close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

42.Спектральный метод расчета систем подрессоривания колесных машин

код для вставкиСкачать
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
Л.Ф. Жеглов
Спектральный метод расчета
систем подрессоривания колесных машин
Допущено УМО вузов РФ по образованию в области
транспортных машин и транспортно-технологических комплексов
в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся
по специальностям «Автомобиле- и тракторостроение»,
«Многоцелевые гусеничные и колесные машины»
направления подготовки «Транспортные машины
и транспортно-технологические комплексы»
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2009
1
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
УДК 629.113(075.8)
ББК 39.33-04
Ж 467
Рецензенты: Е.А. Галевский, В.Н. Наумов
Жеглов Л. Ф.
Спектральный метод расчета систем подрессоривания колесЖ 467
ных машин : учеб. пособие / Л. Ф. Жеглов. – М.: Изд-во МГТУ
им. Н. Э. Баумана, 2009. – 150, [1] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-3323-0
Приведен общий алгоритм расчета вибрационной безопасности колесных машин в частотной области. Определены показатели оценки неблагоприятного действия вибрации на человека и конструкцию. Рассмотрены особенности расчета линейных и нелинейных систем подрессоривания, целевые
функции для оптимизации параметров подвески, синтез структуры динамической системы подвески с оптимальными характеристиками. Предложены
подходы к определению закона управления автоматической, в том числе и
адаптивной, системой подрессоривания и к оценке ее характеристик.
Для студентов вузов и университетов машиностроительного профиля,
обучающихся по специальностям «Автомобиле- и тракторостроение», «Многоцелевые гусеничные и колесные машины».
УДК 629.113(075.8)
ББК 39.33-04
ISBN 978-5-7038-3323-0
2
© Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
ВВЕДЕНИЕ
Проблема снижения вибрационного воздействия на человека и
элементы конструкции имеет давнюю историю, но, несмотря на это,
она постоянно дискутируется применительно к колесной машине
(КМ) как экологическому и техническому объекту. В связи с этим
выбор метода и разработка методики проектирования систем виброзащиты КМ являются важными практическими задачами, основное требование которых – найти оптимальные параметры виброизоляции, обеспечивающие нормативные показатели действия вибрации на человека и долговечность конструкции КМ. Подход к
решению в данном случае основан на том, что нормативные показатели задаются в частотной области и здесь же определяются при
схематизации параметры эксплуатационного нагрузочного режима.
Следует также учитывать, что процедура определения спектральных характеристик в случае частотного представления линейной и
нелинейной динамических систем не требует моделирования случайного возмущения во временной области и специальной обработки анализируемого временного случайного вибросигнала, что
снижает ошибку проводимых расчетов. Кроме того, используя частотный метод анализа, можно достаточно успешно определить влияние различных факторов на эффективность систем подрессоривания с оптимальной передаточной функцией, включая системы с упреждением, и возможность проведения синтеза схемы такой
подвески. Нельзя не отметить, что рассматриваемый метод является плодотворным также при выборе структуры и оценке качества
управляемых систем подрессоривания.
Настоящее учебное пособие будет полезным для студентов старших курсов, изучающих дисциплины «Методы расчета и проектирования ходовой части и несущих систем колесных машин», «Методы расчета и проектирования автомобиля», «Системы подрессоривания колесных машин» и «Спектральная теория проектирования
систем подрессоривания». Пособие может быть использовано при
курсовом и дипломном проектировании и выполнении НИРС.
3
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Системой подрессования (подвеской) называют совокупность устройств, обеспечивающих упругую связь между несущей системой
и мостами или колесами и предназначенных для снижения интенсивности вибрации и динамических нагрузок, которые действуют
на человека, перевозимый груз и элементы конструкции КМ при ее
движении по неровной поверхности дороги. Подвеска осуществляет передачу всех сил и моментов, действующих со стороны колеса,
на несущую систему и позволяет регулировать положение кузова в
зависимости от статической нагрузки. При использовании в качестве виброизоляции кузова КМ регулируемой или управляемой системы подрессоривания связь между несущей системой и колесами может быть как упругой, так и жесткой. Подвеска состоит из
направляющего, упругого и демпфирующего устройств.
Направляющее устройство частично или полностью воспринимает силы и моменты, действующие на колеса, и определяет характер их перемещений относительно несущей системы. Упругое устройство передает в основном вертикальные силы, действующие со
стороны колес на несущую систему. Для уменьшения поперечного
крена кузова применяют дополнительное упругое устройство — стабилизатор поперечной устойчивости. Демпфирующее устройство
обеспечивает необходимое затухание колебаний кузова и колес.
Упругое и демпфирующее устройства подвески практически
полностью обеспечивают виброизоляцию кузова КМ, а также снижение динамических нагрузок, действующих на ее элементы.
Подвески классифицируют в основном по типу кинематической схемы направляющего устройства, упругого и демпфирующего
элементов. Кинематическая схема направляющего устройства определяет характер связи отдельных колес между собой и с несущей
системой КМ.
Подвески подразделяют на зависимые и независимые. Зависимые подвески бывают с поперечной и продольной связями. При по4
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
перечной связи оба колеса одного моста установлены на жесткой
оси. Подвески с продольными связями называют балансирными.
При независимой подвеске каждое колесо автономно подвешивают к несущей системе, что делает несвязанными перемещения
колес одного моста или борта. В случае применения независимой
подвески наилучшим образом сочетаются кинематические схемы
подвески и привода рулевого управления, обеспечивается устойчивое движение КМ при больших скоростях, высокая плавность хода
при относительно малых размерах упругого элемента, а также
уменьшается масса неподрессоренных частей КМ.
Упругие элементы бывают металлическими, пневматическими,
пневмогидравлическими, резиновыми и комбинированными. К металлическим упругим элементам относятся листовые рессоры, спиральные пружины (цилиндрические и конические), торсионы. Перспективным является использование в подвесках КМ пневматических и
пневмогидравлических упругих элементов. В пневмогидравлических
элементах, как и в пневматических, рабочим телом является газ, а
силы, действующие со стороны колеса, передаются сжимаемому газу
через жидкость. Резиновые упругие элементы широко применяют как
вспомогательные (корректирующие и ограничительные) и установочные детали, способствующие снижению вибрации.
Демпфирующие элементы (амортизаторы) в зависимости от используемого рабочего тела подразделяют на гидравлические, пневматические и фрикционные. В подвесках КМ преимущественно
применяют гидравлические амортизаторы, в которых используются вязкие жидкости, истекающие через ограниченное сечение —
калиброванное отверстие или зазор.
Основные требования при проектировании системы подрессоривания КМ:
обеспечение плавности хода, снижение динамических нагрузок
на элементы конструкции и опорную поверхность в заданном частотном диапазоне;
повышение устойчивости и управляемости;
обеспечение надежности системы подрессоривания.
Проектирование системы подрессоривания КМ, независимо от
типа кинематической схемы направляющего устройства, упругого
и демпфирующего элементов, целесообразно проводить в определенном порядке, позволяющем обеспечивать наиболее полное выполнение указанных требований (рис. 1). Условно процесс проек5
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 1. Схема определения параметров устройств системы подрессоривания
6
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
тирования системы подрессоривания можно разбить на три последовательных этапа:
1) выбор основных параметров;
2) определение нагрузочных характеристик;
3) расчет конструктивных параметров.
Контрольные вопросы
1. Назовите основные устройства подвески.
2. В чем состоит классификация систем подрессоривания?
3. Какие данные являются исходными в алгоритме определения параметров устройств систем подрессоривания?
4. Перечислите основные требования, предъявляемые к системам подрессоривания.
5. На какие основные этапы подразделяется процесс проектирования
систем подрессоривания?
7
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
2. КРИТЕРИЙ И ПОКАЗАТЕЛИ ПЛАВНОСТИ ХОДА
Под плавностью хода понимают качество КМ, характеризующее вибрационную безопасность водителя, пассажиров, перевозимых грузов и ее собственных агрегатов от воздействия вибрации, которая имеет место при движении КМ. Далее будет рассмотрена вибрационная безопасность только человека.
2.1. Воздействие вибрации на человека
Возникающие при эксплуатации КМ колебания ее элементов оказывают влияние не только на их техническое состояние, но и на человека, находящегося вблизи источника вибрации или в непосредственном контакте с ним. Длительное воздействие вибрации нарушает нормальное состояние человека, влияет на производительность
труда и качество выполняемой им работы. Действие вибрации на
человека определяется ее направлением, интенсивностью, спектром
частот, продолжительностью и местом приложения возмущения, а
также индивидуальными особенностями
человека.
Зависимость среднего квадратического отклонения ? z вертикального виброускорения сидящего человека от частоты f
колебаний при его постоянной вибронагруженности приведена на рис. 2 (кривые
«равного ощущения»).
На рисунке видно, что в диапазоне частот 4...8 Гц повышается чувствительность
организма человека к вибрации. Причина
Рис. 2. Кривые «равного этого заключается, очевидно, в резонансощущения» при гармони- ных явлениях различных частей тела человека и внутренних органов. Большинство
ческой вибрации:
1 – порог ощущений; 2 – на- кривых «равного ощущения» получено при
чало неприятных ощущений воздействии на человека гармонической
8
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
вибрации. При случайной вибрации кривые «равного ощущения» в
различных диапазонах частот имеют общий характер, но количественно отличаются от полученных при гармонической вибрации.
2.2. Нормирование плавности хода
Вибрация при постоянном воздействии оказывает неблагоприятное влияние на организм человека, поэтому ее нормируют. Общий подход к нормированию вибрации заключается в ограничении
виброускорения или виброскорости, измеренных на рабочем месте
человека-оператора в зависимости от направления действия вибрации, ее частоты и продолжительности. Отметим, что плавность хода
КМ характеризуется общей вибрацией, т. е. вибрацией, которая передается через опорные поверхности на тело сидящего человека.
Для гигиенической оценки вибрации, действующей на человека, используют следующие методы:
интегральный — показатели вибрационной нагрузки определяют во всем заданном частотным диапазоне;
раздельно-частотный — заданный частотный диапазон разбивают на поддиапазоны, в каждом из которых рассчитывают показатели вибрационной нагрузки.
При нормировании вибрации, передаваемой человеку, кривые
«равного ощущения» впервые стали использовать в стандарте ИСО,
который устанавливает допускаемые средние квадратические отклонения виброускорения в третьоктавных полосах частот в диапазоне среднегеометрических частот 0,8...80,0 Гц при различной продолжительности действия вибрации. Этот стандарт предусматривает оценку как гармонической, так и случайной вибрации.
Аналогичный подход к нормированию вибрации использован в
ГОСТ 12.1.012, положения которого являются основой определения критерия и показателей плавности хода КМ.
В качестве критерия плавности хода вводят критерий «безопасность», не допускающий нарушения здоровья человека-оператора
и пассажиров. Показатели плавности хода обычно назначают по
выходной величине, которой является вертикальное виброускорение или вертикальная виброскорость. Эти выходные величины измеряют на сиденье водителя или пассажира. Следует отметить, что
при оценке вибрационной нагрузки на человека предпочтительной
выходной величиной является виброускорение. Для санитарного
9
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
нормирования и контроля интенсивность вибрации можно оценить
средним квадратическим отклонением ? z вертикального виброускорения, а также его логарифмическим уровнем
L?z = 20lg
? z
?z 0
,
где L?z — в дБ; ? z 0 — пороговое среднее квадратическое отклонение вертикального виброускорения, ? z 0 = 10–6 м/с2.
Среднее квадратическое отклонение ? z называют контролируемым параметром.
Плавность хода КМ определяют при постоянной вибрации в
диапазоне частот 0,7...22,4 Гц.
Нормируемыми показателями вибрационной нагрузки на человека являются одночисловые параметры (интегральная оценка)
или спектр (раздельно-частотная оценка) вибрации. К одночисловым параметрам относится скорректированное по частоте значение контролируемого параметра, с помощью которого учитывается неоднозначность восприятия человеком вибрации с различным
спектром частот. Скорректированное по частоте значение контролируемого параметра и его логарифмический уровень вычисляют
следующим образом:
? z =
n
? (kzi ?zi )2 ;
i =1
(1)
n
L?z = 10lg ? 100,1( L?zi + Lkzi ) ,
i =1
где ? zi , L?zi — среднее квадратическое отклонение вертикального
виброускорения и его логарифмический уровень в i-й октавной или
третьоктавной частотной полосе; k zi , Lkzi
— весовой коэффициент
для контролируемого параметра и его логарифмический уровень в
i-й полосе частот, Lkzi
= 20lg k zi ; n — число полос в нормируемом
диапазоне частот.
Значения весовых коэффициентов приведены в табл. 1. Согласно санитарным нормам, для одночислового параметра ? z вибрационной нагрузки на человека при длительности смены 8 ч и общей
10
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Таблица 1. Значения весового коэффициента
и его логарифмического уровня для контролируемого параметра
fц, Гц
0,8
1,0
1,25
1,6
2,0
2,5
3,15
4,0
5,0
6,3
8,0
10,0
12,5
16,0
20,0
kzi для полосы частот
Lkzi
для полосы частот
третьоктавной
октавной
третьоктавной
октавной
0,45
0,5
0,56
0,63
0,71
0,8
0,9
1,0
1,0
1,0
1,0
0,8
0,63
0,5
0,4
–
0,50
–
–
0,71
–
–
1,0
–
–
1,0
–
–
0,5
–
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
0
0
0
–2
–4
–6
–8
–
–6
–
–
–3
–
–
0
–
–
0
–
–
–6
–
вибрации нормативное значение составляет 0,56 м/с2, а его логарифмический уровень — 115 дБ.
При определении вибрационной нагрузки на человека с использованием спектра вибрации нормируемыми показателями являются среднее квадратическое отклонение виброускорения или его логарифмический уровень в третьоктавных или октавных полосах
частот (табл. 2).
При постоянной вибрации норму вибрационной нагрузки на человека устанавливают в соответствии с нормативными скорректированными по частоте или спектральными значениями контролируемого параметра при действии вибрации в течение 8 ч, а также с
использованием зависимости этих значений от длительности действия вибрации. В последнем случае норма вибрационной нагрузки
на человека в соответствии со скорректированным ? z по частоте и
11
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Таблица 2. Санитарные нормы спектральных показателей
вибрационной нагрузки
fц, Гц
0,8
1,0
1,25
1,6
2,0
2,5
3,15
4,0
5,0
6,3
8,0
10,0
12,5
16,0
20,0
?zi , м/с2, для полосы частот
L?zi , дБ, для полосы частот
третьоктавной
октавной
третьоктавной
0,71
0,63
0,56
0,50
0,45
0,40
0,355
0,315
0,315
0,315
0,315
0,40
0,50
0,63
0,80
–
1,10
–
–
0,79
–
–
0,57
–
–
0,6
–
–
1,13
–
117
116
115
114
113
112
111
110
110
110
110
112
114
116
118
октавной
–
121
–
–
118
–
–
115
–
–
116
–
–
121
–
спектральным ? zi значениями контролируемого параметра при длительности воздействия вибрации менее 8 ч (480 мин) равна:
? zt = ? z 8
480
Tвиб
;
? zit = ? zi 8
480
Tвиб
,
где ? z 8 , ? zi8 — нормы вибрационной нагрузки ? z и ? zi на человека при длительности воздействия вибрации 8 ч; Tвиб — длительность действия вибрации, мин. При Tвиб < 30 мин за норму принимают значение контролируемого параметра, вычисленное при Tвиб =
= 30 мин.
В случае применения интегрального и раздельно-частотного методов оценки вибрационной нагрузки на человека можно прийти к
различным результатам. В качестве приоритетного рекомендуется
использовать метод раздельно-частотной оценки.
12
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
При определении показателей плавности хода машины с учетом вертикального, а также продольного и поперечного виброускорений вибрацию оценивают раздельно по каждому из них. При этом
для продольной и поперечной вибрации контролируемые параметры и нормируемые показатели остаются прежними (аналогичными
вертикальной вибрации). Другие значения будут иметь весовые коэффициенты и допускаемые нормы на интегральные и paздeльнoчacтoтные пoкaзaтeли (ГОСТ 12.1.012).
Контрольные вопросы
1. Что показывают кривые «равного ощущения»?
2. Что характеризует плавность хода?
3. Какие методы используют для оценки действия вибрации на человека?
4. Какие показатели вибрационной нагрузки на человека являются нормируемыми?
5. Что является контролируемым параметром?
6. В чем состоит корректировка контролируемого параметра?
7. Каким образом учитывается длительность действия вибрации на человека?
13
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
3. ПАРАМЕТРЫ НАГРУЗОЧНЫХ РЕЖИМОВ
При конструировании и расчете КМ стремятся к созданию такой
конструкции, которая имела бы максимальный КПД, минимальную
массу и оптимальную комфортабельность в заданных условиях эксплуатации. В этом случае необходимо решить проблему оптимизации системы, которая для КМ является многопараметрической с различными видами ограничений. В связи со сложностью расчетов данную задачу подразделяют на отдельные составляющие.
Получение максимального КПД при проектировании КМ возможно в основном благодаря созданию рациональной конструкции,
совершенствованию технологических процессов изготовления, применению новых материалов (в том числе и смазочных) и т. д. Минимизацию массы и оптимизацию комфортабельности осуществляют конструктивными и технологическими мероприятиями с одновременным совершенствованием методов расчетов. Известно, что
любой расчет связан с созданием эквивалентной схемы рассматриваемого элемента или агрегата конструкции, с оценкой и заданием
нагрузок, действующих на него. Под нагрузкой в данном случае следует понимать не только силовые факторы и их производные, но и
другие оценочные величины, такие, как виброускорение (виброскорость), звуковое давление, которые являются функциями времени.
Изменение во времени оценочных величин при движении КМ в реальных условиях определяет эксплуатационный нагрузочный режим.
3.1. Классификация нагрузочных режимов
При расчете деталей КМ на прочность нагрузки целесообразно классифицировать по повреждающему воздействию. Проанализируем условную диаграмму конструкционного пластичного материала при статическом и переменном нагружении (рис. 3). На оси
ординат здесь нанесены логарифмы временного сопротивления ?в,
предела текучести ?т и предела выносливости ?–1, а на оси абсцисс — логарифмы числа N циклов нагружения.
14
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 3. Условная диаграмма нагружения
пластичного материала
На диаграмме выделены три области, в пределах которых разрушение материалов подчиняется общим закономерностям:
I — область статического и повторно-статического разрушения,
характеризуемая тем, что у образцов из пластичных материалов разрушение происходит в области шейки, образующейся при приложении от одного до нескольких десятков циклов нагружения. Следует отметить, что ?в, ?т и ?–1 являются случайными величинами
со своими законами распределения (рис. 4);
II — область малоцикловой усталости, расположенная в диапазоне 103...105 циклов, причем при N < 103 циклов проявляются особенности статического, а при N > 105 — усталостного разрушения;
Рис. 4. Гистограммы и кривые плотности f (?в), f (?т) распределения
механических характеристик для листов из Ст3
15
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
III — область усталостного разрушения, наблюдаемая при N >
> 104...105. С уменьшением нагрузки число циклов до разрушения
возрастает, при этом результаты испытаний при фиксированном значении амплитуды напряжений ?а подвержены значительному разбросу и описываются асимметричными законами распределения (логарифмически нормальным, Вейбулла).
На рис. 3 линия A0 A1 соответствует средним значениям N.
В точке с координатами (lg ?–1; lg N0) для образцов из углеродистых сталей наблюдается перелом кривой усталости. Напряжение
?–1 — предел выносливости при испытании образцов с симметричным циклом нагружения — характеризуется тем, что при ?a < ?–1
усталостное разрушение невозможно. У высоколегированных сталей с ?в > 1500 МПа, а также легких сплавов кривые усталости не
имеют горизонтального участка и продолжают снижаться (см. рис. 3,
линия A1A?2). Такое явление наблюдается и у материалов, имеющих
горизонтальный участок кривой усталости, но работающих в условиях коррозии и повышенной температуры.
При совместном рассмотрении диаграммы lg ? (lg N ) с кривыми нагружения элементов КМ можно выделить три класса задач
(рис. 5). К первому классу относятся задачи, для которых характерно хотя бы однократное превышение значения ?в, т. е. на диаграмме lg ? (lg N) это область статического нагружения. В КМ такие
напряжения могут возникнуть в элементах трансмиссии и подвески при преодолении единичного препятствия или форсированном
разгоне, в деталях рулевого управления при ударе управляемыми
колесами о вертикальное препятствие и т. д. Второй класс составляют задачи о накоплении остаточных деформаций в элементах КМ
при действии стационарных или квазистационарных случайных силовых факторов в области малоцикловой усталости. Наконец, к третьему классу принадлежат задачи о накоплении усталостных повреждений при воздействии стационарных или квазистационарных
случайных силовых факторов. При этом предполагается, что напряжения не достигают значений ?в и ?т и конструкция выходит из
строя в результате постепенного развития усталостной трещины.
Для КМ наиболее типичными являются задачи, относящиеся к первому и третьему классам.
Решение задач третьего класса заключается в определении усталостных характеристик для образцов или деталей, выполненных
16
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 5. Изменения напряжений, характерные при расчете
элементов КМ на статическую прочность (а), малоцикловую усталость (б) и усталостное разрушение (в)
из конкретного конструкционного материала, с использованием кривой усталости, полученной в лабораторных условиях для идеализированного цикла нагружения (рис. 6).
Кривую усталости аппроксимируют различными способами.
Наиболее часто для этого используют следующие выражения:
?m N = ? m
r N0 = C при ? ? ?r;
N = ? при ? < ?r ,
(2)
17
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
где ? — текущее напряжение; m — угловой коэффициент кривой
усталости; ?r — предел выносливости при асимметричном цикле
нагружения; r — коэффициент асимметрии цикла; N0 — число циклов, соответствующее точке перегиба кривой усталости; C — константа.
Зависимость ?(t) предполагается гармонической с периодом T.
При этом циклом называют совокупность последовательных значений напряжений за один период их изменения. Цикл напряжений характеризуется максимальным ?max, минимальным ?min и
средним ?m, вычисляемым по формуле ?m = 0,5(?max + ?min), напряжением, а также амплитудой их изменения ?a = 0,5(?max – ?min).
Рис. 6. Кривая усталости (а), а также симметричный (I ), отнулевой (II )
и асимметричный (III ) циклы изменения напряжения (б)
Коэффициентом асимметрии цикла называется отношение минимального напряжения цикла к максимальному (напряжения принимают с соответствующим алгебраическим знаком):
r = ?min / ?max.
При r = –1 напряжения ?min и ?max равны по величине, но противоположны по знаку, поэтому такой цикл называется симметричным. В этом случае ?m = 0 и ?a = ?max = –?min. При отнулевом
цикле ?min = 0, ?m = ?a = = 0,5?max. В общем случае асимметричного цикла ?max = ?m + ?a, ?min = = ?m – ?a (см. рис. 6, б).
Для характеристики сопротивления материала образца (детали) переменному нагружению строят так называемую диаграмму
предельных напряжений при асимметричном цикле нагружения
(рис. 7).
18
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 7. Диаграмма предельных напряжений для полуоси КМ (1) и стандартного образца (2) при испытании на кручение (характеристики со штрихом относятся к детали)
При построении диаграммы по оси ординат откладывают максимальные ?max, а по оси абсцисс — средние ?m напряжения цикла.
Сначала наносят точку, соответствующую пределу выносливости
?–1 при симметричном цикле (?m = 0), а затем точку, ордината которой соответствует пределу выносливости ?0 при отнулевом цикле
(?m = 0,5?max). Максимальные напряжения цикла не должны превышать предела текучести материала ?т .
Любой цикл напряжений на диаграмме характеризуется двумя
точками, расположенными на одной ординате. Линия 0E, проведенная через начало координат под углом 45° к оси абсцисс, делит
расстояние между этими точками диаграммы пополам. Симметричный цикл определяется точками A1 и A2; отнулевой положительный — точками С1, С2; асимметричный знакопеременный — точка19
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
ми B1, B2; асимметричный знакопостоянный — точками D1, D2. Циклы, изображаемые точками, расположенными внутри диаграммы,
являются безопасными в отношении усталостного разрушения.
3.2. Схематизация нагрузочных режимов
В общем случае нагрузочные режимы деталей КМ являются нестационарными случайными процессами по математическому ожиданию, дисперсии и частоте. Эти три параметра будут меняться при изменении крутящего момента на карданном валу при длительной эксплуатации машины в зависимости от включенной передачи коробки
передач, режима движения (разгон, движение с постоянной скоростью и т. д.), микропрофиля дороги и других факторов. Для подвески
колес и балки моста в зависимости от режима движения нестационарность будет проявляться в основном по дисперсии. Если КМ движется с постоянной скоростью по дороге с однородным покрытием,
т. е. ее микропрофиль описывается стационарной случайной функцией, то нагрузочные режимы для большинства элементов машины
могут быть отнесены к стационарным случайным процессам.
Поскольку показатели усталостной прочности (период цикла,
среднее значение и амплитуда напряжения) определяют при регулярном нагружении, а при случайном нагружении они носят условный характер, то возникает проблема схематизации. Схематизация — это такой вид обработки случайного процесса нагружения,
когда исходный процесс заменяют эквивалентным ему по степени
повреждающего воздействия упорядоченным неслучайным процессом, по которому могут быть определены среднее значение и амплитуда напряжения, период цикла.
В настоящее время в инженерной практике применяют более
десяти видов схематизации. По методам получения необходимых
данных их можно разделить на две группы:
1) непосредственная схематизация процессов изменения оценочной величины (по максимумам, экстремумам, размахам, полным
циклам и т. д.);
2) схематизация, основанная на применении теории случайных
функций.
Методы первой группы при наличии специальных приборов позволяют быстро получить результаты экспериментов в цифровой
форме, удобной для последующих расчетов и анализа. Однако при
20
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
схематизации одних и тех же процессов различными методами рассчитанная долговечность может значительно различаться.
Методы второй группы дают возможность определить необходимые параметры процессов нагружения по известным статистическим свойствам входных процессов и динамическим свойствам
изучаемых объектов.
Рассмотрим некоторые виды схематизации.
В методе максимумов (рис. 8, I ) за амплитуду каждого цикла
принимают максимальное напряжение, за частоту нагружения —
среднее число максимумов в единицу времени, среднее напряжение цикла считают равным нулю.
В методе учета одного экстремума между двумя соседними
пересечениями кривой процесса с линией среднего уровня (рис. 8, II)
Рис. 8. Изменение напряжений при схематизации случайных процессов нагружения (A, B – исходные случайные процессы; 1–14 – экстремальные значения напряжений)
21
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
за амплитуду каждого цикла принимают отклонение наибольшего
экстремума от линии среднего уровня; за расчетную частоту нагружения — число наибольших экстремумов в единицу времени; среднее напряжение цикла также считают равным нулю.
В методе размахов (рис. 8, III ) за амплитуду каждого цикла
принимают половину разности между максимальным и минимальным напряжениями, за частоту нагружения — среднее число одноименных экстремумов в единицу времени; среднее напряжение цикла считают равным нулю.
Метод размахов с учетом среднего напряжения цикла (рис. 8, IV)
является разновидностью метода размахов. В нем наряду с амплитудами учитывают среднее напряжение цикла.
В методе полных циклов (рис. 8, V—VIII ) процедуры определения амплитуды, частоты и среднего значения аналогичны соответствующим процедурам в методе размахов.
Методы второй группы основаны на использовании характеристик случайных процессов, а решение задач — на предположении,
что случайные процессы (эксплуатационные нагрузочные режимы)
являются эргодическими с гауссовым распределением. При этом наряду с математическим ожиданием, дисперсией (средним квадратическим отклонением), спектральной плотностью таких процессов определяют:
среднее число пересечений нулевого уровня в единицу времени
n1 = (2?) ?1 m2 / m0 ;
среднее число максимумов в единицу времени
n2 = (2?)?1 m4 / m2 ;
критерий ширины спектральной плотности
?c = 1 ? (n1 / n2 ) 2 ,
где mk — моменты спектральной плотности k-го порядка (k = 0; 2; 4),
причем m0, m2, m4 являются соответственно дисперсиями самого
процесса, его скорости и ускорения,
mk =
?
1
?k G (?) d?;
2?
?
0
? — круговая частота; G(?) — односторонняя спектральная плотность.
22
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Критерий ширины спектральной плотности изменяется в пределах 0 ? ?c ? 1. Случайный процесс
с непрерывной спектральной плотностью называется узкополосным,
если график спектральной плотности располагается в узкой полосе
частот вблизи частоты ?с, если же
указанное условие не выполняется, Рис. 9. Спектральная плотность
то случайный процесс называется для узко- (1) и широкополосного (2) случайных процессов
широкополосным (рис. 9). При исследовании степени широкополосности процесса выявлена определенная зависимость между числом
пересечений нулевого уровня N?0 (или среднего уровня N?2) и числом экстремумов N?1, а следовательно, и интенсивность процесса
усталостного разрушения. Таким образом, ?c характеризует сложность процесса нагружения, т. е. учитывает его частотный состав.
Чем выше значение ?с, тем сложнее структура процесса.
Следует отметить, что для некоторых способов схематизации
нагрузочный режим может быть представлен в виде одномерной
f (?) или двумерной f (?1, ?2) плотности распределения. Например,
для нормального стационарного процесса двумерная плотность распределения максимумов-минимумов напряжений имеет вид
f (? max , ? min ) =
? max ? ? min
4 2???3? (1 ? ? c2 ) ? c
Ч
?? 1 ? (? ? ? )2 (? + ? ? 2?)2 ? ??
Ч exp ?? 2 ? max 2min + max min
? ?,
1 ? ?c
?c2
?
?? ?
?? 8?? ??
(3)
а плотность распределения их амплитуд и средних значений
f (? a , ? m ) =
?a
3
2 ? ??? (1 ? ?c2 ) ?c
Ч
?
( ? ? ?) 2 ? ?
?? 1 ? ?2
Ч exp ?? 2 ? a 2 + m 2
? ?,
?c
?? ?
?
?? 2?? ??1 ? ?c
(4)
23
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
где ?max и ?min — соответственно максимальное и минимальное напряжение цикла нагружения; ? и ?? — соответственно среднее значение и среднее квадратическое отклонение напряжения.
Из выражения (3) получаем формулу Райса для плотности распределения максимумов:
f (? max ) =
?c
??
2
?
??
??
? (?max ? ?) 2 ? (? max ? ?) n ?
? t2 ?
exp
exp
d
t
?
+
?
?
?
?
? ?? 2 ?? ? ,
??
2? ?
2??2 ?c2 ??
?
?
??
??
?
а из (4) — формулу Рэлея для плотности распределения амплитуд
напряжений:
f (? a ) =
?
?a2 ?
exp
,
?
?
2 2 ?
( n ?? ) 2
? 2 n ?? ?
?a
где n = 1 ? ?c2 ; ?? = (? max ? ?) n /(? ? ?c ).
Для методов первого направления вводят лишь число циклов
на единицу пути (в единицу времени), учитывающее при схематизации число экстремальных точек на заданном отрезке пути (времени). Для обоих направлений схематизации общим является определение законов распределения параметров процесса нагружения,
по которым следует проводить схематизацию.
Схематизированные нагрузочные режимы используют непосредственно в расчетах и при определении обобщенного нагрузочного
режима.
3.3. Определение параметров нагрузочных режимов
При проектировании новых конструкций КМ приходится решать задачу определения пapaмeтpoв их нaгpyзoчныx режимов при
отсутствии экспериментальной информации. Эту задачу можно решать двумя способами: корреляционными методами и моделированием.
При использовании корреляционных методов предполагается,
что результаты ранее проведенных экспериментальных исследований нагрузочных режимов аналогичных конструкций статистически обработаны в виде множественных регрессионных уравнений,
отражающих связь между параметрами нагрузочного режима, ос24
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
новными конструктивными характеристиками и условиями эксплуатации КМ.
Нагрузочный режим может быть определен по данным испытаний аналогичных конструкций. Например, среднее значение T и
среднее квадратическое отклонение ?T крутящего момента на полуоси заднего моста КМ при движении по дорогам различных типов определены в виде регрессионных зависимостей:
2
T = a1uтр
+ a2uтр v + a3v 2 + a4uтр + a5v + a6 ;
2
?T = b1uтр
+ b2uтр v + b3v 2 + b4uтр + b5v + b6 ,
где ai, bi — коэффициенты регрессии, 1 ? i ? 6; uтр — передаточное
число трансмиссии; v — скорость движения машины.
Если ввести удельные показатели по максимальному крутящему
моменту двигателя KTe = T / Te max или массе машины K mм = T / mм
и иметь достаточный статистический материал по КМ данного класса, то для расчета аналогичных конструкций можно использовать
корреляционные зависимости, подставив в них соответствующие
значения максимального крутящего момента Te max двигателя или
массы mм машины.
Экспериментальные способы определения нагрузочных режимов являются универсальными и позволяют оценить нагрузочный
режим практически в любых условиях эксплуатации.
Экспериментальные данные о нагрузочных режимах, полученные по результатам длительной эксплуатации КМ на различных дорогах с переменной осевой нагрузкой, после соответствующей схематизации могут быть представлены как обобщенный нагрузочный
режим, который отражает заданные условия эксплуатации машины в виде удельных показателей, плотностей распределения силового f (Q) и скоростного f (v) режимов, числа циклов на единицу
пути и т. д.
Обобщенный нагрузочный режим включает в себя характерные
или элементарные нагрузочные режимы: трогание и разгон с переключением передач, установившееся движение, накат, торможение
и т. п. Каждый из характерных нагрузочных режимов может быть
описан с помощью дифференциальных уравнений, при этом в отличие от общего случая движения машины расчетные зависимости
могут быть существенно упрощены.
25
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
При таком подходе обобщенный нагрузочный режим представляют в виде линейной комбинации или суперпозиции характерных
нагрузочных режимов, а коэффициенты суперпозиции определяют
по результатам эксплуатационных испытаний:
n
l
i =1
k =1
g (?) = ? ?i ? ?ik fik (?),
где g(?) — плотность распределения обобщенного нагрузочного реn
жима; ?i — доля дороги i-го типа в общем пробеге КМ, ? ?i = 1;
l
i=1
?ik — доля пробега на k-й передаче по дороге i-го типа, ? ?ik = 1;
k =1
fik(?) — плотность распределения нагрузочного режима на k-й передаче по дороге i-го типа, определенная с учетом установившихся
и неустановившихся режимов, а также случайных скоростных и массовых составляющих.
При моделировании рассматриваемую систему представляют в
виде математической модели (в общем случае нестационарной и
нелинейной) с наложенными голономными и неголономными связями, на входы которой подают возмущающие воздействия, на выходе получают реализацию нагрузочного режима. Если оператор
системы линейный, то нахождение параметров нагрузочного режима упрощается, и они могут быть
определены с использованием
основных положений статистической динамики. Так, если входными возмущениями линейной
системы с постоянными параметрами являются стационарные
случайные процессы (рис. 10), то
спектральная плотность G y(?)
выходного
сигнала может быть
Рис. 10. Структурная схема системы с несколькими входами и одним вычислена по следующему выражению:
выходом
n n
Gy (?) = ? ? H*i (?) Hj (?)Gij (?),
i =1 j =1
26
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
где H *i (?) — частотная характеристика системы, комплексно-сопряженная с H i (?); H j (?) — частотная характеристика системы;
Gij (?) — односторонняя взаимная спектральная плотность входных
сигналов.
В случае взаимно некоррелированных входных возмущений эта
формула принимает вид
n
G y (?) = ? | H i (?) |2 Gi (?).
i =1
Данные соотношения позволяют оценить нагрузочные режимы
отдельных элементов по их частотным характеристикам.
Обобщая полученные результаты, можно представить укрупненный алгоритм задания параметров нагрузочного режима следующим образом:
1) определение эксплуатационного нагрузочного режима (экспериментально или теоретически);
2) его схематизация (непосредственно по записи процесса или
по характеристикам случайного процесса);
3) определение закона распределения параметров нагрузочного
режима (одномерное или двумерное).
При оценке функции комфортабельности (вибронагруженности
рабочего места оператора, уровня шума в рабочих отсеках и т. д.)
выполняют только первое действие с последующим непосредственным вычислением необходимых параметров.
Контрольные вопросы
1. Что определяет эксплуатационный нагрузочный режим?
2. Как классифицируются нагрузки на элементы конструкции КМ по
повреждающему воздействию?
3. По каким параметрам оценивают различные циклы напряжений?
4. Что показывает диаграмма предельных напряжений?
5. Какова цель проведения схематизации нагрузочного режима?
6. На какие группы можно разделить методы схематизации?
7. По какому критерию определяют широкополосность случайного процесса нагружения?
8. На основании какой математической модели можно определить параметры нагрузочного режима?
9. В чем состоит укрупненный алгоритм расчета параметров нагрузочного режима?
27
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
4. ИСТОЧНИКИ ВОЗМУЩЕНИЯ
Плавность хода и нагрузочные режимы элементов системы подрессоривания, как известно, зависят от возмущения и самой динамической системы КМ. Возмущение на подвеску формируется, как правило, источниками силового и кинематического воздействия. Возмущение зависит как от характеристик самих источников, так и от
скорости движения КМ. При одновременном сочетании этих типов
воздействий вклад каждого из них в общий уровень вибрации неодинаков и во многом определяется дорожными условиями.
4.1. Силовое возмущение
Силовое возмущение, являющееся следствием неидеальности
характеристик шины и колесного узла в целом, существенным образом влияет на вибронагруженность машины и ее элементов при
больших скоростях движения КМ. В данном случае силовое воздействие следует рассматривать как детерминированный вибросигнал. При больших скоростях движения КМ уровень вибрации
возрастает вследствие неуравновешенности и биения вращающихся масс, в первую очередь ступиц и ободьев колес, шин и тормозных барабанов. Когда скорости движения незначительны или покрытия дорог несовершенны, дисбаланс и биение колес на вибрацию КМ практически не влияют.
Автомобильное колесо, являясь деталью вращения, должно
иметь симметричную форму и быть уравновешенным, чтобы не создавать при качении динамических нагрузок на узлы ходовой части. Однако на практике детали колеса изготовляют с определенными допусками, что является одной из причин периодического изменения вертикальной силы на его оси.
Различают статическую, динамическую и комбинированную неуравновешенности. Рассмотрим принцип формирования составляющих спектра вибрации КМ, обусловленных только статической
28
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
неуравновешенностью колеса, при которой
его главная центральная ось инерции параллельна оси вращения, но не совпадает с ней.
В процессе качения колеса (рис. 11) неуравновешенная масса mн.м создает центробежную силу Pцб, которая пропорциональна
квадрату его частоты вращения ?к:
Pцб = mн.м ?к2 r ?,
Рис. 11. Расчетная схема спектра вибрации от
статической неуравновешенности колеса КМ
где r ? — расстояние от оси вращения до центра масс неуравновешенной части колеса.
При вращении колеса непрерывно изменяется направление действия центробежной силы. Следовательно, при допущении точечного контакта шин с опорной поверхностью ее вертикальная составляющая будет изменяться по гармоническому закону:
Pцб в(t) = Pцб sin ?кt.
Поскольку в реальных условиях нагружения шины пятно контакта
имеет конечные размеры, колебания составляющей Pцб в(t) имеют
детерминированный периодический характер, причем даже при полностью статически сбалансированном колесе. При стационарном
режиме качения колеса спектр амплитуд вертикальной составляющей образует следующий ряд частот:
?кi = i?к,
где i — натуральные числа, i = 1, 2, 3, ...
Если учесть, что ?к = v/rк, то для частоты i-й составляющей
спектра амплитуд имеем
fкi = iv/(2?rк).
Амплитуды спектральных составляющих являются амплитудами гармоник тригонометрического ряда Фурье при разложении детерминированного периодического процесса, т. е.
?
Pцб в (t ) = ? APi cos(?кi t ? ? Pi ),
i =1
(5)
где APi, ?Pi — соответственно амплитуда и фаза i-й гармоники, определяемые выражениями
29
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
APi = ai2 + bi2 , ? Pi = arctg (bi ai );
ai, bi — коэффициенты тригонометрического ряда Фурье,
ai =
2
TP
TP
? Pцб в (t ) cos (?кit ) dt ,
bi =
0
2
TP
TP
? Pцб в (t ) sin (?кit ) dt;
0
Tp — период процесса Pцб в(t), TP = 2?/?к.
Суммарную (интегральную) оценку уровня возмущения Pцб в(t)
получим, используя понятие средней на интервале t1, t2 мощности
вибросигнала:
1
NP =
t2 ? t1
t2
? Pцб в (t ) dt,
2
(6)
t1
которая, по сути, является его дисперсией DP. Так, для детерминированного гармонического вибросигнала Pцб в(t) = AP sin (?кt)
DP =
1
TP
TP
?
AP2 sin 2 (?к t ) dt =
0
AP2
2
,
а среднее квадратическое отклонение
?P =
DP = AP
2,
где AP — амплитуда гармонического вибросигнала.
Подставив выражение (5) в (6), после интегрирования для дисперсии периодического вибросигнала Pцб в(t) имеем
?
2
APi
i =1
2
DP = ?
.
Это равенство характеризует принцип энергетического суммирования, который справедлив и для случайной вибрации.
Гармонические составляющие от периодического возмущения
Pцб в(t), кратные частоте ?к вращения колеса, содержат спектры вибрации различных элементов КМ (рис. 12).
30
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 12. Спектр вертикальных виброускорений при движении грузовой
КМ по дороге с асфальтобетонным покрытием:
1 – на полу кабины; 2 – на рулевом колесе
Уровень и частотный состав спектра вибрации могут изменяться также при действии других факторов, связанных с колесным узлом машины, — эксцентриситета колеса, силовой неоднородности
шины в радиальном направлении, выступов рисунка протектора
шины и т. д. Вибрация, обусловленная взаимодействием выступов
рисунка протектора шины с дорожной поверхностью, имеет высокочастотный спектр.
4.2. Кинематическое возмущение
Кинематическое возмущение является главным воздействием на
систему подрессоривания КМ. К основным факторам, которые оказывают влияние на формирование этого возмущения, определяют
интенсивность и спектр частот воздействия, относятся микропрофиль дорожной поверхности, скорость движения КМ и сглаживающая способность шины.
Первичной абстракцией дорожных неровностей является поверхность дороги. Эта абстракция очевидна по крайней мере для малодеформируемой дороги, конкретный участок которой считается реализацией случайной поверхности. Совокупность таких реализаций представляет собой рельеф дороги, служащий исходным понятием для
определения характеристик или моделей дорожных неровностей.
Профиль дороги — это сечение рельефа дороги в направлении
движения КМ. Сечение поверхности конкретного участка дороги
31
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
является реализацией профиля, а совокупность таких реализаций
представляет собой профиль дороги как случайный процесс. Профиль дороги зависит от выбора сечения, поэтому его проводят обычно по колее движения.
Профиль дороги имеет три составляющие — макропрофиль, микропрофиль и шероховатость, что обусловлено различным воздействием на КМ. Макропрофиль, состоящий из длинных плавных неровностей (длина волны 100 м и более), практически не вызывает
колебаний КМ, но заметно влияет на ее тягово-динамические показатели. Микропрофиль состоит из неровностей (длина волны от
10 см до 100 м), оказывающих существенное, если не определяющее, влияние на многие эксплуатационные свойства КМ (надежность, устойчивость, плавность хода, быстроходность). Микропрофиль дороги определяет нагруженность узлов и агрегатов КМ, а
также ограничивает возможность полной реализации скорости, мощности, маневренности и грузоподъемности. Шероховатости дороги
(длина волны менее 10 см) сглаживаются шинами и не вызывают
ощутимых колебаний КМ, но влияют на работу шин (сцепление,
шум и т. д.).
Рассмотрим более подробно микропрофиль дорожной поверхности как составляющую профиля, наиболее влияющую на нагрузочные режимы агрегатов КМ. Если в качестве модели профиля
дороги был принят случайный процесс, то, очевидно, и микропрофиль следует представлять случайной функцией.
При вероятностной оценке микропрофиля можно использовать
различные характеристики, такие, например, как функция и плотность распределения высот и длин неровностей. Ими обычно
пользуются при определении сложности дорожной обстановки. Однако для оценки различных эксплуатационных свойств, а также при
проектировании КМ их применение затруднено. Это связано с тем,
что основной причиной динамических нагрузок являются колебания систем КМ, которые для систем с сосредоточенными параметрами рассматривают как непрерывные функции изменения оценочных величин во времени, а для систем с распределенными параметрами — во времени и в пространстве. Поэтому микропрофиль
дороги (как один из основных источников возмущающего воздействия) целесообразно представлять в виде непрерывной функции
изменения высот неровностей на протяженности пути с последующим ее преобразованием во временную функцию.
32
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Для упрощения вычисления вероятностных характеристик охарактеризуем дорожную поверхность двумя случайными функциями:
q(x) = 0,5[qл(x) + qп(x)];
? (x) = [qл(x) — qп(x)]/B,
где qл(x), qп(x) — случайные функции высот неровностей микропрофиля сечений поверхности дороги соответственно под левыми
и правыми колесами; B — расстояние между этими сечениями (колея машины); x — независимая переменная (текущая длина пути).
Данные выражения получены в предположении, что взаимная корреляционная функция Rq? (l ) = 0. Результаты экспериментальных
исследований подтверждают это. Следовательно, можно определить
степень влияния каждой приведенной случайной функции на рассматриваемую систему.
В общем случае функции q(x) и ?(х) являются нестационарными
и их характеристики меняются в зависимости от времени и длины
участка дороги. Если же рассматриваемый участок дороги по типу
покрытия и степени износа однороден и можно пренебречь его изменением во времени, то функции, определяющие поверхность дороги, с некоторым приближением принимают как случайные эргодические функции с нормальным законом распределения. Для удобства и упрощения ординату q(x) и угол наклона ?(x) отсчитывают от
их средних значений, т. е. математические ожидания mq = 0 и m? = 0.
В настоящее время наиболее полно изучены статистические характеристики микропрофиля в продольном сечении дорожного полотна. Рассмотрим их более подробно.
Вероятностные характеристики дорожной поверхности можно
определить по следующим выражениям:
Dq = ?2q = li m
L ??
Rq (l ) = lim
L ??
1
L
1
L
L
?q
2
( x) d x;
0
L
? q ( x ) q ( x + l ) d x,
0
где L — протяженность рассматриваемого участка дороги; l — сдвиг
аргумента х.
33
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Дисперсия характеризует разброс случайной величины относительно ее среднего значения. Корреляционная функция Rq(l ) отражает вероятностную связь между координатами микропрофиля по
длине участка дороги. Чем быстрее эта функция стремится к нулю,
тем слабее взаимосвязь между последующими значениями q(x).
В теории стационарных случайных процессов наряду с приведенными выше характеристиками широко используют еще один
вид характеристик статистических свойств — спектральные плотности процессов. Спектральная плотность высот неровностей характеризует частотный состав микропрофиля поверхности дороги. Определяют ее как преобразование Фурье корреляционной
функции:
?
Gq (?) = 4 ? Rq (l ) cos (? l ) d l , 0 ? ? ? ?,
0
где Gq(?) — односторонняя спектральная плотность; ? — частота
спектральной составляющей микропрофиля дороги, ? = 2?/lв; lв —
длина ее волны.
Применяя формулу обратного преобразования Фурье, можно по
спектральной плотности установить корреляционную функцию:
Rq (l ) =
?
1
Gq (?) cos l ? d ?.
2?
?
(7)
0
Корреляционная функция в точке l = 0 равна дисперсии и, согласно выражению
?
1
Rq (0) = Dq =
Gq (?) d ?,
2?
?
0
представляет собой площадь, ограниченную кривой Gq (?), с масштабным коэффициентом 1/(2?). Если взять на оси абсцисс графика
Gq(?) две частоты ?? и ?? с шагом ??, то площадь, ограниченная
кривой спектральной плотности, будет пропорциональна дисперсии в данном интервале частот.
При определении спектральной плотности эргодического гауссова случайного процесса приведенный способ во многих случаях
нельзя признать простым и экономичным. Он предполагает пред34
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
варительное нахождение корреляционной функции, что сопряжено
с дополнительными вычислениями. Поэтому для получения спектральной плотности целесообразно использовать метод непосредственного преобразования Фурье q(x). Эту операцию выполняют
на ЭВМ (или анализаторах спектров), используя алгоритм быстрого преобразования Фурье для оценки односторонней спектральной
плотности вида
2
m ?? Qk (?, L ) ?? ,
?
L ?? L ?
Gq (?) = li m
2
где m — символ математического ожидания; Qk(?, L) — преобразование Фурье k-й реализации qk(x) функции q(x) на конечном интервале,
L
Qk (?, L ) = ? qk ( x ) e ? j? x d x.
0
Применяемая в данном выражении односторонняя спектральная
плотность является той характеристикой, которую измеряют при
экспериментальных исследованиях прямой фильтрацией. Если разделить обе части выражения (7) на дисперсию Dq высот микропрофиля, то получим формулу для нормированной корреляционной
функции ?q(l) = Rq(l )/Dq. Нормирование рассматриваемых оценок
применяют для большей наглядности и удобства использования при
исследованиях и расчетах. На рис. 13 для различных типов дорог
Рис. 13. Нормированная корреляционная функция микропрофиля поверхности дорог различных типов:
1 – асфальтобетонная; 2 – булыжная; 3 – грунтовая
35
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
представлена нормированная корреляционная функция, которая может быть описана аналитической зависимостью. Общее аппроксимирующее выражение имеет вид
n
?q (l ) = ? Ai e ??i | l | cos ?i l ,
i =1
где Ai, ?i — коэффициенты, характеризующие степень нерегулярности микропрофиля,
n
? Ai = 1; ?i — коэффициент, характеризую-
i =1
щий узкополосность случайной функции микропрофиля поверхности дороги. Следует отметить, что коэффициенты, входящие в аппроксимирующее уравнение, являются случайными, и в данном
выражении представлены их средние значения (табл. 3). Это связано с тем, что точно определить характеристики случайной величины по выборочным данным невозможно, т. е. всегда будет присутствовать элемент случайности.
Таблица 3. Значения коэффициентов аппроксимации
корреляционной функции микропрофиля поверхности дорог
Тип дороги
С асфальтобетонным
покрытием
Булыжная
Dq ? 104, м2
0,790
0,225—1,540
0,640—1,880
1,600
2,780
1,820—5,240
4,330
6,350
Грунтовая:
в удовле7,400
творитель102,200
ном состо110,320
янии
разбитая
6,250—10,760
47,200—64,000
90,000—100,000
36
A1
A2
1,000 0
1,000 0
0,850 0,150
0,650 0,350
1,000 0
1,000 0
1,000 0
0,953 0,047
?1
?1
?2
?2
м–1
0,080 0,143 0
0
0,150 0
0
0
0,200 0 0,050 0,600—2,000
0,250 0 0,050
0,196
0,100 0,238 0
0
0,450 0
0
0
0,320 0,640 0
0
0,213 0 0,049
1,367
1,000 0 0,400 0,900 0
1,000 0 0,450 0,414 0
0,634 0,366 0,017 0,144 0,153
0
0
0,581
0,850 0,150 0,150
0,644 0,356 0,110
0,550 0,450 0,085
2,000
0,360
0,235
0
0
0
0,200
0,150
0,080
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Интегрируя выражение для нормированной корреляционной
функции, получаем формулу для определения нормированной спектральной плотности высот неровностей микропрофиля поверхности дороги:
Ai ?i (?i2 + ?i2 + ?2 )
n
g q (?) = ?
i =1 ?
4
+ 2(? i2 ? ?i2 )?2 + (?i2 + ?i2 ) 2
.
При этом спектральную плотность можно вычислить по соотношению
Gq(?) = 4Dqgq(?).
Если спектральная плотность определяется преобразованием
Фурье на конечном интервале, то после нормирования при условии
Gq(?) = Dqgq(?) ее удобно аппроксимировать выражением
gq(?) = a1?–b,
(8)
где a1, b — коэффициенты.
Эта зависимость хорошо согласуется с результатами обработки
экспериментальных данных (табл. 4). В логарифмических координатах графики, построенные по зависимости (8), изображаются прямолинейными отрезками (рис. 14). Спектральная плотность микропрофиля, имеющего однородные неровности, описывается уравнением
регрессии в виде степенной функции.
Таблица 4. Значения коэффициентов аппроксимации спектральной
плотности микропрофиля поверхности дорог
Тип дороги
С асфальтобетонным покрытием
Булыжная
Грунтовая:
в удовлетворительном
состоянии
разбитая
Dq ? 104, м2
a1 при ?, м–1
0 ? ? < 4 ? ? 4
b при ?, м–1
0 ? ? < 4
? ? 4
1,08
1,37
1,06
2,14
2,05
1,88
4,33
5,21
3,58
1,24
2,34
2,60
2,20
2,01
2,05
7,40
3,33
2,37
2,16
2,03
0,86
0,86
2,04
2,04
64,0
37
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
В случае преобладания неровностей определенного вида может
быть использовано представление
спектральной плотности в виде
дробно-рациональной функции.
Так, для грунтовых дорог, имеющих длинные неровности, выражение для спектральной плотности имеет вид
Gq (?) =
Рис. 14. Нормированная спектральная плотность микропрофиля поверхности дорог различных типов:
1 – асфальтобетонная; 2 – булыжная;
3 – грунтовая
a2 (?2 + ?12 )
?2 (?2 + ?22 )
,
где a2, ?1, ?2 — коэффициенты аппроксимации.
Значения a2, ?1, ?2 зависят от
состояния дорожной поверхности
(укатанная, разбитая, сильно разбитая) и типа местности (равнинная, холмистая, горная):
a2 ? 103, м . . . .
?1, м–1 . . . . . .
?2, м–1 . . . . . .
0,1...3,16
3,10...3,16
0,0316...3,16
Для оценки пространственных колебаний КМ необходимо знание взаимной спектральной плотности Gqл qп (?) случайных процессов qл(x) и qп(x). В общем случае Gqл qп (?) является комплекснозначной функцией от ?. Взаимную спектральную плотность можно определить, например, по следующему выражению:
2 ? *
m Qл k (?, L) Qп k (?, L) ? ,
?
?
L
L ??
Gqл qп (?) = li m
где Qл* k (?, L) — функция комплексно-сопряженная к Qл k(?, L);
Qл k(?, L), Qп k(?, L) — преобразования Фурье функций qлk(x), qп k(x)
на конечном интервале:
38
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
L
Qл k (?, L) = ? qл k ( x) e? j? x d x;
0
L
Qп k (?, L ) = ? qп k ( x) e? j? x d x.
0
Однако при представлении данных измерений в виде эмпирических зависимостей целесообразно вместо взаимной спектральной плотности использовать коэффициент корреляции ?(?). С учетом того, что для микропрофиля дорожной поверхности по двум
колеям экспериментально показано равенство нулю мнимой части
функции Gqл qп (?), коэффициент корреляции определяют по формуле
?(?) = Gqл qп (?) / Gq (?),
(9)
а аппроксимирующее выражение для него имеет вид
?(?) = [1 + (B?/n)2] –1,
где n — коэффициент аппроксимации, зависящий от типа дороги, n =
= 5,4...5,8 для дорог с асфальтобетонным покрытием и 4,5 — для
булыжных дорог.
Все представленные аналитические зависимости спектральных
плотностей можно использовать для оценки возмущающих воздействий на динамическую систему КМ и определения нагрузочных
режимов ее элементов.
Для описания кинематического возмущения от микропрофиля
дорожной поверхности, которое представляет собой случайный вибросигнал, необходимо перейти от функций протяженности к функциям времени. В функции высот неровностей микропрофиля и корреляционной функции выполним замену переменных x и l на t = x/v
и ? = l/v, а протяженность L участка дороги заменим на ее временнуе отображение T = L/v. Величины t, ? и T имеют размерность
времени и характеризуют соответственно текущее время, сдвиг аргумента t и длительность временнуй реализации. Для преобразования спектральной плотности высот неровности микропрофиля дорожной поверхности в спектральную плотность возмущения заме39
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
ним ? на ?: ? = ?/v (? — частота спектральной составляющей микропрофиля дороги).
Тогда, используя выражение для спектральной плотности Gq(?)
высот неровностей микропрофиля и делая соответствующие замены переменных, имеем
?
?
?
Gq (?) = 4 ? Rq (l ) cos (?l ) dl = 4 ? Rq (?) cos ?? v? ?? d(v?) =
?v ?
0
0
? ?
?
= v ?4 ? Rq (?) cos(??) d?? .
? 0
?
?
?
Сомножитель этого выражения в квадратных скобках представляет собой спектральную плотность Gq(?) возмущения. Таким образом, соотношение между спектральными плотностями высот неровностей микропрофиля и возмущения имеет вид
Gq(?) = vGq(?).
Согласно этому выражению, происходит трансформация Gq(?)
в G q(?) при постоянном значении дисперсии D q возмущения
(рис. 15). Действительно,
Dq =
1
2?
?
? Gq (?)d?
0
=
1
2?
?
1
? v Gq (?) dv?
=
0
1
2?
?
? Gq (?) d?.
0
Тогда при вычислении спектральной плотности возмущения в формулах для спектральной плотности высот неровностей микропрофиля необходимо сделать следующие преобразования: заменить ?
на ?; ?i, ?i, ?1, ?2 умножить на v; a1 заменить на a? = a1vb–1. Выражение для коэффициента корреляции ?(?) в области временной частоты ? будет иметь вид
?(?) = {1 + [B?/(nv)]2}–1.
Колесо с пневматической шиной имеет конечную длину и ширину пятна контакта с опорной поверхностью, что обусловливает
сглаживание высот неровностей микропрофиля дорожной поверхности, размеры которых соизмеримы с размером пятна контакта
шины. Поэтому возмущение, действующее со стороны дороги на
КМ, уменьшается в области высоких частот.
40
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 15. Спектральная плотность возмущения при движении КМ по
разбитой грунтовой дороге со скоростью 3,6 (1), 10 (2), 20 (3) и 30 км/ч (4)
Сглаживание высот микропрофиля сечения дорожной поверхности по длине пятна контакта можно описать следующим оператором:
q1 ( x1 ) =
1
2l0
x1 + l0
?
q ( x ) dx,
x1 ?l0
где q1(x1), q(x) — случайные функции высот неровностей сечения
сглаженного и исходного микропрофиля дорожной поверхности;
2l0 — длина пятна контакта.
Амплитудно-частотная характеристика сглаживающей способности шины имеет вид
H ш (?) =
sin (?l0 )
?l0
.
При таком описании сглаживающей способности шины предполагают ее идеальную эластичность и постоянство размеров пятна контакта. Поэтому, несмотря на то что приведенные соотношения в среднем достаточно полно характеризуют сглаживающую способность шины, их корректируют. При переменной длине пятна
контакта в случае вертикальных колебаний КМ амплитудно-частотную характеристику | Hш(?)| в первом приближении можно определить по формуле
H ш ( ?) =
2
?сг
2
?сг
+ ?2
,
(10)
41
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
где ?сг — коэффициент, характеризующий сглаживающую способность шины, ?сг = 1,1/l0.
Параметр l0 можно вычислить по эмпирической зависимости
l0 = 0, 3 H пф Dш ,
где Hпф и Dш — высота профиля и наружный диаметр шины.
Заменяя в выражении (10) ? на ? и ?сг на ?сг, причем ?сг = v?сг,
для спектральной плотности возмущения при сглаженном шиной
микропрофиле получаем соотношение
Gqсг(?) = | Hш(?)|2Gq(?).
Целесообразность учета сглаживающей способности шины
(рис. 16) зависит от динамической системы, эквивалентной реальной КМ, которую используют при расчете. Скорость, до которой
следует учитывать сглаживающую способность шины, определяется формулой
vсг = 0,9l0?max,
где ?max — максимальная частота в спектре возмущения, на которую реагирует динамическая система.
Рис. 16. Амплитудно-частотная характеристика сглаживающей способности шины при движении грузовой КМ со скоростью 30 (1), 40 (2),
60 (3) и 80 км/ч (4)
Колебания, вызванные единичными неровностями дороги, являются кратковременными и в общем уровне вибрации КМ большого
значения не имеют.
42
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Контрольные вопросы
1. Какие типы возмущения рассматривают при оценке вибрационной
безопасности КМ?
2. Что такое мощность вибросигнала?
3. На какие составляющие подразделяется профиль дорожной поверхности?
4. Перечислите способы определения спектральной плотности высот
неровностей микропрофиля дорожной поверхности.
5. Какой спектральной характеристикой учитывается статистическая
связь высот неровностей микропрофиля по двум колеям?
6. Как строится математическая модель сглаживающего эффекта автомобильной шины?
43
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
5. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА ПОДРЕССОРИВАНИЯ
5.1. Идеальная физическая система
Назовем систему с одним входом и одним выходом идеальной, если она физически осуществима, стационарна (имеет постоянные параметры), устойчива и линейна. Основные свойства
такой идеальной физической системы можно описать импульсной
переходной функцией h(?), которая представляет собой реакцию
системы на возмущение в виде дельта-функции ?(t).
Дельта-функция является обобщенной функцией, и ее можно
представить следующим образом:
{
? при t0 = 0,
?(t ? t0 ) =
0 при t0 ? 0;
?
? ?(t ? t0 ) dt
= 1.
??
Важная роль импульсной переходной функции как средства описания свойств системы видна из следующего утверждения. Реакция y(t) системы с одним входом и одним выходом на произвольный входной сигнал x(t) определяется интегралом свертки
?
y (t ) =
? h(?) x(t ? ?) d?.
??
Другими словами, реакция системы y(t) есть взвешенная линейная
сумма всех прошлых и будущих значений входного процесса x(t).
Физически осуществимая (причинно обусловленная) система не
может реагировать на возмущение до тех пор, пока оно не поступило на ее вход. Это означает, что h(?) = 0 при ? < 0.
Считают, что физическая система стационарная, если ее импульсная переходная функция не зависит от момента поступления
возмущения на вход системы, т. е. h(t, ?) = h(?) при –? < t < ?. Если
параметры системы постоянны, то при стационарном входном про44
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
цессе всегда генерируется стационарный процесс на выходе системы (в отсутствии переходных процессов, возникающих при начале
работы системы).
Физическую систему называют устойчивой, если при произвольной допустимой ограниченной функции на ее входе функция на
выходе также является ограниченной. Это условие выполняется,
?
если ? h(?) d? < ?.
??
Линейная система обладает свойствами аддитивности и однородности. Формально, если y(t) — реакция системы на входной сигнал x(t), то система будет линейна в том случае, когда для любых
двух входных сигналов x1(t), x2(t) и постоянной c имеют место свойства аддитивности:
y[x1(t) + x2(t)] = y[x1(t)] + y[x2(t)],
и однородности:
y[cx(t)] = cy[x(t)].
Отметим два важных свойства линейных систем с постоянными параметрами:
1) сохранение спектра частот входного сигнала в выходном сигнале;
2) неизменность законов распределения для случайных входного и выходного сигналов.
Линейную систему с постоянными параметрами можно также
охарактеризовать передаточной функцией H(p), которая определяется как преобразование Лапласа импульсной переходной функции h(?), т. е.
?
H ( p ) = ? h(?) e? p? d?,
0
где p — некоторое комплексное число, p = a + jb.
Передаточную функцию системы с одним входом и одним выходом можно представить в виде отношения преобразования Лапласа Y( p) переменной y(t) на выходе системы к преобразованию
Лапласа X( p) переменной x(t) на ее входе при нулевых начальных
условиях:
H ( p) = Y ( p) X ( p)
45
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
при
?
Y ( p ) = ? y (t ) e
0
? pt
?
dt и X ( p ) = ? x(t ) e? pt dt.
0
Передаточная функция полностью характеризует динамические,
а также статические свойства системы. Если линейная система с
постоянными параметрами физически осуществима и устойчива,
то ее динамические свойства можно описать частотной характеристикой, которая определяется как преобразование Фурье функции h(?), т. е.
?
H (?) = ? h(?) e? j?? d?.
0
Отметим, что нижний предел интегрирования равен нулю, а не
минус бесконечности, поскольку h(?) = 0 при ? < 0. По существу,
частотная характеристика — это частный случай передаточной функции; в показателе экспоненты p = a + jb действительная часть a = 0,
а мнимая часть b = ?, т. е. H(?) = H(p) при p = j?.
В общем случае частотная характеристика является комплексной функцией переменной ?, поэтому ее можно представить в виде
H(?) = HRe(?) – jHIm(?),
где HRe(?), HIm(?) — действительная и мнимая части функции H(?),
?
?
0
0
H Re (?) = ? h(?) cos ?? d?; H Im (?) = ? h(?) sin ?? d?.
В иной форме записи частотная характеристика имеет вид
H(?) = | H(?)|e–j?(?),
2
2
где H (?) = H Re
(?) + H Im
(?); ?(?) = arctg
H Im (?)
H Re (?)
.
Модуль |H(?)| называют амплитудно-частотной, а аргумент
?(?) — фазочастотной характеристикой.
Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики имеют
очевидную физическую интерпретацию: если на вход идеальной
46
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
системы поступает гармонический сигнал с частотой ?, то на выходе тоже будет гармонический сигнал с частотой ?. Отношение
амплитуд выходного и входного сигналов задает амплитудно-частотную характеристику |H(?)|, а сдвиг по фазе между y(t) и x(t) —
фазочастотную характеристику системы.
Если с системой, описываемой частотной характеристикой
H1(?), последовательно включена система с частотной характеристикой H2(?), причем между двумя системами отсутствуют обратные связи, то частотная характеристика новой системы имеет вид
H(?) = H1(?)H2(?),
а амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики определяются соотношениями
|H(?)| = |H1(?)||H2(?)| и ?(?) = ?1(?) + ?2(?).
Важно помнить, что частотная характеристика H(?) линейной
системы с постоянными параметрами является функцией только частоты и не зависит ни от времени, ни от вида входного сигнала.
В случае представления частотной характеристики H(?) в виде
H (?) =
a (?) + b(?) j
c (?) + d (?) j
получим следующие выражения для определения амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик:
H (?) =
a 2 (?) + b 2 (?)
2
2
c (?) + d (?)
;
?(?) = arctg
a (?) d (?) ? b(?)c (?)
a (?)c (?) + b(?) d (?)
,
(11)
где a(?), b(?), c(?), d(?) — полиномы частоты ?.
Согласно физической интерпретации амплитудно-частотной характеристики идеальной системы, если входная величина является
реализацией стационарного случайного процесса, то односторонние спектральные плотности Gx(?) и Gy(?) сигналов x(t) и y(t) удовлетворяют следующему важному соотношению:
Gy(?) = |H(?)|2Gx(?).
(12)
Далее будут рассмотрены идеальные физические системы с одним входом и одним выходом или системы, сводящиеся к таковым.
47
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
5.2. Динамические системы, эквивалентные системе
подрессоривания колесных машин
Линейные динамические системы, эквивалентные подвеске КМ,
обычно упрощают для обеспечения наиболее экономичного и целенаправленного решения конкретных задач. В общем случае колебания отдельных масс КМ могут совершаться во всех направлениях
вдоль координатных осей и вокруг них. В этом случае уравнения
движения динамической системы, схема которой для независимой
подвески показана на рис. 17, могут иметь следующий вид:
n m
n m
i =1 j =1
i =1 j =1
mпм z0 + ? ? kпij hzпij + ? ? спij hzпij = 0;
n m
n m
i =1 j =1
i =1 j =1
0 + ? ? kпij hzпij lij + ? ? спij hzпij lij = 0;
J y?
n m
n m
i =1 j =1
i =1 j =1
+ ? ? k h B + ? ? с h B = 0;
J x?
0
пij zпij ij
пij zпij ij
mij zij ? kпij hzпij + kшij ( zij ? qij ) ? спij hzпij + cшij ( zij ? qij ) = 0.
Здесь mпм — масса подрессоренной части КМ; z0, ?0, ?0, zij —
обобщенные координаты; kпij, cпij — коэффициенты демпфирования и жесткости подвески колеса, приведенные к центру пятна контакта шины с опорной поверхностью; Jy, Jx — моменты инерции
подрессоренной части КМ относительно поперечной. y0 и продольной x0 осей, проходящих через ее центр масс; hzпij, h zпij — соответственно деформация и скорость
деформации
колеса, hzпij =
. подвески
.
.
.
.
= z0 + lij ?0 + Bij?0 – zij, h zпij = z 0 + lij ? 0 + Bij? 0 — z ij; lij, Bij — расстояние от центра масс подрессоренной части КМ до колеса соответственно в продольной и поперечной плоскостях, проходящих через
центр масс (имеет положительное значение слева и отрицательное —
справа от центра масс); kшij, сшij — коэффициенты демпфирования
и жесткости шины колеса; qij — кинематическое возмущение; i, j —
соответственно номер оси и колеса этой оси; n, m — число осей
КМ и колес оси.
48
Рис. 17. Схема динамической системы, эквивалентной системе подрессоривания многоосной КМ
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
49
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Сочетание этих колебаний вызывает сложные пространственные движения отдельных масс КМ, в которых, как правило, можно
выделить превалирующие по интенсивности и значимости колебания. Это достигается на стадии проектирования аналитическими
методами (с учетом предшествующего опыта) и проверяется на стадии испытаний и доводки экспериментальными методами, включая экспертные. Аналитические решения можно получить в том случае, если показатели плавности хода и нагрузочных режимов определяют для относительно простых моделей динамических систем.
В упрощенных моделях принимают во внимание наиболее существенные принципиальные физические явления. Вибрацию в характерных точках КМ, в частности на рабочих и пассажирских местах, оценивают упрощенно, основываясь на расчетах (измерениях) вертикальных и горизонтальных (продольных и поперечных)
колебаний. Дальнейшее упрощение возможно на основе определения только вертикальной вибрации. Характеристика наиболее часто используемых при расчетах динамических систем, эквивалентных подвеске КМ, представлена в табл. 5.
Достаточно просто получить аналитическое решение и оценить
виброизолирующие свойства системы подрессоривания для динамической системы I. Для этого следует определить амплитудно-частотные характеристики системы при действии кинематического
возмущения q1(t). Выполнив преобразование Лапласа левой и правой частей уравнения движения (см. табл. 5, система I), а также
простейшие алгебраические операции, получим передаточную функцию системы, которая связывает абсолютные перемещения z12(t)
массы подрессоренной части КМ с возмущением q1(t):
H zI12q1 ( p ) =
Z12 ( p )
Q1 ( p )
=
kп1 p + cп1
m12 p 2 + kп1 p + cп1
,
(13)
где Z12( p), Q1(p) — преобразования Лапласа z12(t) и q1(t).
Заменяя в выражении (13) p на j?, находим частотную характеристику системы:
H zI12 q1 (?) =
50
j ?kп1 + cп1
?? m12 + j ?kп1 + cп1
2
.
(14)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Принимаем ? z = 0, 5
kп1
и ?z =
cп1m12
cп1
m12
. Безразмерную ве-
личину ?z называют относительным коэффициентом затухания,
а ?z — собственной частотой вертикальных колебаний консервативной системы. Тогда зависимость (14) можно представить следующим образом:
H zI12q1 (?) =
1 + 2? z j ( ? / ? z )
? ( ? / ? z ) 2 + 2? z j ( ? / ? z ) + 1
.
В соответствии с уравнениями (11) амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики имеют вид
H zI12q1 (?) =
1 + 4? 2z (? / ?z ) 2
[1 ? (? / ? z ) 2 ]2 + 4? 2z (? / ? z ) 2
?Iz12q1 (?) = arctg
2? z ( ? / ? z )
;
(15)
3
2
2
2
1 ? ( ? / ? z ) + 4? z ( ? / ? z )
.
I
Графическое представление функций H z12 q1 (?) и ?Iz12 q1 (?)
показано на рис. 18.
Оценим виброизолирующие свойства подвески при условии, что
эффективность виброизоляции характеризуется соотношением
H zI12 q1 (?) ? 1.
Приравнивая правую часть выражения (1.9) к единице и решая
полученное уравнение, имеем два корня:
?/?z = 0
и
?/?z = 2.
Следовательно, виброизоляция наиболее эффективна, начиная с
?/?z = 2. Поэтому значение собственной частоты колебаний ?z
должно быть как можно меньше.
51
52
II
I
Расчетная схема динамической системы
m12 z12 + kп1 ( z12 ? z1 ) + cп1 ( z12 ? z1 ) = 0
+ сп1 ( z1 ? z12 ) = kш1q1 + cш1q1 ;
m1
z1 + kш1 z1 + cш1 z1 + kп1 ( z1 ? z12 ) +
m12 z12 + kп1 z12 + cп1 z12 = kп1q1 + cп1q1
Уравнения движения
Расчет вибронагруженности
массы подрессоренной части
КМ и нагрузочных режимов
элементов
подвески
Расчет основных
параметров
системы подрессоривания
Область применения
Таблица 5. Характеристика динамических систем, эквивалентных системе подрессоривания
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
III
mc zc + kc ( zc ? z12 ) + сc ( zc ? z12 ) = 0
+ kc ( z12 ? zc ) + cc ( z12 ? zc ) = 0;
m12 z12 + kп1 ( z12 ? z1 ) + cп1 ( z12 ? z1 ) +
+ сп1 ( z1 ? z12 ) = kш1q1 + cш1q1 ;
m1
z1 + kш1 z1 + cш1 z1 + kп1 ( z1 ? z12 ) +
Расчет показателей плавности
хода КМ, вибронагруженности
массы ее подрессоренной части и
нагрузочных
режимов элементов подвески
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
53
IV
Расчетная схема динамической системы
54
n
n
n
i =1
i =1
i =1
n
i =1
i =1
i =1
n
i =1
i =1
n
i =1
+ z0 ? kпi li + z0 ? cпi li = ? (kпi qi + cпi qi )li
n
0 + ? 0 ? kпi li2 + ?0 ? cпi li2 +
J y?
n
+ ?0 ? cпi li = ? (kпi qi + cпi qi );
n
i =1
mпм z0 + z0 ? kпi + z0 ? cпi + ? 0 ? kпi li +
n
Уравнения движения
Расчет основных
параметров системы подрессоривания
Область применения
Продолжение табл. 5
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
V
n
i =1
i =1
n
n
n
n
i =1
i =1
n
n
n
= kc ( z0 + ? 0lc ) + cc ( z0 + ?0lc ) (V.4)
mc zc + kc zc + сc zc =
i =1
= (kc zc + cc zc )lc + ? (kпi zi + cпi zi )li ; (V.3)
i =1
+ z0 ? cпi li + kc ( z0 + ? 0lc )lc + cc ( z0 + ?0lc )lc =
i =1
0 + ? 0 ? kпi li2 + ?0 ? cпi li2 + z0 ? kпi li +
J y?
n
i =1
= kc zc + cc zc + ? (kпi zi + cпi zi ); (V.2)
i =1
+ ?0 ? cпi li + kc ( z0 + ? 0lc ) + cc ( z0 + ?0lc ) =
i =1
mпм z0 + z0 ? kпi + z0 ? cпi + ? 0 ? kпi li +
n
= kшi qi + cшi qi ; (V.1)
? kпi ( z0 + li ? 0 ) ? cпi ( z0 + li ?0 ) =
mi zi + (kпi + kшi ) zi + (спi + cшi ) zi ?
Расчет показателей плавности
хода n-осной КМ,
вибронагруженности массы ее
подрессоренной
части и нагрузочных режимов
элементов подвески
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
55
VI
Расчетная схема динамической системы
56
= kш в.м (q2 ? q3 ) + cш в.м (q2 ? q3 )
mc zc + kc zc + сc zc = kc ( z0 + ? 0lc ) + cc ( z0 + ?0lc );
б + kш в.м Lб ? б + сш в.м Lб ?б =
mв.м Lб ?
? (kп2 zб + сп2 zб )lб ;
= (kc zc + cc zc )lc + (kп1 z1 + сп1 z1 )l1 ?
+ kc ( z0 + ? 0 lc )lc + cc ( z0 + ?0 lc )lc =
+ (kп1l1 ? kп2 lб ) z0 + (cп1l1 ? cп2lб ) z0 +
0 + (kп1l12 + kп2lб2 )? 0 + (cп1l12 + cп2lб2 )?0 +
J y?
= kc zc + сc zc + kп1 z1 + сп1 z1 + kп2 zб + сп2 zб ;
+ kc ( z0 + ? 0 lc ) + cc ( z0 + ?0 lc ) =
+ (kп1l1 ? kп2 lб )? 0 + (cп1l1 ? cп2lб )?0 +
mпм z0 + (kп1 + kп2 ) z0 + (сп1 + сп2 ) z0 +
?kп2 ( z0 ? lб ? 0 ) ? cп2 ( z0 ? lб ?0 ) =
= kш в.м (q2 + q3 ) + cш в.м ( q2 + q3 );
2mв.м zб + (kп2 + 2kш в.м ) zб + (сп2 + 2cш в.м ) zб ?
? kп1 ( z0 + l1? 0 ) ? cп1 ( z0 + l1?0 ) = kш1q1 + cш1q1 ;
m1
z1 + (kп1 + kш1 ) z1 + (сп1 + cш1 ) z1 ?
Уравнения движения
Расчет показателей плавности
хода КМ с балансирной подвеской
второго и третьего ведущих
мостов, вибронагруженности
массы ее подрессоренной части и
нагрузочных
режимов элементов подвески
Область применения
Окончание табл. 5
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
П р и м е ч а н и е. Принятые обозначения: z12(t) (z22(t)), z0(t), zc(t), zi(t) и zб(t) – обобщенные координаты, характеризующие
вертикальные перемещения массы подрессоренной части, приходящейся на переднюю (заднюю) ось, центра масс подрессоренной части КМ, сиденья, массы неподрессоренной части i-й оси и центра О качания балансира; ?0(t) и ?б(t) – обобщенные
координаты, характеризующие угловые перемещения массы подрессоренной части относительно ее центра масс и балансира
относительно его центра О качания; qi(t) – кинематическое возмущение на колеса i-й оси; m12 (m22), mпм, mс, mi и mв.м – массы
подрессоренной части, приходящиеся на переднюю (заднюю) ось, подрессоренной части КМ, сиденья с человеком, неподрессоренной части i-й оси и ведущего моста; Jy – момент инерции массы подрессоренной части относительно поперечной оси y,
проходящей через ее центр масс; kпi, kшi, kш в.м, kс – приведенные к центру пятна контакта шины с опорной поверхностью
(к колее) коэффициенты демпфирования подвесок и шин i-й оси, шин ведущего моста и сиденья; cпi, cшi, cш в.м и cс – приведенные к центру пятна контакта шины с опорной поверхностью (к колее) коэффициенты жесткости подвесок и шин i-й оси,
шин ведущего моста и сиденья; li – расстояние от центра масс подрессоренной части до i-й оси, причем значение li принимают положительным, если i-я ось расположена слева от центра масс подрессоренной части, в противном случае li имеет отрицательное значение; lб и lс – расстояние от центра масс подрессоренной части до оси качания О балансира и сиденья, знак
перед lб и lс принимают по аналогии с li; Lб – база балансирной тележки; i – номер оси; n – число осей, n = 1, 2, 3, …
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
57
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 18. Амплитудно-частотная (а) и фазочастотная (б) характеристики динамической системы I при кинематическом возмущении и относительном
коэффициенте затухания ?z , равном 0,5 (1); 0,1 (2) и 0,01 (3)
Необходимо отметить, что вблизи резонанса системы (? = ?z)
амплитудно-частотная характеристика
H zI12q1 (?) =
1
2? z
1 + 4? 2z .
Это позволяет достаточно легко по экспериментальному значению
H zI12 q1 (?) определить ?z или по ?z вычислить резонансную амплитуду.
I
Чтобы найти амплитудно-частотную характеристику H hzпq1 (?)
при выходном сигнале — деформация (прогиб) подвески hzп(t), и
при входном сигнале — возмущение q1(t), поступают следующим
образом. Поскольку выходной сигнал hzп(t) = q1(t) – z12(t), определяют передаточную функцию динамической системы I:
I
H hz
пq1 ( p ) =
H zп ( p )
Q1 ( p )
= 1 ? H zI12 q1 ( p ) =
m12 p
2
m12 p + kп1 p + cп1
где Hzп(p) — преобразование Лапласа hzп(t).
58
2
,
(16)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Подставляя в формулу (16) выражение (13) и вычисляя модуль
полученного соотношения при p = j?, находят амплитудно-частотную
характеристику:
I
H hz
пq1 (?) =
(? / ? z )
2 2
[1 ? (? / ? z ) ] +
2
2
2
4? z ( ? / ? z )
.
Тогда значение ?z при ? = ?z можно оценить по еще более
простой формуле:
?z =
1
2
I
H hzпq1 (?)
.
Таким образом, имея измеренную амплитудно-частотную харакI
I
теристику H z12q1 (?) или H hzпq1 (?) , можно определить параметры kп1 и cп1 динамической системы I. Для более сложных систем
эти параметры чаще всего будут приближенными.
При оценке виброизолирующих
свойств системы подрессори.
.
..
вания по виброскорости z12(t), h zп(t) или виброускорению z12(t) передаточные функции и соответствующие им амплитудно-частотные характеристики имеют вид
I
I
H zI12 q1 ( p ) = pH zI12q1 ( p ); H hz
пq1 ( p ) = pH hzпq1 ( p );
H zI12q1 ( p ) = p 2 H zI12 q1 ( p )
(17)
и
H zI12q1 (?) = ? H zI12q1 (?) ;
I
I
H hz
пq1 (?) = ? H hzпq1 (?) ;
H zI12 q1 (?) = ?2 H zI12 q1 (?) .
(18)
Обратим внимание на некоторые особенности колебаний рассматриваемых динамических систем и их виброизолирующих
свойств. Для этого сначала определим передаточные функции динамических систем II и III, используя соответствующие обобщенные координаты, при кинематическом возмущении q1(t). Для определения передаточных функций этих систем воспользуемся правилом Крамера. Для динамической системы II исходная система
дифференциальных уравнений движения после преобразований по
59
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Лапласу трансформируется в систему алгебраических линейных
неоднородных уравнений. Отыскав решение такой системы в соответствии с правилом Крамера, получим искомые передаточные
функции, описываемые следующими формулами:
для вектора передаточной функции, характеризующей перемещения масс динамической системы II,
II
H zq
1 ( p) =
? H zII1q1 ( p) ?
?(k p + cш1 )(m12 p 2 + kп1 p + cп1 ) ?
?
? = ?1?1 ? ш1
? , (19)
(kш1 p + cш1 )(kп1 p + cп1 )
?? H zII12q1 ( p) ??
?
?
где ?1 = ( m12 p 2 + k п1 p + cп1 )[ m1 p 2 + ( k ш1 + k п1 ) p + (cш1 + cп1 )] ?
? ( kп1 p + cп1 ) 2 ;
для вектора передаточной функции, характеризующей перемещения масс динамической системы III,
? H zIII1q1 ( p ) ?
?
?
III
III
?
?=
(
p
)
H
(
p
)
=
H zq
1
z12q1
? III
?
?? H zcq1 ( p ) ??
?{[ m12 p 2 + ( kп1 + kc ) p + (cп1 + cc )](mc p 2 + ?
?
?
?+ kc p + cc ) ? ( kc p + cc )2 }( kш1 p + cш1 )
?
?
?
= ? ?21 ? (kш1 p + cш1 )(kп1 p + cп1 )(mc p 2 + kc p + cc ) ? ,
??
??
(kш1 p + cш1 )(kп1 p + cп1 )(kc p + cc )
(20)
где ? 2 = [ m1 p 2 + ( kш1 + kп1 ) p + (cш1 + cп1 )][ m12 p 2 + ( kп1 + kc ) p +
+ (cп1 + cc )]( mc p 2 + kc p + cc ) ? [ m1 p 2 + ( kш1 + kп1 ) p + (cш1 + cп1 )] Ч
Ч ( kc p + cc ) 2 ? ( mc p 2 + kc p + cc )( kп1 p + cп1 ) 2 .
Из анализа выражений (19) и (20) следует, что если выходным
вибросигналом является виброперемещение, виброскорость или
виброускорение последней массы динамических систем II и III, а
входным сигналом — аналогичные по физическому смыслу переменные, характеризующие вибрацию предыдущей массы, то пере60
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
даточная функция, связывающая соответствующие вибросигналы,
описывается соотношением (13).
Проиллюстрируем этот вывод на примере динамической систе..
мы III, причем за выходной сигнал примем виброускорение z c(t), а
..
за входной — виброускорение z 12(t). Тогда, используя отношение
преобразований Лапласа p2Zc( p) и p2Z12(p) этих вибросигналов, получаем следующую передаточную функцию:
H zcz12 ( p ) = H zcz12 ( p) =
Zc ( p)
Z12 ( p )
=
Z c ( p ) / Q1 ( p )
Z12 ( p ) / Q1 ( p )
III
=
H zcq1 ( p )
III
,
H z12q1 ( p )
где Zc(p) — преобразование Лапласа zc(t).
Подставляя в полученную формулу выражения для H zIIIcq1 ( p ) и
III
H z12q1 ( p ), окончательно имеем
H zcz12 ( p) =
kc p + cc
mc p 2 + kc p + cc
.
Таким образом, независимо от того, какие одноименные вибросигналы измеряем, получаем передаточную функцию динамической системы I, для которой справедливы все сделанные ранее
выводы.
На рис. 19 кривые 1 и 2 характеристик H zII12 q1 (?) и H zIIIcq1 (?)
..
..
при выходных z 12(t), z c(t) и входном q1(t) сигналах имеют число
резонансных частот, соответствующее числу степеней свободы системы. Особое внимание необходимо обратить на виброизоляцию
сиденья (кривая 2), т. е. на ослабление возмущения в высокочастотной области по сравнению с динамической системой II (кривая 1).
Поэтому, снижая собственную частоту колебаний сиденья при определенном подборе коэффициента демпфирования, можно повысить его виброизоляцию. При значительном различии значений масс
mc и m12, если zc(t), q1(t) — выходной и входной вибросигналы соответственно, передаточную функцию динамической системы III
приближенно можно вычислить по формуле
H zIIIcq1 ( p ) ? H zII12q1 ( p) H zcq12 ( p ).
61
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 19. Амплитудно-частотные характеристики масс m12 и mс при измерении их виброускорений для различных расчетных схем:
1 – схема II; 2 – схема I I I; 3 – схема V при n = 2 и v = 80 км/ч
На рисунке видно, что существует различие между кривыми 3
и 2, которое может быть связано не только с усложнением самой
системы (сравниваются динамические системы V и III при выход..
ном z c(t) и входном q1(t) вибросигналах), но и с явлением неодновременности воздействия неровностей дорожной поверхности на
колеса различных осей КМ при ее движении.
Более подробно влияние неодновременности воздействия на изменения амплитудно-частотных характеристик рассмотрим на примере динамической системы IV. Упростим систему дифференциальных уравнений в этом случае, считая, что КМ симметрична относительно поперечной плоскости, проходящей через ее центр масс,
n
n
i =1
i =1
т. е. ? kпi li = 0 и ? cпi li = 0. Тогда
n
n
n
i =1
i =1
i =1
mпм z0 + z0 ? kпi + z0 ? cпi = ? (kпi qi + cпi qi );
n
n
n
i =1
i =1
i =1
0 + ? 0 ? kпi li2 + ?0 ? cпi li2 = ? ( kпi qi + cпi qi )li .
J y?
62
(21)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Следовательно, вертикальные колебания центра масс и продольно-угловые колебания относительно центра масс такой системы происходят независимо друг от друга. Эта динамическая система, как
и системы V и VI, моделирует объекты виброизоляции с n числом
входных сигналов, которое равно числу осей КМ. Рассматриваемые системы удается свести к системам с одним входным возмущением q1(t) на колеса i-й оси, поскольку это возмущение можно
представить в виде
qi(t) = q1(t – ?i),
где ?i — время запаздывания прохождения возмущения под i-й осью
относительно первой оси, ?i = (l1 – li)/v.
Учитывая это преобразование, запишем выражения для передаточных функций анализируемой системы:
n
H zIV0q1 ( p ) =
Z0 ( p)
Q1 ( p )
=
? (kпi p + cпi )e
??i p
n
n
i =1
i =1
i =1
n
H ?IV0q1 ( p) =
? 0 ( p)
Q1 ( p)
(22)
;
mпм p + ? kпi p + ? cпi
2
=
? ( kпi p + cпi )li e
??i p
i =1
n
Jy p + ?
2
i =1
2
kпi li p
n
+?
i =1
,
(23)
2
cпi li
где Z0( p), ?0(p) — преобразования Лапласа z0(t) и ?0(t); z0(t), ?0(t) —
выходные вибросигналы; q1(t) — входной вибросигнал.
При равенстве коэффициентов демпфирования и жесткости i-х
осей между собой, т. е. kпi = kп и cпi = cп, передаточные функции
(22) и (23) можно представить как передаточные функции динамической системы с одной степенью свободы и параметра неодновременности воздействия для вертикальных Kz0(p) и продольно-угловых K?0(p) колебаний. Получаем, что
H zIV0q1 ( p) =
( kп p + cп ) n
mпм p + ( kп p + cп ) n
K z 0 ( p) при K z 0 ( p ) =
1 n ??i p
?e ;
n i =1
63
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
n
H ?IV0q1 ( p ) =
n
( kп p + cп ) ? li2
i =1
2
K ?0 ( p) при K ?0 ( p ) =
n
J y p + (kп p + cп ) ?
i =1
? li e
n
?
li2
??i p
i =1
i =1
.
2
li
При переходе к амплитудно-частотным характеристикам системы параметры Kz0( p) и K?0(p) неодновременности воздействия
заменяют их модулями, которые называют коэффициентами
неодновременности воздействия. Согласно приведенным выше
формулам, эти коэффициенты для вертикальных и продольно-угловых колебаний соответственно равны:
2
K z 0 (?) =
?n
? ?n
?
sin
??
?
i ? + ? ? cos ??i ?
?
? i =1
? ? i =1
?
n
2
K ?0 (?) =
2
?n
? ?n
?
l
sin
??
i ? + ? ? li cos ??i ?
?? i
? i =1
? ? i =1
?
n
?
i =1
(24)
;
2
.
(25)
li2
Анализируя выражения (24) и (25), видим, что неодновременность воздействия (n-е количество входов) приводит к появлению
на графиках амплитудно-частотных характеристик системы максимумов, которые не относятся к резонансным явлениям. Такой вывод характерен также для более сложных динамических систем, причем степень изменения графиков амплитудно-частотных характеристик существенно зависит от скорости движения КМ (рис. 20).
Из уравнений движения динамической системы V как частный случай можно получить расчетные выражения для анализа
колебаний двухосной КМ, если принять n = 2. Для удобства оценки колебаний запишем эту систему уравнений в иной форме и
пренебрежем виброизолирующими свойствами сиденья. Для этого в качестве обобщенных координат подрессоренной части возьмем
64
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 20. Амплитудно-частотные характеристики масс m12 и mпм при измерении их виброускорений в точке установки сиденья для различных
расчетных схем:
1 – схема II ; 2, 3 – схема V при n = 2 и v = 40 и 80 км/ч соответственно
виброперемещения ее точек над передней z12(t) и задней z22(t) осями. Эти обобщенные координаты связаны с z0(t) и ?0(t) соотношениями
z0 =
z12 l2 + z22 l1
Lм
;
?0 =
z12 ? z22
Lм
,
(26)
где Lм — база K?, Lм = l1 + l2.
Далее заменяем в исходных уравнениях переменные и их производные на соответствующие новым обобщенным координатам (26)
величины. Для полученной таким образом системы уравнений выполним следующие преобразования. Умножим уравнение (V.2) (расчетная схема V) на l2 и сложим полученное выражение с уравнением (V.3). Затем умножим (V.2) на l1 и вычтем из него (V.3). Поскольку момент инерции J y = mпм?2y (?y — радиус инерции массы
подрессоренной части относительно поперечной оси Oy), в результате преобразований получаем:
65
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
m1
z1 + (kп1 + kш1 ) z1 + (cп1 + cш1 ) z1 ? kп1 z12 ? cп1 z12 = kш1q1 + cш1q1 ;
m2 z2 + ( kп2 + kш2 ) z2 + (cп2 + cш2 ) z2 ? kп2 z22 ? cп2 z22 = kш2 q2 + cш2 q2 ;
(27)
m12 z12 + kп1 z12 + cп1 z12 + m3 z22 ? kп1 z1 ? cп1 z1 = 0;
m22 z 22 + kп2 z22 + cп2 z22 + m3 z12 ? kп2 z2 ? cп2 z2 = 0,
где m12, m22, m3 — приведенные массы подрессоренной части КМ,
m12 = mпм
2
2
l2 + ? y
2
Lм
, m22 = mпм
2
2
l1 + ? y
2
Lм
, m3 = mпм
2
l1l2 ? ? y
2
,
Lм
причем m12 + m22 + 2m3 = mпм.
Влияние массы m3 на структуру уравнений (27) оценивают коэффициентом распределения масс подрессоренной части КМ
? y = ?2y (l1l2 ),
равным 0,8...1,1 для легковых и 0,7...1,2 — для грузовых КМ.
Если ?y = 1, то m3 = 0, а m12 = mпм l2 Lм и m22 = mпм l1 Lм .
В этом случае система уравнений (1.21) распадается на две системы. Уравнения с обобщенными координатами z12(t) и z1(t), соответствующие колебаниям передней части КМ, становятся не связанными с уравнениями для обобщенных координат z22(t) и z2(t), описывающими колебания задней части КМ. Следовательно, можно
рассматривать две независимые системы с двумя степенями свободы. Это обстоятельство существенно упрощает расчеты. Тогда приведенные массы m12 и m22 равны массе подрессоренной части неподвижной КМ, приходящейся на колеса передней и задней осей
соответственно. Аналогичные выводы можно сделать для динамической системы VI.
Контрольные вопросы
1. Какими характеристиками во временной и частотной областях оценивается идеальная физическая система?
66
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
2. Как оценить эффективность виброизоляции по амплитудно-частотной
характеристике динамической системы, эквивалентной подвеске КМ?
3. В чем состоит особенность рядной динамической системы?
4. Какими показателями определяется неодновременность воздействия
на колеса КМ?
5. Как влияет неодновременность воздействия на амплитудно-частотную характеристику динамической системы, эквивалентной подвеске КМ?
6. Каким показателем оценивается зависимость колебаний передней и
задней частей двухосной КМ?
67
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
6. НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА ПОДРЕССОРИВАНИЯ
Структура системы подрессоривания в большинстве случаев
содержит элементы с существенно нелинейными характеристиками. В табл. 6 приведены некоторые типовые нелинейные характеристики безынерционных элементов, используя которые можно моделировать трансформацию входного вибросигнала упругими и демпфирующими устройствами подвески, а также потерю контакта шины
с опорной поверхностью.
В практических задачах вибронагруженности КМ встречаются
однозначные дифференцируемые функции y = f(x) нелинейных элементов, например нагрузочная характеристика пневматического упругого элемента или кусочно-линейные нагрузочные характеристики (см. табл. 6), которые аппроксимируют полиномом n-й степени.
В этом случае, если на вход нелинейного элемента поступает вибросигнал x(t) = a0 + x0(t), нелинейная характеристика в пределах
изменения центрированного входного вибросигнала x0(t) = x(t) – a0
может быть заменена линейной. Линеаризация состоит в замене
нелинейной характеристики приближенной линеаризованной зависимостью, определяемой первыми членами разложения функции f(x)
в ряд Тейлора относительно центрированного входного вибросигнала, т. е.
y(t) ? f (a0) + f ?(a0)x(t).
Данная приближенная зависимость линейна относительно x0,
нелинейна относительно a0 и равноценна замене кривой y = f (x)
касательной к ней в точке a0. Степень точности этой зависимости
можно оценить по максимальному числу отброшенных членов при
разложении в ряд функции f(x).
Такой способ линеаризации нелинейностей неприменим к характеристикам, имеющим угловые точки и точки разрыва, и при
высоком уровне входного сигнала. В этих случаях применяют другие методы линеаризации: гармонической линеаризации при детерминированном периодическом входном вибросигнале x(t) или
68
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Таблица 6. Типовые нелинейные характеристики
устройств системы подрессоривания
Аналитическое описание
?cп1hzп + cп2 (hzп ? hzп1 )
? при h < h < ?;
zп1
zп
?
?cп1hzп
Pzп (hzп ) = ?
? при ? hzп2 < hzп < hzп1;
?cп1hzп + cп3 (hzп + hzп2 )
?
? при ?? < hzп < ?hzп2
?kп1hzп1 + kп3 (hzп ? hzп1 )
? при h < h < ?;
zп1
zп
?
?kп1hzп
?? при 0 < h < h ;
zп
zп1
Pzп а (hzп ) = ? k
h
п2
z
п
?
? при ? hzп2 < hzп < 0;
?
??kп2 hzп2 + kп4 (hzп + hzп2 )
?? при ?? < hzп < ?hzп2
Pzп т ( hzп ) = P0 sgn hzп
Шина (упругая)
Демпфирующее
устройство подвески
(амортизатор)
Нагрузочная
характеристика
Демпфирующее
устройство подвески (сухое трение)
Упругое устройство
подвески
Устройство
?cш1hzш
?? при ? h < h < ?;
zш1
zш
Pzш (hzш ) = ?
?cш1hzш1
?
?? при ? ? < hzш < ?hzш1
П р и м е ч а н и е. 1– 4 – участки характеристик; cпi, cшi, kпi – коэффициенты
жесткости и демпфирования на соответствующих участках нагрузочных характеристик (i = 1...4) (см. § 8); hzш1 – статический прогиб шины.
69
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
статистической линеаризации при случайном входном вибросигнале x(t).
Для большинства дорожных условий эксплуатации возмущение
является случайным кинематическим воздействием, поэтому расчет вибронагруженности машин с нелинейными характеристиками
подвески и шин целесообразно проводить, используя метод статистической линеаризации.
Основная идея метода статистической линеаризации состоит
в замене нелинейного элемента статистически эквивалентным линейным.
Безынерционный нелинейный элемент осуществляет преобразование случайного процесса x(t) на его входе в случайный процесс y(t) = f [(x(t )] на его выходе.
Случайные процессы на входе и выходе нелинейного элемента
можно представить следующим образом:
x (t); y(t) = m + ~
y (t),
x(t) = m + ~
x
y
где mx, my — математические ожидания случайных процессов на
входе и выходе нелинейного элемента; ~
x (t), ~
y (t) — центрированные
случайные процессы на входе и выходе нелинейного элемента.
Тогда исходную однозначную нелинейную характеристику f (x)
можно приближенно аппроксимировать линейной функцией, при
этом вибросигнал на выходе эквивалентного линейного элемента
примет вид
x (t),
(28)
yлин(t) = k0mx + k1~
где k0, k1 — коэффициенты статистической линеаризации.
Значения k0 и k1 необходимо выбирать таким образом, чтобы
случайный процесс yлин(t) был статистически эквивалентен случайному процессу y(t) на выходе исходного нелинейного элемента. Определив коэффициенты статистической линеаризации для исходной
нелинейной системы, можно проводить ее расчеты с использованием методов статистической динамики линейных систем.
В зависимости от критерия статистической эквивалентности различают два способа определения коэффициентов статистической линеаризации безынерционных стационарных нелинейных элементов.
Согласно первому способу, в качестве критерия статистической эквивалентности используют равенство математических ожиданий и дисперсий случайного процесса на выходе нелинейного
70
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
и линеаризованного элементов. Таким образом, коэффициенты статистической линеаризации определяют из следующих условий:
my = my лин, Dy = Dy лин,
где my лин — математическое ожидание случайного процесса yлин(t);
Dy, Dy лин — дисперсии случайных процессов y(t) и yлин(t).
Вычислив в соответствии с уравнением (28) my лин и Dy лин, запишем условие статистической эквивалентности в виде
my = k01mx,
2
Dy = k11
D x.
Отсюда находим
k01 =
my
mx
; k11 = ±
Dy
Dx
=±
?y
?x
,
где ?y и ?x — средние квадратические отклонения случайных процессов y(t) и x(t). Знак k11 следует выбирать в соответствии с характером изменения нелинейной функции f(x). Если в пределах возможных изменений x(t) функция y(t) является возрастающей или неубывающей, то принимается знак «+», а если убывающей, то знак «?».
Подставляя в последние формулы my и ?y, определенные с помощью плотности распределения w(x) случайного процесса x(t) на
входе в нелинейный элемент, получаем выражения для коэффициентов статистической линеаризации:
k01 =
1
?
?
mx ??
?
1 ?
?
(29)
f ( x) w( x ) dx;
1/2
??
k11 = ± ? ? [ f ( x) ? m y ] w( x) dx ?
?x ?
? ??
??
2
.
(30)
Согласно второму способу, критерий статистической эквивалент2
ошибки ?а
ности соответствует минимуму среднего квадрата ??a
аппроксимации исходной функции y(t) линейной зависимостью yлин(t):
{
}
? ?2a = m [ y(t ) ? yлин (t )]2 = min .
(31)
71
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Подставив в (31) выражение (28) при k0 = k02 и k1 = k12, получим
{
}
? ?2a = m [ y (t ) ? k02 mx ? k12 x (t )]2 = min,
или
2 2
2
mx + k12
Dx ? 2k02 mx m y ? 2k12 m( yx ) = min,
? ?2a = m( y 2 ) + k02
где m( yx ) — второй смешанный момент.
Значения коэффициентов k02 и k12, при которых выполняется
условие (31), найдем, приравняв к нулю частные производные целе2
вой функции ??a
по аргументам k02 и k12:
2
?? ?a
?k02
2
= 2k02 mx2 ? 2mx m y = 0;
?? ?a
?k12
= 2k12 Dx ? 2m( yx ) = 0.
(32)
Поскольку значения вторых частных производных по k02 и k12 по2
ложительные, т. е. целевая функция ??a
имеет минимум, из равенств
(32) находим
k02 =
my
mx
; k12 =
m( yx )
Dx
.
(33)
Следовательно, коэффициент k02 можно вычислить по формуле
(29), как k01. Выражение для определения k12 имеет вид
k12 =
1
?
?
Dx ??
f ( x)( x ? mx ) w( x) dx.
(34)
Согласно уравнениям (29), (30) и (34), коэффициенты статистической линеаризации зависят от плотности распределения w(x) входного процесса x(t), являющейся в общем случае неизвестной функцией. Обычно распределение случайной функции x(t) принимают
нормальным. Тогда
w( x) =
? ( x ? mx ) 2 ?
exp ? ?
?.
2
2? ? ? x
2? x ?
?
1
(35)
Отметим, что чем более инерционна система, тем больше распределение входного сигнала x(t) соответствует нормальному.
72
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Таким образом, нелинейный элемент приближенно можно заменить совокупностью двух линейных, коэффициенты передачи которых k0 и k1 зависят от параметров mx и ?x случайного процесса x(t).
Поскольку статистическая линеаризация является приближенным методом учета нелинейных характеристик элементов системы
подрессоривания, то при расчете вибронагруженности КМ следует
помнить о погрешностях при вычислении спектральной плотности
процесса по выходным переменным системы. Кроме того, при применении метода статистической линеаризации недостатком также
является необходимость преобразования исходных дифференциальных уравнений и приведения их к системе алгебраических уравнений, т. е. определение амплитудно-частотных характеристик системы. Важное преимущество метода по сравнению с методом имитационного моделирования заключается в возможности значительного
снижения (на несколько порядков) затрат машинного времени при
удовлетворительной точности определения статистических характеристик системы, что позволяет использовать его для автоматизированного проектирования.
Что касается предпочтительности использования способов определения коэффициентов статистической линеаризации, то первый
способ целесообразно применять в случае широкополосной динамической системы, а второй — узкополосной. Отметим, что узкополосность динамической системы является также достаточным условием обеспечения близости закона распределения x(t) на входе
нелинейного элемента к нормальному. Практически предлагаемые
динамические системы, эквивалентные подвеске машин, относятся
к узкополосным системам, и при их расчете можно применить второй способ статистической линеаризации.
Поэтому для определения эквивалентных параметров линеаризованной системы подрессоривания воспользуемся вторым способом статистической линеаризация. Вначале преобразуем выражения (29) и (34) с учетом (35) и определим не коэффициент k01, а
математическое ожидание my. Тогда для динамических систем (расчетные схемы I—VI), в которых упругие и демпфирующие устройства, в том числе и устройство с сухим трением, соединены между
собой параллельно, с учетом новых обозначений имеем:
для упругого устройства (или шины)
mPc =
?
? ( hz ? mhz ) 2 ?
P
(
h
)
exp
??
? dhz ;
z
z
?
2
2? ? ?hz ??
2?hz
?
?
1
(36)
73
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
cэкв =
?
? ( hz ? mhz ) 2 ?
P
(
h
)(
h
m
)
exp
?
??
? dhz ;
z
z
z
hz
?
2? ? ?3hz ??
2?2hz
?
?
1
(37)
для демпфирующего устройства (или шины)
mPk =
kэкв =
?
2
?
) exp ? ? hz
P
(
h
? z z ? 2?2
2? ? ? hz
??
?
hz
1
?
?
?? dhz ;
?
? 2
)h exp ? ? hz
P
(
h
? z z z ? 2?2
2? ? ?3hz
??
?
hz
1
?
?? dhz ,
?
(38)
(39)
где mPc, mPk — математические ожидания сил от упругого и демпфирующего устройств или шины; cэкв, kэкв — эквивалентные коэффициенты жесткости и демпфирования
упругого и демпфирующе.
го устройств или шины; hz и h z — деформация и скорость деформации упругого устройства или шины; mhz — математическое ожидание
деформации упругого устройства или шины; ?hz и ?h.z — средние
квадратические отклонения деформации и скорости деформации
упругого устройства или шины.
Для нахождения математического ожидания mhz деформации
упругого устройства или шины пользуются равенством нулю математического ожидания суммарной силы от подвески или шины:
mPп? = 0; mPш? = 0.
Физическая интерпретация этих выражений очевидна: если
mPп? ? 0, то со временем расстояние между массами подрессоренной и неподрессоренной частей КМ должно неограниченно увеличиваться. При mPш? ? 0 КМ со временем должна потерять контакт
с опорной поверхностью. Аналогично для математического ожидания mh.z можно записать:
mh.z = 0.
Из выражений (36)—(39) следует, что параметры линеаризации
для подвески или шины являются функциями mhz, ?hz, ?h.z, т. е.
mPc = mPc (mhz , ?hz ); cэкв = cэкв (mhz , ?hz );
mPk = mPk (?hz
); k экв = k экв (? hz
).
74
(40)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рассчитывая линеаризованную динамическую систему, находим для
подвески или шины
?hz = ?hz (cэкв , kэкв ); ? hz
= ? hz
(cэкв , k экв );
mhz = mhz (cэкв , kэкв , mPc , mPk ).
(41)
Объединяя выражения (36)—(39) и (41), получаем систему уравнений для нахождения cэкв, kэкв, mPc и mPk. Определив таким образом параметры линеаризации, можно оценить показатели вибронагруженности КМ как линейной динамической системы. Эти расчеты следует проводить отдельно для каждого эксплуатационного
режима движения КМ. Получить решение такой системы уравнений в аналитической форме удается лишь в исключительных случаях. Как правило, эту систему решают методом последовательных
приближений.
Используя выражения (36), (37), (38) и (39), определим параметры линеаризации для нагрузочных характеристик, приведенных в
табл. 5.
1. Упругое устройство подвески:
эквивалентный коэффициент жесткости
cэкв п = сп1 +
сп2 ?
? hzп1 ? mhzп ? ? сп3 ?
? hzп2 + mhzп ? ?
?? +
?? ;
?1 ? ? ?
?1 ? ? ?
2 ?
? 2 ? ?hzп ? ? 2 ?
? 2 ? ? hzп ? ?
математическое ожидание силы
mPcп = сп1mhzп + сп2
? (h ? m )2 ?
h ? mhzп
Ч
exp ? ? zп1 2 hzп ? ? сп2 zп1
2
2?
2? hzп
?
?
? hzп
? ( hzп2 + mhzп ) 2 ?
?
? h ? mhzп ? ?
? hzп
с
Ч ?1 ? ? ? zп1
?
exp
? ? п3
??
?+
2
2?
2? hzп
? 2 ? ? hzп ? ?
?
?
?
+ сп3
hzп2 + mhzп ?
2
? hzп2 + mhzп ? ?
?? .
?1 ? ? ?
? 2 ? ? hzп ? ?
?
75
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
2. Демпфирующее устройство подвески (амортизатор):
эквивалентный коэффициент демпфирования
kэкв п(а) =
kп3 + kп4
2
+
kп1 ? kп3
2
? hzп1
? ??
? 2 ? ? hz п
? kп2 ? kп4 ? hzп2
? ??
?? +
2
?
? 2 ? ? hz п
?
?? ;
?
математическое ожидание силы
mPk (а) =
? hz2п1 ?
?(kп1 ? kп2 ) + (kп3 ? kп1 ) exp ?? ? 2 ?? +
2? ??
? 2? hz п ?
? hz
п ?
? h 2 ??
+ (kп2 ? kп4 )exp ? ? zп2
+
? 2? 2 ??
??
?
hzп ??
+
( kп1 ? kп3 ) hzп1 ?
? hzп1 ?? (k п2 ? kп4 ) hzп2
??? ?
?1 ? ? ??
2
? 2 ? ? hz п ???
??
2
?
? hzп2 ??
??? .
?1 ? ? ??
? 2 ? ? hz п ???
??
3. Демпфирующее устройство подвески (сухое трение):
эквивалентный коэффициент демпфирования сухого трения
kэкв п(т) =
P0
2
? hz
п
?
;
математическое ожидание силы
mPk(т) = 0.
4. Шина (упругая):
эквивалентный коэффициент жесткости
cэкв ш =
сш1 ?
? hzш1 + mhzш ??
?? ;
?1 + ? ?
2 ?
? 2 ? ? hzш ??
математическое ожидание силы
mPcш =
76
сш1mhzш ?
2
? hzш1 + mhzш ?? сш1hzш1 ?
? hzш1 + mhzш ??
?? ?
?? +
?1 + ? ?
?1 ? ? ?
2
? 2 ? ? hzш ??
? 2 ? ? hzш ??
?
?
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
+
? (h + m ) 2 ?
exp ?? zш1 2 hzш ? .
2?
2? hzш
?
?
сш1? hzш
В приведенных формулах использован интеграл вероятностей
вида
u
2
?e
?
? (u ) =
?t 2
dt.
0
Если нагрузочные характеристики имеют более сложную форму, чем в табл. 5, то для получения коэффициентов статистической
линеаризации следует воспользоваться общими соотношениями
(36)—(39), аппроксимировав соответствующие характеристики с необходимой точностью.
Рассмотренные подходы к определению постоянных коэффициентов статистической линеаризации, заменяющих нелинейные функции, не отражают достаточно полно истинную физическую трансформацию случайного вибросигнала нелинейным элементом, так
как в этом случае изменяется только уровень выходного вибросигнала, причем спектральная характеристика имеет вид, соответствующий входному вибросигналу. В действительности случайный вибросигнал, имеющий определенную спектральную плотность на входе нелинейного элемента, изменяет ее на выходе как по уровню,
так и по частотному составу.
Для учета этой особенности преобразования входного случайного вибросигнала используется метод статистически эквивалентной
передаточной функции (частотной характеристики). В тех случаях,
когда рассматриваемая система имеет достаточно узкую полосу пропускания, этот способ дает возможность оценить постоянное эквивалентное усиление нелинейного элемента по случайной составляющей эквивалентным статистическим коэффициентом:
k13 =
где an — коэффициент, an =
1
1
?x
?
?
n =1
2
an
n
,
?
?
2?n !
??
f (? x ?) H n (?) ?(?)d?; ? =
x
?x
Hn(?) — ортогональные полиномы Чебышева—Эрмита; ? (?) = e ??
2
;
/2
.
77
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Ортогональные полиномы Чебышева—Эрмита Hn(?) определяют из соотношения
d n ? ( ?)
d?
n
= (?1)n H n (?)? (?).
Верхней оценкой для коэффициента k13 является коэффициент k11, нижней — k12, которые вычисляют согласно рассматриваемой аппроксимации:
k11 =
1
?x
?
? an2 ;
n =1
k12 =
a1
?x
.
Таким образом, значения эквивалентного статистического коэффициента находятся между значениями коэффициентов k11 и k12, вычисленными для той же нелинейности, а именно:
k12 < k13 < k11.
При этом эквивалентный статистический коэффициент
k03 = k01 = k02.
Контрольные вопросы
1. В чем состоит линеаризация нелинейной функции разложением в
ряд Тейлора?
2. В чем заключается идея метода статистической линеаризации безынерционных нелинейных элементов системы подрессоривания?
3. Перечислите критерии статистической эквивалентности, используемые при статистической линеаризации.
4. Какое условие необходимо при определении математического ожидания деформации упругого элемента и шины?
5. Какой способ статистической линеаризации применяется для учета
изменения частотного состава спектральной плотности при прохождении
случайного вибросигнала через нелинейный элемент?
78
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
7. РАСЧЕТ СИСТЕМЫ ПОДРЕССОРИВАНИЯ
В ЧАСТОТНОЙ И ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТЯХ
Основной задачей данного расчета является определение спектральной характеристики выходного вибросигнала, по которому
оценивают вибрационную безопасность человека или конструкции. Решая эту задачу в случае нелинейной динамической системы в частотной области, проводят статистическую линеаризацию
нелинейных элементов подвески, во временной области используют численные методы решения системы нелинейных дифференциальных уравнений.
Определим спектральную плотность выходного сигнала, характеризующего вибрационную безопасность двухосной КМ (см. рис. 17,
если n = m = 2), при случайном возмущении от дорожной поверхности.
Пусть таким вибросигналом будет вертикальное перемещение
z0(t) центра масс подрессоренной части КМ. Тогда система, эквивалентная подвеске, имеет четыре входа и один выход (рис. 21, а).
Как видно на рисунке, она состоит из четырех независимых трактов, являющихся линейными системами с заданными частотными
характеристиками Hi(?) (i = 1, 2, ..., 4). На входы системы поступают полностью определенные возмущения qi(t), которые преобразуются в один выходной процесс z0(t).
Считая, что дополнительные сигналы в виде шума помех отсутствуют, представим z0(t) как сумму ненаблюдаемых выходных
процессов zi(t):
4
z0 (t ) = ? zi (t ).
i =1
(42)
Выполнив для этого выражения преобразование Фурье на конечном интервале, имеем
4
Z 0 (?) = ? Z i (?).
i =1
79
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 21. Структурные схемы пространственной динамической системы,
эквивалентной подвеске двухосной КМ:
а – с четырьмя входными и одним выходным вибросигналами; б – с четырьмя
попарно коррелированными входными и одним выходным вибросигналами; в –
с двумя входными и одним выходным вибросигналами
Каждая функция Zi (?) удовлетворяет соотношению
Zi (?) = Hi (?)Qi (?).
Следовательно, для системы, изображенной на рис. 21, а, основное выражение в частотной области имеет вид
4
Z 0 (?) = ? H i (?)Qi (?).
i =1
Здесь Qi (?) и Z0(?) можно вычислить по исходным вибросигналам qi (t) и z0(t), используя следующие соотношения для преобразования Фурье на конечном интервале:
T
Qi (?) = ? qi (t ) e
0
80
T
? j?t
dt ;
Z 0 (?) = ? z0 (t ) e? j?t dt.
0
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
В случае двухосной КМ входные сигналы на переднее и заднее
колеса одной колеи связаны функциональной зависимостью, характеризующей запаздывание возмущения на вторую ось по отношению к первой. Это означает, что данные сигналы полностью коррелированы, а следовательно, должны существовать линейные системы с частотными характеристиками H5(?) и H6(?), связывающие
эти процессы (рис. 21, б).
Первый входной процесс q1(t), соответствующий возмущению
на переднее левое колесо, фактически поступает на выход zI(t) по
двум разным трактам — по прямому и через формирующий q3(t). В
этом случае преобразование q1(t) в zI(t) описывается одной частотной характеристикой HI(?):
HI(?) = H1(?) + H3(?) H5(?).
Аналогично происходит трансформация возмущения q2(t) в zII(t)
при его действии на переднее правое колесо:
HII(?) = H2(?) + H4(?) H6(?).
Таким образом, систему с четырьмя входами можно представить как систему с двумя входными процессами (рис. 21, в). Рассмотрим последнюю, учитывая, что входные процессы могут быть
коррелированы между собой. В этом случае имеем следующее соотношение в частотной области:
Z0(?) = HI(?) Q1(?) + HII(?)Q2(?).
(43)
Односторонняя спектральная плотность вибросигнала z0(t) определяется по формуле
Gz 0 (?) = lim
2
T ?? T
m ??Z0* (?) Z0 (?)?? ,
(44)
где Z*0(?) — функция, комплексно-сопряженная с Z0(?).
Выполнив преобразование (44) с учетом (43), имеем
Gz 0 (?) = H I (?) 2 Gq1q1 (?) + H I* (?) H II (?)Gq1q 2 (?) +
+ H I (?) H II* (?)Gq 2 q1 (?) + H II (?) 2 Gq 2 q 2 (?),
где Gq1q1(?), Gq2q2(?) и Gq1q2(?), Gq2q1(?) — односторонние спектральные и взаимные спектральные плотности возмущений q1(t) и q2(t).
81
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Известно, что Gq1q1(?) = Gq2q2(?) = Gqсг(?), мнимые части
Gq1q2Im(?) = Gq2q1Im(?) = 0, а действительные части Gq1q2Re(?) =
= G q2q1Re(?). Принимая во внимание равенство G q1q2(?) =
= Gq1q1(?)?(?), получаем
{
2
2
Gz 0 (?) = H I (?) + H II (?) +
}
+ ?? H I* (?) H II (?) + H I (?) H II* (?) ?? ?(?) Gqсг (?).
(45)
Таким образом, для вычисления Gz0(?) при известных ?(?) и
Gqсг(?) необходимо определить HI(?) и HII(?).
При решении задачи вибрационной безопасности во временной
области с последующим переходом в частотную для общего случая
колебаний КМ обычно следует выполнить три основные процедуры: формирование кинематического возмущения от дорожной поверхности, численное интегрирование дифференциальных уравнений движения динамической системы и спектральный анализ
полученной реализации контролируемой величины. Поскольку методы численного решения дифференциальных уравнений в большинстве случаев алгоритмизиров??нные и программно выполнены в виде стандартных блоков, остановимся на особенностях дискретного задания возмущения и цифровом спектральном анализе
вибросигналов.
Для стационарного нормального случайного процесса, каким
является возмущение от дорожной поверхности, в основе моделирующего алгоритма лежит линейное преобразование стационарной
последовательности x[n] независимых нормальных случайных чисел (дискретный белый шум) в последовательность ?[n], коррелированную по заданному закону. Оператор линейного преобразования можно записать в виде рекуррентного разностного уравнения:
?[ n] = a0 x[ n ] + a1 x[ n ? 1] + ... + al x[ n ? l ] ? b1?[ n ? 1] ? b2 ?[ n ? 2] ? ... ?
l
m
? bm ?[n ? m] = ? ak x[n ? k ] ? ? bk ?[n ? k ].
k =0
k =1
(46)
Следует отметить, что x[n] = x[n?t] и ?[n] = ?[n?t] — процессы
с дискретным временем tn = n?t, соответственно заменяющие про82
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
цессы x(t) и ?(t) с непрерывным временем t, где n — целочисленный аргумент; ?t — шаг дискретизации процесса; x(t) — случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью (белый шум).
Вид корреляционной функции случайного процесса, моделируемого с помощью приведенного алгоритма, определяется набором
коэффициентов ak, bk и их количеством. Данный алгоритм отличается простотой и позволяет формировать дискретные реализации
случайных процессов сколь угодно большой длины.
Начальные условия в рекуррентном уравнении (46), т. е. предыдущие значения последовательности ?[n] при вычислении ее первого значения, можно выбрать нулевыми. При этом будет иметь место некоторый переходный процесс, в результате которого начальный участок моделируемого процесса будет искаженным. Однако
после окончания переходного процесса последовательность ?[n] станет стационарной.
Параметры ak, bk в рекуррентных алгоритмах определяют на
этапе предварительной подготовки к моделированию.
Уравнение (46) описывает поведение некоторого дискретного
фильтра. Поэтому цифровое моделирование случайных процессов
с помощью рекуррентных разностных уравнений можно рассматривать как синтез линейного дискретного формирующего фильтра,
который преобразует дискретный белый шум в коррелированный
дискретный случайный процесс с заданными корреляционно-спектральными характеристиками. В случае моделирования многомерных случайных процессов необходим синтез соответствующих многомерных формирующих фильтров.
Рекуррентные алгоритмы вида (46) пригодны только для моделирования случайных процессов с рациональным спектром. Их применение наиболее эффективно, когда корреляционные функции моделируемых процессов имеют невысокий порядок (в этом случае
моделирующие алгоритмы очень просты и их параметры удается
выразить в явном виде через параметры корреляционных функций).
Такие стационарные случайные процессы имеют корреляционную
функцию R(?), преобразование Фурье которой является рациональной функцией, т. е. двухсторонняя спектральная плотность
?
S (?) =
?
??
R(?) e? j??d? =
S1 (?)
S 2 (?)
,
(47)
83
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
где S1(?), S2(?) — полиномы степени l и m соответственно, причем
m > l. Это свойство позволяет синтезировать формирующие фильтры для моделирования случайных процессов данного класса.
Случайные процессы с рациональной спектральной плотностью
наблюдаются на выходе линейных систем с постоянными сосредоточенными параметрами при воздействии на входе белого шума.
Частотная характеристика H(?) таких систем является дробно-рациональной функцией вида
H(?) = H1(?)/H2(?),
(48)
где H1(?), H2(?) — полиномы степени k и r соответственно при r > k.
При воздействии белого шума с единичной спектральной плотностью на систему с частотной характеристикой (48) на выходе системы будем иметь случайный процесс со спектральной плотностью
S (?) = H (?) 2 = H (?) H * (?) =
H1 (?) H1* (?)
H 2 (?) H 2* (?)
,
где H*(?), H*1(?), H*2(?) — комплексно-сопряженные к H(?), H1(?)
и H2(?) функции соответственно.
При моделировании случайных процессов с рациональной спектральной плотностью фильтр с частотной характеристикой (48) целесообразно взять в качестве формирующего, но для этого нужно,
зная дробно-рациональную спектральную плотность (47), найти его
частотную характеристику. Это можно сделать путем факторизации спектральной плотности S(?), т. е. разложения ее на множители вида
S (?) =
S1 (?)
S 2 (?)
=
H1 (?) H1* (?)
H 2 (?) H 2* (?)
.
(49)
Согласно рассмотренному методу, для моделирования возмущения от дорожной поверхности могут быть использованы
рекуррентные алгоритмы процессов с распространенными типами
корреляционных функций (табл. 7). Следует отметить, что для первых двух корреляционных функций их параметры были определены
в § 4. Для третьей функции параметры находят аппроксимацией
уже известных корреляционных функций. Причем случайный процесс, соответствующий третьей корреляционной функции, является
дифференцируемым и его целесообразно использовать при учете
84
cos ?v ?
+
*2
*1
?v
?v
2
2
? v [1 + (? + ?) ][1 + (? ? ?) ]
4?2q (1 + ?2 )
? v [1 + (? + ?) 2 ][1 + (? ? ?) 2 ]
2?2q (1 + ? 2 + ?2 )
? v (1 + ? 2 )
2?2q
Sq(?)*2
Выражение для
Моделирующий алгоритм
(?1 ±
?12 ? 4? 02
) 2;
? 0 = ?(?2 ? 1) cos ? 0 ; ?1 = 1 ? ?4 ;
)
? = e??1 ; ?1 = ? v ?t ; ? 0 = ?v ?t
(
2
? = ?1 ± ?12 ? 4? 02 2; ? 0 = ?(? ? 1) cos ? 0 +
+ (? v ?v ) (1 + ?2 )? sin ? 0 ; ?1 = 1 ? ?4 ? 4?2 (? v ?v ) sin ? 0 cos ? 0 ;
где a0 = ?q ?; a1 = ?q ?0 ? ; b1 = ?2? cos ? 0 ; b2 = ?2;
q[n] = a0 x[n] + a1 x[ n ? 1] ? b1q[n ? 1] ? b2 q[n ? 2],
? = e??1 ; ?1 = ? v ?t ; ? 0 = ?v ?t
?=
q[n] = a0 x[n] + a1 x[ n ? 1] ? b1q[n ? 1] ? b2 q[n ? 2],
где a0 = ?q ?; a1 = ?q ?0 ? ; b1 = ?2? cos ? 0 ; b2 = ?2;
где a0 = ? q 1 ? ? 2 ; b1 = ??; ? = e??1 ; ?1 = ? v ?t
q[n] = a0 x[n] ? b1q[n ? 1],
В соответствующих выражениях ?q = Dq ; ? v = ?1v; ?v = ?1v.
В соответствующих выражениях ? = ? ? v ; ? = ?v ? v .
?
sin ?v ? ?
?
?
?2q e ??v ? ? cos ?v ? +
?
?q2 e??v ?
?q2 e??v ?
Rq(?)*1
Таблица 7. Типовые корреляционные функции Rq(??)
и моделирующие алгоритмы возмущения от дорожной поверхности
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
85
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
демпфирования в шинах. Смоделированное таким образом возмущение может быть применено к оценке вибрационной безопасности КМ с помощью ранее приведенных расчетных схем I—VI динамических систем.
Для расчета во временной области пространственных колебаний КМ необходимо получить реализацию многомерного стационарного случайного процесса (в данном случае двумерного). Такой
случайный процесс определяется как совокупность двух стационарных и стационарно связанных между собой случайных процессов q1(t) и q2(t), характеризующих возмущение по соответствующему борту КМ. При описании возмущения от дорожной поверхности
двумерный непрерывный нормальный стационарный случайный процесс можно задать в виде матрицы спектральной плотности:
? S q q (?) S q1q2 (?) ?
Sqq (?) = ? 1 1
(50)
?.
? S q2 q1 (?) S q2 q2 (?) ?
Для решения данной задачи удобно применить синтез двумерного формирующего фильтра, представляющего собой линейную
динамическую систему с двумя входами и двумя выходами.
Можно считать, что при действии белого шума на входы этого
фильтра спектральная матрица (50) на его выходе связана с матрицей частотной характеристики Hqq(?) фильтра выражением
*т
(?).
Sqq (?) = H qq (?) H qq
(51)
Тогда матрица частотной характеристики формирующего фильтра
? H q q (?) H q1q2 (?) ?
H qq (?) = ? 1 1
?,
? H q2q1 (?) H q2q2 (?) ?
и связь между выходами и входами фильтра в операторной форме
можно записать так:
? q1 ( p ) ? ? H q1q1 ( p ) H q1q2 ( p ) ? ? x1 ( p ) ?
?? q2 ( p ) ?? = ? H q q ( p ) H q q ( p ) ? ?? x2 ( p ) ?? .
? 21
?
2 2
Следовательно, для получения двумерного случайного процесса с заданной спектральной матрицей необходимо пропустить дву86
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
мерный белый шум через двумерный формирующий фильтр, частотная характеристика которого удовлетворяет уравнению (51). Для
нахождения частотной характеристики по заданной спектральной
матрице используют процедуру факторизации.
Поскольку элементы матрицы (50) экспериментально полностью
не определены, примем следующее соотношение для моделирования двух случайных коррелированных между собой возмущений:
Sq2q2 (?) = ?(?) Sq1q1 (?),
где ?(?) — коэффициент корреляции, ?(?) = {1 + [ B?/ ( nv )]2 }?1.
Случайный процесс с Sq2q2 (?) в этом случае наблюдается на
выходе линейной системы с амплитудно-частотной характеристикой
2
?(?) = H ? (?) = H ? (?) H ?* (?),
где H?(?) — частотная характеристика линейной системы, или формирующего фильтра.
Таким образом, вновь приходим к задаче определения параметров фильтра и соответственно рекуррентного уравнения, моделирующего случайный процесс q2(t). Заметим, что здесь входным сигналом в фильтр является возмущение q1(t), рекуррентное разностное
уравнение для которого полностью определено по ранее рассмотренному алгоритму.
После факторизации ?(?) и замены k0 = nv/B частотная характеристика формирующего фильтра имеет вид
H ? (?) =
k0
k0 + j ?
.
Известно, что линейной системе с частотной характеристикой
H (?) =
a0 + a1 j?
b0 + b1 j ?
соответствует рекуррентное разностное уравнение, моделирующее
связь между дискретными выходным y[n] и входным x[n] сигналами системы, вида
87
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
y[n] =
1
B1
( A1 x[n] + A0 x[n ? 1] ? B0 y[n ? 1]) .
(52)
Коэффициенты Ai и Bi уравнения (52) определяются через коэффициенты ai и bi частотной характеристики H(?) из матричных соотношений
? A0 ?
? 0, 5?ta0 ?
?? A1 ?? = S1 ?? a1 ?? ,
? B0 ?
?0, 5?tb0 ?
?? B1 ?? = S1 ?? b1 ?? ,
1 ?1?
где S1 = ??
.
?1 1 ??
Следовательно, смоделировав случайное возмущение q1(t) с помощью рекуррентного разностного уравнения при сигнале «белый
шум» на входе формирующего фильтра (см. табл. 6), используя второй последовательный фильтр при входном сигнале q1(t), получим
рекуррентное уравнение для случайного возмущения q2(t):
q2 [n] =
1
B1
( A1q1[n] + A0 q1[n ? 1] ? B0 q2 [n ? 1]) ,
где B1 = 0,5?t k0 + 1; A1 = A0 = 0,5?t k0; B0 = 0,5?t k0 – 1;
При вычислении показателей вибрационной безопасности КМ,
а также тестовой оценки возмущения в качестве основной характеристики вибросигналов используют их спектральную плотность.
Анализируемые данные представляют собой дискретные по времени выборки стационарных случайных процессов. При этом спектральный анализ по исходным данным проводят цифровыми методами на основе быстрого преобразования Фурье. С практической
точки зрения представляет интерес точность вычисления оценок
спектральной плотности.
Точность оценки спектральной плотности определяется минимальной длиной обрабатываемой реализации Tmin и числом независимых усреднений m при заданной нормированной среднеквадратической ошибке ?:
Tmin =
88
2?
B??
2
; m=
1
?2
,
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
где B? — разрешение по частоте при оценке спектральной плотности,
B? = ??.
При дискретном временном параметре каждая реализация xi(t)
представлена N значениями временного ряда {xin} (n = 0, …, N – 1;
i = 1, …, m). При этом преобразование Фурье на конечном интервале
T
X i (?, T ) = ? xi (t ) e ? j?t dt
0
даст значение спектральной плотности на дискретных частотах:
?k =
2?k
T
=
2?k
N ?t
, k = 0, ..., N ? 1.
Тогда коэффициенты Фурье для каждого отрезка определяются
в виде
N ?1
j 2 ?kn ?
X i (?k ) = ?t ? xin exp ?? ?
?.
N ?
?
n=0
(53)
Оценка односторонней спектральной плотности принимает вид
G? xx (?k ) =
2
m
2
? X i (?k ) , k = 0, ..., N 2.
mN ?t i =1
Определенное формулой (53) преобразование Фурье на конечном интервале функции x(t) можно рассматривать как преобразование Фурье заданной на бесконечном интервале функции v(t), умноженной на прямоугольное временнуе окно u(t):
x(t) = v(t) u(t),
где u(t) = 1 при 0 ? t ? T и 0 — в остальных случаях.
При этом возможны сильные искажения спектральной оценки,
особенно заметные для узкополосных случайных процессов. Поэтому для улучшения оценки обычно используют временные окна,
сглаживающие исходную реализацию таким образом, чтобы подавить резкие вариации на ее начальном и конечном участках. Одно
из широко применяемых временных окон — косинусоидальное сглаживающее окно, называемое окном Ханна:
89
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
?1 ? cos 2 (?t T ) при 0 ? t ? T ;
uh (t ) = ?
в остальных случаях.
?0
Выражение (53) при этом принимает вид
X i (?k ) = ?t
8
N ?1
?
? xin ?1 ? cos2
3 n=0
?
?n ?
? j 2?kn ? .
? exp ? ?
?
N ?
?
N ?
Наряду с улучшением спектральных оценок временное сглаживание приводит к росту их изменчивости. Иными словами, ошибка
оценки спектральной плотности, примерно постоянной по частоте
и найденной при использовании окна Ханна, есть ? = 2 m , а не
? = 1 m , как было показано ранее.
Чтобы уменьшить рост изменчивости оценки в связи с временным сглаживанием, иногда используют прием анализа по перекрывающимся отрезкам реализации. При 50%-ном перекрытии отрезков это позволяет восстановить до 90 % устойчивости оценки, потерянной при временном сглаживании, но ведет к удвоению числа
операций, необходимых для построения оценки.
Контрольные вопросы
1. В чем состоит принцип преобразования динамической системы,
эквивалентной подвеске КМ, при математическом моделировании ее пространственных колебаний?
2. Какие характеристики возмущения и динамической системы используют для расчета спектральной плотности выходного вибросигнала?
3. Что представляет собой алгоритм математического моделирования
системы подрессоривания во временной области?
4. Какое условие устанавливается при определении частотной характеристики формирующего фильтра при учете корреляции двух случайных
возмущений?
5. В чем заключается цель применения сглаживающих временных окон?
6. По каким параметрам проводится оценка минимальной длины обрабатываемой реализации и числа независимых усреднений?
90
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
8. ПАРАМЕТРЫ И НАГРУЗОЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СИСТЕМЫ ПОДРЕССОРИВАНИЯ
8.1. Расчет параметров системы подрессоривания
На начальной стадии проектирования в качестве показателей
виброизолирующих свойств подвески, т. е. плавности хода, можно
использовать собственные частоты колебаний массы подрессоренной части КМ и относительные коэффициенты затухания. Тогда для
определения основных параметров подвески КМ представляют в
виде динамической системы с кинематическим возмущением (см.
расчетные схемы I, IV). Для расчетной схемы I соответствующее
уравнение движения при равенстве его правой части нулю имеет
следующий вид:
z12 + 4 ? ? z f z z12 + 4?2 f z2 z12 = 0,
(54)
где fz — собственная частота вертикальных колебаний массы подрессоренной части K?, fz = 0,5?z /?, Гц.
Задавая значения коэффициентов уравнения (54) и считая их
постоянными, находим искомые параметры подвески — коэффициенты жесткости упругого элемента и сопротивления амортизатора
одного узла подвески, приведенные к центру пятна контакта шины
с опорной поверхностью (приведенные коэффициенты).
Вначале определим приведенный коэффициент жесткости упругого элемента по формуле
cп = 2?2 f z2 m12 .
(55)
Далее рассчитаем приведенный коэффициент сопротивления амортизатора
kп = 2??z fz m12.
(56)
Для расчетной схемы IV воспользуемся системой уравнений (21),
рассматривая аналогично предыдущему случаю только свободные
91
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
колебания. При этом будем учитывать влияние параметров подвески на вертикальные и продольно-угловые колебания подрессоренной
массы. Считаем, что нагрузочные характеристики упругого и демпфирующего устройств подвесок линейны, а определяющие их коэффициенты являются постоянными и одинаковыми. Тогда для данной
системы справедливы следующие уравнения движения:
z0 + 4? ? z f z z0 + 4?2 f z2 z0 = 0;
(57)
0 + 4? ? ? f? ? 0 + 4?2 f?2 ?0 = 0,
?
где ?? и f? — относительный коэффициент затухания и собственная частота при продольно-угловых колебаниях массы подрессоренной части КМ.
Задавая значения коэффициентов уравнений (57), вычисляем искомые параметры подвески — коэффициенты жесткости упругого
элемента и сопротивления амортизатора одного узла подвески, приведенные к центру пятна контакта шины с опорной поверхностью
(приведенные коэффициенты). Сначала определяем приведенный
коэффициент жесткости упругого элемента. Из двух рассчитанных
по формулам
n
cпz = 2?2 f z2 mпм n , cп? = 2?2 f ?2 J y ? li2
i =1
значений находим среднее значение приведенного коэффициента
жесткости упругого элемента:
cп = 0,5(cпz + cп?).
Далее аналогично рассчитываем
n
kпz = 2? ? z f z mпм n , kп? = 2? ? ? f ? J y ? li2
i =1
и принимаем приведенный коэффициент сопротивления амортизатора kп равным наибольшему из вычисленных значений.
После окончательного выбора приведенного коэффициента жесткости упругого элемента подвески (корректировку cп проводим в
соответствии с развесовкой машины) определяем ее статический и
динамический прогибы (ходы):
hzп стат =
92
Pzп стат
cп
; hzп дин = kдин h hzп стат .
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Здесь Pzп стат — вертикальная статическая нагрузка на колесо от
массы подрессоренной части КМ; kдин h — коэффициент динамичности.
Для каждой конструктивной схемы направляющего устройства
находим коэффициенты жесткости упругого элемента суэ и сопротивления амортизатора kа в соответствии с приведенными коэффициентами жесткости cп и сопротивления kп.
Значения fz и f? выбираем из следующих диапазонов частот соответственно, Гц:
Легковая КМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,1...1,4
Грузовая КМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,3...1,7
КМ повышенной проходимости . . . . . . . . . . . . 1,7...2,4
Значения коэффициентов относительного затухания ?z и ?? назначаем из диапазона 0,2...0,3. Диапазоны значений собственных
частот колебаний и коэффициентов относительного затухания определены по экспериментальным оценкам этих показателей для различных систем подрессоривания КМ. Собственную частоту колебаний fz можно вычислить с помощью конструктивного параметра
подвески — ее статического прогиба hzп стат, так как принято, что
вертикальные и продольно-угловые колебания рассматриваемой системы являются независимыми. Преобразовав формулу для cпz, получим известное соотношение:
fz =
1
g
2?
hzп стат
,
где g — ускорение свободного падения.
Соотношения между значениями fz и hzп стат приведены ниже:
fz, Гц . . . . . . . 1
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
hzп стат, м . . . 0,248 0,173 0,127 0,097 0,077 0,062 0,051 0,043
8.2. Определение нагрузочной характеристики
упругого и демпфирующего устройств
На практике нагрузочную характеристику упругого устройства
подвески, в отличие от используемой в § 8.1, принимают в виде
нелинейной зависимости вертикальной нагрузки на колесо Pzп от
массы подрессоренной части КМ и прогиба подвески hzп, измерен93
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
ных в центре пятна контакта шины с опорной поверхностью
(рис. 22). Это связано с некоторыми условиями, одновременное выполнение которых несовместимо с линейным представлением характеристики. Действительно, чтобы нагрузочная характеристика
соответствовала заданной плавности хода, она должна пройти через точку A с координатами (hzп стат; Pzп стат), а во избежание ударов
в ограничитель хода она должна заканчиваться в точке A? (hzп дин;
Pzп дин), определяемой коэффициентами динамичности kдин h =
= hzп дин/hzп стат и kдин P = Pzп дин/Pzп стат. Значение kдин h принимают
равным единице, а kдин P выбирают из следующих интервалов:
Легковая КМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5...2,5
Грузовая КМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2,0...3,0
КМ повышенной проходимости . . . . . . . . . . . . . 2,0...2,5
Требуемый коэффициент динамичности kдин P можно получить
также при линейной нагрузочной характеристике OAA?, но при
этом динамический прогиб hzп дин = h?zп дин будет иметь значение
большее, чем соответствующее допускаемому kдин h, что трудно
осуществить конструктивно. Следовательно, нагрузочная харак-
Рис. 22. Нелинейная (1) и линейная (2) нагрузочные характеристики
упругого устройства подвески
94
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
теристика упругого устройства подвески без нижнего и верхнего
ограничителей хода (буферов) должна иметь вид кривой OAA?. При
использовании буфера отбоя характеристика OAA? незначительно
изменяется и принимает вид O?AA?, при этом несколько уменьшается динамический прогиб при отбое (до h?zп дин, см. рис. 22).
Для определения оптимальной формы нагрузочной характеристики OAA? необходимо учитывать, что при изменении полезной нагрузки КМ от минимального значения до максимального статическая нагрузка на колесо от массы подрессоренной части изменяется
в широких пределах: 10...60 % для легковых КМ и 250...400 % —
для грузовых.
Постоянную плавность хода можно обеспечить, сохраняя неизменным статический прогиб (собственную частоту). В этом случае
для произвольной точки M (рис. 23) имеем следующее равенство:
Pzп cп = hz?п = hzп стат ,
(58)
где cп = dPzп/dhzп — коэффициент жесткости упругого устройства
подвески в произвольной точке M кривой OAB.
Рис. 23. Расчетная схема оптимальной нагрузочной характеристики
упругого устройства подвески
95
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Приведем выражение (58) к виду dPzп/Pzп = dhzп/hzп стат. Решая
это уравнение при начальных условиях hzп = hzп стат и Pzп = Pzп стат,
получаем
? hzп ? hzп стат
Pzп (hzп ) = Pzпстат exp ?
? h
zп стат
?
?
?? .
?
(59)
Таким образом, нагрузочная характеристика, которая изменяется согласно закону показательной функции (59), при Pzп ? Pzп стат
обеспечивает постоянную собственную частоту колебаний для малых значений виброперемещений независимо от статической нагрузки.
Существуют различные способы получения нагрузочной характеристики оптимального вида. Например, используя пассивные дополнительные металлические и полимерные, основные пневматические и пневмогидравлические упругие элементы, а также особой конструкции подвески, удается получить близкую к заданной кривую.
Определим нагрузочные характеристики с дополнительными упругими элементами. Следует отметить, что дополнительные упругие
элементы по своему назначению могут служить в первом случае для
увеличения коэффициента динамичности kдин P (статическая нагрузка изменяется несущественно) и во втором — для корректировки нагрузочной характеристики при значительном превышении максиmin
мальной статической нагрузки Pzmax
п стат над минимальной Pzп стат .
Необходимость установки корректирующего дополнительного упругого элемента характеризуется условием
min
Pzmax
п стат ? Pzп стат ? cп hzп дин .
(60)
В первом случае дополнительный упругий элемент работает
сравнительно редко, поэтому его приведенный коэффициент жесткости значительно превышает приведенный коэффициент жесткости cп упругого устройства подвески в статическом положении. Тогда, используя выражение для коэффициента динамичности kдин P,
имеем (рис. 24)
kдин P =
96
Pzп дин
Pzп стат
=
Pzп стат + cп ( hzп дин ? hzп доп ) + (cп + cдоп ) hzп доп
Pzп стат
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 24. Нагрузочная характеристика упругого устройства подвески без
дополнительного корректирующего упругого элемента
и, учитывая, что
Pzп стат = cпh?zп стат,
получаем выражение для приведенного коэффициента жесткости
дополнительного упругого элемента:
cдоп = cп
hz?п стат ?
hzп доп
hzп дин ?
?? kдин P ? 1 ?
hz?п стат
?
?? ,
?
(61)
где hzп доп — прогиб дополнительного упругого элемента при ходе
сжатия (ограничителя хода сжатия) подвески, hzп доп = (0,2...0,4)hzп дин
для легковых КМ и hzп доп = (0,1... 0,2)hzп дин — для грузовых;
h?zп стат — эквивалентный статический прогиб, соответствующий собственной частоте fz колебаний (h?zп стат при нелинейной нагрузочной характеристике упругого устройства имеет тот же смысл, что и
ранее hzп стат при его линейной характеристике, т. е. характеризует
плавность хода, и не должен зависеть от изменения полезной нагрузки).
Приведенный коэффициент жесткости ограничителя хода отбоя
подвески определяем следующим образом:
? = Pz?п доп hz?п доп ,
cдоп
(62)
97
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
где Pzп
? доп — сила, при которой начинает деформироваться ограничитель хода отбоя; h?zп доп — прогиб ограничителя хода отбоя,
h?zп доп = (0,1...0,2)h?zп стат.
Статический прогиб h zп стат следует принимать равным
(0,4...0,7)h?zп стат для легковых КМ и (0,8... 0,9)h?zп стат — для грузовых.
Пример 1.1. Построить нагрузочную характеристику упругого устройства передней подвески легковой КМ, полагая, что основной и
дополнительный упругие элементы имеют постоянные приведенные
коэффициенты жесткости. Исходные данные: масса подрессоренной
части, приходящаяся на колесо передней оси, для КМ с минимальной нагрузкой Pzп стат1 — 315 кг (вариант 1) и для КМ с полной
нагрузкой Pzп стат2 — 340 кг (вариант 2).
Решение. 1. Определяем приведенный коэффициент жесткости
основного упругого элемента подвески для варианта 1 из условия,
что fz = 1,25 Гц и h?zп стат1 = 0,159 м:
cп =
Pzп стат1
hz?п стат1
, cп = 19, 4 кН/м.
2. Находим эквивалентный статический прогиб для варианта 2:
h?zп стат2 = 0,172 м, т. е. fz = 1,2 Гц.
3. Принимаем для варианта 1
hzп дин1 = hzп стат1 = 0,6h?zп стат1 = 0,095 м,
а для варианта 2
hzп дин2 = hzп дин1 ?
Pzп стат2 ? Pzп стат1
cп
= 0, 082 м.
Следовательно, принимаем hzп дин2 = hzп дин1 = 0,095 м.
4. Условие (60) установки дополнительно корректирующего упругого элемента не выполняется, поэтому определяем параметры
ограничителя хода сжатия подвески.
5. Вычисляем максимальную нагрузку, воспринимаемую упругим устройством, при kдин P = 2 в соответствии с вариантом 2:
Pzп дин = kдин P Pzп стат2, Pzп дин = 6,7 кН.
98
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
6. Определяем приведенный коэффициент жесткости ограничителя хода сжатия по формуле (61) при hzп доп = 0,3hzп дин2 = 0,029 м:
cдоп = cп
hzп дин2 ?
hz?п стат2 ?
?? kдин P ? 1 ?
? , cдоп = 51, 5 кН/м.
hzп доп ?
hz?п стат2 ??
7. Находим приведенный коэффициент жесткости ограничителя хода отбоя при h?zп доп = 0,1hzп стат1 = 0,01 м согласно формуле (62):
c?доп = 142,8 кН/м.
8. Вычисляем полный ход упругого устройства подвески:
hzп п = hzп стат1 + h?zп стат2 – h?zп стат1 + h?zп дин2, hzп п = 0,203 м.
Нагрузочная характеристика упругого устройства подвески, построенная по расчетным данным, приведена на рис. 25.
Рис. 25. Расчетная нагрузочная характеристика упругого устройства подвески без дополнительного корректирующего упругого элемента
99
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
В соответствии со вторым случаем дополнительный упругий
элемент начинает работать в интервале нагрузок от Pzmin
п стат до
Pzmax
.
Поэтому
его
приведенный
коэффициент
жесткости
не долп стат
жен быть значительным, чтобы статический прогиб подвески после
начала работы дополнительного упругого элемента не превышал
h?zп стат. Отметим, что чем раньше начинает работать дополнительный упругий элемент, тем меньше должен быть его приведенный
коэффициент жесткости, заметнее становится уменьшение hzп дин и
меньше значение kдин P. Следовательно, при начале работы дополнительного упругого элемента в указанном интервале нагрузок или
вблизи статического положения Pzmin
п стат редко удается сочетать хорошую плавность хода КМ и высокий коэффициент kдин P при заданном kдин h.
Исходя из условия сохранения плавности хода, получаем соотношение для определения приведенного коэффициента жесткости
дополнительного корректирующего упругого элемента:
cдоп к ?
min
Pzп доп к ? Pzп стат
hz?п стат
(63)
,
где Pzп доп к — нагрузка, при которой начинает деформироваться дополнительный корректирующий упругий элемент.
При этом дополнительный корректирующий упругий элемент
min
начинает работать при hzп доп к = hzmin
п стат + 0, 6hzп дин ( hzп стат — статический прогиб, соответствующий Pzmin
п стат ).
Кроме дополнительного корректирующего упругого элемента,
следует установить ограничители хода сжатия и отбоя, коэффициенты жесткости которых можно вычислить по формулам (61) и (62).
Если по рассчитанному согласно формуле (63) значению cдоп к
нельзя получить требуемый коэффициент kдин P, то для его вычисления следует использовать такое соотношение:
cдопк =
max
min
0, 5( Pzп стат + Pzп доп к ) ? Pzп стат
hz?п стат
.
(64)
Пример 1.2. Построить нагрузочную характеристику упругого устройства задней подвески грузовой КМ, полагая, что основной и дополнительные упругие элементы имеют постоянные приведенные ко100
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
эффициенты жесткости. Исходные данные: масса подрессоренной
части, приходящаяся на колесо задней оси, для КМ с минимальной
нагрузкой Pzп стат1 — 650 кг (вариант 1) и для КМ с полной нагрузкой Pzп стат2 — 3510 кг (вариант 2).
Решение. 1. Определяем приведенный коэффициент жесткости
основного упругого элемента подвески для варианта 1 из условия,
что fz = 1,6 Гц и h?zп стат1 = 0,097 м:
cп =
Pzп стат1
hz?п стат1
, cп = 66 кН/м.
2. Принимаем для варианта 1 kдин h = 1 и получаем
hzп дин1 = hzп стат1 = 0,9h?zп стат1; hzп дин1 = 0,087 м.
3. Условие (60) установки дополнительного корректирующего
упругого элемента выполняется. Определим параметры этого элемента.
4. Вычисляем прогиб и нагрузку основного упругого элемента в
момент начала деформирования дополнительного корректирующего
упругого элемента:
hzп доп к = hzп стат1 + 0,6hzп дин1, hzп доп к = 0,139 м;
Pzп доп к = (h?zп стат1 + 0,6hzп дин1)cп, Pzп доп к = 9,9 кН.
5. Определяем приведенный коэффициент жесткости дополнительного корректирующего упругого элемента в соответствии с условием (63):
cдопк1 =
Pzп доп к ? Pzп стат1
hz?п стат1
, cдоп к1 = 36,1 кН/м.
6. Вычисляем коэффициент динамичности k дин
? h для рассчитанного значения cдоп к1 на участке нагрузочной характеристики от Pzп
доп к до Pzп стат2:
? h=
kдин
Pzп стат2 ? Pzп доп к
Pzп доп к
? h = 2, 5.
, kдин
Коэффициент k дин
? h значительно превышает ранее принятый
kдин h , и, следовательно, высокий kдин P реализовать невозможно.
101
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
7. Рассчитываем приведенный коэффициент жесткости дополнительного корректирующего упругого элемента в соответствии с
соотношением (64):
cдопк2 =
0, 5( Pzп стат2 + Pzп доп к ) ? Pzп стат1
hz?п стат1
, cдоп к2 = 162, 4 кН/м.
8. Принимаем динамический прогиб hzп дин2 на участке работы
дополнительного корректирующего упругого элемента равным
hzп дин1 и определяем коэффициент динамичности:
kдин P =
Pzп стат2 + (cп + cдоп к2 )hzп дин2
Pzп стат2
, kдин P = 1, 6.
Полученное значение kдин P достаточно высокое, однако ниже рекомендуемого, поэтому необходимо установить ограничитель хода
сжатия.
9. Вычисляем приведенный коэффициент жесткости ограничителя хода сжатия из условия, что kдин P = 2 и hzп доп = 0,1hzп дин2:
cдоп =
( kдин P ? 1) Pzп стат2 ? 0, 9hzп дин2 (cп + cдоп к2 )
0,1hzп дин2
? cп ? cдоп к2 ,
cдоп = 1668, 2 кН/м.
10. Определяем приведенный коэффициент жесткости ограничителя хода отбоя при h?zп доп = 0,1hzп стат1 = 0,009 м согласно формуле (62):
c?доп = 137,1 кН/м.
11. Вычисляем полный прогиб упругого устройства подвески:
hz пп = hzп допк +
Pz п стат2 ? Pz п доп к
cп + cдоп к2
+ hzп дин2 , hzпп = 0,333 м.
Нагрузочная характеристика упругого устройства подвески, построенная по расчетным данным, приведена на рис. 26.
102
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 26. Расчетная нагрузочная характеристика упругого устройства подвески с дополнительным корректирующим упругим элементом
Следует еще раз обратить внимание на ряд обстоятельств.
1. Рассматриваемые в примерах нагрузочные характеристики
получены при использовании пассивных упругих элементов и приведены к колее. Следовательно, нагрузочную характеристику упругого элемента нужно определять с учетом передаточного отношения направляющего устройства подвески.
2. Представленные нагрузочные характеристики упругого устройства являются в действительности более гладкими функциями
на участках начала работы дополнительных упругих элементов.
3. Конструктивно возможно, используя только основной пневматический упругий элемент, при незначительном изменении полезной нагрузки получить нагрузочную характеристику упругого устройства, близкую к оптимальной. Иначе необходимо регулирование или управление его параметрами.
103
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
4. Параметры основного и дополнительных упругих элементов
следует определять раздельно, используя их нагрузочные характеристики.
Полученные нагрузочные характеристики можно корректировать
в процессе разработки конструкции подвески.
При эксплуатации КМ с переменной полезной нагрузкой и оптимальной нагрузочной характеристикой упругого устройства подвески
для обеспечения плавности хода необходимо изменять параметры демпфирующего устройства. Поскольку kп = 2? z Pzп стат 1 ( ghz?п стат ) зависит в этом случае только от статической нагрузки и исходная нагрузочная характеристика демпфирующего устройства кусочно-линейная, то достаточно изменить приведенные коэффициенты
сопротивления при ходах сжатия и отбоя пропорционально действующей статической нагрузке:
kп? сж-от = kп сж-от
Pz?п стат
min
,
Pzп стат
где k п? сж-от, kп сж-от — соответственно приведенные коэффициенты
сопротивления на ходах сжатия и отбоя при повышенной Pzп
? стат и
min
минимальной Pzп стат статической нагрузке, причем kп от > kп сж.
Контрольные вопросы
1. Какие характеристики динамической системы используются для
оценки основных параметров системы подрессоривания?
2. Назовите конструктивный параметр подвески, с которым связана частота колебаний консервативной динамической системы?
3. Какое условие используется для определения оптимальной нагрузочной характеристики подвески?
4. Что показывает условие установки корректирующего дополнительного упругого элемента?
5. Какой параметр динамической системы связан с эквивалентным статическим прогибом упругого устройства подвески?
6. Каким образом должны изменяться параметры демпфирующего устройства при оптимальной нагрузочной характеристике упругого устройства подвески?
104
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПЛАВНОСТИ ХОДА
КОЛЕСНОЙ МАШИНЫ И НАГРУЗОЧНЫХ РЕЖИМОВ
ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ ПОДРЕССОРИВАНИЯ
В зависимости от этапа проектирования КМ при оценке ее вибронагруженности выбирают соответствующую требуемой точности расчетов динамическую систему, эквивалентную системе подрессоривания. На первом этапе расчетов могут быть использованы
наиболее простые динамические системы II, III. С помощью динамической системы II можно моделировать колебания задней части
двухосной КМ или трехосной КМ с балансирной тележкой, а с помощью системы III — колебания передней части КМ с виброизоляцией сиденья. Далее динамическая система может усложняться.
Рассмотрим методику расчета вибронагруженности КМ, т. е. определения показателей плавности хода и нагрузочных режимов, с
использованием динамической системы II. Отметим, что предлагаемый порядок расчета является общим и не зависит от расчетной
схемы динамической системы.
1. Вычисление параметров динамической системы. По формулам (55) и (56) рассчитываем приведенные коэффициенты жесткости cп1 и демпфирования kп1 как основные параметры подвески.
Остальные параметры динамической системы считаем заданными
или оцениваем с использованием аналогичных параметров у прототипов проектируемой КМ.
2. Определение возмущения. В данном случае причина возмущения на систему — микропрофиль дорожной поверхности, основной характеристикой которого является его спектральная плотность
Gq1(?). Используя одно из аппроксимирующих выражений для спектральной плотности Gq1(?) и учитывая амплитудно-частотную характеристику |Hш(?)| сглаживающей способности шины, для скорости v движения КМ определяем спектральную плотность Gq1сг(?)
возмущения. Поскольку возмущение зависит от типа дорожной поверхности и скорости движения КМ, последующие пункты мето105
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
дики следует выполнять для каждого эксплуатационного режима,
т. е. для каждого типа дорожной поверхности при значениях v из
заданного интервала скоростей движения КМ.
II
3. Нахождение амплитудно-частотных характеристик | H hz
пq1 (?)|,
II
II
| H hz
пq1 (?)| и | H hzшq1 (?)|, где выходные сигналы соответствуют про.
гибу hzп(t) и скорости прогиба hzп(t) подвески и прогибу hzш(t) шины.
Эти характеристики можно получить, используя передаточные функции:
II
H hz
пq1 ( p ) =
II
H hz
пq1 ( p ) =
II
H hz
шq1 ( p ) =
H zп ( p )
Q1 ( p )
H zп ( p )
Q1 ( p )
=
Z1 ( p ) ? Z12 ( p )
Q1 ( p )
= H zII1q1 ( p ) ? H zII12 q1 ( p );
II
= pH hz
пq1 ( p );
H zш ( p)
Q1 ( p )
=
Q1 ( p ) ? Z1 ( p )
Q1 ( p )
= 1 ? H zII1q1 ( p ).
4. Расчет средних квадратических отклонений ?hzп прогиба и
?h.zп скорости прогиба подвески, ?hzш прогиба шины. Согласно соотношениям (12),
? hzп =
? hz
п =
1
2?
1
?в
?
2
II
H hz
пq1 (?) Gq1сг ( ?) d?;
(65)
0
?в
2? ?
2
II
H hz
пq1 (?) Gq1сг ( ?) d?;
(66)
0
? hzш =
1
?в
2? ?
2
II
H hz
шq1 (?) Gq1сг (?) d? ,
(67)
0
где ?в определяется степенью широкополосности возмущения и динамической системы.
106
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
5. Нахождение вероятности выхода упругого устройства на режим ограничителя хода, демпфирующего устройства (амортизатора) — на клапанный режим и вероятности потери контакта шины с
опорной поверхностью. Поскольку случайные процессы, характеризующие данные условия, имеют нормальный закон распределения, то вероятность возникновения указанных режимов можно оценить по следующим формулам:
?
? hzп1 ? ?
P {hzп > hzп1} = 0, 5 ?1 ? ? ?
?? ,
? 2 ? ? hzп ? ?
?
?
? hzп2 ? ?
P {hzп > hzп2 } = 0, 5 ?1 ? ? ?
?? ;
? 2 ? ? hzп ? ?
?
?
? hzп1
P {hzп > hzп1} = 0, 5 ?1 ? ? ?
??
? 2 ? ? hz п
??
?? ,
? ??
?
? hzп2 ? ?
P {hzп > hzп2 } = 0, 5 ?1 ? ? ?
???? ;
? 2 ? ? hz п ? ??
??
?
? hzш1 ? ?
P {hzш > hzш1} = 0, 5 ?1 ? ? ?
?? .
? 2 ? ? hzш ? ?
?
Если окажется, что вероятность какого-либо из данных событий превысит значение 0,05, то рассматриваемую динамическую
систему следует рассчитывать как нелинейную. В противном случае можно использовать линейную математическую модель системы.
6. Определение коэффициентов статистической линеаризации.
Предположим, что характеристики упругого и демпфирующего устройств являются нелинейными и происходит отрыв колеса от опорной поверхности; демпфированием при деформации шины пренебрегаем. При таких условиях система уравнений для определения
cэкв п, kэкв п(а) и cэкв ш будет иметь вид
107
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
сэкв п = сэкв п ( mhzп , ? hzп ); kэкв п(a) = kэкв п(a) (? hz
п );
сэкв ш = сэкв ш (mhzш , ? hzш ); mPсп (mhzп , ? hzп ) + mPk (а) (? hz
п ) = 0;
(68)
mPсш ( mhzш , ? hzш ) = 0; ? hzп = ? hzп (сэкв п , kэкв п(a) , сэкв ш );
? hz
п = ? hz
п (сэкв п , k экв п(a) , сэкв ш ); ? hzш = ? hzш (сэкв п , kэкв п(a) , сэкв ш ).
Средние квадратические отклонения ?hzп, ?h.zп и ?hzш определяем по формулам (65) — (67), причем амплитудно-частотные характеристики при этом являются функциями определяемых параметров cэкв п, kэкв п(а) и cэкв ш. Поскольку получить аналитическое
решение системы уравнений (68) в общем случае не удается, воспользуемся методом последовательных приближений. В качестве
первого приближения принимаем cэкв п и cэкв ш, соответствующие
статическим нагрузкам, а kэкв п(а) — как среднее значение коэффициентов сопротивления при ходах отбоя и сжатия. Расчеты начинаем с минимальной скорости движения при заданном типе дорожной поверхности, последовательно переходя к более высоким скоростям. При этом для каждой последующей скорости в качестве
первого приближения вычисляемых параметров выбираем значения последнего приближения для предыдущей скорости. Это позволяет сократить время решения системы уравнений.
7. Расчет октавного (третьоктавного) спектра средних квадратических отклонений оцениваемой (нормируемой) величины. Для
рассматриваемой динамической системы такой величиной являет..
ся виброускорение z 12(t) массы m12 подрессоренной части. Сначала
вычисляем спектральную плотность виброускорения по формуле
2
Gz12 (?) = ?4 H zII12 q1 (?) Gq1сг (?),
которая справедлива как для линейной, так и для линеаризованной
динамической системы. Тогда в i-й октавной (третьоктавной) полосе частот
? z12i =
1
2?
?вi
?
Gz12 ( ?) d? ,
(69)
?нi
где ?нi и ?вi — нижняя и верхняя граничные частоты октавной
(третьоктавной) полосы.
108
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
В табл. 1 и 2 частота выражена в герцах, поэтому граничные
частоты для октавных и третьоктавных полос будут определяться
соответственно следующими соотношениями:
f вi = 2 f нi ,
f цi =
fвi = 3 2 fнi , fцi =
f вi f нi ;
fвi fнi ,
где fцi — центральная частота i-й октавной (третьоктавной) полосы.
Пересчитываем частоты из герц в секунду в минус первой степени, проводим вычисления по формуле (69), относим полученные
значения ?z12i к частотам, выраженным в герцах. Определяя таким образом значения ? z12i и приписывая их fцi, получаем спектр
? z12 ( fц ) средних квадратических отклонений вертикального виброускорения. Этот спектр сравниваем со спектром нормативных
средних квадратических отклонений вертикального виброускорения,
т. е. проводим раздельно-частотную оценку плавности хода.
Алгоритм определения показателей вибрационной безопасности аналогичен и для случая оценки Gz12 (?) во временной области.
8. Определение корректированного среднего квадратического отклонения ? z12 . Согласно формуле (1) вычисляем
? z12 =
n
? (kzi ? z12i )2
i =1
и сравниваем полученное значение с нормативным.
9. Определение параметров нагрузочного режима. Эти параметры являются функциями моментов спектральной плотности mk. Тогда, например, для прогиба упругого устройства подвески имеем
mk =
1
?в
?
2? ?
k
2
II
H hz
пq1 (?) Gq1сг ( ?) d?, k = 0; 2; 4.
0
Зная mk, можно рассчитать параметры нагрузочного режима, которые необходимы для оценки усталостной долговечности элементов
подвески.
109
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Контрольные вопросы
1. Что включает в себя алгоритм расчета вибронагруженности КМ?
2. Каким образом оценивается возможность применения для расчета
вибрационной безопасности КМ линейной динамической системы?
3. В чем состоит принцип определения коэффициентов статистической линеаризации при расчете вибрационной безопасности КМ?
4. Какая связь существует между частотами, определяющими частотные полосы с относительной шириной?
5. Какие характеристики случайного процесса рассчитывают для оценки
параметров нагрузочного режима?
110
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
10. ОПТИМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПОДРЕССОРИВАНИЯ
Предположим, что в общем случае для оптимизируемой виброзащитной системы уравнения движения имеют вид
.
z = F(z, y, q, ?, t);
(70)
z(t0) = z0,
где z — вектор фазовых координат системы; y — вектор оптимизируемых параметров; q — вектор внешних возмущений; ? — вектор,
характеризующий случайные отклонения параметров системы; z0 —
вектор начальных условий.
Решение системы (70) будет следующим:
z ? z(z0, y, q, ?, t),
а целевая функция в случае выбора y для заданных z0, q, ? определяется выражением
t
I ( z0 , y , q , л ) = ? I1 ( z0 , y , q, л , t ) dt ,
0
где I1 — заданная скалярная функция. ? качестве I1 можно принять
любую величину, характеризующую вибронагруженность КМ.
При оптимизации параметров системы подрессоривания для всего класса случайных начальных условий z0, отклонений ? параметров системы и возмущений q следует принять целевую функцию
вида
Q( y ) =
??? G[ I ( z0 , y, q, л )]dл dq dz0
z?z0
q?q
л?л
и найти для нее оптимальное значение y* такое, что
Q( y* ) = min Q( y ),
y? y
111
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
–
где G, –z 0, q–, ? — соответственно заданные скалярная функция и
множества случайных начальных условий, возмущений и отклонений параметров системы; y– — допустимое множество оптимизируемых параметров.
Значения y* для различных критериев будут отличаться. Наиболее полным статистическим критерием при оптимизации параметров системы подрессоривания является максимум вероятности того,
что некоторые функционалы (виброускорение, динамические прогибы подвески и шин и т. д.) от вектора z фазовых координат, характеризующих плавность хода и устойчивость движения КМ, а
также вектор y оптимизируемых параметров находятся в заданной
(допустимой) области.
Введем характеристические функции выбросов виброускорения
? z , пробоев подвески ? hzпi и потери контакта шины с опорной поверхностью ?hzшi:
? z ( z , y, t ) = 0, 5[1 ? sign( z ? z? + ?1 )] ? 0, 5[1 + sign(z + z+ ? ?1 )];
?hzп i (hzп i , y, t ) = 0,5[1 + sign(hzп i ? hzп сж i ? ?2 )] Ч
Ч0,5[1 ? sign( hzп i ? hzп от i + ? 2 )];
?hzш i (hzш i , y, t ) = 0, 5[1 ? sign(hzш i ? hzш стат i + ?2 )],
где z? , z+ — заданные уровни отрицательного и положительного
виброускорения соответственно; hzп i, hzш i — динамические прогибы подвески и шины i-го колеса соответственно; hzп сж i, hzп от i —
допустимые динамические прогибы подвески i-го колеса соответственно на ходах сжатия и отбоя; hzш стат i — статический прогиб
шины i-го колеса; ?1, ?2 — бесконечно малые положительные величины; i = 1, 2, ..., n; n — число колес.
Составив характеристическую функцию
n
n
i =1
i =1
?( z , hzп i , hzш i , y, t ) = 1 ? ? z ? ? ai ? hzп i ? ? bi ? hzш i
(71)
и перейдя к ее математическому ожиданию, получим
n
n
i =1
i =1
m[?( z , hzп i , hzш i , y, t )] = 1 ? m[? z ] ? ? ai m[? hzп i ] ? ? bi m[?hzш i ].
112
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Поскольку в рассматриваемом случае математическое ожидание
совпадает с вероятностью нахождения соответствующих функционалов в допустимой области, имеем
n
P( y) = 1 ? Pz [ z < z? ? z > z+ ] ? ? ai Phzп i [ hzп i > hzп сж i ? hzп i < hzп от i ] ?
i =1
n
? ? bi Phzш i [ hzш i < hzш стат i ],
i =1
(72)
где ai, bi — весовые коэффициенты,
?? ai при Phzп i [ hzп i > hzп сж i ? hzп i < hzп от i ] > Phzп i ,
ai = ?
??0 при Phzп i [ hzп i > hzп сж i ? hzп i < hzп от i ] ? Phzп i ;
??bi при Phzш i [ hzш i < hzш стат i ] > Phzш i ,
bi = ?
??0 при Phzш i [ hzш i < hzш стат i ] ? Phzш i ;
Phzп i — допустимая вероятность пробоя подвески i-го колеса;
Phzш i — допустимая вероятность отрыва i-го колеса. Если пробой
подвески и отрыв колеса учитывается характеристиками упругого
устройства подвески и шины, то в выражении (71) ai = 0 и bi = 0.
Задачу частичного синтеза параметров подвески (вектора параметров y* ) по максимуму вероятности (72) сформулируем в виде
P ( y* ) = min[? P( y )].
y? y
При этом для каждой скорости КМ и каждого типа дорожной поверхности можно получить оптимальный вектор y*.
При оптимизации параметров подвески КМ практический интерес представляет определение вектора параметров подвески y*,
обеспечивающего максимальную скорость v движения КМ по дороге с заданными статистическими характеристиками, при котором
вероятности выбросов виброускорения, пробоя подвески и отрыва
колес не превышали бы заданных. В этом случае оптимизацию следует проводить по критерию
Q( y* , v ) = min[?v + P1 ( y, v )].
y? y
113
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Здесь
n
n
i =1
i =1
P1 ( y, v ) = cPz ( y, v ) + ? ai Phzп i ( y, v ) + ? bi Phzш i ( y, v );
c — весовой коэффициент,
z < z? ? z > z+ ] > Pz ,
?c при Pz [ c=?
z < z? ? z > z+ ] ? Pz ;
?0 при Pz [ Pz — допустимая вероятность выбросов виброускорения за уровни
z? , z+ .
Кроме того, для оптимизации параметров подвески можно использовать критерий
n
n
?
?
Q ( y* ) = min Q ( y ) = min ? Dz + ? ai Phzп i + ? bi Phzш i ? .
y? y
y? y ?
?
i =1
i =1
Часто необходимо оптимизировать не только параметры подвески, но и параметры сиденья водителя (вектор yс). Введем характеристическую функцию выбросов значений виброускорения на сиденье водителя zc за допустимые zc ? , zc + :
zc , yc , t ) = 0, 5[1 ? sign(
zc ? zc ? + ?1 )] ? 0, 5[1 + sign(zc + zc + ? ?1 )].
? zc ( Тогда в общем случае критерий оптимизации имеет вид
Q( y* , yc* ) = min Q( y, yc ).
y? y
yc ? yc
Здесь
n
n
i =1
i =1
Q( y, yc ) = ?v + cPz ( y, v ) + dPzc ( yc , v ) + ? ai Phzп i ( y, v ) + ? bi Phzш i ( y, v );
d — весовой коэффициент,
zc < zc? ? zc > zc+ ] > Pzc ,
? d при Pzc [
d =?
zc < zc? ? zc > zc+ ] ? Pzc ;
?0 при Pzc [
Pzc — допустимая вероятность выбросов виброускорения на сиденье водителя; yc , yc* — допустимое множество оптимальных пара114
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
метров и оптимальный вектор параметров подвески сиденья соответственно.
В частном случае оптимальные параметры сиденья выбирают для
фиксированных либо предварительно оптимизированных параметров подвески КМ. При таком подходе в качестве возмущения для
сиденья можно использовать предварительно записанную реализацию перемещений подрессоренной массы в точке его крепления.
В рассмотренных критериях учтены только вертикальные виброускорения. Однако эти критерии могут быть обобщены введением целевой функции вида
+ ...,
+ C?
Q( y) = Az + B?
где A, B, C — весовые коэффициенты, характеризующие вклад вида
колебания, совершаемого КМ в ее вибронагруженность.
и
, ?
Используя характеристические функции выбросов для ?
допустимые вероятности выбросов P? , P? , можно записать критерии оптимизации, аналогичные приведенным выше. Рассмотренная процедура оценки оптимальных параметров подвески основана на предположении, что ее структура (состав) однозначно определена.
Для получения оптимальной структуры системы подрессоривания в случае линейной динамической системы необходимо знать
соответствующие передаточные функции. Оптимальные передаточные функции являются характеристиками такой подвески, которая
обеспечивала бы наилучшую плавность хода в заданных дорожных условиях. Отметим, что наилучшая плавность хода — незаданная, поскольку подвеска с оптимальной передаточной функцией может не обеспечить снижение вибрации КМ до требуемого уровня,
если необходимо выполнить ограничения, наложенные на ее конструктивные параметры. При решении этой задачи принимаем следующие допущения и предпосылки:
качество системы подрессоривания оцениваем только в отношении плавности хода;
тип подвески, ее кинематическую схему, компоновку и т. д. не
устанавливаем;
упругие элементы подвески и шины деформируются в заданных пределах;
движение КМ осуществляется по дорогам с различной структурой.
115
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Для оценки плавности хода будем использовать один показатель, учитывающий все виды колебаний. Согласно второму допущению, ограничений на конструктивное исполнение подвески нет,
а значит, осуществляемое ею преобразование должно быть выполнимо, т. е. подвеска должна реагировать на известный микропрофиль дорожной поверхности. Если на КМ не установлено специальное устройство для измерения и оценки микропрофиля, то возмущение будет формироваться только микропрофилем пройденного
участка дороги. Конструктивные особенности КМ и условия ее эксплуатации накладывают на взаимные перемещения агрегатов и систем определенные ограничения, в том числе на прогибы подвески
и шин. Эти ограничения в данном случае учитываются показателями безопасности, для каждого из которых назначаем предельное
значение. Поскольку КМ эксплуатируется в различных условиях,
то очевидно, что характеристики оптимальной подвески будут зависеть не только от наложенных на нее ограничений, но также от
характеристик микропрофиля дорожной поверхности и скорости
движения КМ. Следовательно, для каждой дорожной поверхности
и каждой скорости будет своя оптимальная подвеска.
В общем случае для идеальной системы подрессоривания определение ее оптимальных передаточных функций состоит в нахождении физически осуществимого подвеской линейного преобразования H, при котором случайный процесс
z(t) = Hq(t)
обеспечивал бы минимум заданного показателя плавности хода f =
f [z(t)] при условии, что заданы векторы показателя безопасности
? и ограничения ?:
? = ?[z(t), zк(t), q(t)] ? ?,
где z(t), zк(t) — векторы перемещений подрессоренной и неподрессоренной масс КМ; q(t) — вектор возмущения от микропрофиля дорожной поверхности.
В данном случае решение заключается в нахождении минимума функционала вида
n
? = f + ? ?i ? i ,
i =1
где ?i — множители Лагранжа, получаемые из ограничений на показатели безопасности ?i.
116
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Показатель плавности хода представляет собой сумму дисперсий линейных преобразований обобщенных координат z(t) подрессоренной массы КМ:
l
{
}
2
f = ? m [ Ai zi (t ) ] ,
i =1
где Ai — оператор линейного преобразования; l — число обобщенных координат.
В качестве показателя безопасности принимаем дисперсии прогибов подвески и шин:
{
? п i = m ??hzп i (t )??
2
};
{
? ш i = m ??hzш i (t )??
2
}.
При решении этой задачи необходимо знать статистические характеристики микропрофиля дорожной поверхности. Эти характеристики задаем в виде двусторонних спектральных плотностей соответствующих эргодических случайных процессов — дробно-рациональных функций, полученных в результате аппроксимации
экспериментальных данных:
2
2
D
D
? +?
Sq1k (?) = ?? 12k + 24k ?? 2 12 ,
? ?
? ? ? + ?2
(73)
где D1k , D2k , ?1, ?2 — коэффициенты аппроксимации; k — натуральное число, соответствующее определенному типу дорожной поверхности.
Рассмотрим вертикальные колебания КМ с системой подрессоривания без упреждения, используя простейшую схему, эквивалентную подвеске (рис. 27, а). Переходя от общей задачи к частной, требуется найти такую передаточную функцию Hz12q1( p) по
абсолютным перемещениям z12(t) подрессоренной массы m12 КМ,
чтобы линейное преобразование H возмущения q1(t) давало минимальное значение дисперсии Dz12 вертикального виброускорения
z12 (t ) при обеспечении постоянного контакта шины с опорной поверхностью:
{
min m [z12 (t)]2
}
117
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 27. Схема динамической системы, эквивалентной системе подрессоривания без (а) и с упреждением (б) (СП – система подрессоривания;
ЛУ – локационное устройство)
при
{
}
? = m [q1 (t ) ? z12 (t )]2 ? ? и
z12(t) = Hq1(t),
т. е. определить минимум функционала
?1 = Dz12 + ?k ?.
Определим спектральную плотность возмущения от микропрофиля дорожной поверхности. Для этого разделим правую часть выражения (73) на v и примем
? = ?/v, ?1 = ?1/v и ?2 = ?2/v.
Тогда для спектральных плотностей
Sq11(?) = D11v?–2, Sq12(?) = D22v3?–4
при постоянной скорости движения КМ искомые передаточные
функции будут иметь вид
H z12q11 ( p) =
a2
2
p + a1 p + a2
, H z12q12 ( p ) =
a3 p + a4
2
p + a3 p + a4
,
где a1, …, a4 — коэффициенты, a1 = 2 ? ?1 , a2 = ?12 , a3 = 2 ? ?2 ,
a4 = ?22 ; ?1 = 0, 75 2 ? D11 v ? ; ?2 = v (0,125 2 ? D22 )1/3 ?1/3 .
При этом наименьшие дисперсии вертикального виброускорения соответственно будут следующие:
Dz121 =
118
(33
2
6
) D114 v 4
?3
, Dz122 =
(3
19/6
2
) ( D22 v 3 )
4/3
?1/3
.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Для спектральной плотности
Sq13 (?) = D13v
передаточная функция
H z12q13 ( p ) =
?2 + ?12
?4
a6 p + a7
3
p + a5 p 2 + a6 p + a7
,
где a5, a6, a7 — коэффициенты, определяемые аналогично полученным ранее.
Расчетная схема системы подрессоривания с упреждением показана на рис. 27, б. Как и в предыдущем случае, оцениваем только
вертикальные колебания массы m12, но при наличии локационного
устройства, формирующего сигнал упреждения w(t).
Принимаем показатель плавности хода прежним:
{
}
f = m [ z12 (t )]2 ,
а показатель безопасности, характеризующий прогиб подвески,
{
}
? упр = m [q1 (t ? ?) ? z12 (t )]2 ,
где ? — время упреждения, ? = l? /v; l? — отрезок пути, на котором
оно осуществляется.
Считая, что спектральная плотность возмущения имеет вид
Sq11(?) = D11v ?–2,
получаем выражение для оптимальной передаточной функции подвески при ? > 3/?упр:
H z12 q11упр ( p ) =
?4упр
p 4 + ?4упр
.
При условии, что критерий безопасности ?упр = ?, определяем
? упр = 0,1875 2 ? D11v ? ,
и минимальное значение дисперсии вертикальных виброускорений
119
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Dz121упр =
(33
14
2
) D114 v 4
?3
.
Сравнивая значения Dz121 и Dz121упр , приходим к выводу, что для
системы, имеющей устройство для измерения микропрофиля впереди движущейся КМ, при одинаковых допускаемых прогибах подвески дисперсия вертикального виброускорения подрессоренной массы
может быть в 256 раз меньше, чем при отсутствии такого устройства.
Если подвеска состоит из элементов, характеристики которых нелинейные, то применением системы упреждения можно добиться еще
большего снижения вибрации подрессоренной части КМ (рис. 28).
Зная оптимальную передаточную функцию подвески, можно установить ее технически реализуемую конструкцию. С этой целью
решают задачу синтеза схемы оптимальной системы подрессоривания, т. е. выбирают структуру, параметры и способ их технической реализации, при которых обеспечиваются оптимальные передаточные функции системы подрессоривания с использованием наиболее простых и надежных технических средств.
При проведении синтеза схемы подвески будем использовать
простейшую динамическую систему с возможными структурами на
пассивных элементах (табл. 8). Сопоставляя оптимальные передаточные функции с аналогичными характеристиками, приведенными в табл. 8, можно сделать вывод о возможности реализации оптимальной подвески на пассивных элементах. Следует помнить, что
Рис. 28. Зависимость отношения дисперсий виброускорения массы подрессоренной части КМ от времени упреждения:
1 – система подрессоривания с упреждением и линейными характеристиками ее
элементов; 2 – то же с нелинейными характеристиками
120
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
каждую включающую только пассивные элементы систему с определенной структурой можно использовать лишь для конкретных
дорожных условий. При этом параметры пассивных элементов необходимо корректировать в зависимости от скорости движения КМ.
Так, в случае компенсации статической нагрузки дополнительным
упругим устройством, имеющим малую жесткость, для снижения
Таблица 8. Расчетные схемы и передаточные функции
динамических систем
Расчетная схема
Передаточная функция
H z12 q1 ( p) =
b1 p + b2
2
p + b1 p + b2
, где b1 = k11/m12;
b2 = c11/m12
H z12 q1 ( p) =
b4
2
p + b3 p + b4
, где b3 = c12/k12;
b4 = c12/m12
H z12 q1 ( p) =
b6 p + b7
3
p + b5 p 2 + b6 p + b7
, где b5 = c13/k13;
b6 = (c03 + c13)/m12; b7 = c03c13/(k13m12)
H z12 q1 ( p ) =
b9 p + b10
3
p + b8 p 2 + b9 p + b10
, где b8 = (c04 +
+ c14)/k14; b9 = c04/m12; b10 = c04c14/(k14m12)
121
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
вибронагруженности подрессоренной массы при возмущении со спектральной плотностью Sq11(?) можно использовать вторую расчетную схему динамической системы. Тогда имеем
с12 k12 = 2 ? ?1; с12 m12 = ?12 ,
т. е. параметры динамической системы полностью определены.
Для возмущения, имеющего спектральную плотность Sq12(?),
используя в качестве эквивалентной первую динамическую систему, получаем
k11 m12 = 2 ? ?2 ;
с11 m12 = ?22 .
Если продолжить расчеты для этого варианта подвески при условии, что ее прогиб и виброускорение подрессоренной массы одновременно принимают предельно допустимые значения: ? = Dhzп2пред
и f = Dz122 пред , имеем
Dz122пред Dhzп2 пред = 3?42 .
Поскольку ?2 является собственной частотой ?z динамической системы с оптимальной передаточной функцией, то оптимальный статический прогиб подвески
hzопт
z122 пред ,
п стат = 3 ? g ? hzп2 пред ? где ?hzп2 пред, ? z122 пред — средние квадратические отклонения прогиба подвески и виброускорения подрессоренной части КМ.
Поступая аналогичным образом для динамической системы при
возмущающем воздействии с Sq13(?), приходим к заключению, что
оптимальная подвеска может быть построена на основе третьей или
четвертой расчетной схемы. При этом параметры пассивных элементов рассчитанной схемы однозначно определены.
Эффективность виброзащиты, близкую к оптимальной подвеске с
упреждением, может обеспечить подвеска с передаточной функцией
H z12q11? ( p ) =
a2 e
p?
2
p + a1 p + a2
,
которую можно представить как Hz12q11(p) при условии, что реакция системы происходит на время ? раньше. Тогда показатель плавности хода f? остается прежним, а показатель безопасности имеет
вид
122
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
{
}
? ? = m [(1 ? H ? ) q1 (t ) ] ,
2
где H? — линейное преобразование возмущения q1(t), соответствующее Hz12q11?(p).
Минимум f? (наилучшая плавность хода) обеспечивается при
? = 2 ?? . Вводя ограничение на показатель безопасности ?? = ?
для множителя Лагранжа и показателя плавности хода, получаем
?? ? 0,146 2 ? D11 v ?;
4 4
Dz121? ? (33 213 ) D11
v ?3 .
Следовательно, подвеска с передаточной функцией Hz12q11?( p) может повысить плавность хода КМ, снижая уровень виброускорения
z12 (t ) примерно в 136 раз. Это достаточно близко к предельно достижимому снижению вибронагруженности подрессоренной части
КМ. Подобные результаты можно получить и для более сложных
динамических систем.
Таким образом, используя простейшие схемы подвески, можно
реализовать оптимальную систему подрессоривания для определенных микропрофиля дорожной поверхности и скорости движения КМ.
Причем, при переходе от одних к другим условиям эксплуатации необходимо управлять подвеской.
Контрольные вопросы
1. Перечислите критерии, используемые при оптимизации параметров
подвески.
2. Каким образом в целевой функции можно учесть все виды колебаний КМ?
3. Какие допущения устанавливаются при определении оптимальной
передаточной функции?
4. Какие показатели входят в выражение минимизируемого функционала при оценке оптимальной передаточной функции?
5. От значений каких величин зависит минимальное значение анализируемого виброускорения при оптимальной передаточной функции подвески?
6. Как влияет упреждение на показатели оценки вибронагруженности
КМ?
7. В чем заключается синтез схемы подвески с оптимальной передаточной функцией?
123
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
11. АВТОМАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ПОДРЕССОРИВАНИЯ
В настоящее время автоматические регулируемые и управляемые системы подрессоривания используют для различных целей,
в том числе для стабилизации положения кузова; повышения плавности хода, управляемости и устойчивости КМ; улучшения ее аэродинамических характеристик. При этом, например, положение кузова изменяется не только по сигналам, поступающим с датчика
высоты кузова, но и с учетом сигналов, вырабатываемых другими
датчиками (скорости движения, скорости поворота рулевого колеса, виброускорений кузова и т. д.). Автоматические системы подрессоривания подразделяют на системы со статическим и динамическим регулированием. В первом случае изменяются параметры упругого и демпфирующего элементов подвески в зависимости
от статической нагрузки, во втором — происходит непрерывное изменение характеристик этих устройств и тогда системы подразделяют на полуактивные и активные.
Для грузовых КМ регулирование положения кузова необходимо прежде всего, чтобы обеспечить получение семейства оптимальных нагрузочных характеристик упругого устройства подвески при
изменении статической нагрузки в широком диапазоне. Это связано с тем, что при использовании в подвеске пассивных упругих
элементов не удается добиться высокой плавности хода при заданных коэффициентах динамичности kдинP и kдинh. Обычно для статического регулирования положения кузова используют системы
подрессоривания с пневматическими или пневмогидравлическими
упругими элементами.
Применение пневматических и пневмогидравлических упругих
элементов расширяет возможности изменения коэффициента жесткости подвески и получения семейства ее нагрузочных характеристик, но, как правило, не обеспечивает постоянство собственной частоты колебаний.
На рис. 29 приведена схема регулируемой подвески с пневматическим элементом баллонного типа. Постоянства статического
124
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
прогиба и высоты кузова КМ при переменной статической нагрузке на подвеску можно достичь надлежащим выбором объема дополнительного резервуара 4 и изменением внутреннего давления в
баллоне 5. Регулятор постоянства высоты кузова 3 при изменении
прогиба подвески или подает сжатый воздух из ресивера 1 в дополнительный резервуар 4 и баллон 5, или выпускает из них часть
сжатого воздуха в атмосферу. В регуляторе имеется устройство, которое отключает его при колебаниях КМ.
При оптимальной нагрузочной характеристике упругого устройства подвески коэффициент сопротивления демпфирующего устройства kп зависит только от статической нагрузки Pzп стат, причем
линейно.
На рис. 30 показана схема регулирования силы амортизатора на
ходе сжатия и отбоя при изменении полезной нагрузки. Сила, дей-
Рис. 29. Схема регулируемой
подвески с пневматическим
упругим элементом:
1 – ресивер; 2 – кузов (рама); 3 – регулятор постоянства высоты кузова;
4 – дополнительный резервуар; 5 –
пневматический упругий элемент
(баллон); 6 – ведущий мост (колесо)
Рис. 30. Схема регулируемого амортизатора:
1 – камера; 2 – дроссель; 3 – резиновая
мембрана; 4 – опорная тарелка; 5 – пружина; 6 – штанга; 7 – регулирующий поршень; 8 – калиброванное отверстие; 9 –
поршень; 10 – клапан; 11 – корпус
125
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
ствующая на шток амортизатора, определяется площадью проходного сечения калиброванного отверстия 8, которая зависит от положения регулирующего поршня 7. Перемещение поршня 7 возможно
с помощью пневматического или гидравлического привода либо тросика. Дроссель 2 сглаживает пульсации давления, если камера 1 соединена с пневматическим упругим элементом.
Приведенные схемы поддержания постоянства высоты кузова
являются стабилизирующими системами со статическим регулированием, обеспечивающим близкие к оптимальным нагрузочные
характеристики упругого и демпфирующего устройств подвески.
В этом случае проектирование систем подрессоривания базируется на статистических данных о показателях плавности хода fz и ?z,
характеризующих систему подрессоривания как таковую. Поэтому
для учета возмущения и определения нормируемых показателей плавности хода необходимо провести их расчет (см. § 9). Если вычисленные значения превысят нормативные, следует скорректировать параметры исходной динамической системы (определить их оптимальные значения). Однако даже при этом не удается значительно
повысить плавность хода, поскольку для различных дорожных условий и скоростей движения КМ оптимальные параметры системы подрессоривания будут отличаться. В связи с этим для улучшения эксплутационных качеств КМ предлагается использовать управляемые
системы подрессоривания.
В общем случае управляемая идеальная система подрессоривания при ее возмущенном движении характеризуется следующими
уравнениями:
.
(74)
x = Ax + Bu + Gq; x(t0) = x0 при t0 = 0; y = Cx,
где x, u, q, y — векторы состояния, управления, возмущения и выходной соответственно; A, B, G, C — матрицы состояния, управления, возмущения и выхода размером (nЧn), (nЧm), (nЧk) и (lЧn); x0 —
вектор начальных условий.
Для данной системы определим оптимальный вектор управления. Решение задачи сводится к отысканию матрицы kрег размером
(nЧm) регулятора, уравнение которого имеет вид
u = –kрег x.
(75)
Причем матрица kрег должна быть такой, чтобы при асимптотически устойчивых движениях системы, возмущенных произвольными
начальными условиями x0, функционал
126
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
?
I = ? ( x т Qx + u т Ru ) dt ,
(76)
0
являющийся квадратичным критерием качества регулирования, имел
минимум. Здесь Q, R — положительно определенные симметричные матрицы размером (nЧn) и (nЧm) соответственно. Тогда
kрег = R–1BтP,
(77)
где P — положительно определенная симметричная матрица (nЧn).
Матрица kрег является решением уравнения Риккати:
PA + AтP – PBR–1 BтP + Q = 0.
(78)
Для элементарной системы виброзащиты (рис. 31, а), у которой
регулируется сила, действующая на массу m12,
(79)
P = m12 z12 ,
имеем
?z ? q ?
?0 1 ?
x = ? 12 1 ? ; u = P; q = q1 ; A = ?
;
z
? 0 0 ??
? 12 ?
? 0 ?
?1
1 0?
B = ? ?1 ? ; G = ?? ?? ; C = ??
.
?0?
? 0 1 ??
? m12 ?
Примем для данного случая за критерий качества функционал
?
I = ?(
0
?
hz2п
+ ?P
2
) dt = ? ( hz2п + ?m122 z122 ) dt ,
0
где hzп(t) = z12(t ) – q1(t); ? — множитель Лагранжа.
Данное выражение получено из уравнения (76) при условии,
1 0?
что Q = ??
, а R = ?. Тогда, решая уравнение (78), находим
? 0 0 ??
1/2 1/4
? 2 ? m12
?
P=?
1/2
? m12?
?
3/2 3/4 ?
? ?
2 ? m12
m12 ?1/2
127
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 31. Схемы одномассовой динамической системы, эквивалентной
управляемой подвеске (а) и подвеске с инерциальным демпфером (б)
и согласно (77)
kрег = ????1/2
1/2 ?1/4 ?
2 ? m12
?
?.
(80)
Подставляя выражение (80) в (75), получаем
1/2 ?1/4
u = P = ???1/2 hzп ? 2 ? m12
z12 .
?
(81)
С учетом (81) уравнение (79) принимает вид
z12 +
2
1/2 1/4
m12
?
z12 +
1
1/2
m12?
z12 =
1
m12?1/2
q1.
(82)
Сравнивая коэффициенты в левых частях уравнений (54) и (82), получаем
z12 + 2? z ? z z12 + ?2z z12 = ?2z q1 ,
(83)
где
?z = 1
1/2 1/4
? ).
2 ; ?z = 1 (m12
Уравнение (83) соответствует приведенной на рис. 31, б динамической системе с пассивными демпфирующим и упругим элементами, которая реализует оптимальное управление.
Параметры этих элементов
1/2 ?1/8
kпs = 2 ? m12
? ; cп1 = ??1/2 ,
а передаточная функция такой динамической системы имеет вид
H z12q1 ( p ) =
128
cп1
2
m12 p + kпs p + cп1
.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Как видно на рис. 32, эффективность оптимальной виброизоляции в данном случае определяется областью зарезонансных частот
динамической системы.
Рис. 32. Амплитудно-частотные характеристики при выходном сигнале —
виброускорение (а) и сила в пятне контакта шины с опорной поверхностью (б) — традиционной (1) и с инерциальным демпфером (2) одномассовой динамической системы
На практике создать систему с такой структурой в конструкции подвески КМ не удается. Поэтому предлагаются различные
алгоритмы управления демпфированием в системе подрессоривания, позволяющие ввести обратную связь по скорости подрессоренной массы, — так называемый инерциальный демпфер. Расчетная схема такой системы приведена на рис. 33, а.
Следует отметить, что так как демпфирующее устройство, в данном случае амортизатор, не имеет внешнего источника энергии, то
сила на подрессоренную массу может создаваться только в первом
и третьем квадрантах его нагрузочной характеристики. Следовательно, такой демпфер является полуактивным исполнительным устройством.
Рассмотрим изменение силовых факторов: силы инерции Pин,
сил упругого Pzп и демпфирующего Pa (Pzп a) устройств подвески,
а также силы инерциального демпфера Pаs (Pzп аs) в стационарном
процессе колебаний одномассовой динамической системы при гармоническом возмущении (рис. 33, б). Для случая использования об.
ратной связи по скорости z 12 целесообразно сделать так, чтобы сила
Pа при колебаниях имела тот же знак, что и сила Pаs. В этом случае
129
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 33. Схема одномассовой динамической системы с управляемым амортизатором (а) и изменение сил в стационарном режиме ее колебаний (б)
мощность от силы, создаваемой амортизатором, должна быть положительной:
.
.
Pа(z 12 – q 1) > 0,
.
где Pа = kпs z 12.
Поскольку демпфирующее устройство не имеет внешнего ис.
.
.
точника энергии, то сила Pа > 0 или Pа < 0 при z 12 (z 12 – q 1) > 0 и
.
.
.
Pа = 0, когда z 12 и (z 12 – q 1) имеют противоположные знаки. Тогда
закон управления по абсолютной скорости полуактивным исполнительным устройством имеет вид
Pa =
{
kпs z12 при z12 ( z12 ? q1 ) > 0;
0
при z12 ( z12 ? q1 ) ? 0.
Возможны также и другие законы управления демпфирующим
устройством, например по относительной скорости или относительным перемещениям:
k ( z ? q ) при ( z12 ? q1 )( z12 ? q1 ) < 0;
Pa = пs 12 1
0
при ( z12 ? q1 )( z12 ? q1 ) ? 0
или
?cп1 ( z12 ? q1 ) при ( z12 ? q1 )( z12 ? q1 ) < 0;
Pa =
0
при ( z12 ? q1 )( z12 ? q1 ) ? 0.
{
{
130
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Синтез этих законов основан на следующих соотношениях для
различных фаз колебаний динамической системы (см. рис. 33, б):
z12
? Pzп + Pa
?? m
12
=?
P
? zп ? Pa
?? m12
T
T
3T
при t ? ?? t0 ; t0 + ?? ? ?? t0 + ; t0 + ?? ;
?
4? ?
2
4 ?
T
T
3T
при t ? ?? t0 + ; t0 + ?? ? ?? t0 + ; t0 + T ?? .
?
?
4
2? ?
4
Очевидно, что в первом случае, когда ( z12 ? q1 )( z12 ? q1 ) > 0, сила
от амортизатора способствует увеличению ускорения массы, а во
втором случае, когда ( z12 ? q1 )( z12 ? q1 ) < 0, — его снижению, т. е.
целесообразно при полуактивной системе виброизоляции в первом
.
.
случае принимать Pа = 0, а во втором случае — kпs(z 12 – q 1) или
– cп1(z12 – q1).
На рис. 34, 35 представлены схемы динамических систем с рассмотренными законами управления амортизатором и результаты их
тестирования при гармоническом возмущении и оптимальном демпфировании.
Рис. 34. Функциональные схемы системы подрессоривания для закона
управления по абсолютной (а) и относительной (б) скорости
131
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 35. Изменение виброускорения подрессоренной массы (а) и силы
управляемого амортизатора (б) для случая пассивной подвески (1) и подвески с управлением по абсолютной (2) и относительной (3) скорости
Для оценки эффективности системы подрессоривания в отношении вибрационной безопасности и безопасности движения КМ
воспользуемся динамической системой, эквивалентной подвеске
колеса КМ (расчетная схема II). Проанализируем влияние коэффициентов демпфирования kп1 и жесткости cп1 на амплитудно-частотные характеристики данной системы (рис. 36).
Видно, что коэффициент демпфирования существенно изменяет амплитудно-частотные характеристики при измерении виброускорения в межрезонансной и зарезонансной частотных областях. В то же время амплитудно-частотная характеристика при измерении силы в пятне контакта больше связана с демпфированием
в межрезонансной частотной области и в зоне второго резонанса
(резонанса неподрессоренной массы). Что касается коэффициента жесткости, изменение амплитудно-частотных характеристик
наблюдается в области низкочастотного резонанса (резонанса подрессоренной массы). Влияние коэффициентов kп1 и cп1 в частотной области на прогиб подвески аналогично изменению амплитудно-частотной характеристики при измерении силы в пятне контакта в зависимости от этих параметров. Отметим, что влияние
коэффициента демпфирования более существенное, чем коэффициента жесткости.
132
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 36. Амплитудно-частотные характеристики двухмассовой динамической системы, эквивалентной подвеске, при различных kп1 (а, б) и cп1 (в, г):
а, б – kп11 < kп12 < kп13; в, г – cп11 < cп12 < сп13
Поскольку демпфирование в подвеске является определяющим
фактором повышения ее виброзащитных качеств, целесообразно
использовать предложенную технологию и для более сложных динамических систем. Рассмотрим полуактивную подвеску с управляемым демпфером. Для этого трансформируем динамическую
систему (расчетная схема II) к виду, показанному на рис. 37. Уравнения движения такой системы в матричной форме (74) при C = I1
(I1 — единичная матрица (4Ч4)) без выделения вектора управления
имеют вид
133
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
? 0
?
? z12 ? ? 0
? ? ?
z
? 12 ? = ?
? z12 ? z1 ? ? 0
z1 ?? ? cш1
?? ?
?? m1
1
?
0
kп1 + kпs
?
m12
cп1
m12
1
0
kп1 + kпs
cп1 + cш1
m1
m1
?
?
z
? ? 12 ?
?
m12
z12 ?
?
+
?
? z12 ? z1 ?
?1
?
?
? ? z ?
k +k
?
1
? п1 ш1 ? ?
??
m1
0
kп1
0 ?
? 0
? 0
0 ? ? q1 ?
.
+?
?
0 ? ?? q1 ??
? 0
?? kш1 cш1 ??
(84)
Вектор передаточной функции по выходным переменным, которые, как ясно из равенства C = I1, являются переменными состояния, определяем по формуле
Hxq1(p) = I1(pI1 – A)–1(G[p 1]т).
(85)
Тогда передаточные функции при измерении виброускорения подрессоренной массы, прогибов подвески и шины, а также силы в
пятне контакта равны:
H z12 q1 ( p ) = p 2 H x1q1 ( p ); H hzпq1 ( p ) = H x3q1 ( p );
H hzшq1 ( p ) = H x3q1 ( p ) ? H x1q1 ( p ) + 1;
(86)
H Pzшq1 ( p ) = H hzшq1 ( p)(kш1 p + cш1 ),
а уравнение регулятора имеет вид
u = –kпs C1x,
где C1 = [0 1 0 0]. Причем в данном варианте системы введено
действие инерциального демпфера как на подрессоренную, так и
на неподрессоренную массы при наличии амортизатора.
Для полученных передаточных функций системы влияние расположения демпфирующих устройств (см. рис. 37) на амплитудночастотные характеристики показано на рис. 38.
134
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Видно, что применение инерциального демпфера при всех вариантах его
установки позволяет улучшить амплитудно-частотные характеристики в
области низкочастотного резонанса.
Наибольший эффект от установки инерциального демпфера достигается в межрезонансной и зарезонансной частотных областях, когда в уравнениях движения системы (84) kп1 = 0. В то же
время при этом происходит возрастание
амплитудно-частотных характеристик в Рис. 37. Схема двухмассовой
зоне высокочастотного резонанса.
динамической системы, эквиОднако, как было отмечено ранее, валентной подвеске с инерпоказатели вибрационной безопасносциальным демпфером
ти и безопасности движения определяются не только амплитудно-частотными характеристиками динамической системы, но и спектральными характеристиками возмущения. Определим оптимальные коэффициенты демпфирования kп1 и
kпs, при которых обеспечивается безопасность движения КМ, а показатель вибрационной безопасности имеет минимальное значение.
В этом случае область изменения амплитудно-частотных характеристик будет располагаться между кривыми 3 и 4 (см. рис. 38, а, б).
Рис. 38. Амплитудно-частотные характеристики двухмассовой динамической системы при измерении виброускорения (а) и силы в пятне контакта
шины с опорной поверхностью (б) для различных вариантов схем подвески:
1 – пассивная система; 2 – то же, демпфер с kпs соединен с массой m12; 3 – то же
с массой m1; 4 – демпфер с kпs соединен с массами m12, m1 при kп1 = 0
135
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рассмотрим процедуру выбора оптимальных коэффициентов
демпфирования kп1 и kпs при случайном возмущении, спектральная
плотность которого соответствует дорожной поверхности с асфальтобетонным покрытием:
Gq1 (?) =
4 Dq1?v
?2 + ? 2 v 2
,
(87)
где Dq1, ? — дисперсия высот неровностей микропрофиля и коэффициент аппроксимации корреляционной функции дорожной поверхности.
Расчеты показывают, что при использовании инерциального
демпфера мощность виброускорения при неизменной безопасности
движения удается снизить существенно в области низкочастотного
резонанса динамической системы.
В качестве показателей вибрационной безопасности и безопасности движения КМ примем средние квадратические отклонения
? z12 виброускорения подрессоренной массы и ?Pzш силы в пятне
контакта шины с опорной поверхностью.
Зависимости, показанные на рис. 39, дают возможность выбрать
структуру демпфирующих устройств и их оптимальные параметры,
обеспечивающие наилучшую вибрационную безопасность при выполнении наложенных на динамическую систему ограничений по
Рис. 39. Зависимость средних квадратических отклонений силы в пятне
контакта (а) и деформации подвески (б) от средних квадратических отклонений виброускорения при скорости движения КМ, равной 70 (1, 4 ),
90 (2, 5 ) и 110 км/ч (3, 6 ). Стрелками показаны направления увеличения
значений kп1 и kпs
136
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
силе в пятне контакта и деформации подвески. Видно, что при установке инерциального демпфера по третьему варианту схемы подвески позволяет расширить область снижения показателя вибрационной безопасности ? z12 при допускаемых значениях ?Pzш и ?hzп.
В случае активной подвески для повышения ее виброизолирующих качеств наряду с инерциальным демпфером в обратные связи вводят фильтры высоких (ФВЧ) и низких (ФНЧ) частот (рис. 40).
Такая процедура эквивалентна снижению коэффициента жесткости упругого устройства и коэффициента демпфирования подвески
в частотной области соответственно ниже и выше парциальной частоты неподрессоренной массы.
Рис. 40. Функциональная схема активной подвески
ФВЧ имеет передаточную функцию
H ФВЧ ( p ) =
p
p + ?k
,
которой соответствует система уравнений
.
z6 = –?kz6 + (z12 – z1);
z7 = –?kz6 + (z12 – z1),
где ?k — частота среза ФВЧ.
Передаточной функции ФНЧ
H ФНЧ ( p ) =
?в
p + ?в
соответствует уравнение
.
.
.
z5 = –?вz5 + ?в(z12 – z1),
где ?в — частота среза ФНЧ.
137
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Тогда уравнение (84) при C = I1 (где I1 — единичная матрица
(6Ч6)) принимает вид
? 0
?
? z12 ? ? 0
? ? ?
z
? 12 ? ?
? z12 ? z1 ? = ? 0
z1 ? ? cш1
? ? z
? ?? m
1
? 5 ? ?
z
0
? 6 ?
?
? 0
1
?
kпs
m12
?
0
0
cп1
0
m12
1
0
kпs
cп1 + cш1
m1
m1
?в
0
0
1
?1
?
kш1
m1
??в
0
0
?
kп1
m12
0
kп1
m1
??в
0
0 ?
? z12 ? ? 0
? z12 ? ? 0
0 ?
?
? ?
?
z ?z
0
0 ? ? q1 ?
.
Ч ? 12 1 ? + ?
? z1 ? ? kш1 cш1 ? ?? q1 ??
? z
? ? 0
0 ?
5
?
? ?
?
0 ?
? z6 ? ? 0
?
c ?
?k п1 ?
m12 ?
0 ?
?Ч
cп1
?
??k
m1 ?
0 ?
?
??k ?
0
(88)
Уравнение регулятора при таком управлении будет следующим:
u = –(kп1cп1kпs)C2 x,
0 ?
?0 0 0 0 1
?
где C2 = 0 0 1 0 0 ??k ? .
?
?
0 ?
?0 1 0 0 0
Используя выражения (85) и (88), определяем амплитудно-частотные характеристики (86) для различных состояний динамической системы (регулятора) (рис. 41). Видно, что наблюдается практически одинаковый эффект от использования инерциального демпфера и фильтров в низкочастотной и межрезонансной областях. Что
касается частот, превышающих частоту второго резонанса, следует
отметить влияние вида спектральной характеристики возмущения
на конечные значения показателя вибрационной безопасности. Об
эффективности применяемых подходов к управлению подвеской
легковой КМ при возмущении вида (87) можно судить по данным,
приведенным в табл. 9.
138
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 41. Амплитудно-частотные характеристики двухмассовой динамической системы, эквивалентной активной подвеске, при измерении виброускорения (а) и силы в пятне контакта шины с опорной поверхностью (б):
1 – пассивная система; 2 – то же с ФНЧ и ФВЧ; 3 – пассивная система, демпфер
с kпs соединен с массами m12, m1; 4 – то же с ФНЧ и ФВЧ
При установке в системе подрессоривания инерциального демпфера имеет место полуактивная система виброизоляции с управляемым амортизатором. Принцип работы такого амортизатора построен на изменении динамической вязкости рабочего тела при сформированном сигнале управления. С этой целью в качестве рабочего
тела используют электро- или магнитореологическую суспензию.
Наилучшие эксплуатационные характеристики имеет магнитореологическая суспензия, состоящая из несущей среды со стабилизатором и другими добавками, в которой распределены мелкие ферромагнитные частицы размером 1...10 мкм. В зависимости от напряженности магнитного поля, которое создается встроенной
Таблица 9. Эффективность применения активной подвески
по сравнению с пассивной, %
v, км/ч
Инерциальный демпфер
ФНЧ, ФВЧ
Инерциальный демпфер,
ФНЧ, ФВЧ
70
90
110
18
17
16
17
16
18
23
22
21
П р и м е ч а н и е. Эффективность оценивали по ?z12 , при этом ?Pzш возрастало на 7...16 %, а ?hzп – на 0...18 %.
139
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
в поршень амортизатора цилиндрической катушкой, изменяется
внутренняя структура суспензии. При отсутствии магнитного поля
ферромагнитные частицы равномерно расположены в несущей среде. Когда напряженность магнитного поля возрастает, ферромагнитные частицы ориентируются в направлении его силовых линий, что
приводит к увеличению динамической вязкости суспензии и повышению коэффициента сопротивления амортизатора.
Для реализации активной системы подрессоривания требуется
исполнительное устройство, которым может служить гидравлическая стойка, реализующая одновременно функции упругого элемента и амортизатора (рис. 42).
Рис. 42. Схема динамической системы, эквивалентной подвеске с гидравлической стойкой:
1 – гидравлическая стойка; 2 – сервоклапан; 3 – аккумулятор
Возможность выполнения стойкой двух функций обеспечивается использованием специальной жидкости, которая при сжатии аккумулирует потенциальную энергию как обычный упругий элемент.
При этом перетекание жидкости через дросселирующие отверстия
дает эффект демпфирования. Применение такой гидравлической
стойки позволяет достаточно просто управлять генерируемой стойкой силой Pст, а также регулировать положение подрессоренной части КМ при изменении ее массы. Кроме того, стойка обеспечивает
дополнительную виброизоляцию до частоты ~25 Гц, что снижает
вибрацию подрессоренной части КМ вследствие взаимодействия
шины с опорной поверхностью.
140
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Управление силой Pст осуществляется посредством сервоклапана, через который подводится жидкость от аккумулятора к гидравлической стойке, т. е. изменением массы сжимаемой жидкости
во внутренней полости стойки. Уравнения динамики гидравлической стойки в этом случае имеют следующий вид:
p1 = ?1
p 2 = ?2
Qсер ? Qпш ? S пш ( z12 ? z1 )
V01 + Sпш ( z12 ? z1 )
Qпш + ( Sпш ? Sшт )( z12 ? z1 )
V02 ? ( Sпш ? Sшт )( z12 ? z1 )
(89)
;
,
(90)
где p1, p2 — давления жидкости в пространстве над поршнем и
2
под ним; ?1,2 — эмпирические коэффициенты, ?1,2 = a0 1 + a12 p1,2
;
a0, a1 — коэффициенты регрессии; Qсер, Qпш — объемные расходы
жидкости, протекающей через дроссельные устройства гидрораспределителя сервоклапана и поршня стойки, Qсер = ?0bщ x Ч
Ч 2 pa ?вкл ( x ) ? p1 ? ; Qпш = ?0 S др sgn( p1 ? p2 ) 2 p1 ? p2 ? ; Sпш,
Sшт — площади поршня и штока; V01, V02 — начальные объемы
пространства над поршнем и под ним; ?0 — коэффициент расхода;
bщ — ширина дросселирующей щели гидрораспределителя (может
быть функцией x); x — смещение золотника гидрораспределителя;
pа — давление жидкости в аккумуляторе гидросистемы; ?вкл(x) —
1 при x > 0;
функция включения, ?вкл ( x) = 0 при x ? 0; ? — плотность рабочей жидкости; Sдр — площадь проходных отверстий дроссельного
устройства поршня стойки.
Сила, создаваемая гидравлической стойкой,
{
Pст = Sпш p1 – (Sпш – Sшт)p2.
(91)
Функциональная схема активной системы подрессоривания с
учетом возможностей гидравлической стойки представлена на
рис. 43, а.
Согласно схеме, сила Pст
? , которая должна быть генерирована
стойкой, определяется соотношением
141
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
.
Pст
? = kh?h – cп1z7 – kп1z5 – kпs z12,
(92)
где kh — весовой коэффициент; ?h — ошибка установки положения
кузова,
(93)
?h = h?zп – (z12 – z1);
h?zп — требуемая деформация подвески.
Ошибка ?Pст генерируемой стойкой силы
?Pст = P?ст – Pст
(94)
преобразуется пропорционально-интегральным регулятором (ПИрегулятором) в необходимое смещение золотника гидрораспределителя сервоклапана согласно выражению
t2
x = kпр ? Pcт + kи ? ? Pcт dt ,
(95)
t1
где kпр, kи — коэффициенты пропорциональной и интегральной составляющих x.
Рис. 43. Функциональные схемы управляемой (а) и адаптивной (б) систем
подрессоривания
142
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Таким образом, система уравнений (88)— (95) с учетом статической нагрузки полностью характеризует функционирование активной системы подрессоривания.
Наряду с рассмотренным, существуют и другие алгоритмы формирования автоматических систем подрессоривания, в которых используются иные критерии качества и законы управления. Отметим,
что у приведенных выше автоматических систем подрессоривания
регуляторы имели неизменную структуру и постоянные параметры.
Однако в силу наличия неопределенностей в описании виброизоляции подрессоренной массы КМ и возмущения, действующего на динамическую систему, необходима корректировка структуры и параметров регулятора. Системы, обладающие такими свойствами, называются адаптивными. Если структура регулятора заранее известна и
в процессе работы системы определяются только его параметры, то
такая система называется самонастраивающейся. Целесообразно,
чтобы в этих системах достижение цели управления было связано с
некоторым критерием оптимальности.
На рис. 43, б показана функциональная схема самонастраивающейся полуактивной системы подрессоривания, адаптируемой к воз? , hz?п — опорные вибросигмущению от дорожной поверхности ( z12
налы). В этом случае динамическая модель системы соответствует
схеме, изображенной на рис. 37. Уравнение регулятора в более общем виде можно записать так:
?
u = ?kпs (q?1 ) z?12 ? kп1 (q?1 )hzп ,
?
?
где hzп — оценка скорости деформации подвески, hzп = z?12 ? z?1;
z?12 , z?1 — оценки скорости подрессоренной и неподрессоренной масс
КМ соответственно; q?1 — оценка возмущения.
Закон управления с переменными коэффициентами усиления
позволяет достичь оптимального сочетания показателей вибрационной безопасности и безопасности движения (устойчивости и управляемости) КМ. Для реализации такого управления необходимо
?
определить z? (t ), h (t ) и q? (t ), например, по измеряемому виб12
zп
1
роускорению z12 (t ) подрессоренной массы.
Рассмотрим процедуру получения оптимальных коэффициентов
усиления kпs ( q?1 ) и kп1 ( q?1 ). Считаем, что известны характеристики
143
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
микропрофиля дорог различного типа. Тогда примем спектральную
плотность возмущения
Gq1(?) = Dq1a1vb–1?–b.
Если принять коэффициент b регрессии постоянным, то получаем
соотношение
Gq1v i(?) = a2b–1Gq1v 0(?),
где a2 = vi /v0; vi — текущая постоянная скорость движения КМ;
v0 — опорная скорость КМ. Это позволяет определить оптимальные коэффициенты усиления для дорог всех типов при опорной
скорости КМ и получить их значения для произвольной скорости,
минуя повторную процедуру вычислений.
В качестве целевой функции K(kпs, kп1) при расчете оптимальных коэффициентов используем выражение
2
2
? Pzш i ? ? Pzш min ?
? z12 i ? ? z12 min ?
?
?
K (kпs , kп1 ) = ? k Pzш
? + ? kz12
? ,
?
?
?
?
?
?
Pz
ш
max
Pz
ш
min
z
12
max
z
12
min
?
? ?
?
где kPzш, k z12 — весовые коэффициенты для силы в пятне контакта
шины с опорной поверхностью и виброускорения подрессоренной
массы, зависящие от q?1 (t ); i = 1, 2, …, n; n — число измерений.
Тогда оптимальные значения k*пs и k*п1 определяют по критерию
min K(kпs, kп1).
Следует отметить, что выбор весовых коэффициентов субъективен. Причем для дорог с высокой интенсивностью возмущения
коэффициент kPzш имеет большее значение, чем для дорог с низкой
интенсивностью возмущения. Кроме того, эти коэффициенты усиления следует выбирать таким образом, чтобы динамическая сила
в пятне контакта шины с опорной поверхностью была меньше статической.
Оценку q?1 (t ) возмущения по измеряемому виброускорению
z12 (t ) можно получить, используя выражение
1
q?1 ( p ) = H ФНЧ1 ( p ) H z?12
z12 ( p ),
q1 ( p ) где HФНЧ1(p) — известная передаточная функция ФНЧ1; H z12 q1 ( p ) =
= z12 ( p ) q1 ( p ).
144
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Установка фильтра с передаточной функцией HФНЧ1(p), кото1
рый является дополнительным к основному фильтру с H z?12
q1 ( p ),
позволяет повысить устойчивость последнего. Таким образом, оценка q?(t ) однозначно определена.
Аналогично задаются передаточные функции фильтров для оп?
ределения оценок z?12 (t ) и hzп (t ):
?
z?12 ( p) = H и ( p) z12 ( p); hzп ( p) = H ФНЧ2 ( p) H hz
п
z12 ( p) z12 ( p),
где Hи(p) — передаточная функция интегратора; HФНЧ2(p) — передаточная функция ФНЧ2, используемая для повышения точности восz ( p ) ? z1 ( p )
m12 p
?
( p) = 12
.
=?
произведения сигнала h (t ); H zп
hzп
z12
z12 ( p)
kп1 p + cп1
Наряду с параметрическими изменениями регулятора возможны
его структурные преобразования. Если характеристики микропрофиля дорожной поверхности или возмущения от него неизвестны ни во
временной, ни в частотной областях, то для адаптации к дорожным
условиям в автоматической системе подрессоривания используют оптимальные прогнозирующие фильтры или системы с предварительным просмотром (с упреждением). Отметим, что выводы, полученные для рассмотренных простейших систем, могут быть распространены и на более сложные динамические системы, в том числе на
пространственные, эквивалентные подвеске.
В процессе синтеза адаптивной системы подрессоривания важное место занимает вопрос о затратах энергии, требуемой для функционирования системы. Для активных систем это обусловлено необходимостью ограничения отбора мощности от двигателя. Для
систем с полуактивным исполнительным устройством максимальная рассеиваемая мощность также не должна превышать допустимую. Кроме того, даже пассивная система подрессоривания является потребителем энергии силовой установки, поэтому вопрос
расчета мощности, затрачиваемой в системе подрессоривания, актуален для активного, полуактивного и пассивного исполнительных устройств.
Контрольные вопросы
1. В чем состоит классификация автоматических систем подрессоривания?
145
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
2. Какой критерий качества регулирования используется при реализации
оптимального управления в динамической системе с пассивным (инерциальным) демпфером?
3. В чем заключается идея получения закона управления полуактивным демпфирующим устройством?
4. Какие законы управления применяются при полуактивном демпфирующем устройстве?
5. Какие величины должны измеряться при реализации законов управления полуактивным демпфирующим устройством?
6. По каким характеристикам оценивается эффективность использования инерциального демпфера?
7. В какой области частот повышается эффективность системы подрессоривания при использовании ФВЧ и ФНЧ?
8. Какова структура активной системы подрессоривания с гидравлической стойкой?
9. Какова структура адаптивной системы подрессоривания при известных спектральных характеристиках микропрофиля дорожной поверхности?
146
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренный в учебном пособии метод расчета вибрационной безопасности человека и элементов конструкции является одним из методов математического моделирования виброзащитных
систем КМ. Отмечено, что настоящий метод можно применять в
качестве одного из основных при оценке оптимальных параметров
и эффективности виброизоляции как линейных, так и нелинейных
систем подрессоривания. Используемый частотный метод оказывается наиболее продуктивным по сравнению с методами решения
задач данного класса во временной области. Развитие представленного метода можно прогнозировать при выполнении более сложных, по отношению к представленным в пособии, задач математического моделирования динамических систем, эквивалентных виброизоляции КМ. Это могут быть задачи вибрационной безопасности,
например, с учетом систем виброзащиты основных агрегатов и систем КМ, перевозимого груза. Причем в некоторой области частот
захватываются проблемы звуковой вибрации, трактовка которой также базируется на частотном представлении виброакустического сигнала и систем, что открывает перспективы для разработки методик
расчета динамических систем, объединяющих выполнение требований вибрационной и акустической безопасности КМ. Анализ управляемых систем подрессоривания, в том числе их эффективности, целесообразно осуществлять в частотной области, а решение
задач, например пошагового изменения параметров адаптивной подвески, — во временной области. Основным направлением развития
проектирования систем подрессоривания в этом случае является разработка методик расчетов и алгоритмов функционирования таких
систем, которые обеспечивают не только вибрационную, но активную безопасность КМ.
147
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
ЛИТЕРАТУРА
1. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: Пер.
с англ. М.: Мир, 1989. 544 с.
2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и
связь, 1986. 512 с.
3. Динамика системы дорога—шина—автомобиль—водитель / А.А. Хачатуров, В.Л. Афанасьев, В.С. Васильев и др.; Под ред. А.А. Хачатурова.
М.: Машиностроение, 1976. 536 с.
4. Жеглов Л.Ф. Автоматические системы подрессоривания. М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 48 с.
5. Колебания автомобиля / Я.М. Певзнер, Г.Г. Гридасов, А.Д. Конев и
др.; Под ред. Я.М. Певзнера. М.: Машиностроение, 1979. 208 с.
6. Лукинский В.С., Котиков Ю.Г., Зайцев Е.И. Долговечность деталей
шасси автомобиля. Л.: Машиностроение, 1984. 232 с.
7. Марпл С.Л.(мл.). Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 584 с.
8. Полунгян А.А., Фоминых А.Б., Жеглов Л.Ф. Колебания колесной машины и ее систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1992. 110 с.
9. Попов Д.Н. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем. М.:
Машиностроение, 1977. 424 с.
10. Ротенберг Р.В. Подвеска автомобиля. М.: Машиностроение, 1972.
392 с.
11. Силаев А.А. Спектральная теория подрессоривания колесных машин. М.: Машиностроение, 1972. 192 с.
12. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Теория автоматического управления техническими системами. М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 1993. 496 с.
13. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования:
В 3 кн. Кн. 3, ч. ІІ: Теория нестационарных, нелинейных, самонастраи148
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
вающихся систем автоматического регулирования / П.В. Бромберг,
А.Н. Дмитриев, Н.Д. Егупов и др.; Под ред. В.В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1969. 368 с.
14. Фурунжиев Р.И., Останин А.Н. Управление колебаниями многоопорных машин. М.: Машиностроение, 1984. 208 с.
15. Фурунжиев Р.И. Проектирование оптимальных виброзащитных систем. Минск.: Вышэйш. шк., 1971. 320 с.
16. Яценко Н.Н., Прутчиков О.К. Плавность хода грузовых автомобилей. М.: Машиностроение, 1969. 220 с.
149
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Критерий и показатели плавности хода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Воздействие вибрации на человека . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Нормирование плавности хода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Параметры нагрузочных режимов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Классификация нагрузочных режимов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Схематизация нагрузочных режимов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Определение параметров нагрузочных режимов . . . . . . . . . . . .
4. Источники возмущения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Силовое возмущение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Кинематическое возмущение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Линейная система подрессоривания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Идеальная физическая система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Динамические системы, эквивалентные системе
подрессоривания колесных машин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Нелинейная система подрессоривания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Расчет системы подрессоривания в частотной и временной
областях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Параметры и нагрузочные характеристики системы
подрессоривания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1. Расчет параметров системы подрессоривания . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Определение нагрузочной характеристики упругого
и демпфирующего устройств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Определение показателей плавности хода колесной машины и
нагрузочных режимов элементов системы подрессоривания . . . . . . .
10. Оптимальная система подрессоривания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11. Автоматическая система подрессоривания . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
3
4
8
8
9
14
14
20
24
28
28
31
44
44
48
68
79
91
91
93
105
111
124
147
148
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Учебное издание
Жеглов Лев Федорович
СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА
СИСТЕМ ПОДРЕССОРИВАНИЯ КОЛЕСНЫХ МАШИН
Редактор Е.Н. Ставицкая
Корректор О.В. Калашникова
Компьютерная графика О.В. Левашовой
Компьютерная верстка Н.Ф. Бердавцевой
Подписано в печать 22.07.09. Формат 60Ч84 1/16.
Усл. печ. л. 8,84. Тираж 300 экз. Изд. № 178.
Заказ №
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.
151
? системы подрессоривания подразделяют на системы со статическим и динамическим регулированием. В первом случае изменяются параметры упругого и демпфирующего элементов подвески в зависимости
от статической нагрузки, во втором — происходит непрерывное изменение характеристик этих устройств и тогда системы подразделяют на полуактивные и активные.
Для грузовых КМ регулирование положения кузова необходимо прежде всего, чтобы обеспечить получение семейства оптимальных нагрузочных характеристик упругого устройства подвески при
изменении статической нагрузки в широком диапазоне. Это связано с тем, что при использовании в подвеске пассивных упругих
элементов не удается добиться высокой плавности хода при заданных коэффициентах динамичности kдинP и kдинh. Обычно для статического регулирования положения кузова используют системы
подрессоривания с пневматическими или пневмогидравлическими
упругими элементами.
Применение пневматических и пневмогидравлических упругих
элементов расширяет возможности изменения коэффициента жесткости подвески и получения семейства ее нагрузочных характеристик, но, как правило, не обеспечивает постоянство собственной частоты колебаний.
На рис. 29 приведена схема регулируемой подвески с пневматическим элементом баллонного типа. Постоянства статического
124
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
прогиба и высоты кузова КМ при переменной статической нагрузке на подвеску можно достичь надлежащим выбором объема дополнительного резервуара 4 и изменением внутреннего давления в
баллоне 5. Регулятор постоянства высоты кузова 3 при изменении
прогиба подвески или подает сжатый воздух из ресивера 1 в дополнительный резервуар 4 и баллон 5, или выпускает из них часть
сжатого воздуха в атмосферу. В регуляторе имеется устройство, которое отключает его при колебаниях КМ.
При оптимальной нагрузочной характеристике упругого устройства подвески коэффициент сопротивления демпфирующего устройства kп зависит только от статической нагрузки Pzп стат, причем
линейно.
На рис. 30 показана схема регулирования силы амортизатора на
ходе сжатия и отбоя при изменении полезной нагрузки. Сила, дей-
Рис. 29. Схема регулируемой
подвески с пневматическим
упругим элементом:
1 – ресивер; 2 – кузов (рама); 3 – регулятор постоянства высоты кузова;
4 – дополнительный резервуар; 5 –
пневматический упругий элемент
(баллон); 6 – ведущий мост (колесо)
Рис. 30. Схема регулируемого амортизатора:
1 – камера; 2 – дроссель; 3 – резиновая
мембрана; 4 – опорная тарелка; 5 – пружина; 6 – штанга; 7 – регулирующий поршень; 8 – калиброванное отверстие; 9 –
поршень; 10 – клапан; 11 – корпус
125
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
ствующая на шток амортизатора, определяется площадью проходного сечения калиброванного отверстия 8, которая зависит от положения регулирующего поршня 7. Перемещение поршня 7 возможно
с помощью пневматического или гидравлического привода либо тросика. Дроссель 2 сглаживает пульсации давления, если камера 1 соединена с пневматическим упругим элементом.
Приведенные схемы поддержания постоянства высоты кузова
являются стабилизирующими системами со статическим регулированием, обеспечивающим близкие к оптимальным нагрузочные
характеристики упругого и демпфирующего устройств подвески.
В этом случае проектирование систем подрессоривания базируется на статистических данных о показателях плавности хода fz и ?z,
характеризующих систему подрессоривания как таковую. Поэтому
для учета возмущения и определения нормируемых показателей плавности хода необходимо провести их расчет (см. § 9). Если вычисленные значения превысят нормативные, следует скорректировать параметры исходной динамической системы (определить их оптимальные значения). Однако даже при этом не удается значительно
повысить плавность хода, поскольку для различных дорожных условий и скоростей движения КМ оптимальные параметры системы подрессоривания будут отличаться. В связи с этим для улучшения эксплутационных качеств КМ предлагается использовать управляемые
системы подрессоривания.
В общем случае управляемая идеальная система подрессоривания при ее возмущенном движении характеризуется следующими
уравнениями:
.
(74)
x = Ax + Bu + Gq; x(t0) = x0 при t0 = 0; y = Cx,
где x, u, q, y — векторы состояния, управления, возмущения и выходной соответственно; A, B, G, C — матрицы состояния, управления, возмущения и выхода размером (nЧn), (nЧm), (nЧk) и (lЧn); x0 —
вектор начальных условий.
Для данной системы определим оптимальный вектор управления. Решение задачи сводится к отысканию матрицы kрег размером
(nЧm) регулятора, уравнение которого имеет вид
u = –kрег x.
(75)
Причем матрица kрег должна быть такой, чтобы при асимптотически устойчивых движениях системы, возмущенных произвольными
начальными условиями x0, функционал
126
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
?
I = ? ( x т Qx + u т Ru ) dt ,
(76)
0
являющийся квадратичным критерием качества регулирования, имел
минимум. Здесь Q, R — положительно определенные симметричные матрицы размером (nЧn) и (nЧm) соответственно. Тогда
kрег = R–1BтP,
(77)
где P — положительно определенная симметричная матрица (nЧn).
Матрица kрег является решением уравнения Риккати:
PA + AтP – PBR–1 BтP + Q = 0.
(78)
Для элементарной системы виброзащиты (рис. 31, а), у которой
регулируется сила, действующая на массу m12,
(79)
P = m12 z12 ,
имеем
?z ? q ?
?0 1 ?
x = ? 12 1 ? ; u = P; q = q1 ; A = ?
;
z
? 0 0 ??
? 12 ?
? 0 ?
?1
1 0?
B = ? ?1 ? ; G = ?? ?? ; C = ??
.
?0?
? 0 1 ??
? m12 ?
Примем для данного случая за критерий качества функционал
?
I = ?(
0
?
hz2п
+ ?P
2
) dt = ? ( hz2п + ?m122 z122 ) dt ,
0
где hzп(t) = z12(t ) – q1(t); ? — множитель Лагранжа.
Данное выражение получено из уравнения (76) при условии,
1 0?
что Q = ??
, а R = ?. Тогда, решая уравнение (78), находим
? 0 0 ??
1/2 1/4
? 2 ? m12
?
P=?
1/2
? m12?
?
3/2 3/4 ?
? ?
2 ? m12
m12 ?1/2
127
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 31. Схемы одномассовой динамической системы, эквивалентной
управляемой подвеске (а) и подвеске с инерциальным демпфером (б)
и согласно (77)
kрег = ????1/2
1/2 ?1/4 ?
2 ? m12
?
?.
(80)
Подставляя выражение (80) в (75), получаем
1/2 ?1/4
u = P = ???1/2 hzп ? 2 ? m12
z12 .
?
(81)
С учетом (81) уравнение (79) принимает вид
z12 +
2
1/2 1/4
m12
?
z12 +
1
1/2
m12?
z12 =
1
m12?1/2
q1.
(82)
Сравнивая коэффициенты в левых частях уравнений (54) и (82), получаем
z12 + 2? z ? z z12 + ?2z z12 = ?2z q1 ,
(83)
где
?z = 1
1/2 1/4
? ).
2 ; ?z = 1 (m12
Уравнение (83) соответствует приведенной на рис. 31, б динамической системе с пассивными демпфирующим и упругим элементами, которая реализует оптимальное управление.
Параметры этих элементов
1/2 ?1/8
kпs = 2 ? m12
? ; cп1 = ??1/2 ,
а передаточная функция такой динамической системы имеет вид
H z12q1 ( p ) =
128
cп1
2
m12 p + kпs p + cп1
.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Как видно на рис. 32, эффективность оптимальной виброизоляции в данном случае определяется областью зарезонансных частот
динамической системы.
Рис. 32. Амплитудно-частотные характеристики при выходном сигнале —
виброускорение (а) и сила в пятне контакта шины с опорной поверхностью (б) — традиционной (1) и с инерциальным демпфером (2) одномассовой динамической системы
На практике создать систему с такой структурой в конструкции подвески КМ не удается. Поэтому предлагаются различные
алгоритмы управления демпфированием в системе подрессоривания, позволяющие ввести обратную связь по скорости подрессоренной массы, — так называемый инерциальный демпфер. Расчетная схема такой системы приведена на рис. 33, а.
Следует отметить, что так как демпфирующее устройство, в данном случае амортизатор, не имеет внешнего источника энергии, то
сила на подрессоренную массу может создаваться только в первом
и третьем квадрантах его нагрузочной характеристики. Следовательно, такой демпфер является полуактивным исполнительным устройством.
Рассмотрим изменение силовых факторов: силы инерции Pин,
сил упругого Pzп и демпфирующего Pa (Pzп a) устройств подвески,
а также силы инерциального демпфера Pаs (Pzп аs) в стационарном
процессе колебаний одномассовой динамической системы при гармоническом возмущении (рис. 33, б). Для случая использования об.
ратной связи по скорости z 12 целесообразно сделать так, чтобы сила
Pа при колебаниях имела тот же знак, что и сила Pаs. В этом случае
129
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 33. Схема одномассовой динамической системы с управляемым амортизатором (а) и изменение сил в стационарном режиме ее колебаний (б)
мощность от силы, создаваемой амортизатором, должна быть положительной:
.
.
Pа(z 12 – q 1) > 0,
.
где Pа = kпs z 12.
Поскольку демпфирующее устройство не имеет внешнего ис.
.
.
точника энергии, то сила Pа > 0 или Pа < 0 при z 12 (z 12 – q 1) > 0 и
.
.
.
Pа = 0, когда z 12 и (z 12 – q 1) имеют противоположные знаки. Тогда
закон управления по абсолютной скорости полуактивным исполнительным устройством имеет вид
Pa =
{
kпs z12 при z12 ( z12 ? q1 ) > 0;
0
при z12 ( z12 ? q1 ) ? 0.
Возможны также и другие законы управления демпфирующим
устройством, например по относительной скорости или относительным перемещениям:
k ( z ? q ) при ( z12 ? q1 )( z12 ? q1 ) < 0;
Pa = пs 12 1
0
при ( z12 ? q1 )( z12 ? q1 ) ? 0
или
?cп1 ( z12 ? q1 ) при ( z12 ? q1 )( z12 ? q1 ) < 0;
Pa =
0
при ( z12 ? q1 )( z12 ? q1 ) ? 0.
{
{
130
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Синтез этих законов основан на следующих соотношениях для
различных фаз колебаний динамической системы (см. рис. 33, б):
z12
? Pzп + Pa
?? m
12
=?
P
? zп ? Pa
?? m12
T
T
3T
при t ? ?? t0 ; t0 + ?? ? ?? t0 + ; t0 + ?? ;
?
4? ?
2
4 ?
T
T
3T
при t ? ?? t0 + ; t0 + ?? ? ?? t0 + ; t0 + T ?? .
?
?
4
2? ?
4
Очевидно, что в первом случае, когда ( z12 ? q1 )( z12 ? q1 ) > 0, сила
от амортизатора способствует увеличению ускорения массы, а во
втором случае, когда ( z12 ? q1 )( z12 ? q1 ) < 0, — его снижению, т. е.
целесообразно при полуактивной системе виброизоляции в первом
.
.
случае принимать Pа = 0, а во втором случае — kпs(z 12 – q 1) или
– cп1(z12 – q1).
На рис. 34, 35 представлены схемы динамических систем с рассмотренными законами управления амортизатором и результаты их
тестирования при гармоническом возмущении и оптимальном демпфировании.
Рис. 34. Функциональные схемы системы подрессоривания для закона
управления по абсолютной (а) и относительной (б) скорости
131
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 35. Изменение виброускорения подрессоренной массы (а) и силы
управляемого амортизатора (б) для случая пассивной подвески (1) и подвески с управлением по абсолютной (2) и относительной (3) скорости
Для оценки эффективности системы подрессоривания в отношении вибрационной безопасности и безопасности движения КМ
воспользуемся динамической системой, эквивалентной подвеске
колеса КМ (расчетная схема II). Проанализируем влияние коэффициентов демпфирования kп1 и жесткости cп1 на амплитудно-частотные характеристики данной системы (рис. 36).
Видно, что коэффициент демпфирования существенно изменяет амплитудно-частотные характеристики при измерении виброускорения в межрезонансной и зарезонансной частотных областях. В то же время амплитудно-частотная характеристика при измерении силы в пятне контакта больше связана с демпфированием
в межрезонансной частотной области и в зоне второго резонанса
(резонанса неподрессоренной массы). Что касается коэффициента жесткости, изменение амплитудно-частотных характеристик
наблюдается в области низкочастотного резонанса (резонанса подрессоренной массы). Влияние коэффициентов kп1 и cп1 в частотной области на прогиб подвески аналогично изменению амплитудно-частотной характеристики при измерении силы в пятне контакта в зависимости от этих параметров. Отметим, что влияние
коэффициента демпфирования более существенное, чем коэффициента жесткости.
132
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 36. Амплитудно-частотные характеристики двухмассовой динамической системы, эквивалентной подвеске, при различных kп1 (а, б) и cп1 (в, г):
а, б – kп11 < kп12 < kп13; в, г – cп11 < cп12 < сп13
Поскольку демпфирование в подвеске является определяющим
фактором повышения ее виброзащитных качеств, целесообразно
использовать предложенную технологию и для более сложных динамических систем. Рассмотрим полуактивную подвеску с управляемым демпфером. Для этого трансформируем динамическую
систему (расчетная схема II) к виду, показанному на рис. 37. Уравнения движения такой системы в матричной форме (74) при C = I1
(I1 — единичная матрица (4Ч4)) без выделения вектора управления
имеют вид
133
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
? 0
?
? z12 ? ? 0
? ? ?
z
? 12 ? = ?
? z12 ? z1 ? ? 0
z1 ?? ? cш1
?? ?
?? m1
1
?
0
kп1 + kпs
?
m12
cп1
m12
1
0
kп1 + kпs
cп1 + cш1
m1
m1
?
?
z
? ? 12 ?
?
m12
z12 ?
?
+
?
? z12 ? z1 ?
?1
?
?
? ? z ?
k +k
?
1
? п1 ш1 ? ?
??
m1
0
kп1
0 ?
? 0
? 0
0 ? ? q1 ?
.
+?
?
0 ? ?? q1 ??
? 0
?? kш1 cш1 ??
(84)
Вектор передаточной функции по выходным переменным, которые, как ясно из равенства C = I1, являются переменными состояния, определяем по формуле
Hxq1(p) = I1(pI1 – A)–1(G[p 1]т).
(85)
Тогда передаточные функции при измерении виброускорения подрессоренной массы, прогибов подвески и шин
Документ
Категория
Другое
Просмотров
326
Размер файла
1 586 Кб
Теги
подрессоривания, метод, спектральная, система, колесных, расчет, машина
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа