close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

29.Теплопроводность при стационарном режиме в многослойной плоской стенке

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
И.Б. Павлова
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
В МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ
Методические указания
к выполнению домашнего задания по курсу
«Термодинамика и теплопередача»
Под редакцией В.И. Хвесюка
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 536.7
ББК 22.314
П12
П12
Р е ц е н з е н т А.А. Ляпин
Павлова И.Б.
Теплопроводность при стационарном режиме в многослойной плоской стенке : метод. указания к выполнению домашнего задания по курсу «Термодинамика и теплопередача»
/ И.Б. Павлова ; под ред. В.И. Хвесюка. — М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2010. — 16 с. : ил.
Цель методических указаний — помочь студентам организовать
самостоятельную работу при выполнении домашнего задания. Указания содержат необходимые теоретические сведения, рекомендации к
порядку выполнения задания с примером, вопросы для самоконтроля
при подготовке к защите, список рекомендуемой литературы.
Для студентов всех специальностей, в учебные программы которых входит раздел «Теплопроводность».
УДК 536.7
ББК 22.314
Учебное издание
Павлова Ирина Борисовна
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
В МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ
Редактор С.А. Серебрякова
Корректор Г.С. Беляева
Компьютерная верстка С.А. Серебряковой
Подписано в печать 05.02.2010. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Изд. № 109. Заказ .
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ И УСЛОВИЯ ЗАДАНИЯ
Бесконечная трехслойная плоская стенка, в одном из слоев которой непрерывно распределены по объему внутренние источники
теплоты мощностью qV, Вт/м3, ориентирована относительно системы координат Oxt, как показано на рис. 1.
В данной задаче в качестве масштабов абсциссы и ординаты
приняты 1 м и 1 °С соответственно. В таблицах исходных данных
приведены следующие сведения: в табл. 1 — объемные мощности
тепловых источников qV ( x), Вт/м3, значения толщины слоев стенки δ1, δ 2 , δ3 , м, и значения соответствующих коэффициентов теплопроводности λ1 , λ 2 , λ3 , Вт/(м⋅К); в табл. 2 — характер граничных условий с необходимыми числовыми данными.
t
1
2
3
4
α1
α4
tж1
tж4
qст1
qст4
0
x
δ1
δ2
δ3
Рис. 1. Граничные условия для трехслойной стенки (см. табл. 2):
1 – 4 — номера поверхностей; α1, α4 — коэффициент теплоотдачи; tж1,
tж4 — температура окружающей среды; qст1, qст4 — плотность теплового
потока (цифры в индексах соответствуют номерам поверхностей)
3
4
4
0
0
0
0
0
1
( x + 1) 2
0
x +1
0
0
3, 6, 9
10, 13, 16
11, 14, 17
12, 15, 18
19, 22, 25
20, 23, 26
21, 24, 27
28, 31, 34
0
0
1
( x + 1) 2
x +1
0
0,03
0,008
0,02
0,03
2 x+1
0
0
0,02
0,03
0
x +1
0
2 x+1
0,008
0,03
1
( x + 1) 2
0
0,02
δ1
0,008
0
qv 3 ⋅10−6
0
x +1
0
2, 5, 8
0
Вт/м3
qv 2 ⋅ 10−6
2 x+1
qv1 ⋅10−6
1, 4, 7
Номера
вариантов
0,02
0,02
0,03
0,008
0,03
0,008
0,02
0,008
0,02
0,03
м
δ2
0,008
0,03
0,008
0,02
0,008
0,02
0,03
0,02
0,03
0,008
δ3
3
80
15
3
15
3
80
3
80
15
λ1
15
15
3
80
3
80
15
80
15
3
Вт/(м⋅К)
λ2
80
3
80
15
80
15
3
15
3
80
λ3
Таблица 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0
0
0
0
2 x+1
0
1
( x + 1) 2
0
x +1
0
0
37, 40, 43
38, 41, 44
39, 42, 45
46, 49, 52
47, 50, 53
48, 51, 54
0,008
0
2 x+1
1
( x + 1) 2
0
0,03
0
0,02
0,03
0,02
0,008
0,02
0,008
δ1
0
x +1
0
0
2 x+1
30, 33, 36
1
( x + 1) 2
qv 3 ⋅10−6
0
Вт/м3
qv 2 ⋅ 10−6
0
qv1 ⋅10−6
29, 32, 35
Номера
вариантов
0,03
0,02
0,008
0,02
0,008
0,03
0,008
0,03
м
δ2
0,02
0,008
0,03
0,008
0,03
0,02
0,03
0,02
δ3
80
3
15
3
15
80
15
80
λ1
3
15
80
15
80
3
80
3
Вт/(м⋅К)
λ2
15
80
3
80
3
15
3
15
λ3
5
Окончание табл. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5
6
6
1, 10, 19,
28, 37, 46
2, 11, 20,
29, 38, 47
3, 12, 21,
30, 39, 48
4, 13, 22,
31, 40, 49
5, 14, 23,
32, 41, 50
6, 15, 24,
33, 42, 51
7, 16, 25,
34, 43, 52
8, 17, 26,
35, 44, 53
9, 18, 27,
36, 45, 54
Номера
вариантов
—
—
—
130
—
—
—
5 ⋅ 103
—
5 ⋅ 104
—
—
—
500
600
—
—
—
—
—
—
100
1000
100
—
α1,
Вт/(м2⋅К)
—
qст1 ,
Вт/м2
300
°С
tст1 ,
80
20
20
—
80
—
—
—
—
°С
tж1 ,
—
20
—
—
—
180
—
—
100
°С
tст4 ,
—
—
5 ⋅ 103
120
—
—
100
—
5 ⋅ 103
—
—
—
130
—
5 ⋅ 104
—
—
α4 ,
Вт/(м2⋅К)
—
qст4 ,
Вт/м2
—
—
150
20
—
—
80
—
—
°С
tж4 ,
Таблица 2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Требуется: 1) для каждого слоя стенки найти уравнения стационарных температурных полей t = t ( x), °С, и зависимость плотности теплового потока от координаты q = q ( x), Вт/м2;
2) рассчитать и представить в виде таблиц значения температуры и плотности теплового потока при следующих значениях координаты х:
0;
δ
δ1
δ
; δ1; δ1 + 2 ; δ1 + δ 2 ; δ1 + δ 2 + 3 ; δ1 + δ 2 + δ3 ;
2
2
2
3) построить графики изменения температуры и изменения
плотности теплового потока по толщине трехслойной стенки.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Теплопроводностью называется такая форма передачи теплоты, которая обусловлена зависящими от температуры движениями
микроструктурных элементов тел. В газах этот процесс осуществляется путем диффузии молекул, в металлах он происходит вследствие движения свободных электронов и колебаний ионов кристаллической решетки, а в жидкостях и твердых диэлектриках —
вследствие действия упругих волн, возникающих при колебаниях
молекул и атомов около их равновесных положений.
При аналитическом изучении процессов переноса теплоты дискретное строение вещества не учитывается; вещество рассматривается как сплошная среда, непрерывно распределенная по занимаемому объему. Это позволяет представить температуру и другие
характеристики состояния среды в виде непрерывных функций
координат, а математическое описание процесса выполнять в бесконечно малых величинах, считая даже дифференциальные объемы рассматриваемого пространства большими по сравнению с
расстояниями между микрочастицами.
Сплошная среда называется однородной, если во всех ее точках
физические свойства одинаковы при одинаковых значениях температуры и давления. Если физические свойства не зависят от выбранного направления, то среда называется изотропной.
Передача теплоты в объеме твердого тела (неподвижная среда)
происходит только теплопроводностью. Необходимым и доста7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
точным условием передачи теплоты из одной области тела в другую является неодинаковость температур этих областей, т. е. наличие неоднородного температурного поля. Температурным полем
называется совокупность мгновенных значений температуры, непрерывно распределенной в пространстве, в котором происходит
изучаемый процесс. Если в каждый момент времени пространственное распределение температуры остается одним и тем же, то
температурное поле t = t ( x, y, z ) называется стационарным. Если
температурное поле с течением времени перестраивается, то оно
называется нестационарным: t = t ( x, y, z, τ) .
Скалярному температурному полю соответствует векторное
поле градиента температуры. Градиентом температуры называется вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной от температуры по направлению этой нормали, т. е.
Δt ∂t
.
= n0
Δn →0 Δn
∂n
grad t = lim
(1)
Здесь n0 − единичный вектор нормали к изотермической поверхности.
Количество теплоты, переданное за единицу времени через
единицу площади изотермической поверхности по нормали к ней в
сторону убывания температуры, называется плотностью теплового потока q, Вт/м2. Согласно закону Фурье, это количество теплоты пропорционально производной от температуры по нормали.
В векторной форме записи закон Фурье имеет вид
q = −λ grad t.
(2)
Здесь q — вектор плотности теплового потока; λ — коэффициент
пропорциональности, Вт/(м⋅К), называемый коэффициентом теплопроводности. Коэффициент теплопроводности является физической характеристикой вещества.
Закон Фурье можно записать через модули векторов:
q = −λ
8
∂t
.
∂n
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Количество теплоты Q = ∫∫ qdF , где F — площадь, м2, взятая
F
на изотермической поверхности, называется тепловым потоком,
Вт. Здесь q — непрерывная функция точки в области F.
Конфигурация температурного поля определяется видом дифференциального уравнения теплопроводности и условиями единственности его решения. Вывод дифференциального уравнения
теплопроводности основан на первом законе термодинамики. При
условии, что работа не производится, уравнение первого закона
имеет вид
ΔU = QT + QV ,
(4)
где ΔU — секундное изменение внутренней энергии вещества,
содержащегося в произвольном объеме V, выделенном в теле с неоднородным распределением температуры; QT — секундное количество теплоты, проходящее вследствие теплопроводности через замкнутую поверхность, ограничивающую объем V, в котором
определен вектор q ; QV — секундное количество теплоты, выделяющееся (или поглощающееся) в данном объеме за счет действия
внутренних источников (или стоков) теплоты.
Изменение внутренней энергии равно объемному интегралу
∂t
ΔU = ∫∫∫ cρ dV . Количество теплоты QV = ∫∫∫ qV dV , где qV —
∂τ
V
V
объемная мощность внутренних источников или стоков теплоты,
Вт/м3; в различных случаях qV может быть функцией как координат, так и времени.
Величина QT равна полному потоку векторного поля q через
замкнутую поверхность. В соответствии с этим dQT = ∫∫ q ⋅ dS =
S
= − ∫∫ qn dS (рис. 2, на котором видно, что количество теплоты,
S
вносимое в объем δV через поверхность S, отрицательно, а выно
симое — положительно). Здесь qn — проекция вектора q на
внешнюю нормаль к поверхности теплообмена S; qn = q cos( n, q ) .
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
dS
q
q
δV
S
n
L
Рис. 2. Линия тока L и вектор q плотности теплового
потока:
dS — элемент поверхности, ограничивающей объем δV;
n — вектор внешней нормали к поверхности S
Воспользуемся определением: lim
∫∫ qn dS
S
= div q (дивиргенция
δV
вектора q в некоторой точке бесконечно малого объема, окружаемо
го поверхностью S). Заменив δV на dV, запишем: ∫∫ qn dS = div qdV ,
δV → 0
S
следовательно, dQT = − div qdV , поэтому с учетом (2) получим
QT = − ∫∫∫ div( −λ grad t ) dV . При произвольном объеме V уравнение
V
(4) приводится к виду
⎡
∂t
⎤
∫∫∫ ⎢⎣cρ ∂τ − div(λ grad t ) − qV ⎥⎦ dV = 0
и мы по-
V
лучаем дифференциальное уравнение распространения теплоты теплопроводностью в однородной и изотропной среде:
cρ
∂t
= div(λ grad t ) + qV .
∂τ
(5)
Здесь с — удельная теплоемкость вещества, Дж/(кг⋅К); ρ — плотность вещества, кг/м3; λ — коэффициент теплопроводности вещества, Вт/(м⋅К).
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если теплофизические характеристики вещества не зависят от
температуры, то уравнение (5) принимает вид
cρ
∂t
= λdivgrad t + qV
∂τ
или
∂t
q
= a Δ 2t + V .
∂τ
cρ
λ
— коэффициент температуропроводности, м2/с; он
cρ
∂t
характеризует скорость
выравнивания температуры в неравно∂τ
мерно нагретом теле; Δ 2 = div grad — дифференциальный оператор
Лапласа. В прямоугольной системе координат оператор Лапласа
∂2
∂2
∂2
имеет вид Δ 2 = 2 + 2 + 2 ; если при этом рассматривается
∂x
∂y
∂z
стационарный процесс (температура не зависит от времени), то
дифференциальное уравнение теплопроводности можно переписать так:
Здесь a =
⎛ ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t ⎞ q
a ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ + V = 0 или
∂y
∂z ⎠ cρ
⎝ ∂x
∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t qV
+
+
+
= 0.
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 λ
Условия единственности решения дифференциального уравнения стационарной теплопроводности состоят из геометрических,
физических и граничных условий.
Геометрическими условиями задаются форма и размеры тела,
физическими — теплофизические характеристики вещества.
Граничными условиями первого рода задается распределение
температуры по поверхности тела: tст = f ( x, y, z ), где x, y , z —
текущие координаты на поверхности тела. Если температура во
всех точках поверхности тела одинакова, то граничное условие
первого рода упрощается: tст = const.
Граничными условиями второго рода задается распределение
плотности теплового потока по поверхности тела: qст = ϕ ( x, y , z ) .
Если через каждую точку поверхности проходит тепловой поток с
одинаковой плотностью, то qст = const.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Граничными условиями третьего рода задаются температура
окружающей среды tж и условие теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой:
qст = α (tст − tж ).
(6)
Уравнение (6) выражает закон теплоотдачи Ньютона — Рихмана.
Здесь α — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2⋅К), в данном случае
его значение должно быть известно.
Количество теплоты, которое отводится от поверхности тела в
окружающую среду вследствие теплоотдачи, равно тому количеству теплоты, которое подводится к этой поверхности из внутренних объемов тела вследствие теплопроводности. Поскольку в данной задаче каждая поверхность является изотермической, то
(7)
qст = −λ grad t ст .
Сопоставив уравнения (6) и (7), получим для данной задачи с учетом уравнения (3):
α 4 (tст4 − tж4 ) = −λ3
∂t
∂x
x =δ1 +δ 2 +δ3
и −λ1
∂t
∂x
x=0
= α1 (tж1 − tст1 ) .
Граничные условия четвертого рода выражают равенство между тепловыми потоками, проходящими через единицу площади
∂t
∂t
= −λ 2
поверхности соприкосновения тел: −λ1
. В случае
∂n ст1
∂n ст 2
идеального термического контакта оба тела имеют на поверхности
соприкосновения одинаковую температуру, т. е. tст1 ( x, y , z,) =
= tст2 ( x, y, z,).
Рекомендуется выполнять задание в следующем порядке:
1) для каждого слоя стенки найти общее решение одномерного
дифференциального уравнения стационарной теплопроводности;
2) составить систему из шести алгебраических уравнений, выражающих граничные условия задачи: условия на внешних границах трехслойной стенки и на границах между слоями в случае идеального термического контакта;
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) после подстановки в систему уравнений исходных данных,
содержащихся в табл. 1 и 2, решить систему относительно констант интегрирования, входящих в общие решения дифференциального уравнения;
4) используя полученные константы интегрирования, составить уравнения температурных полей слоев стенки; проверить,
имеется ли внутри стенки максимум температуры; при наличии
максимума определить его положение (xmax) и значение максимальной температуры (tmax);
5) рассчитать значения температуры и плотности теплового
потока для указанных значений координаты x и построить требуемые графики.
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Выполнить задание при следующих исходных данных: qV 1 = 0 ;
qV 2 = 107 ⋅ ( x + 1) Вт/м3; qV 3 = 0; δ1 = 0,02 м; δ2 = 0,03 м; δ3 = 0,05 м;
λ1 = 80 Вт/(м⋅К); λ2 = 15 Вт/(м⋅К); λ3 = 3 Вт/(м⋅К).
Граничные условия первого рода: t x = 0 = tст1 = 600 °С; t x =δ1 +δ2 +δ3 =
= tст 4 = 200 °С.
Решение. Дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности для одномерной задачи при постоянных теплофизиq ( x)
d 2t
ческих свойствах имеет вид
; решение этого урав=− V
2
λ
dx
нения находят непосредственным интегрированием. Общие интегралы этого уравнения: для первого слоя стенки t = C1 x + C2 ; для
второго
слоя
t=−
107 ( x + 1)3
+ C3 x + C4 ;
6
λ2
для
третьего
слоя
t = C5 x + C6 .
П р и м е ч а н и е. В интеграле дифференциального уравнения
107 ( x + 1)3
для слоя с внутренним тепловыделением выражение −
6
λ2
является одним из частных решений и поэтому имеет размерность
температуры.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заданные граничные условия и граничные условия четвертого
рода приводят к следующим уравнениям:
tст1 = С2 ; tст 4 = С5 (δ1 + δ 2 + δ3 ) + С6 ;
⎡ 107 (δ1 + 1) 2
⎤
−λ1C1 = −λ2 ⎢ −
+ C3 ⎥ ;
2
⎣ λ2
⎦
⎡ 107 (δ1 + δ 2 + 1) 2
⎤
−λ2 ⎢ −
+ C3 ⎥ = −λ3C5 ;
2
⎣ λ2
⎦
C1δ1 + C2 = −
−
107 (δ1 + 1)3
+ C3δ1 + C4 ;
λ2
6
107 (δ1 + δ 2 + 1)3
+ C3 (δ1 + δ 2 ) + C4 = C5 (δ1 + δ 2 ) + C6 .
λ2
6
После подстановки исходных данных получим систему линейных уравнений:
C2 = 600;
0,1 C5 + C6 = 200;
−80 C1 + 15 C3 = 5202000;
−15 C3 + 3 C5 = −5512500;
0,02 C1 + C2 − 0,02 C3 − C4 = −117912;
0,05 C3 + C4 − 0,05 C5 − C6 = 128625.
Матрица данной системы имеет вид
⎛ 0
⎜
⎜ 0
⎜ −80
⎜
⎜ 0
⎜ 0,02
⎜⎜
⎝ 0
14
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
600
⎞
⎟
0
0
0,1
1
200 ⎟
15
0
0
0 5 202000 ⎟
⎟.
0
3
0 −5512500 ⎟
−15
−0,02 −1
0
0 −117 912 ⎟
⎟
0, 05 1 −0,05 −1 128625 ⎟⎠
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение системы: C1 = 3 359,471; C2 = 600; C3 = 364 717,2; C4 =
= 111 284,8; C5 = –13 914,1; C6 = 1 591,41.
Составим уравнения температурных полей: для первого слоя
t = 3359,5x + 600; для второго слоя t = −111111( x + 1)3 + 364717,2 x +
+ 111284,8; для третьего слоя t = −13914 x + 1591, 4.
Исследуем температурное поле второго слоя на максимум:
dt
107 ( x + 1) 2
=−
+ 364717, 2 = 0; xmax = 0,046;
dx
15
2
tmax = −111111 ⋅1,0463 + 364 717, 2 ⋅ 0,046 + 111284,8 ≅ 901,4 °С.
Плотности теплового потока определим в соответствии с уравнением (3): для первого слоя q = −λ1C1 ; для второго слоя
⎡ 107 ( x + 1) 2
⎤
q = −λ 2 ⎢−
+ C3 ⎥ ; для третьего слоя q = −λ3C5 .
2
⎣ λ2
⎦
Зависимость температуры и плотности теплового потока от координаты x представлена в табл. 3. По данным этой таблицы следует построить графики t = t ( x ) и q = q( x ).
Таблица 3
x, м
t, °C
0
0,02
0,035
0,04
600
667,2
858,4
888,7
q, Вт/м2
–268 760
–268 760
–114 333
–12 775
x, м
t, °C
q, Вт/м2
0,046
0,05
0,075
0,1
901,4
894,6
547
200
0
41 742
41 742
41 742
При подготовке к защите задания следует использовать конспект лекций, рекомендованную литературу и данные методические указания.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. При каком условии сплошная среда называется однородной?
2. При каком условии среда называется изотропной?
3. Как называется процесс распространения теплоты в твердом теле?
4. Что называется температурным полем тела?
5. Что называется изотермической поверхностью?
6. Что такое градиент температуры? Как направлен вектор градиента?
Назовите единицу измерения этой величины.
7. Что такое тепловой поток и плотность теплового потока? Назовите
единицы измерения этих величин.
8. Напишите уравнение Фурье и объясните наличие минуса в этом
уравнении.
9. Что такое коэффициент теплопроводности? Назовите единицу
измерения этой величины. Каков порядок значений коэффициентов теплопроводности металлов, теплоизоляционных материалов, газов и
жидкостей?
10. Выведите дифференциальное уравнение теплопроводности.
11. Напишите дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности для трехмерной задачи: а) в прямоугольных координатах;
б) в цилиндрических координатах; в) в сферических координатах.
12. Что такое коэффициент температуропроводности? В чем заключается его физический смысл? Назовите единицу измерения этой величины.
13. Сформулируйте условия единственности решения дифференциального уравнения теплопроводности в случаях: а) нестационарного;
б) стационарного процессов.
14. Какая величина называется коэффициентом теплоотдачи?
ЛИТЕРАТУРА
Теория тепломассообмена / Под ред. А.И. Леонтьева. М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 683 с. (С. 5–19).
Задачник по технической термодинамике и теории тепломассообмена /
Под ред. В.И. Крутова, Г.Б. Петражицкого. М.: Высш. шк., 1986. 383 с.
(С. 318–320).
16
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа