close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

урок скалярное произведение

код для вставки
9 класс геометрия
Тема уроку: Скалярний добуток векторів.
Мета уроку:
 закріпити знання учнів з теми скалярний добуток векторів:
o означення скалярного добутку векторів;
o властивості скалярного добутку векторів;
o означення кута між векторами;
o теореми про скалярний добуток векторів та наслідки з неї
 формувати вміння відтворювати вивчені твердження, а також
використовувати їх для розв’язування задач на обчислення скалярного
добутку векторів, визначення кута між векторами, доведення
перпендикулярності векторів;
 формувати пізнавальну, інформаційну, комунікативну, діяльнісну
компетенції;
 розвивати інтелектуальний, емоційний та особистісний стан учня,
самостійну діяльність при навчанні, просторову уяву;
 виховувати інтерес до предмету, культуру математичної мови, навички
самооцінки.
Тип уроку : засвоєння знань і умінь.
Наочність та обладнання: комп’ютери, інтерактивна дошка, програма
Mindjet 14, MyTest
ХІД УРОКУ
І. Організаційний етап
Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу
ІІ. Перевірка домашнього завдання
1. Перевірка засвоєння змісту матеріалу попереднього уроку
проводиться у формі математичного диктанту. Після виконання
диктанту - роботи перевіряються. Взаємоперевірка
2.
Додаткове завдання (попереджуюче навчання) – індивідуальне
завдання «Використання скалярного добутку у фізиці». На дошці
ознайомлюють учні з прикладами задач на застосування скалярного добутку
у фізиці.
Скалярное произведение в физике
Скалярное произведение векторов
встречается в физике. Например,
из курса механики известно, что
F
j
N
M
работа A постоянной силы F при
перемещении тела из точки M в
точку N равна произведению силы F и перемещения
MN на косинус угла между ними.
A = F  MN cos j
A = F  MN
Задача 1. Найти равнодействующую двух сил
= 5H;
= 7H, угол между ними
= 60°.
1
и
2,
если
Задача 2. Вычислить работу, которую производит сила
= (6; 2), если ее
точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А (1; 3), в положение В (3; 4).
Задача 3. Пусть
– скорость материальной точки,
нее. Чему равна мощность, развиваемая силой
= 45°
ІІІ. Актуалізація знань
– сила, действующая на
, если
= 5H,
= 3,5 м/с;
Усна робота з конспектом.
Угол между векторами
b
ОА  а ОВ  b
a b= a
а
Если а  b, то
0
 

А
α
О
аb 0

В
Если а  b то ab  1800
 

Если
0
а  b то ab  90
Возьмите на заметку!
Угол между
векторами не
зависит от выбора
точки, от которой
они откладываются
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением
двух векторов называется
произведение их длин
на косинус угла между
ними.
а
a
b
a  b  a  b  cosa
b
a  b = a  b cos 900
=0
a
a
b
Если векторы
и
перпендикулярны, то скалярное
произведение векторов равно нулю.
a b =0
Обратно: если
перпендикулярны.
, то векторы
a
и
b
Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю
тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
a b =0 
a b
a b < 900
a  b = a  b cos a > 0
b
a
Скалярное произведение ненулевых векторов положительно
тогда и только тогда , когда угол между векторами острый.
a  b > 0  a b < 900
Если
a
b
a b = 00
b
1
a  b = a  b cos 00 = a  b
a
b
Если
a
b
a b = 1800
a
-1
a  b = a  b cos1800 = – a  b
a(a1;a2)
a
b(b1;b2)
a  b = a1∙b2 +a2∙b2
b
Для любых векторов a, b и c и любого
числа k справедливы соотношения:
1о a2 ≥ 0, причем a2 > 0 при а ≠ 0.
2о a ∙ b = b ∙ a (переместительный закон)
3о ( a + b ) ∙ с = а ∙ с + b ∙ с (распределительный
закон)
4о ( k a ) ∙ b = k ( а ∙ b ) (сочетательный закон)
IV. Колективне розв’язування типових задач
1. Задачі на знаходження кута між векторами (на готових малюнках)
a. на площині
b. у просторі на прикладі кубу (попереджуюче навчання)
Учні працюють усно. Пропонуються інтерактивні слайди
Найти углы между векторами.
f
a b=
a
d a 30
c b
300
a c = 1200
d
0
f
b c = 900
b
d c = 1800
d f = 00
bc
b d
сf ?
Сопоставьте углы между
векторами и их градусной мерой
00
а
О
c и f
d и a
a и f
450
300
b
450
d
a и b
1800с
f
1150
1350
АВСDA1B1C1D1 – куб.
Найдите угол между
векторами
D1
A1
C1
В1В, В1С =
450
DА, B1D1 =
1350
А1C1, A1B =
600
B1
D
C
A
B
BB1, AC =
900
А1D1, BC =
00
AА1, C1C =
1800
2. Використання скалярного добутку для розв’язку задач .
Робота на дошці та у зошитах.
1. Найти х,у и угол между векторами а⃗ (1-х; 3) и в (6; 2у+4), если
⃗.
2а
⃗ +3в=0
2. При каком значении х векторы  и  перпендикулярны, если  =  −
2⃗
и =+3⃗ , │а
⃗ │=2, │⃗│=1, а угол между векторами  и ⃗ равен 600?
3. Дано │а
⃗ │=4, │⃗ │=3, а угол между векторами а⃗ и в равен 600. Найти
│2-5в│∙(2в-)2
V. Перевірка знань
Тестування на комп’ютері. (з комп’ютерним оцінюванням) Тест створено за
допомогою програми MyTest (Додаток 3)
Для учнів, що закінчили тестування раніш, додаткове завдання
(попереджуюче навчання)
Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1
C1
D1
Найти: ВА1  ВС1
A1
1 способ:
B1
D
ВА1С1  правильный
C
ВА1  ВС1  а 2
ВА ВС  60

0
B
A
1
1
ВА1  ВС1  а 2  а 2  cos600  а2
Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1
C1
D1
Найти: ВА1  ВС1
2 способ:
A1
ВА1  ВА  АА1
ВС1  ВС  СС1
B1
D
A
C

ВА1  ВС1  ?


ВА1  ВС1  ВА  АА1  ВС  СС1 
 ВА ВС  ВА СС1  АА1  ВС 
 АА1  СС1 
B
 0  0  0  а  а  cos00  a2
VІ. Підсумок уроку
 Висновки уроку
 Оцінювання
 Домашнє завдання – практикум (Додаток 3)
Додаток 1
Історична довідка
Скалярное произведение векторов – число (скаляр)
Скаляр – лат. scale –
лестница, шкала
Ввел в 1845 г.
У. ГАМИЛЬТОН,
ирландскийский
математик.
Вектор. О.Коши (1853).
С самого начала вектор понимается как объект, имеющий величину,
направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного
исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных
чисел у Гаусса (1831).
Развитые
операции
с
векторами
опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления (вектор
образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам
термин вектор (от латинского слова vector, несущий) и описал некоторые
операции векторного анализа. Этот формализм использовал Максвелл в
своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на
новое
исчисление.
Вскоре
вышли
«Элементы
векторного
анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному
анализу современный вид. Сам знак вектора ввёл в использование
французский математик Огюстен Луи Коши в 1853 году.
Уильям Роуэн Гамильтон (William Rowan Hamilton; 4 августа 1806 — 2
сентября 1865) — выдающийся ирландский математик XIX века.
Гамильтон родился в Дублине, в семье юриста. Из-за финансовых
затруднений с трёх лет его воспитывал дядя по отцу, Джеймс Гамильтон,
викарий и учитель в городе Трим.
Уже в детстве мальчик проявил необыкновенные дарования. В 7 лет он знал
древнееврейский язык; в 12 — под руководством дяди Джеймса, хорошего
лингвиста, знал уже 12 языков и среди них персидский, арабский и санскрит.
В 13 лет он написал руководство по сирийской грамматике.
После языков настала пора увлечения математикой. Двумя годами раньше
Гамильтону попался латинский перевод «Начал» Евклида, и он детально
изучил это сочинение; в 13 лет он прочел «Универсальную арифметику»
Ньютона; в 16 лет — большую часть «Математических начал натуральной
философии» Ньютона, в 17 лет — начал изучение «Небесной механики»
Лапласа.
1823: поступил в Тринити-колледж в Дублине. Он показал столь блестящие
способности, что в 1827 году, ещё студентом, был назначен профессором
астрономии в Дублинском университете и королевским астрономом
Ирландии. Публикует ряд работ по геометрической оптике.
1833: женится на Хелен Бэйли. Брак оказался не слишком удачным,
1834—1835: классические работы по гамильтоновой механике.
1835: вице-король Ирландии возвёл Гамильтона в достоинство баронета.
1837: избран президентом Королевской ирландской академии и членомкорреспондентом Петербургской академии наук.
1843: открывает кватернионы и углубляется в их исследование.
В конце жизни Гамильтон заболел душевным расстройством.
Научный вклад Его сочинения носят печать гениальности, и можно сказать,
что он далеко опередил своих современников.
Первая из его замечательных работ, озаглавленная сначала «Caustics», была
представлена в 1823 году доктору Бринклею, его предшественнику по
кафедре, потом, после больших дополнений и разъяснений, напечатана в
1828 году в «Transactions of the Royal Irish Academy» под заглавием «Theory
of Systems of Rays». После в тех же записках появились три дополнения к
этой статье, в третьем из которых было теоретически доказано, что
двупреломляющие кристаллы с двумя оптическими осями должны обладать
коническим лучепреломлением по направлениям осей. Эксперимент в
Тринити-колледже подтвердил это предсказание.
Содержательный мемуар «On a general method in Dynamics», помещенные в
«Philosophical Transactions» в 1834—1835 годах, заключает в себе самые
важные
открытия
по
механике
и
теории
интегрирования
систем
дифференциальных уравнений, развитые потом Якоби. В этой работе
Гамильтон привел систему дифференциальных уравнений (второго порядка)
движущейся материальной системы к удвоенному числу дифференциальных
уравнений первого порядка, представленных в каноническом виде, и открыл
новый метод получения решения этих уравнений, заключающийся в том, что
нужно найти полный интеграл некоторого дифференциального уравнения с
частными производными первого порядка и тогда искомые решения
составятся по некоторым общим формулам без каких бы то ни было
интегрирований.
Этот же мемуар указал возможность получения дифференциальных
уравнений движения, исходя из нового принципа, названного принципом
Гамильтона (см. Гамильтонова механика), являющегося развитием принципа
наименьшего действия, установленного ранее Мопертюи, Эйлером и
Лагранжем. Созданная им гамильтонова динамика оказалась в XX веке
фундаментом теории микромира.
Гамильтону же принадлежит введение в механику особого наглядного
приема изображения изменений величин и направлений скорости точки,
совершающей какое-либо прямо— или криволинейное движение (см.
Годограф).
1837: аксиоматическая теория комплексных чисел как пар вещественных.
В 1840-е годы английская школа математиков упорно пыталась найти
расширение поля комплексных чисел с несколькими мнимыми единицами.
Только много позже было доказано, что такое расширение не может быть
полем — оно либо некоммутативно, либо неассоциативно, либо содержит
делители нуля. Первым добился успеха Гамильтон — открыл кватернионы,
некоммутативную числовую структуру с тремя мнимыми единицами (1843).
Следующие
20
лет
он
посвятил их
подробному исследованию и
приложениям.
В ходе исследований Гамильтон попутно ввёл понятие векторного поля и
создал основы векторного анализа. Он открыл векторное произведение,
предложил оператор «набла». На основе работ Гамильтона Гиббс и Хевисайд
завершили систему векторного анализа.
Интересно отметить, что оба главных открытия Гамильтона — новая
формулировка механики и кватернионы — сыграли существенную роль в XX
веке при возникновении квантовой механики, причем эта роль была не
случайна.
Во
всяком
случае,
механику
Гамильтон
сознательно
сформулировал в виде классического (коротковолнового) предела волновой
теории (аналогично тому, как в его время геометрическая оптика была
осознана как коротковолновый предел волновой оптики).
Додаток 2
Домашний практикум
Известны координаты точек А, В, С, D. Найдите координаты вектора
,
.
1. Найдите длину (модуль) векторов
2. Постройте векторы
вектор
и
.
на координатной плоскости и постройте
.
3. Найдите координаты вектора
4. Постройте векторы
вектор
и
и
и его длину.
на координатной плоскости и постройте
.
5. Найдите координаты вектора
и его длину.
6. Найдите координаты вектора
и его длину.
7. Найдите скалярное произведение векторов
8. Найдите величину силы
и
.
, совершившей работу А по перемещению тела
из точки С в точку D. Сила направлена вдоль линии движения.
Данные к типовому расчету по вариантам
Вариант
Координаты точек
Работа А
А
B
C
D
1
(12;5)
(11;4)
(1;1)
(9;0)
24
2
(12;13)
(4;12)
(7;0)
(1;7)
16
3
(0;2)
(8;3)
(5;3)
(5;0)
45
4
(11;4)
(5;1)
(3;8)
(2;5)
15
5
(8;13)
(8;12)
(5;9)
(8;4)
11
6
(4;5)
(7;1)
(1;6)
(1;4)
16
7
(7;9)
(1;2)
(2;7)
(5;5)
14
8
(10;8)
(;2)
(4;2)
(4;7)
25
9
(13;7)
(1;0)
(1;3)
(5;5)
8
10
(7;6)
(0;13)
(8;9)
(3;7)
16
11
(1;3)
(6;3)
(7;9)
(7;2)
42
12
(1;9)
(4;2)
(7;4)
(5;2)
28
13
(12;8)
(2;2)
(5;8)
(6;3)
15
Додаток 3
Приклад тестових завдань
1. Даны векторы а (2; 5) и b (-6; у). При каком значении у эти векторы
перпендикулярны?
2. Треугольник ABC задан координатами его вершин: А(0; 2), В(1; 3), С(2;
2). Найти внешний угол при вершине А.
3. Может ли произведение единичных векторов быть равным 2?
4. Установить соответствие между векторами и перпендикулярными им
векторами (1-5), если А(2;1), В(-1;1), С(3;-2), D(-2;-3).
Векторы AB, BC, CD, DA
(10;-10)
(0;4)
(6;8)
(-6;0)
(-2;10)
5. Даны векторы а (1; 0) и b (1; 1). Найти такое число х, что вектор а + x
b был перпендикулярен вектору а .
6. Найти угол между векторами а (-1;2) и b (3;-1)
Автор
fidrikksu
Документ
Категория
Образование
Просмотров
10
Размер файла
16 785 Кб
Теги
скалярное
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа