраэдра АВЕК,
если известно, что она лежит на прямой, которая проходит через вершину К и
центр тяжести материальных точек А, В и Е. При этом она лежит и в
плоскости, которая делит двугранный угол между плоскостями АВЕ и
АEK на две равные части. Определить натуральную величину отрезка МК.
Задание 9 (КРИВЫЕ ЛИНИИ)
55. Построить эллипс по двум диаметрам ( Dгор = 80 , Dвер = 50 ).
56. Построить окружность R = 30, лежащую в плоскости общего положения P (плоскость взять произвольно)
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
57. По предложенным точкам построить с помощью радиусографического
метода составную кривую (обвод).
X
Y
10
20
40
10
70
50
100
60
130
30
160
50
58. Построить дугу параболы, заданную граничными точками A и B и касательными в них . Построить дугу параболы, заданную тремя точками на рисунке 1.
b
C
B
S
B
ta
A
Рисунок 1
59. Построить сопряжения двух окружностей ( R1 = 40, R2 = 20, O1 O2 =
80 ) прямой линией, третьей окружностью (касание внешнее и внутреннее).
Задание 10(ПОВЕРХНОСТИ)
60. Построить недостающие проекции точек, лежащих на боковой поверхности четырехгранной пирамиды и цилиндра (рисунок 2)
S2
A2
M2
G2
B2
B2=C 2
A2
D2
C1
S1
A1
D1
E1
B1
M1
Рисунок 2 - Точки на поверхности
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S2
M2
A2
S2
G2
D2
S1
A1
S1
D1
B1
Рисунок 3 - Точки на поверхности
61. Построить недостающие проекции точек, лежащих на боковой поверхности прямого кругового конуса и поверхности сферы (рисунок 3)
62. Построить сечения гранной поверхности фронтально проецирующей
плоскостью Q (рисунок 4)
S2
C2=F2
Q2
M2
Q2
QX
A2
B2=C2
C1
A2=B2
D2
D2
QX
C1
A1
S1
D1
A1
Q1
M1
D1
B1
B1
F1
Рисунок 4 - Сечение поверхности проецирующей плоскостью
118
Q1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
63.Построить сечения гранной поверхности плоскостью общего положения Q (рисунок 5)
S2
QX
B2=C 2
C1
A2
2
Q2
2
Q2
A 2=B2
D2
D2
Q
S1
D1
M1
D1
B1
B1
Q1
X
C1
A1
A1
2
F1
Q
Рисунок 5 - Сечение поверхности плоскостью общего положения
64.Построить точку пересечения прямой t с поверхностью конуса и цилиндра (рисунок 6)
65.Построить точки пересечения прямой t с боковой поверхностью наклонного конуса и цилиндра (рисунок 7)
S2
A2
B2=C2
t2
t2
D2
C1
A1
S1
D1
B1
t1
t1
Рисунок 6 - Пересечение поверхности и прямой
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
t
t
2
2
O2
S1
t1
t1
O1
Рисунок 7 - Пересечение прямой и поверхности
66.Построить линию пересечения гранных поверхностей и поверхностей
вращения (рисунок 8)
67. Построить развертки поверхностей из задачи 66, нанести точки линии
пересечения.
68. Построить три проекции тела с вырезом. Отверстия считать сквозными (рисунок 9)
69. Построить наглядное изображение (приведенную аксонометрию) тел
с вырезом из задачи 68.
Рисунок 8 - Пересечение поверхностей
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S2
O2
O2
S1
O1
O1
Рисунок 9 - Пересечение поверхностей
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение Б - Таблица координат для решения задач
№
вар
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
X
20
117
18
120
120
18
15
18
18
117
120
115
16
18
18
117
116
117
115
117
120
115
117
18
117
20
122
A
Y
40
40
40
90
92
10
10
12
40
75
38
7
12
90
79
40
8
90
90
9
10
10
9
9
9
12
40
Z
10
9
9
10
10
90
85
85
50
40
75
85
88
10
40
75
88
9
10
90
90
92
40
46
90
92
75
20
10
40
X
85
52
83
50
50
83
80
85
83
52
50
50
83
83
52
50
52
52
52
48
50
85
83
52
83
85
85
B
Y
110
111
111
25
20
79
80
80
117
6
108
80
80
25
6
107
78
25
25
79
82
80
79
79
79
80
110
Z
80
79
79
80
75
25
20
25
6
107
5
25
25
79
107
6
25
79
80
25
20
25
111
111
25
25
8
52
80
110
X
135
0
135
0
0
135
130
135
135
0
0
0
130
135
135
48
0
0
0
0
0
0
0
135
0
135
0
C
Y
48
47
47
85
80
48
50
50
47
38
54
50
50
83
38
38
46
83
80
48
52
50
48
48
48
50
50
Z
48
48
48
50
46
83
80
80
38
47
40
85
80
48
47
135
80
48
45
83
82
85
47
47
83
85
40
135
48
48
X
70
68
67
70
70
67
70
70
67
135
135
70
70
67
67
20
70
68
65
68
65
70
68
67
68
70
140
D
Y
20
20
20
110
115
85
80
85
20
0
20
85
85
110
0
0
85
110
105
85
80
85
85
85
85
85
20
Z
85
85
85
85
85
110
108
110
0
20
0
110
110
20
0
0
108
85
80
110
110
110
20
110
110
110
20
70
85
20
122
X
0
135
0
135
135
0
0
0
0
68
70
135
0
0
0
68
135
135
130
135
130
135
135
0
135
0
70
E
Y
110
111
111
20
20
36
35
35
111
48
110
40
30
19
48
111
36
19
18
36
38
35
36
36
36
35
110
Z
35
36
36
35
32
19
20
20
48
111
50
20
15
36
111
48
20
36
35
19
20
20
111
111
19
20
50
0
35
110
X
120
14
121
15
10
121
120
120
121
15
15
15
120
121
121
115
15
14
12
14
15
15
14
121
14
120
20
K
Y
80
78
78
20
50
0
0
0
78
86
80
0
0
52
86
78
0
52
50
0
0
0
0
0
0
0
80
Z
0
0
0
0
0
52
50
50
86
78
85
50
52
0
78
86
52
0
0
52
52
50
78
78
52
52
85
120
0
80
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
681
Размер файла
7 648 Кб
Теги
2959, геометрия, начертательной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа