close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2971.Лекции по практической механике

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Л ЕКЦ1И
ПО
ПРАКТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКА,
читанный въ Варшавскомъ Политехническомъ
Института
Императора Николай II
ординарнымъ
профессоромъ
Н. Б. Д Е Л О Н Е .
Съ
-214-ю
ф и г у р а м и .
С.-ПЕТЕРБУРГЪ.
И з д а н ! е К. Л.
РПККЕРА.
HeBCKiif просп. 14.
1901.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Д о з в о л е н о ц е н з у р о ю . С.-Петербургъ, 20-го Марта 1901 г.
Тило-Литограф1я „ Г е р о л ь д ъ " ( В о з и е с е н с ю й
просп., 3).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О Г Л А В Л E HIЕ.
ГЛАВА
I.
Общая Teopin чаш инь.
стр.
1. Поняие о машин*
2. Кинематическая пары
3. Обратимость нары
1
—
<>
5. Прямолинейная - поступательная
—
3
—
4
7. Винтовая пара
8. Кинематическая цт>иь
9. Механизмъ.
—
ГЛАВА
§§
П.
12.
13.
14.
Жидйи звенья
Устройство машины
Основная классификация машинь .
Старая классификащя частей ма­
шины
15. Общее уравнеше машины . . .
16 Пускаше въ ходь
•.
17. Стацюнарное д М е / т е
18.
19. Коэффищентъ полезнаго дъйств1я.
стр.
5
—
6
—
.—
8
—
—
П.
Безполезныя сопротивлешя.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Сущность трешя
10
Скольжеше и катанье
—
Треше скольжешя
11
Опредт>леше величины трешя скольжешя
—
Треше скольжешя въ движенш . 13
Т р е т е катанья
15
Треше катковъ въобщемъ случа-в. 16
Коэффициенты трешя к а т а т я . . 17
Вычисление силы
—
Т р е т е каната о бревно . . . .
18
Тормазъ
19
ГЛАВА
31. Жесткость гибкихъ тЬлъ. . . .
32. Сопротивлеше ЦЕПИ, огибающей
блокъ
33. Сопротивлеше среды
34. TpeHie жидкости
35. Т р е т е шиповъ въ подшинникахъ.
36. Tpenie пяты
37. Коническая нята
38. Сферическая пята
39. Антифрикщонная нята . . . .
40. Колеса трешя
19
21
22
23
24
25
26
27
—
29
III.
Прикладная кинематика плоскаго движешя.
41. Плоское движете
42. Приведете изслЬдовашя плоскаго
движешя т'Ьла къ изученш дви­
жешя фигуры
43. Совместимый и несовмЬстимыя фи­
гуры
44. Д в и ж е т е фигуры определяется движешемъ вектора
45. Центрь перемЬщешя
46. Приложеше теоремы Шаля къ
устройству ломбернаго стола. .
47. Переходъ вектора чрезъ рядъ заданныхъ положевш . . . . .
31
—
48.
49.
50.
51.
—
52.
32
—
53.
33
—
54.
55.
56.
Полодш
Мгновенный центръ
Мгновенный радаусь
Свойство траекторш точекъ фигуры
Скольжеше прутика концами по
двумъ взаимно перпендикуляр­
ным!, нрямымъ
Скольжете прутика концами по
ненерпендикулярнымъ црямымъ .
Крестовый эдлипсографъ . . . .
Эллиптическое д в и ж е т е . . . .
Д в и ж е т е антиэллиптическое" . .
35
—
—
—
36
37
38
39
40 >
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
57. Улитки Паскаля
58. Уравнеше улитокь
59. Траекторга
антиэллинтическаго
движешя
60. Элдиптическш станокъ .Леонардо
да-Винчи.
61.
62.
63.
64.
65.
40
41
—
—
ГЛАВА
1'улетты
Построите некоторых!, трохоид!..
Построеме развертывающей круга.
Мгновенный центр г, шатуна
Построеше скоростей точекъ ша­
туна
43
45
—
46
—
IV.
Шарнирные механизмы.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
Шарнирко-рычажные механизмы .
Шарнирный четырехстороннпкь .
Теорема Грасгофа
Параллелограммъ
Мертвыя и неопределенный положешя
Переходъ ихъ маховикомъ . . .
Переходъ ихъ двумя силами . .
Переходъ ихъ добавочнымъ механизмомъ. Спарникъ
Трехосный спарникъ
Антинараллелограммъ . . . . .
Полодш антипараллелограмма, иоставленнаго на малое звено . .
Уничтожеше неопредъменныхъ ноложенш антипараллелограмма по
1-му способу
Полодш антипараллелограмма, иоставленнаго на большое звено .
Уничтожеше неопред'Ьленныхъ по­
ложений антипараллелограмма по
2-му способу .
Перечислеше способовъ перехода
иеопред'Ьленныхъ положенш . .
48
—
49
51
81. Шарнирно-прор^зные механизмы .
58
82. Пантографъ
П р и б л и ж е н н ы й прямила.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
52
53
—
—
54
—
Задача прямилъ
Простое прямило Watt'a.
Параллелограммъ Watt'a.
Прямило Evans'a
Прямило Чебышева
ПросгЬйшш непрерывный
форматоръ Чебышева .
. .
. . .
60
. 6 1
62
63
64
транс. . .
66
Т о ч н ы » прямила.
55
89. Преобразоваше по обратнымъ рад1усамъ векторамъ
90. Прямая какъ инвершя окружности.
9 1 . Инверсоръ Липкина-Посселье . .
92. Положительный инверсоръ какъ
прямило
93. Отрицательный инверсоръ какъ пря­
мило
94. Инверсоръ Hart'a
95. Второе прямило Hart'a . . . .
56
—
57
—
ГЛАВА
68
—
69
70
—
71
73
V.
Катки и передача вращешя зубчатыми колесами.
H а т и и.
96.
97.
98.
99.
100.
Знамени.: катков ь
Циллиндричесме катки . . . .
Ковичесые катки
Гиперболоидальвые катки . . .
Замена гиперболоидальныхъ катковъ коническими
З у б ч а т ы я нолеса.
101. Переходъ оть катковъ къ зубчатымъ колесамъ
102. Зац'вплеше двухъ цилиндричсскихъ
колесъ
103. Паразитныя колеса
104. Колеса съ шестернями
. .
105. Механизмъ часовъ
106. Везконечный виитъ
74
107. Счетчикъ Вульстена
— |
108. Приближенная зубчатая передача.
75
76
Эпицинличесше механизмы.
79
80
81
—
—
84
8.
8(
8'
8!
109.
ПО.
111.
112.
113.
114.
Эпицикличесме механизмы . . .
Механизмъ Варрета
Планетное колесо Watt'a . . .
Механизмъ Давида
Коничесыя эяицикличесыя колеса.
76
Достижеше весьма точной пере­
дачи
77
115. Динамическое значите эницикли—
ческихъ механизмовъ . . . .
79 i
8!
9'
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА
VI.
Передача вращешя гибкими телами.
§§
116.
117.
118.
119.
Блоки и шкивы
Значение выпуклости шкивовъ . .
Отношеше скоростей шкивовъ. .
Основное услов1е устройства гиб­
кой передачи
120. Отклонеше сбъгающаго конца . .
121. Шкивы въ пересекающихся нлоскостяхъ
122. Отводные шкивы
стр.
94
—
95
96
—
97
123. Шкивы въ параллельных!, плос­
костях!.
97
124. Переводт. ремня на
холостой
шкивъ
9S
125. Ступенчатые шкивы
126". Разсчеть ступенчатых!, шкивовъ
при перекрестной передач* .
99
127. Разсчетъ стуненчатыхъ шкивовъ
при открытой передач*. . . . 100
ГЛА В А
VII.
Храповые механизмы и муфты.
128.
129.
130.'
131.
132.
133.
Храновое коi.ieco съ собачкою .
Задерживаю!дая ссгбачка .
Храповая м;>-фта
Заклиненная муфта.
Муфта Олъддома. . .
Шарниръ Г)та
. 101
102
134.
135.
136.
137.
138.
Шарниръ Губе
. . . .
Двойная храповая муфта
Муфта Пуйэ-Кертье . .
Рычагь Лагоруста . . .
Мальтшское колесо. . .
. 103
. 104
'. 105
. 106
ЮЗ
ГЛАВА
VIII.
Неполный колеса, кулаки и эксцентрики.
139. Неполное колесо въ зубчатой р а к и 107
140. Неполное колесо съ двойнымъ зубчатымъ валомъ,
—
141. Кулачная толчея
108
142. Кулачный эксцентрнкъ очерченный
по Архимедовымъ сииралямъ . 108
143. Кулачный зксцентрикъ . . . . 1 0 9
144. Кулачный эксцентрикъ вь рам* . 110
ГЛ А ВА
IX.
Шатунъ и кривошинъ и обыкновенный зксиентрикъ.
145. Шатунъ и кривошинъ.
146. Эксцентрикъ .
.
.
. 112 i 147. Цринципъ расшнрешя данфъ
.
. 114
114 !
ГЛАВА
X.
Профили зубчатыхъ колесъ.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
.154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.
161.
162.
163.
Назвашя частей зубцонъ. . . . 1 1 6
164. Толщина зубца
Услов1я построешя зубцонъ. . . 1 1 8
165. Уравнеше кръиости зубца
. .
Законъ к а т а т я .
—
166. Онредвлете толщины зубца.
.
Законъ огибающей
—
167. Практически формулы . . . .
Законъ нормали
119
168. Вычерчиваше Эйлеровыхъ колесъ.
Общи выводъ
120
169. Вычерчиваше колесъ Камуса . .
Способъ Камуса
170. Полный чертежи
. . . * . . .
Унрощеш'е профиля
122
17). Дуга зац-Ьплешя и нредълышл
Колесо съ рейкою но Камусу . . —
числа зубцовъ
Внутреннее зац-вилеше по Камусу. 123
172. Сравнеше епособовъ Эйлера и КаОбщее замйчаше
•
124
муса
Способъ Эйлера
—
173. Cepiii колееъ
Кривая зацт>плешя
125 ; 174. Нзготовлеше колесъ
Кривая зацъилешя но Камусу . . — : 175. Формула Савари
Кривая зац-внлетя по Эйлеру . . 126 ; 176. Дуга скольжешя. . . . . . .
Ц^вочниа колеса
—
177. Коничесмя колеса
127
—
129
130
132
133
134
139
—
140
141
145
—
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА
XI.
Т р е т е зубчатыхъ колесъ и винтовъ.
СТР.
§§
178. Относительное движете . . . .
170. Сложете вращешй
180. Т р е т е коническихъ колесъ .
.
!
СТР.
§§
148 [ 182. Треугольная винтовая нар4зка. . 152
— , 183. Прямоугольная нарйзка . . . .
153
. 150 I 184. Треше винтовъ
181. TpeHie цилиндрическихъ колесъ . 152 j 185. Треше червячной передачи
ГЛАВА
—
.
. 156
XII.
Динамометры.
186.
187.
188.
180.
190. Трансмиссюнный динамометръ Наchett'a
• . . . 161
191. TpaHCMHCcioHный
динамометръ
Уайта и Батшельдера . . .
.163
Обыкновенный динамометръ. . . 157
Записывающей динамометръ . . .
—
Нажимъ Прони
158
Снособь Навье
160
ГЛАВА
XIII.
Работа животныхъ и человека.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
Обшдя занЪчамя
Наивыгоднт>йнпя величины . . .
Правило Машека
Формула Машека
Дополнительное правило Машека.
Работа человека
Внтягиваше тяжести изъ шахты заканатъ
164
—
165
—
166
—
—
199. Работа на копрт.
200. Непосредственное поднятЕе
скан1е бабы за рукоятки
201. Еривошипъ
202. Рычагъ
203. Работа лошади . .
.
204. Конный приводъ . . . . .
I 205. Тончакъ
ГЛАВА
166
и ону. . . 167
—
—
. . .
168
. . .
—
169
XIV.
Классификация частей машины.
206. Краткш исторически очеркъ разI 209. Машина какъ механизмъ. . .
.175
вит1я теорш механизмовъ . . . 171 | 210. Главныя подраздйлешя частей ма207. Критика подраздйлешл машины на
шины
175
upieMHHKb, передачу и орудде. . 174 | 211. Классификация деталей . . . .
176
208. Орудае и обработываемыи матеj
pia.ib какъ кинематическая пара. 175 j
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предислов1е.
П е ч а т а т е э т и х ъ л е к щ й , ч и т а н н ы х ъ в ъ 1 8 9 9 — 1 9 0 0 гг. на
П-мъ к у р с Ь Варшавекаго Политехническаго Института И м п ЕР А т о Р А Н И К О Л А Я II, р-Ьшено было мною п о д ъ в л 1 я ш е м ъ мысли,
что с у щ е с т в о в а ш е м ъ печатнаго курса н а и б о л е е близкаго к ъ тому,
что читается с ъ каеедры, всегда облегчается с л у ш а т е л я м ъ изуч е т е предмета. При бйдности-же н а ш е й технической литературы
я н а д е ю с ь , что и этотъ скромный в к л а д ъ в ъ нее н а й д е т ъ сочувCTBie п у б л и к и .
П р и с о с т а в л е ш и э т и х ъ л е к щ й я бодЪе всего п о л ь з о в а л с я
Курсомъ П р и к л а д н о й Механики профессора И. А. Е в н е в и ч а (лекщи, читанный в ъ И н с т и т у т а Г р а ж д а н с к и х ъ И н ж е п е р о в ъ , Спб. 1886),
а также и следующими руководствами:
Худяковъ. Д е т а л и м а ш и н ъ .
Reuleaux.
Theoretische Kinematik.
Reuleaux.
D e r Constructeur.
Burmester.
L e h r b u c h der Kinematik.
Wembach. Ingenieur- und Maschinen-Mechanik (bearbeitet von
Herrmann).
Вейсбахъ. Теоретическая и п р а к т и ч е с к а я механика.
Königs.
Leçons de Cinématique.
Grathof. Theoretische Maschinenlehre.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В в е д е н i е.
П о д ъ именемъ п р а к т и ч е с к о й м е х а н и к и р а з у м ъ ю т ъ у ч е ш е о
м а ш и н а х ъ , состоящее и з ъ цЪлаго ц и к л а п а у к ъ , и з у ч а ю щ п х ъ ма­
шины. Т а к и м ъ образомъ в ъ с о с т а в ь п р а к т и ч е с к о й м е х а н и к и в х о д я т ъ : п р и к л а д н а я к и н е м а т и к а , т е о р 1 я механизмовъ, теор1я сопротивлешя матерьяловъ и у ч е ш е о деталяхъ м а и ш н ъ , гидравлика,
у ч е ш е о тепловых7> д в и г а т е л я х ъ и п р о ч . М н о п я и з ъ э т и х ъ отдт>льн ы х ъ д и с ц н п л и н ъ представлены в ъ нагаемъ И н с т и т у т е о с о б ы м и
каеедрамп. Поэтому, д л я т о г о чтобы о п р е д е л и т ь , ч т о с л ъ д у е т ъ
р а з у м е т ь п о д ъ и м е н е м ъ практической
механики
в ъ томъ с м ы ­
с л е , кактз э т о н а з в а т е употреблено в ъ Положен! и о Инсти­
т у т е , — н а д о д е й с т в о в а т ь п у т е м ъ и с к л ю ч е ш я . Этимъ п у т е м ъ мы
прпходимт» к ъ тому, ч т о в ъ настоящий к у р с ъ д о л ж н ы войти с л е ­
дующее о т д е л ы : о б щ а я т е о р 1 я м а ш и н ъ , теор]'я б е з п о л е з н ы х ъ с о ­
противление п р и к л а д н а я к и н е м а т и к а (по к р а й н е й м ъ р ъ в ъ ея
г л а в н ы х ъ о с н о в а ш я х ъ ) , т е о р 1 я м е х а н и з м о в ъ , о п и с а т е устройства
наиболее тииичныхъ динамометровъ и у ч е т е о механической
работе ч е л о в е к а и ж и в о т н ы х ъ .
П о с л ъ д ш й о т д ъ л ъ п р и н а д л е ж и т ъ к ъ обширному учеш'ю о
м е х а н и ч е с к и х ъ д в и г а т е л я х ъ и, з а в ы д ъ л е ш е м ъ г и д р а в л и ч е с к и х ъ
вътряныхъ, паровыхъ, газовыхъ, керосиновыхъ и электрическихъ
двигателей, к а к ъ с о с т а в л я ю Щ и х ъ предметы д р у г и х ъ к а е е д р ъ , —
этотъ о т д ъ л ъ остается н а долю н а ш е г о курса.
Объемъ к у р с а о п р е д е л я е т с я тЪжъ, ч т о на ч т е ш е е г о пола­
гается 2 ч а с а в ъ н е д ъ л ю в ъ т е ч е н ш 1-го учебнаго года.
Пособ1Ями п р и н з у ч е н ш н а с т о я щ а г о предмета могутъ слу­
ж и т ь руководства, у п о м я н у т а я в ъ иредисловп!, и з ъ к о и х ъ сочнн е ш я Вейсбаха и Г р а с г о ф а обннмаютъ собою большую ч а с т ь
д и с ц и п л и н ъ п р а к т и ч е с к о й м е х а н и к и , понимаемой в ъ ш и р о к о м ъ
з н а ч е н ш этого слова. К р о м е того весьма иолезныя с в е д е ш я
можно п о л у ч и т ь по н а ш е м у предмету и з ъ н е б о л ы н и х ъ , но пре­
красно с о с т а в л е н н ы х ъ б р о ш ю р ъ п р о ф . А л ь б и ц к а г о : 1) Ц и л и н д р и ч е с ю я з у б ч а т а я колеса, 2) К о н и ч е с ш я з у б ч а т а я колеса, п
3) Винтовое зацънденде.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Г л а в а I.
Общая
теория
машинъ.
§ 1. Понятче О машинЪ. Машиною называется
такое
искусствен­
ное соединеше тплъ, въ которомъ они, подъ в.йянгемъ
существующихъ
силъ, могутъ производить
определенный,
цплесообразныя
движенгя.
Поэтому, п р и с т у п а я к ъ и з у ч е ш ю м а ш и н ъ , нужно п р е ж д е
всего познакомиться с ъ тЪмъ, к а к ъ с д ъ д у е т ъ поступить, чтобы
поставить данное тъло в ъ услов1я, позволяющая ему совершать
только определенным д в и ж е т я , переводящая его чрезъ р я д ъ
вполн'Ь оиред-Ьденныхъ положенШ.
§ 2. Кинематическая пара. П о л о ж и м ъ , что требуется поста­
вить твердое тъло А в ъ т а т я услов1я, чтобы оно, п р и своемъ д в и ж е н ш , проходило ч р е з ъ р я д ъ
опредЬленныхъ положешй: А ,
1
А,
1
А", А "...
(фиг. 1 ) .
Эта з а д а ч а р е ш а е т с я весьма
просто слЪдующимъ чрезвы­
чайно общимъ пр1емомъ: беФиг. 1.
р у т ъ некоторое другое непо­
д в и ж н о е т ъ л о В ( ф и г . 2) и д ъ л а ю т ъ в ъ немъ к а н а л ъ MN,
с т а н к и которагопредставляютъ
собою поверхность касательную
к ъ поверхностямъ т ъ л а А во
в с ъ х ъ его з а д а н н ы х ъ положеФиг. 2.
шяхъ.
Поверхность, к а с а т е л ь н а я к ъ ц ъ л о м у р я д у поверхностей,
н а з ы в а е т с я огибающею
этихъ поверхностей и л и и х ъ оберткою
(enveloppe, u m h ü l l e n d e Fläche).
И т а к ъ , в ъ тЪлЪ В устраиваютъ к а н а л ъ MN (фиг. 2), С Т Е Н К И
котораго п р е д с т а в л я ю т ъ собою обертку д а н н ы х ъ положенШ т ъ л а А.
Е с л и в л о ж и т ь тЪло А в ъ такой к а н а л ъ , то оно м о ж е т ь соверДЕЛОНЕ. - - Практическая механика.
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ш а т ь движения только по этому к а н а л у , проходя ч р е з ъ р я д ъ зад а н н ы х ъ п о л о ж е ш й . Это д в и ж е т е м о ж е т ъ быть совершаемо т±ломъ А по к а н а л у MN с ъ р а з л и ч н ы м и скоростями, но т р а е к т о р ш
(пути) в с Ь х ъ т о ч е к ъ т ъ л а А б у д у т ъ в п о л н е определенный.
• Мы будемъ н а з ы в а т ь опред>ъленнымъ
в с я к о е д в и ж е т е гЬла,
в ъ которомъ траекторш его т о ч е к ъ в п о л н ъ о п р е д е л е н н ы .
Можетъ с л у ч и т ь с я , что форма тЪла А и заданный его положения
таковы, что к а н а л ъ , в ъ ф о р м е обертки э т и х ъ п о л о ж е ш й , д о п у с к а е т ъ
еще и в р а щ е ш е т е л а А в н у т р и к а н а л а . Н а п р и м е р ъ , к р у г л ы й ц и л и п д р ъ можетъ в р а щ а т ь с я в ъ к р у г л о м ъ ц и л и н д р и ч е с к о м ъ к а н а л е .
Д л я д о с т и ж е т я о п р е д е л е н н о с т и траекторШ в ъ т а к и х ъ сдуч а я х ъ измЪняютъ форму т ъ л а А и, соответственно, форму к а н а л а :
н а п р и м е р ъ , к р у г л ы й ц и л и н д р ъ снабжаютъ боковыми выступами,
а каналъ—соответственными канавками.
Е с л и бы т е л о В само было п о д в и ж н о , то всетаки находя­
щ е е с я в ъ к а н а л е т е л о А было бы способно совершать только
определенное д в и ж е т е относительно В.
И т а к ъ : для доспгиэюенгя
жений,
чтъла должны
поверхности
одного иэъ тгълъ
части поверхности
определенности
быть соединяемы
другого
была-бы
относительныхъ
попарно такъ,
чтобы
оберткою заданныхъ
дви­
часть
положенш
тала.
Такое соединеше д в у х ъ т е л ъ н а з ы в а е т с я
кинематическою
парою. Т е л а , в х о д я щ ш в ъ с о с т а в ъ пары, называются е я звеньями.
§ 3. Обратимость пары. Т е л о В, б л а г о д а р я сопротивлешю
с т е н о к ъ его канала, будетъ и м е т ь тоже о п р е д е л е н н о е д в и ж е т е
относительно т е л а А . Ч а с т ь поверхности т е л а А , соприкасаю­
щ а я с я со с т е н к а м и к а н а л а MN, п р е д с т а в л я е т ъ собою тоже обертку
р а з л и ч н ы х ъ п о с л е д о в а т е л ь н ы х ъ п о л о ж е ш й с т е н о к ъ к а н а л а MN.
§ 4. Элементы кинематической пары. Т е ч а с т и поверхностей
з в е н ь е в ъ пары, который взаимно с л у ж а т ъ обертками ( н а п р и м е р ъ ,
СТЕНКИ к а н а л а MN и боковая поверхность т е л а А) называются
элементами
кинематической
пары
и л и кинематаческими
элементами
звеньевъ.
§ 5. Прямолинейно-поступательная пара. Е с л и требуется чтобы
в с е траекторш т о ч е к ъ т е л а А были п р я м о л и н е й н ы относительно
звена В, то соединяютъ з в е н ь я А и В в ъ
прямолинейно-поступа­
тельную
пару о д н и м ъ и з ъ слЪдующ и х ъ способовъ.
1) КинематическШ элементъ з в е н а
А у с т р а и в а ю т ъ в ъ в и д е призмы. В ъ
з в е н е В кинематическШ
элементъ
у с т р а и в а е т с я в ъ в и д е соответственн а г о п р и з м а т и ч е с к а г о к а н а л а (фиг. з).
Фиг. з.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
Для
того
закраины,
чтобы
А
не
3
—
проскочило
сквозь В
можно
устроить
а и Ь.
2 ) Элементъ звена А д ъ л а ю т ъ в ъ в и д * призмы. Элементъ
звена В—въ
впдт, призматическаго
щщт.ш
(фиг. 4 ) . Д л я того, чтобы
А не проскочило ч р е з ъ
В дълаютъ закраины а
Фиг. 4.
и Ь. В ъ такомъ у с т р о й с т в а звено А называется
ползуполп.
Очевидно, что и в ъ томъ и в ъ другомъ с л у ч а й : нрп непод­
в и ж н о с т и одного звена, траектории в с ъ х ъ точекъ другого будутъ
п р я м о л и н е й н ы ; и н а ч е г о в о р я : т р а е к т о р ш в с ъ х ъ т о ч е к ъ одного
звена в ъ относнтельномъ д в и ж е ш и по д р у г о м у в ъ такой парт,
прямолинейны.
§ 6. Вращательная пара. Е с л и требуется, чтобы к а ж д о е звено
было способно совершать только вращательное д в и ж е ш е по отнош е ш ю к ъ другому звену, то соедипяютъ з в е н ь я в ъ
вращательную
•пару с л ъ д у ю щ и м ъ образомъ.
<9лемента.\гь з в е н ь е в ъ даютъ форму по­
верхностей в р а щ е ш я (фиг. 5 ) . Ч а щ е всего чти
поверхности д ъ л а ю т ъ ц и л и н д р и ч е с к и м и с ъ
з а к р а и н а м и (фиг. 6 ) .
В п у т р е н ш й элементъ в р а щ а т е л ь н о й пары
называется шипомъ и л и цапфою: в н ъ ш н Ш элемента
шдгаипникомъ.
Если ось в р а щ е ш я вертикальна и внъшнШ
элементъ н е п о д в и ж е н ъ , то онъ называется подпятпикомъ, а в н у т р е н ш й элементъ пятою.
Иногда вращательную п а р у (если ея р а з м ъ р ы
малы) называютъ шарпщюмъ.
ВнъшнШ элементъ
ш а р н и р а н а з ы в а е т с я очтмъ. внутренний шипомъ.
Фиг. 6.
П о д ш и п н и к и и подпятники в ъ б о л ы и и х ъ маш и н а х ъ бываютъ с л о ж н а г о устройства с ъ отверстиями
д л я с м а з к и н с ъ вынимаемыми вкладышами
д л я за­
м е н ы и х ъ , в ъ случат, порчи, новыми. В к л а д ы ш и
д ъ л а ю т с я иногда и з ъ особой бронзы (антифрпкщонный
металлъ) д л я у м е н ы н е ш я т р е ш я ш и п а о в к л а д ы ш ъ .
§ 7. Винтовая пара. Обыкновенные ппнтъ и гайка
(фиг. 7 ) п р е д с т а в л я ю т ъ собою винтовую пару. З д ъ с ь
относительныя траекторш в с ъ х ъ точекъ к а ж д а г о звена
с у т ь в и н т о в ы я л ш п и . П р и неподвижности одного
звена, д р у г о е м о ж е т ъ совершать только
винтовое
движете, п р е д с т а в л я ю щ е е собою, к а к ъ и з в е с т н о , совоФиг. 7.
1*
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
купность движений в р а щ а т е л ь н а г о около оси и п о с т у п а т е л ь н а я
в ъ н а п р а в л е ш и оси.
§ 8. Кинематическая ЦЕПЬ. П о с л е д о в а т е л ь н ы й р я д ъ з в е н ь е в ъ ,
соединенныхъ м е ж д у собою в ъ к и н е м а т и ч е с ю я пары, называется
кинематическою
цепью.
П р и м е р о м ъ такой Ц Е П И м о ж е т ъ с л у ж и т ь р я д ъ
стержней (фиг. 8), соединенныхъ м е ж д у собою
шарнирами.
К и н е м а т и ч е с к а я цт>нь н а з ы в а е т с я
определенною,
если, по отношешю к ъ к а ж д о м у звену, т р а е к т о р ш
в с ъ х ъ т о ч е к ъ о с т а л ь н ы х ъ з в е н ь е в ъ в п о л н е опре­
деленны. Напримеръ шарнирный
четырёхсторон­
ника ABCD
(фиг. 9 ) п р е д с т а в л я е т ъ собою
определен­
ную
кинематическую
ц е п ь , потому ч т о , п р и
н е п о д в и ж н о с т и одного
и з ъ его з в е н ь е в ъ , траек­
т о р ш к а ж д о й точки
остальныхъ
звеньевъ
в
п
о
л
н
е
о
п
р
е
д
еленны.
Фиг. 8.
Фиг. 9.
Е с л и , н а п р и м е р ъ звено
AD с д е л а т ь н е п о д в и ж н ы м ъ , то т р а е к т о р ш т о ч е к ъ звена AB суть
окружности (или д у г и окружностей), о п и с а н н ы я и з ъ А к а к ъ и з ъ
центра; т р а е к т о р ш т о ч е к ъ звена DC суть окружности (или дуги)
описанныя и з ъ D к а к ъ и з ъ центра; т р а е к т о р ш т о ч е к ъ звена ВС
суть (какъ это можно д о к а з а т ь ) к р п в ы я 6 - г о п о р я д к а .
Кинематическая
н а з ы в а е т с я неопределенною,
если, п р и
неподвижности одного и з ъ е я з в е н ь е в ъ , траекторш т о ч е к ъ н е к о т о р ы х ъ з в е н ь е в ъ н е о п р е д е л е н н ы . Напри­
м е р ъ (фиг. 1 0 ) ш а р н и р н ы й
пятисторонникъ
ABCDE
п р е д с т а в л я е т ъ собою н е о п р е д е л е н ­
ную цепь, потому что, п р и неподвижности,
н а п р и м е р ъ , з в е н а AB, м о ж н о описать
какою н и б у д ь точкою m звена ED самыя
р а з н о о б р а з н ы й к р и в ы я : можно н а ч е р т и т ь
точкою m любую букву а з б у к и .
§ 9. Механизмъ. Е с л и в ъ определенной
кинематической цепи
одно звено неподвижно, то г о в о р я т ъ , ч т о цепь поставлена
на это
звено.
цеп
,ь
Определенная
своихъ
звеньевъ,
кинематическая
называется
цепь,
поставленная
на одно
изъ
механиЗМОМЪ.
О п р е д е л е н н у ю к и н е м а т и ч е с к у ю цепь м о ж н о поставить н а
любое н з ъ е я з в е н ь е в ъ . С л е д о в а т е л ь н о , н з ъ одной и той-же ки-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
5
—
нематической ц ъ п и можно получить н е с к о л ь к о механизмовъ по­
становкою ц ъ п и на р а з л и ч н ы й е я з в е н ь я .
Примтръ;
Механизмъ (фиг. 11),
состоящШ и з ъ з у б ч а т ы х ъ к о л е с ъ А и
В, н а д ъ т ы х ъ н а г л у х о на валы, ш и п ы
которыхъ в р а щ а ю т с я в ъ о ч к а х ъ подш и п н и к о в ъ , устроенныхъ на неподвиж­
ной о п о р е D — п р е д с т а в л я е т ъ собою
о п р е д е л е н н у ю ц е п ь , поставленную на
Ф и г . II.
звено D. В ъ этой ц е п и : D соединено
вращательного парою элементовъ съ А: колесо А с о с т а в л я е т ъ
п а р у с ъ колесомъ В; колесо В составляетъ в р а щ а т е л ь н у ю пару
с ъ звеномъ D, а в с я ц е ц ь поставлена н а звено D.
И з ъ этой ц е п и получится другой м е х а н и з м ъ если мы ее
поставимъ па звено А. Тогда звено D будетъ в р а щ а т ь с я около
ш и п о в ъ колеса А; колесо В будетъ к а т и т ь с я по колесу А.
§ 10. Звенья гибкля. З в е н ь я меха­
низма могутъ быть гибкими. Н а п р п м е р ъ , механизмъ (фиг. 12), состояний
и з ъ д в у х ъ ш к и в о в ъ А и В съ нерек и н у т ы м ъ ч р е з ъ н и х ъ безконечнымъ
ремнемъ 8, с о д е р ж и т ъ гибкое звено—
ремень, съ которымъ ш к и в ы А п В
Фиг. 12.
составляютъ пары.
§ 11. Звенья жидкля. З в е н ь я механизма могутъ быть и ж и д ­
кими. Представнмъ с е б е , н а п р и м е р ъ , сосудъ AB (фиг. 13), со­
вершенно заполненный жидкостью, съ н а х о д я щ и м и с я в ъ немъ
п о р ш н я м и а н Ь, н а к а ж д о м ъ и з ъ кото­
р ы х ъ п р и д е л а н ы штоки M и ÎV имеюшде
в и д ъ ц и л и н д р и ч е е к и х ъ стержней, плотно
п р о х о д я щ и х ъ ч р е з ъ о т в е р с и я m и п:
с д е л а н н ы я в ъ с о с у д е . Не трудно в и д е т ь ,
что, вслт>дств1в несжимаемости жидкости,
д в и ж е т е штока M будетъ передаваться
штоку Л (и обратно) ; т а к ъ что, при опус к а н ш М, ш т о к ъ N будетъ подниматься ;
п р и п о д н и м а н ш М, ш т о к ъ N будетъ
опускаться.
7
З д е с ь д в и ж е ш е передается ж и д ­
Фиг. 13.
костью — ж и д к и м ъ звеномъ.
§ 12. Устройство машины. Сопоставляя д а н н ы я в ъ
1-о.мъ
и 9-омъ о п р е д е л е ш я м а ш и н ы и механизма, в н д и м ъ что м е х а н и з м ъ
доставляешь в п о л н е о п р е д е л е н н ы я д в и ж е ш я и что, с л е д о в а т е л ь н о ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
6
—
достаточно у с т р о и т ь м е х а н и з м ъ т а к ъ , чтобы д в и ж е т я его были
ц е л е с о о б р а з н ы и были в ы з ы в а е м ы и л и с и л а м и п р и р о д ы и л и дру­
гою машиною, д л я того чтобы п о л у ч и т ь м а ш и н у . В с я к а я м а ш и н а
есть механизмъ. Мы н а з ы в а е м ъ ее м е х а н и з м о м ъ , к о г д а разсмат р и в а е м ъ только п р е о б р а з о в а ш е движений одного звена в ъ дви­
ж е т я д р у г и х ъ з в е н ь е в ъ . Мы у д е р ж и в а е м ъ за ней название м а ш и н ы ,
когда р а з с м а т р п в а е м ъ , к р о м е того, ч е м ъ и к а к ъ она п р и в о д и т с я
в ъ д в и ж е т е , к а к ъ передается в ъ ней работа и к а к ъ она достигаетъ своей ц е л и .
В с я к а я м а ш и н а , согласно сказанному, состоять и з ъ п о с л е ­
д о в а т е л ь н а я соединения к и н е м а т и ч е с к и х ъ п а р ъ .
§ 13. Основная классификация машинъ. Машины, по ц е л и
и х ъ устройства, п о д р а з д е л я ю т с я на следующее к л а с с ы :
1) Двигатели
или моторы — это т а ю я м а ш и н ы , ц е л ь которыхъ
приводить в ъ д в и ж е т е д р у п я м а ш и н ы . Д в и г а т е л и б ы в а ю т ъ :
паровые (паровыя м а ш и н ы , локомобили), газовые, керосиновые,
водяныя колеса, турбины, э л е к т р и ч е с ю е , двигатели работающие
силою ж и в о т н ы х ъ и л и ч е л о в е к а .
2) Машины транспортирующая—
служащая для п е р е м е щ е т я
предметовъ: н а п р п м е р ъ : локомотивы, автомобили, велосипеды,
подъемный м а ш и н ы , пароходы, насосы, вентиляторы.
3) Машин ыдеформирутц'ш—
с л у ж а щ а я д л я измЪнешя формы
обраоатываемыхъ
предметовъ. Таковы: токарные станки, л е с о п и л к и ,
сверлильныя, долбежный и с т р о г а л ь н ы й м а ш и н ы , толчеи, тре­
пальный и ч е с а л ь н ы я м а ш и н ы , т к а ц ш е и п р я д и л ь н ы е с т а н к и ,
прессы, молота и п р о ч .
S 14. Старая классификация частей машины. В ъ м а ш и н е р а з ­
личаются следующая ч а с т и :
1) Пр'к'мншп, — та часть м а ш и н ы , к о т о р а я п р и ш ш а е т ъ силу
приводящую ее в ъ д в и ж е т е . П о я с н и м ъ это на п р и м е р а х ъ . В ъ
водяной м е л ь н и ц е прхемникомъ с л у ж и т ъ водяное колесо, п р и н и ­
мающее силу воды. В ъ в е т р я н о й м е л ь н и ц е п р 1 е м н и к о м ъ с л у ж а т ъ
крылья, нршшмаюшия силу в е т р а . В ъ паровой м а ш и н е npieMHiiкомъ с л у ж и т ъ п о р ш е н ь , принимающей силу пара. В ъ н о я ш о м ъ
токарномъ с т а н к е щ н е м н и к о м ъ с л у ж и т ъ подножка, п р и н и м а ю щ а я
мускульную с и л у н о г и р а б о ч а г о . В ъ б о л ы д и х ъ с т а н к а х ъ iipieMHuiками с л у ж а т ъ шкивы, принимающая силу паровой м а ш и н ы (или
другого д в и г а т е л я ) отъ п е р е к и н у т ы х ъ ч р е а ъ эти ш к и в ы ремней
и проч.
2) Орудк — та ч а с т ь , которая обрабатываетъ п р е д м е т ъ : сверло
с в е р л и л ь н о й м а ш и н ы ; р е з е ц ъ токарнаго с т а н к а ; ж е р н о в а м у к о ­
мольной м е л ь н и ц ы и п р о ч .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
3) Трансмиссия
7 —
или передаточный
механизмъ
— служащШ д л я
п е р е д а ч и движевля отъ преемника к ъ орудию.
Эта классификацхя не можетъ быть проведена с ъ н а д л е ж а щ е ю
строгостью, и потому Рёло (Reuleaux) з а м т ш и л ъ ее, в ъ шестпдес я т ы х ъ г о д а х ъ X I X - г о столтлгя, д р у г о ю — б о л ъ е строгою. Однако
с т а р а я классификация п р е д с т а в л я е т ъ н ъ к о т о р ы я удобства н она
до с и х ъ п о р ъ в ъ б о л ы и е м ъ ходу у п р а к т п к о в ъ . Поэтому совре­
менному механику необходимо освоиться н со старою к л а с с и ф и к а щ е ю и с ъ к л а с с и ф и к а щ е ю Рёло, с ъ которой познакомимся в ъ
к о н ц е курса, когда запасемся болынимъ количествомъ д а н н ы х ъ
д л я к р и т и ч е с к о й ОЦЕНКИ о б ъ и х ъ классификаций.
§ 15. Общее уравнение машины. И п т е г р а л ъ ж и в ы х ъ с и л ъ
8
2~ -2=?-^
с»
выражаюшдй, что п р и р а щ е ш е ж и в о й силы системы равно р а б о т ь
д ъ й с т в у ю щ и х ъ н а нее с и л ъ , — д а е т ъ возможность и з с л ъ д о в а т ь
самымъ общимъ образомъ дъйств!е какой-бы то н и было м а ш и н ы ,
хотя-бы ц ъ л о й фабрики.
Д л я этого надо впрочемъ немного и з м ъ н и т ь в и д ъ второй
части у р а в н е ш я (1). Примемъ слъдуюшдя о б о з н а ч е т я .
Т„ = п о л е з н а я работа, составляющая ц ъ л ь машины.
Т = работа д в и г а т е л я .
Тл = работа т р е ш я и д р у г и х ъ безиолезныхъ сопротивлении.
Р = в-ъсъ в с ъ х ъ п о д в и ж н ы х ъ частей машины, сосредото­
ченный в ъ н х ъ ц е н т р в тяжести.
г=
ордината этого центра т я ж е с т и в ъ моментъ t .
т
0
0
г = ордината этого центра т я ж е с т и в ъ моментъ t.
Уравнение (1) принимаешь в и д ъ :
2^-2^=Г.--Г.-Г.
+ Р(*о-*)-
•(*)
П о л ь з у я с ь э т и м ъ о б щ и м ъ у р а в н е ш е м ъ машины, разсмотримъ
три фазы е я движения: 1) п у с к а ш е в ъ ходъ, 2 ) стацдояарное д ъ й CTBie и 3) остановка.
§ 16. Пускаше въ ходъ. В ъ н а ч а л ъ этой фазы, когда м а ш и н а
е щ е находилась в ъ покоъ, в с в г были равны нулю. Е с л и ч л е н ъ
Р (г —г)
н и ч т о ж е н ъ , то и з ъ (2) и м ъ е м ъ :
0
0
Г
Г
2"?=- -" Здъсь лъвая
Гй
(3)
ч а с т ь п р е д с т а в л я е т ъ собою в е л и ч и н у сущест-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
8
—
венно-положительную; с л е д о в а т е л ь н о и п р а в а я
быть положительна, то есть д о л ж н о быть:
Т
т
>
Т
и
+
часть
должна
Т
(4)
в
работа д в и г а т е л я во в р е м я п у с к а ш я в ъ х о д ъ д о л ж н а быть болъе
суммы работъ полезныхъ и безполезныхъ сопротивлений.
Е с л и и о с л е д н н м ъ ч л е н о м ъ у р а в н е ш я (2) н е л ь з я пренебречь,
то п о л у ч и м ъ д л я п у с к а ш я в ъ х о д ъ :
Т ,-\-Р(г
я
— г)>Т ^-Т
0
и
(5)
я
§ 17. Стационарное дъйств]е, п р и которомъ и п р о и с х о д и т ъ
именно н о р м а л ь н а я работа, есть у с т а н о в и в ш е е с я д в и ж е ш е ма­
ш и н ы . В ъ огромномъ б о л ь ш и н с т в е с л у ч а е в ъ в ъ т е ч е н ш этой
ф а з ы в с е скорости и л и остаются постоянными и л и и з м е н я ю т с я
периодически. Всегда м о ж н о выбрать п р о м е ж у т о к ъ времени t—1
такимъ, чтобы онъ с о д е р ж а л ъ в ъ с е б е ц е л о е ч и с л о п е р ш д о в ъ .
Тогда
0
T =T
m
+
H
T
(6)
a
Ф о р м у л а (6) и о к а з ы в а е т ъ , ч т о въ теченш стащонарнаго
дгъйствгя работа двигателя
равна суммгъ работъ
полезныхъ
и
безполез­
ныхъ
сопротивлений.
§ 18. Остановка. Эта ф а з а к о н ч а е т с я п о к о е м ъ в с е х ъ частей
машины и н а ч и н а е т с я с к о р о с т я м и v стащонарнаго действ1я. Д в и ­
гатель п р е к р а щ а е т е свою работу. С л е д о в а т е л ь н о д л я п р и л о ж е ш я
у р а в н е ш я (2) к ъ ф а з е остановки надо в ъ него подставить о в м е ­
сто v ; v в м е с т о i; ; Т — о. П о л у ч и м ъ :
0
т
T
=
- T
u
- T
R
+
P{z -z)
0
.
.
.
.
(7)
Если иоследнШ ч л е н ъ ничтоженъ, то:
2?
= ^ + ^-
• •
СО
вплоть д о о к о н ч а т е л ь н а г о и с т о щ е ш я
§ 19. Коэффиилентъ полезнаго д£йств1'я. Невозможно изба­
виться совершенно о т ъ т а к и х ъ безполезныхъ сопротивленШ к а к ъ ,
наиримЪръ, TpeHie д в и ж у щ и х с я частей. Поэтому всегда часть
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
__ 9 —
работы д в и г а т е л я и д е т ъ на п р е о д о л ъ ш е безполезныхъ сопротив л е ш й ; м е ж д у т ъ м ъ , к а к ъ мы в и д е л и , в ъ стащонарномъ д-ЪйCTBin
Т
т
=
Т
и
+
(6)
Т
в
С л е д о в а т е л ь н о всегда
Т
Т
и
т
работа полезная м е н ь ш е работы д в и г а т е л я , т а к ъ что отношеше
7 м
Т
m
<
1
О)
L
Ч'Ьмъ больше эта п р а в и л ь н а я дробь
приближается
е д и н и ц е , т е м ъ с о в е р ш е н н е е м а ш и н а с ъ точки з р е ш я
къ
использо-
т
в а т я работы д в и г а т е л я . Это отношеше ~ называется
коэффицгентомъ полезнаго
dnuemein м а ш и н ы ; о н ъ обозначается буквою t\,
такъ что:
-£- = Ч < 1
(Ю)
J- m
В ъ л у ч ш и х ъ м а ш и н а х ъ не удалось довести его до значения
большего 0,95.
В п р о ч е м ъ и п р и н и з к о м ъ •»] н е к о т о р ы я м а ш и н ы признаются
хорошими, если малость в е л и ч и н ы т) в ы к у п а е т с я д р у г и м и удоб­
ствами. Е с л и , н а п р и м е р ъ , за д в и г а т е л ь паровой м а ш и н ы п р и н и ­
мать число б о л ы и и х ъ калорШ, доставляемыхъ с г о р а ш е м ъ к а ж д а г о
килограмма у г л я в ъ т о п к е , то к о э ф ф и щ е н т ъ полезнаго действ1я
паровой м а ш и н ы оказывается не п р е в о с х о д я щ и м ъ
0,15
Но, с ъ д р у г и х ъ точекъ з р е ш я , одна и з ъ н о л е з н е й н ш х ъ маш и н ъ — это п а р о в а я .
Л е т ъ 6 тому н а з а д ъ Diesel,
и з с л е д у я теоретически термо­
д и н а м и ч е с к и процессъ в ъ г а з о в ы х ъ д в и г а т е л я х ъ , в и д о и з м е н и л ъ
его т а к ъ , что к о э ф ф и щ е н т ъ полезнаго дейеттая п о д н я т ь теперь
в ъ м а ш и н е Д и з е л я (уже конструированной) до 0,25. Эту м а ш и н у
о ж и д а е т ъ , в е р о я т н о , б л е с т я щ а я будущность.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Г л а в а II.
Безполезныя еопротивлешя.
§ 20. Сущность трешя. Одно и з ъ н а и б о л ы и и х ъ безполезныхъ
сопротивление п р е д с т а в л я е т ъ собою т р е т е .
Пока теплоту с ч и т а л и особаго р о д а жидкостью, т р е ш е объ­
я с н я л и и с т и р а ш е м ъ т р у щ и х с я поверхностей. С ъ этой точки з р ъ ш я не поддавался объяснешю фактъ существовашя значительнаго т р е ш я м е ж д у т а к и м и г л а д к и м и поверхностями, п р и т р е н ш
которыхъ не образуется н и к а к о г о п о р о ш к а .
Теперь мы р а з с м а т р и в а е м ъ т р е т е к а к ъ такое я в л е ш е , п р и
которомъ ж и в а я с и л а в и д и м а г о д в и ж е ш я преобразуеття в ъ ж и в у ю
силу м о л е к у л я р н ы х ъ д в и ж е н ш , п р о я в л я ю щ и х с я к а к ъ теплота и л и
электричество.
Дтшствхемъ т р е ш я у м е н ь ш а е т с я ж и в а я сила в и д и м а г о д в и ­
ж е ш я . Поэтому въ механике
сопроттляюгцаяся
трете
разсматривается
какъ
сила,
движенгю.
§ 21. Скольжеше и каташе. В о о б р а з и м ъ себъ д в а тт^ла д в и жущ1яся т а к ъ , что во в с я к о е в р е м я д в и ж е ш я с у щ е с т в у е т ъ соnpiîKOCHOBeHie м е ж д у ними. П о л о ж и м ъ (фиг. 14), что в ъ и з в ъ с т н ы й
моментъ в ъ точк Ь соприкосновен1я н а х о д я т с я
т о ч к а а п е р в а г о и т о ч к а я ' втораго ттзла. По
п р о ш е с т в ш безконечно малаго п р о м е ж у т к а в р е ­
мени dt в о й д у т ъ в ъ с о п р и к о с н о в е т е у ж е д р у п я
т о ч к и т ъ л ъ , и м е н н о т о ч к а Ъ п е р в а г о гЪш и
т о ч к а Ь' втораго. Б е з к о н е ч н о м а л ы я д у г и ab и
а'Ь', которыя м ы о б о з н а ч и м ъ ч р е з ъ ds и ds' суть
п у т и п р о й д е н н ы е точкою с о п р и к о с н о в е ш я по
п о в е р х н о с т я м ъ п е р в а г о и втораго тт>ла. П р и
этомъ могутъ быть т р и с л у ч а я :
1) Одна и з ъ д у г ъ , наприм'Ьръ, ds' будетъ р а в н а нулю
г
ds' =
О
Тогда г о в о р я т ъ , что второе тЪло скользить по п е р в о м у : второе
тЬло с к о л ь з и т ь по п е р в о м у , п р и к а с а я с ь к ъ нему в с е тою ж е
самою точкою о'.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 11 —
П р о я в л я ю щ е е с я п р и этомъ т р е т е н а з ы в а е т с я т р е ш е м ъ 1-го
р о д а и л и третемь
скольженгя.
2) Д у г и ds и ds' могутъ быть, в ъ т е ч е н ш д в и ж е ш я р а в н ы м и
между собою
ds =
ds'
Такое д в и ж е т е называется чистымъ
кататемъ.
Проявляю­
щ е е с я п р и этомъ т р е т е называется т р е ш е м ъ 2-го рода и л и тренгемъ
кататя.
3) Д у г и ds и ds' не р а в н ы м е ж д у собою, но л е ж а т ь по одну
сторону отъ точки с о п р и к о с н о в е т я : П о л о ж и м ъ :
ds >
ds'.
Такое д в и ж е ш е н а з ы в а е т с я с м ъ ш а н н ы м ъ и з ъ к а т а т я
с к о л ь ж е ш я . Именно, в ъ этомъ с л у ч а ъ т ъ л а с к о з л я т ъ йа пути
и
ds — ds'
и к а т я т с я в ъ то-же в р е м я dt н а пути ds'.
Е с л и во 2-омъ и 3-мъ с л у ч а ъ ds и ds л е ж а т ь по объ сто­
роны отъ точки к а с а ш я , то они с к о л ь з я т ъ на пути
1
ds -J- ds'
и к а т я т с я на пути ds'.
§ 22. Тренде скольжешя. Оно бываетъ к а к ъ мы в и д ъ л и (§ 21
с л у ч а й 1-й), когда о д н ъ и т ъ - ж е точки одного т ь л а соприка­
саются с ъ р а з л и ч н ы м и точками другаго т ъ л а
З а к о н ы т р е ш я е щ е не достаточно точно изслъдованы. Пока
в ъ п р а к т и к ъ пользуются законами выведенными Мореномъ (Morin,
ж и в ш г й в ъ с р е д и н ъ X I X столътая) и состоящими в ъ с л ъ д у ю щ е м ъ .
1-й законъ трешя скольженгя : Т р е ш е пропорщонально нор­
мальному давленпо ( д а в л е т ю по нормали к ъ с о п р и к а с а ю щ и м с я
поверхностямъ).
2-й законъ трешя скольженгя:
Треше не з а в и с и т ъ отъ вели­
ч и н ы т р у щ и х с я поверхностей.
3-й законъ трешя скольженгя: Tpenie в ъ д в и ж е н ш м е н ь е чъмъ
т р е ш е при н а ч а л ъ д в и ж е ш я .
4-й законъ трен/я скольжешя:
Треше зависитъ отъ физичес к и х ъ свойствъ т р у щ и х с я поверхностей и о т ъ матер1ада, и з ъ
котораго онъ- с д ъ л а н ы .
TpeHie весьма мало и з м е н я е т с я с ъ и з м ъ н е ш е м ъ скорости
движешя.
§ 23. ОпредЪлеше величины тренЫ скольжешя. Д л я опредъл е ш я в е л и ч и н ы т р е ш я пользуются наклонною плоскостью.
У с т р о и м ъ и з ъ какого н и б у д ь м а т е р ь я л а доску с ъ плоскою
верхнею поверхностью т а к ъ , чтобы можно было ставить ее к р у ч е
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 12 —
и отложе ( ф и г . 15), то есть м о ж н о было-бы и з м е н я т ь у г о л ъ а нак л о н е ш я плоскости к ъ горизонту. П о л о ж и м ъ на н а ш у плоскость,
поставленную п о д ъ м а л ы м ъ у г л о м ъ а
к ъ горизонту, какое нибудь т е л о M и
будемъ у в е л и ч и в а т ь у г о л ъ а (придавать
постепенно б о л е е крутое п о л о ж е т е пло­
скости). Д о й д е м ъ , наконецъ, до такого
крутаго п о л о ж е ш я плоскости, п р и котор о м ъ т-Ьло M н а ч н е т ъ с к о л ь з и т ь по н е й
книзу. Пусть <р будетъ то з н а ч е ш е перем ъ н н а г о у г л а а, п р и которомъ т ъ л о Ж н а ч а л о скользить. Уголъ ср
того наклонетя
плоскости,
при которомъ
тало,
на нее положенное,
на­
чинаешь скользить, называется
угломъ трешя. При а > ф т ъ л о M
не будетъ д е р ж а т ь с я на плоскости. П р и ос < ; а оно будетъ л е ж а т ь
на ней в ъ покой. Д л я к а ж д а г о т ъ л а M и д л я к а ж д а г о матерьяла,
и з ъ котораго с д е л а н а н а к л о н н а я плоскость, наблюдается свой
уголъ тренгя ср. Посмотримъ, в ъ к а к о м ъ соотношенш н а х о д и т с я
этотъ у г о л ъ с ъ тою силою, сопротивляющеюся д в и ж е ш ю , которую
мы н а з в а л и т р е ш е м ъ .
Р а з л о ж и м ъ в е е ъ Р т е л а M н а д в ъ силы, и з ъ к о и х ъ одна
N п е р п е н д и к у л я р н а (нормальна) к ъ н а ш е й наклонной плоскости,
а д р у г а я Q п а р а л л е л ь н а ей. В ъ моментъ когда т ъ л о M н а ч и н а е т ъ
скользить, то есть п р и а = <р, с и л а Q р а в н а и п р о т и в у п о л о ж н а
с и л е F т р е ш я , т а к ъ к а к ъ в ъ этотъ моментъ в с в силы д е й с т в у ­
ющая н а т ъ л о е щ е н а х о д я т с я в ъ р а в н о в ъ е ш . Это можно п р и н я т ь ,
потому, что п р и у г л е а, м е н ы п е м ъ ч ъ м ъ ср на безконечно' малую
величину, р а в н о в ъ а е с у щ е с т в у е т ъ : с и л а ж е N у н и ч т о ж а е т с я противодт>йств1емъ плоскости. Между т ъ м ъ и з ъ ч е р т е ж а (фиг. 15)
видно, что
Q =
С л е д о в а т е л ь н о : F—Q
N.tg?
= N. tgy.
F =
(11)
Итакъ :
N.
(12)
tgy
Но по з а к о н а м ъ Морена F п р о п о р щ о н а л ь н о N, то е с т ь :
F =
f.N
г д е f коэффищентъ пропорщональности.
находимъ:
f=*99
(13)
С р а в н и в а я (12) с ъ (13)
(14)
Ч и с л о f н а з ы в а е т с я коэффгщгентомъ
тренгя. И з ъ (14) видно,
что к о э ф ф и щ е н т ъ тренгя р а в е н ъ тангенсу у г л а трешя. Но наблюдешямъ угловъ трешя о п р е д е л я ю т с я к о э ф ф п щ е н т ы трешя и со­
ставляются таблицы. З н а я ж е f можно по ф о р м у л е (13) опреде­
лить и самое т р е т е F, если известно давление N.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И т а к ъ : т р е ш е с к о л ь ж е н ш о п р е д е л я е т с я по ф о р м у л е (13)
коэффищенты-же f берутся и л и и з ъ т а б л и ц ъ и л и и з ъ опыта н а д ъ
с к о л ь ж е т е м ъ т е л а по наклонной плоскости.
П р и в о д и м ъ таблицу к о э ф ф и щ е н т о в ъ трен1я скольжевля,
п р и н а ч а л е д в и ж е ш я или, к а к ъ г о в о р я т ъ , „ т р е ш я в ъ п о к о е " .
Коэффициенты трешя скольжения въ поноЪ.
НАЗВАН1Я Т Р У Щ И Х С Я
ТъМГЪ.
Д у б ъ по д у б у
Д у б ъ по д у б у
Д у б ъ по д у б у
Д у б ъ по д у б у
Ясень, ель, б у к ъ , рябина но д у б у
1
Состояте
!
Расположеше
поверхностей.
j
волоконъ.
f
Параллельны
1
движенш.
i
Параллельны
j Смазаны мыломъ
1
движенш.
: Перпендикулярны!
Б е з ъ смазки.
движенш.
I
Смочены водою. ; Перпендикулярны!
движенш.
[
В е з ъ смазки.
Б е з ъ смазки.
Параллельны,
i
0,62
0,44
0,54
0,71
0,53
1
Пеньковая веревка но д е р е в у . .
Б е з ъ смазки.
Параллельны,
Ремень но деревянному барабану
Б е з ъ смазки.
Перпендикулярны.!
0,47
Р е м е н ь по металлнческ. б а р а б а н у
Б е з ъ смазки.
—
0,28
j 0,80
;
i 0,16
Б е з ъ смазки.
;
Камень но жел-взу
Б е з ъ смазки.
—
0,49
Б е з ъ смазки.
Д е р е в о по камню
К и р п и ч ъ по камню
0,65
0.19
Б е з ъ смазки.
Стоймя.
0,63
Б е з ъ смазки.
—
0,74
Б е з ъ смазки.
j
0,67
Таковы коэффпщенты т р е ш я с к о л ь ж е ш я „ в ъ п о к о е " . Коэф­
фициенты трен1я с к о л ь ж е ш я въ двнжеши нмйють н е с к о л ь к о мень­
шую в е л и ч и н у .
§ 24. Коэффициенты трешя скольжешя въ движенш. Д л я
о п р е д е л е ш я такого коэффициента устанавливаютъ наклонную
плоскость п о д ъ у г л о м ъ
« > ?•
мгьрт
Тогда т е л о будетъ с к о л ь з и т ь по плоскости д в и ж е ш е м ъ , равноу с к о р е н н ы м ъ , т а к ъ к а к ъ т р е ш е не з а в и с и т ь отъ скорости
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 14 —
д в и ж е ш я . Обозначнмъ ч р е з ъ s д л и н у пути, нронденнаго г в л о м ъ
по плоскости в ъ теченш t с е к у н д ъ ; ч р е з ъ д' у с к о р е ш е д в и ж е ш я
т ъ л а по плоскости; ч р е з ъ g ускоренie (равное 9 8 1 сантиметр, в ъ
секунду) земнаго тяготения.
Иолучимъ:
Р
масса д в и ж у щ е г о с я т ъ л а
У
, гдъ Р =
въсу тъла.
Q — F — д в и ж у щ а я сила.
Поэтому:
Q— F =
Psina
— f. Р.
Posen.
9
Но по з а к о н а м ъ р а в н о м е р н о ускореннаго д в и ж е ш я , обозна­
ч а я пройденный путь ч р е з ъ s, и м ъ е м ъ
9
=
2£
Следовательно :
Р
2.S— • , =
9
f"
.
.sinn. - f.P.
Р
cosa.
Отсюда:
f =
2s
tga
(15)
g .t-.
cosa
В е л и ч и н ы s, t, а о п р е д е л я ю т с я наблюдешемъ и, зная нхъ,
в ы ч и с л я е м ъ по (15) в е л и ч и н у к о э ф ф и щ е н т а f.
Приводимъ таблицу этихъ коэффищентовъ:
Коэффициенты трешя скольжешя въ движеши.
НАЗВАНЬЯ Т Р У Щ И Х С Я
ТЪЛЪ.
Д у б ъ по д у б у
Д у б ъ по д у б у
Д у б ъ по д у б у
Состояше
Расположеше
поверхностей.
волоконъ.
f.
Б е з ъ смазки.
Параллельны.
0,48
С м а з а н ы мыломъ.
Параллельны.
0,16
Б е з ъ смазки.
Перпендикулярны.
0,34
С м о ч е н ы водою. П е р п е н д и к у л я р н ы .
0.25
Ясень, ель, б у к ъ , р я б и н а по д у б у .
Б е з ъ смазки.
Параллельны.
0,38
Ч у г у н ъ по д у б у
Б е з ъ смазки.
Параллельны.
0,49
Ч у г у н ъ по д у б у
Смочены водою.
Параллельны.
0,22
Ч у г у н ъ по д у б у
С м а з а н ы мыломъ.
Параллельны.
0,19
Б е з ъ смазки.
Параллельны.
0,27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Н А З В А Н Ш Т Р У Щ И Х С Я ТЪЛТ>.
Р е м е н ь но д е р е в у
Пеньковая веревка п о д у б у . . .
Пеньковая веревка по д у б у . . .
j
Состояше
i
поверхностей.
I
В е з ъ смазки.
Плашмя.
Б е з ъ смазки.
Параллельны.
Расположеше
!
волоконъ.
Смочены водою. Перпендикулярны.
f.
'• 0.32
0,52
0,33
Ж е л ъ з о по ч у г у н у и б р о н з *
. .
Б е з ъ смазки.
—
0,18
Ч у г у н ъ по ч у г у н у и б р о н з ъ
. .
Б е з ъ смазки.
-
0,15
К а м е н ь по камню
Б е з ъ смазки.
Д е р е в о п о камню
Б е з ъ смазки.
—
0,38
Металлъ по камню
Смочены водою.
—
0,30
К и р п и ч ъ по камню
Б е з ъ смазки.
—
0,60
0,64
|
§ 25. TpeHie каташя. При к а т а н ш одного т ъ л а по другому
п р о я в л я е т с я т р е т е , которое и з с л ъ д о в а н о было Куломбомъ и, впос л ъ д с т в ш , Мореномъ. Куломбъ к л а л ъ ц и л и н д р ы на два горизон­
тальные бруска AB и А'В (фиг. 16
и 17) н, п е р е к и н у в ъ ч р е з ъ такой
ц и л и н д р ъ веревку, з а с т а в л я л ъ ка­
титься ц и л п н д р ъ т ъ м ъ , ч т о на концы
веревки надтзва.тънеравные г р у з ы
1
Фиг. 17.
Р и Р\ которые подбирались такъ, чтобы ц и л и н д р ъ к а т и л с я
равном'Ьрнымъ д в н ж е ш е м ъ . По в е л и ч и н е д в и ж у щ е й силы, то есть
разнести
в ы ч и с л я л о с ь т р е т е к а т а ш я . И з ъ т а к н х ъ опытовъ Куломбъ в ы в е л ъ
следующее законы т р е ш я к а т а ш я .
1) Т р е т е к а т а ш я пропорщонально нормальному д а в л е т ю .
2) Оно обратно п р о п о р щ о н а л ь н о радиусу к а т я щ а г о с я цилиндра.
3) Оно з а в и с и т ъ отъ свойствъ и матерьяла т р у щ и х с я поверх­
ностей.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
—
16
Поэтому если п р и м е м ъ с л ъ д у ю г щ я обозначения: F т р е ш е
к а т а ш я , f коэффицдентъ т р е ш я к а т а ш я , N нормальное д а в л е ш е
т р у щ и х с я поверхностей, г рад1усъ ц и л и н д р а , — то п о л у ч и м ъ ф о р мулу
(16)
F = f ~
§ 26. Изслвдоваше трешя катан1Я въ самомъ общемъ случаъ.
Представимъ с е б е , что д в и ж у щ а я сила Р, п р о и з в о д я щ а я
(вмъстъ с ъ т р е ш е м ъ ) р а в н о м е р н о е д в и ж е т е , п р и л о ж е н а (фиг. 18)
по касательной к ъ н е к о т о р о й о к р у ж н о с т и рад1уса р концентри­
ческой с ъ п о п е р е ч н ы м ъ с е ч е шемъ катящагося цилиндра.
Обозначимъ ч р е з ъ о. у г о л ъ , со­
ставляемый этою касательно»)
с ъ горизонтальною плоскостью.
Пусть г есть рад1усъ ц и л и н д р а
н СС =s путь пройденный ц е н тромъ поперечнаго с е ч е ш я ци­
л и н д р а в ъ н е к о т о р ы й промеФ и г . 18.
ж у т о к ъ времени. В ъ к о н ц е
этого п р о м е ж у т к а точка .4 ц и л и н д р а , которою онъ в ъ н а ч а л е
разсматриваемаго п р о м е ж у т к а в р е м е н и к а с а л с я горизонтальной
плоскости, — о к а ж е т с я в ъ т о ч к е А , о п р е д е л я е м о й по условхю :
0
д у г а А А' = s
(17)
0
где А ' есть точка, которою ц и л и н д р ъ к а с а е т с я г о р и з о н т а л ь н о й
плоскости в ъ к о н ц е р а з с м а т р и в а е м а г о п р о м е ж у т к а времени, по­
тому что мы п р е д п о л а г а е м ъ , что ц и л и н д р ъ к а т и т с я б е з ъ сколь­
ж е ш я . Точка В п р и л о ж е ш я с и л ы Р о к а ж е т с я в ъ В , о п р е д е л я е ­
мой по у с л о в ш :
0
<
В С'В'
0
=
<
А С'А'
(18).
0
Обыкновенно т р е ш е к а т а ш я р а з с м а т р и в а ю т ъ к а к ъ силу п р и ­
ложенную к ъ центру п о п е р е ч н а г о с е ч е ш я ц и л и н д р а . Д л я опред е л е ш я этого т р е ш я F с р а в н и м ъ его работу с ъ работою с и л ы Р .
Работа силы Р на п у т и s поступательнаго д в и ж е ш я будетъ
P. s. cos а.
Но к р о м е того т о ч к а п р и л о ж е ш я силы Р п р о х о д и т ь вследсттое
в р а щ а т е л ь н а г о д в и ж е ш я ц и л и н д р а д у г у В аВ'
и работа на пути
по этой дуге ВаВ' = s —
0
P.8.Ï-.
Г
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17
—
П р и р а в ш м Ь р н о м ъ к а т а ш и работа д е й с т в у ю щ е й
работа т р е ш я д о л ж н ы быть р а в н ы . С л е д о в а т е л ь н о :
F. s =
P. s. cosa-\-P.
силы
s.
и
(19)
Отсюда:
F =
Р
(co.sa
+
Но по (16)
F =
f*L
г
Следовательно :
р
f=-y
(»-сова + р).
. . . . . . .
(20)
По этой ф о р м у л е о п р е д е л я е т с я к о э ф ф и щ е н т ъ f т р е т я кат а т я и з ъ опытовъ. В ъ ф о р м у л е (20) отношеше у с и л ъ есть
число отвлеченное, равно какъ и cos а, рад1усы ж е г и р суть
длины, и з м е р я е м ы й линейною мерою, поэтому п р а в а я ч а с т ь фор­
м у л ы (20), а с л е д о в а т е л ь н о и f, выражается
въ линейныхъ
мщжхъ
Коэффищентъ
лтрахъ.
числомъ
именованнымъ
( в ъ сантиметрахъ, дюймахъ и проч.).
f
трен/я
каташя
выражается
въ
линейныхъ
% 27. Коэффициенты трешя каташя. Куломбъ н а ш е л ъ д л я
т р е т я к а т а т я д е р е в я н н а г о ц и л и н д р а по деревянному
/ " = о т ъ 0,048 до 0,081 дюймовъ.
Вейсбахъ н а ш е л ъ д л я ч у г у н н ы х ъ к а т к о в ъ :
/ • = 0 , 0 1 8 3 дюйма,
§ 28. Вычисление силы по формул* (20). Когда у ж е найдены
к о э ф ф и щ е н т ы / т р е т я к а т а т я , то та-же самая формула (20) мо­
ж е т ъ с л у ж и т ь д л я о п р е д е л е т я с и л ы Р, которая способна катить
ц и л н н д р ъ . Именно и з ъ (20) им-Ьемь:
t'N
1> =
1
(21)
г сопл -f- р
Ч а щ е всего представляется н а п р а к т и к е такой случай, когда
р = г; <х = о; тогда и з ъ (21) п о л у ч и м ъ :
Н а п р и м е р ъ , е с л и д л я п е р е д в п ж е ш я груза по горизонталь­
ному пути пользуемся вятками ттолклялывяемыупт п о т ь платформу
несущую грузъ и если трелю, к а т к а д я з м а » о п р е д е л я е т с я
Дклонв. — Практическая механика.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 18 —
к о э ф ф и щ е н т о м ъ f, т р е ш е - ж е к а т к а о платформу к о э ф ф и щ е н т о м ъ
то п о л у ч и м ъ
P = ~ ( f + n
f,
(23)
д л я о п р е д ъ л е ш я силы потребной д л я п е р е д в н ж е ш я этого груза,
если эта с и л а Р п р и л о ж е н а к ъ п л а т ф о р м * горизонтально.
§ 29. Тренле гибкаго тъла о неподвижный цилиндръ.
Т р е ш е каната о бревно, которое
л м ъ охватывается, было о п р е д е л е н о
Э й л е р о м ъ сл'Ьдующимъ образомъ. Пол о ж и м ъ , что ч р е з ъ бревно п е р е к и н у т ь
к а н а т ъ PABQ
(фиг. 19); на о д и н ъ и з ъ
к о н ц о в ъ этого каната д е й с т в у е т е с и л а
Q, п р е о д о л е в а ю щ а я п р и помощи ка­
н а т а с о п р о т и в л е ш е Р. П о л о ж и м ъ , нап р и м е р ъ , что Р есть г р у з ъ подни­
м а е м ы й силою Q и что бревно гори­
з о н т а л ь н о . Е с л и бы не было т р е ш я ,
то и м е л и бы Р = Q.
Иосмотрпмъ к а к о в а д о л ж н а быть Q в ъ д е й с т в и т е л ь н о с т и ,
то есть п р и с у щ е с т в о в а н ш т р е ш я каната о бревно.
Примемъ следуюшдя обозначения:
р = натяжеше каната в ъ т о ч к е а
Ф = у г о л ъ АСа
р - \ - dp = н а т я ж е ш е в ъ т о ч к е Ь
ср -(- яф = у г о л ъ АСЪ.
Элементъ ab к а н а т а п р и ж и м а е т с я к ъ бревну с ъ силою q.
которая есть р а в н о д е й с т в у ю щ а я с и л ъ р и р -f- dp. Параллелог р а м м ъ , построенный на р и р - j - dp, моялго п р и н я т ь з а ромбъ,
вследств1е ч е г о
q z= 2ji.
sin
Вследслъче малости у г л а dy можно п о л о ж и т ь :
q = р .
dy.
TpeHie н а элементе- ab д о л ж н о быть р а в н о поэтому:
fu=fpàf.
Это-же rpeHie д о л ж н о быть равно разности н а и р я ж е н Ш н а
к о н ц а х ъ я и & элемента ab. П о э т о м у :
fp dtp =
dp.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 19 —
И н т е г р и р у я это у р а в н е ш е , п о л у ч и м ъ :
dtp
или
1др =
fcp - f С
г д е С постоянное и н т е г р а ц ш . П р и ср = о, %> — Р (фиг. 19).
Следовательно:
С=1дР
te
p = P.efo
(24)
Е с л и обозначить ч р е з ъ а д у г у AB, по которой к а н а т ъ н а л е г а ё т ъ на бревно, то (24) д а е т ъ :
Q=;P.ef*
(25)
Вотъ какова искомая формула, п о к а з ы в а ю щ а я , что, с ъ в о з р а с т а ш е м ъ а, сила Q весьма быстро возрастаетъ п р и томъ-же Р.
Этимъ объясняется, н а п р и м е р ъ , что обернувъ около вертик а л ь н а г о столба к а н а т ъ брошенный с ъ парохода н а п р и с т а н ь ,
матросъ своею ничтожною силою Р у д е р ж и в а е т ъ д в и ж е ш е по
и н е р щ н громаднаго парохода.
§ 30. Тормазъ. Формулою (25) р е ш а ю т с я вопросы о простыхъ
тормазахъ. Такой тормазъ состонтъ и з ъ в е р е в к и п л и цепи PQ
(фиг. 19); к о н е ц ъ Q веревки у к р е п л е н ъ н е п о д в и ж н о ; силу Р
можно и з м е н я т ь по произволу. Веревка перекидывается ч е р е з ъ
колесо АСВ, в р а щ а ю щ е е с я по п а п р а в л е т ю отъ В к ъ А . Съ увел и ч е ш е м ъ с и л ы Р у в е л и ч и в а е т с я весьма сильно по ф о р м у л е (25)
натяжегие Q, вследств1е чего в е р е в к а очень
с и л ь н о п р и ж и м а е т с я к ъ колесу и своимъ т р е ш е м ъ останавливаетъ его.
§ 31. Жесткость гибкихъ тьлъ. Т а к ъ н а ­
зывается особое сопротнвлеше к а н а т о в ъ , верев о к ъ и ремней, п р о и с х о д я щ е е отъ т р е ш я волок о н ъ м е ж д у собою, к о г д а эти т е л а изгибаются
н а в и в а я с ь н а блокъ и л и ш к и в ъ и з а т е м ъ ,
сходя с ъ н и х ъ , в ы п р я м л я ю т с я .
Ж е с т к о с т ь гибкаго тела можно о п р е д е ­
л и т ь ( к а к ъ это д е л а л ъ Кулонъ) с л е д у ю щ и м ъ
образомъ:
П р и п о д н я т ш г р у з а Р уснл1емъ Q п р и
помощи блока (фиг. 20), ч а с т ь веревки, набе-
Фиг. 20.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 20 —
г а ю щ а я н а блокъ, п р н л е г а е т ъ к ъ блоку в ъ т о ч к ъ А ' , н е с к о л ь к о
в ы ш е т о ч к и А , в ъ которой она п р и л е г а л а бы, если бы не обладала
жесткостью. Ч а с т ь в е р е в к и с б ъ г а ю щ а я отстаешь отъ блока в ъ т о ч к ъ
В' н и с к о л ь к о н и ж е той точки В, в ъ которой она отставала-бы
о т ъ блока, если бы не о б л а д а л а жесткостью. Вслъдсттае этого
плечо г р у з а Р у в е л и ч и в а е т с я (фиг. 20) н а некоторую в е л и ч и н у п ;
п л е ч о - ж е с и л ы Q у м е н ь ш а е т с я на некоторую в е л и ч и н у т. По­
этому равенство моментовъ в ы р а з и т с я формулою
(26)
Р (г -f- ri) = Q (г — m)
г д ъ г рад^усъ блока. И з ъ (26) п о л у ч и м ъ :
1
•г — m I
\
гг — ml
'
Вслъдств{е малости m с р а в н и т е л ь н о с ъ ч можно п р и н я т ь :
Ö =
п
P + P -
(27)
Е с л и бы не было ж е с т к о с т и в е р е в к и , то и м ъ л л бы
Q =
Величина Р
P.
н а з ы в а е т с я жесткостью
щквки.
Мы будемъ
обозначать ж е с т к о с т ь в е р е в к и одною буквою s. И т а к ъ :
s =
P
Q =
m -j- п
(28)
P + s
(29)
К у л о н ъ з а м ъ т и л ъ однако, что веревка, даяге и не н а т я н у т а я ,
всетаки обладаетъ жесткостью, поэтому онъ, о б о з н а ч и в ъ в е л и ч и н у
m -\- п одною буквою Ь, в в е л ъ е щ е ч л е н ъ —, независящий отъ Р ,
и п о л у ч и л ъ т а к и м ъ образомъ ф о р м у л у
,_
а
+
* Р
(30)
К о э ф ф и щ е н т ы а и Ь даются с л е д у ю щ е ю таблицею:
ОБОЗНАЧЕНИЕ
ВЕРЕВКИ.
Б Т л а я веревка в ъ 30 п р я д е й
о въ
а в ъ килогр.
6 въ
метрахъ.
метрахъ.
метрахъ.
. . .
0,0200
0,222460
0,0097382
„
. . .
0,0144
0,063514
0,0055182
„
. . .
0,0088
0,010604
0,0023804
Смоляная веревка въ 30 прядей . .
0,0236
0,349600
0,0125514
, 1 5
6
»
-
,
15
„
. .
0.0168
0,105928
0,0060592
,
*
6
„
. .
0,0096
0,212080
0,0025938
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 21 —
Моренъ в ы в е л ъ д л я жесткости s другую формулу и з ъ мног п х ъ опытовъ, а именно, о б о з н а ч а я ч р е з ъ п число п р я д е й в е р е в к и
о я ъ д а е т ъ формулу
71
s = y [0,01485 - f 0,01225. И - j - 0,01815. Р ] .
.
.(31)
п р и ч е м ъ Р в ы р а ж е н о з д е с ь в ъ килограммахъ, г в ъ сантиметрахъ,
Д л я того, чтобы формулу (31)
жесткости плоскаго ремня,
щ и н у е, з а т ъ м ъ разематриваютъ
другими
словами
приложить
къ
опред^летю
д ъ л я т ъ ш и р и н у h р е м н я на его тол­
частное ~ к а к ъ ч и с л о п р я д е й ;
разематриваютъ ремень
к а к ъ веревку,
имт>-
h
ющую — п р я д е й .
§ 32. Сопротивлеше цъпи, огибающей блокъ. Во м н о г и х ъ маш и н а х ъ ( н а п р и м ъ р ъ в ъ велосипедахъ) устраиваются ц ъ п и , кото­
рыми огибаются блоки и л и колеса, приводимый этими ц е п я м и
в ъ д в и ж е т е . В ъ такой ц ъ п и суще­
с т в у е т е Tpenie одного звена о дру­
гое. Разсмотримъ подробно это безнолезное с о п р о т н в л е т е (фиг. 21).
Звено н а б е г а ю щ е й части ц е п и ,
к а к ъ только в з о й д е т е на блокъ,—
д в и г а е т с я с ъ н п м ъ к а к ъ одно це­
лое, н потому о б р а з у е т е некоторый
у г о л ъ (х с ъ с о с е д н н м ъ звеномъ,
е щ е не п р и к о с н у в ш и м с я к ъ блоку.
И з ъ ч е р т е ж а видно, что этотъ у г о л ъ
р а в е н ъ у г л у , составляемому м е ж д у
собою с о с е д н и м и з в е н ь я м и л е ж а ­
щ и м и на б л о к е . П р и такомъ повор а ч и в а т и одного звена относиФиг. 21.
тельно д р у г а г о па у г о л ъ а проис­
х о д и т е разематриваемое нами треше. П р и м е м ъ следующая обозначешя :
d = д1аметръ блока.
г = ддаметръ поперечнаго с ъ ч е ш я звена (фпг. 21).
Р = н а т я ж е ш е н а б е г а ю щ а г о конца ц е п и .
/ = коэффищентъ т р е т я с к о л ь ж е т я .
1
Точка п р н л о ж е т я т р е ш я п р и п о в о р о т е на уголъ а прохо­
д и т е путь р а в н ы й д у г е 4-. а. Поэтому работа трешя будете
fP v - «•
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Это т р е ш е м о ж е т ъ быть р а з с м а т р и в а е м о т а к ж е к а к ъ н е к о ­
т о р а я с и л а s' п р и л о ж е н н а я к ъ н а б е г а ю щ е м у к о н ц у ц е п и в ъ
н а п р а в л е н ш п р я м о - п р о т и в у п о л о ж н о м ъ е я д в и ж е н ш . П л е ч о этой
с и л ы равно
d
5
. Работа это с и л ы б у д е т ъ :
Итакъ:
„г, о
f
ô
p
a
=
8
d-f-S
—5—
Отсюда:
П р е н е б р е г а я в е л и ч и н о ю 3 в ъ с у м м е d - j - о, п о л у ч и м ъ
Д л я с б е г а ю щ е й с ъ блока ч а с т и ц е п п п о л у ч и м ъ :
Обозначая ч р е з ъ s полное с о п р о т н в л е ш е отъ т р е ш я з в е н ь е в ъ
(называемое „жесткостью ц е п и " ) п о л у ч и м ъ :
p
«=f i+f<
^
Е с л и бы не было д р у г и х ъ безполезныхъ сопротивленШ, то
д л я р а в н о м е р н а г о д в и ж е ш я м е ж д у силами Р и Q д о л ж н а былабы быть з а в и с и м о с т ь :
Q= r
%
(33)
§ 33. Сопротивлеше среды.
Условимся в ъ следующихъ обозначешяхъ:
s = п л о щ а д ь п л а с т и н к и , д в и ж у щ е й с я по н а п р а в л е н ш нор­
м а л ь н о м у к ъ своей плоскости в ъ п о к о ю щ е й с я с р е д е
(воздухе или воде);
V — скорость п л а с т и н к и ;
Д = в е с ъ е д и н и ц ы объема с р е д ы ;
В~
сопротнвлеше среды;
Q = о б ъ е м ъ среды, п р и в о д и м ы й пластинкою в ъ д в и ж е т е в ъ
1 секунду.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
•- 23 —
Тогда ж и в а я сила, сообщенная с р е д и пластинкою в ъ каждую
секунду, б у д е т ъ :
•ig
З а м ъ т и в ъ , что работа с и л ы сопротивления среды в ъ т е ч е н ш
одной секунды р а в н а
Bv
и п р и л а г а я теорему ж и в ы х ъ с и л ъ , п о л у ч и м ъ
à.
Rv-
Q
а
откуда:
R = * Q
Но объемъ Q п р о п о р щ о н а л е н ъ п л о щ а д и п л а с т и н к и и ско­
рости v. Поэтому, о б о з н а ч а я ч р е з ъ Je к о э ф ф и щ е н т ъ пропорцио­
нальности, н м ъ е м ъ :
Q
=
ksv
а потому:
Сопротивлете
среды
стинки направленной,
по
пропорщонально
нормали.
квадрату
скорости
пла­
Е с л и движется- не п л а с т и н к а но т ъ л о , то можно, с ъ нтжоторымъ п р н б л и ж е ш е м ъ , в ы ч и с л я т ь В по той ж е ф о р м у л е , р а з у м е я
подъ s п л о щ а д ь н а и б о л ь ш е г о с е ч е ш я т е л а п е р п е н д и к у л я р н а г о
к ъ его скорости.
Изъ опыговъ оказалось
k — 1,86 д л я д в и ж е ш я п л а с т и н к и в ъ в о д е .
& = 1,34 д л я д в и ж е ш я в ъ в о д е параллелепипеда, длина кото­
раго в ъ 3 р а з а б о л е е стороны основашя.
k = 1,46 д л я д в и ж е ш я в ъ в о д е куба.
I- = 1,825 д л я д в и ж е ш я п л а с т и н к и в ъ в о з д у х е .
§ 34. TpeHÏe жидкости. Т р е ш е жидкости п о д р а з д е л я е т с я па
два р о д а : внешнее т р е ш е ж и д к о с т и , п р о я в л я ю щ е е с я м е ж д у жид­
костью и твердыми т е л а м и с о п р и к а с а ю щ и м и с я с ъ нею, и внутрен­
нее т р е т е , п р о я в л я ю щ е е с я м е ж д у ч а с т и ц а м и самой жидкости.
Относительно внутренним
т р е ш я установлены следующая
гипотезы:
1) Внутренее т р е ш е ж и д к о с т и п р о п о р щ о н а л ь н о относитель­
ной скорости т р у щ и х с я ч а с т и ц ъ (законъ е щ е не в п о л н е устан о в л е н ъ опытами).
2) Оно п р о п о р щ о н а л ь н о поверхности соприкосновешя.
3) Оно п о ч т и не з а в н с н т ъ отъ д а в л е ш я .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 24 —
4) Оно з а в и с н т ъ отъ р о д а ж и д к о с т и .
5) Оно у м е н ь ш а е т с я с ъ у в е л и ч е ш е м ъ температуры.
Относительно внтъшняго т р е ш я ж и д к о с т и подробнее говорится
въ гидравлика.
§ 35. TpeHie шиповъ въ подшипникахъ. В ъ весьма м н о г и х ъ
м а ш и н а х ъ существуютъ колеса, в р а щ а ю п ц я с я около горизонтальн ы х ъ осей. Собственно осью колеса
н а з ы в а е т с я м а т е м а т и ч е с к а я ось того
т е л а в р а щ е т я AB, (фиг. 2 2 ) на кото­
рое колесо CD насажено наглухо (то
есть соединено с ъ н и м ъ н е и з м е н н о ) .
Это т е л о в р а щ е ш я н а з ы в а е т с я валомъ.
К о н ц ы ad и ЬЬ' в а л а д е л а ю т с я ц и ­
л и н д р и ч е с к и м и , называются
цапфами
и л и шипами и составляютъ в р а щ а т е л ь ­
ную п а р у с ъ н е п о д в и ж н ы м и
подшипФ - пиками, устроенными т а к ъ , чтобы мож­
и г
22
но было и х ъ постоянно смазывать, то есть подводить м а с л я н и с т у ю
ж и д к о с т ь м е ж д у шипомъ и п о д п ш п н и к о м ъ .
И з с л е д о в а ш е H. II. Петрова п о к а з а л и , что смазываемый
ш и п ъ не л е ж и т ъ непосредственно н а п о д ш и п н и к е , но м е ж д у
ними н а х о д и т с я т о н к и ! слой смазывающей ж и д к о с т и . Поэтому
з д е с ь надо р а з с м а т р и в а т ь внешнее т р е ш е смазывающей ж и д к о с т и
о ш и п ъ и о п о д ш и н н и к ъ и внутреннее
т р е т е между частицами
самой смазывающей ж и д к о с т и . Поэтому т р е ш е з д е с ь з а в и с н т ъ
и отъ скорости, и о т ъ с в о й с т в ъ и т о л щ и н ы с м а з ы в а ю щ а г о слоя,
и о т ъ температуры, и т а к ъ д а л е е .
Однако за отсутств1емъ т о ч н ы х ъ д а н н ы х ъ по этому весьма слож­
ному вопросу мы будемъ п о л ь з о в а т ь с я формулою Морена и Кулона
-
F=fX
(34)
д л я которой о п р е д е л е н ы и з ъ оиытовъ следуюшдя з н а ч е ш я к о э ф ф и щ е н т о в ъ f.
Коэффищенты тремя шиповъ.
НАЗВАНШ
ТРУЩИХСЯ
ТЪЛЪ.
При с м а з к *
При смазкт.
прерывной.
непрерывной.
Б р о н з а по стали
Бронза по бронз*
Чугунъ по чугуну и бронз*
Жел-Ьзо п о ч у г у т у и б р о н з *
Ч у г у н ъ по д е р е в у
0,09
0,10
0,14
0,07
0,07
0,10
0.10
_
0,12
0,049
0,052
—
0,054
0,054
0,054
0,090
—
—
0,070
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть г рад1усъ ш и п а .
З а одинъ оборотъ точка п р и л о ж е ш я т р е ш я
путь 2гг.
Пусть m есть ч и с л о оборотовъ в а л а в ъ минуту.
З а m оборотовъ т о ч к а п р и л о ж е ш я
трешя
путь 2ю-т.
проходить
проходить
2~гт
В ъ 1 секунду т о ч к а п р и л о ж е ш я т р е ш я п р о х о д и т ь путь
60
Сила т р е ш я по ф о р м у л е (34) равна fX.
С л е д о в а т е л ь н о работа Т т р е ш я ш и п а в ъ 1 с е к у н д у р а в н а :
2~r m
~1нГ
.fx
(35)
§ 36. TpeHie пяты о подпятникъ.
Н и ж н я я оконечность вертикальнаго в а л а называется пятою ;
н е п о д в и ж н а я ч а с т ь , н а которую в а л ъ опирается своею пятою, на­
зывается подпятнико.иъ.
Пзслтэдуемъ треше пяты о п о д п я т н и к ъ .
И о л о ж и м ъ , что пята изгЬеть в и д ъ тъла, п р о и с х о д я щ а г о отъ
в р а щ е ш я кривой ABC (фиг. 2 3 )
около оси О//. П у с т ь ЕС = г
и OA = г будутъ рад1усы н и ж н я г о и в е р х н я г о с е ч е ш й пяты.
П о л о ж и м ъ , что д а в л е ш е пяты
о подпятникъ равномерно рас­
п р е д е л е н о по п р о э к ц ш н а го­
ризонтальную плоскость тру­
щ е й с я поверхности п я т ы . Пусть
р есть вертикальное д а в л е ш е
на единицу п л о щ а д и этой про­
э к ц ш . П л о щ а д ь этой п р о э к щ н
Фиг. р а в н а к (г- — г ) . С л е д о в а т е л ь н о , обозначая в е с ъ в а л а ч р е з ъ Р,
получимъ:
0
23
2
0
1> =
а
= (»*-»о )
Р а з л о ж и м ъ д а в л е т е р , приложенное в ъ какой либо т о ч к е В
н а д а в л е т е X, д е й с т в у ю щ е е по нормали к ъ т р у щ е й с я поверх­
ности и на д а в л е ш е q направленное г о р и з о н т а л ь н о . Обозначая
ч р е з ъ ср з т о л ъ , составляемый нормалью ВХ съ вертикалью, по­
лучимъ
X -
eosz
Составляющая q у н и ч т о ж и т с я прямо протнвуположною и
равною ей силою, д е й с т в у ю щ е ю в ъ т о ч к е В'. П р и м е м ъ О з а но-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 26
(х, a ) . Tpenie на эле­
л ю с ь , ox — за ось п о л я р н ы г ь к о о р д и н а т ъ
ментъ, п л о щ а д ь котораго есть
х dx d a
будетъ
Р
coscp
х dx da..
Работа т р е ш я на э л е м е н т ъ в ъ 1 с е к у н д у б у д е т ъ :
т
о
fP
0 7 7
— ж - dx
2л
do.
60 C0S!p
г д ъ m число оборотовъ п я т ы в ъ минуту.
Т т р е ш я всей п я т ы в ъ секунду б у д е т ъ :
Следовательно
,й
Т:
60
2
-.(г —
r *)
J
0
J
работа
dx
COS!V
пли:
Т
_
=
é~mfP
60 (г-- —
2
х dx
Г cos ф
Е с л и задано
ЛВС,
то можно
в ъ ф о р м у л е (36)
т и м с я к ъ такого
(36)
у р а в н е ш е образующей
произвести указанное
и н т е г р и р о в а ш е . Обра­
рода з а д а ч а м ъ .
§ 37. Коническая пята. Е с л и п я т а
и м е е т ъ в и д ъ конуса (фиг. 2 4 ) , то м е ж д у
у г л о м ъ ср и у г л о м ъ ß з а о с т р е ш я к о н у с а
с у щ е с т в у е т ъ соотношение
cos ф = sin 3 .
Поэтому д л я к о н и ч е с к о й п я т ы ф о р м у л а
(36) даетъ:
(37)
Фиг. 25.
собою
полный
На ф и г . 24-й т р у щ а я с я ч а с т ь п я т ы предс г а в л я е т ъ собою усгьчепный
комусъ.
Если трущаяся часть пяты представляеть
кону съ'
(фиг. 25), то
Г:
г
0
= о, вслед CTBie чего:
T.mfPr
4 5 . sm ß
• (38)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 27 —
§ 38. Сферическая пята. П р и л о ж и м ъ формулу (36) к ъ п я т е
сферической (фиг. 26) и п о л о ж и м ъ , что т р у щ а я с я ч а с т ь сферы
п р е д с т а в л я е т ъ собою сегментъ о т с е ­
ч е н н ы й горизонтальною параллелью,
проходящею на ш и р о т е 90-ß. В ъ этомъ
случае:
х =
R sin
dx — R
cos
ф
ф йф
г =о
0
r — R sin ß.
При x — R sin ф = r = о и м е е м ъ
0
ф = о.
При х — R sin ф = г = iE sz'rc ß
и м е е м ъ ф = ß.
С л е д о в а т е л ь н о по (36) п о л у ч и м ъ :
У
2
4- m/ Р
2
60. R
2
sin
Ф И Г . 26.
2
/* R тг ф.Äcosф.
[i
/
*р
cos ф
i-mfP.R
2
вт' ф. d'f.
Но
s/и-ф ^ф = — (р — sm3 . cos 3).
Следовательно
Т
=
Т
=
или :
4 - « г / " Р R (g — я/яр . cosß)
60. sin-?Т2
TcmfPR
Q — sin$
. cos?)
(39)
v
30.
Е с л и , н а п р и м е р ъ , в ъ п о д п я т н и к ъ п о г р у ж е н а половина сферы, то
-°-mfPR.
Т:
60
39. Антифрикщонная пята.
COS
ф
с=
П р н м е м ъ в ъ ф о р м у л е (36)
постоянному,
тогда п о л у ч и м ъ
2xmf.
Р.с
60
(40)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
28 —
Свойство образующей к р и в о й АЗС в ъ н а с т о я щ е м ъ
таково, что
х =
случае
с.со$?
(41).
И з ъ ч е р т е ж а ( ф и г . 2 7 ) видно, что х = BD. sin ^ = 3D. cos у.
Garbдоватезьно :
С =
BD.
И т а к ъ образующая к р и в а я
ABC
обладаете. г Ь м ъ свойствомъ, что отрЪзокъ касатель­
ной, заключенной м е ж д у осью
в р а щ е ш я и кривою, есть в е л и ­
чина постоянная д л я в с ъ х ъ
точекъ кривой.
Такая кривая называется
тракторгею
ф и г
2 Т
- т р е ш я на э л е м е н т ъ xdxdi
и л и лагоидою.
Мы
в и д е л и в ъ § 36-мъ, что работа
в ъ секунду равна
2
2 я — -f^— х
60
cosy
dx dz.
С л е д о в а т е л ь н о работа т р е ш я в ъ секунду на е д и н и ц е поверх­
ности р а в н а
2 - m fp
х
60
со&-ф
В ъ п я т е образованной в р а щ е ш е м ъ т р а к т о р ш около оси
X
Cosa
: С.
С л е д о в а т е л ь н о д л я н е я работа тренгя в ъ секунду на е д и н и ц е
поверхности р а в н а
2r:mfp
.с
60
= п о с т о я н н о й в е л и ч и н е . Поэтому т а к а я пята, хотя
стирается с ъ т е ч е ш е м ъ времени к а к ъ и в с я к а я
д р у г а я , но стирается одинаково во в с е х ъ с в о и х ъ
ч а с т я х ъ , т а к ъ ч т о геометрическая
форма пяты
не
изменяется,
н е смотря н а и з м е н е ш е е я т о л щ и н ы .
Т а к а я п я т а н а з ы в а е т с я пятою Ш н л я (по и м е н и
е я и з о б р е т а т е л я ) п л и а н т и ф р и к щ о н н о ю пятою.
Т р а к т о р ш м о ж н о построить по данному с
с л е д у ю щ и м ъ образомъ (фиг. 2 8 ) . Отложишь н а
п р я м о й п е р п е н д и к у л я р н о й к ъ оси Oy д л и н у
Фиг.
28.
пт =
с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 29 —
Изберемъ весьма малый о т р ъ з о к ъ 3, о т л о ж и м ъ на п р я м о й m и
m m' = 3.
И з ъ т о ч к и т' раддусомъ р а в н ы м ъ с з а с ъ ч е м ъ дугу, п е р е с е ­
кающую ось Oy в ъ ri; проведемъ прямую т'п . Н а н е й о т л о ж и м ъ
!
m!т"
=
о.
И з ъ то" рад1усомъ р а в н ы м ъ с з а с ъ ч е м ъ дугу, п е р е с е к а ю щ у ю
ось Oy в ъ и " ; проведемъ прямую т"п". На ней о т л о ж и м ъ
1
и т а к ъ д а л е е . П о л у ч и м ъ р я д ъ т о ч е к ъ то', m", т "... тракторш.
Механически можно начертить трактор1ю с л е д у ю щ и м ъ образомъ. Проведемъ н а горизонтальной плоскости п р я м у ю Oy
(фиг. 28); к ъ концу н и т и тп длины с п р и к р е п и м ъ г р у з ъ т.
Е с л и п о т а щ и м ъ потихоньку (чтобы не р а з в и в а т ь большой ж и в о й
силы) нить за к о н е ц ъ п, т а к ъ чтобы этотъ к о н е ц ъ п ш е л ъ по
прямой Oy, то к о н е ц ъ m нити о п и ш е т ъ т р а к т о р ш тт'т"т"'... Не
трудно в и д е т ь , что трактор1я п р и б л и ж а е т с я к ъ оси Oy ассимптотически, никогда е я не достигая (достигая е я только в ъ безконечности).
§ 40. Колеса трендя. Иногда в с т р е ч а е т с я необходимость в ъ
возможно совершенномъ у н п ч т о ж е ш и безполезнаго с о п р о т и в л е ш я ,
происходя щаго отъ т р е ш я ш и п о в ъ . В ъ т а к и х ъ с л у ч а я х ъ в м е с т о
п о д ш н п н и к о в ъ употребляются колеса
трешя,
и н а ч е называемый
аитифрикц'юнными
колесами.
На ч е р т е ж е
(фиг. 29) АЛ суть ш и п ы того в а л а
в р а щ е ш е котораго требуется сде­
лать наименее задеряшваемымъ отъ
т р е ш я ; ВВ, В'В' суть ш и п ы к о л е с ъ
т р е ш я . Ш и п ы АА к л а д у т с я на ко­
леса т р е ш я . И р и м е м ъ е л е д у ю ш д я
обозначешя :
В = рад1усы к о л е с ъ т р е ш я
р' = рад1усы ш н п о в ъ э т и х ъ к о л е с ъ
р = рад1усы ш и п о в ъ главнаго в а л а .
Трен1емъ катан]'я, с у щ е с т в у ю щ и м ъ м е ж д у ш и п о м ъ А и ко­
лесами, можно пренебречь в ъ с р а в н е н ш с ъ т р е ш е м ъ ВВ и В'В' о
н х ъ п о д ш и п н и к и . Если; бы ш и п ъ А о п и р а л с я н а п о д ш и п н и к ъ .
то работа в ъ 1 секунду его т р е ш я была бы, согласно с ъ фор­
мулою (35), р а в н а
60
fP
где m ч и с л о оборотовъ в ъ минуту в а л а АА.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 30 —
Работа ж е т р е ш я ш и п о в ъ В и В' б у д е т ъ :
T = 2 ^ - f N
(42)
г д ъ т' ч и с л о оборотовъ в ъ м и н у т у к о л е с ъ т р е ш я , N нормальное
д а в л е ш е на к а ж д ы й и з ъ ш и п о в ъ ВВ . Между m и от' с у щ е с т в у е т ъ
соотношеше
1
m' : m =
р: R
откуда
/
т
Р
, , , 1
т'=-^-
(43)
И з ъ ромба, и м ъ ю щ а г о стороны N и д1агональ, Р и м ъ е м ъ :
(44)
N = ~ ^ ~
2 cosa
v
гд-Б
a = Z_
PAN.
И з ъ (42), (43) и (44) п о л у ч и м ъ :
2»mpp7f
60 R
cos a
Колеса т р е ш я п р и н о с я т ъ , с л е д о в а т е л ь н о , т ^ м ъ
пользу, ч е м ъ м е н е е у г о л ъ а и ч е м ъ м е н е е oTHOiuenie
v
'
большую
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава
III.
Прикладная кинематика плоекаго
движешя.
§ 41. Понятие о плоскомъ движенш. Е с л и какое н и б у д ь т е л о ,
и л и система т ъ л ъ , д в и ж е т с я т а к ъ , что т р а е к т о р ш в с ъ х ъ т о ч е к ъ
л е ж а т ь в ъ п л о с к о с т я х ъ п а р а л л е л ь н ы х ъ м е ж д у собою, то такое
д в и ж е ш е называется плоскимъ.
И з у ч е ш е плоскаго д в и ж е ш я в а ж н о д л я н а с ъ потому, что
весьма м н о п е механизмы обладаютъ именно э т и м ъ д в и ж е ш е м ъ
и н з с л е д о в а ш е его п р е д с т а в л я е т ъ меньше з а т р у д н е н и е
§ 42. Приведете плоскаго движения тъла къ движешю фи­
гуры по плоскости.
Пусть н е к о т о р о е т ъ л о M совершаетъ плоское д в и ж е т е . Пер е с ь ч е м ъ это т ъ л о плоскостью К параллельною п л о с к о с т я м ъ
траекторШ его точекъ. В ъ с ъ ч е н ш п о л у ч и м ъ некоторую ф и г у р у .
Не трудно в и д е т ь , что д в и ж е ш е т е л а M в п о л н е о п р е д е л я е т с я
д в и ж е ш е м ъ этой ф и г у р ы в ъ ея плоскости К. Д е й с т в и т е л ь н о :
TpaeKTopiii и скорости в с е х ъ точекъ, т е л а , л е ж а щ и х ъ на к а к о м ъ
нибудь п е р п е н д и к у л я р е к ъ плоскости X, р а в н ы т р а е к т о р ш и
скорости о с н о в а ш я этого п е р п е н д и к у л я р а .
§ 43. Совместимый и несовместимый равныя фигуры. Д в е
р а в н ы я м е ж д у собою фигуры, л е ж а н и я в ъ одной и той-же плос­
кости К, не всегда м о г у т ъ быть с о в м е ­
щены, не будучи выведены предварительно
н з ъ этой плоскости. Т а к ъ н а п р и м е р ! ,
прямоугольные т р е у г о л ь н и к и А и В (ф иг. 3 0 )
н е л ь з я с о в м е с т и т ь о д и н ъ с ъ д р у г и м ъ , не
в ы в е д я п р е д в а р и т е л ь н о одинъ и з ъ н и х ъ
и з ъ плоскости, хотя эти треугольники и
равны между собою.
Т а и я р а в н ы я ф и г у р ы называются
нешлиъстимыми.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 32 —
Ф и г у р ы , п р е д с т а в л я ю щ а я собою р а з л и ч н ы я п о л о ж е ш я одной
и той-же ф и г у р ы п р и д в и ж е н ш е я в ъ плоскости, очевидно совме­
стимы м е ж д у собою. Поэтому все, что будетъ г о в о р и т ь с я д а л е е
о п л о с к о м ъ д в и ж е н ш , к а с а е т с я только ф и г у р ъ с о в м ъ с т и м ы х ъ .
§ 44. Положение фигуры въ плоскости вполнъ определяется
положешемъ неизм-вняемо соединеннаго съ нею вектора.
П о л о ж и м ъ что н а м ъ д а н а ф и г у р а тп (фиг. 31) и н е и з м е ­
няемо соединенный с ъ нею в е к т о р ъ AB. Е с л и дано другое поло­
ж е ш е А В' этого вектора, то
этимъ самымъ определено и
д р у г о е иолоясеш'е ф и г у р ы . —
Д е й с т в и т е л ь н о п р и т а к о м ъ зад а н ш , по данному п о л о ж е ш ю
какой нибудь точки С фигуры
в с е г д а можно н а й т и второе полоягеше этой точки, построивъ
Фиг. 31.
на А'В' т р е у г о л ь н и к ъ А'В С
р а в н ы й т р е у г о л ь н и к у ABC и п о с т р о и в ъ его именно в ъ ту сторону
отъ А'В , чтобы о н ъ о к а з а л с я с о в м е с т и м ы м ъ с ъ т р е у г о л ь н и к о м ъ ABC.
1
1
1
§ 45. Центръ перемЪщешя. И з ъ с к а з а н п а г о в ъ п р е д ы д у щ е м ъ
п а р а г р а ф е с л е д у е т ъ , что плоское д в и ж е ш е т е л а о п р е д е л я е т с я
д в и ж е ш е м ъ в е к т о р а по плоскости. Д о к а ж е м ъ теперь основную
теорему п р и к л а д н о й к и н е м а т и к и .
Тео2>ема Шаля *).
Векторъ
AB можетъ
быть
перемкщенъ
изъ данного положешя
въ другое
на той-же плоскости
вращенгемъ
около некоторой
точки Р. П у с т ь
дано первое п о л о ж е ш е вектора
AB (фиг. 32) и о н ъ д о л ж е н ъ
быть п е р е м е щ е н ъ в ъ п о л о ж е ш е
А'В'. Это п е р е м е щ е ш е м о ж е т ъ
быть
произведено
безконечн ы м ъ ч и с л о м ъ способовъ; но
и з ъ н н х ъ всегда с у щ е с т в у е т ъ
о д и н ъ , п р о е т е и ш Ш , упомяну­
тый
в ъ теореме Ш а л я . Д л я
Ф и г . 32.
о т ы с к а ш я ц е н т р а у п о м я н у т а г о в ъ ней в р а щ е ш я соединимъ А с ъ
А ' п р я м о ю АА' н и з ъ с р е д и н ы M этой п р я м о й в о з с т а в и м ъ к ъ н е й
п е р п е н д н к з л я р ъ . С о е д и н и м ъ В с ъ В' прямою ВВ и и з ъ средины
1
*) Chaxles—знаменитый
французскШ г е о м е т р ъ , основатель в ы с ш е й г е о м е т р ш .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 33 —
7
ея Л возставимъ к ъ ней п е р п е н д и к у л я р ъ . Требуется доказать, что
точка Р п е р е с ъ ч е ш я э т и х ъ п е р п е н д и к у л я р о в ъ и есть искомый
ц е н т р ъ того в р а щ е ш я , которымъ AB можетъ быть переведенъ в ъ
Л'ff. Соединимъ Р с ъ А , В, А ' , В . Т р е у г о л ь н и к и AMP и А'МР,
и м е в ш и е о б щ ш к а т е т ъ MP и равные по построешю катеты AM
и А'М, равны м е ж д у собою. Точно т а к ж е равны м е ж д у собою
и т р е у г о л ь н и к и BNP и B'NP.
Следовательно
1
АР =
А'Р.
ВР=В'Р.
Поэтому т р е у г о л ь н и к и АВР и А'В'Р,
к а к ъ имтзюшДе в с е
три стороны соответственно р а в н ы м и , — равны. Но у н и х ъ вер­
ш и н а Р общая. Следовательно в р а щ е ш е м ъ около Р т р е у г о л ь н и к ъ
АВР переходитъ в ъ п о л о ж е ш е А'В'Р, п р и ч е м ъ AB п р и х о д и т ь в ъ
А'В', что и требовалось д о к а з а т ь .
Точка Р, в р а щ е ш е м ъ около которой плоская ф и г у р а можетъ
быть переведена и з ъ одного положения в ъ другое, н а з ы в а е т с я
центромъ
перемещения.
§ 46. Приложеше теоремы Шаля къ устройству ломбернаго
стола. Теорема Ш а л я откроегъ и а м ъ путь к ъ теорш весьма мног и х ъ механизмовъ но, д л я б о л е е отчетливаго ея з а н о м и н а ш я , прил о ж и м ъ ее к ъ устройству обыкновеннаго ломбернаго стола, слуягащаго д л я карточной игры. Услов1я
устройства такого стола состоять в ъ с л в дуюгцемъ.
В ъ закрытомъ состоянш верхняя
двустворчатая доска стола занпмаетъ по­
ложение A BCD (фиг. 33). З а т Б м ъ доска
повертывается в ъ ноложеше А'В'CD
и
н а к о н е ц ъ раскрывается в ъ к в а д р а т ъ В'С
MN. С п р а ш и в а е т с я : г д е надо у с т р о и т ь
ш и п ъ Р , в р а щ е ш е м ъ около котораго
доска переходила бы и з ъ
положешя
ФИГ. 'Л'Л.
A BCD в ъ п о л о ж е ш е
А'В'CD"'.
На о с н о в а н ш нрнведеннаго при д о к а з а т е л ь с т в е теоремы Ш а л я
построешя ш и п ъ Р д о л ж е н ъ находиться на и е р е с е ч е н ш перпен­
д и к у л я р о в ъ MP и NP возставленныхъ к ъ п р я м ы м ъ А А' и ВВ'
и з ъ ихъ срединъ.
§ 47. Перемещение вектора чрезъ рядъ заданныхъ положена.
Теорема:
веденъ
чрезъ рядъ
катаньем»
многоугольника
Pvi,
данныхъ
некоторого
Р \ в , Рм...
ДЕЛОНЕ. — Нрактн'кткая мехаппка.
положешй
векторъ
соединеннаго
по другому
еь
можшпъ
нимъ
неподвижному
быть
пере­
неизменяемо
многоугольS
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 34 —
•пику Pi-2, Р23, Pu... (фиг. 34). З д е с ь P I S читается т а к ъ : „ Р о д и н ъ
д в а " и о б о з н а ч а е т е иентръ перемещения
вектора и з ъ 1-го полож е т я во второе;
Р2з=центръ
перемпщепгя вектора и з ъ 2-го
п о л о ж е ш я в ъ 3-е, и т а к ъ
далее.
Доказательство.
Пусть
требуется перевести векторъ
,*> ч р е з ъ п о л о ж е ш я : А'В , А2В2,
1
АзВз,
AiBi....
Изъ
1-го
во
2-ое п о л о ж е ш е векторъ мо­
ж е т ъ быть п е р е в е д е н ъ вращ е ш е м ъ около центра перем е щ е ш я Pia. И з ъ 2-го по­
ложения в ъ 3-е о н ъ можетъ
Фиг. 34.
быть переведенъ в р а щ е ш е м ъ
около центра и е р е м ъ щ е ш я Ргз, и т а к ъ д а л е е . С о е д и н и в ъ эти
центры п е р е м ъ щ е н 1 я п о с л е д о в а т е л ь н о п р я м ы м и , п о л у ч и м ъ непо­
д в и ж н ы й м н о г о у г о л ь н и к ъ Pi2 Раз Ры... Соединимъ точки А2В2 с ъ
центромъ Р 2 3 ; п р и д в и ж е н ш вектора и соединенный с ъ н и м ъ
н е и з м е н я е м о т р е у г о л ь н и к ъ А2В2Р23 п е р е м е щ а е т с я . Д л я того чтобы
найти первое п о л о ж е ш е этого т р е у г о л ь н и к а нужно, очевидно,
построить н а А'В' т р е у г о л ь н и к ъ А'ЕР-гъ
равный т р е у г о л ь н и к у
Л 2 Р 2 Р 2 3 . Получимъ точку Р 2 3 .
По п е р е м е щ е н а ! вектора и з ъ п о л о ж е ш я 1-го в ъ п о л о ж е ш е
2-ое точка Р'гз с о в п а д а е т ъ с ъ Р 2 3 .
' Точно т а к ж е , п о с т р о и в ъ на А В' т р е у г о л ь н и к ъ А'В'Ры р а в н ы й
т р е у г о л ь н и к у АзВзРм,
з а м е т и м ъ , что н е и з м е н я е м о соединенная
с ъ векторомъ т о ч к а Р ' з 4 совнадетъ, но п е р е м е щ е н а ! вектора Изъ
1-го в ъ 3-е п о л о ж е ш е , с ъ н е п о д в и ж н ы м ъ центромъ P u .
Т а к и м ъ образомъ п о л у ч и м ъ р я д ъ н е и з м е н я е м о соединен­
н ы х ъ с ъ векторомъ п о д в и ж н ы х ъ центровъ Р'23, P ' s i , Р'«,..., п о с л е ­
довательно с о в п а д а ю щ и х ъ п р и п е р е м е щ е н ш в е к т о р а с ъ непо­
д в и ж н ы м и ц е н т р а м и Раз, Р34, P i s . . . .
В е к т о р ъ , выходя и з ъ 1-го п о л о ж е ш я , в р а щ а е т с я около сов п а д ш и х ъ ц е н т р о в ъ Р12 и Р'12. К о г д а з а т е м ъ с о в п а д у т ъ центры
Раз и Р'23, то ц е н т р ъ Р'12 р а з л у ч и т с я с ъ Р12, в р а щ е ш е - ж е будетъ
происходить около с о в п а д ш и х ъ ц е н т р о в ъ Р ' 2 3 и Р23 и т а к ъ д а л е е .
Е с л и с о е д и н и м ъ п о д в и ж н ы е центры п о с л е д о в а т е л ь н о п р я ­
мыми м е ж д у собою, то получимъ п о д в и ж н ы й м н о г о у г о л ь н и к ъ
Р'12, Р'28, P'sf..., неизменяемо соединенный с ъ векторомъ. И з ъ
с к а з а н н а г о выше видно, что п р о х о ж д е т е вектора чрезъ заданныя
положешя будетъ достигнуто, еслы мы придълаемъ къ нему по1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 35 —
д в и ж н ы й м н о г о у г о л ь н и к ъ P'izP'zsP'u...
и покатимъ э т о т ъ м н о я у г о л ь н и к ъ по неподвижному многоугольнику P i a Р23 Р34... —
Теорема доказана.
§ 48. Полодш (или центроиды). В ъ п р е д ы д у щ е м ъ п а р а г р а ф *
мы и з с л ъ д о в а л и п е р е м е щ е ш е вектора ч р е з ъ р я д ъ з а д а н н ы х ъ по­
л о ж е ш й скачками.
Обратимся теперь к ъ и з с л ъ д о в а н ш
непрерыв­
ная) д в и ж е ш я вектора по плоскости. П р и непрерывномъ д в и ж е н ш
с о с ъ д ш я н о л о ж е ш я безконечно близки м е ж д у собою и состав л я ю т ъ у ж е не многоугольникъ но непрерывную кривую II.
Точно т а к ж е п о д в и ж н ы е центры соста­
в
в л я ю т подвижную кривую j?. Э т и к р и в ы я
называются полодгями
(фиг. 35).
Изъ с к а з а н н а я
или
центроидами
с.твдуетъ:
Непре­
рывное
движенье
вектора
по
плоскости
можетъ быть произведено катаньем»
неиз­
меняемо
соединенной
съ нпмъ
подвижной
полодш р по неподвижной
полодш П.
жеше
Фиг 35.
Но мы в п д ъ л и , что д в и ж е ш е м ъ вектора о п р е д е л я е т с я д в и ­
фигуры и плоское д в и ж е ш е т ъ л а .
Отсюда в ы т е к а е т ъ :
Теорема.
катанью
Плоское движете
подвижной полодш
тъла всегда можетъ
по
неподвижной.
быть приведено
къ
§ 49. Мгновенный центръ. П р и к а т а н ш многоугольниковъ
подвижный многоугольникъ в р а щ а е т с я на конечный у г о л ъ около
совпадающихъ в е р н ш н ъ .
При к а т а н ш полодШ п о д в и ж н а я поло;ця (а в м е с т е СЪ нею
и векторъ) в р а щ а е т с я на безконечно малый у г о л ъ около точки
соприкосновешя Р полодш (фиг. 3 5 ) . Поэтому точка Р соприкоеновешя полодш называется мгновенным-» центромъ и л и полюсом»,
т а к ъ к а к ъ безконечно малое в р а щ е ш е около н е я происходить в ъ
т е ч е ш и безконечно малаго промежутка времени; в ъ слъдующШ
моментъ в р а щ е ш е п р о и с х о д и т ь у ж е около с л ъ д у ю щ и х ъ совпадш и х ъ точекъ, и т а к ъ д а л е е .
§ 50. Мгновенный рад1усъ. П р я м а я Рт, соединяющая мгно­
венный ц е н т р ъ Р с ъ какою нибудь точкою m д в и ж у щ е й с я фигуры,
н а з ы в а е т с я мгновенным»
padii/сомъ
точки то.
§ 51. Свойство траектор!й точекъ подвижной фигуры. П р и
д в и ж е н ш п о д в и ж н о й ф и г у р ы точки е я описываютъ р а з л и ч н ы й
траекторш. Иоложимъ, что точка m подвижной ф и г у р ы ( ф и г . 35)
описываетъ т р а е к т о р ш MX и что, д л я и з в е с т н а я м г н о в е ш я , дано
п о л о ж е ш е полодШ и положеше точки m на ея т р а е к т о р ш . При
безконечно маломъ вращеши подвижной фигуры около полюса Р
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 36 —
т о ч к а m о п и с ы в а е т ъ безконечно малую д у г у окружности, и м е ю ­
щ е й ц е н т р ъ в ъ п о л ю с е . С л е д о в а т е л ь н о элементъ т р а е к т о р ш точки m
т о ж д е с т в е н ъ с ъ элементомъ о к р у ж н о с т и и потому н о р м а л е н ъ к ъ
рад1усу Рт.
проведенной
Поэтому:
изъ топни
мгновенный
центръ
m къ ея траекторш
Р лежишь
на
нормали,
MN.
П о л о ж и м ъ , что н а м ъ д а н ы поло­
ж е ш я m и т' д в у х ъ т о ч е к ъ подвиж­
ной ф и г у р ы в ъ д а н н ы й
моментъ
( ф и г . 36) и т р а е к т о р ш MN и M'N'
э т и х ъ т о ч е к ъ . Требуется н а й т и мгно­
венный центръ.
Согласно только ч т о сказанному
мгновенный ц е н т р ъ Р л е ж и т ъ к а к ъ на
н о р м а л и точки m т а к ъ и н а н о р м а л и
Фиг. 30.
т о ч к и т!. С л е д о в а т е л ь н о точка нерес е ч е ш я э т и х ъ н о р м а л е й и есть м г н о в е н н ы й ц е н т р ъ .
И т а к ъ : Для
двухъ
точекъ
траекпщияхъ,
траект01пямъ.
мгновенный
нахождетя
подвижной
— нужно
мгновенного
фигуры
провести
Въ перестченш
центра
Р по
и по положенгю
чрезъ
этихъ
эти точки
нормалей
траекторгямъ
точекъ
нормали
и будетъ
на
ихъ
къ ихъ
находиться
центръ.
У м е я н а х о д и т ь мгновенный центръ, можно попытаться нахо­
д и т ь по т е м ъ - я ; е д а н н ы м ъ и п о л о д ш , т а к ъ к а к ъ п о л о д ш суть
г е о м е т р и ч е с т я м е с т а м г н о в е н н ы х ъ ц е н т р о в ъ . А и м е н н о : непо­
движная полодхя есть геометрическое м е с т о мгновенныхъ цен­
тровъ н а н е п о д в и ж н о й п л о с к о с т и ; а подвижная полод1я есть гео­
метрическое м е с т о м г н о в е н н ы х ъ ц е н т р о в ъ н а п о д в и ж н о й плоскости,
н е и з м е н я е м о соединенной с ъ д в и ж у ­
щ е ю с я фигурою.
П о к а ж е м ъ , к а к ъ о п р е д е л я ю т с я по­
л о д ш , н а одномъ простомъ но весьма
важномъ примере.
§ 52. Д в и ж е т е прутика опираю­
щегося своими концами на д в е взаимно
перпендикулярный прямыя. Круги Кар­
дана. О п р е д е л и м ъ м г н о в е н н ы й ц е н т р ъ
(полюсъ) д л я д а н н а г о п о л о ж е ш я ( ф и г .
37) п р у т и к а AB опирающегося в ъ
с в о е м ъ д в и ж е н ш на в з а и м н о перпенФиг. 37.
д и к у л я р н ы я п р я м ы я Ох и Oy, которыя
прпмемъ з а о с и координомъ.
Мы з н а е м ъ т р а е к т о р ш д в у х ъ т о ч е к ъ прутика, и м е н н о : траекropiH точки А есть ось Ох, траектовгя точки В есть ось Oy.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 37 —
Потому, на основаши сказаннаго в ъ § 51-омъ, мгновенный ц е н т р ъ
Р находится в ъ п е р е с ъ ч е н ш п е р п е н д и к у л я р о в ъ к ъ осямъ Ох и
Oy возставленныхъ и з ъ т о ч е к ъ А и Б.
О п р е д ъ л и в ъ мгновенный центръ, попытаемся о п р е д е л и т ь
п о л о д ш помощью с л ъ д у ю щ и х ъ простыхъ геометрическпхъ соображетй.
При построенш мгновеннаго центра Р мы п о л у ч и л и прямоу г о л ь н и к ъ ОАРВ.
В ъ п р я м о у г о л ь н и к * д1агонали равны м е ж д у
собою. Следовательно
ОР =
AB =
Const
т а к ъ к а к ъ AB есть н е и з м е н я е м а я д л и н а прутика. И т а к ъ п р и
перемътценш прутика, концы котораго с к о л ь з я т ъ по о с я м ъ Ох и
Oy, мгновенные центры н а х о д я т с я на постоянномъ р а з с т о я н ш
ОР=АВ
отъ точки О пересечения осей Ох и Oy. С л е д о в а т е л ь н о неподвиж­
ная полод1я, в ъ данномъ с л у ч а е , есть окружность, описанная изъ
О радгусомъ
равнымъ
AB.
Н а й д е м ъ теперь подвижную п о л о д ш , то есть геометрическое
м е с т о т о ч к и Р относительно самаго п р у т и к а AB. Д л я этого з а м е тимъ, что т о ч к а Р л е ж и т ъ в ъ в е р ш и н е прямого у г л а ВРА, опи­
рающегося н а постоянную гипотенузу (на п р у т и к ъ ) . И з в е с т н о ,
что геометрическое м е с т о в е р п ш н ъ п р я м ы х ъ у г л о в ъ , опираю­
щ и х с я н а данную гипотенузу есть окружность, построенная н а
г и п о т е н у з е к а к ъ н а д1аметре. И т а к ъ : подвижная полод!я, в ъ нас т о я щ е м ъ с л у ч а е есть окружноспи,
описанная
тика padiycoMo
СО равнымъ
половине
прутика,
изъ средины С пру­
т а к ъ к а к ъ д1аго-
н а л и п р я м о у г о л ь н и к а взаимно д е л я т с я пополамъ.
Д в и ж е т е прутика п р о и с х о д и т ь с л е д о в а т е л ь н о т а к ъ , к а к ъ
будто н е и з м е н я е м о с в я з а н н ы й с ъ н и м ъ к р у г ъ с катился внутри
вдвое болыиаго к р у г а О.
Катанье к р у г а внутри вдвое болынаго к р у г а называется
д в и ж е т е м ъ к р у г а Кардана.
Teopifl полодш позволила н а м ъ в ы я с н и т ь полное тождество
т а к и х ъ д в у х ъ , н а первый в з г л я д ъ н е п о х о ж и х ъ одно н а другое
д в и ж е ш й к а к ъ катанье, круга Кардана и с к о л ь ж е т е прутика
концами по взаимно п е р п е н д и к у л я р н ы м ъ п р я м ы м ъ . Мы у в и д и м ъ ,
что н е только теор1я полодШ но и катанье к р у г а К а р д а н а необык­
новенно многое у я с н я ю т ъ в ъ теорш механизмовъ.
§ 53. Скольжете прутика концами по двумъ неперпендикулярнымъ прямымъ.
В ъ п р е д ы д у щ е м ъ п а р а г р а ф е мы в и д е л и , что точки А и В
окружности малаго Карданова к р у г а описываютъ п р я м ы я Ох и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 38 —
Oy, п р о х о д я щ ш ч р е з ъ центръ большого
к р у г а . Но п р и такомъ к а т а н ш в с ъ точки
о к р у ж н о с т и малаго к р у г а н а х о д я т с я в ъ
о д и н а к о в ы х ъ услов1яхъ. С л е д о в а т е л ь н о
ест т о ч к и окружности малаго Карданова
круга опнсываютъ п р я м ы я проходяпця
ч р е з ъ ц е н т р ъ большаго к р у г а .
Поэтому, наоборотъ, п р у т н к ъ , опир а ю щ ш с я концами на две п р я м ы я д а ж е
H не перпендикулярный
между собою, дви­
ж е т с я т а к ъ , что иолод1ями его д в и ж е ш я
с л у ж а т ъ к р у г и К а р д а н а (фиг. 38).
§ 54. Крестовый эллипсографъ. В ъ д в и ж е н ш прутика, опи­
рающегося к о н ц а м и на две взаимно п е р п е н д и к у л я р н ы й п р я м ы я ,
н а м ъ и з в е с т н ы и з ъ § 52-го т р а е к т о р ш трехъ т о ч е к ъ прутика, а
именно мы з н а е м ъ , ч т о : к о н ц ы п р у т и к а описываютъ две п р я м ы я ,
средина-яге его, с о в п а д а ю щ а я с ъ центромъ малаго К а р д а н о в а
круга, описываетъ очевидно о к р у ж н о с т ь концентрическую с ъ
окружностью большаго к р у г а . Посмотримъ каковы траекторш
остальныхъ т о ч е к ъ прутика.
Примемъ за оси к о о р д и н а т ъ те взаимно
п е р п е н д и к у л я р н ы я п р я м ы я , по которымъ
с к о л ь з я т ъ к о н ц ы п р у т и к а (фиг. 39). Опред е л и м ъ т р а е к т о р ш т о ч к и т, п о л о ж е ш е ко­
торой н а п р у т и к е о п р е д е л я е т с я разстояш я м и е я отъ к о н ц о в ъ :
Вт =
я
Am =
Ь
т а к ъ что длина самого п р у т и к а = а -f- Ь.
Обозначимъ ч р е з ъ ср у г о л ъ , с о с т а в л я е м ы й п р у т и к о м ъ с ъ осью х.
Пусть (х, у) б у д у т ъ к о о р д и н а т ы т о ч к и т.
Изъ т р е у г о л ь н и к а АтН и м е е м ъ :
у—Ь.
sin
Нроведемъ ч р е с ъ m прямую тК
т р е у г о л ь н и к а КВт и м е е м ъ :
х =
(46)
ф
паралельно
осп х.
а. cos ф
Изъ
(-17)
И з ъ (46) и (47) и м е е м ъ :
X
•J
я
+ -^- = 1
уравнеше эллипса отпесеннаго къ его главнымъ осямъ.
(48)
Итакъ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 39 —
ïpaeKTOpiK точки то есть э л л и п с ъ , г л а в н ы я полуоси
равны разстоян1ямъ точки m отъ концовъ прутика.
На этомъ с в о й с т в е основано устройство крестоваго
г р а ф а (фиг. 40), состоящаго и з ъ крестовины, в ъ которой
два взаимно п е р п е н д и к у л я р н ы е п р я ­
молинейные п р о р ъ з а . В ъ эти п р о р е з ы
вложены ползуны, составляющее с ъ
ними поступательныя п а р ы и несупце
на себе ш а р н и р ы А и В, на которые
н а д е т а л и н е й к а AB. По л и н е й к е хо­
д и т ь муфта M с ъ н а ж и м н ы м ъ винтомъ s и с ъ очкомъ д л я в с т а в л е ш я
к а р а н д а ш а то. Передвигая линейку,
з а с т а в л я е м ъ д в и г а т ь с я и установлен­
н ы й в ъ какомъ либо ея месте к а р а н д а ш ъ т, который,
сказанному выше, о ч е р т и т ь э л л и п с ъ .
котораго
эллипсо­
сделаны
согласно
§ 55. Эллиптическое движеше.
Теорема: при катанш
круга, ест точки, неизменяемо
сываютъ
эллипсы.
круга Кардана
внутри
вдвое
бомишго
соединенный
съ малымъ кругомъ опи-
Доказательство.
Возьмемъ любую т о ч к у то, н е и з м е н я е м о
соединенную с ъ м а л ы м ъ к р у г о м ъ (фиг. 41). Проведемъ прямую
ч р е з ъ m и ч р е з ъ ц е н т р ъ С малаго круга. Обозначимъ ч р е з ъ А
и В точки п е р е с ъ ч е ш я этой прямой с ъ окружностью малаго круга.
И з ъ § 53 мы знаемъ, что точки А и В описываютъ п р я м ы я ,
проходящая ч р е з ъ ц е н т р ъ О большого круга. И т а к ъ : точка то
описываетъ ту самую т р а е к т о р ш , которзчо она описывала-бы
если-бы п р и н а д л е ж а л а воображаемому
прутику AB опирающемуся концами
на две п р я м ы я , п р о х о д я н ц я ч р е з ъ О.
Эти п р я м ы я взаимно п е р п е н д и к у л я р н ы
т а к ъ к а к ъ у г о л ъ АОВ опирается на
д1аметръ AB. Мы знаемъ, что т а к а я
траектор]я есть э л л и п с ъ (§ 54). Только
точки о к р у ж н о с т и малаго к р у г а опи­
сываютъ прямыя,
и ц е н т р ъ С этой
окружности описываетъ
окружность
концентрическую с ъ б о л ы н и м ъ кру­
гомъ. Но и п р я м а я и окружность мо­
г у т ъ быть разсматриваемы к а к ъ частные с л у ч а и эллипса. С ъ
этой точки з р е ш я можно сказать, что в с е , безъ н с к л ю ч е ш я ,
точки, соединенный с ъ м а л ы м ъ кругомъ к а т я щ и м с я внутри круга
вдвое болынаго, — ониеываютъ эллипсы. Поэтому к а к ъ д в и ж е ш е
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 40 —
прутика с к о л ь з я щ а я к о н ц а м и по д в у м ъ п р я м ы м ъ т а к ъ и катанье
к р у г а К а р д а н а называются эллиптическими
движениями.
§ 56. Движение обратное эллиптическому (антиэллиптическое).
Обратимъ э л л и п т и ч е с к о е д в и ж е ш е , то есть с д ъ л а е м ъ п р у т и к ъ AB
неподвижнымъ,
а к р е с т ъ , составленный п р я м ы м и Ох и Oy, —
подвижнымъ.
Д в и ж е т е т в е р д а я т е л а , н е и з м е н я е м о соединеннаго
с ъ т а к и м ъ п о д в и ж н ы м ъ к р е с т о м ъ , о п и р а ю щ и м с я н а неподвижную
п р я м у ю AB, н а з ы в а е т с я
эллиптическимъ.
Изъ сказанная
екимъ
движешемъ
обратными
эллиптическому
в ъ §§ 52 — 56 видно, что
называется
угла хоу (фиг. 37) скользятъ
такое,
по двумъ
въ которомъ
или
анти-
антиэллиптичестороны
неподвижнымъ
точкамъ
прямого
А и В.
И з ъ §§ 52—56 видно т а к ж е , ч т о а н т н э л л и п т и ч е с к о е д в и ж е т е есть
такое, в ъ которомъ большой К а р д а н о в ъ к р у г ъ к а т и т с я по малому,
и м е ю щ е м у с ъ н и м ъ в н у т р е н н е е п р и к о с н о в е ш е . — Подготовимся
к ъ о п р е д е л е н ш траекторШ а н т и э л л и п т и ч е с к а г о д в и ж е ш я .
§ 57. Улитки Паскаля. П р е д с т а в и м ъ себе окружность (фиг. 42);
п р о в е д е м ъ в ъ ней д1аметръ AB; примемъ А за полюсъ п о л я р н ы х ъ коор­
дината., AB за п о л я р н у ю ось. Н а вект о р а х ъ , проводимыхъ и з ъ А , н а ч и н а я
отъ п е р е с е ч е ш я и х ъ О с ъ окружностью,
будемъ откладывать, по обе стороны О,
о д и н а к о в о й д л и н ы Ъ о т р е з к и От и
От!. Т о ч к и m и т' р а с п о л а г а ю т с я по
к р и в о й , которая называется
улиткою
Паскаля.
Эта к р и в а я б ы в а е т ъ т р е х ъ
в и д о в ъ , и з о б р а ж е н н ы х ъ , вместе с ъ
п е р в о н а ч а л ь н ы м и окружностями, на
ч е р т е ж а х ъ ( ф и г . 42, 43 и 44).
Фиг.
43.
Фиг.
44.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 41 —
Е с л и а есть д1аметръ AB первоначальной окружности, то
улитка и м ъ е т ъ в н д ъ :
фиг. 42 п р и Ь = а (этотъ в и д ъ у л и т к и называется Кардюидою).
ф и г . 43 п р и Ь < а.
фиг. 44 п р и & > а.
§ 58. Уравнеше Паскалевыхъ улитокъ въ полярныхъ координатахъ. Пусть n i f суть п о л я р н ы я координаты т о ч е к ъ m и т'.
И з ъ ф и г . 42-ой в и д и м ъ , что
г =
АО±Ь
Ао — а. cos ф.
Следовательно :
г =
а . cos
(49)
ф+ Ь
§ 59. Траекторш антиэллиптическаго движешя. И з ъ ч е р т е ж а
(фиг. 42) видно, что у л и т к а П а с к а л я м о ж е т ъ быть образована
точкою т, н е и з м е н я е м о соединенною с ъ п р я м ы м ъ у г л о м ъ АОВ,
стороны котораго проходятъ ч р е з ъ н е и о д в и ж н ы я точки А и В.
Но в ъ § 56 мы в и д е л и , что д в и ж е т е
прямого угла, стороны котораго проход я т ъ ч р е з ъ две н е и о д в и ж н ы я точки, есть
д в и ж е т е антиэл.шптичеекое.
К а к ъ бы
н и была дана точка m в ъ антиэллиитическомъ д в и ж е н ш , ея траектор1я есть
у л и т к а П а с к а л я . Пусть, н а п р и м е р ъ , анти­
эллиптическое д в и ж е т е дано т е м ъ , что
большая о к р у ж н о с т ь О катится по малой
С (фиг. 45), и пусть m н е и з м е н я е м о сое­
динена с ъ большою окружностью О.
Проведемъ прямую то и отм'Ьтимъ ея
п е р е с е ч е т е А с ъ малою окружностью. П р о в е д я Д1аметръ AGB
малой окружности, в и д и м ъ , что точка m описываетъ улитку
П а с к а л я , д л я которой м а л а я окружность С есть первоначальная.
И т а к ъ : траекторш
антиэллиптическаго
движешя
ci/ть
улитки
Паскаля.
Только точка О центръ большой окружности (фиг. 45)
или, что то-же, в е р ш и н а о прямого у г л а (фиг. 42) описывають
окружность.
§ 60. Эллиптически станокъ Леонардо-да-Виичи. Не трудно
сообразить что н е п о д в и ж н а я точка н а ч е р т и т ь в ъ теле, совершаю щ е м ъ антнэллиптическое д в и ж е т е , — э л л и п с ъ . Н а п р и м е р ъ : е с л и
п р я м о у г о л ь н ы й л и с т ь бумаги д в и г а т ь по столу т а к ъ , чтобы о д и н ъ
к р а й его с к о л ь з и л ъ по одной н е п о д в и ж н о воткнутой в ъ с т о л ь
б у л а в к е , а другой п е р п е н д и к у л я р н ы й первому к р а й с к о л ь з и л ъ
бы по другой неподвижной б у л а в к е , — т о карандашъ, неподвижно
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 42 —
у п е р т ы й в ъ л п с т ъ , н а ч е р т п т ъ на н е м ъ д у г у эллипса. З д е с ь кар а н д а ш ъ и б у л а в к и н е п о д в и ж н ы , т а к ъ что к а р а н д а ш ъ к а к ъ бы
н е и з м е н я е м о соединенъ с ъ б у л а в к а м и ; р а з с т о я ш е м е ж д у булав­
ками есть п р я м а я AB с к о л ь з я щ а я (въ относительномъ д в и ж е н ш )
по взаимно п е р п е н д и к у р н ы м ъ п р я м ы м ъ , то есть по к р а я м ъ листа.
Этимъ свойствомъ а н т и э л л и п т и ч е с к а г о д в и ж е ш я воспользо­
в а л с я знаменитый у ч е н ы й и х у д о ж н и к ъ эпохи в о з р о ж д е ш я , Леоонардо-де-Винчи, п р и у с т р о й с т в е своего станка д л я в ы т а ч и в а ш я
эллипса. Мы о п ш н е м ъ с у щ е с т в е н н ы я части этого станка в ъ томъ
в и д о и з м е н е ш и , которое д а л ъ ему Рёло.
Д л я того, чтобы та ч а с т ь станка („патропъ"), на которой
у к р е п л я е т с я м а т е р ь я л ъ , обрабатываемый н е п о д в и ж н ы м ъ инструментомъ, совершала а н т и э л л и п т и ч е с к о е д в и ж е т е ,
достаточно
устроить на ней такой п р я м о й у г о л ъ , стороны котораго нроходилн-бы ч р е з ъ две н е п о д в н ж н ы я точки. Рёло за одну неподвиж­
ную точку и р и н и м а е т ъ т о ч к у А (фиг. 46) оси в р а щ а ю щ а г о с я в а л а
(шпинделя) токарнаго станка. З а другую неподвижную т о ч к у
о н ъ и р и н и м а е т ъ ц е н т р ъ В н е к о т о р а я н е п о д в и ж н а г о к о л ь ц а abc.
Около этого к о л ь ц а вра­
щ а е т с я охватывающее его
подвижное
кольцо
а' V с,
и м е ю щ е е в ы с т у п ы mm, слу­
жащее п о л з у н а м и в ъ ка­
н а в к е пп п а т р о н а М. На
п а т р о н е M с д е л а н а е щ е ка­
н а в к а ss, в ъ которую встав л е н ъ п о л з у н ъ р , составляющ Ш к о н е ц ъ ш п и н д е л я и вращаюшдйея вместе со ш п и н д е л е м ъ около оси проэктирующейся на чертеже в ъ
т о ч к у А . Этотъ п о л з у н ъ н
Ф и г . 46.
приводить въ движеше в с е
части патрона. П р и т а к о м ъ у с т р о й с т в е п р я м о й у г о л ъ ЛОВ дви­
ж е т с я т а к ъ , что его стороны п р о х о д я т ъ соответственно ч р е з ъ
т о ч к и А и В. Но этотъ п р я м о й у г о л ъ составленъ н а п р а в л е ш я м н
к а н а в о к ъ п и s с д е л а н н ы х ъ в ъ п а т р о н е М. Вследсттае этого патронъ M совершаетъ, при в р а щ е н ш шпинделя, антиэллиптическое
д в и ж е ш е , и потому к о н е ц ъ q н е п о д в и ж н о у к р е п л е н н а г о инстру­
мента Q в ы р е з а е т ъ на м а т е р ь я л е , у к р е п л е н н о м ъ н а п а т р о н е ,
э л л и п т и ч е е г а й с л е д ъ , и з о б р а ж е н н ы й н а ч е р т е ж е (фиг. 46 *).
*) К а ж д а я точка п а т р о н а о п и с ы в а е т ъ у л и т к у ; но неподвижный
конецъ q
и н с т р у м е н т а ч е р т и т ъ н а матерья.тб, у к р * п л е н н о м ъ в ъ п а т р о н * , я л л и п с ъ .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 43 —
§ 61. Рулетты. П р и в е д е т е п л о с к а г о д в и ж е т я твердаго т ъ л а
к ъ катанью полодШ немедленно привело н а с ъ к ъ т а к и м ъ ннтереснымъ м е х а н и з м а м ъ к а к ъ э л л н п с о г р а ф ъ и станокъ Д а - В и н ч и .
Оно будетъ еще с л у ж и т ь н а м ъ путеводного нитью в ъ т е о р ш зубч а т ы х ъ к о л е с ъ и н ъ к о т о р ы х ъ д р у г и х ъ механизмовъ. Поэтому те­
перь весьма интересно познакомиться с ъ т ъ м и к р и в ы м и , которыя
описываются какою нибудь точкою п о д в и ж н о й п о л о д ш при каTaHin е я по неподвижной полодш. Эти к р и в ы я называются рулеттами.
Рулеттою
называется
кривая,
описываемая
точкою не­
изменяемо
соединенною - съ катящеюся кривою при катами
последней
по другой неподвижной
кривой.
Особенно з а м е ч а т е л ь н ы слъдуюице частные в и д ы р у л е т т ъ :
Трохоида—такъ
называется в с я к а я рулетта образованная ка­
т а ш е м ъ окружности но окружности. Трохоиды бываютъ самыхъ
разнообразныхъ в и д о в ъ , смотря по относительной в е л и ч и н е ка­
т я щ е г о с я и н е п о д в и ж н а г о к р у г о в ъ , по р а з с т о я ш ю описывающей
ее т о ч к и отъ центра к а т я щ а г о с я к р у г а и в ъ зависимости отъ
того, и м е ю т ъ л и к р у г и в н е ш н е е и л и внутренне к а с а ш е .
Трохоида, образованная в н е ш н и м ъ к а т а ш е м ъ к р у г о в ъ , назы­
в а е т с я эпи-трохоидою
(фиг. 47).
Ф и г . 47.
Ф и г . 48.
Трохоида, образованная внутреннимъ к а т а ш е м ъ к р у г о в ъ ,
н а з ы в а е т с я гипо-трохоидою
(фиг. 48).
Трохоиды, описываемыя точкою, л е ж а щ е ю н а самой окруж­
ности к а т я щ а г о с я к р у г а называются: при в н е ш н е м ъ к а т а н ш —
зпи-циклоидами,
(фиг. 49), при внутреннемъ к а т а н ш
гипо-циклоидами
(фиг.
50).
Е с л и радаусъ неподвижного к р у г а безконечно в е л и к ъ , то о к р у ж ­
ность его есть п р я м а я . П р и к а т а н ш к р у г а по п р я м о й : точка, на­
ходящаяся на окружности катящагося круга ч е р т и т ъ
циклоиоу
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 44 —
(фиг. 51); точка, находящаяся отъ центра катящагося круга на
разетоянш болынемъ его рад1уса, чертить сжатую циклоиду
(фиг. 52); точка, находящаяся отъ центра катящагося круга на
разетоянш менынемъ его рад1уса, чертитъ растянутую
циклоиду
(фиг. 53).
В
0
Фиг. 51.
Фиг.
53.
Если раддусъ катящагося
круга безконечно великъ, такъ что
его окружность есть прямая, то точка, находящаяся на прямой,
катящейся по окружности, чертитъ развертывающую
кругл.
Развертывающая круга получила свое название отъ того,
что можетъ быть начерчена концомъ нити развертываемой с ъ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
45 —
матерьяльнаго к р у г а , около котораго эта нить была предвари­
тельно намотана ( ф и г . 57).
§ 62. Построение нЪкоторыхъ трохоидъ. Эпициклоида (фиг. 54),
г и п о ц и к л о и д а (фиг. 55) и ц и к л о и д а (фиг. 56) строятся по точк а м ъ , если даны к а т я н ц е с я к р у г и , с л ъ д у ю щ и м ъ образомъ.
Фиг. 54.
Фиг. 55.
Отъ т о ч к и с о п р и к о с н о в е т я с откладываютъ по н е п о д в и ж н о й окружности по­
с л е д о в а т е л ь н ы й р я д ъ р а в н ы х ъ м е ж д у собою
м а л ы х ъ д у г ъ ( ч ъ м ъ мельче д у г и , т е м ъ
т о ч н е е построеше) и такой ж е длины д у г и
по подвижной окружности. Пусть концы
к а к и х ъ н и б у д ь w-ыхъ д у г ъ суть а и Ъ.
Обозначая ч р е з ъ х точку с т р о я щ е й с я к р и ­
вой, и м е е м ъ :
Ьа =
сх
са =
Ьх
потому что точки с и Ь п е р е м е н я ю т с я р о л я м и п р и п е р е х о д е соп р и к о с н о в е ш я и з ъ с в ъ ту точку, в ъ которую сольются а и Ь.
С л е д о в а т е л ь н о точка х искомой кривой п о л у ч и т с я в ъ п е р е с е ч е н ш д у г ъ описанныхъ р«*щусомъ Ьа и з ъ с и раддусомъ са и з ъ Ь.
О п р е д е л и в ъ н е с к о л ь к о т о ч е к ъ х, соедпняемъ и х ъ по л е к а л у .
§ 63. Построеше развертывающей круга. Отктадываемъ н а
данной окружности (фиг. 57) р я д ъ малыхъ
д у г ъ , в ъ к о н ц а х ъ которыхъ 1, 2, 3, 4...
проводимъ к а с а т е л ь н ы я к ъ данной окруж­
ности. И з ъ э т и х ъ к о н ц о в ъ рад1усами 10,
21', 32', 43'... о п и с ы в а е м ъ дуги, ограни­
ч и в а е м ы й с о с е д н и м и касательными. По­
с л е д о в а т е л ь н о с т ь э т и х ъ д у г ъ 01'2'3'4'...
д а с т ъ искомую кривую с ъ п р и б л п ж е ш е м ъ
Фиг.
к ъ е я истинному в и д у г Ь м ъ б о л ь ш и м ъ ,
ч е м ъ м е л ь ч е в з я т ы были д у г и 01, 12, 23, 34.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 46 —
§ 64. Мгновенный центръ шатуна шарнирнаго четырехсторон­
ника. Ш а р н и р н ы й ч е т ы р е х с т о р о н н и к ъ ABCD
(фиг. 58), состоящей
и з ъ четырехъ т в е р д ы х ъ з в е н ь е в ъ , с о е д и н е н н ы х ъ м е ж д у собою
п о с л е д о в а т е л ь н о ш а р н и р а м и , п р е д с т а в л я е т ъ большой и н т е р е с ъ
к а к ъ п р о с т ъ й и п й м е х а н и з м ъ , н а х о д я щ ш обширное п р и м е н е ш е в ъ
п р а к т и к * и в ъ теорш. П р н м е м ъ з а н е п о д в и ж н о е звено п р я м у ю AD.
З в е н ь я AB и DC, с о с е д ш я с ъ н е п о д в и ж н ы м ъ звеномъ, совершаютъ
просто к о л е б а т я и л и в р а щ е ш я около ц е н т р о в ъ А и D. Но
звено ВС, противуноложное н е п о д в и ж н о м у и называемое шату­
номъ (по н е м е ц к и Koppel) с о в е р ш а е т ъ весьма сложное д в и ж е т е .
Мы п о к а ж е м ъ к а к ъ просто, б л а г о д а р я теорш мгновенныхъ цен­
тровъ, н а х о д я т с я скорости к а к о й либо т о ч к и соединенной с ъ
ш а т у н о м ъ , несмотря н а с л о ж н о с т ь его д в и ж е ш я . О п р е д е л и м ъ
с н а ч а л а мгновенный ц е н т р ъ ш а т у н а .
Намъ известны траекторш двухъ точекъ шатуна, именно:
точка В описываетъ д у г у о к р у ж н о с т и , и м е ю щ е й ц е н т р ъ в ъ А и
Фиг. 58.
Фиг. 59.
рад1усъ AB, точка С о п и с ы в а е т ъ д у г у окружности, и м е ю щ е й
ц е н т р ъ в ъ D н рад1усъ DC. Согласно § 51 мгновенный ц е н т р ъ
л е ж и т ъ на п е р е с е ч е н ш н о р м а л е й траекторШ; но н о р м а л и к ъ
д у т а м ъ о к р у ж н о с т е й суть и х ъ раддусы.
Итакъ:
мгновенный
рехсторонника
и DC
(фиг. 58)
находится
или
центръ
на
Р шатуна
пересгъченги
на переоъченли
самыхъ
ВС
шарнирнаго
продолжений
этихъ
четы­
сторонъ
сторонъ
(фиг.
AB
59).
§ 65. Построеше скоростей точекъ неизменяемо соединенныхъ
с ъ шатуномъ. О п р е д е л и м ъ скорость т о ч к и m (фиг. 58 и 59) не­
и з м е н я е м о соединенной с ъ ш а т у н о м ъ .
П о с т р о и в ъ по п р а в и л у предыдущего п а р а г р а ф а мгновенный
ц е н т р ъ Р, с о е д и н и м ъ Р съ точкою m прямою. При безконечно-мал о м ъ п е р е м е щ е ш и шатунъ вращается около мгновенного центра Р.
П р и такомъ вращенш линейныя скорости точекъ В, С и m на­
правлены соответственно по перпендикулярамъ къ мгновеннымъ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 47 —
радгусамъ PB, PC и Pm и пропорциональны этимъ мгновеннымъ
рад1усамъ.
Обыкновенно удобно п о л ь з о в а т ь с я т а к и м ъ
которомъ л и н е й н а я скорость V точки В р а в н а
мой PB. Тогда л и н е й н а я скорость V точки m
величинъ, прямой Р (здъсь малеше значки ,
а не множители).
B
m
т
И т а к ъ : линейная
венному
венному
радгусу
Р
т
в
скорость V
и направлена
m
точки m равна,
по перпендикуляру
масштабомъ при
по в е л и ч и н ъ п р я ­
будетъ равна, по
„, суть индексы,
по величина
къ этому
мгно­
мгно­
радгусу.
К а к ъ только н а й д е н ъ мгновенный центръ, то н а х о ж д е ш е
скоростей т о ч е к ъ , соединенныхъ с ъ шатуномъ, не представляетъ,
к а к ъ мы в и д и м ъ , н и к а к и х ъ трудностей.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава
IV.
Шарнирно-рычажные механизмы.
§ 66. Шарнирнорычажные механизмы суть механизмы состав­
ленные и з ъ твердыхъ з в е н ь е в ъ соединенныхъ м е ж д у собою вра­
щательными нарами. Это т а м е механизмы, которые не заключаютъ
в ъ себе н п к а к и х ъ к и н е м а т и ч е с к и х ъ п а р ъ к р о м е в р а щ а т е л ь н ы х ъ .
§ 67. Шарнирный четырехсторонникъ, съ устройствомъ ко­
т о р а я мы п о з н а к о м и л и с ь в ъ g 64, п р е д с т а в л я е т ъ собою п р о с т М iiiiü механизмъ и с л у ж и т ь составною
частью м н о г и х ъ д р у г и х ъ механизмовъ.
Поэтому п з с л ъ д у е м ъ его н е с к о л ь к о по­
д р о б н е е . Онъ состоитъ и з ъ 4-хъ з в е н ь е в ъ
(фиг. 60): н е п о д в и ж н а я AD, д в у х ъ кл>
нему п р и м ы к а ю щ и х ъ AB и DC и ша­
туна
ВС.
К а ж д о е и з ъ з в е н ь е в ъ , примыкаю'В щ и х ъ к ъ неподвижному, совершаетъ и л и
- полное в р а щ е ш е около н е п о д в и ж н ы х ъ
центровъ А и л и D, или только колеблется около одного и з ъ
этихъ центровъ. В ъ п е р в о м ъ с л у ч а ъ такое звено называется
нривошипомъ
(по н ъ м е и к и Kurbel). Во второмъ случат, мы будомъ
называть его колсёателемъ
(по н е м е ц к и Schwinge).
Bcf> точки, н е и з м е н я е м о соединенныя с ъ к р и в о ш ш г о м ъ ,
оннсываютъ окружности (или д у г и окружностей).
B e i , точки, н е и з м е н я е м о соединенныя с ъ колебателемъ, описываютъ д у г и окружностей.
Неподвижное звено называется станомъ (Steg).
В ъ Германии, благодаря B u r m e s t e r ' y , номенклатура механиз­
мовъ выработана до м е л ь ч а й ш и х ъ подробностей; у н а с ъ слова
ирквошипъ
и татуиъ
п о л у ч и л и п р а в о г р а ж д а н с т в а ; слова-же
етанъ, колебатель в в о д я т с я мною в ъ настоящей к у р с ъ д л я пере­
вода с л о в ъ S t e g и Schwinge.
ф и г
т
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 49 —
Четырехсторонники бываютъ с л ъ д у ю щ и х ъ т и п о в ъ :
1) Двукргьвотипныа
четырехсторонникъ, у котораго оба п р п мыкаюип'я к ъ стану звена суть кривошипы.
2) Еривошипо-колебатель,
у котораго одно и з ъ прпмыкающихъ
к ъ стану з в е н ь е в ъ к р н в о п ш п ъ , а другое колебатель.
3) Двуколебатель.
у котораго оба примыкаюиця к ъ стану
звена суть колебатели.
Относительно э т и х ъ трехт» мсханизмовъ Г р а с г о ф ъ (Grashof,
Theoretische Maschinenlehre), помощью весьма простого теоретиче­
с к а я нзсл'Ьдовашя д о к а з а л ъ следующее.
§ 68. Теорема Грасгофа. Четыхсторонняя к и н е м а т и ч е с к а я
ц ъ п ь можетъ обладать к р и в о ш и п о м ъ только в ъ томъ с л у ч а е ,
е с л и сумма д.тнъ наибольтаго
и наименыиаго
звеньевъ не превосхо­
дить суммы двух;, другихъ звеньевъ. Е с л и это услов1е удовлетворено,
то п о л у ч и т с я двукривоншпнын
механизмъ,
если цапь поставлена
на
наименьшее
звено: если же т а к а я >пъпь поставлена
на одно изъ сооъднихъ съ наименьшнмъ
звеньевъ, то получается
кривошипо-колеба-
тель: п р и п о с т а н о в к а такого механизма на звено
наименьшему
получается
Если сумма
двухъ оетальныхъ,
батель.
противоположное
двуко. leôame. и,.
наименьшаго
и наиболыиаго звеньевъ больше
суммы
то тьпь при всякой
постановит
даетъ
двуколе-
Доказательство.
Обозначнмъ ч р е з ъ &
наименьшее звено
четырехсторонника.
Наибольшим!-, будетъ ИЛИ противопо­
ложное звено а ( ф и г . 6 1 ) и л и одно и з ъ
и р и л е ж а щ и х ъ к ъ Ь, п о л о ж и м ъ я .
' '
Разсмотримъ тотъ случай, когда я наибольшее звепо и когда
ф н г
ы
я -|_ й < с - f d
(I).
З а м е н я я з д ъ с ь а ч р е з ъ d и d ч р е з ъ а, найдемъ, что и подавно:
а _|_ ъ
< с -f-
(II).
я
З а м ъ н я я в ъ (I) я ч р е з ъ с и с ч р е з ъ я , н а й д е м ъ , что п п о д а в н о :
,. _|. h < a -f- d
(III).
Р а з с м а т р и в а я всевозможные* с л у ч а и и д е й с т в у я
же образомъ, п о л у ч и м ъ р я д ъ н е р а в е н с т в у который
в ъ в и д ъ с л е д у ю щ е й таблицы:
Наибол. - f - наим. <
остальн.: а наибольш.,
b наименьшее.
a - \ - b < c + d . .
Наибол. - f - наим. =
остальн.: а наибольш.,
h наименьшее.
I
d-j-ft < с - ( - я . . II
с - j - b <a-\-d
. . III
a + h = c-\-d
. .
Наибол. - f - наим.
>
остальн.: а наибольш.,
Ь
наименьшее.
J
0
rfft
<С «*-j-« - - И
e - j - A < e - r - r f . . III
ДЕЛОМ. - Практическая механпкд.
иодобпымъ
приводимъ
а -j- b >
е -j- d . .
Г
« + <*>Л+'7. . H
e + d>r-j-A..lII
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
d наибол.,
h наимен.
d наибол.,
_j_rf<a_|_ . . И
ft_j_ <e-f
d . .111
a-j-6 <
с . . I
c
c
h наймем,
b-\-d = a-\-e
b + t<a-\-d
?>-f-«< +
d
. . II
. .VA.
• •
c
1
d наибол.,
0
Ь
наимен.
h -f- d > a + f . . 1Г
я + Л > й - - с . . Ш
+
+
I
т
Мы нарочно о т м е ч а л и п о л у ч е н н ы я неравенства р и м с к и м и
цифрами, и в и д и м ъ , что в ъ р а з л и ч н ы х ъ с л у ч а я х ъ получаются
иногда т ъ - ж е самыя неравенства, т а к ъ что в ъ 1 8 с л у ч а я х ъ по­
лучилось только 7 существенно р а з л и ч н ы х ъ неравенствъ и ра­
в е н с т в у а именно: I, II, III, 1 , П , Г, II'.
Р а з с м о т р и м ъ в с ъ т ъ п о л о ж е ш я четырехсторонника, п р и
которыхъ к а ш я нибудь с о с ъ д ш я з в е н ь я располагаются в ъ одну
0
0
с
А
Фиг. 62.
Фиг. 63.
прямую; фиг, 6 3 , 6 4 , 6 6 , 6 8 относятся к ъ тому случаю, когда а
есть наибольшее звено; фиг. 6 2 , 6 5 , 6 7 , 6 9 о т н о с я т с я , к ъ тому
9С
Фиг. 65.
случаю, когда d есть н а и б о л ь ш е е звено. Звено /; мы п р и ш г а а е м ъ
во в с ъ х ъ с л у ч а я х ъ за н а и м е н ь ш е е .
Фиг. 66.
Треугольникъ BCD (фиг. 62, 63) возможенъ при неравенствъ I
и (въ п р е д а т ь ) при неравенствъ- 1 , но невозможен* при Г.
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 51 —
Т р е у г о л ь н и к ъ BCD (фиг. 64, 65) возможенъ при II
при II,,, но невозможен* при 11', и з ъ котораго вытекаетъ:
или
а — h <С d — с
сторона м е н е е разности д в у х ъ д р у г и х ъ сторонъ.
Т р е у г о л ь н и к ъ ACT) (фиг. 66, 67) в о з м о ж е н ъ при III и Ш .
0
1>г
В /
Bi
Ф и г . 68.
Фиг.
69.
Т р е у г о л ь н и к ъ ACD (фиг. 68, 69) возможенъ при I и 1 , но
невозможен» при Г, и з ъ котораго вытекаетъ
0
с — h <] а — d.
Н т а к ъ в ъ с л у ч а я х ъ , характернзованныхъ 1-ю и 2-ю колонною
таблицы неравенствъ, возможны в р а щ е ш я звена h относительно
звена а и в р а щ е ш я а относительно Ь. Но в р а щ е ш я эти невозможны
в ъ с л у ч а ъ х а р а к т е р и з о в а н н о м ъ 3-ю колонною. Точно то-же можно
сказать о в р а щ е н ш Ъ относительно с и с относительно Ь.
С л е д о в а т е л ь н о : если сумма н а и б о л ь ш а я и н а и м е н ь ш а я
з в е н ь е в ъ р а в н а и л и меньше суммы остальныхъ, то в р а щ е ш я на­
и м е н ь ш а я звена относительно с о с Ь д н и х ъ с ъ н и м ъ з в е н ь е в ъ
возможны, равно к а к ъ и в р а щ е ш я э т и х ъ с о с ъ д н и х ъ звеньевъ
относительно н а и м е н ь ш а я . Е с л и ж е сумма н а и б о л ь ш а я и на­
и м е н ь ш а я з в е н ь е в ъ больше суммы остальныхъ, то т а т я в р а щ е ­
ш я невозможны.
Сводя все сказанное, п о л у ч и м ъ теорему, которую требовалось
доказать.
§ 69. Параллелограммъ. О д и н ъ и з ъ п р о с т ъ й ш и х ъ ш а р н н р н ы х ъ
четырехсторонниковъ—это п а р а л л е л о г р а м м ъ ABCD (фиг. 70). Опъ
можетъ с л у ж и т ь д л я п е р е д а ч и в р а щ е ш я
^
отъ к р и в о ш и п а AB к ъ к р и в о ш и п у DC.
/
При в р а щ е н ш одного и з ъ э т и х ъ кри/
в о ш и п о в ъ , д р у г о й п р и н у ж д е н ъ остаАо
а
в а т ь с я п а р а л л е л ь н ы м ъ первом}' и потому
- в р а щ а е т с я в ъ томъ ж е н а п р а в л е н ш и с ъ тою-же скоростью к а к ъ
и первый. Однако, когда в с е з в е н ь я параллелограмма в ы т я н у т с я
в ъ одну п р я м у ю , то, по в ы х о д е и з ъ этого п о л о ж е ш я , к р и в о ш и п ы
могутъ н а ч а т ь в р а щ е ш я и в ъ одну и ту же сторону, и в ъ стороны
противуположныя. Такое п о л о ж е ш е , в ъ которомъ м е х а н и з м ъ теg
в
ф и г
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
52
р я е т ъ определенность своего д в и ж е ш я , называется
•неопредгълениы.иъ. Во в с ъ х ъ остальныхъ п о л о ж е ш я х ъ : п р и д а н н о м ъ д в и ж е н ш
одного к р и в о ш и п а , д р у г о й и м ъ е т ъ д в и ж е ш е в п о л н е о п р е д е л е н ­
ное. Когда ж е в с е з в е н ь я р а с п о л о ж а т с я н а одной прямой (фиг. 71),
то, п р и д в и ж е н ш к р и в о ш и п а А В, к р и в о и ш п ъ DC можетъ поверА
,
В
D
Фиг. 71.
Ао^-
о-О
в
Фиг. 72.
Фиг. 73.
путься в ъ ту-же сторону (фиг. 7 2 ) , но можетъ т а к ж е п о в е р н у т ь с я
и в ъ сторону противуположную (фиг. 73).
§ 70. Мертвыя или неопределенный положешя. Не в ъ одномъ
только п а р а л л е л о г р а м м е , но и во м н о г и х ъ д р у г и х ъ механизмахъ
бываютъ н е о п р е д е л е н н ы й п о л о ж е ш я . Возьмемъ д л я п р и м е р а ме­
ханизмъ (фиг. 74), состояний и з ъ звена OA, в р а щ а ю щ а г о с я около
неподвижной оси О и звена AB,
к о н е ц ъ котораго А соединенъ
_ff ш а р н и р о м ъ с ъ концомъ звена
OA, другой ж е к о н е ц ъ В п р и ­
н у ж д а е т с я поступательною па' ' рою ходить по прямой MX.
Это весьма употребительный м е х а н и з м ъ , в с т р е ч а ю щ е й с я , н а п р и м е р ъ , в ъ соеднненш маховаго колеса OA паровой м а ш и н ы с ъ
шатуномъ AB и головкою п о р ш н е в а г о штока (крейцкопфъ) В.
Б у д е м ъ в р а щ а т ь звено OA, тогда точка В будетъ ходить
в з а д ъ и в п е р е д ъ по п р я м о й MX.
Теперь поступимъ и н а ч е : будемъ сообщать механизму дви­
ж е т е , ведя его з а точку В. П р и д в и ж е н ш точки В вправо,
звено OA будетъ в р а щ а т ь с я и з ъ п о л о ж е ш я , и з о б р а ж е н н а я на
S—\
ч е р т е ж е (фиг. 74) в ъ напраg
JA
M
|L
S
влен1и движен1я с т р е л к и ча;
с о в ъ вплоть до того момента,
—-*'
когда OA и AB в ы т я н у т с я в ъ
Фиг. 75.
одну прямую (фиг. 75). Это и
есть н е о п р е д е л е н н о е п о л о ж е ш е , потому что, п р и движенш точки В
н а з а д ъ , звено OA и м е е т ъ одинаковую возможность п р о д о л ж а т ь
в р а щ е ш е в ъ прежнемъ направленш или в ъ н а п р а в л е н ш противуположномъ, если мы только поможемъ ему войти въ ту или другую
сторону, Если-же мы не окажемъ никакого содействия звену OA
ф и г
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
д л я выхода и з ъ н е о п р е д е л е н н а я положешя, то н а и о р ъ на точку В
вызоветъ только давлеше звена ВА на звено OA, не производя
д в и ж е ш я . Такое неопределенное положеше, в ъ которомъ пре­
кращается передаваемость д в и ж е ш я , называется мертвымъ
или
мертвою
точкою.
Д л я у н и ч т о ж е ш я неонределенныхъ и мертвыхъ положешй,
то есть д л я перехода ч р е з ъ н и х ъ в ъ требуемомъ н а п р а в л е н ш
существуетъ н е с к о л ь к о способовъ. Познакомимся съ ними.
§ 71. Переходъ неопределенныхъ положенш при помощи ма­
ховика. И р и к р е п и м ъ к ъ звену OA (фиг. 74) механизма, разсмот р е н н а г о в ъ § 70-мъ массивный к р у г ъ (или колесо), который
в р а щ а л с я было около оси О вместе с ъ звеномъ OA (фиг. 76).
Теперь, при п р и б л и ж е н ы механизма к ъ неопределенному поло­
ж е н ш , накопится в ъ этомъ массивномъ колесе, называемомъ
маховикомъ,
достаточная ж и в а я
сила, которая не д а с т ъ маховику
в р а щ а т ь с я в ъ сторону обратную,
а, н а п р о т и в ъ того, поможетъ
ему пройти неопределенное положеше в ъ томъ направленш, в ъ
которомъ онъ в р а щ а л с я прежде. Однако, если остановить меха­
н и з м ъ на н е о п р е д е л е н н о м ъ положенш, то, п р и л а г а я силу к ъ
концу В ш а т у н а , не сообщимъ механизму д в и ж е ш я , несмотря на
Маховикъ, который д е й с т в у е т ъ только на ходу.
§ 72. Переходъ неопределенныхъ положенш помощью направлен1Я силъ съ двухъ сторонъ. Этотъ способъ заключается в ъ томъ,
что заставляютъ силу д е й с т в о в а т ь на две р а з л и ч н ы я части ме­
ханизма. П р и м е р о м ъ такого устройства можетъ с л у ж и т ь паровозъ. Съ к а ж д о й стороны паровоза и м е е т с я свой паровой ци­
л и н д р ъ и своя система с о е д и н е ш я поршневаго штока с ъ ш а т у н о м ъ
и маховикомъ. Паръ д е й с т в у е т ъ и н а правый и на л е в ы й пор­
ш е н ь , но к р и в о ш и п ы праваго и л е в а г о механизмовъ наклонены
д р у г ъ к ъ д р у г у п о д ъ у г л о м ъ и н е и з м е н я е м о соединены с ъ о б щ и м ъ
валомъ, на который наглухо насажены правое и л е в о е колесо.
Когда правый механизмъ нриходитъ в ъ мертвое положеше, то
л е в ы й находится в ъ д е й с т в у ю щ е м ъ положешй, и обратно.
П р и такомъ у с т р о й с т в е м а ш и н а можетъ быть пущена в ъ
ходъ, хотя бы о д и н ъ и з ъ механизмовъ и находился, во время
остановки, в ъ мертвомъ положенш, т а к ъ к а к ъ другой механизмъ
подействуетъ.
§ 73. Переходъ неопределенныхъ положенш помощью добавочныхъ механизмовъ. П о я с н и м ъ этотъ способъ на д в у х ъ ирнмерахъ.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 54 —
Двойной
кривошипъ
ф и г
или
спарникъ.
Параллелограммъ
ABCD
(фиг. 77) и м ъ е т ъ д в а неопредъл е н н ы х ъ п о л о ж е ш я н а к а ж д ы й оборотъ к р и в о ш и п а AB, н а который
д е й с т в у е т е в р а щ а ю щ е е усилие. З а к р ъ п и м ъ к р и в о ш и п ы AB и DC на
о с я х ъ А и D наглухо и п р о д е н е м ъ
эти оси сквозь неподвижное звено.
С ъ другой стороны неподвижнаго
звена н а д ъ и е м ъ на оси А и D, тоже
н а г л у х о , к р и в о ш и п ы AM и DN, нак л о н и в ъ и х ъ подъ одинаковыми
у г л а м и к ъ к р и в о ш и п а м ъ AB и DC.
-
З а т ъ м ъ соединимъ р а в н ы е м е ж д у собою к р и в о ш и п ы AM и DN
шатуномъ MN.
При т а к о м ъ р а с и о л о ж е н ш , и з о б р а ж е н н о м ъ на ч е р т е ж е
(фиг. 77) в ъ д в у х ъ п р о э к щ я х ъ , п о л у ч и м ъ два п а р а л л е л о г р а м м а :
ABCD и AMND,
о д и н ъ и з ъ н и х ъ н а х о д и т с я по сю сторону не­
подвижнаго звена, д о р г о й — по другую его сторону, т а к ъ что
одинъ не м ъ ш а е т ъ д в и ж е н ш д р у г а г о . Между т ъ м ъ теперь, п р и
неопредъленномъ п о л о ж е н ш одного и з ъ э т и х ъ параллелограммовъ, — другой п а р а л л е л о г р а м м ъ н а х о д и т с я в ъ д ъ й с т в у ю щ е м ъ по­
ложенш.
§ 74. Трехосный спарникъ. В ъ трехъ н е п о д в и ж н ы х ъ т о ч к а х ъ А ,
В, С (фиг. 78) у с т р о и м ъ ш а р н и р ы и н а с а д и м ъ н а н и х ъ р а в н ы е м е ж д у
собою с т е р ж н и А8, ВМ и CN, концы которыхъ соединимъ ш а р ­
н и р а м и с ъ в е р ш и н а м и п о д в и ж н а г о треуголь­
н и к а SMN, р а в н а г о т р е у г о л ь н и к у ABC. Полу­
ч и т с я м е х а н и з м ъ , который мы назовемъ трехоснъшъ
спарникомъ.
Помощью этого механизма п р е к р а с н о пе­
редается непрерывное вра.щеше одного и з ъ
стержней AS, ВМ, CN д в у м ъ остальнымъ с ъ
тою-же скоростью и в ъ томъ-яге н а п р а в л е н ш .
М е х а н и з м ъ этотъ состоитъ и з ъ т р е х ъ н а р а л •ШШШшттштття
лелограммовъ
ABMS,
BCNM,
ACNS.
Когда
Фиг. 78.
одинъ и з ъ э т и х ъ параллелограммовъ прихо­
д и т ь в ъ н е о п р е д е л е н н о е п о л о ж е ш е , то д р у п е д в а н а х о д я т с я в ъ
дъйствующихъ положешяхъ.
З д * с ь все н е п о д в и ж н ы я ч а с т и м о г у т ъ н а х о д и т ь с я по одну
и ту-же сторону н е п о д в и ж н а г о звена.
§ 75. Антнпараллелограммъ и его неопределенный положешя.
Ч е т ы р е у г о л ь н и к ъ AB CD ( ф и г . 79), в ъ которомъ п р о т п в у п о л о ж н ы я
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 55 —
стороны равны, но длннныя стороны взаимно пересекаются, на­
зывается а н т и и а р а л л е л о г р а м м о м ъ .
Такой а н т и п а р а л л е л о г р а м м ъ мо­
ж е т ъ быть разсматриваемъ к а к ъ шар­
н и р н ы й м е х а н и з м ъ . На какое бы звено
мы его н и ставили, о н ъ можетъ вытя­
нуться в ъ одну прямую, и такое его
п о л о ж е ш е будетъ неопредъленнымъ;
Фиг. 79.
потому что, при д а л ы г в й ш е м ъ дви­
ж е н ш , о н ъ можетъ и с к а з и т ь с я в ъ обыкновенный параллелограммъ.
Покуда аннтипараллелограммъ, поставленный н а большое
звено, н е и с к а з и л с я , его звенья, примыкающая к ъ неподвижному
звену, вращаются в ъ противуположныя стороны, хотя и с ъ р а з ­
л и ч н ы м и угловыми скоростями. Когда-же о н ъ обратится в ъ парал­
лелограммъ, то эти з в е н ь я будутъ в р а щ а т ь с я в ъ одну и ту-же
сторону с ъ одинаковыми скоростями.
§ 76. Полодш антипараллелограмма, поставленнаго на одно
изъ малыхъ звеньевъ. Р а з с м о т р и м ъ механизмъ, пронсходящдй о т ъ
постановки антипараллелограмма н а
его малое звено DC (фиг. 80). Согласно
сказанному в ъ § 64-омъ—мгновенный
ц е н т р ъ ш а т у н а AB находится в ъ ТОЧКЕ
Р п е р е с ъ ч е ш я к р и в о ш и п о в ъ DA и СВ.
Н е п о д в и ж н а я полод1я, к а к ъ мы
знаемъ, есть геометрическое место
Фиг. 80.
точки Р п р и неподвижности звена
CD. Р а з с м а т р и в а я р а в н ы е треугольники АС В и ACD, можно
доказать ч т о :
ВР=
CP -f- PD =
DP
CP -A- PB =
ВС ==
comt.
то е с т ь : сумма р а з с т о я ш й точки Р отъ н е н о д в и ж н ы х ъ т о ч е к ъ С
и D есть в е л и ч и н а постоянная р а в н а я большому звену механизма.
С л е д о в а т е л ь н о неподвижная
полоЫя
нъ С и D и большую
большой сторонгь
ось равную
есть эллипсъ,
импющ1й
фокусы
антипараллелограмма.
П о д в и ж н а я полодия есть геоме
трическое м е с т о полюса Р относи/
В
тельно ш а т у н а AB. И з ъ симметрш
ф и г у р ы в и д н о , что подвижная полод!я
есть э л л и п с ъ , и м е ю н ц й ф о к у с ы в ъ А
и В и большую ось равную большой
с т о р о н е антипараллелограмма (фиг. 81).
Фиг. 81.
При д в и ж е н ш механизма о д и н ъ э л л и п с ъ катится по другому
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 56 —
§ 77. Уничтожение неопределенна™ положешя антипараллело­
грамма по способу Рёло (Reuleaux) при постановке на большое звено.
Поставимъ антипараллелограммъ на
звено AD (фиг. 82); тогда о д и н ъ
и з ъ э л л и и с о в ъ будетъ в р а щ а т ь с я
около А , д р у г о й около D.
Ф и г . 82.
Фиг.
Когда н а с т у п и т ь н е о п р е д е л е н н о е п о л о ж е ш е , то в с е з в е н ь я
расположатся по прямой, п р и ч е м ъ эллиптичесгая п о л о д ш п р и дутъ в ъ положеше, у к а з а н н о е н а ч е р т е ж е (фиг. 83). Если-бы
полодш были с д е л а н ы и з ъ твердаго матер1ала и мы в р а щ а л и бы
э л л и п с ъ с и д я щ ш н а AB, то о н ъ н а п и р а л ъ бы (фиг. 82) н а дру­
гой э л л и п с ъ и э т и м ъ самымъ в р а щ а л ъ бы его. Но, п р и д я в ъ
неопределенное положеше, о н ъ у ж е не производилъ-бы д а в л е ш я
на э л л и п с ъ DC. Достаточно, однако, устроить в ъ в е р ш и н е одного
эллипса впадину, а в ъ в е р ш и н е д р у г а г о выступъ (зубецъ) и
давлеше одной п о л о д ш будетъ происходить и в ъ н е о п р е д е л е н иомъ п о л о ж е н ш .
Не надо д а ж е у с т р а и в а т ь э л л и и с о в ъ . Можно о г р а н и ч и т ь с я
устройствомъ зубцовъ и в и л о к ъ в ъ т е х ъ т о ч к а х ъ продолженШ
з в е н ь е в ъ , где н а х о д я т с я в е р ш и н ы п о л о д ш
(фиг. 84). М е с т а э т и х ъ зубцовъ и в и л о к ъ мо­
г у т ъ быть о п р е д е л е н ы с л е д у ю щ и м ъ образомъ:
отъ срединъ
малыхъ
звеньевъ откладываются,
по
ихъ направленшмъ,
длины, равныя половишь
боль­
шого звена; въ концахъ отложенныхъ
разстоянт
и
устраиваются
вилки или зубцы
с ъ т а к и м ъ раз^
Фиг. 84.
счетомъ, чтобы
зубцу
одного
звена
соответ-
ствовала в и л к а другого.
A
s' ?
Ф и г . 85.
§ 78. Полодш антипараллелограмма, поставленнаго на одно и з ъ большихъ звеньевъ.
Р а з с м о т р и м ъ механизмъ, п о л у ч а е м ы й отъ по­
становки антинараллелограмма н а одно и з ъ
б о л ь ш и х ъ з в е н ь е в ъ , н а п р т г в р ъ на*47)(фиг.85).
З д е с ь ВС есть ш а т у н ъ , Р полюсъ
AP—DP=ÂP—BP=AB=comt.
то е с т ь : разность р а з с т о я ш й т о ч к и Р о т ъ н е п о д в и ж н ы х ъ т о ч е к ъ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 57 —
А и В есть величина постоянная, р а в н а я малому звену. С л е д о ­
вательно н е п о д в и ж н а я полод1Я есть гипербола с ъ фокусами в ъ
А н D и съ действительною осью равною малому звену.
И з ъ симметрш антипараллелограмма
не трудно в и д е т ь , что и п о д в и ж н а я по­
лодия есть гипербола такихъ-же р а з м е р о в ъ но с ъ фокусами в ъ В н С. При
д в и ж е н ш механизма одна и з ъ в е т в е й
подвижной гиперболы (фиг. 86) катится
по одной и з ъ в е т в е й гиперболы непо­
движной, п р и ч е м ъ точка соприкоснов е ш я Р у д а л я е т с я в ъ безконечность; потомъ к а т и т с я д р у г а я в е т в ь подвижной
гиперболы по другой в е т в и гиперболы
неподвижной, точка Р опять у х о д и т ь в ъ
Ф и г . 86.
безконечность, и т а к ъ д а л е е .
§ 79. Уничтожеше неопредъленныхъ положешй антипараллело­
грамма по способу Рёло, при постановке на малое звено. Сказан­
ное в ъ п р е д ы д у щ е м ъ п а р а г р а ф е п р и в о д и т ь к ъ с л е д у ю щ е м у спо­
собу у н и ч т о ж е ш я н е о п р е д е л е н н ы х ъ
положенШ антипараллелограмма.
Отъ срединъ бо. ишихъ звеньевъ откладываемъ,
по ихъ направлен/ямъ,
въ
oön, стороны
длины равный
половине
малаго звена. Въ концахъ
отложенныхъ
разетоянШ
устраивае.иъ
вилки и зубцы
(фиг. 87).
Ф и г . 87
§ 80. Перечислеше способовъ перехода неопредъленныхъ
положешй.
Итакъ, н е о п р е д е л е н н ы й п о л о ж е ш я переходятся однимъ и з ъ
с л е д у ю щ н х ъ способовъ :
1) Маховикомъ.
2) Н а п р а в л е ш е м ъ силы на д в е р а з л и ч н ы й части механизма.
3) Добавочнымъ механизмомъ.
4) Но способу Рёло — устройствомъ зубцовъ и в п л о к ъ на
полощяхъ.
Маховикъ не д а е т ъ возможности выйти и з ъ мертваго поло­
ж е ш я , если м е х а н и з м ъ т г в л ъ мертвое положеШе в ъ п о к о е .
Н а п р а в и т ь силу на 2 части не всегда удобно.
Добавочный механизмъ у с л о ж н я е т ъ машину.
В и л к и и ш и п ы Рёло обусловливаютъ удары, разшатываюпие
м а ш и н у и поглащак>1ще часть е я э н е р г ш .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 58 —
Приходится д ъ л а т ь выборъ, р у к о в о д с т в у я с ь п р о ч и м и услоBiflMir.
§ 81. Шарнирно-прорЪзные механизмы. Механизмы, в ъ котор ы х ъ , к р о м е в р а щ а т е л ь н ы х ъ п а р ъ , существуютъ е щ е и поступа­
тельный,
называются шарнирно-прорпзными.
Они м о г у т ъ быть
р а з с м а т р и в а е м ы к а к ъ ш а р н и р н ы е , если в в е д е м ъ n o m m e о безконечно большихъ з в е н ь я х ъ .
Е с л и т о ч к а m принуяадена описывать
прямую всл1}дств1е того, что несется звеномъ
поступательной пары, то можно представить
с е б е д ъ л о т а к ъ , будто точка m находится
на к о н ц е безконечно д л и н н а г о к р и в о ш и п а ,
н а с а ж е н н а г о н а безконечно удаленный ш а р ­
н и р ъ , потому ч т о п р я м у ю д и ш ю в с е г д а можно
п р и н я т ь за окружность, описанную безко­
нечно б о л ы и и м ъ рад1усомъ.
О
Ф и г . 88.
Т а к и м ъ образомъ, н а п р и м е р ъ ( ф и г . 88),
соединеше ш а т у н а ВС с ъ к р и в о ш и п о м ъ AB и п о л з у н о м ъ С можно
разематривать к а к ъ четырехсторонникъ ABCD, в ъ которомъ точка D
безконечно у д а л е н а на п е р п е н д и к у л я р е к ъ MN.
§ 82. Пантографъ Scheiner'a. Ш е й н е р ъ и з о б р ъ л ъ в ъ 1631 году
ш а р н и р н ы й механизмъ, весьма часто употребляемый в ъ ч е р ч е н ш
для увеличешя или уменынешя чертежа в ъ известной пропорщи.
Этотъ м е х а н и з м ъ основанъ на
с л е д у ю щ е м ъ СВОЙСТВЕ ш а р н и р -
наго п а р а л л е л о г р а м м а : если переаьчемъ
четыре
стороны
параллелограмма
мою
MN
переаъченгя
Ф и г . 89.
и
такого
( ф и г . 89)
отмгътимъ
пря­
точки
m, п, р, q, то,
вегьхъ
движетяхъ
чрезъ
эти 4 точки
вести
прямую.
при
механизма,
можно
про­
Доказательство.
Отмътимъ точки m и р , проведемъ ч р е з ъ н и х ъ
прямую тр, перестжающую звено AD в ъ п. И з ъ подобия треугольниковъ имъемъ:
Am
Dp
An
(50).
Dn
Am
Но точки m и р о т м е ч е н ы , с л е д о в а т е л ь н о щ
есть п о с т о я н н а я в е -
личнна, а потому и з ъ равенства (50) с л е д у е т ъ что и о т н о ш е ш е An
Ты
есть постоянное. Длина AD тоже постоянна; поэтому р а з с т о я т е An
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 59 —
постоянно; с л е д о в а т е л ь н о если отметить точку п, то ч р е з ъ три
о т м ъ ч е н н ы я точки m, р и п, п р и в с ъ х ъ д в и ж е ш я х ъ механизма,
можно провести прямую. Подобнымъ же образомъ д о к а ж е м ъ , что
и ч р е з ъ т о ч к и n, р , q всегда можно провести прямую. С л е д о в а ­
тельно ч р е з ъ в с ъ 4 точки m, n, р , q всегда можно провести прямую,
что и требовалось доказать.
Теперь если мы с д е л а е м ъ одну и з ъ этихъ т о ч е к ъ (напри­
м е р ъ т) неподвижною, то векторы тп и тр будутъ находиться
о д и н ъ к ъ другому в ъ ностоянномъ отношенш, т а к ъ к а к ъ и з ъ
подоб1я т р е у г о л ы ш к о в ъ с л е д у е т ъ
m n
An
тр
ÄD
oTHouieHie ж е AI)
4т; постоянно. Положимъ
An
TD
L
=
Положимъ
m n =
r
m p = /•'
т а к ъ что
r —к r'.
В и д и м ъ что, если точка п ведется но кривой:
r =
fW,
г д е г, Ф и о л я р н ы я координаты, то точка р пойдете по кривой
кг = f (ф )
подобной кривой
г = /•(?).
Ведя т о ч к у п по к о н т у р а м ъ какого нибудь чертежа и в с т а в и в ъ
к а р а н д а ш ъ в ъ точку р , п о л у ч и м ъ начерченный этимъ карандаш е м ъ ч е р ч е ж ъ в ъ б о л ь ш и х ъ р а з м ъ р а х ъ . Р а з м е р ы будутъ у в е л и ­
ч е н ы в ъ отношенш
тр
тп
Е с л и вести точку р по к о н т у р а м ъ ч е р т е ж а , то к а р а н д а ш ъ вста­
вленный в ъ п д а с т ъ ч е р т е ж е м е н ь ш и х ъ р а з м ъ р о в ъ . Р а з м е р ы
mп
о к а ж у т с я уменьшенными в ъ о т н о ш е н ш :
т
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 60 —
Приближенный прямила.
§ 83. Задача прямилъ (Geradführung). Teopifl ш а р н н р н о - р ы ч а ж и ы х ъ мехаиизмовъ р а з в и л а с ь т о л ь к о в ъ т е ч е н ш п о с л ъ д н и х ъ 120
л ъ л ъ , б л а г о д а р я стремлен!»
р е ш и т ь наиболее удовлетворительнымъ образомъ задачу,
с ъ которою столкнулся знаме­
нитый W a t t , п р и усовершенствованш паровоИ машины.
) W a t t з а д у м а л ъ устроить паро­
вую
машину
слъдующимъ
образомъ (фиг. 90).
В ъ наровомъ ц и л и н д р ъ
Фиг. 90.
.
AB W a t t п о м ъ с т и л ъ п о р ш е н ь ,
который при помощи и з о б р е т е н н а я Watt'oM'b же золотника
дви­
г а л с я внутри цилиндра в з а д ь и впередъ.
Отъ п о р ш н я ш е л ъ поршневой штокъ CD, п р о х о д я щ ш сквозь
крышку ц и л и н д р а . Т а к ъ к а к ъ п о р ш е н ь составляетъ с ъ цилиндромъ поступательную пару, то головка D п о р ш н е в а г о штока совер­
ш а л а прямолинейное д в и ж е т е в з а д ъ и в п е р е д ъ . На к о л о н н е НК,
при помощи ш а р н и р н а г о с о е д и н е ш я К насажено было коромысло EF,
на которомъ, помощью ш а р н и р а F н а с а ж е н ъ былъ шатунъ
FM,
соединенный ш а р н и р о м ъ M с ъ к р и в о ш н п о м ъ (или к о л ъ н ч а т ы м ъ
валомъ) ОМ. На к р и в о ш и п е ОМ и н а с а ж и в а л о с ь н е и з м е н я е м о
с ъ н и м ъ соединенное маховое колесо MN.
N
Если бы можно было соединить головку D поршневаго ш т о к а
съ коромысломъ, то д в и ж е т е п о р ш н я передавалось бы, преобра­
зовываясь во в р а щ е ш е маховаго колеса. Но D х о д и т ь п р я м о л и ­
нейно, тогда к а к ъ Е описываетъ дугу окружности рад1уса КЕ,
и м е ю щ е й ц е н т р ъ в ъ К. С л е д о в а т е л ь н о соединить D с е Е непо­
средственно н е л ь з я : м а ш и н а сломается.
Я в и л с я т а к н м е образомъ в о п р о с ъ о томъ, к а к ъ бы вести
точку D но п р я м о й .
W a t t р ъ ш и л ъ этотъ вопросъ. п р и д у м а в ъ механизмъ, который
в е л ъ точку D хотя и не по п р я м о й , но по такой л и ш и , которая
весьма мало у к л о н я е т с я отъ п р я м о й .
В п о с л е д с т в ш м н о п е и н ж е н е р ы стремились вести т о ч к у с ъ
у к л о н е ш е м ъ отъ прямой м е н ы н и м ъ ч е м ъ в ъ м е х а н и з м е W a t t ' a ,
и только в ъ 60-хъ г о д а х ъ X I X - г о с т о л е т я и з о б р е т е н ъ б ы л ъ способъ точнаго в е д о т я по прямой.
Механизмы, ведущде точку по л и ш и , м&до у к л о н я ю щ е й с я отъ
прямой, н а з ы в а ю т с я пртлшюенными
прямилами.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 61 —
Механизмы, ведущее точку теоретически точно по прямой,
называются точными прямиламп.
Но п р а к т и ч е с к и в е д е т е точки
по прямой точными и р я м и л а м и не т о ч н е е ч ъ м ъ приближенными.
Поэтому н а м ъ приходится и з у ч а т ь и т ъ и д р у п я .
П р и б л и ж е н н ы х ъ п р я м и л ъ было изобретено великое множе­
ство; мы о г р а н и ч и м с я о п н с а ш е м ъ в а ж н е й ш и х ъ , отсылая ж е л а ю щ и х ъ познакомиться подробнее с ъ этимъ вопросомъ к ъ сочин е ш я м ъ , у к а з а н н ы м ъ в ъ L e h r b u c h der Kinematik B n r m e s t e r ' a и л и
к ъ с т а т ь е В . Н. Л и г н н а : Liste d e s t r a v a u x s u r les systèmes articulés, п о м е щ е н н о й в ъ Bulletin des sciences m a t h é m a t i q u e s , 2-е sé­
rie, t. VII, a т а к ж е к ъ мемуарамъ Чебышева, о которыхъ будемъ
говорить в п о с л е д с т в ш .
§ 84. Простое прямило Watt'a. Е с л и н а д е т ь на ш а р н и р ъ А ко­
ромысла, к о л е б л ю щ а я с я около н е п о д в и ж н а я центра О серьгу AB,
к о н е ц ъ ж е В серьги соединить ш а р н и р о м ъ с ъ д р у г и м ъ коромысл о м ъ О'В, то к а к а я нибудь и з ъ точекъ серьги будетъ совершать
д в и ж е т е , мало уклоняющееся отъ п р я м о л и н е й н а я (фиг. 91). Д л я
о п р е д е л о ш я н а и б о л е е н о д х о д я щ и х ъ д л я этой ц в л п п о л о ж е ш я
н е п о д в и ж н а я центра О' и длины коромысла О'В
|м
W a t t р а з с у ж д а л ъ с л е д у ю щ и м ъ образомъ. Р а з ­
смотримъ т р и п о л о ж е ш я коромысла OA (фиг. 92)
среднее OA н д в а к р а й н и х ъ OA и OA" и потребуемъ, чтобы п р и этихъ-то трехъ п о л о ж е щ я х ъ
коромысла точка m серьги приходила на
1
АГ
Фиг. 91.
Фиг. 92.
некоторую идеальную прямую MN. З а такую прямую W a t t п р н н я л ъ н е р п е н д и к у л я р ъ к ъ среднему положен!») коромысла, нрохоДЯ1ЩЙ ч р е з ъ середину стртлпи SA (стрелкою называется ч а с т ь
рад1уса п е р п е н д и к у л я р н а я к ъ х о р д е А'А", з а к л ю ч е н н а я между
хордою и дугою).
7)1
Возьмемъ о п р е д е л е н н о й длины ab (фиг. 93)
серьгу и на ней определенную точку т. Описавъ
Фиг. 93.
рад1усомъ am д у г и и з ъ точекъ А ' , А и А" п о л у ч и м ъ
3 п о л о ж е ш я точки m серьги на п е р е с е ч е ш я х ъ »»', m ц т" ( ф и г . 92)
э т и х ъ д у г ъ с ъ прямою MX. Продолжая п р я м ы я .I'm'. Am и A"m'
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 62 —
H откладывая на п р о д о л ж е ш я х ъ длины равныя тЬ, п о л у ч и м ъ три
п о л о ж е ш я В' В и В" конца с е р ь г и или (что тоже) к о н ц а коро­
мысла О'В. Тремя точками в п о л н ъ о п р е д е л я е т с я окружность,
чрезъ нихъ проходящая.
Именно, д л я о п р е д ъ л е ш я центра О' этой окружности надо
восстановить к ъ п р я м ы м ъ В В и ВВ" и з ъ и х ъ с р е д и н ъ перпенди­
к у л я р ы , на п е р е с ъ ч е ш и которыхъ и будетъ л е ж а т ь искомый
центръ О'.
1
Р а з ъ п о л о ж е ш е центра О' определено, то и д л и н а
мысла О'В о п р е д е л и л а с ь : она р а в н а О'В — 0'В'=
О'В".
коро­
Теперь, если мы с о е д и н и м ъ ш а р н и р о м ъ к о н е ц ъ В с е р ь г и
с ъ концомъ В коромысла, н а с а ж е н н а г о на ш а р н и р ъ О', то мож е м ъ быть у в е р е н ы , что, п р и среднемъ и д в у х ъ к р а й н и х ъ п о л о ж е ш я х ъ коромысла OA, точка m с е р ь г и
окажется на прямой MN.
W a t t н а д е я л с я , что п р и п е р е х о д е отъ т' к ъ m
и отъ m к ъ т" т о ч к а m серьги мало отклонится отъ
прямой. Н а д е ж д а эта о п р а в д а л а с ь : приведенный в ы ш е
способъ н а х о ж д е ш я центра О' и длины коромысла О'В
д а л ъ такое в е д е т е точки т, при которомъ она на
пути отъ т' до т" весьма мало отклоняется отъ
прямой.
Собственно г о в о р я этимъ механизмомъ точка m
ведется по к р и в о й 6-го порядка, и м е ю щ е й в и д ъ у д л и н ненной в о с ь м е р к и (фиг. 94), но часть т'т" этой кри­
вой весьма мало отклоняется отъ прямой л и н ш .
Фиг. 94.
Этою частью к р и в о й мы и п о л ь з у е м с я .
эта называется Уаттовскою, по и м е н и W a t t ' a .
Кривая
§ 85. Параллелограммъ Watt'a. В ъ паровой м а ш и н е W a t t ' a
приходилось, однако, вести по п р я м о й л и н ш не только головку
штока и с х о д я щ а я отъ п о р ш н я пароваго ц и л и н д р а , но еще и
головку штока, и с х о д я щ е г о отъ п о р ш н я того насоса, который
к а ч а е т ъ воду в ъ х о л о д и л ь н и к е .
W a t t поэтому в и д о и з м е н и л ъ
свое п р я м и л о т а к ъ , что в ъ н е м ъ
п о л у ч и л и с ь д в е точки, п р и б л и ж е н н о
н а п р а в л я е м ы й по п р я м ы м ъ . Д л я
этого W a t t п р о д о л ж и л ъ звено OA
своего п р я м и л а (фиг. 95) и д о с т р о и л ъ
Фиг. 95.
параллелограммъ
ABCD.
Т а к н м ъ образомъ о н ъ к а к ъ бы д о б а в и л ъ к ъ своему п р я ­
милу п а н т о г р а ф е , OABCD
с ъ н е п о д в и ж н ы м ъ центромъ в ъ О.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 63 —
Проводя ч р е з ъ О и m воображаемую прямую и о т м е ч а я пер е с в ч е ш е е я п с ъ звеномъ DC, мы знаемъ и з ъ теорпг пантографа,
что точка il звена CD будетъ описывать кривую подобную той, кото­
рую описываетъ точка т. С л е д о в а т е л ь н о и точка п ведется по л и н ш
мало у к л о н я ю щ е й с я отъ прямой. Т а к ъ к а к ъ высота пароваго ци­
л и н д р а б о л е е высоты насоснаго ц и л и н д р а и вследств1е этого
р а з м а х и поршневаго штока пароваго ц и л и н д р а б о л е е размаховъ
поршневаго штока насоснаго ц и л и н д р а , то W a t t укрешг.ть го­
ловку пароваго што­
ка в ъ т о ч к е il, д е ­
лающей б о л ы ш е р а з махи ; головку ж е
насоснаго штока в ъ
т о ч к е т.
Обпцй в и д ъ ме­
ханизма паровой ма­
ш и н ы W a t t ' a изображ е н ъ на (фиг. 96).
В ъ такомъ в и д е пол у ч и л ъ этотъ меха­
н и з м ъ W a t t в ъ 1784г.
Фиг. 96.
§ 86. Прямило Evans'a. Ж е л а я с д е л а т ь у к л о н е ш я отъ п р я молинейнаго д в и ж е ш я возможно меньшими. E v a n s и з о б р ъ л ъ в ъ
1826 году свое прямило, устройство котораго основано на с.твдующихъ соображешяхъ.
Мы у ж е знаемъ,(§ 55) что при д в и ж е н ш прутика, концы котораго
с к о л ь з я т ъ по д в у м ъ п р я м ы м ъ , ц е н т р ъ прутика описываетъ окруж­
ность, ц е н т р ъ которой находится н а пересечен] и э т и х ъ п р я м ы х ъ .
С л е д о в а т е л ь н о , наоборотъ, если заставить конецъ Л прутика
ходить по прямой (фиг. 97) средину С
прутика н а с а д и т ь на звено ОС, вращающ е е с я около О, то конецъ В прутика i
будетъ описывать прямую оу. Однако
п р и т а к о м ъ у с т р о й с т в е мы, д л я ведения
т о ч к и 2? по прямой, должны вести точку А
по п р я м о й : пока мы ничего не выга­
ФИГ.
д а л и н з ъ своихъ с о о б р а ж е ш й : задача
привела к ъ тому-же вопросу, остающемуся не р а з р е ш е н н ы м ъ .
E v a n s р е ш и л ъ вести точку А по д у г е окружности б о л ы н а г о
рад1уса и н а д е я л с я , что тогда точка В пойдетъ по л и ш и мало
у к л о н я ю щ е й с я отъ прямой.
С п р а ш и в а е т с я , к а к ъ начертить нодходящде р а з м е р ы меха­
низма?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 64 —
Если возьмемъ п о л о ж е ш е п р у т и к а , составляющее более острый
у г о л ъ с ъ осью иксовъ, ч ъ м ъ с ъ осью и г р е к о в ъ (фиг. 98), то з а м ъ т п м ъ ,
что мгновенный ц е н т р ъ Р д л я этого п о л о ж е ш я л е ж и т ь в ъ в е р ш н и к Р
прямоугольника ОАРВ.
Поэтому,
элементъ описываемый точкою А
во столько р а з ъ меньше элемента
описываемаго точкою В, во сколь­
ко АР меньше BP. Поэтому д л я
устройства механизма (фиг. 99)
Ф и г . 98.
Evans'a надо в з я т ь положеше AB т а к и м ъ , чтобы
отношеше
BP
было весьма малымъ, и з а т в м ъ в з я т ь на п е р п е н д и к у л я р а к ъ ох
центръ Q и соединить его с ъ А звеномъ QA. Ч ъ м ъ д л и н н е е
звено QA, т ъ м ъ 'менее у к л о н я е т с я точка В
отъ прямой. Однако это только п р и веден! и
т о ч к и В между известными п р е д е л а м и , соот­
в е т с т в у ю щ и м и н е б о л ы н н м ъ к о л е б а ш я м ъ звена
QA; п р и ч е м ъ р а з м а х и точки В могутъ быть
достаточно большими. П о л н а я ж е к р и в а я ,
описываемая точкою В в ъ м е х а н и з м е E v a n s ' a
Фиг. юо.
и з о б р а ж е н а на (фиг. 100).
Въ м е х а н и з м е E v a n s ' a т р и п о д в и ж н ы х ъ звена ((риг. 99).
QA,
AB
и
ОС.
§ 87. Прямило Чебышева. Покойный а к а д е м и к ъ Ч е б ы ш е в ъ
изобрълъ несколько з а м е ч а т е л ы ш х ъ приближенныхъ прямплъ,
которыя онъ н а ш е л ъ при помощи изобретенной и м ъ ж е теорги
функц/н
наймемте
уклоняющихся
отъ нуля
*).
О с о б е н н о интересные механизмы этого
теорая д а н ы Ч е б ы ш е в ы м ъ в ъ м е м у а р е :
„О
щюетгы'пней
суставчатой
систем т,
рода и и х ъ полная
доставляющей
движе­
шя симметрическгя
около оси" (Приложен, к ъ L X тому з а п и с .
Император. А к а д е м ш Н а у к ъ 1888 г.).
Мы не будемъ приводить этой теорш, но о п ш п е м ъ только
устройство д в у х ъ н а и б о л е е н р а к т н ч н ы х ъ п р я м п л ъ Ч е б ы ш е в а ,
*) Sur l e s q u e s t i o n s de m i n i m a qui s e r a t t a c h e n t à la r e p r é s e n t a t i o n appro­
x i m a t i v e d e s fonctions. Mém. de l'Acad. d e S t . P é t e r s b o u r g . S e r i e IV, t. VIII. 1858.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нриведемъ найденный и м ъ формулы, и тт> н а и б о л е е нростыя
числовыя соотношешя, которыя и з ъ н и х ъ вытекаютъ.
З а м ъ т и м ъ только, что B u r m e s t e r в ъ своей L e h r b u c h der Ki­
n e m a t i k д а л ъ г е о м е т р и ч е с к и (но весьма сложный) способъ, по
которому могутъ быть г р а ф и ч е с к и определяемы р а з м е р ы в с я к и х ъ
приближенныхъ нрямилъ.
Одно и з ъ наиболее п р а к т и ч н ы х ъ п р я м п л ъ Чебышева состоитъ и з ъ звена AB (фиг. 101), в ъ средин!)
котораго устроенъ ш а р н и р ъ С. На этотъ ш а р ­
н и р е н а д е т о звено ОС равное f, т а к ъ что
В с
A
ОС—АС—ВС.
Д р у г о й конецъ О звена ОС
у к р е п л я е т с я в ъ неподвижномъ ш а р н и р е О.
Точка ж е А ведется но дуге окружности
помощью третьяго звена D A , у к р е п л е н н а г о
в ъ неподвижномъ ш а р н и р е D .
Можно сказать, что механизмъ Чебышева представляетъ собою
четырехсторонникъ OCAD
с ъ пеподвнжнымъ звеномъ OD и с ъ
ш а т у н о м ъ АС продолженнымъ на равную ему длину СВ. Точка В
этого механизма описываетъ кривую, часть которой весьма мало
отличается отъ прямой, п р и нъкоторыхъ, о п р е д е л я е м ы х ъ и з ъ
ф о р м у л е Чебышева, еоотношешяхъ между р а з м е р а м и механизма.
К р и в а я , ч е р т и м а я точкою В , и м е е т е форму три (фиг. 102),
если соблюдено ycioBie
OD
ОС
=
ОС
- f
CA
-\-AV
3
=
CA
=
СВ.
Часть тп кривой уклоняется при
этомъ мало отъ прямой.
Д л я о п р е д е л е ш я в е л и ч и н ы 5 наи­
большаго отклонешя части тп отъ прямо­
л и н е й н а я направления п а р а л л е л ь н а г о OD
Ч е б ы ш е в ъ даетъ формулу
23 =
У;
(4л — r) V
(г — а) (•>)• - f a) - f
12 ( 2 / 4
гдь:
r =
AB
а : •2 AD.
При этомъ ходъ h точки В, то есть д л и н а тп которую можно
принимать (приблизительно) за прямую, о п р е д е л я е т с я по ф о р м у л е
(5г — 2а) (г ~\- 2а) (4« — г) г
rir-f-«) .
a
ДЕЛОНЕ. -
Практическая механика.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
И з ъ этихъ
60
—
ф о р м у л ъ видно, что
чины « къ значенш
съ
приближешемъ
вели­
точность в е д е ш я по прямой у в е л и ч и в а е т с я ,
но в м ъ с т ъ с ъ т ъ м ъ ходъ h у м е н ь ш а е т с я . При а =
г
- уклонеше S
обращается в ъ нуль, но в м е с т е съ тъмт, и ходъ д е л а е т с я р а в ­
н ы м ъ нулю: точнаго в е д е ш я достигнуть этимъ мехапизмомъ
нельзя.
Формулы, о п р е д е л я ю щ а я о и h , мы п р и в е л и только д л я сирав о к ъ *), д л я запоминания ж е п р и в о д и м ъ с л е д у ю щ а я ц и ф р ы :
ВС
= 32 )
АС =
ОС =
OD—
25
| для з а п о м и н а ш я .
DA =
Il
j
При т а к н х ъ р а з м ъ р а х ъ п о л у ч а е т с я :
о = 0,032
45
h =
уклонеше S = 0,032 в ъ 1000 р а з ъ м е н е е 0 0 = 32: если наприм ъ р ъ возьмемъ 0 0 = 1 метру, то отклонеше будетъ в ъ 1 мнллиметръ, несмотря на то, что ходъ будетъ р а в е н ъ 1,4 метра.
§ 88. ПростБйнпй непрерывный трансформаторъ Чебышева.
Всв разсмотрънныя приближенный прямила, и в с е встречающаяся
в ъ л и т е р а т у р е , п р е в р а щ а ю т ъ в ъ прямолинейное д в и ж е ш е колеоангя, но не п о л н ы я в р а щ е ш я . Т а к ъ н а н р и м ъ р ъ в ъ м е х а н и з м ъ
Чебышева ( ф и г . 101) к о л е б а ш я звена DA п р е в р а щ а ю т с я в ъ п р я ­
молинейное д в и ж е ш е точки В по т р а е к т о р ш тп (фиг. 102). Но
если бы мы дали звену DA с о в е р ш а т ь полныя в р а щ е ш я , то
точка В описала бы т р а е к т о р ш трпт, весьма отличающуюся отъ
прямой. Точно т а к ж е в ъ простомъ механизмъ W a t f a звено OA
(фиг. 92) только колеблется. С л е д о в а т е л ь н о д л я превращения
полныхъ в р а щ е ш й в ъ прямолинейное д в и ж е ш е , и л и обратно, во
в с ъ х ъ этихъ механизмах!» необходимо п р и б а в л я т ь к ъ тремъ и м е ­
ющимся в ъ н и х ъ п о д в и ж н ы м ъ з в е н ь я м ъ е щ е два : ш а т у н ъ и кривошппъ.
Чебышевъ далеко превзошелъ в с е
эти п р е ж ш я н з о б р е т е ш я , у с т р о и в ъ такой
м е х а н и з м ъ ( ф н г . 103), который, с о д е р ж а
всего только т р и п о д в и ж н ы х ъ звена, дос т а в л я е т ъ возможность, безъ в с я к а г о прибавлешя звеньевъ, превращать прямоли­
нейное д в и ж е т е в ъ нолное в р а щ е ш е . Я
*) З а п и с к и Императорской А к а д е м ш Н а у к ъ , т. XIV, с т р а н и ц а 45.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
67
-
называю этотъ м е х а н и з м ъ простеишнмъ
маторомъ
Чебышева
непрерывнымъ
трансфор-
*).
Чебышевъ о п и с а л ъ и п р п в е л ъ в ы ч и с л е ш е этого механизма
в ъ с т а т ь е : О простейшей
суставчатой
система,
доставляющей
дви-
жен)я симметричный
около оси. (Нрилож. к ъ LX тому З а п и с . Импер.
А к а д . Н а у к ъ 1888).
В ъ этомъ м е х а н и з м ъ (фиг. 1 0 3 ) .
ОС=
СЛ
СИ.
У г о л ъ AGB почти прямой. Именно онъ р а в е н ъ Щ, п р и ч е м ъ
ф в е л и ч и н а б л и з к а я к ъ 45°. П р и н и м а я этотъ у г о л ъ у за незави­
симое п е р е м е н н о е Ч е б ы ш е в ъ д а е т ъ формулы:
_ _ 2 .Sin
<Ь . Sin(2'Y)_. У 2. Cos
а
ʙW)
=
Sin
Г Д
*
:
(2JJQ
r =
(Щ
DA
Л — OD
AC =
ВС
=OC—l
OD есть неподвижное звено механизма.
П о д в и ж н ы х ъ звеньевъ в ъ н е м ъ только 3; именно: ОС, DA
и т р е у г о л ь н и к ъ А СВ.
Когда DA с о в е р ш а е т е полный обращеюя
около D, точка В
х о д и т ь но л и ш и тп, весьма мало у к л о н я ю щ е й с я отъ прямой.
Наибольшее у к л о н е ш е вычисляется по ф о р м у л е :
3
, _ 2 . Sin (2^) > 2 . Cos (2-i)
° ~~~
SlnJw
П р и в о д и м е в ъ в и д е таблицы следующее п р и м е р ы :
44°
44°50'
44°59
r
'а
3
ходъ
0,493
0,190
0,048
1,345
1,402
1,413
0,0248
0,0013
0,00002
1,42
0,52
0,13
К а к ъ видно и з ъ этой таблицы: с ъ у м е н ы н е ш е м ъ отклонешя о,
у м е н ь ш а е т с я и х о д ъ , то есть длина п р я м о л и н е й н а я пути точки В.
Но отклонеше у м е н ь ш а е т с я значительно быстрее хода.
Цифры, проставленныя н а ч е р т е ж е (фиг. 103). соответствуютъ средней с т р о к е приведенной в ы ш е т а б л и ч к и п р и à =
44°50' с л е д о в а т е л ь н о п р и
AGB = 89°40'.
Перейдемъ к ъ оппсашю т о ч н ы х е п р я м и л е .
*) См. мою статью: . D i e TsehebysehefTsehen
Arbeiten in der Theorie d e r
G e l e n k m e c h a n i s m e n " : в ъ Zeitschrift für Mathematik und P h y s i k . T. 44, Heft 4 : 1 8 9 9 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 68
Точный прямила.
S 89. Преобразование по обратнымъ рад1усамъ—векторамъ
(Inversion). Teopifl т о ч н ы х ъ и р я м и л ъ основана н а одномъ иреобразоваши, и м ъ ю щ е м ъ большое з и а ч е ш е в ъ современной мате­
матика и физике.
Е с л и д а н а к а к а я н и б у д ь к р и в а я в ъ п о л я р н ы х ъ координатахъ уравнешемъ
'• = / »
(51)
то д р у г а я к р и в а я
К-
•
(52)
=fW
получаемая и з ъ первой к р и в о й нреобразовашемъ
._ *
К
~~
(53)
9
называется инвершш к р и в о й (51). П р и этомъ полюсъ т ъ х ъ п о л я р ­
н ы х ъ к о о р д и н а т е , к ъ которымъ относятся у р а в н е ш я (51) и (52)
называется центромъ
инвертировашя.
И з ъ э т и х ъ определений в ы т е к а е г ь с л е д у ю щ е е :
Если мы будемъ откладывать на п р я м ы х ъ , н р о х о д я щ и х ъ
ч е р е з ъ ц е н т р ъ и н в е р т и р о в а ш я , в е л и ч и н ы г, о п р е д е л я е м ы й и з ъ (51)
ио соответственныме з н а ч е ш я м е f, то п о л у ч и м ъ данную кривую.
Если ж е в м е с т о г мы будемъ откладывать на э т и х ъ п р я ­
мыхъ длины
К*
г
обратный д л н н а м ъ г, то и о л у ч н м ъ и н в е р е ш данной кривой.
З д е с ь К есть н е к о т о р ы й постоянный к о е ф ф и щ е н т е , назы­
ваемый к о е ф ф н щ е н т о м ъ инвертнрова1Йя.
2
S 90. Прямая есть инверыя окружности, проходящей чрезъ
центръ окружности. П у с т ь О есть ц е н т р ъ и н в е р т и р о в а ш я (фиг. 104);
у р а в н е ш е окружности, п р о х о д я щ е й ч р е з ъ О и и м е ю щ е й ц е н т р ъ
на полярной оси, будете (называя .цаметре буквою а)
г — а . Cos
9j
к а к ъ это в и д н о и з ъ прямоугольного треу­
г о л ь н и к а О АС.
П н в е р а я этой окружности будетъ, с л е . IL. д о в а т е л ы ю :
Кр
или
Фиг. 104.
или
=
а . Cos а
а . р . Cos <р =
К-
р . Cos ср = -
К-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И з ъ прямоугольного треугольника OBD видно, что это есть
у р а в н е ш е п р я м о й перпендикулярной к ъ а и проходящей отъ О
на р а з с т о я ш п
а
II т а к ъ : инверсгя окружности,
проходящей
чрс.п, центръ
ннвертщювангя,
есть прямая
перпендикулярная
къ прямой,
соедин-яючцей
центръ инвертировангя
съ центромъ данной
окружности.
Сл-вдова-тельно, если н а м ъ удалось бы п о л у ч и т ь механизмъ
реализующей инвертирование, то удалось бы преобразовывать дви­
ж е т е по окружности в ъ д в и ж е т е по прямой и обратно.
Механизмы, реализующее инвертироваше, называются инвер­
сорами.
§ 91. Инверсоръ Липкина - Поселлье. Независимо д р у г ъ о т ъ
д р у г а ф р а н ц у з е ю й и п ж е н е р ъ Peaucellier и бывипй в ъ то время
(1872 г.) студентомъ С.-Петербургскаго университета Л и п к и н ъ
и з о б р е л и (и п р и м е н и л и к ъ в е д е т m точки по прямой) с л е д у ­
ющие инверсоръ.
Четыре р а в н ы х ъ между собою прямол и н е й н ы х ъ звена соединяются ш а р н и рами в ъ ромбъ AJBCD (фиг. 105). Отъ
к а к и х ъ либо д в у х ъ противуположныхъ
в е р ш и н ъ ромба проводятся д в а р а в н ы х ъ
м е ж д у собою звена ВО и DO, п р и ч е м ъ
к а ж д о е и з ъ н и х ъ более стороны упомянутаго ромба.
В ъ т о ч к а х ъ В, D и О устраиваются ш а р н и р ы .
Т а к а я к и н е м а т и ч е с к а я ц е п ь и есть инверсоръ Л и п к и н а Поселлье.
Ф и г
Д о к а ж е м ъ , что, при всяком» положешй этой цепи,
разстоянт
АО и ОС есть величина
постоянная.
ш
щюизвеоенге
Назовемъ д л и н у к а ж д а г о и з ъ д л н н н ы х ъ звеньевъ ц е п и ч е р е з ъ т; т а к ъ что:
^.
,. ,
7 >
1
т
OB — OD
= т.
Н а з о в е м ъ д л и н у к а ж д а г о и з ъ короткихъ з в е н ь е в ъ ч р е з ъ п:
Т
а
к
ъ
ч
т
о
:
AB =
ВС =
CD =
DA =
п.
Ироведемъ мысленно д1агоналн ромба. Одна н з ъ н н х ъ пройд е т ъ ч р е з ъ О, т а к ъ к а к ъ в е р ш и н ы равнобедренныхъ треугольнпк о в ъ DOB, DAB и DCB, н м е ю щ н х ъ общее основание BD, л е ж а т ь
н а одной прямой. Примемъ т а ш я о б о з н а ч е ш я :
OA =
г
ОС =
о
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
И з ъ т р е у г о л ь н и к а ОВМ
2
ВМ'
1
—
имеемъ:
(54).
1
т'—
=
Изъ т р е у г о л ь н и к а В СМ
ВМ
70
ОМ
имееме:
=
п~ —
(55).
2
СМ
В ы ч и т а я (55) и з ъ (54) п о л у ч и м ъ
/ » з — .„а _
ОМ* — СМ* =
(ОМ +
СМ)
(ОМ — СМ)
=
ОС. ОА
или
(56).
Итакъ в ъ этомъ и н в е р с о р ъ п р о и з в е д е т е
Р
. г =
О С . OA
остается постояннымъ п р и в с ъ х ъ и з м е н е ш я х е ОС и
OA.
Следовательно, если мы с д е л а е м ъ точку О такого инвер­
сора неподвижною и поведемъ точку А но какой-либо кривой,
то точка С о п и ш е т е и н в е р е ш этой кривой.
§ 92. Положительный инверсоръ Липкина-Поселлье какъ точ­
ное прямило. П р и п о м и н а я сказанное в е § 90 и п о л ь з у я с ь свойс т в о м е инверсора, в и д и м ъ , что п р и з а к р е п л е н ш ш а р н и р а О инверсора в е неподвиж­
ной т о ч к е и п р и в е д е н ш т о ч к и ^4 по окруж­
ности, п р о х о д я щ е й ч р е з е О, точка С
(фиг. 106) п о й д е т е по п р я м о й NN перпенди­
к у л я р н о й к ъ прямой, соединяющей ц е н т р е О
и н в е р т и р о в а ш я с е центроме M окружности.
Д л я в е д е ш я точки А по такой окружности
достаточно, и з б р а в е неподвижный ц е н т р е M
соединить его п р и помощи ш а р н и р о в е с е
Фиг. Ю6.
точкою А звеномъ MA, р а в н ы м ъ р а з с т о я н ш
между неподвижными центрами О и M (фиг. 106).
При колебанш звена MA около М, точка С будетъ ходить
по прямой NN безъ м а л е й ш а г о отъ н е я у к л о н е ш я (говоря теоре­
тически), на п р а к т и к е , вследств1е большого ч и с л а ш а р н и р о в е и
н е н з б е ж н а г о и х ъ несовершенства, у к л о н е ш я будутъ п о ж а л у й
болышя чъмъ въ прнближенныхъ прямилахъ*).
§ 93. Отрицательный инверсоръ Peaucellier какъ прямило. Д о ­
казательство инвертивной способности кинематической ц е п и Л и п ­
кина-Поселлье останется с п р а в е д л и в ы м е д а ж е и в ъ томъ с л у ч а е
если OD и OB с д е л а т ь б о л е е короткими ч ъ м ъ сторона ромба
*) Т о ч к а А о п и с ы в а е т ъ не п о л н у ю окружность около M но только д у г у е я .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 71 —
ABOI).
Тогда получимъ м е х а н и з м ъ (фиг. 107), в ъ которомъ, п р и
ОМ=МЛ,
точка С тоже будетъ описывать прямую п р и к о л е б а ш я х ъ звена
MA около М.
Инверсоръ ABCDO
(фиг. 107) назы­
вается отрнцательнымъ, потому что з д е с ь
Р и г и д у т ъ в ъ противуположныя стороны
отъ центра ин­
вертирования О.
Инверсоръ AB
L'DO (фиг. 105,
106) называется
иодожительнымъ : з д ^ с ь р
Фиг. 108.
н г направлены
и з ъ О в ъ одну сторону.
§ 94. Инверсоръ Hart'a. H a r t (Гартъ) у с т р о п л ъ инверсоръ и з ъ
ашчгаараллелограмма (фиг. 108).
Д о к а ж е м ъ инвертивную способность антинараллелограмма
двумя теоремами.
Теорема. Произведены
дгагоналей DB и
АС антипараллелограмма
(фиг. 109)
есть
величина
(для данной цгьпи)
постоянная.
У с л о в и м с я в ъ с г Ь д у ю щ н х ъ обозначешяхъ :
AB =zDC
AD
= ВС
=
m
=
п.
Проведемъ BL/ILD
и [онпшемъ и з ъ
точки В ра;иусомъ BL дугу. Эта дуга пройдетъ ч р е з ъ С, ибо
BL =
VA
=
ВС.
И з ъ А проведемъ к ъ этой дуге касательную AM.
И з в е с т н о , что к а с а т е л ь н а я есть ереднепропорщональная
м е ж д у всею с е к у щ е ю и ея в н е ш н и м ъ о т р е з к о м ъ . С л е д о в а т е л ь н о :
AM* =
AL.
AC =
Но и з ъ треугольника ABM
AM-
=
2
AB
— ВМ* =
DB.AC
нмеемъ :
AB* — ВС* =
С р а в н и в а я это равенство с ъ (57) и м ъ е м ъ :
DB
. АС =
что и требовалось доказать.
2
(57).
2
т — и =
Const.,
2
m —
2
п
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема. Люоыя
сгочеигя
сторонъ
дгагоналямъ,
которыхъ
три точки,
образуютъ
при
изъ числа
антипараллелограмма
вегьхъ
па этой
прямой
положенгяхъ
четырсхъ
прямою
точекъ
пере-
параллельною
его
два отрпзка,
произведете
антипараллелограмма
остается
постояннымъ.
Проведемъ ( ф и г . 108) какую либо прямую, п е р е с е к а ю щ у ю
в с е стороны а н т и п а р а л л е л о г р а м м а и параллельную его д1агонал я м ъ . П о л у ч и м ъ 4 т о ч к и п е р е с е ч е ш я m, п, р , q его сторонъ с ъ
этою прямою. И з ъ подобш т р е у г о л ы ш к о в ъ Атп и ADB п м е е м ъ :
тп
= HD. Am
. :
Au
т
И з ъ подоб1я т р е у г о л ь н и к о в ъ ABC и nBq п м е е м ъ :
nq-=
AC.
Bq
ВС
Перемножая почленно эти равенства, п о л у ч и м ъ :
тп.
nq :
П
1
)
А
С
А 1 ) .
ВС
(58).
Но в е л и ч и н а 4л и
' ^ .' ВС
п о с т о я н н а , ' т а к ъ к а к ъ состоитъ и з ъ но­
стоянныхъ в е л и ч и н ъ . Произведен!е BD . АС постоянно согласно
доказанной в ъ н а ч а л е н а с т о я щ а я п а р а г р а ф а т е о р е м е . И т а к ъ
п р а в а я часть равенства (58) постоянна. Следовательно:
тп . nq =
Const.
Т а к и м ъ ж е способомъ можно доказать, ч т о :
тр . pq =
Const.
И р и н я в ъ какую либо и з ъ
э т и х ъ 4 т о ч е к ъ за ц е н т р ъ
инвертировашя, Hart ведетъ
другую и з ъ э т и х ъ т о ч е к ъ
по о к р у ж н о с т и п р о х о д я щ е й
ч р е з ъ первую, тогда т р е т ь я
точка ч е р т и т ъ п р я м у ю .
Предлагая несколько ви­
д о и з м е н и т ь п р я м и л о Hart'a,
Фиг. 110.
я пользовался н е р е с е ч е т я ми п р я м о й п а р а л л е л ь н о й ддагоналямъ не со сторонами, а с ъ и х ъ
продолженшми. Тогда п о л у ч а е т с я б о л е е удобный и даюпцй весьма
большой х о д ъ м е х а н и з м ъ (фиг. 110), в е д у щ ш точку р по прямой MN.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 73 —
§ 95. Второе прямило Hart'a. К р о м е того H a r t и з о б р ъ л ъ е щ е
другое прямило, теорш котораго мы приводить не будемъ, а
только о н и ш е м ъ его устрой­
ство.
В ъ н е п о д в и ж н ы х ъ точк а х ъ О и В (фиг. i l l )
устроимъ
шарниры.
Иостроимъ ромбоидъ
ВЕНО
такъ, чтобы
ВЕ =
OB
НО =
НЕ.
Фиг.
ш.
П р о д о л ж и м ъ ОН на произвольную д л и н у НК < ОН. Постропмъ равнобедренный треугольникъ ОКА, о с н о в а ш е котораго
лежало-бы на продолжение неподвижнаго звена ВО. П р о д о л ж и м ъ
АК на равную ему длину KD. Найдемъ на п р о ц о л ж е ш и ВЕ та­
кую точку С, которая была-бы в ъ р а в н ы х ъ разстояш'яхъ отъ
т о ч е к ъ Е и D. У с т р о н в ъ в ъ т о ч к а х ъ A', D, С, Е, Н. В, О ш а р ­
ниры, п о л у ч и м ъ механизмъ с ъ нятью подвижными звеньями. В ъ
этомъ м е х а н и з м е т о ч к а D х о д и т ь по прямой Оу\ точка А хо­
д и т ь по прямой OA. Механизмъ интересенъ именно т е м ъ , что
д а е т ъ такое д в и ж е т е прямой AD в ъ которомъ е я концы А и D
х о д я т ъ по д в у м ъ взаимно п е р п е н д и к у л я р н ы м ъ п е п о л ш ш н ы м ъ
прямымъ.
На п р а к т и к е этотъ механизмъ неудобенъ, потому что п р и
м а л ъ й ш и х ъ „ з а з о р а х ъ " в ъ ш а р н и р а х ъ (если они хоть немного
неточны и л и расшатаны) получается плохое в е д е т е точекъ А
и D по п р я м ы м ъ .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Гл а в а V.
Катки и передача вращешя зубчатыми
колесами.
К а т к и.
§ 96. Значеше катковъ. П р е ж д е чъхгъ и з у ч а т ь з у б ч а т ы я ко­
леса, р а з с м о т р и м ъ бол-ье простые элементы, называемые катками,
передающее и и з м ъ н я к н щ е в р а щ а т е л ь н о е д в и ж е т е подобно зубчатымъ к о л е с а м ъ , но годные только п р и н е б о л ы и и х ъ сопротнвлешяхъ.
§ 97. Цилиндрические или лобовые катки. Е с л и требуется
в р а щ е ш е в а л а AB ( ф и г . 112) передать п а р а л л е л ь н о м у с ъ н и м ъ
в а л у CD, то, при н е б о л ы н и х ъ сопротивлеш я х ъ , можно поступить с л ъ д у ю щ и м ъ обра­
зомъ.
Н а с а ж и в а ю т ъ на в а л ы наглухо ц и л и н ­
д р ы тт и nil с ъ ш е р х о в а т ы м и боковыми
поверхностями.
Эти ц и л и н д р ы и называются
катками.
Б л а г о д а р я трешю, в р а щ е ш е м ъ к а т к а
тт в о з б у ж д а е т с я в р а щ е ш е к а т к а пп и с л е ­
довательно, если к а т к н н а с а ж е н ы на в а л ы
наглухо,
то в р а щ е ш е м ъ в а л а AB в о з б у ж ­
дается в р а щ е ш е в а л а CD. Е с л и бы не было
скольжен!Я одного к а т к а по другому, то ско­
рость точки а к а т к а тт была-бы р а в н а скорости т о ч к и Ъ к а т к а им.
Н а з ы в а я эту скорость буквою i>, радаусы ж е к а т к о в ъ буквами г
я г и и х ъ в р а щ а т е л ь н ы я скорости буквами ш и ш ' и м ъ л и бы:
1
откуда
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
З д е с ь надо было поставить з н а к е м и н у с ъ потому, что вра­
щения к а т к о в ъ будутъ происходить в ъ противуположныя стороны
и, если считать в р а щ е ш е одного и з ъ н и х ъ н о л о ж и т е л ы ш м ъ , то
в р а щ е ш е др\1'ого будете отрицательно.
Формула ( 5 9 ) показываете, что если бы не было с к о л ь ж е ш я ,
то вращательныя
радгусамъ.
скорости
катковъ
обратно - пропорциональны
ихъ
На еамоме д е л е катки всегда с к о л ь з я т ъ одинъ по другому,
вследствие чего формула ( 5 9 ) д л я н и х ъ приблизительна.
Но эта формула д е л а е т с я точною, если катки снабдить зуб­
цами п впадинами, то есть если превратить и х ъ в ъ зубчатыя
колеса.
§ 98. Коничесше катки. Е с л и приходится передавать враще­
ш е между такими валами, оси которыхъ (или и х ъ продолжения)
п е р е с е к а ю т с я , то устраиваются коничеCKie катки (фиг. 113).
Выведемъ формулу такой передачи,
иренебрегая с к о л ь ж е ш е м ъ .
Обозначая ч р е з ъ v р а в н ы я между
собою скорости т о ч е к ъ а и Ь прннадлеж а щ и х ъ р а з н ы м ъ к а т к а м ъ и находя­
щ и х с я в ъ данный моментъ в ъ совпадеши
Фиг. И З .
и н а з ы в а я углы, составляемыя образую­
щ и м и к а т к о в ъ с ъ и х ъ осями, соответственно ч р е з ъ у и Ф, полу­
ч и м ъ и з ъ т р е у г о л ы ш к о в ъ О Ali и OCD
v =
AB =
OB . sin -f
CD =
OB-sin
AB . u> =
v — CD.4>'=
откуда
OB.
$
OB. sin ф . ш
OB.sinФ
sin ç . «о =
.ш
1
OB. sin Ф . и'
откуда
eu
sin
ф
(60).
sin
Итакъ:
екихъ
самъ
катковъ
угловъ,
вращательный
обратно
скорости
кониче-
пропорц'юна.чьны
составляемыхъ
осями
съ
синуобразу­
ющими.
К а т к и неудобно д е л а т ь в ъ в и д е
н о л н ы х ъ конусовъ, потому что в е р ш и н ы
к о н у с о в ъ быстро-бы с т и р а л и с ь . Поэтому
и м ъ даютъ форму к о н у с о в ъ у с е ч е н н ы х е
(фиг. 114).
Фиг.
1U.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
TG
-
§ 99. Гиперболоидальные катки. Д л я передачи в р а щ е ш я
м е ж д у о с я м и н е п а р а л л е л ь н ы м и и н е п е р е с е к а ю щ и м и с я устраиваютъ к а т к и в ъ в и д е гиперболоидовъ в р а щ е ш я (фиг. 115).
И з в е с т н о , что
т а ю е гиперболоиды
суть поверхности л и непчатыя. Накладываютъ о д п н ъ к а т о к ъ
на д р у г о й т а к ъ , что­
бы они соприкаса­
лись по одной общей
образующей ; п р и тдк и х ъ услов1яхъ в р а щ е ш е будетъ переда­
ваться. На ч е р т е ж е
(фиг. 115) показано два способа и х ъ о г р а н н ч и в а ш я плоскостями
перпендику л я р н ы м и оси.
§ 100. Замена гиперболоидальныхъ катковъ особою системою
катковъ коническихъ. В п р о ч е м ъ вращеш'е м е ж д у н е п а р а л л е л ь н ы м и
и н е п е р е с е к а ю щ и м и с я в а л а м и можетъ быть передаваемо с л е д у ­
ющею системою к о н и ч е с к и х ъ к а т к о в ъ .
Фиг. но.
"
Данные непарал­
лельные и н е п е р е с е ­
кающееся в а л ы А и В
снабжаются конически­
ми катками, которые со­
прикасаются с ъ кониче­
скими к а т к а м и а и Ь добавочнаго промежуточнаго вала С (фиг. 1 1 6 ) .
Зубчатыя колеса.
§ 101. Переходъ отъ катковъ къ зубчатымъ колесамъ. К о г д а
п р и х о д и т с я п р е о д о л е в а т ь б о л е е и л и м е н е е з н а ч и т е л ь н ы я сопрот и в л е ш я , то к а т к и с т а н о в я т с я н е у д о б о п р и м е н и м ы м и : ч е м ъ б о л е е
преодолеваемое сопротивлеше, т т ш ъ б о л е е о д и н е к а т о к ъ сколь­
з и т ь по другому. Н а к о н е ц ъ д е л о доходите до того, что п р и в р а ­
щения одного и з ъ к а т к о в ъ , д в и ж е ш е его с о в с е м ъ не передается
д р у г о м у вследствие н е д о с т а т о ч н а я т р е ш я м е ж д у ними.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Чтобы и при б о л ь ш и х ъ с о н р о т и в л е ш я х ъ передача в р а щ е ш я
оказалось возможною, д ъ л а ю т ъ на боковой поверхности к а ж д а г о
катка выступы и впадины.
Т а к и м ъ образомъ получаются зубчатыя колеса, которыя бываютъ тоже цилиндрическими, коническими и гинерболондальными, смотря по ф о р м е того катка, который д о л ж е н ъ быть зам'Вн е н ъ зубчатымъ колесомъ. В н о с л е д с т в ш мы подробно изстгьдуемь,
какова д о л ж н а быть форма упомянутыхъ выступовъ н в н а д и н ъ ,
составляющих'!, зубцы колеса. Пока ограничимся только з а м й ч а ш е м ъ что, д л я передачи в р а щ е ш я одного зубчатаго колеса дру­
гому, эти колеса д о л ж н ы находиться въ зщаплеяш,
то есть
н и с к о л ь к о зубцовъ одного колеса должны входить во впадины
другого; тогда, при в р а щ е н ш одного и з ъ колесъ, зубцы его будутъ давить с ъ силою на зубцы другого, и в р а щ е ш е второго
колеса я в и т с я речультатомъ у ж е не т р е ш я , а именно этого дав л е ш я , которое можетъ достигать большой в е л и ч и н ы и быть способнымъ п р е о д о л е т ь в с я ш я встречающийся в ъ п р а к т и к и сонротивлешя.
Теперь, не в д а в а я с ь еще в ъ подробности и з с л ъ д о в а ш я формы
зубцовъ, разсмотримъ р а з л и ч н ы е случаи передачи в р а щ е ш я зуб­
чатыми колесами.
§ 102. Пара лобовыхъ колесъ, находящихся во внъшнемъ зацъплеши. Колеса, употребляемый в з а м ь п ъ ц и л и н д р и ч е с к и х ъ кат­
к о в ъ , называются лобовыми.
Отношеше
н х ь вращательныхъ
скоростей точно о п р е д е ­
л я е т с я формулою
ш
с'
• , = - . .
. .
(61)
т а к ъ к а к ъ т у т ъ у ж о н'Втъ того с к о л ь ж е ш я , которое в ъ к а т к а х ъ
д ъ л а л о эту формулу неточною.
§ 103. Паразитный колеса. Нредставимъ себе, что у
и м е е т с я ])ядъ иараллельн ы х ъ в а л о в ъ с ъ пасаженными на н и х ъ зубчатыми
колесами (фиг. 117), нахо­
д я щ и м и с я в ъ последова­
тельном!» д р у г ъ с ъ друФиг. 117.
гомт> з а ц е и л е н ш .
насъ
Назовемъ ч р е з ъ а>',
в р а щ а т е л ь н ы й скорости
э т и х ъ колесъ, ч р е з ъ r г.,, г.. н х ъ радиусы (рад1усы т е х ' ь к а т к о в ъ .
в з а м е н ъ которыхъ они с д е л а н ы ) . П р и м е н я я п о с л е д о в а т е л ь н о
v
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
формулу (61) к ъ к а ж д о й н а р ъ колесъ, н а х о д я щ и х с я в ъ з а ц е н л е Hiil, п о л у ч и м ъ слъдующШ р я д ъ у р а в н е н ш :
«>1
._
=
<а.,
Перемножнвъ
получимъ
«°i •щ • •
ю
2
»„
почленно
<*>„ _ , о ) „
2
. <В„ _
, .
л
между собою В С Е
,
:
_
1\
ш„
_
-
г^.
}•' . Г
г
г„ _
я
2
эти
. . . .
Г„ -
о.
уравнешя,
г„ _
., . Г„ _
! . г„
г
или, по с о к р а щ е н ш :
Оказывается, что абсолютная в е л и ч и н а отношешя
вращательныхъ скоростей перваго и п о с л е д н я г о колеса не з а в и с н т ъ ни
отТ) числа, ни отъ р а з м е р о в ъ п р о м е ж у т о ч н ы х ъ к о л е с ъ , которыя
поэтому называются паразитными.
Абсолютная в е л и ч и н а этого
огношешя
такова, к а к ъ будто первое и п о с л е д н е е колесо за­
ц е п л я л и с ь между собою непосредственно. П а р а з и т н ы я колеса
вл!яютъ только на з н а к ъ этого о т н о ш е ш я . Не трудно сообразить,
что при четномъ ч и с л е п к о л е с ъ первое и п о с л е д н е е колесо
вращаются в ъ п р о т и в у п о л о ж н ы я стороны л с л е д о в а т е л ь н о отноuieHie скоростей будетъ отрицательное; п р и нечетномъ ч и с л е ко­
л е с ъ , первое и п о с л е д н е е колесо в р а щ а ю т с я в ъ одну сторону и
следовательно отношеше скоростей будетъ положительно. Эти
условгя будутъ удовлетворяться, е с л и в в е д е м ъ множитель (—1) " +
который п р и п четномъ о т р и ц а т е л е н ъ , п р и п нечетномъ п о л о ж и теленъ.
1
Тогда п о л у ч и м ъ ф о р м у л у :
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
—
79
§ 104. Колеса съ шестернями. Совершенно другое получится,
если на к а ж д о м ъ валу будетъ находиться по два колеса (фиг. 118).
надЪтыхъ на эти в а л ы н а г л у х о :
т а к а я система можетъ передать
вращеше съ значительнымъ
у в е л и ч е ш е м ъ , п л и с ъ значи­
тельнымъ у м е н ы н е ш е м ъ вра­
щательной скорости, если на
к а ж д о й оси будетъ надъто
кромЪ большого колеса еще
маленькое, называемое шестер­
Фиг. 118.
ней. Обозначимъ рад1уеы ко­
л е с ъ ч р е з ъ R , В , . . . Л _х рад1усы-же шестеренъ ч р е з ъ г ,
г.
П о с л ъ д о в а т е л ы ш я з а ц ъ п л е ш я д а д у т ъ слъдуюшдя
уравнешя :
L
2
и
2
г.,
О).,
'в.
>'п
_
(!>„
Перемноживъ эти у р а в н е ш я почленно, п о л у ч и м ъ :
Г
_
в>„
—
2'
R.
l
г
я • • • «-i
r
В. ....
2
•
Г
"
(63).
В —1
п
Е с л и в с ъ шестерни меньше колесъ, н а с а ж е н н ы х ъ на т ъ ж е
оси, то п р а в а я часть у р а в н е ш я (63) м о ж е т ъ быть с д е л а н а весьма
малою дробью и тогда скорость ш будетъ значительно больше
скорости <в .
З а м ъ т и м ъ , что отношеше — н а з ы в а е т с я передаточнымъ
число.мъ.
я
х
0)1
§ 105. Механизмъ обыкновенныхъ стънныхъ часовъ можетъ
с л у ж и т ь п р и м ъ р о м ъ передачи, описанной в ъ п р е д ъ и д у щ е м ъ па­
р а г р а ф а . На одпнъ оборотъ часовой с т р е л к и , совершаемый в ъ
12 часовъ, м и н у т н а я с т р е л к а д ъ л а е т ъ 12 оборотовъ. С л е д о в а ­
тельно м е ж д у ч а с о в ы м ъ и минутнымъ колесомъ передаточное ч и с л о
д о л ж н о быть
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 80 —
Пользуются о д н и м ъ н р о м е ж у т о ч н ы м ъ в а л о м ъ и устраиваютъ
т а к ъ , чтобы оси часоваго и минутнаго колеса л е ж а л и на одной
прямой (фиг. 119). С л е д о в а л ь н о получаются услов1я
г.,. г
я
1
lf "."È
2
12
L
Этимъ услов1ямъ удовлетворяютъ,
м е ж д у п р о ч п м ъ , с л е д у ю н ц я цифры:
Ь\ = 48
г., = 18
54
г, = 12.
111 —
Фиг. 119.
Зубцы на з а ц е п л я ю щ и х с я к о л е с а х ъ д о л ж н ы
ковой толщины. С л е д о в а т е л ь н о число зубцовъ
padiyea.m
быть одина­
щюпорцЬнально
колесъ.
Д л я ч а с о в ъ достаточно р а с п о л о ж и т ь осп к а к ъ показано на
(фиг. 119) и устроить колеса с ъ у к а з а н н ы м и ч и с л а м и зубцовъ.
Тогда часовую с т р е л к у можно н а с а д и т ь на трубку, соединенную
с ъ ч а с о в ы м ъ колесомъ 48, а минутную с т р е л к у н а с а д и т ь на ось
минутнаго колеса 12, п р о п у щ е н н у ю ч р е з ъ трубку часоваго ко­
леса. Ч и с л о в а л о в ъ з д е с ь нечетное 3, т а к ъ к а к ъ валы часового
и минутнаго колеса не соединены в ъ одно ц е л о е и в р а щ а ю т с я
с е разными скоростями, только оси этихъ в а л о в ъ п о м е щ е н ы на
одной прямой.
П р и не четномъ ч и с л е в а л о в ъ часовое и минутное
будутъ, к а к ъ и требуется, в р а щ а т ь с я в ъ одну сторону.
колесо
§ 106. Безконечный винтъ или червяке. Ц и л и н д р ъ , на кото­
р о м ъ с д е л а н о н е с к о л ь к о оборотове вин­
товой н а р е з к и , называется б е з к о н е ч н ы м е
в н н т о м е и л и ч е р в я к о м ъ . Е с л и располо­
ж и т ь оси ч е р в я к а и зубчатаго колеса
т а к ъ , к а к ъ это показано на (фиг. 120), то
в р а щ е ш е ч е р в я к а будетъ возбуждать
в р а щ е ш е колеса. При к а ж д о м ъ обороте
Фиг. 120.
ч е р в я к а колесо повернется на о д и н ъ
зубецъ. Е с л и н а к о л е с е п з у б ц о в е , то
ш' _
1
ш
H
(64)
г д е ш' скорость к о л е с а ; ш скорость ч е р в я к а : колесо д е л а е т е о д и н ъ
обороте на м оборотове ч е р в я к а .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
81
—
Р а з с т о я ю е м е ж д у зубцами должно
ширин-в н а р е з к и ч е р в я к а .
быть приноровлено
къ
§ 107. Счетчикъ Вульстена. Д л я а в т о м а т ческаго счета ч и с л а
оборотовъ колесъ и д р у г и х ъ в р а щ а ю щ и х с я частей м а ш и н ъ изо­
бретено много прнборовъ, называемыхъ счетчиками
числа обо­
ротовъ.
С ч е т ч и к ъ Вульстена состоите (фиг. 1 2 1 ) и з ъ червяка С и
зубчатых'ь колесъ А и В, з а ц е п л я ю щ и х с я съ этимъ червякомъ.
Колесо А насажено наглухо на в а л е С С, колесо В насажено н а
него холостякомъ.
К ъ в а л у С'С п р и д е л а н а с т р е л к а ; на к о л е с е В с д е л а н ъ
ц и ф е р б л а т е . Колесо А и м е е т е 100 зубцовъ. Колесо В и м е е т е
101 зубецъ.
И р н м е м ъ следующая о б о з н а ч е ш я :
скорость ч е р в я к а
скорость колеса А
скорость колеса В
По ф о р м у л е (64) п о л у ч и м ъ :
1
1
п
100
1
1
1
п
101
Относительная скорость колеса А по о т н о ш е н ш колеса В,
р а в н а я относительной скорости с т р е л к и по отношешю к ъ ц и ф е р ­
блату, б у д е т ъ :
ш'
ш
ш"
~
ш
1
^
100 ~
1
101
1
=
10100
Только п р и 1 0 1 0 0 оборотахъ ч е р в я к а с т р е л к а пройдете в с е
д е л е ш я циферблата.
В ъ к о н ц е ч е р в я к а д е л а е т с я коническое углубление, котор ы м ъ н а ж п м а ю т ъ на к о н и ч е с ш й в ы с т у п е вала, число оборотове
котораго ж е л а ю т ь о п р е д е л и т ь .
Вслъдствк» т р е ш я ч е р в я к е в р а щ а е т с я съ ток> ж е скоростью
к а к ъ в а л ъ , к ъ которому ириставленъ, какъ-бы с о с т а в л я я с ъ
н и м е одно ц е л о е , и на ц и ф е р б л а т е счетчика отечнтывается число
оборотовъ и з е л е д у е м а г о вала.
§ 108. Приближенная зубчатая передача. И з ъ
ф о р м у л ъ , о и р е д е л я ю щ и х ъ передаточное ч и с л о
ш
"
предыдущихъ
видно, что ка­
ково бы н и было сложное з а ц ъ п л е ш е , отношение это м о ж е т е быть
Д к - i u K ï . — Практическая механика.
,
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
только р а ц ю н а л ь н о ю дробью. Поэтому н е л ь з я устроить такую
п е р е д а ч у в р а щ е ш я з у б ч а т ы м и колесами, чтобы отношеше скоро­
стей было бы ч п с л о м ъ и р р а ц ю п а л ь н ы м ъ . Е с л и бы, однако, потре­
бовалась т а к а я передача, то вопросъ м о г ъ бы быть р ъ ш е н ъ
только по приближенно с ъ извъстпою степенью точности.
П р и б л п ж е н н ы м ъ р ъ ш е ш е м ъ вопроса пришлось-бы доволь­
с т в о в а т ь с я и в ъ томъ с л у ч а е , если-бы заданное отношеше ско­
ростей было хотя р а ц ю н а л ь н о ю дробью по такою, ч и с л и т е л ь и
знаменатель которой были-бы б о л ы ш я числа, не р а з л а г а ю щ а я с я
на множители.
Приближенно вопросъ р е ш а е т с я п р и помощи н е п р е р ы в н ы х ъ
дробей с л е д т ю щ и м ъ образомъ.
Заданное передаточное ч и с л о
v r
ооращаютъ в ъ непрерывную
дробь и о п р е д е л я ю т ъ п о с л е д о в а т е л ы ш я подходящдя дроби
Pi • Pi • Ря
'il
Рт-2
(
ll ' la
1)
.
Im-Ï '
I*
f>«-1
.
Рт
'Im-1 " </ш
и з ъ которыхъ п о с л е д н я я ----- р а в н а
З а т е м ъ и з ъ этихъ дробей составляютъ дроби:
/>т .{ рт
йт+рт-1
I . 1 ^ 1 4 - ^ - 2
qm-1+qm-ï
.
_
РяЛ~_Р-2
#3 +
• 14 +
#2 ' й'2 +
Р\
Чi
Пробуютъ каждую и з ъ э т и х ъ и и з ъ п о д х о д я щ и х ъ дробей
в ъ томъ о т н о ш е н ш , н е л ь з я л и ея ч и с л и т е л я и знаменателя раз­
л о ж и т ь на м н о ж и т е л и не особенно б о л ы ш е .
Примгьрь. Осуществить п е р е д а ч у п р и передаточномъ ч и с л е
-~ равномъ
Д л я разложения этого ч и с л а в ъ непрерывную
дробь, к а к ъ и з в е с т н о , п о с т у п а е м ъ т а к ъ к а к ъ п р и нахояэденш
д л я ч и с л и т е л я и знаменателя этой дроби общаго н а и б о л ь ш а я
делителя.
Именно вычисляем'!,:
10
9
з Г
3 !
2531
2438 1219
1219 93 2
оя
13
289
279
10
93
90
9
3
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Последовательный частныя з д е с ь :
2, 13, 9, 3, 3.
Поэтому
2531
1219
•>
' ~
=
А
IS +
+
J
1
9 +
3 + 1
3
Подходящая дробя суть j' л 2 -f-
f.
13 :
•i
Следующая подходящая дроби составляются по и з в е с т н о м у
закону :
Рк + 1
q
t
Рк'П + ]>i- _ i
=
l
+
S*W-f
ö>_!
г д е п есть новое частное (см. Алгебра Давидова). П о л у ч и м ъ под­
ходящая д р о б и :
2
Г
Изъ нихъ
:
27
13 '
245
118
762
367
:
2531
1219 '
;
составляемъ дроби вида
1 > т
\
р т
---
А именно:
+293
15S6
1007
-
485
'
272
24
131 •
14
И з ъ этихъ дробей п е р в а я даетъ у ж е penieiiie
3293
Ï586~
=
37 . 89
26 . 61
Обозначая ч р е з ъ S со з н а ч к а м и число зубцовъ к о л е с ъ ,
ч р е з ъ п со з н а ч к а м и ч и с л а з у б ц о в ъ шестеренъ, припоминая что
рад1усы к о л е с ъ пропорциональны ч и с л а м ъ зубцовъ и п о л ь з у я с ь
формулою (63) в и д и м ъ , что с д е л а в е
Л\
= 37
Л", = 89
= 26
»
«1
л
п о л у ч и м ъ м е х а н и з м ъ , дающдй (приближенно) требуемое переда­
точное ч и с л о . П о г р е ш н о с т ь этого р е г н е ш я (по теорш непрерывн ы х е дробей) равна
1
Ï586.1219 '
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 84 —
Эпициклические
механизмы.
§ 109. Эпициклические механизмы. Т а ю е механизмы, состояние
и з ъ зубчатыхъ колесъ, в ъ которыхъ оси нт>которыхъ колесъ по­
движны, называются э п и ц и к л и ч е с к и м и ( r ü c k k e h r e n d e r Zahnräderm e c h a n i s m u s , Umlaufgetriebe, t r a i n epicycloïdal).
Пусть н а п р и м ъ р ъ около осп колеса г в р а щ а е т с я стержень,
на которомъ у к р ъ п л е н ы оси к о л е с ъ i , г" . . . в с в эти колеса зубч а т ы я и н а х о д я т с я попарно в ъ з а ц ъ п л е н ш . Обозначимъ чрезт>:
<о, ш', <в" . . . у г л о в ы я скорости к о л е с ъ по о т н о ш е н ш к ъ к а к и м ъ
либо н е п о д в и ж н ы м ъ координатамъ. Стержень, на которомъ у к р ъ ­
плены осп колесъ, н а з ы в а е т с я водиломъ. Обозпачимъ его угловую
скорость ч р е з ъ Q (фиг. 122 и 123). Р а з с м о т р и м ъ колеса г и г и м ъ J
м
юппя абсолютныя скорости ш н ш . По о т н о ш е н ш к ъ водилу они
будутъ и м ъ т ь относительный скорости (ш — 2 ) и ш — Q).
м
я
Отношеше
<о —
«...
—
Q
Q
э т и х ъ относительныхъ скоростей не з а в и е и т ъ отъ того, д в и ж е т с я
водило и л и н ъ т ъ ; оно есть ни что иное к а к ъ передаточное число
к о л е с ъ г и г„ выводимое по ф о р м у л * (62). И т а к ъ д л я о п р е д ъ л е ш я о т н о ш е ш я скоростей э п и ц и к л и ч е с к о й передачи с л у ж и т ъ
формула :.
(В — о
о
Л'- •
(65)
г д ъ К есть передаточное число, о п р е д е л я е м о е в ъ п р е д п о л о ж е н ш ,
что водило н е п о д в и ж н о . Ф о р м у л а (65) называется формулою Вил­
лиса. З н а ч е т е е я у я с н и т с я л у ч ш е всего и з ъ е л ъ д у ю щ и х ъ прим ъ р о в ъ весьма часто у п о т р е б л я е м ы х ъ э п и ц и к л и ч е с к и х ъ механизмовъ.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 110. Механизмъ Баррета. Этотъ механизмъ (фиг. 124)
с т о и т е и з ъ большого колеса с ъ на­
правленными внутрь зубцами.
Въ ц е н т р ъ этого колеса у к р е ­
плена ось А, на которую насажено
малое колесо и водило AI). На вод и л ъ и м е е т с я ось В на которую
насая;ено колесо, н а х о д я щ е е с я во
в н ъ ш н е м ъ з а ц е п л е н ш с ъ колесомъ А
и во внутреннемъ съ б о л ы н и м ъ
Фиг. 124.
колесомъ.
со­
Примемъ слъдующ1я обозначешя :
ш" =
ю' —
ш=
2 —
угловая
улловая
угловая
угловая
скорость
скорость
скорость
скорость
большаго колеса;
колеса В ;
колеса А ;
водила.
П р и м е н я я формулу (65) Виллиса к ъ колесамъ А и В и м е е м ъ :
ш—
Q
Q
г\
(66),
где
г и г' суть раддусы колесъ А и В.
П р и м е н я я формулу Виллиса к ъ колесамъ большому и В,
имеемъ:
Q
U)
(67).
о
г
+
1
З д е с ь т" есть ра.цусъ 6o.ii>niaro колеса; передъ отношен1емъ
у
с т а в и м ъ з н а к ъ -f- т а к ъ
к а к ъ колесо В з а ц е п л я е т с я
с ъ боль-
ш и м ъ колесомъ в н у т р е н н и м ъ зацеплен1емъ.
У м н о ж и в ъ (66) почленно на (67), п о л у ч и м ъ :
ш —
ш" —
2 _
Q ~
_
г"
г
Отсюда
(68).
Если, н а н р н м е р ъ , большое колесо неподвижно, а м а л е н ь ш я
колеса равны между собою, то
О)" =
О
= Зг
и формула (68) д а е т ъ :
=
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— в ъ этомъ с л у ч а ъ на о д н н ъ оборотъ в о д и л а внутреннее колесо Л
д ъ л а е т ъ 4 оборота.
§ 111. Планетное
колесо Watt'a. У с о в е р ш е н с т в у я свою па­
ровую м а ш и н у W a t t д л я д о е т н ж е ш я боль­
ш е й скорости махового колеса н а с а д и л ъ
н а его в а л ъ колесо (фиг. 125), з а ц е п л я ю ­
щ е е с я с ъ д р у г и м ъ з у б ч а т ы м ъ колесомъ,
п р н к р ъ и л е н н ы м ъ наглухо к ъ ш а т у н у ма­
ш и н ы . Ш а т у н ъ д ъ л а е т ъ р а з м а х и сравни­
тельно н е б о л ы ш е . Мы п р е д п о л о ж н м ъ что
в е р х н я я точка колеса, насаягеннаго н а
ш а т у н ъ , остается верхнею в ъ т е ч е н ш всего
времени п о к а ц е н т р ъ этого колеса описы­
в а е т ъ окруяшость около центра колеса,
* н а с а ж е н н а г о на в а л ъ . Такое д о п у щ е ш е
р а в н о с и л ь н о тому, чтобы п о л о ж и т ь в р а щ а ­
Фиг. 125.
тельную скорость ш' колеса, н а с а ж е н н а г о
на ш а т у н ъ , равною нулю.
Обозначимъ скорость колеса, н а с а ж е н н а г о на в а л ъ , ч р е з ъ ш.
По ф о р м у л е В и л л и с а и м е е м ъ :
и, согласно с д е л а н н о м у
положить
предположению, надо в ъ этой
формуле
ш' == О
Получимъ
<о — Q
;о
откуда
(69).
Е с л и з у б ч а т а я колеса р а в н ы , то
мула дастъ
1 и выведенная фор-
Это з н а ч и т ь , ч т о , н а о д и н ъ полный обходъ ш а т у н н а г о к о ­
л е с а но центральному, это п о с л е д н е е д е л а е т е 2 оборота.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
87
—
§ 112. Четырехколесный эпициклически механизмъ Давида
для достижешя весьма медленного вращешя. Монахъ АвгустинCKiU'o ордена, Д а в и д ъ , н а о б р ъ л ъ в ъ 1 7 9 1 году с л ъ д у щ Ш весьма
интересный механизмъ (фиг. 1 2 6 ) ,
р а з р ъ з ъ котораго, видимый сверху,
нредставленъ на (фиг. 1 2 7 ) . Ско­
рости колесъ будемъ обозначать бук­
вами ш, радЕусы и х ъ (и самыя ко­
леса) — буквами г.
На неподвижной оси насажены
холостякомъ два колеса г и г " и
водило. Сквозь очко, с д е л а н н о е в ъ
в о д и л а , проходить ось, наглухо сое­
диненная с ъ колесами г' и г". Опре1
Фиг. 120.
Фиг. 127.
д ъ л и м ъ , какова будетъ скорость «я при д а н н ы х ъ 2 и и>". З а м ъ т н м ъ что колеса г' и г" будутъ и м е т ь ( к а к ъ н а с а ж е н н ы я наглухо
на одну п ту-же ось) одинаковую скорость и>'. Но ф о р м у л е Вил­
лиса и м е е м ъ :
ш — 2
ш'
_
г'
'
2
г
о
О)'
I )
Д е л я эти равенства почленно одно на другое, п о л у ч и м ъ :
m— 2
_
г \ г ^
V.." _ о"
откуда
(70).
Обыкновенно колесо г"' д е л а е т с я н е п о д в и ж н ы м ъ и потому
в ъ ( 7 0 ) н у ж н о положить <о" = о. П о л у ч и м ъ
(71).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 88
Числа
зубцовъ
въ колесахъ
-
пропорщональны
рад1усамъ.
1
Сдълаемъ на колесъ г
99 зубцовъ.
г'" 101
п
>' 100
»" 100
Тогда формула (71) д а с т ъ
99 . 101 Л
Q
100 . 100 j ~~ 10000 '
Это з н а ч и т ь что на 10000 оборотовь водила, колесо г с д ъ л а е т ъ только одинъ о.боротъ :
Q
ю
= 10000.
Отсюда, однако, не вытекаетъ, что н а одинъ обороте колеса г
водило с д ъ л а е т ъ 10000 оборотовъ. З д е с ь совершается то-же, ч т о
при з а ц ъ п л е н ш колеса с ъ ч е р в я к о м ъ : о т ъ ч е р в я к а д в и ж е т е пе­
редается колесу всегда, а о т ъ колеса к ъ ч е р в я к у , — только п р и
весьма крутой н а р ъ з к ъ ч е р в я к а ; п р и отлогой ж е н а р ъ з к ъ , ж е л а я
передать д в и ж е ш е о т ъ колеса ч е р в я к у , мы в с т р ъ ч а е м ъ такое
огромное т р е т е , что с к о р е е н а р е з к а лопнетъ, но п е р е д а ч а не
достигнется.
То-же и с ъ м е х а н н з м о м ъ Д а в и д а : отъ водила всегда пере­
дается д в и ж е т е колесу г. Обратная ж е п е р е д а ч а возможна т о л ь к о
п р и сравнительно м а л ы х ъ в е л н ч и н а х ъ о т н о ш е ш я
2
§ 113. Простой эпициклически механизмъ с ъ коническими
колесами. Т р и к о н и ч е с ш я з у б ч а т ы я колеса, и з ъ к о т о р ы х ъ к а ж д о е
в р а щ а е т с я около н е п о д в и ж н о й оси, могутъ з а ц е п л я т ь с я м е ж д у
собою т а к ъ , к а к ъ это показано н а ( ф и г . 1 2 8 ) .
Но можно с д е л а т ь колесо В н е п о д в и ж н ы м ъ ,
з а с т а в и т ь колесо а к а т и т ь с я по В и тогда к о ­
л е с о А п р и д е т ъ во в р а щ е т е б л а г о д а р я з а ц е п л е н ш с ъ колесомъ а. П р и т а к о м ъ у с т р о й с т в е
п о л у ч а е т с я э п и ц и к л и ч е с к и ! механизмъ. Его удоб­
но устроить с л е д у ю щ и м ъ образомъ.
je
Фет. 128.
Сквозь о ч к о с д е л а н н о е в ъ к о л е с е В про­
пускается ось изогнутая подъ прямымъ угломъ
(фиг. 1 2 9 ) . Н а к о л е н о OD этой оси н а с а ж и в а е т с я
х о л о с т я к о м ъ колесо С, з а ц е п л я ю щ е е с я с ъ к о -
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 89 —
лесомъ А с и д я щ и м ъ на особой оси расположенной на
жаемомъ продолжении оси О. К о л е н о OD
с л у ж и т ь водиломъ.
вообра-
При неподвижности водила скорости
œ и «о' к о л е с ъ А и Л равны и нротивуноложны, если эти колеса равны. П р и л а г а я
формулу В и л л и с а п о л у ч и м ъ :
Q
О
=
—
I.
Е с л и колесо В неподвижно, то ш' = о
и
мы
ПОЛУЧИМЪ:
- Q
о
=
—
ш =
2 2.
1
откуда :
Фиг. 129.
С л е д о в а т е л ь н о , на одгшъ оборотъ водила, колесо А дЪлаетъ
2 оборота.
§ 114. Эпициклический механизмъ, даюцн'й съ большимъ приближешемъ передаточное число. Мы у ж е в и д е л и в ъ п а р а г р а ф е
108-омь, что передаточ­
ный числа, представляю­
щаяся в ъ в и д Ь дробей с ъ
большими ч и с л и т е л е м ъ и
знаменателемъ,
достига­
ются в ы ч и е л е ш е м ъ , по­
мощью непрерывныхъ дро­
бей, механизма, доставля­
ющего передачу весьма
близкую к ъ требуемой.
- °ф и г
1 3
З н а ч и т е л ь н о т о ч н е е эта з а д а ч а можетъ быть р е ш е н а помощью
механизма, представленнаго н а (фиг. 130).
На оси Е холостякомъ насажены колеса А и В , з а ц е п л я ­
ющаяся с ъ колесомъ D , с и д я щ и м ъ холостякомъ на к о л е н е , ндущ е м ъ отъ оси Е. Колесо А н е и з м е н я е м о соединено с ъ лобовымъ
колесомъ а. Колесо В н е и з м е н я е м о соединено с ъ лобовымъ коле­
сомъ Ъ. Н а оси F насажены наглухо колеса а и % а з а ц е п л я е т с я
с ъ а; Э з а ц е п л я е т с я с ъ Ь. Совершенно с и м м е т р и ч н а я система
к о л е с ъ А , В ' , D ' . а', Ь', л', у находится в ъ другой ч а с т н меха­
низма. Н а о с я х ъ F и F', е н д я т ъ наглухо колеса f и f, з а ц е п л я ­
ющаяся с ъ колесомъ, н а д е т н м ъ наглухо на ось Л, в р а щ е ш е м ъ
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 90 —
которой и сообщаютъ движение всему механизму. Условимся в ъ
слъдующнхъ обозначешяхъ :
2
ш
ш'
ш
0
— у г л о в а я скорость оси В и ндущаго отъ нея к о л е н а ;
— к о л е с ъ Л и а;
— колесъ В и Ь ;
— о с и F.
По ф о р м у л е В и л л и с а п о л у ч и м ъ
откуда
(
•2 2 =
ш-(-ш'
(72)
Называя ч и с л а зубцовъ т ъ м п - ж е буквами к а к ъ и колеса,
получимъ, рассматривая соответственный обыкновенный зац+шлешя :
и>
а
<о
а
0
Отсюда, согласно ф о р м у л е ( 7 2 ) , п о л у ч и м ъ :
Эта формула п о к а з ы в а е т е , что в р а щ е ш я в а л о в ъ Е и F со­
вершаются в ъ противоположный стороны.
Носмотрнмъ к а к ъ помощью такого механизма р е ш а е т с я за­
д а ч а п а р а г р а ф а 108-го: р е а л и з а щ я передаточнаго ч и с л а
2531
1219 '
Имеемъ :
2531 _ 2531
х
4 _
1219"
23753 ~ 23 ' 53 ~
_
53ж-|-23у
23 . 53
С л е д о в а т е л ь н о пме»емъ н е о п р е д е л е н н о е у р а в н е ш е
5 3 x - f - 2 3 » / = 2531.
Р е ш а я его в ъ ц е л ы х ъ ч и с л а х ъ по п р а в и л а м ъ элементарной
алгебры, п о л у ч и м ъ множество р е ш е н Ш . Остановимся н а п р и м т , р ъ
на т а к о м ъ р е ш е н ш
./• = 33
у = 34
т а к ъ что :
2531
1219
33 , 34
23
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Прпмемъ вт, ф о р м у л е (73)
Q _ _
%
2531
121!) '
Тогда но ф о р м у л е (73) и м е е м ъ :
1
/-1 +
?)
2 \ а ~
h}
=
38
M
23 ~
53
или
3 = 66 О, 68
i
23 ' 53
ос
1
Следовательно только п р а в а я часть механизма (фиг. 130)
д о с т а в л я е т е уя;е совершенное
точное р е ш е ш е н а ш е й з а д а ч и
Именно: если с д в л а е м ъ
66
68
23
53,
=
=
и =
Ь =
а
•i
то в а л ы Е п F будут'ь
скоростей
вращаться
съ требуемымъ
отношешемъ
2531
1219 '
Е с л и бы потребовалось, чтобы эти в а л ы в р а щ а л и с ь в ъ одну
сторону, то достаточно было бы вставить м е ж д у колесами а и а,
равно к а к ъ и м е ж д у Ъ и % по паразитному колесу нроизвольн ы х ъ pa;UycoB'b, т а к ъ к а к ъ паразитный колеса н а абсолютную
в е л и ч и н у передаточнаго ч и с л а не вл1яютъ.
Е с л и бы н н ч и с л и т е л ь н и знаменатель заданной дроби не
р а з л а г а л и с ь на множители, то п р и ш л о с ь бы воспользоваться и
второю частью механизма (фиг. 130). А именно: пусть заданное
передаточное число есть дробь :
Р
Возьмемъ к а ш я либо два п р о с т а я м е ж д у собою числа
p
q
п р е ш и м ъ въ ц е л ы х ъ числахъ два уравнешя:
Р
pq
=
i
р
9=
РЧ
У
* q
•'•
у
Р
+
'1
у'.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 92 —
С д ъ л а е м ъ в ъ н а ш е м ъ м е х а н и з м ъ ( ф и г . 130)
Тогда м е ж д у осями
ш
0
а =
2х
Р=
22/
а; =
р
Ъ =
q.
и F была бы передача
j) q
2
1я
1
(74).
b
и J P была бы передача :
2 \а' ^
6'j
\/> ^
«/
(75).
Е с л и колеса f и f р а в н ы м е ж д у собою, то, п р и в р а щ е ш и
оси Н, в а л ы F' и F в р а щ а ю т с я с ъ одинаковою скоростью, а по­
тому, согласно с ъ ф о р м у л а м и (74) и (75) п о л у ч и м ъ :
Р
Q
то есть OTHonieHie у г л о в ы х ъ скоростей в а л о в ъ Е и Е' б у д е т ъ
равно заданному передаточному ч и с л у ,
§ 115. Динамическое значеше эпициклическихъ механизмомъ.
Эницикличесгае механизмы, к а к ъ мы в и д е л и , п р е д с т а в л я ю т ъ
б о л ы ш я удобства д л я д о с т и ж е ш я п е р е д а ч и с ъ т а к и м и передаточ­
ными ч и с л а м и , к а ш я трудно достижимы д р у г и м ъ путемъ. Эти
механизмы в е с ь м а полезны е щ е и в ъ д р у г о м ъ о т н о ш е н ш : они
даютъ
возможность
сосредоточить
на
одномъ
валу
движете,
переда­
Напрнмъръ
в ъ м е х а н и з м ъ Б а р р е т а , п о д ч и н я ю щ е м с я ф о р м у л * (68), мы пола­
г а л и ю" = о, то есть д е л а л и колесо « " н е п о д в и ж н ы м ъ . Е с л и бы
мы и его в р а щ а л и с ъ н е к о т о р о ю отрицательною скоростью ад",
то есть в ъ сторону противоположную водилу, то скорость колеса
<а но формулт, (68) была бы ( п р и о т р и ц а т е л ь н о м ъ ад") больше т о й ,
ваемое
отъ
двухъ
Совершенно
независимыхъ
двигателей.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которая достигается п р и неподвижности колеса
Двигатель,
п р и л о ж е н н ы й к ъ большому колесу ю" д в и г а т ь бы колесо ш самъ
по себъ со скоростью
г"
Д в и г а т е л ь , приложенный
со скоростью
q ( i
к ъ водилу, д в п г а л ъ бы колесо <о
;
г
Оба ж е вм'встъ они д а в а л и бы скорость равную с у м м е э т и х ъ
скоростей
= ß (l +
"'"'1 —
г
(отрицательное
и>"
^
П р и этомъ о д и н ъ д в и г а т е л ь остается совершенно независимымъ отъ д р у г о г о : если одинъ двигатель д а ж е остановится, то
всетаки механизмъ не сломается, а только скорость ш уменьшится.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава
VI.
Передача вращения ремнями, веревками
и канатами.
§ 116. Блоки и шкивы. В р а щ е ш е м о ж е т ъ быть передаваемо
также и гибкими т ь м а м и : в е р е в к а м и и л и к а н а т а м и , перекину­
тыми ч е р е з ъ 6.I0KU (фиг. 131), и л и ремнями, перекинутыми ч р е з ъ
ш к и в ы . Т а к а я передача называется
гибкою. Б л о к ъ п р е д с т а в л я е т ъ собою
т ъ л о в р а щ е ш я с ъ небольшою выемкою
по поверхности; в ъ зту выемку и на­
к л а д ы в а е т с я перекидываемая
чрезъ
блокъ веревка и л и к а н а т ъ . К р а я выемки
не допускаютъ к а н а т ъ с в а л и т ь с я с ъ
блока. Ремень неудобно п о л о ж и т ь в ъ
выемку, по этому, д л я п е р е д а ч и вра­
Фиг. 131.
щ е ш я ремнями, устраиваются шкивы.
которые суть тоже почти ц п л л и н д р п ч е с к л я т ъ л а в р а щ е ш я , но с ъ
небольшою выпуклостью боковой поверхности. Эта выпуклость
с л у ж и т ъ именно д л я того, чтобы ремень со ш к и в а не с о с к а к н в а л ъ .
§ 117. Значеше выпуклости шкивовъ. На п е р в ы й в з г л я д ъ
к а ж е т с я не с о в с ъ м ъ п о н я т н ы м ъ , к а к и м ъ образомъ в ы п у к л о с т ь
ш к и в а п р е п я т с т в у е т е с о с к а к и в а ш ю р е м н я . В ы я с н я е т с я это с л ъ д у ю щ н м ъ образомъ.
И р е д с т а в и м ъ себъ, что ремень переки­
н у т ь ч р е з ъ у с е ч е н н ы й к о н у с ъ (фиг. 132) и
п у с т ь этотъ к о н у с ъ в р а щ а е т с я т а к ъ , что кон е ц ъ DA ремня набтгаетъ на ш к и в ъ . Р е м е н ь
п р е д п о л а г а е т с я п р и этомъ достаточно н а т я нутымъ. Б л а г о д а р я этому н а т я ж е н ш
онъ
п р и ж м е т с я плотно к ъ ш к и в у и потому ш и ­
р и н а его с о в п а д а е т ъ с ъ образующею конуса,
Фиг. 132.
а д л и н а п о й д е т е по н а п р а в л е ш ю перпенди­
к у л я р н о м у к ъ этой образующей и, с л е д о в а т е л ь н о , наклонно
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
к ъ осп. Между т ъ м ъ та часть ремня, которою опт. огибаете
ш к п в ъ , будетъ д в и г а т ь с я в м е с т е со ш к п в о м ъ , к а к ъ бы со­
с т а в л я я с ъ ш г а ъ одно ц ъ л о е ; поэтому к а ж д а я точка m ремня,
к а к ъ только войдетъ на ш к п в ъ , будетъ д в и г а т ь с я д а л е е в ъ плос­
кости перпендикулярной к ъ оси и потому, дойдя до верхняго
своего п о л о ж е ш я , окажется ближе к ъ ш и р о к о й ч а с т и ш к и в а .
Т а к и м ъ образомъ оказывается, что ремень и м ъ е т ъ стремлеiiie п р и д в и г а т ь с я к ъ широкой ч а с т и ш к и в а .
Е с л и с д ъ л а е м ъ ш к п в ъ в ы п у к л ы м ъ , (фиг. 138), то ре.мепь,
стремясь, согласно сказанному, п р и д в и г а т ь с я к ъ широкой части
ш к и в а , будетъ стремиться п р и д в и г а т ь с я к ъ среднему с ъ ч е ш ю
ш к и в а п е р п е н д и к у л я р н о м у оси, у д а л я я с ь отъ к р а е в ъ ш к и в а и
потому не будетъ соскакивать.
§ 118. Отношеше скоростей шкивовъ. Гибкая передача мо­
ж е т ъ быть открытая
А и В (фиг. 131) и перекрестная
А' и В'.
Не трудно в и д е т ь , что, при открытой п е р е д а ч е , ш к и в ы в р а щ а ­
ются в ъ одну сторону, а при перекрестной п е р е д а ч е в ъ против у н о л о ж н ы я стороны.
Обозначимъ угловую скорость ш к и в а А ч р е з ъ ш; угловую
скорость ш к и в а В ч р е з ъ ш'. Поступательная скорость в с е х ъ то­
ч е к ъ ремня одинакова, и н а ч е ремень в ы т я г и в а л с я бы или с ж и ­
м а л с я *). Обозначимъ ч р е з ъ v эту поступательную скорость. В ъ
т Ь х ъ м е с т а х ъ , где ремень п р и л е г а е г ь к ъ ш к и в у , поступательная
скорость точки ш к и в а и ремня одинакова.
Следовательно
V =
Ю|'
откуда
.
уг.ювыя
скорости
-шкивовъ обратно
пропо/паона.ины
перекрестной передачи, в ъ которой в р а щ е ш я
противуположныя стороны, п о л у ч и м ъ
•-.•
о)
.
рад'прамъ.
происходить
=
(76).
Для
въ
(." Т
Однако эти формулы не соответствуют!,
т а к ъ к а к ъ ремень всегда н е с к о л ь к о с к о л ь з и т е
действительности,
по ш к и в у и вы­
т я г и в а е т с я . Отношеше ~ подвержено т а к ж е вл1янш р а е т я ж е ш я
ремня. К р е т ц ъ и з ъ опытове в ы в е л ъ такое практическое
правило
для вычислешя
ЧУ
*) К а к ъ ато и бываетъ въ дъйствителыюсти. Но пока мы пррнеорежемъ
в.щ'яшемъ э т и х ъ я в л е ш й
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
Правило КрвТЦа: Для
ющихъ
отношенье
и заттмъ:
процента
или уменьшить
—
вычисленья
скоростей
формула
»6
нужно
или увеличить
радгусовъ
определить
padiye»
padiycr> рибочаго
шкивовъ,
движущаго
шкива
доставля-
padiyeu
на 2
г и г' по
шкива
на 2
процента.
§ 119. Основное условие, с о б л ю д е т е котораго необходимо для
того, чтобы ремень не соснанивалъ. Та ч а с т ь ремня, к о т о р а я дви­
гается к ъ ш к и в у называется набт/ающимъ
концомъ.
Н а п р и м е р ъ н а (фиг. 1 3 5 ) . г д е н а п р а в л е ш е д в и ж е ш я р е м н я
показано с т р е л к а м и , Ь'а' есть иабъгающШ конецъ но о т н о ш е н ш
к ъ ш к и в у , A; ah есть н а б е г а ю щ Ш к о н е ц ъ по отношешю к ъ
ш к и в у В. Наоборотъ Ь'а' но о т н о ш е н ш к ъ ш к и в у В есть
сбегающт конец!», точно т а к ж е ab но о т н о ш е н ш к ъ ш к и в у А есть
сбъгаюшди к о н е ц ъ .
С ъ ч е ш е ш к и в а плоскостью п е р п е н д и к у л я р н о ю оси и нахо­
д я щ е ю с я на р а в н о м ъ р а з е г о я н ш отъ плоскостей, о г р а н н ч и в а ю щ и х ъ ш к н в ъ , н а з ы в а е т с я е р е д н и м ъ етчен1емъ шкива. Л и ш я , и д у щ а я
вдоль ремня в ъ р а в н о м ъ р а з с т о я н ш о т ъ его к р а е в ъ называется
среднею лингею
ремня.
Д л я того, чтобы ремень не с о с к а к и в а л ъ со ш к и в а ,
необхо­
димо, чтобы средняя лингя набтгаютаго
конца находилась
въ плос­
кости средняго оъченгя шкива ( д л я к р а т к о с т и мы будемъ г о в о р и т ь
„ в ъ плоскости ш к и в а " ) .
§ 120. Возможность отклонешя сбъгающаго конца. Н а п р о т и в ъ
того с б ъ г а ю и ц й к о н е ц ъ м о ж е т ъ быть весьма з н а ч и т е л ь н о огклон я е м ъ отъ плоскости с р е д н я г о с ъ ч е ш я ш к и в а п, несмотря н а это,
ремень не будетъ с о с к а к и в а т ь .
На э т и х ъ свойствахъ р е м н я основано устройство г и б к и х ъ
нередачъ в ъ разлнчныхъ плоскостяхъ.
g 121. Шкивы находятся въ плоскостяхъ пересекающихся и
касательны къ лиши пересъчетя плоскостей.
В ъ этомъ с л у ч а е ремень н а д е в а е т с я т а к ъ ,
к а к ъ показано
на
фиг. 1 3 3 и 1 3 5 . Дви­
ж е т е возмояшо в ъ
сторону
указанную
стрелками,
потому
что п р и т а к о м ъ д в и жеши
набегаюпце
концы находятся в ъ
плоскостяхъ
тЬхъ
ш к и в о в ъ , н а которые
они н а б е г а ю т ъ . В ъ
обратную
сторону
Фиг. 134.
Фиг. 133.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 97 —
д в и ж е т е невозможно, потому что тогда набъгаюии'е концы не
будутъ находиться в ъ плоскостяхъ т ъ х ъ шкивовъ, на которые
они н а б ъ г а ю т ъ и ремень соскочить.
На фиг. 135 показано, к а к ъ в ъ такое положеше могутъ быть
приведены ш к и в ы , находивипеся прежде в ъ одной плоскости,
поворотомъ около общей касательной.
§ 122. Шкивы, находяии'еся въ пересекающихся "плоскостяхъ
не касаются лиши пересъчешя плоскостей. Е с л и нужно устроить
передачу м е ж д у такими шкивами С и 6" (фиг. 134), то посту паютъ с л ъ д у ю щ и м ъ образомъ. Избираютъ на л и н ш п е р е с е ч е ш я
плоскостей к а т я либо д в е точки а и 3. Получаются д в е новыя
плоскости: лЩ и «С"3, в ъ этихъ плоскостяхъ п о м е щ а ю г ъ отводные
Фиг. 135.
Фиг. 136.
шкивы а и 3, и перекидываютъ ч р е з ъ в с е четыре ш к и в а ремень,
к а к ъ показало на фиг. 134. З д е с ь д в и ж е т е возможно в ъ обе
стороны, потому что и в ъ томъ и в ъ другомъ с л у ч а е н а б е г а юшде концы будутъ находиться в ъ плоскостяхъ г ь х ъ ш к и в о в ъ .
на которые они н а б е г а ю т ъ . Т а к а я передача изображена в ъ д в у х ъ
п р о э к щ я х ъ на фиг. 136.
§ 123. Шкивы находятся въ параллельныхъ плоскостяхъ. Е с л и
ш к и в ы С и D (фиг. 137) находятся в ъ п а р а л л е л ь н ы х ъ плоско­
стяхъ, то п р о в о д я т ъ к ъ нпмъ в з а и м н о - п а р а л л е л ь н ы я касательныя
и достраиваютъ мысленно п а р а л л е л е п п п е д ъ . В ъ д в у х ъ д р у г н х ъ
взаимно протнвуположныхъ г р а н я х ъ параллелепипеда п о м е щ а ю г ъ
ДЕЛОНЕ. — Практическая ыеханпка.
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 98 —
отводные ш к и в ы А и В касательные к ъ ребрамъ п а р а л л е л е п и ­
педа. Ремень перекидываютъ ч р е з ъ веъ* четыре ш к и в а т а к ъ , к а к ъ
это указано
утол­
щенными
частями
реберъ п а р а л л е л е п и ­
педа. Не трудно в и ­
д е т ь , что з д ь с ь дви­
ж е т е возможно в ъ
г . 137.
обе стороны.
ф и
§ 124. Переводъ ремня на холостой шкивъ. Пусть к а к а я нибудь
рабочая м а ш и н а приводится в ъ д в и ж е т е в р а щ е ш е м ъ вала, на которомъ н а г л у х о над'Ьтъ ш к и в ъ В (фиг. 1 3 8 ) . Д в и ж е т е ж е этого в а л а
передается ему отъ д в и г а т е л я ремнемъ перекинутымъ ч р е з ъ ш к и в ъ
В. Требуется, по ж е л а ш ю , сообщать и л и разобщать в а л ъ м а ш и н ы
с ъ двигателемъ. П р о щ е всего это достигается г в м ъ , что р я д о м ъ
со ш к и в о м ъ В на томъ-же валу, но у ж е
холостякомъ, н а д е в а е т с я д р у г о й ш к и в ъ В .
В о з л е н а б е г а ю щ а г о конца р е м н я проходить
линейка р с ъ ш и п а м и С и 6". П о т я н у в ъ
линейку в ъ сторону холостого ш к и в а В
заставимъ ремень ( д а в л е т е м ъ на него ш и п а
С) у к л о н я т ь с я с ъ глухого ш к и в а В па
холостой В . Н а к о н е ц ъ ремень с о в с е м ъ
перейдетъ на холостой ш к и в ъ , который
будетъ в р а щ а т ь с я около вала, но уяге не
Фиг. 138.
будетъ передавать валу д в и ж е ш я .
0
п
0
К о г д а потребуется о п я т ь пустить в ъ ходъ рабочШ станокъ,
то д в и г а е м ъ л и н е й к у в ъ сторону глухого ш к и в а В. Ш и п ъ С подвинетъ ремень к ъ глухому ш к и в у В. Ремень п е р е й д е т ъ на этотъ
ш к и в ъ и в а л ъ будетъ в р а щ а т ь с я .
§ 125. Ступенчатые шкивы. Иногда представляется необходнмымъ, п о л ь з у я с ь однимъ и т е м ъ ж е двигателемъ, в а л ъ котораго
и м е е т ъ постоянную скорость, передавать д в и ж е т е
на в а л ъ станка т а к ъ , чтобы, смотря по ж е л а ш ю ,
в а л ъ С ( ф и г . 139) станка имъ\ть бы и л и быстрое
и л и тихое д в и ж е т е . В ъ этомъ с л у ч а е на в а л ъ V
станка и н а в а л ъ (V, о т ъ котораго передается
д в и ж е т е , н а д е в а е т с я наглухо ступенчатый
шкивъ.
Каждый такой ш к и в ъ отливается цъликомъ, но
состоитъ к а к ъ бы и з ъ н е с к о л ь к и х ъ ш к и в о в ъ р а з н ы х ъ рад1усовъ. Располагаются они на обоихъ
в а л а х ъ т а к ъ , ч т о болыше шкивы одной ш т у к и
находятся противъ малыхъ шкивовъ другой.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 99
Не трудно в и д е т ь , что, при одной и той же скорости вала С",
в а л ъ С будетъ в р а щ а т ь с я скоро, если ремень н а д ъ т ъ на ш к и в ы 1;
в р а щ е ш е вала С будетъ происходить м е д л е н н е е при р е м н е на
ш к и в а х ъ 2, и еще м е д л е н н е е п р и р е м н ъ не ш к и в а х ъ 3.
Однако было бы неудобно пользоваться д л я к а ж д о й пары
ш к и в о в ъ особыми ремнями. Е с л и ж е ж е л а е м ъ пользоваться одн и м ъ и т ъ м ъ же ремиемъ вполнъ определенной длины, то ш к и в ы
должны удовлетворять тому у с л о в ш , чтобы этотъ ремень былъ
натянуть, на какую бы пару ш к и в о в ъ мы его н и н а д ъ л и .
К ъ онредълешю раддусовъ ш к и в о в ъ , з^довлетворяющихъ
этому у с л о в ш мы и обратимся.
§ 126. Разсчетъ рад1усовъ ступенчатыхъ шкивовъ при пере­
крестной передачъ. Обозначая чрезъ L длину ремня, и м е е м ъ и з ъ
(фиг. 140):
L
= -•>• + 2rß +
-r' +
2г'3 + 2
El)
Но:
ED
= 6"JF=
СС
r
. cos }.
Назовемъ разстояше СС
между центрами ч р е з ъ р .
Фиг. 140.
Получимъ:
ED=p.
L =
НЛП
L
cos j3
r
- (;• -\- r') - j - 2? (r -f- r') - f 2p cos }
= ( + 20) (/• - f , ) - f
J
W
1
И з ъ треугольника FCC
2p cos p.
имеемъ:
sin и =
Поэтому :
L = [- +
2 arsin ( - - - ) | (r + r , +
2 , ^ - 0 : ^
И т а к ъ длина L ремня оказывается зависимою только
суммы
г + г'
отъ
рад1усовъ ш к и в о в ъ . Поэтому при перекрестной п е р е д а ч е требуе­
мое услов1е, д л я того, чтобы можно было пользоваться о д н н м ъ
и Tfiwb ж е ремнемъ, будетъ соблюдено, если сумма радаусовъ
к а ж д о й пары ш к и в о в ъ будетъ одна и та-же.
7«
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 100 —
§ 127. Разсчетъ радЕусовъ ступенчатыхъ шкивовъ при откры­
той передаче. Д л я этого с л у ч а я , (фиг. 141), и м е е м е :
L =
Tzr-\- 2г 3 +
И з ъ т р е у г о л ь н и к а FCC
OF
=
AB =
г
тУ — 2» ',3 -f 2АВ
(78).
.
имъемъ:
1
CG .
— г'
cos
3=
= p . sin
p сон
В
[3 . . . .
(79).
Поэтому :
L =
тг (г -\- r') -f- 2 (г — r') arcsin
2
+
P
(r—>y
~\/
nia
или ;
L—т(гА-г')
2р
1
1=
г —г
Р
. [г —
arcsin
\ p
г д е ô есть н е к о т о р а я н е б о л ь ш а я
больше г и »•'.
Л.-жГ
(r-r')
-f- 1/
J
1
2
-1 = 8.. (80),
V
величина,
если р з н а ч и т е л ь н о
По выведенной ф о р м у л е
и по заданному передаточ­
ному ч и с л у К б у д е м е и м е т ь
два у р а в н е ш я
- 1 = 8 . (81).
2р
Г
Фиг. 141.
=
К .
.
.
. (82).
Д а л е е д е й с т в у е м ъ помощью т а к ъ называема™ „ ф а л ы н и в а г о
п р а в и л а " пли „метода п о с л е д о в а т е л ь н ы х е п р п б л ю к е н Ш " . А именно.
П р и н и м а я 8 р а в н ы м е нулю, о п р е д ъ л я е м ъ , п р и э т о м е предположеш'и, и з е (81) и (82) в е л и ч и н ы г и г . Вносимъ эти в е л и ч и н ы
в ъ (80) и в ы ч и с л я е м ъ по этой ф о р м у л е о. П о л ь з у я с ь этой в е л и ­
чиной 8 о п р е д е л я е м е и з ъ (81) и (82) з н а ч е ш я г и г' б о л е е в е р ­
ный, и т а к е д а л е е . Обыкновенно вторыя р е ш е ш я г и г' у ж е го­
д я т с я на п р а к т и к е .
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава
VIL
Храповые механизмы и муфты.
§ 128. Храповое колесо, вращающееся только въ одну сторону.
Иногда в с т р е ч а е т с я необходимость в ъ 'томъ, чтобы в а л ъ могъ
в р а щ а т ь с я только в ъ одну сторону, между г в м ъ к а к ъ повернуть
его в ъ обратную сторону было бы невозможно.
Всего проще это достигается т ъ м ъ , что на такой в а л ъ на­
с а ж и в а е т с я наглухо храповое колесо (фиг. 142), то есть, колесо с ъ
зубцами отлогими с ъ одной стороны и круто с р е з а н н ы м и с ъ другой
стороны. На тотъ ж е в а л ъ н а д е в а е т с я холостякомъ неподвижное
звено, на которомъ ш а р н и р о м ъ п р и д е л а н а
собачка Ь. При р а с п о л о ж е н ш зубцовъ указанномъ на (фиг. 142) колесо можетъ вра­
щ а т ь с я в ъ сторону противуположную вра­
щ е н ш часовой с т р е л к и ; в ъ обратную же
сторону, согласно с ъ часовою стрелкою,
она в р а щ а т ь с я не можетъ, потому что со­
Фиг. 142.
бачка, з а п а д а я между зубцами, упираетъ
в ъ крутую сторону одного и з ъ н и х ъ и пренятствуетъ в р а щ е н ш .
П р и в р а щ е н ш колеса в ъ сторону противуположную часовой
с т р е л к е собачка только с к о л ь з и т ь по зубцамъ, и „трещитъ".
Д л я б о л е е в е р н а г о з а п а д е ш я собачки к ъ ней п р и д е л ы в а е т с я
п р у ж и н а п р и ж и м а ю щ а я ее к ъ колесу.
§ 129. Задерживающая собачка. Если ограничить
в о м ъ к о л е с * зубцы с ъ о б е и х ъ сторонъ
круто (фиг. 143), то, з а п а д а я между зубцами,
собачка препятствуетъ в р а щ е н ш въ какую
либо сторону.
Т а к а я собачка д о л ж н а быть подво­
дима к ъ колесу какимъ либо особымъ
МехаНИЗМОМЪ.
на храпо-
Фиг. 143.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 102 —
§ 130. Храповая муфта. В м е с т о механизма (фиг. 142) иногда
у д о б н е е бываетъ устроить храповую м у ф т у (фиг. 144). На в а л ъ
н а д е в а е т с я холостякомъ ц и л и н д р и ч е с к а я часть (муфта), на вну­
тренней сторонъ которой с д ъ л а н ы храповые зубья. На томъ ж е
в а л у п р и д е л а н а наглухо м а с с и в н а я ч а с т ь С
с ъ тремя собачками н а с а ж е н н ы м и помощью
ш а р н и р о в ъ . В ъ массивной ч а с т и С устроены
т а т е выступы, которые препятствуютъ соб а ч к а м ъ отклоняться д а л ъ е извт>стнаго
предела.
Д в и ж е ш е н а п р а в л я е т с я на муфту. П р и
располоягенш, показанномъ на ч е р т е ж е
(фиг. 144) д ъ л о происходить т а к ъ :
Е с л и муфту в р а щ а ю т ъ по направлешю,
указанному с т р е л к о ю , то крутые бока зубцовъ упираются в ъ
собачки и в р а щ е ш е п е р е д а е т с я валу.
Е с л и муфту в р а щ а т ь в ъ сторону противуположную той, ко­
торая у к а з а н а стрълкою, то собачки только с к о л ь з я т ъ (трещать)
по з у б ц а м ъ и д в и ж е ш е в а л у не передается.
§ 131. Неизменяемая муфта съ клиномъ. Муфтами вообще
называются пустые внутри ц и л и н д р ы . Многтя и з ъ м у ф т ъ с л у ж а т ъ
д л я взаимнаго с к р ъ п д е ш я в а л о в ъ : онъ называются постоянными
или неизменяемыми.
П р и м е р о м ъ н е и з м е н я е м о й муфты можетъ с л у ж и т ь изобра­
ж е н н а я на ч е р т е ж е (фиг. 145) в ъ д в у х ъ п р о э к щ я х ъ . Она с л у ж и т ъ
д л я с о е д и н е ш я в ъ одно
целое двухъ валовъ
прикасающихся одинъ
к ъ другому концами,
.
такъ
что
ось
одного
Фиг. 145.
служить
продолжеш е м ъ оси другого (валы, поставленные в ъ стыкъ).
На в а л а х ъ но н а п р а в л е н ш образующей д е л а ю т с я углублет я и в ъ м у ф т * TOHie. Муфта н а д е в а е т с я на валы т а к ъ , чтобы
ея у г л у б л е ш е совпадало с ъ у г л у б л е ш я м и в а л о в ъ и в ъ составлен­
ное этими у г л у б л е ш я м и о т в е р с и е в г о н я е т с я к л и н ъ .
Собственно говоря н е и з м е н я е м ы й муфты относятся к ъ обла­
сти деталей м а ш и н ъ и мы только в с к о л ь з ь о н и х ъ упомянули,
а теперь п е р е й д е м ъ к ъ о п и с а ш ю одной з а м е ч а т е л ь н о й п о д в и ж н о й
муфты.
§ 132. Муфта Oldham'a. Эта муфта с л у ж и т ъ д л я п е р е д а ч и
в р а щ е ш я отъ одного в а л а Другому безъ и з м е н е ш я в р а щ а т е л ь н о й
скорости в ъ томъ с л у ч а е , к о г д а в а л ы н о д х о д я т ъ о д и н ъ к ъ дру-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 103 —
тому концами, но оси и х ъ но л е ж а т ь на одной прямой, а на
и р я м ы х ъ п а р а л л е л ь н ы х ъ между собою: при ч е м ъ разстояше между
этими прямыми не особенно велико.
Д л я устройства муфты Oldham'а валы
(фиг. 146) оканчиваются
массивными
дисками в ъ которнхъ с д ъ л а н ы призма-
Фиг. 146.
Фиг. 1+7
т и ч е с ш я канавки: в ъ каждомъ д и с к е своя канавка (фиг. 147).
К р о м е того устраивается массивный д и с к е с ъ призматиче­
скими выступами,
н а х о д я щ и м и с я на его нротивуположныхъ сторонахъ и наклоненными одинъ к ъ другому по угломъ 90°. Этоге
д и с к е вкладываютъ в ъ канавки дпсковъ, з а к а н ч и в а ю щ и х ъ валы.
Вследствие этого канавка одного вала всегда остается пер­
пендикулярною к ъ к а н а в к е другаго вала, и потому в р а щ а я одинъ
в а л ъ около его осп, получимъ в р а щ е ш е другаго вала около его
оси с ъ тою ж е вращательного скоростью. На ф и г у р е 146 эта
муфта изображена в ъ собранномъ в и д е ; па ф и г у р е 147 в ъ разобранномъ.
§ 133. Шарниръ Гуна. Иногда в с т р е ч а е т с я необходимость в ъ
такой п е р е д а ч е в р а щ е ш я между валами, н р о д о л ж е т я осей которыхъ пересекаются, чтобы можно было и з м е н я т ь у г о л ъ заклю­
чающейся м е ж д у этими осями. Т а к а я передача была достигнута
Гукомъ (Нооке) помощью с л ь д у ю щ а г о ме­
ханизма, носящаго н а з в а ш е шарниръ
Гцка
(фиг. 148).
К а ж д ы й в а л ъ оканчивается дугою.
В а л ъ А дугою аа, в а л ъ В дугою Ы>. Въ конц а х ъ этихъ д у г ъ устраивается но втулки,.
В ъ эти втулки входятъ шины кре­
стовины,
п р и ч е м ъ центръ О крестовины
л е ж п т ъ в ъ т о ч к е н е р е с е ч е ш я осей ва.ловъ
Вообще говоря передача такимъ ш а р н и р о м ъ будете неравномтрная. то есть п р и р а в н о м е р н о м ъ в р а щ е н ш одного вала другой
будетъ в р а щ а т ь с я неравномерно, но у г о л ь ? между осями вал о в е можно и з м е н я т ь отъ 0 г р а д у с о в ъ до 80°.
§ 134. Шарниръ Goubet. Соединяя д в а шарнира Гука, Губэ
п о л у ч и л ъ возможность устроить равномтрщро
передачу при воз­
можности и з м е н я т ь у г о л ъ между осями в а л о в ъ (фиг. 149).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
104
—
Д л я этого Губэ с о е д и н и л ъ звено В со з в е н ь я м и А и С ш а р ­
нирами Гука. П р и в с я к о м ъ у г л ъ отъ 2 0 до 1 8 0 ° (и болъе) пере­
д а ч а возможна, и она будетъ р а в н о м е р н а , если у г л ы 9 и ф', со­
ставляемые осью В с ъ осями А и С равны. Д е й с т в и т е л ь н о , но
симметрш механизма относительно
биссектрисы тп угла, составляемаго
в ъ этомъ с л у ч а е осями А и С, с л е дуетъ, что в а л ъ С будетъ занимать
положеше зеркальнаго изображешя
в а л а А относительно плоскости, про­
веденной ч е р е з ъ mm перпендику­
л я р н о к ъ оси В, и потому у г о л ъ ,
Фиг. 149.
р
повернется около своей
оси в а л ъ А , будетъ р а в е н ъ у г л у поворота в а л а В около его осп;
при равномт>рномъ в р а щ е н ш в а л а А , в а л ъ В будетъ в р а щ а т ь с я
тоже р а в н о м е р н о , с ъ тою ж е угловою скоростью.
н
а
К О Т О
О И
§ 135. Двойная храповая муфта. Д л я преобразовашя в р а щ е ­
ш я около оси то в ъ ту, то ВТ) д р у г у ю сторону во в р а щ е ш е в ъ
одну сторону употребляется ( к а к ъ в ъ к л ю ч и к е часовъ) муфта,
с о с т о я щ а я и з ъ д в у х ъ ц и л и н д р и ч е с к и х ъ частей А и В
(фиг. 1 5 0 ) , и з ъ которыхъ одна наглухо соединена со
своимъ в а л о м ъ а, тогда к а к ъ д р у г а я В можетъ не­
много отодвигаться вдоль в а л а Ь. Эти ч а с т и оканчи­
ваются зубцами покатыми с ъ одной стороны и кру­
тыми с ъ другой. Этими зубцами одна ч а с т ь входитъ
в ъ другую. П р и п о в о р о т е в а л а А в ъ одну сторону
зубцы одной ч а с т и прикасаются к ъ з у б ц а м ъ другой
Ф и г 150
РУ
боками, и т а к и м ъ образомъ в а л ъ В приво­
дится во в р а щ е ш е . При п о в о р о т е вала А в ъ другую
сторону его зубцы только с к о л ь з я т ъ по з у б ц а м ъ в а л а В, не пе­
р е д а в а я ему в р а щ е ш я .
К
Т Ы М П
§ 136. Муфта Poyer-Quertier. В а л ъ , отъ котораго передается
д в и ж е щ е , н а з ы в а е т с я двигающимъ.
В а л ъ , нолучающШ движение
отъ д в и г а ю щ а г о в а л а , н а з ы в а е т с я раоочимъ. В ъ ж н е й к а х ъ и нт>которыхъ д р у г и х ъ м а ш и н а х ъ я в л я е т с я необходимость в ъ возмож­
ности установить механизмъ по ж е л а н ш д в о я к о : 1 ) т а к ъ чтобы,
при п р я м о м ъ в р а щ е н ш д в и г а ю щ а г о в а л а , это в р а щ е ш е переда­
валось бы рабочему в а л у ; п р и обратномъ ж е в р а щ е н ш двига­
ющаго в а л а р а б о ч ш в а л ъ о с т а в а л с я н е п о д в и ж н ы м ъ , 2 ) т а к ъ чтобы,
при в р а щ е н ш д в и г а ю щ а г о в а л а в ъ любую сторону, рабочШ в а л ъ
оставался н е п о д в и ж н ы м ъ . Такому требовашю удрвлетворяетъ муфта
Пуйе-Кертье (фиг. 1 5 1 ) .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 105 —
На двпгающемъ валу наглз'хо закртлшенъ д и с к ъ А . ДвнгающШ в а л ъ с д ъ л а п ъ в ъ в и д ъ трубки и сквозь него проходить
рабочШ в а л ъ , на которомъ наглухо насажено храповое колесо В.
На д и с к ъ А двигающаго вала устроены ш а р н и р ы на которые
насажены собачки а и Ь, к а ж д а я такая собачка снабжена хвостомъ с ъ п а л ь ц е м ъ т.
На рабочШ в а л ъ
н а д е т ь холостякомъ кольцеобразный
д н с к ъ D с ъ двумя отростками, снабженными п р о р е з а м и . Пальцы m
вставлены в ъ эти н р о р ъ з ы . На ч е р т е ж е
(фиг. 151) муфта нарисована открытою;
на самомъ д ъ л ъ она закрывается крыш­
кою. Д и с к ъ D можно п р и к р е п и т ь к ъ
этой к р ы ш к е двумя способами: 1) к а к ъ
показано на ч е р т е ж е , п р и ч е м е собачки
близко подходятъ к ъ храповому колесу,
2) н е с к о л ь к о повернувъ д н с к ъ в ъ сто­
рону нротивуположную ходу часовой
с т р е л к и ; п р и ч е м ъ п р о р е з ы отростковъ,
д е й с т в у я на хвосты собачекъ, отклоняютъ
Ф и г . 151.
собачки отъ храпового колеса.
При первой у с т а н о в к е рабочШ в а л ъ приводится во в р а щ е ш е
собачками в ъ с л у ч а е прямого в р а щ е ш я двигающаго вала и
остается неподвижнымъ при обратномъ в р а щ е н ш двигающаго"
вала. При второмъ способе установки диска рабочШ в а л ъ остается
н е п о д в и ж н ы м ъ , куда бы ни в р а щ а л с я двигающШ в а л ъ , т а к е
к а к е в ъ этомъ с л у ч а е собачки отводятся далеко отъ храпового
колеса.
§ 137. Рычаге Лагоруста. Р а с п о л о ж и т ь (фиг. 152) вблизи
храпового колеса р ы ч а г е AB вращающШся около ш а р н и р а О
помощью р у к о я т к и M и н е е у щ ш на к о н ц а х е своихе шарниры.
На эти ш а р н и р ы н а д е н е м е длинную со­
бачку А и покороче ВЬ т а к е , чтобы о н е
собственною тяжестью п р и ж и м а л и с ь к е
храповому колесу. Такой механизме пре­
в р а щ а е т е колебательное д в и ж е ш е рычага
AB в ъ вращательное д в и ж е т е храпового
колеса. И м е н н о : 1) при д в и ж е н ш рукояти M
в н и з ъ собачка ВЬ у п и р а е т е в е колесо и
в р а щ а е т е его; собачка ж е Аа с к о л ь з и т е по
Ф и г . 152.
з у б ь я м е : 2) п р и д в и ж е н ш рукояти M
в в е р х е , собачка Аа у п и р а е т е в ъ колесо и в р а щ а е т ъ колесо в ъ
ту-же сторону куда в р а щ а л а его собачка ВЬ: собачка же ВЬ
с к о л ь з и т ь по з у б ь я м ъ .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 106 —
§ 138. МальтШское колесо. Иногда п р е д л а г а е т с я с л е д у ю щ е е
требование: п р и вращен!и вала А (фиг. 153) постоянно в ъ одну
и ту-же сторону в а л ъ В д о л ж е н ъ повернуться на
некоторую ч а с т ь окружности, з а т ъ м ъ остановиться,
потомъ опять п о в е р н у т ь с я на ту-же часть окруж­
ности, опять остановиться и т а к ъ д а л ъ е . Это тре­
бовал! е и с п о л н я е т с я малышМекимъ колесомъ, н а д ъ тымъ на в а л ъ В и д и с к о м ъ с ъ одннмъ зубцомъ
н а д ъ т ы м ъ на в а л ъ А .
Когда з у б е ц ъ входитъ во в п а д и н у колеса, то
п о в о р а ч и в а е т ъ его немного. При д а л ь н ъ й ш е м ъ вра­
щ е н ш в а л а А д и с к ъ только касается д у г и колеса,
с к о л ь з я по ней, но не д в и г а я колеса. На к а ж д ы й
оборотъ в а л а А колесо повертывается на и-ую
часть окружности, если в ъ н е м ъ с д ъ л а н о п в п а д и н ъ .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава
VIII.
Неполный зубчатыя колеса, кулаки
и эксцентрики.
S 139. Неполное колесо въ зубчатой раме. Д л я преобразова­
ш я равнолгЬрнаго в р а щ е ш я в ъ поступательное д в и ж е т е в з а д ъ и
впередъ употребляется иногда механизмъ, состоящШ и з ъ прямо­
угольной рамы (фиг. 154), составленной и з ъ двухъ зубчатыхъ
реекъ (линеекъ) AB и CD.
Внутри этой р а м ы вра­
щ а е т с я около неподвижной
оси колесо покрытое зубцами
только на п о л о в и н е своей
окружности.
При в р а щ е н ш этого ко­
Фиг. Ш.
леса з у б ч а т а я рама идетъ
вправо, когда зубцы колеса з а ц е п л я ю т с я с ъ одною рейкою; рама
идетъ в л е в о , когда зубцы з а ц е п л я ю т с я съ другою рейкою. Рама
должна составлять поступательную п а р у с ъ неподвижными эле­
ментами M и М', в ъ которыя в х о д я т ъ ея хвосты m и ш'.
§ 140. Неполное колесо съ двойнымъ зубчатымъ валомъ. Д л я
п р е в р а щ е ш я непрерывнаго в р а щ е ш я в ъ переменное в р а щ е ш е то в ъ
ту, то в ъ другую сторону употребляется иногда механизмъ, состоя­
ний (фиг. 1 5 5 ) и з ъ колеса, на п о л о в и н е окружности
котораго устроены зубцы параллельные оси колеса.
Это колесо с ц е п л я е т с я с ъ д в у м я зубчатыми ва­
л и к а м и , с и д я щ и м и на глухо на общей оси AB, вра­
щ а ю щ е й с я в ъ п о д ш и п н и к а х ъ m и т'.
При в р а щ е н ш колеса, зубцы его з а ц е п л я ю т с я то
с ъ однимъ, то с ъ д р у г и м ъ валикомъ. З а ц е п л я я с ь с ъ
о д н и м ъ и з ъ н и х ъ , колесо в р а щ а е т ъ систему в а л и к о в ъ
в ъ одну сторону; з а ц е п л я я с ь съ д р у г и м ъ в а л и к о м ъ ,
колесо в р а щ а е т ъ систему в а л и к о в ъ в ъ другую сторону.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
108
—
§ 141. Кулачная толчея. Д л я раздробления руды у п о т р е б л я е т е
иногда толчею ( ф и г . 156), состоящую и з ъ т я ж е л а г о бруса AB, на
к о н ц е котораго п р и д е л а н ъ металлически! пестъ. На б р у с е AB
с д е л а н е выстулъ-кулакъ
AI. Возлт> бруса AB в р а щ а е т с я в а л ъ с ъ
выступами -кулаками:
а, Ь, с. К о г д а к у л а к и вала подходите п о д ъ
к у л а к ъ бруса, то поднимаютъ его и, п р о с к о л ь з н у в ъ подъ кулакомъ М, предоставляютъ брусъ п а д а т ь подъ вл1яшемъ его соб­
ственной т я ж е с т и .
§ 142. Кулачный энсцентрикъ по Архимедовымъ спиралямъ. Е с л и представляется необ­
ходимость в ъ томъ, чтобы вертикальный стер­
ж е н ь AB (фиг. 157)
поднимался
равно­
м е р н о поступательнымъ
движешемъ,
потомъ
останавли­
в а л с я на о д и н ъ мо­
ментъ и з а т ъ м ъ сно­
ва о п у с к а л с я бы р а в ­
н о м е р н о , то поступаюте следующпмъ
образоме ( ф и г . 157).
У с т р а и в а ю т ъ ци­
линдръ, направляю­
щ а я котораго пред­
Ф и г . 157
ставляетъ
совокуп­
ность д в у х ъ А р х и м е д о в ы х ъ с п и р а л е й abc и с'Ь'а'. Н о м е щ а ю т е
этотъ сердцевидный ц и л и н д р е п о д ъ нижнШ к о н е ц ъ с т е р ж н я AB
т а к ъ , чтобы ц и л и н д р ъ в р а щ а л с я р а в н о м е р н о около оси О. Р а з считываютъ этоте м е х а н и з м е с л е д у ю щ п м ъ о б р а з о м ъ :
Пусть требуется, чтобы с т е р ж е н ь AB п о д н и м а л с я т а к ъ , что
к о н е ц ъ его А д о х о д и л ъ бы до точки 8.
На н е к о т о р о м е р а з е т о я н ш АО о т е н и ж н я г о
положешя
конца -4. б е р у т е точку О н а в е р т и к а л и , проходящей но средней
л и ш и с т е р ж н я . Проводите о к р у ж н о с т ь и з е центра О рад1усомъ
м е н ь ш н м ъ ч е м е OA. Д е л я т е п о л у к р у ж н о с т ь на р а в н ы я части
( н о л о ж и м е н а 8); ч р е з е т о ч к и д е л е ю я п р о в о д и т е и з е центра О
п р я м ы я . Ч е р т я т ъ н и ж н е е п о л о ж е ш е с т е р ж н я и д е л я т е -48 на 8
частей. На п р я м ы х е , п р о в е д е н н ы х е ч р е з ъ О откладываютъ
01' = 01
02' = 02
03' = 03
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
109 —
Соединяя точки А , Г, 2', 3 ' по лекату, п о л у ч и м ъ кривую А
, 1'
8', которая, согласно способу ея иостроешя, будетъ Архи­
медовою спиралью в и д а
, ,
г =
a -f- оф.
Строютъ кривую АМН' симметричную, относительно прямой
.48', к ъ кривой Al' — 8'. Устраиваютъ ц и л и н д р ъ но направля­
ющей Al'
8' MA; н а с а ж и в а ю т ъ его на в а л ъ , ось котораго
(перпендикулярная к ъ плоскости чертежа) проходитъ ч р е з ъ О.
Б е л и этотъ ц и л и н д р ъ (кулакъ) в р а щ а е т с я р а в н о м е р н о , то онъ
подталкиваете стержень AB такъ, что в ъ р а в н ы я времена стержень
поднимается на равныя р а з с т о я ш я , а з а т ъ м ъ опускается р а в н о м е р н о .
Само собою р а з у м е е т с я , стержень AB д о л ж е н ъ составлять
поступательную пару с ъ к а к н м ъ нибудь неподвижнымъ звеномъ Р.
Д л я у м е н ы н е ш я т р е ш я в ъ к о н ц е А с т е р ж н я устраиваютъ ма­
ленькое колесо (роликъ).
§ 143. Кулачный эксцентрикъ. Фиг. 158 представляетъ т а к ъ
называемый кулачный
эксцентрикъ,
сообщающей, во время враще­
ш я оси С, на которую онъ насаженъ, прямолинейное д в и ж е ш е
стержню тВ.
Стержень этотъ обыкновенно ставятъ
т а к ъ , чтобы направлеше его пересекалось
с ъ н а п р а в л е ш е м ъ оси в р а щ е ш я и, д л я уменьш е ш я т р е ш я , снабжаютъ его на оконечности
н е б о л ы п и м ъ р о л и к о м ъ т.
Пусть Cm — р будетъ тотъ рад1л съ —
векторъ эксцентрика, который, в ъ данное
мгновеше,
совпадаете с ъ
направлешемъ
стержня тВ, а ос у г о л ъ , образуемый этимъ
Ф и г . 158.
радаусомъ с ъ н е к о т о р ы м ъ д р у т и м ъ рад1усомъвекторомъ АС. Положимъ, что у р а в н е ш е в ъ п о л я р н ы х ъ коорднн а т а х ъ кривой, ограничивающей эксцентрикъ, таково:
г
р =
F
(а).
В ъ у р а в н е н ш этомъ можно разематривать р к а к ъ путь, счи­
таемый отъ неподвижной точки С, проходимый стержнемъ в ъ
его п р я м о л н н е й н о м ъ д в и ж е н ш , поэтому п е р в а я производная этого
пути по времени д о с т а в и т е н а м ъ скорость v прямолинейного
д в и ж е ш я . Следовательно :
где
(h
есть у г л о в а я скорость в р а щ е н ш эксцентрика.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 110
Но построивъ в ъ т о ч к ъ m касательную К к ъ кривой, огра­
ничивающей эксцентрике, имъемъ:
cotang
( р , К)
=
1
dp
F
pd<x
(а)
р
ИЛИ
F' (а) =
p cotang
( р , К)
следовательно :
V =
о>р cotang
( р , К).
Эта п о с л е д н я я формула показываете, что д л я о п р е д ъ л е ш я
скорости V с т е р ж н я н у ж н о скорость юр точки m эксцетрика р а з ­
ложить на д в е : на одну и д у щ у ю по касательной п на другую
идущую ПО рад1усу-вектору р ; эта послгъдняя составляющая
и бу­
детъ
искомою
скоростью
прямолинеинаго
движешя.
П о л о ж и м е теперь, что н а м е н у ж н о было бы о п р е д е л и т ь
форму к у л а ч н а г о эксцентрика по заданному закону д в и ж е ш я
стержня. B e э т о м е с л у ч а е , в е у р а в н е ш и -и = f(a) намъ былъ бы
и з в е с т е н е в и д ъ ф у н к ц ш f, с л е д о в а т е л ь н о и м е л и бы:
f (а) =
шр cotang ( р , К) = сир
откуда
dp:
— f
(a)
da и
p
:
\f
dp
pda
fi?)
dp
+
С
-
П о с л е д н е е уравненге и б у д е т е у р а в н е ш е м е в е п о л я р н ы х ъ
координатахъ кривой, о г р а н и ч и в а ю щ е й эксцентрикъ.
Понятно, что если к а к а я либо ч а с т ь кулачнаго эксцентрика
ограничена дугою круга, ц е н т р ъ которой л е ж и т е на оси в р а щ е ­
ш я , то стержень б у д е т е н е п о д в и ж е н е , пока р о л и к е касается этой
кривой части к у л а ч н а г о эксцентрика.
Ф и г . 159.
§ 144. Кулачный эксцентрикъ въ рам*. На
ф и г у р е 159 представленъ э к с ц е н т р и к е , сообщающШ д в и ж е т е стержню п р и помощи рамы ABDE,
j) составляющей со с т е р ж н е м е одно ц е л о е . Направлеше прямолинейнаго движешя пересекается,
к а к е и в е п р е д е и д у щ е м е с л у ч а е , с ъ осью
вращешя.
П р и т а к о м ъ способе п е р е д а ч и д в и ж е ш я ,
форма эксцентрика д о л ж н а удовлетворять тому
у с л о в ш , чтобы, во в с е х е с в о и х е п о л о ж е ш я х ъ ,
э к с ц е н т р и к е п р и к а с а л с я к е о б е и м е сторонаме
AB и DE р а м ы . Понятно, что скорость v прямол и н е й н а г о д в и ж е н ! я равна п р о э к щ и скорости шр
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— Ill —
ведущей точки
видъть, ч т о :
ш
на
направлеше
V
am
(Dp
Р
откуда
г =
т. е. скорость
ведущей точки
стержня.
Но
не
трудно
ш . am
движенгя
стержня
пропорциональна
отъ прямой, по которой движется
разстоятю
от
мготъ
стержень.
Е с л и бы, напр.: эксцентрикъ былъ круглый (фиг. 160) и со­
о б щ а т ь бы д в и ж е т е стержню помощью рамы, то р а з с т о я ш я ве­
дущей точки m и центра О эксцентрика отъ стержня были бы
постоянно равны между собою, а потому скорость стержня
р а в н я л а с ь бы проекцш скорости центра
О на направлеше прямолинейнаго движешя.
Фиг. 161.
Фиг. lf)0.
К ъ рассматриваемому классу эксцептриковъ относится т а к ъ
называемый трехугольный,
жснентрикъ
(фиг. 161), ограниченный
тремя равными дугами AB, ВС и CA, центры которыхъ совпадаютъ с ъ в е р ш и н а м и равносторонняго трехугольника, Этотъ экс­
ц е н т р и к ъ сообщаетъ д в и ж е ш е стержню с ъ остановками, а именно:
вт, т е ч е н ш \ или \ - оборота
въ
Hin
стержень приподнимается,
затъмъ
т е ч е н ш * оборота остается неподвижнымъ. з а т ъ м ъ въ тече~ оборота опускается и в ъ теченш последней
части обо­
рота в а л а опять остается неподвижнымъ. Этотъ эксцентрикъ на­
с а ж и в а е т с я на валъ т а к и м ъ образомъ, чтобы одна и з ъ в е р ш и н ъ
трехугольника л е ж а л а на оси вращен1я.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава
IX.
Шатунъ кривошипъ и эксцентрикъ.
§ 145. Шатунъ и кривошипъ. Ч р е з в ы ч а й н о часто в ъ машнн а х ъ употребляется соединеше
(фиг. 162) ш а т у н а AB с ъ крив о ш и п о м ъ OA д л я преобразов а ш я прямолинейнаго д в и ж е ­
ш я в ъ круговое, к а к ъ это,
н а п р и м ъ р ъ , д е л а е т с я п р и пе­
редаче движешя поршня къ
Ф и г . 102.
колесу в ъ п а р о в ы х ъ матнинахъ.
Рад1усъ АО есть нормаль к ъ т р а е к т о р ш точки А ; перненд и к у л я р ъ BP есть нормаль к ъ траекторш точки В. Следова­
тельно, по § 51-ому, на п е р е с ъ ч е н ш э т и х ъ нормалей находится
мгновенный центръ Р ш а т у н а AB: ш а т у н ъ в ъ данное мгновеш'е
безконечно мало в р а щ а е т с я около Р. Поэтому обозначая ч р е з ъ г
длину OA; ч р е з ъ ш в р а щ а т е л ь н у ю скорость к р и в о ш и п а OA,
ч р е з ъ с липейпую скорость т о ч к и В, п о л у ч и м ъ
о> г = л и н е й н а я скорость т о ч к и А
V
PB
OD
РА
г
где D есть точка пересечения ш а т у н а с ъ рад1усомъ перпенднк у л я р н ы м ъ к ъ н а п р а в л е н ш MN. И з ъ полученнаго равенства выводнмъ
V =
ш.
OD.
Е с л и <в постоянна, то v п р о п о р щ о н а л ь н а д л и н е OD. С л е д о ­
вательно, при постоянной в р а щ а т е л ь н о й скорости <•>, л и н е й н а я
скорость т о ч к и В в ы р а ж а е т с я длиною OD.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В ы ч е р т и в ъ р а з л и ч н ы й положешя шатуна (фиг. 1 6 3 ) , возс т а в л я я и з ъ р а з л и ч н ы х ъ положешй точки В п е р п е н д и к у л я р ы
к ъ е я т р а е к т о р ш ВВ и откладывая н а н и х ъ В' С = OD,; В С =
= OD.,
, п о л у ч и м ъ . р я д ъ точекъ С,, С.,, С , 6 ' . . . Соединяя
ихъ, п о л у ч и м ъ кривую <\, С , С , С . . . которая называется ùiaп
2
а
2
;!
2
4
4
граммою
скоростей
крейцкопфа
В. Ор­
динаты этой кри­
вой равны скорос т я м ъ точки В в ъ
т ъ х ъ е я положеш я х ъ , когда она
проходнтъ ч р е з ъ
основашя
этихъ
ордннатъ.
ф и г
-
ш
-
Е с л и ш а т у н ъ былъ бы безконечной длины, то о н ъ былъ бы
все в р е м я п а р а л л е л е н ъ прямой ОХ (фиг. 1 6 2 ) : тогда бы н м ъ л и
OD = >' sin m
г д ъ а = < АОЕ; тогда бы получили
о = иг sin
et,
то есть точка В с о в е р ш а л а - б ы прямолинейно
- гармоническое
дви­
жете.
Ч ъ м ъ короче ш а т у н ъ , т ь м ъ болъе отличается д в и ж е т е
точки В отъ гармоническаго. З а к о н ъ и з м ъ н е т я скоростей точки В
усматривается и з ъ в и д а д1аграммы скоростей крейцкопфа (фиг. 163).
К р и в о ш и п ъ можно насаживать только н а концъ вала О,
потому что если бы его насадить не на концъ вала, то ш а т у н ъ AB
наткнулся бы н а в а л ъ . В ъ
этомъ с л у ч а ъ , д л я и з б ъ ж а ш я столкновешя шатуна съ
валомъ, и л и устраиваютъ ко­
ленчатый в а л ъ (фиг. 164) или
устраиваютъ эксцентрикъ, о
которомъ с к а ж е м ъ в ъ с л ъ Ф и г . 1«4.
дуюшемъ п а р а г р а ф * .
К о г д а а = 90°, то точка
D сливается с ъ точкою А
(фиг. 165) и потому, согла­
сно сказанному, в ъ этотъ
моментъ
V =
(ВГ.
ДЕЛОНЕ. — Практическая м е х а н и к а .
Ф и г . ltiô.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
114
—
Такую-же скорость, равную л и н е й н о й скорости т о ч к и A îipiобрътаетъ к р е й ц к о п ф ъ В, когда шатунъ заиметь такое положе­
ш е А'В' (фиг. 165), п р и которомъ его продолжеше п р о й д е т ъ ч р е з ъ
к о н е ц ъ А радДуса п е р п е н д н к у л я р н а г о к ъ н а п р а в л е н ш MX.
§ 146. Эксцентрикъ. Мы в и д е л и , что к р и в о ш и п ъ можно на­
садить только на к о н ц е вала. Е с л и ж е передача н а п р а в л я е т с я
не на к о н е ц ъ вала, а на какое нибудь другое его место, то
п л и в ъ в а л у устраиваютъ к о л е н о и л и н а с а ж и в а ю т ъ на в а л ъ
эксцентрикъ.
Экс­
ц е н т р и к ъ представ­
л я е т ъ собою к р у г ъ
(прямой к р у г л ы й ци­
линдръ
небольшой
высоты), который на­
с а ж и в а е т с я на в а л ъ
О
не
геометрпчес к п м ъ центромъ, но
эксцентрично (фиг.
166). Р а з с т о я ш е OA
между
геометрнчеФ и г . 166.
с к и м ъ центромъ эксцеитрпка и его м е х а н и ч е с к и м ъ центромъ О называется жсцентриситетомъ.
На э к с ц е н т р и к ъ н а д е в а е т с я составляющее с ъ н и м ъ
вращательную кинематическую пару кольцо (хомутъ) с ъ отросткомъ
СВ, называемымъ эксцентриковою тягою.
К о н е ц ъ В т я г и п р и н у ж д а ю т ъ поступательною нарою хо­
дить по прямой MX.
Не трудно в и д е т ь , что п р и д в и ж е н ш такого механизма гео­
метрически! ц е н т р ъ э к с ц е н т р и к а А описываетъ окружность около
центра О. Р а з с т о я ш е AB не и з м е н я е т с я ; а весь м е х а н и з м ъ раВносиленъ изображенному на той ж е ф и г у р е такому соединению
ш а т у н а с ъ к р и в о ш и п о м ъ , в ъ которомъ д л и н а к р и в о ш и п а р а в н а
эксцентриситету, а д л и н а ш а т у н а р а в н а с у м м е
АС +
СВ
радЕуса эксцентрика с ъ длиною т я г и .
§ 147. Принципъ расширежя цапфъ. С р а в н и в а я э к с ц е н т р и к ъ
с ъ к р и в о ш и п о м ъ , можно представить с е б е , что п е р в ы й произош е л ъ и з ъ п о с л е д н я г о у в е л и ч е ш е м ъ цапфы ш а р н и р а А : можно
р а з с м а т р н в а т ь э к с ц е н т р и к ъ к а к ъ такой к р и в о ш и п ъ , в ъ которомъ
ц а п ф а ш а р н и р а А настолько в е л и к а , что рад1усъ е я превосхо­
д и т ь длин}' АО самого к р и в о ш и п а .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 115 —
Этотъ п р п н ц н п ъ р а с ш н р е ш я ц а н ф ъ весьма полезенъ в ъ тъх/ь
с л у ч а я х ъ , когда надо и з б е ж а т ь взаимнаго столкновешя частей
механизма.
Самое остроумное, что есть в ъ эллпптичеекомъ с т а н к е (§ 60)
это устройство колецъ abc и а'Ь'с', благодаря которому удалось
и з б е ж а т ь взаимнаго столкновешя частей. Но в ъ этомъ у с т р о й с т в е
опять заключается п р и н ц и п е р а с ш и р е ш я ц а п ф е . Д е й с т в и т е л ь н о
кольцо abc есть ни что иное к а к ъ ц а п ф а ш а р н и р а с п д я щ а г о на
к о н ц е В о т р е з к а AB, но настолько р а с ш и р е н н а я , что ра,тдусъ е я
более самаго о т р е з к а AB.
Соедпнеше шатуна с е кривоштшоме и э к с ц е н т р и к е с ъ крейц­
копфами В, х о д я щ и м и по прямой, представляют!, собою ш а р н и р но-проръзные механизмы, но в ы д е л е н ы н а м и в е особую главу
к а к е по своей важности, т а к ъ и потому, чтобы оттенить суще­
ственное различ1е эксцентрика, ошгсаннаго в ъ этой г л а в е отъ
э к с ц е н т р и к о в ъ , описанныхъ в ъ г л а в е Ylïï-oft.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава
X.
Профили зубцовъ зубчатыхъ колееъ.
§ 148. Предмете этой главы. Название частей. Мы у ж е озна­
комились с ъ г л а в н е й ш и м и т и п а м и механизмовъ с о с т о я щ и х ъ и з ъ
зубчатыхъ к о л е с ъ и с ъ и з м е н е н ] е м е в р а щ а т е л ь н ы х е скоростей
помощью э т и х е м е х а н и з м о в ъ .
Теперь н а м ъ предстонтъ ознакомиться съ самою формою
зубцове, которая бы удовлетворяла главному у с л о в н о : чтобы
меягду парою з у б ч а т ы х е к о л е с е была т а к а я ж е передача (такое
достигалось бы передаточное ч и с л о ^ ) к а к е м е ж д у д в у м я к а т к а м и
лишенными способности с к о л ь з и т ь о д и н е по другому. Мы разсматриваемъ з у б ч а т ы я колеса к а к е бы п р о и з ш е д ш и м и оте Кат­
к о в е , к а к е в и д о п з м е н е ш я Каткове, необходимыя д л я у с т р а н е ш я
скольжешя.
Р а з с м о т р и м е с н а ч а л а циландрическгя
и л и лобовыя
колеса,
происходящая о т е ц н л и н д р и ч е с к и х е Каткове.
Названгя частей. К а ж д ы й з у б е ц е лобового колеса предста­
в л я е т е собою ц и л и н д р и ч е с к у ю поверх­
ность *) с е образующими
п а р а л л е л ь н ы м и осп колеса
(фиг. 167). Поэтому если
мы п е р е с е ч е м ъ зубчатое
колесо плоскостью пер­
п е н д и к у л я р н о ю его оси,
Ф и г . 167.
Ф и г . 168.
то в ъ с е ч е н ш п о л у ч и м ъ
р я д ъ п р о ф и л е й (фиг. 168), с л у ж а щ и х ъ н а п р а в л я ю щ и м и ц и л и н д р п ч е с к и х ъ поверхностей з у б ц о в ъ .
Окружность А , В, С, по которой п е р е с е к а е т с я воображаемый
ц н л н н д р н ч е с к Ш к а т о к е , в з а м е н е котораго д е л а е т с я зубчатое ко*) Ц и л и н д р и ч е с к о ю п о в е р х н о с т ь ю н а з ы в а е т с я всякая л и н е й ч а т а я поверх­
ность с ъ в з а и м н о п а р а л л е л ь н ы м и о б р а з у ю щ и м и .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лесо, называется начальною окружностью
колеса, а самый катокъ
начальнымъ
цилиндромъ
колеса. Ч а с т ь зубца, я, Ь, с, в ы х о д я щ а я
за н а ч а л ь н ы й ц и л и н д р ъ , называется выступомъ и л и /оловкою:\хСл\л.
Часть с, /, g промежутка между соседними зубцами, з а к л ю ч е н н а я
внутри н а ч а л ь н а г о цилиндра, называется впадиною.
Окружность
•мм, о г р а н и ч и в а ю щ а я выступы зубцовъ, называется
окружностью
выступовъ. Окружность пп. о г р а н и ч и в а ю щ а я впадины, называется
окружностью
впадинъ.
Разность х радхусовъ окружности
окружности
называется
высотою
выступа
выстуновъ и н а ч а л ь н о й
или
высотоЬ
головки
зубца.
Разность у рад1усовъ начальной окруясностп и окруя;ности
в п а д и н ъ называется глубиною
впадины.
Д л и н а х -|~ у , равная разности рад1усовъ окружности выступовъ и окружности в п а д и н ъ , называется высотою
зубца.
Д л и н а ас д у г и н а ч а л ь н о й окружности, проходящей но одному
зубцу, называется толщиною
зубца.
Д л и н а су д у г и н а ч а л ь н о й окружности, проходящей по одной
впадин !), называется шириною
промежутка.
Сумма ад толщины зубца и ш и р и н ы промежутка называется
-
шагомъ
колеса.
На д в у х ъ взаимно з а ц е п л я ю щ и х с я колесахъ таги должны
быть одинаковы.
На н а ч а л ь н о й окружности должно быть ц е л о е число ш а г о в ъ .
З у б ц ы д е л а ю т с я на к о л е с е одной п той ж е толщины, и впадины
даннаго колеса д е л а ю т с я одной и той ж е ширины. Поэтому вст>
ш а г и одного и того ж е колеса равны между собою. П р и вычерч н в а н ш з у б ц о в ъ н а ч а л ь н а я окружность должна быть р а з д е л е н а
на столько ш а г о в ъ , сколько должно быть зубцовъ. Поэтому на­
ч а л ь н а я окружность иногда называется дкк/ительною
окружностью.
З у б ч а т а я колеса должны з а м е н я т ь собою катки н д в и г а т ь с я
безъ с к о л ь ж е ш я н а ч а л ь н ы х ъ окружностей. Следовательно н а ч а л ь ­
ный окружности д в у х ъ взаимно з а ц е п л я ю щ и х с я колесъ должны
катиться одна по другой безъ с к о л ь ж е ш я (зубцы ж е могутъ сколь­
зить одинъ по другому, п непременно скользятъ, но л и ш ь бы на­
ч а л ь н ы й окружности не скользили одна по другой). Зубцы д в у х ъ
с ц е п л я ю щ и х с я к о л е с ъ д е л а ю т с я одинаковой толщины и т а к ъ к а к ъ
зубцы одного в х о д я т ъ в о в п а д и н ы другого, то ш и р и н а впадины не
только не можетъ быть меньше толщины зубца, но даже, во и з б е ж а ш е з а е т р я в а ш я , ш и р и н а промежутка д е л а е т с я на 0,05 е я вели­
ч и н ы б о л е е т о л щ и н ы зубца в ъ весьма точно конетруированныхъ
колесахъ ; в ъ мене>е тонкой к о н с т р у к ц ш ш и р и н а промежутка пре­
в ы ш а е т е т о л щ и н у зубца иногда д а ж е на 0.2 своей величины.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 118 —
§ 149. Уыкшя, который должны быть соблюдены при устройствъ" зубчатыхъ колесъ. Чтобы колеса передавали в р а щ е ш е пра­
в и л ь н о , то есть з а м е н я л и бы собою катки, необходимо п р о ф и л я мъ
з у б ц о в ъ п р и д а т ь такую форму и т а к ъ расположить зубцы, чтобы
соблюдались с л ъ д у ю н ц я условия:
1) Чтобы отношеше ™> у г л о в н х ъ
скоростей
оставалось по-
стояннымъ.
2) Чтобы выступы н е з а с т р я в а л н во в п а д и н а х ъ .
3) Чтобы к а с а ш е зубцовъ одного колеса с ъ зз бцами д р у г а г о
не прерывалось: к а к ъ только о д и н ъ зубецъ отойдетъ отъ другаго,
то д в а д р у п е зубца д о л ж н ы у ж е н а х о д и т ь с я опять в ъ еоприкосновенш.
Д л я большей плавности п е р е д а ч и требуется д а ж е , чтобы д в е ,
и л и д а ж е т р и , п а р ы зубцовъ н а х о д и л и с ь в ъ соприкосновенш в ъ
к а ж д ы й моментъ д в и ж е ш я . П о с л е д у ю щ а я теоргя зубцовъ пока­
ж е т е , к а к ъ удовлетворить э т и м ъ услов]ямъ.
§ 150. Законе каташя начальныхъ окружностей. Посмотрнмъ,
к а к ъ утовлетрпть первому у с л о в т , состоящему в ъ томъ, чтобы
отношеше
г
to
и/
угловыхъ скоростей оставалось иоетояннымъ.
Мы в и д е л и в ъ § 97, ч т о это ycJiOBie соблюдается такими
ц и л и н д р и ч е с к и м и катками, которые, в р а щ а я с ь к а ж д ы й около
своей н е п о д в и ж н о й оси, совершаютъ такое относительное д в и ж е ïïie, к а к ъ будто они к а т я т с я о д и н ъ по другому б е з ъ с к о л ь ж е ш я .
З н а ч н т ъ услов1е 1-ое б у д е т ъ удовлетворено, если мы постронме т а ю е п р о ф и л и з у б ц о в ъ , п р и которыхе начальный
окруж­
ности
катятся
одна
по другой
безъ
скольжешя.
Посмотримъ
каке
удовлетворить этому т р е б о в а н ш .
§ 151. Законъ огибающей. Относи­
тельное д в и ж е т е колесъ будетъ одно и
то ж е , будутъ л и оба колеса в р а щ а т ь с я
к а ж д о е около своей неподвижной оси,
и л и если одно колесо неподвижно, а
д р у г о е по н е м е катится.
З а д а д и м с я к а к и м е н и б у д ь произв о л ь н ы м е п р о ф и л е м ъ ab (фиг. 169) зубца
н а т о м ъ к о л е с е , которое к а т и м ъ и посмо­
т р и м ъ , к а к у ю форму н у ж н о п р и д а т ь
з у б ц у н е п о д в и ж н а г о колеса, д л я того
Фиг. 169.
чтобы н а ч а л ь н а я окружность п о д в п ж н а г о
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 119 —
колеса к а т и л а с ь по н а ч а л ь н о й окружности неподвижнаго безъ
с к о л ь ж е ш я , а зубцы обоихъ колесъ находились бы п р и этомъ в ъ
сиприкосновенш, хотя бы и скользили одинъ по другому.
При к а т а н ш подвижнаго колеса, зубецъ его ab пройдетъ
чрезъ р я д ъ п о л о ж е ш й : ab, а'Ъ', а"Ь"
Проведемъ кривую каса­
тельную ко в с ъ м ъ этимъ п о л о ж е ш я м ъ ; другими словами прове­
демъ огибающую AB в с ъ х ъ этихъ положешй. Ясно, что если мы
д а д и м ъ зубцу неподвижнаго колеса очерташе этой огибающей,
то требуемое услов1е будетъ соблюдено: п р и к а т а н ш безъ сколь­
ж е ш я одной н а ч а л ь н о й окружности по другой, зубцы будутъ п р и ­
касаться о д и н ъ к ъ другому. Наоборотъ если с д ъ л а е м ъ оси колесъ
неподвижными и будемъ в р а щ а т ь колесо О', то з у б е ц ъ ab, нада­
в л и в а я на зубецъ AB, приведетъ колесо О в ъ такое именно вра­
щ е ш е , п р и которомъ н а ч а л ь н ы й окружности будутъ ( в ъ своемъ
относительномъ д в и ж е н ш ) катиться одна по другой, потому что
относительное д в и ж е ш е колесъ не нзмънилось отъ того, что мы
с д ь л а л н и х ъ оси неподвижными.
Е с л и бы п р и д а л и зубцу AB другой в н д ъ , то н а ч а л ь н ы я
окружности п л и нотеряли-бы взаимные прикосневеше, и л и сопри­
к а с а л и с ь бы взаимно, но скользили бы одна по другой и отношеше
ш
не было бы постояннымъ.
И т а к ъ : профиль зубца одного колеса долженъ иметь
видъ огибаницей различныхъ
положешй
профиля зубца
другого колеса, при
томъ движенги, когда начальная окружность перваго колеса
неподвижна,
а начальная
окружность другаго катится по ней безъ скольженгя.
§ 152. Законъ прохождешя нормали дъйств1я чрезъ полюсъ.
Точка п р и к о с н о в е ш я н а ч а л ь н ы х ъ окружностей называется полюсомъ. Она с л у ж и т ъ мгновеннымъ
центромъ
в р а щ е ш я (см. § 49), п р и
к а т а н ш одной н а ч а л ь н о й окружности по другой. Е с л и ж е оси
колесъ неподвижны, то и полюсъ неподвиженъ.
Огибающую AB р а з л и ч н ы х ъ положенШ
п р о ф и л я ab можно разсматрнвать к а к ъ гео­
метрическое мъсто т о ч е к ъ п е р е с ъ ч е ш я сое ъ д н и х ъ положенШ ab и а'Ъ' п р о ф и л я of) (фиг.
169). Этотъ п р о ф и л ь п е р е х о д и т ь и з ъ одного
п о л о ж е ш я в ъ сосъднее п р и безконечно
м а л о м ъ к а т а н ш колеса О по колесу О.
Но мы з н а е м ъ (см. § 49), что такое безконечно
малое к а т а ш е равносильно в р а щ е н ш около
полюса и что поэтому элементы траекторШ
Фиг. п о .
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 120 —
в с ъ х ъ т о ч е к ъ п р о ф и л я ab нормальны к ъ п р я м ы м ъ , соединяющ и м ъ и х ъ с ъ полюсомъ (см. § 50). Сл-Ьдовательно, п р и безко­
нечно м а л о м ъ к а т а н ш в с ъ т о ч к и п р о ф и л я ab (фиг. 170) сойдутъ
с ъ этого его п о л о ж е ш я , кромт той точка, для которой
соединяющая
ее съ полюсомъ, нормальна
къ ab.
прямая,
Эта точка, п о д в и н у в ш и с ь безконечно мало по направлению
к а с а т е л ь н о й к ъ ab, останется н а ab; она то и будетъ точкою пе­
ресечения положенШ ab и с о с е д н я г о , потому что она, по дока­
занному, п р и н а д л е ж а с о с е д н е м у п о л о ж е н ш , не сошла и с ъ п е р ваго п о л о ж е ш я . Эта точка и будетъ, согласно сказанному, одною
и з ъ т о ч е к ъ огибающей. С л е д о в а т е л ь н о общая нормаль NN к ъ
п р о ф и л я м ъ , проведенная и з ъ и х ъ общей точки сопрпкосновешя,
д о л ж н а проходить ч р е з ъ полюсъ.
По этой именно нормали NN очевидно и п р о и с х о д и т ь да­
в л е ш е зубца на зубецъ и п е р е д а ч а
д в и ж е н ш (давлеше всегда нормально
к ъ соприкасающимся поверхностями
если бы оно было не нормально, то мы
его р а з л о ж и л и бы на нормальное и
т а н г е н ц ю н а л ь н о е ; но п о с л е д н е е не мо­
ж е т ъ о к а з ы в а т ь действ1я и осталось бы
одно нормальное д а в л е ш е ) . Поэтому об­
Ф и г . 170а.
щ у ю н о р м а л ь NNisrb соприкасающимся
п р о ф и л я м ъ з у б ц о в ъ н а з ы в а ю т ъ нормалью дпмеття (фиг. 170а).
И т а к ъ : нормаль
дпмеття
должна
проходить
чрезъ
полюсъ.
§ 153. Обшдй выводъ. И з ъ с к а з а н н а г о в ъ §§ 150—152 в н д и м ъ , что постоянство отношен1я -, треоуетъ удовлетворенш т р е х ъ
в ы т е к а ю щ и х ъ о д и н ъ и з ъ д р у г а г о з а к о н о в ъ : 1) з а к о н ъ к а т а н ь я
н а ч а л ь н ы х ъ окружностей; 2) з а к о н ъ огибаюшдй и 3) з а к о н ъ про­
хождения н о р м а л и действДя ч р е з ъ полюсъ.
Ф и г . 171.
§ 154. Способъ Камуса: образование профи­
лей зубцовъ по рулеттамъ. В ъ 1733 году К а м у с ъ
(Camus) д а л ъ с л е д у ю п ц й способъ о б р а з о в а ш я
з у б ц о в ъ н а ц и л и н д р и ч е с к и х ъ к о л е с а х ъ , осно­
в а н н ы й н а п р и в е д е н н ы х ъ в ы ш е з а к о н а х ъ . Пусть
О п (У (фиг. 171) суть центры к о л е с ъ ; а Ра и
а'Ра' н а ч а л ь н ы й окружности, взаимно касаюшдяся
в ъ п о л ю с е Р. Построимъ произвольной в е л и ­
ч и н ы о к р у ж н о с т и рРр и р'Рр' т о ж е взаимно
к а с а ю и п я с я , в ъ Р. Эти о к р у ж н о с т и н а з ы в а ю т с я
вспомогательн ыми. П о л у ч и м ъ на ч е р т е ж е четыре
окружности, взаимно касаюшдяся в ъ общей
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
т о ч к е Р. Покатимъ в с е окружности одна но другой. Это возможно,
благодаря существовашю общей точки к а с а ш я Р. Дополнитель­
н а я окружность р'Рр' катится одновременно ио в н е ш н е й сторонъ
к р у г а а и но внутренней сторонъ окружности а'. Разсмотримъ
TpaeKTopin какой ннбудь точки m вспомогательной окружности
рРр'.
1
При KaTauin окруяшости р'Рр
о п и ш е т ъ эпицик. юиду
в н ъ окружности аРа, точка m
птп.
При к а т а н ш той ж е вспомогательной окружности р'Рр' вну­
три окружности а'Ра', точка m опишетъ гипоциклоиду
п'тп'.
Точно т а к ж е точка M вспомогательной окружности ]>Рр, при
к а т а н ш ея по в н е ш н е й сторонъ начальной окружности а'Ра' опи­
ш е т ъ эпициклоиду
аМа. При к а т а н ш той ж е вспомогательной
окружности по внутренней сторон* окруяшости аРа, точка M
о п и ш е т ъ гипоциклоиду
ßlfß.
Общая нормаль кривыхъ птп и п'тп' проходитъ ч р е з ъ по­
люсъ Р. Д е й с т в и т е л ь н о : п р и к а т а н ш начальной окружности а'Ра'
по н а ч а л ь н о й окружности аРа, мы можемъ разсматривать эти
окруяшости к а к ъ полодш, прямую тР, к а к ъ мгновенный рад1усъ
(см. § 5 0 ) . Мгновенный радЕусъ, к а к ъ мы знаемъ и з ъ § 5 1 , норм а л е н ъ к ъ траекторш точки т. Следовательно тР есть о б щ а я
нормаль к р и в ы х ъ птп и п'тп'.
Поэтому (на основанш закона нзложеннаго в ъ § 152), к р и в а я
птп и п'тп' могутъ быть приняты за профили зубцовъ. На т б х ъ
ж е о с н о в а т я х ъ м о г у т ъ быть приняты за п р о ф и л и зубцовъ кривыя
осЖа и
Поступаютъ т а к ъ : д е л а ю т ъ эпициклоиду птп выступомъ ко­
леса О, г и п о ц и к л о и д у п'тп' впадиною колеса О, эпициклоиду *М*
выступомъ колеса О, гипоциклоиду $Щ впадиною колеса ОЗ а т е м ъ : п р и с т а в л я я эпициклоиду птп к ъ г и п о ц и к л о и д е ß i / ß ,
получаютъ (фиг. 172) л е в у ю сторону (бокъ)
п р о ф и л я зубца колеса О; п р и с т а в л я я э ш щ клоиду аМа к ъ г и п о ц и к л о и д е п'тп', полу­
ч а ю т ъ одну сторону (бокъ) п р о ф и л я зубца
колеса О (фиг. 173).
Полный з у б е ц ъ состоитъ и з ъ д в у х ъ
(фиг. 174) т а к п х ъ боковыхъ профилей аМп'т,
симметрично расположенныхъ относительно
pafliyca АО н а ч а л ь н о й окружности. Р а з с т о я ш е м е ж д у н и м и равно т о л щ и н е зубца,
о п р е д е л е ш е м ъ которой мы займемся впо­
следствии
Р а з с м о т р и м ъ частные с л у ч а и .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 122 —
§ 155. Возможное упрощеше профилей впадинъ. Мы в и д е л и
в ъ §§ 52—55, что п р и к а т а н ш к р у г а внутри другаго круга вдвое
болынаго pafliyca, в с е точки окружности малаго к р у г а опнсыв а ю т ъ п р я м ы я л и ш и . Д р у г и м и с л о в а м и : г и п о ц и к л о и д ы , описы­
ваемый точками окружности к а т я щ е й с я внутри вдвое большей
окружности, суть п р я м ы я .
Поэтому если мы в ъ способъ Камуса п р п м е м ъ за дополни­
тельный о к р у ж н о с т и т а ш я , которыя были вы вдое м е н ь ш е соответственныхъ н а ч а л ь н ы х ъ окружностей, то в п а д и н ы зубцовъ будутъ
прямолинейны я и и х ъ л е г к о будетъ в ы ч е р ч и в а т ь по
л и н е й к е . П р е ж д е т а к ъ и д е л а л и . Но, при такомъ спо­
собъ, зубцы в ы х о д я т ъ у з к и м и в ъ о с н о в а ш я х ъ и потому
непрочными и н е к р а с и в ы м и (фиг. 175). Вследств1е этого
способъ п р я м о л и н е й н а г о о ч е р т а ш я в п а д и н ъ оставили.
Теперь п р и н я т о ч е р т и т ь в с п о м о г а т е л ь н ы я окружности в ъ способъ
Камуса рад1усами с о с т а в л я ю щ и м и
2
5
рад1усовъ н а ч а л ь н ы х ъ окружностей.
§ 156. Приложеше способа Камуса къ зацъплешю колеса съ
зубчатою рейкою. Д л я п р е о б р а з о в а ш я круговаго д в и ж е ш я в ъ
прямолинейное употребляютъ иногда ( н а п р и м е р е в ъ в о з д у ш н ы х ъ
н а с о с а х ъ ) соединеше з а ц е п л я ю ­
щ и х с я м е ж д у собою зубчатаго
колеса и рейки ( ф и г . 176).
Зубчатая рейка представляетъ
собою л и н е й к у , на которой с д ъ л а н ы зубцы.
Р е й к у можно р а з с м а т р и в а т ь
к а к ъ зубчатое колесо безконечно
болынаго
рад1уса.
Начальная
о к р у ж н о с т ь р е й к и , к а к ъ описан­
н а я безконечно б о д ы н н м ъ рад1усомъ, есть п р я м а я .
Посмотримъ, к а к ъ в ы ч е р ч и в а ю т с я по способу Камуса зубцы
н а р е й к е и на з а ц е п л я ю щ е м с я с е нею к о л е с е .
Пусть АА есть н а ч а л ь н а я окружность колеса, ММ н а ч а л ь н а я
о к р у ж н о с т ь (прямая) р е й к и . Строимъ вспомогательную о к р у ж ­
ность ВВ колеса. В с п о м о г а т е л ь н а я окружность р е й к и будетъ
о к р у ж н о с т ь описанная рад1усомъ ^ с о . Но
2
—
сс =
оо
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следовательно вспомогательная окружность р е й к и есть та-же
самая п р я м а я ММ.
При к а т а н ш окружности ВВ по ММ получается- циклоида тп,
которую с л е д у е т е , по способу Камуса, п р и н я т ь за выступъ
рейки.
П р и к а т а н ш окружности ВВ внутри окружности АА полу­
чается гипоциклоида
тр, которую с л е д у е т е принять за впадину
колеса.
При к а т а н ш прямой ММ (мы в и д е л и , что она есть вспомо­
г а т е л ь н а я окружность рейки) по окружности АА получается раз­
вертывающая
круга та, которую с л е д у е т е п р и н я т ь з а
выступъ
колеса.
Теперь предстоите и з с л е д о в а т ь , что получается п р и к а т а н ш
п р я м о й ММ ( к а к ъ вспомогательной окружности) по этой ж е
самой п р я м о й ММ ( к а к ъ по начальной окружности рейки).
Этотъ ворпосъ можно р е ш и т ь , способомъ п р и б л и ж е ш я к ъ
п р е д е л у , с л е д у ю щ п м ъ образомъ. Возьмемъ вместо безконечно
б о л ь ш о й окружности (прямой) ММ конечную окружность и бу­
д е м ъ к а т а т ь внутри ея вспомогательную окружность вдвое меньш а г о радауса ; гипоциклоиды получаются прямолинейный. Б у д е м ъ
у в е л и ч и в а т ь радЕусы о б е н х е окружностей, сохраняя отношеше
рад1усове р а в н ы м ъ * ; гипоциклоиды будутъ прямолннейныя. С л е ­
довательно н в ъ п р е д е л е , когда радиусы о б е н х ъ окружностей
в о з р а с т у т ъ до безконечностн и когда обе о н е обратятся в е одну
и ту-же прямую ММ гипоциклоида будете прямолинейная. Эту
прямолинейную
гипоциклоиду
тЬ мы и д о л ж н ы п р и н я т ь за
рейки.
Итаке получимъ :
в п а д и н а тр колеса = г и п о ц и ­
клоида, образованная к а т а ш е м ъ кру­
г а ВВ внутри к р у г а АА
в ы с т у п ъ та колеса = р а з в е р ­
т ы в а ю щ а я к р у г а АА
в п а д и н а тЬ р е й к и = п р я м а я
п е р п е н д и к у л я р н а я к е ММ
в ы с т у п е тп р е й к и = ц и к л о и д а ,
образованная к а т а ш е м е к р у г а ВВ
по ММ.
§ 157. Приложеше способа Ка­
муса къ внутреннему зацЪплешю.
К е внутреннему з а ц т ш л е н ш способе
Камуса прилагается слъдующимъ
образомъ ( ф и г . 1 7 7 ) .
Ф и г . 177.
впадину
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть АЛ и ВВ будутъ н а ч а л ь н ы й окружности б о л ы н а г о л
малаго к о л е с ъ .
Строимъ впомогательнын к р у г ъ SS внутри, к о л е с ъ и вспо­
могательный к р у г ъ ТТ ант колесъ.
П р и к а т а н ш к р у г а ТТ по к р у г у АА п о л у ч а е т с я
эпициклоида
тп = впадина
болынаго
колеса.
П р и к а т а н ш к р у г а ТТ по кругу ВВ п о л у ч а е т с я
та = выступъ
малаго
эпициклоида
колеса.
При к а т а н ш к р у г а SS в н у т р и окружности АЛ п о л у ч а е т с я
гипоциклоида
тр = в ы с т у п ъ болынаго колеса.
При .катанш к р у г а SS в н у т р и окружности ВВ получается
гипоциклоида
тЬ = в п а д и н а малаго колеса.
§ 158. Общее замъчаше. В ъ способъ Камуса п р и н и м а ю т ъ за
ч а с т ь п р о ф и л я зубца данного
колеса т у кривую, которая обра­
з у е т с я к а т а ш е м ъ вспомогательной окружности по н а ч а л ь н о й
окружности этого самого колеса. •
И з ъ д в у х ъ к р и в ы х ъ п р и н и м а е т с я за впадину та самая кри­
вая, рад1усъ к р и в и з н ы которой больше (кривизна которой меньше)
о ч е м ъ можно судить, в о о б р а ж а я к а к ъ катится дополнительный
кругъ.
§ 159. Способъ Эйлера. З н а м е н и т ы й математикъ Э й л е р ъ предл о ж и л ъ стЬдующШ способъ о ч е р т а ш я з у б ц о в ъ (фиг. 178).
Зададимся
направлешемъ
нормали
дт>йств1я NN.
Опустимъ и з ъ центровъ С и С н а эту
н о р м а л ь п е р п е н д и к у л я р ы СВ я
С'В'попиш е м ъ э т и м и п е р п е н д и к у л я р а м и , к а к ъ рад1усамн, пропорц'юнальныя
о к р у ж н о с т и конц е н т р и ч е с г а я с ъ н а ч а л ь н ы м и . Эти о к р у ж ­
ности называются пропорциональными по­
тому, ч т о рад1усы и х ъ СВ и СВ пропорщ о н а л ь н ы радаусамъ R и В' н а ч а л ь н ы х ъ
о к р у ж н о с т е й , к а к ъ это видно и з ъ подобныхъ
т р е у г о л ь н и к о в ъ ABC и А'ВС. Обыкновенно
д ъ л а ю т ъ у г о л ъ CAN = 75. Согласно такому
Ф и г . 178.
построенно н о р м а л ь дъйств1я NN оказы­
вается касательного к ъ пропорциональнымъ
о к р у ж н о с т я м ъ . Отмт>т и м ъ на н о р м а л и NN какую н и б у д ь точку т.
1
П о к а т и в ъ н о р м а л ь NN по одной пропорциональной
окружности,
з а м ъ т п м ъ , что точка m о п п ш е т ь развертывающую ab этой о к р у ж ­
ности. П о к а т и в ъ н о р м а л ь NN по д р у г о й пропорциональной
окруж­
ности, з а м ъ т п м ъ , ч т о точка m о п и ш е т ъ развертывающую а'Ъ' этой
окружности.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Д о к а ж е м ъ , что развертываюиця ab и a'b' можно принять з а
п р о ф и л и з а ц е п л я ю щ и х с я между собою з у б ч а т ы х ъ колесъ С и С.
И з ъ а н а л и з а и з в е с т н о , что развертывающая круга образуется
к а т а ш е м ъ касательной по кругу. Мы и катали касательную NN
по п р о п о р ц ю н а л ь н ы м ъ к р у г а м ъ . При такомъ катанш можно п р и ­
н я т ь к р у г ъ за неподвижную полодш, а касательную за подвиж­
ную п о л о д ш . По § 51 траектор1я точки, н е и з м е н я е м о соединен­
ной съ подвижною поло,тдею, нормальна к ъ мгновенному pa,iiycy:
с л е д о в а т е л ь н о (фиг. 178) X V нормальна к а к ъ к ъ ab, т а к ъ и к ъ
а'Ь'. Но мы провели Л Л ч р е з ъ полюсъ А .
Следовательно общая нормаль XX зубцовъ
проходить ч р е з ъ полюсъ, третШ з а к о н ъ
(§ 152) удовлетворенъ. Поэтому ab и а'Ь'
можно п р и н я т ь за профили зубцовъ.
И т а к ъ весь бокъ (выступъ и впадина)
зубца колеса С можетъ быть вычерченъ по
развертывающей ab; весь бокъ зубца колеса
С можетъ быть в ы ч е р ч е н ъ по разверты­
вающей а'Ь'.
Способъ Эйлера есть, следовательно,
способъ о н е р т а ш я зубцовъ по развертывающ и м ъ п р о п о р щ о н а л ы ш х ъ круговъ.
S 160. Кривая зацепления. Точка прикосновешя m зубцовъ (фиг. 179) описываетъ,
п р и в р а щ е н ш колесъ около и х ъ осей, н е к о ­
торую кривую ab. Эта к р и в а я называется
кривою зацтплснгя. Она п г р а е т ъ весьма в а ж ­
ную роль в ъ теорш зубчатыхъ колесъ. Посмотримъ какой она
пмеетъ видъ.
Т
Т
§ 161. Кривая зацъплешя въ способ* Камуса. В ъ способе
Камуса мы п р и н и м а л и за п р о ф и л ь зубца гипо- и л и эпициклоиды,
чертимыя н е к о т о р о е точкою m одной и з ъ вспомогательныхъ
окружностей и точкою п другого в с п о м о г а т е л ь н а я круга. П р и
этомъ п о л о ж е ш я т о ч е к ъ m и п на вспомогательныхъ окружнос т я х ъ и з б и р а л и с ь нами совершенно произвольно. При взаимномъ
к а т а н ш к р у г о в ъ , точки m и п не с х о д я т ъ съ свонхъ вспомога­
т е л ь н ы х ъ окружностей. Следовательно и при в р а щ е н ш к о л е с ъ
около с в о п х ъ осей, точки m и п не с х о д я т ъ с ъ вспомогатель­
н ы х ъ окружностей.
Но эти точки и суть именно точки п р и к о с н о в е ш я зубцовъ.
С л е д о в а т е л ь н о кривая зацгъплешя
в ъ способе Камуса состоить
и з ъ д у г и аР одного и з ъ вспомогательныхъ к р у г о в ъ (фиг. 180) и
д у г и РЬ другого в с п о м о г а т е л ь н а я круга. Эта к р и в а я о г р а н и ч и -
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в а е т с я точками а и Ъ пересъченля вспомогательныхъ окружностей
с ъ о к р у ж н о с т я м и выступовъ, т а к ъ к а к ъ
д а л е е этихъ окруж­
ностей выступовъ к
и к зубцы не выступаютъ, и когда точка
прикосновешя, идя
отъ Р п р и х о д и т ь на
окружность
высту­
п о в ъ к и л и к , то
з а т ъ м ъ соприкасавн и е с я зубцы у ж е разстаются д р у г ъ
съ
д
р
у
г
о
м
ъ
.
Ф и г . 180.
Ф и г . 181.
1
1
§ 162. Кривая з а ц * п л е т я въ способ* Эйлера. Совершенно
такими ж е с о о б р а ж е ш я м и к а к ъ в ъ п р е д ы д у щ е м ъ и а р а г р а ф ъ
можно п о к а з а т ь , что в ъ с п о с о б * Эйлера к р и в а я з а ц ъ п л е ш я есть
ч а с т ь ab н о р м а л и дъйстъйя ( ф и г . 181), о г р а н и ч е н н а я т о ч к а м и а
и b ея п е р е с ъ ч е ш я с ъ о к р у ж н о с т я м и выступовъ.
§ 163. Цълочныя ковеса. И н о г д а употребляются колеса с л ъ дующаго устройства (фиг. 182): м е ж д у д в у м я д и с к а м и перпенди­
к у л я р н ы м и к ъ оси в р а щ е ш я п р и к р е п л я ю т с я п а л к и и м е ю и ц я
в и д ъ к р у г л ы х ъ ц н л и н д р о в ъ . Эти п а л к и н а з ы в а ю ч с я
цшшми.
Такое колесо н а з ы в а е т с я ц е в о ч н ы м ъ . На ф и г . 182 показана т а к ж е
п р о э к щ я ц е в о ч н а г о колеса на плоскость п е р п е н д и к у л я р н у ю к ъ
оси в р а щ е ш я . Можно сказать, что у ц е в о ч н а г о
колеса п о л н ы й п р о ф и л ь к а ж д а г о зубца ( ц е в к и )
п р е д с т а в л я е т ъ собою окружность.
Ц е в о ч н о е колесо всегда з а ц е п л я е т с я с ъ обыкновеннымъ з у б ч а т ы м ъ колесомъ и л и с ъ зубчатою
рейкою.
Д л я н а х о ж д е ш я п р о ф и л я зубца
того колеса, которое с ц е п л я е т с я с ъ
ц е в о ч н ы м ъ колесомъ, достаточно
п о л ь з о в а т ь с я о д н и м ъ з а к о н о м ъ оги­
бающей (§ 1 5 1 ) . П р и к а т а н ш ц е в о ч ­
наго колеса по зубчатому, ц е н т р ъ
цевки
описываетъ
эпициклоиду.
Поэтому (фиг. 183) п о с л е д о в а т е л ь ныя п о л о ж е ш я ц е в к и б у д у т ъ о к р у ж ­
ности, центры к о т о р ы х ъ л е ж а т ь н а
Ф и г . 183.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
этой э п и ц и к л о и д е AB. К р и в а я ab, п а р а л л е л ь н а я этой э п и ц и ­
к л о и д е , будетъ огибающею посл'Ьдовательныхъ п о л о ж е ш й ц ъ в к н
и потому можетъ быть принята за боковой п р о ф и л ь зубца колеса О.
И т а к ъ зубецъ, з а ц ъ п л я ю щ Ш с я с ъ ц е в к о ю , чертится по л и ш и
п а р а л л е л ь н о й э п и ц и к л о и д а , описываемой центромъ ц ъ в к и , п р и
к а т а н ш н а ч а л ь н о й окружности ц ъ в о ч н а г о к о л е с а по н а ч а л ь н о й
окружности зубчатаго колеса- Впадины колеса доканчиваются
дугами окружностей немного б о л ь ш п х ъ ч ъ м ъ ц ъ в к а .
§ 164. Толщина зубца. В ы у ч и в ш и с ь чертить бо­
ковой п р о ф и л ь зубца по способу Камуса, Эйлера и л и
д л я з а и т ш л е т я с ъ ц е в к о ю , н а м ъ еще необходимо
узнать, к а к ъ о п р е д е л я е т с я толщина зубца, д л я того,
чтобы мы могли построить полный зубецъ (фиг. 1 8 4 ) .
Т о л щ и н а зубца р а з с ч н т ы в а е т с я по теорш сопротивлешя мат е р ь я л о в ъ , по заданному давлешю Р, д е й с т в у ю щ е м у н а з у б е ц ъ .
З у б е ц ъ (фиг. 1 8 5 ) имеющШ:
толщину х
высоту h
длину Ь
ф и г
Ф и г . 185.
i 8 i
Ф и г . 186.
принимаютъ за брусъ, имъющдй в и д ъ параллелепипеда (фиг. 1 8 6 ) ,
з а д ъ л а н н а г о в ъ с т е н у и подверженнаго дъйств1ю сгибающаго
yciraifl Р , п р и л о ж е н н а г о н а к о н ц е .
Припомнимъ, к а к ъ составляется урае-неме
крепости
такого
бруса.
§ 165. Уравнение крепости зубца. И о д ъ действ1емъ сгиба­
ющаго усгкщя Р брусъ согнется (фиг. 1 8 7 ) П р и этомъ не вытя­
нется и не согнется только его нейтральный
слои
AB.
Чт>мъ д а л е е находится волокно отъ
нейтральнаго слоя, т в м ъ б о л е е оно сжи­
мается и л и в ы т я г и в а е т с я ; г в м ъ б о л ы ш я
в н у т р е н ш я у п р у и я силы, сопротивляющаяся
д е ф о р м а щ и , развиваются в ъ в о л о к н е . Обозн а ч и м ъ ч р е з ъ а н а т я ж е ш е , д е й с т в у ю щ е е на
1 п л о щ а д и с е ч е т я . Пусть у = разстояшю
Ф и г . 187.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
р а з с м а т р н в а е м а г о элемента dF съчен1я отъ н е й т р а л ь н а я слоя
(фиг. 1 8 7 ) . ФранцузскШ у ч е н ы й Xavier п о к а з а л ъ , что получаются
результаты весьма согласные с ъ наблюдениями, • если примемъ
полную пропорщональность в е л и ч и н ъ у и а, именно п о л о ж и м ъ
3
I/o
о
Такое д о п у щ е ш е н а з ы в а е т с я принципомъ
Давос.
П о л а г а я что о , у суть в е л и ч и н ы , осносягщяся к ъ опасному
крайнему волокну, можемъ п р и н я т ь а за наибольшую
допускаемую
нагрузку е д и н и ц ы п л о щ а д и с ъ ч е ш я .
Моментъ внутренней силы, д е й с т в у ю щ е й на элементъ dF и
с т р е м я щ е й с я п р о т и в о д е й с т в о в а т ь сгибашю бруса, будетъ
0
0
0
QtjdF
т а к ъ к а к ъ эта сила р а в н а odF, п л е ч о ж е ея равно у , если р а з сматриваемъ п р о и с х о д я щ е е отъ с г н б а ш я в р а щ е ш е е е ч е ш я и з ъ
п о л о ж е ш я ab в ъ п о л о ж е ш е а'Ь' (фиг. 1 8 7 ) .
Моментъ силы, д е й с т в у ю щ и на все с е ч е т е , будетъ
foydF.
Прочные р а з м е р ы бруса разсчитываются и з ъ уравнешя
кртпости, п р е д с т а в л я ю щ а я собою у р а в н е ш е р а в н о в е й я между внут­
ренними с и л а м и и в н е ш н и м и . В ъ данномъ с л у ч а е моментъ
в н е ш н е й с и л ы будетъ р а в е н ъ п р о и з в е д е т ю силы Р н а разстояHie е е ч е ш я отъ к о н ц а бруса (где п р и л о ж е н а сила Р).
Р а з с ч е т ъ надо производить д л я опасного сгьчемя. В ъ д а н ­
номъ с л у ч а е оно н а х о д и т с я в ъ м е с т е з а д е л к и
на разстоян ш h отъ конца бруса. С л е д о в а т е л ь н о моментъ в н е ш н и х ъ с и л ъ
будетъ
брз^са
Ph
Этотъ моментъ д о л ж е н ъ быть у р а в н о в е ш е н ъ моментомъ
внутренннхъ силъ.
Следовательно
вида :
уравнеше
крепости
fzydF^Ph
И з ъ (S3) и м е е м ъ
зубца
будетъ
такого
(84).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 129 —
В с т а в л я я эту величину в ъ (84), п о л у ч и м ъ :
'ij4F
=
Ph
.
.
(85).
.
Но
моменту и н е р ц ш е е ч е ш я относительно
средней л и н ш MN (фиг. 188).
Назовемъ его .7. Тогда (85) д а е т ъ :
его
м
Фиг.
188.
Ph
I/o
(86).
Вотъ какой в и д ъ приметь у р а в н е ш е к р е п о с т и . Вотъ к а к ъ
в ъ т а ш я у р а в н е ш я впутывается самъ собою моментъ инерцпг.
§ 166. ОпредБленле величины шага и толщины зубца. И з ъ
Теоретической Механики и з в е с т н о , что д л я п р я м о у г о л ь н а я с ъ чешя:
!S
!>x
.7
И
Следовательно (86) д а е т ъ :
13
I/o
(87).
К р а й н е е волокно подвержено наибольшей д е ф о р м а ц ш ; р а з стояше его // отъ н е й т р а л ь н а я слоя въ н а ш е м ъ с л у ч а е равно
0
1)о =
В с т а в л я я в ъ (87), п о л у ч и м ъ :
6
(88).
Обыкновенно д е л а ю т ъ :
высота выступа = 0,28 f
глубина в п а д и н ы = 0,361,
где t есть шагъ колеса. Поэтому высота h зубца р а в н а :
А = 0,64 t
ДЕЛОНЕ, - - 1!рак;нч< с и з
unaiurca.
(89).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Хотя, к а к ъ мы ВИДЕЛИ, толщина зубца д е л а е т с я немного
м е н ь ш е половины ш а г а . Но д л я вычислен in по сопротивлению
можно п о л о ж и т ь
t
(90).
Вставляя величины (89) и (90) въ (88), получимъ:
(91).
§ 167. Формулы, употребляемый в ъ п р а к т и к е . В ъ предыдущ е м ъ п а р а г р а ф е мы показали, к а к ъ о п р е д е л я е т с я ш а г ъ t и тол­
щ и н а зуба х. Но формула ( 9 1 ) с о д е р ж и с ь е щ е в ъ с е б е оставнняся
пока безъ о п р е д е л е ш я а и Ъ. В м е с т о того, чтобы о п р е д е л я т ь и х ъ
д л я к а ж д а г о о т д е л ь н а г о с л у ч а я , пользуются эмпирическими
формулами. Мы п р и в е д е м ъ э м п и р и ч е с ш я формулы, д а н н ы я Х у д я к о в ы м ъ в ъ его к н и г е „ Д е т а л и М а ш и н ъ " 1 8 9 0 г.
Прежде всего, по о п р е д е л е ш я м ъ теоретической и практиче­
ской механики, с л е д у е т ъ :
ш
ш
2
1
»-j
г.,
п.
п
М
Ж,
2
г.,
.
г
х
_
'
передаточное
число,
где: ш у г л о в а я скорость колеса
г рад1усъ
г число зубцовъ
п число оборотовъ в ъ минуту
M = Рг — передаваемый моментъ.
З н а ч к и 1 относятся к ъ одному колесу, з н а ч к и 2 — к ъ дру­
гому.
Для чугунныхъ
колесъ ш а г ъ t .определяется любою и з ъ с л е ­
д у ю щ и е формулъ въ
миллиметрахъ
. Р: Р
'
с„
с
пл\
=
(92)
п.>г»
(93)
(94)
v выражено в ъ метрахъ, n p o n i H д л и н ы в ъ миллиметрахъ.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
t
? =
= ,
7
|
|
242,5 V
2.1
j I
2
131
—
2.5
Д/,. M,
. 1
2
5
. .*
V
M,
=
. ; nz
n
=
(
w.ä
.
.
.
9
5
)
(96)
г д ъ Л" число передавасмыхъ колесомъ п а р о в ы х ъ л о ш а д е й
h
с =
т
Величины с и з даются такою табличкою
0
при « = 6 0
„ з = 2,1
0
„
с =
2,6
100
1,7
150
1,3
2 0 0 2 5 0 оборотовъ в ъ мин.
1 , 0 5 0 , 7 kg на 1 к в а д р . тт
3
3,5
4,25
5,25.
т
Соотношение м е ж д у Л и р а з с м а т р и в а е м ы и п
ково :
2-г . п . P
_
Y
_
61K757ÏO00
в е л и ч и н а м и та­
Л
(
9
/
если *• выражено в ъ м и л л и м е т р а х ъ , ибо за о д и н ъ оборотъ
)
'
точка
п р и л о ж е ш я силы Р (точка окружности) нроходитъ путь 2 w . З а п
оборотовъ, то есть в ъ
секунду
онъ
1 минуту, путь этотъ будетъ
будетъ
Работа в ъ секунду
-1-г.п.
Въ
силы Р в ъ кило-
г р а м м с т р а х ъ (если Р выражено в ъ килограммахъ) будетъ -q
-
Мощность N в ъ п а р о в ы х ъ л о ш а д я х ъ будетъ:
•2-г. п. Р
6ÖT75.T0O0
При ч и с т ь оборотовъ
около 6 0 в ъ минуту можно п р и н я т ь :
м
=
1
с
Т о г д а формулы ( 9 2 ) ( 9 3 ) ( 9 4 ) ( 9 5 ) ( 9 6 ) п р н м у т ъ
болъе
ПРО­
СТОЙ в и д ъ .
t =
t
=
1,78
у
Р
1500 V
»
Л
пг
9*
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
13-2
—
t = 15..41"\Л
з
t =
2.71
Д/-"
3
« =
Л
242.5 V
-
Но этими формулами можно пользоваться только при n <J 6 0 .
При п > 6 0 с л ъ д у е т ъ п р и м е н я т ь формулы ( 9 2 ) ( 9 6 ) .
Т о л щ и н а а зуба о п р е д е л я е т с я затЪмъ по ф о р м у л е :
а =
0,476«
(98).
Все это относится только к ъ ч у г у н н ы м ъ колесамъ.
Д л я к о л е с ъ и з ъ д р у г и х ъ м а т е р ь я л о в ъ т о л щ и н а зуба опре­
д е л я е т с я но т о л щ и н е зуба ч у г у н н а г о колеса по ф о р м у л а м ъ :
т о л щ и н а ж е л е з п а г о зуба = я == 0,7 а
„
стальнаго
,. = а. = 0 , 6 а
бронзоваго „ = я,, = 1,2 я
д е р е в я н н а г о „ = я = 1,3 а
Ш а г ъ д е р е в я н н а г о колеса t = а -\- а -\- 0,1 = 2 , 4 а = 1 , 1 5 t .
О п р е д е л и в ъ по э т и м ъ ф о р м у л а м ъ t и а, д е л и м ъ окружность
2-г колеса на t, е с л и п о л у ч а е т с я дробное число, то бере.чъ бли­
ж а й ш е е к ъ нему ц е л о е ч и с л о и п р и н и м а е м ъ его за г; при
к а ж д о м ъ и з ъ г д е л е н Ш н а ч а л ь н о й окруяшости надо построить
зубецъ.
1
2
0
0
0
Д л я этого надо у м е т ь строить трохоиды,
если пользуемся
способомъ Камуса и л и развертывающая окружности, если поль­
зуемся способомъ Эйлера (см. § 6 2 ) .
§ 168. Вычерчиваше колеса, зацепляющагося по развертывающимъ. По и з л о ж е н н ы м ъ в ы ш е п р а в и л а м ъ о п р е д е л я ю т ъ ч и с л о
з у б ц о в ъ и д е л я т ъ на это ч и с л о
н а ч а л ь н у ю о к р у ж н о с т ь колеса.
При одной и з ъ т о ч е к ъ д е л е ш я
с т р о я т ъ боковой п р о ф и л ь ab
(фиг. 1 8 9 ) . Л у ч ш е это с д е л а т ь на
особомъ ч е р т е ж е , на которомъ
п р о в о д я т ъ з а т е м ъ радаусомъ
r
-f
0,281
о к р у я ш о с т ь в ы с т у п о в ъ и рад1уФ и г . 189.
°
0
М
Ъ
г —
0,361
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 133 —
окружность в н а д н н ъ . Эти окруяшости ограничивают!, ту часть ab
развертывающей, которая представляетъ собою боковой профиль.
Подыскиваютъ попытками
п о д х о д я щ и ! рад1усъ (растворъ
ц и р к у л я ) и ц е н т р ъ той круговой дуги, которая ближе всего под­
х о д и т ь к ъ этому профилю. Пусть этотъ ц е н т р ъ будетъ k. B e b
тагае центры будутъ л е ж а т ь
на окружности описанной и з ъ
центра С колеса (фиг. 190)
радiycoмъ р а в н ы м ъ
Ск
Ч е р т и м ъ эту окружность
на г л а в н о м ъ ч е р т е ж е . Ставимъ
одну н о ж к у ц и р к у л я на эту
окружность т а к ъ , чтобы, при
растворенш ц и р к у л я равномъ
Ка, д р у г а я его н о ж к а попала
в ъ одно и з ъ дъленШ н а ч а л ь ­
ной окружности. Описываемъ
Ф и г . 190.
дугу, ограничиваемую окруж­
ностями в п а д и н ъ и выступовъ. Производимъ т а т я построешя
(чертимъ т а ю я дуги) д л я к а ж д о й точки д-влешя н а ч а л ь н о й окруягности. Это д ъ л а е т с я однимъ р а с т в о р е ш е м ъ ц и р к у л я и можетъ быть
с д е л а н о быстро. Получаемъ л е в ы е бока в с ъ х ъ зубцовъ.
Чтобы п о л у ч и т ь правые бока, поступаемъ т а к ъ : о п р е д ъ л я е м ъ ,
по указанному выше, толщину зубца и откладываемъ ее отъ
к а ж д о й т о ч к и д е л е ш я вправо—по н а ч а л ь н о й окружности. В з я в ъ
прежнее раствореше ц и р к у л я , проводимъ правые бока т а к ъ , чтобы
они проходили ч р е з ъ т о ч к и , полученный о т л о ж е ш е м ъ толщины
зубца.
К а ж д ы й зубецъ з а в е р ш а е т с я дугою окружности выступовъ.
К а ж д а я в п а д и н а — дугою окруяшости в п а д и н ъ .
§ 169. Вычерчиваше колеса, зацъпляюидагося по рулеттамъ.
Производится такъ-я;е, с ъ тою только разницею, что строится на
особомъ чертежъ. боковой профиль, с о с т о я щ ш и з ъ д в у х ъ рулеттъ.
( Н а п р и м е р ъ : гипоциклоида-впадина, эпицнклоида-выступъ).
К а ж д а я и з ъ н и х ъ з а м е н я е т с я своею круговою дугою, оты­
скиваемою опытнымъ путемъ (пробами). Поэтому п о л у ч а е т с я не
одна, но две окружности центровъ э т н х ъ д у г ь на г л а в н о м ъ ч е р ­
т е ж е . З а т Ь м ъ к а ж д ы й бокъ чертится д в у м я дугами.
§ 170. Полный чертежъ. Обыкновенно в ы ч е р ч и в а ю т с я оба на­
х о д я щ а я с я во в з а и м н о м ъ з а ц е п л е ш и колеса. Тогда в ы ч е р ч и в а е т с я
при п о л ю с е и к р и в а я з а ц е п л е ш я . Она с л у ж и т ъ п о в е р к о ю пра-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
vu
—
в и л ь н о с т и ч е р т е ж а , т а к ъ какъ вст> т о ч к и сопрнкоеновешя зуб­
цовъ д о л ж н ы л е ж а т ь на д у г ъ з а ц ъ п л е ш я .
§ 171. Дуга з а ц * п л е н 1 Я и предельный числа зубцовъ. Д у г о ю
з а ц ъ п л е ш я называется п у т ь , проходимый точкою сонрнкасашя
н а ч а л ь н ы х ъ о к р у я ш о с т е й в ъ т е ч е н ш того времени, пока какая
либо пара зубцовъ н а х о д и т с я в ъ с ц ъ п л е н ш . Надо о т л и ч а т ь д у г у
з а ц ъ п л е ш я о т ъ кривой з а ц ъ п л е ш я (§ 169). Совершенно понятно,
что с ц ъ п л е ш е между колесами н и на одно мгновеше не д о л ж н о
прекращаться: т . е.: прежде ч е м ъ пара зубцовъ. н а х о д я щ и х с я
в ъ с ц ъ п л е н ш , р а з ц ъ п и т с я , д р у г а пара д о л ж н а с ц ъ п н т ь с я . Сле­
д о в а т е л ь н о : дуга
зацгт.н'шя
не должна
быть меньше
шага.
Чтобы, в ъ к а ж д о м ъ частномъ с л у ч а е , можно было удовле­
творить этому у с л о в ш , необходимо у м е т ь о п р е д е л я т ь д у г у за­
цепления.
Назовемъ д у г у з а ц д ш л е ш я буквою Е, ш а г ъ буквою t, высоту
выступа зубца буквою h и передаточное ч и с л о , т . е. отношеше
болынаго радхуса к ъ меньшему pafliycy с ц е п л е н н ы х ъ к о л е с ъ
буквою К.
Начнемъ с ъ о п р е д е л е ш я д у г и 2 д л я к о л е с ъ Камуса.
j
П у с т ь OA = г и OA =
б у д у т ъ радхусы ( ф и г . 191) т е х ъ вспомогательныхъ
к р у г о в ъ , которые м ы катпмъ но начальнымъ о к р у ж н о с т я м ъ , когда вычерчиваемъ
п р о ф и л и з у б ц о в ъ . Т а к ъ какъ соответствую­
щее м е ж д у собою п р о ф и л и вычерчиваются
одною и тою ж е точкою вспомогательной
о к р у ж н о с т и , т о , пока э т и п р о ф и л и нахо­
д я т с я в ъ с ц е п л е ш и , т о ч к а и х ъ соприко­
сновешя н а х о д и т с я на вспомогательной
'
о к р у ж н о с т и , т. е. т о ч к а э т а д в и ж е т с я , во
Фиг. 101.
.
j,
время д в и ж е н ш к о л е с ъ , по дуге вспомога­
тельной окружности.
Т а к ъ напр.: е с л и з у б ц ы начинаюсь с п д ш л я т я с я в ъ точке а,
а р а с х о д я т с я въ точке Ь, т о т о ч к а нхъ соприкасашя п р о х о д и т ь
сначала дугу аА по о к р у ж н о с т и рад1уса г, а после д у г у Ab по
о к р у ж н о с т и радДуса г'.
П о н я т н о , ч т о а есть т о ч к а пересечения вспомогательной
о к р у ж н о с т и О с ъ наружною о к р у ж н о с т ь ю колеса С , т. е.: с ъ
о к р у ж н о с т ь ю рад1уса R'-\-h,
а точка b есть пересечете производящаго к р у г а О с ъ о к р у ж н о с т ь ю рад1уса
R-\-h.
Не т р у д н о в и д е т ь , что длина кривой з а н д ш л е т я , т о есть
н у г и аАЬ нройденнаго точкою соприкасашя зубцовъ, во время
н х ъ сцеллешя, равна длине дуги з а ц е п л е ш я . Д е й с т в и т е л ь н о ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 135 —
когда точка соприкасания зубцовъ совпадала с ъ точкою сопри­
касания н а ч а л ь н ы х ъ окружностей, зубцы к а с а л и с ь др.угъ д р у г а
своими срединами, т. е. тогда точка А' выступа А'Ь была на ли­
ш и ц е н т р о в ъ СС. Следовательно, пока точка с о п р и к а с а ш я зуб­
ц о в ъ описала, на неподвижной плоскости чертежа, дугу АЬ, т о ч к а
с о п р и к а с а ш я н а ч а л ь н ы х ъ окруяшостей описала на той ж е плос­
кости д у г у АА', но д у г и Ab и А'А равны по д л и н е , т а к ъ к а к ъ
п р о ф и л ь АЬ' есть э п и ц и к л о и д а , в ы ч е р ч и в а е м а я точкою Ь к р у г а С ,
к о г д а к а т и м ъ этотъ к р у г ъ безъ е к о л ь ж е ш я по окружности С.
Подобнымъ образомъ у б е д и м с я , что д у г а аА равна А"А, а т а к ъ
к а к ъ , но о и р е д е л е н ш дуги з а ц е и л е ш я , она д о л ж н а р а в н я т ь с я
с у м м е д у т ь А"А и А'А, то и выходитъ, что £ = аА - j - Ab.
И з ъ треугольника СЪО и м е е м ъ
(В
- f А) = (R +
а
r'Y
-f
r'*
— 2 (R - f
r')
r' cos О'
или
2
J
•2Rh -f- № = 2Rr' + 2r' — 2 (Д - f r') >•' со* C" = 2 (R + » ) r' (1 — cos (7)
или
'
8
{2R - f A) A = 4 (Ä - f »•') r' et» I
откуда
s
.,
/ОГ/1/(2Л' h/OA
\ 2 /
V 4
+ r') R*
и дуга
A6 =
2r*arm»
V ( . R ' _ | _ ' ) r'
4
r
Подобнымъ образомъ и з ъ треугольника С'аО
Д
У
Г
а
Aa^2r
aresin
получимъ:
Л/ШШИ
V
4 (R +
1
г) г
Следовательно:
V =
/
2А
2r' aresin
\/> '~Л>Л +
» 4 (Я
1
- F
О
1
г ^
(2/F"
2
-f
2r « « • * « \ <' "'
» 4 (Ü"
A)
A
r) r
В ъ ч а с т н о м ъ с л у ч а е , к о г д а п р о и з в о д я п ц я окружности
д у т ъ в ъ два р а з а м е н ь ш е н а ч а л ь н ы х ъ . будемъ и м е т ь :
2
RJ
бу­
aresin
(2R+R)R'
'
(2R'-\-R)R
Высота А з у б ц о в ъ бываетъ не в е л и к а в ъ с р а в н е ш и с ъ ради­
усами к о л е с ъ , поэтому к р а й ш я точки а и & пути, проходимаго
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 136 —
точкою соприкасания з у б ц о в ъ , всегда л е ж а т ь близко отъ л и ш и
ц е н т р о в ъ , а потому, б е з ъ з н а ч и т е л ь н о й п о г р е ш н о с т и , можно в ъ
п р е д ы д у щ е м ъ в ы р а ж е н ш в з я т ь , в м е с т о д у г ъ , и х ъ синусы и
тогда получимъ формулу:
л
/
У
A) hF , т / ( 2 2 ? + ' h) h H
»
2/." ! /,'
•
,
j Л"
2 h'
Н о л о ж и м ъ , ч т о F >- В и что и есть число з у б ц о в ъ на мал о м ъ к о л е с е , тогда, п о л а г а я передаточное число равным'ьЛГ, будемъ
иметь :
R = 'f_ , F =
KR
=
К
~
и Ä = 0,28 t
следовательно
Н
^
=
t
j у"--
+ 0.-28r _|_ -у/0,28
у
(»•-
U,28-)A-
(
9
9
Полезно з а м е т и т ь , что п е р в ы й ч л е н ъ второй части н о с л е д няго у р а в н е ш я п р е д с т а в л я е т ъ ту ч а с т ь д у г и S , которая прохо­
д и т с я , п о к а выступъ
большаго
второй ч л е н ъ — ту ч а с т ь
впадина
болынаго
колеса
колеса
касается
впадины
меньшаго,
этой д у г и , которая проходится,
касается
выступа
а
пока
.меньшаго.
Д л я того, чтобы з а ц е п л е ш е не прерывалось, д у г а 2 д о л ж н а
быть не меньше ш а г а t. В ъ п р а к т и к е однако часто требуютъ о т ъ
з а ц е п л е ш я большей плотности, а и м е н н о : требуютъ, чтобы в ъ
постоянномъ с ц е п л е ш и было н е м е н ь ш е д в у х ъ п а р ъ зубцовъ, а
д л я этого нужно, чтобы д у г а S была м е н ь ш е 2t.
Вводя это п о с л е д н е е услов1е, не трудно, помощью формулы
( 9 9 ) , найти что
ПРИ к
Я
Ä'
= 1, £ = ( 1 , 0 0 3 - J - 1 , 0 0 3 ) t = 2 , 0 0 6 F
= 2, Х = (0,952 - F - 1,075) t = 2,027 /
К
= 3 , 1
= ( 0 , 9 2 3 - j - 1,106) I = 2,029 t
п =
V>,
W
К
= 4, Е
= ( 0 , 9 0 6 - j - 1,140) F = 2,046 <
п =
21,
К
= 5, 1
= (0,901 - ( - 1,183) t
= 2,0841
п =
20,
Ä'
= 6, Е
= (0,888 - F - 1,155) /
= 2,043 <
п =
19.
,1
ЕСЛИ п =
33,
п = 25,
И з ъ этой таблицы видно, что число зубцовъ н а маломъ ко­
л е с е в ы х о д и т ь г ь м ъ м е н ь ш е , ч е м ъ б о л е е передаточное число К,
но полное число з у б ц о в ъ з а ц е п л е ш я (сумма з у б ц о в ъ обоихъ ко­
л е с ъ ) у в е л и ч и в а е т с я с ъ у в е л и ч е ш е м ъ К.
З а т е м ь в и д и м ъ , что д у г а з а ц е п л е ш я только в ъ с л у ч а е рав­
н ы х ъ колесъ р а с п о л а г а е т с я симметрично относительно л и ш и
центровъ, п р и н е р а в н ы х ъ ж е к о л е с а х ъ б о л ь ш а я ч а с т ь этой д у г и
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
л е ж и т ъ но ту сторону л и н ш центровъ, г д ъ впадина большаго
колеса к а с а е т с я выступа меньшаго : а т а к ъ к а к ъ п о в р е ж д е ш я
з у б ь е в ъ всего ч а щ е бываетъ тогда, когда они п р о х о д я т ъ часть
дуги, л е ж а щ у ю до л и н ш центровъ, то, в ъ разсматрпваемомъ нами
зац-ьпленш, в е р о я т н о с т ь п о в р е ж д е н а ! будетъ меньше, когда вед у щ и м ъ колесомъ будетъ меньшее н з ъ д в у х ъ сцЪпленныхъ колесъ.
ЕСЛИ ОТЪ к о л е с ъ потребуемъ, чтобы з а ц ъ п л е ш е п х ъ только
не прерывалось, то п р и К — 1 найдемъ, что на кая^домъ и з ъ
колесъ можно с д е л а т ь по 8 з у б ц о в ъ и тогда д у г а з а ц ъ п л е ш я
будетъ е щ е более ш а г а . В ъ п р а к т и к е , однако, м е н е е 12 зубцовъ
не д е л а ю т ъ .
Перейдемъ теперь к ъ о п р е д е л е ш ю д у г и з а ц е п л е ш я Эйлеров ы х ъ колесъ.
Прежде всего д о л ж н о з а м е т и т ь , что в е л и ч и н а этой дуги
з а в и с и т ъ отъ избраннаго. з н а ч е ш я д л я у г л а у , составляемаго л и шею центровъ с ъ общею нормалью к ъ зубцамъ: у г о л ъ ж е этотъ
должно избирать по возможности болынимъ, чтобы и з б е ж а т ь
с л и ш к о м ъ сильнаго заострешя з у б ц о в ъ на оконечности и слишкомъ сильнаго у т о л щ е ш я и х ъ п р и основанш. Положимъ, наприм е р ъ , что мы избрали прямую N'N' (фиг. 192) за общую нормаль
и, что колесо С есть меньшее. Рад1усъ к р у г а
пропорцюнальнаго
начальной окружности колеса С
р а в е н ъ д л и н е СЪ', перпендику­
л я р а , опущеннаго и з ъ С на л и ­
н ш N'N. Основаше V этого пер­
п е н д и к у л я р а л е ж и т ъ на окруж­
ности О, д л я которой C'A = R'
есть д1аметръ, поэтому, д л я того,
чтобы н о р м а л ь составляла с ъ
л и т е ю ц е н т р о в ъ возможно боль­
шой у г о л ъ , нужно, чтобы точка V
л е ж а л а возможно б л и ж е к ъ точ­
к е А . Построимъ теперь окруж­
ность выступовъ большаго ко­
леса С и з а м е т и м ъ точку Ь перес-ечешя е я с ъ окружностью О; очевидно, что б л и ж а й ш е е поло­
ж е ш е о с н о в а ш я V п е р п е н д и к у л я р а СЪ' отъ точки А будетъ
и м е т ь м е с т о тогда, к о г д а V совпадаетъ с ъ Ъ. С л е д о в а т е л ь н о
п р я м а я NN, п р о х о д я щ а я ч р е з ъ точки А и Ъ д о л ж н а быть п р и н я т а
за общую н о р м а л ь . Построимъ теперь н а р у ж н у ю окружность
м е н ь ш а г о колеса и з а м е т и м ъ точку а п е р е с е ч е ш я е я с ъ нор­
малью NN. Согласно сказанному в ъ § 162 часть аАЪ нормали и
будетъ кривая зацеплешя р а в в а я дуге зацеплешя.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 138 —
И з ъ т р е у г о л ь н и к а ЪАС п о л у ч а е м ъ :
(R - f hf =
4-
R- - f 3 F
2R . Ali cos ср.
или
(2R
4-
A) h = 3 F "
4-
2-й . 2 5 cos cp,
но и з ъ т р е у г о л ь н и к а c ' L 4 и м е е м ъ :
cos cp =
^
поэтому
(2Д 4
h) h. =
^
4
2
• 3 F =
a¥
|i
4
откуда
И з ъ треугольника C'Aa и м ъ е м ъ :
(R'
2
2
- f A) =
Д' +
3 F 4
2 R ' . A a cos
Ф
или
(2Д'4 A ) A = Ä F 4 ~ 2 A « \
Äft
следовательно :
__
_
(2Д 4
2
2
2
А я 4 - 2 А а . А 5 + ÀA = Е ==
4-
(2Д
.
1
•
'
+
А) А
,2В
+
R'
4
(2Л'
4
(2А' 4
4-
A) h =
h) h,
т. е.
Л) А
, 2 В
Ж
\ ' Т
•
•
-
( 1 0 1 )
-
Эта п о с л е д н я я ф о р м у л а д а е т ъ н а м ъ полную д у г у з а ц е п л е ш я , а формула (100) о п р е д е л я е т е ту ч а с т ь этой д у г и , к а к а я
проходится, пока в ы с т у п ъ б о л ь ш а г о колеса к а с а е т с я в п а д и н ы
меньшаго.
В в о д я услов1е, что в ъ и о с т о я н н о м ъ е о п р и к о с н о в е н ш д о л ж н о
быть не меньше д в у х ъ п а р ъ зубцовъ, помощью п р е д ы д у щ и х ъ
ф о р м у л ъ составимъ с л е д у ю щ у ю т а б л и ч к у :
при
„
„
„
К —
К =
К =
АГ =
1,
2,
3,
6,
Е=
Е ==
E=
£ =
(1,003 -f- 1,003)
(1,075 -)- 0,943)
(1,093 - f 0,906)
(1,114-1-0,886)
t =
t =
£=
t =
2,0061 е с л и
2,0181
„
2,0091
„
2«
„
n
n
«
»
=
=
=
=
33,
32,
31,
30.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 139 —
И з ъ этой таблицы видно, что, п р и К близкомъ к ъ е д и н и ц е ,
колеса Эйлера мало отличаются отъ колесъ Камуса, но, при боль­
ш и х ъ з н а ч е ш я х ъ д л я К, р а з н и ц а в ъ ч и с л е з у б ц о в е д е л а е т с я
значительною, а именно: колеса Эйлера требуютъ большаго ч и с л а
зубцовъ и, с л е д о в а т е л ь н о , в ы х о д я т ъ б о л е е громоздкими.
Д у г а з а ц е п л е ш я р а с п о л а г а е т с я также несимметрично отно­
сительно л и ш и центровъ, но б о л ь ш а я ч а с т ь этой д у г и прохо­
д и т с я тогда, когда выступъ большаго колеса касается впадины
меньшаго, а потому колеса Эйлера б о л е е обезпечены о т е повреждешй, когда б о л ы и и м ъ колесомъ ведется меньшее, что ч а щ е
встречается въ практике.
§ 172. Сравнеше способовъ Эйлера и Камуса. И з ъ всего сказаннаго в ы ш е относительно колесъ Эйлера и э п и ц и к л о и д а л ь н ы х ъ
к о л е с ъ должно заключить, что на стороне п е р в ы х ъ к о л е с ъ и м е ­
ются с л е д у ю щ а я выгоды : *)
1) Весь зубецъ очерчивается одною кривою, которую л е г к о
вычертить непрерывнымъ д в и ж е ш е м ъ .
2) Форма зубца на одномъ к о л е с е не з а в и с и т ъ отъ размЪр о в ъ другаго колеса, почему одно колесо можетъ вести н е с к о л ь к о
другнхъ.
3) Н а п р а в л е ш е нормали не м е н я е т с я во в р е м я д в и ж е ш я ,
отъ чего и д а в л е ш е на зубецъ остается постояннымъ.
4) П р и н е с к о л ь к о н е п р а в и л ь н о м ъ р а с п о л о ж е н ы осей колесъ,
т. е. когда оси поставлены н е с к о л ь к о ближе или ж е д а л е е одна
отъ другой, ч е м ъ это следовало-бы, з а ц е п л е ш е остается прав и л ь н ы м ъ , но только в ъ т е ч е н ш времени меньшаго того, в е прод о л ж е н ш котораго одна п а р а з у б ц о в е остается в е с ц е п л е н ш ,
т. е. не н а в с е м е п р о т я ж е ш и д у г и Е.
5) Когда большее колесо есть ведущее, что ч а щ е и м е е т е
м е с т о в е п р а к т и к е , в е к о л е с а х е Эйлера ч а с т ь д у г и з а ц е п л е ш я ,
проходимая до л и ш и центрове, м е н е е остальной ч а с т и этой д у г и ,
а это несравненно л у ч ш е , н е ж е л и в е обратноме с л у ч а е , к о г д а
з у б ц ы до л и ш и ц е н т р о в е п р о х о д я т е б о л ы ш й путь, а п о с л е ли­
ши центрове менышй.
Т а к и м е образоме можно сказать, что во в с е х е о т н о ш е ш я х е
колеса Эйлера л у ч ш е к о л е с е Камуса, за и с к л ю ч е ш е м е только
с л у ч а я , когда передаточное число К значительное, т а к е к а к е в е
этоме с л у ч а е колеса Эйлера, п р и одинаковой плотности з а ц е п л е ш я
с е к о л е с а м и Камуса, в ы х о д я т е значительно б о л ь ш и х ъ р а з м е р о в ъ .
§ 173. Cepifl колесъ. Иногда нужно
бываетъ и м е т ь
ность и з м е н я т ь передаточное ч и с л о - ~ в ъ
машине
*) См. курсъ практической механики профессора Евневича.
возмож­
установкою
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
140
—
о д н и х ъ к о л е с ъ в м е с т о д р у г и х ъ . Тогда надо и м е т ь такое собраше
к о л е с ъ , в ъ которомъ к а ж д о е колесо могло бы п р а в и л ь н о з а ц е п ­
л я т ь с я со в с е м и остальными. Д л я этого в с е входящдя в ъ такое
с о б р а ш е ( с е р ш ) колеса д о л ж н ы и м е т ь о д и н ъ и тотъ же ш а г ъ t.
П р и этомъ получаются ф о р м у л ы :
t
2г,
•2Г;
Ч и с л о Е н а з ы в а е т с я модулемъ
•i/-, =
2/v =
Е
зацгьплемя.
Е. г,
Е.
Иногда б е р у т ъ :
высота зубца h = Е,
глубина в п а д и н ы к, = 1,25 Е
t
§ 174. Изготовление колесъ. П р и изготовленш з у б ч а т ы х ъ ко­
л е с ъ не н у ж н о в ы ч е р ч и в а т ь полнаго колеса. Достаточно в ы ч е р ­
тить два с о с е д ш е зубца и п р и г о т о в и т ь лекало (шасг~\cl
блонъ) в ъ в и д е р е з ц а abcdef (фиг. 193).
Т а к и м ъ р е з ц о м ъ н а р е з а ю т ъ колесо на особомъ с т а н к е , п о в о р а ч и в а ю щ е м ъ колесо на одинъ
шагъ после окончашя каждой нарезки.
И л и н а р е з а ю т е зубцы
фрезеромъ.
Ф р е з е р о м е н а з ы в а е т с я ре­
ж у щ е е колесо. Онъ у с т р а и ­
в а е т с я т а к ъ : отливаюсь т е л о
в р а щ е ш я и з ъ с т а л и (фиг. 194),
боковая поверхность котораго
о г р а н и ч е н а п р о ф и л е м ъ abcdef.
На н е м ъ д е л а ю т ъ зубцы с е
ф и г . 191.
весьма острыми к р а я м и ( в е
т е х н о л о г ш металлове, о б е этомъ говорится подробно). ВатЪмъ
ф р е з е р ъ з а к а л и в а ю т ъ и в с т а в л я ю с ь в ъ фрезерную м а ш и н у , в ъ
которой ф р е з е р ъ , служашдй р е ж у щ и м ъ оруд1емъ, быстро вра­
щ а е т с я . Ф р е з е р о м ъ и н а р е з а ю с ь колесо, поставленное на особый
с т а н о к ъ , в ъ которомъ оно п о с л е к а ж д а г о н а р е з а поворачивается
на о д и н ъ ш а г ъ .
Е с л и колесо о т л и в а ю с ь , то пользуются опять р е з ц о м ъ и л и
л у ч ш е с к а з а т ь болванкою очерченною по профилю abcdef (фиг. 193),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 141 и oio образуютъ зубцы въ on отъ (форме приготовленной и з ъ земл и с т ы х ъ веществт>).
§ 175. Формула Савари. П р е ж д е ч ъ м ъ перейти к ъ коничес к и м ъ колесамъ, необходимо дополнить т е о р ш ц и л н н д р н ч е с к и х ъ
колесъ и з у ч е ш е м ъ общаго соотношешя между рад1усамн кри­
визны с ц е п л я ю щ и х с я меягду собою зубцовъ, т а к ъ к а к ъ способы
Эйлера и Камуса не единственно возможные; д л я н а х о ж д е ш я ж е
д р у г и х ъ способовъ необходимо и м е т ь знакомство с ъ душою этого
д ъ л а с ъ формулою Савари.
Пусть С и С суть центры н а ч а л ь н ы х ъ окружностей с ц ъ п т
л я ю щ н х с я между собою колесъ (фиг. 195).
NN общая нормаль к ъ п р о ф и л я м ъ со­
п р и к а с а ю щ и х с я между собою зубца верх­
н я я колеса и зубца н и ж н я г о колеса, Цен­
тры к р и в и з н ы з у б ц о в ъ очевидно должны
н а х о д и т ь с я па общей нормали X X Какому
у с л о в ш д о л ж н ы удовлетворять профили
зубцовъ, чтобы общая и м ъ нормаль п р о ш л а
ч р е з ъ точку А и в ъ с л е д у ю щ е е за симъ
мгновеше? Пусть В ii В' будутъ те точки
н а ч а л ь н ы х ъ окружностей, которыя в ъ с л ъ '
( ] ) и г
} 9 Ъ
дующее з а с и м ъ мгновеше п р и д у т ъ на
л и ш ю центровъ СС. Понятно, что д у г и AB и AB' равны по
д л н п ъ , т а к ъ к а к ъ окруяшости катятся безъ с к о л ь ж е ш я . Пусть
AB = AB' = ds.
Пусть точка О будетъ центромъ кривизны
к р и в о й атп в ъ т о ч к е m и О' центръ к р и в и з н ы кривой а'тп'
в ъ т о ч к ъ т. P a f l i y c H к р и в и з н ы От и О'т обозначпмъ ч р е з ъ р
и р', а р а з с т о я т е т о ч е к ъ А и m м е ж д у собою ч р е з ъ q. Е с л и
п р о в е д е м ъ п р я м у ю OB до в с т р е ч и в ъ т о ч к ъ п с ъ кривою атп,
то п р я м а я эта будетъ нормалью к ъ кривой в ъ т о ч к и п, т а к ъ
к а к ъ д в ъ смежныя нормали к р и в о й п е р е с е к а ю т с я в ъ ц е н т р е
к р и в и з н ы ; подобнымъ образомъ О'пВ' есть такяге нормаль к ъ
кривой а'тп'.
Е с л и в ъ то мгновеше, когда точки В и В' п р и д у т ъ на л и ш ю
центровъ, о б щ а я нормаль к ъ п р о ф и л я м ъ зубцовъ будетъ прохо­
дить ч р е з ъ точку А , то это з н а ч и т ь , что тогда л п н ш On и л н ш я О'п' сольются в ъ одну прямую, точно т а к ъ ж е к а к ъ л и ш и
СВ и С В' сольются в ъ одну прямую СС. С л е д о в а т е л ь н о у г о л ъ
СВО д о л ж е н ъ р а в н я т ь с я у г л у С В'О'. Но и з ъ чертежа не трудно
в и д е т ь , что, м е ж д у у г л а м и существуютъ з а в и с и м о с т и :
В + О
В' +
= А+
С = А +
С
О'
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 142 —
<
В ы ч и т а я одно равенство
В = < В', п о л у ч а е м ъ :
<
и з ъ другаго, и м е я
О — < С = < С — <
в ъ виду,
что
О'
или
0 + 0 '
=
C-}-C.
Чтобы о п р е д е л и т ь м е р у к а ж д а г о и з ъ э т и х ъ у г л о в ъ , прове­
д е м ъ п р я м у ю Ab, п е р п е н д и к у л я р н о к ъ нормали АА' до в с т р е ч и
с ъ прямою On и с ъ прямою О'В'. Эту п р я м у ю Ab мояшо разсматривать к а к ъ д у г у описанную, и л и и з ъ центра О рад1усоме ОА=
= р — q, и л и и з е центра О' рад1усомъ О А = p' -\- q и в ъ тоже
время на эту п р я м у ю можно с м о т р е т ь к а к е на п р о э к ц ш , и л и
д у г и AB = ds на л и н ш п е р п е н д и к у л я р н у ю к е нормали AN, и л и
д у г и AB' = ds на ту же л и н ш . С л е д о в а т е л ь н о : м о ж е м е написать:
мера угла
1
q
Ab
ds.cos ср
~~ Р — 1
=
[' — Я.
мера угла
п
,
_
Ab
Р'-Н/
ds cos ф
р + ?
=
г
мера угла
6
- ж
и мера угла
0
&
=
З д е с ь ф есть у г о л е м е ж д у нормалью AN и л ш и е ю ц е н т р о в е
С С , а А и R' рад1усы н а ч а л ь н ы х е о к р у ж н о с т е й СА и C'A.
Итаке имъемъ у р а в н е т е :
ео
в ?
T_JL__
I
i
1
=
1 _|_ . i . .
.
.
. (102).
которое а н а л и т и ч е с к и в ы р а ж а е т ъ собою то услов1е, что о б щ а я
нормаль к ъ з у б ц а м ъ , в ъ д в у х ъ с м е ж н ы х ъ п о л о ж е ш я х е к о л е с е ,
п р о х о д и т ь ч р е з е т о ч к у с о п р и к о с н о в е ш я н а ч а л ь н ы х ъ окружно­
стей. У р а в н е ш е это н а з ы в а е т с я уравненгемъ
Стари.
Оно м о ж е т ъ
с л у ж и т ь д л я о п р е д е л е я 1 я ф о р м ы з у б ц а на о д н о м е к о л е с е , к о г д а
форма зубца на д р у г о м е б у д е т е з а д а н а , т а к е к а к е и з е него
можно о п р е д е л и т ь , н а п р . р', е с л и р будетъ и з в е с т н о . Необходимо,
однако, помнить, что в ъ у р а в н е н ш (102) р есть рад1усъ к р и в и з н ы
выступа з у б ц а колеса, коего р а д ! у с ъ есть В, а p'—pafliyce к р и ­
в и з н ы впадины
зубца д р у г о г о колеса и, что, п р и в ы в о д е этого
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у р а в н е ш я предполагалось, что центры О н О' находятся па разн ы х ъ сторонахъ нормали, с ч и т а я отъ точки т., то есть, что выстуцъ и в п а д и н а касаются д р у г ъ д р у г а выпуклостями. Можетъ
быть с л у ч а й , когда в п а д и н а будетъ вогнутою кривою, то есть,
когда ц е н т р ъ О' будетъ лежать, считая отъ точки т, по ту ж е
сторону, на которой л е ж и т ъ и ц е н т р ъ О выступа. Д л я такого
с л у ч а я , н у ж н о в ъ у р а в н е н ш Савари п е р е м е н и т ь з н а к ъ предъ р'
и тогда оно прнметъ в и д ъ
1
COS Ср
R
р — q
+
R'
Откуда прямо видно, что р' > р, т а к ъ к а к ъ
у р а в н е ш я д о л ж н а быть > О.
.
первая
.(103).
часть
Наконецъ, необходимо е щ е и м е т ь
в ъ виду, что формулы (102) и (ЮЗ)
относятся к ъ случаю наружна/о
заце­
плен 1я колесъ. В ъ с л у ч а е ж е внутренн я г о з а ц е п л е ш я , п р е д с т а в л е н н а я на
фиг. 196, н у ж н о п е р е м е н и т ь з н а к ъ п р е д ъ
R',
п р е д п о л а г а я что R есть раддусъ
м е н ь ш а г о колеса, поэтому формула (103),
к о т о р а я обыкновенно и м е е т ъ м е с т о в ъ
с л у ч а е в н у т р е н н я я з а ц е п л е ш я , прини1
Ф и г . 196.
маетъ в и д ъ :
cos ср
1
1
?' — Q ~
"I
Р — Ч\ ~~
1
R
'
~ R
(104).
г
В ъ ф о р м у л е этой р' б} детъ уяге обозначать p a д i y c ъ кривизны
выступа м е н ь ш а г о колеса, а р — рад1усъ к р и в и з н ы впадины
большаго колеса. Т а к а я п е р е м е н а названий д л я рад1усовъ р н р',
в ъ с л у ч а е в н у т р е н н я г о з а ц е п л е н ÏH, потому необходима, что
большое колесо и м е е т ъ выступы внутри н а ч а л ь н о й окружности,
а в п а д и н ы в н е этой окружности, между т е м ъ , к а к ъ у меньшаго
колеса, выступы, по прежнему, л е ж а т ъ в н е его н а ч а л ь н о й окруж­
ности, а в п а д и н ы — в н у т р и .
И з ъ ф о р м у л ъ Савари видно, что форма зубцовъ на одномъ
н з ъ с ц ъ и л е н н ы х ъ м е ж д у собою колесъ, говоря вообще, з а в и с и т ъ
отъ р а з м е р о в ъ не только своего колеса, но и отъ р а з м е р о в ъ
другого колеса.
В о з м о ж е н ъ однако с л у ч а й , когда рад1усъ к р и в и з н ы про­
ф и л я зубца на одномъ к о л е с е не будетъ з а в и с е т ь отъ рад1уса
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
144 —
другого колеса. С л у ч а й такой будетъ и м е т ь м е с т о к о г д а у р а в н е Hie С а в а р и будетъ р а з б и в а т ь с я на два с л е д у ю щ и х е :
cos <р
1
cos ср
1
. (105).
К о г д а р а д 1 у с е р к р и в и з н ы п р о ф и л я зубца одного и з е к о л е с ъ
н а м ъ будетъ з а д а н е , тогда р а д 1 у с ъ р' п р о ф и л я зубца другого
колеса м о ж е т е быть о п р е д е л е н е с л е д у ю щ п м ъ п о с т р о е ш е м ъ ;
Пусть От = р (фиг. 197) будетъ рад]усъ к р и в и з н ы в ъ т о ч к е «г
п р о ф и л я am зубца колеса СА. Про­
ведемъ ч р е з ъ точку А прямую DD
п е р п е н д и к у л я р н о к ъ общей нормали
NN и с о е д и н и в ъ точку О с е точкою С,
п р о д о л ж и м е прямую СО до в с т р е ч и
се^ э т и м ъ н е р и е н д и к у л я р о м ъ в е т о ч к е
D, з а т е м е с о е д н н и м е т о ч к у D с е ценр т о м е С второго колеса. П е р е с е ч е ш е О
п р я м о й DC с е нормалью NN и будете
и с к о м ы м ъ центромъ к р и в и з н ы про­
ф и л я зубца колеса С А . Д е й с т в и т е л ь н о ,
н а з о в е м ъ ч р е з ъ х д л и н у О'т и опус т и м ъ и з ъ т о ч е к ъ С и С перпендику­
л я р ы па н о р м а л ь NN, тогда и з ъ ноФиг. 197
д о б н ы х ъ т р е у г о л ь н и к о в ъ DA О и СВО
получимъ:
AD:AO
или
AD : (p — q) =
=
CB:BO
В sin ср : [R cos 9 — (p — q)].
г
гд е q, по прежнему, р а в н о Am.
И з ъ подобныхъ ж е т р е у г о л ь н и к о в е DAO' и С В'О'
AD-.AO'
=
С В':
В'О'
или
AD
_
х -\~ q
Предыдунця две
1
R'.
порпорц1и д а ю т е с л е д у ю щ у ю :
р— q
R
i
R'
:
sin ср
х - j - q — В' cos ç
Rcosy
— (p — q)
' x -A- q — R' cos ср
и з е которой п о л у ч а е м е :
cos ср
\Р
1
+
x-f-q
—Я
R'
имеемъ.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С р а в н и в а я ж е это п о с л е д н е е в ы р а ж е ш е с ъ у р а в н е ш е м ъ (102),
в и д и м ъ , что х = р', а этимъ и доказывается в е р н о с т ь н а ш е г о
построешя.
§ 176. Дуга с к о л ь ж е ш я . При в ы в о д е у р а в н е ш я Савари, мы
в и д е л и , что к о г д а точки В и В' (фиг. 195) н а ч а л ь н ы х ъ окруж­
ностей сольются, на л и н ш центровъ СС, в ъ одну общую точку,
тогда п р о ф и л и з у б ц о в ъ будутъ с о п р и к а с а т ь с я м е ж д у собою точ­
ками п и п', с л е д о в а т е л ь н о , пока точка с о п р н к о с н о в е ш я н а ч а л ь ­
н ы х ъ окружностей проходитъ по этимъ о к р у ж н о с т я м ъ р а в н ы е
пути AB = AB' = ds, точка с о п р и к а с а ш я з у б ц о в ъ проходитъ по
профилю am путь тп, а по профилю am' путь тп'. Е с л и ока­
ж е т с я , что д у г и тп и тп' равны между собою, то это будетъ
з н а ч и т ь , что зубцы к а т я т с я о д и н ъ по другому безъ с к о л ь ж е ш я ,
если ж е д у г и эти не будутъ равны, то разность и х ъ д а е т ъ н а м ъ
дугу скольжешя,
т. е. путь проходимый на з у б ц а х ъ с к о л ь з я щ и м ъ
т р е ш е м ъ в ъ элементъ времени.
Назовемъ дугу скольжешя
имъемъ выражеше
ч р е з ъ dz,
д л я ея
определешя
но мы в и д е л и , что Ab = ds cos ср поэтому
И з ъ этой формулы заключаемъ, что зубцы к а т я т с я безъ
с к о л ь ж е ш я только в ъ тотъ моментъ времени, когда q = 0 и, что
п р и р а в е н с т в е обстоятельствъ, н а р у ж н о е з а ц е п л е ш е даетъ большую
работу д л я т р е ш я на зубцахъ, нежели з а ц е п л е ш е внутреннее,
т а к ъ к а к ъ д у г а cfo, в ъ с л у ч а е перваго з а ц е п л е ш я , пропорщ'ональна сумме
-f~ ™ , а в ъ с л у ч а е втораго з а ц е п л е ш я — р а з ­
ности 1 ^ .
Коничесюя колеса.
§ 177. Способъ Тредгольда. Нами было указано, что п р и
с о в п а д е ш п в е р ш и н ъ у д в у х ъ к о н у с о в ъ они могутъ катиться о д и н ъ
по другому б е з ъ относительнаго с к о л ь ж е ш я точекъ, л е ж а щ и х ъ
на с о п р и к а с а ю щ и х с я м е ж д у собою образующихъ. То ж е самое
yraoßie, очевидно, д о л ж н о быть выполнено и в ъ конической
ДЕЛОНК. — Практическая механика.
Ю
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 146 —
зубчатой п е р е д а ч е . Пусть оа и oh (фиг. 198) будутъ п е р е с е к а ­
ющаяся осп 2 в а л о в ъ , м е ж д у которыми д о л ж н а с о в е р ш а т ь с я зуб­
ч а т а я п е р е д а ч а . Тогда с ъ обоими зубчатыми колесами мысленно
,
,
д о л я ш ы быть с в я з а н ы 2 конуса ае и he, имъюil
M
ï
n
'
0 \ \ 'V Т "л щде и общую образующую со и общую в е р U ;' ш и н у о; п р и равномтзрномъ в р а щ а т е л ь н о м ъ
/
\ /
Ii д в и ж е н ш к о л е с ъ т а ш е конусы будутъ к а т и т ь с я
^ V - , L о д и н ъ по другому б е з ъ с к о л ь ж е ш я . Эти коД
\ ; нусы называются начальными.
Ихъ наиболыше
g
N
'•i-f. рад1усы, т. е. ас и Ьс н а з ы в а ю т ъ т о г д а
Фиг. 198.
п
с«.1««
коническихъ
колесъ.
рад/у.
'
Ооприкасающшся
между собою точки окруяшостей са и
остаются в с е время н а
поверхности сферы, о п и с а н н о й и з ъ т о ч к и о, к а к ъ и з ъ центра
рад1усомъ со. Н а этой яге с ф е р е д о л ж н ы были быть выполнены
и п р о ф и л и з у б ь е в ъ к о н и ч е с к и х ъ к о л е с ъ п о д ъ услов1емъ сохра­
нения н а о к р у ж н о с т я х ъ ас и Ьс одинаковой скорости. Еслпбы
т а т е п р о ф и л и были получены, то д л я о б р а з о в а ш я рабочей
поверхности зубьевъ, р а з с у ж д а я теоретически, оставалось бы
только заставить по обоимъ п р о ф и л я м ъ д в и г а т ь с я п р я м ы я
л и ш и , в с е в р е м я п р о х о д я щ ш ч р е з ъ точку о, т. е. общую
в е р ш и н у н а ч а л ь н ы х ъ к о н з с о в ъ ; тогда и э т и к о н и ч е с ш я поверх­
ности, оставаясь в ъ соприкосновении одна с ъ другой, точно
т а к ж е у д о в л е т в о р я л и бы у с л о в ш п р а в и л ь н о с т и з а ц ъ п л е ш я . Но
выполнеше пскомыхъ п р о ф и л е й на сферической поверхности,
которая не моягетъ быть р а з в е р н у т а в ъ плоскость,
предста­
в л я л а бы з н а ч и т е л ь н ы й з а т р у д н е ш я . Поэтому Тредгольдъ
(Tredgold) п р е д л о ж и л ъ
д л я у с т р а н е ш я э т и х ъ затрудненШ п р и ближенный способъ в ы н о л н е ш я п р о ф и л е й . Онъ пользуется в ъ
этомъ с л у ч а е т ъ м ъ обстоятельствомъ, ч т о точки д у г и hck рас­
полагаются по объ стороны о т ъ с весьма близко к ъ т о ч к а м ъ ка­
сательной get, с л е д о в а т е л ь н о , н а н е б о л ы п о м ъ п р о т я ж е н п г - о т ъ с
поверхности с ф е р ъ безъ б о л ь ш о й п о г р е ш н о с т и м о г у т ъ быть за­
м е н е н ы поверхностями н о в ы х ъ д в у х ъ к о н у с о в ъ — одного с ъ вер­
ш и н о й i, раддусомъ о с н о в а ш я Ьс и образующею ci, а другого с ъ
вершиною g, ра.ддуеомъ о с н о в а ш я ас, образующею дс. У обоихъ
э т и х ъ к о н у с о в ъ — о б щ ! я оси с ъ соответсвеннымн н а ч а л ь н ы м и ко­
нусами, и оба они касаются к ъ с ф е р е hcJc по о к р у ж н о с т я м ъ ас
и Ьс. Эти конусы н а з ы в а ю т с я дополнительными
к ъ начальнымъ,
потому ч т о у г л ы п р и в е р ш и н а х ъ у т е х ъ и д р у г и х ъ дополняютъ
д р у г ъ д р у г а до п р я м а г о угла. Д л я о б р а з о в а ш я п р о ф и л е й з у б ь е в ъ
к о н и ч е с к и х ъ к о л е с ъ по способу Тредгольда
поверхности дополнительныхъ к о н у с о в ъ *' и g р а з в е р т ы в а ю т ъ в ъ плоскость, проводя
окружности ci и cm; и х ъ н р и н и м а ю т ъ з а н а ч а л ь н ы й окружности
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
147 —
ц и л и н д р н ч е с к п х ъ к о л е с ъ с ъ раддусами ic, ус и полюсомъ с. и
в ы ч е р ч и в а ю с ь на н и х ъ т ъ пли другие п р о ф и л и с ъ ш а г о м ъ коннческаго колеса, т. е. с ъ т-Ьмъ ш а г о м ъ , который зубцы нмъютъ на
о к р у ж н о с т я х ъ ас и Ьс. П о с л е ятого поверхности дополнительных!,
конусовъ д о л ж н ы быть снова свернуты т а к ъ , чтобы окружности
cb и cm с о в п а д а л и с ъ са и с.Ь, и образоваше поверхности з у б ь е в ъ
п о с л е д у е т е отт> д в и ж е ш я прямой, которая все в р е м я п р о х о д и т ь
ч р е з ъ точку О и с к о л ь з и т е по п р и б л и ж е н н ы м ъ п р о ф и л я м ъ , вы­
полненным!, на к о н у с а х ъ i и д, к а с а т е л ь н ы х ъ к ъ ней. Этотъ спо­
собъ п о л у ч е ш я п р о ф и л е й д а с т ъ результаты, о ч е в и д н о , т е м е
б о л е е точные, ч ъ м ъ з н а ч и т е л ь н е е отношеше pa.Tiyca ос сферы
к ъ шагу з а ц ъ п л е ш я .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава
XI.
TpeHie зубчатыхъ колееъ и винтовъ.
§ 178. Относительное д в и ж е ш е . Д л я опредълевтя т р е ш я зуб­
ч а т ы х ъ к о л е с ъ п р и п о м н п м ъ н ъ к о т о р ы я теоремы
кинематики,
именно п о ю т е объ относительномъ
движенш.
П р е д с т а в и м ъ с е б е п о ъ з д ъ , и д у щ Ш со скоростью v, и в ъ
одномъ и з ъ в а г о н о в ъ — кондуктора н д у щ а г о по в а г о н у с ъ относи­
тельною скоростью v', очевидно, что скорость w кондуктора по
г
о т н о ш е н ш к ъ рельсовому пути
бздетъ:
•w =
v -f-
V
W
v'.
Откуда
=
V.
Н а з о в е м ъ : скорость п о ъ з д а v скоростью уносящаго
движешя;
относительную скорость, с ъ которою к о н д у к т о р ъ и д е т ъ по вагону,
v' скоростью относительного движешя; абсолютную скорость кондук­
тора относительно рельсоваго п у т и iv скоростью абсолютного
дви­
жешя. Можно выведенную в ы ш е ф о р м у л у
v'
=
W
—V
представить схематически т а к ъ :
относит. = абсолюта. — у н о с я щ .
Этотъ з а к о н ъ р а с п р о с т р а н я е т с я и на вращательным д в и ж е ш я .
§ 179. Сложеше
Фиг. 199.
вращешй около взаимно - пересекающихся
осей. П у с т ь данное твердое т е л о соверш а е т ъ безконечно малое в р а щ е ш е около
оси OA (фиг. 1 9 9 ) со скоростью и> и в ъ
то-же в р е м я совершаетъ безконечно малое
в р а щ е ш е около оси OB, со скоростью ш'.
П у с т ь у г о л ъ АОВ = s. Посмотримъ, н е
с л а г а ю т с я л и эти д в а в р а щ е ш я в ъ какое
н и б у д ь одно. Н а з о в е м ъ положительными
т а ю я в р а щ е ш я , которыя к а ж у т с я совер-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
149
—
ш а ю щ и м и с я по направлешю часовой с т р е л к и наблюдателю, смо­
т р я щ е м у с ъ конца оси по н а п р а в л е н ш к ъ О. Положимъ, что
<о и ш' оба положительны.
О т л о ж и м ъ : 0 4 = ш; OB —к,'.
Посмотримъ, какой путь пройдетъ, вслъдств1е совокупности
н а ш и х ъ д в у х ъ в р а щ е ш й , к а к а я нибудь точка С в ъ течеши без­
конечно малаго промежутка времени dt. Опустнмъ и з ъ С перп е н д н к у л я р ъ Са на OA и п е р п е н д и к у л я р ъ СЬ на OB.
В р а щ е ш е со у в о д и т ъ точку С подъ плоскость чертежа на
разстояше
Cr. со dt.
В р а щ е ш е со' поднимаетъ точку С н а д ъ плоскостью ч е р т е ж а
на разстояше
СЪ . и /
.
dt.
Д л я того, чтобы С осталось неподвижною, необходимо
достаточно, следовательно, выполнеше з'слов1я:
со. Са =
и
со'. СЪ.
Е с л и С л е ж и т ъ в ъ в е р ш и н е параллелограмма АОВС,
со Са = п л о щ а д и
АОВС
со'. СЬ = п л о щ а д и
АОВС
то:
и тогда выведенное выше услов1е
со . Са =
со'. СП
удовлетворено. Отсюда с л е д у е т ъ , что в с е точки, л е ж а и п я на
ддагоналн ОС параллелограмма построеннаго на со и со', непо­
д в и ж н ы . С л е д о в а т е л ь н о , если сложеше со и ш' приводится к ъ
в р а щ е н ш , то ОС будетъ осью р а в н о д е й с т в у ю щ е г о в р а щ е ш я . Е с л и
ОС есть ось р а в н о д е й с т в у ю щ а г о в р а щ е ш я , то, опустнвъ и з ъ В
п е р п е н д и к у л я р ы BF на ОС и ВЕ на OA, п о л у ч и м ъ : В, к а к ъ на­
х о д я щ а я с я на оси OB неподвижна, с л е д о в а т е л ь н о ея перемЪщ е ш е равно нулю. Между т Ь м ъ в р а щ е ш е со и р а в н о д е й с т в у ю щ е е
в р а щ е ш е Q стремится, каждое в ъ о т д е л ь н о с т и , переместить
точку В, именно:
Q на р а з с т о я ш е
Q.BF
ш на р а з с т о я ш е ш . ВЕ.
Но эти
с л у ч а е если
перемещешя
протнвуположны
2 =
ОС
и равны въ
томъ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ибо тогда
Q.BF=ЛСВО
о>.ВЕ=
И т а к ъ : равнодействующее
направлент,
дгагонали
ЛСВО.
вращеше
параллелограмма
равно,
и по величине
построенного
на
и по
еоетавля-
ющихъ вращетяхъ.
Не трудно в и д ъ т ь , что отсюда ( н з ъ треуголь­
н и к а АОС, н а п р и м ъ р ъ ) в ы т е к а е т е ф о р м у л а ;
Q
= У<в'-
-f- ш ' - j - 2о>. ш ' . cos е
2
(107)
х
такъ какъ:
3
ОС
=
Л О
2
2
-f
< 9 Р — 2 0 - 4 . ОС.
cos ( 1 8 0 —
г).
§ 180. Тренде коничеснихъ колесъ. Пусть (фиг. 2 0 0 ) OA и OB
с у т ь оси з а ц е п л я ю щ и х с я м е ж д у собою кони­
ческихъ зубчатыхъ колесъ. Пересъчемъ началь­
ные к а т к и к о л е с ъ сферою, описанною н з ъ точки О
в з а и м н а г о п е р е с ъ ч е ш я осей. П о л у ч и м ъ в ъ с ъ ч е ш и д в а к р у г а , в з а и м н о касаюшдеся в ъ полюсъ Р
и два зубчатыхъ профиля. Пусть:
Л д а в л е т е зубца на зубецъ по общей
Фиг. 200.
нормали;
7
<Ъ элементъ, проходимый точкою сопрнкосновешя п р о ф и л е й
по профилю одного з у б ц а :
(Ь элементъ, проходимый точкою с о п р и к о с н о в е ш я п р о ф и л е й
по профилю другого з у б ц а ;
Ь дуга, п р о х о д и м а я полюсомъ Р по какой либо и з ъ н а ч а л ь ­
н ы х ъ окружностей, пока д а н н а я п а р а з у б ь е в ъ находится
в ъ с о п р и к о с н о в е н ш . Эта b д о л ж н а быть р а в н а ш а г у ко­
леса, если требуется, чтобы постоянно находилось в ъ
соприкосновенш не м е н е е одной п а р ы з у б ц о в ъ ;
f = коэффищентъ трешя скольжешя;
х д у г а п р о й д е н н а я п о л ю с о м ъ Р по н а ч а л ь н о й окружности
1
о т ъ в с т у п л е ш я з у б ц о в ъ в ъ соприкосновеше ;
»• и
pafliycbt колесъ;
(bp относительное в р а щ е ш е одного колеса, относительно д р у ­
гого около п о л я р н о й оси О Р ;
у п е р п е н д и к у л я р ъ , о п у щ е н н ы й и з ъ Р на образующую, по
которой зубцы (не н а ч а л ь н ы е конусы) соприкасаются.
Не трудно в и д ъ т ь , что
треше =
fN
э л е м е н т а р н а я работа т р е ш я = fN (da — из').
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 151
Работа т р е ш я
зубцовъ
аа все время еонрпкосновешя
=
f
f
данной
пары
da')
X (dz —
С р е д н я я в е л и ч и н а трешя
da')-
Х[Ъ—
,
ь
П н т е г р а л ъ распространяется н а дугу с к о л ь ж е ш я .
Замътпмъ, что:
do — dz' — yd ср.
Относительное в р а щ е ш е dcp (согласно § 177)
вращенш
слагается
изъ
Ч - (- ^
по ф о р м у л е (107), т а к ъ :
d-f =
1
\
d,-
V
R
1
и
8
_,.
" Г
2 T
г д е е у г о л ъ м е ж д у осями колесъ.
средняя величина трешя равна
Поэтому
выведенная
выше
Приблизительно можно положить
Ху
=
Рх,
г д ъ Р д а в л е ш е по касательной к ъ н а ч а л ь н ы м ъ
Тогда среднее треше р а в н о :
окружностямъ.
ь
; у
У
6
1
•
r
\
f
,.'2
a ^
R R
,
P
x
(
b
.
=
J
о
-
f
1
Р
:
>-л1Т^~ТТ~ Гс^
— ь 2 У >а +
г
+ -~тр-~
Но мы в и д е л и , что можно п о л о ж и т ь Ь р а в н ы м ъ шагу.
Следовательно :
г
, _
'
2-^
' ~ "г'
г д е г \\ г' — ч и с л а зубцовъ.
;
г
&г
1
in
V" ^ te'
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 152 —
Поэтому среднее т р е т е б у д е т ъ :
(108).
2
2
* г
' г'
г.г'
Такова формула, по которой в ы ч и с л я е т с я треше к о н и ч е с к и х ъ
зубчатыхъ колесъ.
§ 181. TpeHie цилиндрическихъ
в ъ (108)
зубчатыхъ колесъ.
Полагая
0
г =
получимъ для цилиндрическихъ
среднее т р е т е р а в н о :
зубчатыхъ
колесъ
!- !•)
формулу
0<>9).
если з а ц - Ь п л е т е в н е ш н е е .
Е с л и з а ц ъ п л е ш е внутреннее,
г =
то
180°.
Тогда средне т р е т е р а в н о :
f , P '
Если зацъплеше
1
(110).
1
и р о и с х о д н т ъ у колеса
с ъ рейкою,
д1усъ г' р е й к и р а в е н ъ безконечности, поэтому -V =
0.
то раПоэтому
д л я колеса с ъ рейкою среднее т р е т е р а в н о :
fi:P.
(111).
§ 182. Треугольная винтовая наръзка. И р е д с т а в и м ъ себъ ци­
л и н д р ъ (фиг. 201) и на н е м ъ винтовую л п н ш .
Можно в з я т ь р а в н о б е д р е н н ы й т р е у г о л ь н и к ъ abc
и, п р и л о ж и в ъ его к ъ ц и л и н д р у т а к ъ , чтобы
оеноваше ас ш л о по образующей, т о ч к а а нахо­
д и л а с ь н а в и н т о в о й л и ш и , вести этотъ т р е у г о л ь ­
н и к ъ т а к ъ , чтобы плоскость его постоянно про­
ходила ч р е з ъ ось ц и л и н д р а , т о ч к а ж е а оста­
в а л а с ь постоянно на винтовой л и ш и . Тогда
д в и ж е ш е м ъ т р е у г о л ь н и к а в ы р ъ ж е т с я в ъ про­
с т р а н с т в * т ъ л о , называемое треугольною
винтовою
Ф и г . 201.
нарезкою.
П р и г о т о в л е н н ы й и з ъ какого нибудь
м а т е р ь я л а ц и л и н д р ъ , составляющШ одно ц ъ л о е с ъ такою нар ъ з к о ю , н а з ы в а е т с я вынтомъ съ треугольною
наршкою.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 153 —
Онъ обыкновенно
ственною гайкою.
с о с т а в л я е т ъ винтовую
п а р у с ъ соответ­
§ 183. Прямоугольная наръзка. Можно вести п р я м о у г о л ы ш к ъ
abed (фиг. 2 0 2 ) по ц и л и н д р у т а к ъ , чтобы сторона ah прилегла к ъ
цилиндру, плоскость п р я м о у г о л ь н и к а проходила ч р е з ъ ось ци­
линдра, точка а скользила бы но винтовой
л и ш и . Д в и ж е ш е м ъ такого прямоугольника обра­
з у е т с я прямая
вая
нартзка.
винто­
Ц и л и н д р ъ с ъ пря­
мою н а р е з к о ю назы­
в а е т с я винтомъ
мою
наргьзкою.
Фиг.
202.
съ пря­
Онъ
составляетъ
винтовую пару с ъ со­
ответственною гайкою.
Фиг.
203.
§ 184. TpeHie винтовъ. Представимъ с е б е неподвижный в и н т ъ
и н а н е м ъ г а й к у , в р а щ е ш е м ъ которой можно поднимать к а к о й
нибудь г р у з ъ , в е с ъ котораго в м е с т е с ъ в е с о м ъ г а й к и р а в е н ъ Q.
Пусть (фиг. 203)
К д а в л е ш е н а р е з к и винта на н а р е з к у г а й к и ;
Р в р а щ а ю ш е е y c r a i e , приложенное горизонтально по каса­
тельной к ъ ц и л и н д р у в ъ т о ч к е М;
f коэффищентъ т р е т я скольжешя.
П р о в е д е м ъ : касательную MA к ъ винтовой л н н ш , образую­
щ у ю MB винтовой поверхности получаемой д в и ж е ш е м ъ верх­
ней стороны равнобедреннаго треугольника, дающаго треугольную
н а р е з к у . Т о ч к у А на прямой MA ^ з ь м е м ъ т а к ъ , чтобы каса­
т е л ь н а я UA к ъ поперечному с е ч е н т ц и л и н д р а была
UА
= 1.
П р о в е д е м ъ ч р е з ъ А горизонтальную плоскость.
Т а к и м ъ образомъ мы п о л у ч и л и тетраэдръ
ABUM.
Пусть ß == MBU" = у г л у н а к л о н е ш я образующей винтовой
поверхности н а р е з к и :
а = MAU у г л у н а к л о н е ш я касательной к ъ горизонту.
Опустимъ и з ъ U п е р п е н д н к у л я р ъ UY на плоскость АМВ.
Пусть Y основаше этого п е р п е н д и к у л я р а , л е ж а щ е е в ъ плос­
кости АМВ.
Р а з с м о т р и м ъ силы, действующая на точку M н а р е з к и винта.
Оне б у д у т ъ :
clQ — ч а с т ь г р у з а д е й с т в у ю щ а я на т о ч к у М;
dN = ч а с т ь д а в л е ш я д е й с т в у ю щ а я на точку М\
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 154 —
fdN = ч а с т ь с и л ы т р е ш я , д е й с т в у ю щ а я на точку J / ;
Р=
двигающее yciuiie;
dQ = н а п р а в л е н а в н н з ъ по в е р т и к а л ь н о й образующей ;
dN = н а п р а в л е н а по п р я м о й п а р а л л е л ь н о й UV;
fdN = н а п р а в л е н а по к а с а т е л ь н о й MA.
Можно у с т а н о в и т ь м е ж д у этими с и л а м и два у р а в н е ш я . Пер­
вое и з ъ н и х ъ , п о л у ч и м ъ , в ы р а з и в ъ , что, п р и р а в н о м ъ р н о м ъ д в и ­
ж е н ш в и н т а , сумма
элементарного
пути
воъхъ работ-», за время
тМ, равна
нулю.
прохожденья
Пути проходимые за это в р е м я точками
по н а п р а в л е н ш с а м ы х ъ с и л ъ б у д у т ъ :
П у т ь п р и л о ж е ш я dQ
„
„
точною M
приложешя
= — MCI =
= О
— tga
dN
fdN
=
— AM
=
— sec a
P
=
AU =
1.
силъ
С л е д о в а т е л ь н о у р а в н е ш е работъ б у д е т ъ :
P—fty*.dQ
— ff.seca.âX=0..
Ннтегращя распространяется
рованш получимъ :
P—Q.tga
.
силъ
равна
нулю.
на накую
/dN.
нибудь
(112).
н а всю н а р е з к у . Но интегри-
— fNsec
а =
прямую,
(113).
О
Другое уравнеше получимъ выражая,
вспхъ
.
что сумма
проэкщи
н а п р и м ъ р ъ н а ось ц и л и н д р а ,
Получимъ.
cos (YUM) — fdQ
— f
fdN.
cos (AMU)
= О
откуда, обозначая у г о л ъ UJH ч р е з ъ со, п о л у ч и м ъ
Q — N sin с? - j - fN sin a = 0
(114).
Отсюда :
N
«
sin ср — fsin
a
Вставляя в ъ ( И З ) , получимъ:
Р =
Q . t g *
3
r
1
.
ЦЯ--.
(sin ср — / sin a) cos a
ИЛИ:
P =
Q
ty<x sin cp - f / ' . cos g l
sin cp — fsin i
ВмЪсто у г л а » введел1ъ у г о л ъ 3 помощью
ображешй.
.
. (115).
с л е д у ю щ и х е со-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
155
—
Возьмемъ н а ч а л о к о о р д н н а т ъ в ъ т о ч к ъ U. П р п м е м ъ 1"Л за
ось х\ UB за ось у ; UM за ось г. Тогда у р а в н е ш е плоскости АМВ,
о т с е к а ю щ е й на этихъ о с я х ъ о т р е з к и VA, VB, VM будетъ:
VA
• UM
Iii
'
Но
VA =
un
1
';>i
=
ty?
UM =
ty -x
II ( 1 1 6 ) обращается в ъ :
•*'<</a +У*У?-г
=
Нормаль этой плоскости составляетъ с ъ осями
у г о л ъ , к о с п н у с ъ котораго р а в е н ъ
коордннатъ
1
Этотъ у г о л ъ MUV есть 9 0 ° — -f. Поэтому
1
"III г
.
\ /-/-'a
f tq-'fi
1
Вставляя въ (115) получимъ:
(117).
Q
_
1—
/*шаУГ+tg^a-^ty^Y
Вотъ каково отношеше д е й с т в у ю щ а я по касательной к ъ
внутреннему ц и л и н д р у у с ш и я Р к ъ п р о т и в о д е й с т в ш , направлен­
ному по осп винта, п р и н и м а я во в н и м а ш е т р е ш е винта, если
нарезка треугольная.
С ъ у м е н ь ш е ш е м ъ } у м е н ь ш а е т с я , к а к ъ видно н з ъ ( 1 1 7 ) ,
yciLiie Р потребное д л я п р е о д о д е ш я протнводейств1я Q. Наименьш а я величина отношенш
Р
7
,
оудетъ п р и
то есть п р и п р я м о у г о л ь н о й н а р е з к е . Т о г д а :
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 156 —
Называя чрезъ
у г о л ъ т р е ш я , т а к ъ что
f=tg<f
п о л у ч и м ъ и з ъ (118) д л я п р я м о у г о л ь н о й
^
=
нарезки:
tg(a + W
(119).
Б л а г о д а р я свойству п р е о д о л е в а т ь наибольшая осевыя соп р о т и в л е т я прямоугольная
нарчъзка употребляется в ъ т е х ъ слу­
ч а я х ъ , где в н н т ъ я в л я е т с я частью движущаго механизма.
Напрот и в ъ того в ъ винтахъ
с л у ж а ш и х ъ д л я екргъпленгя ч а с т е й м а ш и н ъ
или зданШ с л е д у е т ъ у п о т р е б л я т ь треугольную
нарпзку.
Е с л и н а р е з к а т р е у г о л ь н а я , но у г о л ъ а м а л ъ ( в ъ в и н т а х ъ
по с и с т е м е W i t h w o r t h ' a а < 30), то м о ж н о п о д ъ р а д и к а л о м ъ
отбросить tga. Т о г д а :
P
tga + fsec ß
JJ
T^ftga^tg?
Полагая
fsec ß = tgS
=
п о л у ч и м ъ д л я обыкновенныхъ в н н т о в ъ с ъ т р е у г о л ь н о й н а р е з к о ю
'
hl (* -
Q
И)
(120).
§ 185. TpeHie червячной передачи. Это т р е ш е м о ж н о , с ъ достаточнымъ п р и б л и ж е ш е м ъ , р а з с м а т р и в а т ь к а к ъ с л а г а ю щ е е с я и з ъ
винтоваго трепля и зубчатаго т р е ш я , е с л и р а з с м а т р и в а т ь з а ц е п л е ш е винта с ъ колесомъ к а к ъ зацепление р е й к и с ъ колесомъ.
Пусть Q полезное сопротивление н а н а ч а л ь н о й о к р у ж н о с т и
колеса, тогда д л я п р е о д о л е ш я его надо, б л а г о д а р я зубчатом}'
трешю, п р и л о ж и т ь н е с к о л ь к о большую с и л у Q', именно такую,
которая выводится по ф о р м у л е (111), т а к ъ ч т о :
З а т е м ъ в в о д я винтовое т р е т е но ф о р м у л е (119), п о л у ч и м ъ :
Р =
Q'tg( +H)
a
=
Q
tgJaA-Щ
r.f
з
Птакъ:
tgia-j-S)
P=Q
, _
(121).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава
XII.
Динамометры.
§ 186. Обыкновенный динамометръ. В е с а м и съ гирями можно
и з м е р я т ь только втзсъ, то есть силу, направленную вертикально.
Д л я изм ьрешя силъ, направленныхъ какъ бы
то ни было, служатъ особые приборы, назы­
ваемые динамометрами.
ПростъйшШ динамо­
метръ (фиг. 204) состоитъ и з ъ упругой пла­
стинки ABCD, несущей на себъ д в а выступа
а и Ь которые соединены помощью шарнировъ
съ перемычкою т. На этой п е р е м ы ч к ъ насажена
с т р е л к а и къ динамометру прид-Ьланъ циферблатъ съ д-Ьлешями.
П о л о ж и м ъ , мы желаемъ и з м е р и т ь тягу лошади — силу, съ
которою лошадь тянетъ телъту. Д л я этого мы зацъпляемъ конецъ В динамометра за крюкъ валька, отъ котораго идутъ
постромки лошади; конецъ-же D динамометра зацъпляемъ за тел ъ г у , такъ что тяга лошади передается чрезъ динамометръ. П р и
этомъ упругая пластинка растягивается въ направлеши BD и с ж и мается въ направлеши АС, вслъдств!е чего стрълка отклоняется.
Д ъ л е ш я на циферблатъ наносятся при самомъ изготовленш
динамометра такъ. Подвтшшваютъ динамо­
метръ за конецъ В и надъваютъ на конецъ D
различный гири, в £ с ъ которыхъ и отмтЬчаютъ
по соотв"Бтственнымъ отклонешямъ стртзлки
на циферблатъ.
§ 187. Записывающей динамометръ Сакка.
Д л я болыпаго удобства устраиваютъ таше ди­
намометры, которые записываютъ свои показашя, которыя затъмъ могутъ быть прочитаны
въ спокойномъ состоянш, а не во время передвижешя, когда за показашями стрълки трудно
у с л а д и т ь . Однимъ и з ъ лучшихъ динамометровъ этого рода можно признать динамо­
метръ Сакка СЪ рОЛИКОМЪ (фиг. 2 0 5 ) . ЭТОТЪ
фиг. 205
г
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
инструмента» состоитъ и з ъ ш а р н н р н а г о восьмистороынпка: между
сторонами А и В п о м е щ а е т с я с и л ь н а я с п и р а л ь н а я п р у ж и н а , внутри
которой п р о х о д и т ь з а к р е п л е н н ы й на с т о р о н е Л и п р о х о д я ш ш
с к в о з ь окошко стороны В стержень. Стороны С и 1) с д е л а н ы в ъ
в и д е т р е у г о л ь н н к о в ъ . Отъ С и д е т ъ ш т а н г а СМ, н е с у щ а я на своемъ
о т р о с т к е к а р а н д а ш ъ М. На I) у с т р о е н ъ б а р а б а н ь Л , на которы/i
н а в е р т ы в а ю т ь полосу бумаги р а з д е л е н н о й на квадратные милли­
метры. Б а р а б а н ь этотъ соединенъ ч е р в я ч н о ю передачею с ъ ролпкомъ
на который намотана п р и к р е п л е н н а я к ъ нему однимъ
концомъ бичевка.
у
Во в р е м я и з м е р е ш й д и н а м о м е т р ъ з а ц е п л я ю т ъ о д н и м ъ крюкомъ за в а л е к ъ несущШ постромки, д р у г и м ъ , н а п р и м е р ъ , за п л у г ъ .
РабочШ з а с т а в л я е т ъ л о ш а д ь т а щ и т ь посредствомъ в а л ь к а н ди­
намометра п л у г ъ , а свободный к о н е ц ъ бичевки отъ р о л и к а зак р е п л я ю т ъ з а к о л ы ш е к ъ , вбитый в ъ землю. При у д а л е н ш плуга
с ъ дннамометромъ отъ к о л ы ш к а , бичевка сматывается с ъ ролика.
вследств1е чего р о л и к ъ в р а щ а е т с я и п р и в о д и т ь во в р а щ е ш е ба­
р а б а н ь . П е р е д а ч а р а з с ч и т а н а т а к ъ , что п р и п р о х о д е к а ж д а г о
метра п л у г о м ъ к а р а н д а ш ъ п р о в о д и т ь на б а р а б а н е черту в ъ 1 сант и м е т р ъ . Отъ р а с т я ж е ш я я^е динамо­
метра к а р а н д а ш ъ пдетъ по барабану
в ъ и е р п е н д и к у л я р н о м ъ к ъ упомяну­
той ч е р т е н а п р а в л е ш и . При совмт»стф
н о м ъ д е й с т в ш р о л и к а и динамометра
п о л у ч а е т с я к р и в а я , абсциссы которой
пропорциональны п у т и пройденному плугомъ, а ординаты пропорщ о н а л ь н ы т я г е (фиг. 206).
и г
. 206.
Не трудно в и д е т ь , что э л е м е н т а р н а я п л о щ а д ь , о г р а н и ч е н н а я
кривою, осью а б с ц и с с ъ и с о с е д н и м и д в у м я ординатами, пропорщон а л ь н а элементарной р а б о т е . П л о щ а д ь ж е , о г р а н и ч е н н а я кривою,
осью а б с ц и с с ъ и к а к и м и н и б у д ь д в у м я ординатами, пропорцио­
н а л ь н а р а б о т е за соответственное в р е м я . Д е л я эту п л о щ а д ь на
р а з с т о я ш е между к р а й н и м и ординатами, п о л у ч и м ъ среднюю ве­
л и ч и н у в с е х ъ ордината», пропорциональную средней тяги,.
§ 188. Нажимъ Прони. И з ъ весьма многочисленныхъ с н а р я д о в ъ , с л у ж а щ п х ъ д л я о п р е д е л е ш я мощности (числа N п а р о в ы х ъ
л о ш а д е й ) паровой м а ш и н ы и л и вообще какого либо в р а щ а ю щ е г о с я
вала, самый простой это нажимъ
Ргопу.
На к о н е ц ъ О г л а в н а г о в а л а паровой м а ш и н ы надъваготъ
н а ж и м ъ , состояний (фиг. 207) и з ъ д в у х ъ д е р е в я н н ы х ъ п о д у ш е к ъ .
и з ъ к о и х ъ в е р х н я я н м е е т ъ д в а отростка. П о д у ш к и прижимаются
кт» валу подвпнчиваш'емъ п р о х о д я щ н х ъ с к в о з ь н п х ъ болтовъ.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отъ степени п а ж и м а ш я и о д у ш е к ъ на в а л ъ , к а к ъ будетъ
видно н и ж е , р е з у л ь т а т ъ измърен1я з а в и с и т ъ только в ъ томъ
отношеши, что при с л п ш к о м ъ слабомъ н а ж а т ш н а ж н м ъ не ока­
ж е т е никакого вл1яш я на число оборо­
товъ вала.
Чтобы
нажимъ
не производилъ полныхъ вращенш, подъ
отростки подставля­
Ф и г . 207.
ются козлы А и В.
И з м е р е ш е производится т а к ъ . П о д в и н ч и в а ш е м ъ болтовъ при­
ж и м а ю с ь п о д у ш к и н а ж и м а довольно сильно к ъ в а л у . ВслЪдств1е
этого н а ж и м ъ у в л е к а е т с я т р е ш е м ъ вала и н а п и р а е т ъ на А . Тогда
на к о н е ц ъ отростка M н а к л а д ы в а ю с ь г р у з ъ до с в х ъ поръ, пока
дъйств1е г р у з а не у р а в н о в е с и т с я с ъ дЪиствьемъ т р е ш я . При н е ­
которой с н а р о в к ъ , у п р а в л я я и грузомъ и з а ж и м н ы м и болтами,
можно достигнуть того, что н а ж н м ъ не будетъ не только напи­
рать п и на одинъ и з ъ козловъ, но д а ж е и п р и к а с а т ь с я к ъ н и м ъ .
Необходимо, чтобы во время и з м е р е ш я м а ш и н а не произво­
д и л а никакой полезной работы, к р о м е п р е о д о л е ш я трешя на­
ж и м а . Е с л и м а ш и н а д е л а е т ъ 180 оборотовъ в ъ минуту, то надо
к л а с т ь такой г р у з ъ , который д о в о д и л ъ бы ее до 150 пли д а ж е
до м е н ь ш а г о ч и с л а оборотовъ. Но доведемъ л и мы ее до Г2о
оборотовъ б о л ы н и м ъ г р у з о м ъ пли до 150 м е н ы и н м ъ грузомт,.
результаты будутъ одинаковы.
Пусть :
2V определяемое число паровыхъ л о ш а д е й :
il ч и с л о оборотовъ в ъ минуту п р и д е й с т в ш н а ж и м а ;
В сила д а в а е м а я в а л о м ъ на его окруяшостн в ъ kilogr.;
г радхусъ в а л а в ъ м и л л и м е т р а х ъ ;
Вг моментъ в а л а :
Q ъъсъ г р у з а и несущей его ч а ш к и в ъ kilogr.
q плечо этого груза в ъ м и л л и м е т р а х ъ ;
Q' в е с ъ н а ж и м а в ъ kilogr.:
q' плечо этого в е с а в ъ м и л л и м е т р а х ъ = р а з е т о я н ш центра
т я ж е с т и н а ж и м а отъ вертикали п р о х о д я щ е й ч р е з ъ центръ вала.
И м е е м ъ по ф о р м у л е (97) п а р а г р а ф а 167-го
2-г.п.Р
6Ö775. 100(1
9
( '
Но н а ж н м ъ п о в о р а ч и в а е т с я в ъ одну сторону моментомъ
Ь
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 160 —
в ъ другую сторону о н ъ п о в о р а ч и в а е т с я моментомъ
Qo + Q'q'.
Следовательно, при равновъсш нажима
Pr
=
Qq+Q.'q'
(122).
Вставляя в ъ (97), получимъ:
4-n(Qn-\-Q'q')
15^_r._?_-Li
N =
(123)..
к
60.75.1000
'
В е л и ч и н ы : п, Q, Q', q, q' легко и з м е р и т ь и по н и м ъ по­
мощью ( 1 2 3 ) о п р е д е л и т ь Л .
Моментъ о п р е д е л и т с я формулою ( 1 2 2 )
7
2 1 =
P r =
(124)
Qq-4-Q'q'
И з ъ ( 9 7 ) и ( 1 2 4 ) в ы в е д е м ъ кстати соотношеше
2~п.
M
6 0 . 75 . 1 0 0 0
(125).
Н а ж и м ъ пронп неудобно употреблять п р и - Л > 30 : перегор я т ъ подуглки. Но т е о р ш его не только з н а к о м и т ь ближе с ъ
формулами ( 9 7 ) и ( 1 2 5 ) И М Е Ю Щ И М И самое к а п и т а л ь н о е з н а ч е ш е
в ъ п р а к т и к а , но и д а е т ъ основаше д л я п о н и м а ш я дъйетлия всяк и х ъ д р у г и х ъ и з м е р н т е л ь н ы х ъ п р и б о р о в ъ о п р е д е л я ю щ и х ъ N*).
§ 189. Способъ Навье. В м е с т о н а ж и м а Прони можно поль­
зоваться д л я определения м о щ н о с т и в р а щ е ш я вала (если о н а не
особенно велика) р е м н е м ъ и обыкновеннымъ дннамометромъ,
о п и с а н н ы м ъ в ъ § 1 8 5 - о м ъ . П е р е к и д ы в а ю т ъ ремень ч р е з ъ ш к и в ъ
з а к р е п л е н н ы й н а г л у х о н а в а л у , мощность в р а щ е ш я котораго ж е д а ю т ъ о п р е д е л и т ь (фиг. 2 0 8 ) . К о н е ц ъ А р е м н я
п р и ц е п п я ю т ъ к ъ крюку динамометра D, дру­
г о й к р ю к ъ котораго у к р е п л я ю т ъ неподвижно ;
на д р у г о й к о н е ц ъ В р е м н я н а в е ш и в а ю т ъ
столько г р у з у , чтобы у м е н ь ш и т ь число оборотовъ в а л а в ъ минуту до о п р е д е л е н н а я
ч и с л а п (это п произвольное число, подчи­
ненное только тому у с л о в ш , чтобы оно было
з н а ч и т е л ь н о м е н ь ш е ч и с л а оборотовъ вала
н е п р о и з в о д я щ а г о н и к а к о й полезной работы и
не з а м е д л я е м а г о т р е ш е м ъ р е м н я AB). РаспоФ и г . 208.
д о ж и т ь р е м е н ь н у ж н о т а к ъ , чтобы в р а щ е ш е
7
*) У в е л и ч и в а я Q п р и д е т с я , д л я д о с т и ж е т я д и н а м и ч е с к а г о р а в н о в ъ й я
нажима, з а т я н у т ь болты, вс.тЬдств1е ч е г о у м е н ь ш и т с я п. Оно у м е н ь ш и т с я на­
столько, что п о л у ч и т с я то-же N. Здт>сь нзм-Ьнеше Q к о м п е н с и р у е т с я и з м ъ н е ш е м ъ ».
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
161
-
шкива стремилось поднимать г р у з ъ к а к ъ это указано на ч е р т е ж *
(фиг. 2 0 8 ) стрълкою. Обозначая ч р е з ъ Q груз!,, п р и в ъ ш а н н ы й на
концъ В ремня, ч р е з ъ Р н а т я ж е ш е , показываемое динамометром!,
ч р е з ъ F треше ремня о ш к п в ъ , и м е е м ъ :
Q — Р — F.
Е с л и г рад1усъ ш к и в а в ъ метрахъ, то мощность вала X в ъ
паровыхъ л о ш а д я х ъ будетъ
N
_
^r(Q-P)
60 . 75
Д л я опредълен1я б б л ь ш и х ъ мощностей ремень можно з а м е ­
нить ж е л е з н о ю полосою и, к а к ъ это д е л а л ъ Вейсбахъ, поместить
в ъ т о ч к е А точку п р и в е с а г р у з а д е с я т п ч н ы х ъ в е с о в ъ .
§ 190. Трансмиссионный динамометръ Гашетта. Иногда тре­
буется о п р е д е л и т ь мощность, передаваемую о т ъ двигателя к ъ
какому нибудь станку. В ъ т а к и х ъ с л у ч а я х ъ эта передаваемая
мощность и з м е р я е т с я особыми динамометрами, называемыми трансмиссюнными. К ъ такого рода диыамометрамъ п р и н а д л е ж а т ь динамометрическш
безменъ
Гашетта.
Онъ состоитъ и з ъ безмена
АСВ
(фиг. 2 0 9 ) , к ъ которому
помощью в и л к и D под­
вешивается
ПОДИ1НИн н к ъ зубчатаго колеса
EF.
Съ колесомъ EF
находятся в ъ з а ц т ш л е Hin два колеса К и X,
f
и з ъ которыхъ одно вра­
щается двигателемъ, а
другое передаетъ дви­
ж е т е станку оказывающему сопротивлеше Q, действующее но
окружности ш к и в а L с о е д и н е н н а я н е и з м е н я е м о с ъ колесомъ X.
Д в и г а т е л ь д а е т ъ силу Р д е й с т в у ю щ у ю по окруяшости ш к и в а M
н е и з м е н я е м о с о е д и н е н н а я с ъ колесомъ К.
Примемъ с л е д у ю и ц я о б о з н а ч е ш я :
« = раддусъ ш к и в а М:
b = раД1усъ ш к и в а L;
г = рад1усъ колеса К;
г' = рад1усъ колеса X;
В = сила, с ъ которою зубцы колеса К д а в я т ъ на зубцы ко­
л е с а EF.
В' = сила, с ъ которою зубцы колеса Л д а в я т ъ на зубцы ко­
л е с а EF.
т
ДЕЛОНЕ. ~ Практическая м е х а м и » .
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
162
—
И з ъ р а в е н с т в а моментовъ и м ъ е м ъ :
г
В> =
®
г
Д л я равновъс1я колеса EF необходимо с л ъ д у е т ъ
R =
R'.
С л е д о в а т е л ь н о г р у з ъ , д е й с т в у ю щ Ш на безменъ в ъ т о ч к и В,
будетъ
Z =
R -f- R' =
2R.
Эта сила Z о п р е д е л я е т с я б е з м е н о м ъ ; з н а я ее и м е е м ъ :
Р = ~
Ä =
а
^
~
а
2
(126).
Е с л и п — ч и с л о оборотовъ в ъ минуту колеса К, то мощ­
ность передаваемая с т а н к у будетъ о п р е д е л я т ь с я по ф о р м у л е
2~я. п . Р
-N
=
60 . 75
П о д с т а в л я я , в м е с т о Ра, его з н а ч е ш е и з ъ (126), п о л у ч и м ъ :
K.n.r.Z
N
=
„.
( 1 2 8
60.75
>-
Эта формула, однако, не т о ч н а , потому что п р и в ы в о д е е я
мы не обратили в н и м а ш е на т р е т е ч а с т е й динамометра. В ъ д е й ­
ствительности R' всегда немного м е н е е R, вследCTBie ч е г о jR
немного б о л е е у ; мощность ж е в ы ч и с л я е м а я по ф о р м у л е ( 1 2 8 )
немного м е н е е д е й с т в и т е л ь н о й .
Д л я п о л у ч е ш я точной в е л и ч и н ы N поступаютъ т а к ъ : полагаютъ:
-к
=f
(1 - f
*
= #
(1-so
v)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
—
163
г д е и- п о д л е ж а щ е е опытному онредълешю
чимъ
Q =
r
Z_
и
' 2~
r'
Z
число;
затвмв
полу­
{i
р_
(1 —
Q
ii)
.r' . а
Отсюда:
Par' — Qhr
Par' -4- Qbr
(129).
Д е л а е м е предварительный опытъ п р и л а г а я к ъ динамометру
з а р а н е е и з в е с т н ы я и у р а в н о в е ш и в а ю щ а я с я на н е м ъ силы Р и Q,
по которымъ и о п р е д е л я е м ъ у. и з ъ формулы (129). З а т ъ м ъ , у з н а в ъ
такимъ образомъ свойственное данному динамометру число
опред'ьляемъ помощью его передаваемую мощность по ф о р м у л е :
N
= (1 f р) тсиг .
60 . 75
(130).
§ 191. Трансмиссшнный динамометре Уайта и Батшельдера.
У а й т е (White), з а м е н и в е в е динамометре Гашетта лобовыя
колеса коническими, п о л у ч и л е бо­
л е е компактный д и н а м о м е т р е , кото­
р ы й потоме еще у л у ч ш е н ъ былъ
Б а т ш е л ь д е р о м ъ и теперь и м е е т е
в и д е , представленный на ч е р т е ж е — Т Е ] — I L
(фиг. 210).
З д е с ь среднее колесо динамо­
метра Гашетта з а м е н е н о д в у м я
коническими колесами В и В.
Фиг. 210.
На коротки! к о н е ц е осп этихъ ко­
уравиовешпвающгй тяжесть
л е с ъ н а д е в а е т с я п р о т и в о в е с е С, уравновЪшпвающШ
д л и н н а г о конца D этой оси, д л и н н ы й - ж е к о н е ц е D этой оси
с л у ж и т е безменоме (на него н а д е в а е т с я г и р я и з м е р я ю щ а я д е й CTBie прибора). Б о к о в ы я колеса и ш к и в ы динамометра Гашетта
з а м е н е н ы колесами R' и В. и ш к и в а м и 8' и 8. . К р о м е того на
оси ВВ н а д е т ы холостые ш к и в ы
и 6У, на которые переводяте
ремни, когда в ы в о д я с ь д и н а м о м е т р е и з е передачи.
U
2
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава
XIII.
Механическая работа человека и
животныхъ.
§ 192. Обшдя замъчашя. С и л а ч е л о в е к а и ж и в о т н ы х ъ упо­
требляется д л я с о о б щ е ш я д в и ж е ш я м а ш и н а м е — к а к ъ и д р у п я
силы природы. Только п о д с ч е т ъ м у с к у л ь н о й силы с о д е р ж и с ь в ъ
с е б е много э м п и р и ч е с к а г о , потому что мы з д е с ь и м е е м ъ д е л о
с ъ ф и з ю л о г и ч е с к и м и процессами е щ е недостаточно выясненными.
Б о л е е всего в ъ м а ш и н н о м ъ деле употребляется м у с к у л ь н а я сила
ч е л о в е к а , л о ш а д и , вола, м у л а и осла.
§ 193. Наивыгоднейвня величины. Б л а г о д а р я особенностямъ
строешя э т и х ъ о р г а н и з м о в ъ они даютъ наибольшее ч и с л о килограмметровъ работы п р и н е к о т о р ы х ъ п о с т о я н п ы х ъ д л я к а ж д а г о
индивидуума в е л и ч и н а х ъ :
h силы, п р и л о ж е н н о й к ъ м а ш и н е и доставляемой двигающимъ органомъ животнаго.
с скорости двигающаго органа *).
t ч и с л а ч а с о в ъ работы в ъ сутки, с ч и т а я только ч а с ы д е й ­
ствительной работы, но не ч а с ы отдыха, п е р е д в и ж е ш я к ъ
м е с т у работы н п р о ч .
Напримеръ для в с е х ъ упомянутыхъ организмовъ:
t = 8 ч а с а м ъ в ъ сутки.
Т а к ъ что, з а с т а в л я я работать ч е л о в е к а и л и ж и в о т н о е б о л е е
8 ч а с о в ъ в ъ сутки (механически), мы п о л у ч и м ъ в ъ первые д н и
большее число к и л о г р а м м е т р о в ъ , но в с к о р е оно з н а ч и т е л ь н о
у т е н ы н и т с я и с т а н е т е м е н е е того, какое п о л у ч и л о с ь п р и восьми­
часовой р а б о т е . Конечно, о т д е л ь н ы е и н д и в и д у у м ы способны н а
большее, но мы д а е м е - с р е д ш я ц и ф р ы п з е б о л ы н а г о ч и с л а на­
блюдший.
*) В ъ м е т р а х ъ в ъ с е к у н д у .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 165 И з ъ большаго ч и с л а наблюденШ Горстнеръ составилъ с л ъ дующую таблицу, гд Ь:
г
g в ъ с ъ о р г а н и з м а ( ч е л о в е к а или животнаго) в ъ килограммахъ.
Е ч и с л о кплограмметровъ, д а в а е м ы х ъ в ъ секунду.
Л число кплограмметровъ, д а в а е м ы х ъ в ъ сутки, при восьми­
часовой работъ.
к = тяга, показываемая динамометромъ в ъ килограмм.
0
0
к
9
Человъкъ
Лошадь.
Волъ. .
Оселъ .
. .
. .
. .
. .
70
. 375
300
. 180
14
56
56
35
47
с
0,70
1,25
0,70
0,70
1Д
А
11
316800
70 2,016000
44 1,227200
27
792000
52 1,497000
Е
0
§ 194. Правило Машека. Что будетъ, если мы будемъ отсту­
пать отъ н а и в ы г о д н е й ш и х ъ в е л и ч н н ъ , если
в м е с т о постояннаго к возьмемъ какое нибудь Р
Механика не м о ж е т ъ дать ответа на этотъ в о п р о с ъ : о н ъ ,
благодаря в м е ш а т е л ь с т в у ф и з ш л о г ш , еще очень теменъ. Прихо­
д и т с я и з ъ множества наблюденШ устанавливать эмииричесше
законы и формулы. Д л я сравнительно неболыиихъ отетуплешй
отъ к, с и t д а е т ъ удовлетворительные результаты с л е д у ю щ е е
п р а в и л о ч е ш с к а г о у ч е н а г о Машека,
При данномъ увеличении
(или у м е н ы п е н ш ) на х
процентовъ
одной изъ величинъ
к, с, t, надо обт остальных
у.ченьшипи,
(или
у в е л и ч и т ь ) во совокупности
на столько-же процентовъ,
чтобы полу­
чить лучшгй изъ остающихся
въ возможности
результатявъ.
На­
п р и м е р ъ : у м е н ь ш и м ъ < = 8 на 25°/о, то есть будемъ работать не 8,
а только б ч а с о в ъ в ъ с у т к и ; тогда д л я л у ч ш а г о результата (для
наибольшаго ч и с л а килограмметровъ в ъ сутки), можно, напри­
м е р ъ , у в е л и ч и т ь скорость на 5 процентовъ и т я г у на 20 про­
центовъ т а к ъ , чтобы совокупность у в е л и ч е ш й была 20 + 5 = 25 ;
опять 25%.
§ 195. Формула Машека. Б о л е е точные результаты (при не­
б о л ы и и х ъ о т к л о н е ш я х ъ отъ к, с, t) д а е т ъ формула Машека.
р
3
=*( -!-т)
При б о л ы п и х ъ у к л о н е ш я х ъ отъ к, с, t н и правило, ни фор­
м у л а Машека н е г о д я т с я . Л о ш а д ь , (для которой к = 56 = почти
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 166 - •
4 п у д а м ъ т я г и на динамометръ, при 8 часовой р а б о т * и ско­
рости 1,25 в ъ с е к у н д у ) - - м о ж е т ъ в ъ т е ч е н ш н ъ с к о л ь к и х ъ секундъ
н а п р я г а т ь с я т а к ъ , что п о к а ж е т ъ н а динамометръ 32 пуда. Ч е л о в * к ъ , д л я котораго £ = 1 4 (меньше пуда) — м о ж е т ъ свободно под­
н я т ь 3 пуда.
§ 196. Дополнительное правило Машека. И з ъ м н о г и х ъ наблю­
денШ М а ш е к ъ еще в ы в е л ъ с л ъ д у ю щ е е п р а в и л о .
Если
машина,
не преодолтватщая
полезнаго
сопротивленгя,
требу етъ приложешя
къ рукоятка
силы R, то
наивыгодтьйтее
дпйствге, при
которомъ
будетъ совершено наибольшее
число
килограмметровъ
полезной работы при нагрузкгь машины
полезнымъ
сопротивлетемъ
*) будетъ при приложение
силы
+ f
(132).
К р о м ъ того, д л я р а з л и ч н ы х ъ н р и в о д о в ъ , то есть приспособл е ш й п р и н и м а ю щ и х ъ на себя м у с к у л ь н у ю силу, б у д у т ъ р а з л и ч ­
ные к, с и t. Это мы и р а з с м о т р и м ъ .
§ 197. Тяга каната по горизонтальному пути. Е с л и ч е л о в ъ к ъ
поднимаетъ г р у з ъ помощью блоковъ, и д я по горизонтальному
пути и т а щ а к а н а т ъ , то
к = 12,5
2
с
=
- j метр.
t = б ч а с о в ъ в ъ сутки.
А = 180000 kilogrmetr.
0
в ъ сутки п р и 6 часовой работ*.
Ч * м ъ большее ч и с л о людей т я н у т ъ , т * м ъ меньшее д*йств1е
д о с т а в л я е т е к а ж д ы й ч е л о в * к ъ , ибо онъ же и м ъ ш а е т ъ сос*ду.
§ 198. Вытягиваше ведра изъ шахты з а канатъ. З д * с ь н у ж н о
перехватывать р у к а м и к а н а т ъ , всл*дств1е чего р у к а , п р и д е р ж и ­
в а ю щ а я к а н а т е , пока д р у г а я р у к а его перехватываетъ, у с т а н е т е ,
не п р о и з в о д я н и одного к и л о г р а м м е т р а работы. Поэтому з д * с ь
п о л у ч а е м ъ малую в е л и ч и н у :
А =
80000.
§ 199. Работа на копр*. К о п р о м ъ н а з ы в а е т с я приспособлеше,
состоящее и з ъ д в у х ъ в е р т и к а л ь н ы х ъ б р у с ь е в ъ с ъ х о д я щ е ю м е ж д у
н и м и т я ж е л о ю гирею, называемою бабою. Отъ бабы и д е т ъ к а н а т ъ
*) То есть, когда мы заставимъ ее исполнять ту работу, для которой она
предназначается.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
перекинутый ч р е з ъ блокъ и р а з в е т в л е н н ы й на н е с к о л ь к о верев о к ъ ; рабоч)е т я н у т е за эти веревки и п о д н и м а е т е общими усил1ями бабу, потоме быстро ослабляюте т я г у (отдаюте веревки);
баба п а д а е т е и у д а р я е т е сваю, д л я забивки которой в е землю и
употребляется к о п е р е . З д е с ь
подача = в ы с о т е п о д н я п я б а б ы = 1,2 metr.
Р =
17
А =
58000
§ 200. Непосредственный подъеме и опускаше бабы за ру­
коятки.
П р о ф е с с о р е H e r m a n n з а м е ч а е т е , что весьма важное з н а ч е Hie и м е е т е першдичность работы и отдыха и приводить с л е д у ­
ющее н а б л ю д е т е : 4 работника поднимали з а 4 р у к о я т к и бабу в е
56 kilogr. и опускали ее. В с я ш й р а з е поднимали на высоту 1,25
m e t r . Производили 3 4 подъема в ъ минуту; но при этомъ п о с л е
к а ж д ы х ъ 2 6 0 с е к у н д е работы с л е д о в а л ъ о т д ы х е в е 2 6 0 с е к у н д е .
Получилась в ы с о к а я работа:
4 =
178520.
У насе вместо 2 6 0 секунде
Ж е л а т е л ь н ы точныя и з м е р е ш я .
служите песня
„Дубинушка".
§ 201. Кривошипъ. Н а и в ы г о д н е й ш Ш щМемнике мускульной
силы ч е л о в е к а это к р и в о ш и п е ( в р а щ а е м а я
рукоятка). Д л я того, чтобы и м е удобно было
работать, его надо у с т р а и в а т ь т а к е , чтобы
в р а щ а е м ы й и м е в а л е А (фиг. 2 1 1 ) б ы л е
н а в ы с о т е 8 0 сантиметровъ отъ пола, на
которомъ с т о и т ь рабочШ и чтобы р у ч к а АС
была в ъ 4 0 сантиметровъ длины.
Здесь
к=
ю kilogr. в ъ н а п р а в л е н ш
движешя руки;
с = ш . г = 1 metr.
t = 8
А =
200000.
Ф п г . 211.
§ 202. Рычагъ. На п о ж а р н ы х ъ трубахъ, н а п р и м е р е , ч е л о в е к е
работаете р ы ч а г о м е .
Р ы ч а г е у д о б е н е д л я работы тогда, когда его т о ч к а опоры
находится на в ы с о т е 8 0 сантнметрове (высота бедреннаго верт-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
—
168
—
люга) н а д ъ п о л о м ъ , н а которомъ стоить рабочШ. У г о л ъ размаха
не болъе 60°; хорда д у г и , проходимой руками = l metr. Тогда:
h—
6
б
А =
144000.
§ 203. Тяга лошади. З а п р я ж е н н а я в ъ э к и п а ж ъ и л и в ъ какое
нибудь сельскохозяйственное оруд1е л о ш а д ь преодолеваете, только
тренде к о л е с ъ о дорогу и л и полезное сопротнвлеше, д л я котораго
предназначено opyflie, а не т я ж е с т ь э к и п а ж а и л и оруд1я.
Д л я того чтобы везти т е л е г у , которая в ъ с и т ъ в м ъ с т ъ с ъ
г р у з о м ъ 5 0 п у д о в ъ , но шоссе, л о ш а д ь п р о и з в о д и т ь , к а к ъ это
п о к а з ы в а е т ъ динамометръ, горизонтальную тягу п у д о в ъ в ъ 5.
Д л я провоза той яге т е л ъ т и с ъ т ъ м ъ ж е г р у з о м ъ по худой до­
р о г е потребуется б о л ь ш а я тяга, а д л я провоза того ж е предмета
но рельсамъ — м е н ь ш а я тяга. П р и п р о в о з а по той-же д о р о г е т я г а
будетъ т ъ м ъ больше, ч ъ м ъ з н а ч и т е л ь н е е н а г р у з к а т е л е г и , по­
тому что с ъ у в е л и ч е ш е м ъ д а в л е ш я у в е л и ч и в а е т с я и треше.
При 8-часовой работе л о ш а д ь м о ж е т ъ дать работы тягою
2000000 kilogrammetr.
в ъ сутки.
Ч е м ъ г о р и з о н т а л ь н е е и д у т ъ постромки (или оглобли, и л и
дышло) т е м ъ большую г о р и з о н т а л ь н у ю слагающую даетъ т я г а
лошади, а именно эта-то г о р и з о н т а л ь н а я с л а г а ю щ а я и везетъ.
Но п р и плохой д о р о г е и л и д а ж е н а мостовой п е р е д н и м ъ
колесамъ п р и х о д и т с я безпрестанно в ъ е з ж а т ь на п р и г о р к и и л и
к а м н и ; д л я этого надо к а к ъ бы приподнимать п е р е д о к ъ , н у ж н а
еще н е к о т о р а я в е р т и к а л ь н а я с л а г а ю щ а я , которая будетъ те.мъ
б о л ь ш е , ч е м ъ больше н а к л о н ъ постромокъ (оглобель, дышла). По­
этому на совершенно г л а д к о й д о р о г е горизонтальный постромки
самыя п о л е з н ы я . Ч е м ъ х у ж е дорога, т е м ь большую п о л ь з у до­
с т а в и т ь п о д ъ е м ъ п е р е д н я г о к о н ц а постромокъ.
§ 204. Конный приводе. Конный п р и в о д ъ состоитъ (фиг. 212,
213) и з ъ в е р т и к а л ь н а г о вала, отъ котораго
и д у т ъ горизонтальные к р е п ш е брусья,
Фиг. 212.
Фиг. 213.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 169 —
водила. К ъ в о д и л а м ъ припрягаются л о ш а д и , которыя ходятъ по
круговой д о р о г ъ и в р а щ а ю т ъ этимъ в а л ъ снабженный зубчатою
передачею н а paöonifl машины, (нанрим'Ьръ, на молотилку).
Приводы бываютъ высоте, в ъ которыхъ нижнШ ш п п ъ вала
в р а щ а е т с я в ъ п о д п я т н и к ъ , а в е р х ш й в ъ особомъ очкт, устроеннаго
в ъ потолкъ навпса, з а щ и щ а ю щ а г о л о ш а д е й отъ д о ж д я .
Б ы в а ю т ъ т а к ж е н и з ш е приводы, в ъ которыхъ верхшй ко­
н е ц ъ вала выступаетъ и з ъ т я ж е л а г о чугуннаго стана и находится
на высотъ хомута л о ш а д и .
З у б ч а т а я передача составляющая часть привода можетъ
быть устроена к а к ъ указано на (фиг. 213). Горизонтальный пере­
даточный в а л ъ CD укладывается в ъ канавку, вырытую в ъ землъ
и п р и к р ы в а е т с я доскою Д чтобы л о ш а д и не н а т к н у л и с ь на этотъ
в а л ъ . В ъ g устраивается универсальный ш а р н и р ъ Гука.
На п р и в о д ъ л о ш а д ь , и д я по кругу, д о л ж н а д е л а т ь м е н ы ш е
ш а г и ногами б л и ж а й ш и м и к ъ центру и б о л ы ш е ногами далъе
отстоящими отъ центра. Поэтому ей не т а к ъ удобно работать на
п р и в о д ъ к а к ъ обыкновенного тягою; оттого з д ъ с ь получается
только :
А — 1150000
к = 45
с = 0,9.
К о э ф ф и щ е н т ъ п о л е з н а я дъйств1я привода около 0,8, с ч и т а я
все треше до самаго ш а р н и р а Гука д.
§ 205. Топчакъ. Теперь в ъ болыномъ ходу особые конные
приводы, называемые топчанами.
Т о п ч а к ъ состоять и з ъ колеса
(фиг. 214) на ободъ котораго сдъланы впадины. Ч р е з ъ это колесо
перекидывается, на подоб1е ремня, система брусьевъ с в я з а н н ы х ъ
между собою ш а р н и р а м и . Ш и п ы ш а р н и р о в ъ выступаюгъ с ъ одного
бока и могутъ з а ц ъ п л я т ь с я
со впадинами колеса. На
этихъ ж е ш и п а х ъ надъты
ролики.
Устроена весьма
п р о ч н а я н а к л о н н а я плат­
форма, на которую упираются
ролики той ч а с т и подвиж­
н а я брусковаго безконечнаго полотна, которая идетъ
н а д ъ плотформой. Н а эту
часть полотна ставится ло­
ш а д ь . Вслт>дств1е тяжести
л о ш а д и полотно с к о л ь з и т ь
Фиг. 214.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
по н а к л о н н о й п л а т ф о р м а и выступы ш и п о в ъ , з а ц е п л я я с ь с ъ коле­
сомъ, п р и в о д я т ъ его во в р а щ е ш е , а отъ колеса работа передается
какою угодно передачею р а б о ч и м ъ м а ш и н а м ъ . Л о ш а д ь п р и в я зываютъ з а у з д е ч к у к ъ п е р и л а м ъ , т а к ъ что она работаетъ к а к ъ
б е л к а в ъ к о л е с е , п р о и з в о д я д в и ж е ш я тагая, к а к ъ будто взбирается
по н а к л о н н о й п л а т ф о р м е .
Н а к л о н е п л а т ф о р м ы не д о л ж е н е быть б о л е е 15°. Колесо
д о л ж н о быть снабжено тормазоме, д л я того чтобы п р и о б л е г ч е н ы
полезной н а г р у з к и рабочей м а ш и н ы , можно было не допустить
скорость топчака у в е л и ч и т ь с я до п р е д в л о в е неудобныхе и л и
д а ж е о п а с н ы х е д л я л о ш а д и , т а к е к а к е скорость д в и ж е ш я брусчатаго полотна з а в и с и т е и с к л ю ч и т е л ь н о оте т я ж е с т и л о ш а д и ,
наклона п л а т ф о р м ы и п р и с у щ и х е данному топчаку безполезныхе
сопротивлешй и н и с к о л ь к о не з а в и с и т е о т е в о л и л о ш а д и .
Е с л и ж е л а ю т е , работая т о п ч а к о м е , п р е о д о л е в а т ь р а з л и ч н ы й ,
смотря по надобности, с о п р о т и в л е ш я , то полезно устроить топ­
ч а к е т а к е , чтобы можно было и з м е н я т ь н а к л о н е платформы,
у м е н ь ш а я его п р и л е г к о й р а б о т е .
В е у м е л ы х е р у к а х е т о п ч а к е отличный д в и г а т е л ь и коэф­
фициенте полезнаго действ1я его м о ж е т е быть д о в е д е н е до 0,85.
Е с л и же не тормозить его во в р е м я , и л и ж е поставить на топ­
ч а к е , п р е д н а з н а ч е н н ы й д л я л е г к о й л о ш а д и тяжелую, не уменьш и в е наклона, то можно погубить л о ш а д ь .
В е А м е р и к е на т о п ч а к а х е работаюте не только л о ш а д и , но
и собаки.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Г л а в а XIV.
Клаееификащя чаетей машины.
§ 206. Кратши исторический очеркъ развито? теорш меха­
низмовъ.
Д о н а ч а л а XVIIl-ro стол*т1я еще не р а з л и ч а л и в ъ м а ш и н ъ
т ъ х ъ особыхъ г р у п п ъ , которыя мы называемъ механизмами. В ъ
1724 году п о я в л я е т с я такой трактатъ Leupold'a,
в ъ которомъ ме­
ханизмы разсматриваются сами по себъ. Но только с ъ основаш е м ъ , в ъ 1794 году, знаменитой политехнической школы в ъ
П а р и ж * п р е п о д а в а ш е у ч е ш я о механизмахъ в ы д е л я е т с я , п о д ъ
вл1яшемъ Monge'-à и Garnot, и з ъ курса общей механики. В ъ 1808 г.
Hochette
составляетъ программу преподаваемой и м ъ в ъ поли­
технической ш к о л * т е о р ш механизмовъ. Этой п р о г р а м м * соотв ъ т с т в у е т ъ с о ч и н е ш е Вапг'а. и Betancourt'a:
Essai sur la composi­
tion
des machines,
1808.
Г е ш а л ь н ы й Monge
классифицировалъ
механизмы, по и х ъ способности н з м * н я т ь движен1е, с л * д у ю щ и м ъ
образомъ :
' непрерывно-прямолинейное
перем*нно-прямолинейное
непрерывно-прямолинейное з ъ
непрерывно-круговое
перем*нно-круговое
перем*нно-нрямолинейное
н е н р е р ы в в о круговое в ъ f непрерывно-круговое
перем*нно-круговое
п е р е м * н н о - п р я м о л а н е й н о е в ъ j. перем*нно-прямолинейное
непрерывно-круговое
r
г
1
перем*нно-круговое в ъ { перем*нно-круговое.
Т а к и м ъ образомъ п о л у ч и л о с ь 10 к л а с с о в ъ механизмовъ.
У ж е во второмъ и з д а н ш своей к н и г и (1819) Lam и Betancourt, з а м ъ т и в ъ несовершенство к л а с с и ф и к а ц ш Мопде'я,
ввели
в ъ р а з с м о т р * т е д в и ж е ш е по какой нибудь кривой, всл*дств1е
чего число к л а с с о в ъ возросло до 21. Наоборотъ Borgnis в ъ своемъ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 172 —
Traité complet de mécanique,
1818, разсматриваетъ только 6 класс о в ъ м е х а н и з м о в ъ : пр1емннки, п е р е д а ч а ( c o m m u n i c a t e u r s ) , пре­
образователи, суппорты, р е г у л я т о р ы и операторы (opyflie). И з ъ
этой т е р м и н о л о г ш и осталось до н а ш е г о времени, благодаря
г л а в н ъ й ш и м ъ образомъ работамъ Poncelet и Coriolis'a,
подраздъл е ш е м а ш и н ы н а : пр1емникъ, п е р е д а ч у и оруд1е.
К а п и т а л ь н ы й переворотъ в ъ п р е п о д а в а ш п Teopin механиз­
м о в ъ произвело в ы ш е д ш е е в ъ 1834 году знаменитое с о ч и н е ш е
Ampère'a:
Essai
sur
la philosophie
des
sciences.
Въ
этой
КНИГЕ
Ampère
г о в о р и т ь , что м а ш и н у с л ъ д у е т ъ р а з с м а т р и в а т ь не к а к ъ
с н а р я д ъ , носредствомъ котораго можно и з м е н я т ь в е л и ч и н у и
н а п р а в д е ш е силы, но к а к ъ с н а р я д ъ носредствомъ котораго можно
и з м е н я т ь скорость и н а п р а в л е ш е д в и ж е ш я . З а т е м е Ampère впер­
вые в ы д е л я е т е кинематику, г о в о р я с л е д у ю щ е е : ..именно
этой
наукчъ,
въ которой
движете
разсматривается
какъ мы его наблюдаемъ
въ окружающихъ
въ снарядахъ
машинами,—я
называемыхъ
салю по себгь
насъ
тгьлахъ
далъ названге
и
такимъ,
особенно
„кинематика"
(отъ -/(vTjiia движете)".
Первый т р а к т а т е , п о с в я щ е н н ы й исключи­
тельно т е о р ш м е х а н и з м о в е , п р и н а д л е ж и т е Willis'j,
именно его
Principles
of mechanism,
1841. B e этомъ с о ч и н е н ш Willis подраз­
д е л я е т е механизмы н а т р и к л а с с а по о т н о ш е ш я м ъ скоростей и
и з м е н е ш ю н а п р а в л е ш я д в и ж е ш я ; г и д р а в л и ч е с г а я колеса и в е ­
тряные д в и г а т е л и о н е не с ч и т а е т е о т н о с я щ и м и с я к е области
механизмове, потому что они суть двигатели. Способу и з л о ж е ш я
Willis'&
alle
arti,
п р е д е р ж и в а е т с я т а к ж е Giulio
1847.
B e 1849 г о д у Lahoulaye
в е своей Cinematica
в е своей Cinématique
applicata
сле­
1
д у е т е и д е я м е Ampère а, н о п р е д л а г а е т е п о д р а з д е л и т ь части ма­
ш и н ы на т р и к л а с с а : система р ы ч а г о в е , система к р у г л ы х е т е л е
и система плоскостей.
Недостатки п р е д л о ж е н н ы х е к л а с с и ф и к а щ й п о б у д и л и Redtenb a c h e r ' a в ъ его и м е в ш е й б о л е ш о й у с п е х е к н и г е Die B e w e g u n g s ­
m e c h a n i s m e n о т к а з а т ь с я о т е к а к о й бы то н и было к л а с с и ф и к а щ й .
М е ж д у т е м е во Ф р а н щ и к и н е м а т и ч е с ш е вопросы обсужда­
л и с ь первоклассными учеными. В е 1827 г о д у Cauchy в е с в о е м е
м е м у а р е Sur
libre,
les mouvements
ou assujetti
à certaines
que peut
conditions
prendre
un système
invariable
*) п о к а з ы в а е т е , ч т о д в и ж е ш е
плоской ф и г у р ы в ъ плоскости м о ж е т ъ быть о п р е д е л е н о , если
с в я з а т ь д в и ж у щ у ю с я ф и г у р у с ъ кривою, которая к а т и т с я по дру­
гой к р и в о й . Т а к и м ъ образомъ, з а р о д ы ш ъ т е о р ш полодШ нахо­
д и т с я в ъ м е м у а р а х ъ того-же Cauchy,
котораго с п р а в е д л и в о с ч и таютъ отцомъ современнаго а н а л и з а .
*) O e u v r e s c o m p l è t e s d ' A u g u s t i n C a u c h y , 2-е série, t. VII, p. 101.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 173 —
Но у Caufhji идея полодШ еще неясно вырая;ена.
развитие этой идеи д а е т ъ Chastes в ъ своемъ Mémoire de
sur
la construction
des normales
à plusieurs
courbes
mécaniques
Полное
géométrie
*). •
Уатъмъ Poinsot
необыкновенно ясно о с в ъ т и л ъ геометр1ею
результаты а н а л и т и ч е с к и х ъ работъ E u l e r ' a по вопросу о д в и ж е н ш
твердаго т ъ л а в ъ своемъ сочинеши Théorie nouvelle de la rotation
des corps (1834) и в ъ мемуаръ Mémoire
sur les cônes
circulaires
roulantes
(Journ. de m a t h é m a t i q u e , 1853) Эти труды Poinsot дали
толчекъ геометрическому изучешю теорш механизмовъ; подъ
вл1яшемъ Poinsot
п о я в и л и с ь : Eléments
de géométrie
appliquée
à la
transformation
du mouvement,
Cirault
(1858); Cinématique,
Belanger
(1864) и Traité de mécanismes, Baton de la Gouppïliere
(1864).
П о я в и в ш а я с я в ъ 1874 году Theoretische Kinematik
профессора
Reuleaux
составила эпоху в ъ р а з в и т ш т е о р ш механизмовъ. Эта
книга, н а п и с а н н а я п р е к р а с н ы м ъ ж и в ы м ъ я з ы к о м ъ , читается не­
обыкновенно легко, с о д е р я ш т ъ в ъ с е б е изумительное богатство
совершенно н о в ы х ъ в з г л я д о в ъ , здравой к р и т и к и и устанавли­
в а е т е весьма строго обдуманную к л а с с и ф и к а щ ю . Понят1Я о кине­
матической п а р е , кинематической ц ъ п и , п р и н ц и п * р а с ш и р е ш я
ц а п ф ъ , о б р а щ е н ш механизма, п о л у ч е н ш н о в ы х ъ механизмовъ
постановкою д а н н о й кинематической ц е п и н а новыя звенья,
строгая к л а е е и ф и к а щ я ш а р н и р н ы х ъ механизмовъ, р а з е м о т р ъ ш е
м а ш и н ы к а к ъ механизма, и м ъ ю щ а г о определенную ц е л ь и под­
в е р ж е н н а я о п р е д ъ л е н н ы м ъ с и л а м ъ , установлеше т е с н е й ш е й
с в я з и м е ж д у н е к о т о р ы м и х р а п о в ы м и механизмами и насосами и
множество д р у г и х ъ идей, в п о с я щ и х ъ я р ш й свете в ъ т е о р ш ме­
х а н и з м о в ъ , н р и н а д л е я ш т ъ в с е ц е л о Reuleaux,
воплотившему свои
идеи в ъ исполненный по его мысли в ъ знаменитой мастерской
Voigt'a, в ъ Б е р л и н е к о л л е к ц ш к и н е м а т и ч е с к и х ъ моделей, нахо­
дящейся в ъ Берлинскомъ политехникуме в ъ Шарлоттепбурге, в ъ
которомъ Reuleaux
былъ профессоромъ. В ъ с л е д у ю щ и х ъ параг р а ф а х ъ я попытаюсь дать понятае о в з г л я д а х ъ Reuleaux
на
классификацию частей м а ш и н ы .
В з г л я д ы Reuleaux
были основательно разработаны, и е щ е
более о с в е щ е н ы геометрическимъ и з е л е д о в а ш е м ъ ,
Вигте^ег'очъ
в ъ его Lehrbuch
der Kinematik,
п о я в и в ш е й с я в ъ 1888 году.
В ъ конце 1900 года Reuleaux в ы п у с т и т ь в ъ свете Н-ой томъ
своей Theoretische
Kinematik.
Эта к н и г а б е з ъ с о м н е ш я у ж е не мо­
ж е т е произвести такого вл1яшя н а ходъ развитая науки, какое было
*) Этотъ м е м у а р ъ б ы л ъ п р е д с т а в л е н ъ филоматическому о б щ е с т в у в ъ
1829 г о д у и и а п е ч а т а н ъ только в ъ 1878 г о д у в ъ Bulletin de la S o c i é t é m a t h é ­
matique de France.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 174
п р о и з в е д е н о I-мъ т о м о м ъ ; во И-мъ томъ Beuleaux
борется прот и в ъ узко п р а к т и ч е с к а я н а п р а в л е ш я в ъ п р е п о д а в а н ш практи­
ч е с к о й м е х а н и к и , з а м е н и в ш а я о з н а к о м л е ш е студентовъ с ъ р у к о ­
в о д я щ и м и з а к о н а м и м а ш и н о с т р о е ш я дрессировкою и х ъ на воз­
м о ж н о обильномъ, п о ч т и автоматическомъ, п е р е ч е р ч и в а н ш и м е ю ­
щ и х с я в ъ п р о м ы ш л е н н о с т и образцовъ м а ш и н ъ . На громадномъ
к о л и ч е с т в е п р и м е р о в е м а ш и н ъ , с у щ е с т в у ю щ и х ъ , работающихъ
и п р и з н а н н ы х ъ самою практикою за л у ч н п я , Beuleaux
доказы­
в а е т е практичность
и вразумительность своихъ теоретическихъ
положенШ. К н и г а эта, б л а г о д а р я отчасти ея современности, ч и ­
тается е щ е с ъ б о л ы н и м ъ и н т е р е с о м ъ ч е м е 1-ый т о м е , хотя зна­
ч и т е л ь н о у с т у п а е т е ему в е д у х е и с и л е .
§ 207. Критика подраздълеш'я машины на щлемникъ, передачу
и орудие.
В ъ I-омъ томъ своей к и н е м а т и к и Beuleaux
подвергъ прежшя
системы всесторонней к р и т и к е , и з ъ которой в ы я с н и л о с ь во п е р в ы х е , что iipieMHHKe и орудде не с о с т а в л я ю т е необходимыхе
принадлежностей м а ш и н ы и во в т о р ы х е , что н ъ к о т о р ы я ч а с т и
м а ш и н е весьма трудно п р и ч и с л и т ь к е одной к а к о й нибудь и з е
к а т е г о р ш : щ м е м н и к е , п е р е д а ч а , оруд1е. О д и н е и з е у б е д и т е л ь н ы х ъ
п р и м ъ р о в ъ , п р и в о д и м ы х ъ Beuleaux,
п р е д с т а в л я е т ъ собою нитка,
и з г о т о в л я е м а я н а п р я д и л ь н о м ъ с т а н к а : она с л у ж и т ъ обрабатываемымъ матер1аломъ но, д л я того чтобы в ы т я г и в а т ь с я , с к р у ч и ­
в а т ь с я и н а в и в а т ь с я , она д о л ж н а в ы п о л н я т ь р я д ъ т а к и х ъ движ е ш й , д л я п о л у ч е ш я к о т о р ы х е она ж е с л у ж и т е о р г а н о м е передачи.
Р ё л о и с п р а ш и в а е т е : что ж е такое п р е д с т а в л я е т ъ собою т а к а я
н и т к а — о б р а б а т ы в а е м ы й матер1алъ, п е р е д а ч у и л и орудде?
Д р у г о й п р и м е р е : к р ю к ъ л о к о м о т и в н а г о тендера, к а к е о р г а н е
д е й с т в у ю щ г й непосредственно н а п е р е д в и г а е м ы й локомотивомъ
п о е з д е , с л е д о в а л о - б ы п р и з н а т ь по п р е ж н е й к л а с с и ф и к а щ й оруддемъ. Но бываюте локомотивы п р е д н а з н а ч е н н ы е д л я п е р е в о з к и
людей на с в о и х е т е н д е р а х е . Г д е - ж е в е т а к о м е л о к о м о т и в е (си­
стема Fairlie) o p y a i e ?
Р а з б и р а я эти, и м н о п е д р у п е , п р и м е р ы Beuleaux
приходите
к е з а к л ю ч е ш ю , что оруд1е не с о с т а в л я е т е необходимую принад­
л е ж н о с т ь м а ш и н ы , но с у щ е с т в у е т е во м н о г и х е м а ш и н а х е , в е
особенности в ъ д е ф о р м и р у ю щ и х ъ .
И з ъ м н о г и х ъ п р и м ъ р о в ъ , п р и в о д и м ы х ъ Beuleaux
в ъ доказа­
тельство того, что пр1емникъ т о ж е не с о с т а в л я е т ъ необходимой
ч а с т и м а ш и н ъ , у к а ж е м ъ на ч а с ы , д-вйствуюгщя п о д ъ влхяшемъ
т я ж е с т и г и р н . Согласно п р е ж н е й т е р м и н о л о г ш з а пр1емнпкъ
силы т я ж е с т и г и р и п р и х о д и т с я п р и н я т ь цЪиъ на которой г и р я
п о д в е ш е н а . Но ц е п ь м о ж н о с д е л а т ь н а с т о л ь к о тяжелою, что она
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
будетъ п р и в о д и т ь ч а с ы в ъ д в и ж е ш е своею тяжестью и безъ г и р и .
Существеннаго измъненхя не произошло, хотя п р е ж ш й пр1емникъ
уничтоженъ.
Р а з б и р а я т а ю е п р и м е р ы Reuleaux н р и х о д и т ъ к ъ з а к л ю ч е т ю ,
что м а ш и н а можетъ не и м е т ь n p i e M i n m a .
§ 208. Орудге и обрабатываемый матер1алъ какъ кинемати­
ческая пара.
Р а з с м а т р и в а я обтачиваше ц и л и н д р а на токарномъ с т а н к е
Reuleaux
з а м е ч а е т е , что обрабатываемый матер1алъ принимаетъ
мало по малу форму поверхности огибающей относительныя полоя^ешя р е з ц а , и, когда работа п о д х о д и т ь к ъ концу, то р ъ з е ц ъ
и выточенный ц и л и н д р ъ представляютъ собою вращательную
кинематическую пару. Е щ е з а м ъ т н ъ е отношеше р е з ц а и обраба­
т ы в а е м а я матер1ала, к а к ъ элементовъ кинематической (винтовой)
пары, при в ы т а ч и в а т и винта. В ъ с т р о г а л ь н о м ъ с т а н к ъ и лен­
точной п и л ъ оруд1е и обрабатываемый матер1алъ составляютъ
поступательную пару. И з ъ т а к и х ъ нрим'Ьровъ Reuleaux
выводить
с л е д у ю щ е е з а к л ю ч е ш е : в ъ т р а н с ф е р м и р у ю щ и х ъ м а ш и н а х ъ обра­
батываемое тъло можно разсматривать к а к ъ ч а с т ь звена или к а к ъ
ц е л о е звено кинематической ц ъ п и , т а к ъ к а к ъ оно составляетъ с ъ
оруд1емъ кинематическую пару.
Д р у г о й п р и м ъ р ъ : два волокна скручиваются в ъ н и т к у ; при
этомъ к а ж д о е и з ъ н и х ъ принимаетъ в и д ъ винтовой л и ш и и одпо
с л у ж и т ъ частью обертки другого.
Винтовой отвалъ п л у г а составляетъ винтовую пару с ъ отвал и в а е м ы м ъ пластомъ, и т. д.
§ 209. Машина какъ механизмъ. С ъ другой стороны Reuleaux
р а з с м а т р и в а е т ъ п а р ъ заключающШся в ъ паровомъ ц и л и н д р ъ и
самый ц и л и н д р ъ тоже к а к ъ кинематическую п а р у . К р ы л ь я в ъ т р я к а и в о з д у х ъ , п р и в о д я и ц й и х ъ в ъ д в и ж е ш е , составляютъ
винтовую пару. Вода д е й с т в у ю щ а я на водяное колесо и самое
колесо п р е д с т а в л я ю т ъ пару а н а л о г и ч н у ю соединешю зубчатаго
колеса с ъ рейкою. Между насосами и храповыми механизмами
Reuleaux
н а х о д и т ь п р я м у ю а н а л о г ш . Поэтому, с ъ его точки
зрт>шя, м а ш и н а м о ж е т ъ быть разсматриваема в м ъ с т ъ с ъ обрабат ы в а е м ы м ъ матер1аломъ и с ъ т ъ л о м ъ , д а ю щ и м ъ двигающую с и л у ,
к а к ъ с л о ж н ы й м е х а н и з м ъ , если мы обращаемъ в н н м а ш е только
на к и п е м а т и ч е с ш я ея свойства.
§ 210. Главный подраздълешя частей машины.
Reuleaux
у к а з ы в а е т е на особыя ч а с т и м а ш и п ъ , которыя
о б у с л о в л и в а ю т е о п р е д е л е н н у ю п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь повторныхъ
д в и ж е ш й и м о г у т ъ быть н а з в а н ы раещкЫлителями.
Таковы меха­
низмы, подводящдя в ъ п а р о в ы х ъ м а ш и н а х ъ п а р ъ то с ъ одной то
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
с ъ д р у г о й стороны п о р ш н я . В ъ строгальной м а ш и н ъ р а с н р е д ъ л и т е л е м ъ я в л я е т с я м е х а н и з м ъ обусловливающей д в и ж е ш е в з а д ъ
и в п е р е д ъ столика, на которомъ у к р е п л я е т с я строгаемый м е т а л л ъ .
В ъ ц р я д и л ь н ы х ъ м а ш и н а х ъ р а с п р е д е л и т е л е м ъ я в л я е т с я очень
с л о ж н ы й м е х а н и з м ъ , обусловливающей о п р е д е л е н н у ю п о с л е д о в а ­
тельность р а з л и ч н ы х ъ о п е р а щ й , которымъ п о д в е р г а е т с я н и т к а .
Между р а с п р е д е л и т е л я м и в с т р е ч а ю т с я таше, которыхъ н а з н а ч е ш е состонтъ в ъ п р а в и л ь н о м ъ подведенш обрабатываемаго
матераала. TaKie р а с п р е д е л и т е л и Beuleaux н а з ы в а е т ъ
питателями.
Существуютъ такя;е р а с п р е д е л и т е л и д1аметрально противуположнаго характера, выводящее и з ъ м а ш и н ы обработанный матер1алъ.
В ъ некоторыхъ машинахъ встречаются регуляторы и к ъ
н и м ъ - ж е Beuleaux
относитъ механизмы, своевременно останавли­
вающее м а ш и н у .
На о с н о в а в ш т а к и х ъ р а з с у ж д е ш й Beuleaux
устанавливаетъ
такую к л а с с и ф и к а ц ш г л а в н ы х ъ частей м а ш и н ы .
1) Г л а в н ы й м е х а н и з м ъ .
2) Р а с п р е д е л и т е л ь с ъ его п о д р а з д е л е ш я м и : п н т а т е л е м ъ и
отводящимъ механизмомъ.
3) Р е г у л я т о р ъ и его ч а с т н ы й в и д ъ м е х а н и з м ъ , останавли­
вающей машину.
4) Передача.
П е р в а я ч а с т ь с у щ е с т в у е т ъ во в с я к о й м а ш и н е . Остальныя
могутъ и отсутствовать.
В ъ паровой м а ш и н е , н а п р и м е р ъ , г л а в н ы й м е х а н и з м ъ со­
стонтъ и з ъ пароваго ц и л и н д р а , п о р ш н я , п о р ш н е в а г о штока, ш а ­
туна, к р и в о ш и п а , в а л а и п о д ш и п н и к о в ъ . Р а с п р е д е л и т е л ь состонтъ
и з ъ э к с ц е н т р и к а , э к с ц е н т р и к о в о й т я г и и золотника. Питателемъ
я в л я е т с я н а с о с ъ , накачивающий воду в ъ котелъ. Р е г у л я щ я со­
стонтъ и з ъ ц е н т р о б е ж н а г о р е г у л я т о р а и и з ъ з а д в и ж к и , запираю­
щ е й п р и т о к ъ пара в ъ паровую коробку ц и л и н д р а .
§ 211. Классификащй деталей.
К р о м е того Beuleaux
о б р а т и л ъ в н и м а ш е н а особенную в а ж ­
ность и з у ч е ш я к о н с т р у к т п в н ы х ъ ч а с т е й м а ш и н ы и п р с д л о ж и л ъ
с л е д у ю щ у ю и х ъ к л а с с н ф и к а щ ю (за полноту которой онъ вирочемъ не ручается).
I . Твердый д е т а л и .
1) Снртплетя:
2) Детали,
з а к л е п к и , к л и н ь я и ш п о н к и , болты.
соетавлякщгя
звенья
паръ:
винты,
гайки,
шипы,
п о д ш и п н и к и , в к л а д ы ш и , оси, в а л ы , муфты, простые р ы ч а г и ,
к р и в о ш и п ы , с л о ж н ы е р ы ч а г и , ш а т у н ы , к р е й ц к о п ф ы , к а т к и , зубч а т ы я колеса, м а х о в и к и .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— 177 —
I I . Детали, относящаяся къ гнбкимъ и жидкимъ звеньямъ.
1) Гибкая
2) Детали,
передача:
ремни, ш к и в ы , канаты, ц ъ п и .
сопрягаемый
съ жидкими
тклами:
трубы, п о р ш н и ,
паровые котлы, ц и л и н д р ы , в о з д у ш н ы е к о л п а к и , краны и клапаны.
3) Пружины:
р а с т я г и в а е м ы я , сжимаемыя, сгибаемыя, к р у тимыя.
I I I . Детали въ вид* механизмовъ.
1) Простые останавливаюпце механизмы.
2) Тормаза.
3) .Сцъпляюпдяся муфты.
Документ
Категория
Техника молодежи
Просмотров
68
Размер файла
7 997 Кб
Теги
лекция, механика, практическая, 2971
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа