close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

29.Численное моделирование тепловых полей при лазерной обработке

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
М.В. Таксанц, Л.Н. Майоров,
А.Х. Харахашев
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ ПРИ ЛАЗЕРНОЙ
ОБРАБОТКЕ
Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2007
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 536.24
ББК 31.31
Т15
Рецензенты: Г.М. Алексеев, В.П. Мороз
Т15
Таксанц М.В, Майоров Л.Н, Харахашев А.Х.
Численное моделирование тепловых полей при лазерной
обработке: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 120 с.: ил.
ISBN 5-7038-2839-2
Дана общая постановка задачи моделирования тепловых полей, рассмотрены возможности применения аналитических и численных методов
для исследования тепловых процессов, происходящих в материале, подвергшемуся воздействию концентрированных источников энергии. Особое
внимание в пособии уделено численным методам, так как они позволяют
учесть зависимость теплофизических свойств материалов от температуры,
распределение плотности мощности источника в пятне нагрева, скрытую
теплоту фазовых превращений и т. д. Приведены конкретные примеры их
применения.
Для студентов специальности «Машины и технология высокоэффективных процессов обработки».
Ил. 17. Табл. 3. Библиогр. 6 назв.
УДК 536.24
ББК 31.31
ISBN 5-7038-2839-2
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В современной промышленности существует огромное количество технологических процессов, таких как сварка, резка, прошивка отверстий, термическая обработка поверхностей различных
материалов и другие, при которых используются концентрированные источники энергии.
Когда подобный мощный источник энергии воздействует на
материал, он вызывает фазовые и структурные превращения в нем,
которые являются целью технологического процесса. Но перегрев
материала в зоне термического влияния приводит и к таким фазовым и структурным превращениям, которые влекут за собой трещинообразование, снижение прочности и коррозионной стойкости
изделия и другие негативные последствия, поэтому исследование
тепловых процессов, происходящих в материале, необходимо при
разработке технологий, использующих концентрированные источники энергии.
Данная работа посвящена расчетным методам исследования
тепловых процессов и получения количественных данных о распределении температур в материале.
1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ
ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Тепловые процессы в материале обычно описываются с помощью понятий температурное поле и термический цикл.
Температурное поле – это совокупность значений температур
во всех точках какой-либо пространственной области в данный
момент времени.
Наглядным изображением температурных полей являются изотермы. Изотермы, или изотермические линии, – это геометрическое место точек тела, имеющих одинаковую температуру.
Термическим циклом называется изменение температуры во
времени в данной точке. Термические циклы характеризуют те фазовые превращения, которые происходят в материале при нагреве;
они зависят от режима обработки, теплофизических свойств материала и т. д. Термические циклы точек, расположенных на одном
расстоянии от оси движения источника теплоты в установившемся
температурном поле, одинаковы, но смещены во времени.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение температурных полей и циклов является важной
задачей при проектировании технологического процесса. Поскольку экспериментальное определение термических циклов при
лазерной обработке возможно только на поверхности и связано с
большими техническими трудностями из-за высоких скоростей
нагрева и охлаждения материала, большой интерес вызывает возможность их расчетного определения.
В общем случае изменение температуры в произвольной точке
твердого тела определяется нелинейным дифференциальным
уравнением теплопроводности в частных производных
с(Т ) γ
∂Т ∂ ⎡
∂T ⎤ ∂ ⎡
∂T ⎤ ∂ ⎡
∂T ⎤
= ⎢ λ х (T ) ⎥ + ⎢λ у (T ) ⎥ + ⎢λ z (T ) ⎥ +Q, (1.1)
∂t ∂x ⎣
∂x ⎦ ∂y ⎣
∂y ⎦ ∂z ⎣
∂z ⎦
где Q – удельное количество теплоты, подводимое к телу; λ(T ) –
зависимость коэффициентa теплопроводности от температуры;
c(T ) – зависимость удельного коэффициента теплоемкости от
температуры; γ – плотность обрабатываемого материала.
Уравнение (1.1) имеет множество решений. Для корректной постановки задачи и получения единственного решения необходимо
задавать краевые условия (сведения об искомых непрерывных
функциях на границах рассматриваемых областей, т. е. граничные
условия, а в случаях нестационарных задач – значения этих же
функций в начальный момент времени, т. е. начальные условия).
Исходное дифференциальное уравнение в частных производных вместе с краевыми условиями носит название дифференциальной краевой задачи.
Граничные условия в краевых задачах могут быть заданы различными способами. На границе рассматриваемой области можно
задать:
– значение искомой функции (граничные условия 1-го рода);
– значения производных по пространственным координатам от
искомой функции (граничные условия 2-го рода);
– уравнение баланса потоков (граничные условия 3-го рода).
Для уравнений теплопроводности чаще задают граничные условия 1-го и 3-го рода, т. е. на границе рассматриваемой области
задают либо значения температур T ( x) = T0 , либо условия теплообмена с внешней средой. При этом если на границе области про4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
исходит конвективный теплообмен, то граничное условие 3-го рода записывают как
λX
∂T
∂T
+ λY
+ α (T − T * ) = 0,
∂x
∂y
где а – коэффициент теплообмена, в общем случае являющийся
функцией температуры; T * – температура окружающей среды.
Если на границе задан поток q теплоты, то граничное условие
будет иметь вид
λX
∂T
∂T
+ λY
+ q = 0,
∂x
∂y
где поток q считается положительным, если теплота отводится от
рассматриваемого объекта.
Поток q теплоты и конвективный теплообмен не могут задаваться одновременно на одном и том же участке границы. Граничное условие 2-го рода
∂T
∂T
= 0,
=0
∂x
∂y
соответствует частному случаю, когда граница теплоизолирована,
т. е. конвективный теплообмен отсутствует и поток теплоты равен
нулю.
2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
При введении условия независимости теплофизических
свойств материала от температуры дифференциальное уравнение
(1.1) принимает упрощенный линейный вид и становится решаемо
для ряда случаев в аналитической форме (при этом считают, что
коэффициенты теплопроводности λ и удельной теплоемкости с
являются постоянными величинами и не зависят от температуры):
λ (T ) = λ, c(T ) = c,
сγ
∂Т
∂ 2T
∂ 2T
∂ 2T
= λ 2 + λ 2 + λ 2 + Q.
∂t
∂x
∂y
∂z
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для расчета тепловых процессов следует правильно определить, какой источник теплоты соответствует рассматриваемому
случаю.
При коротком воздействии на материал сфокусированным
лазерным излучением изменение температурного поля можно
считать следствием воздействия мгновенного точечного (сосредоточенного) источника. Процесс распространения теплоты мгновенного сосредоточенного источника Q, выделившейся на поверхности полубесконечного тела в момент времени t без учета
теплоотдачи с поверхности материала описывают уравнением [1]
Т ( R, t ) =
2Q
cγ (4παt )
3
e
2
−
R2
4 αt
+ T0 ,
(1.2)
где Т – температура в рассматриваемой точке с координатами
(х, у, z), начало системы координат совмещено с источником нагрева; t – время, отсчитываемое с момента начала воздействия источника теплоты; R 2 = x 2 + y 2 + z 2 – квадрат расстояния от источника теплоты Q до рассматриваемой точки тела с координатами
λ
(х, у, z); α – коэффициент температуропроводности, α = ; cγ –
сγ
коэффициент объемной теплоемкости; Т0 – начальная температура
материала, т. е. температура материала, которую он имел до воздействия источника теплоты. Далее принимаем Т0 = 0.
При длительном действии точечного источника в течение произвольного времени t можно использовать принцип наложения
температур. Для этого представляют время t действия непрерывного источника в виде совокупности бесконечно малых элементов
dt′ и интегрируют выражение изменения температуры за время
dt′ по времени t:
t
Т ( R, t ) = ∫ dT ( R, dt ′).
0
Если на поверхности тела действует непрерывный точечный источник постоянной интенсивности q = const, то можно получить
выражение для определения температуры в точке с координатами
(х, у, z) в аналитическом виде [1]:
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т ( R, t ) =
q ⎡
⎛ R ⎞⎤
⎢1 − Φ ⎜
⎟⎥ ,
2πλ R ⎣
⎝ 4αt ⎠ ⎦
где Ф – функция интеграла вероятности, ее значения даны в табл.
П1.
При действии линейного источника с энергией q, выделившейся в тонкой пластине с равномерным распределением по толщине в начальный момент времени t = t0 [1], имеем
R2
−
−bt
q
Т ( R, t ) =
e 4 αt ,
4πδλt
(1.3)
где δ – толщина пластины; b – коэффициент температуроотдачи,
учитывающий поверхностную теплоотдачу в окружающую среду,
2α
b = T ; αT – коэффициент полной поверхностной теплоотдачи.
cγ δ
Распределение температуры в случае действия непрерывного
линейного источника можно получить так же, как и в случае действия точечного источника, а именно интегрированием температурных полей от отдельных мгновенных источников:
t
R2
−
−bt
qdt
Т ( R, t ) = ∫
e 4αt .
4πδλt
0
В случае движения источника теплоты по поверхности материала расчет усложняется. Лазерная обработка выполняется высококонцентрированным источником энергии, что позволяет, как правило, осуществлять процесс с большими скоростями. При этом
нагретая область имеет малую ширину и представляет собой узкую
полосу, вытянутую по траектории перемещения лазерного луча. В
этом случае теплота распространяется в основном в направлении,
перпендикулярном шву, что приводит к некоторому упрощению
расчетных схем. Источник теплоты, используемый в такой расчетной схеме, носит название мощного быстродвижущегося.
Уравнение предельного состояния процесса распространения
теплоты мощного быстродвижущегося точечного источника в полубесконечном теле имеет вид [1]
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
−
q
Т=
e
2πλ vt
y2 + z2
−bt
4 αt
,
(1.4)
где v – скорость перемещения источника; t – время, отсчитываемое от момента, когда источник пересекает плоскость, проведенную перпендикулярно оси движения источника через рассматриваемую точку А на расстоянии у от оси движения (рис. 1).
Рис. 1. Определение момента начала отсчета времени:
А – рассматриваемая точка; y – расстояние от A до траектории движения луча
Уравнение предельного состояния процесса распространения
теплоты мощного быстродвижущегося линейного источника в
бесконечной пластине имеет вид [1]
y2
−
−bt
q
Т=
e 4 αt .
v δ 4πλ сγ t
(1.5)
Формулы (1.2)–(1.5) были получены аналитическим решением
линейного дифференциального уравнения теплопроводности, в
котором теплофизические свойства материала были приняты постоянными, на самом деле их зависимость от температуры существенна, особенно при наличии фазовых переходов.
3. ЗАВИСИМОСТЬ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
МАТЕРИАЛОВ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
3.1. Зависимость теплоемкости от температуры
Теплоемкость тела С есть отношение количества теплоты
ΔQ, подведенной к телу, к соответствующему изменению темпе8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ратуры ΔT . Теплоемкость тела зависит от условий нагревания.
Наиболее употребительны теплоемкость при постоянном давлении
ср (изобарная теплоемкость) и теплоемкость при постоянном объеме сV (изохорная теплоемкость). Разность между ними для твердых тел, как правило, невелика. Теплоемкость твердых тел (за исключением теплоемкости твердого гелия) слабо зависит от
давления.
Важнейшим параметром, характеризующим температурную
зависимость теплоемкости твердого тела∗, является характеристическая температура Дебая θ, определяемая соотношением [2]
k θ = k ν,
где k = 1,38 ⋅ 10−23 – постоянная Больцмана, Дж/K; h = 6, 6 ⋅ 10−34 –
постоянная Планка, Дж⋅с; θ – дебаевский параметр, K; ν – максимальная частота колебаний атома в кристалле, Гц.
В соответствии с квантовой теорией Дебая молярная (т. е. рассчитанная для 1 моля данного вещества) колебательная теплоемкость твердого тела cV , Дж/(моль⋅K), определяется соотношением
⎛θ⎞
cV = 3RnD ⎜ ⎟ ,
⎝T ⎠
где R = 8,31 – универсальная газовая постоянная, Дж/(моль⋅K); n –
число атомов в молекуле; D – функция Дебая; Т – температура, K.
При температуре, большей дебаевской (Т > θ), выполняется закон Дюлонга–Пти:
cV = 3Rn = 25n.
При низкой по сравнению с дебаевским параметром температуре (Т < 0,1 θ) молярную теплоемкость твердого тела обычно
представляют как
cV = 1944n(T / θ)3 + ςT ,
2
где ς – коэффициент электронной теплоемкости, Дж/(моль⋅K ).
Большие отклонения температурной зависимости теплоемкости от приведенного выше соотношения наблюдаются у лантанои∗
Для описания теплоемкости жидкостей простых закономерностей не существует.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дов, актиноидов, их химических соединений, а также у других веществ при наличии в них магнитных ионов. Происходящие в твердом теле процессы упорядочения (структурного, магнитного,
сверхпроводящего и др.) также вызывают существенные аномалии
теплоемкости (рис. 2).
Рис. 2. Молярная теплоемкость железа вблизи ферромагнитного
фазового перехода
Значения удельной изобарной теплоемкости ср, функции Дебая
D(θ/Т), параметра θ и коэффициента электронной теплоемкости ς
для некоторых веществ приведены в табл. П2–П7 [2].
Для фазовых переходов первого рода (испарения, плавления,
сублимации, перехода из одной кристаллической модификации в
другую и т. д.) характерно выделение или поглощение теплоты.
Теплоемкость при этом, как правило, изменяется, причем теплоемкость высокотемпературной фазы может быть как больше, так и
меньше теплоемкости низкотемпературной фазы.
При фазовых переходах второго рода выделения скрытой теплоты не происходит, а теплоемкость меняется резким скачком.
При этом теплоемкость низкотемпературной фазы, как правило,
больше теплоемкости высокотемпературной фазы.
3.2. Зависимость теплопроводности от температуры
Теплопроводность λ – молекулярный перенос теплоты в
сплошной среде, обусловленный наличием градиента температур.
Теплопроводность зависит от агрегатного состояния вещества,
его состава, чистоты, температуры, давления и т. д. Так, для большинства веществ теплопроводность жидкой фазы примерно в 10
раз больше, чем теплопроводность газообразной, а у твердых тел
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
она значительно выше, чем у жидкостей около точки плавления
(исключения – висмут, олово, теллур).
На практике часто случается, что теплопроводности внутри тела и вблизи его границ различные. Это обусловлено тем, что внутри тела и на его поверхности не одинаковы условия протекания
процесса теплопереноса и по-разному меняется структура вещества в результате термообработки, наплавки и т. д. В табл. П8 и П9
приведены значения теплопроводностей сталей и некоторых других химических веществ для частей тел, удаленных на достаточное расстояние от границ [2].
Существенное влияние на теплопроводность могут оказывать
внешние факторы, например, облучение, изменение давления,
магнитного поля.
В полупрозрачных средах теплопроводность определяется как
сумма собственной теплопроводности и радиационного теплопереноса. Вклад радиационной составляющей комбинированного
теплопереноса увеличивается с повышением температуры и становится существенным при температурах выше нескольких сотен
градусов Цельсия.
Теплопроводность твердых тел в подавляющем большинстве
случаев обусловлена двумя явлениями: движением электронов
проводимости (электронная теплопроводность) и тепловыми колебаниями атомов решетки (фотонная электропроводность). Первая доминирует, как правило, в металлах, вторая – в неметаллах.
При низких температурах теплопроводность твердого тела существенно зависит от количества и типа примесей, дефектов решетки, чего практически не бывает при высоких температурах.
Теплопроводность металлов и сплавов можно оценить, используя закон Видемана–Франца [3]:
λ = L0T / ρT ,
2
где L0 = 2, 445 ⋅ 10−8 Вт ⋅ Ом/K – число Лоренца; ρT – удельное
сопротивление материала при температуре Т, Ом ⋅ м.
Для большинства металлов закон Видемана-Франца справедлив при высоких и очень низких температурах. Для чистых металлов в области промежуточных температур этот закон дает завышенные значения λ. Для сплавов он дает заниженные значения
теплопроводности (до 10 раз при температурах около 20 K для
сильно разупорядоченных многокомпонентных сплавов).
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Удельное сопротивление материала может быть рассчитано по
формуле
r
ρT = ρ0 T ,
r0
где rT , r0 – значения приведенного сопротивления при температурах Т и 0 ºС, rT = 1,056(T / θ) ⋅ F (θ / T ) ; ρ0 – значение удельного
сопротивления при 0 ºС; θ – дебаевский параметр, K.
Значения удельного сопротивления некоторых материалов ρ0
1 dρ
и температурного коэффициента сопротивления α 0 =
при
⋅
ρ0 dt
0 ºС представлены в табл. П10–П17, а значения функции F (θ / T ) –
в табл. П18 [2].
При плавлении сопротивление большинства металлов увеличивается. У металлов, объем которых уменьшается при плавлении
(висмут, сурьма, галлий), сопротивление уменьшается.
4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Численные методы позволяют учесть зависимость теплофизических свойств материалов от температуры, распределение плотности мощности источника в пятне нагрева, скрытую теплоту фазовых превращений и т. д., а также соответствующие условия
теплообмена на границах рассматриваемых тел в тех случаях, когда зона нагрева соизмерима с их геометрическими размерами.
Все численные подходы в механике сплошных сред (независимо от того, какие предположения закладываются заранее) используют дискретное представление среды в виде: ячейки, конечных
элементов и т. п. Если в классических подходах на дифференциальном уровне устанавливается связь для “точечных” объемов, то
приемы вычислительной математики используют, по существу,
приближенное представление уравнений баланса для указанных
элементарных, но конечных объемов. Установление адекватности
такого представления рассматриваемому явлению – одно из центральных звеньев вычислительного эксперимента.
Существует много универсальных численных методик, которые применяют для решения нелинейных дифференциальных
уравнений в частных производных. В данное время наибольшее
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
развитие получили и широко используются для решения линейных
и нелинейных уравнений такие методы, как метод конечных разностей и метод конечных элементов. Достоинство их заключается
в том, что они сводят решение краевой задачи, т. е. задачи с заданными граничными и начальными условиями для дифференциального уравнения к решению системы алгебраических уравнений
относительно значений искомой функции на заданном множестве
точек.
4.1. Метод конечных разностей
Опишем алгоритм этого метода [4].
1. Построение расчетной сетки. В заданной области строят
сетку. В узлах сетки определяют приближенные значения ϕ h искомой функции ϕ. Совокупность узловых значений ϕ h называют
сеточной функцией.
В данном методе используют, как правило, регулярные сетки,
шаг которых либо постоянен, либо меняется по несложному закону. Расстояние между двумя соседними узлами называется шагом
сетки hi = xi − xi −1 при i = 1, 2, ..., N .
В двумерном случае для построения сетки, оси ОХ и ОУ разбивают на отрезки, которые являются шагами сетки по соответствующим направлениям. При регулярной сетке шаг h – постоянная
величина. Через точки деления проводят прямые, параллельные
осям координат. Совокупность точек пересечения этих прямых и
образует сетку в заданной области. Способ построения сетки не
меняется и в том случае, если задана область произвольной формы
(рис. 3).
Рис. 3. Построение сетки для области произвольной формы
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Узлы сетки, попавшие внутрь области, называются внутренними узлами. Точки пересечения прямых, образующих сетку, с
границей области, называются граничными узлами. Очевидно, что
даже при постоянном шаге сетки по осям Х и У в области имеются
граничные узлы, отстоящие от ближайших к ним внутренних узлов на расстояние, меньше шага по соответствующему направлению. Поэтому для двумерной области произвольной формы сетка
в общем случае является нерегулярной, а особенности геометрии
учитывают только в приграничных узлах.
∂ϕ
в ис2. Замещение дифференциального оператора Lϕ =
∂u
ходном дифференциальном уравнении разностным аналогом.
При этом непрерывная функция ϕ аппроксимируется сеточной
функцией ϕ h .
Пусть непрерывная функция ϕ( x) определена на отрезке и
описывается дифференциальным уравнением
∂ϕ
+ Aϕ = 0,
∂x
(4.1)
где А – константа.
Задано граничное условие ϕ(0) = 1. При дискретизации области была построена сетка с постоянным шагом h (рис. 4).
h
х0
х1
х2
…
хi
xi+1
xN
L
Рис. 4. Построение сетки для функции, заданной на отрезке
Заменим дифференциальный оператор разностным:
L=
14
∂ϕ
→ L + = [ϕ h ( x + h) − ϕ h ( x)]/ h,
h
∂u
(4.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где L
h+
– правая разностная производная. Подставив значение
оператора из (4.2) в исходное уравнений (4.1), получим
[ϕ h ( x + h) − ϕ h ( x)]/ h + Aϕ h ( x) = 0.
(4.3)
Умножим обе части уравнения (4.3) на h и, полагая последовательно х = 0, h, 2h,... , перейдем к системе алгебраических уравнений:
⎧ϕ h (h) + ( Ah − 1)ϕ h (0) = 0,
⎪
⎪ϕ h (2h) + ( Ah − 1)ϕ h (h) = 0,
⎨
⎪…
⎪⎩ϕ h ( Nh) + ( Ah − 1)ϕ h ( Nh − 1) = 0.
(4.4)
Решая данную систему относительно сеточной функции ϕ h ,
найдем таблицу значений, аппроксимирующую решение краевой
задачи. При уменьшении шага h сетка становится “гуще”, а таблица значений сеточной функции – подробнее. При неограниченном
стремлении шага к нулю можно было бы получить значения искомой функции в каждой точке области, однако при этом резко возрастает размерность результирующей системы.
Для аппроксимации дифференциального оператора, кроме
правой разностной схемы (4.2), используются и другие разностные
схемы, например,
L
h−
где L
h−
= [ϕh ( x) − ϕh ( x − h)]/ h,
(4.5)
– левая разностная схема.
Кроме того, для аппроксимации Lϕ можно пользоваться любой линейной комбинацией этих разностных схем
L
h0
= σL
h+
+ (1 − σ) L − ,
h
где σ – любая вещественная константа. При σ = 0,5 дифференциальный оператор Lϕ аппроксимируется центральной разностной
производной
L
h0
= [ϕn ( x + h) − ϕh ( x − h)]/(2h).
(4.6)
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставив значение L
h0
из (4.6) в исходное уравнение, полу-
чим
[ϕh ( x + h) − ϕh ( x − h)]/(2h) + Aϕh ( x) = 0.
(4.7)
Уравнения (4.3) и (4.7) – два разностных представления одного
и того же уравнения (4.1).
Удобным геометрическим изображением схем построения разностных производных являются шаблоны, отражающие комбинации используемых узлов (рис. 5). На рис. 5, а приведены шаблоны,
соответствующие правой, левой и центральной разностным производным. При аппроксимации дифференциальных операторов
∂ϕ ∂ϕ
;
наиболее часто используются шаблоны типа “квадрат” и
∂x ∂y
“крест”. Четырехточечный шаблон (см. рис. 5, б) соответствует
аппроксимации
⎧ ∂ϕ
ϕ ( x + hx , y ) − ϕh ( x, y )
⎪ ≈0,5 h
+
hx
⎪ ∂x
⎪
ϕh ( x + hx , y + hy ) −ϕh ( x, y + hy )
⎪
,
+ 0,5
⎪
hx
⎪⎪
⎨
⎪
ϕ ( x , y + h y ) − ϕ h ( x, y )
⎪ ∂ϕ ≈0,5 h
+
⎪ ∂y
hy
⎪
ϕh ( x + hx , y + hy ) −ϕh ( x + hx , y )
⎪
.
+ 0,5
⎪
hy
⎪⎩
Шаблон типа “крест” (см. рис. 5, в) соответствует аппроксимации
⎧ ∂ϕ ϕh ( x + hx , y ) − ϕh ( x − hx , y )
,
⎪ ∂x ≈
2hx
⎪
⎨
ϕ ( x , y + h y ) − ϕ h ( x, y − h y )
⎪ ∂ϕ ≈ h
.
⎪ ∂x
2h y
⎩
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5. Примеры шаблонов, используемых для получения разностных
выражений:
a – шаблоны, соответствующие разностным производным; б – шаблон типа
“квадрат”; в – шаблон типа “крест”
Для получения разностных схем, аппроксимирующих вторые
производные по координатам для произвольного внутреннего узла, можно также воспользоваться определением производной. При
использовании шаблонов, отмеченных точками (рис. 6.), аппроксимирующие формулы примут вид:
для шаблона с рис. 6, а
∂ 2ϕ
∂x
2
=
∂ ⎛ ∂ϕ ⎞
⎜ ⎟≈
∂x ⎝ ∂x ⎠
1 ⎡ ϕh ( x + hx , y ) − ϕh ( x, y ) ϕh ( x, y ) − ϕh ( x − hx, y ) ⎤
−
⎢
⎥=
hx ⎣
hx
hx
⎦
ϕ ( x + hx , y ) − 2ϕh ( x, y ) + ϕh ( x − hx , y )
,
= h
hx2
≈
для шаблона с рис. 6, б
∂ 2ϕ
∂y
2
=
∂ ⎛ ∂ϕ ⎞
⎜ ⎟≈
∂y ⎝ ∂y ⎠
⎡ ϕ h ( x, y + h y ) − ϕ h ( x, y ) ϕ h ( x, y ) − ϕ h ( x , y − h y ) ⎤
−
⎢
⎥=
hy
hy
⎢⎣
⎥⎦
ϕ ( x, y + hY ) − 2ϕh ( x, y ) + ϕh ( x, y − hY )
,
= h
hy
≈
1
hy
для шаблона с рис. 6, в
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∂ 2 ϕ ϕh ( x + hx , y + hy ) − ϕh ( x + hx , y − hy )
≈
−
∂x∂y
4hx hy
−
ϕh ( x − hx , y + hy ) + ϕh ( x − hx , y − hy )
4hx hy
х, у+hy
x-hx, y
x, y
x+hx, y
x-hx, y+hy
x+hx, y+hy
x, y
х, у-hy
а
.
б
x, y
x-hx, y-hy
x+hx, y-hy
в
Рис. 6. Шаблоны, используемые для построения разностной схемы,
аппроксимирующей вторую производную:
a – по координате x; б – по координате у; в – по координатам х и у
Существуют и многие другие виды разностных схем, широко
описанные в литературе [5]. Некоторые из них приведены в табл. 1.
Поиски наилучших, как правило, имеют эвристический характер.
При применении разностных схем более высокого порядка повышается точность численного решения, но усложняется алгоритм
расчета.
Таблица 1
Некоторые формулы дифференцирования
Формула
yi = y (ih), yi′ = yi′(ih)
1
(− y−1 + y1 )
2h
1
(− y−2 − 8 y −1 + 8 y1 − y2 )
y0′ =
12h
y0′ =
y0′ =
18
1
(− y0 + y1 )
h
Оценка
погрешности
1
− h 2 y0′′′ − ...
6
1
+ h 4 y0(5) + ...
30
1
− hy0′′ − ...
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Окончание табл. 1
Формула
yi = y (ih), yi′ = yi′(ih)
1
(−3 y0 + 4 y1 − y2 )
2h
1
(−3 y −1 − 10 y0 + 18 y1 − 6 y2 + y3 )
y0′ =
12h
y0′ =
y0′′ =
y0′′ =
1
1
12h
1
y0′′ =
y0′′ =
2
h
2
1
12h 2
1 2 (4)
h y0 + ...
12
(− y−2 + 16 y−1 − 30 y0 + 16 y1 − y2 )
+
1 4 (6)
h y0 + ...
90
(2 y0 − 5 y1 + 4 y2 − y3 )
+
11 2 (4)
h y0 + ...
12
(11y−1 − 20 y0 + 6 y1 + 4 y2 − y3 )
+
1 3 (5)
h y0 + ...
12
−
1 5 (7)
h y0 + ...
90
y0′′ =
=
1
180h 2
y0′′′=
(−13 y−2 + 228 y−1 − 420 y0 + 200 y1 +15 y2 − 12 y3 + 2 y4
1
2h
y0′′′=
3
1
+ h 2 y0′′′ − ...
3
1
− h4 y0(5) + ...
20
−
( y−1 − 2 y0 + y1 )
h2
Оценка
погрешности
(− y−2 + 2 y−1 − 2 y1 + y2 )
1
2h 3
(−3 y−1 + 10 y0 − 12 y1 + 6 y2 − y3 )
1
− h 2 y0(5) + ...
4
1
+ h 2 y0(5) + ...
4
Аналогично представлению производных по пространству в
виде разностных выражений можно представить и производные по
времени:
τ+Δτ
τ
∂ϕ ϕ x, y − ϕ x, y
.
≈
∂τ
Δτ
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аппроксимация граничных условий. При переходе от дифференциальной краевой задачи к разностной необходимо также
аппроксимировать граничные условия. Если область определения
функции Т(х, у) не прямоугольна, решение этой задачи становится
более сложным.
В этом случае для приграничных узлов необходимо интерполировать заданные граничные условия. Существуют различные
способы интерполяции, наиболее простой заключается в замене
граничных условий, заданных на границе области С (рис. 7), граничными условиями на звеньях сетки Сh. Например, можно принять, что граница Сh проходит через приграничный узел
Tij , причем краевые условия в узле принимаются равными значению функции либо в точке Ti∗ j , либо в точке T ∗ , либо среднему
ij
между ними, либо любой линейной комбинации этих значений.
Тij*
T ij
T i* j
Рис. 7. Аппроксимация граничных условий
Ввиду малости элементов разбиения такое допущение обычно
не вносит существенных искажений в решение поставленной задачи.
В областях со сложной формой границы интерполяция граничных условий для каждого приграничного узла может потребовать
значительных вычислительных затрат и сделать использование
метода конечных разностей нецелесообразным. В этом случае
следует использовать другие методы.
Погрешность вычислений. Понятие сходимости. Кажущаяся простота построения разностной схемы обманчива. При исследовании разностных схем даже простых линейных задач часто вы20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ясняется, что кажущаяся разумной схема дает решение, не сходящееся при измельчении сетки к точному решению дифференциальной задачи.
Пусть точное значение непрерывной функции ϕ в узле с координатой х = хn равно ϕhn , а полученное значение сеточной функции в том же узле ϕ h . Если погрешность δn = ϕhn − ϕh стремится
к нулю при стремлении к нулю шага h, то разностная схема назы⎛
⎞
вается сходящейся ⎜ lim δ n = 0⎟ .
⎝ h→ 0
⎠
Понятие сходимости разностной схемы тесно связано с понятиями точности и устойчивости. Если δ n ≤ Mn k , где М =
= const > 0, то разностная схема имеет k-й порядок точности. Говорят также, что она сходится со скоростью O(h k ). Аналогично
определяют порядок аппроксимации. Вычисляют погрешность
между точным L и приближенным Lhn значениями производной в
n-м узле:
ψ n = Lhm − L.
При этом порядок погрешности ψ n относительно шага совпадает с порядком аппроксимации дифференциального оператора L
разностным Lh в n-м узле.
Оценку погрешности легко проиллюстрировать с помощью ряда Тейлора:
ϕ h ( x + Δx) = ϕ h ( x) + ϕ hI ( x)Δx +
ϕ hII ( x) 2 ϕ hIII ( x) 3
Δx +
Δx + ...
2!
3!
Пусть Δx = h, тогда
ϕh ( x + h) = ϕh ( x) + ϕhI ( x)h + O (h 2 ).
(4.8)
Отсюда найдем значение производной в точке x:
ϕ ( x + h) − ϕ h ( x )
ϕ hI ( x) = h
+ O( h).
(4.9)
h
Формула (4.9) совпадает с формулой правой разностной производной (4.2). Аналогично можно получить формулу и для левой
разностной производной, она также имеет первый порядок точности.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Используем теперь ряд Тейлора для оценки погрешности аппроксимации производной с помощью центральных разностей.
Полагая Δx = − h, соответственно получаем
ϕ h ( x − h) = ϕ h ( x) − ϕ hI ( x)h +
ϕ hII ( x) 2 ϕ hIII ( x) 3
h −
h + ... (4.10)
2!
3!
Вычтем из (4.8) выражение (4.10), тогда после соответствующих преобразований получим
ϕhI ( x) =
ϕ h ( x + h ) − ϕ h ( x − h)
+ O (h 2 ),
2h
т. е. аппроксимация производной с помощью центральных разностей имеет второй порядок точности.
Складывая равенства (4.8) и (4.10), находим оценку погрешности аппроксимации производной второго порядка:
ϕ hII ( x) =
ϕ h ( x + h) − 2ϕ h ( x) + ϕ h ( x − h)
h
2
+ O (h 2 ).
Таким образом, эта аппроксимация имеет второй порядок точности. Аналогично можно получить аппроксимации более высоких порядков и оценку их погрешностей.
Пути повышения точности. Точность численного решения
можно повысить различными путями, в частности, путем, применения разностных схем повышенного порядка точности. Однако
такие схемы целесообразно строить лишь для уравнений с постоянными коэффициентами, поскольку в случае переменных коэффициентов схемы высоких порядков приводят к трудоемким алгоритмам.
Точность можно повысить также путем уменьшения значения
шага h. Но и этот путь ограничен требованием экономичности,
поскольку в этом случае получение решения с необходимой точностью может потребовать огромного объема вычислений. Кроме
того, при уменьшении шага возрастает погрешность округления
при проведении расчетов на ЭВМ, поэтому суммарная погрешность численного дифференцирования может убывать при уменьшении шага лишь до некоторого предельного значения, после чего
дальнейшее уменьшение шага не повысит точности результатов.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На практике часто для повышения точности численного решения без существенного увеличения машинного времени используется метод Рунге. Он состоит в проведении повторных расчетов по
одной разностной схеме с различными шагами. Уточненное решение в совпадающих при разных расчетах узлах строится с помощью проведенной серии расчетов.
Предположим, что проведены две серии расчетов по схеме
порядка k соответственно с шагами h и h/2. Тогда в соответствии с
методом Рунге уточненное значение сеточной функции ϕ∗h в узлах
сетки с шагом h вычисляется по формуле
ϕ∗h =
2k ϕ h / 2 − ϕ h
k
2 −1
+ O (h k +1 ).
Порядок точности этого решения равен (k + 1), хотя используемая разностная схема имеет порядок точности k. Таким образом, решение задачи на двух сетках позволяет на порядок повысить точность результатов.
Устойчивость численного решения. Разностная схема называется устойчивой, если ее решение непрерывно зависит от входных данных, т. е. малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения. Устойчивость характеризует
чувствительность разностной схемы к различного рода погрешностям (в устойчивой разностной схеме не происходит наращивания
малых ошибок округления, допущенных на начальных стадиях
решения), она является внутренним свойством разностной задачи
и не связана непосредственно с исходной дифференциальной задачей, в отличие от сходимости и аппроксимации.
Для многих краевых задач сходимость разностной схемы является следствием аппроксимации ею краевой задачи и устойчивости. При этом порядок сходимости относительно шага h совпадает
с порядком аппроксимации.
Оценку устойчивости и сходимости разностных схем можно
провести путем повторного проведения расчетов измельчения сетки (h → 0, τ → 0). Однако это приводит к существенному увеличению объема вычислений и возрастанию суммарных погрешностей. Многолетняя практика использования численных методов
для решения инженерных задач на ЭВМ показала, что применение
той или иной разностной схемы, даже если она исследована теоре23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тически, требует тщательной апробации для решения конкретной
задачи. Для этого проводят методические вычислительные эксперименты, состоящие в расчетах с разными значениями шагов при
разных исходных данных. Полезно также отладить методику с помощью тестовых задач, для которых либо удается получить аналитическое решение, либо уже имеется численное решение, найденное другим численным методом.
4.2. Метод конечных элементов
Опишем алгоритм метода [4].
1. Выделение конечных элементов. Исходная область определения функции разбивается с помощью сетки, в общем случае
неравномерной, на отдельные подобласти – конечные элементы.
При этом элементы могут иметь как прямо- , так и криволинейные
границы, что позволяет с достаточной степенью точности аппроксимировать границу любой формы. От качества разбиения во многом зависит точность получаемых результатов.
Разбиение области на элементы обычно начинают от ее границы с целью наиболее точной аппроксимации формы границы,
затем производят разбиение внутренних областей. Часто разбиение области на элементы производят в несколько этапов. Сначала
область разбивают на достаточно крупные подобласти, границы
между которыми проходят там, где изменяются свойства материала, геометрия, приложение нагрузки и т. д. Затем каждая подобласть разбивается на элементы. Резкого изменения размеров конечных элементов на границах подобластей стараются избегать.
Нумерация узлов элементов – следующая процедура этапа выделения конечных элементов. Порядок нумерации имеет существенное значение, так как влияет на эффективность последующих
вычислений.
Дело в том, что матрица коэффициентов системы линейных
алгебраических уравнений, к которой приводит метод, это сильно
разреженная матрица ленточной структуры. Ненулевые элементы
такой матрицы располагаются параллельно главной диагонали.
Целое число L, представляющее собой наибольшую разность между номерами ненулевых элементов в строке, называется шириной
полосы. Чем меньше ширина полосы, тем меньший объем оперативной памяти требуется для хранения матрицы и тем меньше затраты машинного времени на решение результирующей системы
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
уравнений. Ширина полосы в свою очередь зависит от числа степеней свободы узлов и их способа нумерации.
Под числом степеней свободы понимают количество неизвестных функций, определяемых в каждом узле. Так, для двумерных
задач гидравлики в каждом узле определяют три переменные: давление и составляющие скоростей по осям Х и У.
При нумерации узлов предпочтителен способ, обеспечивающий минимальную разность между номерами узлов в каждом отдельном элементе. Если максимальную разность между номерами
узлов для отдельного элемента обозначить как N (рис. 8), а число
степеней свободы – M, то ширина полосы L составит ( N + 1) M .
N=8
1
9
N =4
1
3
3
2
2
5
8
4
6
4
5
7
8
7
6
9
Рис. 8. Способы нумерации узлов при разбиении двумерной области
на конечные элементы
Информация о способе разбиения области на конечные элементы и о нумерации узлов является исходной при реализации метода. При этом требуется указать тип конечного элемента, его порядковый номер, номера узлов элементов и координаты каждого
узла, информацию о соединении элементов между собой, значение
физических параметров объекта в пределах каждого конечного
элемента.
2. Определение аппроксимирующей функции для каждого
элемента. Искомая непрерывная функция ϕ e в произвольной точке
е-го конечного элемента аппроксимируется кусочно-непрерывной,
определенной на множестве конечных элементов. Эту процедуру
можно выполнить один раз для типичного элемента области безотносительно к его топологическому положению в ней. Аппроксимацию можно задать произвольным образом, но чаще всего для этой
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
цели используют полиномы, которые подбирают так, чтобы обеспечить непрерывность искомой функции в узлах на границах элементов
ϕe = Ae R + A0 ,
где Ae – вектор-строка коэффициентов полинома; A0 – свободный член; R(Х, У, Z) – вектор координат в рассматриваемой точке.
В зависимости от степени полинома конечные элементы делятся на симплекс-, комплекс- и мультиплекс-элементы. Полиномы
симплекс-элементов содержат константы и линейные члены, полиномы комплекс-элементов – константы, линейные члены, а
также члены более высоких степеней. Комплекс-элементы, как
правило, кроме граничных узлов, имеют еще дополнительные
внутренние. Полиномы мультиплекс-элементов также содержат
члены более высоких порядков, однако на них накладывается дополнительное условие: их границы должны быть параллельны координатным осям.
Задача этапа заключается в определении неизвестного вектора
Ae и A0 . Для этого, используя условие непрерывности функции в
узлах, коэффициенты полинома выражают через вектор Φ e –
вектор узловых значений функции и координаты узлов и, проделав
эквивалентные преобразования, получают
ϕ e = NeΦ e ,
где N e – матрица-строка, элементы которой называют функциями
формы конечного элемента.
Функции формы легко вычислить в каждой точке конечного
элемента через координаты самой точки и координаты узлов элемента.
Рассмотрим одномерный симплекс-элемент, который представляет собой отрезок (рис. 9).
Чтобы определить функцию этого элемента, для простоты будем считать, что узловые значения искомой непрерывной функции, определенные на концах отрезка, известны. По длине отрезка
значение функции ϕ аппроксимируется полиномом:
ϕ = a1 + a2 x.
26
(4.11)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ϕ
ϕ = а1 + а2 х
ϕi
ϕj
L
хi
хj
x
Рис. 9. Одномерный симплекс-элемент
Коэффициенты a1 и a2 определяются через узловые значения
функции ϕi и ϕ j в соответствии с условием непрерывности:
ϕ = ϕi при x = xi ,
ϕ = ϕ j при x = x j .
(4.12)
Подставив (4.12) в (4.11), получим
ϕi = a1 + a2 xi , ϕ j = a1 + a2 x j .
(4.13)
Решив систему (4.13) относительно а1 и а2, определим:
a1 = (ϕi x j − ϕ j xi ) / L,
a2 = (ϕ j − ϕi ) / L.
Подставив вычисленные значения коэффициентов аппроксимирующего полинома в (4.11), получим
ϕ = (ϕi x j − ϕ j xi ) / L + {(ϕ j − ϕi ) / L}x.
(4.14)
Проведя эквивалентные преобразования правой части уравнения (4.14), представим его в форме
ϕ = {( x j − x) / L}ϕi + {( x − xi ) / L}ϕ j .
(4.15)
Члены уравнения (4.15), заключенные в скобки, являются
функциями формы одномерного симплекс-элемента:
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ni ( x j − x) / L; N j = ( x − xi ) / L.
(4.16)
С учетом (4.16) уравнение (4.15) принимает вид
ϕ = Ni ϕi + N j ϕ j
или, в матричной форме, – вид
ϕ = N ϕ.
(4.17)
Функции формы N обладают следующим свойством: функция
формы с номером i равна единице в узле с соответствующим номером и нулю во всех прочих узлах.
Функция (4.16) получена для типичного элемента безотносительно к его положению в области, поэтому она удовлетворяет
всем элементам данного типа, что позволяет создавать библиотеки
элементов.
Аналогично вычисляются функции всех прочих типов элементов.
3. Объединение конечных элементов в систему уравнений
ϕ = N Φ. Эта система линейных алгебраических уравнений позволяет при известных узловых значениях искомой функции получить значение последней в любой точке области. Данная система
уравнений и является моделью искомой непрерывной функции.
4. Определение вектора узловых значений функции. В общем случае вектор Φ в выражении (4.17) неизвестен. Его определение – наиболее сложная процедура метода конечных элементов.
С этой целью используют несколько методов. Рассмотрим
один из них – метод Галеркина, основным преимуществом которого является то, что основой для него служит исходное дифференциальное уравнение. Метод Галеркина основан на минимизации
ошибки ε = Lu − f приближенного решения и исходного дифференциального уравнения Lϕ − f = 0, где L – дифференциальный
оператор.
Для минимизации ε в заданной области необходимо выполнение равенства
∫ Ni ε d G = 0
G
для каждой из функций Ni.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Используя метод Галеркина и метод конечных элементов, получаем систему уравнений
∫ Nβ L(ϕ) dG = 0,
при β = i, j , k ...,
G
где L(ϕ ) – левая часть исходного дифференциального уравнения,
описывающего непрерывную функцию ϕ.
4.3. Сравнение методов конечных элементов
и конечных разностей
Оба метода относятся к классу сеточных методов приближенного решения краевых задач и обладают одинаковой точностью. В
зависимости от формы области, краевых условий, коэффициентов
исходных уравнений оба метода имеют погрешности аппроксимации от первого до четвертого порядка относительно шага. В силу
этого их успешно используют для разработки программных комплексов автоматизированного проектирования технических объектов.
Методы конечных элементов и конечных разностей имеют ряд
существенных отличий. В методе конечных разностей аппроксимируют производные искомых функций, а в методе конечных
элементов – само решение, т. е. зависимость искомых функций от
пространственных координат и времени.
Методы сильно отличаются и по способу построения сеток. В
методе конечных разностей строят, как правило, регулярные сетки, особенности геометрии учитывают только в граничных узлах.
В связи с этим он чаще применяется для анализа задач, где области определения функций имеют прямолинейные границы. К числу
традиционных задач, решаемых на основе метода конечных разностей, относятся задачи исследования температурных полей в
бóльших по сравнению с зоной нагрева деталях, течений жидкостей и газов в трубах и каналах с учетом теплообменных процессов и т. д. В методе конечных элементов разбиение на элементы
производят с учетом геометрических особенностей области, процесс разбиения начинается от границы с целью наилучшей аппроксимации ее геометрии. Затем разбивают на элементы внутренние области, причем алгоритм разбиения строят так, чтобы
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
элементы удовлетворяли некоторым ограничениям, например стороны треугольников не слишком отличались по длине и т. д. Поэтому метод конечных элементов наиболее часто используют для
решения задач с произвольной областью определения функций,
таких как расчет на прочность деталей и узлов строительных конструкций, авиационных и космических аппаратов, тепловой расчет
двигателей и т. д.
Общей проблемой методов является огромное количество алгебраических уравнений в результирующей системе (несколько
десятков тысяч в реальных задачах). Поэтому реализация методов
конечных разностей и конечных элементов требует разработки
специальных способов хранения матрицы коэффициентов системы
и методов решения последней.
5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Пример 1. Рассчитаем одномерное температурное поле в однородном стержне методом конечных элементов [14].
Пусть имеется стержень длиной L и площадью поперечного
сечения S. Один конец стержня жестко закреплен, и к нему подведен тепловой поток q заданной интенсивности. На свободном конце стержня происходит конвективный теплообмен с внешней средой. Известны коэффициент теплообмена а и температура
окружающей среды Т. Вдоль боковой поверхности стержень теплоизолирован.
Температурное поле в стержне описывается уравнением теплопроводности, которое в одномерном приближении имеет вид
⎛ d 2T ⎞
λ x ⎜ 2 ⎟ = 0,
⎜ dx ⎟
⎝
⎠
(5.1)
краевые условия определяются уравнениями
⎛ d 2T ⎞
λx ⎜ 2 ⎟ = 0
⎜ dx ⎟
⎝
⎠
30
при х = 0,
(5.2)
⎛ dT ⎞
*
λx ⎜
⎟ + a(T − T ) = 0 при х = L.
⎝ dx ⎠
(5.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Искомое температурное поле является непрерывной функцией
координаты х (рис. 10).
Т
Т1
Т2
Т3
Т4
Т5
Т6
Т
Рис. 10. Искомая функция температуры
Решение. В методе конечных элементов стержень разбивают
произвольным образом на конечные элементы, которые в общем
случае, являются отрезками неравной длины.
Аппроксимируем непрерывную функцию Т(х) на каждом элементе линейной зависимостью, т. е. одномерным симплексэлементом (рис. 11).
ϕ
Тi
Тj
хi
хj
х
Рис. 11. Аппроксимация непрерывной фукнции T(x)
одномерным симплекс-элементом
Аппроксимирующая кусочно-линейная функция определяется
через узловые значения Т1…Т6, она представлена на рис. 10 пунктирной линией, функция отдельного i-го элемента определяется
уравнением
ϕ(i ) = NiTi + N jT j ,
где Ni = ( x j − x) / L(i ) , N j = ( x − xi ) / L( j ) функции формы одномерного симплекс-элемента. (Верхние индексы в скобках относятся к
номеру элемента.)
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим процедуру объединения уравнений, относящихся к
отдельным элементам, в систему. Основу этого этапа составляет
замена произвольно назначенных выше номеров узлов i и j на номера, присвоенные узлам в процессе разбиения рассматриваемой
области.
Можно записать соответствие между производными номерами
i и j, фигурирующими в уравнении, и глобальными номерами узлов рассматриваемой дискретной модели (табл. 2).
Таблица 2
Номер элемента
i
j
Результирующая формула
1
1
2
ϕ(1) = N1(1)T1 + N 2(1)T2
2
2
3
ϕ(2) = N 2(2)T2 + N3(2)T3
3
3
4
ϕ(3) = N 3(3)T3 + N 4(3)T4
4
4
5
ϕ(4) = N 4(4)T4 + N5(4)T5
5
5
6
ϕ(5) = N5(5)T5 + N 6(5)T6
В выражениях для функций формы элемента значения произвольных номеров i и j также следует изменить в соответствии с
номером элемента. Тогда, например, значения N3(2) и N3(3) станут
определяться по формулам
N3(2) = ( x − X 2 ) / L(2) , N3(3) = ( X 4 − x) / L(3) .
Очевидно, что N3(2) и N3(3) не равны друг другу даже в случае
равенства длин элементов L(2) L(3) . При известных значениях узловых величин от Т1 до Т6 уравнения, записанные в последнем
столбце таблицы, позволяют определить значения температуры в
любой точке стержня.
Для определения вектора узловых значений функции воспользуемся методом Галеркина. Для простоты будем считать, что
стержень разбит всего на два элемента (рис. 12). Применив метод
Галеркина, получим
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
t
∫ N λx
d 2T
dx 2
dV = 0.
Подставим в интеграл формулу дифференцирования произведения:
t
∫ N λx
d 2T
dx 2
V
dV = ∫
V
d ⎛ t dT ⎞
dN t dT
λx
dV . (5.4)
⎜ N λx
⎟ dV − ∫
dx ⎝
dx ⎠
dx
dx
V
Интерполяционная функция Т не сохраняет постоянства по длине
стержня, поэтому интеграл можно представить суммой соответствующих интегралов для отдельных элементов. Так, второй интеграл можно представить в виде
2
dN t
dT
λ
=
dV
∑
∫ dx x dx
e =1
V
Т
V
dN (e)t (e) dT (e)
(e)
∫(e) dx λ x dx dV .
Т1
Т2
Т3
х
Рис. 12. Разбиение стержня на два элемента
Вычислим интегралы, относящиеся к отдельным элементам:
( e )t
dN
dx
⎡xj − x⎤
⎢
⎥
d ⎢ L(e) ⎥
1 ⎡ −1⎤
=
= (e) ⎢ ⎥ ,
dx ⎢ x − xi ⎥ L ⎣1 ⎦
⎢ ( e) ⎥
⎣ L
⎦
⎡Ti ⎤
dT (e) d (e) (e)
1
=
N Tузл = (e) [−1...1] ⎢ ⎥ .
dx
dx
L
⎣T j ⎦
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С учетом этого будем иметь:
dN (e)t (e) dT (e)
(e)
∫ dx λ x dx dV =
V
=
S (e) λ (xe)
(e)
L
λ (xe)
V
⎡1... − 1⎤ ⎡ Ti ⎤
∫(e) L(e) L(e) ⎢⎣ −1...1⎥⎦ ⎢T j ⎥ dV
⎣
⎦
⎡1... − 1⎤ ⎡ Ti ⎤
⎢ −1...1⎥ ⎢T ⎥ .
⎣
⎦⎣ j⎦
( e)
=
(5.5)
Первый интеграл в (5.4) на основании теоремы Остроградского–
Гаусса преобразуется к виду
d ⎛
t
dT ⎞
t
dT
∫ dx ⎜⎝ N λ x dx ⎟⎠ dV = ∫ N λ x dx lx dS ,
V
(5.6)
S
где l X (dT / dx) = dT / dn; n – внешняя нормаль к рассматриваемой
поверхности.
С учетом краевого условия (5.2) в точке х = 0 для первого элемента интеграл принимает вид
∫N
(1)t
S
λx
(1)
dT
dS = ∫
dx
S
(1)
Подставив значения Х1 = 0, Х2 = L
(1)t (1)
∫ N λx
S
dT (1)
dS = ∫
dx
S
⎡ X2 ⎤
⎢ (1) ⎥
⎢L
⎥ (−q )dS .
⎢ X1 ⎥
⎢ − (1) ⎥
⎣ L ⎦
, получим
⎡ −qS1 ⎤
⎡ −q ⎤
⎥.
⎢ 0 ⎥ dS = ⎢0
⎣ ⎦
⎣
⎦
(5.7)
⎛ dT ⎞
*
С учетом краевого условия λ x ⎜
⎟ + a (T − T ) = 0 в точке х = L
⎝ dX ⎠
для второго элемента интеграл (5.6) запишут как
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(2)t (2)
∫ N λx
S
dT (2)
dS = ∫
dx
S
⎡0⎤ ⎡
* ⎤
⎢1 ⎥ ⎣ −a (T3 − T ) ⎦ dS =
⎣ ⎦
⎡0⎤
= S2 ⎢ ⎥ (−aT3 + aT * ).
⎣1 ⎦
(5.8)
Просуммировав выражения вида (5.5) для первого и второго
элементов и выражения (5.7), (5.8) и приравняв сумму нулю, получим систему уравнений, которая в матричной форме принимает
вид
⎡ C (1)
⎢
⎢ −C (1)
⎢
⎢ 0
⎣
−C (1)
C (1) + C (2)
−C (2)
⎤
⎥
−C (2) ⎥
⎥
C (2) + aS2 ⎥
⎦
0
⎤
⎡T1 ⎤ ⎡ qS1
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎥ = 0,
⎢T2 ⎥ + ⎢ 0
⎢
⎢⎣T3 ⎥⎦ − aS T * ⎥
⎢⎣
2 ⎥⎦
⎧ (1) S (1) λ(1)
x
,
⎪C =
⎪
L(1)
где ⎨
(2) (2)
⎪ (2) S λ x
C
=
.
⎪
⎩
L(2)
Зная характеристики материала, из приведенной выше системы
можно определить узловые значения Т1, Т2, Т3.
Нетрудно заметить, что однотипные конечные элементы вносят в уравнение слагаемые одного вида. Поэтому при реализации
метода конечных элементов вклад элемента определенного типа в
матрицу С вычисляют только раз, а затем используют во всех необходимых случаях.
Завершающим этапом определения вектора узловых значений
Φ является решение системы линейных алгебраических уравнений.
Алгоритм метода и особенности отдельных его этапов остаются неизменными и при решении нестационарных задач, в уравнениях которых присутствуют не только частные производные по
пространственным координатам, но и частные производные по
времени. В этом случае член с частной производной по времени
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рассматривают как функцию пространственных координат в каждый фиксированный момент времени.
В рассматриваемой выше задаче нестационарное температурное поле в стержне описывается уравнением
∂T
∂ 2T
= λx 2 .
∂t
∂x
В этом случае при использования метода Галеркина минимизации подлежит функционал
C pρ
⎛ d 2T
∂T ⎞
F = ∫ Nt ⎜ λx
− C pρ
⎟ dV .
⎜
∂t ⎟⎠
dx 2
⎝
V
Функционал F отличается от рассмотренного выше функционала (5.4) наличием дополнительного слагаемого. Вычислим вклад
этого слагаемого в результирующую систему уравнений
F1 = ∫ N t C p ρ
V
∂T
∂T
dV = D ∫ N t
dV ,
∂t
∂t
V
где D = C p ρ.
Eсли характеристики материала постоянны по всему объему
стержня, то можно вынести D за знак интеграла.
Интеграл F1 можно представить суммой интегралов, записанных для отдельных элементов:
2
F1 = ∑ D (e)
e =1
∫
N ( e )t
V (e)
∂T (e)
dV .
∂t
(е)
Используя соотношение T (e) = N (e)Tузл
и учитывая, что N (e)
является функцией только координат, производную по времени
(е )
/ ∂t ).
представим в виде ∂T (e) / ∂t = N (e) (∂Tузл
Тогда для отдельного элемента функционал F1 записывается в
виде
F1(e) = D (e)
V
36
∫(e)
N ( e )t N ( e )
(е)
∂Tузл
∂t
dV (e) .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учитывая соотношение dV (e) = S (e) dL(e) и соотношения для
функции формы, приравнивая результат к нулю, получим
F1(e)
=D
(e)
V
∫(e) N
( e )t
N
(e )
dV
(e)
( e)
∂Tузл
∂t
=
⎡ X j − x⎤
(е)
⎢ ( e) ⎥ ⎡ X − x
x − X i ⎤ ∂Tузл
⎥⎢ j
dx
...
,
= D(e) S (e) ∫ ⎢ L
⎥
(e )
∂t
L(e) ⎦
(e ) ⎢ x − X i ⎥ ⎣ L
L ⎢
⎥
⎣ L(e) ⎦
F1(e) =
2H
(e)
1 (e) (e) (e) ⎡ 2...1⎤ ∂Tузл
D S L ⎢
→ F1 =
⎥
6
⎣1...2 ⎦ ∂t
(1)
.........H
(1)
.............0
= H (1) ....2( H (1) + H (2) )...H (2)
0................H (2) .............2 H (2)
где
TT1
∂t
∂T2
∂T
.
=G
∂t
∂t
∂T3
∂t
После суммирования по элементам получаем функционал F1,
H (1) = D (1) S (1) L(1) / 6...............H (2) = D (2) S (2) L(2) / 6.
Объединяя его с ранее полученным для той же задачи уравнением, результирующую систему уравнений для решения задачи
запишем в форме
∂T
G
+ CT = B.
∂t
Пример 2. Найдем функцию распространения теплоты по
стержню, длиной l = 1 м при заданных граничных и начальных
условиях методом конечных разностей.
Запишем краевую задачу в виде
∂T
∂ 2T
=a 2 ,
∂t
∂x
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0 ≤ x ≤ 1, t > 0, a > 0, T ( x,0) = ϕ( x),
T (0, t ) = ψ1 (t ), T (1, t ) = ψ 2 (t ),
где ϕ( x) – начальное распределение температуры; ψ1 (t ), ψ 2 (t ) –
распределение температуры на концах стержня в любой момент
времени t.
Начальные и конечные условия должны быть согласованы:
T (0, 0) = ϕ(0) = ψ1 (0), T (1, 0) = ϕ(1) = ψ 2 (0).
Введем равномерную прямоугольную сетку с помощью координатных линий:
xi = ih(i = 0,1...I ), t j = j τ( j = 0,1...J ),
где h, τ – соответственно шаги сетки по координате х и времени t.
Введем обозначения Ti j = T ( xi , t j ) и перепишем исходное
уравнение, заменив частные производные разностными выражениями по шаблону, как показано на рис. 13, а:
T j − 2Ti j + Ti −j 1
Ti j +1 − Ti j
= a i +1
.
τ
h2
(5.9)
Для одного и того же уравнения можно построить различные
разностные схемы. Если в исходном уравнении частные производные заменить по шаблону, показанному на рис. 13, б, то уравнение
будет выглядеть следующим образом:
T j +1 − 2Ti j +1 + Ti −j 1+1
Ti j +1 − Ti j
(5.10)
= a i +1
.
τ
h2
И в том и другом случае получается система уравнений для
определения значений сеточных функций во внутренних узлах.
Значения в граничных узлах находятся из граничных условий:
T0j = ψ1 (t j ), TI j = ψ 2 (t j ).
Совокупность узлов при фиксированном значении j называется
слоем. В представлении (5.9) исходного уравнения можно последовательно находить значения Ti j +1 (i = 1, 2,..., I − 1) на ( j + 1)-м
слое через соответствующие значения Ti j на j-м слое. Такие схемы называются явными.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
i-1, j+1
i, j+1
h
τ
i+1, j+1
h
τ
h
i-1, j
i, j+1
h
i, j
а
i+1, j
i, j
б
Рис. 13. Шаблоны, соответствующие:
а – явной; б – неявной разностным схемам
Для начала счета при j = 1 необходимо знать значения температур в начальный момент времени (начальные условия), которые
запишутся в виде Ti0 = ϕ( xi ), i = 1,2, ..., I − 1.
Программа, с помощью которой можно найти решение поставленной задачи при использовании явной схемы, и результаты ее
работы приведены в приложении 2.
В представлении (5.10) исходного уравнения каждое разностное уравнение содержит на каждом новом слое значения неизвестных в трех точках, поэтому нельзя сразу определить эти значения через известное решение на предыдущем слое. Такие схемы
называются неявными. В этом случае на каждом шаге расчета необходимо решать систему алгебраических уравнений. Существует
много различных методов решения систем уравнений, широко
описанных в литературе. Пример программы нахождения решения
линейных систем уравнений прямым методом исключения Гаусса
приведен в приложении 2.
Кроме двухслойных схем, которые были рассмотрены выше,
когда в каждое разностное уравнение входят значения функции из
двух слоев: нижнего, на котором решение уже найдено, и верхнего, в узлах которого решение ищется, могут быть созданы и многослойные схемы.
При использовании явных схем, как правило, на шаги по времени τ и пространству h накладываются дополнительные ограничения, вытекающие из условия их устойчивости (для нашего слуaτ 1
чая условие устойчивости будет иметь следующий вид: 2 ≤ ).
2
h
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Использование безусловно устойчивых неявных схем приводит к
значительному усложнению вычислительного алгоритма и увеличению объема вычислений.
Пример 3. Найдем функцию распределения температуры по
поверхности тонкой металлической пластины, обладающей удельной теплоемкостью c и теплопроводностью λ в момент времени
t = t p , если коэффициент отражения от ее поверхности составляет
R = 0,9, а пятно падающего на поверхность материала излучения с
постоянной плотностью мощности ρ имеет форму круга с диаметром D.
Будем считать, что пластина настолько велика, что тепловой
поток от источника теплоты за время t = t p , не достигает ее краев. В этом случае область исследования может быть выбрана произвольной формы.
Рассмотрим простейший случай, когда теплоемкость и теплопроводность можно принять постоянными и независящими от
температуры:
λ (T ) = λ, c(T ) = c и t p Tф ,
где Тф – температура начала фазовых превращений в металле. В
этом случае поверхностной теплоотдачей можно пренебречь. Тогда с учетом этих допущений дифференциальное уравнение теплопроводности можно представить в линейном виде:
сγ
∂Т
∂ 2T
∂2
= λ 2 + λ 2 + Q.
∂t
∂x
∂y
(5.11)
Рассмотрим решение краевой задачи с краевыми условиями
t =t
первого рода: Tx y 0 = Tij0 . Для упрощения расчетов область опреi j
деления искомой непрерывной функции Т(х, у) выбирают прямоугольной. Для решения задачи используют равномерную по направлениям осей x и y сетка с шагами hx и hy соответственно.
Пусть размеры пятна падающего на поверхность металла излучения таковы, что D < hx , D < hy , и оно целиком лежит внутри
ячейки с номером i* , j* (рис. 14).
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
hx
i *j *
hy
Рис. 14. Расположение пятна излучения в исследуемой области
Для произвольного внутреннего узла (х, у) вторые производные
по координатам аппроксимируются с помощью пятиточечного
шаблона:
⎧ 2
⎪∂ T
⎪ ∂x 2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪ 2
⎪∂ T
⎪ 2
⎪ ∂y
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
≈
t =τ
1 ⎡ T ( x + hx , y ) − T ( x, y ) T ( x, y ) − T ( x − hx , y ) ⎤
−
=
⎢
⎥
hx ⎣
hx
hx
⎦ t =τ
=
≈
t =τ
1
hy
Tiτ+1, j − 2Tijτ + T τ
i −1, j
,
hx2
⎡ T ( x, y + hy ) − T ( x, y ) T ( x, y ) − T ( x, y − hY ) ⎤
−
=
⎢
⎥
hy
hy
⎢⎣
⎥⎦ t =τ
=
Tiτ, j +1 − 2Tijτ + T τ
i , j −1
hy2
.
Для аппроксимации производной по времени воспользуемся
формулой
τ+Δτ
− Tijτ
∂T Tij
.
≈
∂t
Δτ
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В этом случае исходное уравнение для произвольного узла ij и
момента времени t = τ примет вид
cγ γ
Tijτ+Δτ − Tijτ
Δτ
⎡ Tiτ+1, j − 2Tijτ + Tiτ−1, j Tiτ, j +1 − 2Tijτ + Tiτ, j −1 ⎤
⎥ + qijτ ,
= λ⎢
+
2
2
⎢
⎥
hx
hy
⎣
⎦
⎧⎪(1 − R )ρΔτπD 2 / 4 при → i, j = i* , j* ,
где qijτ = ⎨
* *
⎪⎩0 при → i, j ≠ i , j .
Данное уравнение можно представить в виде
Tijτ+Δτ = Tijτ +
+
τ
τ
τ
τ
τ
τ
λ Δτ ⎡ Ti +1, j − 2Tij + Ti −1, j Ti, j +1 − 2Tij + Ti, j −1 ⎤
⎢
⎥+
+
2
2
cγ γ ⎢
⎥
h
h
x
y
⎣
⎦
Δτ τ
qij .
cγ γ
(5.12)
Прямолинейные границы области позволяют точно аппроксимировать краевые условия:
Tijгр = Tij0 .
(5.13)
В случае, если заданы лишь начальные условия, для решения
полученной системы уравнений (5.12) потребуется доопределить
значения температур:
⎧Tiτ+1, j
⎪
⎪T τ
⎪ i −1, j
⎨ τ
⎪Ti, j +1
⎪
⎪⎩Tiτ, j −1
для i = N ,
для i = 0,
для j = N ,
(5.14)
для j = 0.
В простейшем случае можно воспользоваться формулами нелинейной интерполяции
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
⎧TNτ +1, j = 2TNτ , j − TNτ −1, j ,
⎪
τ
τ
⎪T τ
⎪ 0−1, j = 2T0 − T1 ,
⎨ τ
τ
τ
⎪Ti, N +1 = 2Ti, N − Ti, N − j ,
⎪
⎪⎩Tiτ,0−1 = 2Tiτ, 0 − Tiτ,1.
Иногда при больших градиентах температуры вместо уменьшения шага h приходится использовать формулы интерполирования более высоких порядков.
Система (5.12), граничные условия (5.13) и система (5.14) содержат все необходимое для решения исходной задачи.
Пример программы, реализующей решение данной задачи, сопоставление результатов, полученных в ходе выполнения программы, и аналитического решения данной задачи приведены в
приложении 2.
В случае движущегося источника необходимо учитывать на
каждом шаге по времени смещение пятна падающего на материал
излучения за время Δτ относительно его предыдущего положения. Величина смещения l может быть рассчитана по формуле
l = V Δτ,
где V – скорость движения пятна излучения относительно материала; Δτ – шаг квантования по времени.
При этом необходимо так подобрать Δτ, чтобы центр пятна
сдвигался за время шага квантования по времени не более, чем на
один шаг дискретизации по пространству (т. е. l ≤ h). В противном случае непрерывный источник, двигающийся равномерно по
поверхности материала, будет при расчете заменен на импульсный
источник излучения, воздействующий на материал не по всей
траектории своего движения, а лишь в некоторых точках этой траектории. При l h можно на каждом шаге по времени рассчитать
ту долю энергии пятна излучения, которая будет сосредоточена в
части пятна, переместившейся в соседнюю ячейку за время Δτ,
или, например, считать для упрощения, что пятно перемещается в
соседнюю ячейку скачком в тот момент, когда смещение центра
пятна становится равным h.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 4. Рассмотрим, как изменится решение предыдущей
задачи, если размеры пятна падающего излучения мощностью
3 кВт будут превышать размеры ячейки, т. е. при
D > hx , D > hy .
Распределение плотности излучения внутри пятна может быть
любым. Для конкретности будем считать, что оно имеет нормальное распределение, тогда мощность излучения можно представить
в следующем виде:
P ≡ ∫ J (r ) dr ,
(5.15)
r
а интенсивность излучения в любой точке, удаленной от центра на
расстояние r, определяется по формуле
J (r ) =
⎛ r2 ⎞
exp ⎜ − 2 ⎟ ,
⎜ 2δ ⎟
δ 2π
⎝
⎠
J0
(5.16)
где δ – известный параметр распределения.
При совмещении центра пятна с началом координат радиус
r = x 2 + y 2 (рис. 15).
hx
у
hy
R
0
х
Рис. 15. Совмещение центра пятна излучения с началом координат
Совместным решением уравнений (5.15) и (5.16) находим интенсивность излучения в любой точке.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Один из алгоритмов перехода от непрерывной задачи к дискретной может быть следующий:
1. Находим значения интенсивности в центрах тех ячеек, которые накрываются пятном излучения по формуле (5.16) как функцию от неизвестного параметра J 0′ , т. е. J k = f ( J 0′ ), k = 1...N (N –
количество ячеек, накрываемых пятном излучения).
2. Мощность излучения при этом может быть определена по
формуле
N
P = ∑ J k hx hy .
k =1
Зная величину мощности излучения Р, определяем значение
J 0′ .
3. Средняя интенсивность излучения в любой ячейке ij, накрываемой пятном лазерного излучения, в этом случае находится по
формуле
⎛ x2 + y2 ⎞
J ij = J 0′ exp ⎜ −
⎟,
2 ⎟
⎜
2
δ
⎝
⎠
где (х, у) – координаты центра ячейки ij.
Значение количества теплоты, поступающего в каждую ячейку
от внешнего источника, входящее в формулу (5.12), определяется
как
⎧⎪(1 − R ) J ij ΔxΔyΔτ,
qijτ = ⎨
⎪⎩0.
Движение источника излучения следует учитывать так же, как
и в предыдущем случае. Однако следует отметить, что в общем
случае расчет несколько усложняется, так как следует пересчитывать то количество теплоты от внешнего источника, которое поступает в каждую ячейку исследуемой области, на каждом шаге по
времени по методике, представленной выше.
В данном примере так же, как и в предыдущем, можно использовать явные разностные схемы, которые, как уже говорилось выше, являются условно устойчивыми. При переходе к абсолютно
устойчивым неявным разностным схемам при решении двумерных
задач резко возрастает объем вычислений, так как в этом случае на
каждом шаге необходимо решать систему уравнений.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Существуют абсолютно устойчивые экономичные схемы, позволяющие вести расчет со сравнительно большими значениями
шага по времени (τ порядка h) и требующие меньшего объема
вычислений. Они называются схемами расщепления.
Основой их построения является разбиение расчета на одном
шаге по времени на отдельные этапы.
Рассмотрим схему переменных направлений, суть которой состоит в том, что шаг по времени τ делят на два полушага. На первом из них вторая производная по одной из координат, например,
∂ 2ϕ
, аппроксимируют на промежуточном слое (k + 1/2), т. е. ис∂x 2
∂ 2ϕ
аппроксимируют на
пользуют неявную аппроксимацию, а
∂x 2
слое k, т. е. явно. На втором полушаге, наоборот, неявную аппроксимацию используют только по направлению у.
Соответствующая разностная схема для двумерного случая
имеет вид
/2
ϕ τ+Δτ
− ϕ τx, y
x, y
τ/2
=
=
/2
/2
/2
ϕ τ+Δτ
− 2ϕ τ+Δτ
+ ϕ τ+Δτ
x, y
x+ h , y
x− h , y
x
x
hx2
/2
/2
ϕτ+Δτ
− ϕτ+Δτ
x, y
x, y
τ/ 2
=
x
hx2
y
hy2
y
,
=
/2
/2
/2
ϕτ+Δτ
− 2ϕτ+Δτ
+ ϕτ+Δτ
x, y
x+h , y
x−h , y
x
+
ϕ τx, y + h − 2ϕ τxy + ϕ τx, y − h
+
/2
/2
/2
ϕτ+Δτ
− 2ϕτ+Δτ
+ ϕτ+Δτ
xy
x, y + h
x, y − h
y
y
hy2
.
К этим уравнениям необходимо добавить начальные условия
= f ( x, y ) и граничные условия на каждом дробном шаге по
ϕ 0x, y
времени.
Рассмотренная схема эффективна только при двумерной постоновке задачи.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Можно применять также схему расщепления по координатам,
которая для двумерного уравнения может быть записана в виде
ϕ x, y − ϕ τx, y
τ
=
ϕτ+Δτ
x, y − ϕ x , y
τ
ϕ x + hx , y − 2ϕ x, y + ϕ x − hx, y
hx2
=
ϕτ+Δτ
h
x , y + hx
,
τ+Δτ
− 2ϕτ+Δτ
x, y + ϕ x, y −h
hy2
y
.
Из построения локально-одномерной схемы ясно, что она легко обобщается на случай произвольного числа переменных. При
этом каждая новая переменная требует введения одного промежуточного этапа на каждом шаге по времени.
Рассмотрим также, как можно учесть различные нелинейности
в процессе нагрева материла.
1. Некоторые параметры материалов (например, теплоемкость
и теплопроводность) в процессе нагрева изменяются. Сложность
закона изменения не позволяет учитывать его при аналитическом
решении уравнения теплопроводности. При численном решении
ситуация значительно проще. На каждом шаге вычислений можно
корректировать значения параметра сообразно текущему значению температуры в данной ячейке. Естественно, что до начала вычислений интересующие нас зависимости должны быть известны.
Если соответствующие друг другу теплопроводность и теплоемкость заданы, линейная интерполяция табличных значений соответствующих пар (Ci , Ti ) и (Ci +1 , Ti +1 ) позволяет получить аналитическое выражение C (T * ) в виде:
C (T * ) =
Ci +1 − Ci * CiTi +1 − Ci + 2Ti
.
T +
Ti +1 − Ti
Ti +1 − Ti
Это выражение можно использовать как внутри интервала (интерполяция), так и за его пределами (экстраполяция) при отсутствии других, более достоверных данных.
2. Теплоотдача с поверхности пластины в окружающую среду
осуществляется посредством теплопередачи, конвекции или
радиации. Низкая теплопроводность воздуха (по сравнению с металлами) позволяет пренебрегать теплопередачей с поверхности
в тепловых расчетах. Излучение и конвекция зависят от температуры.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При конвективном теплообмене теплота с поверхности нагретого тела уносится молекулами жидкости или газа, которые перемещаются относительно поверхности. Движение жидкости или
газа происходит в результате принудительной или естественной
циркуляции за счет различной плотности более нагретых и менее
нагретых областей. При конвективном теплообмене удельный
тепловой поток qk с единицы поверхности в единицу времени
можно вычислить по формуле Ньютона
qk = α k (T − T0 ),
где Т – температура поверхности твердого тела; α k – коэффициент
2
конвективной теплоотдачи; α k = 5,6 + 4V , Вт/(м ⋅ К); V – скорость
обдува нагретой поверхности, м/c; Т0 – температура окружающей
среды.
Радиационное излучение твердого тела представляет собой
электромагнитные колебания. Удельный поток излучения по закону Стефана–Больцмана пропорционален четвертой степени его
абсолютной температуры:
qu = σε(T 4 − T04 ),
где σ – постоянная Стефана–Больцмана (σ = 5,67 ⋅ 10−8 Вт/
2
4
/(м ⋅ К ); ε – излучательная способность (константа, равная
0,7…0,05 в зависимости от поверхности).
Некоторые значения коэффициента ε приведены в табл. 3.
Таблица 3
Материал
Алюминиевые сплавы
Железо и стали
Медь
48
Состояние поверхности
Коэффициент ε
Полированная
Прокатанная
Отливка
Полированная
Прокатанная
Окисленная
Полированная
Окисленная
0,051
0,081
0,3
0,29
0,67
0,94
0,04
0,78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полная теплоотдача с поверхности нагретого твердого тела
представляется в виде суммы конвективной теплоотдачи и лучистого теплообмена:
q Σ = qk + qu .
3. Кроме плавных изменений теплоемкости в зависимости от
температуры, в диапазонах фазовых переходов следует учитывать
поглощение/выделение энергии кристаллизации. В расчетах принято учитывать его в виде резкого скачка теплоемкости (на интервале от температуры солидус Tc до ликвидус Tл ). Если необходимо анализировать термические циклы вблизи фазовых переходов,
то изменение теплоемкости следует описывать гладкой кривой
(рис. 16).
Рис. 16. Изменение теплоемкости в зависимости от температуры,
вблизи фазовых переходов
Например, при эллиптической аппроксимации изменения теплоемкости от температуры T, максимальное значение скачка теплоемкости составит
Cм = 2qпл / π(Tл − Tc ),
где qпл = Qпл / m – энергия плавления единицы массы m (удельная
энергия плавления). Значения удельной энергии плавления для
некоторых материалов следующие:
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Материал …….. qпл, кДж/кг
Вольфрам….….. 192
Железо………… 277
Золотo……….… 65,7
Кремний………. 164
Медь…………… 205
Материал……….. qпл , кДж/кг
Никель………….. 303
Платина………… 111
Свинец………….. 23,0
Серебро…………. 104,5
Цинк…………….. 111
В диапазоне температур от Tл до Tс скачок теплоемкости описывается как
ΔСmax = 2Cmax
TTл + TTc − T 2 − TcTл
Tл − Tc
.
В результате, при фазовом переходе, полное значение теплоемкости будет суммой из интерполированного по заданным величинам
значения и значения ΔСmax на интервале от Tл до Tс .
Значения Tс и Tл для некоторых материалов приведены в
табл. П1.19.
Пример 5. Определим значение температуры на поверхности
металлической пластины, представляющей собой соединение двух
пластин, изготовленных из материалов, обладающих теплопроводностями λ1 и λ 2 соответственно, в момент времени t = t p , если
коэффициент отражения от ее поверхности составляет R = 0,9, а
пятно падающего на поверхность материала излучения с постоянной плотностью мощности ρ имеет форму круга диаметром D.
Данный пример отличается от примера 3 тем, что решение не
является гладкой функцией, оно имеет разрыв на границе соединения двух пластин. Существует две основные группы методов решения данной задачи: методы с выделением разрывов и методы сквозного счета.
Различие между методами состоит в том, что в первом случае
решение во всей области ищется обычным способом, а в окрестности линий разрыва счет проводится нестандартным образом.
При этом требуется найти сначала точки разрыва, которые в общем случае не являются расчетными узлами. Такой способ нахождения разрывных решений требует более сложного алгоритма.
В нашем примере линия разрыва определена исходными данными и при выборе сетки разбиения исследуемой области расчетные узлы можно поместить на линию разрыва. В этом случае всю
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рассматриваемую область разбивают на две подобласти, в каждой
из которых решение в каждый конкретный момент времени ищется так, как в предыдущих случаях, а значение температуры в узлах
сетки на линии разрыва усредняется по значениям температур с
обеих сторон разрыва:
Tijτ+Δτ = (Tij(τ+Δτ)− + Tij( τ+Δτ)+ ) / 2,
где i, j – номера узлов на линии разрыва; Tij( τ+Δτ )− , Tij( τ+Δτ )+ – значения решения в момент времени τ + Δτ слева и справа от точки
разрыва соответственно.
В методах сквозного счета разрыв не выделяют, и весь расчет
проводят по единой схеме. Однако в этом случае разрыв перестает
быть разрывом в смысле изменения решения в одной точке.
Он растягивается на несколько расчетных узлов, “размазывается”
(рис. 17).
U
U+
U0
х0
х
Рис. 17. “Размазывание” решения при применении методов
сквозного счета:
– точное решение;
,
методами сквозного счета
–
решения, полученные
Если разностные схемы сохраняют монотонность решения задачи, то они дают решения, подобные тому, которое на рис.17.
обозначено звездочками. Свойством монотонности обладают
только схемы первого порядка точности. На рис. 17 штриховой
линией отмечено решение, которое может быть получено сквозным счетом с использованием схем второго порядка: здесь наблюдаются осцилляции решения. Это объясняется тем, что аппроксимирующие исходную дифференциальную задачу разностные
схемы первого порядка могут обладать так называемой аппроксимационной вязкостью, но следует помнить, что это понятие при51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
менимо только для линейных разностных схем. Для расчета разрывных решений нелинейных уравнений вводят понятие искусственной вязкости. Этот прием позволяет превратить разрывные
решения в непрерывные и при этом достаточно гладкие, и заключается в том, что в исходное уравнение вводят малую добавку
(возмущение). Разрывное решение при этом представляет собой
предел введенного гладкого решения при стремлении к нулю параметра возмущения.
Таким образом, при наличии разрывных решений можно перейти от исходного уравнения (5.11) к уравнению вида
Cγ
∂T
∂ 2T
∂ 2T
= λ 2 + λ 2 + Q + εf (T , T ′, T ′′).
∂t
∂x
∂y
(5.17)
Последний член этого уравнения есть искусственная вязкость,
при этом параметр ε мал и решения уравнений (5.11) и (5.17) при
одинаковых начальных условиях будут близкими, если эти решения достаточно гладкие.
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица П1
Значения интеграла вероятности
Ф( х) =
1
2π
x − 1t2
е 2 dt
∫
0
х
Ф(х)
х
Ф(х)
х
Ф(х)
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
0,0000
0,0199
0,0398
0,0596
0,0793
0,0987
0,1179
0,1368
0,1554
0,1736
0,1915
0,2088
0,2257
0,2422
0,2580
0,2734
0,2881
0,3023
0,3159
0,3289
0,3413
0,3531
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,06
2,12
2,18
0,3643
0,3749
0,3849
0,3944
0,4032
0,4115
0,4192
0,4265
0,4332
0,4394
0,4452
0,4505
0,4554
0,4599
0,4641
0,4678
0,4713
0,4744
0,4772
0,4803
0,4830
0,4854
2,24
2,30
2,36
2,42
2,48
2,54
2,60
2,66
2,72
2,78
2,84
2,90
2,96
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
0,4875
0,4893
0,4909
0,4922
0,4934
0,4945
0,4953
0,4961
0,4967
0,4973
0,4977
0,4981
0,4985
0,4986
0,4993
0,4996
0,4998
0,499928
0,499968
0,499997
0,499997
53
20
40
Азот
681 (α) 1350 (β)
Алюминий
8,9
78
Аргон
306
560
Барий
67,4
135
Бериллий
1,61
9,96
Бор (амор.)
8,9
7,1
Бор (крист.)
2,2
1,5
Бром (Br2)
79,6
181
Ванадий
7,1
39
Висмут
35
74
Водород 9530 (ж) 10570 (г)
Вольфрам
1,89
18,4
Гадолиний
25,4
97
Вещество
1022 (г)
376
836 (т)
168
90,6
58
42
253
174
102
11720
71,5
163
80
1048
675
526 (г)
186
624
333
299
308
370
117
16150
113
208
150
1042
858
521
198
1560
859
816 ( γ )
371 (т)
465
–
15330
131
265
250
1045
951
521
259
2179
1463
1416 (β)
230 (г)
515
127 (т)
14550
136
179
400
Температура, K
1075
1037 (т)
521
300
2559
1892
1931
233
540
141(ж)
14550
140
185
600
Удельная изобарная теплоемкость ср, Дж/(кг⋅K), некоторых
элементов при давлении 0,1 МПа
1168
1177 (ж)
521
328 (т)
3060
2337
2306
236
597
–
14980
148
207
1000
1244
–
521
281 (ж)
3604
–
2597
239
714
–
16050
158
243
1500
Таблица П2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Галлий
Германий
Гольмий
Европий
Железо
Золото
Индий
Йод
Иридий
Иттербий
Иттрий
Кадмий
Калий
Кальций
Кислород
Озон
Кобальт
Кремний
(крист.)
Вещество
32,1
12,5
58
65
4,6
15,9
60,8
64
2,0
45,7
21,3
46
251
36
429 (α)
–
5,4
3,37
20
110
61
124
–
30
57,2
141
124
22
102
101
117
494
188
1289 (β)
–
39,6
44
40
221
142
157
–
138
99,2
193
171
68
132
199
182
610
405
1698 (ж)
–
162
188
80
316
256
161
–
324
119
218
195(т)
110
145
265
213
666
575
920 (г)
–
331
426
150
375 (т)
310
163
–
422
127
229
–
125
151
292
227
717 (т)
–
915
–
406
648
250
400
394 (ж)
337
169
184
489
131
250 (т)
313(ж)
129,5
160
305
241 (т)
805 (ж)
655
942
916 (г)
450
794
Температура, K
382
347
172
199
574
135
245 (ж)
148(г)
135
172
321
264 (ж)
770
738 (α)
1003
1048
503 (α)
871
600
376
375 (т)
193
250
975 (α)
146 (т)
238
150
150
184
354
–
792
1020 (β)
1090
1166
627 (β)
946
1000
377
380 (ж)
271
–
654 ( γ )
159 (ж)
236
153
–
–
397
–
926
–
1143
1243
674
1013
1500
Продолжение табл. П2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20
188
133
46
55,9
–
20,9
8,9
21,7
γ-Марганец
–
Медь
7,29
Молибден
2,8
α-Натрий
157
β- Натрий
170
Неодим
71
Неон
945 (т)
Никель
5,8
Ниобий
11,3
α-Олово серое 32,3
β-Oлово белое
40
Осмий
1,43
Палладий
9,5
Криптон
Ксенон
Лантан
α-Литий
β-Литий
Лютеций
α-Марганец
β-, δ-Марганец
Вещество
40
276
178
113
350
–
73
50,6
71,6
–
58,76
23,6
531
540
127
1066 (г)
38
68
76
106
–
52
80
345 (т)
202
–
1390
1340
–
193
201
190
202,6
104
–
879
176
1035
173
173
136
173
–
132
150
258 (г)
261 (т)
182
–
2653
141
365
378
372
322,6
193
–
1074
–
1031
328
239
–
206
–
207
250
162 (г)
–
–
3383
151
454
465
470
373,3
238
–
1176 (т)
–
1030
416
262
–
219
–
238
250
400
249
159
197 (α)
–
3974 (т)
153
515
–
–
397,5
264
–
1370 (ж)
200
1030
482
270
–
243 (т)
132
251
Температура, K
1000
248
248
159
158
197 (β)
238
–
–
4251 (ж)
4154
156
173
581
–
–
686 (β)
–
–
416,7
451,1 (т)
276
294
–
–
1296
1257
222
291
1030
1030
592
561
281
304
–
–
242 (ж)
240
136
144
261
281
600
–
–
247 (ж)
–
4203
217
–
837 (δ)
–
513 (ж)
–
–
–
–
1030
616
333
–
–
154
307
1500
Продолжение табл. П2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Платина
Плутоний
Празеодим
Рений
Родий
Ртуть
Рутений
Самарий
Свинец
γ-Селен
Сера ромбическая
Сера моноклинная
Серебро
Скандий
Стронций
Сурьма
α-Таллий
Тантал
Вещество
38
56
174
27
26,6
89,5
19
122
94,4
108
192
–
78
95,4
–
83
93
43
–
15,5
13,9
54
25,8
50
8,23
40
7,4
15
94,4
2,8
2,71
51,5
1,71
49
53
43,5
80,6
20
166
289
–
147
114
97,6
342
88
74
186
75
114
116
99
204
114
193
340
80
212
–
–
190
124
126
535
118
94
191
120
195
129 (т)
185
175
122
274
517
150
232
–
–
204
128
137
692 (т)
131
121
193
132
234
142 (ж)
230
188
127
309
–
250
400
239
585
313
213
134 (т)
141
1004 (ж)
136
138
202
139
253
137
241
221
134
354 (т)
–
Температура, K
600
250
611
343 (α)
223 (т)
145 (ж)
145
1068
141
154 (т)
224
145
273
137
251
271
144 (т)
445 (ж)
–
277 (т)
694
441 ( γ )
258 (ж)
–
152
1004
152
171 (ж)
286 (т)
158
310
136
278
301
142 (ж)
–
–
1000
310 (ж)
848
411 (ж)
–
–
163
–
165
–
305 (ж)
–
349
–
315
–
138
–
–
1500
Продолжение табл. П2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теллур
Тербий
Технеций
Титан
α-Торий
Туллий
Углерод (алмаз)
Углерод (графит)
Уран
Фосфор белый
Фосфор
красный
Фосфор черный
Фтор
Хлор
Вещество
88
106
–
57
61
187
1,18
27,9
54
303
89
73
969 (т)
340
6,3
13,5
151
27,3
13,4
347
108
40
33,5
27,4
–
7,0
20
63
0,21
20
1502 (ж)
543 (т)
204
198
83
403
87
151
176
–
230
90
146
7,0
80
–
–
447
436
103
559
269
180
234
–
406
108
154
83
150
–
–
639
626
112
728 (т)
568
193
199
–
498
115
158
344
250
994
219
179
211
548
123
161
854
400
869 (г)
634 (г)
850
748
125
843 (ж)
Температура, K
928
642
–
979
627
–
–
180 (β)
–
146 (α)
–
832
1799
295 (ж)
226
290
684
156
186
1799
1000
1409
253 (т)
188
225
597
134
163
1342
600
1009
605
–
–
201 (ж)
–
2019
–
286
324
687
–
209
–
1500
Продолжение табл. П2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
147
26
26
11,7
126
Цезий
Церий
Цинк
Цирконий
Эрбий
144
68
125
125
179
17
40
195
165
258
258
192
127
80
155
244
293
293
203
314
150
165
273
380
380
220 (т)
425
250
482
400
170
300
402
402
240 (ж)
Температура, K
174
321
436(т)
436 (т)
224
516
600
229
344 (β)
362 (α)
192
–
–
273
806
1500
480(ж)
480 (ж)
230
614
1000
Примечание. Cостояния вещества до и после фазового перехода обозначены как (т) – твердое, (ж) – жидкое, (г) –
газообразное; кристаллические модификации твердого состояния обозначены греческими буквами
2,1
20
Хром
Вещество
Окончание табл. П2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица П3
Зависимость удельной изобарной теплоемкости воздуха
ср, кДж/(кг⋅K),
от температуры и давления
Температура
Т, K
110
120
150
200
300
Давление р, МПа
0,1
1
10
100
1,028
1,020
1,011
1,007
1,007
1,495
1,280
1,107
1,048
1,021
2,011
2,114
2,847
1,641
1,163
1,683
1,704
1,575
1,433
1,331
Температура
Т, K
400
600
1000
1500
2000
Давление р, МПа
0,1
1
10
100
1,014
1,052
1,141
1,211
–
1,022
1,054
1,142
1,212
–
1,089
1,080
1,150
1,214
1,252
1,244
1,176
1,191
1,233
1,261
Таблица П4
Зависимость дебаевской функции теплоемкости D (θ/T )
от соотношения θ/T
2
3
4
5
6
7
8
9
10
θ /T 0 1
D (θ /T ) 1 0,952 0,825 0,663 0,503 0,369 0,266 0,191 0,138 0,101 0,076
Таблица П5
Дебаевский параметр θ и коэффициент электронной теплоемкости
ς для некоторых элементов
Вещество
θ, K
Азот
Алмаз
81
2250
Алюминий
Америций
Аргон
Барий
Бериллий
Бор (кр.)
433
121
92
111
1481
1219–
1480
60
ς , мДж/
2
(моль⋅K )
0
0
1,35
27
0
2,7
0,17
0
ς , мДж/
Вещество
θ, K
Молибден
Мышьяк
(кр.)
Мышьяк (ам.)
Натрий
Неодим
Неон
Нептуний
Никель
423
282
(моль⋅K )
1,83
0,19
159
156
163
75
259
477
–
1,38
0
0
1,37
7,04
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжение табл. П5
Вещество
Бор (ам.)
θ, K
1102
ς , мДж/
2
(моль⋅K )
0
Вещество
Ниобий
θ, K
ς , мДж/
2
(моль⋅K )
276
7,8
212
0
200
1,78
467
271
2,37
206
152
185
418
512
2,05
9,45
6,54
25(1)
–
5
2,29
4,65
Бром
111
0
Ванадий
382
9,82
Висмут
Водород
Вольфрам
Гадолиний
Галлий
Гафний
Гелий
Германий (кр.)
120
122
383
182
326
252
27
373
0,0085
0
1,01
6,38
0,60
2,15
0
0
α-Олово
(серое)
β-Олово
(белое)
Осмий
Палладий
Платина
Плутоний
Празеодим
Протактиний
Рений
Родий
Германий (ам.)
Гольмий
Графит
ОртоДейтерий
Диспрозий
Европий
Железо
Золото
Индий
Иод
Иридий
Иттербий
Иттрий
Кадмий
Калий
Кальций
α -Кислород
γ-Кислород
Кобальт
528
190
413
0
6(1)
0,014
Ртуть
Рубидий
Рутений
72
56
555
1,86
2,63
3,1
114
0
Самарий
169
13,5
183
118
477
162
112
109
420
118
248
210
91
229
126
46
460
–
6(1)
4,9
0,69
1,66
0
3,14
2,9
8,2
0,69
2,08
2,73
0
0
4,4
Свинец
Селен (кр.)
Селен (ам.)
Сера
Серебро
Скандий
Стронций
Сурьма
Таллий
Тантал
Теллур
Тербий
Технеций
Титан
Торий
105
152
123
165–180
227
346
147
220
78
245
152
176
454
420
160
2,99
0
0
0
0,64
10,3
3,64
0,12
1,47
5,4–6,9
0
4,1
4,0
3,36
4,08
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Окончание табл. П5
Вещество
θ, K
ς , мДж/
2
Кремний (кр.)
645
(моль⋅K )
0
Кремний (ам.)
528
0
Криптон
72
0
Ксенон
Кюрий
α-Лантан
β-Лантан
Литий
Лютеций
Магний
Марганец
Медь
64
123
150
140
344
183
403
409
347
0
–
9,45
11,5
1,65
8,19
1,26
12,8
0,69
Вещество
Тулий
Углерод
(алмаз)
Углерод
(графит)
Уран
Фтор
Хлор
Хром
Цезий
Церий
Цинк
Цирконий
Эрбий
θ, K
ς , мДж/
2
200
(моль⋅K )
–
2250
0
413
0,014
248
78
115
606
40
179
3,29
290
188
8,14
0
0
1,42
3,97
12,8
0,64
2,77
10
Примечание. Обозначения модификаций вещества: кр. – кристаллическая,
ам. – аморфная.
62
300
800
373
973
300
1200
300
800
300
1000
15Л,25Л,
45Л,55Л
11Р3АМ3Ф2
1Х11МФ,
1Х12ВИМФ
Х17Н13М2Т
(ЭИ448)
1Х12В2МФ
Ст. 20
1173
1573
300
1000
Т, K
Ст. 08
Материал
0,457
0,485
0,43
1,01
0,485
0,620
0,483
0,955
0,510
0,650
0,65
0,66
0,461
0,673
ср,
кДж/(кг⋅K)
Т, K
ср кДж/(кг⋅K)
300
1000
300
1000
0,462
0,564
0,462
0,662
Х16Н25М6
(ЭИ395)
25Х2МФА
Х5М
Р6М5
13Н2ХА
300
1000
373
973
300
1400
300
800
300
600
0,452
0,612
0,44
0,91
0,482
0,660
0,481
0,506
0,490
0,525
Легированные стали
Ст. У8
Ст. 35
Углеродистые стали и чугун
Материал
30ХМ, 30ХМА,
30ХГС,30ХГСА
ХН35ВТ
(ЭИ612,ЭИ612К)
Х22Н26, ВЖ100
4Х13
Р18
Сталь лист.
электротехн.
Чугун белый
Чугун СЧ10
Материал
373
973
300
1000
300
800
300
1000
300
1000
150
250
293
293
Т, K
Удельная изобарная теплоемкость ср,
некоторых смесей, сплавов и технических материалов в зависимости от температуры T
0,42
0,69
0,485
0,598
0,461
0,49
0,495
0,570
0,485
0,535
0,389
0,426
0,54
0,5
ср,
кДж/(кг⋅K)
Таблица П6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0,42
0,6
0,31
0,43
0,66
0,209
0,44
0,61
0,135
0,971
0,879
0,888
273–
373
123
273
293–
373
300
600
1000
25 % Bi,
75 % Sn
33 % Cu,
67 % Mg
78 % K,
22 % Na (ж)
10 % Ir,
90 % Pt
32 % Al,
68 % V
25 % Al,
75 % Cu
Материал
Т, K
ср
кДж/(кг⋅K)
Материал
44 % K,
56 % Na(ж)
90 % Мn,
10 % Ni
68 % Cu,
32 % Mg
32 % Cd,
68 % Sn
50 % Bi,
50 % Sn
80 % Au,
20 % Cu
50 % Al,
50 % Cu
137
285
137
285
300
600
1000
196–
293
123
273
137
285
273–
373
0,35
0,41
0,39
0,46
1,16
1,06
1,05
0,232
0,35
0,51
0,164
0,183
0,182
36 % Pb, 64 % Tl
90 % Мn,
10 % Ni
90 % Cu, 10 % Ni
67 % Cu,
33 % Mg
92 % Al, 8 % Mg
60 % Al, 40 % Zn
55,5 % Bi,
45,5 % Pb
33 % Al, 67 % Cu
Двухкомпонентные сплавы, не содержащие железа
ср,
кДж/(кг⋅K)
123
273
123
273
288–
373
Т, K
67 % Al,
33 % Cu
Материал
0,46
0,53
1,15
0,56
0,147
0,30
0,57
0,31
0,38
0,39
0,46
0,128
123
673
137
285
137
285
273–
298
ср,
кДж/(кг⋅K)
373
773
293
300
403–
973
Т, K
Продолжение табл. П6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Алундум
Материал
293–362
Сплав розе
0,23
0,52
0,46
0,147
ср,
кДж/(кг⋅К)
Т, K
ср,
кДж/(кг⋅K)
278–
323
373–
423
Липовица
сплав
Липовица
сплав
0,178
0,144
Многокомпонентные сплавы
Материал
48 % Bi, 26 % Pb,
13 % Cd
50 % Bi, 31 % Pb,
19 % Sn
Материал
273
273
Т, K
373
Т, K
0,78
ср,
кДж/(кг⋅K)
Кирпич
магнезитовый
Материал
273
1273
1,05
1,32
ср,
кДж/(кг⋅K)
Огнеупоры
Т, K
Силлиманит
Материал
273
1273
Т, K
Удельная изобарная теплоемкость ср
неметаллических технических материалов в зависимости от температуры Т
273
293
196–293
Т, K
Алюмель
Нихром
Сплав розе
Материал
0,9
1,16
с р,
кДж/(кг⋅K)
Таблица П7
0,130
0,138
ср,
кДж/(кг⋅K)
Окончание табл. П6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3,0
1,17
333
293
Парафин
жидкий
Прессматериал
АГ-4С
Парафин
0,82
1,0
2,3
0,6
1,0
1,5
1,6
0,84
1,15
0,93
1,06
0,9
1,16
0,88
1,14
Кирпич хромитовый
Уголь
электродный
Материал
273
1273
300–
350
350–
810
810–
1723
Т, K
1,62
0,83
0,9
1,17
0,7
ср,
кДж/(кг⋅K)
Полиметилакрилат
(плексиглас,
оргстекло)
Полистирол
ячеистый ПС1
Полихлортрифторэтилен
Полиэфирные
пластмассы
Поликарбонат
100
300
0,43
1,21
1–2,3
0,44
0,34
0,92
100
300
293
293
0,55
1,05
1,50
100
200
300
Материал
Фарфор
высоковольт
Фарфор
низковольт.
Фарфор
установочн.
Циркон
Резина
Эбонит
Этролы целлюлозные
Политетрафторэтилен
(фторопласт-4,
тефлон)
Пластические вещества, полимеры, резина
ср,
кДж/(кг⋅K)
300
293
293
100
200
300
253–276
373
1773
273
1273
273
1273
273
1273
Т, K
Бакелит
Винипласт
Капрон
Найлон-6
Кирпич динасовый
Кирпич шамотный
Карборунд
Глинозем
Материал
5
20
50
100
200
300
300
293
–
273
1273
300
300
300
Т, K
0,006
0,08
0,21
0,39
0,70
1,16
1,9
1,43
1,6
0,55
0,68
0,92
0,85
0,75
ср,
кДж/(кг⋅K)
Продолжение табл. П7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
332
Тальк
1,35
0,87
0,74
673
288–372
Малахит
1,0
273
Каолин
0,85
300
1073
Грунт
0,65
1,30
273
1,49
1473
Гранит
0,85
273
Базальт
1,1
0,7
293
273–373
Андалузит
ср,
кДж/(кг⋅K)
Асбест
Т, K
Материал
Т, K
ср,
кДж/(кг⋅K)
Шеелит
Слюда
Грунт лунный из Моря изобилия
Графит
природный
Гипс
Берилл
Апатит
323
293
300
300
273
73
323
288–372
0,4
0,88
0,74
0,95–1,05
1,06
0,32
0,84
0,79
Природные вещества, минералы
Материал
Шпинель
Лава вулканическая
Доломит
Гнейс
Боракс
Аугит
Материал
0,81
1,09
304–
1049
282–371
0,84
0,93
1,02
0,74
0,67
0,81
ср,
кДж/(кг⋅K)
296–373
293–372
473
273
308
293–371
Т, K
Продолжение табл. П7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
273–
373
273–
973
273–
373
273–
1173
Анорит CaO×
×Al2O3 ⋅ 2SiO2
Альбит
Na2O ⋅ Al2O3×
×6SiO2
273–
373
293
873
1473
292–
373
Т, K
Стекло оконное
Стекло термометрическое
16``
Стекло
кварцевое
Материал
1,104
0,827
1,007
0,787
0,67
0,89
1,0
1,14
0,832
ср,
кДж/(кг⋅K)
283–323
283–288
Стекла
293–373
293–1273
Т, K
0,49
0,67
0,803
1,25
ср,
кДж/(кг⋅K)
Микроклин
K2O ⋅ Al2O3×
× 6SiO2
Волластонит
CaO ⋅ SiO2
273–1373
373–373
273–973
273–373
1,087
0,803
0,985
0,775
Стекла из природных силикатов
Стекло
флинт
Стекло
крон
Стекло натриевое
Материал
Диопсид
CaO ⋅ MgO×
×SiO2
Стекло пирекс
Материал
273–973
273–373
1,02
0,811
1,20
0,859
273–573
313–
1273
0,604
ср,
кДж/(кг⋅K)
173–273
Т, K
Продолжение табл. П7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
298
273
673
1073
298
298
298
298
273–
373
Войлок
Глина
Гранит
Грунт
Дерево
Зола
Известняк
298
298
298
Т, K
Асфальт
Бетон
Бумага, картон
Материал
0,75
1,13
1,51
0,92
0,84
1,2
0,75
0,92
1,88
1,68
0,84
1,51
ср,
кДж/(кг⋅K)
Т, K
ср,
кДж/(кг⋅K)
298
298
298
273–373
Мел
Мрамор
Песок речной
Пробка
298
298
Кирпич силикатный
Камень
строительный
298
Кирпич
красный
1,8
0,88
0,92
0,84
0,92
0,84
0,88
Строительные материалы
Материал
Шлак котельный
Цементнопесчаный
раствор
Фанера
Стекло
Текстолит
Торф
Материал
0,75
0,84
298
298
2,5
0,84
1,5
1,7
ср,
кДж/(кг⋅K)
273
298
298
298
Т, K
Продолжение табл. П7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2,00
2,63
3,60
513
293
423
2,35
293
Глицерин
Керосин Т-1
2,28
2,58
403
2,74
423
523
2,06
ср,
кДж/(кг⋅K)
293
Т, K
Бензин Б-70
пары
Бензин Б-70
Материал
Керосин Т-1
пары
Масло
трансформаторное
Масло ВМ-4
Мазут
Т, K
ср,
кДж/(кг⋅K)
223
373
373
243
293
1,70
2,04
1,62
1,44
2,18
423– 473 2,37–2,47
Топлива и масла
Материал
Уголь
каменный
Нефть
Масла
растительные
Масло
МС-20
Материал
293–1313
293–333
293
423
273
Т, K
1,31
2,10
1,5–2,0
2,44
1,98
ср,
кДж/(кг⋅K)
Окончание табл. П7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0,15–0,25С; 0,35–0,65 Mn; 0,17–0,37Si
0,32–0,4 С; 0,5–0,8 Mn;
3
3
3
Ст. 20
Ст. 35
Ст. 45
Ст. 65Г
0,15С; 0,35–0,65 Mn;
Ст. 15
0,62–0,7 С; 0,9–1,2 Mn; 0,17–0,37Si
0,17–0,37Si
0,4–0,5 С; 0,5–0,8 Mn;
0,17–0,37Si
0,17–0,37Si
0,1 С; 0,4 Mn; 0,17–0,37Si
3
Ст. 10
0,065 С; 0,4 Мn
3
Ст. 0,83
300; 600; 1000
300; 600; 800
300; 600; 800
300; 600; 800; 900
300; 600; 900
300; 600; 800
300; 600; 900
300; 600; 1000;
1183; 1673
Железо Армко2,
ρ(296 K) = 14,5 ⋅10−6 Ом⋅см
Температура Т, K
10; 20; 40; 80;
150; 300; 600; 1000
Массовый состав, %
Железо Армко зарубежного производства, хорошо отожженное,
ρ0 = 0, 69 ⋅10−6 Ом⋅см
Марка стали
Теплопроводности сталей
1
45; 28; 24
79; 43; 30
85; 50; 36
86; 54; 38; 31
86; 54; 32
83; 57; 44
88; 58; 33
71; 52; 32;
32; 38
36,2; 71,2; 113; 105;
85,5; 72,2; 53,1; 32,3
Вт/(м⋅K)
Теплопроводность λ,
Таблица П8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15ХМА
15ХМ
40Г3
35Г3
50Г23
40ХС3
35Х3
30Х3
20Х
300; 600; 800; 1200
300; 500; 700
400; 700
300; 600; 800
300; 600; 900
300; 600; 900
300; 600; 800; 1200
0,12–0,18 С;0,4–0,7 Mn; 0,17–0,37Si;
0,7–1,0 Cr
0,12–0,17 С;0,4–0,7 Mn; 0,17–0,37Si;
0,7–1,0 Cr
0,17–0,23 С;0,5–0,8 Mn; 0,17–0,37Si;
0,7–Cr
0,24–0,32 С;0,5–0,8 Mn; 0,17–0,37Si;
0,8–1,1 Cr
0,31–0,39 С;0,5–0,8 Mn; 0,17–0,37Si;
0,8–1,1 Cr
0,37–0,45 С;0,7–1,0 Mn; 0,17–0,37Si
0,31–0,39 С;1,4–1,8 Mn; 0,17–0,37Si
0,46–0,55 С;0,7–1,0 Mn; 0,17–0,37Si
0,37–0,45 С;0,3–0,6 Mn; 1,2–1,6Si;
1,3–1,6 Cr
0,11–0,18 С;0,4–0,7 Mn; 0,17–0,37 Si;
0,8–1,1 Cr; 0,4–0,55 Mo
0,26–0,33 С;0,4–0,7 Mn; 0,17–0,37 Si;
0,8–1,1 Cr; 0,15–0,25 Mo
15Х
15ХА
Температура Т, K
Массовый состав, %
Марка стали
42; 39; 37; 31
65; 51; 46
38; 36
43; 36; 35
47; 35; 34
48; 38; 28
39; 35; 33; 30
Теплопроводность
1
λ, Вт/(м⋅K)
Продолжение табл. П8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0,26–0,33 С;0,4–0,7 Mn; 0,17–0,37 Si;
0,8–1,1 Cr; 0,15–0,25 Mo
0,28–0,35 С;0,8–1,1 Mn; 0,9–1,2 Si;
0,8–1,1 Cr;
0,28–0,34 С;0,8–1,1 Mn; 0,9–1,2 Si;
0,8–1,1 Cr;
0,15–0,55 С в зависимости от марки:
0,3–0,9 Mn; 0,2–0,4 Si; 0,45–0,6 S;
0,04–0,08 Р
1,15–1,24 С;0,15–0,35Mn; 0,15–0,3 Si;
1,15–1,24 С;0,15–0,35Mn; ≤Cr; 0,15–0,35 Si;
0,7–0,8 С; 3,8–4,4Cr; 17,5–18,5 W;
1–1,4V; ≤1 Мо
0,8–0,9 С; 3,1–3,6Cr; 12–13 W; 1,5–1,9V;
≤1 Мо
0,09–0,15 С; 12–14 Cr; ≤0,8 Si; ≤0,8 Мо
≤0,07 С; 6–7,5Mn; 19,5–21 Cr; 5–6 Ni;
0,15–0,25 N
30ХМА
12Х135
07Х21Г7АН55
Р12
У85
У12
Р18
15Л-55Л4
30ХГСА
30ХГС
Массовый состав, %
Марка стали
200; 300; 600; 900; 1200
10; 20; 40; 80; 300
300; 500; 700
300; 1200
300; 600; 900; 1200
300; 600; 900; 1200
300; 600; 800; 1200
300; 600; 800; 1200
Температура Т, K
1
31; 31; 33; 34; 33
1,7; 3,5; 5,9; 10;
2; 17
16; 19; 26
50; 26
45; 37; 32; 25
22; 26; 26; 24
46; 41; 38; 33
39; 38; 37; 35
Вт/(м⋅K)
Теплопроводность λ,
Продолжение табл. П8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Массовый состав, %
0,1–0,17 С; 0,5–0,8 Mn; 11–13 Cr;
1,7–2,2 W; 0,15–0,3 V; 0,6–0,9 Мо
18Х12ВМБФР 0,15–0,22 С; 0,4–0,6 Мо; 0,5 Si; 11–13Cr;
0,4–0,7W; 0,15–0,3 V; 0,2–0,4 Nb
12Х18Н9Т5
≤0,12 C; 1–2 Mn; 17–19 Cr; ≤0,8Si;
8–9,5 Ni; 5⋅C–0,8 Ti
12Х18Н10Т5
≤0,12 C; ≤2 Mn; 17–19 Cr; ≤0,8 Si;
9–11 Ni; 5⋅C–0,8 Ti
12Х18Н9Т6
>>
20Х23Н18
≤0,1 C; ≤2 Mn; 22–25 Cr; ≤1 Si;
17–20 Ni;
08Х16Н13М2Б
0,06–0,12 C; 15–17 Cr;12,5–14,5 Ni;
2–2,5 Mo; 0,9–1,3 Nb
08Х18Н12Б
≤0,8 C; 0,8 Si; 1–2 Mn; 17–19 Cr;
11–13 Ni; 8⋅C–1,2 Nb
10Х18Н9ТЛ
≤0,14 C; 1–2 Mn; 17–20 Cr; ≤1 Si;
8–11 Ni; (C–0,03)⋅5–0,8 Ti
ХН35ВТ
≤0,12 C; 1–2 Mn; 14–16 Cr; 34–38 Ni;
2,8–3,5 W; 1,1–1,5 Ti
ХН35ВТР
≤0,1 C; ≤1 Mn; 14,4–16 Cr; 34–38 Ni;
2,8–3,5 W; 1,1–1,5 Ti
15Х12В2МФ5
Марка стали
13,5; 14,5; 19; 23; 28
1,5; 3,7; 5,5; 8,2; 11,0;
15,1
15,0; 19,8; 26,6; 27,8
13,5; 14; 15; 18
14; 15; 16; 17; 18
14; 15; 19; 23; 26
13; 14; 18; 25; 28
14; 15; 16; 17; 19
14; 15; 16; 17; 19
200; 300; 600; 900; 1400
10; 20; 40; 80; 150; 300
200; 300; 600; 1000; 1400
200; 300; 600; 1000; 1200
200; 300; 600; 1000; 1400
200; 300; 600; 1000; 1400
200; 300; 600; 1000; 1400
300; 600; 900; 1100
200; 300; 600; 1400
33; 33; 34; 32; 30
200; 300; 600; 900; 1400
1
30; 31; 33; 32
Вт/(м⋅K)
Теплопроводность λ,
200; 300; 900; 1400
Температура Т, K
Продолжение табл. П8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Массовый состав, %
29
12
15
13
42–50
29–58
25–54
300
300
300
300
400
700
Теплопроводность λ, Вт/(м⋅K)
300
Температура Т, K
2
Теплопроводности по порядку соответствуют указанным температурам.
Массовый состав, %: 99,5 Fe; 0,035 C;0,12 S; 0,14 Mn; 0,025 S; 0,005 P;0,20 Cu.
3
Сталь литая отожженная.
4
Сталь отожженная.
5
Сталь закаленная.
6
Эта сталь (ГОСТ 5632–72) рекомендована для образцовых мер теплопроводности (ГОСТ 8.140–82).
1
Э11-Э13,
Э1100-Э1300
Э41-Э43А
Э310-Э330
Э45-Э46
Чугун
cерый средней прочности
Чугун легированный
Марка стали
1
Окончание табл. П8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
–
Азот газообразный
15700
Алюминий,
ρ0 = 0,594 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
–
Аргон газообразный
39
Барий,
ρ0 = 0,25 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
720
Бериллий
поликристаллический,
ρ0 = 13,5 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
38
Бор поликристаллический
–
Бром жидкий
Вещество
–
20
–
40
–
–
3500
350
–
–
–
1800
180
–
–
430
4600
–
–
23500 11700 2400
–
10
150
200
300
248
237
237
240
0,324
400
230
0,446
600
220
0,554
800
93 (ж)
0,065
1000
Таблица П9
–
260
1600
–
–
94
450
21
–
55
300
19
0,12
27
200
18
–
17
160
–
–
10,6
126
–
–
9,6
106
–
–
9,9
91
–
0,0061 0,0096 0,0126 0,0177 0,0222 0,0307 0,0374 0,0436
430
0,0078 0,0139 0,0183 0,0257
80
Температура, K
Теплопроводности простейших химических веществ, Вт/(м ⋅ K)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5600
–
Дейтерий
газообразный
Вольфрам,
ρ0 = 1,7 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
–
1700
Водород газообразный
перпендикулярно тригональной оси
–
–
Висмут:
поликристаллический
параллельно
тригональной оси
5,6
4
Ванадий,
ρ0 = 1,72 ×
× 10–6 Ом ⋅ см
Вещество
47
31
41
39
40
690
0,0120 0,026
0,0158 0,031
100
70
90
26
20
9700 4100
–
–
290
–
–
14
10
230
0,049
0,055
23,0
14,8
20,3
39
80
192
0,081
0,101
13,6
8,3
11,8
32
150
185
0,101
0,131
11,2
6,7
9,7
31
200
Температура, K
174
0,133
0,183
9,2
5,3
7,9
30,7
300
159
0,163
0,226
8,2
4,7
7,0
31,3
400
137
0,216
0,305
–
–
13
33,3
600
125
0,27
0,38
–
–
15
36
800
118
0,32
0,45
–
–
17
36
1000
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12
14
11
5,9
4,4
10
4,9
4
17
17,5
17
20
Галий5:
9900 1200 270
параллельно оси a,
–9
ρ0 = 0,1 ⋅ 10 Ом ⋅ см
перпендикулярно оси
27000 3300 1700
b , ρ0 = 0,034 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
параллельно оси c, ρ0=
–9
3100 350
84
= 0,425⋅10 Ом ⋅ см
Гадолиний:
поликристаллический,
–6
ρ0 = 3,71⋅10 Ом ⋅ см
параллельно оси с,
–6
ρ0 = 2,62 ⋅ 10 Ом ⋅ см
перпендикулярно оси с , ρ0 =
–6
= 4,43 ⋅10 Ом ⋅ см
Вещество
50
98
20
200
33
16
14
15
80
80
18
16
17
40
16,7
92
44
13,3
12
13
150
16,3
90
42
11,9
11,2
12
200
15,9
88
41
10,4
10,8
10,5
300
Температура, K
12,3
14,9
–
600
4
3
–
–
–
–
34,5 (ж) 46,2 (ж)
–
–
–
400
–
–
–
14,3
16,4
–
800
4
3
2
–
–
–
16,3
17,8
16
4
3
1000
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Гафний,
поликристаллический,
ρ0 = 4,23 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
Гелий газообразный
Германий
Гольмий:
поликристаллический,
ρ0 = 2,67 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
параллельно оси
с , ρ0 =
= 3,21 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
перпендикулярно оси с ,
ρ0 = 2,82 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
Вещество
26
80
200
1800
12
13
12
880
5,8
–
–
14
16
14
1500
15
18
16
800
14
17
15
330
12
18
13,5
132
13
20
15
97
23,0
300
14
22
16
60
0,152
Температура, K
150
0,116
24
40
0,0083 0,017 0,0260 0,040 0,064 0,095
18
20
24
9,5
10
25
3,5
4
–
–
13,5
43
6
0,183
22,3
400
–
–
14
6
27
0,244
21,3
600
–
–
15
6
20
0,301
20,8
800
–
–
16,5
6
17
0,355
20,7
1000
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Европий
Железо, ρ0 =
–9
=14,3 ⋅ 10 Ом ⋅ см
Золото, ρ0 =
–9
=5,50 ⋅ 10 Ом ⋅ см
перпендикулярно оси с ,
ρ0 = 4,59 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
параллельно оси с,
ρ0 = 5,77 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
Диспозий:
поликристаллический, ρ0 =
–6
= 4,93⋅10 Ом ⋅ см
Вещество
520
–
2100 3200 1580
–
15
12,4
14
40
620
–
2,5
16
12
14
20
680 1480 1540
11
8,4
10
10
–
–
4,4
4
332
175
–
12
11,7
12
80
325
104
17
9,7
8,7
9,0
150
323
94
15
9,3
10
9,6
200
Температура, K
317
80
14
10
12
11
300
311
70
_
–
–
11
400
7
298
55
10
–
–
12
600
7
284
43
11,5
–
–
14
800
270
32
–
–
–
15
1000
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Иттрий:
поликристаллический,
ρ0 = 5,54 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
ρ(293 K)/ρ0 =
= 4,9
Иттербий: поликристаллический,
Иридий,
ρ0 = 19,1 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
Йод
Индий: поликристаллический,
ρ0 = 0,587 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
Вещество
2,7
–
7,0
12
1300
–
–
520
590
10
5000
4
13
13
1900
–
190
20
15,2
11
750
–
109
40
15,7
10
210
–
99
80
16,4
20
160
–
94
150
16,6
21
153
–
90
200
82
300
17,2
47
147
0,45(т)
Температура, K
18
–
144
–
75
400
48 (ж)
800
21
–
138
23
–
132
0,007 (г) 0,009 (г)
43 (ж)
600
25
–
126
–
–
1000
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
параллельно оси
с , ρ0 =
= 2,3 ⋅ 10–6 Ом ⋅ см
перпендикулярно оси с ,
ρ0 = 8,7 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
Кадмий:
поликристаллический, ρ0 =
= 0,112⋅10–9
Ом ⋅ см
параллельно оси
с, ρ0 = 0,134 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
перпендикулярно оси с ,
ρ0 = 0,103 ×
× 10–9 Ом ⋅ см
Вещество
9,4
230
210
240
5,0
1,9
30000 1200
26000 1150
31000 1250
23
20
13
10
5,3
4
140
113
130
12,1
24
40
113
91
106
12,7
24
80
108
86
101
13,3
25
106
85
99
–
–
104
83
97
–
–
Температура, K
150
200
300
101
81
95
–
–
400
94
75
88
–
–
–
–
8
42 (ж)
–
–
800
8
8
600
–
–
–
–
–
1000
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
–
–
Ксенон газообразный
–
–
2300
300
Криптон газообразный
Кремний
–
260
–
Кислород газообразный
–
460
10
110
–
Кальций,
ρ(273 K)/ρ0=70
Кобальт
поликристаллический, ρ0 =
= 90,75 ×
× 10–9 Ом ⋅ см
1900
4
Калий, ρ0 =
= 2,20 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
Вещество
–
–
5000
440
–
–
170
20
–
–
3500
380
–
280
115
40
190
105
150
190
104
200
180
102
300
–
0,0034
1340
190
9
260
122
150
100
600
800
1000
99
85
0,034
–
62
67
0,047
–
42
58
0,058
–
31
52
0,070
–
52 (ж) 44 (ж) 37 (ж) 31 (ж)
400
–
0,0038 0,0057 0,0074 0,0106 0,0136 0,0163
0,0050 0,0066 0,0096 0,0124 0,0174 0,0218 0,0256
410
140
0,0074 0,0138 0,0183 0,0267
190
108
80
Температура, K
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лантан:
поликристаллический,
ρ0 = 1,29 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
Литий,
ρ0 = 37,2 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
Лютеций:
поликристаллический,
ρ0= 0,134 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
параллельно
оси с,
ρ0 = 0,134 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
перпендикулярно оси с ,
ρ0 = 0,103 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
Вещество
18
610
20
36
15
260
7,9
16
5,3
10
8,8
4
19
41
25
720
17
20
18
32
22
340
10
40
16
29
20
120
9,4
80
15
26
18
95
10,9
150
15
25
18
90
11,8
200
Температура, K
14
23
16
85
13,5
300
–
–
–
80
14,9
400
21
800
23
1000
10
–
–
13
–
–
14,5
10
10
–
–
16
48 (ж) 54 (ж) 60 (ж)
18
600
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4900
2200
–
–
Мышьяк
Натрий,
ρ0 = 1,47 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
150
61
Молибден,
ρ0 =11,3 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
24000
1,6
5600
10
16200
0,96
3800
4
Медь,
ρ0 = 0,589 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
Марганец,
ρ0 = 11,3 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
Магний поликристаллический,
ρ0 = 2,61 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
Вещество
610
–
290
10800
2,4
2700
20
190
–
360
2170
3,6
720
40
135
–
210
560
5,3
200
80
140
–
149
429
6,6
161
150
142
69
143
413
7,2
159
200
Температура, K
141
50
138
401
7,8
156
300
–
126
379
–
149
600
87 (ж) 76 (ж)
41
134
393
–
153
400
11
67(ж)
–
118
366
12
146
800
11
58 (ж)
–
112
352
14
84 (ж)
1000
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18000 1900
14000 1500
параллельно
оси с,
ρ0 = 0,170 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
290
Олово:
поликристаллическое,
ρ0 = 0,132 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
140
Ниобий,
ρ0 = 67,9 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
1800
–
–
860
2,1
10
1,1
4
Никель,
ρ0 = 11,2 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
Неон газообразный
Неодим поликристаллический
Вещество
250
320
250
1650
–
3,5
20
104
130
95
580
–
–
40
71
92
58
210
0,018
–
80
60
78
53
122
0,030
–
150
57
73
53
107
0,037
17
200
Температура, K
52
67
54
91
0,049
17
300
48
62
55
80
0,060
17
400
61
68
0,097
20
800
64
72
0,112
22
1000
–
–
–
32 (ж) 36 (ж) 41 (ж)
58
66
0,080
18
600
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
параллельно
оси с ,
ρ0 = 0,118 ×
× 10–9 Ом ⋅ см
Осмий:
поликристаллический, ρ0 =
= 23,4⋅10–9 Ом ⋅ см
параллельно оси с,
ρ0 = 16,7 ×
× 10–9 Ом ⋅ см
перпендикулярно оси с ,
ρ0 = 27,8 ×
× 10–9 Ом ⋅ см
Палладий, ρ0 =
= 12,3 ⋅ 10–9 Ом ⋅ см
Платина, ρ0 =
=10,6 ⋅ 10–9 Ом ⋅ см
Вещество
1400
870
1150
1200
590
350
760
880
500
600
140
2200
1600
1020
420
20
360
10
20000 2200
4
140
170
–
–
640
150
40
82
81
–
–
140
102
80
74
73
–
–
96
87
150
73
72
–
–
91
82
200
72
72
–
–
88
74
300
Температура, K
72
74
–
–
87
69
400
73
80
–
–
87
–
600
76
87
–
–
87
–
800
79
94
–
–
87
–
1000
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1200
230
Родий,
ρ0 = 8,40 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
Ртуть:
поликристаллическая
2500
46
2800
3600
–
–
Радий
Рений поликристаллический,
ρ 0 = 3,66 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
–
–
Прометий
–
10
–
–
4
–
Празеодим
поликристаллический
Плутоний
поликристаллический
Вещество
40
3600
1200
–
–
–
–
20
36
1020
160
–
–
–
–
40
33
240
63
–
–
6,9
2,9
80
30
158
54
–
–
9,3
3,6
150
29
154
51
–
–
11
4,1
200
Температура, K
146
46
–
18
14
7,3
400
136
44
–
19
16
11
600
127
44
–
20
18
12
800
121
45
–
21
22
–
1000
8,3 (ж) 9,8 (ж) 12,0 (ж) 12,8 (ж) 11,7 (ж)
150
48
19
18
13
5,2
300
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
параллельно
тригональной
оси
перпендикулярно тригональной оси
Рубидий,
ρ0 = 38,4 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
Рутений поликристаллический,
ρ0 =15,8 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
Самарий поликристаллический,
ρ0 = 6,73 ×
× 10–9 Ом ⋅ см
Свинец,
ρ0 = 0,682 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
Вещество
40
110
1500
6,1
180
200
190
620
12
2200
5,6
58
10
280
4
59
6,9
2300
69
35
50
20
45
7,5
950
64
32
45
40
41
7,1
190
61
29
40
80
38
9,2
128
59
27
36
150
37
11
118
59
26
34
200
Температура, K
35
13
117
58
–
–
300
–
–
600
–
–
800
–
–
1000
34
13
114
31
14
108
–
98
19 (ж) 22 (ж)
16
102
32 (ж) 29 (ж) 25 (ж) 22 (ж)
–
–
400
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
–
–
Стронций
Скандий поликристаллический,
ρ0 = 10,6 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
Серебро,
ρ0 = 0,621 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
6,8
–
2,8
–
16800
8,2
10,6
Сера:
поликристаллическая
14700
0,042
0,032
аморфный
аморфная
36
27
10
140
4
140
Селен:
параллельно
оси с
перпендикулярно оси с
Вещество
–
12
5100
–
2,4
0,056
17
59
20
–
14
1050
–
1,1
0,079
7,4
26
40
–
14
470
45
15
432
0,175
1
0,16
0,43
0,20
2,2
7,6
150
0,65
0,13
3,6
13
80
41
15,5
13
430
0,185
0,36
0,26
1,7
6,1
200
Температура, K
13
35
16
429
0,206
0,27
0,53
1,3
4,5
300
–
–
–
600
32
16,2
13
425
–
28
16,7
13
412
–
0,13 (ж) 0,17 (ж)
–
1,5
5,4
400
28
17,2
13
396
–
–
–
–
–
800
26
17,7
13
379
–
–
–
–
–
1000
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
670
250
8,4
перпендикулярно оси с
Тербий:
поликристаллический,
ρ0 = 2,19 ×
× 10–6 Ом ⋅ см
46
1800
190
4
Теллур:
параллельно
оси с
Тантал,
ρ0 = 0,214 ×
–
× 10 6 Ом ⋅ см
Таллий поликристаллический,
ρ0 = 0,240 ×
× 10–9 Ом ⋅ см
Сурьма поликристал-лическая
Вещество
19
130
310
107
190
480
10
23
41
95
140
81
240
20
19
15
32
87
65
110
40
15
6,2
12,2
60
58
55
80
12
3,3
5,9
58
52
36
10
2,6
4,6
58
49
30
Температура, K
150
200
11
2,0
3,4
58
46
24
300
–
1,7
2,8
58
44
21
400
14,7
1,4
2,3
14
59
–
18
600
60
–
27 (ж)
1000
15,3
–
14
16,7
–
14
4,2 (ж) 6,5 (ж)
59
–
17
800
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Торий,
ρ0 = 26,8 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
Титан поликристаллический,
ρ0 = 1,90 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
Технеций
поликристаллический
параллельно
оси с
ρ0 = 1,87 ×
× 10–6 Ом ⋅ см
перпендикулярно оси с
ρ0 = 2,37 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
Вещество
16
13
360
5,8
470
14
–
26
10
13
–
11
18
4
170
28
–
20
29
20
84
39
–
17
23
40
63
33
–
14
19
80
56
27
–
11
15
150
55
25
–
9,0
13
200
Температура, K
54
22
55
9,6
15
300
55
20
53
–
–
400
15
15
56
19
49
13
15
600
15
15
57
20
51
14,9
16,4
800
15
15
58
21
55
17
18
1000
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
21
24
13
13
23
10
11
26
16
алмаз типа IIа
алмаз типа IIв
200
320
140
0,016 0,071
14
14
82
4
алмаз типа I
Туллий:
поликристаллический,
ρ0 = 1 ,8 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
параллельно
оси с,
ρ0 = 3,5 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
перпендикулярно оси с ,
ρ0 = 1,7 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
Углерод:
аморфный
Вещество
1100
1700
790
0,16
20
14
18
20
4400
6600
2900
0,31
11
10,5
11
40
6600
11700
3500
0,56
10,5
19
13
80
3300
6000
2000
0,94
12,6
22
15
2300
4000
1400
1,2
13,4
23,5
16
Температура, K
150
200
1350
2300
900
1,6
14,1
24
17
300
930
1500
650
1,9
–
–
–
400
16
–
–
–
2,2
–
–
15
600
16
–
–
–
2,4
–
–
16
800
16
–
–
–
2,5
–
–
18
1000
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4,4
10
–
4
Фосфор:
черный
по- 0,51
ликристаллический
белый аморф–
ный
Фтор газообраз–
ный
Хлор газообраз–
ный
Уран поликристаллический,
ρ0 = 2,14 ×
–6
× 10 Ом ⋅ см
перпендикулярно оси с
Графит пиролитический:
параллельно
оси с
Вещество
–
–
–
–
–
–
–
44
18
1600
12
40
–
27
16
420
4,0
20
–
6,5
9,8
81
1,2
10
–
–
–
35
21
4300
18
80
0,31
18
25
3200
9,2
200
–
–
34
890
2,7
600
0,049
2,0
800
–
–
–
39
670
0,18 (ж) 0,16 (ж) –
–
30
1400
4,1
400
0,027 0,035
0,24
12
28
2000
5,7
300
0,0054 0,0088 0,0124 0,0188
0,0134 0,0182
–
23
24
4500
13
150
Температура, K
–
–
–
–
44
530
1,6
1000
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Цирконий поликристаллический ρ0 =
–9
= 218 ⋅ 10 Ом ⋅ см
1,1
69
390
10
44
100
7100 4700
0,48
Церий,
ρ(293 K)/
ρ(20 K) = 1,93
Цинк
поликристаллический,
ρ0 =1,28 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
110
160
4
Цезий,
ρ0 = 41,8 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
Хром
поликристаллический,
ρ0 = 60,8 ×
–9
× 10 Ом ⋅ см
Вещество
110
1000
1,9
55
590
20
59
280
3,2
47
430
40
37
130
5,2
41
180
80
28
117
7,7
38
129
150
25
118
9,0
37
111
200
23
116
11
36
94
300
Температура, K
81
600
71
800
65
1000
22
111
13
21
103
17
22
22
24
56 (ж) 67 (ж)
19
20 (ж) 21 (ж) 19 (ж) 17 (ж)
91
400
Продолжение табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
–6
ρ(300 K) = 86 ⋅ 10 Ом ⋅ см.
13
ρ(300 K) = 52 ⋅ 10 Ом ⋅ см.
–6
–6
–
–
14
–6
ρ(300 K) = 78 ⋅ 10 Ом ⋅ см.
–6
ρ ⊥ c (300 K) = 127 ⋅ 10 Ом ⋅ см.
–6
–
–
15
800
–
–
16
1000
Примечания. 1. Погрешность приведенных значений теплопроводности может быть разной в зависимости от
вещества, области температур (как правило, увеличивается при высоких и низких температурах) и давлений (увеличивается с повышением давления). Число значащих цифр в приведенных данных в целом согласуется с их погрешностью, которая составляет 1…20 %.
2. Для монокристаллических веществ указаны направления, которым соответствуют значения теплопроводности.
7
–
–
14
600
ρ(300 K) = 129 ⋅ 10 Ом ⋅ см.
12,6
18,4
14,3
400
ρ || c (300 K) = 98 ⋅ 10 Ом ⋅ см.
16
15
14
12,6
18,5
14,6
300
близка к теплопроводности монокристалла в направлении
–6
ρ(300 K) = 165 ⋅ 10 Ом ⋅ см.
Теплопроводность поликристаллического галлия
оси а.
–6
12
6
ρ(300 K) = 90 ⋅ 10 Ом ⋅ см.
Т = 6 K.
5
11
ρ(300 K) = 136 ⋅ 10–6 Ом ⋅ см.
4
ρ(300 K) =65 ⋅ 10–6 Ом ⋅ см.
Т = 100 K.
10
ρ(300 K) = 130 ⋅ 10 Ом ⋅ см.
–6
12
ρ(300 K) = 127 ⋅ 10 Ом ⋅ см.
10
17,4
3
9,6
12
13,7
200
Температура, K
150
9
8
8,6
8,6
11
80
–6
7,0
–
6,4
9,3
40
2
7,2
–
7,8
20
Т = 294, точка плавления – 258 K.
7,1
10
3,6
4
Т = 90 ºС.
1
Эрбий:
поликристаллический
параллельно
оси с
перпендикулярно оси с
Вещество
Окончание табл. П9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица П10
Удельное сопротивление ρ0 , температурный коэффициент α 0
при 0 ºС и характеристическая температура θ чистых металлов
Металл
ρ 0 , 10–6
Ом ⋅ см
Алюминий
Барий
Бериллий
Ванадий
Висмут
Вольфрам
Гадолиний
Галлий
α0 ,
10–5 K–1
θ, K Металл
ρ 0 , 10–6
Ом ⋅ см
α 0 , 10–5 θ, K
K–1
2,50
460
433 Неодим
71
200
163
36
3,2
649
900
111 Никель
1481 Ниобий
6,14
16,1
692
343
477
276
18,2
110,0
4,89
390
454
510
11,15
9,5
9,77
465
420
377
199
467
271
140
176
9,81
396
237
40
369
42
460
–
Гафний
30
440
65,8
171
152
Гольмий
Диспрозий
Железо
Золото
Индий
87
56
171
119
398 Олово
120 Осмий
383 Палладий
182 Платина
325 Полоний
252 Празеодим
190 Рений
183 Родий
18,9
4,35
455
462
416
512
8,6
2,06
8,19
651
402
490
94,07
11,29
7,16
99
637
458
72
56
555
Иридий
4,93
411
88
148
169
Иттербий
Кадмий
30
130
477 Ртуть
162 Рубидий
112 Рутений
420 Самарий
118 Свинец
19,2
428
105
7,07
462
1,49
430
227
Калий
6,1
673
210 Серебро
91 Стронций
30,3
383
147
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Окончание табл. П10
Металл
ρ 0 , 10–6
Ом ⋅ см
α0 ,
10–5 K–1
–6
θ, K Металл ρ 0 , 10
Ом ⋅ см
Кальций
Кобальт
Лантан
Литий
Лютеций
Магний
α-Марганец
β-Марганец
γ-Марганец
Медь
Молибден
Мышьяк
4,06
5,57
57,6
8,55
79
417
604
213
489
240
229
460
150
344
183
Сурьма
Таллий
Тантал
Титан
Торий
4,31
278
412
50
403 Тулий
409 Уран
91
136
–
39,2
628
–
1,55
5,03
Натрий
α 0 , 10–5 θ, K
K–1
39,0
16,2
12,4
42
13
511
517
382
546
275
220
78
245
420
160
79
21
195
282
200
248
Хром
14,1
301
606
Цезий
18,1
503
40
433
473
347 Церий
423 Цинк
72,7
5,65
97
417
179
328
26
475
41
440
290
4,28
546
282 Цирконий
156 Эрбий
107
252
188
Таблица П11
Удельное сопротивление ρ и температурный коэффициент α
при 20 ºС сплавов, употребляемых до температуры Тmах
Сплав
Массовый состав, %
Tmax, ºC
ρ, 10−6
Ом ⋅ см
Константан
Марганин
54 Cu, 45 Ni, 1 Mn
86 Cu, 12 Mn, 2 Ni
85 Cu, 15 Mn
84 Cu, 13 Mn, 3 Al
85 Cu, 9,5 Mn, 5,5 Al
400
300
300
400
400
50
43
51
50
45
98
–1
α , 10−5 K
–3
1–2
0,8
От –0,2 до 2
1–3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Окончание табл. П11
Массовый состав, %
Tmax, ºC
ρ, 10−6
Ом ⋅ см
Медь–алюминий
95 Cu, 5 Al
350
11
80
Медь–марганец
91 Cu, 9 Mn
90,5 Cu, 9,5 Mn
350
350
33,4
35,2
–0,8
9,1
Медь–марганец–алюминий
93 Cu, 5 Mn, 2 Al
400
22
5
88 Cu, 10 Mn, 2 Al
400
38
–3
67 Cu, 30 Ni, 2–3 Mn
300
40
11
Никелин–
нейзильбер
58 Cu, 22 Ni, 20 Zn
54 Cu, 26 Ni, 20 Zn
300
300
36
43
31
23
Нейзильбер
60 Cu, 17 Ni, 23 Zn
300
30
35
Сплав
Никелин
–1
α , 10−5 K
Таблица П12
Удельное сопротивление ρ при температуре 20 ºС и 1000 ºС сплавов, употребляемых до температуры Тmах
Сплав
Нихром
Хромоалюминиевый
Массовый состав, %
Tmax, ºC
ρ20 , 10−6
Ом ⋅ см
ρ1000 , 10−6
Ом ⋅ см
70-80 Ni, 20 Cr, 0–2 Mn
1150
106
112
70 Ni, 8 Fe, 20Cr, 2 Mn
1150
110
120
62 Ni, 23 Fe, 15 Cr
1100
110
119
63 Ni, 20 Fe, 15 Cr, 2 Mn
1150
112
125
20 Ni, 55 Fe, 25Cr
1000
97
130
65 Fe, 30 Cr, 5Al
1350
140
142
72 Fe, 20 Cr, 5Al, 3 Co
1300
145
151
86 Fe, 12 Cr, 2Al
1000
110
122
99
2 Mn, 2 Al, 1 Si, Ni, остальное Co
48 Bi, 28 Pb, 24 Sn
56 Bi, 14 Pb, 14 Sn, 16 Cd
64 Fe, 36 Ni
90 Fe, 10 Al
88 Fe, 12 Mn
96 Fe, 4 Si
44 Ni + Co, 0,1–1 Mn, остальное Cu
67 Ni, 28 Cu, остальное Fe + Mn
70–75 Ni, остальное Fe + Cu + Cr
90 Pt, 10 Ir
85 Pt, 15 Ir
80 Pt, 20 Ir
90 Pt, 10 Rh
33 Pt, 67 Ag
Алюмель
Розе
Вуда
Платинородиевый
Платиносеребряный
Копель
Монель
Пермаллой С
Платиноиридиевый
Массовое содержание компонентов, %
Сплав / марка стали
ρ, 10−6
Ом⋅см
305
67
54
75
100
55
50
465
48
55
23,6
27,4
30
21,7
27
–
190
230
–
327
≈ 200
≈ 90
–
≈120
–
123
100
80
139
24
α, 10−5 K–1
Удельное сопротивление ρ и температурный коэффициент α при 20 ºС некоторых сплавов
и нержавеющих сталей
Таблица П13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3Х13
Х17
1Х18Н9
2Х18Н9
1Х18Н9Т
Х25С3Н
Х18Н25С2
Х20Н14С2
Х10С2М
Томпак (маркаЛ-96)
Латунь (марка Л-62)
Латунь железистомарганцовистая (марка ЛЖ Мц 59-1,1)
Латунь марганцовистая (марка ЛМц 58-2)
Латунь свинцовистая
(марка ЛС 59-1)
Сплав/ марка стали
–
–
–
–
–
75
80
102
95
75
170
–
–
6,5
1 Pb, 40 Zn, остальное Cu
180
130
270
170
α, 10−5 K–1
57
65
8,9
21,2
11Fe, 0,8 Mn, остальное Cu
2 Mn, 40 Zn, остальное Cu
Нержавеющие стали
4,3
7,1
ρ, 10−6
Ом⋅см
4 Zn, остальное Cu
38 Zn, остальное Cu
Различные марки латуней
Массовое содержание компонентов, %
Окончание табл. П13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1550
1600
1650
Т, ºС
15,49
21,8
28,2
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
K
41,61
47,23
54,33
62,21
69,37
78,29
88,23
99,68
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
K56Na44
45,63
51,33
58,58
65,65
73,48
82,61
91,76
104,51
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
K78Na22
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
21,5
22,4
23,3
24,2
25,0
–
–
–
Cu
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
109
110
110
111
Ni
–
–
49,4
51,6
53,9
56,0
58,3
60,5
62,7
65,0
67,2
69,5
71,7
74
76,2
–
–
–
Sn
Металл
–
–
–
–
–
–
129
131
133
135
138
140
–
–
–
–
–
–
Sb
–
–
–
–
34,5
35,5
35,6
35,7
35,7
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Zn
–
–
–
33,7
34,1
34,8
35,8
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Cd
–
–
–
–
–
–
27,8
29,3
30,8
32,2
33,7
35,2
–
–
–
–
–
–
Al
Удельное сопротивление некоторых жидких металлов ρ, 10–6 Ом⋅см
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
133
136
138
Fe
–
–
–
98
103
107
112
116
121
126
–
–
–
–
–
–
–
–
Pb
Таблица П14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Tпл, ºС
660
271
29,9
1535
1063
156
321
62,5
180
651
Металл
Алюминий
Висмут
Галий
Железо
Золото
Индий
Кадмий
Калий
Литий
Магний
20,1
123
25,9
139
30,8
–
–
–
–
27,9
Ом⋅см
ρж , 10 −6
1,64
0,43
0,58
1,09
2,28
2,12
1,89
1,56
1,68
1,63
ρж / ρтв
+ 0,048
– 0,033
– 0,3
+ 0,3
+ 0,051
–
+ 0,05
+ 0,026
+ 0,017
+ 0,041
Δ V/V (ж)
Медь
Натрий
Олово
Ртуть
Рубидий
Серебро
Сурьма
Таллий
Цинк
Цезий
Металл
1083
97,6
327,4
–38,9
38,7
961
630
302
420
29,7
Tпл, ºС
21,5
–
99,3
90
–
16,4
108
–
32,6
–
Ом⋅см
ρж , 10 −6
2,07
1,45
2,07
3,36
1,61
1,9
0,71
2,0
2,11
1,66
ρж / ρтв
Изменение сопротивления и объема некоторых металлов при плавлении
+ 0,042
+ 0,027
+ 0,035
+ 0,037
+ 0,028
+ 0,038
– 0,09
+ 0,03
+ 0,042
+ 0,026
Δ V/V (ж)
Таблица П15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица П16
Удельное сопротивление чугуна и составляющих его компонентов
при 20 ºС, 10−16 Ом ⋅ см
Чугун
Серый
80 ± 40
Компонент чугуна
Ковкий
Белый
Феррит
Перлит
Цементит
10,4
20
140
50 ± 20 70 ± 20
Графит
150 – 300
Таблица П17
Проводимость проводниковых бронз при 20 ºС
Сплав
Состав, %
Бронза кадмиевая
0,9 Cd
Бронза оловянистая
0,8 Cd; 0,6 Sn
Бронза алюминиевая
2,5 Al; 2 Sn
Бронза бериллиевая
2,25 Be
Бронза фосфористая
7 Sn; 0,1 P
Медь хромистая
0,5 Cr
104
Состояние
Отожженная
Твердотянутая
Отожженная
Твердотянутая
Отожженная
Твердотянутая
Отожженная
Состаренная
при 350 ºС
Отожженная
Твердотянутая
Состаренная
Проводимость по
отношению
к проводимости
меди, %
95
83 – 90
55 – 60
50 – 55
15 – 18
15 – 18
17
30
10 – 15
10 – 15
80 –85
Tпл, ºС
660
271
29,9
1535
1063
156
321
62,5
180
651
Металл
Алюминий
Висмут
Галий
Железо
Золото
Индий
Кадмий
Калий
Литий
Магний
20,1
123
25,9
139
30,8
–
–
–
–
27,9
Ом⋅см
ρж , 10 −6
1,64
0,43
0,58
1,09
2,28
2,12
1,89
1,56
1,68
1,63
ρж / ρтв
+ 0,048
– 0,033
– 0,3
+ 0,3
+ 0,051
–
+ 0,05
+ 0,026
+ 0,017
+ 0,041
Δ V/V (ж)
Медь
Натрий
Олово
Ртуть
Рубидий
Серебро
Сурьма
Таллий
Цинк
Цезий
Металл
1083
97,6
327,4
–38,9
38,7
961
630
302
420
29,7
Tпл, ºС
21,5
–
99,3
90
–
16,4
108
–
32,6
–
Ом⋅см
ρж , 10 −6
2,07
1,45
2,07
3,36
1,61
1,9
0,71
2,0
2,11
1,66
ρж / ρтв
Изменение сопротивления и объема некоторых металлов при плавлении
+ 0,042
+ 0,027
+ 0,035
+ 0,037
+ 0,028
+ 0,038
– 0,09
+ 0,03
+ 0,042
+ 0,026
Δ V/V (ж)
Таблица П15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
F (θ/Т )
1,0000
0,9994
0,9978
0,9950
0,9912
0,9862
0,9803
0,9733
0,9653
0,9563
0,9465
0,9357
0,9241
0,9118
0,8986
0,8848
0,8704
0,8554
0,8398
(θ/Т )
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,1
6,2
6,3
(θ/Т )
0,3867
0,3729
0,3595
0,3466
0,3340
0,3217
0,3098
0,2983
0,2871
0,2763
0,2658
0,2557
0,2460
0,2366
0,2275
0,2187
0,2103
0,2021
0,1942
F (θ/Т )
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
10,0
10,1
10,2
10,3
10,4
10,5
10,6
10,7
10,8
(θ/Т )
0,06740
0,06490
0,06250
0,06021
0,05800
0,05589
0,05386
0,05192
0,05005
0,04826
0,04655
0,04490
0,04332
0,04181
0,04035
0,03896
0,03762
0,03633
0,03509
F (θ/Т )
Значение функции F (θ/ Т ) при различных θ/Т
14,0
14,2
14,4
14,6
14,8
15,0
15,2
15,4
15,6
15,8
16,0
16,2
16,4
16,6
16,8
17,0
17,2
17,4
17,6
(θ/Т )
0,01289
0,012185
0,011528
0,010915
0,010344
0,009805
0,009302
0,008831
0,008389
0,007974
0,007584
0,007218
0,006873
0,006549
0,006243
0,005955
0,005683
0,005427
0,005185
F (θ/Т )
Таблица П18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
F (θ/Т )
0,8238
0,8073
0,7905
0,7733
0,7559
0,7383
0,7205
0,7026
0,6846
0,6666
0,6486
0,6307
0,6128
0,5950
0,5775
0,5600
0,5428
0,5259
0,5091
(θ/Т )
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
8,0
8,1
8,2
(θ/Т )
0,1867
0,1795
0,1725
0,1658
0,1593
0,1531
0,1471
0,1414
0,1359
0,1306
0,1255
0,1206
0,11599
0,11150
0,10719
0,10306
0,09909
0,09529
0,09165
F (θ/Т )
10,9
11,0
11,1
11,2
11,3
11,4
11,5
11,6
11,7
11,8
11,9
12,0
12,1
12,2
12,3
12,4
12,5
12,6
12,7
(θ/Т )
0,03390
0,03276
0,03167
0,03061
0,02960
0,02863
0,02769
0,02680
0,02593
0,02510
0,02430
0,02353
0,02279
0,02208
0,02139
0,02073
0,02009
0,01948
0,01889
F (θ/Т )
17,8
18,0
19,0
20,0
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
44
48
50
52
56
(θ/Т )
0,004956
0,004740
0,003819
0,003111
0,002125
0,001500
0,001089
0,0008097
0,0006145
0,0004747
0,0003724
0,0002963
0,0002387
0,0001944
0,0001328
0,049375
0,047964
0,046806
0,045061
F (θ/Т )
Продолжение табл. П18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
F (θ/Т )
0,4927
0,4766
0,4608
0,4453
0,4301
0,4153
0,4008
(θ/Т )
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
(θ/Т )
0,08816
0,08480
0,08159
0,07851
0,07555
0,07272
0,07000
F (θ/Т )
12,8
12,9
13,0
13,2
13,4
13,6
13,8
(θ/Т )
0,01832
0,01777
0,01725
0,01624
0,01531
0,01445
0,01364
F (θ/Т )
60
64
68
70
72
76
80
(θ/Т )
0,043841
0,042967
0,042328
0,042073
0,041852
0,041492
0,041215
F (θ/Т )
Окончание табл. П18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1390
1360
1380
1410
1385
1480
1465
1485
1490
1455
1465
1455
1445
1460
1490
43Х3СНМВФА
20Х13
27ХГСНМЛ
35ХГСЛ
30ХГСНА
42Х2ГСНМА
40ХГСН3ВА
40Х2ГНМВРА
26Х2ГНМВРА
1400
1360
1340
1375
1410
950
950
950
950
1100–1150
1100–1150
1100–1150
1112
ПГ-СР3
ПГ-СР2
ПГ-СР1
ХН80СР3
Сталь:
28Х3СНМВФА
Тс, ºС
Тл, ºС
Марка материала
1475
1445
Св-07Х18Н9ТЮ
Св-03Х13Н10С2М2
Св-09Х16Н25М6АФ
1435
1410
1390
1490
Св-06Х19Н9Т
Св-10Х16Н25АМ6
1475
Св-20ХСНВФА
1510
1500
1310
1285
1295
1310
1325
1420
1385
1395
1410
1370
1485
1460
1425
1520
1510
1510
1475
1070
1435
Тс, ºС
Таблица П19
1083
1452
Тл, ºС
Св-18ХНМ2В2А
Св-15ХГ2МВ1А
Св-25Х4МА
Св-20Х2Г2СНВМА
Cu техн.
Ni техн.
Проволока:
Св-08
Св-18ХМА
Св-20Х2ГСНВМА
Марка материала
Значения температур солидус Тс и ликвидус Тл для некоторых материалов
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ МЕТОДОВ
ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ
1. Программа нахождения функции распространения теплоты
по длине стержня (от нуля до l ) при заданных граничных
и начальных условиях методом конечных разностей
Стержень разбит на n участков с шагом h. Расчет функции
распределения теплоты по длине стержня ведут от начального момента времени t0 до времени tk. Интервал времени выбирают из
аτ 1
условия 2 ≤ . Количество шагов по времени равно m.
2
h
Начальное распределение температуры по длине стержня
ϕ( x), T ( x,0) = ϕ( x), имеет вид:
n h, м......... 0
ϕ , К .......... 300
0,1
300
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
300 300 300 300 300 300
0,8 0,9 1,0
300 300 300
Распределение температуры на концах стержня в момент времени
t ∈[t0 , tk ] , где T(0, t) = ψ1 (t ), T (1, t ) = ψ 2 (t ), K, имеет вид:
mτ, c
0
ψ1 (mτ)
300
310
320
330
340
350
360
ψ 2 ( mτ )
300
300
300
300
300
300
300
mτ, c
0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
0,03
0,035 0,04 0,045 0,05 0,015 0,01
ψ1 (mτ)
370
380
390
400
410
420
ψ 2 ( mτ )
300
300
300
300
300
300
var
t:Array[0..N,0..m] of real;
ψ1 , ψ 2 :Array[0..m] of real;
j,i:integer;
const
А= α ;
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
TIME= τ ;
DX=h;
begin
for i:=0 to N do t[i,0]:= ϕ[i ] ;
for j:=1 to (m-1) do
begin
t[0,j]:= ψ1[ j ] ;t[N,j]:= ψ 2 [ j ] ;
for i:=1 to (N-1) do
t[i,j+1]:=A*TIME*(t[i+1,j]-2*t[i,j]+t[i-1,j]);
t[i,j+1]:= t[i,j+1]/(DX*DX)+t[i,j];
end;
end.
В результате восполнения программы получена функция распространения теплоты по длине стержня Т (nh, m τ), K (табл. П20).
Расчет ведется при следующих значениях параметров: α = 1; τ =
= 0,005 c; h = 0,1 м, длина стержня l = 1 м.
110
0
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,050
0,055
0,060
0,070
0,075
Время от
начала нагрева
стержня mτ, c
300
310
320
330
340
350
360
370
380
390
400
410
420
430
440
0
300
300
305,00
310,00
316,25
322,50
329,38
336,25
343,52
350,78
358,32
365,86
373,60
381,35
389,25
0,1
300
300
300
302,50
305,00
308,75
312,5
317,03
321,56
326,64
331,72
337,21
342,70
348,51
354,32
0,2
300
300
300
300
301,25
302,50
304,69
306,87
309,77
312,66
316,09
319,53
323,41
327,29
331,51
0,3
300
300
300
300
300
300,62
301,25
302,50
303,75
305,55
307,34
309,61
311,88
314,54
317,21
0,4
300
300
300
300
300
300
300,31
300,66
301,33
302,03
303,13
304,22
305,68
307,14
308,93
0,5
300
300
300
300
300
300
300
300,16
300,31
300,70
301,09
301,75
302,40
303,33
304,25
0,6
300
300
300
300
300
300
300
300
300,08
300,16
300,37
300,59
300,97
301,36
301,93
0,7
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300,04
300,08
300,20
300,31
300,53
300,76
0,8
Расстояние от начала стержня до точки расчета температуры nh, м
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300,02
300,04
300,10
300,16
300,27
0,9
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
1,0
Таблица П20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Программа и алгоритм решения линейных систем
уравнений прямым методом исключения Гаусса
Дана неоднородная система линейных уравнений:
⎧а11 х1 + а12 х2 + ... + а1п хп = b1 ,
⎪
⎪а21 х1 + а22 х2 + ... + а2 п хп = b2 ,
⎨
⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⎪а х + а х + ... + а х = b ,
пп п
п
⎩ п1 1 п 2 2
т. е. Ах = b, которая при предположении, что det A ≠ 0, имеет для
любых правых частей уравнений однозначно определенное решение х = (х1, х2, …, хn)Т. Для отыскания этого вектор-решения воспользуемся прямым методом исключения Гаусса, алгоритм которого включает в себя две циклические процедуры.
Алгоритм преобразования матрицы А в матрицу треугольного
вида.
1. Пусть k = 1.
2. Следует проверить, отлично ли значение аkk от нуля.
3. Если да, то k-я строка становится рабочей строкой. Если
нет, то меняем k-ю строку на l-ю (l > k), в которой а1k ≠ 0.
4. Для I = k + 1, k + 2, ..., n вычисляем новые матричные элементы, которые обозначим, по правилу:
при j = k ,
⎧⎪0
aij′ = ⎨
⎪⎩aij + qi akj при j ≠ k ,
aik
. Аналогично представим новые правые части уравakk
нений: bi′ = bi + qi bk .
5. Увеличиваем k на 1, если k ≤ n − 1 , и начинаем снова с п. 2.
В итоге получим верхнюю треугольную матрицу:
где qi = −
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
⎡a ′ a ′
... a1′n ⎤
⎢ 11 12
⎥
⎢0
a22
... a2′ n ⎥
′
A′ = ⎢
⎥.
⎢⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎥
⎢
⎥
0
... ann
′ ⎥⎦
⎢⎣ 0
Вычислим вектор-решение x = ( x1 , x2 ,..., xn )T :
xn =
для i = n − 1, n − 2, ..., 1 xi =
bn′
,
′
ann
n −i
1
(bi′ − ∑ ai′, i + j xi + j ).
aii′
j =1
Решающее значение для точности вычисления имеет деление
на akk, необходимое при расчете qi . Поэтому условие п. 2 метода
Гаусса для выбора диагонального элемента слишком слабо с точки
зрения точности. Тогда часто применяют следующий прием: перестановкой строк и столбцов (последние должны быть «помечены»
и восстановлены при построении вектор-решения) добиваются
того, чтобы элемент, который имеет наибольшую по модулю величину среди всех элементов, не использовавшихся ранее в качестве диагональных элементов, оказался диагональным.
PROGRAM GAUS;
(* w - размерность системы уравнений *)
Type
FF=Array[1..w,1..w] of real;
F1=ARRAY[1..w] of integer;
F=array[1..w] of real;
var
a, a1: FF;
(* aij - элементы матрицы коэффициентов А *)
(* Ni – номер столбца матрицы А *)
(* Bi – правые части уравнений системы *)
N:
x,
k,
j,
F1;
B: F;r:real;
e, W1: integer;
i, i1, j1: integer;
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
PROCEDURE ABC(var a:FF; var N:F1;
var B:F; W1:integer);
(* процедура перестановки строк и столбцов *)
var
r: real;
k,e: integer;
j,i,i1,j1: integer;
begin
for e:=1 to W1 do begin i1:=e;j1:=e;
r:=ABS(a[e,e]);
for j:=e to W1 do
for i:=e to W1 do
if r<ABS(a[i,j]) THEN begin r:=ABS(a[i,j]);
i1:=i;j1:=j;
end;
For k:=1 to W1 do begin
r:=a[k,e];a[k,e]:=a[k,j1];a[k,j1]:=r;
end;
k:=N[e];N[e]:=N[i1]; N[i1]:=k;
For k:=1 to W1 do begin
r:=a[e,k];a[e,k]:=a[i1,k];a[i1,k]:=r;
end;
r:=b[e];b[e]:=b[j1];b[j1]:=r;
end;
end;
begin
ABC(a,N,b,w);
for j:=1 to (w-1) do begin
if a[j,j]=0 then begin e:=0;
for k:=j+1 to w do
if (a[j,k]<>0)and(e=0) then begin e:=k;
for i:=1 to w do begin
r:=a[i,j];
a[i,j]:=a[i,k];
a[i,k]:=r;
end;
r:=b[k];b[k]:=b[j];b[j]:=r;
end;
end;
if a[j,j]<>0 then for k:=j+1 to w do begin
for i:=1 to w do
if i=j then a1[i,k]:=0
else a1[i,k]:=a[i,k]-a[i,j]*a[j,k]/a[j,j];
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
b[k]:=b[k]-b[j]*a[j,k]/a[j,j];
end;
for k:=j+1 to w do for i:=1 to w do
a[i,k]:=a1[i,k];
end;
x[w]:=b[w]/a[w,w];
for j:=(w-1) downto 1 do begin
r:=0;
for k:=1 to (w-j) do
r:=a[j+k,j]*x[j+k]+r;
x[j]:=1/a[j,j]*(b[j]-r);
end;
(*Значения переменных Х занесены в массив ссоответствующим названием в порядке, указанном в массиве N*).
end.
3. Программа нахождения функции распространения теплоты
по поверхности металлической пластины, обладающей
теплопроводностью λ и теплоемкостью Сγ в момент времени
t = tk при заданных начальных условиях методом конечных
разностей
Пластина разбита сеткой с шагом hX по координате Х и hY
по координате У.
Расчет функции распределения теплоты по поверхности пластины от точечного источника q, расположенного в узле с координатами (i∗ , j∗ ), ведется от начального момента времени t0 до времени tk . Количество шагов по времени равно mt. Начальное распределение температуры по поверхности пластины ϕ( х, у ), т. е.
Т хτ=, у0 = ϕ ( х, у ).
t,t1,g:Array[1..ik,1..jk] of real;
j,i,ik,jk,k:integer;
nti,kti,ntj,ktj:real;
const
∗
⎛ λ ⎞
a=⎜
⎟ ;
⎝ Cγ ⎠
m=mt;
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
TIME= τ∗ ;
*
*
hx=hx ; hy=hy :
∗
⎛ 1⎞
d =⎜ ⎟ ;
⎝ λ⎠
begin
for j:=1 to jk do
for i:=1 to ik do
begin
t[i,j]:= ϕ (i ⋅ hx , j ⋅ hy )∗ ;
if (i=i* )and(j=j*) then g[i,j]:=q
else g[i,j]:=0
end;
for k:=1 to m do begin
for j:=1 to jk do begin writeln;
for i:=1 to ik do
begin
if i<>1 then nti:=t[i-1,j]
else nti:=2*t[1,j]-t[2,j];
if i<>ik then kti:=t[i+1,J]
else kti:=2*t[ik,j]-t[ik-1,j];
if j<>1 then ntj:=t[i,j-1]
else ntj:=2*t[i,1]-t[i,2];
if j<>jk then ktj:=t[i,j+1]
else ktj:=2*t[i,jk]-t[i,jk-1];
t1[i,j]:=a*TIME*((kti-2*t[i,j]+nti)/(hх*hх)+(ktj2*t[i,j]+ntj)/(hу*hу)+d*g[i,j])+t[i,j];
write(t1[i,j]:6:2,' ');
end;
end;
for j:=1 to jk do
for i:=1 to ik do t[i,j]:=t1[i,j];
readln;
end;
end.
Примечание. Звездочкой отмечены величины, которые в программе
должны быть заменены на конкретные числа.
Сравним результаты, полученные в ходе выполнения программы, и аналитическое решение данной задачи.
Найдем зависимость изменения температуры от времени в
точке на поверхности толстой металлической пластины, удаленной на расстояние R = 1 см от точки действия непрерывного источника постоянной интенсивности (q = const).
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Расчет проводится для низкоуглеродистой стали со следующими параметрами:
– коэффициент теплопроводности λ = 0,4 Дж/(см ⋅ с ⋅ град);
3
– объемная теплоемкость Cγ = 4,85 Дж/(см ⋅ град);
2
– коэффициент температуропроводности а = 0,0825 см /с.
Для ведения расчета численным методом выберем шаг квантования по времени τ = 0,5 с, а шаги дискретизации по пространству: hx = hy = 0,1 см.
Процесс изменения температуры в точке, удаленной от точечного источника интенсивности q на расстояние R можно описать
следующим аналитическим выражением:
Т ( R, t ) =
q ⎡
⎛ R ⎞⎤
⎢1 − Φ ⎜
⎟⎥ ,
2πλ R ⎣
⎝ 4at ⎠ ⎦
где Ф – функция интеграла вероятности.
Примем q =5000 Дж/с. Полученные аналитические значения
температуры сравним с результатами выполнения программы:
t, с ................... 10
Танал ................ 1574
Тчисл ................ 1384
11
1612,3
1562
12
1632,2
1743
13
14
1640,2 1642,1
1928
2117
15
1645,4
2312
Полученные значения температур показаны на рисунке.
Сравнение результатов расчетов температуры, полученных
аналитическим и численным методами
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лазерная техника и технология: Учеб. пособие для вузов: В 7 кн.
/ Под ред. А.Г. Григорьянца. М.: Высш. шк., 1987; 1988.
2. Физические величины: Справ. / А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина,
А.М. Братковский и др.; Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.:
Энергоатомиздат, 1991.
3. Физическая энциклопедия: В 6 т. / Гл. ред. А.М. Прохоров. М.:
Большая Рос. энцикл. 1990–1994.
4. Системы автоматизированного проектирования: Учеб. пособие для
втузов: В 9 кн. Кн. 4: Математические модели технических объектов
/ Под ред. И.П. Норенкова. М.: Высш. шк, 1986.
5. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. пособие. М.: Наука;
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
6. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для
инженеров и учащихся втузов. 13-е изд., испр. М.: Наука; Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1986.
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Общая постановка задачи исследования тепловых процессов .........
3
2. Аналитическое решение уравнения теплопроводности.......................
5
3. Зависимость теплофизических свойств материалов
от температуры.........................................................................................
3.1. Зависимость теплоемкости от температуры...................................
3.2. Зависимость теплопроводности от температуры...........................
4. Численные методы решения уравнения теплопроводности................
4.1. Метод конечных разностей..............................................................
4.2. Метод конечных элементов .............................................................
4.3. Сравнение методов конечных элементов и конечных
разностей ...........................................................................................
5. Примеры решения уравнения теплопроводности ................................
8
8
10
12
13
24
29
30
Приложение 1. Справочные таблицы...................................................... 53
Приложение 2. Примеры применения числовых методов
для расчета тепловых полей ....................................................................... 109
Список литературы ..................................................................................... 118
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Марина Вячеславовна Таксанц
Леонид Николаевич Майоров
Андрей Хачехпарович Харахашев
Численное моделирование тепловых полей при лазерной обработке
Редактор А.В. Сахарова
Корректор М.А.Василевская
Компьютерная верстка О.В. Беляевой
Подписано в печать 10.01.2007. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.
Печ. л. 7,5. Усл. печ. л. 6,98. Уч.-изд. л. 6,75. Тираж 50 экз.
Изд. № 23. Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.
Документ
Категория
Другое
Просмотров
99
Размер файла
888 Кб
Теги
поле, моделирование, лазерное, тепловых, обработка, численного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа