close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

48.Практическое руководство по решению измерительных задач на основе оптимальных планов измерений

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
Н.Г. Назаров
ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО
ПО РЕШЕНИЮ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ
НА ОСНОВЕ ОПТИМАЛЬНЫХ
ПЛАНОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия
для аспирантов и дипломников
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2007
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 53.08(075.8)
ББК 30.10
H19
H19
Рецензенты: д-р техн. наук В.В. Голиков,
канд. техн. наук, доцент В.М. Ховов
Назаров Н.Г.
Практическое руководство по решению измерительных
задач на основе оптимальных планов измерений: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 162 с.: ил.
ISBN 978-5-7038-2958-5
Излагаются методики определения оптимальных планов измерений, используемых при решении прикладных измерительных задач двух типов: задач, связанных с экспериментальной
оценкой постоянных и переменных величин, и задач по экспериментальной оценке соответствия объекта измерения требованиям нормативного документа.
Учебное пособие предназначено для дипломников и аспирантов при выполнении экспериментальной части дипломных
проектов и диссертационных работ, а также для преподавателей при разработке методических указаний по выполнению лабораторных работ, связанных с измерениями и обработкой результатов измерений.
Ил. 21. Табл. 5. Библиогр. 6 назв.
УДК 53.08(075.8)
ББК 30.10
ISBN 978-5-7038-2958-5
c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОТ АВТОРА
Основой написания настоящего руководства по решению измерительных задач послужили лекции, прочитанные автором аспирантам факультета «Машиностроительные технологии» МГТУ
им. Н.Э. Баумана.
Совокупность измерительных задач, с которыми имеет дело
прикладная метрология, можно разделить на два типа. Измерительные задачи первого типа заключаются в том, чтобы экспериментально определить неизвестные значения постоянных и переменных величин в форме точечных и интервальных оценок с заданными ограничениями на их точность. Измерительные задачи второго
типа состоят в том, чтобы экспериментально оценить соответствие
качества объекта измерения требованиям, содержащимся в нормативном документе, при заданных ограничениях на вероятности
ошибок 1-го и 2-го рода. Особенностью измерительных задач второго типа является то, что их решения основаны на использовании
в схеме альтернативных гипотез решающей функции, характеризующейся скалярным параметром.
Измерительным задачам первого типа соответствует план многократных измерений, включающий два элемента: измеряемую
величину или совокупность измеряемых величин и объем многократных измерений, а измерительным задачам второго типа —
план измерения, включающий план многократных измерений и
параметр решающей функции.
Оптимальным называется такой план, который обеспечивает
выполнение заданных ограничений: на точность точечных и интервальных оценок — для измерительных задач первого типа и
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода — для измерительных задач
второго типа при минимальном объеме многократных измерений.
Процедуры формирования оптимальных планов измерений изложены при следующих основных допущениях.
1. Результат однократного измерения (а следовательно, и случайная погрешность) является гауссовской случайной величиной.
2. Совокупности однократных результатов измерений являются
взаимно некоррелированными случайными величинами.
3. Случайная погрешность однократного результата измерения
удовлетворяет требованию единства измерений, определенному законом РФ «Об обеспечении единства измерений».
4. В конкретной измерительной задаче, реализуемой в конкретных рабочих условиях с использованием конкретного экземпляра
средства измерения (СИ) и метода измерения, систематическая
погрешность результата измерения является детерминированной
величиной.
Руководство состоит из предисловия, четырех разделов и приложения.
В первом разделе даны определения ключевых понятий, используемых в метрологии, и приведена аргументированная критика
некорректных трактовок ряда понятий, получивших распространение в учебной литературе и нормативных документах. К числу
таких понятий относятся понятие «качество» и числовые значения
экспертных оценок, используемых в квалиметрии.
Приведены также алгоритмы обработки многократных измерений, формируемые одним СИ.
Второй раздел посвящен изложению экспериментальных процедур оценки соответствия погрешности результата однократного
измерения требованию единства измерений, определенного в Законе РФ «Об обеспечении единства измерений» следующим образом: «. . . а их погрешности не выходят за установленные пределы с
заданной вероятностью». Этот закон был принят более десяти лет
тому назад, но до сих пор предложенная форма требования к случайной погрешности не нашла полного отражения в нормативных
документах Государственной системы измерений (ГСИ), в которых
фиксируются только установленные пределы без указания вероятности.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Невыход гауссовской погрешности за установленные пределы
с заданной вероятностью можно заменить эквивалентными ограничениями на дисперсию и систематическую погрешность. Эти
ограничения для конкретных условий, в которых решается измерительная задача, сравнительно просто оценить экспериментально
на основе оптимальных планов измерения. В случае невыполнения
этих ограничений предлагаются способы их обеспечения: по дисперсии — за счет многократных измерений, по систематической
погрешности — за счет ее корректировки.
Акцентировано внимание на необходимости учета ограничения
систематической погрешности при формировании реализации интервальной оценки измеряемой величины.
В третьем разделе изложены алгоритмы определения оптимальных планов измерения для измерительных задач первого и второго типов применительно к объектам измерения, характеризующимся постоянной величиной или совокупностью постоянных величин.
Выражения для оптимальных параметров планов измерения даны в
предположении, что условия единства измерений для систематической погрешности и дисперсии случайной погрешности однократных результатов измерений, получаемых СИ и используемых в конкретной измерительной задаче, выполняются.
Приведены алгоритмы формирования оптимальных планов для
такой важной в прикладном отношении измерительной задачи, как
оценка соответствия по качеству экземпляра продукции образцовому экземпляру.
В четвертом разделе рассмотрены алгоритмы формирования
оптимальных планов для измерительных задач первого и второго
типа применительно к такому объекту измерения, как функция отклика. При определении выражений для оптимальных элементов
плана измерения использовались следующие условия.
1. Условие ортогональности плана измерения.
2. Условие равноточности по дисперсии результатов обработки
многократных измерений на компонентах вектора плана измерения.
3. Требования, предъявляемые к отклонению математической
модели от истинной функции отклика на векторе плана измерения,
задаются в форме гиперсферы. Это позволило решить задачу фор5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мирования оптимального плана в схеме скалярных альтернативных
гипотез.
Выражения для оптимальных значений объемов многократных измерений получены на основе приближенного метода, суть
которого состоит в замене случайной квадратичной формы с нецентральным χ2 -распределением эквивалентным центральным χ2 распределением. Условием эквивалентности является равенство
их математических ожиданий и дисперсий. Указанные выражения
получены с учетом ограничений на систематические погрешности
результатов однократных измерений, налагаемых условием единства измерений.
В приложении помещены таблицы значений функций распределений и их квантилей, используемых при формировании оптимальных планов измерений.
Автор выражает искреннюю признательность рецензентам д-ру
техн. наук В.В. Голикову и канд. техн. наук, доценту В.М. Ховову за
пожелания и замечания, высказанные в процессе обсуждения рукописи практического руководства, и Е.Ю. Ованесян за тяжкий труд
по переводу на дискету рукописи, оформленной почерком, далеким
от каллиграфического.
Замечания и предложения по дальнейшему совершенствованию
практического руководства как по содержанию, так и по форме его
изложения автор просит направлять на кафедру МТ-4.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, КЛАССИФИКАЦИИ
И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ МНОГОКРАТНЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ
1.1. Понятия «свойство», «величина»
и «отношение эквивалентности»
Метрология как наука об измерениях базируется на фундаментальных понятиях. Приведем основные из них [1].
Свойство — философская категория, выражающая такую сторону материального объекта (далее — объекта), которая обусловливает его общность или различие с другими объектами и обнаруживается в его отношении к ним.
В этом определении отражены две важные особенности.
1. Свойство некоторого объекта а обнаруживается через его
отношение к аналогичному свойству объекта а0 , т. е. экспериментально.
2. Исходом такого экспериментального отношения является появление одного из двух противоположных событий: либо события,
состоящего в том, что однородные свойства объекта а и а0 обладают общностью (эквивалентны), либо события, состоящего в том,
что эти свойства различны (неэквивалентны).
Далее вместо термина «общность» будем использовать термин
«эквивалентность» и следующие обозначения:
≈ — знак отношения эквивалентности;
6≈ — знак отношения неэквивалентности.
В математике, наиболее строгой науке, бинарное отношение
объектов называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет следующим аксиомам.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть А = {a} — множество объектов. Тогда:
1) а ≈ а для всех а ∈ А, т. е. каждый объект эквивалентен самому себе (аксиома рефлексивности);
2) если а1 ≈ а2 , то а2 ≈ а1 , а1 , а2 ∈ А, т. е. эквивалентность
двух объектов является взаимной (аксиома симметричности);
3) если а1 ≈ а2 , а2 ≈ а3 , то а1 ≈ а3 , а1 , а2 , а3 ∈ А, т. е. из эквивалентности объекта двум другим объектам следует, что эти (другие) объекты также эквивалентны (аксиома транзитивности).
Разумеется, объект характеризуется не одним свойством, а совокупностью свойств, выражающих различные особенности объекта.
Идентификация разнородных свойств осуществляется посредством
присвоения им разных наименований. Например, протяженность
объекта — длина, свойство накапливать электрические заряды —
электрическая емкость и т. д.
Именованное свойство называется величиной.
Величина — особенность, свойство, общее в качественном отношении для многих объектов, но в количественном отношении индивидуальное для каждого объекта.
Это определение по сравнению с определением понятия «свойство» имеет следующие особенности:
1) величины подразделяются на качественные и количественные;
2) значения однородных количественных величин разных объектов а и а0 индивидуальны, т. е. не равны.
Примером качественной величины может служить цвет объекта: белый, черный, красный, зеленый и т. д. Ключевой особенностью качественной величины является то, что она не имеет значения, лежащего на числовой оси, и характеризуется совокупностью
(множеством) попарно разных градаций. Для того чтобы идентифицировать градации, можно либо дать им разные наименования,
либо присвоить разные индексы (номера).
Обозначим качественную величину γ и соответствующую ей совокупность градаций Γ = {γ (1) , . . . , γ (m) }.
Рассмотрим теперь содержательный смысл отношения эквивалентности между двумя объектами, характеризующимися однородными качественными величинами γ и γ ∗ . Обозначим эти объекты
а(γ) и а̇(γ ∗ ).
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Очевидно, что эквивалентность этих объектов будет иметь место только тогда, когда будут эквивалентны величины γ и γ∗ , т. е.
а(γ) ≈ а ∗ (γ∗ ), если γ ≈ γ∗ ;
а(γ) 6≈ а ∗ (γ∗ ), если γ 6≈ γ∗ .
В свою очередь эквивалентность качественных величин γ и γ∗ определяются единственным условием — совпадением их градаций, т. е.
γ ≈ γ∗ , если γ ≡ γ∗ ;
γ 6≈ γ∗ , если γ 6≡ γ∗ ,
где ≡, 6≡ — знаки совпадения и несовпадения градаций величин γ
и γ∗ .
Представим совокупность качественных величин в форме вектора ˉγ = (γ1 , . . . , γn ). Два вектора ˉγ и ˉγ∗ называются однородными,
если они имеют одинаковое количество компонентов с совпадающими наименованиями. Очевидно, что однородные векторы ˉγ и ˉγ∗
будут эквивалентными, если будут эквивалентны все однородные
компоненты этих векторов, т. е.
ˉγ ≈ ˉγ∗ , если ∩ (γk ≈ γ∗k ),
n
k=1
где ∩ — знак произведения событий (γk ≈ γ∗k ); k = 1, n.
Также очевидно, что эти векторы будут неэквивалентны, если
хотя бы для одного из однородных компонентов векторов будет
иметь место неэквивалентность, т. е.
ˉγ 6≈ ˉγ∗ , если ∪ (γk 6≈ γ∗k ),
n
k=1
где ∪ — знак объединения (суммы) событий (γk 6≈ γ∗k ), k = 1, n.
Теперь условия эквивалентности и неэквивалентности двух
объектов, характеризующихся однородными векторами ˉγ и ˉγ∗ ; выражаются в следующем виде:
а(ˉγ) ≈ а ∗ (ˉγ∗ ), если ˉγ ≈ ˉγ∗ ,
а(ˉγ) 6≈ а ∗ (γ∗ ), если ˉγ 6≈ ˉγ∗ .
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим условие эквивалентности двух однородных количественных величин х и х ∗ , характеризующих разные объекты,
которые обозначим а(х ) и а ∗ (х ∗ ). Поскольку эти величины принадлежат разным объектам, их значения индивидуальны, т. е. условие х = х ∗ является невозможным событием и, следовательно, его
нельзя принять в качестве условия эквивалентности величин х и х ∗ .
Однако, если модуль разности значений этих величин будет мал,
то эти величины можно считать эквивалентными, т. е.
1
х ≈ х ∗ , если |Δх | ≤ T x;
2
1
х 6≈ х ∗ , если |Δх | > T x,
2
(1..1)
1
где Δх = х − х ∗ ; T x — допуск поля допуска 0 ± T x.
2
Теперь отношения эквивалентности и неэквивалентности двух
объектов запишутся следующим образом:
а(х ) ≈ а ∗ (х ∗ ), если х ≈ х ∗ ;
а(х ) 6≈ а ∗ (х ∗ ), если х 6≈ х ∗ ,
где условия эквивалентности и неэквивалентности количественных
величин представлены отношениями (1.1).
Рассмотрим условие эквивалентности однородных векторов на
х) и
количественных компонентах, характеризующих объекты а(ˉ
а ∗ (ˉ
х ∗ ), где хˉ = (х1 , . . . , хm )т , хˉ ∗ = (х1∗ . . . , х∗m )т . Очевидно, что
однородные векторы будут эквивалентными, если будут эквивалентными все однородные компоненты этих векторов, т. е.
хˉ ≈ хˉ ∗ , если ∩ (хk ≈ хk∗ ),
(1..2)
хˉ 6≈ хˉ ∗ , если ∪ (хk 6≈ хk∗ ).
(1..3)
m
k=1
и будут неэквивалентными, если будет неэквивалентен хотя бы
один из компонентов векторов, т. е.
m
k=1
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теперь отношения эквивалентности и неэквивалентности объекта запишутся следующим образом
а(ˉ
х ) ≈ а ∗ (ˉ
х ∗ ), если хˉ ≈ хˉ ∗ ;
а(ˉ
х ) 6≈ а ∗ (ˉ
х ∗ ), если хˉ 6≈ хˉ ∗ ,
(1..4)
где отношения ≈ и 6≈ между однородными векторами хˉ и хˉ ∗ представлены отношениями (1.2) и (1.3), в которых
где
1
хk ≈ хk∗ , если |Δхk | ≤ T xk ;
2
1
∗
хk 6≈ хk , если |Δхk | > T xk ,
2
(1..5)
Δхk = хk − хk∗ .
(1..6)
Отношения между двумя объектами можно представить в форме преобразования
(
х ) ≈ а ∗ (ˉ
х ∗ )) ,
0, если хˉ ≈ хˉ ∗ (а(ˉ
r(ˉ
x; x
ˉ∗ ) =
(1..7)
1, если хˉ 6≈ хˉ ∗ (а(ˉ
х ) 6≈ а ∗ (ˉ
х ∗ )) .
Образами этого преобразования являются два разных элемента
{0,1}, которые можно обозначить иначе, например Н0 и Н1 , или
дать им наименования, например гипотеза Н0 и гипотеза Н1 . Такие гипотезы называются альтернативными, а отображение (1.7) —
шкалой наименований.
Преобразование (1.7) называется решающей функцией. На ее
основе с использованием однородных векторов хˉ и хˉ ∗ , характеризующих объекты а(ˉ
х ) и а ∗ (ˉ
х ∗ ), устанавливается их эквивалентность
или неэквивалентность.
Обратимся к выражению (1.6) и запишем его следующим образом:
хk = хk∗ + Δхk ,
1
где |Δхk | ≤ T xk .
2
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда условия эквивалентности компонентов (1.5) можно записать в виде
1
хk ≈ хk∗ , если хk ∈ хk∗ ± T xk ;
2
1
хk 6≈ хk∗ , если хk 6∈ хk∗ ± T xk , k = 1, m,
2
где ∈, ∈
/ — знаки соответствия и несоответствия величины хk полю
1
допуска хk∗ ± T xk , k = 1, m.
2
С использованием понятия поля допуска отношение эквивалентности и неэквивалентности между векторами хˉ и хˉ ∗ можно
записать следующим образом:
m
1
x
ˉ≈x
ˉ∗ , если ∩ (xk ∈ [x∗k ± T xk ]);
k=1
2
m
1
хˉ 6≈ хˉ ∗ , если ∪ (хk ∈
/ [хk∗ ± Т хk ]).
k=1
2
(1..8)
1
В поле допуска хk∗ ± Т хk величина хk∗ представляет собой коор2
динату середины поля допуска и принадлежит материальному объх ∗ ). Если эту координату не связывать с этим объектом и
ему а ∗ (ˉ
1
обозначить хk0 , то поле допуска хk0 ± Т хk следует понимать как
2
форму требования, предъявляемого к величине хk . Тогда совокуп1
ность полей допусков хk0 ± Т хk , k = 1, m, определяет требова2
х ).
ния, предъявляемые к вектору хˉ , характеризующему объект а(ˉ
Введем следующие обозначения:
m
1
Н0 : ∩ (хk ∈ [хk0 ± T xk ]) — гипотеза H0 ;
k=1
2
m
1
/ [хk0 ± T xk ]) — гипотеза H1 .
Н1 : ∪ (хk ∈
k=1
2
(1..9)
Гипотезу Н0 образуют множество векторов хˉ , значения компонентов которых находятся в соответствующих полях допусков. Гипотезу Н1 образуют множество векторов хˉ , у которых значение хотя
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
бы одного компонента не находится в соответствующем поле допуска. Разумеется, введенные гипотезы являются альтернативными.
Отношения между вектором хˉ и гипотезами Н0 и Н1 представляются в форме решающей функции, аналогичной (1.7):

ˉ ∈ H0 — объект a(ˉ
x) соответствует
0, если x


 требованиям,
r(ˉ
x) =
(1..10)

1, если x
ˉ ∈ H1 — объект a(ˉ
x) не соответст

вует требованиям.
Отображение (1.10) называется шкалой наименований и порядка. Порядок определяется отношением предпочтения по качеству, а
х ), у которого хˉ ∈ Н0 , предпочтительнее по качеименно: объект а(ˉ
ству объекта а ∗ (ˉ
х ∗ ), у которого хˉ ∗ ∈ Н1 . Это отношение формально
можно записать следующим образом:
а(ˉ
х ) а ∗ (ˉ
х ∗ ), если (ˉ
х ∈ Н0 ) ∩(ˉ
х ∗ ∈ Н1 ),
где — знак, обозначающий, что качество объекта а(ˉ
х ) предпо∗
∗
чтительнее качества объекта а (ˉ
х ).
После рассмотренных пояснений условие эквивалентности объектов а1 (ˉ
х1 ) и а2 (ˉ
х2 ), где хˉ1 , хˉ2 — однородные векторы, можно записать в виде
а(ˉ
х1 ) ≈ а2 (ˉ
х2 ), если хˉ1 ≈ хˉ2 ;
где
х2 ), если хˉ1 6≈ хˉ2 ,
а(ˉ
х1 ) 6≈ а2 (ˉ
хˉ1 ≈ хˉ2 , если ∩ (ˉ
xk ∈ Н0 );
2
k=1
2
хk ∈
/ Н1 ).
хˉ1 6≈ хˉ2 , если ∪ (ˉ
k=1
Таким образом, множество объектов, у которых однородные
векторы принадлежат гипотезе Н0 , образуют класс эквивалентных
объектов. Все они удовлетворяют (соответствуют) требованиям,
указанным в нормативном документе.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Множество объектов, у которых однородные векторы принадлежат гипотезе Н1 , образуют альтернативный класс объектов, качество которых не соответствует требованиям нормативного документа.
1.2. Понятия «качество» и «количество»
Приведем определение понятия «качество» [1].
Качество — философская категория, выражающая внутреннюю определенность объекта, благодаря которой он является именно этим, а не иным. Качество — объективная и всеобщая характеристика объекта, обнаруживающаяся в совокупности его свойств
(величин).
Обратим внимание на следующие особенности, входящие в это
определение.
1. Поскольку качество объекта определяется совокупностью величин, в состав которых входят и количественные величины, с индивидуальными значениями для каждого объекта, качество также
индивидуально для каждого объекта.
2. В силу того, что свойства (величины), определяющие качество объекта а, обнаруживаются через отношения с однородными
свойствами другого объекта а ∗ , качество объекта а обнаруживается
через его отношение к качеству объекта а ∗ .
Как и ранее, обозначим совокупности однородных величин, характеризующих качество объектов а и а ∗ , векторами хˉ и хˉ ∗ , причем полагая, что компонентами этих векторов могут быть как качественные, так и количественные величины. Поскольку векторы хˉ
и хˉ ∗ могут находиться либо в отношении эквивалентности, либо в
отношении неэквивалентности, эти отношения однозначно определяют аналогичные отношения по качеству объектов а и а ∗ , т. е.
а(ˉ
х ) ≈ а ∗ (ˉ
х ∗ ), если хˉ ≈ хˉ ∗ ;
а(ˉ
х ) 6≈ а ∗ (ˉ
х ∗ ), если хˉ 6≈ хˉ ∗ .
Таким образом, содержательный смысл отношения эквивалентности объектов выражается в эквивалентности их качества. Поскольку неоднородные векторы, характеризующие качество объек14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тов, всегда неэквивалентны, по качеству эти объекты также неэквивалентны. Если качество объектов характеризуется однородными
векторами, то объекты могут быть эквивалентными по качеству,
если эти векторы эквивалентны, и неэквивалентными, если векторы неэквивалентны. Эквивалентность (неэквивалентность) однородных векторов определяется условиями (1.8), если носителями
этих векторов являются объекты а и а ∗ , и условиями (1.9), если градация качества определена требованиями нормативного документа.
х ) качеству объекта
Установление соответствия качества объекта а(ˉ
∗
∗
а (ˉ
х ) реализуется на основе решающей функции (1.7), а требованиям нормативного документа — решающей функции (1.10).
Из вышеизложенного следует, что оценить качество объекта
а(ˉ
х ) означает установить соответствие (несоответствие) качества
х ∗ ), либо требованиям к
этого объекта либо качеству объекта а ∗ (ˉ
качеству, содержащимся в нормативном документе.
х ) является продукцией и при оценке его качеЕсли объект а(ˉ
х ∗ ), то для
ства установлено несоответствие качеству объекта а ∗ (ˉ
потребителя важно заменить отношение несоответствия на отнох ) и а ∗ (ˉ
х ∗ ).
шение предпочтения по качеству между объектами а(ˉ
Установление такого отношения позволяет потребителю обоснованно выбрать изделие предпочтительного качества. Процедурами
установления отношения предпочтения по качеству между разнотипной продукцией одинакового назначения занимается учебная
дисциплина квалиметрия.
Отношения предпочтения по качеству устанавливаются на основе значений числовых характеристик (очки, баллы, числовые значения на интервале [0, 1]), которые определяются по согласованным
правилам экспертными группами применительно к определенной
группе потребителей. В настоящее время в квалиметрии господствует убеждение, что указанные выше числовые характеристики
выражают количество качества, т. е. качество есть количественная
величина. В источнике [1] дается следующее определение.
Квалиметрия — отрасль науки, изучающая и реализующая методы количественной оценки качества продукции.
В этом определении однозначно утверждается, что качество
продукции — количественная величина. Это утверждение противоположно тому, которое аргументировалось выше, а именно: по
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
качеству отношения между объектом и другими объектами и между объектом и требованиями нормативного документа могут быть
только эквивалентными либо неэквивалентными. Следовательно,
качество — не количественная величина.
Обратимся к понятию «количество» [1].
Количество — философская категория, выражающая внешнюю определенность свойства: его размер, число, объем, степень
развития и т. п.; изменение количественной определенности свойства (совокупности свойств), достигнув определенной меры, ведет
к изменению качества объекта.
Поясним, как изменение количественной определенности ведет
к изменению качества. Рассмотрим два эквивалентных по качех ) ≈ а ∗ (ˉ
х ∗ ). Их эквивалентность обусловливается
ству объекта а(ˉ
эквивалентностью однородных векторов хˉ ≈ хˉ ∗ , которая, в свою
очередь, определяется эквивалентностью однородных компонентов этих векторов, а именно хk ≈ хk∗ , k = 1, m. Пусть хk —
количественная величина. Изменим ее значение таким образом,
чтобы отношение хk ≈ хk∗ изменилось на противоположное, т. е.
на отношение хk 6≈ хk∗ . Тогда, согласно выражению (1.4), получим
отношение x
ˉ 6≈ хˉ ∗ и, следовательно, отношение а(ˉ
х ) 6≈ а ∗ (ˉ
х ∗ ), т. е.
∗
х ) стало иным, чем качество объекта а (ˉ
х ∗ ).
качество объекта а(ˉ
Изложим особенности экспериментального формирования объективного количественного значения величины.
Поскольку величина как именованное свойство обнаруживается через отношение с однородной величиной другого объекта, ее
количественное значение формируется на основе этого отношения.
Пусть а(х ) — объект, характеризующийся величиной x = const,
и а0 ([х ]0 ) — объект, характеризующийся величиной [х ]0 = const.
Допустим, что существует экспериментальная процедура, ставящая
отношению х /[x]0 = x̂ — число, лежащее на числовой оси. Тогда
x = x̂[x]0 ,
где х̂ — безразмерное число, указывающее количество кратных и
дольных частей величины [x]0 , содержащихся в величине х , т. е.
значение величины х относительно величины [x]0 . Для того чтобы обеспечить единственность, а значит, и объективность значения
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
х , нужно, во-первых, воспроизводить величину [x]0 одним объектом — государственным эталоном и, во-вторых, принять значение
величины [x]0 равным единице.
В этом случае будем иметь:
x = х̂ [x]0 — истинное значение величины х ,
[x]0 — единица величины х ,
а0 ([х ]0 ) — государственный эталон единицы величины [х ]0 .
Покажем, что число х существует и является единственным.
Представим оценку числа х , используя десятичную разрядную
сетку (р, m):
∗
x̂ = x̂0 +
m
X
k=1
αk ∙ 10
−k
= x̂0 +
m
X
k=1
αk ∙ 10
−k
∙ 10m ∙ 10−m =
i ∙ 10−m = x̂i (m),
где р — число разрядов для представления кратных единиц величины; m — число разрядов для представления дольных единиц вер
X
личины; x̂0 =
βk ∙ 10k — количество единиц величины (целое
k=1
число); αk , βk = 0, 1, . . . , 9 — целые числа; i = x̂0 +
×10
−k
∙ 10m = x̂0 ∙ 10m +
m
X
m
X
k=1
αk ×
αk ∙ 10m−k — целое число.
Представим число x̂i (m) в следующем виде:
k=1
x̂i (m) =
i
,
10m
где и в числителе, и в знаменателе стоят целые числа. Следовательно, число x̂i (m) — рациональное число, которому на числовой оси
соответствует конкретная точка. Количество рациональных чисел,
которые можно сформировать на разрядной сетке (р, m), равно
N = 10р+m . Положения чисел x̂i (m), i = 0, N , на числовой оси
при m и m + 1 показаны на рис. 1.1.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.1
Пусть х̂ < N ∙10−m . Всегда найдется интервал [x̂i−1 (m), х̂i (m)],
для которого имеет место следующее отношение:
x̂i−1 (m) ≤ х̂ ≤ х̂i (m).
Если выполняется одно из равенств, то это означает, что x̂ — рациональное число.
Рассмотрим ситуацию, в которой x̂ = const такое, что для всех
m = 1, 2, . . . выполняется условие
x̂i−1 (m) < x̂ < x̂i (m).
Для фиксированного значения m разность между граничными
значениями интервала равна
x̂i (m) − х̂i−1 (m) = i ∙ 10−m − (i − 1) ∙ 10−m = 10−m .
Устремим m → ∞. Получим
lim [x̂i (m) − x̂i−1 (m)] = lim x̂i (m) − lim x̂i−1 (m) =
m→∞
m→∞
m→∞
= lim 10−m = 0,
m→∞
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
т.е.
lim x̂i (m) = lim x̂i−1 (m) = x̂∗ = const
— действительное число по определению.
Найдем предел отношения x̂i−1 (m) < x̂ < х̂i (m), т.е. выражение
lim [x̂i−1 (m) < x̂ < x̂i (m)] :
m→∞
m→∞
m→∞
lim x̂i−1 (m) = x̂∗ < x̂ < x̂∗ = lim x̂i (m).
Из последнего отношения следует, что x̂ = x̂∗ — действительное число. Таким образом, число x̂ является действительным и
единственным. Тогда из равенства х = x̂[x]0 следует, что величина
х имеет единственное значение.
Еще раз обратим внимание на то, что единственность, а следовательно, объективность количественного значения величины гарантируется государственным эталоном единицы величины.
Из вышеизложенного следует, что величина является количественной при выполнении следующих условий.
1. Наличие государственного эталона единицы величины.
2. Существование возможности экспериментально оценить отношение х /[x]0 = х̂ .
Технические устройства, реализующие эти два условия и оценивающие значение измеряемой величины, называются средствами измерения (СИ), а сама экспериментальная процедура получения такой оценки называется измерением количественной величины. Конечным итогом процесса измерения является результат измерения, представляющий оценку измеряемой величины.
Рассмотрим принципиальные особенности формирования результата измерения рабочим СИ. Средство измерения, как и всякое
техническое устройство, не может идеальным образом реализовать
условия, о которых речь шла выше, т. е. не может точно воспроизвести единицу величины [x]0 и определить отношение х /[x]0 = х̂ .
Обозначим единицу величины, которую воспроизводит СИ, [x].
Она не равна единице величины государственного эталона, т. е.
m→∞
m→∞
[x]
= q 6= 1,
[x]0
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и, следовательно,
[x] = q [x]0 ,
(1..11)
x
= ŷ ∗ = ŷ + Δŷ,
[x]
(1..12)
где q — размер единицы величины, воспроизводимой СИ.
Выражение (1.11) описывает простейшую модель единицы величины, воспроизводимую СИ.
Далее рассмотрим операцию определения СИ отношения х /[x].
Разумеется, СИ определяет это отношение не идеально, а с некоторой погрешностью, а именно:
где ŷ — идеальное значение отношения х /[x]; Δу̂ = у̂ ∗ − у̂ — погрешность определения отношения х /[x].
С использованием разрядной сетки (р, m) величина у̂ ∗ запишется в виде
m
X
ŷ ∗ = ŷ0∗ +
αk ∙ 10−k ,
k=1
где αk ∙ 10−k , k = 1, m, — дольные части этой величины; ŷ0∗ =
p
X
=
βk ∙ 10k — целое число, представляющее кратное количество
величины х /[x].
Тогда результат измерения можно записать следующим образом:
!
m
X
y (x) = ŷ ∗ [x]0 = ŷ0∗ +
αk ∙ 10−k [x]0 =
k=1
=
ŷ0∗ +
m
X
k=1
где i =
αk ∙ 10−k
ŷ0∗ +
!
k=1
∙ 10m ∙ 10−m [x]0 = i ∙ 10−m [x]0 = yi (x) ,
i = 1, N , (1..13)
m
X
αk ∙ 10−k
!
∙ 10m — целое число, выражающее
количество дольных частей единицы величины 10−m [x]0 , содержаk=1
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
щихся в результате измерения; 10−m [x]0 — цена младшего разряда
представления результата измерения разрядной сеткой (p, m).
Найдем длину интервала [yi−1 (x), yi (x)]:
yi (x) − yi−1 (x) = i ∙ 10−m [x]0 − (i − 1) ∙ 10−m [x]0 = 10−m [x]0 .
Тогда результат измерения yi (x) = i ∙ 10−m [x]0 представляет собой
сумму i интервалов длины 10−m [x]0 .
Рассмотрим принцип экспериментального определения числа
ŷ ∗ = x/[x].
Пусть xi = i ∙ 10−m [x]0 , i = 1, N — равноудаленные и упорядоченные по значению величины. Воспроизведем эти величины
соответствующими эталонами. Такая совокупность эталонов называется шкалой интервалов (метрическая шкала). Тогда для измеряемой величины х значение у̂ ∗ можно определить по следующему
алгоритму:
ŷ ∗ = (i − 0, 5) ∙ 10−m , если xi−1 < x ≤ xi .
В работе [2] показано, что определенное значение у̂ ∗ обеспечивает минимум максимальной погрешности Δу̂ ∗ при условии, что
отношение xi−1 < x ≤ xi является достоверным событием.
Итак, для придания постоянной величине однозначного объективного количественного значения необходимо иметь государственный эталон единицы величины. Для экспериментальной оценки истинного значения измеряемой величины средство измерения
должно:
1) иметь шкалу интервалов;
2) быть способным определять отношение xi−1 < x ≤ xi .
Например, для массы шкалу интервалов образует набор эталонных гирь, характеризующихся массами mi , i = 1, N , а устройством,
определяющим отношение mi−1 < m ≤ mi , i = 1, N , являются равноплечные весы. Для электрического сопротивления шкалу
интервалов образует эталонное многозначное электрическое сопротивление, воспроизводящее значения Ri , i = 1, N , а устройством,
определяющим отношения Ri−1 < R ≤ Ri , i = 1, N , — равновесный электрический мост.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотренные особенности формирования количественного
значения величины и ее экспериментальной оценки нельзя реализовать применительно к качеству объекта, так как невозможно ввести государственный эталон единицы качества и нельзя
сформировать шкалу интервалов. Это еще раз подтверждает, что
качество — не количественная величина.
Обратимся к модели результата измерения (1.13) и с учетом выражения (1.12) определим погрешность результата измерения:
x
e(x) = y(x) − x = (ŷ + Δŷ) [x]0 − x =
+ Δŷ [x]0 − x =
[x]
x
=
+ Δŷ [x]0 = (kx̂ + Δŷ) [x]0 − x =
q[x]0
= kx + h − x = (k − 1)x + h,
где k = 1/q — коэффициент чувствительности СИ; h = Δŷ[x]0 —
аддитивная погрешность (не зависит от измеряемой величины);
(k − 1)х — мультипликативная погрешность (зависит от измеряемой величины).
Поскольку прикладная измерительная задача реализуется в рабочей среде, в которой присутствуют как детерминированные, так
и случайные возмущения, их действие влияет на результат измерения. Пусть F — случайная величина, действующая на измеряемую
величину х аддитивным образом. Тогда СИ будет определять отношение
x+F
x
F
= Y ∗ = Ŷ + ΔŶ =
+
+ ΔŶ = kx̂ + k F̂ + ΔŶ ,
[x]
[x] [x]
где Ŷ = kx̂ + k F̂ — случайное число, характеризующее отношеx+F
ние
при идеальном определении; ΔŶ — случайное число,
[x]
характеризующее погрешность округления.
В этом случае результат измерения будет представлять случайную величину следующей структуры:
Y (x) = (kx̂ + k F̂ + ΔŶ )[x]0 =
= kx + kF + H = x + (k − 1)x + kF + H = x + E(x), (1..14)
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где E(x) = Y (x) − x = me (x) + E — случайная погрешность;
me (x) = (k − 1)x + к mf + mh — систематическая погрешность
(математическое ожидание случайной погрешности); mf — математическое ожидание случайной величины F ; mh — математиче◦
ское ожидание случайной величины Н ; E = k F + H — центрированная случайная составляющая погрешности E(x).
Из выражения (1.14) получим следующую структуру случайного результата измерения количественной величины:
◦
◦
◦
◦
Y (x) = x + me (x) + E .
(1..15)
Таким образом, шкала интервалов (метрическая шкала) при однократном измерении формирует результат измерения вида (1.15).
1.3. Классификация измерительных задач
и планов измерений
На основе вышеизложенного множество прикладных измерительных задач можно разделить на два класса: класс задач, связанных с экспериментальной оценкой значений количественных величин с использованием соответствующих СИ, и класс задач, связанных с экспериментальной оценкой соответствия качества объекта
а(х ) качеству объекта а ∗ (х ∗ ) или требованиям нормативного документа.
Задачи, входящие в первый класс, назовем измерительными задачами первого типа, входящие во второй класс — измерительными
задачами второго типа.
Цель измерительной задачи первого типа заключается в том,
чтобы, используя однократные и многократные измерения, экспериментально оценить постоянные величины, параметры математических моделей переменных величин, зависящих от одного
аргумента или совокупности аргументов. Исходным ограничением
в этих задачах, как правило, является ограничение на дисперсию
оценки, а критерием оптимальности — минимум объема многократных измерений.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для того чтобы реализовать измерительную задачу первого типа, нужно определиться с измеряемой величиной х и объемом многократных измерений μ. Пару величин (х , μ) называют планом измерения.
Если измеряемая величина является переменной η(х ), зависящей от одного аргумента х , то нужно определиться с дискретными
значениями аргумента хk , k = 1, n, в которых следует выполнить
многократные измерения величины η(х ) объемом μ. Тогда план
измерения записывается в виде (х , μ), где хˉ = (х1 , . . . , хn )т —
вектор-столбец плана измерения.
Возможны ситуации, когда для измерения переменной величины при аргументах хk , k = 1, n, привлекают индивидуальные
СИk , k = 1, n, формирующие многократные измерения объемом
μk , k = 1, n. Тогда план измерения для фиксированного аргумента хk будет (хk , μk ), а по совокупности хk , k = 1, n, его можно
представить в виде
n
(ˉ
x, ˉμ) = ∪ (xk , μk ),
k=1
где ˉμ = (μ1 , . . . , μn ) — вектор объема измерений.
Если переменная величина зависит от совокупности аргументов
η(х1 , . . . , хm ), то нужно определиться с дискретными значениями
каждого аргумента из этой совокупности.
Пусть хki , k = 1, n, — множество дискретных значений аргумента хi . Расположим элементы хki , k = 1, n; i = 1, m, в форме
прямоугольной матрицы размером n × m:


x11 . . . x1m


 x . . . x2m 
X =  21
 − матрица плана измерения,
 ............ 
xn1 . . . xnm
где строка хk1 , . . . , хkm определяет измеряемое значение переменной величины η(хk1 , . . . , хkm ). План измерения этой величины
хkт , μ), где хˉkт = (хk1 , . . . , хkm ) — цепочка элементов k-й строки
(ˉ
матрицы Х . Если все величины η(хk1 , . . . , хkm ), k = 1, n, измеряются одним СИ и μk = μ, k = 1, n, то план измерения запишется в
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
виде
n
(X, μ) = ∪ (ˉ
xтk , μ).
k=1
Если каждая величина η(хk1 , . . . , хkm ) измеряется индивидухkт , μk ), а
альным СИk , то план измерения этой величины будет (ˉ
совокупность этих планов можно записать в виде
n
(X, ˉμ) = ∪ (ˉ
xтk , μk ).
k=1
Все указанные планы измерения являются планами, на основе
которых реализуются многократные измерения.
Цель измерительной задачи второго типа заключается в том,
чтобы экспериментально оценить соответствие качества объекта
предъявляемым ему требованиям. Одной из важнейших задач этого типа является задача экспериментальной оценки соответствия
качества погрешности в результате однократного измерения единству измерения.
В законе РФ «Об обеспечении единства измерений» понятие
«единство измерений» определено следующим образом.
Единство измерений — такое состояние измерений, при котором результаты измерений выражаются в указанных единицах величин, а их погрешности не выходят за установленные пределы с
заданной вероятностью.
В этом определении указаны два фактора, обеспечивающие
единство измерений: во-первых, государственные эталоны единиц
величин и, во-вторых, ограничение на погрешность однократного
результата измерения, которое можно представить в виде
1
P |E(x)| ≤ T e ≥ 1 − ε, ε 1,
(1..16)
2
1− ε — заданная вероятность (нижгде Т е — допуск
поля допуска;
1
1
1
ний предел), − T e, T e = 0 ± T e — установленные пределы
2
2
2
для погрешности E(x) (поле допуска для погрешности).
Введем допущение — результат измерения, представленный
выражением (1.15), является гауссовской случайной величиной.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда центрированная случайная составляющая E однозначно характеризуется дисперсией Dе = σ2е , где σе — среднее квадратическое отклонение. Две величины mе (х ) и Dе полно характеризуют
качество случайной погрешности Е (х ).
В работе [2] показано, что условие единства измерений относительно случайной погрешности (1.16) можно заменить эквивалентными условиями:
◦
1. Dе ≤ Dе∗ — условие единства измерений относительно
дисперсии;
(1..17)
1
2. |mе (х )| ≤ Т m∗е — условие единства измерений
2
относительно систематической погрешности,
p
где Dе∗ = σ∗е = dе Т е; Т m∗е = γе Т е — допуск поля допуска
1
0± Т ∗ mе для систематической погрешности; de = 0, 5t−1
0,5(1−λε) —
2
коэффициент, определяющий дольную часть допуска Т е, приходяt0,5−ε
щуюся на ограничение σ∗е ; γe = 1 − ηe
— коэффициент,
t0,5(1−λε)
определяющий дольную часть допуска T e, приходящуюся на доσe
пуск T ∗ me ; ηe = ∗ ≤ 1, λ — параметр, удовлетворяющий услоσe
вию 0 < λ < 1; Т е = λе ∙ 10−m [x]0 ; 10−m [x]0 — цена деления шкалы СИ; λе — коэффициент, определяющий количество кратных и
дольных частей цены деления шкалы СИ, приходящихся на допуск
Т е.
Выражение для коэффициента γе получено при допущении, что
условие σе ≤ σ∗е (ηе ≤ 1) выполняется. Рекомендуемые диапазоны
значений коэффициентов:
λ ∈ [0, 1; 0, 4], λе ∈ [1, 5; 3, 0].
Переход от условия (1.16) к эквивалентным условиям (1.17)
оправдан тем, что они сравнительно легко проверяются экспериментально с использованием методов теории статистических решений. В отличие от расчетной проверки условий (1.17) экспериментальная оценка является наиболее правдоподобной.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экспериментальная оценка соответствия как измерительная задача второго типа реализуется на основе решающей функции следующего вида:
r(u) =
(
0, если u ≤ u0 — принимается гипотеза H0 ;
1, если u > u0 — принимается гипотеза H1 ,
(1..18)
где u0 = const — параметр решающей функции; u — аргумент
решающей функции, в качестве которого принимается возможное
(экспериментальное) значение случайной величины U .
Выбор случайной величины U зависит от особенностей измерительной задачи. Основное требование, предъявляемое к этой величине, состоит в том, чтобы один из параметров ее функции распределения был величиной, на основе которой сформированы гипотезы H0 и H1 .
Использование решающей функции (1.18) добавляет еще один
параметр u0 , который должен быть определен до реализации измерительной задачи. Тогда план измерения при оценке качества объекта, характеризующегося величиной х , будет включать план формирования многократного измерения и параметр решающей функции u0 . Например, для оценки соответствия дисперсии погрешности результата однократного измерения требованию Dе ≤ Dе∗ план
измерения имеет вид (х , μ, u0 ), а для оценки соответствия математической модели переменной величины, зависящей от одного арх , μ, u0 ), если многократные измерения реализуются
гумента, — (ˉ
одним СИ и т. д.
Таким образом, план измерения в измерительной задаче оценки
соответствия включает план формирования многократного измерения и параметр решающей функции.
1.4. Алгоритмы обработки многократных измерений,
соответствующих плану (хх , μ
μ)
Многократным изменением называется совокупность однократных измерений объема μ, где μ ≥ 2.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В измерительных задачах к многократным измерениям прибегают в случае, если СИ, используемое для решения задачи в реальных условиях эксперимента, не обеспечивает получения однократного результата измерения с погрешностью, удовлетворяющей
условию (1.17), или если нужно получить результат измерения с
более жесткими ограничениями на случайную погрешность, чем
условия (1.17).
Для того чтобы реализовать многократные измерения, нужно
иметь соответствующий план измерения.
Пусть многократные измерения реализуются с использованием
плана измерения (х , μ). Однократное измерение имеет следующую
структуру:
◦
Yj (x) = x + me (x) + Ej , j = 1, μ,
(1..19)
где
— центрированная случайная составляющая с дисперсией
Dej = Dе = const, j = 1, μ (результаты многократных измерений,
равноточные по дисперсии).
Введем допущение, что ковариационные моменты
h◦ ◦i
Keij = M Ei Ej = 0, i, j = 1, μ; i 6= j.
◦
Ej
Тогда многократные измерения (1.19) относятся к классу равноточных и некоррелированных.
В работе [2] показано, что алгоритмы обработки равноточных
и некоррелированных многократных измерений, соответствующие
методу максимума правдоподобия, имеют вид
μ
◦
1X
Z(x) =
Yj (x) = x + me (x) + Z — оценка
μ
(1..20)
измеряемой величины x;
n
1 X
Se2 =
[Yj (x) − Z(x)]2 — оценка дисперсии De ,
μ−1
j=1
j=1
где Z — центрированная случайная составляющая результата обработки Z(х ) с дисперсией Dz = De /μ.
◦
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из выражений (1.20) следует, что погрешность результата измерения Z(х ) имеет ту же систематическую погрешность, что и однократное измерение, а дисперсию — в μ раз меньшую.
Пусть однократный результат измерения формируется разными
СИk , k = 1, μ, т. е.
◦
Yk (x) = x + mеk (x) + Ek , k = 1, μ,
(1..21)
где mеk (х ) — систематическая погрешность результата измерения
Yk (х ); Ek — центрированная случайная составляющая с дисперсией Dеk .
Из совокупности дисперсии выделим минимальную:
◦
Dе = Dе k̂ = min{Dе1 , . . . , Dе μ },
где k̂ — номер минимальной дисперсии.
Представим дисперсии Dеk в следующем виде:
Dеk = Dе
Dеk
= Dе vеk , k = 1, μ,
Dе
где vеk = Dеk /Dе ≥ 1, k = 1, μ.
Многократные измерения с Dеk 6= Dе хотя бы при одном индексе k = 1, μ называются неравноточными по дисперсии. Если
при этом будет иметь место условие некоррелированности центрированных случайных компонентов (1.21), то многократные измерения (1.21) называются неравноточными и некоррелированными.
Для таких многократных измерений алгоритм обработки имеет следующий вид:
Z(x) =
где wk =
μ
X
◦
wk Yk (х ) = х + mez (x) + Z ,
(1..22)
к =1
k = 1, μ, — весовые коэффициенты, удовлеμ
μ
X
P
−1
wk = 1; b(μ) =
vеk
;
творяющие условию
−1
vеk
/b(μ),
k=1
k=1
μ
mez (x) =
X
wk mеk (х )
(1..23)
k=1
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— систематическая погрешность результата измерения Z(х ); Z —
центрированная составляющая с дисперсией Dz = Dе /b(μ).
Из выражения (1.22) следует, что систематическая погрешность
mez (х ) удовлетворяет условию
◦
где
me min < mеz (x) ≤ me max ,
me max = max{me1 (x), . . . , meμ (x)} > 0,
me min = min{me1 (x), . . . , meμ (x)} < 0.
Очевидно, если считать появление положительных и отрицательных систематических погрешностей равновероятным, то систематическая погрешность (1.23) будет мала (mеz (x) ≈ 0).
Дисперсия Dz = Dе /b(μ) будет в b(μ) раз меньше, чем дисперсия самого точного по дисперсии однократного результата измереμ
X
−1
−1
vеk
, где vеk
≤ 1, величина b(μ) удовления. Поскольку b(μ) =
творяет условию 1 < b(μ) ≤ μ.
При условии vеk = 1, k = 1, μ, получим равноточные некоррелированные многократные измерения. Для них
k=1
b(μ) =
μ
X
k=1
−1 vеk
−1
vеk
=1
= μ.
Таким образом, неравноточные многократные измерения, реализуемые на основе многих СИ, позволяют уменьшить в случайной погрешности результата измерения Z(x) как систематическую
погрешность, так и дисперсию.
Если значение дисперсии Dе неизвестно, то на основе многократных измерений можно определить ее несмещенную оценку Se2
по следующим выражениям [2]:
— для равноточных некоррелированных многократных измерений
μ
1 X
2
Se =
[Yk (x) − Z(x)]2 ;
μ−1
k=1
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— для неравноточных некоррелированных многократных измерений
μ
1 X −1
Se2 =
vеk [Yk (x) − Z(x)]2 .
(1..24)
μ−1
k=1
Экспериментальные значения оценок Z(x) и Se2 являются точечными оценками величин х и Dе . Рассмотрим интервальные
оценки этих величин.
Запишем случайную величину Z(x) в виде
Z(x) = x + Ez (x),
где Ez (x) = mez (x) + Z — случайная погрешность результата обработки многократных измерений Z(x).
Пусть Ez (x) соответствует условию
◦
P (|Ez (x)| ≤ tp σz ) ≥ 1 − εz = p, εz 1,
где tp = t0,5(1−εz ) — квантиль функции Лапласа, соответствующий
1
значению 0, 5(1 − εz ), tp σz < T e при εz = ε.
2
Обратим внимание на то, что квантиль tp определяется в предположении, что систематическая погрешность me (х ) = 0. А это
невозможное событие. Влияние систематической погрешности на
интервальную оценку будет рассмотрено в разд. 2.
Образуем интервал со случайным положением на оси
Ip [Z(x)] = Z(x) ± tp σz ,
который называется доверительным. После реализации многократных измерений и их обработки получим экспериментально точечную оценку z(x). Тогда интервал Ip [z(x)] = z(x) ± tp σz называется реализацией доверительного интервала Ip [Z(x)] (интервальная
оценка величины х ).
С доверительным интервалом Ip [Z(x)] связаны два противоположных случайных события: случайное событие Ip [Z(x)] ⊃ x, состоящее в том, что доверительный интервал Ip [Z(x)] заключает в
своих границах измеряемую величину x = const. Легко показать,
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
что имеет место следующая цепочка эквивалентных случайных событий:
(|Ez (x)| ≤ tp σz ) ≈ (−tp σz ≤ Ez (x) ≤ tp σz ) ≈ (−tp σz ≤ Z(x)−
− x ≤ tp σz ) ≈ −(Z(x) + tp σz ) ≤ −x ≤ −Z(x) + tp σz ≈
≈ (Z(x) − tp σz ≤ x ≤ Z(x) + tp σz ) ≈ Ip (Z(x)) ⊃ x.
Отсюда следует, что
P [Ip (Z(x)) ⊃ x] = P (|Ez (x)| ≤ tp σz ) = 1 − εz = p,
где вероятность р = 1 − εz называется доверительной.
Противоположным случайным событием является событие
Ip (Z(x)) 6⊃ x, состоящее в том, что доверительный интервал
Ip (Z(x)) не заключает в своих границах измеряемую величину х .
Его вероятность равна
P [Ip (Z(x) 6⊃ x)] = 1 − p = εz 1,
где 6⊃ — знак ненакрытия величины х доверительным интервалом.
Таким образом, вероятность случайного события Ip [Z(x)] ⊃ x
много больше, чем случайного события Ip [Z(x)] 6⊃ x. Это означает, что при многократном повторении реализаций доверительного
интервала частота появления реализации Ip [z(x)] ⊃ x будет много
больше, чем частота появления реализаций Ip [z(x)] 6⊃ x.
Рассмотрим теперь интерпретацию реализации доверительного
интервала z(x) ± tp σz .
После завершения эксперимента и обработки многократных
измерений получим экспериментальное значение величины z(x) и
можно на оси ОХ изобразить реализацию доверительного интервала (рис. 1.2).
Рис. 1.2
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Самая распространенная интерпретация реализации z(x)±tp σz
такова: «значение измеряемой величины х находится внутри данной реализации с доверительной вероятностью p = 1 − εz ». Некорректность такой интерпретации аргументируется следующим
образом.
О событии, являющемся исходом эксперимента, можно говорить как о случайном событии только до реализации эксперимента. Например, если эксперимент — бросание монеты, то исходом
являются два случайных события: «орел», «решка». Вероятности
этих событий равны 0,5. Пусть после бросания реализовалось случайное событие «решка». Реализовавшееся событие наблюдается и
является достоверным событием; по определению его вероятность
равна 1. Бессмысленно присваивать реализовавшемуся в эксперименте событию вероятность, отличную от 1.
В рассматриваемом выше случае до реализации эксперимента
имеем случайное событие Ip [Z(x)] ⊃ x с вероятностью 1 − εz и
случайное событие Ip [Z(x)] 6⊃ x с вероятностью εz 1. Пусть
исходом эксперимента явилось событие Ip [z(x)] ⊃ x. Тогда его реализация, показанная на рис. 1.2, содержит значение измеряемой величины х . Поскольку х = const, реализация Ip [z(x)] ⊃ x является
достоверным событием.
Однако измерительная задача получения интервальной оценки
по сравнению с экспериментом бросания монеты содержит существенную особенность. Она состоит в том, что на реализации интервала, показанного на рис. 1.2, не видно, какое из случайных событий
реализовалось. Очевидно, что поскольку при многократных повторениях эксперимента частота появления реализаций Ip [z(x)] ⊃ x
много больше, чем реализаций Ip [z(x)] 6⊃ x, наиболее правдоподобным утверждением будет «реализовалось событие Ip [z(x)] ⊃ x»,
т. е. измеряемая величина х находится внутри интервала z(x)±tp σz .
Как и всякое утверждение, оно может быть истинным или ложным.
Частота истинности этого утверждения совпадает с частотой появления реализации Ip [z(x)] ⊃ x и, следовательно, истинность
утверждения является случайным событием, эквивалентным случайному событию Ip [Z(x)] ⊃ x, и его вероятность равна 1 − εz .
С учетом изложенных аргументов корректная интерпретация
реализации доверительного интервала z(x) ± tp σz будет следую33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
щей: «Значение измеряемой величины находится внутри данной
реализации доверительного интервала. Истинность этого утверждения является случайным событием. Его вероятность равна доверительной».
Если в выражении Dz = Dе /μ значение De для однократного результата измерения неизвестно, то реализация доверительного
интервала представляется в следующем виде:
Ip [z(x)] = z(x) ± tp,ν σ∗z ,
(1..25)
где σ∗z =
Dz∗ (Dz∗ = s2e /μ) s2е — экспериментальное (возможное) значение оценки дисперсии Sе2 ); tp,ν — квантиль центрального
(mе (х ) = 0) распределения Стьюдента с ν = μ − 1 степенями свободы (ст. св.), соответствующий доверительной вероятности 1 − εz .
Поскольку имеет место отношение tp,ν > tp , длина интервала
(1.25) больше, чем длина интервала (1.21). Это следствие того, что
информация о значении дисперсии Dе отсутствует.
Пример 1.1. Для однократного результата измерения случайная
погрешность удовлетворяет условию
1
P |E(x)| ≤ T e ≤ 1 − ε = p,
2
p
а доверительный интервал имеет вид
где
1
Ip [Y (x)] = Y (x) ± T e,
2
Y (x) = x + E(x).
(1..26)
Графическое изображение реализации доверительного интерва1
ла y(x) ± T e показано на рис. 1.3. Ее интерпретация такова: «Ре2
1
ализация y(x) ± T e содержит значение измеряемой величины х .
2
Истинность этого утверждения является случайным событием. Его
вероятность равна 1 − ε».
Доверительный интервал для дисперсии имеет следующий
вид [2]:
1 2
1 2
2
Ip [Se ] =
S (μ − 1), Se (μ − 1) ,
q2 e
q1
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где q1 = qe,v,0,5εz ; q2 = qe,v,1−0,5εz — квантили функции центрального χ2 -распределения с ν = μ − 1 ст. св., соответствующие значе1
1
ния εz и 1 − εz ; p = 1 − εz — доверительная вероятность.
2
2
Рис. 1.3
Реализация доверительного интервала (1.26) примет следующий вид (рис. 1.4):
1 2
1 2
2
Ip (se ) =
s (μ − 1), se (μ − 1) ,
(1..27)
q2 e
q1
где s2e — экспериментальное значение оценки дисперсии.
Рис. 1.4
Интерпретация реализации интервальной оценки для дисперсии аналогична реализации интервальной оценки для измеряемой
величины х , а именно: «Значение дисперсии Dе находится внутри
данной реализации. Истинность этого утверждения является случайным событием. Его вероятность равна доверительной вероятности 1 − εz ».
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. МЕТРОЛОГИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
2.1. Особенности прикладной измерительной задачи
При решении конкретной прикладной измерительной задачи
необходимо четко представлять, что все факторы, определяющие
результат однократного измерения как случайную величину, также
являются конкретными. Такими факторами являются:
1) объект измерения (ОИ) — носитель измеряемой величины х ;
2) конкретный экземпляр СИ со своими индивидуальными особенностями;
3) реальная среда, в которой присутствуют как детерминированные, так и случайные возмущения F (t), G(t), H(t), влияющие на
измеряемую величину, СИ и на непосредственно результат измерения;
4) взаимодействие между объектом измерения и СИ (В);
5) оператор с индивидуальными способностями (О).
Схема формирования однократного измерения с учетом перечисленных факторов показана на рис. 2.1.
Рис. 2.1
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Представим случайные возмущения в виде
◦
◦
◦
F (t) = mf + F (t); G(t) = mg + G(t); H(t) = mh + H (t),
где mf , mg , mh — постоянные величины; F (t), G(t), H (t) — центрированные стационарные случайные функции.
Тогда, как показано в работе [2], результат однократного измерения имеет следующую структуру:
◦
◦
◦
◦
Y (x; t) = Y (x) = x + E(x; t) = x + me (x) + E (t),
где E(x; t) = me (x) + E (t) — случайная погрешность; me (x) =
◦
= const — систематическая погрешность; E (t) — центрированная
случайная составляющая погрешности с дисперсией Dе .
Еще раз подчеркнем, что в конкретной измерительной задаче
систематическая погрешность является детерминированной величиной и нет объективных причин рассматривать ее как случайную
величину, как это постулируется в нормативных документах ГСИ.
Детерминированность величин me (x) и Dе , характеризующих качество случайной погрешности, позволяет экспериментально оценить соответствие гауссовской случайной погрешности однократного измерения условию единства измерений (1.16). Для этого
нужно использовать эквивалентные условия единства измерений
относительно дисперсии и систематической погрешности (1.17), а
именно:

Dе ≤ Dе∗ (σе ≤ σ∗е ); 
(2..1)
1
|me (x)| ≤ T ∗ me . 
2
Если в процессе экспериментальной оценки обнаружилось, что
первое условие (2.1) не выполняется, то его легко обеспечить за счет
многократных измерений.
Если не выполняется второе условие (2.1), то обеспечить его
можно за счет корректировки систематической погрешности, используя многократные измерения или совокупности СИk , k = 1, n.
Таким образом, прежде чем приступить к решению измерительной задачи, необходимо экспериментально доказать, что методика
◦
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
выполнения измерений с использованием СИ, которое будет применено в эксперименте, обеспечит получение однократного результата измерения с погрешностью, соответствующей требованиям (2.1).
Далее в этом разделе рассмотрены однократные и многократные
измерения, получаемые именно такими СИ.
2.2. Планирование измерений при оценке соответствия
дисперсии требованию Dе ≤ Dе∗
На основе требования Dе ≤ Dе∗ сформируем альтернативные
гипотезы
Н0 : Dе ≤ Dе∗ ;
Н1 : Dе > Dе∗ .
Разумеется, гипотеза H0 предпочтительнее гипотезы H1 . Как
задача оценки соответствия (измерительная задача второго типа)
она основана на использовании решающей функции
0, если u ≤ u0 — принимается гипотеза H0 ;
r(u) =
(2..2)
1, если u > u0 — принимается гипотеза H1 .
Очевидно, что в качестве аргумента функции (2.2) следует выбрать экспериментальную оценку дисперсии, которую можно получить только на основе многократных измерений.
План измерения имеет вид (x, μ, u0 ), где (х , μ) — план измерения для формирования многократных измерений. Поскольку
дисперсия не зависит от измеряемой величины, в качестве х можно взять любую величину, значение которой лежит в диапазоне
измерения СИ.
Плану измерения (х , μ) соответствуют равноточные многократные измерения Yk (х ), k = 1, μ. Оценка дисперсии как случайная
величина определяется на основе выражения
μ
Se2
Dе
1 X
=
[Yk (x) − Z(x)]2 =
Qе ,
μ−1
μ−1
k=1
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где Z(x) =
μ
μ
X
1X
Yk (х ); Qe = De−1
[Yk (x) − Z(x)]2 — cлуμ
чайная величина, имеющая центральное χ2 -распределение с ν =
= μ − 1 ст. св.
Случайная величина Qe характеризуется множеством возможных значений [0, ∞) и плотностью распределения f (qe ; ν). Графическое изображение плотности f (qe ; ν) при ν ≥ 2 показано на
рис. 2.2.
к =1
k=1
Рис. 2.2
Заметим, что плотность распределения зависит от одного параметра ν = μ − 1. Два первых момента случайной величины Qe
имеют следующие выражения:
mqe = M [Qe ] = ν — математическое ожидание;
Dqe = M [Q2e ] = 2ν — дисперсия.
Максимум функции f (qe ; ν) имеет место при qe = ν − 2.
Подставим в решающую функцию аргумент Se2 , тогда
0, если Se2 ≤ u0 — принимается гипотеза H0 ;
2
r(Se ) =
1, если Se2 > u0 — принимается гипотеза H1 .
Функция r(Se2 ) как функция случайного аргумента Se2 является
дискретной случайной величиной r(Se2 ) = R, которая имеет:
1) VR = {0, 1} — множество возможных значений;
2) P (R = 0), P (R = 1) = 1 − P (R = 0) — закон распределения, где R = 0 — случайное событие, состоящее в том, что
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
принимается гипотеза Н0 ; R = 1 — случайное событие, состоящее
в том, что принимается гипотеза Н1 (противоположное случайное
событие); P (R = 0), P (R = 1) — вероятности соответствующих
случайных событий.
Для того чтобы найти закон распределения случайной величины
R, достаточно определить вероятность P (R = 0) — вероятность
принятия гипотезы Н0 . Она равна
Dе
2
P (R = 0) = P (Se ≤ u0 ) = P
Qe ≤ u0 =
μ−1
= P Qe ≤ (μ − 1) De−1 u0 =
=
−1
(μ−1)D
Z e u0
0
f (qe ; ν) dqe = F (qe ; ν) qe =(μ−1)De−1 u0 =
= L (Dе /x, μ, u0 ) , (2..3)
где L(Dе /x, μ, u0 ) — оперативная характеристика решающей
функции (2.2).
Из выражения (2.3) следует, что значения оперативной характеристики определяют вероятность принятия гипотезы Н0 как функцию дисперсии Dе . Она однозначно определяется планом измерения (x, μ, u0 ).
Верхний предел интеграла является монотонно убывающей
функцией аргумента Dе и в граничных точках ведет себя следующим образом:
∞, если De = 0;
−1
(μ − 1) Dе u0 =
0, если De = ∞.
Отсюда следует, что интеграл, а значит и оперативная характеристика монотонно убывают от единицы при Dе = 0 до нуля при
Dе = ∞.
Графическое изображение оперативной характеристики показано на рис. 2.3 пунктирной линией.
Определим вероятность принять гипотезу H1 :
P (R = 1) = 1 − P (R = 0) = 1 − L (De /x, μ, u0 ) = G(De /x, μ, u0 ).
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2.3
Функция G(De /x, μ, u0 ) называется функцией мощности и
является монотонно возрастающей. Ее значения определяют вероятность принять гипотезу H1 как функцию дисперсии Dе . На
рис. 2.3 она также показана пунктирной линией.
На интервале гипотезы H0 значения оперативной характеристики определяют вероятность правильно оценить гипотезу H0 , а значение функции мощности — вероятность ошибочно оценить гипотезу H0 как гипотезу H1 . Такая ошибка называется ошибкой 1-го
рода.
Итак, ошибка 1-го рода — случайное событие, состоящее в том,
что гипотеза H0 ошибочно оценивается как гипотеза H1 . Его вероятность называется вероятностью ошибки 1-го рода.
На интервале гипотезы H1 значения функции мощности определяют вероятность правильно оценить гипотезу H1 , а значение оперативной характеристики — вероятность ошибочно оценить гипотезу H1 как гипотезу H0 . Такая ошибка называется ошибкой 2-го
рода.
Таким образом, ошибка 2-го рода — случайное событие, состоящее в том, что гипотеза H1 ошибочно оценивается как гипотеза
H0 . Его вероятность называется вероятностью ошибки 2-го рода.
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для указанных вероятностей введем обозначения:
α (Dе /Н0 ) = 1 − L (Dе /x, μ, u0 )
∗
— вероятность ошибки
1-го рода;
β (Dе /Н1 ) = L (Dе /x, μ, u0 )
∗
Dе ≤Dе
(2..4)
— вероятность ошибки 2-го рода.
Dе >Dе
Функции α(Dе /Н0 ) и β(Dе /Н1 ) являются характеристиками
эффективности задачи оценки соответствия (измерительной задачи
второго типа) для заданного плана измерения (х , μ, u0 ). Обе эти
характеристики однозначно определяются оперативной характеристикой L(Dе /x, μ, u0 ).
Отметим важную особенность, связанную с вероятностями
ошибок 1-го и 2-го рода, а именно: их сумма при D = Dе∗ равна единице. В самом деле, имеем
α (Dе∗ /Н0 )+β (Dе∗ /Н1 ) = 1−L (Dе∗ /x, μ, u0 )+L (Dе∗ /x, μ, u0 ) = 1.
Этот факт свидетельствует о том, что в точке Dе∗ и ее малой окрестности невозможно одновременно обеспечить малые значения вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода. Но поскольку функция α(Dе /Н0 )
является монотонно возрастающей от нулевого значения, а функция
β(Dе /Н1 ) — монотонно убывающей до нуля, из гипотезы Н0 можно выделить гипотезу Н0∗ : Dе ≤ Dе0 = const < Dе∗ , для которой
имеет место отношение
α (Dе /Н0∗ ) ≤ α0 1,
(2..5)
β (Dе /Н1∗ ) ≥ β0 1.
(2..6)
а из гипотезы H1 — гипотезу Н1∗ : Dе ≥ Dе1 = const > Dе∗ , для
которой имеет место отношение
Очевидно, что гипотеза Н0∗ является частью гипотезы Н0 и
представляет собой ее наиболее предпочтительную часть. Желательно, чтобы вероятности ошибки 1-го рода для нее имели малые
значения.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Гипотеза Н1∗ , наоборот, представляет собой наименее предпочтительную часть гипотезы Н1 . Для нее также желательно иметь
малые значения вероятности ошибки 2-го рода. Условия (2.5) и (2.6)
отражают эти рекомендации.
Гипотеза Н0∗ : Dе ≤ Dе0 называется наиболее предпочтительной.
Гипотеза Н1∗ : Dе ≥ Dе1 называется наименее предпочтительной.
В последующем изложении граничные точки гипотезы Dе0 и
Dе1 удобно представить в виде
Dе0 = Dе∗ (1 − ξ0 ) , 0 < ξ0 ≤ 1;
Dе1 = Dе∗ (1 + ξ1 ) , ξ1 > 0.
(2..7)
Из этих уравнений следует:
∗ ;
ξ0 Dе∗ = Dе∗ − Dе0 — расстояние от точки De∗ до точки De0
∗ .
ξ1 Dе∗ = Dе1 − Dе∗ — расстояние от точки De∗ до точки De1
Таким образом, заданием двух пар чисел (α0 , ξ0 ) и (β0 , ξ1 )
можно устанавливать ограничения на вероятности ошибок 1-го и
2-го рода относительно гипотез Н0∗ и Н1∗ соответственно.
Теперь постановка задач оптимального планирования формулируется следующим образом.
Заданы ограничения вида (2.5) и (2.6). Требуется определить
план измерения (х , μ, u0 ), который обеспечил бы выполнение этих
ограничений при минимальном объеме многократных измерений.
Такой план измерения называется оптимальным.
Для того чтобы понять сущность оптимального планирования,
введем понятие идеальной оперативной характеристики:
(
1, если De ≤ De∗ ;
Luq (Dе =
(2..8)
0, если De > De∗ .
На рис. 2.3 эта характеристика показана жирными прямыми. Идеальная оперативная характеристика обеспечивает нулевые вероятности ошибок 1-го и 2-го рода, но реализовать ее практически невоз43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
можно. Реальную оперативную характеристику можно только приблизить к идеальной за счет выбора значений параметров плана
измерения (х , μ, u0 ).
Используя выражения (2.4), трансформируем ограничения (2.5),
(2.6) в ограничения на оперативную характеристику. В результате
получим:
L (Dе /x, μ, u0 )
≥ 1 − α0 ;
Dе ≤Dе0
(2..9)
≤ β0 .
L (Dе /x, μ, u0 )
Dе ≥Dе1
Поскольку оперативная характеристика является монотонно
убывающей функцией, в отношениях (2.9) можно оставить только
знаки равенства. Тогда с учетом выражения (2.3) будем иметь два
уравнения:
L (Dе0 /x, μ, u0 ) = F (qe ; ν)
= 1 − α0 ;
−1
qe =(μ−1)Dе0
u0
(2..10)
L (Dе1 /x, μ, u0 ) = F (qe ; ν)
=
β
,
0
−1
qe =(μ−1)Dе1 u0
в которых неизвестными являются μ и u0 . Решения уравнений
(2.10) обеспечивают прохождение оперативной характеристики через точку 1 с координатами (Dе0 , 1 − α0 ) и точку 2 с координатами
(Dе1 , β0 ). Заданием положений этих точек парами чисел (α0 , ξ0 ),
(β0 , ξ1 ) можно регулировать степень приближения оперативной
характеристики к идеальной.
Рассмотрим алгоритм решения уравнений (2.10). Перейдем от
уравнений (2.10) к уравнениям для квантилей:
−1
(μ − 1)Dе0
u0 = qе, μ−1, 1−α0 ;
−1
u0 = qe, μ−1, β0 ,
(μ − 1)Dе1
(2..11)
где qe, μ−1, 1−α0 , qe, μ−1, β0 — квантили центрального χ2 -распределения с ν = μ − 1 ст. св. (см. приложение, табл. П4).
Разделим второе из уравнений (2.11) на первое и получим уравнение с одним неизвестным μ:
qe, μ−1, β0
qe, μ−1, 1−α0
44
= λ(μ; α0 , β0 ) =
Dе0
1 − ξ0
=
= b0 < 1.
Dе1
1 + ξ1
(2..12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функция целочисленного аргумента λ(μ; α0 , β0 ) обладает следующими свойствами:
1) является монотонно возрастающей;
2) lim λ(μ; α0 , β0 ) = 1.
Такие свойства функции λ(μ; α0 , β0 ) определяют единственность решения уравнения (2.12). Алгоритм поиска решения этого
уравнения имеет вид
μ→∞
μ̂ = min{μ : λ(μ; α0 , β0 ) ≥ b0 , μ = 1, 2, . . .},
(2..13)
т. е. оптимальным значением объема многократных измерений
является минимальное μ, при котором выполняется условие
λ(μ; α0 , β0 ) ≥ b0 < 1. Графическая интерпретация решения показана на рис. 2.4.
Рис. 2.4
Оптимальное значение параметра u0 определяется любым из
уравнений (2.11), а именно
uˆ0 =
qe, μ̂−1, β0
μ̂ − 1
Dе1 =
qe, μ̂−1, 1−α0
Dе0 .
μ̂ − 1
(2..14)
Таким образом, выражения (2.13), (2.14) определяют оптимальные значения параметров плана измерения.
Оптимальный план (х , μ̂, û0 ) обеспечивает выполнение заданных ограничений на вероятности ошибок 1-го и 2-го рода для наиболее и наименее предпочтительных гипотез при минимальном
объеме многократных измерений.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 2.3 для оптимального плана измерения (х , μ̂, û0 ) сплошными кривыми показаны оперативная характеристика и соответствующие ей вероятности ошибок 1-го и 2-го рода для гипотез H0 ,
∗ , H∗ .
H1 , H0∗ , H1∗ , H01
11
H0∗
∗ и H ∗ определены однозначно заданием гипотез
Гипотезы H01
11
∗
и H1 , а именно:
∗
H01
: Dе0 < Dе ≤ Dе∗ ;
∗
H11
: Dе∗ < Dе < Dе1 .
∗ вероятность ошибки 1-го рода удовлетворяет
Для гипотезы H01
условию
∗
α0 < α (Dе /Н01
) ≤ α (Dе∗ /Н0 ) ,
∗ вероятность ошибки 2-го рода — условию
а для гипотезы H11
∗
β0 < β (Dе /Н11
) < β (Dе∗ /H1 ) ,
где α (Dе∗ /Н0 ) + β (Dе∗ /Н1 ) = 1.
∗ и H ∗ отличаПоскольку значения дисперсии в гипотезах H01
11
ются незначительно, последствия ошибочных решений для этих гипотез также не будут существенными по сравнению с последствиями ошибочных решений для гипотез H0∗ и H1∗ .
Пример 2.1. Положим α0 , β0 = 0, 1; ξ0 = 0, 3; ξ1 = 1, 5.
Для этих исходных данных будем иметь:
b0 =
1 − ξ0
0, 7
= 0,28;
=
2, 5
1 + ξ1
Dе0 = 0, 7Dе∗ ; Dе1 = 2,5Dе∗ ;
qe, μ−1, 0, 1
λ(μ; α0 , β0 ) =
.
qe, μ−1, 0, 9
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Результаты расчета функции λ(μ; 0, 1; 0, 1), приведены в
табл. 2.1.
Таблица 2.1
μ
qe,μ−1,0,1
qe,μ−1,0,9
λ(μ; 0, 1; 0, 1)
5
1,06
7,78
0,14
9
3,49
13,36
0,26
10
4,17
14,68
0,284
Из данных таблицы следует, что минимальное значение объема
μ, при котором выполняется условие λ(μ; 1, 0; 0, 1) ≥ b0 = 0, 28,
равно μ̂ = 10.
Используя выражение (2.14), получим:
qe, μ̂−1, β0
4,17
2,5Dе∗ = 1,16Dе∗ ;
μ̂ − 1
9
qe, μ̂−1, 1−α0
14,68
û02 =
Dе0 =
2,5Dе∗ = 1,14De∗ ;
μ̂ − 1
9
1
1
û0 = (û01 + û02 ) = (1,16 + 1,14)Dе∗ = 1,15Dе∗ .
2
2
û01 =
Dе1 =
Проверку правильности определения параметров оптимального
плана можно провести по условиям
F (qe ; μ̂ − 1)
≥ 1 − α0 ;
−1
qe =( μ̂−1)Dе0
û0
F (qe ; μ̂ − 1)
≤ β0 ,
−1
qe =( μ̂−1)Dе1 û0
где значения функции центрального χ2 -распределения с ν =
= μ̂ − 1 ст. св. берут из табл. П4.
Поскольку
1
1, 15 = 14, 79;
0, 7
1
−1
û0 = 9
( μ̂ − 1)Dе1
1, 15 = 4, 14,
2, 5
−1
( μ̂ − 1)Dе0
û0 = 9
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
то
F (qe ; μ̂ − 1)
= 0,9 = 1 − α;
q =14,79
e
F (qe ; μ̂ − 1)
= 0,09 < 0,1 = β0 ,
qe =4,18
и, следовательно, условия выполняются. Оптимальный план измерения (х , μ̂, û0 ) = (х ; 10; 1, 15Dе∗ ) определен верно.
Далее на составляющей оптимального плана измерения
(х , μ) = (х , 10) реализуются многократные измерения уk , k =
= 1, μ. После их обработки получим экспериментальное значение
оценки дисперсии s2е . На основе решающей функции

 0, если s2e ≤ û0 — принимается гипотеза H0 ;
2
r(se ) =
 1, если s2e < û0 — принимается гипотеза H1
проводится оценка соответствия дисперсии требованию Dе ≤ Dе∗ .
Если принимается гипотеза H0 , то далее следует проверить
соответствие систематической погрешности. В противном случае
нужно предпринять усилия для обеспечения условия Dе ≤ Dе∗ .
2.3. Планирование измерений при обеспечении
условия Dе ≤ Dе∗
Рассмотрим способ обеспечения этого условия, основанный на
использовании многократных измерений.
Пусть (х , μ) — план многократных измерений величины х и
Yk (х ), k = 1, μ, — результаты многократных измерений (случайные величины, соответствующие этому плану). После обработки
получим результат
μ
◦
1X
Z(x) =
Yk (x) = x + me (x) + Z ,
μ
к =1
где Z — центрированная случайная составляющая с дисперсией
Dz = Dе /μ.
◦
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Примем в качестве однократного измерения величину Z(х ), т. е.
◦
Ŷ (x) = Z(x) = x + me (x) + Z .
Определим объем μ из условия
Тогда получим
Dz = Dе /μ ≤ Dе∗ .
μ̂ = [Dе /Dе∗ ]+ ,
(2..16)
где + — знак округления до ближайшего большего целого числа.
Выражение (2.16) можно использовать, если значение дисперсии Dе известно. В противном случае используют оценку s2е , полученную при проверке условия Dе ≤ Dе∗ , если μ ≈ 30 (так как
известно, что s2е ≈ Dе при μ ≈ 30). Если μ < 30, то следует провести недостающие многократные измерения. С использованием экспериментальной оценки дисперсии s2е оптимальный объем многократных измерений определяется выражением
+
μ̂ = s2e /Dе∗ .
(2..17)
Тогда плану измерения (х , μ) будет соответствовать результат обработки многократных измерений
μ̂
Z(x) = Ŷ (x) =
◦
1X
Yk (x) = x + me (x) + Z ,
μ̂
k=1
где Dz = Dе / μ̂ = D̂e ≤
Далее будем полагать, что условие Dе ≤ Dе∗ выполняется.
Dе∗ .
2.4. Планирование измерений при оценке соответствия
систематической погрешности
1
условию |me (x)| ≤ T ∗ me
2
Введем альтернативные гипотезы
1
Н0 : |me (x)| ≤ T ∗ me ;
2
1
H1 : |me (x)| > T ∗ me .
2
(2..18)
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Используя условие Dе ≤ Dе∗ , введем коэффициент η2е =
= Dе /Dе∗ ≤ 1. Тогда среднее квадратическое отклонение σе = ηе σ∗е .
Запишем альтернативные гипотезы (2.18) относительно приведенной систематической погрешности:
|me (x)|
1 T ∗ me
1
= |εe | ≤
= T ∗ εe = ε∗e ;
σe
2 σe
2
∗
H1 : |εe | > εe ,
Н0 :
(2..19)
где εe = me (x)/σe — приведенная систематическая погрешность;
T ∗ εe = T ∗ me /σe — приведенный допуск для приведенной систематической погрешности;
∗m 1
T
e
−1 ε∗e =
d
γ
=
σe =η σ∗ , = 0, 5η−1
e
e
e d =0,5t−1
,
e
2 σe σ∗ =deTee,
0,5(1−λε)
e
e
T ∗ me =γe T e
=
(
γe =1−ηe t
t0,5−ε
0,5(1−λε)
ε∗e (ηe ) = η−1
e t0,5(1−λε) − t0,5−ε , если ηe < 1;
ε̂∗е = t0,5(1−λε) − t0,5−ε , если ηe = 1.
Очевидно, что
(2..20)
ε∗e (ηe ) > ε̂∗e .
Условие ηе < 1 будем использовать тогда, когда значение дисперсии Dе известно и Dе < Dе∗ , условие ηе = 1 — когда это значение неизвестно.
Данная измерительная задача относится к задачам второго типа,
и, следовательно, план измерения имеет вид (х , μ, u0 ).
Определимся с аргументом решающей функции. Плану измерения (х , μ) соответствует результат обработки многократных измерений Z(x), который представляется в виде
◦
◦
Z(x) = mz (x) + Z = x + me (x) + Z , Dz = Dе /μ,
где mz (x) — математическое ожидание случайной величины Z(x).
Из этого уравнения следует, что
me (x) = mz (x) − x.
50
(2..21)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для получения оценки систематической погрешности нужно
использовать действительное значение величины х и несмещенную оценку величины mz (x), каковой является результат обработки многократных измерений Z(x). Тогда получим следующую
случайную оценку систематической погрешности:
◦
◦
ΔZ(x) = Z(x)−xд = x+me (x)+Z −xд ≈ me (x)+Z , Dz = Dе /μ,
где хд — действительное значение измеряемой величины х . Она
является несмещенной, и ее дисперсию за счет объема многократных измерений можно сделать сколь угодно малой.
В качестве аргумента решающей функции выберем приведенную оценку систематической погрешности
◦
◦
◦
ΔZ(x)
me (x) + Z
me (x) √
Z
μ+
Te =
=
=
= mte + Te ,
σz
σz
σz
σe
√
где mte = μεe — математическое ожидание случайной величины
Te ; εe = me (x)/σe — приведенная систематическая погрешность, c
использованием которой сформированы альтернативные гипотезы
H0 и H1 ; T e = Z /σz — центрированная составляющая с дисперсией Dz = 1.
Случайная величина Те является гауссовской и однозначно
определяется величинами mte и Dte = 1.
Подставив в решающую функцию аргумент Те , получим
0, если |Te | ≤ u0 − принимается гипотеза H0 ;
R(Te ) = R =
1, если |Te | > u0 − принимается гипотеза H1 .
◦
◦
Найдем выражение для вероятности случайного события R = 0:
P (R = 0) = P (|Te | ≤ u0 ) =
=
u0Z
−mte
Zu0
f (te ; mte , 1)dte =
−u0
f (te ; 1, 0)dte = Φ(u0 − mte ) − Φ [−(u0 + mte )] =
−(u0 +mte )
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
√
= Φ(u0 + |mte |) + Φ(u0 − |mte |) = Φ (u0 + μ|εe |) +
√
√
+ Φ (u0 − μ|εe |) = L ( μ|εe |/x, μ, u0 ) , (2..22)
√
где L
μ|εe |/x, μ, u0 — оперативная характеристика аргумента
1 R∞ − 1 t2
|εe |; Φ(t) = √
e 2 dt — функция Лапласа (табулированная
2π 0
функция), Φ(−t) = −Φ(t) — функция Лапласа — нечетная функция.
График функции Лапласа для положительных значений аргумента показан на рис. 2.5.
Рис. 2.5
Из выражения для оперативной характеристики (2.22) следует:
(
2Φ(u0 ) ≤ 1, 0, если |εе | = 0;
√
1) L ( μ|εe |/x, μ, u0 ) =
0, если |εе | = ∞;
√
2) L ( μ|εe |/x, μ, u0 ) − монотонно убывающая функция.
График оперативной характеристики и соответствующие ей вероятности ошибок 1-го и 2-го рода изображены на рис. 2.6 пунктирными кривыми.
Выражения для вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода имеют
следующий вид:
α (|εe |/H0 ) = 1 − L ( μ|εe |/x, μ, u0 )
√
|εe |≤ε∗e
52
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2.6
β (|εe |/H1 ) = L ( μ|εe |/x, μ, u0 )
√
.
|εe |>ε∗e
Как и в предыдущем случае, степень приближения оперативной характеристики к идеальной определим заданием двух пар
чисел: (α0 , ξ0 ), (β0 , ξ1 ). На рис. 2.6 они определяют точку 1 с координатами (1 − α0 , εе0 ) и точку 2 с координатами (β0 , εе1 ), где
εе0 = ε∗е (1 − ξ0 ) и εе1 = ε∗е (1 + ξ1 ), через которые должна пройти оперативная характеристика. В этом случае будет обеспечено
выполнение условий
α (|εe |/H0∗ ) ≤ α0 1;
β (|εe |/H1∗ ) ≤ β0 1,
(2..23)
где H0∗ : |εе | ≤ εе0 — наиболее предпочтительная гипотеза;
H1∗ : |εе | ≥ εе1 — наименее предпочтительная гипотеза.
Необходимо сформировать план измерения (х , μ, u0 ), который
обеспечит выполнение условий (2.23) при минимальном объеме
многократных измерений.
По сравнению с предыдущим случаем к величине х предъявляется дополнительное требование — должно быть известно ее действительное значение.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Значения величин μ и u0 находят на основе уравнений, определяющих прохождение оперативной характеристики через точки 1 и
2, а именно:
√
L ( μεe0 /x, μ, u0 ) =
√
√
= Φ (u0 + μεe0 ) + Φ (u0 − μεe0 ) = 1 − α0 ;
√
L ( μεe1 /x, μ, u0 ) =
√
√
= Φ (u0 + μεe1 ) + Φ (u0 − μεe1 ) = β0 .
(2..24)
Аргументы в первых слагаемых левых частей уравнений (2.24)
являются положительными и имеет значения, позволяющие принять
√
√
Φ (u0 + μεe0 ) ≈ Φ (u0 + μεe1 ) ≈ 0,5.
Тогда получим
√
Φ (u0 − μεe0 ) = 0, 5 − α0 ;
√
Φ ( μεe1 − u0 ) = 0, 5 − β0 .
(2..25)
√
u0 − μεe0 = t0,5−α0 ;
√
μεe1 − u0 = t0,5−β0 ,
(2..26)
Для квантилей эти уравнения запишутся следующим образом:
где t0,5−α0 , t0,5−β0 — квантили функции Лапласа, соответствующие
значениям 0,5 − α0 и 0,5 − β0 .
Решения уравнений (2.26) приводятся в работе [3] и имеют следующий вид:
+
μ̂ = λ20 , û0 = λ01 ,
(2..27)
где
λ0 =
t0,5−α0 + t0,5−β0
(1 − ξ0 ) t0,5−β0 + (1 + ξ1 ) t0,5−α0
.
; λ01 =
∗
εe (ξ0 + ξ1 )
ξ0 + ξ1
Проанализируем полученные выражения.
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. При ξ0 = ξ1 = 0 имеет место максимальная степень приближения оперативной характеристики к идеальной. При этом условии
λ0 = ∞ и, следовательно, μ = ∞. Это означает, что такую оперативную характеристику практически реализовать невозможно.
2. Граничная точка для альтернативных гипотез определяется
выражением (2.20):
( ∗
ε (ηe ) , если Dе < Dе∗ и Dе известно;
∗
εe =
ε̂∗е , если Dе ≤ Dе∗ и Dе неизвестно,
причем ε̂∗е < ε∗e (ηe ). Это означает, что при ε∗е = ε̂∗е значение λ0
будет больше, чем при ε∗е = ε∗е (ηе ). Следовательно, оптимальное
значение μ будет больше для случая, когда значение дисперсии, удовлетворяющее условию Dе ≤ Dе∗ , неизвестно. Это плата за отсутствие информации о значении дисперсии.
Итак, оптимальный план (хq , μ̂, û0 ) обеспечит выполнение условий (2.23) при минимальном объеме многократных измерений.
Правильность определения оптимальных значений μ̂ и û0 гарантируется выполнением условий
Φ(û0 + λ0 εe0 ) + Φ(û0 − λ0 εe0 ) ≥ 1 − α0 ;
Φ(û0 + λ0 εe1 ) + Φ(û0 − λ0 εe1 ) ≤ β0 .
(2..28)
√
В этих условиях использована подстановка μ = λ0 .
Пример 2.2. Положим α0 , β0 = 0,1; ηе = 0,8 (значение дисперсии известно), ξ0 , ξ1 = 0,3; λ = 0,4; ε = 0,1.
Для таких исходных данных будем иметь:
ε∗e (ηe ) = η−1
e t0,5(1−λε) − t0,5−ε = 1,25 ∙ 2,05 − 1,28 = 1,28;
εe0 = ε∗e (ηe ) (1 − ξ0 ) = 1,28 ∙ 0,7 = 0,90;
εe1 = ε∗e (ηe ) (1 + ξ1 ) = 1,28 ∙ 1,3 = 1,66;
ε∗e (ηe ) (ξ0 + ξ1 ) = 1,28 ∙ 0,6 = 0,77;
t0,5−α0 , t0,5−β0 = t0,5−α0 = t0,4 = 1,28;
t0,5−α0 + t0,5−β0
2 ∙ 1,28
=
= 3,32;
λ0 = ∗
εe (ηe ) (ξ0 + ξ1 )
0,77
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
λ01 =
(1 − ξ0 ) t0,5−β0 + (1 + ξ1 ) t0,5−α0
2 ∙ 1,28
=
= 4,27.
ξ0 + ξ1
0,6
Оптимальные значения параметров плана измерения будут
равны:
i+
+ h
μ̂ = λ20 = (3, 32)2 = 11; û0 = λ01 = 4,27.
В итоге получим оптимальный план (х , μ̂, û0 ) = (х ; 11; 4,27).
Сделаем проверку правильности определения оптимального
плана по условиям (2.28). Аргументы функции Лапласа равны:
û0 + λ0 εe0 = 4,27 + 3,32 ∙ 0,90 = 7,26;
û0 − λ0 εe0 = 4,27 − 3,32 ∙ 0,90 = 1,28;
û0 + λ0 εe1 = 4,27 + 3,32 ∙ 1,66 = 9,78;
û0 − λ0 εe1 = 4,27 − 3,32 ∙ 1,66 = −1,24.
Подставим получение значения в левые части условий (2.28):
0,5 + 0,4 = 0,9 = 1 − α0 ;
0,5 − 0,393 = 0,107 ≈ 0,1 = β0 .
Условия (2.28) выполняются, т. е. оперативная характеристика проходит через точку 1 с координатами (1 − α0 , εe0 ) и точку 2 с координатами (β0 , εe1 ). Это означает, что оптимальный план определен
верно.
Пример 2.3. Положим ηе = 1 (дисперсия Dе неизвестна), а
остальные исходные данные оставим теми же, что и в примере 2.2.
Тогда получим:
ε̂∗e = t0,5(1−λε) − t0,5−ε = 2,05 − 1,28 = 0,77;
εe0 = ε̂∗e (1 − ξ0 ) = 0,77 ∙ 0,7 = 0,54;
εe1 = ε̂∗e (1 + ξ1 ) = 0,77 ∙ 1,3 = 1,00;
t0,5−α0 + t0,5−β0
2 ∙ 1,28
=
= 5,54;
λ0 =
∗
0,77
∙ 0,6
ε̂e (ξ0 + ξ1 )
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
λ01 = 4,25;
+
μ̂ = 5,542 = 31;
û0 = 4,25.
Оптимальный план (х , μ̂, û0 ) = (х ; 31; 4,25), т. е. за счет отсутствия информации о дисперсии объем многократных измерений
увеличился с 11 до 31.
После определения плана измерения реализуются многократные измерения уk , k = 1, μ, и определяется экспериментальное значение аргумента решающей функции
te =
где z(x) =
z(x) − xд p
μ̂,
σe
(2..29)
μ̂
1 P
yk .
μ̂ k=1
На основе решающей функции оценивается соответствие систе1
матической погрешности условию |me | ≤ T ∗ me :
2
(
0, если |te | ≤ û0 — соответствие имеет место;
r(te ) =
1, если |te | > û0 — соответствия нет.
Если значение дисперсии Dе неизвестно, то в выражении (2.29)
следует использовать значение предела σ∗е .
В случае выполнения условия |te | > u0 необходимо провести
корректировку систематической погрешности в сторону уменьшения ее модуля.
2.5. Планирование измерений при корректировке
систематической погрешности
Принцип корректировки систематической погрешности прост:
нужно экспериментально оценить ее значение и затем вычесть его
из результата измерения. Измерительная задача оценки значения
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
систематической погрешности относится к первому типу, и план измерения имеет вид (х , μ), где для х должно быть известно действительное значение xд . Этому плану соответствуют многократные измерения Yk (х ), k = 1, μ, и результат их обработки определяется
выражением
μ
◦
1X
Z(x) =
Yk (x) = x + me (x) + Z .
μ
Используя выражение (2.21) и экспериментальное значение
z(x), получаем экспериментальную оценку систематической погрешности:
m̂e (x) = mz (x) − x x≈xд =
k=1
mz (x)=z(x)
◦
◦
= z(x) − xд = x + me (x) + z −xд ≈ me (x) + z, (2..30)
где z — возможное значение центрированной случайной величины
◦
Z с дисперсией Dz = Dе /μ, De ≤ Dе∗ .
Вычтем оценку (2.30) из результата однократного измерения.
Получим:
◦
◦
◦
Ŷ (x) = Y (x) − m̂e (x) = x + me (x) + E −me (x) − z =
◦
◦
= x − z + E = x + Ê,
где Ê = − z + E (z — математическое ожидание (систематическая
погрешность) случайной погрешности Е̂ ).
◦
Экспериментальное значение z является возможным значени◦
◦
◦
ем случайной величины Z . Для того чтобы обеспечить выполнение
1
◦
условия | z | ≤ T ∗ me , нужно выполнить условие
2
◦
1 ∗
P | Z | ≤ T me ≥ 1 − εz , εz 1.
2
Положим
1 ∗
σe
(2..31)
T me = tpz σz = tpz √ ,
μ
2
◦
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где tpz — решение уравнения 2Φ(t) = 1 − εz , равное квантилю функции Лапласа t0,5(1−εz ) , соответствующему значению
0, 5(1 − εz ).
Из уравнения (2.31) следует выражение для объема многократных измерений:
"
2 2 #+
σe
σ∗e
=
2tpz ηe ∗
,
μ̂ = 2tpz ∗
T me
T me
σ=ηe σ∗e
< 1, если σe − известно;
1, если σe − неизвестно.
Воспользовавшись выражением
где ηe =
T ∗ me
γe
=
=
2
t
−
η
t
,
0,5−ε
0,5(1−λε)
e
σ∗e
de
получим окончательную формулу
−1 2 +
−1
μ̂ = tpz ηe t0,5(1−λε) − t0,5−ε
,
правая часть которой зависит от параметров ηе , λ, ε, εz .
Пример 2.4. Положим ηе = 0,8; ε = 0,1; λ = 0,4; εz = 0,05.
Тогда получим:
tpz = t0,5(1−εz ) = t0,475 = 1,96;
0,5(1−λε)
0,5−ε
= t0,48 = 2,05;
= t0,40 = 1,28;
μ̂ = [2, 34]+ = 3.
План измерения будет (хд , μ̂) = (хд , 3).
Примем ηе = 1 (условие σе < σ∗е выполняется, но значение σе
неизвестно), а остальные исходные данные оставим без изменения.
Тогда
μ̂ = [6, 47]+ = 7
и план измерения будет (хд , μ̂) = (хд , 7). Объем многократных измерений возрос с μ̂ = 3 до μ̂ = 7.
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.6. Анализ влияния систематической погрешности
на интервальную оценку измеряемой величины
Вернемся к доверительному интервалу
Ip [Z(x)] = Z(x) ± tp σz ,
где Z(x) =
μ
◦
1 P
Yk (x) = x + Ez (x) = x + me (x) + Z — резульμ к =1
тат обработки многократных измерений, соответствующих плану
измерений (x, μ); Z — центрированная случайная составляющая с
◦
дисперсией Dz = Dе /μ, Ez (x) = me (x) + Z — случайная погрешность результата измерений Z(x).
Пусть случайная погрешность Еz (х ) удовлетворяет условию
◦
P (|Ez (x)| ≤ tp σz ) ≥ 1 − εz , εz 1.
Выражение для вероятности в левой части этого отношения согласно формуле (2.22) имеет следующий вид:
P (|Ez (x)| ≤ tp σz ) = Φ (tp +
где εe =
√
μ|εe |) + Φ (tp −
√
μ|εe |) , (2..32)
me (x)
— приведенная систематическая погрешность, удоσe
влетворяющая условию |εe | ≤ ε∗e (ηe ), ηe ≤ 1.
Приравняем правую часть уравнения (2.32) доверительной вероятности 1 − εz и получим уравнение
Φ (tp +
√
μ|εе |) + Φ (tp −
√
μ|εe |) = 1 − εz .
(2..33)
Положим μ = const, |εе | = ε∗е (ηе ), ηе ≤ 1 и рассмотрим левую
часть этого уравнения как функцию аргумента tр . Она является монотонно возрастающей функцией этого аргумента. Ее графическое
изображение показано на рис. 2.7 сплошной кривой.
Пунктирной кривой показана эта же функция при mе (х ) = 0,
т. е. функция 2Φ(tp ). Точка t̂р > t0,5(1−ε) является решением уравнения (2.33). Алгоритм поиска этого решения имеет вид
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
√
t̂p = tpк̂ = min tpк : Φ tpк + με∗e (ηe ) +
√
+ Φ tpк − με∗e (ηe ) ≥ 1 − εz ,
(2..34)
tpк = t0,5(1−εz ) + к Δtp , к = 0, 1, 2, . . . } ,
где Δtр = const — шаг изменения коэффициента tp ; k̂ — минимальное k, при котором справедливо отношение в фигурных скобках.
Рис. 2.7
1
Таким образом, при условии |me (x)| ≤ T ∗ me коэффициент tp
2
следует выбирать по алгоритму (2.34). При этом всегда имеет место условие t̂р > t0,5(1−εz ) , т. е. увеличение длины доверительного
интервала.
Рассмотрим приближенный метод
определения коэффициен
√ ∗
та tp . Положим Φ tp + μεe (ηe ) ≈ 0, 5. Тогда уравнение (2.33)
запишется следующим образом:
или
Φ (tp −
tp −
√
√
με∗e (ηe )) = 0, 5 − εz
με∗e (ηe ) = t0,5−εz .
Из последнего уравнения получим следующее выражение:
t̂p = t0,5−εz +
√
με∗e (ηe ).
(2..35)
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Это выражение в явном виде отражает зависимость длины доверительного интервала от ограничения на систематическую погрешность и объема μ. Поэтому при t̂р = t0,5(1−ε) и |εе | = ε∗е (ηе ) доверительная вероятность будет удовлетворять условию Рдов < 1 − εz ,
как это показано на рис. 2.7.
Таким образом, реализацию интервальной оценки следует формировать согласно выражению
Ip [z(x)] = z(x) ± t̂p σz .
(2..36)
Тогда вероятность истинности утверждения, что значение измеряемой величины х находится внутри этой реализации доверительного
интервала, будет равна 1 − εz .
Пример 2.5. Положим ηе = 0, 8; ε = 0, 1; λ = 4; εz = 0, 05;
μ = 5.
Для этих исходных данных получим:
ε∗e (ηe ) = η−1
e t0,5(1−λε) − t0,5−ε = 1, 25 ∙ 2, 05 − 1, 28 = 1, 28,
t0,5(1−λε) = t0,5∙0,96 = t0,48 = 2, 05,
tp = t0,5(1−εz ) = t0,5∙0,95 = t0,475 = 1, 96,
t0,5−εz = t0,456 = 1, 65,
√
t̂p = t0,5−εz + με∗e (ηe ) = 1, 65 + 2, 24 ∙ 1, 28 = 4, 51.
Выполним проверку для t̂р = 4,
51, используя уравнение (2.31)
√
при допущении Φ tp + με∗e (ηe ) ≈ 0, 5. В результате получим:
P (|Ez (x)| ≤ tp σz ) = 0, 5 + Φ t̂p −
√
με∗e (ηe ) =
= 0, 5 + Φ (t0,5−εz ) = 0, 5 + Φ(1, 65) = 0, 5 + 0, 451 =
= 0, 951 > 0, 95 = 1 − εz .
Теперь выполним проверку для tр = 1, 96:
P (|Ez (x)| ≤ tp σz ) ≈ 0, 5 + Φ (tp −
√
με∗e (ηe )) =
= 0, 5 + Φ(1, 96 − 2, 24 ∙ 1, 28) = 0, 5 + Φ(−0, 9) =
= 0, 5 − 0, 32 = 0, 18 = P̂дов .
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При Рдов = 0, 18 < 0, 5 интерпретация реализации интервальной оценки z(x) ± tp σz будет следующей: «Измеряемая величина находится вне этой реализации. Истинность этого утверждения
является случайным событием. Его вероятность равна 1 − Рдов =
= 1 − 0, 18 = 0, 82».
2.7. Планирование измерений при оценке соответствия
приведенных систематических погрешностей
на диапазоне измерения СИ требованию,
заданному в форме гиперсферы
Требование к систематической погрешности в форме |me (x)| ≤
1 ∗
≤ T me для СИ должно соблюдаться на всем диапазоне изме2
рения, т. е. для х ∈ [x0 , x01 ]. Методика планирования измерений,
изложенная в разд. 2.4, позволяет оценить соответствие только в
точке х .
Очевидно, что для оценки соответствия на всем диапазоне нужно, во-первых, выбрать в пределах диапазона ограниченную совокупность точек, хk , k = 1, n, и, во-вторых, в каждой точке на основе
оптимального плана (хk , μ̂k , uоk ), k = 1, n, оценить соответствие
1
требованиям |me (xk )| ≤ T ∗ me , k = 1, n. Альтернативные гипо2
тезы в этом случае запишутся следующим образом:
n
1 ∗
H0 : ∩ |me (xk )| ≤ T me ;
k=1
2
n
1 ∗
H1 : ∪ |me (xk )| > T me ,
k=1
2
где ∩ — знак произведения требований, означающий, что все тре1
бования |me (xk )| ≤ T ∗ me , k = 1, n, выполняются; ∪ — знак объ2
единения (суммы) требований, означающий, что хотя бы одно из
1
требований |me (xk )| > T ∗ me , k = 1, n, имеет место.
2
При условии, что α0k = α0 , β0k = β0 , ξ0k = ξ0 , ξ1k = ξ1 ,
k = 1, n, получим оптимальные планы (хk , μ̂k , û0k ), k = 1, n, где
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
μ̂k = μ̂, û0k = û0 , k = 1, n. Совокупность этих планов обозначим
n
(ˉ
x, μ̂, û0 ) = ∪ (xk , μ̂k , û0k ),
k=1
где х = (х1 , . . . , хk )т — вектор плана измерения.
Более подробно планирование измерений для такой задачи
оценки соответствия будет изложено в разд. 3.
Рассмотрим планирование измерений на основе альтернативных гипотез, сформированных c использованием скалярной величины.
Для плана измерения (хk , μ) совокупность однократных измерений запишется в виде
Yj (xk ) = xk + Ej (хk ), j = 1, μ,
где Еj (хk ) = mе (хk ) + Еj — случайная погрешность; mе (хk ) — си◦
стематическая погрешность; Еj , j = 1, μ — центрированные случайные составляющие с дисперсиями Dеj = Dе = const, j = 1, μ.
Для всех точек хk , k = 1, n, условие единства измерений относительно случайных погрешностей оставим постоянным, т. е.
1
P |Ej (xk )| ≤ T e = 1 − ε, ε 1, k = 1, n.
2
◦
Тогда будем иметь:
Dе ≤ Dе∗ (σе ≤ σ∗е ), ηe =
σe
≤ 1;
σ∗e
1
|me (xk )| ≤ T ∗ me ,
2
(2..37)
где σ∗e = de T e, de = 0, 5t−1
0,5(1−λε) = const при λ, ε = const;
t0,5−ε
T ∗ me = γe T e, γe = 1 − ηe
= const.
t0,5(1−λε)
Перейдем от условий (2.37) к эквивалентным условиям на безразмерных величинах:
|me (xk )|
1 T ∗ me
1 Te
1
= |εеk | ≤
= γe
= γe T εe ,
σe
2 σe
2 σe
2
64
(2..38)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где εеk =
me (xk )
, k = 1, n — приведенные систематические поσе
Te
— приведенный допуск.
грешности; T εe =
σe
Тогда модуль вектора ˉεе = (εе1 , . . . , εеn )т будет удовлетворять
следующему отношению:
v
u n
√
uX
n
2
t
|ˉεe | = εe =
εеk ≤
γ T εe = εe1 .
2 e
k=1
Оставив в этом отношении только знак равенства, получим
уравнение
n
X
ε2еk = ε2e1 ,
которое является уравнением гиперсферы радиуса εе1 . Эта гиперсфера проходит через вершины гиперкуба с длиной ребра γе Т εе ,
центр которого находится в начале системы координат.
При n = 2 гиперсфера перейдет в окружность с радиусом
√
2
γ T εe ,
εe1 =
2 e
которая показана на рис. 2.8 пунктирной кривой.
На основе модуля εе сформируем альтернативные гипотезы
k=1
H0 : εe ≤ εe1 ;
H1 : εe > εe1 ,
где Н0 — гипотеза, включающая множество векторов ˉεе , не выходящих за пределы гиперсферы радиуса εе1 ; Н1 — гипотеза, включающая множество векторов ˉεе , расположенных вне этой гиперсферы.
На рис. 2.8 в пределах квадрата находится гипотеза
2
1
Ĥ0 = ∩ εеk ≤ γe T εe .
k=1
2
В гипотезе Н0 : εе ≤ εе1 существуют области, выходящие за пределы гипотезы Н̂0 . Одна из таких областей показана косой штриховкой.
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2.8
Выделим гиперсферу, вписанную в гиперкуб. Еe радиус равен
1
εe0 = γe T εe . На рис. 2.8 ей соответствует вписанная в квадрат
2
окружность. В гипотезе Н̂0 существуют области, выходящие за пределы гипотезы Н0: εе ≤ εе0 . Одна из таких областей показана двойной штриховкой.
Cделать так, чтобы области, ограниченные квадратом и окружностью, совпадали, невозможно. Компромиссный вариант заключается в том, чтобы уменьшить размеры несовпадающих областей.
Для этого нужно выбрать окружность, которая расположена между
вписанной в квадрат и проходящей через его вершины окружностями, т. е. радиус этой окружности должен удовлетворять следующему условию:
√
1
2
∗
γe T εe < εe <
γ T εe .
(2..39)
2
2 e
Окружность с таким радиусом показана на рис. 2.8 сплошной
кривой. Видно, что размеры несовпадающих областей уменьшились.
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Условие для радиуса гиперсферы при произвольном значении
n, аналогичное условию (2.39), будет иметь вид
√
1
n
∗
γ T εe = εe1 .
εe0 = γe T εe < εe <
2
2 e
В качестве такого радиуса можно принять
ρ(n)
γ T εe ,
2 e
√
√
√
где ρ(n) = k n, k = 3, 4, . . .; 1 < k n < n;
ε∗e =
(2..40)
T e −1 −1
= η−1
∗ = γe ηe de
e 2t0,5(1−λε) ×
e σe
σe σσ∗ee =η
=de T e
t0,5−ε
= 2 η−1
× 1 − ηe
e t0,5(1−λε) − t0,5−ε . (2..41)
t0,5(1−λε)
γe T εe = γe
С учетом изложенных соображений альтернативные гипотезы
на скалярной величине εе запишутся следующим образом:
Н0 : εе ≤ ε∗е ;
Н1 : εе > ε∗е .
(2..42)
Сформируем наиболее и наименее предпочтительные гипотезы
Н0∗ : εе ≤ εе0 = ε∗е (1 − ξ0 );
Н1∗ : εе ≥ εе1 = ε∗е (1 + ξ1 ).
(2..43)
α (εe /H0∗ ) ≤ α0 1; β (εe /H1∗ ) ≤ β0 1.
(2..44)
Установим для этих гипотез ограничения на вероятности ошибок 1-го и 2-го рода:
В качестве радиусов гиперсфер для гипотез Н0∗ и Н1∗ можно
взять радиусы вписанной в гиперкуб и проходящей через его вершины гиперсфер. Тогда будем иметь следующие равенства:
εe0 = ε∗e (1 − ξ0 ) =
ρ(n)
1
γ T εe (1 − ξ0 ) = γe T εe ;
2 e
2
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
или
εe1 = ε∗e (1 + ξ1 ) =
√
ρ(n)
n
γe T εe (1 + ξ1 ) =
γ T εe
2
2 e
ρ(n)(1 − ξ0 ) = 1;
√
ρ(n)(1 + ξ1 ) = n.
(2..45)
Из уравнений (2.45) получим следующие выражения для коэффициентов ξ0 и ξ1 :
√
1
n
ξ0 = 1 −
(2..46)
; ξ1 =
− 1.
ρ(n)
ρ(n)
Для экспериментальной оценки альтернативных гипотез (2.40)
используется решающая функция
0, если u ≤ u0 — принимается гипотеза H0 ;
r(u) =
(2..47)
1, если u > u0 — принимается гипотеза H1 ,
где u — возможное значение случайной величины U . Тогда план
измерения будет иметь вид (ˉ
х , μ, u0 ), где x
ˉ = (x1 , . . . , xn )т , xk =
xn − x1
= const, x1 = x0 ,
= x1 + (k − 1)Δx, k = 1, n; Δx =
n−1
n
xn = x01 , [х0 , х01 ] — диапазон измерения СИ; (ˉ
x, μ) = ∪ (xk , μ)
(хk , μ), k = 1, n — планы многократных измерений величин хk ,
k = 1, n.
Выбор случайной величины U сделаем из следующих соображений.
1. Воспользуемся случайными оценками систематических
погрешностей
k=1
◦
◦
ΔZ(xk ) = Z(xk ) − xkд = xk + me (xk ) + Zk −xkд = me (xk ) + Zk ,
k = 1, n,
где Z(xk ) =
μ
1 P
Yj (xk ); хkд — действительные значения велиμ j=1
чин хk ; Zk — центрированная случайная составляющая с дисперсией Dzk = Dz = De /μ.
◦
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. На случайных компонентах ΔZ(хk ), k = 1, n, сформируем
случайный вектор
◦
ˉ
ΔZˉ = (ΔZ(x1 ), . . . , ΔZ(xn ))т = Δm
ˉ z + Δ Z,
где Δmz = (me (x1 ), . . . , me (xn ))т — вектор систематических по-
грешностей на векторе плана измерения хˉ ; Δ Zˉ = (Δ Z (x1 ), . . .
◦
. . . , Δ Z (xn ))т — центрированный
вектор с ковариа
случайный
◦
◦
ционной матрицей Kz , Кz = M Δ Zˉ Δ Zˉ = [кzk ν ], k, ν = 1, n,

i
h ◦

 M Δ Z 2 (xk ) = Dе , ν = k,
μi
kzk ν =
h ◦
◦

 M Δ Z (xk )Δ Z (x ν ) = 0, ν 6= k; k, ν = 1, n.
◦
◦ т
С учетом введенных допущений получим
Кz =
Dе
In ,
μ
где In — единичная матрица размером n × n.
3. С использованием случайного вектора образуем квадратичную форму
Qz = ΔZˉ т Kz−1 ΔZˉ = μDe−1 ΔZˉ т ΔZˉ =
n
X
[Z(xk ) − xkд ]2 = Qz (n, δz ), (2..48)
= μDe−1
k=1
которая имеет нецентральное χ2 -распределение с ν = n ст. св. и
параметром нецентральности
δz =
√
v
u n q
uX me (xn ) 2
√
−1 т
t
μ Dе m
ˉ z Δm
ˉz = μ
=
σe
к =1
v
v
u n
u n
X
uX
√ u
√
2
t
t
εеk = μεe , εe =
ε2еk .
= μ
k=1
k=1
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Случайная величина Qz (n, δz ) имеет множество возможных значений [0, ∞) и плотность распределения f (qz ; n, δz ),
qz ∈ [0, ∞). Первые две числовые характеристики этой случайной величины имеют следующие выражения:
M [Qz (n, δz )] = n + δ2z — математическое ожидание;
M [Q2z (n,
δz )] = 2n +
4δ2z
— дисперсия.
(2..49)
(2..50)
Из выражений (2.49) и (2.50) следует, что с увеличением числа степеней свободы n и параметра нецентральности δz плотность
распределения f (qz ; n, δz ) растягивается в горизонтальном направлении.
√
Параметр δz = μεе зависит от величины εе , на основе которой сформированы альтернативные гипотезы (2.42). Поэтому экс√
периментальное значение случайной величины Qz (n, μεе ) можно взять в качестве аргумента решающей функции (2.48).
Тогда оперативная характеристика запишется в следующем
виде:
P [Qz (n, δz ) ≤ u0 ] =
Zu0
0
f (qz ; n, δz )
= F (u0 ; n,
√
dqz
√
δz = μεe
=
√
x, μ, u0 ) , (2..51)
μεe ) = L ( μεe /ˉ
√
где F (qz ; n, μεe ) — функция нецентрального χ2 -распределения
√
с ν = n ст. св. и параметром нецентральности δz = μεe . При
μ = const с возрастанием аргумента εе оперативная характеристика
монотонно убывает от значений, близких к единице, до нуля.
Поскольку обеспечение ограничений (2.44) достигается при
прохождении оперативной характеристики через точки 1 и 2
(рис. 2.9), будем иметь следующие два уравнения:
√
√
L ( μεe0 /ˉ
x, μ, u0 ) = F (u0 ; n, μεe0 ) = 1 − α0 ;
(2..52)
√
√
x, μ, u0 ) = F (u0 ; n, μ, εe1 ) = β0 .
L ( μεe1 /ˉ
Их решения определяют оптимальные значения параметров плана
измерения μ̂, û0 .
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2.9
Для функции распределения F (qz ; n, δz ) не существует удобных для практического применения таблиц. Поэтому рассмотрим
приближенный метод решения уравнений (2.52).
2.8. Приближенный метод определения
х , μ, u0 )
оптимального плана вида (ˉ
Идея приближенного метода состоит в замене случайной величины Qz (n, δz ) эквивалентной ей случайной величиной аQz (ν∗ ),
где а — детерминированная величина, Qz (ν∗ ) — случайная величина, имеющая центральное χ2 -распределение с ν∗ ст. св. Условиями эквивалентности этих случайных величин являются равенства
их математических ожиданий и дисперсии.
Воспользуемся выражениями (2.47), (2.48) и упомянутыми выше условиями эквивалентности и определим связь величин а и ν∗
с величинами n и δz :
M [Qz (n, δz )] = n + δ2z = av ∗ = M [aQz (ν∗ )] ;
◦
◦
2
2
2 ∗
2 2
∗
M Qz (n, δz ) = 2n + 4δz = 2a ν = M a Qz (ν ) .
Разделив второе из этих уравнений на первое, получим:
n + 2δ2z n + 2με2e
a=
2 δ =√ με = n + με2 = a(μ, n, εe ).
e
n + δz z
e
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выражение для величины ν∗ , следующее из первого уравнения,
имеет вид
ν∗ = a−1 (n + δ2z ) √
= a−1 (μ, n, εe )(n + με2e ).
δz = μεe
Подставим в уравнение (2.49) вместо случайной величины
Qz (n, δz ) случайную величину aQz (ν∗ ).
В результате получим следующее выражение для оперативной
характеристики:
F [aQz (ν∗ ) ≤ u0 ] = Qz (ν∗ ) ≤ a−1 u0 =
−1 u
aZ
0
f (qz ; ν∗ ) dqz =
0
√
= F a−1 u0 ; ν∗ = L ( μεe /ˉ
x, μ, u0 ) , (2..53)
где F (qz ; ν∗ ), f (qz ; ν∗ ) — соответственно функция и плотность центрального χ2 -распределения с ν∗ ст. св.
x, μ̂, û0 ),
Для определения оптимального плана измерения (ˉ
обеспечивающего выполнение ограничений (2.42) при минимальном объеме многократных измерений μ̂, по аналогии с уравнениями
(2.10) будем иметь следующие два равенства:
∗
F a−1
0 (μ; n, εе0 ) u0 ; ν0 (μ; n, εe0 ) = 1 − α0 ;
∗
F a−1
1 (μ; n, εe1 ) u0 ; ν1 (μ; n, εe1 ) = β0 .
Перейдем к уравнениям для квантилей
a−1
0 (μ; n, εe0 ) u0 = qz,ν∗0 (μ;n,εe0 ),1−α0 ;
где
a−1
1 (μ; n, εe1 ) u0 = qz,ν∗1 (μ;n,εe1 ),β0 ,
(2..54)
n + 2με2ei
= ai (∙), i = 0, 1;
n + με2ei
2
ν∗i (μ; n, εei ) = a−1
i (μ; n, εei ) n + μεei = νi (∙), i = 0, 1;
ai (μ; n, εei ) =
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
qz,ν∗0 ,1−α0 , qz,ν∗1 ,β0 — квантили центрального χ2 -распределения
= ν∗i (μ; n, εei ), i = 0, 1 ст. св., соответствующие значениям
с
1 − α0 (i = 0) β0 (i = 1).
Разделим первое из уравнений (2.54) на второе и результат представим в виде уравнения
ν∗i
a1 (∙) qz,ν∗1 ,β0
= λ (μ; n, α0 , β0 , εe0 , εe1 ) = 1.
a0 (∙) qz,ν∗0 ,1−α0
(2..55)
При фиксированных значениях α0 β0 , εе0 , εе1 и выполнении
условия εе0 < εе1 функция целочисленного аргумента λ(μ; . . .)
является монотонно возрастающей от значения, меньшего единицы при μ = 1, до значений, превышающих единицу. Следовательно, уравнение (2.55) имеет единственное решение относительно
объема μ. Графическая интерпретация этого решения показана на
рис. 2.10.
Рис. 2.10
Алгоритм поиска оптимального объема μ запишется следующим образом:
μ̂ = min {μ : λ(μ; . . .) ≥ 1, μ = 1, 2, . . . }.
Выражение для оптимального значения параметра решающей
функции u0 следует из любого из уравнений (2.54), а именно:
û0 = a0 ( μ̂; n, εe0 )qz,ν∗0 ( μ̂;n,εe0 ),1−α0 =
= a1 ( μ̂; n, εe1 )qz,vi∗ ( μ̂;n,εe1 ),β0 . (2..56)
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Итак, оптимальный план измерения имеет вид (х , μ̂, û0 ).
Обратим внимание на обязательное условие
Δεe = εe1 − εe0 = ε∗e (ξ0 + ξ1 ) > 0.
При условии Δεе = 0 (ξ0 , ξ1 = 0) будем иметь равенства
εе0 = εе1 и, следовательно, ν∗0 = ν∗1 . При этом получим
lim λ (μ; α0 , β0 , εe0 ) =
μ→∞
qz,ν∗0 ,β0
qz,ν∗1 ,1−α0
= 1.
Это означает, что при Δεе = 0 имеет место μ = ∞.
Обозначим Δε∗е максимально допустимый предел для разности
Δεе . Тогда будем иметь
ε∗e (ξ0 + ξ1 ) ≤ Δε∗e ,
или
ξ0 + ξ1 ≤
Δε∗e
.
ε∗e
ρ(n)
Поскольку ε∗e =
γe T εe = ρ(n) η−1
e t0,5(1−λε) − t0,5−ε ,
2
это условие примет следующий вид:
ξ0 + ξ1 ≤
Δε∗e
ρ(n) η−1
e t0,5(1−λε) − t0,5−ε
.
(2..57)
Условием (2.57) следует руководствоваться при выборе значений коэффициентов ξ0 и ξ1 .
Пример 2.6. Исходные данные: ε = 0, 1; λ = 0, 4; k = 3; n = 5;
ηе = 1. На основе этих значений получим:
t0,5−ε = t0,4 = 1, 28; t0,5(1−λε) = t0,48 = 2, 05;
√
3
= 5 = 1, 71;
ρ(n)
n=5
ε∗e = ρ(n) η−1
e t0,5(1−λε) − t0,5−ε = 1, 71(2, 05 − 1, 28) =
= 1, 71 ∙ 0, 77 = 1, 32;
1
1
ξ0 = 1 −
=1−
= 0, 42;
ρ(5)
1, 71
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5
2, 24
−1=
− 1 = 0, 31;
ρ(5)
1, 71
= ε∗e (1 − ξ0 ) = 1, 32 ∙ 0, 58 = 0, 76;
ξ1 =
εe0
√
εe1 = ε∗e (1 + ξ1 ) = 1, 32 ∙ 1, 31 = 1, 73.
Проверка: согласно условию (2.57) при Δε∗е = 1, 0
ξ0 + ξ1 = 0, 73 < 0, 76 =
Δε∗e
ρ(n)(η−1
e t0,5(1−λε) − t0,5−ε )
.
Условие (2.57) выполняется.
Результаты расчета функции λ(μ; α0 , β0 , εе0 , εе1 ) с использованием выражений
5 + 2με2ei
ai (μ; n, εei )
=
= ai (∙), i = 0, 1,
n=5
5 + με2ei
2
∗
ν∗i (μ; n, εei )
= a−1
i (∙)(5 + μεei ) = νi (∙), i = 0, 1,
n=5
qz1 = qz,ν∗1 ,β0 , qz0 = qz,ν∗0 ,1−α0
помещены в табл. 2.2
Таблица 2.2
μ
а1 (∙) а0 (∙)
8
1,82
1,48
а1 (∙)
ν∗1 (∙) ν∗0 (∙)
а0 (∙)
1,23 15,8 6,5
9
1,84
1,51
1,22
17,2
6,8
10
1,86
1,54
1,21
18,3
6,70
11
λ(μ; . . .)
11,7
qz1
qz0
0,77
12
0,85
1,04
11,8
0,93
1,12
qz1
qz0
9,0
10,2
0,95
По данным табл. 2.2 на рис. 2.11 построен график функции
λ(μ; . . .).
Из графика следует, что минимальный объем многократных измерений, при котором выполняется условие λ(μ; . . .) ≥ 1, равен
μ̂ = 9.
Оптимальные значения параметров u0 в соответствии с выражениями (2.56) определятся следующим образом:
û01 = a0 (∙)qz0 = 1, 51 ∙ 12 = 18, 12,
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
û02 = a1 (∙)qz1 = 1, 84 ∙ 10, 2 = 18, 77,
û0 = 0, 5(û01 + û02 ) = 18, 45.
Рис. 2.11
Таким образом, оптимальный план имеет следующий вид:
(х , μ, u0 ) = (х , 9; 18, 45),
где х = (х1 , . . . , х5 )т хk = х1 + (k − 1)Δх ; k = 1, n; Δx =
x01 − x0
x01 − x0 =
= const.
=
n − 1 n=5
4
Проведем расчет оперативной характеристики для оптимального плана для характерных значений аргумента εе , используя выражение (2.53), а именно:
p
μ̂εe /ˉ
L
x, μ̂, û0 = F a−1 ( μ̂; 5, εe ) û0 ; ν∗ ( μ̂; 5, εe ) ,
где a ( μ̂; 5, εe ) =
5 + 2 μ̂ε2e ∗
; ν ( μ̂; 5, εe ) = a−1 ( μ̂; 5, εe ) 5 + μ̂ε2e .
2
5 + μ̂εe
Значения функции центрального χ2 -распределения с ν∗ (∙) ст. св.
представлены в табл. П3. Результаты расчетов помещены в табл. 2.3.
На основе данных этой таблицы построен график оперативной
характеристики, представленной на рис. 2.12.
На рисунке видно, что оперативная характеристика оптимальх , μ̂, û0 ) = (х , 9; 18, 45) проходит через точки 1 и 2,
ного плана (ˉ
следовательно, оптимальный план определен верно.
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 2.3
Параметр
а
εе
0
εе0 = 0, 76
а(∙)
1
ν∗ (∙)
5
−1
(∙)u0
L(∙)
ε∗е = 1, 32
εе1 = 1, 72
1,51
1,76
1,84
6,8
11,75
17,2
18,63
12,33
10,59
10,13
0,99
0,90
0,40
0,1
Рис. 2.12
После того как оптимальный план измерения сформирован,
можно приступить к выполнению измерительной задачи оценки
соответствия модуля приведенных систематических погрешностей
на диапазоне измерений СИ условию εе ≤ ε∗е . Укажем последовательность действий при оценке этого условия.
1. Формирование измеряемых величин хk , k = 1, n, хk ∈ [х0 , х01 ]
с известными действительными значениями хkд , k = 1, 5.
2. Реализация многократных измерений в соответствии с пла-
ном (ˉ
x, μ̂) = ∪ (xk , μ̂) = ∪ (хk , 9).
5
5
Результаты многократных измерений представляются в форме
табл. 2.4.
k=1
k=1
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 2.4
j
x1
x2
...
xn
(n = 5)
1
y11
y21
...
yn1
2
y12
..
.
y22
.
..
...
..
.
yn2
..
.
μ=9
y1μ
y2μ
...
ynμ
Z(x1 )
Z(x2 )
...
Z(xn )
s2e =
3. Обработка многократных измерений.
Обработка экспериментальных данных табл. 2.4 проводится с
использованием следующих алгоритмов:
μ
1X
yк j ;
μ
z(xk ) =
j=1
u = qz =
r(qz ) =
μDe−1
n
X
[z(xk ) − xqk ]2 ;
(2..58)
0, если qz ≤ û0 − принимается гипотеза H0 ;
1, если qz > û0 − принимается гипотеза H1 .
k=1
В (2.58) входит дисперсия однократного измерения Dе . Если
ее значение неизвестно, то его следует оценить на основе данных
табл. 2.4. с использованием следующего выражения:
s2e
μ
n X
X
1
=
(yк j − z(xk ))2 .
n(μ − 1)
к =1 j=1
Поскольку в данном примере общий объем многократных измерений N = nμ = 5 ∙ 9 = 45 > 30, имеет место условие
s2e ≈ Dе ≤ Dе∗ . Если же в плане измерения будет N < 30, то
можно принять Dе = Dе∗ .
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ
С ОЦЕНКОЙ ПОСТОЯННОЙ ВЕЛИЧИНЫ
3.1. Алгоритмы обработки многократных измерений,
соответствующих плану (х , ˉμ)
В предыдущем разделе был рассмотрен план измерения (х , μ),
формирующий многократные измерения Yk (х ), k = 1, μ, изложены алгоритмы обработки этих измерений в целях получения оценок измеряемой величины х и дисперсии Dе . Приведем аналогичные алгоритмы обработки многократных измерений, формируемых
планом
n
(x, ˉμ) = ∪ (x, μk ),
k=1
где (х , μk ), k = 1, n — планы измерения для получения многократных измерений величины х с использованием разных СИk , k = 1, n.
Результат однократного измерения, формируемый СИk в условиях, в которых решается измерительная задача, имеет следующую
структуру:
◦
Yk (x) = x + mek (x) + Ek ,
где mek (х ) — систематическая погрешность; Ek — случайная центрированная составляющая с дисперсий Dek .
Плану измерения (х , μk ) соответствуют многократные измерения:
◦
◦
Ykj (x) = x + mek + Ekj , j = 1, μk .
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Результаты обработки этой совокупности однократных измерений представляются выражениями, аналогичными (1.20):
◦
Zk (x) = x + mek (x) + Zk , Dzk =
μ
2
Sek
Dek
;
μk
k
1 X
=
[Ykj (x) − Zk (x)]2 , k = 1, n.
μk − 1
k=1
Выделим из совокупности дисперсий Dek , k = 1, n, минимальную:
De = Dе k̂ = min {Dе1 , . . . , Den } ,
где k̂ — номер однократного измерения с минимальной дисперсией.
Приведем дисперсии Dzk к следующему виду:
где
Dek De μ
= Dz vzk , k = 1, n,
μk μ De
Dzk =
De
,
μ
Dek
=
De
Dek
=
Dе
Dz =
vzk
vek
(3..1)
μ = μk̂ ;
μ
μ
= vek , k = 1, n;
μk
μk
≥ 1, k = 1, n.
Совокупность результатов обработки Zk (x), k = 1, n, также
представляет собой многократные измерения, но только неравноточные. Их обработку выполним в соответствии с выражением
(1.22):
n
X
◦
Z(x) =
wk Zk (х ) = x + mez (x) + Z ,
(3..2)
k=1
где wk =
−1
vzk
bz (n)
, k = 1, n — весовые коэффициенты, удовлетво-
ряющие условию
n
X
k=1
80
wk = 1; (bz (n) =
n
X
k=1
n
−1
vzk
1 X −1
=
vеk μk —
μ
k=1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
функция целочисленного аргумента n; mez (x) =
n
X
wk mek (x) —
систематическая погрешность результата измерения Z(x); Z —
центрированная случайная составляющая с дисперсией Dz∗ =
Dz
De
=
.
=
bz (n)
μbz (n)
По соображениям, изложенным в комментарии к выражению
(1.22), можно принять mez (х ) ≈ 0. Именно это условие определяет
дополнительное достоинство многократных измерений, реализуемых с применением разных СИk , k = 1, n (по плану (х , μ)).
μ
В частности, при vzk = vek
= 1, k = 1, n (многократные
μk
измерения Zk (х ) являются равноточными по дисперсии Dzk = Dz ,
k = 1, n), получим условие
k=1
μk = [vek μ]+ , k = 1, n,
◦
(3..3)
которое обеспечит равноточность результатов Zk (х ), k = 1, n. При
этом
n
1X
mez (x) =
mek (x) ≈ 0.
n
Найдем выражение для оценки дисперсии Dе . Плану измерения
(х , μk ) соответствуют:
– многократные измерения Ykj (x), j = 1, μk ;
μk
1 X
– результат обработки Zk (х ) =
Ykj (x);
μk
k=1
– оценка дисперсии Dek = vek De ;
j=1
μ
2
Sek
=
k
Dek
1 X
[Ykj (x) − Zk (x)]2 =
Qek ,
μk − 1
μk − 1
(3..4)
j=1
где Qek , k = 1, n — случайная величина, имеющая центральное
χ2 -распределение с νk = μk − 1 ст. св.
Из выражения (3.4) следует
−1 2 −1 2
Qek = (μk − 1) Dek
Sek = De−1 (μk − 1) vek
Sek , k = 1, n.
Dek =De vek
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Просуммируем случайные величины Qek , k = 1, n. В результате
получим:
Qe (ν) =
n
X
Qek =
De−1
k=1
n
X
k=1
= De−1
−1
2
vek
(μk − 1) Sek
=
n
X
−1
vek
μk
X
j=1
k=1
[Ykj (x) − Zk (х )]2 . (3..5)
Известно, что сумма случайных величин с центральными χ2 распределениями также имеет центральное χ2 -распределение с числом степеней свободы, равным сумме степеней свободы случайных величин Qek , k = 1, n. Следовательно, случайная величина
n
X
Qe (ν) имеет центральное χ2 -распределение с ν =
(μk − 1) =
= N − n ст. св., где N =
n
X
k=1
μk .
Выражение (3.5) представим в следующем виде:
k=1
Qe (ν) = (N − n)De−1 Se2 =
= (N −
n)De−1
n
μ
k=1
j=1
k
1 X −1 X
vek
[Ykj (x) − Zk (x)]2 .
N −n
Отсюда следует, что оценка дисперсии Dе равна
Se2
n
μ
k=1
j=1
k
1 X −1 X
=
vek
[Ykj (x) − Z(x)]2 .
N −n
Эта оценка является несмещенной, т. е. M Se2 = De .
Плану измерения (х , n) соответствуют:
– многократные измерения
◦
Zk (х ) = х + mek (x) + Zk , Dzk = Dz vzk , k = 1, n;
82
(3..6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
– результат их обработки
Z(x) =
n
X
◦
wk Zk (x) = x + mez (x) + Z , Dz∗ =
k=1
Dz
;
bz (n)
– оценка дисперсии Dz при условии vzk = 1, k = 1, n:
n
Sz2
1 X
Dz
=
[Zk (х ) − Z(x)]2 =
Qz ,
n−1
n−1
(3..7)
k=1
где Qz = Dz−1
n
X
[Zk (х ) − Z(x)]2 — случайная величина, имею-
щая нецентральное χ2 -распределение с ν = n − 1 ст. св. и параметром нецентральности δz .
Параметр нецентральности определяется следующим выражением:
k=1
v
u
n
X
u
δz = tDz−1
[mzk (x) − mz (x)]2 =
k=1
v
u n X mzk (x) − mz (x) 2 √
√ u
t
= μεz ,
= μ
σe
k=1
где mzk (x) = x + mek (х ), mz (x) = x + mеz (х ); mez (x) =
n
1X
=
mek (x) ≈ 0; mzk (x) − mz (х ) = x + mek (х ) − х ≈ mek (х );
n
k=1
v
u n
uX
t
εz =
ε2ek
(3..8)
k=1
— модуль вектора ˉεе = (εe1 , . . . , εen )т ;
mzk (x) − mz (x)
(x)
εek =
= mek
— приведенная систематичеσe
σe
ская погрешность.
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, параметр нецентральности при заданном значении объема μ определяется приведенными систематическими погрешностями εek , k = 1, n.
Случайная величина Qz (ν) имеет:
1) [0, ∞) — множество возможных значений;
2) f (qz ; ν, δz ) — плотность распределения.
Первые две числовые характеристики случайной величины
Qz (ν) описываются следующими выражениями:
M [Qz (ν)] = ν + δ2z = n − 1 + με2z — математическое
ожидание;
◦
2
M Qz (ν) = 2ν + 4δ2z = 2(n − 1) + 4με2z — дисперсия.
(3..9)
Из выражений для случайных величин Qe (ν1 ) и Qz (ν2 , δz ), где
ν1 = N − n, ν2 = n − 1, видно, что они зависят от дисперсии De .
Но на основе этих величин можно образовать случайную величину,
не зависящую от дисперсии, а именно
ν1 Qz (ν2 , δz )
(N − n)(n − 1)Dz−1 Sz2
=
=
Qe (ν1 )v2
(N − n)De−1 Se2 (n − 1)
S2
D−1 S 2
= μ e−1 z2 = μ z2 = F (ν1 , ν2 , δz ), (3..10)
Se
De Se
где F (ν1 , ν2 , δz ) — случайная величина, имеющая нецентральное
распределение Фишера с ν1 = N − n и ν2 = n − 1 ст. св. и парамет√
ром нецентральности δz = μεz .
Если при решении измерительной задачи второго типа значение
дисперсии De неизвестно, можно использовать в качестве аргумента решающей функции экспериментальное (возможное) значение
случайной величины (F ν1 , ν2 , δz ).
Интервальная оценка, соответствующая точечной оценке z(x),
примет вид
Ip (z(x)) = z(x) ± tp σ∗z ,
где tp = t0,5(1−εz ) — квантиль функции Лапласа, соответствующий
s
De
.
значению 0, 5(1 − εz ); σ∗z =
μbz (n)
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Интервальная оценка для дисперсии, соответствующая точечной оценке s2e , будет равна
1 2
1
Ip (s2e ) =
se (N − n) , s2e (N − n) ,
q2
q1
где q1 = qe,N −n,0,5εz , q2 = qe,N −n,1−0,5εz — квантили функции центрального χ2 -распределения с ν = N − n ст. св., соответствующие
значениям 0, 5εz и 1 − 0, 5εz .
3.2. Планирование измерений при экспериментальной
оценке постоянной величины
Измерительная задача оценки постоянной величины относится
к первому типу. Рассмотрим процедуру формирования оптимального плана вида (х , ˉμ), где ˉμ = (μ1 , . . . , μn ) — вектор объема измерений для реализации такой измерительной задачи.
Искомым параметром плана являются объемы измерений μk ,
k = 1, n. Для их определения нужно иметь n уравнений. Бо́льшую
часть уравнений можно получить, если ввести условие равных дисперсий для результатов обработки многократных измерений Zk (х ),
k = 1, n. Дисперсии для этих случайных величин представлены выражениями (3.1):
De
Dzk = Dz vzk =
vzk ,
μ
где vzk = vek
μ
, k = 1, n.
μk
Если положить vzk = 1, k = 1, n, то
Dzk =
De
= const, k = 1, n.
μ
(3..11)
μ
= 1 получим следующую совокупμk
ность выражений для объемов многократных измерений:
Тогда из равенства vzk = vek
μk = [vek μ]+ , k = 1, n; k 6= k̂, где μk̂ = μ.
(3..12)
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выражения (3.12) позволяют определить n − 1 объемов многократных измерений, если будет известно значение объема μ.
Положим, что дисперсия результата измерения (3.2) должна
удовлетворять отношению
De
Dz∗ =
(3..13)
≤ Dz0 = const,
μbz (n)
n
n
1 X −1 1X
где b(n) =
vek μk =
μ = n.
μ
μ
μk =vek μ
k=1
k=1
Тогда отношение (3.13) примет вид
De
≤ Dz0 .
nμ
Отсюда получим формулу для искомого объема
De 1 +
μ̂ =
= μ̂k .
Dz0 n
(3..14)
Используя выражения (3.12), определим остальные объемы
многократных измерений:
μ̂k = [vek μ]+ , k = 1, n; k 6= k̂.
Таким образом, оптимальный план (х , ˆˉμ), где ˆˉμ = ( μ̂1 , . . . , μ̂n ),
обеспечит выполнение ограничения (3.13) при минимальном объn
X
μ̂k .
еме N =
Пример 3.1. Пусть Dz0 = 0, 1De , n = 2, De1 = De < De2 ,
ve2 = De2 /De = 2, k̂ = 1.
De
De
=
= 10;
Используя эти исходные данные, получим
D
0,
1D
z0
e
De 1 +
1
μ̂ =
= 5 = μ̂1 ; μ̂2 = ve2 μ̂ = 2 ∙ 5 = 10.
= 10 ∙
2
Dz0 n
ˉμ = ( μ̂1 , μ̂2 ) = (5, 10), обеспечит
ˉμ), где ˆ
Оптимальный план (х , ˆ
выполнение ограничения (3.14):
k=1
Dz∗ =
De
De
=
= 0, 1De = Dz0 ,
nμ
10
ˉμ) определен верно.
т. е. план измерения (х , ˆ
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.3. Планирование измерений при оценке соответствия
качества объекта, характеризующегося одной
величиной, требованиям нормативного документа
Примером объекта, качество которого характеризуется одной
величиной, является цилиндрический вал, а величиной, определяющей его качество, служит диаметр х . Нормативным документом
для такого объекта является рабочий чертеж, в котором требования
1
к диаметру представлены в форме поля допуска x0 ± T x, где х0 —
2
номинальное значение; Т х — допуск.
Альтернативные гипотезы сформируем на отклонении величины х от номинального значения:
1
Н0 : |Δх | ≤ Т х — гипотеза Н0 ;
2
(3..15)
1
Н1 : |Δх | > Т х — гипотеза Н1 ,
2
где Δх = х − х0 .
Для измерения величины х используется СИ, которое в реальных условиях решения измерительной задачи формирует гауссовский результат однократного измерения с погрешностью, удовлетворяющей условиям единства измерения относительно дисперсии
и систематической погрешности, а именно:
De ≤ De∗ (σe ≤ σ∗e );
1
|me (x)| ≤ Т ∗ me ,
2
∗
где σ∗е = de T e; de = 0, 5t−1
0,5(1−λε) ; T me = γe T e;
t0,5−ε
γe = 1 − ηe
.
t0,5(1−λε)
Допуск Т е для случайной погрешности представим дольной
частью допуска Т х , т. е. T e = ηex T x, где ηex = T e/T x 1.
Тогда ограничения на дисперсию и систематическую погрешность
запишутся следующим образом:
σ∗e = dx T x; T ∗ me = γx T x,
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где
dx = de ηex = 0, 5ηex t−1
;
0,5(1−λε)
t0,5−ε
γx = γe ηex = ηex 1 − ηe
.
t0,5(1−λε)
(3..16)
|Δх |
1 Tx
= |εx | ≤
= ε∗x ;
σе
2 σe
H1 : |εx | > ε∗x ,
(3..17)
Теперь, используя введенные выражения для ограничений, альтернативные гипотезы (3.15) приведем к безразмерному виду
Н0 :
где
ε∗x =
1 T x 1
−1
= η−1
d−1 = η−1
e ηex t0,5(1−λε) =
2 σe σe =ηe dx T x 2 e x
( ∗
−1
εx (ηe ) = η−1
e ηex t0,5(1−λε) , ηe < 1;
=
∗
ε̂∗x = η−1
ex t0,5(1−λε) < εx (ηe ) , ηe = 1,
(3..18)
Δx
— приведенное отклонение.
σe
Задавшись двумя парами чисел (α0 , ξ0 ) и (β0 , ξ1 ), выделим наиболее и наименее предпочтительные гипотезы:
εx =
H0∗ : |εx | ≤ εx0 = ε∗x (1 − ξ0 ), 0 < ξ0 ≤ 1;
H1∗ : |εx | ≥ εx1 = ε∗x (1 + ξ1 ), ξ1 > 0.
Для этих гипотез введем следующие ограничения для вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода:
α (|εx |/H0∗ ) ≤ α0 1;
β (|εx |/H1∗ ) ≤ β0 1.
(3..19)
Поскольку рассматриваемая измерительная задача как задача
оценки соответствия относится ко второму типу, то план измерения
имеет вид (х , μ, u0 ), где (х , μ) — план реализации многократных
измерений; u0 — параметр решающей функции.
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Постановка задачи построения оптимального плана измерения
формулируется следующим образом: построить такой план измерения (х , μ, u0 ), который обеспечит выполнение условий (3.19) при
минимальном объеме многократных измерений.
Плану измерения (х , μ) соответствуют многократные измерения
◦
Yk (x) = x + me (x) + Ek , Dek = De , k = 1, μ,
и результат их обработки
μ
Z(x) =
◦
1X
De
Yk (x) = x + me (x) + Z , Dz =
.
μ
μ
k=1
В качестве оценки отклонения Δх возьмем случайную величину
Z(х ) − х0 , а оценки приведенного отклонения — случайную величину
◦
◦
Z(x) − x0
x + me (x) + Z −x0 √
μ = mt + T ,
T =
=
σz
σe
(3..20)
где mt =
Δx + me (x) √
√
μ = μεt — математическое ожидание
σe
me (x)
случайной величины Т (εt = εx + εe ; εe =
— приведенная
σe
Z
систематическая погрешность); T =
— центрированная слуσz
чайная составляющая с дисперсий Dt = 1.
Поскольку преобразование (3.20) является линейным, случайная величина Т будет гауссовской с плотностью распределения
f (t; mt , 1).
Используем экспериментальное (возможное) значение случайной величины Т в решающей функции
0, если |t| ≤ u0 — принимается гипотеза H0 ;
r(t) =
(3..21)
1, если |t| > u0 — принимается гипотеза H1 .
◦
◦
Подставив в качестве аргумента решающей функции случайную величину Т , получим следующее выражение для оперативной
характеристики:
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
P [r(T ) = 0] = P (|T | ≤ u0 ) =
=
u0Z−mt
−(u0 +mt )
Zu0
f (t; mt , 1)dt =
−u0
f (t; 0, 1)dt =Φ(u0 + |mt |) + Φ(u0 − |mt |)
√
mt = μ|εt |
= Φ(u0 +
√
μ|εt |) + Φ(u0 −
≈ 0, 5 + Φ(u0 −
√
√
μ|εt |)
√
u0 + μ|εt |>2,0
=
≈
√
μ|εt |) = L ( μ|εt |/x, μ, u0 ) , (3..22)
где εt = εx + εe ; |εx | ≤ ε∗x =
1 Tx
1 T m∗e
; |εe | ≤ ε∗e =
=
2 σe
2 σe
1 T m∗e T x
1 Tx
=
γ = γx ε∗x ; |εt | = |εx + εe | ≤ |εx | + |εe | =
2 T x σe
2 σe x
= (1 + γx )ε∗x .
Рассмотрим оперативную характеристику (3.22) при условии
γх = 0, что эквивалентно условию me (х ) = 0. Тогда получим
=
√
√
L ( μ|εx |/x, μ, u0 ) = 0, 5 + Φ (u0 − μ|εx |) ,
где |εх | — величина, на основе которой сформированы альтернативные гипотезы H0 и H1 (3.17).
Теперь, используя пары чисел (α0 , ξ0 ), (β0 , ξ1 ), получим уравнения
√
Φ (u0 − μεx0 ) = 0, 5 − α0 ;
(3..23)
√
Φ ( μεx1 − u0 ) = 0, 5 − β0 ,
которые с точностью до индексов совпадают с уравнениями (2.25).
Следовательно, решения этих уравнений представляются выражениями (2.27), в которых индекс е следует заменить на индекс х , т. е.
где λ0 =
90
+
μ̂ = λ20 ; û0 = λ01 ,
(3..24)
t0,5−α0 + t0,5−β0
(1 − ξ0 ) t0,5−β0 + (1 + ξ1 ) t0,5−α0
;
, λ01 =
∗
εx (ξ0 + ξ1 )
ξ0 + ξ1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ε∗x (ηe ), ηe < 1 (дисперсия De известна);
ηe = 1 (дисперсия неизвестна).
ε̂∗x ,
В итоге получим оптимальный план (х , μ̂, û0 ), который обеспечит выполнение условий (3.12) при минимальном объеме измерений μ̂.
Однако условие me (x) = 0 является невозможным событием,
и потому план измерения приходится формировать на оперативной
характеристике аргумента |εt | (3.22). В работе [3] доказана лемма
2.1, которая гласит, что если в уравнениях (3.16) вместо величины
εх 0 = ε∗х (1 − ξ0 ) использовать величину εto (γx ) = ε∗x (1 − ξ0 + γ0 ),
а вместо величины εх 1 = ε∗x (1 + ξ1 ) — величину εt1 (γx ) =
= ε∗x (1 + ξ1 − γх ), то план измерения, полученный на основе
решений таких уравнений, обеспечит выполнение заданных условий (3.17).
При указанных подстановках получим два уравнения:
ε∗x =
√
Φ [u0 − μεto (γx )] = 0, 5 − α0 ,
√
Φ [ μεt1 (γx ) − u0 ] = 0, 5 − β0 .
(3..25)
Решения этих уравнений аналогичны решениями (3.24) и имеют
вид
+
(3..26)
μ̂(γx ) = λ20 (γx ) , û0 (γx ) = λ01 (γx ) ,
где λ0 (γx ) =
λ01 (γx ) =
t0,5−α0 + t0,5−β0
;
ε∗x (ξ0 + ξ1 − 2γx )
(1 − ξ0 + γx ) t0,5−β0 + 1 + ξ1−γx t0,5−α0
.
ξ0 + ξ1 − 2γx
Оптимальный план (х , μ̂(γх ), û0 (γх )) обеспечит выполнение
условий (3.17) при минимальном объеме многократных измерений
μ̂(γх ).
Проанализируем особенности решений (3.26).
1. Поскольку ξ0 + ξ1 > ξ0 + ξ1 − 2γх , выполняется условие
λ0 (γх ) > λ0 , а следовательно, и условие μ̂(γх ) > μ̂. Это означает,
что наличие систематической погрешности может быть компенсировано увеличением объема многократных измерений.
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Из условия εt1 (γx )−εt0 (γx ) = ε∗x (ξ0 + ξ1 − 2γx ) > 0 следует
условие γx < 0, 5 (ξ0 + ξ1 ) , причем при γx = 0, 5 (ξ0 + ξ1 ) получим λ0 (γx ) = ∞ и значение μ̂ (γx ) = ∞. Поэтому, если существует
ограничение на допустимый объем μ̂ (γx ) ≤ N , то можно сформировать условие на систематическую погрешность, при выполнении
которого это ограничение будет обеспечено. В самом деле, из условия μ̂ (γx ) ≤ N следует
λ0 (γx ) =
или
1
γ̂x ≤
2
√
t0,5−α0 + t0,5−β0
≤
N
ε∗x (ξ0 + ξ1 − 2γx )
t0,5−α0 + t0,5−β0
√
ξ0 + ξ1 −
ε∗x N
Поскольку γx =
T ∗ me
, получим
Tx
= γx0 (N ) .
T̂ ∗ me = γx0 (N )T x.
(3..27)
(3..28)
Если выполняется условие γx0 (N ) ≤ γx , где величина γх определена выражением (3.16), то выполняется и условие μ̂ (γx ) ≤ N .
Если выполняется условие γx0 (N ) > γx , то нужно экспериментально оценить соответствие систематической погрешности усло1
вию |me (x)| ≤ T̂ ∗ me . При невыполнении этого условия следу2
ет провести корректировку систематической погрешности. Обе эти
операции реализуются на основе методики, изложенной в разд. 2.
Пример 3.2. Пусть исходные данные имеют следующие значения: λ = 0, 3; ε = 0, 1; ηех = 0, 2; ηе = 0, 7; α0 , β0 = 0, 05;
ξ0 , ξ1 = 0, 15.
Используя выражения (3.16), (3.18) и (3.28), получим:
t0,5−ε = t0,40 = 1, 28; t0,5(1−λε) = t0,485 = 2, 17;
t0,5−α0 = t0,5−β0 = t0,45 = 1, 65;
t0,5−ε
1, 28
= 0, 12;
γx = ηex 1 − ηe
= 0, 2 1 − 0, 7
2, 17
t0,5(1−λε)
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
2, 17 = 15, 5;
0, 7 ∙ 0, 2
2t0,5−α0
2 ∙ 1, 65
= 3, 55;
λ0 (γx ) = ∗
=
15, 5 ∙ 0, 06
εx (ξ0 + ξ1 − 2γx )
+
μ̂ (γx ) = λ20 (γx ) = [12, 6]+ = 13;
(1 − ξ0 + γx ) t0,5−β0 + (1 + ξ1 − γx ) t0,5−α0
λ01 (γx ) =
=
ξ0 + ξ1 − 2γx
2 ∙ 1, 65
= 55;
=
0, 06
û0 = λ01 (γx ) = 55.
−1
ε∗x = η−1
e ηex t0,5(1−λε) =
В итоге получим оптимальный план [x, μ̂(γx ), û0 (γx )] =
= (x, 12, 55).
Пример 3.3. Положим ηе = 1 (значение дисперсии Dе неизвестно), а остальные исходные данные оставим теми же, что и в
примере 3.2. Тогда получим:
t0,5−ε
1, 28
= 0, 08;
= 0, 2 1 −
γx = ηex 1 −
2, 17
t0,5(1−λε)
2, 17
ε∗x = η−1
= 10, 85;
ex t0,5(1−λε) =
0, 2
2t0,5−α0
2 ∙ 1, 65
=
= 2, 17;
λ0 (γx ) = ∗
εx (ξ0 + ξ1 − 2γx )
10, 85 ∙ 0, 14
+
μ̂ (γx ) = λ20 (γx ) = [4, 7]+ = 5;
(1 − ξ0 + γx ) t0,5−β0 + (1 + ξ1 − γx ) t0,5−α0
λ01 (γx ) =
=
ξ0 + ξ1 − 2γx
2 ∙ 1, 65
= 23, 57;
=
0, 14
û0 (γx ) = λ01 (γx ) = 23, 57.
Итак, оптимальный план измерения при ηе = 1 принял вид
[x, μ̂(γx ), û0 (γx )] = (x, 5, 23, 57).
Пример 3.4. Введем ограничение на объем многократных измерений μ ≤ N = 16. Исходные данные оставим теми же, что и в
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
предыдущем примере. Используя выражение (3.27), получим
t0,5−α0 + t0,5−β0
1
√
ξ0 + ξ1 −
=
γx0 (N ) =
2
ε∗x N
2 ∙ 1, 65
1
0, 30 −
= 0, 11 > 0, 08 = γx .
=
2
10, 85 ∙ 4
Определим оптимальный план для γх 0 (N ) = 0, 11:
2t0,5−α0
2 ∙ 1, 65
=
= 3, 80;
ε∗x (ξ0 + ξ1 − 2γx0 (N ))
10, 85 ∙ 0, 08
+
μ̂ (γx0 (N )) = λ20 (γx0 (N )) = [14, 45]+ = 15;
2t0,5−α0
2 ∙ 1, 65
λ01 (γx0 (N )) =
= 41, 25.
=
0, 08
ξ0 + ξ1 − 2γx0 (N )
λ0 (γx0 (N )) =
Итак, с учетом ограничения на объем многократных измерений оптимальный план имеет вид [x, μ̂(γx0 (N )), û0 (γx0 (N ))] =
= (x, 15, 41, 25). Он удовлетворяет условию μ̂[γx0 (N )] = 15 <
< 16 = N .
3.4. Планирование измерений при оценке
эквивалентности по качеству двух объектов,
характеризующихся однородными постоянными
величинами
Пусть ai (xi ), i = 1, 2, — объекты, качество которых характеризуется однородными количественными величинами хi , i = 1, 2.
По определению имеем a1 (x1 ≈ a2 (x2 )), если xi ≈ x2 . Введем
условие эквивалентности количественных величин, принадлежа1
щих разным объектам: |Δх | ≤ Т х , где Δх = х1 − х2 , Т х —
2
1
допуск поля допуска 0 ± Т х .
2
Теперь альтернативные гипотезы можно записать следующим
образом:
1
H0 : |Δx| ≤ T x;
2
(3..29)
1
H1 : |Δx| > T x.
2
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для измерения величин xi , i = 1, 2, привлекаются индивидуальные СИi , i = 1, 2. Случайные погрешности однократных измерений, получаемые этими СИ, удовлетворяют условиям единства измерений относительно дисперсии и систематической погрешности:
∗
1) Dei ≤ Dei
(σei ≤ σ∗ei ) , ηei =
σei
, i = 1, 2;
σ∗ei
1
2) |me (xi )| ≤ T ∗ mei , i = 1, 2,
2
T ei
−1
∗
где σei = dxi T x dxi = 0, 5ηexi t0,5(1−λε) ; ηexi =
T ∗ mei =
T
x
t0,5−ε
, i = 1, 2 .
= γxi T x γxi = ηexi 1 − ηei
t0,5(1−λε)
Далее используем допущение: ηexi = ηex = const, i = 1, 2, т. е.
T ei = ηex T x = const, i = 1, 2. Тогда получим
σ∗ei = dx T x = σ∗e , i = 1, 2; dx = 0, 5ηex t−1
0,5(1−λε) ;
t0,5−ε
∗
.
T mei = γxi T x, γxi = ηex 1 − ηei
t0,5(1−λε)
(3..30)
Пусть De = De1 < De2 = De De2 /De = De ve2 , где ve2 =
√
= De2 /De1 > 1. Тогда будем иметь ηe1 = ηе , ηе2 = ηe ve2 .
Приведем альтернативные гипотезы к безразмерному виду. В результате получим:
|Δx|
1 T x = |εx | ≤
;
σe
2 σe σe =ηe σ∗e
1
d−1 = ε∗x ;
σ∗e = dx T x = η−1
2 e x
H1 : |εx | > ε∗x ,
H0 :
где
ε∗x
=
(
−1
ε∗x (ηe ) = η−1
e ηex t0,5(1−λε) , ηe < 1;
ε̂∗x = η−1
ex t0,5(1−λε) , ηe = 1.
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введем наиболее и наименее предпочтительные гипотезы
H0∗ : |εx | ≤ εx0 = ε∗x (1 − ξ0 );
H1∗ : |εx | ≥ εx1 = ε∗x (1 + ξ1 )
и относительно них установим ограничение на вероятности ошибок
1-го и 2-го рода:
α (|εx |/H0∗ ) ≤ α0 1;
β (|εx |/H1∗ ) ≤ β0 1.
(3..31)
План измерения, с использованием которого будут обеспечиваться ограничения (3.31), имеет следующую структуру:
(ˉ
х , ˉμ, u0 ),
где (ˉ
x, ˉμ) = ∪ (xi , μi ) — план измерения для реализации мно2
гократных измерений; хˉ = (х1 , х2 )т — вектор плана измерения;
μ = (μ1 , μ2 ) — вектор объема многократных измерений; u0 — параметр решающей функции.
Плану измерения (xi , μi ), i = 1, 2, соответствуют многократные
измерения
i=1
◦
Yj (xi ) = xi + me (xi ) + Eij , Dei , i = 1, 2; j = 1, μi ,
и результат обработки
μi
◦
1 X
Z (xi ) =
Yj (xi ) = xi + me (xi ) + Zi , i = 1, 2.
μi
j=1
Используя условие равноточности по дисперсии результатов обработки многократных измерений, получим
vz2 = ve2
или
96
μ
=1
μ2
μ2 = [ve2 μ]+ .
(3..32)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выражение (3.32) при известном значении μ = μ1 позволит
определить объем μ2 .
В качестве оценки величины Δx возьмем оценку
◦
ΔZ = Z(x1 ) − Z(x2 ) = m Δz + Δ Z ,
где m Δz = x1 + me (x1 ) − x2 − me (x2 ) = Δx + Δme — математическое ожидание случайной оценки ΔZ (Δme = me (x1 ) − me (x2 ));
Δ Z = Z1 − Z2 — центрированная случайная составляющая оценки ΔZ.
◦
Дисперсия составляющей Δ Z равна
De De De
D Δz = Dz1 + Dz2 =
=2 .
+
vz2 μ
μ
μ
vz2 =1
◦
◦
◦
Заметим, что выражение для дисперсии получено при допущении,
что результаты измерений Z(xi ), i = 1, 2, являются некоррелированными.
В качестве аргумента решающей функции возьмем возможное
значение приведенной гауссовской величины
◦r
◦
ΔZ
Δx + Δme + Δ Z 1
μ = mt + T ,
T =
=
σ Δz
2
σe
r
r
Δx + Δme 1
Δx + Δme
1
где mt =
= εx + εe ,
μ=
μεt εt =
σe
σe
2
2
Δme
= εe1 − εe2 .
εe =
σe
Поскольку
|εei | ≤
1 T m∗ei
1 T m∗ei T x
=
= γxi ε∗x , i = 1, 2,
2 σe
2 T x σe
где γxi =
T m∗ei
, i = 1, 2 — параметры, характеризующие привеTx
денные систематические погрешности, можно записать
εе = εe1 − εe2 ≤ |εx1 | + |εx2 | ≤ (γx1 + γx2 )ε∗x = γε∗х ,
где γ = γx1 + γx2 .
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решающая функция примет вид
r(t) =
0, если |t| ≤ u0 — принимается гипотеза H0 ;
1, если |t| > u0 — принимается гипотеза H1 .
(3..33)
По аналогии с выражением (3.22) ее оперативная характеристика
запишется в виде
P (|T | ≤ u0 ) =
Zu0
−u0
= 0, 5 + Φ u0 −
f (t; mt , 1) dt =
r
1
μ|εt |
2
!
=L
r
!
.
1
μ|εt | x
ˉ, ˉμ, u0 . (3..34)
2
√
Она отличается
только тем, что вместо величины μ используется
r
1
μ.
величина
2
Определим точки 1 и 2 для оперативной характеристики следующими координатами:
точку 1 — (1 − α0 , εt0 (γ));
точку 2 — (β0 , εе1 (γ)),
где εt0 (γ) = ε∗x (1 − ξ0 + γ); εt1 (γ) = ε∗x (1 + ξ1 − γ).
Тогда уравнения, определяющие оптимальные значения параметров плана μ и u0 в соответствии с уравнениями (3.25), будут
иметь вид
"
#
r
1
Φ u0 −
μεt0 (γ) = 1 − α0 ;
2
"r
#
1
Φ
μεt1 (γ) − u0 = β0 .
2
Решения этих уравнений аналогичны решениям (3.19), а
именно:
+
1
μ̂(γ) = λ20 (γ)
2
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
или
+
μ̂(γ) = 2λ20 (γ) = μ̂1 (γ);
û0 (γ) = λ01 (γ),
где
t0,5−α0 + t0,5−β0
;
ε∗x (ξ0 + ξ1 − 2γ)
(1 − ξ0 + γ) t0,5−β0 + (1 + ξ1 − γ) t0,5−α0
λ01 (γ) =
.
ξ0 + ξ1 − 2γ
(3..35)
λ0 (γ) =
(3..36)
Теперь на основе уравнения (3.32) легко определим объем μ2 :
μ̂2 (γ) = [ve2 μ̂(γ)]+ > μ̂1 (γ),
так как ve2 =
De2
> 1.
De1
В итоге получим оптимальный план (х , μ̂(γ), û0 (γ)), который
обеспечивает выполнение условий (3.31) при минимальном объеме
2
X
μ̂i (γ).
многократных измерений N (γ) =
Пример 3.5. Положим исходные данные равными следующим
значениям: λ = 0, 3; ε = 0, 1; ηех = 0, 2; ηе1 = ηе = 0, 7;
√
ve2 = 2; α0 = β0 = 0, 05; ξ0 = ξ1 = 0, 2; ηе2 = ηе1 vе2 =
= 0, 7 ∙ 1, 41 = 0, 99; t0,5−ε = t0,4 = 1, 28; t0,5(1−λε) = t0,485 = 2, 17.
Используя выражения (3.30), получим:
t0,5−ε
1, 28
γx1 = ηex 1 − ηe
= 0, 2 1 − 0, 7
= 0, 12;
t0,5(1−λε)
2, 17
t0,5−ε
1, 28
= 0, 08;
γx2 = ηex 1 − ηe2
= 0, 2 1 − 0, 99
2, 17
t0,5(1−λε)
i=1
γ = γx1 + γx2 = 0, 012 + 0, 08 = 0, 20;
2, 17
−1
= 15, 5.
ε∗x = ε∗x (ηe ) = η−1
e ηex t0,5(1−λε) =
0, 7 ∙ 0, 2
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Искомые параметры плана измерения, определяемые на основе
выражений (3.36) и (3.35), будут равны
t0,5−α0 + t0,5−β0
2 ∙ 1, 65
= 2, 13;
λ0 (γ) = ∗
=
15, 5 ∙ 0, 1
εx (ξ0 + ξ1 − 2γx )
2t0,5−α0
2 ∙ 1, 65
λ01 (γ) =
=
= 33, 0;
ξ0 + ξ1 − 2γx
0, 1
+
μ̂(γ) = 2λ20 (γ) = [9, 1]+ = 10 = μ̂1 (γ);
μ̂2 (γ) = [ve2 μ̂1 (γ)]+ = [2 ∙ 10]+ = 20;
û0 (γ) = λ01 (γ) = 33, 0.
Таким образом, оптимальный план измерения (ˉ
х , ˆˉμ(γ), û0 (γ))
имеет следующие элементы:
х = (х1 , х2 )т — вектор плана измерения;
ˆˉμ(γ) = (10, 20) — вектор объема измерений;
û0 (γ) = 33, 0 — параметр решающей функции.
Выполним проверку правильности расчета оптимального плана
измерения по"следующим
r условиям: #
1
0, 5 + Φ û0 (γ) −
μ̂(γ)εt0 (γ) ≥ 1 − α0 = 0, 95;
2
"
#
(3..37)
r
1
0, 5 + Φ û0 (γ) −
μ̂(γ)εt1 (γ) ≤ β0 = 0, 05.
2
Найдем значения аргументов функции Лапласа:
εt0 (γ) = ε∗x (1 − ξ0 + γ) = 15, 5 ∙ 0, 95 = 14, 7;
εt1 (γ) = ε∗x (1 + ξ1 − γ) = 15, 5 ∙ 1, 05 = 16, 3;
t1 = û0 (γ) − λ0 (γ)εt0 (γ) = 33, 0 − 2, 13 ∙ 14, 7 = 1, 69;
t2 = û0 (γ) − λ0 (γ)εt1 (γ) = 33, 0 − 2, 13 ∙ 16, 3 = −1, 72;
0, 5 + Φ(t1 ) = 0, 5 + Φ(1, 69) = 0, 955 > 0, 95 = 1 − α0 ;
0, 5 + Φ(t2 ) = 0, 5 − Φ(1, 72) =
= 0, 5 − 0, 457 = 0, 043 < 0, 050 = β0 .
(3..38)
Из отношений (3.38) следует, что условия (3.37) выполняются.
Следовательно, оптимальный план измерения определен верно.
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.5. Планирование измерений при оценке соответствия
объекта, характеризующегося совокупностью
разнородных величин
Обозначим объект, характеризующийся совокупностью величин а(ˉ
х ), где хˉ = (х1 , . . . , хn )т — вектор величин, хk , k = 1, m, —
разнородные величины.
Требования нормативного документа заданы для каждой вели1
чины хk в форме поля допуска хk0 ± Т хk , k = 1, m, где хk0 —
2
номинальное значение, Т хk — допуск поля допуска. Тогда будем
иметь следующую совокупность альтернативных гипотез:
1
Нk0 : |Δхk | ≤ Т хk ;
2
(3..39)
1
Нk1 : |Δхk | > Т хk , k = 1, m,
2
где Δхk = хk − Δхk0 , k = 1, m.
Для измерения величины хk используется индивидуальное СИk ,
которое формирует гауссовский однократный результат измерения
следующей структуры:
◦
Y (xk ) = xk + me (xk ) + Ek , k = 1, m,
где Еk — центрированная случайная составляющая, характеризующаяся дисперсией Dek , k = 1, m. Величины me (xk ) и Dek ,
k = 1, m, характеризующие случайную погрешность, удовлетворяют условию единства измерения:
◦
∗
1) Dek ≤ Dek
(σek ≤ σ∗ek ) , σek = ηek σ∗ek ;
1
2) |me (xk )| ≤ Т ∗ mek ,
2
Т еk
T еk
∗
где σek = de
Т хk = dxk Т хk dxk =
de = de ηexk ;
Т хk
Т хk
Т еk
Т еk
de = 0, 5t−1
; Т ∗ mek = γek
Т хk = γxk Т хk
0,5(1−λε) ; ηexk = Т х
Т
хk
k
t0,5−ε
, k = 1, m .
γxk = γek ηexk ; γek = 1 − ηek
t0,5(1−λε)
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введем допущение
Т еk
= ηexk = ηех = const; k = 1, m. Тогда
Т хk
dxk = dх = 0, 5ηех t−1
0,5(1−λε) = const;
t0,5−ε
, k = 1, m.
γxk = ηех 1 − ηek
t0,5(1−λε)
Как и ранее, будем считать, что ηek < 1, если значение дисперсии Dek известно, и ηek = 1, если оно неизвестно.
Приведем альтернативные гипотезы к безразмерному виду:
1 Т хk
|Δxk |
= |εxk | ≤
= ε∗xk ;
σek
2 σek
Нk1 : |εxk | > ε∗xk , k = 1, m,
Hk0 :
где
ε∗xk =
(3..40)
1 Т хk −1 −1
−1
=ηek σ∗ = 0, 5η−1
ek dх = ηek ηex t0,5(1−λх ) =
ek
2 σek σσek
∗ =d Тх
х
k
ek
( ∗
−1
εek (ηek ) = η−1
ek ηex t0,5(1−λх ) , ηek < 1;
=
ε∗ek = η−1
ex t0,5(1−λε) , ηek = 1, k = 1, m.
На основе совокупности альтернативных гипотез (3.40) образуем одну пару альтернативных гипотез:
m
Н0 : ∩ Нk0 — произведение гипотез Нk0 , k = 1, m, состоящее
в том, что все гипотезы выполняются и, следовательно, объект а(х )
соответствует требованиям;
m
Н1 : ∪ H(ν) — сумма гипотез Н (ν), ν = 1, m, состоящая в
k=1
том, что хотя бы одна из этих гипотез имеет место,
ν=1
ν,
где Н (ν) = ∪ Hp (ν) — сумма гипотез Hp (ν), p = 1, Cm
ν
Сm
p=1
ν = 1, m;
Hp (ν) = Hp (ν, 1) ∩ Hp (m − ν, 0);
Hp (ν, 1) = ∩ H λj1 — произведение ν гипотез вида Нk1 , k =
ν
j=1
= 1, m;
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Hp (m − ν, 0) =
∩ H λi0 — произведение m − ν гипотез вида
m
i=ν+1
Нk0 , k = 1, m, λi 6= λj ;
m
Сmν =
— количество разных сочетаний из m по ν
ν(m − ν)
гипотез вида Нk1 , k = 1, m.
Таким образом, количество разных гипотез, входящих в гипотезу H1 , определяется выражением
Nm =
m
X
ν
Cm
.
ν=1
Процедуру оценки соответствия объекта а(ˉ
х ) требованиям, за1
данным совокупностью полей допусков xk0 ± Т хk , k = 1, m,
2
построим следующим образом: сначала выполним оценку соответствия каждой величины хk , k = 1, m, своему полю допуска с использованием оптимального плана измерений [хk , μ̂k (γxk ),
ûk0 (γxk )], k = 1, m, а затем на основе решающих функций rk (tk ),
k = 1, m, оценим соответствие объекта а(ˉ
х ) в целом. Алгоритмы
определения оптимальных значений μ̂k (γxk ) и ûk0 (γxk ), k = 1, m,
изложены в разд. 3.4. Используя выражения (3.28) и присвоив измеряемой величине индекс k, будем иметь:
+
μ̂k (γxk ) = λ2k0 (γxk ) ;
ûk0 (γxk ) = λk01 (γxk ), k = 1, m,
где λk0 (γxk ) =
λk01 (γxk ) =
t0,5−αk0 + t0,5−βk0
;
∗
εxk (ξk0 + ξk1 − 2γxk )
(1 − ξk0 + γxk )t0,5−βk0 + (1 − ξk1 + γxk )t0,5−αk0
;
(ξk0 + ξk1 − 2γkx )
(αk0 , ξk0 ), (βk0 , ξk1 ), k = 1, m, — пары чисел, определяющие степень приближения оперативной характеристики, соответствующей
плану измерений [хk , μ̂k (γxk ), ûk0 (γxk )], к идеальной оперативной характеристике. Оптимальные планы измерения [хk , μ̂k (γxk ),
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ûk0 (γxk )], k = 1, m, обеспечат выполнение заданных ограничений
на вероятности ошибок 1-го и 2-го рода
∗
αk (|εxk |/Нk0
) ≤ αk0 1;
(3..41)
∗
Нk0
: |εxk | ≤ εх к 0 = ε∗xk (1 − ξk0 );
(3..42)
∗
) ≤ βk0 1, k = 1, m,
βk (|εxk |/Нk1
где
∗
: |εxk | ≥ εх к 1 = ε∗xk (1 + ξk1 ), k = 1, m.
Нk1
Решающие функции, соответствующие оптимальным планом
измерения, запишутся следующим образом:

 0, если |tk | ≤ ûk0 (γxk ) — принимается гипотеза Hk0 ;
rk (tk ) = 1, если |tk | > ûk0 (γxk ) — принимается гипотеза Hk1 ,

k = 1, m,
(3..43)
где tk — возможное значение случайной величины (3.20) с соответствующим индексом k.
Тогда выражение для случайной величины Тk примет вид
Zk (хk ) − хk0
Δхk + me (хk )
Тk =
=
σek
σzк
где mtк =
q
◦
Z(xk )
μ̂k (γxk ) +
=
σzk
◦
= mtк + Тk , k = 1, m,
μ̂k (γxk )εtк — математическое ожидание случайной
me (xk )
— приведенная сивеличины Тk (εtк = εxk + εek ; εek =
σek
q
стематическая погрешность); Тk — центрированная составляющая
с дисперсией Dtк = 1, k = 1, m.
Решающую функцию для оценки соответствия объекта а(ˉ
х ) альтернативным гипотезам Н0 и Н1 сформируем на основе совокупности решающих функций rk (tk ), k = 1, m, в следующем виде:
◦
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r(t1 , . . . , tm ) = 1 −
=
m
Y
k=1
[1 − rk (tk )] =

m
P


rk (tk ) = 0 — принимается гипотеза H0 ;
 0, если
m
P


rk (tk ) > 0 — принимается гипотеза H1 .
 1, если
k=1
(3..44)
k=1
Выделим из гипотез H0 и H1 наиболее и наименее предпочтительные гипотезы:
m
∗ — произведение наиболее предпочтительных гиН0∗ = ∩ Нk0
∗ , k = 1, m;
потез Нk0
k=1
∗ — произведение наименее предпочтительных гиН1∗ = ∩ Нk1
m
∗ , k = 1, m.
потез Нk1
Определим вероятности правильной оценки гипотез H0∗ и H1∗ ,
используя решающую функцию
k=1
P [r(T1 , . . . , Tm ) = 0/H0∗ ] =
m
m
Y
Y
∗
P [rk (Тk ) = 0/Нk0
]≥
(1 − αk0 ) = 1 − α0 ;
=
k=1
k=1
P [r(T1 , . . . , Tm ) = 1/H1∗ ] =
m
m
Y
Y
∗
P [rk (Тk ) = 1/Нk1 ] ≥
(1 − βk0 ) = 1 − β0 ,
=
k=1
(3..45)
k=1
где α0 — ограничение на вероятность ошибки 1-го рода для гипотезы H0∗ ; β0 — ограничение на вероятность ошибки 2-го рода для
гипотезы H1∗ .
Совокупность оптимальных планов [хk , μ̂k (γxk ), ûk0 (γxk )],
k = 1, m, для краткости записи обозначим
m
ˆ
ˉμ, u
ˉ0 = ∪ [хk , μ̂k (γxk ) , ûk0 (γxk )],
хˉ , ˆ
k=1
(3..46)
где хˉ = (х1 , . . . , хm ) — вектор плана измерения;
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ˆˉμ = ( μ̂1 (γх 1 ), . . . , μ̂m (γxk )) — вектор объема измерения;
u
ˉˆ0 = (û01 (γx1 ), . . . , ûm0 (γxm )) — вектор параметров решающей функции.
Оптимальный план (3.46) обеспечит выполнение следующих
ограничений на вероятности ошибок 1-го и 2-го рода:
α (Н0∗ )
β (Н1∗ )
≤ α0 = 1 −
≤ β0 = 1 −
m
Y
k=1
m
Y
k=1
(1 − αk0 );
(3..47)
(1 − βk0 )
при минимальном объеме многократных измерений N
m
X
=
μ̂k (γxk ).
=
Заметим, что уравнения (3.47) можно использовать для определения ограничений αk0 , βk0 , k = 1, m, если заданы ограничения
α0 , β0 . Но, поскольку уравнений два, а число неизвестных 2m, однозначно определить неизвестные невозможно без введения дополнительных условий. Поэтому положим
k=1
αk0 = α00 = const, k = 1, m;
βk0 = β00 = const, k = 1, m.
Тогда получим два уравнения с двумя неизвестными
(1 − α00 )m = 1 − α0 ;
(1 − β00 )m = 1 − β0 ,
или
α00 = 1 −
β00
√
1 − α0 = αk0 , k = 1, m;
p
1 − β0 = βk0 , k = 1, m.
=1−
m
m
(3..48)
Выражения (3.48) позволяют однозначно определить ограничения αk0 , βk0 , k = 1, m, если заданы ограничения α0 , β0 .
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На множестве наиболее и наименее предпочтительных гипотез
m
m
∗ , k = 1, m, помимо гипотез Н ∗ = ∩ Н ∗ и Н ∗ = ∩ Н ∗
Hk1
0
1
k0
k1
∗ ,
Hk0
существует большое количество гипотез следующего вида:
k=1
k=1
m−1
∗
Н01
= ∪ Н ∗ (ν),
ν=1
где Н ∗ (ν) =
∪ Нp∗ (ν) — сумма гипотез Hp∗ (ν), р = 1, Сmν ,
ν
Сm
p=1
ν = 1, m − 1,
Нр∗ (ν) = Нр∗ (ν, 1) ∩ Нр∗ (m − ν, 0);
Hp∗ (ν, 1) =
∗
∗ ,
∩ H λj1
— произведение ν гипотез вида Нk1
ν
j=1
k = 1, m;
Hp∗ (m − ν, 0) =
m
∩
ε=ν+1
∗ — произведение m − ν гипотез вида
H λi0
∗ , k = 1, m, λ 6= λ .
Hk0
i
j
∗ , опредеОбщее количество гипотез, входящих в гипотезу H01
ляется выражением
m−1
X
ν
Nm−1 =
Cm
.
ν=1
Найдем вероятность оценить гипотезу Hр∗ (ν) как гипотезу H0 :
Р r (T1 , . . . , Tm ) = 0/Hp∗ (ν) =
= Р r (T λ1 , . . . , T λ ν ) = 0/Hp∗ (ν, 1) ×
× P r T λ ν−1 , . . . , T λm = 0/Hp∗ (m − ν, 0) =
ν
m h
h
i Y
i
Y
∗
=
r λi (T λi ) = 0/H λ∗i ,0 , (3..49)
P r λj T λj = 0/H λj ,1
где
j=1
i=ν+1
h
i
Р r λj T λj = 0/H λ∗j ,1 ≤ β λj 0 , j = 1, ν;
i
h
Р r λi (T λi ) = 0/H λ∗i ,1 ≥ 1 − α λi 0 , i = ν + 1, m.
(3..50)
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С учетом равенств, следующих из отношений (3.50), выражение
(3.49) запишется в виде
Р r (T1 , . . . , Tm ) =
0/Hp∗ (ν)
=
ν
Y
β λi ,0
j=1
m
Y
i=ν+1
(1 − α λi ,0 ).
Воспользуемся условиями αk0 = α00 , βk0 = β00 , k = 1, m.
В результате получим
ν
Р r (T1 , . . . , Tm ) = 0/Hp∗ (ν) = β00
(1 − α00 )m−ν .
ν . Тогда
Но количество гипотез вида Hр∗ (ν) при ν = const равно Cm
вероятность принять гипотезу H0 для суммы гипотез вида Hр∗ (ν),
р = 1, Сmν равна
ν ν
р [r (T1 , . . . , Tm ) = 0/H ∗ (ν)] = Cm
β00 (1 − α00 )m−ν ,
ν = 1, m − 1,
(3..51)
где H ∗ (ν) — сумма гипотез типа Hр∗ (ν), р = 1, Сmν .
Проанализируем выражение (3.51).
1. При ν = 1 будем иметь
Р [r (T1 , . . . , Tm ) = 0/H0∗ (1)] =
= mβ00 (1 − α00 )m−1 m=5
α00 ,β00 =0,1
= 0, 33,
т. е. вероятность принять гипотезу H0 при условии, что имеет место
∗ , k = 1, m, достаточно велика.
хотя бы одна из гипотез Hk1
2. При ν = m − 1 получим
Р [r (T1 , . . . , Tm ) = 0/H ∗ (m − 1)] =
= mβm−1
(1
−
α
)
00 00
m=5
α00 ,β00 =0,1
= 0, 00045,
т. е. с возрастанием ν вероятность принять гипотезу H0 становится
пренебрежимо мала.
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вид
Вероятность оценить гипотезу H ∗ (ν) как гипотезу H1 имеет
Р r (T1 , . . . , Tm ) = 1/Hp∗ (ν) =
= P r (T λ1 , . . . , T λ ν ) = 1/Hp∗ (ν, 1) ×
× P r T λ ν+1 , . . . , T λm = 1/Hp∗ (m − ν, 0) =
ν m
Y
Y
=
1 − β λj 0
α λi 0 α λ 0 =α00 (1 − β00 ) ν αm−ν
00 . (3..52)
j=1
i
β λ 0 =β00
j
i=ν+1
Вероятность принять гипотезу H0 для суммы гипотез вида Hр∗ (ν)
равна
ν
Р [r (T1 , . . . , Tm ) = 1/H ∗ (ν)] = Cm
(1 − β00 ) ν αm−ν
00 ,
ν = 1, m − 1.
(3..53)
Рассмотрим частные случаи.
1. При ν = 1 получим
P [r (T1 , . . . , Tm ) = 1/H ∗ (1)] =
= m(1 − β00 ) ν αm−1
00 m=5
α00 ,β00 =0,1
= 5 ∙ 0, 9 ∙ 0, 14 = 0, 00045,
т. е. вероятность принять гипотезу H1 при условии, что имеет место
только одна из гипотез Hk1 , k = 1, m, пренебрежимо мала.
2. При ν = m − 1 будем иметь
Р [r (T1 , . . . , Tm ) = 1/H ∗ (m − ν)] =
= m(1 − β00 )m−1 α00 m=5
= 5 ∙ 0, 94 ∙ 0, 1 = 0, 33,
α00 ,β00 =0,1
т. е. с возрастанием ν вероятность принять гипотезу H1 также возрастает.
Вероятности, представленные выражениями (3.51) и (3.53), удовлетворяют условиям
ν ν
m−ν
αm
< (1 − α00 )m = 1 − α0 , ν = 1, m − 1;
00 < Cm β00 (1 − α00 )
ν
ν m−ν
< (1 − β00 )m = 1 − β0 , ν = 1, m − 1.
βm
00 < Cm (1 − β00 ) α00
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выражения (3.51), (3.53) позволяют определить вероятности
принять гипотезы H0 и H1 для различных сочетаний гипотез типа
∗ , H ∗ , k = 1, m.
Hk0
k1
Пример 3.6. Рассмотрим задачу оценки соответствия случайной погрешности условию единства измерений, которая рассматривалась в разд. 2. Гауссовская случайная погрешность характеризуется двумя (m = 2) величинами: me (x) и De . Им соответствуют две
пары альтернативных гипотез
Н10 : De ≤ De∗ , H20 : |εe | ≤ ε∗e ;
(3..54)
Н11 : De > De∗ , H21 : |εe | > ε∗e .
Сформируем одну пару гипотез:
H0 = H10 ∩ H20 ;
2
H1 = ∪ [H(ν, 1) ∩ H(2 − ν; 0)] =
ν=1
= (H11 ∩ H20 ) ∪ (H21 ∩ H10 ) ∪ (H11 ∩ H21 ) .
Для каждой из гипотез (3.54) введем две пары чисел:
для гипотез H10 , H11 — (α00 , ξ10 ), (β00 , ξ11 );
для √
гипотез H20 , H21 — p
(α00 , ξ20 ), (β00 , ξ21 ),
где α00 = 1 − 1 − α0 ; β00 = 1 − 1 − β0 .
√
Положим α0 , β0 = 0, 1. Тогда получим α00 = β00 = 1− 0, 9 =
= 0, 05.
На основе заданных пар чисел установим наиболее и наименее
предпочтительные гипотезы по величинам Dе и |εе |:
∗
Н10
: De ≤ De0 = De∗ (1 − ξ10 );
∗
: De ≥ De1 = De∗ (1 + ξ11 );
Н11
∗
Н20
: |εe | ≤ εe0 = ε∗e (1 − ξ20 );
(3..55)
∗
: |εe | ≥ εe1 = ε∗e (1 + ξ11 ).
Н21
Для них ограничения на вероятности ошибок 1-го и 2-го рода
устанавливаются следующим образом:
∗
∗
α1 (De /H10
) ≤ α00 = 0, 05; β1 (De /H11
) ≤ β00 = 0, 05;
∗
∗
) ≤ α00 = 0, 05; β2 (|εe |/H21
) ≤ β00 = 0, 05.
α2 (|εe |/H20
110
(3..56)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оптимальные планы измерения, обеспечивающие ограничения
(3.47), получены в разд. 2 и имеют вид (x, μ̂, û10 ), (x, μ̂2 , û20 ).
На основе гипотез (3.55) выделим следующие гипотезы:
∗ ∩ Н ∗ — наиболее предпочтительная часть гипотеН0∗ = Н10
20
зы H0 ;
∗ ∩ Н ∗ — наименее предпочтительная часть гипотеН1∗ = Н11
21
зы H1 ;
( ∗
∗ , р = 1,
Н11 ∩ Н20
∗
Нр (1) =
∗ ∩Н∗ ,
Н21
р = 2.
10
Тогда
2
Н ∗ (1) = ∪ Нр∗ (1).
р=1
Определим вероятности ошибок 1-го и 2-го рода для гипотез H0∗
и H1∗ , используя выражения (3.51) и (3.53):
ν
Р r S 2 , T = 1/H0∗ = Cm
(1 − β00 ) ν αm−ν
00 ν=0 =
m=2
=
α200
2
=
β200
2
= 0, 05 = 0, 0025;
ν ν
P r S 2 , T = 0/H1∗ = Cm
β00 (1 − α00 )m−ν ν=2 =
m=2
= 0, 05 = 0, 0025.
Вероятности оценить гипотезу H ∗ (1) как гипотезу H0 и H1 будут соответственно равны:
ν ν
Р r S 2 , T = 0/H ∗ (1) = Cm
β00 (1 − α00 )m−ν m=2 =
ν=1
= 2 ∙ 0, 05 ∙ 0, 95 = 0, 1;
ν
P r S 2 , T = 1/H ∗ (1) = Cm
(1 − β00 ) ν αm−ν
00 m=2 =
ν=1
= 2 ∙ 0, 95 ∙ 0, 05 ≈ 0, 1.
Из приведенных количественных оценок вероятностей следует,
что для исходных ограничений α0 = β0 = 0, 1 вероятности ошибок
1-го и 2-го рода для гипотез H0∗ и H1∗ пренебрежимо малы, а для
гипотезы H ∗ (1) сопоставимы с вероятностями α0 , β0 .
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗМЕРЕНИЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ВЕЛИЧИНЫ (ФУНКЦИИ ОТКЛИКА)
4.1. Структура плана измерения при формировании
многократных измерений
Обозначим переменную измеряемую величину η(х ), где x ∈
∈ [х0 , х01 ] — диапазон изменения аргумента х . График переменной
величины показан на рис. 4.1.
Рис. 4.1
Очевидно, что для того чтобы экспериментально оценить неизвестную функцию η(х ), которая в теории планирования эксперимента называется функцией отклика, нужно выполнить следующие
действия.
1. Выбрать конечное число дискретных значений аргумента xk ,
k = 1, n, в которых следует провести многократные измерения объема μk , k = 1, n. Измеряемой величиной при аргументе xk является величина η(хk ). Тогда пара величин (xk , μk ) будет предста112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
влять собой план многократных измерений величины η(хk ). Объединение этих планов по индексу k и будет планом измерения, на
основе которого реализуются многократные измерения при оценке
m
функции отклика. Обозначим такой план (ˉ
х , ˉμ) = ∪ (xk , μk ), где
х = (х1 , . . . , хn )т — вектор плана измерения; μ = (μ1 , . . . , μn ) —
вектор объема измерения.
2. Ввести параметрическую математическую модель функции
отклика вида
k=1
η(х , сˉ) =
l
X
ˉ т (x)ˉ
ci ϕi (x) = ϕ
c,
(4..1)
i=1
где ci , i = 1, l — постоянные коэффициенты; сˉ = (с1 , . . . , сl )т —
вектор коэффициентов размера l × 1; ϕi (х ), i = 1, l — базисные
ˉ (х ) = (ϕ1 (х ), . . .
функции, зависящие только от аргумента х ; ϕ
. . . , ϕl (х ))т — вектор базисных функций размера l × 1.
3. Оценить коэффициенты ci , i = 1, l, на основе многократных
х , ˉμ).
измерений, реализованных по плану измерения (ˉ
Условимся, что для измерения величины η(хk ), k = 1, n, по
плану измерения (хk , μk ), k = 1, n, используются индивидуальные СИk , k = 1, n, формирующие результаты однократных измерений со случайными погрешностями, удовлетворяющими условиям
единства измерений, а именно:
∗
Dek ≤ Dek
(σek ≤ σ∗ek ) ;
1
|me (xk )| ≤ Т ∗ mek , k = 1, n,
2
(4..2)
∗
где σ∗ek = de T ek ; de = 0, 5t−1
0,5(1−λε) ; T mek = γek Т еk , γek =
t0,5−ε
σek
ηek = ∗ ≤ 1, k = 1, n.
= 1 − ηek
t0,5(1−λε)
σek
Структура результата однократного измерения величины η(хk ),
k = 1, n, имеет следующий вид:
◦
Yj (xk ) = η(хk ) + me (xk ) + Ек j , Dek , j = 1, μk , k = 1, n.
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Результат обработки многократных измерений соответствующий
плану измерения (xk , μk ), k = 1, n, равен
Z(xk ) =
μk
◦
1 X
Yj (xk ) = η(хk ) + me (хk ) + Zk , k = 1, n, (4..3)
μk
j=1
где Zk — центрированная случайная составляющая с дисперсией
Dek
Dzk =
, k = 1, n.
μk
Выделим из совокупности дисперсии Dek , k = 1, n, минимальную De = Dek̂ = min{De1 , . . . , Den }, где k̂ — номер дисперсии с
минимальным значением. Приведем дисперсии Dzk к следующему
виду:
Dek
De Dek μ
Dzk =
=
= Dz vzk , k = 1, n,
μk
μ De μk
Dek
μ
где μ = μk̂ ; Dz = De /μ; vzk = vek
k 6= k̂; vek =
≥ 1,
De
μk
k = 1, n.
Введем оправданное в прикладном отношении условие равноточности по дисперсии результатов обработки многократных измерений Z(хk ), k = 1, n. Тогда получим
De
De
Dzk =
=
vzk = const, k = 1, n.
μ
μ
vzk =1
◦
Это условие обеспечивается за счет объемов многократных измерений, которые определяются по выражениям, следующим из условия
vzk = vek
или
μ
= 1, k = 1, n,
μk
μk = [vek μ]+ , k = 1, n; k 6= k̂,
где
vek
Dek
=
=
De
ηek σ∗ek
ηе σ∗е
2
при этом ηe = ηе k̂ , Т е = Т еk̂ .
114
=
ηek Т еk
ηе Т е
2
≥ 1, k = 1, n,
(4..4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выражения (4.4) позволят определить n − 1 объемов измерений
μk , k = 1, n, k 6= k̂, если известен объем μ = μk̂ .
Совокупность результатов измерений Z(хk ), k = 1, n, представим в форме вектора-столбца
◦
ˉ
ˉ +m
Zˉ = η
ˉ e + Z,
(4..5)
ˉ = (η(x1 ), . . . , η(xn ))т ; m
ˉe =
где Zˉ = (Z(х1 ), . . . , Z(xn ))т ; η
= (me (x1 ), . . . , me (xn ))т ; Zˉ = (Z1 , . . . , Zn )т — центрированный
случайный вектор, характеризующийся ковариационной матрицей Kz .
При условии взаимной некоррелированности составляющих
◦
◦
◦
Zk , k = 1, n, ковариационная матрица будет диагональной:
◦
De
De
Kz = diag
vz1 , . . . ,
vzn =
μ
μ
De
De
=
diag(vz1 , . . . , vzn )
In = Dz In , (4..6)
=
μ
μ
vzk =1, k=1,n
где In — единичная матрица размером n × n.
4.2. Оценка функции отклика на основе
многократных измерений
Любая математическая модель не совпадает с истинной функцией отклика, и поэтому имеет место отклонение
ˉ т (х )ˉ
Δη (х , сˉ) = ϕ
с − η(х ),
в том числе и на компонентах вектора плана измерения хˉ , а именно:
или
ˉ т (хk )ˉ
Δη (хk , сˉ) = ϕ
с − η(хk ), k = 1, n,
ˉ (ˉ
ˉ,
Δη
c) = Φz cˉ − η
(4..7)
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»



ˉ т (x1 )
ϕ1 (x1 ), . . . , ϕl (x1 )
ϕ
 = [ϕi (хk )] ,
...
где Φz =  . . .  = 
т
ˉ
ϕ1 (xn ), . . . , ϕl (xn )
ϕ (xn )
i = 1, l; k = 1, n, — матрица базисных функций на векторе плана
измерения размером n × n.
Из уравнения (4.7) следует, что

ˉ = Φz cˉ − Δ η
ˉ (ˉ
η
c).
ˉ в уравнение (4.5).
Подставим полученное выражение для η
В результате будем иметь:
◦
ˉ (ˉ
Zˉ = Φz cˉ + m
ˉ e − Δη
c) + Zˉ (Kz = Dz In ).
(4..8)
ˉ (ˉ
ˉ e = 0, Δ η
c) = 0. Тогда оно примет
Положим в этом уравнении m
следующий вид:
◦
Zˉ = Φz cˉ + Zˉ .
(4..9)
ˉ
ˉ = (Φт Φz )−1 Φт Z,
Cˆ
z
z
(4..10)
В работе [2] показано, что случайная оценка вектора cˉ, соответствующая уравнению (4.9), представляется выражением
где Φтz Φz = B = [bij ] , ij = 1, l, — квадратная матрица размером l × l;

n
X


 ||ϕi ||2 =
ϕ2i (xk ), j = i — квадрат нормы




k=1
ˉ;
базисной функции ϕi на векторе x
bij =

n

X



ϕi (xk )ϕj (xk ), j 6= i.


k=1
Ковариационная матрица случайного вектора оценки Cˆˉ равна
Kcˉ = Dz (Φтz Φz )−1 =
116
De
(Φтz Φz )−1 .
μ
(4..11)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теперь, подставив в математическую модель (4.1) вместо вектоˆ
ˉ , получим оценку функции отклика как случайную
ра cˉ его оценку С
функции аргумента х :
◦
ˆ
ˉ) = ϕ
ˉ=ϕ
ˉ т (x)Cˆ
ˉ т (x) cˉ + Cˉ =
H(x) = η(x, С
◦
= m η (x) + H (x), (4..12)
ˆˉ
где cˉ — вектор математического ожидания случайного вектора C;
◦
ˉ т (x)ˉ
Cˉ — центрированный случайный вектор; m η (x) = ϕ
c —
функция математического ожидания случайной функции Н (х ),
ˉ т (x) Cˉ — центрированная случайная составляющая слуH (x) = ϕ
чайной функции Н (х ).
◦
◦
Найдем выражения для дисперсии составляющей Н (х ). По
определению имеем:
◦
◦
◦
2
т
D η (x) = M H (x) = M H (x) H (x) =
◦ ◦ т
ˉС
ˉт ϕ
ˉ (x)M С
ˉ (x)).
ˉ (x) = ϕ
ˉ т (x)Kˉ
=ϕ
c( ϕ
◦
Подставим в правую часть выражение (4.11). В результате получим:
D η (x) =
De т
D
ˉ (x) (Φтz Φz )−1 ϕ
ˉ (x) = e ρ(x; x
ϕ
ˉ),
μ
μ
(4..14)
ˉ (x) — функция аргумента х .
ˉ т (x) (Φтz Φz )−1 ϕ
где ρ(x, x
ˉ) = ϕ
ˆˉ , используя выраРассмотрим структуру случайного вектора С
жения (4.5) и (4.10):
◦
◦
◦
−1 т
т
ˆ
ˉ
ˉ
ˉ
ˉ
С = (Φz Φz ) Φz η + m
ˉ e + Z = cˉη + cˉe + Cˉ = cˉ + C,
ˉ — вектор, обусловленный вектором η
ˉ;
где cˉη = (Φтz Φz )−1 Φтz η
−1 т
т
cˉe = (Φz Φz ) Φz m
ˉ e — вектор, обусловленный вектором систематических погрешностей m
ˉ e,
cˉ = cˉη + cˉe .
(4..15)
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Представим оценку функции отклика в виде
◦
H(x) = m η (x) + H (x) = η(x) + E η (x) =
◦
= η(x) + meη (x) + H (x), (4..16)
где meη (x) = m η (x) − η(x) — функция систематической погрешности оценки функции отклика.
Используя выражения (4.13), (4.15), (4.16), получим:
ˉ т (x)ˉ
ˉ т (x)ˉ
ˉ т (x)ˉ
meη (x) = ϕ
c − η(x) = ϕ
cη + ϕ
ce − η(x) =
ˉ т (x)ˉ
ce ,
= Δη(x, cˉη ) + ϕ
ˉ т (x)ˉ
где Δη(x, cˉη ) = ϕ
c η − η(x).
Из этого выражения следует, что функция систематической
погрешности определяется двумя факторами: систематическими
погрешностями результатов измерений и отклонением математической модели от истинной функции отклика.
Поскольку зависимости (4.10) и (4.12) являются линейными
ˉ оценка
соответственно относительно гуссовских векторов Zˉ и C,
функции отклика (4.12) при каждом значении аргумента х является гауссовской случайной величиной. Погрешность этой оценки
E η (х ) определяется систематической погрешностью meη (x) и дисперсией D η (х ).
Подчеркнем еще раз то обстоятельство, что выражения для
meη (x) и D η (х ) получены для условия равноточности по дисперсии результатов обработки многократных измерений Z(xk ),
k = 1, n, т. е. для условия Dzk = De /μ = const (vzk = 1), k = 1, n.
4.3. Планирование многократных измерений
при оценке функции отклика
Из изложенного выше следует, что при оценке функции отn
клика использовался план измерения (ˉ
x, ˉμ) = ∪ (xk , μk ), где
k=1
x
ˉ = (x1 , . . . , xn )т , ˉμ = (μ1 , . . . , μn ), μk = [vek μ]+ , k = 1, n;
k 6= k̂. Задачу формирования оптимального плана (ˉ
х , ˉμ) рассмотрим при допущении, что вектор плана измерения хˉ задан. Тогда
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
единственной неизвестной величиной в плане измерения является
объем μ = μk̂ .
Сформулируем следующую постановку задачи оптимального
планирования.
ˉ) и требуется обеспечить выполнеПусть х̃ = arg max ρ(x, x
x
ния условия
D η (x̃) =
De
ρ(x̃; x
ˉ) ≤ D η0 = const
μ
(4..17)
при минимальном значении объема μ.
Из условия (4.17) ясно, что
μ≥
De
ρ(x̃; x
ˉ),
D η0
следовательно, минимальное значение μ будет равно
+
De
μ̂ =
ρ(x̃; x
ˉ) = μ̂k̂ .
D η0
Остальные объемы многократных измерений определяются выражениями (4.4):
μ̂k = [vek μ̂]+ , k = 1, n; k 6= k̂.
В итоге оптимальный план будет иметь вид (ˉ
х , ˆˉμ), где ˆˉμ =
= μ̂1 , . . . , μ̂n ). Он обеспечит выполнение условия (4.17) при миn
P
μ̂k .
нимальном объеме многократных измерений N̂ =
k=1
4.4. Ортогональный план измерения
Обратимся к вектору оценки (4.10) и запишем его в виде
ˆ
ˉ
ˉ = B −1 Φт Z,
С
z
где B −1 = [b̂ij ], i, j = 1, l; Φтz = ϕj (xk ) , j = 1, l; k = 1, n,
l X
n
X
b̂ij ϕj (хk )Z(xk ), i = 1, l.
Ĉi =
j=1 k=1
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выражения для оценки коэффициентов С̂i , i = 1, l, требуют
обращения матрицы В и являются громоздкими. Кроме того, остается открытым вопрос о том, как определить вектор плана хˉ .
Согласно выражению (4.10), элементы матрицы В имеют следующий вид:

2

 ||ϕi || , j = i;

n
X
bij =
(4..18)

ϕ
(x
)ϕ
(x
),
j
=
6
i,
i,
j
=
1,
l,

k
k
i
j

k=1
где ||ϕi ||2 =
n
X
ϕ2i (xk ), i = 1, l.
Пусть x
ˉ∗ = (x∗1 , . . . , x∗n )т — такой вектор плана измерения, при
котором имеют место равенства
К =1
n
X
k=1
ϕi (x∗k )ϕj (x∗k ) = 0, i, j = 1, l; j 6= i.
(4..19)
х ∗ , ˉμ) называется ортогональным. Для такоТогда план измерений (ˉ
го плана измерения матрица В является диагональной, а именно
B = diag(||ϕ1 ||2 , . . . , ||ϕl ||2 );
B −1 = diag(||ϕ1 ||−2 , . . . , ||ϕl ||−2 ).
При этом выражения для оценок коэффициентов принимают очень
простой вид:
С̂i =
n
1 X
ϕi (хk )Z(xk ), i = 1, l.
||ϕi ||2
(4..20)
k=1
ˉˆ превращается в
Ковариационная матрица вектора оценки С
диагональную:
Kcˉ =
120
De
diag ||ϕ1 ||−2 , . . . , ||ϕl ||−2 = diag (Dc1 , . . . , Dcl ) , (4..21)
μ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где Dci =
De
||ϕi ||−2 , i = 1, l — дисперсии оценок коэффициентов
μ
Ĉi , i = 1, l.
Диагональность ковариационной матрицы Kcˉ означает, что
оценки коэффициентов Ĉi , i = 1, l, являются взаимно некоррелированными.
Дисперсия оценки функции отклика примет также более простой вид:
D η (x) =
De т
ˉ (x) =
ˉ (x)diag ||ϕ1 ||−2 , . . . , ||ϕl ||−2 ϕ
ϕ
μ
l
De
De X 1
ϕ2i (x) =
ρ(x; x
ˉ∗ ), (4..22)
=
2
μ
μ
||ϕi ||
i=1
где ρ(x; x
ˉ )=
l
X
1
ϕ2 (x).
||ϕi ||2 i
i=1
Таким образом, ортогональный план является предпочтительнее неортогонального. Поэтому вектор плана измерения нужно
определять из условия обеспечения ортогональности (4.19).
Рассмотрим формирование вектора хˉ ∗ для характерных видов
математических моделей функции отклика.
Пример 4.1. Пусть математическая модель представляет ограниченный косинусный ряд
∗
η(x, cˉ) =
l
X
ci ϕi (x),
i=1
где ϕi (x) =
(
1, i = 1;
cos [(i − 1)ω0 x] , i = 2, l, l = l0 + 1, x ∈ [0, Tx ] ,
l0 — количество косинусных членов ряда.
Для такой модели компоненты вектора плана измерения, определяющие ортогональный план, формируются следующим образом:
x∗k = (k − 1)Δx, k = 1, n,
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где n = 2l0 ≥ l = l0 + 1 — условие, обеспечивающее однозначное
Tx
2π
; ω0 =
; Tх —
определение коэффициентов ci , i = 1, l; Δx =
n
Tx
период основной гармонии с частотой ω0 .
Для l0 = 3 математическая модель имеет следующий вид:
η(x, cˉ) = c1 + c2 cos ω0 x + c3 cos 2ω0 x + c4 cos 3ω0 x.
Параметры, определяющие компоненты x∗k , k = 1, n, принимают следующие значения:
n = 2l0 = 6; Δx =
Tx
Tx
Tx
=
; x∗k = (k − 1) , k = 1, n.
n
6
6
Углы, входящие в косинусные слагаемые модели, определяются
следующими выражениями:
αik = (i − 1)w0 x∗k = (i − 1)
π
2π
Tx
(k − 1)
= (i − 1)(k − 1) =
Tx
3
6

π

(k − 1) , i = 2,



3

π
2(k − 1) , i = 3, (4..23)
=

3



 3(k − 1) π , i = 4.
3
С учетом выражений (4.23) получим
ϕi (x∗k ) = cos αiк , i = 2, 4; k = 1, 6.
(4..24)
Значение углов и соответствующих им базисных функций,
определяемых выражениями (4.23), (4.24), приведены в табл. 4.1.
Согласно данным табл. 4.1,

6, j = i = 1,



6

P


ϕj (x∗k ) = 0, i = 1, j = 2, 6,
l=6

X
∗
∗
k=1
bij =
ϕi (xk )ϕj (xk ) =
6
P


k=1

ϕi (x∗k )ϕj (x∗k ) = 0,



 k=1
j 6= i, i, j = 2, 6.
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 4.1
k
ϕ1 (хk∗ )
α2k
ϕ2 (хk∗ )
α3k
ϕ3 (хk∗ )
α4k
ϕ4 (хk∗ )
1
1
0
1
0
1
0
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
π
3
π
2
3
π
3
3
π
4
3
π
5
3
0,5
– 0,5
–1
– 0,5
0,5
π
3
π
4
3
π
6
3
π
8
3
π
10
3
2
– 0,5
– 0,5
1
– 0,5
– 0,5
π
3
π
6
3
π
9
3
π
12
3
π
15
3
3
–1
1
–1
1
–1
Следовательно, вектор плана измерения x
ˉ∗ = (x∗1 , . . . , x∗6 )т
обеспечивает ортогональность плана измерения.
Пример 4.2. Рассмотрим математическую модель в форме конечного тригонометрического ряда
η(x, cˉ) =
l
X
ci ϕi (x),
i=1
где
ϕi (x) =

1, i = 1;





 cos(i − 1)ω0 x, i = 2, l0 + 1;

sin [i − (l0 + 1)] ω0 x;





i = l0 + 2, l, l = 2l0 + 1, x ∈ [0, Tx ]
(4..25)
(l0 — количество косинусных и синусных членов модели).
Для такой модели алгоритм формирования компонентов хk∗ ,
k = 1, n, имеет следующий вид:
x∗k = (k − 1)Δx, k = 1, n,
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n = 4l0 > l = 2l0 + 1 — условие для однозначного определения
Tx
2π
; ω0 =
,
коэффициентов ci , i = 1, l, обеспечивается; Δx =
n
Tx
Tх — период основной гармоники.
Для l0 = 2 будем иметь следующую математическую модель:
η (x, cˉ) = c1 + c2 cos ω0 x + c3 cos 2ω0 x + c4 sin ω0 x + c5 sin 2ω0 x.
Параметры, определяющие компоненты вектора x
ˉ∗ , принимают
значения
n = 4l0 = 8; Δx =
Tx
Tx
Tx
=
; x∗k = (k − 1) ; k = 1, 8.
n
8
8
Углы, входящие в косинусные и синусные слагаемые модели,
определяются выражениями
αiк = (i − 1)ω0 x∗k = (i − 1)
2π
Tx
(k − 1)
=
8
Tx

π
 (k − 1) , i = 2, 4,
4
=
 2(k − 1) π , i = 3, 5.
4
(4..26)
Значения углов, определяемых выражениями (4.26), и значения
соответствующих им базисных функций приведены в табл. 4.2.
Из табл. 4.2 следует, что
bij =
8
X
k=1
ϕi (x∗k )ϕj (x∗k ) =

8, j = i = 1;



8

P


ϕj (x∗k ) = 0, i = 1, j = 2, 5;

k=1
8
P



ϕi (x∗k )ϕj (x∗k ) = 0,



k=1

j 6= i, i, j = 2, 5.
Это означает, что план измерения является ортогональным.
Рассмотренные в примерах 4.1 и 4.2 математические модели
являются периодическими функциями. Поэтому их следует применять для оценки периодических функций с известным периодом.
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 4.2
k
ϕ1 (хk∗ )
α2k
ϕ2 (хk∗ )
α3k
ϕ3 (хk∗ )
ϕ4 (хk∗ )
ϕ5 (хk∗ )
1
1
0
1
0
1
0
0
2
1
0
0,71
1
3
1
–1
1
0
4
1
0
0,71
–1
5
1
1
0
0
6
1
0
– 0,71
1
7
1
–1
–1
0
8
1
0
– 0,71
–1
π
4
π
2
4
π
3
4
π
4
4
π
5
4
π
6
4
π
7
4
0,71
0
– 0,71
–1
– 0,71
0
0,71
π
4
π
4
4
π
6
4
π
8
4
π
10
4
π
12
4
π
14
4
2
Пример 4.3. Обратимся к математической модели функции отклика в форме конечного ряда Котельникова:
η(х , сˉ) =
l
X
ci ϕi (x),
i=1
где ϕi (x) =
sin ωm (x − xi )
= sincωm (x − xi ), i = 1, l; xi = x1 +
ωm (x − xi )
+ (i − 1)Δx, i = 1, l; ωm — верхняя граница частотного спектра
π
функции отклика η(х ); Δx =
= const; sincωm (x − xi ) — функωm
ция отсчетов.
Таким образом, базисными функциями в этой модели являются
функции отсчетов с параметром ωm . Поэтому использование ряда
Котельникова в качестве математической модели функции отклика возможно лишь в случае, если известно значение ωm . Заметим
также, что число членов ряда и число составляющих вектора плана
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
измерения одинаково, т. е. n = l.
Функции отсчетов обладают следующими свойствами:

1, k = i,


sincωm (xk − xi ) =

0, k 6= i, i, k = 1, l. 



l

P


sincωm (xk − xi )sinc(xk − xj ) =




k=1
l
P

2
2

sinc ωm (xk − xi ) = 1,
 ||ϕi || =



k=1

=



i = 1, l; j = i,







0, j 6= i, i, j = 1, l.



lim |sincω (x − x )| = 0.
m
x→∞
(4..27)
i
ˉ∗ = (x∗1 , . . . , x∗l )т , где
Таким образом, вектор плана измерения x
π
хk∗ = x∗1 + (k − 1)Δх , Δх =
= const, обеспечивает ортогональωm
∗
ность плана измерения (ˉ
x , ˉμ) для математической модели функции отклика в форме конечного ряда Котельникова.
Выражения для оценок коэффициентов модели согласно формуле (4.20) имеют следующий вид:
Ĉi =
n
X
k=1
sincωm (x∗k − x∗i )Z(x∗k ) = Z(x∗i ), i = 1, l.
В итоге получим следующую оценку функции отклика:
ˆ
ˉ) =
H(x, С
l
X
i=1
Z ∗ (xi )sincωm (x − x∗i ).
В соответствии с выражениями (4.21) получим: Dсi =
(4..28)
De
=
μ
= const, i = 1, l, а ковариационная матрица случайного вектора Cˆˉ
De
будет равна Кcˉ =
Il , где Il — единичная матрица размером l × l.
μ
Графическая интерпретация реализации математической модели показана на рис. 4.2.
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.2
Математическая модель (4.28) обладает следующими свойствами.
1. Ее реализация проходит через экспериментальные значения
z(x∗k ), k = 1, l.
2. Дисперсия этой функции
D η (x) =
l
De X
sincωm (x − x∗i ).
μ
(4..29)
i=1
Эту модель рекомендуется применять при оценке медленно меняющихся функций отклика.
Рассмотрим конкретную задачу формирования оптимального
плана измерения типа (ˉ
х , ˉμ), где x
ˉ∗ = (x∗1 , . . . , x∗l )т , ˉμ = (μ1 , . . .
. . . , μl ), при оценке функции отклика модели в форме конечного
ряда Котельникова по условию
D η (x) ≤ De /μ ≤ D η0 ,
(4..30)
где D η0 = η20 De , η20 = D η0 /De < 1.
Введем следующие исходные данные: аргумент х — длина;
ωm = 0, 1 мм−1 ; l = n = 10; η20 = 0, 15; х1∗ = 10 мм, значения
коэффициентов vei = Dei /De , i = 1, 10, помещены в табл. 4.3.
Для этих исходных данных получим:
x
ˉ∗ = (x∗1 , . . . , x∗10 )т ;
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x∗i = x∗1 + (i − 1)Δx, i = 1, 10,
π
3, 14
= 31, 4 мм.
Δx =
=
ωm
0, 1
Таблица 4.3
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
vei
1
1,2
1,1
1,4
1,2
1,5
1,6
1,7
1,8
1,0
10
41,4
72,8 104,2 135,6 167 198,4 229,8 261,2 292,6
7
9
x∗i ,
мм
μ̂i
8
10
9
11
12
12
13
7
Из отношения (4.30) следует выражение для оптимального значения объема μ:
+
De +
1
=
= [6, 67]+ = 7.
μ̂ =
D η0
η20
Остальные объемы определим по выражениям (4.4):
μ̂i = [vei μ]+ , i = 1, 10.
Значения компонентов x∗i , μ̂i , i = 1, 10, помещены в табл. 4.3.
x∗ , ˉμ) обеспеТаким образом, оптимальный план измерения (ˉ
чит выполнение условия (4.30) при минимальном объеме измере10
X
μ̂k = 107. Если для получения многократных измерений N̂ =
ний во всех точках x∗i , i = 1, 10, используется одно СИ, дисперсия
погрешности результатов измерений которого минимальна, то получим μ̂i = μ̂, i = 1, 10 и N̂ = l μ̂ = 70.
i=1
4.5. Планирование измерений при оценке соответствия
математической модели функции отклика
требованию, заданному в форме гиперсферы
Математическая модель функции отклика не совпадает с истинной функцией отклика, но если ее отклонения малы, то такую модель можно считать эквивалентной истинной.
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим отклонения модели от функции отклика на векторе
плана измерения x
ˉ = (x1 , . . . , xn )т
Δη(xk ; cˉ) = η(xk ; cˉ) − η(xk ), k = 1, n,
и подчиним их следующему условию:
1
|Δη(xk ; cˉ)| ≤ T η, k = 1, n,
2
(4..31)
1
где T η — допуск поля допуска 0 ± T η для отклонений на компо2
ˉ.
нентах вектора плана измерения x
Условия (4.31) являются условиями эквивалентности математической модели истинной функции отклика.
Методика формирования оптимального плана вида (ˉ
x, ˉμ, u
ˉ0 ) по
совокупности полей допусков (3.39) была рассмотрена в разд. 3.5.
Она полностью применима для формирования аналогичных планов
и по совокупности полей допусков (4.31). Нужно только провести
замены: вместо отклонения Δхk — отклонение Δη(xk , cˉ) и вместо
допуска T xk — допуск T η = const.
Изложим методику планирования измерений для случая, когда требования к отклонению математической модели от истинной
функции отклика задаются в форме гиперсферы.
Для формирования многократных измерений используем план
х , ˉμ), о котором шла речь в разд. 4.1 и который обеспеизмерения (ˉ
чивает получение вектора результатов измерения (4.5), (4.6):
◦
ˉ Kz = De In ,
ˉ +m
Zˉ = η
ˉ e + Z,
μ
(4..32)
где In — единичная матрица размером n × n; De , μ — дисперсия
и объем многократных измерений самого точного по дисперсии однократного результата измерения.
Разумеется, остается в силе допущение о том, что случайные погрешности однократных результатов измерений, полученные с использованием СИk , k = 1, n, удовлетворяют условиям единства измерений (4.2).
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Преобразуем условия эквивалентности (4.31) к безразмерному
виду и сформируем альтернативные гипотезы на основе требования
в форме гиперсферы:
|Δη(хk , сˉ)|
1Тη
1
= |ε ηk | ≤
= Т ε η;
σе
2 σе
2
1
: |ε ηk | > Т ε η ,
2
Нk0 :
Нk1
где
Т η −1 −1
Т εη =
=
=ηе σ∗е = ηe d η Т η
σе σσ∗ее=d
d η =0,5ηeη t−1
0,5(1−λε)
ηT η
−1
= 2η−1
e ηeη t0,5(1−λε) — приведенный допуск;
(4..33)
(4..34)
Te
Δη(xk , cˉ)
, k = 1, n — приведенные
< 1; ε ηk =
Tη
σe
отклонения.
ηeη =
На основе безразмерных компонентов ε ηk , k = 1, n, образуем
вектор
ˉε η = (ε η1 , . . . , ε ηn )т
(4..35)
и соответствующий ему модуль
v
u n
uX
|ˉε η | = ε η = t
ε2ηk .
(4..36)
k=1
Требования к модулю ε η сформируем в форме гиперсферы с радиусом
ρ(n)
−1
T ε η = ρ(n)η−1
ε∗η =
(4..37)
e ηeη t0,5(1−λε) ,
2
√
где ρ(n) = k n, k = 3, 4, . . . Такая гиперсфера расположена между
гиперсферой, вписанной в гиперкуб с центром в начале системы
координат и с длиной ребра T ε η , и гиперсферой, проходящей через
вершины этого гиперкуба.
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С учетом сказанного альтернативные гипотезы на скалярной величине ε η примут вид
H0 : ε η ≤ ε∗η ;
Н1 : ε η > ε∗η .
(4..38)
Сформируем наиболее и наименее предпочтительные гипотезы:
Н0∗ : ε η ≤ ε η0 = ε∗η (1 − ξ0 );
Н1∗ : ε η ≥ ε η1 = ε∗η (1 + ξ10 ).
(4..39)
Установим для этих гипотез ограничения на вероятности ошибок 1 и 2-го рода:
α (ε η /H0∗ ) ≤ α0 1;
β (ε η /H1∗ ) ≤ β0 1.
(4..40)
В качестве радиусов гиперсфер для гипотез H0∗ и H1∗ можно
взять радиусы вписанной в гиперкуб и проходящей через его вершины гиперсфер. Тогда будем иметь следующие равенства:
1
ρ(n)
T ε η (1 − ξ0 ) = T ε η ;
2
2√
n
ρ(n)
T ε η (1 + ξ1 ) =
T εη
= ε∗η (1 + ξ10 ) =
2
2
ε η0 = ε∗η (1 − ξ0 ) =
или
ε η1
ρ(n)(1 − ξ0 ) = 1;
√
ρ(n)(1 + ξ10 ) = n.
(4..41)
Из уравнений (4.44) получим следующие выражения для коэффициентов ξ0 и ξ1 :
√
1
n
ξ0 = 1 −
(4..42)
; ξ1 =
− 1.
ρ(n)
ρ(n)
Для экспериментальной оценки альтернативных гипотез H0 и
H1 используется решающая функция стандартного вида:
0, если u ≤ u0 — принимается гипотеза H0 ;
r(u) =
(4..43)
1, если u > u0 — принимается гипотеза H1 ,
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где u — возможное значение скалярной случайной величины U .
Случайную величину U выберем из следующих соображений.
Рассмотрим отклонения
ˉ т (xk )ˉ
Δη(xk ; cˉ) = ϕ
c − η(xk ), k = 1, n.
(4..44)
ˆˉ , а
Подставим вместо вектора коэффициентов сˉ вектор оценки С
вместо η(хk ) — результат измерения Z(хk ). Тогда на компонентах
вектора план измерения хˉ = (х1 , . . . , хn )т векторное представление компонентов (4.44) будет иметь вид
ˉ − Zˉ = − Zˉ − Φz Cˆˉ .
ˉ = Φz Cˆ
ˉ Cˆ
Δη
Из правой части этого равенства образуем квадратичную форму
т
ˉ K −1 Zˉ − Φz Cˆ
ˉ Qz = Zˉ − Φz Cˆ
z
Kz = Dμe In
=
т Zˉ − Φz Cˆˉ .
= μDe−1 Zˉ − Φz Cˆˉ
Случайная величина Qz = Qz (ν; δz ) имеет нецентральное
χ2 -распределение с ν = n − l ст. св. и параметром нецентральности δz .
Параметр δz определяется следующим выражением [3]:
δz =
где
εz =
q
√
μεz ,
ˉ тz Δm
ˉ z;
De−1 Δm
h
i
h i
ˉ = M Zˉ − Φz M Cˆˉ .
Δm
ˉ z = M Zˉ − Φz Cˆ
(4..45)
(4..46)
ˉ +m
Здесь M Zˉ = η
h iˉ e — вектор математического ожидания (соˉ = cˉ — вектор математического ожидания
гласно (4.32)); M Cˆ
ˆ
ˉ
вектора оценки C.
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
После подстановки полученных выражений в уравнение (4.46)
получим:
ˉ +m
Δm
ˉz = η
ˉ e − Φz cˉ
Φz cˉ− ˉ
η=Δ ˉ
η(ˉ
c)
ˉ (ˉ
=m
ˉ e − Δη
c),
где Δm
ˉ z = (Δmz (x1 ), . . . , Δmz (xn ))т ; Δmz (xk ) = (Δme (xk ) −
−Δη(xk ; сˉ), k = 1, n.
Теперь, с использованием неравенства Коши, выражение для εz
примет вид
v
v
u n
u n X
u
uX me (xk ) − Δη(xk ; cˉ) 2
−1
2
t
t
εz =
De Δmz (xk ) =
=
σe
k=1
k=1
v
v
v
u n
u n
u n
X
X
uX
u
2 u
2
t
t
ε ηk + t
ε2ek = ε η + εе ,
ε ηk − εek ≤
=
k=1
где ε η
k=1
k=1
v
u n
uX
= t
ε2ηk — модуль вектора приведенных отклонений
модели от функции отклика, с использованием которого сформироme (xk )
ваны альтернативные гипотезы (4.38); εek =
, k = 1, n, —
σеv
u n
uX
t
ε2ek — моприведенные систематические погрешности; εе =
k=1
дуль вектора приведенных систематических погрешностей.
√
√
Параметр δz = μεz = μ (ε η + εe ) зависит от величины
ε η , на основе которой образованы скалярные альтернативные гипотезы H0 и H1 . Поэтому в качестве аргумента решающей функции (4.43) можно использовать возможное значение случайной величины Qz (ν; δz ). Подставим ее в качестве аргумента в решающую
функцию. В результате получим случайную величину
k=1
r [Qz (ν, δz )] = R,
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где R — дискретная случайная величина, {0, 1} — множество возможных значений; Р (R = 0), P (R = 1) = 1 − P (R = 0) — закон
ее распределения.
Определим вероятность P (R = 0) на основе выражения (4.40):
Zu0
P (R = 0) = P [Qz (ν; δz ) ≤ u0 ] = f (qz; ν, δz ) √
=
δz = μεz
0
√
μεz ) = L ( μεz /ˉ
x, μ, u0 ) , (4..47)
√
x, μ, u0 ) — план измерения; L
μεz /ˉ
x, μ, u0 — оперативгде (ˉ
ная характеристика.
При μ = const с возрастанием εz интеграл (4.47) монотонно
убывает до нуля, и оперативная характеристика ведет себя так, как
показано на рис. 4.3 пунктирной линией.
= F (u0 ; ν,
√
Рис. 4.3
Проанализируем составляющую εе , входящую в выражение для
εz . Она равна
v
u n
uX
εe = t
ε2ek ,
(4..48)
k=1
где εek =
me (xk )
;
σе
1
1 Т ∗ mek
1
|me (xk )| ≤ T ∗ mek =
Т η = γ ηk Т η,
2
2 Тη
2
134
(4..49)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
t0,5−ε
Т ∗ mek
— согласно выражению
= ηtηk 1 − ηek
Тη
t0,5(1−λε)
Т еk
< 1, k = 1, n.
(4.2); ηeηk =
Тη
Отношение (4.49) приведем к безразмерному виду
γ ηk =
Тогда получим
|me (xk )|
1
= |εek | ≤ γ ηk Т ε η .
σе
2
v
u n
√
uX
n
2
t
εе =
εek <
γ Т ε η,
2 η
(4..50)
k=1
где γ η
v
u n
uX
= t
γ2ηk — параметр, характеризующий систематичеk=1
√
n
ские погрешности;
γ Т ε η — радиус гиперсферы для приведен2 η
ных систематических
√ погрешностей.
n
ρ(n)
Т ε η заменим на сомножитель ε∗η =
T ε η.
Сомножитель
2
2
Тогда отношение (4.50) преобразуется к виду
εe ≤ γ η ε∗η .
Теперь для аргумента εz с учетом условий (4.38) и (4.50) получим отношение
εz = ε η + εe ≤ ε∗η + γ η ε∗η = 1 + γ η ε∗η .
При εek = 0, k = 1, n, имеет место условие γ η = 0, и следовательно, εz = ε η . Тогда оперативная характеристика будет функцией
аргумента ε η , т. е.
√
√
L ( με η /ˉ
x, μ, u0 ) = F (u0 ; ν, μ, ε η )
ν=n−l
.
(4..51)
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Два уравнения, определяющие оптимальные значения параметров μ и u0 , запишутся следующим образом:
√
F (u0 ; ν, με η0 ) = 1 − α0 ;
√
F (u; ν, με η1 ) = β0 .
При условии γ 6= 0 (εе 6= 0) оперативная характеристика будет
функцией аргумента εz = ε η + εe . Тогда уравнения для параметров
μ и u0 с учетом леммы 2.1, доказанной в работе [3], запишутся в
виде
√
F u0 ; ν, μ εz0 (γ η ) = 1 − α0 ;
(4..52)
√
F u0 ; ν, μ εz1 (γ η ) = β0 ,
где εz0 (γ η ) = ε∗η 1 − ξ0 + γ η ; εz1 (γ η ) = ε∗η 1 + ξ1 − γ η .
Решения уравнений (4.52) обеспечат прохождение оперативной
характеристики (4.47) через точки 1 и 2 с координатами, указанными на рис. 4.3.
Для функции распределения F (qz ; ν; δz ) не существует удобных для практического использования таблиц. Поэтому используем приближенный метод решения уравнений (4.52), изложенный в
разд. 2. На основе этого метода уравнения (4.52) можно записать
в виде
i
h
∗
μ;
ν,
ε
γ
u
μ;
ε
= 1 − α0 ;
F a−1
;
ν
z0
0 0
z0 γ η
η
0
i
h
(4..53)
∗
μ;
ν,
ε
γ
u
μ;
ν,
ε
γ
=
β
;
ν
,
F a−1
z1
0
z1
1
η
η
0
1
где
ν + 2με2zi (γ η )
ai μ; ν, εzi γ η
=
= ai (∙), i = 0, 1;
ν + με2zi (γ η )
= ν∗i (∙) =
ν∗i μ; ν, εzi γ η
2
= a−1
μ;
ν,
ε
γ
ν
+
με
, i = 0, 1.
zi
zi γ η
η
i
136
(4..54)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнения для квантилей, соответствующие уравнениям (4.53):
a−1
μ; ν, εz0 γ η u0 = qz, ν∗ ( μ; ν,εz0 ( γ )), 1−α0 ;
0
η
0
(4..55)
−1
a1 μ; ν, εz1 γ η u0 = qz,ν∗ ( μ; ν,εz1 ( γ )), β .
η
0
1
По аналогии с выражениями (2.58) и (2.59) выражения для оптиx, μ, u0 ) запимальных значений параметров плана измерения (ˉ
шутся следующим образом:

n

μ̂(γ η ) = min μ : λ μ; ν, α0 , β0 , εz0 (γ η ), εz1 (γ η ) ≥



o



≥ 1, μ = 1, 2, . . . = μ̂k̂ (γ η );
(4..56)
û0 (γ η ) = a0 μ̂(γ η ); ν, εz0 (γ η ) ∙ qz,ν∗0 (μ; ν,εz0 (γ η )), 1−α0 = 






= a1 μ̂(γ η ); ν, εz1 (γ η ) ∙ qz,ν∗1 (μ; ν,εz1 t(γ η )),β0 ,
где
a1 (μ; ν, εz1 (γ )) qz,ν∗ (∙),β
η
0
1
λ μ; ν, α0 , β0 , εz0 (γ η ), εz1 (γ η ) =
;
a0 (μ; ν, εz0 (γ η )) qz,ν∗0 (∙),1−α0
qz,ν∗0 (∙),1−α0 , qz, ν∗1 (∙),β0 — квантили функции центрального χ2 -распределения с ν∗0 (∙) = ν∗0 (μ; ν, εz0 (γ η )) и ν∗1 (∙) = ν∗1 (μ; ν, εz1 (γ η ))
ст. cв., соответствующие значениям (1 − α0 ) и β0 .
Остальные объемы многократных измерений определяются на
основе уравнений (4.4):
h
i+
μ̂k (γ η ) = vek μ̂(γ η ) , k = 1, n; k 6= k̂.
Таким образом сформирован оптимальный план измерения для
оценки соответствия математической модели функции отклика требованию, заданному в форме гиперсферы
h
i
ˉμ(γ η ), û0 (γ η ) ,
хˉ ∗ , ˆ
где хˉ ∗ = (х1∗ , . . . , хn∗ )т — вектор плана измерения, обеспечиваˉμ(γ η ) = ( μ̂1 (γ η ), . . . , μ̂n (γ η )) —
ющий ортогональность плана; ˆ
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
оптимальный вектор объема многократных измерений; û0 (γ η ) —
оптимальный параметр решающей функции.
Он обеспечит выполнение ограничений на вероятности ошибок
1-го и 2-го рода (4.40) при минимальном объеме многократных изn
X
μ̂k (γ η ).
мерений N̂ (γ η ) =
Пример 4.4. Сформируем оптимальный план для оценки эквивалентности математической модели функции отклика в форме конечного тригонометрического ряда, рассмотренной в примере 4.2.
Для этой модели вектор плана измерения, обеспечивающий ортогональность плана измерения, имеет следующую структуру:
k=1
x
ˉ∗ = (x∗1 , . . . , x∗8 )т ,
Тх
где хk∗ = (k − 1)
, k = 1, 8 (n = 8; l = 5; ν = n − l = 3); Tх —
8
период основной гармоники.
Для определения параметров плана μ, u0 введем следующие допущения и исходные данные:
1) ηek = ηе = 1, k = 1, 8 (многократные измерения на всех
составляющих вектора хˉ ∗ реализуются одним экземпляром СИ);
Те
= 0, 4, k = 1, 8;
2) ηе ηk = ηе η =
Тη
3) λ = 0, 4; ε = 0, 1 — параметры, определяющие условие единства измерений относительно случайной погрешности однократного измерения;
4) альтернативные гипотезы в форме гиперсферы
H0 : ε η ≤ ε∗η ;
H1 : ε η > ε∗η ,
ρ(8) −1 −1
1, 68
где ε∗η =
ηe ηeη t0,5(1−λε) =
2, 5 ∙ 2, 05 = 4, 31; ρ(8) =
2
2
√
4
= 8 = 1, 68; t0,5(1−λε) = t0,48 = 2, 05;
5) наиболее и наименее предпочтительные гипотезы:
H0∗ : ε η ≤ ε η0 = ε∗η (1 − ξ0 ) = 4, 31 ∙ 0, 60 = 2, 59;
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
H1∗ : ε η ≥ ε η1 = ε∗η (1 + ξ0 ) = 4, 31 ∙ 1, 68 = 7, 24,
√
1
8
= 1 − 0, 60 = 0, 40; ξ1 =
− 1 = 1, 68 −
где ξ0 = 1 −
ρ(8)
ρ(8)
−1 = 0, 68;
6) ограничения на вероятности ошибок 1-го и 2-го рода
α (ε η /H0∗ ) ≤ α0 = 0, 1;
(4..57)
β (ε η /H1∗ ) ≤ β0 = 0, 1;
7) εz0 γ η = ε∗η 1 − ξ0 + γ η = 4, 31 ∙ 1, 02 = 4, 40;
εz1 γ η = ε∗η 1 + ξ1 − γ η = 4, 31 ∙ 1, 26 = 5, 43;
s
8
√
P
γη =
γ2ηk = 8 ∙ 0, 15 = 0, 42;
k=1
t0,5−ε
1, 28
=
γ ηk = ηе η 1 −
= 0, 4 1 −
2, 05
t0,5(1−λε)
= 0, 4 ∙ 0, 38 = 0, 15, k = 1, 8.
На основе указанных допущений и исходных данных определим оптимальные значения параметров μ̂(γ η ) и û0 (γ η ) с использованием выражений (4.56). Результаты расчета функции λ(μ; ν, α0 ,
β0 , εz0 (γ η ), εz1 (γ η )) на основе выражений (4.54) помещены в
табл. 4.4.
Таблица 4.4
5
а1 (∙)
ν∗1 (∙) ν∗0 (∙)
а0 (∙)
1,980 1,970 1,005 72,2 50,7
6
1,983 1,974 1,004 90,7
60,4
74
75
0,99
0,99
7
1,986 1,979 1,004 105,4 70,0
87
85,5
1,02
1,02
μ
а1 (∙) а0 (∙)
λ(μ; . . .)
64
qz1
qz0
0,89
qz1
qz0
57
0,90
В табл. 4.4 использованы обозначения qz0 = qz,ν∗0 (μ:ν,εz0 (γ η )),1−α0 ,
qz1 = qz,ν∗1 (μ:ν,εz1 (γ η )),β0 . На основе расчетных данных табл. 4.4
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
на рис. 4.4 построен график функции целочисленного аргумента
λ(μ; . . .). Из графика следует, что
μ̂(γ η ) = min {μ : λ(μ; . . .) ≥ 1, μ = 1, 2, . . .} = 7.
Рис. 4.4
С использованием уравнений (4.56) получим:
û00 (γ η ) = a0 μ̂(γ η ); ν, εz0 (γ η ) qz,ν∗0 (μ(γ η ),εz0 (γ η )),1−α0 =
= a0 (∙)qz0 = 1, 979 ∙ 85, 5 = 169, 2;
û01 (γ η ) = a1 μ̂(γ η ); ν, εz1 (γ η ) qz,ν∗1 (μ(γ η ),εz1 (γ η )),β0 =
= a1 (∙) qz1 = 1, 986 ∙ 87 = 172, 8;
û0 (γ η ) = 0, 5 û00 (γ η ) + û01 (γ η ) = 171.
Определим соответствующую этому плану измерения оперативную характеристику, используя выражение
q
μ̂(γ η )εz /ˉ
L
x∗ , μ̂(γ η ), û0 (γ η ) = F qz ; ν∗ ( μ̂(γ η ), ν, εz ) ,
где qz = a−1 μ̂(γ η ), ν, εz û0 (γ η ).
Результаты расчета оперативной характеристики представлены
в табл. 4.5.
График оперативной характеристики, построенный по данным
табл. 4.5, показан на рис. 4.5.
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 4.5
Параметр
εе
0
εz0 (γ η ) = 4, 4
εz1 (γ η ) = 5, 43
a μ̂(γ), ν, εz )
1
1,979
1,986
qz
171
86,4
86,1
1
70
91
1
0,91
0,09
ν∗ μ̂(γ η ), ν, εz
L(∙)
Рис. 4.5
Из данных табл. 4.5 следует:
в точке с координатами (4,4; 0,91)
L
q
μ̂(γ η )εz0 (γ η )/ˉ
x∗ , μ̂(γ η ), û0 (γ η ) = 0, 91 > 0, 9 = 1 − α0 ;
в точке с координатами (5,43; 0,09)
L
q
μ̂(γ η )εz1 (γ η )/ˉ
x∗ , μ̂(γ η ), û0 (γ η ) = 0, 09 < 0, 1 = β0 .
Полученные отношения означают, что оптимальный план определен верно. Он обеспечит выполнение заданных ограничений на
вероятности ошибок 1-го и 2-го рода (4.50) при минимальном объеме многократных измерений N̂ (γ η ) = n μ̂(γ η ) = 8 ∙ 7 = 56.
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Укажем последовательность реализации данной измерительной задачи на основе оптимального плана (ˉ
x∗ , μ̂(γ η ), u0 (γ η )), где
μ̂k (γ η ) = μ̂(γ η ), k = 1, n.
1. Реализация многократных измерений на основе совокупности планов (x∗k , μ̂(γ η )), k = 1, n.
Результаты многократных измерений на каждом компоненте
вектора плана измерения x∗k , k = 1, n, представляются в виде
табл. 4.6.
Таблица 4.6
x∗8
j
x1
x2
1
y11
y21
y81
2
..
.
y12
.
..
y22
.
..
y82
..
.
μ̂(γ η )
у1 μ̂
у2 μ̂
у8 μ̂
...
2. Обработка многократных измерений.
Экспериментальные данные табл. 4.6 обрабатываются с использованием следующих алгоритмов.
2.1. Алгоритмы оценки коэффициентов математической модели:
μ̂(γ )
z(x∗k )
η
1 X
=
уkj ;
μ̂(γ η )
j=1
с̂i =
8
1 X
ϕi (x∗k )z(x∗k ), i = 1, l, l = 5;
||ϕi ||2
||ϕi ||2 =
k=1
8
X
ϕ2i (x∗k ),
k=1
i = 1, 5.
Значения базисных функций ϕi (x∗k ), i = 1, 5; k = 1, 8, приведены в табл. 4.2.
2.2. Алгоритм определения экспериментального значения аргумента решающей функции:
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ˆ)т (ˉ
qz = μ̂(γ η )De−1 (ˉ
z − Φz cˉ
z − Φz cˆˉ) =
"
#2
8
5
X
X
z(x∗k ) −
ĉi ϕi (x∗k ) ;
= μ̂(γ η )De−1
i=1
 k=1

1, i = 1;



cos [(i − 1) ω0 x∗k ] , i = 2, 3;
ϕi (x∗k ) =



 sin [(i − 3) ω0 x∗k ] , i = 4;
De = De∗ = (σ∗e )2 , σ∗e = d η T η = 0, 1T η;
d η = de ηeη = 0, 5ηeη t−1
0,5(1−λε) = 0, 5 ∙ 0, 4 ∙ 0, 49 = 0, 1.
2.3. Решающая функция

 0, qz ≤ û0 (γ η ) = 171 — принимается гипотеза H0 ;
r(qz ) =

1, qz > û0 (γ η ) = 171 — принимается гипотеза H1 .
Если выполнится условие qz > û0 (γ η ), то следует увеличить
количество членов математической модели и повторить измерительную задачу, начиная с формирования оптимального плана измерения.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица П1
Значения функции Лапласа
1
Φ(t) = √
2π
Z1
1 2
e− 2 t dt,
0
Φ(−t) = −Φ(t), F (t) = 0, 5 + Φ(t)
t
,00
,01
,02
,03
,04
,05
,06
,07
,08
,09
0,0 0,000 0,004 0,008 0,012 0,016 0,020 0,024 0,028 0,032 0,036
0,1 0,040 0,044 0,048 0,052 0,056 0,060 0,064 0,067 0,071 0,075
0,2 0,079 0,083 0,087 0,091 0,095 0,099 0,103 0,106 0,110 0,114
0,3 0,118 0,122 0,126 0,129 0,131 0,137 0,141 0,144 0,148 0,152
0,4 0,155 0,161 0,165 0,166 0,170 0,174 0,177 0,180 0,184 0,188
0,5 0,191 0,195 0,198 0,202 0,205 0,209 0,212 0,216 0,219 0,222
0,6 0,226 0,229 0,232 0,236 0,239 0,242 0,245 0,248 0,252 0,255
0,7 0,258 0,261 0,264 0,267 0,270 0,273 0,276 0,279 0,282 0,285
0,8 0,288 0,291 0,294 0,297 0,300 0,302 0,305 0,308 0,311 0,313
0,9 0,316 0,319 0,321 0,324 0,326 0,329 0,331 0,334 0,336 0,339
1,0 0,341 0,344 0,346 0,348 0,351 0,353 0,355 0,358 0,360 0,362
1,1 0,364 0,367 0,369 0,371 0,373 0,375 0,377 0,379 0,380 0,383
1,2 0,385 0,387 0,389 0,391 0,393 0,394 0,396 0,398 0,400 0,401
1,3 0,403 0,405 0,407 0,408 0,410 0,411 0,413 0,415 0,416 0,418
1,4 0,419 0,421 0,422 0,424 0,425 0,426 0,428 0,429 0,431 0,432
1,5 0,433 0,434 0,436 0,437 0,438 0,439 0,441 0,442 0,443 0,444
1,6 0,445 0,446 0,447 0,448 0,449 0,451 0,452 0,453 0,454 0,455
1,7 0,455 0,456 0,457 0,458 0,459 0,460 0,461 0,462 0,462 0,463
1,8 0,464 0,465 0,466 0,467 0,468 0,469 0,469 0,469 0,470 0,471
1,9 0,471 0,472 0,473 0,473 0,474 0,474 0,475 0,476 0,476 0,477
2,0 0,477 0,478 0,478 0,479 0,479 0,480 0,480 0,481 0,481 0,482
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Окончание табл. П1
t
,00
,01
,02
,03
,04
,05
,06
,07
,08
,09
2,2 0,486 0,486 0,487 0,487 0,487 0,488 0,488 0,488 0,489 0,489
2,3 0,489 0,490 0,490 0,490 0,490 0,491 0,491 0,491 0,491 0,492
2,4 0,492 0,492 0,492 0,492 0,493 0,493 0,493 0,493 0,493 0,494
2,5 0,494 0,494 0,494 0,494 0,494 0,495 0,495 0,495 0,495 0,495
2,6 0,495 0,495 0,496 0,496 0,496 0,496 0,496 0,496 0,496 0,496
2,7 0,496 0,497 0,497 0,497 0,497 0,497 0,497 0,497 0,497 0,497
2,8 0,497 0,498 0,498 0,498 0,498 0,498 0,498 0,498 0,498 0,498
2,9 0,498 0,498 0,498 0,498 0,498 0,498 0,498 0,499 0,499 0,499
t
,00
,05
,10
,15
,20
25
,30
,35
,40
,45
3,0 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499 0,500 0,500 0,500 0,500
Таблица П2
Квантили нормированного гауссовского распределения
(
Φ−1 (|P − 0, 5|) = tp , если P ≥ 0, 5,
−1
tp = f (F ) =
−Φ−1 (|P − 0, 5|) = tp , если P < 0, 5
|Р − 0, 5| ,00
,01
,02
,03
,04
,05
,06
,07
,08
,09
0,0
0,000 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,151 0,176 0,202 0,277
0,1
0,253 0,279 0,305 0,331 0,358 0,385 0,412 0,439 0,467 0,495
0,2
0,524 0,553 0,582 0,612 0,643 0,674 0,706 0,739 0,772 0,806
0,3
0,841 0,878 0,915 0,954 0,994 1,036 1,080 1,126 1,175 1,227
0,4
1,282 1,341 1,405 1,476 1,555 1,645 1,751 1,881 2,054 2,326
|P − 0, 5| ,000 ,001 ,002 ,003 ,004 ,005 ,006 ,007 ,008 ,009
0,47
1,881 1,896 1,911 1,927 1,943 1,960 1,977 1,995 2,014 2,034
0,48
2,054 2,075 2,097 2,120 2,144 2,170 2,197 2,226 2,257 2,290
0,49
2,326 2,366 2,409 2,457 2,512 2,576 2,652 2,748 2,878 3,090
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица П3
Квантили центрального распределения Cтьюдента с ν ст. св.
P
ν
0,75
0,90
0,95
0,975
0,99
0,995
1
1,0000
3,0777
6,3138
12,7062
31,8207
63,6574
2
0,8165
1,8856
2,9200
4,3072
6,9646
9,9248
3
0,7649
1,6377
2,3534
3,1824
4,5407
5,8409
4
0,7407
1,5332
2,1318
2,7764
3,7469
4,6041
5
0,7267
1,4759
2,0150
2,5706
3,3649
4,0322
6
0,7167
1,4398
1,9432
2,4469
3,1427
3,7044
7
0,7111
1,4149
1,8946
2,3646
2,9980
3,4495
8
0,7064
1,3968
1,8595
2,3060
2,8965
3,3554
9
0,7027
1,3839
1,8331
2,2622
2,8214
3,2498
10
0,6998
1,3722
1,8125
2,2281
2,7638
3,1693
11
0,6974
1,3634
1,7959
2,2010
2,7181
3,1058
12
0,6955
1,3562
1,7823
2,1788
2,6810
3,0545
13
0,6938
1,3502
1,7709
2,1604
2,6503
3,0123
14
0,6924
1,3450
1,7613
2,1448
2,6245
2,9768
15
0,6912
1,3406
1,7531
2,1315
2,6025
2,9467
16
6,6901
1,3368
1,7459
2,1199
2,5835
2,9208
18
0,6884
1,3304
1,7341
2,1009
3,5524
2,8784
20
0,6870
1,3253
1,7247
2,0860
2,5280
2,8453
22
0,6858
1,3212
1,7171
2,0739
2,5083
2,3188
24
0,6848
1,3178
1,7109
2,0639
2,4922
2,7969
28
0,6834
1,3125
1,7011
2,0484
2,4671
2,7633
32
0,6822
1,3086
1,6939
2,0369
2,4487
2,7385
36
0,6814
1,3055
1,6883
2,0281
2,4345
2,7195
40
0,6807
1,301
1,6839
2,0211
2,4233
2,7045
44
0,6801
1,3011
1,6802
2,0154
2,4141
2,6923
48
0,6796
1,2994
1,6772
2,0106
2,4066
2,6822
50
0,6794
1,2987
1,6759
2,0086
2,4033
2,6778
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Окончание табл. П3
P
ν
0,75
0,90
0,95
0,975
0,99
0,995
55
0,6790
1,2971
1,6736
2,0040
2,3961
2,6682
60
0,6786
1,2958
1,6706
2,0003
2,3901
2,6603
70
0,6780
1,2938
1,6669
1,9944
2,3808
2,6479
80
0,6776
1,2922
1,6641
1,9901
2,3739
2,6387
90
0,6772
1,2910
1,6620
1,9867
2,3685
2,6316
100
0,6770
1,2901
1,6602
1,9840
2,3642
2,6258
200
0,6757
1,2858
1,6525
1,9719
2,3451
2,6006
1000
0,6747
1,2824
1,6464
1,9600
2,3301
2,5808
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица П4
Значения функции центрального χ2 -распределения с ν ст. св.
χ2
ν
1
2
3
4
5
1
0,68
0,40
0,20
0,09
0,04
2
0,84
0,63
0,43
0,26
0,15
3
0,92
0,78
0,61
0,44
0,30
4
0,95
0,86
0,74
0,59
0,45
5
0,97
0,92
0,83
0,71
0,58
6
0,99
0,95
0,89
0,80
0,69
7
0,99
0,97
0,93
0,86
0,78
8
1,00
0,98
0,95
0,91
0,87
9
1,00
0,99
0,97
0,94
0,90
10
1,00
0,99
0,98
0,96
0,93
6
7
8
9
10
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,08
0,04
0,02
0,01
0,00
0,19
0,11
0,07
0,04
0,02
0,32
0,22
0,14
0,09
0,05
0,46
0,34
0,24
0,17
0,11
0,58
0,46
0,35
0,26
0,18
0,68
0,57
0,46
0,36
0,27
0,76
0,67
0,57
0,47
0,37
0,83
0,75
0,66
0,56
0,47
0,88
0,81
0,73
0,65
0,56
11
12
13
14
15
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,03
0,02
0,01
0,00
0,07
0,04
0,02
0,01
0,01
0,13
0,08
0,05
0,03
0,02
0,20
0,14
0,10
0,07
0,04
0,29
0,21
0,16
0,11
0,08
0,38
0,30
0,23
0,17
0,12
0,47
0,38
0,31
0,24
0,18
0,00
0,01
0,01
0,00
0,02
0,02
0,01
0,00
0,05
0,03
0,02
0,01
0,01
0,09
0,06
0,04
0,03
0,02
0,13
0,10
0,07
0,05
0,03
0,00
0,01
0,01
0,00
0,02
0,01
0,01
0,01
0,00
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжение табл. П4
χ2
ν
12
1,00
1,00
0,99
0,98
0,97
13
1,00
1,00
1,00
0,99
0,98
14
1,00
1,00
1,00
0,99
0,99
15
1,00
1,00
1,00
1,00
0,99
16
1,00
1,00
1,00
1,00
0,99
17
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
18
19
20
1
2
3
4
5
11
1,00
1,00
0,99
0,97
0,95
6
7
8
9
10
0,91
0,86
0,80
0,72
0,64
0,94
0,90
0,85
0,79
0,71
0,96
0,93
0,89
0,84
0,78
0,97
0,95
0,92
0,88
0,83
0,98
0,96
0,94
0,91
0,87
0,99
0,97
0,96
0,93
0,90
0,99
0,98
0,97
0,95
0,93
0,99
0,99
0,98
0,96
0,94
1,00
0,99
0,99
0,97
0,96
1,00
0,99
0,99
0,98
0,97
11
12
13
14
15
0,56
0,47
0,39
0,31
0,25
0,64
0,55
0,47
0,39
0,32
0,71
0,63
0,55
0,47
0,40
0,77
0,70
0,63
0,55
0,47
0,82
0,76
0,69
0,62
0,55
0,86
0,81
0,75
0,69
0,62
0,89
0,85
0,80
0,74
0,68
0,92
0,88
0,84
0,79
0,74
0,94
0,91
0,88
0,84
0,79
0,95
0,93
0,90
0,87
0,83
16
17
18
19
20
0,19
0,14
0,11
0,08
0,05
0,26
0,20
0,15
0,11
0,08
0,33
0,26
0,21
0,16
0,12
0,40
0,33
0,27
0,22
0,17
0,48
0,40
0,34
0,28
0,22
0,55
0,48
0,41
0,34
0,28
0,61
0,55
0,48
0,41
0,35
0,68
0,61
0,54
0,48
0,41
0,73
0,67
0,61
0,54
0,48
0,78
0,73
0,67
0,61
0,54
21
22
23
24
25
0,04
0,03
0,02
0,01
0,01
0,06
0,04
0,03
0,02
0,01
0,09
0,07
0,05
0,03
0,02
0,13
0,10
0,07
0,05
0,04
0,18
0,14
0,11
0,08
0,06
0,23
0,18
0,14
0,11
0,09
0,29
0,24
0,18
0,15
0,12
0,35
0,29
0,24
0,20
0,16
0,41
0,35
0,30
0,25
0,20
0,48
0,42
0,36
0,30
0,25
26
27
28
29
30
0,00
0,01
0,01
0,00
0,02
0,01
0,01
0,00
0,03
0,02
0,01
0,01
0,04
0,03
0,02
0,01
0,06
0,05
0,03
0,02
0,09
0,07
0,05
0,04
0,12
0,10
0,07
0,06
0,16
0,13
0,10
0,08
0,21
0,17
0,14
0,11
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
χ
ν
Окончание табл. П4
2
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
6
7
8
9
10
1,00
0,99
0,99
0,98
0,99
0,99
0,99
0,99
1,00
0,99
1,00
0,99
1,00
1,00
11
12
13
14
15
0,97
0,95
0,93
0,90
0,84
0,98
0,96
0,94
0,92
0,89
0,98
0,97
0,96
0,94
0,92
0,99
0,98
0,97
0,95
0,93
0,99
0,99
0,98
0,97
0,95
0,99
0,99
0,98
0,97
0,96
1,00
0,99
0,99
0,98
0,97
1,00
0,99
0,99
0,99
0,98
1,00
0,99
0,99
0,98
1,00
0,99
0,99
16
17
18
19
20
0,82
0,77
0,72
0,66
0,60
0,86
0,82
0,77
0,72
0,66
0,89
0,85
0,81
0,76
0,71
0,91
0,88
0,84
0,80
0,76
0,93
0,91
0,88
0,84
0,80
0,95
0,93
0,90
0,87
0,83
0,96
0,94
0,92
0,90
0,86
0,97
0,96
0,94
0,92
0,89
0,98
0,97
0,95
0,93
0,91
0,98
0,97
0,96
0,95
0,93
21
22
23
24
25
0,54
0,48
0,42
0,36
0,31
0,60
0,54
0,48
0,42
0,36
0,66
0,68
0,54
0,48
0,42
0,71
0,65
0,60
0,54
0,48
0,77
0,70
0,65
0,59
0,54
0,79
0,75
0,70
0,65
0,59
0,83
0,79
0,74
0,70
0,64
0,86
0,82
0,78
0,74
0,69
0,89
0,86
0,82
0,78
0,74
0,91
0,88
0,85
0,82
0,78
26
27
28
29
30
0,26
0,21
0,17
0,14
0,31
0,26
0,22
0,18
0,37
0,31
0,27
0,22
0,42
0,37
0,32
0,27
0,48
0,43
0,37
0,32
0,54
0,48
0,43
0,37
0,59
0,54
0,48
0,43
0,64
0,59
0,54
0,48
0,69
0,64
0,59
0,53
0,74
0,69
0,64
0,59
1
2
3
4
5
150
–
0,010
0,072
0,207
0,412
0,676
0,989
1,344
1,735
2,156
2,603
3,074
3,565
4,075
4,601
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0,005
1
2
3
4
5
ν
3,053
3,571
4,107
4,660
5,229
0,872
1,239
1,646
2,088
2,558
–
0,020
0,115
0,297
0,554
0,010
3,816
4,404
5,009
5,629
6,262
1,237
1,690
2,180
2,700
3,247
0,001
0,051
0,216
0,484
0,831
0,025
4,575
5,226
5,892
6,571
7,261
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
0,004
0,103
0,352
0,711
1,145
0,050
5,578
6,304
7,042
7,790
8,547
2,204
2,833
3,490
4,168
4,865
0,016
0,211
0,584
1,064
1,610
0,100
7,584
8,438
9,299
10,165
11,037
3,455
4,255
5,071
5,899
6,737
0,102
0,575
1,213
1,923
2,675
0,250
P
13,701
14,845
15,984
17,117
18,245
7,841
9,037
10,219
11,389
12,549
1,323
2,773
4,108
5,385
6,626
0,750
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
2,706
4,605
6,251
7,779
9,236
0,900
0,975
0,990
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
21,920
23,337
24,736
26,119
27,488
14,449
16,013
17,535
19,023
20,483
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
26,757
28,299
29,819
31,319
32,801
18,548
20,278
21,955
23,589
25,188
7,879
10,597
12,838
14,860
16,750
0,995
Таблица П5
3,841 5,024 6,635
5,991 7,378 9,210
7,815 9,348 11,345
9,488 11,143 13,277
11,071 12,833 15,086
0,950
Квантили центрального χ-распределения c ν cт. св.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
151
152
12,198
12,879
13,565
14,257
14,954
13,844
14,573
15,308
16,047
16,791
15,379
16,151
16,928
17,708
18,493
11,160
11,808
12,461
13,121
13,787
26
27
28
29
30
7,962
8,672
9,390
10,117
10,851
0,050
8,034 8,897 10,283 11,591
8,643 9,542 10,982 12,338
9,260 10,196 11,689 13,091
9,886 10,856 12,401 13,848
10,520 11,524 13,120 14,611
6,908
7,564
8,231
8,907
9,591
0,025
21
22
23
24
25
5,812
6,408
7,015
7,633
8,260
0,010
5,142
5,697
6,265
6,844
7,434
0,005
16
17
18
19
20
ν
17,292
18,114
18,939
19,768
20,599
13,240
14,042
14,848
15,659
16,473
9,312
10,085
10,865
11,651
12,443
0,100
0,250
20,843
21,749
22,657
23,567
24,478
16,344
17,240
18,137
19,037
19,939
11,912
12,792
13,675
14,562
15,452
P
0,750
30,435
31,528
32,620
33,711
34,800
24,935
26,039
27,141
28,241
29,339
19,369
20,489
21,605
22,718
23,828
0,900
35,563
36,741
37,916
39,087
40,256
29,615
30,813
32,007
33,196
34,382
23,542
24,769
25,989
27,204
28,412
0,950
38,885
40,113
41,337
42,557
43,773
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
41,923
43,194
44,461
45,722
46,979
35,479
36,781
38,076
39,364
40,646
28,845
30,191
31,526
32,852
34,170
0,975
45,642
46,963
48,278
49,588
50,892
38,932
40,289
41,638
42,980
44,314
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
0,990
48,290
49,645
50,993
52,336
53,672
41,401
42,796
44,181
45,559
46,928
34,267
35,718
37,156
38,582
39,997
0,995
Продолжение табл. П5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22,138
23,584
25,041
26,511
27,991
31,735
35,534
39,383
43,275
47,206
42
44
46
48
50
55
60
65
70
75
0,005
15,134
16,501
17,887
19,289
20,707
32
34
36
38
40
ν
0,010
33,570
37,485
41,444
45,442
49,475
23,650
25,148
26,657
28,177
29,707
16,362
17,789
19,233
20,691
22,164
0,025
36,398
40,482
44,603
48,758
52,942
25,999
27,575
29,160
30,755
32,357
18,291
19,806
21,336
22,878
24,433
0,050
38,958
43,188
47,450
51,739
56,042
28,144
29,787
31,439
33,098
34,764
20,072
21,664
23,269
24,884
26,509
0,100
42,060
46,459
50,883
55,329
59,795
30,765
32,487
34,215
35,949
37,689
22,271
23,952
25,643
27,343
29,051
0,250
47,610
52,294
56,990
61,698
66,417
35,510
37,363
39,220
41,079
42,942
26,304
28,136
29,973
31,815
33,660
P
0,750
61,665
66,981
72,285
77,577
82,858
47,766
49,913
52,056
54,196
56,334
36,973
39,141
41,304
43,462
45,616
0,900
68,796
74,397
79,973
85,527
91,061
54,090
56,369
58,641
60,907
63,167
42,585
44,903
47,212
49,513
51,805
0,950
73,311
79,082
84,821
90,531
96,217
58,124
60,481
62,830
65,171
67,505
46,194
48,602
50,998
53,384
55,758
77,380
83,298
89,177
95,023
100,84
61,777
64,201
66,617
69,023
71,420
49,480
51,966
54,437
56,896
59,342
0,975
82,292
88,379
94,422
104,43
106,39
66,206
68,710
71,201
73,683
76,154
53,486
56,061
58,619
61,162
63,691
0,990
85,749
91,952
98,105
104,22
110,29
69,336
71,893
74,437
76,969
79,490
56,328
58,964
61,581
64,181
66,766
0,995
Продолжение табл. П5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
153
154
51,172
55,170
59,196
63,250
67,328
75,550
83,852
92,222
100,66
109,14
152,24
240,66
330,90
422,30
888,56
110
120
130
140
150
200
300
400
500
1000
0,005
80
85
90
95
100
ν
156,43
245,97
337,16
429,39
898,91
78,458
86,923
95,451
104,03
112,67
53,540
57,634
61,754
65,898
70,065
0,010
162,73
253,91
346,48
439,94
914,26
82,867
91,573
100,33
109,14
117,99
57,153
61,389
65,647
69,925
74,222
0,025
168,28
260,88
354,64
449,15
927,59
86,792
95,705
104,66
113,66
122,69
60,391
64,749
69,126
73,520
77,929
0,050
174,84
269,07
364,21
459,93
943,13
91,471
100,62
109,81
119,03
128,28
64,278
68,777
73,291
77,818
82,358
0,100
186,17
283,14
380,58
478,32
969,48
99,666
109,22
118,79
128,38
137,98
71,145
75,881
80,625
85,376
90,133
0,250
P
213,10
316,14
418,70
520,95
1029,8
119,61
130,06
140,48
150,89
161,29
88,130
93,394
98,650
103,90
109,14
0,750
226,02
331,79
463,65
540,93
1057,7
129,39
140,23
151,05
161,83
172,58
96,578
102,08
107,57
113,04
118,50
0,900
233,99
341,40
447,63
553,13
1074,7
135,48
146,57
157,61
168,61
179,58
101,88
107,52
113,15
118,75
124,34
0,950
241,06
349,87
457,31
563,85
1089,5
140,92
152,21
163,45
174,65
185,80
106,63
112,39
118,14
123,86
129,56
0,975
249,45
359,91
468,72
576,49
1107,0
147,41
158,95
170,42
181,84
193,21
112,33
118,24
124,12
129,97
135,81
0,990
255,26
366,84
476,61
585,21
1119,0
151,95
163,65
175,28
186,85
198,36
116,32
122,33
128,30
134,25
140,17
0,995
Окончание табл. П5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1,60
0,67
0,59
0,55
0,53
0,51
0,49
0,48
0,47
0,47
0,46
0,46
0,46
0,46
0,46
ν2
1
2
3
4
5
7
10
15
20
30
50
100
200
500
∞
0,70
0,70
0,70
0,69
0,69
0,77
0,74
0,73
0,72
0,71
1,50
1,00
0,88
0,83
0,80
2
0,80
0,79
0,79
0,79
0,79
0,82
0,85
0,83
0,82
0,81
1,71
1,13
1,00
0,94
0,91
3
0,85
0,85
0,84
0,84
0,84
0,93
0,90
0,88
0,87
0,86
1,82
1,21
1,06
1,00
0,96
4
0,88
0,88
0,87
0,87
0,87
0,96
0,93
0,91
0,90
0,89
1,89
1,25
1,10
1,04
1,00
5
0,92
0,91
0,91
0,91
0,91
1,00
0,97
0,95
0,94
0,93
1,98
1,30
1,15
1,08
1,04
7
0,95
0,94
0,94
0,94
0,93
1,03
1,00
0,98
0,97
0,96
10
0,97
0,96
0,96
0,96
0,96
1,05
1,02
1,00
0,99
0,98
0,98
0,97
0,97
0,97
0,97
1,07
1,03
1,01
1,00
0,99
ν1
15
20
P = 0, 5
2,04 2,09 2,12
1,34 1,38 1,39
1,18 1,21 1,23
1,11 1,14 1,15
1,07 1,10 1,11
0,99
0,98
0,98
0,98
0,98
1,08
1,05
1,02
1,01
1,00
2,14
1,41
1,24
1,16
1,12
30
1,06
0,99
0,99
0,99
0,99
1,09
1,06
1,03
1,02
1,01
2,17
1,42
1,25
1,18
1,13
50
1,01
1,00
1,00
0,99
0,99
1,10
1,06
1,04
1,03
1,02
2,18
1,43
1,26
1,18
1,14
100
Квантили центрального распределения Фишера с ν1 , ν2 ст. св.
1,01
1,00
1,00
1,00
1,00
1,10
1,07
1,04
1,03
1,02
2,18
1,44
1,26
1,19
1,15
200
1,01
1,01
1,00
1,00
1,00
1,10
1,07
1,04
1,03
1,02
2,19
1,44
1,27
1,19
1,15
500
1,01
1,01
1,00
1,00
1,00
1,10
1,07
1,05
1,03
1,02
2,20
1,44
1,27
1,19
1,15
∞
Таблица П6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
155
156
1
39,40
8,53
5,54
4,54
4,06
3,59
3,29
3,07
2,97
2,88
2,81
2,76
2,73
2,71
2,71
ν2
1
2
3
4
5
7
10
15
20
30
50
100
200
500
∞
2,41
2,36
2,33
2,31
2,30
3,26
2,92
2,69
2,59
2,49
49,50
9,00
5,46
4,32
3,78
2
2,20
2,14
2,11
2,09
2,08
3,07
2,73
2,49
2,38
2,28
53,60
9,16
5,39
4,19
3,62
3
2,06
2,00
1,97
1,96
1,95
2,96
2,60
2,36
2,25
2,14
55,80
9,24
5,34
4,11
3,52
4
1,97
1,91
1,88
1,86
1,85
2,88
2,52
2,27
2,16
2,05
57,20
9,29
5,31
4,05
3,45
5
1,84
1,78
1,75
1,73
1,72
2,78
2,41
2,16
2,04
1,93
58,90
9,35
5,27
3,98
3,37
7
1,73
1,66
1,63
1,61
1,60
2,70
2,32
2,06
1,94
1,82
1,63
1,56
1,52
1,50
1,49
2,63
2,24
1,97
1,84
1,72
1,57
1,49
1,46
1,44
1,42
2,59
2,20
1,92
1,79
1,67
ν1
10
15
20
P = 0, 9
60,20 61,20 61,70
9,39 9,42 9,44
5,23 5,20 5,18
3,92 3,87 3,84
3,30 3,24 3,21
1,50
1,42
1,38
1,36
1,34
2,56
2,16
1,87
1,74
1,61
62,30
9,46
5,17
3,82
3,17
30
1,44
1,35
1,31
1,28
1,26
2,52
2,12
1,83
1,69
1,55
62,70
9,47
5,15
3,80
3,15
50
1,39
1,29
1,24
1,21
1,18
2,50
2,09
1,79
1,65
1,51
63,10
9,48
5,14
3,78
3,13
100
1,36
1,26
1,20
1,16
1,13
2,48
2,07
1,77
1,63
1,48
63,20
9,49
5,14
3,77
3,12
200
1,34
1,23
1,17
1,12
1,08
2,48
2,06
1,76
1,62
1,47
63,30
9,49
5,14
3,76
3,11
500
1,33
1,21
1,14
1,09
1,00
2,47
2,06
1,76
1,61
1,46
63,30
9,49
5,14
3,76
3,11
∞
Продолжение табл. П6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
161
18,50
10,10
7,71
6,61
5,59
4,96
4,54
4,35
4,17
4,03
3,94
3,89
3,86
3,84
ν2
1
2
3
4
5
7
10
15
20
30
50
100
200
500
∞
3,18
3,09
3,04
3,01
3,00
4,74
4,10
3,68
3,49
3,32
200
19,00
9,55
6,94
5,79
2
2,79
2,70
2,65
2,62
2,60
4,35
3,71
3,29
3,10
2,92
216
19,20
9,28
6,59
5,41
3
2,56
2,46
2,42
2,39
2,37
4,12
3,48
3,06
2,87
2,69
225
19,20
9,12
6,39
5,19
4
2,40
2,31
2,26
2,23
2,21
3,97
3,33
2,90
2,71
2,53
230
19,30
9,01
6,26
5,05
5
2,20
2,10
2,06
2,03
2,01
3,79
3,14
2,71
2,51
2,33
237
19,40
8,89
6,09
4,88
7
2,03
1,93
1,88
1,85
1,83
3,64
2,98
2,54
2,35
2,16
1,87
1,77
1,72
1,69
1,67
3,51
2,85
2,40
2,20
2,01
1,78
1,68
1,62
1,59
1,57
3,44
2,77
2,33
2,12
1,93
ν1
10
15
20
P = 0, 95
242 246 248
1,940 19,40 19,40
8,79 8,70 8,66
5,96 5,86 5,80
4,74 4,62 4,56
1,69
1,57
1,52
1,48
1,46
3,38
2,70
2,25
2,04
1,84
250
19,50
8,62
5,75
4,50
30
1,60
1,48
1,41
1,38
1,35
3,32
2,64
2,18
1,97
1,76
252
19,50
8,58
5,70
4,44
50
1,52
1,39
1,32
1,28
1,24
3,27
2,59
2,12
1,91
1,70
253
19,50
8,55
5,66
4,41
100
1,48
1,34
1,26
1,21
1,17
3,25
2,56
2,10
1,88
1,66
254
19,50
8,54
5,65
4,39
200
1,46
1,31
1,22
1,16
1,11
3,24
2,55
2,08
1,86
1,64
254
19,50
8,53
5,64
4,37
500
1,44
1,28
1,19
1,11
1,00
3,23
2,54
2,07
1,84
1,62
254
19,50
8,53
5,63
4,37
∞
Продолжение табл. П6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
157
158
1
648
38,5
17,4
12,2
10,0
8,07
6,94
6,20
5,87
5,57
5,34
5,18
5,10
5,05
5,02
ν2
1
2
3
4
5
7
10
15
20
30
50
100
200
500
∞
3,98
3,83
3,76
3,72
3,69
6,54
5,46
4,76
4,46
4,18
800
39,0
16,0
10,6
8,43
2
3,39
3,25
3,18
3,14
3,12
5,89
4,83
4,15
3,86
3,59
864
39,2
15,4
9,98
7,76
3
3,06
2,92
2,85
2,81
2,79
5,52
4,47
3,80
3,51
3,25
900
39,2
15,1
9,60
7,39
4
2,83
2,70
2,63
2,59
2,57
5,29
4,24
3,58
3,29
3,03
922
39,3
14,9
9,36
7,15
5
2,55
2,42
2,35
2,31
2,29
4,99
3,95
3,29
3,01
2,75
948
39,4
14,6
9,07
6,85
7
2,32
2,18
2,11
2,07
2,05
4,76
3,72
3,06
2,77
2,51
P
969
39,4
14,4
8,84
6,62
10
2,11
1,97
1,90
1,86
1,83
4,57
3,52
2,86
2,57
2,31
1,99
1,85
1,78
1,74
1,71
4,47
3,42
2,76
2,46
2,20
ν1
15
20
= 0, 975
985 993
39,4 39,4
14,3 14,2
8,66 8,56
6,43 6,33
50
100
200
500
∞
1,87
1,71
1,64
1,60
1,57
4,36
3,31
2,64
2,35
2,07
1,75
1,59
1,51
1,46
1,43
4,28
3,22
2,55
2,25
1,97
1,66
1,48
1,39
1,34
1,30
4,21
3,15
2,47
2,17
1,88
1,60
1,42
1,32
1,25
1,21
4,18
3,12
2,44
2,13
1,84
1,57
1,38
1,27
1,19
1,13
4,16
3,09
2,41
2,10
1,81
1,55
1,35
1,23
1,14
1,00
4,14
3,08
2,40
2,09
1,79
1001 1008 1013 1016 1017 1018
39,5 39,5 39,5 39,5 39,5 39,5
14,1 14,0 14,0 13,9 13,9 13,9
8,46 8,38 8,32 8,29 8,27 8,26
6,23 6,14 6,08 6,05 6,03 6,02
30
Окончание табл. П6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Советский энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл., 1980.
2. Назаров Н.Г. Метрология. Основные понятия и математические
модели: Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2002.
3. Назаров Н.Г. Планирование измерений при экспериментальной
оценке их единства // Измерит. техника. 2000. № 2.
4. Назаров Н.Г. Измерения: Планирование и обработка результатов. М.: Изд-во стандартов, 2000.
5. Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента: Учеб. пособие. М.: Радио и связь, 1983. 248 с.
6. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. 2-е изд., перераб. и доп. M.:
Высш. шк., 1982. 256 c.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Основные понятия, классификации и алгоритмы обработки
многократных измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Понятия «свойство», «величина» и «отношение эквивалентности» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Понятия «качество» и «количество» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Классификация измерительных задач и планов измерений . .
1.4. Алгоритмы обработки многократных измерений, соответствующих плану (х , μ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Метрологическое обеспечение измерительной задачи . . . . . . . .
2.1. Особенности прикладной измерительной задачи . . . . . . . . . . .
2.2. Планирование измерений при оценке соответствия дисперсии условию Dе ≤ Dе∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Планирование измерений при обеспечении условия
Dе ≤ Dе∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Планирование измерений при оценке соответствия система1
тической погрешности условию |me (x)| ≤ T ∗ me . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.5. Планирование измерений при корректировке систематической погрешности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Анализ влияния систематической погрешности на интервальную оценку измеряемой величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Планирование измерений при оценке соответствия приведенных систематических погрешностей на диапазоне измерения СИ
требованию, заданному в форме гиперсферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Приближенный метод определения оптимального плана вида
(ˉ
x, μ, u0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Измерительные задачи, связанные с оценкой постоянной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Алгоритмы обработки многократных измерений, соответствующих плану (х , ˉμ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
3
7
7
14
23
27
36
36
38
48
49
57
60
63
71
79
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.2. Планирование измерений при экспериментальной оценке постоянной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Планирование измерений при оценке соответствия качества
объекта, характеризующегося одной величиной, требованиям нормативного документа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Планирование измерений при оценке эквивалентности по качеству двух объектов, характеризующихся однородными постоянными величинами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Планирование измерений при оценке соответствия объекта,
характеризующегося совокупностью разнородных величин . . . . . . . .
4. Планирование измерений переменной величины (функции отклика) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Структура плана измерения при формировании многократных измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Оценка функции отклика на основе многократных измерений
4.3. Планирование многократных измерений при оценке функции отклика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Ортогональный план измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Планирование измерений при оценке соответствия математической модели функции отклика требованию, заданному в форме
гиперсферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
87
94
101
112
112
115
118
119
128
144
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Николай Григорьевич Назаров
ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО РЕШЕНИЮ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ
ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПЛАНОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Редактор С.А. Серебрякова
Корректор Р.В. Царева
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Подписано в печать 28.03.2007. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.
Печ. л. 10,25. Усл. печ. л. 9,53. Уч.-изд. л. 9,35. Тираж 200 экз. Изд. № 32.
Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для заметок
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для заметок
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа