close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

полярные графики

код для вставки
паскаль программирование
Тема:
Изображение графиков функций на плоскости
(в полярной системе координат)
Цели: формирование и закрепление навыков исследования функций и построения их
графиков
Таблица 2.
Направление ветра
С
С-В
В
Ю-В
Ю
Ю-З
З
С-3
Количество дней
94
64
61
25
20
14
30
57
Роза ветров (см. рис. 1) представляет собой диаграмму, характеризующую режим ветра
в данном месте по результатам наблюдений: длины лучей, расходящихся от центра
диаграммы в разных направлениях, пропорциональны повторяемости ветров этих
направлений. На диаграмме видно, что каждому направлению соответствует вектор
определенной длины. Эта задача рассматривается ещё в курсе физической географии в
5-6 классах, где понятие полярных координат используется на интуитивном уровне. Но
при строгом изложении материала используются следующие теоретические знания.
Рассмотрим на плоскости луч ОЕ с начальной точкой О и некоторой точкой Е такой, что
длина отрезка OE равна 1 (рис. 2). Луч будем называть полярной осью, точкуО полюсом, точку Е - единичной точкой. Пусть М - произвольная точка плоскости. Длину
отрезка ОМ, измеренного при помощи отрезка ОЕ, называют
длиной полярного радиуса точки М и обозначают r.
Положительный угол от луча ОЕ до луча ОМ называют
полярным углом точки М и обозначают . Пара чисел
называется полярными координатами точки М.
При решении некоторых задач на одной прямой, проходящей
через полюс, приходится рассматривать две точки M и N,
расположенные по разные стороны от полюса. В таком случае
имеет смысл принять за полярный угол этих точек общий угол,
например, от луча OE до луча OM. Тогда r для точки M будем
считать числом положительным, а для N - отрицательным. Полярные координаты и r
(где r - действительное число) называют обобщенными полярными координатами
точки: полярный угол отсчитывают от полярной оси, считая его положительным в
случае, когда отсчёт ведётся против часовой стрелки; полярный радиус можно брать
как положительным - тогда его откладывают в направлении, определяемом углом ,
так и отрицательным - радиус-вектор откладывают в противоположном направлении.
Особо отмечают координаты полюса: его полярный радиус равен нолю, а угол
неопределён, хотя в некоторых задачах углу
для полюса придают определенное
1
значение. Рассмотрим рис. 3, где изображена окружность с центом в точке и
проходящая через полюс. Тогда полярному углу этой точки целесообразно приписать
значение
.
До сих пор построение графиков велось в декартовой системе координат.
Соответствующие построения можно производить и в полярной системе: если
переменные r и связаны функциональной зависимостью, то, изображая значение
полярными углами и откладывая на определяемых ими лучах отрезки, равные
соответствующим значениям r, получим геометрическое место точек с координатами r и
, образующих линию, называемую полярной
диаграммой или графиком в ПСК. Для построения
графиков функции в ПСК рекомендуется ответить на
ряд вопросов, представленных в табл. 3.
Таблица 3
Методическая схема
В каких точках кривая пересекает полярную ось?
В каких точках кривая пересекает перпендикуляр к
полярной оси, проведенный из полюса?
Подсказка (
)
Необходимо вычислить
значения функции для
Необходимо вычислить
значения функции для
При каких значениях аргумента кривая проходит через
Полагаем
полюс?
Будет ли кривая
симметрична
относительно
полярной оси?
Проверяем
перпендикуляра к полярной оси,
проходящего через полюс?
Проверяем
полюса?
Проверяем
Более сложные примеры могут привести к новому для учащихся понятию
асимптотической окружности, вокруг которой (по определению) ветвь графика
совершает бесконечное число витков (рис. 6а). Частным случаем является
асимптотическая точка (рис. 6б). В ПСК график имеет асимптотическую точку в полюсе,
если в ПДСК асимптотой для соответствующей ветви служит ось абсцисс . Овладев
некоторыми навыками построения линий, учащиеся могут самостоятельно составить
следующую таблицу.
2
Таблица 4
Асимптоты в ПДСК
Соответствующие линии в ПСК
Окружность с центром в начале координат и
радиусом b : r = b
Горизонтальная y = b
Вертикальная x = a
Луч
Наклонная y = kx + b
Обобщенная спираль Архимеда r = k
=a
+b
В полярных координатах можно описать при помощи косинусов кратных дуг линии,
которые обрисовывают контуры листьев некоторых растений [6, c. 251-252]:
• кувшинки:
• кислицы:
• настурции:
• стрелолиста:
(рис. 7а);
(рис. 7б);
(рис. 7в);
(рис. 7г).
Контур кувшинки - на самом деле это кардиоида - учащиеся могут построить
самостоятельно, а контуры настурции или стрелолиста для построения требуют
трудоёмких вычислений. Для того, чтобы учащиеся могли ознакомиться с графиками
таких и более сложных функций, а также поэкспериментировать с построением
контуров листьев других растений, в программе факультатива отводится время на
изучение математической среды MathCAD (подробнее об этом см. работы [4; 5]). Его
достоинством является возможность построения графиков в различных системах
координат и просмотра процесса элементарных преобразований графиков (растяжения,
параллельного переноса, а в полярных координатах ещё и поворота вокруг полюса и
скручивания) “в динамике”.
Изучение формул перехода от одной системы к другой также позволяет показать
преимущества полярной (см. табл. 5). Целый класс задач, связанный с нахождением
координат точки в одной из систем по её координатам в другой, легко может быть
решен как с применением формул перехода, так и с использованием инженерных
калькуляторов, оснащенных соответствующими функциями. (Использование
микрокалькуляторов и ЭВМ при изучении ПСК и графиков в ней представляет, как уже
отмечалось, содержание отдельной работы).
Таблица 5
3
Из ПСК в
ПДСК
Из ПДСК в
ПСК
В табл. 6 приведены аналитические выражения для одних и тех же линий, но заданных
в различных системах координат. Видно, что уравнения, содержащие двучлен
различных степенях, в ПСК имеют более простой вид.
в
Таблица 6
Система координат
прямоугольная декартова
полярная
Используемые
формулы
r=R
Для самоконтроля, проверки уровня овладения новым материалом и коррекции знаний
предлагается провести семинарское занятие. Предлагаем примерный перечень
вопросов.
4
Автор
ovsianik
Документ
Категория
Образование
Просмотров
30
Размер файла
96 Кб
Теги
графики, программирование, полярные графики, паскаль
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа