close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ман

код для вставки
Решение задач сферической тригонометрии
Міністерство освіти і науки, молоді і спорту України
Головне управління освіти і науки Запорізької облдержадміністрації
Запорізьке територіальне відділення МАН України
Відділення: математика
Секція: математика
РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ СФЕРИЧНОЇ ТРИГОНОМЕТРІЇ
Роботу виконав:
Оникійчук Олександр Олександрович,
учень 9-Б класу Запорізької
гімназії №6
Науковий керівник:
Фідрік Оксана Іванівна,
вчитель математики
вищої категорії
Запоріжжя – 2015
1
РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ СФЕРИЧНОЇ ТРИГОНОМЕТРІЇ
Оникійчук Олександр Олександрович
Запорізьке територіальне відділення МАН України
Запорізька гімназія №6; клас 9-Б
місто Запоріжжя
Науковий керівник: Фідрік Оксана Іванівна,
вчитель математики вищої категорії
Дану роботу присвячено розв’язанню задач сферичної тригонометрії.
Метою роботи було показати на практиці зв'язок між неевклідовою
(сферичною) геометрією та евклідовою геометрією на прикладі
розв’язування стереометричних задач.
Застосування сферичної геометрії до розв’язку ряду задач стереометрії має
переваги – розв’язок стає менш громіздким та є більш наочним.
У роботі застосовуються різноманітні методи розв’язку стереометричних
задач – це дозволяє сприяти формуванню просторової уяви учнів, розвитку
мислення, гнучкості розуму.
2
ЗМІСТ
Вступ……………………………………………………………………………….4
Розділ 1. Основні поняття і факти в сферичній тригонометрії………………...6
1.1.
Елементи геометрії на сфері ……………………………………...6
1.2.
Дуги і кути на сфері…………………………………………….....7
1.3.
Сферичний трикутник. Трикутник Ейлера....................................8
1.4.
Властивості сферичного трикутника..............................................9
1.5.
Теорема Піфагора для сферичних трикутників.............................9
1.6.
Співвідношення між сторонами і кутами в сферичному
трикутнику......................................................................................10
1.7.
Основні співвідношення в сферичній тригонометрії.................11
1.7.1 Формула косинусів сторін і кутів...........................................11
1.7.2 Формула синусів......................................................................11
1.8.
Прямокутні і прямосторонні трикутники....................................11
Розділ 2. Розв’язання задач сферичної тригонометрії.......................................13
Висновки................................................................................................................18
Список використаних джерел..............................................................................19
3
ВСТУП
У старших класах загальноосвітньої школи, а також на першому і
другому курсах математичних факультетів вищих навчальних закладів
особливо
важливо
представляється
проблема
формування
в
учнів
просторових уявлень методом неевклідової геометрії.
Застосування цих методів до розв'язання задач стереометрії дозволяє
активно управляти процесом формування просторових уявлень учнів,
розвиває у них чіткість мислення, швидкість і гнучкість розуму.
Сферична
тригонометрія
займається
вирішенням
трикутників,
розташованих на сфері, і має велике застосування в астрономії (особливо в
сферичної
та
практичної),
в
геодезії
(особливо
у
вищій),
в
інструментознавство, в картографії, в фотограмметрії, в кристалографії і в
ряді інших наук.
Роль сферичної тригонометрії полягає в тому, що вона дає досліднику
систему математичних формул і співвідношень, що допомагають йому
висловлювати закони досліджуваних явищ коротким, точним і виразним
мовою математики, математичного аналізу - в самому широкому сенсі цього
слова.
Метою є показати на практиці зв'язок між неевклідовою (сферичною)
геометрією
та
евклідовою
геометрією
на
прикладі
розв’язування
стереометричних задач.
Об’єктом дослідження буде апарат стереометричної тригонометрії.
Методи дослідженні будуть теоретичні і практичні.
Науковою новизною є, в якості одного з методів, застосування
неевклідових геометрій до розв’язку задач шкільного курсу стереометрії,
4
пропонується використання сферичної тригонометрії, що вивчає геометричні
властивості фігур та ліній розташованих на поверхні шару.
Практичне значення отриманих результатів: застосування сферичної
геометрії до розв’язку ряду задач стереометрії має переваги – розв’язок стає
менш громіздким та є більш наочним.
Основними положеннями дослідження є вивчення та застосування
апарату сферичної тригонометрії до розв’язку стереометричних задач
шкільного курсу.
Особистим вкладом автора буде розв’язок стереометричних задач
традиційними методами та з використанням сферичної тригонометрії.
Робота складається із вступу, основної частини, висновків, списку
використаної літератури.
Перший розділ роботи присвячено основним теоретичним відомостям
стосовно сферичної тригонометрії. Наведено формули, які дозволяють
розв’язувати задачі сферичної тригонометрії. Розглянуто також основні
тригонометричні формули і теореми.
У другому розділі роботи запропоновано розв’язання стереометричної
задачі традиційним методом шкільної геометрії та з використанням формул
сферичної тригонометрії. Використано формули, які розглянуті у першому
розділі роботи, теорема Піфагора, властивості сферичних трикутників та
інші.
Результати
роботи
можуть
бути
використані
при
розв’язанні
стереометричних задач, учнями математичних класів та гуртків при вивченні
відповідних тем шкільної математики.
5
РОЗДІЛ 1
Основні поняття і факти в сферичній тригонометрії
1.1. Елементи геометрії на сфері
Поверхню кулі називають сферою [1]. Ознайомимося з деякими
основними положеннями елементарної геометрії на сфері. Хоча геометричні
побудови на сферичній поверхні і на площині вельми різняться між собою,
але все ж між ними можна провести деякі аналогії, які полегшують вивчення
сферичної тригонометрії. Сферична геометрія або геометрія на сфері
розглядає геометричні властивості фігур, розташованих на поверхні кулі.
Центр, радіус та діаметр кулі є також центром, радіусом та діаметром
сфери.
Всі точки сфери знаходяться на одній і тій самій відстані, що дорівнює
радіусу, від центра сфери. Інші точки кулі, які не належать сфері, називають
внутрішніми точками, про такі точки кажуть, що вони лежать всередині
сфери. Внутрішні точки кулі знаходяться від центра кулі на відстані, яка
менша за радіус.
Таким чином приходимо до ще одного означення сфери і кулі.
Сферою називають поверхню, яка складається із всіх точок простору,
рівновіддалених від однієї і тієї самої точки. Цю точку називають центром
сфери, а відстань від центра сфери до будь-якої її точки - радіусом сфери.
Кулею називають геометричне тіло, що складається з усіх точок
простору, які знаходяться на відстані, не більшій за дану від даної точки. Цю
точку називають центром кулі, а дану відстань – радіусом кулі.
6
1.2. Дуги і кути на сфері
Розглянемо в першу чергу найпростіші елементи фігур на сфері.(Рис.
1.1) На площині елементарними геометричними образами, так би мовити,
найпростішими елементами фігур, насамперед є точка і пряма. На сфері цими
елементами виступають точка і дуга великого кола.
Як відомо через дві точки на площині можна провести пряму і притому
тільки одну. тобто пряма цілком визначається двома точками, через які вона
проходить. Точно так же на сфері можна провести дугу великого кола і
притому тільки одну.
На поверхні сфери найближчий аналог прямої лінії є велике коло,
тобто коло, центр якого збігається з центром сфери. Наприклад, спрощуючи
форму Землі (геоїд) до сфери, меридіани та— великі кола на її поверхні, тоді
як лінії широти не є великими колами ; їх центр не збігається з центром
Землі, натомість це малі кола. Як і відрізок на площині, дуга великого кола
(що стягує кут, не більший 180°) на сфері є найкоротшим шляхом між двома
точками і називається ортодрома.
«Рис. 1.1»
7
1.3. Сферичний трикутник. Трикутник Ейлера
Сферичний трикутник (Рис. 1.2.) — геометрична фігура на поверхні
сфери, утворена перетином трьох великих кіл. Три великі кола на поверхні
сфери, що не перетинаються в одній точці, утворюють вісім сферичних
трикутників.
Сферичний трикутник, всі сторони якого менше половини великого
кола, називається Ейлеревим. Лінія Ейлера, названа на честь Леонарда
Ейлера, — лінія, яку можна провести в будь-якому нерівносторонньому
трикутнику; вона проходить через кілька важливих визначених для
трикутника точок.
Сторони
сферичного
трикутника
вимірюють
величиною
кута,
утвореного кінцями даної сторони і центром сфери. Співвідношення між
елементами сферичних трикутників вивчає сферична тригонометрія.
«Рис. 1.2»
8
1.4. Властивості сферичного трикутника

Опріч трьох ознак рівності трикутників, для сферичних трикутників
діє ще одна: два сферичних трикутники рівні, якщо відповідні їхні кути
рівні.

Для сторін сферичного трикутника виконується нерівності трикутника
(кожна сторона менше суми і більше різниці двох інших).

Сума всіх сторін
o Величина

завжди менше
.
називається сферичним дефектом.
Сума кутів сферичного трикутника
завжди менше
та більше .
o Величина
називається сферичним надлишком (сферичним
ексцесом).
o Площа

сферичного трикутника визначається за формулою
.
На відміну від плоского трикутника, у сферичного може бути два, і
навіть три прямих кути.
1.5. Теорема Піфагора для сферичних трикутників
Сферична теорема Піфагора формулюється так: "Косинус гіпотенузи
прямокутного сферичного трикутника дорівнює добутку косинусів його
катетів." Доведення [6] проведемо за допомогою тригранного кута OABC зі
сторонами (променями) OA, OB, OC і вершиною в точці O, плоскі кути AOC
і COB якого рівні катетам b і a даного трикутника, плоский кут AOB
дорівнює його гіпотенузі c, двогранний кут між гранями AOC і COB
дорівнює 900, а інші два двогранних кута дорівнюють відповідним кутам
сферичного прямокутного трикутника («Рис. 1.3»). Цей тригранний кут
перетинається площиною ABC, перпендикулярній променю OB. Тоді кути
9
ACO і ACB будуть прямими.
«Рис. 1.3»
Зауважимо, що
Звідси
Що і треба було довести.
1.6. Співвідношення між сторонами і кутами в сферичному трикутнику
Позначимо сторони сферичного трикутника a, b, c, протилежні цим
сторонам кути – A, B, C («Рис. 1.2»). Сторона сферичного трикутника
дорівнює куту між двома променями, які виходять із центра сфери у
10
відповідні
кінці
сторони
трикутника.
Для
радіанної
міри
кута:
При використанні кута замість довжини дуги для вимірювання сторін
сферичного трикутника спрощуються формули - в них тоді не входить радіус
сфери. Так само роблять, наприклад, в сферичної астрономії, де радіус
небесної сфери не має значення.
1.7 Основні співвідношення в сферичній тригонометрії
Теореми для довільного сферичного трикутника
1.7.1. Сферичні теореми косинусів
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos a
1.7.2. Сферична теорема синусів
sin 
sin 
sin 
=
=
sin 
sin 
sin 
Перша і друга сферичні теореми косинусів двоїсті по відношенню один
до одного. Сферична теорема синусів двоїста по відношенню до самої себе.
1.8. Прямокутні і прямосторонні трикутники
Прямокутний трикутник — трикутник, один із кутів якого прямий.
Прямокутний трикутник займає особливе місце в планіметрії, оскільки для
нього існують прості співвідношення між сторонами і кутами.
Сторони прямокутного трикутника мають власні назви. Дві сторони,
що утворюють прямий кут називаються катетами, а третя сторона —
гіпотенузою. Традиційно катети позначаються літерами a та b, а гіпотенуза
11
— літерою c. За теоремою Піфагора можна знайти будь-яку сторону
прямокутного трикутника, якщо відомі дві інші сторони. За цією теоремою
квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
c2 = a2 + b 2
Звідси можна знайти інші сторони прямокутного трикутника.
a2 = c2 – b2
b2 = c2 – a.
12
РОЗДІЛ 2
Розв’язання задач сферичної тригонометрії
Задача
Плоский кут при вершині правильної трикутної піраміди дорівнює  .
Знайти кут між апофемою і протилежним кутом піраміди.
«Рис. 2.1»
Традиційно задачі в шкільному курсі ми розв’язуємо таким чином:
нехай SABC- дана піраміда. ∠ASC = ∠CSB = ∠ASB=  , SM- дана
апофема, SA- протилежне їй ребро. Знайдемо ∠ASM.
Так як за умовою піраміда SABC- правильна – нехай:
AB = AC = CB=а
13
∠ASC = ∠CSB = ∠ASB= 
Так як піраміда SABC- правильна і всі плоскі кути при вершині рівні,
то AS=BS=CS
Тоді ΔCSB- рівнобедрений(SC = SB): SM- бісектриса ∠CSB і медіана,

отже, якщо α=∠CSB, тоді ∠CSM =∠BSM= .
2
a
CM = BM=
2
Розглянемо ΔACM (∠M=90°), за теоремою Піфагора:
a2
a =
+ AM 2
4
2
AM = √a2 −
a2
4
=√
4a2 −a2
4
=√
3a2
4
=
a√ 3
2
Із ΔCMS (∠M=90°) маємо:
CM = SMtg
α
2
CM = SMtg ∠CSM
a
2
= SMtg
α
2
a
α
a
2
2
2tg
SM = : tg =
SC =
CM
sin ∠CSM
α
2
a
α
a
2
2
2sin
= : sin =
α
2
= AS
Із ΔASM за теоремою косинусів:
AM 2 = AS 2 + SM 2 − 2AS ∙ SMcos∠ASM
14
cos ∠ASM =
cos ∠ASM =
AS2 +SM2 −AM2
2AS∙SM
a2
a2
3a2
+
−
α
α
4
4sin2
4tg2
2
2
2a
a
α∙
α
2 sin 2tg
2
2
=
α
α
cos2
3sin2
a2
1
2)
( 2α+ 2α2 −
α
4 sin
sin
2
2
2 sin 2
α
a2 cos
2
α
2
2sin 2
=
2α
2α
a2 2cos 2 −2sin 2
(
)
α
4
sin2
2
α
a2 cos
2
α
2
2
2sin
=
=
=
a2
1
a2 1
a2
∗ 2α+ ∙ 2 α− ∙3
4 sin
4 tg
4
2
2
a
a
α∙
α
sin 2tg
2
2
2α
2α
a2 1+cos 2 −3sin 2
(
)
α
4
sin2
2
α
a2 cos
2
α
2
2sin 2
2α
2α
a2 2(cos 2 −sin 2 )
(
)
α
4
sin2
2
α
a2 cos
2
α
2
2
2sin
=
=
=
a2
1
1
(
+
−3)
4 sin2 α tg2 α
2
2
a2
α
α sin 2
2sin ∙
2 cosα
2
=
2α
2α
2α
2α
a2 sin 2 +cos 2 +cos 2 −3sin 2
(
)
α
4
sin2
2
α
a2 cos
2
α
2
2sin 2
a2 cosα
∙
2 sin2 α
2
α
a2 cos
2
α
2
2
2sin
=
=
cosα
cos
α
2
Дану задачу розв’яжемо за допомогою сферичної тригонометрії.
«Рис. 2.2»
15
Розглянемо метод геометричної побудови, що дозволяє встановити
відповідність між трикутної пірамідою і сферичним трикутником(«Рис. 2.2»).
З'єднаємо вершини сферичного трикутника радіусами з центром сфери і
проведемо площину через кожну пару радіусів. Отримаємо тригранний кут,
відповідний
даному
сферичному
трикутнику.
Поєднавши
вершини
сферичного трикутника хордами, отримаємо трикутну піраміду, бічними
ребрами якої є радіуси сфери. Оскільки довжину сторони сферичного
трикутника визначає міра відповідного двогранного кута, то в даному
сферичному трикутнику сторони рівні відповідним плоским кутах при
вершині піраміди, а кути - відповідним двогранним кутах між бічними
гранями піраміди. Тому, вирішивши сферичний трикутник, відповідний
даній піраміді, ми зможемо встановити і параметри піраміди, необхідні нам
рішенні задач.
Побудуємо сферичний трикутник ABC. Продовжив апофему SM в
перетині з дугою BC отримаємо точку K.
AM ⊥ BC, SM ⊥ BC, тому сферичний ΔAKC є прямокутним, отже
α
CK= ; AC=α.
2
За теоремою Піфагора для сферичних трикутників в ΔAKC:
cosAC=cosCK ∙ cosAK,
тому cosAK =
cosα
cos
α
2
.
Отже, враховуючи поняття міри сторони в сферичному трикутнику,
отримаємо: cos∠ASM =
тому ∠ASM = arccos
cosα
cos
α
2
,
cosα
cos
α
2
.
16
ВИСНОВКИ
Дану роботу було присвячено розв’язанню стереометричних задач із
використанням сферичної тригонометрії.
Метою даної роботи
було показати на практиці зв'язок між
неевклідовою (сферичною) геометрією та евклідовою геометрією на прикладі
розв’язування стереометричних задач шкільного курсу.
Об’єктом дослідження був апарат стереометричної тригонометрії.
В роботі застосовані теоретичні, практичні методи дослідження.
Науковою новизною є застосування неевклідової геометрії до розв’язку
задач шкільного курсу стереометрії, в роботі пропонується використання
сферичної тригонометрії, що вивчає геометричні властивості фігур та ліній
розташованих на поверхні шару, до розв’язку задач стереометрії.
Можемо зробити висновок, що застосування сферичної геометрії до
розв’язку ряду задач стереометрії має переваги, цей розв’язок
є більш
раціональним.
Результати
роботи
можуть
бути
використані
при
розв’язанні
тригонометричних задач, учнями математичних класів та гуртків при
вивченні відповідних тем шкільної математики.
17
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Вентцель М.К. Сферическая тригонометрія. – М.:Геодезиздат, 1948.
– 154 с.
2. Волынский Б.А. Сферическая тригонометрия. - М.: Наука, 1977. –
135 с.
3. Гургула, С. І. Сферична тригонометрія : конспект лекцій / С. І.
Гургула, Т. Г. Лавинюкова, Р. Г. Пилип'юк. - Івано-Франківськ :
ІФНТУНГ, 2002. - 28 с.
4. Данилевский М.П. Основи сферичної геометрії та тригонометрії:
навч. посібник/ М. П. Данилевский, А. И. Колосов, А. В. Якунин;
Харк. Нац.. акад.. міськ. Госп-а. – Х.: ХНАМГ, 2011.-92 с.
5. Кранц П. Сферическая тригонометрия. М.: Издательство ЛКИ, 2007.
- 96 с.
6. Степанов Н.Н. Сферическая тригонометрия. М. – Л.:ОГИЗ, 1948 –
155 с.
7. Тарасенкова Н.А., Петрова Є.В. Вступ до сферичної геометрії. –
Черкаси: ЧНУ, 2008. – 80с.
ІНТЕРНЕТ-РЕСУРСИ
http://www.subject.com.ua/mathematics/zno/529.html
http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%
B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%
D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%
96%D1%8F
http://astro-ifmi.org.ua/content/view/12/3/
18
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B
8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D
0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D0%
B8%D1%84%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B0
19
Автор
fidrikksu
Документ
Категория
Образование
Просмотров
52
Размер файла
510 Кб
Теги
ман
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа