close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

27.Математическое моделирование физических процессов в дуге и сварочной ванне

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Московский государственный технический университет
им. Н.Э. Баумана
А.М. Рыбачук, Г.Г. Чернышов
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ДУГЕ
И СВАРОЧНОЙ ВАННЕ
Утверждено редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2007
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 621.791(075.8)
ББК 34.641
Р93
Рецензенты: Э.А. Гладков, Б.В. Копаев
Рыбачук А.М., Чернышов Г.Г.
Математическое моделирование физических процессов
Р93 в дуге и сварочной ванне: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2007. – 74 с.: ил.
ISBN 978-5-7038-2941-7
В учебном пособии дано математическое описание некоторых процессов, протекающих в дуге и сварочной ванне. Показано влияние параметров
режима сварки на тепловые и силовые характеристики дуги и на электрическое поле в изделии и сварочной ванне.
Для студентов старших курсов, обучающихся по специальности «Технология и оборудование сварочного производства».
Ил. 23. Табл. 2. Библиогр. 36 назв.
УДК 621.791(075.8)
ББК 34.641
Учебное пособие подготовлено
в рамках приоритетного национального проекта
«Образование»
ISBN 978-5-7038-2941-7
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Для конкретных технологических сварочных процессов, а также при разработке современного сварочного оборудования, автоматизации сварочных процессов, исследовании формирования
сварного соединения, при расчетной оценке напряженнодеформированного состояния сварных соединений, оценке свариваемости при использовании новых материалов и определении
норм допустимости дефектов в различных сварных конструкциях
при разных условиях нагружения требуется обоснованно находить
оптимальные решения.
Эти решения можно получить как экспериментальным, так и
расчетным методами.
Использование расчетных методов дает возможность сократить
сроки проектирования, сэкономить свариваемые и вспомогательные
материалы. Расчетные методы базируются на математическом моделировании сварочных процессов на ЭВМ. Разработка математических моделей, адекватно описывающих процессы при сварке, является одной из основных задач математического моделирования.
Дуговые способы сварки характеризуются одновременным
протеканием электрических, тепловых, диффузионных, газодинамических, магнитогидродинамических и деформационных взаимосвязанных процессов. Процессы при сварке протекают в неоднородной среде, характеризуются нелинейностью явлений и часто
нестационарны. Поэтому математическое описание явлений при
сварке получается достаточно сложным для решения.
Бурный рост достижений в компьютерной технике и микроэлектронике позволяет быстро решать сложные задачи моделирования процессов при сварке и использовать результаты решения в
сварочных технологиях для получения нужных качественных показателей сварного соединения.
Дуговая сварка наиболее широко применяется в производстве.
Данное пособие, содержащее математическое описание некоторых
процессов, протекающих в дуге и сварочной ванне, поможет использовать имеющиеся и разрабатывать новые математические
модели.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. МОДЕЛИРОВАНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Моделирование означает осуществление каким-либо способом
отображения или воспроизведения действительности для изучения
имеющихся в ней объективных закономерностей.
Моделирование выполняют на различных моделях.
Под моделью некоторого объекта понимают другой объект (реальный, знаковый или воображаемый), отличный от исходного,
который обладает существенными для целей моделирования свойствами и в рамках этих целей полностью заменяет исходный объект. Модель способна в том или ином отношении замещать оригинал при исследовании процессов, обучении или для получения
нужных практических результатов. В связи с этим можно отметить
следующие виды моделирования: наглядное; символическое (знаковое); физическое; математическое.
К наглядному моделированию можно отнести создание моделей атомов или молекул в виде объемных конструкций, макетов
зданий и объектов, являющихся геометрическими копиями изучаемых или проектируемых объектов.
Символическое (знаковое) моделирование – это упорядоченная
запись хода химических реакций условными знаками в виде формул, разнообразные знаковые построения и записи различного рода состояния систем и происходящих в них процессов, основанные
на топологии и теории графов.
При физическом моделировании исследования проводят на установках, сохраняющих полностью или в основном природу явлений. По параметрам модели получают параметры оригинала путем
пересчета через масштабные коэффициенты.
Математическое моделирование представляет собой метод исследования объектов, явлений и процессов реального мира с помощью их приближенных описаний на языке математики, т. е. математических моделей. Под математическим моделированием в
технике понимают адекватную замену исследуемого технического
устройства или процесса соответствующей математической моделью и последующее изучение модели методами вычислительной
математики с привлечением средств современной вычислительной
техники [1, 2].
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование осуществляют следующим
образом. Накапливают информацию о сути физических процессов
и явлений, устанавливают внутренние связи и законы, которые
присущи данным физическим процессам и явлениям, изучаемым
объектам. Затем составляют феноменологическую модель, которая
представляет собой логическую цепь фундаментальных закономерностей, качественно объясняющих преобразование причин в
следствие в данном объекте. Феноменологическую модель изображают в виде графов или кибернетической схемы, которые отображают характер преобразования одного параметра объекта в
другой [3]. После этого составляют математическую модель в виде
записи на языке математики законов природы, управляющих протеканием исследуемого процесса или описывающих функционирование изучаемого объекта. Математическая модель – существенная и очень важная часть естественных и технических наук.
Созданные математические модели закрепляют уровень знаний
исследуемого процесса или явления.
Математическая модель включает основные уравнения, описывающие процессы в исследуемом явлении, а также уравнения состояния, граничные и начальные условия.
2. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ СВАРОЧНАЯ ДУГА.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Электрическая дуга – это физическое явление прохождения
электрического тока в газе. Сварочная дуга позволяет ввести в под5
2
лежащий обработке материал удельную мощность до 10 Вт/см .
Такая концентрация энергии обеспечивает нагрев и расплавление
металла, сварку, резку и другие виды локальной тепловой обработки изделий.
Явление – это совокупность процессов, т. е. изменений, происходящих в системе (среде). В электрической дуге, разогретой до
температуры в десятки тысяч градусов, движется плазма со скоростью сотни метров в секунду в магнитном поле, созданном сварочным током, протекающим в дуге. Электрическая дуга – это совокупность электрических, тепловых, электрогазодинамических,
магнитогидродинамических и других процессов.
Изменения данного состояния процесса во времени и пространстве характеризуются некоторыми показателями, которые в
литературе называют по-разному: текущими переменными, пере5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
менными параметрами, обобщенными координатами, параметрами
процесса, параметрами режима.
К параметрам процесса (режима) относят значения мощностей,
токов, напряжений, частоты, сил, ускорений, давлений, скорости
сварки, скорости движения жидкого металла в ванне и потоков
плазмы в дуге и др.
Процессы происходят в системе (среде), состоящей из элементов, которые характеризуются своими параметрами, называемыми
параметрами системы. Это коэффициенты электропроводности,
теплопроводности, трения и вязкости, значения плотности и т. д.
Системы, в которых параметры среды неизменны в течение
всего изучаемого процесса или изменяются независимо от его протекания, называются линейными системами, или системами с переменными параметрами. Системы, у которых хотя бы один параметр изменяется в функции одного или нескольких параметров
процесса, называются нелинейными.
При математическом описании процессов выбирают систему
координат для системы уравнений, связывающих между собой параметры процесса и системы. Форма уравнений различна в зависимости от поставленной задачи и выбранной системы координат.
Таким образом, явление рассматривается как комплекс процессов, которые могут быть описаны уравнениями, связывающими
параметры процессов и системы и записанными в выбранной системе координат.
Процессы, происходящие в дуге, описываются системой дифференциальных уравнений: уравнениями энергии, движения, неразрывности (сплошности) и электродинамики. Для анализа изменений, происходящих в системе, и расчета параметров процесса
уравнения решают совместно.
2.1. Уравнение энергии
В основе этого уравнения лежит закон сохранения энергии.
Уравнение представляет баланс энергии в неподвижном элементе
объема, через который течет плазма, в единицу времени:
σE 2 − W (T ) − ρc pVgradT + divλqradT = 0,
(2.1)
где σ – удельная электропроводность; E – напряженность электрического поля; T – температура; ρ – плотность плазмы; с р –
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
изобарная теплоемкость; V – скорость движения плазмы; λ –
удельная теплоемкость.
В формуле (2.1) E , V , T – параметры процесса, а σ, ρ, c p , λ –
параметры среды (системы).
Энергия σE 2 выделяется в единице объема плазмы в единицу
времени при прохождении сварочного тока.
Плазма дуги обладает высоким электрическим сопротивлением. Удельное электрическое сопротивление плазмы приблизительно на два порядка превышает удельное электрическое сопротивление металла. По закону Джоуля – Ленца энергия, выделяемая в
единице объема, равна ρэ j 2 , где ρэ , j – удельное электрическое
сопротивление и плотность тока соответственно. Учитывая, что
j = −σgradU и Е = −gradU , где U – потенциал электрического
поля, получаем
ρэ j 2 = σE 2 .
Ввиду равнозначности записи в уравнение энергии (2.1) можно
вписать первый член в любом виде.
Теплота, выделяемая в элементарном объеме, распространяется
излучением, конвекцией и теплопроводностью.
Энергия W (T ) теряется элементом объема излучением.
В зависимости от способа сварки энергия излучения дуги может
теряться в окружающем пространстве бесполезно либо расплавлять
сварочный флюс, нагревать расплавленный металл при сварке заглубленной дугой или использоваться непосредственно для расплавления металла и сварки при сварке световой дугой. Доля энергии, передаваемой излучением от дуги, зависит от способа сварки и
режима и достигает 20 % от общей мощности дуги.
Энергия излучения дуги часто определяется следующим образом:
0 ≤ S < S1;
0
при
⎧
W (T ) = ⎨
S1 ≤ S ≤ S0 .
⎩ A( S − S1 ) при
Здесь A – коэффициент, отражающий зависимость энергии излучения от температуры [5]; S – вспомогательная тепловая функция:
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
T
S = ∫ λdT ;
0
S1 – значение тепловой функции, соответствующее температуре
Т = 6500 К, для аргоновой плазмы S1 = 5 Вт/см [4, 5]; S0 – значение тепловой функции на оси дуги.
Такая аппроксимация предполагает равенство нулю энергии
излучения наружных слоев плазмы, нагретых до температур ниже
6500 К. Учитывается лишь излучение сильно нагретых внутренних
слоев плазмы.
Величина ρс рVgradT отражает количество теплоты, которое
передается из элемента или вносится за счет конвекции, т. е. вместе с массой движущейся плазмы. Если движение плазмы идет
вдоль изотермы, то плазма при перемещении не вносит теплоту в
объем, и конвективный перенос равен нулю.
Величина divλgradT отражает молекулярный перенос теплоты,
обусловленный наличием градиента температуры.
3
Размерность каждого члена уравнения (2.1) равна Дж/м ⋅ с.
Физический смысл уравнения (2.1) соответствует определению
дуги, данному Н.Г. Славяновым: электрическая дуга представляет
собой физическое явление превращения электрической энергии в
световую и тепловую.
Уравнение (2.1) может содержать и другие члены, если необходимо учесть и другие физические эффекты.
Уравнение энергии можно записать и в такой форме:
σE 2 − W (T ) − ρc pV ∇T + ∇(λ∇T ) = 0,
(2.2)
где ∇ – оператор набла (дифференциальный оператор первого
рода, или оператор Гамильтона):
∇=
∂
∂
∂
i+
j + k;
∂x ∂y
∂z
∇T = gradT – градиент температуры.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Градиент – это вектор, указывающий направление и величину
наибыстрейшего возрастания поля в данной точке на единицу
длины.
Оператор набла является фиктивным вектором и математические операции с ним выполняются как с вектором. Если оператор
набла умножить на скаляр Т, то получим
∇T =
∂T
∂T
∂T
i +
j+
k = gradT ,
∂x
∂y
∂z
поэтому
λ∇Т = λ gradT .
По закону Фурье удельный тепловой поток
q = −λgradT .
Если умножить вектор набла скалярно на вектор, то получим
дивергенцию вектора
∇q =
∂qx ∂q y ∂qz
+
+
= divq .
∂x
∂y
∂z
Поэтому записи последнего члена в уравнениях (2.1) и (2.2) равноценны:
divλgradT = ∇ (λ∇T ).
Дивергенция (расходимость) характеризует плотность (обильность) источника векторных линий поля. Дивергенция – величина
скалярная, принимающая в каждой точке свое значение.
При умножении вектора набла векторно на вектор получим ротор вектора:
∇ × А = rot A.
Уравнение энергии может содержать и другие члены, если будет необходимо учитывать и другие физические эффекты.
2.2. Уравнение движения
Для приближенного описания плазмы используют модели, построенные в предположении, что плазма является сплошной средой. В такой модели плазма принимается в качестве проводящей
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жидкости. При таком рассмотрении свойства плазмы не отличаются от свойств, например, жидкого металла. Наука, изучающая
движение проводящих жидкостей или газов посредством совместного решения уравнений гидродинамики и электродинамики, называется магнитной гидродинамикой. Модель проводящей жидкости описывает свойства плазмы в приближении магнитной гидродинамики.
Уравнение движения плазмы в приближении магнитной гидродинамики имеет вид
ρ
dV
= ρg − gradp + ( j × B ),
dt
(2.3)
dV
– ускорение рассматриваемого элемента плазмы, это усdt
корение есть производная, взятая вдоль траектории данного элемента плазмы; ρg – силы гравитации, действующие на элемент на
единице объема; grad p – силы давления, действующие на элемент
где
на единице объема; j × B – электромагнитные силы, действующие
на единицу объема.
Уравнение движения в форме (2.3) устанавливает, что элемент
объема, перемещающийся с жидкостью, ускоряется потому, что на
него действуют силы. Это уравнение подтверждает второй закон
Ньютона.
Такое рассмотрение движения сплошной среды, когда следят
за траекторией выбранного элемента вещества (субстанции), называется представлением Лагранжа.
Скорость движения элемента плазмы при нестационарном движении является функцией координат и времени:
V = f ( x, y , z , t ). Поэтому
dV ∂V dx ∂V dy ∂V dz ∂V
=
+
+
+
.
dt
∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t
Так как
dx
dy
dz
= Vx ,
= Vy ,
= Vz ,
dt
dt
dt
dV
∂V
∂V
∂V ∂V
= Vx
+ Vy
+ Vz
+
.
dt
∂x
∂y
∂z ∂t
10
(2.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При перемещении элемента из одной точки траектории в другую происходит ускорение (замедление) его. Это ускорение зависит от скорости перемещения элемента и от разницы в значениях
скорости в этих точках. Ускорение, получаемое только за счет перехода элемента вдоль траектории, называется переносным (конвективным). Оно определяется суммой первых трех членов в правой части уравнения (2.4).
Последнее слагаемое уравнения (2.4) выражает местное (локальное) ускорение, связанное с нестационарностью процесса. Оно
описывает изменение скорости движения в выбранной точке пространства.
Уравнение (2.4) отражает ускорение движущихся частиц (элементов) в нестационарной дуге при сварке пульсирующей дугой,
импульсной дугой, переменным током, при изменении тока в начале процесса сварки и в конце при заварке кратера. При сварке
плавящимся электродом из-за периодического переноса капель
расплавленного электродного металла дуга тоже нестационарна.
При описании движения потоков плазмы в стационарной дуге
постоянного тока последний член правой части уравнения (2.4)
будет равен нулю.
При использовании скалярного дифференциального оператора
Vx
∂
∂
∂
+ Vy
+ Vz
= V∇
∂x
∂y
∂z
уравнение (2.4) запишется в виде
dV
∂V
= (V ∇)V +
,
∂t
dt
d
– субстанциональная производная, или производная Лаdt
∂
гранжа;
– производная Эйлера. Связь между ними выражает
∂t
отношение
где
d
∂
= (V ∇) + .
∂t
dt
При использовании скалярного дифференциального оператора
уравнение движения (2.3) будет выглядеть так:
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(V ∇)V +
1
1
∂V
= g − ∇p + ( j × B ).
∂t
ρ
ρ
(2.5)
Уравнения (2.3) и (2.5) называют также уравнениями движения
идеальной (невязкой) жидкости, или уравнениями Эйлера.
При учете сил внутреннего трения используют уравнение движения вязкой жидкости (уравнение Навье – Стокса). Для несжимаемой жидкости уравнение записывается в виде
dV
1
1
= g − ∇p + ( j × B ) + νΔV ,
dt
ρ
ρ
(2.6)
где ν – кинематическая вязкость жидкости;
Δ = ∇2 =
∂2
∂x 2
+
∂2
∂y 2
+
∂2
∂z 2
– дифференциальный оператор второго рода, или оператор Лапласа.
2.3. Уравнение неразрывности
Уравнение неразрывности (сплошности) записывается в различном виде в зависимости от характера движения среды. Для каждого выбранного в математической модели случая движения выведем уравнение, выражающее закон сохранения вещества.
Рассмотрим некоторый объем Ω пространства, ограниченный
поверхностью σ, неподвижный относительно выбранной системы
координат, через который движется масса (газ, плазма, жидкость).
При этом по закону сохранения массы для любого бесконечно малого интервала времени изменение массы, содержащейся в объеме
Ω, равно массе, перенесенной через поверхность σ в течение этого интервала времени. Масса, заключенная в этом объеме, есть
∫ ρd Ω. Через элемент d σ поверхности, ограничивающей этот
Ω
объем, в единицу времени протекает количество ρVd σ массы.
Вектор d σ по абсолютной величине равен площади элемента
поверхности и направлен по внешней нормали к ней. Тогда выра12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жение ρVd σ положительно, если масса вытекает из объема, и отрицательно, если масса втекает в него.
Полное количество массы, вытекающей в единицу времени из
объема Ω, равно v∫ ρVd σ.
σ
С другой стороны, уменьшение количества массы в объеме определяется выражением
−
∂
ρd Ω.
∂t ∫
Ω
Приравняв количество вытекающей массы из объема к убыли
массы, получаем
∂
vσ∫ ρVd σ = − ∂t ∫ ρd Ω .
Ω
Интеграл по поверхности преобразуем в интеграл от дивергенции вектора ρV по объему, используя теорему Остроградского –
Гаусса:
v∫ ρV d σ = ∫ divρV d Ω .
σ
Ω
Подставив правую часть этого уравнения в предыдущее выражение, получим уравнение неразрывности в интегральной форме
∂ρ
∫ divρV d Ω = − ∫ ∂t d Ω,
Ω
Ω
или
⎛
∂ρ ⎞
∫ ⎜⎝ divρV + ∂t ⎟⎠ d Ω = 0,
Ω
откуда
∂ρ
+ divρV = 0,
∂t
или
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∂ρ
.
(2.7)
∂t
Это уравнение неразрывности для стационарного и нестационарного процессов.
Раскроем выражение divρV :
divρV = −
divρV =
∂
∂
∂
(ρvx ) + (ρv y ) + (ρvz ) =
∂x
∂y
∂z
∂v y ∂vz ⎞
⎛ ∂v
∂ρ
∂ρ
∂ρ
= ρ⎜ x +
+
+ vy
+ vz
=
⎟ + vx
∂y
∂z ⎠
∂x
∂y
∂z
⎝ ∂x
= ρdivV + V gradρ.
(2.7а)
Вектор ρV называют плотностью потока массы, или “массовой
скоростью”. Направление этого вектора совпадает с направлением
движения жидкости, а абсолютная величина определяет количество жидкости, которая протекает в единицу времени через единицу
площади, расположенной перпендикулярно к скорости.
С учетом (2.7а) уравнение непрерывности можно записать так:
∂ρ
+ ρdivV + V gradρ = 0.
∂t
(2.8)
Для стационарного течения внутри каждого элемента объема
⎛ ∂ρ
⎞
= 0 ⎟ , поэтому
масса газа с течением времени не меняется ⎜
⎝ ∂t
⎠
уравнение непрерывности можно записать так:
ρdivV + V gradρ = 0,
(2.9)
1
divV = − V gradρ .
ρ
(2.10)
или
Для несжимаемой жидкости при стационарном течении в каждой точке ρ = const, поэтому gradρ = 0. В этом случае уравнение
неразрывности принимает вид
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
divV = 0.
(2.11)
Для сжимаемой жидкости в стационарном потоке плотность в
∂ρ
= 0, но зависит от
каждой точке не зависит от времени, т. е.
∂t
координат: ρ = ρ ( x, y, z ) .
При рассмотрении индивидуальной движущейся частицы
плотность данной частицы является функцией времени:
ρ = ρ [ x(t ), y (t ), z (t ) ] = ρ(t ),
d ρ ∂ρ dx ∂ρ dy ∂ρ dz
=
+
+
= V gradρ,
dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt
или
dρ
.
dt
Подставив правую часть этого уравнения в (2.10), получим уравнение неразрывности для данного случая
V gradρ =
divV = −
1 dρ
.
ρ dt
(2.12)
По знаку дивергенции можно определить, что происходит с
жидкостью при движении. Если divV < 0, жидкость сжимается.
Если divV > 0, жидкость расширяется.
2.4. Уравнения электродинамики
Электромагнитное поле определяется полем четырех векторных величин: напряженностью электрического Е и магнитного
Н полей и индукцией электрического D и магнитного B полей.
Значения индукции связаны с соответствующими значениями напряженности соотношениями D = εE и B = μH , где ε и μ – диэлектрическая и магнитная проницаемость среды.
Связь между электрическим током и напряженностью магнитного поля устанавливается законом полного тока
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
v∫ Hdl
= I.
Он утверждает, что линейный интеграл напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру равен полному току, проходящему сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.
В дифференциальной форме закон полного тока имеет вид
rot H =
∂D
+ j.
∂t
(2.13)
Это уравнение электромагнитного поля носит название первого
уравнения Максвелла. Оно определяет магнитное поле, возникающее при изменении электрического поля и при движении заряженных частиц.
Второе уравнение Максвелла:
e = v∫ Edl = −
dФ
.
dt
Оно выражает закон электромагнитной индукции: электродвижущая сила электромагнитной индукции в контуре численно равна и
противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока
Φ сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.
В дифференциальной форме второе уравнение Максвелла имеет вид
rot E = −
∂B
.
∂t
(2.14)
Сущность явления электромагнитной индукции заключается в
том, что при всяком изменении магнитного поля во времени в том
же пространстве возникает связанное с ним электрическое поле.
Его источниками являются также заряженные частицы и тела.
Связь электрического поля, окружающего эти тела и частицы, с их
электрическим зарядом определяется постулатом Максвелла
v∫s DdS = q,
где q – свободный заряд.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поток вектора электрического смещения сквозь любую замкнутую поверхность в любой среде равен свободному заряду, заключенному в объеме, ограниченном этой поверхностью.
В дифференциальной форме постулат Максвелла имеет вид
divD = ρ,
(2.15)
где ρ – плотность электрического заряда.
Линии вектора магнитной индукции всюду непрерывны, что
выражается соотношением
v∫s BdS = 0.
Магнитный поток сквозь любую замкнутую поверхность равен
нулю. Дифференциальной формой математической формулировки
этого важного принципа является выражение
div B = 0,
(2.16)
которое справедливо для всех точек любого магнитного поля.
Уравнения (2.13) – (2.16) называют фундаментальными уравнениями электродинамики, или четырьмя уравнениями Максвелла.
Кроме них в электродинамике существенное значение имеют
закон сохранения заряда (уравнение неразрывности, или сплошности) и обобщенный закон Ома.
Закон сохранения заряда выводится из первого уравнения Максвелла в дифференциальной форме (2.13):
divrot H =
∂
divD + div j = 0.
∂t
Подставив в это уравнение divD из уравнения (2.15), получим
закон сохранения заряда в виде
∂ρ
+ div j = 0.
∂t
Так как жидкость и газ являются хорошими проводниками, можно
считать, что заряды в них отсутствуют (ρ = 0). Тогда уравнение
будет выглядеть так:
div j = 0.
(2.17)
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обобщенный закон Ома выражает зависимость плотности тока
не только от электрической проводимости среды и напряженности
электрического поля, но и от других параметров поля, определяющих свойства и движение рассматриваемой среды. Таким образом, обобщенный закон Ома можно представить функциональной зависимостью
j = ϕ(σ, μ, ρ, E , H , v...).
В магнитной гидродинамике закон Ома обычно используют в
виде
j = σ( E + [VB ]).
(2.18)
Из всех приведенных уравнений электродинамики лишь один
закон Ома связывает электромагнитные параметры с гидродинамическими, а именно ток со скоростью движения среды. Для
дуги и сварочной ванны вторым членом уравнения (2.18) пренебрегают и закон Ома применяют в виде j = σE .
2.5. Уравнения состояния
Уравнения состояния включают зависимости свойств плазмы
от температуры и давления:
ρ = ρ( р, Т ), λ = λ( p, T ), σ = σ( p, T ), ν = ν( p, T )
и др.
Электропроводность плазмы, зависящая от температуры, задается следующим образом [5]:
⎧0
⎪
σ=⎨
⎪⎩ B ( S − S1 )
при
0 ≤ S < S1;
при
S1 ≤ S ≤ S0 ,
где В – тангенс угла наклона прямой, аппроксимирующей завиT
симость проводимости плазмы от температуры; S = ∫ λdT – значе0
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ние тепловой функции, соответствующее температуре Т = 6500 К.
Для аргоновой плазмы S1 = 5 Вт/см [4, 5]; S0 – значение функции
на оси дуги.
Аналогично аппроксимируется энергия излучения.
Значения аппроксимирующего коэффициента B для аргоновой
плазмы приводятся в работе [5].
Аппроксимация коэффициентов электропроводности σ и энергии излучения W (T ) (см. разд. 2.1) предполагает, что они равны нулю при температурах ниже определенного значения. Например, за
токопроводящий столб аргоновой дуги принят объем плазмы, ограниченный изотермой Т = 6500 К, что соответствует почти нулевой
проводимости aprоновой плазмы [4, 5].
2.6. Граничные условия
В качестве примера рассмотрим граничные условия для решения системы уравнений [6].
У поверхности электрода в начальном сечении (z = 0) :
а) радиус дуги предполагается известным из эксперимента
r = rэ;
б) считаются известными радиальные распределения температуры T = T0 ( r ) и скорости V = V(r) (например, расчет распределения температуры и скорости для дуги с электродом, заточенным на
конус, дан в работе [7]).
На внешней границе дуги (r = rc , z > 0):
а) скорость и температура газа принимают значения, присущие
окружающей среде, т. е.
V = Vc , T = Tc ;
б) выполняются условия гладкого сопряжения параметров дугового столба с характеристиками окружающей среды, т. е.
∂T
∂V
= 0,
= 0.
∂r
∂r
На оси дуги (r = 0) :
а) радиальная компонента скорости равна нулю, т. е.
Vr = 0;
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
б) равны нулю также производные температуры и аксиальной
скорости плазмы, т. е.
∂V
∂T
= 0, z = 0.
∂r
∂r
При решении других задач в дуге граничные условия могут быть
дополнены и изменены с учетом рассматриваемых процессов.
3. СИЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ДУГИ
Силовое воздействие дуги на сварочную ванну определяет глубину проплавления и форму шва. Оно характеризуется такими параметрами процесса, как давление, сила, диаметр пятна давления
(диаметр силового пятна), коэффициент сосредоточенности дуги.
Взаимодействие собственного магнитного поля дуги с током в
дуге создает собственные электромагнитные силы, сжимающие
плазму и разгоняющие ее в направлении к изделию. Это в значительной степени определяет силовое воздействие дуги на расплавленный металл сварочной ванны.
В расширяющемся столбе дуги сварочный ток в каждом элементарном объеме плазмы имеет две составляющие: радиальную и
вертикальную (осевую).
При взаимодействии радиальной составляющей тока с собственным магнитным полем в соответствии с законом Ампера возникают электромагнитные силы, действующие на элемент плазмы
в осевом направлении (рис. 1):
f z = jr × B.
Они разгоняют плазму в направлении от электрода к изделию.
Рис. 1. Собственные электромагнитные силы в дуге
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При взаимодействии осевой составляющей тока с собственным магнитным полем на каждый элементарный объем плазмы
действует электромагнитная сила, направленная к оси дуги:
f r = j z × B.
В результате дуга сжимается. Сжатие плазмы проходящим по ней
током называют пинч-эффектом. Направление собственных электромагнитных сил не зависит от полярности и рода тока.
3.1. Собственное магнитное поле дуги
При прохождении сварочного тока через дугу (см. рис. 1) внутри и снаружи нее возникает магнитное поле. По закону полного
тока линейный интеграл напряженности H магнитного поля
вдоль замкнутого контура равен электрическому току, охватываемому этим контуром, т. е. току, проходящему сквозь поверхность,
ограниченную этим контуром:
v∫ Hdl
= I.
Проведем замкнутый контур в виде окружности через произвольную точку в дуге, расположенную на расстоянии rв от оси дуги. Ввиду осевой симметрии дуги напряженность магнитного поля
в любой точке окружности одинакова. Вектор напряженности магнитного поля направлен по касательной к окружности. Тогда
v∫ Hdl
= H 2πrв .
Для определения тока, охватываемого контуром, выделим
внутри этого контура кольцевой элемент с произвольным радиусом r и толщиной dr (см. рис. 1). Плотность тока в осесимметричной дуге на кольцевом элементе постоянна. Ток, проходящий через элементарное кольцо,
dI = j z 2πrdr ,
где jz – вертикальная составляющая плотности тока на расстоянии r от оси дуги.
Ток, охватываемый контуром радиусом rв, определяется суммированием значений токов, проходящих через элементарные
кольца:
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
I=
rв
∫ jz 2πrdr.
0
В соответствии с законом полного тока
H 2πrв =
rв
∫ jz 2πrdr.
0
Отсюда
1
H=
rв
rв
∫ jz rdr.
(3.1)
0
Для случая равномерного распределения тока по сечению дуги
(jz = const) напряженность магнитного поля в столбе дуги
I r
j r
(3.2)
H = z в = д в2 ,
2
2πrc
где I д – полный ток дуги; rc – радиус столба дуги.
Для точки, лежащей вне столба дуги на расстоянии r от оси дуги, по закону полного тока H 2πr = I д , откуда напряженность магнитного поля для точек, лежащих вне дуги,
H=
Iд
2πr
.
Изменение напряженности магнитного поля внутри и снаружи столба
дуги представлено на рис. 2.
Внутри столба дуги напряженность магнитного поля нарастает от
нуля на оси дуги до значения на поверхности, зависящего от величины
тока в дуге.
Вне столба дуги напряженность
магнитного
поля убывает обратно
Рис. 2. Собственное магнитное
поле дуги:
пропорционально расстоянию от оси
1 – jz = const; 2 – jz ≠ const
дуги.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.2. Радиальные электромагнитные силы в дуге
Из-за разности давлений на гранях элементарного объема
плазмы, перпендикулярных радиусу, на элемент действует сила
f r = −grad p. Элемент плазмы с плотностью ρ может прийти в
движение, описываемое уравнением
ρ
dVr
dp
= ⎡⎣ jz × B ⎤⎦ − .
dt
dr
После протекания переходных процессов сжатия плазмы устанавливается равновесие, и тогда
dVr
= 0,
dt
поэтому
dp
= ⎡ jz × B ⎤⎦ = μ jz H ,
dr ⎣
откуда
dp = μ jz Hdr ,
где μ – магнитная проницаемость плазмы.
Избыточное давление в точке столба на расстоянии rв от оси
дуги определяется суммарным давлением элементарных объемов
внешних слоев плазмы:
rc
pв = ∫ μ jz Hdr.
rв
Учитывая напряженность магнитного поля в столбе дуги – см.
(3.1), получаем формулу для определения давления в произвольной точке столба:
rc
Pв = ∫ μ
rв
r
в
jz
dr ∫ jz rdr.
rв
0
При равномерном распределении тока по сечению столба дуги,
подставив в эту формулу значения jz и H и, проинтегрировав ее,
найдем
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
pв =
μ I д2
4 π 2 rc4
( rc2 − rв2 ).
(3.3)
Давление на оси дуги при rв = 0 максимально. Оно равно
pв =
μ I д2
4 π 2 rc2
=
μ I д2
4 πS
,
(3.4)
где S = πrc2 – площадь сечения дуги.
Давление на поверхности столба (при rв = rс ) pв = 0.
Распределение электромагнитного давления, созданного взаимодействием осевой составляющей тока с собственным магнитным полем, имеет параболическую форму с максимумом на оси
дуги (рис. 3).
Рис. 3. Распределение статического давления в дуге, созданного
радиальной составляющей собственных электромагнитных сил
Давление на оси дуги, согласно формуле (3.4), обратно пропорционально площади сечения дуги. При токе, равном 200 А, и
радиусе столба, равном 4 мм, давление на оси дуги приблизительно составляет 80 Па, а при радиусе столба, равном 2,4 мм, увеличится в 11 раз и будет равно 900 Па.
Экспериментально определить давление дуги на оси можно,
используя катод с маленьким отверстием, которое не мешает разряду.
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Данные практических измерений, выполненных на дуге с
угольным катодом, и расчета, сделанного по формуле (3.4) с учетом наличия отверстия на катоде, приведены на рис. 4.
Рис. 4. Влияние тока на статическое давление в дуге:
о – эксперимент; ― – расчет
Эксперименты подтверждают достаточную точность оценки
давления по формуле (3.4). Если столб дуги – конус с углом γ между образующей и осью, то rc = z tgγ и S = πz 2 tg 2 γ. Градиент давлений в осевом направлении на оси дуги
grad z pв =
μ I д2
2π2 zc3 tg 2 γ
.
Вследствие этого градиента давлений в центральной части столба
дуги плазма перемещается от электрода к изделию.
Определим воздействие давления, созданного пинч-эффектом,
на изделие. Сила, действующая на элементарную кольцевую площадку радиусом rв и толщиной drв ,
dF = pв 2πrв drв .
Сила, действующая на все сечение,
Fr =
rc
∫ pв 2πrв drв .
0
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При равномерном распределении тока по сечению столба, используя формулу (3.3), получаем
Fr =
rc
μI д2
∫ 4π2 r 4 (
0
)
rc2 − rв2 2πrв drв =
c
μ I д2
8π
.
Следовательно, сила, действующая на изделие и вызванная пинчэффектом, пропорциональна квадрату сварочного тока.
3.3. Осевые электромагнитные силы в дуге
При взаимодействии радиальной составляющей тока с собственным магнитным полем возникают электромагнитные силы, непосредственно вызывающие движение плазмы вдоль оси расширяющейся дуги. Движение плазмы в столбе дуги с учетом сил
внутреннего трения описывается уравнением
ρ
dV
= −∇p + ( j × B ) + νΔV .
dt
Учитывая, что j = rot H , а B = μ H , получаем
( j × B ) = μ ⎡⎣(∇ × H ) × H ⎤⎦ .
Из векторного анализа известно, что
1
∇H 2 = ( H ∇) H + ( H × rot H ),
2
откуда
1
(rot H × H ) = ( H ∇) H − ∇H 2 .
2
В случае цилиндрической симметрии ( H ∇) H = 0. Тогда
1
(rot H × H ) = − ∇H 2 ,
2
и уравнение движения примет вид
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ρ
dV
μ
= −∇p − ∇H 2 + νΔV ,
dt
2
или
ρ
⎛
dV
μH 2 ⎞
= −∇ ⎜ p +
⎟ + νΔV .
⎜
dt
2 ⎟⎠
⎝
μH 2
= pм , имеющую размерность давления, назы2
вают магнитным давлением, а величину р – газокинетическим.
Тогда
Величину
ρ
dV
= −∇ ( p + pм ) + ν∇V .
dt
Сумму ( p + pм ) называют полным давлением.
Силовое воздействие на сварочную ванну равно потоку импульса, который равен интегралу по объему от полученного уравнения:
dV
∫ ρ dt = ∫ −∇p + ∫ −∇pм + ∫ νΔV .
Ω
Ω
Ω
Ω
Суммарный поток импульса от сил внутреннего трения равен
нулю.
Учитывая, что силу, действующую на каждый элемент объема,
можно заменить поверхностными силами, перейдем от интегрирования электромагнитных сил по объему к интегрированию по
замкнутой поверхности, включающей поверхность столба дуги и
поверхности контакта дуги с электродом и сварочной ванной:
dV
∫ ρ dt = ∫s −∇p + ∫s −∇pм .
Ω
Для нахождения осевой составляющей электромагнитных сил
Fz = ∫ −∇pм определим силу, действующую на элементарное кольs
цо поверхности дуги в осевом направлении, f k = 2πpм rdr.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Суммарная осевая сила может быть найдена интегрированием
по поверхности дуги в пределах от радиуса электрода rэ до радиуса основания дуги rи:
rи
rи
rэ
rэ
Fz = 2π ∫ pм rdr = 2πμ ∫
H2
rdr.
2
Напряженность магнитного поля на поверхности столба дуги
H=
I
.
2πr
После интегрирования
Fz =
μ I 2 rи
ln .
rэ
4π
Поверхностные силы на электроде и основании дуги направлены в противоположные стороны и равны, поэтому они не повлияют на величину осевой силы.
Таким образом, величина осевых электромагнитных сил определяется последним выражением.
На рис. 5 приведены результаты расчета радиального распределения р2 , вызванного действием аксиальной компоненты собственных электромагнитных сил [6]. Расчет выполнен для дуги,
горящей в аргоне между вольфрамовым электродом и анодом, при
величине сварочного тока 100 А. Электрод заточен на конус с углом при вершине, равным 60°. Давление на оси равно нулю и увеличивается в более удаленных от оси частях дуги. Раздельное изображение давлений, созданных обеими компонентами электромагнитных сил, наглядно показывает их действие в различных областях дуги.
Из анализа радиального распределения давления р1 в дуге,
обусловленного только радиальной компонентой электромагнитных сил на расстояниях 1 и 3 мм от электрода, ясно, что аксиальный градиент давления р1 в центральных областях дуги положителен и ускоряет плазму по направлению к изделию. На периферии столба этот градиент оказывается отрицательным и тормозит
движение плазмы.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5. Распределение статического давления в дуге, созданного
радиальной составляющей р1 и аксиальной составляющей р2
электромагнитных сил:
—— – z = 1 мм; ---- – z = 3 мм
Градиент давлений р2 , обусловленный осевой компонентой
электромагнитной силы, на оси дуги равен нулю и увеличивает в
приосевой зоне дуги ускоряющее действие градиента давлений,
вызванного радиальной компонентой электромагнитной силы. В
более удаленных от оси частях дуги он компенсирует тормозящее
действие отрицательного градиента давления р1 , обусловленного
радиальной составляющей электромагнитных сил.
3.4. Расход газа, захваченного в дугу
Конусная форма дуги приводит к возникновению в столбе дуги
осевой составляющей электромагнитных сил и осевого градиента
давлений этих сил, вызывающих направленное движение газа в
дуге. При этом дуга уподобляется электромагнитному насосу, засасывающему газ из окружающей среды и прогоняющему его через столб в направлении анода.
Оценка относительной величины сил инерции и вязкости показывает, что на оси дуги силы вязкости значительно меньше сил
инерции, а на периферии силы вязкости и силы инерции соизмеримы. Этот результат позволяет рассматривать поверхности столба дуги в качестве квазитвердой стенки, отделяющей дугу от
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
внешней среды и пропускающей из окружающей среды в дугу
лишь такое количество газа, которое способен прокачать
“электромагнитный насос”.
Общее количество газа, захваченного в столб дуги, определяется суммированием распределения ρv в различных сечениях дуги:
rс
G = 2π ∫ rρνdr.
0
Результаты расчета и экспериментальные данные, представленные на рис. 6, были получены в работе [4]. В ней исследованы
процессы в дуге длиной 100 мм, горящей между водоохлаждаемым вольфрамовым катодом диаметром 10 мм и медным анодом.
Дуга горела вертикально, катод был расположен вверху. Аксиальный поток стабилизирующего дугу аргона подавался в кольцевой
зазор между катодом и соплом диаметром 16 мм. Эксперимент показал, что полный расход газа через столб дуги зависит от силы
тока. При изменении силы тока от 600 до 1400 А полный расход
газа увеличивается в три раза. Это происходит как за счет роста
скорости газа, так и за счет увеличения сечения дуги. Расход газа
не остается постоянным по длине столба дуги, что связано в первую очередь с увеличением диаметра дуги по мере приближения к
изделию.
Рис. 6. Зависимость расхода газа, захваченного в дугу, от тока
и расстояния от электрода:
1 – 10 мм; 2 – 30 мм; 3 – 70 мм
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 6 даны графики расхода газа на расстояниях от электрода 1,3 и 7 см (см. кривые 1, 2 и 3 соответственно). При сварке
сжатой дугой недостаток расхода стабилизирующего газа может
вызвать пространственную неустойчивость дуги вблизи изделия.
При заданном радиусе стабилизирующего газа по мере движения
от электрода все большее его количество захватывается и все
меньшее остается на стабилизацию. Вблизи анода может оказаться, что весь газ захвачен в столб дуги и стабилизирующий поток
отсутствует. В этом случае пространственная неустойчивость дуги
в анодной зоне и режим работы плазмотрона становятся нестабильными.
Значительный захват стабилизирующего газа нельзя не учитывать при увеличении тока. Увеличение силы тока приводит к сильному увеличению скорости движения плазмы, скорости напора и
количества газа, захватываемого дугой.
Радиальное распределение массового расхода, полученное из
эксперимента [4], показывает, что в сечении, близком к катоду,
расход газа увеличивается при удалении от оси дуги. По мере удаления от электрода газ все более захватывается дугой, распределение расхода становится пологим, а в сечениях, близких к изделию,
можно с небольшой погрешностью полагать, что расход постоянный и не зависит от радиуса.
Измерение степени турбулентности по сечению столба дуги
позволяет сделать вывод о том, что течение плазмы в столбе дуги
имеет ламинарный характер. Степень турбулентности, определяемая как отношение средней пульсационной составляющей скорости к среднему значению направленной скорости, измеренной на
оси и на краю столба дуги, составляет соответственно 0,02 и 0,1.
Имеющиеся пульсации связаны, вероятно, с нестабильностью
анодных и катодных пятен и с пульсациями в источнике питания.
Частоты их находятся в диапазоне 100...300 Гц. Полученные в [4]
экспериментальные данные позволяют в дальнейшем при выполнении расчетов пользоваться ламинарной моделью дуги.
3.5. Статическая и динамическая составляющие
полного давления дуги
При натекании потока жидкости или газа на какое-либо тело
(рис.7, а) линии тока расходятся от точки А, называемой критической, в стороны. В этой точке линия тока обрывается, и скорость
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жидкости или газа становится равной нулю. Применяя уравнение
Бернулли к линии тока ВА, получаем
pв +
ρν 2
= p0 ,
2
где p0 – полное давление в критической точке.
В технической гидродинамике величину pв называют статичеρν 2
– динамическим давлением, или скорост2
ρν 2
ным напором, а сумму pв +
– полным давлением. При этом
2
надо иметь в виду, что р0 – это полное давление на площадку, расположенную перпендикулярно линии тока, а не статическое давление, обусловливаемое степенью сжатия жидкости или газа [9].
ским давлением,
а
б
в
Рис. 7. Измерение полного и статического давления потока
Если отдельно измерить полное и динамическое давления в
рассматриваемой точке пространства, то по ним легко вычислить
скорость жидкости газа в той же точке.
Для измерения полного давления (напора) используется трубка
Пито (рис. 7, б). Это небольшая изогнутая манометрическая трубка, обращенная открытым концом навстречу потоку жидкости или
газа. Приосевые линии тока, направленные к трубке Пито, заканчиваются внутри нее, где жидкость покоится. Высота столба жидкости, устанавливающаяся в трубке, является мерой максимального давления и, следовательно, полного давления газа или жидкости
на рассматриваемой линии тока.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для измерения статического давления можно использовать
зонд (рис. 7, в). Он отличается от трубки Пито тем, что его передняя часть, обращенная навстречу потоку, запаяна, а в боковой
стенке имеется небольшое отверстие. Трубка зонда сильно искажает поток только в непосредственной близости от ее переднего
конца, обращенного к потоку. Поток, обтекающий боковую поверхность трубки, практически остается неискаженным. Поэтому в
непосредственной близости от отверстия скорость, а с ней и давление жидкости, такие же, как и во всех точках линии тока, проходящей вблизи отверстия. Таким образом, давление в трубке зонда,
измеряемое манометром, совпадает со статическим давлением обтекающей ее жидкости.
3.6. Влияние параметров режима сварки на давление дуги
Силовое воздействие дуги существенно влияет на проплавление металла и формирование шва при дуговой сварке. В связи с
этим было выполнено большое количество работ по определению
давления дуги при сварке неплавящимся электродом. Например, в
1932 г. Ф. Криди и другие установили [10], что воздействие дуги
на свариваемый металл для коротких дуг длиной менее 3 мм при
сварке на прямой полярности голым электродом может быть выражено формулой
Fд =
kI д2
lд
,
–7
2
где k – экспериментальный коэффициент, k = 3,57 ⋅ 10 Н/А ; lд –
длина дуги.
Дальнейшие исследования дуг с разными электродами, горящих в различных средах, подтвердили квадратичную зависимость
давления дуги от сварочного тока и позволили силовое воздействие дуги выразить формулой
Fд = kI д2 .
(3.5)
Здесь коэффициент k определяется экспериментально и зависит от
параметров режима cварки и условий горения дуги.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физический смысл выражения (3.5) заключается в том, что силовое воздействие дуги определяется главным образом электромагнитными силами, возникающими в дуге при взаимодействии
тока с собственным магнитным полем, пропорциональными, как
было показано в разд. 3.2 и 3.3, квадрату силы тока.
Коэффициент k для исследованных режимов при сварке током
50...1500 А различной полярности плавящимся и неплавящимся
–7 2
электродом лежит в диапазоне 1,2...6 ·10 А [10]. Он уменьшается с удлинением дуги, что связано с уменьшением динамической
составляющей давления дуги (скоростного напора). Косвенно это
подтверждается тем, что значение давления дуги снижается тем
меньше, чем больше сила тока, т. е. чем более дальнобоен газовый
поток и жестче дуга. Так, по данным работы [11], удлинение дуги
от 2 до 10 мм при небольшом токе (порядка 90 А) уменьшает значение давления дуги с 0,005 до 0,003 Н, т. е. в 1,67 раза, в то время
как при токе 160 А такое же удлинение дуги снижает значение
давления дуги всего в 1,15 раза. При токе 700 А [12] вообще не
обнаружено влияние длины дуги на давление при изменении напряжения на дуге от 30 до 46 В.
От формы конца вольфрамового электрода тоже зависит коэффициент k. С заострением электрода (уменьшением угла заточки и
диаметра притупления) он возрастает. При увеличении диаметра
притупления конца электрода от 0 до 1,5 мм значение коэффици–7
–7
2
ента уменьшается с 6,75 ⋅ 10 до 4,9·10 Н/А . Аналогично влияет
и диаметр электрода. При уменьшении диаметра электрода значение k увеличивается. Такая зависимость объясняется тем, что от
формы конца электрода зависят условия растекания тока в столбе
дуги и размеры столба дуги.
Несколько большее значение коэффициента k наблюдается при
сварке плавящимся электродом, что можно объяснить дополнительным механическим воздействием капель электродного металла.
Скорость сварки не сказывается на давлении дуги [12]. На коэффицинт k сильно влияют материал и состояние анода. Так, при
токе 100...500 А, угле заточки вольфрамового катода 30° и диаметре притупления конца электрода 0,4 мм были получены результаты [13], представленные в табл. 1.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 1
Зависимость коэффициента k от материала анода
–7
2
k ⋅ 10 , Н/А
Материал анода
Твердая медь
Медь расплавленная
Сталь Х18Н10Т
Титан ВТ1
7,3…8,2
3,9…4,4
5,3…6,0
4,4
Зависимость коэффициента k от материала анода можно объяснить влиянием материала на размеры анодного пятна, форму дуги
и, следовательно, на характер растекания тока и поле собственных
электромагнитных сил в дуге.
Состав газовой атмосферы, в которой горит дуга, тоже влияет
на коэффициент k. Так, при токе, равном 140...160 А, его значение
–7
2
составляет в воздухе 4,8 ⋅ 10 Н/А , в азоте – (4,1 ... 4,3) ×
–7
2
–7
2
× 10 H/A , в гелии 3,8 ⋅ 10 Н/А . В.Д. Руссо не обнаружил разницы между аргоном и гелием [14].
3.7. Распределение давления дуги
Распределение давления дуги, горящей в аргоне, на поверхности анода изучал Г.А. Шоек [15], перемещая относительно дуги
водоохлаждаемый анод с отверстием 0,5 мм, соединенный с микроманометром. Такая же методика описана в работе [16]. Подобные измерения были выполнены и с применением различных датчиков вместо манометра [17, 18]. Распределение давления исследовали также с помощью зондов, вводимых в дугу [19, 20].
Анализ экспериментальных данных многих исследователей позволяет сделать вывод, что радиальное распределение давления
дуги может быть описано несколькими способами.
1. Параболическое распределение (рис. 8, кривая 1) имеет вид
⎧
⎡ r2 ⎤
⎪ P0 = ⎢1 − ⎥
2
⎪
⎢⎣ rc ⎥⎦
P=⎨
⎪
⎪0
⎩
при
r < rc ;
при r ≥ rc ,
где Р0 – давление на оси столба; rc – радиус столба дуги.
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 8. Графики функций, описывающих распределение давления в дуге
2. Распределение, описываемое с помощью функции Бесселя
(см. рис. 8, кривая 2), выглядит так:
⎧
⎛ r⎞
⎪⎪ P0 J 0 ⎜ λ ⎟
⎝ rc ⎠
P=⎨
⎪
⎪⎩0
при r < rc ;
при r ≥ rc ,
где J 0 – функция Бесселя нулевого порядка; λ = 2,4048 – первый
корень уравнения J 0 = 0.
3. Нормальное распределение (см. рис 8, кривая 3) записывается следующим образом:
2
P = P0 exp(− kc r 2 ) = P0 e− kcr ,
где kc – коэффициент сосредоточенности (контрагирования).
3.8. Параметры дуги при нормальном распределении давления
Многие исследователи считают, что описание распределения
давления дуги нормальным законом (рис. 9) достаточно точно отражает реальное распределение давления дуги.
Определим силовое воздействие дуги в этом случае.
Формула для расчета силы, действующей на элементарное
кольцо радиусом r и толщиной dr, имеет вид
dFд = P 2πrdr.
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Давление дуги на изделие найдем из соотношения
∞
Fд = ∫ P 2πrdr.
0
Подставив значение давления для нормального распределения,
получим
∞
2
Fд = ∫ P0e − kcr 2πrdr.
0
Используя подстановку u = kc r 2 и интегрируя это выражение, определяем силу давления дуги:
Fд =
πP0
.
kc
По этой формуле легко найти силовое воздействие дуги, зная
давление на оси дуги и коэффициент сосредоточенности дуги.
Определим коэффициент сосредоточенности дуги:
kc = π
P0
.
Fд
Из этого выражения видно, что коэффициент сосредоточенности
дуги характеризует отношение максимального давления на оси
дуги к силе давления дуги.
На рис. 9 представлены распределения давления дуги с различной сосредоточенностью. Коэффициент сосредоточенности распределения, выраженного кривой 2, больше коэффициента сосредоточенности распределения, выраженного кривой 1.
Другим важным параметром дуги, определяющим проплавление и форму сварного шва, является диаметр силового пятна дуги.
Давление дуги распределено по бесконечной поверхности при
описании этого давления нормальным законом. При расчете конечных размеров пятна пренебрегаем давлением, меньшим некоторого определенного значения. Обычно принимают силовое пятно в виде площади, ограниченной окружностью, на которой значения давления дуги равны 5 % от давления на оси дуги (см. рис. 9).
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вследствие этого
P = 0,05 P0 = P0
⎛d ⎞
− kc ⎜ c ⎟
e ⎝2⎠
2
.
Прологарифмировав это выражение, получим
− kc (d c / 2)2 = ln 0,05.
Рис. 9. Графики нормального распределения давления дуги
с разным коэффициентом сосредоточенности
Значение диаметра силового пятна дуги будет равно:
dc =
3, 46
.
kc
Это значение соответствует диаметру основания дуги на поверхности изделия.
3.9. Влияние коэффициента сосредоточенности дуги
на процесс сварки и качество шва
Коэффициент сосредоточенности дуги является важным параметром, отражающим силовое и термическое воздействие дуги, а
также особенности формирования шва. Он определяет коэффициент формы проплавления, количество расплавляемого металла,
деформации, остаточные напряжения, размеры зоны термического
влияния и структурные изменения, происходящие в этой зоне.
Влияя на коэффициент формы шва, сосредоточенность дуги сказывается и на образовании дефектов формы шва, таких, как подрезы, резкий переход основного металла ко шву и др.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Коэффициент сосредоточенности дуги зависит от параметров
режимов сварки. С увеличением сварочного тока он уменьшается.
Например, для стационарной дуги, горящей между вольфрамовым
электродом и медным анодом в аргоне, с увеличением тока от 100
до 200 А коэффициент сосредоточенности уменьшается с 110 до
–2
80 см [18].
С уменьшением длины дуги и при переходе к более острой
форме конца электрода коэффициент сосредоточенности увеличивается, возрастает также значение давления дуги на оси.
При различных токах, но при одинаковых коэффициентах сосредоточенности изменяется только уровень давления, а характер
распределения давления по радиусу остается неизменным (кривые
подобны). В этом случае в каждой точке дуги при увеличении тока
2
в n раз давление возрастает пропорционально в n .
4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ В ДУГЕ
Давление сжатия плазмы собственными электромагнитными
силами и внешнее давление уравновешиваются силами газового
давления (термическим давлением плазмы):
PT = nkT ,
где n – концентрация частиц в плазме, n = ne + ni + n0 (ne , n, n0 –
число электронов, ионов и нейтральных атомов соответственно);
k – постоянная Больцмана, k = 1,38 ⋅ 10−23 Дж/К.
Для случая равномерного распределения плотности тока по сечению столба, учитывая только статическое давление от радиальных составляющих собственных электромагнитных сил из (3.3),
найдем
nkT =
μ Iд2
4π2 rc 4
(rc2 − rв2 ).
(4.1)
Следовательно, распределение температуры в столбе дуги аналогично распределению давления. Распределение температуры
часто бывает близким к параболическому.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Такое распределение температур подтверждается и экспериментальными данными. На рис. 10 показано распределение температур в различных сечениях дуги длиной 100 мм, горящей между
вольфрамовым катодом и медным водоохлаждаемым анодом. Дуга
стабилизирована продольным потоком аргона [4]. Ток дуги равен
1400 А. При удалении от электрода максимальная температура на
оси дуги снижается. Кривые распределения температур становятся
более пологими, так же, как и кривые распределения давления.
Рис. 10. Распределение температуры в дуге
Из уравнения (4.1) следует, что температура столба дуги пропорциональна квадрату тока и с увеличением тока резко повыша5
ется. Например, при токе 5 ⋅ 10 А температура плазмы достигает
двух миллионов градусов [21].
Увеличить температуру сварочной дуги и, следовательно, ее
проплавляющую способность можно обжатием столба дуги потоком газа, применением водоохлаждаемого сопла, заглублением
дуги в свариваемый металл и другими способами.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ДУГИ
С НЕПЛАВЯЩИМСЯ ЭЛЕКТРОДОМ
Используя математическую модель, приведенную в разд. 2,
можно выполнить математический анализ магнитогидродинамических течений плазмы в сварочной дуге с неплавящимся электродом в среде аргона.
В качестве примера рассмотрим расчет скоростей плазменных
потоков, распределение динамического и статического давления
по сечению столба в зависимости от длины дуги, тока дуги и
плотности тока в катодном пятне [22]. Характеристики дугового
столба определяются решением системы дифференциальных уравнений (2.1) – (2.18). Аппроксимация свойств плазмы задается в соответствии с уравнениями, представленными ранее [4].
Дугу рассматривают в качестве трубы с пористой стенкой,
омываемой снаружи продольным потоком газа (рис. 11). Газ проходит через пористую стенку внутрь трубы и движется ламинарно
в направлении оси.
Рис. 11. Расчетная модель дуги
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Радиус токопроводящего канала по длине дуги [4] изменяется
по зависимости
1/ 2
⎧
⎡ −2( A r 2 + γ 2 ) zλ ⎤ ⎫⎪
⎪
0 0
1
⎥⎬
rc = r0 ⎨1 − exp ⎢
2
⎢
⎥
r
ρ
v
c
⎪⎩
0
z p
⎣
⎦ ⎪⎭
,
где А0 – значение коэффициента А при z →∞, аппроксимирующего нелинейный характер функции излучения [5]; r0 – радиус
бесконечно длинной дуги (см. рис. 11); γ1 – первый корень функции Бесселя первого порядка первого рода, γ1 = 2,405; vz – аксиальная составляющая скорости движения плазмы.
Значения всех аппроксимирующих коэффициентов для аргоновой плазмы взяты из работы [5]. Радиус дуги в начальном сечении
у поверхности катода предполагается известным из эксперимента
и определяется размером катодного пятна. За токопроводящий
столб дуги принят объем плазмы, ограниченной изотермой
Т = 6500 К, что соответствует почти нулевой проводимости аргоновой плазмы.
Радиус для бесконечно длинной дуги определяется из решения
задачи о конвективном теплообмене столба дуги как твердого тела
с окружающей средой [5]:
r0 = γ1I1 ( γ1 )
( S00 − S1 )
,
q
(5.1)
где I1(γ1) – значение функции Бесселя первого порядка первого
рода; S00 – значение функции S на оси бесконечно длинной дуги;
S1 – значение тепловой функции S, соответствующее температуре
Т = 6500 К аргоновой плазмы [4], S1 = 5 Вт/см; q – удельный тепловой поток, отводимый в окружающую среду,
q = 3λg
1/ 3 −1/ 3 ⎛
β
ρ⎞
⎜⎝ μ ⎟⎠
b
2/3
( Pr )1/ 2 (T1 − T∞ )4 / 3 ;
(5.2)
β – коэффициент объемного расширения газа; Т∞ – температура
среды, окружающей дугу.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Расчет характеристик дуги выполняется в следующем порядке.
При фиксированных давлении и температуре окружающей
среды задают ряд значений функции S.
По формулам, приведенным в работе [5], определяют соответствующие значения аппроксимирующих коэффициентов, а по (5.1)
и (5.2) – значения радиуса бесконечно длинной дуги и удельного
теплового потока, отводимого в окружающую среду. С помощью
формул, приведенных в работе [4], всем этим параметрам бесконечно длинной дуги можно сопоставить ток дуги.
На следующем этапе рассчитывают локальный расход газа в
дуге [4]:
1/ 2
2
⎧
I 2 ⎛ r0 ⎞ ⎪⎫
⎪ μ 0 γ1
ρvz = ⎨
ρ00 2 ln ⎜ ⎟ ⎬
2
r0
⎝ rэ ⎠ ⎪⎭
⎪⎩16π I1 ( γ1 )
,
(5.3)
где ρ00 – значение плотности газа на оси дуги.
После нахождения локального расхода газа определяют все остальные локальные и интегральные характеристики дуги. Исходные данные: ток, длина дуги, радиус пятна дуги на электроде, температура окружающей среды. Свойства газа на оси бесконечно
длинной дуги S00(T), A0(S), β(S), ρ(S) параметрически зависят от
температуры. Для дуги, горящей в аргоне при атмосферном давлении, в работе [5]
S1 = 5 Вт/см, c p / λ = 360 см ⋅ с ⋅ г.
Согласно данным [23, 24], при угле заточки 30° лантанированного вольфрамового катода диаметром 3 мм средняя плотность
2
тока в катодном пятне jk = 3500 А/см .
Для заданной плотности тока и конической формы электрода с
углом 30° [23, 24] выполнены расчеты сварочных дуг в диапазоне
токов 100...10000 А и длин дуг 4...12 мм.
По экспериментальным данным в [22] приняты значения Т∞ =
2
= 773 К, q = 82,5 Вт/см . Расчет проведен методом последовательных приближений для заданных длины дуги и тока.
Для расхода, который задается чуть большим, чем для бесконечно длинной дуги заданного тока (5.3), найдем
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1/ 2
f ( z ) z =l
⎡
−2( A0 r02 + γ12 ) ⎤
⎢
⎥
= 1 − exp
2
⎢
⎥
r
v
с
ρ
z p
0
⎣
⎦
;
ψ 0 ( z ) z =l =
1/ 2
⎧⎪1 − f 2 ( z + z0 )
f 2 ( z + z0 )
1 − f 2 ( z + z0 )C1 ⎫⎪
=⎨
ln
−
+ 1⎬
2
1 − f 2 ( z + z0 )
f 2 ( z + z0 )
⎪⎭
⎩⎪ f ( z + z0 )
,
где С1 – постоянная интегрирования,
C1 = ln
r02 − rэ2
rэ2
−
rэ2
r02 − rэ2
;
z0 – координата катодного пятна дуги (см. рис. 9),
⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤
z0 =
ln ⎢1 − ⎜ k ⎟ ⎥ .
2
2
2λ( A0 r0 + γ1 ) ⎢ ⎝ r0 ⎠ ⎥
⎣
⎦
−r0 2ρvz c p
Вычислим расход газа:
1/ 2
ρvz
z =l
⎧⎪ γ1μ0
I 2 ρ0
r 2 f 2 ( z + z0 ) ⎫⎪
ln 0
=⎨
⎬
2
2 2
rэ
⎪⎩16π I1 ( γ1 ) r0 f ( z + z0 )
⎪⎭
,
(5.4)
где ρ0 – плотность плазмы на оси дуги, которая определяется графически по заданному в [5] значению S, которое, в свою очередь,
находится по ψ0(z)|z = l.
Расчет в указанном порядке повторяем при последовательном
изменении расхода газа, пока задаваемый вначале локальный расход в конечном счете не совпадет с расходом, вычисленным по
формуле (5.4). Совпадение определятся с точностью до третьего
знака.
По найденным значениям ρvz, f(z), ψ0(z), S |z =l для заданного
диапазона длин дуг и токов рассчитываем значения плотности
плазмы, аксиальной составляющей скорости движения плазмы и
динамического напора в разных точках поперечного сечения столба вблизи поверхности анода.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Давление в любой точке поперечного сечения столба дуги состоит из двух составляющих – статического давления и динамического (скоростного напора), т. е.
ρvz 2
.
2
Распределение статического давления по радиусу дуги в работе
[22] определено из уравнения движения плазмы в радиальном направлении с учетом принятых допущений:
∂P
− в + μ0 jz H = 0.
(5.5)
∂r
Интегрируя (5.5) по радиусу и используя закон полного тока,
получаем
P0 = Pв +
rc
Pв = μ0 ∫
rв
r
jz dr в
jz rdr.
rв ∫
0
Плотность тока не принимают постоянной по сечению дуги, а
задают следующим образом:
⎛ r ⎞
⎛ r ⎞
jz = σE z = BSE z = BEz S0T0 ⎜ γ1 в ⎟ = jz0 I 0 ⎜ γ1 в ⎟ ,
⎝ rc ⎠
⎝ rc ⎠
(5.6)
где jz = BEzS0 – осевая составляющая плотности тока.
Подставляя значение плотности тока в уравнение (5.6), после
преобразования получаем
Pв = μ0 jz0 2
rc2
I0
2 γ12
2⎛
rв ⎞
⎜ γ1 ⎟ .
⎝ rc ⎠
(5.7)
Используя (5.6), выражаем полный ток через плотность тока
j z0 на оси дуги:
rc
I = ∫ 2πrjz dr = 2πjz0
0
rc2
I1 ( γ1 ).
γ1
Из этого равенства определим плотность тока j z0 и, подставив ее в
(5.7), найдем
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Pв =
μ0 I 2
⎛ r
I2 γ в
2
2 0⎜ 1r
8πI1 ( γ1 )πrc
⎝ c
⎞
⎟.
⎠
Для приведенного выше диапазона токов и длин дуг выполняется расчет распределения полного давления по сечению столба
вблизи анода.
Результаты расчетов представлены на рис. 12, 13.
Рис. 12. Зависимость давления от тока на оси дуги вблизи анода
Рис. 13. Распределение полного давления дуги
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Зависимости полного давления на оси дуги от тока (см. рис. 12)
показывают, что закон изменения – квадратичный, как и было установлено экспериментально [11, 25]. Кривые 1, 2 и 3 представляют изменение полного давления, а 4, 5 и 6 – статического давления
для дуг длиной 4, 6 и 8 мм соответственно. С увеличением длины
дуги давление на оси дуги падает, что также находит экспериментальное подтверждение [11, 25]. Если сравнить дугу длиной 4 мм с
дугой длиной 8 мм, то видно, что в первом случае (см. рис. 13,
кривая 3) полное давление у основания дуги на ее оси практически
в два раза выше, чем во втором (см. рис. 13, кривая 2).
На рис. 14 приведены графики динамической составляющей
давления (скоростного напора) для сварочной дуги с током 200 А
и длинами дуг 4, 8, 12 мм (кривые 3, 2 и 1 соответственно). Видно,
что с уменьшением длины дуги распределение давленая становится более сосредоточенным. Давление в центре дуги максимально и
спадает к периферии столба по кривым, напоминающим параболы
или функции Бесселя.
Рис. 14. Распределение динамической соствляющей давления дуги
На рис. 15 представлены зависимости скорости плазмы у оснований дуг на оси от длины дуги при токе, равном 200 А. С удлинением столба дуги скорость движения плазмы на оси уменьшается
для всех токов (кривые 1, 2 и 3 для дуг длиной 12, 8 и 4 мм соответственно).
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 15. Зависимость скорости движения плазмы от длины дуги
Значения скоростей плазменных потоков хорошо согласуются
с экспериментальными данными работ [11, 25, 26].
Расчетные данные по давлению дуги не противоречат экспериментальным [11, 27]. Расчетные давления на оси дуги на 10 ... 30 %
выше, чем экспериментальные [27]. Следует отметить, что при более длинных дугах сходимость расчетных данных с экспериментальными [27] выше, чем при коротких дугах (длиной 4 мм и
меньше).
Наблюдаемое расхождение расчетных и экспериментальных
данных можно объяснить следующими причинами:
1) расчетная модель не совсем точно отображает реальный
процесс;
2) при выполнении эксперимента по определению давления дуги пользовались водоохлаждаемым анодом, что привело к сужению анодного пятна дуги;
3) размер плотности тока в расчетной модели отличен от реального.
Графики на рис. 12, 14, 15 построены на основании расчетов
2
при плотности тока в катодном пятне, равной 3500 А/см .
Действительное значение плотности тока может меняться по
различным причинам, например в зависимости от формы конца
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
электрода, эмиссионных свойств катода, размеров электрода, конструкции сварочной горелки и др. Для выяснения влияния плотности тока на электроде на силовое воздействие дуги в [22] был проведен расчет для дуги с током 200 А длиной 4 мм при плотности
2
тока в катодном пятне, равной 1000, 2000 и 5000 А/см .
На рис. 16 приведена зависимость полного давленая на оси дуги у ее основания от плотности тока. С увеличением плотности
тока в катодном пятне давление возрастает. Это связано с большей
сосредоточенностью дуги при больших плотностях тока в катодном пятне.
Рис. 16. Зависимость полного давления на оси дуги от плотности тока
в катодном пятне
При увеличении плотности тока в катодном пятне растет и
скорость течения плазмы. Наибольшее изменение скорости происходит на оси дуги.
6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СВАРОЧНОГО ТОКА
В ИЗДЕЛИИ И В ВАННЕ
Распределение тока по свариваемому изделию влияет на положение столба дуги в пространстве. Сварочный ток, растекающийся
по изделию, создает собственное магнитное поле, которое взаимодействует с дугой.
При растекании тока, симметричном относительно оси дуги,
столб дуги располагается перпендикулярно поверхности изделия.
В случае несимметричного распределения тока в изделии столб
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дуги отклоняется в сторону меньшего магнитного поля. Положение дуги (наклон дуги) относительно направления сварки является
существенным параметром режима сварки, влияющим на глубину
и ширину шва, на коэффициент формы шва, наличие подрезов и на
угол перехода от основного металла ко шву. Известны способы
управления положением столба дуги и колебанием дуги путем регулирования распределения тока за счет изменения положения токоподвода к изделию в процессе сварки. Чтобы учесть влияние
тока на дугу, необходимо знать его распределение, особенно в зоне сварки.
Характер распределения тока в сварочной ванне определяет
также величину и распределение собственных электромагнитных
сил в жидком металле сварочной ванны, которые сильно влияют
на процессы течения жидкого металла в ванне, образование дефектов шва и форму шва.
В качестве примера, подтверждающего влияние распределения
тока в изделии и в ванне на форму шва, можно привести эксперимент, описанный в работе [28]. В целях определения влияния места токоподвода к свариваемой пластине на формирование шва наплавку производили на пластины разной ширины. Токоподвод
располагали снизу по линии шва в середине пластины, остальная
ее поверхность была изолирована (рис. 17). Такой способ позволяет при сварке одного шва на неизменном режиме получить данные
о форме шва при сварке от токоподвода и на токоподвод. Резкое
изменение размеров шва на узкой пластине при переходе дуги через токоподвод (рис. 18) свидетельствует о существенном влиянии
распределения тока на формирование шва. С увеличением ширины
пластины влияние расположения токоподвода уменьшается.
Рис. 17. Схема эксперимента
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 18. Влияние расположения токоподвода на размеры шва при разной
ширине пластины:
1 – 24 мм; 2 – 75 мм; 3 – 135 мм
На взаимодействии внешних магнитных полей со сварочным
током в ванне основаны способы:
а) управления кристаллизацией и формой шва продольным относительно оси дуги магнитным полем;
б) удержания сварочной ванны;
в) формирования шва поперечным магнитным полем.
Управление распределением тока в изделии и в ванне, а также
управление формированием шва с помощью внешних магнитных
полей являются мощными средствами воздействия на качество шва.
Для эффективного использования этих методов необходимо уметь
рассчитывать электрическое поле в сварочной ванне и в изделии.
6.1. Деформация электрического поля при дуговой сварке
Уравнение, описывающее молекулярный процесс передачи теплоты в твердом теле, имеет вид
⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ⎞
∂T
= a ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟.
⎜
∂t
∂y
∂z ⎠⎟
⎝ ∂x
Здесь коэффициент температуропроводности a характеризует теплоинерционные свойства среды. Он показывает, с какой скоростью в неравномерно нагретой среде происходит выравнивание
температуры.
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Температурное поле подвижного источника в свариваемом изделии несимметрично относительно дуги. Изотермические поверхности теплового поля предельного состояния сгущены впереди дуги и разрежены позади нее. Степень вытянутости изотермических поверхностей определяется режимом сварки, в частности
скоростью сварки, теплоотдачей в воздух от поверхностей свариваемого изделия и теплофизическими свойствами материала [29].
Если рассмотреть переходный электрический процесс в токопроводящей среде с распределенной емкостью сэ , то уравнение
электрических потенциалов U можно представить в виде
1 ⎛ ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U ⎞
∂U
=
+
+
⎜
⎟,
∂t rcэ ⎜⎝ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟⎠
где r – электрическое сопротивление среды.
Уравнения электрического процесса и теплового процесса
имеют одинаковую форму. В токопроводящей среде скорость выравнивания электрических потенциалов характеризуется величиной 1/ rcэ , аналогичной коэффициенту температуропроводности
а. Скорость выравнивания потенциала обратно пропорциональна
произведению удельного электрического сопротивления на электрическую емкость элементарной ячейки среды. Так как для
сплошной электропроводящей среды емкость сэ практически равна нулю, коэффициент 1/ rcэ в миллионы раз больше коэффициента температуропроводности а, и выравнивание электрических потенциалов происходит практически мгновенно. Поэтому движение
дуги по изделию со скоростью сварки не вызывает деформации
электрического поля.
Деформация электрического поля при сварке связана с деформацией температурного поля. Удельная электропроводность металлов σ сильно зависит от температуры: снижается с ее увеличением, а при температуре плавления уменьшается скачком.
На рис. 19 приведена зависимость удельной электропроводности алюминия от температуры [30]. Аналогичные зависимости
имеют и другие металлы.
Экспериментальные данные о зависимости коэффициента
электропроводности от температуры для металлов обычно ограничиваются температурой 1000…1200 °С, так как в области высоких
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
температур измерения проводить трудно. Это обусловлено общими проблемами высокотемпературной техники, связанными с активизацией процессов разрушения (изменения) материалов, сложностью создания заданного типа температурного распределения и
его надежного измерения. Сильная зависимость электросопротивления металлов от температуры определяет жесткие требования к
надежности температуры отнесения. В результате данные по электропроводности в интервале от температуры плавления до температуры кипения для большинства металлов, сплавов, в частности
сталей, отсутствуют. Для сталей имеются значения электропроводности при температурах, незначительно превышающих
температуру плавления.
Рис. 19. Зависимость электропроводности алюминия от температуры
Рассчитать теоретически электросопротивление жидких металлов пока не удается. Электронная теория металлов еще не в состоянии дать удовлетворительное количественное описание процессов переноса теплоты и электричества даже для чистых металлов, не говоря уже о многокомпонентных конструкционных сплавах. Значение подсчитанного электросопротивления для ряда чистых жидких металлов расходится с экспериментальными данными,
разница достигает 300 % [32].
6.2. Моделирование распределения тока по пластине
при дуговой сварке
Распределение тока по изделию при дуговой сварке можно определить моделированием на электропроводной бумаге и построением линий тока [28].
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнение непрерывности в соответствии с законом сохранения заряда при отсутствии источников тока в рассматриваемой
области изделия можно записать так:
div j = 0,
(6.1)
где j – плотность тока в свариваемом изделии.
Для плоской задачи плотность тока определяется коэффициентом электропроводности σ металла, являющимся функцией координат, а также потенциалом электрического поля U :
jx = −σ( x, y )
∂U
;
∂x
j y = −σ( x, y )
∂U
.
∂y
(6.2)
Если пренебречь неоднородностью металла, то электропроводность в любой точке пластины определяется температурой этой
точки изделия.
Преобразуя уравнение (6.1) с учетом значений плотности тока
из уравнения (6.2), получаем дифференциальное уравнение в частных производных эллиптического типа
∂ ⎛
∂U
⎜ σ( x , y )
∂x ⎝
∂x
⎞ ∂
⎟+
⎠ ∂y
⎛
∂U
⎜ σ( x , y )
∂y
⎝
⎞
⎟.
⎠
(6.3)
Принимая для однопроходной сварки встык сравнительно тонких листов (пластин) температурное поле плоскопараллельным,
можно построить его изотермы по уравнению предельного состояния [29]
T ( x, y ) =
v
q
b⎞
⎛ v r⎞ ⎛
exp ⎜ − св ⎟ k0 ⎜ r св2 + ⎟ + 273.
⎜
2πλs
a ⎟⎠
⎝ 2a ⎠ ⎝ 4a
(6.4)
Здесь T – температура, К; q – эффективная тепловая мощность
дуги, Вт; λ – коэффициент теплопроводности, Вт/(м ⋅ град); s –
толщина пластины, м; vсв – скорость сварки, м/с; а – коэффициент
2
температуропроводности, м /с; k0 – функция Бесселя от мнимого
2α
аргумента второго рода нулевого порядка; b =
– коэффициент,
cρs
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
учитывающий теплоотдачу боковой поверхности пластины, где α –
2
коэффициент теплоотдачи, Вт/(м ⋅ град); с – удельная теплоем3
кость, Дж/(кг ⋅ град); ρ – плотность металла, кг/м .
Коэффициент электропроводности, зависящий от температуры,
можно подсчитать по формуле Лоренца
σ=
λ
,
LT
(6.5)
где L – число Лоренца.
Уравнение (6.3) решают, используя моделирование на электропроводной бумаге [32].
По формуле (6.4) рассчитаны изотермы поля для случая сварки
встык пластины толщиной 10 мм. Для расчета использованы сле–3
дующие исходные данные: q = 12895 Вт; Vсв = 8,2·10 м/с; λ =
–5 2
–4
= 41,868 Вт/(м ⋅ град); α = 1·10 м /с; b = 28·10 1/c. Значения
коэффициентов теплопроводности, температуропроводности и теплоотдачи взяты для низкоуглеродистой стали [29]. Изотермы поля, подсчитанные по формуле (6.4), приведены на рис. 20.
Рис. 20. Области моделируемого температурного поля
По среднему значению температур областей, ограниченных
изотермами (см. рис. 20), коэффициент электропроводности рас–8
2
считан по формуле (6.5) при L = 2,512 ⋅ 10 Вт ⋅ Ом/град . По этим
данным определены средние удельные сопротивления металла и
выбраны необходимые сорта электропроводной бумаги. При расчете модели соблюдено подобие рядов электрических сопротивлений металла и модели (табл. 2).
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 2
Электрические сопротивления областей моделей
Характеристика
Данные для различных областей модели
I
II
III
IV
V
Средняя температура поля, К
293
423
616
843
1473
Абсолютное удельное сопро–7
тивление металла, 10 Ом ⋅ м
1,33
2,165
3,7
6,26
10,23
Относительное удельное
сопротивление металла
1,00
1,63
2,78
4,87
7,75
Абсолютное удельное
сопротивление бумаги, кОм
12,3
20,0
35,0
60,0
95,0
Относительное удельное
сопротивление бумаги
1,00
1,63
2,85
4,87
7,75
Абсолютный коэффициент
электропроводности бумаги,
–5
10 1/Ом
8, 13
5,00
2,86
1,67
1 ,05
Относительный коэффициент
электропроводности бумаги
7,75
4,77
2,72
1,59
1,00
Из выбранных в соответствии с приведенными в табл. 2 данными сортов электропроводной бумаги для каждой области температурного поля (см. рис. 20) была склеена модель поля реальной
задачи в масштабе 1:1 [28]. Общая длина модели 1200 мм, ширина
240 мм. На такой модели построены линии тока для случая выполнения сварки от токоподвода, расположенного на продольной оси
пластины, при боковом симметричном (с двух сторон от дуги) и
несимметричном (с одной стороны от дуги) расположении токоподвода относительно дуги. В результате моделирования установлено, что вне зависимости от места подключения токоподвода к
пластине бóльшая часть тока (около 70 %) сосредоточена перед
движущейся дугой. Это связано с тем, что сзади дуги в области
повышенных температур имеется область менее электропроводная, а впереди дуги – более электропроводная.
Для экспериментального определения зависимости плотности
тока перед дугой от расстояния до дуги в работе [28] использован
специальный датчик в виде магнитного пояса Роговского. Магнит56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ный пояс устанавливали в пластине по предполагаемой оси шва,
пропуская его через отверстия, просверленные на расстоянии, равном ширине шва (рис. 21). Измерительный пояс устанавливали на
некотором расстоянии от места начала сварки. Напряжение на
клеммах пояса, пропорциональное току, охватываемому поясом,
записывали через усилитель на пленку осциллографа при выполнении наплавки на пластину в том же режиме, при котором производили моделирование на электропроводной бумаге. Сравнение
плотности тока перед дугой, рассчитанное по результатам обработки осциллограмм тока (рис. 22, кривая 1), с данными, полученными моделированием (см. рис. 22, кривая 2), свидетельствует о
достаточной точности решения задачи токораспределения
методом моделирования на электропроводной бумаге.
Рис. 21. Размещение магнитного пояса для замера плотности тока
перед дугой
Рис. 22. Результаты эксперимента (1) и моделирования (2)
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Применяя метод моделирования на электропроводной бумаге,
можно построить линии распределения тока по изделию любой конфигурации при условии сохранения плоскопараллельности полей.
6.3. Подобие электрического и температурного полей
при сварке
Плотность тока в свариваемом изделии
j = −σgradU ,
где σ – электропроводность металла.
Подставив в это уравнение значение градиента электрического
потенциала, получим
⎛ ∂U
∂U
∂U ⎞
+j
+k
j = −σ ⎜ i
⎟.
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
Потенциал зависит от температуры. Если среда однородна и
распределение потенциалов зависит только от температуры, то
∂U dU ∂T
.
=
∂x dT ∂x
Аналогично записываются и другие частные производные. Тогда
⎛ dU ∂T
dU ∂T
dU ∂T ⎞
i = −σ ⎜ i
+j
+k
⎟=
dT ∂y
dT ∂z ⎠
⎝ dT ∂x
dU ⎛ ∂T
∂T
∂T ⎞
dU
grad T .
= −σ
+j
+k
⎜i
⎟ = −σ
dT ⎝ ∂x
∂y
∂z ⎠
dT
Так как q = −λ gradT , то gradT = −
j=
q
; тогда
λ
σ dU
q.
λ dT
Следовательно, линии тока совпадают с линиями теплового
потока. Электрическое и температурное поля при сварке подобны.
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.4. Связь между температурным и электрическим полями
при дуговой сварке
Рассчитывая тепловые процессы при сварке, в большинстве
случаев теплотой, выделяющейся в свариваемом металле при прохождении сварочного тока, пренебрегают. Тогда уравнение теплопроводности можно записать в виде
div λ gradT = 0,
(6.6)
или
⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
∂T ∂λ ∂T ∂λ ∂T ∂λ
+
+
+ λ⎜ 2 + 2 + 2
⎜ ∂x
∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
∂y
∂z
⎝
⎞
⎟ = 0.
⎟
⎠
(6.7)
Считаем, что теплопроводность металла зависит только от
температуры, поэтому
∂λ d λ ∂T ∂λ d λ ∂T ∂λ d λ ∂T
;
=
;
.
=
=
∂y dT ∂y
∂z dT ∂z
∂x dT ∂x
(6.8)
Подставив (6.8) в (6.7), получим
2
2
2
d λ ⎡⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂T ⎞ ⎤
⎢⎜
+
+
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎥ + λΔT = 0,
dT ⎢⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎥
⎣
⎦
(6.9)
где
ΔT =
∂ 2T
∂x 2
+
∂ 2T
∂y 2
+
∂ 2T
∂z 2
.
Уравнение теплопроводности (6.6) дополним требованием отсутствия внутренних источников тока в свариваемом изделии, т. е.
div j = 0,
(6.10)
где j – плотность электрического тока в свариваемом изделии.
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как j = −σgradU , уравнение (6.10) можно записать следующим образом:
div σgradU = 0,
или
⎞ ∂ ⎛ ∂U ⎞ ∂ ⎛ ∂U
⎟ + ⎜σ
⎟ + ⎜σ
⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z
Продифференцировав это выражение, получим
∂ ⎛ ∂U
⎜σ
∂x ⎝ ∂x
⎞
⎟ = 0.
⎠
∂σ ∂U ∂σ ∂U ∂σ ∂U
+
+
+ σΔU = 0,
∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
(6.11)
где
ΔU =
∂ 2U
∂x 2
+
∂ 2U
∂y 2
+
∂ 2U
∂z 2
.
Положим, что электропроводность свариваемого металла зависит только от температуры, тогда
∂σ d σ ∂T
=
;
∂x dT ∂x
∂σ d σ ∂T
=
;
∂y dT ∂y
∂σ d σ ∂T
.
=
∂z dT ∂z
Подставив эти соотношения в уравнение (6.11), получим выражение для электрических потенциалов
d σ ⎡ ∂U ∂T ∂U ∂T ∂U ∂T ⎤
+
+
⎢
⎥+
dT ⎣ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎦
⎛ ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U ⎞
+ σ ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ = 0.
⎜ ∂x
∂y
∂z ⎟⎠
⎝
(6.12)
Если пренебречь неоднородностью металла и считать, что потенциал зависит только от температуры, можно записать
∂U dU ∂T
;
=
∂x dT ∂x
∂ 2U
∂x 2
60
2
=
d 2U ⎛ ∂T ⎞
dU ∂ 2T
.
+
⎜ ⎟
dT ∂x 2
dT 2 ⎝ ∂x ⎠
(6.13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аналогичные соотношения можно записать и для остальных
координат. Подставим выражения (6.13) в формулу (6.12) и после
преобразований найдем
d σ dU
dT dT
2⎤
⎡ ∂T 2 ⎛ ∂T ⎞ 2
⎞
⎛ ∂T ⎞ ⎥
⎢⎛⎜
+
+
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ +
⎢⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎥
⎣
⎦
⎧ 2
⎪d U
+σ⎨
2
⎪⎩ dT
⎫
⎡ ∂T ⎞ 2 ⎛ ∂T ⎞ 2 ⎛ ∂T ⎞2 ⎤ dU
⎪
⎢⎛⎜
⎥
+
+
+
Δ
T
⎬ = 0.
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎢⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎥ dT
⎪⎭
⎣
⎦
⎡⎛ ∂T ⎞ 2 ⎛ ∂T ⎞ 2 ⎛ ∂T ⎞ 2 ⎤
Разделив это выражение на σ ⎢⎜
⎟ +⎜
⎟ +⎜
⎟ ⎥ , получим
⎢⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎥
⎣
⎦
ΔT
1 d σ dU d 2U dU
+
+
= 0.
2
2
σ dT dT dT
dT ⎛ dT ⎞ ⎛ dT ⎞2 ⎛ dT ⎞2
⎜
⎟ +⎜
⎟ +⎜
⎟
⎝ dx ⎠ ⎝ dy ⎠ ⎝ dz ⎠
(6.14)
Из уравнения (6.9) найдем
1 dλ
ΔT = −
λ dT
⎡⎛ ∂T ⎞ 2 ⎛ ∂T ⎞ 2 ⎛ ∂T ⎞ 2 ⎤
⎢⎜
⎟ +⎜
⎟ +⎜
⎟ ⎥
∂y ⎠
∂z ⎠ ⎥
⎢⎝ ∂x ⎠
⎝
⎝
⎣
⎦
и, подставив результат в уравнение (6.14), получим
d 2U
dT
2
+
1 d σ dU 1 d λ dU
−
= 0,
σ dT dT λ dT dT
+
dU ⎛ 1 d σ 1 d λ ⎞
−
⎜
⎟ =0.
dT ⎝ σ dT λ dT ⎠
или
d 2U
dT
2
(6.15)
С учетом
1 dσ d
1 dλ d
=
=
(ln σ) и
(ln λ)
λ dT dT
σ dT dT
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
преобразуем выражение (6.15). В результате получим дифференциальное уравнение, выражающее связь между температурой и
потенциалом [35]:
d 2U
+
dU λ d ⎛ σ ⎞
⎜ ⎟ = 0.
dT σ dT ⎝ λ ⎠
(6.16)
dT
Для металлов отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности находится в соответствии с законом Видемана – Франца [33]
2
λ
= LT ,
σ
2
⎛ k⎞
где L – число Лоренца, L = 3⎜ ⎟ ; k – постоянная Больцмана;
⎝ e⎠
e – заряд электрона.
Соотношение Видемана – Франца выполняется для любого металла и сплава, если теплопроводность и электропроводность осуществляются свободными электронами. Для большинства металлов и сплавов число Лоренца зависит от температуры (рис. 23).
Рис. 23. Температурная зависимость числа Лоренца:
1 – Cu, Al, Ag, Au; 2 – Ni 99,9 %; 3 – Ti 99,9 % иодидный; 4 – платина;
5 – Ti 96,6 % кованый; 6 – армко-железо
Если принять, что L = const, то
d ⎛σ⎞
1
.
⎜ ⎟=−
dT ⎝ λ ⎠
LT 2
62
(6.17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
d 2U
dU
= U ′ и, используя выражение (6.17),
dT
dT
U′
U ′′ 1
= 0, или
= . Отпреобразуем уравнение (6.16), тогда U ′′ −
T
U′ T
сюда ln U ′ = ln T + ln c1 и U ′ = c1T . Окончательно получим уравнение, выражающее связь потенциала и температуры,
Обозначим
2
= U ′′,
1
U = c1T 2 + c2.
2
(6.18)
Совпадение эквипотенциальных и изотермических поверхностей в изделии и связь температуры и потенциала, выраженная
уравнением (6.18), соблюдаются при следующих условиях:
1) металл однородный;
2) поверхности ввода и вывода теплового потока и электрического тока совпадают;
3) поверхности ввода и вывода теплового потока и электрического тока являются одновременно эквипотенциальными и изотермическими. На этих поверхностях U = const и T = const;
4) остальные (боковые) поверхности являются адиабатическими границами. Тепловой поток и электрический ток через эти граdT
dU
ницы равны нулю:
=0 и
= 0.
dn
dn
Рассмотрим, насколько этот случай соответствует условиям
сварки.
Подвод электрического тока и теплового потока к свариваемому изделию осуществляется дугой. Поверхность контакта дуги с
жидким металлом можно принять за эквипотенциальную, так как
экспериментальных данных, показывающих наличие тангенциальной составляющей электрического поля в металле у поверхности
анода, в литературе нет. Электрическое поле у поверхности анода
остается почти плоским, поток направлен практически перпендикулярно к нему, продолжая линии тока столба дуги [25]. В то же
время поверхность контакта дуги с жидким металлом можно принять и за изотермическую с температурой, равной температуре
кипения жидкого металла, так как температура столба дуги намного выше температуры кипения металлов. Пренебрежем влиянием
теплоотвода через наружные поверхности свариваемого изделия.
Будем считать, что отвод теплоты от изделия происходит лишь
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
через поверхность контакта изделия со стеллажом или сборочным
приспособлением и что токоотвод от изделия осуществляется через поверхность этого контакта. Тогда изотермическая поверхность отвода теплового потока и эквипотенциальная поверхность
отвода сварочного тока также совпадают. В результате получается,
что изотермические поверхности ввода и вывода теплового потока
являются эквипотенциальными, а все прочие граничные поверхности адиабатически изолированы. При этом условия сварки полностью соответствуют рассмотренному случаю, и связь потенциала и
температуры будет выражаться дифференциальным уравнением
(6.18).
Оценим, насколько допустимо принимать поверхности свариваемого изделия адиабатическими. Адиабатическое условие представляет предельный случай условия теплообмена на границе, когда при весьма малом коэффициенте теплоотдачи и значительном
коэффициенте теплопроводности поток теплоты через поверхность приближается к нулю.
При сварке массивных изделий отвод теплоты вследствие теплопроводности в глубь изделия настолько велик, что при расчетах
температурных полей потерей теплоты через поверхности изделия
в окружающую среду пренебрегают [29]. В уравнении распространения теплоты от точечного источника на поверхности полубесконечного тела коэффициент теплоотдачи в окружающую среду отсутствует. В этом случае изотермические и эквипотенциальные
поверхности совпадают с большой степенью точности, и по известному тепловому полю можно с большой точностью рассчитать
электрическое поле, решив дифференциальное уравнение (6.18).
Оценку отношения интенсивности теплообмена между поверхностями свариваемого изделия и воздухом к интенсивности процесса переноса теплоты в твердом теле можно провести по критерию Био [34]
α
Bi = l ,
λ
где α – коэффициент поверхностной теплоотдачи; λ– коэффициент
теплопроводности; l – характерный размер тела.
Если Bi << 1, то процессом теплообмена между поверхностью
твердого тела и окружающей средой можно пренебречь [34].
В диапазоне температур 50…1500 °С полный коэффициент те2
плоотдачи возрастает в 30–50 раз (от 12 до 335 Дж/(м ·с·град) для
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
низкоуглеродистой стали [29]). За характерный размер тела в направлении нормали к поверхности нужно принять толщину изделия. Приняв толщину свариваемых пластин, равной 0,01 м, и величину коэффициента теплоотдачи при Т = 1500 °С, равной
2
335 Дж/(м ·с·град), получим Bi = 8 ⋅ 10−2. Так как Bi << 1, процессом теплообмена между поверхностью свариваемого изделия и
воздухом можно пренебречь и считать поверхности свариваемого
изделия адиабатически изолированными.
В действительности, поскольку граничные условия для температуры и электрического потенциала на поверхностях свариваемого изделия различны, поверхности с равным электрическим потенциалом и изотермой в точности не совпадают. Так как более точное совпадение граничных условий наблюдается в месте ввода
электрического тока и теплоты (в месте контакта дуги с жидким
металлом), совпадение изотермических и эквипотенциальных поверхностей будет наибольшим вблизи дуги, т. е. в сварочной ванне. В более отдаленных от дуги участках изделия расхождение эквипотенциалей и изотерм может быть значительным и зависеть от
расположения токоподвода к свариваемой детали.
Таким образом, при рассмотрении токораспределения в области сварочной ванны изотермическую поверхность плавления можно принимать за эквипотенциальную поверхность электрического
поля в случае, если не применяется ориентированный токоподвод,
расположенный близко к сварочной ванне.
6.5. Электрическое поле в изделии при дуговой сварке
В разд. 6.4 получено общее решение дифференциального уравнения, связывающего потенциал и температуру в изделии при дуговой сварке:
U = C1T 2 + C2 .
(6.19)
Найдем частное решение дифференциального уравнения [35].
Определим начальные условия на поверхности контакта дуги с
жидким металлом, на которой температура достигает температуры
кипения металла. Зададим на ней потенциал U = U1. Найдем значение dU / dT на этой поверхности. Так как
∂U dU ∂T
,
=
∂n dT ∂n
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
получим
dU ∂U / ∂n
.
=
dT ∂T / ∂n
Из уравнений j = σ gradU и q = λ gradT найдем
∂U
j
=
∂n σ
и
∂T q
= .
∂n λ
Следовательно,
dU λ j
=
.
dT σq
(6.20)
По закону Видемана – Франца
λ / σ = LTкип ,
поэтому
dU
j
= LTкип .
dT
q
Для нормально-кругового распределения теплового потока
удельный тепловой поток дуги
q = q0e
− KT r 2
,
(6.21)
где q0 – наибольший удельный тепловой поток в центре пятна
нагрева,
q0 =
KT
qи ;
π
KT – коэффициент сосредоточенности теплового потока дуги;
qи – эффективная тепловая мощность нагрева изделия дугой,
qи = ηиU д I ,
(6.22)
ηи – эффективный КПД дуги; U д , I – напряжение на дуге и сварочный ток.
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Используя уравнения (6.21) и (6.22), получаем выражение
удельного теплового потока дуги
q=
2
KT
ηиU д Ie− KT r .
π
(6.23)
Плотность тока при нормально-круговом распределении сварочного тока на поверхности контакта дуги с жидким металлом
описывается выражением
j = j0e
− K эr 2
(6.24)
,
где j0 – значение плотности тока в центре дуги,
j0 =
Kэ I
;
π
K э – коэффициент сосредоточенности тока.
Подставив значение j0 в уравнение (6.24), найдем
j=
K э − Kэr 2
.
Ie
π
(6.25)
Используя уравнения (6.23) и (6.25), получаем соотношение
2
j K э e( KТ − K э ) r
=
.
q
KT ηиU д
Подставив это соотношение в (6.20), найдем значение производной потенциала по температуре на поверхности контакта дуги с
жидким металлом
2
dU LTкип K э e( KТ − K э ) r
=
.
dT
KT ηuU д
Исходя из найденных начальных условий на поверхности контакта
дуги с жидким металлом
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
при T = Tкип ,
U = U1
dU LTкип K э e( KТ − K э ) r
=
,
dT
KT ηиU д
из системы уравнений
2
⎧C1Tкип
+ С2 = U1;
⎪⎪
2
⎨
LTкип K э e( KТ − K э ) r
⎪2C1Tкип =
KT ηиU д
⎪⎩
определим произвольные постоянные уравнения (6.19)
2
LK e( KТ − K э ) r
C1 = 0,5 э
;
KT ηиU д
2
LT 2 K e( KТ − K э ) r
C2 = −0,5 кип э
+ U1.
KT ηuU д
Подставив C1 и C2 в уравнение (6.19), получим уравнение
распределения потенциала при дуговой сварке
2
2
LK e( KТ − K э ) r (T 2 − Tкип
)
U = 0,5 э
+ U1.
KT ηиU д
Определим распределение плотности тока в свариваемом изделии:
j = −σ gradU .
Подставив значение градиента электрического потенциала в это
выражение, найдем
⎛ ∂U
∂U
∂U ⎞
+j
+k
j = σ⎜ i
⎟.
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если среда однородна и распределение потенциала зависит
только от температуры, то
∂U dU ∂T
=
.
∂x dT ∂x
Аналогично записываются и другие частные производные. Тогда
j
⎛ dU ∂T
dU ∂T
dU ∂T ⎞
dU
+j
+k
grad T .
⎟ = −σ
dT ∂y
dT ∂z ⎠
dT
⎝ dT ∂x
= −σ ⎜ i
Из уравнения (6.19) найдем производную потенциала по температуре
dU
= 2C 1T
dT
и, подставив ее в предыдущее уравнение, получим
j = −2C1σT gradT .
С учетом значения C1 запишем формулу, определяющую распределение тока в изделии:
2
LK э σT grad Te( KТ − K э )r
j =−
.
KT ηиU д
Так как grad T = − q / λ, получим
2
σK э LT qe( KТ − K э ) r
j=
.
λKT ηиU д
1
σ
, запишем выражение, связывающее плот=
λ LT
ность тока с плотностью теплового потока, в виде
Зная, что
2
K e ( KТ − K э ) r q
j= э
.
KT ηиU д
(6.26)
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Это уравнение показывает, что векторы плотности тока и теплового
потока совпадают по направлению в каждой точке, линии тока совпадают с линиями теплового потока, следовательно, тепловые и
электрические поля подобны при указанных граничных условиях.
По формуле (6.26) можно рассчитывать плотность сварочного
тока в изделии по известному температурному полю при рассмотренных граничных условиях.
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
1. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: Учеб. для
вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им.
Н.Э. Баумана, 2001. 496 с.
2. Амосов А.М., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные
методы для инженеров: Учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1994. 544 с.
3. Судник В.А., Ерофеев В.А. Компьютерные методы исследования
процессов сварки. Тула: ТПИ, 1988. 94 с.
4. Параметры открытой дуги, стабилизированной продольным потоком аргона / Р.С. Бобровская, Н.И. Бортничук, А.А. Воропаев и др.
// Прикладная механика и техническая физика. 1973. № 1. C. 66–74.
5. Промышленные установки электродугового нагрева и их параметры / Л.Е. Никольский, Н.И. Бортничук, Л.А. Вольхонский и др.; Под ред.
Л.Е. Никольского. Л.: Энергия, 1977. 271 с.
6. Электромагнитные силы в сварочной дуге / В.С. Мечев, В.С. Слободянюк, М.А. Самсонов, В.С. Энгельшт // Автоматическая сварка. 1980.
№ 8. C. 17–20.
7. Сильноточная дуга с конусным катодом / Л.Е. Ерошенко, П.В. Козлов, В.С. Мечев и др. // VII Всесоюзная конференция по генераторам
низкотемпературной плазмы. Алма-Ата: КазГУ, 1977. Т. 2. C. 11–14.
8. Миткевич В.Ф. К вопросу о механизме вольтовой дуги //Журнал
русского физико-химического общества. 1903. № 5. C. 507.
9. Сивухин Д.В. Общий курс физики: Механика. М.: Наука, 1979.
520 с.
10. Ерохин А.А. Силовое воздействие дуги на расплавляемый металл
// Автоматическая сварка. 1979. № 7. C. 21–26.
11. Ерохин А.А. Основы сварки плавлением. М.: Машиностроение,
1973. 448 с.
12. Петруничев В.А. Тепловое и механическое воздействие дуги
большой мощности на сварочную ванну // Процессы плавления основного металла при сварке. М.: Изд-во АН СССР, 1960. C. 117.
13. Силовое воздействие импульсной дуги на свариваемый металл
/ А.А. Ерохин, В.А. Букаров, Ю.С. Ищенко, В.Я. Кубланов // Автоматическая сварка. 1976. № 5. C. 6–7.
14. Руссо В.Д., Суздалев И.В., Явно Э.И. Влияние напряжения дуги и
заточки неплавящегося электрода на силовое воздействие дуги // Сварочное производство. 1977. № 7. C. 6.
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. Шоек Г.А. Исследование баланса энергии на аноде сильноточных
дуг, горючих в атмосфере аргона // Современные проблемы теплообмена.
М.: Энергия. 1966. C. 110 –139.
16. Ерохин А.А., Букаров В.А., Ищенко Ю.С. Влияние геометрии
вольфрамового катода на некоторые характеристики сварочной дуги и
проплавление металла // Сварочное производство. 1971. № 12. C. 17.
17. Котов Г.М., Черкесов Н.Е., Меньшова Г.В. Распределение газокинетической составляющей давления дуги по ее радиусу // Автоматическая сварка. 1974. № 10. C. 72–73.
18. Газодинамическое давление открытой импульсной дуги / Н.С. Барабохин, Н.В. Шиганов, И.Ф. Сошко, В.В. Иванов // Сварочное производство. 1976. № 2. C. 4–6.
19. Ковалев И.М., Акулов А.И. Скоростные и тепловые характеристики дуговых потоков // Физика и химия обработки материалов. 1971. № 6.
C. 27.
20. Гольдфарб В.М., Гуревич Б.Н., Юрк А.Д. Исследование некоторых
компактных методов измерения тепловых потоков и температуры плазмы
// Теплофизические свойства низкотемпературной плазмы. М.: Наука,
1970. C. 16–22.
21. Арцимович Л.А. Элементарная физика плазмы. М.: Атомиздат,
1966. 200 с.
22. Кубарев В.Ф., Крутянский М.М., Чернышов Г.Г. Газодинамические характеристики аргоновой сварочной дуги с нерасходуемым катодом // Физика и химия обработки материалов. 1982. № 3. С. 39–45.
23. Мечев В.С., Ерошенко Л.Е. Влияние угла заточки неплавящегося
электрода на параметры электрической дуги при сварке в аргоне // Сварочное производство. 1976. № 7. С. 13–16.
24. Жуков М.Ф., Коротеев А.С., Урюков Б.А. Прикладная динамика
термической плазмы. Новосибирск: Наука, 1975. 298 с.
25. Лесков Г.И. Электрическая сварочная дуга. М.: Машиностроение,
1970. 335 с.
26. Финкельбург В., Меккер Г. Электрические дуги и термическая
плазма. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 370 с.
27. Селяненков В.Н. Распределение давления сварочной дуги постоянного тока // Сварочное производство. 1974. № 7. С. 4–6.
28. Райчук Ю.И. Распределение тока по пластине при дуговой сварке
// Автоматическая сварка. 1967. № 4. С. 19–22.
29. Рыкалин Н.М. Расчеты тепловых процессов при сварке. М.: Машгиз, 1951. 296 с.
30. Микрюков В.Е. Теплопроводность и электропроводность металлов
и сплавов. М.: Металлургиздат, 1959. 260 с.
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
31. Фильчаков П.Ф., Панчишин В.И. Интеграторы ЭГДА. Моделирование потенциальных полей на электропроводной бумаге. Киев: Изд-во
АН СССР, 1961. 171 с.
32. Белащенко Д.К. Исследование расплавов методом электропереноса. М.; Атомиздат, 1974. 88 с.
33. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. М.: Наука,
1974. 942 с.
34. Гухман А.А. Введение в теорию подобия. М.: Высш. шк., 1973.
296 с.
35. Рыбачук А.М. Электрическое поле в изделии при дуговой сварке
// Стабильность, качество и работоспособность сварных конструкций. М.:
МАСИ, 1993. C. 125–128.
36. Акулов А.И., Рыбачук А.М., Чернышев Г.Г. Деформация электрического поля при дуговой сварке // Изв. вузов. Машиностроение. 1981.
№ 6. С. 122–126.
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
Введение .......................................................................................................
1. Моделирование. Основные понятия ......................................................
2. Электрическая сварочная дуга. Математическая модель ....................
2.1. Уравнение энергии ...........................................................................
2.2. Уравнение движения........................................................................
2.3. Уравнение неразрывности ...............................................................
2.4. Уравнения электродинамики...........................................................
2.5. Уравнения состояния .......................................................................
2.6. Граничные условия ..........................................................................
3. Силовое воздействие дуги ......................................................................
3.1. Собственное магнитное поле дуги..................................................
3.2. Радиальные электромагнитные силы в дуге .................................
3.3. Осевые электромагнитные силы в дуге..........................................
3.4. Расход газа, захваченного в дугу ....................................................
3.5. Статическая и динамическая составляющие полного давления
дуги ....................................................................................................
3.6. Влияние параметров режима сварки на давление дуги ................
3.7. Распределение давления дуги .........................................................
3.8. Параметры дуги при нормальном распределении давления ........
3.9. Влияние коэффициента сосредоточенности дуги на процесс
сварки и качество шва......................................................................
4. Распределение температуры в дуге........................................................
5. Расчет параметров электрической дуги с неплавящимся электродом ............................................................................................................
6. Распределение сварочного тока в изделии и в ванне ...........................
6.1. Деформация электрического поля при дуговой сварке ................
6.2. Моделирование распределения тока по пластине при
дуговой сварке ..................................................................................
6.3. Подобие электрического и температурного полей при
дуговой сварке ..................................................................................
6.4. Связь между температурным и электрическим полями при
дуговой сварке ..................................................................................
6.5. Электрическое поле в изделии при дуговой сварке ......................
Список литературы......................................................................................
74
3
4
5
6
9
12
15
18
19
20
21
23
26
29
31
33
35
36
38
39
41
49
51
53
58
59
65
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для заметок
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Александр Михайлович Рыбачук
Георгий Георгиевич Чернышов
Математическое моделирование физических процессов в дуге
и сварочной ванне
Редактор О.М. Королева
Корректор Л.И. Малютина
Компьютерная верстка О.В. Беляевой
Подписано в печать 05.02.2007. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.
Печ. л. 4,75. Усл. печ. л. 4,42. Уч.-изд. л. 4,15. Тираж 100 экз.
Изд. № 141. Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа