close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Пособие по мат анализу

код для вставки
Пособие для студентов первого курса
ГОУ ВПО
«Арзамасский государственный педагогический институт
им. А.П.Гайдара»
Сурин С.Ю.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебно-методическое пособие
для студентов первого курса
Арзамас
АГПИ
2009 г.
УДК 517.3(075.8)
ББК 22.161.12 я73
С 90
Печатается по разрешению редакционно-издательского совета
Арзамасского государственного педагогического института
им. А.П. Гайдара
Рецензенты:
П.В. Пакшин, доктор физико-математических наук, профессор
Л.В. Широков, кандидат физико-математических наук, доцент
Сурин С.Ю.
С 90 Интегральное исчисление функции одной переменной
Учебное пособие / АГПИ им. А.П. Гайдара – Арзамас: АГПИ, 2009. –
88с.
ISBN 5-86517-329-X
Учебное пособие содержит три главы посвящённых теории интегрального исчисления функции одной переменной в объёме первого курса обучения
государственного стандарта. Приведены теоретические результаты, проиллюстрированные примерами.
Пособие рекомендовано студентам первых курсов физико-математических и технических факультетов высших учебных заведений, а также студентам ЕГФ по специальности «социальная работа»,а также студентам гуманитарных специальностей, изучающим математику.
УДК 517.3(075.8)
ББК 22.161.12 я73
ISBN 5-86517-329-X
 Сурин С.Ю., 2009
 Арзамасский государственный
педагогический институт
им. А.П. Гайдара
Оглавление.
Введение.................................................................................................................................... - 2 Глава 1. ...................................................................................................................................... - 4 Неопределённый интеграл. ..................................................................................................... - 4 §1. Первообразная. ............................................................................................................... - 4 §2. Таблица основных интегралов. ..................................................................................... - 6 §3. Простейшие правила интегрирования. ........................................................................ - 8 §4. Интегрирование заменой переменной. ...................................................................... - 10 §5. Интегрирование по частям. ......................................................................................... - 11 §6. Интегрирование рациональных выражений. ............................................................. - 14 §7. Интегрирование выражений, содержащих радикалы. .............................................. - 18 §8. Интегрирование дифференциалов R(sin(x), cos(x))dx. ............................................. - 23 Глава 2. .................................................................................................................................... - 25 Определённый интеграл. ....................................................................................................... - 25 §1. Задача о площади. ........................................................................................................ - 25 §2. Суммы Дарбу. ............................................................................................................... - 27 §3. Свойства определённых интегралов. ......................................................................... - 31 §4. Определённый интеграл как функция верхнего предела. ........................................ - 36 §5. Вычисление определённых интегралов. .................................................................... - 38 §6. Формула приведения. .................................................................................................. - 40 §7. Замена переменной в определённом интеграле. ....................................................... - 42 Глава 3. .................................................................................................................................... - 43 Применение определённых интегралов. .............................................................................. - 43 §1. Длина кривой. ............................................................................................................... - 44 §2. Площадь фигур на плоскости. .................................................................................... - 47 §3. Объём фигур вращения в пространстве. .................................................................... - 49 §4. Площадь боковой поверхности фигур вращения...................................................... - 52 §5. Интегралы, зависящие от параметра. ......................................................................... - 55 §6. Несобственный интеграл с бесконечными пределами. ............................................ - 58 §7. Несобственный интеграл от неограниченных функций. .......................................... - 60 Литература. ............................................................................................................................. - 62 -
-2-
Введение.
Настоящее учебное пособие затрагивает первоначальные главы курса
«интегральное исчисление функции одной переменной».
Оно предназначено для самостоятельного изучения студентами первого
курса одного из начальных разделов математического анализа. Пособие даёт
возможность студенту компактно представить основные понятия интегрального исчисления, и в то же время позволяет ознакомиться с некоторыми математическими нюансами, углубляющими понимание предмета.
Его целью не является замена или подмена лекционного курса, и тем более капитальных учебников по математическому анализу, пособие ставит перед собой задачу облегчить понимание и того, и другого.
Пособие можно рассматривать как трёхуровневую структуру: первая основная часть – это изложение основных понятий интегрального исчисления,
которые обычно представляются в лекционном курсе, целью этого уровня является более выпуклая демонстрация логико-математических структур, лежащих в основе анализа. Второй уровень выявляет некоторые шаблонные и неверные представления, которые могут возникнуть у студентов при невнимательном изучении курса. Третий уровень представляет решения задач и примеров различной степени сложности, закрепляющих у студентов основы подхода математического анализа.
Конечно, нельзя охватить в данном объёме всё интегральное исчисление
функции одной переменной, но автор старался выбрать то из анализа, что позволит студенту боле легкое и доступное изучение пропущенных мест при самостоятельной работе с фундаментальными текстами. В конце пособия дан
список основных монографий и курсов, на взгляд автора, полностью исчерпывающий изучаемый раздел анализа.
Пособие состоит из трёх глав. Первая глава посвящена неопределённому
интегралу и основным методам интегрирования, в том числе интегрированию
рациональных функций и некоторых иррациональностей.
-3-
Вторая глава посвящена определенному интегралу и основным теоремам, связанным с ним.
В третьей главе рассматриваются различные практические методы применения определённого интеграл, такие как вычисление объёмов и площадей
фигур вращения и т.п.
Пособие снабжено различными примерами, которые демонстрируют на
практике основные методы интегрального исчисления функции одной переменной.
-4-
Глава 1.
Неопределённый интеграл.
§1. Первообразная.
Ранее, в теории дифференциального исчисления, ставилась задача отыскания производной функции от заданной функции, и если функция задавалась
аналитически, то задача всегда имела решение в аналитических функциях. Теперь ставится обратная задача, по заданной функции f(x) найти такую функцию F(x), что производная от неё равнялась бы первой функции, т.е.
F /(x) = f(x).
Такая функция F(x) называется первообразной по отношению к f(x).
Заметим, что в этом случае не всегда по заданной аналитически функции
можно найти её первообразную в аналитических же функциях.
Так как исходная функция является производной от F(x), то она будет
определять дифференциал для неё
dF(x) = f(x) dx.
Отыскание для заданной функции всех её первообразных и является задачей интегрального исчисления.
Для начала докажем теорему.
Теорема 1.
Если для функции f(x) на некотором множестве М существует первообразная функция F(x), то на этом же множестве функция F(x)+C также будет
первообразной функцией для заданной функции, где C любая постоянная. Обратно, любая первообразная для функции f(x) может быть представлена в виде
F(x)+C.
Доказательство.
Найдём производную от F(x)+C:
(F(x)+C)/=F /(x)+0=f(x).
-5-
Так как производная от постоянного значения равна нулю. Первая часть теоремы доказана.
Возьмём любую первообразную Ф(x) для нашей функции f(x), и рассмотрим разность Ф(x)-F(x). Так как производная от неё равна нулю
(Ф(x)-F(x))/=f(x)-f(x)=0,
то значит слева стоит постоянная величина, т.е.
Ф(x)-F(x)=С,
что и требовалось доказать.
Определение 1. Множество всех первообразных функций называется неопределённым интегралом и обозначается
 f ( x)dx  F ( x)  C
Аддитивная постоянная C указывает, что и справа стоит множество функций,
а не одна функция. Функция f(x) называют подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx – подынтегральным выражением.
Из определения неопределённого интеграла непосредственно следует:
1) d  f ( x)dx  f ( x)dx
2)  F / ( x)dx  F ( x)  C , что равносильно выражению
 dF ( x)  F ( x)  C .
Также в силу того, что производная от суммы равна сумме производных
функций и производная от произведения постоянной на функцию равна произведению этой постоянной на производную функции, получаем:
3)
 f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx ,
4)  f ( x)dx    f ( x)dx .
Если начертить семейство однопараметрических кривых для первообразных функций F(x)+C – их мы назовём интегральными кривыми, то значение касательной к ним будет определено значением одной функции f(x), а
-6-
значит, все интегральные кривые получаются друг из друга параллельным переносом, как это видно из рисунка.
Y
F(x)+ C
X
Физический смысл неопределённого интеграла связан с определённым
и будет рассмотрен позднее. Хотя исторически определённый интеграл был
создан и изучен ранее неопределённого интеграла.
§2. Таблица основных интегралов.
Метод нахождения первообразных заключается в преобразовании
подынтегрального выражения к некоторой комбинации уже известных неопределённых интегралов, в основе которых лежат табличные интегралы, получаемые непосредственно из свойств отыскания производных функций.
Рассмотрим известное выражение для нахождения производной от степенной функции (xn)/=nxn-1, и применим его к выражению (xn+1/(n+1)), получим
/
 x n1 

  x n ,
 n 1
таким образом, левое выражение в скобках является первообразной для функции xn, и мы можем записать наш первый табличный интеграл:
x n1
 x dx  n  1  C , (n  1) .
n
-7-
Если вспомнить, что производная от натурального логарифма равна 1/x,
то получим выражение для случая n=-1:

dx
 ln x  C .
x
Выполняя подобные рассуждения для других известных формул дифференцирования, мы получим основные табличные интегралы, которые приводятся ниже.
1.
 0  dx  C
2.
1 dx  x  C
3.
n
 x dx 
4.

5.
 1 x
6.

7.
x
 a dx 
8.
 e dx  e
9.
 sin( x)dx   cos(x)  C
x n1
 C , (n  1)
n 1
dx
 ln x  C
x
dx
2
 arctg ( x)  C
dx
 arcsin( x)  C
1  x2
x
ax
C
ln( a )
x
C
10.  cos(x)dx  sin( x)  C
11. 
dx
 ctg ( x)  C
sin 2 ( x)
12. 
dx
 tg ( x)  C
cos 2 ( x)
13.  sh( x)dx  ch( x)  C
14.  ch( x)dx  sh( x)  C
15. 
dx
 cth( x)  C
sh 2 ( x)
-8-
16. 
dx
 th( x)  C
ch 2 ( x)
Формула 4 применима к любому числовому промежутку, не содержащему нуля.
§3. Простейшие правила интегрирования.
Первых два правила указаны в первом параграфе – свойства 3 и 4 неопределённого интеграла, рассмотрим следующее свойство. Пусть имеет место выражение:
 f (t )dt  F (t )  C ,
то тогда также имеет место следующая формула:
1
 f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C .
Докажем её.
Из первого равенства имеем:
F/(t) = f(t).
Продифференцируем правую часть второго выражения:
F/(ax+b)=F/ax+b(ax+b)(ax+b)/x=f(ax+b)a.
Таким образом, получаем, что (1/a)F(ax+b) является первообразной для
функции f(ax+b), что и требовалось доказать.
Приведём несколько примеров интегрирования.
Пример 1.
 (6 x
3
 12 x  5)dx   6 x 3dx   12 xdx   5dx 
3
 6 x 3dx  12  xdx  5 dx  x 4  6 x 2  5 x  C
2
Пример 2.
-9-
 (1 
x ) 2 dx   (1  2 x  x)dx   dx   2 x dx   xdx 
4 3 x2
 x
x  C
3
2
Пример 3.
x

2
dx
1
1
1
1

(

)dx 
(ln x  a  ln x  a)  C 
2

a
2a x  a x  a
2a
1
xa
ln
C
2a x  a
В последнем примере мы использовали только что доказанное свойство
при a=1.
Пример 4.
dx
1
 ( x  a)(x  b)  a  b 

( x  a )  ( x  b)
1
1
1
dx 
(

)dx 

( x  a)( x  b)
a b x b x a
1  1
1
1
xb

dx  
dx 
ln
C


a b  x b
x  a  a b x  a
Пример 5.
 cos ( x)dx  
2

1  cos(2 x)
1
1
dx   dx   cos(2 x)dx 
2
2
2
x 1
 sin(2 x)  C
2 4
В последнем примере мы также использовали то же свойство, но уже
при a=2.
Пример 6.
- 10 -
 sin

2
( x)dx  
1  cos(2 x)
1
1
dx   dx   cos(2 x)dx 
2
2
2
x 1
 sin(2 x)  C
2 4
§4. Интегрирование заменой переменной.
Пусть необходимо вычислить интеграл, которого нет в наших таблицах
 f ( x)dx .
Сделаем замену переменной дифференцируемой функцией, у которой
на рассматриваемой области существует и обратная функция:
x   (t )
Найдём дифференциал для «x»:
dx   / (t )dt .
Теперь всё подставим в наш интеграл
 f ( x)dx   f ( (t ))  (t )dt .
/
И может так случиться, а в этом весь смысл замены переменной, что второй
интеграл будет табличным или ранее вычисленным нами, т.е. нам будет известна функция F(t):
 f ( (t ))  (t )dt  F (t )  C ,
/
тогда делая обратную замену переменной
t   1 ( x ) ,
мы получим окончательно наше решение:
 f ( x)dx  F (
1
( x))  C .
Подчёркиваю ещё раз – весь смысл этого способа интегрирования заключается в подборе такой или таких замен переменной, которые приведут нас
к известным интегралам. Приведём несколько примеров.
Пример 1.
- 11  замена 
1 t
1 t
1 x2


2
 xe dx  t  x    2e dt  2 e  C  2 e  C
dt  2 xdx


x2
Пример 2.
 замена

4
4

   t 3dt   t  C   cos ( x)  C
cos
(
x
)
sin(
x
)
dx

t

cos(
x
)




4
4
dt   sin( x)dx
3
Пример 3.

 замена


  a 1  sin(t ) a cos(t )dt  a 2 cos2 (t )dt 
2
2
a  x dx   x  a sin(t )

 
dx  a cos(t )dt 




последний
обратная



 a2
t
1
x x 2
 интеграл   a 2 (  sin(2t ))  C   замена
 arcsin( ) 
a  x2  C

2 4
2
a
2

известен 
x 
t  arcsin( )
a 

Здесь мы использовали известную формулу
sin(2t )  2 sin(t ) cos(t ) .
§5. Интегрирование по частям.
Рассмотрим известную формулу из дифференциального исчисления
d(uv)=udv+vdu,
проинтегрируем её, используя свойство, что интеграл от дифференциала
функции есть сама функция, получим
uv   udv   vdu ,
или, что одно и то же:
- 12 -
 udv  uv   vdu .
Это и есть формула интегрирования по частям. Её смысл в том, чтобы представить подынтегральное выражение как произведение функции на дифференциал другой функции так, что справа в формуле появился известный или табличный интеграл.
Приведём пример.
u  x, dv  cos(x)dx
x
cos(
x
)
dx

du  dx, v  sin( x)   x sin( x)   sin( x)dx  x sin( x)  cos(x)  C .



Интегрирование по частям позволило заменить сложную функцию
xcos(x) на табличную функцию sin(x).
Правило интегрирования по частям имеет более узкий спектр приложений, чем замена переменных, оно обычно применяется к вычислению интегралов вида:
x
k
ln m ( x)dx,  x k sin m ( x)dx,  x k eax dx.....
Интегралы типа  ex sin(x)dx вычисляются методом, называемым циклическим интегрированием. Его суть заключается в том, что, обозначив исходный интеграл некоторым символом, мы, используя дважды метод интегрирования по частям, приходим к алгебраическому выражению относительно введённого символа, откуда находим наш интеграл. Приведём пример.
u  e x , dv  sin( x)dx 
x
x
I   e x sin( x)dx  
  e cos(x)   e cos(x)dx 
x
du  e dx, v   cos(x)
u  e x , dv  cos(x)dx
x
x
x
x

  e cos(x)  e sin( x)   e sin( x)dx  e (sin(x)  cos(x))  I
x
du  e dx, v  sin( x) 
I  e x (sin(x)  cos(x))  I
2 I  e x (sin(x)  cos(x))  C
1
I   e x sin( x)dx  e x (sin(x)  cos(x))  C
2
В последнем примере мы применяли правило интегрирования по частям
два раза, но в некоторых случаях его необходимо применят несколько раз –
1,2, ….. n.
- 13 -
Предположим, что функции u(x) и v(x) имеют на некотором множестве
все непрерывные производные до (n+1) порядка включительно. Заменим в
формуле интегрирования по частям v(x) на v(n)(x), получим:
 u( x)v
( n1)
( x)dx u( x)v( n) ( x)   v( n) du  uv( n)   u / v( n) dx
Подобным же образом получаем:
u v
/ ( n)
dx  u / v( n1)   u // v( n1) dx ,
и так далее до n
u
v dx  u ( n)v   u ( n1)vdx .
( n) /
Теперь подставим последующее выражение в предыдущее, и окончательно запишем:
 uv
( n1)
dx  uv( n)  u / v( n1)  u // v( n2)  ......... (1)n u ( n)v  (1)n1  u ( n1)vdx .
Приведём несколько примеров.
Пример 1.
u  ln( x), dv  x3dx
1 4
1 3
1 4
1 4
3
 x ln( x)dx  du  1 dx, v  1 x 4   4 x ln( x)  4  x dx  4 x ln( x)  16 x  C

x
4 
Пример 2.
x
2
sin( x)dx   x 2d ( cos(x))   x 2 cos(x)  2 x cos(x)dx ,
последний интеграл мы уже вычисляли, поэтому получаем
x
2
sin( x)dx   x 2 cos(x)  2( x sin( x)  cos(x))  C .
Пример 3.1
1

u 2
, dv  dx

( x  a 2 )n
dx
Jn   2

2nx
( x  a 2 )n 
du   ( x 2  a 2 ) n1 dx, v 



2
  2 x 2 n  2n  2 x 2 n1 dx ,
(x  a )
 (x  a )
x

Этот пример нам понадобится в дальнейшем, когда мы будем находить интеграл от простейшей дроби четвёртого типа.
1
- 14 -
последний интеграл можно преобразовать следующим образом:
x2
x2  a2  a2
dx
dx
2
2
dx

 ( x 2  a 2 )n1  ( x 2  a 2 )n1 dx   ( x 2  a 2 )n  a  ( x 2  a 2 )n1  J n  a J n1 .
Подставим наш результат в первоначальное выражение и получим алгебраическую формулу:
Jn 
x
 2nJ n  2na 2 J n1 .
2 n
(x  a )
2
Из последней формулы легко получить рекуррентное соотношение, понижающее степень нашего исходного подынтегрального выражения:
J n1 
1
x
2n  1 1
 2

 Jn .
2
2 n
2na ( x  a )
2n a 2
Зная, что
J1 
1
x
arctg ( ) ,
a
a
можно получить выражение для любого «n».
Например:
J2 
1
x
1
x
 2
 3  arctg ( ) ,
2
2
2a x  a
2a
a
или
J3 
1
x
3
x
3
x
 2
 4 2
 5  arctg ( ) .
2
2 2
2
4a ( x  a )
8a x  a
8a
a
§6. Интегрирование рациональных выражений.
Рациональной функцией называют отношение двух полиномов произвольных степеней:
R( x) 
an x n  an1 x n1  ...... a1 x  a0
.
bm x m  bm1 x m1  ...... b1 x  b0
Если максимальная степень числителя меньше максимальной степени
знаменателя при свободной переменной (n<m), то такая рациональная функция называется правильной рациональной дробью, по аналогии с обычными
- 15 -
дробями. Её областью определения будет вся числовая ось за исключением
конечного числа точек, в которых знаменатель обращается в ноль.
Из курса алгебры известно, что любую правильную рациональную
дробь можно представить суммой простейших элементарных дробей четырёх
типов:
1)
A
, когда знаменатель имеет корень x=a кратности единица.
xa
2)
A
, когда знаменатель имеет корень x=a кратности k.
( x  a)k
3)
Mx  N
, когда знаменатель имеет комплексно сопряжённые корни x=±i
x  px  q
2
кратности единица, причем (x--i)(x-+i)=x2+px+q.
4)
Mx  N
, когда знаменатель имеет комплексно сопряжённые корни
( x  px  q) k
2
x=±i кратности k.
Разложение правильно рациональной дроби на простейшие производится методом неопределённых коэффициентов.
В его основе лежит следующее правило разложения правильной рациональной дроби:
R( x) 

A
A
A2
A3
Ak
Mx  N
 1 

 ....
 2

2
3
k
x  a x  a1 ( x  a1 ) ( x  a1 )
( x  a1 )
x  px  q
M 1 x  N1
M x  N2
M x  Nr
 2 2
 .............. 2 r
2
x  p1 x  q1 ( x  p1 x  q1 )
( x  p1 x  q1 ) r
2
Подчеркнём, что если корень имеет кратность больше единицы, то ему соответствует число дробей равное его кратности и с различными коэффициентами
в числителе, причём степень их знаменателей меняется от единицы до числа
кратности корня.
Сами неопределённые коэффициенты (A, A1, A2….Ak, M, N, M1, N1, M2,
N2,……..Mr, Nr) определяются после приведение к общему знаменателю правой части последнего выражения и сравнения полученного числителя с числителем исходной рациональной дроби R(x). Так как и там и тут будут полиномы,
- 16 -
то их равенство достигается при равенстве всех коэффициентов при соответствующих степенях независимой переменной «x». В результате у нас получится система алгебраических уравнений первой степени относительно наших
неопределённых коэффициентов, из неё мы их и находим.
Приведём пример.
x2
A
B
C
A( x  1) 2  B ( x 2  1)  C ( x  1)





( x  1)( x  1) 2 x  1 x  1 ( x  1) 2
( x  1)( x  1) 2
( A  B) x 2  (2 A  C ) x  ( A  B  C )

( x  1)( x  1) 2
A  B  0

2 A  C  1
A  B  C  2

3

A  4

3

B  
4

1

C   2

x2
3 1
1
1
1
 (

) 
2
( x  1)( x  1)
4 x  1 x  1 2 ( x  1) 2
Таким образом, зная, как интегрируются простейшие рациональные
дроби, мы сможем проинтегрировать любую рациональную функцию. Перейдём к их интегрированию.
Первые два типа интегрируются элементарно.
1)
A
 x  adx  A ln x  a  C
- 17 A
 ( x  a)
2)
n
dx   A( x  a) n dx 
A
A
1
( x  a) n1  C  

C
 n 1
(n  1) ( x  a) n1
Для вычисления интеграла от простейшей дроби третьего типа потребуется, известная со школы, процедура выделения полного квадрата в знаменателе.
3)


 замена





Mx  N
Mx  N
Mx  N
p
dx  
dx  t  x 
2
2
2

 x 2  px  q dx   2
p
p
p 2 p
2


( x  px  ) 
q
(x  ) 
q
4
4
2
4

p2 
a   q  
4 


Mp
)
dt
M
1
Mp
t
2 dt  M 2tdt  ( N  Mp )
 ln(t 2  a 2 )  ( N 
)arctg ( )  C.
2
2
2
2
2
2


t a
2 t a
2 t a
2
a
2
a
Mt  ( N 
Теперь сделаем обратную замену и окончательно получим:
x
Mx  N
M
2 N  Mp
2x  p
dx 
ln( x 2  px  q) 
arctg (
)C
 px  q
2
4q  p 2
4q  p 2
2
Перейдём к четвёртому типу:
4)


 замена

Mp


Mt

(
N

)


Mx  N
Mx  N
p
2
dx  t  x 
   (t 2  a 2 ) n dt 
 ( x 2  px  q)т dx  
p 2 p2
2
n


[(x  ) 
 q]
2
2
4

p 
a   q  
4 


M
2tdt
Mp
dt
 (N 
) 2
.
2
2 n

2 (t  a )
2 (t  a 2 ) n
Первый интеграл заменой u=t2+a2 сводится к дроби второго типа:
 (t
2
2tdt
du
1
1
 n 
 2
C .
2 n
a )
u
n  1 (t  a 2 ) n1
- 18 -
Для вычисления второго интеграла нам понадобится рекуррентная формула из
третьего примера предыдущего параграфа. Делая обратные замены, мы получим окончательный результат.
§7. Интегрирование выражений, содержащих радикалы.
Мы будем рассматривать рациональную функцию, где в качестве свободной переменной может фигурировать радикал от некоторого другого рационального выражения.
Сначала рассмотрим интеграл
 R( x,
m
x  
)dx .
x  
Положим
tm
x  
,
x  
тогда
x  
t m  
t 
, x   (t ) 
.
x  
  t m
m
Наш интеграл примет вид:
 R( (t ),t )  (t )dt .
/
Здесь мы в качестве подынтегрального выражения имеем чисто рациональное отношение, т.к. (t) и /(t) рациональные функции, а рациональная
функция от рационального аргумента сама является рациональной функцией.
Пример 1.

dx
3
( x  1)( x  1) 2
 3


 замен а





x  1 dx
x

1
 3dt

 t  3
 3


x 1 x 1 
x 1
t 1


6t 2 dt 
dx



(t 3  1) 2 

1
t2 
1  t2  t  1
 2t  1 

  3arctg 
 
 2
  C,
dt  ln 
2 
2  (t  1) 
 t 1 t  t  1
 3 
- 19 -
делаем обратную замену и получаем окончательный результат.
Теперь перейдём к интегрированию так называемых биномиальных
дифференциалов.
Рассмотрим выражение вида:
x
m
(a  bxn ) p dx
оно называется интегралом от биномиального дифференциала.
Если «p» - число целое, то рассматриваемый случай относится к предыдущему интегралу, действительно, если через l обозначить наименьшее общее
кратное знаменателей дробей m и n, то мы получим выражение вида  R(l x )dx
, для рационализации которого достаточно замены t  l x .
Преобразуем теперь биномиальный дифференциал заменой z=xn. Тогда
получим:
1
x (a  bx ) dx  (a  bz) p z
n
m
обозначим
n p
m 1
1
n
dz ,
m 1
 1  q , и запишем
n
x
m
1
(a  bz) p z q dz .

n
(a  bx n ) p dx 
Пусть q будет целым числом, тогда мы вновь возвращаемся к интегралу исследованному прежде, т.к. если обозначить за u знаменатель дроби p, то наше
подынтегральное выражение примет вид R(z,
u
a  bz ). Которое рационализу-
ется подстановкой t  u a  bz  u a  bxn .
Далее, запишем последний интеграл в виде
 a  bz  pq
  z  z dz .
p
Если p+q целое число, то мы вновь получаем изученный случай R(z,
рационализуемое подстановкой t  u
u
a  bz
),
z
a  bz u n
 ax  b .
z
Подведём итог: интегрирование биномиальных дифференциалов возможно, если будет целым одно из чисел
- 20 -
p, q, p+q,
или, что одно и то же, будут целыми числами следующие выражения:
p,
m 1 m 1
,
 p.
n
n
Рассмотрим примеры.
Пример 1.
1
1
1

1
m   ,n  , p   

3

4
1 x
2
4
3


замена

t

(
1

x
)
,

 x dx   x (1  x )   m  1

3
4
2
3
3
  x  (t  1) , dx  12t (t  1) dt 
 2, u  3

 n
 
3
 12 (t 6  t 3 )dt  t 4 (4t 3  7)  C
7
3
4

1 1
4 3
1
2
Осталось только произвести обратную замену переменных.
Пример 2.
1

m  0, n  4, p     замена  t  4 x 4  1


dx
4
0



1
5
 4 1  x 4   x (1  x ) dx   m  1




 p  0, u  4   x  (t 4  1) 4 , dx  t 3 (t 4  1) 4 dt 
 n

используем

t 2 dt 1  1
1 
1 dt

 


1  
dt  
4


t 1 4  t 1 t 1
2 1 t2
4 1  x 4  tx  t (t 4  1) 4 


1 t 1 1
 ln
 arctg (t )  C
4 t 1 2
1

4 4
Рассмотрим далее интегрирование выражений вида R(x, ax2  bx  c ), которые берется с помощью подстановок Эйлера.
Первая подстановка Эйлера используется в случае a>0. Полагают, что
ax2  bx  c  t  a x (или
ax2  bx  c  t  a x ), возведя равенство в квадрат, по-
лучаем bx  c  t 2  2 a x . Откуда непосредственно выводим:
x
t2  c
2 at  b
- 21 -
ax2  bx  c 
dx  2
at 2  bt  c a
2 at  b
at 2  bt  c a
dt
(2 at  b)2
Все полученные выражения рациональны, следовательно, при их подстановки
мы получим рациональную дробь, что приводит нас к уже изученному случаю.
Пример.
a  1  0, замена 
 2

 x    t  x 
 замена
dx
2tdt

2
2


 ( x 2   ) x 2     t  2 xt ,
 t 4  2(2   )t 2   2 u  t 2  

,


t2  
x 

2t


du
 2 2
u  2(2   )u   2
что приводит нас к интегрированию элементарной рациональной дроби третьего типа.
Вторая подстановка Эйлера используется, когда c>0. Здесь полагают,
что ax2  bx  c  xt  c . Снова возводим данное выражение в квадрат и, после
сокращения одинаковых членов, получаем ax  b  xt 2  2 ct . Откуда следует,
что
x
2 ct  b
,
a  t2
ax 2  bx  c 
dx  2
ct 2  bt  c a
,
a  t2
ct 2  bt  c a
dt .
(a  t 2 ) 2
И, после подстановки полученных равенств в подынтегральное выражение,
получаем рациональную дробь.
- 22 -
Пример.
c  1  0, замена  x 2  x  1  tx  1


 2t 2  2t  2
2


  t (t  1)(t  1) 2 dt 
 x  x 2  x  1  x  2t  1 , dx  2 t  t  1 dt


t2 1
(t 2  1) 2


dx
2
1
3
3 
3
1
3
dt 
   


 2 ln t  ln t  1  ln t  1  C
2 
t 1
2
2
 t 2(t  1) 2(t  1) (t  1) 
Остаётся сделать обратную замену
x2  x  1  1
.
x
t
Третья подстановка Эйлера используется, когда квадратный трёхчлен
имеет два различных вещественных корня x1 и x2, т.е.
ax2  bx  c  a( x  x1 )(x  x2 ) .
Произведём замену
ax2  bx  c  t ( x  x1 ) , возведём данное равенство в
квадрат и, после сокращения членов, получим, как и раньше, уравнение первой
степени относительно x:
a( x  x2 )  t 2 ( x  x1 ) .
Из которого следует:
x
 ax2  x1t 2
,
t2  a
ax 2  bx  c 
dx  2
a ( x1  x2 )t
,
t2  a
a ( x1  x2 )t
dt .
(t 2  a ) 2
Что снова нас приводит к интегрированию рациональной дроби.
- 23 -
Пример.
 x   a, замена  a 2  x 2  t (a  x),a  x  a, t  0

 1, 2

 ( x 2  a) a 2  x 2   x  a t 2  1 , dx  4atdt , a 2  x 2  2at , x 2  a 2  2a 2 (t 4  1)  


t2 1
(t 2  1) 2
t2 1
(t 2  1) 2 

1 2t 2  2
1 
1
1
1

 2 4
dt  2   2
 2
arctg ( 2t  1)  arctg ( 2t  1)  C
dt 
2a
t 1
2a  t  2t  1 t  2t  1 
2a 2
dx


Вновь остаётся сделать обратную замену
t
ax
.
ax
§8. Интегрирование дифференциалов R(sin(x), cos(x))dx.
Дифференциалы, представляющие собой рациональные дроби, построенные из тригонометрических функций, всегда могут быть рационализированы общей подстановкой
 x
t  tg  ,  x   .
2
В этом случае мы имеем:
 x
 x
2tg  
1  tg 2  
2
 2   2t , cos(x) 
 2   1 t
sin( x) 
 x  1 t2
 x  1 t2
1  tg 2  
1  tg 2  
2
2
x  2arctg (t ), dx 
2dt
.
1 t2
Таким образом, наш интеграл
 R(sin(x), cos(x))dx
сводится к интегралу вида
 2t 1  t 2  2dt
R
  1  t 2 , 1  t 2  1  t 2 ,
который представляет собой интеграл от рациональной дроби.
- 24 -
Пример.
k  const,0  k  1

1 k 2
dt
 x 
2
 1  2k cos(x)  k 2 dx   замена  t  tg 2   2(1  k ) (1  k )2  (1  k )2 t 2 
2
1 k
1 k 
1 k  x 
1 k 
 2arctg 
t   C  2arctg 
tg     C
 1 k 
1 k  2 
1 k 
1 
t
1 k 
dt
2
x
2
Хотя универсальная замена t  tg ( ) работает всегда, но во многих случаях вычисления через неё бывают очень громоздкими, так что имеет смысл
использовать более частные, но более эффективные замены. Рассмотрим некоторые из них.
Обозначим u  sin( x), v  cos(x) , и будем рассматривать функцию R(u, v) .
Пусть наша функция меняет знак при изменении знака u, т.е.
R(u, v)   R(u, v) ,
тогда в этом случае применима замена t  cos(x) .
Пример.
dx
dx
 замена  t  cos(x)
dt
   (1  t 2 )(1  2t 2 ) 

 sin( x) cos(2 x)   sin( x)(2 cos ( x)  1)  dt   sin( x)dx
2

1 1  2t 1 1  t
ln
 ln
C
2 1  2t 2 1  t
Если же выполняется условие R(u,v)   R(u, v) , то применима замена
t  sin(x) .
Пример.
 замена  t  sin( x)
t3 t5
2
2
 sin ( x) cos ( x)dx  dt  cos(x)dx    t (1  t )dt  3  5  C
2
3
В случае, когда функция R(u, v) меняет знак при обоих аргументах, т.е.
R(u,v)  R(u, v) ,
выполняется замена t  tg (x) .
- 25 -
Пример.
 замена  t  tg ( x)

dx
(1  t 2 ) 2




 sin 4 ( x) cos2 ( x) dx  dt 2 , cos2 ( x)  12   t 4 dt 
1 t
1  tg ( x) 

2 1
1
 t   3  C  tg ( x)  2ctg ( x)  ctg 3 ( x)  C
t 3t
3
Полезно запомнить также некоторые табличные интегралы:
dx
x
dx
x

 cos(x)  ln tg ( 2  4 )  C
 sin( x)  ln tg ( 2 )  C
 sin( x) cos(x)dx 
sin 2 ( x)
C
2
sin( x)
 cos(x) dx   ln cos(x)  C
cos(x)
 sin( x) dx  ln sin( x)  C
dx
 sin( x) cos(x)  ln tg ( x)  C
Глава 2.
Определённый интеграл.
§1. Задача о площади.
Вычислим площадь S криволинейной трапеции представленной на следующем рисунке.
Y
- 26 -
Разобьём координатную ось аргумента функции f(x) на n отрезков так,
что будут выполняться соотношения:
x0=a < x1 < x2 < …....xi-1 < xi < ………. < xn=b.
Внутри каждого полученного отрезка выберем произвольную точку i, вычислим значение нашей функции на ней f(i) и построим на основании нашего
отрезка прямоугольник высоты равной значению нашей функции. В результате криволинейная трапеция заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из полученных прямоугольников. Площадь последней фигуры
легко сосчитать:
n
Pn   f ( i )xi , где xi  xi  xi1 .
i 1
Теперь потребуем, чтобы lim max xi  0 , тогда S  lim Pn , т.е. площадь криволиn
1in
n
нейной трапеции является пределом описанной около неё ступенчатой фигуры, так как в силу непрерывности f(x) разность значений f ( xi )  f (i ) и
f (i )  f ( xi1 ) при
xi  0 будет так же стремиться к нулю.
- 27 -
Сумму
n
 f ( )x
i 1
i
i
называют суммой Римана или интегральной суммой, а
предел от неё называют определённым интегралом
b

a
f ( x)dx 
n
lim
 f ( )x .
n 
max xi  0 i 1
i
i
n
Обозначим    f (i )xi ,   max xi и дадим точное определение.
i 1
1 i  n
Определение 1. Сумма  при  0 имеет конечный предел I, если для
любого числа >0 найдётся такое число >0, что как только  < , выполняется
неравенство   I   для произвольного выбора чисел i.
I  lim 
 0
Определение 2. Конечный предел I от суммы Римана при  0 называется определённым интегралом от функции f(x) в промежутке от a до b и запиb
сывается в виде I   f ( x)dx .
a
Если определённый интеграл существует, функция f(x) называется интегрируемой в промежутке [a,b], а числа a и b называются, соответственно, нижним и верхним пределом интегрирования, при их постоянных значениях определённый интеграл является некоторым числом.
Далее исследуем, при каких условиях интегральная сумма  имеет конечный предел.
§2. Суммы Дарбу.
Заметим, что наше определение применимо только к ограниченным
функциям на интервале интегрирования, иначе интегральную сумму можно
- 28 -
сделать сколь угодно большой, таким образом, необходимым условием интегрируемости функции является её ограниченность на интервале интегрирования.
В силу этого функция будет ограниченной на любом отрезке xi. и, следовательно, достигать на каждом таком отрезке своего максимального и минимального значения. Обозначим за mi  min f ( x) , M i  max f ( x) и составим
x[ xi 1 , xi ]
n
n
i 1
i 1
x[ xi1 , xi ]
две интегральные суммы s   mi xi и S   M i xi , называемых нижней и верхней интегральными суммами или суммами Дарбу. В силу определения сумм
Дарбу для любой интегральной суммы, при любом выборе точек i, будут выполняться неравенства
s    S.
Т.е. при данном разбиении интервала интегрирования суммы Дарбу s и S будут
служить точными гранями, нижней и верхней, соответственно, для любых интегральных сумм, взятом на том же самом разбиении промежутка интегрирования.
Перейдём к свойствам сумм Дарбу.
Теорема 1.
Если к имеющемуся разбиению отрезка [a ,b] добавить новые точки разбиения, то нижняя сумма Дарбу может только возрастать, а верхняя только
уменьшаться.
Доказательство:
Без ограничения общности доказательства ограничимся одной присоединённой точкой разбиения x/  (xi-1,xi). Новая верхняя сумма Дарбу S/ будет
отличаться от предыдущей суммы S тем, что вместо одного слагаемого Mi(xixi-1) появятся два новых слагаемых M/i(x/-xi-1)+ M//i(xi-x/), где множители M/. и
M// точные верхние грани функции f(x) на отрезках (x/, xi-1) и (xi ,x/), соответственно. Так как оба промежутка являются подмножествами отрезка [a ,b], то
имеют место неравенства:
M/i  Mi
- 29 -
M//i Mi.
Следовательно:
M/i(x/-xi-1) + M//i(xi-x/)  Mi(x/-xi-1)+ Mi(xi-x/) = Mi(xi-xi-1).
Поэтому S/  S, что и требовалось доказать.
Теорема 2.
Любая нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы
Дарбу для различных разбиений отрезка интегрирования.
Доказательство:
Рассмотрим два никак не связанных между собой разбиения отрезка
[a,b] и найдём их верхние и нижние суммы Дарбу:
S1, s1; S2, s2.
Объединим эти два разбиения в третье и найдём S3, s3.
В силу предыдущей теоремы имеем:
s1  s3 и S3  S2.
По определению сумм Дарбу s3  S3, откуда непосредственно следует, с учётом
первого неравенства, утверждение нашей теоремы:
s1  S2.
Следствие.
Любая нижняя сумма Дарбу ограничена сверху любой верхней суммой
Дарбу, и любая верхняя сумма Дарбу ограничена снизу любой нижней суммой
Дарбу.
Докажем теперь теорему определяющую условия существования определённого интеграла.
- 30 -
Теорема 3.
Для существования определённого интеграла на отрезке [a,b] необходимо и достаточно, чтобы
lim ( S  s)  0 .
n 
max xi  0
Доказательство:
Необходимость.
Пусть определённый интеграл существует и равен числу I. Т.е.   > 0
 > 0 из max xi <  следует, что I -  <  < I + , где  - произвольная суммы
Римана удовлетворяющая условию max xi < . Но тогда это же неравенство
будет выполняться и для соответствующих сумм Дарбу, т.е.
I -  < s  S < I + ,
что будет означать
lim S  I и
maxxi 0
lim
maxxi  0
sI
Последние выражения эквивалентны утверждению теоремы.
Достаточность.
Пусть условие теоремы выполнено:
lim ( S  s)  0 .
n 
max xi  0
Тогда для любой суммы Римана  будет верно неравенство
s    S.
Вычтем из нашего неравенства s:
0   - s  S – s,
и возьмем предел с нашими условиями, получим:
lim (  s)  0 .
n 
max xi  0
Аналогично получаем равенство с верхней суммой Дарбу:
lim (  S )  0 .
n 
max xi  0
- 31 -
Из последних равенств следует, что предел суммы Римана существует и равен
значению определённого интеграла согласно определению:
lim   I .
n 
max xi  0
§3. Свойства определённых интегралов.
1. Запишем сумму Римана для отрезка [a,b]:
n
   f (i )xi ,
i 1
теперь поменяем порядок следования точек разбиения так, что отрезок [a,b]
станет отрезком [b,a], а xi изменит свой знак на противоположный. В результате новая сумма Римана также изменит свой знак, и в предельном переходе
мы получим:
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx .
Как следствие получаем равенство:
a
 f ( x)dx  0
a
2. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], и точка c (a,b),
тогда мы имеет равенство:
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
Докажем это.
Ясно, что если функция интегрируема на некотором множестве, то она
интегрируема и на любом его подмножестве, поэтому существования правых
интегралов в равенстве в доказательстве не нуждается.
Рассмотрим все возможные разбиения отрезка [a,b], где в качестве одной
из точек разбиения будет точка c. Тогда для суммы Римана имеем равенство:
b
c
b
 f ( )x   f ( )x   f ( )x .
i
a
i
i
a
i
i
c
i
- 32 -
Теперь, потребовав чтобы
max x  0
i
мы получаем наше свойство.
3. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то и функция kf(x)
(где k константа) также интегрируема на этом промежутке:
b
b
a
a
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx .
Доказательство аналогичное предыдущему доказательству.
4. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b], то функция
f(x) + g(x) также интегрируема на этом отрезке:
b
b
b
a
a
a
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx .
Доказательство строится точно так же, как и в предыдущих пунктах.
5. Если функция f(x) интегрируема в промежутке [a,b], положительна и
a < b, то
b
 f ( x)dx  0
a
Доказательство проведём методом от противного. Допусти, что
b
 f ( x)dx  0 .
a
Тогда предел верхней суммы Дарбу также стремится к нулю, и для 1 >0 можно
сделать эту сумму меньшей, чем 1(b-a). Следовательно, найдется такой интервал разбиения [a1,b1], что для всех значений аргумента из него 0<f(x)<1. И так
как
b1
 f ( x)dx  0 ,
a1
- 33 -
то аналогично можно для 2 >0 из последнего интервала можно выделить интервал [a2,b2], что 0<f(x)<2, и 2 < 1, и т.д.
Устремив n0, мы получим последовательность вложенных друг в
друга замкнутых отрезков, с длиной стремящейся к нулю, в которых 0<f(x)<n.
По принципу вложенных друг в друга отрезков существует точка “c”, принадлежащая всем отрезкам, что 0<f(c)<n, что невозможно, т.к. n0.
6. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b] и для x при
котором f(x)<g(x), то и
b
b

f ( x)dx   g ( x)dx .
a
a
Рассмотрим разность f(x)-g(x) и применим предыдущее свойство, тем самым
свойство будет доказано.
7. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b] и a<b , то
b
b
a
a
 f ( x)dx  
f ( x) dx .
Свойство непосредственно вытекает из аналогичного свойства для интегральных сумм
 f ( )x   f ( ) x .
i
i
i
i
8. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b] и a<b , кроме того,
дляx x [a,b]  m  f(x) М, то
b
m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a) .
a
Непосредственно следует из соотношений для интегральных сумм
m xi   f (i )xi  M  xi .
9. Теорема о среднем значении.
- 34 -
Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b] и x x [a,b]  m 
f(x) М, тогда , что
b
 f ( x)dx   (b  a) ,
a
где m    M.
Доказательство.
Пусть a<b, тогда по предыдущему свойству имеем:
b
m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a) ,
a
откуда следует, что
b
1
m
f ( x)dx  M .
(b  a) a
Положив что

b
1
f ( x)dx ,
(b  a) a
мы получаем требуемое равенство
b
 f ( x)dx   (b  a) .
a
Если функция f(x) непрерывна, то доказанное соотношение имеет простую геометрическую интерпретацию. Всегда можно найти такую точку
[a,b], что прямоугольник, построенный на основании (b-a) и на высоте f()
будет иметь точно такую же площадь, как и криволинейная трапеция, образованная функцией f(x), см. рисунок ниже.
- 35 -
Так как по теореме Больцано-Коши для   [m, M] всегда можно найти
[a,b], что = f().
10. Обобщённая теорема о среднем значении.
Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b] и x x[a,b] 
m  f(x) М, кроме того, функция g(x) на [a,b] не меняет знак и g(x)  0 (g(x) 
0), тогда , что
b

b
f ( x) g ( x)dx    g ( x)dx
a
a
и m    M.
Доказательство.
Пусть g(x)  0 и a < b, тогда можно записать
mg(x)  f(x)g(x)  Mg(x),
тогда на основании свойств 3 и 6 получаем:
b
b
b
a
a
a
m g ( x)dx   f ( x) g ( x)dx  M  g ( x)dx .
Так как g(x)  0, то по свойству 5
- 36 b
 g ( x)dx  0 .
a
Если последний интеграл равен нулю, то из первого неравенства следует, что
b
 f ( x) g ( x)dx  0 ,
a
и утверждение теоремы становится тривиальным.
b
Если  g ( x)dx  0 то, положив, что
a
b

 f ( x) g ( x)dx
a
b
 g ( x)dx
a
мы приходим к утверждению теоремы.
Если a>b, то перемена местами пределов интегрирования не меняет равенства, и теорема доказана полностью.
Если функция f(x) непрерывна, то утверждение нашей теоремы может
быть записано в следующем виде:
b
b
a
a
 f ( x) g ( x)dx  f (c) g ( x)dx ,
где c[a,b].
§4. Определённый интеграл как функция верхнего предела.
Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема на
любом отрезке [a,x]  [a,b].
Определим функцию (x) следующим образом:
x
( x)   f (t )dt .
a
Теорема 1.
Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функция (x) будет
непрерывной на том же отрезке.
- 37 -
Доказательство.
Вычислим приращение функции (x) в любой внутренней точке отрезка
[a,b] так, что x+x  [a,b].
x x
( x)  ( x  x)  ( x) 

a
x x


f (t )dt 
x
x
f (t )dt   f (t )dt 
a
x
x
x x
a
a
x
 f (t )dt   f (t )dt  
,
f (t )dt
По теореме о среднем значении имеем (x)=x,  содержится между точными гранями функции f(x) на отрезке [x,x+x].
Устремим x  0, тогда (x)0, а значит (x+x) (x), что и доказывает непрерывность нашей функции.
Теорема 2.
Пусть функция f(t) непрерывна в точке x, то тогда функция (x) имеет
производную в этой точке  /(x)=f(x).
Доказательство.
Ранее мы показали, что
x x
( x) 

f (t )dt  x .
x
Так как функция f(t) непрерывна в точке x, то >0 >0 такое, что из |x|<
 f(x) -  < f(t) < f(x) +  , t t  [x,x+x]. Следовательно, f(x) -    f(x) + ,
т.е. | - f(x)|  , и
lim   lim f (t )  f ( x) .
x 0
x 0
Теперь вычислим производную нашей функции.
( x  x)  ( x)
 lim   f ( x) ,
x 0
x 0
x
 / ( x)  lim
наша теорема доказана полностью.
Таким образом, мы получили, что для непрерывной функции всегда существует первообразная функция в виде нашей функции (x).
- 38 -
§5. Вычисление определённых интегралов.
Прямое вычисление определённых интегралов как пределов интегральных сумм даже в простых случаях является трудоёмким занятием и этим способом пользуются достаточно редко. Чаще всего пользуются способом, основанным на следующей теореме.
Теорема 1.
Значение определённого интеграла от непрерывной функции определяется формулой Ньютона-Лейбница:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)  F ( x)
b
a
,
a
где F(x) любая первообразная функция для f(x).
Доказательство.
x
Пусть ( x)   f (t )dt , и (x)=F(x)+C, так как (x) сама является первообa
разной функцией для f(x).
Далее, (a)=0, следовательно, F(a) + C = 0 и C = -F(a).
Таким образом (x)=F(x)-F(a).
Теперь положим x=b, откуда приходим к доказываемому равенству:
b
(b)   f ( x)dx  F (b)  F (a) .
a
Таким образом, мы всегда для непрерывной функции можем свести задачу вычисления определённого интеграла к отысканию первообразной. Если
же функция разрывная и имеет конечное число точек разрыва на интегрируемом отрезке, мы разобьём наш отрезок на подотрезки, на которых интегрируемая функция непрерывна, и по свойству определённого интеграла сведём
наше вычисление к сумме определённых интегралов по каждому интервалу
непрерывности.
- 39 -
В случае если функция имеет бесконечное число точек разрыва на конечном интервале интегрирования, то интеграл Римана будет не определён, и
здесь нужно перейти к некоторому обобщающему понятию, а, именно, к интегралу Лебега и к теории меры, что не является предметом изучения данного
курса.
Приведём несколько примеров вычисления определённого интеграла
Римана.
Пример 1.
 /2
 sin( x)dx   cos( x)
 /2
0
 (cos( / 2)  cos(0))  (0  1)  1
0
Пример 2.
2
dx
2
 ln( x) 1  ln(2)  ln(1)  ln(2)
x
1

Покажем некоторые важные свойства, используемые при вычислении
определённого интеграла.
1).
a

a
a
f ( x 2 )dx   f (( x) 2 )  f ( x 2 )    f ( x 2 )dx 
0
a
0
a
a
a
0
0
0

f ( x 2 )dx 
a
.   f ( x 2 )dx   f (( x)2 )d ( x)   f ( x 2 )dx   f (( x) 2 )dx 
0
a
 2 f ( x 2 )dx
0
2).
- 40  /2

 /2
f (cos( x))dx 
0

0



f (sin( x))dx  sin(  x)  cos( x)  
2




1
f (sin( x))dx
2 0
Последнее равенство непосредственно следует из определения определённого интеграла как предела интегральной суммы на отрезке [0, ].
3).



1  sin((m  n) x) sin((m  n) x) 

  0 (m  n)
2 
mn
mn
1
 sin(mx) sin(nx)dx  2  [cos((m  n) x)  cos((m  n) x)]dx 
Последнее свойство сохраняется и для косинусов и для смешанных произведений.
4).





1  cos(2mx)
1  sin(2mx) 
dx   x 

 sin (mx)dx  
2
2
2m  
2
5).

1  cos(2mx)
1  sin(2mx) 
dx   x 

 cos (mx)dx  
2
2
2m  
2
§6. Формула приведения.
Формула приведения использует метод вычисления неопределённого
интеграла по частям для нахождения значений определённого интеграла, основываясь на той же самой формуле Ньютона-Лейбница.
То есть
 udv  uv   vdu ,
- 41 -
если областью применения последней формулы является отрезок [a, b], то для
непрерывных подынтегральных функций мы получим нашу формулу
b
b
 u( x)dv( x)  u( x)v( x) a   v( x)du( x) .
b
a
a
Для её доказательства обозначим ( x)   v( x)du( x) , тогда получим
 u( x)dv( x)  u( x)v( x)  ( x) ,
и, соответственно
b
 u( x)dv( x)  u( x)v( x)
b
a
 ( x ) a ,
b
a
что и доказывает формулу приведения.
Пример 1.
1
1
0
0
1
x
x
x
x
x
x
 xe dx   xd (e )  xe   e dx  xe  e 
1
0
1
1
0
0
0
 e  0  (e  1)  1
Рассмотрим более сложный пример.
Пример 2.
 /2
Jm 
 sin
 /2
m
0
( x)dx 
 sin
m 1
( x)d ( cos(x))   sin m 1 ( x) cos(x) 0 / 2 
0
 /2
 /2
0
0
 (m  1)  sin m  2 ( x) cos2 ( x)dx  0  (m  1)  sin m  2 ( x)(1  sin 2 ( x))dx 
 (m  1) J m  2  (m  1) J m
Откуда получаем
Jm 
m 1
J m2
m
Последняя рекурсивная формула позволяет вычислить интеграл для любого
параметра m, зная J0 и J1, но
- 42  /2

 dx  2
J0 
0
,
 /2
J1 
 sin( x)dx  1
0
и окончательно получаем:
 ( mm1)!! 2 , m  2 n
0 sin ( x)dx  0 cos ( x)dx   (mm1)!!, m  2n 1 , n  N
 /2
 /2
m
m
Верхнее выражение для чётных индексов, нижнее для нечётных индексов.1
§7. Замена переменной в определённом интеграле.
Пусть необходимо вычислить интеграл
b
 f ( x)dx ,
где f(x) непрерывная
a
функция на отрезке [a,b]. Сделаем замену x=g(t) со следующими условиями:
1. g(t) определена и непрерывна на отрезке [,] и её значения не выходят на этом промежутке за пределы первого отрезка [a,b].
2. g()=a, g()=b.
3. На отрезке [, ] существует непрерывная производная g/(t).
Тогда имеет место равенство:
b

 f ( x)dx   f ( g (t )) g (t )dt
/
a
Пусть F(x) будет первообразной для f(x), а (t) – первообразной функцией для f(g(t))g/(t). Тогда выполняются два равенства:

b
 f ( g (t )) g (t )dt  ( )  ( )   f ( x)dx  F (b)  F (a) .
/

a
Заметим, что при вычислении определённого интеграла, в отличие от неопределённого, не надо делать обратной замены, если мы пересчитали пределы интегрирования, - результат будет тот же самый.
1
m!! означает факториал по чётности числа m, т.е. 7!!=1357=105
- 43 -
Приведём несколько примеров.
Пример 1.
 /2
b
2
2
2
2
 a  x dx  x  a sin(t ),  0,    / 2  a  cos (t )dt 
a

0
2
a
2
 sin(2t )   / 2 a
t 
0 
2 
4

2
Пример 2.
a
a

x
, dx 
sin(t )dt, x 2  a 2
2

cos(
t
)
cos
(
t
)
x a
dx  
sin(t )
x4

 a cos(t ) ,  0,    / 3

2a
2

a

1
a2
2
 /3
2
 sin (t ) cos(t )dt 
0
1 sin 3 (t )
a2 3
 /3
0







3
8a 2
Рассмотрим более сложный пример.
Пример 3.
d 

x  tg , dx 
,
ln(1  x)
2

cos

dx


2
0 1  x


  0,    / 4

 /4

2 sin( / 4   ) 
  ln(1  tg )d  1  tg 

cos

0


1


8
ln 2 
 /4
 /4
0
0
 ln(sin( / 4   ))d   ln(cos )d 

8
ln 2
т.к. два последних интеграла взаимоуничтожаются (в первом из них сделать
подстановку =/4 - ) .
Глава 3.
Применение определённых интегралов.
- 44 -
§1. Длина кривой.
Будем рассматривать кривые линии на плоскости заданные параметрически:
x = (t), y = (t)
(t0  t  t1 ).
Определим длину кривой как точную верхнюю грань длины P ломаной
линии, все точки перегиба которой лежат на нашей кривой:
S = sup {P},
тогда длина любого n-го прямого отрезка ломаной будет выражаться через координаты её начала (xn-1, yn-1) и конца (xn, yn) следующим образом:
Pn2= (xn - xn-1)2+ (yn - yn-1)2=хn2 + yn2,
и
N
S  sup{ Pn } .
n 1
Свойства суммы отрезков ломаной будут точно такими же, как и у интегральных сумм Дарбу, а значит в силу непрерывности кривой и того, что
N
S   Pn , N ,
n 1
длина кривой будет пределом возрастающей последовательности длин ломаной, при max{Pn}  0, т.е.
S  lim
N

N 
maxxn 0 n1
xn2  yn2 ,
а это что иное, как интегральная сумма Римана. С учётом того, что
dx =/(t)dt и dy =/(t)dt,
мы получим
t1
S    / 2 (t )  / 2 (t )dt .
t0
Если кривая заданна как функция y=f(x), то, сделав тривиальную замену:
t=x, (t) =x, (t)=f(x),
мы получим
- 45 S
x1

1  f / 2 ( x) dx ,
x0
где x0 = (t0) и x1 = (t1) координаты начальной т конечной точек кривой.
В случае если кривая задана в полярной системе координат:
r= r(), x = r()cos(), y = r()sin(),
мы имеем
S
1


r 2 ( )  r / 2 ( )d .
0
Приведём несколько примеров вычисления длин кривых на плоскости.
Пример 1.
Цепная линия y= a ch(x/a), 0  x  x0. График на рисунке.
Вычислим 1  y x/ 2 , (a ch(x/a))/=sh(x/a) и с учётом 1+sh2(x/a)=ch2(x/a) получим
x0
x
x
x
S   ch( )dx  ash( 0 )  ash(0)  ash( 0 ) .
a
a
a
0
Пример 2.
Астроида x=a cos3(t), y=a sin3(t),
0  t /2.
- 46 2
2
2
Или в декартовых координатах x 3  y 3  a 3 .
График на рисунке.
Вычислим xt/ 2  yt/ 2  3a sin(t ) cos(t ) , тогда длина четверти астроиды будет
равна
 /2
S  3a
 sin(t ) cos(t )dt 
0
3a 2  / 2 3a
sin (t ) 0 
.
2
2
Пример 3.
Логарифмическая спираль r() = aem ,
График на рисунке.
00.
- 47 -
Тогда
r 2 ( )  r / 2 ( )  aem 1  m2 .
И окончательно получаем

S a
1  m 2 0 m
1
1
e d (m )  a 1  2 (e m0  1)  1  2 (r ( 0 )  r (0))

m
m
m
0
§2. Площадь фигур на плоскости.
Вычисление площади плоской фигуры заданной мы рассматривали во
второй главе §1 и получили, что площадь криволинейной трапеции ограниченной координатной ось. (OX), прямыми x=a , x=b и графиком функции f(x) будет равна:
b
S   f ( x)dx .
a
Теперь мы найдем, как выражается площадь плоской фигуры, если она задана
параметрически или в полярной системе координат.
Пусть дана кривая заданная параметрически:
x = (t), y = (t)
(t0  t  t1 ),
тогда делая замену y = (t), dx =  /(t)dt, мы получим
t1
S   (t ) / (t )dt .
t0
- 48 -
Но, заметим, надо учитывать тот случай, что при возрастании t функция (t)
может быть убывающей, и тогда верхний и нижний пределы интегрирования
должны поменяться местами.
Действительно вычислим площадь круга
0 t 2,
x = R cos(t), y = R sin(t)
при возрастании t координата x убывает, поэтому мы должны сменить пределы
интегрирования на 2 t0, иначе площадь будет отрицательным числом.
Тогда получим известное выражение:
2
2
2
1  cos(2t )
R2
1
S    R sin (t )dt  R 
dt 
dt   cos(2t )d (2t )  R 2 ,

2
2 0
40
2
0
0
2
2
2
второй интеграл от косинуса двойного аргумента равен нулю.
Перейдём к полярной системе координат.
Пусть опять дана кривая r= r(), выделим, как показано на рисунке, элемент площади ограниченный дугой М1М2 и лучами ОМ1, ОМ2, причем r(1)= 
ОМ1 , r(2)= ОМ2.
Площадь выделенного сегмента можно аппроксимировать площадью
вписанного в него треугольника ОМ1 М2. За его высоту можно взять r() , где
1 <  < 2, а за основание  М1 М2 величину r(),(=2 -1 ).
Тогда
S=(1/2)r2(),
- 49 -
и, разбивая сегмент на аналогичные, но более мелкие, треугольники, мы можем площадь выделенного сегмента представить как:
S
N
lim
 Sn 
N 
maxn 0 n1
N
lim
1
 2r
2
N 
maxn 0 n1
(n )n .
Последнее выражение хорошо известная нам интегральная сумма Римана, поэтому мы можем записать

1 2
S   r 2 ( )d .
2 1
Приведём пример вычисления площади в полярных координатах.
Дана замкнутая кривая r()=a(1+cos()), 0<2, так называемая кардиоида.
Её график представлен на рисунке при a=4.
Вычисляем по полученной формуле её площадь:
2
a2
a2
2
S
(1  cos( )) d 
2 0
2

2
a
2
2
2
2
 (1  2 cos( )  cos ( ))d 
2
0
2
2

 3
1  cos(2 )  a 2 
1
  d  2  cos( )d  
   2   d   a 2
d


 2
2
2 0  2
0
0
0


Интегралы, зависящие от косинусов по полному периоду, равны нулю.
§3. Объём фигур вращения в пространстве.
- 50 -
Рассмотрим задачу о нахождении объёма фигур вращения. Такими фигурами называются объёмные тела, чья поверхность получается путем вращения вокруг какой-либо прямой в пространстве (оси симметрии) куска непрерывной линии. Если линией является отрезок прямой параллельной оси, то
мы получим цилиндр, если отрезок не параллелен оси и не пересекается с ней,
то у нас будет усечённый конус, если он касается оси одним своим окончанием, получится обычный конус. Аналогичным образом, вращая окружность,
параболу, эллипс, гиперболу, мы получим: шар, параболоид, эллипсоид, тор,
гиперболоид. Эти тела показаны на рисунке.
На самом деле определение объёма произвольного тела, как объёма аналогичного объёму куба, задача не тривиальная, относящаяся к теории меры,
но сейчас для нас строго логическое обоснование не важно и мы будем исходить из интуитивного понимания объёма.
Пусть имеется кусок непрерывной линии лежащей в одной плоскости,
описываемой функцией f(x), в качестве оси симметрии возьмем в декартовой
системе координат ось ОХ, и будем вращать наш кусок линии вокруг этой оси.
В результате у нас получится трёхмерное тело, показанное на следующем рисунке. Разобьём отрезок [a,b] на оси ОХ, образованной плоскостями перпендикулярными оси ОХ и проходящими через свободные концы нашей линии,
на N равновеликих промежутков длиной x:
a = x0 < x1 <…. <xn-1 < xn <…….  xN = b.
Y
f(x)
l
- 51 -
Через окончания каждого промежутка проведём плоскости перпендикулярные оси ОХ, так что их пересечением с нашей поверхностью вращения будут окружности. Наше тело, таким образом, будет разбито на элементы напоминающие цилиндры с высотой х. Площадь основания каждого такого цилиндра будет определяться значением f2(n), где xn-1 < n < xn, и его объём
будет выражаться хорошо известной формулой:
Vn =  f 2(n) x.
Объём всего тела аппроксимируем как сумму объёмов всех цилиндров:
N
V   f 2 ( n )x .
n1
Естественно, тогда принять за объём нашего тела вращения предел последней суммы (при x0 и N)
N
V  lim  f 2 ( n )x
x0 n 1
N 
Полученное есть ничто иное, как предел от суммы Римана, т.е. определённый
интеграл:
b
V    f 2 ( x)dx
a
Это и будет искомое выражение, вычисляющее объём тела вращения.
Приведем пример вычисление одного из известных объёмов.
Найдем объём трехосного эллипсоида, заданного каноническим уравнением:
x2 y2 z 2


1
a 2 b2 c2
- 52 -
Сечение эллипсоида, образованное плоскостью перпендикулярной оси
ОХ, является эллипсом. Описываемым следующим уравнением
y2
 x2 
b 1  2 
 a 
2

z2
 x2 
c 1  2 
 a 
 1( x  const ) ,
2
где x - точка пересечение секущей плоскостью оси ОХ. Его площадь находится
по формуле:
S ( x) 
bc
a
2
a
2

 x2 ,
(заметим, ранее у нас площадью сечения была площадь круга S(x)= f 2(x))
Тогда объём эллипсоида вычисляется как
a
V   S ( x)dx 
a

bc
a
2
(a 2 x  x
3
bc a
a
2
 (a
2
 x 2 )dx 
a
4
) a a  abc
3
3
Если у нас все полуоси эллипсоида равны друг другу (a = b= c = R), то мы
получим известную формулу для объёма шара
4 3
R .
3
§4. Площадь боковой поверхности фигур вращения.
- 53 -
Рассмотрим, как и в предыдущем параграфе, фигуру вращения образованную определяющей линией f(x) на отрезке [a,b].
Разобьем этот отрезок на N отрезков равной длины x:
a = x0 < x1 <…. <xn-1 < xn <…….  xN = b.
Y
f(x)
l
b
a
s
Z
X
x

Наша фигура так же будет разделена плоскостями перпендикулярными оси
ОХ на цилиндрические сегменты, но с наклонной боковой поверхностью по
отношению к оси симметрии, т.к. при x  0 длина приращения касательной
к боковой поверхности l к нулю может и не стремиться. Длину сегмента линии мы уже находили в первом параграфе настоящей главы:
ln2= (xn - xn-1)2+ (yn - yn-1)2= хn2+ yn2=х2+(f /(n) х)2,
где xn-1 < n < xn.
Таким образом, боковая площадь нашего цилиндрического сегмента может быть представлена как
Sn = 2 f(n) ln.
В дифференциальной форме приращение длина образующей боковой
поверхности можно представить в виде:
dl  1  f / 2 ( x)dx .
Переходя к суммированию по сегментам и устремляя x  0, мы получим знакомый предел от суммы Римана
N
S  lim  2f ( n ) 1  f / 2 ( n ) x
x  0 n 1
N 
или окончательно для площади боковой поверхности фигуры вращения мы
можем записать:
- 54 b
S  2  f ( x) 1  f / 2 ( x)dx .
a
Вычислим площадь боковой поверхности эллипсоида вращения.
Будем вращать эллипс
x2 y 2

 1, (a  b) ,
a a b2
y  f ( x)  b 2 1 
x2
a2
вокруг оси ОХ, тогда для подынтегрального выражения мы запишем:
f ( x) 1  f / 2 ( x) 
 b2 
f 2 ( x)  ( f ( x) f / ( x)) 2 
b2 2 b4 2 b 2 a 2  b2 2
x  4x 
a 
x
a2
a
a
a2
Введём c 2  a 2  b2 и через неё определим эксцентриситет эллипса

c
,
a
тогда
f ( x) 1  f / 2 ( x) 
b 2
a   2 x2 ,
a
что нам даёт возможность вычислить боковую площадь:
S  2
a
a
b
b
a 2   2 x 2 dx 4  a 2   2 x 2 dx 

a a
a0
b1
a2
x 
2
2 2
 4  x a   x 
arcsin( )  0a 
a2
2
a 

b
a2
 2  a a 2   2 a 2  arcsin( ) 
a


но с учётом того, что a 2   2a 2  a 2  c 2  b2 , мы окончательно получим
a


S  2b b  arcsin   .



Если предположить, что наш эллипс вырождается в окружность, т.е.
a = b = R и эксцентриситет  = 0, с учётом, что
lim

0
arcsin

 1,
мы получим известную формулу для площади шара
- 55 -
S = 4  R2.
§5. Интегралы, зависящие от параметра.
Во многих задачах прикладной математики и физики приходится находить определённые интегралы, чья подынтегральная функция зависит от некоторого свободного параметра, по которому не ведётся интегрирование, но значение самого интеграла непосредственно зависит от него. Например:
1

0
xdy
1  x2 y 2
 arcsin(x) ,
здесь переменной интегрирования является y, а независимым параметром x.
Легко видеть, что полученное значение интеграла является функцией от независимого параметра. Возникает вопрос, можно ли с интегралом, зависящим
от параметра обращаться, как с функцией независимой от переменной интегрирования, т.е. можно ли свести дифференцирование интеграла по параметру
к интегралу от дифференциала подынтегрального выражения. Ответ утвердительный при определённых условиях. Докажем следующую теорему.
Теорема 1.
Пусть дан интеграл
b
F ( x)   f ( x, y )dy ,
a
и если подынтегральная функция f(x,y) непрерывна по каждому своему аргументу, не зависимо от другого аргумента, на отрезках   x   и a  y  b , и
имеет непрерывную производную по параметру x, то можно дифференцировать по параметру под символом интеграла, т.е.
b
dF ( x)
df ( x, y )

dy
dx
dx
a
(считается, что при дифференцировании переменная y постоянна, в дальнейшем мы это будем обозначать как f x/ ( x, y )  f ( x, y ) x ).
- 56 -
Доказательство.
Пусть x и x+x не выходят за границы отрезка   x  , тогда мы можем
записать
b
F ( x  x)  F ( x)    f ( x  x, y)  f ( x, y)dy ,
a
т.к. подынтегральная функция дифференцируема по первому аргументу, то к
ней применима теорема Лагранжа, т.е.
f ( x  x, y )  f ( x, y )  f x/ ( x  x, y )x ,
где 0 <  <1.
Теперь для доказательства утверждения теоремы достаточно показать,
что разность
F ( x  x)  F ( x)
  f x/ ( x, y )dy
x
a
b
является бесконечно малой величиной при х  0.
Действительно
F ( x  x)  F ( x)
  f x/ ( x, y )dy 
x
a
b
b
f
/
x
( x  x, y )  f x/ ( x, y )dy 
a
b
  f x/ ( x  x, y )  f x/ ( x, y ) dy  
a
т.к. производная по аргументу x является непрерывной функцией и  бесконечно малая величина, такая, что. f x/ ( x  x, y)  f x/ ( x, y)   (b  a)
Таким образом, теорема доказана.
В некоторых случаях, независимый параметр присутствует не только в
подынтегральном выражении, но и от него зависят пределы интегрирования:
 ( x)
F ( x) 
 f ( x, y)dy .
 ( x)
В этом случае имеет место следующая теорема.
Теорема 2.
Пусть дан интеграл
- 57  ( x)
 f ( x, y)dy ,
F ( x) 
 ( x)
и если подынтегральная функция f(x,y) непрерывна по каждому своему аргументу, не зависимо от другого аргумента, на отрезках   x   и a  y  b , и
имеет непрерывную производную по параметру x, и, кроме того, функции (x)
и (x) дифференцируемы на отрезке   x  , то имеет место
 ( x)
dF ( x)
  f x/ ( x, y )dy   / ( x) f [ x, ( x)]   / ( x) f [ x, ( x)]
dx
 ( x)
Доказательство.
Рассмотрим наш интеграл, как функцию независимых трёх аргументов
F(x,,), и найдём от неё производную, как от сложной функции
dF ( x) F F / F /


 
 .
dx
x 

К первому слагаемому применима Теорема 1, а к двум последним применим
формулу для интеграла, как функции от верхнего предела интегрирования (гл.
2, §4), т.е.
F
 f ( x, ( x))

F
  f ( x, ( x))

Минус во второй формуле оттого, что функция (х) является нижним пределом интегрирования. Откуда и получается наше утверждение.
Теорема доказана.
Приведём пример применения дифференцирования интегралов зависящих от параметра.
Вычислим интеграл
1
I 
0
arctg ( x)
x 1  x2
dx ,
для этого введём в него независимый параметр 
1
I ( )  
0
arctg (x)
x 1  x2
dx ,
- 58 -
он совпадает с нашим интегралом при  = 1.
Продифференцируем его по параметру 
1
I / ( )  
0
dx
(1   2 x 2 ) 1  x 2
далее делаем замену x =cos(), и получаем
I / ( ) 
 /2
 1
0
 tg ( )
d
1

arctg 
2
2
cos ( )
1 2
 1 
2
  /2 
1
 0 
2 1 2

После интегрируем по параметру , мы получим
I ( ) 

2


ln   1   2  C .
Так как I(0 )= 0, мы получим, что С = 0, и окончательно (при  = 1)
I

2
ln(1  2 ) .
§6. Несобственный интеграл с бесконечными пределами.
Во многих случаях приходится обращаться к некоторому обобщению
интеграла Римана, а именно, в тех случаях, когда интервалы интегрирования
становятся бесконечно большими. Тогда увеличение числа интервалов разбиения области интегрирования в сумме Римана не означает ни стремления к
нулю их размеров, ни сходимости самой суммы, в том смысле, как мы её рассматривали во второй главе. Здесь мы используем иной подход.
Пусть нам дана непрерывная на интервале [a, ) функция f(x), график её
показан ниже.
- 59 -
Ставится задача определить площадь криволинейной трапеции на всей
области определения функции f(x).
Мы ограничим нашу область определения отрезком [a, A]. Тогда у нас
не возникает никаких проблем, и мы можем найти площадь части нашей трапеции
A
S ( A)   f ( x)dx ,
a
как это мы делали во второй главе.
Ясно, что функция S(x) будет монотонно возрастающей, и если она ограничена сверху, то у неё существует предел (при A  ). Тогда мы через него
можем определить площадь нашей криволинейной трапеции, как несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом интегрирования

A
a
A a
S   f ( x)dx  lim f ( x)dx .
Аналогичным образом определяются несобственные интегралы на интервалах
(-, a] и (-, ) . В последнем случае интеграл разбивается на два, и пределы
по верхней и нижней границам берутся независимо друг от друга.
Пример 1.
Найдём интеграл

A
dx
dx
 lim(arctg ( A)  0)  
2
0 1  x2  lim

2
1

x
A 0
A
Пример 2
Найдём интеграл
0
0
dx
dx
 lim(0  arctg ( A))  
2
 1  x2  lim

2
A  A 1  x
A 
Пример 3.
Найдём интеграл
- 60 
A
0
dx
dx
dx
 lim 

2
2
 1  x 2  lim

A  0 1  x
A   A 1  x
 lim(arctg ( A)  0)  lim(0  arctg ( A))  
A 
A  
§7. Несобственный интеграл от неограниченных функций.
Необходимо вводить обобщение интеграла Римана и в тех случаях, когда подынтегральная функция терпит разрыв второго рода внутри интервала
интегрирования или на его концах. так как это показано на рисунке для функции y  2 x 3 ( x 2  4)
в окрестностях точек x = -2 и x = 2 наша функция неограниченна.
Потому мы не можем интегрировать в интервале, содержащем эти точки
разрыва, т.к. в сумме Римана слагаемые f(n)xn могут не стремиться к нулю
(при xn  0) и сумма может расходиться. Используем подход предыдущего
параграфа для отыскания интеграла
3
2 x3
1 x 2  4dx ,
а, именно, разобьём его на два интеграла, исключающих точку разрыва бесконечно малыми окрестностями (2-1, 2) и (2, 2+2), устремив 10 и 20. Тогда запишем
- 61 3
 2  1 2 x 3

2 x3
2 x3


dx

dx

dx
2
1 x 2  4 lim

 1 x 2  4

x

4
 1 0
2 2


3
 2 0
9
 4  1 tdt
 замена
tdt 






lim 

2
t  x   1 00  1 t  4 4   2 t  4 
2
9
 4  1

1
1

 lim  1  4
dt   1  4
dt   8 
 1
t4
t  4 
1 0
4  2
 2 0 


9
 4  1 dt
dt 
 4 lim 
 
 8  4 lim ln t  4 14  1  ln t  4 94   2 


t  4 4 2 t  4 
1 0
1 0
1
 2 0 
 2 0
 8  4 limln(3)  ln(1 )  ln( 2 ) 
1 0
 2 0
Когда бесконечно малые величины 1 и 2 не зависят друг от друга, то несобственного интеграла не существует, но если мы положим, что 1 = 2, то наш
интеграл будет существовать, как говорят в смысле главного значения и пишут
3
v. p.
1
2 x3
dx  8  4 ln(3) .
x2  4
Приведем ещё несколько примеров вычисления несобственного интеграла.
Пример 1.
Вычислим несобственный интеграл в своём значении, в отличие от рассмотренного выше случая.
Найдём
1

0
1 
dx
 lim 
1 x
 0 0

dx
 2 lim 1  x
1 x
 0

1 
0


 2 lim   1  2
 0
Пример 2.
Вычислим следующий интеграл с особой точкой как нижним пределом
0

1
0
dx
1 x
2
 lim

  0 1
dx
1 x
2
 lim0  arcsin(1   )  
 0
 limarcsin(x) 01  
 0

2
- 62 -
Литература.
1. Г.М.Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления» - М. Физматлит, 2003.
2. Л.Д.Кудрявцев «Курс математического анализа» - М. Высшая школа,
1981.
3. В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов «Математический анализ» М. Наука, 1979.
4. Г.Е.Шилов «Математический анализ функции одной переменной» - М.
Лань, 2002.
5. У.Рудин «Основы математического анализа» - М. Лань, 2004.
6. Н.С.Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисления» - М.
Наука, 1978.
7. В.А.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы математического анализа» - М. Наука,
1980.
8. Б.П.Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» - М. АСТ. Астрель, 2004.
Учебное издание
Сурин Сергей Юрьевич
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебное пособие
В авторской редакции
Технический редактор С.Ю. Сурин
Лицензия ИД №04436 от 03.04.2001
Подписано в печать 2009 . Формат 60x84.16. Печать офсетная.
Усл. печ. листов 5,25. Тираж 100. Заказ 17.
Издатель: Арзамасский государственный педагогический институт
им А.П. Гайдара.
607220 г. Арзамас Нижегородской области, ул. К.Маркса, 36.
Участок оперативной печати АГПИ
607220 г. Арзамас Нижегородской области, ул. К.Маркса, 36.
Автор
surin
Документ
Категория
Наука
Просмотров
81
Размер файла
1 377 Кб
Теги
математический анализ
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа