close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

12. Нейтронно–физический расчет решетки ядерного реактора на основе газокинетической теории переноса

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
В.С. Окунев, И.С. Лисицын
Нейтронно-физический расчет
решетки ядерного реактора на основе
газокинетической теории переноса
Под редакцией В.И. Солонина
Рекомендовано Учебно-методическим объединением
«Ядерные физика и технологии»
в качестве учебного пособия
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2011
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 519.6 + 621.039 (075.8)
ББК 31.46
О-52
Рецензенты: В.В. Перевезенцев, Н.Л. Чичулин, М.А. Увакин
О-52
Окунев В.С.
Нейтронно-физический расчет решетки ядерного реактора
на основе газокинетической теории переноса : учеб. пособие /
В.С. Окунев, И.С. Лисицин; под ред. В.И. Солонина. — М. :
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. — 145, [3] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-3333-9
Рассмотрены основные уравнения газокинетической теории
переноса нейтронов и методы их решения, положенные в основу
математических моделей компьютерных программ нейтронно-физического расчета решетки реактора, а также некоторые особенности расчета решетки. Дано описание программы WIMS нейтронно-физического расчета решетки реактора, приведены примеры
задания исходных данных.
Для студентов старших курсов, обучающихся по специальности «Ядерные реакторы и энергетические установки» и выполняющих курсовые, дипломные проекты и НИРС. Может быть
полезно аспирантам и специалистам, занимающимся нейтроннофизическим расчетом реакторных установок и контейнеров для
транспортировки ядерного топлива.
УДК 519.6 + 621.039 (075.8)
ББК 31.46
ISBN 978-5-7038-3333-9
2
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРЕДИСЛОВИЕ
Традиционно в учебных курсах теории и физики ядерных реакторов активно используются не только современные учебные
пособия, но и фундаментальные учебники и монографии, изданные до середины 1970-х годов, в которых часто встречаются термины, не соответствующие и даже противоречащие современным
стандартам. В частности, в зарубежной литературе 60–70-х годов
прошлого века и переводных изданиях плотность потока нейтронов и пространственно-временнýю дифференциальную энергетическую угловую плотность потока нейтронов называют потоком,
внося некоторую путаницу и искажая физический смысл этих величин. У специалистов, профессионально занятых теорией и физикой ядерных реакторов, это не вызывает особых проблем, однако в учебном процессе такая путаница и неоднозначность определений неприемлема. В то же время в ряде случаев вполне
допустимо использовать сокращенную форму некоторых определений, если это особо оговорено и понятно из записи соответствующих соотношений, например, пространственно-временнýю дифференциальную энергетическую угловую плотность потока нейтронов
называют также дифференциальной плотностью потока.
Терминологическая база, используемая в нашей стране в теории
и физике реакторов, за последние более чем 30 лет практически не
изменилась и соответствует стандарту, введенному в действие в
1975 г. (Позднее ГОСТ 19849–74 был заменен на ГОСТ 15484–81,
который, в свою очередь, заменен рекомендациями по межгосударственной стандартизации «РМГ 78–2005 ГСИ. Излучения ионизирующие и их измерения. Термины и определения».)
Специфика подготовки студентов на кафедре ядерных реакторов и установок МГТУ им. Н.Э. Баумана, предполагающая углубленное изучение и получение практических навыков конструирования ядерных энергетических установок (ЯЭУ) нового поколения на
основе комплексных нейтронно-физических, теплогидравлических,
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
прочностных и экономических расчетов, требует знания не только
ЕСКД, но и основополагающих стандартов, регламентирующих
проведение отдельных расчетов (в частности, нейтронно-физических) и обоснования безопасности. Это потребовало включения в
учебное пособие соответствующей информации. Наиболее полный
каталог основных терминов и определений, касающихся ядерных
реакторов, представляет собой Межгосударственный стандарт
ГОСТ 23082–78 (Реакторы ядерные. Термины и определения), соответствующий международному стандарту ИСО 921–72.
Нейтронно-физический расчет ядерных реакторов регламентирован ГОСТом Р 50088–92, содержащим общие требования к проведению физического расчета водо-водяных энергетических реакторов (ВВЭР). В главе 1 приведены некоторые положения этого
стандарта. Подобная информация крайне важна и полезна для студентов, выполняющих нейтронно-физические расчеты в рамках
курсовых или дипломных проектов. Физические расчеты реакторов
других типов государственными стандартами не регламентированы.
Для лучшего понимания материала изложение начинается с понятий диффузии, диффузии нейтронов, теории диффузии, диффузионного приближения (глава 2).
Наибольшая точность нейтронно-физических расчетов достигается при использовании соотношений газокинетической теории переноса нейтронов. В главе 3 на понятийном уровне рассмотрены
основные уравнения газокинетической теории переноса нейтронов
и методы их решения, на которых базируются математические модели компьютерных программ нейтронно-физических расчетов решетки (ячейки) реактора.
Особенностям и методам расчета решетки реактора, используемым в программе WIMS, посвящены главы 4–6. Программа
WIMS нейтронно-физического расчета, обладающая лучшей точностью по сравнению с диффузионным приближением, широко используется в нашей стране и за рубежом. Она хорошо зарекомендовала себя в расчетах реакторов вплоть до третьего и четвертого поколений. В то же время программа является одной из наиболее
простых, удобных и быстродействующих, что делает ее привлекательной для введения в учебный процесс, включая научноисследовательскую работу студентов. Краткое описание программы
WIMS приведено в главе 7.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Материалы справочного характера приведены в приложениях.
Пособие написано в поддержку лекционных курсов по физике
реакторов и физико-математическому моделированию ЯЭУ, читаемых на 6, 7 и 11-м семестрах на кафедре ядерных реакторов и установок МГТУ им. Н.Э. Баумана, а также для выполнения курсовых,
дипломных проектов, НИРС, и призвано дополнить изданные ранее
учебные пособия [10, 11].
Введение, главы 1–6 и заключение написаны В.С. Окуневым,
глава 7 подготовлена авторами на основе методического пособия,
разработанного И.С. Лисицыным, научного отчета А.С. Кулакова,
расчетов решеток ВВЭР-1000, выполненных дипломниками кафедры ядерных реакторов и установок в Лаборатории ядерной безопасности Научно-технического центра по ядерной и радиационной
безопасности под руководством А.И. Попыкина и В.С. Окунева.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. ТРЕБОВАНИЯ К ПРОВЕДЕНИЮ
ФИЗИЧЕСКОГО РАСЧЕТА
1.1. Основные приближения
При проведении нейтронно-физического расчета активной зоны
ВВЭР оценивают: параметры критичности; запасы, эффекты и коэффициенты реактивности, эффективность органов регулирования;
распределение мощности в активной зоне; выгорание топлива,
включая длительность кампаний топливных загрузок, расход топлива, изотопный состав выгружаемого топлива; эффекты пространственно-временной кинетики в активной зоне.
При математическом моделировании процессов переноса нейтронов и, как следствие, в нейтронно-физических расчетах используют два основных приближения. Наиболее простым и наименее
точным для расчета ядерных реакторов является диффузионное
приближение, основанное на упрощении интегро-дифференциального газокинетического уравнения переноса нейтронов и использовании математических моделей, описываемых дифференциальными
уравнениями в частных производных.
Наиболее точное приближение основано на решении интегродифференциального газокинетического уравнения переноса нейтронов методами вычислительной математики. Такое приближение
имеет свои особенности, связанные с тем, что приходится решать
задачи переноса нейтронов в многомерном фазовом пространстве с
учетом пространственных координат, времени, направления полета,
кинетической энергии нейтронов. Учет этих факторов приводит к
необходимости построения сложных математических моделей численного решения уравнения переноса нейтронов [9, 10].
Необходимо сделать одно важное замечание, касающееся используемой терминологии. Приближение, основанное на решении
газокинетического уравнения переноса нейтронов, иногда называют
транспортным, или пространственно-угловым. Понятие «транспортное приближение» используют только специалисты, профессиональ6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
но занимающиеся расчетами и методами решения газокинетического
уравнения переноса нейтронов (отсутствует в специальных словарях
и в нормативной документации). Использование этого понятия вносит некоторую путаницу при изучении процессов переноса нейтронов, в частности, в расчетах, когда сечение рассеяния заменяют
транспортным сечением. Понятия «транспортное сечение» и «транспортное приближение» не имеют ничего общего и никак не связаны.
1.2. Нормативная документация
Общие требования к проведению физического расчета ВВЭР
регламентированы ГОСТом Р 50088–92. Этот стандарт введен в
1993 г. (некоторые требования — в 1996 г.) и распространяется на
расчеты, которые выполняют на стадиии проектирования и непосредственно при эксплуатации ВВЭР для определения нейтроннофизических характеристик активной зоны реактора: параметров
критичности, запасов, эффектов и коэффициентов реактивности,
эффективности органов регулирования, распределения мощности и
изменения этих характеристик в переходных процессах, обусловленных аномально высоким значением сечения поглощения тепловых нейтронов ядрами ксенона-135 и самария-149, в режимах маневрирования мощностью, выгорания и перегрузок топлива, а также
для определения длительности кампаний топливных загрузок, расхода топлива, изотопного состава выгружаемого топлива, эффектов
пространственно-временнόй кинетики.
ГОСТ Р 50088–92 устанавливает требования к проведению физического расчета активной зоны ВВЭР — его организации, объему
и детальности, используемой методике, точности и оформлению
результатов. Требования стандарта учитывают, что результаты этого расчета применяют для обоснования безопасности реакторной
установки (РУ) (в частности, ядерной) и принятия решений, определяющих экономичность использования ядерного топлива. Стандарт не распространяется на расчеты, связанные с решением задач
теплофизики активной зоны, защиты корпуса и тепловыделения в
элементах конструкции реактора.
ГОСТ Р 50088–92 регламентирует организацию расчетов, объем и детальность расчетов, выбор методики расчетов и их точность,
оформление результатов расчетов.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Требованиями стандарта необходимо руководствоваться при
проведении студентами нейтронно-физического расчета в рамках
домашнего задания по курсу физики ядерных реакторов, курсовых
(в том числе конструкторских) и дипломных проектов.
1.3. Объем и детальность
1.3.1. Категории физического расчета
Существует пять различающихся по назначению категорий физического расчета:
проектный расчет на стадии эскизного проектирования;
проектный расчет на стадии технического проектирования;
эксплуатационный расчет для обоснования перегрузок топлива
в реакторе, работающем в проектных условиях;
эксплуатационный расчет для обоснования перегрузок топлива
в реакторе, работающем в условиях, отличающихся от проектных;
оперативный эксплуатационный расчет, выполняемый непосредственно в процессе работы РУ.
Требования к объему и детальности расчетов зависят от их назначения. Объем и детальность расчетов, выполняемых на стадиях,
предшествующих эскизному проектированию, не регламентируются стандартами.
1.3.2. Проектный расчет на стадии
эскизного проектирования
Единая система конструкторской документации как комплекс
государственных стандартов устанавливает следующие стадии разработки конструкторской документации изделий всех отраслей
промышленности:
техническое предложение;
эскизный проект;
технический проект;
рабочая конструкторская документация.
Под эскизным проектом понимают совокупность конструкторских документов, которые должны содержать принципиальные конструктивные решения, позволяющие получить общее представление об устройстве и принципе работы изделия, а также исходные
данные, определяющие назначение, основные параметры и габари8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ты разрабатываемого изделия. Эскизный проект выполняют для установления принципиальных (конструктивных, схемных и др.) решений, дающих общее представление о принципе работы и (или)
устройстве изделия, когда это целесообразно сделать до разработки
технического проекта или рабочей документации. На стадии разработки эскизного проекта рассматривают варианты изделия и (или)
его составных частей. Эскизный проект можно разрабатывать без
рассмотрения на этой стадии различных вариантов. При подготовке
эскизного проекта выполняют работы, необходимые для обеспечения предъявляемых к изделию требований и позволяющие установить принципиальные решения.
Эскизный проект служит основанием для разработки технического проекта или рабочей конструкторской документации.
Согласно ГОСТу Р 50088–92, объем физического расчета, выполняемого на стадии эскизного проектирования, в сочетании с параллельно проводимыми конструкторскими проработками активной
зоны и теплогидравлическими расчетами РУ должен обеспечить
возможность обоснованного окончательного выбора основных конструкционных характеристик активной зоны реактора и условий ее
эксплуатации, к которым относятся:
геометрия активной зоны, тип топливной решетки (решетки
твэлов), конструкция твэлов, конструкция и число топливных тепловыделяющих сборок (ТВС);
номенклатура начального обогащения (изотопный состав) топлива ТВС первой загрузки и подпитки, режим перегрузок топлива;
принципы компенсации реактивности реактора, конструкция и
число органов регулирования, тип и размещение в ТВС выгорающих поглотителей;
распределение органов регулирования по группам, рабочая и
аварийная скорости перемещения групп, предельные значения концентрации поглотителя в теплоносителе (в режимах перегрузок топлива, пуска реактора и вывода его на заданную мощность, выгорания топлива, остановки и расхолаживания реактора, при аварии с
угрозой расплавления топлива), а также необходимые диапазоны
скоростей изменения концентрации жидкого поглотителя в теплоносителе;
принципы профилирования энерговыделений по активной зоне
и внутри ТВС;
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
состав и размещение детекторов внутриреакторного контроля;
принципы гашения ксенонных колебаний;
способы управления реактором в режиме маневрирования
мощностью;
способы транспортирования и хранения свежих и облученных
ТВС.
В объем расчетных работ должно входить также сопоставление
расчетов с результатами физических экспериментов, проводимых
для выбора указанных характеристик реактора. Детальность выполняемого на стадии эскизного проектирования физического расчета
не регламентируется.
1.3.3. Проектный расчет на стадии
технического проектирования
Под техническим проектом понимают совокупность конструкторских документов, которые должны содержать окончательные
технические решения, дающие полное представление об устройстве
разрабатываемого изделия, и исходные данные для подготовки рабочей документации. Технический проект разрабатывают для выявления окончательных технических решений, позволяющих получить полное представление о конструкции изделия, если это целесообразно сделать до подготовки рабочей документации. При
необходимости технический проект может предусматривать разработку вариантов отдельных составных частей изделия. В этих случаях выбор оптимального варианта осуществляется на основании
результатов испытаний опытных образцов изделия.
При подготовке технического проекта выполняют исследования, необходимые для обеспечения предъявляемых к изделию требований и позволяющие получить полное представление о конструкции разрабатываемого изделия, оценить его соответствие требованиям технического задания, технологичность, степень сложности
изготовления, способы упаковки, возможности транспортирования
и монтажа на месте применения, удобство эксплуатации, целесообразность и возможность ремонта и т. п.
Технический проект служит основанием для подготовки рабочей конструкторской документации.
Объем физического расчета, выполняемого на стадиях технического проектирования РУ и активной зоны реактора, в сочетании с
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
параллельно проводимыми уточнениями конструкции РУ, теплогидравлическими расчетами стационарных, переходных и аварийных режимов, физическими и теплогидравлическими экспериментами должен обеспечить:
обоснованный окончательный выбор практических приемов
эксплуатации РУ (картограмма расположения ТВС первой топливной загрузки; типовая схема перегрузок топлива; способы отступления от типовой схемы перегрузок топлива; последовательность
взвода групп органов регулирования; последовательность операций
при компенсации быстрых и медленных изменений реактивности, в
том числе при пусках реактора, выводе его на номинальную мощность, гашении ксенонных колебаний поля энерговыделений, маневрировании мощностью и отработке соответствующих переходных процессов, выгорании топлива, остановках, расхолаживании и
разотравлении реактора);
определение основных нейтронно-физических характеристик
(см. разд. 1.2) реактора для его первой и последующих топливных
загрузок до вывода активной зоны в установившийся режим работы;
получение требуемой для обоснования безопасности реактора и
РУ в целом информации о возможных нейтронно-физических состояниях топлива в активной зоне реактора, транспортных контейнерах и хранилищах топлива применительно к рассматриваемым в
техническом обосновании безопасности РУ нормальном и аварийном режимах эксплуатации (значение подкритичности, условие
достижения критичности, в частности, при аварийном расхолаживании остановленного реактора, скорость возрастания мощности
при авариях с повышением реактивности, эффекты пространственно-временной кинетики поля энерговыделения);
обоснование безопасных приемов обращения с топливом при
его транспортировании, хранении, выполнении технологических
операций, связанных с первой загрузкой топлива в реактор, и режимов перегрузки топлива;
обоснование пусковых экспериментов и экспериментов по освоению мощности реактора;
определение диапазонов допустимых значений характеристик,
которые из соображений безопасности должны быть регламентированы.
В случае, если на стадии технического проектирования РУ проводятся какие-либо эксперименты, то в объем соответствующего
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
расчета должно входить сопоставление результатов расчетов и экспериментов.
Детальность физического расчета на стадии технического проектирования РУ должна быть достаточна для определения с необходимой точностью нейтронно-физической характеристики при
любом возможном на практике состоянии активной зоны реактора
путем линейной интерполяции результатов, полученных для рассмотренных в расчетах состояний активной зоны.
Детальность описания в расчетах распределения поля энерговыделения, выгорания и изотопного состава топлива должна быть
достаточна для получения информации об этих характеристиках
для каждого твэла, по крайней мере, в одном поперечном сечении
реактора.
1.3.4. Эксплуатационный расчет
для обоснования перегрузки топлива в реакторе
Объем и детальность расчетов для обоснования перегрузки топлива в реакторе зависят от условий его работы. Условия работы
реактора соответствуют проектным, если выполняются следующие
требования:
все предусмотренные проектом системы обеспечения безопасной эксплуатации РУ полностью работоспособны;
конструкция активной зоны и номенклатура используемых в
ней топливных ТВС соответствуют проектным;
нейтронно-физические характеристики топливной загрузки находятся в диапазонах значений, предусмотренных проектом.
В иных случаях считают, что условия работы реактора отличаются от проектных.
Объем расчетных работ, выполняемых для обоснования перегрузки топлива в реакторе, работающем в проектных условиях,
включает:
контроль соответствия нейтронно-физических характеристик используемой в реакторе топливной загрузки результатам поверочных
расчетов;
выбор схемы предстоящей перегрузки топлива;
расчет нейтронно-физических характеристик, выбранных для
использования топливной загрузки реактора;
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
проверку соответствия характеристик выбранной топливной загрузки диапазонам значений, предусмотренным проектом.
Соответствие измеренных характеристик топливной загрузки
расчетным считается приемлемым, если выявленные расхождения
сопоставимы с погрешностями измерений в реперных точках.
Схему предстоящей перегрузки топлива следует выбирать по
окончании эксплуатации в реакторе топливной загрузки с условием
надежного прогноза ее эффективной длительности. Выбор схемы
перегрузок топлива должен основываться на результатах расчетов
выгорания топлива при номинальной мощности серии вариантов
предстоящей топливной загрузки и обеспечивать оптимизацию состава и картограммы размещения входящих в нее ТВС.
Расчеты характеристик топливной загрузки, выбранной для
работы реактора в проектных условиях, необходимо проводить в
соответствии с требованиями к объему и детальности, предъявляемыми к расчетам топливных загрузок на стадии технического
проектирования РУ (без анализа эффектов пространственновременной кинетики).
При проверке соответствия характеристик выбранной и предусмотренной проектом топливной загрузки следует учитывать выявленные отличия измеряемых характеристик топливных загрузок от
получаемых в поверочных расчетах. Если по каким-либо причинам
произошло отступление от выбранной схемы перегрузки, расчеты
характеристик предстоящей топливной загрузки необходимо уточнить и повторно утвердить до вывода реактора на номинальную
мощность.
Объем и детальность расчетов для обоснования перегрузки топлива в реакторе, работающем в условиях, отличающихся от проектных, должны быть согласованы с главным конструктором РУ,
научным руководством и Федеральной службой по экологическому,
технологическому и атомному надзору РФ.
1.3.5. Оперативный эксплуатационный расчет
Непосредственно в процессе работы РУ требуется обеспечить
возможность проведения двух видов оперативного эксплуатационного расчета:
прогнозный расчет (по требованию оператора) параметров критичности и переходных процессов в активной зоне реактора;
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
автоматизированный поверочный расчет в ходе эксплуатации
топливной загрузки для контроля соответствия результатов расчетов с результатами измерений.
При проведении оперативного эксплуатационного расчета необходимо предусмотреть возможность автоматизации учета информации о работе реактора в режимах изменения реального времени,
проявления эффектов обратных связей, действия систем регулирования, переходных процессов, связанных с изменением концентрации ксенона-135, выгорания топлива и переходных процессов, связанных с изменением концентрации самария-149.
По требованию оператора расчет параметров критичности
для текущего состояния активной зоны проводят в следующих
случаях:
остановленный реактор (анализ условий приведения реактора в
критическое состояние);
работающий реактор (анализ условий изменения мощности и
последующих проявлений переходного процесса);
остановка реактора с последующим его расхолаживанием и
разотравлением (анализ изменения температуры повторной критичности с течением времени).
По требованию оператора выполняют моделирование переходных процессов в реакторе для текущего состояния активной зоны в
следующих условиях:
маневрирование мощностью заданным оператором способом
(анализ возможности);
поиск оптимального способа маневрирования мощностью (запрос к оператору);
гашение ксенонных колебаний поля энерговыделения заданным
оператору способом (анализ возможности);
поиск оптимального способа гашения ксенонных колебаний
поля энерговыделения (запрос к оператору).
При автоматизированном поверочном расчете в ходе эксплуатации топливных загрузок необходимо обеспечить контроль достоверности описания следующих нейтронно-физических характеристик:
параметров критичности при пусках реактора;
параметров критичности и распределения мощности в активной
зоне реактора при постоянной мощности;
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
изменения характеристик переходных процессов, связанных с
маневрированием мощностью и гашением ксенонных колебаний
поля энерговыделения;
эффективной длительности эксплуатации топливных загрузок;
способов продления эксплуатации топливных загрузок за счет
частичного использования мощностного и температурного эффектов реактивности;
зависимости неравномерности поля энерговыделения и расхода
топлива от снижения утечек нейтронов из активной зоны.
Оперативный эксплуатационный расчет проводят с использованием специальных версий сеточных программ с большим шагом — физических моделей ВВЭР. Детальность оперативного эксплуатационного расчета должна быть достаточна для проверки
соответствия текущего и прогнозируемого состояний реактора условиям безопасности.
1.4. Точность расчетов
Точность проектного расчета на стадии эскизного проектирования должна быть достаточна для выбора основных конструкционных параметров активной зоны реактора.
Точность проектного расчета на стадиях технического проектирования и эксплуатации РУ применительно к измеряемым в процессе работы реактора характеристикам активной зоны должна быть
сопоставима с погрешностью измерений этих характеристик штатными приборами РУ. Требования к точности расчетов характеристик, не измеряемых в процессе работы реактора, устанавливают на
стадии эскизного проектирования реактора, исходя из соображений
сохранения безопасности и экономичности РУ и достоверности результатов расчетов в условиях оперативного действия расчетных
программ.
Точность всех видов физического расчета должна подтверждаться примерами сопоставления результатов расчетов и специально проводимых измерений. Расчеты, выполняемые для обоснования ядерной безопасности РУ, должны подтверждаться данными,
специально проводимых измерений.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.5. Требования к оформлению расчетов
К оформлению расчетов помимо пояснения их назначения и изложения полученных результатов предъявляют следующие требования:
подробную информацию о методике расчетов с указанием вида
и версий программ, положенных в основу расчетов, способах подготовки ядерно-физических констант, использовании упрощений
расчетов, типе применявшегося компьютера;
анализ причин выявленных расхождений с результатами измерений и связанных с ними возможных последствий;
краткие общие выводы по результатам проведенной работы.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
ТЕОРИИ ДИФФУЗИИ
2.1. Диффузия нейтронов
В теории диффузии следует различать физический процесс
диффузии нейтронов и модель диффузионного приближения.
В физике под диффузией (от лат. diffusio — распространение,
растекание) понимают неравновесный процесс, вызываемый молекулярным тепловым движением и приводящий к установлению
равновесного распределения концентраций компонентов внутри
фаз. В однофазной системе при постоянной температуре и отсутствии внешних сил диффузия приводит к выравниванию концентрации каждого компонента фазы по объему всей системы. Диффузия — частный случай явлений переноса, относящийся к массопереносу — представляет собой один из наиболее общих
кинетических процессов, присущих газам, жидкостям и твердым
телам, протекающих в них с различной скоростью. Диффундировать могут как растворенные в веществе посторонние частицы
вследствие броуновского движения, так и частицы самого вещества.
Такой процесс называют самодиффузией. Диффузия — необратимый процесс. В общем случае к диффузионным процессам относят
некоторые явления, не связанные с переносом частиц, например
распространение излучения.
Диффузия атомов и молекул обусловлена их тепловым движением и наличием градиентов их концентрации.
Под диффузией нейтронов понимают их распространение в
веществе, сопровождающееся многократным изменением энергии и
направления движения в результате столкновений с атомными ядрами. Диффузия нейтронов во многом подобна диффузии атомов и
молекул в газах и подчиняется тем же закономерностям [1].
Принципиальное различие между теорией диффузии газов и
теорией диффузии нейтронов состоит в том, что атомы или молеку17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лы газа сталкиваются друг с другом, в то время как нейтроны сталкиваются с атомами (ядрами) среды, в которой они диффундируют
[3]. Это связано с тем, что концентрация нейтронов практически в
любой среде (ядерном реакторе) намного меньше концентрации
атомов и столкновения между нейтронами практически не оказывают влияние на их пространственно-энергетическое распределение. Нейтроны диффундируют независимо друг от друга, а значит,
можно предположить, что вероятность нейтрону пройти определенное расстояние не зависит от присутствия других нейтронов. Как
следствие, значительно упрощается математическая модель: уравнения, описывающие диффузию нейтронов, линейные (в отличие от
уравнений диффузии в газах) и решать их намного проще.
Свободные нейтроны нестабильны: среднее время их жизни —
15 мин. Время жизни нейтрона в конденсированной среде намного
меньше. Это связано с тем, что нейтроны вступают в ядерные реакции с веществом и поглощаются. (Среднее время жизни мгновенных нейтронов деления в ядерных реакторах лежит в диапазоне
10–7 … 10–3 с.) Кроме того, нейтроны могут покинуть систему (реактор), вылетев из него. Этот процесс называют утечкой нейтронов. Таким образом, при расчете реакторов (критических систем)
нейтроны можно считать стабильными частицами.
В теории ядерных реакторов различают диффузию быстрых и
тепловых нейтронов. Первый из этих процессов называют также замедлением, поскольку при делении тяжелых ядер нейтроны, рождаясь быстрыми, рассеиваются на ядрах среды и теряют скорость
(кинетическую энергию). Если в процессе замедления нейтрон не
поглотился или не покинул систему, то он достигает состояния термодинамического равновесия с атомами (ядрами) окружающей среды. Такой нейтрон называют тепловым. Тепловой нейтрон диффундирует в среде, приобретая или теряя кинетическую энергию, но в
среднем не меняя ее, пока не поглотится системой или не вылетит из
нее. Процесс диффузии тепловых нейтронов может быть смоделирован в более простом приближении — моноэнергетическом.
Физический процесс диффузии нейтронов в веществе описывается теорией диффузии, в основе которой лежит решение газокинетического уравнения переноса нейтронов. В практических задачах
это уравнение не имеет аналитического решения, а его решение с
использованием методов вычислительной математики трудоемко и
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
требует больших затрат времени (при обеспечении высокой точности, соответствующей прецизионным расчетам, — от нескольких
часов до месяца и более).
2.2. Диффузионное приближение
Газокинетическое уравнение переноса нейтронов значительно
упрощается, если предположить, что рассеяние нейтронов на ядрах
среды изотропно, сечение поглощения малó, свойства среды слабо
изменяются на расстояниях, соответствующих средней длине свободного пробега нейтрона, а система имеет большие размеры. Такое
приближение называют диффузионным. Диффузионное приближение — модель, к сожалению, не всегда адекватно описывающая физический процесс диффузии. Диффузионное приближение практически невозможно применить для расчета реакторов малых размеров
(оно справедливо вдали от внешних границ реактора и источников
нейтронов на расстоянии двух — трех длин релаксации) и реакторов
с высокообогащенным топливом (высокое значение макросечения
деления, так как сечение поглощения равно сумме сечений деления и
захвата). Тем не менее, для расчета транспортных и исследовательских реакторов малых размеров с высокообогащенным топливом
часто используют диффузионное приближение с поправочными коэффициентами, определяемыми экспериментально.
Необходимо отметить, что даже при отказе от использования
диффузионного приближения в пользу использования более точных
моделей, переход к групповому описанию зависимости сечений от
кинетической энергии нейтронов, также ограничивает применимость модели. Групповые приближения основаны на предположении о разделении переменных, описывающих пространственную и
энергетическую зависимости плотности потока нейтронов, что
справедливо в области установившегося спектра: вдали от внешних
границ реактора и источников нейтронов на расстоянии двух —
трех длин релаксации.
В результате рассеяния на ядрах среды траектория движения
нейтрона в пространстве имеет зигзагообразный вид. Между столкновениями нейтрон движется прямолинейно. При каждом столкновении, если происходит не поглощение, а рассеяние нейтрона, его
направление полета и (или) кинетическая энергия меняются. (Имен19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
но эти два процесса конкурируют при кинетической энергии нейтронов в диапазоне 0…10 МэВ, соответствующей ядерным реакторам.) Прямые участки движения нейтрона между двумя столкновениями называют длиной свободного пробега нейтрона. Изменение
направления движения нейтронов после их рассеяния носит вероятностный характер (как и взаимодействие нейтронов с веществом в
целом). Пространственное положение нейтрона после нескольких
столкновений точно определить нельзя. (И это в предположении,
что нейтрон — точечная частица, которая описывается классической, т. е. не квантовой физикой, и координаты нейтрона в принципе могут быть точно определены.)
Теория, описывающая диффузию нейтронов (теория диффузии)
базируется на статистической физике и предполагает моделирование поведения «среднего» нейтрона. Если плотность нейтронов невелика, эта теория в принципе не применима. Таким образом, математическое моделирование поведения нейтронного поля возможно
лишь при относительно высокой плотности нейтронов, позволяющей пренебрегать статистическими флуктуациями.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. СООТНОШЕНИЯ ГАЗОКИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ
3.1. Газокинетическое уравнение Больцмана.
Три основные модели теории переноса
Плотность нейтронов в активной зоне реактора составляет около
10 …108 см –3. В задачах с таким числом частиц поведение каждой
частицы точно определить невозможно, поэтому рассматривают поведение «среднего» нейтрона. Пусть n(r, Ω, E, t) — ожидаемое в момент времени t число нейтронов в единичном объеме в окрестности
точки r, имеющих кинетическую энергию Е из единичного интервала
dE в окрестности фиксированного значения Е и направление полета
из единичного телесного угла d , ориентированного вдоль направления полета нейтрона — единичного вектора Ω  v / v, где v —
средняя скорость нейтронов, v  │v│.
Функцию n(r, Ω, E, t) называют дифференциальной плотностью нейтронов [15]. Полная (ожидаемая) плотность нейтронов
определяется выражением
6
4
m(r, E, t)   d Ω n(r, Ω, E, t),
0
где
4
2

0
0
0
 d Ω   dψ  dθ sin θ (ψ и θ — азимутальный и полярный уг-
лы). Плотность нейтронов


N (r, t)  dE m(r, E, t),
0
где ε — предельная кинетическая энергия в исследуемом диапазоне.
Формально можно считать, что ε → ∞. Согласно современной терминологии, плотность нейтронов N (r, t) — число нейтронов в мо21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мент времени t в единичном объеме dV, т. е. N  dn / dV. Единицы
измерения N — см–3.
Ожидаемое число нейтронов в элементе объема dV в окрестности точки r, имеющих направление полета внутри единичного диапазона dΩ около фиксированного значения Ω в интервале энергий
dE в момент времени t равно n(r, Ω, E, t) dV dΩ dE.
Плотность потока Ф (r, t) и плотность нейтронов N(r, t) связаны
соотношением Ф (r, t)  vN(r, t). Пространственно-временная дифференциальная энергетическая угловая плотность потока нейтронов, или дифференциальная плотность потока нейтронов,
φ(r, Ω, E, t)  vn(r, Ω, E, t).
В газокинетической теории статистическое описание газа осуществляется функцией распределения, которая определяется уравнением Больцмана [8]. Подобное газокинетическое уравнение используют при решении задач переноса. При этом в качестве функции распределения рассматривают дифференциальную плотность
нейтронов или дифференциальную плотность потока нейтронов.
Газокинетическое уравнение переноса нейтронов (далее — газокинетическое уравнение Больцмана) имеет вид [2]
v1
+


+ Ω φ  tot φ + Q +
t
dE dΩ' φ (r, Ω, E', t) s(r, Ω  Ω, E E, t),
(3.1)
E,
где φ  φ(r, Ω, E, t); tot  tot(r, Ω, E, t) — полное макросечение
взаимодействия; Q — число (источник) нейтронов, родившихся в
1 см3; s(r, Ω  Ω, E E, t) — макросечение рассеяния, при котором нейтрон с произвольными направлением полета Ω и кинетической энергии E после рассеяния будет иметь энергию Е и направление полета Ω, т. е. макросечение перевода.
Выражение под интегралом в уравнении (3.1) можно записать
через индикатриссу рассеяния ws(r, Ω  Ω, E' E, t) — плотность
вероятностей того, что нейтрон в окрестности точки r в момент
времени t в процессе рассеяния изменит направление полета (Ω
 Ω) и кинетическую энергию (Е  Е). Причем
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

dE dΩws(r, Ω  Ω, E  E, t)  1.
E,
В этом случае макросечение перевода
s(r, Ω  Ω, E E, t)  s(r, Ω, E, t) ws(r, Ω  Ω, E  E, t).
Для решения уравнения Больцмана необходимо ввести дополнительные (начальные и граничные) условия. Допустим, что в момент времени, принятый за начало отсчета, дифференциальная
плотность потока известна (начальное условие): φ (r, Ω, E, t)  φ0(r,
Ω, E). Обычно предполагают, что система, в которой определяется
нейтронное поле (например, ядерный реактор) окружена вакуумом,
следовательно, в нее не влетают извне нейтроны. Нейтроны, вылетающие из системы, не могут вернуться обратно. Пусть вектор нормали p к поверхности системы направлен в сторону вакуума. Тогда
скалярное произведение (Ω, p) < 0, дифференциальная плотность
потока φ (r, Ω, E, t)  0 (граничное условие).
Газокинетическое уравнение Больцмана наиболее адекватно
описывает пространственное распределение и физические процессы
переноса нейтронов. Предположения, на которых основывается газокинетическая теория переноса нейтронов, почти всегда выполняются с хорошей точностью. Это уравнение не имеет аналитического
решения. Его решают с использованием методов вычислительной
математики. Известны различные способы решения газокинетического уравнения Больцмана, которые классифицируют по виду
представления решения, типу используемого метода, способу переформулировки задачи [10]. В общем случае различают три основных класса методов решения: сеточные методы и конечные разности, вариационные методы, статистические (вероятностные) методы. Для решения практических задач используют комбинации
различных методов.
Полагая, что рассеяние изотропное (сферически симметричное, или равновероятное по всем направлениям), можно свести
газокинетическое уравнение Больцмана к более простой форме —
интегральному уравнению Пайерлса. При замене макросечения Σs
рассеяния транспортным сечением Σtr можно использовать уравнения Пайерлса для анализа систем, содержащих материалы, для
которых характерно анизотропное рассеяние нейтронов. Транс23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
портное сечение Σtr  Σs(1 –  ), где  — среднее значение косинуса угла рассеяния нейтронов,   2 / (3А); А — массовое число
ядер, на которых происходит рассеяние (рассеивающие центры).
Однако замена макросечения рассеяния транспортным (Σs  Σtr)
является дополнительным приближением, адекватно отражающим
действительность.
Одна из форм записи уравнения Пайерлса содержит ядро, которое, по сути, представляет собой экспериментально определяемое
решение уравнения Больцмана для частного (простого) случая распределения источников нейтронов. Впоследствии ядро используется для построения решения при более общих условиях. В зарубежной литературе такой подход называют методом ядра [3]. Этот метод основан на использовании результатов макроскопических
экспериментов по детальному моделированию условий, для описания которых и предполагается использование интегрального уравнения Пайерлса.
Газокинетическое уравнение Больцмана, интегральное уравнение Пайерлса и метод ядра — три основные модели газокинетической теории переноса нейтронов. Эти уравнения (модели) сложны и
требуют значительных затрат времени на их решение. Поэтому в
практике расчетов ядерных реакторов часто используют диффузионное приближение, согласно которому, кроме изотропности рассеяния, постулируется слабое изменение плотности потока нейтронов на длине свободного пробега λtot│grad Ф│/ Ф  1.
В случае если приближение об изотропности рассеяния практически полностью снимается при замене Σs  Σtr, то предположение о
слабом изменении плотности потока сильно ограничивает область
применения уравнения, записанного в диффузионном приближении — уравнения диффузии. В частности, условие λtot│grad Ф│/ Ф 
 1 выполняется лишь в слабо поглощающих материалах (при Σtot ~
~ Σs  Σa, где Σa — макросечение поглощения) вдали от локализованных источников нейтронов и границ раздела сред с разными
свойствами или ярко выраженной пространственной зависимостью
сечений взаимодействия нейтронов с ядрами.
Неточность диффузионного приближения вблизи границ раздела сред, в том числе вблизи внешней границы реактора, объясняется
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тем, что на границах макросечения не являются непрерывными
функциями координат. Близость к границе реактора в практических
задачах определяется расстоянием, равным примерно двум длинам
свободного пробега нейтрона (λtot  1 / Σtot) от нее или двум — трем
длинам релаксации (в случае внешней границы или наличия источника). В диффузионно-возрастном приближении для реакторов на
тепловых нейтронах длина релаксации R определяется следующим
соотношением: 1/R2  1 / τ + 1 / L2, где τ и L2 — возраст и квадрат
длины диффузии теплового нейтрона соответственно.
Предположение об изотропности рассеяния справедливо при
центральных столкновениях (орбитальное квантовое число l  0)
нейтронов с ядрами, более тяжелыми, чем углерод (А > 12 и Е <
< 0, 1 МэВ). При нецентральных соударениях (l  1, 2, …) взаимодействию нейтронов с ядрами препятствует центробежный барьер
[11]. При значении l  1 высота этого барьера составляет несколько
мегаэлектронвольт. Таким образом, предположение об изотропности рассеяния на средних и тяжелых ядрах хорошо выполняется для
тепловых нейтронов и согласуется с практикой расчетов реакторов
на тепловых нейтронах.
3.2. Решение нестационарных задач
3.2.1. Приближение точечной кинетики
При решении нестационарных задач рассматривают поведение
запаздывающих нейтронов. Время запаздывания их выхода часто
определяет нейтронное поле. Поэтому нестационарное уравнение
(3.1) дополняют соответствующим членом, учитывающим распределение источников запаздывающих нейтронов [2]. В реакторе с
движущимся топливом (например, жидкосолевом) деление ядер в
одной точке coпpoвождается испусканием запаздывающих нейтронов в других точках. Такие эффекты нельзя точно оценить в
рамках газокинетического уравнения переноса.
Численное решение газокинетического уравнения Больцмана
чрезвычайно трудоемко и обычно требует предварительных упрощений. Во многих практических задачах возможно разделение пространственно-энергетической и временной зависимости дифференциальной плотности потока нейтронов. Функцию φ(r, Ω, E, t)
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
представляют в виде произведения амплитудного фактора χ(t),
зависящего лишь от времени, и форм-функции ψ(r, Ω, E, t), т. е.
φ(r, Ω, E, t)  χ(t) ψ(r, Ω, E, t).
Точечная модель реактора (или приближение точечной нейтронной кинетики) соответствует предположению о независимости
форм-функции от времени. В более точных (по сравнению с точечной) моделях сохраняют зависимость форм-функции от времени, полагая, что амплитудный фактор описывает основную временную зависимость, а форм-функция слабо изменяется с течением времени.
В некоторых случаях (при больших изменениях реактивности)
определение подходящей форм-функции затруднено. Однако если
система лишь слегка отклоняется от первоначального состояния,
то независимость функции от времени является хорошим приближением.
Альтернативные методы решения нестационарного уравнения
переноса основаны на разложении плотности потока в ряды, в которых пространственная зависимость сохраняется в приближенной
форме.
3.2.2. Реактивность
В случае если форм-функция имеет ту же зависимость от параметров r, Ω и E, что и собственная функция плотности (или дифференциальной плотности) потока для соответствующей критической
системы, реактивность определяют с помощью традиционного соотношения:

k 1
,
k
где k — эффективный коэффициент размножения нейтронов.
Вообще говоря, зависимости форм-функции и собственной
функции плотности потока, соответствующей коэффициенту k в
критическом состоянии (назовем его статическим коэффициентом
размножения [2]), от переменных r, Ω и E не аналогичны. В этих
условиях параметр ρ не определяется статическим коэффициентом
размножения, поэтому вводят динамический коэффициент размножения kd, который можно найти из соотношения для реактивности:
ρ  (kd – 1) / kd.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Статический и динамический коэффициенты размножения нейтронов различны. Тем не менее во многих отношениях, формфункцию ψ(r, Ω, E) можно с некоторым приближением отождествить с собственной функцией плотности потока. Полагая, что динамический и статический коэффициенты размножения равны, параметр ρ интерпретируют как реактивность системы.
Различия коэффициентов k и kd объясняются следующим.
Обычно в нейтронно-физическом расчете исходное уравнение переноса, или уравнение диффузии нейтронов, сводят к уравнению на
собственные функции и собственные значения. Статический коэффициент является ведущим собственным значением стационарного
газокинетического уравнения переноса нейтронов: уравнения, соответствующего критической системе (k  1). В такой системе дифференциальная плотность нейтронов имеет смысл собственной функции, не зависящей от времени [2]. Переходя от дифференциальной
плотности к дифференциальной плотности потока, в общем (нестационарном) случае решение уравнения переноса определяется как
φ

 An0 ,
где Аn — некоторые коэффициенты, которые выбира-
n0
ют исходя из физического смысла; φn — собственные функции. Если значение k  1, членами ряда при n  1 можно пренебречь, тогда
дифференциальная плотность потока нейтронов будет определяться
собственной функцией, соответствующей ведущему собственному
значению: φ ≈ А0φ0. Это справедливо и для околокритических систем, т. е. в общем случае при | k –1 |  1. При существенном отклонении параметра k от единицы условие φ ≈ А0φ0 не выполняется и

дифференциальная плотность потока нейтронов    An n .
n 0
3.3. Интегральное уравнение переноса нейтронов
(уравнение Пайерлса)
3.3.1. Общий случай
Один из способов решения интегро-дифференциального уравнения переноса нейтронов основан на сведении его к интегральному или дифференциальному уравнению. Газокинетическое уравне27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ние Больцмана можно свести к эквивалентному интегральному
уравнению стандартным методом характеристик. (Это возможно,
если уравнение Больцмана линейное, т. е. источник нейтронов Q не
зависит от параметра φ, а входящие в уравнение частные производные являются производными первого порядка.) Эквивалентного
дифференциального уравнения переноса нейтронов не существует,
поскольку при столкновении с ядрами время и координаты нейтрона меняются непрерывно, а кинетическая энергия и угол, характеризующий направление полета, — скачкообразно. Следовательно, уравнение переноса нейтронов должно содержать интегралы по энергии и углу (направлению полета).
Сведем газокинетическое уравнение Больцмана (3.1) к виду
1 
 Ω φ + tot φ  q(r, Ω, E, t),
v t
где φ  φ(r, Ω, E, t), tot  tot(r, Ω, E, t), а параметр q имеет смысл
плотности источника нейтронов в точке r с кинетической энергией
Е и направлением полета Ω вне зависимости от способа их появления (испущенные источником Q или рассеянные в фазовом пространстве уже существующие нейтроны). Иначе говоря, величина
q — полная скорость появления нейтронов в фазовом пространстве (r, Ω, E, t) в результате их столкновения (рассеяния) и наличия
внешних источников. Согласно уравнению (3.1),
q(r, Ω, E, t)  Q +

dE dΩ φ (r, Ω, E, t) s(r, Ω  Ω, E E, t).
E ,Ω
В декартовых координатах в операторной форме
1 


 
1 

 v t  Ω grad     v t  Ω x x  Ω y y  Ω z z  .




При выводе уравнения переноса предполагают, что сечения
взаимодействия являются непрерывными функциями координат в
окрестности точки r. Дифференциальная плотность N нейтронов
также непрерывна по координате r при пересечении границы раздела сред. Введем s — расстояние на оси, совпадающей с единичным
вектором Ω направления полета нейтрона (рис. 3.1). Уравнение пе28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
реноса применимо для расчета полей нейтронов
по обе стороны от границы раздела сред. Следовательно, N(r + s Ω; Ω; Е; t + s / v) — непрерывная функция расстояния s.
Введем полную производную
d   t  x  y  z




,
ds t s x s y s z s
где dt / ds  1 / v; t  t0 + s / v; dx / ds  Ωx; x 
 x0 + sΩx; dy / ds  Ωy; y  y0 + sΩy; dz / ds 
 Ωz; z  z0 + sΩz; t0, x0, y0, z0 — произвольные Рис. 3.1. К определению параметра s
постоянные величины.
Поскольку координаты точки r  {x, y, z}, можно записать
r  r0 + sΩ, r0  {x0, y0, z0}. Уравнение переноса нейтронов принимает вид
d (r0  sΩ; Ω; E ; t0  s / v)
+ tot φ  q(r0 + s Ω; Ω; Е; t0 + s / v)
ds
и представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Вводя интегрирующий множитель, запишем это уравнение в
виде


d (r0  sΩ; Ω; E; t0  s / v)
exp   tot  r0  sΩ; E   ds 
ds
 s



 exp   tot  r0  sΩ; E   ds q(r0 + s Ω; Ω; Е; t0 + s / v).
 s

(3.2)
Последнее уравнение проинтегрируем от s  – ∞. Область интегрирования включает интервал времени до данного момента. Если задолго до рассматриваемого момента времени в системе не было нейтронов, можно записать, что φ(r0 + s Ω; Ω; Е; t0 + s / v) → 0
при s → – ∞.
Интегруя левую часть уравнения (3.2), получаем
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


s

  r0  s Ω; Ω; E ; t0   exp   tot  r0  sΩ; E   ds .
v

 s



Затем, умножая обе части этого уравнения на exp    tot ds  , нахо

 s

дим
  r0  sΩ; Ω; Et0  s / v  

s




 exp   tot  r0  sΩ; E ds q  r0  sΩ; Ω; E; t0  s / v  ds,
s

или, с учетом того, что r  r0 + s Ω; t  t0 + s/v, получаем интегральное уравнение переноса нейтронов
  r , Ω, E , t  

 s

  exp    tot  r  sΩ; E  ds q  r0  sΩ; Ω; E; t  s / v  ds,
 0

0
называемое интегральным уравнением Пайерлса.
3.3.2. Стационарное уравнение Пайерлса
для моноэнергетических нейтронов
Рассмотрим частный случай. Допустим, что нейтроны моноэнергетические и плотность потока нейтронов не меняется с течением времени. Определим баланс нейтронов в конечном (отсутствуют нейтроны, влетающие в систему) объеме V, окруженном вакуумом.
Рассчитаем число нейтронов, которые после рассеяния в точке
r (элементарном объеме dV ) попадут в элемент объема dV, включающий точку r. Нейтроны, попавшие в элементарный объем dV в
момент времени t, должны покинуть объем dV  в момент времени
t  t – r   r / v. Число нейтронов, рассеявшихся в элементе объема
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dV  за промежуток времени dt, равно ΣsФ(r) dV dt. Число нейтронов, рожденных источниками в объеме dV  за промежуток времени
dt, равно Q(r)dV dt. Предположим, что родившиеся нейтроны разлетаются изотропно. В большинстве случаев это предположение
соответствует действительности.
Итак, cуммарное число нейтронов, родившихся (испущенных
источником Q) и рассеявшихся в элементе объема dV  за промежуток времени dt, равно [ΣsФ(r) + Q(r)] dV dt. Вероятность прохождения нейтроном пути Х без столкновения с ядрами вещества равно
exp (–tot Х). В рассматриваемом случае Х  r   r , а вероятность
определяется exp (–tot r   r ).
Допустим, что рассеяние нейтронов изотропное. По истечении
времени t – t  r   r / v нейтроны, рожденные источником Q и рассеявшиеся в элементарном объеме dV  за промежуток времени dt,
равномерно заполнят сферический слой объемом 4π r   r 2 vdt.
Плотность нейтронов в элементарном объеме dV (вокруг точки r),
обусловленная рождением и рассеянием нейтронов в объеме dV ,
определяется как
dN (r ) 
 s Ф(r )  Q(r ) dV 
 4 r   r v  exp  
2
tot
r  r 
.
Нейтроны могут попасть в объем dV не только из объема dV , а из
всего объема V системы. Поэтому плотность нейтронов в элементарном объеме dV определяется интегрированием dN по объему V:
dN (r ) 
 s Ф(r )  Q (r )
1
.

2
4 V r   r v exp   r   r  dV 
tot


Учитывая, что Ф(r)  vN(r), получаем интергральное уравнение
Пайерлса для плотности потока моноэнергетических нейтронов:
Ф( r ) 
 s Ф(r )  Q (r )
1
.

2
4 V r   r exp   r   r  dV 
tot


31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заменим
показатель
–tot r   r
экспоненты
выражением
R
  tot (r ) dR, где r  r – RΩ, а интегрирование проводится вдоль
0
направления движения нейтрона от точки r до точки r. Пусть макросечение рассеяния s зависит от координат. Тогда уравнение
Пайерлса принимает вид
Ф(r ) 
1
4 V
 s (r )Ф(r )  Q(r )
.
 R

2
r   r exp    tot  r   RΩ  dR dV 
 0

Полученное уравнение справедливо при любых соотношениях параметров Σs и Σа в областях, сколь угодно близких к границам раздела сред, где отсутствуют ограничения на пространственное распределение источников Q, а замена Σs  Σtr позволяет с хорошей
точностью учесть анизотропию рассеяния.
Последнее уравнение представим в виде

Ф(r)  [Σs(r) Ф(r) + Q(r)]К(r, r) dV ,
V
(3.3)


exp    tot  r   RΩ  dR
 0

R
K (r , r ) 
4 r   r
2
,
где K(r, r' ) — ядро точечного источника, т. е. плотность потока
нейтронов в точке r, обусловленная источником единичной мощности, расположенным в точке r'. Числитель выражения (3.3) для
К(r, r) — вероятность нейтрону пройти слой r   r без столкновения с ядрами.
Таким образом, в основе прецизионных моделей нейтроннофизических расчетов лежит интегро-дифференциальное газокинетичекое уравнение переноса нейтронов или эквивалентное ему интегральное уравнение. Среди высокоточных методов решения таких
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
уравнений наиболее эффективны вероятностные, метод дискретных
ординат и комбинация этих методов. Среди вероятностных для расчета реактора обычно используют метод Монте-Карло (метод статистических испытаний), для расчета ячейки — метод вероятностей
первых столкновений.
3.4. Область применения газокинетического
уравнения переноса нейтронов
Рассмотрим основные приближения, на базе которых формулируют газокинетическое уравнение переноса нейтронов и, как следствие, интегральное уравнение Пайерлса.
1. Нейтрон — точечная частица, для которой могут быть точно определены координаты и скорость в любой момент времени.
Это предположение оправдано тем, что нейтрон обладает полуцелым спином, и, следовательно, являясь фермионом, в классической
физике ведет себя как корпускула, не обладающая волновыми свойствами. Однако при кинетической энергии нейтронов, характерной
для активной зоны ядерных реакторов, волновые свойства могут
доминировать. При взаимодействии нейтрона с тяжелыми ядрами
это наблюдается при значении Е  0,2 МэВ, с легкими — при Е 
 20 МэВ [10]. Наиболее ярко волновые свойства нейтрона проявляются в реакторах на тепловых нейтронах и в низкотемпературных
нейтронных ловушках, содержащих жидкий дейтерий. В уравнении
переноса волновые свойства нейтронов учитываются сечениями
взаимодействия.
2. Взаимодействия нейтронов не учитываются. Это отражает
тот факт, что плотность нейтронов в активной зоне реактора на несколько порядков меньше плотности ядер. (Характерная плотность
ядер в твердых и жидких реакторных материалах составляет порядка 1022…1023 см–3, в газах — 1019 см–3.) Максимальная плотность
тепловых нейтронов в высокопоточных исследовательских реакторах (~ 1016 см–2 с–1) не превышает 1011 см–3. Таким образом, столкновения нейтронов между собой гораздо менее вероятны, чем столкновения с ядрами.
3. Концентрация нейтронов настолько велика, что ее отклонение от средних значений не учитывается. Газодинамическое
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
уравнение Больцмана справедливо, если плотность нейтронов достаточно велика и ее флуктуациями, связанными со случайным (вероятностным) характером взаимодействия нейтронов с веществом,
можно пренебречь [3]. Флуктуация плотности нейтронов в единичном объеме равна N –1/2. Средняя плотность потока в активной зоне
энергетического реактора на тепловых нейтронах находится в диапазоне 5 · 1013…5 · 1014 см–2 с–1. Скорость распространения нейтрона, соответствующая кинетической энергии kБT (kБ — постоянная
Больцмана; T — абсолютная температура) при нормальных условиях, v ≈ 2,2 · 105 см/с. В этом случае N  Ф/v  1014 / 105 и составляет
порядка 109 см–3, а относительная флуктуация плотности нейтронов
в 1 см3 пренебрежимо мала: (109)–1/2 ~ 10–3 ~ 0,1 %. Однако при работе реактора на малой мощности, в исследовательских реакторах с
малой плотностью потока или в сборках плотность нейтронов N заметно меньшая. При плотности потока тепловых нейтронов Ф ~
~ 106 см–2 с–1 плотность нейтронов N ~ 10 см–3, а ее флуктуация
1 N ≈ 30 %. Такой флуктуацией нельзя пренебречь, поэтому возможность описания поля нейтронов газокинетическим уравнением
ограничена.
4. Запаздывающие нейтроны не учитываются. Доля запаздывающих нейтронов мала, но при необходимости их можно учитывать, поскольку в большинстве реакторов и сборок отсутствует перенос ядер-предшественников, т. е. эти ядра распадаются в месте
своего образования. Однако если возможен перенос ядер-предшественников во время их распада (в реакторах с циркулирующим
топливом или реакторах с твэлами без оболочек, где топливные материалы и ядра-предшественники запаздывающих нейтронов могут
попасть в циркулирующий теплоноситель), то его учитывают при
решении стационарных и нестационарных задач [2].
5. Не учитываются квантово-механические эффекты поляризации нейтронов при спин-орбитальном взаимодействии с ядрами
среды. Есть и другие эффекты, не оказывающие существенного
влияния на поведение нейтронов в реакторе. Например, предполагается, что эффект теплового движения ядер среды учтен в энергетической зависимости нейтронных сечений и индикатриссы [15].
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. БЕСКОНЕЧНАЯ РЕШЕТКА РЕАКТОРА
4.1. Иерархические уровни нейтронно-физического расчета
Структура активной зоны большинства ядерных реакторов
представляет собой совокупность периодически повторяющихся
элементов, называемую решеткой реактора. Такая структура обусловливает пространственную неравномерность плотности потока
нейтронов (и энерговыделения), периодически повторяющейся в
бесконечном по радиусу реакторе.
При проведении нейтронно-физического расчета различают два
типа моделей, соответствующих разным иерархическим уровням:
реактора и элементарной ячейки. В первом случае часто реактор
считают гомогенным или состоящим из нескольких гомогенных
зон, различающихся по составу. Во втором — предполагают, что
бесконечный реактор состоит из одинаковых повторяющихся элементов (ячеек). Реальное пространственное распределение плотности потока нейтронов в реакторе представляет собой суперпозицию
плотностей потока, полученных с использованием этих моделей,
т. е. имеет тонкую структуру. Определение тонкой структуры основано на расчете плотности потока нейтронов внутри элементарной
ячейки.
Современный уровень развития методов вычислительной математики и компьютерной техники позволяют проводить прецизионные нейтронно-физические расчеты реакторов с детальной конкретизацией его состава (с учетом ТВС, твэлов и др.), практически не
прибегая к гомогенизации.
4.2. Преимущества гетерогенных систем
Одно из первых открытий в области физики реакторов деления
тяжелых ядер связано с установлением того факта, что эффективный коэффициент размножения нейтронов в системе (реакторе) на
природном уране (уране изотопного состава) значительно увеличи35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вается при использовании гетерогенной структуры: размещении
топлива (урана) в виде отдельных блоков, окруженных замедлителем. Например, для уран-графитовых систем, работающих на природном уране, переход от однородной (гомогенной) смеси урана и
графита к гетерогенной системе, состоящей из урановых блоков,
окруженных графитовым замедлителем, приводит к увеличению
эффективного коэффициента размножения нейтронов с 0,85 до 1,08
[3]. Наиболее заметны различия коэффициентов размножения нейтронов для гомогенной и гетерогенной среды при малом обогащении топлива.
Уже в первые годы работы над теорией гетерогенного реактора
удалось выделить из нее часть — теорию решетки, не связанную с
описанием утечки нейтронов из реактора и оперирующую только с
бесконечной решеткой, т. е. с ячейкой этой решетки [12].
Все ядерные реакторы гетерогенные. В реакторах на твердом
топливе на тепловых и промежуточных нейтронах замедление нейтронов пространственно отделено от поглощения. Нейтроны теряют
свою энергию в замедлителе, а поглощаются в топливе. Это приводит к различию потоков нейтронов в разных компонентах активной
зоны. Влияние распределения потока нейтронов по ячейке на параметры размножения (физическая гетерогенность) зависит от энергии нейтронов. Реактор, физически гетерогенный для нейтронов
одной области энергии (например, тепловой), может быть практически гомогенным для нейтронов другой (например, для нейтронов
спектра деления).
В теории решетки реальная среда (структура ядерного реактора) заменяется эквивалентной ей гомогенной. Предполагается, что
решетка реактора представляет собой бесконечное множество периодически повторяющихся элементов активной зоны — твэлов,
ТВС или топливных каналов с прилегающим к ним теплоносителем
(замедлителем). Все ячейки, составляющие реакторную решетку,
одинаковы по форме, составу и, значит, имеют одинаковые нейтронно-физические характеристики (пространственно-энергетическое распределение плотности потока нейтронов, энерговыделение,
коэффициент размножения нейтронов в бесконечной среде и др.).
Критерием адекватности замены реальной ячейки эквивалентной
является равенство скоростей всех видов взаимодействий нейтронов с ядрами среды (ядерных реакций и упругих рассеяний).
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Использовать гетерогенные системы предложили независимо
друг от друга Л. Сцилард (США) и П. Гартек (Германия) [3].
Преимущества гетерогенных систем на тепловых нейтронах с
точки зрения максимизации коэффициента размножения заключаются в следующем.
1. Большие сечения радиационного захвата нейтронов в резонансных пиках приводят к тому, что нейтроны поглощаются преимущественно поверхностным слоем топливного блока, что препятствует их проникновению внутрь блока и резонансному поглощению нейтронов во внутренней части блока. Такой эффект
называют самоэкранированием. В резонансном поглощении (убыли) нейтронов участвует только небольшая часть урана активной
зоны (поверхностный слой твэлов). При гомогенном размещении
топлива и замедлителя в резонансном (паразитном) поглощении
участвует весь уран-238 (238U).
2. Нейтроны, рождаясь в топливном блоке, теряют скорость
(замедляются) в замедлителе. В результате нейтроны имеют бóльшую вероятность избежать резонансного захвата при замедлении
(один из коэффициентов формулы четырех сомножителей для определения коэффициента k∞ размножения нейтронов в бесконечной
среде). В гомогенной смеси топлива и замедлителя вероятность 
заметно меньше, так как резонансный захват реализуется, главным
образом, на ядрах 238U. (Для большинства замедлителей область резонансов в энергетической зависимости сечения поглощения отсутствует, следовательно, поглощение нейтронов малó.)
3. Средняя кинетическая энергия нейтронов, родившихся в топливном блоке в результате деления тяжелых ядер ( 2 МэВ) выше
порога деления 238U (1,4 МэВ). Таким образом, при гетерогенном
размещении топлива и замедлителя быстрые нейтроны до того, как
вылетят в замедлитель, могут вызвать деление сырьевых нуклидов
(238U и др.), в энергетической зависимости сечения деления которых
есть порог. Это ведет к увеличению коэффициента размножения на
быстрых нейтронах (один из коэффициентов формулы четырех сомножителей). Эффект невелик (несколько процентов), так как быстрые нейтроны, родившиеся в топливном блоке, замедляются за
порогом деления 238U в результате неупругого рассеяния на тяжелых ядрах. (В энергетической зависимости сечения неупругого рассеяния нейтронов на тяжелых ядрах порог  0,1 МэВ.) Кроме того,
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
быстрые нейтроны характеризуются относительно малыми сечениями взаимодействия с веществом, следовательно, большой средней длиной свободного пробега, что позволяет им вылететь из топливного блока, не испытав ни одного столкновения с ядрами.
В то же время при использовании в качестве замедлителя, например, легкой воды его объемная доля в активной зоне реактора
относительно невелика (по сравнению, например, с графитом) и
шаг решетки твэлов мал: топливные блоки размещены близко один
к другому. В результате нейтроны, вылетевшие из одного топливного блока и не испытавшие в нем столкновений с ядрами, могут
влететь в соседний блок (или, рассеявшись, обратно в этот же блок),
не успев замедлиться за порог деления ( 1,4 МэВ) сырьевых нуклидов и могут вызвать деление последних, что также дает вклад в
увеличение коэффициента размножения на быстрых нейтронах. Это
явление получило название перекрестного эффекта при размножении на быстрых нейтронах [3]. Если в уран-графитовых решетках
перекрестный эффект мал и его можно не учитывать (до 0,5 % коэффициента размножения на быстрых нейтронах), то в уран-водных
системах этим эффектом пренебрегать нельзя ( 20 % коэффициента размножения) [3].
Следует отметить недостаток гетерогенного способа размещения топлива и замедлителя. Нейтроны замедляются до тепловой
энергии вдали от топливного блока (в замедлителе), следовательно,
имеют меньшую вероятность поглотиться ядрами урана. (В гомогенной смеси эта вероятность велика.) Такой эффект ведет к
уменьшению коэффициента использования тепловых нейтронов
(один из коэффициентов формулы четырех сомножителей). Однако
три ранее перечисленных эффекта, определяющих преимущество
гетерогенных систем с точки зрения увеличения коэффициента размножения нейтронов, доминируют над эффектом снижения коэффициента использования тепловых нейтронов.
4.3. Типы решеток
Различают простые и сложные решетки. Простая ячейка содержит один твэл (обычно цилиндрической формы) с окружающим его
теплоносителем (замедлителем). Ячейка сложной решетки состоит
из технологического канала (реакторы типа РБМК, АМБ, ЭГП,
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
CANDU, AGR) и окружающего его замедлителя, или ТВС, окруженной теплоносителем или замедлителем (реакторы типа ВВЭР,
ВК, PWR, BWR, SCLWR, БН, СВБР). Технологический канал
обычно включает в себя сборку твэлов, теплоноситель и трубу, рассчитанную на полное давление теплоносителя. Часто простую решетку называют решеткой твэлов, сложную — решеткой ТВС или
решеткой каналов.
Среди простых решеток различают разреженные и тесные.
В разреженных решетках твэлы расположены на большем расстоянии один от другого, чем в тесных. При расчете разреженных решеток постулируется, что нейтрон, родившийся в топливном блоке
(твэле) или испытавший там столкновение, следующее соударение
испытает обязательно в замедлителе (теплоносителе), т. е. средний
путь l нейтрона в замедлителе значительно превышает длину λs
свободного пробега до рассеяния в той же среде: l / λs  1. В тесных
решетках нейтрон, вылетевший из топливного блока (твэла), с большой вероятностью может испытать первое соударение в соседних
топливных блоках: l / λs ≤ 1. Как правило, в тесных решетках теплоноситель одновременно служит замедлителем нейтронов, либо замедлитель отсутствует.
Сложная решетка содержит элементы разреженной и тесной
решетки. Разреженную решетку образуют технологические каналы,
расположенные в замедлителе, тесную — твэлы внутри канала.
В бесконечной решетке все ячейки находятся в одинаковых условиях, поэтому можно рассмотреть только одну ячейку, учитывая
влияние соседних условием симметрии (зеркального отражения на
границе ячейки): каждому нейтрону, пересекающему изнутри границу ячейки в любой точке и под любым углом, соответствует нейтрон той же энергии, влетающий в этой же точке в ячейку под тем
же углом по отношению к нормали.
4.4. Особенности расчета ячейки
4.4.1. Ограничения диффузионного приближения
Очевидно, что в твэлах и прилегающих к ним слоях замедлителя или теплоносителя ни диффузионное, ни диффузионно-возрастное (в случае реакторов с замедлителем) приближения не применимы вследствие интенсивного поглощения нейтронов топливом
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и разрыва пространственной зависимости сечений на границе раздела сред. (Область вдали от границ раздела сред, где могла бы
быть применима теория диффузии, для большинства реакторных
ячеек является пустым множеством.)
Согласно газокинетической теории переноса нейтронов, нейтронно-физический расчет ячейки основан на решении газокинетического уравнения переноса нейтронов методами сферических гармоник, дискретных ординат или, в случае сложной формы элементарной ячейки, методом Монте-Карло. Часто вместо методов
сферических гармоник и дискретных ординат удобно применить
некоторые специальные методы, базирующиеся на использовании
вероятностей столкновений в поглощающих средах. В середине
1950-х годов был предложен метод расчета коэффициента использования тепловых нейтронов, позволяющий определить отношение
средних плотностей потоков в замедлителе и топливе, не решая
уравнения диффузии в случае сильного поглотителя [12]. В литературе этот метод получил название метода АБГ (по первым буквам
фамилий авторов — Амуаяля, Бенуа и Горовица).
4.4.2. Выбор программ расчета ячейки
Метод Монте-Карло обладает высокой точностью и эффективностью расчета объектов в реальной геометрии. Все программы
расчета реактора, реализующие решение газокинетического уравнения переноса нейтронов методом Монте-Карло, позволяют рассчитывать бесконечные решетки реакторов. Возможности же программ расчета элементарной ячейки ограничены. Если они и позволяют рассчитывать реактор, то только полностью собранный из
одинаковых ячеек. Этим объясняется тот факт, что число активно
используемых компьютерных программ расчета элементарной
ячейки намного меньше, чем программ расчета поля нейтронов в
произвольной системе в любой геометрии (в реальном реакторе).
Последних в мире насчитывается около 40, в то время как программ
нейтронно-физического расчета ячейки реактора — единицы. Программа WIMS — наиболее распространена и известна среди программ расчета ячейки. В ней реализованы методы вероятностей
первого столкновения и дискретных ординат. Программа WIMS
получила известность в конце 1960-х годов.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В НИЯУ МИФИ разработана программа GETERA, позволяющая проводить нейтронно-физический расчет ячеек ядерных реакторов методом вероятностей первого столкновения в 122-групповом
приближении. Область замедления (от 10,5 МэВ до 2,15 эВ) моделируется в 22-групповом приближении (соответствует системе констант БНАБ), область термализации (0…2,15 эВ) разделена на 100
энергетических групп.
Численное решение уравнения переноса нейтронов и γ-квантов в
трехмерной геометрии находит все большее применение при решении реальных задач. Современное состояние вычислительной техники, наряду с классическими прямоугольными сетками в трехмерной
декартовой системе координат — XYZ-геометрии — позволяет использовать криволинейные сетки в RφZ-геометрии и гексагональные
сетки в HEX — Z-геометрии, которые максимально согласованы с
конфигурацией расчетной области. В ИПМ им. М.В. Келдыша РАН
для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов используется
«алмазная» схема метода дискретных ординат с «нулевой» коррекцией, реализованная в пакете «РЕАКТОР» для RZ-, XYZ- и HEX — Zгеометрии [13].
Среди высокоточных программ расчета сечений реакторных
решеток следует отметить программу UNK, разработанную в РНЦ
«Курчатовский институт», позволяющую рассчитывать пространственно-энергетическое распределение нейтронов в ячейке реактора с
детальным описанием резонансной области энергии. Ее точность
практически такая, как и у прецизионных программ MCNP и MCU.
Использованные в программе UNK детерминированные методы
расчета, позволяют с хорошей точностью оценивать небольшие эффекты реактивности, проводить адекватное сравнение различных
библиотек ядерных данных.
Для расчета спектра используют мелкую энергетическую сетку,
сгущающуюся в окрестности резонансов нуклидов, входящих в состав топливной композиции. Это позволяет учесть блокировку резонансов, интерференцию резонансов разных изотопов, рассчитать
распределение резонансного поглощения по радиусу твэла. Библиотека ядерных данных программы UNK генерируется из файлов
ENDF/B разных версий с помощью программы NJOY. Энергетическая сетка программы состоит из основной, практически полностью
соответствующей сеткам современных ячеечных программ, и мел41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кой, которую можно ввести в любую из основных энергетических
групп. Цель введения мелкой энергетической сетки — проведение
прямых расчетов спектра нейтронов в области разрешенных резонансов без использования каких-либо предварительных способов
блокировки микросечений. В качестве основной обычно используют сетку из 24 надтепловых групп (соответствующих кинетической
энергии нейтронов в диапазоне 14,5 МэВ…2,15 эВ) и 65 тепловых
(энергия менее 2,15 эВ). Выбор оптимального энергетического разбиения на микрогруппы (мелкая сетка) обосновывается практическими расчетами. Например, при расчетах топливных композиций
содержащих 238U число энергетических микрогрупп составляет
примерно 7 000 в диапазоне 2,15 эВ…2,00 кэВ.
Расчет пространственного распределения нейтронов в ячейке
реактора выполняют с использованием метода дискретных ординат
или метода вероятностей первых столкновений. В одномерной плоской, цилиндрической или сферической геометрии расчет пространственного распределения нейтронов проводят методом вероятностей первых столкновений. При расчете ячеек или кассет реактора в более сложной двумерной геометрии вероятности первых
столкновений рассчитывают численным методом.
Возможности программ, основанных на методе Монте-Карло,
столь широки, что, имея одну из них, исследователям нет необходимости в приобретении программ, специально предназначенных
для расчета ячейки. В то же время программы нейтронно-физических расчетов ячейки более просты и доступны.
4.4.3. Приближение Вигнера — Зейтца
Элементарные ячейки геометрически простых цилиндрических
твэлов часто имеют квадратную или шестигранную внешнюю границу. Плотность потока нейтронов в такой ячейке является функцией трех пространственных переменных. Однако если характерный
поперечный размер элементарной ячейки намного меньше ее высоты (длины), удобно предположить, что ячейка является бесконечно
высокой (длинной). В результате поле нейтронов в такой ячейке
зависит только от двух пространственных координат. И наконец,
если реальную границу ячейки заменить цилиндрической (при цилиндрической форме твэлов), то плотность потока будет опреде42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ляться единственной координатой. Такую замену проводят при условии сохранения объема (площади поперечного сечения, если объем бесконечен) ячейки. Последнее предположение называют приближением Вигнера — Зейтца. (Подобное приближение используется в физике твердого тела.)
Метод эквивалентной ячейки Вигнера — Зейтца основан на
двух положениях.
1. Проводится расчет бесконечного реактора, т. е. расчет решетки без учета утечки нейтронов из активной зоны.
2. Предполагается, что все ячейки бесконечного реактора одинаковы, что позволяет воспользоваться условиями симметрии плотности потока нейтронов в центре и на границе ячейки при решении
уравнения переноса.
Элементарная ячейка обычно состоит из нескольких зон, различающихся по составу. Если толщина зоны с замедлителем мала (по
сравнению с длиной свободного пробега нейтрона), приближение
Вигнера — Зейтца при использовании условия симметрии плотности потока на границе ячейки хорошо согласуется с высокоточными
расчетами методом Монте-Карло.
Метод дискретных ординат позволяет задавать на границе
ячейки плотность тока входящих в нее нейтронов, которая компенсирует плотность тока выходящих из ячейки нейтронов, что в целом
повышает точность расчетов.
Упрощение расчетной модели — замену реальной гетерогенной
структуры активной зоны гомогенной — можно считать эквивалентным (т. е. не приводящей к заметной потере точности), если
скорости реакций всех видов взаимодействия нейтронов с веществом при этом не меняются.
4.4.4. Метод эффективной гомогенизации
Нейтронно-физический расчет, если нет необходимости в высокой точности, можно проводить в два этапа. На первом этапе рассчитывается ячейка реактора, на втором — реактор в целом. Расчет
ячейки также может включать в себя два уровня: расчет ячейки твэла (микроячейки) и ячейки ТВС (макроячейки).
В случае если шаг ячейки, выбранной в качестве элементарной,
мал по сравнению с размерами активной зоны, в расчетной модели
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
можно заменить реальную гетерогенную структуру реактора гомогенной с характерными нейтронно-физическими параметрами ячейки. Этот прием называют методом эффективной гомогенизации.
4.4.5. Блок-эффект. Эффект экранирования
Изменение коэффициента k∞ размножения нейтронов в бесконечной среде при переходе от гомогенной к гетерогенной структуре
активной зоны называют блок-эффектом или блокировкой. В реакторах на тепловых нейтронах переход к реальной гетерогенной
структуре влияет, главным образом, на коэффициент μ размножения на быстрых нейтронах и коэффициент θ использования тепловых нейтронов в формуле четырех сомножителей.
Формально элементарную ячейку реактора на тепловых нейтронах удобно представить в виде двух гомогенных (по радиусу)
зон. Центральная зона — топливный элемент (блок), периферийная — замедлитель. Наличие конструкционных материалов (оболочка твэла, дистанционирующие решетки и др.) можно учитывать
в одной из этих зон или в обеих зонах.
Коэффициент μ увеличивается вследствие повышения плотности потока быстрых нейтронов, вызывающих деление тяжелых ядер
с четным числом нейтронов (главным образом 238U при работе реактора в уран-плутониевом топливном цикле) в топливном элементе
(блоке). Существенное снижение плотности потока резонансных
нейтронов в топливном блоке (эффект экранирования, или экранировка) и их замедление в межтвэльном пространстве (между топливными блоками) приводит к повышению вероятности φ избежать
резонансного захвата нейтрона ядрами 238U при переходе к гетерогенной структуре.
Нейтроны, родившиеся быстрыми (преимущественно в диапазоне кинетической энергии 0,1…10,5 МэВ) при делении тяжелых
ядер в топливном блоке, замедляются до тепловой энергии в соседней зоне (замедлителе). Соответственно, плотность потока тепловых нейтронов в замедлителе выше, чем в топливе. Увеличение
отношения средних плотностей потоков тепловых нейтронов в замедлителе (межтвэльном пространстве) и топливном блоке (это
отношение называют коэффициентом проигрыша), ведет к
уменьшению значения θ при переходе к гетерогенной структуре.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Число нейтронов, рождающихся на один поглощенный в топливе
тепловой нейтрон (коэффициент νа в формуле четырех сомножителей) в гомогенной и гетерогенной структуре приблизительно
одинаков.
Физический смысл коэффициента Ψ проигрыша определяют
как меру уменьшения коэффициента использования тепловых нейтронов при переходе от гомогенной (формально однозонной) к гетерогенной (например, двухзонной) элементарной ячейке. Непосредственно проигрыш состоит в том, что при переходе к гетерогенной ячейке увеличивается поглощение нейтронов из-за большей
плотности потока тепловых нейтронов в замедлителе по сравнению
с топливным блоком: Ψ > 1. Очевидно, что минимизации такого
проигрыша соответствует следующее требование: Ψ → 1.
Коэффициент проигрыша определяют экспериментально с помощью детекторов, содержащих материал, энергетическая зависимость сечения поглощения которого описывается законом Ферми
(сечение пропорционально 1/v, где v — средняя скорость нейтронов). Пусть Ф з , Ф т — средние плотности потока тепловых нейтронов в замедлителе и топливном блоке соответственно, Фгр —
плотность потока тепловых нейтронов на поверхности топливного
блока, т. е. на границе раздела двух сред: топлива и замедлителя.
Тогда коэффициент проигрыша Ψ  Ф з / Ф т можно представить в
виде суммы двух слагаемых: Ψ  Ψ1 + Ψ2, где Ψ1  Фгр / Ф т ; Ψ2 
 (Ф з – Ф гр ) / Ф т . Коэффициент Ψ1 называют внутренним, а Ψ2 —
внешним блок-эффектом.
При проектировании реакторов на тепловых нейтронах стремятся к тому, чтобы выигрыш в вероятности избежать резонансного
захвата был больше, чем проигрыш в коэффициенте использования
тепловых нейтронов [12]. Таким образом, уменьшение коэффициента θ при переходе к гетерогенной структуре должно быть небольшим, что ограничивает размеры топливного блока, например,
радиус твэла в реакторах типа ВВЭР (определяющий внутренний
блок-эффект), и шаг решетки твэлов (внешний блок-эффект). Радиус твэла и шаг решетки не должны быть слишком большими. Поскольку коэффициент Ψ1 всегда больше единицы, требование Ψ → 1
накладывает ограничение на коэффициент Ψ2: внешний блок-эф45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
фект обычно мал. В реакторах типа ВВЭР отношение Ψ1 / Ψ2 составляет порядка 10.
Дальнейшая детализация структуры активной зоны, например,
для ВВЭР, учет объединения элементарных ячеек твэлов в ТВС ведет к увеличению коэффициента проигрыша и снижает вероятность
поглощения нейтронов в топливе.
Часто понятие экранировки (или экранирования) используют
применительно к ячейке, содержащей сильно поглощающие материалы. Предположим, что двухзонная по радиусу ячейка содержит
поглотитель (центральная зона — зона № 1) и материал активной
зоны — гомогенную смесь топлива, замедлителя и конструкционных материалов (периферийная зона — зона № 2). Коэффициент
экранирования поглотителя равен отношению средних плотностей
потока тепловых нейтронов в центральной ( Ф1 ) и периферийной
( Ф 2 ) зонах ячейки: g  Ф1 / Ф 2 . Формально коэффициент g можно
представить в виде произведения: g  g1g2, где g1 и g2 — коэффициенты внутренней и внешней экранировки блока (или внутренний и
внешний блок-эффекты для ячейки, содержащей поглотитель), g1 
 Ф1 / Фгр, g2  Фгр / Ф 2 .
4.4.6. Эффект резонансного самоэкранирования
В области резонансов в энергетической зависимости сечений
важную роль играет эффект резонансного самоэкранирования.
Всплески сечения поглощения в резонансах приводят к локальному уменьшению плотности потока нейтронов и, соответственно,
скоростей реакций. Для каждого нуклида фактор самоэкранирования определяется как отношение эффективного сечения реакции к
сечению в условиях бесконечного разбавления. Подробно процедура учета факторов самоэкранирования представлена в монографии [14].
Влияние гетерогенной структуры реактора на распределение
потока нейтронов в топливе и замедлителе особенно заметно в области резонансов в энергетической зависимости сечений. Резонансный характер сечения поглощения ядрами топлива приводит к тому, что вблизи максимумов резонансов длина свободного пробега
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нейтрона до поглощения значительно меньше характерного размера
топливного блока. Поэтому нейтроны резонансных энергий, попавшие в блок, поглощаются в тонком поверхностном слое. Во
внутренних слоях урана поток нейтронов этих энергий близок к нулю. Экранировка тяжелых ядер внутри твэла приводит к тому, что
эти ядра не участвуют в поглощении нейтронов, эффективный резонансный интеграл существенно меньше, чем в гомогенной среде
при прочих равных условиях, увеличивается также и вероятность
избежать резонансного поглощения. Эффект экранировки уменьшается при наличии в топливе легких ядер разбавителя (как правило,
кислорода). В этом случае быстрые нейтроны, рассеиваясь на легких ядрах, могут поглотиться ядрами урана, расположенными внутри блока.
4.4.7. Эффект затенения
Эффект затенения отражает тот факт, что нейтрон, родившийся
при делении тяжелых ядер в топливном элементе (блоке) с большей
вероятностью поглотится в этом же элементе или в соседнем, чем в
более удаленных топливных блоках, находящихся как бы в тени соседних блоков (рис. 4.1). Этот эффект связан с аномально высокими значениями сечения поглощения тепловых нейтронов топливными материалами (по сравнению с
материалами замедлителя или теплоносителя). Очевидно, наиболее ярко эффект затенения проявляется в реакторах на тепловых нейтронах. Межтвэльное пространство
(см. рис. 4.1) заполнено замедлителем. Для
нейтрона, родившегося в твэле 1, топлив- Рис. 4.1. Эффект затенения в решетке твэлов
ный блок 5 находится в тени твэла 3.
Согласно вероятностным методам расчета решетки реактора, в
частности, методу вероятности первого столкновения, если нейтрон
испытает столкновение в топливе или замедлителе после прохождения сквозь другие топливные элементы, используется поправка
Данкова. Существуют подробные таблицы значений этой поправки
в зависимости от диаметра цилиндрических твэлов, шага решетки,
нейтронно-физических характеристик (сечений) замедлителя [2].
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.4.8. Особенности реактора на быстрых нейтронах
В реакторе на быстрых нейтронах сечения поглощения нейтронов разными материалами различаются не так сильно и их значения
гораздо меньше, чем в реакторах на тепловых нейтронах. Поэтому
реактор на быстрых нейтронах характеризуется большой длиной
свободного пробега и с большей вероятностью нейтроны могут
пройти сквозь соседние топливные элементы без взаимодействия.
Эта физическая особенность позволяет широко использовать математические модели с высокой степенью гомогенизации для расчета реактора на быстрых нейтронах. Например, в инженерных расчетах (не
требующих большой точности) такого реактора часто не только не
учитывают твэльную структуру активной зоны, но и «размазывание»
поглощающих стержней по кольцевой зоне реактора (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Схема традиционной компоновки активной зоны реактора на
быстрых нейтронах типа БН, используемая в математической модели
инженерных расчетов:
1, 3, 4, 5, 6 — верхняя торцевая зона воспроизводства (верхний торцевой экран); 7,
9 — зона малого обогащения; 10, 11, 12 — зоны среднего и большого обогащения
и боковая зона воспроизводства (боковой экран); 13, 15, 16, 17, 18 — нижняя торцевая зона воспроизводства (нижний торцевой экран); 2 — кольцевая зона СУЗ и
верхний торцевой экран; 8 — зона малого обогащения и СУЗ; 14 — кольцевая зона
СУЗ и нижний торцевой экран
Для нейтронно-физического расчета реактора на быстрых нейтронах даже с поглощающими материалами хорошо применимо
диффузионное приближение. Сечение поглощения нейтронов рабо48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чими органами системы управления и защиты (СУЗ) относительно
невелико (по сравнению с реакторами на тепловых нейтронах). Таким образом, нейтронно-физический расчет реактора на быстрых
нейтронах может быть проведен с хорошей точностью даже при
использовании гораздо более простых математических моделей.
Часто в инженерных расчетах такого реактора используют малогрупповое (с числом энергетических групп 3…5) диффузионное
приближение без учета отдельных твэлов, ТВС и поглощающих
стержней. Реактор рассматривают как цилиндр, состоящий из нескольких гомогенных зон, различающихся по составу. В числе одной из таких зон — кольцевая, содержащая СУЗ (см. рис. 4.2).
Значительное уменьшение сечения поглощения нейтронов при
увеличении их кинетической энергии приводит к тому, что в реакторе на быстрых нейтронах гораздо менее заметны эффекты отравления и зашлаковывания продуктами деления. По этой же причине
изотопов плутония 240Pu, 242Pu в таком реакторе гораздо меньше.
Эти изотопы делятся в жестком спектре реактора на быстрых нейтронах и их образование практически не ведет к снижению реактивности, а кондиция плутония (концентрация 239Pu в изотопной
смеси плутония), извлеченного из такого реактора, гораздо выше.
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. МЕТОД ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРВЫХ
СТОЛКНОВЕНИЙ
5.1. Общие положения
Задачи расчета решетки реактора (стержневые твэлы, окруженные замедлителем) иногда оказывается полезным формулировать с
помощью метода вероятностей первых столкновений, согласно которому нейтрон, появившийся в какой-то области, испытает следующее столкновение в той же области. В случае регулярной решетки нейтроны деления в топливных элементах появляются равномерно. Для вычисления коэффициента размножения на быстрых
нейтронах необходимо определить вероятность того, что эти нейтроны испытают столкновение в топливном элементе до попадания
в замедлитель. Нейтроны, попавшие в замедлитель, теряют энергию. Для вычисления резонансного поглощения можно использовать вероятность того, что замедленный нейтрон испытает следующее столкновение в топливном элементе. Метод вероятностей первых столкновений используют также для решения задач переноса
тепловых нейтронов, в том числе в диффузионном приближении.
В некоторых случаях удобно представить нейтроны как моноэнергетические частицы, что позволяет проводить расчеты с меньшей ошибкой по сравнению с диффузионным приближением.
Типичная задача определения односкоростных вероятностей
столкновений моноэнергетических нейтронов (моделируемых односкоростным уравнением переноса) связана с рассмотрением ограниченной области, разбитой на конечное число зон, в предположении,
что нейтроны рождаются в одной из этих зон равномерно и изотропно. При этом требуется вычислить вероятность того, что нейтрон испытает следующее столкновение в той зоне, в которой он родился,
или в одной из остальных зон. В расчетах решетки реактора различают только две зоны: с топливом и замедлителем.
В расчетной модели коэффициент размножения нейтронов в
бесконечной среде вычисляют по формуле четырех сомножителей:
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
k  v f  f 8 или k  va 8,
где vf — среднее число нейтронов, рождающихся при делении одного ядра;  f   f  a (  f — макросечение деления); 8 — вероятность избежать резонансного захвата нейтрона ядрами 238U;  —
коэффициент размножения на быстрых нейтронах; vа — среднее
число нейтронов, рождающихся при поглощении ядром топлива
одного нейтрона;  — коэффициент использования тепловых нейтронов.
Коэффициент использования тепловых нейтронов и коэффициент размножения на быстрых нейтронах, в свою очередь, определяют методом вероятностей первых столкновений. Таким образом,
метод вероятностей первых столкновений используют в случаях,
когда применима формула четырех сомножителей, т. е. для расчета
реакторов на тепловых нейтронах.
5.2. Уравнения метода
Наиболее простой прием — сведение интегрального уравнения
Пайерлса к уравнению диффузии — приводит к существенной потере точности расчетов полей распределения нейтронов вследствие
ограниченности применения теории диффузии. Для определения
пространственного распределения нейтронов с минимальной потерей точности уравнение Пайерлса заменяют приближенным эквивалентом, сводя интегральное уравнение к системе алгебраических.
Алгебраические уравнения, содержащие вероятности Рi,j нейтрона,
родившегося в выделенной (i-й) зоне реактора (или в ячейке реактора) от однородных и изотропных источников, испытать первое
столкновение с ядром в другой ( j-й) зоне, решают методом вероятностей первых столкновений [12].
Предположим, что объем V системы (например, активной зоны
или выделенной элементарной ячейки) можно условно разделить на
конечное число зон таким образом, что в пределах каждой зоны постоянны макросечения взаимодействия. Пусть i — номер зоны (i 
 0, 1, 2, … , I–1), I — число зон. Интеграл по объему V в правой
части выражения (3.3) заменим суммой интегралов по объемам Vi
каждой зоны:
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
I 1
Ф(r)    dr  [Σs,i Ф(r) + Q(r)] К(r, r),
i 0 V
где Σs,i — макросечение рассеяния нейтронов в i-й зоне. Умножим
обе части этого выражения на полное макросечение Σtot,i в i-й зоне и
проинтегрируем полученное соотношение по объему зоны Vi, изменив тем самым порядок интегрирования. Окончательно получим
tot ,i   (r )dr 
Vj

I 1 
    s ,i  dr  (r )  tot , j К (r , r )dr   dr Q( r )  tot , j К (r , r )dr . (5.1)

i 0 
Vj
Vi
Vj
 Vi

Пусть  i  (1/ Vi )   (r ) dr  — средняя плотность потока нейтронов
Vi
в i-й зоне; Qi  (1/ Vi )  Q (r ) dr  — средняя объемная скорость генеVi
рации нейтронов в i-й зоне. Тогда число столкновений в объеме Vj,
которое определяется произведением Σtot, j  j Vj, можно вычислить
следующим образом:
I 1
tot , j  j V j  Vi   s ,i  i Pi (, j )  Qi Pi (, Qj )  ,
(5.2)
i 0
где Pi (, j )   dr  ( r )  tot , j К (r , r ) dr 
Vi
Vj
Pi (, Qj )   dr Q (r )  tot , j К (r , r ) dr 
Vi
Vj
 dr (r );
Vi
 dr Q(r ).
Vi
Допустим, что величины Ф и Q внутри i-й зоны (в объеме Vi) не
зависят от координат, т. е. их пространственное распределение в
объеме V аппроксимируется кусочно-постоянной зависимостью.
Очевидно, чем на большее число зон разделить систему (объем V),
тем меньшая ошибка будет допущена при расчетах. Кусочнопостоянная аппроксимация — самая простая, но не единственная
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
возможность упрощения исходного уравнения. В этом приближении Pi (, j )  Pi ,(Qj ) , следовательно, можно записать
Pi , j  Pi (, j )  Pi ,(Qj ) 
tot , j
Vj
 R


d
r
exp
   tot (r   RΩ)dR
Vi
V
 0

 4 r  r dr.
2
С учетом этого соотношения уравнение (5.2) принимает вид
I 1
tot , j  j V j  Vi Pi , j  s ,i  i  Qi  .
(5.3)
i 0
Аналогично можно получить уравнения для других зон — систему I
алгебраических уравнений. Эта система эквивалентна исходному
интегральному уравнению Пайерлса с точностью предположения о
пространственной независимости плотности потока и источников
нейтронов внутри каждой зоны. Систему уравнений (5.3) называют
уравнениями метода вероятностей первых столкновений.
5.3. Использование метода вероятностей первых столкновений
для расчета бесконечных решеток
5.3.1. Соотношения взаимности
Метод вероятностей первых столкновений [2, 12, 15] позволяет
рассчитывать средние значения плотностей потоков нейтронов
внутри отдельных однородных зон. В течение нескольких десятилетий его широко используют для изучения термализации нейтронов
в гетерогенных системах.
Интегральное уравнение Пайерлса сведем к системе алгебраических, предварительно рассчитав входящие в систему вероятности
первых столкновений Pi,j. Допустим, что источники нейтронов однородны и изотропны (в общем случае вероятности Pi,j зависят от
энергии нейтронов) и нейтроны имеют одинаковую скорость даже
после нескольких соударений. Это предположение дает основание
считать в качестве источника нейтронов те, которые испытали рассеяние в зоне.
Вероятности Pi,j зависят от параметров всех зон, пересекаемых
нейтроном на пути от точки, где он родился (i-я зона), до точки, в
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которой он испытал столкновение ( j-я зона). Обычно легко удается выразить вероятности, зависящие от параметров нескольких зон,
через вероятности, каждая из которых зависит только от параметров одной зоны.
Пусть нулевая зона ограничена поверхностью F и имеет объем V.
Введем следующие вероятности: P (V → V) — для нейтронов, родившихся в зоне, испытать в ней же первое столкновение; Р (V →
→ F) — для нейтронов, родившихся в зоне, достичь поверхности
зоны без столкновения; P (F → F) — для нейтронов, влетающих в
зону, пересечь ее без столкновения; P (F → V) — для нейтронов,
влетающих в зону, испытать в ней столкновение.
Очевидно, что P(V → V) + P(F → F)  1; P (F → V) + P (F →
→ F)  1. Предположим, что при пересечении поверхности поток
нейтронов изотропен, т. е. число нейтронов dN, летящих с единичной поверхности в элементе телесного угла dΩ вдоль направления
Ω, пропорционально косинусу угла между направлением Ω и нормалью к поверхности k: dN ~ ( kΩ) d Ω. Такое распределение нейтронов называют изотропным.
Средний путь нейтрона в i-й зоне при отсутствии в ней рассеяния и поглощения определяется средней хордой li i-й зоны. Средняя
хорда — геометрическая характеристика, не зависящая от состава
зоны.
Рассмотрим бесконечную однородную среду, в которой сечение
рассеяния Σs  0, а сечение поглощения Σа  0. Выделим объем Vi,
ограниченный площадью поверхности F. По определению, скорость
реакций поглощения нейтронов в этом объеме Rа,i  Vi Σа Ф.
Вероятность прохождения нейтроном пути z без столкновений
равна ехр (–Σtot z), вероятность испытать соударения на пути z —
[1 – ехр(–Σtot z)], вероятность поглощения нейтрона ядром на пути z — [1 – ехр(–Σa z)].
Вводя плотности односторонних токов i+ и i–, можно показать
[12], что если поток нейтронов не зависит от координат и Σа  Σs ≈
 Σtot, то i+  i–  Ф / 4 и Rа,i  [l – ехр(– Σа li)]FФ / 4. Приравнивая
выражения для Rа,i и ограничиваясь линейным членом разложения
экспоненты в ряд, получаем: li  4 Vi / F.
В случае изотропного распределения нейтронов справедливо
соотношение взаимности
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
P(F → V)  l0Σtot,0Р(V → F),
где l0  4V / F — среднее значение хорды в нулевой зоне; Σtot,0 —
полное сечение взаимодействия в той же зоне.
Таким образом, для односвязных областей все введенные вероятности можно выразить через любую из них, т. е. задача сводится к вычислению только одной вероятности. Изотропное распределение нейтронов и условие зеркального отражения на границе раздела зон (условие симметрии) позволяют установить
соотношения взаимности между вероятностями Pi, j и Pj,i:
Pi,jVi Σtot,i  Pj,iVj Σtot, j,
где Vj и Σtot, j — объем и полное сечение в j-й зоне соответственно.
5.3.2. Разреженные решетки
Рассмотрим бесконечную разреженную решетку, состоящую
из топливных блоков и замедлителя. В такой решетке нейтрон, родившийся в блоке (или испытавший там столкновение) и вылетевший из него, следующее столкновение испытывает в замедлителе. Поэтому при вычислении вероятностей, относящихся к
блоку, не требуется учитывать наличие соседних блоков. Для такого случая достаточно найти только одну вероятность, например,
Р (V → F). Обозначим ее Р0.
В случае изотропного рассеяния и изотропных источников вероятность попадания нейтрона, родившегося (или испытавшего
рассеяние) в точке r объема V, в телесный угол dΩ вблизи направления Ω и прохождения в этом направлении пути R(r) до поверхности F, не испытав при этом ни одного столкновения, равна
ехр [–ΣtotR(r)]dΩ / 4π.
Интегрируя это выражение по всем направлениям вектора Ω и
по всему объему V, найдем вероятность вылета нейтрона без
столкновения
Р0 
1
exp [–Σtot R(r)]dVdΩ.
4V V 4
Заменяя интегрирование по объему интегрированием по поверхности и вдоль направления Ω, можно получить соотношения
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
для определения вероятностей Р0 простейших геометрических тел
[12].
Для пластины толщиной b
P0 
0,5  E3 (tot b)
,
tot b
где интегральная показательная функция

E3(Σtotb) 
u
–3
ехр[–Σtot(b)u]du;
1
средняя хорда l  2b.
Для шара радиусом b
Р0  3[2(Σtotb)2 – 1 + ехр(–2Σtotb) (1 + 2Σtotb)] / [8(Σtotb)3],
где средняя хорда l  4b / 3.
Для бесконечного по высоте цилиндра радиусом b
Р0  2Σtotb{2[ΣtotbK1(Σtotb)l1(Σtotb) + K0(Σtotb)I0(Σtotb) – 1] +
+ K1(Σtotb)I1(Σtotb) / (Σtotb) – K0(Σtotb)I1(Σtotb) + K1(Σtotb)I0(Σtot b)}/3,
где I0, K0, K1, I1 — цилиндрические функции; средняя хорда l  2b.
При расчете ячеек реальных реакторов часто возникает необходимость определить вероятности столкновений нейтронов в зонах,
имеющих внутреннюю границу раздела (например, в кольцевой зоне). В таких случаях получить конечные формулы для расчета вероятности Р0 практически невозможно. Поэтому одной из основных
задач является определение простых приближенных аналитических
соотношений, аппроксимирующих вероятности первого столкновения. К этим соотношениям предъявляют различные требования в
зависимости от конкретной задачи, которую необходимо решить.
Так, при расчете коэффициента размножения  на быстрых нейтронах не требуется высокая точность, поскольку его значение близко
к единице, и погрешность вычисления разности (μ – 1) мало скажется на общей погрешности определения коэффициента размножения нейтронов в бесконечной среде. При вычислении коэффициента использования тепловых нейтронов вероятности рассчитывают
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
по более точным формулам, чтобы уменьшить погрешность определения средних значений потоков нейтронов.
При составлении аппроксимационных выражений важно
знать значения вероятностей при малых (l Σtot → 0) и больших
(l Σtot → ∞) оптических толщинах материала. Предельные значения вероятностей вылета нейтронов без столкновений приведены
в работе [12].
Обозначим вероятность столкновения нейтронов Р00  P(V →
→V). Простейшее аппроксимационное выражение для определения
этой вероятности, предложенное Вигнером (получило название рационального приближения Вигнера), имеет вид
Р00  l Σtot(1 + l Σtot).
(5.4)
Погрешность расчета вероятностей Р00 снижается при увеличении
оптической толщины l Σtot. Рациональное приближение Вигнера хорошо применимо при значениях l Σtot > 5,0.
Более точное соотношение
Р00  l Σtot(a + l Σtot)
(5.5)
предложено Д. Беллом. Параметр а, зависящий от оптической
толщины материала и геометрической формы тела, называют параметром Белла. Его значения подбирают на основе известных
предельных значений Р0. При малых оптических толщинах
(l Σtot < 2,0) значения, рассчитанные с помощью соотношения
(5.5), хорошо согласуются с точными значениями вероятностей
Р00. Параметр Белла рекомендуют использовать при расчете коэффициента размножения на быстрых нейтронах, поскольку реальные оптические толщины блоков в области высоких энергий
значительно меньше 2,0.
Промежуточные нейтроны чаще поглощаются при энергии,
близкой энергии резонанса. В максимумах резонансов блок соответствует черному телу, l Σtot → ∞. В этом случае можно считать,
что параметр Белла а  1, т. е. хорошо применимо рациональное
приближение Вигнера. Однако погрешность расчета величины Р00 в
резонансной области минимальна при значении а  1,16.
Аппроксимационное соотношение, с помощью которого можно
рассчитать величину Р00 приблизительно с одинаковой погрешностью
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(не более 4 %) во всей области оптических толщин от нуля до бесконечности
[12] имеет вид
P00 
(1  b)l tot
bl tot

,
a1  l tot
a2  l tot
где a1, a2, b — постоянные параметры.
Оно отражает разумный компромисс
между стремлением максимизации точРис. 5.1. Зависимость точ- ности и минимизации трудоемкости
ных значений вероятности (времени) расчета. Для цилиндра a1  2;
столкновения Р00 от l Σtot
a2  3; b  –1 (рис. 5.1).
Методика расчета вероятностей первых столкновений для односвязных областей с внутренней границей раздела (цилиндрический слой) представлена в работе [12].
5.3.3. Тесные решетки
При расчете тесных решеток необходимо учитывать нейтроны
соседних ячеек, которые пролетели сквозь замедлитель, не сталкиваясь. Условие зеркального отражения на границе раздела сред позволяет свести задачу расчета бесконечной решетки к расчету элементарной ячейки, которая описывается системой алгебраических
уравнений (5.3). Однако при расчете вероятностей Pi,j не учитывают
нейтроны, испытавшие первое столкновение в j-й зоне после отражения от границы раздела сред. Чтобы учесть нейтроны из других
ячеек, необходимо вероятность Pj заменить вероятностями Wi,j для
нейтронов, которые родились в i-й зоне от однородных и изотропных источников, испытывающих столкновение в j-й зоне этой же
ячейки после любого (включая и нулевое) числа отражений от ее
границ. При этом условии система алгебраических уравнений (5.3)
принимает вид
Σtot, j  j Vj 
I 1
Vi Wi,j (Σs,i i
i 0
+ Qi ).
Для определения распределения средних плотностей потоков по
зонам необходимо найти вероятности Wi,j. В приближении изотропности нейтронов на внешней границе ячейки
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Wi,j  Pi,j + {Р(Vi → Fяч)Р(Fяч → Vj) +
+ Р (Vi → Fяч)Р(Fяч → Fяч)Р(Fяч → Vj) +
+ Р(Vi → Fяч)[Р(Fяч → Fяч)]2Р(Fяч → Vj) + … +
+ Р(Vi → Fяч)[Р(Fяч → Fяч)]n–1Р(Fяч → Vj) + …},
или
Wi,j  Pi,j + Р(Vi → Fяч)Р(Fяч → Vj) / [1 – Р(Fяч → Fяч)].
Здесь Fяч — площадь поверхности ячейки; n  1, 2, … — число
отражений от внешней границы ячейки.
Рассмотрим двухзонную ячейку, содержащую топливный блок
(обозначим индексом «0») и замедлитель (индекс «1»). Пусть V0 —
объем, F0 — площадь поверхности блока, С — вероятность вылетевшего изотропно с поверхности блока нейтрона испытать первое
столкновение в замедлителе, не пересекая на своем пути поверхность блока. (Величина С, введенная С.М. Данковым и В.Л. Гинзбургом при рассмотрении резонансного поглощения нейтронов в
тесных решетках, получила название коэффициента Данкова —
Гинзбурга [12], или поправки Данкова [15].) Тогда
Р(V0 → F0)Р(F0 → V0)  (1 – Р00) (1 – С)Р(F0 → V0);
Р(Fяч → Fяч)  [1 – Р(F0 → V0)](1 – С).
Вероятность Р(F0 → V0) можно определить из соотношения взаимности:
Р(F0 → V0)  l0Σtot,0Р(V0 →F0)  l0Σtot,0(1 – Р00).
Выражение для определения вероятностей Wi,j примет вид
W00
P00  Z
,
1 Z
где Z  (1 – Р00)l0Σtot,0(1 – С) / C.
Для одиночного блока в бесконечном замедлителе, который
можно считать разреженной решеткой, С  1 и W00  Р00. В других
случаях W00 > Р00.
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Используя соотношения (5.5) Белла, получаем формулу для
расчета вероятности W00 в рациональной форме (названа по аналогии с рациональным приближением Вигнера):
W00  l0Σtot,0 / (l0Σtot,0 + aγ),
где γ  С / [1 + (a – 1)(1 – C)] — коэффициент затенения в решетке,
  С при а  1.
Для высокоточного расчета коэффициента Данкова — Гинзбурга используют метод Монте-Карло. Существуют достаточно простые аппроксимационные формулы для вычисления коэффициента
Данкова — Гинзбурга с хорошей точностью. Наиболее распространена формула, предложенная Зауэром для цилиндрических блоков:
С  1 – exp (–tl1Σtot,1) / [1 + l1Σtot,1(1 – t – δt)].
Здесь l1Σtot,1 — оптическая толщина замедлителя; l1  4V1 / F0 —
средняя хорда в замедлителе; t — минимальное расстояние между
поверхностями блоков (в единицах l1); δt — поправка Боналуми на
форму ячейки [12].
5.3.4. Сложные решетки (каналы)
Процедура расчета вероятностей столкновений в бесконечной
решетке каналов, содержащих пучки твэлов, гораздо более трудоемка, чем в решетке твэлов. Ячейки в канале по отношению падающих на них из замедлителя нейтронов находятся в разных условиях. Для расчета сложных каналов используют приближенные методы [12].
Допустим, что каналы расположены настолько далеко один от
другого, что вероятность пролететь без столкновения слой замедлителя между каналами у нейтрона чрезвычайно мала. Вероятности
Р00 и W00 определены выше.
Обозначим P00к вероятность столкновения нейтронов с топливом в реальной решетке каналов, W00 — известная вероятность
столкновения нейтронов с топливом в бесконечной решетке той же
структуры, что и решетка внутри канала. Нейтрон, рожденный в
каком-то топливном блоке, может вылететь за пределы канала, не
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
испытав столкновений в других топливных блоках, поэтому P00к <
< W00, а вероятность P00к можно представить в виде
P00к  W00 – Р0,Fкα,
где Р0,Fк — вероятность вылета нейтрона, рожденного в нулевой
зоне (топливо), через поверхность канала (Fк), не испытав в нем
столкновений; α — вероятность вылета нейтрона через поверхность
канала (Ек) в бесконечную решетку той же структуры, что и в канале, испытав первое столкновение в топливе. Вероятность Р0,Fк можно выразить через РFк,0, принимая угловое распределение изотропным и используя соотношение взаимности
mV0Σtot,0Р0,Fк  0,25FкРFк,0,
где m — число блоков в канале. В свою очередь,
РFк,0  РFк,Vкα,
где РFк, Vк — вероятность столкновения в любой точке канала; α —
вероятность испытавшего столкновение в канале нейтрона, испытать столкновение в топливе. Если канал содержит большое количество блоков, различием между α и α можно пренебречь и вероятность α вычислить с помощью параметров бесконечной внутриканальной решетки:
 
PFяч,0
1  PFяч,Fяч
,
где Fяч — площадь поверхности внутриканальной ячейки (микроячейки). Используя рациональное приближение (5.4) Вигнера и соотношение (5.5) Белла для вероятностей РFк,Vк, РFяч,Fяч и принимая
W00  l0Σtot,0 / (l0Σtot,0 + aγ), получаем
P00к
1  F m

к
1/ 2

Fяч-1 l0 tot ,0
a   l0 tot ,0

Fк m 1/ 2 Fяч1l0 tot ,0
a  к  l0 tot ,0
,
где γк — коэффициент затенения в канале:
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
к   
1 
, В  (m1/2 – 1)F0 / Fяч(1 – G0, 1)2а / (1 – γ).
1 B
Здесь F0 — площадь поверхности блока в канале; G0, 1 — вероятность пересекающего поверхность блока нейтрона испытать первое
столкновение в теплоносителе, т. е. до пересечения с поверхностью
внутриканальной ячейки. Точный расчет вероятности G0, 1 сложен.
Методика приближенного расчета представлена в работе [12].
Если каналы расположены близко друг к другу, необходимо
учитывать их взаимное влияние. В этом случае
2 a
 Vm  F0
1  G0,1
,
B
 1
1 
 Cк
 Fяч


где Cк — коэффициент Данкова — Гинзбурга для канала в целом.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ
6.1. Разновидности SN-метода
Интегрирование уравнения переноса нейтронов по энергетическому интервалу каждой энергетической группы приводит к усложнению его решения, что не всегда оправдано. Чтобы избежать этого, предполагают угловую зависимость φ(Ω) уже известной, а затем
интегрируют уравнение переноса по энергии. Существуют методы
приближенного учета зависимости φ(Ω) [9], среди которых хорошо
зарекомендовал себя SN-метод. Эти методы, являющиеся основными математическими методами численного решения широкого круга задач переноса излучения, в частности, переноса нейтронов, построены на конечно-разностной аппроксимации газокинетического
интегро-дифференциального уравнения переноса. Первые варианты
SN-метода были независимо сформулированы в конце 1940-х — начале 1950-х годов в работах по атомным проектам США и СССР.
Метод был предложен Виком для изучения явлений переноса излучения в «атмосфере» звезд в плоской геометрии, причем были применены специальный выбор направлений и особый метод численного интегрирования на базе квадратурной формулы Гаусса. Карлсон предложил использовать SN-метод для решения задач переноса
нейтронов. Первый вариант SN-метода известен также под названием метода Карлсона. В задачах переноса часто используют разновидности SN-метода: КН-схему Гольдина, дискретный SN-метод, или
метод дискретных ординат (DSN-метод, или DSN-метод Карлсона),
непрерывный SN-метод.
Из всех разновидностей SN-метода наиболее простым и наименее трудоемким является метод дискретных ординат. Метод построен на использовании прямоугольных сеток (SN-сеток) и практически всюду, кроме, например, окрестности центра сферы при решении задач в сферической геометрии, имеет второй порядок
аппроксимации и точности на гладких решениях. Этот метод консервативен относительно законов сохранения нейтронов и легко
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
обобщается на многомерные геометрии. Главный недостаток метода дискретных координат — немонотонность, что может приводить
к осцилляциям в сеточном решении и к появлению отрицательных
значений потока. Эта особенность метода существенно снижает
точность расчетов при численном решении задач переноса в сложных гетерогенных средах. Существуют различные алгоритмы его
монотонизации и модификации, позволяющие повысить точность
расчетов. При определенных условиях эти алгоритмы эффективны,
но решают проблему немонотонности лишь частично. Обобщения
алгоритмов на многомерные уравнения очень сложны.
В результате развития и обобщения для решения ряда задач
первоначального варианта SN-метода был предложен метод характеристических трубок (ХТ-метод), который в отличие от DSNметода монотонен и консервативен. Однако расчетная сетка ХТметода в виде характеристических ячеек-трубок (Т-сетка) существенно сложнее по сравнению с прямоугольными SN-сетками и
практически не подходит для решения задач переноса с учетом
других физических процессов. Прямое обобщение Т-сеток на многомерные является сложным процессом.
По сути, DSN- и ХТ-методы принципиально разные, но их аппроксимационной основой являются сеточные уравнения баланса,
записанные соответственно на SN- и Т-сетках. Это аппроксимационное свойство в определенной степени их сближает и может быть
основой для построения новых численных методов.
Обобщение подхода характеристических трубок на сетки произвольного вида, особенно на SN-сетки, и построение на этой основе
новых разностных схем типа DSN-метода с математическими свойствами, характерными для ХТ-метода, проводят для нестационарных задач переноса и кинетики нейтронов с учетом других физических процессов.
Линейный характеристический метод дискретных ординат
(LCDSN-метод) используют для решения уравнения переноса в
двумерной геометрии. Метод строится с учетом разбиения прямоугольной ячейки на подобласти характеристиками, проходящими
через ее вершины. В каждой из подобластей задается система из
пяти уравнений, в которую входят три точных уравнения баланса и
два дополнительных. Рассматриваются линейное и параболическое
приближения решения на границе ячейки. Этот метод имеет более
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
высокий порядок аппроксимации, чем характеристический метод
дискретных ординат (CDSN-метод).
Современное состояние развития SN-метода, по точности и эффективности сравнимого с вероятностными методами, в частности,
с методом Монте-Карло, позволяет использовать его в качестве
прецизионного для решения задач переноса нейтронов.
Несмотря на то что в основе программного обеспечения для
прецизионных расчетов нейтронных полей лежат вероятностные
методы, современные программные комплексы, реализующие метод дискретных ординат, не уступают по эффективности. Благодаря
высокой эффективности (хорошая точность в сочетании с разумным
временем расчета) вероятностных и SN-методов разработан и постоянно совершенствуется вероятностный метод дискретных ординат,
окончательная теоретическая проработка которого была завершена
к 1995 г. Метод лежит в основе нескольких программ расчета полей
нейтронов и гамма-квантов в различных геометриях. Предложен и
реализован многоуровневый алгоритм расчета реактора на базе вероятностного метода дискретных ординат [16]. На первом иерархическом уровне рассчитывается тонкая структура поля в ячейке (полиячейке), втором — в ТВС, третьем — глобальное поле нейтронов
в реакторе, различные функционалы и параметры критичности. По
мнению разработчиков (НИЯУ МИФИ), в нейтронно-физическом
расчете метод полностью еще не реализован.
Следует отметить, что в отличие от метода вероятностей первых столкновений, метод дискретных ординат применим для расчета систем с любым спектром нейтронов.
6.2. Особенность метода дискретных ординат
Метод дискретных ординат и связанные с ним методы получения
численных решений уравнения переноса основан на том, что угловое
распределение дифференциальной плотности потока нейтронов оценивается в различных дискретных направлениях, т. е. угловая переменная (направление полета нейтрона) считается дискретной величиной. (Некоторые разновидности этих методов связаны с методом
сферических гармоник — PN-методом [10].) Рассматривая достаточное количество направлений, можно получить решение уравнения
переноса с любой желаемой степенью точности. Единственным ограничением могут быть лишь возможности компьютера.
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При решении практических задач используют дискретные энергетические переменные (с помощью многогруппового приближения) и дискретную пространственную сетку. Следовательно, все
независимые переменные стационарного уравнения переноса (координаты r, направление Ω полета нейтрона и его кинетическая
энергия Е) рассматриваются как дискретные.
Развитие метода дискретных ординат ограничено возникающими при его использовании проблемами, обусловленными выбором
конкретных дискретных направлений, аппроксимацией интегралов
по угловой переменной и производных от дифференциальной плотности потока нейтронов по компонентам угла Ω, появляющихся в
уравнении переноса в криволинейной геометрии. Единственного
решения этих проблем не существует.
Изучение метода удобно начать с односкоростного уравнения
переноса, а затем обобщить решение с использованием многогрупповых методов.
Наибольший практический интерес имеет случай плоской геометрии, поскольку является идеализацией некоторых решеток. Отличительная особенность плоской геометрии (в общем случае, декартовой системы координат) заключается в том, что описание направления движения нейтрона с помощью, например, косинусов
соответствующих углов остается неизменным (при прохождении
нейтрона через среду без столкновений). Следовательно, из названных выше проблем остаются только две: выбор направления и аппроксимация интегралов.
В криволинейной геометрии, т. е. в сферической или цилиндрической системе координат, помимо проблем, отмеченных для плоской геометрии, необходимо приближенно оценить производные по
углу в уравнении переноса. Появление этих производных можно
объяснить тем, что при прохождении нейтрона через среду без
столкновения параметры, характеризующие направление движения
нейтрона, непрерывно меняются в криволинейной геометрии.
6.3. Схема метода дискретных ординат
Для описания направления полета нейтрона используют полярный (θ) и азимутальный (χ) углы (рис. 6.1). В декартовых координатах: Ω {Ωx, Ωy, Ωz}, где Ωx  sinθ  cosχ, Ωy  sinθ  sinχ, Ωz 
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 cosθ. Обозначают cos θ  μ (–1 ≤ μ ≤ 1) и рассматривают зависимость φ  φ (z, μ, E) дифференциальной плотности потока, которую образуют нейтроны с энергией Е, находящиеся внутри единичного телесного угла, около направления, составляющего угол θ
с осью Оz. Элемент телесного угла dΩ  sinθdθdχ  dμdχ. Угловое
распределение φ(μ) рассчитывают для различных дискретных направлений полета нейтронов. Интервал изменения координаты μ
делят на N равных секторов (рис. 6.2). При этом N выбирают четным, чтобы число секторов для значений μ < 0 и μ > 0 было одинаковым.
Рис. 6.1. Фазовое пространство
Шаг (интервал) разбиения по координате μ: ∆μn  μn – μn–1  2/N 
 const, n  0, 1, …, N (т. е. ∆μn  ∆μ). Предполагается, что зависимость φ(μ) на интервале ∆μn линейная:
φ(μ)  φ(μn–1) +

 N/2 [(μ – μn–1) φ(μn) – (μn – μ)φ(μn–1)],
(   n 1 )
∆φ  φ(μn) – φ(μn–1).
В некоторых случаях, например, при высокой ассиметрии
плотности потока, используют неравномерную сетку по параметру
μ или сетку с локальным учащением ∆μn ≠ const [10].
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 6.2. Интерполяция зависимости (μ) по методу Карлсона
Все члены уравнения переноса нейтронов усредняют на интервале μn–1 ≤ μ ≤ μn, т. е. любой непрерывной функции f (μ) ставят в
соответствие дискретную функцию fn  f (μn), полученную в результате усреднения:
fn 
1
N
f ( ) d  

2
 

f ()d .

Производные заменяют конечными разностями, интегралы — суммами. В результате получают N дифференциальных уравнений первого порядка. Число узлов сетки (см. рис. 6.1) равно N + 1, поэтому
систему N уравнений необходимо дополнить (N + 1)-м, полученным
из исходного уравнения переноса при значении μ  –1.
Следующий этап решения задачи — интегрирование полученных (N + 1) уравнений на интервале ∆хi  хi – хi–1, где хi — узлы координатной сетки для учета пространственной зависимости φ(х).
Полученная таким образом система линейных алгебраических
уравнений первого порядка характеризует баланс нейтронов энергии Еj в элементе фазового объема (здесь j  1, 2, …, J; J — число
расчетных узлов по энергии — границы энергетических групп).
В систему уравнений входят члены, описывающие источники
нейтронов, которые зависят от плотности потока и определяются
при решении этих же уравнений. Поэтому на следующем этапе ре68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
шения применяют метод итераций источников: вначале задают произвольное распределение функции источников, вычисляют дифференциальную плотность потока нейтронов, затем по известному
значению φ определяют источник и т. д.
6.4. Метод дискретных ординат в плоской геометрии
В плоской геометрии плотность потока нейтронов есть функция
координат x и μ. Односкоростное уравнение переноса нейтронов в
плоской геометрии для изотропного рассеяния и произвольного источника имеет вид
1
( x, )
+ σ(x)φ(x, μ)  0,5c(x)σ(x)   (x, μ) dμ + Q(x, μ). (6.1)
x
1
Рассмотрим это уравнение для набора дискретных направлений
i. Оценивая интеграл в правой части численно с помощью квадратурной формулы
1
  (x, μ)dμ ≈
1
N
 wi  (x, μi),
(6.2)
i 1
где wi — квадратурные веса (весовые множители), уравнение (6.1)
сведем к эквивалентной ему системе связанных дифференциальных
уравнений первого порядка относительно плотности потока нейтронов φ(x, μi):
 j ( x,  j )
x
+ σ(x)φ(x, μj)  0,5c(x)σ(x)
N
 wi  (x, μi) + Q(x, μj),
(6.3)
i 1
где j  1, 2, …, N. Систему дифференциальных уравнений (6.3)
обычно решают конечно-разностным методом. Точность такой модели в большой степени определяется выбором системы направляющих косинусов (узлов) и связанных с ними квадратурных весов
в соответствии со следующими требованиями:
интеграл в уравнении (6.1) неотрицателен (обычно положителен), поэтому квадратурные веса wi > 0;
задача должна быть симметричной относительно зеркального
отражения. Иначе говоря, решение не должно зависеть от того, ка69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кая сторона плоскости рассматривается правой, а какая — левой.
Поэтому предполагается симметричный выбор направлений и весов
относительно значения μ  0: μi  –μN+1–i и wi  wN+1–i. Если плотность потока нейтронов обладает высокой степенью асимметрии, то
можно использовать несимметричные квадратурные схемы;
если функция (x, μ) представляет собой полином низкого порядка по параметру μ, то квадратурная формула (6.2) должна давать
N
точное значение интеграла. Следовательно,
 wi in
 2 / (n + 1) —
i 1
N
для четных п;
 wi in
 0 — для нечетных п.
i 1
Систему уравнений (6.3) обычно решают численно, а затем
вводят пространственную сетку по координате х. Если система содержит несколько физических зон, сетку выбирают таким образом,
чтобы границы раздела сред совпадали с узлами. Производные
представляют в виде известных конечно-разностных соотношений.
6.5. Метод дискретных ординат
в криволинейной геометрии
При решении задач в криволинейной геометрии возникает проблема, связанная с тем, что параметры, характеризующие направление движения нейтрона, меняются при прохождении нейтрона через
среду без столкновения [2]. Поэтому необходимо ввести дополнительную связь между уравнениями, описывающими движение нейтронов в дискретных направлениях.
В сферической геометрии оператор Ω grad имеет следующий
вид [2]: Ω  μ / r + (1 – μ2) / μ. Односкоростное уравнение переноса:
( r , ) (1   2 )d (r , )

+ σ(r)φ(r, μ)  q(r, μ).
(6.4)
r

Здесь q(r, μ) — источник, который может включать анизотропно
рассеянные нейтроны и анизотропные источники. (В плоской геометрии q — правая часть уравнения (6.1).)
В сферической геометрии возникает проблема, связанная со
способом приближенной оценки второго члена в левой части урав70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нения (6.4), главным образом, φ(r, μ) / μ. Карлсон предложил простую процедуру. Зависимость φ(μ) аппроксимируется системой связанных прямолинейных отрезков между значениями μ  –1 и μ  1.
(Отсюда название метода: SN — segment.) В одномерной геометрии
индекс N означает число отрезков, выбранных для представления
углового распределения потока нейтронов. При числе отрезков N
рассматривается (N + 1) дискретное направление, включая значения
μ  –1 и μ  1 (см. рис. 6.1).
При численном решении уравнения (6.4) построение конечноразностных уравнений основано на законах сохранения [2].
6.6. Метод дискретных ординат
в произвольной геометрии
Варианты метода для плоской и сферической геометрии можно
обобщить на случай произвольной геометрии [2]. Методы дискретных ординат в двух-, трехмерной прямоугольной и плоской геометрии мало различаются. Переменные, описывающие направление
движения нейтронов, не меняются при прохождении нейтронов через среду без столкновения, и производные по угловым переменным не присутствуют в уравнении переноса. Для описания направления движения нейтронов теперь требуются две угловые переменные (полярный θ и азимутальный χ углы, см. рис. 6.1), и интегралы
по направлению Ω будут содержать суммы по обеим угловым переменным. Например, если направление движения описывается косинусом полярного угла и азимутальным углом χ, то выполняется
соотношение
  (r, Ω)dΩ 
2
 d
0
1
 d  (r, μ, ψ) ≈
1
2 M N
 wn (r, μn, ψm),
M m1 i 1
где узлы μn и квадратурные веса wn можно выбрать в соответствии с
квадратурной формулой Гаусса, азимутальные углы ψm равномерно
распределены в интервале 0 ≤ χ ≤ 2π, т. е. ψm  2π(m – 0,5) / M, где
m  1, 2, …, M.
При таком выборе узлы и квадратурные веса зависят от того,
какое физическое направление выбрано в качестве полярной оси, а
решение — от выбора координат. Этот недостаток, наиболее ярко
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
проявляющийся в трехмерной геометрии, можно исключить с помощью специального выбора угловых координат, которые инвариантны вращению вектора Ω на угол 90° около любой из координатных осей. Условие инвариантности приводит к значениям μn, квадраты которых равномерно распределены:
 2n  12 
2(n  1)(1  312 )
N
, n  1, 2, …, .
N 2
2
Такой подход обычно используют в SN-методе.
Для криволинейной геометрии также вводят две угловые переменные. Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, в
котором плотность потока нейтронов зависит только от одной пространственной переменной r. Интегрирование по угловым переменным можно проводить так же, как и в прямоугольной геометрии.
Кроме того, необходимо аппроксимировать производные по угловым переменным. Как и для сферической геометрии, конечноразностные уравнения могут быть основаны на законах сохранения.
Уравнение переноса нейтронов сначала можно решить в выделенных направлениях, вдоль которых угловые координаты не меняются при прохождении нейтронов через среду, а затем полученные
результаты использовать в качестве граничных условий для основной системы уравнений. Например, в цилиндрической геометрии
выделенными являются направления, для которых значение μ  ±1,
т. е. нейтроны движутся параллельно оси цилиндра, или sin χ  0 —
нейтроны движутся по направлению к оси цилиндра или от нее.
В случае, когда угловая зависимость потока нейтронов не
имеет осевой симметрии, сечения раскладывают в ряд по полиномам Лежандра, для этих полиномов используют теорему сложения
и полученные интегралы в уравнении переноса аппроксимируют
суммами.
Можно использовать и другие методы решения уравнения переноса. Если плотность потока нейтронов зависит от двух угловых
переменных, предполагают, что зависимость от одной угловой переменной непрерывная, а от другой — дискретная. Например, для
угловых переменных μ и χ первую можно рассматривать как дискретную, а зависимость плотности потока от угла χ можно представить в виде суммы тригонометрических функций.
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.7. Метод дискретных ординат применительно
к многогрупповому приближению
В практических задачах для учета энергетической зависимости
плотности потока нейтронов часто используют многогрупповые
модели. Основная проблема состоит в согласованном определении
групповых сечений.
Как и в многогрупповом приближении метода сферических
гармоник, многогрупповые уравнения, зависящие от энергии, выводят с помощью интегрирования по некоторому числу энергетических интервалов (групп). В методе дискретных ординат эти уравнения решают в определенных дискретных направлениях. Однако при
этом групповые сечения зависят от направления. Кроме того, появляется неопределенность при оценке сечений перехода нейтронов.
Чтобы определить групповые сечения и обеспечить возможность
пользования ими, вводят разложение сечения рассеяния в ряд по
полиномам Лежандра. После этого групповые константы становятся аналогичными тем, которые используются в многогрупповом
методе сферических гармоник.
Например, в плоской геометрии, решают систему связанных
односкоростных уравнений вида
 k ( x, )
+ σk(x)Ψk(x, μ) 
x



l 0
(2l  1) Pl ()
4
K
 l ,k (x) σk→ k(l)(x) + Q k (x, μ).
k 1
N
Здесь k — индекс группы, k  1, 2, …, K; Ψl,k(x)  2π  wi Pl (μi) 
i 1
1
 Ψ k(x, μi) ≈ 2π
 Pl (μ) Ψk(x, μ)dμ.
1
В практических задачах сумма по l ограничена конечным числом L.
Групповые сечения требуется выбирать таким образом, чтобы
решение Ψk (x, μ) последнего уравнения в максимальной мере соответствовало интегралу от функции φ(x, μ, Е) по всему энергетическому интервалу каждой группы k. Процедура такого выбора приведена в работе [2].
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ WIMS
7.1. Общие сведения
Программа WIMS (Winfrith Improved Multigroup Scheme) предназначена для инженерных расчетов ячеек гетерогенных реакторов
и кластеров из нескольких различных ячеек в одно- или двухмерной
геометрии, в многогрупповом приближении методами вероятности
первых столкновений или дискретных ординат.
При расчете утечки нейтронов используют диффузионное или
более точное В1-приближение [2]. Пространственную зависимость
дифференциальной плотности потока нейтронов в ВN-приближении
аппроксимируют косинусом или экспонентой. При этом предполагают, что пространственное распределение не зависит от энергии нейтронов. Например, в плоской геометрии φ(х, μ, Е)  ψ(В, μ, Е) 
 ехр(–iВх), где В2 — геометрический параметр. Подставляя это выражение в уравнение переноса, заменяя источник Q изотропным источником деления, описываемым функцией комплексной переменной 0,5F(E)ехр (–iВх), после некоторых преобразований получают

σ(Е)ψn(В, Е) 
 (2 l +1)A
i,n(В,
l0
Е)   s ,l (E → E)l(В, Е) dE +
+ A0,n(В, Е)F(E), n  0, 1, 2, …,
1
где Ai,n — коэффициенты; ψn(В, Е) 
  (В, μ, Е)Pn(μ)dμ; Pn(μ) —
1
полиномы Лежандра [2].
В исследованиях и учебном процессе наиболее часто используют версии WIMS32-D/4 и WIMS-5B.
Программа WIMS-D4 получила статус общепринятого и общеизвестного кода, распространившегося по ядерным центрам мира.
В ряде научных центров развивались собственные модифицированные версии программы WIMS, наиболее известной из которых стала программа WIMS-D5.
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Программа WIMS широко распространена в практике отечественных и зарубежных научно-исследовательских институтов и
центров и надзорных органов (в частности, для обоснования проектных решений и ядерной безопасности реакторов типа ВВЭР во
ФГУ «Научно-технический центр по ядерной и радиационной
безопасности»). Изначально она была ориентирована на расчет
реакторов на тепловых нейтронах: собственное константное обеспечение, встроенное в программу WIMS, практически не позволяло рассчитывать реакторы с более жестким спектром нейтронов.
Однако использование современных библиотек оцененных ядерных данных для подготовки констант, используемых программой
WIMS, позволяет рассчитывать реакторы с произвольным энергетическим спектром. Программа WIMS позволяет проводить расчеты
нейтронно-физических характеристик ячеек реакторов, включая расчет изменения нуклидного состава. Программа имеет собственную
69- или 172-групповую библиотеку микроконстант (см. приложение
П1, табл. П1.1–П1.3, П1.6–П1.8). Предусмотрена возможность расчета различных геометрий: одиночного стержня (бесконечной решетки
стержней), кластера, пластины и конечного цилиндра.
Характерной особенностью программы является двухэтапный
подход к расчету пространственно-энергетического распределения
нейтронов в ячейке. На первом этапе рассчитывается спектр в 69
или 172 группах в каждой из зон, характерных для ячейки (топливо,
оболочка, теплоноситель, замедлитель). Для этого используется метод вероятности первых столкновений. На втором этапе (по желанию пользователя) осуществляется свертка сечений к заданному
малогрупповому приближению (число групп и их границы задаются), в котором рассчитываются пространственные распределения
нейтронов по ячейке. При этом можно по желанию выбрать либо
метод дискретных ординат, либо метод вероятностей первых столкновений. Далее решение с учетом утечки нейтронов модифицируется и малогрупповая плотность потока разворачивается (по желанию
пользователя) в 69 (172) групп для расчета скоростей реакций заданных изотопов. Утечка нейтронов рассчитывается В1-методом,
или с помощью диффузионного приближения.
Предусмотрена возможность решения задач нейтронно-физического расчета в полиячейках. Широкие возможности предоставляет программа для расчета групповых констант ячейки и различных материалов, входящих в ее состав. Алгоритм программы представлен на рис. 7.1.
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 7.1. Схема программы WIMS-D5 (См. Программа WIMS-D на ЭВМ
ЕС-1040 / Научный отчет Института атомной энергии им. И.В. Курчатова. Инв. 35/90479. М., ИАЭ им. И.В. Курчатова, 1979.)
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Программу WIMS можно использовать для подготовки малогрупповых констант (на основе свертки 69- или 172-группововых
констант) других расчетных программ и расчета диффузионных
характеристик. В настоящее время одна из основных задач программы — подготовка библиотек групповых констант для полномасштабного расчета реактора, включая расчет переходных режимов. В России программа WIMS работает в составе нескольких программных комплексов физического расчета реакторов ВВЭР,
РБМК, ВВЭР-СКД (ВВЭР, охлаждаемого водой сверхкритического
давления). В SN-приближении могут быть проведены оценки коэффициента k∞ для реакторов с произвольным спектром нейтронов.
Метод дискретных ординат в программе WIMS используется
только для расчета микроячеек (ячеек твэлов): бесконечных цилиндров или плоских слоев. Метод вероятностей первых столкновений
применяется для одномерного расчета плоских, цилиндрических или
сферических микроячеек; решения двумерных задач в (r, θ)-геометрии: цилиндрических, квадратных и гексагональных кластеров-макроячеек (ячеек ТВС, топливных каналов и т. п.); решения двумерных
задач в (r, z)-геометрии: пластины, конечные и бесконечные цилиндры. При расчете методом вероятностей первых столкновений в программе WIMS имеются следующие возможности:
приближенный расчет вероятностей для гомогенных цилиндричеких слоев (опция «PERSEUS»);
точный расчет в (r, θ)-геометрии (идентификатор PIJ);
точный расчет в (r, z)-геометрии (идентификатор PRIZE).
7.2. Константное обеспечение
Первоначально библиотека констант программы WIMS формировалась на основе файлов оцененных ядерных данных UKNDL, что
приводило к большим погрешностям расчета, особенно при отклонении энергетического спектра рассчитываемой РУ от спектра PWR.
Современные библиотеки констант программы WIMS-D5B
представляют собой 69- или 172-групповую систему, основанную на
ENDFB-VI, или 69-групповую систему, основанную на FOND-2.2.
Развитие константного обеспечения позволило рассчитывать реакторы практически любых типов. Однако при использовании метода
вероятностей первых столкновений, программа WIMS эффективна
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в случаях, когда применима формула четырех сомножителей для
расчета коэффициента k∞.
Программа WIMS содержит собственную многогрупповую
библиотеку микроконстант для 101 нуклида. Из них 11 тяжелых
элементов, 33 осколка деления. Библиотека в текстовом виде представляет собой последовательный набор групп записей длиной
80 байт каждая, отделенных друг от друга символом-разделителем.
Библиотека включает в себя файл общей информации о нуклидах
(заголовок библиотеки), файлы нуклидов, файлы резонансных данных и элементы Р1-матриц. При расчете ячейки по программе
WIMS вводят ряд предположений, которые отражены в структуре
библиотеки. Она охватывает энергетический интервал 5 · 10–3 эВ…
10 МэВ, который разбит на 69 групп (см. приложение П1). К ним
относятся 14 групп быстрых нейтронов, охватывающих диапазон
энергии приблизительно 10 кэВ…10 МэВ; 13 групп резонансных
нейтронов (4 эВ…10 кэВ), описывающих область разрешенных резонансов; 42 группы тепловых нейтронов (5 · 10–3…4 эВ). В последнем диапазоне находятся два важных для расчетов реакторов на тепловых нейтронах с глубоким выгоранием топлива резонанса: 240Pu
(1 эВ) и 239Pu (0,3 эВ). При разделении на группы около этих резонансов используется сетка с локальным учащением. Весовые коэффициенты в группах 15…56 пропорциональны 1/E, а в группах
57…69 соответствуют спектру Максвелла.
Спектр деления в собственной библиотеке программы WIMS
для расчета водяных систем несколько смягчен относительно общепринятых аппроксимаций.
В резонансной области используется интерполяция на основе
теоремы эквивалентности для промежуточного резонанса с множителями. Элемент, отнесенный к резонансным, в библиотеке
программы WIMS имеет таблицу резонансных параметров, рассчитываемых для гомогенной смеси резонансного поглотителя с
водородом, в зависимости от сечения разбавления (макросечение
рассеивателя, отнесенное к ядерной плотности поглотителя) и
температуры. Для тепловых систем указанные предположения выполняются в рамках точности оцененных данных.
Библиотека программы WIMS первоначально была сгенерирована на основе файлов оцененных ядерных данных UKNDL, которые приблизительно соответствовали ядерным данным ENDF/B-III.
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ядро 238U описывается в библиотеке рекомендованным нуклидом с идентификатором 2238 и имеет три версии с различными таблицами резонансных параметров (идентификаторы 2238.2, 2238.3,
2238.4). Резонансные таблицы 2238.2 получены на основе файлов
UKNDL, которые близки к соответствующим ядерным данным
ENDF/B-IV. Корректировка этого нуклида в сторону уменьшения
резонансного интеграла равномерно по всем группам вне связи с
файлами оцененных данных привела к нуклиду с идентификатором
2238.4. Расчеты с его использованием дали удовлетворительные
результаты по критичности экспериментальных сборок.
В библиотеке имеется две версии резонансных таблиц изотопа
235
U (идентификаторы 235.2 и 235.4). Рекомендуется к использованию идентификатор 235.4. Данные для 235U, описываемого идентификатором 235.2, взяты из библиотеки оцененных данных UKNDL.
Нуклиды с идентификаторами 235.4 и 235.2 различаются уменьшением источника деления в резонансных группах приблизительно
на 15 %.
Микроконстанты в первых четырнадцати группах получены с
помощью так называемых влажного спектра для водорода и кислорода и сухого спектра для остальных нуклидов. Оба спектра рассчитаны по программе GAM и основаны на композициях двух критических сборок SS1 M00H (легководная решетка 4:1) и SSCFR соответственно. Весовые коэффициенты обоих спектров приведены
в П1, табл. П1.4.
Весовые коэффициенты для групп 15–56 (кинетическая энергия
9,118 кэВ…0,1 эВ) пропорциональны 1 / E, а в группах 57–69 соответствуют спектру Максвелла.
Интервал резонансных энергий 9,118 кэВ…4 эВ содержит
13 групп, в которых резонансный интеграл на единицу летаргии в
группе дается для различных температур и разбавлений. Резонансные данные для нуклидов 235U, 238U и 239Pu получены на основе решения уравнения замедления по программе SDR для гомогенной
смеси резонансного поглотителя с водородом в 120 000 точках по
шкале кинетической энергии. Групповая структура выбрана с учетом основных резонансов.
В тепловой области (кинетическая энергия нейтронов до 4 эВ)
имеется 42 группы. В этих группах шаг сетки энергетической шкалы уменьшается вблизи резонансов 239Pu (0,29 эВ) и 241Pu (1,02 эВ).
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Спектр деления (см. приложение П1, табл. П1.5) охватывает
быструю и резонансную области (27 групп).
Матрицы групповых сечений рассеяния в тепловой области табулированы для нескольких значений температуры основных замедлителей: водород, дейтерий, кислород, графит и бериллий. Для
получения матриц при заданной температуре используется линейная интерполяция. Для этих замедлителей, кроме кислорода, при
подготовке матриц рассеяния были использованы различные модели рассеяния, а для остальных нуклидов — газовая модель.
Библиотека констант содержит 90 нуклидов, включая «искусственные» (например, чистый поглотитель с сечением поглощения,
пропорциональным 1/v, где v — скорость нейтрона). Сечение рассеяния нейтронов на атомных ядрах, связанных в молекулу, превышает сечение рассеяния на ядрах свободных атомов [11]. Этот факт
отражен в библиотеке ядерных данных. Так, три нуклида соответствуют легкому водороду с различными данными в тепловой области
(модель Нелкина для описания связанного в молекулу водорода,
модель Хейвуда — «реалистической» динамической модели воды и
эффективной ширины), шесть нуклидов — дейтерию. Резонансные
поглотители 235U, 238U и 239Pu включают несколько типов данных,
различающихся в быстрой и резонансной областях. Полный список
нуклидов с необходимыми пояснениями, микросечения в тепловой
области и резонансные интегралы приведены в приложении П2.
Данные библиотеки для расчетов выгорания топлива содержат
33 нуклида — продукта деления, для которых есть данные по выходу на деление ядер 233U, 235U, 238U, 239Pu, 241Pu, постоянные распада и
групповые сечения, остальные включены в псевдонуклид с идентификатором 902. Сечения в резонансной области получены на основе
резонансных параметров с соответствующим количеством поглотителя 1/ν (для требуемого микросечения поглощения при скорости
нейтрона 2200 м/с). Там, где резонансные параметры были недоступны, полный резонансный интервал делился пропорционально
ширине групп в единицах летаргии. Остальные продукты деления
трактуются как чистый поглотитель 1/ν (см. приложение П1).
Библиотека констант на основе файла UKNDL не позволяет
проводить нейтронно-физические расчеты разных реакторов с приемлемой точностью. Поэтому в современных библиотеках, используемых в программе WIMS, проведена коррекция данных для некоторых нуклидов и включен ряд новых нуклидов.
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.3. Организация ввода-вывода информации.
Структура файла исходных данных
7.3.1. Файл исходных данных программы WIMS-D/4
Ввод информации в программу WIMS-D/4 осуществляется с
помощью файла «inp» исходных данных. Можно создать новый
файл или изменить содержание старого, например, с помощью программы «Блокнот».
Текст файла исходных данных должен содержать выбранный
метод расчета, описание геометрии, материального состава рассчитываемого объекта (ячейка реактора), а также сценарий расчета.
Файл формируется из зарезервированных слов (ключевых слов или
операторов) и чисел. Каждому оператору соответствуют свои наборы
чисел, описывающих свойства объекта или требования к расчету.
Операторы вводятся с первой позиции (левый край страницы),
причем достаточно ввести только первые четыре символа зарезервированного слова. Разделителем между оператором и числом служит пробел. Программа WIMS написана на устаревшей версии языка ФОРТРАН, поэтому длина строки, воспринимаемой программой,
ограничивается 72-й позицией. В случае когда за оператором требуется ввести более 72 символов, строку можно оборвать символом
«$» и продолжить ее со следующей строки. (В файле исходных данных для программы WIMS-D5 символ «$» переноса строки отсутствует.) Строки-комментарии начинаются с символа «*» и могут содержать более 72 позиций (до 80). Символ «*» может находиться в
любой позиции строки. В этом случае любая информация, приведенная в данной строке после символа «*» рассматривается как
комментарий.
Текст файла исходных данных включает в себя три раздела:
общие данные, основные данные, данные редактирования.
Первый раздел (общие данные) содержит данные, определяющие тип ячейки, используемые методы расчета, максимальное число материалов, число кольцевых зон, число стержней и типов
стержней, если они рассматриваются в расчетной модели. Раздел
заканчивается оператором «PREOUT» (или «PREO»).
Раздел основных данных следует за общими данными и начинается с оператора «INITIATE» (или «INIT»). В нем описаны гео81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
метрия и состав материалов объекта, границы энергетических групп
малогруппового приближения, сегмент вывода результатов и др.
Раздел заканчивается оператором «BEGINC» (или «BEGI»).
Данные редактирования содержат сценарий (последовательность) расчета. С помощью этих данных можно рассчитать изменение нуклидного состава в процессе выгорания топлива, температурные, плотностные эффекты и коэффициенты реактивности для
бесконечной решетки, изменение состава материалов.
Внутри разделов операторы задаются в произвольной последовательности. Созданный таким образом текстовый файл переименовывается или копируется в файл с именем «inp» (без расширения),
из которого программа WIMS32-D/4 считывает исходные данные.
Запись результатов производится в файл с именем «rez».
Для удобства пользователя при обработке результатов расчета
создан ряд сервисных программ: kinf, wtab, flux и w, которые считывают результаты расчета и выдают лишь необходимую пользователю информацию.
Программа kinf выдает последовательность значений коэффициента размножения нейтронов в бесконечной среде на каждом
шаге расчета, wtab — значений средних по ячейке одно- и двухгрупповых нейтронно-физических констант на каждом шаге расчета, flux — значения средних по ячейке плотностей потоков нейтронов на каждом шаге расчета, w — на каждом шаге расчета выдает двухгрупповые константы (коэффициенты диффузии,
макросечения поглощения, макросечения перевода, макросечения
деления, умноженные на среднее число нейтронов, рождающихся
при делении, квадрат длины диффузии тепловых нейтронов, возраст тепловых нейтронов, квадрат длины миграции) и коэффициент размножения нейтронов в бесконечной среде (оператор
«K-INFINITY»). Основные операторы программы WIMS-D/4 приведены в приложении П3, идентификаторы нуклидов, сечения поглощения нейтронов тепловыми нейтронами и резонансные интегралы — в приложении П2.
При подготовке файла исходных данных можно указывать
лишь первые четыре буквы операторов (остальные буквы не воспринимаются программой). Все числовые данные вводятся в свободном формате. Файл исходных данных может содержать только
те операторы, которые необходимы для решения данной задачи.
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.3.2. Файл исходных данных программы WIMS-D5
Файл исходных данных «inp» программы WIMS-D/4 (WIMS32D/4) можно использовать и в программе WIMS-D5 (WIMS-D5/B).
При этом необходимо заменить имена нуклидов в этом файле в соответствии с приложением П4 и снабдить имя файла расширением, например, переименов файл «inp» в «inp.wd4». Имя файла исходных
данных программы WIMS-D5 может быть любым, но содержать не
более шести символов из латинских букв, арабских цифр, дефисов и
знака подчеркивания, причем первый символ — буква. Если используются операторы программы WIMS-D/4, а имена нуклидов программы WIMS-D5, этот файл должен иметь расширение «wd4».
7.4. Запуск программы. Файлы результатов
Файлы «wims.exe», «wlib.bin» (библиотека ядерных данных) и
«inp» должны находиться в одной библиотеке (директории).
Запуск программы WIMS-D/4 осуществляется с помощью файла «wims.exe». Исходная информация считывается из файла «inp» и
результаты расчета записываются в файл «rez». При каждом новом
расчете файл «rez» обновляется без сохранения старых данных. Поэтому для каждого варианта расчета необходимо переименовывать
файл результатов.
При работе с программой WIMS-D5/B в одной библиотеке (директории) должны находиться файлы «wimsd5b.exe», «wims.lib»
(файл, содержащий ядерные данные) и файл исходных данных.
Библиотека ядерных данных может иметь другое имя обязательно с
расширением «lib». Имя выходного файла может быть любым. Для
запуска программы на счет используется командная строка, в которую вводятся последовательно через пробел имена файлов в следующем порядке:
С:\…\ wimsd5b.exe <имя исходного файла> <имя выходного файла> wims.lib
Если используется файл исходных данных с операторами программы WIMS-D/4, в нем необходимо переименовать нуклиды в
соответствии с приложениями П2 и П4, а имя файла снабдить расширением «wd4».
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
После расчета каждого варианта в библиотеке появляются файлы «for001», …, «for026». В файле «for022» содержатся двухгрупповые диффузионные константы, в «for001» — значения коэффициента размножения нейтронов в бесконечной среде (для каждого шага расчета).
Файл результатов в программе WIMS-D/4 имеет имя «rez» без
расширения. Следует обратить внимание, что при повторном расчете
предудущий файл «rez» заменяется новым (без сохранения данных).
В начале файла результатов повторяется файл исходных данных
с указанием ошибок (если они есть). Затем приводится псевдографический рисунок ячейки. Ошибиться при задании геометрии твэла
трудно. Наиболее часто встречаются ошибки в описании кассеты,
поскольку координаты отдельных твэлов пользователь вычисляет и
задает вручную. При определении координат размещения твэлов или
поглощающих стержней легко ошибиться. Псевдографическое представление кассеты в файле результатов позволяет выявить подобные
ошибки. Чтобы исключить отдельные ошибки, в разд. 7.5 приведены
некоторые примеры, которыми можно пользоваться в качестве шаблонов при подготовке файла исходных данных.
Файл результатов содержит значения коэффициента размножения нейтронов в бесконечной среде, плотности потока нейтронов,
групповые константы. Кроме того, приводятся данные, полученные
для 69-, двухгруппового приближения и для заданного числа групп.
Изменения ядерных концентраций нуклидов при расчете выгорания можно проследить по повторяющимся таблицам следующего
вида:
0ISOTOPE NUMBER DENSITIES FOR EACH MATERIAL
1
2
3
4
5
TEMP 600.0000
605.0000 1500.0000 900.0000 700.0000
2001 0.0000E+00 4.8640E-02 8.0600E-03 7.6100E-03 0.0000E+00
4001 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
9001 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
...
Этот фрагмент файла результатов соответствует задаче расчета
решетки с пятью материалами (вторая строка). Для каждого материала приведена его температура, заданная в файле исходных дан84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ных (третья строка). Далее приводятся ядерные концентрации каждого нуклида библиотеки WIMS (см. приложение П2), даже если он
отсутствует в файле исходных данных, в каждом из используемых
материалов. Например, концентрация легкого водорода (нуклид с
идентификатором 2001) в материале № 3 составляет 8.0600E-03 или
8,0600 · 10–3б–1 см–1  8,0600 · 10–21 см–3.
При расчете изменения нуклидного состава в файле результатов
сначала приводятся данные, соответствующие расчету решетки на
заданном пользователем составе (оператором «MATE»), затем результаты повторяются и лишь после этого приводятся данные, соответствующие заданным оператором «POWE» и парами операторов «BEGI» шагам при расчете выгорания.
7.5. Примеры файлов исходных данных
7.5.1. Расчет бесконечной решетки твэлов
реактора ВВЭР-1000
Существуют некоторые особенности подготовки исходных
данных, без учета которых возможны сбои в работе программы.
Например, число групп задается 3 раза (вместо записи «NGRO 4»
используется запись «NGRO 4 4 4»). Несмотря на то что в этом
примере один выгорающий материал — топливо, число выгорающих материалов следует задать равным 2, иначе возможны сбои при
расчете выгорания, т. е. вместо «NMAT 3 1» необходимо записать
«NMAT 3 2». Если исключить операторы «VECTOR 1 2 3 4» и
«POWERC 0 0» из данных редактирования, также возможны сбои в
работе программы.
Ниже представлен файл «inp» исходных данных программы
WIMS32-D/4 для расчета бесконечной решетки твэлов реактора типа ВВЭР-1000. Данные носят иллюстративный характер. Рассматривается пятизонная (оператор «NREG 5») элементарная цилиндрическая (операторы «ANNU») ячейка, включающая центральное отверстие твэла (зона № 1), UO2-топливо (№ 2), зазор между топливом
и оболочкой (№ 3), оболочку (№ 4) и воду (№ 5). Каждому оператору (см. приложение П3) предшествует строка-комментарий.
Файл исходных данных программы WIMS32-D/4:
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
* НАЧАЛО ФАЙЛА
* 5-зонная ячейка ВВЭР-1000
* ОБЩИЕ ДАННЫЕ
* тип ячейки – гетерогенная:
CELL 6
* метод расчета – DSN (№ 1):
SEQU 1
* число групп – 4:
NGRO 4 4 4
* сетка:
NMESH 100 100
* число зон – 5:
NREG 5
* число материалов – 3, из них
* выгорает – 2:
NMAT 3 2
PREOUT
* Конец общих данных
* ОСНОВНЫЕ ДАННЫЕ
INIT
* ГЕОМЕТРИЯ
* 5 кольцевых зон (5 строк)
ANNU 1 0.06 0 * центральное
* отверстие твэла
ANNU 2 0.3795 1 * топливо
ANNU 3 0.388 0 * зазор
ANNU 4 0.455 2 * оболочка
ANNU 5 0.6405 3 * вода
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
* МАТЕРИАЛЬНЫЙ СОСТАВ
MATER 1 -1 770.5 1 235.4.000175538 $
2238.2 .006846 16.00095748 3239.1 0.
MATER 2 6.515 598.8 2 91 1.0
MATER 3 -1 582 3 16 0.0235 2001 0.047
MESH 20 20 20 20 20
* объединение групп
* 1-5, 6-15, 16-27, 28-69:
FEWG 5 15 27 69
BEGINC
LEAKAGE 5
PUNCH 2
THER 1
VECTOR 1 2 3 4
POWERC 0 0
BEGINC
* ДАННЫЕ РЕДАКТИРОВАНИЯ
* СЦЕНАРИЙ РАСЧЕТА
* Расчет выгорания
POWERC 1 41 30 1
BEGINC
BEGINC
BEGINC
BEGINC
BEGINC
Оператор
ANNU 2 0.3795 1 * топливо
означает, что цилиндрическая зона № 2 имеет внешний радиус
0,3795 см и содержит материал № 1 (описан ниже). После значка
«*» следует комментарий.
Радиус последней зоны (№ 5), содержащей воду, рассчитывается из равенства соотношений площади реальной шестиугольной (в
сечении активной зоны горизонтальной плоскостью) ячейки и эквивалентной круглой при заданном шаге решетки твэлов (рис. 7.2).
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 7.2. Схемы реальной (слева) и
эквивалентной (справа) ячеек твэла
реактора ВВЭР (зона № 5 выделена
серым)
Материал № 1 описывается следующим образом:
MATER 1 -1 770.5 1 235.4 .000175538 2238.2 .006846 $
16 .00095748 3239.1 0.
Здесь «MATER» — ключевое слово; «1» — номер материала;
«770.5» — температура материала, K; «1» — индекс топлива;
«235.4» — имя нуклида 235U; «.000175538» — ядерная концентрация 235U (по правилам языка ФОРТРАН нуль перед точкой можно
не писать, десятичная запятая заменяется точкой), б–1  см–1, (1 б
(барн)  10–24 см2). Далее следуют пáры «имя нуклида – концентрация» (в данном примере 238U, 16О, 239Pu). Даже если плутония нет в
составе топлива для расчета изменения нуклидного состава в процессе выгорания необходимо задать нуклид 239Pu с нулевой концентрацией. Если содержимое строки выходит за 72-ю позицию, строку
обрывают символом «$» (означающим перенос строки), и запись
продолжают с новой строки. Пробелы используются в качестве
символа-разделителя.
Концентрации нуклидов рассчитывают следующим образом.
Допустим, используется топливо на основе диоксида урана с обогащением по 235U (материал № 1 в приведенном выше примере).
Будем считать, что кислород полностью состоит из изотопа 16О. Тогда ядерная концентрация ядер 235U
N 235 
1 т N A  235
Mт
,
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где множитель «1» означает, что в молекуле UO2 содержится один
атом урана; γт — плотность молекулы UO2; NA — число Авогадро,
NA  0,6022 · 1024 моль1; Мт — молярная масса UO2, г·моль–1:
Мт  235ε235 + 238ε238 + 2 · 16,
где ε238 — масовая доля
238
U в уране (ε238  1 – ε235). При ε235  ε238
молярная масса Мт ≈ 270 г·моль1.
Концентрация ядер 238U: N238  1 γт NA ε238 / Mт. Концентрация
ядер кислорода в молекуле UO2: N16  2 γт NA / Mт. Множитель «2»
означает, что в молекуле UO2 содержится два атома кислорода.
Концентрация ядер легкого водорода в легкой воде (материал № 3 в
приведенном выше примере):
N1 
2 в N A
,
Mв
где множитель «2» означает, что в молекуле Н2О содержится два
атома водорода; γв — плотность воды; Мв — молярная масса воды.
Молярная масса легкой воды (1Н216О): Мв  1 · 2 + 16  18 г·моль1.
Концентрация ядер кислорода в легкой воде N1  1γвNA / Mв.
Полученные значения ядерной концентрации следует перевести
в барн в минус первой степени-сантиметр в минус первой степени
(барн–1см–1), что соответствует единицам, используемым в программе
WIMS, стандартам Великобритании и США. Например, если плотность материала грамм на кубический сантиметр (г/см3), число Авогадро — моль в минус первой степени (моль1), молярная масса —
грамм-моль в минус первой степени (г·моль1), рассчитанные значения ядерных концентраций следует разделить на множитель 1024.
В рассмотренном примере целесообразно разделить зону № 3,
заполненную водой, на две подзоны: в одной из них материал трактовать как замедлитель, в другой — как теплоноситель.
Фрагмент файла для расчета выгорания:
POWERC 1 41 30 1
BEGINC
BEGINC
BEGINC
BEGINC
BEGINC
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь 41— отношение тепловой мощности реактора в мегаваттах к
загрузке топлива (тяжелых атомов) в тоннах; 30 — шаг по времени
(сут) для расчета нового значения коэффициента k∞ размножения
нейтронов в бесконечной среде. Каждые два оператора «BEGINC»,
следующие за «POWERC», соответствуют расчету одного шага выгорания. Последний оператор «BEGINC» и пустая строка означают
окончание файла исходных данных. В данном примере используется девять операторов «BEGINC». Это означает, что требуется рассчитать два шага выгорания: повторить расчет коэффициента k∞ (и
других парамеров) через 30 и 60 сут.
При задании расчетной сетки необходимо обратить внимание,
что число пространственных интервалов, указанных в операторе
«NMESH» должно быть равно сумме чисел, приведенных после
оператора «MESH»:
NMESH 100 100
...
MESH 20 20 20 20 20
Таким образом, 100  20 + 20 + 20 + 20 + 20.
7.5.2. Расчет температурных и плотностных
эффектов реактивности. Замещение материала.
Расчет групповых макроконстант
Для примера рассмотрим систему, содержащую пять материалов, из которых материал № 1 — топливо с температурой 273 K,
материал № 2 — вода (273 K). Операторы описания материалов:
MATE 1 273 235.4 <концентрация 235U> 2238.2 <концентрация 238U>
MATE 2 273 3 2001 <концентрация 1H> 16 <концентрация 16O>
...
MATE 5 <тоже, что и материал №1>
Эффект реактивности при повышении температуры топлива на
200 K описывается строкой
TEMP 200 0 0 0 200
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которая соответствует изменению температуры материала № 1 на
200 K (первое число после оператора «TEMP»), изменению температур материалов № 2, 3 и 4 на 0 K (следующие три нуля), изменению температуры материала № 5 на 200 K. Таким образом температура топлива становится равной 273 + 200  473 K.
Далее следуют два оператора (две строки):
BEGINC
BEGINC
В результате работы этих операторов получены новые сечения. Теперь необходимо вернуться в исходное состояние, т. е. уменьшить
температуру материала №1 и 5 на 200 K:
TEMP –200 0 0 0 –200
Для расчета плотностного эффекта реактивности (для воды) необходимо изменить плотность воды и провести расчет:
MATE 2 273 3 2001 <новая концентрация 1H> 16 <новая концентрация 16O>
Новые концентрации водорода (N1) и кислорода (N16) рассчитываются по формулам:
N1 
N1 в
,
в
 
N16
N16  в
,
в
где N1 и N16 — первоначальные значения ядерных концентраций
водорода и кислорода; в и  в — первоначальная и измененная (для
расчета эффекта реактивности) плотность воды.
Далее следуют два оператора «BEGINC». В результате получим
69-групповые константы и константы в заданном числе групп (при
свертке с помощью операторов «NGROUP» и «FEWGROUPS») для
варианта расчета с измененной плотностью воды.
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В случае замещения одного материала другим необходимо провести расчет решетки при замене воды в канале поглотителем (10В).
Такой замене соотвествует оператор
MATE 2 273 3 10 <концентрация 10В>
Для получения 69-групповых констант и константы в заданном числе групп при замене воды бором. Можно провести комплексный расчет решетки с записью коэффициента размножения
нейтронов в бесконечной среде и макросечений в файл результатов. При этом можно изменять характеристики выгорания, материалы и температуру. Рассмотрим предыдущий пример с пятью
материалами:
POWE 0 0
* начальное состояние
TEMP 200 0 0 0 200 * повышение температуры материалов № 1 и 5 на
200 K
BEGI
BEGI
TEMP 200 0 0 0 200 * повышение температуры материалов № 1 и 5 еще
*
на 200 K (т. е. на 400 K по сравнению с начальным
состоянием)
BEGI
BEGI
TEMP -400 0 0 0 -400 * вернуться к начальному состоянию
POWE 1 10 10 1
BEGI
BEGI
TEMP 200 0 0 0 200
BEGI
BEGI
* и т. д., увеличивая глубину выгорания и температуру
Полученный файл результатов будет содержать двухмерную
таблицу (матрица) значений k∞ и макроконстант. По горизонтали
константы расположены в соответствии с повышением температуры топлива (273, 273 + 200, 273 + 400 K), по вертикали — в соответствии с увеличением глубины выгорания топлива. Если также
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
учитывается изменение плотности воды, таблица k∞ и макроконстант для 69, двух и заданного числа энергетических групп будет
трехмерной. Такие таблицы обычно используют в качестве исходных данных для полномасштабных расчетов реакторов.
7.5.3. Расчет полиячейки
Программа WIMS позволяет оценить взаимное влияние ячеек.
Например, имеется полиячейка, содержащая 16 ячеек (рис. 7.3),
что соответствует оператору «PCELL 16» в общих данных. В состав основных данных следует включить последовательность операторов:
CELL 1 * ячейка № 1
<описание геометрии и материалов>
CELL 2 * ячейка № 2
<описание геометрии и материалов>
<и т. д. для всех 16 ячеек>
...
BEGI
1
2
1
1
1
2
Рис. 7.3. Схема полиячейки, содержащей топливо (1)
и стержни регулирования
(2) в отдельных ячейках
Для вычисления характеристик выгорания можно задать оператор «POWERC» в данных редактирования. Такой файл позволит
провести расчет полиячейки с учетом взаимодействия ячеек.
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.5.4. Расчет топливных каналов реактора РБМК-1000
Практический интерес представляет расчет топливных каналов
реактора РБМК-1000 и каналов системы управления и защиты
(СУЗ). (См. подробнее Кулаков А.С. Методика подготовки малогрупповых нейтронно-физических констант для реактора РБМК1000 по программе WIMS-D5/B. Научный отчет. ФГУП НИКИЭТ
им. Н.А. Доллежаля. Отделение физических исследований ядерной
и радиационной безопасности. М., 2004.)
Отличительная черта реакторов типа РБМК — неоднородность
нейтронно-физических и теплогидравлических характеристик реактора по радиусу и высоте активной зоны.
На первом этапе расчета бесконечной решетки топливных каналов определяют нуклидный состав в зависимости от глубины выгорания топлива. Расчет проводится при различных начальных обогащениях топлива в ТВС (2 %; 2,4 %; 2,6 % + 0,41 % Er, 2,8 % +
+ 0,6 % Er) для усредненных по высоте ТВС и независящих от ее
расположения в активной зоне параметрах: мощности (2,1 МВт),
плотности теплоносителя (0,5 г/см3), температуры графита (740 K
для блока и 660 K для втулки), температуры топлива (1000 K) и др.
Расчет проводится до глубины выгорания 35 МВт·сут/кг.
Для расчета выгорания ТВС, расположенной в топливной ячейке реактора РБМК-1000, используется модель, представленная на
рис. 7.4. При этом реальная квадратная (в сечении активной зоны
горизонтальной плоскостью) топливная ячейка заменяется эквивалентной цилиндрической с увеличенной долей графита, что учитывает наличие в активной зоне нерабочих каналов (СУЗ, дополнительный поглотитель и т. д.). Допускается перетечка нейтронов из
ячейки в ячейку во всех энергетических группах. Это условие эквивалентно равенству единице эффективного коэффициента размножения ячейки в течение всего времени нахождения ТВС в реакторе,
что достигается заданием групповых баклингов (геометрических
параметров) с помощью оператора «BUCK» («BUCKLING»). Стальные дистанционирующие решетки равномерно размешиваются в
теплоносителе по высоте ТВС. Эффективный шаг решетки каналов
равен 26,56 см. Расчет пространственно-энергетического распределения выполняется в S4-приближении (по умолчанию для SNметода) в 69 группах с гомогенизацией топлива, оболочек и теплоносителя в каждом ряду твэлов при сохранении среднего уранводного отношения. Геометрия одинакова для всех температур.
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 7.4. Схема эквивалентной ячейки канала
реактора РБМК:
1 — центральная труба; 2 — кластер твэлов, окруженных теплоносителем; 3 — труба топливного канала;
4 — графит
На втором этапе рассчитывают двухгрупповые константы
(свертка в две группы с кинетической энергией границы групп Егр 
 0,625 эВ) для каждого шага по времени для расчета параметров
выгорания с соответствующим нуклидным составом, полученным
на предыдущем этапе, и с выбором теплофизических параметров ячейки: плотности теплоносителя (изменяется в диапазоне
0…1,0 г/см3), температуры топлива (293…3 000 K), температуры
графита (293…3 000 K) и относительной концентрации ксенона
(0…3,0). Средняя глубина выгорания измененяется в диапазоне
0…35 МВт·сут/кг. Эффективный шаг решетки принят равным
25,0 см, наружный радиус графитового блока — 14,985 см.
В расчетах использовались следующие данные: радиус центрального циркониевого стержня — 0,75 см; внутренний радиус
трубы канала — 4,0 см; наружный радиус трубы канала — 4,4 см;
внутренний радиус графитовой втулки — 4,4 см; наружный радиус
графитовой втулки — 5,7 см; внутренний радиус графитового блока — 5,7 см; наружный радиус графитового блока — 14,985 см.
Между трубой канала и центральным стержнем размещены
18 твэлов. Центры твэлов расположены по двум концентрическим
окружностям. Двенадцать твэлов — в наружном ряду по окружности радиусом 3,1 см; шесть — во внутреннем ряду по окружности
радиусом 1,6 см. В каждом ряду твэлы расположены на равном расстоянии по азимуту. Твэлы второго ряда, считая от оси ТВС, повернуты по отношению к твэлам первого ряда на угол 0,2618 рад. Наружный радиус оболочек твэлов равен 0,6815 см, внутренний —
0,5850 см. Наружный радиус топливных таблеток принимается равным внутреннему радиусу оболочки.
Предполагается, что в твэлах с эрбием (Er) отсутствует центральное отверстие. В «свежем» регенерированном топливе могут
присутствовать изотопы 234U и 236U. В табл. 7.1 концентрация кислорода в топливе, содержащем эрбий, дана с учетом всего кислоро94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
да в оксиде Er2O3, а не только приходящегося на два учитываемых в
расчетах изотопа 166Er и 167Er из шести существующих в природе
стабильных изотопов эрбия. (Изотопный состав природного эрбия:
0,14 % 162Er — 1,56 % 164Er — 33,4 % 166Er — 22,9 % 167Er —
27,1 %168 Er — 14,9 % 170Er.)
Таблица 7.1. Начальные концентрации нуклидов в топливе, 1024 см – 3
Нуклид
235
U
238
U
16
O
166
Er
167
Er
2,0
4,3386 · 10–4
2,0991 · 10–2
4,4283 · 10–2
–
–
Обогащение топлива по 235U, %
2,4
2,6 + 0,41 Er
5,2063 · 10–4
2,0905 · 10–2
4,4283 · 10–2
–
–
5,5468 · 10–4
2,0517 · 10–2
4,3760 · 10–2
4,7502 · 10–5
3,2230 · 10–5
2,8 + 0,6 Er
5,9609 · 10–4
2,0432 · 10–2
4,3768 · 10–2
6,9520 · 10–5
4,7169 · 10–5
Температура (Т), плотность материала (γ), нуклидный состав и
ядерные концентрации (N) материалов топливной ячейки для расчета
характеристик выгорания представлены в табл. 7.2. Концентрации
приведены в (барн·см)–1, что соответствует западным стандартам.
Таблица 7.2. Исходные данные для расчета характеристик
выгорания топлива
Элемент ячейки
Параметр
Оболочки
твэлов
Центральный
стержень
ТеплоносиГрафитовые
Труба кана- тель (паровтулка
ла
водяная
и блок
смесь)
Т, K
573
557
577
557
660, 740
γ, г/см3
6,55
6,55
6,55
0,5
1,68
Материал /
Zr /
H/
C/
Zr /
Zr /
концен4,2807·10–2 4,2159·10–2 4,2159·10–2 3,3155·10–2 8,4233·10–2
трация,
Nb /
Nb /
Nb /
O/
1024 см–3
4,2457·10–4 1,0614·10–3 1,0614·10–3 1,6577·10–2
Hf /
Hf /
Hf /
Fe /
1,1050·10–5 1,1050·10–5 1,1050·10–5 4,7740·10–4
Cr /
1,3395·10–4
Ni /
0,6593·10–4
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Фрагмент файла исходных данных для расчета выгорания кассеты реактора РБМК (обогащение по 235U — 2 %):
* НАЧАЛО ФАЙЛА
* Раздел общих данных:
* Вариант задания данных этого
* раздела по умолчанию:
SAVE –1
11111111111111111111
STORE 220000 150000 70000 20000
* Тип ячейки – кластер:
CELL 7
* Метод расчета – DSN:
SEQU 1
PREOUT
* Раздел основных данных:
INIT
* Оператор управления печатью
* в файл результатов:
SUPP 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
* Описание геометрии:
ANNU 1 0.35 0
ANNU 2 0.75 1
ANNU 3 0.9 2
ANNU 4 2.35 2
ANNU 5 3.866 2
ANNU 6 4.0 2
ANNU 7 4.4 3
ANNU 8 5.7 4
ANNU 9 14.105 5
ANNU 10 14.985 6
RODS 1 1 0.585 8
RODS 1 2 0.6815 7
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
RODS 2 1 0.585 9
RODS 2 2 0.6815 7
ARRAY 1 1 6 1.6 0.0
ARRAY 2 1 12 3.1 0.2618
* Описание материального состава.
MATE 1 -1 557.0 -2 91 4.2159E-2 178 $
1.105E-5 1000 1.231224E-3
MATE 2 -1 557.0 3 2001 3.3155E-2 $
16 1.6577E-2 56 4.774E-4 $
52 1.3395E-4 58 6.593E-5
MATE 3 -1 564.0 -2 91 4.2159E-2 $
178 1.105E-5 1000 1.231224E-3
MATE 4 -1 660.0 4 12 8.4233E-2
MATE 5 -1 740.0 4 12 8.4233E-2
MATE 6 -1 740.0 4 12 8.4233E-2
MATE 7 -1 573.0 2 91 4.2807E-2 $
178 1.105E-5 1000 4.925012E-4
MATE 8 -1 1000.0 1 16 4.4283E-2 $
235.4 4.3386E-4 2238.4 2.0991E-2 $
3239.1 0.0 4242 1.E-20 2232.1 1.E-20 $
234.0 3.373E-6 236.1 1.E-15
MATE 9 -1 1000.0 1 16 4.4283E-2 $
235.4 4.3386E-4 2238.4 2.0991E-2 $
3239.1 0.0 4242 1.E-20 2232.1 1.E-20 $
234.0 3.373E-6 236.1 1.E-15
* Количество пространственных
* шагов в каждой расчетной зоне:
MESH 1 1 1 3 3 1 1 5 15 1
При расчете той же кассеты РБМК с измением теплофизических параметров файл исходных данных будет иметь следующий
вид:
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
* НАЧАЛО ФАЙЛА
SAVE -1
11111111111111111111
STORE 220000 150000 70000 20000
CELL 7
SEQU 1
* Количество материалов, для кото* рых выводятся скорости реакций:
NREA 3
PREOUT
INIT
SUPP 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ANNU 1 0.35 0
ANNU 2 0.75 1
ANNU 3 0.9 2
ANNU 4 2.35 2
ANNU 5 3.866 2
ANNU 6 4.0 2
ANNU 7 4.4 3
ANNU 8 5.7 4
ANNU 9 14.0 5
ANNU 10 14.105 6 * 25,0 cм
RODS 1 1 0.585 8
RODS 1 2 0.6815 7
RODS 2 1 0.585 9
RODS 2 2 0.6815 7
ARRAY 1 1 6 1.6 0.0
ARRAY 2 1 12 3.1 0.2618
MATE 1 -1 557.0 -2 91 4.2159E-2
178 1.105E-5 1000 1.231224E-3
MATE 2 -1 557.0 3 2001 3.3155E-2
16 1.6577E-2 56 4.774E-4
52 1.3395E-4 58 6.593E-5
MATE 3 -1 564.0 -2 91 4.2159E-2
178 1.105E-5 1000 1.231224E-3
MATE 4 -1 660.0 4 12 8.4233E-2
MATE 5 -1 740.0 4 12 8.4233E-2
MATE 6 -1 740.0 4 12 8.4233E-2
MATE 7 -1 573.0 2 91 4.2807E-2
178 1.105E-5 1000 4.925012E-4
MATE 8 -1 1000.0 1 16 4.4283E-2
235.4 4.3386E-4 2238.4 2.0991E-2
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
3239.1 0.0 4242 1.E-20
2232.1 1.E-20 234.0 3.373E-6
236.1 1.E-15
MATE 9 -1 1000.0 1 16 4.4283E-2
235.4 4.3386E-4 2238.4 2.0991E-2
3239.1 0.0 4242 1.E-20
2232.1 1.E-20 234.0 3.373E-6
236.1 1.E-15
MESH 1 1 1 3 3 1 1 5 15 1
FEWGRO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69
TOLE 1.E-6
BUCK
1.53E-5 1.76E-5 1.53E-5 1.76E-5
1.53E-5 1.76E-5 1.53E-5 1.76E-5
1.53E-5 1.76E-5 1.53E-5 1.76E-5
1.53E-5 1.76E-5 1.53E-5 1.76E-5
1.53E-5 1.76E-5 1.53E-5 1.76E-5
1.53E-5 1.76E-5 1.53E-5 1.76E-5
1.53E-5 1.76E-5 1.53E-5 1.76E-5
BEGI
* Комбинация библиотечных групп
* для свертки сечений (Егр  0,625 эВ).
VECTOR 45 69
PANC 2
* Материалы и температуры для
* расчета скоростей реакций:
REAC 135 1000 149 1000 1000 1000
* Комбинация библиотечных групп
* для расчета скоростей реакций
* (Егр  0,625 эВ):
PART 45 69
BEGI
* Изменение теплофизических
* параметров.
MATE 2 -1 557.0 3 2001 6.6309E-3
*ОКОНЧАНИЕ ФАЙЛА
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16 3.3155E-3 56 4.774E-4
52 1.3395E-4 58 6.593E-5
TEMP 0 0 0 -160.0 -240.0 -240.0 0
-500.0 -500.0
BEGI
BEGI
TEMP 0 0 0 100.0 100.0 100.0 0 0 0
BEGI
BEGI
Предусмотрена возможность изменения теплофизических параметров: температуры материала и плотности (или ядерной концентрации) материала.
В первом случае для расчета температурных эффектов реактивности используется оператор «TEMPERATURE list». Параметр
«list» содержит М чисел, равных количеству материалов, которые
означают изменения температур на ΔТ (K), ранее заданных операторами «MATERIAL» в порядке нумерации. Например, строка
ТЕМРERATURE 0 200 0 0 0
означает, что на данном шаге расчета температура второго из пяти
материалов будет увеличена на 200 K.
Во втором случае необходимо изменять плотность материала
оператором «MATERIAL» для нужных нуклидов, вплоть до обнуления его концентрации (например, для 135Xe).
Оператор «MATERIAL a, b, c, d, list» (см. приложение П3) описывает состав материалов расчетных зон ячейки. Здесь a — номер
материала; b — плотность материала, г/см3. При b  –1 состав задается в виде ядерных концентраций нуклидов, входящих в данный
материал; c — температура материала, K; d — тип спектра, учитываемый в резонансном расчете спектра. Если d > 0, то данный материал учитывается на этапе расчета «PIN-CELL», если d < 0, то нет.
Если d  1 — материал трактуется как топливо, d  2 — материал
трактуется как оболочка, d  3 — материал трактуется как теплоноситель, d  4 — материал трактуется как замедлитель. Далее идет
список «list» из пар чисел, первое из которых — идентификатор
нуклида из библиотеки программы WIMS, второе — его концентрация (если b  – 1) или массовая доля (если b > 0).
После модификации файла необходимо ввести две строки
«BEGINC».
Продолжение файла исходных данных:
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
* НАЧАЛО
* Количество энергетических групп после
* свертки исходной групповой системы
* констант в групповую структуру:
FEWGRO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69
* Относительная точность, используемая
* при проверке сходимости решения
* уравнения Пайерлса:
TOLE 1.E-6
* Первый шаг расчета выгорания:
POWE 1 25.28 5 1
* ОКОНЧАНИЕ ФАЙЛА
* Баклинг:
BUCK
1.53E-5 1.76E-5 1.53E-5 1.76E-5
1.53E-5 1.76E-5 1.53E-5 1.76E-5
1.53E-5 1.76E-5 1.53E-5 1.76E-5
1.53E-5 1.76E-5 1.53E-5 1.76E-5
1.53E-5 1.76E-5 1.53E-5 1.76E-5
1.53E-5 1.76E-5 1.53E-5 1.76E-5
1.53E-5 1.76E-5 1.53E-5 1.76E-5
BEGI
* Раздел данных редактирования
MATE 0
POWE 1 25.28 5 1
BEGI
BEGI
BEGI
BEGI
Для упрощенного расчета канала реактора РБМК можно взять
за основу модель, аналогичную используемой при расчете решетки
твэлов ВВЭР. При этом следует рассмотреть эквивалентную девятизонную цилиндрическую ячейку: зона № 1 — пустота в центральной трубе (в операторе «ANNU» вместо номера материала
следует задать «0»); кольцевая зона № 2 — центральная труба;
кольцевая зона № 3 — вода, омывающая центральную трубу; зона
№ 4 — гомогенная смесь шести твэлов, расположенных по окружности вокруг центральной трубы, и межтвэльной воды; зона № 5 —
вода между внутренним кольцом твэлов и внешним; зона № 6 —
гомогенная смесь двенадцати твэлов, расположенных по окружности (второй ряд), и межтвэльной воды; зона № 7 — вода между
внешним кольцом твэлов и внутренней поверхностью трубы канала; зона № 8 — труба; зона № 9 — пустота и графит. (Строго говоря, зону № 9 целесообразно разделить на три подзоны.) Дистанционирующие решетки можно «размешать» в воде. Файл исходных
данных «inp» для программы WIMS-D/4 имеет вид:
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
* НАЧАЛО ФАЙЛА
* ОБЩИЕ ДАННЫЕ
* тип ячейки – гетерогенная:
CELL 6
* метод расчета – DSN, N4:
SEQU 1
* число групп – 4:
NGRO 4 4 4
* сетка:
NMESH 36 36
* число зон – 9:
NREG 9
* число материалов – 5:
NMAT 5 4
PREOUT
* Конец общих данных
* ОСНОВНЫЕ ДАННЫЕ
INIT
* ГЕОМЕТРИЯ
* 9 кольцевых зон
ANNU 1 1.25 0
ANNU 2 1.50 1
ANNU 3 1.84 2
ANNU 4 4.56 3
ANNU 5 4.84 2
ANNU 6 7.56 4
ANNU 7 8.00 2
ANNU 8 8.80 1
ANNU 9 28.239 5
* МАТЕРИАЛЬНЫЙ СОСТАВ
MATER 1 -1 600 2 91 .041 91 0.001388
MATER 2 -1 605 3 16 0.02432 2001 0.04864
MATER 3 -1 1500 1 2001 0.00806
16 0.004032 91 0.00653 91 0.00022
235.4 0.00015 2238.4 0.00734 16 0.00002
3239.1 0.
100
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
MATER 4 -1 900 1 2001 0.00761
16 0.00380 91 0.00674 91 0.00023
235.4 0.00015 2238.4 0.00758 16
0.00002 3239.1 0.
MATER 5 -1 700 4 12 0.0803
*сетка:
MESH 4 4 4 4 4 4 4 4 4
* объединение групп
* 1-5, 6-15, 16-27, 28-69:
FEWG 5 15 27 69
BEGINC
LEAKAGE 5
PUNCH 2
THER 1
VECTOR 1 2 3 4
POWERC 0 0
BEGINC
* ДАННЫЕ РЕДАКТИРОВАНИЯ
* СЦЕНАРИЙ РАСЧЕТА
POWERC 1 15.33 30 1
BEGINC
BEGINC
BEGINC
BEGINC
BEGINC
BEGINC
BEGINC
BEGINC
BEGINC
BEGINC
BEGINC
BEGINC
BEGINC
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При расчете концентараций нуклидов в зонах, необходимо учитывать долю того или иного материала. Например, рассчитывая
концентрацию 235U в зоне № 4, ее необходимо умножить на площадь, занятую топливом в этой зоне (площадь шести кругов — твэлов), и разделить на площадь зоны № 4 (площадь кольца).
7.5.5. Расчет решетки ТВС реактора ВВЭР-1000
На третьем блоке Калининской АЭС используются сборки типа
ТВСА. Ниже приведены некоторые характеристики ТВСА:
Длина ТВСА, мм ................................................................ 4570 ± 1
Масса ТВСА, кг ..................................................................  710
Размер «под ключ», мм ...................................................... 234,8
Количество твэлов и твэгов в ТВСА, шт. ........................ 312
Количество твэлов в ТВСА в первой топливной
загрузке ............................................................................... 303; 306; 312
Количество твэгов в ТВСА в первой топливной
загрузке ............................................................................... 9; 6
Количество твэлов в ТВСА при стационарной
загрузке, шт. ........................................................................ 306
Количество твэгов в ТВСА при стационарной
загрузке, шт. ........................................................................ 6
Сетка расположения твэлов (твэгов) ................................ равномерно
треугольная
Шаг между твэлами (твэгами), мм ................................... 12,75
Топливо в твэлах ................................................................ UO2
Топливо в твэгах ................................................................ UO2 + Gd2O3
Массовая доля Gd2O3 в топливе твэга, % (мас.) .............. 5
Масса топлива в ТВСА, кг ................................................ 494,5 ± 5,0
Материал оболочки твэла (твэга) ...................................... сплав Э110
Габаритная длина твэла (твэга), мм .................................. 3837 ± 2
Высота столба топлива в холодном состоянии в твэле
(твэге), мм ........................................................................... 3530412
Наружный диаметр топливной таблетки в твэле
(твэге), мм ........................................................................... 7,57–0,3
_____________

При подготовке этого подраздела использовались материалы дипломных
проектов студентов кафедры ядерных реакторов и установок МГТУ
им. Н.Э. Баумана, выполненных в НТЦ ЯРБ под руководством А.И. Попыкина
и В.С. Окунева, с использованием отчета НТЦ ЯРБ по обоснованию безопасности третьего блока Калининской АЭС.
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Диаметр центрального отверстия в топливной
таблетке, мм ........................................................................ 1,5+0,2
Наружный диаметр оболочки твэла (твэга), мм .............. 9,1+0,08
Внутренний диаметр оболочки твэла (твэга), мм ............ 7,73+0,06
Дистанционирующие решетки (ДР):
количество, шт. ............................................................... 15
шаг размещения, мм ....................................................... 255
расстояние между 14 и 15 ДР, мм ................................. 205
материал ........................................................................... сплав Э110
высота ячеек, мм ............................................................. 20
высота обода, мм ............................................................. 30
масса ДР, кг ..................................................................... 0,55
Направляющий канал (НК):
количество, шт. ............................................................... 18
наружный диаметр, мм ................................................... 12,6
внутренний диаметр, мм ................................................ 10,9
материал ........................................................................... сплав Э635
Центральная труба:
количество, шт. ............................................................... 1
наружный диаметр, мм ................................................... 13,0
внутренний диаметр, мм ................................................ 11,0
материал ........................................................................... сплав Э635
Максимальное линейное энерговыделение, Вт/см:
в твэлах ............................................................................ 448
в твэгах ............................................................................. 360
Номинальное время пребывания ТВСА в активной
зоне (кампания), лет ........................................................... 4
Ребра жесткости (уголки):
количество, шт. ............................................................... 6
длина обогреваемой части пучка, мм ............................ 3530
ширина, мм ...................................................................... 52
толщина, мм .................................................................... 0,65
материал ........................................................................... сплав Э635
Нижняя опорная решетка:
количество, шт ................................................................ 1
материал ........................................................................... 08Х18Н10Т
Материал элементов головки ТВСА и хвостовика ......... 08Х18Н10Т
Пружинный блок:
количество пружин, шт .................................................. 19
количество пружин, участвующих в демпфировании
органов регулирования системы управления и защиты
(ОР СУЗ) .......................................................................... 16
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
материал пружин ............................................................ сплав ЭК173-ИД
(ХН77ТЮР)
Количество поглощающих элементов (пэл) — поглощающих стержней системы управления и защиты
(ПС СУЗ), шт ...................................................................... 18
Поглощающий материал пэл:
верхняя часть.................................................................... B4C
нижняя часть .................................................................... Dy2O3·TiO2
Плотность поглощающего материала г/см3, не менее:
верхняя часть (B4C) ........................................................ 1,7
нижняя часть (Dy2O3·TiO2) ............................................. 4,9
Наружный диаметр оболочки пэл, мм .............................. 8,2
Материал оболочки пэл, мм .............................................. 42ХНМ
Толщина оболочки пэл, мм ............................................... 0,5
Время сброса поглощающего стержня СУЗ в режиме
аварийной защиты, с .......................................................... 1,2–4
Рабочая скорость перемещения поглощающего стержня СУЗ, м/с .......................................................................... 0,02
В проекте топливных циклов третьего блока Калининской
АЭС предполагается использование сборок ТВСА разных типов
(табл. 7.3, рис. 7.5–7.7).
Рис.7.5. Схема сечения ТВСА горизонтальной
плоскостью
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
б
а
Рис. 7.6. Схема расположения элементов в ТВС типа 13AU, 22AU (а),
30AV5, 39AWU (б):
— центральная труба;
— направляющий канал; — твэл с обогащением 1,3
или 2,2 % по 235U (а), 3,0 % (б), в ТВС типа 39AWU и 39AZU (б) внешний ряд твэлов
содержит уран с обогащением 3,6 %; — твэг с обогащением топлива 2,4 % (ТВС
типа 30AV5) или 3,3 % по 235U (39AWU) и массовым содержанием Gd2O3 5 % (б)
Таблица 7.3. Типы ТВСА
Тип ТВС
13AU (рис. 7.6, а)
22AU (рис. 7.6, а)
30AV5 (рис. 7.6, б)
39AWU (рис. 7.6, б)
39AZU (рис. 7.7)
40AZU (рис. 7.7)
43AZU (рис. 7.7)
104
Количество твэлов
Количество твэгов /
Среднее оборазличных типов в обогащение топлива
гащение топТВС и их обогащение в них 235U % (мас.) /
лива по 235U
по 235U % (мас.)
содержание Gd2O3
% (мас.)
% (мас.)
тип 1
тип 2
1,3
2,2
2,99
3,9
—
3,99
4,3
312/1,3
312/2,2
303/3,0
243/4,0
240/4,0
306/4,0
240/4,4
—
—
—
60/3,6
66/3,6
—
66/4,0
—
—
9 / 2,4 / 5
9 / 3,3 / 5
6 / 3,3 / 5
6 / 3,3 / 5
6 / 3,6 / 5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 7.7. Схема расположения элементов в ТВС типа 39AZU, 40AZU
и 43AZU:
— центральная труба; — направляющий канал; — твэл с обогащением 4,0 %
по 235U (ТВС типа 40 AZU) или 4,4 % (43AZU), в ТВС типа 39AZU внешний ряд
твэлов, а также шесть твэлов с индексом «3» содержат уран с обогащением 3,6 %,
в ТВС 43AZU эти твэлы содержат уран с обогащением 4,0 %; — твэг с обогащением топлива 3,3 % по 235U и массовым содержанием Gd2O3 5 %
В конструкции ТВСА реализованы следующие технические
решения:
введен постоянно действующий каркас из радиационно стойкого циркониевого сплава Э635, жесткость которого даже в случае
исключения подкрепления со стороны твэлов достаточна для обеспечения геометрической стабильности ТВСА в составе активной
зоны;
обеспечена «однородность» ТВСА за счет использования по
высоте активной части конструкционных материалов одного класса
(циркониевые сплавы), что исключает возникновение дополнительных внутренних усилий за счет разницы коэффициентов линейного
расширения;
сведены к минимуму усилия и изгибающие моменты, возникающие вследствие неоднородного терморадиационного расширения элементов ТВСА, путем применения оптимизированных дистанционирующих решеток (ДР), обеспечивающих уменьшенное
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
взаимодействие в паре твэл — ячейка ДР, и радиационно стойкого
сплава Э635 для элементов каркаса ТВСА;
обеспечена возможность независимого терморадиационного расширения направляющих каналов (НК).
ТВСА состоит из головки, силового каркаса, пучков твэлов и
хвостовика.
Силовой каркас, обеспечивающий жесткость и прочность конструкции, независимую от натягов в системе «ячейка ДР — твэл»,
образуют 15 ДР из сплава Э110 и 6 уголков из сплава Э635, к которым ДР приварены контактной точечной сваркой. Уголки каркаса
крепятся к хвостовику из коррозионно-стойкой стали винтами, а
центральная труба из сплава Э635, служащая для размещения сборок КНИ (канала нейтронного измерительного), и 18 НК, также из
сплава Э635, крепятся болтовыми соединениями к нижней несущей
решетке, которая при помощи шести стальных пластин приваривается к хвостовику. Для подкрепления нижней несущей решетки в
хвостовике имеется опорная конструкция из трех ребер. Хвостовик
и, соответственно, каркас прижимаются к опорным трубам шахты
реактора через 18 НК.
Для повышения изгибной жесткости кромки уголков на участках между ДР отогнуты внутрь ТВСА (см. рис. 7.5).
Силовой каркас воспринимает нагрузки от внутренних сил, вызываемых трением твэлов и твэгов в ячейках ДР при терморадиационном расширении, и изгибающих моментов НК, возникающих под
воздействием усилий прижимных пружин. Силовыми элементами,
соединяющими головку и хвостовик и воспринимающими нагрузки
при транспортно-технологических операциях в процессе перегрузки
реактора, служат 18 НК из сплава Э635.
Пучок набран из 306 (303) твэлов и 6 (9) твэгов или 312 твэлов
цилиндрического типа диаметром 9,1 мм, расположенных в углах
правильной треугольной сетки с шагом 12,75 мм. Дистанционирование твэлов и твэгов в оптимизированной ТВСА осуществляется
15 ДР сотового типа из сплава Э110, конструктивно идентичных
серийным ТВС, но оптимизированных по усилию протаскивания
твэла через ячейку ДР за счет уменьшения поверхности контакта
твэла с ДР и уменьшения натягов в системе ячейка ДР — твэл. Это
позволило уменьшить эффект «защемления» твэлов ячейками ДР и,
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
соответственно, изгибающие моменты в ТВСА, возникающие при
терморадиационном росте твэла. Для исключения деформации ДР
в осевом направлении при радиационном росте твэлов каждая ДР
(кроме верхней) в местах проходок НК подкреплена втулками, приваренными к НК контактной сваркой. Количество втулок в
ТВСА — шесть на наружном ряду НК, три — на внутреннем. Закрепление твэлов от осевых перемещений реализовано в перфорированной плите хвостовика ТВСА с помощью отгиба части нижней
заглушки твэла.
Хвостовик ТВСА имеет шаровую поверхность, которой он устанавливается на консольную поверхность стакана шахты реактора.
Для ориентации ТВСА в плане на хвостовике имеется фиксирующий штырь.
В состав первой топливной загрузки входит пять типов ТВС:
48 ТВС с обогащением топлива 1,30 %;
42 ТВС с обогащением топлива 2,20 %,
37 ТВС со средним обогащением топлива 2,99 % (303 твэла с
обогащением 3,00 %, 9 твэгов с обогащением топлива 2,40 %);
24 профилированных ТВС со средним обогащением топлива
3,90 % (243 твэла с обогащением 4,00 %; 60 твэлов с обогащением
3,60 %; 9 твэгов с обогащением топлива 3,30 %);
12 профилированных ТВС со средним обогащением топлива
3,90 % (240 твэлов с обогащением 4,00 %, 66 твэлов с обогащением
3,60 %, 6 твэгов с обогащением топлива 3,30 %). Среднее обогащение топлива первой загрузки — 2,49 %. Использована традиционная
схема размещения топлива в активной зоне: ТВС с топливом максимального обогащения располагаются на периферии, ТВС с топливом минимального и промежуточного обогащений — в центре
активной зоны.
На протяжении переходных загрузок осуществляется выход в
стационарный режим выгорания, и принципиально изменяется (по
сравнению с первой загрузкой) схема размещения в активной зоне
свежего топлива — на периферии активной зоны размещаются 12, а
затем 18 выгоревших ТВС (в стационарном режиме перегрузок —
18 ТВС четвертого года эксплуатации).
Стационарный состав топлива подпитки устанавливается, начиная со второй перегрузки. При этом суммарное количество за107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
гружаемых («свежих») ТВС с уран-гадолиниевым топливом составляет 42 шт., в том числе 36 ТВС со средним обогащением топлива
4,30 % (240 твэлов с обогащением 4,40 %, 66 твэлов с обогащением
4,00 %, 6 твэгов с обогащением топлива 3,60 %); и 6 ТВС с топливом средним обогащением топлива 3,99 % (306 твэлов с обогащением 4,00 % и 6 твэгов с обогащением топлива 3,30 %). Среднее обогащение подпиточного топлива — 4,26 %. В составе загрузки
42 ТВС второго и такое же количество третьего года эксплуатации,
а также 37 ТВС четвертого года работы, из которых 18 ТВС размещаются в периферийной части активной зоны.
Ниже приведены файлы исходных данных для ТВС разных типов: 30AV5 со стержнями СУЗ (см. рис. 7.6, б), 13AU (см. рис. 7.6,
а), 39AWU (см. рис. 7.6, б). В этих файлах использованы операторы
программы WIMS-D4 (WIMS32-D/4), имена нуклидов соответствуют WIMS-D5 (WIMS-5B). Таким образом, имя файла исходных
данных должно указываться с расширением «wd4».
При гомогенизации в расчетной модели предполагалось, что
уголки ТВС «размешиваются» в межкассетной воде, дистанционирующие решетки — в теплоносителе.
Такая гомогенизация часто используется для упрощения расчетной модели. В программе WIMS уголки ТВС вместе с межкассетным теплоносителем (водой) удобно выделить в особую зону.
В то же время вместо одной зоны, можно выделить две: одна содержит межкассетный теплоноситель и уголки, другая — только
межкассетный теплоноситель. Однако такое повышение размерности задачи увеличит время расчета и практически не приведет к повышению точности.
«Размешивание» дистанционирующих решеток в теплоносителе, пожалуй, единственный реальный способ их учета в нейтроннофизическом расчете с использованием программы WIMS. Необходимо обратить внимание, что в этом случае при оценке эффектов
реактивности, связанных с потерей теплоносителя, нельзя просто
приравнять нулю номер материала в операторе «ANNU», поскольку
потеря теплоносителя не означает таковой для дистанционирующих
решеток.
Файл исходных данных программы WIMS-D5В для расчета
решетки ТВС реактора ВВЭР-1000 (вариант «30AV5») с подробными комментариями:
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
* НАЧАЛО ФАЙЛА
* Файл данных WIMS-D4,
* вариант «30AV5», кластер:
SEQU 4
* расчет кластера по подпрограммам
* PIJ+PERSEUS:
CELL 7
* число групп:
NGRO 31 2
* 31 – количество групп после свертки,
* 2 – количество групп после свертки, для
* которых рассчитываются скорости
* реакций на этапе редактирования
NMES 79 79
* 79 (1) – число пространственных
* интервалов при решении уравнения
* Пайерлса (сумма чисел на карте
* MESH (см. ниже)
* 79 (2) – количество интервалов,
* используемых при редактировании
NREG 13 10 43
* 13 – число кольцевых зон ячейки (A);
* 10 – число кольцевых зон,
* содержащих стержни (число
* кольцевых зон ячейки за вычетом зон,
* содержащих теплоноситель в
* центральной трубе, материал
* центральной трубы и межкассетную воду,
* с размешанными в ней ребрами жесткости
* (уголками)
* 43 – число редактируемых зон
NMAT 21 14
* 21 – число материалов (материал номер 0
* – пустота: отверстие в топливной таблетке
* и зазор между топливом и оболочкой)
* 14 – число выгорающих материалов
* (топливо в твэлах, топливо в твэгах)
NROD 330 1 100 20 15 7 1
* 330 – число стержней в кластере:
* 312 (твэлы + твэги) + 18 (пэлы)
* 1 – фактор симметрии кластера,
* («1» - нет симметрии);
* каждой зоне требуется отдельная карта
* 1 – порядковый номер зоны,
* отсчитываемой от оси симметрии
* 2 – внешний радиус кольцевой зоны, см
* 3 – номер материала, заполняющего
* пространство зоны между стержнями
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
* в случае кластера
* 100 – число линий сетки в методе PIJ;
* 20 – число угловых интервалов
* сетки метода PIJ;
* 15 – число типов стержней
* во всех ячейках;
* 7 – максимальное число кольцевых
* зон в одном стержне;
* 1 – максимальное число угловых
* зон в одном стержне
* Число нуклидов, для которых
* рассчитываются скорости реакций:
NREA 4
* Конец ввода общих данных
PREOUT
* Начало основных данных
INITIATE
* свертка констант:
FEWG 1 2 3 4 5 10 12 15 20
23 26 27 30 31 33 35 38 40
42 45 47 50 51 53 55 57 60
62 65 67 69
* теплоноситель в центральной трубе:
ANNU 1 0.5500 14
* материал центральной трубы:
ANNU 2 0.6500 11
* теплоноситель, с размешанными в нем ДР:
ANNU 3 1.7711 15
ANNU 4 2.9180 15
ANNU 5 4.0720 15
ANNU 6 5.2284 15
ANNU 7 6.3859 15
ANNU 8 7.5440 15
ANNU 9 8.7025 15
ANNU 10 9.8613 15
ANNU 11 11.0201 15
ANNU 12 12.1791 15
* межкассетная вода, с размешанными
* в ней ребрами:
ANNU 13 12.3909 16
* Оператор определяет деление ячейки
* на зоны в кластерной геометрии. Для
ARRA 1 1 6 1.2203 0.0000
ARRA 2 1 12 2.3671 0.0000
ARRA 3 1 6 3.5211 0.0000
1 6 3.5211 0.3491
ARRA 4 1 6 3.5211 0.6981
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
ARRA 5 1 12 4.6775 0.0000
1 6 4.6775 0.7854
1 3 4.6775 0.2618
ARRA 6 1 6 5.8351 0.0000
ARRA 7 1 6 5.8351 0.2094
1 6 5.8351 0.4189
1 6 5.8351 0.6283
1 6 5.8351 0.8378
ARRA 8 1 18 6.9932 0.0000
1 6 6.9932 0.1745
1 6 6.9932 0.8727
ARRA 9 1 6 6.9932 0.5236
ARRA 10 1 42 8.1517 0.0000
ARRA 11 1 24 9.3104 0.1309
1 12 9.3104 0.2618
1 6 9.3104 0.5236
ARRA 12 1 54 10.4693 0.0000
ARRA 13 1 60 11.6283 0.0000
ARRA 14 1 3 4.6775 1.309
ARRA 15 1 6 9.3104 0
* Карта ARRA задает положение
* стержней в кластере:
* 1 – порядковый номер типа стержня
* 2 – «1» – признак, определяющий
* n одинаково расположенных
* стержней, центры которых находятся
* на окружности радиуса r
* 3 – количество стержней n
* 4 – радиус окружности r, см
* 5 – угловая координата одного
* из стержней, рад.
RODS 1 1 0.075 0
RODS 1 2 0.3785 1
RODS 1 3 0.3865 0
RODS 1 4 0.455 12 * твэл
RODS 2 1 0.075 0
RODS 2 2 0.3785 2
RODS 2 3 0.3865 0
RODS 2 4 0.455 12 * твэл
RODS 3 1 0.075 0
RODS 3 2 0.3785 3
RODS 3 3 0.3865 0
RODS 3 4 0.455 12 * твэл
RODS 4 1 0.36 21
RODS 4 2 0.41 13
RODS 4 3 0.545 14
RODS 4 4 0.630 11 * НК с пэл
RODS 5 1 0.075 0
RODS 5 2 0.3785 4
RODS 5 3 0.3865 0
RODS 5 4 0.455 12 * твэл
RODS 6 1 0.36 21
RODS 6 2 0.41 13
110
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
RODS 6 3 0.545 14
RODS 6 4 0.630 11 * НК с пэл
RODS 7 1 0.075 0
RODS 7 2 0.3785 5
RODS 7 3 0.3865 0
RODS 7 4 0.455 12 * твэл
RODS 8 1 0.075 0
RODS 8 2 0.3785 6
RODS 8 3 0.3865 0
RODS 8 4 0.455 12 * твэл
RODS 9 1 0.36 21
RODS 9 2 0.41 13
RODS 9 3 0.545 14
RODS 9 4 0.630 11 * НК с пэл
RODS 10 1 0.075 0
RODS 10 2 0.3785 7
RODS 10 3 0.3865 0
RODS 10 4 0.455 12 * твэл
RODS 11 1 0.075 0
RODS 11 2 0.3785 8
RODS 11 3 0.3865 0
RODS 11 4 0.455 12 * твэл
RODS 12 1 0.075 0
RODS 12 2 0.3785 9
RODS 12 3 0.3865 0
RODS 12 4 0.455 12 * твэл
RODS 13 1 0.075 0
RODS 13 2 0.3785 10
RODS 13 3 0.3865 0
RODS 13 4 0.455 12 * твэл
RODS 14 1 0.075 0
RODS 14 2 0.2269 17
RODS 14 3 0.2865 18
RODS 14 4 0.3469 19
RODS 14 5 0.3785 20
RODS 14 6 0.3865 0
RODS 14 7 0.455 12 * твэг
RODS 15 1 0.075 0
RODS 15 2 0.2269 17
RODS 15 3 0.2865 18
RODS 15 4 0.3469 19
RODS 15 5 0.3785 20
RODS 15 6 0.3865 0
RODS 15 7 0.455 12 * твэг
* Эта карта требуется только для
* кластера и определяет деление
* стержней каждого типа на
* пространственные и угловые
* подзоны. Для каждой зоны
* требуется одна карта
* 1 – номер типа стержня (в
* соответствии с «1» карты ARRA)
* 2 – номер зоны, отсчитываемой от
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
* оси стержня;
* 3 – внешний радиус кольцевой
* зоны стержня, см;
* 4 – номер материала в зоне
MATE 1 -1 1190.000000 1
2235 0.698567E-03
8238 0.223017E-01
6016 0.46E-01 * см. приложение П4
MATE 2 -1 1190.000000 1
2235 0.698567E-03
8238 0.223017E-01
6016 0.46E-01
MATE 3 -1 1190.000000 1
2235 0.698567E-03
8238 0.223017E-01
6016 0.46E-01
MATE 4 -1 1190.000000 1
2235 0.698567E-03
8238 0.223017E-01
6016 0.46E-01
MATE 5 -1 1190.000000 1
2235 0.698567E-03
8238 0.223017E-01
6016 0.46E-01
MATE 6 -1 1190.000000 1
2235 0.698567E-03
8238 0.223017E-01
6016 0.46E-01
MATE 7 -1 1190.000000 1
2235 0.698567E-03
8238 0.223017E-01
6016 0.46E-01
MATE 8 -1 1190.000000 1
2235 0.698567E-03
8238 0.223017E-01
6016 0.46E-01
MATE 9 -1 1190.000000 1
2235 0.698567E-03
8238 0.223017E-01
6016 0.46E-01
MATE 10 -1 1190.000000 1
2235 0.698567E-03
8238 0.223017E-01
6016 0.46E-01
* материалы 1...10 – UO2 c
* обогащением 3% по U-235
MATE 11 -1 578.000000 -2
91 0.4225E-01 178 0.6546E-05
93 0.4135E-03
MATE 12 -1 578.000000 2
91 0.4225E-01 178 0.6546E-05
93 0.4135E-03
* материалы 11 и 12 – сплав Э110
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
* (11 – материал центральной трубы
* и направляющих каналов,
* 12 – оболочек твэлов)
MATE 13 -1 573.000000 -2
2056 0.59736E-01
2012 0.10258E-03
58 0.89758E-02
48 0.85484E-03
52 0.15815E-01
* материал 13 – оболочки пэлов
* (коррозионностойкая сталь)
MATE 14 -1 573.000000 -3
6016 3.34276E-002
1011 4.385E-005
3001 6.68552E-002
* материал 14 – теплоноситель
* в центральной трубе
MATE 15 -1 573.000000 3
6016 3.34276E-002
1011 4.385E-005
3001 6.68552E-002
91 6.38332E-004
178 9.89104E-008
93 6.38461E-006
* материал 15 – теплоноситель с
* размешанным в нем материалом ДР
MATE 16 -1 573.000000 4
6016 2.92461E-002
1011 3.72725E-005
3001 5.79937E-002
91 5.281E-003
93 5.196E-005
178 8.182E-007
* материал 16 – межкассетная вода с
* размешанными в ней ребрами
MATE 17 -1 1190.000000 -1
2235 0.4732E-03
8238 0.190042E-01
6016 0.412353E-01
2154 0.335918E-04
2155 0.228118E-03
2156 0.314987E-03
2157 0.239662E-03
2158 0.3779E-03
MATE 18 -1 1190.000000 -1
2235 0.4732E-03
8238 0.190042E-01
6016 0.412353E-01
2154 0.335918E-04
2155 0.228118E-03
2156 0.314987E-03
2157 0.239662E-03
2158 0.3779E-03
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
MATE 19 -1 1190.000000 -1
2235 0.4732E-03
8238 0.190042E-01
6016 0.412353E-01
2154 0.335918E-04
2155 0.228118E-03
2156 0.314987E-03
2157 0.239662E-03
2158 0.3779E-03
MATE 20 -1 1190.000000 -1
2235 0.4732E-03
8238 0.190042E-01
6016 0.412353E-01
2154 0.335918E-04
2155 0.228118E-03
2156 0.314987E-03
2157 0.239662E-03
2158 0.3779E-03
* материалы 17-20 – топливо в твэгах
* Эта карта требуется для каждой
* материальной композиции, за
* исключением пустоты.
* 1 – номер материала;
* 2 – «-1» - расшифровка параметра
* «list», иначе – плотность материала
* в г/см3;
* 3 – температура материала, K;
* 4 – тип спектра (1 – топливо,
* 2 – оболочка, 3 – теплоноситель,
* ОКОНЧАНИЕ ФАЙЛА
* 4 – замедлитель)
* 5 – идентификатор элемента в
* библиотеке;
* 6 – ядерная концентрация
* данного элемента
MESH 1 1 5 5 9 12 9 9 5 12 5 5 1
* Карта содержит последовательность
* из А чисел (А – число зон в NREG),
* которые определяют количество
* пространственных шагов в каждой
* зоне ячейки в направлении от центра.
NPIJ 12
POWE 1 41 10 1
SUPP 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1
DENS 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * топливо
1 1 1 * оболочка
0.717 0.717 0.717 * вода
1 1 1 1 * твэг
BEGI
THERM 11
SPU
PRIN 1 0 1
PUNC 2
VECT 20 31
PART 45 69
REAC 1000 980 4135 980 4149 980 10 400
* здесь: 4135 – 135Xe, 4149 – 149Sm, 10 – 10B
BEGI
BEGI
Файл исходных данных для расчета решетки ТВС реактора
ВВЭР-1000 (вариант «13AU»):
* НАЧАЛО ФАЙЛА
* Файл данных WIMS-D4, вариант «13AU»
SEQU 4
CELL 7
NGRO 31 2
NMES 47 47
NREG 13 10 47
NMAT 15 10 0
NROD 330 1 100 20 13 4 1
PREOUT
INITIATE
FEWG 1 2 3 4 5 10
12 15 20
23 26 27 30
31 33 35 38 40
42 45 47 50
51 53 55 57 60
62 65 67 69
ANNU 1 0.5500 13
112
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
ANNU 2 0.6500 11
ANNU 3 1.7711 14
ANNU 4 2.9180 14
ANNU 5 4.0720 14
ANNU 6 5.2284 14
ANNU 7 6.3859 14
ANNU 8 7.5440 14
ANNU 9 8.7025 14
ANNU 10 9.8613 14
ANNU 11 11.0201 14
ANNU 12 12.1791 14
ANNU 13 12.3909 15
ARRA 1 1 6 1.2203 0.0000
ARRA 2 1 12 2.3671 0.0000
ARRA 3 1 6 3.5211 0.0000
1 6 3.5211 0.3491
ARRA 4 1 6 3.5211 0.6981
ARRA 5 1 24 4.6775 0.0000
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
ARRA 6 1 6 5.8351 0.0000
ARRA 7 1 6 5.8351 0.2094
1 6 5.8351 0.4189
1 6 5.8351 0.6283
1 6 5.8351 0.8378
ARRA 8 1 18 6.9932 0.0000
1 6 6.9932 0.1745
1 6 6.9932 0.8727
ARRA 9 1 6 6.9932 0.5236
ARRA 10 1 42 8.1517 0.0000
ARRA 11 1 48 9.3104 0.0000
ARRA 12 1 54 10.4693 0.0000
ARRA 13 1 60 11.6283 0.0000
RODS 1 1 0.075 0
RODS 1 2 0.3785 1
RODS 1 3 0.3865 0
RODS 1 4 0.455 12
RODS 2 1 0.075 0
RODS 2 2 0.3785 2
RODS 2 3 0.3865 0
RODS 2 4 0.455 12
RODS 3 1 0.075 0
RODS 3 2 0.3785 3
RODS 3 3 0.3865 0
RODS 3 4 0.455 12
RODS 4 1 0.545 13
RODS 4 2 0.630 11
RODS 5 1 0.075 0
RODS 5 2 0.3785 4
RODS 5 3 0.3865 0
RODS 5 4 0.455 12
RODS 6 1 0.545 13
RODS 6 2 0.630 11
RODS 7 1 0.075 0
RODS 7 2 0.3785 5
RODS 7 3 0.3865 0
RODS 7 4 0.455 12
RODS 8 1 0.075 0
RODS 8 2 0.3785 6
RODS 8 3 0.3865 0
RODS 8 4 0.455 12
RODS 9 1 0.545 13
RODS 9 2 0.630 11
RODS 10 1 0.075 0
RODS 10 2 0.3785 7
RODS 10 3 0.3865 0
RODS 10 4 0.455 12
RODS 11 1 0.075 0
RODS 11 2 0.3785 8
RODS 11 3 0.3865 0
RODS 11 4 0.455 12
RODS 12 1 0.075 0
RODS 12 2 0.3785 9
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
RODS 12 3 0.3865 0
RODS 12 4 0.455 12
RODS 13 1 0.075 0
RODS 13 2 0.3785 10
RODS 13 3 0.3865 0
RODS 13 4 0.455 12
* Плотность топлива 10,25 г/см3:
MATE 1 -1 1016.000000 1
2235 0.30096E-03
8238 0.22561E-01
6016 0.45724E-01
MATE 2 -1 1016.000000 1
2235 0.30096E-03
8238 0.22561E-01
6016 0.45724E-01
MATE 3 -1 1016.000000 1
2235 0.30096E-03
8238 0.22561E-01
6016 0.45724E-01
MATE 4 -1 1016.000000 1
2235 0.30096E-03
8238 0.22561E-01
6016 0.45724E-01
MATE 5 -1 1016.000000 1
2235 0.30096E-03
8238 0.22561E-01
6016 0.45724E-01
MATE 6 -1 1016.000000 1
2235 0.30096E-03
8238 0.22561E-01
6016 0.45724E-01
MATE 7 -1 1016.000000 1
2235 0.30096E-03
8238 0.22561E-01
6016 0.45724E-01
MATE 8 -1 1016.000000 1
2235 0.30096E-03
8238 0.22561E-01
6016 0.45724E-01
MATE 9 -1 1016.000000 1
2235 0.30096E-03
8238 0.22561E-01
6016 0.45724E-01
MATE 10 -1 1016.000000 1
2235 0.30096E-03
8238 0.22561E-01
6016 0.45724E-01
MATE 11 -1 578.000000 -2
91 0.42034E-01
178 0.10899E-04
93 0.41720E-03
MATE 12 -1 578.000000 2
91 0.42034E-01
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
178 0.10899E-04
93 0.41720E-03
MATE 13 -1 578.000000 -3
6016 3.34276E-002
1011 2.78504E-005
3001 6.68552E-002
MATE 14 -1 578.000000 3
6016 3.34276E-002
1011 2.78504E-005
3001 6.68552E-002
91 6.38713E-004
178 3.23891E-007
93 6.47782E-006
* ОКОНЧАНИЕ ФАЙЛА
MATE 15 -1 578.000000 4
6016 3.34276E-002
1011 2.78504E-005
3001 6.68552E-002
MESH 1 1 5 5 5 3 5 3 5 5 3 5 1
NPIJ 12
POWE 1 41 15.00 1
SUPP 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1
DENS 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
11
0.717 0.717 0.717
BEGI
Файл исходных данных для расчета решетки ТВС реактора
ВВЭР-1000 (вариант «39AWU»):
* НАЧАЛО ФАЙЛА
* Файл данных WIMS-D4, вариант «39AWU»)
SEQU 4
CELL 7
NGRO 31 2
NMES 73 73
NREG 13 10 53
NMAT 20 15 0
NROD 330 1 100 20 15 7 1
PREOUT
INITIATE
FEWG 1 2 3 4 5 10
12 15 20
23 26 27 30
31 33 35 38 40
42 45 47 50
51 53 55 57 60
62 65 67 69
ANNU 1 0.5500 13
ANNU 2 0.6500 11
ANNU 3 1.7711 14
ANNU 4 2.9180 14
ANNU 5 4.0720 14
ANNU 6 5.2284 14
ANNU 7 6.3859 14
ANNU 8 7.5440 14
ANNU 9 8.7025 14
ANNU 10 9.8613 14
ANNU 11 11.0201 14
ANNU 12 12.1791 14
ANNU 13 12.3909 15
ARRA 1 1 6 1.2203 0.0000
ARRA 2 1 12 2.3671 0.0000
ARRA 3 1 6 3.5211 0.0000
1 6 3.5211 0.3491
114
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
ARRA 4 1 6 3.5211 0.6981
ARRA 5 1 12 4.6775 0.0000
1 6 4.6775 0.7854
1 3 4.6775 0.2618
ARRA 6 1 6 5.8351 0.0000
ARRA 7 1 6 5.8351 0.2094
1 6 5.8351 0.4189
1 6 5.8351 0.6283
1 6 5.8351 0.8378
ARRA 8 1 18 6.9932 0.0000
1 6 6.9932 0.1745
1 6 6.9932 0.8727
ARRA 9 1 6 6.9932 0.5236
ARRA 10 1 42 8.1517 0.0000
ARRA 11 1 24 9.3104 0.1309
1 12 9.3104 0.2618
1 6 9.3104 0.5236
ARRA 12 1 54 10.4693 0.0000
ARRA 13 1 60 11.6283 0.0000
ARRA 14 1 3 4.6775 1.309
ARRA 15 1 6 9.3104 0
RODS 1 1 0.075 0
RODS 1 2 0.3785 1
RODS 1 3 0.3865 0
RODS 1 4 0.455 12
RODS 2 1 0.075 0
RODS 2 2 0.3785 2
RODS 2 3 0.3865 0
RODS 2 4 0.455 12
RODS 3 1 0.075 0
RODS 3 2 0.3785 3
RODS 3 3 0.3865 0
RODS 3 4 0.455 12
RODS 4 1 0.545 13
RODS 4 2 0.630 11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
RODS 5 1 0.075 0
RODS 5 2 0.3785 4
RODS 5 3 0.3865 0
RODS 5 4 0.455 12
RODS 6 1 0.545 13
RODS 6 2 0.630 11
RODS 7 1 0.075 0
RODS 7 2 0.3785 5
RODS 7 3 0.3865 0
RODS 7 4 0.455 12
RODS 8 1 0.075 0
RODS 8 2 0.3785 6
RODS 8 3 0.3865 0
RODS 8 4 0.455 12
RODS 9 1 0.545 13
RODS 9 2 0.630 11
RODS 10 1 0.075 0
RODS 10 2 0.3785 7
RODS 10 3 0.3865 0
RODS 10 4 0.455 12
RODS 11 1 0.075 0
RODS 11 2 0.3785 8
RODS 11 3 0.3865 0
RODS 11 4 0.455 12
RODS 12 1 0.075 0
RODS 12 2 0.3785 9
RODS 12 3 0.3865 0
RODS 12 4 0.455 12
RODS 13 1 0.075 0
RODS 13 2 0.3785 20
RODS 13 3 0.3865 0
RODS 13 4 0.455 12
RODS 14 1 0.075 0
RODS 14 2 0.2269 16
RODS 14 3 0.2865 17
RODS 14 4 0.3469 18
RODS 14 5 0.3785 19
RODS 14 6 0.3865 0
RODS 14 7 0.455 12
RODS 15 1 0.075 0
RODS 15 2 0.2269 16
RODS 15 3 0.2865 17
RODS 15 4 0.3469 18
RODS 15 5 0.3785 19
RODS 15 6 0.3865 0
RODS 15 7 0.455 12
*Плотность топлива 10.25 г/см3:
MATE 1 -1 1016.000000 1
2235 0.92599E-03
8238 0.21943E-01
6016 0.45738E-01
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
MATE 2 -1 1016.000000 1
2235 0.92599E-03
8238 0.21943E-01
6016 0.45738E-01
MATE 3 -1 1016.000000 1
2235 0.92599E-03
8238 0.21943E-01
6016 0.45738E-01
MATE 4 -1 1016.000000 1
2235 0.92599E-03
8238 0.21943E-01
6016 0.45738E-01
MATE 5 -1 1016.000000 1
2235 0.92599E-03
8238 0.21943E-01
6016 0.45738E-01
MATE 6 -1 1016.000000 1
2235 0.92599E-03
8238 0.21943E-01
6016 0.45738E-01
MATE 7 -1 1016.000000 1
2235 0.92599E-03
8238 0.21943E-01
6016 0.45738E-01
MATE 8 -1 1016.000000 1
2235 0.92599E-03
8238 0.21943E-01
6016 0.45738E-01
MATE 9 -1 1016.000000 1
2235 0.92599E-03
8238 0.21943E-01
6016 0.45738E-01
MATE 10 -1 1016.000000 1
2235 0.92599E-03
8238 0.21943E-01
6016 0.45738E-01
MATE 11 -1 578.000000 -2
91 0.42034E-01
178 0.10899E-04
93 0.41720E-03
MATE 12 -1 578.000000 2
91 0.42034E-01
178 0.10899E-04
93 0.41720E-03
MATE 13 -1 578.000000 -3
6016 3.34276E-002
1011 2.78504E-005
3001 6.68552E-002
MATE 14 -1 578.000000 3
6016 3.34276E-002
1011 2.78504E-005
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
3001 6.68552E-002
91 6.38713E-004
178 3.23891E-007
93 6.47782E-006
MATE 15 -1 578.000000 4
6016 2.92461E-002
1011 2.43665E-005
3001 5.79937E-002
91 5.25658E-003
93 5.33121E-005
178 2.66561E-006
MATE 16 -1 1016.000000 -1
2235 0.71513E-03
8238 0.206908E-01
6016 0.453288E-01
2154 0.365828E-04
2155 0.248344E-03
2156 0.343482E-03
2157 0.262597E-03
2158 0.416807E-03
MATE 17 -1 1016.000000 -1
2235 0.71513E-03
8238 0.206908E-01
6016 0.453288E-01
2154 0.365828E-04
2155 0.248344E-03
2156 0.343482E-03
2157 0.262597E-03
2158 0.416807E-03
MATE 18 -1 1016.000000 -1
116
* ПРОДОЛЖЕНИЕ ФАЙЛА
2235 0.71513E-03
8238 0.206908E-01
6016 0.453288E-01
2154 0.365828E-04
2155 0.248344E-03
2156 0.343482E-03
2157 0.262597E-03
2158 0.416807E-03
MATE 19 -1 1016.000000 -1
2235 0.71513E-03
8238 0.206908E-01
6016 0.453288E-01
2154 0.365828E-04
2155 0.248344E-03
2156 0.343482E-03
2157 0.262597E-03
2158 0.416807E-03
MATE 20 -1 1016.000000 1
2235 0.83339E-03
8238 0.220346E-01
6016 0.45736E-01
MESH 1 1 5 5 7 12 7 7 5 12 5 5 1
NPIJ 12
POWE 1 41 15.00 1
SUPP 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1
DENS 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.717 0.717 0.717 1 1 1 1
BEGI
BEGI
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В последние годы на научных семинарах и конференциях по
физике и динамике ядерных реакторов все чаще возвращаются к
определению реактивности. Возможно, это связано с отсутствием
монографий и учебников по теории реакторов, где были введены
статический и динамический коэффициенты размножения нейтронов, которые, вообще говоря, различны.
Одно из первых открытий в области физики ядерных реакторов
связано с установлением преимущества гетерогенных систем, наиболее ярко проявляющегося при малых обогащениях топлива. Неотъемлемая часть теории реакторов, не связанная с описанием утечки нейтронов, — теория решетки. Детальный расчет бесконечной
решетки реактора имеет свои особенности. В основе математической модели нейтронно-физического расчета решетки, используемой в программе WIMS, лежит решение интегрального уравнения
переноса нейтронов (уравнения Пайерлса) методами вероятностей
первых столкновений или дискретных ординат.
Программа WIMS является необходимым (но не достаточным)
инструментом для проведения нейтронно-физических расчетов
ядерных реакторов (главным образом, на тепловых нейтронах). С ее
помощью можно оценить параметры критичности, запасы, различные эффекты и коэффициенты реактивности в бесконечных решетках, эффективности органов регулирования, изменение нуклидного
состава в процессе работы реактора, в том числе нуклидный состав
выгружаемого топлива. Программа использует собственную 69- или
172-групповую библиотеку микроконстант. Программа WIMS используется самостоятельно как отдельный завершенный програмный продукт или в составе программных комплексов физического
расчета реакторов.
Приведенные в учебном пособии примеры можно использовать
в качестве шаблонов при подготовке файла исходных данных для
программы WIMS.
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЛИТЕРАТУРА
1. Бекурц К., Виртс К. Нейтронная физика: Пер. с англ. М.:
Атомиздат, 1968.
2. Белл Д., Глесстон С. Теория ядерных реакторов / Пер. с англ.
под ред. В.Н. Артамкина. М.: Атомиздат, 1974.
3. Вейнберг А., Вигнер Е. Физическая теория ядерных реакторов /
Пер. с англ. под ред. Я.В. Шевелева. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.
4. Воронков А.В., Сычугова Е.П. Линейный характеристический
метод дискретных ординат для решения уравнения переноса в XY
геометрии. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1996.
5. Ганев И.Х. Физика и расчет реактора: Учеб. пособие для вузов / Под общ. ред. Н.А. Доллежаля. М.: Энергоатомиздат, 1992.
6. Дважды дифференциальные сечения рассеяния медленных
нейтронов водой в широком интервале температур и давлений /
В.И. Ионкин, Ю.В. Лисичкин, А.Г.Новиков и др. // Вопросы атомной
науки и техники. Сер. Ядерные константы. 1989. Вып. 1. С. 19–29.
7. Кашутин А.А., Хромов В.В. Газокинетическая теория переноса нейтронов в неразмножающих средах. М.: МИФИ, 1988.
8. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика (Сер.
Теоретическая физика. В 10 т.). Т. 10. М.: Наука, 1979.
9. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1971.
10. Окунев В.С. Моделирование нейтронно-физических процессов в ядерных энергетических установках: Учеб. пособие. М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.
11. Окунев В.С. Основы прикладной ядерной физики и введение
в физику ядерных реакторов: Учеб. пособие / Под ред. В.И. Солонина. (Физика в техническом университете). М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2010.
12. Основы теории и методы расчета ядерных энергетических
реакторов: Учеб. пособие для вузов / Г.Г. Бартоломей, Г.А. Бать,
В.Д. Байбаков, М.С. Алтухов; Под ред. Г.А. Батя. М.: Энергоатомиздат, 1989.
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. Сычугова Е.П. Численные методы решения уравнения переноса в многогрупповом приближении в трехмерной геометрии в
пакете «РЕАКТОР». Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.
№ 78. М., 2007.
14. Уолтер А., Рейнольдс А. Реакторы-размножители на быстрых нейтронах: Пер. с англ. М.: Энергоатомиздат, 1986.
15. Фейнберг С.М., Шихов С.Б., Троянский В.Б. Теория ядерных
реакторов: Учебник для вузов. В 2-х т. Т.1. Элементарная теория
реакторов. М.: Атомиздат, 1978.
16. Хромов В.В., Крючков Э.Ф., Кондаков В.В. Многоуровневые
алгоритмы расчета нейтронного поля, основанные на вероятностном методе дискретных ординат. Препринт МИФИ 008-98. М.,
1998.
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложения
П1. ДЕЛЕНИЕ ШКАЛЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
НЕЙТРОНА НА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
В ПРОГРАММЕ WIMS
Таблица П1.1. Группы быстрых нейтронов
(69-групповая система констант программы WIMS)
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, МэВ
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, МэВ
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, МэВ
1
10,0
6
0,8210
11
0,06734
2
6,0655
7
0,5000
12
0,04085
3
3,6790
8
0,3025
13
0,02478
4
2,2310
9
0,1830
14
0,01503
5
1,3530
10
0,1110
Таблица П1.2. Группы резонансных нейтронов
(69-групповая система констант программы WIMS)
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, эВ
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, эВ
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, эВ
15
9118,00
20
906,899
25
27,700
16
5530,00
21
367,263
26
15,988
17
3519,10
22
148,729
27
9,8770
18
2239,45
23
75,5014
19
1425,10
24
48,0520
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица П1.3. Группы тепловых нейтронов
(69-групповая система констант программы WIMS)
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, эВ
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
4,000
3,300
2,600
2,100
1,500
1,300
1,150
1,123
1,097
1,071
1,045
1,020
0,996
0,972
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, эВ
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, эВ
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
0,95
0,91
0,85
0,78
0,625
0,50
0,40
0,35
0,32
0,30
0,28
0,25
0,22
0,18
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
0,140
0,100
0,080
0,067
0,058
0,050
0,042
0,035
0,030
0,025
0,020
0,015
0,010
0,005
Таблица П1.4. Весовые коэффициенты 69-группового спектра
в области быстрых нейтронов (1–14 группы)
Кинетическая энергия, МэВ
11,3315
8,82497
6,87289
5,35281
4,16865
3,24652
2,52839
1,98912
1,53355
Весовые коэффициенты
сухого спектра
влажного спектра
0,000077
0,000288
0,001032
0,003415
0,007253
0,015299
0,032235
0,040766
0,068804
0,0003
0,0012
0,0043
0,0125
0,0250
0,0477
0,0821
0,0325
0,1270
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Окончание таблицы П1.4
Кинетическая энергия, МэВ
0,930145
0,724379
0,564161
0,439639
0,342181
0,266491
0,207543
0,161635
0,125881
0,0980635
0,0763509
0,0594621
0,0463092
0,0360656
0,0280879
0,0218749
0,0170362
0,0132678
0,0103330
0,00804733
Весовые коэффициенты
сухого спектра
влажного спектра
0,151457
0,293853
0,358317
0,273385
0,579880
0,797033
1,020714
1,108708
1,392871
1,538518
2,025529
2,256529
2,717019
2,929716
2,913247
5,726346
5,345332
6,613002
8,200331
8,814081
0,1831
0,2321
0,2432
0,2287
0,3326
0,3665
0,4096
0,4687
0,5421
0,6346
0,7520
0,8839
1,0847
1,2975
1,6002
2,0012
2,4685
3,1004
3,8390
4,8358
Таблица П1.5. Спектр деления 69-групповой библиотеки
122
Группа
Спектр
Группа
Спектр
1
2
3
4
5
6
7
0,02822
0,10930
0,20350
0,22500
0,17920
0,11600
0,06760
15
16
17
18
19
20
21
0,0002235
0,00009871
0,00005017
0,00002549
0,00001295
0,000009912
0,000002555
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Окончание таблицы П1.5
Группа
Спектр
Группа
Спектр
8
9
10
11
12
13
14
0,03586
0,01806
0,00892
0,00433
0,02078
0,0009917
0,0004711
22
23
24
25
26
27
Сумма:
0,0000005665
1,58Е-7
9,162Е-8
4,0102Е-8
1,6032Е-8
1,027Е-8
1
Таблица П1.6. Группы быстрых нейтронов
(172-групповая система констант программы WIMS)
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, МэВ
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, МэВ
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, МэВ
1
19,6403
16
2,01897
31
0,247235
2
17,3325
17
1,65299
32
0,183156
3
14,9182
18
1,35335
33
0,122773
4
13,8403
19
1,22456
34
0,111090
5
11,6183
20
1,10803
35
0,0822975
6
10,0000
21
1,00259
36
0,0673795
7
8,18731
22
0,907180
37
0,0551656
8
6,70320
23
0,820850
38
0,0408677
9
6,06531
24
0,608101
39
0,0369786
10
5,48812
25
0,550232
40
0,0292830
11
4,49329
26
0,497871
41
0,0273944
12
3,67879
27
0,450492
42
0,0247875
13
3,01194
28
0,407622
43
0,0166156
14
2,46597
29
0,301974
44
0,0150344
15
2,23130
30
0,273237
45
0,0111378
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица П1.7. Группы резонансных нейтронов
(172-групповая система констант программы WIMS)
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, кэВ
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, кэВ
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
9,11882
7,46586
5,53085
5,00450
3,52662
3,35463
2,24867
2,03468
1,50733
1,43382
1,23410
1,01039
0,914242
0,748518
0,677287
0,453999
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
0,371703
0,304325
0,203995
0,148625
0,136742
0,0916609
0,0756736
0,0679040
0,0555951
0,0515780
0,0482516
0,0455174
0,0401690
0,0372665
0,0337201
0,0305113
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, эВ
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
27,6077
24,9805
22,6033
19,4548
15,9283
13,7096
11,2245
9,90555
9,18981
8,31529
7,52398
6,16012
5,34643
5,04348
4,12925
Таблица П1.8. Группы тепловых нейтронов
(172-групповая система констант программы WIMS, минимальная
кинетическая энергия нейтрона в последней группе 1,00000 · 10–5 эВ):
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, эВ
93
94
95
96
97
98
4,0
3,38075
3,3
2,76792
2 ,72
2 ,6
124
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, эВ
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, эВ
120
121
122
123
124
125
1,097
1,071
1,045
1,035
1 ,020
0,996
147
148
149
150
151
152
0,280
0,248
0,220
0,189
0,180
0,160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Окончание таблицы П1.8
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, эВ
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, эВ
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
2,55
2,36
2,13
2,1
2,02
1,93
1,84
1,755
1,67
1,59
1,5
1,475
1,44498
1,37
1,3375
1,3
1,235
1,17
1,15
1,12535
1,11
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
0,986
0,972
0,95
0,93
0,91
0,86
0,85
0,79
0,78
0,705
0,625
0,54
0,5
0,485
0,433
0,4
0,391
0,35
0,32
0,3145
0,3
Группа
Максимальная
кинетическая
энергия нейтрона, эВ
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
0,140
0,134
0,115
0,100
0,095
0,080
0,077
0,067
0,058
0,050
0,042
0,035
0,030
0,025
0,020
0,015
0,010
0,0069
0,005
0,003
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
П2. ИДЕНТИФИКАТОРЫ НУКЛИДОВ В ПРОГРАММЕ
WIMS-D/4
Таблица П2.1. Список нуклидов библиотеки констант
Идентификатор
Нуклид
Модель теплового рассеяния
2001*
Водород
9001
Водород
4001
4002
5002
6002*
8002
Водород
Дейтерий
Дейтерий
Дейтерий
Дейтерий
9002
Дейтерий
3
4
6
7
9
10
Гелий-3
Гелий-4
Литий-6
Литий-7
Бериллий-9
Бор-10
(выгорающий)
Бор-10
(невыгорающий)
Природный бор
Природный бор,
с поглощением 1/v
ниже 100 кэВ
Модель Налкина
(293, 333, 423, 473 K)
Модель эффективной ширины
(293, 450, 600 K)
Модель Хонека (293 K)
Модель Хонека (293 K)
Модель Хонека (293 K)
Модель Хонека (293 K)
Модель эффективной ширины
(293, 450, 600 K)
Модель эффективной ширины
(293, 450, 600 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
1010
11
1011
12*
126
Углерод
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Модель Эгельстаффа
(300, 600, 700, 900 K),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Окончание таблицы П2.1
Идентификатор
Нуклид
Модель теплового рассеяния
1212
Углерод
—
14
Азот
Тяжелый газ (300 K)
16
Кислород
Тяжелый газ
(200, 300, 400, 700, 1100 K)
19
Фтор
Тяжелый газ (300 K)
23
Натрий, магний
Тяжелый газ (300 K)
27
Алюминий
Тяжелый газ (300 K)
29
Кремний, калий,
кальций
Тяжелый газ (300 K)
52
Хром, титан
Тяжелый газ (300 K)
55
Марганец
—
56
Железо, кобальт
Тяжелый газ (300 K)
1056*
Железо
Тяжелый газ (300 K)
58
Никель
Тяжелый газ (300 K)
63
Медь
Тяжелый газ (300 K)
91
Цирконий, ниобий, молибден
Тяжелый газ (300, 600, 1200 K)
112
Кадмий
Тяжелый газ (300, 600, 1200 K)
157
Гадолиний
—
164
Диспрозий-164
—
176
Лютеций-176
—
178
Гафний
природный
—
207
Свинец
Тяжелый газ (300 K)
Примечание. Здесь и далее в П2 звездочкой обозначены нуклиды, рекомендованные к использованию; v — скорость нейтрона.
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица П2.2. Список нуклидов библиотеки констант
Идентификатор
232
1232
2232
233
234
235
236
1238
2238*
239
1239
2239
3239*
240
1240*
241
242
1000
2000
1999
128
Нуклид
Наличие резонансных таблиц
Торий
—
невыгорающий
Торий
—
выгорающий
Торий
—
выгорающий
Уран-233
—
Уран-234
234.0 при 300 K
Уран-235
235.2, 235.3, 235.4*
при300 K
Уран-236
236.0 при 300 K
Уран-238
1238.2, 1238.3,
невыгорающий 1238.4 при 300,
600, 900 K
Уран-238
2238.2*, 2238.3,
невыгорающий 2238.4 при 300,
600, 900 K
Плутоний-239
239.1 при 300,
невыгорающий
900 K
Плутоний-239
1239.1 при 300,
невыгорающий
900 K
Плутоний-239
2239.1 при 300,
невыгорающий
900 K
Плутоний-239 3239.1* при 300,
выгорающий
900 K
Плутоний-240 240 при 300, 900 K
невыгорающий
Плутоний-240 1240 при 300, 900 K
невыгорающий
Плутоний-241 241 при 300, 900 K
невыгорающий
Плутоний-242 242 при 300, 900 K
невыгорающий
Поглотитель 1/v
—
Поглотитель 1/v
—
Поглотитель 1/v
—
Модель теплового
рассеяния
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ (300 K)
Тяжелый газ
(300, 600, 1200 K)
Тяжелый газ (300 K)
—
—
—
—
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица П2.3. Список нуклидов — продуктов деления
библиотеки констант
Идентификатор
Нуклид
Идентификатор
Нуклид
83
95
99
101
103
1103
105
1105
108
109
113
115
127
131
133
134
1135
Криптон-83
Молибден-95
Технеций-99
Рутений-101
Рутений-103
Родий-103
Рутений-105
Палладий-105
Палладий-108
Серебро-109
Кадмий-113
Индий-115
Йод-127
Ксенон-131
Цезий-133
Цезий-134
Ксенон-135
135
143
145
147
1147*
148
1148*
2147
149
150
151
152
153
154
155
157
Цезий-135
Неодим-143
Неодим-145
Прометий-147
Прометий-147
Прометий-148
Прометий-148
Самарий-147
Самарий-149
Самарий-150
Самарий-151
Самарий-152
Европий-153
Европий-154
Европий-155
Гадолиний-157
Таблица П2.4. Сечения поглощения тепловых нейтронов
и резонансные интегралы
Идентификатор
Нуклид
Энергия
kT  0,0253 эВ
Резонансный
интеграл
0,55 эВ…2 МэВ
2001*
9001
4001
4002
5002
6002*
8002
Водород
Водород
Водород
Дейтерий
Дейтерий
Дейтерий
Дейтерий
0,332
0,332
0,332
0,00057
0,00056
0,0005
0,0003
0,140
0,140
0,140
0,00024
0,00056
0,00023
0,00023
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжение таблицы П2.4
Идентификатор
Нуклид
9002
3
4
6
7
9
10
Дейтерий
Гелий-3
Гелий-4
Литий-6
Литий-7
Бериллий-9
Бор-10
(выгорающий)
Бор-10
(невыгорающий)
Природный бор
Природный бор, с
поглощением 1/v
ниже 100 кэВ
Углерод
Углерод
Азот
Кислород
Фтор
Натрий, магний
Алюминий
Кремний, калий,
кальций
Хром, титан
Марганец
Железо, кобальт
Железо
Никель
Медь
Цирконий, ниобий,
молибден
1010
11
1011
12*
1212
14
16
19
23
27
29
52
55
56
1056*
58
63
91
130
Энергия
kT  0,0253 эВ
Резонансный
интеграл
0,55 эВ…2 МэВ
0,00056
5327,0
0,0
983,0
0,0358
0,0062
3809,0
0,00056
2286,0
0,0
410,0
0,0158
0,015
1667,0
3809,0
1667,0
755,0
760,0
297,0
326,0
0,0034
0,0034
1,88
0,00009
0,01
0,536
0,229
0,16
0,00143
0,00143
0,859
0,00001
0,0164
0,37
0,181
0,0689
3,1
13,8
2,53
2,53
1,6
3,78
0,183
1,33
13,4
1,31
1,31
2,04
2,2
0,891
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Окончание таблицы П2.4
Идентификатор
Нуклид
112
157
164
176
178
Кадмий
Гадолиний
Диспрозий-164
Лютеций-176
Гафний
природный
Свинец
Торий
невыгорающий
Торий
выгорающий
Торий
выгорающий
Уран-233
Уран-234
Уран-235
Уран-236
Уран-238
невыгорающий
Уран-238
невыгорающий
Плутоний-239
невыгорающий
Плутоний-239
невыгорающий
Плутоний-239
невыгорающий
Плутоний-239
выгорающий
Плутоний-240
Плутоний-240
Плутоний-241
Плутоний-242
Поглотитель 1/v
Поглотитель 1/v
Поглотитель 1/v
207
232
1232
2232
233
234
235
236
1238
2238*
239
1239
2239
3239*
240
1240*
241
242
1000
2000
1999
Энергия
kT  0,0253 эВ
Резонансный
интеграл
0,55 эВ…2 МэВ
2515
3254
2710
2094
106
39,6
342
289
783
1946
0,171
7,39
0,199
110,0
7,39
110,0
7,39
110,0
579,0
95,0
680,0
6,08
2,72
914,0
5546,0
412,0
313,0
236,0
2,72
236,0
1031,0
444,0
1008,0
442,0
1029,0
465,0
1008,0
465,0
297,0
283,0
1387,0
17,3
1,0
–1,0
0,0
8695,0
7625,0
749,0
1043,0
0,429
–0,429
0,156
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
П3. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРОГРАММЫ
WIMS-D/4
Ниже приведены наиболее часто используемые операторы для
описания общих данных, основных данных, расчета выгорания,
данных редактирования.
В программе WIMS используется следующий формат записи:
ключевое слово (оператор), символ-разделитель (пробел), число или
числа (вводятся через пробел). Например, число материалов может
определяться следующей строкой в файле «inp»:
NMATERIAL 3 1
Здесь NMATERIAL — ключевое слово, означающее ввод информации о числе материалов, 3 — означает, что всего используется три
разных материала, 1 — из этих трех материалов один — выгорающий (как правило, это ядерное топливо).
Строки в файле исходных данных часто называют картами. Это
название сохранилось с 1980-х годов, когда тексты программ и
файла исходных данных представляли собой наборы (пакеты) перфокарт. Перфокарта (перфорированная карта) — носитель информации, предназначенный для использования системами автоматической обработки данных. Сделанная из тонкого картона, перфокарта представляет информацию наличием или отсутствием
отверстий в определенных позициях карты.
Операторы для описания общих данных:
Строка файла
исходных данных
CELL a
132
Назначение оператора и значения параметров,
следующих за ним
Определяет тип ячейки:
a  4 — гомогенная ячейка (только 69-групповой
расчет и только «SEQUENCE 1», см. следующий
оператор)
a  6 — гетерогенная ячейка со сверткой групповых
констант
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
CELL a
SEQUENCE a
NGROUP a, b
NMESH a, b
NREGION a, b, c
NMATERIAL a, b
NRODS a, b, c, d, e,
f, j
a  7 — кластер
Определяет тип подпрограммы, реализующий методы расчета (п. 7.1):
a  1 — DSN-метод
a  2 — PERSEUS
a  3 — PIJ
a  4 — PIJ + PERSEUS (выбирается при расчете
кластерной геометрии)
a  5 — PRIZE + PERSEUS
a — число групп после свертки в подпрограмме
транспортного расчета (должно быть равно числу
чисел карты FEWGROUPS)
b — число групп после свертки, для которых рассчитываются скорости реакций на этапе редактирования (должно быть равно числу чисел оператора
PARTITION)
a — число пространственных интервалов в транспортном расчете (должно быть равно сумме чисел
оператора MESH)
b — число пространственных интервалов, используемых при редактировании
a — число плоских, кольцевых или многоугольных
зон ячейки (должно быть равно числу чисел оператора MESH)
b — число кольцевых зон кластера, содержащих
стержни, при количестве типов стержней более 1,
принимается равным этому количеству, но не большем, чем число а
c — число редактируемых зон; если не определено,
то полагается программой равным a + 3b
a — число материалов (композиций) равно числу
операторов MATERIAL
b — число выгорающих материалов
Оператор требуется только при расчете в кластерной
геометрии (для SEQUENCE 3 и SEQUENCE 4):
a — число стержней в кластере
b — фактор симметрии кластера, в гексагональном
случае  –12, в случае квадратной решетки  – 8
c — число линий сетки метода PIJ (обычно от 30 до
100)
d — число угловых интервалов сетки метода PIJ
(обычно от 30 до 100)
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
NRODS a, b, c, d, e,
f, j
NREACT a
NCELLS a
PREOUT
e — число типов стержней во всех ячейках
f — максимальное число кольцевых зон в одном
стержне (в целой задаче)
j — максимальное число угловых подзон в одном
стержне (в целой задаче). Если деления на угловые
подзоны нет, необходимо принять равным 2
Оператор требуется для расчета скоростей реакций:
a — число нуклидов, для которых рассчитываются
скорости реакций
Оператор требуется только для расчета полиячейки,
который проводится в опции SEQUENCE 2; a —
число типов ячеек
Оператор определяет конец раздела общих данных
Операторы для описания основных данных:
Строка файла
исходных данных
INITIATE
SLAB a, b, c
ANNULUS a, b, c
134
Назначение оператора и значения параметров,
следующих за ним
Начало блока основных расчетных данных
Оператор определяет зоны, на которые делится ячейка в плоской геометрии. В программе WIMS предполагается, что плоская ячейка симметрична относительно центрального сечения, и поэтому геометрические размеры задаются только для половины ячейки
(от центра до внешней границы)
a — порядковый номер зоны, отсчитываемый от центра
b — координата внешней границы зоны, см
c — номер материала в зоне
Для каждой зоны требуется отдельный оператор
Оператор определяет деление ячейки на кольцевые
зоны в цилиндрической, сферической и кластерной
геометрии
a — порядковый номер зоны, отсчитываемый от оси
симметрии; допускается не более 12 зон
b — внешний радиус кольцевой зоны, см
Для сферической геометрии:
b  4R3, где R — внешний радиус сферического слоя
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ANNULUS a, b, c
c — номер материала в зоне для простой цилиндрической ячейки (CELL 6) и номер материала, заполняющего пространство между стержнями кластера
(CELL 7)
Для каждой зоны требуется отдельный оператор
ARRAY
N(a1, b1, c1, d1)
(a2, b2, c2, d2)
Оператор, определяющий положение стержней в
кластере, допускается не более 12 скобок
N — порядковый номер типа стержня (максимальное значение N должно совпадать со значением
NNN1 оператора NRODS)
a — определяет значение остальных трех параметров
в скобках:
a  1 — b одинаково расположенных стержней, центры которых находятся на окружности радиуса c, см;
d, рад — угловая координата одного из стержней
a  2, b  1, c и d — координаты x и y одного стержня
a  4 — b стержней, расположенных по периоду
квадрата с шагом c, см; d, рад — угловая координата
одной из вершин
a  6 — b стержней, расположенных по периоду шестиугольника c; d с шагом c, см; d, рад — угловая координата одной из вершин
Все стержни должны полностью располагаться в зоне
без пересечений с границами зон и между собой
RODSUB N, K,
a(b, c) (b, c)
Описание стержней
N — номер типа стержня (аналог N оператора
ARRAY)
K — номер зоны, отсчитываемой от оси стержня,
максимальное K не должно превышать f оператора
NRODS
a — внешний радиус кольцевой зоны стержня, см
b – номер материала в зоне
c — угловая координата линии (радиальное направление), которая является границей угловой подзоны
стержня, ее значение лежит в интервале 0…2 и
должно монотонно возрастать от скобки к скобке.
Эти координаты отсчитываются относительно основной линии симметрии системы в целом. Если деление на угловые подзоны не производится, то сле-
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
RODSUB N, K,
a(b, c) (b, c)
дует задавать только b аналогично описанию материалов для оператора ANNULUS
Угловые подзоны допускаются только в расчете
SEQUENCE 3 и SEQUENCE 4, полное количество
угловых подзон во всех кольцевых зонах во всех
стержнях не должно превышать 100, количество пар
(a, b) на одном операторе RODSUB не должно превышать «j» оператора NRODS
Операторы для описания материалов (в блоке основных данных):
Строка файла
исходных данных
Назначение оператора и значения параметров, следующих за ним
MATERIAL m, d, T, n, Оператор MATERIAL требуется для каждой материальной композиции
list
m — номер материала
d — плотность материала г/см3 (не все версии
WIMS поддерживают такой способ задания);
можно принять d  –1 и задавать материальный
состав в виде ядерных концентраций
T – температура материала, K
n — тип спектра, учитываемый в резонансном
расчете:
n  1 — материал трактуется как топливо,
n  2 — материал трактуется как оболочка,
n  3 — материал трактуется как теплоноситель,
n  4 — материал трактуется как замедлитель
Для расчета в кластерной геометрии хотя бы
один из материалов должен быть задан как топливо, а материал заполняющий пространство между стержнями как теплоноситель
В случае гетерогенной ячейки материала замедлитель должен быть специфицирован как теплоноситель, либо разделен на две зоны (с одинаковым
составом): теплоноситель и замедлитель. Для расчета гомогенной ячейки тип спектра всегда n  1
list — включает в себя пары чисел (i, fi), где
i — идентификатор элемента в библиотеке, а
fi — его ядерная концентрация
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
MATERIAL m, d, T, n, В случае проведения расчета выгорания в кажlist
дый выгорающий материал необходимо ввести
фиктивный нуклид 3239.1 с нулевой концентрацией. Также его необходимо задать, если в материал входит нуклид, описанный в библиотеке как
продукт деления
NORESONANCE
Оператор, обусловливающий обход резонансного
расчета и использование сечений резонансных
поглотителей для бесконечного разбавления
FEWGROUPS list
Оператор определяет G чисел NGROUP, которые
определяют свертку исходной групповой системы констант в групповую структуру транспортного расчета
list – включает серию чисел, каждое из которых
является максимальным номером группы 69группповой библиотеки, входящюю в каждую из
групп после свертки в подпрограмме транспортного расчета. Номера групп располагаются в порядке
возрастания. Последнее число обязательно 69
Например:
NGROUP 4
....
....
FEWGROUPS 5 15 27 69
означает, что осуществляется свертка из 69 в 4
энергетические группы, причем первая группа (из
четырех) включает с 1 по 5 группы библиотеки
WIMS; вторая группа — с 5 по 15; третья — с 16
по 27; четвертая — с 28 по 69
MESH list
list содержит последовательность из А чисел, где
А — количество кольцевых зон оператора
NREGION, каждое из которых определяет количество пространственных шагов в «своей» зоне
ячейки в направлении от центра. В плоской ячейке все интервалы в пределах одной зоны имеют
одинаковую толщину, а в цилиндрической —
одинаковый объем. Рекомендуется задавать шаг
оптической толщины менее двух длин свободно137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
MESH list
го пробега для метода вероятности первых
столкновений и менее одной длины для метода
дискретных ординат
Например:
NREGION 4
NMESH 36
…
…
MESH 3 7 20 6
TOLERANCE 
Оператор, изменяющий стандартное значение
относительной точности, используемое при проверке сходимости решения транспортного расчета, с 0.0001 на 
NPIJAN j
Требуется только для опций S-3, 4, 5 оператора
SEQUENCE
(S  3 — PIJ
S  4 — PIJ + PERSEUS
S  5 — PRIZE + PERSEUS)
j — количество внутренних зон кластера (в случае PIJ) или ячейки (в случае PRIZE), считая от
центра к наружному краю, в которых расчет вероятностей проводится методом PIJ или PRIZE, в
остальных зонах расчет вероятностей проводится
методом PERSEUS, в цилиндрической геометрии
(ТНESEUS). Значение NPIJAN не должно превышать значения NREGION
BELL a
Стандартное значение фактора Белла, используемое в резонансных расчетах, в программе установлено равным 1,16. Этот оператор изменяет
последнее значение на значение а
DANCOFF(1, 1,
n1)(2, 2, n2). . .
Факторы Данкова рассчитываются программой
автоматически, но этим оператором могут быть
изменены. Числа n1, n2, … связаны с номерами
резонансных групп так, что 1 и 1 относятся к
группам с номерами ni – 1 + 1 до ni (n0 + 1  15).
Если ni не вводится, то  и  считаются одинаковыми для всех групп. В случае бесконечной решетки  не учитывается. В случае кластера  —
средний фактор Данкова — среднее для всех
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
DANCOFF(1, 1,
n1)(2, 2, n2). . .
стержней, за исключением внешнего кольца. В
расчете полиячейки для каждого типа ячейки требуется отдельный оператор
DBSQUARED i, list
Оператор учитывает утечку добавлением DB2 к
Σа — это простейший способ, но лучше использовать оператор раздела редактирования, так как
подобное задание утечки сильно влияет на спектр
OMEGA m
При вводе этого оператора стандартное значение
параметра верхней релаксации, принятое 1,25,
изменяется на m
FREE
Этот оператор определяет на внешней границе
области расчета свободное граничное условие
(граница с вакуумом) вместо стандартного граничного условия, заложенного в программе: зеркальное отражение в плоской геометрии и «белое» отражение в цилиндрической
TEST
Оператор управляет выдачей на печать дополнительной выходной информации
ESEN n
Оператор, изменяющий стандартное значение
порядка аппроксимации в методе дискретных
ординат, равного 4 (т. е. по умолчанию используется S4-приближение) на n
CARDS
С помощью этого оператора можно распечатать
или отперфорировать групповые сечения в формате, необходимом для транспортного расчета
методом дискретных ординат
HPXQ x
Оператор предназначен для расчета возмущенного потока в критическом реакторе при введении в
него образца какого-либо материала
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оператор для расчета выгорания и описание данных редактирования:
Строка файла
исходных данных
POWERC a b c d
Назначение оператора и значения параметров,
следующих за ним
Оператор для расчета выгорания.
Параметр включает следующий набор значений:
a — способ задания данных (выбирается равным
1);
b — отношение тепловой мощности реактора
(МВт) к загрузке топлива (тонн тяжелых атомов);
c — длительность одного шага по времени между
двумя расчетами на критичность, сут;
число шагов выгорания определяется числом пар
операторов BEGINC в конце файла исходных данных;
d — количество шагов до нового полного расчета
(выбирается равным 1)
Каждому шагу выгорания (параметр «с») соответствуют два оператора BEGINC в конце файла исходных данных. Например, если необходимо рассчитать десять шагов выгорания, то в конце файла
должно быть 20 операторов BEGINC. Перед вторым оператором BEGINC можно модифицировать
данные для ячейки
В случае проведения расчета выгорания в каждый
выгорающий материал (оператор MATERIAL) необходимо ввести фиктивный нуклид 3239.1 с нулевой концентрацией. Также его необходимо задать,
если в материал входит нуклид, описанный в библиотеке как продукт деления
THERMAL n
NnNGROUP
VECTOR list
list VECTOR FEWGROUP
PUNCH n, m
n, m nnnm VECTOR FEWGROUP
REGION m, n
m, n m, n PUNCH
TEMPERATURE list Оператор используется для расчетов температурных эффектов реактивности. Параметр «list» содержит число М материалов, которое означает изменение на ΔТ (K) температур, заданных в операторе MATERIAL
Пример: ТЕМР 0 200 0 0 0 — означает, что на данном шаге расчета температура второго из пяти материалов будет увеличена на 200 K.
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
П4. НУКЛИДЫ БИБЛИОТЕКИ КОНСТАНТ
ПРОГРАММЫ WIMS-5B
Ниже приведены идентификаторы нуклидов:
Идентификатор
3001
3002
3
4
5001
6
7
9
10
1010
1011
2012
2212
14
6016
19
23
24
27
29
52
55
2056
9056
58
Нуклид
Водород в составе воды
Дейтерий в составе
тяжелой воды
Гелий-3
Гелий-4
Водород в составе ZrH
Литий-6
Литий-7
Бериллий-9
Бор-10 (выгорающий)
Бор-10 (невыгорающий)
Природный бор, сечение
поглощения пропорционально 1/v (v — скорость
нейтрона)
при кинетической энергии
нейтронов ниже 100 кэВ
Углерод в форме графита
Углерод (нет данных по
рассеянию)
Азот
Кислород
Фтор
Натрий
Магний
Алюминий
Кремний, калий, кальций
Хром, титан
Марганец
Железо
Железо
Никель
Идентификатор
1059
3063
91 и 1091
93
96
2103
3109
2113
2115
118
2154
2155
2156
2157
2158
2160
2161
2162
2163
2164
2165
164
167
176
2178
178
4083
4095
4099
4101
5103
4103
Нуклид
Кобальт-59
Медь
Цирконий, ниобий,
Молибден
Ниобий-93
Молибден
Рутений-103
Серебро-109
Кадмий
Индий-115
Олово
Гадолиний-154
Гадолиний-155
Гадолиний-156
Гадолиний-157
Гадолиний-158
Диспрозий-160
Диспрозий-161
Диспрозий-162
Диспрозий-163
Диспрозий-164
Диспрозий-165
Диспрозий-164
Эрбий-167
Лютеций-176
Гафний природный
Гафний
Криптон-83
Молибден-95
Технеций-99
Рутений-101
Рутений-103
Родий-103
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Идентификатор
4105
4106
4107
4108
5105
4108
4109
4113
4115
4125
5127
4127
4131
4133
4134
5134
4135
5135
4136
4137
6135
4143
4145
4147
5147
6147
4148
5148
5149
4149
6148
4150
4151
4152
5151
5152
4153
4154
4155
142
Нуклид
Родий-105
Рутений-106
Палладий-107
Палладий-108
Палладий-105
Палладий-108
Серебро-109
Кадмий-113
Индий-115
Сурьма-125
Теллур-127
Йод-127
Ксенон-131
Цезий-133
Цезий-134
Ксенон-134
Ксенон-135
Цезий-135
Ксенон-136
Цезий-137
Йод-135
Неодим-143
Неодим-145
Прометий-147
Прометий-147
Самарий-147
Прометий-148
Прометий-148
Прометий-149
Самарий-149
Самарий-148
Самарий-150
Самарий-151
Самарий-152
Европий-151
Европий-152
Европий-153
Европий-154
Европий-155
Идентификатор
4157
4902
207
2232
1231
1233
232
9233
4927
927
234
2235
236
8238
937
1939
948
6239
1240
1241
242
1242
951
1952
952
953
962
963
964
1000
1999
2000
3000
176
Нуклид
Гадолиний-157
Смесь продуктов
деления
Свинец природный
Торий выгорающий
Протактиний-231
Протактиний-233
Уран-232
Уран-233
Уран-237 (псевдопродукт деления)
Уран-237
Уран-234
Уран-235
Уран-236
Уран-238
Нептуний-237
Нептуний-239
Плутоний-238
Плутоний-239
Плутоний-240
Плутоний-241
Плутоний-242
Плутоний-242
невыгорающий
Америций-241
Америций-242
Америций-242m
(метастабильный)
Америций-243
Кюрий-242
Кюрий-243
Кюрий-244
Поглотитель 1/v
Поглотитель 1/v
Поглотитель 1/v
Поглотитель (пост1)
Лютеций-176;
176
Lu(n, γ)177Lu
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..................................................................................................
1. Требования к проведению физического расчета .............................
1.1. Основные приближения ...............................................................
1.2. Нормативная документация .........................................................
1.3. Объем и детальность.....................................................................
1.3.1. Категории физического расчета ...........................................
1.3.2. Проектный расчет на стадии эскизного проектирования....
1.3.3. Проектный расчет на стадии технического проектирования .......................................................................................
1.3.4. Эксплуатационный расчет для обоснования перегрузки
топлива в реакторе.................................................................
1.3.5. Оперативный эксплуатационный расчет .............................
1.4. Точность расчетов.........................................................................
1.5. Требования к оформлению расчетов ...........................................
2. Основные положения теории диффузии .............................................
2.1. Диффузия нейтронов ....................................................................
2.2. Диффузионное приближение .......................................................
3. Соотношения газокинетической теории переноса нейтронов........
3.1. Газокинетическое уравнение Больцмана. Три основные
модели теории переноса ...............................................................
3.2. Решение нестационарных задач...................................................
3.2.1. Приближение точечной кинетики ........................................
3.2.2. Реактивность ..........................................................................
3.3. Интегральное уравнение переноса нейтронов (уравнение
Пайерлса) .......................................................................................
3.3.1. Общий случай ........................................................................
3.3.2. Стационарное уравнение Пайерлса для моноэнергетических нейтронов...................................................................
3.4. Область применения газокинетического уравнения переноса
нейтронов.......................................................................................
4. Бесконечная решетка реактора............................................................
4.1. Иерархические уровни нейтронно-физического расчета ..........
4.2. Преимущества гетерогенных систем...........................................
3
6
6
7
8
8
8
10
12
13
15
16
17
17
19
21
21
25
25
26
27
27
30
33
35
35
35
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.3. Типы решеток ................................................................................
4.4. Особенности расчета ячейки........................................................
4.4.1. Ограничения диффузионного приближения .......................
4.4.2. Выбор программ расчета ячейки..........................................
4.4.3. Приближение Вигнера — Зейтца .........................................
4.4.4. Метод эффективной гомогенизации ....................................
4.4.5. Блок-эффект. Эффект экранирования..................................
4.4.6. Эффект резонансного самоэкранирования..........................
4.4.7. Эффект затенения ..................................................................
4.4.8. Особенности реактора на быстрых нейтронах....................
5. Метод вероятностей первых столкновений .......................................
5.1. Общие положения .........................................................................
5.2. Уравнения метода .........................................................................
5.3. Использование метода вероятностей первых столкновений
для расчета бесконечных решеток...............................................
5.3.1. Соотношения взаимности.....................................................
5.3.2. Разреженные решетки ...........................................................
5.3.3. Тесные решетки .....................................................................
5.3.4. Сложные решетки (каналы) ..................................................
6. Метод дискретных ординат...................................................................
6.1. Разновидности SN-метода .............................................................
6.2. Особенность метода дискретных ординат ..................................
6.3. Схема метода дискретных ординат .............................................
6.4. Метод дискретных ординат в плоской геометрии .....................
6.5. Метод дискретных ординат в криволинейной геометрии ........
6.6. Метод дискретных ординат в произвольной геометрии...........
6.7. Метод дискретных ординат применительно к многогрупповому приближению .......................................................................
7. Описание программы WIMS ................................................................
7.1. Общие сведения ............................................................................
7.2. Константное обеспечение.............................................................
7.3. Организация ввода-вывода информации. Структура файла
исходных данных ..........................................................................
7.3.1. Файл исходных данных программы WIMS-D/4..................
7.3.2. Файл исходных данных программы WIMS-D5...................
7.4. Запуск программы. Файлы результатов ......................................
7.5. Примеры файлов исходных данных ............................................
7.5.1. Расчет бесконечной решетки твэлов реактора
ВВЭР-1000 ..............................................................................
144
38
39
39
40
42
43
44
46
47
48
50
50
51
53
53
55
58
60
63
63
65
66
69
70
71
73
74
74
77
81
81
83
83
85
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.5.2. Расчет температурных и плотностных эффектов реактивности. Замещение материала. Расчет групповых
макроконстант........................................................................
7.5.3. Расчет полиячейки.................................................................
7.5.4. Расчет топливных каналов реактора РБМК-1000 ...............
7.5.5. Расчет решетки ТВС реактора ВВЭР-1000..........................
Заключение ....................................................................................................
Литература .....................................................................................................
Приложения ..................................................................................................
П1. Деление шкалы кинетической энергии нейтрона на энергетические группы в программе WIMS..............................................
П2. Идентификаторы нуклидов в программе WIMS-D/4 .................
П3. Основные операторы программы WIMS-D/4 ............................
П4. Нуклиды библиотеки констант программы WIMS-5B ..............
89
92
93
101
117
118
120
120
126
132
141
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Окунев Вячеслав Сергеевич
Лисицын Илья Сергеевич
Нейтронно-физический расчет решетки ядерного реактора
на основе газокинетической теории переноса
Редактор Г.А. Нилова
Корректор Р.В. Царева
Компьютерная верстка И.А. Марковой
Подписано в печать 16.03.2011. Формат 6084/16.
Усл. печ. л. 8,6. Тираж 100 экз. Изд. № 123. Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для заметок
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для заметок
148
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа